close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

971.Введение в линейную алгебру в примерах и задачах Белоножко Д Ф

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Д. Ф. Белоножко
Введение в линейную алгебру
в примерах и задачах
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по специальностям
Радиофизика и электроника, Радиотехника,
направлениям Физика, Телекоммуникации,
Электроника и наноэлектроника
Ярославль 2011
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 512
ББК В143я73
Б 43
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2010/2011 учебного года
Рецензенты:
В. А. Коромыслов, д-р физ.-мат. наук, проф. Ярославского филиала
МИИТ; кафедра высшей математики Ярославского государственного
технического университета
Б 43
Белоножко, Д. Ф. Введение в линейную алгебру в примерах и задачах: учеб. пособие ; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Ярославль : ЯрГУ, 2011. –112 с.
ISBN 978-5-8397-0798-6
Представлены практические приемы решения и исследования на совместность систем линейных алгебраических уравнений. С позиций линейной алгебры проанализированы основные положения теории физической размерности. Разобран
физический пример, раскрывающий взаимосвязь формальных
алгебраических понятий «собственные значения и собственные векторы» с физическими терминами «собственные частоты и собственные колебания».
Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям 010801.65 Радиофизика и электроника, 210302.65
Радиотехника, направлениям 010700.62 Физика, 210400.62
Телекоммуникации, 210100.62 Электроника и наноэлектроника (дисциплины «Аналитическая геометрия и алгеба»,
«Аналитическая геометрия и линейная алгебра», блок ЕН),
очной формы обучения.
УДК 512
ББК В143я73
ISBN 978-5-8397-0798-6
© Ярославский государственный
университет им. П. Г. Демидова, 2011
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 1. Основные практические правила и алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений 1. Принцип решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 1.1. Определение и примеры
Определение O.1.1. Системой линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ), с n неизвестными называется совокупность
уравнений вида:
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
 a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2

 ............................................
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
(1.1)
где aij и bi – заданные числа, xi – неизвестные ( i  1,..., m ; j  1,..., n ).
В общем случае количество уравнений m может не совпадать
с числом неизвестных n . На практике встречаются все ситуации:
m  n, m n и m  n.
Хотя уравнения в системе (1.1) не пронумерованы, самое
верхнее традиционно считается первым, расположенное
непосредственно под ним – вторым и т. д. до последнего – m-го
уравнения.
Определение O.1.2. Решением системы (1.1) называется
набор чисел x1 , x2 ,… xn , которые при подстановке в СЛАУ
превращают все уравнения системы в верные равенства.
Определение
O.1.3.
Система
(1.1)
называется
несовместной, если невозможно подобрать набор чисел x1 ,
x2 ,… xn , являющийся ее решением.
Пример Пр.1.1. Приведем примеры СЛАУ.
 x y2
(1.2)



2
x
2
y
0

3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 x y2

2 x  2 y  0
 x yz2

2 x  2 y  z  0
 x y2

 x y0
2 x  2 y  0

(1.3)
(1.4)
(1.5)
Здесь без потери смысла записи, неизвестные обозначены
символами x , y и z , вместо x1 , x2 и x3 .
1.2. Типы решений СЛАУ
Система (1.2) легко решается. Из первого уравнения
получаем y  2  x . Подставляя полученное выражение для y во
второе уравнение системы (1.2), находим, что 2 x  2  2  x   0 .
Откуда x  1 , что вместе с первым уравнением системы (1.2) дает
y  1 . Пара величин x  1 , y  1 образует решение системы. Можно
проверить, что никакая другая пара чисел решением этой
системы не будет. В данном случае мы имеем дело с системой,
имеющей единственное решение.
Выполняя те же действия над системой (1.3), на этапе подстановки выражения для y во второе уравнение получим ложное
равенство 2 x  2  2  x   0 – в левой части получается число 4,
которое не равно нулю. Это означает, что система (1.3) состоит из
уравнений, которые не могут совместно удовлетворяться, какими
бы ни были значения x и y . Система (1.3) – пример СЛАУ, которая не имеет решения, или по-другому – является несовместной.
Чтобы решить систему (1.4), перенесем в обоих уравнениях
системы переменную z в правую часть. Далее будем действовать
так же, как при решении системы (1.2). В результате придем к
паре соотношений x  1  1/ 4  z и y  1   3/ 4  z . Несложно проверить, что тройка чисел x , y , z , в которой x и y выражены
через z с помощью найденных соотношений, является решением
системы (1.4), независимо от значения z. Перебирая значения z,
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
можно получать всевозможные решения системы (1.4). СЛАУ
(1.4) – пример системы с бесконечным количеством решений.
Разобранные примеры показывают, что при решении СЛАУ
могут реализоваться следующие три ситуации: либо существует
один набор неизвестных x1 , x2 ,… xn , образующий единственное
решение, либо СЛАУ не имеет решения, либо существует бесконечное множество наборов x1 , x2 ,… xn , разрешающих СЛАУ.
Можно доказать, что в общем случае, в результате решения
конкретной СЛАУ (1.1) реализуется только одна из этих трех
возможности [1]. Невозможно, чтобы все множество решений
некоторой СЛАУ состояло только из двух различных наборов
чисел x1 , x2 ,… xn и x1* , x2* ,… xn* . Если выяснилось, что оба набора
являются решениями СЛАУ, то, кроме них, обязательно найдется
еще и множество других решений. Для СЛАУ всегда «работает»
альтернатива: решение либо одно, либо ни одного, либо их
бесконечно много.
1.3. СЛАУ ступенчатого вида
Определение O.1.4. СЛАУ называется системой ступенчатого вида, Если с увеличением номера уравнения увеличивается
количество нулевых первых последовательных коэффициентов
при неизвестных.
Каждое уравнение в СЛАУ ступенчатого вида образует свою
«ступеньку».
Пример Пр.1.2. Система
x  y  z  w  0

y  w0

(1.6)

w 1

является СЛАУ ступенчатого вида.
Системы (1.2)–(1.5) – пример неступенчатых систем.
Пример Пр.1.3. Система
x  y  z  w  0

y  w0

(1.7)

y
1

5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тоже не является системой ступенчатого вида. Если при записи
СЛАУ
коэффициенты
при
одноименных
неизвестных
располагать друг под другом, то в СЛАУ ступенчатого вида
длина нижнего уравнения, отсчитанная от первого ненулевого
коэффициента, должна быть меньше длины верхнего уравнения.
В системе (1.7) при переходе от второго уравнения к третьему
длина уравнения не уменьшается, и эту СЛАУ нельзя считать
ступенчатой.
Системы ступенчатого вида важны тем, что для них алгоритм
построения решения наиболее прост [1].
Алгоритм А.1.1. Алгоритм построения решения СЛАУ
ступенчатого вида.
1. Проверка на совместность. Если в системе есть противоречивое уравнение вида 0  b , где b – ненулевое число, то СЛАУ
следует считать несовместной. В противном случае необходимо
перейти к следующему шагу алгоритма.
2. Разделение неизвестных на базовые и параметры. Неизвестные при ненулевых коэффициентах, с которых начинаются
уравнения, назвать базовыми. Остальные неизвестные назвать
параметрами.
3. Построение выражений, составляющих решение. В результате последовательного решения уравнений от последнего к
первому (снизу вверх) построить выражения для базовых неизвестных через параметры.
Пример Пр.1.4. Применим сформулированный алгоритм для
решения системы (1.6). Проверяя первый пункт алгоритма,
убеждаемся, что противоречивых уравнений в системе нет. На
втором шаге выясняем, что x , y , w – базовые неизвестные, а z –
параметр, и следует перейти к системе:
 w  z
x  y

y  w0


w 1

На третьем шаге алгоритма последовательно получаем
соотношения:
y  1  0  y  1 ;
w  1;
x 1 1  z  x  z .
Ответ: x   z ; y  1 ; z – любое число; w  1 .
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В разобранном примере возник один параметр – z . В других
случаях параметров может быть несколько и даже больше, чем
базовых переменных.
Одно линейное уравнение относительно нескольких неизвестных считается СЛАУ ступенчатого вида с одной ступенькой.
Для записи его решения изложенная теория тоже применима.
Пример Пр.1.5. Чтобы решить уравнение
2х + 6у – 10z = 20,
согласно алгоритму A.1.1, нужно объявить x базовой переменной, а y и z назвать параметрами. Тогда решением будет тройка
чисел x, y, z, в которой x  3 y  5 z  10 , у, z – любые числа.
Пример Пр.1.6. Решение системы
x  y  w  0

yw  0


w 1

по алгоритму A.1.1 приводит к единственному набору чисел
x  0 , y  1 ; w  1 . Любая другая тройка чисел решением являться
не будет! Аналогичный вывод справедлив каждый раз, когда все
неизвестные оказываются базовыми.
Правило П. 1.1. Решение СЛАУ единственно тогда и только
тогда, когда все неизвестные в системе являются базовыми.
1.4. Эквивалентные СЛАУ
Определение О.1.5. Две системы уравнений называются эквивалентными, если любое решение одной из них является решением другой, и наоборот.
Определение О.1.6. Изменение уравнений системы, приводящее к системе, эквивалентной исходной называется эквивалентным преобразованием системы уравнений.
Любая последовательность эквивалентных преобразований
СЛАУ тоже будет эквивалентным преобразованием, поэтому
важно определиться, какие эквивалентные преобразования принять за основные.
Определение О.1.7. Основными эквивалентными преобразованиями СЛАУ называются:
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) умножение обеих частей какого-либо уравнения СЛАУ на
ненулевое число;
2) прибавление к обеим частям одного уравнения СЛАУ
соответствующих частей другого уравнения.
Определение О.1.8. Вспомогательными эквивалентными
преобразованиями СЛАУ называются:
3) прибавление к обеим частям одного уравнения СЛАУ
соответствующих частей другого уравнения, умноженных на
одинаковое число;
4) перестановка местами двух уравнений в системе;
5) отбрасывание уравнения, которое в результате
преобразований 1–4 превратилось в равенство 0  0 .
Можно доказать, что преобразования 3 и 4 являются следствием первых двух, однако благодаря частому использованию их
принято перечислять вместе с основными эквивалентными преобразованиями. Преобразование 5 – способ сокращения записи
СЛАУ без потери решений.
1.5. Общий принцип решения СЛАУ
В основе общего принципа решения СЛАУ лежит тот факт,
что любая СЛАУ с помощью конечной последовательности эквивалентных преобразований сводится к СЛАУ ступенчатого вида
(доказательство можно найти в стандартных курсах алгебры [1]).
В связи со сказанным, общий принцип решения произвольной
СЛАУ формулируется следующим образом.
Правило П.1.2. Чтобы решить СЛАУ, нужно выполнить последовательность эквивалентных преобразований, трансформирующих ее к ступенчатому виду, и решить полученную систему
по алгоритму решения СЛАУ ступенчатого вида.
Пример Пр.1.7. Решим систему (1.5) по правилу П.1.2:
 x y2

 x y0 
2 x  2 y  0

x  y  2

x  y  0 
x  y  0

x  y  2

 00 
x  y  0

Ответ: x  1, y  1 .
8
x  y  2 x  y  2

;

x
y
0
2
y
2







Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Система имеет решение и притом единственное, несмотря на
то что число уравнений в ней больше числа неизвестных. Это связано с тем, что одно из уравнений является следствием других.
Если СЛАУ имеет множество решений, то различные последовательности эквивалентных преобразований могут приводить к
различным формам записи ответа. Можно доказать, что все эти
ответы равнозначны. Для любого фиксированного набора параметров одного способа записи решения СЛАУ существует набор
значений параметров другой формы записи решения, при которых
оба решения представляют собой одинаковый набор чисел [1].
При сравнении двух различных по форме решений одной и
той же СЛАУ нужно учитывать следующее важное правило.
Правило П.1.3. Общее число базовых неизвестных и количество параметров не зависят от способа решения СЛАУ.
1.6. Матричная форма записи и решения СЛАУ
Определение О.1.9. Расширенной матрицей СЛАУ (1.1)
называют таблицу чисел вида:
 a11 a12

 a21 a22
 ... ...

 am1 am 2
... a1n b1 

... a2 n b2 
... ... ...  .

... amn bm 
(1.8)
Определение О.1.10. Таблица чисел
 a11 a12
a
 21 a22
 ...
...

 am1 am 2
... a1n 
... a2 n 
... ... 

... amn 
называется основной матрицей слау (1.1).
Над строками расширенной матрицы СЛАУ определяются
действия, которые называются элементарные преобразования
строк.
Определение О.1.11. Основными элементарными преобразованиями над строками называются:
1) умножение всех элементов строки на ненулевое число;
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2) прибавление к элементам строки соответствующих
элементов другой строки.
Определение О.1.12. Вспомогательными элементарными
преобразованиями над строками называются:
3) прибавление к элементам строки соответствующих
элементов другой строки, умноженных на любое число;
4) перестановка местами исходной строки с другой строкой
матрицы;
5) вычеркивание нулевой строки.
Определение О.1.13. Преобразование строк матрицы, которое сводится к последовательному применению нескольких основных или вспомогательных элементарных преобразований,
называется элементарным преобразованием строк.
Несложно заметить, что эквивалентным преобразованиям над
уравнениями СЛАУ, рассмотренным в предыдущем пункте, соответствуют элементарные преобразования над строками расширенной матрицы СЛАУ. В результате каждого элементарного
преобразования строк получается матрица новой системы, эквивалентной исходной.
В связи со сказанным, решение СЛАУ принято оформлять в
виде преобразований ее матрицы. От матрицы исходной СЛАУ
элементарными преобразованиями над строками переходят к
матрице СЛАУ ступенчатого вида. Для системы ступенчатого
вида по алгоритму A.1.1 строится решение.
Пример Пр.1.8. Решить СЛАУ
 x1  x2  x3  x4  0
 x  x  2 x  3x  0
 1 2
3
4

2 x1  4 x2  5 x3  10 x4  0
2 x1  4 x2  x3  6 x4  0
 1 1

1 1
2 4

 2 4
1 1 0 

2 3 0
~
5 10 0 

1 6 0 
 1 1 1 1 0   1 1

 
0 2 1 4 0 ~  0 2
 0 6 3 12 0   0 0

 
 0 2 1 4 0   0 0
1 1 0 

1 4 0   1 1 1 1 0 
~
.
0 0 0 0 2 1 4 0

0 0 0 
На первом этапе: первая строка не изменяется, из второй
строки вычитается первая, а из третьей и четвертой – удвоенная
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
первая. На втором этапе: первая и вторая строки не изменяются,
из третьей вычитается утроенная вторая, а к четвертой просто
прибавляется вторая. На третьем этапе опускаются нулевые
строки. Решение полученной ступенчатой СЛАУ по алгоритму
A.1.1. приводит к ответу: x1   x4   3/ 2  x3 ; x2  2 x4  1/ 2 x3 ; x3 , x4 –
произвольные числа.
Пример Пр.1.9. Решить СЛАУ
 x1  x2  x3  x4  4
 x  x  2 x  3x  8
 1 2
3
4

2 x1  4 x2  5 x3  10 x4  20
2 x1  4 x2  x3  6 x4  5.
Выполняя первые два шага преобразований так же, как в
предыдущем примере, приводим матрицу системы к виду:
 1 1

0 2
~
0 0

0 0
1 1 4 

1 4 4
~

0 0 0

0 0 1 
 1 1 1 1 4 


0 2 1 4 4 .
0 0 0 0 1


Последняя строчка полученной ступенчатой матрицы описывает
противоречивое равенство 0  1 . Ответ: система решений не имеет
(несовместна).
1.7. Ведущая строка
В разобранных примерах при построении последовательности элементарных преобразований строк, преобразующих исходную матрицу к ступенчатому виду, выдерживалось одно полезное
правило.
Правило П.1.4. (Полезное правило). Элементарные преобразования над строками матрицы следует разбивать на этапы.
На каждом промежуточном этапе должна быть выбрана одна
строка, называемая ведущей, которая на этом шаге преобразований не изменяется. Сам этап преобразования должен заключаться в изменении других строк (всех или только некоторых)
посредством прибавления к преобразуемой строке ведущей
строки, умноженной на некоторое число.
Это правило позволяет избежать ошибок типа:
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 2 0

 преобразуется в
 2 4 0
0 0 0

.
0 0 0
Здесь одновременно: из первой строки, умноженной на два, вычтена вторая строка, а из второй – первая, умноженная на два.
Проделанная трансформация не является элементарным преобразованием строк, поскольку не разбивается на последовательность основных и вспомогательных элементарных преобразований.
Правило П.1.4 является только рекомендацией, но его соблюдение помогает существенно уменьшить количество ошибок, связанных с «человеческим фактором», или по-другому – с невнимательностью того, кто выполняет вычисления.
Замечание к правилу П.1.4. Правило П.1.4 подразумевает,
что на каждом этапе преобразования ведущая строка только одна:
1) она не изменяется на рассматриваемом шаге трансформации матрицы;
2) преобразования над строками, которые изменяются, строятся с ее участием.
На этом же этапе трансформации, кроме ведущей, могут
встретиться другие строки, которые не изменяются по той причине, что уже имеют нужное количество нулей на требуемых местах. Эти строки не используются для преобразования других
строк и ведущими не считаются.
2. Приемы преобразования матрицы СЛАУ и связанные с ними алгоритмы решения 2.1. Идея построения алгоритма приведения матрицы
к ступенчатому виду
В предыдущем параграфе сформулирован принцип решения
СЛАУ с любым числом уравнений и неизвестных: «с помощью
элементарных преобразований над строками привести матрицу
СЛАУ к ступенчатому виду и соответствующую ей систему
решить по правилу решения ступенчатой СЛАУ». Практическое
применение этой инструкции в существенной степени опирается
на догадливость и остроумие того, кто выполняет вычисления.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для каждой системы нужно каждый раз придумать свою последовательность элементарных преобразований, сводящих матрицу
СЛАУ к ступенчатому виду.
Обратимся к примеру Пр.1.8, разобранному в предыдущем
параграфе. В этом примере на первом шаге были выполнены элементарные преобразования над строками, расположенными под
первой. В результате элементы преобразуемых строк, располагающиеся в одном столбце с первым ненулевым элементом первой
строки (числа под единицей, расположенной в левом верхнем
углу матрицы), превратились в нули. На следующем шаге та же
трансформация произошла со строками новой матрицы,
расположенными под второй строкой, не затронув при этом нули,
появившиеся в первом столбце на предыдущем шаге. На третьем
шаге отброшена нулевая строка.
Ясно, что главным элементом решения является преобразование над строками, с помощью которого на нужных местах новой матрицы появляются нули, а нули, полученные на предыдущих шагах, не исчезают. В разобранном примере такие преобразования подбираются довольно легко. Но в общем случае для
автоматизации процесса решения хотелось бы иметь конкретную
универсальную для всех СЛАУ схему преобразования.
В следующих пунктах такая схема будет построена. Для
удобства вместо отдельных обозначений aij для элементов основной матрицы СЛАУ и bij для элементов столбца свободных
коэффициентов используется единое обозначение  ij для всех
компонент расширенной матрицы СЛАУ (см. определения
О.1.9 и О.1.10).
2.2. Специальное упрощающее преобразование (СУП)
матрицы
Итак, для управления процессом приведения матрицы к ступенчатому виду следует установить стандартное элементарное
преобразование над строками, в результате которого в трансформированной матрице на нужных местах появляются нули.
Будем строить преобразование таким образом, чтобы одна из
строк матрицы, которую назовем ведущей, после выполнения
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
преобразования наверняка осталась неизменной. Зафиксируем
ведущую строку:

S v  ...  v j ...
vh
...  v p ...

и отметим в ней ненулевой элемент  v h  0 , который будем
называть ведущим элементом преобразования.
Используя ведущую строку S v и ведущий элемент  v h , всегда
можно построить элементарное преобразование над другой
строкой
Si  ...  ij
...  ih ...  ip
... ,
в результате которого Si преобразуется в строку
~
~
~
~


S i   ...  ij ...  ih  0 ...  ip ... 


с нулем на h -ой позиции, т. е. в том же столбце, в котором
располагается ведущий элемент.
Рассмотрим один из возможных вариантов такого преобразования. Заметим, что  v h ih   ih v h  0 , и поэтому преобразование
~
Si   v h Si   ih S v  S i
удовлетворяет заданному требованию:
 v h ...  ij ...  ih ...  ip ... -  ih ...  v j ...  v h ...  v p ... 
 ...  v h ij   ih v j
...  v h ih   ih v h ...  v h ip   ih v p
... 
~
~


  ...  ij ... 0 ...  ip ... 


~
~
 ij   v h ij   ih v j ;  ih  0
~
 ip   v h ip   ih v p .
Несложно проверить выполнение одного важного свойства
построенного преобразования. Пусть равны нулю: элемент преобразуемой строки ij  0 и элемент ведущей строки  v j , находящийся в том же столбце. Очевидно, в результате преобразования
~
0   ij   ij  0 . Таким образом, построенное преобразование «не
трогает» нуль преобразуемой строки, если он находится в одном
столбце с нулем ведущей строки.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение О.2.1. Специальным упрощающим преобразованием над строками матрицы (СУП v h ) с v,h -м ненулевым
ведущим элементом называется преобразование, в результате
которого:
1) строка с ведущим элементом не изменяется и считается
ведущей строкой преобразования;
2) строка, не являющаяся ведущей, умножается на ведущий
элемент, и из результата вычитается ведущая строка, умноженная на тот элемент преобразуемой строки, который расположен в одном столбце с ведущим элементом преобразования.
Замечание к определению О.2.1. Требование, чтобы ведущий элемент был ненулевым, принципиально. Оно запрещает
умножение преобразуемой строки на нулевое число, гарантируя
выполнение пункта 1 определения О.1.11.
В терминах «воздействия» на строку Si СУП v h описывается
формулой:
iv
 Si ,
 Si  v h  S v  i h , i  v
СУП v h : Si  
(2.1.a)
Эта же операция может быть описана через арифметические
действия над отдельным элементом матрицы:
 aij ,

СУП v h : aij   0 ,

 aij av h  aih av j ,
i  v, j  h
i  v, j  h
(2.1.b)
i  v, j  h.
Чтобы выразить соотношения (2.1b) словами, введем
вспомогательное определение.
Определение О.2.2. Для двойки элементов  ij и  v h , взятых
из разных строк и столбцов некоторой матрицы, парной к ней
двойкой называется двойка элементов  ih и  v j той же
матрицы, располагающихся на пересечении тех же строк и
столбцов, но с индексами позиции, объединенными в другие пары.
Пояснение к определению О.2.2. Речь идет об элементах
матрицы, расположенных на пересечении двух строк с номерами
i , v и двух столбцов с номерами j , h . Все эти элементы располагаются в углах прямоугольника со сторонами, проходящими
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вдоль выбранных строк и столбцов. Одна диагональ этого прямоугольника соединяет элементы  ij и  v h , а на концах другой
диагонали находятся элементы  ih и  v j (см. рис. 2.1).


 ...
 ...

 ...


  
 v j ...  v h
...
...
...
 ij
...  ih
  


... 
... 

... 

 
Рис. 2.1. Прямоугольник парных двоек  ij  v h и  ih  v j
Пары элементов  ij  v h и ih  v j и есть парные друг к другу
двойки. Сам прямоугольник будем называть «прямоугольником
парных двоек».
С помощью введенного определения формула (2.1.b) легко
выражается словами.
Правило П.2.1. Выполнение СУП v h сводится к следующим
действиям над элементами преобразуемой строки:
1) если элемент преобразуемой строки расположен в одном
столбце с ведущим, то он заменяется нулем;
2) если элемент преобразуемой строки не состоит в одном
столбце с ведущим элементом, то он преобразуется в число,
которое получается, если из произведения исходного и ведущего
вычесть произведение парных к ним.
СУП v h в зависимости от обстоятельств может применяться
ко всем строкам матрицы или только к некоторым (может, даже к
одной).
Пример Пр.2.1. Применить ко всем строкам матрицы
10
2
2
1
2
1
0
3
3
2
10
1
-8
-3
2
-1
-2
-6
2
-6
16
1
1
5
3
2
-1
1
2
-1
2
10
-5
10
0
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СУП 4,3 с ведущим элементом  43  3 , расположенным в v  4 -й
строке и h  3 -м столбце. Для примера в качестве ведущего взят
совершенно произвольный ненулевой элемент матрицы. С таким
же успехом можно было рассмотреть преобразование с любым
другим ненулевым элементом этой же матрицы, выбранным в
качестве ведущего.
Решение. Ведущая 4-я строка отмечена рамкой. Она не
изменяется.
Первая строка преобразуется в строчку:
~
~
11  10  10   3  110  40   11; 12  1  1  3  3 10  33   12 ;
~
13  10  0   13 , поскольку находится в одном столбце с ведущим;
~
~
14  1   1   3  10  2  17   14 ; 15  1  1  3  10  3  33   15 ;
~
~
16   1   3   1 10  13   16 ; 17  10   3  0 10  30   17 .
Аналогично преобразуем остальные строки. После всех преобразований получится матрица:
-40
-7
2
1
-8
-33
-3
15
3
-12
0
0
0
-3
0
-17
4
34
2
14
-33
-6
9
3
-12
13
-2
-14
-1
-4
-30
15
-30
0
-3
.
Видно, что в результате выполненных преобразований в
столбце с ведущим элементом не обнулился только сам ведущий
элемент преобразования (см. столбец, взятый в рамку).
~
Если пересчету  ij   ij в исходной матрице мысленно сопоставить прямоугольник «парных двоек» (см. пояснение к определению 2.2), образуемый двойкой элементов преобразуемый –
ведущий (  ij ,  v h ) и парной к ним двойкой (  ih ,  v j ), то неслож~
но увидеть, что формула  ij   ij   v h   v j   ih   ij означает, что
~
число  ij вычисляется по правилу: «преобразуемый элемент
умножить на ведущий минус произведение парных к ним» (см.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
правило П.2.1.). Не нужно запоминать формулы (2.1.b).
Достаточно действовать в соответствии с описанным правилом.
2.3. Гауссово упрощающее преобразование (ГУП) матрицы
Имеется другое употребительное элементарное преобразование, обладающее теми же свойствами, что и СУП. Его можно
построить аналогично СУП, обратив внимание на равенство
 ih 
 ih
  0.
vh vh
По аналогии с предыдущим пунктом легко строятся все
остальные действия.
С помощью ведущей строки и ведущего элемента

S v    v j ...
vh

...  v p ...
i -я строка матрицы
Si  ...  ij
...  ih ...  ip
...
преобразуется с помощью элементарного преобразования
Si  Si 
 ih
S .
vh v
в новую строку
^
^
^
^


S i   ...  ij ...  ih  0 ...  ip ...  ; ˆ ij   ij   ih  v j ; ˆ ih  0


vh

ˆ ip   ip  ih  v p .
vh
На месте того элемента преобразуемой строки Si , который
находился в одном столбце с ведущим элементом, в результате
преобразования возник ноль.
Легко проверить, что построенное преобразование, как и СУП,
«не трогает» ноль преобразуемой строки, если он находится в
одном столбце с нулем ведущей строки.
Определение О.2.3. Гауссовым упрощающим преобразованием над строками матрицы (ГУП v h ) с v,h -м ненулевым ведущим элементом называется преобразование, в результате
которого:
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) строка с ведущим элементом не изменяется (ведущая
строка преобразования);
2) из строки, не являющейся ведущей, вычитается ведущая
строка, деленная на ведущий элемент и умноженная на элемент
преобразуемой строки, расположенный в одном столбце с
ведущим элементом преобразования:
iv
 Si ,

.
ГУП v h : Si  
Sv



,
v
S
i
i
i
h

vh

(2.2.a)
В терминах преобразования отдельных элементов матрицы
формула (2.2.a) сводится к соотношениям:
a ,
i  v, j  h
 ij
ГУП v h : aij  0 ,
i  v, j  h .

 aij   aih av j  / av h , i  v, j  h
(2.2.b)
Несложно выразить правило преобразования (2.2.b) словами.
Правило П.2.2. Выполнение ГУП v h сводится к следующим
действиям над элементами преобразуемой строки:
1) если элемент преобразуемой строки расположен в одном
столбце с ведущим, то он заменяется нулем;
2) если элемент преобразуемой строки не состоит в одном
столбце с ведущим элементом, то он преобразуются в число,
равное разности: исходный элемент минус произведение парных
к исходному и ведущему, деленное на ведущий.
В результате применения ГУП 4,3 к строкам матрицы, рассмотренной в предыдущем пункте, получается матрица:
40/3
7/3
-2/3
1
8/3
11
1
-5
3
4
0
0
0
-3
0
17/3
-4/3
-34/3
2
-14/3
19
11
2
-3
3
4
-13/3
2/3
14/3
-1
4/3
10
-5
10
0
1
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.4. Алгоритм преобразования произвольной матрицы
к ступенчатому виду
Важность СУП и ГУП обусловлена тремя свойствами этих
преобразований, которые следуют непосредственно из их
определений.
Теорема Т. 2.1. (Основные свойства СУП и ГУП)
a) СУП и ГУП – элементарные преобразования над строками;
b) в строках матрицы, к которым применено СУП или ГУП,
все элементы, относящиеся к столбцу, содержащему ведущий
элемент, становятся нулями. После преобразования в этом
столбце ненулевым остается только ведущий элемент;
c) СУП и ГУП, действуя на любой нулевой элемент матрицы,
расположенный в одном столбце с нулем ведущей строки,
преобразуют его в ноль.
Для иллюстрации свойства с) рассмотрим применение
СУП 2,2 к третьей строке матрицы
1 2 3

0 3 1
0 5 2

2
1 2 3
S1  S1


0 ~
S2  S2
~ 0 3 1
0  S3  3S3  5S2  0 0 1
2

0 .
0 
По свойству с) первый и последний нули третьей строки в результате преобразования остались нулями, поскольку в ведущей
второй строке на соответствующих местах тоже расположены
нули.
СУП и ГУП – элементарные строковые преобразования, с
помощью которых любую матрицу можно трансформировать к
ступенчатому виду.
Прежде чем изложить соответствующий алгоритм, для удобства определим два вспомогательных термина.
Определение О.2.4. Рабочей длиной строки называется
количество элементов в ней, начиная с первого ненулевого.
Определение О.2.5. Матрицей ступенчатого вида (ступенчатой матрицей) называется матрица, в которой с увеличением
номера строки (который отсчитывается сверху) уменьшается
рабочая длина ненулевых строк.
Легко понять, что ступенчатой СЛАУ соответствует и матрица ступенчатого вида.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Соображения, изложенные в первом пункте настоящего параграфа, вместе со свойствами СУП и ГУП позволяют сформулировать алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду, который эффективно реализуется как при вычислениях «вручную»,
так и при составлении компьютерных программ решения СЛАУ.
Алгоритм A.2.1. «Прямой ход строковых элементарных
преобразований» (применим к любой матрице).
1). Выбрать строку с наибольшей рабочей длиной и переставить ее на первое место. Если все строки под ней нулевые или
отсутствуют, то прекратить вычисления. Если нет, то назвать первую строку ведущей, а первый ее ненулевой элемент –
ведущим элементом. Перейти ко второму шагу.
2). Применить СУП или ГУП к тем строками под ведущей,
которые имеют такую же рабочую длину, как и она.
3). Перейти к рассмотрению матрицы, получившейся под
ведущей строкой, и применить к ней действия, начиная с
пункта 1.
Пример Пр.2.2. Рассмотрим пример вычислений с помощью
предложенного алгоритма:
0

2
3

2
1 0 1 0 1

4 2 3 0 0 
~
6 3 5 1 2 

0 1 0 1 0 
S1  S1
S  S2  2  S1  3
~ 2
~
S3  S3  S1
S4  S4
 2
2

0
~
0

0
S1  S4
S2  S1
~
S3  S 2
S4  S3 1
 2 4 2 3

0 0 0 1
 0 4 3 3

0 1 0 1
2

3
2

0
4 2 3 0 0 

6 3 5 1 2 
~
0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 
S1  S1
0 0

S2  S4
2 4
~
~
1 0  S3    S 3   S 2

S 4  S3
0 1 
 3
S1  S1
0 0

S2  S2
4  3 3 1 0 
~
~
1 0 1 0 1  S3  S3  4  S2

S4  S4
0 0 1 2 4 
 4
4 2 3
21
2

0
0

0
4 2 3
0 0

4 3 3 1 0 
.
0 3 1 1 4

0 0 1 2 4 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Здесь в прямые скобки заключены схемы изменений, которые происходят со строками Si матрицы на отдельном этапе
трансформации. Например, S1  S 4 означает, что первая строка
переставляется на место четвертой; S3  S3  4  S 2 указывает на то,
что третья строка умножается на число 4 и из результата
вычитается вторая строка.
Согласно алгоритму A.2.1, сначала определяется, что наибольшую рабочую длину имеют строки с номерами 2, 3, 4. Любую из них можно поставить на первое место. Без ограничения
общности на первом этапе: первая строка переставляется на
последнее место, а расположенные под ней поднимаются на одну
позицию вверх.
На втором шаге трансформации первая строка – ведущая (ее
первый элемент – ведущий элемент преобразования). Ко второй
строке, очевидно, применяется СУП 1,1 . К третьей применяется
ГУП 1,1 . Действительно, если расписать ГУП 1,1 в соответствии с
его определением, получим:
S 3  S3 
S1
11
  31  S3 
S1
 2  S3  S3  S1 .
2
Это преобразование, превращающее первый элемент третьей
строки в ноль, можно «увидеть», даже не вспоминая про СУП
или ГУП, просто заметив, что в первой и третьей строках на
первых местах находятся одинаковые числа. Последняя строка на
втором шаге преобразований не трогается, поскольку ее рабочая
длина меньше, чем рабочая длина ведущей строки.
На третьем шаге происходит перестановка строк, смысл
которой очевиден.
На четвертом шаге ведущая – вторая строка. Среди строк,
расположенных ниже, одинаковую с ней рабочую длину имеет
только третья строка: S3  S3  4  S 2 . Это преобразование можно
«увидеть», а можно механически воспользоваться преобразованиями СУП или ГУП. Написанная формула соответствует
преобразованию СУП 2,2 .
После четвертого шага матрица становится ступенчатой.
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
У внимательного читателя должен возникнуть естественный
вопрос: «Почему в одних случаях для преобразования строки
применяется СУП, в других – ГУП, а в третьих– некоторое подмеченное преобразование, которое на деле оказывается преобразованием типа ГУП или СУП?»
Для ответа на этот вопрос нужно заметить, что эффективность
описанного алгоритма опирается только на свойства a), b), c),
которыми обладают и СУП, и ГУП. Поэтому оба преобразования
можно применять в произвольных комбинациях и даже вместе с
любым другим строковым элементарным преобразованием,
обладающим свойствами a), b), c).
Если для матрицы из примера 2.2. использовать только преобразование CУП, то получится последовательность действий:
0

2
3

2
0 1 0 1

4 2 3 0 0 
~
6 3 5 1 2 

0 1 0 1 0 
1
S1  S4
S2  S1
~
S3  S 2
S4  S3 1
S1  S1
 2 4 2 3

S2  S2  2  S1  3
0 0 0 1
~
~
 0 8 6 6
S3  S3  2  S1  2

S4  S4
0 1 0 1
2
  
2

0
~
0

0
2

3
2

0
4 2 3 0 0 

6 3 5 1 2 
~
0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 
S1  S1
0 0

S2  S4
2 4
~
~
2 0  S3    S 3   S 2

S 4  S3
0 1 
 3
S1  S1
0 0

S2  S2
8  6 2 2 0 
~
~
1 0 1 0 1  S3  S3  8  S 2  1

S4  S4
0 0 1
2 4 
 4
4 2 3
2

0
0

0
4 2 3
0 0

8  6 6 2 0 
.
0 6 2 2 8

0 0 1 2 4 
Если вторую и третью строки сократить на два, то получится
в точности предыдущий результат. При использовании СУП
целочисленная матрица преобразуется в целочисленную, но при
этом в некоторых строках может появиться общий для всех
элементов строки целочисленный множитель.
Если для матрицы из примера 2.2. реализовать только ГУП,
то получается цепочка трансформаций:
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0

2
3

2
0 1 0 1

4 2 3 0 0 
~
6 3 5 1 2 

0 1 0 1 0 
1
S1  S1


 S  S  S 3 /2
 1   ~
2
~ 2
 S3  S1   S 2  2  / 2 


S4  S4

 2 
2

0
~
0

0
4 2
 S1  S4 
S S 
1
 2
~
 S3  S 2 


 S4  S3 1
 2 4 2

0 0 0
 0 4 3

0 1 0
0 0

4 3 3 1 0 
~
1 0 1
0 1

0 0 1/ 2 1 2 
3
2

0
~
0

0
4
4
0
0
2
2

3
2

0
4 2 3 0 0 

6 3 5 1 2 
~
0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 
0 0

1/ 2 1 2 
~
3 1 0 

1 0 1 
3
S1  S1




S
S

2
4

 ~
 S3    S3   S 2 


S 4  S3

 3
S1  S1





S
S
2
2

 ~
 S3  S3   S2 1 / 4 


S

S
4
4

 4 
0 0

3
3
1 0 
.
3/ 4 1/ 4 1/ 4 1 

0 1/ 2
1 2 
3
Видно, что умножение третьей строки на 4, а четвертой – на
2 приводит к ранее полученному результату. ГУП в отличие от
СУП не обладает свойством преобразовывать целочисленную
матрицу в целочисленную. Даже если исходная матрица была
целочисленной, в финальной матрице могут появиться дроби.
Для успешного освоения математической учебной литературы полезно научиться сочетать СУП, ГУП и быть готовым угадывать другие вспомогательные элементарные преобразования над
строками, уменьшающие трудоемкость решения. Для выработки
соответствующих навыков лучше всего попрактиковаться на
матрицах СЛАУ, которые предлагаются в задачнике [2].
Отдельно следует обратить внимание на то, что, хотя финальная ступенчатая матрица, получающаяся в результате элементарных преобразований над строками исходной, определяется неоднозначно, некоторые ее свойства не зависят от способа приведения к ступенчатому виду.
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 2.1. Прямой ход строковых элементарных преобразований любую матрицу преобразует к матрице ступенчатого
вида. При этом ступенчатая структура матрицы определяется
однозначно.
Другими словами, количество и длина ступенек в полученной с помощью A.2.1 ступенчатой матрице не зависят от последовательности и типов использованных строковых элементарных
преобразований.
2.5. Алгоритм преобразования матрицы ступенчатого
вида к матрице простейшего вида
Для решения СЛАУ из примера Пр.2.2 после приведения
матрицы системы к ступенчатому виду следует перейти к уравнениям, соответствующим полученной ступенчатой матрице:
2 x1  4 x2  2 x3  3 x4  0
 4x  3x  3x  x  0
 2
3
4
5
,

3 x3  x4  x5  4


x4  2 x5  4
убедиться, что система совместна (отсутствуют противоречивые
равенства) и, поднимаясь от нижнего уравнения к верхнему,
выразить базовые неизвестные (в данном случае x1 , x2 , x3 , x4 ) через
параметры (в рассматриваемом примере параметр только один –
x5 ). Последовательность действий принципиальна. Так, в
рассматриваемом случае из последнего уравнения имеем
x4  4  2 x5 , а из предпоследнего:
x3 
4 x4 x5 4 4  2 x5 x5 1
   
  x5 .
3 3 3 3
3
3 3
Выражение для базовой неизвестной x4 , полученное на первом
шаге, использовано на втором шаге, чтобы исключить x4 из выражения для x3 (базовая неизвестная x3 должна быть выражена
только через параметры).
Оказывается, процесс выражения базовых неизвестных через
параметры можно свести к элементарным преобразованиям над
строками матрицы с помощью специального алгоритма.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Алгоритм A.2.2. «Обратный ход строковых элементарных
преобразований» (применяется только к матрице ступенчатого вида).
1). Самую нижнюю ненулевую строку назвать ведущей
строкой, а первый ее ненулевой элемент – ведущим элементом.
2). Применить СУП или ГУП ко всем строкам, расположенным над ведущей.
3). Рассмотреть матрицу, оказавшуюся над ведущей строкой, и применить к ней действия, начиная с пункта 1.
4). Разделить каждую строку на ее первый ненулевой
элемент.
Применяя этот алгоритм к ступенчатой матрице, соответствующей примеру Пр.2.2, получим:
 2 4 2 3

 0 4 3 3
0 0 3 1

0 0 0 1
 2 4 2 0 6 12 


0
4

3
0

7

12

~
 0 0 3 0 1 0 


0 0 0 1 2 4 
S1  S1  3  S3  3

S 2  S 2  S3
0
~
~
0
S3  S3

S4  S4
0
3

0
~
0

0
6
1
0
0
0 0  S1  S1  S4  3

1 0  S2  S2  S4  3
~
~
S3  S3  S 4
1 4

S4  S4
2 4 
S1  S1 / 2  1 2 1 0 3 6 


S2  S2
0
4

3
0

7

12
~
~

S3  S3
0 0 3 0 1 0 


S4  S4
0 0 0 1 2 4 
S1  S1
6 0 0 10 18 

4 0 0 8 12  S 2  S 2 / 4
~
~
S3  S3
0 3 0 1 0 

S4  S4
0 0 1
2 4 
0 0 10 18  S1  S1  S 2  6  3 0


S2  S2
0 0 2 3 
0 1
~
~
0 0
S3  S 3
3 0 1 0 


S4  S4
0 1
2 4
0 0
S1  S1 / 3  1 0 0 0 2 / 3 0 


S2  S2
0 1 0 0 2 3 

~
~
.
S3  S3 / 3  0 0 1 0 1/ 3 0 


S4  S4
2 4 
0 0 0 1
26
0 0 2 0

0 0 2 3 
~
3 0 1 0 

0 1 2 4 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Переходя к системе уравнений, которая соответствует финальной
матрице, находим:
2

x
x5  0

1

3

 x2  2 x5  3
.

1
 x3  x5  0

3
 x  2x  4
5
 4
В новой системе, которая по построению эквивалентна исходной, каждое уравнение содержит только одну базовую неизвестную (оно начинается с соответствующей неизвестной). Чтобы выписать решение, достаточно в каждом уравнении перенести
параметр x5 в правую часть:
2
x1   x5 ;
3
x2  3  2 x5 ;
1
x3  x5 ; x4  4  2 x5 .
3
Простота финального шага решения обусловлена характером
строения финальной матрицы СЛАУ. Эта матрица, кроме ступенчатости, обладает признаками матрицы простейшего вида.
Определение О.2.6. Матрицей простейшего вида (простейшей матрицей) называется ступенчатая матрица, в которой
каждая ненулевая строка обладает двумя признаками:
1) первый ненулевой элемент строки является единственным
ненулевым элементом своего столбца;
2) первый ненулевой элемент строки равен единице.
Из свойства 1) следует, что в СЛАУ, соответствующей матрице простейшего вида, каждой p -й базовой неизвестной соответствует только один ненулевой коэффициент – первая единица
в строке, у которой первые p  1 мест заняты нулями.
Отсюда следует, что матрице простейшего вида соответствует система уравнений ступенчатого вида, в которой каждая
базовая неизвестная входит только в одно уравнение с
единичным коэффициентом при ней. Следовательно, построение
выражения для этой базовой неизвестной сводится к тому, чтобы
в уравнении, которое ее содержит, неизвестные, являющиеся
параметрами, перенести в правую часть. Проделав эту операцию
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
с каждым уравнением системы, получают окончательное решение.
Алгоритм A.2.2 с помощью строковых элементарных преобразований трансформирует любую матрицу ступенчатого вида к
матрице простейшего вида со ступеньками той же длины и в том
же количестве. Чтобы убедиться в этом, нужно заметить, что в
результате применения алгоритма к ступенчатой матрице ее строки по свойству b) СУП и ГУП последовательно, сначала последняя, потом предпоследняя и т. д. до самой верхней приобретают
1-й признак строки матрицы простейшего вида. При этом по
свойству c) СУП и ГУП рабочая длина строк сохраняется (нули, с
которых начинаются строки, преобразуются в нули). В соответствии с этим же свойством c), нули, обеспечивающие 1-й признак
какой-либо строке, на всех этапах работы алгоритма остаются
нулями.
На последнем четвертом шаге все строки становятся обладателями 2-го признака строки матрицы простейшего вида, и вся
матрица становится простейшей.
Справедлива теорема
Теорема Т.2.2. Обратный ход строковых элементарных
преобразований любую матрицу ступенчатого вида преобразует
в матрицу простейшего вида. Простейший вид матрицы
определяется однозначно.
2.6. Комбинированный алгоритм приведения матрицы
к простейшему виду
В следующем алгоритме прямой и обратный ход совмещены.
Алгоритм А.2.3. «Комбинированный алгоритм строковых
элементарных преобразований» (применяется к любой
матрице).
1). Применять СУП (ГУП) ко всем строкам матрицы, последовательно считая ведущей: первую строку, вторую и т. д. до
последней. Каждый раз ведущим элементом считать первый ненулевой элемент ведущей строки. Нулевые строки и строки с
нулем в одном столбце с ведущим элементом не преобразовывать.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2). Упорядочить строки по возрастанию рабочей длины
строки.
3). Разделить каждую ненулевую строку на ее первый
ненулевой элемент.
Вычисляя «вручную», для уменьшения трудоемкости действий, при каждом подходящем случае следует сокращать строку
на общий числовой множитель.
Рассмотрим
пример
применения
комбинированного
алгоритма к матрице из примера Пр. 2.2:
S1  S1
0 1 0 1
0


4 2 3 0 0  S2  S2  S1  4  2
~
~
6 3 5 1 2  S3  S3  S1  6  3


S4  S4
0 1 0 1 0 
2
0

2
3

2
1
S1  S1
0

S2  S2
2

~
~
S3  S3  2  S 2  3  0

S4  S4  S2
0
0

2
~
0

0
1 0 1

0 2 1 0 4 
~
0 3 1 1 4 

0 1 0 1 0 
1
0
1 0 1  S1  S1  S3

0 2 1 0 4  S 2  S 2  S3
~
~
S3  S3
0 0 1 2 4

0 3 1 1 4  S 4  S 4  S3
1
0
S1  S1
0 0  2 3 
0 1


0 2 0 2 0  S 2  S 2  3  S 4  2  6 0
~
~

0 0
S3  S3
0 0 1 2 4


S4  S4
0 3 0 1 0 
0 0
1
S1  S 2
6
S  S1  0
~ 2
~
S3  S 4  0

S 4  S3  0
0
1
0
0
4 0  S1  S1 / 6  1 0


0 0 2 3  ~ S 2  S2 ~  0 1
3 0 1 0  S3  S3 / 3  0 0


S4  S4
0 1 2 4 
0 0
0 0
0 0 2 3 

0 0 4 0
~

0 1 2 4

3 0 1 0 
2/3 0

0 0 2 3 
.
1 0 1/ 3 0 

0 1
2 4 
0 0
Комбинированный алгоритм с помощью строковых элементарных преобразований трансформирует любую матрицу в матрицу простейшего вида. Чтобы убедиться в этом, нужно заметить, что в результате применения комбинированного алгоритма
каждая ненулевая строка матрицы преобразуется либо в нулевую
строку (если преобразуемая строка пропорциональна ведущей),
либо в строку с признаками строки простейшей матрицы (см.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О.2.3). После упорядочивания строк по рабочей длине матрица
становится ступенчатой и полностью удовлетворяет определению
матрицы простейшего вида.
Относительно применения алгоритма 2.3 справедлива теорема.
Теорема T.2.3. Комбинированный алгоритм строковых элементарных преобразований преобразует любую матрицу к матрице простейшего вида. Простейший вид определяется
однозначно.
2.7. Общий алгоритм решения СЛАУ
Имеется два основных варианта решения СЛАУ произвольного вида:
I. С применением прямого и обратного хода вычислений
Алгоритм А.2.4.
1). Записать матрицу СЛАУ.
2). Выполнить над матрицей прямой ход строковых элементарных преобразований и проверить систему на совместность.
3). Если система совместна, то ступенчатую матрицу, полученную в результате прямого хода строковых элементарных
преобразований, привести к простейшему виду с помощью
обратного хода.
4). Выписать уравнения, соответствующие простейшей
матрице.
5). Записать ответ, оставив в каждом уравнении неизвестную, с которой начинается уравнение (базовую), в левой части, а
остальные (параметры) перенеся вправо.
II. Комбинированный
Алгоритм А.2.5.
1). Записать матрицу СЛАУ.
2). С помощью комбинированного алгоритма привести матрицу СЛАУ к простейшему виду и проверить систему на совместность.
3). Если система совместна, то выписать уравнения, соответствующие простейшей матрице.
4). Записать ответ, оставив в каждом уравнении неизвестную, с которой начинается уравнение (базовую), в левой части,
а остальные (параметры) перенеся вправо.
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При использовании в качестве упрощающего преобразования
ГУП метод принято называть методом Гаусса и говорить: «прямой и обратный ходы метода Гаусса». В компьютерном варианте
в метод Гаусса вносят одно дополнение: при выборе ведущей
строки среди строк с одинаковыми рабочими длинами выбирают
ту, которая имеет наибольший по абсолютной величине первый
ненулевой элемент. Такое построение вычислений является оптимальным с точки зрения уменьшения ошибок округлений, возникающих при вычислениях. В большинстве книг под методом
Гаусса понимается метод решения систем, в которых число
уравнений и число неизвестных совпадают.
2.8. Дополнительные замечания
Пункт посвящается вопросам, ответы на которые, как правило, вызывают необоснованную растерянность у тех, кто учится
решать СЛАУ.
Можно ли переставлять столбцы в матрице СЛАУ?
Нет! Например, неверным будет решение.
2 1 0

5 0 1
0
~
8
1 0 2

0 1 5
0
.
8
Получается ошибочный ответ: x1  2 x3 ; x2  8  5 x3 ; x3 – любое
число.
В неправильности ответа легко убедится подстановкой полученных соотношений в исходную систему.
Перестановка столбцов в матрице СЛАУ означает перенумерацию неизвестных. Выполняющий вычисления может переставлять столбцы, только если держит под контролем правильную
нумерацию неизвестных:
x1
2

5
x2
x3
1
0
0
1
x2
0 

8
x3
1 0

0 1
x1
2
5
0 .

8
Правильный ответ: x2  2 x1 ; x3  8  5 x1 ; x1 – любое число.
Можно ли вычеркивать нулевой столбец? Нет! Вычеркивание столбца равноценно отбрасыванию одной из неизвестных и
смещению их общей нумерации.
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Чем отличается решение СЛАУ с матрицей, начинающейся
с нулевого столбца, от решения СЛАУ с матрицей вообще без
этого столбца?
Разберем этот вопрос на примере решения двух СЛАУ с
матрицами:
 0 1 0 2
1
 1 0 2
1
б) 
a) 
;
.
 0 0 1 18 0 
 0 1 18 0 
а) Ответ: x2  1  2 x4 ; x3  18 x4 ; x1 , x4 – любые числа.
б) Ответ: x1  1  2 x3 ; x2  18 x3 ; x3 – любое число.
Видно, что в первом случае неизвестных, исполняющих роль
параметров, на одну больше. Решением первой СЛАУ является
четверка чисел, связанных между собой записанными в ответе
соотношениями. Решение второй СЛАУ – тройка чисел.
Описанная ситуация с нулевым первым столбцом не редкость. Важные для какой-либо задачи неизвестные могут подчиняться самым различным соотношениям, и СЛАУ может оказаться только их частью. При решении СЛАУ важно не потерять самую первую неизвестную, которой соответствует нулевой столбец. Она никуда не пропадает. Просто СЛАУ не связывает ее значение со значениями других неизвестных.
3. Примеры решения СЛАУ и исследования на совместность Для освоения описанных методов предлагаются примеры
решения нескольких несложных СЛАУ. Правило преобразования
строки будет записываться в сокращенной форме. Например,
вместо S1  S1  S 2 будет использоваться запись S1  S 2 , расположенная на уровне первой строки. Таким образом, само расположение правила преобразования будет указывать на строку, к которой оно применяется. Обозначение ведущей строки (см. правило П.1.4 и замечание к нему) будет заключаться в рамочку
(например, S1 ). Очевидные действия, такие как умножение и деление строки на ненулевое число, не будут сопровождаться
описанием правила преобразования.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример Пр.3.1.
1

3
2

2
5

1

0
0

0
0

2 3
2 1
3 1
2 2
5 2
2 3
2 4
1 5
2 4
5 13
1

1
1  ~

1
0 
1

S2  3 S1  0
~
S3  2 S1  0

S4  2 S1  0

S5  5 S1  0
S1
2
3
4
8
1
5
2
4
5 13
S1  S 2
 1 0 1
1


1
S2
0 2 4
3  ~ 2 S3  S 2 ~  0 0 6


1
S4  S2
0 0 0
5  2 S5  5 S2  0 0 6
1

2 
3  ~

1 
5 
6S1  S3
0
 6S  4S
1
2
3
~
S3
5 ~

0
*

5
*
Звездочкой обозначено вычеркивание нулевой строки. Четвертая
строка вычеркивается на том основании, что если из нее вычесть
вторую, то получится нулевая строка, которая в итоге опускается.
Окончательно:
6 0 0

~ 0 12 0

0 0 6

5 

14  .
5 
Ответ: x1  5 / 6 ; x2  7 / 6 ; x3  5 / 6 .
Пример Пр.3.2.
 3 3 12 6

 3 3 4 6
 3 3 4 5

 1  1 4 2
~ 0 0
8 0

0 0
8 1

 1 1
~ 0 0

0 0

0 2
1 0
0 1
S1
9 
 3 3 12 6


9  ~ S2  S1 ~  0 0 8 0
0  S3  S1  0 0 8 1
3  2S1  S 2  2 2

~ 0 0
S2
0 ~


0 0
 9
S3  S 2

3  S1  2 S3  1 1

~ 0 0
S2
0 ~

0 0
 9 
S3

Ответ: x1  x2  15 ; x3  0 ;
x4   9
33
9 

0 ~
9 
0 4
8 0
0 1
6

0~
 9 
0 0
1 0
0 1
 15 

0 .
 9 
( x2 – любое число).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если коэффициенты СЛАУ – комплексные числа, все сформулированные правила действий остаются в силе. Только умножение, сложение, деление и вычитание выполняются по
правилам арифметики комплексных чисел (см. Приложение I).
Пример Пр.3.3.
 1

 1
 i

2
1  2i
3 1  3i
1 i
1
 1

~ 0
 0

2
1
1  3i
S1
0 

i  ~ S2  S1 ~
3  i  S3  i S1
1  i
2i
2i
1  2i 1  i
i
1
3  i 1  3i
S1  2S2
 1
~
~ 0
S2


S3  1  3i  S2  0
0
1
0
1
i
0
0 

i ~
3  i 
1 i
1
0
2i 

i .
0 
x2  i  x3  1  x4 ; x3 , x4 – любые
Ответ: x1  2i  x3  1  i  x4 ;
числа.
Пример Пр.3.4. Исследовать на совместность.
1/ 2
1/ 2 1/ 2
 1/ 2

 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

3/ 2 

1 ~
0 
S1
 1 1 1 1 3

 S2  S1


1
1
1
1
2
~

~
S

S
 1 1 1 1 0 
3
1


1 1

~ 0 2
0 0

1
1
0
2
2 2
3

5 .
3 
Ответ: система совместна.
В заданиях такого типа достаточно преобразовать матрицу
только к ступенчатому виду (выполнить «прямой ход»
элементарных преобразований над строками). В разобранном
примере ступенчатый вид соответствует ступенчатой системе
«без противоречий»: нет строки, в которой слева от черты были
бы только нули, а справа – ненулевое число. Последовательно,
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
поднимаясь от нижней строки ступенчатого вида к первой,
можно выразить все базовые переменные через параметры и
получить решение. Если само решение не требуется, нет смысла
проделывать эти действия. Важно указать на их возможность, а
значит, и на существование решения.
Пример Пр.3.5. Исследовать на совместность.
 1 0 1 0

 0 1 0 1
 1 1 0 0

 0 1 1 0
 1 0 0 1

1
0
1
0
1
S1
1
0


1
S2
0
1  ~ S3  S1 ~  0


2
S4
0
0  S5  S1  0
S1
1

S2
0
~ S  S ~ 0
3
2

S4  S2  0
0
S5

1

0
~ 0

0
0

0 1
1
0 1
0 1 0
0
1 1 0
0 1
0
1 0
1 1 0
0 1
0 1
1
0 1 0
0
0
1 1 0
0 0 0
0
0
0 0
0 1
1
1
1
0 0
1 1
0 0
0 1 0
0
1 S1  S3  1 1 

~ 1  1
1 ~


1 S3  S1   1 1
1
1

~  0  1 1 

 0 1 1 2

35
0

1
1  ~

2
0 
S1
0

S2
1
0  ~ S3 ~

1  S 4  S3
0  S5  S3
0

1
0 .

1
0 
Предпоследняя строка соответствует
уравнению 0 x1  0 x2  0 x3  0 x4  1 .
Ответ: система несовместна.
Пример Пр.3.6. Найти решение СЛАУ:
 1 1

1  1
1 1 

0 1
0 1 0
противоречивому
S1
1

1 ~ S 2  S1 ~
1 S3   S1
1 

0 ~
1   
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 1 
I)   1 : ~  0 0 0
0 0 0

1

0  ~ 1 1 
0 
1  x1  1   x3  x2 .
S1
1 1 
II)   1 : ~ S2 /   1 ~  0 1 1
S3 / 1     0 1 1  
 1 0 1
II. 1)   2 : ~  0 1 1
0 0 0

1

0 ~
1 
1

0   СЛАУ несовместна.
1 
 2    S1  1    S3
II. 2)   2 : ~
 2    S 2  S3
S3
1  S1  S 2  1 0   1


1
0  ~ S2 ~  0 1
0 0 2 
1  S  S

3
2
2 

~ 0
 0

0
2 
0
0
0
2 
1

0 .
1 
1
.
2 
Ответ: если   2 , то система несовместна. Если   1 , то
x1  1   x3  x2 ; x2 , x3 – любые числа. В остальных случаях решение определяется однозначно: x1  x2  x3  1/  2    .
 x1  x2  x3 
В этом примере на первом шаге преобразований первую
строчку матрицы нельзя безоговорочно брать в качестве ведущей. Для ведущего элемента принципиально, чтобы он не равнялся нулю, а про первый элемент первой строки  заранее
неизвестно, равно это число нулю или нет. Поэтому первым шагом решения является перестановка на самое верхнее место той
строчки, которая точно начинается с ненулевого числа. Дальнейшие действия очевидны. Приходится отдельно рассматривать
ситуации, соответствующие значениям  , при которых в части
строки слева от черты появляются одни нули.
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 2. Структура решения СЛАУ 4. Фундаментальная система решений (ФСР) однородной СЛАУ 4.1. Определение однородной СЛАУ
Определение O.4.1. СЛАУ с неизвестными x1 , x2 ,...xn называется однородной, если набор из n нулей: x1  0 , x2  0 , …, xn  0
является ее решением.
В одних случаях набор нулей является единственным решением, как, например, у системы с матрицей:
1 0

0 1
0
 (решение: x1  0 ; x2  0 ),
0
а в других, кроме нулевого, имеется бесконечное множество
ненулевых решений, как у СЛАУ с матрицей:
1 0 0

 0 1 8
0
 (решение: x1  0 ; x2  8 x3 ; x3 – любое число)
0
Однородная СЛАУ легко распознается по своему характерному
признаку.
Правило П.4.1 (Признак однородности СЛАУ). Любая
СЛАУ, в матрице которой справа от черты находится нулевой
столбец, является однородной.
4.2. Главное свойство решения однородной СЛАУ
Рассмотрим однородную СЛАУ:
2 x  y  8 z  0

 x  2 y  z  0.
(4.1)
Обратим внимание, что решение системы (4.1) можно
представлять себе в виде тройки некоторых чисел, записанных в
столбец (см. Приложение II):
 x
 y   R3.
 
z
 
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решить систему (4.1) означает перечислить все элементы
некоторого подмножества из векторного пространства R3 (см.
Приложение II), которые обращают уравнения системы в верные
равенства. Оказывается, совокупность всех решений однородной
системы (4.1) не просто подмножество R3 , а его собственное
подпространство [3; 4].
Определение O.4.2. Подпространством векторного пространства V называется подмножество Н  V его векторов, для
которых выполняются два свойства:


1) если x  H , то при любом значении числа  вектор  x то 
же является одним из элементов  x  v  H этого же подмножества;

  

2) если x  H и y  H , то вектор x  y  u  H является одним
из элементов этого же подмножества.
Другими словами, подпространство линейного пространства – это его подмножество, замкнутое относительно линейных
операций (сложение векторов и умножение вектора на число) [3;
4]. При выполнении над элементами подпространства этих
действий получается вектор, принадлежащий тому же
подпространству.
Числа  в определении O.4.2 действительны или
комплексны в зависимости от того, действительно или
комплексно пространство V.
В любом векторном пространстве V имеются два подпространства, называемые «несобственные», или «тривиальные». Первое – само V (поскольку любое множество является подмножеством самого себя). Второе – подпространство, состоящее только
из одного нулевого вектора пространства V. Все остальные подпространства называют «нетривиальные», или «собственные».
Например, пространство геометрических трехмерных векторов содержит следующие собственные подпространства: множество векторов, параллельных фиксированной прямой (одномерное подпространство); множество векторов, параллельных
заданной плоскости (двухмерное подпространство).
Легко проверить, что множество решений системы (4.1) –
подпространство арифметического трехмерного пространства R3 .
Проверим пункты определения O.4.2. Пусть вектор-столбец:
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
X
2 X  Y  8 Z  0
Y 
–
решение
(4.1),
т.
е.

 
 X  2Y  Z  0.
Z
 
(4.2)
При умножении столбца-решения на произвольное число 
получается новый столбец:
 X   X 
  Y     Y  ,
 Z   Z 
  

также являющийся решением (4.1), что проверяется непосредственной подстановкой:
 2 X   Y   8 Z    2 X  Y  8 Z   0

  X  2 Y   Z    X  2Y  Z   0.
Выражения в скобках равны нулю в связи с выполнением
равенств (4.2.). Также легко проверяется пункт 2 определения
подпространства.
В общем случае справедлива следующая теорема.
Теорема Т.4.1 (главное свойство однородной СЛАУ). Решение однородной СЛАУ с n неизвестными является подпространством в пространстве столбцов чисел высоты n .
В зависимости от задачи, пространство столбцов может быть
действительным арифметическим пространством Rn или комплексным арифметическим Cn (см. Приложение II).
4.3. Фундаментальная система решений СЛАУ (ФСР)
Любое подпространство устроено так же, как самостоятельное векторное пространство. В частности, в нем существует
 

линейно независимая система векторов x1 , x2 , … xk (их может
быть меньше, чем в базисе объемлющего пространства), которая

является базисом (см. Приложение III). Любой вектор a под



пространства раскладывается по базисным: a  1 x1   2 x2  ...   k xk ,
где 1 ,  2 ,.. k – некоторые числа индивидуальные для каждого
вектора. Если в записанном разложении перебрать все возможные значения чисел 1 ,  2 ,.. k , то тем самым будут перечислены
абсолютно все элементы подпространства.
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение O.4.3. Фундаментальной системой решений
(ФСР) однородной СЛАУ называется набор числовых столбцов,
образующих базис подпространства решений этой системы.
Если однородная система имеет только нулевое решение, то
ФСР для нее не существует, поскольку ФСР – это некоторый
базис, а базис – линейно независимая система векторов-столбцов.
В свою очередь, система векторов, состоящая только из нулевого
вектора (в нашем случае это нулевой столбец), является линейно
зависимой (см. Приложение III).
Пример Пр.4.1. Найти ФСР для СЛАУ с матрицей:
 2 3 1 6 8

 6 14 9 4 10
 2 7 11 2 0

0

0 .
0 
Элементарными преобразованиями над строками матрица
преобразуется к простейшему виду:
 1 0 13/10 0 1

6/5
0 0
0 1
0 0
0
1 1

Легко строится ответ: x1 
0

0 .
0 
(4.3)
13
6
x3  x5 ; x2   x3 ; x4   x5 ; x3 , x5 –
10
5
любые числа.
Введем обозначения x3   , x5   , выпишем и несколько
преобразуем столбец-решение:
 x1  13 /10   
13/10 
 1 
x  

 6 / 5 
 0
 2   6 / 5 


 
 x3   




   0 .

1
  



 

 x4  

 0 
 1 

 0 
 1
x  




 
 5 
(4.4)
Видно, что решение раскладывается по двум столбцам, которые выполняют роль базиса в пространстве решений. Чтобы перечислить все возможные столбцы-решения, нужно в правой
части (4.4.) независимо перебрать все возможные числовые
значения параметров  и  . Для удобства можно переопределить
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
параметр   10 A через новый параметр A . Тогда решение примет
более красивый вид (10 вносится в первый столбец):
 x1 
 13 
 1 
x 
 12 
 0
 2


 
 x3   A  10     0  .
 


 
 x4 
 0 
 1 
 0 
 1
x 


 
 5
Несложно проверить линейную независимость построенных
столбцов, по которым раскладывается решение (см. Приложение
III). Эти столбцы образуют ФСР исходной системы, так же как и
столбцы в правой части (4.4). Очевидно, базисные векторы
остаются базисными при умножении на любое ненулевое число.
4.4. Алгоритм построения ФСР
Заметим, что если в разложении (4.4) сначала положить   1 ,
  0 , а потом   0 ,   1, то в первом случае получится первый
столбец ФСР, а в другом – второй (см. столбцы в правой части
(4.4)). Но  и  просто новые обозначения для неизвестных x3 и
x5 , играющих роль параметров. Поэтому описанное действие
можно было выполнить сразу после получения матрицы (4.3): в
системе уравнений, соответствующей этой матрице, сначала
положить x3  1 , x5  0 , а потом x3  0 , x5  1 :
13

 x1  13/10 
x

0
1

x  
10
6 / 5 

2


6

x3  1 , x5  0   x2   0   x3    1  ;
5
  


x
0
4
  

 x4  0



x5   0 



 x1   1 
x   
0
 x1  1  0
2



x3  0 , x5  1   x2  0   x3    0  .
   
x  1  0
 4
 x4   1 
 x   1
 5  
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полученные векторы образуют ФСР для СЛАУ из примера
Пр. 4.1. Для избавления от дробей первый из полученных
столбцов нужно умножить на 10.
Отмеченный принцип построения ФСР применим и в общем
случае.
Алгоритм А.4.1. Построение ФСР однородной СЛАУ.
1). Определить все неизвестные, которые в решении СЛАУ
являются параметрами. Пусть их k штук.
2). Решить исходную или эквивалентную ей СЛАУ k раз, при
конкретных числовых значениях параметров, перебирая все k
возможностей вида: один из параметров единица, а все
остальные нули.
3). Полученные k числовых столбцов решений собрать
вместе. Полученный набор столбцов является ФСР. (При
необходимости каждый из столбцов умножить на любое
ненулевое число.)
В зависимости от выбора пути решения можно получать
разные ФСР для одной и той же СЛАУ. Однако число векторов
ФСР (число векторов базиса в подпространстве решений) от
способа решения не зависит.
Пример Пр.4.2. Найти ФСР для СЛАУ с матрицей:
 2 3 4

 1 1 1
0

0
.
Приведение матрицы к простейшему виду
 1 0 1/ 5

 0 1 6 / 5
0

0
обнаруживает один параметр – x3 . Следует рассмотреть только
одну ситуацию:
x3  1 :  x2 
6
1
; x1   .
5
5
Составляя из полученных чисел столбец и умножая его на 5 ,
несложно записать ответ:
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ФСР:





 1
6
 
5
 


.


Единица, фигурирующая на втором шаге алгоритма A.4.1, –
условность. Вместо нее можно использовать любое удобное
ненулевое число.
Пример Пр. 4.3. Найти ФСР для СЛАУ с матрицей:
7 9
1 3 5

 1 2 3 4 5
 2 11 12 25 22

19 2 33

0
1 0


5 5 5
0   ...  
 0 1 2 11 4
0 

5 5 5

0

.
0 

Справа сразу записан результат приведения матрицы к
простейшему виду. Действуем по алгоритму построения ФСР:
x3  5 ; x4  0 ; x5  0 ;
 x1  19 ; x2  2
x3  0 ;
x4  5 ; x5  0 ;
 x1  2 ;
x3  0 ;
x4  0 ;
x2  11
x5  5 ;  x1  33 ; x2  4.
Ответ: ФСР:







 19   2 
 2   11 
   
 5  ,  0  ,
   
 0   5 
0 0
   
 33 
4
 
0
 
0
 5 
 



.



Вместо единицы все параметры для удобства вычислений
последовательно полагались равными числу «–5». В общем
случае ничто не запрещает для разных параметров использовать
вместо единицы разные ненулевые числа.
Если известна ФСР однородной СЛАУ, то общее решение
этой системы раскладывается по столбцам ФСР. Так, зная ФСР
системы из примера Пр.4.3, легко записать общее решение этой
системы:
 x1 
 19 
x 
 2
 2
 
 x3   1  5    2
 
 
 x4 
 0
 0
x 
 
 5
 2
 33 
 11 
 4
 
 
 0   3  0 
 
 
 5 
 0
 0
 5 
 
 
; 1 ,  2 ,  3 – произвольные числа. (4.5)
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Теорема о строении решения неоднородной СЛАУ 5.1. Характер строения решения неоднородной СЛАУ
Неоднородная СЛАУ легко узнается по столбцу свободных
коэффициентов – хотя бы один из коэффициентов должен быть
отличен от нуля.
Пример Пр. 5.1. Рассмотрим систему уравнений, отличающуюся от рассмотренной в примере Пр.4.3 только столбцом
свободных коэффициентов:
1
3 5
7 9

 1 2 3  4 5
 2 11 12 25 22


19
1
1 0


5
0   ...  
0 1 2
3 

5

2
5
11
5
33
5
4
5
2
5 
.
1

5
Справа записан результат приведения исходной матрицы к
ступенчатой форме. Решение задачи имеет вид:
x1  
19
2
33
2
2
11
4
1
x3  x4  x5  ; x2   x3  x4  x5  ,
5
5
5
5
5
5
5
5
x3 , x4 , x5 – произвольные числа.
Так же, как в примере 4.1, введем новые обозначения для
неизвестных, играющих роль параметров: x3  1 ; x4   2 ; x5   3 .
Тогда столбец-решение можно записать в виде:
 x1    19 / 5  x3   2 / 5  x4   33/ 5  x5  2 / 5 

x  
 2    2 / 5  x3  11/ 5  x4   4 / 5  x5  1/ 5 

 x3   
1

  
2

 x4  
x  

3
 5 

 19 / 5 
 2 / 5 
 33/ 5   2 / 5 
 2 / 5 
  11/ 5 
  4 / 5   1/ 5 





 

 1  1    2 
0   3  0    0 .





 

0
1
0
0





 

 0 
 0 
 1   1 





 

44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Переопределяя коэффициенты при столбцах через новые параметры 1  51 2 ;  2  5  2 ;  3  5  3 , приводим решение к
виду:
 x1 
 19 
x 
2
2
 
 
 x3   1  5    2
 
 
 x4 
0
0
x 
 
 5
2
 33  
 11 
4 
 
  
 0   3  0   
 
  
 5 
0 
0
 5  
 
  
2/5 
1/ 5 
0 .

0 
0 
Построенное выражение состоит из двух частей. Первая часть –
сумма числовых столбцов с произвольными коэффициентами 1 ,
 2 ,  3 . Вторая часть – «самостоятельный» числовой столбец без
какого-либо коэффициента.
Сравнивая первую часть решения с (4.5), несложно заметить,
что она является общим решением однородной СЛАУ, которая
получается из исходной системы с помощью замены столбца свободных коэффициентов на нули. Такую однородную СЛАУ называют соответствующей исходной неоднородной. Непосредственной подстановкой можно проверить, что «самостоятельный» числовой столбец (последнее слагаемое) – один из возможных столбцов-решений рассматриваемой неоднородной СЛАУ. Принято говорить, что он является частным решением неоднородной СЛАУ.
Отмеченный характер строения решения является общим
свойством для всех неоднородных СЛАУ.
Теорема T.5.1 (о строении решения неоднородной СЛАУ).
Общее решение любой неоднородной СЛАУ состоит из двух слагаемых: общего решения соответствующей однородной СЛАУ и
какого-либо частного решения неоднородной СЛАУ.
Аналоги этой теоремы имеются во всех разделах математики,
имеющих дело с неоднородными линейными задачами самого
разного типа.
5.2. Построение общего решения неоднородной СЛАУ
Используя теорему T.5.1 и тот факт, что общее решение однородной СЛАУ – линейная комбинация столбцов ее ФСР (см.
дополнение к О.1.III в приложении III), несложно сформули45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ровать новый алгоритм решения произвольной неоднородной
СЛАУ.
Алгоритм А.5.1. Чтобы построить общую формулу для
столбца-решения неоднородной СЛАУ, следует выполнить следующие действия.
1). Найти ФСР соответствующей однородной СЛАУ
2). Найти частное решение неоднородной СЛАУ. (В качестве него можно взять столбец-решение, получающийся, если все
неизвестные, играющие роль параметров, положить равными
нулю.)
3). Построить общее решение неоднородной СЛАУ как сумму линейной комбинации с произвольными коэффициентами
столбцов, построенных на первом шаге плюс столбец, построенный на втором шаге.
С помощью алгоритма А.5.1 можно в новых терминах
решить примеры параграфа 3.
Пример Пр.5.2. (пример Пр. 3.1 по-новому)
1

3
2

2
5

2 3
2 1
3 1
2 2
5 2
1

1
1  ~ … ~

1
0 
1 0 0

0 1 0
0 0 1

5/6 

7 / 6  .
5 / 6 
Выполняя первый шаг А.5.1, находим, что соответствующая
однородная СЛАУ имеет только нулевое решение и ФСР для нее
не существует.
На втором шаге определяем числовой столбец-решение:
 x1   5/ 6 
 x    7 / 6  .
 2 

 x   5/ 6 
 3 

В сумме, которая строится на третьем шаге А.5.1, участвует
только числовой столбец, найденный на втором шаге (других
слагаемых просто нет).
Ответ: задача имеет единственное решение
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 x1   5/ 6 
 x    7 / 6  .
 2 

 x   5/ 6 
 3 

Пример Пр.5.3. (пример 3.2 по-новому)
 3 3 12 6

 3 3 4 6
 3 3 4 5

9 
 1 1


9   ...   0 0
0 0
0 

0 0
1 0
0 1
 15 

0 .
 9 
Неизвестных, исполняющих роль параметров, только одно – x2 .
ФСР, соответствующая однородной СЛАУ, состоит из одного
столбца:
 1 1

0 0
0 0

0 0
1 0
0 1
 1 
0
   
 1 

0   ФСР:     .
 0 
0 
 
  0  
Полагая x2  0 в уравнениях неоднородной СЛАУ, находим
столбец частное решение:
 x1   15 
x  

0
2
 
 (частное решение).
 x3   0 
  

 x4   9 
По теореме о структуре решения неоднородной СЛАУ общее
решение задачи имеет вид:
 x1 
 1   15 
x 
  

 2     1    0  ;  – произвольное число.
 x3 
0  0 
 
  

 0   9 
 x4 
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Приложение к теории размерностей физических величин 6.1. «Размерность» физической величины
и ее свойства
Одной из главных характеристик любой физической величины является ее физическая размерность, неразрывно связанная с
понятием «система единиц измерения» [4; 5].
Определение O.6.1. Системой единиц измерения называется
совокупность единиц (масштабов) измерения, достаточная для
измерения количественных характеристик рассматриваемого
класса явлений.
Система, состоящая только из единицы длины, достаточна
для измерения не изменяющихся во времени геометрических
взаимосвязей, существующих в механической системе. Система
единиц, состоящая только из двух масштабов – единицы измерения длины и единицы измерения времени, – достаточна для измерения кинематических характеристик механического движения.
Для полноценного описания механических явлений система
единиц должна включать в себя, по крайней мере, три масштаба:
например, длины, времени и массы.
Система единиц, пригодная для измерения одного класса явлений, может быть недостаточна для включения в рассмотрение
новых физических процессов. Так, чтобы вместе с механическими явлениями учитывать процессы теплообмена, необходимо
дополнить систему механических единиц независимым стандартом температуры, например градусом Кельвина.
Одной из наиболее известных систем единиц является система СГС (сантиметр – грамм – секунда). В этой системе за единицу длины принимается один сантиметр (см), за единицу массы – 1 грамм (г), за единицу времени – одна секунда (с).
Единицы длины, массы и времени являются в СГС основными. Их количественная сущность определяется через стандарты – природные или искусственно изготовленные. Секунда, по
определению, – 1/86400 среднего солнечного дня. Более точное и
универсальное определение: секунда равна 9 192 621 770 периодам излучения, отвечающего переходу между двумя сверхтон48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кими уровнями основного состояния атома цезия-133. Сантиметр
в СГС – одна сотая длины специально изготовленного и тщательно сохраняемого стандарта – метра. Другое более точное определение: сантиметр – 1 650 736.73 длин волн излучения в вакууме
при переходе от уровня 2 p10 к уровню 5d 5 атома криптона-86.
Грамм – одна тысячная доля платино-иридиевого тела, хранящегося в Международном бюро мер и весов в Севере (местечко
около Парижа). Выбор стандартов для конкретной системы единиц в большой степени произволен в соответствии с принятым в
теории размерностей принципом равноправия всех возможных
систем единиц.
Кроме основных, в любой системе единиц имеются производные единицы. Таковой в СГС является, например, единица
скорости. Она строится на основе определяющего соотношения –
формулы, связывающей скорость с величинами, имеющими основные размерности: v  s / t ( v – скорость равномерного движения, s – пройденный при этом путь; t – затраченное время).
Единица измерения скорости обозначается выражением см/c,
смысл которого будет объяснен в дальнейшем изложении. Аналогично строятся единицы измерения других механических величин: ускорения, плотности и т. д.
Система единиц измерения не обязательно должна быть
минимальной. Не запрещается употреблять в качестве основных
единиц такие, между которыми имеются взаимосвязи. Так, имеет
полное право на существование система единиц, состоящая из
основных единиц, измеряющих длину в сантиметрах, массу – в
граммах, время – в секундах, а скорость – в узлах (1 узел примерно 50 см/с). Только скорость в этой системе будет вычисляться по
непривычной формуле: v  k s / t , где k  0.02 узел c/см – константа, появление которой обусловлено избыточностью системы
единиц. Именно такой избыточной является хорошо известная
система единиц СИ. В ней за основные единицы приняты: метр,
килограмм, секунда, градус Кельвина; ампер (единица измерения
силы тока); свеча (единица измерения интенсивности света). В
системе СИ многие физические формулы, например закон
Кулона, содержат константы, появляющиеся именно благодаря
избыточности этой системы.
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение O.6.2. Классом систем единиц измерения называется совокупность всех систем единиц, которые отличаются
только величиной, но не физической сущностью основных
единиц.
Система единиц, в которой за основные приняты сантиметр,
грамм, секунда, и система с основными единицами: метр, килограмм, секунда – две системы единиц, относящиеся к одному
классу. Этот класс условно обозначается LMT (L – длина; M –
масса; T – время).
В приложениях часто используются системы единиц класса
LFT ( L – длина; F – сила; T – время).
Если в какой-либо системе единиц класса LМТ единица
длины уменьшается в L раз, а единица времени уменьшается в Т
раз, то новая единица скорости уменьшается в LT 1 . Численные
значения всех скоростей возрастут в LT 1 раз. Также легко прослеживаются изменения значений других физических величин.
Чтобы описать изменения подобного рода, и служит понятие
«размерность» физической величины.
Определение О.6.3. Размерностью физической величины называется формула, которая показывает, во сколько раз увеличится (уменьшится) числовое значение этой величины при уменьшении
(увеличении) масштабов основных единиц в заданное число раз.
Таким образом, размерность – соотношение, связывающее
числовые значения физической величины в разных системах
единиц, принадлежащих к одному классу. По предложению
Дж. К. Максвелла размерность величины  обозначается квадратными скобками   . Размерность скорости м/с показывает, как
устроена формула размерности  v  L / T . По этой формуле можно
рассчитать, на какой коэффициент следует умножить значение
скорости, выраженной в м/с, чтобы получить скорость в км/ч
(километры в час): L  1000 – в столько раз увеличивается эталон
длины; T  3600 – коэффициент увеличения масштаба времени.
Очевидно, что значение скорости уменьшится в [v] = L/T =
1000/3600 = 10/36, раза или по-другому – увеличится в 3.6 раза.
Например, скорость звука 330 м/c в новых единицах будет
составлять 330  3.6  1188 км/ч.
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Понятие физической размерности величины не имеет никакого отношения к размерности пространства. Это разные понятия.
В теории размерностей физических величин выясняется, что
такие формулы, как M  L ; e M T 2 ; M Ln T  , не могут быть формулами размерности, поскольку противоречат принципу равноправия всех допустимых систем единиц.
Теорема Т.6.1 (о строении формулы размерности). Функция размерности для любой физической величины представляет
собой степенной одночлен с рациональными показателями
степеней.
В классе систем единиц LMT размерность любой физической
величины имеет вид L M  T  , где  ,  ,  – рациональные числа.
Физические величины, значение которых не зависит от выбора системы единиц, называют безразмерными. Например, если на
некоторой окружности выделить дугу произвольной длины, то
отношение длины этой дуги к радиусу окружности будет безразмерной величиной, измеряющей угол между радиусами, проведенными в точки на концах дуги. Именно так строится измерение
плоских углов в радианах. Радиан – просто общепринятое название для безразмерной величины, измеряющей плоские углы. Размерность безразмерной величины  естественно считать равной
единице:    1 .
6.2. Системы величин с зависимыми и независимыми
размерностями
Определение О.6.4. Размерности системы физических величин a1 , a2 … ak называются зависимыми, если существуют одновременно не равные нулю рациональные степени 1 , 2 ,... n такие,



что  a1   a2  ... ak   1 .
Определение О.6.5. Если произведение степеней размерностей
системы
физических
величин
безразмерно



a1  a2  ...ak   1 только при нулевых значениях показателей
1
1
k
2
2
k
степеней: 1   2  ...   n  0 , то размерности величин a1 , a2 … ak
называются независимыми.
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Например, скорость  v  LT 1 и плотность – величины с неза

висимыми размерностями, поскольку  v      L 3  T  M    1 ,
только если     0 . Длина l и площадь S – величины с зависи2
мым размерностями: l   S   1 .
Правило П.6.1. Если размерности системы из более чем
одной физической величины зависимы, то в этом наборе обязательно найдется подсистема величин с независимыми размерностями, через произведения степеней которых выражаются
размерности остальных величин.
В общем случае, решение вопроса о зависимости размерностей заданного набора физических величин и выделение в нем
подсистемы величин с независимыми размерностями, через произведения степеней которых выражаются размерности остальных, сводится к решению однородной СЛАУ.
Пример Пр.6.1. Исследовать на зависимость размерностей
набор физических величин: время    T течения жидкости,
вытекающей через трубу и заполняющей сосуд заданного объема
Q  L3 ; вязкость жидкости     M L1 T 1 ; ее плотность
    M L3 ; перепад давления  P  M L1 T 2 между входным и
выходным сечениями трубы.
Решение. Составим произведение степеней размерностей заданных величин и найдем степени, при которых это произведение безразмерно:
  Q         P 





1
 L3   3  M    T    2  1.
Отсюда для определения  ,  ,  ,  ,  получается однородная
СЛАУ относительно степеней размерностей рассматриваемой
системы величин:
3    3    0

     0
     2  0.

Преобразуем матрицу этой СЛАУ к простейшему виду:
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0 3

0 0
1 0

1 3 1
1
1
1
0
1
2
0
1 0 0
1
1


0   ...   0 1 0 2 / 3 0
0 0 1
0 
1
1

0

0 .
0 
Система имеет ненулевое решение, базис которого образуют
столбцы ФСР:
  1  1  

  
 2 / 3   0  
 1  ;  1   .
 1   0  
  


  
 0   1  
Последние две неизвестные  и  являются степенями размерностей    и  P  и в рассмотренной СЛАУ выполняют роль
параметров. Первый столбец ФСР построен при   1   0 ; а второй – при   0 ;   1 . Первому столбцу ФСР соответствует произведение степеней
  Q         P     Q         P 





1
2/3
1
1
0
 1.
Аналогично строится произведение, соответствующее второму
столбцу ФСР. В результате каждому столбцу ФСР ставится в
соответствие свое равенство:
2/3
  P  1.
Q    1;
 
 
 
   
Видно, что размерности    и  P  , степени которых в решении
СЛАУ играют роль параметров, независимо друг от друга
выражаются через размерности остальных величин:
  
    ;
2/3
Q 
 P 
 .
 
(6.1)
Несложно проверить независимость размерностей набора величин   , Q,    , степени которых в проведенных расчетах оказались базовыми неизвестными.
Получилось, что исходный набор пяти величин имеет зависимые размерности и содержит подсистему из трех величин  , Q, 
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
с независимыми размерностями, через произведение степеней
которых выражаются размерности остальных двух:    и  P  .
В общем случае при расчетах подобного рода размерности,
степени которых при решении однородной СЛАУ оказались базовыми неизвестными, являются независимыми, а остальные через
них выражаются. Разделение исследуемой системы величин на
величины с независимыми размерностями и на те, размерности
которых выражаются через размерности независимых, можно
выполнить различными способами. Так, если в примере Пр.6.1
при построении СЛАУ рассматривать последовательность неизвестных в порядке  ,  ,  ,  ,  , то решение будет отличаться:
 3 1

0 1
 0 1

3  1 0
1 1 0
0 2 1
0

0
0 
1 0 0

0 1 0
0 0 1
~ …~ 
 2   2  
 3    3  
  

2
1

  

ФСР:   ;    
1
1
  

 1   0  
  

 0   1  
 2/3 2/3
2
1
1
1
Q     P  1 ;
 
2

 
2/3
0

0
0 
     1.
2/3  
  Q 
Теперь Q ,  ,  – величины с независимые размерностями, а
размерности  P  и   выражаются:
 
 P  2 / 3 ;
Q    
  Q 
  
 
2
2/3
.
Решение вопроса о том, какие размерности можно принять за
независимые, а какие через них выразить, сводится к рассмотрению
способов разделения неизвестных СЛАУ на базовые и параметры
(свободные). Базовые неизвестные и есть степени величин с
независимыми размерностями. В общем виде ответ на вопрос, как
узнать, можно ли определенную подсистему неизвестных считать в
СЛАУ базовыми неизвестными, рассмотрен в следующей главе.
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.3. Центральная теорема теории размерностей
(П-теорема)
Большое практическое значение имеет результат теории физической размерности, известный как «П-теорема» (читается:
«пи-теорема»). Ее можно считать наиболее общим физическим
законом.
Теорема Т.6.2. (П-теорема). Пусть физическая величина 
однозначно выражается через значения величин a1 , a2 ...ak ,
b1 , b2 ,...bn , причем в наборе всех величин a1 , a2 ...a k , b1 , b2 ,...bn ,  ,
первые k имеют независимые размерности, а размерности
остальных через них выражаются. Тогда характер зависимости
величины  от a1 , a2 ...ak , b1 , b2 ,...bn описывается формулой:
  f  1,...,  n  ;
1 
b1
b
; ….  n  n* . ;
*
b1
bn
 

*
(6.2)
здесь b1* , b2* ,...bn* , * – характерные масштабы величин b1 , b2 ,...bm ,  .
Каждый из характерных масштабов представляет собой произведение таких степеней величин a1 , a2 ...ak , при которых размерность этого характерного масштаба совпадает с размерностью величины, к которой он относится.
Сформулированная теорема позволяет анализировать физические явления, не вдаваясь в детали управляющих ими физических законов.
Пример Пр.6.2 (математический маятник). Вывести, используя анализ размерностей, формулу для периода колебаний
математического маятника (точечного груза, подвешенного на
тонкой невесомой нити).
Решение. Из опыта известно, что период  колебаний маленького груза на тонкой нити длиной l зависит от длины этой
нити. Естественно предположить, что период зависит от величины ускорения свободного падения g , поскольку в невесомости
маятник колебаться не будет. Кроме того, интуитивно кажется,
что масса m груза тоже является существенной характеристикой
маятника. Поэтому поставим задачу – определить зависимость
    m, l , g  .
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Чтобы применить П-теорему, сначала следует распределить
среди заданных физических величин их «роли» в соответствии с
обозначениями, использованными в теореме Т.6.2.
Исследуем систему величин m , l , g ,  на зависимость их
размерностей:
 m  M ; l   L;  g   LT 2 ;    T .
Произведение степеней этих величин
 m  l   g   




 L  M  T 2   1
безразмерно, если степени  ,  ,  ,  удовлетворяют СЛАУ с
матрицей:
0 1 1 0

1 0 0 0
 0 0 2 1

0

0 ~ …~
0 
1 0 0
0

 0 1 0 1/ 2
 0 0 1 1/ 2

0

0
0 
 0  
1/ 2


1/ 2
l

 1/ 2  
[m]0  g 
ФСР: 
; 
   1 ;     1/ 2 .
1/ 2


1/
2
g
l





 1  
Таким образом, размерности трех величин m , l , g независимы, а размерность   через них выражается (размерность m
используется в нулевой степени). В терминах теоремы Т.6.2
имеем k  3 величины с независимыми размерностями: a1  m ;
a2  l ; a3  g . Величины, которые в теореме Т.6.2 обозначены
b1 ,.. bn , в рассмотренной системе отсутствуют: n  0 . Величиной,
для которой ищется зависимость, является период маятника
   . Для применения П-теоремы необходимо построить
характерный масштаб  *  m pl q g r , где p , q , r должны быть такими, чтобы совпали размерности  *     . Из (6.2) следует, что
для этого достаточно положить p  0 ; q  1/ 2 ; r  1/ 2 :
l 1/ 2
  1/ 2    
g
*
56
g
.
l
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
После построения всех терминов, задействованных в формулировке П-теоремы (параметры  1 ,... n отсутствуют, поскольку
n  0 ), несложно эту теорему применить. Согласно (6.2) получается соотношение:
   функция от несуществующих параметров  const  C .

l
g
.
С   C
g
l
(6.3)
Читатель легко определит значение константы C , проведя
опыт с каким-нибудь удобным для него маятником  С  6.28 .
Ценность результата состоит в том, что для всех остальных
маятников самых разных размеров значение константы C будет
таким же.
Задача о расчете периода колебаний произвольного маятника
решена без привлечения уравнений движения. Описанный способ
вывода формулы (6.3) принадлежит французскому математику
Полю-Эмилю Аппелю. Интересно отметить, что включение в
анализ величины m , от которой период на самом деле не зависит,
не привело к ошибке. Эта величина вошла в финальное
выражение в нулевой степени.
Пример Пр 6.3 (теорема Пифагора). Методом размерностей
доказать теорему Пифагора.
Известно, что прямоугольный треугольник однозначно строится по заданной длине гипотенузы  и значению острого угла
 . Следовательно, все метрические характеристики этого треугольника, в частности площадь S , должны выражаться через эти
две величины. Таким образом, существует функция S  S  ,   .
Проанализируем размерности системы величин ,  , S :
   L;    1;  S   L2.
Размерности второй и третьей величин выражаются через
размерность первой:
    
0
;
 S    
2
.
Соотнося совокупность рассматриваемых величин с обозначениями, использованными при формулировке теоремы Т.6.2, легко
выделить одну величину с независимой размерностью: a1  
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 k  1 ; одну величину, размерность которой выражается через
размерность первой: b1    n  1 , и величину   S . Очевидно,
характерным масштабом для величины S является S *   2   2 .
Характерным масштабом для безразмерной величины  –
 *   0  1 . Получилось, что
 S  S / 2 ;
1   .
По П-теореме имеем:
 S  f  1  ; 
S
 f  
2
S   2 f   .
(6.4)
Формула (6.4) справедлива для любого прямоугольного треугольника с катетом  и острым углом  . Функция f   неизвестна, но имеет универсальный характер: для любых двух прямоугольных треугольников, сколь угодно сильно отличающихся
размерами, но с одинаковыми острыми углами, значение f  
одно и то же. По геометрическому смыслу f    0 .
Применим формулу (6.4) для вычисления площади прямоугольных треугольников, изображенных на рис. 6.1.
B
b
a
α
α
A
C
D
c
Рис. 6.1.
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
2
2
S ABC  S ADB  S CDB ;  по формуле (6.4) с f    a f    b f   .
Отсюда и получается теорема Пифагора: с 2  a 2  b2 .
Пример Пр. 6.4. В начале ХХ века физикохимики Э. Бозе,
Д. Раэрт и М. Бозе опубликовали серию экспериментальных
работ, в которых были представлены результаты исследований
внутреннего турбулентного трения в потоках различных жидкостей. В их экспериментах различные жидкости – вода, хлороформ, бромоформ, ртуть, этиловый спирт и др. – текли по трубе в
стационарном режиме. Исследовалось, как перепад давлений P
на концах трубы связан со временем  , за которое жидкость,
вытекающая через трубу, заполняет бак заданного объема Q . Для
всех жидкостей и разных объемов бака в логарифмическом масштабе по обеим осям были построены зависимости P от  1 .
Получилось целое семейство графиков, расположенных относительно друг друга без видимой закономерности. Однако нашелся
молодой исследователь Теодор Фон Карман, который показал,
что все это море экспериментальных результатов сводится всего
лишь к одной зависимости, которую можно было получить на
основании опытов с какой-нибудь одной жидкостью.
Рассуждения Т. Фон Кармана несложно повторить. Пусть  –
плотность жидкости, а  – ее вязкость. Выясним, какое строение
может иметь зависимость P от величин  , Q ,  ,  . Для этого
необходимо исследовать на зависимость размерностей систему
величин  , Q ,  ,  , P . Это проделано в примере 6.1. По результатам этого примера размерности величин  , Q ,  можно принять за независимые, а размерности  и P через них выразить. В
терминах теоремы Т.6.2. имеем k  3 величины с независимыми
размерностями a1   , a2  Q , a3   , одну величину b1   , размерность которой выражается через независимые, и непосредственно
величину   P , для которой ищется строение зависимости.
Из (6.1) следует, что характерными масштабами для  и P
являются:
* 

Q
; P* 
2/3
P

 Q2 / 3
  
; P  .



59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На основании П-теоремы получается, что искомая зависимость сводится к связи между всего лишь двумя параметрами:
P
  Q2 / 3 
 f
 P  f     ; или
.





Функция f одинакова для всех жидкостей! Это означает, что
если при обработке результатов эксперимента сразу строить
зависимости для безразмерных параметров  P  P  /  от
    Q2 / 3 /    , то независимо от выбора жидкости должна получиться одна кривая. Все оказалось действительно так! Опубликованные экспериментальные данные, пересчитанные в терминах
зависимости  P  f     , для всех жидкостей действительно
легли на одну кривую.
Все разобранные примеры взяты из монографии [4], по
которой можно более обстоятельно познакомиться с методами
теории физической размерности.
Глава 3. Использование определителей для решения СЛАУ 7. Формулы Крамера 7.1. Правило Крамера
Рассмотрим СЛАУ:
 a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1

 a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2
a x  a x  a x  b .
 31 1 32 2 33 3 3
(7.1)
Определитель (см. Приложение IV), составленный из коэффициентов при неизвестных, имеет следующий вид:
a11
a12
  a21 a22
a31 a32
a13
a23 .
a33
60
(7.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Умножим последовательно уравнения системы (7.1) на алгебраические дополнения к элементам 1-го столбца (первое уравнение
на алгебраическое дополнение к элементу a11 , второе – на дополнение к коэффициенту a21 , третье – на дополнение к a31 ):

a22
a32
a23
a
 a11x1  a12 x2  a13 x3   22
a33
a32
a12
a13
a32
a33
a12
a13
a22
a23
 a21x1  a22 x2  a23 x3   
 a31x1  a32 x2  a33 x3  
a23
b
a33 1
a12
a13
a32
a33
a12
a13
a22
a23
b2
b3 .
Знак минус во втором равенстве появился в соответствии с определением алгебраического дополнения O.IV.2. В результате сложения правых и левых частей получившихся равенств и несложной перегруппировки слагаемых возникает равенство:
 a
x1 a11 22
 a32
a23
a
 a21 12
a33
a32
 a
 x2 a12 22
 a32
a13
a
 a31 12
a33
a22
a23
a
 a22 12
a33
a32
a13 

a23 
a13
a
 a32 12
a33
a22
a13 

a23 
a23
a
a13
a
a13 
 a
 x3 a13 22
 a23 12
 a33 12

a
a
a
a
a
a
32
33
32
33
22
23 

a
a23
a
a13
a
a13
 b1 22
 b2 12
 b3 12
.
a32 a33
a32 a33
a22 a23
(7.3)
Соотношение в первой фигурной скобке по теореме T.IV.1 совпадает с выражением для определителя (7.2), если раскрыть его по
первому столбцу. Выражение во второй фигурной скобке равно
нулю как сумма произведений элементов второго столбца определителя (7.2) на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда, роль которого играет первый столбец (см. свойство 8) определителя в Приложении IV). По аналогичной причине равно нулю выражение в третьей фигурной скобке (как сумма
произведений элементов третьего столбца определителя (7.2) на
алгебраические дополнения элементов первого столбца). В пра61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вой части (7.3) находится развернутое по первому столбцу выражение для определителя, который получается из определителя
(7.2) заменой первого столбца на столбец коэффициентов из правых частей уравнений (7.1). Обозначая этот новый определитель
символом 1 , несложно переписать соотношение (7.3) в виде
x1   1 , где
b1
1  b2
b3
a12
a22
a32
a13
a23 .
a33
(7.4)
Если   0 , а 1  0 , то невозможно подобрать значение x1 , при
котором реализуется полученное равенство. Если   1  0 , то
равенство x1   1 выполняется при любых x1 и не несет о
значении этой неизвестной никакой информации. При   0 для
x1 получается выражение:
x1 
1
.

(7.5)
Аналогичные выкладки можно проделать, чтобы получить
выражение для x2 . Для этого необходимо последовательно умножить уравнения системы (7.1) на алгебраические дополнения к
элементам 2-го столбца, сложить получившиеся равенства и
упростить полученное соотношение с помощью свойств определителя. Если выполнить последовательное умножение уравнений
системы (7.1) на алгебраические дополнения к элементам
3-го столбца, сложить и упростить получившиеся равенства, то
получится выражение для x3.
В результате для решения системы (7.1) получается следующее правило.
Правило П.7.1 (Крамера). Если   0 , то решение СЛАУ
(7.1) единственно и вычисляется по формулам:
x1 
где
a11 a12
  a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
;


1
; x2  2 ; x3  3 ,



b1
1  b2
b3
a12
a22
a32
(7.6)
a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
a23 ;  2  a21 b2 a23 ;   a21 a22 b2 .
a33
a31 b3 a33
a31 a32 b3
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если   0 , но хоть один из вспомогательных определителей
1 ,  2 ,  3 не равен нулю, то система (7.1) несовместна. Если
  1     3  0 , то полученные формулы не дают возможности
построить решение. Можно показать, что в этом случае система
(7.1) имеет бесконечно много решений, которые строятся другими методами.
Формулы (7.6) называются формулами Крамера, а правило
решения – правилом Крамера. Аналогичные формулы и правило
Крамера применимы для любой СЛАУ, у которой число
уравнений и число неизвестных совпадают.
Для однородной СЛАУ правило П.7.1 сводится к весьма
полезной и часто применяемой на практике теореме.
Теорема Т.7.1. Если в однородной СЛАУ число уравнений
равно числу неизвестных, то значение определителя  этой
системы полностью определяет характер ее решения:
1). Если   0 , то единственным решением системы является набор нулей для всех неизвестных величин – нулевое (по-другому: тривиальное) решение.
2). Если   0 , то, кроме нулевого решения, система имеет
бесконечно много ненулевых (нетривиальных) решений.
Пример Пр.7.2.1.
 x y2

2 x  2 y  0

1 1
 4;
2 2
x 
x
2 1
 4;
0 2
y 
1 2
 4
2 0
y
x
 1.
 1; y 


7.2. Применение правила Крамера к СЛАУ общего вида
Пример Пр.7.2.2.
 2 x1  4 x2  x4  0

3x1  2 x2  2 x3  x4  1.
63
(7.7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим определитель из коэффициентов при неизвестных x1 и x2 . Составляя из коэффициентов при x1 первый столбец
определителя, а из коэффициентов при x2 второй столбец, несложно вычислить:

2 4
 8  0.
3 2
Перенося в (7.7) остальные неизвестные x3 и x4 вправо, получаем
систему, которая легко решается по правилу Крамера:
 2 x1  4 x2   x4

3 x1  2 x2  1  2 x3  x4
  8 ;
1  4  8 x3  2 x4 ;
x1 
 2  2  4 x3  x4 ;

1 x x
x
1 1
  x3  4 ; x2  2    3  4 ; x3 , x4 – любые числа.

4 2 8
4
 2
По правилу Крамера удалось выразить базовые переменные
через параметры и выписать общее решение.
Пример Пр.7.2.3.
 2 x1  3x2  x4  0

3x1  2 x2  2 x3  x4  1.
(7.8)
Если действовать как в предыдущем примере, то на этапе составления определителя из коэффициентов при x1 , x2 :
2 3
0
3 2
обнаруживается невозможность его использования для расчета по
правилу Крамера (при вычислениях придется делить на ноль). Но
эту трудность легко обойти. Нужно рассмотреть определитель из
коэффициентов при другой паре неизвестных, например коэффициенты при x1 и x3 :

2 0
 4  0.
3 2
Дальнейшие действия очевидны:
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 2 x1   x4  3x2

3x1  2 x3  1  2 x2  x4
  4;
 1   2 x 4  6 x 2 ;  3  2  5 x2  x4
x1 
x 3
1
  4  x2
4
2 2
x3 
3 1 5
1
  x2  x4 ;
4
 2 4
x2 , x4 – любые числа.
Разобранные
примеры
иллюстрирует
возможность
применения для решения СЛАУ следующего правила.
Правило П. 7.2. Если число уравнений m в СЛАУ меньше,
чем количество неизвестных, и среди всевозможных определителей m -го порядка из коэффициентов при неизвестных имеется
ненулевой – M , то СЛАУ решается по правилу Крамера. Для
этого неизвестные, коэффициенты которых не входят в состав
M , переносятся в правую часть уравнений и объявляются
параметрами. Полученная система решается относительно m
оставшихся слева базовых неизвестных по правилу Крамера. В
результате получаются m выражений для базовых неизвестных
через параметры.
Ненулевых определителей, о которых идет речь в предложенном правиле, может быть несколько. Используя различные определители, можно получать разные способы разделения неизвестных на базовые и параметры и соответственно различные ответы.
Все эти ответы равноценны друг другу.
Полезно знать, что решение любой СЛАУ можно свести к
вычислению определителей. Для этого, во-первых, необходимо
проверить совместность СЛАУ. Если система однородна, то ее
совместность не подлежит сомнению. Совместность неоднородной СЛАУ можно проверить с помощью теоремы Кронекера –
Капелли (см. дополнение). После установления совместности
системы необходимо в матрице из коэффициентов при неизвестных найти так называемый базисный минор (см. Приложение V).
Он представляет собой ненулевой определитель из коэффициентов при части неизвестных, обладающий специальными свойствами. Все уравнения СЛАУ, коэффициенты которых не входят
в базисный минор, следует отбросить, поскольку они являются
следствием остающихся (по свойству базисного минора). Остав65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
шиеся уравнения образуют либо систему с единственным решением, которое рассчитывается непосредственно по формулам
Крамера, либо систему, решаемую по правилу П.7.2.
Проверка совместности СЛАУ в описанной схеме действий –
важный этап, который нельзя пропускать.
В совместной системе по теореме Кронекеря – Капелли (см.
Дополнение) ранги основной и расширенной матриц совпадают.
Это означает, что базисный минор основной матрицы системы
является базисным и для расширенной. По теореме о базисном
миноре (см. Приложение V) строки основной и расширенной
матриц, проходящие через базисный минор, линейно независимы
(см. Приложение III), а остальные через них выражаются и
поэтому могут быть отброшены (они соответствуют уравнениям,
являющимися следствием остающихся). В этом случае отбрасывание строк расширенной матрицы, не проходящих через базисный минор основной матрицы, вполне правомерно.
В несовместной системе ранг расширенной матрицы больше,
чем у основной (см. в Дополнении замечание к теореме Кронекера – Капелли), и поэтому линейно независимых строк в ней больше (по определению ранга). Это означает, что среди строк расширенной матрицы обязательно имеется та, благодаря которой
увеличивается ранг расширенной матрицы по сравнению с рангом основной. Такая строка не выражается через строки, проходящие через базисный минор основной матрицы, и ее отбрасывание является незаконным.
Для практических числовых расчетов формулы Крамера не
применяются. Количество арифметических действий, выполняемых при реализации формул Крамера, существенно превышает
число операций, задействованных при использовании метода элементарных преобразований (см. главу 1). С ростом количества
уравнений это превышение лавинообразно растет, и, как следствие, происходит катастрофическое накопление неизбежных при
численных расчетах ошибок округления, значительно уменьшающих ценность результата.
Тем не менее схема решения СЛАУ с помощью определителей имеет важное теоретическое значение и часто используется
при доказательстве различных математических фактов.
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.3. Разбиение неизвестных СЛАУ на базовые и параметры
Для понимания этого пункта следует ознакомиться с понятием и свойствами базисного минора матрицы (Приложение V).
Ответ на вопрос о том, какие неизвестные СЛАУ можно принимать за базовые, а какие нельзя, дает следующая теорема.
Теорема Т.7.2. Базовыми являются такие и только такие
неизвестные совместной СЛАУ, для которых в основной матрице системы найдется базисный минор, состоящий из коэффициентов при этих неизвестных.
Определение основной матрицы СЛАУ сформулировано в
О.1.10.
Пример П.7.2.5. Найти всевозможные способы разделения
неизвестных на базовые и параметры (свободные неизвестные) в
системе:
3x1  3x2  12 x3  6 x4  9

 3x1  3x2  4 x3  6 x4  9 .

x1  x2  2 x4  3

С помощью элементарных преобразований над сроками
приведем матрицу системы к простейшему виду
 3 3 12 6

 3 3 4 6
 1 1 0 2

9 
 1 1 0 2

9   ...  
0 0 1 0
3 
3
.
0
Видно, что x1 , x3 можно принять за базовые неизвестные. Ранг основной матрицы равен двум (см. Дополнение). Значит, любой ненулевой минор второго порядка является базисным (см. Приложение V).
Проверим, могут ли быть базовыми другие пары неизвестных.
Начнем с x1 , x4 . Рассматриваем в основной матрице СЛАУ
миноры второго порядка, построенные из элементов, расположенных на пересечении 1-го, 4-го столбцов и каких-либо двух строк.
Поскольку исходная и преобразованная матрица соответствуют
эквивалентным системам, то для анализа можно с одинаковым
результатом использовать и ту и другую. Анализ упрощенной
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
матрицы легче: с 1-м и 4-м столбцами могут пересекаться только
первая и вторая строки, и испытуемый минор только один:
1,2
1,4

1 2
 0.
0 0
В этом примере для обозначения миноров упрощенной матрицы
используется символ  , а для миноров исходной матрицы –
обозначение M . Как и в приложении V, верхние индексы, расположенные в порядке возрастания, – номера строк, а нижние – номера столбцов, на пересечении которых в анализируемой матрице находятся элементы минора. В данном случае все миноры
второго порядка с коэффициентами при x1 , x4 (а такой минор
только один) равны нулю и, значит, не могут быть базисными. По
теореме Т.7.2 неизвестные x1 , x4 не могут быть базовыми.
Если анализировать не преобразованную, а исходную матрицу, то придется проверять миноры второго порядка с элементами,
расположенными на пересечении 1-го и 4-го столбцов со
всевозможными двумя строками: 1-й и 2-й; 1-й и 3-й; 2-й и 3-й:
1,2
M 1,4

3 6
 0;
3 6
1,3
M 1,4

3 6
 0;
1 2
2,3
M 1,4

3 6
 0.
1 2
Ненулевого минора среди них снова не нашлось, и, значит, они
не могут быть базисными. Соответственно, x1 и x4 не могут быть
базовыми неизвестными. Как и следовало ожидать, результат
такой же, как и при использовании упрощенной матрицы. Очевидно, выгоднее анализировать миноры упрощенной матрицей.
1,2
 0 , и по теореме Т.7.2 неизВ упрощенной матрице 2,4
1,2
 2  0 , и этот
вестные x2 , x4 базовыми быть не могут. Далее, 3,4
ненулевой минор может быть принят за базисный. Значит, по
теореме Т.7.2, неизвестные x3 , x4 могут быть базовыми. Анало1,2
 1  0 и, по теореме Т.7.2, x2 , x3 могут являться базогично, 2,3
выми неизвестными.
Ответ: базовыми неизвестными могут быть пары: 1) x1 , x3 ; 2) x3 ,
x4 ; 3) x2 , x3 .
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. Физическое содержание задачи на собственные значения и собственные векторы 8.1. Уравнения одной физической задачи
Рассмотрим задачу о расчете колебаний трехпружинного
маятника, изображенного на рис. 8.1.
m1
k1
O
m2
k2
O2
O1
x1
m3
k3
O3
x2
x
x3
Рис. 8.1
Три бруска с массами m1 , m2 , m3 с помощью пружин с жесткостями k1 , k2 , k3 соединены друг с другом и с неподвижным упором, показанным на рис. 8.1 слева. Конструкция может совершать
колебания вдоль горизонтальной оси Ox . В состоянии равновесия
положение центров масс каждого из брусков описывается точками O1 ; O2 ; O3 . Символами x1 , x2 , x3 обозначены смещения брусков из положений равновесия, возникающие в процессе колебаний. Требуется составить уравнения движения такой конструкции. Трением будем пренебрегать.
Для каждого
из брусков следует записать второй закон
 
Ньютона mi ai  Fi в проекции на горизонтальную ось. На первый
брусок действуют силы упругости, пропорциональные
удлинениям и жесткостям первой и второй пружин:
d 2 x1
m1 2  k1 x1  k2  x2  x1  .
dt
Удлинение второй пружиной по сравнению с нейтральным состоянием определяется не только смещением второго бруска, прикрепленного к ее правому концу, но и изменением положения ле69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вого конца, прикрепленного к первому бруску. Результирующее
удлинение – разность: x2  x1 . Аналогично строятся уравнения
движения других брусков:
d 2 x2
m2 2  k2  x2  x1   k3  x3  x2  ;
dt
d 2 x3
m3 2  k3  x3  x2  .
dt
8.2. Собственные колебания как режимы колебаний
специального типа
Для примера рассмотрим задачу предыдущего пункта при
конкретных значениях физических параметров: m1  m2  m3  1 кг;
k1  10 Н/м; k 2  3 Н/м; k3  5 Н/м. Тогда система дифференциальных уравнений, описывающих движение брусков, примет вид:
 d 2 x1
 dt 2  13 x1  3 x2
 2
 d x2
 2  3 x1  8 x2  5 x3 .
 dt
 d 2 x3
 5 x2  5 x3

2
dt

(8.1)
Вспомним, что движение однопружинного маятника происходит по закону x  A cos  t    (значения констант A и  определяются из начальных условий).
Рассуждая по аналогии, попытаемся искать решение системы
(8.1) в виде:
 x1  A1 cos  t   

 x2  A2 cos  t    ;
 x  A cos  t   
3
 3
 x1   A1 
   
  x2    A2  cos  t    .
x  A 
 3  3
(8.2)
Значения A1 , A2 , A3 ,  и  будем подбирать так, чтобы выражения (8.2) стали решением системы (8.1). В результате подстановки соотношений (8.2) в систему (8.1), после «сокращения» на
общий множитель cos  t    получаются соотношения:
 13 A1  3 A2   A1

3 A1  8 A2  5 A3   A2
 5A 5A  A
2
3
3

70
(8.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  13    A1  3 A2  0

3 A1   8    A2  5 A3  0
 5 A   5    A  0
2
3

(8.4)
 2  .
(8.5)
Система (8.4) однородная СЛАУ относительно A1 , A2 , A3 . Для
существования ненулевого решения (см. теорему Т.7.1)
необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из
коэффициентов при неизвестных, равнялся нулю:
13  
3
0
3
8  
5
0
5   3  26  2  175   150  0.
5  
(8.6)
Получилось кубическое уравнение относительно параметра  .
Несложно заметить, что   1 – один из корней уравнения (8.6).
Это означает, что многочлен (8.6) при делении на   1 даст в
точности многочлен второго порядка [1]:

 3  26 2  175   150
 1
 2  25  150
3  2
25 2  175   150

25 2  25 

150  150
150  150
0
 3  26 2  175   150     1   2  25  150  .
Несложно найти решения квадратного уравнения  2  25  150  0
и выписать полный набор корней уравнения (8.6): I  1 ;
 II  10 ; III  15 .
Последовательно подставляя полученные значения  в систему (8.4) и каждый раз вычисляя ФСР, легко получить три
набора решений:
 12 3
0

1)   I  1 :  3 7 5
 0
5 4

0

0 ~
0 
71
 1 0 1/ 5

 0 1 4 / 5
0

0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
 A1 
1
 4
 A     4 ;
ФСР:   ;   2  I  
 5
A 
5
 
 3
 
1
 A1 
1
1
 A     1 ;
аналогично: 2)   II  10 : ФСР:   ;   2  II  
 
A 
 1
 3
 
 1
 3
 A1 
 3
 2 
 A     2  ,
3)   III  15 : ФСР:   ;   2  III  
A 
1
1
 3
 
 
где  I ,  II ,  III – произвольные действительные числа.
Возвращаясь к (8.2), с учетом обозначения (8.5), заключаем,
что получены три решения системы дифференциальных
уравнений (8.2), имеющие следующий вид:
I)
II)
III)
 x1 
1
 x     4  cos t  
 I
I 
 2
x 
5
 3
 
 x1 
1
 x     1  cos 10 t  
II 
II
 2

x 
 1
 3
 

(8.7)

(8.8)
 x1 
 3
 x     2  cos 5 t  
,
(8.9)
III 
III
 2

x 
1
 3
 
 III – произвольные действительные числа.


где  I ,  I  II ,  II  III
Решения (8.7)–(8.9), построенные c помощью подстановки
(8.2), определяют режимы, или по-другому – моды колебаний,
которые называются собственные колебания рассматриваемой
механической системы. Круговые частоты этих колебаний
I  I  1 рад/c; 2  II  10 рад/с; 3  III  5 рад/c называют собственные частоты. В рассмотренном примере обнаружилось три типа собственных колебаний с тремя различными
собственными частотами.
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8.3. Практическая реализация собственных колебаний
Согласно принципу детерминированности Ньютона – Лапласа, движение замкнутой механической системы полностью определяется начальными положениями и начальными скоростями тел,
составляющих эту систему тел. Поэтому, чтобы сформулировать
условия реализации колебательных мод (8.7) – (8.9), нужно выяснить, каким начальным условиям эти режимы соответствуют.
Рассмотрим моду (8.7) для простоты при  I  0 . Согласно
(8.7) в начальный момент времени отклонения брусков и их
скорости определяются соотношениями:
x1  0    ; x2  0   4 ; x3  0   5
 dx 
v1   1   0 ;
 dt t 0
 dx 
v2   2   0 ;
 dt t 0
 dx 
v3   3   0.
 dt t 0
Это означает, что мода (8.7) реализуется, если в начальный
момент времени бруски сместить от их положений равновесия
вправо (см. рис. 8.1) на расстояния, которые относятся друг к
другу как числа 1; 4; 5 и затем без каких-либо дополнительных
подталкиваний отпустить. (Важны не сами начальные амплитуды, а пропорции: начальное отклонение второго бруска должно
быть в 4 раза больше, чем у первого, а отклонение третьего бруска должно в 5 раз превышать начальное отклонение первого
бруска.) При таком способе «запуска» рассматриваемого трехпружинного маятника его составные части начнут двигаться в
режиме (8.7). Все три бруска будут совершать синхронные
колебания с круговой частотой  I  1 рад/c, соответствующей
периоду 2 /  I  6 с.
Анализ колебательной моды (8.8) показывает, что если в
начальный момент времени первый и второй бруски отвести на
одинаковое расстояние вправо, а третий брусок на такое же расстояние влево и отпустить, то реализуется движение (8.9). Все
бруски будут совершать гармонические колебания – каждый
около своего положения равновесия с одной и той же амплитудой
и периодом 2 / II  2 / 10  2 с. Но первый и второй брусок будут двигаться полностью слаженно (синфазно), а третий – в противоход с ними (в противофазе).
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Чтобы реализовать моду (8.9), необходимо первый и третий
бруски отвести от их положений равновесия вправо таким
образом, чтобы отклонение первого бруска было в три раза
больше, чем у третьего. При этом второй брусок должен быть
отведен влево на расстояние, вдвое превышающее отклонение
третьего бруска. По предоставлении всем трем бруска свободы
начнутся колебания с общим периодом 2 / III  2 / 5  3 с. Первый и третий бруски будут двигаться синфазно, но с разными
амплитудами, а второй брусок, расположенный между ними,
будет колебаться в противофазе с ними.
Если для какой-либо колебательной системы (механической,
электрической, акустической) найдены все собственные колебания, то любое другое колебательное движение этой системы может быть разложено на эти колебательные моды, точно так же,
как произвольный вектор линейного пространства разлагается по
базису. В частности, любое колебательное движение рассмотренного трехпружинного маятника может быть описано соотношением:
 x1 
1
1
 x1 
3
 x     4  cos t      1  cos 10 t     x     2  cos
 I  II  
I 
II
 2
 2  III  
x 
5
 1
x 
1
 3
 
 
 3
 




5 t  III .
Константы  I ,  II .  III ,  I ,  II .  III однозначно вычисляются по
начальным условиям.
8.4. Задача определения собственных векторов
и собственных значений квадратной матрицы
При исследовании малых колебаний самой различной природы (механических, электрических, акустических и т. п.) приходится рассматривать колебательные изменения величин x1  x1  t  ,
x2  x2  t  , ... xn  xn  t  , которые подчиняются системе дифференциальных уравнений:
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 d 2 x1
 dt 2  b11 x1  b12 x2  ...  b1n xn
 2
 d x2
 2  b21 x1  b22 x2  ...  b2 n xn
,
 dt

...
 2
 d xn
 dt 2  bn1 x1  bn 2 x2  ...  bnn xn
(8.10)
где aij – заданные числа.
Система дифференциальных уравнений (8.10) с помощью
подстановки
 x1   A1 
x  A 
 2    2  cos  t   
 ...   ... 
   
 xn   An 
и действий, аналогичных разобранным в пункте 8.2, сводится к
алгебраической задаче, описываемой системой линейных алгебраических уравнений:
 b11 A1  b12 A2  ...  b1n An   A1
b A  b A  ...  b A   A
 21 1 22 2
2n n
2
.

...

bn1 A1  bn 2 A2  ...  bnn An   An
(8.11)
Здесь    2 . В системе (8.11) требуется определить: во-первых,
числа  , при которых система имеет ненулевое решение, а вовторых, столбцы чисел A1 , A2 ,… An , представляющие собой
решение системы (8.11) при фиксированном значении  . Числа
 2   определяют квадраты частот собственных колебаний –
специальных колебательных режимов, на которые «разлагаются»
все остальные возможные колебания.
В связи с особой значимостью задачи (8.11) для самых разных приложений, она получила специальное название. Система
(8.11) описывает задачу расчета собственных векторов и собственных значений квадратной матрицы:
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 b11 b12
b
b
B   21 22
 ... ...

 bn1 bn 2
... b1n 
... b2 n 
.
... ... 

... bnn 
(8.12)
Числа  , при которых система (8.11) имеет ненулевые решения,
называются собственные числа, по-другому – собственные значения матрицы (8.12), а соответствующие ненулевые столбцы-решения, состоящие из чисел A1 , A2 ,… An , называются собственные
векторы матрицы (8.12). В матричной форме задача (8.11) имеет
вид:
 b11 b12 ... b1n  A1 
 A1 
b
 
 


 21 b22 ... b2 n  A2     A2  , или, короче, BA   A .
(8.13)
 ... ... ... ...   
 ... 

 
 
 bn1 bn 2 ... bnn  An 
 An 


Здесь BA означает умножение матрицы B на вектор-столбец A ,
выполняемое по законам матричной алгебры: «строка умножа
ется на столбец». Первая строка матрицы B , умноженная на A ,
дает b11 A1  b12 A2  ...  b1n An , вторая – b21 A1  b22 A2  ...  b2 n An и т. д.
Кроме
рассмотренной,
имеется
множество
других
физических и математических причин выделения задачи (8.13) в
самостоятельную категорию. Соответствующие примеры
любознательный читатель без труда найдет в вузовской учебной
литературе по самым разным дисциплинам физикоматематического направления.
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дополнение Теорема Кронекера – Капелли – критерий совместности СЛАУ Самым общим критерием совместности СЛАУ является
теорема Кронекера – Капелли.
Теорема Т.4.1 (Кронекера – Капелли). СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранги расширенной и основной матриц
совпадают.
Основной для СЛАУ (1.1) является матрица коэффициентов
при неизвестных (часть матрицы (1.8), расположенная справа от
черты). Расширенная – это вся матрица (1.8) вместе со столбцом
свободных коэффициентов. Понятию ранга матрицы посвящено
Приложение V.
На самом деле теорема Кронекера – Капелли всего лишь перефразировка утверждения о несовместности СЛАУ, матрица
которой содержит строчку вида:
0
0  0
b  , где b  0 ,
(Д.1)
соответствующую противоречивому равенству:
0 x1  0 x2    0 xn  b  0.
Чтобы убедиться в этом, достаточно обратить внимание на
то, что ранг любой матрицы вычисляется как количество ненулевых строк, остающихся после приведения ее к ступенчатому виду
с помощью элементарных преобразований над строками (см.
Приложение V). Наличие строки вида (Д.1), с одной стороны, индикатор того, что ранг расширенной матрицы больше, чем у основной, а с другой – необходимый и достаточный признак наличия противоречивого уравнения. Равноценность этих двух признаков и составляет содержание теоремы Кронекера – Капелли.
Так, в примере Пр.3.5 после приведения матрицы СЛАУ к
ступенчатому виду обнаруживается, что предпоследняя строчка
имеет вид (Д.1) и соответствует противоречивому равенству. Это
означает, что система несовместна.
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тот же вывод можно сформулировать в более изящной форме. По виду ступенчатой матрицы легко определить, что ранг основной матрицы СЛАУ, равный трем, меньше ранга расширенной матрицы, который равен четырем. По теореме Кронекера –
Капелли система несовместна.
Несовпадение рангов основной и расширенной матриц проявилось в том, что ранг расширенной матрицы оказался больше,
чем основной. Это общее свойство всех несовместных систем.
Замечание к теореме Кронекера – Капелли. В несовместной СЛАУ ранг расширенной матрицы больше ранга основной.
При обосновании совместности СЛАУ из примера Пр.3.4, с
одной стороны, можно просто сказать, что после приведения
матрицы системы к ступенчатому виду не обнаружилось строчек
вида (Д.1). Следовательно, СЛАУ не содержит противоречивых
уравнений и ее решение существует.
Тот же вывод можно сформулировать альтернативным языком. Нужно заметить, что в результате преобразования матрицы
системы к ступенчатому виду выясняется, что ранги основной и
расширенной матриц совпадают. Остается сказать, что рассматриваемая система совместна по теореме Кронекера – Капелли.
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложения Приложение I
Комплексные числа и арифметические операции над ними Комплексные числа возникли при исследовании вопроса об
отыскании корней полиномиального уравнения:
an x n  an1 x n1    a1 x  a0  0.
Здесь n – некоторое натуральное число (степень уравнения); ai
 i  0...n  – заданные действительные числа; x – неизвестное. Не
всякое такое уравнение имеет решение, принадлежащее множеству действительных чисел. Например, уравнение x 2  1  0 не имеет
действительных корней. Однако оказалось, что можно сконструировать числа специального типа (комплексные числа), среди которых всегда найдется решение любого полиномиального уравнения. Сам факт наличия у любого полиномиального уравнения
хоть одного комплексного корня составляет содержание основной теоремы алгебры. Важное следствие этой теоремы – существование у любого полиномиального уравнения степени n ровно
n корней.
Новое числовое множество не отменяет действительные числа, а содержит их как подмножество. Для комплексных чисел построены правила выполнения четырех стандартных арифметических действий, причем таким образом, чтобы свойства этих
операций оказались такими же, как и у действительных чисел.
Комплексное число z можно представлять себе как выражение вида
z  a  i b  a  bi,
(I.1)
где a, b – действительные числа, называемые действительной и
мнимой частью комплексного числа z (обознается: Re  z   a ,
Im  z   b ), а i – специальный символ, называемый мнимой единицей, обладающий специальным свойством:
(I.2)
i  i  i 2  1.
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Два комплексных числа считаются равными, если равны их
действительные и мнимые части:
a1  a2
.

b
b
 1 2
(I.3)
a1  ib1  a2  ib2  
Сложение и вычитание комплексных чисел z1  a1  i b1 и
z 2  a2  i b2 выполняется покомпонетно по действительной и мнимой частям:
z1  z2   a1  a2   i  b1  b2  ;
z1  z2   a1  a2   i  b1  b2  .
(I.4)
Умножение комплексных чисел осуществляется по обычным
правилам перемножения двух двучленов, но с учетом правила
(I.2):
z1  z 2  a1a2  a1 ib2  ib1a2  i b1 ib2   a1a2  b1b2   i  a1b2  a2b1  .
(I.5)
Формулу (I.5) не нужно запоминать. Каждый раз следует действовать по правилу ее построения. Например, если z1  4  i 18 , а
z2  1  i , то
z1  z 2  4  i 18  4 i  18  14  i 22.
Комплексное число, которое получается из исходного переменой знака перед мнимой единицей, называется комплексно сопряженным к исходному. Комплексное сопряжение обозначается
чертой над числом:
(I.6)
z  a  ib  a  ib.
Например, 5  8i  5  8i .
При перемножении комплексного числа с сопряженным к
нему всегда получается положительное действительное число
z  z   a  i b    a  ib   a 2  b 2  Re  z   Im  z  ,
2
2
корень из которого называется модулем комплексного числа и
обозначается так же, как и модуль действительного числа:
z  a 2  b2  Re  z   Im  z   z  z .
2
2
(I.7)
Чтобы выполнить деление комплексных чисел, следует записать эту операцию в виде дроби и умножить числитель со знаме80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нателем на число, комплексно сопряженное к знаменателю.
Например,
2  4i  2  4i  3  5i  6  10i  12i  20 14  22i 7 11




 i
3  5i  3  5i  3  5i 
32  52
34
17 17
В общем случае формула деления комплексных чисел выглядит
так:
z1 a1  ib1 a1a2  b1b2
a b ab

 2
 i 2 21 12 2 .
2
z2 a2  ib2
a2  b2
a2  b2
(I.8)
Если мнимая часть комплексного числа равна нулю, то второе слагаемое в его записи опускается, например, 8  0i  8 или
  0i   . Арифметические операции над числами с нулевой мнимой частью выполняются в точности по правилам действий с
действительными числами, и поэтому комплексное число с
нулевой действительной частью ничем не отличается от привычного действительного числа. Действительное число является
сопряженным самому себе: 5  5 .
Числа с нулевой действительной частью, например 2 i или
85 i , называются чисто мнимыми.
Для комплексных чисел понятия больше и меньше не имеют
смысла. Только если мнимые части нулевые, т. е. когда числа являются действительными, их можно сравнивать по известным
правилам.
Интересно рассмотреть пример вычисления комплексных
корней квадратного уравнения:
x2  2 x  2  0; дискриминант D  4  0.
Применяются обычные формулы корней
уравнения, в которых учитывается, что 1  i :
x1,2 
квадратного
2  4 2  1 4 2  i 2


; ответ: x1  1  i ; x2   1  i .
2
2
2
Комплексными числами и функциями занимается специальный раздел математики «теория функций комплексного переменного», по-другому «теория аналитических функций».
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение II
Векторное пространство «Векторное пространство», называемое по-другому «Линейное пространство», является центральным понятием линейной
алгебры.
Определение O.I.1. Векторным пространством L называется множество объектов, именуемых векторами, для которых
определены операции умножения на число и сложения между
собой, в результате которых снова получается вектор, причем
выполняются аксиомы:
 
   
a  b  b  a для любых a , b  L
ВП.1.
(коммутативность сложения).


  
ВП.2.  a  b   c  a   b  c  для любых a, b , c  L




(ассоциативность (сочетательность) сложения).

ВП.3. Во множестве L существует элемент O , называемый
нулем пространства, обладающий
специальным свойством:

  
a  O  a для любого a  L
(существование нейтрального элемента относительно
сложения).

ВП.4. Для каждого элемента a  L во множестве L най
дется противоположный, который обозначается  a  и обладает свойством:


a   a   0.

ВП.5. Для любых чисел  и  и любого a  L выполняется
равенство:


   a      a
(ассоциативность умножения двух чисел на вектор).
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 
ВП.6. Для любого числа  и любых векторов a, b  L






 a b  a  b
(дистрибутивность умножения числа на сумму векторов).

ВП.7. Для любых чисел  ,  и любого вектора a  L



    a   a   a
(дистрибутивность умножения суммы чисел на вектор).

ВП.8. Для любого вектора a  L :
 
1  a  a (здесь 1 – число «единица»).
Если числа в аксиомах векторного пространства действительны, то и векторное пространство называют действительным.
Если же числа полагаются комплексными, то и векторное
пространство называется комплексным.
Изучаемое в школе множество направленных отрезков с определенными над ними операциями сложения и умножения на
действительные числа является действительным векторным пространством. Правилами сложения служат правила параллелограмма и треугольника. Умножение на число – изменение длины
в заданное число раз с изменением направления, если числовой
множитель меньше нуля. С помощью этих правил легко проверяется выполнение аксиом ВП.1, ВП.2, ВП.5 – ВП.8. Нейтральный
элемент – точка (направленный отрезок, у которого начало и конец совпадают) – гарантирует выполнение ВП.3. Наконец, для
любого направленного отрезка отрезок такой же длины, но направленный в противоположную сторону, в сумме с исходным
вектором дает нулевой вектор. Таким образом, ВП.4. тоже выполняется.
В линейной алгебре особую роль играет векторное пространство, образуемое столбцами чисел заданной высоты. Сложение
векторов-столбцов и умножение на произвольное число  в этом
пространстве определяются покомпонентно:
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 a1 
 b1 
 a1   b1   a1  b1 
a   b 
  a2   b2   a2  b2 
  2

2
 ;  a  
a
; b   ;  a  b        
 ... 
 ... 
 ...   ...   ... 
 
 
    

a
b
a
b
a

b
n
n
n
n
n
n
 
 
    

 a1    a1 
a   a 
 2    2 .
    
  

a
a

n
n
  

Если элементы столбцов и числа  действительны, то пространство называется действительное арифметическое и обозначается Rn , а если комплексны – комплексное арифметическое Cn
( n – высота столбца).
Пространства Rn и Cn можно описывать и с помощью строк.
Аксиомы ВП.1 – ВП.8 и в случае строк, и в случае столбцов легко
проверяются. Нейтральным элементом в Rn и Cn является столбец нулей; противоположным к заданному вектору-столбцу –
столбец чисел противоположных знаков.
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение III
Линейная зависимость системы векторов, базис и размерность векторного пространства Определение O.III.1. Если выполняется равенство




x  1a1  2 a    k ak ,

то говорят, что вектор x разлагается по системе векторов
 

a1 , a2 , ak . числа 1 , 2 , k называют коэффициентами разло-
жения.
Дополнение к определению O.III.1. Сумма 1a1  2 a    k ak
 

называется линейной комбинацией векторов a1 , a2 , ak , а числа
1 , 2 , k ее коэффициентами.
По характеру разложения нулевого вектора по системе векторов различают линейно зависимые и линейно независимые системы.
 

Определение O.III.2 Система векторов a1 , a2 , ak называется линейно независимой, если нулевой
вектор раскладывается по




ней единственным образом: O  1a1  2a    k ak – с нулевыми
коэффициентами: 1  0, 2  0, k  0 .
Разложение, в котором все коэффициенты нулевые, называют
тривиальным.
 

Определение O.III.3. Система векторов a1 , a2 , ak называется линейно зависимой, если, кроме тривиального, существует
разложение
нулевого
вектора
по
этой
системе




O  1a1  2a    k ak , в котором хотя бы один из коэффициентов
ненулевой.
Если найдено нетривиальное
разложение нулевого вектора




по заданной системе O  1a1  2a    k ak , то, умножив обе части
разложения на любое ненулевое число, легко получить новое нетривиальное разложение. Таким образом, линейная зависимость
означает множественность способов разложения нулевого вектора по заданной системе, а линейная независимость подразумевает только единственный способ разложения нуля – тривиальный.
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Опираясь на определение O.III.3, несложно доказать, что
система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. Ясно также, что если к любой
системе векторов добавить нулевой вектор, то новая система обязательно становится линейно зависимой. Другие свойства линейно независимых и зависимых систем описаны в курсах линейной
алгебры [3].
Имеется теорема, устанавливающая критерий линейной
зависимости системы векторов.
Теорема Т.III.1 (критерий линейной зависимости системы
 

векторов). Чтобы система векторов a1 , a2 , ak была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы в этой системе нашелся вектор, который бы выражался через остальные векторы
системы.
Для геометрических векторов (направленных отрезков),
изученных в школе, линейно независимыми будут: любой ненулевой вектор, любые два неколлинеарных вектора, любые три некомпланарных вектора. С другой стороны, система из векторов,
параллельных одной прямой (в количестве более одного вектора)
всегда линейно зависима. Система более чем двух векторов, параллельных одной плоскости, линейно зависима. Система более
чем из трех ненулевых геометрических векторов – линейно зависима всегда.
Для векторов-столбцов, являющихся элементами пространств
n
R или Cn (см. приложение II), исследование вопроса о линейной
зависимости сводится к решению однородной системы линейных
уравнений.
Например, чтобы исследовать на линейную зависимость
систему векторов-столбцов:
1
 2 ;
 
 4
 
7 1
 2 ;  0 ,
   
 2 1
   
нужно составить разложение для нулевого вектора-столбца:
1
1
1
1 0
1  2   2  2   3  0   4  0    0 
 4
 4
1
0 0
 
 
 
   
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и найти коэффициенты 1 , 2 , 3 , 4 , при которых это равенство выполняется. Набор 1 , 2 , 3 , 4 определяется из системы уравнений:
1  2  3  4  0

 21  22  0

 41  42  3  0.
Если эта система имеет только нулевое решение, то исходная
система векторов-столбцов линейно независима. Если же существуют ненулевые решения, то линейно зависима.
Понятие «линейная зависимость» системы векторов служит
основой для определения таких важных терминов, как «размерность» и «базис» линейного пространства.
Определение O.III.4. если в линейном пространстве можно
указать систему из n линейно независимых векторов, которая
при добавлении к ней любого другого ненулевого вектора становится линейно зависимой, то число n называют размерностью
пространства.
Пример Пр.III.1. Найти размерность пространства двухэлементных столбцов действительных чисел.
Легко проверить, что система двух векторов:
 1
a1    ;
0
 0
a2   
1
линейно независима.

 
При добавлении к ней любого другого вектора: a3   1 


2

получается система
 1  0    
a1    ; a2    a3   1  ,
0
1
 2 



в которой вектор a3  1 a1  2 a2 выражается через остальные.
Согласно критерию Т.III.1, эта система линейно зависима. В
соответствии с определением O.III.4 пространство двухмерно.
Определение O.III.4. Если в линейном пространстве для
любого натурального n можно указать систему из n линейно независимых векторов, то пространство называют бесконечномерным.
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В линейной алгебре изучаются только конечномерные пространства. Бесконечномерным пространствам посвящен специальный раздел математики – «Функциональный анализ».
Определение O.III.4. Базисом линейного пространства
 

называется система его векторов e1 , e2 , en , удовлетворяющая
трем требованиям:
1) упорядоченность; 2)линейная независимость; 3) полнота.
Требование 1) означает, что в системе должен быть указан
порядок следования векторов: первый, второй и т. д. n-й вектор.
Это условие необходимо, чтобы различать базисы, состоящие из
одних и тех же векторов, но взятых в разном порядке.
Требование 2) не требует разъяснений.
Требование 3) означает, что любой вектор пространства дол 

жен раскладываться по системе e1 , e2 , en . Например, в декартовой
прямоугольной системе координат Oxyz базисные единичные
 
векторы осей Ox и Oy , взятые в порядке ex , ey , образуют упорядоченную линейно независимую систему (требования 1 и 2 выполнены). Но имеются векторы, направленные вдоль оси Oz , кото 
рые не могут быть разложены по векторам ex , ey . В частности, не

 
 
существует 1 , 2 , при которых 1ex  2 ey  ez . Система ex , ey не
является полной и не может быть базисом для всех трехмерных
геометрических векторов.
В линейном пространстве можно строить различные базисы,
однако само количество базисных векторов различным быть не
может.
Теорема Т.III.2 (о количестве базисных векторов). Количество векторов в любом базисе линейного пространства конечной
размерности совпадает с размерностью этого пространства.
Определение O.III.5. Если в линейном пространстве указан
базис, то коэффициенты разложения любого вектора по системе базисных векторов называются координаты вектора в
выбранном базисе.
Если выбран базис, то любой вектор однозначно идентифицируется с помощью своих координат в этом базисе. Можно доказать, что разные векторы обязательно имеют разные координаты.
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Координаты вектора удобны для алгебраического описания
основных действий над векторами.
Теорема Т.III.3 (о координатном описании действий над
векторами). При сложении двух векторов получается вектор,
координаты которого вычисляются как сумма соответствующих координат векторов слагаемых. При умножении вектора
на число получается вектор, координаты которого вычисляются
как произведение каждой из координат исходного вектора на
это число.
Установление базиса в произвольном n -мерном линейном
пространстве L означает, что каждому вектору однозначно сопоставляется набор n чисел (координат), а это элемент Rn (или Cn ,
если пространство L комплексно). Важно, что сложение векторов
и умножение на числа оказываются согласованными с операциями над столбцами соответствующих координат. Поэтому
переход от векторов L к их координатам без потери смысла
«переносит» любую задачу из пространства L в пространство Rn
или Cn .
В самих пространствах Rn и Cn имеется базис, который
принято называть каноническим. Он состоит из векторовстолбцов, в которых в i-й позиции i-го базисного вектора-столбца
находится единица, а остальные элементы – нули:
1
0
0
0
0
1
0
0









  
e1   ...  ; e2   ...  ; ... en1   ...  ; en   ...  .
 
 
 
 
0
0
1
 
 
0
 
0
0
1
0
 
 
 
 
Если векторы-столбцы Rn (или Cn ) собраны в матрицу, то их
линейные взаимоотношения подчиняются одному важному
свойству, которое часто используется на практике.
Теорема Т.III.4 (очень полезная теорема о столбцах матрицы). Линейные взаимосвязи между столбцами матрицы не
изменяются при выполнении элементарных преобразований над
ее строками.
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример Пр.III.2.
1 5 3 2 4   
A
   a1 a2
 2 15 11 8 20 

a3

a4

a5 
8      
 1 0 2 2
A ~ ... ~ B  
  b1 b2 b3 b4 b5 .
0
1
1
4
/
5
12
/
5




Матрица А с помощью элементарных преобразований над
строками преобразована в матрицу простейшего вида В. Легко
заметить, что в матрице В два первых столбца:
 1  0
b1    ; b2   
0
1
линейно независимы как векторы-столбцы канонического базиса
в R2 , а остальные векторы-столбцы выражаются через них:
  2 
 
1 0
b3     2    1   2 b1  b2 .
1
0 1
 12 
  2 
 4    8 


8
b
b2 .
Аналогично: b4     2 b1  b2 ; b5  
1

4
/
5
12
/
5
5
5




По теореме Т.III.4 такие же линейные взаимоотношения
связывают векторы-столбцы матрицы A :
 1
a1    ;
 2
 5
a2    – линейно независимы;
15 
3
1  5 

 
a3  2 a1  a2 ;     2      ;
11
 2  15 
 2
1 4  5 

 4
a4  2 a1  a2 ;     2      ;
5
8
 2  5 15 
4
 1  12  5 

 12 
a5  8 a1  a2     8      .
5
 20 
 2  5 15 
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение IV
Определитель квадратной матрицы 1. Индуктивное построение понятия «определитель
квадратной матрицы»
Каждой квадратной матрице размера n  n (из n строк и n
столбцов) принято сопоставлять число, которое вычисляется по
специальному правилу и называется определителем этой
матрицы. Значение определителя квадратной матрицы
 a11 a12
a
a22
21
A
 ... ...

 an1 an 2
... a1n 
... a2 n 
... ... 

... an n 
обозначается символами:
A  det  A   ai j  det  ai j  
a11
a21
a12
a22
...
...
an1 an 2
 a11 a12
a
a22
21
 det 
 ... ...
... ...

... an n
 an1 an 2
... a1n
... a2 n
... a1n 
... a2 n 
.
... ... 

... an n 
Вместо слов «определитель матрицы размера n  n » принято
говорить «определитель n -го порядка». Вместо «строка (столбец)
матрицы, определитель которой вычисляется», употребляют
выражение «строка (столбец) определителя». Все определители
фиксированного n -го порядка вычисляются по одинаковой
формуле, которая в свою очередь содержит определители n–1-го
порядка. Поэтому понятие «определитель» можно построить
индуктивно. Для этого нужно проследить правила вычисления
определителей 1-го, 2-го, 3-го порядков и сформулировать закон
построения выражения для определителя n-го порядка через
определители порядка n–1.
Определитель первого порядка – число, которое ставится в
соответствие матрице 1 1 , состоящей только из одного числового
элемента а. Значение определителя полагают равным самому
числовому элементу: det  a   a . Запись a означает модуль числа
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и в качестве обозначения определителя первого порядка не
используется.
Определитель второго порядка – число, которое сопоставляется матрице размера 2  2 по формуле:
a11 a12
 a11 a22  a21 a12 .
a21 a22
(IV.1)
В этой формуле из произведения элементов главной диагонали (соединяющей левый верхний и правый нижний элементы
матрицы) вычитается произведение элементов другой диагонали.
Определитель третьего порядка строится по формуле:
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a
a23  a11 22
a32
a33
a23
a
a
a
a
 a12 21 23  a13 21 22 .
a33
a31 a33
a31 a32
(IV.2)
Используется следующая терминология:
a22
a32
a23
a33
– минор элемента a11 ;
a21 a22
a31
a32
a21 a23
a31
a33
– минор элемента a12 ;
– минор элемента a13
В случае квадратной матрицы произвольного размера с элементами ai j ( i – номер строки, j – номер столбца, в которых
находится элемент ai j ) принято следующее определение.
Определение O.IV.1. Минором элемента ai j называют значение определителя матрицы, которая получается из исходной
вычеркиванием столбца и строки, на пересечении которых
находится ai j ( i -й строки и j -го столбца).
Таким образом, минор элемента ai j матрицы n  n является
определителем n  1 -го порядка. В случае (IV.2) матрицы 3  3
миноры всех элементов – определители второго порядка.
Определение O.IV.2. Минор элемента ai j матрицы, взятый
со знаком  1i  j , называется алгебраическим дополнением
элемента ai j .
В случае матрицы 3  3 имеем:
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 1
a22
a23
a32
a33
 1
a21 a23
11
1 2
a31
a33

a22
a23
a32
a33
  1
– алгебраическое дополнение элемента a11 ;
a21 a23
a31
a33
– алгебраическое дополнение эле-
мента a12 ;
 1
13
a21 a22
a31 a32

a21 a22
a31 a32
– алгебраическое дополнение элемента a13 .
Несложно заметить, что, согласно (IV.2), определитель
третьего порядка равен сумме произведений элементов первой
строки на их алгебраические дополнения.
Определитель второго порядка (IV.1) вычисляется по такому
же принципу. При этом роль алгебраических дополнений к
элементам первой строки a11 и a12 выполняют числа a22 и  a12  ,
являющиеся минорами элементов a11 и a12 , взятыми со знаками
11
1 2
 1  1 и  1  1 .
Отмеченная закономерность имеет общий характер.
Определение O.IV.3. Значение определителя любого порядка
равно сумме произведений элементов его первой строки на
соответствующие алгебраические дополнения.
Приведенное определение принято называть правилом разложения определителя по первой строке. Оно применимо для определителя любого порядка. Например, в случае определителя четвертого порядка разложение по первой строке представляет собой сумму произведений элементов первой строки на определители третьего порядка, являющиеся соответствующими алгебраическими дополнениями.
Следующая теорема теории определителей устанавливает
равноправие всех строк и столбцов в смысле их использования
для разложения определителя.
Теорема IV.1. Независимо от выбора строки (столбца)
матрицы сумма произведений элементов этой строки (столбца)
на соответствующие алгебраические дополнения равна
определителю матрицы.
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Например, определитель третьего порядка можно вычислять
не только по формуле (IV.2). Его можно разложить по второму
столбцу:
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a
a
a
a
a
a
a23  a12 21 23  a22 11 13  a32 11 13 .
a31 a33
a31 a33
a21 a23
a33
2. Свойства определителя
Определители любых порядков обладают общими свойствами, которые используются при вычислениях:
1). Значение определителя матрицы не изменится, если
строки «развернуть» в столбцы (транспонировать матрицу).
2). Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны
нулю, то значение определителя равно нулю.
3). Если две строки (столбца определителя) пропорциональны, то значение определителя равно нулю.
4). Значение определителя не изменится, если к одной из его
строк (к одному из столбцов) прибавить другую строку (прибавить другой столбец), умноженную (умноженный) на любое
число.
5). Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца)
можно выносить за знак определителя. Другими словами, при
умножении строки (столбца) на число значение определителя
умножается на это число.
6). Если переставить в квадратной матрице две строки (столбца), то значение определителя этой матрицы изменит знак.
7). Равенство определителя нулю эквивалентно линейной зависимости строк (столбцов) матрицы.
8). Сумма произведений элементов какой-либо строки
(столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
Свойства (1)–(7) легко прослеживаются на примере
определителей второго и третьего порядков.
Справедливость свойства (8) можно проиллюстрировать
следующим простым примером. Для матрицы
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 1 1 2
2 6 1


2 3 8


сумма произведений элементов третьей строки на алгебраические
дополнения к элементам первой строки (они являются
элементами параллельного к третьей строке ряда) равна в
соответствии с определением O.IV.1. определителю третьего
порядка
2 3 8
6 1
2 1
2 6
2
3
8
2 6 1
3 8
2 8
2 3
2 3 8
с двумя одинаковыми строками. Его значение по свойству 3)
равно нулю.
3. Вычисление определителей специального вида
Теорема Т.IV.2. Значение определителя треугольной матрицы равно произведению элементов ее главной диагонали.
Например, в случае определителя четвертого порядка
справедливы формулы:
a)
a 11
a12
a13
a14
0
a22
a23
a24
0
0
0
0
a33
0
a34
a44
 a11 a22 a33 a44 ; б)
a 11
0
0
0
a21
a22
0
0
a31
a41
a32
a42
a33
a43
0
a44
 a11 a22 a33 a44 .
Случай a) – правило вычисления определителя верхней треугольной матрицы, а ситуация б) – вычисление определителя нижней
треугольной матрицы.
Очевидно, что с помощью элементарных преобразований над
строками любую квадратную матрицу можно преобразовать к
верхнему (нижнему) треугольному виду. При этом для сохранения значения определителя необходимо при умножении преобразуемой строки на число делить все вычисляемое выражение на
это же число. После преобразования к треугольному виду финальный определитель легко вычисляется по теореме Т.IV.2.
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Описанный принцип является главным приемом вычисления
определителей.
Пример Пр. IV.1.
2 3 6
S1
2 3 6
S1
2 3
6
1
1 1
1 8 7  2  S2  S1  0 13 8 
S2
   0 13 8 
2
2 13
2 5 2
S3  S1
0 2 4 13  S3  2  S2
0 0 68
1 1
   2  13   68   68.
2 13
Следует обратить внимание, что дополнительный множитель
вида «единица разделить на определенное число» выносится
только на этапе, связанном с умножением строки, которая
изменяется на это число (см. свойство 5)). Строка, которая
прибавляется к изменяемой, может быть умножена на какое
угодно число. Это никак не влияет на значение определителя (см.
свойство определителя 4)).
Теорема Т.IV.3. Если на главной диагонали матрицы выделяются квадратные подматрицы, под которыми (или над которыми) располагаются только нули, то значение определителя
матрицы равно произведению определителей квадратных подматриц, расположенных на главной диагонали. Значения других
элементов исходной матрицы на величину определителя не
влияют.
Пример IV.2. Применение теоремы Т. IV.3.
2 0 0
2
a) 4 13 8  4
5 2 4 5
1 2 a c
2 1 b
b) 0 0 6
d
f
0 0
13 8
 2   68  136;
13 8  2 
2 4
2 4
1 2
a
c
g
m
2 1
k n
h p 0 0
b
d
k
n
g
m
6
f
h
p 
0 0 0
2 5 0
0 0
0
2 5 0
0 0 0
0 0 5
0 0
0
0 0 5
0 0 0
2 0 2
0 0
0
2 0 2
96
1 2
2 1
2 5 0
 6  0 0 5  900.
2 0 2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Разложение определителя в сумму определителей
того же порядка
Теорема Т. IV.4. Операция вычисления определителя полилинейна по строкам (столбцам).
Для столбцов это означает, во-первых, что для столбцов выполняется свойство определителя 5), а во-вторых, что если элементы j -го столбца определителя разбиты в сумму двух слагаемых aij  aij*  aij** , то и сам определитель можно представить в
виде суммы двух определителей того же порядка, отличающихся
только j -м столбцом:
a11 
a21 
a
a
*
1j
*
2n
 
an1 
 a1**j   a1n
 a2**n   a2 n

a
*
nj
 
a11  a1*j

 anj**   a2 n
 a1n
a11  a1**j  a1n
a21  a2*n  a2 n
a21  a2**j  a2 n
    
an1  anj*

    
.
an1  anj**  a2 n
 a2 n
Для строк смысл теоремы Т. IV.4 аналогичен.
Пример IV.3 (взят из [7]). Вычислить определитель:
0
2 14 24
3
2
9
1
0 2
3
9
0
2


14 25 0  2 2  3 14  0 24  1
2
3
0
0

1
2
0
2
2 14 24
14
3
0
24
0
1
2 14 24
3 9 0 2 3

0 2 14 24 2
9
3
0
0
2
 0.
1
2
3
0
1
3
0
1
2
Каждый их последних двух определителей равен нулю в связи с
наличием одинаковых строк.
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение V
Ранг матрицы и ее базисный минор Можно дать три равнозначных определения ранга матрицы:
строковое, столбцовое и минорное.
Определение О. V.1. Строковым рангом матрицы А называется максимальное количество содержащихся в матрице линейно независимых строк. Обозначается Rg  A .
Пример Пр. V.1. Найти ранг матрицы
1 2 3 4 5
A   2 4 6 8 10  .
 1 2 3 4 5 


Максимальная линейно независимая система состоит только
из одной строки, например первой (остальные строки пропорциональны ей), и, значит, Rg  A  1.
Как отмечалось в приложении III, система из одного вектора
линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.
Поэтому если в матрице все строки нулевые, то ее ранг равен
нулю.
Второе определение ранга матрицы можно назвать столбцовым.
Определение О. V.2. Столбцовым рангом матрицы А
называется максимальное количество содержащихся в матрице
линейно независимых столбцов. Обозначается Rg  A .
Обозначение используется такое же, поскольку можно доказать эквивалентность столбцового и строкового рангов.
В основе практического приема вычисления ранга матрицы
лежит следующая теорема.
Теорема Т. V.1. Ранг матрицы не изменяется при выполнении элементарных преобразований над строками (столбцами)
матрицы.
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример Пр. V.2 (взят из [8]). Найти ранг матрицы
 2 4 3 1
 1 2 1 4
A
 0 1 1 3

 4 7 4 4
0
2 
.
1

5
C помощью элементарных преобразований над строками
преобразуем матрицу A к ступенчатому виду:
 2 4 3 1 0  S1  S1
 0 0 1 9 4  S  S
4
 2
~

A~
 0 1 1 3 1  S3  S2
S3  S 3


S4  S4  2S1  0 1 2 6 5  S4  S3
S1  S1
S2  2 S2  S1
S1  S1
0
 2 4 3 1
 2 4 3 1 0 
 0 1 1 3 1 
 0 1 1 3 1 

S
S
2
2

~
~
~
 0 1 2 6 5  S3  S3  S 2  0 0 1 9 4 




S4  S4
 0 0 1 9 4 
 0 0 1 9 4 
S1  S1
 2 4 3 1
 0 1 1 3
S2  S2
~
~
 0 0 1 9
S3  S3

S 4  S 4  S3  0 0 0 0
0
1 
 B.
4

0
По теореме Т. V.1 ранги матриц А и В совпадают. Ранг
матрицы В, имеющей ступенчатый вид, определяется совсем
просто. Действительно, первая строка не может быть разложена в
сумму второй и третьей с какими-либо коэффициентами,
поскольку у нее в первой позиции находится число 2, тогда как у
второй и третьей на этом месте нули. Можно увидеть, что вторая
строка не выражается через первую и третью, а третья – через
первую и вторую. По теореме Т. III.1 первые три строчки образуют линейно независимую систему. Добавление четвертой нулевой строки превращает эту систему в линейно зависимую (см.
Приложение III). Таким образом, три – максимальное количество
линейно независимых строк в матрице В. Значит, Rg  B   3 . По
теореме Т. V.1 Rg  A  3 .
В общем случае справедливо следующее правило.
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Правило П.V.1. Для вычисления строкового ранга матрицы
следует трансформировать исходную матрицу к ступенчатому
виду с помощью элементарных преобразований над строками.
Количество ненулевых строк в получившейся матрице равно
рангу исходной матрицы.
Чтобы дать третье определение ранга матрицы, необходимо
ввести вспомогательный термин – минор матрицы.
Определение О. V.3. Минором k -го порядка матрицы A называется определитель любой ее подматрицы, состоящей из элементов, расположенных на пересечении k строк и k столбцов.
Пример Пр. V.3. В матрице А примера Пр. V.2 можно
указать следующие миноры первого порядка:
M11  2 ;… M12  1 ;
M 52  2 и т. д.
В верхних индексах обозначения минора располагаются номера
строки матрицы А, а в нижних – номера столбцов, на пересечении
которых находятся элементы минора.
Минорами второго порядка будут, например:
1,2
M 1,2

2 4
 0;
1 2
1,4
M 1,5

2 0
 10 и др.
4 5
Индексы вверху и внизу для удобства располагаются в порядке
возрастания.
Минорами третьего порядка являются:
2 4 3
1,2,3
M1,2,3
 1 2 1  1  0;
0 1 1
3 1 0
1,3,4
M 3,4,5
 1 3 1  66 и др.
4 4 5
(V.1)
Максимальный порядок миноров, которые содержатся в матрице А из примера Пр. V.2, равен четырем. В общем случае матрица n  m содержит миноры от первого порядка до порядка,
равного минимальному из чисел m , n .
Если говорят о миноре элемента матрицы, то подразумевается определение O.IV.1 из предыдущего приложения. Если же
термин минор используют без указания на его отношение к какому-либо элементу матрицы, то имеется в виду определение
О.V.3. Понятия «минор элемента матрицы» и «минор матрицы»
имеют различный смысл, и их не следует путать.
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение О.V.4. Минорным рангом матрицы A называется максимальный порядок отличного от нуля минора, содержащегося в этой матрице. Обозначается Rg  A .
Обозначение такое же, как для строкового и столбцового рангов, поскольку справедлива теорема о равнозначности этих
терминов.
Теорема Т. V.3. Столбцовый, строковый и минорный ранги
любой матрицы совпадают.
Определение О.V.5. Ненулевой минор, порядок которого
определяет ранг матрицы, называется базисным минором этой
матрицы.
Для матрицы А из примера Пр. V.2 несложно перебрать все
содержащиеся в ней миноры четвертого (максимального для нее)
порядка и убедиться, что все они равны нулю. А вот среди миноров третьего порядка существует ненулевой, например минор
1,2,3
M1,2,3
(cм. (V.1)). Он может быть принят за базисный. Его порядок – три – равен рангу матрицы. Базисных миноров, определяющих ранг матрицы, может быть несколько. Так, в матрице из
примера Пр. V.2. в качестве базисного минора можно взять и
1,3,4
1,3,4
 2  0 , и минор M 3,4,5
 66  0 , и вообще любой неминор M1,2,3
нулевой минор третьего порядка.
Одной из важнейших теорем линейной алгебры является
«теорема о базисном миноре».
Теорема Т. V.4 (о базисном миноре). Строки (столбцы)
матрицы, содержащие элементы базисного минора, линейно
независимы, а остальные строки (столбцы) являются их
линейной комбинацией.
О термине линейная комбинация см. дополнение к О.III.1.
Зная базисный минор матрицы A из примера Пр. V.2, по теореме Т.V.4 можно утверждать, что первые три столбца линейно
независимы. Действуя, как в примере Пр. III.2, несложно найти
коэффициенты разложения остальных столбцов по первым трем:
1
 2
 4   3 
 4 
1
 2   1 
   11   12    9   ;
 3
0
 1   1
 
 
   
 4 
 4
 7   4 
101
0
 4   3 
 2
 2   1 
   3    4   .
1
 1   1
 
   
5
 7   4 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аналогично обстоит дело со строками: первые три линейно
независимы, а четвертая по ним раскладывается:
4
7 4 4 5   2 4 3 1 0  21 2 1 4 2   0 1 1 3 1 .
Неоднозначность выбора базисного минора связана с возможностью по-разному разбить заданную систему столбцов
(строк) на линейно независимые столбцы (строки) и на те, которые через них выражаются.
Решение задачи об отыскании базисного минора матрицы дает ответ на три вопроса: во-первых, определяется ранг матрицы,
во-вторых, находится набор линейно независимых строк, через
которые выражаются все остальные строки, в-третьих, определяется набор линейно независимых столбцов, через которые выражаются все остальные столбцы. Решение задачи об отыскании
базисного минора осуществляется методом окаймляющих миноров.
Определение О. V.5. Для минора k -го порядка, содержащегося в матрице A , окаймляющим называется любой минор
k  1 -го порядка, который составляется с помощью тех же
строки и столбцов, которые участвуют в построении исходного
минора, плюс еще одна строка и один столбец, не содержащие
элементов исходного минора.
1,3
 0 второго порядка матрицы A из
Так, для минора M 2,5
примера Пр. V.2 окаймляющими будут следующие миноры
1,2,3
1,3,4
1,2,3
, M 2,3,5
, M 2,4,5
и т. д. Индексы у окаймляютретьего порядка: M1,2,5
щего минора наследуются от исходного, и к ним добавляется по
одному добавочному индексу вверху и внизу. Взаимное расположение исходного минора и окаймляющего его, оправдывает
название «окаймляющий минор» – он «охватывает» (окаймляет)
своими строками и столбцами исходный минор.
Алгоритм A.V.1 (метод окаймляющих миноров). Для
отыскания базисного минора в матрице A размера m  n
необходимо выполнить следующие действия.
1). Найти произвольный ненулевой минор k -го порядка
( k  min  m, n  ) и назвать его «претендующим» на роль базисного.
2). Если k  min  m, n  , то назвать «претендующий» минор
базисным и завершить поиск.
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3). Если k  min  m, n  , то перебирать миноры k  1 -го порядка,
окаймляющие «претендующий», до тех пор, пока среди них не
найдется ненулевой.
4). Если все окаймляющие миноры оказались нулевыми, то
назвать «претендующий» минор базисным и завершить поиск.
5). Если нашелся ненулевой окаймляющий минор, то назвать
его «претендующим» на роль базисного минора и перейти ко
второму шагу алгоритма, понимая под значением k порядок
нового «претендующего» минора.
Пример Пр. V.3. Найти базисный минор для матрицы A из
примера Пр.V.2.
Матрица А имеет размер 4  5 . Поэтому min  4,5  4 – максимальный порядок содержащихся в ней миноров.
Первый шаг алгоритма A.V.1. начнем сразу с какого-нибудь
1,2
 0 не
легко вычисляемого минора второго порядка. Минор M1,2
подходит. Возьмем в качестве претендующего
1,2

M 2,3
4 3
 2  0.
2 1
Порядок этого минора 2  min  4,5  4 . Поэтому второй шаг алгоритма A.V.1 пропускается.
1,2
,
На третьем шаге перебираем миноры, окаймляющие M 2,3
начиная с минора
2 4 3
1,2,3
M1,2,3
 1 2 1  1  0.
0 1 1
Сразу удалось обнаружить ненулевой окаймляющий минор.
Поскольку среди окаймляющих миноров нашелся ненулевой,
четвертый шаг алгоритма A.V.1 пропускается.
На пятом шаге передаем статус претендующего на роль
1,2,3
и переходим ко второму шагу алгоритма
базисного минору M1,2,3
A.V.1.
1,2,3
равен 3  min  4,5  4 , и второй шаг
Порядок минора M1,2,3
алгоритма снова пропускается.
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На третьем шаге перебираем окаймляющие миноры для
«претендующего»:
1,2,3,4
M1,2,3,4
 0;
1,2,3,4
M1,2,3,5
 0.
Поскольку все окаймляющие миноры оказались нулевыми,
1,2,3
являпереходя к четвертому шагу, заключаем, что минор M1,2,3
ется базисным.
1,2,3
Ответ: минор M1,2,3
является базисным.
В зависимости от выбора «претендующего» минора, с
которого начинается расчет по алгоритму A.V.1, можно получать
разные базисные миноры. Но все они будут иметь одинаковый
порядок, который равен рангу матрицы.
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контрольные вопросы по теме «Решение и исследование систем линейных алгебраических уравнений» 1. Дать определение понятиям: система линейных алгебраических уравнений; эквивалентные преобразования системы;
совместность и несовместность системы уравнений. Перечислить
типы решений систем линейных алгебраических уравнений.
2. Дать определение и перечислить основные эквивалентные
преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
Сформулировать общий принцип построения решения системы.
3. Как строится матричная форма записи системы линейных
алгебраических уравнений? Дать определение основной и расширенной матриц системы. Перечислить элементарные преобразования над строками матрицы системы и прокомментировать их
связь с эквивалентными преобразованиями самой системы. Сформулировать общий принцип приведения матрицы произвольной
системы линейных алгебраических уравнений к ступенчатому
виду.
4. Дать определение матрицы простейшего вида. Сформулировать схему действий, преобразующих матрицу произвольной
системы линейных алгебраических уравнений к матрице простейшего вида (алгоритм действий с прямым и обратным ходом;
смешанный алгоритм преобразования).
5. Дать различные варианты определения ранга матрицы.
Перечислить методы вычисления ранга матрицы. Сформулировать теорему Кронекера – Капелли. Привести примеры совместных и несовместных систем линейных алгебраических уравнений и их исследования с помощью теоремы Кронекера –
Капелли.
6. Дать определение однородной системы линейных алгебраических уравнений. Сформулировать признак однородности.
Доказать, что множество решений однородной системы является
подпространством векторного пространства векторов-столбцов
неизвестных величин.
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Дать определение фундаментальной системы решений
системы линейных алгебраических уравнений. Сформулировать
правило построения числовых столбцов, составляющих фундаментальную систему решений, и перечислить свойства этих числовых столбцов. Что можно сказать о размерности подпространства решений?
8. Сформулировать теорему о строении решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Привести алгоритм построения общего решения неоднородной системы с использованием фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы.
9. Вывести формулы Крамера для неоднородной системы
трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными.
Записать формулы и сформулировать условия применимости
правила Крамера в общем случае.
10. Сравнить эффективность метода решения системы линейных уравнений по формулам Крамера с методом решения с
помощью элементарных преобразований над строками матрицы
системы. Сформулировать правило определения типа решений
системы линейных алгебраических уравнений по значению
определителя ее матрицы (только для систем, у которых число
уравнений и число неизвестных совпадает).
11. Что называется базисным минором матрицы? Привести
схему его определения методом окаймляющих миноров. Сформулировать теорему о базисном миноре. Сколько базисных
миноров может иметь заданная матрица?
12. Как использовать правило Крамера, если число уравнений
меньше числа неизвестных? Как свести решение произвольной
системы линейных уравнений к вычислению определителей?
Дать оценку практической эффективности такого пути решения.
13. Сформулировать принцип разделения неизвестных в
системе линейных алгебраических уравнений на базовые
неизвестные и параметры (свободные неизвестные). Привести
необходимое и достаточное условие того, что заданный набор
неизвестных образует систему именно базовых неизвестных.
14. Дать определение понятия «физическая размерность
величины». Какие свойства размерности физической величины
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
определяют взаимосвязь теории физической размерности с
теорией линейных алгебраических уравнений?
15. Что означает зависимость и независимость размерностей
системы физических величин? Сформулировать критерий независимости размерностей системы физических величин. Как используется теория систем линейных алгебраических уравнений для
исследования системы физических величин на линейную
зависимость или независимость?
16. Сформулировать П-теорему теории физической размерности. Как применяется эта теорема и какую роль в ее использовании играет теория систем линейных алгебраических уравнений?
17. Как решение уравнений движения нескольких связанных
пружинных маятников сводится к решению системы линейных
алгебраических уравнений? Что называется модами колебаний и
собственными
частотами
колебаний,
как
практически
реализовать соответствующие колебательные режимы?
18. Каковы физические основы задачи определения собственных векторов и собственных значений квадратной матрицы и
какие элементы теории систем линейных алгебраических уравнений применяются при решении этой задачи?
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы 1. Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Основы алгебры:
учебник для вузов / А. И. Кострикин. – М.: Физматлит, 1994. –
320 с.
2. Проскуряков, И. В. Сборник задач по линейной алгебре
/ И. В. Проскуряков. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. –
384 с.
3. Беклемишев, Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: учебник для вузов / Д. В. Беклемишев. – 9-е изд.,
испр. – М.: Физико-математическая литература, 2002. – 376 с.
4. Головина, Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее
приложения: учеб. пособие для вузов / Л. И. Головина. – 4-е изд.,
испр. – М.: Наука; Главная редакция физико-математической
литературы, 1985. – 392 с.
5. Баренблатт, Г. И. Автомодельные явления – анализ размерностей и скейлинг: учеб. пособие / Г. И. Баренблатт; пер. с
англ. – Долгопрудный: Интеллект, 2009. – 216 с.
6. Бриджмен, П. Анализ размерностей / П. Бриджмен. –
Ижевск.: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. – 148 с.
7. Резниченко, С. В. Аналитическая геометрия в примерах и
задачах (Алгебраические главы): учеб. пособие для вузов
/ С. В. Резниченко. – М.: Изд-во МФТИ, 2001. – 576 с.
8. Сборник задач по математике для втузов. В 4 ч. Ч. 1:
Линейная алгебра и основы математического анализа: учеб.
пособие для втузов / В. А. Болгов и др. / под общ. ред.
А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. – 3-е изд., испр. М.: Наука;
Главная редакция физико-математической литературы, 1993. –
480 с.
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление Глава 1. Основные практические правила
и алгоритмы решения систем линейных алгебраических
уравнений ................................................................................. 3
1. Принцип решения систем линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ).............................................................................................. 3
2. Приемы преобразования матрицы СЛАУ и связанные с ними
алгоритмы решения ....................................................................... 12
3. Примеры решения СЛАУ и исследования на совместность ....... 32
Глава 2. Структура решения СЛАУ ................................................... 37
4. Фундаментальная система решений (ФСР)
однородной СЛАУ ......................................................................... 37
5. Теорема о строении решения неоднородной СЛАУ ................... 44
6. Приложение к теории размерностей физических величин......... 48
Глава 3. Использование определителей для решения СЛАУ ........ 60
7. Формулы Крамера ........................................................................... 60
8. Физическое содержание задачи на собственные значения и
собственные векторы ..................................................................... 69
Дополнение. Теорема Кронекера – Капелли – критерий
совместности СЛАУ ............................................................. 77
Приложения............................................................................................ 79
Приложение I. Комплексные числа и арифметические операции
над ними.......................................................................................... 79
Приложение II. Векторное пространство .......................................... 82
Приложение III. Линейная зависимость системы векторов, базис и
размерность векторного пространства ......................................... 85
Приложение IV. Определитель квадратной матрицы ...................... 91
Приложение V. Ранг матрицы и ее базисный минор ....................... 98
Контрольные вопросы по теме «Решение и исследование систем
линейных алгебраических уравнений» ............................... 105
Список литературы ............................................................................... 108
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Белоножко Дмитрий Федорович
Введение в линейную алгебру
в примерах и задачах
Учебное пособие
Редактор, корректор М. В. Никулина
Верстка И. Н. Иванова
Подписано в печать 15.03.11. Формат 6084 1/16.
Бум. офсетная. Гарнитура "Times New Roman".
Усл. печ. л. 6,51. Уч.-изд. л. 5,0.
Тираж 100 экз. Заказ
.
Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе
Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова.
Отпечатано на ризографе.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова.
150000, Ярославль, ул. Советская, 14.
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Д. Ф. Белоножко
Введение в линейную алгебру
в примерах и задачах
1 2
2 1
a
b
c g m
d k n
p 0 0
6
f
1 2 a c g m
2 1 b d k n
p 
0 0 6
f
0 0 0
2 5 0
0 0
0
2 5 0
0 0 0
0 0 0
0 0 5
2 0 2
0 0
0
0 0 5
0 0
0
2 0 2

h
1 2
2 1
2 5 0
 6  0 0 5  900
2 0 2
113
h
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
23
Размер файла
877 Кб
Теги
белоножко, линейную, примера, алгебра, 971, введение, задача
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа