close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Позиционная запись числа

код для вставки
ПОЗИЦИОННАЯ ЗАПИСЬ ЧИСЛА В ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧАХ
В олимпиадной практике постоянно встречаются задачи, связанные с числами. Часто для их
успешного решения удобно пользоваться позиционной записью числа, то есть использовать
представление числа выражением, состоящим из его цифр. Например, двузначное число с
цифрой десятков а и с цифрой единиц b можно записать в виде 10a  b . Обозначают его
так: ab . Для трехзначного числа аналогично можно записать: abc  100a  10b  c . Вообще,
число с любым количеством знаков можно представить в следующем виде:
a1a2 ...an1an  a1 10n1  a2 10n2  ...  an1 10  an . Если заданы некоторые соотношения между
числами, использующие условия, связанные с их цифрами, будем пользоваться такими
записями. Это поможет провести анализ ситуации. При этом, будем помнить, что имеем дело с
уравнениями или системами, переменные в которых – это цифры.
Пример 1. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если цифру десятков умножить на
2, а цифру единиц – на 3 и сложить оба произведения, то в сумме получится 29. Найти
это число.
Решение. Сумма цифр двузначного числа ab равна a  b  12 . По условию, 2a  3b  29 .
Решая систему из этих двух уравнений получаем, что a  7 , b  5 .
Ответ: 75.
Пример 2. Цифра десятков в записи некоторого двузначного числа втрое больше
цифры единиц. Если эти цифры переставить, получится число, меньшее данного на 36.
Найти исходное число.
Решение. Обозначим цифру единиц двузначного числа через х, а цифру десятков через
у. Запишем исходное число: yx  10 y  x . По условию y  3x . Значит, исходное число равно
yx  10 y  x  10  3x  x  31x . После
перестановки
цифр
получится
следующее:
xy  10 x  y  10 x  3x  13x . Разность этих чисел равна 36: 31x 13x  36 ; 18x  36 ; x  2 .
Тогда y  3x  6 .
Ответ: 62.
Пример 3. Двузначное число в 5 раз больше суммы своих цифр. Что это за число?
Решение. Пусть цифра десятков двузначного числа равна а, а цифра единиц – b. Тогда
двузначное число ab  10a  b в 5 раз больше, чем a  b . Отсюда получаем уравнение
10a  b  5a  5b или 5a  4b . Это одно уравнение с двумя переменными. Но эти переменные –
цифры и мы воспользуемся свойствами делимости. Левая часть последнего равенства делится
на 5, значит, и правая часть тоже делится на 5. Это означает, что b делится на 5 (так как 4
и 5 взаимно просты). Поскольку b – цифра, это может быть либо 0, либо 5. Если b  0 , то
a  0 и число ab не двузначное. Если b  5 , то a  4 , а искомое число – 45.
Ответ: 45.
Пример 4. Найти двузначное число, равное сумме цифры десятков и квадрата цифры
единиц.
Решение. Если исходное число равно ab , то, по условию, a  b 2  10a  b . Отсюда
bb  1  9a . Произведение двух последовательных чисел в левой части должно делиться
на 9, следовательно, b  9 , поскольку при b  1  9 , b  10 а это – не цифра.
Ответ: 89.
Пример 5. Первая цифра трехзначного числа равна 4. Если ее перенести в конец, получится
число, составляющее 3/4 от исходного. Найдите исходное число.
Решение. Трехзначное число 4bс  400  10b  c после перестановки цифр становится
3
равным bc4  100b  10c  4 . По условию,
0
1 0
 4 0 0b 1 c 0  b 1 . 0c Отсюда
4
или
число
равно
370b  37c  1184
10b  c  32 . Поскольку исходное трехзначное
400  10b  c , это число – 432.
Ответ: 432.
Пример 6. У некоторого трехзначного числа переставили две последние цифры и
сложили полученное число с исходным. Получилось четырехзначное число, начинающееся
на 173. Какой может быть последняя цифра этого числа?
Решение. Пусть исходное число - abc . Обозначим искомую цифру через х. Тогда, по
условию, abc  acb  173x . Полученное четырехзначное число начинается на 17. Отсюда
понятно, что a  8 (если a  8 , то первые две цифры суммы образуют число, не большее
15; если же a  8 , то первые две цифры суммы образуют число, не меньшее 18). Теперь
перепишем имеющееся равенство в виде: 800  10b  c   800  10c  b   1730  x , откуда
получаем уравнение 11 b  c   130  x . Поскольку х – цифра, правая часть последнего
равенства не меньше 130 и не больше 139. Это число должно также делится на 11.
Среди чисел от 130 до 139 всего одно такое число – 132. Значит, искомая цифра – 2.
Ответ: 2.
Пример 7. Некоторое трехзначное число после зачеркивания одной цифры уменьшилось
в 71 раз. Что это было за число?
Решение. Если в трехзначном числе abc зачеркнули цифру, получилось одно из трех
чисел ab , ac , bc . Рассмотрим каждую возможность. По условию
1) 100a  10b  c  71 10a  b  . Отсюда c  610a  61b . Исходное число – трехзначное, поэтому
a  0 . Но тогда с не может быть цифрой (правая часть равенства не меньше 610 ). Этот
случай невозможен.
2) 100a  10b  c  71 10a  c  . Отсюда b  61a  7c . Рассуждая так же, как в первом пункте,
получаем, что этот случай тоже невозможен.
3) 100a  10b  c  71 10b  c  . Отсюда 10a  70b  7c . Правая часть равенства делится на 7,
значит, левая часть – тоже. Тогда на 7 делится цифра а. Поскольку цифра а не равна 0,
a  7 . Тогда равенство перепишется в виде: 10  10b  c . Если b  2 , правая часть больше
левой. Если b  0 , то c  10 , но цифра не может равняться 10. Значит, b  1 , а c  0
Ответ: 710.
Упражнения для тренировки.
1. Найти двузначное число, равное сумме куба цифры десятков и квадрата цифры единиц.
2. Цифру 9, с которой начиналось трехзначное число, перенесли в конец числа. В
результате получилось число, которое на 216 меньше. Найти исходное число.
3. Найти трехзначное число, цифра десятков которого равна 5 и которое при перестановке
цифры сотен с цифрой единиц уменьшается на 594.
4. Найти четырехзначное число, которое читается одинаково слева направо и справа
налево, если сумма его цифр совпадает с числом, образованным первыми двумя цифрами.
5. Найти четырехзначное число, две средние цифры которого образуют число, в 5 раз
большее числа тысяч и в 3 раза большее числа единиц.
6. Если пятизначное число умножить на 9, то получится число, записанное теми же
цифрами в обратном порядке. Найти это число.
7. Шестизначное число оканчивается цифрой 2. Если эту цифру переместить в начало
числа, то получится число в 3 раза меньшее, чем первоначальное. Найти исходное число.
8. Шестизначное число начинается цифрой 7. Если эту цифру переместить в конец числа,
то получится число в 5 раз меньшее, чем первоначальное. Найти исходное число.
9. Найти трехзначное число, равное кубу цифры его единиц.
Решения упражнений для тренировки.
исходное число равно
ab , то, по условию, a 3  b 2  10a  b . Отсюда
bb  1  a 10  a 2 . Произведение двух последовательных чисел в левой части четно,
1. Если


следовательно, а – тоже четное. При этом a 2  10 . Значит, a  3 . То есть, a  2 , тогда b  4 .
Ответ: 24.
имеет
900  10a  b  100a  10b  9  216 , или
a  7; b  5 .
2.
По
условию,
число
вид
после
и
9ab
9ab  ab9  216 . Отсюда
10a  b  75 . Отсюда
преобразований:
Ответ: 975.
a5b
a5b  b5a  594 . Отсюда
имеет
вид
и
100a  50  b  100b  50  a  594 , или после преобразований: a  b  6 . Возможны четыре
3.
По
условию,
число
варианта: a  6; b  0 ; a  7; b  1 ; a  8; b  2 ; a  9; b  3 .
Ответ: 650; 751; 852; 953.
4. Запишем число в виде abba . По условию, 2a  2b  10a  b или b  8a . Отсюда a  1 ,
b 8.
Ответ: 1881.
5. По условию, две средние цифры образуют число, кратное 15. Тогда это 15, 30, 45, 60, 75,
или 90. Поскольку цифра единиц не более 9, единственно возможный вариант – это 15.
Тогда число равно 3155.
Ответ: 3155.
6. Понятно, что первая цифра числа – это 1 (если она больше 1, то при умножении на 9
число не останется пятизначным). После умножения на 9 получится пятизначное число,
начинающееся с 9. Значит, последняя цифра исходного числа – это 9. Тогда исходное
число
имеет
вид
1abc9 , а
полученное – 9cba1 . Из
условия
получаем
1abc9  9  9cba1. Используем
позиционную
запись
входящих
10000  1000a  100b  10c  9  9  90000  1000c  100b  10a  1. После
в
уравнение
него
чисел:
преобразований
получим: 899a  80b  8  91c . Правая часть этого равенства не превосходит 728 (с – цифра,
значит, c  9 ). Тогда a  0 , иначе левая часть не меньше 907. Получаем, что 80b  8  91c .
Левая часть полученного уравнения делится на 8, значит, c  8 , поскольку 91 взаимно
просто с 8. Следовательно, b  9 . Отсюда получаем ответ: 10989.
Ответ: 10989.
7. Обозначим пятизначное число, образованное первыми пятью цифрами исходного числа
через а. Тогда исходное шестизначное число можно записать в виде 10a  2 , а полученное
– в виде 200000  a . Из условия следует, что 10a  2  200000  a   3 . Решая полученное
уравнение, получаем, что a  85714 , а исходное число тогда равно 857142.
Ответ: 857142.
8. Обозначим пятизначное число, образованное последними пятью цифрами исходного
числа через а. Тогда исходное шестизначное число можно записать в виде 700000  a , а
10a  7 . Из условия следует, что 10a  7  5  700000  a . Решая
полученное уравнение, получаем, что a  14285 , а исходное число тогда равно 714285.
полученное – в виде
Ответ: 714285.
получаем: 100a  10b  c  c 3 . Отсюда
1010a  b  cc  1c  1 .
abc
Произведение в правой части должно делиться на 10, значит, какой-нибудь сомножитель
делится на 5. Учитывая, что с – цифра, не равная 0, получаем следующие варианты:
c  1  5 ; c  5 ; c  1  10 . Тогда искомое число равно 216, 125 или 729.
9. Для
числа
Ответ: 125, 216, 729.
Контрольное задание.
1. Найти двузначное число, которое равно утроенной сумме своих цифр.
2. Найти двузначное число, которое вдвое больше произведения своих цифр.
3. Найти все двузначные числа, которые от перестановки своих цифр увеличиваются на
36.
4. Найти трехзначное число, оканчивающееся нулем, если после отбрасывания этого нуля
оно уменьшится на 351.
5. Если между цифрами двузначного числа вписать это же двузначное число, то
полученное четырехзначное число будет больше первоначального в 77 раз. Найти это
число.
6. Найти двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и
числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке.
7. Найти двузначное число, сумма цифр которого равна 13, а разность между искомым
числом и числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке, оканчивается
цифрой 7.
8. Сумма цифр двузначного числа, сложенная с разностью цифры десятков и цифры
единиц, равна 10. Если между цифрами числа вставить 9, то число увеличится в 11 раз.
Найти первоначальное число.
9. Сумма цифр трѐхзначного числа равна 11, а сумма квадратов цифр этого числа равна
45. Если от искомого числа отнять 198, то получается число, записанное теми же
цифрами в обратном порядке. Найти это число.
10. Найти все трехзначные числа, которые в 25 раз больше суммы своих цифр.
11. Если в трехзначном числе с различными ненулевыми цифрами сложить все возможные
двузначные числа, образованные из цифр этого числа, то получится число, которое в два раза
больше исходного. Чему может равняться это число?
12. Первая слева цифра шестизначного числа 1. Если эту цифру переставить на последнее
место, то получится число в 3 раза больше первоначального. Найти первоначальное число.
Консультацию можно получить у учителя математики Потѐмкина Л.Л.
e-mail: potemkina@ukr.net
Документ
Категория
Образование
Просмотров
379
Размер файла
247 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа