close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

102.Математика Методические указания и контрольные работы для слушателей подготовительных курсов

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Центр довузовского и дополнительного образования
Математика
Методические указания и контрольные работы
для слушателей подготовительных курсов
Ярославль 2005
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 51(075)
ББК В1я729
М 34
Составитель И.Н. Рябикова
М 34
Математика: Методические указания и контрольные работы для
слушателей подготовительных курсов / Сост. И.Н. Рябикова ; Яросл.
гос. ун-т. – Ярославль: ЯрГУ, 2005. – 24 с.
Предлагаемые обучающимся на заочных подготовительных курсах
ЯрГУ контрольные работы по математике содержат в основном задачи
вступительных экзаменов в Ярославском университете. По возможности задачи следуют друг за другом в порядке возрастания их трудности,
но в первую очередь выдерживается общепринятая в школьной справочной литературе последовательность рассмотрения материала.
УДК 51(075)
ББК В1я729
© Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 2005
© И.Н. Рябикова, 2005
Учебное издание
Математика
Методические указания и контрольные работы
для слушателей подготовительных курсов
Составитель Рябикова Ирина Николаевна
Редактор, корректор А.А. Аладьева
Компьютерная верстка И.Н. Ивановой
Подписано в печать 10.11.2005. Формат 60х84/16. Бумага тип.
Усл. печ. л. 1,39. Уч.-изд. л. 1,1. Тираж 500 экз. Заказ
.
Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе ЯрГУ.
Ярославский государственный университет
150000 Ярославль, ул. Советская, 14
Отпечатано ООО «Ремдер» ЛР ИД № 06151 от 26.10.2001.
г. Ярославль, пр. Октября, 94, оф. 37 тел. (0852) 73-35-03.
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предисловие
Предлагаемые обучающимся на заочных подготовительных курсах ЯрГУ контрольные работы по математике содержат в основном
задачи вступительных экзаменов в Ярославском университете. По
возможности задачи следуют друг за другом в порядке возрастания
их трудности, но в первую очередь выдерживается общепринятая в
школьной справочной литературе последовательность рассмотрения
материала. Поэтому, кроме своего обычного учебника, рекомендуется
использовать любой справочник по математике для школьников, чтобы повторить известный материал в форме компактно сформулированных сведений.
Часть задач (например, № 10 и № 13 в Контрольной работе № 1)
носит вспомогательный, направляющий характер. Не откладывайте
выполнение заданий. Даже если задача “не получается”, лучше изложить свои соображения и сомнения по ее поводу, чтобы проверяющий мог точнее корректировать ваши действия. Не нужно бояться
ошибиться на этапе подготовки, - меньше ошибок будет на экзамене.
Письменный экзамен по математике обычно содержит 5 – 7 заданий различной сложности, большая часть которых требует привлечения знаний сразу нескольких разделов программы. Поэтому сдающим
письменный экзамен следует решать как можно больше самых разнообразных задач. В качестве Контрольных работ № 9 и № 10 приведены примеры вариантов письменного экзамена на различных факультетах ЯрГУ.
Контрольная работа № 1
Начните с повторения тождеств сокращенного умножения, так
как без их применения не обходится решение почти ни одной алгебраической задачи.
Наиболее рациональный подход к решению первых двух задач
состоит, кроме того, не только в использовании теорем о делимости
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
суммы и произведения натуральных чисел, но и в применении очевидного свойства последовательности натуральных чисел:
1;2;3;4;5;6;7;8;9;10; ... n; ... ,
в которой каждое второе число делится на 2, каждое третье – на 3,
каждое четвертое – на 4 и т.д. Применяйте знак делимости без остатка “  “.
1. Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9 без остатка.
2. Доказать, что если сумма четырех идущих подряд натуральных
чисел делится на 5, то ни одно из них на 5 не делится.
3. Упростите выражение, грамотно применяя определение и
свойства корня четной степени:
 х +1 х −1
х + 1   х + х2 − 1 х − х2 − 1 
+
−
.

 : 
2
2
2
х − 1   х − х − 1 х + х − 1 
 х −1 х +1
4. При каком значении параметра (т.е.буквенного коэффициента)
k многочлен х2 +2(k-9)x+k2+3k+4 является полным квадратом?
5. Доказать справедливость равенства а3 +в3 +с3 =3авс для случая
а+в+с=0.
6. Выразите значение величины x4+y4+z4, если x+y+z=0 и
x2+y2+z2=A.
Повторите свойства многочленов с одной переменной и целыми
коэффициентами:
а) Два таких многочлена равны тогда и только тогда, когда равны
их коэффициенты при одинаковых степенях переменной.
б) Число a является корнем многочлена тогда и только тогда, когда многочлен делится без остатка на (х-a).
в) Количество возможных корней многочлена не превышает его
степени.
г) Любой многочлен 3-й и выше степени (с целыми коэффициентами) разложим на множители не выше 2-й степени (с действительными коэффициентами).
д) Если приведенный многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена. Если неприведенный многочлен имеет рациональные корни m/n, то m - это делитель свободного
члена, n - делитель старшего коэффициента.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Найдите такие действительные числа а и b, чтобы равенство
3х
а
b
=
+
х2 + х − 2 х − 1 х + 2
выполнялось тождественно (т. е. при всех допустимых значениях х).
8. При каком значении р многочлен х4 + 3х3 + 4х2 + рх + 11 без
остатка делится на двучлен х+1?
9. Найти значения параметров a и b, если известно, что х1= –1 и
х2=2 являются корнями уравнения х4–2х3+aх2+14х+b = 0. При найденных значениях a и b определить остальные корни этого уравнения.
10. Разложить на множители:
а) у5+у4+у3+у2+у+1;
б) х4+х3-7х2-х+6.
11. Три различных числа а, в, с удовлетворяют соотношениям
а +ma+n=0; в3+mв+n=0; c3+mc+n=0. Найти а+в+с.
12. Решите уравнения с целыми коэффициентами:
3
а)х4+4х3+7х2+6х+2=0;
б)х3-5х2+8х-4=0;
в)2х3+7х2-28х+12=0;
г)2х4+7х3+6х2+7х-6=0.
13. Докажите и запомните:
а) В треугольнике медиана равна половине той стороны, которую
она делит пополам, тогда и только тогда, когда треугольник - прямоугольный.
б) Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
14. На стороне ВС параллелограмма АВСD выбрана такая точка
Е, что ВЕ/ЕС = 2. Известно, что четырехугольник АЕСD таков, что в
него можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Найти угол ВАD.
15. На продолжениях сторон АВ, ВС, СD и DА четырехугольника
АВСD построены точки: М, N, P, R - такие, что АВ=ВM, ВС=СN,
СD=DP, DА=АR. Найти отношение площадей четырехугольников
АВСD и МNРR.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контрольная работа № 2
1. Первая труба наполняет бассейн, а через вторую трубу вода
вытекает. Если наполнить бассейн и сразу слить всю воду, то потребуется 15 часов. При одновременном действии двух труб вода из
полного бассейна вытечет через 10 часов. За сколько часов бассейн
наполнится через первую трубу, если вторая труба будет закрыта?
2. Имеется три сплава: первый содержит 20% меди и 20% олова,
второй соответственно 20% и 50%, третий - 30% и 10%. Какое количество каждого сплава надо взять, чтобы получить 600 кг сплава с содержанием меди 25% и олова 25%?
3. Три трактора различной производительности могут вспахать за
один день в два раза больше, чем первый и второй тракторы вместе.
Сколько процентов производительность второго трактора составляет
от производительности первого, если известно, что первый и третий
тракторы вместе вспашут за три дня такую же площадь, какую второй
вспашет за 18 дней?
4. Рабочий день уменьшился с 8 до 7,5 часов. На сколько процентов необходимо увеличить производительность труда, чтобы при тех
же расценках заработная плата возросла на 20%?
5. Решите рациональные уравнения:
2
2
7
4
3
 х   х + 1  17
− 2
= 2
; б) 
a) 2
 +
 =
4
х + 3х − 10 х − 4 х + 7 х + 10
 х +1  х 
в) (х+5)4 -13(х+5)2·х2 +36х4 =0;
г) х3 +4=3х2;
д) (х-4)(х-5)(х-6)(х-7)=1680;
е) х4+6х3+5х2-12х+3=0;
1
1
+2(х+
) = 6.
х2
х
6. При каких значениях параметра k уравнение
(2k+1)х2+3(k–1)х–k+1=0 имеет единственное решение?
7. При каких значениях параметра a отношение корней уравнения
(2а–1)х2+(5а+1)х+3а+1=0 равно 3:2?
8. Решить уравнение с параметром a (то есть найти решения этого уравнения при всех допустимых значениях параметра):
х+а х−а
а
+
= 2
а − х а + х а − х2
6
ж) х2 +
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. Решите системы рациональных уравнений:
2
2
3
3
 х + y + x + y = 8
 х + y = 1
б)  2
а)  3
3
2
2
2
х
+
y
+
x
y
+
xy
=
15

 x y + y x = 1
 х 2 − xy + y 2 = 21
в)  2
 y − 2 xy + 15 = 0
 х 2 − y 2 + 3 y = 0
г)  2
2
 х + 3xy + 2 y + 2 x + 4 y = 0
10. При каких значениях параметра m система
mх + 2 y = 2m

3 х + 4 y = 7
а) имеет единственное решение;
б) не имеет решений;
в) имеет бесконечное множество решений?
11. При каких значениях параметра а система
 х2 + y 2 = z

 х + y + z = 2a
имеет единственное решение? Найти это решение при вычисленном
значении параметра.
12. Решите иррациональные уравнения и системы:
а)
x 2 + 3x − 7 = x + 2 ;
б)
2 + x + 5 2 x 2 + 3x + 2 = 2 ;
в)
x + 8 − 5 x + 20 + 2 = 0 ;
г)
x + x − 1 − x = 1;
 x 2 − 2 y + 3 x 2 − 2 y = 4
е) 
д)
2
 x + 4 y = 19
 2 x − 1 + y + 3 = 3
ж) 3 3x − 1 − 3 6 − x − 3 2 x + 5 = 0 ; з) 
.
2 xy − y + 6 x = 7
13. Найти площадь параллелограмма, у которого две высоты равны 5 см и 6 см, а угол между высотами равен 300.
14. В треугольник АВС вписана окружность с центром в точке О.
Найти стороны АВ и ВС треугольника, если АС = 16 см, ОА = 6 см,
ОС = 14 см.
15. Чему равна сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса R?
1+ x 1
+ = 5;
x
x
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контрольная работа № 3
1. Если неизвестное двузначное число разделить на число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то в частном получится 4 и в остатке 3. Если же искомое число разделить на сумму его
цифр, то в частном будет 8, а в остатке 7. Найти число.
2. Два человека одновременно начали спускаться по движущемуся вниз эскалатору метро, причем один шел вдвое быстрее другого.
Один из них насчитал 60 ступенек, а второй - 40. Сколько ступенек
пришлось бы им отшагать по неподвижному эскалатору?
3. Одновременно зажигаются три свечи, длина каждой из которых в процессе сгорания уменьшается со своей постоянной скоростью. Первоначально длины первых двух свечей одинаковы, а третья
свеча длиннее каждой из них на 6 см. В тот момент, когда сравнялись
длины третьей и второй свечей, каждая из них была на 2 см короче
первой свечи. Определить, на сколько первая свеча была длиннее
второй в тот момент, когда третья и первая свечи имели одинаковую
длину.
4. Из пункта А в пункт В в 10 часов утра вышел турист. В полдень из пункта А вслед за туристом выехали велосипедист и мотоциклист, причем мотоциклист двигался со скоростью, втрое превышающей скорость велосипедиста. Прошло не более четверти часа, как
мотоциклист обогнал туриста. Велосипедисту же, чтобы догнать туриста, потребовалось не менее 45 минут после обгона туриста мотоциклистом. Найти время прибытия мотоциклиста в пункт В, если известно, что турист, двигаясь безостановочно, пришел в пункт В в 16
часов.
При решении неравенств следите за строгим соблюдением их
свойств (нельзя в неравенстве освобождаться от знаменателя неизвестного знака; обе части неравенства можно возводить в четную
степень (извлекать корень четной степени, логарифмировать) только
при условии положительности этих обеих частей неравенства).
5. Решите рациональные алгебраические неравенства:
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
а) 10 < х – 8х + 25 < 18;
1+ x
x2 − 7
б) 2
≤ 2;
≥ 0 ; в) −3 <
x − 6 x + 16
1− x
x +1
x −1
;
+2>
x −1
x
4
3
2
д) х – 2х – 2х + 3х – 10 < 0.
6. При каких значениях параметра m сумма кубов корней уравнения 2х2 + 2mх + 5m – 6 = 0 отрицательна?
7. При каких значениях параметра а уравнение
(а – 3)х2 – 2(3а – 4)х + 7а – 6 = 0 имеет положительные корни?
8. При каких значениях параметра а неравенства выполняются
тождественно:
x 2 + ax + 2
2
а) (а – 2)х + 2(2а – 3)х + 5а – 6<0;
б) −1 < 2
<2
x −x+2
9. Найти все значения параметра а, для которых множество решений системы неравенств
 x 2 − x + a − a 2 ≤ 0
 2
2
 x + (2a − 7) x + a − 7 a + 12 ≤ 0
является отрезком длиной 1.
г)
Некоторые действия над уравнениями и неравенствами (возведение обеих частей в четную степень; извлечение четного корня; логарифмирование и потенцирование) могут изменить исходное множество решений задачи. Поэтому после совершения такого действия для
соблюдения равносильности (в первую очередь при решении неравенств, т.к. невозможна проверка) следует задаваться вопросом: сохранилась ли информация, содержавшаяся в условии (о подкоренном
выражении; знаке правой части неравенства; логарифмируемой величине и т.п.)? Если такая информация не сохранилась, восстанавливаем ее добавлением соответствующего неравенства.
10. Решить иррациональные неравенства:
а)
x2 + 4х + 9 > 3 ;
б) ( x 2 − 5) x 2 + 2 x − 3 ≤ 0 ;
в)
2x + 3 < x + 1;
г)
2− x > x;
д)
24 − 2 x − x 2
< 1;
x
е)
1− x 1
x
2
−
≤
x
3 1− x 3
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. Тангенс одного из углов прямоугольного треугольника равен
0,75. Найти отношение площадей вписанного и описанного кругов.
12. Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в
точке О. Окружность радиуса R с центром в точке О проходит через
вершину В, касается стороны АС и пересекает сторону АВ в точке К
так, что ВК:АК=5:1. Найти ВС.
13. В окружность радиуса R вписана трапеция с острым углом
0
60 , диагональ которой образует с основанием угол 450. Найти боковую сторону и площадь трапеции.
Контрольная работа № 4
При решении уравнений и неравенств, содержащих модуль, в
большинстве случаев следует опираться на его определение. Но если
модуль сравнивается с числом (то есть неизвестные величины находятся только под знаком модуля), лучше использовать его геометрический смысл, что дает возможность решить задачу быстрее:
 f ( x) = a
f ( x) = a ⇔ 
, a>0
f
(
x
)
a
=
−

f ( x) < a ⇔ −a < f ( x) < a , a > 0
 f ( x) > a
f ( x) > a ⇔ 
, a>0
f
x
a
(
)
<
−

1. Решить уравнения и неравенства:
2x −1
│ > 2;
x+2
а) │х2–4х–8│= 4;
│2х2–8х–5│<5; │
б) │3х+5│>5х – 4;
│х – 1│ + х2 > х + 15;
в) │3х – 8│+│9 – 2х│–│х+4│=3х; │4х–2│–│3–4х│+│1–х│ ≤ х+3;
г) │х2+2│х│–3│= х2+2х;
е) x + 1 >
д) │3–│2–5х││>│2–х│;
3
.
x − 1 −2
При построении графиков функций используйте правила их преобразования. Если построен график исходной функции у=f(х), то:
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) у=f(х)+с означает его сдвиг вдоль оси OY на величину "с" со
своим знаком;
2) у = f(х+с) - сдвиг вдоль оси OХ на величину "с" с противоположным знаком;
3) у = │f(х)│ - отражение части исходного графика из нижней полуплоскости в верхнюю;
4) у = f(│х│) строится поэтапно: а) построить у = f(х) только для
х ≥ 0 (то есть только в правой полуплоскости); б) дополнить построенное его отражением в левую полуплоскость.
В случаях, не подпадающих под правила 3 и 4, используется определение модуля.
2. Построить графики функций:
а) у = │2х + 7│; у = │х│– 4; у =│5–3│х││;
б) y =
x+3
;
2− x
y=
2x
x −1
;
y=
x+4
;
x+3
в) у =│х2+4х – 5│; у = х2 – 5│х│ + 6;
x−2
.
x−2
3. Указать на плоскости множества точек с координатами (х;у),
для которых выполняются соотношения:
г) у = х +│х – 1│ +
а) х + │х│ = у + │у│;
б)│у│ = х│х│;
в) lg(ху)2=0;
г) logхy>0;
x
4. Дан график функции у = х +
и точка (1;0). Сколько прямых
x
можно провести через эту точку так, чтобы они не пересекали заданный график?
5. Отличаются ли один от другого графики функций:
а) у = lgх2 и у = 2lgх?
б) у = 2log2(x-1) и у = х – 1?
6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
у = │3х – 6│–│х + 1│+│2х + 4│ на промежутке [–2;3].
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости
неравенством: │у – 0,5х2│+│у + 0,5х2│ ≤ 2 + х.
8. Сколько решений имеет уравнение │х – 1│+│х – 3│ = а при
различных значениях параметра а?
9. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
││2х│–4│ = х + а имеет не менее трех корней, и значения параметра, при которых это уравнение имеет ровно три корня. Во втором
случае указать эти корни.
10. Найти множество всех значений параметра р, при которых
уравнение
x2
2
+р
│3 + 2х – х │+ х =
2
имеет ровно два различных корня.
11. При каких значениях параметра а уравнение
│2х + 3 – а│ = 2 имеет ровно два различных корня?
12. Что больше:
а) log65 или log23?
б) log0,5(2/3) или log50,5?
в) log49 или log925?
13. Вычислите:
а) log2log2 14 2 2 2 ;
б) 2
log 2 3
−3
log3 2
;
в) log35, если log62 = а и log65 = b.
14. Доказать, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей
равна сумме квадратов его сторон.
15. Дан ромб АВСД. Точка М - середина стороны АД. МВ = 4 см,
МС = 8 см. Найти площадь ромба.
16. В равнобедренном треугольнике периметр равен 2р, а угол
при основании - α. Найти радиус круга, вписанного в этот треугольник.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контрольная работа № 5
1. Решите показательные уравнения:
x2 −2
x 2 −2
а) 3x+3x+1+3x+2=5x+5x+1+5x+2;
б) 4 x−
в) 4x+6x=9x;
г) ( 3 + 8 ) x + ( 3 − 8 ) x = 34 ;
д) x − 3
3 x 2 −10 x +3
3 x −5
x −2
= 1;
е) 2
x +1
− 12 ⋅ 2 x−1−
+1 = 3⋅ 2
+ 8 = 0;
2x
3
2 x −5
x−2
= 10 + 3 ⋅ 2 ;
з) 4(4│х│-1)+ 41-│х│=13.
ж) 2
2. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
х
4 –а2х+1+а2–2а+1=0 имеет ровно один корень, и для каждого из таких
а найти этот корень.
3. Решите логарифмические уравнения:
а) log4(2log3(1 + log2(1 + 3log2х))) = 0,5;
б) lg2x = 2lg(4x – 15);
в) log16x + log4x + log2x = 7;
г) logх-1(х2 – 5х + 7) = 1;
д) logх2 – logх3 = 4;
е) logх(х + 2) + logх + 2х = 2,5;
ж) log4(х + 12)·logх2 = 1;
з) log x+3 (3 − 1 − 2 x + x 2 ) = 0,5 ; и) 1 + log 2 x + 4log 4 x − 2 = 4 ;
к)
log x 5 5 + log 5 5 5 × log
5
x = − 6.
4. При каких значениях параметра а расстояние между корнями
уравнения logax + 8logax³x = 3 меньше 1,5?
5. Решите уравнения и системы уравнений:
x
x
а) 5lgx – 3lgx+1 = 3lgx–1–5lgx–1;
б) 57 = 75 ;
в) хlgx–2 = 1000;
г) х2lg³x–1,5lgx = 10 ;
д) log2(10-2х)+│х│=4;
е) log 3 x / 3 3 − log 3 x 9 + log x 3 3 = 0 ;
 xy = 40
ж)  lg y
x = 4
 y x = x y
x > 0; y > 0.
з)  y
9x
 y = x
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Найдите решения показательных и логарифмических неравенств:
28
;
3
а) 52х>5х+2;
б) 9
в) 2 ⋅ 52х<3·10х+5·4х;
г) 2х+2│х│ ≥ 2 2 ;
д) lg2(х+3) – 2lg(х + 3) – 3>0;
е) log2log1/3log5x>0;
ж) log
x
x<
20
− log x2 x ;
x2
x 2 −3
+3<3
x 2 −3
⋅
з) (log1/2х+1)2 – 2│log1/2х + 1│<0;
и) log2x+log3x>1;
к) х log 2 х+1 > 4 х ;
л) (х+1)х²–6х+8>1;
м) logх(х³+1)·logх+1х>2;
2lg x − lg х + 1
>0
о) log 2
( x / 3) > 0 .
2 x −7 x + 6
16 x 2 − 8 x + 1
7. Найти область определения функции
5x − x2
y=
.
log 0,3 log 2 x − 2
8. Найдите все значения параметра р, для которых неравенство
х
4 – р·2х – р + 3 ≤ 0 имеет хотя бы одно решение.
9. Найти координаты центра окружности, описанной около треугольника, заданного координатами своих вершин: А(1;0), В(0;5),
С(4;2).
10. Две окружности радиусов 20/3см и 15/4см внешне касаются в
точке О. К окружностям проведена общая касательная АВ, где А и В точки касания. Найти стороны треугольника АВО.
11. В прямоугольнике АВСD на стороне АD выбрана точка Р, а
на стороне DС - точки Е и М и проведены отрезки АЕ и РМ. Известно, что АD=12см, СD=17см, DЕ=5см, отношение периметров треугольников DРМ и DАЕ равно 5:12, а отношение их площадей равно
25:144. Найти расстояние между центрами окружностей, описанных
около треугольников DМР и DАЕ.
н)
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контрольная работа № 6
1. Построить графики функций:
а) у=2cos(x/3 + π/6);
б) у=ctg│х│;
в) y = 2log2 sin x ;
г) у=lgtgx;
д) у=│π/3-arctgx│;
е) у=cos(arccoslog0,5х);
ж) у=│sinx│+│cosx│.
2. Вычислить:
а)
1 − tg 2
tg
π
π
cos 2 37 − sin 2 23
б)
;
cos14
8;
8
1
г) sin(2arcsin );
3
д) arcsin(sin10);
е) cos(arctg3).
3. Если в треугольнике для его углов А и В выполняется соотношение
sin A
A+ B
= tg
,
cos B
2
то треугольник - либо равнобедренный, либо прямоугольный. Доказать.
4. Найти решение уравнения 2cos2x + 5sinx + 1 = 0, для которого
cosx > 0 и которое расположено в промежутке [-π;π].
5. Решите тригонометрические уравнения:
в) cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7);
2
 2х 3 
а) 1 + sinx·cosx – sinx – cosx = 0; б)  −  cos x − cos x = 0 ;
 π 4
г) sin-4x – 4sin-2x – 16ctgx = 12;
в) sinx+sin2x = 2;
д) (5sin2x–3sinx·cosx+6cos2x–4) × 3x − x 2 − 2 = 0 ;
е) 3 cos(x/2)+3sin(x/2)=3; ж) 5(sinx+cosx)2–13(sinx+cosx)+8=0.
6. Найти все решения уравнения
( 12 2 + 17 − 2 3 − 2 2 ) 2cos x = 1/ 5 , удовлетворяющие условию tgx<0.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Доказать, что уравнение 2sinx – 2sin15x ⋅ cosx – 3 = 0 не имеет
решений.
8. Решите уравнения:
а) sin3x·sin3x+cos3x·cos3x = cos34x;
б)
cos 2 x + (6 + 3)cos x + 3 3 + 1
= 0;
cos 2 x − 3sin x + 1
в) cos(π x )+cos(2π x ) = sin(π x )+sin(2π x );
г) cos2x+cos22x = cos23x;
д) sin5x +
е) 6tgx + 5ctg3x = tg2x;
ж) sin-4x + sin4x = 1 – cos2x – 2sin22x;
3 cos5 x = 2sin7x;
з) sinx+1+cos3x = cosx + sin2x+cos2x;
и)
cos5 x + sin 3x
=0
( x − 3π )(2π − x / 2)
9. В уравнении ctg(a·cos(2πx))= 3 определить коэффициент а из
интервала (0;7) так, чтобы одним из корней уравнения был х = 1/6.
При найденном значении а найти все остальные корни.
10. При каких значениях параметра а уравнение
10 x
25 3
x2 −
+
+ 100 = 0
cos a sin a
имеет ровно одно решение?
11. Решите простейшие тригонометрические неравенства:
б) tgx+ctgx ≥ 4 3 /3;
а) 2sin2(x/2)> cosx;
π
π
г) │tg(x/2)│ < 1.
в) sin( +x)+cos( –x) >1 ;
4
4
12. Периметр треугольника АВС равен 13, угол ВАС - 60º, ВС=5.
Найти расстояние от вершины А до центра вписанной в треугольник
АВС окружности.
13. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС и касающаяся вписанной в этот треугольник окружности, пересекает сторону АВ в точке D, а сторону ВС – в точке Е. Известно, что
АD/СЕ + СЕ/АD = 4 и cosВ=-1/4. Найти величину АС/DЕ+DЕ/АС.
14. Диагонали четырехугольника АВСD пересекаются в точке М
и угол между ними равен α. Пусть О1,О2,О3,О4 - центры окружностей,
описанных около треугольников АВМ, ВСМ, СDМ, DАМ. Определить отношение площадей четырехугольников АВСD и О1О2О3О4.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контрольная работа № 7
1. Вычислить: lgtg1°·lgtg2°·...·lgtg89°.
2. В зависимости от значений параметра а решить уравнение:
4
sin x – cos4x = a(sin8x – cos8x).
3. Решите уравнения:
а) logtgx sin x = 2;
б) хlgsinx=1;
2
г) cos x = ( 6 ) arcsin(-lg 10 );
в) logsinxcosx+logcosxsinx=2;
cos 2 x π
2
3
д) sinx+sin x+sin x+ … =1.
4. Найдите суммы:
1 1 1
б) − 2 + 3 − ... =
а) 1+2+22+23+ … +210=
2 2 2
5. Определить, при каких значениях х из отрезка [-π;π] величины:
cosx; cos(x/2) и 1,- образуют арифметическую прогрессию.
6. Найти арифметическую прогрессию, в которой пятый член равен 18, а сумма первых n членов этой прогрессии равна 1/4 суммы
первых 2n членов. В ответ записать разность прогрессии.
7. Частное от деления первого члена бесконечно убывающей геометрической прогрессии на квадрат знаменателя этой же прогрессии
равно 4, а сумма квадратов членов этой прогрессии равна 1/15. Найти
первый член и сумму этой прогрессии.
8. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 30. Если от первого числа отнять 5, от второго - 4, а третье
оставить без изменения, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найти исходные числа.
9. Найти четыре числа, первые три из которых составляют геометрическую прогрессию, а последние три - арифметическую прогрессию. Сумма крайних членов равна 21, а сумма средних - 18.
10. Найдите значение параметра p и корни х1, х2, х3, образующие
арифметическую прогрессию, для многочлена х3+3х2 – рх – 8.
11. Найти все отрицательные значения параметра а, для каждого
из которых три корня уравнения
(х – 2) × (х2 + 4(а – 1)х + 3а2 – 8а + 4) = 0
таковы, что из них можно составить геометрическую прогрессию,
знаменатель которой больше 0, но меньше 1.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. В квадрате середины сторон (равных а) последовательно соединены. Во вновь полученном квадрате середины сторон также соединены. И т.д. до бесконечности. Найти сумму периметров всех получившихся квадратов.
13. Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, а один из его углов равен разности двух других. Найти отношение диаметров описанной и вписанной окружностей.
14. Чему равен угол, образуемый диагоналями BD и AD1 куба
ABCDA1B1C1D1?
15. Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника
АВС построена плоскость α параллельно гипотенузе АВ. Биссектриса
угла А пересекает плоскость α в точке М. Найти расстояние СМ, если
АВ=15см, ВС=12см.
16. В усеченном конусе отношение площадей оснований равно 4;
образующая равна m и наклонена к плоскости основания под углом α.
Найти объем конуса.
Контрольная работа № 8
1. Дана функция Р(х) = 5 + 3 sin2(x/2)+0,5sinx. Найти решения
уравнения 2Р'(х) = 1, принадлежащие области определения функции
R(x) = 1/(1–ctgx).
2. На кривой у = –х2 + 3х – 3 найти точку М(х0;у0), в которой касательная параллельна прямой у = 5х + 3.
3. Написать уравнение касательной, построенной из точки А(6;-3)
к кривой у = –х2 + 6х – 4.
4. Определить, при каком значении k и в какой точке касаются
параболы у = 2х2 + kх + 7 и у = х2 + 2х + 3.
5. Для какого числа разность между ним и его квадратом является
наибольшей?
6. Найти точку графика функции у = 1 – 2х2, ближайшую к точке
В(1;3/4).
7. При каких значениях параметра а уравнение хln│х│ = а имеет
один корень?
8. Чему равно наименьшее значение функции
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f ( x) =
8x − 5
x 2 + 2 x + 5 − x 2 − 6 x + 10
и при каких значениях х оно достигается?
9. Найдите множество значений функции
2 x + 2 2− x
.
y=
ln 2
10. Дана окружность радиуса R с диаметром AD. Окружность с
центром в точке A пересекает первую окружность в точке B, а диаметр AD – в точке С. При каком радиусе второй окружности длина
BC максимальна?
11. Найдите радиус основания и высоту цилиндра, имеющего при
данном объеме V = 16p наименьшую полную поверхность.
12. Требуется изготовить коробку в форме прямоугольного параллелепипеда. Площадь дна коробки должна быть равна 2 дм2, а боковая поверхность – 18 дм2. При каких размерах коробки сумма длин
всех ее ребер будет наименьшей?
13. Найти высоту конуса наибольшего объема, который можно
вписать в шар данного радиуса R.
14. В правильной треугольной пирамиде SABC через отрезки AD
и CE, где D - середина SB, а Е - середина SA, построить сечения пирамиды, параллельные между собой, и найти отношение их площадей.
15. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, сторона основания которой равна 10 см, а боковое ребро равно 80 см, проведены
два сечения: одно - через сторону АС и вершину В1, другое - через
середину стороны ВС и точку D, делящую АВ в отношении 1:4 (от А
к В), параллельно боковому ребру. Определить отрезок прямой, по
которому эти сечения пересекаются.
16. Объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной
основания а равен V. Найти угол при вершине боковой грани пирамиды.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контрольная работа № 9
Примеры вариантов письменных экзаменов
физического и экономического факультетов
Ф-01
1. Из города А в город В, расположенный в 280 км от А, выехал
легковой автомобиль. Одновременно из В в А выехал грузовой автомобиль и через некоторое время встретился с легковым в пункте С.
Если бы один из автомобилей увеличил свою скорость на 20 км/ч, а
другой – на 15 км/ч, то они встретились бы в том же пункте С, но на
24 мин раньше. Найти скорости автомобилей.
2. Решить уравнение (х2 – 9)lg(2 – х)=0.
3. Решить уравнение 2cos2x = 2 + 4 2 +(8+ 2 )sinx.
4. Решить уравнение
27·32х–12·3х+1+│27·32х–12·3х+1│=0.
1− x
≥ 0.
5. Решить неравенство
log 2 (2 − x) − 2
6. Даны квадрат и правильный треугольник, причем окружность,
вписанная в квадрат, является описанной около треугольника. Найти
отношение длины описанной около квадрата окружности к длине
стороны треугольника.
Ф-02
1. Выразить log600900 через a и b, если а = log254, b = log49.
2. Решить уравнение 4 + 3cos x − cos 2 x = 6 sin x
3. Решить неравенство
log│x-2│(9x–4x)<log│x-2│(3x+2x)+log│x-2│(3x-2+2x).
4. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла
С проведена медиана CD. Найти расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD,если ВС=3, а радиус
окружности, описанной около треугольника АВС, равен 2,5.
5. Решить систему уравнений
9cos x ⋅ cos y − 5sin x ⋅ sin y = −6
.

7
cos
cos
3sin
sin
4
x
y
x
y
⋅
−
⋅
=
−

20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЭК-01
1. В двух сосудах находились соляные растворы различной концентрации массой 60 г и 100 г соответственно. От первого из этих
растворов отлили некоторую часть в третий сосуд и долили его раствором из второго сосуда до общей массы 40 г. Оставшиеся части
слили вместе. В результате получилось два новых раствора с одинаковой концентрацией соли. Сколько граммов первого раствора было
отлито в третий сосуд?
5
2. Решить неравенство x log1/ 3 ( x + ) + x ≥ 0 .
9
3. Найти все решения уравнения
173π
x
x
+ 3x)+4cos ·(1+cos ) = sinx – 1,
ctg2(
3
3
2
принадлежащие области допустимых значений функции
y = 4(cos9,1π )sin 3 x .
4. В арифметической прогрессии а1=1000, первый отрицательный
член – а24. Какие целые значения может принимать разность прогрессии?
5 Длины боковых сторон трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5:11. Найти длины оснований трапеции.
ЭК-02
( x + 2)5 ( x − 3) 4
≤ 0.
1. Решить неравенство
( x − 1)3
2. Из всех сотрудников фирмы, воспользовавшихся отпусками в
1
летние месяцы, 52% отдыхали в августе, 64 % остальных отдыхали
6
в июле. Сколько всего человек отдыхало летом, если известно, что в
июне смогли воспользоваться отпуском не более 50 человек?
3. Решить неравенство
5x
x − 41+ 3− x ≤
− 4 ⋅ 4 3− x
3
4. Найти все значения параметра а из интервала (-π;π), при которых следующая система уравнений имеет ровно три решения:
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(9 x 2 + 9 y 2 − 1)(24 y + 9 x 2 + 32) = 0

 x ⋅ sin a − y ⋅ cos a = 1/ 3
5. Доказать, что если S – площадь треугольника со сторонами a, b
( a + b) 2
и c, то выполняется неравенство S ≤
.
8
Найти все треугольники, для которых выполняется равенство
( a + b) 2
.
S=
8
Контрольная работа № 10
Примеры вариантов письменных экзаменов
математического факультета и факультета ИВТ
М-01
1. Два одинаковых теплохода отправляются от двух пристаней,
первый от А вниз по течению, второй от В вверх по течению. Каждый
теплоход, дойдя до конечного пункта, стоит там 45 минут и возвращается обратно. Если теплоходы отправляются от начальных пунктов
одновременно, то на обратном пути они встречаются в пункте К, который в два раза ближе к А, чем к В. Если первый теплоход отходит
от А на час позже, чем второй от В, то на обратном пути они встречаются в 20 км от А. Если первый теплоход отходит от А на 30 минут
раньше, чем второй от В, то на обратном пути теплоходы встречаются в 5 км выше К. Найти скорость течения реки и время, за которое
второй теплоход доходит от А до К.
2. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
х8 + ах4 + 1 = 0
имеет ровно четыре действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.
3. Найти все решения уравнения
2sinx·sin3x+(3 2 –1)cos2x = 3,
удовлетворяющие условию sinx>0.
4. Решить неравенство
log1/3(x2–6)+log9x2 ≥ 0.
5. Числа а и b таковы, что система
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a 2 x − ay = 1 − a

bx + (3 − 2b) y = 3 + a
имеет единственное решение (1;1). Найти а и b.
6. На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD, площадь которого равна 1, взяты точки: К на АВ, L на ВС, М на CD, N на AD.
При этом АК:КВ=2:1, BL:LC=1:3, CM:MD=1:1, DN:NA=1:5. Найти
площадь шестиугольника AKLCMN.
М-02
1. В бассейн проведены три трубы. Через первую трубу в бассейн
поступает 30 м3 воды в час, через вторую – на 3а м3 меньше первой
(0<a<10), через третью – на 10а м3 больше первой. Вначале одновременно работают только первая и вторая трубы. После того, как заполнится 30% объема бассейна, работают все три трубы. Какому значению а соответствует наиболее быстрое заполнение бассейна?
2. Решить неравенство
9·41/х+5·61/х ≤ 4·91/х.
3. Решить уравнение
cosx·cos(π/7)+ 1 − cos 2 x ·sin(π/7)=cos(2003π/6).
4. Решить систему уравнений

y2
x2
- y) + log1/3 (x )=2
log 3 (
x
y

log x-y =1.
 2
5. Средняя линия длины 1 треугольника АВС лежит на диаметре
описанной окружности радиуса 2. Найти площадь треугольника.
М-03
1. Найти все действительные числа а, для которых при любом
допустимом х выполняется неравенство
8x2 − 4 x + 3
≤a
4x2 − 2x + 1
2. Доказать, что при любом натуральном n число n2+3n+5 не делится на 121.
3. Доказать, что для любых действительных чисел х и у выполняется неравенство
3х4+10х2у2+3у4 ≥ 8х3у+8ху3.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При каких х и у это неравенство обращается в равенство
3х4+10х2у2+3у4=8х3у+8ху3?
4. Найти все пары (х;у) действительных чисел, удовлетворяющие
системе уравнений
2log 32 ( y 2 + 2) + 4sin x ⋅ log 3 ( y 2 + 2) + 14sin x − 8cos 2 x + 4log 3 ( y 2 + 2) = −9

2
2
2
6sin + 2sin⋅ log 3 ( y + 2) − 4sin x + 6log 3 ( y + 2) = 1
5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
sin 4 x + cos 4 x
.
f ( x) =
sin 6 x + cos 6 x
6. Треугольник АВС со сторонами АВ=4, ВС=6 и СА=8 разбит
некоторым образом на конечное число подобных ему треугольников,
в каждый из которых вписан круг. Доказать, что сумма площадей
всех этих кругов больше 5.
Содержание
Предисловие ............................................................................................. 3
Контрольная работа № 1 ....................................................................... 3
Контрольная работа № 2 ....................................................................... 6
Контрольная работа № 3 ....................................................................... 8
Контрольная работа № 4 ..................................................................... 10
Контрольная работа № 5 ..................................................................... 13
Контрольная работа № 6 ..................................................................... 15
Контрольная работа № 7 ..................................................................... 17
Контрольная работа № 8 ..................................................................... 18
Контрольная работа № 9 ..................................................................... 20
Контрольная работа № 10 ................................................................... 22
24
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
21
Размер файла
387 Кб
Теги
102, указания, слушателей, курсов, методические, контрольная, подготовительной, работа, математика
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа