close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Четность

код для вставки
ЧЕТНОСТЬ ВЕЛИЧИН В ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧАХ
Часто при решении задач помогает анализ четности или нечетности какой-нибудь величины.
При этом полезно пользоваться свойствами суммы и произведения таких чисел, рассматривать
чередование или разбиение в пары величин или объектов, а также следить за сохранением
четности (нечетности) при некоторых операциях.
ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
В следующих задачах основным соображением является четность (или нечетность)
некоторой величины. Будем пользоваться следующими свойствами:
1) сумма или разность двух чисел одинаковой четности четна;
2) сумма четного числа нечетных слагаемых четна;
3) сумма нечетного числа нечетных слагаемых нечетна;
4) произведение нечетных чисел нечетно;
5) если в произведении хотя бы один сомножитель четный, произведение – четно;
6) произведение нечетного количества отрицательных чисел отрицательно, а четного –
положительно.
Пример 1. Разность двух целых чисел
получиться число 45045?
умножили на их произведение. Могло
ли
Решение. Число 4505 – нечетно, то есть раскладывается в произведение только нечетных
сомножителей. Значит, два данных целых числа – нечетны (свойства 4),5)). Но тогда их
разность – четна (свойство 1)), и произведение всех трех сомножителей тоже четно (свойство
5)), и не может равняться 45045.
Ответ: не могло.
Пример 2. Произведение 22 целых чисел равно 1. Доказать, что их сумма не равна нулю.
Решение. Если произведение нескольких целых чисел равно 1, то каждое из этих чисел –
либо 1, либо -1, причем -1 встречается четное количество раз (свойство 6)). Если сумма этих
чисел равна нулю, 1 и -1 должно быть поровну, то есть по 11. Но 11 – нечетное число.
Противоречие.
Пример 3. Можно ли разменять 25 тугриков десятью купюрами достоинством в 1, 3 и 5
тугриков?
Решение. Предположим, что такой размен возможен. Тогда складываются десять купюр
достоинством в 1, 3 и 5 тугриков, то есть четное количество нечетных чисел. Такая сумма
должна быть четной (свойство 2)) и не может равняться 25. Противоречие.
Ответ: нельзя.
Пример 4. Можно ли составить магический квадрат (суммы чисел по столбцам и по строкам
равны) из первых 36-ти простых чисел?
Решение. Среди первых 36-и простых чисел ровно одно четное – двойка. В каждой строке
6 чисел – четное количество, значит, в тех строках, где двойки нет, сумма четная (свойство
2)), а в той строке, где записана двойка, сумма нечетна (свойство 3)). Поэтому все эти суммы
не могут быть равны друг другу, значит, такой магический квадрат невозможен.
Ответ: нельзя.
Пример 5. Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по
порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел,
которые на них написаны. Могло ли у него получится 2016?
Решение. На каждом листе у одной страницы четный номер, а у другой – нечетный.
Значит, при сложении 50 чисел, в сумму входило 25 (нечетное количество) нечетных чисел.
Значит, вся сумма должна быть нечетной (свойство 3)), и не может равняться 2016.
Пример 6. Незнайка взял книжку и сосчитал, сколько понадобилось цифр, чтобы
пронумеровать все страницы, начиная с 1-й. У него получилось 100 цифр. Знайка сказал, что
этого не может быть. Прав ли он?
Решение. На нумерацию всех страниц с однозначными номерами понадобится 9 цифр.
Если в книге присутствуют все страницы с двузначными номерами (таких страниц 90), на
их нумерацию необходимо 90  2  180 цифр. Если номер последней страницы более, чем
двузначный, то на нумерацию всех страниц уйдет не менее 190 цифр, а это больше 100.
Итак, номер последней страницы должен быть двузначным. Но это также невозможно,
поскольку на нумерацию страниц с двузначными номерами необходимо четное количество
цифр, и, вместе с 9-ю однозначными номерами, их количество будет нечетным и не сможет
равняться 100.
Ответ: прав.
Пример 7. Кузнечик прыгает на 1 см, затем прыгает на 3 см в том же или
противоположном направлении, затем на 5 см и т.д. Может ли он после 25 прыжка
оказаться в исходной точке?
Решение. Если кузнечик прыгает вправо, будем считать пройденное расстояние со знаком
«+», если влево – то со знаком «–». Сумма нечетного числа нечетных чисел нечетна
(свойство 3)), поэтому расстояние, пройденное кузнечиком после 25 прыжков не равно нулю
и он не окажется в исходной точке.
Ответ: нет.
Пример 8. Может ли во время шахматной партии на каждой из 30 диагоналей оказаться
нечетное число фигур?
Решение. Предположим, такое могло произойти. Подсчитаем количество фигур,
стоящих на черных клетках. Если рассмат-ривать
диагонали из черных клеток, идущие в одном
направлении, как на левом рисунке, их всего 7
(нечетное количество). На каждой из них нечетное
число фигур, то есть всего на черных полях
стоит нечетное число фигур (свойство 3)). Если
теперь рассматривать диагонали из черных
клеток, идущие в другом направлении, как на правом
рисунке, их всего 8 (четное
количество). На каждой из них нечетное число фигур, то есть всего на черных полях стоит
четное число фигур (свойство 2)). Противоречие показывает, такого быть не могло.
Ответ: не могло.
ЧЕРЕДОВАНИЕ
Пример 9. На плоскости расположено 11 шестеренок, соединенных по цепочке: 1-я со 2-й,
2-я с 3-й и т.д., 10-я с 11-й, 11-я с 1-й. Могут ли все шестеренки вращаться одновременно?
Решение. Если первая шестеренка вращается по часовой стрелке, тогда вторая – против
часовой стрелки, третья – по часовой стрелке, четвертая – против, и т.д. Понятно, что
шестеренки с четными номерами вращаются в одну сторону, а с нечетными – в другую. Но
тогда 1-я и 11-я шестеренки вращаются в одну сторону, что невозможно.
В разобранном примере использовалась идея чередования. Рассмотрим еще три такие
задачи.
Пример 10. На хоккейном поле лежат три шайбы А, В и С. Хоккеист бьѐт по одной из
них так, что она пролетает между двумя другими. Так он делает 25 раз. Могут ли после
этого шайбы оказаться на исходных местах?
Решение. Если шайбы находятся в вершинах некоторого треугольника, например, АВС, где
вершины перечисляются по часовой стрелке, то после удара в треугольнике АВС вершины
перечисляются против часовой стрелки. Такие положения чередуются. После нечетного
количества ударов расположения различны, поэтому шайбы не могут оказаться на исходных
местах.
Ответ: не могут.
Пример 11. Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной,
пересекать все ее звенья.
Решение. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Начнем движение по
контуру ломаной, переходя от одной вершины к следующей. Если прямая пересекает все
звенья, то переходя от одной вершины к другой, мы будем перемещаться из одной
полуплоскости в другую. Таким образом, происходит чередование. Все вершины с нечетными
номерами находятся в одной полуплоскости, а с четными – в другой. То есть, 1-я и 11-я
вершины лежат в одной полуплоскости и это звено не пересечено прямой.
Пример 12. Конь вышел с поля а1 и через несколько ходов вернулся на него. Доказать,
что он сделал четное число ходов.
Решение. Каждым своим ходом конь перемещается с поля одного цвета на поле
противоположного цвета. Происходит чередование черного и белого цветов. После нечетного
количества ходов конь оказывается на поле противоположного цвета, поэтому не может
попасть на исходное поле. Следовательно, вернуться в исходное положение он мог только
после четного количества ходов.
РАЗБИЕНИЕ НА ПАРЫ
Пример 13. Можно ли нарисовать 9-звенную замкнутую ломаную, каждое звено кото-рой
пересекается ровно с одним из остальных звеньев?
Решение. Если бы такую ломаную можно было нарисовать, то поскольку каждое звено
пересекается ровно с одним из остальных звеньев, все звенья можно разбить на пары. Это
означает, что звеньев должно быть четное количество. Но по условию их 9.
Ответ: нельзя.
Идея разбиения на пары часто используется для того, чтобы определить четность какойнибудь величины. Важный момент в таких рассуждениях заключается в том, что, если
предметы можно разбить на пары, то число их четно. Рассмотрим еще примеры таких
задач.
Пример 14. Все костяшки домино выложили в цепь. На одном конце оказалось 5 очков.
Сколько очков на другом конце?
Решение. Общее количество половинок домино с пятерками – восемь. Внутри цепи все
числа встречаются парами. Поэтому, если на одном конце цепи стоит пятерка, то на другом
– тоже пятерка.
Ответ: 5.
Пример 15. На доске 25  25 расставлены 25 шашек, причем их расположение
симметрично относительно диагонали. Доказать, что одна из шашек расположена на
диагонали.
Решение. Шашки, не лежащие на диагонали, разбиваются на пары в силу симметрии.
Следовательно, шашек, не лежащих на диагонали, четное количество. Поскольку всего шашек
25, то на диагонали находится, по крайней мере, одна шашка.
ЧЕТНОСТЬ – ИНВАРИАНТ
Рассмотрим несколько задач, в которых четность или нечетность некоторой величины
выбирается в качестве инварианта (не изменяется при заданной операции).
Пример 16. На доске написано десять плюсов и пятнадцать минусов. Разрешается стереть
любые два знака и написать вместо них плюс, если они одинаковые, и минус в противном
случае. Какой знак останется на доске после выполнения двадцати четырѐх операций?
Решение. Прежде чем
решать задачу, проанализируем условие. Судя по вопросу,
последний знак, оставшийся на доске, не зависит от порядка, в котором производились
заданные операции. Тогда, наверное, должна быть какая-то величина или свойство, которое
тоже от этого порядка не зависит (другими словами, величина или свойство, которое
сохраняется, то есть инвариант).
Приведѐм различные способы решения задачи.
1 способ . Если заменить каждый плюс числом 1, а каждый минус числом -1,
разрешѐнная операция выглядит следующим образом: стираются любые два числа и
записывается их произведение. Видно, что произведение всех чисел на доске после каждой
такой операции остается неизменным (подумайте, почему). В самом начале это произведение
равнялось -1 (перемножались десять “ 1 “ и пятнадцать “ -1 “ ). Тогда в конце это
“произведение”, состоящее из одного числа, тоже будет равно -1 . То есть, последний знак
на доске - минус.
2 способ. Если заменить все плюсы нулями, а все минусы единицами, то сумма двух
стираемых чисел имеет ту же четность, что и число, записываемое вместо них (проверьте).
Сначала сумма равнялась 15, то есть нечетному числу, значит, последнее число тоже будет
нечетным. Следовательно, на доске останется минус.
3 способ. В результате каждой операции число минусов либо не меняется, либо
уменьшается на два (проверьте). Поскольку сначала число минусов было нечетным, в конце
останется один минус.
В первом способе инвариантом является произведение всех чисел на доске, во втором четность суммы записываемых чисел, в третьем - четность числа минусов.
Пример 17. На столе стоят 5 стаканов вниз дном. Разрешается выбрать любые 4 из них
и перевернуть. Затем снова можно выбрать любые 4 из этих пяти стаканов и перевернуть и
т. д. Можно ли после нескольких таких операций добиться того, чтобы все пять
стаканов стояли вверх дном?
Решение. Удобно обозначить стакан, стоящий вниз дном, числом “1”, а вверх дном числом “-1”. Тогда переворачивание - это умножение имеющегося числа на -1. На каждом
шаге переворачиваются 4 стакана, произведение всех пяти имеющихся чисел не изменится
после такой операции (это - инвариант). В самом начале все числа равны 1, их произведение
- тоже 1. В конце мы хотим получить набор из пяти “-1”, произведение которых -1, что
при таких операциях, конечно, невозможно.
Заметим, что поскольку произведение всех пяти чисел всегда равно 1, количество
стаканов, стоящих вверх дном всегда четно. Можно было бы в решении использовать такой
инвариант.
В разобранной задаче (типичной задаче “на инвариант”) имеется операция, начальное и
конечное состояние. Спрашивается, можно ли перевести объект из начального состояния в
конечное. При решении находится неизменная при такой операции величина, которая в
начальном и конечном состоянии имеет различные значения. Вот еще задача такого типа.
Пример 18. Сто фишек стоят в ряд. Любые две фишки, стоящие через
менять местами. Удастся ли переставить фишки в обратном порядке?
одну, можно
Решение. Если перенумеровать фишки от единицы до ста, то при перестановке фишка с
нечетным номером меняется местами с фишкой, также имеющей не-четный номер.
(например, 37 с 39), а фишка с четным номером попадает на четное место (2-я на 4-е и т.
п.). Поэтому, при таких перестановках, четное число 100 никогда не появится на месте
нечетной единицы. Переставить фишки в обратном порядке не удастся, а инвариант здесьчетность номера каждой фишки.
Пример 19. На прямой стоят две фишки: слева - красная, справа - синяя. Робот знает две
операции: 1) поставить пару одноцветных фишек (между стоящими фишками или с краю);
2) удалить пару одноцветных фишек (фишки образуют пару, если между ними нет других
фишек). Может ли робот оставить на прямой ровно две фишки: слева - синюю, а справа красную?
Решение. Рассмотрим число разноцветных пар (не обязательно соседних), где левая
фишка красная, и заметим, что четность этого показателя не меняется. Но в исходной
ситуации наш показатель равен 1, а в желаемой - равен нулю. Поэтому перейти к
желаемой ситуации невозможно.
В качестве инварианта можно также выбрать число красных фишек, справа от которых
стоит нечетное число синих (проверьте, что эта величина не меняется при заданных
операциях).
Пример 20. Каждая из 12 лампочек, расположенных по кругу, может находится в двух
состояниях: гореть или не гореть. За один ход можно изменить состояние любых трех
лампочек, расположенных подряд. Вначале горит ровно одна лампочка. Можно ли добиться
того, чтобы горели все лампочки?
Решение. Пронумеруем лампочки, начиная с горящей, числами от 1 до 12 по кругу. Тогда
среди лампочек с номерами 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11 число горящих всегда нечетно (убедитесь в
этом). Значит, все одновременно они гореть не могут, и добиться требуемого не удастся.
Упражнения для самостоятельного решения
1. В турнире принимают участие 17 шахматистов. Может ли быть, чтобы в некоторый
момент турнира каждый из них сыграл ровно 9 партий?
2. Можно ли 529 телефонов соединить между собой так, чтобы каждый был соединен
ровно с 11 другими?
3. Рассмотрим первые 50 натуральных чисел. Докажите, что сумма никаких 36 из них
не равна сумме 14 других.
4. В одну строку выписаны подряд числа 1, 2, 3, . . . , 2004. Можно ли так расставить
знаки «+» и «–» между ними, чтобы в результате получилось число 2005?
5. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «–
» так, чтобы значение полученного выражения было равно 0?
6. Кузнечик прыгает по прямой, причѐм в первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то
сторону, во второй раз - на 2 см и так далее. Докажите, что после 2005 прыжков он не
может оказаться там, где начинал.
7. Парламент состоит из двух одинаковых палат. В голосовании участвовали все
депутаты, причѐм воздержавшихся не было. Когда объявили, что решение принято с
преимуществом в 23 голоса, лидер оппозиции заявил, что результаты голосования
фальсифицированы. Как он это понял?
8. Даны пять чисел, сумма любых трех из которых четна. Доказать, что все числа четны.
9. Можно ли натуральные числа 1, 2, …, 21 разбить на несколько групп, в каждой из
которых наибольшее число равно сумме всех остальных чисел этой группы?
10. Квадрат 5  5 заполнен числами так, что произведение чисел в каждой строке
отрицательно. Доказать, что найдется столбец, в котором произведение чисел также
отрицательно.
11. На каждой клетке главной диагонали доски 10  10 стоит по шашке. За один ход
разрешается выбрать любые две шашки и передвинуть каждую из них на одну клетку вниз.
Можно ли за несколько таких ходов поставить все шашки на нижнюю горизонталь?
12. На прямой вне отрезка AB отмечены 45 точек. Докажите, что сумма расстояний от этих
точек до точки A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B.
13. Барон Мюнхгаузен, вернувшийся из кругосветного путешествия, рассказывает, что по пути
он пересек границы своего княжества 13 раз. Верите ли Вы ему?
14. Можно ли доску размером 7  7 заполнить доминошками 1  2?
15. Улитка ползет по плоскости с постоянной скоростью и каждые 15 минут
поворачивает на 90 . Доказать, что она может вернуться в исходную точку только через
целое число ходов.
16. Катя и все ее друзья встали по кругу так, что соседи каждого ребенка либо оба –
мальчики, либо оба – девочки. Мальчиков среди Катиных друзей 5. А сколько девочек?
17. На доске написано несколько плюсов и минусов. Разрешается стереть любые два
знака и написать вместо них плюс, если они различные, и минус в противном случае.
Доказать, что последний оставшийся на доске знак не зависит от порядка, в котором
проводились стирания.
18. На чудо-яблоне садовник вырастил 25 бананов и 30 апельсинов. Каждый день он
срывает два плода и тут же на яблоне вырастает новый, причем, если он срывает два
одинаковых плода, то вырастает апельсин, а если два разных - банан. Каким окажется
последний плод на дереве?
19. Даны шесть чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к любым двум числам добавлять 1.
Можно ли все числа сделать равными?
20. 15 пятаков лежат гербом вверх. Разрешается за один раз перевернуть любые 14 из
них. Можно ли за несколько раз перевернуть все пятаки гербом вниз?
21. Всегда ли можно расставить по росту 2005 человек, если разрешается переставлять
любых двух людей, стоящих только через одного?
22. На доске выписаны числа от 1 до 102 . Разрешается стереть любые два числа, записав
вместо них разность этих чисел. Доказать, что многократным повторением такой
операции нельзя добиться, чтобы на доске остались только нули.
23. В языке племени АУ всего два звука: «а» и «у». Два слова означают одно и тоже,
если одно получается из другого при помощи некоторого числа следующих операций:
пропуска идущих подряд звуков «ау» или «ууаа» и добавления в любом месте звуков «уа».
Означают ли одно и тоже слова «уау» и «ауа»?
24. На 6 деревьях, посаженных по кругу, сидело по одной галке. Время от времени
какие-то две галки одновременно перелетали на соседние деревья. Могут ли они собраться
на одном дереве?
Решения упражнений для самостоятельной работы
1. Предположим, что такой момент существует. Тогда, чтобы подсчитать количество всех
партий, сыгранных до этого шахматистами, умножим 17 на 9. При этом, каждая партия
учитывается дважды, сначала у одного игрока, затем у его противника. Значит, число партий
в два раза меньше, чем 17  9 . Но это – нечетное число и на 2 не делится.
Ответ: не может.
2. Решение аналогично задаче №1.
Ответ: нельзя.
3. Среди первых 50 натуральных чисел 25 нечетных. Как бы мы ни разбивали все числа
на группы в 36 и 14 чисел, в одну из них попадет четное количество нечетных чисел, а в
другую – нечетное. Поэтому, суммы чисел в этих группах имеют разную четность и
равняться друг другу не могут.
4. При любой расстановке знаков «+» и «–» в сумму входят 1002 нечетных числа
(некоторые, возможно, отрицательные). Их сумма четна (свойство 2)), значит, все выражение
не может равняться 2005.
Ответ: 2005.
5. При любой расстановке знаков «+» и «–» в сумму входят 5 нечетных чисел
(некоторые, возможно, отрицательные). Их сумма нечетна (свойство 3)), значит, все выражение
не может равняться 0.
6. Перемещение кузнечика по отношению к начальному положению можно подсчитать,
если в строке чисел 1, 2, 3, …, 2005 поставить между ними знаки «+» и «–» в зависимости
от того, в какую сторону прыгал кузнечик. В такую сумму входят 1003 нечетных числа
(нечетное количество), то есть их сумма нечетна (свойство 3)) и не может равняться нулю.
Значит, кузнечик не может оказаться там, где начинал.
7. Поскольку в парламенте две одинаковых палаты, в нем четное количество депутатов.
Это означает, что если его разбить на две группы, голосовавших «за» и «против», количества
людей в них будут одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные).
Следовательно, разность между ними должна быть четной и не может равняться 23.
8. Предположим, что утверждение неверно. Значит, среди данных чисел a, b, c, d, e имеется
хотя бы одно нечетное число. Пусть это число а. Тогда, поскольку сумма чисел в тройке a,
b, c четна, одно из чисел b и c нечетно, например, это число b. Точно так же, из тройки a,
d, e, получаем, что одно из чисел d и e нечетно, например, это число d. Тогда в тройке a, b,
d сумма чисел нечетна, что противоречит условию.
9. Если бы это было возможно, сумма чисел в каждой группе была бы четной (равнялась
бы удвоенному наибольшему числу). Тогда, поскольку сумма всех чисел равна сумме этих
полученных четных результатов, она четная. С другой стороны, 1  2  ...  21 - нечетное число,
поскольку в сумму входит нечетное количество нечетных чисел.
10. Найдем произведение всех чисел в таблице, перемножая произведения чисел в каждой
строке. Поскольку произведение чисел в каждой строке отрицательно, а строк всего 5
(нечетное количество), все произведение тоже отрицательно (свойство 6)). Это же
произведение можно получить, перемножая произведения чисел в каждом столбце. Поскольку
все произведение отрицательно, найдется столбец с отрицатель-ным произведением.
11. Под главной диагональю находится 1  2  3  ...  9  45 клеток (нечетное количество),
через которые должны пройти шашки. После каждого хода количество
этих клеток уменьшается на 2. Поэтому, количество не пройденных
клеток всегда нечетно. Значит, оно не может равняться нулю, то есть,
поставить все шашки на нижнюю горизонталь поставить не удастся.
Ответ: нельзя.
12. Если бы сумма расстояний от этих точек до точки A была равна сумме расстояний от
этих точек до точки B, то сумма разностей M k A  M k B для всех точек M k равнялась бы
нулю. Для любой точки М, не лежащей на отрезке АВ, разность расстояний до точек А и В
равна либо  AB , либо AB .
М
А
В
А
В
М
Сложим все такие разности и получим выражение, в котором 45 слагаемых вида  AB
или AB . Чтобы получить ноль, нужно иметь слагаемых каждого вида поровну. Но их
нечетное количество, поэтому сумма расстояний от этих точек до точки A не равна сумме
расстояний от этих точек до точки B.
13. Пересекая границу, барон перемещается то за пределы княжества, то внутрь. Таким
образом, происходит чередование. После нечетного числа пересечений границы барон должен
находиться за пределами княжества (см. также пример 11).
14. Каждая доминошка накрывает две клетки доски. Сколько бы доминошек ни положили
на доску, под ними окажется четное количество клеток, а на доске всего 49 клеток –
нечетное число.
Ответ: нельзя.
15. Для того, чтобы вернуться в исходную точку, нужно сделать столько же шагов вверх,
сколько и вниз, то есть четное количество. Количества вертикальных и горизонтальных
ходов одинаковы. То есть, общее количество ходов кратно 4, значит, улитка может вернуться
в исходную точку только через целое число ходов.
16. Если у какой-нибудь девочки соседи – девочки, то тогда все дети должны быть
девочками. Если же у какого-нибудь мальчика соседи – мальчики, то все дети должны быть
мальчиками. Поскольку это не так, мальчики и девочки чередуются. Следовательно, девочек
всего 5 и у Кати 4 подруги.
Ответ: 4.
17. Количество плюсов на доске всегда имеет одинаковую четность. Поэтому, если плюсов
сначала было нечетное количество, то в конце останется плюс, если же нечетное – то минус.
18. Количество бананов на каждом шаге либо остается неизменным, либо уменьшается на
два, то есть четность числа бананов все время одна и та же. Сначала бананов было 25 –
нечетное количество, в конце должен остаться один банан.
Ответ: банан.
19. Сумма всех записанных чисел сначала равна 21 и на каждом шаге увеличивается на
2. Поэтому, сумма всех чисел всегда будет нечетной, а значит, не разделится на 6. То есть,
все шесть чисел сделать равными не удастся.
20. Нельзя. См. пример 17.
21. Не всегда. При таких перестановках сохраняется четность номера места, на котором
стоит человек. Если, например, самый высокий человек стоял на месте с четным номером, то
он никогда не может переместится на место с номером 1.
22. Разность двух чисел имеет ту же четность, что их сумма. Инвариантом является
четность суммы всех чисел на доске. Сначала эта сумма была нечетной, значит, в конце она
тоже будет нечетной, поэтому нельзя добиться, чтобы на доске остались только нули.
23. На каждом шаге добавляется или убирается одинаковое количество звуков «а» и
«у». Поэтому разность между количеством звуков «а» и «у» в слове не меняется. Но в
слове «уау» звуков «у» больше, а в слове «ауа» - наоборот.
23. Пронумеруем деревья по кругу с 1-го по 6-е. Пусть, когда галка садится на дерево, ей
соответствует его номер. Рассмотрим сумму номеров галок на каждом шаге. Когда галка
перелетает на соседнее дерево, ее номер меняет свою четность. Если это делают две галки
одновременно, сумма номеров всех галок не меняется. Сначала эта сумма равна
1  2  3  4  5  6  21, то есть, нечетна. Если бы галкам удалось собраться на одном дереве с
номером х, эта сумма равнялась бы 6х, то есть, была бы четной, что невозможно.
Документ
Категория
Образование
Просмотров
452
Размер файла
252 Кб
Теги
четность
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа