close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1008.Спектральная теория сигналов Брюханов Ю А

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Ю. А. БРЮХАНОВ, А. Н. КРЕНЕВ СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ СИГНАЛОВ Издание второе
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета для студентов
направлений Радиофизика и электроника, Радиотехника
Ярославль 2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 621.391
ББК З84я73
Б 89
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2009/2010 учебного года
Рецензенты:
доктор технических наук В. Г. Карташев;
кафедра теоретических основ радиотехники
Московского института радиотехники, электроники и автоматики
(технического университета)
Брюханов, Ю. А. Спектральная теория сигналов: учебное
Б 89 пособие / Ю. А. Брюханов, А. Н. Кренев; Яросл. гос. ун-т
им. П. Г. Демидова. – 2-е изд. – Ярославль, 2010. – 104 с.
ISBN 978-5-8397-0781-8
В пособии приводятся основные понятия и определения теории сигналов, последовательно и во взаимной связи излагаются
основы спектральной теории управляющих и модулированных
сигналов.
Во втором издании материал методически доработан с учетом опыта преподавания соответствующих дисциплин.
Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям 010801.65 Радиофизика и электроника и 210302.65 Радиотехника (дисциплина «Аналоговые цепи и сигналы), блок
ОПД), очной формы обучения.
УДК 621.391
ББК 384я73
ISBN 978-5-8397-0781-8
 Ярославский государственный
университет им. П. Г. Демидова, 2010
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение Теория сигналов является самостоятельной областью науки и
учебной дисциплиной, смежной с рядом областей. К ним относятся общая теория линейных цепей и систем, теория передачи приема и передачи сообщений, теория регулирования и управления и
т. п. У каждого, кто имеет отношение к изучению процессов передачи информации, возникает необходимость выбрать подходящий
способ для представления и классификации сигналов. Если рассматривать сигналы сами по себе, абстрагируясь в той или иной
мере от систем, в которых они возникают и протекают, мы сталкиваемся с многообразием возможных представлений и классификаций, причем успешность применения конкретного способа зависит главным образом от того, как получатель намеревается использовать информацию, содержащуюся в сигнале.
В настоящем пособии для изучения и описания свойств сигналов используется обобщенная спектральная теория, приспособленная к задачам передачи и обработки сигналов; она раскрывает основные закономерности спектрального анализа, общие для
всех систем базисных функций, и создает возможность синтеза
наиболее выгодных базисных систем. Рассматриваются непрерывные детерминированные сигналы.
В первом и втором разделах излагаются классификация и основные характеристики действительных и комплексных сигналов
и систем базисных функций. Анализируется фундаментальный
принцип геометрической трактовки пространства сигналов. Третий и четвертый разделы посвящены обобщенной спектральной
теории сигналов, заданных на конечном и бесконечном интервалах. Вводится понятие текущего и мгновенного спектра. Теория
радиосигналов с амплитудной и угловой модуляцией содержится
в пятом разделе. Рассмотрены аналитический сигнал и разложение узкополосного радиосигнала.
В основу учебного пособия положен материал монографии
А. М. Трахтмана [1], соответствующих разделов учебников под
редакцией К. А. Самойло [2], С. И. Баскакова [3], И. С. Гоноровского [4], монографии А. А. Харкевича [5], результаты самостоя3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тельных исследований авторов данного учебного пособия и курс
лекций, который они читают для студентов радиофизической
специальности в Ярославском государственном университете.
После выхода первого издания прошло двадцать лет. Во втором издании материал методически доработан с учетом опыта
преподавания соответствующих дисциплин.
Авторы признательны докторам технических наук, профессорам К. А. Самойло, С. И. Баскакову, В. Г. Карташеву и А. Н. Денисенко за конструктивные замечания и рекомендации, оказавшие большую практическую помощь при подготовке рукописи.
1. Сигналы и их основные характеристики Проблемы извлечения, передачи и обработки информации
являются центральными для многих областей науки и техники,
таких как связь, автоматическое управление и регулирование, радиолокация и радионавигация, радиоастрономия и др. В этих областях сигналы – это основное средство для извлечения информации и физический носитель информации.
В технике связи сигналами являются ток в цепи микрофона
при телефонном разговоре, яркость луча на экране телевизора
при приеме изображения, ток в антенне передатчика. В радиолокации движущийся объект облучается «запросным» радиосигналом, который, отражаясь от объекта, становится «ответным» сигналом и несет на себе признаки, позволяющие судить о положении, скорости движения и даже конфигурации объекта. В радиоастрономии сигналом служит радиоизлучение, принимаемое из
глубин Вселенной и содержащее информацию о процессах, происходящих в Космосе. В медицине для диагностики используют
сигналы, записанные, например, в виде кардиограммы.
Этих примеров достаточно, чтобы показать, насколько разнообразны сигналы. Они столь же разнообразны, как и информация, извлекаемая и передаваемая с их помощью.
С физической точки зрения сигнал создается определенным
процессом, протекающим во времени, например распространени4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ем электромагнитных или звуковых волн, движением электрических зарядов, и вполне может быть охарактеризован законом изменения во времени таких параметров, как напряженность электромагнитного поля, звуковое давление, напряжение или ток в
цепи, отклонение светового луча на экране и т. п.
Таким образом, сигнал – это объективный процесс, протекающий во времени. Теория сигналов имеет дело не непосредственно с этим процессом, а с различными формами его аналитического выражения в виде формулы, набора чисел и т. д. Чтобы получить аналитическое выражение сигнала, его нужно предварительно зафиксировать с помощью какого-либо регистрирующего
прибора-анализатора (осциллографа, спектрального анализатора
и др.) и затем эту запись аналитически описать тем или иным
способом. Важнейшими формами аналитического выражения
сигнала являются представления записи этого сигнала с помощью колебания или спектра.
Из сказанного следует, что термин «сигнал» – более общий,
чем термин «колебание» или «спектр», поэтому во всех случаях,
когда имеется в виду любая форма аналитического выражения
сигнала или когда из хода рассуждений ясно, о какой форме идет
речь, мы будем употреблять единое и наиболее привычное наименование «сигнал».
Колебание S(t) описывает сигнал как функцию времени t.
Это основная форма аналитического выражения, поскольку
время – наиболее естественная координата, с которой мы связываем все реальные явления. Колебание можно рассматривать и
как совокупность мгновенных значений сигнала для любого момента времени.
Другой важнейшей формой выражения сигналов является
представление их с помощью спектров. Любой сигнал можно
рассматривать как совокупность элементарных колебаний k (t ) ,
составляющих систему функций времени {k (t )} , умноженных на
коэффициенты Ck
S (t ) 

C 
k 0
k
5
k
( t ).
(1.1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Фигурные скобки здесь обозначают, что мы имеем дело не с
одной функцией, а с системой, включающей в себя определенный
набор функций: 0 (t ),1 (t ), 2 (t ),...
Система функций {k (t )} носит название базисной системы, а
представление сигнала в виде суммы функций (1.1) называется
разложением сигнала по системе базисных функций.
В рамках известной системы каждая функция определяется
местом, которое она занимает в системе, т. е. своим номером k
или какой-нибудь другой переменной, например частотой f, однозначно связанной с k.
Если система функций выбрана, то сигнал может быть полностью охарактеризован зависимостью С(k) или S(f), которая называется спектральной характеристикой, а чаще просто спектром.
Выбор системы функций для спектрального представления сигналов определяется соображениями практического или математического удобства и прежде всего видом соответствующего ей
анализатора.
Таким образом, все формы аналитического выражения сигналов в виде колебания или спектра базируются на представлении их как совокупности определенных элементов.
Основными задачами теории сигналов являются анализ сигналов (изучение их свойств) и синтез сигналов (нахождение сигналов, обладающих заданными свойствами). Для упрощения теории и придания ей необходимой законченности и стройности реальные сигналы приходится идеализировать. Остановимся на
двух наиболее часто применяемых допущениях.
1. Реальные сигналы всегда ограниченны во времени хотя бы
потому, что мы не можем вести их наблюдение, регистрацию и
обработку бесконечно долго.
Тем не менее наряду с сигналами, заданными в ограниченном
промежутке времени ta  t  tb , в теории часто рассматриваются
сигналы, заданные на полубесконечном 0  t   или бесконечном   t   интервале времени.
Начало отсчета времени при изучении сигналов можно выбирать где угодно, однако все многообразие создающихся при
этом ситуаций можно всегда для определенности сводить к двум
случаям: совмещать начало отсчета времени с началом сигнала
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(если оно имеется) или с серединой сигнала. Мы будем рассматривать только эти два случая.
Другими словами, если сигнал длительностью Т задается на
интервале t a  t  tb , то это может быть либо интервал 0  t  T , либо  T / 2  t  T / 2 .
2. Реальные сигналы всегда являются в какой-то мере случайными. Это обстоятельство очевидно, ибо неслучайный, полностью известный сигнал не несет информации. Но даже тогда,
когда сигнал не передает информации, он подвержен влиянию
флуктуации и шумов, присутствующих в любой реальной цепи, и
это делает его, строго говоря, неопределенным.
Несмотря на это, в теории часто рассматриваются сигналы,
полностью известные в любой момент времени. Такие сигналы
называются детерминированными.
Теория детерминированных сигналов удобна для решения
многих практических задач, кроме того, ее выводы широко используются в теории случайных сигналов.
Дадим определение некоторых типов колебаний, с которыми
нам придется иметь дело в настоящем курсе.
Каузальным называется
колебание, имеющее начало во времени (рис. 1.1).
Такое колебание иначе
можно было бы назвать
причинным, т. к. оно может
рассматриваться как следствие некоторой причины
0
t
(например, включения пеРис. 1.1
редатчика). Все реальные
колебания являются каузальными. При их описании удобно совмещать начало отсчета времени (t = 0) с началом колебания и
считать, что оно тождественно равно нулю при t < 0.
S(t)
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Периодическим
называется колебание,
любое значение которого повторяется через интервалы времени, равные периоду Т:
0
t
S (t )  S (t  T ) (рис. 1.2).
Т
Т
Периодическое колебание задается на интервале    t   , так
Рис. 1.2
как если бы оно имело
начало или конец, то в
этих точках происходило бы нарушение периодичности. В силу
этого реальные сигналы, строго говоря, не могут быть периодическими.
Финитным
называется
S(t)
колебание, локализованное во
времени, т. е. колебание, тождественно равное нулю вне
некоторого
ограниченного
интервала времени t a  t  t b
ta 0
tb
t
(рис. 1.3). Все реальные сигРис. 1.3
налы могут рассматриваться
как финитные.
Непрерывным называется колебание, которое определено в
каждой точке оси времени. Другими словами, такое колебание
задано на несчетном множестве временных точек. На рис. 1.4
изображены примеры непрерывных колебаний.
S(t)
S1(t)
a)
S2(t)
0
0
Рис. 1.4
8
б)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Последовательность импульсов, изображенная на рис. 1.4 б,
как это ни странно, также является непрерывным сигналом, потому что здесь заданы значения сигнала не только в моменты существования импульсов, но и в паузах между ними (здесь они
равны нулю).
Дискретным называется
S(ti)
колебание, рассматриваемое
только в фиксированные моменты времени ti (рис. 1.5),
т. е. заданное на счетном
множестве временных точек.
Таким образом, различие
между непрерывным и дис0
t
кретным колебанием состоит
Рис. 1.5
лишь в том, что в первом
случае временная ось непрерывна, а во втором – дискретна. Значения, которые принимает дискретный сигнал, будем называть
отсчетами.
Мы привели все эти определения сигналов применительно к
колебаниям S(t). Однако в теории сигналов рассматривают также
специальные виды спектров – каузальные, финитные, дискретные, непрерывные и т. д., связывая эти термины со способом задания спектра на оси частот. Это не должно вызывать удивления,
так как колебание и спектр являются равноправными формами
аналитического выражения сигналов.
1.1. Интервал определения сигнала Когда говорят, что сигнал S(t) определен на интервале [t a , tb ] ,
то это значит, что он задан только в промежутке времени
t a  t  tb . Квадратные скобки здесь означают, что концы интервала включаются в рассматриваемый промежуток времени, т. е. интервал является замкнутым.
В другом случае, когда t a  t  tb , интервал определения сигнала является открытым и обозначается (ta , tb ) . Могут быть интервалы определения сигнала полуоткрытые: t a  t  tb или t a  t  tb , и
тогда они обозначаются (t a , tb ] или [t a , tb ) соответственно.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При задании сигналов на симметричном интервале времени
[–Т/2, Т/2) этот интервал может рассматриваться как сумма двух
равных по длительности односторонних интервалов [–Т/2, 0) и
[0, Т/2).
Эти интервалы могут быть равными в полном смысле слова
только в том случае, если они оба будут полуоткрыты, причем с
одной и той же стороны, например справа.
Чтобы это обеспечить, мы будем, как правило, считать, что
начало каждого интервала включается в него, а конец интервала
не входит и является начальной точкой соседнего интервала
(рис. 1.6), т. е. все рассматриваемые временные интервалы будут
всегда считаться открытыми справа и обозначаться [t a , tb ) .
S(t)
1
-T/2
et
T/2
2
t
T/2
T/2
0
Рис. 1.6
t
Рис. 1.7
Все мыслимое разнообразие интервалов определения сигнала
можно свести к двум типам: одностороннему [0, Т/2) и двухстороннему симметричному интервалу [-Т/2, Т/2), где Т может быть
любой конечной или даже бесконечной величиной.
Реальный смысл имеют только те сигналы, у которых есть
начало.
С этим началом всегда можно совместить начало отсчета
времени. Таким образом, все реальные сигналы могут быть определены на положительной полуоси времени t  0 , т. е. на одностороннем интервале.
Однако в теории сигналов приходится рассматривать и сиг2
налы типа гауссова импульса S (t )  e  t (рис. 1.7), у которых нет
начала. В таких случаях необходимо начало отсчета времени помещать где-нибудь посредине сигнала, т. е. рассматривать сигналы на двухстороннем интервале.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Любой финитный сигнал можно рассматривать как на одностороннем, так и на симметричном интервале времени.
Чтобы перейти от одного интервала определения к другому,
необходимо сдвинуть сигнал по оси времени или, что то же самое, перенести начало отсчета времени в противоположную сторону.
Понятно, что, когда сигнал представляется в виде линейной
комбинации базисных функций {k (t )} , как, например,
S ( t )  C 0 0 ( t )  C 1 1 ( t )  ...  C n n ( t ) 
n
C
k 0
k
 k ( t ),
каждая из этих базисных функций должна быть определена на
том же интервале, что и сам сигнал.
1.2 Энергетические характеристики вещественного сигнала Основными энергетическими характеристиками вещественного сигнала S(t) являются следующие.
1. Мгновенная мощность Р(t), определяемая как квадрат
мгновенного значения сигнала
P(t)=S2(t).
Если S(t) – напряжение или ток, то Р(t) – мгновенная мощность,
выделяемая на сопротивлении в 1 Ом.
Мгновенная мощность не аддитивна, т. е. мгновенная мощность суммы сигналов не равна сумме их мгновенных мощностей
[ S 1 ( t )  S 2 ( t )] 2  S 12 ( t )  S 22 ( t ).
2. Энергия Е на интервале времени [ta , tb ] , определяемая выражением
tb
tb
2
E   P (t ) dt   S (t ) dt.
ta
ta
3. Средняя мощность Р на интервале [ta , tb ] , определяемая
значением энергии сигнала на этом интервале и отнесенная к
длине интервала T  tb  ta
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
t
1 b 2
P(t )   S (t )dt.
T ta
Если сигнал S(t) задан на бесконечном интервале времени
   t   , то средняя мощность определяется следующим образом
P(t )  lim
T 
1 tb 2
 S (t ) dt.
T ta
Энергия и мощность сигналов, определяемые на произвольном интервале времени, могут быть аддитивными, если сигналы
на этом интервале времени ортогональны. Рассмотрим два сигнала S1(t) и S2(t), заданные на интервале времени [ta , tb ] . Энергия
и мощность суммы этих сигналов определяются выражениями
tb
E   [ S1 (t )  S 2 (t )]2 dt  E1  E2  2 E12 ,
(1.2)
ta
t
1 b
P   [ S1 (t )  S2 (t )]2 dt P1  P2  2 P12 .
T ta
(1.3)
Здесь E1, P1 и E2, P2 – энергия и мощность первого и второго сигналов, E12 и P12 – взаимная энергия и взаимная мощность этих
сигналов.
Если выполняется условие
tb
E12   S1 (t ) S 2 (t ) dt  0
ta
t
1 b
P12   S1 (t ) S 2 (t )dt  0,
или
T ta
то сигналы S1(t) и S2(t) на интервале времени называют ортогональными и выражения (1.2) и (1.3) принимают соответственно вид
E = E1 + E2,
P = P1 + P2.
Понятие ортогональности сигналов обязательно связано с
интервалом их определения. Например, сигналы S1 (t )  sin  t и
S 2 ( t )  sin 2 t ортогональны на любом отрезке времени, где укладывается целое число полупериодов k /  , k = 1,2,3,…, а на любом другом отрезке – не ортогональны.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.3 Комплексный сигнал. Энергетические характеристики комплексного сигнала Все физические сигналы являются вещественными. Однако в
теории сигналов и при исследовании различных радиотехнических систем широко пользуются понятием комплексного сигнала
S (t )  R(t )  jI (t ),
где R(t ) и I (t ) – вещественные функции.
Рассмотрим некоторые свойства комплексных функций на
примере колебания S (t ) . Оно может быть записано в виде
S (t )  S (t )e j (t )  S (t ) cos (t )  jS (t ) sin (t ),
где S (t )  R 2 (t )  I 2 (t ) – огибающая колебания,
I (t )
– фаза колебания.
R (t )
Функция S (t ) может быть изображена в виде вектора на
плоскости (рис. 1.8). Длина этого вектора равна S (t ) , и он наклонен к действительной оси под углом  (t ) . В разные моменты
 (t )  arctg
времени вектор S (t ) имеет разную длину и занимает различное
положение: он как бы «пульсирует» в зависимости от законов
изменения R(t ) и I (t ) .
I(t)
I(t)
S(t)
S(t)
Ψ(t)
0
Ψ(t)
-Ψ(t)
R(t)
S(t)
0
R(t)
Рис. 1.8
Рис. 1.9
Помимо S (t ) можно рассматривать комплексно-сопряженное к
нему колебание
*
S (t )  R(t )  jI (t )  S (t )e  j ( t ) .
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оно представляется на плоскости вектором, который является зеркальным отображением вектора S (t ) относительно действительной оси (рис. 1.9).
Применительно к комплексным сигналам также пользуются
понятиями мгновенной мощности, энергии и средней мощности.
Эти величины вводят так, чтобы энергетические характеристики
комплексного сигнала S (t ) были действительными числами.
1. Мгновенная мощность определяется произведением ком*
плексного сигнала S (t ) на комплексно-сопряженный сигнал S (t )
*
P(t )  S (t ) S (t ) .
2. Энергия сигнала S (t ) на интервале времени [t a , tb ] по определению равна
tb
*
E   S (t ) S (t )dt.
ta
3. Мощность сигнала S (t ) на интервале [t a , tb ] определяется
выражением
t
*
1 b
P   S (t ) S (t )dt.
T ta
Два комплексных сигнала S1 (t ) и S 2 (t ) , заданные на интервале
времени [ta , tb ] , являются ортогональными, если их взаимная
мощность Р12 (или энергия Е12 ) равна нулю. Действительно,
мощность суммы этих сигналов
t
t
*
*
*
1 b
1 b


P    S1 (t )  S2 (t )   S1 (t )  S2 (t )  dt   S1 (t ) S1 (t )dt 


T ta
T ta
t
t
*
*
*
1 b
1 b
  S2 (t ) S2 (t )    S1 (t ) S2 (t )  S1 (t ) S2 (t ) dt.

T ta
T ta 
Третий интеграл в правой части полученного выражения –
удвоенная взаимная мощность 2Р12 , которая равна нулю, если
выполняется условие
t
t
*
1 b
1 b *
S1 (t ) S2 (t )dt   S1 (t ) S2 (t )dt  0 .
(1.5)
T ta
T ta
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Соответственно взаимная энергия Е12 сигналов S1 (t ) и S 2 (t )
равна нулю, если
tb
*
tb
*
 S1 (t ) S 2 (t )dt   S1 (t ) S 2 (t )dt  0 .
ta
(1.6)
ta
Таким образом, соотношения (1.5) и (1.6) являются условиями ортогональности двух комплексных сигналов.
Представим сигналы в виде
S1 (t )  S1 (t )e j 1 ( t ) ,
S 2 (t )  S 2 (t )e j 2 ( t ) .
Тогда взаимная мощность сигналов равна


1 tb
P12 
S1 (t ) S 2 (t ) e j (1  2 )  e  j (1  2 ) dt 

2T ta
1 tb
  S1 (t ) S 2 (t ) cos( 1   2 )dt.
T ta
Если сигналы ортогональны, то в силу (1.4) и Р12  0 , что может быть только  1   2   / 2.
На практике комплексные сигналы могут быть связаны с реальными сигналами двумя способами. Первый из них основан на
том, что цепи, состоящие из двух ветвей, где в одной цепи существует реальный сигнал R(t ) , а в другой – независимой – существует реальный сигнал I (t ) , можно рассматривать при анализе как
единый канал с комплексным сигналом
S (t )  R (t )  jI (t ).
Второй способ перехода от реальных сигналов к комплексным и наоборот основан на том, что любой действительный сигнал всегда может быть представлен как полусумма двух комплексных сопряженных сигналов
*
1
R(t )   S (t )  S (t )  .

2
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.4. Корреляционные характеристики сигналов Одной из важнейших временных характеристик сигнала является автокорреляционная функция (АКФ), позволяющая судить о степени связи (корреляции) сигнала с его сдвинутой по
времени копией.
Для вещественного сигнала S (t ) , ограниченного по энергии,
корреляционная функция (по энергии)  Е ( ) определяется в единицах энергии следующим выражением

 Е ( )   S (t   ) S (t )dt ,
(1.7)

где  – величина временного сдвига сигнала.
Из (1.7) следует, что АКФ является четной функцией временного сдвига  . Действительно, заменяя в (1.7) переменную
(t   ) на х, получим




 Е ( )   S (t   ) S (t )dt   S ( x) S (  x)dx   E ( ).
При   0 сходство сигнала с его несдвинутой копией наибольшее и функция  E ( ) достигает максимального значения,
равного полной энергии сигнала

 E (0)   S 2 (t )dt  E .

С увеличением  функция  Е ( ) у всех сигналов, кроме периодических, убывает (не обязательно монотонно) и при относительном сдвиге сигналов S (t ) и S (t   ) на величину, превышающую длительность сигнала, обращается в нуль.
Для сигналов, обладающих бесконечно большой энергией и
ограниченных по мощности, автокорреляционная функция  Р ( )
определяется в единицах мощности
1 T /2
1 T /2
 P ( )  lim  S (t ) S (t   )dt  lim  S (t   ) S (t )dt.
T  T
T  T
T / 2
T / 2
Соответственно значение  Р (0) равно средней мощности
сигнала
1 T /2 2
 S (t )dt  P.
T  T
T / 2
 Р (0)  lim
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При определении  Р ( ) периодической функции S (t ) усреднение
выполняется по ее периоду TS
1
 P ( ) 
TS
TS / 2
 S (t ) S (t   )dt.
TS / 2
Автокорреляционная функция периодического сигнала сама
является периодической с тем же периодом.
Для оценки степени подобия двух сигналов S1 (t ) и S 2 (t ) используется взаимная корреляционная функция (ВКФ), которая
определяется выражением

 12 ( )   S1 (t ) S 2 (t   )dt.
(1.8)

Здесь S1 (t ) и S 2 (t ) – сигналы, заданные на бесконечном интервале
времени и обладающие конечной энергией.
Значение  12 ( ) не меняется, если вместо задержки сигнала
S 2 (t ) рассматривать опережение сигнала S1 (t ) . Поэтому вместо
выражения (1.8) можно записать общую формулу для определения ВКФ




 12 ( )   S1 (t ) 2 S (t   )dt   S 2 (t ) S1 (t   )dt ,
т. е.  12 ( )   21 ( ) , но следует заметить, что  12 ( )   12 ( ). Автокорреляционная функция  ( ) является частным случаем ВКФ
 12 ( ) , когда сигналы S1 (t ) и S 2 (t ) одинаковы.
В отличие от  ( ) функция  12 ( ) в общем случае не является
четной относительно  и может достигать максимума при любом
 . Значение  12 (0) определяет взаимную энергию E12 сигналов
S1 (t ) и S 2 (t )

 12 (0)   S1 (t ) S 2 (t )dt  E12 .

Нормированная корреляционная функция  ( ) 
вается коэффициентом корреляции.
17
 E ( )
назы E (0)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.5. Четная и нечетная части сигнала. Постоянная и переменная составляющие Любой сигнал S(t) можно представить в виде суммы четной и нечетной частей SЧ(t) и SН(t) (рис. 1.10).
Причем
S(t)
S(-t)
0
S (t )  S (  t )
2
S (t )  S (  t )
S H (t ) 
.
2
SЧ (t ) 
t
Sч(t)
0
t
Sн(t)
0
t
Рис. 1.10
Здесь S(–t) – зеркальный
сигнал, изображенный на
рис. 1.10 пунктиром.
Колебания SЧ(t) и SН(t)
обладают следующими свойствами симметрии:
SЧ(t) = SЧ(–t)
SН(t) = – SН(–t).
Четная и нечетная части
сигнала могут быть «разрезаны» вдоль оси ординат на
две симметричные односторонние части. На рис. 1.11
изображены только правые
части S1(t) и S2(t), которые
описываются выражениями:
1
 (t )  S (t )  S (  t )  ,
2
1
S 2 (t )   (t ) S H (t )   (t )  S (t )  S (  t )  ,
2
S1 ( t )   ( t ) S Ч ( t ) 
где функция включения (Хевисайда) имеет вид
при t  0,
 1

 (t )  1 / 2 при t  0,
 0
при t  0 .

18
(1.9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S2(t)
S1(t
½SЧ(0)
0
t
0
Рис. 1.11
t
Поскольку функция  (t ) определена так, что при t = 0
 (t )  1 / 2 , то в этой точке S1(t)=0,5SЧ(0), т. е. имеет половинную
величину. Это обеспечивает правильную «сшивку» сигнала SЧ(t)
при сложении его односторонних частей. Таким образом
SЧ (t )  S1 (t )  S1 ( t ),
S H (t )  S 2 (t )  S Н ( t ),
S(t) = SЧ(t) + SН(t) = [S1(t) + S2(t)] + [S1(–t) – S2(–t)].
Следовательно, любой сигнал S(t), заданный на симметричном интервале времени [T / 2, T / 2) , можно скомбинировать из
односторонних сигналов S1(t) и S2(t), заданных на интервале [0,
T/2). Это означает, что теория сигналов может строиться в основном как теория односторонних сигналов. Все ее выводы могут
быть интерпретированы и для любых других сигналов.
Четная и нечетная части сигнала ортогональны друг другу
на любом интервале времени, симметричном относительно t = 0.
Действительно, так как подынтегральное выражение является нечетной функцией времени, то
T /2
1
SЧ (t ) S H (t )dt  0.
T T/ 2
Отсюда следует, что у любого сигнала мощность на интервале времени, симметричном относительно t = 0, равна
P  PЧ  PН  2( P1  P2 ) ,
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S(t)
0
ta
tb
t
Sпост
где PЧ и PН – мощности четной
и нечетной частей на том же интервале, P1 и P2 – мощности односторонних сигналов.
Аналогичное
выражение
можно написать и для энергий.
Любой сигнал можно также представить в виде суммы
постоянной и переменной составляющих (рис. 1.12) на любом интервале времени [t a , tb ] .
Постоянная составляющая
есть среднее значение сигнала
на этом интервале
t
0
tb
ta
S пост
t
1 b
  S (t ) dt .
T ta
Переменная составляющая
равна
Sпер(t)
S п ер ( t )  S ( t )  S п о ст .
0
ta
tb
t
Очевидно, что среднее значение Sпер(t) на интервале [t a , tb ]
равно нулю, поэтому
tb
Рис. 1.12
S
пост
S пер (t )dt  0.
ta
Это значит, что постоянная и переменная составляющие
сигнала на интервале его определения ортогональны, а мощность
сигнала равна сумме мощностей этих составляющих.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.6. Размерность сигналов и их геометрическое представление Если сигнал удалось разложить по системе функций { k (t )} ,
представить в виде линейной комбинации (1.1), то он полностью
определяется N  n  1 коэффициентами Ck . Задавая все возможные их значения, можно получить различные сигналы S(t).
Определенной области задания этих коэффициентов будет
соответствовать некоторое множество сигналов, которое называют N-мерным множеством, или N-мерным функциональным пространством. Каждый сигнал из такого множества имеет N координат или N степеней свободы.
Таким образом, для любого множества сигналов можно
предложить геометрическую модель в виде многомерного пространства, где каждой точке будет соответствовать определенный сигнал, представленный в виде вектора, а координаты
этой точки будут равны коэффициентам Ck . Очевидно, что
число осей координат (т. е. размерность) пространства должно
быть не меньше числа функций, входящих в систему { k (t )} .
Например, сигнал S(t),
представленный в виде век 0 (t )
тора в трехмерном функциональном пространстве,
полностью характеризуется
своими координатами C0,
S (t )
S (t )
C1, C2-проекциями на оси,
направления которых задаC1
ются функциями 0 (t ), 1 (t ),
0
 (t )
2 (t ) (рис. 1.13). Для разлоC2
жения сигналов наиболее
 2 (t )
удобными оказываются взаРис. 1.13
имно-ортогональные базисные функции (подробнее см. в подразделе 2.1).
Пространство называют метрическим, если введен способ
определения расстояния между двумя его точками, и нормированным, если введено понятие нормы, т. е. расстояния между началом координат и какой-либо точкой пространства. Метрику
1
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
линейного векторного пространства можно определить через
скалярное произведение векторов.
Расстояние от начала координат до точки, отображающей
функцию S(t), т. е. норма S , выражается средней мощностью
сигнала (скалярным произведением сигнала на самого себя)
N
C
S 
k 0
2
k
1T 2
S ( t ) dt .
T 0

Расстояние между двумя сигналами S1(t) и S2(t), т. е. мера
функционального пространства, определяется выражением
S1  S 2 
N
 (C
k 0
k
 dk )
2

1
T
T
 S
1
(t )  S 2 (t )  2 d t.
0
Линейное векторное пространство (конечномерное), в котором введено понятие скалярного произведения, является Евклидовым. При бесконечной размерности то же пространство называется Гильбертовым.
Один и тот же сигнал можно представить в виде линейной
комбинации (1.1) по различным системам функций { k (t )} . Число
коэффициентов Ck, а вместе с ним и размерность сигнала при
различных системах функций могут быть разными. Геометрически это означает, что один и тот же сигнал можно рассматривать в пространствах различной размерности. При этом пространство будет полным, если его размерность m равна размерности ансамбля сигналов N. В том случае, когда m>N, пространство будет иметь избыточную размерность: оно будет полным
для более широкого множества сигналов, включающего в себя
рассматриваемый ансамбль в качестве подмножества. Всякий
N-мерный сигнал можно представить в виде точки пространства с
m  N измерений. Если же m<N, то это свидетельствует о неполноте пространства. Неполное пространство можно довести до
полного, повысив его размерность, т. е. добавив в базисную систему { k (t )} новые функции.
Каждому ансамблю сигналов с заданными свойствами соответствует некоторая минимальная размерность, определив которую можно передать сигнал самым экономичным образом, т. е. с
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
помощью минимального количества чисел Сk. Для этого необходимо найти соответствующую систему функций { k (t )} . Эта проблема является центральной в технике передачи сигналов.
1.7. Обобщенный ряд Фурье В основе ряда Фурье лежит полная система базисных функций, упорядоченных с помощью индекса k. Поэтому базисные
функции можно считать функциями двух переменных: дискретной переменной k и непрерывной переменной t. Следовательно,
коэффициенты ряда Фурье будут функциями дискретной переменной k. Учитывая это замечание и взяв для определенности односторонний интервал времени [0, Т/2), получим следующие выражения для обобщенного ряда Фурье и коэффициентов разложения

S (t )   C (k ) (k , t ),
C (k ) 
где Pk 
2
T
T /2

2
1 2
Pk T
(1.10)
k 0
T /2
 S (t ) (k , t )dt ,
(1.11)
0
(k , t )dt – мощность базисной функции  (k , t ) .
0
Аналогичные выражения могут быть приведены и для симметричного интервала определения сигнала.
В литературе выражение для C(k) часто называют формулой разложения, а выражение для S(t) – формулой обращения.
Дискретная функция С(k) в обобщенном ряде Фурье (1.10)
называется спектром сигнала. Подобно колебанию S(t) спектр
C(k) является одной из возможных
Ck
форм аналитического выражения
сигнала. Произведение C (k ) (k , t )
называется спектральной составляющей.
Ряд Фурье представляет сигнал в виде суммы спектральных
0
1
2
3
4
k
составляющих или, что то же саРис. 1.14
мое, в виде суммы элементарных
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
колебаний  (k , t ) , взятых с весом C(k). Спектр C(k) можно изображать графически с помощью гистограмм (рис. 1.14), которые
называются спектральными характеристиками, или просто спектрами. При конечном интервале определения сигнала его спектр
всегда будет дискретным или линейчатым.
При внимательном рассмотрении обращает на себя внимание
симметрия выражений (1.10) и (1.11). To, что в первом производится суммирование, а во втором интегрирование, не имеет
принципиального значения, так как это аналогичные операции
для функций дискретной переменной С(k) и непрерывной переменной S (t). Симметрия указывает на равноправие функций S(t)
и С(k) как различных форм выражения сигнала.
Отметим некоторые особенности разложения сигнала в
обобщенный ряд Фурье. Равенство (1.11) является тождеством по
определению: необходимо так определить коэффициенты C(k),
чтобы можно было разложить сигнал.
Теперь рассмотрим разложение колебания S(t) по неполной
системе базисных функций, содержащей функции порядков k = 0,
1,…, n. В этом случае ряд Фурье (1.10) принимает вид усеченного
ряда
n
S (t )   C (k ) ( k , t )  S n (t ).
(1.12)
k 0
Колебания S(t) и S n (t ) отличаются друг от друга. Оценим их
близость в смысле мощности ошибки аппроксимации  2 функции
S(t) усеченным рядом Фурье. Из (1.12) следует, что
n
2
  [ S (t )   C (k ) (k , t )]2 dt.
T
k 0
2
После возведения в квадрат подынтегрального выражения
получим
2
  [
T
2
T /2
S
0
2
n
2
(t )dt   C ( k )
k 0
T /2
n
T /2
0
k 0
0
  (k , t )dt  2 C (k )  S (t ) (k , t )dt.
Поскольку
2 T /2
2 T /2 2
S
(
t
)

(
k
,
t
)
dt

C
(
k
)
P
,
k

 S (t )dt  P,
T 0
T 0
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 T /2 2
 (k , t )dt  Pk ,
T 0
(1.13)
то
n
  P   C 2 (k )Pk .
2
k 0
Отсюда следует неравенство Бесселя
n
P   C 2 (k ) Pk ,
(1.14)
k 0
которое означает, что мощность приближенной копии сигнала
S(t), полученной в результате его аппроксимации многочленом
(1.12), меньше или равна мощности оригинала.
Из выражения (1.13) видно, что с увеличением n, т. е. при
привлечении для аппроксимации сигнала S(t) новых ортогональных функций, ошибка  2 уменьшается. По определению  2 – положительная величина, следовательно, в пределе при n   в выражении (1.13) сумма членов ряда C 2 (k ) Pk сходится к мощности
сигнала Р, а ошибка  2 стремится к нулю.
В результате приходим к равенству

P   C 2 (k ) Pk ,
(1.15)
k 0
которое называется равенством Парсеваля.
Таким образом, равенство (1.10) означает, что сумма членов
ряда Фурье сходится к сигналу со сколь угодно малой среднеквадратической ошибкой. Сумма членов ряда Фурье при n  
дает не S(t), а лишь копию сигнала, которая остается таковой,
как бы мало она ни отличалась от оригинала.
Следовательно, сигналы S(t), фигурирующие в (1.10) и
(1.11), – это, по существу, разные сигналы.
2. Системы базисных функций Представление колебания рядом Фурье (1.10) возможно не
для любых систем функций { k (t )} . Рассмотрим условия, при которых разложение существует, а также основные системы базисных функций и их взаимную связь.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.1. Требования, предъявляемые к системе базисных функций Для того, чтобы разложение сигнала можно было выполнить,
базисная система должна удовлетворять ряду требований.
1. Это должна быть система линейно независимых функций,
так как если какие-либо функции из нее будут связаны линейной
зависимостью, например  m (t )  c l (t ) , то соответствующие слагаемые ряда (1.10) могут быть объединены
cm m (t )  cll (t )  (cm c  cl )l (t ).
Простейшими примерами линейно независимых сигналов
могут служить t и t2, sin  t и cos  t , f1 (t ) и jf 2 (t ) .
2. Система { k (t )} должна быть упорядоченной. Это значит,
что, взяв из нее любую пару функций, можно всегда определить
(по показателю степени, индексу, коэффициенту и другим признакам), какая из них предыдущая, а какая последующая.
Примеры упорядоченных систем функций:
a0, a1t, a2t2, …, aktk, …;
1, cosωt, cos2ωt, …, coskωt, …;
…, e  jt , 1, e jt , e j 2t , …, e jkt , …;
0, I1 (1t ) , I1 (2 t ) , …, I1 (k t ) , … .
3. Базисные функции { k (t )} нa интервале ортогональности
[t a , t b ) должны иметь конечную энергию
tb
Ek    k2 (t )dt   .
ta
Это значит, что на интервале определения сигнала [t a , t b )
должна быть конечной их средняя мощность, например при одностороннем интервале определения сигнала,
2 T /2 2
Pk    k (t )dt   .
T 0
На бесконечном интервале энергия базисных функций (за исключением тех, у которых интервал ортогональности равен [0, )
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
или [, ) ), бесконечно велика, и поэтому на этом интервале
времени к ним применимо только понятие ортогональности по
мощности.
4. При разложении сигналов удобно пользоваться системой
функций { k (t )} , нормированной по энергии или по мощности.
Это значит, что, например, на одностороннем интервале при
нормировке по энергии имеем
T /2
Ek 

2
k
(t )dt  1
0
или при нормировке по мощности
T /2
2
Pk    k2 (t )dt  1.
T 0
Здесь энергия и мощность пронормированы к единице. Впрочем, можно пронормировать и к любой другой постоянной величине, отличной от единицы.
Требование нормировки базисных функций не является обязательным.
5. Особенно удобно производить разложение сигналов, если
система { k (t )} является ортогональной на интервале определения
сигнала [t a , tb ) . Поэтому вся современная спектральная теория
сигналов строится как теория разложения сигналов именно по таким системам.
Условие ортогональности заключается в равенстве нулю взаимной мощности или взаимной энергии двух различных базисных функций, в частности для одностороннего интервала ортогональности это означает
Pkl 
0
2 T /2
 k (t )l (t )dt  

T 0
 Pk
k  l,
k  l.
Если система  k (t ) является одновременно нормированной к
единице и ортогональной, то она называется ортонормированной
и для нее справедливо
0
Pkl  
1
k  l,
k  l.
Любую систему линейно независимых функций можно ортогонализировать, т. е. преобразовать в ортогональную.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Чтобы по выбранной системе базисных функций можно
было разложить любой сигнал из заданного множества, необходимо, чтобы она была полной.
Число линейно независимых функций в полной системе
должно быть равно размерности (числу степеней свободы) рассматриваемого множества сигналов, т. е. количеству чисел, с помощью которых можно выбрать любой сигнал из этого множества. К такой полной системе ортогональных функций нельзя добавить ни одной новой функции, которая была бы ортогональна одновременно ко всем другим функциям данной системы.
Когда рассматриваем множество непрерывных сигналов произвольной формы, то их размерность бесконечно велика, и в этом
случае базисная система функций, применяемая для разложения
сигналов, должна содержать также бесконечно большое число
линейно независимых функций.
Если ортогональная система окажется неполной, то по ней
уже нельзя разложить любой сигнал (например, сигнал, совпадающий с ортогональной функцией, отсутствующей в системе).
По неполной системе функций можно разложить только сигналы,
на которые накладываются определенные ограничения, выделяющие их из множества сигналов в особое подмножество (например, подмножество четных сигналов, подмножество сигналов,
мгновенные значения которых изменяются в заданных пределах,
и т. д.). Можно доказать, что всякая неполная система является
частью некоторой полной системы и что ее всегда можно дополнить, включив в нее новые функции.
7. При разложении непрерывных сигналов базисная система
должна также состоять из непрерывных функций. При разложении дискретных сигналов базисные функции должны быть тоже
дискретными и заданными в тех же точках.
2.2. Простые и составные системы базисных функций Любая базисная система, полная и ортогональная на симметричном интервале [-Х/2, Х/2), может быть представлена как система, состоящая из четных и нечетных функций:
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Vm ( x)  Ч к ( x), Н к ( x)  Ч 0 ( x), Н 1 ( x), Ч 1 ( x), Н 2 ( x),...
3десь Н 0 ( x )  0.
Если базисная система приведена к такому виду, то мы будем
называть ее составной. Функции, входящие в ее состав, обладают
следующими свойствами четности:
Ч k ( x )  Ч k (  x ), Н k ( x )   Н k (  x ).
Составная система функций Vm (x) может быть разделена на
две части: Ч k (x) и Н k (x), которые назовем простыми базисными системами. Здесь m=0, 1, 2… – номер функции в составной
системе, k = 0, 1, 2,... – номер той же функции в простой системе
так, что m=2k для четных функций и m=2k – 1 для нечетных
функций.
Разложение произвольного сигнала по составной системе
функций может быть записано в виде
S ( x) 



m 0
k 0
k 1
 CmVm   C1kЧ k ( x)   C2 k Н k ( x).
Эта запись по существу означает, что произвольный сигнал
может быть разделен на четную (первая сумма) и нечетную (вторая сумма) части, причем четная часть состоит только из четных
составляющих, а нечетная часть – из нечетных составляющих.
Именно поэтому для разложения любого сигнала требуются
как четные, так и нечетные базисные функции.
Разлагая по системе функций Ч k (x) четный сигнал, мы одновременно по этой же системе
S1(x)
разлагаем его каузальную половину на одностороннем интервале [0,Х/2) (рис. 2.1). На интервале [0,Х/2) система функций Ч k (x) будет также ортогох
0
нальной, это следует из свойств
Рис. 2.1
четности входящих в нее функций. В самом деле, при k  l
1
Pkl 
X
X /2
1
Ч
x
Ч
x
dx

(
)
(
)
k
l

X
X /2
0
1
Ч
x
Ч
x
dx

(
)
(
)
k
l

X
X /2
29
X /2
Ч
0
k
( x)Ч l ( x)dx  0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сделаем в первом интервале подстановку x1   x , тогда,
учитывая свойства четности базисных функций, получим
2
Pkl 
X
X /2
Ч
k
( x)Ч l ( x)dx  0.
0
На четный сигнал не накладывается никаких ограничений,
кроме условия четности, поэтому его каузальная половина может
быть любой. Таким образом, мы приходим к выводу, что на одностороннем интервале [0, X/2) система функций Ч k (x) является
полной и ортогональной.
Рассуждая аналогичным образом, можно показать, что на том
же одностороннем интервале система Н k (x) является также полной и ортогональной.
Из полученных результатов следует, что если по составной
системе функций Vm ( x)  Ч k ( x), Н k ( x) можно разложить любой
сигнал на интервале [-X/2, Х/2), то любой сигнал на одностороннем интервале [0, Х/2) можно разложить по простым системам
Ч k (x) или Н K (x).
Этот вывод может показаться странным. Действительно, если
S ( x)  0 при x  0 , то как получить сигнал в этой точке, складывая
его из начальных функций H k (x) ? Дело в том, что сумма

 C2 k H k ( x) не обязательно должна совпадать с сигналом в кажk 1
дой точке x. Здесь равенство понимается не в смысле тождества, а
в смысле нулевой среднеквадратической ошибки.
2.3. Формальная система базисных функций Формально возможна нумерация базисных функций с помощью ряда чисел k = ..., –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3,..., и, поскольку она
целесообразна, мы будем ее применять. Имея это в виду, введем
понятие формальной системы базисных функций
 (k , t )  Ч (k , t )  Н (k , t ) .

2
30

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Эта система обладает следующими свойствами:
1) является полной и ортогональной на симметричном интервале [T / 2, T / 2) ;
2) включает в себя функции как с положительными, так и с
отрицательными порядками    k   ;
3) все входящие в нее функции имеют равную мощность
P
1 T /2 2
P 
 (k , t )dt  П ;

T T / 2
2
4) четные и нечетные части входящих в нее функций имеют
те же свойства четности относительно порядка k, что и относительно времени t :
Ч (k , t )  Ч (k , t )  Ч (k , t ),
Н ( k , t )   Н (  k , t )   Н ( k , t ) .
В развернутом виде формальная система функций может
быть записана как
Ч (2, t )  Н (2, t )
 (k , t )  ...,
2
Ч (1, t )  Н (1t )
Ч (0, t )
Ч (1, t )  Н (1, t )
,
,
,
2
2
2
Ч (2, t )  Н (2, t )
, ….
2
Нетрудно убедиться в том, что при одном и том же максимальном порядке n формальная система содержит ровно столько
же функций, сколько и составная, а именно: 2n  1 .
Для обеспечения третьего свойства формальной системы
четные и нечетные функции при k  0 должны иметь одинаковую
точность PП , а четная функция Ч (0, t ) – мощность 2 PП .
Приведем пример получения составной и формальной базисной систем. В качестве простых систем возьмем
Ч (k , t )  2cos k t и H (k , t )  2sin k t .
Составная система базисных функций в этом случае имеет вид
V (m, t )  2cos k t , 2sin k t .
Входящие в нее четные и нечетные функции обладают свойствами четности, необходимыми для образования формальной
системы
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
cos k t  cos[k (t )]  cos[(k )t ],
sin k t   sin[ k ( t )]   sin[( k )t ].
2.4. Комплексная система базисных функций На основе функций Ч(k,t) и Н(k,t) образуется также и полная
ортогональная система комплексных базисных функций  (k , t ),
по которой можно разложить любой действительный сигнал на
симметричном интервале времени [–Т/2, Т/2)
Ч (k , t )
H (k , t )
j
.
2
2
Совершенно очевидно, что действительный сигнал S(t) можно разложить по системе  (k , t ) только в том случае, если эта
система будет состоять из пар комплексно-сопряженных функций  (k , t ) и  * (k , t ), где
*
Ч (k , t )
H (k , t )
 (k , t ) 
j
.
(2.1)
2
2
Из свойств четности простых функций, входящих в систему,
следует, что
 (k , t ) 


 (k , t )   k , t   (k , t ).
*


Нетрудно убедиться в том, что система  (k , t ) является ортогональной
T /2
*
1
Pk ,l 

k
t

(
,
)
(l , t )dt 
T T/ 2
T /2
1
Н (k , t )  Ч (l , t )
H (l , t ) 
Ч (k , t )
j
j
dt 



T T/ 2  2
2   2
2 
1

4T
T /2
1
Ч
k
t
Ч
l
t
dt

j
(
,
)
(
,
)

4T
T / 2
1
j
4T
T /2
1
Н
k
t
Ч
l
t
dt

(
,
)
(
,
)

4T
T / 2
32
T /2

H (k , t ) H (l , t )dt 
T / 2
T /2

T / 2
Н (k , t ) Н (l , t )dt.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При k  l и k > 0, l > 0 все четыре интеграла равны нулю из-за ортогональности функций под знаком интеграла. Если же l  k , то
опять Pk ,l  0 , так как мощность четных и нечетных функций одинакова, а первый и четвертый интегралы имеют разные знаки.
Каждая из функций, входящих в систему, имеет одну и ту же
мощность
T 2
*
1
(
,
)
(k , t )dt 
P 

k
t

T T 2
(2.2)
1

4T
T 2
1
(
,
)
Ч
k
t
dt


4T
T 2
2
T 2

Н 2 (k , t )dt 
T 2
PП
.
2
Следовательно, мощность комплексной функции  (k , t ) равна
мощности формальной функции  (k , t ) .
Комплексную функцию всегда можно представить в показательной форме
 (k , t )   (k , t )e j ( k ,t ) ,
(2.3)
где
2
2
1
 (k , t )  Ч (k , t )  Н (k , t ),
2
H (k , t )
 (k , t )  arctg
.
Ч (k , t )
Здесь модуль  (k , t ) и фаза  (k , t ) базисной функции  (k , t ) об-
ладают следующими свойствами четности
 (k , t )   (k ,t )   (k , t ),
 (k , t )   (k ,t )   (k , t ).
Из (2.3) следует, что
Ч (k , t )  2 (k , t ) cos  (k , t ) ,
H (k , t )  2 (k , t ) sin  (k , t ) .
Последние выражения, хотя и имеют «тригонометрическую»
форму, не означают, что Ч(k,t) и H(k,t) должны быть обязательно
тригонометрическими функциями. Они будут ими только в одном частном случае, когда
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 (k , t )  e jkt .
Тогда
Ч (k , t )  2cos k t ,
H (k , t )  2sin k t ,
 (k , t )  k t .
 (k , t )  1,
B общем случае функция  (k , t ) может быть изображена на
плоскости в виде вектора, положение и длина которого изменяется
во времени. В частном случае  (k , t )  e jkt этот вектор имеет единичную длину и равномерно вращается со скоростью k рад/с.
2.5. Классические системы базисных функций Рассмотрим полные и ортогональные системы функций, на
которых базируется классический спектральный анализ.
1. Два прямоугольных импульса, не перекрывающихся друг
другом, ортогональны. Поэтому система прямоугольных импульсов (рис. 2.2), приставленных друг к другу и заполняющих целиком интервал [ta , tb ) , будет ортогональной системой.
1 (t )
1
S(t)
t
0 ta
tb
t
 2 (t )
1
0
t2
t
0
…
 N (t )
ta t 1
tN-1 tN t
Рис. 2.3
1
0
ta
tN-1 tN t
Рис. 2.2
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть их длительность равна t 
T
, где T  ta  tb и N – число
N
импульсов на рассматриваемом интервале. Используя простейшие разрывные функции, например rect-функцию, любой m-й
импульс  m (t ) с единичной высотой можно записать в виде
t 

 t  mt  
2 .
 m (t )  rect 
t






Ясно, что по рассматриваемой системе функций можно разложить не любой сигнал, а лишь сигнал, имеющий ступенчатую
форму (рис. 2.3). Поэтому такая система является полной только
для подмножества ступенчатых сигналов с шириной ступени t .
Систему функций { m (t )} можно сделать полной для любого непрерывного сигнала, если положить t   , N   . Тогда от
прямоугольных импульсов  m (t ) мы перейдем к единичным импульсам U (t   ) , положение которых определяется сдвигом во
времени   mt , при t  0 , m   .
Полученная таким образом система функций U (t   ) является полной и ортогональной на любом интервале времени.
2. Система функций cos kx является полной и ортогональной
системой на интервале [0,  ) (рис. 2.4).
ηk(x)
η1(х)
k=0
1
1
2
3
0

π
x
–π
0
π
2
-1
Рис. 2.5
Рис. 2.4
35
2π
х
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для нее
0
1
1

Pkl   cos kx cos lxdx 
[cos(k  l ) x  cos(k  l ) x]dx  1

2 0
0
1 2



k l
k  l  0.
k l 0
Эта система непериодическая. При периодической системе с
интервалом ортогональности [0,  ) на соседних участках длительностью  функции должны иметь совершенно одинаковый
вид. Если бы какая-либо функция из рассматриваемой системы,
например 1 ( x)  cos x , была периодической с периодом  , то она
должна была бы иметь вид, показанный на рис. 2.5.
3. Система функций sin kx (рис. 2.6) также полная и ортогональная на интервале [0,  ).
ηk(x)
k=1
1
η1(x)
2
3

0
2
π
x
-π
0
π
x
-1
Рис. 2.7
Рис. 2.6
Для любых двух функций из этой системы
Pkl 
1
0
l  k , l  k  0,

l  k  0.
sin kx sin lxdx  
12

0
Эта система также непериодическая. Если бы какая-либо
функция из этой системы, например 1 ( x)  sin x , была периодической с периодом π, то она выглядела бы так, как это показано на
рис. 2.7.
4. Обе приведенные выше системы cos kx и sin kx являются
ортогональными также и на симметричном интервале [ ,  ) , однако каждая из них на этом интервале не является полной. На интервале [ ,  ) полной и ортогональной будет составная система
cos kx, sin kx (рис. 2.8).
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
cos 2x
cos 0x
1
Vm(x)
cos x
sin 2x sin x
π
0
-π
x
-1
Рис. 2.8
Действительно, простые системы cos kx и sin kx ортогональны друг другу на этом интервале в силу свойств четности.
Каждая из простых систем на симметричном интервале будет
также ортогональной в силу свойств четности. Поэтому неполные
на интервале [ ,  ) простые системы взаимно дополняют друг
друга и образуют составную систему:
Vm ( x)  cos kx,sin kx  1,
sin x, cos x, sin 2 x, cos 2 x, …
Эта система является периодической. Она сохраняет свою ортогональность и полноту на любом интервале длительностью 2π.
5. Полной ортогональной системой на интервале [ ,  ) или
любом другом интервале длительностью 2π является система
комплексных экспоненциальных функций:
e   …, e
jkx
 j2x
, e  jx , 1, e jx , e j 2 x , …
Действительно,
1
Pkl 
2

1
 e (e )dx  2

jlx
jnx

e

j ( l n ) x
0
dx  
1
l  n,
l  n.
Это периодическая система с периодом 2π. Поскольку
e  cos kx  j sin kx, то система e jkx  является родственной с составной системой cos kx, sin kx. Для этих систем простыми функциями будут: Ч k ( x)  cos kx, Н k ( x)  sin kx .
jkx
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.6. Мультипликативные базисные системы Среди всех возможных ортогональных и полных базисных
систем особое место занимают системы, обладающие свойством
мультипликативности. Это свойство заключается в следующих
двух особенностях:
1) вместе с двумя функциями  m (x) и  n (x) мультипликативная система  k (x) содержит их произведение
 r ( x)   m ( x) n ( x);
2) вместе с каждой функцией  k (x) система содержит и
l ( x)  1  k ( x) .
Любую упорядоченную систему  k ( x) можно рассматривать как систему функций двух переменных – дискретной переменной k и переменной x, поэтому особенно интересен случай,
когда мультипликативность базисной системы проявляется сразу
по обеим переменным. Пример дважды мультипликативной системы – это система, составленная из комплексных экспоненциальных функций. В самом деле, для системы e jkt  , рассматриваемой на двухсторонних интервалах изменения k и t, имеем
e jmt e jnt  e j ( mn ) t ,
1
jk t
 e j (  k ) t .
e
Аналогичная картина будет и для переменной t.
Если какая-либо базисная система является мультипликативной, то это не означает, что и родственные ей системы также
мультипликативны. В частности, хотя система e jkt  и мультип-
ликативна, системы sin k x , cos k x , cos k x,sin k x и
 sin k t  cos k t 

 мультипликативными не являются.
2


Общим свойством любой ортонормированной мультипликативной системы { k (t )} будет то, что модули всех функций из такой системы одинаковы, т. е.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|  k ( x ) | 1 ,
и если система комплексная, то
1
 k * ( x).
k ( x)
Из этих свойств вытекают известные соотношения, и, в частности, для системы комплексных экспоненциальных функций
имеем
2
2
Ч k ( x)   H k ( x) 
2
2
 2    2   cos kx  sin kx  1.
Мультипликативные свойства системы комплексных экспоненциальных функций в значительной степени предопределили
ту исключительную роль, которую эта система играет в классическом спектральном анализе.
3. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов на конечных интервалах Спектральный анализ находит широкое применение при изучении свойств и в обработке сигналов. Наряду с системами тригонометрических и комплексных экспоненциальных базисных
функций, традиционно используемых при разложении колебаний,
иногда целесообразно применение и других функций, например
функций Уолша, Лаггера, Чебышева.
Поскольку количество базисов постоянно пополняется, то
спектральный анализ рассмотрим при использовании систем
обобщенных базисных функций. При этом в качестве примеров
будут приведены и конкретные системы базисных функций.
3.1. Простые спектры сигнала Любой сигнал S(t), заданный на симметричном интервале
[-T/2, T/2), можно получить путем линейной комбинации односторонних сигналов S1 (t ) и S 2 (t ) , заданных на интервале [0, T/2).
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть эти элементарные колебания S1 (t ) и S 2 (t ) имеют спектры
С1 (k ) и С2 (k ) по простым системам базисных функций Ч k (k , t ) и
H k (t ) соответственно (рис. 3.1).
S1(t)
C1(k)
k
0 1 2 3 4
k
C2(k)
S2(t)
0
0 1 2 3 4 5
k
5
Рис. 3.1
Обобщенный ряд Фурье любых односторонних сигналов
имеет вид

S (t )   C (k ) (k , t ) ,
(3.1)
k 0
где
1 2
С (k ) 
Pk T
T /2
 S (t ) (k , t )dt.
0
В этом выражении необходимо уточнить нормировку мощности базисных функций. Проще всего было бы положить Pk  1,
т. е. сделать базисную систему ортонормированной, но в данном
случае будем применять нормировку
2 PП
Pk  
 PП
где
40
k 0
k  0,
(3.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
T /2
2
РП    2 (k , t )dt.
T 0
При такой нормировке мощность четной функции нулевого
порядка Ч(0,t) удваивается по сравнению с мощностью всех остальных функций Ч(k,t) и коэффициент Фурье нулевой составляющей спектра С(0) уменьшается вдвое по сравнению со случаем, когда все функции базисной системы имеют равную мощность. В результате простой спектр C1 (k ) имеет вид, изображенный на рис. 3.1.
Простой спектр C2 (k ) , полученный при разложении колебания
S(t) по системе H (k , t ) , остается с точностью до постоянного
множителя таким же, что и при ортонормированной системе
функций, так как по определению H (0, t )  0 , следовательно, и
С(0)= 0.
Спектры C1 (k ) и C2 (k ) односторонних сигналов, заданных на
интервале [0,Т/2), определяются на интервале 0  k  .
Следовательно, можно сделать вывод, что адекватными
представлениями сигнала являются: одностороннее колебание во
временной области и любой из двух его простых спектров C1 (k )
или C2 (k ) в спектральной области.
Поскольку произвольное колебание S(t) может быть получено
путем линейной комбинации соответствующих односторонних
колебаний S1 (t ) и S 2 (t ) , то, как будет видно из дальнейшего, и
спектры более сложных колебаний могут быть также получены
путем линейного комбинирования простых спектров C1 (k ) и C2 (k ) .
3.2. Составной спектр сигнала Рассмотрим спектры сигнала S(t), определенного на симметричном двухстороннем интервале [T / 2, T / 2) .
Такой сигнал можно разложить по составной системе функций V (m, t )  Ч (k , t ), H (k , t ). В силу свойств четности базисных
функций ряд Фурье по функциям Ч (k , t ) со спектром C1 (k ) , воссоздающий на интервале [0, T / 2) сигнал S1 (t ) , одновременно
воссоздает на интервале [T / 2, T / 2) четный сигнал Sч (t ). Анало41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
гично простой спектр C2 (k ) с базисом H k (k , t ) будет одновременно являться и спектром сигнала S (t ) , и спектром нечетного
сигнала S H (t ) . Из четного и нечетного сигналов можно сложить
произвольный сигнал на интервале [T / 2, T / 2) (рис. 1.10). Таким
образом, совокупность двух простых спектров C1 (k ) и C2 (k ) может рассматриваться как составной спектр произвольного сигнала, определенного на интервале [T / 2, T / 2) . Однако, строго говоря, это неадекватные формы представления сигнала.
Составному спектру С1 (k ), С2 (k ) в спектральной области адекватна по форме совокупность S1 (t ), S 2 (t ) во временной области,
так как в обоих этих случаях сигнал задается с помощью двух
функций и все они определяются на положительной полуоси
времени.
В том случае, когда произвольному сигналу S (t ) ставится в
соответствие составной спектр С1 (k ), С2 (k ), обобщенный ряд Фурье записывается в виде


k 0
k 0
S (t )   C1 (k )Ч (k , t )   C2 (k ) H (k , t ),
где
T /2
1 1
1 2
(
)
(
,
)
C1 (k ) 
S
t
Ч
k
t
dt

Pk T T/ 2
Pk T
T /2
1 1
1 2
(
)
(
,
)
C2 ( k ) 
S
t
H
k
t
dt

Pk T T/ 2
Pk T
T /2
 S (t )Ч (k , t )dt ,
1
0
T /2
 S (t ) H (k , t )dt.
2
0
Следовательно, составной спектр сигнала, определенного на
симметричном интервале, состоит из двух спектральных характеристик. Это не совсем удобно.
Однако формально можно свести две характеристики к одной. Для этого необходимо применить единую нумерацию функций, входящих в составную базисную систему
V (m, t )  Ч (0, t ), H (1, t ),Ч (1, t ), H (2, t ),Ч (2, t ),...,
где
V (0, t )  Ч (0, t ), V (1, t )  H (1, t ), V (2, t )  Ч (1, t ) и т. д.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом,
2k для функции Ч (k , t ),
m
2k  1 для функции Н (k , t ).
Тогда обобщенный ряд Фурье примет вид
S (t ) 

 C (m)V (m, t ),
m 0
где
C ( m) 
1 2 T /2
 S (t )V (m, t )dt.
Pk T 0
Полученный
спектр
C (m) (рис. 3.2) является реС(m)
C1(k)
C2(k)
зультатом такого наложения
спектров C1 (k ) и C2 (k ) , когда
спектральные составляющие
спектра C1 (k ) чередуются со
спектральными составляю0 123
m
щими C2 (k ) .
Рис 3.2
Составной спектр С (m)
применяется при разложении сигналов по составным системам
функций Лежандра, Уолша и др. При разложении сигналов по
тригонометрическим функциям он обычно не используется.
3.3. Формальный спектр сигнала Основное преимущество, которое дает введение формальЧ (k , t )  H (kt ) 
ной системы базисных функций  (k , t )  
 , за2


ключается в том, что она позволяет представить спектр сигнала,
заданного на симметричном интервале времени, с помощью одной спектральной характеристики С (k ) , а не двух C1 (k ) и C2 (k ) ,
как это было при составной системе функций.
Формальный спектр C (k ) и простые спектры C1 (k ) и C2 (k )
тесно связаны друг с другом. Установим эту связь.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Допустим, что произвольный сигнал S (t ) , определенный на
интервале [T / 2, T / 2) (рис. 3.3 а), разлагается в ряд Фурье по
формальной системе базисных функций  (k , t ). Формулы для
ряда Фурье и спектра будут иметь вид
S (t ) 

 C (k ) (k , t ),
k 
(3.3)
T /2
1 1
С (k ) 
S (t ) (k , t )dt.
P T T/ 2
Представим, как показано на рис. 3.3 б, в, сигнал S(t) в виде
суммы четной и нечетной частей: S (t )  SЧ (t )  S Н (t ) . Тогда получим
T /2
T /2
1 1
1 1
С (k ) 
SЧ (t ) (k , t )dt 
S H (t ) (k , t )dt.
P T T/ 2
P T T/ 2
C(k)
S(t)
-T/2
T/2
t
-3 -2
а)
-1 0 1 2 3
k
CЧ(k)
SЧ(t)
T/2
-T/2
t
б)
-3 -2 -1 0 1 2 3
CH(k)
SH(t)
-T/2
k
-T/2 t
-3 -2
в)
Рис. 3.3
44
0123
k
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обозначим
T /2
1 1
CЧ (k ) 
SЧ (t ) (k , t )dt ,
P T T/ 2
T /2
1 1
CH ( k ) 
S H (t ) (k , t )dt.
P T T/ 2
Тогда C (k )  CЧ (k )  CH (k ) , где CЧ (k ) – это формальный спектр
четной части сигнала, а CH (k ) – это формальный спектр нечетной
части сигнала (рис. 3.3 б, в).
Нетрудно доказать, что CЧ (k ) – формальный спектр нечетной
части сигнала, CH (k ) – нечетная функция аргумента k, т. е.
CЧ (k )  СЧ ( k ) , а CH (k )  CH (k ) .
Запишем ряд Фурье, представив C(k) и  (k , t ) в виде суммы
четной и нечетной частей относительно k и t соответственно. В
результате получим

Ч (k , t ) 
H (k , t )
S (t )   CЧ (k )
  CЧ (k )

2
2
k 
k 

Ч (k , t ) 
H (k , t )
.
  CH ( k )
  CH ( k )
2
2
k 
k 
Вторая и третья суммы здесь равны нулю, так как суммируемые
выражения являются нечетными относительно k. Следовательно,
S (t ) 

 CЧ (k )
k 
Ч (k , t ) 
H (k , t )
  CH ( k )
.
2
2
k 
(3.4)
От формальных спектров CЧ (k ) и C H (k ) нетрудно перейти к
составному спектру C1 (k ) , C2 (k ) , получающемуся при разложении
сигнала по составной системе базисных функций Ч (k , t ), H (k , t ) ,
где k  0 . Для этого запишем выражения для CЧ (k ) и CH (k ) , учитывая, что
 (k , t ) 
Ч (k , t )  H (k , t )
P
, P  П ,
2
2
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
T /2
T /2
1 1
1 1
СЧ (k ) 
S
t
Ч
k
t
dt

S (t )Ч (k , t )dt ,
(
)
(
,
)
Ч
PП T T/ 2
PП T T/ 2
T /2
T /2
1 1
1 1
CH ( k ) 
S
t
H
k
t
dt

S (t ) H (k , t )dt.
(
)
(
,
)
H
PП T T/ 2
PП T T/ 2
Сравним эти формулы с соответствующими выражениями
для составного спектра
T /2
С1 (
1 1
k) 
S (t )Ч (k , t )dt ,
Pk T T/ 2
T /2
1 1
С2 ( k ) 
S (t ) H (k , t )dt.
Pk T T/ 2
Учитывая нормировку мощности базисных функций (3.2),
получим
С (k ) 2 ,
С1 (k )   Ч
CЧ (k ),
k 0
k  0,
С2 (k )  C H (k ) при k > 0.
Если учесть эти зависимости и свойства четности суммируемых выражений, то ряд Фурье (3.4) можно записать в виде


k 1
k 1
S (t )  C1 (0)Ч (0, t )   C1 (k )Ч (k , t )   C2 (k ) H (k , t ).
Отметим интересную аналогию между колебаниями и спектрами. Подобно тому, как четный и нечетный сигналы могут
быть составлены из односторонних половин
SЧ (t )  S1 (t )  S1 (t ), S H (t )  S 2 (t )  S2 (t ),
четный и нечетный формальные спектры могут быть выражены
через односторонние простые спектры
CЧ (k )  С1 (k )  C1 (k ), CH (k )  C2 (k )  C2 (k ).
Если здесь C1 (k ) и C2 (k ) являются спектрами односторонних сигналов S1 (t ) и S 2 (t ) , то CЧ (k ) и C Н (k ) будут формальными спектрами
сигналов SЧ (t ) и S Н (t ) . Это положение иллюстрируется на рис. 3.3.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Четный сигнал SЧ (t ) образуется путем стыковки одностороннего сигнала S1 (t ) с его зеркальным отображением S1 (t ) , причем
правильная стыковка обеспечивается определением значения одностороннего сигнала при t  0
1
SЧ (0) .
2
Проблема стыковки при образовании нечетного сигнала и нечетного спектра более проста, так как S H (0)  0 и C H (0)  0 .
На рис. 3.2 и 3.3 можно также увидеть, что те же сведения,
которые заключены в простых спектрах C1 (k ) и C2 (k ) , содержатся
в формальных спектрах CЧ (k ) и C Н (k ) (их левые части не вносят
ничего нового в силу свойств четности). Эти же сведения заключены в едином формальном спектре C(k), у которого содержательными являются и левая и правая части, так как этот спектр,
вообще говоря, несимметричен.
S1 (0) 
3.4. Комплексный спектр действительного сигнала Рассмотрим разложение действительного ряда S(t) по системе
комплексных функций  (k , t ) . В этом случае обобщенный ряд


Фурье имеет вид
S (t ) 

 A(k ) (k , t ),
(3.5)
k 
где
T /2
*
1 1
(
)
(k , t ) dt.
A(k ) 
S
t

P T T/ 2
*
Подставив сюда значения PS из (2.2) и  (k , t ) из (2.1), получим
T /2
21
Ч (k , t )  jH (k , t )
(
)
A(k ) 
S
t
dt.
2
P T T/ 2
Учитывая (3.4), а также то, что
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
T /2
1 1
Ч (k , t )
CЧ (k ) 
S
(
t
)
dt ,
Ч
P T T/ 2
2
T /2
1 1
H (k , t )
(
)
СН ( k ) 
S
t
dt ,
H
2
P T T/ 2
получим
A(k )  CЧ (k )  jCH (k )  A(k )e  j ( k ) ,
(3.6)
где
2
2
C (k )  C (k )
A( k )  CЧ (k )  CH (k ) 
,
2
C (k )
C (k )  C (k )
 (k )  arctg H
 arctg
.
CЧ (k )
C (k )  C (k )
2
2
A(k)
-3
-2
-1
0
1
2
3
2
3
k
 (k )
-3
-2
-1
0
1
k
Рис. 3.4
Здесь C(k) – формальный
спектр сигнала S(t).
Отсюда следует, что
спектр сигнала, заданного
на симметричном интервале, можно еще определить с помощью функций
A(k) и  (k ) . Первая из них
носит название амплитудного спектра, а вторая –
фазового. Примеры амплитудного и фазового
спектров приведены на
рис. 3.4. Из (3.6) следует,
что A(k) – функция четная
относительно k, а  (k ) –
нечетная. Из (3.6) также следует, что
СЧ (k )  A(k )cos  (k ),
CH (k )  A(k )sin  (k ),


C (k )  2 cos  (k )   .
4

48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ряду Фурье при разложении сигнала по системе комплексных функций можно придать показательную или тригонометрическую форму. Подставив в (3.5) значения А(k ) из (3.6) и  (k , t )
из (2.3), получим
S (t ) 

 A(k )e
 (k , t )e j ( k ,t ) 
 j ( k )
k 


 A(k ) (k , t )e
(3.7)
j [  ( k ,t ) ( k )]
.
k 
Это обобщенный ряд Фурье при комплексном базисе в показательной форме. В нем амплитуда A(k ) (k , t ) является четной
функцией переменных k и t, а фаза (k , t )   (k ) – нечетной функцией тех же переменных.
Применяя к (3.7) формулу Эйлера
e j[  ( k ,t ) ( k )]  cos[(k , t )   (k )]  j sin[( k , t )   ( k )]
и учитывая свойства четности, получим ряд Фурье в тригонометрической форме
S (t ) 

 A(k ) (k , t )cos[(k , t )   (k )] 
k 

A(0) (0, t )  2 A(k ) (k , t )cos[(k , t   (k )].
k 1
Равенство Парсеваля при разложении действительного сигнала S(t) по комплексной системе базисных функций имеет вид

1 
2
2
P   CЧ (k )  CH (k )  PП   C 2 (k ) P .
2 k 
k 
Таким образом, равенство Парсеваля для комплексной системы выполняется, если оно выполняется для формальной системы, а отсюда следует, что система  (k , t ) полна, если формаль-


ная система  (k , t ) или исходная составная система
V (m, t )  Ч (k , t ), H (k , t ) являются полными.
В заключение остановимся на вопросе об адекватности рассмотренных представлений. При разложении по комплексному
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
базису действительный сигнал задается с помощью одной функции времени во временной области и с помощью двух функций
переменной k в спектральной области. Следовательно, понятие
колебания S(t) и комплексного спектра A(k ) не являются адекватными.
3.5. Спектр комплексного сигнала Рассмотрим наиболее общий случай разложения в ряд Фурье
комплексных сигналов по системе базисных функций. Для разложения будем применять те же комплексные системы базисных
функций, которые применялись ранее для разложения действительных сигналов, т. е.
 (k , t )  Ч (2k , t )  j H (2k , t )  .
Комплексный спектр сигнала представим в виде
S (t )  R (t )  jI (t )  S (t )e j (t ) .
Оперируя с комплексными сигналами, мы имеем дело одновременно с двумя действительными сигналами R(t) и I(t). Ряд Фурье для комплексного сигнала имеет вид
S (t ) 

 A(k ) (k , t ),
k 
T /2
*
1 1

(
)
(k , t )dt.
A(k ) 
S
t
P T T/ 2
(3.8)
В этих выражениях обращает на себя внимание некоторая
асимметрия по сравнению с (3.3). В то время как при формальном
спектре в формуле разложения и формуле обращения фигурирует
одна и та же базисная функция, при комплексном спектре в одном случае входит функция  (k , t ) , а в другом – комплексно*
сопряженная функция  (k , t ) . Такая асимметрия появилась в
связи с тем, что мощность любого сигнала, как действительного,
так и комплексного, определена как величина вещественная. Эта
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
особенность выражений (3.8) сказывается и на всех других выводах спектральной теории для комплексных сигналов.
Действительная и мнимая части комплексного сигнала могут
быть представлены как сумма четной и нечетной составляющих,
которые тоже являются линейно независимыми (и более того –
ортогональными)
R(t )  RЧ (t )  RH (t ),
I (t )  IЧ (t )  I H (t ).
Таким образом, комплексный сигнал S(t) является, по существу, линейной комбинацией четырех элементов (рис. 3.5)
S (t )  [ RЧ (t )  RH (t )]  j[ IЧ (t )  I H (t )].
В соответствии с этим и (3.8) разложение в ряд Фурье комплексного сигнала есть суперпозиция разложений в ряд Фурье по
той же базисной системе указанных четырех элементов сигнала.
Пусть R(t) имеет комплексный спектр CЧ (k )  jCH (k ), а I (t ) –
спектр dЧ (k )  jd H (k ) . Тогда комплексный S (t ) сигнал будет
иметь спектр
A(k )  CЧ (k )  jCH (k )  j  dЧ (k )  jd H (k )  a (k )  jb(k ),
где
a (k )  CЧ (k )  d H (k ), b(k )  CH (k )  dЧ (k ).
При действительном сигнале, например R(t), действительная
и мнимая части комплексного спектра СЧ (k ) и C H (k ) были одновременно четной и нечетной частями формального спектра
C (k )  CЧ (k )  CH (k ).
В случае комплексного сигнала будет наблюдаться иная картина. Здесь вообще не может быть формального спектра, так как
сумма a (k )  b(k ) никакого смысла не имеет и ее нельзя снова
разделить из-за того, что на a (k ) и b(k ) никакие ограничения не
накладываются. В то же время комплексную комбинацию
A(k )  a (k )  jb(k ) всегда можно разделить на части, соответствующие указанным выше четырем частям комплексного спектра.
Таким образом, комплексный сигнал может иметь только ком51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
плексный спектр, который всегда можно представить и в показательной форме:
A(k )  A(k )e  j ( k ) ,
где A(k )  a 2 (k )  b 2 (k ) – амплитудный спектр,
 b( k ) 
 – фазовый спектр.
a
(
k
)


Переход от действительной и мнимой частей спектра к амплитудному и фазовому спектру осуществляется с помощью нелинейных операций, поэтому ряд выводов линейной теории, справедливых для составных формальных спектров, может потерять
свою силу для огибающей спектра. Таким образом, преобразование сигнала S(t) в спектр A(k ) и наоборот, выражаемое простым
соотношением (3.8), на самом деле описывает весьма сложную
картину совместного преобразования двух независимых сигналов
R(t) и I(t), изображенную на рис. 3.5. Отсюда становится ясной основная цель введения понятия комплексных сигналов – это придание компактной формы математическим выкладкам и выражениям, а также лаконичное описание сложных линейных цепей.
Рис. 3.5 дает возможность лучше уяснить скрытую картину
линейных преобразований комплексных сигналов и спектров.
Рассматривая этот рисунок, можно сделать еще некоторые полезные замечания. Из того факта, что S (t ) и A(k ) связаны преобразованиями Фурье, не следует делать неправильного вывода, что такого же рода связь существует между огибающими колебания и
спектра S (t ) и A(k ) , между их фазами  (k ) и  (k ) , между действительными R(t) и a(k ) или мнимыми I (t ) и b(k ) частями. Преобразования Фурье (3.8) связывают между собой две комплексные
функции S (t ) и A(k ) целиком, а не их отдельные компоненты.
Действительная и мнимая части спектра a(k ) и b(k ) всегда
независимы, если независимы соответствующие части комплексного сигнала R(t ) и I (t ) .
 (k )  arctg 
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S (t )
-T/2
T/2
0
t
Ψ(t)
R(t)
-T/2
-T/2
0
I(t)
t
T/2
0
T/2
RH(t)
RЧ(t)
t
0
CЧ(k)
-T/2
0
k
0
a(k)=CЧ(k)+dH(k)
t
0
T/2
dH(k)
dЧ(k)
CH(k)
k
T/2 t -T/2
0
T/2
t
IH(t)
IЧ(t)
t -T/2
0
T/2
-T/2
t
k
0
k
b(k)=CH(k)+dЧ(k)
0
0
k
k
A(k)
А( k )  A( k ) e
 j ( k )
0
φ(k)
k
0
k
Рис. 3.5
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В общем случае спектр комплексного сигнала несимметричен, в то время как комплексный спектр (имеется в виду амплитудный спектр A(k)) действительного сигнала всегда является
симметричным (т. е. его действительная часть – четная функция,
а мнимая – нечетная). Вследствие этого любое нарушение симметрии комплексного спектра (например, путем его асимметричного усечения, сдвига по оси k и т. д.) неизбежно приведет к тому, что сигнал из действительного станет комплексным.
Могут быть случаи, когда спектр комплексного сигнала является действительной функцией (точнее, комплексной функцией с
нулевой мнимой частью). Это будет наблюдаться, если R(t ) – четная функция времени, а I (t ) – нечетная. Тогда
CH (k )  dЧ (k )  0 и b(k )  0 ,  (k )  0.
Эта картина обратна той, которая наблюдалась, когда мы
рассматривали комплексный спектр действительного сигнала.
Тогда именно из-за того, что сигнал был действительным, комплексный спектр оказался симметричным.
Таким образом, понятию комплексного колебания адекватно
понятие комплексного спектра. Действительное колебание можно
рассматривать как комплексное с нулевой мнимой частью, и поэтому оно также может иметь комплексный спектр. В этом случае равенство нулю мнимой части приводит лишь к тому, что амплитудный спектр окажется симметричным.
4. Обобщенный спектральный анализ сигналов на бесконечных интервалах Рассмотрим разложение сигналов на полубесконечном [0, )
и бесконечном [, ) интервалах времени. Для представления
сигналов с конечной мощностью пригодны только системы базисных функций, имеющие конечную мощность. Эти системы
могут употребляться для разложения сигналов на любом интервале времени вплоть до T   и могут быть получены путем равномерного «растяжения» функций с конечным интервалом орто54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
гональности, так как при такой деформации их мощность не изменяется. Для представления сигналов с конечной энергией при
T   пригодны эти же системы, а также базисные системы, которые с самого начала определяются как системы функций с конечной энергией на бесконечном интервале (например, системы
функций Лаггера, Эрмита и др.).
В зависимости от применяемой системы базисных функций
 (k , x) все случаи разложения сигналов на бесконечном интервале времени [0, ) или [, ) можно разделить на две принципиально различные группы.
Когда базисная система имеет конечный нормированный интервал ортогональности [0, X / 2) или [ X / 2, X / 2) , где X   , то
разложение сигналов на бесконечном интервале времени можно
рассматривать как предельный случай для разложения в ряд Фурье на конечном интервале [0, T / 2) или [T / 2, T / 2) при T   . В
результате при таких базисных системах и при T   ряд Фурье
переходит в интеграл Фурье. Рассмотрению этих случаев посвящаются подразделы 4.1–4.8.
Когда базисная система имеет по определению бесконечный
интервал ортогональности X   , разложение сигналов попрежнему имеет вид ряда Фурье.
4.1. Частота и спектральная плотность Любая базисная система функций  (k , x) дискретна. В ней
одна функция отличается от другой своим порядком k. Порядки
составляют натуральный ряд чисел k  0,1,2,3,... . Соответственно
при такой системе функций и спектр является дискретным: он
представляет собой набор коэффициентов Фурье C(k).
Оперировать порядком k удобно, если сигнал определяется
на конечном интервале времени. Понятие порядка становится неудобным и даже теряет свой смысл, если интервал определения
сигнала является бесконечным, а базисная система функций имеет конечный нормированный интервал ортогональности. Поэтому
при разложении сигнала S(t), заданного на полубесконечном
[0, ) или бесконечном [, ) интервале времени, приходится
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вводить вместо порядка k более удобную величину – обобщенную частоту f, а вместо коэффициента разложения C(k) – спектральную плотность S ( f ) . В обозначениях S (t ) и S ( f ) применима
одна и та же буква S для того, чтобы подчеркнуть, что обе функции характеризуют один и тот же сигнал.
Понятие спектральной плотности можно ввести формально и
при разложении сигнала на конечном интервале времени, хотя в
этом случае вполне можно обходиться и без него. Тем не менее
введение спектральной плотности полезно в ряде случаев, особенно при больших интервалах определения сигнала. Без этого
понятия вообще нельзя обойтись при рассмотрении предельного
перехода к бесконечному интервалу времени.
Смысл понятий спектральной плотности и частоты мы разъясним на примере полубесконечного интервала времени [0, ) . Не
составляет никакого труда таким же образом рассмотреть любой
другой интервал определения сигнала.
Допустим, что имеется финитный сигнал S(t), локализованный на интервале [0, tb ) , причем tb  T / 2 , и требуется произвести его разложение в обобщенный ряд Фурье на интервале
[0, T / 2) (рис. 4.1). Это значит, что к сигналу «пристраивается»
справа нулевой участок на интервале [tb , T / 2) . Условие финитности сигнала нам нужно временно, чтобы упростить рассуждения.
Поскольку в конце концов мы перейдем к случаю T   , то это
условие в дальнейшем можно отбросить как ненужное.
Пусть разложение производится по системе базисных функций
 (k , t ) с нормированным интервалом ортогональности [0, X / 2) .
Чтобы произвести разложение сигнала, необходимо от нормированной переменной х перейти к реальному времени t. Такой переход равносилен равномерному «растяжению» функции  (k , x) ,
произведенному таким образом, чтобы интервалы определения
сигнала и ортогональности базисных функций совместились.
Равномерному растяжению базисных функций соответствует
замена переменной х новой переменной t 
T
x.
X
На рис. 4.1 изображены случаи, когда один и тот же финитный сигнал определяется на интервалах времени различной дли56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тельности. На рис. 4.2 показано для тех же интервалов времени
растяжение одной и той же базисной функции  (k , x) . Ее порядок
определяется числом знакоперемен на интервале ортогональности и не зависит от Т.
η(k,t)
tb=T/2
0
0
tb =T/2
η(k,t)
t
tb
0
0
tb
t
T/2
t
T/2
t
η(k,t)
tb
0
0
tb
T/2
t
t
Рис. 4.1
Рис. 4.2
При растяжении функции  (k , x) ее мощность остается неизменной, а энергия увеличивается
T
Ek  Wk .
Pk  N k ,
X
Здесь N k и Wk – мощность и энергия по переменной х, а Pk и Ek –
мощность и энергия по переменной t.
Рассмотрим аппроксимацию сигнала S(t) обобщенным рядом
Фурье, в котором удерживается n  1 первых членов
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n
S n (t )   c ( k ) ( k , t ) .
k 0
Сумма членов такого усеченного ряда S n (t ) при n  
будет сходиться к сигналу
S (t ) в среднеквадратическом
Sn(t)
смысле.
Если такая аппроксима0
t
tb=T/2
ция будет удовлетворительS(t)
ной при каком-либо Т/2, то
после увеличения этого интервала он уже не будет нас
Sn(t)
устраивать. Дело в том, что
после растяжения функций
tb
0
t
T/2
 (k , t ) число знакоперемен,
S(t)
приходящееся на интервал
[0, tb ) , в котором сосредоточен
сигнал, уменьшится, а значит,
Sn(t)
функция высшего удержиT/2
ваемого порядка  (n, t ) уже
tb
t
0
не будет в состоянии воспроизводить те быстрые изРис. 4.3
менения сигнала, которые
она воспроизводила до растяжения. Поэтому, чтобы обеспечить
аппроксимацию сигнала с одной и той же точностью при различных длительностях интервала [0, T / 2) , необходимо одновременно с растяжением базисных функций увеличивать число этих
функций, удерживаемых в ряде Фурье (рис. 4.3). По-видимому,
желаемый результат будет достигнут, если поддерживать отношение n/T более или менее постоянным, что обеспечивает приблизительное постоянство числа знакоперемен функции высшего
удерживаемого порядка  (n, t ) на интервале определения сигнала.
Слова «более или менее» и «приблизительно» применимы здесь
потому, что n изменяется дискретно, в то время как интервал Т/2
мы можем изменять и плавно. Однако при больших Т/2 это теряет
свое значение.
S(t)
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Необходимость привлечения для аппроксимации сигнала с неизменной точностью все
новых и новых функций из базисной системы можно объяснить еще и тем, что мы осуществляем аппроксимацию не
только самого сигнала, но и
0 1 2 3…
k
«пристроенного» к нему нулеС(k)
вого сигнала на участке
tb  t  T / 2 , который по мере
увеличения Т/2 удлиняется. На
рис. 4.4 условно изображен
простой спектр сигнала для тех
же интервалов, что и на пре0 1 2 3 …
k
дыдущих рисунках, при равноС(k)
точной аппроксимации.
Итак, чем больше интервал
Т/2, тем больше необходимая
0 1 2 3 …
k
протяженность его спектра. По
мере возрастания Т/2 одновреРис. 4.4
менно уменьшаются коэффициенты разложения. Последнее понятно из энергетических соображений. Так как на участке [0, tb ) финитный сигнал остается неизменным, то при увеличении интервала [0, T / 2) средняя мощность сигнала падает. Одновременно приходится увеличивать
число составляющих спектра, поэтому для того, чтобы не нарушалось равенство Парсеваля, необходимо уменьшить интенсивность составляющих спектра. В пределе при T   и n   мы
получим бесконечно протяженный спектр с бесконечно малыми
величинами коэффициентов разложения.
При представлении сигналов в функциональном пространстве такой подход соответствует переходу от конечномерного
(Евклидова) к бесконечному (Гильбертову) пространству с одновременным уменьшением до нуля всех проекций вектора сигнала.
Таким образом, при разложении сигнала на бесконечном интервале времени при старых понятиях встречаются большие
С(k)
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
трудности. Чтобы уйти от таких понятий, как базисная функция
бесконечного порядка и нулевой коэффициент разложения, необходимо «сжать» спектр по оси абсцисс и «растянуть» по оси ординат. Это можно сделать, вводя новые понятия: обобщенная
частота f и спектральная плотность S ( f ) .
Начнем с обобщенной частоты, которая определяется как
k
f  .
T
Теперь при T / 2   и n   максимальная частота f max  n / T
может оставаться конечной величиной, если при этом отношение
n / T поддерживается постоянным. В отличие от k  fT , принимающего только целочисленные значения, частота f может в зависимости от T принимать любые значения, однако они всегда
составляют упорядоченную последовательность
1 2 3
f  0, , , , … .
T T T
Каждое такое число при T / 2   однозначно определяет некоторую функцию k-го порядка из базисной системы
X
 (k , x)   ( f T , t )  .
T 

Обобщенная частота имеет ясный смысл. Это половина среднего числа знакоперемен базисной функции в 1 секунду на интервале ортогональности. Если базисные функции периодические, то f – это среднее число периодов, приходящихся на интервал в 1 секунду.
Знакоперемены базисных функций не обязательно расположены равномерно, тем не менее частота этих функций имеет всегда определенное значение. Поскольку все частоты кратны величине 1 / T , назовем ее основной частотой и обозначим
1
F .
T
Тогда частоты различных функций системы  ( f , t ) будут
равны f  0, F , 2 F , 3F , … . Это значит, что частотный интервал
между соседними составляющими спектра равен F.
Таким образом, путем введения понятия обобщенной частоты
мы получили возможность сохранять постоянной ширину спектра
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сигнала при его аппроксимации с постоянной точностью, несмотря на изменение длительности интервала определения T / 2 .
Перейдем к коэффициентам разложения. В нашем случае они
равны
1 2 T /2
C (k ) 
 S (t ) (k , t )dt ,
Pk T 0
или
T /2
1 1
С( f ) 
S (t ) ( f , t )dt.
Pf T 0
Коэффициенты разложения уменьшаются при увеличении Т
за счет множителя 2/Т. Действие этого множителя можно нейтрализовать переходом к понятию спектральной плотности:
T /2
2
S ( f )  C ( f )T 
S (t ) ( f , t )dt.
Pf 0
Этот термин станет понятным, если вспомнить, что величина
Т обратно пропорциональна основной частоте и поэтому
C( f )
. Следовательно, спектральная плотность – это коF
эффициент разложения, отнесенный к частному интервалу между
составляющими спектра.
На рис. 4.5 показано, как будут выглядеть те же спектры, что
и на рис. 4.4, после введения понятий частоты и спектральной
плотности. Для конечного интервала разложения [0, T / 2) эти
спектры по-прежнему являются дискретными с расстоянием между соседними составляющими, равным основной частоте F. По
мере увеличения интервала Т/2 спектр «сгущается», так как основная частота уменьшается, и в пределе при Т   он превращается в непрерывный спектр. Огибающая спектра не меняет
своей формы. Ширина спектра по частоте определяется величиной f max  nF  n / T , которая при заданной точности аппроксимации не зависит ни от Т, ни от n (конечно, если n достаточно велико).
S( f ) 
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S (f )
S (f )
F
0
2F
3F
nF
f
0
F
2F 3F
nF
f
S (f )
0 F 2F 3F …
nF
f
Рис. 4.5
4.2. Системы базисных функций для разложения сигналов на любом интервале времени Выясним, при каких условиях базисная система  (k , x) с конечным нормированным интервалом ортогональности x   может быть применима для разложения сигналов на бесконечном
интервале времени.
Частота f при Т   определяется следующим образом:
k
.
k ,T  T
Минимальное изменение частоты при изменении порядка
функции на единицу будет составлять
f  lim
1
 lim F .
T  T
T 
df  lim
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Эта величина определяет частотное расстояние между составляющими спектра, поэтому при Т   дискретный спектр
превращается в непрерывный. Нулевой частоте f  0 будут соответствовать при T   все конечные порядки k   . Частотам
f  0 будут соответствовать бесконечно большие порядки функций k   .
Как уже отмечалось, при T   все базисные функции неограниченно «растягиваются» по времени и одновременно к аппроксимации привлекаются функции все более высоких порядков k   . Поэтому для существования предельного разложения
сигнала важно, чтобы имели место функции
k
X 

X 
 ( f , t )  lim  (k , x)  lim   T , t   lim  f , T , t  .
k ,T 
k ,T 
T 
 T T  T  
Такие предельные функции известны для тригонометрических функций, функций Уолша, Бесселя и др.
В базисной системе  ( f , t ) любым сколь угодно близким
частотам f1 и f 2 будут соответствовать две различные ортогональные функции   f1 , t  и   f 2 , t  , так что их взаимная мощность будет равна
2
P12  lim
T  T
0,
 Pf ,
T /2
   f1 , t   f 2 , t  dt  
0
f1  f 2
f1  f 2
,
где Pf – средняя мощность базисной функции на бесконечном интервале времени.
Функции  ( f , t ) можно нормировать любым образом. Для
дальнейшего будет удобно принять, что их мощность равна
T /2
2 PП , f  0,
2
Pf  
PП  lim   2 ( f , t )dt.
T  T
 PП , f  0.
0
Точно такую же нормировку мы применяли ранее при рассмотрении сигналов на конечном интервале времени.
Приведем пример системы функций, пригодной для разложения сигнала на полубесконечном интервале времени. Рассмотрим тригонометрическую систему
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
cos k t  cos k

2 
t   cos 2 ft ,
T 
полную и ортогональную на интервале [0, T / 2) . Эти функции существуют при k   , T   и f  const . Каждому значению частоты соответствует своя функция, и любые две функции ортогональны по мощности на интервале [0, )
2
P12  lim
T  T
T /2
 cos 2 f t cos 2 f tdt 
1
2
0
1  sin 2 ( f1  f 2 )T / 2 sin 2 ( f1  f 2 )T / 2 


.
T  T
2 ( f1  f 2 )
2 ( f1  f 2 )


 lim
Так как выражение в квадратных скобках есть конечная величина, то lim P12  0 .
T 
4.3. Непрерывные спектры на одностороннем интервале времени При T   спектральная плотность дискретного спектра
принимает вид
2
S ( f )  lim
k ,T  P
k
T /2

0
2
S (t ) (k , t ) 
Pf

 S (t ) ( f , t )dt ,
0
где Pf – мощность базисной функции  ( f , t ) .
Спектральная плотность определяет спектр сигнала, разлагаемого на интервале времени [0, ) , причем рассматриваются
только положительные частоты. Графически ей соответствует
предел, к которому на рис. 4.5 стремится огибающая дискретного
спектра, изображенная пунктиром. Теперь зависимость спектральной плотности от частоты (мы ее для краткости будем также
называть спектром) изображается не гистограммой, как на рис.
4.5, а непрерывной кривой (рис. 4.6).
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S(t)
S(f)
0
t
0
f
Рис. 4.6
Рассмотрим предельную форму обобщенного ряда Фурье при
T 


1
S (t )  lim  C (k ) (k , t )  lim  C (k )T (k , t ) .
T 
T 
T
k 0
k 0
Величины, стоящие под знаком суммы, стремятся к следующим пределам:
1
 df ,
T  T
lim C (k )T  S ( f ), lim  (k , t )   ( f , t ), lim
k ,T 
k ,T 
а сама сумма переходит в интеграл. Таким образом, в результате
получаем

S (t )   S ( f ) ( f , t )df ,
(4.1)
0

2
S( f ) 
S (t ) ( f , t )df .
(4.2)
Pf 0
Выражение (4.1) есть обобщенный интеграл Фурье. Совокупность выражений (4.1) и (4.2) определяет взаимосвязь между
двумя трансформантами Фурье – колебанием S (t ) и спектром
S ( f ) . Она носит название обобщенных преобразований или
трансформаций Фурье, причем (4.2) называется прямым преобразованием, или формулой разложения, а (4.1) – обратным, или
формулой обращения.
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Преобразования Фурье могут рассматриваться как линейный
оператор. С их помощью каждой функции времени S (t ) ставится
во взаимное и однозначное соответствие функция частоты S ( f ) и
наоборот.
Так же, как и в случае ряда Фурье, равенство в выражениях
(4.1) и (4.2) имеет разные смыслы. В прямом преобразовании оно
является тождественным, а в обратном – условным, означающим, что интеграл Фурье сходится к сигналу S (t ) со сколь угодно малой среднеквадратической ошибкой. Отсюда вытекает, что
и колебания S (t ) в (4.1) и (4.2) по существу различны, так как одно из них – это оригинал (прообраз), а другое – приближенная
копия (образ), результат линейного отображения оригинала.
Рассмотрим равенство Парсеваля для преобразований Фурье.
В случае дискретных спектров справедливо выражение

P   C 2 (k ) Pk ,
k 0
T /2
2
где P   S 2 (t )dt – средняя мощность сигнала S (t ) .
T 0
Умножим и разделим выражение под знаком суммы на T 2 и
затем перейдем к пределу при T  

1 
1
1
P  lim  [C (k )T ]2 Pk  lim  S 2 ( f )Pf df .
T  T
T T  T 0
k 0
В развернутом виде это равенство выглядит так:
2
P  lim
T  T
T /2

0

1
S (t )dt  lim  S 2 ( f ) Pf df .
T  T
0
2
(4.3)
После деления на 2 / T получим выражение для энергии сигнала:


1
E   S (t )dt   S 2 ( f ) Pf df .
20
0
2
Обозначим в (4.3) величину
66
(4.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Pf
2
S ( f )  p ( f ).
T
Это мощность, приходящаяся на единичную полосу частот,
поэтому ее называют спектральной плотностью мощности, или
спектром мощности.
Аналогично обозначим в (4.4) величину
1
Pf S 2 (t )  e( f ).
2
Ее называют спектральной плотностью энергии, или энергетическим спектром.
С учетом введенных обозначений выражения (4.3) и (4.4)
примут вид:
lim
T 
2
P  lim
T  T
T /2
S
0
2

(t )   p ( f ) df ,
0


0
0
E   S 2 (t )dt   e( f )df .
Таким образом, равенство Парсеваля и здесь позволяет
мощность или энергию сигнала представить в виде мощности
или энергии спектра.
4.4. Непрерывные спектры на симметричном интервале времени Разложение действительного сигнала на симметричном интервале времени [, ) можно производить по любой из трех базисных систем (составной, формальной, комплексной). Комплексный
сигнал можно разлагать только по системе комплексных функций.
Все эти системы являются родственными и строятся на основе одних и тех же функций четных Ч ( f , t ) и H ( f , t ) . Базисные
функции нормируются таким образом, что все они при f  0
имеют одну и ту же мощность
P  P 
где
67
Pf
2
,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
Pf  lim
T  T
T /2

0
2
Ч ( f , t )dt  lim
T  T
2
T /2

H 2 ( f , t )dt.
0
Сигналы, заданные на временном интервале [, ), и непрерывные спектры могут быть выражены через свои четные и нечетные части или через соответствующие односторонние сигналы и спектры таким же образом, как и в случае конечного интервала времени и дискретных спектров (рис. 4.7).
S1(t)
S1(f)
0
t
а)
0
t
б)
S2(t)
SЧ(t)
SH(t)
0
t
{Ч(f,t)}
0
S2(f)
f
{H(f,t)}
0
SЧ(f)
f
в)
{ξ(f,t)}
0
SH(f)
0
{ξ(f,t)}
г)
0
t
S(t)
f
S(f)
f
{ξ(f,t)}
д)
0
t
0
Рис. 4.7
68
f
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При суммировании односторонних дискретных спектров их
правильная стыковка обеспечивалась выбранной нормировкой,
точнее, тем, что функция Ч (0, t ) имела мощность, вдвое большую,
чем любая другая четная или нечетная функция. Однако в случае
непрерывного спектра это условие нормировки, строго говоря,
является излишним. Какая бы ни была мощность у функции
Ч (0, t ) , это не вызовет среднеквадратической ошибки при стыковке спектров, так как любая отдельно взятая спектральная составляющая при непрерывном спектре имеет нулевую мощность.
Получим преобразование Фурье для сигналов, заданных на
симметричном интервале. В случае формальной базисной системы имеем

1
S (t )   C (k )T  (k , t ) .
T
k 
Перейдем к пределу при T   . Учитывая, что
1
lim  df , lim C (k )T  S ( f ), получим
T  T
k ,T 

S (t ) 
 S ( f ) ( f , t )df ,

(4.5)

1
S (t ) ( f , t )dt.

P 
Эти выражения являются парой преобразований Фурье для
формального спектра. Они показывают, что S (t ) и S ( f ) – равноправные формы аналитического выражения сигнала. Любая из
этих функций может быть взята в качестве прообраза, тогда
другая будет образом – результатом линейного отображения
прообраза.
При разложении сигналов по комплексной системе базисных
функций получим
S( f ) 

S (t ) 
 G( f ) ( f , t )df ,

1
G( f ) 
P
69

 S (t )

(4.6)
*
( f , t )dt.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Здесь комплексная спектральная плотность равна
G ( f )  lim A(k )T .
k ,T 
Равенство Парсеваля в случае формальной системы имеет
вид:

S
2

(t )dt  P

S
2
( f ) df .

Это выражение иногда называют теоремой Рейли. Таким образом, в случае формальной системы спектр мощности p(f) и энергетический спектр e( f ) имеют вид:
p ( f )  lim
P
2
2
S ( f ), e( f )  P S ( f ).
T
Нетрудно показать, что в случае комплексного спектра аналогичные понятия выражаются формулами
T 
p( f )  lim
P
T 
T
*
G ( f )G ( f )  lim
T 
P
T
2
G ( f ),
*
e( f )  P G ( f )G ( f )  P G 2 ( f ).
Из этих выражений видно, что спектральная плотность
мощности или энергии всегда является действительной функцией. В формальном базисе она не зависит от знака спектральной
плотности. В комплексном она определятся исключительно амплитудным спектром сигнала и не зависит от фазового спектра.
Поэтому, зная спектр мощности или энергии, невозможно восстановить форму сигнала.
4.5. Вид преобразований Фурье при разложении сигнала по комплексно­экспоненциальному базису В случае разложения сигнала S (t ) по комплексной системе


базисных функций  ( , t )  e jt  преобразования Фурье определяются выражениями
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S ( ) 


S (t )e  it dt ,

(4.7)

1
S ( )eit d .

2 
Иногда бывает удобно воспользоваться другими формами
интегральных преобразований Фурье.
Поскольку e  jt  cos t  j sin t , то из первого выражения
(4.7) получим:
S (t ) 
S ( ) 

 [S (t )cos t  jS (t )sin t ]dt  A( )  jB( ),
(4.8)

где
A( ) 

 S (t ) cos tdt ,

B ( ) 

 S (t )sin tdt.

Причем A( )  A( ) – четная, а B( )   B( ) – нечетная
функции относительно  .
Модуль и аргумент спектральной плотности (4.8) определяются выражениями
S ( )  S ( )  A2 ( )  B 2 ( ) , arg S ( )  arctg
B ( )
,
A( )
где S ( )  S ( ) – четная, а arg S ( )   arg S ( ) – нечетная
функции частоты  .
Обратное преобразование Фурье
1
S (t ) 
2

1
2

 [ A( ) 
jB ( )](cos  t  j sin  t ) d  


 [ A( ) cos  t  B ( ) sin  t ]d  ,

или
S (t ) 
1


 [ A( )cos t  B( )sin t ]d.
0
71
(4.9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из симметрии преобразований Фурье следует: если функции
SЧ (t ) соответствует спектр

1
A ( )   SЧ (t ) cos  tdt , где SЧ (t ) 
2


 A( ) cos  td  ,

то функции A(t) будет соответствовать спектр
S Ч ( ) 


A ( t ) co s  td t .

То же самое можно сказать и о нечетной функции времени и нечетном спектре.
4.6. Некоторые свойства преобразований Фурье Между сигналом S (t ) и его спектром S ( ) существует однозначное соответствие. Для практических приложений важно установить связь между преобразованием сигнала и соответствующим изменением спектра. Из многочисленных возможных преобразований сигнала рассмотрим наиболее важные и часто встречающиеся.
4.6.1. Сдвиг сигналов во времени Пусть сигнал S (t ) обладает спектральной плотностью S ( ) .
При задержке этого сигнала на время  (с сохранением формы)
получим новую функцию времени S (t   ) , спектр которой определяется выражением
S  ( ) 


S (t   )e  jt dt.

Введем новую переменную t1  t   , тогда
S  ( ) 


S (t1 )e
 j ( t1  )
dt1  e
 j 


S (t1 )e
 jt1
dt1  e
 j
S ( ).

Таким образом, при запаздывании сигнала модуль спектральной плотности не изменяется, а фазовая характеристика спектра изменяется пропорционально частоте и задержке.
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.6.2. Изменение масштаба времени Пусть сигнал S (t ) обладает спектральной плотностью S ( )
(сплошные линии на рис. 4.8 а и б). Определим спектральную
плотность сигнала S (at ) , где значению a  1 соответствует сжатие, а a  1 – растяжение колебания S (t ) по оси времени:
S a ( ) 


S (at )e  jt dt.

Sa(t) a > 1
Sa(t)
a<1
0
Sa(ω)
0
t
a<1
Sa(ω)
a)
t
б)
a>1
0
ω
0
ω
Рис. 4.8
Введем новую переменную t1  at , тогда
S a ( ) 


1
 S (t1 )e
a 
 j t1
a
dt1 
1  
S  .
a a
Итак, при сжатии сигнала в а раз на временной оси во
столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль
спектральной плотности при этом уменьшается в а раз. Очевидно, что при растяжении сигнала во времени (т. е. при а < 1)
имеют место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.
4.6.3. Смещение спектра сигнала Пусть сигнал S (t ) обладает спектральной плотностью S ( ) .
Сместим ее на частоту  и найдем сигнал S  (t ), которому соответствует плотность S (  ) :
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S (  ) 


S (t ) e
 j (   ) t

dt 

 [ S (t ) e
j t
]e
 jt
dt.


В то же время S  ( )   S  (t )e  jt dt , следовательно, S  (t )  S (t )e jt .

Таким образом, смещение спектра исходной функции на величину  приводит к тому, что новый спектр соответствует
исходной функции, умноженной на e jt .
4.6.4. Сложение сигналов n
Пусть S (t )   Sk (t ). Найдем спектр этого сигнала
k 1
S ( ) 

 S (t )e
 jt
n

dt    Sk (t )e  jt dt.
k 1 

n
Следовательно, S ( )   S k ( ), т. е. спектр суммы сигналов
k 1
равен сумме спектров каждого сигнала. Это свойство используется при спектральном анализе сложных сигналов.
4.6.5. Произведение двух сигналов Пусть рассматриваемый сигнал S (t ) является произведением
двух функций f (t ) и g (t ) , тогда
S ( ) 


S (t )e
 jt

dt 


f (t ) g (t )e  jt dt.
(4.10)

Каждую функцию f (t ) и g (t ) можно представить в виде интеграла Фурье
1
f (t ) 
2

1
F

e
d

g
t

(
)
,
(
)

2

jt

jt
G

e
d .
(
)


Подставляя в (4.10) второй из этих интегралов, получаем
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

  jt
jxt
f
t
G
x
e
dx
(
)
(
)

 e dt 
  




1
 j (  x ) t
G
x
f
t
e
dt
(
)
(
)


 dx,

2 
 

1
S ( ) 
2

где

 f (t )e
 j (  x ) t
dt  F (  x).

Следовательно,

1
(4.11)
S ( ) 
 G( x) F (  x)dx.
2 
Таким образом, спектр произведения двух функций времени
f (t ) и g (t ) равен (с коэффициентом 1 / 2 ) свертке их спектров
F ( ) и G ( ).
Из выражений (4.10) и (4.11), в частном случае при   0 , вытекает следующее равенство:



1
f (t ) g (t )dt 
2

 G( x) F ( x)dx.

Заменяя в этом выражении х на  , получим


*
1
f
t
g
t
dt

G

F
(4.12)
(
)
(
)
(
)
( )d .


2 
Аналогично можно показать, что произведению двух спектров F ( )G ( )  S ( ) соответствует функция времени S (t ) , являющаяся сверткой функций f (t ) и g (t ) ,

S (t ) 

f ( ) g (t   )d 

1

2

 F ( )G ( )e



jt
f (t   ) g ( )d 
(4.13)
d .

Последнее выражение широко используется при анализе передачи сигналов через линейные цепи. В этом случае функции
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
времени f (t ) и g (t ) имеют смысл соответственно входного сигнала и импульсной характеристики цепи, а F ( ) и G ( ) – спектральной плотности сигнала и передаточной функции цепи.
4.6.6. Соотношение между автокорреляционной функцией и спектром сигнала Воспользуемся выражением (4.12), в котором положим
f (t )  S (t ) ;
g (t )  S (t   )
и
соответственно
F ( )  S ( ) ;
 j
G ( )  S ( )e
. Тогда получим

1
 E ( )   S (t ) S (t   )dt 
2


 S ( ) S *( )e
 j
d .

2
Учитывая, что S ( ) S *( )  S ( ) , приходим к искомому соотношению

1
 E ( ) 
S 2 ( )e  j d .
(4.14)

2 
Соответственно

S ( )    E ( )e j d .
2
(4.15)

Из выражения (4.14) следует, что спектральная плотность
АКФ равна квадрату модуля спектральной плотности сигнала и,
следовательно, не зависит от фазового спектра сигнала.
На основании (4.14) и (4.15), составляющих пару преобразований Фурье, можно заключить, что, чем шире спектр S ( ) сигнала, тем меньше интервал корреляции, т. е. величина сдвига  , в
пределах которого корреляционная функция отлична от нуля.
Соответственно, чем больше интервал корреляции заданного сигнала, тем уже его спектр.
Если в (4.14) положить   0 и учесть, что  E  E , то приходим к равенству Парсеваля для непериодического сигнала:

2
1
E   S (t ) dt 
2



2
S ( )d 

1


2
 S ( )d.
(4.16)
0
Выражение (4.16) позволяет по спектральной плотности сигнала определить энергию Е, выделяемую сигналом на сопротивлении 1 Ом.
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аналогичные соотношения можно получить для взаимной
корреляционной функции  12 ( ) сигналов S1 (t ) и S 2 (t ) , имеющих
спектральные плотности S 1 ( ) и S 2 ( ) ,
1
 12 ( ) 
2

 S ( )S
1
2
*
( )e  j d  ,
(4.17)


S 1 ( ) S 2 ( )    12 ( )e
*
j
d .

(4.18)
Полагая в соотношении (4.17)   0 и учитывая, что
 12 (0)  E12 , получим


1
*
E12   S1 (t ) 2 S (t )dt 
S
(4.19)
1 ( ) S 2 ( ) d .

2



Формула (4.19) выражает равенство Парсеваля, определяющее
энергию взаимодействия E12 двух различных сигналов.
4.7. Текущий и мгновенный спектры Для нахождения спектра по формуле

 S (t )e
S ( ) 
 jt
dt

необходимо выполнить интегрирование по времени в бесконечных пределах. Это возможно, если сигнал S (t ) задан и известен на
всем бесконечном протяжении оси времени. Но если S (t ) – отображение реального процесса, то предсказать весь ход его нельзя.
Все прошлое может быть известно, так что интегрирование
может быть выполнено в пределах от   до текущего времени t.
При этом мы имеем дело с текущим спектром, определяемым как
S t ( ) 
t
 S ( )e

 j
d .
(4.20)
Здесь S t ( ) является функцией не только частоты, но и времени.
В действительных условиях наблюдение процесса (или сам
процесс) может начинаться в некоторый момент времени t0 .
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В этом случае момент t0 может быть принят за начало отсчета
времени и выражение (4.20) примет вид:
t
S t ( )   S ( )e  j d .
0
В качестве примера рассмотрим спектр пачки равноотстоящих
прямоугольных импульсов (рис. 4.9). Спектр первого импульса в
пачке обозначим через S 1 ( ) . Тогда для второго импульса, задержанного относительно первого на T, в соответствии с первым
свойством преобразования Фурье получим S 2  e  jT S1 ( ), а для
третьего импульса – S 3 ( )  e  j 2T S 1 ( ) и т. д.
S(t)
1
0
2
N
3
T
t
(N-1)T
Рис. 4.9
Для группы из N импульсов в соответствии с принципом линейного суммирования спектров при сложении сигналов получим
N
S ( )   S n ( )  S 1 ( ) 1  e  jT  e  j 2T  ...  e  j ( N 1)T  .
n 1
При частотах, отвечающих условию   k 2 T , где k – целое
число, каждое из слагаемых в квадратных скобках равно единице
и, следовательно,
S (k 2 / T )  N S 1 (k 2 / T ) .
Таким образом, при частотах  
2 k
модуль спектральной
T
плотности пачки в N раз больше модуля спектра одиночного импульса. Это объясняется тем, что спектральные составляющие
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
различных импульсов с указанными выше частотами складываются с фазовыми сдвигами, кратными 2π.
При частотах же   (k / N )(2 / T ) , а также при некоторых
других частотах, для которых сумма векторов e  jkT обращается в
нуль, суммарная спектральная плотность равна нулю. При промежуточных значениях частот модуль S ( ) определяется как геометрическая сумма спектральных плотностей отдельных импульсов.
В качестве иллюстрации на рис. 4.10 а изображен амплитудный спектр пачки из трех прямоугольных импульсов, а на
рис. 4.10 б – из четырех при интервале между соседними импульсами T  3 и . Штриховыми линиями показана спектральная
плотность одиночного импульса. С увеличением числа импульсов в пачке спектральная плотность все более расщепляется и в
пределе при N   принимает линейчатую структуру спектра
периодической функции.
S(ω)
a)
0
S(ω)
1 2  2
3 T T
ω
2
и
б)
0 1 2  2
4 T
Рис. 4.10
79
T
2
и
ω
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кроме текущего спектра, имеет смысл понятие о мгновенном
спектре, изменяющемся во времени и отражающем свойства процесса в данный момент. Мгновенный спектр определяется как
спектр отрезка процесса длительностью Т, непосредственно
предшествующего данному моменту t, т. е.
S T ( , t ) 
t
 S ( )e
 j
d .
t T
В этом определении мы имеем дело с интегрированием сигнала
S ( ) на интервале длительности T (временном окне), движущемся
во времени. Понятие мгновенного спектра широко используется,
например, при анализе речевых сигналов.
5. Радиосигналы Сигналы, поступающие из источника сообщений (микрофон,
предающая телевизионная камера, датчик телеметрической системы и т. д.), как правило, не могут быть непосредственно переданы по радиоканалу из-за их относительной низкочастотности.
Чтобы осуществить эффективную передачу сигналов в какойлибо среде, необходимо транспонировать спектр этих сигналов из
низкочастотной области в область достаточно высоких частот.
Данная процедура получила в радиотехнике название модуляции.
5.1. Модулированные сигналы Идея модуляции заключается в следующем. Пусть есть высокочастотный сигнал, называемый несущим колебанием. Его математическая модель S НЕС (t )  F (t ; a1 ; a2 ;...; am ) такова, что имеется некоторая совокупность параметров a1 , a2 ,..., am , определяющих форму этого колебания. Пусть также f (t ) – низкочастотный
сигнал, содержащий сообщение (информацию) и подлежащий
передаче по радиоканалу. Если хотя бы один из вышеуказанных
параметров изменяется во времени пропорционально передаваемому сигналу, то несущее колебание приобретает новое свойство: оно несет в себе информацию, которая первоначально была
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
заключена в сигнале f(t). Физический процесс управления параметрами несущего колебания называется модуляцией.
В радиотехнике распространение получили системы модуляции, использующие в качестве несущего простое гармоническое
колебание
S НЕС (t )  U cos(t   ),
имеющее три свободных параметра U, ω и φ. Изменяя во времени
тот или иной параметр, можно получать различные виды модуляции. В общем виде модулированное колебание определяется выражением
S (t )  U (t ) cos (t ),
(5.1)
где U(t) – амплитуда, а ψ(t) – полная фаза сигнала.
Существуют два основных вида модуляции – амплитудная и
угловая, которая подразделяется на фазовую (ФМ) и частотную
(ЧМ) модуляции. Результатом модуляции является радиосигнал
S(t), занимающий ту или иную полосу частот  . В зависимости
от соотношения  и  радиосигналы подразделяются на узкополосные и широкополосные.
Так, если спектр радиосигнала является финитным и занимает конечную полосу частот  , расположенную в окрестностях
частоты  , причем выполняется неравенство

 1,
(5.2)

то такой сигнал называется узкополосным. В противном случае,
когда имеет место приближенное равенство    1 , радиосигнал называется широкополосным.
Весь дальнейший материал в этом разделе посвящен узкополосным сигналам.
5.1.1. Сигналы с амплитудной модуляцией Если переменной является амплитуда сигнала U(t), причем
остальные два параметра ω и φ неизменны, то имеет место
амплитудная модуляция (АМ) несущего колебания, которая определяется выражением
S АМ (t )  U (t )cos(0t  0 ).
81
(5.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Это колебание имеет характерный вид. Осциллограммы АМколебаний приведены на рис. 5.1 для случаев: гармонической модуляции (рис. 5.1 а), модуляции сложным колебанием (рис. 5.1 б
и в). В соответствии с формулой (5.3) АМ-сигнал есть произведение огибающей U(t) и гармонического заполнения cos(0t   0 ) . В
большинстве практически интересных случаев, когда радиосигнал узкополосный, огибающая изменяется во времени гораздо
медленнее, чем высокочастотное заполнение.
При амплитудной модуляции связь между огибающей U(t) и
модулирующим сигналом f(t) определяется выражением
U (t )  U 0 [1  Mf (t )],
где U 0 – амплитуда несущего колебания; M – коэффициент амплитудной модуляции.
SАМ(t)
U0
SAM(t)
U(t)
ΔU=MU0
0
t
SAM(t)
U(t)
0
t
U(t)
0
t
U0
а)
б)
в)
Рис. 5.1
В
случае
гармонической модуляции (см.
f (t )  cos(t   ) , а S AM (t ) определяется выражением
рис. 5.1 а)
S АМ (t )  U 0 [1  M cos(t   )] cos(0t   0 )  U 0 cos(0t   0 ) 

MU 0
MU 0
cos[(0  )t   0   ] 
cos[(0  )t   0   ],
2
2
(5.4)
где М – коэффициент амплитудной модуляции, M  U /U 0 . Осциллограммы колебаний, изображенных на рис. 5.1 а и б соответствуют М  1, а на рис. 5.1 в имеем M  1 .
Из выражения (5.4) следует, что амплитудный спектр АМколебания (рис. 5.2) содержит три компонента: на частотах
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0 (несущая частота), 0   (нижняя боковая частота) и 0  
(верхняя боковая частота).
В случаях, когда необходимо учитывать фазовые соотношения между отдельными составляющими спектра, удобно пользоваться векторными диаграммами, где несущая и обе боковые
спектральные составляющие представлены соответствующими
векторами, как изображено на рис. 5.3.
Если вращать плоскость чертежа (рис. 5.3) с угловой скоростью 0 , т. е. синхронно с вектором несущей, то вектор несущей
будет выглядеть на ней неподвижным, а векторы верхней и нижней боковых составляющий – вращающимися в противоположные стороны с частотой Ω, как показано на этом рисунке. Результат сложения трех векторов – вектор, совпадающий по фазе с
вектором колебания несущей частоты и модулем, равным мгновенному значению колебания S АМ (t ) .
MU 0
С(ω)
SAM(t)
2
+Ω
U0
MU 0
MU 0
2
2
U0
MU 0
-Ω
2
φ0
0
ω0-Ω ω0 ω0+Ω
x
0
ω
Рис. 5.3
Рис. 5.2
Существенной особенностью амплитудной модуляции является независимость амплитуды составляющей несущей частоты
от глубины модуляции, определяемой коэффициентом М.
Если модулирующий сигнал f(t) характеризуется сложным
дискретным спектром, то аналитически он может быть представлен рядом
N
f (t )  U k cos( k t   k ),
k 1
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где U k ,  k , и  k – произвольные амплитуды, частоты и начальные
фазы, причем  k не обязательно находятся в кратных отношениях, т. е. модулирующий сигнал не обязательно является периодическим.
В этом случае выражение для АМ-сигнала принимает вид
N


S AM (t )  U 0 1   M k cos( k t   k )  cos(0t  0 ) 
 k 1

N
MU
 U 0 cos(0t  0 )   k 0 cos[(0   k )t  0   k ] 
2
k 1
(5.5)
N
M kU 0
cos[(0   k )t  0   k ],
2
k 1

где M k 
U k
– парциальный коэффициент амплитудной модуU0
ляции.
На рис. 5.4 и 5.5 приведены спектры модулирующего сигнала
f(t) и соответствующего ему АМ-колебания.
C(ω)
U0
C(ω)
U0M1/2
U0M1/2
U1
U4
U0M4/2
0
Ω1 Ω2 Ω3 Ω4
ω
U0M4/2
ω0-Ω4 ω0-Ω2 ω0-Ω1 ω0 ω0-Ω1 ω0-Ω2 0-Ω4
ω0-Ω3
ω0-Ω3
Рис. 5.4
ω
Рис. 5.5
Из выражения (5.4) и (5.5), а также из приведенных на
рис. 5.2, 5.4 и 5.5 спектров видно, что при АМ верхняя боковая
полоса (содержащая спектральные составляющие с частотами
больше 0 ) формируется путем простого переноса спектра модулирующего сигнала на величину 0 , а нижняя боковая полоса
(содержащая спектральные составляющие с частотами мень84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ше 0 ) является ее зеркальным отображением относительно несущей частоты.
Эти зависимости сохраняются и при предельном переходе
от дискретного спектра к спектральной плотности модулирующей функции. В этом предельном случае спектр колебаний будет содержать дискретную составляющую на несущей частоте и
две симметричные относительно нее нижнюю и верхнюю боковые полосы.
5.1.2. Сигналы с балансной и однополосной амплитудной модуляцией Анализ выражений (5.4) и (5.5) для АМ-колебаний, а также
амплитудных спектров, изображенных на рис. 5.3 и 5.5, позволяет сделать вывод, что полоса частот, занимаемых АМ-сигналом, в
два раза превышает полосу частот, занимаемую модулирующей
функцией, и в спектре содержится составляющая на несущей частоте, которой нет аналога в модулирующем сигнале. Кроме того,
поскольку нижняя боковая полоса является зеркальным отображением верхней, то, очевидно, для передачи информации достаточно либо верхней, либо нижней боковых полос АМ-сигнала.
Если в АМ-колебании подавить спектральную составляющую на несущей частоте 0 , то получим сигнал с так называемой
балансной амплитудной модуляцией S БМ (t ) . В случае гармонической модулирующей функции f(t) из (5.4) получим выражение
для S БМ (t )
S БМ (t )  U 0 M cos(t   )cos(0t  0 ) 

U0M
U M
cos[(0  )t  0   ]  0 cos[(0  )t  0   ].
2
2
(5.6)
Осциллограмма и амплитудный спектр этого колебания приведены на рис. 5.6 и 5.7 соответственно.
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
C(ω)
SБМ(t)
U0M/2
0
U0M/2
t
0
Рис. 5.6
ω0-Ω
ω0
ω0+Ω
ω
Рис. 5.7
Если рассмотреть осциллограмму колебания SБМ(t), может
показаться неясным, почему в спектре этого сигнала нет составляющих с частотой 0 , хотя высокочастотное заполнение (см.
рис. 5.6) имеет именно эту частоту. Дело в том, что при переходе
огибающей этого колебания через нуль, фаза высокочастотного
заполнения скачком изменяется на π. Если такой сигнал подать
на высокодобротную колебательную систему (например, LCконтур), настроенную на частоту 0 , то выходной эффект (реакция) будет очень мал, стремясь к нулю при увеличении добротности. Колебания в системе, возбужденные на одном периоде
огибающей SБМ(t), будут гаситься последующим периодом.
Именно так с физических позиций принято рассматривать вопрос
спектрального разложения сигнала.
На рис. 5.8 изображены векторные диаграммы колебания
SБМ(t) (5.6), соответствующие значения фазы высокочастотного
заполнения  0 (рис. 5.8 а) и  0   (рис. 5.8 б).
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Y
Y
0
U0M
SБМ(t)
U0M
2
а)
2
Ω
Ω

Ω
Ω
б)
U0M
X
U0M
SБМ(t)
2
2
X
Рис. 5.8
Еще более интересное усовершенствование принципа обычной амплитудной модуляции заключается в формировании сигнала с подавленной верхней или нижней боковой полосой частот.
Сигналы с одной боковой полосой (ОБП- или SSB-сигналы –
от английского слова single sideband) по внешним характеристикам напоминают обычные АМ-сигналы. Например, однотональный ОБП-сигнал с подавленной нижней боковой частотой записывается в виде
U0M
cos[(0  )t  0   ].
2
После тригонометрических преобразований получим
SОБП (t )  U 0 cos(0t  0 ) 
SОБП (t )  U 0 cos(0t  0 ) 
U0M
cos(t   )cos(0t  0 ) 
2
U0M
sin(t   )sin(0t  0 ) 
2
 M

(5.7)
U 0 1  cos(t   )  cos(0t  0 ) 
2


U M
 0 sin(t   )sin(0t  0 ).
2
Два последних слагаемых представляют собой произведение
двух функций, одна из которых изменяется во времени медленно,
а другая – быстро. Принимая во внимание, что «быстрые» со
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
множители cos(0t   0 ) и sin(0t   0 ) находятся по отношению
друг к другу во временной квадратуре (относительная задержка
составляет ¼ периода этих колебаний), вычислим медленно изменяющуюся огибающую ОБП-сигнала
2
2
 M
 M
2
1
cos(
t

)
sin
(t   ) 






2
4
U (t )  U 0
M2
1  M cos(  t   ) 
.
4
 U0
График огибающей U(t) ОБП-сигнала, при М = 1, приведен
на рис. 5.9 (кривая 1). Здесь же для сравнения построена огибающая однотонального АМ-сигнала с тем же коэффициентом
модуляции (кривая 2). На рис. 5.10 изображен спектр рассматриваемого ОБП-сигнала.
U (t )
2,0
U0
C(ω)
2
U0
1,5
U0M
1
1,0
2
0,5
0
π
π/2
3π/2
2π
0
Ωt
U(t)
U0M
2
Ω
φ(t)
0
U0
φ0
X
Рис. 5.11
ω
Рис. 5.10
Рис. 5.9
Y
ω0 ω0+Ω
Сравнение приведенных на
рис. 5.9 кривых показывает, что огибающие АМ и ОБП-сигналов имеют
существенные отличия, поэтому непосредственная демодуляция ОБПсигнала по его огибающей будет сопровождаться значительными искажениями. Векторная диаграмма
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ОБП-сигнала, соответствующая выражению (5.7), приведена на
рис. 5.11.
Очевидно, что в этом случае, кроме изменения модуля U(t) вектора сигнала SОБП (t ) , изменяется и угол его наклона  (t ) относительно вектора колебания несущей частоты 0 . Из (5.7) следует,
что
tg (t ) 
M sin(t   )
.
 M

2U 0 1  cos(t   )
2


Таким образом, кроме амплитудной модуляции, в ОБП-сигнале имеет место и угловая модуляция. При этом законы модуляции этих параметров находятся в нелинейной связи с модулирующей функцией f(t).
C(ω)
0
ω0-3Ω ω0-2Ω ω0-Ω
ω0
ω0+3Ω
ω
Рис. 5.12
C(ω)
0
ω0-3Ω
ω0 ω0+Ω ω0+2Ω ω0+3Ω
Рис. 5.13
ω
Дальнейшим развитием ОБП-сигналов является частичное
или полное подавление колебания несущей частоты. На рис. 5.12
и 5.13 приведены спектры ОБП-сигналов: с подавлением верхней
боковой полосы и колебанием несущей частоты (рис. 5.12) и подавленной нижней боковой полосой и частично подавленным ко89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лебанием несущей частоты (рис. 5.13) для случая сложного модулирующего колебания.
5.1.3. Сигналы с угловой модуляцией При угловой модуляции (УМ) амплитуда колебания (5.1) является постоянной величиной, поэтому
SУМ (t )  U 0 cos (t ).
(5.8)
В зависимости от того, какой параметр колебания – частота или фаза – изменяется пропорционально модулирующей
функции f(t), угловая модуляция подразделяется на частотную и
фазовую.
Предположим, что полная фаза ψ(t) связана с модулирующей
функцией f(t) зависимостью
 (t )  0t  kf (t ),
(5.9)
где 0 – значение частоты в отсутствие полезного сигнала, k –
некоторый коэффициент пропорциональности.
Модуляцию, отвечающую соотношению (5.9), называют фазовой, а сигнал
SФМ (t )  U 0 cos[ 0 t  kf (t )] –
(5.10)
фазомодулированным.
Если f (t )  0 , то ФМ-колебание вырождается в простой гармонический сигнал. С увеличением значений функции f(t) полная
фаза ψ(t) растет во времени быстрее, чем по линейному закону.
При уменьшении значений модулирующего сигнала происходит
спад скорости роста ψ(t) во времени.
На рис. 5.14 приведены графики функций f(t) и SФМ (t ) . В моменты времени, когда функция f(t) достигает экстремальных значений, абсолютный фазовый сдвиг между ФМ-сигналом 1 и немодулированным гармоническим колебанием 2 оказывается наибольшим. Предельное значение этого фазового сдвига  называют девиацией фазы. В общем случае, когда сигнал f(t) изменяет
знак, принято различать девиацию фазы вверх  В  kf max и девиацию фазы вниз  H  kf min .
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f(t)
t
0
ΔψВ
SФМ(t)
1
0
ψ
2
ΔψН
Рис. 5.14
На векторной диаграмме сигнала изображающий вектор постоянной длины будет совершать вращение с непостоянной угловой скоростью. Мгновенная частота  (t ) сигнала с угловой модуляцией определяется как первая производная от полной фазы по
времени:
 (t ) 
поэтому
d (t )
,
dt
t
 (t )    ( )d  const.
(5.11)

При частотной модуляции между функциями f(t) и  (t ) имеется связь
 (t )  0  kf (t ).
(5.12)
Поэтому
t


SЧМ (t )  U 0 cos 0t  k  f ( )d  .



91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Естественными параметрами ЧМ-сигнала при произвольной
функции f(t) в соответствии с (5.12) являются девиация частоты
вверх  В  kf max и девиация частоты вниз  H  kf min .
На рис. 5.15 приведены
графики модулирующей функf(t)
ции f(t) и ЧМ-колебания SЧМ(t).
max
Если f(t) – достаточно
0
гладкая функция, то внешне
t
min
осциллограммы ФМ- и ЧМSЧМ(t)
сигналов не отличаются. Однако имеется принципиальна
0
t
разница: фазовый сдвиг между
ФМ-сигналом и немодулированным колебанием пропорРис. 5.15
ционален f(t), в то время как
для ЧМ-сигнала этот сдвиг пропорционален интегралу от f(t).
В случае гармонической ЧМ мгновенная частота изменяется
по закону
 (t )  0   cos(t   ),
где  – девиация частоты, на основании (5.11) получим
 (t )   0 t 

sin(t   )  0 ,

где  0 – начальная фаза радиосигнала.
Отсюда видно, что величина

m
,
(5.13)

называемая индексом однотональной угловой модуляции, представляет собой девиацию фазы такого сигнала, выраженную в радианах.
Аналитическая форма записи ФМ-сигнала с гармонической
модуляцией будет аналогичной. Однако нужно иметь в виду, что
ЧМ- и АМ-сигналы ведут себя по-разному при изменении частоты модуляции и амплитуды модулирующего сигнала. При частотной модуляции девиация частоты  пропорциональна амплитуде модулирующего сигнала. В то же время величина  не
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
зависит от частоты модулирующего сигнала. В случае фазовой
модуляции ее индекс m оказывается пропорциональным амплитуде низкочастотного сигнала независимо от его частоты. Как
следствие этого, девиация частоты при ФМ в соответствии с
формулой (5.13) линейно увеличивается с ростом частоты.
Задачу о представлении сигналов с угловой модуляцией рядом Фурье несложно решить в случае, когда m << 1. Для упрощения записи положим    0  0 , тогда
SУМ (t )  U 0 cos(0t  m sin t ) 
 U 0 cos(m sin t )cos 0t  U 0 sin(m sin t )sin 0t.
(5.14)
Поскольку индекс угловой модуляции мал, воспользуемся
приближенными равенствами
cos(m sin t )  1;
sin(m sin t )  m sin t.
На основании этого из (5.14) получаем
mU 0
mU 0
SУМ (t )  U 0 cos 0t 
cos(0  )t 
cos(0  )t. (5.15)
2
2
Таким образом, при m << 1 спектр сигнала с УМ состоит из
колебания несущей частоты и двух боковых составляющих. Индекс m здесь играет такую же роль, как коэффициент амплитудной модуляции в (5.4). Однако имеется и существенное различие
спектров АМ-сигнала и колебания с угловой модуляцией.
Из (5.15) следует, что нижнее боковое колебание имеет дополнительный фазовый сдвиг на π. Спектр колебания, соответствующий выражению (5.15), изображен на рис. 5.16. Как следствие этого, сумма векторов, отображающих оба боковых колебания (рис. 5.17), всегда перпендикулярна вектору колебания несущей частоты. С течением времени вектор колебания с угловой
модуляцией будет «качаться» относительно вектора колебания
несущей частоты. Незначительные изменения длины этого вектора обусловлены приближенным характером анализа, и при очень
малых m ими можно пренебречь.
Для простейшего случая гармонической ЧМ и ФМ можно
найти общее выражение для спектра, справедливое при любом
значении индекса модуляции m.
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
SУМ(t)
Y
C(ω)
mU0/2
mU0/2
0
ω0-Ω
ψ(t)
ω0 ω0+Ω
ω
Ω
-Ω
U0
ω0
φ0
0
X
Рис. 5.17
Рис. 5.16
Известно, что функция exp[ jm sin x] , периодическая на интервале [ ;  ] , разлагается в комплексный ряд Фурье
e
jm sin x


I
k 
k
(m)e jkx ,
(5.16)
где m – любое вещественное число; I k (m) – функция Бесселя k-го
порядка от аргумента m.
Сравнивая формулы (5.16) и (5.14), а также подставляя в
(5.16) x  t , из (5.14) получим


SУМ (t )  U 0 Re e j0t e jm sin t 
 j0t 

 U 0 Re  e  I k (m)e jkt  
k 


(5.17)

 U 0  I k (m)cos(0  k )t.
k 
Это выражение является математической моделью ЧМ- и
ФМ-сигналов с любым значением индекса модуляции m.
Амплитудный спектр колебания с гармонической угловой
модуляцией (рис. 5.18) в общем случае содержит бесконечное
число составляющих, частоты которых равны 0  k , а амплиту94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ды пропорциональны значениям I k (m). С ростом индекса модуляции расширяется полоса
C(ω)
частот, занимаемая сигналом.
Обычно полагают, что допустимо пренебречь всеми спектральными составляющими с
номерами kmax > m, поскольку
их относительные амплитуды
ω0-Ω ω0 ω0+Ω
ω не превышают значения 0,01.
Отсюда следует, что полоса
Рис. 5.18
частот, занимаемая спектром
сигнала с угловой модуляцией, приближенно равна 2kmaxΩ. Для случая m >> 1 эта полоса
приближенно равна 2m .
5.2. Аналитический сигнал. Огибающая и фаза радиосигнала Узкополосный радиосигнал, как уже отмечалось, в общем
виде может быть записан в форме
S (t )  U (t )cos (t )  U (t )cos(0t   (t )  0 ),
(5.18)
где U(t) – огибающая, а  (t ) – полная фаза сигнала.
Можно ли по мгновенY
ному отсчету колебания
U4
S4
S(t) определить U(t) и
 (t ) ? Очевидно, нет, так
как любому значению S (ti )
U3
S
будет соответствовать бесконечное множество пар
U (ti ) и  (ti ) . Эту ситуацию
U2
S2
иллюстрирует
рис. 5.19,
где мгновенные значения
ψ4
четырех сигналов, предψ3
S
1
U
1
ψ2
ставленных в векторной
X форме и взятых в момент
S(ti)
Рис. 5.19
времени ti, совпадают. Не95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
определенности можно избежать, если одновременно рассматривать и вторую проекцию Sˆ (t ) сигнала S(t) на ортогональную ось.
Тогда огибающая и фаза сигнала определяются следующими соотношениями
2
2
U (t )  S (t )  Sˆ (t ),
 (t )  arctg
Sˆ (t )
.
S (t )
(5.19)
(5.20)
Функция Sˆ (t ) называется сопряженной по Гильберту сигналу S(t) и получается из последнего поворотом на  / 2 против часовой стрелки всех гармонических составляющих функции S(t),
т. е. вычитанием  / 2 из всех спектральных составляющих фазового спектра сигнала S(t).
Функцию Sˆ (t ) можно также получить при помощи интегрального преобразования
Sˆ (t ) 
S ( )
d ,
  t  
1

(5.21)
которое называется преобразованием Гильберта. Имеет место и
обратное преобразование Гильберта, позволяющее получить
функцию S(t) из Sˆ (t ) :
S (t ) 
Sˆ ( )
d .

  t  
1

Введем понятие аналитического сигнала, который определяется как комплексная функция времени
S a (t )  S (t )  jSˆ (t ) ,
(5.22)
S a (t )  U a (t )e j a (t ) .
(5.23)
или
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Здесь огибающая U a (t ) и
полная фаза  a (t ) аналитического сигнала определяются по формулам (5.19) и (5.20)
соответственно. В векторной
форме аналитический сигнал
изображен на рис. 5.20.
jSˆ (t )
Sˆ ( t )
Ua(t)
ψa(t)
S(t)
S(t)
Действительный сигнал
S(t) совпадает с реальной частью аналитического сигнала
Рис. 5.20
S a (t ) .
Из (5.21) и (5.22) можно получить выражение для мгновенной частоты a (t ) сигнала S a (t ) :
d
Sˆ (t ) Sˆ '(t ) S (t )  S '(t ) Sˆ (t )

.
a (t )  arctg
dt
S (t )
Sˆ 2 (t )  S 2 (t )
(5.24)
Таким образом, зная аналитический сигнал, можно однозначно определять огибающую и мгновенную частоту узкополосного колебания. Более того, формулы (5.19), (5.20) и (5.24) сохраняют смысл применительно к сигналам произвольного вида,
не обязательно удовлетворяющим условиям квазигармоничности
(узкополосности).
5.3. Представление модулированного радиосигнала через синфазную и квадратурную составляющие огибающей Запишем аналитический сигнал (5.23) в виде
S a (t )  U a e j[0t  ( t )0 ]  U a (t )e j[ ( t )0 ]e j0t ,
(5.25)
где 0t   (t )  0   a (t ) – полная фаза, а U a (t )e j[ ( t )0 ]  U a (t ) –
комплексная огибающая аналитического сигнала.
Тогда, применяя к (5.25) формулу Эйлера, получим
S a (t )  [U a (t )cos( (t )  0 )  jU a (t )sin( (t )  0 )](cos 0t  j sin 0t )
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
После перемножения и группировки слагаемых придем к выражению
S a (t )  U a (t )cos( (t )  0 )cos 0t  U a (t )sin( (t )  0 )sin 0t 
 j[U a (t )cos( (t )  0 )sin 0t  U a (t )sin( (t )  0 )cos 0t ].
Введем обозначения:
Sc (t )  U a (t )cos[ (t )  0 ],
S s (t )  U a (t )sin[ (t )  0 ].
(5.26)
Тогда
S a (t )  Sc (t )cos 0t  S s (t )sin 0t  j[ Sc (t )sin 0t  S s (t )cos 0t ] .
(5.27)
Поскольку S (t )  Re S a (t ) , то из (5.27) следует, что
S (t )  Sc (t )cos 0t  S s (t )sin 0t.
(5.28)
Колебания S c (t ) и S s (t ) называют синфазной и квадратурной
составляющими огибающей U s (t ) сигнала S(t) соответственно.
Введем понятия огибающей U s (t ) и информационного компонента фазы  s (t ) физического сигнала S(t)
U s (t )  Sc2 (t )  S s2 (t ),
(5.29)
S (t )
(5.30)
 s (t )  arctg s .
Sc (t )
Определим соотношения между огибающей U a (t ) (5.19) и фазой  a (t ) (5.20) аналитического сигнала и огибающей U s (t ) (5.29)
и фазой  s (t ) (5.30) физического сигнала.
Из (5.29) и (5.26) следует, что
U s (t )  U a2 (t )[cos 2 ( (t )  0 )  sin 2 ( (t )  0 )]  U a (t ) .
Следовательно, огибающая узкополосного физического сигнала U s (t ) совпадает с огибающей аналитического сигнала U a (t ) .
Теперь рассмотрим соотношение фаз физического и аналитического сигналов. Для этого в (5.30) подставим из (5.26) выражения для S c (t ) и S s (t ) , получаем
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 s (t )  arctg
U a (t )sin[ (t )  0 ]
  (t )  0 .
U a (t )cos[ (t )  0 ]
(5.31)
От выражения (5.28) для S(t) перейдем к виду (5.18), для чего в
(5.28) подставим значения S c (t ) , S s (t ) из (5.26) и воспользуемся известным тригонометрическим соотношением, после чего получим
S (t )  U a (t )[cos( (t )  0 )cos 0t  sin( (t )  0 )sin 0t ] 
 U a (t )cos[0t   (t )  0 ].
(5.32)
Поскольку U a (t )  U s (t ) , то можно пользоваться одним общим
термином «огибающая сигнала» U (t )  U a (t )  U s (t ) . Таким образом, выражения (5.19) и (5.29) идентичны.
В выражениях (5.18), (5.25) и (5.31) 0t   (t )  0   a (t ) фаза
физического сигнала  s (t )   (t )  0 , определенная через синфазную и квадратурную составляющие огибающей сигнала, является слагаемым его полной фазы  s (t ) и отличается от полной
фазы аналитического сигнала тем, что не содержит линейного
члена 0t . Это естественно, поскольку синфазная Sc (t ) и квадратурная S s (t ) составляющие содержат информацию только о законах модуляции огибающей U(t), фазы  (t ) и о начальной фазе радиосигнала 0 . Полная фаза физического сигнала определяется
аргументом осциллирующей функции в (5.18) и (5.32), т. е.
 s (t )  0t   s (t )  0t   (t )  0 , что совпадает с выражением
для полной фазы аналитического сигнала  a (t ) . Следовательно,
 a (t )   s (t )  0t   s (t ) .
Представление узкополосного радиосигнала через синфазную и квадратурную составляющие используется при решении
задач синтеза и анализа сигналов.
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контрольные вопросы 1. Классификация сигналов. Энергетические характеристики
вещественного сигнала.
2. Комплексный сигнал. Энергетические характеристики
комплексного сигнала.
3. Корреляционные характеристики сигналов.
4. Четная и нечетная части сигналов.
5. Размерность сигналов и их геометрическое представление.
6. Простейшие разрывные функции и их свойства.
7. Описание сигналов с помощью разрывных функций. Особенности применения разрывных функций.
8. Интервал определения сигнала.
9. Требования, предъявляемые к системе базисных функций.
10. Простые и составные системы базисных функций.
11. Классические системы базисных функций.
12. Мультипликативные системы базисных функций.
13. Обобщенный ряд Фурье.
14. Спектр сигнала при разложении по гармоническим базисным функциям.
15. Комплексная система базисных функций.
16. Комплексный спектр действительного сигнала.
17. Спектр комплексного сигнала.
18. Спектры простейших периодических колебаний. Связь
временных параметров и спектральных характеристик.
19. Частота и спектральная плотность.
20. Непрерывные спектры на симметричном интервале времени.
21. Спектры простейших колебаний, заданных на симметричном бесконечном интервале времени.
22. Вид преобразования Фурье при разложении сигнала по
комплексно-экспоненциальному базису.
23. Некоторые свойства преобразований Фурье: сдвиг сигналов во времени, изменение масштаба времени.
24. Некоторые свойства преобразований Фурье: смещение
спектра сигнала, произведение двух сигналов.
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
25. Некоторые свойства преобразований Фурье: соотношение
между автокорреляционной функцией и спектром сигнала.
26. Текущий и мгновенный спектры.
27. Модулированные сигналы. Амплитудная модуляция.
28. Балансная модуляция. Однополосная модуляция.
29. Радиосигналы с угловой модуляцией.
30. Аналитический сигнал. Огибающая и фаза радиосигнала.
31. Представление произвольного радиосигнала через синфазную и квадратурную составляющие.
Рекомендуемая литература 1. Трахтман, А. М. Ведение в обобщенную спектральную
теорию сигналов / А. М. Трахтман. – М.: Сов. радио, 1972. –
352 с.
2. Радиотехнические цепи и сигналы / под ред. К. А. Самойло. – М.: Радио и связь, 1982. – 528 с.
3. Баскаков, С. И. Радиотехнические цепи и сигналы: учебник
/ С. И. Баскаков. – М.: Высшая школа, 1988. – 536 с.
4. Гоноровский, И. С. Радиотехнические цепи и сигналы
/ И. С. Гоноровский. – М.: Радио и связь, 1986. – 512 с.
5. Харкевич, А. А. Спектры и анализ / А. А. Харкевич. – М.:
Физматгиз, 1962. – 236 с.
6. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. – М.: Наука,
1989. – 623 с.
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ Введение ........................................................................................ 3 1. Сигналы и их основные характеристики ................................... 4 1.1. Интервал определения сигнала ............................................. 9 1.2 Энергетические характеристики вещественного сигнала ......................................................... 11 1.3 Комплексный сигнал. Энергетические характеристики комплексного сигнала ............................................................ 13 1.4. Корреляционные характеристики сигналов ...................... 16 1.5. Четная и нечетная части сигнала. Постоянная и переменная составляющие ......................... 18 1.6. Размерность сигналов и их геометрическое представление ....................................................................... 21 1.7. Обобщенный ряд Фурье ......................................................... 23 2. Системы базисных функций .................................................... 25 2.1. Требования, предъявляемые к системе базисных функций .................................................................. 26 2.2. Простые и составные системы базисных функций .......... 28 2.3. Формальная система базисных функций ............................ 30 2.4. Комплексная система базисных функций ........................... 32 2.5. Классические системы базисных функций .......................... 34 2.6. Мультипликативные базисные системы .......................... 38 3. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов на конечных интервалах .......................................... 39 3.1. Простые спектры сигнала ................................................... 39 102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.2. Составной спектр сигнала ................................................... 41 3.3. Формальный спектр сигнала ................................................ 43 3.4. Комплексный спектр действительного сигнала .............. 47 3.5. Спектр комплексного сигнала .............................................. 50 4. Обобщенный спектральный анализ сигналов на бесконечных интервалах ..................................................... 54 4.1. Частота и спектральная плотность ................................ 55 4.2. Системы базисных функций для разложения сигналов на любом интервале времени ............................................. 62 4.3. Непрерывные спектры на одностороннем интервале времени ............................................................... 64 4.4. Непрерывные спектры на симметричном интервале времени ............................................................... 67 4.5. Вид преобразований Фурье при разложении сигнала по комплексно‐экспоненциальному базису ......................... 70 4.6. Некоторые свойства преобразований Фурье .................... 72 4.6.1. Сдвиг сигналов во времени ............................................. 72 4.6.2. Изменение масштаба времени ....................................... 73 4.6.3. Смещение спектра сигнала .............................................. 73 4.6.4. Сложение сигналов........................................................... 74 4.6.5. Произведение двух сигналов .......................................... 74 4.6.6. Соотношение между автокорреляционной функцией и спектром сигнала ................................................... 76 4.7. Текущий и мгновенный спектры .......................................... 77 5. Радиосигналы .......................................................................... 80 5.1. Модулированные сигналы ..................................................... 80 5.1.1. Сигналы с амплитудной модуляцией ............................. 81 5.1.2. Сигналы с балансной и однополосной амплитудной модуляцией ............................................... 85 5.1.3. Сигналы с угловой модуляцией ....................................... 89 103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.2. Аналитический сигнал. Огибающая и фаза радиосигнала ........................................ 95 5.3. Представление модулированного радиосигнала через синфазную и квадратурную составляющие огибающей ................................................... 97 Контрольные вопросы ............................................................... 101 Рекомендуемая литература ...................................................... 101 Учебное издание
Брюханов Юрий Александрович
Кренев Александр Николаевич
СПЕКТРАЛЬНАЯ
ТЕОРИЯ СИГНАЛОВ
Издание второе
Учебное пособие
Редактор, корректор М. Э. Левакова
Верстка И. Н. Иванова
Подписано в печать 10.12.10. Формат 6084 1/16.
Бум. офсетная. Гарнитура "Times New Roman".
Усл. печ. л. 6,28. Уч.-изд. л. 5,71.
Тираж 100 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе
Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова.
Отпечатано на ризографе.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова.
150000, Ярославль, ул. Советская, 14.
104
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
45
Размер файла
925 Кб
Теги
1008, брюханов, спектральная, сигналов, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа