close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

615.Введение в математический анализ Чаплыгин В Ф

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
В. Ф. Чаплыгин
Введение
в математический анализ
Методические указания
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по специальностям
Физика, Телекоммуникации, Радиотехника
Ярославль 2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517
ББК В 16я73
Ч 19
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2009 года
Рецензент:
Ч 19
Чаплыгин, В. Ф. Введение в математический анализ:
метод. указания / В. Ф. Чаплыгин; Яросл. гос. ун-т
им. П. Г. Демидова. – Ярославль : ЯрГУ, 2010. – 44 с.
В методических указаниях охвачены те разделы математики, которые необходимо знать для изучения математического анализа. В качестве приложения приведены два
теста. Тест I рекомендуется выполнить перед изучением
указаний, а тест II – после.
Предназначены для студентов, обучающихся по специальностям 010701.65 Физика, 210400.62 Телекоммуникации, 210302.65 Радиотехника (дисциплина «Математический анализ», блок ОПД), очной формы обучения.
УДК 517
ББК В 16я73
 Ярославский
государственный
университет
им. П. Г. Демидова, 2010
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Множества, операции над множествами Множество относится к неопределяемым понятиям. Под
ним подразумевается набор, совокупность, класс некоторых
объектов, элементов, объединенных по определенному признаку.
Набор, состоящий из трех букв а, b и с является множеством,
и его можно обозначить так: А={а, b, с}. Можно говорить о
множестве натуральных чисел от 1 до n включительно, будем
называть его отрезком натурального ряда и обозначать In. Так,
I5={1, 2, 3, 4, 5}, I100={1, 2, 3, 4, …, 100}. Множество всех
натуральных чисел обозначается ℕ={1, 2, 3, …, n, …}. Все
четыре множества точно описаны. Определено, какие объекты
принадлежат тому или иному множеству. Тот факт, что элемент с
принадлежит множеству А, записывается в виде с∊А. То, что
число 6 не принадлежит множеству I5, обозначается так: 6∉I5.
Если все элементы множества А являются элементами множества
В, то А называется подмножеством В, или, говорят, А включено
в В, и символически это записывается так: А⊂В. В наших
примерах I5⊂ℕ, I100⊂ℕ, In⊂ℕ для любого n. Особую роль играет
так называемое пустое множество – это множество, не
содержащее ни одного элемента, его обозначают символом ∅ и
по определению считают, что для любого множества Е, ∅⊂Е.
Рассмотрим две основные операции над множествами:
объединение и пересечение.
Пусть взяты два множества А={1, 2, 3, 4, 5, 6} и В={4, 5, 6, 7,
8}. Тогда под их объединением понимается множество А∪В={1,
2, 3, 4, 5, 6, 7,8}, то есть к элементам множества А добавлены
элементы из В, которые не содержались в А. Пересечением
множеств А и В является множество А∩В={4, 5, 6}, то есть оно
содержит те элементы, которые одновременно принадлежат как
множеству А, так и множеству В. Если множества А и В не
содержат общих элементов, то А∩В=∅. Так, если А={а, b, с},
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В={d, e}, то А∩В=∅. Можно говорить об объединении и
пересечении трех, четырех и более множеств. Так, если говорить
о множествах натуральных чисел, дающих при делении на 3 в
остатке 0, 1, 2, то их объединение дает все множество ℕ. Если
взять три множества натуральных чисел, кратных 2, 3 и 5, то
пересечением этих множеств будет множество натуральных
чисел, кратных 30. Если же взять множество всех нечетных
натуральных чисел и множество всех четных натуральных чисел,
то пересечением этих множеств будет пустое множество, то есть
∅. Эти операции можно иллюстрировать на так называемых
кругах Венна.
Рис. 1
Так, если А – это левый круг, а В – правый, то их пересечение показано двойной штриховкой, а объединение – горизонтальной штриховкой (см. рис. 1).
Функции, отображения Пусть имеются два множества D и Е. Соответствие, которое
каждому элементу x∊D относит некоторый элемент y∊Е,
называется отображением D в Е. При этом множество D
называется областью определения. Элемент x∊D называется
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
аргументом, а элемент y∊Е называется значением отображения
или образом элемента x.
Отображение называют функцией и записывают y=f(x) или
x→ f(x), читается: x соответствует f(x), при этом x называют
прообразом y и обозначают f -1(y), используется ещё обозначение
f: D→E.
Две функции f(x) и g(x), называются равными, если совпадают их области определения и для любого x из области
определения выполнено равенство f(x) = g(x).
Взаимно однозначное соответствие Соответствие между двумя множествами А и В называется
взаимно однозначным, если каждому элементу множества А
сопоставляется единственный элемент из множества В и каждому
элементу множества В сопоставляется ровно один элемент из
множества А.
Так, если А={а, b, с} и В={1, 2, 3} и соответствие определено
следующим образом: f(a)=1, f(b)=2, f(c)=3, то оно является
взаимно однозначным. Если же определить другое отображение
 из А в В так, что  (a)=1,  (b)=1,  (с)=2, то оно не будет
взаимно однозначным, так как элементу 1 ∊ В отвечают два элемента из А, два прообраза и элементу 3 ∊ В не отвечает никакой
элемент из А.
Между множествами А={а, b, с} и В={1, 2, 3, 4} нельзя
установить взаимно однозначное соответствие. Если бы оно
существовало, то образов f(a), f(b), f(c) было бы три, а элементов в
В – четыре. Или прообразов f -1(1), f -1(2), f -1(3), f -1(4) было бы
четыре, но элементов в А только три.
Назовем множество А конечным, если между ним и некоторым отрезком In натурального ряда можно установить взаимно
однозначное соответствие. Множество А={а, b, с} конечное (это
было показано). Если между множествами А и В можно
установить взаимно однозначное соответствие, они называются
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
равномощными и это обозначается как А~В. Нетрудно понять,
что если два конечных множества равномощны, то это означает
равенство количества их элементов. Очевидно, что конечное
множество не может быть равномощно своему подмножеству (не
совпадающему со всем множеством). Однако для бесконечных
множеств дело обстоит иначе. Так, если взять множество всех
натуральных чисел ℕ и множество всех четных натуральных
чисел, обозначим его ℕ2, то эти множества равномощны, то есть
ℕ~ℕ2. Соответствие можно установить, например, так 1↔2, 2↔4,
3↔6, …, n↔2n, …
Таким образом, прямое отображение ставит в соответствие
каждому натуральному числу n число 2n, обратное соответствие
каждому четному числу m∊ℕ2 ставит в соответствие число m ∊ℕ.
2
Задачи
1). Являются ли равномощными множества всех натуральных
чисел ℕ и чисел, кратных 3?
2). Доказать, что множество ℕ равномощно множеству праm
вильных дробей   , где m и n – натуральные числа, m < n,
n
дроби несократимые.
3). Равномощны ли множества натуральных чисел кратных 7
и чисел кратных 5? Что представляет собой пересечение этих
множеств?
4). Докажите, что множество всех целых чисел ℤ равномощно множеству натуральных чисел ℕ.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Метод математической индукции Это метод доказательства математических утверждений, основанный на принципе математической индукции: утверждение
Р(n), зависящее от натурального аргумента n, считается доказанным, если оно доказано для n=1, то есть Р(1) верно, и если из
предположения, что оно верно для n, следует, что оно верно для
n+1, то есть из истинности Р(n) следует истинность Р(n+1).
Приведем два примера.
1. Докажем справедливость равенства
12 + 22 + 32 + … + n2 =
n(n  1)(2n  1)
6
(1)
для любого натурального числа n.
Если n=1, то равенство очевидно, так как 1=1. Предположим,
что равенство (1) выполнено для некоторого n. Докажем, что в
таком случае оно верно для следующего натурального числа n+1.
Прибавив к обеим частям равенства (1) (n+1)2, получим
n(n  1)(2n  1)
+ (n+1)2 =
6
2
n 1
(n  1)(n  2)(2n  3)
( n  1)(2n  7 n  6)
(n(2n  1)  6(n  1)) =
=
.
6
6
6
12 + 22 + 32 + … + n2 + (n+1)2 =
Таким образом, доказано, что формула (1) верна для n+1 и,
следовательно, верна для любого n∊ℕ.
2. Докажем, что для любого натурального числа n верна
формула
1 + 3 + 5 + … + (2 n – 1) = n2 .
(2)
При n=1 имеем 1=1. Предположим, что формула верна для n
и покажем, что тогда она верна для n+1. Прибавим к обеим
частям равенства (2) 2n+1. Получим
1 + 3 + 5 + … + (2 n – 1) + (2n+1)= n2 + (2n+1) = (n+1)2, что и
требовалось доказать.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задачи
1). Докажите справедливость
любого натурального n.
следующей
формулы
для
2
n(n  1) 
1 + 2 + 3 + … + n = 
 .
 2 
3
3
3
3
2). Докажите для всех n ≥ 3 неравенство n! > 2n – 1.
Указание. Рассуждение в этой задаче надо начинать с n = 3 (а
не с n=1).
Арифметическая и геометрическая прогрессии Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел,
в которой каждый член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа d, называемого
разностью прогрессии.
Арифметическая прогрессия может быть как конечной, так и
бесконечной. Примерами бесконечных арифметических прогрессий является последовательность всех натуральных чисел, последовательность четных натуральных чисел. Если имеется конечная
арифметическая прогрессия a1, a2, …, an, разность которой равна
d, то верны формулы
ak = a1 + d(k – 1) для любого 2 ≤ k ≤ n,
a a
а сумма ее членов Sn  a1  a2  ...  an  1 n  n .
2
Геометрической прогрессией называется последовательность
чисел, в которой каждый член, начиная со второго, получается
умножением предыдущего на одно и то же число q, называемое
знаменателем прогрессии. Геометрическая прогрессия также
может быть конечной или бесконечной.
Пусть b1, b2, …, bn – геометрическая прогрессия со знаменателем q. Тогда bk = b1 qk – 1, а сумма членов прогрессии
b b q
Sn  1 n .
(3)
1 q
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Напомним вывод этой формулы.
Умножим обе части равенства Sn  b1  b2  ...  bn
(4)
на q, получим q  Sn  b1q  b2q  ...  bn1q  bn q .
(5)
Вычтем почленно из равенства (4) равенство (5), учитывая при
этом, что b1q = b2, b2q = b3, …, bn -1 q = bn. Получим (1 – q)Sn =
b1 – bn q, откуда и следует формула (3). При этом считаем q≠1.
Если q=1, то прогрессия состоит из равных членов b1 = b2 = … =
bn и в этом случае Sn = nb1.
Размещения, перестановки, сочетания Эти понятия относятся к комбинаторной математике или
комбинаторному анализу. Рассмотрим задачи, приводящие к этим
понятиям.
Задача 1. Сколькими различными способами можно расположить в ряд три различных объекта a, b и c?
Все способы легко перечислить abc, acb, bac, bca, cab, cba, то
есть всего имеется шесть вариантов. Но вместо перебора всех
возможных расположений можно предложить следующее рассуждение. Для выбора первого элемента из трех имеется три возможности (либо a, либо b, либо c). Если первый элемент определен, то для выбора второго из двух оставшихся имеется два
варианта. Таким образом, для выбора первых двух элементов
имеется 3·2 = 6 возможностей. Если два элемента заняли первые
два места, то есть уже выбраны, то оставшийся элемент занимает
третье место, следовательно, у него единственная возможность.
Рассмотрим более общий случай. Пусть требуется расположить в ряд n различных элементов. Сколько возможно вариантов?
Рассуждая, как и выше, получим общее число вариантов, равное
n(n – 1)(n – 2)…321.
В полученном произведении участвуют все натуральные
числа от 1 до n. Это произведение обозначается символом n!,
читается n-факториал. К примеру, 5! = 12345 = 120, 7! =
1234567 = 5040 и так далее.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 2. Сколько различных трехзначных чисел можно
составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 при условии, что в данном
числе они не повторяются.
Рассуждаем, как и выше. Для выбора числа сотен имеется 9
возможностей. Когда этот выбор произведен, для выбора числа
десятков имеется 8 возможностей. Таким образом, для выбора
двух старших разрядов получаем 98 = 72 возможности. После
чего для выбора числа единиц имеется 7 возможностей на
каждую из 72 предшествующих. Следовательно, всего получаем
987 = 504 трехзначных числа. Обратите внимание, что при выборе одной и той же тройки чисел, но в различном порядке,
получаются различные трехзначные числа. Если произведен выбор цифр 3, 2, 1 именно в этом порядке, получаем число 321, если
же эти цифры шли в порядке 2, 3, 1, получим число 231, и, как
видно из задачи 1, всего при выборе цифр {1, 2, 3} можно
получить 6 различных трехзначных чисел. То есть одна и та же
тройка цифр дает 6 различных трехзначных чисел. Следовательно, если мы выбираем 3 цифры из 9 и порядок выбора нам не
важен, то вариантов окажется в 6 раз меньше, а именно
504
 84 .
6
Обобщим рассмотренные задачи. Пусть имеется n различных
объектов. Требуется расположить их в ряд. Было показано, что
это можно сделать n! способами; сами наборы называются при
этом перестановками. В задаче 1 мы имеем 6 различных перестановок из трех элементов a, b, c. Таким образом, перестановки –
это упорядоченные наборы, составленные из n различных
объектов, их число Pn = n!.
Обобщением задачи 2 является следующая задача: составить
из n различных элементов всевозможные подмножества, содержащие k элементов (1 ≤ k ≤ n).
Найдем вначале общее число упорядоченных наборов,
состоящих из k элементов, используя прием задачи 2. Для выбора
первого элемента имеем n возможностей, для выбора второго –
(n – 1) возможностей и так далее, для выбора k-го элемента – n –
(k – 1) возможностей. Таким образом, всего имеем n(n – 1)(n – 2)
… (n – (k – 1)) вариантов. Эти упорядоченные наборы
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
называются размещениями. Число размещений из n элементов по
k обозначается
Аnk = n(n – 1)(n – 2) … (n – (k – 1)) =
n!
.
(n  k )!
К последнему выражению мы пришли, умножив и разделив
предыдущее выражение на (n – k)!.
Если же рассматривать различные неупорядоченные
подмножества, содержащие по k элементов, то их называют сочеk
таниями из n элементов по k, их число обозначают Сn , и оно
Ank
n!

. Чтобы пояснить это, вернемся к заравно С 
k ! ( n  k )!k !
k
n
даче 2. Все трехзначные числа (их было 504) расположим в виде
прямоугольной таблицы, в которой будет 6 столбцов и
504
 84
6
строк. Принцип построения таблицы таков: если взять тройку
цифр 1, 2, 3, то они образуют строку из 6 трехзначных чисел
123
132
231
213
312
321,
524
542 и так далее.
для тройки 2, 4, 5, получим
245
254
425
452
Если составлять сочетания по k элементов из n, то все
размещения из n по k, а их Аnk =
n!
, можно расположить в
(n  k )!
Ank
строками. В
виде прямоугольной таблицы с k! столбцами и
k!
каждой строке расположены все перестановки данного
подмножества, состоящего из k элементов, а их k!. Отсюда и
следует формула
Сnk 
n!
.
(n  k )!k !
11
(6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Непосредственно из формулы (6) следует равенство
Сnk  Сnnk .
(7)
Для числа сочетаний верна еще одна формула
Сnk  Сnk 1  Сnk11 .
(8)
Действительно,
n!
n!
n!(k  1  n  k )



k !( n  k )! ( k  1)!( n  k  1)! (k  1)!(n  k )!
( n  1)!

 Сnk11 .
k  1)!( n  k )!
Сnk  Сnk 1 
Задачи
1). В роте три офицера и 40 солдат. Сколькими способами
можно составить наряд из одного офицера и трех солдат? (29640)
2). Сколько можно составить различных пятизначных чисел,
среди цифр которых имеется хотя бы одна цифра 5? (37512)
3). В шахматном турнире, проводившемся в два тура,
сыграно 90 партий. В каждом туре проводятся парные встречи
между всеми участниками. Сколько человек участвовало в
турнире? (90)
4). Найдите m и n, если Сnm11 : Cnm1 : Cnm11 = 5:5:3. (m=3, n=6)
5). Докажите равенство n! = (n – 1)((n-1)! + (n-2)!).
6). Сколько различных делителей имеет число 3600? (45)
Бином Ньютона Из школьного курса математики известны две формулы:
(a + b)2 = a2 +2ab +b2
(a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3.
Имеет место общая формула, справедливая для любого
натурального числа n:
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 n 1
2 n2 2
k nk k
n
(a + b)n = an + Сn a b  Cn a b  ...  Cn a b  ...  b . (9)
Не приводя строгих рассуждений, объясним ее происхождение.
В левой части формулы (9) мы имеем (a + b)n = (a + b)(a +
b)…(a + b) всего n множителей. Если перемножить их и привести
подобные члены, то получится выражение, содержащее одночлены степени n (от каждой «скобки» берется одночлен первой
степени, либо a либо b). В частности, получим an (когда от всех n
скобок взят множитель a) и bn (когда от всех n скобок взят
множитель b). Выясним, какой коэффициент имеет выражение
a nk b k . Это произведение получается, если от k «скобок» берется
множитель b, а от остальных n-k «скобок» – множитель a. Как
было выше показано, из n объектов можно выбрать k объектов
k
числом способов, равным Сn . Этим и объясняются коэффициенты в правой части формулы (9). Для строгого доказательства
можно использовать метод математической индукции. Используя
формулы для (a + b)2 и (a + b)3 (то есть для n = 2, 3),
предположив, что формула (9) верна для некоторого n, доказать,
что в таком случае она верна для n + 1. При этом используется
формула (8). Попробуйте все это проделать сами.
Построим несколько конкретных разложений по формуле (9).
При n=4 получаем (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4, при
n=5 – (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5. При этом
k
коэффициенты вычислялись по формуле Сn 
n!
.
(n  k )!k !
Для нахождения коэффициентов можно было использовать
так называемый треугольник Паскаля, построение которого
основано на формуле (8). Выпишем разложения
a + b = a + b,
(a + b)2 = a2 +2ab +b2,
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.
................................................................
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Составим из коэффициентов
треугольную таблицу
правых
частей
равенств
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1.
.................................
Боковые стороны треугольника состоят из единиц. Все
остальные числа, начиная с третьей строки, равны сумме двух
чисел, лежащих над ними строкой выше (формула 8). На этом
треугольнике хорошо просматривается формула (7), она означает
равенство коэффициентов, удаленных одинаково от начала и
конца строки (иначе говоря, симметрию коэффициентов в каждой
строке относительно высоты треугольника).
Задачи
1). Сколько членов разложения ( 3  4 5 )124 являются целыми
числами? (32)
2). Найдите число n, если в разложении (1+ x)n по формуле
Бинома Ньютона коэффициенты пятого, шестого и седьмого
членов образуют арифметическую прогрессию. (14 и 7)
3). Сколькими нулями оканчивается число 11100 – 1? (3)
Действительные числа. Модуль действительного числа Рациональным числом называется отношение
целое число, а n – натуральное и дробь
14
m
, где m –
n
m
несократимая. Любую
n
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
обыкновенную дробь
m
можно обратить в десятичную, для чего
n
требуется выполнить деление числителя на знаменатель. При
этом процесс может оказаться конечным (например, для дробей
2
,
5
7
),
4
но может оказаться и бесконечным (обратите в
десятичные дроби
1
,
3
5
,
6
1
). Но в случае, когда деление
7
продолжается бесконечно, получающаяся десятичная дробь
окажется обязательно периодической. Это следует из того, что
все остатки r, получающиеся при делении m на n меньше n, т. е.
1 r <n, но натуральных чисел (речь идет об r), удовлетворяющих
этому неравенству, не больше, чем n – 1. Поэтому остатки
обязательно будут повторяться, что приведет к периодической
дроби. Известен алгоритм обращения периодической дроби в
23
29
123  1 122
61
=
=
.
0,1232323…= 0,1(23) =
990
990
495
обыкновенную. Так 0,(23) = 0,2323…=
Проверьте правильность сделанного обращением полученных обыкновенных дробей в десятичные. В общем случае при обращении «чистой» периодической дроби в обыкновенную в числителе пишется период, а в знаменателе – число, состоящее из
стольких цифр 9, сколько цифр в периоде, т. е. 0,(a1 a2 …ak) =
a1a2 ...ak
(в знаменателе стоит число из k «девяток»). Если имеем
99...9
смешанную периодическую дробь, то 0,b1b2…bm a1 a2…am
a1a2…ak…= 0,b1 b2…bm(a1 a2…ak) =
b1b2 ...bm a1a2 ...ak  b1b2 ...bm
. То есть
99...900...0
из числа, изображаемого цифрами, расположенными до второго
периода b1b2…bm a1a2…ak, вычитается число, изображенное
цифрами, идущими до первого периода b1 b2…bm, а в знаменателе
стоит число, первые цифры которого равны 9 (всего их k –
столько цифр в периоде) и остальные цифры нули (их m, то есть
столько, сколько цифр между запятой и первым периодом).
Таким образом, всякая бесконечная десятичная периодическая дробь обращается в обыкновенную вида
15
m
, где m – целое, а
n
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n – натуральное число, и тем самым является рациональным
числом.
Существуют ли бесконечные десятичные непериодические
дроби? Конечно, да. Их легко построить. Например,
=0,1223334444…, =0,101101110…, = 0,123456789101112….
Попробуйте доказать, что , ,  – непериодические дроби.
Назовем всякую бесконечную десятичную непериодическую
дробь иррациональным числом. (Приставка ир – означает
отрицание не, то есть нерациональное). Следовательно, , ,  –
иррациональные числа. Иначе говоря, если число не представимо
в виде
m
, где mℤ, а nℕ, то оно иррационально.
n
2 является иррациональным.
Докажем, что число
Предположим противное, то есть рациональность этого числа или
представимость в виде
2=
m
, где m и n – взаимно простые
n
натуральные числа. Тогда 2n2 =m2, откуда следует, что число m –
четное (так как квадрат нечетного числа (2k + 1)2 = 4k2+4k+1
является нечетным числом). Пусть m=2k, тогда 2n2=4k2 или
n2=2k2, поэтому n – четное число, n=2l. Получили противоречие –
дробь
m
оказалась сократимой, m и n имеют общий множитель 2.
n
Приведем ещё один пример. Докажем, что число log37 –
иррациональное. Предполагая противное, положим log37 =
m
, где
n
m и n – натуральные числа (log37>0). Из определения логарифма
m
n
следует, что 3 = 7, откуда, возведя обе части в степень n, имеем
3m = 7n. Но это равенство невозможно, так как число, стоящее
слева, делится на 3, а стоящее справа – нет.
Таким образом, иррациональные числа существуют.
Обозначим их множество через I. Объединение двух множеств:
всех рациональных чисел ℚ и иррациональных чисел I, образует
множество действительных или вещественных чисел ℝ, то есть
ℝ=ℚ I, при этом ℚ∩I=.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В дальнейшем будут использоваться следующие подмножества множества вещественных чисел ℝ: отрезок (сегмент) [a; b] –
множество всех вещественных чисел x, таких, что a x  b;
интервал (a; b) (a < x < b), полуинтервалы (a; b] и [a; b)
(соответственно а < x  b, a  x < b), лучи (–∞, b), (-∞; b], (a, ∞), [a,
∞) (соответственно x < b, x  b, a < x, a  x) и всё множество ℝ или
(-∞; ∞), называемое числовой прямой или числовой осью. Это
связано с тем, что любое действительное число можно изобразить
точкой на числовой прямой и наоборот. Поставить в соответствие
любой точке прямой число.
Иначе говоря, установить взаимно однозначное соответствие
между множеством действительных чисел ℝ и множеством точек
прямой. Для этого на прямой выбирается точка О, называемая
началом отчета, и точка Е, ее называют единичной точкой,
отрезок ОЕ – масштаб или единичный отрезок (рис. 2).
Рис. 2
Направление от О к Е считается положительным. Направление от Е к О – отрицательным. Каждое действительное число
изображается точкой прямой: положительное число а изображается точкой А, лежащей правее точки О, при этом длина отрезка
ОА равна а. Отрицательное число а изображается точкой А,
лежащей левее точки О, и длина отрезка ОА равна –а, число нуль
изображается точкой О. Тем самым установлено взаимно однозначное соответствие между множеством всех действительных
чисел ℝ и множеством точек прямой, которую называют числовой прямой. Поэтому слово «число» и «точка» употребляются как
синонимы, то есть эти два термина не различаются. Очевидно,
что построенное отображение множества ℝ на прямую различным числам а1 и а2 ставит в соответствие различные точки А1 и
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А2. Каждой точке А на прямой при этом отвечает единственное
число а – это длина отрезка ОА, если А лежит правее О (в
положительном направлении от О) и точке А отвечает число –а,
если точка а расположена левее О, то есть находится от точки О в
отрицательном направлении.
Абсолютной величиной, или модулем, действительного числа
а называется неотрицательное число, которое обозначается |a| и
определяется следующим образом:
а, если а  0
a 
.
а, если а  0
Непосредственно из определения следует, что |a| выражает
расстояние от точки А, изображающей число а, до точки О.
Абсолютная величина обладает следующими свойствами:
1) |a| = |-a|,
2) |a|2 = |a2|,
3) |a + b| ≤ |a| + |b|,
4) |a| – |b| ≤ |a – b|,
5) | |a| – |b| | ≤ |a – b|,
6) |a  b| = |a||b|,
7)
a a
 , b  0.
b b
Задачи.
1). Решить уравнения: а) |x – 2| + |x+2| = 4, [-2; 2].
б) | |x| – 3| = 3,
{0; 6; -6}.
в) |x + 1| + |x + 2| + |x – 3| = 5, {-1}.
[0; 1].
г) |x2 – x| + x2 – x = 0,
2). Решить неравенства: а) 2 < |x – 3| < 3,
(0; 1)(5; 6).
б) x2 – |x| – 6 < 0, (-3;3).
в) x2 + 4x +5 > 0, (-∞; ∞)
3 | x | 2
1 1
 3.
(- ; )
| x | 1
6 6
3). Что задает в координатной плоскости неравенство
|x| + |y| ≤ 2?
18
г)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
| x |  | y | 1
; ( x;1  х ); –1≤ x ≤ 1
|
x
|
y
1



4). Решить систему уравнений: а) 
| x  1|  | y  5 | 1  3 11 
;  ; ,
y
5
|
x
1|



2 2 

б) 
 1 11 
 ; .
2 2 
Прямоугольная декартова система координат Возьмем в плоскости две взаимно перпендикулярные прямые. Пусть
О – точка 
их пересечения. На одной из них возьмем

вектор OE1 , на другой OE2 (рис. 3).
Рис. 3


Как правило, векторы OE1 и OE2 имеют одну и ту же длину,
то есть

OE1
=

OE2
, ее принято считать равной 1.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
точка плоскости
П
Пусть
М – произввольная
и. Назоввем абсц
циссой


OX
X
OE
E1
OY
OE2
 , а орд
этой точки
т
оттношени
ие x  
динатой – отнош
шение y   ,




O – пр
где OX
роекция вектораа OM наа направвление OE1 , а OY –


M на нап
проеккция векктора OM
правлени
ие OE2 . Фактичеески стр
роится



разлоожение вектораа OM  x  OE1  y  OE2 , x и y называются
прямооугольны
ыми деекартовы
ыми ко
оординаттами тточки М.
М В
частн
ности, тоочка О им
меет кооординаты
ы: x=0, y=0.
y
Е
Если
зад
дать уп
порядоченную пару чисел
ч
((x; y), то в
коорд
динатной
й плоскоости най
йдется то
очка N, причем
п
еединствеенная,
коорд
динаты
к
которой
x и y. Для
Д этогго 
на оси
и ОХ наадо посттроить

y  OE2 , и сложи
вектоор x  OE1 , на оси
и OY – вектор
в
ить их. Конец
К
получ
ченного вектораа и опред
делит точ
чку N. Таким
Т
об
бразом, между
м
точкаами кооординатн
ной плооскости и упоррядоченн
ными парами
чиселл устанаввливаетсся взаим
мноодноззначное соответсствие.
В
Возьмем
в координатной
й плоско
ости две точки М1 (x1; y1) и М2
(x2; y2). Найд
дем рассттояние между
м
ними.
н
Длля этого соединим их
отрезком М1М2 и посстроим прямоуго
п
ольный треуголь
т
ьник М1NМ
N 2с
раллельн
ными ккоординаатным
гипоттенузой М1М2 и катетаами, пар
осям Ох и Оуу (рис. 4)).
Рис. 4
Т
Тогда
по теоремее Пифагоора:
М1М22 = М1N2 + М2N2 = (х
( 2 – х1)2 + (у2 – у1)2.
20
(10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, расстояние между точками равно:
М1М2 = ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2
(11)
Как известно, окружностью называется геометрическое место точек плоскости М (х; у), удаленных от точки С (a; b) на одно
и то же расстояние, равное r. Используя формулу (10), получим
уравнение окружности
(х – a)2 + (y – b)2 = r2 .
(12)
В частности, если центр лежит в начале координат, в точке О
(0; 0), то уравнение окружности примет вид
х 2 + y 2 = r2 .
(13)
Если уравнение окружности будет дано не в преобразованном виде, его необходимо привести к виду (12).
Пусть дано уравнение х2+у2–4х+2у=0. Если сформировать
квадраты, то получим (х-2)2+(у+1)2=5. То есть получим уравнение окружности с центром в точке С(2; -1) и радиусом r = 5 .
Элементарные функции К классу элементарных функций относятся степенные функции xа, многочлены, рациональные функции – отношения двух
многочленов, показательные ax, логарифмические logax, тригонометрические: sin x, cos x, tg x, ctg x, обратные тригонометрические: arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x, гиперболические sh
x, ch x, th x, cth x, обратные гиперболические, а также функции,
которые получаются из перечисленных с помощью четырех
арифметических действий и конечного числа суперпозиций
(композиций).
Дадим краткий обзор элементарных функций.
Линейная функция y=kx+b, ее графиком является прямая
линия, которая пересекает ось Оу в точке (0; b) и образует с осью
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ох угол  , для которого tg  =k. Так, прямая у=х+3 образует с
осью Ох угол  =

4
(tg  =1) и проходит через точку (0; 3) (рис. 5).
Прямая у = –х–4 образует с осью Ох угол
3
4
   (tg  1)
и
проходит через точку (0; -4) (рис. 6)
Функция у  k выражает обратно пропорциональную зависиx
мость между переменными х и у. Графиком функции является
гипербола, для которой оси координат являются асимптотами
(см. рис. 7, 8).
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функция y 
ax  b
называется дробно-линейной, она отноcx  d
сится к классу рациональных функций. Для построения ее графика можно выполнить следующие преобразования, считая при
этом a  0, c  0 .
b
d d b
b d

 
a( x  )
x  
ax  b
a
a
a
c
c
a
a
c  a  bc  ad .

 
 1 
y
d
d 
d
cx  d c( x  d ) c
c
x
x   c c2 ( x  )
c
c
c 
c

a
Отсюда видно, что для графика функции прямая y  являc
d
ется горизонтальной асимптотой, а прямая x   – вертикальной
c
b
и вертикальная
асимптотой. Если, в частности, а=0, то y 
cx  d
асимптота остается та же, а горизонтальной асимптотой является
ось абсцисс.
2x  3
, то, выполнив преобразования, по3x  1
1 1 3
3 1
11
3

x  
 
x

2(
)

2x  3
3 3 2  2 1 2 3  2  9 .
2  2
лучим y 


1
1
1
3 x  1 3( x  1 ) 3
3
x
x   3 (x  )
3
3
3
3

2
1
Таким образом, прямая y  – горизонтальная, x  –
3
3
К примеру, если y 
вертикальная асимптоты. Постройте график этой функции.
Квадратичная функция у=ах2+bx+c (многочлен второй
степени, а  0). Ее можно преобразовать к виду:
2
2
 2
c
b
 2 b
 b   b  c
y  ax  bx  c  a  x  x    a  x  2 
x     

a
a
2
a

 2a   2a  a 

2
2
b  4ac  b 2

.
 a x 
 
2a 
4a

Было использовано выделение полного квадрата, обратите на
него внимание. Графиком функции является парабола вида
 b 4ac  b 2 
у = ax , вершина которой находится в точке   ;
 . Вер2
a
4
a


2
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
шина параболы – это высшая ее точка, если a<0, и низшая, если
a>0. Отсюда и следует, что абсцисса вершины равна 
4ac  b 2
ордината
.
4a
b
, а
2a
К примеру, если у=2х2+4х+3, то у=2(х2+2х+1)+1 =
2(х+1)2+1 и графиком будет парабола у = 2х2 с вершиной в точке
(-1; 1) (рис. 9).
Показательная функция у=ах, где a>0, а  1 (при а=1
получаем постоянную функцию у=1), определена на всей
числовой прямой, а множество ее значений – интервал (0; +  ).
Если а>1, функция монотонно возрастает на всей оси и при х +
 ах +  , а при х  -  ах 0 (рис. 10).
Рис. 9
Рис. 10
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 11
В случае, когда 0<a<1, функция ах монотонно убывает на
(–∞; +∞), при х→+∞ах→ 0, а при х→ –∞ах→+∞ (рис. 11).
Частным случаем показательной функции является функция
у = ех, где е – некоторое иррациональное число (е=2,71828…),
играющая в математике очень важную роль. Ее называют
экспоненциальной функцией и обозначают у=ехp х.
Гиперболические функции определяются следующим
образом:
e x  e x
,
гиперболический синус sh x =
2
e x  e x
,
гиперболический косинус ch x =
2
shx e x  e  x
гиперболический тангенс th x =
,

chx e x  e  x
chx e x  e  x
гиперболический котангенс cth x =
.

shx e x  e  x
Первые три из них определены на всей числовой прямой, cth
x не определен при х = 0. Приведем графики этих функций (см.
рис. 12–15).
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 12
Рис. 14
Рис. 13
Рис. 15
Напомним определение тригонометрических функций: sin x,
cos x, tg x, ctg x. Мы будем рассматривать радианную или числовую меру аргумента (угла) х. Напомним, что 1 радиан – мера
центрального угла, соответствующего дуге окружности длиной R,
где R – радиус окружности. Пусть А – точка окружности с центром в начале координат и радиусом, равным единице,  – угол

между положительным направлением оси абсцисс и вектором OA
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
, отсчитываемый против часовой стрелки, в этом случае α>0, если
угол отсчитывается по часовой стрелке, то α <0 (рис. 16).
Рис. 16
Пусть хα, уα – прямоугольные координаты точки А. Тогда
sinα= уα, cos α =х α, tg α =
sin  y
cos  x
, ctg α =
. Функции


cos  x
sin  y
sin α и cos α определены при всех α  (-∞; +∞), tgα не определен
для     k ( k   ), ctg  не определен для   k ( k   ).
2
Непосредственно из определения следует, что функции sin  и cos
 периодические с периодом 2 , а tg  и ctg  имеют период  .
Пользуясь определением, легко получить формулу sin2  + cos2 
=1.
Действительно из прямоугольного треугольника ОАВ, по теореме Пифагора, имеем ОВ2 + АВ2 = ОА2, откуда и следует формула (напомним, что ОА = 1). Нетрудно проследить изменение
значений функции sin  при изменении угла  от 0 до 2 , а
именно: когда  возрастает от 0 до  , sin  возрастает от 0 до 1,
при изменении  от

2
2
до  , sin  убывает от 1 до 0, при измене-
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нии  от  до
изменяется от
3
2
3
2
, sin  убывает от 0 до -1, и, наконец, когда 
до 2 , sin  возрастает от -1 до 0.
Из определения следует нечетность функции sin  (при замене  на -  , ордината точки А меняет знак на противоположный).
Нетрудно, исходя из определения, найти значения sin  для  =0,




 = ,  = ,  = ,  = и т. д. (рис. 17).
6
4
3
2
Рис. 17
То, что sin0=0 и sin  =1, очевидно. Если  =  , то А1В1= 1
2
6
2
(как катет прямоугольного треугольника, лежащего против угла

) и, следовательно, sin  = 1 . Если  =  , то треугольник А2ОВ2
6
6
2
4
прямоугольный и равнобедренный,
чит, sin  =
4
2
2
ОВ22  А2 В22 =1
. Если  =  , то ОВ3= 1 , А3В3=
3
2
3
2
2
2
и А2В2=
, зна-
, тогда sin  =
3
3
2
.
Значения функции cos  легко получить из тех же геометрических соображений. Из определения следует четность функции
cos  .
Что касается функций tg  и ctg  , то их значения находятся из
определений tg  = sin  , ctg  = cos  . Эти две функции являются
cos 
sin 
нечетными как отношения нечетной и четной функций. Сведем в
таблицу значения тригонометрических функций основных углов.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 1
Значения тригонометрических функций основных углов
Аргумент
в градусах в радианах
0о
30о
45о
60о
90о
Приведем
рис. 18–21).
sin 
0
0

1
2
6

4

3

2
графики
Тригонометрические функции
cos 
tg 
ctg 
не
1
0
существует
3
3
3
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
1
1
3
3
3
1
0
не существует
тригонометрических
Рис. 18
Рис. 19
29
0
функций
(см.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 20
Рис. 21
Приведем формулы, связывающие тригонометрические
функции.
Соотношения между тригонометрическими функциями
одного аргумента:
sin2  +cos2  = 1
(14)
tg   ctg  = 1
(15)
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 + tg2  =
1
cos2 
1 + ctg2  =
1
sin 2 
(16)
(17)
Формула (14) выведена выше, (15) следует из определения,
(16) получается делением обеих частей равенства (14) на cos2  ,
(17) – на sin2  .
Тригонометрические функции суммы и разности двух
аргументов:
cos(  -  ) = cos   cos  + sin   sin 
(18)
cos(  +  ) = cos   cos  – sin   sin 
(19)
sin(  -  ) = sin   cos  – cos   sin 
(20)
sin(  +  ) = sin   cos  + cos   sin 
(21)
tg ( 
 
)=
tg  tg 
.
1  tg  tg 
(22)
Приведем вывод формулы (18), которая является основной.
Рис. 22
Из треугольника АОВ (рис. 22) по теореме косинусов имеем:
АВ2=ОА2+ОВ2–2·ОА·ОВ·сos(  -  )=2–2cos(  -  ).
С другой стороны, по формуле (10) с учетом формулы (14)
имеем:
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
АВ2=(cos  - cos  )2+(sin  - sin  )2=2–2(cos   cos  +sin   sin  ).
Приравнивая правые части полученных равенств, приходим к
формуле (18), заменив -  на  и используя четность функции cos
 и нечетность функции sin  , получаем формулу (19). Из
формулы (18) следует, что cos(    )=cos  cos  +sin  sin  =sin  ,
положив

2
2


2
= -  , получим sin( -  )=cos  . Используя получен2
2
ное соотношение, имеем: cos(  -(  +  )) =sin (  +  ).
2
C другой стороны, cos(  -(  +  ))=cos((  -  )-  )=
2
2
=cos(  -  )cos  +sin(  -  )sin  =sin  cos  +cos  sin  .
2
2
Приравнивая правые части последних двух равенств,
приходим к формуле (21). Таким образом, sin(  +  ) = sin   cos 
+ cos   sin  .
Выведите формулу (20) самостоятельно.
Что касается формулы (22), то можно представить
tg(    )= sin(   ) = sin   cos   cos  sin  .
cos(   )
cos   cos   sin   sin 
Поделив числитель и знаменатель последней дроби на cos  
cos  (     k ,     k ), получим формулу (22).
2
2
Тригонометрические формулы двойного угла:
cos2  =cos2  -sin2  =2cos2  -1=1-2sin2 
(23)
sin2  = 2sin  cos 
(24)
tg2  =
2tg
1  tg 2
.
(25)
Эти формулы легко получить из формул (14), (19), (21), (22).
Тригонометрические функции половинного аргумента:

sin = 
2
tg  = 
2
1  cos 
2
1  cos 
1  cos 
(26)
cos = 
1  cos 
2
(27)
(28)
ctg  = 
1  cos 
.
1  cos 
(29)

2
2
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Знак перед радикалом определяется четвертью, где лежит
аргумент  .
2
Выражение тригонометрических функций через тангенс
половинного угла:
sin  =
2  tg
1  tg
1  tg
2
1  tg 2
cos  =
(30)
2 

2  tg
tg  =

1  tg
2
2
ctg  =
(32)
2 
1  tg 2
2  tg
2

2
(31)
2 

2

2
.
(33)
2
Приведем вывод формул (30) и (31).
sin  =
2  sin
sin 2


2
2
 cos
 cos 2

2

2
=
2  tg

2
1  tg 2

.
2
Мы воспользовались формулами (24) и (14), а затем разделили числитель и знаменатель дроби на cos2  , считая     k .
cos  =
cos
sin
2 
2
2

2
 sin
 cos
2 
2
2

2
=
1  tg
1  tg
2
2 
2
2

2
2
. Использовали формулы (23) и
2
(14) и деление числителя и знаменателя на cos2  .
2
Таким образом, нет необходимости запоминать большое
число формул. Фактически используя формулы (14), (18), можно
вывести все остальные.
Перейдем к обратным функциям.
Пусть мы имеем функцию у=f(x), отображающую множество
D (область определения) на множество Е, то есть каждый элемент
у  Е является образом некоторого х  D, то есть у=f(x). Если при
этом  y  E отвечает единственный прообраз f -1(у) = х, то на
множестве Е определена обратная функция f -1, действующая из Е
в D, а именно каждому у  Е она ставит в соответствие тот х  D,
которому отвечал элемент у (у = f(x)). То есть в этом случае
между D и Е устанавливается взаимно однозначное соответствие.
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если функция у = f -1(х) является обратной к функции у=f(x),
то их графики симметричны относительно биссектрисы первого и
третьего координатных углов, у=х, так как точки (х; f(x)) и (f(x);
x) обладают этим свойством.
Определим функции, обратные функциям ах, ех, sin x




2
(  x  ) , cos x (0  x   ) , tg x (  x  ) , ctg x (0  x   ) , x
2
2
(0  x  ) ,
2
2
sh x. Что касается функции а , в частности ех, то эти
функции строго монотонны на области определения (  ; ), а
множество их значений Е представляет собой интервал (0;+  ).
Для любого значения у (0;+  ) найдется единственное значение х
(-  ;+  ), такое, что ах=у (ех = у), то есть х=logay или х=logеy=lny
(логарифм натуральный). Таким образом, логарифмическая функция является обратной к показательной. Графики логарифмических функций у=logaх, у=ln х выглядят следующим образом
(см. рис. 23–25):
Рис. 23
34
х
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 24
Рис. 25
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функцию у=х2 рассмотрим для х (0;+  ), на этом интервале
она монотонно возрастает и имеет в качестве обратной функцию
у= x с графиком (см. рис. 26).
Рис. 26
Функции sin x, cos x, tg x, ctg x рассматриваются на промежутках, где они монотонны, что обеспечивает существование обратных функций: arcsin x, arcos x, arctg x, arcctg x. Их графики
представлены на рис. 27–30.
Рис. 27
Рис. 28
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 29
Рис. 30
Приведем таблицу значений обратных тригонометрических
функций.
Первую и последнюю строки таблицы 3 надо понимать в предельном смысле: если х   , то arctg x    , arcctg x   ; если х
  ,

то arctg x  , arcctg x
2
2
0
(рис. 29, 30).
Рассмотрим функции, обратные к гиперболическим. Функции y = sh x и y=th x монотонно возрастают на всей числовой
прямой, y=ch x монотонно убывает на (   ; 0] и монотонно
возрастает на [0;   ) (ведет себя примерно как y=x2). Поэтому
если сузить область определения до одного из промежутков (-  ;
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0) или (0; +  ), то можно построить обратную функцию. Для сh x
обратная функция определяется на интервале (   ; -1) и на
интервале (1;   ) (рис. 12–15).
Таблица 2
Аргумент
Функция
arcsin x
arccos x

Аргумент

-1
3
2
2
2
1
2

-


2

3

4

6

5
6
3
4
2
3
0
1
2
2
2
3
2


6
3


4
4


3
6

1
2


 3

-1


0
2
3
3



2

3

4

6

5
6
3
4
2
3

0
0
3
3


6
3


4
4
1
3

0
Функция
arctg x
arcctg x
2


3
6

2
0
Таблица 3
Построим функцию, обратную функции y=sh x. Так как y=sh,
x=
e x  ex
2
, то е2х-2уех-1=0. Решая это уравнение относительно ex,
получим eх=у+ y 2  1 (второе решение у- y 2  1 не подходит, так
как оно отрицательно при любом y, a ex>0), и , следовательно,
x=ln(у+ y 2  1 ). Таким образом, обратная функция имеет вид:
у=ln(х+ x 2  1 ).
Для функции y=ch x, поступая как и выше, получаем у=chx=
e x  ex
2
, откуда е2х-2уех+1=0. Из последнего уравнения
, а x=ln(у 
y 2  1 ).
ех  у  y2 1
Если в последней формуле выбрать знак «-», то
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
х  (   ;0], если «+», то х  [0;   ). Таким образом, получены
обратные функции у=ln(х  x 2  1 ) (|x|  1).
Постройте самостоятельно функцию, обратную к функции
y=th x.
Как было сказано выше, к элементарным функциям относятся конечные суперпозиции (композиции) перечисленных функций. Например, y=2sin x, y=arctg 1 , (x  1), y=cos4x+sin4x и т. п.
1 x
Построим графики первых двух функций (см. рис. 31, 32).
Рис. 31
Рис. 32
Третью функцию преобразуем к следующему виду
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
у=cos4x+sin4x=(cos2x+sin2x)2–2sin2xcos2x=
=1- 1 sin22x=1- 1  1  cos 4 x = 3  cos 4 x
2
2
2
4
и построим график (см. рис. 33).
Рис. 33
Задачи:
1). Решить уравнения:
x 5
x 17
а) 3х-1=7, {log321}; б) 32 x 7  0,25 128 x 3 , {10};
в) x log 1x   9 , {4};
{  n};
г) cos x  cos 2x  cos3x  cos 4x  1,
д) sin 2 x  cos 2 x  1 , {  2   2 n}.
2
x
2
2
2
3
2). Вычислить:
а) arcsin (sin 10 ), {  3  }; б) arccos (sin(   )), { 11  };
в) arcsin (cos
7
33
10
7
),
{   };
5
г) arctg (ctg
3). Решить неравенства:
а) x log x  2 > x , (0; 2)  (4;  ); б)
2
4
в)
1
 
 3
x2
xlg x 
2
 3 lg x 1
11
4
9
),
18
{   }.
4
>1000, (1000;
 );
1
< 3-x, (-1; 2);
г)
40
 1 x
x-6  

2
 32  ,
(-  ; 0)  (1; 5);
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

д) sin (x +
е) tg (x +
4
)  1 , (- 17   2k ; - 

)
3
2
12
1, (- 
12
12
 k ;
 2k );

 k ).
6
4). Найти области определения следующих функций:
а) y  sin x , [4 n 2 2 ; 2n  12 2 ];
б)
y  cos x 2
в)
y  arcsin
, [0;
2x
1 x2

2
] [
2k  1

2
;
2k  1

2
], k   , k  2 ;
, (  ;  );
г)
y  arccos( 2 sin x ) , [ 
д)
y  ctgx  arccos 2 x ,

6
 2 k
;
6
 2k ];
(-n; -(n-1)), n   .
Некоторые сведения из геометрии Напомним некоторые формулы для вычисления площадей
плоских фигур:
1). Площадь треугольника (рис. 34).
S∆ABC= 1 AC·BD= 1 AC·AB·sinA.
2
2
Рис. 34
В частности, площадь прямоугольного треугольника с
катетами АВ и АС равна: S = 1 AB·AC.
2
2). Площадь трапеции (рис. 35)
S=
1
(BC
2
+ AD)·BH.
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 35
3). Площадь круга радиуса R.
S =   R2.
4). Площадь кругового сегмента АОВ с углом
угла радианная) (рис. 36).
AOB  
(мера
Рис. 36
Очевидно, что между площадью сектора и его угловой мерой
(градусной или радианной) имеет место прямо пропорциональная
зависимость. Так как полному углу, который равен 2 , отвечает
площадь круга, равная   R2, где R – радиус круга, а углу, равному
S
 радианов, отвечает площадь сектора S  , то    , откуда
S 
1

 R 2  R 2 .
2
2
S
2
Площади криволинейных поверхностей 1). Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра с радиусом основания R и высотой h: Sб.п.ц. = 2Rh .
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Это следует из того, что развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник, основание которого
имеет длину 2 R и высота – длину h.
2). Площадь боковой поверхности конуса с образующей l и
радиусом основания r: Sб.п.к. =  rl .
3). Площадь боковой поверхности усеченного конуса:
Sб.п.у.к.=  ( R  r )l ,
где R и r – радиусы верхнего и нижнего оснований, l – образующая усеченного конуса.
4). Площадь поверхности сферы радиуса R: Sсф. = 4 R2 .
Объемы тел 1). Объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями a,
b, c: V=abc.
2). Объем прямого кругового цилиндра с радиусом основания
R и высотой h: V=  R 2 h .
4
3
3). Объем шара радиуса R: V =  R3.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тест I 1. Доказать иррациональность чисел: 3 5 , log25, cos15º.
2. Сравнить числа 12  11 и 11  10 .
3. Решить уравнения:
а) |x-2| + |x+2| = 4;
б) ||x|-3| = 3;
в) |x+1| + |x+2| + |x-3| = 5;
г) |x2-x| +x2 – x = 0.
4. Решить неравенства:
в) x2+4x+5>0.
а) 2<|x-3|<3;
б) x2-|x|-6<0;
5. Построить графики функций:
а) y = 2arcsinx;
б) y = 2sinx;
в) y = |x+2|;
2
д) y = |sin 2x|;
е) y = cos2x;
г) y = |x -3x+2|;
2x  3
ж) y =
;
x 1
x 2  3x  3
з) y =
;
x2
и) y = log2 x .
x 1
6. Упростить выражения:
а)
a
a2

a 1
;
a 1
б)
x2 x2
.
x2  4
7. Изобразить на координатной плоскости фигуру, координаты точек которой описаны неравенствами: |x|+|y-1|  2, x2+(y-2)2  1.
8. Решить уравнения:
а) 22х-3 = 4x 3x1 ;
2
б)
2
lg( x  1  1)
=3;
lg 3 x  40
в) x log (4 x ) = 16;
г) log2(4-x) = x-3;
д) 4|cos x|+3 = 4sin2x;
е) tg x – tg3x =
x
`
8
.
sin 2 x
9. Решить неравенства:
1
2
а) sin x< ;
б) |cos x| >
3
;
2
в) (x2-2x-3)2<4.
10. Основание равнобедренного треугольника равно 16,
высота 12. Найти площадь круга вписанного в треугольник.
11. Найти площадь равнобокой трапеции, средняя линия
которой равна 5, а диагонали взаимно перпендикулярны.
12. Найти объем правильной треугольной пирамиды, все
ребра которой равны, и объем цилиндра и шара вписанных в нее.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. В каком отношении делит объем конуса плоскость,
которая параллельна основанию конуса и делит его высоту
пополам?
14. Найти объем общей части фигур, заданных неравенствами: |x|+|y|  4, x2+y2  8.
15. Найти площадь осевого сечения конуса, радиус которого
равен r, а образующая 2r.
Тест II 1. Доказать иррациональность чисел: log37, sin20º.
1
1 
1 
2. Упростить выражение:  1  
 1   1  2  .

4 
9
n 

3. Построить графики функций:
2x
2x
 1
2
1 x
1  x2 ;
а) f(x) =
2x
2x
1
1


1  x2
1  x2
x2  3 x  4
в) f(x) =
;
x
1
б) f(x) = |x-1|-|x+1,5|;
г) f(x) = 4  x .
1 x
4. Найти множество значений функции: f(x) = 12  12 .
sin x cos x
5. Найти область определения функций:
lg log x 1 0,1
; б) f(x) =
sin 2 x
1
в) f(x) = arcsin
.
log 0,5  x  4 
а) f(x) =
6. Решить уравнение:
log 2 0,2  3  2 x   1 ;
x2  x
x2  x  2

1.
x2  x  1 x2  x  2
7. Найти все значения r, при которых корни уравнения
x -2xr+r+3=0 положительны.
2
 x
y 3

 ;

8. Решить систему уравнений:  y
x 2
 x  xy  y  9.

45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством: |y-0,5x2|+|y+0,5x2|  2+x.
10. Найти площадь фигуры, заданной на координатной
плоскости неравенствами: |x+1|+|y|  2, (x+2)2+y2  1.
11. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф,
состоящая из всех точек, координаты (a;b) которых таковы, что
система неравенств
2
2
2
2
2
 x  (3  a  b ) x  3(a  b )  0;
 2
 2 x  (2a  2b  25) x  25(a  b)  0
не имеет
решений. Найти площадь фигуры Ф.
12. Вычислить:
а) arccos(sin(-  ));
7
13. Доказать, что
б) arcsin(cos( 33 )).
5
1
1
arctg( )+arctg( )+arctg( 1 )+arctg( 1 )= 
3
5
7
8
4
.
14. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу
из пунктов А и В и встретились через 2 часа. Сколько времени
затратил на путь АВ каждый пешеход, если первый пришел в
пункт В на 1 час 40 минут позднее, чем второй в пункт А?
15. На сторону ВС ромба ABCD опущена высота DK. Диагональ АС пересекает высоту DK в точке М так, что DM:MK = 13:7.
Найти DK, если АК = 17.
16. В круговой сектор с углом 90º вписана окружность, длина
которой равна 12( 2 -1). Найти длину дуги сектора.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
Множества, операции над множествами .......................................... 3
Функции, отображения ...................................................................... 4
Взаимно однозначное соответствие ................................................. 5
Метод математической индукции ..................................................... 7
Арифметическая и геометрическая прогрессии ............................. 8
Размещения, перестановки, сочетания ............................................. 9
Бином Ньютона................................................................................. 12
Действительные числа. Модуль действительного числа .............. 14
Прямоугольная декартова система координат.............................. 19
Элементарные функции ................................................................... 21
Некоторые сведения из геометрии ................................................. 41
Площади криволинейных поверхностей ........................................ 42
Объемы тел ....................................................................................... 43
Тест I ........................................................................................... 44
Тест II ......................................................................................... 45
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Чаплыгин Владимир Федорович
Введение
в математический анализ
Методические указания
Редактор, корректор М. В. Никулина
Верстка И. Н. Иванова
Подписано в печать 18.03.10. Формат 6084 1/16.
Бум. офсетная. Гарнитура "Times New Roman".
Усл. печ. л. 2,79. Уч.-изд. л. 2,0.
Тираж 150 экз. Заказ
.
Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе
Ярославского государственного университета
им. П. Г. Демидова.
Отпечатано на ризографе.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова.
150000, Ярославль, ул. Советская, 14.
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В. Ф. Чаплыгин
Введение
в математический анализ
50
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
616 Кб
Теги
анализа, 615, математические, введение, чаплыгин
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа