close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

код для вставки
Управління освіти і науки виконкому Криворізької міської ради
Криворізька гімназія №49
Секція «Наробки з розв’язування геометричних задач з
планіметрії та стереометрії»
Фігурні числа та теорема Піфагора при
розв’язуванні діофантових рівнянь
Творчо-пошукова робота
учениці 9-А класу
Криворізької педагогічної гімназії
Євстігнєєвої Олександри
Максимівни
Науковий керівник –
Євстігнєєва Ольга Іванівна
м. Кривий Ріг
2016
2
ЗМІСТ
ВСТУП ..................................................................................................................... 3
ОСНОВНА ЧАСТИНА ........................................................................................ 5
1. Фігурні числа ....................................................................................................... 5
2. Використання фігурних чисел для розв’язування діофантових рівнянь ...... 7
3. Застосування теореми Піфагора для розв’язування діофантових рівнянь ... 9
4. Математичні цікавинки про діофантові рівняння ......................................... 11
ВИСНОВКИ ......................................................................................................... 14
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ ........................................................ 15
3
ВСТУП
Діофант представляє одну із найцікавіших особистостей в історії
математики. Ми не знаємо, ким був Діофант, точні роки його життя − не
відомі. Не відомі і його попередники, які працювали у тій же сфері, що й він.
Діофант практикувався у знаходженні розв’язків невизначених рівнянь
вигляду 
,
, або систем таких
рівнянь. Його цікавили тільки додатні цілі числа і раціональні розв’язки.
Ірраціональні розв’язки він називав «неможливими» і ретельно підбирав
коефіцієнти так, щоб отримати шукані додатні, раціональні розв’язки.
Тому, зазвичай, довільне невизначене рівняння (але, як правило, з
цілими коефіцієнтами) називають «діофантовим», якщо хочуть наголосити
на тому, що рівняння слід розв’язувати в цілих числах.
Оскільки не існує чіткого алгоритму для розв’язування діофантових
рівнянь, тому пошук їх коренів – це цікавий процес, що вимагає аналітичного
та нестандартного мислення, вміння застосовувати на практиці отримані в
процесі навчання знання.
Мета дослідження – визначити і науково обґрунтувати використання
фігурних чисел та теореми Піфагора при розв’язуванні діофантових рівнянь.
Об’єктом дослідження є процес розв’язування діофантових рівнянь
другого степеня за допомогою фігурних чисел та теореми Піфагора.
Предмет дослідження – діофантові рівняння другого степеня.
Для досягнення поставленої мети доцільно виконати ряд наступних
завдань:
1. Проаналізувати різні види фігурних чисел
2. Визначити використання при розв’язуванні діофантового рівняння
 2 −  2 = .
3. Виявити, обґрунтувати використання теореми Піфагора при
розв’язуванні діофантового рівняння  2 +  2 =  2 .
4. Знайти математичні цікавинки про діофантові рівняння.
4
Практичне значення дослідження полягає в тому, що знайдені факти
про використання фігурних чисел та теореми Піфагора для розв’язування
діофантових рівнянь та математичні цікавинки можна використовувати на
уроках математики, при підготовці до олімпіад, державної підсумкової
атестації, зовнішнього незалежного оцінювання та проведенні позакласної
роботи.
Робота складається зі вступу, основної частини, висновків, списку
використаних джерел.
5
ОСНОВНА ЧАСТИНА
1. Фігурні числа
Фігурним називається число, яке дорівнює кількості точок (кульок,
якихось довільних цілісних предметів), які утворюють певну правильну
геометричну фігуру.
Числа 3, 6, 10, 15, … називають трикутними (рис.1). Кожний
наступний елемент трикутної колони, яка представляє трикутне число,
більший від попереднього на одиницю. Число 3 є першим фігурним числом.
Воно єдине дорівнює сумі попередніх чисел: 3 = 1 + 2. Наступні трикутні
числа можна отримати так:
1 + 2 = 3;
1 + 2 + 3 = 6;
1 + 2 + 3 + 4 = 10;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.
Рис.1
Числа 4, 9, 16, 25, … називають квадратними (рис.2). Цікаво, що
кожне таке число є квадратом певного числа. Наприклад, 2² = 4; 3² = 9; 4² =
16; 5² = 25.
А ще послідовність квадратних (або їх ще називають чотирикутними)
чисел можна отримати із суми непарних чисел. Отже:
4 = 1 + 3;
9 = 1 + 3 + 5;
6
16 = 1 + 3 + 5 + 7.
Рис. 2
Крім трикутних і чотирикутних чисел, є ще числа п’ятикутні,
шестикутні (рис.3).
Рис. 3
З фігурними числами можна виконувати дії, при цьому отримане число
також фігурне (рис. 4). Наприклад, сумою фігурних чисел 9 і 16 є фігурне
число 25.
7
Рис. 4
Із цих чисел можна зобразити відомі «піфагорові штани» (рис. 5)прямокутний трикутник, на сторонах якого побудовані квадратні числа. Хто
й коли назвав цю фігуру «штанами», до цього часу невідомо.
Рис. 5
2. Використання фігурних чисел для розв’язування діофантових
рівнянь
Задача про відшукання m-кутно l-кутних чисел зводиться до
розв’язування діофантового рівняння другого порядку з двома невідомими і з
параметрами виду:  2 −  2 =  (рівняння Пелля), та аналізу розв’язків
такого рівняння.
Розглянемо приклади.
8
Приклад 1. Знайдіть усі прості числа, що задовольняють рівняння
х2 – 2у2 = 1.
Розв'язання
Оскільки х2 = 2у2 + 1— непарне, то й х − непарне. Нехай х = 2n + 1,
х  N. Тоді у2 = 2(п2 + п) – парне. Звідки у — парне число. Але існує єдине
парне просте число 2. Підставимо це значення в рівняння і знаходимо х = 3.
Отже, єдина проста пара, що задовольняє умову задачі — це (3; 2).
Приклад 2. Доведіть, що рівняння х2 - у2 = 2006 не має розв'язків у
цілих числах.
Розв'язання
Нехай такий розв'язок (х0; у0) існує. Тоді (х0 – y0 )(х0 + у0) = 2006.
Але числа (x0 – у0) та (х0 + у0) мають однакову парність. Тому їх
добуток — або непарне число, або число, кратне 4. Але 2006 — парне число,
не кратне 4.
Приклад 3.
x  y  402
2
2
Розв’язання:
Залишками від ділення квадратів цілих чисел на 4 можуть бути лише 0 або 1,
отже, різниця квадратів
 1,
x y
2
2
при діленні на 4 може давати задишка 0 або
з іншого боку залишок від ділення 402 на 4 дорівнює 2. Отже, дане
рівняння не має розв’язків в цілих числах.
Відповідь: не має розв’язків в цілих числах
Приклад 4. Довести, що рівняння
2x  5y  7
2
2
не має розв’язків в цілих
числах.
Розв’язання:
Знайдемо залишки від ділення на 4.
x
2
при діленні на 4 дає остачі 0 або 1, тоді
2x
2
y
2
при діленні на 4 дає остачі 0 або 1, тоді
5y
2
Різниця
2x  5y
2
2
дає остачі 0 або 2.
дає остачі 0 або 1.
при діленні на 4 дає остачі 0,1,2, а 7 при діленні на 4 дає
остачу 3. Тобто рівняння не має розв’язків в цілих числах.
9
Відповідь: не має розв’язків в цілих числах.
3. Застосування теореми Піфагора для розв’язування діофантових
рівнянь
Кожний трикутник, сторони якого відносяться, як 3 : 4 : 5, згідно із
загальновідомою теоремою Піфагора – прямокутний, оскільки 32 + 42 = 52 .
Крім чисел 3, 4, 5, існує як відомо, безліч цілих додатних чисел , , ,
які задовольняють відношення:
2 +  2 =  2 .
Числа , ,  називаються піфагоровими числами. Згідно з теоремою
Піфагора
такі
числа
можуть
служити
довжинами
сторін
деякого
прямокутного трикутника, тому  і  називають катетерами,  – гіпотенузою.
Зрозуміло, що якщо , ,  є трійкою піфагорових чисел, то і , , ,
де  – цілий множник, - піфагорові числа. І навпаки, якщо піфагорові числа
мають спільний множник, то на цей множник можна скоротити, і знову
отримаємо трійку піфагорових чисел.
Тому спочатку будемо досліджувати лише трійки взаємно простих
піфагорових чисел (решта отримається із їх множення на цілий множник ).
Покажемо, що в кожній із таких трійок , ,  один із катетів повинен
бути парним, а другий непарним.
Міркування проводитимемо від супротивного. Якщо два катета  та 
парні, то парним буде і число 2 +  2 , а значить і гіпотенуза . Це,
суперечить тому, що числа , ,  не мають спільних множників, так, як три
парні числа мають спільний множник 2. Таким чином принаймні один із
катетів повинен бути непарним. Дійсно, якщо катети мають вигляд 2+1 та
2+1, то сума їх квадратів рівна
4 2 + 4 + 1 + 4 2 + 4 + 1 = 4( 2 + + 2 + ) + 2,
тобто представляє собою число, яке при діленні на 4 дає в остачі 2. Між
іншим квадрат всякого парного числа повинен ділитися на 4 без остачі.
Значить, сума квадратів двох непарних чисел не може бути квадратом
10
парного числа, інакше кажучи, наші три числа не піфагорові.
Отже із катетів ,  один парний, а інший непарний. Тому число 2 +
 2 непарне, а значить непарна і гіпотенуза .
Припустимо, для визначеності, що непарним є катет , а парним . Із
рівності
2 +  2 =  2 .
ми легко отримаємо:
2 =  2 −  2 = ( + )( − ).
Множники  +  та  − , правої частини рівності, взаємно прості.
Дійсно, якщо б ці числа мали спільний множник, відмінний від одиниці, то
на цей множник ділилась би і сума
( + ) + ( − ) = 2,
І різниця
( + ) − ( − ) = 2,
І добуток
( + )( − ) = 2 ,
Тобто числа 2, 2, і  мали б спільний множник. Так як  непарне, то
цей множник відмінний від двійки, і тому цей же множник мають числа , ,
, чого бути не може.
Отримана суперечність показує, що числа  +  і  −  взаємно прості.
Але якщо добуток взаємно простих чисел є точним квадратом, то
кожне із них є квадратом, тобто
 +  = 2 ,
{
 −  = 2 .
Розв’язавши цю систему, знайдемо:
2 + 2
2 − 2
=
, =
,
2
2
2 = ( + )( − )і = 2 2 ,  = .
Отже розглядувані піфагорові числа мають вигляд
11
2 − 2
2 + 2
 = ,  =
, =
,
2
2
Де  та  – деякі взаємно прості непарні числа. Легко впевнитись в
тому, що при будь яких таких ,  ми отримаємо трійки піфагорових чисел.
Розглянемо деякі піфагорові трійки, отримані при певних значеннях  та :
 = 3,  = 1 32 + 42 = 52
 = 5,  = 1 52 + 122 = 132
 = 7,  = 1 72 + 242 = 252
 = 9,  = 1 92 + 402 = 412
 = 11,  = 1 112 + 602 = 612
 = 13,  = 1 132 + 842 = 852
 = 5,  = 3 152 + 82 = 172
 = 7,  = 3 212 + 202 = 292
 = 11,  = 3 332 + 562 = 652
 = 13,  = 3 392 + 802 = 892
 = 7,  = 5 352 + 122 = 372
 = 9,  = 5 452 + 282 = 532
 = 11,  = 5 452 + 282 = 532
 = 13,  = 5 652 + 722 = 972
 = 9,  = 7 632 + 162 = 652
 = 11,  = 7 772 + 362 = 852
Всі інші трійки піфагорових чисел або мають спільні множники, або
містять числа більше ста.
4. Математичні цікавинки про діофантові рівняння
Вміння розв’язувати діофантові рівняння дає можливість виконати
наступний математичний фокус.
Якщо помножити дату свого дня народження на 12, а номер місяця на
31 і знайти суму, то за такою сумою можна визначити дату народження.
Якщо, наприклад, задумана дата – 9 лютого, то наступні дії будуть
такими:
12
9 ∙ 12 = 108,
2 ∙ 31 = 62,
108 + 62 = 170.
За останнім числом 170 потрібно визначити задуману дату.
Задача зводиться до розв'язку рівняння з двома невідомими
12 + 31 = 170
у цілих, додатних числах, причому число місяця  не більше 31, а номер
місяця  не більше 12.
=
170 − 31
2 + 5
= 14 − 3 +
= 14 − 3 + ,
12
12
2 + 5 = 12,
=
−2 + 12
1−
= 2 − 2
= 2 − 21 ,
5
5
1 −  = 51 ,
 = 1 − 51 ,
 = 2(1 − 51 ) − 21 = 2 − 121 ,
 = 14 − 3(2 − 121 ) + 1 − 51 = 9 + 311 .
Знаючи, що 31 ≥  > 0 і12 ≥  > 0, знаходимо межі для 1 :
−
9
1
< 1 <
31
6
Отже 1 = 0, =9, =2.
Таким чином, дата народження 9-те число другого місяця, тобто 9
лютого.
Про складність діофантових рівнянь можна судити з такої події.
1900 року на Міжнародному математичному конгресі, що відбувся в
Парижі, німецький математик Д. Гільберт зробив доповідь, у якій, зокрема,
сформулював 23 проблеми. Згодом вони
увійшли в історію науки як
проблеми Гільберта. Під номером 10 було сформульовано проблему про
діофантові рівняння: чи можна побудувати такий алгоритм, щоб за його
допомогою про кожне діофантове рівняння дістати відповідь — чи розв'язне
воно в цілих числах. Цю проблему 1972 року розв'язав радянський
13
математик Ю. Матіясевич. Відповідь негативна — десята проблема
Гільберта нерозв'язна. Це означає, що не тільки немає способів розв'язання
діофантових рівнянь у загальному випадку, а навіть більше — немає такого
алгоритму, користуючись яким можна було б про будь-яке діофантове
рівняння сказати: чи має воно розв'язки в цілих числах.
14
ВИСНОВКИ
В даній творчо-пошуковій роботі розглянуто практичне використання
фігурних чисел та теореми Піфагора при розв’язуванні діофантових рівнянь.
Розв’язування діофантових рівнянь - одна з найдавніших математичних
задач. Однак, незважаючи на те, що систематичне вивчення таких рівнянь
започатковане ще давньогрецьким математиком Діофантом у III столітті,
важливих успіхів у дослідженні діофантових рівнянь було досягнуто лише у
ХХ столітті.
В творчо-пошуковій роботі досліджено стан проблеми в науковій,
навчально-методичній
літературі.
У
результаті
дослідження
були
обґрунтовані основні теоретичні засади діофантових рівнянь другого
степеня, представлені рівняння, що розв’язуються за допомогою фігурних
чисел та теореми Піфагора. Також були підібрані різні приклади, що
демонструють розв’язування діофантових рівнянь другого степеня.
Встановлено зв’язок діофантових рівнянь другого порядку з двома
невідомими із задачею про відшукання m-кутно l-кутних фігурних чисел.
Розв’язано діофантові рівняння для відшукання m-кутно l-кутних
чисел. В результаті аналізу знайдених розв’язків з’ясовано, що не всім
розв’язкам діофантового рівняння відовідають фігурні числа.
Знайдені факти про використання фігурних чисел і теореми Піфагора
для розв’язуванні діофантових рівнянь та математичні цікавинки можна
використовувати на уроках математики, при підготовці до олімпіад,
державної підсумкової атестації, зовнішнього незалежного оцінювання та
проведенні позакласної роботи.
15
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1.
Грохольська А.В. Невизначені рівняння. / А.В. Грохольська
// Математика в школі. – 2003. - №5. – с.36-43.
2.
Лимаренко О.М. Діофантові рівняння. / Лимаренко О.М.,
Ушаков І.П. // У світі математики. – 2001. – т. 7., В.2. – с.37-43.
3.
Мазорчук В.С. Розв’язність класу рівнянь в цілих числах.
/ В.С. Мазорчук // У світі математики. – 1998. – т.4, В.1. – с.46-48.
4.
Плис Т.В. Вивчення діофантових рівнянь у шкільному курсі
алгебри. / Т.В. Плис // Математика в школах України. – 2006. – №35. – с. 2124.
5.
Рижков М. О. Матеріали для факультативних занять, спецкурсів,
гуртків. / М.О. Рижков – Х.: Основа, 2008. –95 с.
6.
Черепинський О.А. Розв’язування рівнянь у цілих числах /
О.А. Черепинський // Математика. – 2005. – №29-30. – с.22-26.
7.
Вільна енциклопедія «Вікіпедія» [Електронний ресурс]. - Режим
доступу: http://uk.wikipedia.org/wiki/Діофантові рівняння.
8.
Диференціальні рівняння [Електронний ресурс]. - Режим доступу:
http://diofant.com.ua/index.php.
Автор
sudarinya_324512
Документ
Категория
Образование
Просмотров
76
Размер файла
254 Кб
Теги
робота
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа