close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

276.Исследование функций и построение графиков

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Кафедра общей математики
Исследование функций
и построение графиков
Методические указания
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по специальностям
Бухгалтерский учет, анализ и аудит, Финансы и кредит,
Менеджмент, Мировая экономика
Ярославль 2007
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 51:37
ББК В 161.5я73+В 161.11я73
И 88
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2007 года
Рецензент
кафедра общей математики ЯрГУ им. П.Г. Демидова
Составители:
Л.П. Бестужева, Е.В. Никулина, И.Р. Овсянникова
И 88
Исследование функций и построение графиков: метод.
указания / сост. Л.П. Бестужева, Е.В. Никулина, И.Р. Овсянникова; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль: ЯрГУ, 2007. –
28 с.
Методические указания содержат теоретические сведения, примеры исследования функций разных типов, построение их графиков и варианты индивидуальных заданий для самостоятельной работы.
Предназначены для студентов, обучающихся по специальностям 080109 Бухгалтерский учет, анализ и аудит,
080105 Финансы и кредит, 080507 Менеджмент, 080102
Мировая экономика (дисциплина Математика, блок ЕН),
очной формы обучения.
УДК 51:37
ББК В 161.5я73+В 161.11я73
© Ярославский государственный
университет, 2007
© Л.П. Бестужева, Е.В. Никулина,
И.Р. Овсянникова, 2007
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§1. Основные теоретические сведения
1.1. Функция y = f ( x) называется возрастающей на промежутке X , если для любых x1 , x2 из промежутка X таких, что x1 < x2 ,
справедливо неравенство f ( x1 ) < f ( x2 ) (рис. 1).
Функция y = f ( x) называется убывающей на промежутке X ,
если для любых x1 , x2 из промежутка X таких, что x1 < x2 , справедливо неравенство f ( x1 ) > f ( x2 ) (рис. 2).
Возрастающая или убывающая функция называется монотонной.
Рис. 1
Рис. 2
Справедливы следующие утверждения:
1. Пусть функция f ( x) дифференцируема на интервале (a; b) .
Функция f ( x) является постоянной на (a, b) тогда и только тогда,
когда f ′( x) = 0 при любом x ∈ (a; b) .
2. Если дифференцируемая функция f ( x) возрастает (убывает) на интервале (a; b) , то f ′( x) ≥ 0 ( f ′( x) ≤ 0 ) при x ∈ (a; b) .
Достаточное условие возрастания (убывания) функции:
а) если функция f ( x) дифференцируема на интервале (a; b) и
f ′( x) > 0 ( f ′( x) < 0 ), x О (a; b) , то функция f (x) возрастает (убывает) на
этом интервале;
б) если функция непрерывна на отрезке [a; b] , дифференцируема на интервале (a, b) и f ′( x) > 0 ( f ′( x) < 0 ), x О (a; b) , то функция
f ( x) возрастает (убывает) на отрезке [a; b] .
Отметим, что утверждения а) и б) остаются в силе, если производная f ′( x) положительна (отрицательна) во всех точках ин3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тервала (a, b) , кроме конечного числа точек этого интервала, в которых f ′( x) = 0 .
Пример 1. Найти промежутки возрастания и убывания функции
2
f ( x) = x Чe
1
x
.
Решение. D( f ) = (−∞,0)  (0, ∞) – область определения функции.
Функция f ( x) дифференцируема на каждом из промежутков (−∞,0)
и (0, ∞) и
1
1
ж 1ч
ц 1x
зз
f ў( x) = 2 x Чe x + x 2 e x Чч
ч= e (2 x - 1).
зи x 2 ш
при x = 0.5 . Точка x = 0.5 разбивает область определения
функции на промежутки (- Ґ ;0) , (0;0.5) и (0.5; Ґ ) . Отметим знак
f ′( x) на каждом из этих промежутков:
f ′( x) = 0
.
Поскольку функция f ( x) непрерывна в точке x = 0.5 , то эту
точку можно присоединить к промежуткам, на которых функция
возрастает и убывает. Итак, функция f ( x) = x 2e1 x убывает на промежутках (−∞, 0) и (0, 0.5] и возрастает на промежутке [0.5, ∞) . Символически это можно записать так:
f ( x) Ї , x О (- Ґ ;0),
f ( x) Ї , x О (0;0.5],
f ( x) - , x О[0.5; Ґ ).
1.2. Точка x0 ∈ D( f ) называется точкой локального максимума
функции f ( x) , если существует интервал (x0 - d; x0 + d), d > 0 , содержащийся в D( f ) , такой, что для каждого x ( x ≠ x0 ) на этом интервале имеет место неравенство f ( x) < f ( x0 ) (рис. 3).
Точка x0 ∈ D( f ) называется точкой локального минимума
функции f ( x) , если существует интервал (x0 - d; x0 + d), d > 0 , содержащийся в D( f ) , такой, что для каждого x ( x ≠ x0 ) на этом интервале имеет место неравенство f ( x) > f ( x0 ) (рис. 4).
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
.
Рис. 3
Рис. 4
Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках называются экстремальными значениями
функции (или просто экстремумами).
Имеют место следующие утверждения:
1. Необходимое условие экстремума.
В точках экстремума функции f ( x) производная f ′( x) равна
нулю или не существует. Точки области определения функции
f ( x) , в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками первого типа (точками возможного экстремума).
2. Достаточные условия экстремума:
а) пусть функция f ( x) непрерывна в некоторой окрестности
точки x0 . Если f ′( x) > 0 при x < x0 и f ′( x) < 0 при x > x0 (т.е. при переходе через точку x0 производная меняет знак с + на – ), то точка
x0 является точкой локального максимума функции f ( x) . Если
f ′( x) < 0 при x < x0 и f ′( x) > 0 при x > x 0 (т.е. при переходе через точку x0 производная меняет знак с – на + ), то точка x0 является
точкой локального минимума функции f (x) .
Если производная не меняет знака при переходе через точку
x0 , то точка x0 не является точкой экстремума;
б) пусть функция f ( x) является дважды дифференцируемой в
точке x0 и f ′( x0 ) = 0 . Если f ′′( x 0 ) < 0 , то точка x0 является точкой
максимума функции f ( x) . Если f ′′( x0 ) > 0 , то точка x0 является точкой минимума функции f ( x) . Если f ′′( x0 ) = 0 , то вопрос о наличии
экстремума в точке x0 остается открытым;
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в) пусть f ′( x0 ) = f ′′( x0 ) =  = f ( n−1) ( x0 ) = 0 , а f ( n ) ( x0 ) ≠ 0 . Тогда, если
n – четное, то при f ( n−1) ( x0 ) < 0 точка x0 является точкой максимума,
а при f ( n−1) ( x0 ) > 0 – точкой минимума. Если n – нечетное, то x0 не
является точкой экстремума.
Пример 2. Найти промежутки монотонности и экстремумы
функции f ( x) = (1 + cos x) sin x .
Решение. D( f ) = Ў – область определения функции. Функция
является непрерывной и дифференцируемой при всех x и
f ′( x) = − sin 2 x + (1 + cos x) cos x = 2 cos 2 x + cos x − 1 .
Найдем критические точки первого типа. Для этого решим
уравнение f ′( x) = 0 :
p
2 cos 2 x + cos x - 1 = 0,
x = ± + 2p n, x = p + 2p k , n, k О ў
– решение
3
этого уравнения.
Функция f (x) является периодической с периодом T = 2π , поэтому при исследовании свойств функции можно ограничиться
только значениями x из промежутка [0; 2π ].
Отберем решения уравнения f ′( x) = 0 , принадлежащие отрезку
[0;2π ] :
5π
π
– критические точки первого типа, принадлеx1 = , x 2 = π , x3 =
3
3
межутки
 π  π 
 0;  ,  ; π  ,
 3 3 
жащие отрезку [0; 2π ]. Эти точки разбивают отрезок [0; 2π ] на про 5π   5π

π ;  ,  ; 2π  .
 3   3

Отметим знак
f ′( x)
на каж-
дом из этих промежутков:
.
Итак, функция
убывает на отрезке
f ( x)
возрастает на отрезках
йp 5p щ
к ; ъ.
кл3 3 ъ
ы
 π
0; 3 
и
 5π

 3 ; 2π 
и
Поскольку при переходе через точку
знак f ′(x) меняется с + на –, а при переходе через точку
x = 5π 3 с – на +, то x = π 3 – точка максимума, а x = 5π 3 – точка минимума функции:
x =π 3
f max = f (π 3) =
3 3
,
4
f min = f (5π 3) = −
6
3 3
4
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Точка x = π не является ни точкой максимума, ни точкой минимума функции f (x) (при переходе через точку x = π знак f ′(x) не
меняется).
Так как f (0) = f (2π ) = 0 , то из периодичности функции f (x) следует, что все точки x = 2p + 2p n, n О ў , являются точками максимумов, а точки
f (x) .
3
2p
x= + 2p n, n О ў
3
, – точками минимумов функции
й p
щ
p
+ 2p n; + 2p nъ, n О ў , функкл 3
ъ
3
ы
щ
йp
5p
к + 2p n; + 2p nъ, n О ў , функция
ъ
3
лк3
ы
Кроме того, на всех отрезках к-
ция возрастает, а на всех отрезках
убывает.
Пример 3. Найти точки экстремума функции f ( x) = 3 3 x 2 − x 2 .
Решение. D( f ) = Ў . Функция непрерывна при всех x и дифференцируема при всех
2
1 − x3 x
x ≠ 0 f ′( x) = 3 ⋅ x −1 3 − 2 x = 2 ⋅ 3
3
x
.
Найдем критические точки первого типа. Для этого решим
уравнение f ′( x) = 0 :
1 − x3 x = 0 , x = ±1 . В точке x = 0 производная f ′(x) не существует.
Итак, x = −1, x = 0, x = 1 – критические точки первого типа. Эти точки разбивают область определения функции на промежутки (-∞, 1); (-1, 0); (0, 1); (1; +∞). Отметим знак f ′(x) на каждом из этих
промежутков:
.
Таким образом, функция f (x) имеет три точки экстремума:
x = −1 – точка максимума, f max = f (−1) = 2 ;.
x = 0 – точка минимума, f min = f (0) = 0 ;.
x = 1 – точка максимума, f max = f (1) = 2 .
Пример 4. Найти точки экстремума функции f ( x) = x ln x .
Решение. D( f ) = (0; ∞) . Функция непрерывна и дважды дифференцируема при всех x ∈ (0; ∞) , f ′( x) = ln x + 1 , f ′′( x) = 1 .
x
Решаем уравнение f ′( x) = 0 : ln x + 1 = 0, x = e – критическая точка первого типа. f ′′(e −1 ) = e > 0 , следовательно, x = e −1 – точка минимума функции: f min = f (e −1 ) = −e .
−1
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.3. График дифференцируемой функции f (x) называется выпуклым вниз на промежутке X , если он расположен выше любой
своей касательной на этом промежутке (рис. 5). График дифференцируемой функции f ( x) называется выпуклым вверх (или вогнутым) на промежутке X , если он расположен ниже любой свой
касательной на этом промежутке (рис. 6).
.
Рис. 5
Рис. 6
Точка (x0 , f ( x0 ) ) называется точкой перегиба графика функции
f (x) , если существует касательная к графику в этой точке и в
промежутках (x0 − δ ; x0 ) и (x0 ; x0 + δ ) , δ > 0 , график функции имеет
разное направление выпуклости. Точка (x0 , f ( x0 ) ) на рис. 7 является точкой перегиба графика функции. Точка (x0 , f ( x0 ) ) на рис. 8 не
является точкой перегиба графика функции, хотя в ней происходит изменение направления выпуклости графика (в точке x0 не
существует касательной к графику).
.
Рис. 7
Рис. 8
Имеют место следующие утверждения:
1. Достаточное условие выпуклости вниз (вверх)
Если функция f ( x) дважды дифференцируема на интервале
(a; b) и f ′′( x) > 0 ( f ′′( x) < 0 ), x ∈ (a; b) , то график функции f (x) направлен выпуклостью вниз (вверх) на этом интервале.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Необходимое условие точки перегиба
В точках перегиба графика функции вторая производная f ′′( x)
равна нулю или не существует.
Точки области определения функции f ( x) , в которых вторая
производная f ′′(x) равна нулю или не существует, называются
критическими точками второго типа (точками возможного перегиба).
3. Достаточное условие точки перегиба
Пусть в точке (x0 , f ( x0 ) ) существует касательная к графику
функции f (x) и f ′′(x) равна нулю или не существует. Если на интервалах (x0 − δ ; x0 ) и (x0 ; x0 + δ ) , δ > 0 , f ′′(x) имеет противоположные
знаки, то точка (x0 , f ( x0 ) ) является точкой перегиба графика функции f (x) .
Пример 5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба
графика функции f ( x) = 3 x (x − 8) .
Решение. D( f ) = Ў , функция непрерывна при всех x и дважды
дифференцируема при всех x ≠ 0 :
4 x−2
4 x+4
,
.
f ′( x) = ⋅
f ′′( x) = ⋅
2
3
5
3
3
9
x
x
Найдём критические точки второго типа. Для этого решим
уравнение f ′′( x) = 0 : x + 4 = 0, x = −4 . В точке x = 0 f ′′( x) не существует.
Итак, x = −4, x = 0 – критические точки второго типа. В каждой из
этих точек существует касательная к графику функции f ( x) , причем в точке x = 0 касательная вертикальна. Эти точки разбивают
область определения функции на промежутки (-∞; -4); (-4; 0) и (0;
∞). Отметим знак f ′′(x) на каждом из этих промежутков:
.
Таким образом, на интервале (-4; 0) график функции направлен выпуклостью вверх, а на интервалах (-∞; -4) и (0; +∞) – выпуклостью вниз. Поскольку при переходе через точки x = −4 и x = 0
f ′′(x) меняет знак, то точки (-4; 23 4 ) и (0; 0) являются точками перегиба графика функции.
1.4. Свойства функции непрерывной на отрезке:
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и на концах
этого отрезка принимает значения разных знаков ( f (a) ⋅ f (b) < 0 ),
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
то существует хотя бы одна точка x0 ( a < x0 < b ) такая, что
f ( x0 ) = 0 .
Заметим, что если функция f (x) монотонна на отрезке [a; b] , то
точка x0 не только существует, но и единственна (рис. 9).
Рис. 9
Это свойство используется для приближенного вычисления
корней уравнения f ( x) = 0 . Если существует такой отрезок [a; b] , на
котором функция f (x) непрерывна и монотонна и принимает на
концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка содержится ровно один корень уравнения.
Чтобы уточнить значение искомого корня, отрезок [a; b] делят
пополам, выбирают ту половину, на концах которой значения
функции различны по знаку и т.д. Таким образом, получают значение корня уравнения f ( x) = 0 с любой наперед заданной точностью. Часто поступают так: ищут отрезок [n; n + 1] , в котором лежит корень уравнения f ( x) = 0 , делят этот отрезок на 10 равных
частей и т.д. Указанный процесс позволяет находить один за другим десятичные знаки искомого корня. Существуют и другие методы приближенного решения уравнения f ( x) = 0 .
Пример 6. Доказать, что уравнение x 3 + 4 x + 1 = 0 имеет корень
на отрезке [-1; 0], и найти приближенное значение этого корня с
точностью до 0.1.
Решение. Функция f ( x) = x 3 + 4 x + 1 непрерывна на отрезке [−1; 0] ,
возрастает ( f ′( x) = 3x 2 + 4 > 0) и принимает на концах отрезка значения разных знаков: f (−1) = −4 < 0 , f (0) = 1 > 0 . Значит, на отрезке [−1; 0]
уравнение x 3 + 4 x + 1 = 0 имеет один корень. Разделим отрезок [−1; 0]
на 10 равных частей и вычислим значение функции в точках де10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ления. Так как f (−0.3) = −0.227 < 0 , а f (−0.2) = 0.192 > 0 , то корень уравнения принадлежит отрезку [−0.3; − 0.2] .
§2. Общая схема исследования функций
и построения графиков
При изучении той или иной функции нас обычно интересуют
не столько ее отдельные численные значения, сколько основные
характерные особенности этой функции (монотонность, экстремум, выпуклость, перегиб, наличие асимптот и т.д.). Все эти особенности наглядно видны на графике функции. Поэтому построение графика – это один из основных элементов изучения
функции.
Графиком функции y = f ( x), x ∈ X , называется множество D
всех точек координатной плоскости xOy вида (x, f ( x) ) , где x ∈ X .
При построении графика функции следует иметь в виду, что под
этим понимается эскиз графика функции, который бы полно отражал все ее свойства, полученные в результате проведенного исследования.
Исследование функции и построение графика проводится по
следующей схеме:
1. Найти область определения функции, точки разрыва.
2. Исследовать функцию на четность-нечетность, периодичность.
3. Найти асимптоты, исследовать функцию на границах области определения.
4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
5. Найти точки экстремума, экстремумы и промежутки монотонности функции.
6. Найти точки перегиба и промежутки выпуклости графика
функции.
7. Построить график функции.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§3. Примеры исследования функций
и построения графиков
Пример 1. Исследовать функцию y = x 5 − 5 x 4 + 5 x 3 + 1 и построить ее график.
Решение:
1. D( f ) = Ў .
2. Исследуем функцию на четность-нечетность:
y = x 5 − 5x 4 + 5x 3 + 1 ,
y (− x) = (− x) 5 − 5(− x) 4 + 5(− x) 3 + 1 = − x 5 − 5 x 4 − 5 x 3 + 1 ,
− y ( x) = − x 5 + 5 x 4 − 5 x 3 − 1 ;
y (− x) ≠ y ( x) , следовательно, функция не является четной.
y (− x) ≠ − y ( x) , следовательно, функция не является нечетной.
Функция не является периодической.
3. Асимптот функция не имеет.
4. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:
с осью Oy : x = 0, y = 1 ,
с осью Ox : y = 0, x 5 − 5 x 4 + 5 x 3 + 1 = 0 .
Приближенные решения этого уравнения найдем ниже после
исследования функции на монотонность (используя свойства
функции, непрерывной на отрезке).
5. y ′ = 5 x 4 − 20 x 3 + 15 x 2 = 5 x 2 (x 2 − 4 x + 3).
y ′ = 0 , 5 x 2 (x 2 − 4 x + 3) = 0 , x = 0, x = 1, x = 3 – критические точки первого типа.
ymax = y (1) = 2 ,
6.
ymin = y (3) = −26
(
).
y ′′ = 20 x 3 − 60 x 2 + 30 x = 10 x 2 x 2 − 6 x + 3
(
)
y ′′ = 0 , 10 x 2 x 2 − 6 x + 3 = 0 ,
x = 0, x =
3− 3
≈ 0.6 ,
2
x=
3+ 3
≈ 2.4
2
типа.
12
– критические точки второго
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
yпер, 1 = y (0) = 1 ,
3− 3 
3+ 3 
 ≈ 1 .5 , y 

yпер, 2 = y

 2  ≈ −15.6 .
2




7. Уточним точки x1 , x2 , x3 пересечения графика функции с
осью Ox .
Функция y = x 5 − 5 x 4 + 5 x 3 + 1 непрерывна при всех x ∈ R .
y ↑ при x ∈ [−1; 0] , y (−1) < 0, y (0) > 0 , следовательно, − 1 < x1 < 0 ;
y ↓ при x ∈ [1; 2] ,
y (1) > 0, y (2) < 0 , следовательно, 1 < x 2 < 2 ;
y ↑ при x ∈ [3; 4] ,
y (3) < 0, y (4) > 0 , следовательно, 3 < x3 < 4 .
Итак, найдены приближенные значения x1 , x 2 , x3 (использовано свойство функции, непрерывной на отрезке). Чтобы найти более точные значения x1 , x 2 , x3 , надо применить метод, описанный в
примере 6.
Построим график (рис. 10).
Рис. 10
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 2. Исследовать функцию
график.
Решение.
1. D( y ) = (−∞;1)  (1; ∞) ,
2
2
y ( x) =
x2 +1
x −1
и построить ее
– точка разрыва.
2
2
+1
, y(− x) = (− x ) + 1 = − x + 1 .
x =1
x +1
, − y ( x) = − x
x −1
x −1
y (− x) ≠ y ( x) , следовательно,
2.
y=
− x −1
x +1
функция не является четной.
y (− x) ≠ − y ( x) , следовательно, функция не является нечетной.
3. Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва:
x2 + 1
=
x® 1- 0 x - 1
lim y ( x) = lim
x ® 1- 0
й2 щ
к ъ= - Ґ
кл- 0 ы
ъ
;
x2 + 1
=
x® 1+ 0 x - 1
lim y ( x) = lim
x ® 1+ 0
й2 щ
к ъ= + Ґ
кл+ 0 ы
ъ
.
Следовательно, прямая x = 1 является вертикальной асимптотой графика функции.
Найдем наклонные асимптоты y = kx + b (если они существуют):
y ( x)
x2 + 1
k = lim
= lim
= 1.
x →±∞
x →±∞ x ( x − 1)
x
 x2 + 1 
x +1
b = lim ( y − kx) = lim 
− x  = lim
= 1.
x →±∞
x →±∞
x
→±∞
x −1
 x −1

Итак, прямая
y = x +1
яв-
ляется наклонной асимптотой графика функции.
4. Точки пересечения графика функции с осями координат:
с осью Ox : y = 0, x 2 + 1 = 0 – корней нет, график ось Ox не пересекает;
с осью Oy : x = 0, y = −1 .
2
2
5. y ′ = 2 x(x − 1) − (2x + 1) = x − 2 x 2− 1 .
(x − 1)
(x − 1)
y ′ = 0, x 2 − 2 x − 1 = 0, x1 = 1 − 2 ,
x2 = 1 + 2
– критические точки
первого типа.
(
)
(
)
.
ymax = y 1 − 2 = 2 − 2 , ymin = y 1 + 2 = 2 + 2 .
6.
ж2
у′′= ззз x - 2 x -2
зи (x - 1)
y ′′ = 0 , x ∈ ∅ ,
ў
ц (2 x - 2)(x - 1)2 - 2 (x - 1)(x 2 - 2 x - 1)
1ч
4
ч
=
=
ч
4
3
ч
ч
(x - 1)
(x - 1)
ш
.
критических точек второго порядка нет.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Точка x = 1 не принадлежит D( y )
перегиба.
7. Построим график (рис. 11):
.
и поэтому не является точкой
.
Рис. 11
Пример 3. Исследовать функцию y = (1 − x) ln( x − 1) и построить
ее график.
Решение.
1. D( y ) = (1; Ґ ) .
2. Поскольку множество D( y) не симметрично относительно
начала координат, то функция не является четной и не является
нечетной. Функция не является также периодической.
3. Исследуем поведение функции на границе области определения:
ln( x - 1)
=
x ® 1+ 0
1
1- x
lim y = lim (1- x) ln( x - 1) = [(- 0) Ч( Ґ )]= lim
x ® 1+ 0
x ® 1+ 0
й- Ґ щ
к
ъ=
кл- Ґ ы
ъ
1
lim x - 1 =
x ® 1+ 0
1
(1- x) 2
= lim ( x - 1) = + 0.
x® 1+ 0
Отсюда следует, что график функции вертикальных асимптот
не имеет.
Найдем наклонную асимптоту (если она существует):
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
lim
x® Ґ
- ln( x - 1) - 1
y
(1- x) ln( x - 1) й- Ґ щ
ъ= lim
= lim
= к
=- Ґ
x
®
Ґ
x
®
Ґ
кл- Ґ ы
ъ
x
x
1
.
Это означает, что у графика функции наклонной асимптоты
нет.
.
4. Точки пересечения графика функции с осями координат:
с осью Ox : y = 0 , (1 − x) ln( x − 1) = 0 , ln( x − 1) = 0 , x − 1 = 1 , x = 2 ;
с осью Oy точек пересечения нет.
5. y ў= - 1Чln( x - 1) + (1- x) 1 = - ln( x - 1) - 1 .
x- 1
y ў= 0 , - ln( x - 1) - 1 = 0 ,
x = 1+
1
e
– критическая точка первого ти-
па.
ж
ymax = y зз1 +
зи
ц 1
1ч
ч
ч= e .
eш
1
.
x- 1
y ўў= 0, x ОЖ , критических
6.
y ўў= -
точек второго типа нет.
.
График функции направлен выпуклостью вверх. Точек перегиба нет.
Построим график (рис. 12).
Рис. 12
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 4. Исследовать функцию
график.
Решение:
1. D( y ) = (функции.
2.
y ( x) =
Ґ ; - 1) И (- 1;1) И (1; + Ґ ) ,
3x 2 - 4
,
x2 - 1
y (- x) =
y=
3x 2 - 4
x2 - 1
x = - 1, x = 1
3(- x) 2 - 4 3x 2 - 4
,
= 2
(- x) 2 - 1
x - 1
и построить ее
– точки разрыва
y (- x) = y ( x) ,
следова-
тельно, функция является четной. Поэтому достаточно исследовать функцию на промежутке (0;1) И (1; + Ґ ) .
Функция не является периодической.
3. Прямые x = - 1, x = 1 – вертикальные асимптоты, так как
3 x 2 - 4 й- 1 щ
= к ъ= + Ґ ,
x® 1- 0
x® 1- 0 x 2 - 1
ъ
лк- 0 ы
3x 2 - 4 й- 1 щ
= к ъ= - Ґ .
lim y ( x) = lim 2
x® 1+ 0
x® 1+ 0 x - 1
кл+ 0 ы
ъ
lim y ( x) = lim
(Поведение функции вблизи точки x = - 1 ясно в силу четности функции).
Найдем наклонную асимптоту графика функции (если она
существует):
y ( x)
3x 2 - 4
k = lim
= lim
= 0,
x® Ґ
x® Ґ x x 2 - 1
x
( )
3x 2 - 4
b = lim( y ( x) - kx) = lim 2
= 3.
x® Ґ x - 1
x® Ґ
Итак, прямая
y= 3
– горизонталь-
ная асимптота графика функции.
4. Точки пересечения графика функции с осями координат:
с осью Ox : y = 0, 3x 2 - 4 = 0, x = ± 2 ,
3
с осью
5.
Oy : x = 0,
y = 4.
6 x (x - 1)- (3 x 2 - 4)2 x
2
y ў=
y ў= 0 , x = 0
2
(x 2 - 1)
= 2Ч
x
2
(x 2 - 1)
,
– критическая точка первого типа.
.
ymin = y (0)= 4 .
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
x 2 - 1) - x Ч2 (x 2 - 1)Ч2 x
(
3x 2 + 1
=
Ч
2
6. y ўў= 2 Ч
.
4
3
2
2
(x - 1)
(x - 1)
y ўў= 0 , x ОЖ
– критических точек второго типа нет.
Точки x = - 1 и x = 1 не принадлежат области определения
функции и поэтому точками перегиба не являются.
7. Построим график (рис. 13).
Рис. 13
Пример 5. Исследовать функцию
строить ее график.
Решение.
1. D( y) = (- Ґ , 0) И (0, + Ґ ) ,
2.
(2 x - 1) (x - 2 x + 6)
2
y ( x) =
y (- x) =
- y ( x) = -
x= 0
4 x2
и по-
– точка разрыва функции.
,
4 x2
- (2 x + 1) (x 2 + 2 x + 6)
4 x2
(2 x - 1) (x 2 - 2 x + 6)
4x2
y=
(2 x - 1)(x 2 - 2 x + 6)
,
.
y (- x) № y ( x) ,
следовательно, функция не является четной,
y (- x) №- y ( x) , следовательно, функция не является нечетной.
Функция не является периодической.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Прямая
lim y ( x) = lim
x® 0
x= 0
(ось
Oy )
– вертикальная асимптота, так как
(2 x - 1) (x 2 - 2 x + 6)
x® 0
4x2
й- 6 щ
= к ъ= - Ґ
кл+ 0 ы
ъ
.
Найдем наклонные асимптоты (если они существуют):
(2 x - 1) (x 2 - 2 x + 6)
y ( x)
2 x3 - 5 x 2 + 14 x - 6 1
k = lim
= lim
= lim
= ,
x® ± Ґ
x® ± Ґ
x® ± Ґ
x
2
4 x3
4 x3
2
ж(2 x - 1) (x - 2 x + 6)
ц
зз
1 ч
5
ч
b = lim (y ( x) - kx )= lim з
- xч
=- .
2
ч
x® ± Ґ
x® ± Ґ з
2 ч
4
4x
чш
зи
1
5
Итак, y = x - – наклонная асимптота графика функции.
2
4
4. Точки пересечения графика функции с осями координат:
1
2
с осью Ox : y = 0, (2 x - 1) (x 2 - 2 x + 6)= 0, x = ,
с осью Oy точек пересечения нет.
5. y ў=
2
2
3
2
3
1 (6 x - 10 x + 14)x - 2 x (2 x - 5 x + 14 x - 6) 2 x (x - 7 x + 6) x 3 - 7 x + 6
.
=
=
x4
4
4 x4
2 x3
y ў= 0, x3 - 7 x + 6 = 0 ;
очевидно, что x = 1 – корень уравнения.
Следовательно, многочлен
делится на
x - 1:
x3 - 7 x + 6
(x3 - 7 x + 6): (x - 1)= x2 + x - 6 .
Итак, x3 - 7 x + 6 = ( x - 1) Ч(x 2 + x - 6) и, следовательно,
y ў= 0, x 3 - 7 x + 6 = 0, (x - 1)(x 2 + x - 6)= 0, x = 1, x = 2, x = - 3 – критические точки первого типа.
.
49
5
9
ymax = y (- 3)= , ymax = y (1)= , ymin = y (2)= , .
12
4
8
2
3
3
2
1 (3x - 7)x - (x - 7 x + 6)3 x
7x - 9
6. y ўў= Ч
.
=
4
x
x4
2
9
– критическая точка
y ўў= 0, 7 x - 9 = 0, x =
7
второго типа.
.
ж9 ц
yпер = y зз ч
ч
ч» 1.2 .
зи7 ш
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Построим график (рис. 14).
Рис. 14
Пример 6. Исследовать функцию y = cos x Чcos 2 x и построить ее
график.
Решение.
1. D( y ) = Ў .
2. y ( x) = cos x Чcos 2 x, y(- x) = cos(- x) Чcos 2(- x) = cos x Чcos 2 x = y ( x) , следовательно, функция является четной.
Функция является периодической, период T = 2p . Поэтому
достаточно исследовать функцию на отрезке [0; p ] .
3. Асимптот функция не имеет.
4. Точки пересечения графика функции с осями координат:
с осью Ox : y = 0, cos x Чcos 2 x = 0 ,
йcos x = 0,
к
клcos 2 x = 0;
с осью
5. y ў= -
йx = p / 2,
к
клx = p / 4, x = 3p / 4;
Oy : x = 0, y = 1 .
sin x Чcos 2 x + cos x Ч( sin 2 x) Ч2 = - sin x Ч(6 cos 2 x - 1) .
y ў= 0, sin x Ч(6 cos 2 x - 1) = 0 ;.
йsin x = 0,
йx = 0, x = p ,
к
к
к
к
1
1
1 .
кcos x = ±
; кx = arccos
, x = p - arccos
.
кл
кл
6
6
6
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
.
(
y (0) = 1,
ymin = y arccos1
(
ymax = y p - arccos1
)
6 =
)
6 =2
3 3
2
3 3
» - 0.4 = y1 ,
» 0.4 = y2 ,
.
y (p ) = - 1.
6.
y ўў= - cos x Ч(6 cos 2 x - 1)- sin x Ч(6 Ч2 cos x Ч( sin x))= - cos x Ч(18cos 2 x - 11).
y ўў= 0, cos x Ч(18cos 2 x - 11)= 0, .
йcos x = 0,
к
к
кcos x = ± 11 ;
к
3 2
л
й p
кx = ,
к
2
к
.
к
11
11
кx = arccos
, x = p - arccos
.
кл
3 2
3 2
.
жp ц
2 11
yпер = y зз ч
= y3 ,
ч
ч= 0, yпер = y arccos 11 3 2 =
зи2 ш
27 2
(
(
)
)
yпер = y p - arccos 11 3 2 = - 2 11
27 2
.
= y4 .
7. Построим график на отрезке
[0; p ] .
Рис. 15
Так как функция четная и, следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy , график функции на отрезке [- p ; p ] будет иметь следующий вид:
.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
.
Рис. 16
Так как функция периодическая и график ее построен на отрезке [- p ; p ] , длина которого равна 2p (период функции), то весь
график функции получается повторением построенной части на
отрезке [- p ; p ] .
§4. Варианты заданий
для самостоятельной работы
x3 + 4
,
x2
2
,
y= 2
x + 2x
12 x
,
y=
9 + x2
4 − x3
,
y=
x2
2 x3 + 1
,
y=
x2
x2
y=
,
(x − 1)2
1. а) y = − x 3 + x 2 ,
б) y =
в) y = (2 x + 5) ⋅ e −2( x + 2 ) .
2. а) y = x 3 − 1.5 x 2 ,
б)
в) y = x ⋅ e x .
3. а) y = x 3 − 3x 2 ,
б)
4. а) y = x 3 + 3x 2 ,
б)
1 3
x + x2 ,
3
б)
5. а) y =
6. а) y = 3 x 3 − x ,
3
б)
7. а) y = − x + x ,
б)
8. а) y = x 3 − 3x ,
б)
1
9. а) y = − x 3 + 4 x ,
3
б)
8. а) y = 8 x 3 − 6 x ,
б)
2
4
9. а) y = − x 3 + 2 x − ,
3
3
б)
12 − 3 x 2
y= 2
,
x + 12
− 8x
y= 2
,
x +4
3x 4 + 1
,
y=
x3
8( x − 1)
y=
,
(x + 1)2
4
y= 2
,
x + 2x + 3
22
1
в) y = x − ln ( x + 1) .
в) y = (2 x + 3) ⋅ e −2( x +1) .
в) y = −(2 x + 3) ⋅ e 2( x + 2 ) .
в) y = ln 2 x + ln x .
в)
в)
в)
в)
e 2( x +1)
y=
.
2( x + 1)
x
−2 .
y = ln
x−2
ln 2 x
.
y=
x
1 + ln x
.
y=
x
в) y = x + e − x .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. а) y =
16 3
x + 4x2 +1 ,
3
4
2
11. а) y = x − 8 x + 16 ,
4
2
б) y
x2
б) y = −
,
(x + 2)2
12. а) y = x − 2 x + 5 ,
б)
13. а) y = x 4 - 5 x 2 + 4 ,
б)
14. а) y = x 4 − 4 x 2 + 3 ,
б)
15. а) y = x 4 − 4x 2 ,
б)
16. а) y =
1 4
x − 2x2 ,
4
x2 + 2x − 7
,
x2 + 2x − 3
б)
x2 − x +1
y=
,
x −1
4x2
,
y=
3 + x2
x 4 − 3x + 3
y=
,
x −1
x2 − 4x +1
y=
,
x−4
2
(
x − 1)
,
y=
x2
(x − 1)2 ,
y=
x2
17. а) y = x 4 − 2x 2 ,
б)
18. а) y = 3x 4 − 4 x 3 + 1 ,
б) y =
4
3
19. а) y = −3x + 4 x + 1 ,
б)
1
4
20. а) y = − x 4 + x 3 ,
5
5
1
21. а) y = − x 4 + x 3 ,
4
1
22. а) y = − x 4 + 8 x ,
4
б)
23. а) y = ( x + 1) ,
б)
24. а) y = x 4 − 3x 2 + 3x 2 − x ,
б)
25. а) y = x 4 + 4 x 3 + 4 x 2 − 1 ,
б)
26. а) y = x 4 − 8 x 3 + 16 x 2 ,
б)
б)
б)
4
4
3
2
27. а) y = 3x − 8 x + 6 x ,
1 4 1 3
x + x − 3x 2 ,
4
3
1
1
29. а) y = x 4 − x 3 − 3x 2 ,
4
3
28. а) y =
30. а) y = −3x 4 + 8 x 3 + 18 x 2 ,
б)
б)
б)
б)
9 + 6 x − 3x 2
,
x 2 − 2 x + 13
2
(
x − 1)
,
=
(x + 1)2
4x
y=
,
(x + 1)2
1
y= 4
,
x −1
x 3 − 32
y=
,
x2
3x − 2
y=
,
x2
x 3 − 27 x + 54
y=
,
x3
2
4( x + 1)
,
y= 2
x + 2x + 4
x2 − 6x + 9
y=
,
(x − 1)2
1 − 2 x3
y=
,
x2
12 x
y=
,
9 − x2
x2 − 2x + 2
y=
,
x+3
x2
y=
,
1+ x
23
в) y = −
e −2( x + 2 )
.
2( x + 2 )
e 2− x
.
в) y =
2− x
в) y = x 2 ⋅ e − x .
в) y = x ⋅ e − x .
в) y = x 3 ⋅ e x .
в) y = x ⋅ ln x .
1
в) y = x 2 ⋅ e x .
в) y =
ex
.
x
в) y = e − x − e 2 x .
e x −1
.
в) y =
x −1
x −1
в) y = 2 ln
+1.
x
в) y = (1 + x ) ⋅ e − x .
в) y = ( x + 4) ⋅ e − ( x +3) .
в) y = ln
x
+1.
x+2
e x−4
.
x−4
e x−2
в) y =
.
x−2
e x +3
в) y =
.
x+3
в) y =
в) y = (4 − x ) ⋅ e x −3 .
в) y = 2 ln
x
−3.
x−4
−
1
x
в) y = ( x − 6 ) ⋅ e .
в) y = x ⋅e − x .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
31. а) y = x 4 − 6 x 2 + 5 ,
32. а) y = x 4 − 4 x 2 + 5 ,
33. а) y =
1 4 5 2 9
x − x + ,
4
2
4
34. а) y = − x 4 + 8 x 2 + 9 ,
4x2 + 9
,
4x + 8
x 2 − 5x + 6
,
б) y =
x2 +1
17 − x 2
,
б) y =
4x − 5
x3
,
б) y =
(x − 2)2
б) y =
1
35. а) y = − x 4 + x 2 + 1 ,
2
1
2
36. а) y = − x 4 + x 2 ,
9
3
x2 + 4
,
б) y = 2
x −4
x2 − 6x + 4
б) y =
,
3x − 2
1
37. а) y = x 3 − x 2 − 3 x + 4 ,
3
1
38. а) y = x 3 − 2 x 2 + 3 x + 1 ,
3
x2 + 6x + 9
,
б) y =
x+4
21 − x 2
,
б) y =
7x + 9
3
2
39. а) y = x − 4 x + 4 x ,
40. а) y =
1 3
x − x 2 − 3x ,
3
1
41. а) y = x 3 − 2 x 2 + 3x ,
3
1
1
42. а) y = − x 3 − x 2 + x ,
6
4
x2 + 2x −1
,
б) y =
2x +1
x 3 + x 2 − 3x − 1
б) y =
,
2(x 2 − 1)
б)
б)
43. а) y = x 3 + 6 x 2 + 9 x ,
б)
44. а) y = x 3 − 3x 2 + 4 ,
б)
45. а) y = x 3 − 3x 2 + 6 ,
б)
46. а) y = 2 x 3 − 3x 2 + 6 ,
б)
47. а) y = x 3 − 6 x 2 + 16 ,
б)
48. а) y = x 3 + 1.5 x 2 ,
б)
49. а) y = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 9 ,
б)
50. а) y = x 2 ( x − 2 ) ,
б)
51. а) y = − x 3 − 3 x 2 + 2 ,
б)
2
2 x3 + 2 x 2 − 9 x − 3
y=
,
2 x3 − 3
3 x 2 − 10
y=
,
3 − 2x2
− x 2 − 4 x + 13
y=
,
4x + 3
3x − 2
y=
,
x3
4
,
y= 2
x + 2x − 3
4
y=
,
3 + 2x − x2
x 2 − 11
y=
,
4x − 3
x 3 − 2 x 2 − 3x + 2
y=
,
1− x2
3x 2 − 7
y=
,
2x +1
2 x 3 − 3x 2 + 2 x + 1
y=
,
1 − 3x 2
4 x 3 − 3x
y=
,
4x2 −1
24
ln x
.
x2
ex
в) y =
.
x +1
ln x
в) y =
.
x
в) y =
в) y = −( x + 1) ⋅ e x + 2 .
1
x
в) y = x ⋅ e .
ln x
.
x
e−( x+2 )
в) y = −
.
x+2
e −2( x −1)
в) y = −
.
2( x − 1)
в) y =
в) y = 2 x 2 − ln x .
в) y = ( 3 − x ) ⋅ e x −2 .
в) y = ( x − 2 ) ⋅ e3− x .
в) y = x3 Чe1 x .
в) y = 3 ln
x
−1 .
x−3
в) y = x( x − 1) ⋅ e x .
в) y = x 2 ⋅ ln x .
в) y = ( x + 1) ⋅ e − x .
3
в) y = x − ln x .
в) y = ln
x
−1.
x+5
в) y = ln (1 + x 2 ) .
в) y = −(2 x + 1) ⋅ e 2( x +1) .
в) y = (2 x − 1) ⋅ e 2(1− x ) .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
(x + 1)2 (x − 3)2 ,
16
x 3 + 3x 2 − 2 x − 2
,
2 − 3x 2
x3 − 4 x
y= 2
,
3x − 4
4 x 3 + 3x 2 − 8 x − 2
y=
,
2 − 3x 2
2 x 3 + 2 x 2 − 3x − 1
y=
,
2 − 4x2
2x2 − 6
y= 2
,
x −2
x3 − 5x
y=
,
5 − 3x 2
3
(
x − 1)
y=
,
(x + 1)2
б) y =
в) y = ( x − 1) ⋅ e x .
53. а) y = 2 x 3 − 3x 2 − 4 ,
б)
в) y = ( x − 2) ⋅ e x +3 .
54. а) y = ( x − 1) ( x − 3) ,
б)
55. а) y = 6 x − 8 x 3 ,
б)
56. а) y = 2 x 3 + 3x 2 − 5 ,
б)
52. а) y = −
2
2
57. а) y = (2 x + 1) (2 x − 1) ,
2
б)
58. а) y = −8 x 3 + 12 x 2 − 2 ,
б)
27 3
(
x − x 2 )− 4 ,
59. а) y =
4
1
60. а) y = (− x 3 − 6 x 2 + 16) ,
8
x 2 + 5x + 6
,
б) y =
x2 +1
− x2 + x − 6
,
б) y =
(x + 1)2
2
61. а) y = 16 x 3 − 36 x 2 + 24 x − 9 ,
62. а) y = 63. а) y =
1
2
(x - 2) ( x - 6)2 ,
16
1
(
− x 3 − 3 x 2 + 9 x + 11) ,
8
3
2
64. а) y = 16 x + 12 x − 5 ,
x2 − 4x +1
,
x2
x2 + 4x +1
б) y =
,
x2
x2 + 2x +1
,
б) y =
x2
x2
б) y =
,
2(1 − x )
б) y =
x3
,
x2 +1
x2
y= 2
,
x +1
5x2
y= 2
,
x − 25
x2
y= 2
,
x −4
3x
y=
,
1+ x2
x 2 + 16
,
y=
4x
− 2x2 + x +1
,
y=
x
− x2 + 4x − 3
,
y=
x
в) y = x ⋅ e − x .
в) y = x ⋅ e −5 x .
в) y = x ⋅ ln x .
в) y = x 3 ⋅ e − x .
в) y = x ⋅ e x .
в) y = x 3 ⋅ ln x .
2
в) y = x ⋅ e x − x .
2
в) y = x 2 ⋅ e − x .
2
в) y = x ⋅ e − x .
2
в) y = e 2 x − x .
e 4− x
в) y =
.
4− x
б) y =
в) y = x 2 ( x − 1) ⋅ e x . .
1
9
66. а) y = x 3 − x 2 + 6 x − 9 ,
4
4
б)
e 5− x
в) y =
..
5− x
67. а) y = ( x + 1) ( x − 1) ,
б)
68. а) y = − x 3 + 3x 2 − 2 ,
б)
65. а) y = − x 3 + 3x ,
2
69. а) y =
2
1 3 3 2
x + x −5,
4
4
2
б)
70. а) y = 16 x 2 (x - 1) ,
б)
71. а) y = −4 x 3 − 6 x 2 + 1 ,
б)
72. а) y = 2 x 3 + 9 x 2 + 12 x ,
б)
25
в) y = ( x − 3) ⋅ e − x + 4 . .
e x −5
.
x −5
x+6
y = ln
−1 .
x
x
y = 3 − ln
.
x+4
e 3− x
y=
.
3− x
x+3
y = 2 ln
−3.
3
в) y =
в)
в)
в)
в)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
73. а) y = (2 x − 1) (2 x − 3) ,
2
2
1
3
74. а) y = − x 3 + x ,
8
2
27 3
(
x + x 2 )− 5 ,
75. а) y =
4
76. а) y = −
2
1 3
(
x − 4) ,
16
1
3
77. а) y = − x 3 + x 2 − 2 ,
8
2
78. а) y = 4 x 3 − 3x 2 − 1 ,
2 x 2 − 3x − 2
,
x +1
1− 2x2
,
б) y =
x +1
x2 − 4x + 4
,
б) y =
x +1
x
−1 .
x +1
x −5
в) y = ln
−2.
x
2 x- 1
e( )
в) y =
.
2( x - 1)
б) y =
б) y =
в) y = 2 ln
− 2x2 − 4x − 5
,
x+2
в) y = −
x2 + 4x −1
,
x −1
x3
,
б) y =
1− x2
б) y =
в) y =
e 2( x + 2 )
.
2( x + 2 )
ex
.
x
в) y = x 2 ⋅ e x .
§5. Дополнительные задания
для самостоятельной работы
1. a) y = sin x Чsin 2 x ,
б) y = ( x − 5)3 x 2 .
2. a) y = 2 sin x + cos 2 x ,
б) y = ( x + 1) x .
3. a) y = sin 3 x + cos 3 x ,
б) y = ( x − 1) x .
4. a) y = ln cos x − cos x ,
б) y = x 1 − x 2 .
5. a) y =
1
sin 2 x + cos x ,
2
6. a) y = x − arctgx ,
7. a) y = 2 x + 4arctgx ,
б) y = 3 x 2 − 3 x 2 − 1 .
б) y = 3 ( x + 2 ) + 3 ( x − 2 ) .
2
б) y = ( x + 2) ⋅ e
2
−
1
x
.
8. a) y = arccos
1− x2
,
1+ x2
б) y = 3 (1 + x ) + 3 (1 − x ) .
9. a) y = arcsin
2x
,
1+ x2
б) y = (1 − x )3 x .
10. a) y = arcsin 1 − 4 x 2 − 2 1 − 4 x 2 ,
б) y = ( x + 1)3 x 2 .
11. a) y = e arctgx ,
б) y = 3 (x − 2 ) − 3 ( x + 2) .
12. a) y = e sin x ,
б) y = 3 x + 3 x + 1 .
13. a) y = e cos x ,
б) y = (10 − x )3 x 2 .
2
2
26
2
.
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14. a) y = ln (cos x + sin x ) ,
x2 +1
15. a) y =
4x 2 − 3
(
3
(
)
18. a) y = ln 2 cos x ,
-
2 cos x
б) y =
x2 − 3
3x 2 − 2
.
б) y = x 2 − 2 ⋅ e x −1 .
sin x ,
19. a) y = e
)
б) y = ln 2 sin x .
,
16. a) y = ln (sin x − cos x ) ,
17. a) y =
б) y = 3 ( x + 6 )x 2 .
,
20. a) y = 3 ( x − e )x 2 ,
б) y = 3 x 2 (x − 4 ) .
2
б) y =
2 − x2
9x 2 − 4
.
б) y = arctg sin x .
Литература
1. Высшая математика для экономистов: учеб. пособие для
вузов / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 1998. –
439 с.
2. Кремер, Н.Ш. Практикум по высшей математике для экономистов: учеб. пособие для вузов / Н.Ш. Кремер. – М.:
ЮНИТИ, 2005. – 423 с.
3. Красс, М.С. Математика для экономических специальностей / М.С. Красс. – М.: Дело, 2003. – 704 с.
4. Кузнецов, Б.Т. Математика: учебник для студентов вузов,
обучающихся по специальностям экономики и управления
/ Б.Т. Кузнецов. – М.: ЮНИТИ, 2004. – 719 с.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
§1. Основные теоретические сведения ............................................. 3
§2. Общая схема исследования функций
и построения графиков ...................................................... 11
§3. Примеры исследования функций и построения графиков .... 12
§4. Варианты заданий для самостоятельной работы.................... 22
§5. Дополнительные задания для самостоятельной работы ........ 26
Литература ........................................................................................ 27
Учебное издание
Исследование функций
и построение графиков
Методические указания
Составители: Бестужева Людмила Петровна
Никулина Елена Вячеславовна
Овсянникова Ирина Радиевна
Редактор, корректор В.Н. Чулкова
Компьютерная верстка Е.Л. Шелеховой
Подписано в печать 26.03.2007 г. Формат 60х84/16.
Бумага тип. Усл. печ. л. 1,63. Уч.-изд. л. 1,5.
Тираж 50 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе ЯрГУ.
Отпечатано на ризографе.
Ярославский государственный университет.
150000 Ярославль, ул. Советская, 14.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследование функций
и построение графиков
30
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
36
Размер файла
461 Кб
Теги
построение, графиков, функции, 276, исследование
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа