close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

759.Лабораторные работы по молекулярной физике Митрофанов В А

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Кафедра общей и экспериментальной физики
В.А. Митрофанов
Лабораторные работы
по молекулярной физике
Методические указания
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по направлению Физика
и специальностям Радиофизика и электроника,
Микроэлектроника и полупроводниковые приборы
Ярославль 2007
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 539.18/.19
ББК В 36я73
М 67
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2007 года
Рецензент
кафедра общей и экспериментальной физики
Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова
Митрофанов, В.А. Лабораторные работы по молекулярМ 67 ной физике: метод. указания / В.А. Митрофанов; Яросл. гос.
ун-т. – Ярославль: ЯрГУ, 2007. – 67 с.
Методические указания содержат описания семи лабораторных работ, посвященных явлениям переноса в газах и
жидкостях, закономерностям броуновского движения, термодинамическим процессам, фазовым превращениям и поверхностным явлениям. В них даются теоретические сведения, описания экспериментальных установок, методики измерений, развернутые задания по выполнению практической части работ и контрольные вопросы.
Методические указания предназначены для студентов,
обучающихся по специальностям 010801 Радиофизика и
электроника, 010803 Микроэлектроника и полупроводниковые приборы и направлению 010700 Физика (дисциплина
«Физический практикум», блок ЕН), очной формы обучения.
УДК 539.18/.19
ББК В 36я73
© Ярославский государственный университет, 2007
© В.А. Митрофанов, 2007
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предисловие
В настоящий выпуск вошли описания работ, которые удалось
заметно продвинуть в методическом отношении. Наиболее серьёзной модернизации подверглись работы № 1 – 3, в которых предложены новые (по мнению автора) подходы к решению давно “заезженных” экспериментальных задач. В интересах профессиональной подготовки в данном издании выставлена довольно высокая
научно-методическая планка. Но, в связи с нехваткой лабораторных часов, порядок выполнения работ тщательно прописан. Вместе
с тем, для продвинутых студентов в пределах изучаемых тем оставлено много степеней творческой свободы. По техническим причинам пришлось нарушить сложившуюся нумерация работ лабораторного практикума.
Большинство рисунков подготовлены А.Е. Гладуном, в оформлении рукописи участвовали также Кочетов М. и Лавриков И.
Общие требования и рекомендации
Ввиду небольшого количества часов лабораторных занятий
студентам предлагается следующий регламент выполнения работ:
1. Накануне (в домашних условиях) внимательно прочитать
описание предстоящей работы и даже начать её оформление, не
слишком усердствуя в примитивной компиляции самого описания.
2. В лаборатории поскорее получить допуск, проявив своё понимание поставленной задачи, а затем произвести необходимые
опыты – измерения. Их результаты (первичные данные) записывать в лабораторной тетради (отдельные листочки имеют обыкновение выпадать и теряться) с обязательным указанием размерностей физических величин, а также использованной шкалы прибора,
если он многопредельный. По окончании работы прибрать за собой
рабочее место.
3. Обработку первичных данных опытов производить дома. Во
всех расчетах числовые значения сопровождать размерностями.
Систему единиц выбрать соразмерно масштабам изучаемых явле3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ний (зачастую удобнее пользоваться системой СГС, а не системой
СИ). Исследуемые зависимости представлять графически, обязательно показывая на осях размерности откладываемых величин.
Для каждой измеренной величины и конечных результатов оценивать ошибку.
4. При сдаче работы основное внимание уделить формулировке критического вывода по существу затронутых в ней вопросов.
Лабораторная работа 1
Определение коэффициента
внутреннего трения и длины
свободного пробега молекул воздуха
Оборудование: аспиратор на штативе, вставка с капилляром,
жидкостный манометр, мерный цилиндр, секундомер.
Общие представления
Внутреннее трение (вязкость) в газах обусловлено переносом
импульса упорядоченного (макроскопического) движения, который
возникает благодаря хаотическому (тепловому) движению молекул.
Этот механизм обычно поясняют на примере двух соприкасающихся слоев газа (рис. 1), имеющих различные макроскопические скорости u1 < u2, но одну и ту же температуру. За счёт попе
речной составляющей vz случайного вектора скорости v теплового
движения отдельные молекулы газа будут пересекать границу раздела слоёв снизу вверх, а другие – сверху вниз. Поскольку скорость
движения нижнего слоя на рис. 1 меньше, чем верхнего, то молекулы первой группы в среднем будут переносить вверх меньший
импульс mu1, чем молекулы второй группы, переносящие вниз импульс mu2 (здесь m – масса молекулы). Так появляется поток импульса, направленный в общем случае в сторону убывания скорости макроскопического движения. Рассчитаем приближенно его
величину (см. для сравнения [1]).
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1. К расчету потока импульса,
переносимого молекулами через площадку S между двумя движущимися
слоями газа.
Потоки частиц, пересекающих выделенную площадку S на
границе раздела слоёв за единицу времени, определяются выражениями
I1 = n + < v z+ > S , I 2 = n − < v z− > S ,
где n – объемная плотность частиц (концентрация), а значки + и –
относятся к молекулам первой и второй групп соответственно. Результирующий поток импульса mu2 ⋅ I 2 − mu1 ⋅ I1 по второму закону
Ньютона определяет силу F взаимодействия слоев на выделенной
площадке S.
При тепловом равновесии газа потоки I1 , I 2 одинаковы, поскольку
n+ = n− =
n
1
, < v z+ > = < v z− > = < v > ,
2
4
(1)
где n – полная концентрация, v – абсолютное значение скорости
теплового движения. Таким образом, для силы взаимодействия получаем
1
F = m(u 2 − u1 ) I , где I = n < v > S .
4
В действительности скорость макроскопического движения
меняется в поперечном направлении непрерывно, и мы имеем
функцию u(z). При этом обмен импульсами происходит как бы между слоями, расположенными друг от друга на расстоянии средней
длины свободного пробега молекул λ. Поэтому разность скоростей
u1, u2 в предыдущем выражении для силы F следует представить в
виде
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
λ
λ du
u 2 − u1 = u ( z + ) − u ( z − ) = λ .
2
2
dz
(2)
В результате для силы внутреннего трения на площадке получаем
F=
1
du
ρ <v>λ⋅ S,
4
dz
где ρ = mn – плотность газа.
При более аккуратном рассмотрении процесса переноса импульса макроскопического движения, которое было выполнено в
1860 году Дж. Максвеллом, оказалось, что вместо λ / 2 в формуле
(2) должно стоять среднее расстояние от места последнего столкновения молекул до площадки S перед тем, как они её пересекают
[2]. Это расстояние равно 2λ / 3. В итоге в законе вязкости
F =η ⋅
du
S
dz
1
3
для газов должен стоять коэффициент η = ρ < v > λ .
Из последней формулы видно, что длину свободного пробега λ
можно найти, измеряя на опыте коэффициент вязкости газа η. Потребуется ещё использовать выражение для средней скорости < v >
и уравнение состояния идеального газа, чтобы получить окончательную формулу
λ=
3η πRT
⋅
,
P
8μ
(3)
где R – универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура, μ – молярная масса газа, P – его давление.
Основы метода измерения
коэффициента вязкости
Наиболее простой способ экспериментального определения
коэффициента вязкости основан на изучении ламинарного течения
газа в тонкой трубке (капилляре) круглого поперечного сечения.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если перепад давления ΔP на концах трубки, вызывающий течение, мал по сравнению с самим давлением P, то сжимаемостью газа можно пренебречь и выразить объемный расход Q = V / t по формуле Пуазейля [3]
π a4
Q=
ΔP .
8η L
(4)
Здесь V – объем газа, проходящий за время t через поперечное сечение трубки, L – длина трубки, a – ее внутренний радиус. Очевидно, что коэффициент вязкости η будет легко определяться из данной формулы по измеренным на опыте величинам Q и ΔP.
Формула (4) справедлива лишь при спокойном слоистом (ламинарном) течении, которое реализуется при условии Re < 1000.
Определяющее характер течения в трубке число Рейнольдса
Re = ρ au / η (5)
зависит от средней по сечению скорости газа u = Q /(π a 2 ) . С ее нарастанием при Re > 1200 – 1400 в потоке газа возникают местные
пульсации скорости и давления. Течение становится турбулентным. Макроскопические частицы газа, помимо основного продольного движения, начинают беспорядочно перемещаться в поперечном направлении, обеспечивая более эффективный перенос импульса по сравнению с молекулами. В результате изменяется профиль скорости (осредненной по времени) – ее зависимость от радиальной координаты r. Он становится более уплощённый, нежели
характерный параболический профиль скорости ламинарного течения
u (r ) = 2u ⋅ (1 − r 2 / a 2 ) ,
показанный на рис. 2 в средней и задней (правой) части трубки.
Рис. 2. Профиль скорости ламинарного течения газа
в разных поперечных сечениях трубки
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Наконец, еще одно обстоятельство может внести заметную
систематическую погрешность в искомую величину η – непараболичность профиля скорости в передней (левой) части трубки (см.
рис. 2). В её входном сечении профиль скорости, вообще, плоский:
u (r ) = u . Далее, вдоль трубки, по мере все большего проникновения
тормозящего влияния стенки (внутренней поверхности трубки)
внутрь потока, профиль скорости вытягивается и на некотором
расстоянии b от входного сечения переходит в параболический.
Длину b участка установления ламинарного потока можно рассчитать согласно [4] с помощью выражения
b = c a ⋅ Re ,
(6)
где постоянная c = 0.2, если использовать полученные на опыте
значения η и u . При условии b << L влиянием начального участка
потока газа в капилляре на окончательный результат измерений
можно будет пренебречь.
Однако гораздо полезнее самостоятельно исследовать эффект,
производимый участком установления ламинарного потока, и проверить формулу (5). Получим необходимые для этого выражения.
Поскольку тормозящее влияние стенки на газ в передней части
трубки больше, чем в области установившегося ламинарного потока, то там соответственно и больше продольный градиент давления. Его величина хорошо описывается выражением
dP
b dP
=
⋅
dx 0 < x < b
x dx
.
уст
При x > b справедлива формула Пуазейля и градиент давления выражается в виде
dP
dx
=
уст
8η Q
π a4
.
Интегрируя величину dP / dx по всей длине трубки L, нетрудно получить формулу
ΔP =
8η Q
πa
( L + b) , откуда следует b =
4
8
π a 4 ΔP
− L.
8η Q
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Запишем еще нужное нам выражение a ⋅ Re =
ρQ
.
πη
Согласно изложенному, график зависимости величины Q от
ΔP, построенный по опытным данным для относительно короткой
трубки, в своей дальней части будет загибаться к оси ΔP. График
зависимости величины b от произведения a ⋅ Re , построенный для
той же части данных, должен быть линейным. Коэффициент его
наклона дает постоянную c.
Описание лабораторной установки
Лабораторная установка для определения коэффициента вязкости воздуха изображена на рис. 3. На её штативе Ш крепится заполненный водой аспиратор А – цилиндрический сосуд с выпускным
краном К для создания разрежения воздуха. В его верхней части находится стеклянная вставка с исследуемым капилляром, которая соединена резиновым шлангом с жидкостным манометром М.
При выпуске воды из аспиратора на концах капилляра образуется разность давлений, замеряемая манометром. Возникающее
при этом течение воздуха через капилляр может иметь различную
скорость в зависимости от поворота головки крана К и высоты
столба воды в аспираторе. Средняя скорость воздуха в капилляре
может быть найдена по величине объёмного расхода, который измеряется объёмом воды, вытекающей в мерный цилиндр С за единицу времени.
Рис. 3. Схема установки для определения коэффициента вязкости воздуха
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Используемый в работе строенный дифференциальный микроманометр ЛТА – 4 имеет два независимых резервуара (бачка) для
рабочей жидкости – спирта. В их верхней части расположены
трехходовые краны (на рисунке не показаны), обеспечивающие
многофункциональное применение манометра. Стеклянные измерительные трубки смонтированы в общей металлической оправе
(стойке), которая может фиксироваться в одном из четырех положений. Синусы углов наклона стойки в этих положениях имеют
значения 0.25, 0.5, 0.8 и 1.0. Меньшим значениям отвечает большая
чувствительность прибора. Каждая трубка снабжена миллиметровой шкалой длиной 300 мм, что позволяет при заправке манометра
спиртом измерять перепады давления до 24 см водного столба.
Бачки манометра снабжены заливочными отверстиями с герметичными пробками и краниками для слива жидкости. У каждого
бачка сверху имеется регулировочный винт В, соединенный с
внутренним цилиндром, частично погруженным в спирт. Они служат для установки мениска жидкости в измерительных трубках на
нулевую отметку шкалы. На основании прибора закреплён круглый уровень, по которому оно может быть выставлено в горизонтальной плоскости с помощью регулировочных ножек (на рисунке
не показаны).
В данной работе задействован только один бачок и одна измерительная трубка. Трехходовые и прочие краны зафиксированы в
рабочих положениях. Прибор используется во всасывающем режиме. Ввиду небольшой величины измеряемых перепадов давления и высокого положения вставки с капилляром выплескивание
спирта в аспиратор исключается.
Порядок измерений
1. Проверив крепление аспиратора в лапке штатива и её самой
на вертикальной стойке, заполните аспиратор водой почти до его
верха. Для этого осторожно выньте широкую пробку из горловины
аспиратора и положите вставку в безопасное место, чтобы не сломать капилляр. Возвращая вставку с капилляром в рабочее положение, смочите поверхность пробки и уплотните её в горловине
аспиратора плавными вращательными движениями.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Проверьте готовность манометра, установите мениск спирта
в его измерительной трубке на нуль или на другое l0 деление шкалы. Открыв кран аспиратора на полный выпуск воды, убедитесь в
том, что столбик спирта в манометре поднимается достаточно высоко, но не зашкаливает. В противном случае измените наклон
стойки манометра. Имейте в виду, что недостаточный подъём
спирта в измерительной трубке может быть связан и с негерметичностью лабораторной установки в целом.
3. Поставив мензурку под выпускной кран так, чтобы вода из
аспиратора текла по её стенке и поверхность жидкости не дрожала,
потренируйтесь в замерах объёмного расхода Q = V / t . Необходимо
засекать по секундомеру время t натекания в мензурку определённого объёма V воды (20, 40 или более мл). Его величину следует
выбирать соответственно скорости натекания.
4. Поскольку аспиратор не очень широк, мениск спирта в манометре за время опыта (натекания определённого объёма воды)
будет несколько опускаться. Поэтому при его проведении показания манометра требуется снять дважды – в моменты пуска и останова секундомера. Результирующий (искомый) перепад давления
ΔP следует находить, пользуясь формулами
1
ΔP = ρ с g k l , l = (l '+l ' ' ) − l0 ,
2
где ρс – плотность спирта, k – коэффициент наклона стойки манометра, l ' , l ' ' , l0 – соответственно начальная, конечная и нулевая
длина спиртового столбика.
5. Освоив изложенную выше методику измерений величин Q и
ΔP , проведите несколько опытов при наибольшей скорости истечения воды из аспиратора. Если полученные значения ΔP будут
близки, то результаты можно осреднить и рассчитать среднеквадратичную ошибку измерений.
6. Восстановив уровень воды в аспираторе, проведите дополнительно серию из 4 – 6 опытов при разной длине l спиртового
столбика в манометре. Её значения должны, по возможности, равномерно накрывать диапазон от l0 до lmax . Изменение длины спиртового столбика и соответственно скорости истечения воды из аспиратора можно производить грубо, путём частичного перекрыва11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ния отверстия выпускного крана. Более плавная регулировка достигается за счёт понижения уровня воды в аспираторе.
7. Результаты измерений представьте на графике зависимости
величины Q от ΔP . Расчёты выполняйте в системе СГС, единицы
которой соответствуют пространственно-временным масштабам
явления. На том же графике интервалами у экспериментальных точек покажите ошибки измерений δQ и δ (ΔP) .
8. По начальной части графика проведите наилучшую прямую
и определите её наклон. По известным размерам a, L отверстия капилляра (они даются лаборантом) рассчитайте коэффициент вязкости воздуха η . Сравните его величину с табличным значением.
9. При максимальной величине объёмного расхода Q рассчитайте среднюю скорость u потока газа в капилляре. По формулам
(5), (6) рассчитайте максимальные значения величин Re и b. Оцените возможность применения формулы Пуазейля к данному случаю.
Дополнительные задания и контрольные вопросы
1. С помощью функции распределения Максвелла φ(vz) получите выражения (1) для средних значений компоненты скорости vz
в группах молекул, движущихся соответственно в положительном
и отрицательном направлениях оси z.
2. Проективным пробегом называют расстояние, которое пролетает молекула в данном направлении между её двумя последовательными столкновениями. Рассчитайте среднюю длину проективного пробега молекул в газе.
3. По формуле (3) и найденному коэффициенту вязкости η рассчитайте среднюю длину свободного пробега λ молекул воздуха.
При каком давлении эта длина сравняется с диаметром капилляра?
Каким будет характер движения газа в капилляре при столь низком
давлении?
4. Насколько оправдано пренебрежение сжимаемостью газа в
условиях лабораторного опыта?
5. Какой характер будет иметь зависимость величины ΔP от Q
с учетом влияния начального участка потока газа в капилляре?
6. По данным измерений в опыте с коротким и широким капилляром постройте график зависимости величины b от произве12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дения a ⋅ Re . Убедившись в его линейности, найдите значение постоянной c.
Литература
1. Савельев, И.В. Курс общей физики. Т. 1. / И.В. Савельев. –
М., 1982. – § 132.
2. Матвеев, А.Н. Молекулярная физика / А.Н. Матвеев. – М.:
Высшая школа, 1981. – §§ 51, 52.
3. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Т. 1. / Д.В. Сивухин –
М., 1989. – § 97.
4. Руководство к лабораторным занятиям по физике / под ред.
Л.Л. Гольдина. – М.: Наука, 1973. – Р. 21.
Лабораторная работа 2
Имитация броуновского движения,
проверка закона Эйнштейна,
термометрия в системе магнитных шариков
Оборудование: соленоид на регулируемой по высоте подставке, прозрачная плоская коробка с прямоугольной шкалой, магнитные шарики, немагнитный цилиндрик, лабораторный автотрансформатор, вольтметр.
Общие представления
Открытое в 1827 году ботаником Р. Броуном хаотическое движение мельчайших макроскопических частиц сыграло в истории
науки выдающуюся роль. Именно его в 1908 году использовал
Ж. Перрен со своими помощниками, чтобы на опыте подтвердить
закономерности флуктуационных явлений, полученные за три года
до этого А. Эйнштейном и М. Смолуховским. Тем самым наука
получила надежный метод нахождения фундаментальных констант
молекулярно-кинетической теории, а она сама – свое прямое экспериментальное доказательство.
Заметим, что успех опытов Перрена с броуновскими частицами связан с их пограничным (промежуточным) размером между
макро- и микромиром. С одной стороны, эти частицы настолько
малы, что их хаотическое (тепловое) движение уже наблюдаемо, а
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
его характеристики измеримы. С другой стороны, они все ещё велики настолько, что их окружение ведет себя как сплошная вязкая
среда, для которой можно использовать макроскопическое описание. Поэтому подобные эксперименты в высшей степени познавательны.
Но воспроизвести опыты Перрена и получить закономерности
реального броуновского движения в общем физическом практикуме не представляется возможным. Однако нечто подобное можно с
успехом проделать на электромеханической модели с магнитными
шариками, псевдотепловое движение которых поддерживается переменным магнитным полем соленоида с током. Броуновскую частицу в такой модели имитирует немагнитный цилиндрик (шайба),
хаотическое движение которого подчиняется тем же закономерностям.
На описанной макроскопической модели нетрудно организовать визуальную съемку координат "броуновской" частицы в режиме непрерывного движения по методике Перрена, а затем проверить основной закон случайного блуждания (закон Эйнштейна),
который в отсутствие внешнего силового поля выражается формулами [1]
< ( Δx) 2 > = 2 D ⋅ Δt , < Δx > = 0 ,
(1)
где Δx – смещение броуновской частицы за время Δt по заданному
направлению, D – коэффициент диффузии. Последний определяется из закона Фика J = − D ⋅ dn / dx , где J – плотность потока частиц,
dn/dx – градиент их концентрации.
В отличие от Перрена в данной работы мы будем интересоваться не постоянной Больцмана k = 1.38 ⋅ 10 −16 эрг/К, а эффективной
температурой TM в системе магнитных шариков. Эта система (в
возбужденном состоянии) не находится в равновесии с окружающей средой, а потому их температуры TM и T могут сильно различаться.
Подобно Перрену мы воспользуемся соотношением Эйнштейна
D = B ⋅ kT ,
(2)
где B – коэффициент подвижности частицы, определяемый как B =
u/F. Здесь u – скорость упорядоченного движения частицы под
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
действием сторонней силы F, которая уравновешивается силой сопротивления FC , приложенной со стороны окружающей среды.
Реальная броуновская частица по линейным размерам на три
порядка превосходит молекулы окружающей жидкости, а скорость
её теплового движения сравнительно невелика. Поэтому действующую на неё силу FC можно находить по формуле Стокса.
На имитационной модели природа силы сопротивления FC ,
действующей на "броуновскую" частицу, иная, и рассчитать её
теоретически, чтобы затем найти подвижность шайбы, затруднительно. Зато саму подвижность B можно найти экспериментально,
измерив скорость сноса шайбы u при наклоне коробки на некоторый угол α по отношению к горизонту, например, в сторону оси x.
В этом случае шайба будет испытывать действие составляющей
силы тяжести Fx = mg ⋅ sin(α ) .
Таким образом, перенося соотношение (2) на модель и используя найденные на опыте величины D и B, можно определить эффективную температуру системы TM . Заметим, что "броуновская"
частица в данном случае выступает в качестве термометрического
тела.
Напоследок обратимся к вопросу о природе силы сопротивления Fc , действующей на шайбу.
Во-первых, система магнитных шариков в коробке подобна газу. При движении в нем большого тела среднее число ударов спереди N + и сзади N − неодинаково. Величина N + − N − в модели и
возникающая по этой причине сила сопротивления F1 пропорциональны скорости шайбы u (попробуйте обосновать).
Во-вторых, на непрерывно движущуюся шайбу со стороны основания коробки действует сила трения скольжения. Ее среднее
значение F2 также пропорционально скорости шайбы (следует
обосновать).
Таким образом, мы получаем, что F1 = C1 ⋅ u , F2 = C2 ⋅ u , где C1 ,
C 2 – коэффициенты сопротивления соответственно со стороны
магнитных шариков и основания коробки. Поскольку полная сила
сопротивления Fc = F1 + F2 , то для нахождения подвижности шайбы
имеем формулу 1 / B = C1 + C2 .
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вывести математические выражения для коэффициентов C1 ,
C 2 на первый взгляд затруднительно. Но, если это сделать, то, повидимому, станет возможным определение давления в системе
магнитных шариков. Его можно и непосредственно измерить по
методу [3], где использован пьезоэлектрический датчик, регистрирующий число ударов о площадку за единицу времени.
Описание лабораторной установки
и методики эксперимента
Лабораторная установка для имитации броуновского движения
показана на рис. 1. Основание (дно) и крышка коробки К для магнитных шариков вырезаны из толстого стекла, а ограничивающий
их движение бортик – из плексигласа. К основанию коробки с
внешней стороны крепится видимая сверху прямоугольная шкала.
Коробка устанавливается на соленоид С соосно с ним. Соленоид
запитывается током от лабораторного автотрансформатора
(ЛАТР); подаваемое напряжение измеряется вольтметром V.
Для выравнивания коробки по горизонту служат регулировочные винты В подставки соленоида и большой металлический шар,
который помещается в любом месте основания коробки, свободном
от магнитных шариков (их нужно достать из коробки или сгрудить
вдали от шара).
Рис. 1. Схема установки для имитации броуновского движения
Заметим, что металлический шар с гладкой (неповреждённой)
поверхностью весьма чувствителен к наклону коробки. Его неподвижность гарантирует высокую точность горизонтальности её основания. Очевидно, что при данной проверке шар надо поворачивать и помещать в разные места коробки. Если шар неподвижен в
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
одном месте, но начинает катиться в другом, то это говорит о неплоском основании.
После выравнивания коробки по горизонту под ее левый край
подкладывается линейка так, чтобы искусственно создать заданный наклон. Его величина определяется отношением толщины линейки h и расстояния l между точками опоры коробки на линейке и
правом крае соленоида.
Для корректности измерений важно, чтобы прямая, проходящая через указанные точки, была параллельна оси x прямоугольной
шкалы. Тогда снос шайбы под действием составляющей силы тяжести Fx будет происходить в определенном направлении.
Учитывая снос шайбы, перед началом опыта ее нужно положить ближе к левому краю коробки в произвольном месте. Далее
следует вложить в коробку несколько десятков магнитных шариков
(их число желательно записать) и установить крышку, которую во
время опыта – не открывать. Напряжение, подаваемое с трансформатора на соленоид, выставляется по вольтметру так, чтобы магнитные шарики пришли в движение, не слипаясь в группы. Его величину (около 120 В) при повторении опыта следует воспроизвести.
Опыт повторяется, если серия полученных значений координаты xi , i = 0, 1, 2,…N, “броуновской” частицы окажется короткой
(N < 100). Это происходит, когда шайба прибивается шариками к
бортику коробки. Полученные серии данных в дальнейшем могут
склеиваться адекватно движению шайбы по неограниченной плоскости.
Значения координаты xi “броуновской” частицы определяются
визуально, например, по ее левому краю через равные шаги по времени τ = 5 – 10 секунд (выбор предоставляется экспериментатору).
Заметим, что производство измерений в условиях непрерывного опыта представляет значительную трудность. Поэтому рекомендуется распределить работу по отсечке моментов времени, считыванию и записи значений координаты xi между двумя студентами.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Метод статистической обработки
результатов измерений
В опытах с наклонной коробкой к случайному смещению шайбы Δxc , которое происходит за некоторое время Δt , из-за ее постоянного сноса добавляется смещение Δxп = u ⋅ Δt , причем попрежнему
< Δxc > = 0 , < (Δxc ) 2 > = 2 D ⋅ Δt .
Поэтому для статистических характеристик полного смещения
частицы Δx = Δxc + Δxп будут справедливы формулы
< Δx > = u ⋅ Δt ,
(3)
< (Δx) 2 > = 2 D ⋅ Δt + u 2 ⋅ (Δt ) 2 ,
(4)
а также их следствия
< (Δx) 2 > / Δt = 2 D + u 2 ⋅ Δt ,
(5)
< (Δx) 2 > − < Δx > 2 = 2 D ⋅ Δt .
(6)
Все они могут быть использованы для отыскания параметров
u, D случайного блуждания частицы по графикам зависимости указанных характеристик от величины Δt .
Осреднение в формулах (3) – (6) должно проводиться по большому (строго говоря, бесконечному) числу одинаковых броуновских частиц или, как говорят, по ансамблю. Но в нашем распоряжении имеется лишь одна “броуновская” частица, так что осреднение по ансамблю мы будем заменять на осреднение по времени.
Предположение о правомерности такой замены в статистической
физике получило название эргодической гипотезы [4].
Конкретно в работе такое осреднение будет проводиться для
однотипных смещений Δxi( j ) , i = j,…N, совершенных частицей за
равные промежутки времени Δt j = j ⋅ τ , где τ – временной шаг измерений, j – номер типа смещения. А именно, из полученного на
опыте длинного ряда значений координаты xi , i = 0, 1, 2,…N, будут
вычисляться разности:
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
первого типа Δxi(1) = xi − xi −1 , i = 1, 2, 3, 4,…,
второго типа Δxi(2 ) = xi − xi − 2 , i = 2, 3, 4,…,
третьего типа Δxi(3) = xi − xi − 3 , i = 3, 4,…, и т.д.
соответственно промежуткам времени Δt1 = τ , Δt 2 = 2τ , Δt3 = 3τ и т.
д. Эти и последующие расчеты будут выполняться автоматически с
помощью описанной ниже компьютерной программы.
Поскольку средние значения в формулах (3) – (6) при заданной
величине Δt будут вычисляться по ограниченной серии (выборке)
опытных данных Δxi , i=1,2...N, то им будет присуща некоторая
ошибка. По теории вероятностей её следует рассчитывать как
среднюю квадратичную с использованием коэффициента Стьюдента tα,N, соответствующего взятой доверительной вероятности α и
числу N осредняемых значений Δx i. Применяя упрощающие обозначения
M = < Δx > , S = < (Δx) 2 > , P = < (Δx) 4 > , Q = < (Δx) 2 > − < Δx > 2 ,
дадим выражения для интересующих нас ошибок
δM = tα , N ⋅ Q /( N − 1) , δS = tα , N ⋅ ( P − S 2 ) /( N − 1) ,
δQ = tα , N ⋅ [ P − (Q − M 2 ) 2 ] /( N − 1) ,
вывод которых предоставляется читателю.
Данные ошибки определяют интервалы у экспериментальных
точек на графиках зависимости величин M, S / Δt и Q от промежутка времени Δt , по которым должны проходить аппроксимирующие
прямые (3), (5), (6). Если эти прямые действительно проходят по
указанным интервалам, то задаваемая ими закономерность признается подтвержденной на опыте с выбранной вероятностью α . После чего графически могут быть определены искомые параметры u,
D, а также (по разбросу экспериментальных точек около аппроксимирующей прямой) их погрешности δu , δD . Методика должна
быть известна студентам.
Для более точного определения средних значений параметров
движения u, D и их погрешностей δu , δD предлагается произвести
дополнительное осреднение найденных из опыта величин ( M / Δt ) j ,
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(Q / 2Δt ) j по ряду взятых в работе промежутков времени Δt j , j =
1,2…n. Согласно формулам (3), (6) имеем выражения
u = < M / Δt > , D = < Q / 2Δt > , (7)
δu = [< ( M / Δt ) 2 > − U 2 ] / n , δD = [< (Q / 2Δt ) 2 > − D 2 ] / n , (8)
которые рекомендуется получить самостоятельно.
Программа автоматической обработки данных
Описанный метод статистической обработки реализован в
компьютерной программе, текст которой на языке Фортран представлен в Приложении 2. Она выполняет по выбору пользователя
три рода действий:
во-первых, склеивает серии данных, полученные при одинаковом числе магнитных шариков и напряжении на соленоиде (без
этого склейка теряет смысл);
во-вторых, моделирует случайное блуждание частицы, учитывая её постоянный снос;
в-третьих, производит обработку данных опыта или моделирования с выдачей таблицы значений величин M, Q и их ошибок δM ,
δQ , рассчитанных для заданного числа n определённых выше промежутков времени Δt j .
Проверка линейной зависимости величин M, Q от номера j взятого промежутка времени должна производиться графически (на
миллиметровой бумаге или в компьютерных программах Grapher,
Mathcad и др.) с учетом ошибок δM , δQ . При графическом подтверждении указанной зависимости величин M, Q правомерно воспользоваться выданными в конце таблицы значениями скорости
сноса u и коэффициента диффузии D с их погрешностями δM , δQ ,
рассчитанными по формулам (7), (8).
Дополнительные задания
1. Пользуясь соотношением (2), найдите среднюю энергию kTM
плоского движения частиц в системе магнитных шариков. Рассчитайте эффективную температуру TM . Будьте внимательны к размерностям используемых величин.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Рассчитайте в системе СГС среднюю квадратичную скорость
хаотического движения шайбы (знать её массу для этого не обязательно). Соотнесите полученное значение со скоростью сноса u.
3. Найдите среднюю квадратичную скорость магнитных шариков (их массу надо найти взвешиванием). Оцените давление, оказываемое ими на бортик коробки.
Контрольные вопросы
1. Можно ли найти подвижность реальных броуновских частиц
путем эксперимента?
2. Почему жидкость по отношению к взвешенной в ней броуновской частице выступает как сплошная среда?
3. Для броуновской частицы диаметром d = 0.4 мкм, взвешенной в воде при комнатной температуре, найдите среднюю квадратичную скорость теплового движения. Рассчитайте число Рейнольдса. Правомерно ли применение к данному случаю формулы
Стокса?
4. Какие косвенные доказательства справедливости молекулярно-кинетической теории и способы нахождения её фундаментальных констант вам известны?
Литература
1. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Т. 2 / Д.В. Сивухин. –
М.: Наука, 1990. – §§ 64, 91, 93.
2. Кассандрова, О.Н. Обработка результатов наблюдений
/ О.Н. Кассандрова, В.В. Лебедев. – М., 1970. – § 3.
3. Булкин, П.С. Общий физический практикум. Молекулярная
физика: учеб. пособие / П.С. Булкин, И.И. Попова. – М.: Изд-во
Моск. ун-та, 1988. – Лаб. раб. 7.2, 7.3.
4. Матвеев, А.Н. Молекулярная физика: учеб. пособие для вузов / А.Н. Матвеев. – М.: Высшая школа, 1981. – §§ 4, 13.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лабораторная работа 3
Определение показателя адиабаты методом
Клемана и Дезорма
Оборудование: стеклянный баллон, поршневой насос, жидкостный манометр, сосуд для сбора спирта, секундомер.
Общие представления
Отношение молярных теплоемкостей газа при постоянном
давлении и постоянном объёме C P CV = γ называется показателем
адиабаты, поскольку оно входит в уравнение Пуассона
PV γ = const ,
(1)
которое описывает равновесный адиабатический процесс. Измерение величины γ позволяет с помощью уравнения Майера СP – СV =
R легко находить теплоемкости СP, СV.
Предложенный Клеманом и Дезормом в 1819 году метод определения показателя адиабаты основан на различной длительности
процессов установления термического и механического равновесия, происходящих в достаточно большом объеме газа. За его кажущейся простотой скрывается интересная физика, и он по сию
пору служит образцом термодинамического эксперимента.
Для реализации метода предварительно не сильно сжатый в
баллоне газ резко соединяют с атмосферой, в результате чего происходит быстрое адиабатическое расширение газа и его охлаждение (см. процесс 2→3 на рис. 1). После закрытия баллона оставшийся в нем газ медленно нагревается до температуры наружного
воздуха (см. процесс 3→4 на рис. 1). Отношение избыточных давлений газа в баллоне ΔP1 = P1 − P0 и ΔP2 = P2 − P0 , измеренных соответственно до расширения газа в атмосферу и после его нагревания
в закрытом баллоне, однозначно определяет искомую величину согласно формуле
γ=
ΔP1
.
ΔP1 − ΔP2
22
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обычно [1, 2] при выводе данной формулы используют уравнение равновесной адиабаты в переменных P и T, чтобы исключить
из рассмотрения неизвестный объем газа V после его расширения.
А затем применяют уравнение изохоры в тех же переменных и
справедливые в условиях лабораторного опыта неравенства:
ΔP1 ~ ΔP2 << P0 , ΔT << T0 ,
(3)
где ΔT – падение температуры газа в промежуточном состоянии 3,
а P0 , T0 – параметры наружного воздуха. В итоге получают приближенно верную формулу (2).
Иногда в качестве более верной дается формула
P 
P 
γ = ln 1  ln 1  ,
 P2 
 P0 
(4)
которая получается из уравнения равновесной адиабаты без допущений (3). Для сильно сжатого газа ( P1 − P0 ~ P0 ) эта формула, вообще, не соответствует действительности.
Рис. 1. Процессы, происходящие с газом в ходе лабораторного опыта
Показаны схематически
0→1 – накачка воздуха в баллон,
1→2 – изохорное охлаждение,
2→3 – сброс давления в баллоне,
3→4 – изохорное нагревание.
Линия 0→2 – изотерма T = T0.
Дело в том, что сброс давления в баллоне происходит резко и
представляет собой существенно неравновесный процесс, потому и
показанный на рис. 1 пунктиром 2→3. Применение к нему уравнения равновесной адиабаты неправомерно. Задача отыскания конечной температуры T3 в процессе должна решаться без этого
уравнения.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Такое решение дается в учебнике [1], § 21, задача 7. Его мы
приводим здесь, сменив обозначения соответственно рис. 1, вместе
с необходимым для вывода уравнением изохоры 3→4.
 γ − 1 P0 − P1 
P P
 T0 , 0 = 2 .
T3 = 1 +
⋅
T3 T0
P1 
γ

(5)
Исключая из этих уравнений температуру T3, после несложных
преобразований имеем окончательное выражение для показателя
адиабаты
γ=
P1 − P0
P2
,
⋅
P0
P1 − P2
(6)
которое должно применяться вместо формулы (4) в опытах с немалым избыточным давлением ΔP1 ~ P0 .
В приближении (3) из выражения (6) получается все та же
знаменитая формула (2). Величина γ в ней выражается через отношение избыточных давлений, а потому безразлично в каких единицах их подставлять. Ясно, что проще всего измерять эти давления
как длины L1, L2 спиртового столбика, непосредственно считываемые со шкалы манометра, а именно, пользоваться формулой
γ =
L1
.
L1 − L2
(7)
Описание измерительной установки
В данной работе метод Клемана и Дезорма применяется для
определения показателя адиабаты воздуха.
Измерительная установка, показанная на рис. 2, состоит из
стеклянного баллона Б емкостью 22.3 л, жидкостного манометра М
и поршневого насоса Н, соединенных друг с другом резиновыми
шлангами. Расположенный сразу за насосом кран К позволяет отсекать насос от остальной части установки после накачки воздуха в
баллон. В горловину баллона Б впрессована толстая пробка с двумя
отверстиями, одно из которых используется для соединения баллона с манометром и насосом через тройник. Другое отверстие О, закрываемое небольшой резиновой пробкой, служит для сброса из24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
быточного давления в атмосферу. Для удаления из воздуха паров
воды на дно баллона Б брошены гранулы силикагеля. Для предотвращения разлива спирта из манометра его измерительная трубка
соединена с небольшим сосудом С.
Для измерения избыточного давления в баллоне применяется
строенный дифференциальный микроманометр ЛТА – 4, функциональное описание которого дается в лабораторной работе № 1. Его
следует внимательно прочитать.
Для правомерности использования формулы (2) или (7) в опыте Клемана и Дезорма критичным является соблюдение условий
t P < Δt << tT ,
где t P и tT – соответственно времена установления механического
и термического равновесия газа в баллоне, а ∆t – временной промежуток, в течение которого отверстие О должно быть открытым.
Другими словами, процесс выравнивания давления в баллоне должен происходить гораздо быстрее, чем процесс установления температуры. И, как только первый из них закончится, следует сразу
закрыть баллон. Только тогда можно пренебречь теплоотдачей от
стенки баллона в процессе 2→3, иметь в состоянии 3 необходимое
для корректного опыта атмосферное давление и не допустить потери газа в процессе 3→4.
Рис. 2. Схема измерительной установки
Предполагая, что условие t P << tT уже выполнено, дадим некоторые методические рекомендации, касающиеся величины ∆t и
достоверности результатов измерения величин L1, L2.
С одной стороны, следует убедиться в том, что давление газа в
процессе 2→3 действительно сброшено до атмосферного – спирто25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вой столбик манометра должен остановиться на нулевой отметке.
С другой стороны, нельзя запаздывать с закрытием баллона. Даже
несколько секунд задержки закрытия отверстия О могут внести заметную погрешность в измеряемую величину L2 и, следовательно,
в искомую – γ.
Серьёзную погрешность в конечные показания манометра L1,
L2 может внести также негерметичность измерительной установки.
Очевидно, что эти показания должны сниматься по достижении
термического равновесия в баллоне, то есть после остановки мениска спиртового столбика в процессах 1→2 и 3→4. Если мениск в
этих процессах безостановочно ползёт, то установка негерметична.
Временные характеристики процессов
К вопросу о соблюдении условия tP << tT можно подойти чисто эмпирически. Для данного большого баллона с широким и коротким отверстием величину tP грубо можно оценить по звуку, который издает воздух при выходе из баллона в процессе 2→3, а величину tT – по времени подъема спиртового столбика в процессе
3→4.
Однако узнать, насколько хорошо указанное условие выполняется в данном опыте, найти систематическую ошибку, связанную с
его недостаточным соблюдением, и учесть её в окончательном результате весьма полезно. Априорная оценка величин t P и tT важна
ещё для планирования технически более совершенного эксперимента по методу Клемана и Дезорма. Кроме того, она приводит к
решению интересных задач и более глубокому пониманию характера протекающих процессов.
Сначала заметим, что теплоемкость самого стеклянного баллона CБ велика по сравнению с теплоемкостью CV заключенного в
нем воздуха (в лабораторных условиях в него помещается примерно 1 моль газа). Поэтому при накачке или выпуске воздуха из баллона температура его стенки остается практически неизменной –
такой же, как у наружного воздуха. В интересующем нас изохорном процессе 3→4 теплота от баллона сначала поступает в пристенный слой газа, а затем передается к его внутренним слоям за
счет движения частиц газа.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При действии только молекулярного механизма теплопередачи
процесс термической релаксации 3→4 в баллоне был бы медленным. Его длительность оценивается с помощью формулы
tT( мол ) = CV l 2 / (κ V ) ,
(8)
где κ – коэффициент теплопроводности газа, V – молярный объем,
совпадающий у нас с объемом баллона, l – характерный линейный
размер релаксирующей части газа (в данном случае – среднее расстояние от центра баллона до его стенок). Выражение (8) можно
получить из решения соответствующей задачи теории теплопроводности, которая выходит за рамки данного курса.
Опыт, однако, показывает, что термическая релаксация газа в
баллоне занимает гораздо меньше времени, чем по оценке (8), что
свидетельствует об ином (конвективном) механизме теплопередачи. При конвекции частицы, осуществляющие теплоперенос в газе,
макроскопические. Это относительно небольшие завихрения газа,
которые обладают высокой подвижностью и эффективно переносят кинетическую и тепловую энергию. Конвективные потоки возникают во всем объеме газа сразу при резком сбросе давления в
баллоне и постепенно затухают вследствие внутреннего трения
(вязкости).
Чтобы получить временную зависимость давления P в баллоне
или, что то же, длины спиртового столбика L в процессе 3→4, будем полагать его равновесным (как он и показан на рис. 1), определяя температуру T по уравнению состояния PV = RT в расчете на
один моль газа. Строго говоря, данный процесс таковым не является, поскольку, по крайней мере в пристенном слое газа имеется перепад температуры T0 − T , порождающий тепловой поток со стенки
баллона. Он определяется эмпирическим законом внешней теплопроводности (теплоотдачи) Ньютона [1]
Q = α (T0 − T ) S ,
(9)
где α – коэффициент теплоотдачи, S – площадь внутренней поверхности баллона. Коэффициент α можно найти априори, решая
специальную задачу о пограничном слое, но она выходит за рамки
данного курса.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Но мы прибегнем к общепринятой идеализации: заменим тонкий (в данном случае) пристенный слой скачком температуры на
внутренней поверхности баллона. Таким образом, полагая температуру газа одинаковой по всему объему баллона, запишем для него
дифференциальное уравнение баланса внутренней энергии в виде
dU = Q ⋅ dt ,
где U = CV T . Подставляя выражение (9) в данное уравнение и интегрируя его с начальным условием T t = 0 = T3 , легко получить формулу
 T − T3  αS
 =
ln 0
⋅t,
T
T
C
−
V
 0

(10)
описывающую изменение температуры в процессе 3→4. Переходя
с помощью уравнения состояния в формуле (10) от значений температуры T0, T3, T к давлениям P2, P0, P, а затем к непосредственно
измеряемым величинам – длинам спиртового столбика L2 и L, получим окончательно
 L2  t
 = ,
ln
L
L
−
 2
 τ
(11)
где τ = CV αS – характерное время процесса. С помощью данной
формулы можно на опыте проверить закон (теплоотдачи) Ньютона
и достаточно точно определить время термической релаксации в
баллоне, например, положив tT = 4τ , что соответствует примерно
2% отличия L от L2 .
Ещё более интересной в методическом отношении представляется возможность экспериментального определения неизбежной
временной задержки Δt зап (времени запаздывания) в начале процесса 3→4, связанной с инерционностью жидкостного манометра и
человеческим фактором. Величина Δt зап определяется по графику
временной зависимости логарифма, стоящего в левой части формулы (11). Она берётся как отрезок, отсекаемый на оси t прямой
линией, построенной по опытным данным. С помощью Δt зап можно
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
найти вызванную запаздыванием погрешность величин L2 и γ и
внести поправку в окончательный результат, определяемый по
формуле (7).
Обратимся теперь к оценке длительности процесса 2→3 сброса
избыточного давления в баллоне. Его расчет – сложная газодинамическая задача. Чтобы не перегружать и без того большое описание работы, сообщим лишь исходные предпосылки для её упрощённого решения.
При мгновенном выдергивании пробки П (рис. 2) по газу в
баллоне прокатывается волна возмущения, которая за ничтожное
время t акус = 2l c , где с – скорость звука, устанавливает в нём и
ближней зоне отверстия О газодинамически согласованные поля
(локально усреднённых) давления и скорости. Дальнейший процесс можно считать квазистационарным. Его усреднённые динамические характеристики будут уже меняться в соответствии с параметрами состояния газа во внутренней части баллона (делается
предположение о локальном термодинамическом равновесии).
Учитывая, что отверстие О представляет собой относительно
короткий и широкий канал, в области движения можно пренебречь
вязкостью газа и конвективным переносом импульса в поперечном
направлении. Записывая интеграл Бернулли для линии тока, начинающейся в середине баллона и оканчивающейся на выходе газовой струи из отверстия О, с учетом сжимаемости газа и адиабатического характера движения можно получить для текущего объемного расхода выражение
dV dt = σ 2ΔP ρ ,
(12)
где σ – площадь поперечного сечения отверстия, ∆P – текущий перепад давления, ρ – плотность газа. Учитывая характер зависимости (12), имеем ΔV1 t P ≈ σ ΔP1 ρ . Определяя по уравнению адиабаты (1) полный объём ∆V1 воздуха, вышедшего при начальном избыточном давлении ∆P1, получим искомую оценку
tP =
V
γσ
29
μ
ΔP1
.
RT P
⋅
(13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Порядок выполнения работы
1. Проверьте правильность соединения шлангов и горизонтальность основания манометра по закреплённому там круглому
уровню. При открытом отверстии О вращением головки регулировочного винта В (см. рис. 2) установите спиртовой столбик в измерительной трубке на ноль.
2. Для проверки герметичности установки увлажните боковую
поверхность пробки П и вращательно притирающими движениями
закройте ею отверстие О. Насосом накачайте воздух в баллон до
давления L0 = 15 – 25 см спиртового столба (по манометру) и перекройте кран К. Проследите, как меняется с течением времени t избыточное давление L в баллоне. Можно построить график зависимости величины L от t и по нему определить время Δ tT необходимое для установления теплового равновесия. Оно не должно превышать двух минут. Если по их истечении давление в баллоне будет понижаться, следует найти и устранить течь.
3. Убедившись в том, что установка достаточно герметична,
запишите установившееся в баллоне избыточное давление L1. Затем на короткое время выдерните пробку П и, как только спиртовой столбик упадет до нуля, сразу закройте отверстие O. Выждав
время ΔtT , спишите с манометра избыточное давление L2.
4. Повторите описанный выше опыт 5 – 10 раз. Для каждой пары значений L1 , L2 по формуле (6) найдите величину γ. Рассчитайте среднее значение показателя адиабаты γ и его случайную ошибку δγ.
5. Снимите временную зависимость величины L в изохорическом процессе 3→4. Для повышения точности измерений рекомендуется произвести накачку воздуха 0→1 при вертикальной стойке
манометра, а после его выпуска из баллона (состояние 3) сразу
придать стойке минимальный наклон 0.25. Очевидно, что длину
спиртового столбика L в данном эксперименте следует отсчитывать от нулевого уровня, выставленного для этого (наклонного)
положения стойки. Обратите внимание на возможность проведения
измерений с равными шагами Δt ~ 10 с по времени или с равными
шагами ΔL ~ 1 см по шкале манометра. Обоснуйте свой выбор варианта измерений.
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Представьте результаты проведенного эксперимента на гра
L

фике в переменных ln 2  и t. Определите по нему согласно
 L2 − L 
формуле (11) характерное время процесса τ и рассчитайте коэффициент теплоотдачи α. Найдите по графику время запаздывания
Δt зап .
Дополнительные задания
1. Используя формулы (5), рассчитайте падение температуры
ΔT в баллоне, происходящее при выпуске газа (процесс 2→3).
2. Оцените, насколько в ваших опытах повышалась температура в баллоне при накачке в него воздуха (процесс 0→1)?
3. Оцените погрешность, связанную с применением в работе
приближенной формулы (2) вместо точной (6).
4. Рассчитайте теплоемкость стеклянного баллона C Б . Убедитесь в выполнении неравенства: C Б >> CV .
5. Получите формулу (8) методом анализа размерностей. Попробуйте вывести ее грубо из уравнения баланса тепловой энергии.
6. Выведите формулы (10) и (11).
7. Рассчитайте по формуле (8) величину tT( мол ) . Соотнесите её с
найденным из опыта временем термической релаксации. Оцените
эффективность конвективного теплопереноса по сравнению с молекулярным.
8. Найдите погрешность величин L2 и γ, вызванную временной
задержкой Δt зап закрытия отверстия О в состоянии 3 (рис. 1).
9. Используя выражение (12), найдите среднюю по сечению
отверстия скорость газа в начальный момент процесса 2→3.
10. Рассчитайте по формуле (13) характерное время tP сброса
давления в баллоне. Соотнесите его с величиной Δt зап .
Контрольные вопросы
1. Почему процесс накачки воздуха в баллон можно считать
адиабатическим?
2. Как будут сказываться на результате опытов:
– негерметичность измерительной установки,
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
– задержка в закрытии отверстия О после выпуска воздуха из
баллона,
– влажность воздуха в баллоне?
3. Насколько оправдано применение уравнения равновесной
адиабаты (1) при выводе формулы (13)?
4. Как будут меняться с размерами баллона времена t P и tT , если коэффициент теплоотдачи α и размеры выпускного отверстия
будут оставаться постоянными?
5. Какие технические усовершенствования эксперимента вы
можете предложить?
Литература
1. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Т. 2 / Д.В. Сивухин. –
М.: Наука, 1990. – §§ 20–22, 25, 57.
2. Руководство к лабораторным занятиям по физике / под ред.
Л.Л. Гольдина. – М.: Наука, 1973. – Р. 24.
Лабораторная работа 4
Изучение кривой равновесия жидкости
и её насыщенного пара∗
Оборудование: круглодонная колба с термометром; откачиваемая магистраль, включающая рубашку охлаждения и балластные баллоны; мембранный манометр; насос Комовского; электроплитка на подъёмной платформе.
Общие представления
При рассмотрении фазовых превращений в качестве параметров состояния удобно взять давление и температуру. На плоскости
переменных Р, Т область жидкого состояния вещества отделена от
области газообразного состояния так называемой кривой равновесия ОК (рис.1). При переходе через неё наблюдается превращение
∗
Постановка данной работы была стимулирована доцентом кафедры
общей и физической химии Ярославского политехнического института
Олейниковой А.Л.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жидкости в пар или наоборот. На кривой равновесия состояние
двухфазной системы (жидкость – пар) устойчиво. Соотношение
между массами этих фаз может измениться лишь вследствие получения или потери системой теплоты.
Количество теплоты q, затрачиваемое на превращение единичной массы жидкости в пар, называется удельной теплотой испарения (преобразования). По первому началу термодинамики
q = (u п − u ж ) + P ⋅ (v п − v ж ) ,
(1)
где u п , u ж – удельные внутренние энергии, а v п , v ж – удельные
объёмы соответственно пара и жидкости.
Рис. 1. Схематическое изображение кривой равновесия в двух вариантах
её экспериментального получения. Стрелки показывают направление
процессов в системе
Уравнение кривой равновесия Р = f(T) можно найти из соотношения Клапейрона-Клаузиуса
dP
q
=
,
п
dT T (v − v ж )
(2)
которое описывает связь приращений dP и dT вдоль кривой равновесия. Чтобы проинтегрировать уравнение (2), следует выразить
удельные объёмы v п , v ж и теплоту испарения q через параметры
состояния Р, Т.
Вдали от критической точки можно пренебречь в формулах
(1), (2) объёмом v ж по сравнению с v п и, полагая пар идеальным
газом, выразить объём v п из уравнения Клапейрона-Менделеева
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Pv п = RT μ . Кроме того, в не слишком широком диапазоне темпе-
ратур можно пренебречь тепловым расширением жидкости и считать удельные теплоёмкости пара и жидкости cvп , c ж постоянными.
Тогда, используя соотношение Майера cvп + R μ = c np , нетрудно получить (см. п. 3 из § 114 в [1])
q = q0 + (c ж − с пp )T0 − (c ж − с пp )T ,
(3)
где значение q0 соответствует некоторой температуре T0 .
Подставляя выражение (3) в соотношение (2) и интегрируя его,
можно получить уравнение Кирхгофа
ln P = A −
B
− C ln T ,
T
μ
μ
R
R
где B = [q0 + (c ж − c пp )T0 ] , C =
(4)
(c ж − c пp ) . Постоянную интегриро-
вания A можно выразить через известные для некоторой точки
кривой равновесия значения P0 , T0 и представить уравнение этой
кривой в виде
ln
1 1 
T
P0
= B −  − C ln 0 .
T
P
 T T0 
Вводя обозначения x =
(5)
P
1 1
− , y = ln 0 , запишем уравнение (5)
T T0
P
как
y = Bx − C ln(1 + T0 x) .
(6)
Если T0 x << 1 , то ln(1 + T0 x) ≈ T0 x и зависимость (6) можно считать линейной y = kx, где k = B − CT0 . В этом приближении кривая
равновесия на плоскости переменных x, y будет иметь вид прямой,
проходящей через начало координат с коэффициентом наклона
k = μq0 / R . Определяя из опытных данных этот коэффициент, нетрудно найти удельную теплоту испарения жидкости q0 при выбранной температуре T0 .
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Метод измерений и лабораторная установка
Экспериментально уравнение кривой равновесия можно получить, измеряя при разных температурах давление насыщенного пара над жидкостью в замкнутой полости, из которой предварительно удалены посторонние газы. Этот статический метод удобен для
летучих веществ (таких, как эфир), у которых мала удельная теплота испарения. Для слаболетучих веществ (таких, как вода) этот
метод неэффективен, так как требует больших затрат времени на
достижение фазового равновесия в каждой температурной точке.
Независимо от состава газовой фазы, оказывающей давление
на жидкость, кипение последней начинается лишь тогда, когда
внешнее давление опускается до величины давления насыщенного
пара при данной температуре. Поэтому зависимость давления насыщенного пара от температуры P = Pн (T ) можно установить, изучая зависимость температуры кипения жидкости от внешнего давления T = Tк (P) . Математически, вторая из этих функций будет обратной по отношению к первой. Использующий это обстоятельство, динамический метод не требует установления фазового равновесия в системе и предварительного удаления из неё воздуха.
Установка для исследования зависимости температуры кипения жидкости от внешнего давления изображена на рис. 2. Она состоит из круглодонной колбы К с термометром Т, рубашки водяного охлаждения Р, мембранного манометра М, балластных баллонов
Б1, Б2 и ручного насоса Комовского Н.
Для заливания в колбу жидкости, запуска воздуха и соединения с откачиваемой магистралью используется трехходовый кран
К1. Такой же кран К2 соединяет откачиваемый объём с манометром
и балластными баллонами с силикагелем. Последние предотвращают резкие скачки давления в системе и попадание влаги в полость насоса. Рубашка охлаждения служит для конденсации пара и
сводит к минимуму его вынос в откачиваемую магистраль. Герметичность соединений в системе обеспечивается вакуумной смазкой
и гермесилом. Из соображений безопасности измерительная установка закрыта защитным плексигласовым экраном.
Для нагревания жидкости в колбе используется электроплитка
П с конической поверхностью нагрева, установленная на вертикально перемещаемой платформе. Во избежание неравномерного
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нагрева стенок колбы, коническая поверхность плитки обложена
асбестом. Подъём или опускание плитки производится с помощью
червячной передачи вращением диска Д, находящегося в лабораторном столе. Такая конструкция подъёмного механизма была
предложена и реализована студентом Желваковым А., который
смонтировал и всю установку.
Рис. 2. Схема лабораторной установки
Чтобы уберечь колбу от механических воздействий со стороны
плитки, её подъём следует производить плавно, особенно вблизи
колбы. Между ними должен оставаться зазор не менее 2 мм. Во избежание износа червячного механизма излишние прогоны плитки
вверх-вниз и резкие рывки диска не желательны.
Методические особенности эксперимента
Точность результатов работы сильно зависит от характера кипения, которое должно быть как можно более спокойным, без выбросов жидкости в откачиваемую магистраль. Крайне не желательны явления перегрева жидкости, которые приводят к опасным
толчкам в стенки колбы при вскипании. Для их предотвращения в
колбу брошены кусочки керамики.
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Чтобы исключить влияние перегрева жидкости на результаты
опытов, головка термометра должна быть поднята над жидкостью.
С другой стороны, используемый в работе ртутный термометр –
весьма инерционный, и его показания могут не успевать за быстрым изменением температуры пара в колбе, которое происходит
при вскипании жидкости. Чтобы обойти это обстоятельство, головка термометра обмотана тряпочкой, которая частично опущена в
жидкость.
При больших температурах кипения возможно запотевание
стенок колбы, препятствующее снятию показаний термометра, если его шкала находится внутри колбы. Для восстановления прозрачности стенок рекомендуется произвести напуск в колбу атмосферного воздуха, приводящий к быстрой конденсации пара на
стенках колбы и их омытию. Однако при этом следует избегать
резкого поднятия давления в системе, что чревато ударным воздействием на колбу.
Имея возможность произвольно (при помощи насоса и плитки)
изменять как давление, так и температуру вещества в колбе, можно
реализовать два варианта съёмки кривой равновесия. В первом –
независимой (выставляемой) переменной будет давление, а температура вскипания определится после необходимого нагрева (рис.
1а). Во втором – независимой переменной будет температура,
подъём которой производится после некоторого напуска воздуха в
колбу (рис. 1б). Выход на кривую равновесия осуществляется в
этом случае откачкой колбы. Выбор методики и оценка её удобства
предоставляется экспериментатору.
Ввиду невозможности быстрого понижения температуры системы серию измерений при любой из методик следует начинать с
точки, соответствующей комнатной температуре. Скорость нагревания колбы dT/dt зависит от величины воздушного зазора h между
колбой и плиткой и, таким образом, может регулироваться поднятием или опусканием плитки. Для прекращения нагрева последняя
должна быть опущена на расстояние, которое нетрудно оценить в
первом же опыте. Отсчет расстояний при этом можно вести по вертикальной линейке, установленной возле плитки.
Отсчет показаний приборов, соответствующий точке кривой
равновесия, следует производить по окончании кипения жидкости.
Для их проверки рекомендуется сделать один – два "качка" насо37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сом (при этом слышны характерные чмоканья) до нового вскипания жидкости.
Порядок выполнения работы
1. Проверьте наличие в колбе достаточного количества воды
(около половины колбы). При необходимости залейте воду через
воронку и кран К1 . Поставив краны К1 , К 2 в рабочее положение,
откачайте колбу до давления 0.1 атм (научитесь переводить показания манометра в "атмосферы"). Проверьте герметичность системы.
2. При комнатной температуре откачайте колбу до наименьшего давления и зафиксируйте (запишите) его. Если при этом произойдёт вскипание жидкости, то тем самым будет получена первая
экспериментальная точка. Выберите методику измерений: а) или б)
по рис. 1. Определите шаг, с которым будете проходить доступный
интервал давлений или температур.
3. Пустите воду в рубашку охлаждения. Вращая диск в лабораторном столе, плавно подведите плитку под колбу и осуществите
её нагрев. Далее, по выбранной методике выйдите на кривую равновесия и снимите показания приборов. Оцените ошибки измерений.
4. Постепенно повышая давление и температуру, произведите
6 – 10 замеров, отвечающих разным точкам кривой равновесия.
Положив P0 = 1 атм, T0 = 373 К, вычислите значения величин x, y.
Полученные данные поместите в таблицу
T, К
373
P, атм
1
x, К-1
0
Y
0
5. Представьте результаты измерений в виде точек на плоскости переменных x, y, показав там интервалы ошибок. Через точки,
отвечающие более высоким температурам, и начало координат,
проведите наилучшую прямую. По коэффициенту её наклона k
найдите удельную теплоту испарения q0 , т. е. теплоту парообразо38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вания воды при её кипении под атмосферным давлением. Оцените
ошибку этой величины.
Контрольные вопросы и дополнительные задания
1. Чем отделены области жидкого и газообразного состояния
вещества на плоскости переменных P, V?
2. Почему кривая равновесия жидкости и её насыщенного пара
обязательно обрывается при достаточно высоких температурах (в
критической точке)?
3. В указанных предположениях выведите формулы (3), (4).
4. По графику зависимости величины y от x оцените температурный диапазон, в котором её можно считать линейной. Укажите
возможные причины отклонения экспериментальных точек от построенной прямой при более низких температурах.
5. Учитывая второй член разложения функции ln(1 + T0 x) в формуле (6) и табличные значения величин c ж и с пp , покажите, в какую
сторону от прямой должна отклоняться кривая равновесия воды и
её насыщенного пара. Согласуется ли это отклонение с опытными
данными?
6. Согласуются ли табличные данные по температурной зависимости удельной теплоты испарения воды и значения c ж , с пp с
формулой (3)?
Литература
1. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Т. 2 / Д.В. Сивухин. –
М.: Наука, 1990. – §§ 113, 114.
2. Матвеев, А.Н. Молекулярная физика / А.Н. Матвеев. – М.:
Высшая школа, 1981. – §§ 30, 31.
Лабораторная работа 5
Измерение коэффициента вязкости жидкости
методом Стокса
Оборудование: стеклянные цилиндрические сосуды с исследуемой жидкостью, мелкие шарики, измерительный микроскоп,
аналитические весы, пикнометр, секундомер, масштабная линейка.
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Общие представления
Всякое тело, движущееся в вязкой жидкости, испытывает действие силы сопротивления. Для шара величина F этой силы зависит от скорости движения u, радиуса шара r, коэффициента вязкости η и плотности жидкости ρ . Функциональная связь между данными величинами согласно известному в теории подобия методу
размерностей может быть представлена как связь между независимыми безразмерными комбинациями этих величин. Таких комбинаций из пяти существенных для данного явления размерных величин можно составить две. Например, так называемый коэффициент сопротивления [1]
С = 2 F /( ρu 2 S ) ,
где S = πr 2 , и число Рейнольдса Re = ρur / η . Одна из этих комбинаций по указанному методу будет функцией от другой, а именно
C = C (Re) .
Таким образом, искомая сила выражается в виде
F=
1 2
ρu S ⋅ C (Re) .
2
(1)
Число Re характеризует соотношение сил инерции и сил вязкости, развиваемых в жидкости, обтекающей тело. При небольших
числах Re силы инерции малы и плотность ρ перестает играть существенную роль в явлении. В этом случае она должна выпасть из
формулы (1), что возможно лишь при C = A / Re . Теоретическое
отыскание постоянной А требует интегрирования сложных уравнений движения вязкой жидкости, что было сделано Стоксом, получившим A = 12 .
Таким образом, при небольших числах Re формула (1) переходит в
F = 6πηru .
(2)
Напротив, при больших числах Re несущественной величиной
должна была бы стать вязкость η, которую следует исключить из
формулы (1), положив C = const . Однако совсем пренебречь вязкостью в этом случае нельзя ввиду прилипания жидкости к поверх40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ности тела. Но влияние вязкости будет распространяться лишь на
тонкий пограничный слой толщиной порядка r Re . Этот слой,
однако, не покрывает целиком поверхности плохо обтекаемого тела, каковым является шар, а отрывается от нее в некотором месте.
Местоположение отрыва пограничного слоя от поверхности шара и
определяет значение C при больших числах Re . Сочетание разнородных факторов, действующих при обтекании шара, приводит к
зависимости С от Re , которая изображена в логарифмическом
масштабе на рис. 1 по результатам различных опытов [2]. Прямолинейный участок кривой, лежащий при lg Re < −0.3 , соответствует
формуле Стокса (2), которая, таким образом, достаточно точна в
области Re < 0.5 .
Рис. 1. Коэффициент сопротивления шара в зависимости
от числа Рейнольдса
Формула Стокса получила широкое применение в важных физических опытах: определение постоянной Больцмана методом
Перрена, определение заряда электрона методом Милликена и др.
В данной работе она используется для измерения коэффициента
вязкости жидкости методом падающего шарика [3]. Уравнение
движения падающего в жидкости шарика при Re < 0.5 имеет вид
ρ тVт ⋅
dv
= ( ρ т − ρ )Vт g − 6πηrv ,
dt
41
(3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где ρ т , Vт – плотность и объём тела. Решая это уравнение с начальным условием v(0) = v0 , нетрудно получить закон изменения
скорости шарика
v = u − (u − v0 ) ⋅ exp(−t / τ ) ,
(4)
где u – установившаяся скорость движения, τ - характерное время
установления скорости:
u = 2( ρ т − ρ ) gr 2 / 9η , τ = 2 ρ т r 2 / 9η .
(5)
В качестве начальной следует взять скорость шарика v0 сразу
после его входа в жидкость, которая при падении с небольшой высоты мала. Если положить v0 = 0 , то при t = 4τ отличие v от u согласно (4) составит менее 2%, и процесс установления можно считать закончившимся. Путь s, пройденный шариком к этому моменту времени, составит величину
s = 3uτ = 3 ρ т u 2 ( ρ т − ρ ) g .
(6)
Она дает допустимое расстояние между свободной поверхностью жидкости и меткой начала отсчета времени в эксперименте.
Разумеется, что для расчета пути установления s понадобится найденная из опыта величина u.
Для расчета коэффициента вязкости по опытным данным из
первой формулы в (5) получим выражение
η = 2( ρ т − ρ ) gr 2 9u
или
η = Br 2t ,
(7)
где B = 2( ρ т − ρ ) g 9l – просто вычисляемый коэффициент, l – расстояние между метками, t – время движения между ними.
Метод падающего шарика позволяет легко находить коэффициент сопротивления C. Для его расчета подставим в формулу (1)
вместо силы сопротивления F уравновешивающую её при установившемся падении шарика результирующую силу ( ρ т − ρ )Vт g . Полученное выражение
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
C = 8( ρτ − ρ ) gr 3 ρu 2
(8)
применимо для любых чисел Re . Его можно использовать для отыскания по графику на рис. 1 числа Рейнольдса в интервале
0.5 ≤ Re ≤ 100 , а затем рассчитать коэффициент вязкости η за пределами Стоксовой области.
Методические особенности эксперимента
В качестве меток в работе используются резиновые колечки,
охватывающие стеклянные цилиндры с исследуемой жидкостью
(технический глицерин, вода). Колечки можно перемещать вдоль
цилиндров, располагая их на требуемой высоте: верхнее – ниже
уровня жидкости настолько, чтобы к моменту его прохождения
скорость шарика успевала установиться; нижнее – на возможно
большем расстоянии от верхнего колечка, чтобы уменьшить ошибку измерения величин l и t. Фиксируя момент прохождения шариком метки, глаз наблюдателя должен располагаться в плоскости
колечка, которое при этом будет сливаться в отрезок прямой линии.
Радиусы шариков r определяются с помощью измерительного
микроскопа. Рекомендуется проверить сферичность шариков, измеряя их диаметр d по разным направлениям. При ее нарушении в
качестве r надо брать половину среднего значения d.
Плотность жидкости ρ определяется с помощью пикнометра
или берется из справочника. Плотность шариков ρ т находится по
их массе и объёму или берется из таблиц, как, например, для свинцовых дробинок.
Описанная методика определения коэффициента вязкости основана на формуле Стокса (2) и верна лишь при условии Re < 0.5 .
Проверить последнее можно, даже не находя величины η , а используя выражение (8) и график на рис. 1.
Однако есть иной способ проверить приемлемость данной методики. Нужно провести опыты с разными по радиусу шариками.
Если рассчитанные по формуле (7) значения коэффициента η не
обнаружат систематической зависимости от r, значит методика
справедлива. В противном случае условия опыта надо поменять,
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
взяв другие шарики, или для нахождения η воспользоваться формулой (8) и графиком на рис. 1.
Разумеется, что всякий раз начальный участок пути Δl (до
верхней метки) должен быть достаточным для установления скорости шариков: Δl ≥ s . Кроме того, во избежание влияния стенок
сосуда на результаты опытов, необходимо бросать шарики вблизи
осевой линии цилиндров.
Порядок выполнения работы
1. Отберите 2 или 3 группы тяжелых шариков (свинцовых дробинок) по 5 примерно одинаковых шариков в группе так, чтобы
шарики из разных групп заметно отличались по диаметру. Измерьте диаметры шариков. Для каждой группы вычислите среднее значение радиуса <r> и его среднеквадратичную ошибку δr .
2. Бросая в сосуд с техническим глицерином наибольшие шарики, измерьте время их падения между двумя метками. По формуле (6) определите путь s установления скорости, проверьте выполнение условия Δl ≥ s , при необходимости переместите верхнюю
метку. После этого побросайте в жидкость остальные шарики. Для
каждой группы вычислите среднее время падения <t> и его среднеквадратичную ошибку δt .
3. Предварительно рассчитав коэффициент B, независящий от
радиуса шариков, с помощью второй формулы в (7) для каждой
группы шариков найдите среднее значение коэффициента вязкости
< η > жидкости. Его ошибку вычислите по формуле
δη =< η > (2δr / < r >) 2 + (δt / < t >) 2 .
(9)
Проверьте, лежит ли расхождение в средних значениях < η > , найденных для разных групп шариков, в пределах ошибки δη .
4. По найденному коэффициенту η и скорости u для каждой
группы шариков рассчитайте число Re . Проверьте выполнение условия Re < 0.5 . Сделайте вывод относительно достоверности полученных значений коэффициента вязкости.
5. Используйте достоверное значение η для определения по
графику на рис. 2 массовой доли воды в техническом глицерине.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассчитайте его плотность, внесите поправку в значение η, найденное по формуле (7).
6. Проведите аналогичные опыты, бросая самые легкие шарики
в сосуд с водой. По формуле (8) найдите для каждого шарика коэффициент сопротивления C и число Re . Полученные результаты
представьте на графике зависимости lg C от lg Re .
Рис. 2. Коэффициент вязкости водного раствора глицерина в зависимости
от массовой доли воды ζ в растворе при температуре 20 0С
Дополнительные задания
1. Выведите формулы (5), интегрируя уравнение (3).
2. Получите выражение (6), интегрируя (4) и используя (5).
3. Получите выражение (9) из общей формулы для ошибки
косвенных измерений.
4. Пользуясь графиками на рис. 1, 2 и выражениями для величин C и Re , спланируйте эксперимент по выходу на возможно
большие числа Re .
Литература
1. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Т. 1 / Д.В. Сивухин. –
М.: Наука, 1989. – §§ 98, 100, 101, 103.
2. Бэтчелор,
Дж.
Введение
в
динамику
жидкости
/ Дж. Бэтчелор. – М.: Мир, 1973. – 5.11.
3. Руководство к лабораторным занятиям по физике / под ред.
Л.Л. Гольдина. – М.: Наука, 1973. – Р. 20.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лабораторная работа 6
Изучение температурной зависимости
коэффициента вязкости жидкости
с помощью капиллярного вискозиметра
Оборудование: капиллярный вискозиметр, аспиратор, стеклянный термостатирующий сосуд, электродвигатель с мешалкой,
термометр, электронагреватель, секундомер, стакан для слива воды.
Общие представления
Феноменологически внутреннее трение в подвижных средах
(жидкостях и газах) описывается законом вязкости Ньютона [1]
F = η (dv dy ) S ,
где F – сила взаимодействия движущихся слоев на разделяющей их
площадке S, а dv/dy – поперечный градиент скорости v их движения. Коэффициент пропорциональности η, стоящий в формуле, характеризует эффективность силового взаимодействия слоев. В системе СГС он измеряется в “Пуазах”, а именно 1 Пз = г/(см с).
Молекулярный механизм внутреннего трения в жидкости существенно иной, чем в газе. Это связанно с большой плотностью
упаковки в ней микроскопических частиц (молекул): среднее расстояние между ними близко к размеру самих частиц. Поэтому для
жидкости теряет смысл представление о длине свободного пробега
молекул (силы взаимодействия между ними велики и оказывают
постоянное влияние на их движение). Вязкость жидкости нельзя
трактовать как результат свободного переноса в ней импульса макроскопического движения, поскольку импульс каждой частицы не
остается постоянным даже на протяжении кратчайших интервалов
времени, но непрерывно меняется.
Тепловое движение частиц в жидкости носит колебательнодиффузионный характер. Большую часть времени выделенная молекула проводит в тесном окружении соседних частиц, совершая
малые колебания с периодом τ0 в пределах предоставленной ей по46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тенциальной ямы. Но в результате тепловых флуктуаций такая молекула может получить от соседей избыточную кинетическую
энергию, достаточную для преодоления потенциального барьера,
созданного её соседями. И тогда, совершив прыжок на некоторое
расстояние δ, близкое к среднему расстоянию между частицами,
выделенная молекула попадает в новое окружение (как бы в соседнюю потенциальную яму), где продолжает свои колебания до следующего прыжка.
В целом картина миграции (переселения) выделенной молекулы жидкости напоминает броуновское движение с той лишь разницей, что её траектория является ломаной линией с одинаковой длиной звеньев равной δ. Другой микроскопической характеристикой
данного процесса будет среднее время перемещения на один шаг δ.
Оно практически совпадает со средним временем пребывания молекулы в потенциальной яме <t>, поскольку сам прыжок совершается за долю периода τ0.
Фактическое время нахождения частицы в потенциальной яме t
является случайной величиной и может не совпадать со значением
<t>. Вероятность того, что это время будет не меньше некоторой
величины t, задается формулой
p (t ) = exp(−t / τ ) ,
где τ – постоянная. Из неё легко получить то, что принято называть
временем “оседлой жизни” молекулы:
∞
< t > = −  t ⋅ dp (t ) = τ .
(1)
0
По аналогии между процессом выхода частицы из потенциальной ямы и испарением молекулы с поверхности жидкости, Френкель в своей знаменитой книге [2] использовал формулу
W 
,
 kT 
τ = τ 0 exp
(2)
где k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура, W –
энергетическая высота потенциального барьера, названная им
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
энергией активации. Далее, рассматривая миграцию многих частицы как процесс самодиффузии (см., например, [3], [4]) с коэффициентом D = δ 2 6τ , он получил выражение
δ2
 W 
D=
exp −
.
6τ 0
 kT 
(3)
С другой стороны, если представлять частицу как маленький
шарик с радиусом a, что соответствует модели простых жидкостей,
то можно записать формулу Стокса f = 6πaηu , где f – сила сопротивления, действующая на частицу со стороны вязкой среды при её
движении со скоростью u. Из этой формулы следует выражение
для подвижности частицы
B=
u
1
=
.
f 6πaη
(4)
Подставляя его и выражение (3) в соотношение Эйнштейна
D = B ⋅ kT ,
(5)
получаем формулу Френкеля
η=
τ0
W 
kT
exp
 ,
 kT 
πaδ 2
(6)
которая выражает зависимость коэффициента вязкости от температуры.
Данная формула хорошо описывает явление вязкости не только в простых (одноатомных), но и в более сложных жидкостях, находящихся при постоянном внешнем давлении. Область ее применимости, однако, ограничена условием τ > τ0, которое выполняется при относительно невысоких температурах.
Сравнение теоретической зависимости величины η от T с
опытными данными позволяет найти важные микроскопические
характеристики частиц жидкости W и τ0. Такое сравнение удобнее
 η см 3 
1
 . Логапроводить графически в переменных x = , y = ln ⋅

kT
kT
сек


рифмируя формулу (6), получим уравнение прямой
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
y =W ⋅ x + b.
(7)
Её график на плоскости переменных x, y будет иметь коэффициент
наклона к оси x равный W и будет отсекать на оси y отрезок
 τ 0 см 3 
.
b = ln
⋅
2 сек 
a
π
δ


Описание измерительной установки
Установка для измерения коэффициента вязкости жидкостей в
температурном диапазоне 20 – 90 оC изображена на рис. 1. Она
включает в себя капиллярный вискозиметр B, термометр T и электронагреватель H, помещенные в стеклянный термостатирующий
сосуд с водой. Погруженная в воду мешалка M, вращаемая электродвигателем Д, позволяет быстро устанавливать равномерную по
всему объему сосуда температуру.
Рис. 1. Лабораторная установка для измерения коэффициента вязкости
жидкостей при разных температурах
Используемый в работе капиллярный вискозиметр Оствальда
[5] представляет собой U-образную стеклянную трубку, одно колено которой имеет две полости П1, П2 и капилляр К. На нижней и
верхней сторонах полости П2 нанесены кольцевые метки М1, М2,
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ограничивающие некоторый объем V0, являющийся константой
прибора. Другое колено вискозиметра представляет собой широкую трубку с полостью П3 и боковым отростком. В обычной практике, когда прибор держат в руках, этот отросток соединяется с резиновой грушей для закачивания исследуемой жидкости в узкое
колено вискозиметра. Перед этим определенная порция её вливается в широкую трубку вискозиметра.
В данной работе вместо груши используется аспиратор А, соединенный с узким коленом вискозиметра через тройник. Засасывание жидкости в полость П2 вискозиметра производится разрежением воздуха, возникающим в аспираторе при вытекании из него
воды при открытом кранике К1 и закрытом кранике К2. После того,
как уровень воды в узком колене поднимется несколько выше метки М1, краник К1 перекрывают и открывают краник К2, соединяющий полость П1 с атмосферой.
Жидкость получает возможность свободно стекать через капилляр в нижнюю часть прибора и полость П3. При этом измеряется время t, за которое уровень жидкости в узком колене опускается
от метки M1 до метки M2. Это время прохождения через капилляр
определенного объема жидкости V0 связано с коэффициентом вязкости формулой
η = ρgϕ (t ) ,
(8)
где ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения,
φ (t) – градуировочная функция вискозиметра. Последняя определяется геометрией прибора и полным объемом VΣ залитой в него
жидкости.
Отыскание функции φ (t) представляет собой отдельную задачу, которая рассмотрена в Приложении 1. Её решение приводит к
выражению ϕ (t ) = Ct , где C – постоянная прибора.
Постоянную С для заданного объема VΣ находят из калибровочного опыта, проведенного с эталонной жидкостью, для которой
известны величины η, ρ. Объем VΣ удобно фиксировать по метке
M3, нанесенной на широкое колено вискозиметра (см. рис. 1), напротив которой должен находиться свободный уровень залитой
жидкости.
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вообще, заполнение вискозиметра должно проводиться в соответствии с паспортными данными определенным объемом жидкости. Лишь тогда можно пользоваться указанной в паспорте градуировочной зависимостью η от t. Однако для целей данного исследования достаточно знать вязкость жидкости при комнатной температуре, не особенно заботясь о величине VΣ.
Порядок выполнения работы
1. Проверьте готовность измерительной установки, наличие
приборов. Последние не должны касаться друг друга и стенок термостатирующего сосуда. Вода в сосуде должна доходить до середины верхней полости П1 вискозиметра. Двигатель мешалки должен быть надежно закреплен в штативе.
Особенно осторожно следует обращаться с вискозиметром, который в данной работе установлен стационарно и не требует какихлибо манипуляций. Последние могут производиться только опытным преподавателем или лаборантом при смене исследуемой жидкости.
2. Проведите измерение вязкости данной жидкости (технический глицерин) при комнатной температуре ( ≈ 200C). Проследите,
чтобы в капилляре и полости П2 при засасывании туда жидкости не
было пузырьков воздуха. После открытия краника K2 пронаблюдайте за понижением уровня жидкости в узком колене и измерьте
время его опускания t от метки М1 до метки М2. При необходимости повторите опыт несколько раз, найдите среднее значение <t> и
его ошибку.
3. Для измерений при повышенной температуре включите
электродвигатель мешалки. Регулятором на его верхней части установите небольшую скорость вращения (её следует сохранять до
конца опытов). Проследите, чтобы лопасти мешалки не стучали по
стенке термостатирующего сосуда. Электронагревателем поднимите температуру в сосуде на 10 – 150С.
Выждав несколько минут, проведите измерение времени опускания уровня t в узком колене согласно пункту 2. Спустя минуту,
повторите опыт. Если значение t существенно не изменится, то это
будет говорить о термической стабилизации в системе и достоверности полученного результата. Время термической стабилизации,
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вообще, зависит от скорости вращения мешалки. Его можно найти
из опытов и использовать при дальнейших измерениях.
4. Повышая температуру исследуемой жидкости шагами по
10 – 150С, определите время опускания уровня t в 4 – 6 температурных точках диапазона 20 – 800С. Оцените ошибки измерений δt,
δT. Рассчитайте средние значения величин η, x, y и их ошибки δη,
δx, δy. Полученные данные в системе СГС занесите в таблицу:
T, К
t, с
η, Пз
x, эрг-1
y
5. Представьте окончательные результаты на плоскости переменных x, y. Учитывая интервалы ошибок, проведите через точки,
снятые при меньших температурах, наилучшую прямую соответственно формуле (7). По коэффициенту её наклона и длине отрезка,
отсекаемого на оси y, рассчитайте для исследуемой жидкости величины W и τ0. В расчетах полагайте
a=
δ
2
,
δ =3
1
,
n
n=
ρN A
,
μ
где NA – число Авогадро, n – концентрация молекул жидкости, μ –
ее молярная масса. Соотнесите полученное значения W со средней
энергией kT, приходящейся на одну колебательную степень свободы молекулы.
Дополнительные задания и контрольные вопросы
1. Выведите интегральное выражение (1) для времени “оседлой
жизни” молекулы в потенциальной яме. Представьте соображения,
приводящие к экспоненциальному виду функции вероятности p(t).
2. Представьте соображения, приводящие к формулам (2) и (5).
3. Пользуясь формулой (2), рассчитайте количество колебаний,
совершаемых частицей исследуемой жидкости за время “оседлой
жизни”.
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Используя формулу (4), найдите скорость упорядоченного
движения молекул воды (или глицерина) под действием силы тяжести. Сравните её со скоростью миграционного движения δ τ .
5. При каких температурах экспериментальные точки на плоскости переменных x, y заметно отклоняются от прямой? Чем можно
объяснить это отклонение?
6. Внесите в формулу (6) поправку на тепловое расширение
жидкости при постоянном давлении. Как эта поправка скажется на
величине τ0, определяемой по измерениям коэффициента вязкости
η(T)?
7. Опираясь на представления Френкеля, объясните, как ведет
себя жидкость, подверженная действию длительных и кратковременных сил.
Литература
1. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Т. 1 / Д.В. Сивухин. –
М.: Наука, 1989. – §§ 93, 94, 96, 97.
2. Френкель, Я.И. Кинетическая теория жидкостей / Я.И. Френкель. – Л.: Наука, Лен. отд.: 1975. – гл. 1, § 1; гл. 4, §§ 1, 2.
3. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Т. 2 / Д.В. Сивухин. –
М.: Наука, 1990. – §§ 91, 93.
4. Радченко, И.В. Молекулярная физика / И.В. Радченко. – М.:
Наука, 1965. – Гл. 15, п. 15.1 – 15.4.
5. Лабораторные занятия по физике: учеб. пособие / под ред.
Гольдина Л.Л. – М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. лит.,
1983. – Раб. 3.1.
Лабораторная работа 7
Определение коэффициента поверхностного
натяжения жидкости методом отрыва кольца
Оборудование: лабораторные весы, тонкое алюминиевое
кольцо на трифилярной подвеске, станина с вертикально перемещаемым столиком и часовым индикатором перемещений, стеклянная кювета, разновески, мелкий песок, легкие коробочки.
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Общие представления
Кольцо, приведенное в соприкосновение со смачивающей его
жидкостью, при подъеме увлекает за собой её некоторую часть, которая благодаря поверхностным силам оказывается в подвешенном
состоянии. За неимением другого термина будем называть эту
часть жидкости столбом. Данное явление изображено на рис. 1, где
пунктиром СС’ показан уровень свободной поверхности жидкости
вдали от стенки кольца AA’.
Пусть D – средний диаметр кольца (на рисунке не показан), a –
толщина его стенки по нижнему краю AA’, b – толщина перемычки
ВВ’ в самом узком месте столба, φ – угол между поверхностью
жидкости и нижним краем кольца в точках касания А, А’. Угол φ
не следует путать с краевым углом β, который определяется степенью смачивания твердой поверхности жидкостью. В случае равновесия поднятого кольцом столба жидкости φ > β и величина b > 0.
Рис. 1. Поперечное сечение нижней
части стенки кольца
и поднятого им столба жидкости
Для тонкого кольца ( a << D ) можно пренебречь кривизной его
стенки и при анализе условий отрыва воспользоваться решением
задач 4, 5 из §109 в [1], которое получено для бесконечно длинной
пластинки перпендикулярной плоскости рис. 1. Из него следует,
что при значительной толщине кольца отрыв происходит по достижении углом φ значения краевого угла β. Напротив, для достаточно тонкого кольца отрыв происходит при φ > β в результате исчезновения перемычки ВВ’, т. е. при b = 0.
Если поверхность кольца полностью смачивается жидкостью
(β = 0), то первый случай имеет место при условии a > c σ ρ g , а
второй – при a < c σ ρ g . Здесь σ – коэффициент поверхностного
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
натяжения, ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения, c – постоянная:
c = 2 2 − 2 ln( 2 + 1) ≈ 1.066
При a > c σ ρg максимальная высота поднятого столба жидкости h и сила отрыва F1, приходящаяся на единицу длины кольца без
учета его веса, даются выражениями
h = 2 σ ρg , F1 = 2a σρg .
(1)
При a < c σ ρg для величин h и F1 с учетом действия сил поверхностного натяжения FН (рис. 1) справедливы формулы
(
)
(
)
h = 2 σ 1 − z 2 ρg , F1 = 2a ρgσ + 4σ z ⋅ 1 − z 2 ,
(2)
в которых в отличие от [3] введена вспомогательная переменная
z = sin (ϕ / 2 ). Согласно [1] она удовлетворяет трансцендентному
уравнению
a=
σ 
1+ z
c
−
z
+
4
ln
.
ρg 
1 − z 
(3)
Формулы (1) – (3) могут рассматриваться как уравнения для
отыскания величин σ, a, z по измеренным на опыте значениям h и
F1. В частности, из уравнений (1), (2) следует, что
F1 / ρgh ≥ a ,
(4)
где знак “равно” соответствует первому случаю отрыва, а знак
“больше” – второму. Поскольку величина a также поддается измерению, соотношение (4) является удобным критерием для выяснения вопроса о том, какой случай отрыва имеет место в конкретном
опыте.
Остановимся более подробно на втором случае отрыва. Разрешив уравнения (2) относительно величин σ и z, имеем
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
σ=
(k
4
ρg
2
)
+ h2 , z =
k
2
k +h
2
,
(5)
где k = ( F1 / ρgh) − a . При известном значении a формулы (5) позволяют рассчитать величины σ, z по найденным из опыта значениям h
и F1. Если значение a точно не известно, что имеет место при
скруглении нижнего края кольца, то явных выражений для расчета
величин σ, z, a получить нельзя. В этом случае следует решать систему уравнений (2), (3) методом последовательных приближений.
Можно предложить два вычислительных процесса такого рода:
1. Сначала по некоторому (приближенному) значению a из
формул (5) найти приближенные значения σ, z. Затем использовать
их для уточнения значения a с помощью выражения (3). При необходимости повторить цикл.
2. Сразу исключить из формул (2), (3) величины σ, a, получив
при этом трансцендентное уравнение
2 F1
ρgh 2
1 − z 2 = c − 2 z + ln
1+ z
.
1− z
(6)
Решив его, найти величину z, которую затем использовать в
формулах (2), (3) для отыскания значений σ, a.
Оба процесса можно реализовать с помощью несложных компьютерных программ, написание которых предоставляется читателю.
Описание лабораторной установки
Схема установки для измерения величин h и F1 изображена на
рис. 2. Тонкое алюминиевое кольцо А подвешено на одно из плеч
коромысла лабораторных весов вместо чашки. Трифилярная подвеска кольца осуществляется таким образом, чтобы плоскость
нижнего края кольца была горизонтальной. Стеклянная кювета с
исследуемой жидкостью ставится на вертикально перемещаемый
столик С, позволяющий приводить кольцо в соприкосновение с
жидкостью и обеспечивать условия опыта. Перемещения столика
регистрируются индикатором часового типа И модели ИЧ 10 МН с
ценой деления 0.01 мм и ходом 10 мм.
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2. Схема измерительной установки
Методика измерений требует предварительного уравновешивания сухого кольца на воздухе, при котором стрелку весов желательно установить на нулевое деление шкалы Ш. Тогда при взаимодействии кольца с жидкостью равновесие будет нарушено. Для
его восстановления на оставшуюся чашку весов В следует положить дополнительный груз Р – коробочку с песком – и переместить
кювету по вертикали. Условие равновесия в этом случае будет
иметь вид
F = P + nδ ,
(7)
где F – сила, действующая на кольцо со стороны жидкости, δ – цена деления шкалы весов, n – число делений, на которое отклоняется стрелка от положения равновесия (нулевое деление шкалы). При
этом n < 0 при отклонении влево, в сторону кольца; n > 0 при отклонении в противоположную сторону.
Величина F зависит от положения нижнего края кольца по отношению к свободной поверхности жидкости. В момент отрыва
F = πD F1 , где сила отрыва F1, приходящаяся на единицу длины
кольца, при полном смачивании определяется формулами (1), (2).
Подготовка установки к измерениям
Осмотрите лабораторные весы. Опорные призмы и подушки
должны быть очищены от загрязнений и протерты спиртом, что
может производиться лишь в арретированном состоянии весов.
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставка весов должна быть приведена в горизонтальное положение, для чего служат установочные винты и отвес на колонке весов.
Освобожденное от арретира коромысло должно плавно качаться около положения равновесия, которое может не совпадать с нулевым делением шкалы весов. Совместить положение равновесия с
этим делением можно при помощи гаечек, перемещаемых по винтовой резьбе на концах коромысла.
Определите цену деления шкалы δ, поместив на чашку весов
разновеску в 20 мг (или другой грузик известной массы) и измерив
величину отклонения стрелки от положения равновесия.
Подготовьте индикатор перемещений к измерениям высоты
подвижного столика. Индикатор требует осторожного обращения.
Необходимо следить за тем, чтобы его стержень перемещался без
ударов в конце хода. Нельзя поворачивать корпус индикатора, когда он закреплен в державке за гильзу.
Обработайте спиртом или эфиром алюминиевое кольцо и
внутреннюю поверхность кюветы. В дальнейшем не прикасайтесь
к ним пальцами. После высыхания кюветы наполните ее на 2/3
дистиллированной водой.
Арретируйте весы. Опустите подвижный столик в нижнее положение. Поставьте на него кювету с жидкостью.
Порядок выполнения работы
1. Для нахождения максимальной высоты столба жидкости,
поднятой кольцом, плавно поднимите столик с кюветой до соприкосновения кольца с поверхностью воды (погружение кольца в воду при этом не произойдет, так как весы арретированы). Измерьте
высоту столика h1.
2. Медленно опустите столик до отрыва кольца от жидкости.
Измерьте высоту столика h2, соответствующую моменту отрыва.
Найдите максимальную высоту столба жидкости h = h1 – h2. Повторив опыт несколько раз, определите среднее значение h и его
ошибку.
3. Для нахождения силы отрыва кольца от жидкости поднимите столик с кюветой до соприкосновения кольца с водой попрежнему при арретированных весах. Положите на чашку весов
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пустую коробочку и освободите коромысло от арретира. Если при
этом произойдет отрыв кольца от жидкости, поднимите столик
выше или замените коробочку на более легкую так, чтобы отрыва
не происходило.
4. Опуская столик с кюветой или подсыпая мелкий песок в коробочку, оторвите кольцо от жидкости. Обратите внимание на положение стрелки весов непосредственно перед отрывом. Добейтесь
того, чтобы в момент отрыва стрелка не зашкаливала и была как
можно ближе к положению равновесия. При помощи аналитических весов определите вес коробочки с песком P. Из формулы (7)
найдите силу отрыва F. Повторив опыт несколько раз, определите
среднее значение F и его ошибку.
5. Рассчитайте силу отрыва F1, приходящуюся на единицу длины кольца. Пользуясь критерием (4), определите, какой случай отрыва имел место на опыте. Используя полученные в опыте значения h и F1, для данного a рассчитайте величину σ и ее ошибку.
Проведите уточняющие расчеты, уменьшающие систематическую
ошибку, связанную с заданием величины a.
Контрольные вопросы и дополнительные задания
1. Когда и как может повлиять на результаты опытов неполное
смачивание кольца жидкостью?
2. Как влияют на величину поверхностного натяжения воды
небольшие примеси спирта и эфира?
3. Выведите формулы (5), (6).
4. Испытайте на сходимость вычислительный процесс 1, предложенный для уточнения величины a.
5. Разработайте метод численного решения трансцендентного
уравнения (6) и испытайте его.
6. Найдите радиус капли воды, отрывающейся от носика вертикальной пипетки, имеющего радиус 1 мм.
7. Оцените средний радиус капли воды, отрывающейся от
твердой горизонтальной поверхности при ее полном смачивании.
8. Оцените силу поверхностного натяжения, действующую на
лапку водомерки, и глубину ее погружения в воду.
9. Оцените максимальный вес насекомых, способных перемещаться по свободной поверхности воды.
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
1. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Т. 2 / Д.В. Сивухин. –
М.: Наука, 1990. – §§ 106, 108, 109.
2. Савельев, И.В. Курс общей физики. Т. 1 / И.В. Савельев. –
М.: Наука, 1982. – §§ 116, 118.
3. Изучение свойств жидкостей: метод. указания к лабораторным работам по молекулярной физике / сост. Р.Ф. Балабаева,
В.А. Митрофанов; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль, 1992.
Приложения
Приложение 1
Динамическая теория вискозиметра
Будем считать, что условия опыта в работе № 6 обеспечивают
ламинарность течения жидкости в капилляре вискозиметра. Тогда
распределение скорости v в его поперечном сечении будет иметь
параболический характер:
v ( r ) = 2u ⋅ (1 − r 2 / R 2 ) .
(1)
Здесь r – расстояние до оси капилляра, R – его радиус, u –
средняя по сечению скорость движения:
u=
Q
πR 2
,
R
Q =  v(r )2π rdr – объемный расход.
0
Используя формулу (1) и закон вязкости Ньютона, получим
выражение для силы трения, действующей на жидкость со стороны
капилляра:
F f = S c ⋅ τ c = 2π Rl ⋅ η
dv
= − 8π lηu .
dr r = R
Здесь Sc – площадь внутренней поверхности капилляра (стенки), l – его длина, τc – касательное напряжение на стенке.
Кроме силы трения на массу жидкости в капилляре m = ρπ R 2l в
каждый момент времени будут действовать сила тяжести Fg = mg и
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
результирующая сил давления на входе и выходе капилляра
F p = π R 2 (P1 − P2 ) .
Давление P1 на входе в капилляр определим из уравнения Бернулли, применяя его к линии тока 0-1, проходящей по полости П2
(см. рис. 1 в работе № 6):
u 02
P u 2 P1
+ gy + 0 =
+ .
2
ρ
2
ρ
Здесь u0 – скорость движения свободной поверхности, P0 – атмосферное давление, y – высота столба жидкости в полости П2 над
уровнем входного сечения капилляра. Далее заметим, что площадь
поперечного сечения S0 в полости П2 значительно превышает площадь поперечного сечения капилляра S = π R 2 . Поэтому из условия
сплошности u 0 S 0 = uS следует, что u0 << u. Таким образом, получаем выражение
P1 = P0 + ρgy −
1 2
ρu .
2
(2)
Аналогично, применяя уравнение Бернулли к линии тока 2-3,
проходящей по нижней части прибора (см. рис. 1), получим давление на выходе из капилляра
P2 = P0 + ρgz −
1 2
ρu ,
2
(3)
где z – высота столба жидкости в широком колене над уровнем выходного сечения капилляра. Из формул (2), (3) имеем
P1 − P2 = ρg ( y − z ) .
Учитывая, что средняя скорость жидкости в капилляре u будет
меняться со временем, запишем уравнение второго закона Ньютона
для выделенной массы m в виде
m
du
= Fg + F p + F f .
dt
(4)
Постановка сюда полученных выше выражений приводит к
дифференциальному уравнению, анализ которого весьма сложен.
Поэтому будем считать, что в условиях опыта инерционным членом, стоящим в левой части уравнения, можно пренебречь. Тогда
из (4) получим
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ρgh =
8ηl
R2
u,
(5)
где h = l + y − z , что представляет собой разность высот уровней
жидкости в левом и правом коленах вискозиметра (см. рис. 1).
Заметим, что уравнение (5) можно получить и более простым
путем, из формулы Пуазейля, формально полагая в ней ΔP = ρgh .
Последнее не очевидно, хотя и может быть обосновано тем, что
продавливание жидкости через капилляр осуществляется именно
гидростатическим давлением столба.
Используя уже записанное ранее условие сплошности и кинематическую связку u0 = − dy dt , преобразуем уравнение (5) к виду
ρg
8l S ( y )
dt = − 4 0
dy ,
η
πR h( y )
(6)
где S0(y), h(y) – функции, определяемые геометрией прибора, причем последняя зависит еще от объема жидкости VΣ, залитой в вискозиметр.
Интегрируя (6) на временном интервале (0, t), в течение которого уровень жидкости в полости П2 опускается с высоты y0, отвечающей метке М1, до метки М2, получим
8l
ρg
t= 4
η
πR
S0 ( y )
 h( y ) dy .
0
y0
(7)
Таким образом, введенная формулой (8) в работе № 6 градуировочная функция вискозиметра будет линейной:
ϕ (t ) = C t,
где коэффициент С – величина обратная выражению, стоящему в
правой части соотношения (7). Для данного прибора градуировочный коэффициент С зависит только от объема VΣ и не зависит от
рода жидкости и её температуры (если пренебречь тепловым расширением стекла).
Для оценки величины C из уравнения (5) или уравнения (7),
положив h = const , нетрудно получить выражение
C=
π R 4h
8V0 l
62
,
(8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где V0 – объем жидкости ограниченный метками М1, М2 (см.
рис. 1). Значение величин R, l, V0 обычно указаны на приборе. В
качестве h следует взять разность высот уровней жидкости в вискозиметре при нахождении одного из них в середине полости П2.
Очевидно, что при таком определении величина h и, следовательно, C будет зависеть от VΣ. Отсутствие указаний на зависимость
коэффициента C от объема VΣ, допускаемое в некоторых учебных
изданиях, представляет собой методическую погрешность, ведущую к ошибкам измерений.
Задания и контрольные вопросы
1. Убедитесь в справедливости формулы (1).
2. Выведите соотношение (5) из формулы Пуазейля.
3. Получите для градуировочного коэффициента C приближенное выражение (8). Предварительно измерив высоту h, оцените
значение C для находящегося в вискозиметре объема жидкости.
Сравните найденное значение с паспортными данными.
4. Условием, обеспечивающим ламинарность потока в капилляре, является критерий Рейнольдса: ρuR η < 103 . Используя формулу (5), оцените критическое значение кинематического коэффициента вязкости ν = η ρ . Достигается ли оно в проведенных опытах?
5. Какие условия обеспечивают малость инерционного члена в
уравнении (4)? Выполняются ли они в проведенных опытах?
Приложение 2
* Программа автоматической обработки данных в лабор. работе № 2
dimension x(0:1000),dx(1000),xa(0:200)
integer*2 is
real*4 rnd
real M
7
write(6,*)'Чтобы нарастить серию данных x(i), введи 1'
write(6,*)'Чтобы обсчитать серию данных x(i), введи 2'
write(6,*)'Чтобы смоделировать броуновское движение,введи 3'
read(5,*) key
if(key-2) 10,20,30
* Подклейка дополнительной серии данных
10 write(6,*)'Метка 10'
write(*,*)'Введи имя файла с данными первоначальной серии'
open(3,file=' ')
write(*,*)'Введи имя файла с данными дополнительной серии'
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
open(4,file=' ')
do 9 i=0,1000
9
read(3,*,end=11) x(i)
11 n = i-1
backspace(3)
read(4,*) xa(0)
dex = xa(0) – x(n)
do 12 i = 1,200
read(4,*,end=6) xa(i)
x(i+n) = xa(i) – dex
12 write(3,*) x(i+n)
6
close(4)
close(3)
goto 7
* Моделирование броуновского движения
30 write(6,*)'Метка 30'
write(6,*)'Введи установочное целое число для процедуры Seed'
write(6,*)'и число шагов частицы N (не более 1000)'
read(5,*) is,N
call Seed(is)
write(6,*) 'Введи максимальный случайный шаг dxm и'
write(6,*) 'величину dis постоянного смещения частицы'
read(5,*) dxm,dis
x(0) = 0.
do 4 i=1,N
call Random(rnd)
4
x(i) = x(i-1) + (2*rnd-1)*dxm + dis
goto 21
* Обсчёт серии данных
20 write(6,*) 'Метка 20'
write(6,*) 'Введи имя файла с данными опыта'
open(4,file=' ')
do 3 i=0,1000
3
read(4,*,end=5) x(i)
5
N = i-1
21 write(*,*) 'Введи имя файла для результатов обсчета'
open(7,file=' ')
write(6,*)'Введи число временных шагов ntime, для которых будут'
write(6,*)'вычисляться средние характеристики процесса'
read(5,*) ntime
write(6,*) 'Ввeди коэффициент Стьюдента TalfaN'
read(5,*) TalfaN
write(6,*) ' k ',' M ',' Q ',' deltaM',' deltaQ'
write(7,*) ' k ',' M ',' Q ',' deltaM',' deltaQ'
SU = 0.
SU2 = 0.
SD = 0.
SD2 = 0.
do 2 k=1,ntime
Sdx = 0.
Sdx2 = 0.
Sdx4 = 0.
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
do 1 i=k,N
dx(i) = x(i)-x(i-k)
Sdx = Sdx + dx(i)
Sdx2 = Sdx2 + dx(i)**2
1
Sdx4 = Sdx4 + dx(i)**4
adx = Sdx/(N+1-k)
adx2 = Sdx2/(N+1-k)
adx4 = Sdx4/(N+1-k)
M = adx
S = adx2
P = adx4
Q = S – M**2
deltaM = TalfaN*sqrt(Q/(N-k))
deltaQ = TalfaN*sqrt((P-(Q-M**2)**2)/(N-k))
write(6,8) k,M,Q,deltaM,deltaQ
write(7,8) k,M,Q,deltaM,deltaQ
8
format(i3,f7.2,f7.2,f7.2,f7.2)
U = M/k
SU = SU + U
SU2 = SU2 + U*U
D = Q/(2*k)
SD = SD + D
2
SD2 = SD2 + D*D
aU = SU/ntime
aD = SD/ntime
aU2 = SU2/ntime
aD2 = SD2/ntime
deltaU = sqrt((aU2 – aU**2)/ntime)
deltaD = sqrt((aD2 – aD**2)/ntime)
write(6,14) aU,aD,deltaU,deltaD
14 format('U=',e8.2,'D=',e8.2,'deltaU =',e8.2,' deltaD =',e8.2)
write(6,*)'Размерность величин U, deltaU – деление шка
!лы/временной шаг'
write(6,*)'Размерность величин D, deltaD – квадрат деления
!шкалы/временной шаг'
write(*,*) 'Введи имя файла для аппроксимирующих прямых'
open(8,file=' ')
write(8,*) ' k ',' M ',' Q '
do 13 k=1,ntime
13 write(8,15) k,aU*k,2*aD*k
15 format(i3,e9.2,e9.2)
write(*,*) 'Обсчет закончен – дайте ввод'
read(5,*)
close(4)
close(7)
close(8)
stop
end
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Лабораторная работа 1. Определение коэффициента внутреннего
трения и длины свободного пробега молекул воздуха......... 4
Лабораторная работа 2. Имитация броуновского движения,
проверка закона Эйнштейна, термометрия в системе
магнитных шариков ................................................................ 13
Лабораторная работа 3. Определение показателя адиабаты
методом Клемана и Дезорма .................................................. 22
Лабораторная работа 4. Изучение кривой равновесия жидкости и её
насыщенного пара................................................................... 32
Лабораторная работа 5. Измерение коэффициента вязкости
жидкости методом Стокса ..................................................... 39
Лабораторная работа 6. Изучение температурной зависимости
коэффициента вязкости жидкости с помощью капиллярного
вискозиметра ........................................................................... 46
Лабораторная работа 7. Определение коэффициента
поверхностного натяжения жидкости методом отрыва
кольца ....................................................................................... 53
Приложения ......................................................................................... 60
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Митрофанов Виктор Анатольевич
Лабораторные работы
по молекулярной физике
Методические указания
Редактор, корректор И.В. Бунакова
Компьютерная верстка Е.Л. Шелеховой
Подписано в печать 21.12.2007. Формат 60х84/16. Бумага тип.
Усл. печ. л. 3,95. Уч.-изд. л. 3,02. Тираж 200 экз. Заказ
.
Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе
Ярославского государственного университета.
Отпечатано на ризографе.
Ярославский государственный университет
150000 Ярославль, ул. Советская, 14.
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.А. Митрофанов
Лабораторные работы
по молекулярной физике
69
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
111
Размер файла
700 Кб
Теги
физики, молекулярная, митрофанов, работа, 759, лабораторная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа