close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

423.Электродинамика и электромагнитные волны Ч 1 Тимофеев В А

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Кафедра радиофизики
В. А. Тимофеев
Т. К. Артёмова
Электродинамика
и электромагнитные волны
Часть 1
Задачник
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета для студентов,
обучающихся по специальностям Радиотехника,
Радиофизика и электроника и направлениям Телекоммуникации,
Радиофизика
Ярославль 2009
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 537.86
ББК В 336я73
Т 41
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2009 года
Рецензент
кафедра радиофизики
Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова
Т 41
Тимофеев, В. А. Электродинамика и электромагнитные
волны Ч. 1: задачник / В. А. Тимофеев, Т. К. Артёмова; Яросл.
гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Ярославль : ЯрГУ, 2009. – 38 с.
Задачник содержит краткие теоретические сведения и набор заданий различной степени трудности, необходимые для самостоятельного решения.
Первая часть издания состоит из четырех разделов. В них собран материал, включающий упражнения с векторами электромагнитного поля, приведены задачи на структуру и параметры поляризации плоских электромагнитных волн при их распространении
в однородных изотропных средах, а также при взаимодействии
электромагнитного излучения с плоской границей раздела различных сред.
Предназначен для студентов, обучающихся по специальностям
010801 Радиофизика и электроника, 210302 Радиотехника, направлениям 210400 Телекоммуникации и 010800.62 Радиофизика
(дисциплины «Физика волновых процессов», «Электромагнитные
поля и волны», «Электродинамика и распространение радиоволн», «Электродинамика СВЧ», блок ЕН, ОПД, ДС), очной и заочной форм обучения.
УДК 537.86
ББК В 336я73
© Ярославский государственный
университет им. П. Г. Демидова, 2009
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Векторы электромагнитного поля.
Формулировка электродинамических задач
Для описания физических полей принято использовать их
математические модели – скалярные и векторные поля – функции, заданные на множестве точек пространства. В произвольной
системе координат ( x1, x2 , x3 ) скалярное поле φ приобретает вид
некоторой функции φ ( x1 , x2 , x3 ) , принимающей численные значе
ния – действительные или комплексные. Векторное поле А задается тремя проекциями на единичные векторы (орты) выбранной
системы координат.
Для характеристики величины и направления скорости изменения скалярного поля в пространстве вводят градиент этого поля
1 ∂φ 
1 ∂φ 
1 ∂φ 
gradφ =
lx +
lx +
lx ,
h1 ∂x1 1 h2 ∂x2 2 h3 ∂x3 3
(1.1)
где h1, h2 , h3 – коэффициенты Лямэ по координатам x1 , x2 и x3 .
Приведем значения коэффициентов Лямэ для наиболее употребительных систем координат:
hx = h y = hz = 1 ;
– декартова система координат ( x, y , z )
– цилиндрическая система координат (ρ , ϕ , z ) hρ = 1 , hϕ = ρ ,
hz = 1 ;
hr = 1 , hθ = r ,
– сферическая система координат (r, θ , ϕ )
hϕ = rSinθ .
Среди скалярных полей выделяют центральное (функция φ
принимает одинаковые значения для всех точек, находящихся на
равных расстояниях от некоторого центра, как, например,
φ = c r 2 , φ = r ) и осевое (если функция принимает одинаковые
значения для всех точек, равноотстоящих от некоторой оси).
Описание дифференциальных свойств
векторного поля не
сколько сложнее. Векторное поле À принято характеризовать
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

скалярным полем – дивергенцией (расхождением)
div
A
и вектор
ным полем – ротором (вихрем, кручением) rotA .
Дивергенцию векторного поля вычисляют путем дифференцирования его проекций по определенным правилам. В произвольной ортогональной криволинейной системе координат

divA =
1  ∂ (h2h3 Ax1 ) ∂ (h1h3 Ax 2 ) ∂ (h1h2 Ax3 )
+
+
.
∂x2
h1h2h3  ∂x1
∂x3 
(1.2)
Ротор векторного поля – это вектор, определенный в любой
точке поля и являющийся его объемной производной, взятой с
обратным знаком.
В декартовой, цилиндрической и сферической системах координат:



eˆx eˆ y eˆz
 ∂
∂ ∂
,
(1.3)
rotA =
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
   1 ∂Aρ ∂Aϕ    ∂Aρ ∂Az   1  ∂ ( ρAϕ ) ∂Aρ 
rotA = eˆρ 
−
−
−
 , (1.4)
 + eˆϕ 
 + eˆz 
ρ
ϕ
ϕ
ρ
ρ
ϕ
z
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂






  1
rotA = eˆr 
 rSinθ
 ∂ ( Aϕ Sinθ ) ∂Aθ  ˆ 1  1 ∂Ar ∂ ( rAϕ ) 
−
−

 + eθ 

∂
∂
∂
∂
θ
ϕ
θ
ϕ
r
Sin
r
 (1.5)



 1  ∂ ( rAθ ) ∂Ar 
+ eˆϕ 
−
.
∂θ 
r  ∂r
Векторные поля могут быть сферическими (все векторы поля проходят через 1 точку – центр, и длина их зависит только от
расстояния от этого центра), цилиндрическими.
Среди всех интегралов полей выделим только два.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Циркуляция вектора – криволинейный интеграл по замкнутому контуру С, причем
С проходится против часовой стрелки, а

единичный вектор dl является касательным в каждой точке к С:
 
C =  Adl .
(1.6)
C
Скалярный поток векторного поля – число
  
Q =  A( r )dS ,
(1.7)
Σ

где вектор dS – вектор «лицевой» нормали к поверхности Σ , натянутой на контур C . Величина его равна площади поверхности
Σ , а направление таково, что если смотреть на его конец, то обход контура C совершается против часовой стрелки, он как бы
ввинчивается в площадку при правильном обходе C .
Векторное поле называется соленоидальным (полем без источников), если divA = 0 , и потенциальным (если это
 сила, то ее
работа по замкнутому контуру равна нулю), если rotA = 0 .
Знание скалярных и векторных производных и интегралов
векторов поля позволяет характеризовать структуру поля, а решения уравнений Максвелла с различными граничными и начальными условиями позволяют определить значения векторов
поля в каждой точке пространства в любой момент времени, связать создаваемое источниками поле с параметрами источников.
Задачи для решения
1.1. В прямоугольном волноводе сечением a × b на основной
волне отлична от нуля только одна компонента электрического
поля E y = E y 0 Sin (πx a ) exp( −γ 10 z ) , где E y 0 и γ 10 – константы. Оп
ределите divE и охарактеризуйте это электрическое поле по типу
в произвольной точке A( x, y , z ) .
1.2. В прямоугольном волноводе сечением a × b на волне H 20
отлична от нуля только одна компонента электрического поля
E y = E y 0 Sin (2πx a ) exp( −γ 20 z ) , где E y 0 и γ 20 – константы. Опре
делите divE и охарактеризуйте это электрическое поле по типу в
произвольной точке A( x, y , z ) .
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.3. В прямоугольном волноводе сечением a × b плоская волна имеет напряженность магнитного поля H y = H 0e −γz , где H 0 и

γ – константы. Определите divH и охарактеризуйте это электрическое поле по типу в произвольной точке A( x, y , z ) .
1.4. В прямоугольном волноводе сечением a × b плоская волна имеет напряженность электрического поля E x = E0e −γz , где E 0

и γ – константы. Определите divE и охарактеризуйте это электрическое поле по типу в произвольной точке A( x, y , z ) .
1.5. В прямоугольном волноводе сечением a × b на волне E11
отличны от нуля только две компоненты магнитного поля:
H x = H 0 Sin(πx a )Cos(πx b ) exp( −γz ) ,
H y = H 0Cos (πx a )Sin(πx b ) exp(−γz ) .


Определите divH , rotH :
а) в произвольной точке A( x, y , z ) ;
б) в точке x = a / 2 , y = b / 2 , z = 0 ;
в) в точке x = 0 , y = 0 , z = 0 ;
г) в точке x = a , y = 0 , z = 0 .
1.6. В прямоугольном волноводе сечением a × b на волне H11
отличны от нуля только две компоненты электрического поля:
E x = − E0Cos(πx a )Sin (πx b ) exp( −γz ) ,
E y = − E0 Sin(πx a )Cos(πx b ) exp( −γz ) .


Определите divE , rotE для точек, указанных в предыдущей
задаче.
1.7. В прямоугольном волноводе a × b на волне H10 отличны
от нуля компоненты:
E y = − E0 Sin(πx a ) exp( −γz ) , H x = H x 0 Sin(πx a ) exp( −γz ) ,
H z = H z 0Cos(πx a ) exp( −γz ) .


Определите в произвольной точке A( x, y , z ) : а) П ; б) divП ;

в) rotП .
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.8. У волны в свободном пространстве отличны от нуля
компоненты:
E x = E0 exp( −γz ) , H y = H 0 exp( −γz ) .


Определите в произвольной точке A( x, y , z ) : а) П ; б) divП ;

в) rotП .
1.9. Магнитное поле магнитного диполя в дальней зоне имеет

одну компоненту: Hθ = Hθ 0 Sinθ ⋅ exp( −ikr ) . Определите divH ,

rotH , охарактеризуйте тип поля.
1.10. Электрическое поле электрического диполя в дальней
зоне имеет одну компоненту: Eθ = Eθ 0 Sinθ ⋅ exp( −ikr ) . Определи

те divE , rotE .
1.11. Магнитное поле электрического диполя в ближней

зоне имеет одну компоненту: Hϕ = Hϕ 0 Sinθ . Определите divH ,

rotH .
1.12. Электрическое поле площадки Гюйгенса в дальней
зоне имеет одну компоненту: Eϕ = − Eϕ 0 Sinϕ (1 + I ⋅ Cosθ ) , где I


– константа. Определите divE , rotE , охарактеризуйте тип поля.
1.13. Поле магнитного диполя в дальней зоне имеет компоненты:
Hθ = Hθ 0 Sinθ ⋅ exp( −ikr ) , Eϕ = Eϕ 0 Sinθ ⋅ exp( −ikr ) .



Определите: а) П ; б) divП ; в) rotП .
1.14. Поле электрического диполя в дальней зоне имеет
компоненты:
Eθ = Eθ 0 Sinθ ⋅ exp( −ikr ) , Hϕ = Hϕ 0 Sinθ ⋅ exp( −ikr ) .



div
П
rot
П
; в)
.
Определите: а) П ; б)
1.15. Поле электрического диполя в ближней зоне имеет
компоненты:
Hϕ = Hϕ 0 Sinθ , Eθ = − Eθ 0 Sinθ , Er = Er 0Cosθ .




Определите: а) divH ; б) divE ; в) rotH ; г) rotE .
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

;
1.16.
Для
диполя
из
предыдущей
задачи
определите:
а)
П


б) divП ; в) rotП .
1.17. В диэлектрике с относительной проницаемостью
 ε
создали однородное электрическое поле напряженностью E . В
нем прорезаны две очень узкие щели – одна вдоль поля, другая
поперек (рис. 1.1). Определите напряженность поля внутри
щелей.
E
1
2
Рис. 1.1
1.18. Граница раздела сред является экранирующей либо:
а) по электрическому полю; б) по магнитному полю. Определите
величину и направление электрического и магнитного полей в
обеих средах.
1.19. Определите величину и направление поверхностного
тока на границе раздела сред 1 и 2, если: а) H1 = H 2 ; б) H1 > H 2 ;
в) H1 < H 2 .
1.20. Определите величину и знак поверхностного заряда на
границе раздела сред 1 и 2, если: а) E1 = E2 ; б) E1 > E2 ;
в) E1 < E2 .
1.21. Испытания метеорита показали, что на частоте 1 МГц
он имеет σ = 10− 3 См/м, ε = 6 . Является вещество метеорита диэлектриком или проводником на этой частоте? Предполагается,
что вещество однородно.
1.22. В веществе с электропроводностью 10− 7 10−7 См/м создано электрическое поле E = 2 Sin( 2π 10− 6 t ) , ε = 2 . Определите
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ε ′, ε ′′, tgδ и род вещества: а) для частоты 1 МГц; б) для частоты
1кГц.
1.23. К конденсатору с диэлектриком, имеющим ε = 3 , приложено напряжение, создающее напряженность электрического
поля внутри E = E0 sin ωt . Определите величину и "направление"
тока смещения, если E0 = 2 В/м, ω = 2πf , f = 50 Гц.
1.24. К веществу с ε = 2 , tgδ = 10− 2 приложено электриче
 
E
ское поле m = eˆx + eˆ y . Определите комплексную амплитуду
электрической
индукции, угол в пространстве между векторами


E и D , разность фаз между ними. Вещество предполагается
однородным.
1.25. С помощью уравнений Максвелла выразите электрическую индукцию, создаваемую точечным зарядом Q на расстоянии r от него.
1.26. Электрическая индукция на поверхности мысленной
сферы радиуса 1 м направлена по радиус-вектору и равна
10−12 Кл/м2. Определите знак и величину находящегося в центре
сферы заряда.
1.27. Найдите выражение для напряженности магнитного
поля, создаваемого бесконечным прямолинейным постоянным
током, пользуясь уравнениями Максвелла.
1.28. Индукция магнитного поля, создаваемого бесконечным прямолинейным проводником с током в свободном пространстве на расстоянии 1 м от оси проводника, равна 2 ⋅ 10− 7
Тл. Определите, какой ток течет по проводнику.
1.29. Индукция магнитного поля в меди 10− 6 Тл. Определите напряженность магнитного поля.
1.30. Существует ли в природе диэлектрик, в котором при
E = 5 В/м индукция составляет D = 3 пКл/м2? Обоснуйте ответ.
1.31. В линейной по электрическому полю однородной и
изотропной среде действует электрическое поле напряженностью E = 3 В/м. При этом индукция электрического поля составляет D = 50 пКл/м2. Определите: а) диэлектрическую восприимчивость вещества; б) величину вектора поляризованности.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.32. В линейной по магнитному полю однородной и изотропной среде действует магнитное поле напряженностью
H = 10 А/м. При этом индукция магнитного поля составляет
144 ⋅ 10− 7 Тл. Определите: а) магнитную восприимчивость вещества; б) величину вектора намагниченности; в) род магнита.
2. Электромагнитные волны
в однородных изотропных средах
Для случая однородной изотропной среды, когда материальные уравнения имеют вид


D
=
ε
E
a ,

(2.1)
B
 = μa H ,
j = σE ,
где ε a , μ a – абсолютные электрическая и магнитная проницаемости, а σ – проводимость среды, система уравнений Максвелла
для области пространства, в которой отсутствуют свободные заряды, может быть представлена как:


 
∂E
ε
σ
+
=
,
E
rot
H
a

∂
t




∂H
(2.2)
,
 rotE = − μ a
∂
t


divE = 0,


divH = 0.
Из этой системы могут быть получены волновые уравнения
для векторов поля. Для электрической компоненты оно имеет
вид:



∂2E
∂E
ΔE − μ aε a 2 − μ a σ
= 0.
(2.3)
∂t
∂t
В случае идеального диэлектрика ( σ = 0 ) волновое уравнение
(2.3) преобразуется к следующему виду:
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


2
2


∂ E
1 ∂ E
ΔE − μ aε a 2 = ΔE − 2 2 = 0 ,
∂t
υ ∂t
(2.4)
где υ = 1 μ aε a = c εμ – фазовая скорость волны, с = 1 μ 0ε 0 –
скорость света в вакууме, ε = ε a ε 0 , μ = μ a μ 0 – относительные
диэлектрические
и
магнитные
проницаемости,
7
10
ε0 =
= 8,854 ⋅ 10 −12 Ф м –
электрическая
постоянная,
2
4πс
μ 0 = 4π 10 − 7 = 1,256 ⋅10 − 6 Гн м – магнитная постоянная.
Решение (2.3) может быть представлено в виде суперпозиции
двух бегущих в противоположных направлениях плоских гармонических волн

n 
 ω 

E (ξ , t ) = A1 exp − κξ  exp − iω (t − ξ )  +
c 
 c


n 
ω 

+ A2 exp κξ  exp − iω (t + ξ )  ,
c 
c


(2.5)
( )
̂  
где ξ = m r , m̂ – единичный вектор нормали к фазовому фронту.
Величина κ называется показателем поглощения и характеризует скорость убывания амплитуды. Величина n называется
показателем преломления и определяет фазовую скорость волны
в среде. В этом случае волновое число определяется как
k = ω ε ка μа =
где ε кa = ε a + i
ω
c
(n + iκ ) ,
(2.6)
σ
= ε a (1 + i ⋅ tgδ ) , tgδ = σ ωε a – тангенс угла поω
терь.
Показатели преломления и поглощения связаны с параметрами среды следующими зависимостями:
n=
( 1 + tg δ + 1),
2
με
2
11
(2.7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( 1 + tg δ − 1).
2
με
κ=
2
(2.8)
Исходя из приведенных соотношений, можно определить характеристики электромагнитной волны в однородной изотропной
среде. Фазовая скорость:
υ=
с
=
n
c
( 1 + tg δ + 1)
2
με
,
(2.9)
.
(2.10)
2
длина волны:
λ=
υ
f
=
c
f
1
( 1 + tg δ + 1)
2
με
2
Между векторами напряженности электромагнитного поля
плоской волны в однородной изотропной среде существует следующая связь:

 
1  ˆ
E=
H × m = Z B H × mˆ ,
ε aυ
[
]
[
]
(2.11)

1 ˆ 
 
H = ε aυ mˆ × E =
m×E ,
ZB
[
]
[
]
δ
−i
μa
μ
1
где Z B =
e 2 – импеданс, или
= Z B e − iϕ B = Z 0
ε кa
ε 4 1 + tg 2δ
волновое сопротивление среды. Введенная характеристика Z B
определяет количественную связь между напряженностями полей
в электромагнитной волне. Для вакуума
Z B = Z 0 = μ 0 ε 0 = 120π Ом .
(2.12)
Перенос электромагнитной энергии характеризуется вектором Умова – Пойнтинга
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

 
П = [E × H ].
(2.13)
Для гармонической плоской волны среднее значение плотности потока энергии может быть представлено как
[
]


 2
1 
1 1  2
1
П = Re E m × H m∗ =
Em Cos (ϕ B ) = Z B H m Cos (ϕ B ) ,
2
2 ZB
2
(2.14)


где E m и H m – комплексные амплитуды векторов напряженности
электрического и магнитного полей.
Для реальных диэлектриков tgδ << 1 , поэтому
n≈
κ≈
με 

tg 2δ
 ≈ με ,
1
+
+
1


2 
2

με 

 σ 
tg 2δ
tgδ
1 +
 = με

 ,
με
1
−
=

2 
2
2
ωε
 a

υ≈
Z B ≈ Z0
c
με
, λ≈
c
f με
,
μ  tg 2δ 
μ
1 −
 ≈ 120π
, ϕ ≈ 0.
ε
2 
ε B
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
Для проводников tgδ >> 1, поэтому
n≈
κ≈
με 

με
1
 tgδ +
(tgδ + 1) ≈ με tgδ ,
+ 1 ≈
2 
2 tgδ
2
2

(2.19)
με 
(2.20)

1
με
(tgδ − 1) ≈ με tgδ ,
− 1 ≈
 tgδ +
2 
2tgδ
2
2

13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
υ=
с
με
2
c
, λ=
tgδ
Z B ≈ 120π
f
μ
ε tgδ
με
2
, ϕB ≈
,
(2.21)
tgδ
π
4
.
(2.22)
При распространении волнового пакета (негармонического
сигнала) огибающая распространяется со скоростью
υ гр = (dk dω )ω =ω0 −1 ,
(2.23)
которая называется групповой скоростью.
Для описания направления вектора E используется понятие
поляризации. В случае гармонической плоской волны (распространяющейся по оси z ) можно определить множитель поляризации
E x Emx iΔ
Ρ=
=
e ,
E y Emy
(2.24)
где E x = Emx exp( −iϕ x ) , E y = Emy exp( −iϕ y ) , а Emx , Emy , ϕ x , ϕ y – постоянные действительные
амплитуды и фазы ортогональных со
ставляющих вектора E , Δ = ϕ y − ϕ x . При комплексном Ρ поляризация электромагнитной волны эллиптическая. Круговой поляризации соответствует значение Ρ = ±i (положительный знак для
правой, а отрицательный – для левой поляризации). Линейной
поляризации соответствуют действительные
значения Ρ .

Приведенное разложение вектора E представляет собой раз 
ложение в линейном поляризационном базисе eˆ|| , eˆ⊥ . В некото-
(
)
рых приложениях удобнее представлять состояние поляризации
поля в виде суперпозиции волн с правой и левой круговой поляризацией (разложение в круговом поляризационном базисе
 
eˆR , eˆL ). Связь между круговым и линейным ортонормирован-
(
)
ными базисами определяется формулами:
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)
(
(
)
(
)
) (
)

 

 
eˆ|| = (eˆR + eˆL ) 2 , eˆ⊥ = i (eˆL − eˆR )

 

 
2 , eˆL = eˆ|| − ieˆ⊥
2
eˆR = eˆ|| + ieˆ⊥
,
ˆ ˆ ∗
ˆ ˆ ∗
ˆ ˆ ∗
eR ⋅ eR = 1, eL ⋅ eL = 1, eR ⋅ eL = 0
(2.25)
2.
(2.26)
В этом случае поле с произвольной поляризацией можно
представить в виде





E = E||eˆ|| + E⊥ eˆ⊥ = E R eˆR + E L eˆL .
(2.27)
Для произвольной (негармонической) волны часто используют параметры Стокса:
I = Emx 2 + Emy 2 ,
Q = Emx 2 − Emy 2 ,
U == 2 Emx Emy CosΔ,
(2.28)
V = 2 Emx Emy SinΔ,
где черта сверху означает усреднение по времени.
Задачи для решения
2.1. Найти, при каких условиях гармоническая волна вида
E (ρ , t ) = Aei (kρ −ω t ) ρ , где ρ – расстояние до точки наблюдения в
цилиндрической системе координат, удовлетворяет волновому
уравнению (2.4).
2.2. Показать, что для плоской волны, распространяющейся в

направлении, задаваемом единичным вектором m̂ , имеют место
следующие соотношения для векторов электромагнитного поля:
ˆ 

 ∂m

E
∂ mˆ H
divE =
, divH ==
,
∂ξ
∂ξ
ˆ 
ˆ 
 ∂m
 ∂m
×E
×H
rotE =
, rotH =
,
∂ξ
∂ξ
( )
[
( )
]
15
[
]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( )
̂ 
где ξ = m r .
2.3. Определить длину волны и фазовую скорость электромагнитной волны, распространяющейся в среде без потерь с относительными проницаемостями ε = μ = 10 , если частота волны
10 МГц.
2.4. Плоская электромагнитная волна распространяется в немагнитной среде без потерь с неизвестным значением диэлектрической проницаемости. Измерения показали, что на пути, равном
10 см, колебание с частотой 1 ГГц приобретает дополнительный
по сравнению с вакуумом сдвиг по фазе в 40°. Определить относительную диэлектрическую проницаемость и коэффициент преломления среды.
2.5. В среде с параметрами ε = 4, μ = 1, σ = 0 распространяется плоская электромагнитная волна, комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля которой в плоскости



z = 0 равна E = 0,5eˆx + 0,2eˆ y В/м. Определить комплексную амплитуду вектора напряженности магнитного поля, если волна
распространяется в направлении оси z .
2.6. Во влажной почве, относительная диэлектрическая проницаемость которой ε = 10 , а магнитная – μ = 1, распространяется плоская электромагнитная волна, у которой отношение амплитуд
векторов
электрического
и
магнитного
полей
 
E H = 12π Ом. Определить проводимость среды, фазовую ско

рость волны и сдвиг фаз между векторами E и H , если в вакууме длина волны λ = 103 м.
2.7. Характеристическое сопротивление (импеданс) среды
равно 1508 Ом, относительная диэлектрическая проницаемость
ε = 1 . Определить магнитную проницаемость среды.
2.8. Керамика титаната бария ( BaTiO3 ) на частоте 10 ГГц
имеет следующие параметры: ε = 144, μ = 900, tgδ = 0,6 . Определить длину волны, показатель поглощения и волновое сопротивление такой среды.
2.9. Электрические свойства воды в океане характеризуются
следующими значениями электродинамических параметров:
ε = 81, μ = 1, σ = 4 См/м. Определить область частот, где среда
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
может рассматриваться в качестве диэлектрика ( tgδ < 0,1) и в качестве проводника ( tgδ > 10 ). Во сколько раз убывает амплитуда
электромагнитных волн с частотами f1 = 10 кГц и f 2 = 10 ГГц на
глубине 10 м?
2.10. Электромагнитная волна с частотой f = 30 МГц переходит из вакуума в среду с параметрами ε = 1, μ = 900, σ = 0 . Найти приращение длины волны.
2.11. Найти время распространения поверхности равных фаз
плоской электромагнитной волны через слой толщиной l диэлектрика, у которого значение относительной диэлектрической проницаемости падает от ε 1 на верхней границе до ε 2 на нижней
границе.
2.12. В вакууме распространяется плоская электромагнитная
 ̂
волна, у которой E = e y E0Cos(kz − ωt ) , E0 = 160 В/м, k = 0,51 м-1 .

Найти вектор напряженности магнитного поля H в момент времени t = 0 и t = 33 нс.
2.13. Зависимость коэффициента преломления среды от температуры принято описывать температурным коэффициентом
α n = (1 n )(dn dT ) . Полагая α n = 4 ⋅ 10−5 град −1 и n = 1,5 , определить
изменение фазы электромагнитной волны прошедшей путь 1 м
при изменении температуры на 1 C для частот f1 = 1010 Гц и
f 2 = 5⋅ 1014 Гц.
2.14. Некоторые вещества, например ниобат лития ( LiNbO3 ),
изменяют свои диэлектрические свойства под действием низкочастотного электрического поля (электрооптический эффект), что
дает возможность создавать фазовые модуляторы сигнала в оптическом диапазоне. Если плоская электромагнитная волна проходит в такой среде путь, существенно меньший длины волны модулирующего электрического поля, то можно считать, что показатель преломления для нее изменяется во времени по
следующему закону:
n(t ) = n0 (1 + δn ⋅ Cos(2πFt )) ,
где F – частота модуляции. Определить индекс модуляции m и
девиацию частоты Δf волны, прошедшей путь l = 10 см, если
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n = 1,5 ; δn = 10 −5 ; F = 1 кГц; f = 5⋅ 1014 Гц. Какова была бы длина
модулятора l , обеспечивающего при тех же параметрах среды
прежний индекс модуляции колебания с частотой 10 ГГц?
2.15. Показатель преломления среды – случайная величина с
равномерным законом распределения от 1 до 2. Плоская электромагнитная волна с частотой 300 МГц в плоскости z = 0 имеет амплитуду напряженности электрического поля 5 В/м и нулевую
начальную фазу. Определить среднее значение и дисперсию модуля вектора напряженности электрического поля в плоскости
z = 1 м.
2.16. Амплитуда напряженности магнитного поля плоской
электромагнитной волны, распространяющейся в среде с параметрами ε = 3,8 , μ = 1 , σ = 2 ⋅ 10− 4 Cм / м , в плоскости z = 0 равна
1 А/м. Определить плотность потока мощности волны на расстоянии z = 1 м от начала координат, если частота 50 МГц.
2.17. Плоская монохроматическая волна частотой ω распространяется в среде с диэлектрической проницаемостью ε и малой
проводимостью σ ( tgδ << 1, μ = 1 ). На каком расстоянии мощность падает в e 2 раз?
2.18. Определить толщину медного экрана ( σ = 5,7 См/м),
который обеспечивает ослабление плотности потока мощности
электромагнитной волны в 104 раз на частотах f1 = 50 Гц и
f 2 = 50 МГц.
2.19. Определить толщину экрана, который обеспечивает ослабление амплитуды поля электромагнитной волны в 104 раз на
частоте f = 50 Гц, если он выполнен из материала с параметрами: ε = 1, μ = 900, σ = 4 См/м. Сравнить полученный результат с
ответом к предыдущей задаче.
2.20. Амплитуда напряженности магнитного поля плоской
электромагнитной волны, распространяющейся в среде с параметрами ε = 3,8 , μ = 1, σ = 2 ⋅ 10− 4 См/м, в плоскости z = 0 равна
1 А/м. Определить плотность потока мощности волны на расстоянии z = 1 м от начала координат, если частота 50 МГц.
2.21. В непроводящей магнитно-электрической среде связи
между индукциями и напряженностями полей имеют вид:
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


 


D = ε a E + ηH , B = μa H + ηE , где ε a , μa ,η – константы. Найдя
связь между волновым числом k и частотой ω для гармонической электромагнитной волны в такой среде, определить значение показателя преломления n .
2.22. Определить выражения, связывающие амплитуды волн
в круговом и линейном базисе.
2.23. Вывести формулу для определения коэффициента эллиптичности (отношение большой оси эллипса к малой) плоской
электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси z , если
в плоскости z = 0 поля имеют вид:
E x = E 0 x exp(iϕ x ), E y = E 0 y exp(iϕ y ).
Найти ориентацию осей эллипса по отношению к осям системы координат.
2.24. Две плоские гармонические волны с левой и правой
круговой поляризациями в плоскости z = 0 имеют векторы напряженности электрического поля


ˆ
ˆ


E L = E0 ex − ie y exp(iϕ L ), E R = E0 eˆx + ieˆ y exp(iϕ L ) .
(
)
(
)
Определить вид поляризации суммарного поля, если разность
фаз Δϕ = ϕ L − ϕ R равна 45 и 60 .
2.25. Определить явный вид параметров Стокса полностью
поляризованной плоской волны единичной интенсивности для
следующих случаев:
а) линейная горизонтальная поляризация;
б) линейная вертикальная поляризация;
в) линейная поляризация, повернутая относительно вертикали на 45 ;
г) линейная поляризация, повернутая относительно вертикали на − 45 ;
д) правая круговая поляризация;
е) левая круговая поляризация.
2.26. Две плоские монохроматические линейно поляризованные волны одной частоты распространяются вдоль оси z . Первая
волна поляризована вдоль оси x и имеет амплитуду a , вторая
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
поляризована по y , имеет амплитуду b и опережает первую по
фазе на φ .
а) Найти поляризацию результирующей волны.
б) Рассмотреть зависимость от φ при a = b .
2.27. Две плоские монохроматические одной частоты волны
поляризованы по кругу с противоположным направлением вращения имеют одинаковые фазы и распространяются в одном направлении. Первая волна имеет амплитуду a , вторая – b . Найти
зависимость характера поляризации в зависимости от отношения
этих амплитуд.
2.28. Найти фазовую и групповую скорость распространения
электромагнитной волны в немагнитной среде, диэлектрическая
проницаемость которой имеет вид:
ε = 1 + ω p2 (ω02 − ω 2 ).
Ограничиться случаями ω >> ω0 и ω << ω0 .
2.29. В среде с показателем преломления, зависящим от частоты по закону n(ω ) = 10 −10 ω , распространяются два узкополосных радиоимпульса с несущими частотами 10 ГГц и 20 ГГц. Определить разность времен запаздывания импульсов на расстоянии
100 км от точки, где они совпадали по времени.
2.30. Показать, что для гармонической плоской волны в
2
плазме ( ε = 1 − (ω p ω ) > 0, μ = 1) произведение фазовой и групповой скорости равно c 2 .
2.31. Радиоимпульс с высокочастотным заполнением распро2
страняется в плазме ( ε = 1 − (ω p ω ) > 0, μ = 1) в направлении оси
z . Первоначально (в плоскости z = 0 ) его временная развертка
представляет собой отрезок синусоиды частотой ω0 и длительностью Δτ 0 . Полагая ω0 >> ω p , ω0 Δτ 0 >> 1 , найти:
а) характерную ширину спектра импульса Δω ;
б) первоначальную протяженность импульса в пространстве
и время, за которое его центр проходит заданное расстояние z ;
в) расстояние ẑ , на котором заметно меняется длительность
импульса, а также форму и закон изменения длительности Δτ ( z )
при z >> zˆ ;
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
г) скорость, с которой перемещаются в пространстве расположенные внутри импульса поверхности с нулевым значением
поля.
2.32. Определить форму и описать одномерное движение
волнового пакета, состоящего из N плоских волн с одинаковыми
комплексными амплитудами и частотами ωq = ω0 + q ⋅ Δω , где q –
целое число в пределах 1 ≤ q ≤ N − 1. Дисперсия среды линейна,
т. е. ω (k ) = ω0 + υгр (k − k0 ) .
3. Взаимодействие электромагнитных волн
с плоской границей раздела сред
Геометрия задачи представлена на рис. 3.1.
Рис. 3.1
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»



k0 = k1mˆ 0 = ε кa1μa1ω ⋅ mˆ 0 ,



k1 = k1mˆ 1 = ε кa1μa1ω ⋅ mˆ 1,



k2 = k2mˆ 2 = ε кa 2 μa 2 ω ⋅ mˆ 2 ,
(3.1)
где ε кa1 = ε a1 + i σ 1 ω , μa1 , ε кa 2 = ε a 2 + i σ 2 ω , μa2 – параметры
сред.
Sinθ 0 = Sinθ1 ,
(3.2)
k1Sinθ 0 = k 2 Sinθ 2 .
(3.3)
закон Снеллиуса:
Для случая, когда вектор напряженности электрической компоненты поля падающей волны перпендикулярен плоскости па

дения (плоскость, содержащая m̂0 и êz ), он имеет только одну составляющую


E = E eˆ , E = E = 0 .
i
0 y
ix
iz
Коэффициенты Френеля, связывающие амплитуды отраженной и преломленной волн с амплитудой падающей волны, имеют
следующий вид:
R⊥ =
E1 Z B 2 Cosθ 0 − Z B1Cosθ 2
iϕ
=
= R⊥ e R⊥ ,
E0 Z B 2 Cosθ 0 + Z B1 cosθ 2
(3.4)
2Z B 2 Cosθ 0
E2
iϕ
=
= T⊥ e T⊥ .
E0 Z B 2 Cosθ1 + Z B1Cosθ 2
(3.5)
T⊥ =
Для случая, когда вектор напряженности электрической компоненты поля падающей волны лежит в плоскости падения, вектор напряженности магнитного поля имеет только одну составляющую


H = H eˆ .
i
0 y
Коэффициенты отражения и преломления Френеля могут
быть определены как:
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
R|| =
T|| =
iϕ R
H1 Z B1Cosθ 0 − Z B 2Cosθ 2
=
= R|| e | | ,
H 0 Z B1Cosθ 0 + Z B 2Cosθ 2
(3.6)
i ϕT
2Z B1Cosθ 0
H2
=
= T|| e | | .
H 0 Z B1Cosθ 0 + Z B 2Cosθ 2
(3.7)
Рассмотрим случай, когда обе среды являются диэлектриками, т. е. σ 1 = σ 2 = 0 . Пусть для простоты μ1 = μ 2 = μ , тогда электродинамические характеристики сред будут иметь вид:
ε кa1 = ε a1, ε кa 2 = ε a 2 ,
Z B1 = Z 0 μ ε1 , Z B 2 = Z 0 μ ε 2 .
В этом случае для коэффициентов отражения Френеля имеем:
R⊥ =
R|| =
ε1 Cosθ 0 − ε 2 Cosθ 2
Sin(θ 0 − θ 2 )
=−
,
(
)
Sin
θ
+
θ
ε1 Cosθ 0 + ε 2 Cosθ 2
0
2
(3.8)
ε 2 Cosθ 0 − ε1 Cosθ 2 tg (θ 0 − θ 2 )
=
.
ε 2 Cosθ 0 + ε1 Cosθ 2 tg (θ 0 + θ 2 )
(3.9)
То есть коэффициенты отражения действительны, и поэтому
сдвиг фаз между падающей и отраженной волнами либо 0, либо
π.
Угол падения, при котором коэффициент отражения равен
нулю, называется углом Брюстера θ Б , или углом полной поляризации. Последнее связано с тем, что в случае μ1 = μ 2 = μ при падении волны с эллиптической поляризацией под углом θ 0 = θ Б в
отраженной волне не будет параллельной составляющей. Этот
эффект имеет место при следующем значении угла падения
θ Б = arctg
ε2
.
ε1
(3.10)
В случае, когда ε1 > ε 2 , из закона Снеллиуса следует, что
θ 2 > θ 0 и возможна ситуация, когда преломленная волна будет
распространяться параллельно границе раздела. Явление получило
название полного внутреннего отражения, а соответствующий
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
угол падения – угол полного внутреннего отражения θ B . Оно не
зависит от поляризации излучения. Связь θ B с диэлектрическими
проницаемостями имеет следующий вид:
Sinθ B =
ε2
.
ε1
(3.11)
При углах падения θ ≥ θ B коэффициенты отражения можно
представить как:
ε1Sin 2θ 0 − ε 2
,
= −2arctg
ε1Cosθ 0
(3.12)
ε1 ε1Sin 2θ 0 − ε 2
.
= −2arctg
ε 2Cosθ 0
(3.13)
R⊥ = 1, ϕ R⊥
R|| = 1, ϕ R||
Задачи для решения
3.1. Плоская электромагнитная волна падает нормально на
границу раздела между вакуумом и диэлектриком с параметрами
ε = 4, μ = 1, σ = 0 . Определить среднее значение плотности потока
мощности в диэлектрике, если среднее значение потока мощности падающей волны 1 Вт/м.
3.2. Найти условия, при которых плоская электромагнитная
волна будет распространяться путем отражений от двух безграничных пластин идеального металла, расположенных в вакууме
параллельно друг другу на расстоянии a , если угол падения равен ϕ . Для каких значений λ0 возможно распространение волн в
такой структуре при заданном a ?
3.3. Плоская электромагнитная волна, вектор напряженности
электрического поля которой лежит в плоскости падения, падает
из вакуума на поверхность диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε a = εε 0 ( μ = 1, σ = 0 ) под углом ϕ = arctg ε . Найти
соотношение между модулями векторов Пойнтинга падающей и
прошедшей волн.
3.4. Плоская гармоническая электромагнитная волна падает
на границу раздела двух сред с различными значениями диэлек24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
трической и магнитной проницаемости. Предполагая, что в средах отсутствует поглощение, найти угол Брюстера в зависимости
от электродинамических характеристик сред.
3.5. Диэлектрический слой с относительной диэлектрической
проницаемостью ε 2 ограничен плоскостями z = 0 ; z = d и разделяет две диэлектрические среды с относительными диэлектрическими проницаемостями ε1 и ε 2 . Найти коэффициенты отражения
и пропускания слоя с учетом эффектов многократного переотражения внутри слоя.
3.6. Вывести формулы Френеля для случая падения электромагнитной волны из вакуума на поверхность малым значением
волнового сопротивления (импеданса).
3.7. Поляризованная по кругу плоская гармоническая волна
падает на границу раздела двух диэлектриков. Определить поляризацию отраженной и прошедшей волн.
3.8. Под каким углом α надо направить плоскую гармоническую волну на поверхность
диэлектрика,
чтобы волновые векто

ры отраженной k1 и преломленной k 2 волн были ортогональны
друг другу? Показатель преломления диэлектрика n . Указать характер поляризации отраженной волны.
3.9. Между двумя идеально отражающими пластинами, находящимися на расстоянии a друг от друга, возбуждается стоячая
электромагнитная волна. На сколько изменится минимальная
частота стоячей волны, если вложить вплотную к одной из пластин диэлектрическую вставку с ε = 4 и толщиной a 4 ? Продольные размеры пластин и диэлектрической вставки для упрощения положить бесконечными.
3.10. На стопку из N = 20 полупрозрачных параллельных
пластин, расположенных на расстоянии d друг от друга, под углом θ 0 падает электромагнитная волна, плотность потока мощно
сти которой Π 0 , а длина волны – λ = 1,5d . Коэффициент отражения от каждой пластинки (по мощности) R = 0,1% , а коэффициент пропускания (по мощности) T = 99,9% . При каком угле
падения θ 0 плотность потока мощности отраженной волны минимальна и чему она равна?
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Указание: ввиду малости коэффициента отражения R , многократными переотражениями между пластинами можно пренебречь.
3.11. Найти вид поляризации преломленной волны для углов
падения 20 ,45 ,60 и 80 , если падающая на границу раздела между вакуумом и средой с показателем преломления n = 1,5 плоская электромагнитная волна имеет круговую поляризацию.
3.12. Плоская электромагнитная волна, распространяющаяся
в среде с показателем преломления n = 1,5 , падает под углом 45
на границу раздела между средой и вакуумом. Напряженность
электрического поля падающей волны 1 В/м. Определить напряженность электрического поля в вакууме на расстоянии 6 см от
границы раздела, если частота колебаний равна 10 ГГц, а вектор
напряженности электрического поля перпендикулярен плоскости
падения.
3.13. При каком угле падения θ 0 разность фаз между составляющими поля, ориентированными параллельно и перпендикулярно относительно плоскости падения, достигает максимума
при полном внутреннем отражении, если падающая волна линейно поляризована? Чему равен этот максимум?
3.14. Вывести формулу для определения плотности потока
мощности отраженной и прошедшей волн при нормальном падении гармонической плоской волны на границу раздела двух сред.
3.15. Найти изменение амплитуды магнитного поля внутри
медного листа ( σ = 5,7 См/м), на который падает из вакуума нормально гармоническая плоская волна частотой 20 ГГц и значением амплитуды электрического поля 1 В/м.
3.16. Плоская гармоническая волна падает из вакуума на
плоскопараллельную пластинку из полиэтилена ( ε = 2,25 ,
μ = 1, σ = 0 ). Найти угол наклона поверхности пластины к направлению падения, при котором волна, параллельно поляризованная относительно плоскости падения, проходит пластинку без
отражения. Показать, что полное прохождение имеет место для
обеих поверхностей пластины. Найти коэффициент отражения
пластины для случая волны с перпендикулярной поляризацией
при этом угле.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.17. На прозрачный слой толщиной d с показателем преломления n , покрывающим идеальное зеркало, падает по нормали плоская монохроматическая
электромагнитная волна с волно
вым вектором k . При каком значении k амплитуда стоячей волны в слое будет максимальной?
3.18. Нарисовать (качественно) кривые зависимости коэффициентов пропускания (3.5), (3.7) для случая взаимодействия электромагнитной волны с границей раздела «диэлектрик – диэлектрик», полагая, что ε 2 > ε1 .
4. Электромагнитные волны
в анизотропных средах
Анизотропные среды – это среды, физические свойства которых в каждой точке зависят от направления. Это означает, что
направление приложенного поля не совпадает с направлением
отклика среды. Если зависимость свойств от направления в различных точках среды одинакова, то такая анизотропия называется однородной. При распространении в такой среде, например,
изначально сферической волны, форма фазового фронта искажается. Анизотропия может быть связана со структурой среды (так
называемые естественно-активные среды) или может создаваться
наложением внешних полей – электрического, магнитного, поля
упругих деформаций и т. п. (так называемые естественнонеактивные среды).
Материальные уравнения для анизотропной среды в общем
случае имеют вид:
  
D = εa E,
(4.1)
  
B = μa H .


Здесь ε a и μ a – тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 ε xx


ε a = ε 0  ε yx

 ε zx
 μ xx
ε xy ε xz 
 

ε yy ε yz  , μ a = μ 0  μ yx

ε zy ε zz 
 μ zx
μ xy
μ yy
μ zy
μ xz 

μ yz  .
μ zz 
(4.2)


Обычно либо ε a , либо μ a являются скалярными величинами,
т. е. анизотропия имеет место только по электрическим или магнитным свойствам, но не одновременно.
В кристаллах имеет место анизотропия по электрическим

свойствам, причем тензор ε a симметричен, т. е.
ε ij = ε ji .
(4.3)
Если можно пренебречь поглощением (среда прозрачна), то
все компоненты ε ij вещественны. Как известно, симметричный
вещественный тензор поворотом осей можно свести к диагональному виду, т. е.
 ε xx


εa = ε0 0
 0

0
ε yy
0


.
ε zz 
0
0
(4.4)
В зависимости от структуры кристаллических сред и симметрии тензора диэлектрической проницаемости их можно разделить
на три группы:
1. Кубические кристаллы: ε xx = ε yy = ε zz . Направление главных осей произвольно, и кристаллы оптически изотропны.
2. Одноосные кристаллы: ε xx = ε yy ≠ ε zz . Одна из главных
осей совпадает с осью симметрии кристалла – оптической осью,
две другие компоненты равны между собой.
3. Двуосные кристаллы: ε xx ≠ ε yy ≠ ε zz . Все три компоненты
различны.
В случае распространения плоской гармонической волны для
сред с тензором вида (4.4) имеет место уравнение Френеля:
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
m 2y
m x2
m z2
+
+
= 0,
υ x2 − υ 2 υ y2 − υ 2 υ z2 − υ 2
(4.5)
где
υx = c
με xx , υ y = c
με yy ,υ z = c
με zz
(4.6)
– так называемые главные фазовые скорости, которые соответствуют
 скоростям распространения волны при ориентации
вектора E вдоль главных осей тензора.
Уравнение (4.5) позволяет определить фазовую скорость υ

в произвольном направлении, задаваемом вектором m̂ . Очевидно, что оно квадратично относительно υ 2 . Это значит, что каж
дому направлению m̂ соответствуют две фазовые скорости, т. е.
две волны. Можно показать, что они линейно поляризованы в
двух перпендикулярных плоскостях.
Для случая одноосного кристалла введем (для определенности) обозначения:
ε xx = ε yy = ε ⊥ ,
ε zz = ε ||,
υ x = υ y = c με ⊥ = υ ⊥ ,
υ z = c με || = υ|| .
(4.7)
(4.8)
Тогда уравнение Френеля (4.5) распадается на два независимых уравнения для фазовой скорости, решения которых
имеют вид:
υ12 = υ ⊥2 , υ22 = υ||2 Sin 2θ + υ ⊥2 Cos 2θ ,
(4.9)

где θ определяет угол между вектором m̂ и осью z . В любом
направлении распространяются две волны: обыкновенная с постоянной фазовой скоростью υ1 , не зависящей от направления,
и необыкновенная с фазовой скоростью υ 2 , которая зависит от
направления распространения. Из (4.9) видно, что скорости
этих волн одинаковы, если волна распространяется вдоль оптической оси.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аналогично фазовой скорости в кристаллах каждому направлению соответствуют две групповые скорости, причем для
обыкновенной волны направления фазовой и групповой скоро′
стей совпадают, а для необыкновенной – не совпадают.
 Угол θ
между направлением групповой скорости (вектором П ) и осью
кристалла (осью z ) можно определить как:
tgθ ′ = tgθ ⋅ ε ⊥ ε || .
(4.10)
Последнее выражение показывает, что отличие направлений групповой и фазовой скоростей волны определяется отношением диэлектрических проницаемостей среды.
При падении электромагнитной волны на границу раздела
«вакуум – одноосный кристалл» образуются две преломленные
волны, т. к. показатель преломления для обыкновенной и необыкновенной волн, как следует из (4.9), различен. Явление называется двойным лучепреломлением.
Частным случаем анизотропных сред являются гиротропные среды. Примерами таких сред являются плазма и феррит, у
которых анизотропия появляется при воздействии сильного постоянного (медленно меняющегося) магнитного поля.
Для плазмы анизотропия проявляется по электрическим
свойствам. Выражение для тензора диэлектрической проницаемости
электронной плазмы во внешнем магнитном поле

̂
H = H C ez имеет вид:
 ε xx

ε a = ε 0  ε yx
 0


ε xy
ε yy
0


,
ε zz 
0
0
(4.11)
где
(ω + iν )ω N2
ω N2
ε xx = ε yy = 1 −
, ε zz = 1 − 2
,
ω + iων
ω ((ω + iν )2 − ω H2 )
ω H ω N2
ε xy = −ε yx = −i
,
ω (ω + iν )2 − ω H2
(
30
)
(4.12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ωH = (μ0e m )H C ,
ω N2
e2 N
=
,
mε 0
(4.13)
e – заряд электрона, m – его масса, ν – эффективная частота
соударений электронов, N – концентрация электронов.
Для феррита анизотропия проявляется по магнитным свойствам. Выражение для тензора магнитной
проницаемости фер
̂
рита во внешнем магнитном поле H = H C ez имеет вид:
 μ xx


μ a = μ0  μ yx
 0

μ xy
μ yy
0


,
μ zz 
0
0
(4.14)
где
μ xx = μ yy = 1 −
μ xy =
Ωμ0 (e m )M C
,
ω 2 − Ω2
iωμ0 (e m )M C
= − μ yx , μ zz = 1,
ω 2 − Ω2
Ω = (μ0 e m )H C ,
(4.15)
(4.16)

M С – постоянная намагниченность.
То есть тензор магнитной проницаемости такой среды имеет такой же вид, как и тензор диэлектрической проницаемости
плазмы. Поэтому при распространении в феррите электромагнитных волн имеют место аналогичные эффекты, что и для
плазмы.
При распространении плоской гармонической волны в фер
рите (плазме) вдоль направления внешнего магнитного поля ( m̂
коллинеарен H C ) постоянная распространения k имеет вид:
k12,2 = k02ε (μ xx ± iμ xy )
или
k1±,2 = ± k 0 ε (μ xx ± iμ xy ) ,
31
(4.17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где знак « + » перед корнем соответствует двум волнам, бегущим в положительном направлении оси z , а отрицательный
знак – в противоположном направлении.
Рассмотрим волну, бегущую в положительном направлении. В соответствии с формулой (4.18) имеем две поперечные
волны с разными фазовыми скоростями
υ1,2 =
c
ω
,
=
ε (μ xx ± iμ xy ) n1,2
k0
(4.18)
где показатели преломления определяются как:
n1,2 = ε (μ xx ± iμ xy ) ,
(4.19)
волновое сопротивление при этом определяется следующим
выражением:
Z В1,2 =
k1,2
ωε 0ε
= Z0
μ xx ± iμ xy
.
ε
(4.20)
Поляризация обеих волн круговая.
Из (4.19) в явном виде следует, что при падении электромагнитной волны из изотропной среды на феррит (плазму) имеет место явление двойного лучепреломления.
В
 случае поперечного распространения волны относительно H C также имеется по две волны в каждом направлении, характеристики которых определяются для плазмы следующими
соотношениями:
k = ± k0 ε zz μ , Z Воб =
k = ±k 0
(
k
ωε 0ε zz
)
= Z0
μ
,
ε zz
μ 2
ωμμ0
με
2
= Z 0 2 xx 2 .
ε xy + ε xx
, Z Внеоб =
k
ε xx
ε xy + ε xx
(4.21)
(4.22)
Выражения (4.21) соответствуют обыкновенной волне,
(4.22) – необыкновенной волне, причем последняя не является
чисто поперечной, а имеет составляющую вдоль направления
распространения.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задачи для решения
4.1. Диэлектрическая проницаемость монокристалла кварца
может быть описана двумя главными значениями ε – вдоль оптической оси ( ε zz ) и перпендикулярно ей ( ε xx ). Приняв ε zz =4,65
и ε xx =4,55, рассчитать, на каком наименьшем расстоянии от начала координат z0 плоская линейно поляризованная волна, распространяющаяся перпендикулярно оптической оси, преобразуется в волну с круговой поляризацией. Расчет провести для
λ = 8 мм.
4.2. Две плоские линейно поляризованные электромагнитные волны распространяются по оси x в монокристалле сапфира ( Al2O3 ), тензор диэлектрической проницаемости которого
имеет вид (М). Определить разность фаз этих волн, прошедших
в сапфире расстояние 1 см, если первая волна поляризована по
оси y , а вторая – по оси z . Частоты колебаний одинаковы и
равны 10 ГГц. На этой частоте ε xx = ε yy = 13,2 , ε zz = 11,4 .
4.3. У необыкновенной волны, распространяющейся в одноосном кристалле с заданными составляющими диэлектриче
ской проницаемости ε || = ε zz и ε ⊥ = ε xx = ε yy волновой вектор k
составляет угол ϑ с оптической осью. Найти направление переноса потока энергии такой волны.
и поперечную
4.4. Определить продольную ε|| = ε zz
ε ⊥ = ε xx = ε yy составляющие диэлектрической проницаемости
холодной электронно-позитронной
плазмы, помещенной во

̂
внешнее магнитное поле H = H C e z .
4.5. Считая, что в анизотропной среде могут распространяться только волны с круговой поляризацией (продольно намагниченный феррит или электронная плазма), и полагая, что
фазовые скорости распространения с правой υ R и левой υ L поляризациями известны, получить формулу, определяющую угол
поворота изначально линейно поляризованной электромагнитной волны с циклической частотой ω при прохождении пути
длиной L .
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.6. Плоская электромагнитная волна распространяется в
безстолкновительной
направления постоянного
 плазме вдоль
4
магнитного поля H C = 2,84 ⋅ 10 eˆz А/м. Концентрация электронов в плазме 1,24 ⋅ 1010 м − 3 , частота колебаний 3π ⋅ 109 с −1 . Определить амплитуды составляющих электрической индукции, ес

ли E = 10,1eˆx В/м.
4.7. Определить составляющие μ xx и μ xy тензора магнитной
проницаемости
феррита
на
частотах
f1 = 1010
Гц,
f 2 = (1010 + 107 ) Гц и f 2 = (1010 − 107 ) Гц, если Ω = 2π ⋅ 1010 c −1 и
ωs = μ0 (e m )M C = 0,4Ω . Магнитное поле ориентировано вдоль
оси z.
4.8. СВЧ-феррит марки 10СЧ6 с параметрами ε = 13,8 б
M C = 1,35 ⋅ 1015 А/м используется в устройстве для поворота
плоскости поляризации плоской электромагнитной волны. Определить минимальную длину ферритового образца z0 , необходимую для создания угла поворота, равного − π 4 , если линейно
поляризованная волна распространяется вдоль магнитного поля

̂
H = H C e z . Напряженность магнитного поля 1,42 ⋅ 105 А/м, частота колебаний 10 ГГц.
4.9. Вычислить угол поворота плоскости поляризации на
единицу длины (постоянную Фарадея) для феррита, параметры
которого имеют следующие значения: μ xx = 0,9 ; μ xy = 0,5 ;
ε = 10 .
4.10. Вычислить угол поворота плоскости поляризации на
единицу длины (постоянную Фарадея) для феррита с диэлектрической проницаемостью ε = 10 и намагниченностью насыщения M C = 80 кА/м при частоте f = 10 ГГц при напряженности поля намагничивания H C(1) = 50 кА/м и H C( 2 ) = 100 кА/м.
4.11. Написать явный вид выражений для напряженностей
электрического и магнитного полей для плазмы при продольном и поперечном распространении плоской гармонической
волны. Как изменятся формулы для случая феррита?
4.12. Найти вектор Пойнтинга для предыдущей задачи.
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.13. Плоская электромагнитная волна падает по нормали
из вакуума на монокристалл сапфира ( Al2O3 ), тензор диэлектрической проницаемости которого имеет вид (4.4). Граница раздела «воздух – диэлектрик» параллельна оси кристалла (ось z ).
Найти коэффициенты отражения обыкновенной и необыкновенной волны, если частота колебаний равна 10 ГГц. На этой
частоте, ε xx = ε yy = 13,2 , ε zz = 11,4 .
4.14. Плоская гармоническая волна падает под углом θ 0 на
границу раздела «вакуум – феррит». Найти коэффициенты отражения и преломления Френеля при параллельной и перпендикулярной относительно плоскости падения поляризации падающей волны для случая,
 когда направление постоянного намагничивающего поля H C параллельно плоскости падения.
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
1. Баскаков, С. И. Сборник задач по курсу «Электродинамика и распространение радиоволн» / С. И. Баскаков. – М.:
Высшая школа, 1981.
2. Вайнштейн, Л. А. Электромагнитные волны / Л. А. Вайнштейн. – М.: Радио и связь, 1988.
3. Виноградова, М. Б. Теория волн / М. Б. Виноградова,
О. В. Руденко, А. П. Сухоруков. – М.: Наука, 1990.
4. Гольдштейн, Л. Д. Электромагнитные поля и волны
/ Л. Д. Гольдштейн, Н. В. Зернов. – М.: Сов. радио, 1971.
5. Неганов, В. А. Электродинамика и распространение радиоволн
/ В. А. Неганов,
О. В. Осипов,
С. В. Раевский,
Г. П. Яровой. – М.: Радио и связь, 2005.
6. Никольский, В. В. Электродинамика и распространение
радиоволн / В. В. Никольский, Т. И. Никольская. – М.: Наука,
1989.
7. Петров, Б. М. Электродинамика и распространение радиоволн / Б. М. Петров. – М.: Радио и связь, 2000.
8. Пименов,
Ю. В.
Техническая
электродинамика
/ Ю. В. Пименов, В. И. Вольман, А. Д. Муравцов. – М.: Радио и
связь, 2000.
9. Тимофеев, В. А. Физика волновых процессов: учеб. пособие / В. А. Тимофеев. – Ярославль: ЯрГУ, 2003.
10. Тимофеев, В. А. Электромагнитные поля и волны: учеб.
пособие / В. А. Тимофеев. – Ярославль: ЯрГУ, 2008.
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
1. Векторы электромагнитного поля.
Формулировка электродинамических задач ........................ 3
Задачи для решения ............................................................................ 5
2. Электромагнитные волны
в однородных изотропных средах ...................................... 10
Задачи для решения .......................................................................... 15
3. Взаимодействие электромагнитных волн
с плоской границей раздела сред ........................................ 21
Задачи для решения .......................................................................... 24
4. Электромагнитные волны в анизотропных средах ................... 27
Задачи для решения .......................................................................... 33
Список литературы........................................................................... 36
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Тимофеев Владимир Авенирович
Артёмова Татьяна Константиновна
Электродинамика
и электромагнитные волны
Часть 1
Задачник
Редактор, корректор И. В. Бунакова
Верстка Е. Л. Шелехова
Подписано в печать 17.12.09. Формат 60×84 1/16.
Бум. офсетная. Гарнитура "Times NewRoman".
Усл. печ. л. 2,32. Уч.-изд. л. 1,58.
Тираж 150 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе Ярославского
государственного университета им. П. Г. Демидова.
Отпечатано на ризографе.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова.
150000, Ярославль, ул. Советская, 14.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В. А. Тимофеев
Т. К. Артёмова
Электродинамика
и электромагнитные волны
Часть 1
42
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
130
Размер файла
510 Кб
Теги
423, волна, электродинамика, тимофеева, электромагнитная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа