close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

994.Структурно-геометрические свойства бесконечномерных групп Ли в применении к уравнениям математической физики Лукацкий А М

код для вставкиСкачать
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет
им. П. Г. Демидова
А. М. ЛУКАЦКИЙ
СТРУКТУРНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
В ПРИМЕНЕНИИ К УРАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Ярославль 2010
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
2
УДК 517.958
ББК В148
Л84
Рекомендовано
редакционно-издательским советом ЯрГУ
в качестве научного издания. План 2009/2010 года
Научный редактор
д-р физ.-мат. наук, проф. А. Л. Онищик
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф. Р. И. Богданов;
кафедра алгебры и математической логики
Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова
Лукацкий, А. М. Структурно-геометрические свойства
бесконечномерных групп Ли в применении к уравнениям математической физики: монография / А. М. Лукацкий; Яросл. гос. ун-т.
им. П. Г. Демидова. ═ Ярославль. ЯрГУ, 2010. ═ 174 с.
Л84
ISBN 978-5-8397-0722-1
Монография посвящена исследованию нелинейных уравнений
математической физики методами теории бесконечномерных групп
Ли. Рассматриваются вопросы реализации конфигурационного
пространства физической задачи в виде бесконечномерной группы Ли.
В качестве ключевого метода исследования уравнений математической физики предлагается использовать геометрические инварианты
бесконечномерных групп Ли.
Результаты монографии могут быть полезны математикам,
специализирующимся в области бесконечномерных групп Ли и
бесконечномерного анализа, а также механикам и физикам, специализирующимся по динамике сплошных сред. Ее могут использовать в
своей работе студенты старших курсов и аспиранты математических
факультетов университетов, специалисты из МИАН, ИПМ и т. п.
Издание осуществлено при поддержке РФФИ, проект 07-01-00230.
Библиогр.: 131 назв.
УДК 517.958
ББК В148
ISBN 978-5-8397-0722-1
c
Ярославский
государственный
университет им. П. Г. Демидова, 2010
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
3
Оглавление
Введение...................................................................................................5
1. Общая характеристика работы ..........................................................5
2. Обзор содержания монографии.............................................................7
Глава 1. Структурные свойства бесконечномерных
групп Ли.................................................................................................21
Обзор содержания главы.........................................................................21
1.1. Бесконечномерные гладкие многообразия. Основные понятия
и геометрические структуры ................................................................23
1.2. Бесконечномерные группы Ли. Основные понятия. Примеры
бесконечномерных групп Ли ....................................................................27
1.3. Группы токов и их обобщения..........................................................39
1.4. Топологическая конечнопорожденность бесконечномерных
групп Ли....................................................................................................52
1.5. Достаточные условия продолжения геодезических на
бесконечность во времени. Формулы для кривизн бесконечномерных
групп Ли ...................................................................................................62
Глава 2. Геометрия групп диффеоморфизмов..................................72
Обзор содержания главы.........................................................................72
2.1 Исследование пассатного потока на двумерной сфере....................74
2.2. Разбор случая тора Tn .....................................................................81
2.3 Вычисление кривизны Риччи для группы Di╗ ╣ (Tn ) .......................92
2.4 Разбор случаев компактных римановых поверхностей....................95
2.5. Исследование геометрии группы диффеоморфизмов,
сохраняющих меру некомпактного многообразия................................103
2.6. Вычисление кривизн группы Di╗ 0╣ (M ) для некомпактного M
в общем случае.......................................................................................109
Глава 3. Геометрия групп токов. Приложения к
исследованию нелинейной динамики намагниченности
ферромагнетиков, описываемой уравнением
Ландау ═ Лифшица.................................................................................117
Обзор содержания главы........................................................................117
3.1. Вывод формулы тензора кривизны группы токов ........................118
3.2. Вычисление секционных кривизн для
группы токов на трехмерном торе.......................................................123
3.3. Обобщение конструкций на случай риманова многообразия........126
Глава 4. Групповой подход к исследованию динамики
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
4
жидкости, описываемой уравнениями Эйлера
и Навье ═ Стокса......................................................................................129
Обзор содержания главы........................................................................129
4.1. Случай идеальной несжимаемой жидкости.................................130
4.2. Случай вязкой несжимаемой жидкости......................................135
4.3. Связь конструкций с теорией поля..............................................137
Глава 5. Анализ интегральных инвариантов сплошной
среды .........................................................................................................140
Обзор содержания главы........................................................................140
5.1. Постановка задачи.........................................................................140
5.2. Случай идеальной сжимаемой жидкости.....................................141
5.3. Случай идеальной несжимаемой жидкости ................................143
5.4. Случай вязкой несжимаемой жидкости .......................................147
5.5. Заключение......................................................................................147
Глава 6. Исследование геодезического потока на
бесконечномерной группе Ли с использованием оператора
коприсоединенного действия...............................................................149
Обзор содержания главы........................................................................149
6.1. Постановка задачи.........................................................................149
6.2. Свойства ограниченности производных коэффициентов
решений уравнений Эйлера
на определенных типах бесконечномерных групп Ли. .........................149
6.3. Связь с уравнением Навье ═ Стокса..............................................154
6.4. Анализ поведения решений уравнений Эйлера
в особой точке........................................................................................155
6.5. Анализ поведения решений уравнений Навье ═ Стокса
в особой точке........................................................................................156
6.6. Случай n-мерного тора...................................................................157
6.7. Выводы............................................................................................161
Замечания.................................................................................................163
Литература..........................................................................................164
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
5
ВВЕДЕНИЕ
1. Общая характеристика работы
Развитие теории уравнений математической физики, а также приемов и
методов построения их решений, анализа свойств известных решений насчитывает богатую историю. Законы динамики Ньютона, теория статических электрических полей, развитая Максвеллом до теории электромагнитного поля, теория теплопроводности, развитая в трудах Фурье, а затем
доведенная в работах Планка, Фоккера, Колмогорова до теории стохастической диффузии и, наконец, уравнение Шредингера в квантовой механике,
формализм Гейзенберга, вторичное квантование по Фоку, ═ вот далеко не
полный перечень этапов этой истории.
Бурный прогресс наукоемких высоких технологий последней четверти
XX столетия, обусловленный указанным выше развитием, настоятельно
требует разработки на первый взгляд противоречивых направлений: повышение производительности и миниатюризация информационных технологий требуют рассмотрения быстрых (на сегодня порядка 10?13 ? 10?15
сек.) переходных процессов и разреженных ансамблей частиц (порядка
1011 ? 1013 электронов); наряду с этим задачи макроэкологии, космологии
требуют прогнозов антропоморфных процессов на периодах от 1 до 106
лет и выше. Таким образом, обнаруживается необходимость предъявления принципиально новых решений в области уравнений математической
физики, позволяющих описывать и предсказывать феномены в указанных
выше проблемах.
Существует практически необозримое количество публикаций, описывающих с принципиальной точки зрения все известные на сегодня физические
процессы и посвященных построению и исследованию их решений, а также
описанию экспериментальных данных на их основе. В списке уравнений
математической физики особое место занимают нелинейные гидродинамические уравнения Навье ═ Стокса, кинетические уравнения Больцмана
[Бол], [К3] и т. д. Здесь в качестве примера основополагающей публикации
можно привести известную в математической литературе работу Колмогорова ═ Петровского ═ Пискунова [КПП], в которой было предложено на
основе автомодельных решений уравнения стохастической диффузии анализировать явление распространения инфекции в подходящей питательной
среде.
Анализ соответствующей литературы показывает, что основным методом исследования нелинейных дифференциальных уравнений на сегодня
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
6
ВВЕДЕНИЕ
является отыскание частных решений (возможно, приближенных) и вычисление их инвариантов, устойчивых относительно малых возмущений (возможно, специального вида), например, консервативное возмущение вполне
интегрируемой гамильтоновой системы в классической теории КАМ.
Ярким примером вычисления инвариантов, связанных с линеаризацией
изучаемого уравнения в окрестности указанного решения, является теория
линейных представлений групп Ли и их алгебр Ли (находящаяся в наиболее развитом виде в случае конечномерных полупростых групп [В2]).
Однако, невзирая на длительную историю развития линейного подхода,
исследование квадратичных приближений далеко от завершения и, более
того, имеется лишь ограниченный круг успешного развития второго порядка теории приближений: вариационное исчисление (достаточные условия экстремальности решения), квантовая механика с обилием парадоксов.
Здесь уместно подчеркнуть возможность использования гамильтонова или
лагранжева формализма([[Моз], [К2], [ДК], [ДНФ], [МСШ], [Ж], [Вин]): линейному векторному полю может отвечать квадратичный гамильтониан.
Принципиально новым в области уравнений математической физики
явился геометрический подход к описанию дифференциальных уравнений
([Раш], [Pom], [Вин]).
Успех и полезность линейных представлений конечномерных групп Ли
и их алгебр Ли помимо чисто внутреннего оправдания задачами самой
теории имеет содержательные истоки: классификация орбит присоединенного действия группы обратимых матриц. Как следствие, здесь получается
жорданова нормальная форма матрицы. Имеется бесконечномерный аналог этой задачи для матриц, зависящих от функциональных параметров
([Ар2], [Ар4]).
Наряду с плодотворностью этих подходов в конечномерном случае, их
развитие в бесконечномерном случае наталкивается на ряд проблем. Важнейшей из них является резкое отличие бесконечномерной геометрии от
конечномерной. Поэтому необходим анализ свойств групп, привлекаемых
к рассмотрению ([К1]).
Второй не менее существенной проблемой является реализация конфигурационного пространства рассматриваемого физического объекта в виде
подходящей группы. Основными направлениями в математической физике,
где удалось реализовать этот подход являются:
гидродинамика несжимаемой жидкости ([Ar1], [EM]);
магнитная гидродинамика ([Mas], [On]);
нелинейная динамика намагниченности ферромагнетиков ([АЛ]);
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ МОНОГРАФИИ
7
уравнение Кортевега де Фриза ([OK], [Kh]).
Идея симметрий изучаемых явлений пронизывает математическую физику как в содержательном смысле, так и в смысле построения адекватных математических моделей. Симметрии, по сути дела, обязаны своим
существованием действию соответствующей группы. Инварианты такого
действия позволяют, как правило, значительно прояснить динамику изучаемых явлений ([Ибр], [Ов], [Вин]).
В настоящей работе предлагаются подходы к построению решений уравнений математической физики, исследованию их свойств на основе группового подхода, приводящего, как правило, к бесконечномерным группам.
Здесь надо отметить, что бесконечномерные группы в математической физике возникали и ранее, например, в контексте проблем теории поля у Г.
Вейля ([В1], [Ат]), причем аналогичная группа использовалась в задаче
орбитальной эквивалентности у Р. И. Богданова [Б].
Безусловно, использование бесконечномерных групп требует в ряде случаев для получения прикладных результатов прибегать к спектральной
теории линейных операторов, методам теории представлений и методам
статистической физики. Например, в духе идей И. М. Гельфанда и его
школы, в частности, развиваемых в настоящие годы в школе В. А. Садовничего. В качестве ключевого метода исследования уравнений математической физики в настоящей работе предлагается использовать геометрические инварианты бесконечномерных групп Ли, а также некоторые
их структурные свойства (например, построение в них бесконечномерных
подгрупп специального вида).
2. Обзор содержания монографии
Монография включает введение и 6 глав. Во введении приводятся исторический очерк становления и общая характеристика основных направлений, связанных с применением структурно-геометрических свойств бесконечномерных групп Ли к уравнениям математической физики. Затем дается краткое изложение содержания глав.
Бесконечномерные группы Ли связаны с рядом физических приложений,
одним из существенных направлений которых является гидродинамика несжимаемой жидкости. Здесь в 1966 г. В. И. Арнольдом ([Ar1]) впервые
было предложено использовать в качестве конфигурационного пространства группу диффеоморфизмов Di╗ ╣ (M ), сохраняющих элемент объема
компактного риманова ориентированного многообразия M . Алгеброй Ли
группы Di╗ ╣ (M ) является пространство V╣ (M ) бездивергентных векторных полей. В случае уравнений динамики идеальной жидкости удалось
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
8
ВВЕДЕНИЕ
снабдить конфигурационное пространство слабой римановой структурой
(т. е. положительно определенной метрикой в пространстве V╣ (M ), задающей L2 -структуру, однако соответствующая топология слабее, чем изначально имеющаяся C ? -топология). Тогда можно представить уравнения
Эйлера идеальной несжимаемой жидкости как уравнение геодезических на
бесконечномерной группе Ли. Имея такую геометрическую интерпретацию уравнений Эйлера, можно использовать известные дифференциальногеометрические инварианты для изучения свойств решений. Так например, секционные кривизны по двумерным направлениям, проходящим через заданное векторное поле, могут использоваться для анализа устойчивости соответствующих течений идеальной несжимаемой жидкости.
Как известно, отрицательность секционных кривизн является признаком экспоненциальной неустойчивости геодезических. Это можно иллюстрировать на примере двумерной поверхности постоянной отрицательной
кривизны K < 0 (псевдосфере), которая реализуется вращением трактрисы
1
1
sin t, y = ??K
(ln tg 2t + cos t) вокруг ее асимптоты. Псевдосферу
x = ??K
можно лишь фрагментарно вложить в трехмерное пространство, не имея
особенностей, причем ее вид будет напоминать поверхность граммофонной
трубы (см. [ГК, с. 243]).
Для течений идеальной несжимаемой жидкости типичной ситуацией
является отрицательность секционных кривизн, а тогда имеет место экспоненциальная расходимость решений уравнений Эйлера. Здесь В. И.
Арнольдом впервые были вычислены тензор кривизны и секционные кривизны для конкретной бесконечномерной группы Ли, а именно для группы
диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема двумерного тора. При
помощи этого аппарата им был исследован на асимптотическую устойчивость пассатный поток на двумерном торе (векторное поле с синусоидальным профилем v = (sin y, 0)), аппроксимирующим средние атмосферные
потоки на земном шаре. В этих вычислениях было сделано предположение
о том, что земля имеет форму тора, что связано с более простой, чем для
сферы, процедурой вычисления секционных кривизн. В качестве следствия
В. И. Арнольдом была получена оценка нарастания ошибки в начальных
данных (замерах) при долгосрочном прогнозировании погоды (10kn , где
k ? 2, 5, n ═ количество месяцев прогноза). Это означает, что при прогнозировании погоды на 2 месяца надо иметь точность замеров в 5 знаков,
что практически делает невозможным такое долгосрочное прогнозирование. Представляло интерес, конечно, произвести аналогичные вычисления
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ МОНОГРАФИИ
9
для существенно лучше аппроксимирующей поверхность Земли двумерной сферы S2 . Поэтому автор рассмотрел в конце 70-х годов случай S2
[Л3], где исследовал векторное поле v = z(?y, x, 0), представляющее собой
уточненный вариант рассмотренного В. И. Арнольдом пассатного потока.
Оказалось, что анализ на асимптотическую устойчивость пассатного потока на сфере дал тот же качественный и весьма близкий количественный
результат, что и для тора. В частности, оказалось, что при переходе от
тора к сфере остается справедливой оценка В.И. Арнольда периода около
двух месяцев как срока, за пределами которого практически невозможен
долгосрочный динамический прогноз погоды.
Очевидно, что представлает интерес исследовать течения жидкости на
n-мерном торе. Поэтому в начале 80-х годов автором ([Л5]) были вычислены секционные кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема n-тора. Была также определена применительно к случаю
бесконечномерной группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема, кривизна Риччи. С использованием спектрального разложения оператора Лапласа ═ Бельтрами на векторных полях была вычислена кривизна
Риччи группы Di╗ ╣ (Tn ) [Л6].
Под оператором Лапласа ═ Бельтрами понимается
? = ?2
(см. [EM]). Заметим, что оператор Лапласа на функциях на римановом
многообразии M определяется следующим образом (см. [Х]):
?(f ) = div grad(f ) =< ?, ?f >
и может интерпретироваться как ?(f ) = ?2 (f ). Этот вариант определения оператора Лапласа обобщается на случай действия на векторных
полях на многообразии M .
Был также рассмотрен случай некомпактного многообразия и введена
алгебра Ли бездивергентных векторных полей, быстро убывающих на бесконечности. Для модельного случая многообразия M = S1 в R1 [Л16] были
вычислены кривизны соответствующей группы диффеоморфизмов. Рассматривался также случай группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема прямоугольной области, были вычислены кривизны и тензор
Риччи. Кроме того, получено выражение для тензора кривизны лево(или
право) инвариантной метрики на произвольной группе Ли через структурные константы ee алгебры Ли [Л7].
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
10
ВВЕДЕНИЕ
Этот формализм был применен к случаю произвольной компактной поверхности, посредством чего были вычислены кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема для собственного базиса оператора Лапласа ═ Бельтрами. Для определенного класса векторных полей
на двумерной сфере представляющих собой стационарные течения с зависящим от вертикальной составляющей профилем подсчитана асимптотика
секционных кривизн. Для этого были выбраны такие двумерные направления, что одно векторное поле фиксировано, а другое представляет собой сферическую гармонику, частота которой стремится к бесконечности.
Оказалось, что асимптотические значения получающихся секционных кривизн отрицательны, что явилось обобщением результатов, полученных в
[Ар1] для пассатного потока. В [L2] удалось получить общую формулу для
кривизн группы диффеоморфизмов, сохраняющей элемент объема. Кроме
того, удалось упростить выражение для кривизн по двумерным направлениям в случае локально евклидовых многообразий.
Параллельно автором развивались другие физические приложения, в
частности, к задаче нелинейной динамики ферромагнетиков, описываемой
уравнением Ландау ═ Лифшица. Уравнение Ландау ═ Лифшица было получено Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем в 1935 г. для выражения бездиссипативного движения вектора намагниченности ферромагнетика в магнитном поле как длинноволновое приближение уравнений Максвелла. Уравнение Ландау ═ Лифшица используется для описания доменной структуры
ферромагнетиков и движения вектора магнитного момента. Оно применяется при рассмотрении таких физических эффектов, как магнитостатическая прецессия, динамика доменной стенки и ферромагнитный резонанс.
Переход от уравнения Ландау ═ Лифшица к уравнению геодезических на
бесконечномерной группе Ли (группе токов) был разработан автором совместно с В. А. Алексовским [АЛ]. Заметим, что конфигурационное пространство уравнения Ландау ═ Лифшица может рассматриваться как обобщенное твердое тело. Если конфигурационным пространством твердого
тела является 3-мерная ортогональная группа SO(3) ([Ар1]), то в случае
уравнения Ландау ═ Лифшица это группа токов со значениями в ортогональной группе G(M, SO(3)) (см. [AЛ], [SOnKam]). В [L3] было получено
выражения для тензора кривизны группы токов, подсчитаны секционные
кривизны и выявлены направления отрицательности кривизн (заметим,
что в случае уравнения Ландау ═ Лифшица эта ситуация встречается значительно реже, чем в динамике идеальной несжимаемой жидкости). Были
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ МОНОГРАФИИ
11
введены обобщенные группы токов, позволившие рассматривать групповую модель уравнения Ландау ═ Лифшица на непараллелизуемых многообразиях [Л9].
В работе [Л12] также разрабатывался групповой подход к гидродинамике несжимаемой жидкости (идеальной и вязкой) , основанный на рассмотрении бесконечномерных подгрупп в группе диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема, которые являются вполне геодезическими подмногообразиями. Примером такой подгруппы является полупрямое произведение
обобщенной группы токов и группы Ли, сохраняющей заданную геометрическую структуру [Л11],[Л12]. Это позволило получить класс решений
уравнений Эйлера и Навье ═ Стокса в многомерном случае, продолжаемых
во времени на бесконечность [Л12]. В частности, таким образом получился
класс интегрируемых решений уравнений Эйлера и Навье ═ Стокса, погруженный в подгруппу в группе диффеоморфизмов, которая естественно
вкладывается в известную в теории поля группу Бонди ═ Метнера ═ Закса.
Эта группа описывает асимптотически плоские метрики Минковского и
используется в моделях квантовой космологии [ХП]. В [ХП] также рассматривались асимптотически плоские евклидовы метрики, которым как раз
соответствует получившееся семейство решений уравнений
Эйлера и Навье ═ Стокса 3-мерной гидродинамики, продолжаемых во времени на бесконечность.
Перейдем к краткому изложению содержания монографии по главам.
В главе 1 собраны результаты по структурным свойствам бесконечномерных групп Ли, которые используются в последующих главах. В физических приложениях элементы алгебры Ли g описывают инфинитезимальные
перемещения объектов конфигурационного пространства, которое отождествляется с группой G. В этом контексте разбирается подход к продолжению на бесконечность во времени решений уравнений математической физики, основанный на погружении конфигурационного пространства описываемого физического объекта в бесконечномерную группу Ли G с алгеброй
Ли g. При этом рассматриваются такие физические объекты, временная
эволюция которых описывается геодезическим потоком на группе Ли G.
В определенных случаях, однако, мы будем переходить к более широкому
классу уравнений, которые можно исследовать, связывая их с уравнениями геодезического потока методом вариации постоянных. В частности,
некоторые из результатов, полученных для уравнений Эйлера идеальной
несжимаемой жидкости обобщаются для уравнений Навье ═ Стокса вязкой
несжимаемой жидкости.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
12
ВВЕДЕНИЕ
Как правило, мы ограничиваемся рассмотрением такого класса уравнений математической физики, решения которых (кривая в группе G) подчинены закону сохранения, описываемому квадратичной формой <, > от их
инфинитезимальных перемещений (т. е. заданной в алгебре Ли g). Квадратичную форму <, > можно либо правыми, либо левыми сдвигами разнести по всей группе G (выбор типа разнесения делается из физических соображений, например, для динамики несжимаемой жидкости выбираются
правые сдвиги, для задачи динамики ферромагнетиков ═ левые).
На группе G с разнесенной сдвигами квадратичной формой возникает
риманова структура.
Особенность предложенного в работе подхода состоит в том, что
структурно-геометрические свойства бесконечномерных групп Ли рассматриваются глобально. В качестве геометрических объектов, на которых
действуют преобразованиями бесконечномерные группы Ли, как правило,
выступают компактные ориентированные многообразия, снабженные римановой метрикой. Для отдельных приложений разбирается и некомпактный случай.
В п. 1.4 бесконечномерные группы Ли исследуются как топологические
группы ([Л2], [Л4]), что является продолжением работ, начатых автором в
середине 70-х годов.
Остановимся на известных результатах об алгебраической структуре
группы диффеоморфизмов Di╗(M ) гладкого многообразия M и ее алгебры
Ли V (M ), т. е. алгебры векторных полей на многообразии c операцией
коммутирования ═ скобкой Пуассона. Перселом и Шенком было доказано,
что многообразия с изоморфными алгебрами Ли векторных полей являются диффеоморфными ([ShP]). Таким образом структура абстрактной алгебры Ли V (M ) однозначно определяет гладкую структуру многообразия
M . Если теперь перейти к группе диффеоморфизмов Di╗(M ) с точки зрения ее алгебраической структуры, то здесь основным является результат
Терстона([T]) и Мезера ([M]) о простоте ее подгруппы ═ связной компоненты единицы Di╗ 0 (M ). Как следствие, отсюда получается, что группа
Di╗ 0 (M ) порождается алгебраически своими однопараметрическими подгруппами. При этом уже для окружности существуют диффеоморфизмы,
которые нельзя включить в какую-то однопараметрическую подгруппу (см.
[Нит, с.15], [Om2]).
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ МОНОГРАФИИ
13
Имеются также результаты о порождаемости в топологическом смысле
группы Di╗ 0 (M ), снабженной С? -топологией, и некоторых ее связных подгрупп содержащимися в них однопараметрическими подгруппами ([Ep],
[L1], [Gr]).
Далее, можно ставить вопрос о существовании конечных систем образующих в связной компоненте единицы группы диффеоморфизмов, т. е.
конечного набора элементов, порождающих Di╗ 0 (M ). Здесь имеет смысл
говорить лишь о порождении в топологическом смысле. Пусть M ? компактное ориентируемое многообразие, возможно с краем. В п. 1.4 доказано
(теорема 1.10), что топологическая группа Di╗ 0 (M ) конечнопорождена.
Для n-мерной сферы, проективного пространства и тора в группах диффеоморфизмов построены бирациональные (в смысле естественной структуры вещественно-алгебраического многообразия) базисы ([Л2], [Л4]). Одним из следствий этой конструкции является то, что для перечисленных
многообразий бирациональные диффеоморфизмы образуют всюду плотную
подгруппу в связной компоненте единицы их группы диффеоморфизмов.
Наряду с топологическими свойствами групп диффеоморфизмов рассматривались аспекты, связанные с введением структур обобщенных групп Ли
на них. Рассмотрен класс бесконечномерных групп Ли ? полупрямых произведений обобщенных групп токов и конечномерных групп Ли. На таких
группах строятся структуры ILH-групп Ли, ранее введенные H. Omori на
группе всех диффеоморфизмов и подгруппе сохраняющих элемент объема
диффеоморфизмов. Кроме того, установлено, что такие группы являются
бесконечномерными группами Ли второго рода, т. е. обладают локальными каноническими координатами второго рода. Для этого класса бесконечномерных групп Ли справедливы результаты конечномерной теории
Ли (три теоремы Ли, [KR]), что не имеет места для ILH-групп Ли общего
вида.
Заметим, что даже для G-структуры конечного типа, например, римановой, обобщенная группа токов P является бесконечномерной группой
Ли, в отличие от группы киллинговых преобразований G-структуры. Для
случая некомпактного риманова многообразия в алгебре Ли V╣ (M ) можно
выделить подалгебру SV E(M ) векторных полей, быстро убывающих на
бесконечности со всеми производными. Такую бесконечномерную группу
Ли можно снабдить структурой ILH-группы Ли и в дальнейшем исследовать с точки зрения вычисления кривизны.
Если рассматривать комплексные многообразия V , обладающие достаточно большим классом голоморфных функций, например многообразия
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
14
ВВЕДЕНИЕ
Штейна, то аналогом группы диффеоморфизмов является группа биголоморфных автоморфизмов Hol(V ). Здесь оказывается, что алгебра hol(V )
голоморфных векторных полей может не задавать действие бесконечномерной группы Ли на многообразии. Это связано с тем, что голоморфные
векторные поля, как правило, не являются полными, т. е. им не соответствуют однопараметрические подгруппы в группе биголоморфных автоморфизмов. В главе 1 это иллюстрируется на примере комплексной квадрики, причем показано, что естественное действие ортогональной группы
на квадрике является максимальным в классе действий бесконечномерных
групп Ли.
В конце главы 1 определяется связность Леви-Чивиты лево (или право)
инвариантной метрики на бесконечномерной группе Ли и доказывается
формула ковариантной производной (1.9) в смысле этой связности
1
([X, Y ] ? (ad X)? (Y ) ? (ad Y )? (X)).
2
Из вида ковариантной производной выводится уравнение Эйлера на бесконечномерной группе Ли в форме (1.10), использующей оператор коприсоединенного действия.
?u
= (ad u)? (u).
?t
Затем разбираются аспекты, связанные с продолжением решений уравнения Эйлера на бесконечномерной группе Ли на бесконечность во времени.
Формулируются достаточные условия существования такого продолжения.
В заключение дается вывод формулы Арнольда секционной кривизны
группы Ли с односторонне инвариантной метрикой для случая произвольной группы Ли ═ Фреше.
В главе 2 собраны результаты по геометрическим свойствам бесконечномерных групп Ли, являющихся подгруппами групп диффеоморфизмов.
Как известно, группа диффеоморфизмов сохраняющих элемент объема компактного ориентированного риманова многообразия M снабжается правоинвариантной римановой метрикой, физически интерпретируемой как кинетическая энергия. Она задается в ее алгебре Ли (пространстве бездивергентных вещественных векторных полей на M ) следующим образом:
(u(x), v(x))dx.
(0.1)
< u, v >=
?X Y =
M
Метрика (0.1) является слабой по отношению к C ? -топологии.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ МОНОГРАФИИ
15
Пусть ad u : v ? [u, v] ═ оператор присоединенного действия в алгебре
Ли векторных полей на M с операцией [u, v]? скобкой Пуассона векторных
полей. Здесь важен также оператор коприсоединенного действия (ad u)? ,
сопряженный к ad u в смысле метрики (0.1)
и билинейная форма
< (ad u)? (v), w >=< v, ad uw >
(0.2)
B(u, v) = (ad v)? (u).
(0.3)
Первая группа прикладных результатов главы ? это вычисление кривизн групп диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема компактных
ориентированных римановых многообразий M . Для ортогональной пары
бездивергентных векторных полей u, v через K(u, v) обозначается секционная кривизна по двумерному направлению, порожденному элементами u, v.
Секционные кривизны вычислены для следующих многообразий: 2-мерная
сфера, n-мерный тор. Для случая n-мерного тора вычислена также кривизна Риччи группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема. В
случае двумерной сферы S2 в алгебре Ли V╣ (S2 ) выбран ортогональный
базис из сферических векторных полей elm . В качестве функций тока для
элементов этого базиса взяты сферические функции.
Отдельно рассмотрен случай компактной римановой поверхности M .
Для вычисления секционных кривизн группы сохраняющих элемент объема диффеоморфизмов здесь удобно выбрать базис в алгебре Ли SV0 (M 2 )
бездивергентных векторных полей из собственных элементов оператора ?
Лапласа ═ Бельтрами.
Для задачи исследования устойчивости решений уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости как геодезических на группе диффеоморфизмов полезно ввести среднюю кривизну заданного поля скоростей жидкости. Здесь естественно использовать аналог конечномерной кривизны
Риччи[Бес]. Кривизна Риччи для бесконечномерной алгебры Ли V╣ (M )
определяется следующим образом. Пусть Spec(?)? дискретный спектр
оператора Лапласа ═ Бельтрами на векторных полях компактного ориентированного риманова многообразия M . Представим алгебру Ли V╣ (M )
бездивергентных векторных полей в виде индуктивного предела подпространств V╣ (M )L , L ? R, L > 0, натянутых объединением базисов собственных подпространств V? , где ? ? Spec(?), |?| ? L.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
16
ВВЕДЕНИЕ
Для v ? V╣ (M ) обозначим через
Ricc(v, L) =
1
(dim V╣ (M )L ? 1)
K(v, e? )
[{e? }]=V╣ (M )L
и назовем кривизной Риччи предел (если он конечен):
Ricc(v) = lim Ricc(v, L).
L??
В главе 2 вычислена асимптотика секционных кривизн K(?n , v) на nмерном торе, когда векторные поля ?n являются простыми гармониками,
имеющими предельное направление. Это позволяет получить явное выражение для кривизны Риччи группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема n-мерного тора (теорема 2.7). Для произвольного бездивергентного векторного поля v на n-мерном торе имеем
Ricc(v) = ?
(n + 1)
1 | ??(v)|2 .
n
(n ? 1)n(n + 2) ╣(T )
Для плоской прямоугольной области K ? R2 также вычислена кривизна
Риччи группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема области.
Оказывается, что ее вид тот же, что и для двумерного тора, и отличается
только константой.
Отдельно рассмотрен случай некомпактного многообразия M . Алгебре
Ли V╣0 (M ) бездивергентных векторных полей, быстро убывающих на бесконечности с производными, соответствует подгруппа в группе сохраняющих элемент объема диффеоморфизмов некомпактного многообразия. Эту
подгруппу можно снабдить правоинвариантной метрикой вида (0.1). Для
случая 2-мерного цилиндра проводится вычисление секционных кривизн
этой подгруппы диффеоморфизмов.
Глава 3 посвящена группам токов. Основным физическим приложением
здесь является исследование нелинейной динамике намагниченности ферромагнетиков, которая описывается уравнением Ландау ═ Лифшица. Пусть
задано трехмерное ориентированное риманово многообразие M . Уравнение
Ландау ═ Лифшица имеет вид
?m
= m в P m.
?t
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ МОНОГРАФИИ
17
Здесь в? операция векторного произведения в касательных пространствах, снабженных евклидовой структурой, наследуемой от римановой метрики, m? гладкое векторное поле на M, P ? дифференциальный оператор,
представимый в виде P = N + ?, где N ? эллиптический дифференциальный оператор (здесь часто используется оператор Лапласа ═ Бельтрами
на векторных полях ?), а ?? оператор проекции пространства векторных
полей на заданное одномерное подпространство [e]:
?(m(x)) = b(m(x), e)e,
b > 0,
здесь ? отвечает за анизотропный член. Для определенности будем считать, что эллиптический оператор N отрицательно определен. Оказывается удобным иметь вместо P обратимый оператор. Этого можно достичь,
если заменить P на оператор Pa = P ? a Id, где a? скаляр, а Id обозначает
тождественный оператор. Можно показать, что для a > b оператор Pa становится обратимым. Для уравнения Ландау ═ Лифшица существуют две
инвариантные метрики: поточечно инвариантное на решениях скалярное
произведение
(m1 (x), m2 (x))
и инвариантная метрика в пространстве векторных полей
< m1 , m2 >= ?
(m1 (x), Pa m2 (x))dx.
M
Оказывается, однако, что решения уравнения Ландау ═ Лифшица не
являются геодезическими для группы токов ни с одной из этих метрик.
Поэтому на группе токов автором введена нестандартная скобка Ли:
[m1 , m2 ] = Pa?1 (Pa m в Pa m).
Тогда для группы токов с такой скобкой Ли и с левоинвариантной метрикой < m1 , m2 > решения уравнения Ландау ═ Лифшица являются геодезическими кривыми метрики. Для группы токов с нестандартной скобкой
Ли вычислен тензор кривизны. Положим f = P u, g = P v, h = P w.
Используя выражение для тензора кривизны алгебры токов, далее вычисляются секционные кривизны для простых гармоник на 3-мерном торе.
В качестве эллиптического оператора N берется оператор Лапласа. Исследуется асимптотика выражений для кривизн. Установлено, что когда одна
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
18
ВВЕДЕНИЕ
из гармоник фиксирована, а другая стремится к бесконечности, секционные кривизны становятся положительными. В случае же, когда простые
гармоники векторных полей u, v совпадают и стремятся к бесконечности,
кривизны K(u, v) стремятся к минус бесконечности. Установлено также
существование областей для пар простых гармоник, в которых секционные кривизны соответствующих пар векторных полей отрицательны.
Глава 4 посвящена групповому анализу несжимаемой жидкости. Для
идеальной несжимаемой жидкости основополагающей является конструкция Арнольда правоинвариантной метрики на группе диффеоморфизм??в,
сохраняющих элемент объема многообразия. Эта группа может рассматриваться в качестве конфигурационного пространства не только для идеальной, но и для вязкой несжимаемой жидкости. Здесь одной из проблем
является не только устойчивость течений, но и получение решений, продолжаемых во времени на бесконечность [ММ]. Удается произвести редукцию общей задачи на всей группе диффеоморфизмов, сохраняющих элемент
объема к бесконечномерной подгруппе этой группы диффеоморфизмов, которая была построена в главе 1. Это позволило, в свою очередь, получить
классы решений уравнений динамики жидкости, продолжаемых на бесконечность во времени.
Сначала исследуется случай идеальной несжимаемой жидкости, описываемой уравнениями Эйлера:
?u
+ ?u u + ?p = 0.
?t
Здесь u ═ бездивергентное векторное поле, являющееся полем скоростей
жидкости, p ═ давление жидкости. Простейший вид решений, продолжаемых на бесконечность во времени, дают векторные поля 3-мерном торе
u = (a, b, f (x, y)), которым как начальным данным соответствуют решения уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости
ut = (a, b, f (x ? at, y ? bt)) типа ╔бегущей волны╔.
Указанные векторные поля образуют бесконечномерную подалгебру в
алгебре Ли бездивергентных векторных полей на 3-мерном торе, которой
соответствует вполне геодезическая подгруппа в группе диффеоморфизмов,
сохраняющих элемент объема 3-мерного тора.
Для указанного класса векторных полей можно построить также продолжаемые на бесконечность во времени решения уравнений Навье ═ Стокса:
?u
+ ?u u ? ??u + ?p = 0.
?t
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ МОНОГРАФИИ
19
Здесь новым по сравнению с уравнениями Эйлера является диссипативный член ??u, где ? ═ показатель вязкости жидкости. Влияние диссипативного члена на вид получаемых решений учитывается приемом, который
можно назвать аналогом метода вариации постоянных в теории дифференциальных уравнений.
В главе 5 исследуются эволюционные характеристики интегралов от
степеней кинетической энергии на решениях уравнений Эйлера идеальной
несжимаемой жидкости. Часть результатов обобщается на уравнения Навье ═ Стокса вязкой несжимаемой жидкости.
В главе 6 рассматриваются свойства коэффициентов Фурье-разложений
решений уравнения Эйлера на бесконечномерных группах Ли специального
вида (оператор ad u + (ad u)? имеет конечную норму для фиксированного
элемента u в алгебре Ли). Оказывается, что в этом случае коэффициенты
Фурье-разложения удовлетворяют условиям Липшица. Это позволяет провести анализ свойств решения в предельной точке интервала существования решений, гарантированного локальными теоремами существования
и единственности. К указанному классу групп Ли относятся конфигурационные пространства идеальной несжимаемой и сжимаемой жидкости, а
также уравнения Кортевега де Фриза ([Kh]):
?u
?3u
?u
+ 3u
? c 3 = 0,
?t
?x
?x
u ? V (S1 ),
c = 0.
Здесь u ═ векторное поле на окружности. Алгеброй Ли, связанной с уравнением Кортевега де Фриза, является алгебра Вирасоро, представляющая
собой центральное расширение алгебры векторных полей на окружности
([OK], [Kh]).
Ряд свойств, полученных в главе 6 для идеальной жидкости, обобщается
на вязкую, описываемую уравнениями Навье ═ Стокса.
Итак, анализ геометрических свойств бесконечномерных групп Ли различных типов позволил установить :
а) отрицательность спектра значений секционных кривизн для задачи
описания течений несжимаемой жидкости в локально евклидовом случае;
б) отрицательность кривизны Риччи для n-мерного тора, плоской области с границей;
в) существование областей отрицательности кривизн на спектральной
плоскости пар простых гармоник для конфигурационного пространства задачи нелинейной динамики ферромагнетиков;
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
20
ВВЕДЕНИЕ
г) наличие бесконечномерных подгрупп в группе сохраняющих элемент
объема диффеоморфизмов, являющихся вполне геодезическими подмногообразиями, т. е. таких, на которых геодезический поток полон;
д) наличие широкого класса бесконечномерных групп Ли, описываемого
в терминах алгебраических свойств алгебр Ли, для которых коэффициенты Фурье-разложения решений уравнения Эйлера удовлетворяют условиям Липшица.
Таким образом, рассмотренные выше примеры усложняются по мере изложения материала глав. Установленные факты отрицательности кривизн
бесконечномерных групп Ли являются признаками неустойчивости решений соответствующих уравнений математической физики ([Ар1], [NHK],
[Ан]). Это дает надежду получить объяснение турбулентного поведения
сплошной среды для физических явлений различных типов.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
21
ГЛАВА 1
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА
БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
Обзор содержания главы
В этой главе исследуются структурные свойства бесконечномерных
групп Ли. Структуры групп Ли вводятся для различных классов бесконечномерных топологических групп. Исходным здесь является понятие
бесконечномерного многообразия, которое вводится в п. 1.1. В п. 1.2 на
бесконечномерных группах определяются структуры групп Ли ═ Фреше.
Конструкция группы Ли ═ Фреше иллюстрируется на примере группы диффеоморфизмов компактного многообразия и ее подгрупп. Наряду с группами диффеоморфизмов примерами бесконечномерных групп Ли являются
группы токов.
В 1.2.4 исследуется класс групп диффеоморфизмов некомпактных многообразий. В алгебре Ли гладких векторных полей выделяется подалгебра векторных полей, быстро убывающих на бесконечности, которая снабжается структурой полного топологического векторного пространства. В
группе диффеоморфизмов некомпактного многообразия вводится подгруппа
диффеоморфизмов, быстро сходящихся к тождественному на бесконечности. Такая конструкция проводится для многообразий, снабженных однородной римановой метрикой. Определенная таким образом подгруппа полной группы диффеоморфизмов снабжается структурой группы Ли ═ Фреше
([Les1], [Les2], [Mich]) и ILH-группой Ли ([Om2]).
В 1.2.5 показывается, что структура группы биголоморфных автоморфизмов резко отличается от структуры групп диффеоморфизмов. Это демонстрируется на примере комплексной квадрики. Устанавливается свойство максимальности ортогональной подгруппы в группе биголоморфных
автоморфизмов квадрики в классе бесконечномерных подгрупп Ли, чьи алгебры Ли состоят из полных векторных полей (предложение 1.4).
Доказательство предложения 1.4 использует технику унитарных представлений полупростых групп Ли.
В п. 1.3 строятся полупрямые произведения групп токов и конечномерных групп Ли. Показано, что такие полупрямые произведения можно
снабдить структурой группы Ли ═ Фреше (теорема 1.1).
Дана геометрическая реализация вышеупомянутых полупрямых произведений в виде бесконечномерной группы поточечных автоморфизмов римановой структуры на многообразии и конечномерной группы киллинговых преобразований структуры. Аналогичная конструкция проводится
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
22
ГЛАВА 1
для конформных преобразований. Эти конструкции будут использованы
в главе 4 для группового анализа уравнений динамики жидкостей.
Далее предлагается обобщение традиционного определения групп токов
как гладких отображений из многообразий в конечномерные группы Ли.
Заметим, что традиционное определение приводит к группам из сечений
тривиального расслоения со слоем ? конечномерная группа Ли. В то же
время, могут возникать физические объекты, для исследования которых недостаточно тривиальных расслоений. В таком случае оказывается возможным перейти к ассоциированным расслоениям. Типичным примером здесь
являются группы поточечных автоморфизмов касательных пространств,
сохраняющих некоторую G-структуру. Показано, что такие группы снабжаются структурой ILH-группы Ли и обладают каноническими координатами первого рода в отличие от полной группы диффеоморфизмов, т. е.
являются группами Ли ═ Фреше первого рода.
Разобраны несколько типов обобщенных групп токов, связанных с геометрическими структурами. Показано, что они являются группами Ли ═
Фреше первого рода. Рассмотренные группы используются затем в физических приложениях глав 3 и 4.
В 1.3.5 вводится другой вариант обобщения групп токов. Определяется
класс групп отображений конечномерных многообразий в меняющуюся в
зависимости от точки базы конечномерную группу Ли. Прообраз конструкции такого рода дал Э. Картан [Кар]. В п. 1.3.6 строится пример такого
варианта обобщения групп токов, реализованной как псевдогруппы преобразований R3 . Алгебра Ли этой группы оказывается градуированной,
неприводимой и транзитивной и не подпадающей под известные классификации, теорема 1.4. Это объясняется тем, что в построенной алгебре Ли
градуировка идет от ??, а в известных классификациях она ограничена
снизу. В п. 1.3.7 разбирается вопрос о возможности действий алгебр Каца
═ Муди на конечномерных многообразиях. В теореме 1.5 доказано, что в
классе алгебр Каца ═ Муди действовать на конечномерном многообразии
с неподвижной точкой могут лишь конечномерные полупростые алгебры
Ли.
В 1.4 рассматривается вопрос наличия конечных систем образующих в
бесконечномерных группах Ли как топологических группах. Для конкретных многообразий (n-мерные сфера, тор, вещественное проективное пространство) удается построить конечные системы образующих специального вида ? из бирациональных диффеоморфизмов. Бирациональность понимается в смысле естественных структур вещественных алгебраических
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
23
многообразий [Ш]. В 1.4.2 строится конечная система образующих в группе
диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема n-мерного тора, состоящая из бирациональных преобразований в естественной вещественно- алгебраической структуре. В 1.4.3 аналогичные системы образующих строятся в группах диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема n-мерной
сферы и n-мерного проективного пространства.
В 1.4.4 рассматривается вопрос о существовании конечной системы образующих в связной компоненте единицы топологической группы диффеоморфизмов произвольного компактного многообразия с краем. Показана конечная порожденность бесконечномерных алгебр Ли из систем образующих в
виде полиномиальных векторных полей. Устанавлена топологическая конечная порожденность связной компоненты единицы сначала для группы
диффеоморфизмов отрезка (лемма 1.4), а затем и произвольного компактного многообразия с краем (теорема 1.10).
В 1.5 определяется связность Леви-Чивиты на бесконечномерной группе
Ли и выводится форма уравнений Эйлера через оператор коприсоединенного действия. Затем разбираются аспекты, связанные с продолжением
решений уравнений Эйлера на бесконечномерных группах Ли на бесконечность во времени.
В заключение дается вывод формулы Арнольда секционной кривизны
группы Ли с односторонне инвариантной метрикой для случая произвольной ILH-группы Ли.
1.1. Бесконечномерные гладкие многообразия. Основные понятия и
геометрические структуры
1.1.1
Бесконечномерное многообразие ═ это аналог конечномерного с атласом
из окрестностей заданного бесконечномерного топологического векторного
пространства V . Топологическое векторное пространство V предполагается Хаусдорфовым и локально выпуклым. Кроме того, обычно рассматривают класс борнологических пространств. Этот класс является минимальным, позволяющим оперировать категорией гладкости на бесконечномерном многообразии.
Напомним определение борнологического пространства и приведем
основные конструкции анализа на этом классе пространств, следуя [Les3].
Для двух подмножеств A, B ? V скажем, что A поглощает B, если существует такое ? > 0, что для любого ? ? ? имеем B ? ?A. Подмножество
M ? V называется ограниченным, если оно порождается любой окрестностью нуля. Подмножество D ? V называется диском, если для любого
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
24
ГЛАВА 1
? ? R, |?| ? 1 имеем ?D ? D. Топологическое векторное пространство V
называется борнологическим, если диск D, поглощающий любое ограниченное множество M , является окрестностью нуля.
Остановимся также на понятии гладкости для отображений борнологических пространств.
Пусть V, W ? борнологические пространства, U ? V . Отображение f :
U ? W называется n-дифференцируемым в x ? U , если существуют такие
k-линейные отображения Dk f : V в ... в V ? W , что если ввести
Fk (v) = f (x + v) ? f (x) ? Df (x)(v) ? ... ?
то
Gk (t, v) =
1 k
D f (x)(v, ..., v),
k!
Fk (tv)
, t = 0, Gk (0, v) = 0
tk
непрерывна в точке (0, v) для k = 1, ..., n.
Борнологическим многообразием называется хаусдорфово топологическое пространство X, на котором задан набор из борнологических пространств E? , ? ? A, изоморфных заданному пространству E, такой, что
для любой точки x ? X существует окрестность U : x ? U ? X и гомеоморфизм ?U : U ? E?(U ) . Если, кроме того, имеется покрытие X окрестностями U и выполнено условие согласованности вложений как выполнение
того, что
?U ??1
V : ?V (U ? V ) ? ?U (U ? V )
является C ? - отображением, то набор ?U : U ? E?(u) называется гладким
атласом, моделированным на E.
Два гладких атласа называются эквивалентными, если их объединение
образует гладкий атлас.
Гладким борнологическим многообразием называется многообразие с
классом эквивалентных гладких атласов. В теории бесконечномерных многообразий часто оперируют с более узкими классами топологических пространств, задающих атлас многообразия. Здесь можно выделить следующие.
1. Полные метризуемые пространства с метрикой, однородной относительно сдвигов (или, что эквивалентно, заданной счетным набором
полунорм), ═ пространства Фреше.
2. Полные нормированные пространства ═ банаховы.
3. Банаховы пространства со скалярным произведением, задающим
норму, ═ гильбертовы.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
25
Соответствующие бесконечномерные многообразия называются:
многообразия Фреше;
банаховы многообразия;
гильбертовы многообразия.
Известно, что пространство гладких сечений векторного расслоения на
многообразии M можно снабдить структурой пространства Фреше [Роб].
Пример. Пусть M, N ? компактные многообразия. Обозначим через
?
C (M, N ) множество гладких отображений из M в N , снабженное C ? топологией. Введем также векторное пространство C ? (M, T N ), где T N
касательное расслоение. C ? (M, T N ) является пространством Фреше.
Фиксируем римановы метрики на M и N . Обозначим через exp ? риманов
экспоненциал метрики. Возьмем теперь элемент f ? C ? (M, N ) и окрестность нуля U ? C ? (M, T N ). Построим отображение ? : U ? O(f ) ?
C ? (M, N ):
u ? g, g(x) = exp(u(f (x)).
При подходящем выборе U это отображение будет картой в окрестности
f , а их совокупность атласом, задающим структуру многообразия Фреше
на C ? (M, N ). Эта структура не зависит от выбора римановой метрики
([EM]).
1.1.2
Для бесконечномерного многообразия можно ввести понятия касательного пространства, касательного расслоения, векторного поля на многообразии (см. [Лг]). Остановимся на этих понятиях подробнее.
Для произвольного вектора v ? E и точки p ? X рассмотрим карты,
переводящие p в 0 ? E. Введем семейство кривых ? из R в E переводящих 0 в 0, удовлетворяющих условию ?(t)
t ? v ? 0 при t ? 0. Определим
также пространство гладких функций C ? (X) на X как C ? -отображений
d
из X в R. Для f ? C ? (X) имеем, dt
(f (?(t)))t=0 = Df (v) не зависит от
представителя семейства кривых ?(t). Вектор v ? E назовем касательным
вектором к X в точке p, а их совокупность, образующую пространство
E, касательным пространством Tp X в точке p. Тогда на гладком борнологическом многообразии X естественно вводится касательное расслоение
T (X) = ?p Tp X со слоем E.
T (X) ? X
и определяется пространство ?(T (X)) гладких сечений касательного расслоения (векторных полей V (X) на X).
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
26
ГЛАВА 1
Действие векторного поля v ? V (X) на пространстве гладких функций
на X задается следующим образом. Для f ? C ? (X) положим
v(f )(p) = df (v(p)).
Коммутатором векторных полей u, v ? V (X) является векторное поле
[u, v], действие которого задается следующим образом:
[u, v](f ) = u(v(f )) ? v(u(f ))
Из такого определения вытекает антикоммутативность коммутатора
векторных полей:
[u, v] = ?[v, u]
и выполнимость тождества Якоби:
[u[vw]] + [v[wu]] + [w[uv]] = 0.
1.1.3
Перейдем к геометрическим структурам на бесконечномерных многообразиях.
Пусть на бесконечномерном многообразии X определена риманова
структура, т. е. в каждой точке x ? X в касательном пространстве Tx X
задана положительно определенная билинейная форма <, >, гладко зависящая от точки x. Остановимся на построении связности Леви-Чивиты на
X по заданной римановой структуре.
Выше было определено пространство C ? (X) гладких функций на X и
V (X) пространство гладких векторных полей на X. Линейной связностью
на X будет C ? -отображение
? : V (X) в V (X) ? V (X)
со следующими свойствами
?X (Y1 + Y2 ) = ?X Y1 + ?X Y2
?X1 +X2 Y = ?X1 Y + ?X2 Y
?X (f Y ) = f ?X Y + X(f )Y
?f X Y = f ?X Y
Потребуем также выполнения тождества Риччи (условие римановости
связности)
X < Y1 , Y2 >=< ?X Y1 , Y2 > + < Y1 , ?X Y2 >
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
27
На многообразии с заданной римановой структурой в классе римановых
связностей имеется единственная с нулевым тензором кручения, называемая связностью Леви-Чивиты, ([ГКМ, с.101]).
[X, Y ] = ?X Y ? ?Y X.
Используя стандартные преобразования ([ГКМ, с.102]), получаем
1
(X < Y, Z > +Y < Z, X > ?
2
? Z < X, Y > + < Z, [X, Y ] > + < Y, [Z, X] > ? < X, [Y, Z] >)
< ?X Y, Z >=
(1.1)
Далее введем тензор кривизны:
R(u, v)w = ?u ?v w ? ?v ?u w ? ?[u,v] w
и секционную кривизну по двумерному направлению, заданному ортонормированной парой u, v:
K(u, v) =< R(u, v)v, u >
1.2 Бесконечномерные группы Ли. Основные понятия. Примеры бесконечномерных групп Ли
1.2.1
Бесконечномерную группу Ли определим как группу G, являющуюся
гладким борнологическим многообразием, моделируемым на борнологическом пространстве V , причем групповое умножение (g, h) ? gh и взятие
обратного элемента g ? g ?1 задаются C ? отображениями G в G ? G и
G ? G.
Борнологическое пространство V можно отождествить с касательным
пространством к единице группы:
Te G ?
= V.
Рассмотрим различные способы построения алгебры Ли для заданной
группы Ли G. Здесь удобно начать с определения алгебры Ли для формальной групповой операции, используемого в [Серр]. Пусть V ? локальная
карта в окрестности O(e) единицы группы G, а ? : O(e) ? V отображение, задающее карту, причем ?(e) = 0. Для пары элементов g, h ? O(e)
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
28
ГЛАВА 1
имеем ?(g) = x, ?(h) = y. Групповое умножение задает гладкое отображение G в G ? G, которое индуцирует соответствующее отображение в
локальной карте V в V ? V . Обозначим v = (x, y) ? V в V . Тогда можно
написать первые два члена тейлоровского разложения этого отображения
в окрестности единицы. Используя свойство ge = eg = g, получаем, что
первый член разложения имеет вид D1 (v) = x + y. Отсюда
?(gh) = x + y + B(x, y) + ...,
где B(x, y) = 12 D2 (v, v). Теперь положим
[x, y] = B(x, y) ? B(y, x).
Из определения следует антикоммутативность этой операции,
а из свойства ассоциативности группового умножения выполнимость тождества Якоби (см. [Серр]).
Для операции взятия обратного элемента имеем
?(g ?1 ) = ?x + B(x, x) + ...
Пусть теперь заданы два элемента x, y ? V и гладкие кривые
g(t), h(t) ? O(e), касающиеся в нуле элементов x, y. Построим кривую
z(t) = g(t)h(t)g(t)?1 h(t)?1
Имеем
?(z(t)) = ?(??1 (tx + ty + t2 B(x, y) + o(t2 ))в
в ??1 (?tx + t2 B(x, x) + o(t2 ))??1 (?ty + t2 B(y, y) + o(t2 )) =
= t2 (B(x, y) ? B(y, x)) + o(t2 ) = t2 [x, y] + o(t2 )
Итак, мы получили известную формулу для приближенного выражения
скобки Ли.
Разберем здесь также конструкцию алгебры Ли по заданной группе Ли,
используемую в [АрХес].
Пусть Te G ═ касательное пространство к единице группы G.
Для произвольного элемента a ? G обозначим через Inta ═ внутренний
автоморфизм группы G
Inta (x) = axa?1 .
Если обозначить через e ═ единицу группы G, то имеем Inta (e) = e. Таким
образом, можно рассмотреть касательное отображение в e:
Ad(a) = d|e (Inta ).
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
29
Отображение Ad(a) задает линейный автоморфизм пространства Te G. Ему
соответствует присоединенное действие ([ЗВ, с. 83]) группы G в пространстве Te G,
Ad(a), которое для краткости будем обозначать Ad(a)(x) = ax. Таким
образом, имеется отображение
Ad : G в Te G ? Te G.
Из гладкости операций в группе G это отображение также является гладким. Теперь можно ввести отображение, касательное к Ad в точке (0, 0):
d|(0,0 (Ad) : Te G в Te G ? Te G
и обозначить его через ad x(y). Т. е. инфинитезимально присоединенному
действию Ad группы G в Te G соответствует присоединенное действие ad
пространства Te G на себе. Определим теперь бинарную операцию в Te G:
[x, y] = ad x(y).
Как хорошо известно, эта операция задает структуру алгебры Ли в Te G
(см., например, [ЗО] и [АрХес]).
Эквивалентность этого способа задания структуры алгебры Ли для заданной группы Ли предыдущему может быть установлена следующим
образом. Пусть g(t), h(t) ? G кривые, касающиеся в единице x, y. Имеем
?(g(t)h(s)g(t)?1 ) =
= ?(??1 (tx + sy + stB(x, y)...)??1 (?tx + t2 B(x, x) + ...)) =
= sy + st(B(x, y) ? B(y, x)) + ... = sy + st[x, y] + ...
Отсюда получаем
Ad(g(t))(y) = y + t[x, y] + ...
и, значит,
ad x(y) = [x, y].
Рассмотрим еще один способ построения алгебры Ли по заданной группе
Ли. Обозначим через Lg , Rg левые и правые сдвиги на элемент g группы
G:
Lg (h) = gh, Rg (h) = hg.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
30
ГЛАВА 1
Произвольный v ? V как элемент касательного пространства Te G в единице группы можно левыми (и правыми) сдвигами разнести по всей группе
G и построить по v лево (и право) инвариантные векторные поля на G:
L(v)(g) = dLg (v), R(v)(g) = dRg (v).
Алгебру Ли g группы Ли G можно отождествить с пространством левоинвариантных векторных полей на G, в котором скобка Ли определяется
как коммутатор векторных полей
[u, v] = [L(u), L(v)]|e
(см., например, [Ст],[Х]). Иногда для этого способа задания скобки Ли
используют пространство правоинвариантных векторных полей на G. Получающаяся в этом случае операция отличается от левоинвариантного случая знаком. Возможна также ситуация, когда используется алгебра правоинвариантных векторных полей и формула коммутирования векторных
полей берется с противоположным знаком ([Он3]), при этом скобка Ли будет совпадать с левоинвариантным случаем ([Х]).
1.2.2
В теории бесконечномерных групп Ли, как и многообразий, часто оперируют с более узкими классами топологических пространств. Здесь можно
выделить следующие классы:
группы Ли ═ Фреше;
банаховы группы Ли;
гильбертовы группы Ли.
С точки зрения теории бесконечномерных групп Ли наиболее хорошими
свойствами обладают банаховы и гильбертовы группы Ли. Так, например, в п.1.5 будет доказана полнота геодезического потока на гильбертовой группе Ли, что означает продолжаемость на бесконечность во времени
решений уравнений Эйлера на таких группах. Однако эти классы бесконечномерных групп Ли редко встречаются в контексте уравнений математической физики. Это обусловливается тем, что в качестве алгебр Ли
в физических задачах выступают обычно пространства гладких сечений
?(E) векторного расслоения E на гладком многообразии M . Банаховыми
и гильбертовыми пространствами здесь являются пространства сечений
чебышовского класса C k (или cоболевского W k ), которые не выдерживают
действий дифференциальных операторов.
Более глубокие исследования на группах диффеоморфизмов позволила
провести введенная Х. Омори структура ILH-группы Ли. Это понятие
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
31
основано на следующем факте. Дифференциальный оператор D порядка k
задает непрерывное отображение из функциональных пространств класса
C s (или W s ) в C s?k (или W s?k ). Если же рассматривать D как отображение в функциональные пространства еще меньшей гладкости C s?k?l (или
W s?k?l ), где l ? N, то D становится не только непрерывным, но и отображением класса C l (или W l ).
Напомним определение ILH-группы Ли ([Om1, с.101]).
Пусть имеется последовательность гладких гильбертовых многообразий
s
G , где s ? s0 , s0 ? N и группа Ли ═ Фреше G0 .
(i) G0 является обратным пределом Gs , s ? ?;
(ii) Каждое из Gs является топологической группой;
(iii) Gs+1 ? Gs , вложение Gs+1 ? Gs является гладким отображением;
(iv) Отображение (g, h) ? gh является C j отображением Gs+j вGs ? Gs
для любого j ? N;
(v) Отображение g ? g ?1 является C j отображением Gs+j ? Gs для
любого j ? N.
Структура ILH-группы Ли была построена Х. Омори для группы диффеоморфизмов Di╗(M ) компактного многообразия M с моделью над ее алгеброй Ли V (M ) гладких векторных полей на M . ILH группами Ли являются также вышеперечисленные классические подгруппы группы диффеоморфизмов.
Н. К. Смоленцев построил структуру ILH-группы Ли на подгруппе диффеоморфизмов, коммутирующих с действием потока заданного векторного
поля v ? V (M ), с моделью ? ее алгеброй Ли централизаторов элемента v
в алгебре Ли V (M ) ([СМ2]).
Дж. Лесли выделил специальный класс групп Ли ═ Фреше ([Les2],[Les3]).
Для группы Ли G этого класса по замкнутой подалгебре h в ее алгебре Ли
g, при условии, что она обладает прямым слагаемым в g, можно построить
подгруппу H Ли ═ Фреше в G.
Ниже будет построена структура ILH-группы Ли на полупрямых произведениях конечномерных групп Ли и групп поточечных автоморфизмов
заданной G-структуры на M .
Класс ILH-групп Ли позволил решить ряд новых вопросов по сравнению
с классом групп Ли ═ Фреше. В частности, методами теории ILH-групп
Ли Д. Эбину и Дж. Марсдену удалось получить локальные теоремы существования и единственности для уравнений Эйлера идеальной и Навье
═ Стокса вязкой несжимаемой жидкости [EM]. Однако ряд важных вопросов не решается в рамках класса ILH-групп Ли, в частности, и для этого
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
32
ГЛАВА 1
класса бесконечномерных групп Ли лиев экспоненциал не задает локальной
карты в единице группы ([Om2], [Нит]).
Стремление выделить такой класс бесконечномерных групп Ли, для которого лиев экспоненциал задает локальную карту в единице, привело к
введению бесконечномерных групп с еще более сильной структурой, чем
ILH-группы Ли. Это группы Кэмпбелла ═ Хаусдорфа или группы Ли первого рода [Rob]. Группа первого рода ═ это такая группа Ли ═ Фреше,
которая обладает каноническими координатами первого рода, т. е. когда
ее лиев экспоненциал, то есть отображение
v ? exp(v),
задает локальную карту в единице группы [Rob]. Примерами групп первого рода являются группы токов G(M, K) и обобщенные группы токов
(определения см. в п. 1.3).
Естественным обобщением группы первого рода является определение,
стартующее от канонических координат второго рода. В [KR] введено
понятие бесконечномерной группы Ли второго рода как обладающей локальными координатами, являющимися аналогом канонических координат
второго рода конечномерных групп Ли. То есть группа второго рода ═ это
такая группа Ли ═ Фреше G, что ее алгебра Ли g может быть разложена в
прямую сумму топологических векторных пространств
g = V1 + ... + Vk ,
причем произведение k лиевых экспоненциалов, то есть отображение
(v1 , ..., vk ) ? exp(v1 )... exp(vk ),
задает локальную карту в единице группы. Для этого класса групп построена теория Ли, аналогичная конечномерной (доказаны три теоремы
Ли), чего не удалось сделать в общем случае для групп Ли ═ Фреше и
ILH-групп Ли.
1.2.3
Одним из основных примеров бесконечномерной группы Ли является
группа диффеоморфизмов компактного многообразия.
Пусть M ? компактное многообразие. Обозначим через
Di╗(M ) группу диффеоморфизмов M , снабженную C ? -топологией. Она
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
33
является открытым подмножеством в C ? (M, M ), а значит, структура многообразия Фреше на C ? (M, M ) индуцирует структуру группы Ли ═ Фреше
на Di╗(M ), ([Les1],[Om1]).
Модельным топологическим векторным пространством здесь служит
пространство V (M ) гладких векторных полей на M . Топологическое векторное пространство V (M ) можно представить в виде проективного предела пространств V k (M ) векторных полей cоболевского класса H k . Соответственно группу Di╗(M ) можно представить как обратный предел групп
Di╗ k (M ) диффеоморфизмов cоболевского класса H k . Это позволяет построить структуру ILH-группы Ли на Di╗(M ) ([Om1]).
Другими важными примерами бесконечномерных групп Ли ═ Фреше и
ILH-групп Ли являются подгруппы группы диффеоморфизмов. Это:
группа диффеоморфизмов Di╗ ╣ (M ), сохраняющих элемент объема ориентированного риманова многообразия M ; если обозначить через ? форму
объема, то эту группу образуют диффеоморфизмы, сохраняющие ?;
группа диффеоморфизмов Di╗ ? (M ), сохраняющих форму ? симплектической структуры многообразия M ;
группа диффеоморфизмов Di╗ ? (M ), сохраняющих форму ? контактной
структуры многообразия M .
Эти три подгруппы можно рассматривать как множества диффеоморфизмов, сохраняющих соответствующую форму (?, ?, ?) на многообразии.
Топологическими пространствами, которые служат для построения атласов гладкой структуры на многообразиях этих групп, являются пространства векторных полей, аннулирующих соответствующую форму, т. е. их
алгебры Ли. Это:
V╣ (M ) ═ пространство бездивергентных векторных полей([EM]);
V? (M ) ═ пространство симплектических векторных полей([EM]);
V? (M ) ═ пространство контактных векторных полей([RS]).
Описанные подгруппы группы диффеоморфизмов называются классическими, а построение структуры группы Ли ═ Фреше и ILH-группы Ли на
каждой из них является самостоятельной задачей.
1.2.4
Проведенные выше рассуждения относились к компактным многообразиям. В этом разделе рассматривается определенный класс некомпактных
римановых многообразий (многообразия с однородной римановой метрикой).
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
34
ГЛАВА 1
Для случая рассматриваемого класса некомпактных римановых многообразий в алгебре бездивергентных векторных полей выделяется подалгебра, на которую переносятся методы, развитые для компактных многообразий ([Ар1], [Ar1], [Ar2]).
Рассмотрим сначала случай K = Rn . Выделим в алгебре Ли V╣ (K) подмножество V╣0 (K) векторных полей, быстро убывающих на бесконечности
со всеми производными.
Определение 1.1. Векторное поле v ? V╣ (K) принадлежит V╣0 (K), если
существуют такие коэффициенты
{Ci,k }, k = 0, 1, 2, ..., i = 1, 2, ..., Ci,k > 0,
что
|v (k) (x, ?)| ? Ci,k (1 + |x|i )?1 .
(1.2)
Введем в V╣0 (K) следующую топологию.
Определение 1.2. Последовательность векторных полей
{vn } ? V╣0 (K)
сходится к полю v, если
1) vn ? v равномерно на компактах со всеми производными;
2) для всех элементов последовательности {vn } справедлива оценка (1.2)
с одними и теми же коэффициентами {Ci,k }. Заметим, что в этом случае
и само поле v удовлетворяет (1.2) с теми же значениями {Ci,k }. Таким
образом, с введенной топологией пространство V╣0 (K) полно.
Предложение 1.1. Множество V╣0 (K) с введенной топологией является
топологической алгеброй Ли.
Заметим, что построенная топология аналогична введенной А.А. Кирилловым в [Кир2] для финитных векторных полей, однако здесь допускаются также поля, нетривиальные на бесконечности.
Перейдем далее к группе Di╗ ╣ (K) и выделим в ней подгруппу, соответствующую алгебре Ли V╣0 (K).
Определение 1.3. Диффеоморфизм f ? Di╗ ╣ (K) принадлежит
Di╗ 0╣ (K), если существуют такие коэффициенты
{Ci,k }, k = 0, 1, 2, ..., i = 1, 2, ..., Ci,k > 0},
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
что
|f (k) (x, ?) ? Id(k) (x, ?)| ? Ci,k (1 + |x|i )?1 .
35
(1.3)
Здесь Id ═ тождественный диффеоморфизм. Для этого класса диффеоморфизмов сходимость определим следующим образом.
Определение 1.4. Последовательность
{fn } ? Di╗ 0╣ (K)
сходится к диффеоморфизму f , если
1) fn ? f равномерно на компактах со всеми производными;
2) для всех элементов последовательности {fn } справедлива оценка (1.3)
с одними и теми же коэффициентами
{Ci,k }, k = 0, 1, 2, ..., i = 1, 2, ..., Ci,k > 0.
Заметим, что в этом случае и f удовлетворяет (1.3) с теми же значениями {Ci,k }. При помощи стандартных выкладок можно показать, что
Di╗ 0╣ (K) является топологической группой, обладающей полной окрестностью единицы [П]. Отсюда следует, что Di╗ 0╣ (K)? полная топологическая
группа. Однако на этой группе можно ввести более сильные структуры
группы Фреше и ILH-группы Ли [Om2], [Les1].
Предложение 1.2. Множество Di╗ 0╣ (K) является ILH-группой Ли с алгеброй Ли V╣0 (K).
Доказательство основано на использовании локальной карты
F : (U ? V╣0 (K)) ? (V ? Di╗ 0╣ (K)),
где (F(u) )(x) = x + u(x), и может быть проведено по аналогии с [Om2].
Предложение 1.2 обобщается на случай некомпактного риманова многообразия K с однородной римановой метрикой [Он2], [Ком].
В качестве локальных карт для этого случая на группе G = Di╗ 0╣ (K)
следует взять отображения
F : U ? G, (F (u))(x) = Expx u(x),
где Expx : Tx M ? M ═ риманов экспоненциал однородной метрики, а
U ? Tx M окрестности инъективности Exp. Для таких карт переносятся
определения 1.2, 1.3, 1.4.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
36
ГЛАВА 1
Предложение 1.3. Для некомпактного риманового многообразия K с
однородной метрикой Di╗ 0╣ (K) является ILH-группой Ли с алгеброй Ли
V╣0 (K).
Доказательство использует свойство однородности римановой метрики
и, таким образом, сводится к случаю Rn .
1.2.5
Остановимся также на комплексных многообразиях и их группах автоморфизмов. Заметим, что такие вещественные многообразия, как
Tn , Sn , RPn , обладают комплексными оболочками ([Он1]). Ограничимся
рассмотрением комплексной оболочки n-мерной сферы Sn , т. е. квадрики
Qn , заданной в Cn+1 уравнением
n+1
zi2 = 1.
i=1
На Qn естественно действует комплексно-ортогональная группа SO(n +
1, C). Оказывается, что в комплексном случае ортогональная группа обладает свойством максимальности во всей группе биголоморфных автоморфизмов квадрики Hol(Qn ). Обозначим через hol(Qn ) ═ алгебру Ли голоморфных векторных полей на Qn . Заметим, что т. к. многообразие Qn
некомпактно, не всякое векторное поле v ? hol(Qn ) является полным, т. е.
таким, что его локальный поток продолжается до глобального потока на
Qn . Здесь справедливо
Предложение 1.4. Комплексно-ортогональная подалгебра является максимальной среди подалгебр, задающих действие на Qn , т. е. состоящих из
полных векторных полей на квадрике.
Доказательство .
Введем пространство сферических векторных полей на Sn . Имеет место следующее разложение S(Sn ) на неприводимые подпространства (см.
[Кир1], [Л1]):
C
n
?
3
k=0
?
S (S ) =
C
S (S ) =
C
PM
n +k?n
C
(PM
3 +k?3
k=0
+
?
C
Pk?
,
n
n = 3,
k=1
+
C
PM
)
3 +k?3
+
?
k=1
C
Pk?
.
3
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
37
C
Серию подпространств Pk?
образуют векторные поля вида gradSn p, где
n
p ═ однородный гармонический многочлен степени k от {x1 , ..., xn+1 }, т. е.
?p = 0, а ? ═ оператор Лапласа в Rn+1 .
Покажем, что в каждом из этих подпространств содержится неполное
векторное поле. Можно выбрать однородный гармонический многочлен от
двух переменных p(x1 , x2 ) степени k. Тогда имеем
u = gradSn p = (
?p ?p
,
, 0, ..., 0) ? kp(x1 , x2 , ..., xn+1 ).
?x1 ?x2
Векторное поле u на Sn продолжается до векторного поля uC на Qn , причем
оно касается подмногообразия Q1 ? Qn , заданного уравнением z12 + z22 = 1.
Используя стандартную технику теории функций комплексного переменного, можно показать, что Hol(Q1 ) = O(2, C). В частности, полные векторные поля на Q1 имеют вид ?(?z2 , z1 ), ? ? C. С другой стороны, для
ограничения векторного поля u получаем, что uC |Q1 = ?(?z2 , z1 , 0, ..., 0),
таким образом, векторное поле uC неполное.
Рассмотрим теперь серии подпространств
C
PM
, n = 2,
n +k?n
n ? 4,
C
C
PM
+k? + PM +k? .
3
3
3
3
Эти серии образуют так называемые вихревые векторные поля, т. е.
поля из комплексификации пространства бездивергентных векторных на
Sn . Введем в пространстве вихревых векторных полей на Sn подпространство Tkn , состоящее из таких полей v = (v1 , ..., vn+1 ), что отличные от нуля
координаты vi являются однородными гармоническими многочленами степени k. Покажем, что при n = 2, n ? 4 имеем Tkn = PMn +k?n . При n = 2
это следует из того, что PM2 +k?2 состоит из полей вида I(gradS2 f ), где f ═
однородный гармонический многочлен степени k +1. При n ? 4 можно воспользоваться естественным вложением пространства PM2 +k?2 ? PMn +k?n ,
когда векторному полю (v1 , v2 , v3 ) ставится в соответствие векторное поле
(v1 , v2 , v3 , 0, ..., 0). Отсюда Tkn = 0. С другой стороны, T1n = so(n + 1) =
PMn . Так как векторные поля из PMn +k?n имеют координатными функциями многочлены степени не выше k + 1, то из вышесказанного следует, что
Tkn = PMn +k?n .
Особо рассмотрим случай n = 3. Тогда алгебра Ли so(n + 1) = so(4) не
проста, а раскладывается в прямую сумму подалгебр so(4) = k1 ? k2 , где
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
38
ГЛАВА 1
ki ?
= so(3), i = 1, 2. В них можно выбрать базисы из векторных полей на
3
S ? R4 :
e1,1 = (x2 , ?x1 , x4 , ?x3 ),
e1,2 = (x3 , ?x4 , ?x1 , x2 ),
e1,3 = (x4 , x3 , ?x2 , ?x1 ),
e2,1 = (x2 , ?x1 , ?x4 , x3 ),
e2,2 = (x3 , x4 , ?x1 , ?x2 ),
e2,3 = (x4 , ?x3 , x2 , ?x1 ).
Условимся считать, что
PM3 = k1 , PM3 3 ?
= k2 .
Покажем далее, что подпространства
C
C
, (PM
)
PM
3 +k?3
3 +k?3
3
, которые можно представить в виде
образуют те элементы v ? Tk+1
v=
3
3
fi e1,i , (
fi e2,i ),
i=1
i=1
где f ? многочлены степени k.
Действительно, из
весовых
свойств
3 подпространств следует, что вектор3
ные поля вида v = i=1 fi e1,i , ( i=1 fi e2,i ) натягивают подпространство,
содержащее PM3 +k?3 , (PM3 +k?3 ). Кроме того, ортогональное несобственное преобразование
A(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 , x2 , x3 , ?x4 )
переставляет k1 , k2 , а значит, и PM3 +k?3 , (PM3 +k?3 ). Кроме того, A пе3
3
реставляет поля вида i=1 fi e1,i и i=1 fi e2,i ), поэтому поля из PM3 +k?3
нельзя представить в виде 3i=1 fi e2,i ) и наоборот. С другой стороны, преобразование A оставляет инвариантным Tk2 , откуда это подпространство
имеет ненулевые компоненты как в PM3 +k?3 , так и в (PM3 +k?3 ). Так как
Tk2 ? Tk3 , то имеем
Tk3 = PM3 +k?3 + PM3 +k?3 .
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
39
Построим теперь в пространствах PM2 +k?2 неполные векторные поля.
Выберем однородный гармонический многочлен f (x1 , x2 ) степени k.
Имеем
v = I(gradS2 ) = (x23
?f
? x2 f,
?x2
?f
+ x1 f,
?x1
?f
?f
x2 ?
x1 )).
x3 (
?x1
?x2
? x23
Теперь заметим, что векторное поле v C касается Q12 , причем
v C |Q12 = f (?z2 , z1 ) = ?(?z2 , z1 , 0).
Отсюда поле v C неполное. Неполным является также и поле, получающееся путем вложения v C в Hol(Qn ) при n ? 4. В случае n = 3 обозначим
через i(v C ) естественное вложение векторного поля v C в Hol(Q3 ). Имеем
i(v C ) = 12 (w + w ), где
w = ?f (z2 , ?z1 , z4 , ?z3 )+
?f
+
z3 (z3 , ?z4 , ?z1 , z2 ) ?
?z2
w = ?f (z2 , ?z1 , ?z4 , z3 )+
?f
z3 (z3 , z4 , ?z1 , ?z2 ) ?
+
?z2
?f
z3 (z4 , z3 , ?z2 , z1 ),
?z1
?f
z3 (?z4 , z3 , ?z2 , z1 ).
?z1
Из предыдущего имеем
w ? PM3 +k?3 , w ? PM3 +k?3 .
Кроме того, заметим, что w |Q1n = w |Q1n = f (?z2 , z1 , 0). Отсюда векторные поля w , w неполны при k > 0. Итак, в любом из неприводимых
so(n + 1) модулей, кроме so(n + 1) (при n = 3 кроме so(3) + so(3) = so(4)),
построены неполные векторные поля. Это доказывает теорему.
1.3. Группы токов и их обобщения
1.3.1
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
40
ГЛАВА 1
Пусть даны конечномерные гладкое многообразие M и группа Ли K.
Группа токов G(M, K) определяется как пространство гладких отображений из M в K с поточечным умножением. Если обозначить через k алгебру
Ли группы K, то пространство гладких отображений из M в k естественно
рассматривать как алгебру Ли g(M, k) группы токов. Лиевый экспоненциал группы K, взятый поточечно на M , индуцирует лиев экспоненциал
в группе G(M, K). Это позволяет построить канонические координаты 1го рода на G(M, K), поэтому группа токов является группой 1-го рода и
группой Ли ═ Фреше. В этом параграфе мы дадим конструкцию обобщения
группы токов.
Ниже мы часто будем использовать следующее утверждение.
Теорема 1.1. Пусть конечномерная группа Ли K действует на многообразии M автоморфизмами G-структуры P . Тогда естественно определяемое полупрямое произведение B = KR группы K и обобщенной группы
токов R поточечных автоморфизмов G-структуры является группой Ли ═
Фреше второго рода и ILH-группой Ли.
Доказательство. Зададим действие группы K на группе R. Далее
удобно будет касательный вектор a ? Tp M обозначать как пару (p, a), т.
е. ?(a) = p, где ? : T M ? M ? проекция касательного расслоения. Для
элемента k ? K положим T k(p, a) = (k(p), dk|p (a). Теперь для o ? R
определим
(1.4)
k(o) = (T k)o(T k?1 )
Из условия теоремы имеем k(o) ? R и К действует на R автоморфизмами.
Теперь можно построить полупрямое произведение B групп K и R. Введем в B операцию
(1.5)
(k , o )(k, o) = (k k, o k (o)).
Как известно, B с операцией (1.5) является группой. Единицей является
пара (Id,Id). Обратный элемент имеет вид (k, o)?1 = (k?1 , k?1 (o?1 )).
Положим
(k, o)(p, a) = (k(p), o|k(p) (dk|p (a))).
(1.6)
Непосредственно проверяется, что отображение (1.6) задает действие
группы B на касательном расслоении T M .
Рассмотрим алгебру Ли r. Пусть k? алгебра Ли группы K, она состоит
из киллинговых (сохраняющих G-структуру) векторных полей на M . Введем отображение F : k вr ? B. Положим F (q, f ) = exp(q) exp(f ) , где q ? k,
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
41
f ? r. Пусть U ? k? окрестность инъективности экспоненциального отображения группы K, а V ? r? окрестность нуля, состоящая из сечений расслоения g(M ) ? M , поточечно принадлежащих областям инъективности
экспоненциального отображения в слое (exp : g(Tx M ) ? G(Tx M )). Тогда
ограничение отображения F на U вV определяет канонические координаты
второго рода на B и задает локальную карту в единице группы. В произвольной точке p = (g, s) ? B можно задать локальную карту A(g, s) отображением F (q, f ) = g exp(q)s exp(f ), где (q, f ) ? U в V . Переход от карты
A(g, s) к карте A(g , s ) приводит к уравнениям h = g exp(q)s exp(f ) =
g exp(q )s exp(f ), где h ? A(g, s) ? A(g , s ).
Из единственности разложения элемента в полупрямом произведении
групп получаем g exp(q) = g exp(q ), s exp(f ) = s exp(f ). Отсюда следует, что функции перехода на группе B сводятся к паре функций перехода
канонических координат для конечномерной группы Ли K и обобщенной
группы токов R. Таким образом, построенный атлас {A(g, s)} определяет
структуру группы Ли ═ Фреше на B. Операция умножения m на B из (1.5)
может быть представлена в виде суперпозиции m = (mK , mR (Id, Aut(K)))
умножения в K, умножения в R и действия K на R автоморфизмами по
формуле (1.4). Отсюда следует гладкость групповых операций в построенном атласе. Чтобы ввести структуру ILH-группы Ли, погрузим группу
R в группу Rn , состоящую из сечений расслоения G(M ) ? M соболевского класса W n , ее алгеброй Ли будет пространство rn , состоящее из
сечений расслоения g(M ) ? M класса W n . Групповая операция в обобщенной группе токов R является гладкой в классе W n , так как сводится
к попарным умножениям координатных функций сечений в построенном
атласе. Действие алгебры Ли k сводится к умножениям заданных гладких
функций на первые производные координатных функций сечений из rn и
потому на единицу понижает соболевскую гладкость этих сечений, т. е.
переводит соболевский класс W n в W n?1 . Отсюда, используя неравенство
Коши ═ Буняковского для произведений гладких функций, соответствующих элементам k на координатные функции сечений в построенном атласе,
получаем, что действие компактной группы K на обобщенную группу токов R автоморфизмами является гладким в ILH- смысле. Теорема доказана.
1.3.2
Рассмотрим далее в качестве компактного многообразия сферическое
расслоение S(M ) ? M над n-мерным римановым многообразием M со
слоем (n ? 1)-мерной единичной сферой Sn?1 .
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
42
ГЛАВА 1
Предложение 1.5. Пусть в условиях теоремы 1.1 группа Ли K транзитивна на многообразии M , а группы автоморфизмов Gx в слоях транзитивны на лучах в Tx M и, кроме того, для любого элемента g ? Gx элемент
g((det g)?1 Id) ? G.
Тогда естественное действие группы B на касательном расслоении T M
индуцирует транзитивное действие на сферическом расслоении
S(M ) в случае риманова многообразия M . Подгруппа N = {Id, ?(x) IdX },
где ?(x) IdX ? поточечные гомотетии линейных пространств Tx M , является ядром неэффективности этого действия, а действие на S(M ) факторгруппы Q = B/N эффективно.
Доказательство. В случае действия на многообразии с римановой метрикой по действию на T M определяется действие на S(M ) по формуле
o(dk(a))
), причем из принадлежности точки (p, a)
(k, o)(p, a) = (k(p), det(o(dk(a))
сферическому расслоению имеем |a| = 1.
Подгруппа N оставляет неподвижными точки S(M ). В произвольном
классе смежности (u, f )N лежит единственный элемент вида (u, ?) такой,
что ? ═ поточечное унимодулярное преобразование, а именно это элемент
f
? = det(f
) . Отсюда фактор-группа Q = B/N эффективно действует на
S(M ).
Пример 1.1. M = T2 (двумерный тор) со стандартной метрикой. K = T2 .
В этом случае S(M ) ?
= T3 . В стандартных координатах (x, y, z) на T3 ,
взятых по модулю 2?, алгебру Ли b группы B образуют векторные поля
?
+ b ?? y + f (x, y) ?? z , где a, b ? R.
вида u = a ?x
Пример 1.2. M = Sn (n-мерная сфера) с конформной структурой. В
качестве K возьмем группу SO(1, n + 1) конформных преобразований Sn
(при n = 2 это группа Лоренца).
1.3.3
Пусть дано трехмерное ориентированное риманово многообразие M .
Обозначим через V (M ) пространство гладких векторных полей на M . Введем в V (M ) структуру алгебры Ли, задав операцию (u, v) ? u в v как поточечное векторное произведение (u в v)(x) = u(x) в v(x), индуцированное
структурой евклидова пространства и ориентацией в Tx M .
В случае, когда многообразие M параллелизуемо, алгебра Ли V (M ) с
таким образом определенной операцией изоморфна алгебре токов
g(M, so(3)), которой соответствует бесконечномерная группа Ли, являющаяся группой токов G(M, SO(3)).
Группа G(M, SO(3)) примечательна тем, что может рассматриваться как
конфигурационное пространство уравнения Ландау ═ Лифшица.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
43
В общем случае касательное расслоение T (M ) может и не быть тривиальным. Возникает вопрос, какая группа Ли соответствует алгебре Ли
V (M ) с поточечным векторным произведением. Этот вопрос интересен
также с точки зрения того, как устроено конфигурационное пространство
уравнения Ландау ═ Лифшица на непараллелизуемом многообразии. Ответ
на этот вопрос будет дан в рамках более общей конструкции (см. ниже,
предложение 1.6).
Пусть теперь M является n-мерным римановым многообразием. Рассмотрим алгебру Ли End T (M ) гладких эндоморфизмов векторного расслоения
T (M ), переводящих каждый слой в себя, снабженную операцией коммутирования. Пусть ?? ее подалгебра, состоящая из эндоморфизмов, индуцирующих в каждом евклидовом пространстве Tx (M ), x ? M , кососимметрическое линейное преобразование. Алгебру Ли ? можно рассматривать как
пространство гладких сечений некоторого расслоения E на алгебры Ли
над M с типичным слоем so(n). Расслоение E ассоциировано с T (M ) при
помощи присоединенного представления структурной группы O(n) в пространстве so(n); его слоем Ex в точке x ? M является алгебра Ли всех
кососимметрических линейных преобразований слоя Tx (M ) (см. [ЗВ]). В
случае трехмерного ориентированного риманова многообразия M алгебра
Ли ? изоморфна V (M ), причем изоморфизм V (M ) ? ? задается присоединенным представлением ad алгебры Ли V (M ); здесь (ad v)(u) = v в u.
Построим теперь бесконечную группу Ли G, соответствующую алгебре
Ли ?. В качестве G мы возьмем подмножество в End T (M ), состоящее
из автоморфизмов касательного расслоения, индуцирующих в каждом слое
ортогональное преобразование. Умножение в G? это обычная композиция
автоморфизмов. Группу G можно рассматривать как множество гладких
сечений расслоения на группы Ли O(T (M )), слоем которого в точке x ? M
является группа Ox ортогональных преобразований пространства Tx (M ).
Это расслоение ассоциировано с T (M ) при помощи действия группы O(n)
на себе внутренними автоморфизмами. Обозначим через
exp : Ex ? Ox
экспоненциальное отображение алгебры Ли кососимметрических линейных
операторов в группу ортогональных преобразований пространства Tx (M ).
Напомним, что бесконечномерная группа Ли ═ Фреше называется группой Ли первого рода, если экспоненциальное отображение биективно в некоторой окрестности нуля [KR], т. е. канонические координаты первого
рода образуют карту.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
44
ГЛАВА 1
Предложение 1.6. Пусть многообразие M компактно. Тогда группа G
является:
ILH-группой Ли с алгеброй Ли ?;
группой Ли ═ Фреше первого рода.
Доказательство.
С каждой точкой x ? M можно связать координатную окрестность Ux ?
M этой точки. Расслоения E и O(T (M )) тривиальны над Ux . Поэтому существует окрестность нуля в алгебре Ли Ex такая, что в каждой точке
p ? Ux отображение exp : Ep ? Op биективно отображает Vp на окрестность единицы в Ox . Выберем конечный набор окрестностей Ux1 , . . . , Uxr ,
покрывающих M . Пусть V = Vx1 ? . . . ? Vxr . Тогда пространства гладких
отображений C ? (Uxi ) ? V, i = 1, . . . , r образуют атлас Фреше [Les1] для
группы G. Введем группы Gk сечений расслоения на O(T (M )) соболевского класса H k , k ? 1. Из биективности отображения exp на V следует,
что пространства H k -отображений C ? (Uxi ) ? V, i = 1, . . . , r образуют
гильбертов атлас для многообразия Gk . В локальных координатах операция коммутирования в алгебре Ли Ex может быть выражена через сумму
попарных произведений координат. Из этого следует [P], что пространство
?k сечений класса H k расслоения E является гильбертовой алгеброй Ли и,
в частности, нормированной алгеброй Ли в смысле Дынкина [Д], а Gk ? соответствующей ей аналитической группой. Многообразие Фреше G можно
представить в виде обратного предела гильбертовых многообразий Gk .
Далее, используя локальную тривиальность расслоения O(T (M )) ? M ,
можно выбрать такой атлас A на M , что в каждой карте U ? A сечения s
представляются матричнозначными функциями s : U ? O(n). Групповым
операциям в Gk соответствуют тогда поточечные O(n)-операции. Отсюда
следует выполнимость аксиом ILH-группы Ли.
Далее в алгебре Ли ? группы G введем подмножество ?? , состоящее
из сечений s, для которых норма кососимметрического линейного оператора sx в Tx M в каждой точке не превосходит ?. При достаточно малом
? элемент sx будет попадать в окрестность V в смысле ранее построенного атласа, т. е. в окрестность биективности отображения exp. Тогда
?? будет окрестностью биективности для экспоненциального отображения
группы G.
1.3.4
На римановом многообразии группа G может рассматриваться как конфигурационное пространство уравнения Ландау ═ Лифшица. Она заменяет
группу токов G(M, SO(n)) для случая непараллелизуемого многообразия
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
45
M . Соответственно в ее алгебре Ли ? можно записать уравнение Ландау
═ Лифшица как
?v
= [v, N v],
?t
где N : ? ? ? является эллиптическим дифференциальным оператором.
Формализм исследования уравнения Ландау ═ Лифшица, развитый в [L3]
для группы токов, переносится на эту конструкцию.
Разберем далее пример другой бесконечномерной алгебры Ли,
группа Ли которой может рассматриваться как обобщение группы токов.
Пусть M ? гладкое многообразие, а V (M )? пространство гладких векторных полей с тривиальной операцией коммутирования. Построим группу
Ли, соответствующую этой алгебре Ли. Для этого касательному вектору
v в произвольной точке x ? M поставим в соответствие сдвиг Rv на элемент v в касательном пространстве Tx (M ).
Введем в рассмотрение группу R(T (M )) гладких преобразований расслоения T (M ), индуцирующих в каждом слое Tx (M ) некоторый сдвиг Rv .
Теорема 1.2. Пусть многообразие M компактно.
Тогда группа R(T (M )) является:
ILH-группой Ли;
ee алгеброй Ли служит пространство V (M ) с тривиальной скобкой Ли;
группой Ли ═ Фреше первого рода.
Доказательство.
Введем отображение F : V (M ) ? R(T (M )), которое векторному полю
v ? V (M ) ставит в соответствие преобразование F (v), действующее по
формуле
F (v)(x) = Rv(x) .
Отображение F задает структуру группы Ли ═ Фреше на R(T (M )) с
атласом из единственной карты V (M ). Далее, можно рассмотреть пространства V k (M ) векторных полей соболевского класса H k , являющиеся
алгебрами Ли для гильбертовых групп Ли Rk (T (M )) преобразований соболевского класса H k .
Непосредственно проверяется, что в обратном проективном пределе они
дают R(T (M )) как ILH-группу Ли.
Экспоненциальное отображение в этом случае биективно на всей алгебре
Ли.
В случае параллелизуемого M группа R(T (M )) совпадает с группой
токов G(M, Rn ). В общем же случае это не так.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
46
ГЛАВА 1
В заключение заметим, что для риманова многообразия M как группа
G, так и группа R(T (M )) действуют на расслоенном пространстве
T (M ), причем в каждом касательном пространстве Tx (M ) мы имеем действие ортогональной группы Ox и группы сдвигов R(Tx (M )). Как известно, эти две группы порождают группу движений Movx пространства
Tx (M ). Ее алгеброй Ли является полупрямая сумма movx = soх + Tx (M ).
Введем в рассмотрение группу Mov(T (M )) гладких преобразований расслоения T (M ), индуцирующих в каждом слое Tx (M ) движение, и алгебру
Ли mov(T (M )) гладких преобразований расслоения T (M ), индуцирующих
в каждом Tx (M ) аффинное преобразование из алгебры Ли movx . По аналогии с предыдущим получается
Теорема 1.3. Группа Mov(T (M )) является
ILH-группой Ли с алгеброй Ли mov(T (M ));
группой Ли ═ Фреше первого рода.
1.3.5
В этом параграфе рассматриваются бесконечномерные группы Ли, представляющие собой отображения многообразия в меняющиеся от точки многообразия конечномерные группы Ли. Соответственно алгебра Ли такой
группы состоит из отображений в меняющиеся алгебры Ли. При этом
постоянной остается размерность алгебры Ли, т. е. размерность слоя получающегося векторного расслоения, а меняется лишь операция в слое.
Строится пример подобной конструкции.
Как следствие, получается Z-градуированная алгебра Ли, неприводимая и транзитивная ([SinSt]), действующая на R3 , но не подпадающая под
известные в литературе классификации градуированных алгебр Ли конечного роста.
Далее исследуется возможность действия на конечномерном многообразии градуированной алгебры Ли с неподвижной точкой. Показано, что локальные гладкие действия алгебр Каца ═ Муди с неразложимыми матрицами Картана, имеющие неподвижную точку, сводятся к конечномерным.
Итак, рассмотрим вариант обобщения группы токов, когда рассматриваются гладкие отображения из M в меняющуюся от x конечномерную
группу Ли Kx , x ? M .
Пусть заданы гладкие многообразия M и N . Рассмотрим прямое произведение P = M в N и предположим, что для любой точки x ? M задана
конечномерная группа Ли Kx , гладко действующая на подмногообразии
Nx = {x} в N .
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
47
Определение 1.5. Назовем элементом обобщенной группы токов
G(M, Kx ) отображение t, сопоставляющее точке x ? M элемент группы
t(x) ? Kx , такое, что отображение p(t) : P ? P , заданное формулой
p(t)(m, n) = (m, t(m)(n)), m ? M, n ? N,
является диффеоморфизмом многообразия P , т. е. p(t) ? Di╗(P ).
Зададим бинарную операцию на G(M, Kx ), полагая (t1 t2 )(x) = t1 (x)t2 (x)
для t1 , t2 ? G(M, Kx ). Непосредственно проверяется, что G(M, Kx ) с этой
операцией является группой. Если взять N = K и Kx = K для всех
x ? M и рассмотреть действие группы K на K = N левыми сдвигами, то
элементы обобщенной группы токов отождествляются с гладкими отображениями M ? K , и мы получаем определение обычной группы токов.
Можно также дать локальный вариант этого определения, когда группа
Kx задает локальное гладкое действие ([Li]) в слое Nx , отображение t сопоставляет точке x ? M элемент локального действия t(x) ? Kx , а отображение p(t)(n, m) = (n, t(m)) из определения 1.5 является локальным
диффеоморфизмом многообразия P .
Приведем способ построения обобщенных групп токов. Пусть в алгебре
Ли гладких векторных полей на многообразии P задана подалгебра Ли
t ? V (P ) со следующими свойствами:
1) для любого элемента v ? t и любой точки x ? M векторное поле v|Nx
касается подмногообразия Nx ;
2) t|Nx ?
= kx , где kx ═ алгебра Ли конечномерной группы Ли Kx , действующей на Nx .
Для элемента v ? t и функции f ? C ? (M ) построим отображение
s(v, f ) : M ? Kx : s(v, f )(x) = exp(f (x)v),
где exp ? экспоненциальное отображение группы Ли Kx . Непосредственно
проверяется, что s(v, f ) ? G(M, Kx ).
1.3.6
Приведем пример обобщенной группы токов. Для этого нам понадобится следующая алгебра Ли векторных полей. Рассмотрим трехмерное
многообразие R3 с координатами {x, y, z}. Обозначим r2 = x2 + y 2 .
Пусть задана гладкая функция a(z). Определим векторные поля:
u=
?
?
?
?
(1 + a(z)r2 ) , v = (1 + a(z)r2 ) , h = ?y
+x .
?x
?y
?x
?y
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
48
ГЛАВА 1
Непосредственно проверяются следующие коммутационные соотношения:
[h, u] = ?v, [h, v] = u, [u, v] = ah.
Введем открытое подмногообразие V ? R3 , V = {x, y, z|1 + a(z)r2 >
0} и возьмем в качестве t алгебру Ли, порожденную векторными полями
u, v, h. При фиксированном z = z 0 в слое z = z0 получим алгебру Ли tz0 с
коммутационными соотношениями :
[h, u] = ?v, [h, v] = u, [u, v] = a(z 0 )h.
(1.7)
Далее имеем tz0 ?
= sl(2, R) при a(z 0 ) > 0, tz0 ?
= su(2) при a(z 0 ) <
0, tz0 ?
= b(2) при a(z 0 ) = 0. Здесь b(2)? алгебра Ли группы движений
плоскости. Все перечисленные алгебры Ли трехмерны и действуют на
двумерном многообразии.
Заметим, что при фиксированном z слои Vz в многообразии V диффеоморфны многообразию R2 . Поэтому их можно отождествить с R2 , например, посредством диффеоморфизма
2
F (x, y, z) = (x/ (1 + a(z)r ), x/ (1 + a(z)r2 ), z),
заменив векторные поля u, v, h на F? u, F? v, F? h = h. При этом сохранятся
коммутационные соотношения в алгебре Ли t, так как действие диффеоморфизма сохраняет скобку Ли векторных полей. Заметим, что алгебра
Ли tz задает действие группы Ли на Vz при a(z) ? 0 и локальное действие
при a(z) < 0. Если же всюду имеем a(z) ? 0, то конструкция упрощается, отпадает необходимость в диффеоморфизме F , и tz задает действие
группы Ли одного из двух типов : sl(2) (при a(z) > 0) и b(2) (при a(z) = 0).
При фиксированных координатах (x, y) слой V(x,y) в V диффеоморфен R,
поэтому будем отождествлять его с R.
Итак, мы получили конструкцию, позволяющую построить обобщенную
группу токов G(R, Kz ) с меняющейся в слоях трехмерной группой Ли
Kz ? {SL(2), B(2), SU (2)}
(либо группой Ли Kz ? {SL(2), B(2)}).
Элементы соответствующей алгебры токов g(R, kz ) можно представлять
следующим образом. Рассмотрим тройку функции {?(z), ?(z), ?(z)} и зададим отображение ? : R ? kz : ?(z) = ?(z)h + ?(z)u + ?(z)v. Совокупность
таких гладких отображений с поточечной операцией коммутирования и
образует обобщенную алгебру токов. Поскольку dim kz = 3, то мы можем
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
49
рассматривать ? как отображение ? : R ? R3 , где R3 = (e1 = h, e2 =
u, e3 = v) снабжено структурой алгебры Ли с меняющимися в зависимости
от точки базы структурными константами:
c11,2 = 0, c21,2 = 0, c31,2 = 1;
c11,3 = 0, c21,3 = ?1, c31,3 = 0;
c12,3 = ?a(z 0 ), c22,3 = 0, c32,3 = 0.
Рассмотрим теперь алгебру Ли g векторных полей на R3 , порожденную векторными полями h, u, v. Пусть функция a(z) не постоянна, тогда степени (ak ) линейно независимы над полем R. Из (1.7) следует, что
g = (ak h, al u, am v).
Снабдим алгебру Ли g Z-градуировкой ([К, с. 28]). Положим:
g2n = (an h), g2n+1 = (an A, an B), n ? Z.
(1.8)
Напомним ([К], [SinSt]), что Z-градуированная алгебра Ли неприводима,
если подалгебра g0 неприводимо действует на g?1 и транзитивна, если
[g?1 , gk ] = gk?1 . Не следует путать абстрактную транзитивность градуированной алгебры Ли с транзитивностью действия ее реализации в векторных полях на многообразии.
Теорема 1.4. Алгебра Ли g с градуировкой (1.8) является
Z-градуированной алгеброй Ли, неприводимой и транзитивной.
Доказательство. Непосредственно проверяется, что
[g2n , g2m+1 ] = g2(m+n)+1 ,
[g2n , g2m ] = 0 ? g2(n+m) ,
[g2n+1 , g2m+1 ] = g2(m+n+1) .
Отсюда следует Z-градуированность алгебры Ли g. В частности, при m =
?1 имеем
[g2n+1 , g?1 ] = g2n ,
[g2n , g?1 ] = g2n?1 .
Поэтому градуированная алгебра Ли g транзитивна. Непосредственно проверяется, что g0 неприводимо действует на g?1 , откуда следует неприводимость градуированной алгебры Ли g.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
50
ГЛАВА 1
Заметим, что алгебра Ли g дает пример неприводимой транзитивной
Z-градуированной алгебры Ли, действующей на R3 . В рамках известной
классификации Каца ═ Вейсфейлера градуированных алгебр Ли конечного
роста [К] она не встречается, так как эта классификация рассматривает
алгебры Ли, чьи градуировки ограничены снизу, т. е. идут от ?k, в
рассмотренном же примере градуировка идет от ??.
Группы, зависящие от функций одной переменной, рассматривал также
Э. Картан, в том числе действующие в R3 и оставляющие неподвижной одну из координат, ([Кар, с. 137]. Группы из перечня [Кар] при
фиксации одной из координат (для сопоставимости назовем ее z) приводятся к двумерным разрешимым группам преобразований плоскостей вида
(x, y) ? (ax, ay + b) и среди них нет g. Это объясняется тем, что g не проста, она имеет собственные идеалы вида (a(z) ? c)g, c ? R.
1.3.7
Возникает вопрос, в каких случаях на конечномерных многообразиях
могут действовать градуированные алгебры Ли, представляющие собой
алгебры Каца ═ Муди. Покажем ниже, что действия алгебры Ли векторных полей, порождающих алгебру Каца ═ Муди и имеющих неподвижную
точку, сводятся к действиям конечномерных алгебр Ли.
Теорема 1.5. Пусть на RN задана алгебра Ли гладких векторных полей
g, являющаяся вещественной формой алгебры Каца ═ Муди с неразложимой
матрицей Картана A. Тогда, если векторные поля из g обращаются в нуль
в некоторой точке, то g ═ конечномерная алгебра Ли, которая изоморфна
своей проекции на 1-джеты векторных полей.
Доказательство. Зададим на плоскости RN координаты {x1 , ..., xN },
пусть точкой обращения в нуль векторных полей является начало координат 0 = (0, ..., 0). Комплексифицируем алгебру Ли g, тогда соответствующие комплекснозначные векторные поля будут образовывать алгебру Каца
═ Муди gc . Возьмем стандартные образующие алгебры Каца ═ Муди gc ,
пусть это элементы
h1 , ..., hn , e1 , ..., en , f1 , ..., fn .
Им соответствуют гладкие векторные поля, определенные в окрестности
начала координат и имеющие следующие коммутационные соотношения:
[hi , ej ] = ai,j ej ,
[hi , fj ] = ?ai,j fj ,
[ei , fj ] = ?i,j hi .
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
51
Эти векторные поля обращаются в нуль в начале координат, пусть
{ki , mi , ni }? их порядки нулей. Заметим, что для пары гладких векторных
полей u, v, имеющих порядки нулей k, l в точке 0, для порядка нуля s их
коммутатора [u, v] выполняется неравенство k+l?1 ? s. Отсюда получаем
следующие неравенства:
ki + mi ? 1 ? ni ,
ki + ni ? 1 ? mi ,
mi + ni ? 1 ? ki .
Отсюда следует, что для порядков нулей имеются две возможности: либо
kj = mi = ni = 1,
либо
kj = mi = ni = ?.
В случае kj = mi = ni = 1, из этого получаем, что 1-джеты векторных
полей алгебры gc в точке 0 образуют алгебру Ли с теми же коммутационными соотношениями, что и у самой gc . Поэтому имеется гомоморфизм
из gc в линейную алгебру Ли gl(N, C). Из неразложимости матрицы Картана A тогда следует, что этот гомоморфизм инъективный, а значит, gc ?
конечномерная алгебра Ли.
Рассмотрим случай k = m = n = ?. Заметим, что если два векторных
поля u, v имеют нули бесконечного порядка в точке 0, то из формулы для
их скобки Ли
[u, v] =
?vi ?ui
(
uj
?
vj
)
?x
?x
j
j
i
j
j
следует, что в окрестности начала координат имеем
[u, v] = o(|u| + |v|).
Здесь |u(x)|? обычная евклидова норма вектора, определяемая стандартной метрикой, связанной с локальными координатами. Верно также и
|[u, v]| = o(|u| + |v|).
Поэтому имеем
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
52
ГЛАВА 1
|hi | = o(|ei | + |fi |),
|ei | = o(|hi | + |ei |),
|fi | = o(|hi | + |fi |).
Но тогда получаем
|hi | + |ei | + |fi | =
o(|hi | + |ei |) + |fi |)
? противоречие.
1.4. Топологическая конечнопорожденность бесконечномерных групп
Ли
1.4.1
Остановимся также на свойствах рассматриваемых бесконечномерных
групп Ли, связанных с наличием в них конечных cистем образующих в
смысле структуры топологической группы.
Определение 1.6. Пусть дана топологическая группа G. Системой образующих в G называется такое подмножество Q ? G, что подгруппа, порожденная элементами из Q, всюду плотна в G.
Теперь для тора, сферы и проективного пространства в группе диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема, будут построены системы образующих специального вида, а именно состоящие из бирациональных преобразований в смысле естественных вещественно-алгебраических структур
на этих многообразиях.
1.4.2
Рассмотрим сначала n-мерный тор Tn , заданный в R2n уравнениями:
x2i + yi2 = 1, i = 1, ..., n.
Обозначим через ?1 , ..., ?n стандартные координаты на Tn , где ?j берутся
по модулю 2?. В алгебре Ли C ? бездивергентных векторных полей V╣ (Tn )
введем подалгебру сферических векторных полей S╣ (Tn ), т. е. таких, которые натягивают конечномерные подпространства при сдвигах на элементы Tn . Известно, что подалгебра S╣ (Tn ) образует всюду плотное в
C ? -топологии подмножество в V╣ (T n ). Обозначим через S╣C (Tn ) комплексификацию алгебры Ли S(|Tn ). Введем векторные поля
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
ai =
53
?
, i = 1, ..., n
??i
базис в алгебре Ли тора, естественно действующем на себе сдвигами. Введем подпространства:
Pk = {exp(ik?)
n
vi ai |v = (v1 , ..., vn ) ? Cn , k ? Zn , (v, k) = 0}.
i=1
Имеем
dim P0 = n, dim Pk = n ? 1, k = 0.
Далее получаем
S╣C (Tn )
=
?
Pk
k?Zn
прямая сумма, ортогональная в смысле естественного скалярного произведения
< u, v >=
(u(?), v(?))d?.
Tn
Сначала вычислим конечную систему образующих в алгебре Ли S╣C (Tn ).
Теорема 1.6. Пусть
u╠
k,l = exp(╠i?k )al , k = l.
Алгебра Ли S╣C (Tn ) порождается элементами
a1 , ..., an , {u╠
k,l |k = l}.
Доказательство. Обозначим через gn подалгебру в S╣C (Tn ), порожденную элементами, указанными в условии. Будем вести доказательство индукцией по n. В случае n = 2 пространства Pk одномерны и натягиваются
элементами pk = exp(i(k1 ?1 + k2 ?2 ))(?k2 a1 + k1 a2 ). Покажем, что алгебра
g2 содержит указанные элементы. Будем вести индукцию по m = |k1 |+|k2 |.
При m = 1 векторные поля pk входят в систему образующих алгебры Ли
g2 . Предположим, что pk при |k1 | + |k2 | ? m входят в g2 , и рассмотрим
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
54
ГЛАВА 1
pk с |k1 | + |k2 | = m + 1. Очевидно, для некоторого i имеем ki = 0, пусть
для определенности для k1 > 0. Введем k = (k1 ? 1, k2 ), тогда по предположению индукции имеем pk ? g2 . Заметим, что [u+
1,2 , pk = ik2 pk . Таким
образом, при k2 = 0 получаем, что pk ? g2 . Для k2 = 0 можно считать,
что k1 > 1, введем k╔ = (k1 ? 1, 1). Из предыдущего имеем pk╔ ? g2 , аналогично, для k = (k1 , 1) имеем pk ? g2 . Далее имеем [u?
2,1 , pk ] = ik1 pk .
Так как по предположению индукции k ? 1 = 0, то pk ? g2 и при k2 = 0.
Значит, g2 = S╣C (T2 ).
Теперь фиксируем n > 2 и предположим, что утверждение леммы верно
для торов Tm при m < n. Рассмотрим такие k ? Zn , у которых одна
из координат ki = 0. Обозначим через Pk,i ? Pk подпространство, натянутое векторными полями вида exp(ik?)v с vi = 0. Из предположения
индукции следует, что Pk,i ? gn . Покажем, что алгебра Ли S╣C (Tn ) порождается подпространствами {Pk,i }. Заметим, что если у векторного
поля w = exp(ik?)v только одно из ki = 0, то из условия (k, v) = 0 следует, что vi = 0, а т. к. n > 2, то из этого следует, что w разлагается
в сумму элементов из Pk,i . Рассмотрим теперь случай, когда у векторного поля w = exp(ik?)v по крайней мере два из коэффициентов ki отличны от 0, пусть для определенности это k1 , k2 . Из предыдущего имеем
exp(ik1 ?1 )a2 ? gn .
Введем векторное поле
w = [exp(?ik1 ?1 )a2 , w] = exp(i(k2 ?2 + ... + kn ?n ))i(k2 v + k1 a2 ).
Имеем
[exp(ik1 ?1 )a2 , w ] = ?k22 w.
Поэтому если w ? gn , то и w ? gn . Покажем, что алгебра Ли gn содержит
элементы вида u = exp(i(k2 ?2 + ... + kn ?n ))v.
Заметим, что u = u + u╔, где u = exp(i(k2 ?2 + ... + kn ?n ))v1 a1 , а u╔ =
exp(i(k2 ?2 + ... + kn ?n ))(v2 a2 + ... + vn an ). Из предыдущего имеем u╔ ? gn .
Рассмотрим векторное поле u . Заметим, что если kn = 0, то u ? gn . Если
же kn = 0, то введем
u
? = [exp(?ikn ?n )a2 , u ] = ik2 exp(i(k2 ?2 + ... + kn?1 ?n?1 ))v1 a1 .
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
55
Имеем u
? ? gn . Далее [exp(ikn ?n )a2 , u
?] = ?k22 u . Отсюда u ? gn , а значит,
u ? gn . Это завершает доказательство леммы.
Используя теорему 1.6, можно построить систему образующих в алгебре
Ли S╣ (Tn ). Введем векторные поля:
?i = (
cos ?j )ai , i = 1, ..., n.
j=i
Следствие 1.1. Элементы {a1 , ..., an , ?1 , ..., ?n } порождают алгебру Ли
S╣ (Tn ) и топологическую алгебру Ли V╣ (Tn ).
Доказательство. Обозначим через g? алгебру Ли, порожденную векторными полями из условия следствия. При i = j имеем [?i , aj ] = sin ?j ai ?
g, аналогично cos ?j ai ? g. Таким образом, алгебра Ли gC содержит векторные поля из условия леммы 1.1, откуда gC = S╣C (Tn ), а g = S╣ (Tn ). Так
как сферические бездивергентные векторные поля образуют всюду плотное
подмножество в пространстве гладких, то g = V╣ (Tn ).
Теперь построим систему образующих в топологической группе
Di╗ ╣ (Tn ). Заметим, что векторные поля
aj , ?i , [ai , ?i ]
ai =
j=i
натягивают трехмерную алгебру Ли hi , которой соответствует трехмерная
группа Ли Hi , изоморфная связной компоненте единицы в группе движений
плоскости.Введем диффеоморфизмы fi = exp ?i , имеем
cos ?j , ?i+1 , ..., ?n ).
fi (?1 , ..., ?n ) = (?1 , ..., ?i?1 , ?i +
j=i
Фиксируем также диффеоморфизм, являющийся сдвигом на элемент тора,
степени которого всюду плотны в торе, например
1
2
g0 (?1 , ..., ?n ) = (?1 + 2 n , ?1 + 2 n , ..., ?n + 2).
Следствие 1.2. Топологическая группа Di╗ ╣ (Tn ) порождается подгруппами H1 , ..., Hn . Более того, в ней можно выбрать систему образующих из
элементов
g0 , f1 , ..., fn .
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
56
ГЛАВА 1
Доказательство. Непосредственно проверяется, что топологическая
алгебра Ли V╣ (Tn ) порождается подалгебрами h1 , ..., hn , откуда следует,
что топологическая группа Di╗ ╣ (Tn ) порождается подгруппами
H1 , ..., Hn . Нетрудно убедиться, что подгруппа Hi порождается потоком
векторного поля ai и элементом fi . Отсюда вытекает следствие.
Выбор системы образующих в топологической группе можно осуществить многими способами. Интерес представляет построение системы образующих, состоящей из морфизмов некоторой структуры, в данном случае
структуры вещественного алгебраического многообразия на Tn ? R2n .
Лемма 1.1. Пусть задан набор функций F1 (?1 ), ..., Fn (?n ), удовлетворяющий условиям:
2?
либо 0 Fi cos ?i d? = 0,
2?
либо 0 Fi sin ?i d? = 0.
Здесь i = 1, ..., n.
Тогда векторные поля a1 , ..., an , {vi,j = Fi aj |i = j} порождают топологическую алгебру Ли V╣ (Tn ).
Доказательство. Обозначим через g ? V╣ (Tn )? замкнутую подалгебру Ли, порожденную элементами, указанными в условии. Очевидно, g
через gC ? комплексифиявляется топологическим Tn модулем, обозначим
кацию алгебры Ли g. Известно, что gC = k gC ? Pk . Обозначим через
?k : gC ? Pk ? ортогональную проекцию. Легко видеть, что для k вида
ki = 1, kj = 0, j = i отображение ?k является эпиморфизмом, откуда следует, что gC содержит векторные поля из условия теоремы 1.6, откуда
получаем требуемое утверждение.
Теорема 1.7. В топологической группе Di╗ ╣ (Tn ) существует система
образующих из бирациональных диффеоморфизмов:
g0 , {?i,j , 1 ? i, j ? n, ?= j}
?i,j (x1 , y1 , ..., xn , yn ) = (x1 , y1 , ..., xi?1 , yi?1 ,
1 ? x2j
1 ? x2j
2xj
2xj
?
y
,
y
+
x
,
xi
i
i
i
1 + x2j
1 + x2j
1 + x2j
1 + x2j
xi+1 , yi+1 , ..., xn , yn ).
Доказательство. Имеем ?i,j = exp(Fj ai ), где Fi (?i ) = 2 arctg cos ?i , i =
2?
1, ..., n. Непосредственно проверяется, что 0 Fi cos ?i d? = 0. Далее можно
применить лемму 1.1.
1.4.3
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
57
Далее мы перейдем к рассмотрению n-мерной сферы Sn и вещественного
проективного пространства RPn , n ? 2. Пусть Sn задана в Rn+1 уравнением
n+1
x2i = 1.
i=1
В топологической группе Di╗ ╣ (Sn ) существует система образующих из
бирациональных диффеоморфизмов. Введем векторное поле
v? = 2 arctg(?x3 )(?x2 , x1 , 0, ..., 0)
и диффеоморфизм F? = exp(v? ). Имеем
F? (x1 , x2 , ..., xn+1 ) =
1 ? ?2 x23
2?x3
=(
x
?
x2 ,
1
1 + ?2 x23
1 + ?2 x23
1 ? ?2 x23
2?x3
x
+
x1 ,
2
2
1 + ?2 x3
1 + ?2 x23
x3 , ..., xn+1 ).
В топологической группе SO(n + 1)существует базис из двух элементов
([Л1]), обозначим их через {?, ?}.
Теорема 1.8. Существует такое ? > 0, что для любого ?(0 < ? < ?) три
элемента
{?, ?, F? }
являются системой образующих в топологической группе Di╗ ╣ (Sn ).
Доказательство. Автором было доказано ([Л1]), что топологическая
группа Di╗ ╣ (Sn ) порождается подгруппой SO(n + 1) и потоком векторного
поля u = x3 (?x2 , x1 , 0, ..., 0). Пусть so(n + 1) ? V╣ (Sn ) ═ подалгебра, соответствующая стандартному действию группы SO(n + 1) на Sn . Фиксируем
h ? so(n + 1). Легко проверить, что
(F? )? (h) = (exp(2?u)? (h) + o(?),
? ? 0.
С другой стороны, из известного свойства действия потока на векторное
поле имеем:
(exp(2?u)? (h) = [h, 2?u] + o(?), ? ? 0.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
58
ГЛАВА 1
Из этого получаем
(F? )? (h) = [h, 2?u] + o(?),
? ? 0.
В обозначениях [Л1] векторное поле u лежит в неприводимом SO(n + 1)подмодуле PMn +?n ? V╣ (Sn )(при n = 3 в PMn +?n + PMn +?n и имеет в каждом из этих подпространств ненулевые компоненты). Из этого следует,
что существует такое h ? so(n + 1), что для достаточно малого положительного ? векторное поле (F? )? (h) имеет ненулевую компоненту в PMn +?n
(при n = 3 в PMn +?n + PMn +?n ). В таком случае подгруппа SO(n + 1) и
элемент (F? )? (h) порождают топологическую группу Di╗ ╣ (Sn ), откуда следует теорема.
Рассмотрим также вещественное проективное пространство RPn .
Группа Di╗ ╣ (RPn ) естественно вкладывается в Di╗ ╣ (Sn ). Введем векторное поле
v = x23 (?x2 , x1 , 0, ..., 0).
Группа Di╗ ╣ (RPn ) порождается подгруппой SO(n + 1) и потоком векторного поля v ([Л1]).
Введем также векторное поле w? = 2 arctg(?x23 )(?x2 , x1 , 0, ..., 0). Покажем, что диффеоморфизм G? = exp(w? ) ? Di╗ ╣ (RPn ) бирационален. Если
рассматривать G? вложенным в группу Di╗ ╣ (Sn ), то имеем
G? (x1 , x2 , ..., xn+1 ) =
1 ? ?2 x43
2?x23
x
?
x2 ,
1
1 + ?2 x43
1 + ?2 x43
1 ? ?2 x43
2?x23
x
+
x1 ,
2
1 + ?2 x43
1 + ?2 x43
x3 , ..., xn+1 ).
=(
В стандартных однородных координатах в RPn (положим r2 = x21 + x22 +
... + x2n+1 ) получаем
G? (x1 , x2 , ..., xn+1 ) =
r4 ? ?2 x43
2?x23 r2
x
?
x2 ,
1
r4 + ?2 x43
r4 + ?2 x43
r4 ? ?2 x43
2?x23 r2
x
+
x1 ,
2
r4 + ?2 x43
r4 + ?2 x43
x3 , ..., xn+1 ).
=(
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
59
Пусть ?, ?? базис в SO(n + 1), [Ts]. По аналогии со случаем сферы
доказывается
Теорема 1.9. Существует такое ? > 0, что для любого ?(0 < ? < ?) три
элемента
{?, ?, G? }
являются системой образующих в топологической группе Di╗ ╣ (RPn ).
1.4.4
Для произвольного многообразия M удается доказать конечнопорожденность группы Di╗ 0 (M ). Предварительно проведем следующие конструкции. Обозначим через Sn алгебру Ли полиномиальных векторных полей
на Rn и положим
n
S?n = {
i=1
pi
?
? Sn , xn |pn }.
?xi
Введем
ei =
?
, ui = (x1 ...xn )3 ei ,
?xi
i = 1, ..., n
Лемма 1.2.
1. Алгебра Ли Sn порождается элементами
e1 , ..., en , u1 , ..., un .
2. Алгебра Ли S?n порождается элементами
?i
?i
{x11 ...xnn ei , i = 1, ..., n,
0 ? ?ij ? 3, j = 1, ..., n ? 1, 1 ? ?nn ? 3}.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай Sn . Пусть g ═ алгебра
Ли, порожденная элементами 1). Легко видеть, что элементы
?i
?i
x11 ...xnn ei ? g, i = 1, ..., n,
где 0 ? ?ij ? 3. Покажем, что элементы такого вида лежат в g уже без
верхних ограничений на степени индукцией по ?i1 + ... + ?in . Очевидно,
достаточно рассмотреть случай, когда ?ij ? 4 для некоторых значений индексов j, i. По индукции
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
60
ГЛАВА 1
v=
?ij ?1
?i1
?i
x1 ...xj
...xnn ei
? g.
Имеем
[v, x2j ej ] = (1 ? ?ij + 2?ij )w ? g,
где
?i
?i
?i
w = x11 ...xj j ...xnn ei .
Отсюда получаем g = Sn . Заметим далее, что векторные поля x2j ej ,
позволяющие сделать шаг индукции в доказательстве, лежат также и в
алгебре Ли S?n . Поэтому случай S?n рассматривается аналогично.
Обозначим теперь через Br = {x ? Rn , |x| ? r}? единичный шар, а
через Br+ = {x ? Br , |xn ? 0} ═ полушар. Построим функции:
?(x) = 1, x ? B 23 , ?(x) = 0, x ? B 34 ,
F (x) = 1, x ? B 34 , ?(x) = 0, x ? B 56 .
Условимся обозначать через V (M, K) пространство гладких векторных
полей на M с носителем в K. Положим V = V (B 12 , Rn ). Введем также
V? = {
n
vi ei ? V |vn (x1 , ..., xn?1 , 0) = 0}.
i=1
Обозначим через w1 , ..., wk систему образующих в алгебре Ли Sn , а через
u1 , ..., ul ═ в S?n .
Лемма 1.3. Пусть g ═ подалгебра Ли, порожденная элементами
{F wi , ?ej , ..., ?xj ej |1 ? i ? k, 1 ? j ? n},
g ═ подалгебра Ли, порожденная элементами
{F ui , ?ek , ..., ?xj ej |1 ? i ? l, 1 ? k ? n ? 1, 1 ? j ? n}.
Тогда при n > 1 имеем
V ? g C ? , V? ? g C ? .
Доказательство. Из леммы 1.2 имеем
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
61
Sn |B 34 ? g |B 34 .
Фиксируем v ? V , пусть для определенности v = f e1 . Из теоремы Вейерштрасса существуют такие vn ? g , что на B 34 имеем vn (x) ? x1 v(x).
Заметим, что [?e1 , vn ] ? g . Кроме того,
[?e1 , vn ] ? [?e1 , x1 f e1 ] = (x1
?f
+ f )e1 .
?x1
С другой стороны,
[?x1 e1 , v] = (x1
?f
? f )e1 ? g C ? .
?x1
Отсюда f e1 ? g C ? , аналогично f ei ? g C ? .
Если v ? V? , то имеем:
v = xn fn en +
n?1
f i ei .
i=1
Поэтому существуют такие векторные поля vn ? g , что vn ? v, x ? B 34 .
Если v = f ej , j < n, то по аналогии с предыдущим получаем, что v ? g .
Если же v = f en , то имеем
[?x1 e1 , f en ] = x1
?f
en ? g C ? .
?x1
Используя коммутатор [?e1 , x1 f en ], по аналогии с предыдущим получаем, что
(x1
?f
+ f )en ? g C ? .
?x1
Отсюда имеем v = f en ? g C ? . Лемма доказана.
Прежде чем доказывать конечнопорожденность группы диффеоморфизмов, рассмотрим один важный частный случай. Обозначим через I =
[?1, 1]. Введем векторные поля
u = (x2 ? 1)e1 , v = x(x2 ? 1)e1 , пусть g t , ht ? их потоки.
Лемма 1.4.?Топологическая
группа Di╗ 0 (I) порождается четырьмя эле?
ментами g 1 , g 2 , h1 , h 2 .
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
62
ГЛАВА 1
Доказательство. Непосредственно проверяется, что [{u, v}] = R[x](x2 ?
1)e1 . С другой стороны, векторные поля w ? V (I) можно представить в
виде
w = (x2 ? 1)f e1 , где f ? C ? (I).
Отсюда элементы u, v порождают топологическую алгебру Ли V (I), а
их потоки топологическую группу Di╗ 0 (I).
Теперь можно сформулировать общий результат.
Теорема 1.10. Пусть M ? компактное многообразие с краем. Топологическая группа Di╗ 0 (M ) и топологическая алгебра Ли V (M ) конечнопорождены.
Доказательство. Можно считать, что если M одномерно, то оно не
имеет края, в противном случае следует воспользоваться леммой 1.4. Построим такой конечный атлас {?i , Ui } на M , что ?i (Ui ) = B1 или B1+ , а
M = ?ni=1 ??1
i (B 14 ). Пусть
q1 , ..., qs (r1 , ..., rl )
система образующих в алгебре Ли Sn (S?n ) из условия леммы 1.2. Введем
элементы
wi,j = (?i )?1
? (qj ), если ?i (Uj ) = B1 ,
+
wi,j = (?i )?1
? (rj ), если ?i (Uj ) = B1 .
Пусть g ═ топологическая алгебра Ли , порожденная элементами wi,j .
Возьмем v ? V (M ), используя разбиение единицы, можно ограничиться
случаем, что supp(v) ? (?i )?1 (B 13 ). Если ?i (Ui ) = B1 , то из леммы 1.3 следует, что v ? g. Если же ?i (Ui ) = B1+ , то векторное поле (?i )? (v) можно
продолжить до C ? векторного поля ?(v) на B1 с носителем в B 12 . Так
как v касается края M , то имеем v? ? V? . Из леммы 1.3 существуют такие
элементы vn ? g, что vn ? v?, отсюда (?i )?1 (vn ) ? v. Таким образом, получаем, что g = V (M ). Далее, поскольку векторные поля {wi,j } порождают
топологическую алгебру Ли V (M ), то их потоки порождают топологическую группу Di╗ 0 (M ). Поскольку любой поток порождается одним (если
он периодический) или двумя элементами, то отсюда следует топологическая конечнопорожденность группы Di╗ 0 (M ). Теорема доказана.
1.5. Достаточные условия продолжения геодезических на бесконечность во времени. Формулы для кривизн бесконечномерных групп Ли
1.5.1
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
63
В этом параграфе исследуется вопрос о продолжении на бесконечность
во времени решений уравнений математической физики. Система дифференциальных уравнений интерпретируется как уравнение геодезического
потока (уравнение Эйлера) на бесконечномерной группе Ли G. В качестве G выступает группа Ли ═ Фреше с алгеброй Ли g (как правило, G
также является ILH-группой Ли (см. п. 1.1.2)), снабженная лево (или
право)инвариантной метрикой .
Введем также оператор коприсоединенного действия (ad u)? , u ? g,
сопряженный к ad u в смысле инвариантной метрики:
< ad u? (v), w >=< v, ad u(w) >,
v, w ? g.
Остановимся на построении связности Леви-Чивиты на G по заданной
римановой структуре.
Если считать X, Y, Z?левоинвариантными векторными полями, а <, >
? левоинвариантной метрикой, из (1.1) получаем формулу из [Ар1]
?X Y =
1
([X, Y ] ? (ad X)? (Y ) ? (ad Y )? (X)).
2
(1.9)
Теперь можно построить связность Леви-Чивиты на G как это сделано в
[EM] для групп диффеоморфизмов. Это дает возможность интерпретировать решения соответствующего эволюционного уравнения как геодезический поток на бесконечномерном римановом многообразии.
Уравнения геодезических для левоинвариантной метрики на G имеют
вид
?u
+ ?u u = 0.
?t
Из (1.9) тогда получаем следующую форму уравнений Эйлера:
?u
= (ad u)? u.
?t
(1.10)
Если теперь рассматривать правоинвариантную метрику на G, то в случае
алгебры Ли правоинвариантных векторных полей на G вид (1.10) уравнений Эйлера сохранится. Если же при этом считать, что алгебра Ли состоит
из левоинвариантных векторных полей на G, т. е. перейти к правоинвариантной метрике с сохранением скобки Ли левоинвариантных векторных
полей, то правая часть в (1.10) изменит знак.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
64
ГЛАВА 1
В случае, когда группа Ли G конечномерна, но не обязательно компактна, геодезический поток лево (право) инвариантной метрики на G полон (решения продолжаются во времени на бесконечность). Это следует из
наличия транзитивной группы изометрий (действие группы Ли на себе левыми (правыми) сдвигами) у G, как риманова многообразия ([Ком], с. 232).
Для бесконечномерных групп Ли вопрос о полноте геодезического потока
является самостоятельной серьезной проблемой. Например, для конфигурационного пространства динамики несжимаемой жидкости это проблема
продолжения решений уравнений Эйлера на бесконечность во времени, которая положительно решена для жидкости с двумерной областью течения
(см., например, [Лад]) и не решена для областей течения с размерностями
три и выше.
1.5.2. Исследование решений уравнений Эйлера на нормированных алгебрах Ли
Решения уравнений Эйлера (1.10) на бесконечномерной группе Ли G с
алгеброй Ли g обладают свойством симметрии, которое естественно назвать автомодельностью. Если u(t) ═ решение (1.10), то ?u(?t) также решение (? ? R). Это проверяется непосредственной подстановкой в (1.10).
Отсюда следует, что множество начальных условий, для которых решения уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости продолжается во
времени на бесконечность (в многомерном случае), образует конус в пространстве бездивергентных векторных полей на компактном ориентированном римановом многообразии M (области течения жидкости).
В [Л25] для уравнений динамики несжимаемой жидкости предлагается
прием построения решений путем разложения их в формальные степенные
ряды. Построим формальный степенной ряд для уравнений (1.10). Для
определенности рассмотрим случай левоинвариантной метрики. Будем искать решение (1.10) с начальными условиями u(0) в виде
u=
?
k=0
uk tk .
(1.11)
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
65
Подставив (1.11) в (1.10) для левоинвариантной метрики, получим следующие выражения для коэффициентов uk :
u0 = u(0),
u1 = (ad u0 )? (u0 ),
1
u2 = ((ad u0 )? (u1 ) + (ad u1 )? (u0 )),
2
k?1
1
...uk =
((ad ui )? (uk?1?i ).
k i=0
(1.12)
Здесь ключевым является вопрос о сходимости ряда (1.11). Рассмотрим
следующий важный класс бесконечномерных алгебр Ли ═ нормированные
алгебры Ли. Напомним определение (см. Дынкин, [Д]).
Алгебра Ли g является нормированной алгеброй Ли, если обладает нормой и существует такая константа C > 0, что для любых u, v ? g имеем
[u, v] ? Cuv.
(1.13)
Предложение 1.7. Пусть алгебра Ли g является нормированной в смысле
метрики, определяемой инвариантным скалярным произведением. Тогда
оператор коприсоединенного действия удовлетворяет тому же ограничению, что и оператор присоединенного действия:
[(ad u)? v] ? Cuv.
Доказательство. Возьмем произвольный элемент w, w = 1. Имеем
| < (ad u)? v, w > | =
= | < v, [u, w] > | ? v[u, w] ? vCuw ? Cuv.
Отсюда следует требуемое неравенство.
Теорема 1.11. В условиях предложения 1.7 имеем:
1
;
1. Ряд (1.11) абсолютно сходится на промежутке (??, ?), где ? = Cu
0
2. Решения уравнений Эйлера (1.10) продолжаются во времени на бесконечность.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
66
ГЛАВА 1
Доказательство. Из (1.12) имеем u1 ? Cu0 u0 . Покажем индукцией по k, что uk ? C k u0 k+1 . Для k = 1 это верно. Если это верно
для l < k , то для l = k из (1.13) имеем
1
uk = ((ad u0 )? (uk?1 + ...
k
1
+ (ad uk?1 )? (u0 )) ? (Cu0 C k?1 u0 k + ... + CC k?1 u0 k u0 ) =
k
k
k+1
= C u0 Из полученной оценки норм коэффициентов ряда (1.11) следует требуемая
оценка радиуса сходимости степенного ряда, что доказывает 1. Для доказательства 2 введем величину
? = sup ?|u(t)
существует
на
интервале
(??, ?).
Очевидно ? ? ?. Пусть ? < ?. Возьмем ? = ? ? 2? . Решение (1.10) с
начальными условиями u0 существует при t = ? . Если теперь стартовать
при t = ? с начальными условиями u(? ), то так как u0 = u(? ), можно
продлить решение на промежуток [?, ? + ?) . Так как ? + ? = ? + 2? > ?, то
получаем противоречие с конечностью ?.
1.5.3
Далее для элемента u через g? (u) будем обозначать такое минимальное подпространство в L ? g, что для любых элементов w, v ? L имеем
ad w? (v) ? L. Геодезическая с начальными условиями u не может выйти за
пределы подпространства g ? (u). В [Л25] формулировались достаточные
условия сходимости формальных степенных рядов для задачи динамики
жидкостей. Такого типа условия можно сформулировать в более общем
виде в следующей теореме.
Теорема 1.12. Пусть на группе Ли G имеется уравнение геодезических
лево (право) инвариантной метрики с начальными условиями u0 . Если
подпространство g? (u0 ) , порожденное элементом u0 , конечномерно
(dim g? (u0 ) < ?) , то решение с начальными условиями u0 продолжается
во времени на бесконечность.
Доказательство. Метрика в алгебре Ли g индуцирует структуру евклидова пространства в g? (u0 ). Рассмотрим для определенности случай
левоинвариантной метрики. Выберем в g? (u0 ) ортонормированный базис
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
e1 , ..., en и достроим его до ортонормированного базиса {ek } в g.
1 ? i, j ? n имеем
cki,j ek .
(ad ei )? (ej ) =
67
Для
i,j
Представим u = k uk (t)ek . Тогда u0 = k uk (0)ek .
Уравнение геодезических левоинвариантной метрики в алгебре Ли g индуцирует на подпространстве g? (u0 ) систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
?uk
cki,j ui uj , k = 1, ..., n.
=
?t
i,j
Так как форма < u, v > левоинвариантной метрики сохраняется на решениях геодезического уравнения, то от исходной системы на евклидовом
пространстве g? (u0 ) можно перейти к системе уравнений на n-мерной сфере
в этом пространстве. Известно, что на компактном многообразии решения
системы обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкими (в нашем случае квадратичными) коэффициентами продолжаются по времени
на бесконечность. Отсюда следует требуемое утверждение.
Выделим теперь другой класс бесконечномерных групп Ли, для которых
решения уравнений Эйлера продолжаются на бесконечность во времени.
Напомним, что алгебра Ли g называется нильпотентной, если существует
такое натуральное k, что для любых элементов u1 , ..., uk , v ? g имеем
ad(uk ) ad uk?1 ... ad u1 v = 0.
(1.14)
Предложение 1.8 . Пусть алгебра Ли g нильпотентна порядка k. Тогда
аналогичным свойством обладает операция коприсоединенного действия,
т. е. для любых элементов u1 , ..., uk , v ? g имеем
(ad uk )? (ad uk?1 )? ...(ad u1 )? v = 0.
(1.15)
Доказательство. Возьмем произвольный ненулевой элемент w в алгебре Ли. Имеем
< (ad uk )? (ad uk?1 )? ...(ad u2 )? (ad u1 )? v, w >=
=< ad u1 ad u2 ... ad uk?1 ad uk w, v >=< 0, v >= 0.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
68
ГЛАВА 1
Теорема 1.13. Решения уравнений Эйлера на бесконечномерной группе
Ли G с нильпотентной алгеброй Ли g продолжаются на бесконечность во
времени.
Доказательство. Пусть g имеет порядок нильпотентности k. Воспользуемся представлением решений уравнений Эйлера в форме (1.11). Тогда
из (1.12) и предложения 1.8 следует, что при l > k в (1.11) имеем коэффициенты ul = 0. Таким образом, ряд (1.11) конечен по степеням t и сходится
на всей числовой прямой.
1.5.4
Формула (1.9) позволяет вычислить тензор кривизны для группы Ли ═
Фреше G с односторонне инвариантной метрикой, заданной в алгебре Ли
g, определяющей связность Леви-Чивиты на G.
Выведем для ILH-групп Ли известную формулу Арнольда секционной
кривизны, доказанную в [АрХес] для групп диффеоморфизмов.
Следуя [Ar1], введем поля
B(u, v) = (ad v)? (u),
1
?(u, v) = (B(u, v) + B(v, u)),
2
1
?(u, v) = (B(u, v) ? B(v, u)),
(1.16)
2
1
?(u, v) = [u, v],
2
1
1
Bu = B(u, u), Bv = B(v, v).
2
2
Для тройки u, v, w левоинвариантных векторных полей на G тождество
Риччи принимает вид
u < v, w >= 0 =< ?u v, w > + < v, ?u w > .
Поэтому формула секционной кривизны для ортонормированной пары u, v
будет выглядеть следующим образом:
K(u, v) =< R(u, v)v, u >=< ?u ?v v ? ?v ?u v ? ?[u,v] v, u >=
= ? < ?u u, ?v v > + < ?u v, ?v u > ? < ?[u,v] v, u >
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
69
Из (1.9) непосредственной проверкой получаем
< ?u u, ?v v >= 4 < Bu , Bv >,
< ?u v, ?v u >=< ?, ? > ? < ?, ? >,
< ?[u,v] v, u >= ?2 < ?, ? > +2 < ?, ? > .
Отсюда вытекает формула из [АрХес]:
K(u, v) =< ?, ? > +2 < ?, ? > ?3 < ?, ? > +4 < Bu , Bv > .
(1.17)
Пусть теперь в алгебре Ли g задан ортонормированный базис {ei }. Тогда оператор присоединенного действия задается через структурные константы алгебры Ли следующим образом:
(ad ei )ej =
cpij ep .
(1.18)
p
Соответственно оператор коприсоединенного действия имеет вид
?
(ad ei ) ej =
cjip ep .
(1.19)
p
Действительно, < (ad ei )? ej , ep >=< ad ei ep , ej >= cjip . Вычислим далее
коэффициенты тензора кривизны. Имеем
k
Rlij
=< ?ei ?ej el , ek > ?
? < ?ej ?ei el , ek > ? < ?[ei ,ej ] el , ek > .
По аналогии с выводом (1.9) (см. также [КН]) получаем
1
(< ek , [ei , ?ej el ] > +
2
+ < ?ej el , [ek , ei ] > ? < ei , [?ej el ], ek >).
< ?ei ?ej el , ek >=
Далее из (1.9) имеем
?ej el =
1
([ej , el ] ? (ad ej )? el ? (ad el )? ej ).
2
(1.20)
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
70
Отсюда
И далее
ГЛАВА 1
< ?ei ?ej el , ek >=
1 p
=
(cki + ckip + cikp )(cpjl + clpj + cjpl ).
4 p
< ?ej ?ei el , ek >=
1 p
(ckj + ckjp + cjkp )(cpil + clpi + cipl ).
=
4 p
Также имеем
1
(? < ek , [[ei , ej ]el ] > ?
2
? < el , [ek [ei , ej ]] > + < [ei , ej ], [el , ek ] >) =
1 p p
cij (ckl + clkp + ckpl ).
=?
2 p
< ?[ei ,ej ] el , ek >=
Итак, мы выразили коэффициенты тензора кривизны через структурные
константы алгебры Ли:
k
Rlij
=
1 p
{ ((cjl + cjpl + clpj )(ckip + cpki + cikp )?
=
4
p
?
(cpil
+
clpi
+
cipl )(ckjp
+
cjkp
+
(1.21)
cpkj ))?
1
? cpij (ckpl + clkp + cpkl )}.
2
Вопрос сходимости получающихся рядов будет рассмотрен в конкретных
приложениях.
Остановимся также на понятии кривизны Риччи. В конечномерном случае на n-мерном римановом многообразии M для заданной точки x ? M и
вектора v ? Tx M кривизна Риччи задается как сумма секционных кривизн:
n?1
i=1
K(v, ei ).
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ
71
Здесь e1 , ..., en?1 ═ ортонормированный базис в ортогональном дополнении к вектору v в Tx M .
Такой вариант определения кривизны Риччи не переносится на бесконечномерный случай, т. к. при этом возникают расходящиеся ряды. Удобнее
воспользоваться понятием нормализованной кривизны Риччи
(см. [Л6],[АрХес]):
n?1
1 K(v, ei ).
(1.22)
Ricc(v) =
n ? 1 i=1
Вычисление кривизны Риччи приводит к предельному переходу и для каждой бесконечномерной группы Ли является самостоятельной трудной задачей. В п. 2.3 это будет проделано для группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема n-мерного тора.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
72
ГЛАВА 2
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
Обзор содержания главы
В этой главе собраны результаты по геометрическим свойствам бесконечномерных групп Ли, являющихся подгруппами групп диффеоморфизмов. Как известно, группа диффеоморфизмов сохраняющих элемент объема компактного ориентированного риманова многообразия M , снабжается
правоинвариантной римановой метрикой (слабой) ? кинетической энергией [Ар1]. Эта метрика задается в касательном пространстве к единице
группы, т. е. ее алгебре Ли (пространстве бездивергентных векторных
полей на M ) следующим образом:
(u(x), v(x))dx.
(2.1)
< u, v >=
M
Пусть ad u : v ? [u, v] ═ оператор присоединенного действия в алгебре
Ли векторных полей на M с операцией [u, v]? скобкой Пуассона векторных
полей. Здесь важен также оператор коприсоединенного действия (ad u)? ,
сопряженный к ad u в смысле метрики (2.1)
< (ad u)? (v), w >=< v, (ad u)w >,
и связанная с ним билинейная форма
B(u, v) = (ad v)? (u).
Первая группа результатов главы ? это вычисление кривизн групп диффеоморфизмов для конкретных многообразий: 2-мерная сфера, n-мерный
тор.
В 2.1 исследуются специальные течения на двумерной сфере: пассатный
поток u = z(?y, x, 0), вращение h = (?y, x, 0). В п. 2.1.1 даны формулировки результатов о кривизнах группы диффеоморфизмов, сохраняющих
элемент объема двумерной сферы (отрицательность для пассатного потока u и положительность для вращения сферы h). В п. 2.1.2 приводятся
доказательства этих результатов с использованием техники сферических
функций. Здесь надо отметить, что положительность секционных кривизн
по двумерным направлениям, проходящим через вращение h, установил
также G. Misiolek [Mis] с использованием аналога теоремы Гаусса ═ Кодацци.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
73
В 2.2 разбирается n-мерный тор. В п. 2.2.2 вычисляется оператор коприсоединенного действия алгебры Ли бездивергентных векторных полей
на торе. Получено выражение для секционных кривизн по двумерным направлениям, проходящим через векторные поля ? простые гармоники на
торе, и установлена отрицательность кривизн.
В п. 2.2.3 исследуется асимптотика кривизн. Получена асимптотическая формула для секционных кривизн K(un , v), где v ═ произвольное бездивергентное поле на торе, а un ═ последовательность простых гармоник
с заданной асимптотикой.
В 2.3 вычислена кривизна Риччи группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема n-мерного тора. В п. 2.3.1 дается определение кривизны Риччи группы диффеоморфизмов с использованием спектрального
разложения оператора Лапласа ═ Бельтрами. В п. 2.3.2 получена формула
кривизны Риччи.
В 2.4 разбирается группа диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема компактной римановой поверхности. В п. 2.4.1 получен общий вид
тензора кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент площади поверхности. В п. 2.4.2 получено секционных кривизн группы диффеоморфизмов через собственные числа оператора Лапласа ═ Бельтрами.
В п. 2.4.3 разбираются примеры:
прямоугольная область на плоскости (для этого случая также вычислена
кривизна Риччи);
двумерная сфера (здесь исследуется асимптотика секционных кривизн
для обобщенного пассатного потока).
Далее исследуется определенная в 1.2.4 подгруппа группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема некомпактного многообразия, которая состоит из диффеоморфизмов, быстро сходящихся к тождественному. В
2.5 разбирается группа диффеоморфизмов бесконечного цилиндра. В 2.5.1
вычисляются секционные кривизны этой группы и получена асимптотическая формула кривизн. В 2.5.2 оценивается диапазон значений кривизн.
Показано, что для определенной серии полей секционные кривизны отрицательны и отграничены от нуля.
В 2.6 разбирается случай произвольного риманова многообразия, возможно и не компактного. В п. 2.6.1 в общем виде вычислен оператор
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
74
ГЛАВА 2
коприсоединенного действия (предложение 2.4). В п. 2.6.2 получена формула секционных кривизн группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема, через коэффициенты метрического тензора многообразия (теорема 2.10). В п. 2.6.3 разбирается случай локально евклидова многообразия. Здесь удается упростить выражение для секционных кривизн.
Оно приобретает наиболее простой вид (теорема 2.11). Для произвольного
стационарного векторного поля v установлена ограниченность секционных
кривизн K(u, v) (следствие 2.15).
2.1 Исследование пассатного потока на двумерной сфере
2.1.1
Ниже вычисляются кривизны группы Di╗ ╣ (S2 ) (диффеоморфизмов
двумерной сферы S2 , сохраняющих стандартную плотность), снабженной
естественной правоинвариантной римановой метрикой (слабой). Как показал В. И. Арнольд [Ар1], [Ar1], геодезические на такого типа группах
выражают течения идеальной несжимаемой жидкости, а отрицательность
кривизн по двумерным направлениям является признаком экспоненциальной неустойчивости течений. В [Ар1], в частности, подробно исследуется стационарное течение на двумерном торе, имеющее поле скоростей
?
(пассатный поток). В настоящей работе исследуется аналог пасsin y ?x
?
?
+ x ?y
); для многих
сатного потока для S2 : векторное поле g = z(?y ?x
двумерных направлений, проходящих через g, кривизны оказываются отрицательными. Полученные значения кривизн используются для оценки
отрезка времени, на который невозможен долгосрочный динамический прогноз погоды, при этом получаются результаты, близкие к [Ар1]. Исследу?
?
+x ?y
(вращение сферы), для которого
ется также векторное поле h = ?y ?x
кривизны по двумерным направлениям оказываются неотрицательными.
Пусть S2 задана в R3 уравнением x2 + y 2 + z 2 = 1. Обозначим через
V╣ (S2 ) алгебру Ли группы Di╗ ╣ (S2 ), состоящую из векторных полей нулевой дивергенции. Правоинвариантная метрика (2.1) на группе Di╗ ╣ (S2 )
задается в единице:
< u, v >=
(u(x), v(x))d╣(x), (u, v ? V╣ (S2 ))
S2
Удобно представлять бездивергентные векторные поля v на S2 их функциями тока fv :
v = T (fv ),
T (f ) = I(grad f ),
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
75
где I? оператор поворота вправо на 90o .
Выберем в пространстве функций тока базис из сферических функций
[Вл]: пусть ?, ? ═ стандартные сферические координаты на S2 ,
l+m
(l ? m)! 2l + 1 1 1 i?
(sinl ?)
md
2
=[
,
] l (e sin ?)
(l + m)! 4?
2 l!
d(cos ?)l+m
(l ? N, m = ?l, ..., l).
Yml
Заметим, что
T (Yml )2 = ??? Yml 2 = l(l + 1).
Поэтому ортонормированный базис в V╣ (S2 ) образуют векторные поля
1
Yml ).
elm = T ( l(l + 1)
Условимся обозначать через K(u, v) кривизну, взятую в единице группы
Di╗ ╣ (S2 ), по двумерному направлению L{u, v}.
Теорема 2.1. Кривизны по двумерным направлениям,
век содержащим
?
?
l l
торное поле h = ?y ?x + x ?y и векторные поля v =
l,m vm em , даются
формулами:
3
m2
;
8? l2 (l + 1)2
3 l l 2
m2
|vm em | 2
.
2)K(h, v) =
8?
l (l + 1)2
1)K(h, elm ) =
l,m
Следствие 2.1. Имеем K(h, v) ? 0, причем
K(h, v) = 0 только для векторных полей v, коммутирующих с h. При этом
Махv K(h, v) =
3
? = K(SO(3))
32
и достигается, когда v ? so(3). Здесь K(SO(3)) ═ кривизна ортогональной
подгруппы группы Di╗ ╣ (S2 ).
Теорема 2.2. Для кривизны по двумерным направлениям, содержащим
пассатный поток, имеем
1)
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
76
ГЛАВА 2
15m2
al+1
2 l
=
[(1 ? cl ) (am bl + m )+
32?
bl+1
alm
l
l+1
+ 2(1 + cl )(am + am ) ? 3(
+ al+1
m bl+1 )],
bl
K(g, elm )
здесь
alm
(l2 ? m2 )
(l + 1)
6
=
=
=
,
b
,
c
;
l
l
(4l2 ? 1)
(l ? 1)
l(l + 1)
2) при |m| > 1 кривизна K(g, elm ) < 0;
15
.
3) при l ? ? имеем K(g, el╠l ) ? ? 8?
Ниже приводятся значения кривизн K(g, elm ) для малых (l, m); заметим,
что K(g, el0 ) = 0 и K(g, elm ) = K(g, el?m ) .
(l, m) :
(1, 1)
1
l
K(g, em ) : 32?
(2, 1) (2, 2) (3, 1) (3, 2) (3, 3)
15
1
111
15
1
? 28?
? 8?
? 128?
224?
128?
Теорема 2.3.
1) в случае пассатного потока функционал кривизны имеет вид
l
l 2
(2Km
|vm
| +
K(g, v) =
l?m?0
l?1 l+1
Llm Re(vm
vm )),
здесь
l
= K(g, elm ),
Km
2
15m
alm al+1
m
l
Lm =
((1 ? cl )2 bl+1 + (1 + cl )(1 + bl bl+1 ) ? 3bl );
16?
bl bl+1
l
2) для векторных полей v, имеющих vm
= 0 при l < L, кривизна асимптотически (при L ? ?) дается следующим выражением:
15 (1 ? m2 )m2
1
l 2
K(g, v) =
|
+
O(
);
|v
m
8?
(l2 ? 1)((l + 1)2 ? 1)
L2
l,m
l
3) для векторных полей v с vm
= 0 при |m| ? 2 имеем K(g, v) < 0.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
77
Примечание. Если принять, что состояние атмосферных течений близко
к пассатному потоку (т. е. в предположениях, аналогичных сделанным в
[Ар1]) и выбрать в качестве среднего значения кривизны
Kср = ? inf K(g, v)
с некоторым ? ? (0, 1), то получим следующее:
если ? ═ ошибка в начальных условиях при динамическом прогнозировании погоды, то через n месяцев величина ошибки будет составлять
10kn ?,
?
?
(k ? (30 в 24/400)4? ? lg10 e ? 10 ?).
В частности, если выбрать в качестве Kср ? (1/4) inf K, то получим,
что увеличение ошибки при определении состояния погоды в 105 раз произойдет через 1 месяц; если выбрать Kср ? (1/16) inf K, то через 2 месяца.
Заметим, что в модели В. И. Арнольда в [Ар1] аналогичное увеличение
ошибки (при Kср ? 14 inf K) происходит через 2 месяца.
Интересно отметить, что в моделях с тором и сферой для отрезка времени, на который практически невозможен долгосрочный динамический
прогноз погоды, получаются оценки одного порядка.
2.1.2
Доказательства теорем 2.1 - 2.3.
Для вычисления кривизн группы Di╗ ╣ (S2 ) мы воспользуемся методом,
введенным В. И. Арнольдом в [Ar1]. Обозначим как и выше через B(u, v)
оператор коприсоединенного действия. Кривизна в двумерном направлении, заданном парой ортонормированных векторных полей u, v, вычисляется по формуле (1.17)
K(u, v) =< ?, ? > +2 < ?, ? > ?3 < ?, ? > ?4 < Bu , Bv >,
где ?, ?, ?, Bw даются (1.16).
Чтобы вычислить B(u, v), необходимо найти структурные константы
алгебры Ли V╣ (S2 ). Введем функции
fm,k = (x + iy)m z k , (m, k ? Z).
Заметим, что сферические функции можно разложить по fm,k .
Лемма 2.1. Для функций fm,k скобка Пуассона имеет вид
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
78
ГЛАВА 2
{fm,k , fn,l } = i(kn ? lm)fm+n,k+l?1 ,
{f (z)(x + iy)m , g(z)(x + iy)n } = i(nf g ? mf g )(x + iy)m+n .
Для доказательства заметим, что T (fm,k ) = imfm?1,k e + kfm,k?1 h, где
e = T (?i(x + iy)). Имеем
[h, e] = ie,
h(fm,k ) = imfm,k , e(fm,k ) = ?kfm+1,k?1 ,
откуда следует утверждение леммы.
Сферические функции Yml можно представлять однородными степени l
гармоническими в R3 многочленами (см. [Вил], [Ар3]). Положим Pl =
L{YmL |m = ?l, ..., l} и Vl = T (Pl ). Подпространства Vl являются простыми подмодулями SO(3)-модуля сферических векторных полей на S2 (см.
[Кир1]). Используя формулу B(u, v) для двумерного случая из [Ар1] и спектральные свойства оператора Лапласа на двумерной сфере, получаем, что
для
u ? Vk , v ? Vl выполняется соотношение
B(v, u) = ?
l(l + 1)
B(u, v).
k(k + 1)
В частности, для векторных полей с однородными функциями тока (т.
е. v ? Vl ) имеем B(v, v) = 0, т. е. все такие поля стационарны. Для случая
стационарного поля v имеем Bv = 0 и формула для кривизны упрощается:
K(u, v) =< ?, ? > +2 < ?, ? > ?3 < ?, ? > .
В
случае векторного поля h заметим, что [h, elm ] = imelm . Положим
h =
3
8? h, (h = 1). Имеем
2
3 l
B(elm , h ) = ?im
em , B(h , elm ) = ?
B(elm , h ).
8?
l(l + 1)
Отсюда, используя упрощенную формулу секционных кривизн, получаем теорему 2.1.
В случае пассатного потока g положим
15
g.
g =
8?
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
79
Имеем g = 1. Функция тока для векторного поля g имеет вид
1 15 2
z .
f=
2 8?
Из леммы 2.1 получаем
{f, ?(z)(x + iy)m } = im
15
z?(z)(x + iy)m .
8?
Переходя к сферическим координатам, имеем
15
cos ?Yml .
{f, Yml } = im
8?
С использованием представление функций из Pl однородными гармоническими многочленами в [Вил] показано, что
zPl ? Pl?1 + Pl+1 .
Непосредственно проверяется, что
cos ?plm = ?
l?m+1
2l(l + m) l?1
?
pl+1
p .
(2l + 1)(2l + 2) m
2l + 1 m
Здесь
plm
dl+m (sinl ?)
=
.
d(cos ?)l+m
В базисе {elm } имеем (используя обозначения теоремы 2.2)
15
alm l?1
l
l+1
ad g (em ) = ?im
em + al+1
(
m bl+1 em ).
8?
bl
Оператор B(v, g ) сопряжен к ad g , откуда получаем
15
al+1
m
l
l?1
l
B(em , g ) = im
el+1
+)
( am bl em +
8?
bl+1 m
Кроме того,
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
80
ГЛАВА 2
B(g , elm ) = ?
6
B(elm , g ).
l(l + 1)
Далее, используя формулу секционной кривизны, можно получить формулы для K(g, elm ) (теорема 2.1)) и K(g, v) (теорема 2.3, 1)).
Для оценки знака K(g, v) полезно следующим образом преобразовать
l
, Llm .
выражения для Km
Лемма 2.2. В случае пассатного потока имеем (в обозначениях теоремы
2.3)
l
Km
Llm
3?l
2
15m2 (1 ? m )(1 ? l(l+1) )
27?l
=
[ 2
+ 5
],
2
8? (l ? 1)((l + 1) ? 1) 4l (l + 1)
(l2 ? m2 )((l + 1)2 ? m2 )
15m2 9
9
=
.
(
+ )?l
8? l ? 1 l2
l3 (l + 1)2
Здесь l ? 2, а
(8l3 + 12l2 ? 32l ? 18)
?l =
,
(2l ? 1)(2l + 1)(2l + 3))
4l3 (2l2 + 5l + 2)
,
?l =
((l + 1)(l + 2)(2l ? 1)(2l + 1)(2l + 3))
(l ? 1)l
?l = 4l2
,
(l + 1)(l + 2)(4l2 ? 1)(4(l + 1)2 ? 1)
причем 0 < ?l , ?l , ?l < 1.
Доказательство проводится при помощи громоздких, но несложных выкладок.
Используя лемму 2.2, получаем утверждения о знаке K(g, elm ) (теорема
2.2, 2)) и асимптотическую формулу для K(g, v) (теорема 2.3, 2)).
Для доказательства теоремы 2.3, 3) полезно преобразовать функционал
l
= 0 при |m| < 3:
кривизны K(g, v) для v с vm
K(g, v) =
m m 2
m m+2
m+2 m+2 2
[(2Km
|vm | + Lm+1
Re(vm
vm ) + Km
|vm | )+
m
m?3
m+1 m+1 2
m+1 m+3
m+3 m+3 2
+ (2Km
|vm | + Lm+2
Re(vm
vm ) + Km
|vm | )+
m
l
l 2
m l+2
l+2 l+2 2
(Km
|vm
| + Ll+1
m ) + Km
|vm | )].
+
m Re(vm v
l?m+2
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
81
И далее, используя оценки леммы 2.2, можно показать, что выражения в
скобках являются отрицательно определенными формами.
15
, приниЗаметим, что значения, близкие к минимуму K(g, v) ? ? 8?
l
маются на векторных полях e╠l при больших l или, если рассматривать
вещественные поля,
1 l
1
(el + el?l ), el? = (ell ? el?l ).
2
2i
Эти поля имеют следующие функции тока :
el+ =
l
l
= ?l Re(x + iy)l , f?
= ?l Im(x ? iy)l .
f+
l
l
Функции {f+
, f?
|l ? N} натягивают на S2 подпространство функций, зависящих только от x, y, причем для векторных полей с такими функциями
тока кривизна K(g, v) имеет вид
l 2
Kll (|vll |2 + |v?l
| ).
K(g, v) =
l?1
Определение характера роста ошибки при предсказании погоды проводится
аналогично [Ар1]. Надо только учесть, что длина окружности по широтам,
где достигается максимум?скорости пассатного потока (т. е. при ? =
? 3?
2 раза, а также что
4 , 4 ), меньше экватора в
15
.
8?
Расчет секционных кривизн для группы диффеоморфизмов, сохраняющих
элемент объема двумерной сферы, с использованием коэффициэнтов
Клебша-Гордона проделали Аракелян, Завидия ([AS]) и K. Yoshida ([Y]).
2.2. Разбор случая тора Tn
2.2.1
В этом параграфе исследуется случай n-мерного тора. Пусть дан nмерный тор Tn со стандартной метрикой. Обозначим через Di╗ ╣ (Tn )
группу C ? - диффеоморфизмов, сохраняющих меру тора, и через V╣ (Tn ) ═
алгебру Ли C ? -векторных полей на Tn , имеющих нулевую дивергенцию.
На группе Di╗ ╣ (Tn ) имеется правоинвариантная метрика (2.1), заданная
в касательном пространстве к единице группы (т. е. в ее алгебре Ли
V╣ (Tn )) формулой
inf K(g, v) ? ?
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
82
ГЛАВА 2
< u, v >=
(u(?), v(?))d?.
Tn
Для двумерного направления L{u, v}, (u, v ? V╣ (Tn )), взятого в касательном пространстве к единице группы Di╗ ╣ (Tn ), ниже вычисляются кривизны К(u, v) в смысле метрики (2.1) .
Рассматривается случай, когда одно из полей является однородным гар?
, здесь ? = (?1 , ..., ?n )? станмоническим (скажем, u = cos k? i ui ??
i
n
дартные координаты на T , взятые по модулю 2?, а k = (k1 , ..., kn ) ? Zn .
Также вычисляется функционал кривизн для следующего векторного поля
на трехмерном торе:
w = c(sin ?3 + cos ?2 , sin ?1 + cos ?3 , sin ?2 + cos ?1 ).
По многим двумерным направлениям секционные кривизны оказываются отрицательными.
Исследуется асимптотика функционала кривизн K(u, v) в случае, когда
векторное поле u фиксировано, а поле v однородное гармоническое, причем его гармоника стремится к бесконечности, имея некоторое предельное
направление стремления.
Для группы Di╗ ╣ (Tn ) определяется аналог кривизны Риччи и вычисляется ее значение. При этом для поля, отличного от постоянного (т. е. не
принадлежащего алгебре Ли тора), кривизна Риччи оказывается отрицательной.
2.2.2
Исходным моментом при определении кривизн инвариантных метрик
на группах Ли является вычисление оператора коприсоединенного представления. Для дальнейшего удобно выделить в алгебре Ли V╣ (Tn ) подалгебру S(Tn ), состоящую из полей вида
i
Pi (?1 , ..., ?n )
?
,
??i
где P1 , ..., Pn ? тригонометрические полиномы от (?1 , ..., ?n ).
Известно, что подалгебра S(Tn ) всюду плотна в V╣ (Tn ) (см. R. S. Palais,
T. E. Stewart [PS]). Условимся через V╣c (Tn ) обозначать комплексификацию
алгебры Ли V╣ (Tn ) и через S c (Tn )? алгебры S(Tn ).
Введем в S c (Tn ) подпространства Pk , соответствующие однородным
гармоникам. Для k ? Zn положим
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
Pk = {v ? S (T )|v = exp(ik?)
c
n
n
?j
j=1
?
,
?xj
?j ? Cn ,
83
j = 1, ..., n}.
Из условия бездивергентности следует,
что для v ? S c (Tn ) принадлеж
ность к P k эквивалентна условию ni=1 ki ?i = 0.
Отсюда при k = 0 имеем dim Pk = n ? 1, а при k = 0 имеем dim Pk = n.
Введем также подпространства Vk = (Pk + Р?k ) ? S(Tn ).
На множестве Zn введем отношение эквивалентности, определяемое
естественным действием группы Z2 = {1, ?1}, для k ? Zn через [k] обозначим класс эквивалентности, содержащий элемент k. Пространство V╣ (Tn )
разлагается в прямую сумму подпространств V? , индексированных этими
классами и ортогональных в смысле скалярного произведения (2.1):
?
n
V╣ (T ) =
V? .
??[Zn ]
Заметим, что V0 ?
= tn , где tn ═ подалгебра в V╣ (Tn ), соответствующая
естественному действию Tn на себе сдвигами.
Векторные поля v ? V╣ (Tn ) однозначно представляются в виде:
v=
vk ,
k?Zn
где v k ? Pk .
Если обозначить через ?k : V╣ (Tn ) ? Vk ортогональные проекции, то
для k = 0 имеем ?k (v) = v k + v ?k , a ?0 (v) = v 0 . Введем следующие
обозначения:
fk = i exp(ik?), el =
k
a =
n
?
,
??l
aks es , (aks ? C).
s=1
Мы также будем использовать представление поля v ? V╣ (Tn ) в виде
ak fk .
v=
k?Zn
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
84
ГЛАВА 2
Из вещественности векторного поля v следует, что ak + a?k = 0.
Перейдем к вычислению оператора коприсоединенного действия
B(u, v) = (ad v)? (u). Здесь удобно комплексифицировать алгебру Ли
V╣ (Tn ) и скалярное произведение (2.1), а затем вычислить B(u, v) для комплексифицированной алгебры Ли V╣c (Tn ).
Лемма 2.3. Оператор B(u, v) задается следующим образом.
При l + k = 0 имеем:
B(ak fk , al fl ) = fk+l ((ak , al )l + (al , k)ak ?
l+k
),
? (((al , k)(ak , l) + (ak , al )(l, l + k))
|l + k|2
(2.2)
при l + k = 0 имеем
B(ak fk , a?k f?k ) = ?f0 (ak , a?k )k.
Доказательство. Коммутационные соотношения в алгебре Ли S c (Tn )
имеют вид
(2.3)
[fk ak , fl al ] = fk+l ((al , k)ak ? (ak , l)al ).
(здесь через (?, ?) обозначается i ?i ?i для ?, ? ? Cn ).
С другой стороны, для скалярного произведения (2.1) получаем следующие формулы:
< fk ak , fl al >= 0, k + l = 0;
< fk ak , f?k a?k >= ?(ak , a?k )╣(Tn ).
Так как
< B(fk ak , fl al ), fs as >=< [fl al , fs as ], fk ak >,
то при l + s + k = 0 имеем
< B(fk ak , fl al ), fs as >= 0,
а при l + s + k = 0 получаем
< B(fk ak , fl al ), fs as >= ?((as , l)(al , ak ) ? (al , s)(as , ak ))╣(Tn ).
Отсюда следует, что
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
85
B(fk ak , fl al ) = ?(fl+k (ak , al )l + (al , k)ak )).
Здесь
? : V c (Tn ) ? V╣c (Tn )
═ проекция, ортогональная в смысле скалярного произведения (2.1), пространства V c (Tn ) на подпространство полей нулевой дивергенции. Используя это, получаем формулу (2.2).
Для случая двумерного тора оператор B вычислен в работе Арнольда
[Ar1], а для трехмерного тора оператор B можно также вычислить, используя формулу из [Ar1],[Ар1]:
B(u, v) = ?(rot u ? v).
При вычислении кривизн для группы Di╗ ╣ (Tn ) мы будем пользоваться
формулой (1.17). Пусть фиксирована пара ?, ? ортонормированных векторных полей из V╣ (Tn ) и через K(?, ?) обозначается кривизна, взятая в
единице группы Di╗ ╣ (Tn ) по двумерному направлению, натянутому элементами ?, ?. Следуя [Ar1], введем поля
1
(B(?, ?) + B(?, ?)),
2
1
?(?, ?) = (B(?, ?) ? B(?, ?)),
2
1
?(?, ?) = [?, ?].
2
?(?, ?) =
Напомним, что в пространстве V╣ (Tn ) выделяется подмножество стационарных векторных полей (т. е. таких, которые задают течения идеальной жидкости с постоянным полем скоростей). Однородные гармонические
векторные поля дивергенции 0, т. е. поля вида u = a sin k?(b cos k?), являются стационарными, так как из бездивергентности следует, что (a, k) =
(b, k) = 0, откуда ?u u = 0.
Из [Ar1] для стационарных полей v имеем B(v, v) = 0. Значение кривизны, когда одно из полей стационарное, дается выражением
K(?, ?) =< ?, ? > +2 < ?, ? > ?3 < ?, ? > .
(2.4)
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
86
ГЛАВА 2
Условимся здесь и в дальнейшем неопределенности вида 00 , получающиеся в рассматриваемых выражениях, считать равными нулю (они возникают в случаях, когда у соответствующей гармоники компонента получается проекция градиентного поля).
Теорема 2.4. Пусть векторное поле ? является однородным гармоническим, а ? произвольно, т. е.
? = fk uk + f?k u?k ,
fl v l .
?=
l
Тогда кривизна K(?, ?) дается следующим выражением:
K(?, ?) = ?╣(T )
n
|(uk , s)(v s?k , k) ? (u?k , s)(v s+k , k)|2
s
1
.
|s|2
(2.5)
Доказательство. Воспользуемся формулой (2.2) для B. Имеем
B(?, ?) =
fs {((u?k , v s+k ) ? (uk , v s?k ))k+
s?Zn
k
+ (v s?k , k)u ? (v s+k , k)u?k ?
s
? 2 [(uk , s)(v s?k , k) ? (u?k , s)(v s+k , k) + (s, k)((u?k , v s+k ) ? (uk , v s?k ))]}.
|s|
B(?, ?) =
fs {?((u?k , v s+k ) ? (uk , v s?k ))k+
s?Zn
s?k
+ (u?k , s)v s+k ?
+ (uk , s)v
s
? 2 [(uk , s)(v s?k , k) ? (u?k , s)(v s+k , k) ? (s, k)((u?k , v s+k ) ? (uk , v s?k ))]}.
|s|
Введем следующие обозначения:
?s (?, ?) = (v s?k , k)uk ? (v s+k , k)u?k ,
?s (?, ?) = (uk , s)v s?k + (u?k , s)v s+k ,
?s (?, ?) = ((u?k , v s+k ) ? (uk , v s?k ))k.
Имеем
(2.6)
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
87
1
2s
fs {?s + ?s ? 2 (?s , s)},
2 s
|s|
1
2s
?(?, ?) =
fs {2?s + ?s ? ?s ? 2 (?s , s)},
2 s
|s|
?(?, ?) =
(2.7)
Кроме того, используя (2.3), получаем
?(?, ?) =
1
fs (?s ? ?s ).
2 s
(2.8)
Воспользуемся формулой (2.4). Заметим, что
< ?s , s >=< ?s , s >, < ?s , ??s >= 0,
а также
< ?s , ??s >=
s
< ??s , ?s >,
s
< ?s , ??s >=
s
< ??s , ?s > .
s
Из полученных соотношений следует, что
K(?, ?) = ?╣(Tn )
s
{
1
(?s , s)(???s , s) + ?s },
|s|2
где ?s = (?s , ??s ) ? (?s , ??s ). Непосредственно проверяется, что
0.
Кроме того, заметим, что ???s = ?s .
Отсюда получаем следующую формулу для кривизны:
K(?, ?) = ?╣(T )
n
|(?s , s)|2
s
|s|2
.
Преобразуем полученное выражение. Имеем
(?s , s) = (uk , s)(v s?k , s) + (u?k , s)(v s+k , s) =
(uk , s)(v s?k , k) ? (u?k , s)(v s+k , k).
Отсюда следует формула (2.5) для кривизны K(?, ?).
s
?s =
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
88
ГЛАВА 2
Рассмотрим следующий частный случай. Введем
= sin k?, fk? = cos k?.
Пусть поле ? имеет вид ? ╠ = ak fk╠ . Здесь ak ? Rn , заметим, что из
условия |? ╠ | = 1 следует, что (ak , ak ) = ╣(T2n ) .
Следствие 2.2. В рассмотренном случае формула для кривизны приобретает вид
fk+
K(?, ?) = ?
╣(Tn ) |(ak , s)|2 s?k
|(v
╠ v s+k , k)|2 .
2
4
|s|
s
(2.9)
Заметим, что при n = 2 получается формула Арнольда из [Ар1]. Таким образом, мы видим, что в случае однородного гармонического поля ?
функционал кривизн K(?, ?) неположителен. На подпространстве полей ?,
коммутирующих с ?, функционал кривизн K(?, ?) обращается в нуль.
2.2.3
Ниже исследуем, как ведет себя кривизна K(?, ?) в случае, когда поле
?? произвольное фиксированное, а поле ?? однородное гармоническое меняется таким образом, что гармоника k поля ? стремится к бесконечности, имея некоторое предельное направление стремления. В этом случае
кривизна K(?, ?) имеет асимптотику. Именно верна
Теорема 2.5. Пусть задана последовательность векторных полей {?n } ?
V╣ (Tn ), удовлетворяющая условиям:
1. ?n = fkn ukn + f?kn u?kn , где kn ? ? при n ? ?.
2. |?n | = 1 для всех n. Существует такое u ? Cn , что ukn ? u при
n ? ?.
3. Существует такое ? ? Rn , |?| = 1, что | |kknn | ? ?| ? 0 при n ? ?.
Тогда для произвольного векторного поля v ? V╣ (Tn ), |v| = 1, имеем
lim K(?n , v) = ?2|[u, v]|(f? )|2 .
n??
(2.10)
Здесь u рассматривается как элемент алгебры Ли тора (tn )C , вложенной в V╣c (Tn ), a f? = (?, ?)? многозначная функция на Tn , имеющая, однако, однозначные производные по направлениям. Норма (|v|) понимается
в смысле стандартной структуры L2 в пространстве комплекснозначных
функций на торе.
Доказательство. Обозначим через K ? (?n , v) величину, получающуюся
при подстановке в формулу (2.5) для кривизны коэффициентов полей ?n , v.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
89
Так как поля ?n , v не образуют ортонормированную пару, то, вообще говоря, K ? (?n , v) = K(?n , v. Пара ?n , v приводится к ортонормированной паре
?n , v ? заменой
v ? ?n < ?n , v >
v? = .
1? < ?n , v >2
Заметим, что члены ряда в формуле (2.5) при значениях s = ╠k обращаются в нуль. Поэтому
K(?n , v) = K(?n , v ? ) = K ? (?n , v)
1
,
1? < ?n , v >2
откуда получаем, что
lim K ? (?n , v) = lim K(?n , v).
n??
n??
Преобразуем выражение для K ? (?n , v) следующим образом. Фиксируем
L > 0. Обозначим через ZnL = {s ? Zn ||s| ? L}.
Так как kn ? ?, то существует такое N (L), что для всех n ? N (L)
элементы {s + kn , s ? kn }, {s, s + 2kn }, {s, s ? 2kn } при любом s ? Zn не
могут оба принадлежать ZnL .
При n > N (L) преобразуем выражение для K ? (?n , v) следующим образом:
K ? (?n , v) = ?1 + ?2 + ?3 ,
где
?1 = ?╣(Tn )
|(ukn , s)(v s , kn ) ? (u?kn , s)(v s+2kn , kn )|2
,
2
|s
+
k
|
n
n
s?ZL
|(ukn , s)(v s?2kn , kn ) ? (u?kn , s)(v s , kn )|2
,
?2 = ?╣(T )
|s ? kn |2
n
n
s?ZL
|(ukn , s)(v s?kn , kn ) ? (u?kn , s)(v s+kn , kn )|2
?3 = ?╣(T )
.
|s|2
n
s?Mn,L
Здесь
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
90
ГЛАВА 2
Mn,L = {s ? Zn ||s ? kn | > L, |s + kn | > L}.
Обозначим через
kn
s
kn =
, s =
.
|kn |
|s|
Введем далее
?1 = ?╣(Tn )
|(ukn , s)(v s , kn )|2
,
s
2
|
+
k
|
n
n
|kn |
s?ZL
?╔1
= ?╣(T )
n
|(ukn , s)(v s , kn )|2
,
| s + kn |2
|kn |
s?Zn \Zn
L
а также
|(u?kn , s)(v s , kn )|2
?2 = ?╣(T )
,
| s ? kn |2
n
n
|kn |
s?ZL
?╔2 = ?╣(Tn )
s?Zn \Zn
L
|(u?kn , s)(v s , kn )|2
.
| s ? kn |2
|kn |
Заметим, что
?1 + ?1 ? ?1 ? ?1 ,
?2 + ?2 ? ?2 ? ?2 .
Непосредственно проверяется, что при L ? +? имеем
?1 = ?|[ukn , v](f? )|2 + o(L), ?2 = ?|[u?kn , v](f? )|2 + o(L),
?1 = o(L), ?2 = o(L).
Оценим величину ?3 , преобразовав ее к виду
?3 = ?╣(Tn )
s?Mn,L
Введем
|(ukn , s ? kn )(v s?kn , s) + (u?kn , s + kn )(v s+kn , s)|2 .
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
?3 = ?╣(Tn )
91
|(ukn , s)v s |2 ,
s?Zn ?Zn
L
?3 = ?╣(T )
n
|(u?kn , s)v s |2 .
s?Zn ?Zn
L
Имеем
?3 + ?3 ? ?3 ? 0.
Выражения ?3 и ?3 являются остатками рядов для величин |[ukn , v]|2 и
|[ukn , v]|2 , откуда получаем
?3 = o(L), ?3 = o(L).
Сопоставляя полученные оценки, получаем теорему.
Следствие 2.3. Представим векторные поля ?n из условия теоремы 2.4
в виде
?n = akn cos kn ? + bkn sin kn ?.
Пусть akn ? a, bkn ? b, n ? ?.
Заметим, что из условия |?n | = 1 следует, что (a, a) + (b, b) =
Тогда имеем
2
╣(Tn ) .
1
lim K(?n , v) = ? (|[a, v](f? )|2 + |[b, v](f? )|2 ).
(2.11)
n??
2
Доказательство состоит в непосредственном использовании формулы
(2.10) из теоремы 2.5.
Рассмотрим в качестве примера векторное поле на трехмерном торе
1
?k = (sin k?3 + cos k?2 , sin k?1 + cos k?3 , sin k?2 + cos k?1 ).
3╣(T3 )
Для k = 1 подобные более общие векторные поля ((A, B, C)-поля) исследуются в [Ар1]. Эти поля обладают свойством экспоненциальной растяжимости частиц тора и являются собственнымм для оператора rot, в
частности, эти поля стационарны.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
92
ГЛАВА 2
Следствие 2.4. Для асимптотических значений функционала кривизн
поля ?k справедлива следующая оценка.
Пусть {?n }? последовательность из условий следствия 2.3. Тогда имеем
k2
k2
k
?
? lim K(?n , ? ) ? ?
.
6╣(T3 ) n??
12╣(T3 )
(2.12)
Доказательство. Пусть ?n = akn cos kn ? + bkn sin kn ? и akn ? a, bkn ?
b, |kknn | ? ?. Положим
?=
a
b
,? = .
|a|
|b|
Имеем
k2
lim K(?n , v) = ? {(a, a)(1 ? ?21 ?21 ? ?22 ?22 ? ?23 ?23 )+
12
+ (b, b)(1 ? ?12 ?21 ? ?22 ?22 ? ?32 ?23 )}.
Заметим, что (?, ?) = (?, ?) = 1, (?, ?) = (?, ?) = 0. Используя стандартную технику поиска условного экстремума, можно показать, что
max
?
3
i=1
3
?2i ?2i ? 2(1 ? max ?2i ) max ?2i ?
i
i
1
,
2
(2.13)
1
?i2 ?2i ? 2(1 ? max ?i2 ) max ?i2 ? .
max
?
i
i
2
i=1
Отсюда вытекает оценка (2.12).
Таким образом, для поля ?k асимптотические значения кривизн
K(?n , ?k ), когда гармоника у поля ?n стремится к бесконечности, отрицательны и отграничены от нуля.
2.3 Вычисление кривизны Риччи для группы Di╗ ╣ (Tn )
2.3.1
Здесь мы разберем, как понятие нормализованной кривизны Риччи
(1.22) работает в бесконечномерном случае. Такой подход применительно
к группе Di╗ ╣ (Tn ) приводит к следующему определению.
Введем следующие обозначения. Для L > 0 положим
ZLn = {k ? Zn ||k| ? L}/Z2 ,
(2.14)
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
93
n \ {0} в
здесь Z2 = {1, ?1} действует на Zn умножением. Для k ? Z
L
пространстве Vk простых гармоник порядка Vk ? S(Tn ) выберем ортонормированный базис вида
uk,1 cos k?, ..., uk,n?1 cos k?, uk,1 sin k?, ..., uk,n?1 sin k?.
(2.15)
Соответственно для k = 0 выберем в пространстве V0 ?
= tn ортонормированный базис
{u0,1 , ..., u0,n }.
(2.16)
n,
Обозначим через ?L ═ объединение построенных базисов по всем k ? Z
L
через nL мощность множества ?L .
Определение 2.1. Для произвольного векторного поля v ? V╣ (Tn ) положим кривизну Риччи Ricc(v) этого поля равной следующему пределу:
1
K(v, e? ).
L?? nL ? 1
e ??
Ricc(v) = lim
?
(2.17)
L
2.3.2
Теорема 2.7. Кривизна Риччи для группы Di╗ ╣ (Tn ) дается выражением
Ricc(v) = ?
1 (n + 1)
| ??(v)|2
n
(n ? 1)n(n + 2) ╣(T )
(2.18)
(здесь v ═ произвольный нормированный элемент из V╣ (Tn )).
Доказательство. Для вычисления кривизны Риччи удобно воспользоваться асимптотической формулой кривизны (2.11). Заметим, что если
последовательность элементов ?n ? V╣ (Tn ) удовлетворяет условиям теоремы 2.5 и, кроме того, имеет вид ?n = an cos kn ? (либо ?n = an sin kn ?),
то тогда получаем (пусть a = lim |aann | , ? = lim |kknn | )
1
|[a, v](f? )|2 d╣.
lim K(?n , v) = ?
n
╣(T ) Tn
Так как a??, то пара {a, ?} задает точку на многообразии Штиффеля
Wn,2 двумерных реперов в Rn . Отсюда следует выражение для кривизны
Риччи:
1
1
|[a, v](f? )|2 d╣.
(2.19)
Ricc(v) = ?
n
╣(T ) ╣(Wn,2 ) Wn,2
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
94
ГЛАВА 2
Здесь интеграл по Wn,2 берется в смысле метрики, инвариантной
sотносительно действия ортогональной группы SO(n). Пусть v =
s v fs .
Имеем
i(a, s)(v s , ?)fs .
[a, v](f? ) =
Следовательно, Ricc(v) = ?
s
s
1
?s =
╣(Wn,2 )
?s , где для величин ?s имеем формулу
(a, s)2 |(v s , ?)|2 d╣.
Wn,2
Полученное выражение приводится к виду
1
1
2
?s = |s| |v |
x1 d╣n?2 )
(1 ? x21 )x22 d╣n?1 ).
(
(
n?2
n?1
╣(S
) Sn?2
╣(S
) Sn?1
2
s 2
Здесь интегрирование ведется по единичным сферам в евклидовых пространствах со стандартными мерами. Вычисление интегралов приводит к
следующему значению для ?s :
?s = |s|2 |v s |2
(n + 1)
.
(n ? 1)n(n + 2)
Таким образом, имеем
Ricc(v) = ?
|s|2 |v s |2
s
(n + 1)
.
(n ? 1)n(n + 2)
Если ?? оператор Лапласа ═ Бельтрами на векторных полях из V╣ (Tn ),
то получаем
|s|2 |v s |2 =
s
1 ?
| ??(v)|2 .
n
╣(T )
Отсюда непосредственно вытекает теорема.
Следствие 2.7. Для векторных полей v ?
/ tn имеем Ricc(v) < 0; если
v?tn , то Ricc(v) ? c|v|2 , где c > 0.
Следствие 2.8. Для случая двумерного тора имеем
Ricc(v) = ?
3 1 ?
| ??(v)|2 ,
2
8 ╣(T )
(2.20)
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
95
трехмерного тора
Ricc(v) = ?
2 1 ?
| ??(v)|2 .
3
15 ╣(T )
(2.21)
Например, для ранее рассмотреннного поля ? на трехмерном торе получаем
Ricc(?) = ?
2 1
.
15 ╣(T3 )
Примечание. В приведенном определении кривизны Риччи предельный
переход строился по множествам гармоник, содержащихся в шарах BL . Заметим, что предельный переход, фигурирующий в определении кривизны
Риччи, можно построить в более общем виде. Пусть Spec? ? R? спектр
оператора Лапласа ═ Бельтрами на векторных полях из V╣ (Tn ), a SpecL
? =
2
{? ? Spec?||?| ? L }. Тогда множество ?L , фигурирующее в (17), есть
объединение базисов в собственных подпространствах оператора Лапласа
═ Бельтрами ?, соответствующих точкам спектра из SpecL
? . Нетрудно
проверить, что предел (2.17) не зависит от выбора базисов в указанных
собственных подпространствах.
Подобный подход позволяет обобщить определение кривизны Риччи на
случай группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру компактного симметрического пространства.
2.4 Разбор случаев компактных римановых поверхностей
В главе 1 была получена общая формула, выражающая коэффициенты
тензора кривизны правоинвариантной метрики на бесконечномерной
группе Ли через структурные константы ее алгебры Ли. Одним из применений этой формулы является вычисление тензора кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющей элемент объема компактной римановой поверхности M . В алгебре Ли V╣ (M ) бездивергентных векторных полей на
M рассмотрим подалгебру V╣,0 (M ), состоящую из векторных полей с однозначными функциями тока. Обозначим через ?? оператор Лапласа ═
Бельтрами на векторных полях на M . Заметим, что оператор ? обратим
на подпространстве V╣,0 (M ) и таким образом имеет смысл рассматривать
оператор ??1 .
2.4.1
Предварительно нам понадобится выражение тензора кривизны правоинвариантной метрики на произвольной группе Ли G через ее структурные
константы. Пусть в алгебре Ли g группы G выбран ортонормированный
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
96
ГЛАВА 2
базис в смысле правоинвариантной метрики, а структурные константы,
фигурирующие в (1.18) и (1.19) обозначаются через
ckij =< [ei , ej ], ek > .
Рассмотрим случай, когда G = Di╗ ╣ (M ) - группа диффеоморфизмов,
сохраняющих меру. Выберем в ее алгебре Ли g = V╣ (M ) ортонормированный базис таким образом, чтобы элементы ei являлись собственными
для оператора Лапласа ═ Бельтрами ? = ?2 на векторных полях. Пусть
?(ei ) = ?i ei .
Предложение 2.1. В выбранном базисе {ei } имеем следующее соотношение для структурных констант алгебры Ли V╣ (M ):
?j ckij = ??k cjik .
(2.22)
Доказательство. Мы будем использовать представление векторных полей нулевой дивергенции их функциями тока:
v = I grad f, f = f (v).
Здесь I? оператор поворота вправо на 90o . Отметим, что в двумерном случае оператор Лапласа на бездивергентных векторных полях ? это
оператор Лапласа на их функциях тока. Получим
ckij =< ad ei (ej ), ek >=< ej , (ad ei )? (ek ) > .
В обозначениях [Ар1] имеем
(ad ei )? (ek ) = B(ek , ei ).
Пусть ei = I(fi ), B(ei , ej ) = I(fij ).
Ввиду [Ар1] имеем
B(ek , ei ) = ??(fk ) grad fi + grad ?.
Отсюда
I(B(ek , ei ) = ??(fk )ei + I(?).
Учитывая, что div(I(?)) = 0, и div(I(B(ek , ei ))) = div(?I 2 grad fki ) =
??(fki ), приводим предыдущее равенство к виду
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
97
??(fki ) = ?ei (?fk ) ? ?k ei (fk ).
Остается заметить, что
< ?B(ek , ei ), ej >= B(ek , ei ), ?ej >= ?j ckij = ??k < [ei , ek ], ej >= ??k cjik .
Следствие 2.9. В собственном базисе оператора Лапласа ckij = 0 при
?k = 0.
Мы ограничимся изучением векторных полей с однозначной функцией
тока, которые натягивают подалгебру g + ? g = V╣ (М). Поскольку мы рассматриваем векторные поля класса C ? , ограничение оператора Лапласа ═
Бельтрами на g + является обратимым оператором, т. е. оператор ?|g +
биективен. В случае двумерной сферы S2 оператор Лапласа ═ Бельтрами
не имеет ядра, т. е. g + = V╣ S2 , а в случае тора
+
(vk cos k? + uk sin k?)|v0 = 0} = (t2 )? .
g = {v =
k
Установленное свойство структурных констант алгебры Ли V╣ (M ) для
случая двумерного многообразия M связано с существованием положительно определенной биинвариантной метрики на группе Di╗ ╣ (M ), введенной в ([См1], [СМ3]). Благодаря такой метрике алгебра Ли V╣ (M ) может содержать только такие конечномерные подалгебры, которые являются компактными алгебрами Ли, т. е. разлагаются в прямую сумму компактной полупростой алгебры Ли и абелевой алгебры Ли. Препятствием
для существования положительно определенной биинвариантной метрики
для трехмерного многообразия M является более сложная групповая структура Di╗ ╣ (M ).
В частности, в группе Di╗ ╣ (S3 ) имеются конечномерные подгруппы Ли,
имеющие некомпактные алгебры Ли. Это подгруппы, задающие хорошо
известную серию действий на трехмерной сфере групп Ли
SU (2)Rk , k > 1, ? полупрямое, но не прямое произведение (см. А. Л.
Онищик [Он3]). Хотя эти группы имеют абелев радикал Rk , но действие
SU (2) на Rk нетривиально, поэтому возникающие полупрямые суммы не
являются прямыми.
2.4.2
Далее мы преобразуем формулу для тензора кривизны (1.21).
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
98
ГЛАВА 2
Предложение 2.2. В собственном ортонормированном базисе оператора
Лапласа ? коэффициенты тензора кривизны имеют вид
k
Rlij
1
=
{(?p ? ?j +
2
4?
p
p
+ ?l )(?p ? ?i + ?k )cpik cplj ? (?p ? ?i +
(2.23)
+ ?l )(?p ? ?j + ?k )cpjk cpli + 2?p (?p ? ?k ? ?l )cpij cplk }.
Доказательство представляет собой прямую выкладку, использующую
(1.21) и свойство (2.22).
Теорема 2.8. Для пары ортонормированных векторных полей u, v ? g +
кривизна по двумерному направлению, ими натянутому и взятому в единице группы Di╗ ╣ (M ), имеет вид
3
K(u, v) = ? |[uv]|2 +
4
1
+ |??1 ([u, ?v] ? [?u, v])|2 +
4
1
+ < [u, v], ??1 ([?u, v] + [u, ?v]) > ?
2
? < ??1 [u, ?u], ??1 [v, ?v] >,
(2.24)
а тензор кривизны дается выражением
1
(< [w, v] + ??1 ([?w, v] ? [w, ?v]), [u, r]+
4
?1
? ([u, ?r] ? [?u, r]) > ? < [w, u] + ??1 ([?w, u] ? [w, ?u]), [v, r]+
1
+ ??1 ([v, ?r] ? [?v, r]) >) + < [u, v], [w, r] ? ??1 ([?w, r] + [w, ?r]) > .
2
(2.25)
Доказательство. Достаточно установить вид тензора кривизны, откуда прямой подстановкой получается соотношение (2.24). Преобразуем
(2.23):
< R(u, v)w, r >=
1
(?p ? ?j + ?l )(?p ? ?i + ?k )cpik cplj ) =
2
?p
p
=< [el , ej ] + ??1 ([?el , ej ] ? [el , ?ej ]),
[ei , ek ] + ??1 ([ei , ?ek ] ? [?ei , ek ]) > .
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
99
Аналогично
1
(?p ? ?i + ?l )(?p ? ?j + ?k )cpjk cpli =
2
?p
p
=< [el , ei ] + ??1 ([?el , ei ] ? [el , ?ei ]), [ej , ek ] + ??1 ([ej , ?ek ] ? [?ej , ek ]) >,
1
(?p ? ?k ? ?l )cpij cplk =
?p
=< [ei , ej ], [el , ek ] ? ??1 ([?el , ek ] + [el , ?ek ]) > .
Используя полилинейность тензора кривизны, получаем (2.25).
Следствие 2.10. Для пары ортонормированных векторных полей u, v,
являющихся собственными для оператора Лапласа ? со значениями ?, ╣,
имеем
(? ? ╣)2 ?1
3
|? [u, v]|2 ?
K(u, v) = ? |[uv]|2 +
4
4
(? + ╣)
?
< v, [u[uv]] > .
2╣
2.4.3
Примеры
1. Рассмотрим плоскую прямоугольную область, заданную в R2 :
K = {0 ? x ? a, 0 ? y ? b}.
В качестве ортогонального базиса в V╣ (K) выберем векторные поля с
функциями тока:
ekl = I(?kl ), ?kl =
2
? sin ?(l)y.
=
sin kx
(k?2 + ?l2 )╣(K)
Они являются собственными для оператора Лапласа ? со значениями
? ?l
?kl = ?(k?2 + ?l2 ), где k? = ?k
a ,l = b .
Примем следующие обозначения:
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
100
ГЛАВА 2
?1 = (k?2 + ?l2 ),
r2 + s?2 ),
?2 = (?
k? = ?1 cos ?1 ,
?l = ?1 sin ?1 ,
r? = ?2 cos ?2 ,
s? = ?2 sin ?2 .
Предложение 2.3. Кривизна по двумерному направлению, заданному
векторными полями ekl , ers , записывается в виде
K(ekl , ers ) = ?
2
(?21 + ?22 )(t+ + t? ).
╣(K)
(2.26)
Здесь
t╠ =
sin4 (?1 ╠ ?2 )
.
(?21 ? ?22 ) + 4 sin2 (?1 ╠ ?2 )?21 ?22
Доказательство основано на прямом использовании формулы (2.24).
Следствие 2.11. Кривизна Риччи группы Di╗ ╣ (K) имеет вид
Ricc(v) = ?
?
3
| ??v|2 .
2╣(K)
Доказательство основано на получаемой из (2.26) асимптотической формуле
1
K ? ? ?21 {sin4 (?1 ? ?2 ) + sin4 (?1 + ?2 )}
2
и проводится по аналогии с (2.10). Заметим, что вид кривизны Риччи
отличается от случая тора лишь коэффициентом.
2. Рассмотрим двумерную сферу S2 , заданную в R3 уравнением
x2 + y 2 + z 2 = 1.
╠
Определим векторные поля u, {vm
, m ? N } их функциями тока v =
╠
╠
I(f ), vm = I(gm ), где
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
101
1
Im?m (x + iy)m ,
i
константа же ?m задается из условия нормировки. Выведем асимптотиче╠
скую формулу для кривизн K(u, vm
) при m ? ?.
╠
Напомним, что vm являются старшим и младшим векторами для неприводимых SO(3) модулей в V╣ (S2 ) со старшим весом m?, где ?? вес
присоединенного представления группы SO(3) (см. [Кир1]).
Обозначим
+
?
f = f (z), gm
= Re?m (x + iy)m , gm
=
+
?
, qm = gm
,
pm = gm
?m = {f, pm }, ?m = {?f, pm } + {f, ?pm },
?m = {?f, pm } ? {f, ?pm }.
Заметим, что скалярные произведения векторных полей из V╣ (S2 ) и их
функций тока связаны соотношением
< u, v >= ? < ?fu , fv > .
Для вычисления кривизн нам понадобятся следующие формулы (мы про+
):
ведем выкладки для случая серии полей vm
?m = mf qm ,
?(f ) = (1 ? z 2 )f ? 2zf ,
?(f qm ) = (1 ? z 2 )f qm ? 2(m + 1)zf qm ? m(m + 1)f qm .
Кроме того,
{?f, pm } = m(?(f ) ? 2zf ? 2f )qm .
Отсюда
< ?m , ?(?m ) >= m2 < f qm , ?(f qm ) > .
Аналогично
< ?m , ?m >= m2 < f qm , ?(f qm ) + 2(m ? 1)f zqm ? 2f qm > .
Далее заметим, что
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
102
ГЛАВА 2
?m = m(2?(f qm ? 2(m + 1)f zqm ? ?(f qm ) ? 2f qm ).
Величину же ??1 (?m ) удобно представить в виде
??1 (?m ) = m(?f qm + ??1 (rm )),
где
rm = 2?(f )qm ? 2(m + 1)f zqm ? 2f qm .
Имеем
?m = m(??(f qm ) + rm ),
причем
m ? ?.
rm = o(|?(f qm )|),
Отсюда при m ? ? получаем
< ?m , ??1 (?m ) >= m2 {< f qm , ?(f qm ) > +
+ 2 < f qm , rm > +?m },
где
?m =< ??1 (rm ), rm >= o(|rm |2 ),
m ? ?.
Используя формулу (2.24), приходим к такому выражению для кривизны:
K = m2 < f qm , ?(f qm ) + 2mf zqm > +o(1).
Применяя интегрирование по частям к члену < f qm , mf zqm >, приводим это выражение к виду
K = ?m2 (
m
2
2
> ? < f ?f , qm
>) + o(1).
< (f f ) , qm+1
m+1
Прямой проверкой получаем, что для функций вида ? = ?(z) имеем
2
m2 < ?(z), qm
>? ?(0),
m ? ?.
Резюмируя проведенные выкладки, формулируем
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
103
Следствие 2.12.
╠
) ? ?f (0)2 .
lim K(u, vm
(2.27)
Заметим, что в качестве частного случая получается установленная в
[Л8] асимптотика для кривизн пассатного потока на S2 ,
15
z(?y, x, 0),
u=?
8?
1
15 2
z ,
ибо fu = 2 8?
а из равенства (2.2) имеем
15
╠
lim K(u, vm
)??
.
8?
2.5. Исследование геометрии группы диффеоморфизмов, сохраняющих
меру некомпактного многообразия
Проводимые ранее исследования геометрии групп диффеоморфизмов относились к компактным многообразиям. Ниже будет разобран класс некомпактных римановых многообразий (многообразия с однородной римановой
метрикой). На примере двумерного некомпактного многообразия
K = S1 в R1
═ бесконечного цилиндра ═ вычисляются секционные кривизны группы
диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема. Конструкции используют резольвенту оператора Лапласа ═ Бельтрами в некомпактном случае,
что приводит к интегральному преобразованию Фурье.
Для случая рассматриваемого класса некомпактных римановых многообразий обобщается также полученная ранее формула секционных кривизн группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема. В случае
локально евклидовых римановых многообразий доказана ограниченность
секционных кривизн K(u, v), взятых по двумерным направлениям, проходящим через фиксированное стационарное векторное поле u.
2.5.1 Вычисление кривизн группы Di╗ 0╣ (K).
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
104
ГЛАВА 2
На группе диффеоморфизмов Di╗ 0╣ (K), сохраняющих элемент объема
бесконечного цилиндра, по аналогии с (2.1) можно ввести правоинвариантную метрику ? кинетическую энергию:
< u, v >=
< u(x), v(x) > d╣(x),
(2.28)
K
имеющую конечное значение для элементов u, v ? V╣0 (K), удовлетворяющих условиям предложения 1.3. Соответственно, можно провести вичисление кривизн K(u, v) по двумерным направлениям, взятым в единице
этой группы. Условимся представлять векторные поля v ? V╣0 (K) их
функциями тока, v = I grad f , где I? оператор поворота вправо на 900 .
Мы условимся рассматривать векторные поля с однозначными функциями
тока. Заметим, что при переходе к функциям тока скалярное произведение
приобретает вид
??f gd╣.
(2.29)
< uf , ug >=< ??f, g >=
K
Из [Ар1] следует, что оператор коприсоединенного представления в
функциях тока имеет вид
B(f, g) = (ad g)? (f ) = ??1 {g, ?f }.
Обозначим
1
{f, g},
2
1
B = ({?f, g} + {f, ?g}),
2
1
G = ({?f, g} ? {f, ?g}).
2
A=
Для случая стационарного векторного поля u ? V╣0 (K) [Л3] кривизна по
двумерному направлению, натянутому полями u, v, имеет вид
K(u, v) = 3 < ?A, A > +2 < A, B > + < ???1 G, G > .
Исследуем далее стационарное векторное поле u с функцией тока
?x2
f = C exp(
),
2
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
105
а также серию полей {vk , wk } с функциями тока
?x2
) sin k?,
gk = Ck exp(
2
?x2
) cos k?.
hk = Ck exp(
2
Здесь константы C и Ck определяются из условия нормировки и имеют вид
C = (? 3 )
?1
4
C
, Ck = .
1
2
(k + 2 )
Из последующих выкладок непосредственной проверкой получается, что
K(u, vk ) = K(u, wk ), поэтому мы ограничимся рассмотрением серии векторных полей {vk }.
Имеем
{f, gk } = ?kCCk x exp(?x2 ) cos k?,
?x2
?f = C(x ? 1) exp(
),
2
2
?x2
) sin k?.
?gk = Ck (x ? k ? 1) exp(
2
Отсюда получаем
2
2
{?f, gk } = ?kCCk (3x ? x3 ) exp(?x2 ) cos k?,
{f, ?gk } = ?kCCk ((k2 + 1)x ? x3 ) exp(?x2 ) cos k?.
И далее
1
kCCk (?x) exp(?x2 ) cos k?,
2
1
B = k(k2 ? 2)CCk (?2x3 + (k2 + 4)x) exp(?x2 ) cos k?,
2
1
G = kCCk ((?k2 + 2)x) exp(?x2 ) cos k?.
2
A=
Кроме того,
?A =
1
kCCk ((k2 + 6)x ? 4x3 ) exp(?x2 ) cos k?.
2
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
106
ГЛАВА 2
Следовательно,
? 2 2 2 +? 2
x (12x4 ? 3(k2 + 6)) exp(?2x2 )dx,
3 < ?A, A >= ? C Ck k
4
??
+?
?
2 < A, B >= C 2 Ck2 k2
x2 (?4x2 + 2(k2 + 4)) exp(?2x2 )dx.
4
??
Чтобы вычислить член < ??1 G, G >, воспользуемся интегральным
представлением Фурье. Имеем
+?
1
?2
2
? ? exp(? ) sin ?xd?,
x exp(?x ) cos k? = cos k?
4
?? 4 ?
отсюда получаем
?
?1
(x exp(?x ) cos k?) = ? cos k?
+?
2
??
?2
1
?
?
exp(? ) sin ?xd?ю
4 ? ?2 + k 2
4
Формула Планшевеля дает
+?
? 2 2 2 2
x2
x2
21
exp(? )dx =
< ?? G, G >= C Ck k (k ? 2)
4
8 ?? x2 + k2
2
+?
? 2 2 2 2
x2
2
= C Ck k (k ? 2)
exp(?2x2 )dx =
2
2
4
?? 4x + k
+?
? 2 2 2 2
4x4 + 2x2
2
= C Ck k (k ? 2)
(x ?
) exp(?2x2 )dx.
2
2
4
4x + k
??
?1
Отсюда получаем следующее выражение для кривизны:
+?
2 2 2
x2 (2x2 ? 3) exp(?2x2 )dx ? rk
K(u, vk ) = ?C Ck k {
??
Здесь
rk = ?C
2
k
Ck2 k2 (
2
2
? 1)
+?
(
??
2x4 + x2
) exp(?2x2 )dx.
2
2
4x + k
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
107
С другой стороны,
?
3 2?
x exp(?2x )dx =
,
32
??
?
+?
2?
x2 exp(?2x2 )dx =
.
8
??
+?
4
Поэтому
+?
??
И далее
2
? 3
(2x4 ? 3x2 ) exp(?2x2 )dx = ? 2? .
16
?
3
k2
K(u, vk ) = ? 2?
16? 2 k2 +
1
2
? rk .
При k 1 можно дать следующую оценку для члена rk :
+?
x2
2 2 2
4
rk ? ?C Ck k
(x + ) exp(?2x2 )dx.
2
??
Имеем
+?
? 5
x2
(x + ) exp(?2x2 )dx = 2? .
2
32
4
??
?
11 2?
32? 2 .
=
С использованием проведенных преобразований
Обозначим K
и оценок нами доказана
Теорема 2.9. Кривизны K(u, vk ) асимптотически даются величиной
?K, то есть
lim K(u, vk ) = ?K.
k??
Покажем теперь, что с использованием техники [L2] можно получить то
же значение кривизны при помощи более простых выкладок. Обоснование
применимости методики [L2] к некомпактному случаю будет дано в 2.6.
Пусть
h = ugk (uf ) = kCCk exp(?x2 ) cos k?(0, 1 ? x2 ),
I(h) = kCCk exp(?x2 ) cos k?(?1 + x2 , 0).
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
108
ГЛАВА 2
Введем ? = divI(h).
Если обозначить через q(h) градиентную составляющую векторного
поля h, то согласно [L2] имеем следующее выражение для секционной кривизны:
K(u, vk ) = ? < q(h), q(h) > .
Непосредственно проверяется, что
< q(h), q(h) >=< h, h > + < ??1 ?, ? > .
Далее имеем
? = kCCk exp(?x2 ) cos k?(?2x3 + 4x) =
x
k2
x
2
= kCCk {?( exp(?x ) cos k?) + ( ? 1) exp(?x2 ) cos k?}.
2
2
2
Отсюда получаем
K(u, vk ) = ?C
2
Ck2 k2
+?
??
x2 (?2x4 + 4x2 ? 1) exp(?2x2 )dx. ? rk
Заметим, что
+?
??
?
2?
exp(?2x2 )dx =
.
2
Тогда
+?
??
? 3
x2 (?2x4 + 4x2 ? 1) exp(?2x2 )dx = ? 2? .
16
Прямая проверка показывает, что метод [L2] дал ту же величину для
K(u, vk ), но при этом из расчетов был исключен член ?3 < [u, vk ], [u, vk ] >.
2.5.2
Оценим далее значения кривизн K(u, vk ) для любых k. Для этого рассмотрим выражение для rk . Заметим, что
k2
2
4x2
?1
1
<
.
+ k2
2
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
109
Отсюда следует, что кривизна K(u, vk ) ограничена снизу следующим образом:
?
11 2? k2
K(u, vk ) >= ?
.
16? 2 2k2 + 1
Чтобы получить оценку сверху, заметим , что при k > 1 имеем rk ?
0. Непосредственной проверкой можно убедиться, что при k ? 2 отсюда
следует оценка
?
3 2? k2
K(u, vk ) <= ?
.
8?2 2k2 + 1
Для k = 1 заметим, что
r1 > ??C
2
1
C12
2
+?
(2x4 + x2 ) exp(?2x2 )dx.
??
Тогда получаем
?
2?
.
K(u, v1 ) ? ?
48? 2
Отсюда видно, в частности, что вычисленные кривизны K(u, vk ),
K(u, wk ) = K(u, vk ) не только отрицательны, но и отграничены от нуля.
Заметим, что в [Л8] допущена опечатка для формулы оценки K(u, vk ).
2.6. Вычисление кривизн группы Di╗ 0╣ (M ) для некомпактного M в общем случае
2.6.1
Ниже будет показано, что предложенная в [L2] для компактных многообразий методика расчета кривизн проходит в некомпактном случае для
многообразий, удовлетворяющих условиям предложения 1.3, где рассматривается алгебра Ли векторных полей, быстро убывающих на бесконечности. Для этого класса векторных полей можно определить аналог метрики
(2.1):
(u(x), v(x))d╣(x).
< u, v >=
M
Обозначим через B(u, v) билинейный оператор коприсоединенного
действия для этой метрики, который определяется условием
< B(u, v), w >=< u, [v, w] > .
(2.30)
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
110
ГЛАВА 2
Мы можем рассматривать форму (2.32) и оператор коприсоединенного
действия В как для V╣0 (M ) (он обозначается через B(u,v)), так и для V 0 (M )
(он обозначается через BV (M ) (u, v)).
Пусть Tv (u) = B(u, v)? оператор коприсоединенного действия для алгебры Ли V╣0 (M ) , а V Tv (u) = ВV (M ) (и, v) для алгебры Ли V (M ).
Здесь и ниже мы будем использовать выражения векторных полей в
локальных координатах x1 , ..., xn :
u=
ui
?
.
?xi
uj
?vi ?
.
xj ?xi
i
Положим
u(v) =
i,j
Заметим, что u(v) зависит от выбора локальных координат. Обозначим
через gi,j коэффициенты
метрического тензора, G = {gi,j }.
Пусть (u, v)x = i ui (x)vi (x), тогда
< u, v >x = (u, Gv)x , dg(x) = det(G)dx.
Обозначим также
u(G) = {u(gi,j )}, Du = {
?ui
}.
?xj
Введем отображение
p : V 0 (M ) ? V╣0 (M ),
которое является ортогональной проекцией пространства векторных полей
на подпространство бездивергентных векторных полей и
q = Id ?p,
которое является ортогональной проекцией на подпространство градиентных векторных полей. Обозначим также через A матрицу, транспонированную к A в смысле скалярного произведения римановой метрики.
Предложение 2.4. Если u ? V (M ), тогда мы имеем для w ? V╣0 (M ):
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
V Tu (w) = ?[u(w) + G?1 u(G)w + G?1 (Du) Gw + div(u)w].
111
(2.31)
Если u ? V╣0 (M ), тогда мы имеем для w ? V╣0 (M ):
Tu (w) = ?p[u(w) + G?1 u(G)w + G?1 (Du) Gw)].
(2.31ё)
Заметим, что каждое частное выражение в [...] из (2.31) и p[...] из (2.31ё)
зависит от выбора локальных координат, хотя общее выражение является
инвариантным.
Доказательство. Используем стандартную конструкцию разбиения
единицы для разложения векторного поля u в сумму полей с носителями в
координатных окрестностях:
ut ,
u=
t
где supp ut ? U t , а {U t } ═ атлас на M . Таким образом, доказательство сводится к преобразованиям внутри некоторой локальной карты U t . Сначала
рассмотрим случай алгебры Ли V 0 (M ). Для v ? V 0 (M ) имеем
< V Tut w, v >=< BV (M ) (w, ut ), v >=< w, [ut , v] >
и
< [u , v], w >=< u (v) ? v(u ), w >=
t
t
t
(ut (v) ? Dut (v), Gw) det(G)dx.
Используя стандартную технику интегрирования в Rn , получим
t
(u (v), Gw) det(G)dx =
= ? {(v, Gut (w)) + (v, ut (G)w) + (v, f Gw)} det(G)dx,
где
? 1
f=
( det(G)uti ).
?x
det(G) i
i
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
112
ГЛАВА 2
Из [Х] имеем divut = f . Заметим, что вышепроведенные преобразования
применимы и к векторным полям, быстро убывающим на бесконечности.
Это можно показать, применяя интегрирование по частям к гомотетически расширяющимся параллелепипедам P? ? Rn . Возникающие при этом
интегралы по границе параллелепипеда P? будут стремиться к нулю из
быстрого убывания векторных полей u, v, w.
2.6.2
Далее рассмотрим случай алгебры Ли V╣0 (M ). Для u, v, w ? V╣0 (M )
имеем div(u) = 0 и по аналогии получаем (Tut w, v) = ([...], v), где [...] дается выражением (2.32ё). Для u, w ? V╣0 (M ) имеем Tu w ? V╣0 (M ), следовательно, необходимо подействовать оператором проекции p[...].
Следствие 2.13. Если M локально евклидово, то для u ? V 0 (M ) имеем
V Tu = ?[u + (Du) + div(u) Id],
(2.32)
для u ? V╣0 (M ) имеем
Tu = ?p[u + (Du) ].
(2.32ё)
Используем теперь формулу из [Ар1] для кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема. Поскольку вывод этой формулы использует вид ковариантных производных на группе Ли с лево (или право)
инвариантной метрикой, то она справедлива для группы Di╗ 0╣ (M ).
Пусть u, v ? V╣0 (M ). Обозначим
a=
1
[u, v],
2
1
(B(u, v) ? B(v, u)),
2
1
c = (B(u, v) + B(v, u)),
2
1
1
Bu = B(u, u), Bv = B(v, v).
2
2
b=
Согласно [Ар1] K(u, v) кривизна вдоль двумерного направления, натянутого векторными полями u, v, дается формулой
K(u, v) =< c, c > +2 < a, b > ?3 < a, a > ?4 < Bu , Bv > .
(2.33)
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
113
Заметим, что b = a + h, где
h=
1
p(G?1 u(G)v ? G?1 v(G)u + G?1 (Du) (Gv) ? G?1 (Dv) (Gu)). (2.34)
2
Введем также l = c + a, m = c ? a. Имеем
1
l = ? p(2v(u) + G?1 u(G)v + G?1 v(G)u + G?1 (Du) (Gv) + G?1 (Dv) (Gu))
2
(2.35)
и также
1
m = ? p(2u(v) + G?1 u(G)v + G?1 v(G)u + G?1 (Du) (Gv) + G?1 (Dv) (Gu))
2
(2.36)
Используя (2.33), получаем
K(u, v) =< l, m > + < a, a > +2 < a + h, a > ?3 < a, a > ?4 < Bu , Bv > .
Откуда
K(u, v) =< l, m > +2 < a, h > ?4 < Bu , Bv > .
(2.37)
Заметим, что мы исключили из выражения для кривизны член со скалярным квадратом скобки Пуассона векторных полей ([u, v]). Преобразуем
теперь выражения для l, m.
Сначала рассмотрим в локальных координатах выражение
s=
i,j,r
{ur vj
?gi,j
?gi,j
?ur
?vr
?
+ vr uj
+ gr,j (vj
+ uj
)}
?xr
?xr
?xi
?xi ?xi
Так как матрица G симметрична, имеем
?(gr,j ur vj )
?gi,j
?gi,r
?gr,j
?
{ [
+ ur vj (
+
?
)}
s=
?xi
?xr
?xj
?xi ?xi
i
r,j
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
114
ГЛАВА 2
Введем функцию f (x) = (u, v)x . Используя известные геометрические тождества [КН], получаем
2l = p(2v(u) + G?1 s) = p[2v(u) + grad f + 2
?ir,j ur vj
i,r,j
?
].
?xi
Здесь {?ir,j }? коэффициенты римановой связности в локальных координатах.
Следовательно, l = p( 12 grad f +?v u). По аналогии m = p( 12 grad f +?u v).
Заметим, что Bu = l(u, u) = m(u, u). Имеем
l(u, v) = p(?v u), m(u, v) = p(?u v), 2Bu = p(?u u), 2Bv = p(?v v).
Итак, нами получена
Теорема 2.10. Для ортонормированной пары u, v ? V╣0 (M ) секционная
кривизна K(u, v) группы Di╗ ╣ (M ) дается следующим выражением:
K(u, v) =< p(?u v), ?v u > + < [u, v], h > ? < p(?u u), ?v v > .
(2.38)
Напомним, что выражение для h дается (2.34).
2.6.3
В случае, когда M локально евклидово, выражение для K(u, v) может
быть упрощено. Мы будем использовать только локально евклидовы координаты. В этом случае мы имеем G = Id и, следовательно,
h(u, v) = p((Du) (v) ? (Dv) (u)).
Также мы имеем l(u, v) = p(v(u)) и m(u, v) = p(u(v)) и Bu = p(u(u)), Bv =
p(v(v)).
Заметим, что такие выражения, как u(v), (Du) (v) не зависят от выбора
локально евклидовых координат и, следовательно, они являются дифференциальными операторами на V (M ). Непосредственно проверяется, что
< u(v), w >=< v, ?u(w) >=< u, (Dv) (w) > .
Из (2.40) тогда следует
1
K(u, v) =< p(u(v)), v(u) > ? < p(u(u)), v(v) > + Q.
2
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
115
Здесь
Q =< u(v), (Du) (v) > + < v(u), (Dv) (u) > ? < u(v), (Dv) (u) > ?
? < v(u), (Du) (v) > .
Имеем
Q =< u(v)(u), v > + < v(u)(v), u > ? < u(v)(v), u > ? < v(u)(u), v > .
Заметим, что
u(v))(w) ? (v(u))(w) = u(v(w)) ? v(u(w)),
поэтому
Q =< u(v(u)), v > ? < v(u(u)), v > + < v(u(v)), u > ? < u(v(v)), u >=
= ?2 < u(v), v(u) > +2 < u(u), v(v) > .
Следовательно, получаем
K(u, v) =< p(u(v)), v(u) > ? < p(u(u)), v(v) > ? < u(v), v(u) > +
+ < u(u), v(v) > .
Кроме того, q(u(v)) = q(v(u)), так как u(v) ? v(u) ? V╣0 (M ).
Итак, нами доказана
Теорема 2.11 Пусть M локально евклидово. Секционные кривизны
K(u, v) для ортонормированной пары u, v ? V╣0 (M ) даются выражением
K(u, v) = ? < q(u(v) >2 + < q(u(u)), v(v) > .
(2.39)
Следствие 2.14.
Если div(u(u)) = 0 (например, если u является простой гармоникой на
n
T ), тогда имеем
K(u, v) = ? < q(u(v)) >2
и K(u, v) ? 0. Если div(u(v)) = 0, тогда K(u, v) < 0.
(2.40)
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
116
ГЛАВА 2
Заметим, что в локально евклидовых координатах
div(u(v)) =
?uj ?vi
.
?x
?x
i
j
i,j
Для v ? V (M ) Обозначим через vC 0 = maxx?M |v(x)|.
Следствие 2.15. Пусть в условиях 2.14 векторное поле u фиксировано и
стационарно. Тогда в локально евклидовых координатах справедлива следующая оценка модуля секционных кривизн по двумерным направлениям,
проходящим через u:
grad ui 2C 0
(2.41)
|K(u, v)| ?
i
Доказательство. Имеем |K(u, v)| ?< v(u), v(u) >. Далее
< v, grad ui >2
< v(u), v(u) >=
i
Из неравенства Коши ═ Буняковского получаем
v2 grad ui 2C 0 .
|K(u, v)| ?
i
Из условия нормировки v = 1, откуда следует (2.41).
Заметим, что из формулы из [Ар1] для K(u, v) не следует ограниченность кривизны, т. к. она содержит член < [u, v], [u, v] >, который при
фиксированном u может стремиться к бесконечности, как показывает следующий пример на двумерном торе:
?
2
1
sin(x + y)(1, ?1), v = sin(kx + ly)(l, ?k).
u= ╣(T2 )
╣(T2 )(k2 + l2 )
2
Непосредственно проверяется, что [u, v]2 ? (k?l)
.
2
Таким образом, методика исследования движения жидкости посредством
изучения геометрии групп диффеоморфизмов [EM] переносима на некомпактный случай.
В [Kam] предложен метод расчета тензора кривизны группы диффеоморфизмов, основанный на использовании сил давления жидкости, что также
приводит к интегралам по градиентным составляющим.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
117
ГЛАВА 3
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ТОКОВ. ПРИЛОЖЕНИЯ
К ИССЛЕДОВАНИЮ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ
НАМАГНИЧЕННОСТИ ФЕРРОМАГНЕТИКОВ,
ОПИСЫВАЕМОЙ УРАВНЕНИЕМ ЛАНДАУ ═ ЛИФШИЦА
Обзор содержания главы
Эта глава посвящена изучению уравнения Ландау ═ Лифшица (ЛЛ).
ЛЛ рассматривается как уравнения Эйлера на группе токов. Группа токов G = G(M, SO(3)) является конфигурационным пространством задачи
намагниченности ферромагнетика, которая описывается ЛЛ. Алгеброй Ли
G является алгебра токов g = g(M, so(3)).
В п. 3.1.1 вводится нестандартная скобка Ли в алгебре Ли g группы
токов G. Это позволяет описать решения ЛЛ как геодезические получающейся левоинвариантной метрики на G. В п. 3.1.2 получено выражение
тензора кривизны на G для произвольного 3-мерного риманова многообразия M . Как следствие получается выражение для секционной кривизны по
двумерному направлению, натянутому произвольной парой ортонормированных полей из алгебры Ли g.
В п. 3.2.1 для случая 3-мерного тора T3 вычисляются секционные кривизны группы токов по двумерным направлениям, натянутым простыми
гармониками на T3 .
В п. 3.2.2 получены асимптотические выражения для секционных кривизн на T3 . Выявляются области отрицательности секционных кривизн,
причем оказывается, что отрицательные кривизны возникают из пар
╔близких╔ гармоник.
В п. 3.2.3 на примере конкретной простой гармоники вычисляется
область гарантированной отрицательности секционных кривизн и приводится таблица их значений.
В п. 3.2.4 разбирается случай однородно намагниченного тора и устанавливается неотрицательность секционных кривизн по двумерным направлениям, включающим направление однородной намагниченности.
В конце главы показано, что проведенные конструкции обобщаются на
случай n-мерного риманова многообразия M .
В п 3.3.1 производится обобщение конструкции. Ортогональная группа
SO(3) заменяется на компактную подгруппу K ? SO(n) группы автоморфизмов ортонормированных реперов. В п. 3.3.2 получено обобщенное уравнение Ландау ═ Лифшица как уравнение геодезических на группе токов
G(M, K) с нестандартной скобкой Ли.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
118
ГЛАВА 3
3.1. Вывод формулы тензора кривизны группы токов
3.1.1
Пусть M является 3-мерным замкнутым ориентированным римановым
многообразием. Группа токов G = G(M, SO(3)) может рассматриваться
как конфигурационное пространство задачи о намагниченности ферромагнетика. Ее алгеброй Ли является g = g(M, so(3)). Если многообразие M
параллелизуемо (например 3-тор или 3-сфера), тогда мы можем отождествить алгебру Ли g с пространством V (M ) гладких векторных полей на
M с поточечным векторным произведением в качестве скобки Ли. Давайте
рассмотрим задачу о намагниченности ферромагнетика [BF], [КИК], [Бр]
при следующих предположениях:
граничный эффект отсутствует;
функция обменного взаимодействия является квадратичной формой;
время безразмерно (гиромагнитное отношение исключено).
В этих физических предположениях уравнение Ландау ═ Лифшица (ЛЛ)
имеет вид
dm
= m в P m.
(3.1)
dt
Здесь m(t)? кривая в пространстве V (M ); a в b ═ поточечное векторное произведение векторных полей; P : V (M ) ? V (M )? оператор, который является суммой некоторого эллиптического дифференциального оператора ([С],[Нар]) N и оператора поточечной ортогональной проекции N0
на некоторое одномерное подпространство. Член N0 выражает анизотропический эффект. Векторное поле m называется полем плотности магнитного момента. Часто рассматривается векторное поле h = P m; оно называется эффективным магнитным полем. Рассмотрим стандартное скалярное
произведение на V (M ), заданное следующим образом.
(3.2)
(m1 , m2 ) = (m1 (x), m2 (x))d╣(x),
M
где (m1 (x), m2 (x))? поточечное скалярное произведение. Как хорошо известно, это скалярное произведение, рассматриваемое на пространстве решений ЛЛ, является инвариантным по времени не только глобально, но и
в каждой точке M . В нашей модели этот факт выражается свойством, что
ЛЛ имеет группу токов G в качестве своего конфигурационного пространства. Форма (3.2) также может интерпретироваться в терминах алгебр Ли.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ТОКОВ
119
Мы можем ввести поточечную форму Киллинга на группе токов G как следующую. Для любой точки x из M обозначим kx (u, v) = tr((ad u)(ad v)), где
u, v принадлежит Tx (M ). Из свойств ортогональной группы следует, что
(m1 (x), m2 (x)) = ? 12 kx (m1 (x), m2 (x)). Ниже мы предположим, что P является симметрическим оператором, и рассмотрим другое скалярное произведение на V (M ), заданное следующим образом.
(3.3)
< m1 , m2 >= ?(m1 , P m2 ) = ? (m1 (x), h2 (x))d╣(x).
M
Как хорошо известно, оно является инвариантным во времени для решений ЛЛ [BF].
Метрика (3.3) определяет левоинвариантную метрику на группе токов
G, но ее геодезические не удовлетворяют ЛЛ. Чтобы получить совпадение
решений ЛЛ с геодезическими, можно использовать метрику на дуальном
пространстве g? . Здесь имеется в виду дуальность в смысле метрики (3.3),
но с дополнительным предположением. Заметим, что оператор P определен с точностью до аддитивного члена a Id, где Id ? единичный оператор,
a ? R. В общем случае оператор P может быть необратим. Давайте рассмотрим вместо оператора P семейство операторов Pa = P ? a Id. Тогда
существует такое a0 > 0, что для любого a > a0 оператор Pa обратим.
Фиксируем число a > a0 и рассмотрим ЛЛ как уравнение относительно
векторного поля ha = Pa (m). Физически, это соответствует рассмотрению
представления ЛЛ в эффективных магнитных полях вместо стандартного
представления в полях плотности магнитного момента. Тогда ЛЛ имеет
вид:
dha
= Pa (Pa?1 (ha ) в ha ).
dt
Рассмотрим также метрику
< h1a , h2a >1 = ? < Pa?1 h1a , h2a > .
(3.4)
(3.5)
Непосредственной подстановкой проверяется, что сопряженный оператор (ad h)? имеет следующий вид:
(ad h1 )? (h2 ) = ?Pa (h1 в Pa?1 h2 ).
(3.6)
Таким образом, ЛЛ становится уравнением Эйлера на группе токов G
[АЛ].
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
120
ГЛАВА 3
В [АЛ] получено выражение для кривизны G при представлении ЛЛ в
эффективных магнитных полях. Но при этом подходе появляется дополнительная проблема: как соотносится эта кривизна и свойства решений ЛЛ
для стандартного представления. Поэтому более интересно получить ЛЛ
как уравнение Эйлера относительно самих m-полей. Чтобы достичь этого,
мы должны ввести нестандартную скобку Ли в g. Именно, введем скобку:
[m1 , m2 ] = Pa?1 (Pa (m1 ) в Pa (m2 )) = Pa?1 (h1 в h2 ).
(3.7)
Здесь h1 , h2 ? эффективные магнитные поля, соответствующие m1 и
m2 . Давайте обозначим через ad присоединенное представление в смысле скобки (3.7). Тогда мы имеем:
(ad m)? = ?Pa ad mPa?1 .
(3.8)
Итак, мы получили ЛЛ как уравнение Эйлера на G в стандартном представлении (в полях плотности магнитного момента), но с нестандартной
скобкой Ли [ , ] вместо в. Непосредственно проверяется, что эти две структуры алгебр Ли в g изоморфны. Нестандартной скобке Ли в алгебре токов соответствует бесконечномерная группа Ли, которую будем называть
нестандартной группой токов. Эту группу удобно определять через ее
присоединенное действие в нестандартной алгебре токов. Присоединенное действие стандартной группы токов ? это поточечное присоединенное
действие ортогональной группы SO(3) в алгебре Ли кососимметрических
матриц so(3), которую естественно отождествить в точке x с касательным
пространством Tx M . Условимся обозначать через ads m1 (m2 ) = m1 в m2 ?
оператор присоединенного действия в стандартной алгебре токов. Имеется
изоморфизм алгебр Ли
Pa ad m1 (m2 ) = (ads (Pa m1 ))(Pa m2 ).
Непосредственно проверяется, что также выполняется
Pa (ad m1 )k (m2 ) = (ad s(Pa m1 ))k (Pa m2 ).
Отсюда изоморфизм Pa продолжается на ряд экспоненциального отображения и задает локальный изоморфизм Pa групп Ли. Если теперь обозначить
через
exps : g(M, so(3)) ? G(M, SO(3))
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ТОКОВ
121
лиев экспоненциал стандартной группы токов (это поточечный лиев экспоненциал ортогональной группы SO(3)), а через exp ? нестандартной
группы токов G (M, SO(3)), то из последнего соотношения получаем:
Pa (exp m1 )(m2 ) = exps (Pa m1 )Pa m2 .
Такое соотношение экспоненциалов иллюстрируется коммутативной диаграммой:
exps
g(M, so(3)) ????? G(M, SO(3))
?P
?P
? a
? a
exp
g(M, so(03)) ????? G (M, SO(3)))
Отсюда получаем вид присоединенного действия в нестандартной алгебре
токов.
exp m1 (m2 ) = P?1
a exps (Pa m1 )Pa m2 .
Заметим, что здесь мы рассматриваем левоинвариантную метрику на G
со стандартной идентификацией алгебры Ли so(3), рассматриваемой как
алгебра Ли левоинвариантных векторных полей на SO(3)). Мы можем
также рассматривать алгебру Ли правоинвариантных векторных полей на
группе Ли SO(3), тогда мы должны использовать правоинвариантную метрику на группе токов G, чтобы получить ЛЛ.
3.1.2
Ниже будет получено выражение тензора кривизны группы G и вычислены кривизны по двумерным направлениям. Используем формулу (1.9)
для ковариантной производной.
Обозначим
B(u, v) = (ad v)? (u).
Имеем B(u, v) = u в P v. В частности, ЛЛ имеет вид:
du
= B(u, u).
dt
Пусть a фиксированное вещественное число и индекс a в Pa опущен.
Возьмем Q = P ?1 . Пусть u, v, w? три векторных поля из V (M ), обозначим
f = P u, g = P v, h = P w. В соответствии с (1.9) выражение ковариантной
производной имеет вид
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
122
ГЛАВА 3
?u v =
1
(ad u(v) ? B(u, v) ? B(v, u))
2
Отсюда следует, что
1
(Q(f в g) + f в v + g в u).
(3.9)
2
Давайте вычислим выражения компонент тензора кривизны группы G.
Имеем
?u v =
4?u ?v w = Q[f в (g в h) + (f в P (h в v + g в w)]+
+ (g в h) в u + (P (h в v + g в w)) в u+
+ f в Q(g в h) + f в (g в w + h в v),
4?v ?u w = Q[g в (f в h)) + g в P (h в u + f в w)]+
+ (f в h) в v + P (h в u + f в w) в v)+
+ g в Q(f в h) + g в (f в w + h в u),
2?[u,v] w = Q((f в g) в h) + h в Q(f в g) + (f в g) в w.
Теперь мы можем вычислить выражение тензора кривизны:
1
{Q[?(f в g) в h + f в P (h в v))?
4
? g в P (h в u)) + f в P (g в w) ? g в P (f в w))]?
R(u, v)w =
? (f в g) в w ? h в (g в u) + h в (f в v)+
(3.10)
+ P (h в v) в u ? P (h в u) в v + P (g в w) в u ? P (f в w) в v+
+ f в Q(g в h) ? g в Q(f в h) ? 2h в Q(f в g)}.
Итак, нами получена:
Теорема 3.1
Пусть u, v? ортогональная пара векторных полей из V (M ). Тогда
1
< R(u, v)v, u >= ? (P (u в g) + P (v в f ), u в g + v в f ))?
4
3
1
(u в g ? v в f, f в g)) + (f в g, Q(f в g)) + (f в u, P (g в v).
2
4
(3.11)
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ТОКОВ
123
3.2. Вычисление секционных кривизн для группы токов на трехмерном
торе
3.2.1
В заключение мы рассмотрим пример простых гармоник на 3-торе.
?
(i =
Пусть x1 , x2 , x3 стандартные координаты на T3 , обозначим ei = ?x
i
1, 2, 3). Мы возьмем в качестве N стандартный оператор Лапласа и выберем в качестве анизотропического члена N0 (m)(x) = b(m(x), e3 )e3 , где
b? некоторое положительное число. Тогда Pa ? обратимый оператор для
любого a > b. Теперь мы возьмем следующие пары u, v, удовлетворяющие
(u(x), v(x)) = 0 и (u(x), Pa v(x)) = 0 в любой точке x ? T3 :
u = cos kx e3 , v = cos lx (se1 + re2 ), k = 0, l = 0.
(3.12)
Ниже мы будем исследовать знак кривизны K(u, v) для таких пар (u, v).
В обозначениях теоремы 1 имеем f = (?k2 ?a+b)u, g = (?l2 ?a)v. Отсюда
следует
f в u = v в g = 0;
f в g = (k2 + a ? b)(l2 + a) cos kx cos lx(?re1 + se2 );
u в g + v в f = (k2 ? l2 ? b) cos kx cos lx(?re1 + se2 );
u в g ? v в f = (?k2 ? l2 ? 2a + b) cos kx cos lx(?re1 + se2 ).
Пусть V ? объем T3 . Удобно обозначить T = 14 (r2 +s2 )V, J = k2 +a?b, H =
l2 + a, E = (k + l)2 + a, G = (k ? l)2 + a, z(k) = 12 , если k = 0 и z(0) = 1.
Нужные скалярные произведения имеют вид
(f в g, u в g ? v в f ) = ?T JH(J + H)(z(k + l) + z(k ? l));
(f в q, Q(f в g)) = ?T J 2 H 2 (z(k + l)/E + z(k ? l)/G);
(u в g + v в f, P (u в g + v в f )) = ?T (J ? H)2 (z(k + l)E + z(k ? l)G).
Подставив эти выражения в (3.11), имеем:
< R(u, v)v, u >= (T /4){(z(k + l)E + z(k ? l)G)(J ? H)2 +
2(J + H)JH(z(k + l) + z(k ? l)) ? 3J 2 H 2 (z(k + l)/E + z(k ? l)/G)}.
(3.13)
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
124
ГЛАВА 3
Заметим, что < u, u >= (k2 + a ? b)V /2 = JV /2, < v, v >= (l2 + a)(s2 +
r2 )V /2 = 2T H. После стандартной процедуры нормализации получим выражение секционной кривизны:
K(u, v) = (1/(4V )){z(k + l)E + z(k ? l)G)(J/H + H/J ? 2)+
2(J + H)(z(k + l) + z(k ? l)) ? 3JH(z(k + l)/E + z(k ? l)/G)}.
(3.14)
3.2.2
Исследуем асимптотическое поведение K(u, v). Заметим, что для пары
гармоник k, l имеем
(i) Если k = l и k ? ?, то K(u, v) ? ??. Именно в этом предположении
имеем K(u, v) = ?(3k4 )/(4aV ) + o(k4 ).
(ii) Если k фиксировано и l ? ?, тогда K(u, v) ? +?. Именно в этом
предположении имеем K(u,v)= l4 /(4(k2 + a ? b)V ) + o(l4 ).
Теперь построим область отрицательности для кривизны K(u, v).
Теорема 3.2. Пусть пара (3.12) векторных полей (u,v) имеет гармоники
(k, l), которые удовлетворяют условию a ? (k ? l)2 < k2 .
Обозначим
q2 = (k ? l)2 /k2 и p2 = a/(k2 ).
(очевидно 0 < p ? q < 1). Тогда выполняется следующая оценка кривизны K(u, v):
K(u, v) ? (C(k2 + l2 + a) + 2(a ? b))/(4V ),
(3.15)
где C = 4q2 (1 + q)2 /(1 ? q)2 + 2 ? 3(1 ? q)2 /((p2 + q2 )(2 + q)2 ). В частности,
если q = p = 15 , тогда мы имеем оценку
K(u, v) < ?5(k2 + l2 )/(8V ).
(3.16)
Доказательство. Удобно преобразовать выражение кривизны K(u, v).
Обозначим F = (k2 ? l2 ? b). Имеем
K(u, v) = ((k2 + l2 + a)(F 2 /(JH) + 2 ? 3JH/(EG)) + 2(a ? b))/(4V ).
Теперь оценим члены этого выражения. Непосредственно проверяется,
что
F 2 ? 4q2 (1 + q)2 (k2 )2 , JH ? (1 ? q)2 (k2 )2 .
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ТОКОВ
125
Отсюда следует, что
F 2 /(JH) ? 4q2 (1 + q)2 /(1 ? q)2 .
Имеем также
H/E ? l2 /(k + l)2 ? (1 ? q)2 /(2 + q)2 ,
J/G ? 1/(p2 + q2 ), (JH)/(EG) ? (1 ? q)2 /((p2 + q2 )(2 + q)2 ),
и мы получаем (3.15). В случае q = 15 непосредственно проверяется, что
C(q) < ?2.59... < ? 52 . Так как aC( 15 ) < ?2a, это влечет оценку (3.16).
3.2.3
Пример. Пусть b = 12 , k = (3, 4, 5) и возьмем a = 1, тогда оценка
(3.16) выполняется для гармоник l, которые принадлежат множеству L
из 18 элементов. Ниже мы приводим перечень гармоник l ? L и величин
r = K(u, v)/((k2 + l2 )/V ), где K(u, v)? секционная кривизна, взятая по
двумерному направлению, натянутому парой векторных полей (u, v) (12) с
гармониками (k, l). Заметим, что согласно (3.16), величина r должна быть
меньше, чем ═ 0.625.
(2, 3, 5) : ?2.320,
(2, 4, 4) : ?2.230,
(2, 5, 5) : ?2.878,
(2, 4, 6) : ?2.932,
(2, 4, 5) : ?4.123,
(4, 3, 5) : ?2.760,
(4, 4, 4) : ?2.697,
(4, 5, 5) : ?3.167,
(4, 4, 6) : ?3.207,
(4, 4, 5) : ?4.669,
(3, 3, 4) : ?2.134,
(3, 3, 6) : ?2.878,
(3, 3, 5) : ?4.015,
(3, 5, 4) : ?2.760,
(3, 5, 6) : ?3.246,
(3, 5, 5) : ?4.746,
(3, 4, 6) : ?4.819,
(3, 4, 4) : ?3.901.
Отсюда видно, что оценка (3.16) выполняется с большим запасом.
Рассмотрим также ортогональную пару из векторных полей
u = sin kx e3 , v = sin lx (se1 + re2 ), k = 0, l = 0.
(3.17)
Непосредственно проверяется, что K(u, v) = K(u , v ), где (u, v)? пара
(3.12). Чтобы вычислить кривизны K(u , v) и K(u, v ), введем функцию
z (k) = 12 , если k = 0 и z (0) = 0. Теперь если в формулу (3.14) мы подставим z вместо z, то вычислим кривизну K(u , v) = K(u, v ). В частности,
мы можем оценить величины K(u , v) и K(u, v ). Заметим, что в предположениях теоремы 3.2 имеем k = l, откуда следует z = z . Поэтому оценки
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
126
ГЛАВА 3
(3.15),(3.16) выполняются для величины K(u , v). Относительно асимптотического поведения K(u , v) справедлива только оценка (ii), в то время
как (i) несправедлива, так как в ее предположениях z = z .
Итак, мы установили, что существуют пары (u, v) ортонормальных векторных полей на 3-мерном торе, которые приводят к отрицательным величинам секционной кривизны K(u, v). С другой стороны, в построенных
примерах выполняется следующее свойство: если векторное поле u фиксировано, тогда величина кривизны K(u, v) может выть отрицательна только
для векторных полей v, имеющих простые гармоники l, которые принадлежат некоторому конечному множеству.
3.2.4
В заключение исследуем постоянное векторное поле u = e3 , которое соответствует однородно намагниченному тору. Если v и v такие как в
(3.12) и (3.17), тогда по аналогии с (3.13) и (3.14) получается, что
1
V (r2 + s2 )(l2 + a)3 ,
8
K(e3 , v) = K(e3 , v ) = (l2 + a)2 /(4V (a ? b)),
(3.18)
1
V (r2 + s2 )a3 ,
4
K(e3 , se1 + re2 ) = a2 /(4V (a ? b)).
(3.19)
(R(e3 , v)v, e3 ) = (R(e3 , v )v , e3 ) =
где l = 0 и
(R(e3 , se1 + re2 , )(se1 + re2 ), e3 ) =
Таким образом, секционная кривизна однородно намагниченного тора
положительна. Факт положительности кривизны однородно намагниченного тора установил также T. Kambe [Kam].
3.3. Обобщение конструкций на случай риманова многообразия
3.3.1
Исследование 3-мерного случая может быть обобщено на группу токов
G = G(M, K), где K? компактная полупростая группа Ли, M ═ замкнутое ориентированное n-мерное риманово многообразие и, кроме того, K?
подгруппа ортогональной группы SO(n). Алгебра Ли G? алгебра токов
g = g(M, k), где k? алгебра Ли K. Пусть (E, p, M )? главное расслоение
со структурной группой SO(n) ортонормированных базисов на римановом
многообразии M . Заметим, что существует действие группы токов G на
расслоенном пространстве E. Пусть i : K ? SO(n)? мономорфизм. Для
некоторого элемента g ? G и e ? E положим
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГЕОМЕТРИЯ ГРУПП ТОКОВ
ge = i(g(p(e)))(e).
127
(3.20)
Заметим, что структурная группа действует одним и тем же элементом
во всех слоях расслоения E, в то время как группа токов действует меняющимся, который зависит от точки базы M . Таким образом, группа токов G
может рассматриваться как подгруппа группы Di╗(E) диффеоморфизмов
E и ее алгебра Ли g? как подалгебра V (E) алгебры Ли гладких векторных полей на E. Вообще говоря, мы должны рассматривать уравнение
Ландау ═ Лифшица как дифференциальное уравнение на расслоенном пространстве E. Однако, так как группа токов G действует только на слоях
расслоения E, мы можем свести его к дифференциальному уравнению на
k-значных функциях на базе M , то есть в алгебре токов g. Введем обобщенное ЛЛ следующим образом. Мы видели, что метрика в точке для модели
ЛЛ может быть получена как поточечная форма Киллинга группы токов
G(M, SO(3)). Такой подход для обобщенного ЛЛ дает следующее. Давайте
рассмотрим поточечную форму Киллинга:
(m1 (x), m2 (x)) = ? tr(ad(m1 (x) ad(m2 (x)),
(3.21)
где m1 , m2 ? g и x ? M .
Пусть P : g ? g, как и выше, сумма некоторого симметрического эллиптического дифференциального оператора и оператора поточечной ортогональной проекции (в смысле естественных метрик). Пусть Pa равен
P ? a Id. Используя скобку Ли [, ] в алгебре Ли k вместо векторного произведения в 3-мерном случае, мы можем ввести обобщенное ЛЛ:
dm
= [m, P m].
dt
(3.22)
3.3.2
Подставляя (3.21) в выражения (3.2) и (3.3) вместо скалярного произведения, получаем аналогичные формы на группе токов G(M, K) . Теперь
можно ввести нестандартную скобку Ли в g по аналогии с (3.7) и тогда мы
получим выражение для коприсоединенного оператора по аналогии с (8).
Тогда обобщенное ЛЛ (3.22) будет иметь вид уравнений Эйлера твердого
тела:
dm
= B(m, m),
dt
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
128
ГЛАВА 3
где B? как и в 2.2.2 билинейный оператор коприсоединенного действия
нестандартной скобки Ли. Более того, формализм предыдущего исследования ЛЛ справедлив для обобщенного ЛЛ. Таким образом получаются
аналоги выражений ковариантной производной (3.9) и тензора кривизны
(3.10) для группы токов
G(M, K). Теорема 3.1 (формула (3.11)) также верна, что позволяет нам
исследовать устойчивость решений обобщенного ЛЛ посредством вычисления кривизн обобщенной группы токов.
В частных случаях, когда M = K или M = Tn , где n = dim K, мы можем
идентифицировать алгебру Ли g с пространством V (M ) гладких векторных полей на M с поточечной скобкой Ли. Тогда мы получаем аналогию с
3-мерными сферой или тором.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
129
ГЛАВА 4
ГРУППОВОЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИКИ
ЖИДКОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ УРАВНЕНИЯМИ
ЭЙЛЕРА И НАВЬЕ ═ СТОКСА
Обзор содержания главы
В этой главе предлагается групповой подход к гидродинамике несжимаемой жидкости как идеальной, так и и вязкой. Подход основан на погружении определенного класса течений жидкости в построенные в работе
бесконечномерные подгруппы группы Di╗ ╣ (M ) диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема гладкого многообразия M (области течения жидкости). Типовой конструкцией здесь является полупрямое произведение
B = KR конечномерной группы Ли K, действующей на многообразии M ,
и обобщенной группы токов R, ассоциированной с заданной геометрической
структурой на M . Группа B снабжается структурой группы Ли ═ Фреше
второго рода и погружается в кофигурационное пространство несжимаемой жидкости (идеальной и вязкой).
В п. 4.1.1 устанавливается связь вышеизложенных групповых конструкций с уравнениями Эйлера идеальной жидкости. Как следствие этой конструкции в многомерной гидродинамике получаются нестационарные решения типа ╔бегущей волны╔ для уравнений Эйлера, продолжаемые на
бесконечность во времени.
В п. 4.1.2 дается обобщение решений типа ╔бегущей волны╔ в инвариантных геометрических терминах. С использованием операции ковариантного дифференцирования связности Леви-Чивиты формулируются условия,
позволяющие получать из двух стационарных решений уравнений Эйлера
нестационарное, продолжаемое во времени на бесконечность. Полученные
результаты используются для иллюстрации неустойчивости течения идеальной жидкости, описываемого (A, B, C)-полем на трехмерном торе.
В п. 4.1.3 разбирается случай полупрямых произведений KR, когда K
═ группа изометрий римановой метрики на многообразии M , а R ═ группа
O(M ) поточечных ортогональных преобразований. В этом случае в качестве области течений жидкости будет рассматриваться многообразие
S(M ), то есть сферическое расслоение S(M ) ? M . Многообразие S(M )
имеет размерность на единицу больше, чем M . Так например, если M
═ поверхность, то S(M ) ═ трехмерное многообразие. S(M ) является подмногообразием касательного расслоения T M , инвариантным относительно
естественного действия групп K и R на T M . Группа B = KR вкладывается в группу Di╗ ╣ (S(M )) диффеоморфизмов, сохраняющих элемент
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
130
ГЛАВА 4
объема S(M ), а значит, и в конфигурационное пространство несжимаемой
жидкости в S(M ) ([Л12],[Л22).
В 4.2 разбирается случай вязкой жидкости. В п. 4.2.1 для уравнений
Навье ═ Стокса строится аналог решений типа ╔бегущей волны╔. В п.
4.2.2 геометрическая конструкция, позволяющая получать из двух стационарных течений нестационарное, обобщается на вязкую жидкость. Вид
решений уравнений Навье ═ Стокса оказывается связан со спектром оператора Лапласа ═ Бельтрами.
В конце главы устанавливается связь полученных результатов динамики жидкости с конструкциями теории поля и квантовой геометрии. В п.
4.3.1 с новых позиций разбирается пример 1.2. Показано, что известная в
теории поля группа Бонди ═ Метнера ═ Закса может быть реализована как
некоторая группа диффеоморфизмов. В п. 4.3.2 полученные ранее решения уравнений Эйлера вкладываются в группу Бонди ═ Метнера ═ Закса
[Mc], представляющую собой полупрямое произведение группы конформных преобразований сферы SO(1, 3) на пространство гладких функций на
сфере C ? (S2 ). Геометрически группа Бонди ═ Метнера ═ Закса представляет класс асимптотически плоских метрик Минковского.
Результаты п. 4.1.3 применяются к случаю, когда M = S2 , K = SO(3).
В качестве нестационарных течений в S(S2 ) получаются решения уравнений Эйлера вида h+g?t (v), здесь g t ? поток ортогонального векторного поля
h на S2 , а v = f n, где n? векторное поле, соответствующее естественному
действию S1 на S(S2 ), а f ? C ? (S2 )? гладкая функция на S2 . Полученным решениям уравнений Эйлера в группе Бонди ═ Метнера ═ Закса соответствует подгруппа, представляющая подкласс асимптотически плоских
евклидовых метрик.
4.1. Случай идеальной несжимаемой жидкости
4.1.1
Здесь будет установлена связь обобщенных групп токов с уравнениями
Эйлера идеальной несжимаемой жидкости ([Ар1], [Eb], [Ar2, с.31]):
?v/?t + ?v v + ?p = 0.
(4.1)
Нам будет удобна форма записи уравнений Эйлера идеальной несжимаемой
жидкости, принятая в [Ар1] с оговоркой, сделанной в [1,2], т. е. с коммутатором в алгебре Ли векторных полей, отличающимся от используемого
в [Ар1] знаком. Тогда уравнения Эйлера приобретут вид
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГРУППОВОЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ 131
?u
(4.2)
= (ad u)? (u).
?t
Пусть N ? риманово многообразие, представляющее собой область течений жидкости. Тогда (ad v)? ? оператор коприсоединенного представления
в алгебре Ли V╣ (N ) бездивергентных векторных полей на N , где операция
сопряжения берется в смысле скалярного произведения векторных полей
(2.1):
< u(x), v(x) > dx,
< u, v >=
M
то есть
< (ad v)? (u), w >=< u, ad v(w) >=< u, [v, w] > .
(4.3)
Эта метрика определена в V╣ (M ), которое является касательным пространством к единице группы диффеоморфизмов Di╗ ╣ (N ), сохраняющих элемент
объема N . Она продолжается до правоинвариантной метрики на группе
Di╗ ╣ (N ), что соответствует лагранжеву портрету при представлении течений несжимаемой жидкости ([Ар1]).
Разберем в этих терминах пример 1.1. Пусть b? алгебра Ли группы
B. Исследуем векторные поля алгебры Ли b как поля скоростей идеальной
несжимаемой жидкости на T3 . Для векторного поля u = (a, b, f ) на T3
уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости приводят к системе
?a/?t = 0, ?b/?t = 0, ?f /?t + a?f /?x + b?f /?y = 0.
Отсюда можно получить решение уравнений Эйлера:
ut = (a, b, f (x ? at, y ? bt)).
Можно построить обобщение подгруппы B, также приводящее к решениям трехмерной гидродинамики, продолжаемым на бесконечность во вре?
?
+ b(x, y) ?y
+
мени. Рассмотрим векторные поля на T3 вида w = a(x, y) ?x
?
f (x, y) ?z
, где a и b уже не константы, а функции на T2 , причем v =
?
?
+ b(x, y) ?y
является бездивергентным полем на T2 . Очевидно,
a(x, y) ?x
что такие векторные поля образуют алгебру Ли, обозначим ее через s, а
соответствующую группу диффеоморфизмов через S. Для векторного поля
w уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости приводят к системе
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
132
ГЛАВА 4
?v/?t+ < ?v, v > +?p = 0,
?f /?t + a?f /?x + b?f /?y = 0.
Уравнения векторного поля v являются уравнениями Эйлера на T2 . В
двумерной гидродинамике уравнения Эйлера имеют решения, продолжаемые по времени на бесконечность [Ар1]. Обозначим через vt это решение, а через gt ═ соответствующее течение идеальной несжимаемой жидкости на T2 . Тогда непосредственно проверяется, что векторное поле wt =
(vt , f (g?t (x, y)) будет решением исходных уравнений Эйлера на T3 с начальным условием w0 = 0.
Предложение 4.1. Решения уравнений Эйлера с начальными условиями
u ? s дают кривые ut ? s, продолжаемые во времени на бесконечность.
Соответствующие течения Ut идеальной несжимаемой жидкости лежат в
группе S.
Сформулируем теперь общее утверждение, дающее интегрируемые решения уравнений Эйлера в многомерной гидродинамике. Предварительно
докажем.
Предложение 4.2. Пусть на ориентированном компактном римановом
многообразии М задано векторное поле u из алгебры Ли k компактной
группы Ли K автоморфизмов римановой метрики. Тогда векторное поле
u стационарно, т. е. является полем скоростей стационарного решения
уравнений Эйлера ([Ar2],c.69) идеальной несжимаемой жидкости на M .
Доказательство. Воспользуемся формой (4.2) уравнений Эйлера. Так
как u ═ векторное поле компактной группы, сохраняющей риманову метрику на M , то оператор ad u кососимметричен в пространстве V╣ (M ) бездивергентных векторных полей на M со скалярным произведением (2.1).
Если обозначить через k? алгебру Ли группы K и через p ортогональное дополнение к k. Из кососимметричности оператора ad u следует, что
ad u(p) ? p. Очевидно, что ad u(k) ? k. Тогда и (ad u)? (k) ? k. Покажем,
что (ad u)? (u) = 0. Возьмем v ? k. Имеем < (ad u)? (u), v >=< u, ad u(v) >=
? < u, ad v(u) >. Но так как v ? k, то оператор ad v кососимметричен,
откуда < u, ad v(u) >= 0. Так как (ad u)? (u) ? k, то (ad u)? (u) = 0 и
векторное поле u является стационарным.
4.1.2
Для дальнейшего понадобится стандартное действие диффеоморфизма
g на векторное поле v или функцию f , которое будем обозначать ?:
g? v(x) = dg|g?1 x v|g?1 x , g? f (x) = f (g ?1 x).
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГРУППОВОЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ 133
Теорема 4.1. Пусть на компактном ориентированном римановом многообразии М имеются два бездивергентных векторных поля u, v, удовлетворяющих условиям
1) u? векторное поле из алгебры Ли компактной группы Ли автоморфизмов римановой метрики на M ;
2) векторное поле v стационарно;
3) ?u v = 0 (либо 3 ). ?v u = 0 ).
Тогда решением уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости с
начальным условием u + v будет векторное поле
wt = u + g??t (v), 3) (либо u + g?t (v), 3 )),
здесь g t ? поток векторного поля u.
Доказательство. Из предложения 4.3 векторное поле u стационарно,
а значит, ?u u = ?q (градиентное векторное поле). Из стационарности
векторного поля v следует, что ?v v = ?f . Вычислим теперь
?
?
(wt )t=? = g??t (v)t=? =
?t
?t
??
= [u, g? (v)] = ?u g??? (v) ? ?g??? (v) u.
Заметим, что g? (u) = u. Если теперь поднять векторное поле u и действие
диффеоморфизма g? на касательное расслоение T M , то там сохранится
аналогичное тождество. Так как g? сохраняет риманову структуру, то
имеем ?u g??? (v) = g??? ?u (v) = 0 из 3). Далее вычислим ?wt wt . Из условий
теоремы и предыдущих выкладок имеем
?wt wt = ?u u+
+ ?u g??? (v) + ?g??? (v) (u)+
+ ?g??? (v) g??? (v) =
= ?u u+
+ ?g??? (v) u + ?g??? (v) g??? (v)
Так как g ?? сохраняет метрический тензор, то
?g??? (v) g??? (v) =
= g??? ?v v = g??? ?f =
= ?g??? f.
Таким образом, имеем
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
134
ГЛАВА 4
?
(wt ) + ?wt wt = ?g??? f +
?t
+ ?u u = ?g??? f + ?q.
Отсюда wt удовлетворяет уравнениям Эйлера. Теорема доказана. Вариант с условием 3 ) доказывается аналогично.
?
?
?
Пример 4.1. Рассмотрим векторные поля на T3 , v = a ?x
+ b ?y
+ c ?z
+ h,
где h ═ стационарное бездивергентное векторное поле, a, b, c ═ константы.
?
?
?
+ b ?y
+ c ?z
. Имеем ?h q = 0, т. е. выполняется условие
Обозначим q = a ?x
3ё) теоремы 4.4, и получаем, что решение уравнений Эйлера с начальным
условием v имеет вид vt = (a, b, c) + h(x ? at, y ? bt, z ? ct).
Пусть, в частности, (a, b, c) ═ константы, а h является (A, B, C) полем
на трехмерном торе ([Ар1], [Ar2, с.72], [EC]):
h = (A sin z + C cos y, B sin x + A cos z, C sin y + B cos x).
Имеем
vt = (a, b, c) + (A sin(z ? ct) + C cos(y ? bt), B sin(x ? at) + A cos(z ? ct),
C sin(y ? bt) + B cos(x ? at)).
Таким образом, получаем в качестве решения уравнений Эйлера ╔дрейфующее╔ по трехмерному тору (A, B, C) поле. Отсюда следует, что (A, B, C)
поле не обладает устойчивостью по Ляпунову, как решение уравнений Эйлера. А именно, справедливо
Следствие 4.1. ?- вариация (A, B, C) поля h в норме L2 (и в соболевской
норме W n?для любого n ? 1) приводит за достаточно большое время t к
вариации 2h соответствующего решения уравнений Эйлера в L2 норме.
Доказательство. Возьмем a = b = c = ??6? . Тогда векторное поле
?
? 6?
2?
vt = (a, b, c)+h будет ?-вариацией h. За время T =
решение уравнений
Эйлера с начальным условием v имеет следующий вид:
vT = (a, b, c)+
(?A cos(z) + C sin(y), ?B cos(x) + A sin(z), ?C cos(y) + B sin(x)).
Это дает требуемую вариацию решения уравнений Эйлера.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГРУППОВОЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ 135
4.1.3
Свяжем теперь полученный класс решений уравнений Эйлера с построенными выше группами второго рода.
Теорема 4.2. Пусть на двумерном компактном римановом многообразии
M с O(2)-структурой задано киллингово векторное поле u, а векторное
поле v принадлежит алгебре Ли r обобщенной группы токов R поточечных
автоморфизмов O(2)-структуры.
Тогда на сферическом расслоении S(M ) для пары (u, v), где под u понимается его естественное поднятие на S(M ), выполняются условия теоремы
4.1 в варианте 3 ).
Доказательство. Необходимо проверить выполнение условия ?v u = 0
и стационарность векторного поля v. Фиксируем точку x ? M . Так как
сферическое расслоение ? : S(M ) ? M локально тривиально, то можно
выбрать окрестность U (x) ? M , над которой оно устроено как прямое
произведение. Пусть V = ? ?1 (U ). Имеем V = U в S1 ═ прямое произведение римановых многообразий. Зададим локальную систему координат
1
p = (p1 , p2 ) в окрестности U . Выберем на метризованной
S стандартную
?
?
координату ?, взятую по модулю 2?. Имеем u =
i ui (p) ?pi , v = v ?? .
Отсюда
?v u =
i
v(p, ?)ui (p)?
?
??
?
.
?pi
Так как на V задана метрика прямого произведения, то ? ? ?p?i = 0,
??
откуда ?v u =0. Вычислим далее ?v v. При фиксированном p обозначим
?
векторное поле на S1 . Непосредственно провечерез b(p) =
v(p, ?) ??
ряется, что ?v v(p, ?) = ?b b, где справа стоит ковариантная производная
векторного поля b вдоль себя на S1 . Векторное поле b является ортогональным для стандартной метрики на S1 , откуда b(?) = const и получаем, что
?b b = 0. Значит, векторное поле v стационарно и условия теоремы 4.1
выполняются.
4.2. Случай вязкой несжимаемой жидкости
4.2.1
Рассмотрим теперь вязкую несжимаемую жидкость, [Лад]. Она описывается уравнениями Навье ═ Стокса ([Т, с.224]).
?v/?t + ?v v ? ??v + ?p = 0,
(4.4)
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
136
ГЛАВА 4
где ?? оператор Лапласа ═ Бельтрами на векторных полях, ?? вязкость.
Здесь также получаются интегрируемые на бесконечности решения.
Рассмотрим векторные поля на трехмерном торе из предложения 2.1. А
именно, пусть u = (a, b, f (x, y)) на T3 , a, b ? R является начальным полем
скоростей вязкой несжимаемой жидкости. Уравнения Навье ═ Стокса для
поля скоростей вида u приводят к системе
?a/?t = 0, ?b/?t = 0, ?f /?t + a?f /?x + b?f /?y ? ??f = 0,
где ?f уже оператор Лапласа на функциях. Для
дальнейшего нам удобно
будет разложить функцию f в ряд Фурье: f = (k,l) (a(k,l) cos(kx + ly) +
b(k,l) sin(kx + ly)) Обозначим ?(k,l) = ?k2 ? l2 . Введем далее зависящую от
времени функцию
ft (x, y) =
exp(??(k,l) t)(a(k,l) cos(kx + ly) + b(k,l) sin(kx + ly))
(4.5)
(k,l)
Предложение 4.3. Решением уравнений Навье ═ Стокса на T3 с начальными условиями u = (a, b, f (x, y)), a, b ? R является кривая ut =
(a, b, ft (x ? at, y ? bt)).
Доказательство. Применим метод вариации постоянных к решению
уравнений Эйлера с такими же начальными условиями (u). В качестве варьируемых постоянных используем коэффициенты разложения в ряд Фурье
функции f .
Так как ?(k,l) является собственным числом оператора Лапласа на простых гармониках (cos(kx + ly), sin(kx + ly)), то получим уравнения на коэффициенты разложения в ряд Фурье: ?a(k,l) /?t = ??(k,l) a(k,l) , ?b(k,l) /?t =
??(k,l) b(k,l) , откуда следует предложение.
Таким образом, для уравнений Навье ═ Стокса, как и для уравнений
Эйлера решения на трехмерном торе с начальными условиями u ? b дают
кривые ut ? b, продолжаемые во времени на бесконечность. Соответствующие течения Ut вязкой несжимаемой жидкости лежат в группе B. Таким
образом, бесконечномерная группа Ли B является инвариантной для эволюционных уравнений как идеальной, так и вязкой несжимаемой жидкости.
4.2.2
Далее дадим аналог теоремы 4.1 для вязкой жидкости.
Теорема 4.3. Пусть на компактном ориентированном римановом многообразии М заданы два бездивергентных векторных поля u и v, которые
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГРУППОВОЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ 137
удовлетворяют условиям 1), 2), 3) (либо 3 )) теоремы 4.1, и, кроме того,
являются собственными для оператора Лапласа ═ Бельтрами с собственными числами ? и ╣ соответственно.
Тогда решением уравнений Навье ═ Стокса вязкой несжимаемой жидкости с начальным условием u + v будет векторное поле
??(t)
wt = exp(??t)u+exp(?╣t)g?
?(t)
(v), 3)(либо exp(??t)u+exp(?╣t)g?
(v), 3 )),
где если ? = 0, то ?(t) = exp(??t)?1
при t = 0 и ?(0) = 0, если же ? = 0, то
??
?(t) = t.
Доказательство. Здесь также применим метод вариации постоянных.
Пусть для определенности выполняется условие 3). Будем искать решение
??(t)
в виде wt = a(t)u+b(t)g?
(v). Если учесть, что действие диффеоморфизмов, сохраняющих риманову метрику, на векторных полях коммутирует с
действием оператора Лапласа ═ Бельтрами, то получим уравнения на a и
b:
?a/?t = ??a, ?b/?t = ?╣b
с начальными условиями a(0) = b(0) = 1, которые нужно дополнить уравнением на ?. Подставив выражение для wt в уравнения Навье ═ Стокса,
имеем
? ??(t)
??(? )
(v))t=? = [exp(??? )u, g?
(v)].
(g?
?t
Используя известное выражение скобки Ли векторных полей через производную по действию кривой диффеоморфизмов из потока одного векторного поля на другое ([Ст], с. 101-105) с учетом замены переменной по t,
получаем для ?(t) следующее уравнение :
??/?t = exp(??t)
с начальным условием ?(0) = 0. Решая вышеперечисленные уравнения для
a, b, ?, получаем теорему.
4.3. Связь конструкций с теорией поля
4.3.1
Вернемся к примеру 1.2. Подробнее остановимся на случае n = 2.
Группа конформных преобразований касательного пространства в точке
CON(Tx S2 ) ?
= CON(R2 ) коммутативна. Отсюда следует, что действие
(1.4) группы K на R = CON(S2 ) сводится к сдвигам гладких функций
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
138
ГЛАВА 4
на S2 конформными преобразованиями S2 . А именно конформное преобразование плоскости t ? CON(R2 ) можно задать парой чисел t = (?, ?), где
?? угол поворота плоскости ╔по часовой стрелке╔, а ?? величина гомотетии. Отсюда элемент f ? CON(S2 ) можно задать парой гладких функций (?(x), ?(x)), дающих в точке x ? S2 эти параметры для действия в
Tx (S2 ). Тогда для элемента k ? SO(1, 3) его действие на CON(S2 ) имеет
вид k(?(x), ?(x)) = (?(k?1 x), ?(k?1 x)). Нормальный делитель N неэффективности действия группы B = SO(1, 3)R на S(S2 ) состоит из элементов
вида (0, ?(x)) (см. предложение 1.5). Элемент в группе Q = B/N можно
задать парой (k, ?(x)) и получаем в качестве Q полупрямое произведение SO(1, 3)C ? (S2 ) группы SO(1, 3) на пространство гладких функций на
сфере C ? (S2 ), где конформные преобразования действуют на пространстве функций трансляциями. Это известная в теории поля группа Бонди
═ Метнера ═ Закса BMS [Mc].
Итак, получено
Предложение 4.4. Группа Бонди ═ Метнера ═ Закса является группой
Ли ═ Фреше второго рода и может быть реализована как подгруппа группы
диффеоморфизмов Di╗(S(S2 )) ?
= Di╗(RP 3 ).
4.3.2
Рассмотрим теперь в группе BMS подгруппу L = SO(3)O(S2 ), представляющую собой полупрямое произведение 3-мерной ортогональной группы
SO(3) и группы O(S2 ) поточечных ортогональных преобразований на T S2 .
Группа L также действует на S(S2 ). Алгебру Ли l группы L образуют
векторные поля этого действия, которые имеют вид u = h + r, где h? векторное поле действия ортогональной группы на S2 , а r ═ векторное поле
поточечных o(2)-автоморфизмов римановой метрики на S2 . Согласно теореме 4.2, такие векторные поля задают решения уравнений Эйлера на
S(S2 ) вида h + g?t (v), здесь g t ? поток ортогонального векторного поля h
на S2 . Заметим, что L ? B = SO(3) CON(S2 ), причем N ? L = Id, то
есть действие группы L на S(S2 ) эффективно. Поэтому группу L можно
рассматривать как L = SO(3)C ? (S2 ) полупрямое произведение ортогональной группы SO(3) на пространство гладких функций на двумерной
сфере C ? (S2 ), где ортогональные преобразования действуют на функции
трансляциями.
Отсюда следует
Предложение 4.5. В группе Бонди ═ Метнера ═ Закса можно выделить
подгруппу L ? BMS, L = SO(3)C ? (S2 ). Векторные поля алгебры Ли
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ГРУППОВОЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ 139
l, группы L задают нестационарные решения уравнений Эйлера на трехмерном многообразии S(S2 ), продолжаемые во времени на бесконечность
и остающиеся в алгебре Ли l. Соответствующие течения идеальной несжимаемой жидкости представляются кривыми в группе L, а, значит и в
группе BMS.
Вопросы физической интерпретации объектов, возникающих из расслоений над двумерной сферой с конформной структурой и представляемых
группой Бонди ═ Метнера ═ Закса рассмотрены в [ХП].
Групповой подход к исследованию динамики жидкости
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
140
ГЛАВА 5
АНАЛИЗ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Обзор содержания главы
В этой главе от общей постановки ([Л19], [Л20]), позволяющей представлять уравнения математической физики в виде геодезического потока на
некоторой группе Ли G, с алгеброй Ли g , снабженной лево (или право)
инвариантной метрикой < u, v >, мы перейдем к выявлению инвариантов
решений этих уравнений и их эволюционных характеристик ([Л21],[Л26]) .
В качестве физического приложения рассматривается не только несжимаемая, но и сжимаемая жидкость. Для уравнений Эйлера идеальной сжимаемой жидкости в качестве бесконечномерной группы Ли G рассматривается полная группа диффеоморфизмов компактного гладкого многообразия,
для случая несжимаемой жидкости ═ ее подгруппа, сохраняющая элемент
объема.
5.1. Постановка задачи
Пусть Di╗(M ) группа C ? -диффеоморфизмов компактного многообразия M . Алгеброй Ли группы Di╗(M ) является пространство V (M ) гладких векторных полей на M с операцией ═ скобкой Пуассона. В качестве
метрики на выступает (2.1), определенная на пространстве гладких векторных полей:
(u(x), v(x))d╣(x),
(5.1)
< u, v >=
M
продолжаемая до правоинвариантной метрики на G.
Для случая идеальной несжимаемой жидкости, в качестве G берется
группа диффеоморфизмов Di╗ ╣ (M ), сохраняющих элемент объема ориентированного риманова многообразия M . Алгеброй Ли группы Di╗ ╣ (M )
является подалгебра V╣ (M ) бездивергентных векторных полей. В качестве метрики выступает (2.1) , задающая правоинвариантную метрику на
G. Тогда уравнения Эйлера приобретут вид
?u
= (ad u)? (u).
?t
(5.2)
Соответственно уравнения Навье ═ Стокса ([См4]) будут иметь вид
?u
= (ad u)? (u) + ??u,
?t
(5.3)
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
АНАЛИЗ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ
141
где ? оператор Лапласа ═ Бельтрами на векторных полях, ?? вязкость
несжимаемой жидкости.
5.2. Случай идеальной сжимаемой жидкости
Рассмотрим систему уравнений Эйлера идеальной сжимаемой жидкости
на ориентированном римановом многообразии M . Здесь M ═ либо компактное многообразие с краем (тогда надо рассматривать векторные поля,
обращающиеся в нуль на границе ?M , см. [Т]), либо Rn (в последнем
случае необходимо ограничиться рассмотрением векторных полей, быстро
убывающих на бесконечности со всеми производными ([Л8]). Для решений
уравнений Эйлера имеется закон сохранения кинетической энергии жидкости I(u) =< u, u >. Исследуем также поведение функционала
(u(x), u(x))k d╣(x).
(5.4)
Ik (u) =
M
Лемма 5.1. Пусть u(t) ═ решение уравнений Эйлера идеальной жидкости
на ориентированном римановом многообразии M одного из вышеописанных
классов. Тогда функционал (5.4) для натурального k ? 2 имеет следующую
производную:
d
divu(u, u)k d╣(x).
(5.5)
Ik (u) = ?2(k ? 1)
dt
M
Доказательство. Преобразуем выражение
d
dt Ik (u).
Имеем
d
d
( u(x), u(x))(u(x), u(x))k?1 d╣(x) =
Ik (u) = 2k
dt
M dt
((ad u)? (u), (u, u)k?1 u)d╣(x) =
2k
M
2k
(u, ad u((u, u)k?1 u))d╣(x).
M
Заметим, что
ad u((u, u)k?1 u) = u((u, u)k?1 )u.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
142
ГЛАВА 5
Поэтому имеем
d
(u, u((u, u)k?1 )u)d╣(x) =
Ik (u) = 2k
dt
M
(u, u)u((u, u)k?1 )d╣(x) =
= 2k
M
= 2k(k ? 1)
(u, u)k?1 u((u, u))d╣(x) =
M
u((u, u)k )d╣(x).
= 2(k ? 1)
M
k
Введем далее на M гладкую функцию F (x) = (u(x), u(x))
. Заметим,
что F обращается в нуль на границе ?M . Пусть M = i Vi ? некоторый
атлас. Используя разбиение единицы ([ЗВ], с. 19), векторное поле u можно
представить в виде
uk ,
u=
k
где uk ? векторное поле с компактным носителем в координатной окрестности Vk , уже необязательно бездивергентное, причем в каждой точке отлично от нуля лишь конечное число векторных полей uk . Если g = {gi,j }?
метрический тензор римановой метрики, то в локальных координатах
(x1 , ..., xn ) имеем
d╣(x) = det gdx.
Для произвольного гладкого векторного поля w с компактным носителем
в некоторой локальной карте V , используя технику интегрирования по частям в Rn и формулу для дивергенции векторного поля в локальных координатах ([Х], с. 422), получаем
w(F )d╣(x) =
M
V
=?
V
j
M
?
(F ) det gdx =
?xj
1 ?
?
(wj det g)F det gdx =
det g j ?xj
(?div(w)F d╣(x).
=
wj
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
АНАЛИЗ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ
Отсюда следует, что
u(F )d╣(x) =
M
M
?
M
i
143
ui (F )d╣(x) =
i
divui F =
(?divu)F d╣(x)
M
и получается требуемое утверждение.
Следствие 5.1. Для решений уравнений Эйлера u(t) в точках ? , где векторное поле u(? ) становится бездивергентным, функционал Ik (u(t)) имеет
нулевую производную по t. В частности, если решение u(t) состоит из бездивергентных векторных полей, то Ik (u) сохраняется на таком решении.
Следствие 5.2. Пусть многообразие M одномерно. Тогда
d
Ik (u) = 0,
dt
т. е. Ik (u) сохраняется на решениях уравнений Эйлера.
Доказательство. В одномерном случае имеем либо M = S1 , либо M =
R1 и можно ввести координату ? на M (в случае S1 взятую по модулю 2?).
d
Тогда векторное поле можно представить в виде u = u(?) d?
. В одномерном
случае формула (5.5) приобретает вид
d
Ik (u) = ?2(k ? 1)
dt
M
2(k ? 1)
d
(u)u2k d? = ?
d?
(2k + 1)
M
d 2k+1
)d? = 0.
(u
d?
5.3. Случай идеальной несжимаемой жидкости
Рассмотрим теперь систему уравнений Эйлера идеальной несжимаемой
жидкости. Исследуем поведение функционала (5.4) для этого случая. Введем операторы ортогонального проектирования:
p╣ : V (M ) ? V╣ (M ), q╣ = Id ? p╣ .
Лемма 5.2. Пусть u(t) решение уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости на ориентированном римановом многообразии M одного из
вышеописанных классов. Тогда функционал (5.4) для натурального k ? 2
имеет следующую производную:
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
144
ГЛАВА 5
d
Ik (u) = ?2k
dt
(u, [u, q╣ ((u, u)k?1 u)]d╣(x).
(5.6)
M
Доказательство. Имеем
d
d
( u(x), u(x))(u(x), u(x))k?1 d╣(x) =
Ik (u) = 2k
dt
M dt
= 2k
((ad u)? (u), (u, u)k?1 u)d╣(x) =
M
(u, ad u(p╣ ((u, u)k?1 u))d╣(x) =
= 2k
M
= 2k
(u, ad u((Id ? q╣ )((u, u)k?1 u))d╣(x).
M
Здесь и происходит переход, который проходит для потока сжимаемой
жидкости, но не проходит для несжимаемой. Перебрасывать в скалярном произведении слева направо оператор (ad u)? в оператор ad u можно,
когда справа стоит бездивергентное поле, потому что здесь подразумевается оператор коприсоединенного действия в подалгебре бездивергентных
векторных полей, а не в полной алгебре векторных полей на многообразии.
Далее к составляющей
(u, ad u((u, u)k?1 u)d╣(x)
M
применимы выкладки из доказательства леммы 2.1, тогда из бездивергентности векторного поля u следует, что эта составляющая равна нулю, и
получаем утверждение леммы.
Оставшаяся ненулевая составляющая ? это векторное поле
q╣ ((u, u)k?1 u), которое градиентно. Обозначим
q╣ ((u, u)k?1 u) = ?f.
Пусть ? ═ оператор Лапласа ═ Бельтрами на векторных полях.
Лемма 5.3
?f = u((u, u)k?1 ).
Доказательство. Имеем
?f = div?f = divq╣ ((u, u)k?1 u) = div((u, u)k?1 u) = u((u, u)k?1 ).
(5.7)
(5.8)
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
АНАЛИЗ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ
145
Ограничимся далее случаями локально евклидового M , т. е. M = Tn
(n-мерный тор) , Rn и область в Rn (в последнем случае рассматриваются векторные поля, обращающиеся в нуль на границе области) . Пусть
x1 , .., xn ? стандартные координаты на M (в случае Tn взятые по модулю
2?). Имеем
(5.9)
[u, q╣ ((u, u)k?1 u)] = u(?f ) ? ?f (u).
Здесь выражения u(?f ) и ?f (u) зависят от выбора локальных координат
и предполагается, что взяты в локально евклидовых координатах x1 , .., xn .
Лемма 5.4.
(u, ?f (u))d╣(x) = 0
(5.10)
M
и
(u, u(?f ))d╣(x) =
f
M
M
?ui ?uj
d╣(x).
?x
?x
j
i
i,j
?f
Доказательство. Имеем M (u, ?f (u))d╣(x) = M i,j ?x
j
?f ?ui
= ? M i,j ?xj ui ?xj d╣(x) ? M ?f (u, u)d╣(x).
Отсюда
1
(u, ?f (u))d╣(x) = ?
?f (u, u)d╣(x).
2 M
M
(5.11)
?ui
?xj ui d╣(x)
И далее
?f (u, u)d╣(x) =
u((u, u)k?1 )(u, u)d╣(x) =
M
M
k?1
=
u((u, u)k )d╣(x) = 0.
k
M
Для доказательства (5.11) имеем
(u, u(?f ))d╣(x) =
M
M i,j
ui uj
?2f
d╣(x).
?xi ?xj
Далее, дважды применяя интегрирование по частям и используя условие
divu = 0, получаем (5.11).
Пусть теперь p ═ давление жидкости. Используя стандартный вид уравнений Эйлера (4.1) на локально евклидовых многообразиях,
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
146
ГЛАВА 5
?u
+ u(u) + ?p = 0
?t
и, применяя оператор div к обеим частям (5.12), получаем
?ui ?uj
?p = ?
?xj ?xi
i,j
(5.12)
(5.13)
Теперь можно сформулировать итоговый результат о производной исследуемого функционала.
Теорема 5.1. Для решений уравнений Эйлера идеальной несжимаемой
жидкости имеем
d
pu((u, u)k?1 )d╣(x) = ?2k
u(p)(u, u)k?1 d╣(x) (5.14)
Ik (u) = 2k
dt
M
M
Доказательство. Используя (5.6),(5.10) и (5.11), имеем
d
(?p)f d╣(x)
Ik (u) = 2k
dt
M
Из симметричности оператора Лапласа ═ Бельтрами в смысле метрики
(5.1) и (5.8) получаем нужное утверждение.
Следствие 5.3. Если векторное поле u задает течение жидкости с постоянным давлением (p = const), то для идеальной несжимаемой жидкости
функционал Ik (u) имеет нулевую производную.
Пример 5.1. Рассмотрим бездивергентное векторное поле на 3-мерном
торе ([Л12]):
(5.15)
u = (a, b, f (?1 , ?2 )).
Имеем
u(u) = (0, 0, a
?f
?f
+b
),
??1
??2
бездивергентное векторное поле, откуда течение идеальной несжимаемой
жидкости с полем скоростей u имеет давление, постоянное в области течения жидкости. Решением уравнений Эйлера для таких начальных условий
будет ut = (a, b, f (?1 ? at, ?2 ? bt)), [Л12]. Таким образом, и на решении
уравнений Эйлера в любой момент времени имеем поле скоростей с постоянным давлением. Непосредственно можно убедиться, что величины Ik (u)
сохраняются на этом решении.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
АНАЛИЗ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ
147
5.4. Случай вязкой несжимаемой жидкости
Здесь также, как и в п.3, мы ограничимся локально евклидовым случаем.
Рассмотрим уравнения Навье ═ Стокса в форме (5.3) и исследуем поведение
функционала (5.4).
Теорема 5.2. Для вязкой несжимаемой жидкости имеем
d
(pu((u, u)k?1 ) + ?(?u, (u, u)k?1 u))d╣(x) =
Ik (u) = 2k
dt
M
(5.16)
k?1
k?1
(?u(p)(u, u)
+ ?(?u, (u, u)
u))d╣(x).
= 2k
M
Доказательство. Из (5.3) имеем
d
((ad u)? (u) + ??u, (u, u)k?1 u)d╣(x).
Ik (u) = 2k
dt
M
Далее составляющая
((ad u)? (u), (u, u)k?1 u)d╣(x)
M
преобразуется так же, как и при доказательстве теоремы 3.1, и мы получаем (5.16).
Следствие 5.4. Если u? векторное поле с постоянным давлением (p =
const), то для вязкой несжимаемой жидкости функционал Ik (u) имеет производную
d
(?u, (u, u)k?1 u)d╣(x).
Ik (u) = 2k?
dt
M
Заметим, что векторное поле (5.15), взятое в качестве начальных условий для уравнений Навье ═ Стокса, дает решением течение жидкости, имеющее в каждый момент времени давление, постоянное в области течения
жидкости ([Л12]).
Ранее класс течений идеальной несжимаемой жидкости с постоянным
давлением в другом аспекте появился в работах Ж.Мисиолека [АрХес]. А
именно, если поле скоростей жидкости имеет постоянное давление, то секционная кривизна группы сохраняющих объем диффеоморфизмов по всем
двумерным направлениям, проходящим через это векторное поле, неположительна [Mis].
5.5. Заключение
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
148
ГЛАВА 5
Таким образом, представление уравнений динамики жидкости через оператор коприсоединенного действия позволило исследовать поведение интегралов от всех натуральных степеней скалярного квадрата поля скоростей
жидкости. Выявлены физические ситуации, когда эти интегралы сохраняются на решении уравнений Эйлера. Это:
- одномерная идеальная сжимаемая жидкость;
- решения уравнений Эйлера идеальной сжимаемой жидкости, имеющие
бездивергентное поле скоростей;
- решения уравнений Эйлера идеальной несжимаемой жидкости на локально евклидовых многообразиях, имеющие давление, постоянное в области течения жидкости (например, решения типа ╔бегущей волны╔).
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
149
ГЛАВА 6
ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ПОТОКА
НА БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЙ ГРУППЕ ЛИ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОПЕРАТОРА
КОПРИСОЕДИНЕННОГО ДЕЙСТВИЯ
Обзор содержания главы
В этой главе исследуется уравнение Эйлера на бесконечномерной группе
Ли с точки зрения локальных теорем существования и единственности решений.
В терминах бесконечномерных алгебр Ли фрормулируются условия, в
случае соблюдения которых, коэффициенты разложения решений уравнения Эйлера по некоторому ортонормированному базису в алгебре Ли удовлетворяют условию Липшица на всем временном промежутке своего существования.
6.1. Постановка задачи
Пусть имеется бесконечномерная группа Ли G с алгеброй Ли g. Как и в
главе 1 предполагается, что g является борнологическим пространством,
снабженным лево (или право)инвариантной метрикой < u, v >. Обозначим
оператор присоединенного действия в алгебре Ли через ad u(v) = [u, v],
а через (ad u)? (v) ═ оператор коприсоединенного действия [Л19]. Введем
также оператор
1
Su (v) = (ad u(v) + (ad u)? (v)).
(6.1)
2
Выберем теперь в алгебре Ли g ортонормированный базис {ek } и будем
представлять элемент u алгебры Ли g в виде ряда
u=
uk ek .
(6.2)
k
С метрикой < u, v > алгебра Ли g является предгильбертовым пространством.
Обозначим через H(g) формальные ряды вида (6.2), для которых
2
k |uk | < ?. Они образуют гильбертово пространство, являющееся пополнением g по L2 ? норме, определяемой метрикой. Например, для алгебры Ли гладких векторных полей на римановом многообразии M гильбертово пространство H(g) ═ пространство сечений касательного расслоения
T M , интегрируемых с квадратом их скалярного произведения.
6.2. Свойства ограниченности производных коэффициентов решений
уравнений Эйлера на определенных типах бесконечномерных групп Ли.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
150
ГЛАВА 6
Будем рассматривать геодезические на группе Ли G, снабженной для
определенности левоинвариантной метрикой. Они описываются уравнениями Эйлера в ее алгебре Ли:
?u
= (ad u)? (u).
?t
(6.3)
Проведем редукцию уравнений Эйлера к дифференциальным уравнениям
на коэффициенты разложения (6.2). Имеем
?u
?uk
=< ek ,
>=
?t
?t
=< ek , (ad u)? u >=< ad u(ek ), u >= ? < ad ek (u), u >= ? < (ad ek )? u, u > .
Отсюда получаем
?uk
(6.4)
= ? < Sek (u), u > .
?t
Для случая, когда операторы Sek имеют ограниченную норму, получаем
оценки для производных коэффициентов разложения (6.2) решений уравнений Эйлера:
?uk 2
(6.5)
?t ? Sek u(0) .
Можно указать несколько типов бесконечномерных групп Ли, для которых оператор Su имеет конечную норму для любого элемента u алгебры
Ли g. А именно введем следующие бесконечномерные алгебры Ли.
1. Алгебра Ли V (M ) гладких векторных полей на ориентированном
компактном римановом многообразии M с операцией коммутирования
[u, v] = u(v) ? v(u)
и с метрикой
(u(x), v(x))dx.
< u, v >=
(6.6)
M
2. Подалгебра V╣ (M ) ? V (M ) , состоящая из бездивергентных векторных
полей.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ПОТОКА
151
3. Алгебра Вирасоро [АрХес,Kh1] V ═ центральное расширение алгебры
Ли V (S1 ) векторных полей на окружности S1 со стандартной координатой
?, взятой по модулю 2?, (V = V (S1 ) ? [c]), операцией коммутирования
(6.7)
[(u, a), (v, b)] = (?uv + u v, uv d?)
и скалярным произведением
< (u, a), (v, b) >=
uvd? + ab.
(6.8)
S1
Теорема 6.1. Если g ═ одна из алгебр Ли 1═3, то оператор Su имеет
конечную норму для любого элемента u алгебры Ли g.
Доказательство. Сначала рассмотрим случаи 1 и 2. Выберем некоторый атлас {Ui } на многообразии M . Для векторных полей u, v обозначим
через v(u) оператор действия векторного поля v на коэффициенты u, через
Dv(u) - оператор матричного умножения якобиевой матрицы v на u, через
Dv ═ умножения на транспонированную матрицу. Имеем: ad u = u ? Du.
Для бездивергентного поля u удобно записать ad u = ?╣ (u ? Du), где
?╣ : V (M ) ? V╣ (M ) ═ ортогональная проекция. Введем также матрицу
R = {ri,j } метрического тензора риманова многообразия в локальных координатах. Используя стандартную технику интегрирования дифференциальных форм в случае алгебры Ли V (M ), получаем
(ad u)? = ?u ? R?1 u(R) ? R?1 (Du) R ? divu Id,
в случае алгебры Ли V╣ (M ):
(ad u)? = ?╣ (?u ? R?1 u(R) ? R?1 (Du) R).
Отсюда получаем для V (M )
Su =
1
(?Du ? R?1 u(R) ? R?1 (Du) R ? divu Id),
2
для V╣ (M )
Su =
1
?╣ (?Du ? R?1 u(R) ? R?1 (Du) R).
2
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
152
ГЛАВА 6
Отсюда следует, что оператор Su имеет конечную норму, причем существуют такие константы C, C╣ , что справедливы следующие оценки норм
для алгебры Ли V (M ) :
Su ? CuC 1 ,
для алгебры Ли V╣ (M )
Su ? C╣ uC 1 .
Теперь рассмотрим случай 3 (ниже S1 в знаке
Возьмем (u, a), (v, b), (w, c) ? V . Имеем
опускается).
< ad(u, a)((v, b)), (w, c) >=< (?uv + u v,
uv ), (w, c) >
=
(?uv + u v)wd? + c
uv d? =
(uw + 2u w)vd? ? c
u vd?.
Из этого получаем
ad(u, a)? ((v, b)) = (uv + 2u v ? bu , 0).
Из (6.7) также следует
ad(u, a)((v, b)) = (?uv + u v, ?
u vd?).
Таким образом, имеем
1
S(u,a) (v, b) = (3u v ? u b, ?
2
u vd?).
И далее
1
2
< S(u,a) (v, b), S(u,a) (v, b) >= ( (3u v ? bu ) d? + ( u vd?)2 ) ?
4
1
2 2
2 2
2
( 2(9(u ) v + b (u ) )d? + (u ) d? v 2 d?).
4
В итоге получаем следующую оценку:
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ПОТОКА
153
9
1
(uC 1 )2 + (uC 3 )2 .
2
2
Это доказывает утверждение теоремы для случая 3.
Заметим, что в [Kh] вводится параметрическое семейство уравнений,
связанных с метриками в алгебре Вирасоро, зависящее от ?, ?. Утверждение теоремы 6.1 справедливо лишь для элемента этого семейства с
? = 1, ? = 0, что как раз соответствует уравнению Кортевега де Фриза
([OK]).
Будем далее считать, что g ═ одна из алгебр Ли 1═3. Пусть задан линейный оператор T : g ? g следующего вида:
для алгебр Ли 1,2 T ═ дифференциальный оператор;
для алгебры Ли 3 T |V (S1 ) ═ дифференциальный оператор, T |[c] = 0.
Обозначим через T ? сопряженный к T оператор в смысле левоинвариантной метрики на алгебре Ли g :< T u, v >=< u, T ? v >. Пусть теперь u(t)
═ решение уравнений Эйлера (6.3), тогда для T u можно написать аналог
разложения (6.2):
uTk ek .
(6.9)
Tu =
S(u,a) ?
k
Здесь также можно провести редукцию уравнений Эйлера к дифференциальным уравнениям на коэффициенты разложения (6.9). Имеем
?uTk /?t =< ek , ?T u/?t >=< ek , T (ad u)? (u) >=< T ? ek , (ad u)? (u) >=
< ad u(T ? ek ), u >= ? < ad T ? ek (u), u >= ? < (ad T ? ek )? (u), u > .
Отсюда получаем
?uTk
(6.10)
= ? < ST ? ek (u), u > .
?t
Поскольку для алгебр Ли 1═3 операторы ST ?ek имеют ограниченную норму,
получаем оценки для производных коэффициентов разложения (6.9) решений уравнений Эйлера:
T
?uk 2
?t ? ST ? ek u(0) .
(6.11)
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
154
ГЛАВА 6
Пример 1. Рассмотрим алгебру Ли 2 V╣ (M ) на трехмерном компактном
ориентированном римановом многообразии M .
Пусть T = rotk . Здесь k ═ натуральное, rot ═ ротор, заметим, что при
k = 2 получаем T = ?? (оператор Лапласа ═ Бельтрами на векторных
полях). Так как rot ═ самосопряженный оператор, то имеем T ? = T .
Пример 2. Рассмотрим алгебру Ли 2 для случая n-тора (Tn ). Пусть
?1 ..., , ?n - стандартные координаты на Tn , взятые по модулю 2?, а T ═
линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами:
T =
k
?k
ak k .
??
Здесь
k = (k1 , ..., kn ), k ? N ? {0},
? k1
? kn
?k
=
...
, ak ? R.
??k
??k11 ??knn
Тогда T ? имеет вид
T? =
?k
(?1)k1 +...+kn ak k
??
k
и также является линейным дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами.
6.3. Связь с уравнением Навье ═ Стокса
Рассмотрим алгебру Ли 2 - g = V╣ (M ). Ее группа Ли служит конфигурационным пространством несжимаемой жидкости. В случае вязкой
жидкости ее динамика описывается уравнениями Навье ═ Стокса. Далее
будем использовать следующую форму уравнений Навье ═ Стокса:
?u
= (ad u)? (u) + ??u.
?t
(6.12)
Здесь ? ═ вязкость, ? ═ оператор Лапласа ═ Бельтрами на векторных полях. Заметим, что уравнения Навье ═ Стокса нельзя получить в виде уравнения геодезических лево (или право)инвариантной метрики на какой-либо
бесконечномерной группе Ли. Это объясняется тем, что решения уравнений Эйлера обладают следующим свойством симметрии. Пусть u(t) ═
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ПОТОКА
155
решение уравнения Эйлера на некоторой группе Ли, тогда ?u(?t) также
решение для любого вещественного ? = 0. Решения же уравнений Навье ═ Стокса этим свойством не обладают из-за наличия диссипативного
члена ??u . Тем не менее ниже будет разобран прием, позволяющий провести аналогичные исследования для решений уравнений Навье ═ Стокса.
Удобно выбрать базис {ek } в алгебре Ли g из собственных элементов оператора Лапласа ═ Бельтрами ?, обозначим соответствующие собственные
числа через ??k . Аналогом равенства (6.4) будет
?uk
+ ??k uk = ? < Sek (u), u > .
?t
(6.13)
А оценка (6.5) преобразуется к виду
?uk
2
u
+
??
k k ? Sek u(0) .
?t
(6.14)
Вариант с линейным оператором T и аналог разложения (6.9) исследуем
в предположении, что операторы T и ? коммутируют: T ? = ?T . Например, это будет так в разобранных в п.2 примерах 1, 2. Тогда имеем
?u
?T u
? ??T u = T
? T ??u = T (ad u)? (u)
?t
?t
и можно получить аналоги (6.10) и (6.11) для коэффициентов разложения
T u:
?uTk
+ ??k uTk = ? < ST ? ek (u), u >
?t
(6.15)
и
T
?uk
T
2
u
+
??
k
k ? ST ? ek u(0) .
?t
(6.16)
6.4. Анализ поведения решений уравнений Эйлера в особой точке
Для заданного элемента u алгебры Ли g обозначим через C(u) верхнюю грань таких t, для которых решение (6.3) с начальными условиями
u(0) = u существует и единственно на промежутке [0,t). Для бесконечномерных групп Ли G с описанными в п.1 алгебрами Ли g вида 1═3 из
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
156
ГЛАВА 6
известных локальных теорем существования и единственности [EM, ММ]
имеем C(u) > 0.
Если для заданного u получаем C(u) = ?, то это означает, что решение
уравнений Эйлера с начальными условиями u продолжается во времени на
бесконечность и единственно. Ситуации, когда C(u) < ? означает, что
решение уравнений Эйлера имеет особенность в момент времени t = C(u).
Ниже будут исследованы возможные варианты поведения решения в такой
особой точке.
Теорема 6.2. Пусть алгебра Ли g удовлетворяет условию ограниченности норм операторов Sе для любого элемента е. Пусть также для заданного u имеем 0 < C(u) < ?. Тогда коэффициенты (6.2) разложения
решения уравнений Эйлера с начальным условием u(0)= u имеют пределы при t ? C = C(u). Более того, элемент u(C) = k uk (C)ek имеет
ограниченную норму в смысле инвариантной метрики в алгебре Ли, т. е.
принадлежит H(g), причем u(C) ? u(0).
Доказательство. Из (6.5) коэффициенты uk имеют ограниченные производные на промежутке [0, C) и, в частности, являются равномерно непрерывными на [0, C). Отсюда при t ? C существуют пределы uk (t). Предположим теперь, что u(C) > u(0) (возможен и вариант
n u(C) = ?).
n
Тогда существует начальный кусок ряда (6.2) u (C) = k=i uk (C)ek , такой, что un (C) > u(0). Но тогда для любого ? > 0 найдется такое
0 < t < C, что un (C) ? un (t) < ?. Так как un (t) ? u(t), то при
достаточно малом ? можно добиться, что u(t) > u(0). Так как в точке
t < C решение уравнений Эйлера существует, то это противоречит свойству сохраняемости метрики на решениях.
6.5. Анализ поведения решений уравнений Навье ═ Стокса в особой
точке
Здесь, как и в предыдущем параграфе, для заданного элемента u алгебры Ли g = V╣ (M ) обозначим через C(u) верхнюю грань таких t, для
которых решение (6.12) с начальными условиями u = u(0) существует и
единственно на промежутке [0, t). Из локальной теоремы существования и
единственности для уравнений Навье ═ Стокса имеем C(u) > 0.
Теорема 6.3. Пусть для заданного u ? V╣ (M ) для уравнения (6.12)
имеем 0 < C(u) < ?. Тогда коэффициенты (6.2) разложения решения
уравнений Навье ═ Стокса с начальными условиями u(0)
= u имеют пределы при t ? C = C(u). Более того, элемент u(C) = k uk (C)ek имеет
ограниченную норму в смысле метрики (2.1), т. е. принадлежит H(g) ,
причем u(C) ? u(0).
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ПОТОКА
157
Доказательство. Из (6.12) имеем
?
< u(t), u(t) >= 2 < (ad u)? (u) + ??u, u >= 2 < ??u, u >? 0.
?t
Поэтому для t > 0 имеем u(t) ? u(0), в частности, uk (t) ? u(0). Из
(6.14) коэффициенты uk имеют ограниченные производные на промежутке
[0, C), а именно справедлива оценка
?uk 2
(6.17)
?t ? Sek u(0) + ??k u(0).
Далее можно повторить ход доказательства теоремы 6.2.
6.6. Случай n-мерного тора
В предыдущих параграфах для уравнений Эйлера и Навье ═ Стокса
установили слабую сходимость решения u(t) к u(C) при t ? C . Чтобы
установить в каких-то вариантах сильную сходимость, необходимо построить интегральные мажоранты. Это будет проделано в этом параграфе на
примере алгебры Ли бездивергентных векторных полей на торе. Рассмотрим n-мерный тор Tn и выберем в алгебре Ли бездивергентных векторных
на торе V╣ (Tn ) полей ортонормированный базис из простых гармоник [Л20]
ek,a = a cos k?, fk,a = a sin k?,
? = (?1 , ..., ?n ) ═ стандартные координаты на Tn , взятые по модулю 2?,
k = (k1 , ..., kn ) ═ целочисленный вектор, a ? Rn , (k, a) = 0. Для элементов
базиса {ek,a , fk,a } собственное число оператора Лапласа ═ Бельтрами на
этой простой гармонике имеет вид ?k = ?(k, k). Разложение (6.2) для
этого случая удобно переписать в виде
u = w0 +
(wk,a ek,a + vk,a fk,a ).
(6.18)
k=0,a?k
Здесь w0 ? tn ═ алгебра Ли тора. Из предыдущего для решений уравнений
?w
?v
Эйлера имеем ?tk,a = ? < Sek,a u, u >, ?tk,a = ? < Sfk,a u, u > . При
помощи серии рутинных, но несложных выкладок можно получить, что
n
n
?wk,a
?vk,a
ki aj ui uj , sin k? >,
ki aj ui uj , cos k? > .
=<
=?<
?t
?t
i,j=1
i,j=1
(6.19)
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
158
ГЛАВА 6
Заметим также, что Sh = 0 для любого элемента h ? tn . Из (6.4) и (6.14)
тогда следует, что на решениях уравнений Эйлера (6.3) имеем
?w0
= 0.
?t
Введем оператор T : V╣ (Tn ) ? V╣ (Tn ): на tn положим T = Id; на подпроek,a
fk,a
странстве L[ek,a , fk,a ] для k = 0 положим T (ek,a ) = |k|
; T (fk,a ) = |k|
.
Имеем
1
T | ker ? = Id, T |(ker ?)? = (??)? 2 .
(6.20)
Обозначим через
T m u = w0m +
m
m
(wk,a
ek,a + vk,a
fk,a ).
k=0,a?k
k
для k = 0. Из предыдущего следует, что для решений
Положим ? = |k|
уравнений Эйлера имеем
m
m
?wk,a
?vk,a
= ? < ST m ek,a u, u >,
= ? < ST m fk,a u, u > .
?t
?t
По аналогии с предыдущим получаем
n
m
?wk,a
1
?i aj ui uj , sin k? >,
= m?1 <
?t
|k|
i,j=1
n
m
?vk,a
1
?i aj ui uj , cos k? > .
= ? m?1 <
?t
|k|
i,j=1
А также имеем
(6.21)
?w0m
= 0.
?t
В случае уравнения Навье ═ Стокса заметим, что оператор T коммутирует с оператором Лапласа ═ Бельтрами ? и базис разложения (6.18)
является собственным для ?. Используя (6.13), получаем следующий аналог для решений уравнений Навье ═ Стокса:
m
?wk,a
m
= ? < ST m ek,a u, u >,
+ ?|k|2 wk,a
?t
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ПОТОКА
159
m
?vk,a
m
= ? < ST m fk,a u, u > .
+ ?|k|2 vk,a
?t
Отсюда для уравнений Навье ═ Стокса получаем
n
m
?wk,a
1
2 m
?i aj ui uj , sin k? >,
+ ?|k| wk,a = m?1 <
?t
|k|
i,j=1
n
m
?vk,a
1
2 m
?i aj ui uj , cos k? > .
+ ?|k| wk,a = ? m?1 <
?t
|k|
i,j=1
А также имеем
(6.22)
?w0m
= 0.
?t
Обозначим через
?k,i,j =< ui uj , cos k? >, ?k,i,j =< ui uj , sin k? > .
Предложение 6.1. Для решений уравнений Навье ═ Стокса (при ? = 0
Эйлера) имеем
2
m
n
?wk,a
2
1
2 m 2
?k,i,j
,
?t + ?|k| wk,a ? ╣(Tn ) |k|2m?2
i,j=1
m
2
n
?vk,a
2
1
2
m
?2k,i,j .
?t + ?|k| vk,a ? ╣(Tn ) |k|2m?2
i,j=1
Доказательство. Из (6.22) имеем
m
2
n
?wk,a
1
2
m
?i aj ?k,i,j )2 .
?t + ?|k| wk,a = |k|2m?2 (
i,j=1
Далее используем неравенство Коши ═ Буняковского и учтем, что
i,j=1n
?2i a2j
=
n
j=1
a2j =
2
.
╣(Tn )
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
160
ГЛАВА 6
m
Оценка для vk,a
получается аналогично.
Введем нормированный ряд производных коэффициентов
разложения (6.18):
m
2 m
2
?wk,a
?v
k,a
m
2 m 2 m r (t) =
?t + ?|k| wk,a + ?t + ?|k| vk,a .
(6.23)
k=0
Непосредственно проверяется, что
?T m u
r (t) = + ??T m u.
?t
m
Теорема 6.4. Пусть в обозначениях теоремы 6.2 векторное поле u(t, x) ограничено почти всюду на своей области определения (|u(t, x)| ? B для почти
всех (t, x) ? [0, C] в Tn ). Тогда выражение r1 (t) (6.6) имеет следующую
мажоранту на [0, C]:
r1 (t) ? (n ? 1)B 2 u(0)2 .
(6.24)
Доказательство. Воспользуемся предложением 6.1 для m = 1. Заметим, что каждому целочисленному вектору простой гармоники k = 0
соответствуют n ? 1 пар элементов базиса {ek,a , fk,a } с a ? k? . С учетом
этого получаем
2
r (t) ?
(n ? 1)
╣(Tn )
1
Заметим, что
2
╣(Tn )
n
n
n
2
(?2k,i,j + ?k,i,j
).
(6.25)
k=0,i,j=1
2
(?2k,i,j + ?k,i,j
)=
k=0,i,j=1
1
1
(ui uj 2 ? < ui uj , < ui uj , 1 >2 .
>2 ) = (u, u)2 ?
n
n
╣(T ) i,j=1n
╣(T )
i,j=1
(6.26)
2
2
2
Из (6.26), учитывая, что (u, u) ? B u , получаем (6.24).
Следствие 6.1. В условиях теоремы 6.4 векторное поле T u(t) сходится
по норме L2 к T u(C) при t ? C.
Сформулируем утверждения, применимые в предположении,
что решение уравнений Навье ═ Стокса определено на всей числовой прямой
([Л23], [Л24],[Л27]).
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ПОТОКА
161
Теорема 6.5. Пусть в обозначениях теоремы 6.2 векторное поле u(t, x)
определено на всей числовой прямой.
имеет следующую мажоТогда выражение rm (t) (6.23) при m ? (n+3)
2
ранту:
1
2(n ? 1)
4
rm (t) ?
.
(6.27)
u(0)
╣(Tn )
k2m?2
k=0
Доказательство. Заметим, что
?2k,i,j =< ui , uj cos k? >2 ? ui 2 uj cos k?2 ,
2
. Используя предложение 6.1, получаем, что
аналогично оценивается ?k,i,j
n
2
(?2k,i,j + ?k,i,j
) ? u4 ? u(0)4 .
k=0,i,j=1
Отсюда следует (6.27). Далее остается заметить, что ряд в правой части
(6.27) сходится при 2m ? 2 ? n + 1.
Следствие 6.2. Для решения уравнения Навье ═ Стокса на T3 ряд r3 (t)
имеет мажоранту на всей числовой прямой.
Используя (6.21), (6.22), можно также получить некоторые отношения
симметрии для коэффициентов разложения (6.18) решений уравнений Эйлера и Навье ═ Стокса.
Предложение 6.2. Для пары коэффициентов (wk,a , vk,a ) разложения решений уравнения Навье ═ Стокса (при ? = 0 Эйлера) на Tn справедливо
следующее соотношение:
?wk,a
+ ?|k|2 wk,a < (?, u)u, ek,a > +
?t
?vk,a
+ ?|k|2 vk,a < (?, u)u, fk,a >= 0.
?t
(6.28)
6.7. Выводы
Выделен класс бесконечномерных групп Ли G с алгеброй Ли g, снабженной лево (или право) инвариантной метрикой, для которых операторы,
являющиеся суммой операторов присоединенного и коприсоединенного действия, имеют конечные нормы. Указанный класс бесконечномерных групп
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
162
ГЛАВА 6
Ли связан с такими уравнениями математической физики, как уравнения
Эйлера идеальной жидкости, уравнение Кортевега де Фриза.
Установлено, что решения уравнений Эйлера геодезических лево (или
право) инвариантной метрики сохраняют принадлежность L2 ═ пополнению g (алгебры Ли бесконечномерной группы Ли) как топологическому
векторному пространству со скалярным произведением в момент времени
появления особенности (т. е. в момент времени выхода решения за пределы промежутка, гарантированного локальной теоремой существования
и единственности). Таким образом, в предельной точке действия локальной теоремы существования и единственности может реализоваться далеко
не любой тип особенности (у коэффициентов ортогонального разложения
решения всегда существуют пределы, ряд разложения решения не может
расходиться в этой точке).
Указанные свойства переносятся также на дифференциальные уравнения, получающиеся из уравнений Эйлера добавлением линейного члена,
являющегося эллиптическим дифференциальным оператором (например,
на уравнения Навье ═ Стокса).
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
163
ЗАМЕЧАНИЯ
Подход, основанный на использовании бесконечномерных групп Ли для
исследования уравнений математической физики, дает единый инструмент
для исследования различных физических процессов. Это:
1. Динамика несжимаемой жидкости (идеальной и вязкой), описываемая
группой диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема.
2. Нелинейная динамика намагниченности ферромагнетиков, описываемя группами токов и их обобщениями.
3. Физическая модель, связанная с уравнением Кортевега де Фриза, описываемая алгеброй Вирасоро.
Оказывается, что возникающие для 1 и 3 бесконечномерные алгебры
Ли обладают одним общим свойством ограниченности нормы оператора,
представляющего собой сумму опрераторов происединенного и коприсоединенного действия. Это позволяет получить общий для решений соответствующих уравнений математической физики факт: коэффициенты ортогонального разложения этих решений удовлетворяют условиям Липшица.
Получающиеся в 1 и 2 факты отрицательности кривизн бесконечномерных групп Ли могут быть использованя для объяснения турбулентных эффектов в задачах гидродинамики и электродинамики.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
164
ЛИТЕРАТУРА
[АЛ] Алексовский, В. А. Нелинейная динамика намагниченности ферромагнетиков и движение обобщенного твердого тела с группой токов /
В. А. Алексовский, А. М. Лукацкий // Теоретическая и математическая
физика. ═ Т. 85. ═ ╫ 1. ═ 1990. ═ С. 115-123.
[Ан] Аносов, Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых
многообразиях отрицательной римановой кривизны / Д. В. Аносов. ═ М.:
Наука, 1967. 210 с.
[Ар1] Арнольд, В. И. Математические методы классической механики
/ В. И. Арнольд. ═ М.: Эдиториал УРСС, 2000. 408 c.
[Ар2] Арнольд, В. И. Избранное-60 / В. И. Арнольд. ═ М.: Фазис, 1997.
768 c.
[Ар3] Арнольд, В. И. Лекции об уравнениях с частными производными
/ В. И. Арнольд. ═ М.: Фазис, 1997. 175 с.
[Ар4] Арнольд, В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В. И. Арнольд. ═ М.: Наука, 1978. 304 с.
[АрХес] Арнольд, В. И. Топологические методы в гидродинамике / В.
И. Арнольд, Б.А. Хесин. ═ М.: МЦНМО, 2007. 392 с.
[Ат] Атья, М. Геометрия и физика узлов / М. Атья. ═ М.: Мир, 1995.
192 с.
[Бес] Бесе, А. Многообразия с замкнутыми геодезическими / А. Бессе.
═ М.: Мир, 1981. 325 с.
[Б] Богданов, Р. И. Нелинейные динамические системы на плоскости и
их приложения / Р. И. Богданов. ═ М.: Вузовская книга, 2003. 375 с.
[Бол] Больцман, Л. Лекции по теории газов / Л. Больцман. ═ М., 1953.
555 с.
[Бр] Браун, У. Ф. Микромагнетизм / У. Ф. Браун. ═ М.: Физматгиз,
1979. 159 с.
[В1] Вейль, Г. Гравитация и электричество. В сб. Альберт Эйнштейн
и теория гравитации / Г. Вейль. ═ М.: Мир, 1979. С. 513-528.
[В2] Вейль, Г. Классические группы, их инварианты и представления /
Г. Вейль. ═ М.: ИЛ, 1947. 404 с.
[Вил] Виленкин, Н. Я. Специальные функции и теория представлений
групп / Н. Я. Виленкин. ═ М.: Наука, 1965. 588 с.
[Вин] Виноградов, А. М. Симметрии и законы сохранения в математической физике / А. М. Виноградов, И. С. Красильщик. ═ М.: Факториал,
1997. 380 с.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ЛИТЕРАТУРА
165
[Вл] Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С.
Владимиров. ═ М.: Наука, 1981. 512 с.
[ГК] Гильберт, Д. Наглядная геометрия / Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен.
═ М.: Наука, 1981. 344 с.
[ГКМ] Громол, Д. Риманова геометрия в целом / Д. Громол, В. Клингенберг, В. Мейер. ═ М.: Мир, 1971. 343 с.
[ДК] Денисова, Н. В. Стационарные движения сплошной среды, резонансы и лагранжева турбулентность / Н. В. Денисова, В. В. Козлов //
ПММ. ═2002. ═ Т. 66. ═ Вып. 6. ═ С. 939-947.
[ДНФ] Дубровин, Б. А. Современная геометрия / Б. А. Дубровин, С.
П. Новиков, А. Т. Фоменко. ═ М. : Наука, 1979. 759 с.
[Д] Дынкин, Е. Б. Нормированные алгебры Ли и аналитические группы
/ Е.Б. Дынкин // УМН. ═ Т.5. ═ 1950. ═ ╫ 1. C. 135-186.
[Ж] Журавлев, В. Ф. Инвариантная нормализация неавтономных гамильтоновых систем / В. Ф. Журавлев // ПММ. ═ Т. 66. ═ Вып. 3. ═
2002. ═ С. 356-365.
[ЗА] Задачи Арнольда /. ═ М.: Фазис, 2000. 454 с.
[ЗВ] Зуланке, Р. Дифференциальная геометрия и расслоения / Р. Зуланке, П. Винтген. ═ М.: Мир, 1975. 348 с.
[ЗО] Зуланке, Р., Алгебра и геометрия. Т. 1 / Р. Зуланке, А.Л. Онищик.
═ М.: МЦНМО, 2004. 405 с.
[Ибр] Ибрагимов, Н. Х. Группы преобразований в математической физике / Н. Х. Ибрагимов. ═ M.: Наука, 1983.
[Кар] Картан, Э. О структуре бесконечномерных групп преобразований.
Глава IY. Бесконечномерные группы, зависящие от произвольных функций
одного аргумента. В сб. Э. Картан. Избранные труды / Э. Картан . ═
М.: МЦНМО, 1998. 392 с.
[К] Кац, В. Г. Бесконечномерные алгебры Ли / В. Г. Кац. ═ М.: Мир,
1993. 425 с.
[Кир1] Кириллов, А. А. Представление группы вращений n-мерного
евклидова пространства сферическими векторными полями / А. А. Кириллов // ДАН СССР. ═ Т. 116. ═ ╫ 4. ═ 1957. ═ С. 538-541.
[Кир2] Кириллов, А. А. Унитарные представления группы диффеоморфизмов и некоторых ее подгрупп. Ин-т прикладной математики АН СССР
/ А. А. Кириллов // Препринт. ═ М. 1974. 40 с.
[КН] Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобояси,
К. Номидзу. ═ М.: Наука, 1981. 344 с.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
166
ЛИТЕРАТУРА
[К1] Козлов, В. В. О работах Э. Картана. В сб. Эли Картан. Избранные труды / В. В. Козлов. ═ М: МЦНМО, 1998. С. 6-7.
[К2] Козлов, В. В. Симметрии топология и резонансы в гамильтоновой
Механике / В. В. Козлов. ═ Ижевск: Изд-во Удмуртского государственного университета, 1995. 429 с.
[К3] Козлов, В. В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре / В. В.
Козлов. ═ Москва ═ Ижевск, 2002. 319 c.
[КПП] Колмогоров, А.Н. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме / А.Н. Колмогоров, И. Г. Петровский, Н. С. Пискунов
// Бюлл. МГУ, сер. Математика и механика. ═ Т. 1. ═ Вып. 6. ═ 1937. ═
С. 1-26.
[Ком] Комраков, Б. П. Структуры на многообразиях и однородные
пространства / Б. П. Комраков . ═ Минск: Наука и техника, 1978. 351 с.
[КИК] Косевич, A.M. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны / A. M. Косевич, Б. A. Иванов, A. С.
Ковалев. ═ Киев, 1983. 192 с.
[Лад] Ладыженская, О. А. Математические вопросы динамики вязкой
несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская. ═ М.: Наука, 1970. 288 c.
[Лг] Ленг, С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / С.
Ленг. ═ Волгоград: Платон , 1996. 203 с.
[Л1] Лукацкий, А. М. О структуре алгебр Ли сферических векторных
полей и группах диффеоморфизмов Sn и RPn / А. М. Лукацкий // Сибирский математический журнал. ═ Т. 28. ═ ╫ 1. ═ 1977. ═ С. 161 173.
[Л2] Лукацкий, А.М. О построении конечных систем образующих в алгебрах Ли векторных полей и группах диффеоморфизмов компактных многообразий / А. М. Лукацкий// Геометрические методы в задачах анализа
и алгебры. ═ Ярославский государственный университет. ═ 1978. ═ С.
170-182.
[Л3] Лукацкий, А. М. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру 2- мерной сферы / А. М. Лукацкий // Функ. анализ и приложен.
═ Т. 13. ═ ╫ 3. ═ 1979. ═ С. 23-27.
[Л4] Лукацкий, А.М. О бирациональных базисах в группах диффеоморфизмов многообразий Tn , Sn и RP n . / А. М. Лукацкий // Вопросы теории
групп и гомологической алгебры. ═ Ярославский государственный университет. ═ 1982. ═ С. 55 - 62.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ЛИТЕРАТУРА
167
[Л5] Лукацкий, А. М. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру n- мерного тора / А. М. Лукацкий // УМН. ═ Т. 36. ═ Вып. 2.
═ 1981. ═ С. 187-188.
[Л6] Лукацкий, А.М. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру n- мерного тора / А. М. Лукацкий // Сибирский математический журнал. ═ Т. 25. ═ ╫ 6. ═ 1984. ═ С. 76-88.
[Л7] Лукацкий, А. М. . О структуре тензора кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру 2-мерного многообразия / А. М. Лукацкий
// Сибирский математический журнал. ═ Т. 29. ═ ╫ 6. ═ 1988. ═ С. 95-99.
[Л8] Лукацкий, А.М. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразия / А. М. Лукацкий // Сибирский
математический журнал. ═ Т. 31. ═ ╫ 3. ═ 1990. ═ С. 209.
[Л9] Лукацкий, А. М. Об одном обобщении конструкции групп токов /
А. М. Лукацкий // Вопросы теории групп и гомологической алгебры. ═
Ярославский государственный Университет. ═ 1998. С. 137-141.
[Л10] Лукацкий, А.М. О геометрии бесконечномерных групп Ли и некоторых физических приложениях. Инвариантные методы исследования
на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики.
Материалы международной конференции, посвященной 90-летию со дня
рождения Г. Ф. Лаптева / А. М. Лукацкий. ═ М.: МГУ, 1999. С. 29-30.
[Л11] Лукацкий, А. М. О примерах бесконечномерных групп Ли и некоторых физических приложениях / А. М. Лукацкий // Научный вестник
МГТУ ГА, серия Математика и Физика. Москва, МГТУ ГА. ═ ╫ 64. ═
2003. ═ С. 7-17.
[Л12] Лукацкий, А. М. О применении одного класса бесконечномерных групп Ли к динамике несжимаемой жидкости / А. М. Лукацкий //
Прикладная математика и механика. ═ ╫ 5. ═ 2003. ═ С. 784-794.
[Л13] Лукацкий, А. М. О примерах бесконечномерных групп Ли и некоторых физических приложениях. Международная научно-практическая
конференция, посвященная 80-ти летию гражданской авиации России / /
А. М. Лукацкий . ═ Москва, МГТУ ГА. 2003. С. 145.
[Л14] Лукацкий, А.М. Максимальность действия ортогональной группы
на аффинной квадрике. / А. М. Лукацкий // Геометрические методы в
задачах анализа и алгебры. ═ Ярославский государственный университет.
═ 1980. ═ С. 130-137.
[Л15] Лукацкий, А.М. О некоторых типах бесконечномерных групп Ли
и примерах непрерывных действий простых групп Ли, неэквивалентных
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
168
ЛИТЕРАТУРА
гладким. / А. М. Лукацкий // Вопросы теории групп и гомологической
алгебры. ═ Ярославский государственный университет. 2003. С. 152-162.
[Л16] Лукацкий, А. М. О геометрии группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразия / А. М. Лукацкий // Научный
вестник МГТУ ГА, серия Математика и Физика. Москва, МГТУ ГА. ═
Вып. 91. ═ 2005. ═ С. 36-47.
[Л17] Лукацкий А. М., О геометрии групп диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразия. Международная
научно-практическая конференция, посвященная 35-ти летию основания
Университета / А. М. Лукацкий . ═ Москва, МГТУ ГА, 2006. С. 174.
[Л18] Лукацкий А. М.,О применении бесконечномерных групп Ли для
оценивания турбулентности / А. М. Лукацкий // Научный вестник МГТУ
ГА, серия Информатика. Прикладная математика. Москва, МГТУ ГА. ═
Вып. 105. ═ 2006. ═ С. 164-168.
[Л19] Лукацкий, А. М. Групповой подход в динамике сплошной среды
/ А. М. Лукацкий // Научный вестник МГТУ ГА. Москва, МГТУ ГА. ═
Вып. 100. ═2006. ═ С. 114-121.
[Л20] Лукацкий, А. М. Групповой подход в динамике несжимаемой жидкости / А. М. Лукацкий // Научный вестник МГТУ ГА, серия Математика
и Физика. Москва, МГТУ ГА. ═ Вып. 114. ═ 2007. ═ С. 42-49.
[Л21] Лукацкий, А. М. К проблеме разрешимости уравнений Эйлера
на бесконечномерных группах Ли / А. М. Лукацкий // Научный вестник
МГТУ ГА, серия Прикладная математика. Информатика, Москва, МГТУ
ГА. ═ Вып. 120. ═2007. ═ С. 134-137.
[Л22] Лукацкий, А. М. Об исследовании свойств решений уравнений
математической физики методами бесконечномерных групп Ли. Международная конференция. ╔Современные проблемы математики, механики и их
приложений╔, посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего. Материалы конференции / А. М. Лукацкий . ═ Москва, МГУ,
2009. С. 170-171.
[Л23] Лукацкий, А. М. Групповой подход в динамике сплошной среды.
Международная конференция ╔Дифференциальные уравнения и смежные
вопросы╔, посвященная памяти И.Г. Петровского. XXII совместное заседание Московского математического общества и семинара И.Г. Петровского.Москва, 21-26 мая 2007 г. Тезисы докладов / А. М. Лукацкий . ═
Москва, МГУ, 2007. С.178.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ЛИТЕРАТУРА
169
[Л24] Лукацкий, А. М. Исследование геодезического потока на группе
сохраняющих объем диффеоморфизмов с использованием оператора коприсоединенного действия. Международная конференция ╔Анализ и особенности╔, посвященная 70-летию Владимира Игоревича Арнольда. МИАН,
Москва, 20-24 августа 2007 г. Тезисы докладов / А. М. Лукацкий . ═
Москва, МИАН, 2007. С. 72-74.
[Л25] Лукацкий, А. М. О подходе к решению уравнений гидродинамики
трехмерн??й несжимаемой жидкости разложением в формальные степенные
ряды / А. М. Лукацкий // Научный вестник МГТУ ГА, серия Математика
и Физика. Москва, МГТУ ГА. ═ Вып. 64. ═ 2003. ═ С. 18-23.
[Л26] Лукацкий, А. М. Групповой подход к исследованию эволюционных
характеристик сплошной среды / А. М. Лукацкий // Научный вестник
МГТУ ГА, серия Математика и Физика. Москва, МГТУ ГА. ═ Вып. 140.
═ 2009. ═ С. 22-28.
[Л27] Лукацкий, А. М. Исследование геодезического потока на бесконечномерной группе Ли с использованием оператора коприсоединенного действия / А. М. Лукацкий // Труды математического института им. В. А.
Стеклова. ═ Т. 267. ═ 2009. C. 204-213.
[ММ] Марсден, Дж. Бифуркация рождения цикла / Дж. Марсден, М.
Мак-Кракен . ═ М.: Мир, 1980. 368 с.
[МСШ] Мищенко, А.С. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора / А. С. Мищенко, Б. Ю. Стернин В. Е. Шаталов. ═ М.:
Наука, 1978. 352 с.
[Моз] Мозер, Ю. Лекции о гамильтоновых системах / Ю. Мозер. ═ М:
Мир, 1973.
[Нар] Нарасимхан, Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / Р. Нарасимхан. ═ М.: Мир, 1971. 232 с.
[Нит] Нитецки З. Введение в дифференциальную динамику / З. Нитецки. ═ М.: Мир, 1975. 304 с.
[Ов] Овсянников, Л.В. Групповая классификация уравнений вида y =
f (x, y) / Л. В. Овсянников // ПМ и ТФ. ═ Т. 45. ═ ╫ 2. ═ 2004. ═ С. 5-10.
[Он1] Онищик, А. Л. Комплексные оболочки компактных однородных
пространств / А. Л. Онищик // ДАН СССР. ═ Т. 130. ═ ╫ 4. ═ 1960. ═
С. 726 - 729.
[Он2] Онищик, А. Л. Топология транзитивных групп преобразований /
А. Л. Онищик . ═ М.: Физико-математическая литература, 1995. 382 с.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
170
ЛИТЕРАТУРА
[Он3] Онищик, А. Л. О группах Ли, транзитивных на компактных
многообразиях / А. Л. Онищик // Математический сборник. ═ Т. 71. ═
Вып. 4. ═ 1966. ═ С. 483-494.
[П] Понтрягин, Л. С. Непрерывные группы / Л. С. Понтрягин. ═ М.:
Наука, 1973. 519 с.
[Раш] Рашевский, П. К. Геометрическая теория уравнений с частными
производными / П. К. Рашевский. ═ М.: Гостехиздат, 1947. 356 с.
[Роб] Робертсон, А., Робертсон В. Топологические векторные пространства / А. Робертсон, В. Робертсон . ═ М.: Мир, 1967. 257 с.
[С] Садовничий, В.А. Теория операторов / В. А. Садовничий. ═ М.:
Изд-во МГУ, 1979. 296 с.
[Сeрр] Серр, Ж. П. Алгебры Ли и группы Ли / Ж. П. Серр. ═ М.:
Мир, 1969. 375 с.
[См1] Смоленцев, Н. К. Биинвариантная метрика на группе диффеоморфизмов трехмерного многообразия / Н. К. Смоленцев // Сибирский
математический журнал. ═ Т. 24. ═ ╫ 1. ═ 1983. ═ С. 152-159.
[См2] Смоленцев, Н. К. О группе диффеоморфизмов, оставляющих неподвижным векторное поле / Н. К. Смоленцев // Сибирский математический журнал. ═ Т. 25. ═ ╫ 2. ═ 1984. ═ С. 180-185.
[См3] Смоленцев, Н. К. Биинвариантная метрика на группе симплекти?
?F = {?F, F } / Н. К. Смоленцев
ческих диффеоморфизмов и уравнение ?t
// Сибирский математический журнал. ═ Т. 27. ═ ╫ 1. ═ 1986. ═ C. 150156.
[См4] Смоленцев, Н. К. Кривизна классических групп диффеоморфизмов / Н. К. Смоленцев // Сибирский математический журнал. ═ Т. 35. ═
╫ 1. ═ 1994. ═ С. 169-176.
[Ст] Стернберг, С. Лекции по дифференциальной геометрии / С. Стернберг . ═ М: Мир, 1970. 412 с.
[Т] Темам, Р. Уравнения Навье ═ Стокса. Теория и численный анализ
/ Р. Темам. ═ М.: Мир, 1981. 408 с.
[Х] Хелгассон, С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства / С. Хелгассон . ═ М.: Мир, 1964. 533 с.
[ХП] Хокинг, С. Природа пространства и времени /
С. Хокинг, Р. Пенроуз. ═ Удмуртский государственный университет:
научно-издательский центр ╔Регулярная и хаотическая динамика╔, 2000.
160 c.
[Ш] Шафаревич, И. Р. Основы алгебраической геометрии /
И. Р.Шафаревич. ═ М.: Наука, 1972. 567 с.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ЛИТЕРАТУРА
171
[AS] Arakelyan, T.A. Geometry of a group of area preserving di╗eomorphisms / T. A. Arakelyan, G. K. Savvidy // Phys. Lett. B. ═ Vol. 223. ═ No.
1. ═ 1989. ═ P. 41-46.
[Ar1] Arnold, V. Sur la geometrie di╗erentielle des groupe de Lie de dimension in╕nie ey ses applications a lёhydrodynamique des ╖uid parfaits / V. I.
Arnold // Annales de lёinstitute Fourier. ═ XVI. ═ ╫ 1. ═ 1966. ═ P. 319-361.
[Ar2] Arnold, V. I. Topological methods in Hydrodynamics / V. I. Arnold,
B. A. Khesin . ═ New York: Springer, 1998. 376 p.
[BF] Barouch, E. The bi-Hamiltonian formulation of the Landau ═ Lifschitz
equation / E. Barouch, A. S. Fokas, V. G. Papageorgiou // J. Math. Physics.
═ Vol. 29. ═ No. 12. ═ 1988. ═ P. 2628-2633.
[EM] Ebin, D.G. Groups of di╗eomorphisms and the motions of an incompressible ╖uid / D. G. Ebin, J. Marsden // Ann. of Math. ═ Vol. 92. ═ 1970.
═P. 101-163.
[Eb] Ebin, D. G. Espace des Metriques Riemanniennes et Mouvement des
Fluides via les Varietes dёApplications / D. G. Ebin . ═ Ecole Polytechnique,
Paris, 1972.
[Ep] Epstein, D. B. The simplicity of certain groups of gomeomorphisms /
D. B. Epstein // Compositio Math. ═ Vol. 22. ═ 1970. ═ P. 165-173.
[EC] Etnyre, J. Contact topology and hydrodynamics III. Knotted orbits /
J. Etnyre, R. Christ // Trans. AMS. ═ Vol. 352. ═ No. 12. ═ 2000. ═ P.
5781-5794.
[GKh] Ginsburg, V. L. Steady ╖uid ╖ows and symplectic geometry / V. L.
Ginsburg, B. A. Khesin // J.Geometry and Physics. ═ Vol. 14. ═ 1994. ═
P.195-210.
[Gr] Grabowski, J. Groups of Di╗eomorphisms and Lie Theory
/ J. Grabowski // Proc. of the 11-th Winter School, Supplemento di Rendiconti
del Circolo Matematico di Palermo. ═ ser. II. ═ No. 3. ═ 1984. ═ P. 141-147.
[Kam] Kambe, T. Geometrical theory of ╖uid ╖ows and dynamical systems
/ T. Kambe // Fluid Dynamics Research. ═ Vol. 30. ═ 2002. ═ P. 331-378.
[KR] Kamran, N. Abstract structure for Lie pseodogroups / N. Kamran, T.
Robart // C.R. ═ t. 324. ═ ser. I. ═ 1997. ═ P. 1395-1399.
[Kh] Khesin, B. A. Topological ╖uid dynamics / B. A. Khesin // Notices of
the American Mathematical Society. ═ Vol. 52. ═ 2005. ═ P. 9-19.
[Les1] Leslie, J. On a di╗erential structure for the group of di╗eomorphisms
/ J. Leslie //Topology. ═ Vol. 6. 1967. ═ P. 263-271.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
172
ЛИТЕРАТУРА
[Les2] Leslie, J. On the Lie subgroups of in╕nite dimensional Lie groups /
J. Leslie // Bull. Amer. Math. Soc., New Ser. ═ Vol. 16. ═ No. 1. ═ 1987. ═
P. 105-112.
[Les3] Leslie, J. Some integrable subalgebras of the Lie algebras of in╕nite
dimensional Lie groups / J. Leslie // Trans. A. M. S. ═ Vol. 333. ═ 1992. ═ P.
423-443.
[Li] Lie, S., ed. by Hermann R. Sophus Lieёs transformation group paper
1880 / S. Lie, ed. by R.Hermann. ═ Brookline: Math. SCI Press., 1975.
[L1] Lukatsky, A.M. Construction of ╕nite systems of generators for Lie
algebras of vector ╕elds and for groups of di╗eomorphisms of compact manifolds
/ A. M. Lukatsky // Sel. Math. Sov. ═ vol. 1. ═ No. 2. ═ 1981. ═ P. 185-195.
[L2] Lukatsky, A.M. On the curvature of di╗eomorphisms group / A. M.
Lukatsky // Annals of Global Analysis and Geometry. Berlin. ═ Vol. 11. ═
1993. ═P. 135-140.
[L3] Lukatsky, A.M. On the geometry of current group and a model of the
Landau ═ Lifschitz equation. Lie groups and Lie Algebras, B.P. Komrakov et
al.(eds.) / A. M. Lukatsky. ═ Kluwer Academic Publishers, Printed in the
Netherlands. 1998. P. 425-433.
[Mas] Marsden, J. Coadjoint orbits, vortices and Clebsh variables for incompressible ╖uids / J. Marsden, A. Weinstein // Physica D. ═ Vol. ═ 7. 1983. ═
P. 305-323.
[M] Mather, J. N. Simplicity of certain groups of di╗eomorphisms / J. N.
Mather // Bull. Amer. Math. Soc. ═ Vol. 80. ═ 1974. ═ P. 271-273.
[Mc] McCarthy, P. J. The Bondi ═ Metzner ═ Sachs group in nuclear topology
/ P. J. McCarthy // Proc. Royal Soc. London. ═ A343. ═ 1975. ═ P. 489-523.
[Mich] Michor, P. W. The convenient setting for real analytic mapping / P.
W. Michor, A. Kriegl // Acta Math. ═ Vol. 165. ═ No. 1 ═2. ═ 1990. ═ P.
105-159.
[Mis] Misiolek, G. Stability of ╖ows of ideal ╖uids and the geometry of the
group of di╗eomorphisms / G. Misiolek // Indiana Univ. Math. J. ═ Vol. 42.
═ 1993. ═ P. 215-235.
[NHK] Nakamura, F. Geodesics and curvature of a group of di╗eomorphisms
ans motion of an ideal ╖uid / F. Nakamura, Y. Hattori, T. Kambe // J.Phys.
A. ═ Vol. 25. ═ 1992. ═ L45-L50.
[OK] Ovsienko, V. Yu. Korteweg-de Vries superequation as an Euler equation / V. Yu. Ovsienko, B. A. Khesin // Funct. Anal. Appl. ═ Vol. 21. ═
1987. ═ P. 329-331.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ЛИТЕРАТУРА
173
[Om1] Omori, H. Groups of di╗eomorphisms and their subgroups / H. Omori
// Transactions of the American Mathematical Society. ═ Vol. 179. ═ 1973. ═
P. 85-122.
[Om2] Omori, H. In╕nite dimensional Lie transformation groups / H. Omori
// Lect. Notes Math. Springer-Verlag. ═ 1974. ═ Vol. 427.
[On] Ono, T.A. Riemannian geometrical description for Lie ═ Poisson systems and its application to idealized magnetohydrodynamics / T. A. Ono //
J. Phys. A. ═ Vol. 28. ═ 1995. ═ P. 1737-1751.
[P] Palais, R.S. Foundations of global non-linear analysis / R. S. Palais. ═
New York-Amsterdam: Benjamin, 1968.
[PS] Palais, R.S. The cohomology of di╗erentiable transformation groups /
R. S. Palais, T. E. Stewart // Amer. J. Math. ═ Vol.83. ═ ╫4. ═ 1961. ═
P.623-644.
[Pom] Pommaret, J.F. Systems of partial di╗erentail equations and Lie Pseudogroups / J.F. Pommaret // Mathematics and its applications. ═ Gordon and
Breach Science Publishers, New York-London-Paris. ═ 1978. ═ Vol. 14.
[RS] Ratiu, T. The di╗erentiable structure of three remarkable di╗eomorphism groups / T. Ratiu, R. Schmidt // Math. Z. ═ Bd 177. ═ ╫ 1. ═ 1981. ═
P. 81-100.
[Rob] Robart, T. Groupes de Lie de dimension in╕nie. Seconde et troisieme
theoremes de Lie. I. Groupes de premier espece / T. Robart // C.R. ═ t.322.
═ ser.I. ═ 1996. ═ P. 1071-1074.
[SinSt] Singer, J.M. On the in╕nite groups of Lie and Cartan / J. M. Singer,
S. Sternberg // J. dёAnal. Math.═ Vol. 15. ═ 1965. ═ P. 1-114.
[ShP] Shanks, M.E. The Lie algebra of a smooth manifold / M.E. Shanks,
L.E. Pursell // Proc. A.M.S. ═ Vol. 5. ═ 1954. ═ P. 468-472.
[SOnKam] Suzuki, K. Riemannian geometrical analysis of the motion of a
vortex ╕lament: a system of C ? (S1 , SO(3))) / K. Suzuki, T. Ono, T. Kambe
// Phys. Rev. Lett. ═ Vol.77. ═ 1996. ═ P. 1679-1682.
[Ts] Tits, J. Free subgroups in linear groups / J. Tits // J. algebra. ═ Vol.
20 ═ No. 2. ═ 1972. ═ P. 250-270.
[T] Thurston, W. Foliations and groups of di╗eomorphisms / W. Thurston
// Bull. Amer. Math. Soc. ═ Vol. 80. ═ 1974. ═ P. 304-307.
[Y] Yoshida, K. Riemannian curvature on the group of area-preserving diffeomorphisms (motion of ╖uid) of 2-sphere / K. Yoshida // Physica D. ═ Vol.
100. ═ 1997. ═ P. 377-389.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
174
Научное издание
Лукацкий Александр Михайлович
Структурно-геометрические свойства бесконечномерных
групп Ли в применении к уравнениям математической физики
Монография
Редактор, корректор Л. Н. Селиванова
Компьютерный набор А. М. Лукацкий
Компьютерная верстка А. М. Лукацкий
Подписано в печать 30.03.10. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная
Усл.-печ. л. 10,8. Уч.-изд. л. 10,0. Тираж 300 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе
Ярославского государственного университета
150000, Ярославль, ул. Советская, 14
Отпечатано
ООО ╔Ремдер╔ ЛР ИД ╫
г. Ярославль, пр. Октября, 94, оф. 37
Тел. (4852) 73-35-03, 58-03-48, факс 58-03-49.
по L2 ? норме, определяемой метрикой. Например, для алгебры Ли гладких векторных полей на римановом многообразии M гильбертово пространство H(g) ═ пространство сечений касательного расслоения
T M , интегрируемых с квадратом их скалярного произведения.
6.2. Свойства ограниченности производных коэффициентов решений
уравнений Эйлера на определенных типах бесконечномерных групп Ли.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
150
ГЛАВА 6
Будем рассматривать геодезические на группе Ли G, снабженной для
определенности левоинвариантной метрикой. Они описываются уравнениями Эйлера в ее алгебре Ли:
?u
= (ad u)? (u).
?t
(6.3)
Проведем редукцию уравнений Эйлера к дифференциальным уравнениям
на коэффициенты разложения (6.2). Имеем
?u
?uk
=< ek ,
>=
?t
?t
=< ek , (ad u)? u >=< ad u(ek ), u >= ? < ad ek (u), u >= ? < (ad ek )? u, u > .
Отсюда получаем
?uk
(6.4)
= ? < Sek (u), u > .
?t
Для случая, когда операторы Sek имеют ограниченную норму, получаем
оценки для производных коэффициентов разложения (6.2) решений уравнений Эйлера:
?uk 2
(6.5)
?t ? Sek u(0) .
Можно указать несколько типов бесконечномерных групп Ли, для которых оператор Su имеет конечную норму для любого элемента u алгебры
Ли g. А именно введем следующие бесконечномерные алгебры Ли.
1. Алгебра Ли V (M ) гладких векторных полей на ориентированном
компактном римановом многообразии M с операцией коммутирования
[u, v] = u(v) ? v(u)
и с метрикой
(u(x), v(x))dx.
< u, v >=
(6.6)
M
2. Подалгебра V╣ (M ) ? V (M ) , состоящая из бездивергентных векторных
полей.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ПОТОКА
151
3. Алгебра Вирасоро [АрХес,Kh1] V ═ центральное расширение алгебры
Ли V (S1 ) векторных полей на окружности S1 со стандартной координатой
?, взятой по модулю 2?, (V = V (S1 ) ? [c]), операцией коммутирования
(6.7)
[(u, a), (v, b)] = (?uv + u v, uv d?)
и скалярным произведением
< (u, a), (v, b) >=
uvd? + ab.
(6.8)
S1
Теорема 6.1. Если g ═ одна из алгебр Ли 1═3, то оператор Su имеет
конечную норму для любого элемента u алгебры Ли g.
Доказательство. Сначала рассмотрим случаи 1 и 2. Выберем некоторый атлас {Ui } на многообразии M . Для векторных полей u, v обозначим
через v(u) оператор действия векторного поля v на коэффициенты u, через
Dv(u) - оператор матричного умножения якобиевой матрицы v на u, через
Dv ═ умножения на транспонированную матрицу. Имеем: ad u = u ? Du.
Для бездивергентного поля u удобно записать ad u = ?╣ (u ? Du), где
?╣ : V (M ) ? V╣ (M ) ═ ортогональная проекция. Введем также матрицу
R = {ri,j } метрического тензора риманова многообразия в локальных координатах. Используя стандартную технику интегрирования дифференциальных форм в случае алгебры Ли V (M ), получаем
(ad u)? = ?u ? R?1 u(R) ? R?1 (Du) R ? divu Id,
в случае алгебры Ли V╣ (M ):
(ad u)? = ?╣ (?u ? R?1 u(R) ? R?1 (Du) R).
Отсюда получаем для V (M )
Su =
1
(?Du ? R?1 u(R) ? R?1 (Du) R ? divu Id),
2
для V╣ (M )
Su =
1
?╣ (?Du ? R?1 u(R) ? R?1 (Du) R).
2
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
152
ГЛАВА 6
Отсюда следует, что оператор Su имеет конечную норму, причем существуют такие константы C, C╣ , что справедливы следующие оценки норм
для алгебры Ли V (M ) :
Su ? CuC 1 ,
для алгебры Ли V╣ (M )
Su ? C╣ uC 1 .
Теперь рассмотрим случай 3 (ниже S1 в знаке
Возьмем (u, a), (v, b), (w, c) ? V . Имеем
опускается).
< ad(u, a)((v, b)), (w, c) >=< (?uv + u v,
uv ), (w, c) >
=
(?uv + u v)wd? + c
uv d? =
(uw + 2u w)vd? ? c
u vd?.
Из этого получаем
ad(u, a)? ((v, b)) = (uv + 2u v ? bu , 0).
Из (6.7) также следует
ad(u, a)((v, b)) = (?uv + u v, ?
u vd?).
Таким образом, имеем
1
S(u,a) (v, b) = (3u v ? u b, ?
2
u vd?).
И далее
1
2
< S(u,a) (v, b), S(u,a) (v, b) >= ( (3u v ? bu ) d? + ( u vd?)2 ) ?
4
1
2 2
2 2
2
( 2(9(u ) v + b (u ) )d? + (u ) d? v 2 d?).
4
В итоге получаем следующую оценку:
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ПОТОКА
153
9
1
(uC 1 )2 + (uC 3 )2 .
2
2
Это доказывает утверждение теоремы для случая 3.
Заметим, что в [Kh] вводится параметрическое семейство уравнений,
связанных с метриками в алгебре Вирасоро, зависящее от ?, ?. Утверждение теоремы 6.1 справедливо лишь для элемента этого семейства с
? = 1, ? = 0, что как раз соответствует уравнению Кортевега де Фриза
([OK]).
Будем далее считать, что g ═ одна из алгебр Ли 1═3. Пусть задан линейный оператор T : g ? g следующего вида:
для алгебр Ли 1,2 T ═ дифференциальный оператор;
для алгебры Ли 3 T |V (S1 ) ═ дифференциальный оператор, T |[c] = 0.
Обозначим через T ? сопряженный к T оператор в смысле левоинвариантной метрики на алгебре Ли g :< T u, v >=< u, T ? v >. Пусть теперь u(t)
═ решение уравнений Эйлера (6.3), тогда для T u можно написать аналог
разложения (6.2):
uTk ek .
(6.9)
Tu =
S(u,a) ?
k
Здесь также можно провести редукцию уравнений Эйлера к дифференциальным уравнениям на коэффициенты разложения (6.9). Имеем
?uTk /?t =< ek , ?T u/?t >=< ek , T (ad u)? (u) >=< T ? ek , (ad u)? (u) >=
< ad u(T ? ek ), u >= ? < ad T ? ek (u), u >= ? < (ad T ? ek )? (u), u > .
Отсюда получаем
?uTk
(6.10)
= ? < ST ? ek (u), u > .
?t
Поскольку для алгебр Ли 1═3 операторы ST ?ek имеют ограниченную норму,
получаем оценки для производных коэффициентов разложения (6.9) решений уравнений Эйлера:
T
?uk 2
?t ? ST ? ek u(0) .
(6.11)
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
154
ГЛАВА 6
Пример 1. Рассмотрим алгебру Ли 2 V╣ (M ) на трехмерном компактном
ориентированном римановом многообразии M .
Пусть T = rotk . Здесь k ═ натуральное, rot ═ ротор, заметим, что при
k = 2 получаем T = ?? (оператор Лапласа ═ Бельтрами на векторных
полях). Так как rot ═ самосопряженный оператор, то имеем T ? = T .
Пример 2. Рассмотрим алгебру Ли 2 для случая n-тора (Tn ). Пусть
?1 ..., , ?n - стандартные координаты на Tn , взятые по модулю 2?, а T ═
линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами:
T =
k
?k
ak k .
??
Здесь
k = (k1 , ..., kn ), k ? N ? {0},
? k1
? kn
?k
=
...
, ak ? R.
??k
??k11 ??knn
Тогда T ? имеет вид
T? =
?k
(?1)k1 +...+kn ak k
??
k
и также является линейным дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами.
6.3. Связь с уравнением Навье ═ Стокса
Рассмотрим алгебру Ли 2 - g = V╣ (M ). Ее группа Ли служит конфигурационным пространством несжимаемой жидкости. В случае вязкой
жидкости ее динамика описывается уравнениями Навье ═ Стокса. Далее
будем использовать следующую форму уравнений Навье ═ Стокса:
?u
= (ad u)? (u) + ??u.
?t
(6.12)
Здесь ? ═ вязкость, ? ═ оператор Лапласа ═ Бельтрами на векторных полях. Заметим, что уравнения Навье ═ Стокса нельзя получить в виде уравнения геодезических лево (или право)инвариантной метрики на какой-либо
бесконечномерной группе Ли. Это объясняется тем, что решения уравнений Эйлера обладают следующим свойством симметрии. Пусть u(t) ═
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ПОТОКА
155
решение уравнения Эйлера на некоторой группе Ли, тогда ?u(?t) также
решение для любого вещественного ? = 0. Решения же уравнений Навье ═ Стокса этим свойством не обладают из-за наличия диссипативного
члена ??u . Тем не менее ниже будет разобран прием, позволяющий провести аналогичные исследования для решений уравнений Навье ═ Стокса.
Удобно выбрать базис {ek } в алгебре Ли g из собственных элементов оператора Лапласа ═ Бельтрами ?, обозначим соответствующие собственные
числа через ??k . Аналогом равенства (6.4) будет
?uk
+ ??k uk = ? < Sek (u), u > .
?t
(6.13)
А оценка (6.5) преобразуется к виду
?uk
2
u
+
??
k k ? Sek u(0) .
?t
(6.14)
Вариант с линейным оператором T и аналог разложения (6.9) исследуем
в предположении, что операторы T и ? коммутируют: T ? = ?T . Например, это будет так в разобранных в п.2 примерах 1, 2. Тогда имеем
?u
?T u
? ??T u = T
? T ??u = T (ad u)? (u)
?t
?t
и можно получить аналоги (6.10) и (6.11) для коэффициентов разложения
T u:
?uTk
+ ??k uTk = ? < ST ? ek (u), u >
?t
(6.15)
и
T
?uk
T
2
u
+
??
k
k ? ST ? ek u(0) .
?t
(6.16)
6.4. Анализ поведения решений уравнений Эйлера в особой точке
Для заданного элемента u алгебры Ли g обозначим через C(u) верхнюю грань таких t, для которых решение (6.3) с начальными условиями
u(0) = u существует и единственно на промежутке [0,t). Для бесконечномерных групп Ли G с описанными в п.1 алгебрами Ли g вида 1═3 из
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
156
ГЛАВА 6
известных локальных теорем существования и единственности [EM, ММ]
имеем C(u) > 0.
Если для заданного u получаем C(u) = ?, то это означает, что решение
уравнений Эйлера с начальными условиями u продолжается во времени на
бесконечность и единственно. Ситуации, когда C(u) < ? означает, что
решение уравнений Эйлера имеет особенность в момент времени t = C(u).
Ниже будут исследованы возможные варианты поведения решения в такой
особой точке.
Теорема 6.2. Пусть алгебра Ли g удовлетворяет условию ограниченности норм операторов Sе для любого элемента е. Пусть также для заданного u имеем 0 < C(u) < ?. Тогда коэффициенты (6.2) разложения
решения уравнений Эйлера с начальным условием u(0)= u имеют пределы при t ? C = C(u). Более того, элемент u(C) = k uk (C)ek имеет
ограниченную норму в смысле инвариантной метрики в алгебре Ли, т. е.
принадлежит H(g), причем u(C) ? u(0).
Доказательство. Из (6.5) коэффициенты uk имеют ограниченные производные на промежутке [0, C) и, в частности, являются равномерно непрерывными на [0, C). Отсюда при t ? C существуют пределы uk (t). Предположим теперь, что u(C) > u(0) (возможен и вариант
n u(C) = ?).
n
Тогда существует начальный кусок ряда (6.2) u (C) = k=i uk (C)ek , такой, что un (C) > u(0). Но тогда для любого ? > 0 найдется такое
0 < t < C, что un (C) ? un (t) < ?. Так как un (t) ? u(t), то при
достаточно малом ? можно добиться, что u(t) > u(0). Так как в точке
t < C решение уравнений Эйлера существует, то это противоречит свойству сохраняемости метрики на решениях.
6.5. Анализ поведения решений уравнений Навье ═ Стокса в особой
точке
Здесь, как и в предыдущем параграфе, для заданного элемента u алгебры Ли g = V╣ (M ) обозначим через C(u) верхнюю грань таких t, для
которых решение (6.12) с начальными условиями u = u(0) существует и
единственно на промежутке [0, t). Из локальной теоремы существования и
единственности для уравнений Навье ═ Стокса имеем C(u) > 0.
Теорема 6.3. Пусть для заданного u ? V╣ (M ) для уравнения (6.12)
имеем 0 < C(u) < ?. Тогда коэффициенты (6.2) разложения решения
уравнений Навье ═ Стокса с начальными условиями u(0)
= u имеют пределы при t ? C = C(u). Более того, элемент u(C) = k uk (C)ek имеет
ограниченную норму в смысле метрики (2.1), т. е. принадлежит H(g) ,
причем u(C) ? u(0).
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ПОТОКА
157
Доказательство. Из (6.12) имеем
?
< u(t), u(t) >= 2 < (ad u)? (u) + ??u, u >= 2 < ??u, u >? 0.
?t
Поэтому для t > 0 имеем u(t) ? u(0), в частности, uk (t) ? u(0). Из
(6.14) коэффициенты uk имеют ограниченные производные на промежутке
[0, C), а именно справедлива оценка
?uk 2
(6.17)
?t ? Sek u(0) + ??k u(0).
Далее можно повторить ход доказательства теоремы 6.2.
6.6. Случай n-мерного тора
В предыдущих параграфах для уравнений Эйлера и Навье ═ Стокса
установили слабую сходимость решения u(t) к u(C) при t ? C . Чтобы
установить в каких-то вариантах сильную сходимость, необходимо построить интегральные мажоранты. Это будет проделано в этом параграфе на
примере алгебры Ли бездивергентных векторных полей на торе. Рассмотрим n-мерный тор Tn и выберем в алгебре Ли бездивергентных векторных
на торе V╣ (Tn ) полей ортонормированный базис из простых гармоник [Л20]
ek,a = a cos k?, fk,a = a sin k?,
? = (?1 , ..., ?n ) ═ стандартные координаты на Tn , взятые по модулю 2?,
k = (k1 , ..., kn ) ═ целочисленный вектор, a ? Rn , (k, a) = 0. Для элементов
базиса {ek,a , fk,a } собственное число оператора Лапласа ═ Бельтрами на
этой простой гармонике имеет вид ?k = ?(k, k). Разложение (6.2) для
этого случая удобно переписать в виде
u = w0 +
(wk,a ek,a + vk,a fk,a ).
(6.18)
k=0,a?k
Здесь w0 ? tn ═ алгебра Ли тора. Из предыдущего для решений уравнений
?w
?v
Эйлера имеем ?tk,a = ? < Sek,a u, u >, ?tk,a = ? < Sfk,a u, u > . При
помощи серии рутинных, но несложных выкладок можно получить, что
n
n
?wk,a
?vk,a
ki aj ui uj , sin k? >,
ki aj ui uj , cos k? > .
=<
=?<
?t
?t
i,j=1
i,j=1
(6.19)
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
158
ГЛАВА 6
Заметим также, что Sh = 0 для любого элемента h ? tn . Из (6.4) и (6.14)
тогда следует, что на решениях уравнений Эйлера (6.3) имеем
?w0
= 0.
?t
Введем оператор T : V╣ (Tn ) ? V╣ (Tn ): на tn положим T = Id; на подпроek,a
fk,a
странстве L[ek,a , fk,a ] для k = 0 положим T (ek,a ) = |k|
; T (fk,a ) = |k|
.
Имеем
1
T | ker ? = Id, T |(ker ?)? = (??)? 2 .
(6.20)
Обозначим через
T m u = w0m +
m
m
(wk,a
ek,a + vk,a
fk,a ).
k=0,a?k
k
для k = 0. Из предыдущего следует, что для решений
Положим ? = |k|
уравнений Эйлера имеем
m
m
?wk,a
?vk,a
= ? < ST m ek,a u, u >,
= ? < ST m fk,a u, u > .
?t
?t
По аналогии с предыдущим получаем
n
m
?wk,a
1
?i aj ui uj , sin k? >,
= m?1 <
?t
|k|
i,j=1
n
m
?vk,a
1
?i aj ui uj , cos k? > .
= ? m?1 <
?t
|k|
i,j=1
А также имеем
(6.21)
?w0m
= 0.
?t
В случае уравнения Навье ═ Стокса заметим, что оператор T коммутирует с оператором Лапласа ═ Бельтрами ? и базис разложения (6.18)
является собственным для ?. Используя (6.13), получаем следующий аналог для решений уравнений Навье ═ Стокса:
m
?wk,a
m
= ? < ST m ek,a u, u >,
+ ?|k|2 wk,a
?t
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ПОТОКА
159
m
?vk,a
m
= ? < ST m fk,a u, u > .
+ ?|k|2 vk,a
?t
Отсюда для уравнений Навье ═ Стокса получаем
n
m
?wk,a
1
2 m
?i aj ui uj , sin k? >,
+ ?|k| wk,a = m?1 <
?t
|k|
i,j=1
n
m
?vk,a
1
2 m
?i aj ui uj , cos k? > .
+ ?|k| wk,a = ? m?1 <
?t
|k|
i,j=1
А также имеем
(6.22)
?w0m
= 0.
?t
Обозначим через
?k,i,j =< ui uj , cos k? >, ?k,i,j =< ui uj , sin k? > .
Предложение 6.1. Для решений уравнений Навье ═ Стокса (при ? = 0
Эйлера) имеем
2
m
n
?wk,a
2
1
2 m 2
?k,i,j
,
?t + ?|k| wk,a ? ╣(Tn ) |k|2m?2
i,j=1
m
2
n
?vk,a
2
1
2
m
?2k,i,j .
?t + ?|k| vk,a ? ╣(Tn ) |k|2m?2
i,j=1
Доказательство. Из (6.22) имеем
m
2
n
?wk,a
1
2
m
?i aj ?k,i,j )2 .
?t + ?|k| wk,a = |k|2m?2 (
i,j=1
Далее используем неравенство Коши ═ Буняковского и учтем, что
i,j=1n
?2i a2j
=
n
j=1
a2j =
2
.
╣(Tn )
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
160
ГЛАВА 6
m
Оценка для vk,a
получается аналогично.
Введем нормированный ряд производных коэффициентов
разложения (6.18):
m
2 m
2
?wk,a
?v
k,a
m
2 m 2 m r (t) =
?t + ?|k| wk,a + ?t + ?|k| vk,a .
(6.23)
k=0
Непосредственно проверяется, что
?T m u
r (t) = + ??T m u.
?t
m
Теорема 6.4. Пусть в обозначениях теоремы 6.2 векторное поле u(t, x) ограничено почти всюду на своей области определения (|u(t, x)| ? B для почти
всех (t, x) ? [0, C] в Tn ). Тогда выражение r1 (t) (6.6) имеет следующую
мажоранту на [0, C]:
r1 (t) ? (n ? 1)B 2 u(0)2 .
(6.24)
Доказательство. Воспользуемся предложением 6.1 для m = 1. Заметим, что каждому целочисленному вектору простой гармоники k = 0
соответствуют n ? 1 пар элементов базиса {ek,a , fk,a } с a ? k? . С учетом
этого получаем
2
r (t) ?
(n ? 1)
╣(Tn )
1
Заметим, что
2
╣(Tn )
n
n
n
2
(?2k,i,j + ?k,i,j
).
(6.25)
k=0,i,j=1
2
(?2k,i,j + ?k,i,j
)=
k=0,i,j=1
1
1
(ui uj 2 ? < ui uj , < ui uj , 1 >2 .
>2 ) = (u, u)2 ?
n
n
╣(T ) i,j=1n
╣(T )
i,j=1
(6.26)
2
2
2
Из (6.26), учитывая, что (u, u) ? B u , получаем (6.24).
Следствие 6.1. В условиях теоремы 6.4 векторное поле T u(t) сходится
по норме L2 к T u(C) при t ? C.
Сформулируем утверждения, применимые в предположении,
что решение уравнений Навье ═ Стокса определено на всей числовой прямой
([Л23], [Л24],[Л27]).
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ПОТОКА
161
Теорема 6.5. Пусть в обозначениях теоремы 6.2 векторное поле u(t, x)
определено на всей числовой прямой.
имеет следующую мажоТогда выражение rm (t) (6.23) при m ? (n+3)
2
ранту:
1
2(n ? 1)
4
rm (t) ?
.
(6.27)
u(0)
╣(Tn )
k2m?2
k=0
Доказательство. Заметим, что
?2k,i,j =< ui , uj cos k? >2 ? ui 2 uj cos k?2 ,
2
. Используя предложение 6.1, получаем, что
аналогично оценивается ?k,i,j
n
2
(?2k,i,j + ?k,i,j
) ? u4 ? u(0)4 .
k=0,i,j=1
Отсюда следует (6.27). Далее остается заметить, что ряд в правой части
(6.27) сходится при 2m ? 2 ? n + 1.
Следствие 6.2. Для решения уравнения Навье ═ Стокса на T3 ряд r3 (t)
имеет мажоранту на всей числовой прямой.
Используя (6.21), (6.22), можно также получить некоторые отношения
симметрии для коэффициентов разложения (6.18) решений уравнений Эйлера и Навье ═ Стокса.
Предложение 6.2. Для пары коэффициентов (wk,a , vk,a ) разложения решений уравнения Навье ═ Стокса (при ? = 0 Эйлера) на Tn справедливо
следующее соотношение:
?wk,a
+ ?|k|2 wk,a < (?, u)u, ek,a > +
?t
?vk,a
+ ?|k|2 vk,a < (?, u)u, fk,a >= 0.
?t
(6.28)
6.7. Выводы
Выделен класс бесконечномерных групп Ли G с алгеброй Ли g, снабженной лево (или право) инвариантной метрикой, для которых операторы,
являющиеся суммой операторов присоединенного и коприсоединенного действия, имеют конечные нормы. Указанный класс бесконечномерных групп
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
162
ГЛАВА 6
Ли связан с такими уравнениями математической физики, как уравнения
Эйлера идеальной жидкости, уравнение Кортевега де Фриза.
Установлено, что решения уравнений Эйлера геодезических лево (или
право) инвариантной метрики сохраняют принадлежность L2 ═ пополнению g (алгебры Ли бесконечномерной группы Ли) как топологическому
векторному пространству со скалярным произведением в момент времени
появления особенности (т. е. в момент времени выхода решения за пределы промежутка, гарантированного локальной теоремой существования
и единственности). Таким образом, в предельной точке действия локальной теоремы существования и единственности может реализоваться далеко
не любой тип особенности (у коэффициентов ортогонального разложения
решения всегда существуют пределы, ряд разложения решения не может
расходиться в этой точке).
Указанные свойства переносятся также на дифференциальные уравнения, получающиеся из уравнений Эйлера добавлением линейного члена,
являющегося эллиптическим дифференциальным оператором (например,
на уравнения Навье ═ Стокса).
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
163
ЗАМЕЧАНИЯ
Подход, основанный на использовании бесконечномерных групп Ли для
исследования уравнений математической физики, дает единый инструмент
для исследования различных физических процессов. Это:
1. Динамика несжимаемой жидкости (идеальной и вязкой), описываемая
группой диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема.
2. Нелинейная динамика намагниченности ферромагнетиков, описываемя группами токов и их обобщениями.
3. Физическая модель, связанная с уравнением Кортевега де Фриза, описываемая алгеброй Вирасоро.
Оказывается, что возникающие для 1 и 3 бесконечномерные алгебры
Ли обладают одним общим свойством ограниченности нормы оператора,
представляющего собой сумму опрераторов происединенного и коприсоединенного действия. Это позволяет получить общий для решений соответствующих уравнений математической физики факт: коэффициенты ортогонального разложения этих решений удовлетворяют условиям Липшица.
Получающиеся в 1 и 2 факты отрицательности кривизн бесконечномерных групп Ли могут быть использованя для объяснения турбулентных эффектов в задачах гидродинамики и электродинамики.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
164
ЛИТЕРАТУРА
[АЛ] Алексовский, В. А. Нелинейная динамика намагниченности ферромагнетиков и движение обобщенного твердого тела с группой токов /
В. А. Алексовский, А. М. Лукацкий // Теоретическая и математическая
физика. ═ Т. 85. ═ ╫ 1. ═ 1990. ═ С. 115-123.
[Ан] Аносов, Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых
многообразиях отрицательной римановой кривизны / Д. В. Аносов. ═ М.:
Наука, 1967. 210 с.
[Ар1] Арнольд, В. И. Математические методы классической механики
/ В. И. Арнольд. ═ М.: Эдиториал УРСС, 2000. 408 c.
[Ар2] Арнольд, В. И. Избранное-60 / В. И. Арнольд. ═ М.: Фазис, 1997.
768 c.
[Ар3] Арнольд, В. И. Лекции об уравнениях с частными производными
/ В. И. Арнольд. ═ М.: Фазис, 1997. 175 с.
[Ар4] Арнольд, В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В. И. Арнольд. ═ М.: Наука, 1978. 304 с.
[АрХес] Арнольд, В. И. Топологические методы в гидродинамике / В.
И. Арнольд, Б.А. Хесин. ═ М.: МЦНМО, 2007. 392 с.
[Ат] Атья, М. Геометрия и физика узлов / М. Атья. ═ М.: Мир, 1995.
192 с.
[Бес] Бесе, А. Многообразия с замкнутыми геодезическими / А. Бессе.
═ М.: Мир, 1981. 325 с.
[Б] Богданов, Р. И. Нелинейные динамические системы на плоскости и
их приложения / Р. И. Богданов. ═ М.: Вузовская книга, 2003. 375 с.
[Бол] Больцман, Л. Лекции по теории газов / Л. Больцман. ═ М., 1953.
555 с.
[Бр] Браун, У. Ф. Микромагнетизм / У. Ф. Браун. ═ М.: Физматгиз,
1979. 159 с.
[В1] Вейль, Г. Гравитация и электричество. В сб. Альберт Эйнштейн
и теория гравитации / Г. Вейль. ═ М.: Мир, 1979. С. 513-528.
[В2] Вейль, Г. Классические группы, их инварианты и представления /
Г. Вейль. ═ М.: ИЛ, 1947. 404 с.
[Вил] Виленкин, Н. Я. Специальные функции и теория представлений
групп / Н. Я. Виленкин. ═ М.: Наука, 1965. 588 с.
[Вин] Виноградов, А. М. Симметрии и законы сохранения в математической физике / А. М. Виноградов, И. С. Красильщик. ═ М.: Факториал,
1997. 380 с.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ЛИТЕРАТУРА
165
[Вл] Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С.
Владимиров. ═ М.: Наука, 1981. 512 с.
[ГК] Гильберт, Д. Наглядная геометрия / Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен.
═ М.: Наука, 1981. 344 с.
[ГКМ] Громол, Д. Риманова геометрия в целом / Д. Громол, В. Клингенберг, В. Мейер. ═ М.: Мир, 1971. 343 с.
[ДК] Денисова, Н. В. Стационарные движения сплошной среды, резонансы и лагранжева турбулентность / Н. В. Денисова, В. В. Козлов //
ПММ. ═2002. ═ Т. 66. ═ Вып. 6. ═ С. 939-947.
[ДНФ] Дубровин, Б. А. Современная геометрия / Б. А. Дубровин, С.
П. Новиков, А. Т. Фоменко. ═ М. : Наука, 1979. 759 с.
[Д] Дынкин, Е. Б. Нормированные алгебры Ли и аналитические группы
/ Е.Б. Дынкин // УМН. ═ Т.5. ═ 1950. ═ ╫ 1. C. 135-186.
[Ж] Журавлев, В. Ф. Инвариантная нормализация неавтономных гамильтоновых систем / В. Ф. Журавлев // ПММ. ═ Т. 66. ═ Вып. 3. ═
2002. ═ С. 356-365.
[ЗА] Задачи Арнольда /. ═ М.: Фазис, 2000. 454 с.
[ЗВ] Зуланке, Р. Дифференциальная геометрия и расслоения / Р. Зуланке, П. Винтген. ═ М.: Мир, 1975. 348 с.
[ЗО] Зуланке, Р., Алгебра и геометрия. Т. 1 / Р. Зуланке, А.Л. Онищик.
═ М.: МЦНМО, 2004. 405 с.
[Ибр] Ибрагимов, Н. Х. Группы преобразований в математической физике / Н. Х. Ибрагимов. ═ M.: Наука, 1983.
[Кар] Картан, Э. О структуре бесконечномерных групп преобразований.
Глава IY. Бесконечномерные группы, зависящие от произвольных функций
одного аргумента. В сб. Э. Картан. Избранные труды / Э. Картан . ═
М.: МЦНМО, 1998. 392 с.
[К] Кац, В. Г. Бесконечномерные алгебры Ли / В. Г. Кац. ═ М.: Мир,
1993. 425 с.
[Кир1] Кириллов, А. А. Представление группы вращений n-мерного
евклидова пространства сферическими векторными полями / А. А. Кириллов // ДАН СССР. ═ Т. 116. ═ ╫ 4. ═ 1957. ═ С. 538-541.
[Кир2] Кириллов, А. А. Унитарные представления группы диффеоморфизмов и некоторых ее подгрупп. Ин-т прикладной математики АН СССР
/ А. А. Кириллов // Препринт. ═ М. 1974. 40 с.
[КН] Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобояси,
К. Номидзу. ═ М.: Наука, 1981. 344 с.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
166
ЛИТЕРАТУРА
[К1] Козлов, В. В. О работах Э. Картана. В сб. Эли Картан. Избранные труды / В. В. Козлов. ═ М: МЦНМО, 1998. С. 6-7.
[К2] Козлов, В. В. Симметрии топология и резонансы в гамильтоновой
Механике / В. В. Козлов. ═ Ижевск: Изд-во Удмуртского государственного университета, 1995. 429 с.
[К3] Козлов, В. В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре / В. В.
Козлов. ═ Москва ═ Ижевск, 2002. 319 c.
[КПП] Колмогоров, А.Н. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме / А.Н. Колмогоров, И. Г. Петровский, Н. С. Пискунов
// Бюлл. МГУ, сер. Математика и механика. ═ Т. 1. ═ Вып. 6. ═ 1937. ═
С. 1-26.
[Ком] Комраков, Б. П. Структуры на многообразиях и однородные
пространства / Б. П. Комраков . ═ Минск: Наука и техника, 1978. 351 с.
[КИК] Косевич, A.M. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны / A. M. Косевич, Б. A. Иванов, A. С.
Ковалев. ═ Киев, 1983. 192 с.
[Лад] Ладыженская, О. А. Математические вопросы динамики вязкой
несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская. ═ М.: Наука, 1970. 288 c.
[Лг] Ленг, С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / С.
Ленг. ═ Волгоград: Платон , 1996. 203 с.
[Л1] Лукацкий, А. М. О структуре алгебр Ли сферических векторных
полей и группах диффеоморфизмов Sn и RPn / А. М. Лукацкий // Сибирский математический журнал. ═ Т. 28. ═ ╫ 1. ═ 1977. ═ С. 161 173.
[Л2] Лукацкий, А.М. О построении конечных систем образующих в алгебрах Ли векторных полей и группах диффеоморфизмов компактных многообразий / А. М. Лукацкий// Геометрические методы в задачах анализа
и алгебры. ═ Ярославский государственный университет. ═ 1978. ═ С.
170-182.
[Л3] Лукацкий, А. М. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру 2- мерной сферы / А. М. Лукацкий // Функ. анализ и приложен.
═ Т. 13. ═ ╫ 3. ═ 1979. ═ С. 23-27.
[Л4] Лукацкий, А.М. О бирациональных базисах в группах диффеоморфизмов многообразий Tn , Sn и RP n . / А. М. Лукацкий // Вопросы теории
групп и гомологической алгебры. ═ Ярославский государственный университет. ═ 1982. ═ С. 55 - 62.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ЛИТЕРАТУРА
167
[Л5] Лукацкий, А. М. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру n- мерного тора / А. М. Лукацкий // УМН. ═ Т. 36. ═ Вып. 2.
═ 1981. ═ С. 187-188.
[Л6] Лукацкий, А.М. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру n- мерного тора / А. М. Лукацкий // Сибирский математический журнал. ═ Т. 25. ═ ╫ 6. ═ 1984. ═ С. 76-88.
[Л7] Лукацкий, А. М. . О структуре тензора кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру 2-мерного многообразия / А. М. Лукацкий
// Сибирский математический журнал. ═ Т. 29. ═ ╫ 6. ═ 1988. ═ С. 95-99.
[Л8] Лукацкий, А.М. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразия / А. М. Лукацкий // Сибирский
математический журнал. ═ Т. 31. ═ ╫ 3. ═ 1990. ═ С. 209.
[Л9] Лукацкий, А. М. Об одном обобщении конструкции групп токов /
А. М. Лукацкий // Вопросы теории групп и гомологической алгебры. ═
Ярославский государственный Университет. ═ 1998. С. 137-141.
[Л10] Лукацкий, А.М. О геометрии бесконечномерных групп Ли и некоторых физических приложениях. Инвариантные методы исследования
на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики.
Материалы международной конференции, посвященной 90-летию со дня
рождения Г. Ф. Лаптева / А. М. Лукацкий. ═ М.: МГУ, 1999. С. 29-30.
[Л11] Лукацкий, А. М. О примерах бесконечномерных групп Ли и некоторых физических приложениях / А. М. Лукацкий // Научный вестник
МГТУ ГА, серия Математика и Физика. Москва, МГТУ ГА. ═ ╫ 64. ═
2003. ═ С. 7-17.
[Л12] Лукацкий, А. М. О применении одного класса бесконечномерных групп Ли к динамике несжимаемой жидкости / А. М. Лукацкий //
Прикладная математика и механика. ═ ╫ 5. ═ 2003. ═ С. 784-794.
[Л13] Лукацкий, А. М. О примерах бесконечномерных групп Ли и некоторых физических приложениях. Международная научно-практическая
конференция, посвященная 80-ти летию гражданской авиации России / /
А. М. Лукацкий . ═ Москва, МГТУ ГА. 2003. С. 145.
[Л14] Лукацкий, А.М. Максимальность действия ортогональной группы
на аффинной квадрике. / А. М. Лукацкий // Геометрические методы в
задачах анализа и алгебры. ═ Ярославский государственный университет.
═ 1980. ═ С. 130-137.
[Л15] Лукацкий, А.М. О некоторых типах бесконечномерных групп Ли
и примерах непрерывных действий простых групп Ли, неэквивалентных
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
168
ЛИТЕРАТУРА
гладким. / А. М. Лукацкий // Вопросы теории групп и гомологической
алгебры. ═ Ярославский государственный университет. 2003. С. 152-162.
[Л16] Лукацкий, А. М. О геометрии группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразия / А. М. Лукацкий // Научный
вестник МГТУ ГА, серия Математика и Физика. Москва, МГТУ ГА. ═
Вып. 91. ═ 2005. ═ С. 36-47.
[Л17] Лукацкий А. М., О геометрии групп диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразия. Международная
научно-практическая конференция, посвященная 35-ти летию основания
Университета / А. М. Лукацкий . ═ Москва, МГТУ ГА, 2006. С. 174.
[Л18] Лукацкий А. М.,О применении бесконечномерных групп Ли для
оценивания турбулентности / А. М. Лукацкий // Научный вестник МГТУ
ГА, серия Информатика. Прикладная математика. Москва, МГТУ ГА. ═
Вып. 105. ═ 2006. ═ С. 164-168.
[Л19] Лукацкий, А. М. Групповой подход в динамике сплошной среды
/ А. М. Лукацкий // Научный вестник МГТУ ГА. Москва, МГТУ ГА. ═
Вып. 100. ═2006. ═ С. 114-121.
[Л20] Лукацкий, А. М. Групповой подход в динамике несжимаемой жидкости / А. М. Лукацкий // Научный вестник МГТУ ГА, серия Математика
и Физика. Москва, МГТУ ГА. ═ Вып. 114. ═ 2007. ═ С. 42-49.
[Л21] Лукацкий, А. М. К проблеме разрешимости уравнений Эйлера
на бесконечномерных группах Ли / А. М. Лукацкий // Научный вестник
МГТУ ГА, серия Прикладная математика. Информатика, Москва, МГТУ
ГА. ═ Вып. 120. ═2007. ═ С. 134-137.
[Л22] Лукацкий, А. М. Об исследовании свойств решений уравнений
математической физики методами бесконечномерных групп Ли. Международная конференция. ╔Современные проблемы математики, механики и их
приложений╔, посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего. Материалы конференции / А. М. Лукацкий . ═ Москва, МГУ,
2009. С. 170-171.
[Л23] Лукацкий, А. М. Групповой подход в динамике сплошной среды.
Международная конференция ╔Дифференциальные уравнения и смежные
вопросы╔, посвященная памяти И.Г. Петровского. XXII совместное заседание Московского математического общества и семинара И.Г. Петровского.Москва, 21-26 мая 2007 г. Тезисы докладов / А. М. Лукацкий . ═
Москва, МГУ, 2007. С.178.
Copyright ??? ╚??? ╚??????╩ & ??? ╚A???????? K????-C?????╩
ЛИТЕРАТУРА
169
[Л24] Лукацкий, А. М. Исследование геодезического потока на группе
сохраняющих объем диффеоморфизмов с использованием оператора коприсоединенного действия. Международная конференция ╔Анализ и особенности╔, посвященная 70-летию Владимира Игоревича Арнольда. МИАН,
Москва, 20-24 августа 2007 г. Тезисы докладов / А. М. Лукацкий . ═
Москва, МИАН, 2007. С. 72-74.
[Л25] Лукацкий, А. М. О подходе к решению уравнений гидродинамики
трехмерн?
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа