close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

86.Физика Учебно-методический комплекс. Ч. 1 Механика. Молекулярная физика. Термодинамика (организация самостоятельной работы студентов)

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФГБОУ ВПО
«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА»
Кафедра «Физика»
ФИЗИКА.
Разделы «МЕХАНИКА. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
ТЕРМОДИНАМИКА»
(организация самостоятельной работы студентов)
Часть 1
Учебно-методическое пособие
Рекомендовано
учебно-методическим советом УГУЭС
Уфа
2014
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Составитель: О.А. Денисова
УДК 535.3;
ББК 22.3
Ф 50
Рецензенты:
Шапиро С.В., проф., д-р техн. наук, зав. кафедрой «Физика»
Уфимского государственного университета экономики и сервиса
Мигранов Н.Г., проф., д-р физ.-мат. наук кафедры «Общая и теоретическая
физика» Башкирского государственного педагогического университета
им. М. Акмуллы
Бахтизин Р.З., проф., д-р физ.-мат. наук, заведующий кафедрой физической
электроники Башкирского государственного университета
Денисова О.А.
Ф 50 Физика. Разделы «Механика. Молекулярная физика. Термодинамика» (организация самостоятельной работы студентов). Часть 1: Учебнометодическое пособие / О.А. Денисова. – Уфа: Уфимский государственный
университет экономики и сервиса, 2014. – 132 с.
В учебно-методическом пособии приведены краткая теория основных
вопросов, изучаемых студентами по курсу общей физики (разделы «Механика.
Молекулярная физика и термодинамика»), вопросы и задачи, которые студенты должны проработать и решить.
Учебно-методического пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов очной, очно-заочной и заочной форм обучения
технических специальностей и направлений подготовки.
Рис. 116, моделей 29. Библиогр.: 8 назв.
© Денисова О.А., 2014
© Уфимский государственный университет
экономики и сервиса, 2014
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
4
Тема № 1. Основные понятия кинематики. Относительность движения.
Перемещение и скорость
5
Тема № 2. Движение тел с ускорением. Равноускоренное движение тела. Скорость и ускорение. Свободное падение тела
18
Тема № 3. Динамика материальной точки и твердого тела. Движение
брусков
33
Тема № 4. Законы сохранения в механике. Упругие и неупругие соударения
44
Тема № 5. Механические колебания и волны. Колебания пружинного,
математического, физического маятников
66
Тема № 6. Уравнение состояния идеального газа. Изотермический, изобарный, изохорный процессы
84
Тема № 7. Основы специальной теории относительности. Относительность промежутков времени
96
Список литературы
114
Приложение 1. Форма титульного листа для лабораторных работ
115
Приложение 2. Форма титульного листа для оформления контрольных
работ
116
Приложение 3. Дополнительные задачи для решения
117
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВВЕДЕНИЕ
Данное учебно-методическое пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов очной, очно-заочной и заочной форм обучения
инженерных специальностей и направлений подготовки.
Оно направлено на определение порядка выполнения и оформления компьютерных лабораторных работ, с помощью программы «Открытая физика 2.6»,
а так же самостоятельного решения задач.
Данный пакет предназначен для изучения основных физических законов и
явлений с использованием компьютерных моделей студентами очной, очнозаочной и заочной форм обучения. Проверка знаний студента проводится во время аудиторных занятий и с помощью контрольных работ, после чего следует тестирование знаний студентов.
Интерфейс программы удобный и позволяет работать как с теоретическими
материалами, так и с моделями одновременно. Кроме этого в пакете присутствует
список основных физических констант, формул основных физических законов,
приведены биографии великих физиков. Все это позволяет студентам всесторонне подойти к изучению необходимого материала.
Практические занятия по данной программе разделяются на: лабораторный
практикум и контрольные работы.
Лабораторный практикум состоит из 7 лабораторных работ.
Для выполнения домашних контрольных работ каждый студент обеспечивается копией данного пакета.
На каждом занятии студент может выполнить разное количество упражнений лабораторной работы по указанию преподавателя. В ходе компьютерного
моделирования, студент должен решить задачи, ответить на вопросы к лабораторным работам, изучить модели. В экспериментальной части работы провести
физический эксперимент. По каждой работе составляется отчет, в который входят
результаты моделирования (расчеты и графики), ответы на вопросы, решение задач. Отчет представляется в распечатанной на принтере или письменной форме в
тетради (по указанию преподавателя) и сдается преподавателю на проверку.
Решение заданной задачи студент приводит в письменном виде с указанием примененных формул и математических расчетов!
Отчет по лабораторной работе сдается на проверку на следующем аудиторном занятии.
После того как студент выполнил лабораторные и контрольные работы, он
допускается к тестированию. По результатам тестирования студент получает зачет или допускается к экзамену.
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
- наименование работы;
- цель работы;
- конспект основных законов, определений, понятий, формул;
- результаты компьютерного моделирования и расчетов (графики, рисунки,
схемы);
- ответы на контрольные вопросы и подробное решение задач;
- выводы по результатам выполненной работы.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема № 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕМАТИКИ.
Относительность движения. Перемещение и скорость
Цель работы: изучение основных понятий кинематики, относительности
движения, моделей.
1. Краткая теория
Кинематикой называют раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин этого движения.
Механическим движением тела называют изменение его положения в
пространстве относительно других тел с течением времени.
Механическое движение относительно. Движение одного и того же тела
относительно разных тел оказывается различным. Для описания движения тела нужно указать, по отношению к какому телу рассматривается движение.
Это тело называют телом отсчета.
Система координат, связанная с телом отсчета, и часы для отсчета вр емени образуют систему отсчета, позволяющую определять положение движущегося тела в любой момент времени.
В Международной системе единиц (СИ) за единицу длины принят метр,
а за единицу времени – секунда.
Всякое тело имеет определенные размеры. Различные части тела находятся в разных местах пространства. Однако во многих задачах механики нет
необходимости указывать положения отдельных частей тела. Если размеры
тела малы по сравнению с расстояниями до других тел, то данное тело можно
считать его материальной точкой. Так можно поступать, например, при изучении движения планет вокруг Солнца.
Если все части тела движутся одинаково, то такое движение называется
поступательным. Поступательно движутся, например, кабины в аттракционе
«Гигантское колесо», автомобиль на прямолинейном участке пути и т.д. При
поступательном движении тела его также можно рассматривать как материальную точку.
Тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь, называется материальной точкой.
Понятие материальной точки играет важную роль в механике.
Перемещаясь с течением времени из одной точки в другую, тело (материальная точка) описывает некоторую линию, которую называют траекторией движения тела.
Положение материальной точки в пространстве в любой момент времени
(закон движения) можно определять либо с помощью зависимости координат
от времени x=x(t), y=y(t), z=z(t) (координатный способ), либо при помощи зави 
симости от времени радиус-вектора r  r (t ) (векторный способ), проведенного
из начала координат до данной точки (рис. 1.1).
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перемещением
тела
называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с
его последующим положением.
Перемещение есть векторная величина.
Пройденный путь l равен
длине дуги траектории, пройденной телом за некоторое время t.
Путь – скалярная величина.
Рис. 1.1. Координатный и векторный
Если движение тела расспособы определения положения тела
сматривать в течение достаточно
в пространстве
короткого промежутка времени, то
вектор перемещения окажется направленным по касательной к траектории в
данной точке, а его длина будет равна пройденному пути.
В случае достаточно малого промежутка времени Δt пройденный телом

путь Δl почти совпадает с модулем вектора перемещения s . При движении
тела по криволинейной траектории модуль вектора перемещения всегда меньше пройденного пути (рис. 1.2).

  
s  r  r  ro
Для характеристики движения вводится понятие средней скорости:


s r
.


t t

(1.1)
В физике наибольший интерес представляет не средняя, а мгновенная скорость, которая определяется как предел, к
которому стремится средняя скорость за
бесконечно малый промежуток времени Δt:


s r dr 
  lim


r .
t 0 t
t dt

(1.2)
В математике такой предел называют про

изводной и обозначают ddtr или r . Таким
образом, мгновенная скорость материальРис. 1.2. Пройденный путь l и
вектор перемещения при криво- ной точки (тела) – это первая производная
линейном движении тела. a и b – от перемещения по времени.

начальная и конечная точки пути
Мгновенная скорость  тела в любой
точке криволинейной траектории
направлена по касательной к траектории в этой точке. Различие между средней
и мгновенной скоростями показано на рис. 1.3.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При движении тела по
криволинейной траектории его

скорость  изменяется по модулю и направлению. Изменение

вектора скорости  за некоторый малый промежуток времени
Δt можно задать с помощью

вектора  (рис. 1.4).
Вектор изменения скоро  
сти    2  1 за малое время Δt
можно разложить на две составРис. 1.3. Направления средней и мгновенной
ляющие: тангенциальную (касаскорости, перемещения

тельную) составляющую  ,


направленную вдоль вектора  , и нормальную составляющую  n , направ
ленную перпендикулярно вектору  .
Мгновенным ускорением (или про
сто ускорением) a тела называют предел
отношения малого изменения скорости

 к малому промежутку времени Δt, в
течение которого происходило изменение
скорости:



   n  d  



a  lim
 lim 

   r (1.3)
t 0 t
t 0
t  dt
 t

Направление вектора ускорения a в
Рис. 1.4. Изменение вектора скоро- случае криволинейного движения не совпадает с направлением вектора скорости
сти по величине и направлению


 . Составляющие вектора ускорения a


называют касательным (тангенциальным) a и нормальным a n ускорениями
(рис. 1.5).
Касательное ускорение указывает,
насколько быстро изменяется скорость тела
по модулю:

Рис. 1.5. Касательное и
нормальное ускорения


d
a 
.
dt
(1.4)
Вектор a направлен по касательной к
траектории. Нормальное ускорение указывает, насколько быстро скорость тела изменяется по направлению.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Криволинейное движение можно представить как движение по дугам окружностей
(рис. 1.6).
Нормальное ускорение зависит от модуля скорости υ и от радиуса R окружности,
по дуге которой тело движется в данный момент:

 2
.
an 
R
Рис. 1.6. Движение
по дугам окружностей
(1.5)

Вектор a n всегда направлен к центру окружности. Из рис. 1.5 видно, что
модуль полного ускорения равен:
a  a2  an2 .
(1.6)
Таким образом, основными физическими величинами в кинематике ма

териальной точки являются пройденный путь l, перемещение s , скорость  и


ускорение a . Путь l является скалярной величиной. Перемещение s , ско

рость  и ускорение a – величины векторные. Чтобы задать векторную величину, нужно задать ее модуль и указать направление.
Векторные величины подчиняются определенным математическим правилам. Вектора можно проектировать на координатные оси, их можно складывать, вычитать и т.д. Изучите модели «Вектор и его проекции на координатные
оси» и «Сложение и вычитание векторов».
Модель. Вектор и его проекции
на координатные оси
Модель демонстрирует разложение вектора на
составляющие путем проектирования вектора на координатные оси X и Y. Изменяя
на графике с помощью мыши модуль и направление

вектора A проследите за
изменением его проекций
Ax и A y . Изменяя проекции
Ax и A y , проследите за модулем и направлением век
тора A .
Движение тел можно описывать в различных системах отсчета. С точки
зрения кинематики все системы отсчета равноправны. Однако кинематические
характеристики движения, такие как траектория, перемещение, скорость, в разных системах оказываются различными. Величины, зависящие от выбора системы отсчета, в которой производится их измерение, называют относительными.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель. Сложение и вычитание векторов
Модель позволяет изменять модули и направле

ния векторов A и B и стро
ить вектор C – результат их
векторного
сложения или
вычитания. Можно также изменять проекции векторов


A и B и убедиться, что про
екции вектора C на координатные оси равны соответственно сумме или разности


проекций векторов A и B .
Пусть имеются две системы отсчета. Система XOY условно считается
неподвижной, а система X'O'Y' движется поступательно по отношению к си
стеме XOY со скоростью  o . Система XOY может быть, например, связана с
Землей, а система X'O'Y' – с движущейся по рельсам платформой (рис. 1.7).
Рис. 1.7. Сложение перемещений
относительно разных систем отсчета

Пусть человек перешел по
платформе за некоторое время
из точки A в точку B. Тогда его
перемещение
относительно
платформы соответствует век
тору s ' , а перемещение платформы относительно Земли со
ответствует вектору s o . Из рис.
1.7 видно, что перемещение человека относительно Земли будет соответствовать


вектору s , представляющему собой сумму векторов s o и s ' :
  
s  so  s ' .
(1.7)
В случае, когда одна из систем отсчета движется относительно другой

поступательно (как на рис. 1.7) с постоянной скоростью  o это выражение
принимает вид:
 

s   o t  s ' .
(1.8)
Если рассмотреть перемещение за малый промежуток времени Δt, то,
разделив обе части этого уравнения на Δt и затем перейдя к пределу при Δt→0
получим:
  
  o   ' ,
(1.9)


здесь  – скорость тела в «неподвижной» системе отсчета XOY,  ' – скорость


тела в «движущейся» системе отсчета X'O'Y'. Скорости  и  ' иногда условно
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

называют абсолютной и относительной скоростями; скорость  o называют переносной скоростью.
Соотношение (1.9) выражает классический закон сложения скоростей:

абсолютная скорость тела  равна векторной сумме его относительной


скорости  ' и переносной скорости  o подвижной системы отсчета.
Следует обратить внимание на вопрос об ускорениях тела в различных
системах отсчета. Из (1.9) следует, что при равномерном и прямолинейном
движении систем отсчета друг относительно друга ускорения тела в этих двух

 
системах одинаковы, т.е. a  a' . Действительно, если  o – вектор, модуль и
направление которого остаются неизменными во времени, то любое изменение


 ' относительной скорости тела будет совпадать с изменением  его абсолютной скорости. Следовательно,


  '
.

t
t
(1.10)
Изучите модель «Относительность движения».
Модель. Относительность движения
Модель демонстрирует относительность движения на примере
лодки, пересекающей реку. Изменяя
модуль и направление скорости
лодки, скорость течения реки и точку старта лодки, наблюдайте за траекторией переправы лодки через ре
ку. Скорость лодки  в системе отсчета, связанной с Землей, равна

векторной сумме скорости лодки  '
относительно воды и скорости тече
ния реки  o .


Переходя к пределу (Δt→0), получим a  a' . В общем случае, при движениях систем отсчета с ускорением друг относительно друга, ускорения тела в
различных системах отсчета оказываются различными.

В случае, когда вектора относительной скорости  ' и переносной скоро
сти  o параллельны друг другу, закон сложения скоростей можно записать в
скалярной форме:
υ = υ 0 + υ'.
(1.11)
В этом случае все движения происходят вдоль одной прямой линии
(например, оси OX). Скорости υ, υ о и υ' нужно рассматривать как проекции абсолютной, переносной и относительной скоростей на ось OX. Они являются
величинами алгебраическими и, следовательно, им нужно приписывать определенные знаки (плюс или минус) в зависимости от направления движения.
Простейшим видом механического движения является движение тела
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вдоль прямой линии с постоянной по модулю и направлению скоростью. Такое движение называется равномерным. При равномерном движении тело за
любые равные промежутки времени проходит равные пути. Для кинематического описания равномерного прямолинейного движения координатную ось
OX удобно расположить по линии движения. Положение тела при равномерном движении определяется заданием одной координаты x. Вектор перемещения и вектор скорости всегда направлены параллельно координатной оси OX.
Поэтому перемещение и скорость при прямолинейном движении можно спроектировать на ось OX и рассматривать их проекции как алгебраические величины.
Если в некоторый момент времени t1 тело находилось в точке с координатой x1, а в более поздний момент t2 – в точке с координатой x2, то проекция
перемещения Δs на ось OX за время Δt = t2 – t1 равна Δs = x2 – x1.
Эта величина может быть и положительной и отрицательной в зависимости от направления, в котором двигалось тело. При равномерном движении
вдоль прямой модуль перемещения совпадает с пройденным путем. Скоростью равномерного прямолинейного движения называют отношение

s x2  x1

 const .
t t 2  t1
(1.12)
Если υ>0, то тело движется в сторону положительного направления оси
OX; при υ<0 тело движется в противоположном направлении.
Зависимость координаты x от времени t (закон движения) выражается при
равномерном прямолинейном движении линейным математическим уравнением:
x(t) = x0 + υt.
(1.13)
В этом уравнении υ=const – скорость движения тела, xо – координата
точки, в которой тело находилось в момент времени t=0. На графике закон
движения x(t) изображается прямой линией. Примеры таких графиков представлены на рис. 1.8.
Для закона движения,
изображенного на графике I
(рис. 1.8), при t=0 тело находилось в точке с координатой x0=–
3. Между моментами времени
t1=4 с и t2=6 с тело переместилось от точки x1=3 м до точки
x2=6 м. Таким образом, за Δt= t2–
t1 =2 с тело переместилось на
Δs=x2–x1 = 3 м.
Рис. 1.8. Графики равномерного
прямолинейного движения
Следовательно, скорость тела составляет  
s
 1,5 м / с .
t
Величина скорости оказалась положительной. Это означает, что тело
двигалось в положительном направлении оси OX. Обратим внимание, что на
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
графике движения скорость тела может быть геометрически определена как
отношение сторон BC и AC треугольника ABC (рис. 1.9)

x2  x1 BC
.

t 2  t1
AC
Чем больше угол α, который образует прямая с осью времени, т.е. чем
больше наклон графика (крутизна), тем больше скорость тела. Иногда говорят,
что скорость тела равна тангенсу угла α наклона прямой x(t). С точки зрения
математики это утверждение не вполне корректно, так как стороны BC и AC
треугольника ABC имеют разные размерности: сторона BC измеряется в метрах, а сторона AC – в секундах.
Аналогичным образом для движения, изображенного на рис. 1.9 прямой
II, найдем x0=4 м, υ = –1 м/с.
На рис. 1.9 закон движения
x(t) тела изображен с помощью отрезков прямых линий. В математике такие графики называются кусочно-линейными. Такое движение
тела вдоль прямой не является равномерным. На разных участках этого графика тело движется с различными скоростями, которые также
можно определить по наклону соответствующего отрезка к оси времени. В точках излома графика тело мгновенно изменяет свою скоРис. 1.9. Кусочно-линейный
рость.
закон движения
На графике (рис. 1.9) это
происходит в момент времени t1= –3 с, t2= 4 с, t3= 7 с и t4 = 9 с. Нетрудно найти
по графику движения, что на интервале (t2; t1) тело двигалось со скоростью
υ 12=1 м/с, на интервале (t3; t2) – со скоростью υ 23= –4/3 м/с и на интервале (t4; t3)
– со скоростью υ 34 = 4 м/с.
Следует отметить, что при кусочно-линейном законе прямолинейного
движения тела пройденный путь l не совпадает с перемещением s. Например,
для закона движения, изображенного на рис. 1.10, перемещение тела на интервале времени от 0 с до 7 с равно нулю (s=0). За это время тело прошло путь l=
8 м.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Изучите модель «Перемещение и скорость ».
Модель иллюстрирует понятия перемещения и скорости
при равномерном движении тела
вдоль оси X. График движения x(t)
составлен из участков прямых.
График можно изменять, перемещая с помощью мыши выделенные точки на графике. При движении тела на каждом участке
графика вычисляются его скорость υ и перемещение s.
Модель. Перемещение и скорость
2. Порядок выполнения работы
Упражнение № 1
Относительность движения
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.6» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Механика» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните мышью раздел лабораторные работы (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 1.1. На рисунке изображении река
и лодка около одного из берегов. Нажмите «Старт». Лодка начнет двигаться
относительно правого берега реки к левому берегу. Под рисунком расположе13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


ны параметры скорость лодки в стоячей воде  ' , скорость течения  o , угол,
под которым двигается лодка  , начальная координата лодки хо, которые можно изменять.
5. Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
6. Пронаблюдайте движение лодки.
7. Под рисунком приводятся значения координат х и y конечного поло
жения лодки, ее скорость движения  и время движения лодки.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модели 1.1-1.3 из раздела «Модели».
Упражнение № 2
Перемещение и скорость
1. В верхнем левом углу экрана расположена стрелка. Нажмите на
стрелку, перейдите к лабораторной работе № 1.2. Перед Вами график завис имости координаты от времени движения автомобиля.
2. Нажмите «Старт». Автомобиль начинает двигаться. Под графиком
приведены значения перемещения и скорости на каждом участке движения автомобиля.
3. Вид графика может меняться. Подведите стрелку мыши к той точке
графика, которую Вы хотите передвинуть. Нажмите левую кнопку мыши и перенесите точку туда, куда необходимо. Отпустите кнопку. Нажмите «Старт»,
пронаблюдайте движения автомобиля.
4. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
5. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
распечатайте результат на принтере.
6. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
7. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
8. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопросы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
9. Дома проработайте модель 1.4 из раздела «Модели».
10. Напишите вывод.
3. Вопросы для тестирования
1. Лодка пересекает реку, причем собственная скорость лодки направлена
перпендикулярно течению. Какова скорость лодки относительно берега, если
скорость лодки в стоячей воде υ' = 4 м/с, а скорость течения реки υ 0 = 3 м/с?
1) 1 м/с, 2) 3 м/с, 3) 4 м/с, 5) 5 м/с, 6)7 м/с.
2. Лодка пересекла реку шириной 100 м за 100 с, причем собственная скорость лодки была направлена вверх по течению под углом 60° к линии, перпендикулярной берегу. Определите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки составляет υ 0 = 3 м/с.
1) 1 м/с, 2) 3 м/с, 3) 4 м/с, 5) 5 м/с.
3. При переправе через реку шириной 100 м лодку снесло вниз по течению на 202 м. Учитывая, что собственная скорость лодки была направлена
вниз по течению под углом 30° к линии, перпендикулярной берегу, определите
скорость течения реки. Скорость лодки в стоячей воде составляет υ ' = 4 м/с.
1) 2 м/с, 2) 3 м/с, 3) 4 м/с, 5) 5 м/с.
4. Как изменится минимальное время переправы лодки через реку, если
скорость течения реки возрастет в 3 раза, а скорость лодки в стоячей воде во зрастет в 1,5 раза?
1) Увеличится в 3 раза, 2) Увеличится в 1,5 раза,
3) Уменьшится в 1,5 раза, 4) Уменьшится в 2 раза.
5. Лодка переправляется через реку за минимально возможное время. Как
изменится расстояние, на которое лодку снесет вниз по течению, если скорость течения реки возрастет в 2 раза, а скорость лодки в стоячей воде уменьшится в 1,5 раза?
1) Увеличится в 2 раза, 2) Увеличится в 3 раза,
3) Увеличится в 3,5 раза, 4) Останется неизменным.
6. На модели представлен график зависимости координаты автомобиля от
времени. Какую скорость имел автомобиль на участке траектории, которому
соответствует отрезок BC графика координаты?
1) 15 м/с, 2) -15 м/с, 3) 17,5 м/с, 4) –17,5 м/с, 5) 22,5 м/с, 6) –22,5 м/с.
7. На модели представлен график зависимости координаты автомобиля от
времени. На каких участках графика скорости автомобиля равны?
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) AB и BC, 2) AB и CD, 3) AB и EF, 4) BC и CD, 5) BC и DE.
8. На модели представлен график зависимости координаты автомобиля от
времени. Какие точки графика соответствуют изменению направления движения автомобиля?
1) Только точки пересечения графика с осью времени, 2) B, C, D и E,
3) Только A, C, и E, 4) Только B, D и F, 5) Только A и E.
9. На модели представлен график зависимости координаты автомобиля от
времени. Какие точки графика соответствуют прохождению автомобиля мимо
тела отсчета?
1) Только точки пересечения графика с осью времени, 2) B, C, D и E,
3) Только A, C, и E, 4) Только B, D и F, 5) Только A и E.
4. Задачи
1. Лодка пересекает реку, причем собственная скорость лодки направлена
перпендикулярно течению. Какова скорость лодки относительно берега, если
ее скорость в стоячей воде υ' = 2 м/с, а скорость течения реки υ 0 = 1,5 м/с?
Проведите компьютерный эксперимент и проверьте Ваш ответ. υ =
м/с.
2. Лодка пересекает реку, причём собственная скорость лодки направлена
перпендикулярно течению. Скорость течения реки υ 0 = 3 м/с, а скорость лодки
в стоячей воде υ' = 4 м/с. Определите время t, за которое лодка пересечёт реку
шириной 100 м, а также расстояние x, на которое лодку снесёт вниз по течению. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. t =
с, x =
м.
3. Лодка пересекает реку, причем собственная скорость лодки направлена
перпендикулярно течению. Определите координаты лодки x и y через 20 с после начала движения, если скорость лодки в стоячей воде υ' = 2,5 м/с, а скорость течения реки υ 0 = 1,5 м/с. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. x =
м, y =
м.
4. Скорость лодки в стоячей воде υ' = 5 м/с, а скорость течения
υ 0 = 2,5 м/с. Под каким углом к линии, перпендикулярной берегу, следует
направлять лодку, чтобы она пересекла реку по кратчайшему пути? Проведите
компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. θ =
°.
5. Лодка переплывает реку шириной 120 м, двигаясь перпендикулярно берегу. За какое время лодка пересечет реку, если скорость лодки в стоячей воде
υ' = 5 м/с, а скорость течения реки υ 0 = 3 м/с? Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. t =
с.
6. Гребец пересек на лодке реку шириной 100 м за 25 с, перемещаясь перпендикулярно берегу. Определите скорость течения реки υ 0, если на озере при
тех же усилиях гребец мог перемещаться со скоростью υ' = 5 м/с. Проведите
компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. υ 0 =
16
м/с.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. На модели представлен график зависимости координаты автомобиля от
времени. Определите по графику максимальную по модулю скорость автомобиля. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. υ max =
м/с.
8. На модели представлен график зависимости координаты автомобиля от
времени. Определите по графику минимальную по модулю скорость автомобиля. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. υ min =
м/с.
9. На модели представлен график зависимости координаты автомобиля от
времени. Определите по графику путь, пройденный автомобилем за первые
30 с движения. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ.
l=
м.
10. На модели представлен график зависимости координаты автомобиля
от времени. Определите по графику, сколько раз автомобиль прошел мимо тела отсчета за все время движения. Проведите компьютерный эксперимент и
проверьте ваш ответ.
раз.
11. На модели представлен график зависимости координаты автомобиля
от времени. Определите путь автомобиля на участке траектории, которому соответствует отрезок графика CD. Проведите компьютерный эксперимент и
проверьте ваш ответ. s =
м.
5. Контрольные вопросы
1. Перечислите и дайте определения основных разделов механики.
2. Какие модели в механике Вы знаете?
3. Что называется телом отсчета, системой отсчета?
4. Дайте определения траектории, длины пути, вектора перемещения.
5. Какое движение называется поступательным?
6. Дайте определение средней и мгновенной скоростей.
7. Дайте определение ускорения. Что характеризуют его (тангенциальная
и нормальная) составляющие?
8. Сформулируйте закон сложения скоростей.
9. Какое движение называется равномерным?
10. Напишите формулу закона движения при равномерном прямолинейном движении.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема № 2. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ С УСКОРЕНИЕМ.
Равноускоренное движение. Скорость и ускорение.
Свободное падение тела
Цель работы: изучение равноускоренного движения, понятий скорости
и ускорения, свободного падения тел, моделей.
1. Краткая теория
В общем случае равноускоренным движением называют такое движе
ние, при котором вектор ускорения a остается неизменным по модулю и
направлению. Примером такого движения является движение камня, брошенного под некоторым углом к горизонту (без учета сопротивления воздуха). В
любой точке траектории ускорение камня равно ускорению свободного падения g . Для кинематического описания движения камня систему координат
удобно выбрать так, чтобы одна из осей, например ось OY, была направлена
параллельно вектору ускорения. Тогда криволинейное движение камня можно
представить как сумму двух движений – прямолинейного равноускоренного
движения вдоль оси OY и равномерного прямолинейного движения в перпендикулярном направлении, т.е. вдоль оси OX (рис. 1.1).
Таким образом, изучение равноускоренного движения сводится к изучению прямолинейного равноускоренного движения.
Рис. 1.1. Проекции векторов скорости


 и ускорения a на координатные оси.
ax=0, a y=–g
В случае прямолинейного

движения векторы скорости  и

ускорения a направлены вдоль
прямой движения. Поэтому скорость υ и ускорение a можно рассматривать в проекциях на
направление движения как алгебраические величины. При
равноускоренном прямолинейном движении скорость тела
определяется формулой
υ=υ 0+at.
(1.1)
В этой формуле υ 0 – скорость тела при t=0 (начальная скорость), a=const
– ускорение. На графике скорости υ(t) эта зависимость изображается прямой
линией (рис. 1.2).
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По наклону графика скорости
может быть определено ускорение
a тела. Соответствующие построения выполнены на рис. 1.2 для графика I. Ускорение численно равно
отношению сторон треугольника
АВС:
Рис. 1.2. Графики скорости
равноускоренного движения
Чем больше угол β, который образует график скорости с осью времени,
т.е. чем больше наклон графика (крутизна), тем больше ускорение тела.
Для графика I: υ 0 = –2 м/с, a = 1/2 м/с 2.
Для графика II: υ 0 = 3 м/с, a = –1/3 м/с 2.
График скорости позволяет также определить проекцию перемещения s
тела за некоторое время t. Выделим на оси времени некоторый малый промежуток времени Δt. Если этот промежуток времени достаточно мал, то и изменение скорости за этот промежуток невелико, т.е. движение в течение этого
промежутка времени можно считать равномерным с некоторой средней скоростью, которая равна мгновенной скорости υ тела в середине промежутка Δt.
Следовательно, перемещение Δs за время Δt будет равно Δs = υΔt. Это перемещение равно площади заштрихованной на рис. 1.2 полоски. Разбив промежуток времени от 0 до некоторого момента t на малые промежутки Δt, можно
получить, что перемещение s за заданное время t при равноускоренном прямолинейном движении равно площади трапеции ODEF. Соответствующие построения выполнены на рис. 1.2 для графика II.
Изучите модель «Скорость и ускорение».
Модель
демонстрирует
графики движения тела с постоянным ускорением.
График υ состоит из отрезков прямых. Его можно менять с помощью мыши. При
движении тела для каждого
прямолинейного участка вычисляется величина ускорения
a и перемещения s.
Модель. Скорость и ускорение
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Время t принято равным 5,5 с.
Так как υ – υ 0 = at, окончательная формула для перемещения s тела при
равномерно ускоренном движении на промежутке времени от 0 до t запишется
в виде:
(1.2)
Для нахождения координаты y тела в любой момент времени t нужно к
начальной координате y0 прибавить перемещение за время t:
(1.3)
Это выражение называют законом равноускоренного движения.
При анализе равноускоренного движения иногда возникает задача определения перемещения тела по заданным значениям начальной υ 0 и конечной υ
скоростей и ускорения a. Эта задача может быть решена с помощью уравнений
(1.1) и (1.2) путем исключения из них времени t. Результат записывается в виде
(1.4)
Из этой формулы можно получить выражение для определения конечной
скорости υ тела, если известны начальная скорость υ 0, ускорение a и перемещение s:
(1.5)
Изучите модель «Графики равноускоренного движения».
Модель демонстрирует графики равноускоренного движения. График x(t), представляющий собой параболу, можно менять с помощью
мыши. После команды «Старт» движущаяся точка на графике x(t) демонстрирует движение тела; при этом
одновременно
рисуются
графики
скорости υ(t) и ускорения a(t).
Модель. Графики
равноускоренного движения
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если начальная скорость υ 0 равна нулю, эти формулы принимают вид
(1.6)
Следует еще раз обратить внимание на то, что входящие в формулы равноускоренного прямолинейного движения величины υ 0, υ, s, a, y0 являются величинами алгебраическими. В зависимости от конкретного вида движения
каждая из этих величин может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
В случае достаточно малого промежутка времени Δt пройденный телом

путь Δl почти совпадает с модулем вектора перемещения s . При движении
тела по криволинейной траектории модуль вектора перемещения всегда меньше пройденного пути (рис. 1.2).
Свободным падением тел называют падение тел на Землю в отсутствие
сопротивления воздуха (в пустоте). В конце XVI века знаменитый итальянский
ученый Г. Галилей опытным путем установил с доступной для того времени
точностью, что в отсутствие сопротивления воздуха все тела падают на Землю
равноускоренно, и что в данной точке Земли ускорение всех тел при падении
одно и то же. До этого в течение почти двух тысяч лет, начиная с Аристотеля,
в науке было принято считать, что тяжелые тела падают на Землю быстрее
легких.
Ускорение, с которым падают на Землю тела, называется ускорением
свободного падения. Вектор ускорения свободного падения обозначается сим
волом g он направлен по вертикали вниз. В различных точках земного шара в
зависимости от географической широты и высоты над уровнем моря числовое
значение g оказывается неодинаковым, изменяясь примерно от 9,83 м/с 2 на полюсах до 9,78 м/с 2 на экваторе. На широте Москвы g = 9,81523 м/с 2. Обычно,
если в расчетах не требуется высокая точность, то принимают числовое значение g у поверхности Земли равным 9,8 м/с 2 или даже 10 м/с 2.
Изучите модель «Равноускоренное движение тела».
Модель. Равноускоренное
движение тела
Модель демонстрирует равноускоренное движение бегуна. Выбрав величины начальной скорости и ускорения бегуна (это можно сделать как с помощью соответствующих окон ввода, так и непосредственно на графике с помощью мыши), наблюдайте за изменением во времени координаты x, пройденного пути l и
скорости υ.
Проследите за движением бегуна в
случае, когда начальная скорость и ускорение имеют разные знаки.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Простым примером свободного падения является падение тела с некоторой высоты h без начальной скорости. Свободное падение является прямолинейным движением с постоянным ускорением. Если направить координатную
ось OY вертикально вверх, совместив начало координат с поверхностью Земли,
то для анализа свободного падения без начальной скорости можно использ овать формулу (1.3), положив υ 0 = 0, y0 = h, a = –g. Обратим внимание на то, что
если тело при падении оказалось в точке с координатой y < h, то перемещение
s тела равно s = y – h < 0. Эта величина отрицательна, так как тело при падении
перемещалось навстречу выбранному положительному направлению оси OY.
В результате получим:
υ = –gt.
(1.7)
Скорость отрицательна, так как вектор скорости направлен вниз.
(1.8)
Время падения tn тела на Землю найдется из условия y = 0:
(1.9)
Скорость тела в любой точке составляет:
(1.10)
В частности, при y = 0 скорость υ n падения тела на землю равна
(1.11)
Пользуясь этими формулами, можно вычислить время падения тела с
данной высоты, скорость падения тела в любой момент после начала падения
и в любой точке его траектории и т. д.
Аналогичным образом решается задача о движении тела, брошенного
вертикально вверх с некоторой начальной скоростью υ 0. Если ось OY попрежнему направлена вертикально вверх, а ее начало совмещено с точкой бросания, то в формулах равноускоренного прямолинейного движения следует
положить: y0 = 0, υ 0 > 0, a = –g. Это дает:
υ = υ 0 – gt.
(1.12)
Через время υ 0 /g скорость тела υ обращается в нуль, т.е. тело достигает
высшей точки подъема. Зависимость координаты y от времени t выражается
формулой
(1.13)
Тело возвращается на землю (y = 0) через время 2υ 0 / g, следовательно,
время подъема и время падения одинаковы. Во время падения на землю скорость тела равна –υ 0, т.е. тело падает на землю с такой же по модулю скоростью, с какой оно было брошено вверх.
Максимальная высота подъема
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1.14)
На рис. 1.3 представлены графики скоростей для трех случаев движения тела с ускорением a = –g. График I
соответствует случаю свободного падения тела без начальной скорости с
некоторой высоты h. Падение происходило в течение времени tn = 1 с. Из
формул для свободного падения легко
получить: h = 5 м (все цифры в этих
примерах округлены, ускорение свободного падения принято равным
g = 10 м/с 2). График II – случай движения тела, брошенного вертикально
вверх
с
начальной скоростью
Рис. 1.3. Графики скоростей
υ 0 = 10 м/с.
для различных режимов
Максимальная высота подъема
движения тела с ускорением a = –g
h = 5 м. Тело возвращается на землю
через время 2 секунды.
График III – продолжение графика I. Свободно падающее тело при ударе
о землю отскакивает (мячик), и его скорость за очень короткое время меняет
знак на противоположный. Дальнейшее движение тела не отличается от случая II.
Задача о свободном падении
тел тесно связана с задачей о
движении тела, брошенного под
некоторым углом к горизонту.
Для кинематического описания
движения тела удобно одну из
осей системы координат направить вертикально вверх (ось
OY), а другую (ось OX) – расположить горизонтально. Тогда
Рис. 1.4. Движение тела, брошенного
движение тела по криволинейпод углом  к горизонту. Разложение

ной траектории можно представектора  o начальной скорости тела
вить как сумму двух движений,
по координатным осям
протекающих
независимо друг от друга – движения с ускорением свободного падения вдоль
оси OY и равномерного прямолинейного движения вдоль оси OX. На рис. 1.4

изображен вектор начальной скорости  o тела и его проекции на координатные оси.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, для движения вдоль оси OX имеем следующие условия:
x0 = 0, υ ox = υ 0 cos α, ax = 0,
а для движения вдоль оси OY
y0 = 0, υ oy = υ 0 sin α, ay = –g.
Приведем здесь некоторые формулы, описывающие движение тела,
брошенного под углом α к горизонту.
Дальность полета:
(1.16)
Максимальная высота подъема:
(1.17)
Движение тела, брошенного под углом к горизонту, происходит по параболической траектории. В реальных условиях такое движение может быть в
значительной степени искажено из-за сопротивления воздуха, которое может
во много раз уменьшить дальность полета тела.
Изучите модель «Движение тела, брошенного под углом к горизонту».
Модель. Движение тела, брошенного
под углом к горизонту
Модель демонстрирует движение тела, брошенного под углом к горизонту. Можно изменять начальную
высоту, а также модуль и направление скорости тела. В режиме «Стробоскоп» на траектории через равные
промежутки времени показываются
вектор скорости брошенного тела и
его проекции на горизонтальную и
вертикальную оси.
Определите в компьютерном
эксперименте, при каком угле бросания при начальной высоте y = 0 и при
заданной начальной скорости дальность полета максимальна.
2. Порядок выполнения работы
Упражнение № 1
Равноускоренное движение
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.6» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Механика» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните мышью раздел лабораторные работы (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 1.3.
5. На рисунке изображен бегущий человек. Нажмите «Старт». Человек
начнет двигаться. Непосредственно под рисунком изображены временные зависимости координаты, пройденного пути и скорости. Также под рисунком

расположены параметры начальной скорости  o и ускорения человека, которые можно изменять. Слева от начальных параметров расположены скорость

 , время движения, пройденный путь l, координата х.
6. Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
7. Пронаблюдайте движение человека.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модели 1.6, 1.7 из раздела «Модели».
Упражнение № 2
Скорость и ускорение
1. В верхнем левом углу расположена стрелка. Нажмите на стрелку, перейдите к лабораторной работе № 1.4. Перед Вами график зависимости скор ости от времени движения тела.
2. Нажмите «Старт». Тело начинает двигаться. Под графиком приведены
значения перемещения и ускорения на каждом участке движения тела.
3. Вид графика может меняться. Подведите стрелку мыши к той точке
графика, которую Вы хотите передвинуть. Нажмите левую кнопку мыши и перенесите точку туда, куда необходимо. Отпустите кнопку. Нажмите «Старт»,
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пронаблюдайте движения тела по новой траектории.
4. Повторите моделирование необходимое количество раз (по указанию
преподавателя).
5. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
6. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
7. Дома проработайте модель 1.5 из раздела «Модели».
Упражнение № 3
Свободное падение тела
1. В верхнем левом углу расположена стрелка. Нажмите на стрелку, перейдите к лабораторной работе № 1.5. Перед Вами график зависимости координат y
от x падения тела.
2. Нажмите «Старт». Тело начинает двигаться. Справа от графика приведе26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ны значения начальных и конечных значений координат х и у, проекций скорости
 x и  y , скорости  , угла  , времени падения тела t.
3. Значения координаты у, скорости  и угла  падения можно изменять.
4. Можно включить стробоскоп, тогда будут отображаться направления
скоростей в каждый момент времени.
рами.
5. Нажмите «Старт», пронаблюдайте движения тела с новыми парамет-
6. Повторите моделирование необходимое количество раз (по указанию
преподавателя).
7. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
8. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
9. Дома проработайте модель 1.8 из раздела «Модели».
10. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
11. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопросы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
12. Напишите вывод.
3. Вопросы для тестирования
1. Спортсмен начал движение из состояния покоя и двигался равноускоренно. Через 10 с после начала движения его скорость достигла 5 м/с. С каким
ускорением двигался спортсмен?
1) 0,5 м/с2, 2) 2 м/с 2, 3) 5 м/с 2, 4) 10 м/с 2,
5) Среди ответов 1–4 нет правильного.
2. Тело начинает двигаться со скоростью 5 м/с. Модуль ускорения равен
1 м/с 2, причем вектор ускорения направлен навстречу координатной оси. Через
какое время модуль скорости тела удвоится?
1) 5 с, 2) 10 с, 3) 15 с, 4) 20 с, 5) Среди ответов 1–4 нет правильного
3. При равноускоренном движении без начальной скорости спортсмен
пробегает первые 10 м за 10 с. За какое время он пробежит следующие 10 м?
Ответ округлить до целых.
1) 2 с, 2) 4 с, 3) 6 с, 4) 8 с, 5) Среди ответов 1–4 нет правильного.
4. Тело начинает двигаться равноускоренно без начальной скорости. Как
изменится пройденное телом расстояние, если его ускорение увеличится в
4 раза, а время движения уменьшится в 4 раза?
1) Не изменится, 2) Уменьшится в 2 раза, 3) Увеличится в 2 раза,
4) Уменьшится в 4 раза, 5) Увеличится в 4 раза.
5. В процессе движения с ускорением, равным по модулю 0,2 м/с 2 и
направленным навстречу координатной оси, спортсмен перемещается на 40 м
и останавливается. Определите начальную скорость спортсмена.
1) 2 м/с, 2) 3 м/с, 3) 4 м/с, 4)5 м/с, 5) Среди ответов 1–4 нет правильного.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. На модели представлен график зависимости скорости материальной
точки от времени. Как изменялся модуль скорости материальной точки на
участке траектории, которому соответствует отрезок графика CD?
1) Скорость уменьшалась по модулю,
2) Скорость увеличивалась по модулю,
3) Модуль скорости вначале уменьшался, а затем увеличивался,
4) Модуль скорости вначале увеличивался, а затем уменьшался,
5) Среди ответов 1–4 нет правильного.
7. На модели представлен график зависимости скорости материальной
точки от времени. Какое ускорение имела материальная точка на участке траектории, которому соответствует отрезок AB графика скорости?
1) 1,25 м/с2, 2) –1,25 м/с 2 , 3) 1,5 м/с 2, 4) –1,5 м/с 2, 5) 1,75 м/с 2.
8. На модели представлен график зависимости скорости материальной
точки от времени. На каких участках графика ускорения материальной точки
одинаковы?
1) На AB и BC, 2) На AB и CD, 3) На AB и EF, 4) На BC и DE,
5) Нет участков с одинаковым ускорением.
9. На модели представлен график зависимости скорости материальной
точки от времени. Какие из указанных ниже отрезков графика соответствуют
торможению материальной точки?
1) Отрезки графика AB, CD и EF, 2) Отрезки графика BC и DE,
3) Только отрезки графика от точек B и D до точек пересечения графика с
осью времени, 4) Только отрезки графика от точек A, C и E до точек пересечения графика с осью времени, 5) Только отрезки графика от точек A, B, C, D и E
до точек пересечения графика с осью времени.
10. На модели представлен график зависимости скорости материальной
точки от времени. Какие точки графика скорости соответствуют изменению
направления движения материальной точки?
1) Только точки пересечения графика скорости с осью времени,
2) Только A, C и E, 3) Только B, D и F, 4) Только A и E. B, C, D и E.
11. На модели представлен график зависимости скорости материальной
точки от времени. Какие точки графика скорости соответствуют изменению
направления ускорения материальной точки?
1) Только точки пересечения графика скорости с осью времени,
2) B, C, D и E, 3) Только A, C и E, 4)Только B, D и F, 5) Только A и E.
12. На модели представлен график зависимости скорости материальной
точки от времени. Как изменялся модуль скорости материальной точки на
участке траектории, которому соответствует отрезок графика CD?
1) Скорость уменьшалась по модулю, 2) Скорость увеличивалась по модулю, 3) Модуль скорости вначале уменьшался, а затем увеличивался,
4) Модуль скорости вначале увеличивался, а затем уменьшался,
5) Среди ответов 1–4 нет правильного.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. На модели представлен график зависимости скорости материальной
точки от времени. Какое ускорение имела материальная точка на участке траектории, которому соответствует отрезок AB графика скорости?
1) 1,25 м/с 2, 2) –1,25 м/с 2, 3) 1,5 м/с 2,4) –1,5 м/с 2, 5) 1,75 м/с 2.
14. На модели представлен график зависимости скорости материальной
точки от времени. На каких участках графика ускорения материальной точки
одинаковы?
1) На AB и BC, 2) На AB и CD, 3) На AB и EF, 4) На BC и DE,
5)Нет участков с одинаковым ускорением.
15. На модели представлен график зависимости скорости материальной
точки от времени. Какие из указанных ниже отрезков графика соответствуют
торможению материальной точки?
1) Отрезки графика AB, CD и EF, 2) Отрезки графика BC и DE,
3) Только отрезки графика от точек B и D до точек пересечения графика с
осью времени, 4) Только отрезки графика от точек A, C и E до точек пересечения графика с осью времени, 5) Только отрезки графика от точек A, B, C, D и E
до точек пересечения графика с осью времени.
16. На модели представлен график зависимости скорости материальной
точки от времени. Какие точки графика скорости соответствуют изменению
направления движения материальной точки?
1) Только точки пересечения графика скорости с осью времени,
2) Только A, C и E, 3) Только B, D и F, 4) Только A и E B, C, D и E.
17. На модели представлен график зависимости скорости материальной
точки от времени. Какие точки графика скорости соответствуют изменению
направления ускорения материальной точки?
1) Только точки пересечения графика скорости с осью времени,
2) B, C, D и E, 3) Только A, C и E, 4) Только B, D и F, 5) Только A и E.
18. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Какое время
тело будет находиться в полете? Ответ округлите до целых. Ускорение свободного падения считать равным 9,8 м/с 2. Сопротивление воздуха не учитывать.
1) 1 с, 2) 2 с, 3) 3 с, 4) 4 с, 5) 5 с.
19. Тело падает с некоторой высоты без начальной скорости. Как изменится время падения, если высоту, с которой падает тело, увеличить в 4 раза?
Сопротивление воздуха не учитывать.
1) Не изменится, 2) Увеличится в 2 раза, 3) Увеличится в 4 раза,
4) Увеличится в 8 раз, 5) Увеличится в 16 раз.
20. Тело бросают в горизонтальном направлении с некоторой высоты. Как
изменится время полета тела, если его начальную скорость увеличить в 4 раза?
Сопротивление воздуха не учитывать.
1) Не изменится, 2) Увеличится в 2 раза, 3) Увеличится в 4 раза,
4) Увеличится в 8 раз, 5) Увеличится в 16 раз.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
21. Тело бросают в горизонтальном направлении с некоторой высоты. Как
изменится дальность полета тела, если его начальную скорость увеличить в 4
раза? Сопротивление воздуха не учитывать.
1) Не изменится, 2) Увеличится в 2 раза, 3) Увеличится в 4 раза,
4) Увеличится в 8 раз, 5) Увеличится в 16 раз.
22. Тело бросают в горизонтальном направлении с некоторой высоты. Как
изменится дальность полета тела, если высоту точки бросания увеличить в 4
раза, а начальную скорость уменьшить в 2 раза? Сопротивление воздуха не
учитывать.
1) Не изменится, 2) Уменьшится в 2 раза, 3) Увеличится в 2 раза,
4) Уменьшится в 4 раза, 5) Увеличится в 4 раза.
4. Задачи
1. Спортсмен начинает движение из начала координат со скоростью
2 м/с. Определите скорость спортсмена через 14 с после начала движения, если
его ускорение равно 0,1 м/с 2. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. υ =
м/с.
2. Бегун начинает движение из начала координат со скоростью 4 м/с.
Модуль ускорения бегуна равен 0,2 м/с 2, причем проекция ускорения на координатную ось отрицательна. Через какое время бегун остановится? Проведите
компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. t =
с.
3. Бегун начинает движение из начала координат со скоростью, равной
по модулю 5 м/с, причем проекция вектора скорости бегуна на координатную
ось отрицательна. Проекция ускорения бегуна равна 0,5 м/с 2. Определите координату бегуна через 20 с после начала движения. Проведите компьютерный
эксперимент и проверьте ваш ответ. x =
м.
4. Спортсмен начинает движение из начала координат со скоростью,
равной по модулю 4 м/с, причем вектор его скорости направлен навстречу оси
2
X. Ускорение спортсмена постоянно и равно 0,4 м/с . Определите путь, который он пройдет за 25 с после начала движения. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. l =
м.
5. Бегун начинает движение из начала координат со скоростью 3 м/с.
Ускорение бегуна постоянно и равно 0,5 м/с 2. Определите координату точки, в
которой скорость бегуна составит 7 м/с. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. x =
м.
6. На модели представлен график зависимости скорости материальной
точки от времени. Определите максимальное по модулю ускорение точки.
Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ.
amax=
м/с 2.
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. На модели представлен график зависимости скорости материальной
точки от времени. Определите минимальное по модулю ускорение точки. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. amin =
м/с 2.
8. На модели представлен график зависимости скорости материальной
точки от времени. Какой путь пройдет точка до первой остановки?
Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. Ответ округлите до целых. l =
м.
9. На модели представлен график зависимости скорости материальной
точки от времени. Определите максимальное по модулю ускорение точки.
Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. amax =
м/с 2.
10. На модели представлен график зависимости скорости материальной
точки от времени. Определите минимальное по модулю ускорение точки. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. amin =
м/с 2.
11. На модели представлен график зависимости скорости материальной
точки от времени. Какой путь пройдет точка до первой остановки? Проведите
компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. Ответ округлите до целых.
l=
м.
12. Тело, брошенное вертикально вверх, упало на землю через 3,0 с. С какой скоростью было брошено тело? Ответ округлите до целых. Ускорение
свободного падения считать равным 9,8 м/с 2. Сопротивление воздуха не учитывать. υ =
м/с.
13. Тело бросают с поверхности земли под углом 45° к горизонту с
начальной скоростью 20 м/с. Определите дальность полета тела. Ответ округлите до целых. Ускорение свободного падения считать равным 9,8 м/с 2. Сопротивление воздуха не учитывать. Проведите компьютерный эксперимент и
проверьте ваш ответ. x =
м.
14. С башни высотой 50 м брошено тело в горизонтальном направлении.
Определите начальную скорость тела, если оно упало на землю на расстоянии
80 м от основания башни. Ответ округлите до целых. Ускорение свободного
падения считать равным 9,8 м/с 2. Сопротивление воздуха не учитывать. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. υ =
м/с.
15. Тело бросают с поверхности земли под углом 30° к горизонту с
начальной скоростью 15 м/с. На какую высоту необходимо поднять точку бросания, чтобы дальность полета увеличилась в 2 раза (угол и начальная скорость неизменны)? Ответ округлите до целых. Ускорение свободного падения
считать равным 9,8 м/с 2. Сопротивление воздуха не учитывать. Проведите
компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. h =
м.
16. Тело бросают с башни вверх под углом 60° к горизонту с начальной
скоростью 18 м/с. Определите высоту башни, если тело упало на расстоянии
49 м от ее основания. Ответ округлите до целых. Ускорение свободного паде31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ния считать равным 9,8 м/с 2. Сопротивление воздуха не учитывать. Проведите
компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. h =
м.
5. Контрольные вопросы
1. Какое движение называется равноускоренным?
2. Напишите закон равноускоренного движения.
3. Что называется скоростью и ускорением?
4. Что называется свободным падением?
5. Что такое ускорение свободного падения?
6. От чего зависит ускорение свободного падения?
7. Как меняется траектория движения тела в зависимости от начального
угла падения тела?
8. От чего зависит время и дальность полета тела?
9. От чего зависит максимальная высота подъема тела?
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема № 3. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА.
Движение брусков
Цель работы: изучение динамики поступательного движения материальной точки, движения брусков, моделей.
1. Краткая теория

При движении тела по траектории его скорость  может изменяться по
модулю и направлению. Это означает, что тело двигается с некоторым ускоре
нием а . В кинематике не ставится вопрос о физической причине, вызвавшей
ускорение движения тела. Как показывает опыт, любое изменение скорости
тела возникает под влиянием других тел. Динамика рассматривает действие
одних тел на другие как причину, определяющую характер движения тел.
Взаимодействием тел принято называть взаимное влияние тел на движение каждого из них.
Раздел механики, изучающий законы взаимодействия тел, называется
динамикой.
Законы динамики были открыты великим ученым И. Ньютоном
(1687 г.). Три закона динамики, сформулированные Ньютоном, лежат в основе
так называемой классической механики. Законы Ньютона следует рассматривать как обобщение опытных фактов. Выводы классической механики справедливы только при движении тел с малыми скоростями, значительно меньшими скорости света c=3∙108 м/с.
Самой простой механической системой является изолированное тело, на
которое не действуют никакие тела. Так как движение и покой относительны, в
различных системах отсчета движение изолированного тела будет разным. В одной системе отсчета тело может находиться в покое или двигаться с постоянной
скоростью, в другой системе это же тело может двигаться с ускорением.
Первый закон Ньютона (или закон инерции) из всего многообразия систем отсчета выделяет класс так называемых инерциальных систем.
Существуют такие системы отсчета, относительно которых изолированные поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость неизменной по модулю и направлению.
Свойство тел сохранять свою скорость при отсутствии действия на него
других тел называется инерцией. Поэтому первый закон Ньютона называют
законом инерции.
Впервые закон инерции был сформулирован Г. Галилеем (1632 г.). Ньютон
обобщил выводы Галилея и включил их в число основных законов движения.
В механике Ньютона законы взаимодействия тел формулируются для
класса инерциальных систем отсчета.
При описании движения тел вблизи поверхности Земли системы отсчета,
связанные с Землей, приближенно можно считать инерциальными. Однако,
при повышении точности экспериментов, обнаруживаются отклонения от за33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кона инерции, обусловленные вращением Земли вокруг своей оси.
Примером тонкого механического эксперимента, в котором проявляется
неинерциальность системы, связанной с Землей, служит поведение маятника
Фуко. Так называется массивный шар, подвешенный на достаточно длинной
нити и совершающий малые колебания около положения равновесия. Если бы
система, связанная с Землей, была инерциальной, плоскость качаний маятника
Фуко оставалась бы неизменной относительно Земли. На самом деле плоскость качаний маятника вследствие вращения Земли поворачивается, и проекция траектории маятника на поверхность Земли имеет вид розетки (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Поворот
плоскости качаний
маятника Фуко
С высокой степенью точности инерциальной
является гелиоцентрическая система отсчета
(или система Коперника), начало которой помещено в центр Солнца, а оси направлены на далекие звезды. Эту систему использовал Ньютон при
открытии закона всемирного тяготения (1682 г.).
Инерциальных систем существует бесконечное множество. Система отсчета, связанная с
поездом, идущим с постоянной скоростью по прямолинейному участку пути, – тоже инерциальная
система (приближенно), как и система, связанная с
Землей. Все инерциальные системы отсчета образуют класс систем, которые движутся друг
относительно друга равномерно и прямолинейно. Ускорения какого-либо тела
в разных инерциальных системах одинаковы. Итак, причиной изменения скорости движения тела в инерциальной системе отсчета всегда является его взаимодействие с другими телами. Для количественного описания движения тела
под воздействием других тел необходимо ввести две новые физические величины – инертную массу тела и силу.
Масса – это свойство тела, характеризующее его инертность. При одинаковом воздействии со стороны окружающих тел одно тело может быстро
изменять свою скорость, а другое в тех же условиях – значительно медленнее.
Принято говорить, что второе из этих двух тел обладает большей инертностью, или, другими словами, второе тело обладает большей массой.
Если два тела взаимодействуют друг с другом, то в результате изменяется скорость обоих тел, т.е. в процессе взаимодействия оба тела приобретают
ускорения. Отношение ускорений двух данных тел оказывается постоянным
при любых воздействиях. В физике принято, что массы взаимодействующих
тел обратно пропорциональны ускорениям:
(1.1)
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.2. Сравнение масс двух тел
В этом соотношении величины а1 и а2
следует рассматривать как проекции


векторов а1 и а 2 на ось OX (рис. 1.2).
Знак «минус» в правой части формулы означает, что ускорения взаимодействующих тел направлены в противоположные стороны. В Международной системе единиц (СИ) масса
тела измеряется в килограммах (кг).
Масса любого тела может быть определена на опыте путем сравнения с
массой эталона (mэт = 1 кг). Пусть m1 = mэт = 1 кг. Тогда
(1.2)
Масса тела – скалярная величина. Опыт показывает, что если два тела с
массами m1 и m2 соединить в одно, то масса m составного тела оказывается
равной сумме масс m1 и m2 этих тел:
m = m1 + m2.
(1.3)
Это свойство масс называют аддитивностью.
Сила – это количественная мера взаимодействия тел. Сила является причиной изменения скорости тела. В механике Ньютона силы могут иметь различную физическую причину: сила трения, сила тяжести, упругая сила и т.д.
Сила является векторной величиной.
Векторная сумма всех сил, действующих на тело, называется равнодействующей силой. Для измерения сил необходимо установить эталон силы и
способ сравнения других тел с этим эталоном.
В качестве эталона силы можно взять пружину, растянутую до некоторой заданной длины. Модуль силы F0, с которой эта пружина при фиксированном растяжении действует на прикрепленное к ее концу тело, называют
эталоном силы. Способ сравнения других тел с эталоном состоит в следую

щем: если тело под действием измеряемой силы F и эталонной силы Fo остается в покое (или движется равномерно и прямолинейно), то силы равны по
модулю F=F0 (рис. 1.3).


Рис. 1.3. Сравнение силы F с эталоном
Рис. 1.4. Сравнение силы F
с эталоном. F  2 Fo
F  Fo
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если измеряемая сила F больше (по модулю) эталонной силы, то можно
соединить две эталонные пружины параллельно (рис. 1.4). В этом случае измеряемая сила равна 2F0. Аналогично могут быть измерены силы 3F0, 4F0 и т.д. Измерение сил, меньших 2F0, может быть выполнено по схеме, показанной на
рис. 1.5.

Рис. 1.5. Сравнение силы F с эталоном.
F  2 Fo cos
(Н).
Рис. 1.6. Измерение силы
по растяжению пружины.


При равновесии F  Fупр
Эталонная сила в Международной системе единиц называется ньютон
На практике нет необходимости все измеряемые силы сравнивать с эталоном силы. Для измерения сил используют пружины, откалиброванные описанным выше способом. Такие откалиброванные пружины называются динамометрами. Сила измеряется по растяжению динамометра (рис. 1.6).
Второй закон Ньютона – основной закон динамики. Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.
Приступая к формулировке второго закона, следует вспомнить, что в динамике вводятся две новые физические величины – масса тела m и сила F , а
также способы их измерения. Первая из этих величин – масса m – является количественной характеристикой инертных свойств тела. Она показывает, как
тело реагирует на внешнее воздействие. Вторая – сила F – является количественной мерой действия одного тела на другое.
Второй закон Ньютона – это фундаментальный закон природы; он является обобщением опытных фактов, которые можно разделить на две категории:
Если на тела разной массы подействовать одинаковой силой, то ускор ения, приобретаемые телами, оказываются обратно пропорциональны массам:
(1.4)
Если силами разной величины подействовать на одно и то же тело, то
ускорения тела оказываются прямо пропорциональными приложенным силам:
(1.5)
Обобщая подобные наблюдения, Ньютон сформулировал основной за36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кон динамики:
Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:
(1.6)
Это и есть второй закон Ньютона. Он позволяет вычислить
ускорение

тела, если известна его масса m и действующая на тело сила F :
(1.7)
В Международной системе единиц (СИ) за единицу силы принимается
сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с 2. Эта единица называется ньютоном (Н). Ее принимают в СИ за эталон силы:
Если на тело одновременно действуют несколько сил (например,
  

F1 , F2 , F3 , то под силой F в формуле, выражающей второй закон Ньютона, нуж-
но понимать равнодействующую всех сил:
(1.8)
Если
равнодействующая
сила

F  0 , то тело будет оставаться в состо-
янии покоя или равномерного прямолинейного движения. Таким образом,
формально второй закон Ньютона
включает как частный случай первый
закон Ньютона, однако первый закон
Ньютона имеет более глубокое физическое содержание – он постулирует существование инерциальных систем от
счета. Выше понятие массы тела было
Рис. 1.7. Сила F – равнодействующая

введено на основе опытов по измересилы тяжести FТ и силы нормального
нию ускорений двух взаимодействую
давления FN действующих на лыжни- щих тел: массы взаимодействующих

цу на гладкой горе. Сила F вызывает тел обратно пропорциональны численускорение лыжника
ным значениям ускорений
В векторной форме это соотношение принимает вид
(1.9)
Знак «минус» выражает здесь тот опытный факт, что ускорения взаимодействующих тел всегда направлены в противоположные стороны. Согласно
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


второму закону Ньютона, ускорения тел вызваны силами F1  m1a1 и F2  m2 a2
возникающими при взаимодействии тел. Отсюда следует:
(1.10)
Это равенство называется третьим законом Ньютона.
Тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.
Силы, возникающие при взаимодействии тел, всегда имеют одинаковую
природу. Они приложены к разным телам и поэтому не могут уравновешивать
друг друга. Складывать по правилам векторного сложения можно только силы,
приложенные к одному телу.
Рис. 1.8 иллюстрирует третий закон Ньютона. Человек действует на груз
с такой же по модулю силой, с какой груз действует на человека. Эти силы
направлены в противоположные стороны. Они имеют одну и ту же физическую природу – это упругие силы каната. Сообщаемые обоим телам ускорения
обратно пропорциональны массам тел.
Силы, действующие между частями одного и того же тела, называются внутренними. Если тело движется
как целое, то его ускорение определяется только внешней силой. Внутренние силы исключаются из второго закона Ньютона, так как их векторная
сумма равна нулю.
Рис. 1.8. Третий закон Ньютона
Изучите модель «Движение тел
на легком блоке».
Модель позволяет изучать второй
закон Ньютона на примере движения двух
тел, связанных невесомой нерастяжимой
нитью, перекинутой через легкий блок.
Можно изменять массы тел и массу дополнительного груза Δm и наблюдать за
ускоренным движением системы.
Модель. Движение тел
на легком блоке
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В качестве примера рассмотрим
рис. 1.9, на котором изображены два
тела с массами m1 и m2, жестко связанные между собой невесомой нерастяжимой нитью и двигающиеся с оди
наковым ускорением а как единое це
лое под действием внешней силы F .
Между телами действуют внутренние
силы, подчиняющиеся третьему зако

ну Ньютона: F2   F1 .
Рис. 1.9. Исключение внутренних сил
Движение каждого тела зависит от сил взаимодействия между ними. Второй
закон Ньютона, примененный к каждому телу в отдельности, дает:
(1.11)
Складывая левые и правые части этих уравнений и принимая во внима  
ние, что a1  a2  a и F2   F1 , получим:
(1.12)
.
Внутренние силы исключились из уравнения движения системы двух
связанных тел.
Изучите модель «Движение связанных брусков».
Модель иллюстрирует третий
закон Ньютона на примере движения
связанных брусков под действием силы тяжести одного из них. Блоки связаны невесомой нерастяжимой нитью,
перекинутой через легкий блок. Изменяя массу брусков, можно наблюдать
движение системы с различными
ускорениями. Обратите внимание на
силы, приложенные к брускам. Убедитесь в том, что упругие силы, действующие на бруски со стороны нити,
одинаковы по модулю и направлены в
противоположные стороны:
Модель. Движение связанных брусков
2. Порядок выполнения работы
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.6» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
«Механика» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 1.6 «Движение брусков».
5. На рисунке изображены три тела, соединенные между собой нитью,
перекинутой через блок. Два тела находятся на поверхности стола, третье –
висит на нити. Нажмите «Старт». Тела начнут двигаться. Слева под рисунком
находятся параметры – массы тел, которые можно изменять. Справа под ри
сунком приведены значения ускорения а , силы натяжения нити , сил взаи

модействия между двумя телами, лежащими на столе F12   F21 .
6. Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
Пронаблюдайте движение брусков.
7. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
8. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
9. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
10. Дома проработайте модели 1.10, 1.11 из раздела «Модели».
11. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
12. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопросы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
13. Напишите вывод.
3. Вопросы для тестирования
1. Три одинаковых тела (m = m1 = m2) связаны нерастяжимыми невесомыми нитями и расположены, как показано на модели. Как изменится ускорение
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
движения тел, если массу каждого тела увеличить в 2 раза? Трение отсутствует.
1) Не изменится, 2) Уменьшится в 2 раза, 3) Увеличится в 2 раза,
4) Уменьшится в 4 раза, 5) Увеличится в 4 раза.
2. Три одинаковых тела (m = m1 = m2) связаны нерастяжимыми невесомыми нитями и расположены, как показано на модели. Как изменится натяжение
нити T, на которой подвешен груз m, если массу каждого тела уменьшить в
2 раза? Трение отсутствует.
1) Не изменится, 2) Уменьшится в 2 раза, 3) Увеличится в 2 раза,
4) Уменьшится в 4 раза, 5) Увеличится в 4 раза.
3. Три одинаковых тела (m = m1 = m2) связаны нерастяжимыми невесомыми нитями и расположены, как показано на модели. Как изменится сила натяжения нити, связывающей тела m1 и m2, если массу каждого тела увеличить в
4 раза? Трение отсутствует.
1) Не изменится, 2) Уменьшится в 2 раза, 3) Увеличится в 2 раза,
4) Уменьшится в 4 раза, 5) Увеличится в 4 раза.
4. Три одинаковых тела (m = m1 = m2) связаны нерастяжимыми невесомыми нитями и расположены, как показано на модели. Как необходимо изменить
массу груза m, чтобы ускорение движения тел уменьшилось в 3 раза? Трение
отсутствует.
1) Уменьшить в 2 раза, 2) Уменьшить в 3 раза, 3) Уменьшить в 4 раза,
4) Уменьшить в 6 раз, 5) Уменьшить в 9 раз.
5. Три одинаковых тела (m = m1 = m2) связаны нерастяжимыми невесомыми нитями и расположены, как показано на модели. Как необходимо изменить
массу груза m2, чтобы сила натяжения нити, связывающей тела m1 и m2, увеличилась в 2 раза? Трение отсутствует.
1) Уменьшить в 2 раза, 2) Увеличить в 2 раза, 3) Уменьшить в 4 раза,
4) Увеличить в 4 раза, 5) Среди ответов 1–4 нет правильного.
4. Задачи
1. На гладкой горизонтальной поверхности расположены два тела массами m1 = 1,5 кг и m2 = 2,5 кг, связанные нерастяжимой и невесомой нитью
(см. мод.). К телу массой m1 прикреплена перекинутая через блок нить, к концу которой подвешен груз массой m = 1,0 кг. Определите ускорение движения
тел. Ответ округлите до целых. Ускорение свободного падения считать равным 9,8 м/с 2. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. a
м/с 2.
2. На гладкой горизонтальной поверхности расположены два одинаковых тела m1 = m2 = 1,0 кг, связанные нерастяжимой и невесомой нитью
(см. мод.). К телу массой m1 прикреплена перекинутая через блок нить, к концу
которой подвешен груз массой m = 4,0 кг. Определите натяжение нити, к которой прикреплен груз массой m, во время движения тел. Ответ округлите до де=
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сятых. Ускорение свободного падения считать равным 9,8 м/с 2. Проведите
компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. T =
Н.
3. На гладкой горизонтальной поверхности расположены два тела массами m1 = 2,0 кг и m2 = 5,0 кг, связанные нерастяжимой и невесомой нитью
(см. мод.). К телу массой m1 прикреплена перекинутая через блок нить, к концу
которой подвешен груз массой m = 3,0 кг. Определите натяжение нити, связывающей тела массами m1 и m2, во время движения системы. Ответ приведите с
точностью до десятых. Ускорение свободного падения считать равным
9,8 м/с 2. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. Fн =
Н.
4. На гладкой горизонтальной поверхности расположены два тела массами m1 = 5,0 кг и m2 = 3,0 кг, связанные нерастяжимой и невесомой нитью
(см. мод.). К телу массой m1 прикреплена перекинутая через блок нить, к концу
которой подвешен груз массой m. Какой должна быть масса груза m, чтобы тела двигались с ускорением 3,3 м/с 2. Ответ приведите с точностью до целых.
Ускорение свободного падения считать равным 9,8 м/с 2. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. m =
кг.
5. На гладкой горизонтальной поверхности расположены два тела. Масса
первого тела m1 = 1,0 кг, а масса второго тела m2 неизвестна. Тела связаны нерастяжимой и невесомой нитью (см. мод.). К телу массой m1 прикреплена перекинутая через блок нить, к концу которой подвешен груз массой m = 5,0 кг.
Определите массу m2, если при движении тел сила натяжения нити, связывающей тела m1 и m2, составляет 18 Н. Ответ приведите с точностью до десятых.
Ускорение свободного падения считать равным 9,8 м/с 2. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. m2 =
кг.
6. На гладкой горизонтальной поверхности расположены два тела массами m1 = m2 = m0, связанные нерастяжимой и невесомой нитью (см. модель). К
телу массой m1 прикреплена перекинутая через блок нить, к концу которой
подвешен груз массой m = 1,5 кг, натяжение нити T во время движения тел составляет 11,3 Н. Определите массу одного из тел, расположенных на столе.
Ответ приведите с точностью до десятых. Ускорение свободного падения считать равным 9,8 м/с 2. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш
ответ. m0 =
кг.
5. Контрольные вопросы
1. Что изучает динамика?
2. Что такое изолированная система?
3. Что изучает классическая, релятивистская, квантовая механика?
4. Какая система называется инерциальной? Сформулируйте первый закон Ньютона.
5. Что такое инерция?
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. В чем заключается физический смысл массы? Сформулируйте закон
сохранения массы.
7. Сформулируйте физический смысл силы. Какая сила называется равнодействующей?
8. Сформулируйте второй закон Ньютона.
9. Сформулируйте третий закон Ньютона.
10. Какие силы называются внутренними?
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема № 4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ.
Упругие и неупругие соударения
Цель работы: изучение законов сохранения в механике, упругих и неупругих соударений, моделей.
1. Краткая теория
Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка време
ни Δt действовала сила F . Под действием этой силы скорость тела изменилась



на    2  1 . Следовательно, в течение времени Δt тело двигалось с ускорением
(1.1)
Из основного закона динамики (второго закона Ньютона) следует:
(1.2)
Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его
движения, называется импульсом тела (или количеством движения). Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).
Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия,
называется импульсом силы. Импульс силы также является векторной величиной.
Второй закон Ньютона (или закон изменения импульса) может быть
сформулирован следующим образом: изменение импульса тела равно импульсу
силы.

Обозначив импульс тела буквой p второй закон Ньютона можно записать в виде
(1.3)
Именно
в таком общем виде сформулировал второй закон сам Ньютон.

Сила F в этом выражении представляет собой равнодействующую всех сил,
приложенных к телу. Это векторное равенство может быть записано в проекциях на координатные оси:
FxΔt = Δpx; Fy Δt = Δpy ; Fz Δt = Δpz .
(1.4)
Таким образом, изменение проекции импульса тела на любую из трех
взаимно перпендикулярных осей равно проекции импульса силы на эту же ось.
Рассмотрим в качестве примера одномерное движение, т. е. движение тела по
одной из координатных осей (например, оси OY). Пусть тело свободно падает
с начальной скоростью υ 0 под действием силы тяжести; время падения равно t.
Направим ось OY вертикально вниз. Импульс силы тяжести Fт = mg за время t
равен mgt. Этот импульс равен изменению импульса тела
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Fтt = mgt = Δp = m(υ – υ 0), откуда υ = υ 0 + gt.
Этот простой результат совпадает с кинематической формулой для скорости равноускоренного движения. В этом примере сила оставалась неизменной по модулю на всем интервале времени t. Если сила изменяется по величине, то в выражение для импульса силы нужно подставлять среднее значение
силы Fср на промежутке времени ее действия. Рис. 1.1 иллюстрирует метод
определения импульса силы, зависящей от времени. Выберем на оси времени
малый интервал Δt, в течение которого сила F(t) практически остается неизменной.
Импульс силы F(t)Δt за время
Δt будет равен площади заштрихованного столбика. Если всю ось
времени на интервале от 0 до t разбить на малые интервалы Δti, а затем просуммировать импульсы силы на всех интервалах Δti, то суммарный импульс силы окажется
равным площади, которую образует
ступенчатая кривая с осью времени.
Рис. 1.1. Вычисление импульса силы
по графику зависимости F(t)
В пределе (Δti → 0) эта площадь равна площади, ограниченной графиком F(t) и
осью t. Этот метод определения импульса силы по графику F(t) является общим и применим для любых законов изменения силы со временем. Математически задача сводится к интегрированию функции F(t) на интервале [0; t].
Импульс силы, график которой представлен на рис. 1.1, на интервале от
t1 = 0 с до t2 = 10 с равен:
1
2
В этом простом примере Fср  Fmax  10H . В некоторых случаях среднюю
силу Fср можно определить, если известно время ее действия и сообщенный
телу импульс. Например, сильный удар футболиста по мячу массой 0,415 кг
может сообщить ему скорость υ=30 м/с. Время удара приблизительно равно
8·10–3 с.
Импульс p, приобретенный мячом в результате удара есть:
p = mυ = 12,5 кг·м/с.
Следовательно, средняя сила Fср , с которой нога футболиста действовала
на мяч во время удара, есть:
Это очень большая сила. Она приблизительно равна весу тела массой
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
160 кг.
Если движение тела во время действия силы происходило по некоторой


криволинейной траектории, то начальный p1 и конечный p 2 импульсы тела
могут отличаться не только по модулю, но и по направлению. В этом случае
для определения изменения импульса p удобно использовать диаграмму им

 

пульсов, на которой изображаются вектора p1 и p 2 , а также вектор p  p2  p1
построенный по правилу параллелограмма. В качестве примера на рис. 1.2
изображена диаграмма импульсов для мяча, отскакивающего от шероховатой
стенки.
Рис. 1.2. Отскок мяча от шероховатой
стенки и диаграмма импульсов


Мяч массой m налетел на

стенку со скоростью  1 под углом α
к нормали (ось OX) и отскочил от

нее со скоростью  2 под углом β.
Во время контакта со стеной на мяч

действовала некоторая сила F
направление которой совпадает с

направлением вектора p . При
нормальном падении мяча массой
m на упругую стенку со скоро 
стью1   после отскока мяч будет
иметь
скорость  2   . Следовательно, изменение импульса мяча за время отскока


равно p  2m . В проекциях на ось OX этот результат можно записать в скалярной форме Δpx = –2mυ x.
Ось OX направлена от стенки (как на рис. 1.2), поэтому υ x < 0 и Δpx > 0.
Следовательно, модуль Δp изменения импульса связан с модулем υ скорости
мяча соотношением Δp = 2mυ.
При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние
силы со стороны других тел, такая система называется замкнутой.
В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в
систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.
Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения
импульса. Он является следствием из второго и третьего законов Ньютона.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Изучите модель «Импульс тела».
Модель предназначена для
иллюстрации понятий импульса тела mυ и импульса силы FΔt. Демонстрируется изменение импульса тела при воздействии на него силы.
Можно выбирать начальную скорость υ0 бруска, его массу m, модуль и направление действующей
силы F и время Δt ее действия. После прекращения действия силы
брусок движется с другой скоростью. Количественно проверяется
закон изменения импульса
Модель. Импульс тела
Рассмотрим какие-либо два взаимодействующих тела, входящих в состав
замкнутой системы. Силы взаимодействия между этими телами обозначим че



рез F1 и F2 . По третьему закону Ньютона F2   F1 . Если эти тела взаимодействуют в течение времени t, то импульсы сил взаимодействия одинаковы по


модулю и направлены в противоположные стороны: F2 t   F1t . Применим к
этим телам второй закон Ньютона:



где m11 и m2 2 – импульсы тел в начальный момент времени, m11 ' и

m2 2 ' – импульсы тел в конце взаимодействия. Из этих соотношений следует:
(1.5)
Это равенство означает, что в результате взаимодействия двух тел их
суммарный импульс не изменился. Рассматривая теперь всевозможные парные
взаимодействия тел, входящих в замкнутую систему, можно сделать вывод,
что внутренние силы замкнутой системы не могут изменить ее суммарный
импульс, т. е. векторную сумму импульсов всех тел, входящих в эту систему.
Рис. 1.3 иллюстрирует закон сохранения импульса на примере нецентрального соударения двух шаров разных масс, один из которых до соударения находился в состоянии покоя.
Изображенные на рис. 1.3 вектора импульсов шаров до и после соударения можно спроектировать на координатные оси OX и OY. Закон сохранения
импульса выполняется и для проекций векторов на каждую ось. В частности,


из диаграммы импульсов (рис. 1.3) следует, что проекции векторов p1 ' и p2 '
импульсов обоих шаров после соударения на ось OY должны быть одинаковы
по модулю и иметь разные знаки, чтобы их сумма равнялась нулю.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Закон сохранения импульса во многих
случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения
действующих сил неизвестны. Примером может служить реактивное движение. При
стрельбе из орудия возникает отдача – снаряд
движется вперед, а орудие – откатывается
назад. Снаряд и орудие – два взаимодействующих тела. Скорость, которую приобретает
орудие при отдаче, зависит только от скорости
снаряда и отношения масс (рис. 1.4). Если ско
рости орудия и снаряда обозначить через V и

 , а их массы через М и m, то на основании закона сохранения импульса можно записать в
проекциях на ось OX
Рис. 1.3. Нецентральное соударение шаров разных масс:
1 – импульсы до соударения;
2 – импульсы после соударения;
3 – диаграмма импульсов
Рис. 1.4. Отдача при выстреле из орудия
На принципе отдачи основано
реактивное движение. В ракете при
сгорании топлива газы, нагретые до
высокой температуры, выбрасываются из сопла с большой скоростью

u относительно ракеты. Обозначим
массу выброшенных газов через m, а
массу ракеты после истечения газов
через M.
Тогда для замкнутой системы
«ракета + газы» можно записать на
основании закона сохранения
импульса (по аналогии с задачей о выстреле из орудия):
(1.6)
где V – скорость ракеты после истечения газов. Здесь предполагалось,
что начальная скорость ракеты равнялась нулю.
Полученная формула для скорости ракеты справедлива лишь при условии, что вся масса сгоревшего топлива выбрасывается из ракеты одновременно. На самом деле истечение происходит постепенно в течение всего времени
ускоренного движения ракеты. Каждая последующая порция газа выбрасыва-
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ется из ракеты, которая уже приобрела некоторую скорость.
Для получения точной формулы процесс истечения газа из сопла ракеты
нужно рассмотреть более детально. Пусть ракета в момент времени t имеет

массу M и движется со скоростью  (рис. 1.5 (1)). В течение малого промежутка времени Δt из ракеты будет выброшена некоторая порция газа с относи


тельной скоростью u . Ракета в момент t + Δt будет иметь скорость    , а ее
масса станет равной M + ΔM, где ΔM < 0 (рис. 1.5 (2)). Масса выброшенных
газов будет, очевидно, равна –ΔM > 0. Скорость газов в инерциальной системе
 
OX будет равна   u . Применим закон сохранения импульса. В момент време

ни t + Δt импульс ракеты равен (M  M )(   ) , а импульс испущенных газов


равен (M )(  u) . В момент времени t импульс всей системы был равен M .
Предполагая систему «ракета + газы» замкнутой, можно записать:
(1.7)

Величиной M можно пренебречь, так как |ΔM| << M. Разделив обе
части последнего соотношения на Δt и перейдя к пределу при Δt → 0, получим
(1.8)
Величина  
M
(t  0) есть
t
расход топлива в единицу времени.

Величина  u называется реактив
ной силой тяги Fp . Реактивная сила
тяги действует на ракету со стороны
истекающих газов, она направлена в
сторону, противоположную относительной скорости. Соотношение
Рис. 1.5. Ракета, движущаяся в свободном пространстве (без гравитации): 1 –
в момент времени t. Масса ракеты М, ее

скорость  ;
2 – ракета в момент времени t + Δt.
Масса ракеты M + ΔM, где ΔM < 0, ее


скорость    масса выброшенных
газов –ΔM > 0, относительная скорость

газов u , скорость газов в инерциальной

системе   u
выражает второй закон Ньютона для
тела переменной массы. Если газы
выбрасываются из сопла ракеты
строго назад (рис. 1.5), то в скалярной форме это соотношение принимает вид:
Ma = μu,
где u – модуль относительной скорости. С помощью математической операции интегрирования
из этого соотношения можно получить формулу для конечной скорости υ ракеты:
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1.9)
где
Мо
– отношение начальной и конечной масс ракеты. Эта формула называМ
ется формулой Циолковского. Из нее следует, что конечная скорость ракеты
может превышать относительную скорость истечения газов. Следовательно,
ракета может быть разогнана до больших скоростей, необходимых для космических полетов. Но это может быть достигнуто только путем расхода значительной массы топлива, составляющей большую долю первоначальной массы
ракеты. Например, для достижения первой космической скорости
υ = υ 1 = 7,9·103 м/с при u = 3·103 м/с (скорости истечения газов при сгорании
топлива бывают порядка 2–4 км/с) стартовая масса одноступенчатой ракеты
должна примерно в 14 раз превышать конечную массу. Для достижения конечной скорости υ = 4u отношение
Мо
должно быть равно 50.
М
Значительное снижение стартовой массы ракеты может быть достигнуто
при использовании многоступенчатых ракет, когда ступени ракеты отделяются по мере выгорания топлива. Из процесса последующего разгона ракеты
исключаются массы контейнеров, в которых находилось топливо, отработавшие двигатели, системы управления и т.д. Именно по пути создания экономичных многоступенчатых ракет развивается современное ракетостроение.
Изучите модель «Реактивное движение».
Модель предназначена для иллюстрации
закона сохранения импульса на примере реактивного движения. Демонстрируется движение
ракеты в свободном пространстве. Приводится
график изменения скорости движения ракеты
во времени. Относительная скорость u истечения газов из ракеты предполагается заданной.
Изменяя массу топлива Mт, заправленного в ракету, можно наблюдать ускоренное движение
ракеты до момента полного выгорания топлива
и ее последующее равномерное движение. Попробуйте определить в компьютерном эксперименте, при каком минимальном отношении
начальной и конечной масс
Модель. Реактивное движение
Mo
одноступенчаM
той ракеты она может достичь первой космической скорости (при заданной скорости истечения газов). Проверьте результат с помощью
формулы Циолковского.
Энергетические характеристики движения вводятся на основе понятия
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
механической работы или работы силы.

Работой A, совершаемой постоянной силой F , называется физическая
величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному


на косинус угла α между векторами силы F и перемещения s (рис. 1.6):
A = Fs cos α.
(1.10)
Работа является скалярной величиной. Она может быть как положительна (0° ≤ α < 90°), так и отрицательна (90° < α ≤ 180°). При α = 90° работа, совершаемая силой, равна нулю. В системе СИ работа измеряется в джоулях
(Дж).
Джоуль равен работе, совершаемой силой в 1 Н на перемещении 1 м в
направлении действия силы.


Если проекция Fs силы
F на

направление перемещения s не остается
постоянной, работу следует вычислять
для малых перемещений Δsi и суммировать результаты:

.
Эта сумма в пределе (Δsi → 0) переходит в интеграл.
Рис. 1.6. Работа силы F
Графически работа определяется по площади криволинейной фигуры под графиком Fs(x) (рис. 1.7).
Если к телу приложено несколько сил, то общая работа всех сил
равна алгебраической сумме работ,
совершаемых отдельными силами и
равна работе равнодействующей
приложенных сил.
Работа силы, совершаемая в
единицу времени, называется
Рис. 1.7. Графическое определение
работы. ΔAi = Fsi Δsi
мощностью. Мощность N это физическая величина, равная отношению работы A к промежутку времени t, в течение которого совершена эта работа:
(1.11)
В Международной системе (СИ) единица мощности называется ватт
(Вт). Ватт равен мощности силы, совершающей работу в 1 Дж за время 1 с.
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Изучите модель «Механическая работа».
Модель иллюстрирует понятие
механической работы на примере
движения бруска на плоскости с трением под действием внешней силы,
направленной под некоторым углом к
горизонту. Изменяя параметры модели (массу бруска m, коэффициент
трения μ, модуль и направление дей
ствующей силы F ), можно проследить за величиной работы, совершаемой при движении бруска, силой трения и внешней силой. Убедитесь в
компьютерном эксперименте, что
сумма этих работ равна кинетической
энергии бруска. Обратите внимание,
что работа силы трения Aтр всегда отрицательна.
Модель. Механическая работа
Если тело некоторой массы
m двигалось под действием приложенных сил, и его скорость изме

нилась от  1 до  2 , то силы совершили определенную работу A.
Работа всех приложенных
сил равна работе равнодействующей силы (рис. 1.8).
Между изменением скорости тела
и работой, совершенной прилоРис. 1.8. Работа равнодействующей силы. женными к телу силами, существуA = F1s cos α1 + F2s cos α2 =
ет связь.
=F1s s + F2s s == Fрs s = Fрs cos α
Эту связь проще всего установить, рассматривая
движение тела вдоль

прямой линии под действием постоянной силы F . В этом случае векторы силы




F , перемещения s , скорости  и ускорения a направлены вдоль одной прямой, и тело совершает прямолинейное равноускоренное движение. Направив
координатную ось вдоль прямой движения, можно рассматривать F, s, υ и a
как алгебраические величины (положительные или отрицательные в зависимости от направления соответствующего вектора). Тогда работу силы можно записать как A = Fs. При равноускоренном движении перемещение s выражается
формулой
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отсюда следует, что
Это выражение показывает, что работа, совершенная силой (или равнодействующей всех сил), связана с изменением квадрата скорости (а не самой
скорости).
Физическая величина, равная половине произведения массы тела на
квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела:
(1.12)
Работа приложенной к телу равнодействующей силы равна изменению
его кинетической энергии.
A = Ek2 – Еk1.
(1.13)
Это утверждение называют теоремой о кинетической энергии. Теорема о кинетической энергии справедлива и в общем случае, когда тело движется под действием изменяющейся силы, направление которой не совпадает с
направлением перемещения.
Кинетическая энергия – это энергия движения. Кинетическая энергия

тела массой m, движущегося со скоростью  , равна работе, которую должна
совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту
скорость:
(1.14)

Если тело движется со скоростью  , то для его полной остановки необходимо совершить работу
(1.15)
Наряду с кинетической энергией или энергией движения в физике важную роль играет понятие
потенциальной энергии или энергии
взаимодействия
тел.Потенциальная энергия определяется взаимным положением
тел (например, положением тела
относительно поверхности Земли).
Понятие потенциальной энергии
можно ввести только для сил, ра-
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
бота которых не зависит от траектории движения тела и определяется только начальным и
конечным положениями. Такие силы называются консервативными. Работа
консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю. Это утверждение
поясняет рис. 1.9. Свойством консервативности обладают сила тяжести и сила
упругости. Для этих сил можно ввести понятие потенциальной энергии. Если
тело перемещается вблизи поверхности Земли, то на него действует постоян

ная по величине и направлению сила тяжести F  mg . Работа этой силы зависит только от вертикального перемещения тела.
На любом участке пути работу силы тяжести можно записать в проекци
ях вектора перемещения s на ось OY, направленную вертикально вверх:
ΔA = FтΔs cos α = –mgΔsy ,
где Fт = Fтy = –mg – проекция силы тяжести, Δsy – проекция вектора перемещения. При подъеме тела вверх сила тяжести совершает отрицательную
работу, так как Δsy > 0. Если тело переместилось из точки, расположенной на
высоте h1, в точку, расположенную на высоте h2 от начала координатной оси
OY (рис. 1.10), то сила тяжести совершила работу
A = –mg(h2 – h1) = –(mgh2 – mgh1).
(1.16)
Рис. 1.9. Работа консервативной силы
A1a2 = A1b2 . Работа на замкнутой траектории A = A1a2 + A2b1 = A1a2 – A1b2 = 0
Эта работа равна изменению
некоторой физической величины
mgh, взятому с противоположным
знаком. Эту физическую величину
называют потенциальной энергией
тела в поле силы тяжести
Ep = mgh.
Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень.
Рис. 1.10. Работа силы тяжести
Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с
противоположным знаком.
A = –(Ep2 – Ep1).
(1.17)
Потенциальная энергия Ep зависит от выбора нулевого уровня, т. е. от
выбора начала координат оси OY. Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а ее изменение ΔEp = Ep2 – Ep1 при перемещении тела из одного
положения в другое. Это изменение не зависит от выбора нулевого уровня.
Если рассматривать движение тел в поле тяготения Земли на значительных расстояниях от нее, то при определении потенциальной энергии необходимо принимать во внимание зависимость силы тяготения от расстояния до
центра Земли (закон всемирного тяготения). Для сил всемирного тяготения
потенциальную энергию удобно отсчитывать от бесконечно удаленной точки,
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
т. е. полагать потенциальную энергию тела в бесконечно удаленной точке равной нулю. Формула, выражающая потенциальную энергию тела массой m на
расстоянии r от центра Земли, имеет вид:
(1.18)
где M – масса Земли, G – гравитационная постоянная.
Понятие потенциальной энергии можно ввести и для упругой силы. Эта
сила также обладает свойством консервативности. Растягивая (или сжимая)
пружину, мы можем делать это различными способами.
Изучите модель «Кинетическая и потенциальная энергии».
В модели демонстрируется изменение кинетической Ek и потенциальной Ep энергии мальчика, спускающегося на санках без трения с горы сложного профиля. Показывается диаграмма
и выводятся численные значения кинетической и потенциальной энергии.
Можно изменять массу мальчика m и
профиль горы. Обратите внимание, что
сумма потенциальной и кинетической
энергии в процессе движения мальчика
постоянна и равна первоначальной поМодель. Кинетическая и потенциальная тенциальной энергии до старта с вершины горы.
энергия
Можно просто удлинить пружину на величину x, или сначала удлинить
ее на 2x, а затем уменьшить удлинение до значения x и т. д. Во всех этих случаях упругая сила совершает одну и ту же работу, которая зависит только от
удлинения пружины x. В конечном состоянии, если первоначально пружина
была не деформирована. Эта работа равна работе внешней силы A, взятой с
противоположным знаком:
(1.19)
где k – жесткость пружины. Растянутая (или сжатая) пружина способна
привести в движение, прикрепленное к ней тело, т. е. сообщить этому телу кинетическую энергию. Следовательно, такая пружина обладает запасом энергии. Потенциальной энергией пружины (или любого упруго деформированного тела) называют величину
(1.20)
Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой д е55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
формацией.
Если в начальном состоянии пружина уже была деформирована, а ее
удлинение было равно x1, тогда при переходе в новое состояние с удлинением
x2 сила упругости совершит работу, равную изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:
(1.21)
Потенциальная энергия при упругой деформации – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой силами упругости.
Свойством консервативности обладают наряду с силой тяжести и силой
упругости некоторые другие виды сил, например, сила электростатического
взаимодействия между заряженными телами. Сила трения не обладает этим
свойством. Работа силы трения зависит от пройденного пути. Понятие потенциальной энергии для силы трения вводить нельзя.
Если тела, составляющие замкнутую механическую систему, взаимодействуют между собой только силами тяготения и упругости, то работа этих сил
равна изменению потенциальной энергии тел, взятому с противоположным
знаком:
A = –(Ep2 – Ep1).
(1.22)
По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии тел:
A = Ek2 – Ek1.
(1.23)
Следовательно
Ek2 – Ek1 = –(Ep2 – Ep1) или
Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2.
(1.24)
Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой силами тяготения и
силами упругости, остается неизменной.
Это утверждение выражает закон сохранения энергии в механических
процессах. Он является следствием законов Ньютона. Сумму E = Ek + Ep называют полной механической энергией.
Рис. 1.11. К задаче Гюйгенса.

F – сила натяжения нити
Закон сохранения механической
энергии выполняется только тогда, когда
тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными
силами, то есть силами, для которых
можно ввести понятие потенциальной
энергии. Пример применения закона сохранения энергии – нахождение минимальной прочности удерживающей тело
массой m при его вращении в вертикаль-
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ной плоскости легкой нерастяжимой нити, (задача Х. Гюйгенса). Рис. 1.11 поясняет
решение этой задачи. Закон сохранения энергии для тела в верхней и нижней
точках траектории записывается в виде:
в нижней точке траектории

Обратим внимание на то, что сила F натяжения нити всегда перпендикулярна скорости тела; поэтому она не совершает работы.
При минимальной скорости вращения натяжение нити в верхней точке
равно нулю и, следовательно, центростремительное ускорение телу в верхней
точке сообщается только силой тяжести:
Из этих соотношений следует:

Центростремительное ускорение в нижней точке создается силами F и

mg , направленными в противоположные стороны:
Отсюда следует, что при минимальной скорости тела в верхней точке
натяжение нити в нижней точке будет по модулю равно F = 6mg.
Прочность нити должна, очевидно, превышать это значение.
Очень важно отметить, что закон сохранения механической энергии позволил получить связь между координатами и скоростями тела в двух разных
точках траектории без анализа закона движения тела во всех промежуточных
точках. Применение закона сохранения механической энергии может в значительной степени упростить решение многих задач.
В реальных условиях практически всегда на движущиеся тела наряду с
силами тяготения, силами упругости и другими консервативными силами действуют силы трения или силы сопротивления среды.
Сила трения не является консервативной. Работа силы трения зависит от
длины пути.
Если между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, то механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел (нагревание).
При любых физических взаимодействиях энергия не возникает и не исчезает. Она лишь превращается из одной формы в другую.
Этот экспериментально установленный факт выражает фундаментальный закон природы – закон сохранения и превращения энергии.
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Одним из следствий закона сохранения и превращения энергии является
утверждение о невозможности создания «вечного двигателя» (perpetuum
mobile) – машины, которая могла бы неопределенно долго совершать работу,
не расходуя при этом энергии (рис. 1.12).
История хранит немалое число проектов «вечного двигателя». В некоторых из них ошибки «изобретателя» очевидны, в других эти ошибки
замаскированы сложной конструкцией прибора, и бывает очень непросто понять, почему эта машина
не будет работать. Бесплодные попытки создания «вечного двигателя» продолжаются и в наше время.
Все эти попытки обречены на неудачу, так как закон сохранения и
превращения энергии «запрещает»
Рис. 1.12. Один из проектов «вечного
получение работы без затраты энердвигателя». Почему эта машина
гии.
не будет работать?
Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса
позволяют находить решения механических задач в тех случаях, когда неизвестны действующие силы. Примером такого рода задач является ударное взаимодействие тел.
Ударом (или столкновением) принято называть кратковременное взаимодействие тел, в результате которого их скорости испытывают значительные
изменения. Во время столкновения тел между ними действуют кратковременные ударные силы, величина которых, как правило, неизвестна. Поэтому нельзя рассматривать ударное взаимодействие непосредственно с помощью законов Ньютона. Применение законов сохранения энергии и импульса во многих
случаях позволяет исключить из рассмотрения сам процесс столкновения и
получить связь между скоростями тел до и после столкновения, минуя все
промежуточные значения этих величин.
С ударным взаимодействием тел нередко приходится иметь дело в обыденной жизни, в технике и в физике (особенно в физике атома и элементарных
частиц).
В механике часто используются две модели ударного взаимодействия –
абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.
Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие,
при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше
как одно тело.
При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она
частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел (нагревание).
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.13. Баллистический маятник
Примером абсолютно неупругого
удара может служить попадание пули
(или снаряда) в баллистический маятник. Маятник представляет собой ящик
с песком массой M, подвешенный на
веревках (рис. 1.13). Пуля массой m,
летящая горизонтально со скоростью

 , попадает в ящик и застревает в нем.
По отклонению маятника можно
определить скорость пули.

Обозначим скорость ящика с застрявшей в нем пулей через u .Тогда по
закону сохранения импульса
При застревании пули в песке произошла потеря механической энергии:
Отношение M / (M + m) – доля кинетической энергии пули, перешедшая
во внутреннюю энергию системы:
Эта формула применима не только к баллистическому маятнику, но и к
любому неупругому соударению двух тел с разными массами.
При m << M
E
1
Eo
почти вся кинетическая энергия пули переходит во
внутреннюю энергию. При m = M
E
1

Eo
2
– во внутреннюю энергию перехо-
дит половина первоначальной кинетической энергии. Наконец, при неупругом
соударении движущегося тела большой массы с неподвижным телом малой
массы (m >> М) отношение
E
0.
Eo
Дальнейшее движение маятника можно рассчитать с помощью закона
сохранения механической энергии:
где h – максимальная высота подъема маятника. Из этих соотношений
следует:
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Измеряя на опыте высоту h подъема маятника, можно определить скорость пули υ.
Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел.
Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц подчиняются законам абсолютно упругого удара.
При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса
выполняется закон сохранения механической энергии.
Простым примером абсолютно упругого столкновения может
быть центральный удар двух бильярдных шаров, один из которых до
столкновения находился в состоянии покоя (рис. 1.14).
Центральным ударом шаров
называют соударение, при котором
скорости шаров до и после удара
направлены по линии центров.
В общем случае массы m1 и m2
соударяющихся шаров могут быть
Рис. 1.14. Абсолютно упругий
центральный удар шаров
неодинаковыми. По закону сохранения механической энергии
Здесь υ 1 – скорость первого шара до столкновения, скорость второго шара υ 2 = 0, u1 и u2 – скорости шаров после столкновения. Закон сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, записывается в виде:
m1υ 1 = m1u1 + m2u2.
Мы получили систему из двух уравнений. Эту систему можно решить и
найти неизвестные скорости u1 и u2 шаров после столкновения:
В частном случае, когда оба шара имеют одинаковые массы (m1 = m2),
первый шар после соударения останавливается (u1 = 0), а второй движется со
скоростью u2 = υ 1, т. е. шары обмениваются скоростями (и, следовательно, импульсами).
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Изучите модель «Упругие и неупругие соударения».
Модель. Упругие и неупругие
соударения
Модель предназначена для изучения законов сохранения энергии и импульса на примере упругих и неупругих
соударений тележек. Изменяя начальные
скорости и массы тележек, а также тип
соударения (упругое или неупругое),
можно проследить за движением тележек
после столкновения и определить кинетические энергии и импульсы каждой тележки. Убедитесь, что при упругом соударении суммарная кинетическая энергия тележек не изменяется, а при неупругом соударении она уменьшается. Рассчитайте, какая часть первоначальной кинетической энергии при неупругом соударении движущейся и неподвижной тележек переходит в тепло и проверьте результат в компьютерном эксперименте.
Если бы до соударения второй шар также имел ненулевую скорость
(υ 2 ≠ 0), то эту задачу можно было бы легко свести к предыдущей с помощью
перехода в новую систему отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно со скоростью υ 2 относительно «неподвижной» системы. В этой системе
второй шар до соударения покоится, а первый по закону сложения скоростей
имеет скорость υ 1' = υ 1 – υ 2. Определив по приведенным выше формулам скорости u1 и u2 шаров после соударения в новой системе, нужно сделать обратный переход к «неподвижной» системе.
Таким образом, пользуясь законами сохранения механической энергии и
импульса, можно определить скорости шаров после столкновения, если известны их скорости до столкновения.
Центральный (лобовой) удар очень
редко реализуется на практике, особенно
если речь идет о столкновениях атомов
или молекул. При нецентральном упругом
соударении скорости частиц (шаров) до и
после столкновения не направлены по одной прямой.
Частным случаем нецентрального
упругого удара может служить соударения
Рис. 1.15. Нецентральное упругое
двух бильярдных шаров одинаковой массоударение шаров одинаковой массы. сы, один из которых до соударения был
d – прицельное расстояние
неподвижен, а скорость второго была
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
направлена не по линии центров шаров (рис. 1.15). После нецентрального соударения шары разлетаются под некоторым углом друг к другу.
Изучите модель «Соударения шаров».
Модель предназначена для
изучения законов сохранения энергии и импульса при упругом соударении двух шаров. Можно изменять начальную скорость υ налетающего шара, прицельное расстояние d и массы m1 и m2 обоих шаров.
После соударения шаров на
экран выводится новая диаграмма
импульсов разлетевшихся шаров, а
также значения углов разлета шаров, их скоростей, кинетических
энергий, проекций импульсов шаров на координатные оси. Обратите
внимание, что сумма кинетических
энергий шаров равна первоначальной кинетической энергии налетающего шара.
Модель. Соударения упругих шаров
Сумма проекций импульсов шаров после удара на ось X равна первоначальному импульсу налетающего шара, а сумма проекций импульсов на ось Y равна нулю.
Обратите внимание, что при упругом нецентральном соударении двух шаров
одинаковой массы они всегда разлетаются под прямым углом друг к другу.


Для определения скоростей u1 и u 2 после удара нужно знать положение
линии центров в момент удара или прицельное расстояние d (рис. 1.15), т. е.
расстояние между двумя линиями, проведенными через центры шаров парал
лельно вектору скорости  1 налетающего шара. Если массы шаров одинаковы,


то векторы скоростей u1 и u 2 шаров после упругого соударения всегда направлены перпендикулярно друг к другу. Это легко показать, применяя законы с охранения импульса и энергии. При m1 = m2 = m эти законы принимают вид:



Первое из этих равенств означает, что векторы скоростей  1 , u1 и u 2 образуют треугольник (диаграмма импульсов), а второе – что для этого треугольника справедлива теорема Пифагора, т. е. он прямоугольный. Угол меж

ду катетами u1 и u 2 равен 90°.
2. Порядок выполнения работы
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.6» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Механика» на любую строку.
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 1.7.
5. На рисунке изображены две тележки с грузами. Нажмите «Старт». Тележки начнут двигаться. Пронаблюдайте их движение. Нажмите «Стоп». Слева под рисунком находятся параметры – массы и начальные скорости тележек,
которые можно изменять. Справа под рисунком приведены значения конечных
импульсов и кинетических энергий тележек, а так же изменение кинетической
энергии. Можно изменять тип столкновения (упругое и неупругое).
6. Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
7. Пронаблюдайте движение тележек.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модели 1.18-1.23 из раздела «Модели».
12. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
13. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопросы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
14. Напишите вывод.
3. Вопросы для тестирования
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Каков импульс тела?
1) 3 кг∙м/с, 2) 6 кг∙м/с, 3) 9 кг∙м/с, 4) 12 кг∙м/с, 5) 18 кг∙м/с.
2. Как изменится импульс тела, если его массу увеличить в 4 раза, а скорость уменьшить в 2 раза?
1) Не изменится, 2) Уменьшится в 2 раза, 3) Увеличится в 2 раза,
4) Уменьшится в 4 раза, 5) Увеличится в 4 раза.
3. При каких столкновениях выполняется закон сохранения импульса?
1) Выполняется только при упругих столкновениях,
2) Выполняется только при неупругих столкновениях,
3) Выполняется при упругих и неупругих столкновениях,
4) Не выполняется ни при упругих, ни при неупругих столкновениях.
4. При каких столкновениях выполняется закон сохранения механической
энергии?
1) Выполняется только при упругих столкновениях,
2) Выполняется только при неупругих столкновениях,
3) Выполняется при упругих и неупругих столкновениях,
4) Не выполняется ни при упругих, ни при неупругих столкновениях.
5. Тележка массой 4 кг движется со скоростью 2 м/с по гладкой горизонтальной плоскости и сталкивается с покоящейся тележкой массой 6 кг. С какой
скоростью будут двигаться тележки после абсолютно неупругого удара?
1) 0,2 м/с, 2) 0,4 м/с, 3) 0,6 м/с, 4) 0,8 м/с, 5) 1,0 м/с.
6. Тележка массой 5 кг движется со скоростью 2,5 м/с по гладкой горизонтальной плоскости и упруго сталкивается с неподвижной тележкой. Какую
массу должна иметь вторая тележка, чтобы после столкновения первая тележка остановилась?
1) 2,5 кг, 2) 5,0 кг, 3) 7,5 кг, 4) 10,0 кг, 5) 12,5 кг.
4. Задачи
1. Тележка массой m1 = 1 кг движется со скоростью υ 1 = 2 м/с и сталкивается с неподвижной тележкой массой m2 = 3 кг. Определите скорость u тележек
после абсолютно неупругого соударения. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. u =
м/с.
2. Тележка массой m1 = 8 кг движется со скоростью υ 1 = 1,8 м/с и сталкивается с неподвижной тележкой. Определите массу второй тележки, если после абсолютно неупругого соударения тележки движутся со скоростью
u = 1,2 м/с. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. m2 =
кг.
3. Две тележки массами m1 = 2 кг и m2 = 10 кг движутся навстречу друг
другу. Скорости тележек υ 1 = 1,0 м/с и υ 2 = 0,8 м/с соответственно. Определите
модуль скорости тележек после абсолютно неупругого соударения. Проведите
компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. u =
64
м/с.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Две тележки массами m1 = 4 кг и m2 = 10 кг движутся со скоростями
υ 1 = 1,5 м/с и υ 2 = 2 м/с навстречу друг другу. Определите количество теплоты,
которое выделится при абсолютно неупругом соударении тележек. Проведите
компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. Q =
Дж.
5. Две тележки одинаковой массы движутся навстречу друг другу. Скорость одной тележки в два раза больше скорости другой. Какая часть n механической энергии тележек перейдет в теплоту при абсолютно неупругом с оударении? Ответ приведите в процентах. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. n =
%.
6. Тележка массой m1 = 1 кг движется со скоростью υ 1 = 2 м/с и сталкивается с неподвижной тележкой массой m2 = 3 кг. Определите скорости u1 и u2
тележек после абсолютно упругого соударения. Проведите компьютерный
эксперимент и проверьте ваш ответ. u1 =
м/с, u2 =
м/с.
7. Две тележки одинаковой массы движутся навстречу друг другу. Скорость первой тележки υ 1 = 0,6 м/с, а скорость второй υ 2 = 1,4 м/с. Определите
модули скорости u1 и u2 тележек после абсолютно упругого соударения. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. u1 =
м/с, u2
=
м/с.
8. Две тележки массами m1 = 2 кг и m2 = 10 кг движутся навстречу друг
другу. Скорость первой тележки υ 1 = 0,8 м/с, а скорость второй υ 2 = 1,0 м/с.
Определите модули скорости u1 и u2 тележек после абсолютно упругого соударения. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. u1 =
м/с, u2 =
м/с.
5. Контрольные вопросы
1. Что называется импульсом тела, силы?
2. Сформулируйте закон изменения импульса.
3. Какая система называется замкнутой?
4. Сформулируйте закон сохранения импульса.
5. Что называется реактивной силой тяги?
6. Напишите формулу Циолковского.
7. Что называется работой силы, мощностью?
8. Что называется кинетической и потенциальной энергиями? Что они характеризуют? Какие силы называются консервативными, неконсервативными?
9. Что называется полной механической энергией?
10. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.
11. Сформулируйте закон сохранения и превращения энергии.
12. Что называется ударом? Что называется абсолютно упругим, неупругим, центральным ударом?
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема № 5. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ.
Колебания пружинного, математического, физического маятников
Приборы и принадлежности: установка для изучения колебаний математического и физического маятников, линейка, секундомер.
Цель работы: изучение механических колебаний груза на пружине и математического маятника, моделей.
1. Краткая теория
В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются
через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми
уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.
Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того,
как система была выведена из состояния равновесия. Наряду с поступательными и вращательными
движениями тел в механике значительный интерес представляют
и колебательные движения. Механическими колебаниями назыРис. 1.1. Механические колебательные
вают движения тел, повторяющисистемы
еся точно (или приблизительно)
через одинаковые
промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f(t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании
колебательного процесса во времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник
(рис. 1.1).Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными. Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x = xm cos (ωt + φ0).
(1.1)
Здесь x – смещение тела от положения равновесия, xm – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний, t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ0 называется фазой гармонического процесса. При
t = 0 φ = φ0, поэтому φ0 называют начальной фазой. Минимальный интервал
времени, через который происходит повторение движения тела, называется
периодом колебаний T. Физическая величина, обратная периоду колебаний,
называется частотой колебаний:
(1.2)
Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с.
Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:
Рис. 1.2. Стробоскопическое
изображение гармонических колебаний. Начальная фаза φ 0 = 0.
Интервал времени между
последовательными положениями
тела τ = T / 12
Рис. 1.3. Во всех трех случаях для синих
кривых φ 0 = 0. а – темная кривая
отличается от светлой только большей
амплитудой (x'm > xm ); b – темная кривая
отличается от светлой только значением
периода (T' = T / 2); с – темная кривая
отличается от светлой только значением
начальной фазы (  о '   / 2 рад)
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 1.2 изображены положения тела через одинаковые промежутки
времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить экспериментально при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают
векторы скорости тела в различные моменты времени.
Рис. 1.3 иллюстрирует изменения, которые происходят на графике гармонического процесса, если изменяются либо амплитуда колебаний xm, либо
период T (или частота f), либо начальная фаза φ0.
При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX) вектор
скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость υ = υ x движения тела
определяется выражением
(1.3)
В математике процедура нахождения предела отношения
x
при Δt → 0
t
называется вычислением производной функции x(t) по времени t и обозначается как
dx(t )
или как x'(t) или, наконец, как x (t ) . Для гармонического закона
dt
движения x = xm cos (ωt + φ0). Вычисление производной приводит к следующему результату:

(1.4)
  x (t )  xm sin( t   o )  xm cos(t   o  ).
2
Появление слагаемого +π/2 в аргументе косинуса означает изменение
начальной фазы. Максимальные по модулю значения скорости υ=ωxm достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x=0). Аналогичным образом определяется ускорение a=ax тела при гармонических колебаниях:
(1.5)
следовательно, ускорение a равно производной функции υ(t) по времени t, или
второй производной функции x(t). Вычисления дают:
(1.6)
Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a(t) всегда имеет
знак, противоположный знаку смещения x(t), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания,
направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).
На рис. 1.4 приведены графики координаты, скорости и ускорения тела,
совершающего гармонические колебания.
Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для того чтобы свободные колебания совершались по гармоническому
закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение
равновесия, была пропорциональна
смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению:
F(t) = ma(t) = –mω2x(t).
(1.7)
В этом соотношении ω – круговая частота гармонических колебаний.
Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона
Гука:
Fупр = –kx.
(1.8)
Рис. 1.4. Графики координаты x(t),
скорости υ(t) и ускорения a(t)
колеблющегося тела
Изучите модель «Гармонические колебания».
Модель. Гармонические колебания
Модель предназначена для изучения
простого гармонического колебательного
движения,
x = xm cos (ωt + φ0).
Можно изменять амплитуду xm, пери2
од колебаний T 
и начальную фазу φ0

гармонического колебания тела и наблюдать
за движением точки на графиках координаты x, скорости υ и ускорения a во времени.
По оси ординат удобно откладывать значе a
ния величин x, , 2 , которые имеют оди 
наковые единицы измерения. Обратите внимание на фазовые сдвиги между координатой, скоростью и ускорением тела.
Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому
условию, называются квазиупругими.
Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине
жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 1.5), составляют систему, способную совершать в отсутствие трения свободные гармонические колебания.
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором.
Круговая частота ω 0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:
(1.9)
откуда
(1.10)
Частота ω 0 называется собственной частотой колебательной системы.
Период T гармонических колебаний груза на пружине равен
T
2
o
 2
k
.
m
(1.11)
Рис. 1.5. Колебания груза на пружине.
Трения нет
При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз
подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза.
В положении равновесия пружина растянута на величину x0, равную
(1.12)
и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ω 0 и периода колебаний T
справедливы и в этом случае.
Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано,
если принять во внимание математическую связь между ускорением тела a и
координатой x: ускорение является второй производной координаты тела x
по времени t:
(1.13)
Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде
(1.14)
или
(1.15)
x  о2 x  0,
k
где
о2  .
m
Все физические системы (не только механические), описываемые урав70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нением (1.15), способны совершать свободные гармонические колебания, так
как решением этого уравнения являются гармонические функции вида
x = xm cos(ωt + φ0).
(1.16)
Уравнение (1.15) называется уравнением свободных колебаний. Следует
обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы
определяют только собственную частоту колебаний ω0 или период T. Такие
параметры процесса колебаний, как амплитуда xm и начальная фаза φ0, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния
равновесия в начальный момент времени.
Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δl и затем в момент времени t=0 отпущен без начальной скорости, то
xm=Δl, φ0=0.
Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью
резкого толчка была сообщена начальная скорость ±υ 0, то xm 
Рис. 1.6. Крутильный
маятник
m

o , o   .
k
2
Таким образом, амплитуда xm свободных
колебаний и его начальная фаза φ 0 определяются начальными условиями.
Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На
рис. 1.6 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте
диска на угол θ возникает момент сил Mупр
упругой деформации кручения:
Mупр = –χθ.
Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина χ аналогична
жесткости пружины k. Второй закон Ньютона для вращательного движения
диска записывается в виде
I  M упр   или I   ,
(1.18)
где I = IC – момент инерции диска относительно оси, проходящий через
центр масс, ε – угловое ускорение.
По аналогии с грузом на пружине можно получить:

I
o 
, T  2
.
(1.19)
I

71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Изучите модель «Колебания груза на пружине».
Модель демонстрирует свободные колебания груза на пружине. Можно изменять массу груза
m, его начальное положение x0 , коэффициент жесткости пружины k,
коэффициент вязкого трения b. Выводятся графики зависимости координаты и скорости от времени, диаграммы потенциальной и кинетической энергий при свободных гармонических колебаниях груза на
пружине, а также при затухающих
колебаниях при наличии вязкого
трения.
Модель. Колебания груза на пружине
Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его
называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью
спиралевидной пружинки.
Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по
сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отв е

су, сила тяжести mg уравновешивается силой натяжения нити Fупр . При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести Fτ = –mg sin φ (рис. 1.7). Знак «минус» в
этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону,
противоположную отклонению маятника .
Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге
окружности радиуса l, то его угловое смещение
будет равно φ = x / l. Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и
силы на направление касательной, дает:
Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную
нелинейную систему, так как сила, стремящаяся
вернуть маятник в положение равновесия, про-
Рис. 1.7. Математический
маятник: φ – угловое откло- порциональна не смещению x, а sin x .
l
нение маятника от положения
равновесия, x = lφ – смещение
маятника по дуге
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Только в случае малых колебаний, когда приближенно sin x можно заме-
l
x
нить на математический маятник является гармоническим осциллятором,
l
т.е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически
такое приближение справедливо для углов порядка 15-20°; при этом величина
x
x
sin отличается от не более чем на 2 %. Колебания маятника при больших
l
l
амплитудах не являются гармоническими. Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде
(1.20)
Таким образом, тангенциальное ускорение aτ маятника пропорционально
его смещению x, взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу
для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания,
модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением
из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:
(1.21)
Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника.
Следовательно,
2
l
.
o
g
Изучите модель «Математический маятник».
T
 2
(1.22)
Модель демонстрирует свободные колебания математического
маятника. Можно изменять длину
нити l, угол φ0 начального отклонения маятника, коэффициент вязкого
трения b. Выводятся графики зависимости угловой координаты и скорости от времени, диаграммы потенциальной и кинетической энергий
при свободных колебаниях, а также
при затухающих колебаниях при
наличии вязкого трения. Обратите
внимание, что колебания математического маятника являются гармоническими только при достаточно
малых амплитудах.
Модель. Математический маятник
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 1.8). Он
отличается от математического маятника только распределением масс.
В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения О
на вертикали, проходящей через ось.
При отклонении маятника на угол φ
возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:
(
M = –(mg sin φ)d.
1.23)
Здесь d – расстояние между осью
вращения и центром масс C. Знак «минус» в этой формуле, как обычно, ознаРис. 1.8. Физический маятник
чает, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении,
противоположном его отклонению из положения равновесия. Как и в случае
математического маятника, возвращающий момент M пропорционален sin φ.
Это означает, что только при малых углах φ, когда sin φ ≈ φ, физический маятник способен совершать свободные гармонические колебания.
В случае малых колебаний
M = –mgdφ.
(1.24)
и второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид
Iε = M = –mgdφ.
(1.25)
где ε – угловое ускорение маятника, I – момент инерции маятника относительно оси вращения O. Модуль коэффициента пропорциональности между
ускорением и смещением равен квадрату круговой частоты:
(1.26)
Здесь ω 0 – собственная частота малых колебаний физического маятника.
Следовательно,
2
I
.
(1.27)
o
mgd
Более строгий вывод формул для ω 0 и Т можно сделать, если принять во
внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение ε есть вторая производная углового смещения φ по
времени:
T
 2
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1.28)
Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде
(1.29)
Это уравнение свободных гармонических колебаний. Коэффициент mgd
I
в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника.
По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера)
момент инерции I можно выразить через момент инерции IC относительно оси,
проходящей через центр масс C маятника и параллельной оси вращения:
I = IC + md2.
(1.30)
Окончательно для круговой частоты ω 0 свободных колебаний физического маятника получается выражение:
mgd
o 
.
I c  md 2
При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная
энергии периодически изменяются. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия
обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося
тела достигает максимального значения. Для груза на пружине потенциальная
энергия – это энергия упругих деформаций пружины. Для математического
маятника – это энергия в поле тяготения Земли.
Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия,
его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по закону инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении
начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической
энергии и т.д.
Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.
Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной.
Для груза на пружине:
m 2 mx2
k
(1.31)
E  Ek  E p 

, o2  ,
2
2
m
2
2
2
mkm
m m
mo2 xm
(1.32)
( E p ) max 
, ( Ek ) max 

 ( E p ) max.
2
2
2
Для малых колебаний математического маятника:
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
m 2
m 2 mgx2
g
E  Ek  E p 
 mgh 

, o2  ,
2
2
2l
l
(1.33)
mgxm
m m
mo2 xm
(1.34)
( E p ) max  mghm 
, ( Ek ) max 

 ( E p ) max.
2l
2
2
Здесь hm – максимальная высота подъема маятника в поле тяготения
Земли, xm и υ m = ω0xm – максимальные значения отклонения маятника от положения равновесия и его скорости.
2
2
2
Изучите модель «Превращение энергии при колебаниях».
Модель иллюстрирует превращения энергии при гармонических колебаниях тела под действием квазиупругой
силы, потенциальная энергия которой
пропорциональна квадрату смещения
тела из положения равновесия: Ep = Ax2 ,
где A > 0 – коэффициент пропорциональности. В случае колебаний груза на
пружине A = k / 2, где k – жесткость
пружины. Можно изменять массу m тела, совершающего колебательные движения, величину A и полную энергию
системы E = Ek + Ep. Графически показано соотношение между потенциальной
и кинетической энергиями при колебаниях в любой момент времени.
Модель. Превращения энергии
при колебаниях
Обратите внимание, что в отсутствие затухания полная энергия колебательной
системы остается неизменной, потенциальная энергия достигает максимума при
максимальном отклонении тела от положения равновесия, а кинетическая энергия
принимает максимальное значение при прохождении тела через положение равновесия.
Превращения энергии при свободных механических колебаниях в отсутствие трения можно проиллюстрировать графически. Рассмотрим в качестве
примера колебания груза массой m на пружине жесткости k. Пусть смещение
x(t) груза из положения равновесия и его скорость υ(t) изменяются со временем по законам:
k
x(t )  xm cos(o t ), где o2  ,
(1.35)
m
υ(t) = –ωxm sin (ω0t).
(1.36)
Следовательно,
1
1
1
2
2
(1.37)
E p (t )  kx2  kxm cos 2  o t  kxm (1  cos 2 o t ) ,
2
2
4
1
1
1
2
2
E k (t )  m 2  k o xm2 sin 2  o t  kxm (1  cos 2 o t ) .
2
2
4
76
(1.38)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.9. Превращения энергии
при свободных колебаниях
Рис. 1.10. Затухающие колебания
На рис. 1.9 изображены графики функций Ep (t) и Ek(t). Потенциальная и
кинетическая энергии два раза за период колебаний T 
2
o
достигают макси-
мальных значений. Сумма E p (t )  Ek (t )  E  const остается неизменной. В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил
трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается
во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания
становятся затухающими (рис. 1.10).
Скорость затухания колебаний зависит от величины сил трения. Интервал времени τ, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7
раз, называется временем затухания.
Частота свободных колебаний зависит от скорости затухания колебаний.
При возрастании сил трения собственная частота уменьшается. Однако, изменение собственной частоты становится заметным лишь при достаточно больших силах трения, когда собственные колебания быстро затухают.
Важной характеристикой колебательной системы, совершающей свободные затухающие колебания, является добротность Q. Этот параметр определяется как число N полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ,
умноженное на π:
(1.39)
Чем медленнее происходит затухание свободных колебаний, тем выше
добротность Q колебательной системы. Добротность колебательной системы,
определенная по затуханию колебаний на рис. 1.10, приблизительно равна 15.
Добротности механических колебательных систем могут быть очень высокими – порядка нескольких сотен и даже тысяч.
Понятие добротности имеет глубокий энергетический смысл. Можно определить добротность Q колебательной системы следующим энергетическим соотношением:
(1.40)
Таким образом, добротность характеризует относительную убыль энер-
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
гии колебательной системы из-за наличия трения на интервале времени, равном одному периоду колебаний.
2. Порядок выполнения работы
Упражнение № 1
Колебания пружинного маятника
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.6» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Механика. Колебания и волны» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 2.1.
5. На рисунке изображен пружинный маятник. Нажмите «Старт». Пронаблюдайте колебание груза. Нажмите «Стоп». Справа от рисунка находятся
параметры – массы и начальное смещение, коэффициент упругости, которые
можно изменять. Выше расположены конечные параметры: время колебания,
период, смещение, скорость. Под рисунком приведены графики зависимостей
смещения и скорости от времени.
6. Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
7. Пронаблюдайте колебание маятника.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модели 2.1-2.9 из раздела «Модели».
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
13. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопросы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
Упражнение № 2
Колебания математического маятника
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.6» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Механика. Колебания и волны» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 2.2.
5. На рисунке изображен математический маятник. Нажмите «Старт».
Пронаблюдайте колебание маятника. Нажмите «Стоп». Справа от рисунка
находятся параметры – длина нити l, угол φ0 начального отклонения маятника,
коэффициент вязкого трения b. Под рисунком приведены графики зависимостей углового смещения и скорости от времени.
6. Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
7. Пронаблюдайте колебание маятника.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой по79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ловине экрана.
11. Дома проработайте модели 2.1-2.9 из раздела «Модели».
12. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
13. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопросы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
14. Напишите вывод.
3. Вопросы для тестирования
1. Пружинный маятник совершает гармонические колебания с амплитудой 20 см. Как изменится период колебаний этого маятника при уменьшении
амплитуды колебаний до 10 см?
1) Увеличится в 2 раза, 2) Уменьшится в 2 раза,
3) Уменьшится в 1,4 раза, 4) Увеличится в 1,4 раза,
5) Не изменится.
2. При гармонических колебаниях пружинного маятника груз проходит
путь от крайнего правого положения до положения равновесия за 0,7 с. Каков
период колебаний маятника?
1) 1,4 с, 2) 2,1 с, 3) 2,8 с, 4) Среди ответов 1–3 нет правильного.
3. Груз, прикрепленный к пружине, совершает гармонические колебания
в горизонтальной плоскости. Как изменится период колебаний груза, если его
массу увеличить в 2 раза?
1) Уменьшится в 2 раза, 2) Увеличится в 2 раза,
3) Уменьшится в 1,4 раза, 4) Увеличится в 1,4 раза,
5) Не изменится.
4. Груз, прикрепленный к пружине, совершает гармонические колебания
в горизонтальной плоскости. Как изменится период колебаний груза, если
жесткость пружины увеличить в 2 раза?
1) Уменьшится в 2 раза, 2) Увеличится в 2 раза,
3) Уменьшится в 1,4 раза, 4) Увеличится в 1,4 раза,
5) Не изменится.
5. Груз, прикрепленный к пружине, совершает гармонические колебания
в горизонтальной плоскости. Как изменится период колебаний груза, если его
массу увеличить в 2 раза, а жесткость пружины уменьшить в 2 раза?
1) Уменьшится в 4 раза, 2) Увеличится в 4 раза,
3) Уменьшится в 2 раза, 4)Увеличится в 2 раза,
5) Не изменится.
6. При гармонических колебаниях пружинного маятника с периодом 1 с
и амплитудой 12 см тело достигло максимальной скорости. Чему равно в этот
момент смещение тела относительно положения равновесия?
1) 0 см, 2) 12 см, 3) –12 см, 4) 12 см или –12 см.
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. При гармонических колебаниях пружинного маятника с периодом 2 с
и амплитудой 16 см тело достигло максимальной потенциальной энергии. Чему равно в этот момент смещение тела относительно положения равновесия?
1) 0 см, 2) 16 см, 3) –16 см, 4) 16 см или –16 см,
5) Среди ответов 1–4 нет правильного.
8. Как изменится период колебаний математического маятника, если амплитуду его колебаний уменьшить в 2 раза? Трение отсутствует.
1) Уменьшится в 1,4 раза, 2) Увеличится в 1,4 раза,
3) Уменьшится в 2 раза, 4) Увеличится в 2 раза,
5) Не изменится.
9. Как изменится период колебаний математического маятника, если
длину нити увеличить в 1,5 раза? Укажите число, наиболее близкое к ответу.
1) Уменьшится в 1,2 раза, 2) Увеличится в 1,2 раза,
3) Уменьшится в 1,4 раза, 4) Увеличится в 1,4 раза,
5) Уменьшится в 1,5 раза, 6) Увеличится в 1,5 раза.
10. При гармонических колебаниях математического маятника груз проходит путь от правого крайнего положения до положения равновесия за 0,5 с.
Каков период колебаний маятника?
1) 0,5 с, 2) 1,0 с, 3) 1,5 с, 4) 2,0 с, 5) Среди ответов 1–4 нет правильного.
11. Груз, прикрепленный к невесомой и нерастяжимой нити, совершает
гармонические колебания в вертикальной плоскости с периодом 1,5 с и амплитудой 15 см. Чему равна координата груза в момент, когда он достигает максимальной скорости?
1) Только 0 см, 2) Только 15 см, 3) Только –15 см,
4) 15 см или –15 см, 5) Среди ответов 1–4 нет правильного.
12. Груз, прикрепленный к невесомой и нерастяжимой нити, совершает
гармонические колебания в вертикальной плоскости с периодом 1,5 с и амплитудой 15 см. Чему равна координата груза в момент, когда он достигает минимальной скорости?
1) Только 0 см, 2) Только 15 см, 3) Только –15 см,
4) 15 см или –15 см, 5) Среди ответов 1–4 нет правильного.
4. Задачи
1. Пружинный маятник за 13 с совершил 5 полных колебаний. Найти период колебаний. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. T =
с.
2. Тело совершает гармонические колебания с частотой 0,5 Гц. Определите время, за которое тело проходит расстояние от положения равновесия до
точки, соответствующей максимальному смещению из положения равновесия.
Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. t =
с.
3. Тело совершает гармонические колебания вдоль оси X с амплитудой
10 см. Найти путь, пройденный телом за 3 полных колебания. Проведите ко м-
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. l =
см.
4. Тело массой 0,5 кг, прикрепленное к пружине жесткостью 10 Н/м, совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости. Найти период
колебаний. Ответ привести с точностью до десятых. Проведите компьютерный
эксперимент и проверьте ваш ответ. T =
с.
5. Тело массой 1 кг, прикрепленное к пружине, совершает гармонические
колебания с периодом 2 с в горизонтальной плоскости. Найти жесткость пружины. Ответ округлить до целых. Проведите компьютерный эксперимент и
проверьте ваш ответ. k =
Н/м.
6. При изменении жесткости пружины в 1,6 раза период колебаний пружинного маятника массой 0,6 кг увеличился до 2 с. Найти первоначальную
жесткость пружины. Ответ округлить до целых. Проведите компьютерный
эксперимент и проверьте ваш ответ. k 1 =
Н/м.
7. На сколько процентов следует изменить массу груза, который совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости, чтобы период его
колебаний уменьшился в 1,2 раза? Ответ округлите до целых. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. Уменьшить на
%.
8. Математический маятник за 13 с совершил 6,5 полных колебаний.
Найти период колебаний. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте
ваш ответ. T =
с.
9. Тело, прикрепленное к нити, совершает гармонические колебания с частотой 0,5 Гц. Определите минимальное время, за которое тело проходит расстояние между положениями, соответствующими максимальным смещениям
из положения равновесия. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте
ваш ответ. t =
с.
10. Математический маятник длиной 1,1 м совершил 100 колебаний за
210 с. Определить ускорение свободного падения. Ответ приведите с точностью до десятых. g =
м/с 2.
11. Определите длину математического маятника, совершающего гармонические колебания с периодом 1,9 с. Ускорение свободного падения считать
равным 9,8 м/с 2. Ответ привести в сантиметрах. Проведите компьютерный
эксперимент и проверьте ваш ответ. l =
см.
12. Период колебаний математического маятника в результате изменения
его длины возрос в 1,2 раза. Определите отношение конечной длины маятника
к первоначальной. Ответ округлите до десятых. Проведите компьютерный
эксперимент и проверьте ваш ответ. l1 / l2 =
.
13. Определить первоначальную длину математического маятника, если
при изменении его длины до 1 м период его колебаний уменьшился в 1,1 раза.
Ответ округлить до десятых. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. l =
м.
14. На сколько процентов следует изменить длину математического маят82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ника, чтобы период его колебаний увеличился на 20 %? Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. Увеличить на
%.
5. Контрольные вопросы
1. Какие процессы называются колебательными?
2. Какие колебания называются механическими?
3. Какие колебания называются свободными, вынужденными, гармоническими?
4. Перечислите и дайте определение параметрам гармонических колебаний.
5. Как определяется скорость, ускорение гармонически колеблющейся
системы?
6. Какие силы называются квазиупругими?
7. Что называется линейным гармоническим осциллятором? Напишите
уравнение гармонического осциллятора.
8. Какая частота называется собственной? Собственная частота пружинного, математического, физического маятников.
9. Какой маятник называется пружинным, математическим, физическим?
10. Как превращается энергия при колебании пружинного и математического маятников.
11. Какие колебания называются затухающими? Что называют временем
затухания?
12. Что называется добротностью?
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема № 6. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА.
Изопроцессы
Цель работы: изучение уравнения состояния идеального газа, изотермического, изобарного, изохорного процессов, моделей.
1. Краткая теория
Соотношение
p = nkT,
(1.1)
связывающее давление газа с его температурой и концентрацией молекул для
модели идеального газа, молекулы которого взаимодействуют между собой и
со стенками сосуда только во время упругих столкновений. Это соотношение
может быть записано в другой форме, устанавливающей связь между макроскопическими параметрами газа – объемом V, давлением p, температурой T и
количеством вещества ν. Для этого нужно использовать равенства
(1.2)
Здесь N – число молекул в сосуде, NA – постоянная Авогадро, m – масса
газа в сосуде, M – молярная масса газа. В итоге получим:
(1.3)
Произведение постоянной Авогадро NA на постоянную Больцмана k
называется универсальной газовой постоянной и обозначается буквой R. Ее
численное значение в СИ есть:
R = 8,31 Дж/моль·К.
Соотношение
(1.4)
называется уравнением состояния идеального газа.
Для одного моля любого газа это соотношение принимает вид:
pV=RT.
(1.5)
Если температура газа равна Tн = 273,15 К (0°С), а давление
pн = 1 атм = 1,013·105 Па, то говорят, что газ находится при нормальных условиях. Как следует из уравнения состояния идеального газа, один моль любого
газа при нормальных условиях занимает один и тот же объем V0, равный
V0 = 0,0224 м3/моль = 22,4 дм3/моль.
Это утверждение называется законом Авогадро.
Для смеси невзаимодействующих газов уравнение состояния принимает
вид
pV = (ν1 + ν2 + ν3 + ...)RT,
(1.6)
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где ν1, ν2, ν3 и т. д. – количество вещества каждого из газов в смеси.
Уравнение, устанавливающее связь между давлением, объемом и температурой газа было получено в середине XIX века французским физиком
Б. Клапейроном, в форме (1.4) оно было впервые записано Д. И. Менделеевым.
Поэтому уравнение состояния газа называется уравнением Клапейрона–
Менделеева.
Следует отметить, что задолго до того, как уравнение состояния идеального газа было теоретически получено на основе молекулярно-кинетической
модели, закономерности поведения газов в различных условиях были хорошо
изучены экспериментально. Поэтому уравнение (1.4) можно рассматривать как
обобщение опытных фактов, которые находят объяснение в молекулярно кинетической теории.
Газ может участвовать в различных тепловых процессах, при которых
могут изменяться все параметры, описывающие его состояние (p, V, T). Если
процесс протекает достаточно медленно, то в любой момент система близка к
своему равновесному состоянию. Такие процессы называются квазистатическими. В привычном для нас масштабе времени эти процессы могут протекать
и не очень медленно. Например, разрежения и сжатия газа в звуковой волне,
происходящие сотни раз в секунду, можно рассматривать как квазистатический процесс. Квазистатические процессы могут быть изображены на диаграмме состояний (например, в координатах p, V) в виде некоторой траектории, каждая точка которой представляет равновесное состояние.
Интерес представляют процессы, в которых один из параметров (p, V
или T) остается неизменным. Такие процессы называются изопроцессами.
Изотермический процесс (T = const)
Изотермическим процессом называют квазистатический процесс, протекающий при постоянной температуре T. Из уравнения (1.4) состояния идеального газа следует, что при постоянной температуре T и неизменном количестве вещества ν в сосуде произведение давления p газа на его объем V должно оставаться постоянным:
pV = const.
(1.7)
На плоскости (p, V) изотермические процессы изображаются при различных значениях температуры T семейством гипербол p ~ 1 / V, которые
называются изотермами. Так как коэффициент пропорциональности в этом
соотношении увеличивается с ростом температуры, изотермы, соответствующие более высоким значениям температуры, располагаются на графике выше
изотерм, соответствующих меньшим значениям температуры (рис. 1.1). Уравнение изотермического процесса было получено из эксперимента английским
физиком Р. Бойлем
(1662 г.) и независимо французским физиком
Э. Мариоттом (1676 г.). Поэтому это уравнение называют законом Бойля–
Мариотта.
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.1. Семейство изотерм (T3 > T2 > T1 )
Изучите модель «Изотермический процесс».
Модель. Изотермический процесс
Моделируется
изотермический
процесс в газе, т. е. процесс квазистатического расширения или сжатия идеального
газа, находящегося в контакте с тепловым
резервуаром (T = const). Температуру резервуара можно выбирать. Приводится
график зависимости P(V) для изотермического процесса, выводится энергетическая диаграмма, на которой указываются
количество теплоты Q, полученной газом,
произведенная газом работа A и изменение ΔU его внутренней энергии.
Обратите внимание, что в процессе
изотермического расширения или сжатия
внутренняя энергия идеального газа не
изменяется, и полученное тепло полностью превращается в работу.
Изохорный процесс (V = const)
Изохорный процесс – это процесс квазистатического нагревания или
охлаждения газа при постоянном объеме V и при условии, что количество вещества ν в сосуде остается неизменным.
Как следует из уравнения (1.4) состояния идеального газа, при этих
условиях давление газа p изменяется прямо пропорционально его абсолютной
температуре: p ~ T или
(1.8)
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Изучите модель «Изохорный процесс».
Моделируется изохорный процесс в газе, т. е. процесс квазистатического нагревания или охлаждения идеального газа при постоянном объеме
V. Объем газа можно выбирать. Приведен график зависимости p(T) для
изохорного процесса, выводится энергетическая диаграмма, на которой указываются количество теплоты Q, полученной газом, произведенная газом
работа A и изменение ΔU его внутренней энергии.
Обратите внимание, что при
изохорном процессе работа газа равна
нулю, и все полученное тепло затрачивается на изменение внутренней
энергии газа.
Модель. Изохорный процесс
На плоскости (p, T) изохорные процессы для заданного количества вещества ν при различных значениях объема V изображаются семейством прямых линий, которые называются изохорами.
Рис. 1.2. Семейство изохор
(V3 > V2 > V1)
Большим значениям объема соответствуют изохоры с меньшим наклоном по
отношению к оси температур (рис. 1.2).
Экспериментально зависимость давления газа от температуры исследовал
французский физик Ж. Шарль (1787 г.).
Поэтому уравнение изохорного процесса
называется законом Шарля.
Уравнение изохорного процесса может быть записано в виде:
p
(1.9)
p  o T  poT ,
To
где p0 – давление газа при T = T0 = 273,15 К (т. е. при температуре 0 °С). Коэффициент α, равный (1/273,15) К–1, называют температурным коэффициентом
давления.
Изобарный процесс (p = const)
Изобарным процессом называют квазистатический процесс, протекающий при неизменным давлении p.
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнение изобарного процесса для некоторого неизменного количества
вещества ν имеет вид:
V
(1.10)
 const или V  VoT ,
T
где V0 – объем газа при температуре 0 °С. Коэффициент α равен
(1/273,15) К–1. Его называют температурным коэффициентом объемного
расширения газов.
Рис. 1.3. Семейство изобар
(p3 > p2 > p 1)
На плоскости (V, T) изобарные процессы
при разных значениях давления p изображаются семейством прямых линий (рис. 1.3), которые называются изобарами.
Зависимость объема газа от температуры при неизменном давлении была экспериментально исследована французским физиком
Ж. Гей-Люссаком (1862 г.). Поэтому уравнение изобарного процесса называют законом
Гей–Люссака.
Изучите модель «Изобарный процесс».
Модель. Изобарный процесс
Моделируется изобарный процесс, т.е.
процесс квазистатического расширения
или сжатия идеального газа при постоянном давлении P. Давление газа можно выбирать. Приводится график зависимости
V(T) для изобарного процесса, выводится
энергетическая диаграмма, на которой указываются количество теплоты Q, полученной газом, произведенная работа A и изменение ΔU его внутренней энергии.
Обратите внимание, что при изобарном расширении температура газа растет,
его внутренняя энергия увеличивается, и
газ совершает положительную работу. При
изобарном сжатии температура и внутренняя энергия уменьшаются, работа газа отрицательна. При расширении газ поглощает тепло, а при сжатии – отдает окружающим телам.
Экспериментально установленные законы Бойля–Мариотта, Шарля и
Гей-Люссака находят объяснение в молекулярно-кинетической теории газов.
Они являются следствием уравнения состояния идеального газа.
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Порядок выполнения работы
Упражнение № 1
Изотермический процесс
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.6» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Молекулярная физика и термодинамика» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 3.1.
5. На рисунке изображен газ, помещенный в цилиндр под поршень.
Нажмите «Старт». Пронаблюдайте поведение молекул газа. Нажмите «Стоп».
Справа от рисунка находятся параметр – температура, который можно изменять. Выше расположены параметры давление и объем. Под рисунком приведена диаграмма изменения теплоты, работы и внутренней энергии. Справа от
рисунка расположена изотерма. При изменении значения температуры, видно,
что изотерма меняет свое положение на координатной плоскости и изогнутость.
6. Нажмите кнопку «Сброс». Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
7. Пронаблюдайте процесс расширения и сжатия газа.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модель 3.6 из раздела «Модели».
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Упражнение № 2
Изохорный процесс
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.6» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Молекулярная физика и термодинамика» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 3.2.
5. На рисунке изображен газ, помещенный в цилиндр под поршень.
Нажмите «Старт». Пронаблюдайте поведение молекул газа. Нажмите «Стоп».
Справа от рисунка находятся параметр – объем, который можно изменять.
Выше расположены параметры давление и температура. Под рисунком приведена диаграмма изменения теплоты, работы и внутренней энергии. Справа от
рисунка расположена изохора. При изменении значения температуры, видно,
что изотерма меняет свое положение на координатной плоскости.
6. Нажмите кнопку «Сброс». Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
7. Пронаблюдайте процесс расширения и сжатия газа.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модель 3.7 из раздела «Модели».
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Упражнение № 3
Изобарный процесс
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.6» часть 1.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Молекулярная физика и термодинамика» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 3.3.
5. На рисунке изображен газ, помещенный в цилиндр под поршень.
Нажмите «Старт». Пронаблюдайте поведение молекул газа. Нажмите «Стоп».
Справа от рисунка находятся параметр – давление, который можно изменять.
Выше расположены параметры объем и температура. Под рисунком приведена
диаграмма изменения теплоты, работы и внутренней энергии. Справа от р исунка расположена изохора. При изменении значения температуры, видно, что
изотерма меняет свое положение на координатной плоскости.
6. Нажмите кнопку «Сброс». Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
7. Пронаблюдайте процесс расширения и сжатия газа.
8. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
9. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
10. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
11. Дома проработайте модель 3.8 из раздела «Модели».
12. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
13. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопро91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
14. Напишите вывод.
3. Вопросы для тестирования
1. В ходе изотермического процесса объем газа увеличился в 3 раза. Как
изменилось давление газа?
1) Не изменилось, 2) Уменьшилось в 3 раза,
3) Увеличилось в 3 раза, 4) Среди ответов 1–3 нет правильного.
2. При изотермическом процессе давление газа уменьшилось в 2 раза. Как
изменился объем газа?
1) Не изменился, 2) Уменьшился в 2 раза, 3) Увеличился в 2 раза,
4) Среди ответов 1–3 нет правильного.
3. При изотермическом изменении состояния идеального одноатомного
газа его объем увеличился в 4 раза. Как изменилась его внутренняя энергия?
1) Не изменилась, 2) Уменьшилась в 4 раза, 3) Увеличилась в 4 раза,
4) Среди ответов 1–3 нет правильного.
4. В ходе изотермического процесса газ отдал окружающим телам 50 Дж
количества теплоты. Определите работу, совершенную газом.
1) 0 Дж, 2) 50 Дж, 3) –50 Дж, 4) Среди ответов 1–3 нет правильного.
5. При сжатии одного моля идеального одноатомного газа внешняя сила
совершила работу, равную 20 Дж. Определите изменение внутренней энергии
газа, если он при этом отдал окружающим телам 20 Дж количества теплоты.
1) Не изменилась, 2) Уменьшилась на 20 Дж, 3) Увеличилась на 20 Дж,
4) Уменьшилась на 40 Дж, 5) Увеличилась на 40 Дж.
6. В ходе изохорного процесса абсолютная температура идеального газа и
его давление увеличились в 2 раза. Как изменился объем газа?
1) Не изменился, 2) Уменьшился в 2 раза, 3) Увеличился в 2 раза,
4) Уменьшился в 4 раза, 5) Увеличился в 4 раза.
7. Идеальный газ при постоянном объеме нагревают от 100 °С до 500 °С.
Как изменится давление газа?
1) Не изменится, 2) Уменьшится в 5 раз, 3) Увеличится в 5 раз,
4) Среди ответов 1–3 нет правильного.
8. При изохорном процессе давление газа увеличилось в 5 раз. Как изменилась абсолютная температура газа?
1) Не изменилась, 2) Уменьшилась в 5 раз, 3) Увеличилась в 5 раз,
4) Среди ответов 1–3 нет правильного.
9. В ходе изохорного процесса давление газа вначале увеличилось в
2 раза, а затем уменьшилось в 4 раза. Как изменилась абсолютная температура
газа по сравнению с первоначальной?
1) Не изменилась, 2) Уменьшилась в 2 раза, 3) Увеличилась в 2 раза,
4) Уменьшилась в 4 раза, 5) Увеличилась в 4 раза.
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. Идеальный газ при постоянном объеме нагревают на 200 К, а затем
еще на 200 К. В каком из этих двух случаев давление увеличилось на большую
величину?
1) В первом, 2) Во втором,
3) Давление увеличилось на одну и ту же величину,
4) Для ответа недостаточно данных.
11. Какой процесс произошел в идеальном одноатомном газе, если изменение его внутренней энергии равно полученному количеству теплоты?
1) Изобарный, 2) Изохорный, 3) Изотермический,
4) Адиабатический, 5) Для ответа недостаточно данных.
12. В ходе изобарного процесса объем идеального газа и его температура
увеличились в 2 раза. Как изменилось давление газа?
1) Не изменилось, 2) Уменьшилось в 2 раза, 3) Увеличилось в 2 раза,
4) Уменьшилось в 4 раза, 5) Увеличилось в 4 раза.
13. При изобарном процессе объем идеального газа уменьшился в 3 раза.
Как изменилась температура газа?
1) Не изменилась, 2) Уменьшилась в 3 раза, 3) Увеличилась в 3 раза,
4) Среди ответов 1–3 нет правильного.
14. При изобарном процессе объем идеального газа вначале увеличился в
4 раза, а затем уменьшился в 2 раза. Как изменилась температура газа по сравнению с первоначальной?
1) Не изменилась, 2) Уменьшилась в 2 раза, 3) Увеличилась в 2 раза,
4) Уменьшилась в 4 раза, 5) Увеличилась в 4 раза.
15. Идеальный газ при постоянном давлении нагревают от 100 °С до
400 °С. Как изменится объем газа?
1) Не изменится, 2) Уменьшится в 4 раза, 3) Увеличится в 4 раза,
4) Среди ответов 1–3 нет правильного.
4. Задачи
1. Один моль идеального газа при температуре 300 К занимает объем
20 дм3. Определите давление газа в кПа. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. Ответ округлите до целых. p =
кПа.
3
2. В баллоне объемом 30 дм находится один моль идеального газа при
давлении 100 кПа. Определите температуру газа. Проведите компьютерный
эксперимент и проверьте ваш ответ. Ответ округлите до целых. T =
К.
3. В ходе изотермического сжатия объем одного моля идеального газа
уменьшился в 4 раза. Определите конечное давление газа, если начальный
объем газа при температуре 400 К составлял 40 дм3. Проведите компьютерный
эксперимент и проверьте ваш ответ. Ответ округлите до целых. p =
кПа.
4. При изотермическом процессе объем одного моля газа увеличился с
10 дм3 до 40 дм3, при этом давление газа изменилось на 184 кПа. Определите
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
начальное давление газа в кПа и его абсолютную температуру. Проведите
компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. Ответ округлите до целых.
p=
кПа, T =
К.
5. В цилиндре под поршнем находится один моль газа при температуре
240 К. Температуру газа увеличивают в 1,5 раза, а для того, чтобы поршень
остался в прежнем положении, давление увеличивают на 25 кПа. Определите
первоначальное давление газа в кПа и его объем. Проведите компьютерный
эксперимент и проверьте ваш ответ. Ответ округлите до целых. p=
кПа,
V=
дм3.
6. При изотермическом сжатии газа в 1,25 раза давление увеличили на
18 кПа. На сколько кПа следует еще увеличить давление, чтобы изотермически сжать газ еще в 2,5 раза? Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. Ответ округлите до целых. Δp =
кПа.
7. В баллоне находится один моль идеального газа при температуре
370 К и давлении 88 кПа. Определите объем газа в кубических дециметрах.
Ответ округлите до целых. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. V =
дм3.
8. В ходе изохорного процесса давление идеального газа уменьшилось в
3 раза. Найдите конечную температуру газа, если его начальная температура
составляла 450 К. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. T =
К.
9. В процессе изохорного нагревания газа его давление увеличилось в
2,5 раза. На сколько градусов нагрели газ, если его начальная температура с оставляла –73 °С? Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. ΔT =
К.
10. Давление одного моля идеального газа при температуре 460 К составляет 153 кПа. На сколько градусов необходимо охладить газ в изохорном процессе, чтобы его давление составило 103 кПа? Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. Ответ округлите до целых. |Δ T| =
К.
11. В ходе изохорного процесса давление газа уменьшилось в 3 раза, а
температура изменилась на 200 К. Определите начальную температуру газа.
Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. T =
К.
12. При изохорном нагревании на 50 К давление идеального газа возросло
на 20 %. Определите начальную температуру газа. Проведите компьютерный
эксперимент и проверьте ваш ответ. T =
К.
13. Один моль идеального одноатомного газа объемом 20 дм3 нагрели при
постоянном объеме на 260 К. Определите начальное давление газа в килопаскалях, если его конечное давление составило 191 кПа. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. p =
кПа.
3
14. В баллоне объемом 32,2 дм находится один моль идеального газа при
температуре 310 К. Определите давление газа в килопаскалях. Проведите ком94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. p =
кПа.
15. В ходе изобарного процесса объем идеального газа увеличился в
2 раза. Найдите конечную температуру газа, если его начальная температура
составляла –71 °С. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш
ответ. T =
К.
16. В процессе изобарного нагревания газа его объем увеличился в 2 раза.
На сколько градусов нагрели газ, если его начальная температура составляла
27 °С? Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ.
ΔT=
К.
17. На сколько градусов необходимо охладить один моль идеального газа
при постоянном давлении, чтобы его объем уменьшился с 41,6 дм3 до 25,6 дм3,
если первоначальная температура газа составляла 600 К? Ответ округлите до
целых. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ.
|ΔT|=
К.
18. При изобарном процессе объем газа увеличился в 4 раза, а температура изменилась на 300 К. Определите конечную температуру газа. Проведите
компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ. T =
К.
5. Контрольные вопросы
1. Дайте определение идеального газа.
2. Сформулируете законы Бойля – Мариотта, Гей-Люссака, Шарля, Авогадро, Дальтона. Напишите формулы, нарисуйте графики процессов.
3. Напишите уравнение состояния идеального газа.
4. Внутренняя энергия системы как функция состояния. Количество теплоты. Работа.
5. Сформулируйте и напишите формулу первого начала термодинамики.
6. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам.
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема № 7. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.
Относительность промежутков времени
Цель работы: изучение специальной теории относительности, моделей.
1. Краткая теория
Специальная (или частная) теория относительности (СТО) представляет собой современную физическую теорию пространства и времени.
Наряду с квантовой механикой, СТО служит теоретической базой современной физики и техники. СТО часто называют релятивистской теорией, а специфические явления, описываемые этой теорией, – релятивистскими эффектами. Эти эффекты наиболее отчетливо проявляются при скоростях движения тел, близких к скорости света в вакууме c ≈ 3·108 м/с. Специальная теория относительности была создана А. Эйнштейном (1905 г.). Предшественниками Эйнштейна, очень близко подошедшими к решению проблемы, были нидерландский физик Х. Лоренц и выдающийся французский физик
А. Пуанкаре.
Классическая механика Ньютона прекрасно описывает движение макротел, движущихся с малыми скоростями (υ << c). В нерелятивистской физике
принималось как очевидный факт существование единого мирового времени t,
одинакового во всех системах отсчета. В основе классической механики лежит
механический принцип относительности (или принцип относительности
Галилея): законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
Этот принцип означает, что законы динамики инвариантны (т. е. неизменны) относительно преобразований Галилея, которые
позволяют вычислить координаты движущегося тела в одной инерциальной системе (K), если заданы координаты этого тела в другой
инерциальной системе (K'). В частном случае,
когда система K' движется со скоростью υ
вдоль положительного направления оси x сиРис. 1.1. Две инерциальные стемы K (рис. 1.1), преобразования Галилея
системы отсчета K и K'
имеют вид:
x = x' + υt, y = y', z = z', t = t'. (1.1)
Предполагается, что в начальный момент оси координат обеих систем
совпадают.
Из преобразований Галилея следует классический закон преобразования
скоростей при переходе от одной системы отсчета к другой:
ux = u'x + υ, uy = u'y , uz = u'z .
(1.2)
Ускорения тела во всех инерциальных системах оказываются одинако-
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
выми:
(1.3)
Следовательно, уравнение движения классической механики (второй за 
кон Ньютона) ma  F не меняет своего вида при переходе от одной инерциальной системы к другой.
К концу XIX века начали накапливаться опытные факты, которые
вступили в противоречие с законами
классической механики. Большие затруднения возникли при попытках
применить механику Ньютона к объяснению распростра-нения света. Предположение о том, что свет распространяется в особой среде – эфире, было
опровергнуто много-численными экспериментами.
А. Майкельсон
в
1881 году, а затем в 1887 году совместно с Э. Морли (оба – американские
Рис. 1.2. Упрощенная схема интер- физики) пытался обнаружить движение
ференционного опыта Майкельсо- Земли относительно эфира («эфирный

ветер») с помощью интерференционна–Морли.  – орбитальная скорость Земли
ного опыта.
Упрощенная схема опыта Майкельсона–Морли представлена на рис. 1.2.
В этом опыте одно из плеч интерферометра Майкельсона устанавливалось параллельно направлению орбитальной скорости Земли (υ = 30 км/с). Затем прибор поворачивался на 90°, и второе плечо оказывалось ориентированным по направлению орбитальной скорости. Расчеты показывали, что если бы
неподвижный эфир существовал, то при повороте прибора интерференцио нные полосы должны были сместиться на расстояние, пропорциональное
(υ / c)2. Опыт Майкельсона–Морли, неоднократно повторенный впоследствии
со все более возрастающей точностью, дал отрицательный результат. Анализ
результатов опыта Майкельсона–Морли и ряда других экспериментов позволил сделать вывод о том, что представления об эфире как среде, в которой
распространяются световые волны, ошибочно. Следовательно, для света не
существует избранной (абсолютной) системы отсчета. Движение Земли по орбите не оказывает влияния на оптические явления на Земле.
Исключительную роль в развитии представлений о пространстве и времени сыграла теория Максвелла. К началу XX века эта теория стала общепризнанной. Предсказанные теорией Максвелла электромагнитные волны, распространяющиеся с конечной скоростью, уже нашли практическое применение – в 1895 году было изобретено радио (А.С. Попов). Но из теории Максвелла следовало, что скорость распространения электромагнитных волн в любой
инерциальной системе отсчета имеет одно и то же значение, равное скорости
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
света в вакууме. Отсюда следует, что уравнения, описывающие распространение электромагнитных волн, не инвариантны относительно преобразований
Галилея. Если электромагнитная волна (в частности, свет) распространяется в
системе отсчета K' (рис. 1.1) в положительном направлении оси x', то в системе
K свет должен, согласно галилеевской кинематике распространяться со скоростью c + υ, а не c.
Итак, на рубеже XIX и XX веков физика переживала глубокий кризис.
Выход был найден Эйнштейном ценой отказа от классических представлений
о пространстве и времени. Наиболее важным шагом на этом пути явился пересмотр используемого в классической физике понятия абсолютного времени.
Классические представления, кажущиеся наглядными и очевидными, в действительности оказались несостоятельными. Многие понятия и величины, которые в нерелятивистской физике считались абсолютными, т. е. не зависящими от системы отсчета, в эйнштейновской теории относительности переведены
в разряд относительных.
Так как все физические явления происходят в пространстве и во времени, новая концепция пространственно-временных закономерностей не могла
не затронуть в итоге всю физику.
В основе специальной теории относительности лежат два принципа или
постулата, сформулированные Эйнштейном в 1905 г.
1. Принцип относительности: все законы природы инвариантны по
отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Это означает, что во всех инерциальных системах физические законы (не
только механические) имеют одинаковую форму. Таким образом, принцип относительности классической механики обобщается на все процессы природы,
в том числе и на электромагнитные. Этот обобщенный принцип называют
принципом относительности Эйнштейна.
2. Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме
не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Скорость света в СТО занимает особое положение. Это предельная скорость передачи взаимодействий и
сигналов из одной точки пространства в другую.
Эти принципы следует рассматривать как обобщение всей совокупности
опытных фактов. Следствия из теории, созданной на основе этих принципов,
подтверждались бесконечными опытными проверками. СТО позволила разрешить все проблемы «доэйнштейновской» физики и объяснить «противоречивые» результаты известных к тому времени экспериментов в области электродинамики и оптики. В последующее время СТО была подкреплена экспериментальными данными, полученными при изучении движения быстрых частиц
в ускорителях, атомных процессов, ядерных реакций и т. п.
Постулаты СТО находятся в явном противоречии с классическими представлениями. Рассмотрим такой мысленный эксперимент: в момент времени
t = 0, когда координатные оси двух инерциальных систем K и K' совпадают, в
общем начале координат произошла кратковременная вспышка света. За время
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
t системы сместятся относительно друг друга на расстояние υt, а сферический
волновой фронт в каждой системе будет иметь радиус ct (рис. 1.3), так как системы равноправны и в каждой из них скорость света равна c.
С точки зрения наблюдателя в системе
K центр сферы находится в точке O, а с точки зрения наблюдателя в системе K' он будет
находиться в точке O'. Следовательно, центр
сферического фронта одновременно находится в двух разных точках!
Причина возникающего недоразумения лежит не в противоречии между двумя
принципами СТО, а в допущении, что положение фронтов сферических волн для обеих
Рис. 1.3. Кажущееся противосистем относится к одному и тому же моречие постулатов СТО
менту времени.
Это допущение заключено в формулах преобразования Галилея, согласно которым время в обеих системах течет одинаково: t = t'. Следовательно, постулаты Эйнштейна находятся в противоречии не друг с другом, а с формулами преобразования Галилея. Поэтому на смену галилеевых преобразований
СТО предложила другие формулы преобразования при переходе из одной
инерциальной системы в другую – так называемые преобразования Лоренца,
которые при скоростях движения, близких к скорости света, позволяют объяснить все релятивистские эффекты, а при малых скоростях (υ << c) переходят в
формулы преобразования Галилея. Таким образом, новая теория (СТО) не отвергла старую классическую механику Ньютона, а только уточнила пределы ее
применимости. Такая взаимосвязь между старой и новой, более общей теорией, включающей старую теорию как предельный случай, носит название
принципа соответствия.
При выполнении любых физических измерений исключительную роль
играют пространственно-временные соотношения между событиями. В СТО
событие определяется как физическое явление, происходящее в какой-либо
точке пространства в некоторый момент времени в избранной системе отсчета.
Таким образом, чтобы полностью охарактеризовать событие, требуется не
только выяснить его физическое содержание, но и определить его место и
время. Для этого необходимо использовать процедуры измерения расстояний
и промежутков времени. Эйнштейн показал, что эти процедуры нуждаются в
строгом определении.
Для того чтобы в выбранной системе отсчета выполнять измерения промежутка времени между двумя событиями (например, началом и концом какого-либо процесса), происходящими в одной и той же точке пространства, достаточно иметь эталонные часы. Наибольшей точностью в настоящее время
обладают часы, основанные на использовании собственных колебаний молекул аммиака (молекулярные часы) или атомов цезия (атомные часы). Измере99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ние промежутка времени опирается на понятие одновременности: длительность какого-либо процесса определяется путем сравнения с промежутком
времени, отделяющим показание часов, одновременное с концом процесса, от
показания тех же часов, одновременного с началом процесса. Если же оба события происходят в разных точках системы отсчета, то для измерения промежутков времени между ними в этих точках необходимо иметь синхронизованные
часы.
Эйнштейновское определение процедуры синхронизации часов основано
на независимости скорости света в пустоте от направления распространения.
Пусть из точки A в момент времени t1 по часам A отправляется короткий световой импульс (рис. 1.4). Пусть время прихода импульса в B и отражения его
назад на часах B есть t'. Наконец, пусть отраженный сигнал возвращается в A в
момент t2 по часам A. Тогда по определению часы в A и B идут синхронно, если t' = (t1 + t2) / 2.
Рис. 1.4. Синхронизация часов в СТО
Существование единого
мирового времени, не зависящего от системы отсчета, которое принималось как очевидный факт в классической
физике, эквивалентно неявному допущению о возможности синхронизации часов с
помощью сигнала, распространяющегося с бесконечно большой скоростью.
Итак, в разных точках выбранной системы отсчета можно расположить
синхронизованные часы. Теперь можно дать определение понятия одновременности событий, происходящих в пространственно-разобщенных точках:
эти события одновременны, если синхронизованные часы показывают одинаковое время.
Рассмотрим теперь вторую инерциальную систему K', которая движется
с некоторой скоростью υ в положительном направлении оси x системы K. В
разных точках этой новой системы отсчета также можно расположить часы и
синхронизировать их между собой, используя описанную выше процедуру.
Теперь интервал времени между двумя событиями можно измерять как по часам в системе K, так и по часам в системе K'. Будут ли эти интервалы одинаковы? Ответ на этот вопрос должен находиться в согласии с постулатами СТО.
Пусть оба события в системе K' происходят в одной и той же точке и промежуток времени между ними равен τ 0 по часам системы K'. Этот промежуток
времени называется собственным временем. Каким будет промежуток времени между этими же событиями, если его измерить по часам системы K? Для
ответа на этот вопрос рассмотрим следующий мысленный эксперимент. На
одном конце твердого стержня некоторой длины l расположена импульсная
лампа B, а на другом конце – отражающее зеркало M. Стержень расположен,
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
неподвижно в системе K' и ориентирован параллельно оси y' (рис. 1.5). Событие 1 – вспышка лампы, событие 2 – возвращение короткого светового импульса к лампе.
Рис. 1.5. Относительность промежутков времени. Моменты наступлений соб ытий в системе K' фиксируются по одним и тем же часам C, а в системе K – по
двум синхронизованным пространственно-разнесенным часам C1 и C2 . Система
K' движется со скоростью υ в положительном направлении оси x системы K
В системе K' оба рассматриваемых события происходят в одной и той же
точке. В системе K' оба рассматриваемых события происходят в одной и той
же точке.
Промежуток времени между ними (собственное время) равен τ = 2l / c. С
точки зрения наблюдателя, находящегося в системе K, световой импульс движется между зеркалами зигзагообразно и проходит путь 2L, равный
  
2L  2 l    , ,
 2 
где τ – промежуток времени между отправлением светового импульса и
его возвращением, измеренный по синхронизованным часам C1 и C2, расположенными в разных точках системы K. Но согласно второму постулату СТО,
световой импульс двигался в системе K с той же скоростью c, что и в системе
K'. Следовательно, τ = 2L / c.
Из этих соотношений можно найти связь между τ и τ 0:
to
to
t1 

,
(1.4)
1   2 / c2
1  2
2
2
где β = υ / c.
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, промежуток времени между двумя событиями зависит
от системы отсчета, т. е. является относительным. Собственное время τ0 всегда меньше, чем промежуток времени между этими же событиями, измеренный в любой другой системе отсчета. Этот эффект называют релятивистским замедлением времени. Замедление времени является следствием инвариантности скорости света.
Эффект замедления времени является взаимным, в согласии с постулатом о равноправии инерциальных систем K и K': для любого наблюдателя в K
или K' медленнее идут часы, связанные с движущейся по отношению к наблюдателю системой. Этот вывод СТО находит непосредственное опытное подтверждение. Например, при исследовании космических лучей в их составе обнаружены μ-мезоны – элементарные частицы с массой, примерно в 200 раз
превышающей массу электрона. Эти частицы нестабильны, их среднее собственное время жизни равно τ 0 = 2,2·10–6 с. Но в космических лучах μ-мезоны
движутся со скоростью, близкой к скорости света. Без учета релятивистского
эффекта замедления времени они в среднем пролетали бы в атмосфере путь,
равный cτ0 ≈ 660 м. На самом деле, как показывает опыт, мезоны за время
жизни успевают пролетать без распада гораздо большие расстояния. Согласно
СТО, среднее время жизни мезонов по часам земного наблюдателя равно

o
1  2
  o , так как β = υ / c близко к единице. Поэтому средний путь υτ,
проходимый мезоном в земной системе отсчета, оказывается значительно
больше 660 м.
С релятивистским эффектом замедления времени связан так называемый
«парадокс близнецов». Предполагается, что один из близнецов остается на
Земле, а второй отправляется в длительное космическое путешествие с субсветовой скоростью. С точки зрения земного наблюдателя, время в космическом
корабле течет медленнее, и когда астронавт возвратится на Землю, он окажется гораздо моложе своего брата-близнеца, оставшегося на Земле. Парадокс заключается в том, что подобное заключение может сделать и второй из близнецов, отправляющийся в космическое путешествие. Для него медленнее течет
время на Земле, и он может ожидать, что по возвращению после длительного
путешествия на Землю он обнаружит, что его брат-близнец, оставшийся на
Земле, гораздо моложе его.
Чтобы разрешить «парадокс близнецов», следует принять во внимание
неравноправие систем отсчета, в которых находятся оба брата-близнеца. Первый из них, оставшийся на Земле, все время находится в инерциальной системе отсчета, тогда как система отсчета, связанная с космическим кораблем,
принципиально неинерциальная. Космический корабль испытывает ускорения
при разгоне во время старта, при изменении направления движения в дальней
точке траектории и при торможении перед посадкой на Землю. Поэтому заключение брата-астронавта неверно. СТО предсказывает, что при возвращении на Землю он действительно окажется моложе своего брата, оставшегося
на Земле.
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Изучите модель «Относительность промежутков времени».
Модель. Относительность промежутков
времени
Относительность
промежутков
времени – одно из важных следствий
специальной теории относительности
Эйнштейна.
Интервал времени между двумя
событиями может быть разным в разных системах отсчета. Если два события происходят в одной и той же точке
пространства в некоторой системе отсчета, и интервал времени, измеренный по часам неподвижного наблюдателя, оказался равным τ0 , то для
наблюдателя в другой системе, которая движется относительно первой с
постоянной скоростью υ, интервал
времени между двумя этими событиями будет равен τ:
Здесь c – скорость света, β = υ / c. Интервал τ всегда больше интервала τ 0, который называется собственным временем. Это означает, в частности, что ход часов,
движущихся относительно наблюдателя, замедляется. Этот вывод теории относ ительности вытекает из постулата о постоянстве скорости света в различных системах
отсчета.
Компьютерная модель позволяет познакомиться с одним из важных следствий
специальной теории относительности Эйнштейна - относительностью промежутков
времени. На экране дисплея представлен эксперимент по измерению интервала времени между двумя событиями наблюдателями в различных системах отсчета. Результаты измерения собственного времени и времени по часам движущегося наблюдателя выводятся на экран дисплея.
В левой части экрана воспроизводится эксперимент по измерению времени
распространения светового импульса туда и обратно на неподвижной базе l = 1 км.
Событие 1 – (световая вспышка) и событие 2 – (возвращение светового импульса)
происходят в одной точке системы отсчета. Поэтому часы измеряют собственное
время τ0 = 2l / c. В правой части этот эксперимент рассматривается с точки зрения
наблюдателя, который движется с некоторой скоростью υ перпендикулярно базе.
События 1 и 2 в системе отсчета этого наблюдателя происходят в пространственно
разобщенных точках. Время τ = 2L / c, измеренное по синхронизованным часам этой
системы, окажется больше собственного времени τ0. В компьютерной модели можно
 2 1
изменять величину γ, которая связана со скоростью υ соотношением   c
.

При нажатии кнопки «Сброс» на часах в обеих системах отсчета высвечивается вре103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мя наступления событий 1и 2.
Эффекты замедления времени пренебрежимо малы, если скорость космического корабля гораздо меньше скорости света c. Тем не менее, удалось
получить прямое подтверждение этого эффекта в экспериментах с макроскопическими часами. Наиболее точные часы – это атомные часы на пучке атомов
цезия. Эти часы «тикают» 9192631770 раз в секунду. Американские физики в
1971 году провели сравнение двух таких часов, причем одни из них находились в полете вокруг Земли на обычных реактивных лайнерах, а другие оставались на Земле в военно-морской обсерватории США. В соответствии с предсказаниями СТО, путешествующие на лайнерах часы должны были отстать от
находящихся на Земле часов на (184 ± 23)·10–9 с. Наблюдаемое отставание составило (203 ± 10)·10–9 с, т. е. в пределах ошибок измерений. Через несколько
лет эксперимент был повторен и дал результат, согласующийся со СТО с точностью 1 %.
В настоящее время уже необходимо принимать во внимание релятивистский эффект замедления хода часов при транспортировке атомных часов на
большие расстояния.
Рис. 1.6. Измерение длины
движущегося стержня
Пусть твердый стержень покоится в системе отсчета K', движущейся со скоростью υ относительно системы отсчета K (рис. 1.6). Стержень
ориентирован параллельно оси x'. Его
длина, измеренная с помощью эталонной линейки в системе K', равна l0.
Ее называют собственной длиной.
Какой будет длина этого стержня, измеренная наблюдателем в системе K?
Для ответа на этот вопрос необходимо
дать определения процедуры измерения длины движущегося стержня. Под
длиной l стержня в системе K, относительно которой стержень движется,
понимают расстояние между
координатами концов стержня, зафиксированными одновременно по часам
этой системы. Если известна скорость системы K' относительно K, то измерение длины движущегося стержня можно свести к измерению времени: длина l
движущегося со скоростью υ стержня равна произведению υτ 0, где τ0 – интервал времени по часам в системе K между прохождением начала стержня и его
конца мимо какой-нибудь неподвижной точки (например, точки A) в системе K
(рис. 1.6). Поскольку в системе K оба события (прохождение начала и конца
стержня мимо фиксированной точки A) происходят в одной точке, то проме104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жуток времени τ 0 в системе K является собственным временем. Итак, длина l
движущегося стержня равна l = υτ0.
Найдем теперь связь между l и l0. С точки зрения наблюдателя в системе
K', точка A, принадлежащая системе K, движется вдоль неподвижного стержня
налево со скоростью υ, поэтому можно записать
l0 = υτ,
(1.5)
где τ есть промежуток времени между моментами прохождения точки A
мимо концов стержня, измеренный по синхронизованным часам в K'. Используя связь между промежутками времени τ и τ 0  
o
1  2
, найдем
(1.6)
Таким образом, длина стержня зависит от системы отсчета, в которой
она измеряется, т. е. является относительной величиной. Длина стержня оказывается наибольшей в той системе отсчета, в которой стержень покоится.
Движущиеся относительно наблюдателя тела сокращаются в направлении своего движения. Этот релятивистский эффект носит название лоренцева сокращения длины.
Расстояние не является абсолютной величиной, оно зависит от скорости
движения тела относительно данной системы отсчета. Сокращение длины не
связанно с какими-либо процессами, происходящими в самих телах. Лоренцево сокращение характеризует изменение размера движущегося тела в направлении его движения. Если стержень на рис. 1.6 расположить перпендикулярно
оси x, вдоль которой движется система K', то длина стержня оказывается одинаковой для наблюдателей в обеих системах K и K'. Это утверждение находится в соответствии с постулатом о равноправии всех инерциальных систем. Для
доказательства можно рассмотреть следующий мысленный эксперимент. Расположим в системах K и K' вдоль осей y и y' два жестких стержня. Стержни
имеют одинаковые собственные длины l, измеренные неподвижными по отношению к каждому из стержней наблюдателями в K и K', и один из концов
каждого стержня совпадает с началом координат O или O'. В некоторый момент стержни оказываются рядом и представляется возможность сравнить их
непосредственно: конец каждого стержня может сделать метку на другом
стержне. Если бы эти метки не совпали с концами стержней, то один из них
оказался бы длиннее другого с точки зрения обеих систем отсчета. Это противоречило бы принципу относительности.
Следует обратить внимание, что при малых скоростях движения (υ << c)
формулы СТО переходят в классические соотношения: l ≈ l0 и τ ≈ τ0. Таким образом, классические представления, лежащие в основе механики Ньютона и
сформировавшиеся на основе многовекового опыта наблюдения над медленными движениями, в специальной теории относительности соответствуют предельному переходу при β = υ / c → 0. В этом проявляется принцип соответствия.
Классические преобразования Галилея несовместимы с постулатами
СТО и, следовательно, должны быть заменены другими преобразованиями.
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Эти новые преобразования должны установить связь между координатами
(x, y, z) и моментом времени t события, наблюдаемого в системе отсчета K, и
координатами (x', y', z') и моментом времени t' этого же события, наблюдаемого в системе отсчета K'.
Изучите модель «Относительность длины».
Одним из важных следствий специальной теории относительности является
вывод об относительности расстояний.
Расстояние не является абсолютной величиной, а зависит от скорости движения тела относительно данной системы отсчета. Пусть длина твердого стержня, измеренная в собственной системе отсчета, в которой стержень неподвижен, равна l0 .
Под длиной l стержня в другой системе отсчета, относительно которой стержень
движется с некоторой скоростью υ, понимают расстояние между концами стержня,
зафиксированными одновременно по часам этой системы. Тогда согласно теории относительности имеет место соотношение:
где
Модель. Относительность длины
Таким образом, длина движущегося стержня оказывается всегда меньше длины покоящегося стержня. Относительность расстояний (длин) связана с постоянством скорости света во всех инерциальных системах и с относительностью промежутков времени.
Компьютерная программа моделирует эксперимент по измерению длины
твердого стержня двумя наблюдателями, находящимися в различных инерциальных
системах. Один из наблюдателей неподвижен по отношению к стержню, другой
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
движется с некоторой скоростью υ вдоль стержня. Эксперимент состоит в измерении
времени распространения светового импульса от одного конца стержня до другого и
обратно. Событие 1 – короткая световая вспышка на одном конце стержня событие 2
– возвращение светового импульса к лампе! В собственной системе отсчета интервал
времени между этими событиями равен τ 0 = 2l0 / c. В движущейся системе отсчета
интервал времени между этими событиями равен
Из этих соотношений следует
В компьютерном эксперименте можно изменять относительную скорость систем отсчета. В верхней части экрана воспроизводится эксперимент по измерению
собственного времени τ0 между событиями в системе, в которой стержень неподвижен. В нижней части экрана этот же эксперимент выполняет наблюдатель в движущейся по отношению к стержню системе отсчета. Результаты измерений промежутков времени τ0 и τ высвечиваются на часах в обеих системах отсчета.
Кинематические формулы преобразования координат и времени в СТО
называются преобразованиями Лоренца. Они были предложены в 1904 году
еще до появления СТО как преобразования, относительно которых инвариантны уравнения электродинамики. Для случая, когда система K' движется относительно K со скоростью υ вдоль оси x, преобразования Лоренца имеют вид:
K' → K
K → K'
(1.7)
β = υ / c.
Из преобразований Лоренца вытекает целый ряд следствий. В частности,
из них следует релятивистский эффект замедления времени и лоренцево сокращение длины. Пусть, например, в некоторой точке x' системы K' происходит процесс длительностью τ 0 = t'2 – t'1 (собственное время), где t'1 и t'2 – показания часов в K' в начале и конце процесса. Длительность τ этого процесса в
системе K будет равна
(1.8)
Аналогичным образом, можно показать, что из преобразований Лоренца
вытекает релятивистское сокращение длины. Одним из важнейших следствий
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
из преобразований Лоренца является вывод об относительности одновременности. Пусть, например, в двух разных точках системы отсчета K' (x'1 ≠ x'2) одновременно с точки зрения наблюдателя в K' (t'1 = t'2 = t') происходят два события.
Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдатель в системе K будет иметь
t1 
t 'x1 ' / c 2
1  2
, t2 
t 'x2 ' / c 2
1  2
(1.9)
 t1  t 2 .
Следовательно, в системе K эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются неодновременными. Более того, знак разности t2 – t1
определяется знаком выражения υ(x'2 – x'1), поэтому в одних системах отсчета
первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах
отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Этот вывод СТО не
относится к событиям, связанным причинно-следственными связями, когда одно из событий является физическим следствием другого. Можно показать, что в
СТО не нарушается принцип причинности, и порядок следования причинноследственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.
Относительность одновременности
пространственно-разобщенных событий
можно проиллюстрировать на следующем примере.
Пусть в системе отсчета K' вдоль
оси x' неподвижно расположен длинный
жесткий стержень. В центре стержня
находится импульсная лампа B, а на его
концах установлены двое синхронизованных часов (рис. 1.7a), система K' движется вдоль оси x системы K со скоростью υ. В некоторый момент времени
лампа посылает короткие световые импульсы в направлении концов стержня. В
силу равноправия обоих направлений
свет в системе K' дойдет до концов
Рис. 1.7. Относительность одновре- стержня одновременно, и часы, закрепменности. Световой импульс дости- ленные на концах стержня, покажут одно
гает концов твердого стержня од- и то же время t'. Относительно системы K
новременно в системе отсчета K' (a) концы стержня движутся со скоростью υ
и не одновременно
так, что один конец движется навстречу
в системе отсчета K (b)
световому импульсу, а другой конец свету приходится догонять. Так как скорости
распространения световых импульсов в обоих направлениях одинаковы и рав-
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ны c, то, с точки зрения наблюдателя в системе K, свет раньше дойдет до левого конца стержня, чем до правого (рис. 1.7b).
Преобразования Лоренца выражают относительный характер промежутков времени и расстояний. Однако в СТО наряду с утверждением относительного характера пространства и времени важную роль играет установление инвариантных физических величин, которые не изменяются при переходе от о дной системе отсчета к другой. Одной из таких величин является скорость света
c в вакууме, которая в СТО приобретает абсолютный характер. Другой важной
инвариантной величиной, отражающей абсолютный характер пространственно-временных связей, является интервал между событиями.
Пространственно-временной интервал определяется в СТО следующим соотношением:
(1.10)
где t12 – промежуток времени между событиями в некоторой системе отсчета, а l12 – расстояние между точками, в которых происходят рассматриваемые события, в той же системе отсчета. В частном случае, когда одно из событий происходит в начале координат (x1 = y1 = z1 = 0) системы отсчета в момент
времени t1 = 0, а второе – в точке с координатами x, y, z в момент времени t,
пространственно-временной интервал между этими событиями записывается в
виде
(1.11)
С помощью преобразований Лоренца можно доказать, что пространственно-временной интервал между двумя событиями не изменяется при переходе из одной инерциальной системы в другую. Инвариантность интервала
означает, что, несмотря на относительность расстояний, и промежутков вр емени, протекание физических процессов носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.
Если одно из событий представляет собой вспышку света в начале координат системы отсчета при t = 0, а второе – приход светового фронта в точку с
координатами x, y, z в момент времени t (рис. 1.3), то
x2 + y2 + z2 = c2t2,
(1.12)
и, следовательно, интервал для этой пары событий s = 0. В другой системе отсчета координаты и время второго события будут другими, но и в этой
системе пространственно-временной интервал s' окажется равным нулю, так
как
x’2 + y’2 + z’2 = c2t’2.
(1.13)
Для любых двух событий, связанных между собой световым сигналом,
интервал равен нулю.
Из преобразований Лоренца для координат и времени можно получить
релятивистский закон сложения скоростей. Пусть, например, в системе отdx'
счета K' вдоль оси x' движется частица со скоростью u' x 
. Составляющие
dt '
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
скорости частицы u'x и u'z равны нулю. Скорость этой частицы в системе K буdx
дет равна u x  .
dt
С помощью операции дифференцирования из формул преобразований
Лоренца можно найти:
u '
ux  x
,
u y  0,
uz  0

(1.14)
1  2 ux '
c
.
Эти соотношения выражают релятивистский закон сложения скоростей

для случая, когда частица движется параллельно относительной скорости 
систем отсчета K и K'.
При υ << c релятивистские формулы переходят в формулы классической
механики:
ux = u'x + υ, uy = 0, uz = 0.
(1.15)
Если в системе K' вдоль оси x' распространяется со скоростью u'x = c световой импульс, то для скорости ux импульса в системе K получим
с 
ux 
 с,
u y  0,
uz  0

(1.16)
1
c
.
Таким образом, в системе отсчета K световой импульс также распространяется вдоль оси x со скоростью c, что согласуется с постулатом об инвариантности скорости света.
2. Порядок выполнения работы
1. Включите компьютер. Загрузите пакет «Открытая физика 2.6» часть 2.
2. Кликните левой кнопкой компьютерной мыши в содержании раздел
«Основы специальной теории относительности» на любую строку.
3. В верхнем правом углу расположено меню, которое содержит теорию,
вопросы, задачи, задачи с решениями, лабораторные работы, журнал. Кликните мышью раздел «Лабораторные работы» (весы).
4. Перед Вами лабораторная работа № 4.1.
5. На экране дисплея представлен эксперимент по измерению интервала
времени между двумя событиями наблюдателями в различных системах отсчета. Результаты измерения собственного времени и времени по часам движущегося наблюдателя выводятся на экран дисплея.
6. В левой части экрана воспроизводится эксперимент по измерению
времени распространения светового импульса туда и обратно на неподвижной
базе l = 1 км. Событие 1 – (световая вспышка) и событие 2 – (возвращение светового импульса) происходят в одной точке системы отсчета. Поэтому часы
измеряют собственное время τ0 = 2l / c.
7. В правой части этот эксперимент рассматривается с точки зрения
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
наблюдателя, который движется с некоторой скоростью υ перпендикулярно
базе. События 1 и 2 в системе отсчета этого наблюдателя происходят в пр остранственно разобщенных точках. Время τ = 2L / c, измеренное по синхронизованным часам этой системы, окажется больше собственного времени τ 0.
8. В компьютерной модели можно изменять величину γ, которая связана
со скоростью υ соотношением   c
 2 1
.

9. При нажатии кнопки «Сброс» на часах в обеих системах отсчета высвечивается время наступления событий 1и 2.
10. Нажмите кнопку «Сброс». Установите параметры по указанию преподавателя. Нажмите «Старт».
11. Повторите моделирование несколько раз (по указанию преподавателя).
12. Зарисуйте рисунок в тетрадь, запишите полученные результаты, либо
распечатайте результат на принтере.
13. Ответьте на вопросы и решите задачи, расположенные в правой половине экрана.
14. Дома проработайте модель 4.1, 4.2 из раздела «Модели».
15. Кликните мышью «Журнал». Обнулите результаты в таблице, нажав
кнопку «Сброс результатов».
16. Проведите минитестирование. Ответьте на вопросы из раздела «Вопросы» и решите задачи из раздела «Задачи». Результат сообщите преподавателю.
17. Напишите вывод.
3. Вопросы для тестирования
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. В космическом корабле, движущемся со скоростью υ = 0,8c, космонавт
посылает световой импульс к зеркалу, находящемуся от него на расстоянии
36 м. Время движения светового импульса до зеркала и обратно к космонавту
по часам космонавта равно:
1) 1,2∙10–7 с, 2) 4,0∙10–7 с, 3) 2,4∙10–7 с, 4) 5,0∙10–7 с, 5) 7,2∙10–7 с.
2. С космического корабля, удаляющегося со скоростью υ относительно
Земли, принятой за неподвижную систему отсчета, посылают закодированное
световое сообщение. С какой скоростью сообщение приходит на Землю?
с 
с 
2
2
1 2
1 2
с , 5)
с .
1) c – υ, 2) c + υ, 3) c, 4)
3. С какой скоростью должен двигаться космический корабль относительно Земли, принятой за неподвижную систему отсчета, чтобы ход времени
на космическом корабле замедлился в 2 раза с точки зрения земного наблюдателя?
1) υ = 0,86c, 2) υ = 0,66c, 3) υ = 0,5c, 4) υ = 0,76c.
4. Какое время пройдет за Земле, принятой за неподвижную систему отсчета, если в космическом корабле, движущемся относительно Земли со скоростью υ = 0,8c, пройдет 21 год?
1) 17 лет, 2) 21 лет, 3) 26 лет, 4) 35 лет, 5) 40 лет.
5. Для наблюдателя, находящегося на Земле, линейные размеры космического корабля в направлении его движения сократились в 4 раза. Как идут ч асы на космическом корабле относительно хода часов наблюдателя?
1) Ход часов в космическом корабле быстрее в 2 раза,
2) Ход часов в космическом корабле быстрее в 4 раза,
3) Ход часов в космическом корабле замедлен в 4 раза,
4) Ход часов в космическом корабле быстрее в 16 раз,
5) Ход часов в космическом корабле замедлен в 2 раза.
6. На искусственном спутнике Земли, движущемся со скоростью
υ = 8 км/с, находятся часы, синхронизированные до начала полета с земными
лабораторными часами. На сколько отстанут часы, находящиеся на ИСЗ, за
полгода?
1) 0,01 с, 2) 0,05 с, 3) 0,1 с, 4) 0,6 с, 5) 60 с.
7. Собственное время жизни μ-мезона τ = 2,2·10–6 с. Средний путь, проходимый μ-мезоном от места рождения до места регистрации, составляет 6000 м.
С какой скоростью движется μ-мезон?
1) 0,995c, 2) 0,89c, 3) 0,995c, 4) 0,6c, 5) 0,5c.
8. Космическая частица движется со скоростью υ = 0,95c. Какой промежуток времени τ соответствует τ 0 = 1 мкс собственного времени частицы?
1) 1 мкс, 2) 1,5 мкс, 3) 2,5 мкс, 4) 1,95 мкс, 5) 3,2 мкс.
4. Задачи
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Сколько времени прошло по часам движущегося наблюдателя, если по
часам неподвижного наблюдателя прошло 3,34·10–6 с?

1
1
2
с2
 1,2
.
Провести компьютерный эксперимент и проверить ваш ответ.
Δτ0 =
с
2. Сколько времени прошло по часам движущегося наблюдателя, если по
часам неподвижного наблюдателя прошло 4,5·10–6 с? Скорость движения
υ = 0,97c. Провести компьютерный эксперимент и проверить ваш ответ.
Δτ0 =
с.
3. Сколько времени прошло по часам неподвижного наблюдателя, если
по часам наблюдателя, движущегося со скоростью υ = 0,97c, прошло 4·10–6 с?
Провести компьютерный эксперимент и проверить ваш ответ. Δτ 0 =
с.
4. Сколько времени прошло по часам движущегося наблюдателя, если по
часам неподвижного наблюдателя прошло 2 мкс? Скорость движения
υ = 0,879c. Провести компьютерный эксперимент и проверить ваш ответ.
Δτ0 =
мкс.
5. Контрольные вопросы
1. Сформулируйте принципы специальной теории относительности.
2. Преобразования Галилея.
3. Механический принцип относительности.
4. Постулаты специальной теории относительности.
5. Преобразования Лоренца.
6. Следствия из преобразований Лоренца.
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
1. Трофимова Т.И. Курс физики / Т.И. Трофимова. – М.: Высшая школа,
2001.
2. Детлаф А.А. Курс физики / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. – 4-е изд. – М.:
Академия, 2003.
3. Савельев И.В. Курс общей физики. – Т. 1 / И.В. Савельев. – М.: АСТ,
2003.
4. Сивухин Д.В. Общий курс физики. – Т. 1 / Д.В. Сивухин. – М: Физматлит, 2002.
5. Грабовский Р.И. Курс физики / Р.И. Грабовский. – 6-е изд. – СПб.:
Лань, 2002.
6. Дмитриева В.Ф. Основы физики / В.Ф. Дмитриева, В.Л. Прокофьев. –
М.: Академия, 2003.
7. Браже Р.А. Лекции по физике / Браже Р.А.. – СПб.: Лань, 2013.
8. Сборник задач по физике под ред. Р.И. Грабовского. – СПб.: Лань,
2013.
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Форма титульного листа для лабораторных работ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФГБОУ ВПО «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ СЕРВИСА»
Кафедра «Физика»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
Выполнил студент группы БОД-1
Ильясов И.
Проверил преподаватель:
доцент Денисова О.А.
Уфа – 2013
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Форма титульного листа для оформления контрольных работ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФГБОУ ВПО «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ СЕРВИСА»
Кафедра «Физика»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
«ОСНОВЫ МЕХАНИКИ. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
И ТЕРМОДИНАМИКА»
Выполнил студент группы БОД-1
Ильясов И.
Проверил преподаватель:
доцент Саенко А.Г.
Уфа – 2013
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
МЕХАНИКА
Тема: Кинематика поступательного и вращательного движения
1. Диск равномерно вращается вокруг вертикальной оси в направлении,
указанном на рисунке белой стрелкой. В некоторый момент времени к ободу
диска была приложена сила, направленная по касательной.
До остановки диска правильно изображает направление угловой скорости вектор …
1. 4
2. 1
3. 2
4. 3
2. Диск катится равномерно по горизонтальной поверхности со скоро
стью  о без проскальзывания. Вектор скорости точки А, лежащей на ободе
диска, ориентирован в направлении …
1. 3
2. 1
3. 2
4. 4
3. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью,
проекция которой изменяется со временем, как показано на графике.
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Угловое перемещение (в радианах) в промежутке времени от 4 с до 8 с равно …
1. 0
2. 2
3. 4
4. 8
4. Диск равномерно вращается вокруг вертикальной оси в направлении,
указанном на рисунке белой стрелкой. В некоторый момент времени к ободу
диска была приложена сила, направленная по касательной.
При этом правильно изображает направление углового ускорения диска вектор …
1. 4
2. 1
3. 2
4. 3
Тема: Динамика поступательного движения



1. Импульс материальной точки изменяется по закону p  3ti  2t 2 j
(кг·м/с). Модуль силы (в Н), действующей на точку в момент времени t = 1 c,
равен …
2. Под действием постоянной силы в 5 Н скорость тела изменялась с течением времени, как показано на графике:
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Масса тела (в кг) равна …
3. Вдоль оси OX навстречу друг другу движутся две частицы с массами
m1 = 2 г, m2 = 6 г и скоростями 1  9 м/с,  2  3 м/с соответственно. Проекция скорости центра масс на ось ОХ (в единицах СИ) равна …
4. Автомобиль поднимается в гору по участку дуги с постоянной по величине скоростью.
Равнодействующая всех сил, действующих на автомобиль, ориентирована в
направлении …
5. Механическая система состоит из трех частиц, массы которых m1 = 0,1
г, m2 = 0,2 г, m3 = 0,3 г. Первая частица находится в точке с координатами
(1, 2, 0), вторая – в точке (0, 2, 1), третья – в точке (1, 0, 1) (координаты даны в
сантиметрах). Тогда yc – координата центра масс (в см) – равна …
6. Рассматриваются три тела: диск, тонкостенная труба и сплошной шар;
причем массы m и радиусы R шара и оснований диска и трубы одинаковы.
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Верным для моментов инерции рассматриваемых тел относительно указанных осей является соотношение …
1.
2.
3.
4.
Тема: Динамика вращательного движения
1. Однородный диск массы m и радиуса R вращается под действием постоянного момента сил вокруг оси, проходящей через его центр масс и перпендикулярной плоскости диска. Если ось вращения перенести параллельно на
край диска, то (при неизменном моменте сил) для момента инерции J и углового ускорения  диска справедливы соотношения …
1.
,
2.
,
3.
,
4.
,
2. Диск может вращаться вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска
и  проходящей
 
 через его центр. В точке А прикладывают одну из сил
( F1 , F2 , F3 или F4 ), лежащих в плоскости диска. Верным для моментов этих сил
относительно рассматриваемой оси является соотношение …
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.
,
2.
3.
4.
3. Диск радиусом 1 м, способный свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка,

отклонили от вертикали на угол
и отпустили. В начальный момент времени
2
угловое ускорение диска равно _______ с -2.
1. 7
2. 10
3. 5
4. 20
4. Величина момента импульса тела изменяется с течением времени по
закону L  2t 2  7t  5 (в единицах СИ). Если в момент времени 2c угловое
ускорение составляет 3c-2, то момент инерции тела (в кг∙м 2 ) равен …
1. 5
2. 6
3. 0,2
4. 0,5
Тема: Работа. Энергия
1. Потенциальная энергия частицы задается функцией U  x 2  y 2  z 2 ,
Fz - компонента (в Н) вектора силы, действующей на частицу в точке
А (1, 2, 3), равна … (Функция U и координаты точки А и заданы в единицах
СИ.)
2. Материальная точка массой m = 100 г начинает двигаться под дей


ствием силы F  3ti  2t 2 j (Н) . Если зависимость радиуса-вектора материаль


ной точки от времени имеет вид r  t 2 i  t 3 j (м), то мощность (Вт), развиваемая силой в момент времени t = 1 c равна …
3. Частица движется в двумерном поле, причем ее потенциальная энергия задается функцией U = - 2xy. Работа сил поля по перемещению частицы (в
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дж) из точки С (1, 1, 1) в точку В (2, 2, 2) равна … (Функция U и координаты
точек заданы в единицах СИ.)
4. Тело движется под действием силы, зависимость проекции которой от
координаты представлена на графике:
Работа силы (в Дж) на пути 4 м равна …
4. На рисунке показан вектор силы, действующей на частицу:
Работа, совершенная этой силой при перемещении частицы из начала координат в точку с координатами (5; 2), равна ______ Дж.
Тема: Законы сохранения в механике
1. Небольшая шайба начинает движение без начальной скорости по
гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии шайбы от координаты х изображена
на графике U(x):
Кинетическая энергия шайбы в точке С ______, чем в точке В.
1. в 2 раза больше
2. в 2 раза меньше
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в 1,75 раза больше
в 1,75 раза меньше

2. Шар массы m1, движущийся со скоростью  , налетает на покоящийся
шар массы m2 (рис. 1).
3.
4.


Могут ли после соударения скорости шаров,  1 и  2 , иметь направления,
показанные на рис. 2 (а и б)?
могут в случае б
могут в случае а
могут в обоих случаях
не могут ни в одном из указанных случаев
3. График зависимости кинетической энергии тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, от высоты подъема имеет
вид, показанный на рисунке …
1.
2.
3.
4.
1)
2)
3)
4)
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Человек, стоящий в центре вращающейся скамьи Жуковского, держит
в руках длинный шест. Если он повернет шест из вертикального положения в
горизонтальное, то …
1. угловая скорость скамьи и кинетическая энергия уменьшатся
2. угловая скорость скамьи уменьшится, кинетическая энергия увеличится
3. угловая скорость скамьи увеличится, кинетическая энергия уменьшится
4. угловая скорость скамьи и кинетическая энергия увеличатся
5. Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, скатываются без проскальзывания с горки с одной и той же высоты. Если
трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то отношение скор остей 1 /  2 , которые будут иметь эти тела у основания горки, равно …
1.
2.
3.
4. 1
4
3
15
14
10
7
Тема: Свободные и вынужденные колебания
1. Тело совершает гармонические колебания около положения равновесия (точка 3) с амплитудо x m (см. рис.). Ускорение тела равно нулю в точке …
2. На рисунках изображены зависимости от времени координаты и скорости материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону:
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Циклическая частота колебаний точки (в c -1) равна …
3. Амплитуда затухающих колебаний уменьшилась в e2 раз (e – основание натурального логарифма) за 100 мс. Коэффициент затухания (в с -1) равен …
Тема: Сложение гармонических колебаний
1. Складываются два гармонических колебания одного направления с
одинаковыми частотами и равными амплитудами Ао. Установите соответствие
между амплитудой результирующего колебания и разностью фаз складываемых колебаний. 1. Ао 2 , 2. 0, 3. Ао.
1. 
2
2.
3. 2
3
4. 0
Тема: Элементы специальной теории относительности
1. Космический корабль летит со скоростью  = 0,8с (с - скорость света
в вакууме) в системе отсчета, связанной с некоторой планетой. Один из космонавтов медленно поворачивает метровый стержень из положения 1, перпендикулярного направлению движения корабля, в положение 2, параллельное
направлению движения. Длина этого стержня с точки зрения другого космонавта …
1. равна 1,0 м при любой его ориентации
2. изменяется от 1,0 м в положении 1 до 1,67 м в положении 2
3. изменяется от 1,0 м в положении 1 до 0,6 м в положении 2
4. изменяется от 0,6 м в положении 1 до 1,0 м в положении 2
2. Объем воды в Мировом океане равен 1,37·109 км3. Если температура
воды повысится на 1°С, увеличение массы воды составит _______. (Плотность
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
морской воды 1,03 г/см3, удельная теплоемкость 4,19 кДж/(кг·К).)
1. 6,57·107 кг
2. 65,7 т
3. 65,7 кг
4. 6,57·10-2 кг
3. Предмет движется со скоростью 0,6 с (с – скорость света в вакууме).
Тогда его длина для наблюдателя в неподвижной системе отсчета _____%.
1. уменьшится на 20
2. увеличится на 20
3. уменьшится на 40
4. увеличится на 40
4. Нестабильная частица движется со скоростью 0,6 с (с – скорость света
в вакууме). Тогда время ее жизни в системе отсчета, относительно которой частица движется ______%.
1. увеличится на 20
2. уменьшится на 20
3. уменьшится на 40
4. увеличится на 40
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Тема: Средняя энергия молекул
1. Средняя кинетическая энергия молекул газа при температуре Т зависит от их конфигурации и структуры, что связано с возможностью различных
видов движения атомов в молекуле и самой молекулы. При условии, что имеет
место поступательное и вращательное движение молекулы как целого, средняя
кинетическая энергия молекулы водяного пара (Н2О) равна …
1. 3kT
2. 3
kT
2
3. 5
kT
2
4. 7
kT
2
2. Если не учитывать колебательные движения в молекуле водяного пара, то отношение кинетической энергии вращательного движения к полной
кинетической энергии молекулы равно …
1. 1/2
2. 2/5
3. 2/7
4. 1/3
3. Отношение средней кинетической энергии вращательного движения к
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
средней энергии молекулы с жесткой связью
 Eвр 
2
 . Это имеет место
E 5
для …
1. водорода
2. водяного пара
3. гелия
4. метана СН4
4. В соответствии с законом равномерного распределения энергии по
степеням свободы средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа
i
при температуре T равна:  E  kT . Здесь i  nпост  nвр  2nколеб , где nпост ,
2
и
–
число
степеней
свободы
поступательного, вращательного и колеn
nвр
колеб
бательного движений молекулы соответственно. Для водорода (Н2) число i
равно …
1. 7
2. 5
3. 3
4. 6
5. В соответствии с законом равномерного распределения энергии по
степеням свободы средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа
i
при температуре T равна:  E  kT . Здесь i  nпост  nвр  2nколеб , где nпост ,
2
nвр и n колеб – число степеней свободы поступательного, вращательного и колебательного движений молекулы соответственно. Для гелия (Не) число i равно …
1. 3
2. 5
3. 7
4. 6
Тема: Распределения Максвелла и Больцмана
1. На рисунке представлены графики зависимости концентрации молекул идеального газа n от высоты h над уровнем моря для двух разных температур – T1, T2 (распределение Больцмана).
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для графиков этих функций верными являются утверждения, что …
1. температура T2 выше температуры T1
2. концентрация молекул газа на «нулевом уровне» (h=0) с повышением температуры уменьшается
3. температура T2 ниже температуры T1
4. концентрация молекул газа на «нулевом уровне» (h=0) с повышением температуры увеличивается
2. Зависимости давления p идеального газа во внешнем однородном поле силы тяжести от высоты h для двух разных температур представлены на
рисунке.
Для графиков этих функций неверными являются утверждения, что …
1. температура T1 выше температуры T2
2. давление газа на высоте h равно давлению на «нулевом уровне» (h=0) , если температура газа стремится к абсолютному нулю
3. температура T1 ниже температуры T2
4. зависимость давления идеального газа от высоты определяется не только
температурой газа, но и массой молекул
3. На рисунке представлен график функции распределения молекул идеdN
ального газа по скоростям (распределение Максвелла), где f ( ) 
– доля
Nd
молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от  до   d
в расчете на единицу этого интервала.
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для этой функции неверными являются утверждения, что …
1. при понижении температуры величина максимума функции уменьшается
2. при понижении температуры площадь под кривой уменьшается
3. с ростом температуры наиболее вероятная скорость молекул увеличивается
4. положение максимума кривой зависит не только от температуры, но и
от природы газа
4. На рисунке представлены графики зависимости концентрации молекул идеального газа n от высоты h над уровнем моря для двух разных температур – T1, T2 (распределение Больцмана).
Для графиков этих функций верными являются утверждения, что …
1. температура T2 выше температуры T1
2. концентрация молекул газа на «нулевом уровне» (h=0) с повышением
температуры уменьшается
3. температура T2 ниже температуры T1
4. концентрация молекул газа на «нулевом уровне» (h=0) с повышением
температуры увеличивается
5. На рисунке представлен график функции распределения молекул идеdN
ального газа по скоростям (распределение Максвелла), где f ( ) 
– доля
Nd
молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от  до
  d в расчете на единицу этого интервала.
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если, не меняя температуры взять другой газ с меньшей молярной массой и
таким же числом молекул, то …
1. максимум кривой сместится вправо в сторону больших скоростей
2. площадь под кривой не изменится
3. высота максимума увеличится
4. площадь под кривой уменьшится
Тема: Первое начало термодинамики. Работа при изопроцессах
1. Диаграмма циклического процесса идеального одноатомного газа
представлена на рисунке. Работа газа за цикл (в кДж) равна …
3. При адиабатическом расширении 2 молями одноатомного газа совершена работа, равная 2493 Дж. При этом изменение температуры составило _____ K.
4. При изотермическом расширении 0,5 моля газа при температуре 200 К
объем увеличился в e раз (e≈2,7). Работа газа (в Дж) равна …
Тема: Второе начало термодинамики. Энтропия
1. На рисунке изображен цикл Карно в координатах (T, S), где S – энтропия. Изотермическое расширение происходит на этапе …
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1–2
4–1
2–3
3–4
2. КПД цикла Карно равен 60%. Если на 20% уменьшить температуру
нагревателя и на 20% увеличить температуру холодильника, КПД (в %) достигнет значения …
1. 40
2. 60
3. 20
4. 80
3. На рисунке изображен цикл Карно в координатах (T, S) , где S – энтропия. Адиабатное расширение происходит на этапе …
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
2–3
4–1
1–2
3–4
4. При поступлении в неизолированную термодинамическую систему
тепла в ходе обратимого процесса для приращения энтропии верным будет с оотношение …
1.
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.
3.
4.
5. На рисунке схематически изображен цикл Карно в координатах (p, V):
Увеличение энтропии имеет место на участке …
1. 1–2
2. 2–3
3. 3–4
4. 4–1
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Составитель: ДЕНИСОВА Ольга Аркадьевна
ФИЗИКА.
Разделы «МЕХАНИКА. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
ТЕРМОДИНАМИКА»
(организация самостоятельной работы студентов)
Часть 1
Учебно-методическое пособие
Подписано в печать 27.01.2014. Формат 60×84 1/16.
Бумага писчая. Гарнитура «Таймс».
Усл. печ. л. 7,67. Уч.-изд. л. 8,5. Тираж 150 экз.
Цена свободная. Заказ № 27.
Отпечатано с готовых авторских оригиналов
на ризографе в редакционно-издательском отделе
Уфимского государственного университета экономики и сервиса
450078, г. Уфа, ул. Чернышевского, 145; тел. (347) 241-69-85.
133
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа