close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

452.Элементы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Кафедра общей математики
Элементы теории функций
комплексного переменного
и операционного исчисления
Методические указания
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов специальности Телекоммуникации
Ярославль 2006
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.53/.55
ББК В 161.55
Э 45
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2006 года
Рецензент
кафедра общей математики Ярославского
государственного университета им. П.Г. Демидова
Составитель: В.Ф. Чаплыгин
Э 45
Элементы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления : метод. указания / Сост. В.Ф. Чаплыгин; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль : ЯрГУ, 2006. – 51 с.
Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 550400 Телекоммуникации (дисциплина
«Математический анализ», блок ЕН), очной формы обучения.
УДК 517.53/.55
ББК В 161.55
© Ярославский государственный университет, 2006
© В.Ф. Чаплыгин, 2006
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Комплексные числа,
действия над ними
Комплексным числом называют число вида z=x+iy, где х и у
вещественные числа, а i – число, обладающее тем свойством, что
i2 = –1. Отметим сразу, что если сохранять правила действий со
степенями, то i3 = – i, i4 = 1, а дальше по циклу i5 = i, i6 = –1, i7 = – i,
i8 = 1 и т.д. Число х называется реальной частью z и обозначается
х = Re z, а у – мнимой его частью, y = Im z. Число x–iy называется
сопряженным к z и обозначается z , т.е. z = x–iy. Арифметические
действия выполняются по следующим правилам. Если z1=x1+iy1 и
z2=x2+iy2, то их сумма, разность и произведение равны
z1 ± z2 = (x1 ± х2) + i(y1 ± у2), z1⋅ z2 = (x1 + iy1) (x2+iy2) =
= (x1х2 – y1 у2) + i(x1 у2+ х2 y1).
Обратите внимание, что умножение выполняется по обычным правилам умножения двучлена на двучлен, учитывая равенство i2= –1. Заметим, что z⋅ z =х2+у2. Если z2 ≠ 0 т.е. x2 ≠ 0 или у2 ≠ 0,
то определена операция деления
z1
x + iy1
( x + iy1 ) ( x 2 − iy 2 ) x1 x 2 + y1 y 2 + i ( x 2 y1 − x1 y 2 )
= 1
= 1
=
=
z 2 x 2 + iy 2 ( x 2 + iy 2 ) ( x 2 − iy 2 )
x 2+y 2
2
=
x1 x 2 + y1 y 2
x2 2 + y2 2
+i
x 2 y1 − x1 y 2
x2 2 + y2 2
2
.
у
z
у
ϕ
0
х
х
Проиллюстрируем последнюю операцию примером. Пусть z1 = 1 + 3i,
z2 = 1 + 2i.
z
(1 + 3i ) (1 − 2i ) 7 + i 7 1
Тогда 1 = 1 + 3i =
=
= + i.
z 2 1 + 2i (1 + 2i ) (1 − 2i )
5
5 5
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Комплексные числа можно интерпретировать геометрически
как точки координатной плоскости. Числу z=x+iy ставится в соответствие точка плоскости с координатами (х, у). Расстояние от
точки 0 до точки z равно
x 2 + y 2 – эта величина называется мо-
дулем комплексного числа z и обозначается │z│= x 2 + y 2 . Угол
ϕ, который образует вектор 0 z с осью 0х, называется аргументом
комплексного числа z. Понятно, что аргумент определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого вида 2πп, п∈Z, и обозначается ϕ=arg z. Очевидно, что х=│z│cos ϕ, y=│z│sin ϕ, и тогда
комплексное
число
может
быть
записано
в
виде
z=│z│cos ϕ+i│z│sin ϕ=│z│(cos ϕ+isin ϕ). Последнее представление называется тригонометрической формой комплексного числа.
π
Так, для числа z=1+i модуль │z│= 2 , arg z= , его тригоно4
метрическая форма z = 2 (cos
π
4
+i sin
Для z=i модуль│z│=1, arg z=
π
2
π
4
).
, z =cos
π
2
+i sin
π
2
=i.
Для z= –1 модуль│z│=1, arg z=π, z =cos π +i sinπ = –1.
Тригонометрическая форма удобна, в частности, для умножения и деления комплексных чисел. Если z1=│z1│(cos ϕ1+isin ϕ1) и
z2=│z2│(cos ϕ2+isin ϕ2), то произведение чисел представляется как
z1⋅z2=│z1││z2│((cos ϕ1cos ϕ2–sin ϕ1sin ϕ2)+
+i(sin ϕ1cos ϕ2+ sin ϕ2 cos ϕ1))=│z1││z2│(cos (ϕ1+ϕ2) +isin (ϕ1+ϕ2)).
Отсюда следует, что для любого натурального числа п и любого комплексного числа z=│z│(cos ϕ+isin ϕ) п-ая его степень
равна zп=│z│п(cos пϕ+isin пϕ).
Частное двух комплексных чисел выражается, как
z ( cos ϕ1 + isin ϕ1 ) ( cos ϕ2 − isin ϕ2 )
z ( cos ϕ1 + isin ϕ1 )
z1
= 1 ⋅
=
= 1
z 2 z 2 ( cos ϕ 2 + isin ϕ2 ) z 2 ( cos ϕ2 + isin ϕ2 ) ( cos ϕ2 − isin ϕ2 )
=
z1
z2
(cos (ϕ1–ϕ2) +isin (ϕ1–ϕ2)), где z2 ≠0.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
И, наконец, рассмотрим еще одну форму комплексного числа
z. Так как по формуле Эйлера еiϕ= cos ϕ +isin ϕ, то
z=│z│(cos ϕ+isin ϕ)=│z│ еiϕ.
Это экспоненциальная форма комплексного числа.
Очень важной операцией является извлечение корня. Пусть
z – комплексное число. По определению n z – это такое число w,
что wn = z. Если z = r(cos ϕ + isin ϕ), а w = ρ(cos ψ + isin ψ),
где r = │z│ и ρ = │w│, то, представив z в виде
z = r(cos (ϕ + 2πk) + isin (ϕ + 2πk)), получим равенство
ρn(cos nψ+isin nψ) = r(cos (ϕ+2πk)+isin (ϕ+2πk)), k ∈ Z.
Откуда получаем ρn = r, следовательно, ρ= n r ; nψ = ϕ+2πk,
ϕ 2π
k. Придавая значения k = 0, 1, … , n–1, получаоткуда ψk = +
n n
ем n различных значений аргумента ψk (ψn + 1 = ψ1 + 2π и т.д.) и,
соответственно,
n
различных
значений
корня
n
n
ϕ + 2πk
ϕ + 2πk 

+ i sin
wk= z = r  cos
 , k=0, 1, … , n–1.
n

n

Если использовать экспоненциальную форму комплексного
числа,
n
z
то
i(
ϕ + 2πk
корень
можно
выразить
как
n
)
z = n z e i (ϕ + 2πk ) =
. Приведем примеры. Решить уравнения:
а) z +4z+8=0,
б) z2=1+i,
в) z3=1,
4
6
3
г) z +16=0,
д) z –7z –8=0,
е) z2–3iz–2=0.
e
n
2
Решения:
а) D = 16 – 32 = –16, z1,2 =
б) z= 1 + i =
− 4 ± − 16
= –2 ± 2i.
2
π
π
2  cos + 2πk  + i sin  + 2πk   =

4

 4
π
π


+ 2πk
+ 2πk 

4
4
= 2  cos
+ i sin
.
2
2 



4
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следовательно, z0= 4 2  cos π + i sin π  , z1= 4 2  cos 9π + i sin 9π  .
8

8

8
8 
2
πki
= 3 e 2πki = e 3
, k=0, 1, 2.
в) z= 3 1
Используя формулу Эйлера, получаем z0=e0=cos 0+i sin 0=1,
2
4
πi
πi
1 i 3
1 i 3
z1 = e 3 = cos 2πi +i sin 2πi = – +
, z2= e 3 = – –
.
3
3
2
2
г) z4 = –16, zk = 4 16e (π + 2πk )i =
 π + π k i


2 e 4 2 
2
2
, z0 = 2 +i 2 ,
z1 = – 2 +i 2 , z2= – 2 –i 2 , z3= 2 –i 2 .
д) Сделав замену w = z3, получим квадратное уравнение
w2 – 7w – 8 = 0, корни которого w1 = 8 и w2 = –1. Следовательно,
2
корни исходного уравнения равны zk = 3 8 =2 e 3
πki
, k = 0, 1, 2, и
(π + 2πj )i
zj= 3 − 1 = e 3 , j = 0, 1, 2. Выпишите эти корни самостоятельно.
е) Корни можно найти по формулам Виета: z1 = i, z2 = 2i. Найдите эти корни, следуя обычному алгоритму решения квадратного
уравнения.
Функции комплексного переменного
Если каждому комплексному числу z из области D ставится в
соответствие некоторое комплексное число w, то говорят, что на
области D определена функция w=f(z). Если представить числа z и
w в виде z=x+iy, а w= u+iv, то действительная и мнимая части будут функциями вещественных переменных х и у, т.е. u=u(х, у) и
v=v(x, y).
Понятно, что свойства функции f(z) определяются свойствами
функций и = и(х, у) и v = v(x, y). Так, непрерывность функций
и = и(х, у) и v = v(x, y) в точке (х0, у0) влечет за собой непрерывность функции f(z) в точке z0= х0+i у0, и наоборот, из непрерывности функции f(z) в точке z0= х0+i у0 следует непрерывность функций и=и(х, у) и v=v(x, y) в точке (х0, у0).
Производной функции f(z) в точке z0 называется предел
lim
z → z0
f ( z) − f ( z 0 )
=f′(z0).
z − z0
6
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Можно доказать, что для существования производной необходимо и достаточно выполнения условий Коши – Римана:
∂u ∂v
= ;
∂x ∂y
∂u
= – ∂v .
∂y
∂x
(2)
Будем называть функцию f(z) аналитической в области D, если она имеет производную в каждой точке этой области и f′(z) непрерывна в D.
Интеграл от функции комплексного переменного f(z), которую будем считать непрерывной, по гладкой или кусочно-гладкой
кривой С на комплексной плоскости определяется по следующей
схеме. Кривая С разбивается точками z0, z1, ... , zn. На каждой из
дуг с концами в точках zk – 1, zk произвольным образом выбирается
точка ζk и составляется сумма вида
n
 f (ζ k )Δz k
.
k =1
Интегралом от функции f(z) по кривой С называется
n
lim  f (ζ k )Δz k =  f ( z )dz ,
d →0 k =1
(3)
C
где d= max Δz k .
k
Этот интеграл обладает обычными свойствами:
аддитивности  f ( z )dz =  f ( z )dz +  f ( z )dz ;
C1 ∪C 2
C1
C2
линейности:  (αf ( z ) + βg ( z ) )dz = α  f ( z )dz + β  g ( z )dz ;
C
C
допускает оценку
 f ( z )dz
C
≤ M⋅l, где М = max f ( z ) , l – длина криz∈C
C
вой С.
В интеграле можно осуществить замену переменной. Если
кривая С задана уравнением z = ζ(t) (α ≤ t ≤ β), где ζ(t) – непрерывно дифференцируемая функция, то

C
β
f ( z )dz =  f (ζ (t ))ζ ′(t )dt .
α
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть
имеем
z
2
dz ,
где
z = Reit,
С:
C
z
C
2
π
π
0
0
dz =  R 2 e 2it iR e it dt = iR 3  e 3it dt =
R 3 3it
e
3
π
0
=
0 ≤ t ≤ π,
(
тогда
)
3
R 3 e 3πi − 1
= − 2R .
3
3
Рассмотрим еще один пример. Для любого целого п вычислим
интеграл
2π
2π
2πi, n = −1;
int
it
i ( n +1) t
n
z
dz
=
i
e
⋅
e
dt
=
i
dt = 


e
z =1
0
n ≠ −1.
0,
0
Верхнее равенство понятно. Поясним нижнее равенство:
2π
z = eit, 0 ≤ t ≤ 2π, i  e i ( n +1) t dt = 1 e i ( n +1) t
n +1
0
2π
0
=
(
)
1
e 2πi ( n +1) − 1 =0.
n +1
Если в предельном отношении (3) ввести мнимые и действительные части переменных z=x + iy, ζ=ξ+iη, функции
f(z)=и(х, у)+iv(x, y), то получим равенство
n
lim
d →0
 (u(ξ k ,η k ) + iv (ξ k ,η k )) (Δx k + Δy k ) =
k =1
=  u ( x, y )dx − v( x, y )dy +i  u ( x, y )dy + v( x, y )dx .
C
(4)
C
Таким образом,
 f ( z )dz =  udx − vdy +i  udy + vdx .
C
C
(5)
C
Это рассуждение доказывает существование интеграла, стоящего в левой части последнего равенства, и сведение его к вычислению двух криволинейных интегралов второго типа. Отсюда, в
частности, вытекает еще одно свойство интеграла:
 f ( z )dz = –  f ( z )dz ,
C+
C−
т.е. при изменении направления обхода по кривой С знак интеграла меняется на противоположный.
Пусть С – замкнутая кривая. Обычно положительным направлением считается обход, при котором область, ограниченная кривой, остается слева, т.е. против стрелки часов для границы области
│z–z0│ <R и по стрелке часов для границы области │z–z0│ > R.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Интегральная теорема Коши.
Первая и вторая
интегральные формулы Коши
Теорема Коши. Если функция f(z) – аналитическая в области
D, то интеграл по любой замкнутой гладкой или кусочно-гладкой
кривой С, целиком лежащей в D, равен 0, т.е.  f ( z )dz =0.
C
Для доказательства достаточно обратить внимание на тот
факт, что выражения udx–vdy и udy+vdx являются полными дифференциалами в силу условий Коши – Римана, и, следовательно,
оба криволинейных интеграла в правой части равенства (5) равны 0.
Теорема Коши верна как для односвязных, так и для многосвязных областей.
Первая интегральная формула Коши имеет вид
f (z )
 z − z0
dz =2πif(z0),
(6)
Γ
где Γ – граница области D, внутри которой функция аналитична
вплоть до границы, на которой она непрерывна, а z0 – любая точка
области D.
Доказательство формулы основывается на теореме Коши.
1
−1
sin z
dz =2π i sin(–i)=2π i e − e =2π sh 1.
z
i
+
2
i
z + i =3

Так, например,
Вторая интегральная формула Коши имеет вид
2π i f ( n ) ( z 0 )
f (z)
dz
=
.
(7)
 ( z − z ) n+1
n!
0
Γ
Ее справедливость доказывается на основе первой интегральной формулы. Приведем примеры на применение формул (6) и (7).
πz
sin
2 dz =2π i sin π =2π i.

z =2
z −1
2
( )″
2π i e 2 z
e 2z
dz
=

3
2
z = 2 ( z − 1)
9
=4π ie2.
z =1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вычислить интегралы:
1)
 (2 z + 1)z dz , где l: │z│=1,
l
(
)
2)  Im z dz ,  Re z + z 2 dz ,
l
3)
 (iz
2
l
4)
 (z
2
l
5) а)
6)

8)
 ze
z
dz , где l = {z=x+2ix2, 0 ≤ x ≤1}.
l
− 2 z dz , где l={│z│= 2, 0 ≤ arg z ≤
)
π
2
}.
− z dz , где l – отрезок, соединяющий точки z0= 1 и z1=i.
z2
dz , б)
z − 2i
z =1

z =1
7)
)
l
l={│z│=1, 0 ≤ arg z ≤ π}.
sin z ⋅ sin ( z − 1)
z2 − z

z =4
z2
dz ,
z − 2i
dz ,
sin z
dz ,

3
z + i =1 ( z + i )
sin
πz
4
dz .

2
z −1 =1 ( z − 1) ( z − 3)
Числовые ряды
Пусть рассматривается ряд
∞
 cn ,
(8)
n =1
где сп – комплексные числа.
n
Частичной суммой ряда (8) называется сумма Sn=  c k . Есk =1
ли последовательность Sn имеет конечный предел lim S n = S, то
n →∞
ряд (8) называется сходящимся, а S называется его суммой. Без
труда доказывается, что из сходимости ряда (8) следует сходимость рядов, составленных из Re сп и Im сп. И наоборот: из сходи10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∞
мости рядов  Re c n и
n =1
∞
 Im c n
следует сходимость ряда (8). Так
n =1
же как и в вещественном случае, доказывается, что из сходимости
ряда
∞
 cn
(9)
n =1
следует сходимость ряда (8), и в этом случае ряд (8) называется
абсолютно сходящимся. В случае, когда ряд (8) сходится, а ряд
(9) расходится, ряд (8) называется условно сходящимся.
Так
ряд
5
1 + 2i
<1.
=
3
3
1
=
1−
5
3
=
n
∞
1 + 2i
  3  сходится
n =1
Следовательно,
(
ряд
)
абсолютно,
∞
1 + 2i
  3 
n =1
как
n
 5
 =

n =1  3 
∞
=  
3 3+ 5
3
=
. Последний ряд представляет сумму
4
3− 5
геометрической прогрессии со знаменателем
Ряд
n
так
5
<1.
3
(− 1)n + . . . сходится только
1 1 1
i 2n
= –1+ – + – . . . +
n
2 3 4
n =1 n
∞

условно (признак Лейбница). Ряд из абсолютных величин – это
гармонический ряд 1+
1 1 1
+ + + . . . , который, как известно, рас2 3 4
ходится.
Степенные ряды
Степенным рядом называется ряд вида
∞
 c n (z–z0)n=с0+ с1(z–z0) + с2(z–z0)2+ . . . + сn(z–z0)n+ . . . ,
(10)
n =0
в котором коэффициенты сn (n = 0, 1, 2, . . . ) и z0 – комплексные
числа, а z – комплексная переменная величина.
Для степенных рядов важную роль играет теорема Абеля:
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если ряд (10) сходится для некоторого z1≠ z0, то он сходится
в круге |z–z0|<|z1–z0|, причем абсолютно.
На основе этой теоремы легко показать, что для любого степенного ряда существует число R>0, такое, что ряд сходится в круге |z–z0|<R и расходится вне его |z–z0|>R. Число R называется радиусом сходимости ряда, а круг |z–z0|<R – кругом сходимости. В
частности, может оказаться, что R = ∞, это означает, что ряд сходится во всей комплексной плоскости, и если R = 0, то ряд сходится лишь в точке z0 и его сумма в этой точке равна с0. Для нахождения R используются формулы Даламбера и Коши – Адамара. По
первой из них
an
R= lim
a n +1
n →∞
,
(11)
,
(12)
по второй
R=
1
lim
an
n
n→∞
где lim n a n – верхний предел последовательности
n→∞
n
a n , совпа-
дающий с обычным пределом, если последний существует.
Если рассмотреть ряды
∞
∞
n =0
n =0
n
∞
 n! zn,  zn! , 
zn (0! по опреде-
n =0
лению считается равным 1), окажется, что для первого из них R=0,
т.е. ряд сходится только при z=0; для второго R=∞, т.е. ряд сходится во всей комплексной плоскости; для третьего ряда R=1, т.е. ряд
сходится для |z|<1 и его сумма равна
1
, и расходится, если |z|≥1.
1− z
Для этого ряда, используя формулу суммы членов геометрической
n +1
n +1
прогрессии, имеем Sn(z)= 1 − z
= 1 –z
. И понятно, что если
1− z
|z|<1, то z
n +1
1− z
→0 и lim Sn(z)=
n →∞
1− z
1− z
1
. В случае же, когда |z| ≥ 1, n-й
1− z
член ряда zn не стремится к нулю при п→∞, т.е. не выполняется
необходимое условие сходимости ряда, и, следовательно, он расходится. На третий ряд обратите особое внимание: он будет очень
часто использоваться в дальнейшем.
Важную роль играют следующие три разложения:
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∞
2
3
n
ez=1+z+ z + z + ... + z + ... = 
2!
3!
n!
3
5
2 n −1
+ ...=
sin z = z– z + z – ... + (–1)n–1 z
3! 5!
(2n − 1) !
2
4
2n
cos z =1– z + z – ... + (–1)n z + ... =
2!
4!
( 2n ) !
n =0
∞

n =1
zn
,
n!
(13)
2 n −1
(–1)n–1 z
,
(2n − 1) !
(14)
∞

n =0
2n
(–1)n z , (15)
( 2n ) !
которые имеют место во всей комплексной плоскости. Это следует
из того, что разложения (13) – (15) были справедливы для вещественной переменной на всей оси (–∞, ∞) и, следовательно, по теореме Абеля они выполнены во всей комплексной плоскости, ∀z
∈C.
Если ряд (10) сходится в круге КR: |z–z0|<R и его суммой является функция f(z), т.е.
∞
 c n (z–z0)n,
f(z)=
(16)
n =0
то функция f(z) является аналитической и равенство (16) можно
почленно дифференцировать бесконечно много раз и интегрировать по любой гладкой или кусочно-гладкой кривой, соединяющей
точки z и z0∈ КR. Это позволяет выразить коэффициенты разложения (16) через значения функции f(z) и ее прозводных в точке z0, а
именно
сn=
f
(n)
(z0 )
, n=0, 1, 2, ... .
n!
(17)
Эти формулы называются формулами Тейлора.
Верно и обратное:
Теорема Тейлора. Если функция f(z) аналитична в круге |z–
z0|<R, то она может быть разложена в этом круге в степенной
∞
ряд f(z)=  c n (z–z0)n , и такое разложение единственно.
n =0
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ряды Лорана
Рядом Лорана называется ряд вида
∞
 c n (z–z0)n,
(18)
n = −∞
который можно представить в виде суммы двух рядов
∞
−1
∞
n = −∞
n = −∞
n =0
 c n (z–z0)n=  c n (z–z0)n+  c n (z–z0)n.
Второе слагаемое в правой части является обычным степенным рядом. Пусть его радиус сходимости равен R1. Первый ряд
заменой
1
= w также сводится к степенному ряду
z − z0
−1
 cn
∞
(z–z0)n= 
c −n
∞
=  c −n w n .
(19)
( z − z 0 ) n n =1
Пусть его радиус сходимости равен r2>0, т.е. он сходится для |
w |< r2 и расходится для | w | > r2. Следовательно, ряд (19) будет
n = −∞
сходиться для
n =1
1
< r2, откуда |z–z0|> 1 =R2, и расходиться для
r2
z − z0
|z–z0|< 1 =R2. При этом могут сложиться следующие ситуации:
r2
R2< R1, и тогда ряд (18) сходится в кольце R2<|z–z0|< R1 и его
сумма в этом кольце является аналитической функцией;
R2=R1, в этом случае ряд (18) может сходиться на окружности
|z–z0|= R1 или в некоторых ее точках, а может расходиться всюду;
R2> R1, в этом случае ряд (18) расходится в любой точке z
комплексной плоскости.
Приведем примеры.
Первая ситуация имеет место для ряда
−1
∞
n = −∞
n =0
 (3z )n +  (2 z )n .
(20)
1
1
, второй – для |z|< , и,
3
2
1
1
следовательно, ряд (20) сходится в кольце <|z|< .
3
2
Здесь первый ряд сходится для |z|>
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Второй случай можно проиллюстрировать на примере ряда
∞

n =1
∞
1
zn
+
.
n n z n n =0 n 2

(21)
первый ряд сходится для |z|> 1, второй – для |z| ≤1, и, таким образом, ряд (21) сходится на окружности |z| =1.
Ряд
∞

n =1
∞
1
+
zn ,

n
z
n =0
(22)
для которого R2=R1=1, расходится всюду.
Примером, на котором реализуется третий случай, может
служить ряд
−1
∞
n = −∞
n =0
 (2 z )n +  (3z )n .
(23)
1
1
, второй – для |z| < , и, сле3
2
Первый ряд сходится для |z| >
довательно, ряд (23) расходится всюду.
Верно и обратное утверждение:
Если функция f(z) аналитична в кольце R2<|z–z0|< R1, то она
может быть разложена в этом кольце в ряд Лорана, причем единственным образом. Заметим, что при этом R2 ≥0 и R1 ≤ ∞, в частности, возможно разложение во всей плоскости за исключением точки z0, |z–z0|>0. Приведем пример. Задана функция f(z)=
1
(z − 1)(z − 2)
,
которую требуется разложить в ряд по степеням z в кольце
1<|z|<2.
1
−
( z − 1) − ( z − 2)
f(z)=
=
= 1 – 1 = 2 –1 ⋅ 1 =
(z − 1)(z − 2) ( z − 1) ( z − 2) z − 2 z − 1 1 − z z 1 − 1
1
z
2
=–
1
2
∞

n =0
n
z –1
 
z
2
∞

n =0
n
−1
∞
n
z
1 = –
z n –  n +1 .
 

z
 
n = −∞
n =0 2
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разложим эту же функцию в кольце 0<|z–1|<1 по степеням z–1:
1
=
z − 1 1 − (z − 1)
f(z)= 1 – 1 = – 1 –
z−2
z −1
∞
= – 1 –  (z − 1)n = –
z −1
n =0
∞
 (z − 1)n .
n = −1
Постройте разложение этой же функции по степеням z–2 в
круге 0<|z–2|<1 и в кольце 2<|z|< ∞.
В ряде случаев оказываются полезными для разложения в ряд
Тейлора или Лорана разложения (13) – (15):
(− 1) n −1 z 2 n −1
z3 z5
z−
+
− ... +
+ ...
(2n − 1) !
3! 5!
sin z
1) f(z)=
=
=
z
z
n −1
2n −2
2
4
(− 1) z
=1– z + z − . . . +
3! 5!
(2n − 1) !
2z
2) g(z)= 1 − cos
=
4
z
+ ...
.
 (2 z ) 2 (2 z ) 4

(− 1) n (2 z ) 2n
1 − 1 −
+
− ... +
+ . . . 
2
!
4
!
2
n
!
(
)


z4
2
(− 1) n 2 2 n z 2( n − 2)
= 22 + 2 − 4 z + . . . +
+ ... .
3
( 2n ) !
45
z
1


h(z)=z3 e z = z3 1 + 1 + 1 2 + . . . + 1 n + . . . =

z
2! z
= z3+ z2+ z + 1 + 1 + . . . +
2
6
24 z
16
n! z !
1
+... .
n! z n −3

=
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Особые точки аналитической функции
и их классификация
Не давая строгого определения, будем называть точку z0 особой для
функции f(z), если функция аналитична для 0<|z–z0|< ρ, (ρ >0), а в
самой точке z0 она теряет аналитичность или не определена. У нас
уже встречались примеры такого рода. Функция
1
аналитична
z −1
во всей комплексной плоскости, но в z = 1 она не определена, и эта
точка является особой. Выше рассматривались функции f(z), g(z),
h(z), для которых точка z = 0 была особой. Для функции
1
(z − 1)(z − 2)
особыми являются точки z1=1 и z2=2. Бесконечно уда-
ленная точка z=∞ также считается особой точкой. Особая точка z0
называется изолированной, если существует такое ρ>0, что в окрестности этой точки |z–z0|< ρ нет других особых точек, отличных
от z0.
Пусть функция f(z) аналитична в кольце 0 ≤ R2<|z–z0|< R1≤ ∞,
где z0 – изолированная особая точка функции f(z). Тогда, как говорилось выше, эта функция может быть представлена в этом кольце рядом Лорана
f(z)=
∞
 c n (z–z0)n.
(24)
n = −∞
Если в этом разложении отсутствуют степени (z–z0)n с отрицательными показателями, то z0 называется устранимой особой точкой. Понятно, что в этом случае lim f(z)=с0.
z→ z0
Например, для функции f(z)= sin z точка z=0 является устраz
нимой особой точкой и lim sin z = 1. Если в разложении (24) приz→ z0
z
сутствует лишь конечное число членов с отрицательными показателями (z–z0)n, т.е.
f(z)=
c −m
+
c − m +1
m −1
+ ... +
c1
+с0+с1(z–z0)+ ... ,
z − z0
(25)
(z − z0 )
(z − z0 )
где с–т ≠ 0, то z0 называется полюсом функции f(z), а m – порядком
полюса. Если m = 1, полюс называется простым.
m
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2z
Так, для функции g(z) = 1 − cos
точка z=0 – полюс порядка 2.
4
z
sin z
Для функции 4 точка z0 – полюс порядка 3 (почему?). Если z0 –
z
полюс для функции f(z), то lim f(z)= ∞. Действительно, в этом
z→ z0
1
случае f(z)=
(c − m + c − m +1 ( z − z 0 ) + ) . Если z→z 0 , то функ(z − z0 )m
ция, стоящая в скобках, стремится к c − m ≠ 0, а
1
→ ∞.
(z − z0 )m
Если разложение (24) содержит бесконечно много членов с
отрицательными показателями z − z 0 , то z0 называется существенно особой точкой. В этом случае при z→z 0 , функция f(z) не
имеет ни конечного, ни бесконечного предела. Для функции
1
h(z) = z3 e z точка z=0 является существенно особой точкой.
Что касается z0 = ∞ как особой точки, то здесь положение
иное.
Пусть f(z) =
∞
 c n (z–z0)n для |z|> R>0 и вне круга |z| ≤ R нет
n = −∞
особых точек кроме z=∞. Если в этом разложении не содержится
членов с положительными показателями z, то z=∞ называется устранимой особой точкой.
Обратите внимание, что в этом случае при z→∞ f(z) →с0. Если
в разложении конечное число членов с положительными показателями z, то z0 – полюс. Ясно, что при z→∞ f(z) →∞. И если бесконечно много членов с положительными степенями z, то z=∞ – существенно особая точка и f(z) не имеет никакого предела при z→∞.
Если вернуться к нашим примерам, то для функций
2z
f(z)= sin4 z и g(z) = 1 − cos
бесконечно удаленная точка ∞ являет4
z
z
1
ся существенно особой точкой, а для функции h(z)=z 3 e z , z=∞ –
1
точка z=∞ – устранимая осо1− z
бая точка (почему?) и z=1 – простой полюс.
18
полюс порядка 3. Для функции
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вычет аналитической функции
в изолированной особой точке
Пусть z 0 - изолированная особая точка функции f(z), которая
аналитична в кольце 0< z − z 0 <R.
Тогда функция f(z) представима рядом Лорана
f(z)= n = −∞ c n ( z − z 0 ) n ,
∞
(26)
коэффициент с–1 в этом разложении называется вычетом функции
f(z) в точке z 0 и обозначается Выч[f(z), z 0 ], либо res f ( z ) .
z= z 0
Если проинтегрировать разложение (26) по окружности
Сρ: z − z 0 = ρ < R (ρ >0), то получим
с-1 = 1
2πi
так как раньше было показано, что
 f ( z )dz ,
(27)
C ρ+
 f ( z )dz =2πi, если п= –1 и 0
C ρ+
для всех целых п≠ –1.
Формула (27) имеет большое значение для вычисления интеграла по замкнутому контуру. Если вычет определяется в бесконечно удаленной особой точке z=∞, которая изолирована,
то res f ( z ) = –с −1 . Это связано с тем, что окрестностью точки z=∞
z = z0
считается область z >R>0, в которой нет конечных особых точек,
а обход по границе этой области С R : z = R должен совершаться
так, чтобы область оставалась слева, т. е. по стрелке часов, что и
приведет к изменению знака.
Покажем, как практически найти вычет функции. Два способа
уже фактически указаны:
1) можно воспользоваться формулой (27), но не всегда возможно вычислить участвующий в ней интеграл; 2) можно воспользоваться разложением в ряд Лорана. В рассмотренных выше при-
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мерах
res
0
1
res z 3 e z = −
∞
sin z
= 0,
z
res
0
1 − cos 2 z
=0,
z4
1
res z 3 e z =
0
1
,
24
а
1
.
24
Если z 0 является существенно особой точкой, то разложение
в ряд Лорана является единственным способом найти вычет функции f(z) в этой точке. Покажем, как можно найти вычет в случае,
когда особая точка z 0 является устранимой или полюсом.
Пусть z 0 – устранимая особая точка аналитической функции
f(z), тогда из определения следует, что res f(z) = 0.
0
Пусть z 0 – простой полюс функции f(z), т.е. разложение в ряд
Лорана имеет вид
f(z)=
c −1
+ c 0 + c1 ( z − z 0 ) + c 2 ( z − z 0 ) 2 +... + c n ( z − z 0 ) n + ... .
z − z0
Если умножить обе части этого разложения на (z–z 0 ), то получим
(z–z 0 )f(z)= c −1 + c 0 ( z − z 0 ) + c1 ( z − z 0 ) 2 + ... + c n ( z − z 0 ) n +1 + ... .
Переходя к пределу при z→z 0 , получаем формулу
c −1 = lim ( z − z 0 ) f ( z ) .
z → z0
Так для функции f(z)=
(28)
1
z1=1 и z2=2 − простые по( z − 1)( z − 2)
люсы.
res
1
1
1
= lim ( z − 1)
= −1 ,
( z − 1)( z − 2) z →1
( z − 1)( z − 2)
res
2
1
1
= lim ( z − 2)
=1 .
( z − 1)( z − 2) z → 2
( z − 1)( z − 2)
Найдем вычет этой функции в бесконечно удаленной точке,
для чего разложим ее в ряд при больших z:
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


1
1
1
1 1
1 
f ( z) =
=
−
= 
−
=
( z − 1)( z − 2) z − 1 ( z − 2) z 
2
1
1−
1− 

z
z
=
(
∞
1 
2
z  n = 0 z
) −  (1z )  =  2z −1 =  2z −1 .
n
∞
∞
n
n =0
∞
n
n =0
n +1
n
n +1
n =1
В этом разложении с–1=0 и, следовательно, res f ( z ) = 0 . Обра∞
тите внимание, что у функции f ( z ) =
1
всего три особые
( z − 1)( z − 2)
точки: z1=1, z2=2, z3=∞ и res f ( z ) + res f ( z ) + res f ( z ) = 0 .
z1
z2
z3
Можно вывести еще одну формулу для вычисления вычета в
точке z0, являющейся простым полюсом. Пусть функция
ϕ ( z)
, где ϕ(z) и ψ(z) – функции, аналитические в круге
f ( z) =
ψ ( z)
z − z 0 < R , причем ϕ(z0) ≠ 0, ψ(z0) = 0, ψ′(z0) ≠ 0. Тогда z0 будет
простым полюсом функции f(z). Поясним этот факт.
Разложим функции ϕ(z) и ψ(z) в ряд Тейлора:
ϕ ( z) = α 0 + α1 ( z − z 0 ) + α 2 ( z − z 0 ) 2 +  ;
ψ ( z) = β 0 + β1 ( z − z 0 ) + β 2 ( z − z 0 ) 2 +  .
Напомним, (см. (17)), что α0=ϕ(z0)≠0, β0=ψ(z0)=0, β1=ψ ′(z0)≠0.
Следовательно,
f ( z) =
α 0 + α1 ( z − z 0 ) + α 2 ( z − z 0 ) 2 + 
2
β1 ( z − z 0 ) + β 2 ( z − z 0 ) + 
=
α + α1 ( z − z 0 ) + 
1
⋅ 0
=
z − z 0 β1 + β 2 ( z − z 0 ) + 
1
=
⋅ (c 0 + c1 ( z − z 0 ) + c 2 ( z − z 0 ) 2 + ),
z − z0
где в скобках стоит разложение в ряд Тейлора дроби, которая является функцией, аналитической в круге z − z 0 < R , так как она
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
представляет собой отношение двух аналитических функций, причем функция, стоящая в знаменателе χ ( z ) = β1 + β 2 ( z − z 0 ) +  , в
ϕ(z0 )
точке z0 отлична от нуля: χ ( z0 ) = β1 = ψ ′( z0 ) , и c 0 = χ ( z 0 ) =
.
ψ ′( z 0 )
Таким образом, функция
f ( z) =
c0
ϕ ( z)
=
+ c + c (z − z0 ) +
ψ ( z) z − z 0 1 2
и
res f ( z ) = c 0 =
z0
ϕ(z0 )
.
ψ ′( z 0 )
(29)
2
Приведем пример, пусть f ( z ) = 3z .
z +1
(π + 2πk ) i
Эта функция имеет три конечные особые точки z k = e 3
(k=1, 2, 3) и ∞. Первые три – являются простыми полюсами и по
формуле (29):
res f ( z ) =
zk
zk 2
3z k 2
=
1
. Чтобы выяснить характер особой точки
3
z=∞, разложим функцию в ряд по степеням z при больших z (достаточно для z > 1 ):


1  1
f ( z) = ⋅
z 
1
1+ 3
z



 = 1 ⋅ 1 − 1 + 1 +  .
 z  z3 z6



Следовательно, z=∞ – устранимая особая точка и ее вычет
res f ( z ) = −1 .
∞
Еще
раз
обратим
22
внимание
тот
факт,
на
что
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3
f ( z ) + res f ( z ) =0.
 res
z
∞
k =1
Сравните с функцией
k
1
. Позже
( z − 1) ( z − 2)
будет показано, что это не случайный факт.
Пусть далее z0 – полюс порядка m≥2 , т.е.
f(z)=
c −m
m
+
c − m +1
m −1
+ ... +
c −1
+ c 0 + c1 ( z − z 0 ) + ... .
z − z0
(z − z0 )
(z − z0 )
Умножив обе части равенства на (z-z0)m, получим равенство:
(z–z 0 )mf(z)= c − m + c − m +1 ( z − z 0 ) + . . . + c −1 ( z − z 0 ) m −1 + c 0 ( z − z 0 ) m + ... .
Продифференцируем его (m–1) раз и перейдем к пределу при
(m–1)
z→z0. Это приведет к формуле lim ((z–z 0 )mf(z))
=(m–1)!с–1, отz → z0
куда
с–1=
(m–1)
1
lim ((z–z 0 )mf(z))
.
(m − 1) ! z → z0
Рассмотрим в качестве примера функцию f(z)=
(30)
z2
, для
( z − 1) 3
которой z=1 является полюсом порядка 3 (объясните, почему),
res f ( z ) =
1
″
 z2
1
3
 =1.
−
lim 
(
z
1
)
2! z → z0  ( z − 1) 3

К такому же результату приводит разложение функции в ряд
по степеням (z–1), которое будет конечным
f(z)=
(( z − 1) + 1) 2 ( z − 1) 2 + 2( z − 1) + 1
z2
=
=
=
( z − 1) 3
( z − 1) 3
( z − 1) 3
= 1 +
z −1
2
( z − 1) 2
+
1
( z − 1) 3
Из разложения видно, что res f ( z ) =1.
1
23
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
Еще пример функции sin 4 z , для которой z=0 – полюс поряд-
z
ка 2 (объясните, почему).
res
0
′
 sin 2 z 2 
sin 2 z
z 2 sin 2 z − 2 z sin 2 z
⋅
z
=
lim
=
lim
=


z → z0  z 4
z4
z4
 z → z0
2
2 sin z ( z cos z − sin z )
=
= lim z sin 2 z −32 sin z = lim
3
z → z0
z → z0
z
z
  z2


z3
+ ... − z +
− ...
 z 1 −
2
3!


=
= lim 2 sin z ⋅  
2
z → z0
z
z
= lim . 2 sin z ⋅
z → z0
z
−
1 3
z + z 5ϕ ( z )
6
=0
z2
Теперь для нахождения того же вычета воспользуемся разложением функции в ряд Лорана:
 (2 z ) 2 (2 z ) 4 (2 z ) 6

+
−
+ ... 
1 − 1 −
2
2!
4!
6!
sin z 1 − cos 2 z

=
= 
=
4
4
4
2z
z
2z
=
1 1 2 2
– + z + ... .
z 2 3 45
Таким образом, в разложении нет члена, содержащего 1 и,
z
2
следовательно, res sin 4 z =с–1=0. Заметим, что по той же причине
0
z
ее вычет в бесконечно удаленной точке также равен 0.
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Первая и вторая теоремы о вычетах.
Вычисление интегралов
по замкнутому контуру
Теорема 1.
Пусть функция f(z) аналитична в ограниченной области G за
исключением особых точек z1, z2, . . . , zп. Тогда

f ( z )dz = 2π i
n
f ( z) ,
 res
z
k =1
Γ
(31)
k
где Г – граница области G, контур, внутри которого содержатся
все особые точки.
Эта теорема следует из определения вычета и интегральной
теоремы Коши. Если окружить каждую особую точку zk окружностью γk так, чтобы эти окружности не пересекались, то по теореме
Коши для многосвязной области

Γ′
n
f ( z )dz = 
 f (z) dz.
k =1 γ +
k
Разделив обе части последнего равенства на 2π i и вспомнив
определение вычета (27), получим формулу (31).
Проиллюстрируем теорему 1 двумя примерами:

z =3
1
( z − 1) ( z − 2 )
dz= 2π i res

1
1
( z − 1)( z − 2)
+ res
2
1
=2πi(–1+1)=0.

z =2
3
z2
dz=2πi res f ( z ) =2πi  1 + 1 + 1  =2πi.
3
z
3 3 3
z +1
k =1 k

25
=
( z − 1)( z − 2 ) 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 2.
Пусть функция f(z) аналитична во всей комплексной плоскости, кроме особых точек z1, z2, . . . , zп. Тогда
n
f ( z ) + res f (z ) =0.
 res
z
∞
(32)
k
k =1
Пусть все точки z1, z2, . . . , zп лежат в круге z <R и CR – его
граница. Тогда по теореме 1

f ( z )dz =2πi
f ( z ) , но
 res
z
k
k =1
CR
1
2πi
n
f (z ) .
 f ( z )dz = res
∞
CR−
Из этих двух равенств легко получить формулу (32). Приведём пример на применение этой формулы:
Пусть необходимо найти
dz
.
z ( z 10 − 2)

5
z =2
1
являются z = 0 – поz 5 ( z 10 − 2)
Особыми точками функции
люс порядка 5 и zk = 10 2 (k=1, 2, ... , 10) – простые полюсы.
Можно было бы найти интеграл по формуле (31), но проще
воспользоваться формулой (32). Разложим подинтегральную
функцию в ряд по степеням z в области z >2:
1
5
z (z
10
− 2)
= 117 ⋅
z
1
1−
2
z 10
=
= 117 ⋅ 1 + 210 + 420 + . . .  = 117 + 227 + 437 + . . . .
z

z
z

26
z
z
z
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из этого разложения видно, что res f ( z ) = 0 . Поэтому
∞

| z |= 2
dx
= 2πi
5
10
z ( z − 2)
10






  res f(z) + res f(z) = 2π  − res f(z) =0.
z
k =1  k
0
∞

Рассмотрим еще два примера, в которых нельзя применить
вторую теорему о вычетах
1)
dz
 e zi + 1 ;
2)
| z |= n
zdz
 e z −1
| z |= n
1
:
e +1
= e (π + 2πk )i , z k = π + 2πk , k ∈Z, (все они
Найдем особые точки функции
e zi + 1 = 0,
e zi = −1 ,
e zi
простые полюсы) и функции
Так как
z
=
e z −1
zi
z
, e z = 1, z = 2πki .
e −1
z
z
z
1
=
=
,
z2
z2
z z2
1+ z +
+ ... − 1 z +
+ ... 1 + +
+ ...
2
2
2 3
то z = 0 – устранимая особая точка, а 2πki, (k ≠ 0) – простые полюсы. (Сравните с рассуждениями на с. 21)
Таким образом, ∞ не является изолированной особой точкой,
поскольку π + 2πk → ∞ при k → ∞ и 2πki → ∞ при k → ∞ . Поэтому
вычислять интегралы можно лишь на основе первой теоремы о
вычетах:
res
π + 2πk
1
1
= z i = i (см. формулу 31).
e + 1 ie k
zi
Вычислим интегралы 1) и 2) для n =10 и п=8:
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
1
1
1
dz
= 2πi (res zi
+ res
+ res
+ res
) = −8π ,
zi
π e + 1 − π e zi + 1 3π e zi + 1 −3π e zi + 1
1
+
e
| z|=10

zdz
z
z
z 

= 2πi res z
+ res z
+ res z
 =0.
z
0
2
πi
−
2
π
i


e
−
1
e
−
1
e
−
1
e
−
1
| z | =8

Вычислить интегралы с помощью вычетов:
1.
dz
 z4 +1 ;
7.
z −1 =1
2.
z =1
zdz
 ( z − 1)( z − 2) ;

z =1
4.
z =4
5.
z +1
9.
2
 e z + 1 dz ;
z =4
πiz ;
2
10.
+9
2

z −i = 2
1
 sin z dz ;
11.
1− ez
dz ;
z 2 ( z − i)
e z dz
 z 4 + 2z 2 +1 ;
z −i =1
z =1
6.
3
z =5
e z dz
;
( z + 9) z 2
z
z 2dz
;
sin z ⋅ cos z

8.
z −1
3.
z 3 dz
 2z 4 + 1 ;
1
 (sin z 2 + e
z2
cos z )dz ;
12.
z =1
z
z =R
28
n
2
dz .
ez
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∞

Вычисление интегралов вида
f ( x ) dx
−∞
Пусть функция f (x) задана на действительной оси x∈(–∞; ∞)
и f ( z ) – ее аналитическое продолжение на верхнюю полуплоскость Im z ≥ 0 , в которой функция f ( z ) имеет лишь конечное число особых точек z1 , z 2 , ..., z n ; Im z k > 0 . Пусть для любого R > 0
найдутся такие М>0 и δ > 0 , что
M
f ( z) ≤
z
(33)
1+δ
для z > R . Тогда
∞
n
res
 f ( x)dx = 2πi
k =1 z
(34)
f ( z)
k
−∞
Так, например, вычислим интеграл
∞
dx
 1 + x6 .
Особые точки
−∞
функции f ( z ) =
π πk
( + )⋅i
1
, z k = 6 − 1 = e 6 3 . Эта функция удовлетво6
1+ z
ряет оценке (33). Из них в верхней полуплоскости лежат точки
πi
z1 = e 6 ,
πi
5
πi
z 2 = e 2 = i, z 3 = e 6 , которые являются полюсами 1-го
порядка.
∞
= 2π i
3
dx
1
=
= 2πi res
6
zk 1 + z 6
1
+
x
k =1
−∞

Следовательно,

πi
−
π i  − 56 π i
1
6
=
e
−
i
+
e
5

3
z
6
k =1
k

3

29
 2
= π .
 3

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∞
Найдем интеграл
dx
 2 3
− ∞ (x + 1)
. Функция
1
(z + 1)
2
3
удовлетворяет
оценке (33) и имеет особые точки ± i , обе являются полюсами порядка 3, из которых в верхней полуплоскости Im z >0 лежит полюс
z1 = i . Следовательно,
∞
1
dx
 (x 2 + 1)3 = 2π i resi (z 2 + 1)3
−∞
″
 


1

1
3
(
z
−
i
)
= 2π i 
=
3


2
!
2
  z +1

=
z
i



(
)
″




= π i 12 5  = 12π = 3π .
3 
8
(
i
)
2

 32
 (z + i)  z = i

1
= 2π i 
Рассмотрим
∞

−∞
еще
один
пример
вычисления
интеграла
2
x −x+2
dx . Для этого найдем особые точки функции
x + 10 x 2 + 9
4
2
f(z)= 4z − z +2 2 . Ими являются корни уравнения z 4 + 10 z 2 + 9 = 0 ,
z + 10 z + 9
а именно: z1, 2 = ± i, z3, 4 = ± 3i .
И, следовательно,
∞

−∞
x2 − x + 2
dx = 2πi ( res f ( z ) + res f ( z )) =
+ 10 x 2 + 9
i
3i
x4
2
= 2πi  z − z + 2 |

4z 3
+ 20 z
z =i
+
z2 − z + 2
− 3i  5π
.
=
|  = 2π i  116−ii + −−748
i  12
4 z 3 + 20 z z =3i 
Вычислить несобственные интегралы:
1.
∞
x2 +1
 x 4 + 1dx ;
−∞
2.
∞
3.
∞
x2
dx ;
2
2
−∞ ( x + 4)

∞
x
 ( x 2 + 4 x + 13) 2 dx ;
−∞
4.
30
x4 +1
 x 6 + 1dx .
−∞
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Элементы операционного исчисления
Пусть f(t) – функция действительной переменной t, равная 0
при всех t<0 и при t≥0 имеющая не более конечного числа точек
разрыва первого рода (скачки). Пусть существуют такие положительные постоянные М и а, что │ f(t) │≤M eat , ∀ t≥0, точная нижняя грань значений, при которых выполняется неравенство, называется степенью роста функции f(t).
Преобразованием Лапласа функции f(t) называют функцию
F(p) комплексной переменной р, заданную с помощью несобственного интеграла
∞
F(p)=  e − pt f (t )dt .
(35)
0
Понятно, что этот интеграл сходится не при всех значениях р
и их множество зависит от функции f(t). При этом функция f(t) называется оригиналом, F(p) – ее изображением, что символически
обозначается следующим образом: f(t) F(p) или F(p) f(t). Если в
качестве оригинала взять так называемую функцию Хевисайда
0, t < 0,
, то для любого р, Re p>0, интеграл (35) сходится и
1, t ≥ 0,
σ0(t)= 
∞
F(p)=  e − pt f (t )dt =– 1 ⋅ e − pt
p
0
т.о. σ0(t)
∞
= 1,
p
0
(36)
1
.
p
Если взять функцию f(t) = eα t для t≥0 и f(t) = 0 для t<0, то
для р, Re p> Re α, имеем
∞
∞
− pt αt
− ( p −α )t
dt =–
 e e dt =  e
0
0
Следовательно, eα t
1
⋅ e −( p −α )t
p −α
∞
0
=
1
.
p −α
(37)
1
(Re p> Re α).
p −α
Если f(t)= tn для t≥0 и f(t) =0 для t<0, где п – натуральное число, то проинтегрировав п раз по частям, получим
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
tn
∞
0 e
− pt n
t dt =
n!
, Re p>0.
p n +1
(38)
Изображение обладает рядом свойств. В частности, свойством
линейности. Если имеются функции f1(t), f2(t), . . . , fп(t), для которых │fk(t)│≤M e ak t (k=1, 2, . . . , n) и Fk(p) fk(t), для Re p> max аk, то
k
n
F(p)=  β k Fk ( p)
k =1
n
β k f k (t )

k =1
(39)
Используя формулы (37) и (39), получим изображения функций cos ωt и sin ωt, где ω может принимать как действительные,
так и комплексные значения. Пусть Re p>|Im ω|, тогда
p
1
1 
. (40)
+
= 2
2  p − iω p + iω  p + ω 2
cos ωt = 1 eiωt+ 1 e-iωt 1 
2
2
Аналогично,
ω
1
1 
. (41)
−
=
2i  p − iω p + iω  p 2 + ω 2
sin ωt= 1 (e iωt − e −iωt ) 1 
2i
Покажем еще на одном примере свойство линейности. Рассмотрим функцию sin3 t= sin t sin2 t= sin t  1 − 1 cos 2t  = 1 sin t–
2 2
1
1
3
(sin 3t– sin t)= = sin t– sin 3t. Следовательно,
4
4
4

sin3 t 1 

2
3
3 
− 2
.
4  p + 1 p + 9 
2
Для дальнейшего нам окажется полезным свойство, которое
называют изображением производной или дифференцированием
оригинала. Если функция f(t) удовлетворяет условиям существования изображения и f(t) F(p), Re p>а, то f′(t) pF(p)– f(0). Действительно, интегрируя по частям, получаем
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f′(t)
∞
(
− pt
− pt
 e f ′(t )dt = e f (t )
0
∞
) ∞0 +р  e − pt f (t )dt =р F(p)–f(0).
(42)
0
Действуя аналогично, можно получить более общую формулу

f (0)
f ′(0)
f(п)(t) рп  F ( p) −
− 2 −−
p
p

f
( n −1)
(0) 
 , Re p>а. (43)
p

n
Отметим еще одно свойство изображений, называемое теоремой смещения. Если f(t) F(p), Re p>а, то для любого комплексного числа λ
F(p+λ) e–λt f(t), Re p>а– Re λ.
(44)
Пусть функция ϕ (t)= e–λt f(t) удовлетворяет условиям существования изображения. Тогда, применяя формулу (35), получаем
формулу (44)
∞
0 e
− pt − λ t
e
∞
f (t )dt =  e − ( p + λ )t f (t )dt = F(p+λ).
0
С помощью теоремы смещения и полученных ранее формул
можно найти ряд новых изображений:
t eαt
tn eαt
1
( p − α ) 2 , Re p> Re α;
n!
( p − α ) n +1 , Re p> Re α;
ω
e–α tsin ωt ( p + α ) 2 + ω 2 ,, Re p> |Im ω|–Re α.
Приведем таблицу свойств изображений и саму таблицу изображений. Пусть f(t) F(p).и g(t) G(p).
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица свойств изображений
I. Свойство линейности. Для любых комплексных постоянных α и β
α f(t) + βg(t) αF(p)+β G(p).
II. Теорема подобия. Для любого постоянного α>0
f(αt)
f
(п)
1
α
p
F   .
α
 
III. Дифференцирование оригинала. Если f′ (t) или вообще
(t) является оригиналом, то f′ (t) рF(p)– f(0) и
f(п) (t) рп F(p)– рп–1 f(0) )– рп–2 f′ (0)–. . . – f(п–1) (0),
где под f(k) (0) понимается lim f ( k ) (t ) .
t → +0
IV. Дифференцирование изображения. Дифференцирование
изобра-жения сводится к умножению на –t оригинала или вообще
F(п) (p) (–1)п tп f (t).
V. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала
t
сводится к делению изображения на р:
VI. Интегрирование изображения. Если
то он служит изображением функции
f (t )
t
∞
f (t )
:
t
p F ( p)dp .
34
F ( p)
.
p
0 f (t )dt
∞
p F ( p)dp
сходится,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
VII. Теорема запаздывания. Для любого положительногоτ
f (t–τ) e − pτ F(p).
VIII. Теорема смещения. Для любого комплексного р0
e p0t f (t) F(p– р0).
IX. Теорема умножения (Э. Борель). Произведение двух изображений F(p) и G(p) также является изображением,
t
0 f (τ ) g (t − τ )dτ .
причемF(p)⋅ G(p)
Таблица изображений
I. 1 1 ,
Re p>0;
p
II. tν
Γ(ν + 1)
III. tn
pν +1
n!
p n +1
IV. eα t
n – неотрицательное целое, Re p>0;
,
1
,
p −α
Re p> Re α;
ω
V. sin ωt
2
p +ω2
VI. cos ωt
VII. sh λ t
VIII. ch λ t
IX. tneα t
ν>–1, Re p>0;
,
Re p> |Im ω|;
,
p
,
2
p +ω2
λ
2
p − λ2
p
2
p − λ2
n!
( p − α ) n +1
Re p> |Im ω|;
Re p> Re λ;
,
,
Re p> Re λ;
,
Re p> Re α;
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
X. t sin ωt
2 pω
2
( p +ω 2 )2
p2 −ω 2
XI. t cos ωt
( p2 +ω 2 )2
XII. eλ t sin ωt
XIII. eλ t cos ωt
Re p> |Im ω|;
,
Re p> |Im ω|;
,
ω
,
( p − λ )2 + ω 2
p−λ
( p − λ )2 + ω 2
Re p> (Re λ+|Im ω|);
,
Re p> (Re λ+|Im ω|).
Рассмотрим ряд примеров нахождения изображений, использующих различные методы. Так,
n!
. Здесь использована формула IX из табли( p − λ ) n +1
1) tneλ t
цы изображений.
t
2)
0 sin tdt
(
1
бражений.
t
3)
как
0 cos ωtdt
и
)
p p 2 +1
См. формулу V из таблицы свойств изо-
p
2
2
(p +ω )p
=
1
. Здесь можно действовать
p +ω2
2
в
предыдущем
примере,
а
можно
иначе
1
ω
sin ωt 1
0 cos ωtdt = ω ω ⋅ p 2 + ω 2 = p 2 + ω 2 . Использовано свойство
линейности изображения и формула V таблицы изображений.
t
4) (t–1)2 ⋅et–1
2e − p
. Учитывая формулу t2⋅et
3
( p − 1)
2
(см.
( p − 1) 3
пример 1) и свойство VII из таблицы свойств изображений, получаем результат.
Приведем примеры нахождения изображений разрывных
функций.
1, 0 ≤ t < 2;

1) f(t)= − 1, 2 ≤ t < 3;
0, 3 ≤ t.

36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Применим непосредственно формулу (35)
f(t)
∞
2
3
0
0
2
− pt
− pt
− pt
 e f (t )dt =  e dt –  e dt =
2
3
=– 1 e − pt + 1 e − pt = 1 (1–2e–2p+e–3p).
p
p
0
2
p
t (2 − t ), 0 ≤ t < 2;
2 ≤ t.
0,
2) f(t)= 
f(t)
∞
0 e
− pt
2
2
0
0
f (t )dt =  e − pt t (2 − t )dt =  e − pt (2t − t 2 )dt =
= 23 (p–1+e–2p(p+1)).
p
На последнем этапе необходимо проинтегрировать по частям.
Найдите самостоятельно изображения следующих функций:
0 ≤ t < 2;
t ,
 1
1) f(t)=  (4 − t ), 2 ≤ t < 4,
2
4 ≤ t.
0,
π
sin t ,
0≤t < ;

2
2
π
3π
 (π − t ),
≤t <
;
2) f(t)=  π
2
2

3π
≤ t < 2π ;
sin t ,
2

2π ≤ t.
0,
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В последнем примере также используется интегрирование по
частям. Обратите внимание на один из методов, который при этом
используется, он будет применяться ниже. Пусть
π
π
2
π
2
π
2
2
0
0
у=  e − pt sin tdt =–  e − pt d (cos t ) = (− e − pt cos t ) –p  e − pt cos tdt =
0
0


–p
=e –p  e − pt sin t


(
откуда
)
π
π
0
0
2
2
+p e
(1+ p2) y= e–p–p e
−
π
2
− pt
p

π

− p
sin tdt  = e–p–p e 2 – p2y,


и у=
π
− p
1  − p
2 .
−
e
e

p 2 + 1 

Таблицей изображений можно пользоваться для отыскания
оригиналов по изображению. В этой операции достаточно близкая
аналогия с нахождением первообразных функций по таблице производных, но есть и более общий метод для отыскания оригинала
по данному изображению.
Формула Меллина
Если известно, что функция F(p) в области Re p>а является
изображением кусочно-гладкой функции f(t) действительной переменной t, обладающей степенью роста а, то
f(t)= 1
2πi
x + i∞
e
x − i∞
pt
F ( p)dp ,
x>a,
(45)
где интеграл берется по прямой Re p=x, параллельной мнимой оси,
и понимается как lim
b →∞
a + ib
e
a −ib
pt
F ( p )dp .
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На основе этой теоремы можно получить формулу, позволяющую найти изображение произведения функций по известным
изображениям множителей.
f(t)= f1 (t) f2 (t) F(p)=
= 1
2πi
x + i∞

F1 (q) F2 ( p − q)dq =
x − i∞
x + i∞
1
2πi
 F1 ( p − q) F2 (q)dq ,
(46)
x − i∞
причем функция F(p) определена и аналитична в области
Re p>а1+а2, где f1 (t) F1 (p), f2 (t) F2 (p), Re p>а1 , Re p>а2, а интеграл берется по прямой, параллельной мнимой оси, лежащей правее прямых Re p=а1 и Re p=а2. (Сравните со свойством IХ таблицы
свойств изображений.)
Пример. Пусть f1 (t)=cos ωt, f2 (t)=t. Найдем изображение
функции f(t)= t cos ωt. Так как cos ω t
F(p)= 1
2πi
x + i∞
p
2
p +ω2
,t
1
, то
p2
qdq
,
 2 2
2
x −i∞ (q + ω )( p − q )
где Re p>|Im ω|. Интегрирование ведется по прямой, лежащей правее прямой Re p=|Im ω|. Тогда правее этой прямой лежат две особые точки подынтегральной функции: p=q, которая является полюсом порядка 2, и q=∞, которая является нулем. Таким образом,

F(p)= – d 
q( p − q ) 2


=
dp  q 2 + ω 2 ( p − q ) 2 
p=q
(
)

P2 −ω 2

=
2
dp  q 2 + ω 2 
P2 +ω 2
p=q

=– d 
q
(
)
 t cos ωt
P2 −ω 2
(P 2 + ω 2 )2
.
Знак “–“ связан с обходом по контуру, который производится
по часовой стрелке.
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На основе формулы (45) можно получить более удобные в
применении формулы. Если правее прямой Re p=a функция F(p)
имеет конечное число особых точек р1, р2, . . . , рп, то
n
F(p) f(t)=  res (F ( p )e pt )
k =1
(47)
pk
Сравните с формулой (34).
В частности, если F(p)=
A( p)
– правильная рациональная
B( p)
дробь и все ее полюсы простые, то
A( p k ) pk t
e .
k =1 B ′( p k )
n
f(t)= 
(48)
В общем случае
1
d nk −1
lim
F ( p)( p − p k ) nk e pt ,
nk −1
p
p
→
n
1
!
(
)
−
k
dp
k
k =1
(
n
f(t)= 
)
(49)
где рk – полюсы функции F(p) порядка пk.
Приведем примеры восстановления оригиналов функций по
их изображениям.
F(p)=
1
. Особые точки функции F(p):
p + 4p +5
2
р1=–2+i, р2=–2–i, обе – простые полюсы. Следовательно,
1

e ( −2 +i )t 
p
2
4
+


f(t) F(p)= 
=e
( −2 + i )t
2i
+e
( −2 −i ) t
− 2i
p = −2 + i
=e
F(p)=
−2t
2i
(p
(e it − e −it ) =e–2tsin t.
1
2
40
1

e ( −2 −i )t 
p
2
4
+


+ 
)2
+1
.
=
p = −2 −i
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 e pt ( p − i ) 2 

f(t) F(p)= res (F ( p )e pt ) + res (F ( p )e pt ) = d 
2
dp 

−i
i
 e pt ( p − i ) 2 

+ d 
2
dp 

(p
2
=–
)
+1
pt

= d  e 2

dp  ( p + i )
 p = −i






( p 2 + 1)
pt

+ d  e 2
dp  ( p − i )
p =i




+
p =i
=
p = −i
1 it 1 it t –it e −it 1
te + e – e –
= (sin t–t cos t).
2
4i
4
4i
4
Найдите самостоятельно оригиналы функций по их изображениям:
F(p)=
1
;
p2 + 4p +3
F(p)=
1
;
p 2 p 2 +1
(
)
F(p)=
1
.
( p − 1) 2 ( p + 2 )
Решение задачи Коши
для обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
Возьмем ради простоты уравнение второго порядка
а0 x + а1 x + а2х=f(t),
(50)
где а0 , а1, а2 – постоянные, причем а0 ≠0.
Будем искать решение х(t) уравнения (50), удовлетворяющее
начальным условиям
х(0)=х0, x (0)=х1.
(51)
Если х(t) Х(р) и f(t) F(p), то применив преобразование Лапласа к обеим частям уравнения (50), используя при этом теорему о
дифференцировании оригинала и свойство линейности, получим
операторное уравнение
(а0 p2+ а1p+ а2)X(p)– (а0 px0+ а0 x1+ а1 x0)=F(p).
41
(52)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из этого следует
X(p)=
F ( p ) + a 0 px 0 + a 0 x1 + a1 x 0
.
a 0 p 2 + a1 p + a 2
(53)
X(p) называют операторным решением. Находя по изображению X(p) оригинал х(t), получаем решение задачи (50)–(51).
Рассмотрим ряд примеров.
1) x +х=2cos t, x(0)=0, x (0)=–1.
Если х(t) Х(р), то x (t)=p Х(р)– x(0)=pX(p), x (t)
p
x(0)– x (0)= p2X(р)+1, cos t
p2X(р)+1+X(р)=
2p
2
p +1
и, следовательно,
, откуда Х(р)=
2
p +1
p2X(р)–p
2p
(
2
)
2
–
1
.
p +1
2
p +1
1
Оригинал для 2
можно найти по таблице изображений
p +1
1
p +1
2
2p
sin t, для
(p
2
оригинал можно найти по теореме о
)2
+1
дифференцировании изображения (свойство IV таблицы таблицы
свойств изображений):

=– d 
1 
dp  p 2 + 1 
2p
(p
2
)
+1
2
t sin t.
Таким образом, X(р) t sin t–sin t и х(t)=(t–1) sin t.
2) x +2 x = t sin t, x(0)= x (0)=0. Рассуждая как и в примере 1),
получаем
(p2+2р) X(р)=
x(t)
a + i∞
2p

( p 2 + 1)
2e pt dp
2
2
X(р)=
= (e
 2 2
25
a − i∞ ( p + 1) ( p + 2 )
–2t
2p
( p 2 + 1) 2 p( p + 2)

–cos t+7sin t)– 1 t ( sin t+2cos t).
5
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) x + x = t,
x(0)=0, x (0)=–1, x (0)=0.
Применив преобразование Лапласа, получим
(p3+р) X(р)+р= 12

p
x(t)= –sin t+ res
0
X(р)=
1
1
−

p 3 p 2 +1 p 2 +1
(
)
pt
pt
e pt
+ res 3 e 2
+ res 3 e 2
=
2
i
−i p p + 1
p p +1
p p +1
3
(
)
(
)
(
)
= –sin t+ 1 t2–1+ cos t.
2
Решите самостоятельно задачи Коши для уравнений:
1) x +2 x +х =sin t, x(0)=0, x (0)=–1;
2) x +4 x +4х = t2e–2t, x(0)=0, x (0)=0.
Формула Дюамеля
Для решения линейных дифференциальных уравнений может
быть использована так называемая формула Дюамеля.
Если функция f (t) непрерывна на [0; +∞), а ϕ (t) непрерывно
дифференцируема на [0; +∞) и F(p) f (t) , Φ (р) ϕ (t) , то
t
F(p)Φ (р) =  f (τ )ϕ (t − τ )dτ
0
(формула IХ из таблицы свойств изображений), откуда следует
формула Дюамеля
t
р F(p) Φ (р) f (t) ϕ (0) +  f (τ )ϕ ′(t − τ )dτ .
(54)
0
Рассмотрим начальную задачу Коши для уравнения
а0 x +а1 x +а2х = f (t) , x(0)= x (0)=0.
43
(55)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть найдено решение х1(t) уравнения
а0 x +а1 x +а2х=1,
с теми же начальными условиями
x(0)= x (0)=0.
(56)
Операторные уравнения для (55) и (56) имеют соответственно
вид
(а0р2+а1 р +а2)Х(р)=F(p) и (а0р2+а1 р +а2)Х1(р)= 1 .
p
Откуда Х(р)= рХ1(р)F(p). Тогда из формулы (54) получаем
t
рХ1(р)F(p) f (t) х1(0)+  f (τ ) x1 (t − τ )dτ ,
0
а так как х1(0)=0, то
t
0 f (τ ) x1 (t − τ )dτ .
Х(р)=рХ1(р)F(p)
Это означает, что решение задачи (55) найдено
t
х (t)=  f (τ ) x1 (t − τ )dτ .
(57)
0
Рассмотрим конкретные примеры:
1) x +х=еаt, x(0)= x (0)=0.
Пусть х1(t) решение уравнения x +х=1 с начальными условиями x(0)= x (0)=0. Его операторное решение
Х1(р)=
1
,
p p 2 +1
(
)
отсюда, пользуясь формулой (48), получаем х1(t)=1–cos t.
По формуле (57) решение исходного уравнения
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
t
х(t)=  e aτ sin (t − τ )dτ =
0
1
( eа t –cos t–a sin t).
a 2 +1
Для нахождения интеграла см. вычисления на с. 34 – 35.
2) x –2 x =t2et, x(0)= x (0)=0. Пусть х1(t) – решение уравнения
x –2 x =1 с теми же начальными условиями. Операторное решение
этого уравнения
Х1(р)=
откуда х1(t)= res
0
1
= 2 1
,
p p −2p
p ( p − 2)
(
)
2
e pt
e pt
t 1 e 2t
+
=–
+ +
.
res
2
4
2 4
p 2 ( p − 2)
p 2 ( p − 2)
По формуле (57) решение исходной задачи
t

х(t)=  τ 2 eτ  − 1 + e
0
 2
2 (t −τ )
2

2t
t 2 t
dτ =1+ e –2 e –t e .

Решите самостоятельно задачи Коши:
1) x +2 x +2х =sin t,
x(0)= x (0)=0;
x(0)= x (0)=0.
2) x + x =cos t,
Преобразование Фурье
Преобразование Лапласа
F(p)=
∞
0 f (t )e
− pt
dt
является частным случаем интегрального преобразования вида
F(p)=
∞
0 f (t )K (t , p)dt ,
(58)
где K(t, p) называется ядром интегрального преобразования и
представляет из себя заданную функцию переменной t и параметра
р.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если в формуле для обратного преобразования Лапласа
f(t)= 1
2πi
a + i∞
 F ( p )e
a − i∞
pt
dt положить р=а+iσ, получим формулу
at
f(t)= e
2π
∞
 F ( a + iσ ) e
−∞
iσt
dσ .
Если ввести обозначения f(t) e–аt=g(t),
последняя формула приобретет вид
g(t)=
1
2π
∞
 G(σ )e
−∞
iσt
1
F(a+iσ)=G(σ), то
2π
dσ ,
(59)
а формула для прямого преобразования запишется в виде
∞
F(a+iσ)=  f (t )e − at e −iσt dt
0
или в новых обозначениях
∞
G(σ)=  g (t )e −iσt dt .
(60)
0
Формулы (59) и (60) называют формулами обращения Фурье,
а формулу (60) – преобразованием Фурье.
Таким образом, преобразование Лапласа, переводящее функцию f(t) в F(p), является преобразованием Фурье, переводящим
функцию g(t)= f(t)e–аt в функцию G(σ)= 1 F(a+iσ), где а – произ2π
вольное число, большее показателя степени роста функции f(t).
Область применимости преобразования Фурье требует от функции
g(t) больше, чем преобразование Лапласа от функции f(t). Функция
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
g(t) должна быть абсолютно интегрируемой, т.е. требуется сходимость интеграла
∞
 g (t ) dt .
−∞
К этим же формулам (59) и (60) можно было подойти иначе, а
именно, от интеграла Фурье. При некоторых предположениях о
функции f(t), в частности, ее абсолютной интегрируемости на
(–∞; ∞), имеет место формула
f(t)= 1
2π
∞
∞
 dσ −∞ f (u )e
−∞
iσ ( u − t )
du ,
(61)
которая является непрерывным аналогом ряда Фурье. Функцию в
правой части можно представить как суперпозицию двух функций
F(σ)= 1
2π
∞
 f (u )e
−∞
iσu
du и f(t)=
1
2π
∞
 F (σ )e
−∞
−iσt
dσ .
(62)
Первая из них определяет преобразование Фурье функции f(t),
а вторая – обратное преобразование (обратите внимание на разницу в знаке перед переменной i).
Кроме этих преобразований вводятся так называемые косинус-преобразование и синус-преобразование Фурье функции f(t),
которые соответственно определяются формулами
Fс(σ)= 2
π
Fs(σ)= 2
π
∞
0
∞
0
f (u ) cos(σu ) du , f(t)=
f (u ) sin (σu ) du , f(t)=
2
π
2
π
∞
0 Fc (σ ) cos(σt ) dσ ,
∞
0 Fs (σ ) sin(σt ) dσ .
(63)
(64)
Перед тем, как привести примеры, заметим, что в случае четной функции f(t) выполняется равенство F(σ)=Fс(σ), в случае нечетной функции f(t) выполняется равенство F(σ)=iFs(σ) (на значения σ<0 Fs(σ) распространяется нечетным образом).
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как любая функция f(t) может быть представлена в виде
f(t)= g(t)+h(t),
g(t)=
где
f (t ) + f (−t )
,
2
h(t)=
f (t ) − f (−t )
,
2
то
F(σ)=Gс(σ),+i Hс(σ), и поэтому достаточно ограничиться лишь
примерами косинус- и синус-преобразований.
Пусть f(t)=е–аt (a>0, t≥0). Ее косинус-преобразованием будет
функция Fс(σ)= 2
π
образованием
–
∞
0 e
− au
cos(σu ) du =
a
, а синус-преπ a +σ 2
2
2
Fs(σ)= 2
π
функция
∞
0 e
− au
sin (σu ) du =
= 2 2 σ 2 . Эти интегралы вычисляются непосредственно или с
π a +σ
использованием таблицы изображений.
Если f(t)= е–α | t |, где α>0, то f(t) – функция четная и
F(σ)=Fс(σ)= 2
π
∞
0 e
− au
cos(σu ) du =
48
2
a
π a2 +σ 2
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
1. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1970.
2. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексной переменной, М.: Физматлит, 2002.
3. Ильин А.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, Ч. 2, М.:
Наука, 1973.
4. Краснов М.Л., Макаренко Г.И. Операционное исчисление и устойчивость движения, М.: Наука, 1964.
5. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1964.
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
Комплексные числа, действия над ними .................................................... 3
Функции комплексного переменного .......................................................... 6
Интегральная теорема Коши. Первая и вторая
интегральные формулы Коши............................................................ 9
Числовые ряды .......................................................................................... 10
Степенные ряды ......................................................................................... 11
Ряды Лорана............................................................................................... 14
Особые точки аналитической функции и их классификация .................. 17
Вычет аналитической функции в изолированной особой точке .............. 19
Первая и вторая теоремы о вычетах. Вычисление интегралов
по замкнутому контуру ..................................................................... 25
Вычисление интегралов вида
∞

f ( x ) dx ................................................ 29
−∞
Элементы операционного исчисления ...................................................... 31
Формула Меллина ...................................................................................... 38
Решение задачи Коши для обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами ..................................................... 41
Формула Дюамеля...................................................................................... 43
Преобразование Фурье ............................................................................... 45
Литература ................................................................................................. 49
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Элементы теории функций
комплексного переменного
и операционного исчисления
Составитель: Чаплыгин Владимир Федорович
Редактор, корректор А.А. Антонова
Компьютерная верстка И.Н. Ивановой
Подписано в печать 27.02.2006 г. Формат 60х84/16.
Бумага тип. Усл. печ. л. 3,02. Уч.-изд. л. 1,5.
Тираж 50 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе ЯрГУ.
Отпечатано на ризографе
Ярославский государственный университет
150000 Ярославль, ул. Советская, 14
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
52
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
22
Размер файла
522 Кб
Теги
452, элементы, операционного, исчисления, функции, комплексного, теория, переменного
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа