close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

ДЕЛИМОСТЬ. ОСТАТКИ. ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ. МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА

код для вставки
ДЕЛИМОСТЬ. ОСТАТКИ. ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ.
МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА
(по материалам открытого лектория 28.02.2016 г. )
7 – 9 классы
1. Найдите все пары целых чисел x и y, удовлетворяющих уравнению x2 −6xy+5y 2 = 11.
2. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2, 3, 4 и 5 дает в
остатке 1, 2, 3 и 4 соответственно.
3. Последняя цифра натурального числа a, кратного 3, равна 8. Докажите, что число
a2 − 6a − 216 делится на 1800.
4. Дано простое число p > 5. Решите уравнение в натуральных числах: x2 = y 2 + 20p.
5. Может ли сумма кубов трех последовательных целых чисел быть равной сумме квадратов двух последовательных целых чисел?
6. Найдите все целые числа a, для которых число
a2 + 1
также будет целым.
a+2
7. Пусть x, y — целые числа такие, что 3x + 7y делится на 19. Докажите, что число
43x + 75y тоже делится на 19.
8. Докажите, что уравнение x3 − y 3 = 2010 не имеет решений в целых числах.
9. Решите уравнение в натуральных числах: 2xy + 3y 2 = 24.
10. Докажите, что число 354 − 327 · 212 + 224 составное.
11. Докажите, что для любого натурального n число 52n+1 + 3n+2 · 2n−1 делится на 19.
12. Докажите, что сумма квадратов десяти последовательных натуральных чисел не
может быть точным квадратом.
13. Докажите, что число n3 + 20n делится на 48 для любого четного натурального n.
14. Является ли число 10001001 + 10011000 + 1000500 · 1001501 точным квадратом?
15. Найдите все простые числа p, для которых все три числа p2 − 2, 2p2 − 1 и 3p2 − 10
также являются простыми.
16. Докажите, что из любых девяти целых чисел можно выбрать два, разность которых
делится на 8.
17. Найдите остаток от деления числа 3102 на 101.
18. Известно, что ни одно из десяти натуральных чисел не делится на 5. Докажите, что
сумма их четвертых степеней делится на 5.
19. Найдите все пары простых чисел p и q, удовлетворяющих равенству 3pq − 2q p−1 = 19.
20. 1) Пусть p 6= 3 — простое число. Докажите, что число |11 {z
. . . 1} не делится на p.
p единиц
2) Пусть p > 5 — простое число. Докажите, что число 11
. . . 1} делится на p.
| {z
p−1 единиц
Указания к решению задач
1. Разложите левую часть уравнения на множители.
2. Пусть N — искомое число. Рассмотрите, какие остатки по указанным модулям имеет
число N + 1.
3. Разложите число a2 − 6a − 216 на множители. Затем обоснуйте, что оно делится на
9 и на 200.
4. Перенесите y 2 в левую часть уравнения, затем разложите левую часть на множители.
5. Запишите исследуемое равенство в буквенном виде и раскройте скобки. Затем проанализируйте делимость левой и правой частей полученного равенства на 3.
6. Выделите целую часть исследуемой дроби.
7. Представьте выражение 43x + 75y в виде разности 19A − B(3x + 7y), где A и B —
некоторые целые числа.
8. Разложите левую часть уравнения на множители. Затем рассмотрите остатки от
деления обоих множителей на 3.
9. Перенесите 3y 2 в правую часть уравнения и выполните разложение на множители.
Затем проанализируйте делимость чисел x, y на 2 и 3.
10. Обозначьте a = 327 , b = 212 и выразите исследуемое число через a и b. Затем выделите
в полученном выражении полный квадрат.
11. Примените для доказательства метод математической индукции. Или воспользуйтесь тем, что 25 ≡ 6 (mod 19) и далее выполните цепочку сравнений.
12. Выразите исследуемую сумму в буквенном виде. Затем раскройте скобки и исследуйте полученное число на делимость на 5 и 25.
13. Разложите исследуемое число на множители. Затем докажите, что произведение
делится на 3 и на 16, исследуя возможные остатки от деления n на 3 и 4.
14. Найдите остаток исследуемого числа по модулю 7. Может ли квадрат натурального
числа иметь такой остаток по этому модулю?
15. Рассмотрите все возможные остатки числа p2 по модулю 7.
16. Рассмотрите остатки всех чисел по модулю 8. Могут ли они все быть различными?
17. Примените малую теорему Ферма к соответствующей степени.
18. Примените к каждой из степеней малую теорему Ферма.
19. Возможен ли случай p = q? В случае p 6= q примените малую теорему Ферма к
степеням, входящим в каждое слагаемое.
20. Выразите исследуемые числа через степени числа 10. Затем примените малую теорему Ферма по модулю p.
Документ
Категория
Образование
Просмотров
68
Размер файла
148 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа