close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

408.Теория вероятностей и математическая статистика Ч 1

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Кафедра общей математики
Теория вероятностей
и математическая статистика
Часть 1
Практикум
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета для студентов,
обучающихся по направлениям Экономика,
Менеджмент организации
Ярославль 2012
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 519.2(076.5)
ББК В171я73 + В172я73
Б53
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2012 года
Рецензент
кафедра общей математики
Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова
Б 53
Теория вероятностей и математическая статистика. Ч. 1: практикум / сост. Л. П. Бестужева, Н. Л. Майорова ; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Ярославль : ЯрГУ, 2012. – 48 с.
Практикум (часть 1) содержит материалы, необходимые для изучения «Теории вероятностей» – одного из
разделов дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»: теоретические сведения, формулы, примеры решения задач по темам, а также контрольные и самостоятельные работы.
Предназначены для студентов, обучающихся по направлениям 080100 Экономика и 080200 Менеджмент
организации (дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика», математический цикл (блок
ЕН)), очной формы обучения.
УДК 519.2(076.5)
ББК В171я73 + В172я73
© Ярославский государственный
университет им. П. Г. Демидова, 2012
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Классическое определение вероятности
Множество   1,2 n  всех возможных исходов эксперимента называется пространством элементарных исходов, а каждый его элемент называется элементарным исходом или элементарным событием. Событием называется любое подмножество A этого пространства: A   . Каждому элементарному исходу i поставим в соответствие число pi0 , называемое его вероятностью, такое, что
n
p
i 1
i
 1.
Простейшим пространством элементарных исходов является
так называемая классическая модель, в которой пространство конечно и все исходы эксперимента:
1) равновозможны (т. е. их вероятности полагаются равными);
2) несовместны (т. е. никакие исходы не могут произойти одновременно);
3) в сумме образуют все пространство (т. е. никакие другие
исходы, кроме перечисленных, не могут произойти).
В этом случае вероятность события A определяется по
m
, где n – число элементов множества  (обn
щее число исходов), а m – число элементов множества A (число
исходов, благоприятствующих событию A ).
Событие A , состоящее из всех элементарных исходов, не
входящих в A , называется противоположным событием к событию A . Оно происходит тогда и только тогда, когда событие A
не произошло. Очевидно, что P  A   P A  1.
формуле P  A  
 
Задача 1. Пусть имеется N шаров, из них M белых, остальные черные. Делается выборка из n шаров. Найти вероятность
того, что среди них будет
1) ровно m белых шаров;
2) хотя бы один белый шар.
Решение. Событие A = {в выборке из n шаров ровно m шаров
белых}.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
CMm  CNnmM
P  A 
.
C Nn
Событие B = {в выборке из n шаров хотя бы один белый}.
Событие B = {в выборке из n шаров ни одного белого, т. е.
все выбранные шары черные}.
CM0  C Nn  M CNn  M
P B 
 n ,
CNn
CN
 
 
P B  1 P B .
2. Геометрическое определение вероятности
Пусть в некоторую ограниченную область  наудачу бросили точку. Слово «наудачу» означает, что в таком эксперименте
все точки области  «равновозможны». Вероятность попадания
этой точки в некоторую подобласть A   определяется по фор-
мера 
, где мера – это длина, площадь или объем.
мера А
Здесь элементарными исходами называются точки множества  ,
а благоприятствующими исходами – точки множества A .
муле P  A 
Задача 2 (задача о встрече). Аня и Вася условились встретиться около аудитории 202 между 9 и 10 часами. Пришедший
первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи Ани и Васи, если приход каждого
из них может произойти наудачу в течение указанного часа и моменты прихода независимы.
Решение. Пусть x – момент прихода Ани, y – момент прихода Васи. Рассмотрим множество точек  x, y  на плоскости, коор4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
динаты которых удовлетворяют условиям 0  x  60, 0  y  60
(масштаб 1 минута). Здесь пространство элементарных исходов –
множество точек квадрата со стороной 60.
Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы x  y  20 . Множество точек
 x, y  на плоскости, координаты которых
удовлетворяют этому условию, представляет собой заштрихованную полосу.
Вероятность встречи равна отношению площади заштрихованной фигуры к
площади квадрата:
602  402 5
P  A 
 .
602
9
3. Теоремы сложения и умножения
вероятностей. Условная вероятность
Суммой (объединением) двух событий A и B называется
событие A  B  A  B  , которое состоит в том, что произойдет
событие A , либо событие B , либо события A и B одновременно.
Произведением (пересечением) двух событий A и B называется событие A  B  A  B  , которое состоит в одновременном
появлении событий A и B
Отрицанием (противоположным событием) для события A
называется событие A , которое происходит тогда и только тогда,
когда не происходит событие A .
События A и B называются несовместными (непересекающимися), если они не могут произойти одновременно:
A B .
События A1 , A2 ,  An образуют полную группу событий, если
n
 A  ,
i 1
i
Ai  Aj  , i  j.
Теорема 1 (сложения вероятностей несовместных событий).
Если A  B   , то P  A  B   P  A   P  B  .
Теорема 2 (сложения вероятностей произвольных событий).
Для любых событий A и B P  A  B   P  A   P  B   P  A  B  .
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 3 (умножения вероятностей). P  A  B   P  A  P  B / A
или P  A  B   P  B   P  A / B  , где P  B / A  – вероятность события B
при условии, что событие A произошло или P  A / B  – вероятность события A при условии, что событие B произошло (условные вероятности).
События A и B независимы, если появление одного из них
не меняет вероятности появления другого.
Теорема 4 (умножения вероятностей независимых событий).
P  A  B   P  A  P  B 
Задача 1. В ящике 12 белых и 8 черных шаров. Достают наудачу два шара. Найти вероятность того, что они одного цвета.
Решение. A  A1  A2 , где событие A ={достали два шара одного цвета}, A1 ={достали два белых шара}, A2 ={достали два черных
шара}.
События
и
поэтому
A1
A2 несовместны,
C122 C82 47
P  A   P  A1  A2   P  A1   P  A2   2  2 
.
C20 C20 95
Задача 2. Два стрелка стреляют в цель. Первый стрелок поражает цель с вероятностью 0.8, а второй стрелок – с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что цель будет поражена.
Решение. 1-й способ. A  B1  B2  B3  A1  A2  A1  A2  A1  A2 .
Здесь событие A ={цель поражена}, событие B1 ={первый стрелок поразил цель, а второй промахнулся}, событие B2 ={первый
стрелок промахнулся, а второй поразил цель}, событие B3 = {оба
стрелка поразили цель}. События B1 , B2 , B3 – варианты события A –
несовместные
события,
поэтому
P  A   P  B1  B2  B3  
 P  B1   P  B2   P  B3   0,8  0,1  0,2  0,9  0,8  0,9  0,98 .
2-й способ.
P  A  1  P  A  1  P  A1  A2   1  P  A1   P  A2   1  0,2  0,1  1  0,02  0,98 .
Здесь событие A ={цель поражена}, противоположное событие
A = {цель не поражена, т. е. первый стрелок промахнулся и второй промахнулся}.
Замечание 1. События A1 , A2 и противоположные им события
A1 , A2 – независимые события.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Замечание 2. Второй способ решения задачи более рациональный. Это особенно очевидно, если количество стрелков более двух, например три (как в следующей задаче).
Задача 3. Три стрелка стреляют в цель. Первый стрелок поражает цель с вероятностью 0,8, второй стрелок – с вероятностью
0,9, а третий стрелок – с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что цель будет поражена.
Решение. Очевидно, что при решении задачи первым способом событие A ={цель поражена} имеет много вариантов и поэтому вычисление вероятности этого события трудоемко. Вычисление вероятности события A вторым способом дает следующий
результат:
 


     
P  A   1  P A  1  P A1  A2  A3  1  P A1  P A2  P A3 
 1  0,2  0,1  0,3  1  0,02  0,994.
4. Формула полной вероятности
и формула Байеса
Пусть событие A может произойти только при появлении
одного из событий H1 , H 2 ,  H n , образующих полную группу. Тогда вероятность события A вычисляется по формуле полной вероятности
P  A   P  H1   P  A / H1   P  H 2   P  A / H 2     P  A / H n  ,
или коротко
n
 P  H   P  A / H  , где P  H 
i 1
i
i
i
– вероятность гипоте-
зы H i , P  A / H i  – условная вероятность события A при выполнении гипотезы H i  i  1, 2,  n  .
С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса.
Если
до
опыта
вероятности
гипотез
были
P  H1  , P  H 2  ,, P  H n  (априорные вероятности), а в результате
опыта событие A произошло, то появляется возможность «пересмотреть» вероятности гипотез, т. е. вычислить вероятности
P  H1 / A  , P  H 2 / A  ,, P  H n / A  (апостериорные вероятности) по
формуле Байеса:
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
P  H i / A 
P  Hi   P  A / Hi 
n
 PH   P A / H 
i
i 1
.
i
Задача 1. В первом ящике 3 белых, 5 черных и 2 красных шара. Во втором ящике 2 белых, 1 черный и 3 красных шара. В
третьем ящике 4 белых, 3 черных и 5 красных шаров. Наудачу
выбрали ящик и из него достали один шар. Найти вероятность
того, что он белый.
Решение. Найдем априорные вероятности гипотез.
1
3
1
Гипотеза H 2 = {выбрали второй ящик}; P  H 2   .
3
1
Гипотеза H 3 = {выбрали третий ящик}; P  H 3   .
3
Событие A = {достали белый шар}.
3
P  A / H1   – вероятность того, что белый шар достали из перво10
Гипотеза H1 = {выбрали первый ящик}; P  H1   .
го ящика;
2
P  A / H 2   – вероятность того, что белый шар достали из второ6
го ящика;
P  A / H3  
4
– вероятность того, что белый шар достали из
12
третьего ящика.
1 3 1 2 1 4 29
    
.
3 10 3 6 3 12 90
По формуле полной вероятности P  A  
Задача 2. В первом ящике 3 белых, 5 черных и 2 красных шара. Во втором ящике 2 белых, 1 черный и 3 красных шара. В
третьем ящике 4 белых, 3 черных и 5 красных шаров. Наудачу
выбрали ящик и из него достали красный шар. Из какого ящика
вероятнее всего его достали?
Решение. Гипотезы и их априорные вероятности те же, что и
в задаче 1.
Событие A = {достали красный шар}.
P  A / H1  
2
– вероятность того, что красный шар достали из пер10
вого ящика;
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3
P  A / H 2   – вероятность того, что красный шар достали из вто6
рого ящика;
P  A / H3  
5
– вероятность того, что красный шар достали из
12
третьего ящика.
Найдем апостериорные вероятности гипотез H1 , H 2 , H 3 при условии, что событие A произошло (достали красный шар), по
формуле Байеса:
1 2

12
3
10
P  H1 / A  

;
1 2 1 3 1 5 67
    
3 10 3 6 3 12
1 3

30
3
6
;
P  H 2 / A 

1 2 1 3 1 5 67
    
3 10 3 6 3 12
1 5

25
3
12
.
P  H 3 / A 

1 2 1 3 1 5 67
    
3 10 3 6 3 12
Ответ: красный шар достали, вероятнее всего, из второго
ящика.
Задача 3. В ящике 5 белых и 3 черных шара. Из ящика достали один шар и выбросили. Затем снова достали один шар. Найти
вероятность того, что он белый.
Решение.
5
8
Гипотеза H1 = {выбросили белый шар}; P  H1   .
3
8
Гипотеза H 2 = {выбросили черный шар}; P  H 2   .
Событие A = {достали белый шар}.
P  A / H1  
4
– вероятность того, что из ящика достали белый шар,
7
если сначала выбросили белый шар;
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5
P  A / H 2   – вероятность того, что из ящика достали белый шар,
7
если сначала выбросили черный шар.
5 4
8 7
3 5
8 7
5
8
По формуле полной вероятности P  A      .
Задача 4. В первом ящике 5 белых и 7 черных шаров, а во
втором ящике три белых и 2 черных шара. Из первого ящика во
второй переложили один шар, а затем из второго ящика достали
один шар. Он оказался черным. Найти вероятность того, что переложили белый шар.
Решение.
Гипотеза H1 = {из первого ящика во второй переложили белый
шар}; P  H1  
5
.
12
Гипотеза H 2 = {из первого ящика во второй переложили черный
шар}; P  H 2  
7
.
12
Событие A = {из второго ящика достали черный шар}.
P  A / H1  
2
– вероятность того, что из второго ящика достали
6
черный шар, если из первого ящика во второй переложили белый
шар;
3
P  A / H 2   – вероятность того, что из второго ящика достали
6
черный шар, если из первого ящика во второй переложили черный шар.
Найдем вероятность гипотезы H1 при условии, что событие
A произошло (достали черный шар):
5 2

10
12
6
 .
P  H1 / A  
5 2 7 3 31
  
12 6 12 6
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Формула Бернулли.
Формулы Лапласа и Пуассона
Схема Бернулли. Проводится n независимых опытов (независимые опыты такие, при которых вероятность появления события
в каждом опыте не зависит от результатов предыдущих опытов).
Каждый опыт имеет только два исхода: «успех» – событие A и
«неуспех» – противоположное событие. Вероятность наступления события A (вероятность «успеха») в каждом опыте равна р,
вероятность наступления события A (вероятность «неуспеха») в
каждом опыте равна q  1  p . Вероятность того, что в n независимых опытах событие A наступит m раз, вычисляется по формуле Бернулли
Pn (m)  Cnm p m q nm .
В этой формуле m может принимать значения 0, 1, 2… n :
m  0 – событие A в n независимых опытах наступило 0 раз, т. е.
не наступило ни разу; m  1 – событие A в n независимых опытах
наступило один раз; m  2 – событие A в n независимых опытах
наступило два раза; …; m  n – событие A в n независимых опытах наступило n раз, т. е. наступило во всех опытах.
Число M 0 , при котором значение вероятности Pn (m) будет
наибольшим, называется наивероятнейшим числом наступления
события A и вычисляется по формуле np  q  M 0  np  p , если
np  q – дробное число. Если np  q – целое число, то M 0  np  q .
Нахождение вероятностей Pn (m) по формуле Бернулли при
достаточно больших значениях n сопряжено с большим числом
вычислений. В этом случае используется приближенная локальная формула Лапласа
Pn  m  
 m  np 
1
 
,
npq  npq 
2
1  x2
e – функция Гаусса, значения которой привогде   x  
2
дятся в таблице.
Если m1  m  m2 , то используется приближенная интегральная формула Лапласа
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 m  np 
 m1  np 


Pn  m1; m2     2

 ,
 npq 
npq




x
2
t

1
e 2 dt – функция Лапласа, значения которой
где   x  

2 0
также приводятся в таблице.
Формулы Лапласа дают удовлетворительное приближение
при npq  9 . Чем ближе значения p, q к 0,5 и чем больше n, m, тем
точнее данные формулы.
Если n велико, а p мало, то используется приближенная
формула Пуассона
Pn (m) 
m
m!
e ,
где   np – среднее число появления события A в n опытах. Этой
формулой можно пользоваться, если p  0,1 npq  9 . Cобытия, для
которых применима формула Пуассона, называют редкими, так
как вероятность их осуществления мала.
Интенсивность потока  – это среднее число событий, которые наступают в единицу времени. Если постоянная интенсивность потока  известна, то вероятность того, что за время t событие наступит m раз, вычисляется по формуле
Pt (m) 
( t ) m   t
e .
m!
Задача 1. Среди 12 договоров, проверяемых ревизором, 7 договоров оформлены неправильно. Найти вероятность того, что
среди 5 договоров, произвольно отобранных ревизором для проверки, окажутся неправильно оформленными ровно три.
Решение. Проверка договора – это испытание, в котором может появиться событие A ={договор оформлен неправильно}:
7
. Проведено n  5 проверок. По формуле Бернулли
12
находим вероятность того, что в 5 испытаниях событие A настуp  P  A 
пит 3 раза:
7
P5 (3)  C   
 12 
3
5
3
2
42875
 5
  
 0,345 .
 12  124416
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 2. В продукции некоторого производства брак составляет 20%. Изделия отправляются потребителям (без проверки) в
коробках по 100 штук. Найти вероятность того, что
1) наудачу взятая коробка содержит 15 бракованных изделий;
2) число бракованных изделий в коробке не больше 25.
Решение. Производство изделия – это испытание, в котором
может появиться событие A = {изделие бракованное}:
p  P  A   0,2 .
Тогда np  100  0,2  20 , npq  100  0, 2  0,8  16 ,
1  15  20 

  0,25    1, 25   0,25   1, 25  
16  16 
 0,25  0,1826  0,046,
 25  20 
 0  20 
P100  0;25    
  
   1,25     5  
 16 
 16 
P100 15  
  1, 25     5   0,39  0,5  0,89.
Таким образом, приблизительно 5% всех коробок содержит
15 бракованных изделий и в 89% коробок число бракованных изделий не больше 25.
Задача 3. На завод прибыла партия деталей в количестве
1000 шт. Вероятность того, что деталь окажется бракованной,
равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных?
Решение. Здесь   np  1000  0,001  1 . По формуле Пуассона
находим
15  e 1
P1000  5  
 0,003 .
5!
6. Дискретная случайная величина Х (ДСВХ)
Ряд распределения ДСВХ имеет вид:
X x1 X2 ….. xn
p
p1 p2 ….. pn
x1 , x2 , ..., xn – значения ДСВХ, p1 , p2, ..., pn – соответствующие вероятности, т. е. p1 – это вероятность того, что СВХ примет значение
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x1 : p1  P( X  x1 ) ; p2 – это вероятность того, что СВХ примет значение x2 ; p2  P( X  x2 ) ; … pn – это вероятность того, что СВХ
примет значение xn : pn  P( X  xn ) . Сумма всех вероятностей
p1  p2  ...  pn  1 , или коротко
n
p
i 1
i
 1.
Функция распределения СВХ – это вероятность того, что
СВХ примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x : F ( x)  P( X  x) .
Числовые характеристики дискретных
случайных величин
Математическое ожидание ДСВ – это сумма произведений
всех
её
возможных
значений
на
их
вероятности:
n
M ( X )  x1 p1  x2 p2  ...  xn pn , или коротко M ( X )   xi pi
i 1
Математическое ожидание – это число, вокруг которого сосредоточены значения СВ.
Свойства математического ожидания.
1. Математическое ожидание постоянной величины равно
самой величине: M (C )  C .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M (CX )  CM ( X ) .
3. Математическое ожидание суммы СВ равно сумме математических
ожиданий
слагаемых:
M ( X 1  X 2  ...  X n ) 
n
n
i 1
i 1
 M ( X 1 )  M ( X 2 )  ...  M ( X n ) , или коротко, M ( X i )   M ( X i ) .
4. Математическое ожидание произведения взаимно независимых СВ равно произведению математических ожиданий сомножителей M ( X 1  X 2  ...  X n )  M ( X 1 )  M ( X 2 )  ...M ( X n ) .
Дисперсия СВ есть математическое ожидание квадрата отклонения
СВ
от
её
математического
ожидания:
2
D( X )  M ( X  M ( X )) . Дисперсия характеризует меру разброса
значений СВ около ее математического ожидания.
Свойства дисперсии:
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(C )  0 .
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(CX )  C 2  D( X ) .
3. Дисперсия суммы (разности) независимых СВ равна
сумме дисперсий слагаемых:
D( X 1  X 2  ...  X n )  D( X 1 )  D( X 2 )  ...  D( X n ) .
4. D( X )  M ( X 2 )  M 2 ( X ) .
Среднее квадратичное отклонение СВ  ( X )  D( X ) .
Мода СВ – это ее значение M 0 , имеющее наибольшую вероятность.
Медиана СВ – это ее значение M l такое, что
1
P  X  M l   P  X  M l   . Для ДСВ Х это число может не совпа2
дать ни с одним из значений Х. Поэтому медиану ДСВ Х определяют как любое число, лежащее между двумя соседними воз1
2
1
2
можными значениями xi и xi 1 такими, что P  xi   ; P  xi 1   .
Начальным моментом k -го порядка называется математическое ожидание k -й степени СВ:  k  M  X k  . Очевидно, что
1  M  X  .
Центральным моментом k -го порядка называется математическое ожидание k -й степени отклонения СВ от ее математического
ожидания:
 k  M ( X  M ( X )) k .
Очевидно,
что
 2  M ( X  M ( X ))2  D  X  .
Асимметрия (коэффициент асимметрии) СВ AS  X  – величина, характеризующая степень асимметрии («скошенности»)
распределения относительно математического ожидания. Коэффициент асимметрии вычисляется по формуле:
AS ( X )  M ( X  M ( X ))3 /  3 , т. е. AS ( X ) 
3
.
3
Для симметричных распределений AS ( X )  0 . Если AS ( X )  0 ,
то либо большая часть значений случайной величины, либо мода
находятся левее математического ожидания («скошенность влево»); если AS ( X )  0 , то либо большая часть значений случайной
величины, либо мода находятся правее математического ожидания («скошенность вправо»).
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Эксцесс (коэффициент эксцесса) СВ EX ( X ) – величина, характеризующая степень островершинности или плосковершинности распределения. Коэффициент эксцесса вычисляется по формуле:
EX ( X )  M ( X  M ( X )) 4 /  4  3 , т. е. ES ( X ) 
4
 3.
4
Задача 1. В связке из пяти ключей только один подходит к
двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ (если ключ не подошел, то его в связку не возвращают). СВ Х – число опробованных ключей. Построить ряд распределения этой СВ. Сколько ключей в среднем придется перебрать, пока не найдется подходящий.
Решение. СВ Х принимает значения 1, 2, 3, 4, 5. Если первый
1
5
опробованный ключ подошел, то X  1 . P  X  1  . Если опробованных ключей было два, то X  2 , т. е. первый ключ не подошел,
4 1
5 4
1
5
а второй подошел. P  X  2     . Если опробованных ключей
было три, то X  3 , т. е. первый ключ не подошел, второй ключ не
4 3 1
5 4 3
1
5
подошел, а третий подошел. P  X  3     . Аналогично вы4 3 2 1
5 4 3 2
числяются P  X  4      
1
4 3 2 1 1 1
и P  X  5       .
5
5 4 3 2 1 5
Ряд распределения СВ Х имеет вид:
Х
р
1 2
3 4 5
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
Вычислим математическое ожидание СВ Х:
M  X   1  0,2  2  0,2  3  0,2  4  0,2  5  0,2  3 . Таким образом, в
среднем придется перебрать три ключа, пока не будет найден
подходящий.
Задача 2. Дан ряд распределения ДСВ Х:
X
p
–2 –1 0
1
2
0,1 0,2 0,5 0,1 a
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Найти параметр a ;
Построить многоугольник распределения;
Найти функцию распределения F ( X ) ;
Построить график функции распределения F ( X ) ;
Найти моду M 0 ( X ) ;
Найти математическое ожидание M ( X ) ;
Найти дисперсию D( X ) и среднее квадратичное отклонение  ( X ) ;
8. Найти коэффициент асимметрии AS ( X ) ;
9. Найти коэффициент эксцесса EX ( X ) ;
10. Найти вероятность того, что СВ X примет значение
меньше M ( X ) ;
11. Найти вероятность того, что СВ X примет значение
больше 0,5  M ( X ) .
Решение.
1. Так как сумма всех вероятностей должна быть равна 1, то
a  0,1. Таким образом, ряд распределения СВХ имеет вид:
X
p
–2 –1 0
1
2
0,1 0,2 0,5 0,1 0,1
2. Многоугольник распределения:
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Функции распределения F ( X ) имеет вид:
при
0
0,1 при

0,3 при
F(X )  
0,8 при
0,9 при

при
1
X  2,
 2  X  1,
 1  X  0,
0  X  1,
1  X  2,
X  2.
4. График функции распределения F ( X ) :
5. Мода M 0 ( X )  0 .
6. Математическое ожидание:
M  X   2  0,1  1  0,2  0  0,5  1  0,1  2  0,1  0,1 .
Для вычисления дисперсии, коэффициентов асимметрии и
эксцесса составим таблицу для отклонений значений СВХ от математического ожидания M ( X ) : X  M ( X ), их квадратов
( X  M ( X )) 2 , кубов ( X  M ( X ))3 , четвертой степени ( X  M ( X )) 4 и
соответствующих вероятностей:
X M X 
 X  M  X 
 X  M  X 
 X  M  X 
–1,9
–0,9
0,1
1,1
2,1
2
3,61
0,81
0,01
1,21
4,41
3
–6,859
–0,729
0,001
1,331
9,261
4
13,0321
0,6561
0,0001
1,4641
19,4481
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Вычислим дисперсию как математическое ожидание
( X  M ( X )) 2 :
D( X )  M ( X  M ( X )) 2  (1,9) 2  0,1  (0,9) 2  0, 2  (0,1) 2  0,5 
 (1,1)2  0,1  (2,1)2  0,1  1,09 . Отметим, что дисперсию можно вычис-
лить по формуле D( X )  M ( X 2 )  M 2 ( X ) .
Ряд распределения СВ X 2 имеет вид:
X
0 1 4
0,5 0,3 0,2
p
Математическое ожидание M ( X 2 )  0  0,5  1  0,3  4  0,2  1,1.
Тогда D( X )  1,1  (0,1) 2  1,09 . Среднее квадратичное отклонение  ( X )  1,09  1,044 .
8. Вычислим математическое ожидание M ( X  M ( X ))3 :
M ( X  M ( X ))3  (1,9)3  0,1  (0,9)3  0,2  (0,1)3  0,5 
 (1,1)3  0,1  (2,1)3  0,1  0,228 .
0,228
 0,200353 .
Тогда коэффициент асимметрии AS ( X ) 
1.0443
9. Вычислим математическое ожидание M ( X  M ( X ))4 :
M ( X  M ( X )) 4  (1,9) 4  0,1  (0,9) 4  0,2 
 (0,1) 4  0,5  (1,1) 4  0,1  (2,1) 4  0,1  3,36039 .
3,36039
Тогда коэффициент эксцесса EX ( X ) 
 0,1713 .
1,0444
10. P( X  0,1)  P( X  2)  P( X  1)  0,1  0,2  0,3 .
11. P( X  0.05)  P( X  0)  P( X  1)  P( X  2)  0,5  0,1  0,1  0,7 .
7. Распределения ДСВ Х
Биномиальное распределение
ДСВ Х имеет распределение Бернулли: B 1, p  , если ряд распределения имеет вид:
X
p
0
q
19
1
p
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СВХ имеет два значения 0 и 1, которые она принимает с вероятностями q  1  p и p соответственно.
M ( X )  p, D( X )  pq .
ДСВХ имеет биномиальное распределение: B  n, p  , если ряд
распределения имеет вид:
X
p
0
1
2
p0
p1
p2
….. n
….. pn
СВХ – число m наступлений события А в n независимых испытаниях, т. е. СВХ принимает значения 0, 1, 2 …, n , с вероятностями, которые
вычисляются по
формуле Бернулли
m m nm
pm  P( X  m)  Pn (m)  Cn p q . Математическое ожидание и дисперсия
для
этой
СВ
вычисляются
по
формулам
M ( X )  np, D( X )  npq (доказать!).
Задача 1. Бросают три игральных кубика. СВ Х – число выпавших шестерок. Составить ряд распределения СВХ. Сделать
вывод о наиболее вероятном значении СВ Х.
Решение. Отметим, что бросить три кубика – это все равно,
что бросить один кубик три раза, т. е. n = 3. Событие
А={выпадение шестерки на кубике}; p  P  A 
СВ Х – число выпадений шестерок,
1
1 5
; q 1  .
6
6 6
распределена по биноми-
альному закону B  3,  и принимает значения 0, 1, 2, 3 с вероят 6
ностями, которые вычисляются по формуле Бернулли:
1
0
3
2
1
 1   5  125
p0  P  X  0   P3  0   C       
.
 6   6  216
1
2
75
1 1 5
p1  P  X  1  P3 1  C3       
.
 6   6  216
0
3
15
1 5
p2  P  X  2   P3  2   C       
.
 6   6  216
3
0
1
5
3 1
p3  P  X  3  P3  3  C3       
.
 6   6  216
1
Ряд распределения СВ Х ~ B  3,  имеет вид:
 6
2
3
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
X
p
0
1
2
3
125
216
75
216
15
216
1
216
Наиболее вероятное значение СВ Х (мода) m0  0 .
Задача 2. Игральный кубик бросается 16 раз. Найти наивероятнейшее число бросаний (моду), в которых выпало число очков,
кратное 6, и вычислить его вероятность.
Решение. Событие A ={выпало число, кратное 6},
p  P  A 
2 1
2
 , q .
6 3
3
Если следовать предыдущей задаче, то, для того чтобы найти
наивероятнейшее число наступления события А, надо построить
ряд распределения СВ Х. СВ Х – число выпадений чисел, кратных 6, распределена по биномиальному закону B 16,  и при3
1


нимает значения 0, 1, 2, …16 с вероятностями, которые вычисляются по формуле Бернулли. После чего выбрать то значение СВ,
которое имеет наибольшую вероятность. Очевидно, что такой
способ решения трудоемок. Наивероятнейшее число m0 наступления события А вычислим по формуле np  q  M 0  np  p :
1 2
1 1
16    M 0  16   ,
3 3
3 3
14
17
 M0  , M0  5.
3
3
5
11
2
5 1
p5  P  X  5   P16  5   C16        0,2078 .
 3  3
Задача 3. Система состоит из пяти независимо работающих
элементов. Вероятность отказа каждого элемента равна 0,3.
СВ Х – число отказавших элементов системы.
1. Найти ряд распределения СВ;
2. Построить многоугольник распределения;
3. Найти моду M 0 ( X ) (наивероятнейшее число отказавших
элементов);
4. Найти математическое ожидание M ( X ) ;
5. Найти дисперсию D( X ) и среднее квадратичное отклонение  ( X ) ;
6. Найти вероятность отказа системы, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент;
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Найти вероятность того, что откажет не менее 3 элементов системы;
8. Найти вероятность того, что откажет не менее 2 и не более
4 элементов системы.
Решение.
1. СВ Х ~В(5; 0,3) – СВ Х распределена по биномиальному
закону с параметрами n  5, p  0,3 .СВ Х принимает значения 0, 1,
2, 3, 4, 5 с вероятностями, которые вычисляем по формуле Бернулли:
0
5
p0  P  X  0   P5  0   C50   0,3   0,7   0,16807 ;
1
4
p1  P  X  1  P5 1  C51   0,3   0,7   0,36015 ;
2
3
p2  P  X  2   P5  2   C52   0,3   0,7   0,3087 ;
3
2
p3  P  X  3  P5  3  C53   0,3   0,7   0,1323 ;
4
1
p4  P  X  4   P5  4   C54   0,3   0,7   0,02835 ;
5
0
p5  P  X  5   P5  5   C55   0,3   0,7   0,00243 .
Ряд распределения СВ Х ~В(5; 0,3) имеет вид:
X
p
0
1
2
3
4
5
0,16807 0,36015 0,3087 0,1323 0,02835 0,00243
2. Многоугольник распределения:
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Мода M 0 ( X )  1 .
4. Математическое ожидание M ( X )  np  5  0,3  1,5 .
5. Дисперсия D( X )  npq  5  0,3  0,7  1,05 ; среднее квадратичное отклонение
 ( X )  D  X   1,025 .
6. Событие A ={отказ системы, т. е. отказал хотя бы один
элемент системы}. Тогда A ={не отказал ни один элемент}.
P  A   P  X  0   0,16807 . P  A   1  P  A   1  0,16807  0,83193 .
7. Событие B ={откажет не менее трех элементов системы}.
P  B   P  X  3  P  X  4   P  X  5   0,16308 .
8. Событие C ={откажет не менее двух и не более четырех
элементов системы}. P  C   P  X  2   P  X  3  P  X  4   0,46935 .
Распределение Пуассона
ДСВХ имеет распределение Пуассона, если ряд распределения имеет вид:
0
1
2
…..
X
p
p0
p1
p2
…..
СВХ принимает значения 0, 1, 2 … с вероятностями, которые вычисляются по формуле Пуассона pm  P( X  m) 
m
m!
e   ,   np  0.
Математическое ожидание и дисперсия для этой СВ равны:
M ( X )   , D( X )   (Доказать!).
Задача 1. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность
повреждения изделия в пути 0,002. СВ Х – число поврежденных
изделий. Построить ряд распределения этой СВ. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено:
1) ровно три изделия;
2) менее трех изделий;
3) не менее трех изделий;
4) хотя бы одно изделие.
Решение. СВ Х имеет распределение Пуассона ( n  500 велико, p  0,002 мало,   500  0,002  1 ). СВ Х принимает значения
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0, 1, 2, 3, …, 500 с вероятностями, которые вычисляются по формуле Пуассона:
10 1
p0  P  X  0   e  0,3679 ;
0!
1
1
p1  P  X  1  e 1  0,3679 ;
1!
12 1
p2  P  X  2   e  0,1839 ;
2!
13 1
p3  P  X  3  e  0,0613 ; …
3!
Ряд распределения СВ Х имеет вид:
X
p
0
1
2
3
…
0,3679 0,3679 0.1839 0,0613 …
1)
2)
3)
4)
P  X  3  0,0613 ;
P  X  3  P  X  0   P  X  1  P  X  2   0,9197 ;
P  X  3  1  P  X  3  1  0,9197  0,0803 ;
P  X  1  1  P  X  0   1  0,3679  0,6321 .
Геометрическое распределение
ДСВХ имеет геометрическое распределение, если ряд распределения имеет вид
X
p
1
2
p1
p2
…..
…..
СВХ – число независимых опытов до первого наступления события A (до первого «успеха»), если каждый опыт имеет два исхода: событие A и событие A . Вероятность наступления события A
(вероятность «успеха») в каждом опыте равна p , вероятность наступления события A (вероятность «неуспеха») в каждом опыте
равна q  1  p .
СВХ принимает значения 1, 2, 3 … с вероятностями, которые
вычисляются по формуле
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
pm  P( X  m)  pq m1 .
Математическое ожидание и дисперсия этой случайной вели1
p
чины вычисляются по формулам M ( X )  , D( X ) 
q
(доказать!).
p2
Задача. В связке из пяти ключей только один подходит к
двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ (если ключ не подошел, то его возвращают в связку). СВ Х – число опробованных ключей. Построить ряд распределения этой СВ. Найти моду. Сколько ключей в среднем придется перебрать, пока не найдется подходящий?
Решение. СВ Х имеет геометрическое распределение, т. к. испытания ключей независимы (после испытания ключа он возвращается в связку, и каждое следующее испытание происходит
в первоначальных условиях). Событие А («успех») = {ключ по1
5
4
5
дошел}, p  P  A  , q  .
СВ Х принимает значения 1, 2, 3,… с вероятностями, которые
вычисляются по вышеприведенной формуле:
0
1 4 1
p1  P ( X  1)      ;
5 5 5
1
1 4
4
p2  P( X  2)     
;
5  5  25
2
1 4
16
p3  P( X  3)     
;
5  5  125
3
1 4
64
p4  P ( X  4)     
;…
5  5  625
Ряд распределения СВ Х имеет вид:
Х
р
1 2
3
4
…..
0,2 0,16 0,128 0,1024
Мода M 0  1 . Математическое ожидание СВ M  X   5 . Таким
образом, в среднем придется перебрать пять ключей, пока не будет найден подходящий.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Гипергеометрическое распределение
Гипергеометрическое распределение возникает, например, в
задаче: пусть имеется N шаров, из них M белых, остальные черные. Делается выборка из n шаров. СВ Х – число белых шаров в
выборке. СВХ принимает значения от 0 до n   N  M  с вероятностями, которые вычисляются по формуле
CMm  C NnmM
.
P  X  m 
CNn
 N  n  npq , где p  M , q  1  p (доказать!).
M  X   np, D  x  
N 1
N
Задача. В партии из 8 деталей 5 стандартных. Наудачу выбирают 3 детали. СВ Х – число стандартных деталей среди отобранных.
1. Найти ряд распределения СВ;
2. Найти моду M 0 ( X ) ;
3. Найти математическое ожидание M ( X ) ;
4. Найти дисперсию D( X ) ;
5. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей
будет хотя бы одна нестандартная.
Решение. СВ Х распределена по гипергеометрическому закону и принимает значения 0, 1, 2, 3 с вероятностями, которые вычисляются по вышеприведенной формуле:
C50  C33 1
p0  P ( X  0) 
 ;
C83
56
p1  P( X  1) 
C51  C32 15
 ;
56
C83
C52  C31 30
p2  P ( X  2) 

;
C83
56
C53  C30 10
p3  P( X  3) 
 .
C83
56
1. Ряд распределения СВ Х имеет вид:
Х
0
1
2
3
1
15
30
10
р
56
56
56
26
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Мода M 0 ( X ) =2.
3. Математическое ожидание M ( X ) =
4. Дисперсия D( X ) =
15
.
8
225
.
448
5. Событие A = {среди отобранных деталей хотя бы одна нестандартная}.
Тогда A ={среди отобранных деталей все стандартные}.
 
P A  P  X  3 
 
10
10 46
. P  A  1  P A  1   .
56
56 56
8. Непрерывные случайные величины
(НСВХ)
Случайная величина X называется непрерывной, если ее
функция распределения F ( x)  P( X  x) непрерывна. Функция
f  x   F   x  называется функцией плотности распределения, а
ее график называется кривой распределения.
Имеют место следующие свойства:
1. f  x   0. Кривая распределения расположена в верхней полуплоскости;
2.


f ( x)dx  1. Площадь криволинейной трапеции, ограничен-

ной графиком функции f  x  и осью OX , равна 1;

3. P(  X   )   f  x  dx  F  x 


 F     F   .
Вероятность

попадания НСВХ на отрезок  ;   равна площади криволинейной
трапеции, ограниченной кривой распределения f  x  , прямыми
y  0 (ось OX ), x   , x   ;
4. P  X  a   0 . Вероятность того, что НСВ Х примет конкретное значение a , равна 0. Поэтому справедливы следующие
равенства P(  X   )  F   X     F   X     F   X    

 F  x    F     F   .
Можно считать, что множество значений НСВ Х совпадает с
промежутком, на котором плотность распределения не равна 0.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Числовые характеристики
непрерывных случайных величин
Математическое ожидание НСВ определяется по формуле
M  x 

 x  f  x  dx .

Дисперсия НСВ определяется по формуле
D x 

  x  M  X 
2
 f  x  dx ,

а также, как и для ДСВ, по формуле D( X )  M ( X 2 )  M 2 ( X ) ,

где M  x    x 2  f  x  dx .
2

Мода НСВ M 0 – это значение СВХ, имеющее наибольшую
вероятность, т. е. точка M 0 , в которой функция плотности распределения f  x  имеет локальный максимум.
Числовые характеристики НСВ: медиана, асимметрия и эксцесс определяются так же, как и для ДСВ.
Задача. Дана функция плотности распределения НСВ Х
x  2,
0,
3

f  x     4  x 2  ,  2  x  2,
 32
x  2.
0,
1. Найти константу a ;
2. Найти функцию распределения СВХ F  x  ;
3. Построить графики функций f  x  и F  x  ;
4. Найти математическое ожидание СВХ M  X  ;
5. Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение
СВХ D( X ) и  ( X ) ;
6. Найти вероятность P( X  M ( X )) , сделать графическую
иллюстрацию;
7. Найти вероятность P( X  M ( X )   ( X )) , сделать графическую иллюстрацию;
8. Найти вероятность попадания СВХ на заданный отрезок
P(1  X  0,5) , сделать графическую иллюстрацию.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение.
1.


2
f ( x)dx 


2
2
 0  dx   a  4  x  dx   0  dx  a   4  x dx 
2

2
2
2
2

8  32
x 
8


 a   4 x    a   8    a   8     a.
3
3
3  3



32
3
 a  1;
a .
3
32
x  2,
0,
3

Таким образом, f  x     4  x 2  ,  2  x  2,
 32
x  2.
0,
3
x  2,
0,

 1 3x x3
F  x   
 ,  2  x  2,
2.
2
8
32

x  2.
1,
3.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2
3
  4  x 2  dx . Однако интеграл можно
32
2
4. M  x    x  f  x  dx  

не вычислять. Так как кривая распределения (график функции
f  x  ) имеет ось симметрии – прямую x  0 , то M  X   0 .
5. Для вычисления
D( X )
воспользуемся формулой
D ( X )  M  X 2   M 2  X  . Сначала вычислим

2
3 2
3  x3 x5 
4
2
M  X    x  f  x  dx    x   4  x  dx    4     .
32
32  3 5  2 5

2
2
2
2
4
5
4
5
4
2

.
5
5
1
6. P( X  M ( X ))  P  X  0   .
2
Тогда D( X )   0  ,   X  
Для вычисления этой вероятности воспользовались геометрической интерпретацией: площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, равна 1, а, следовательно,
половина площади равна
1
.
2
2 
2 

 2
P
X
7. P( X  M ( X )   ( X ))  P  X  0 







5
5
5




2
5



2
5
2
5
2
5
3
3
3 
x 
7
.
  4  x 2  dx   2   4  x 2  dx    4 x   
32
32 0
16 
3 0
5 5
3
0,5
3
3 
x3 
135
2
.
8. P(1  X  0,5)     4  x  dx    4 x   
32
32 
3  1 256
1
0,5
Задачи для самостоятельной работы
1.
2.
x  0,
0,

f  x   a  4 x  x 2  , 0  x  4,

x  4.
0,
x  0,
0,

f  x   ax  2  x  , 0  x  2,
0,
x  2.

30
P  2  x  3 .
P  x  1,5  .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
x  0,
0,

f  x   a  4  x 2  , 0  x  2,

x  2.
0,
x  1,
0,

ax  x  1 ,  1  x  0,
f  x  
ax  x  1 , 0  x  1,
0,
x  1.

x  0,
0,
ax,
0  x  1,

f  x  
a  2  x  , 1  x  2,
0,
x  2.
x  1,
0,

ax  x  2  ,  1  x  0,
f  x  
ax  x  2  , 0  x  1,
0,
x  1.

x  0,
0,
 2
0  x  1,
ax ,
f  x  
2
a  x  2  , 1  x  2,
0,
x  2.

0,

2
a  x  1 ,
f  x  
2
a  x  1 ,

0,
0,

a  x  1 ,
f  x  
a 1  x  ,
0,

P  0,5  x  1,5  .
P  0,25  x  0,5  .
P  1  x  1 .
P  0,5  x  1 .
P  0,5  x  1,5  .
x  1,
 1  x  0,
0  x  1,
P  0,5  x  0, 25  .
x  1.
x  1,
 1  x  0,
0  x  1,
x  1.
31
P  0,5  x  0,25  .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. Распределения НСВ Х
Равномерное распределение на отрезке
НСВ Х имеет равномерное распределение на отрезке  a, b  ,
если
функция
плотности
распределения
имеет
вид
 1
, x   a, b  ,

f  x  b  a
0,
x   a , b .

x  a,
0,
x a

, a  x  b,
Функция распределения имеет вид F  x   
b
a


x  b.
1,
b  a  , M  M x ,
ab
, D X  
M X 
 
l
2
12
2
As  X   0, Ex  X   1,2.
Моды равномерное распределение не имеет.
Вероятность попадания СВ Х на отрезок  c, d    a, b  вычис-
ляется по формуле P  c  X  d   F  d   F  c  
cd
.
ba
Показательное (экспоненциальное) распределение
НСВ Х имеет показательное распределение с параметром
  0 , если функция плотности распределения имеет вид
 e   x , x  0,
f  x  
x  0.
0,
1  e   x , x  0,
Функция распределения имеет вид F  x   
x  0.
0,
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
M X 
1

, D X  
1

, M 0  0, M l 
ln 2

,
As  X   2, Ex  X   6.
Нормальное распределение (распределение Гаусса)
НСВ Х имеет нормальное распределение с параметрами m и
 , если функция плотности распределения имеет вид
2

1
f  x 
e
 2
 x  m 2
2 2
.
1
Функция распределения имеет вид F  x  
 2
M  X   m, D  X    2 , M 0  m, M l  m,
33
x
e

 t  m 2
2 2
dt .

As  X   0, Ex  X   0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если m  0,  2  1, то имеем стандартное нормальное распределение, для которого функция плотности распределения
2
1  x2
e
– функция Гаусса, а функция распредеимеет вид f  x  
2
ления
имеет
вид
  x 
1
2
x
e

t2
22
dt .
Заметим,
что

t2

2
x
1
1
  x     0  x  , где  0  x  
e dt – функция Лапласа.
2
2 0
Для произвольных значений параметров m,  2 функция
xm
.
  
распределения имеет вид F  x     0 
1
2
Вероятность попадания СВ Х на отрезок  m 1 , m 2  вычисляется
m2  m 
 m1  m 
  0 
.
  
  
по формуле P  m1  X  m2   F  m2   F  m1    0 
2
Отметим, что обозначение СВ Х~ N  m,  читается так: случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами m,  2 .
10. Контрольные и самостоятельные работы
Самостоятельная работа №1
1. Преподаватель вызвал через старосту на обязательную
консультацию трех студентов из шести отстающих. Староста забыл фамилии вызванных студентов и послал наудачу трех отстающих студентов. Найти вероятность того, что
а) староста послал именно тех студентов, которых назвал
преподаватель;
б) хотя бы один студент из вызванных преподавателем будет
послан старостой.
2. У продавца на рынке 60 арбузов, из которых 50 спелых.
Покупатель выбирает 2 арбуза. Найти вероятность того, что
а) оба арбуза будут спелые;
б) хотя бы один арбуз будет спелым.
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Из 15 билетов выигрышными являются четыре. Найти вероятность того, что
а) среди взятых наудачу шести билетов будет два выигрышных;
б) хотя бы один будет выигрышным.
4. Студент пришел на экзамен, изучив только 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту три вопроса. Найти
вероятность того, что
а) студент ответит на все три вопроса;
б) студент ответит хотя бы на один вопрос.
5. Для участия в судебном процессе из 20 потенциальных
кандидатов, среди которых 8 женщин и 12 мужчин, выбирают
6 присяжных заседателей. Найти вероятность того, что
а) среди присяжных будут две женщины;
б) среди присяжных окажется хотя бы одна женщина.
6. Кулинар изготовил 15 омлетов, причем 4 пересолил. Найти
вероятность того, что
а) из 3 случайно выбранных омлетов все окажутся непересоленными;
б) хотя бы один окажется пересоленным.
7. Из колоды карт (36 карт) наудачу вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что
а) среди них окажется точно один туз;
б) хотя бы один туз.
8. Студент пришел на экзамен, зная лишь 24 из 32 вопросов
программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что
а) студент ответит на все вопросы;
б) студент ответит хотя бы на один вопрос.
9. В коробке 20 конфет, из них 5 шоколадных. Ребенок взял
из коробки три конфеты. Найти вероятность того, что
а) среди взятых конфет будет только одна шоколадная;
б) среди взятых конфет будет хотя бы одна шоколадная.
10. Группа туристов из 15 юношей и 5 девушек выбирает по
жребию хозяйственную команду в составе четырех человек. Найти вероятность того, что
а) в числе избранных окажутся двое юношей и две девушки;
б) в числе избранных окажется хотя бы одна девушка.
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Самостоятельная работа № 2
1. Водители делятся на группы: А (мало рискуют), В (средне
рискуют), С (сильно рискуют). Известно, что 30% водителей относятся к группе А, 50 % – к группе В, а остальные – к группе С.
Вероятность попасть в аварию для водителей группы А равна 0,
01, для водителей группы В – 0,03, для водителей группы С – 0,1.
Водитель выехал на линию и попал в аварию. Найти вероятность
того, что он принадлежит к группе В.
2. Обследование пациента вызвало предположение о возможности одного из трех заболеваний А, В или С, с вероятностью 5/12, 1/3, и 1/4 соответственно. Для уточнения диагноза
проведен анализ, который при заболевании А дает положительный результат с вероятностью 5/7, при заболевании В – с вероятностью 3/8, при заболевании С – с вероятностью 1/6. Анализ
дал положительный результат. Какова теперь вероятность заболевания А?
3. В трех коробках находятся карандаши различной твердости. В первой коробке 10 карандашей: 6 карандашей твердости М
и 4 карандаша твердости Т, во второй коробке – 7 и 3, в третьей
коробке 5 и 5 соответственно. Из наудачу взятой коробки взяли
карандаш. Он оказался твердости Т. Найти вероятность того, что
он взят из первой коробки.
4. За получением билета пассажир может обратиться в одну
из трех автоматических касс. Вероятность того, что он обратится
в кассу 1, равна 0,6, в кассу 2 – 0,3, в кассу 3 – 0,1. Вероятности
того, что к моменту его прихода билеты будут распроданы, равны: для кассы 1 – 0,7, для кассы 2 – 0,4, для кассы 3 – 0,3. Пассажир подошел к кассе и купил билет. Найти вероятность того, что
это была касса 1.
5. В больницу поступает в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% – с заболеванием L, 20% – с заболевание М. Вероятность
излечения болезни К равна 0,7, болезни L – 0,8, болезни М – 0,9.
Больной, поступивший в больницу, выписан здоровым. Каким заболеванием, скорее всего, страдал поступивший в больницу?
6. Строительная бригада получает перекрытия от трех ДСК:
от первого –30%, от второго – 55%, от третьего – 15%. Известно, что брак продукции первого ДСК составляет 5%, второго
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ДСК – 6%, третьего ДСК – 10%. Полученные перекрытия хранятся на общем складе. Наугад проверенное для контроля перекрытие оказалось бракованным. На каком ДСК, вероятнее всего, было изготовлено это перекрытие?
7. В ходе исследования обнаружилось, что руководители существенно отличаются по своему отношению к риску; 25% указали, что они безразличны к риску, 40% проявили склонность к
риску, 36% четко сформулировали нерасположенность к риску.
Выгодное рискованное предложение в первой группе принимают
с вероятностью 0,5, во второй – всегда, в третьей – не принимают предложение. Предложение было принято. Найти вероятность
того, что это сделал руководитель из первой группы.
8. В некоторой отрасли 30% продукции производится первой
фабрикой, 25% – второй фабрикой, остальная часть – третьей
фабрикой. На первой фабрике в брак идет 1% произведенной ею
продукции, на второй фабрике – 1,5%, а на третьей фабрике – 2%.
Купленная покупателем единица продукции оказалась браком.
Найти вероятность того, что она произведена на первой фабрике.
9. В соревнованиях участвуют: из первой группы 4 студента,
из второй – 6, из третьей –5. Студент из первой группы попадает
в сборную университета с вероятностью 0,9, для студента второй
группы эта вероятность равна 0,7, а для студента третьей группы – 0,8. Студент попал в сборную. В какой группе, вероятнее
всего, учится этот студент?
10. Вся продукция проверяется двумя контролерами. Вероятность того, что изделие попадет на проверку к первому контролеру, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное изделие, равна 0,01, а
второй – 0,02. Взятое наугад изделие с маркой «стандарт» оказалось бракованным. Какова вероятность того, что оно проверялось
вторым контролером?
11. В цехе работают 7 мастеров и 3 ученика, производящие
одинаковое число изделий. Мастер допускает брак в 1% случаев,
а ученик – в 5% случаев. Изделие оказалось бракованным. Найти
вероятность того, что его сделал ученик.
12. На заводе установлена система аварийной сигнализации,
которая при наличии аварии срабатывает в 99% случаев. Однако
в 0,2% случаев, когда аварии нет, сигнал также может возник37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нуть. Найти вероятность, что случилась авария, если сигнализация сработала. Вероятность аварии равна 0,007.
13. К системному администратору обращаются за помощью
пользователи. Среди них начинающих 60%, а опытных – 40%.
Вероятность обращения начинающего – 85%, опытного – 15%.
Найти вероятность, что пользователь, обратившийся за помощью,
окажется начинающим.
14. В город поступают товары трех фирм в соотношении
2:3:5. В поставках первой фирмы 60% товаров высшего качества,
второй – 40%, а третьей – 20%. Куплен товар высшего качества.
Найти вероятность, что он изготовлен второй фирмой.
15. Мимо бензоколонки проезжают легковые и грузовые
машины. Среди них 75% грузовых машин. Вероятность того, что
проезжающая машина подъедет заправиться, для грузовой машины равна 0,1, а для легковой – 0,2. Найти вероятность того, что
очередная машина, подъехавшая на заправку, окажется грузовой.
16. В магазине было проведено исследование продаж некоторого товара. Оказалось, что этот товар покупают 25% женщин,
10% мужчин и 20% детей. Среди покупателей магазина 60%
женщин, 30% мужчин и 10% детей. Товар был куплен. Найти вероятность того, что это был мужчина.
17. Фирма А занимает 20% рынка электронной техники, фирма В – 50%, фирма С –30%. Доля мобильных телефонов в поставках фирмы А составляет 20%, в поставках фирмы В – 40%, в поставках фирмы С – 70%. Покупатель приобрел мобильный телефон. Какова вероятность того, что телефон произведен фирмой А.
18. В компании 70% менеджеров работают в центральном
офисе, а 30% – в региональных. Вероятность того, что менеджеру
центрального офиса понадобится консультация специалиста,
равна 0,3, менеджеру регионального офиса – 0,5. Одному из менеджеров понадобилась консультация. Найти вероятность того,
что он работает в центральном офисе.
19. Магазин получает товар от трёх поставщиков: 55% товара
поступает от первого поставщика, 20% – от второго и 25% – от
третьего. Продукция, поступающая от первого поставщика, содержит 5% брака, поступающая от второго поставщика – 6% брака, а
поступающая от третьего поставщика – 8% брака. Покупатель оставил в книге пожеланий покупателя жалобу о низком качестве при38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
обретённого товара. Найти вероятность того, что плохой товар, вызвавший нарекания покупателя, поступил от второго поставщика.
20. При расследовании преступления, совершённого на автозаправочной станции (АЗС), было установлено, что поток автомобилей, проезжающих мимо АЗС, состоит на 60% из грузовых
и на 40% из легковых автомобилей. По показаниям свидетелей,
во время совершения преступления на АЗС находился автомобиль. Известно, что вероятность заправки грузового автомобиля
равна 0,1, легкового автомобиля – 0,3. Найти вероятность того,
что во время совершения преступления на АЗС находился: а) грузовой автомобиль; б) легковой автомобиль.
Контрольная работа № 1
1. Вероятность того, что при поездке городским транспортом
пассажира оштрафуют за безбилетный проезд, равна 0,1. СВХ –
число штрафов за рабочую неделю (5 поездок). Составить ряд
распределения СВХ, нарисовать многоугольник распределения,
найти М(Х), D(X),  (Х). Чему равно наиболее вероятное число
штрафов?
Найти вероятность того, что пассажир заплатит штраф:
1) не более 1 раза;
2) хотя бы 2 раза;
3) хотя бы 1 раз, но не более 4 раз;
4) более 4 раз.
2. Покупатель покупает 5 одинаковых изделий. Вероятность
того, что изделие будет бракованным, равна 0,1. СВХ – число
бракованных изделий. Составить ряд распределения СВХ, нарисовать многоугольник распределения, найти М(Х), D(X),  (Х).
Чему равно наиболее вероятное число бракованных изделий?
Найти вероятность того, что бракованных изделий будет:
1) более 3;
2) хотя бы 2;
3) хотя бы одно, но не более 3;
4) более 4.
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Студент решает 5 задач. Вероятность того, что в каждой
задаче все вычисления будут сделаны верно, равна 0,7. СВХ –
число правильно решённых задач. Составить ряд распределения
СВХ, нарисовать многоугольник распределения, найти М(Х),
D(X),  (Х). Чему равно наиболее вероятное число правильно
решенных задач?
Найти вероятность того, что правильный ответ будет:
1) не более чем в 3 задачах;
2) хотя бы в одной задаче;
3) хотя бы в одной задаче, но не более чем в 4 задачах;
4) более чем в 2 задачах.
4. Кубик бросают 5 раз. СВХ – количество выпадений чисел,
кратных 3. Составить ряд распределения СВХ, нарисовать многоугольник распределения, найти М(Х), D(X),  (Х). Чему равно
наиболее вероятное число выпадений чисел, кратных 3?
Найти вероятность того, что число, кратное 3, выпадет:
1) не более 4 раз;
2) хотя бы 3 раза;
3) хотя бы 2 раза, но не более 4 раз;
4) более 2 раз.
5. В мастерской работает 6 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева к концу рабочего дня равна 0,8. СВХ – количество перегревшихся моторов. Составить ряд распределения СВХ, нарисовать многоугольник распределения, найти М(Х), D(X),  (Х).
Чему равно наиболее вероятное число перегревшихся моторов?
Найти вероятность того, что к концу смены перегреются:
1) не более 4 моторов;
2) хотя бы 1 мотор;
3) хотя бы 1 мотор, но не более 4;
4) более 4 моторов.
6. В билете 6 вопросов. Вероятность того, что студент ответит правильно на один вопрос, равна 0,5. СВХ – число правильных ответов. Составить ряд распределения СВХ, нарисовать многоугольник распределения, найти М(Х), D(X),  (Х). Чему равно
наиболее вероятное число правильных ответов?
Найти вероятность того, что студент ответит правильно:
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1)
2)
3)
4)
не более чем на 3 вопроса;
хотя бы на 1 вопрос;
хотя бы на 1 вопрос, но не более чем на 5 вопросов;
не более чем на 2 вопроса.
7. Приживаемость саженцев равна 90%. Посажено 5 деревьев.
СВХ – число прижившихся саженцев. Составить ряд распределения СВХ, нарисовать многоугольник распределения, найти М(Х),
D(X),  (Х). Чему равно наиболее вероятное число прижившихся
деревьев?
Найти вероятность того, что приживутся:
1) не более 3 деревьев;
2) хотя бы 2 дерева;
3) хотя бы 2 дерева, но не более 4 деревьев;
4) более 3 деревьев.
8. Вероятность того, что покупатель покупает обувь 40-го
размера, равна 0,4. В магазин вошли 5 покупателей. СВХ – число
покупателей, купивших обувь 40-го размера. Составить ряд распределения СВХ, нарисовать многоугольник распределения, найти М(Х), D(X),  (Х). Чему равно наиболее вероятное число покупателей, купивших обувь 40-го размера?
Найти вероятность того, что число покупателей, купивших
обувь 40-го размера будет:
1) более 3;
2) хотя бы 2;
3) хотя бы 1, но не более 3;
4) более 4.
9. Монету бросили 6 раз. СВХ – число выпадений герба. Составить ряд распределения СВХ, нарисовать многоугольник распределения, найти М(Х), D(X),  (Х). Чему равно наиболее вероятное число выпадений герба?
Найти вероятность того, что герб выпадет:
1) не более 4 раз;
2) хотя бы 3 раза;
3) хотя бы 2 раза, но не более 4 раз;
4) более 2 раз.
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. Вероятность поражения мишени при одном выстреле
равна 0,3. Стрелок стреляет 5 раз. СВХ – число поражённых мишеней. Составить ряд распределения СВХ, нарисовать многоугольник распределения, найти М(Х), D(X),  (Х). Чему равно
наиболее вероятное число пораженных мишеней?
Найти вероятность того, что мишень будет поражена:
1) не более 2 раз;
2) хотя бы 2 раза;
3) хотя бы 1 раз, но не более 3 раз;
4) более 4 раз.
Контрольная работа № 2
Дан ряд распределения ДСВ Х.
1. Найти параметр a ;
2. Построить многоугольник распределения;
3. Найти функцию распределения F ( X ) ;
4. Построить график функции распределения F ( X ) ;
5. Найти моду M 0 ( X ) ;
6. Найти математическое ожидание M ( X ) ;
7. Найти дисперсию D( X ) и среднее квадратичное отклонение  ( X ) ;
8. Найти коэффициент асимметрии AS ( X ) ;
9. Найти коэффициент эксцесса EX ( X ) ;
10. Найти вероятность попадания СВ Х на заданной промежуток P(  X   ) .
1.
X
p
2.
X
0
1
2
3
0,125 0,375 0,375 a
p
P (1  X  1,5)
3.
X
p
–1 2
3
0,25 0,5 a
P(0,5  X  3,5)
0
1
3
4
19
a
16
12
4.
X
p
P (0,5  X  3,5)
–2
–1
1
a
37
27 17
P(1,5  X  2)
42
3
5
0,125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.
X
p
–3
0,4
–1
0,2
6.
X
2
3
0,04 a
p
–1 1
2
0,25 0,5 a
P(1,5  X  2,5)
P(0,5  X  2,5)
7.
X
8.
X
p
–1
2
3
4
29
a
16
12
p
P(1  X  3,5)
9.
X
p
5
0,125
–2
0
1
2
a
5 14
27 17
P(1,5  X  1,5)
10.
X –5 –1
0
p
0,5 0,125 a
–3
–2
1
2
0,375 0,125 0,25 a
P (2,5  X  1,5)
2
0,25
P(3,5  X  0,5)
Контрольная работа № 3
Дана функция плотности распределения вероятностей НСВ
Х: f  x  .
1) Найти константу С;
2) Найти функцию распределения вероятностей F  x  ;
3) Построить графики функций f  x  и F  x  ;
4) Найти математическое ожидание M  X  ;
5) Найти дисперсию и среднеквадратичное отклонение D( X )
и  (X );
6) Найти вероятность P( X  M ( X )) , сделать графическую
иллюстрацию.
7) Найти вероятность P( X  M ( X )   ( X )) , сделать графическую иллюстрацию;
8) Найти вероятность попадания СВХ на заданный отрезок
P(  X   ) , сделать графическую иллюстрацию.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x  0,
 0,

1. f ( x)   c
,
  x  14

 c
1  x 2 ,
2. f ( x)  
 0,

P  0  X  1 .
x  0.
x  0; 3  ,

x  0; 3  .
 c
, x   1;1 ,

2
3. f ( x)   1  x
 0,
x   1;1.

1
3
P  X
.
2
2


c
1 

x
,
;e ,
x

 e 
4. f ( x)  
0, x   1 ; e  .
 e 

P 1  X  e  .
 
x
c 1   , x   2;2 ,
5. f ( x)    2 
 0,
x   2;2.

c(2 x  x 2 ),
6. f ( x)  
 0,
cx(1  x),
 0,
7. f ( x)  
x   0;1 ,
x   0;1.
x   0;1 ,
1

P   X  1 .
2

x   0;1.
1  cx, x   0;2 ,
x   0;2.
 0,

0,
x
cxe ,
P  0  X  1 .
1

P   X  1 .
2

P 1  X  2  .
8. f ( x)  
9. f ( x)  

P 1 X  3 .
x  0,
P  0  X  1 .
x  0.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
c(1  x ), x   1;1 ,
x   1;1.
 0,
P  1  X  0  .
c( x  0,25), x   1;1 ,
x   1;1.
 0,
P  1  X  0  .
10. f ( x)  
11. f ( x)  
c  x 2  2 x  , x   2;5 ,
12. f ( x)  
x   2;5.
 0,
x  0,
 0,

13. f ( x)   c
,
  x  15

P  0  X  1 .
x  0.
c x ,
 0,
x   0;1 ,
c 3 x ,
15. f ( x)  
 0,
x   0;1 ,
14. f ( x)  
1

P   X  1 .
2

x   0;1.
1

P   X  1 .
2

x   0;1.
c(2  x), x   0;2 ,
x   0;2.
 0,
P  0  X  1 .
16. f ( x)  
x  1,
 0,

17. f ( x)   c
 x 4 ,
cxe
P 1  X  2  .
x  1.
x  0,
 0,
18. f ( x)  
2 x
,
P 1  X  4  .
1

P   X  1 .
2

x  0.
  x
c  1   ,
19. f ( x)    3 
 0,

x   0;3 ,
P 1  X  2  .
x   0;3.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 0,
20. f ( x)  
1 x
ce ,
x  1,
P 1  X  2  .
x  1.
c 1  x , x   0;1 ,
x   0;1.
 0,
1

P  0  X  .
2

21. f ( x)  
x  0,
 0,
22. f ( x)    x
cxe 2 , x  0.
x  1,
 0,

23. f ( x)   c
 x5 , x  1.
 0,

24. f ( x)   c
,
  x  12

c  x 3  1 ,
25. f ( x)  
 0,
P  0  X  1 .
P 1  X  2  .
x  (0;1),
1

P  0  X  .
2

x  (0;1).
x   2;6 ,
x   2;6.
46
P  5  X  7 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
1. Классическое определение вероятности ...................................... 3
2. Геометрическое определение вероятности .................................. 4
3. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Условная вероятность .................................................................... 5
4. Формула полной вероятности и формула Байеса ....................... 7
5. Формула Бернулли. Формулы Лапласа и Пуассона ................. 11
6. Дискретная случайная величина Х (ДСВХ) ............................... 13
7. Распределения ДСВХ ................................................................... 19
8. Непрерывные случайные величины (НСВХ) ............................. 27
9. Распределения НСВХ ................................................................... 32
10. Контрольные и самостоятельные работы ................................ 34
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Теория вероятностей
и математическая статистика
Часть 1
Практикум
Составители: Бестужева Людмила Петровна
Майорова Наталья Львовна
Редактор, корректор М. В. Никулина
Верстка И. Н. Иванова
Подписано в печать 03.04.12. Формат 60×84 1/16.
Бум. офсетная. Гарнитура «Times New Roman».
Усл. печ. л. 2,79. Уч.-изд. л. 2,0.
Тираж 70 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе
Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова.
Отпечатано на ризографе.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова.
150000, Ярославль, ул. Советская, 14.
48
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
343
Размер файла
505 Кб
Теги
статистика, вероятности, 408, математические, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа