close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

343.Обработка информации в управляющих системах Ч 2 Методические указания

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Кафедра вычислительных и программных систем
Кафедра дифференциальных уравнений
Кафедра теории функций и функционального анализа
Обработка информации
в управляющих системах
Часть 2
Методические указания
к лабораторным работам
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов специальности и направления
Прикладная математика и информатика
Ярославль 2005
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 002.372.8
ББК В182я73
О 23
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2005 года
Рецензент
кафедра теоретической информатики
Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова
Составители А.К. Карлин, А.Д. Пендюр, Н.А. Стрелков
О 23
Обработка информации в управляющих системах.
Ч. 2: Метод. указания / Сост. А.К. Карлин, А.Д. Пендюр,
Н.А. Стрелков; Яросл. гос. ун-т.– Ярославль: ЯрГУ, 2005.–
46 с.
Содержатся основные теоретические положения и
предлагаются лабораторные работы для их освоения и
экспериментального подтверждения на программных моделях.
Указания предназначены для студентов, обучающихся
по дисциплине “Обработка информации в управляющих
системах”, специальность 010200 Прикладная математика
и информатика и направлению 510200 Прикладная математика и информатика (блок ДС), очной формы обучения.
Могут быть использованы при выполнении расчетных,
курсовых и дипломных работ.
УДК 002.372.8
ББК В182я73
© Ярославский государственный университет, 2005
© А.К. Карлин, А.Д. Пендюр, Н.А. Стрелков, 2005
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лабораторная работа № 5
Нормализация изображений
Целью данной работы является ознакомление с методом пространственной нормализации изображений, используемым на этапе
предварительной обработки алгоритмами распознавания.
Задача нормализации изображений (т. е. некоторой стандартизации) возникает в тех случаях, когда поступающие на автоматическую обработку изображения объектов сняты в меняющихся условиях наблюдения. Например, могут меняться освещенность объекта и фона; положение объекта в поле обзора оптической системы;
расстояние до объекта, т. е. его масштаб в кадре и т. п.
Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай – нормализацию положения объекта в кадре [1]. В качестве стандартного
примем такое положение объекта в кадре, при котором его главные
оси параллельны координатным осям кадра. Главными осями будем считать прямоугольную систему координат, связанную с объектом и расположенную так, что относительно одной из осей момент инерции изображения максимален (или минимален).
Объектом будем считать связное множество светлых элементов (пятно), где
светлые элементы А и В принадлежат одному пятну, если
из А в В можно
попасть, двигаясь только по
смежным светлым элементам
Рис. 1. Пример связной компоненты
(смежным к элементу матрицы
считается соседний к нему элемент, выбранный в одном из восьми
возможных направлений дискретной решетки) (см. рис. 1).
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Моментом инерции M l системы материальных точек относительно прямой l называется [2]
(1)
M l = ∑ mi Ri ,
где mi – масса i-й точки;
Ri – расстояние i-й точки до прямой l, а суммирование ведется
по всем точкам системы.
Рассмотрим ситуацию, изображенную на рис. 2.
Пусть mi – код яркости i-го элемента пятна. Моменты инерции
пятна относительно осей cU и cV равны:
(2)
M U = ∑ mi vi ;
M V = ∑ mi ui ,
где суммирование ведется по всем элементам пятна.
Координатные
системы,
изображенные на рисунке, связаны следующими соотношениями:
=
ui xi′ cos ϕ + yi′ sin ϕ ;
vi = − xi′ sin ϕ + yi′ cos ϕ ; (3)
′ xi − a0 ;
x=
i
′ yi − b0 .
y=
i
Подставляя уравнения (3) в
Рис. 2. Расположение
(2), окончательно получим:
координатных систем
где
=
B1
=
M U B1 sin 2 ϕ − B2 sin(2ϕ) + B3 cos 2 ϕ ;
=
M V B1 cos 2 ϕ + B2 sin(2ϕ) + B3 sin 2 ϕ ;
∑m x − a ∑m x ;
=
B ∑m x y − b ∑m x ;
=
B ∑m y − b ∑m y ;
a = (∑ m x ) / ∑ m ;
b = (∑ m y ) / ∑ m ;
2
i i
0
i i
3
i i i
2
i i
0
i i
i
0
i
i
i
0
i i
i
0
i
- суммирование везде ведется по всем элементам пятна.
4
(4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Значение угла ϕ найдем из условия экстремума значения M U
(или M V ):
dM U
(5)
= 0.
dϕ
Подставляя уравнение (4) в (5), получим
2 B2
,
(6)
tg (2ϕ) =
B1 − B3
откуда
2 B2
1
(7)
=
ϕ
arctg ( =
) + k π , k 0,1, 2,...
2
B1 − B3
- четные значения k соответствуют одному экстремальному
значению момента M U (например, максимальному значению M U ),
а нечетные – второму (соответственно, минимальному значению).
Замечания
1. Для симметричного (с центральной симметрией) пятна выражение (7) становится неопределенным. Действительно, как следует из выражений (4), для такого пятна B2 = 0 и B1 = B3 (хотя точные значения встречаются редко). Этот факт следует учитывать
при написании программы алгоритма, чтобы избежать аварийной
ситуации.
2. Для угла поворота ϕ = π / 4 B1 = B3 и B2 ≠ 0 (если фигура не
симметрична), что также следует предусмотреть в программе как
особый случай.
Приведенные выше соотношения позволяют сформулировать
следующий алгоритм по определению угла поворота изображения
связной фигуры и ее перемещения для придания стандартного положения в кадре.
Алгоритм
Для определения угла поворота и перемещения изображения
связной компоненты по мере поступления кодов яркости mi элементов изображения и их координат xi , yi накапливаются следующие суммы:
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
α =∑ mi ;
α x =∑ mi xi ;
α xx =
∑ mi xi2 ;
(8)
α yx =
∑ mi yi ; α yy =∑ mi yi2 ; α xy =∑ mi xi yi ;
где суммирование ведется по всем элементам, принадлежащим
пятну.
После того как все элементы пятна будут исчерпаны, вычисляются вспомогательные значения B1 , B2 , B3 и координаты центра
тяжести a0 , b0 :
(9)
B1 =α xx − a0 α x ; B2 =α xy − b0 α x ; B3 =α xy − b0 α y ;
a0 =
α x / α ; b0 =
αy / α .
При B1 − B3 < ε и B2 < ε , где ε – положительная константа,
такая, что значения меньше ε можно считать машинным нулем для
данной задачи, пятно объявляется центрально-симметричным и
угол поворота принимается равным ϕ = 0 .
При B1 − B3 < ε и B2 ≥ ε угол поворота принимается равным
ϕ = π/ 4.
В остальных случаях вычисляется угол поворота ϕ :
2 B2
1
(10)
ϕ = arctg (
).
2
B1 − B3
Затем выполняется перенос изображения и его поворот для
придания стандартного положения (аффинные преобразования
смещения и поворота необходимо выполнить по правилам выполнения этих преобразований для дискретной решетки, так как без
учета дискретности решетки на изображении образуются пропуски).
Содержание работы
Сформировать изображение: две буквы – одна располагается в
первом квадранте и затем поворачивается на (-30) градусов (т.е.
координатные оси поворачиваются на 30 градусов), вторая – располагается во втором квадранте и поворачивается на 20 градусов.
Обработка: выделить связные компоненты (буквы). Для каждой связной компоненты определить центр тяжести и направление
оси, момент инерции относительно которой максимален.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Варианты заданий:
1. Ж М (рус.)
2. И К (рус.)
3. У Х (рус.)
4. Х Ш (рус.)
5. Ю И (рус.) 6. Н М (рус.)
7. W Y (лат.)
8. U Y (лат.)
9. M U (лат.)
На рис. 3 приведен пример визуализации:
Рис. 3. Пример визуализациии
Лабораторная работа № 6
Статистические модели
Данная лабораторная работа направлена на освоение приемов
составления программ, связанных с разработкой и исследованием
статистических моделей.
Особенностью составления программ, связанных со статистическим моделированием, является неизвестное заранее число экспериментов на модели, которое необходимо проделать для достижения необходимой точности в определении статистических параметров. Поэтому программы статистического моделирования
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ориентированы на бесконечное число экспериментов и выход из
программы выполняется пользователем при достижении необходимой точности.
Второй заметной особенностью программ статистического моделирования является необходимость двух режимов работы программ: отладочного, при котором визуализируется максимальное
число промежуточных результатов с целью контроля правильности
логики работы программы и рабочего, при котором отменяется визуализация промежуточных результатов, замедляющая ход вычислительного процесса.
Содержание работы
Лабораторная работа состоит из трех пунктов: исследование
датчика псевдослучайных чисел с равномерным распределением;
разработка процедуры-функции датчика псевдослучайных чисел с
нормальным распределением; разработка и исследование программы генерации пуассоновского поля точек.
1. Разработать программу модели для испытания датчика псевдослучайных чисел с равномерным распределением на отрезке
[0,1] Random. Построить ряд распределения (гистограмму) с шагом
∆ , выполнить его вывод на экран через каждые n1 экспериментов.
Выполнить оценку математического ожидания M * и дисперсии
D* для этого датчика по формулам [3]:
1 N
*
(1)
M = ∑ xi ;
N i =1
N 1 N 2
*
(2)
=
D
( ∑ xi − ( M * ) 2 ) ,
N − 1 N i =1
где x1 , x2 ,..., xN – значения, полученные от датчика псевдослучайных чисел; N – общее число экспериментов.
Построить графики оценок M * ( N ), D* ( N ) с шагом NT , указав
на экране теоретические значения математического ожидания и
дисперсии.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предлагаемые значения параметров:
Параметр
Значения
0.01, 0.02, 0.05
∆
1000, 5000, 10000
n1
2, 5
NT
Возможный вид графического вывода
рис. 1 и 2.
иллюстрируется
Рис. 1. Гистограмма при росте числа экспериментов
Рис. 2. Оценка математического ожидания
при увеличении числа экспериментов
2. Разработать программу процедуры-функции датчика псевдослучайных чисел с нормированным нормальным распределением.
Выполнить оценку математического ожидания и дисперсии для
разработанного датчика аналогично пункту 1. Построить и сравнить графики реализаций от датчика с равномерным и от датчика с
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нормальным распределением при одинаковом значении дисперсии
(длину реализации взять, например, равной 150).
Для получения значений псевдослучайных чисел с нормальным распределением можно воспользоваться следующим функциональным преобразованием:
=
yj
где
12
∑ x − 6,
i =1
i
(3)
xi – значения от датчика Random с равномерным распределением;
y j , j = 1, 2,... – псевдослучайные числа, распределение которых, согласно центральной предельной теореме, близко к нормальному.
Вычисляя математическое ожидание левой и правой части выражения (3) получим, что M y = 0 и аналогично Dy = 1, т. е. датчик,
функционирующий согласно выражению (3), дает псевдослучайные числа с нормированным нормальным распределением.
3. Разработать процедуру генерации пуассоновского поля точек размером NxN пиксел (кадр) с плотностью λ точек на кадр.
Вывести построенный кадр
на экран.
Получение пуассоновского поля (см. [3]) можно
выполнить двумя путями:
1) в каждом пикселе кадра
выполняется
независимое
испытание с вероятностью
успеха p = λ / N 2 . В случае
успеха в данном пикселе
ставится точка; 2) от датчика
с нормальным распределением с математическим
Рис. 3. Пример визуализации
ожиданием λ и дисперсией
λ выбрасывается число точек в кадре. Затем от датчика с равномерным распределением на отрезке [0,N] выбрасываются пары
значений, которые интерпретируются как координаты этих точек в
кадре. Пример визуализации приведен на рис. 3.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лабораторная работа № 7
Корреляционный алгоритм совмещения
точечных изображений
Целью данной работы является ознакомление с корреляционным алгоритмом совмещения точечных изображений и приемом
сокращения числа операций при его программировании.
Наиболее наглядной интерпретацией задачи совмещения точечных изображений может служить следующая: визируется участок небесной сферы с угловыми размерами L0 xL0 и линейными
размерами NxN пиксел. После оцифровки и предварительной обработки наблюдаемая картина звезд в виде координат центров отметок от наблюдаемых звезд (плюс шумовые отметки) поступает
на дальнейшую обработку. По данным грубой ориентации телескопа и имеющегося в памяти машины каталога звезд строится
карта участка небесной сферы, охватывающая визируемый участок
с учетом возможной погрешности ориентации телескопа. Требуется определить параметры смещения a0 , b0 между координатными
системами карты XOY и кадра UO′V (см. рис. 1) (при используемых в настоящее время значениях параметров углом поворота между этими координатными системами можно пренебречь).
Рис. 1. Пример взаимной ориентации
кадра и карты
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
К аналогичной задаче – совмещения точечных изображений –
сводятся многие задачи слежения за поведением объектов на последовательности кадров (обычно изображение предварительно
подвергается скелетизации для сведения его к точечному узору).
Пусть R1[ x, y ] – двумерная функция, описывающая карту визируемого участка небесной сферы:
M1
∑ δ[ x − x , y − y ] ,
R 1[ x, y ] =
i
i =1
(1)
i
где M 1 – число точечных отметок на карте;
при=
x 0,=
y 0;
 1,
δ[ x, y ] =

0, в остальных случаях;
и R2 [u , v] – двумерная функция, описывающая точечные отметки
кадра:
R2 [u , v] =
M2
∑ δ[u − u , v − v ] ,
j
j =1
(2)
j
где M 2 – число точечных отметок в кадре.
Связь между координатными системами кадра и карты имеет
следующий вид:
(3)
u= x − a0 ;
v= y − b0 ,
где a0 , b0 – неизвестные параметры смещения между координатными системами, которые и требуется определить.
Взаимная корреляционная функция между кадром и картой
имеет вид (см. также рис. 2):
=
K ( a, b)
∞
∞
∑ ∑ R [ x, y ] R [ x − a , y − b ] .
y =−∞ x =−∞
1
(4)
2
Чтобы избежать перебора всех возможных значений перемещений a,b, поступим следующим образом: подставим в выражение
(4) значения из (1), (2) и (3):
=
K ( a, b)
∞
∞
M1
M2
∑ ∑ {∑ δ[ x − x , y − y ]} ⋅ {∑ δ[ x − a − u , y − b − v ]}.
y =−∞ x =−∞
i =1
i
i
j =0
j
j
Так как значение функции δ[ x − a − u j , y − b − v j ] отлично от нуля только при x= a + u j и y= b + v j , то выражение взаимной корреляционной функции окончательно принимает следующий вид:
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
K (a, b=
)
M1 M 2
∑∑ δ[a − ( x − u ), b − ( y
i
=i 1 =j 1
j
i
− v j )] ,
(5)
т. е. процесс построения K (a, b) сводится к тому, что в точках
a= xi − u j и b= yi − v j к значению функции добавляется по единице. Число операций при этом пропорционально произведению числа отметок в кадре и карте Ο( M 1 ⋅ M 2 ) , а не размерам кадра и карты
(см. выражение (4)).
Корреляционная функция K (a, b) для кадра и карты, изображенных на рис. 1, иллюстрируется рис. 2. В реальной ситуации изза погрешностей получается не один крупный пик, расположенный
в точке с координатами (a0 , b0 ) , а плотная группа более мелких (см.
рис. 3).
Рис. 2. Взаимная корреляционная функция K (a, b)
для кадра и карты, изображенных на рис. 1,
при отсутствии искажений в кадре
Для функций, имеющих вид набора δ -функций, в качестве метода поиска максимума подходит только перебор всех значений.
Используется следующий способ определения максимума K (a, b)
(см. [1] “метод редкой сетки”): плоскость aOb разбивается на более
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
крупные клетки – не 1х1 пиксел, а, например, 10х10 или 50х50 – в
зависимости от предполагаемых максимальных значений сдвига
(a0 , b0 ) . Затем резервируется двумерный массив счетчиков, подсчитывающих число попаданий разностей (( xi − u j ),( yi − v j )) в данную
клетку. По окончании подсчета значений K (a, b) выбирается счетчик с максимальным значением. Центр соответствующей клетки
(или центр тяжести попавших в него точек) выдается в качестве
(a0 , b0 ) .
Рис. 3. Взаимная корреляционная функция K (a, b)
для кадра и карты, изображенных на рис. 1,
при наличии искажений в кадре
со среднеквадратическим отклонением 1 пиксел
Содержание работы
Разработать программу модели по генерации узора карты и
кадра и определения параметров связи между их координатными
системами с помощью корреляционного алгоритма.
1. Карта генерируется как пуассоновское поле точек с плотностью λ s точек на кадр размером NxN пиксел. Размеры карты LxL
пиксел.
Из массива координат точек карты вырезается участок размером NxN пиксел с началом координат в точке (a0 , b0 ) , который составляет кадр. Затем с помощью корреляционного алгоритма определяются параметры (a0 , b0 ) .
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Повторить действия по формированию карты и кадра, указанные в пункте 1, и затем добавить к массиву кадра помехи в виде
пуассоновского поля помех с плотность λ n точек на кадр. Затем с
помощью корреляционного алгоритма определить параметры
(a0 , b0 ) .
3. Повторить действия по формированию карты и кадра, указанные в пункте 1, и затем внести в координаты точек кадра (u j , v j )
погрешности, распределенные по нормальному закону со среднеквадратическим отклонением σ . Затем добавить к массиву кадра
помехи в виде пуассоновского поля помех с плотность λ n точек на
кадр.
С помощью корреляционного алгоритма определить параметры (a0 , b0 ) . Оценить влияние помех и искажений на точность определения параметров сдвига (a0 , b0 ) при многократном повторении
этого пункта.
Варианты заданий:
№
1
2
3
4
5
LxL
400x400
400X400
400x400
500x500
500x500
NxN
300x300
300x300
300x300
350x350
300x300
a0
b0
λs
λn
σ
30
20
20
30
50
30
20
20
30
50
50
70
100
70
70
50
35
35
35
30
1.5
1
1
1.5
1,
где LxL – размер карты (пиксел);
NxN – размер кадра (пиксел);
a0 , b0 – параметры смещения начала координат кадра в системе
координат карты;
λ s – плотность пуассоновского поля точек карты (единица
площади – площадь кадра);
λ n – плотность пуассоновского поля помех кадра (единица
площади – площадь кадра);
σ – среднеквадратическое отклонение погрешностей координат точек кадра (пиксел).
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лабораторная работа № 8
Сглаживающие свойства фильтров
Целью данной работы является экспериментальная оценка
сглаживающих свойств линейных цифровых фильтров: фильтра
“скользящее среднее” и экспоненциального фильтра [4].
Сглаживающие свойства фильтров принято оценивать коэффициентом сглаживания по дискретному белому шуму K сгл :
Dвх
,
Dвых
где Dвх – дисперсия шума на входе фильтра;
Dвых – дисперсия шума на выходе фильтра.
Общий вид уравнения линейной фильтрации следующий:
K сгл =
y[n=
]
(1)
n
∑ x[n − m] ⋅ W [m] , n = 0,1, 2,... ,
m =0
(2)
где x[n] – входной сигнал фильтра;
W [n] – импульсная реакция фильтра;
y[n] – выходной сигнал фильтра.
Для фильтра “скользящее среднее” импульсная реакция, т. е.
выход фильтра при входном сигнале вида δ -функции
1, при n = 0 ;
(3)
δ[n] =

0,
при
n
≠
0
;

имеет вид
,
0n ≤ L≤ ( − 1) ;
1/ Lпри
(4)
W1[n] = 
0
,
при
n
>
(
L
−
1)
.

Для экспоненциального фильтра импульсная реакция имеет
вид
(5)
W2 [=
n] a (1 − a ) n , n = 0,1, 2,... ,
где a = const – постоянный коэффициент, обеспечивающий сглаживание при 0 < a < 1.
Алгоритм фильтра “скользящее среднее” состоит в том, что
для перемещающейся апертуры (окна) длины L вычисляется среднее значение входных отсчетов x[n] , n = 0,1, 2,... , попадающих в
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пределы апертуры и выдается в качестве выходного сигнала
y[n] , n = 0,1, 2,... . Выходной сигнал фильтра вычисляется согласно
следующему выражению, которое получается подстановкой импульсной реакции (4) в общее уравнение линейной фильтрации (2)
1 L−1
(6)
y[n]
=
∑ x[n − i] .
L i =0
Для программной реализации используют разностное уравнение, дающее тот же результат, что и уравнение (6), но требующее
меньшего числа операций
1
(7)
y[n]= y[n −при
1] +y ( x[n] − x[n − L]) ,
[−1]= 0 .
L
Для оценки сглаживающих свойств фильтра, определяемого
выражением (6), подадим на его вход дискретный белый шум ϕ[n]
с математическим ожиданием M ϕ = 0 и дисперсией Dϕ . Для получения значения дисперсии выходного сигнала вычислим дисперсию левой и правой части выражения (6)
1 L−1
(8)
D{ y=
[n]} D{ ∑ ϕ[n − i ]} .
L i =0
В стационаре, т. е. при достаточно больших значениях n , значение n можно опустить. Используя теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин [3] и учитывая, что значения белого шума при разных n независимы между собой, получим
Dϕ
.
(9)
Dy =
L
Окончательно коэффициент сглаживания фильтра “скользящее
среднее” равен
(1)
(10)
K сгл
= L.
Выходной сигнал экспоненциального фильтра вычисляется согласно следующему выражению, получаемому подстановкой импульсной реакции (5) в общее уравнение (6)
y[n=
]
n
∑ x[n − m] ⋅ a(1 − a)
m =0
m
.
(11)
Для программной реализации используется следующее разностное уравнение, дающее тот же результат, но требующее меньшего числа операций
(12)
y[n=
] a xn
[при
] + (1
y − a ) y[n − 1] ,
[−=
1] 0 .
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для оценки сглаживающих свойств экспоненциального фильтра подадим на его вход дискретный белый шум (т. е. x[n] = ϕ [n] ) и
вычислим дисперсию выходного сигнала. Учитывая, что значения
белого шума ϕ [n] и ϕ [n − 1] независимы между собой и тем более
независимы ϕ [n] и y[n − 1] , получим
(13)
D
=
a 2 Dϕ + (1 − a ) 2 Dy ,
y
откуда
a
(14)
=
Dy
Dϕ .
2−a
Окончательно коэффициент сглаживания экспоненциального
фильтра равен
2−a
(2)
.
(15)
K сгл
=
a
Содержание работы
Разработать программу статистических исследований по измерению коэффициента сглаживания фильтров “скользящее среднее”
и экспоненциального.
Общая схема эксперимента имеет следующий вид:
Рис. 1. Схема измерения сглаживающих свойств фильтра
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В качестве уравнения фильтрации используется уравнение (7).
Осуществляется холостая прогонка длительностью больше длительности переходного процесса. Затем начинаются измерения для
подсчета значений оценок дисперсии сигнала на входе и выходе
фильтра. Оценка дисперсии выполняется по следующим формулам
[3]
1 N
*
(16)
M = ∑ xi ;
N i =1
N 1 N 2
*
(17)
=
D
( ∑ xi − ( M * ) 2 ) ,
N − 1 N i =1
где x1 , x2 ,..., xN – значения, для которых вычисляется оценка дисперсии; N – общее число экспериментов.
Затем
вычисляется
коэффициент
сглаживания
K сгл = Dвх / Dвых . Значения коэффициента сглаживания вычисляются начиная от Lmin до Lmax с шагом ∆L , указанных для данного
варианта.
Затем аналогичные действия проделываются для оценки сглаживающих свойств экспоненциального фильтра (уравнение фильтрации (12)). Экспериментальные значения коэффициента сглаживания вычисляются от amin до amax с шагом ∆a , указанных для данного варианта задания.
Теоретические значения коэффициентов сглаживания для
фильтров “скользящее среднее” (см. выражение (10)) и экспоненциального (см. выражение (15)) и полученные экспериментальные
значения вывести в виде таблиц для трех значений числа экспериментов: 500, 5 000, 50 000.
Варианты заданий
№ п/п
1
2
3
4
5
Lmin
Lmax
∆L
a min
a max
∆a a max
3
5
7
5
11
11
25
31
21
31
2
5
3
2
4
0.1
0.05
0.03
0.05
0.01
0.5
0.25
0.1
0.25
0.11
0.1
0.05
0.01
0.05
0.02
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лабораторная работа № 9
Частотные характеристики фильтров
Целью данной работы является отработка приемов измерения
частотных характеристик линейных фильтров.
Для анализа гармонического состава решетчатой функции
x[n], n=0,1,2…, определены два Фурье-представления (см. лабораторную работу № 3):
1) в виде дискретного ряда Фурье (ДРФ):
X=
(ω)
*
∞
∑ x[n] ⋅ exp(− jωn) ,
n =−∞
(1)
где j – мнимая единица,
ω – безразмерная частота,
n – безразмерное время;
2) в виде дискретного преобразования Фурье (ДПФ):
N −1
2π
1
(2)
X=
nk ) , k 0,1, 2,...,( N − 1) ,
[k ] N ∑ x[n] ⋅ exp(− j =
N
n =0
где N – длина выборки для решетчатой функции x[n].
В качестве синонима понятия “преобразования Фурье” часто
используют термин спектр, а какой именно спектр (ДРФ или
ДПФ), или дополнительно оговаривается, или это ясно из контекста.
Для ДПФ спектр X[k] (сказанное ниже полностью переносится
и на случай спектра ДРФ X * (ω ) ) является комплексным числом и в
зависимости от способа записи комплексного числа:
=
X [k ] Re{ X [k ]} + j ⋅ Im{ X [k ]}
или X =
[k ] A[k ] ⋅ ex p j ⋅{ϕ[k ]} ,
компоненты спектра носят названия:
Re{X[k]} – вещественная часть спектра;
Im{X[k]} – мнимая часть спектра;
A[k] – амплитудный спектр;
ϕ [k ] – фазовый спектр.
Амплитудный спектр
=
A[k ] X
=
[k ] , k 0,1, 2,...,( N − 1) интересен тем, что он инвариантен к сдвигам (т. е. не меняется при сдвигах) сигнала во времени.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
N
+ 1) независимых спектраль2
ных точек ДПФ, когда x[n] является последовательностью действительных чисел. График амплитудного спектра имеет вид решетчатой функции, точки которой зеркально симметричны относительно середины интервала наблюдения.
Для спектра X[k] справедлива теорема об умножении изображений (теорема свертывания в вещественной области) (аналогичная теорема справедлива и для X * (ω) ): произведение изображений
двух функций x1[n] и
=
x2 [n] , n 0,1, 2,...,( N − 1) является изображением их свертки, т. е. если
(3)
F{x1[n]} = X 1[k ] и F {x2 [n]} = X 2 [k ] ,
где F {...} – ДПФ аргумента, указанного в фигурных скобках;
то
Амплитудный спектр имеет (
n
F{∑ x1[n − m] ⋅ x2 [m]}
= X 1[ k ] ⋅ X 2 [ k ] , n ≥ m .
(4)
m =0
Поскольку линейная фильтрация соответствует свертке входного сигнала и импульсной реакции фильтра:
y[=
n]
n
∑ x[m] ⋅ w[n − m] ,
m =0
(5)
где x[n] – входной сигнал фильтра;
y[n] – выходной сигнал фильтра;
w[n] – импульсная реакция фильтра,
то, используя выражение (4) по отношению к свертке (5), можно
интерпретировать процедуру фильтрации как изменение частотного состава входного сигнала; если амплитудный спектр импульсной реакции на рассматриваемой частоте:
- равен единице, то гармоническая компонента входного сигнала данной частоты проходит через фильтр без изменения ее амплитуды;
- меньше единицы, то амплитуда гармонической компоненты
входного сигнала данной частоты уменьшается после прохождения
через фильтр;
- больше единицы, то амплитуда гармонической компоненты
входного сигнала данной частоты увеличивается после прохождения через фильтр.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По виду амплитудных характеристик импульсных реакций
фильтры можно разделить на следующие классы:
- фильтры нижних частот, которые пропускают только низкочастотные составляющие входного сигнала. Обычно это сглаживающие фильтры, убирающие высокочастотный шум;
- полосовые фильтры, используемые для выделения из входного сигнала только гармоник заданной частоты;
- высокочастотные фильтры, используемые для отделения высокочастотной составляющей входного сигнала;
- резонансные фильтры, используемые для выделения и усиления гармоник заданного диапазона частот.
Сказанное выше иллюстрируется примерами амплитудных характеристик, приведенных на рис. 1.
Рис. 1. Амплитудно-частотные
характеристики фильтров
Содержание работы
Разработать программную модель для измерения частотных
характеристик линейного фильтра. Общая схема, на основании которой создается алгоритм модели, приведена на рис. 2.
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2. Структурная схема модели
На вход фильтра подается гармоника фиксированной круговой
частоты ω0 (рад/такт), что соответствует частоте F =
ω0 /(2π) (периодов/такт) или длительности периода T = 1/ F = 2π / ω0 (тактов).
Затем выполняется некоторое число тактов прогонки фильтра, чтобы закончился переходный процесс фильтра (параметры предлагаемых в лабораторной работе заданий подобраны так, что для любого варианта длительность переходного процесса менее 1 000 тактов). Затем измеряется амплитуда гармоники на выходе фильтра.
Отношение амплитуды входного сигнала к амплитуде выходного
отмечается на графике. Затем значение частоты входного сигнала
увеличивается и процесс повторяется.
Шаг приращения частоты входной гармоники зависит от вида
спектра: для случая ряда Фурье (1) приращение частоты может выбираться исследователем произвольно; для случая ДПФ (2) частота
входного сигнала должна принимать такие значения, чтобы за время наблюдения N(тактов) укладывалось (2π./ N )k , k=0,1,2,…N -1
периодов (амплитудный спектр зеркально симметричен относительно k=N/2-1).
Пример
Выполним измерение амплитудного спектра импульсной реакции фильтра, описываемого уравнением
y[n] =ax[n]+(1-a)y[n-1] ε ,
при y[-1]=0.
(6)
Последовательно подаются гармоники возрастающей частоты,
и по истечении переходного процесса замеряется амплитуда выходных сигналов. Результаты измерений отношения амплитуды
выходного сигнала к амплитуде входного приведены на рис. 3.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 3. Амплитудно-частотный спектр фильтра
(6)
Для измерения фазового частотного спектра фильтра алгоритм
модели воспроизводит следующую схему:
Рис. 4. Структура модели для измерения фазового сдвига
По истечении времени переходных процессов в фильтрах отмечаются точки с координатами ( x1[n], x2 [n]) и ( y1[n], y2 [n]) . Угловые расстояния между радиус-векторами этих точек и указывают
фазовый сдвиг на данной частоте.
Варианты заданий
Построить амплитудно-частотный и фазово-частотный
тры следующих фильтров:
1 L−1
скользящее среднее
=
y[n]
∑ x[n − i] ;
L i =0
экспоненциальный y[n=
] a xn
[при
] + (1
y − a) y[n − 1] ,
[−=
1] 0 ;
полосовой y=
[n] y1[n] − y2 [n] ,
где y1[n=
] ax[n] + (1 − a) y[n − 1] ,
y2 [n=
] ax[n − h] + (1 − a ) y[n − 1] ,
a, h – константы.
24
спек(7)
(8)
(9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
L
5
10
20
50
15
15
20
20
30
40
a
0.10
0.20
0.15
0.10
0.15
0.10
0.05
0.15
0.06
0.1
h
20
10
40
30
25
10
50
25
50
20
Лабораторная работа № 10
Двусторонняя фильтрация
Целью данной работы является разработка и экспериментальные исследования программных моделей одномерных двусторонних фильтров. Областью применения данных фильтров является
обработка измерительной информации, находящейся в накопителях
длительного хранения и не требующей реакции в реальном масштабе времени: например, записи результатов геофизических исследований, таких как измерение температуры, давления, записи сейсмограмм и т.п. В случае изображений одномерные двусторонние
фильтры используются для обработки вдоль строк (или столбцов).
Основное отличие двусторонних фильтров от односторонних
состоит в отсутствии фазового сдвига выходного сигнала по отношению к входному.
Одномерная односторонняя фильтрация состоит в вычислении
свертки следующего вида:
=
y[n]
n
∑ x[k ]W [n − k ] ,
I
k =0
(1)
где x[n] , y[n] – входной и выходной сигналы фильтра соответственно; WI [n] – импульсная реакция фильтра, значения которой отличны от нуля только при положительных значениях n ≥ 0 .
Двусторонняя фильтрация состоит в вычислении свертки вида
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
=
y[n]
∞
∑ x[k ]W
II
k =−∞
[n − k ] ,
(2)
где x[n] , y[n] – входной и выходной сигналы фильтра соответственно; WII [n] – импульсная реакция фильтра, значения которой отличны от нуля не только при положительных значениях n ≥ 0 , но и
при отрицательных значениях n < 0 .
При подготовке к вычислениям свертки (2) первоначально готовится к вычислениям свертка (1), при этом полагается
=
W
W=
W [n] при n ≥ 0 . Подготовка состоит в подборе разI [ n]
II [ n]
ностного уравнения, решением которого является свертка (1), но
которое требует меньшего объема операций.
Для подбора разностного уравнения, решением которого является свёртка (1), потребуется Z -преобразование [5].
Z-преобразование решетчатой функции f [n], n = 0,1, 2,.... ,
Z { f [=
n]} F=
( z)
∞
∑ f [ n] z
−n
,
(3)
n =0
где z – комплексная величина.
Теорема 1. Умножение изображений.
Если оригиналу f1[n] соответствует изображение F1 ( z )
то
f1[n] ←
→ F1 ( z ) и f 2 [n] ←
→ F2 ( z ) ,
n
F1 ( z ) ⋅ F2 ( z ) ←
→ ∑ f1[k ] ⋅ f 2 [n − k ] .
(4)
k =0
Умножение изображений соответствует свертке в области оригиналов.
Теорема 2. Смещение аргумента в области оригиналов.
Пусть f [n] ←
→ F [( z ) . Тогда
k
Z { f [n −=
k ]} z {F ( z ) + ∑ z r f [−r ]} ,
−k
(5)
r =0
k
и Z { f [n + k=
]} z k {F ( z ) + ∑ z − r f [r ]} ,
(6)
r =0
где k = const .
При f [− k ] = .... = f [k − 1] = 0
Z { f [n ± k ]} =
z ±k F ( z) .
26
(7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подбор разностного уравнения, решением которого является
свертка (1), выполняется в следующем порядке.
Перейдем в (1) к изображениям, тогда согласно (4)
(8)
Y ( z) = W ( z) X ( z) ,
где Y ( z ), W ( z ), X ( z ) – изображения y[n], w[n], x[n] соответственно.
Пусть изображение импульсной реакции w[n] является отношением полиномов, т. е.
a0 + a1 z + a2 z 2 + ...
.
(9)
W ( z) =
b0 + b1 z + b2 z 2 + ...
Подставляя (9) в (8) и разрешая относительно Y (z ) при старшей
степени z , получим
Y ( z ) = ϕ{ X ( z ), z −1 X ( z ), z −2 X ( z ),..., z −1Y ( z ), z −2Y ( z ),...} . (10)
Учитывая выражение (7), для перехода в область оригиналов в
выражении (10) надо выполнить замену
X ( z ) ←
→ x[n] ;
z −1 X ( z ) ←
→ x[n − 1] ;
z −2 X ( z ) ←
→ x[n − 2] ;
...........................................
Y ( z ) ←
→ y[n] ;
(11)
z −1Y ( z ) ←
→ y[n − 1] ;
z −2Y ( z ) ←
→ y[n − 2] ;
.......................................
Если требуемая импульсная реакция фильтра W[n] такова, что
её изображение не является отношением полиномов, то:
а) можно попытаться подобрать похожую на неё функцию
(обеспечивающую близкие по своим свойствам характеристики
фильтра), которая бы имела изображение в виде отношения полиномов;
б) воспользоваться аппроксимацией W[n] в области оригиналов или W(z) в области изображений. В последнем случае удобно
степенной ряд (3) представить в виде цепной дроби и взять у неё
конечное число членов.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 1. Одномерный односторонний фильтр
Подобрать разностное уравнение, реализующее импульсную
реакцию фильтра
(12)
w[n] =−
a (1 a ) n , n =
0,1, 2,... .
∞
(значения подобраны так, чтобы ∑
w[n] = 1 ).
n =0
Рис. 1. Вид импульсной реакции
Переходя в (12) к Z-преобразованию, получим
az
.
W ( z) =
z − (1 − a)
Согласно (4)
az
Y ( z) =
X ( z) ,
z − (1 − a)
откуда
Y (=
z ) a Xz
( ) + (1 − a ) ⋅ z −1Y ( z ) .
(13)
(14)
(15)
Переходя к оригиналам согласно (11), получим окончательный
результат – уравнение обработки:
(16)
y[n=
] a xn
[ ] + (1 − a) y[n − 1] .
Для подготовки к вычислениям двусторонней свертки (2) потребуется двустороннее Z-преобразование [5]. Двустороннее
Z-преобразование решетчатой функции f [n] :
Z II { f=
[n]} F=
II ( z )
∞
∑
f [ n] ⋅ z − n .
(17)
n =−∞
Сумму в бесконечных пределах в выражении (17) можно разделить на два слагаемых:
)
FII ( z=
∞
∑ f [ − n] ⋅ ( z
∞
) + ∑ f [n] ⋅ z − n − f [0] .
−1 − n
(18)
n 0=
n 0
=
Для четных функций f [−n] =
f [n] (обычно для импульсных
реакций фильтров это выполняется), поэтому окончательно дву28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стороннее Z-преобразование через одностороннее выражается для
них
(19)
FII ( z ) =F ( z ) + F ( z −1 ) − f [0 ,]
где F ( z ) – одностороннее Z-преобразование;
F ( z −1 ) получается из F ( z ) заменой z на z −1 .
Для двустороннего Z-преобразования также справедливо, что
умножение изображений соответствует свёртке (двусторонней) в
области оригиналов.
Процесс подбора проиллюстрируем на примере сглаживающего фильтра.
Пример 2. Одномерный двусторонний фильтр
Пусть требуется реализовать фильтр с двусторонней импульсной реакцией:
a
n
(20)
=
(1 − a )
w[n]
2−a
(подобрано так, чтобы
∞
∑ w[n] = 1) .
n =∞
Рис. 2. Двусторонняя импульсная реакция
Для n ≥ 0 Z-преобразование (одностороннее) функции (20)
a
z
.
(21)
w
=
( z)
⋅
2 − a z − (1 − a )
Двустороннее изображение функции (20) получим, используя
выражение (19):
a
z
z −1
{
=
+ =
− 1}
WII ( z )
2 − a z − (1 − a ) z −1 − (1 − a )
a
a
=
⋅ −1
.
(22)
[ z − (1 − a )] [ z − (1 − a )]
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поскольку для изображения выходного сигнала справедливо
соотношение
(23)
=
Y ( z ) WII ( z ) ⋅ X ( z )
( x[n], y[n] ограничены размерами строки кадра, поэтому это односторонние функции), подставляя в (23) значение WII ( z ) из (22), получим
(24)
Y ( z ) = [ w1 ( z ) ⋅ X ( z )] ⋅ w2 ( z −1 ) ,
где
a
;
W1 ( z ) =
z − (1 − a )
a
W2 ( z ) = −1
.
z − (1 − a)
Выражение (24) иллюстрирует общую особенность двусторонних передаточных функций (согласно принятой в теории автоматики терминологии: «передаточная функция WII ( z ) » – это изображение импульсной реакции w[n] ): её можно представить в виде
произведения двух компонент
∑i ai z i
1
(25)
⋅
=
WII ( z ) =
w1 ( z ) ⋅ w2 ( z −1 ) ,
−1
−
−
z
b
z
d
(
)
(
)
∏
∏
j
k
j
k
где w1 ( z ) имеет полюсы b j , b j < 1;
1 1
,
> 1.
dk dk
Прием реализации таких двусторонних передаточных функций, содержащих «физически нереализуемые члены», обусловленные w2 ( z −1 ) , приводится ниже.
Обозначим
(26)
Y=
w1 ( z ) ⋅ X ( z ) .
1 ( z)
Подставляя значение w1 ( z ) и повторяя действия Примера 1,
последовательно получим:
az
Y1 ( z ) =
X ( z) ;
(27)
z − (1 − a )
(28)
Y1 (=
z ) a Xz
( ) + (1 − a ) ⋅ z −1Y1 ( z ) .
w2 ( z −1 ) имеет полюсы
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Переходя к оригиналам,
y1[n=
] a [xn] + (1 − a ) y1[n − 1] .
(29)
Возвращаясь к выражению (24), его можно записать
Y=
( z ) Y1 ( z ) ⋅ w2 ( z −1 ) ,
(30)
что в области оригиналов соответствует свертке
y[=
n]
∞
∞
k ] ∑ w [−k ] ⋅ y [n + k ] .
∑ w [−(n + k )] ⋅ y [=
2
1
k 0=
k 0
=
2
1
(31)
Если принять, что для практических задач за пределами кадра
y1[n] = 0 , при n ≥ N ,
(32)
где N – размеры кадра N x N (в случае, когда значения y1[n] за
пределами кадра велики, всегда можно задать некоторую «зону
выбега» и считать y1[n] равным нулю за пределами этой зоны), то
выражение (31) примет вид
y[=
n]
N −1
∑ w [−k ] ⋅ y [n + k ] .
k =0
2
1
(33)
Нетрудно заметить, что (33) может быть преобразовано к виду
обычной свёртки перенесением начала отсчета на противоположную границу кадра и изменением направления отсчета. Тогда это
выражение примет форму
y[=
n ]
n
∑ w [k ] ⋅ y [n − k ] , y [n ] ≡ 0 при n < 0 ,
k =0
2
1
1
(34)
где w 2 [k=
] w[−k ] .
Согласно (34) изображение w 2 ( z ) можно получить заменой z −1
на z в изображении w2 ( z −1 ) . Для данного примера w 2 ( z ) совпадает
с w1 ( z ) .
Следовательно, после преобразований, аналогичных (26),...,
(29), получим
y[n ] = a ⋅ y1[n − 1] + (1 − a ) ⋅ y[n − 1] ,
31
(35)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
при этом направление обработки (направление оси n~ ) – справа налево. Или, учитывая что n~ − 1, если вернуться к обозначениям для
оси, направленной слева направо, соответствует n + 1 , т. е.
y[n] = a ⋅ y1[n + 1] + (1 − a ) ⋅ y[n + 1] ,
(36)
но обработка строки идёт слева направо (при нулевом начальном
условии).
Итак, получено, что при обработке строки x[n] слева направо
согласно (29), а затем справа налево согласно (36) получим желаемый результат.
Заметим, что, домножив числитель (22) на z ⋅ z −1 , можно было
бы записать
az
az −1
.
=
⋅
WII ( z )
[ z − (1 − a )] [ z −1 − (1 − a )]
(37)
Тогда, повторив все рассуждения данного примера, получим
следующие уравнения обработки:
y1[n=
] a [xn] + (1 − a ) y1[n − 1] ,
(38)
- движение слева направо;
y[=
n] a y1[n] + (1 − a ) y[n + 1] ,
(39)
- движение справа налево (при нулевых начальных условиях).
Содержание работы
1. Подготовить к вычислениям двусторонние импульсные реакции следующих фильтров:
а) низкочастотный фильтр – двустороннее скользящее среднее.
Импульсная реакция фильтра:
1 L
w[n]
=
∑ x[n − i] ;
2 L i =− L
(40)
b) полосовой фильтр. Импульсная реакция фильтра:
w
=
[n] w1[n] − w2 [n] ,
1 L1
где w1[n]
=
∑ x[n − i] ;
2 L1 i =− L1
32
(41)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 L2
=
w2 [n]
x[n − i ] .
∑
2 L2 i =− L2
(42)
2. Разработать программную модель для измерения амплитудно-частотных характеристик фильтров (40) и (41). Выполнить измерение амплитудно-частотных характеристик этих фильтров для значений параметров, указанных для конкретного варианта задания.
Варианты заданий
L1
L2
Вариант L
1
5
5 11
2
7
7 15
3
11 11 22
Лабораторная работа № 11
Двумерная двусторонняя фильтрация
Цель данной работы – разработка и исследование программных моделей двумерных двусторонних фильтров. Областью применения данных фильтров является обработка статических изображений: аэрофотографии, двумерные интерферограммы и т. п.
Линейная фильтрация двумерных изображений в общем случае
сводится к вычислению свертки следующего вида:
=
y[m, n]
∞
∞
∑ ∑ w[k , l ] ⋅ x[m − k , n − l ] ,
(1)
k =−∞ l =−∞
где x[m, n] – входной сигнал фильтра (начальное изображение);
y[m, n] – выходной сигнал фильтра (отфильтрованное изображение);
w[m, n] – импульсная реакция фильтра.
Рассмотрим случай сепарабельной импульсной реакции, т. е.
импульсной реакции следующего вида:
w[m
=
, n] w1[m] ⋅ w2 [n] ,
(2)
где w1[m], w2 [n] - одномерные двусторонние функции соответствующих аргументов.
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для проведения процесса подготовки свертки (1) к вычислениям, вводится двумерное одностороннее Z -преобразование двумерной функции f [m, n] :
∞
∞
∑∑ f [m, n] ⋅ z
Z m ,n { f =
[m, n]} F=
( z , z1 )
−m
n 0=
m 0
=
z1− n
(3)
и двумерное двустороннее преобразование:
Z II m ,n { f=
[m, n]} F=
II ( z , z1 )
∞
∞
∑∑ f [m, n] ⋅ z
n 0=
m 0
=
−m
z1− n .
(4)
При f [=
m, n] f1[ m ] ⋅ f1[ n ] двумерное двустороннее преобразование (4) связано с одномерным односторонним Z -преобразованием следующим соотношением:
FII ( z , z1 ) ={F1 ( z ) + F1 ( z −1 ) − f1[0]} ⋅ {F1 ( z1 ) + F1 ( z −1 ) − f1[0]}, (5)
−1
где =
F1 ( z )
∞
∑ f [ m] ⋅ z
m =0
1
m
.
Для двумерного двустороннего Z -преобразования справедливы следующие теоремы:
Теорема 1. Теорема смещения в области оригиналов
Пусть f [m, n] ←
→ FII ( z , z1 ) . Тогда
f [m ± α, n ± β] ←
→ z ±α z1±β FII ( z , z1 ) ,
(6)
где α ≥ 0, β ≥ 0 – целые числа.
Теорема 2. Теорема об умножении изображений
Пусть f1[m, n] ←
→ FII 1 ( z , z1 ) и f 2 [m, n] ←
→ FII 2 ( z , z1 ) . Тогда
∞
FII 1 ( z , z1 ) FII 2 ( z , z1 ) ←
→∑
∞
∑
l =−∞ k =−∞
f1[m − k , n − l ] ⋅ f 2 [k , l ] .
(7)
Учитывая выражение (7), свертку (1) можно записать в виде:
Y=
WII ( z , z1 ) ⋅ X ( z , z1 ) .
II ( z , z1 )
(8)
Дальнейшие действия по подготовке свертки к вычислениям
аналогичны приведенным в примере 2 (см. лабораторную работу
№ 10).
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание работы
1. Подготовить к вычислениям двумерный двусторонний
фильтр с импульсной реакцией:
L1
L2
1
=
w[m, n]
x[m + i, n + j ] .
∑− L j∑
4 L1 L2 i =
=
−
L
1
2
(9)
2. Измерить пространственные амплитудно-частотные характеристики фильтра для значений параметров, указанных для конкретного варианта задания.
Варианты заданий
Вариант L1
L2
1
5
7
2
5
11
3
5
15
4
5
21
5
5
51
Лабораторная работа № 12
Идентификация точечных объектов
Целью данной работы является ознакомление с методом идентификации точечных объектов, базирующимся на инвариантных
признаках объектов. При обсуждении метода и алгоритма идентификации в качестве примера рассматривается идентификация отметок от звезд на снимке участка небесной сферы и карты звездного неба (или аналогичная задача – идентификация отметок на
двух перекрывающихся фрагментах пуассоновского поля точек),
однако область применения метода гораздо шире: к точечным узорам сводятся аэрофотоснимки перекрывающихся участков земной
поверхности для приведения к одной системе координат, отпечатки
пальцев перед распознаванием и т.д.
Возможность создания инвариантного к перемещениям в поле
обзора камеры описания отметок от звезд базируется на постоянстве звездного узора, и распознавание звезд возможно по их взаимному расположению. Распознавание звезд, т. е. отыскание наблю35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
даемых звезд среди звезд звездной карты, возможно путем отыскания среди звезд каталога таких, которые при их соединении отрезками прямых образуют n-угольник с заданными углами при вершинах. Прямой реализации этого варианта препятствует чрезвычайно большой объем вычислений. Так, для отыскания среди
J-звезд n-звезд, образующих заданный n-угольник, требуется просмотреть n=
!CJn J !/( J − n)! различных вариантов объединения.
Нетрудно заметить, что инвариантным описанием может служить весьма многочисленный набор признаков, характеризующих
взаимное расположение звезд. Ниже будет рассмотрен способ задания n-угольника, полученного при соединении отрезками прямых отметок кадра, которые должны быть найдены на карте длиной его сторон.
Как будет показано ниже, при таком способе задания появляется возможность построения алгоритма поиска искомого многоугольника среди отметок карты, требующего значительно меньшего, чем n!CJn , числа переборов, где J – число отметок карты; во-вторых, вычисление длины стороны (или, что то же самое, квадрата
длины стороны) многоугольника проще по своей реализации, чем
вычисление угла при вершине.
Основной вопрос, который возникает при реализации такого
метода, – это выбор величины n (т. е. выбор числа опорных отметок от звезд в кадре, образующих опорный n-угольник), обеспечивающей достаточно высокую вероятность того, что из отметок карты не может быть образован более чем один искомый n-угольник,
т. е. требуется оценить вероятность того, что среди пуассоновского
поля точек, ограниченного размерами 2 Nx 2 N (размеры кадра), со
средним числом λ отметок на кадр (отметок от звезд шумовых отметок) найдется хотя бы одна группа отметок, образующих ложный n-угольник, равный эталонному.
Рассмотрим задачу идентификации отметок перекрывающихся
фрагментов пуассоновского поля точек. Пусть A1 , A2 ,..., An – события, состоящие в том, что при наложении эталонного n-угольника,
выбранного на первом фрагменте, на пуассоновское поле точек
второго фрагмента вершины n-угольника поочередно совпали (с
учетом всех возможных его перемещений) с n-точками второго
фрагмента, причем выбор начала отсчета произволен. Тогда веро36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ятность совпадения вершин n-угольника с n-точками поля второго
фрагмента:
n −1
Pn
( A1 , A2 ,..., An ) P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P ( A3 / A1  A2 )...P ( An /  Ai ) . (1)
P=
i =1
Поскольку событие A1 состоит в том, что при наложении
n-угольника на поле из точек одна из его вершин (с учетом всех
возможных перемещений) совпадет с одной из точек поля, то очевидно, что
(2)
P( A1 ) = 1 .
После того как выбранная вершина n-угольника наложена на
одну из точек поля и закреплена в ней, событие A2 / A1 состоит в
том, что путем вращения n-угольника вокруг точки закрепления
удастся отыскать одну из точек поля, совпадающую со следующей
вершиной
n-угольника,
после
чего
события
n −1
P( A3 / A1  A2 ),..., P( An /  Ai ) состоят в том, что под всеми остальi =1
ными вершинами n-угольника окажутся точки поля. Очевидно, что
n −1
P( A3 / A1  A2 )= ...= P( An /  Ai ) , так как все они равны вероятности
i =1
появления точки пуассоновского поля в площадке площадью ∆S ,
где размеры площадки определяются точностью измерений (так
как о совпадении вершины n-угольника с одной из точек поля
можно судить только с точностью до ошибки измерений), и в силу
свойств пуассоновского поля пространственное положение площадки безразлично.
Переходя к численной оценке Pn , рассмотрение удобно начать
с оценки вероятности появления отрезка заданной длины r . Зафиксируем один конец отрезка в одной из точек поля. Тогда вероятность того, что данная отметка не является концом отрезка длины
r , есть вероятность того, что в кольце (с центром в данной точке)
радиуса r и толщиной ∆r , где ∆r обусловлено возможной ошибкой измерений (погрешности, обусловленные квантованием и нелинейностью информационного тракта), не окажется ни одной другой отметки. В силу свойств пуассоновского поля точек вероятность того, что в кольце радиуса r и толщиной ∆r нет ни одной
отметки, равна
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(3)
p= exp(− S1λ / S ) ,
где S1 = 2πrr ⋅ ∆r – площадь кольца;
S = 4 N 2 – площадь кадра;
λ – среднее число отметок в кадре,
и, следовательно, вероятность того, что в кольце будет хотя бы одна отметка, т. е. вероятность того, что данная отметка является
концом отрезка заданной длины, равна
(4)
P2 = 1 − exp{λ(2πr ⋅ ∆r ) /(4 N 2 )} .
Для того чтобы данная отметка была вершиной треугольника
заранее заданных размеров, требуется, чтобы в кольцо радиуса r1 ,
где r1 – длина стороны треугольника, которая отыскивается первой,
и толщиной ∆r попала хотя бы одна отметка и в площадке размером ∆X ⋅ ∆Y (размеры ∆X , ∆Y также обусловлены погрешностью
измерений) находилась хотя бы одна отметка (в силу свойств пуассоновского поля точек пространственное положение площадки
безразлично). Учитывая, что вероятность попадания хотя бы одной
отметки в площадку ∆X ⋅ ∆Y есть
(5)
q = 1 − exp{−∆X ∆Y λ / 4 N 2 } ,
вероятность появления хотя бы одного треугольника с вершиной в
данной отметке в последовательности сторон r1 , r2 , r3 равна
(6)
q3 (r1 )= (1 − exp(−λ 2πr1∆r / 4 N 2 )(1 − exp(−λ∆X ∆Y / 4 N 2 ) ,
откуда вероятность появления хотя бы одного треугольника заданных размеров с вершиной в выбранной отметке в произвольном
порядке следования сторон
3
P3 =
∑ q3 (ri ) − ∑∑ q3 (ri )q3 (rj ) + ∑∑∑ q3 (ri )q3 (rj )q3 (rk ) . (7)
i =1
i
j
i
j >i
j
k
k > j>i
Удобно воспользоваться оценкой сверху значения P3 , т. е.
взять максимально возможные длины сторон r1= r2= r3= rmax , и
пусть для определенности rmax = 2 N , т. е. длина любой стороны
треугольника не превосходит длины стороны кадра. Тогда
P3 < 3(1 − exp(−λπ ⋅ ∆r / N ))q − 3q 2 (1 − exp(−λπ ⋅ ∆r / N )) 2
(8)
3 3
+(1 − exp(−λπ ⋅ ∆r / N ) q ,
где q определяется выражением (5).
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Продолжая аналогичные рассуждения, получим, что вероятность появления хотя бы одного заранее заданного n-угольника с
вершиной в выбранной отметке удовлетворяет неравенству
n
Pn < ∑ (−1) k +1 Cnk (1 − exp(−λπ ⋅ ∆r / N )) k q nk , при n > 2 ,
(9)
k =1
n!
.
k !(n − k )!
Поскольку общее число отметок в кадре равно J , то вероятность появления хотя бы одного заданного n-угольника в кадре
равна
где Cnk =
J
Qn ( J ) = J ⋅ Pn − C P + C P − ... = ∑ (−1) k +1 CJk Pnk .
2 2
J n
3 3
J n
(10)
k =1
Учитывая, что число отметок J распределено по закону Пуассона, окончательно получим, что вероятность появления в кадре
хотя бы одного заданного n-угольника есть
J
∞ J
k +1 k k λ
(11)
Q n=
(−1) CJ Pn
e −λ =
1 − e −λPn .
∑∑
J
!
=
J 1=
k 1
Выражение (11) позволяет по требуемой достоверности отождествления выбрать значение n .
Для того чтобы при отыскании отметок второго кадра, образующих выбранный на первом кадре опорный n-угольник, избежать необходимости в переборе n!CJn возможных вариантов построения n-угольника по J -отметкам, воспользуемся следующим
приемом:
1-й шаг. Отыскиваются все пары отметок, которые могут образовать отрезки, равные по длине r1 – первой стороне n-угольника;
число операций при этом CJ2 . Пусть число таких пар K1 .
2-й шаг. Среди полученных K1 -отрезков сохраняются только
те, для которых найдется отметка на расстоянии от одного из концов отрезка, равном r2 – длине второй стороны n-угольника; эта
(эти) отметка при этом запоминается. Число сравнений при выполнении 2-го шага равно 2K1 J . Пусть число полученных троек равно
K2 .
3-й шаг. Среди полученных троек отметок сохраняются только
те, которые образуют ломаную линию, расстояние между началом
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и концом которой равно расстоянию между 1-й и 3-й вершинами
опорного n-угольника; число операций сравнения при этом K 2 .
Пусть число таких троек равно K 3 .
……………………………….
2l-й шаг. Среди полученных K 2l −1 ломаных линий сохраняются
только те, для которых найдется отметка на расстоянии от конца
ломаной линии, равном rl +1 – длине (l + 1) -й стороны n-угольника;
эта отметка запоминается. Число сравнений при этом J ⋅ K 2l −1 .
Пусть число полученных после выполнения данного шага групп
отметок равно K 2l .
(2l + 1) -й шаг. Среди K 2l групп отметок сохраняются только те,
которые образуют ломаную линию (образованную присоединением отрезков по мере выполнения предыдущих шагов), расстояние
между началом и концом которой равно расстоянию между первой
и (l + 1) -й вершиной опорного n-угольника; число сравнений при
этом K 2l . Пусть число таких групп отметок равно K 2l +1 .
……………………………….
Общее число операций сравнения по отысканию опорного
n-угольника W составит
(12)
W = CJ2 + 2 K1 J + K 2 + K 3 J + K 4 + K 5 J + ... .
Для того чтобы определить общее число операций сравнения,
необходимо оценить величину K l , l = 1, 2,3,... . Из приведенного
выше описания алгоритма следует, что K 2l +1 на единицу больше
числа одинаковых (l + 2) -угольников, образованных точками пуассоновского поля (на единицу больше, так как отыскиваемый опорный многоугольник заведомо находится среди отметок кадра); K 2l
равно ( K 2l −1 + 1) , умноженному на число одинаковых отрезков,
один из концов которых закреплен в заданной отметке.
Число одинаковых n-угольников определяется следующим путем. Пусть событие B j состоит в том, что существует точно один
n-угольник с вершиной в j -й отметке кадра. Тогда вероятность появления точно одного n-угольника Qn1 в кадре равна
J −1
Q
= P( B1 ) + P( B2 / B1 ) + P( B3 / B1  B2 ) + ... + P( BJ /  Bi ) . (13)
1
n
i =1
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учитывая, что вероятность появления точно одного n-угольника не выше вероятности появления хотя бы одного n-угольника,
т. е.
P( Bi ) ≤ Pn , i =
1, 2,..., J ,
где Pn определяется выражением (9), и что
J −1
P( BJ /  Bi ) < P ( Bi ) ,
получим
i =1
(14)
Qn1 < J ⋅ Pn .
Аналогично получим, что вероятность получения точно M заданных n-угольников QnM удовлетворяет неравенству
(15)
QnM < CJM PnM ,
откуда, учитывая, что число отметок J распределено по закону
Пуассона, получим среднее значение вероятности получения точно
M заданных n-угольников
J
∞
J!
M
M λ
(16)
( Pn λ) M / M !.
M {Qn } < ∑
Pn
e −λ =
!(
)!
!
−
M
J
M
J
J =0
Отсюда математическое ожидание числа одинаковых n-угольников Vn удовлетворяет неравенству
∞
( Pn λ) M
(17)
M {Vn } < ∑
при
MP
= Pn λ ⋅ exp( Pn λ) ≈ Pn λ,
n λ << 1 .
M
!
M =0
Математическое ожидание числа одинаковых отрезков ν длиной r , один из концов которых закреплен в заданной отметке, равно математическому ожиданию числа отметок в кольце радиуса r
и толщиной ∆r
∞
(λS1 / 4 N 2 ) k
S1
,
(18)
=
M {ν} ∑ k
=
exp{−λS1 / 4 N 2 }
2
k!
4N
k =0
где S1 = 2πrr ⋅ ∆r – площадь кольца.
Для определенности будем полагать, что длина любой стороны
n-угольника не превосходит половины стороны кадра, равной 2N
(что справедливо при числе отметок в кадре, составляющем несколько десятков и более), т. е. положим
π ⋅ ∆r
(19)
M {=
ν}
λ.
2N
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На основании (17) и (19)
(20)
K 2l +1 < 1 + Pl +2 ⋅ λ
=
, l 1, 2,..., n − 2 ;
π ⋅ ∆r
(21)
K 2l <
λ(1 + Pl +1 ⋅=
λ), l 1, 2,..., n − 3 .
2N
Подставляя выражения (19), (20), (21) в (12) и вычисляя математическое ожидание по J , получим
n−2
n −3
λ2
π ⋅ ∆r
π ⋅ ∆r
M {W } <
+ 2λ ⋅
λ+∑
λ(1 + Pl +1λ) + λ ∑ (1 + Pl +2 λ) . (22)
2!
2
2
N
N
=l 1 =l 1
Для получения общего представления о выигрыше, получаемом при отыскании заданного n-угольника среди J -отметок кадра
при помощи предложенного выше алгоритма, сравним число операций (22) с числом операций при прямом переборе всех возможных n!CJn вариантов объединения n из J -отметок в n-угольник.
Итак, с учетом распределения числа отметок J число сравнений
при поиске n-угольника среди J -отметок путем прямого перебора
всех вариантов M {W } равно
J
∞
n λ

(23)
M {W } = ∑ n!CJ
e −λ = λ n .
J
!
j =1
Сравнивая выражения (22) и (23), нетрудно заметить значительное увеличение числа операций M {W } (23) в случае прямого
перебора при увеличении числа сторон эталонного n-угольника. В
то же время изменения M {W } (22) незначительны. Действительно,
как правило, в выражении (22) можно ориентироваться на следующий порядок входящих в него величин:
отношение ∆r / 2 N – порядка нескольких сотых;
Pn – от десятых и менее при n = 2 , при возрастании следует
резкое убывание;
λ – от нескольких десятков до нескольких сотен.
При этих условиях
(24)
M {W } < λ 2 .
И следовательно, получаемый выигрыш в числе операций γ
M {W }
(25)
γ=
= λ n−2 .
M {W }
В качестве замечания следует отметить, что можно не ограничивать заранее число сторон эталонного n-угольника, а вести поиск
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
среди отметок второго кадра до тех пор, пока не останется только
одна группа отметок, образующих при соединении их (n − k ) отрезками прямых первых (n − k ) -сторон эталонного n-угольника.
Дальнейший поиск оставшихся k -сторон n-угольника среди отметок второго кадра не требуется, так как достаточно отождествления
трех отметок на перекрывающихся кадрах для выяснения величины
смещения и поворота координатных систем этих кадров друг относительно друга. Однако такой случай возможен только при условии,
что эталонный n-угольник образован из таких отметок первого кадра, которые присутствуют во втором (т.е. не шумовые отметки и не
вышедшие во втором кадре за его пределы). Если эталонного
n-угольника среди отметок второго кадра не оказалось, то следует
изменить набор отметок первого кадра, образующих эталонный
многоугольник.
Содержание работы
Разработать программную модель для исследования статистических характеристик алгоритма идентификации отметок перекрывающихся фрагментов пуассоновского поля точек в условиях наличия помех и искажений.
Генерацию отметок перекрывающихся фрагментов поля выполнить в следующем порядке: с помощью датчика псевдослучайных чисел сформировать массив точек пуассоновского поля размером 4Nx4N пиксел (от –2N до 2N) c плотностью λ точек на площадь 2Nx2N пиксел (кадр). Из полученного массива вырезать
участок размером 2Nx2N – первый кадр. Координатную систему
первого кадра считать совпадающей с координатной системой поля. Затем сформировать второй кадр размером 2Nx2N пиксел с координатной системой, сдвинутой на a0 , b0 по каждой из координатных осей и повернутой на угол ϕ0 . К массиву координат второго
кадра добавить массив помех, который сформировать как пуассоновское поле с плотностью λ noise на площадь кадра. На первом
кадре вблизи центра кадра выбрать n опорных отметок. Выполнить
действия по идентификации отметок согласно алгоритму, описанному выше. Сравнение сторон эталонного n-угольника (в первом
кадре) и текущего многоугольника (во втором кадре) выполнить с
точностью ∆r пиксел (т. е. отрезки считаются равными по длине,
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
если их длины отличаются не более чем на ∆r ). Получить статистические оценки числа равных отрезков, треугольников и т.д. для
последовательных шагов алгоритма поиска отметок во втором кадре, образующих во втором кадре многоугольник, равный эталонному, выбранному в первом кадре. Статистическая оценка выполняется для значений параметров, указанных для конкретного варианта задания.
Варианты заданий
λ noise
b0
ϕ0
a0
Вариант N
n
λ
∆r
1
200
50
50
10
10
20
5
2
2
200
70
50
5
5
10
5
2
3
200
50
100
10
10
15
5
2
4
200
50
150
10
10
10
5
2
где N (пиксел) – линейные размеры пуассоновского поля точек
4Nx4N;
λ – плотность точек на кадр размером 2Nx2N;
λ noise – плотность поля помех на кадр;
a0 , b0 (пиксел) – параметры смещения между координатными
системами кадров;
ϕ0 (градусов) – угол поворота между координатными системами кадров;
n – число вершин опорного многоугольника;
∆r (пиксел) – порог при сравнении отрезков.
Литература
1. Анисимов Б.В., Курганов В.Д., Злобин В.К. Распознавание и
цифровая обработка изображений. М.: Высшая школа, 1983.
2. Березкин Е.Н. Курс теоретической механики. М.: Изд-во
МГУ, 1974.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1964.
4. Коршунов Ю.М., Бобиков А.И. Цифровые сглаживающие и
преобразующие системы. М.: Энергия, 1969.
5. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М.:
Физматгиз, 1963.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5
3
НОРМАЛИЗАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ..................................................................................3
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6
7
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ...............................................................................................7
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7
КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АЛГОРИТМ СОВМЕЩЕНИЯ
ТОЧЕЧНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ .................................................................................. 11
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8
СГЛАЖИВАЮЩИЕ СВОЙСТВА ФИЛЬТРОВ ....................................................... 16
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЛЬТРОВ ................................................ 20
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10
ДВУСТОРОННЯЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ..................................................................................... 25
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11
ДВУМЕРНАЯ ДВУСТОРОННЯЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ............................................... 33
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 12
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТОЧЕЧНЫХ ОБЪЕКТОВ ..................................................... 35
ЛИТЕРАТУРА......................................................................................................................................... 44
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Обработка информации
в управляющих системах
Часть 2
Составители: Карлин Анатолий Кузьмич
Пендюр Анатолий Дементьевич
Стрелков Николай Александрович
Редактор, корректор В.Н. Чулкова
Компьютерная верстка И.Н. Ивановой
Подписано в печать 31.10.2005 г. Формат 80×64/16.
Бумага тип. Усл. печ. л. 2,79. Уч.-изд. л. 1,5.
Тираж 100 экз. Заказ №
.
Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе ЯрГУ.
Отпечатано на ризографе
Ярославский государственный университет.
150 000 Ярославль, ул. Советская, 14.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обработка информации
в управляющих системах
Часть 2
49
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
483 Кб
Теги
указания, методические, управляющем, система, 343, информация, обработка
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа