close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

350.Макроэкономические динамические модели Методические указания

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Кафедра компьютерных сетей
Макроэкономические
динамические модели
Методические указания
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов специальности
Прикладная информатика (в экономике)
Ярославль 2005
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 33:002
ББК В 183.5я73
Д 44
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2005 года
Рецензент
кафедра компьютерных сетей Ярославского государственного
университета им. П.Г. Демидова
Составитель С.Е. Ануфриенко
Д 44
Макроэкономические динамические модели: Метод.
указания / Сост. С.Е. Ануфриенко; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль: ЯрГУ, 2005. – 58 с.
Методические указания содержат примеры построения и
исследования макроэкономических моделей. Приведены методы решения и качественного исследования соответствующих уравнений и систем.
Предназначены для студентов второго курса, обучающихся
по специальности 351400 Прикладная информатика (в экономике), (дисциплина «Теория систем и системный анализ»,
блок ЕН), очной формы обучения.
УДК 33:002
ББК В 183.5я73
 Ярославский государственный университет, 2005
 С.Е. Ануфриенко, 2005
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Общественное производство – сложный управляемый процесс
преобразования ресурсов в общественный продукт.
При разработке экономико-математического аппарата для анализа, планирования и прогнозирования общественного производства
создается система моделей, основанная на представлении о народном хозяйстве как сложной иерархической системе.
Верхний уровень системы моделей народного хозяйства образуют макроэкономические модели, в основе которых лежат взаимосвязи между глобальными экономическими показателями, такими,
как совокупный общественный продукт, национальный доход, трудовые ресурсы, производственные фонды и др. Макроэкономические
модели позволяют выявить изменения сводных показателей и дают
ценную информацию о темпах и пропорциях развития народного хозяйства.
Исследование взаимосвязей элементов производства приводит
к рассмотрению производственно-технологической интерпретации
экономики.
Внешняя среда (S)
ЭКОНОМИКА
Природные
ресурсы WS
Производство
F
Валовой X
продукт
Распределение,
обмен P
Потребление C
Рис. 1. Схема взаимосвязей элементов экономической системы
Однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель
Рассмотрим основные факторы, характеризующие производство (рис. 2).
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S
Э К О Н О М И К А
Амортизационные отчисления A
Чистые капитальные вложения ∆K
ОПФ
K
Природные
Произресурсы WS водство F
Валовой
PX
Конечный
P
продукт Y Y
Валовые капитальные
вложения I
PI
продукт
X
Непроизводственное потребление С
Производственное
потребление W
Труд L
Рис. 2. Основные факторы, характеризующие производство
К факторам, характеризующим производство, относятся: труд
(L), средства труда (основные производственные фонды) (K), природные ресурсы (WS), предметы труда (W), возвращенные в производство как часть совокупного общественного продукта.
Результатом производственной деятельности являются: валовой
продукт (X), распределяемый в блоке PХ на производственное потребление (W) и конечный продукт (Y). В свою очередь конечный
продукт делится в блоке PY на валовые капитальные вложения (I) и
непроизводственное потребление (С). Валовые капитальные вложения делятся на амортизационные отчисления (А) и чистые капитальные вложения, идущие на расширение производственных фондов
(блок PI).
Механизм воздействия чистых капитальных вложений на основные производственные фонды (ОПФ) сложен и при моделировании связан с определенными трудностями. Он составляет предмет
самостоятельных экономико-математических исследований.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Представляет интерес изучение взаимосвязей между синтетическими показателями верхнего уровня экономической иерархии.
Одним из подходов к решению данной проблемы является построение однопродуктовой макроэкономической модели.
Однопродуктовые макроэкономические модели – это модели,
изучающие свойства и тенденции изменения агрегированных макроэкономических показателей, таких, как валовой продукт, конечный
продукт, трудовые ресурсы, производственные фонды, капитальные
вложения, потребление и т.д. (связи между этими показателями отражены на рис. 2). Так, на макроуровне блок распределения PХ показывает взаимосвязь между валовым продуктом X производственным
потреблением W и конечным продуктом Y:
X = W + Y.
(1)
Блок PY делит конечный продукт на две составляющие: валовые капитальные вложения I и непроизводственное потребление С:
Y = I + C.
(2)
Капитальные вложения составляют материальную основу наращивания и перевооружения производства. За счет капитальных
вложений осуществляется ввод в действие основных производственных фондов. Однако формализация взаимосвязи «капитальные вложения – основные производственные фонды» сопряжена с определенными трудностями, одной из которых является учет распределенного запаздывания прироста основных фондов от капитальных
вложений. В экономико-математическом моделировании существует
ряд подходов к описанию этой взаимосвязи.
В простейшей однопродуктовой модели делают предположение, что валовые инвестиции полностью расходуются на прирост основных производственных фондов в том же году и на амортизационные отчисления. В дискретном варианте эта взаимосвязь имеет вид:
It = q ΔKt + A
(3)
где ΔKt = Kt+1 – Kt A – прирост основных производственных фондов в
году, t,
q – параметр модели,
A = mKt – амортизационные отчисления,
µ – коэффициент амортизации,
Kt – основные производственные фонды в году t.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Непрерывный аналог уравнения (3) имеет вид:
I =q
dK
dt
+ µK .
(4)
Отсюда можно получить уравнение движения фондов:
dK
dt
=
1
q
( I − µK ).
(5)
Объединяя уравнения (1) – (3), получим однопродуктовую динамическую модель в дискретном варианте:
X t = Wt
+
q∆K t
+
µK t
+
Ct .
(6)
Если считать, что производственные затраты пропорциональны
выпуску продукции X, т.е. W=aX, то дискретная однопродуктовая
модель примет вид:
X t = aX t + q∆K t + µK t
Перепишем последнее уравнение:
+
Ct .
1
((1 − a ) X t − µK t − Ct ).
q
Непрерывный вариант однопродуктовой модели выглядит следующим образом:
∆K t =
dK 1
= ((1 − a ) X − µK − C ).
dt q
Приведем несколько упрощенных вариантов однопродуктовой
динамической модели.
Случай 1. Открытая однопродуктовая динамическая модель
Леонтьева.
Предположим, что все валовые капитальные вложения идут на
ввод в действие основных производственных фондов (основные
фонды не изнашиваются). Считая, что прирост выпуска ΔХt = Хt+1 –
Хt продукции пропорционален капитальным вложениям, т.е.
I t = κ∆X t ,
(7)
из уравнений (1), (2), учитывая (7) и равенство W=aX, получим однопродуктовую открытую модель Леонтьева:
X t = aX t
+ κX t
6
+ Ct .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В непрерывном варианте однопродуктовая динамическая модель
Леонтьева имеет вид:
dX
X = aX + κ
dt
+ C.
(8)
С математической точки зрения эта модель представляет собой
линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
Случай 2. Замкнутая однопродуктовая динамическая модель
Леонтьева.
Предположим, что производственное потребление C(t) идет
полностью на восстановление рабочей силы L(t). Тогда, введя норму
потребления γ(t), получим:
(9)
C(t)=γ(t)L(t).
Далее, если считать, что затраты труда пропорциональны выпуску продукции, то
L(t)=b(t)X(t),
(10)
где b(t) – норма трудоемкости.
Подставляя равенства (9) и (10) в уравнение (8), получим «замкнутую по потреблению» модель расширенного воспроизводства:
dX
+ γ (t )b (t ) X ,
X = aX + κ
dt
которая описывается однородным линейным дифференциальным
уравнением
dX
где
dt
p (t ) =
− p ( t ) X = 0,
1− a −γ (t )b(t )
κ
(11)
.
Добавляя к уравнению (11) начальное условие Х(0) = Х0, получим, что развитие экономики определяется формулой:
t
∫ p ( s ) ds
X (t ) = X0 e 0
.
Случай 3. Предположим, что непроизводственное потребление
является известной функцией времени. Тогда закон развития экономики определяется уравнением (8), которое примет вид:
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
dX
− p(t ) X = f (t ),
dt
1− a
C (t )
p
t
(
)
=
,
f
t
(
)
. Добавляя
=
−
где
κ
κ
Х(0) = Х0, получим решение
t

∫ p ( s ) ds  t
X (t ) = e 0
∫
 0

τ
− ∫ p ( s ) ds
f (τ )e 0
начальное
условие


dτ + X0 .


Таким образом, выделение из конечного продукта Y накапливаемой части I приводит к рассмотрению динамических моделей и
применению для исследования в качестве математического аппарата
теории дифференциальных (в непрерывном случае) и конечноразностных уравнений (в дискретном варианте).
Двухпродуктовая динамическая макроэкономическая модель
Предположим, что экономика представлена двумя отраслями
народного хозяйства, каждая из которых выпускает валовую продукцию Х1, Х21 и затрачивает на воспроизводство труд, средства труда и предметы труда. Валовой продукт каждой отрасли распределяется в блоках PX1 , PX 2 (рис. 3) соответственно на конечный продукт Y1, Y2 отраслей и производственное потребление:
X 1 = W1 + Y1 ,
X 2 = W 2 + Y2 .
Однако в двухпродуктовой модели промежуточный продукт
W (i=1,2) расходуется на воспроизводство валового продукта не
только своей отрасли, но и другой. На рисунке 3 распределение промежуточного продукта осуществляется в блоках P 1 , P 2 :
i
W
W1 = W11 + W21 ,
W 2 = W12 + W22 .
8
W
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
i
Если предположить, что межотраслевые потоки Wj (i, j = 1,2) из
i-ой отрасли в j-ую отрасль пропорциональны объему продукции
j-ой отрасли:
Wji = a ij X j ,
i
где a j – норма затрат продукции i-ой отрасли на воспроизводство
единицы продукции j-ой отрасли, – то распределение валовой продукции отраслей можно представить в виде:
X 1 = a11 X 1 + a 12 X 2 + Y1 ,
X 2 = a12 X 1 + a 22 X 2 + Y2 .
Рис. 3. Распределение промежуточного продукта
9
(12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рисунке 3 видно, что блоки PW1 и PW 2 участвуют в межотраслевом обмене промежуточного продукта и образуют систему
межотраслевых связей. Вычленение этой системы из рассматриваемой динамической модели приводит к модели межотраслевого баланса, имеющей самостоятельное значение. На рисунке 4 представлена модель межотраслевого баланса для двухотраслевой экономики.
Рис. 4. Модель межотраслевого баланса
для двухотраслевой экономики
Дальнейшее деление конечного продукта Y1, Y2 отраслей I и II
соответственно на валовые капитальные вложения I1, I2 и непроизводственное потребление C 1 , C 2 осуществляется в блоках PY1 и PY2 :
Y 1 = I 1 + C1,
Y 2 = I 2 + C 2.
(13)
В двухпродуктовой модели в простейшем варианте будем считать, что все валовые капитальные вложения идут на развитие экономики (амортизационные отчисления в этом случае не учитываются). Тогда расход валовых капитальных вложений I1, I2 каждой от10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
расли на увеличение основных фондов осуществляется соответственно в блоках PI 1 и PI 2 :
I 1 = I11 + I 12 ,
(14)
I 2 = I12 + I 22 .
В простейшей динамической модели считаем, что поток валовых
капитальных вложений I ij (i, j = 1,2) из i-ой отрасли в j-ую пропорционален приросту валовой продукции j-ой отрасли:
I ij = κ ij ∆X j , i, j = 1, 2.
(15)
Подставляя в (12) формулы (13) – (15), получим открытую духпродуктовую модель в дискретном варианте:
 X 1 = a11 X 1 + a12 X 2 + κ 11∆X 1 + κ 21 ∆X 2 + C 1 ,
 2
 X = a12 X 1 + a 22 X 2 + κ 12 ∆X 1 + κ 22 ∆X 2 + C 2 .
В непрерывном варианте модель (16) примет вид:
(16)
1
2
 1
1 1
1 2
1 dX
1 dX
+κ2
+ C1 ,
 X = a1 X + a 2 X + κ 1
dt
dt

1
2
 X 2 = a 2 X 1 + a 2 X 2 + κ 2 dX + κ 2 dX + C 2 .
1
2
1
2

dt
dt
Задавая начальные условия X 1(t0 ) = X 01 , X 2 (t0 ) = X 01 и предполагая известными во времени C 1 (t ) и C 2 (t ) , получаем, что задача
развития экономики, состоящей из двух отраслей, сводится к системе линейных неоднородных уравнений.
С математической точки зрения эта задача является задачей Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Необходимые сведения
из теории дифференциальных уравнений
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, неизвестную функцию и произ11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
водные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным, если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется
дифференциальным уравнением в частных производных. В дальнейшем мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например:
1. x 2 y ′ + 5 xy = y 2 – дифференциальное уравнение первого порядка;
2. y ′′ − 4 xyy ′ = x 2 – дифференциальное уравнение второго порядка;
3. y ′3 + y ′′y ′′′ = x – дифференциальное уравнение третьего порядка;
4. F ( x, y, y ′, y ′′) = 0 – общий вид дифференциального уравнения
второго порядка.
Мы будем рассматривать дифференциальные уравнения первого
порядка, т.е. уравнения вида F ( x, y, y ′) = 0 , или y ′ = f ( x, y ) . Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = ϕ (x) , которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется
интегрированием дифференциального уравнения. График любого
решения y = ϕ (x) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка y ′ = f ( x, y ) называется функция y = ϕ ( x, C ) , которая является
решением данного уравнения при любых значениях произвольной
постоянной С, принадлежащих некоторому множеству.
Всякое решение y = ϕ ( x, C0 ) , получающееся из общего решения
y = ϕ ( x, C ) при конкретном значении C = C0 , называется частным
решением.
Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения
y ′ = f ( x, y ) , удовлетворяющее условию y ( x0 ) = y0 , называется задачей Коши.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема Коши. Если функция f ( x, y ) непрерывна и имеет неdf
прерывную производную
в области D, то решение дифференциdy
ального уравнения y ′ = f ( x, y ) при начальном условии y ( x0 ) = y0 существует и единственно для любой точки ( x0 , y0 ) ∈ D , т.е. через
любую точку области D проходит единственная интегральная кривая данного уравнения.
Рассмотрим некоторые примеры. Уравнение вида
f1 ( x) g1 ( y )dx + f 2 ( x) g 2 ( y )dy = 0
называется уравнением с разделяющимися переменными. С помощью элементарных преобразований оно приводится к виду, когда
каждая часть уравнения содержит только одну переменную:
f1 ( x)dx
g ( y )dy
.
=− 2
f 2 ( x)
g1 ( y )
После этого находим решение уравнения, интегрируя обе его
части.
Линейное однородное уравнение y ′ = a ( x) y , в котором функция
a (x) непрерывна на некотором интервале x ∈ ( x1 , x2 ) , является уравнением с разделяющимися переменными. Домножая обе части на dx
и учитывая, что y ′dx = dy , получим:
dy = a( x) y dx.
Разделим переменные:
dy
= a ( x)dx.
y
Решение уравнения имеет вид:
ln | y |= ∫ a( x)dx + C.
Общее решение уравнения y ′ = a ( x) y можно привести к виду:
y ( x) = Ce ∫
13
a ( x ) dx
.
(17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что формула (17) при любом значении константы С задает решение уравнения y ′ = a ( x) y (при С = 0 получаем решение y ( x) ≡ 0 ). Решение данного уравнения, удовлетворяющее условию y ( x0 ) = y0 , имеет вид:
x
∫ a ( s )ds
y ( x) = y0 e x0
.
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение
y ′ = a ( x) y + f ( x) (функция f (x) также непрерывна на интервале
x ∈ ( x1 , x2 ) ). Применим метод вариации произвольной постоянной.
Решение будем искать в виде:
x
∫ a ( s )ds
y ( x) = C ( x)e x0
(18)
.
Подставляя формулу (18) в уравнение y ′ = a ( x) y + f ( x) , получим:
x
C ′( x) = f ( x)e
− ∫ a ( s ) ds
x0
.
Отсюда получаем:
τ
C ( x) =
x
∫ f (τ )e
− ∫ a ( s ) ds
x0
dτ + C .
x0
Таким образом, решение имеет вид:
x
y ( x) = C e
∫ a ( s )ds
x0
x
x
∫ a ( s )ds
∫ f (τ )eτ
+
dτ .
x0
Константу C найдем из условия y ( x0 ) = y0 . Получим: C = y0 .
Следовательно, решение уравнения y ′ = a ( x) y + f ( x) , удовлетворяющее условию y ( x0 ) = y0 , имеет вид (формула Лагранжа):
x
y ( x) = y0 e
∫ a ( s )ds
x0
x
+
x
∫ f (τ )eτ
x0
14
∫ a ( s )ds
dτ .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Однородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами имеют вид:
 y1′ = a11 y1 + a12 y 2 +  + a1n y n
 y′ = a y + a y +  + a y
 2
21 1
22 2
2n n


 y n′ = an1 y1 + an 2 y 2 +  + ann y n
(19)
Здесь y1 ( x), y 2 ( x), , y n ( x) – неизвестные функции независимой
переменной x. Система (19) может быть переписана в векторной
форме:
y ′ = Ay ,
где
 a11 a12  a1n 
 y1 ( x) 
 y1′ ( x) 






′
(
)
(
)
y
x
y
x
a
a

a





2n 
.
y ( x) =  2  , y ′( x) =  2  , A =  21 22


 








 y n ( x) 
 y n′ ( x) 
 an1 an 2  ann 
Из теории линейных систем известно, что решения системы (19)
образуют линейное пространство размерности n, при этом каждое
решение определено на всей числовой прямой. Следовательно, для
того чтобы найти общее решение системы (19), надо построить n линейно независимых решений данной системы.
Пусть λ1 , λ 2 , , λ n – собственные значения матрицы A. Они являются корнями многочлена det( A − λE ) = 0 . Каждому собственному
значению λ соответствует хотя бы один собственный вектор h – ненулевой вектор, координаты которого являются решением системы
Ah=λh. В случае, когда все собственные значения попарно различны,
или когда каждому собственному значению кратности k соответствуют k линейно независимых собственных векторов, решения системы (19) имеют вид:
y j ( x) = e
λjx
hj .
Здесь h j – собственный вектор матрицы A, соответствующий
собственному значению λ j . В случае, когда собственному значению
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кратности k соответствуют менее чем k линейно независимых собственных векторов, у этого собственного значения есть хотя бы одна
жорданова серия h1 , h2 , , hs :
Ah1 = λ h1 ,
Ah2 = λ h2 + h1 , … ,
Ahs = λ hs + hs −1.
В этом случае решениями системы (19) служат функции:
y1 ( x) = e λ x h1 ,
y 2 ( x) = e λ x (h2 + xh1 ),
………………..

x s −1
y ( x) = e  hs + xhs −1 +  +
h1  .
( s − 1)! 

s
λx

Повторяя эту процедуру для всех собственных значений, построим n линейно независимых решений. Общее решение системы
(19) имеет вид:
y ( x) =
n
∑ C j y j ( x).
j =1
В случае, когда у действительной матрицы A есть комплексное
собственное значение λ = α + iβ , число λ = α − iβ также является
собственным значением такой же кратности. В этом случае действительная и мнимая части решения системы (19) сами являются ее решениями. Поскольку решения, построенные для собственных значений λ и λ , комплексно сопряжены, то следует строить решения по
сформулированным выше правилам только для одного собственного
значения из пары, а затем выделить в каждом из решений действительную и мнимую части.
Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами – это системы вида y ′ = Ay + f (x) . Здесь f(x) – непрерывная на
некотором интервале x ∈ ( x1 , x2 ) векторная функция:
 f1 ( x) 


 f ( x) 
f ( x) =  2  .



 f n ( x) 
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Общее решение линейного неоднородного уравнения – это сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. В общем случае для построения частного решения неоднородного уравнения можно использовать метод вариации
постоянных. В случае, когда
 Pm1 ( x) 
 1

 2

αx  Pm2 ( x ) 
,
f ( x) = e
  
 n

 Pm ( x) 
 n 
где Pmj (x) – многочлен степени m j , частное решение неоднородной
j
системы имеет вид:
 Qm1 + s ( x) 


2


αx Qm+ s ( x )
y ( x) = e 
.
  
 n

 Qm+ s ( x) 
Здесь m = max m j , параметр s определяется следующим образом:
1≤ j ≤ n
s = 0, если число α не является собственным значением матрицы A,
если же α является собственным значением матрицы A, то s равно
длине максимальной жордановой серии, соответствующей данному
собственному значению. Коэффициенты многочленов Qmj + s (x) определяются при подстановке в исходную систему.
Рассмотрим пример. Пусть двухпродуктовая модель описывается следующей системой дифференциальных уравнений:
 1 1 1 1 2 1 dX 1 1 dX 2 t
+
+ ,
 X = X + X +
4 dt
2 dt
4
2
4

1
2
 X 2 = 1 X 1 + 1 X 2 + 1 dX + 1 dX + t .

4
2
2 dt
4 dt
4
(20)
Начальные условия имеют вид: X 1 (0) = 4, X 2 (0) = 3 . Систему
(20) можно переписать в векторном виде:
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 dX 1 


 X 1  1 t 
dt 

 −  .
= B2 
B1
 dX 2 
 X 2  4  t 




 dt 
Здесь
1 1 2 
,
B1 = 
4  2 1
1  2 − 1
.
B2 = 
4  − 1 2 
Вычислим
4  −1 2 
.
B1−1 = 
3  2 − 1
Умножим систему (20), записанную в векторной форме, слева на
B1−1 . Получим:
 dX 1 


1
 dt  = A X  − 1  t  ,
(21)
 dX 2 
 X 2  3  t 




 dt 
1− 4 5 
где A = 
.
3  5 − 4 
Собственные значения и собственные векторы матрицы A равны:
1
1 
1
λ1 = , h1 =  ,
λ 2 = −3, h2 =  .
3
1
 − 1
По сформулированным выше правилам выпишем вид частного
решения системы (21):
 X 1 = at + b,

 X 2 = ct + d .
Коэффициенты многочленов вычислим, подставляя частное решение в систему (21). Имеем:
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5
5
4
4
t

,
=
−
−
+
+
−
a
at
b
ct
d

3
3
3
3
3

c = 5 at + 5 b − 4 ct − 4 d − t .

3
3
3
3
3
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим:
a = c = 1, b = d = 3.
Таким образом, общее решение системы (21) (а значит и системы (20)) имеет вид:
t
 X1 
1
1
t + 3

 = C1e 3   + C 2 e −3t   + 
1
 − 1  t + 3  .
X2
 
  



Используя начальные условия, найдем C1 и C2 : C1 = C2 =
1
.
2
Окончательно получаем:
t


1  3
1
−3t 
 X (t ) = e + e
+ t + 3,


2




t

 2
1  3
−3t 
 X (t ) =  e − e  + t + 3.
2



Результаты исследования показывают, что объем валового продукта в каждой отрасли возрастает по экспоненциальному закону.
Понятно, что такие темпы роста не могут поддерживаться в течение
длительного времени. Следовательно, модель (20) можно рассматривать лишь на некотором конечном временном промежутке.
Многопродуктовая модель экономики.
Межотраслевой баланс
Динамические макроэкономические модели производства и распределения общественного продукта на уровне всего народного хозяйства позволяют увязать основные макроэкономические показатели, такие, как валовой продукт, капитальные вложения, трудовые ресурсы, потребление и др. Однако для эффективного управления
экономикой, имеющей сложную структуру, необходимо установить
плановые пропорции не только на народнохозяйственном уровне, но
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и на отраслевом. Это движение общественного продукта на всех стадиях воспроизводства учитывает метод межотраслевого баланса.
При построении статической открытой модели межотраслевого
баланса используются следующие соглашения:
1) все народное хозяйство можно разбить на n отраслей;
2) в каждой отрасли производится только один продукт и одним
способом;
3) всю продукцию народного хозяйства можно разделить на промежуточную и конечную. Промежуточной называют ту часть валовой продукции, которая идет в дальнейшую переработку в отрасли и
образует текущие материальные затраты. Конечной называют оставшуюся часть валовой продукции, которая окончательно уходит из
производственного процесса и используется для потребления.
Введем обозначения:
X i (i = 1,2,, n) – интенсивность валового продукта i-ой отрасли;
Y i (i = 1,2,, n) – интенсивность конечного продукта i-ой отрасли;
x ij (i = 1,2,, n, j = 1,2,, n) – интенсивность межотраслевого потока продукции i-ой отрасли на воспроизводство валовой продукции
j-ой отрасли.
Тогда распределение валовой продукции имеет вид:
 X 1 = x11 + x12 +  + x1n + Y 1 ,
 2
2
2
2
2
 X = x1 + x2 +  + xn + Y ,
(22)

 
X n = xn + xn ++ xn + Y n.

n
1
2
Предположим, что межотраслевые поставки x ij продукции i-ой
отрасли в j-ую отрасль зависят линейно от объема валовой продукции j-ого потребителя ( X j ) и от нормы материалоемкости a ij , определяющей затраты продукции i-ой отрасли на воспроизводство единицы валовой продукции j-ой отрасли: x ij = a ij X j , тогда система (22)
примет вид:
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где
 X 1 = a11 X 1 + a12 X 2 +  + a1n X n + Y 1 ,
 2
2 2
2 n
2
2 1
 X = a1 X + a2 X +  + an X + Y ,
(23)













X n = an X 1 + an X 2 +  + an X n + Y n.

n
1
2
Систему (23) можно записать в векторной форме: X = AX + Y ,
 X1 


2
X 
X =
 – вектор интенсивности валового продукта;



 n
X 
Y 1 
 
Y 2 
Y =   – вектор интенсивности конечного продукта;

 n
Y 
 a11 a12  a1n 


2
2
2
 a1 a2  an 
A=
 – нормативная матрица материалоемко







 n
n
n
 a1 a2  an 
сти (матрица прямых затрат).
На основе системы (23) можно сформулировать две задачи.
Задача 1. Задача наблюдаемости ( X → Y) отражает процесс распределения валового продукта. Здесь входом в модель является вектор валового продукта X, а выходом – вектор конечного продукта Y.
Матричное представление этой модели имеет вид:
( E − A) X = Y .
Задача 2. Задача синтеза (Y → X ) отражает содержание процесса
планирования валовой продукции X по заданному вектору конечной
продукции Y. Модель можно записать следующим образом:
( E − A) −1Y = X .
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача распределения валовой продукции и задача планирования
являются взаимно обратными. Обе модели являются открытыми.
Эти модели позволяют построить систему взаимосвязанных показателей, однако они не отвечают на вопрос, насколько эффективен тот
или иной план.
Рассмотрим задачу планирования. По экономическому содержанию матрица материалоемкости неотрицательна A ≥ 0 , т.е.
a ij ≥ 0 (i = 1,2,, n, j = 1,2,, n) . Неотрицательность решения X определяется продуктивностью матрицы A. Условие продуктивности неотрицательной матрицы A эквивалентно одному из условий:
1) максимальное собственное значение λ ( A) матрицы A меньше
единицы: λ ( A) < 1;
2) матрица ( E − A) неотрицательно обратима, т.е. существует
обратная матрица ( E − A) −1 и все ее элементы неотрицательны.
Выясним экономическое содержание элементов матрицы
( E − A) −1 . Обозначим их c ij . Запишем покоординатно векторное равенство ( E − A) −1Y = X :
 X 1 = c11Y 1 + c12Y 2 +  + c1nY n ,
 2
2 2
2 n
2 1
 X = c1 Y + c2 Y +  + cn Y ,

 
 X n = c nY 1 + c nY 2 +  + c nY n .

n
1
2
1 
 
0
Пусть Y =   , тогда

 
0
 X 1   c11 c12  c1n   1   c11 
   

 
2
2
2
2
 X   c1 c2  cn   0   c12 
X =
   =  .
=
        
 n  n
n
n0  n
 X   c1 c2  cn     c1 
Элементы первого столбца матрицы ( E − A) −1 характеризуют
затраты валовой продукции всех отраслей на воспроизводство еди22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ницы конечной продукции первой отрасли. Точно так же устанавливается, что элементы j-го столбца матрицы ( E − A) −1 характеризуют
затраты валовой продукции всех отраслей на воспроизводство единицы конечной продукции j-ой отрасли. Другими словами, коэффициенты c ij (i = 1,2,, n, j = 1,2,, n) матрицы ( E − A) −1 представляют
собой затраты валовой продукции i-ой отрасли, идущей на воспроизводство единицы конечной продукции j-ой отрасли. Их называют
коэффициентами полных затрат.
Матрица коэффициентов косвенных затрат определяется как
разность между матрицей полных затрат ( E − A) −1 и прямых затрат A.
Рассмотрим пример. На плановый год задаются матрица коэффициентов прямых затрат и вектор конечного продукта:
153,4 
 0,3 0,09 0,08 




A =  0,08 0,24 0  , Y =  17,2  .
 38,4 
 0,07 0,06 0 




Требуется найти вектор валового продукта X и межотраслевые
потоки x ij .
Для определения вектора валового продукта и межотраслевых
потоков воспользуемся экономико-математической моделью задачи
планирования производства: X = ( E − A) −1Y .
Вычислим матрицу ( E − A) −1 :
1,461 0,182 0,117 


( E − A) −1 =  0,153 1,334 0,012  .
 0,111 0,092 1,009 


Найдем вектор валового продукта:
1,461 0,182 0,117  153,4   231,7 

 
 

X =  0,153 1,334 0,012   17,2  =  46,9  .
 0,111 0,092 1,009   38,4   57,4 

 
 

23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определим межотраслевые потоки по формуле x ij = a ij X j , получим:
x11 =69,5,
x12 =4,2,
x31 =4,6,
x12 =18,5,
x22 =11,2,
x32 =0,
x33 =0.
x13 =16,2,
x23 =2,8,
Схема планового межотраслевого баланса примет такой вид:
Производящая
отрасль
1
2
3
Распределение
по потребляющим отраслям
1
2
3
69,5
4,2
4,6
18,5
11,2
0
16,2
2,8
0
Конечный
продукт
153,4
17,2
38,4
Валовой
продукт
231,7
46,9
57,4
Отметим, что расчеты затрат труда и основных производственных фондов на реализацию плана не осуществляются в модели межотраслевого баланса. Эти расчеты проводят только тогда, когда найден планируемый вектор валовой продукции X.
Для составления баланса труда введем коэффициенты трудоемкости для каждой отрасли, полученные на основании отчетных балансов:
Lio
i
bo = i ,
Xo
где boi – норма трудоемкости i-ой отрасли в отчетном году; Lio – затраты труда i-ой отрасли в отчетном году; X oi – валовой продукт i-ой
отрасли в отчетном году.
Коэффициенты boi , i = 1, 2,, n , сведем в строку трудоемкости:
(
При
(b , b ,, b ).
1
o
2
o
n
o
составлении баланса труда нормы трудоемкости
, полученные расчетным путем из расчетного баланса,
bo1 , bo2 ,, bon
)
(
)
корректируют для планового баланса b1П , bП2 ,, bПn , откуда баланс
труда принимает вид:
(24)
LП = b1П X 1П + bП2 X П2 +  + bПn X Пn .
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Прогнозируя трудовые ресурсы на планируемый период L∗ ,
оценим обеспеченность плана по труду. Если окажется, что LП > L∗ ,
(
)
то планируемый вектор валового продукта X П = X 1П , X П2 ,, X Пn не
обеспечивается трудовыми ресурсами, следовательно, надо выбрать
новый вариант и изменить вектор конечного продукта
YП = YП1 , YП2 ,, YПn , снова вычислить вектор валовой продукции и
проверить обеспеченность его трудовыми ресурсами.
В модели (24) рассматривается редуцированный труд. Если в
каждой отрасли трудовые ресурсы представить по видам деятельности, то баланс труда будет интерпретирован системой уравнений.
Можно пересчитать коэффициенты полных затрат труда (затраты труда на единицу конечной продукции). Математически эти коэффициенты определяются как произведение вектора коэффициентов трудоемкости на матрицу полных затрат:
 c11 c12 c1n 


2
2
2
 c c cn 
b 1 , b 2 ,, b n = b1П , bП2 ,, bПn  1 2
.
 
 n n
n
c
c
c

 1 2
n
или
b 1 = b1П c11 + bП2 c12 +  + bПn c1n ,
 2
1 1
2 2
n n
b = bП c2 + bП c2 +  + bП c2 ,


b n = b1 c1 + b 2 c 2 +  + b n c n ,

П n
П n
П n
(
)
(
) (
)
где b i (i = 1, 2,, n) – затраты живого труда всех отраслей на воспроизводство единицы конечной продукции i-ой отрасли.
Такая же работа проводится по обеспеченности плана основными производственными фондами. Определим нормы фондоемкости
hoi , i = 1, 2,, n , из отчетного баланса:
hoi
K oi
= i,
Xo
где K oi – основные производственные фонды i-ой отрасли на конец
отчетного периода.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Скорректировав эти нормы на планируемый период
h1П , hП2 ,, hПn , составим баланс основных производственных фондов:
K П = h1П X 1П + hП2 X П2 +  + hПn X Пn ,
где планируемые основные производственные фонды сравниваются
с их прогнозируемым значением K ∗ . В случае K П > K ∗ расчеты повторяются
для
нового
варианта
конечного
продукта
YП = YП1 , YП2 ,, YПn .
Так же как для баланса труда, основные производственные фонды можно развернуть по видам. Например, основные производственные фонды разделить на активную и пассивную части, в свою
очередь, представив каждую из них по видам.
Зная коэффициенты прямых затрат фондов, определим затраты
фондов на единицу конечной продукции h i (i = 1, 2,, n) как произведение строки фондоемкости на матрицу коэффициентов полных
затрат ( E − A) −1 :
 c11 c12 c1n 


2
2
2

c c cn
h 1 , h 2 ,, h n = h1П , hП2 ,, hПn  1 2
,






 n n
n
 c1 c2 cn 
где hПi ( i = 1, 2,, n ) – коэффициент полной фондоемкости, приходящийся на единицу конечной продукции i-ой отрасли планируемого
периода.
Тогда коэффициенты полной фондоемкости будут равны:
h 1 = h1П c11 + hП2 c12 +  + hПn c1n ,
 2
1 1
2 2
n n
h = h П c 2 + h П c 2 +  + h П c 2 ,


h n = h1 c1 + h 2 c 2 +  + h n c n .

П n
П n
П n
Иными словами, получили затраты производственных фондов на
воспроизводство единицы конечной продукции i-ой отрасли.
При моделировании межотраслевых связей важным является вопрос агрегирования нормативных показателей.
(
)
(
)
(
) (
)
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим пример. Пусть задана таблица межотраслевых потоков для четырех отраслей.
Производящая
отрасль
1
Распределение по потребляющим
отраслям
1
2
3
4
Конечный
продукт
Валовой
продукт
x11
x12
x31
x14
Y1
X1
2
x12
x22
x32
x42
Y2
X2
3
x13
x23
x33
x43
Y3
X3
4
x14
x24
x34
x44
Y4
X4
Определим параметры агрегирования при объединении второй и
третьей отраслей.
Выделим отрасли, подлежащие агрегированию. Присвоим новой
отрасли индекс k и составим другую таблицу, введя в нее отрасль k.
Производящая
отрасль
1
Распределение
по потребляющим отраслям
1
K
4
Конечный
продукт
Валовой
продукт
x11
x1k
x14
Y1
X1
k
x1k
xkk
x4k
Yk
Xk
4
x14
xk4
x44
Y4
X4
Агрегированными окажутся те межотраслевые потоки, которые
содержат индекс k.
Определим поток из i-ой отрасли в отрасль k. Поток xki объединит все потоки из i-ой отрасли в отрасли, которые образовали k-ю
отрасль. Для нашего случая
xki = x2i + x3i , i = 1, 4.
Сформируем поток из k-ой отрасли в j-ю. Поток x kj объединяет
потоки всех отраслей, входящих в k-ю отрасль, направленные в j-ю
отрасль. Для нашего случая
x kj = x 2j + x 3j , j = 1, 4.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поток k-ой отрасли на собственное воспроизводство включит
все межотраслевые потоки, оставшиеся внутри этой отрасли, т.е.
xkk = x22 + x32 + x23 + x33 .
Зная агрегированные потоки, найдем коэффициенты прямых затрат агрегированных отраслей. Коэффициент прямых затрат i-ой отрасли на воспроизводство единицы продукции k-ой отрасли равен
отношению потока из i-ой отрасли к валовой продукции k-ой отрасли:
xki
i
ak = k .
X
k
Используя формулы для x j и X k , получим:
x2i + x3i
a2i X 2 + a3i X 3
= 2
=
, i = 1, 4.
X + X3
X2 + X3
Аналогично вычисляются коэффициенты прямых затрат k-ой отрасли на воспроизводство единицы продукции j-ой отрасли:
x kj
x 2j + x 3j a 2j X j + a 3j X j
k
aj = j =
=
= a 2j + a 3j , j = 1, 4.
j
j
X
X
X
Коэффициенты прямых затрат агрегированной матрицы можно
вычислить и матричным способом. По таблице межотраслевых потоков построим матрицу коэффициентов прямых затрат А
i
x
j
( a ij = j , i = 1,, n; j = i = 1,, n ).
X
 a11 a12 a31 a14 


2
2
2
2
 a1 a2 a3 a4 
.
A=
3
3
3
3
 a1 a2 a3 a4 
 4 4 4 4 
 a1 a2 a3 a4 
Далее сформируем оператор агрегирования Т. Для этого произведем деформацию единичной матрицы четвертого порядка (размерность единичной матрицы совпадает с размерностью исходной таблицы межотраслевого баланса) по следующему правилу: выделим в
единичной матрице E4 те строки, номера которых совпадают с номерами агрегированных отраслей, и просуммируем их. Результат
внесем в k-ю строку матрицы Т. Все остальные строки, номера котоaki
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рых в исходной таблице соответствуют номерам отраслей, не подлежащих агрегированию, перепишем в матрицу Т без изменения.
Для нашего примера:
1 0 0 0 


1 0 0 0 


0
1
0
0


0
1
1
0
E4 = 
T
→
=
.

0 0 1 0




 0 0 0 1
 0 0 0 1
Таким образом, матрица Т есть результат «горизонтальной деформации» матрицы E4 .
В более общем случае число строк деформированной матрицы
равно
m = n − q + 1,
где m – число строк матрицы T; n – размерность исходной таблицы
межотраслевого баланса; q – число отраслей, подлежащих агрегированию.
Если одновременно формируют две агрегированные отрасли, то
число строк деформированной матрицы Т равно
m = n − (q + l ) + 2,
где l – число отраслей, агрегируемых в отрасль L.
Построим весовую матрицу W. Для этого введем веса W i , означающие вклад валовой продукции исходной i-ой отрасли в валовую
продукцию отраслей, представленных в новой агрегированной таблице.
Так, первая и четвертая отрасли в нашем примере не подлежат
агрегированию. Следовательно,
X2
X3
1
4
2
3
,W = 2
.
W = 1, W = 1, W = 2
X + X3
X + X3
Составим весовую матрицу W:
1 0 0 0 


2
0 W 0 0
W =
.
3
0 0 W 0
0 0 0 1 


Деформируем матрицу W по столбцам, объединив второй и третий столбцы. Получим:
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 0 0 


2


W
0
0
W∗ =
,
3
0 W 0
0 0 1 


где W ∗ – весовой оператор агрегирования.
Число строк весового оператора агрегирования W ∗ совпадает с
размерностью исходной таблицы межотраслевого баланса, число
столбцов равно количеству строк деформированной матрицы Т.
Для получения матрицы прямых затрат с учетом агрегирования
достаточно умножить исходную матрицу материалоемкости А слева
на деформированную матрицу Т и справа на деформированную весовую матрицу W ∗ , т.е.
Aагр = TAW ∗ ,
где Aагр – агрегированная матрица материалоемкости.
Моделирование запаздывания
при освоении капитальных вложений
При идентификации процессов на макроуровне одним из главных вопросов является формирование взаимосвязей факторов с учетом запаздывания. Так, например, цепочка «капитальные вложения –
ввод в действие основных производственных фондов» относится к
числу таких взаимосвязей.
Имеется два подхода при моделировании запаздывания в процессе освоения капитальных вложений. Первый из них предполагает
наличие промежутка времени τ, по прошествии которого капиталовложения превращаются в основные фонды. В этом случае можно
считать, что изменение основных фондов в момент t происходит за
счет инвестиций, выделенных в момент t-τ. Тогда модель прироста
основных фондов K(t) в непрерывном варианте принимает вид:
K (t ) = − µK (t ) + I (t − τ ).
Это уравнение представляет собой уравнение с запаздыванием,
или, как это принято в теории дифференциальных уравнений, уравнение с отклоняющимся аргументом. Величина τ называется пара30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
метром запаздывания, т.е. времени, необходимого на освоение инвестиций.
Наряду с данной моделью в настоящее время используется подход к моделированию запаздывания, основанный на введении так
называемого распределенного лага. При этом предполагается, что
инвестиции, выделяемые на развитие основных фондов, осваиваются
постепенно. Это значит, что если в момент времени τ выделены инвестиции I(τ), то в момент времени t будет освоена доля N(t,τ) основных фондов. Если взять теперь все моменты времени τ<t, то получим следующую формулу для ввода в действие основных фондов
V(t) в момент времени t:
V (t ) =
t
∫ N (t ,τ ) I (τ )dτ .
(25)
−∞
В случае дискретной (многошаговой) модели, когда инвестиции
образуются в моменты времени t = t 0 > t1 > t 2 >  > t n > , формулу
(25) можно переписать следующим образом:
V (t ) =
0
∑ N (t , ti ) I (ti ), t i = t + i.
(26)
i = −∞
Если доля инвестиций, образованных в момент времени τ и вводимых в момент времени t, зависит лишь от промежутка времени освоения t-τ, то говорят о стационарности процесса ввода инвестиций в
действие. В этом случае функция N(t,τ) будет, очевидно зависеть
только от t-τ и, следовательно, равна N(t-τ). Формула (25) в этом
случае примет вид:
V (t ) =
t
∫ N (t − τ ) I (τ )dτ .
−∞
Введем новую переменную θ=t-τ. Если τ→−∞, то θ→∞, я если
τ=t, то θ=0. Тогда выражение для V(t) примет вид:
∞
V (t ) = ∫ I (t − θ ) N (θ )dθ .
0
(27)
Функция N(θ) является важной характеристикой процесса ввода
в действие капиталовложений. Одним из предположений о ее поведении, которое может быть принято, является предположение о монотонном убывании N(θ), т.е. доля вводимых в заданный момент
времени t инвестиций, выделенных в момент времени t-θ, будет тем
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
меньше, чем больше промежуток времени θ. При моделировании
инвестиционного лага используют различные способы задания
функции N(θ). Зададим ее в виде
(28)
N (θ ) = λ e −λθ , 0 < λ < 1 .
Если процесс освоения инвестиций является стационарным и
I (τ ) = I = const при − ∞ < τ ≤ t , то естественным является требование
V(t)=I. Подставляя I(τ)=I и V(t)=I в формулу (25), получим:
∞
I = ∫ I N (θ )dθ ,
0
откуда сокращая на I, будем иметь:
∞
∫ N (θ )dθ = 1.
0
При θ→∞ доля вводимых инвестиций должна убывать к нулю:
lim N (θ ) = 0.
θ →∞
Очевидно, что рассматриваемая функция распределения лага
N (θ ) = λ e λθ перечисленным условиям удовлетворяет, так как
∞
∫ λe
−λθ
= 1, lim λe −λθ = 0.
θ →∞
0
Получим теперь уравнение для скорости ввода капитальных
вложений V (t ) . Для этого вычислим производную левой и правой
частей соотношения (27). Вычисляя производную правой части по
правилу дифференцирования интеграла по параметру, получим:
∞
∞
d
V (t ) = ∫ I (t − θ ) N (θ )dθ = ∫ I ′(t − θ ) N (θ )dθ .
dt 0
0
Вычислим интеграл по частям:
∞
V (t ) = − ∫ N (θ )dI (t − θ ) = − N (θ ) I (t
∞
−θ ) 0
0
∞
+ ∫ I (t − θ )dN (θ ) =
0
∞
= N (0) I (t ) + ∫ I (t − θ ) N (θ )dθ .
(29)
0
При вычислении было использовано равенство lim N (θ ) = 0.
θ →∞
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для экспоненциального закона запаздывания уравнение (29) упрощается. В этом случае N (θ ) = −λ2 e −λθ = −λN (θ ) и N (0) = λ . Поэтому уравнение (29) можно переписать в виде:
∞
V (t ) = λI (t ) − λ ∫ I (t − θ ) N (θ )dθ .
0
С учетом (27) последнее слагаемое будет равно − λV (t ) , поэтому
окончательно получим:
(30)
V (t ) = λI (t ) − λV (t ) .
Как видно из соотношения (30), в случае экспоненциального закона запаздывания объем вводимых в действие капитальных вложений может быть найден с помощью решения обыкновенного дифференциального уравнения (30). При этом необходимо задать закон
выделения инвестиций I (t ) и начальное значение V (t 0 ) = V0 . После
этого функция V (t ) определяется как решение задачи Коши. Теперь
модель роста основных фондов будет выглядеть так:
K i = − µ i K i + V i ,
(31)
i
i
i
i
i
V = −λ V + λ I .
Таким образом, в случае экспоненциального распределения лага
основные производственные фонды i-ой отрасли K i (t ) могут быть
найдены из системы дифференциальных уравнений (31).
Зависимости типа (30), (31) могут быть получены и в дискретной
модели ввода в действие основных фондов (26). Аналогом соотношения (28) является при этом функция
(32)
N (θ ) = λ (1 − λ )θ .
Эта функция удовлетворяет условию
∞
∑ λ (1 − λ )θ
θ =0
= 1 . В самом
деле, данный ряд можно просуммировать, используя формулу суммы
бесконечно
убывающей
геометрической
прогрессии
( 0 < 1 − λ < 1 ):
∞
1
∑ λ (1 − λ )θ = λ 1 + (1 − λ ) + (1 − λ ) 2 +  + (1 − λ ) n +  = λ 1 − (1 − λ ) = 1.
θ =0
Рассмотрим соотношение (26). Предположим, как и в непрерывном случае, что фигурирующая в нем функция N (t , ti ) зависит лишь
(
)
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
от разности t − ti . Обозначая эту разность через θ и используя для
N (θ ) формулу (32), получим:
∞
V (t ) = ∑ λ (1 − λ )θ I (t − θ ) .
(33)
θ =0
Последнее неравенство можно переписать в виде:
∞
V (t ) = λI (t ) + ∑ λ (1 − λ )θ I (t − θ ) .
(34)
θ =1
Преобразуем второе слагаемое, сделав замену θ = 1 + τ :
∞
∑ λ (1 − λ )
θ =1
θ
∞
I (t − θ ) = (1 − λ ) ∑ λ (1 − λ )τ I ((t − 1) − τ ) .
(35)
τ =0
Сравнивая соотношения (33) – (35), получаем формулу:
V (t ) = λI (t ) + (1 − λ )V (t − 1) .
Последнее уравнение позволяет определить, каким будет ввод в
действие основных капитальных вложений V (t ) , если известно, какими были сами капитальные вложения. Оно является дискретным
аналогом уравнения (30).
Устойчивость траекторий динамической модели
Задачи управления экономическими процессами тесно связаны с
изучением свойств этих процессов. При исследовании экономических систем с помощью моделей изучение свойств сводится к анализу поведения траекторий модели, имитирующих реальные процессы,
протекающие в данной системе. Один из наиболее существенных
вопросов при таком анализе заключается в исследовании устойчивости траекторий модели.
При реализации программ управления в экономической системе
возможны отклонения от заданной расчетной траектории. Эти отклонения скажутся и на дальнейшем поведении системы. При этом
имеется два принципиально различных исхода, вызванных этими отклонениями. Первый состоит в том, что небольшие отклонения от
траектории в настоящий момент времени приведут также к небольшим изменениям траектории в будущем. При этом отклонения в будущем могут быть сделаны сколь угодно малыми за счет их уменьшения в настоящем. Во втором случае происходит противоположное. Сколь угодно малые отклонения от траектории в настоящий
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
момент неизбежно приводят к ее изменению не меньше, чем на определенную величину в будущем.
В первом случае траектория называется устойчивой, во втором –
неустойчивой.
Рассмотрим процесс, модель которого описывается системой
дифференциальных уравнений (точка означает дифференцирование
по переменной t)
x1 = f 1 (t , x1 ,  , x n ),
x 2 = f 2 (t , x1 ,  , x n ),

(36)
x n = f n (t , x1 ,  , x n ).
(
)
Пусть x (t ) = x 1 (t ),  , x n (t ) – изучаемая нами траектория системы (36), являющаяся ее решением при начальных условиях
x 1 (0) = x01 ,  , x n (0) = x0n .
Рассмотрим наряду с этой траекторией траекторию
x(t ) = x1 (t ),  , x n (t ) , определяемую начальными условиями
(
)
x1 (0) = x10 ,  , x n (0) = x0n .
Будем считать, что все траектории системы (24) определены на
промежутке t ∈ [0, + ∞) . Назовем траекторию x (t ) устойчивой, если
для любого наперед заданного числа ε > 0 можно подобрать такое
число δ > 0 , что из условия
| x0i − x0i |< δ , i = 1,  , n,
следует
| x i (t ) − x i (t ) |< ε , i = 1,  , n,
при всех t ∈ [0, + ∞) .
Приведем примеры устойчивых и неустойчивых траекторий.
Пример 1. Рассмотрим систему
x1 = x 2 − 1,
x 2 = − x1 + 1.
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исследуем устойчивость траектории x(t ) , отвечающей начальным условиям x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 1. Перепишем систему в векторной
форме:
 x1   0 1   x1   − 1
 =
   +  .
 x 2   − 1 0   x 2   1 
 
 
Это неоднородная линейная система. Решим сначала соответствующую однородную систему:
 x1   0 1   x1 
 =
  .
 x 2   − 1 0   x 2 
 
 
 0 1
Найдем собственные значения матрицы A = 
 :
−
1
0


−λ 1
det A =
= λ2 + 1 = 0.
−1 − λ
Получили, что λ = ±i . Поскольку собственные значения являются комплексными числами, то выбираем одно из них λ = i и находим
для него собственный вектор:
− i 1  − i 1

 → 
 (первую строчку умножили на i и прибави−
1
−
i
0
0

 

ли ко второй).
Первая строка эквивалентна уравнению − ia + b = 0 или b = ia .
1
 1
Следовательно, собственный вектор h =   . Функция e it   являетi 
i 
ся решением однородной системы. Выделим действительную и
мнимую части этой функции. Для этого воспользуемся формулой
Эйлера:
 1
1  cos t + i sin t   cos t   sin t 
 = 
e it   = (cos t + i sin t )  = 
 .
 + i
 i   − sin t + i cos t   − sin t   cos t 
i 
Таким образом, решение однородной системы имеет вид:
 x1 (t ) 
cos t 
 sin t 
 = C1 
x(t ) = 
C

+
2
 − sin t 
 cos t  .
 x 2 (t ) 






36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a
Частное решение будем искать в виде: x(t ) =   . Подставляя
b 
его в неоднородную систему, получим: a = b = 1. Следовательно,
общее решение неоднородной системы имеет вид:
 x1 (t ) 
cos t 
 sin t  1
 = C1 

+
x(t ) = 
C
2
 − sin t 
 cos t  + 1 .
 x 2 (t ) 



  


Перепишем это равенство покоординатно:
x1 (t ) = C1 cos t + C2 sin t + 1,
x 2 (t ) = −C1 sin t + C2 cos t + 1.
Проиллюстрируем поведение траекторий геометрически, изобразив их на фазовой плоскости ( x1 , x 2 ) . Перенесем единицу в обоих равенствах в левую часть, затем возведем каждое равенство в
квадрат и сложим:
( x1 − 1) 2 + ( x 2 − 1) 2 = (C1 cos t + C2 sin t ) 2 + ( −C1 sin t + C 2 cos t ) 2 = C12 + C 22 .
Следовательно, траекториями являются окружности с центром в
точке (1, 1) и радиусом
C12 + C22 (рис. 5).
x2
1+δ
1
1-δ
0
1-δ
1
1+δ
x1
Рис. 5
Используя начальные условия x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 1 , найдем:
C1 = C2 = 0 . Значит, исследуемая траектория имеет вид:
x 1 (t ) = 1, x 2 (t ) = 1.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из рисунка 5 видно, что расстояние от любой точки произвольной траектории до точки (1, 1) с течением времени не меняется. Поэтому, если некоторая траектория близка к точке (1, 1) при t=0, то
она всегда будет близка к этой точке. Таким образом, исследуемая
траектория оказывается устойчивой. Проверим это исходя из определения устойчивости. Выберем некоторое ε > 0 . Пусть
x(t ) = x1 (t ), x 2 (t ) – траектория, начальные условия которой удовлетворяют неравенствам
| x1 (0) − 1 |< δ , | x 2 (0) − 1 |< δ .
Из них получаем: | C1 |< δ , | C2 |< δ . Следовательно,
(
)
| x1 (t ) − x 1 (t ) | = | x1 (t ) − 1 | = | C1 cos t + C 2 sin t | ≤ | C1 | + | C 2 | < 2δ ,
| x 2 (t ) − x 2 (t ) | = | x 2 (t ) − 1 | = | −C1 sin t + C 2 cos t | ≤ | C1 | + | C 2 | < 2δ .
Условие устойчивости выполнено, если положить δ =
вательно, исследуемая траектория устойчива.
ε
2
. Следо-
Пример 2. Рассмотрим систему
x1 = x 2 ,
x 2 = −2 x1 − 5 x 2 .
Исследуем устойчивость траектории x(t ) , отвечающей начальным условиям x 1 (0) = 0, x 2 (0) = 0. Перепишем систему в векторной
форме:
 x1   0
1   x1 
 =
  .
 x 2   − 5 − 2   x 2 
 
 
Это однородная линейная система. Найдем собственные значе1
1
−λ
 0
ния матрицы A = 
 : det A =
= λ2 + 2λ + 5 = 0.
−5 −2−λ
 − 5 − 2
Получили, что λ = −1 ± 2i . Поскольку собственные значения являются комплексными числами, то выбираем одно из них λ = −1 + 2i
и находим для него собственный вектор:
1 − 2i 1  1 − 2i 1

 → 
 (первую строчку умножили на (1+2i)
−
−
−
5
1
2
i
0
0

 

и прибавили ко второй).
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Первая строка эквивалентна уравнению (1 − 2i )a + b = 0 или
 1

 .
b = (−1 + 2i )a . Следовательно, собственный вектор h = 
−
+
i
1
2


 1 
Функция e ( −1+ 2i )t 
 является решением однородной системы.
−
+
1
2
i


Выделим действительную и мнимую части этой функции. Для этого
воспользуемся формулой Эйлера:
 1  −t 2it  1  −t
 1 
 = e e 
 = e (cos 2t + i sin 2t )
e ( −1+ 2i )t 
 =
−
+
−
+
−
+
1
2
1
2
1
2
i
i
i






cos 2t + i sin 2t
cos 2t
sin 2t

 −t 



= e −t 
 = e 
 + ie −t 
.
 − 2 sin 2t − cos 2t + 2i cos 2t − i sin 2t 
 − 2 sin 2t − cos 2t 
 2 cos 2t − sin 2t 
Таким образом, решение исходной системы имеет вид:
 x1 (t ) 
cos 2t
sin 2t

.
−t 
 = C1e −t 

+

x(t ) = 
C
e

2



 x 2 (t ) 
−
−
−
2
sin
2
cos
2
2
cos
2
sin
2
t
t
t
t






Перепишем это равенство покоординатно:
x1 (t ) = C1e −t cos 2t + C 2 e −t sin 2t ,
x 2 (t ) = −C1e −t (2 sin 2t + cos 2t ) + C 2 e −t (2 cos 2t − sin 2t ).
Используя начальные условия x 1 (0) = 0, x 2 (0) = 0 , найдем:
C1 = C2 = 0 . Значит, исследуемая траектория имеет вид:
Выберем
некоторое
Пусть
x 1 (t ) = 0, x 2 (t ) = 0 .
ε > 0.
x(t ) = x1 (t ), x 2 (t ) – траектория, начальные условия которой удовлетворяют неравенствам
| x1 (0) |< δ , | x 2 (0) |< δ .
1
Учитывая, что C1 = x1 (0), C 2 = ( x1 (0) + x 2 (0)) , получаем:
2
| C1 |< δ , | C2 |< δ . Следовательно,
| x1 (t ) − x 1 (t ) | = e −t | C1 cos 2t + C 2 sin 2t | ≤ | C1 | + | C 2 | < 2δ ,
(
)
| x 2 (t ) − x 2 (t ) | = e −t | −C1 (2 sin 2t + cos 2t ) + C 2 (2 cos 2t − sin 2t ) | ≤ 5 | C1 | + 5 | C 2 | < 5δ .
Здесь учтено, что
| 2 sin 2t + cos 2t |≤ 5 , | 2 cos 2t − sin 2t |≤ 5 , e −t ≤ 1 при t ≥ 0 .
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Условие устойчивости выполнено, если положить δ =
ε
5
. Следова-
тельно, исследуемая траектория устойчива.
В примерах 1 и 2 исследуемые траектории устойчивы, но характер поведения траекторий по отношению к исследуемым траекториям различен. В примере 2 | x i (t ) − x i (t ) | → 0 (i = 1, 2) при t → +∞ , т.е.
отклонение любого решения от исследуемого стремится к нулю при
t → +∞ . В примере же 1 это отклонение к нулю не стремится. Тип
устойчивости, с котом мы столкнулись в примере 2, называется
асимптотической устойчивостью.
Дадим определение асимптотической устойчивости. Устойчивую траекторию x (t ) = x 1 (t ),  , x n (t ) с начальными условиями
(
)
x 1 (0) = x01 ,  , x n (0) = x0n будем называть асимптотически устойчивой, если существует такое число δ 0 > 0 , что любое решение с начальными условиями x1 (0) = x10 ,  , x n (0) = x0n , удовлетворяющими
неравенствам | x0i − x0i |< δ 0 , i = 1,  , n, обладает свойством:
| x i (t ) − x i (t ) | → 0 (i = 1,, n) при t → +∞ .
Таким образом, асимптотическая устойчивость решения x(t ) означает, что оно, во-первых, устойчиво и, во-вторых, что любое решение, достаточно мало от него отличающееся в начальный момент
времени, будет при t → +∞ неограниченно к нему приближаться.
Пример 3. Динамическая однопродуктовая модель Леонтьева
описывается уравнением
(1 − a) X = κX + C (t ) ,
где Х – валовой выпуск,
C(t) – конечное потребление,
а – коэффициент прямых затрат,
κ – коэффициент приростной фондоемкости.
Предположим, что заданы потребление в виде зависимости C(t)
и начальное состояние X (0) = X 0 . Тогда модель однозначно определяет траекторию экономического роста X (t ) . Исследуем ее устойчивость.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перепишем уравнение в виде:
1− a 1
− C (t ) .
X =
κ
κ
(37)
Уравнение (37) имеет частное решение X (t ) . Из-за линейности
этого уравнения множество всех его решений можно представить в
виде
X (t ) = C1e λt + X (t ) ,
1− a
где C1 – произвольная постоянная, а λ =
> 0 . Добавив началь-
κ
ное условие X (0) = X 0 , найдем C1 : C1 = X 0 − X 0 . Общее решение
примет вид:
X (t ) = ( X 0 − X 0 )e λt + X (t ) .
Вычислим разность между исследуемым решением X (t ) и произвольным решением X (t ) :
| X (t ) − X (t ) |=| X 0 − X 0 | e λt .
Из последнего равенства видно, что как бы ни была мала величина | X 0 − X 0 | отклонения в начальных условиях, отклонение решения X (t ) от X (t ) будет неограниченно возрастать при t → +∞ .
Отсюда следует, что любое частное решение уравнения (37) неустойчиво.
Исследование устойчивости
Исследование устойчивости решения x (t ) с помощью замены
переменных может быть сведено к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой системы. Так как при исследовании устойчивости нас интересует отклонение решений системы дифференциальных уравнений от заданного частного решения x(t ) , можно перейти от исходных переменных t , x1 , , x n к новым переменным
t , y1 , , y n по формулам:
(38)
y i (t ) = x i (t ) − x i (t ), i = 1,, n .
Если теперь xi (t ) – некоторое решение системы (36), то величины
y i (t ) имеют смысл отклонений x(t ) от заданного частного решения
x (t ) .
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставим в систему (36) вместо x i (t ) их выражения из (38):
y 1+ x 1 = f 1 (t , y1 + x 1 ,  , y n + x n ),
y 2 + x 2 = f 2 (t , y1 + x 1 ,  , y n + x n ),

y n + x n = f n (t , y1 + x 1 ,  , y n + x n ).
Учитывая, что x i = f i (t , x 1 ,  , x n ) (i = 1,, n) , получим:
y 1 = f 1 (t , y1 + x 1 ,  , y n + x n ) − f 1 (t , x 1 ,  , x n ),
y 2 = f 2 (t , y1 + x 1 ,  , y n + x n ) − f 2 (t , x 1 ,  , x n ),

(39)
y n = f n (t , y1 + x 1 ,  , y n + x n ) − f n (t , x 1 ,  , x n ).
Обозначив правые части уравнений (39) g i (t , y1 , , y n ) , получим окончательный вид системы уравнений (39) для новых переменных yi :
y 1= g 1 (t , y1 ,  , y n ),
y 2 = g 2 (t , y1 ,  , y n ),

(40)
y n = g n (t , y1 ,  , y n ).
Системы уравнений (39) и (40) имеют частное решение
y i = 0 (i = 1,, n) . В этом легко убедиться непосредственной подстановкой. Из формулы замены переменных (38) следует, что решению
y i = 0 системы (40) отвечает решение x i (t ) системы (36). Следовательно, исследование устойчивости последнего сводится к исследованию устойчивости решения yi = 0 .
В исследовании асимптотической устойчивости важную роль
играют уравнения, полученные с помощью линеаризации системы
(36). Поясним сущность процедуры линеаризации. Пусть решение
x(t ) системы (36) является асимптотически устойчивым. Тогда вместе с ним является асимптотически устойчивым и решение y(t ) = 0
системы (40). Это, в частности, означает, что при достаточно малых
отклонениях начальных условий y0i от нулевых значений отклонение
соответствующего решения y(t ) от нулевого будет также достаточно
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мало. Поэтому появляется возможность упростить систему (40) с
помощью разложения ее правых частей в степенной ряд и отбрасывания слагаемых высших порядков.
Предположим, что при каждом фиксированном t правые части
системы (40) можно разложить в ряд Тейлора. Это означает, что система (40) может быть записана в виде:
y 1= a11 y1 + a12 y 2 +  + a1n y n + η 1 (t , y1 ,  , y n ),
y 2 = a12 y1 + a22 y 2 +  + an2 y n + η 2 (t , y1 ,  , y n ),

(41)
y n = a1n y1 + a2n y 2 +  + ann y n + η n (t , y1 ,  , y n ),
где
a ij
∂g i
= j
∂y
– коэффициенты линейной части разложения в стеj
y =0
пенной ряд, зависящие, вообще говоря, от времени, η i (t , y1 ,, y n )
не содержат членов ниже второго порядка малости.
Об устойчивости нулевого решения системы (40), а следовательно, и решения x(t ) системы (36) можно судить ограничиваясь
рассмотрением лишь уравнений первого приближения:
y 1= a11 y1 + a12 y 2 +  + a1n y n ,
y 2 = a12 y1 + a22 y 2 +  + an2 y n ,

(42)
y n = a1n y1 + a2n y 2 +  + ann y n .
Уравнения (42) получаются отбрасыванием в (41) слагаемых
выше первого порядка малости.
В матричной форме система (42) может быть записана в виде
(43)
y = Ay,
 a11 a12  a1n 
 y1 


 
2
2
2
2
 a1 a2  an 
y 
где y =   , A = 
.








 
 n
 n
n
n
y 
 a1 a2  an 
При исследовании устойчивости важную роль играет тот часто
встречающийся случай, когда матрица А постоянна. В этом случае
ответ на вопрос, является ли нулевое решение системы (43) асимпто43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тически устойчивым, может быть получен с помощью исследования
матрицы А.
Исследование асимптотической устойчивости нулевого решения
системы (43) сводится к исследованию собственных значений матрицы А, т.е. корней уравнения
det( A − λE ) = 0 .
Это уравнение имеет п корней λ1 , λ2 ,, λn в комплексной области. Нулевое решение системы (43) асимптотически устойчиво тогда
и только тогда, когда действительные части всех корней отрицательны ( Re λi < 0 ). Условие Re λi < 0 также является достаточным для
асимптотической устойчивости нулевого решения системы (40) и,
следовательно, решения x(t ) системы (36).
Если хотя бы одно собственное значение λi матрицы А имеет
положительную действительную часть, то нулевое решение системы
(40), а вместе с тем и решение x(t ) системы (36) неустойчиво.
Если же корни характеристического уравнения таковы, что их
действительные части неположительны (т.е. действительные части
некоторых из них нулевые, а остальные – отрицательны), то может
иметь место как устойчивость, так и неустойчивость. Этот случай
называется критическим.
Пример 4. Исследуем устойчивость нулевого решения системы
x1 = x 2 ,
x 2 = 0.
Перепишем систему в векторной форме:
 x1   0 1   x1 
 =
  .
 x 2   0 0   x 2 
 
 
Характеристическое уравнение имеет вид: λ2 = 0 . Оба корня
λ1 = λ2 = 0 . Это критический случай. Его решение имеет вид:
x1 (t ) = C1t + C2 ,
x 2 (t ) = C1.
Отсюда следует, что | x1 (t ) |→ +∞ при t → +∞ , как только
C1 ≠ 0 . Следовательно, нулевое решение неустойчиво.
В то же время в критическом случае может быть получен и противоположный результат. В примере 1 характеристическое уравне44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ние имеет корни λ = ±i с нулевыми действительными частями, а исследуемое решение устойчиво.
Сформулируем правила исследования Устойчивости. Пусть требуется исследовать устойчивость некоторого решения x (t ) системы
(36). Производим замену (38) и составляем систему (40). Линеаризуя
ее, переходим к системе (42). Составляем характеристическое уравнение det( A − λE ) = 0 и находим его корни λ1 , λ2 ,, λn . Если действительные части всех корней отрицательны Re λi < 0 , то решение
x (t ) асимптотически устойчиво, если же действительная часть хотя
бы одного корня положительна, то x (t ) неустойчиво.
Еще раз подчеркнем, что данный метод исследования устойчивости применим только в том случае, когда система (42) имеет постоянные коэффициенты.
В описанном способе исследования устойчивости, который в
прикладных задачах является наиболее распространенным, самые
большие трудности возникают при отыскании корней характеристического уравнения и исследовании знака их действительных частей.
Оказывается, что данное исследование можно выполнить, не прибегая к решению характеристического уравнения, что может оказаться
чрезмерно трудоемким. Приведем критерий Гурвица отрицательности действительных частей собственных значений матрицы А.
Запишем характеристическое уравнение det( A − λE ) = 0 в виде:
(44)
a0λn + a1λn −1 +  + an −1λ + an = 0 ,
где для определенности будем считать a0 > 0 (в противном случае
умножим обе части характеристического уравнения на (-1)). Вычислим п определителей:
∆1 = a1 ,
 a1 a0 
,
∆ 2 = det
a
a
 3
2

0  0 
a0
 a1


0
a
a
a



2
1
,
∆ n = det 3
 


a

 2 n−1 a2 n−2 a2 n−3  an 
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в которых ai = 0 , если i > n . Тогда, для того чтобы все корни уравнения (44) имели отрицательную действительную часть, необходимо
и достаточно, чтобы все определители были положительными
∆ i > 0 . Отметим, что необходимым условием отрицательности действительных частей собственных значений является ai > 0 для всех i.
Приведем пример исследования устойчивости. Рассмотрим решение
x1 (t ) = 1, x2 (t ) = 2, x3 (t ) = 1
следующей системы:
x1 = − x2 − x3 + 3,
x2 = − x1 − x2 + 3,
x3 = x12 − x3.
Выполним замену y1 = x1 − 1, y 2 = x2 − 2,
y1 = − y 2 − y3 ,
y3 = x3 − 1, получим:
y 2 = − y1 − y 2 ,
y 3 = y12 + 2 y1 − y3 .
Исследуем нулевое решение полученной системы. Отбрасывая
слагаемые выше первого порядка малости, получим линейную систему с матрицей
 0 − 1 − 1


A =  − 1 − 1 0 .
 2
0 − 1

Характеристическое уравнение может быть записано следующим образом:
λ3 + 2λ2 + 2λ + 1 = 0 .
Для исследования корней этого уравнения применим критерий
Гурвица. Вычислим определители:
2 1 0


2
1


∆1 = 2, ∆ 2 = det
 = 3, ∆ 3 = det1 2 2  = 3.
1 2 
 0 0 1


Так как все определители положительны, из критерия Гурвица
следует, что все корни характеристического уравнения имеют отри-
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
цательные действительные части. Следовательно, исследуемое решение x (t ) = (1, 2, 1) асимптотически устойчиво.
Поведение траекторий в линейных моделях
экономической динамики
Применим методы исследования устойчивости к изучению процессов, описываемых линейными системами.
Рассмотрим процесс, описываемый системой линейных уравнений
(45)
x = Ax + b ,
 a11 a12  a1n 
 x1 
 b1 


 
 
2
2
2
2
 a1 a2  an 
x 
 b2 
где x =   , A = 
, b =  .
  
 
 
 n
 n
 n
n
n
x
a
a
a

 
b 
 1
n
2
Пусть имеется частное решение x(t ) системы (45), устойчивость
которого мы исследуем. Проведем исследование по изложенной выше схеме. Для этого необходимо сделать замену переменных
y i = x i − x i . После подстановки в (45), получим для переменных
y1 , , y n систему уравнений
(46)
y = Ay ,
а задача сведется к исследованию его нулевого решения.
Нетрудно видеть, что система (46) одна и та же для любого частного решения x (t ) системы (45), т.е. при исследовании устойчивости любого частного решения x(t ) результат одинаков. Иными словами, либо все решения системы (45) устойчивы, либо все неустойчивы.
Применим теперь изложенные методы к исследованию устойчивости траекторий макроэкономических моделей. В примере 3 при
рассмотрении линейной однопродуктовой модели народного хозяйства было показано, что при непосредственном нахождении траекторий модели она не имеет устойчивых решений. Покажем, как этот
результат может быть получен с помощью применения аппарата исследования устойчивости.
Система (46) в рассматриваемом примере имеет вид:
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y =
1− a
κ
y.
Для исследования устойчивости теперь нужно вычислить собст1− a
. Так как оно
венное значение, которое здесь одно и равно λ =
κ
действительно и положительно, то отсюда вытекает неустойчивость
траекторий модели.
Рассмотрим пример, когда народное хозяйство разбито на две
группы отраслей. Первая из них производит средства производства,
а вторая – предметы потребления. Уравнения модели в этом случае
имеют вид (все коэффициенты – постоянные числа):
X 1 = a11 X 1 + a12 X 2 + κ11 X 1 + κ 12 X 2 + C 1 ,
X 2 = a12 X 1 + a22 X 2
+ C 2.
Исключая X 2 из системы с помощью второго уравнения, получим, что система в данном случае сводится к одному дифференциальному уравнению. Это уравнение после некоторых преобразований будет иметь вид:
X 1 = aX 1 − p ,
где
1 − a11 − a22 + a11a22 − a12 a12 
a=
,
κ11 (1 − a22 ) + κ 12 a12

(47)

1
2
2 1
C (1 − a2 ) + C a2

p= 1
.
2
1 2

κ1 (1 − a2 ) + κ 2 a1

Исследование устойчивости в данном случае сводится к определению знака числа а. В случае отрицательного знака траектории
данной модели устойчивы, в противном случае – неустойчивы. Так
как знаменатель κ11 (1 − a22 ) + κ 21 a12 положителен, то знак числа а совпадает со знаком числителя этой дроби 1 − a11 − a22 + a11a22 − a12 a12 .
Воспользуемся для определения знака последнего выражения свойством продуктивности матрицы прямых затрат в модели Леонтьева.
Из этого свойства вытекает, что максимальное собственное значение
матрицы А должно быть меньше единицы. Характеристический
f (λ ) = det( A − λE ) многочлен матрицы А имеет вид:
f (λ ) = λ2 − (a11 + a22 )λ + a11a22 − a12 a12 .
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Значение этого многочлена при λ = 1 должно быть положительно. В противном случае, если f (1) < 0 , то в силу того, что
lim f (λ ) = +∞ , существует корень уравнения f (λ ) = 0 , больший
λ →∞
единицы, что невозможно.
Условие f (1) > 0 имеет вид:
1 − a11 − a22 + a11a22 − a12 a12 > 0 .
Тогда из (47) вытекает, что a > 0 . Следовательно, как и в однопродуктовом случае, траектории модели Леонтьева для двух отраслей являются неустойчивыми.
Проверка траекторий модели не устойчивость очень важна для
решения задачи управления экономическими процессами. Проведение таких исследований часто сопровождает решение задач оптимизации.
Рассмотрим еще одну линейную модель, являющуюся модификацией модели Леонтьева с учетом запаздывания капиталовложений.
Принимая, что лаг капитальных вложений имеет экспоненциальное
распределение, получим следующие соотношения:
X = aX + I + C ,
K = − µK + V ,
V = −λV + λI .
Предполагая, что связь между основными фондами и валовым
выпуском линейна, т.е. X = fK , где f – фондоемкость продукции, получим уравнения:
K = − µK + V ,
(48)
V = λ (1 − a ) fK − λV − λC.
Будем считать, что потребление C (t ) – заданная функция времени. Как отмечалось выше, устойчивость любой траектории системы
(48) в силу ее линейности зависит от корней характеристического
уравнения матрицы
1
 −µ
A = 
 .
−
−
λ
λ
(
1
a
)
f


Характеристическое уравнение для матрицы А имеет вид:
p 2 + a1 p + a2 = 0 ,
где a1 = λ + µ , a2 = λ ( µ − (1 − a ) f ) .
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Применяя критерий Гурвица, получим, что необходимым и достаточным условием отрицательности действительных частей корней
характеристического уравнения будет положительность его коэффициентов a1 и a2 . Первый из них, очевидно, положителен, а второй
будет положительным при условии (1 − a) f < µ . Данное неравенство
является условием устойчивости системы (48). Заметим, что это условие не выполняется, если µ = 0 .
Предположим теперь, что потребление в рассматриваемой модели задается как определенная часть конечного продукта. Обозначая
эту часть (долю потребления) через и, получим:
C = u (1 − a ) X ;
следовательно, систему (48) можно переписать в виде:
K = − µK + V ,
(49)

V = λ (1 − a )(1 − u ) fK − λV .
Получена система линейных дифференциальных уравнений, которая может быть устойчивой и неустойчивой. В первом случае все
ее решения при t → ∞ будут стремиться к нулю.
Как
нетрудно
видеть,
характеристическое
уравнение
2
p + a1 p + a2 = 0 системы (49) имеет следующие коэффициенты:
a1 = λ + µ , a2 = λ ( µ − (1 − a )(1 − u ) f ) . Отсюда получаем, что при достаточно близкой к единице доле накопления, т.е. при
1−
µ
< u < 1,
f (1 − a )
коэффициент будет положителен. Следовательно, система (49) в
этом случае устойчива и, как отмечалось, K (t ) → 0 , V (t ) → 0 при
t → ∞.
Из полученного результата видно, что доля потребления не
должна быть слишком высока. Он дает оценку ее максимальной ве-
µ
. В противном случае основные фонды стреf (1 − a )
мятся к нулю (наблюдается «проедание» фондов).
личины u = 1 −
Сбалансированный рост в однопродуктовой макроэкономической модели.
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим однопродуктовую модель развития народного хозяйства. Уравнения модели можно записать в следующем виде:
X = aX + Y ,
Y = I + C,
K = − µK + I ,
(50)
X = F ( K , L).
Здесь Х – валовой национальный продукт; Y – конечный (чистый) продукт; I – инвестиции в развитие производства; С – непроизводственное потребление; L – трудовые ресурсы; а – коэффициент
прямых затрат; µ – норма выбытия основных фондов; F ( K , L) –
производственная функция народного хозяйства.
При математическом моделировании взаимосвязь между факторами производства и его результатом обычно отражают с помощью
производственных функций. При построении производственных
функций следует иметь в виду, что затраты факторов производства
на выпуск продукции всегда неотрицательны. Кроме того, при моделировании производственных функций надо отметить, что отсутствие одного из факторов приводит к нулевому выпуску продукции.
Полагают также, что факторы производства меняются непрерывно, а
выпуск продукции изменяется достаточно гладко при изменении
факторов, что естественно при рассмотрении производства на макроуровне.
Экономически целесообразно также, чтобы при увеличении количества используемого ресурса выпуск продукции рос, т.е. для
дифференцируемой производственной функции можно записать следующие равенства:
∂F ( K , L)
∂F ( K , L)
> 0,
> 0.
∂K
∂L
Перечисленным условиям отвечают мультипликативные производственные функции вида
X = aK α Lβ , a > 0, α > 0, β > 0 ,
где а, α, β – параметры производственной функции.
Мультипликативная производственная функция дает возможность отразить эффект масштаба производства, который существует
только при одновременном изменении факторов K и L. Пусть эти
факторы изменяются в λ раз. Тогда
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
F (λK , λL) = λα + β F ( K , L) .
Чаще всего полагают α + β = 1 . Это значит, что рост экономики
обусловлен только факторами производства (экстенсивный рост). В
этом случае с ростом масштаба производства в λ раз выпуск продукции возрастает также в λ раз:
F (λK , λL ) = λF ( K , L ) .
Длительные наблюдения показывают, что в условиях чисто экстенсивного производства увеличение затрат только одного из факторов производства приводит к снижению эффективности его использования, т.е.
∂ 2 F ( K , L)
∂ 2 F ( K , L)
< 0,
< 0.
∂K 2
∂L2
Это значит, что каждая последующая единица возрастающего
фактора соединяется с меньшим количеством другого фактора и его
рост дает уменьшающийся прирост продукции.
Для экстенсивного способа развития характерно
∂F ( K , L)
∂F ( K , L)
lim
= ∞, lim
= ∞,
K →0
L→0
∂K
∂L
∂F ( K , L)
∂F ( K , L)
lim
= 0, lim
= 0.
K →∞
L→∞
∂K
∂L
Для производственной функции F ( K , L) модели (50) будем
предполагать, что она и ее производные удовлетворяют всем перечисленным требованиям.
В данной модели трудовые ресурсы L(t ) задаются экзогенно.
Предположим, что рост трудовых ресурсов происходит с постоянным темпом, равным п, тогда
L
(51)
n= ,
L
nt
или L = L0 e .
Введем величину s с помощью соотношения s = I . Эта велиY
чина представляет собой долю конечной продукции, вкладываемую
в расширение производства, и называется долей накопления. Ее
связь с величиной u = C – долей потребления – выражается равенY
ством s + u = 1.
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модель (50) – это модель экономики как управляемой системы.
Управление модели ведется заданием доли потребления и накопления. Из соотношений (50) следует, что, задавая с помощью зависимостей C (t ) , I (t ) , связанных соотношением I + C = Y , программу
потребления и расширения производства, мы тем самым получаем
однозначный ответ, какими будут остальные экономические показатели, характеризующие в рамках данной модели народное хозяйство.
Для математического исследования модели удобно ввести «относительные» переменные. Переход к новым переменным задается
формулами
X
K
C
x= , k= , c= .
L
L
L
Эти переменные имеют следующий экономический смысл: х –
производительность труда, т.е. количество произведенной продукции в расчете на одного рабочего; K – фондовооруженность труда;
с – потребление на одного рабочего. Исключая теперь из системы
(50) переменные Y и I, представим ее в виде
(1 − a ) X = K + µK + C .
(52)
Переходя в уравнении (52) к «относительным» переменным, получим:
(1 − a ) xL = kL + kL + µkL + cL .
Учитывая (51) и сокращая обе части равенства на L, будем
иметь:
(53)
(1 − a) x = k + kn + µk + c .
В свою очередь, выражение для производственной функции тоже может быть преобразовано. Воспользуемся приведенным выше
свойством линейной однородности производственной функции и положим λ = 1 L . Тогда
X
K L 1
K 
F  , 1 = F  ,  = F ( K , L) = .
L
 L L L
L 
Вводя соответствующие обозначения, получим:
x = f (k ) .
53
(54)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функция f (k ) , как вытекает из свойств производственной
функции, будет обладать следующими свойствами:
1. f (0) = 0 ;
2. f ′(k ) > 0 ;
3. f ′′(k ) < 0 ;
4. f ′(k ) → ∞ при k → 0 , f ′(k ) → 0 при k → ∞ .
Из равенств (53) и (54) получим:
(55)
k = −( µ + n)k + (1 − a ) f (k ) − c .
Используя введенную выше долю накопления s, можно написать
следующее равенство:
Y
(56)
c = u = (1 − s )(1 − a ) f (k ) .
L
Подставив это равенство в (55), получим другую форму уравнения модели:
(57)
k = −( µ + n)k + s (1 − a ) f (k ) .
Таким образом, исследование величин X , Y , I , C , K , описывающих поведение экономической системы, сводится к решению уравнения (57). Действительно, с помощью решения уравнения (57)
определена величина k (t ) . Так как L(t ) является известной функцией времени, из равенства (56) можно получить величину c(t ) , а вместе с ней и C (t ) = c(t ) L(t ) . Основные производственные фонды также
могут быть легко определены: K (t ) = k (t ) L(t ) . Аналогично,
X (t ) = x(t ) L(t ) .
Введем понятие сбалансированного роста. Под сбалансированным ростом понимается такой процесс экономического развития,
при котором показатели, характеризующие экономику, растут с постоянным темпом. Применительно к данной модели это значит, что с
постоянным темпом должны возрастать величины X , Y , I , C , K , L .
Оказывается, что темпы роста данных показателей не только постоянны, но и одинаковы. Обозначим n1 , , n5 темпы роста первых
пяти показателей и сохраним принятое в (51) обозначение для темпа
роста трудовых ресурсов. Тогда рост показателей носит экспоненциальный характер:
X = X 0 e n1t , Y = Y0 e n2t , K = K 0 e n3t ,
(58)
n5t
n4t
nt
I = I 0 e , C = C0 e , L = L0 e .
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как Y = (1 − a ) X , то Y0 e n2t = (1 − a ) X 0 e n1t , откуда n1 = n2 . С
учетом (50)
I = K + µK = K 0 ( µ + n3 )e n3t .
Учитывая, что I = I 0 e n4t , получаем n3 = n4 . Используя уравнение
(52), будем иметь
(59)
(1 − a ) X 0 e n1t = K 0 ( µ + n3 )e n3t + C0 e n5t .
Покажем, что последнее равенство возможно лишь при
n1 = n3 = n5 . Разделим обе части (59) на e n1t . Получим:
(1 − a) X 0 = K 0 ( µ + n3 )e ( n3 −n1 )t + C0 e ( n5 −n1 )t .
Так как левая часть последнего равенства постоянна при любом
t, ее производная равна нулю. Отсюда получаем:
K 0 ( µ + n3 )(n3 − n1 )e ( n3 −n1 )t + C0 (n1 − n5 )e ( n5 −n1 )t .
Так как показатели экспонент в последнем равенстве должны
совпадать, то n1 = n5 . Подставляя полученный результат в (59), с
помощью аналогичных рассуждений получим n1 = n3 . Сопоставляя
полученные соотношения между темпами роста, получим, что все
они совпадают, т.е. n1 , , n5 .
Покажем, что все эти величины равны п – темпу роста трудовых
ресурсов. Действительно, так как величины X , K , L связаны производственной функцией, то
X 0 e n1t = F K 0 e n3t , L0 e nt .
Используя линейную однородность производственной функции,
получим:
X 0 e n1t = e n3t F K 0 , L0 e ( n−n3 )t .
Так как n1 = n3 , то отсюда следует:
(
)
(
(
)
)
(60)
X 0 = F K 0 , L0 e ( n−n3 )t .
Как отмечено выше, производственная функция монотонно возрастает по каждому аргументу. А так как первый аргумент K 0 и значение самой функции X0 постоянны, то равенство (60) при всех значениях t может выполняться лишь при n3 = n . Отсюда с учетом полученного выше вытекает ni = n, i = 1,, 5 .
Таким образом, мы получили, что определение траектории сбалансированного роста данной модели приводит к тому, что темпы
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
прироста всех показателей оказываются одинаковыми. Отсюда, в частности, вытекает, что на траектории сбалансированного роста доля
накопления s = I (t ) Y (t ) постоянна.
Из равенства темпов роста показателей следует, что на данной
траектории показатели фондовооруженности труда будут постоянными. Это означает, что траектории сбалансированного роста в рассматриваемой модели отвечает решение (57), имеющее вид:
k = const при s = const . Найдя решение k = k , остальные переменные модели получаем с помощью следующих формул:
K (t ) = k L0 e nt , X (t ) = f (k ) L0 e nt ,
Y (t ) = (1 − a ) f (k ) L0 e nt , I (t ) = s (1 − a ) f (k ) L0 e nt ,
C (t ) = (1 − s )(1 − a) f (k ) L0 e nt .
Искомое значение k = k обращает в нуль правую часть уравнения (57). Следовательно, для отыскания k (при постоянном значении нормы накопления s) требуется решить уравнение
s (1 − a ) f (k ) − ( µ + n)k = 0 .
В области k > 0 (только такие значения имеют экономический
смысл) это уравнение имеет единственное решение. Примем этот
факт без доказательства. Это значит, что в рассматриваемой модели
для каждой фиксированной нормы накопления существует единственная траектория сбалансированного роста.
Режим сбалансированного роста – это, вообще говоря, одна из
возможных траекторий развития экономической системы. Если данная модель используется для описания реальной экономики, то любая конкретная траектория будет определяться как решение уравнения (57) с начальным условием k (0) = k 0 – значением фондовооруженности в начальный момент времени и не обязательно является
траекторией сбалансированного роста.
Вместе с тем, траектория сбалансированного роста играет важную роль среди множества траекторий однопродуктовой модели. А
именно, исследуя поведение траекторий модели, можно выяснить,
что любая из них по прошествии достаточно большого времени неограниченно приближается к траектории сбалансированного роста.
Следовательно, режим сбалансированного роста может быть использован для расчетов экономических показателей при достаточно
больших значениях времени независимо от начальных значений этих
показателей.
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С математической точки зрения описанное свойство означает
асимптотическую устойчивость траектории сбалансированного роста.
Заключение
Построение макроэкономических моделей, их качественное исследование позволяют решать разнообразные экономические задачи.
В ряде случаев решение удается получить аналитически. Результатом являются свойства траекторий и режимов в рассматриваемой
экономической задаче.
Наличие аналитического решения дает много ценной информации. В частности, становится ясно, как ведет себя решение при различных исходных данных и параметрах модели данного экономического процесса. С помощью численных расчетов получать такие зависимости весьма затруднительно.
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Макроэкономические
динамические модели
Методические указания
Составитель Ануфриенко Сергей Евгеньевич
Редактор, корректор А.А. Антонова
Компьютерная верстка И.Н. Ивановой
Подписано в печать 19.05.2005 г. Формат 60×84/16.
Бумага тип. Усл. печ. ед. 3,49. Уч.-изд. л. 1,5.
Тираж 50 экз. Заказ
.
Оригинал-макет подготовлен
редакционно-издательским отделом ЯрГУ.
Отпечатано на ризографе
Ярославский государственный университет
150000 Ярославль, ул. Советская, 14
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Макроэкономические
динамические модели
61
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
12
Размер файла
485 Кб
Теги
указания, методические, 350, макроэкономическое, модель, динамическое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа