close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1164.Нелинейные задачи гидродинамики волновых процессов Григорьев А И

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
А.И. Григорьев
С.О. Ширяева
Д.Ф. Белоножко
Нелинейные задачи
гидродинамики волновых процессов
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов специальности Физика
Ярославль 2006
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 532.51
ББК В 253.322я73
Г 83
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2006 года
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доцент В.А. Коромыслов;
кафедра прикладной математики и вычислительной техники
Ярославского государственного технического университета.
Г 83
Григорьев, А.И. Нелинейные задачи гидродинамики волновых
процессов: учебное пособие / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева,
Д.Ф. Белоножко; Яросл. гос. ун-т. им. П.Г. Демидова. Ярославль:
ЯрГУ, 2006. 92 с.
ISBN 5-8397-0415-6
Излагаются основы математического моделирования нелинейных периодических движений заряженной свободной поверхности жидкости на примере нелинейных осцилляций заряженной
капли.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлению
510400 Физика, специальности 010400 Физика (дисциплина «Нелинейные задачи гидродинамики», блок ДС), очной формы обучения.
ББК
УДК 532.51
В 253.322я73
 Ярославский государственный
университет, 2006
 А.И. Григорьев, С.О. Ширяева,
Д.Ф. Белоножко, 2006
ISBN 5-8397-0415-6
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
В последние два с половиной десятилетия (первая теоретическая статья [1] появилась 1983 году) начались регулярные исследования нелинейных осцилляций заряженных
капель [1 – 33], хотя экспериментальные и теоретические исследования устойчивости и
динамики колебаний заряженных капель жидкости в линейном по амплитуде осцилляций приближении проводятся уже почти полтора столетия. Интерес к заряженной капле
объясняется тем, что она является ключевым объектом в самых разнообразных академических, геофизических, технических и технологических явлениях и процессах. Например, с ней приходится встречаться при распыливании жидких топлив, инсектицидов, лакокрасочных материалов, в устройствах электрокаплеструйной печати, при исследовании проблем грозового электричества, в капельной модели ядра атома (см., например,
обзоры [34 – 46] и указанную там литературу).
Впервые теоретическое изучение капиллярных колебаний и линейная теория устойчивости заряженной сферической капли были проведены Рэлеем [47, 48] в конце девятнадцатого века. Он представил каплю как колебательную систему с бесконечным
набором собственных частот колебаний. В качестве отдельных мод осесимметричных
колебаний поверхности рассматривались колебания, описываемые соответствующими
полиномами Лежандра, при этом номер моды соответствовал числу выпуклостей (или
впадин) на поверхности капли. Рэлей рассчитал частоты капиллярных колебаний и нашел критические условия потери устойчивости различными осесимметричными модами
сильно заряженной капли. Наименее устойчивой оказалась основная (вторая) мода капиллярных колебаний, критические условия потери устойчивости которой и определяют
устойчивость всей капли. Величину заряда на капле фиксированного радиуса с заданным коэффициентом поверхностного натяжения, при которой теряет устойчивость основная мода, принято называть Рэлеевским пределом устойчивости заряженной капли.
При превышении зарядом Рэлеевского предела капля неустойчива и у нее не существует равновесных сферических форм. С тех пор проделана масса исследований линейной
устойчивости капель в различных усложняющих вариантах, количество публикаций, посвященных линейным исследованиям, измеряется сотнями (см., например, обзоры [34 –
46] и указанную там литературу).
Но сосредоточимся на исследованиях нелинейных осцилляций заряженных капель
[1 – 32, 49 – 51]. Можно выделить три основных направления проведенных исследований: 1) нелинейный анализ эволюции капиллярных осцилляций поверхности капли в
рамках методов теории возмущений; 2) расчет равновесных форм заряженных капель
вблизи Рэлеевского предела и анализ характера бифуркаций решений, имеющих место в
окрестности критического значения заряда; 3) исследование нелинейного взаимодействия между отдельными модами колебаний заряженной капли.
Впервые классические методы теории возмущений (метод Линштедта – Пуанкаре)
к исследованию осесимметричных капиллярных колебаний конечной амплитуды, совершаемых поверхностью незаряженной капли несжимаемой невязкой жидкости, были
применены в [1]. Это позволило получить квадратичные по амплитуде начальной деформации поправки к форме поверхности капли, потенциалам скоростей и в третьем порядке малости к частотам колебаний. Расчеты проводились для трех типов начальных
условий, определявшихся заданием начальной деформации капли в виде виртуальной
возмущения n-ой моды осцилляций для n = 2,3,4. В экспериментальных исследованиях
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сдвига частоты при нелинейных колебаниях капли в условиях отсутствия силы тяжести,
проведенных в [32], получено хорошее согласие с данными работы [1].
В работе [29] на основе более подходящего для исследования многочастотных колебаний метода многих масштабов были исследованы осцилляции конечной амплитуды
заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости, вызванные начальным возбуждением первых трех мод (n = 2,3,4), для случая заряда, меньшего Рэлеевского предела. Однако выяснилось, что при приближении величины заряда к критическому значению Q*
найденные в [29] поправки к амплитудам гармонических колебаний становятся несправедливыми, так как содержат неограниченно нарастающие при Q > Q* слагаемые. Для
устранения таких расходимостей в [32] на основе анализа асимптотического поведения
решений, полученных в [29], малый параметр масштабирования вводится таким образом, чтобы он характеризовал соотношение между амплитудой деформации и отклонением величины заряда на капле Q от критического Q∗ . Это позволило авторам [32]
проанализировать нелинейную динамику осесимметричных осцилляций поверхности
невязкой заряженной капли вблизи Рэлеевского предела и получить с точностью до второго порядка малости по величине решения, описывающие эволюцию формы капли, поля скоростей и электрического поля при начальном возбуждении основной моды колебаний поверхности.
Нелинейный анализ неосесимметричных колебаний капли, несущей заряд, мало
отличающийся от Рэлеевского предела, методами, использованными в [32], предпринят
в [24], где получены динамические уравнения для амплитуд неосесимметричных мод,
описываемых сферическими функциями второго порядка. Решения выведенных уравнений в зависимости от величины начальной деформации капли и близости заряда к критическому значению могут проявлять стохастическое поведение.
Нелинейная структура и устойчивость осесимметричных статических форм поверхности идеально проводящей заряженной невязкой капли с зарядом вблизи Рэлеевского предела при начальном возбуждении основной (n = 2) моды рассматривались в
[32]. В частности, было показано, что Рэлеевский предел соответствует точке транскритической бифуркации семейства статических сферических форм капли на семейства осесимметричных вытянутых и сплюснутых сфероидальных форм (этот результат был подтвержден численными расчетами [51]). Вытянутые формы существуют при значениях
заряда, меньших критического, и неустойчивы по отношению к малоамплитудным возмущениям поверхности. Сплюснутые статические формы существуют при зарядах,
больших Рэлеевского предела, причем они оказались устойчивыми по отношению к малым осесимметричным возмущениям. Кроме того, выяснилось, что при значениях заряда, немного меньших критического, устойчивость исходной сферической формы капли
может быть нарушена колебаниями конечной амплитуды. Причем, величина заряда, на
которую снижается его критическое значение, пропорциональна амплитуде начального
удлинения капли. Результаты аналитических вычислений в [32] подтверждаются численными расчетами статических форм поверхности капли при возбуждении первых трех
мод. Численный анализ осесимметричных статических форм заряженной капли вблизи
Рэлеевского предела был продолжен в [25] с использованием интегральной формы уравнения Лапласа. В квадратичном по амплитудам мод приближении обнаружены несимметричные относительно экваториальной плоскости формы капель, неустойчивые в линейном приближении. В работе [24] при анализе неосесимметричных колебаний капли
получено, что сплюснутые сфероидальные формы капли, существующие согласно [32] и
численным расчетам [51] при Q > Q* с неустойчивым по отношению к неосесимметричным возмущениям (позднее аналогичный результат получен и в линейном анализе [49,
50]). Таким образом, Рэлеевский предел соответствует точке абсолютной неустойчиво4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сти заряженной капли. Начальная стадия реализации неустойчивости заряженной капли
проходит через последовательность удлиняющихся вытянутых сфероидов.
В [1, 12] был также подтвержден ранее отмеченный в [26 – 28] факт временной
асимметрии осцилляций: при начальном возбуждении основной моды, когда форма капли осциллирует между вытянутым и сплюснутым сфероидами, время нахождения капли
(пузыря) в состоянии вытянутого сфероида превышает время ее нахождения в сплюснутом состоянии, и эта тенденция усиливается с увеличением амплитуды осцилляций. Но
констатацией факта Тсамопулос и Браун и ограничились. Истолкование же ему дано в
[52], где показано, что при нелинейных осцилляциях капля совершает колебания не возле сферической формы, как было в линейном случае, а в окрестности фигуры, близкой к
вытянутому сфероиду.
Вопросы взаимодействия различных мод капиллярных колебаний заряженной поверхности капли рассматривались в работах [2, 29]. Найденные в [29] в расчетах второго
порядка малости квадратичные по малому параметру компоненты решений (деформации
формы капли, потенциала поля скоростей течения жидкости в ней и электростатического потенциала в окрестности капли), а также поправки к частотам осцилляций, определяемые в расчетах третьего порядка малости, содержали в знаменателях множители ви2
2
2
да: ωm − j ⋅ ωn , где ωm и ωn – частоты различных мод осцилляций капли; j – целое
число. В некоторых ситуациях (при некоторых значениях собственного заряда капли Q,
ее радиуса и величины коэффициента поверхностно натяжения) может выполниться со2
2
2
отношение ωm − j ⋅ ωn = 0 . Такие ситуации по аналогии с вынужденными гармоническими осцилляциями принято называть резонансными, поскольку в точках резонансов
решения расходятся. В теории возмущений отработаны процедуры отыскания решений,
как в окрестности, так и в самой точке резонанса [53 – 55] путем введения параметра
расстройки, величина которого может непрерывно изменяться. В физических задачах в
параметры расстройки вводятся на основе изменения неких параметров задачи, которые
ранее принимались фиксированными. В итоге резонансные компоненты решения сводятся к секулярным слагаемым, которые в свою очередь обрабатываются в стандартных
математических процедурах.
В [29] в расчетах второго порядка малости был обнаружен резонанс между четвертой (n=4) и шестой (n=6) модами при некотором заряде капли Qr , докритическом в
смысле линейной устойчивости заряженной капли по отношению к собственному заряду
(в смысле анализа устойчивости, проведенного Рэлеем) Qr < Q* , здесь Q* – критический
заряд, при котором теряет устойчивости основная мода (n = 2). Тсамопулос и Браун [29]
ввели параметр расстройки на основе варьирования заряда капли Q в малой окрестности
Qr и построили решение, справедливое в самой точке резонанса и в его окрестности.
Они показали, что в точке резонанса энергия полностью перекачивается из изначально
возбужденной четвертой моды в шестую меньше чем за три периода осцилляций четвертой моды. Они показали, что максимальная амплитуда шестой моды достигается в положении точного резонанса (при равной нулю величине параметра расстройки) и что
амплитуда шестой моды убывает по гиперболическому закону при увеличении абсолютной величины параметра расстройки.
В [29] также показано, что резонансные ситуации между модами осцилляций реализуются и для незаряженной капли. В частности, такое взаимодействие для основной (n
= 2) и четвертой (n = 4) мод обнаруживается в расчетах третьего порядка малости. Указанная степень малости приводит к существенному увеличению (на порядок) характерного времени обмена энергией между резонансно взаимодействующими модами.
Нелинейное резонансное взаимодействие пятой (n = 5) и восьмой (n = 8), а также
десятой (n = 10) и шестнадцатой (n = 16) мод в незаряженной капле идеальной несжи-
(
)
(
)
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
маемой жидкости рассмотрено Натараньяном и Брауном в [3]. Само исследование проведено в рамках Лагранжева подхода, ранее использованного при изучении капиллярно
гравитационных волн на поверхности воды. В выписываемый Лагранжиан вводятся в
соответствии с идеей метода разных временных масштабов быстрое (характеризующее
решения первого порядка малости) и медленное (характеризующее решения второго порядка малости и в том числе нелинейное взаимодействие мод) времена. Начальная деформация задается суперпозицией пары взаимодействующих мод: 5-й и 8-й или 10-й и
16-й. Затем Лагранжиан усредняется по быстрому времени. Уравнения Эйлера – Лагранжа, соответствующие оставшейся после усреднения части Лагранжиана, содержат
лишь медленное время и описывают квадратичное по малому параметру взаимодействие
мод, определяющих начальную деформацию. Результаты расчетов резонансного обмена
энергией между взаимодействующими модами в случае осесимметричных осцилляций
зависят от парциального вклада взаимодействующих мод в начальную деформацию.
В [3] показано, что если не ограничивать рассмотрение осесимметричными модами
осцилляций, то следует учесть, что с m-ой осесимметричной модой связаны 2m+1 неосесимметричных мод с одинаковыми частотами и близкими величинами энергии их возбуждения, и осесимметричные моды неустойчивы в смысле передачи своей энергии в
связанные с ними неосесимметричные моды. В итоге энергия, изначально заключенная в
виртуально возбужденной в начальный момент времени в осесимметричной m-ой моде,
«размазывается» по 2m+1 неосесимметричным модам. При возбуждении в начальный
момент двух резонансно взаимодействующих мод с высокими номерами, количество
связанных с ними неосесимметричных мод оказывается весьма большим и обмен энергией между взаимодействующими неосесимметричными модами носит стохастический
характер.
Внутреннее резонансное взаимодействие мод, реализующееся в третьем порядке
малости, выполненное с использованием Лагранжева формализма, исследовано Натараньяном и Брауном в [4]. В экспериментах Тринча и Ванга [5], которые исследовали
возбуждаемые акустическим полем осцилляции большой амплитуды капель, подвешенных в акустическом подвесе, оказалось, что осцилляции большой амплитуды весьма
трудно возбудить вследствие появления на поверхности капли неосесимметричной бегущей волны, которая, в конце концов, приводила к вращению капли как целого. Такой
же эффект проявлялся и в экспериментах Якоби и др. [6] со свободно висящими в условиях невесомости каплями, осцилляции которых генерировались акустическим полем.
Натараньян и Браун предположили, что такое поведение акустически возбуждаемых левитирующих капель связано с реализацией в каплях резонанса третьего порядка с участием неосесиметричных мод. Они указали, что кроме резонанса третьего порядка между второй (n=2) и четвертой (n=4) модами, для которых выполняется условие
ω4 ± 3 ⋅ ω2 = 0 , о котором сообщалось ранее в [29], существуют резонансы третьего порядка между (2m+1) неосесиммтеричными модами, связанными с m-ой осесимметричной модой. Возбуждение таких резонансов и может привести к вращению капли как целого. В [4] исследованы в рамках Лагранжева метода резонансное взаимодействие между неосесиммтеричными модами, связанными с третьей модой (m=3), также между
второй (n=2) и четвертой (n=4) модами с учетом влияния связанных с ними неосесимметричных мод. Показано, что при начальном возбуждении третьей осесимметричной
2
моды (n=3, m=0), неосесимметричная тессеральная мода ∼ P3 (θ , ϕ ) , (т.е. n=3, m=2),
претерпевает неустойчивость, что в итоге может привести к вращению капли как целого.
Для ситуации начального возбуждения второй (n=2) и четвертой (n=4) мод, резонансно
между собой взаимодействующих, претерпевает неустойчивость неосесимметричная
2
тессеральная мода ∼ P4 (θ , ϕ ) , (т.е. n=4, m=2), что также может привести к вращению
капли как целого. Тем не менее, результаты [4] вызывают сомнение, поскольку нели6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нейная поправка к частоте третьей моды, полученная в [4], отличается от найденной ранее в строгом гидродинамическом анализе [29], и сами авторы [4] говорят, что результаты их последнего расчета нуждаются в независимой проверке на предмет наличия ошибок. Сама идея возможности перекачки без постороннего силового воздействия энергии
из осесимметричных мод капли в неосесимметричные, сопровождающаяся понижением
порядка симметрии реализующихся осцилляций, представляется сомнительной, хотя для
системы взаимодействующих точечных осцилляторов перекачка энергии из высоких
мод в низкие имеет место и даже получила специальное название «распадная неустойчивость». В экспериментах [5, 6] направленное силовое воздействие на каплю со стороны акустического поля имело место, и возникновение в итоге вращения капли как целого не представляется необычным, чего нельзя сказать о проводимом в [4] анализе.
Следует отметить, что сама идея возможности внутреннего резонансного взаимодействия мод осцилляций с различной симметрией не вызывает никаких возражений.
Тщательного рассмотрения требует вопрос о направлении перекачки энергии при реализации внутреннего резонансного взаимодействия. Во всех вышецитированных работах
при упоминании о нелинейном внутреннем резонансном взаимодействии мод речь шла о
так называемом вырожденном трехмодовом резонансе, когда одна мода дважды взаимодействует с другой, и лишь о факте существования такого взаимодействия. В реальности
вырожденное внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие мод обладает асимметрией, и энергия, запасенная в модах, определяющих начальную деформацию капли,
перекачивается только из мод с малыми номерами в моды с бóльшими номерами. Обратная перекачка энергии из высоких мод в низкие идет лишь в рамках той доли энергии, которая поступила из низких мод в высокие. Если же в реальности взаимодействуют три моды с различными номерами, то говорят уже о вторичном комбинационном резонансе, при котором возможна перекачка энергии из определяющих начальную
деформацию капли мод с высокими номерами в моду с низким номером, отсутствующую в спектре мод, определяющих начальную деформацию.
Вопрос о направлении перекачки энергии между резонансно взаимодействующими
модами осцилляций капли с различной симметрией до настоящего времени не исследовался, но такое исследование выполнено для волн на поверхности заряженной струи
идеальной несжимаемой жидкости [30]. Выяснилось, что перекачка энергии из неосесимметричной моды в осесимметричную может иметь место, но обратный перенос, соответствующий распадной неустойчивости, не реализуется, что совершенно не понятно.
Примерно таково же положение дел для резонансного обмена энергией между модами
нелинейно-осциллирующей капли, движущейся относительно среды [31]: распадная неустойчивость не имеет места.
Все аналитические исследования [2, 24 – 33] нелинейной динамики поверхности
капли проводились в рамках модели идеальной жидкости. Лишь в работе [23] при расчетах численными методами было учтено влияние вязкости жидкости на осцилляции формы капли. Получено, что даже наличие малой вязкости существенным образом сказывается на резонансном взаимодействии отдельных мод колебаний.
Одним из интереснейших явлений, тесно связанных с осцилляциями и неустойчивостью заряженных капель, является возникновение огней св. Эльма (ОСЭ). В 93% случаев это зажигание ОСЭ обусловлено неустойчивостью капель и пленок воды в электрическом поле [56 – 58]. На нелинейной стадии этой неустойчивости с поверхности жидкости начинается эмиссия сильно заряженных высокодисперсных капелек, в
окрестности которых зажигается самоподдерживающийся за счет фотоионизации коронный разряд, что и объясняет наблюдающееся свечение. Интересно, что появление
ОСЭ на самолетах, летящих в облаках, всегда сопровождается интенсивными радиопомехами. Из общефизических соображений можно выделить два источника радиоизлучения ОСЭ: коронный разряд в окрестности эмиттированных капель и капиллярные ос7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
цилляции капелек, несущих электрический заряд [59, 60]. Радиоизлучение коронного
разряда изучено достаточно хорошо. Достаточно подробно разработана и теория электромагнитного излучения от линейно осциллирующей капли [60]. Поэтому в настоящем
исследовании основное внимание будет уделено оценке интенсивности радиоизлучения,
связанного с нелинейными колебаниями заряженных капель.
Другой примечательный пример применения теории колебаний заряженной капли
связан с исследованием взаимодействия звуковых волн с жидко капельными системами.
В этом случае, как правило, пренебрегают наличием у капель внутренних степеней свободы, связанных с капиллярными колебаниями капель, хотя хорошо известно, что частоты капиллярных колебаний капель с размерами, характерными для жидко-капельных
систем естественного происхождения (туманов, облаков, дождя), приходятся на диапазоны частот звуковых волн и длинноволновых ультразвуковых (см., например, [45, 61,
62] и указанную там литературу). Наличие на каплях электрического заряда, отклонение
формы капель от сферической, движение капель относительно внешней среды, учет их
вязкости – приводят к смещению спектра капиллярных колебаний в область более низких значений [45, 65, 66], т.е. в область звуковых волн, воспринимаемых слухом.
Подводя итог вышесказанному, отметим, что, несмотря на обилие теоретических и
экспериментальных исследований нелинейных осцилляций заряженных капель, многие
вопросы, с ними связанные, остались слабо освещенными. В этой связи представляется
своевременным более детально ознакомиться с характерными постановками задач и математическими методами, используемыми при анализе нелинейных осцилляций заряженных капель.
1. Анализ нелинейных осцилляций заряженной
капли идеальной жидкости во втором порядке
малости по амплитуде исходной деформации
1.1. Нелинейные осцилляции деформированной
в начальный момент времени заряженной капли
1. Пусть в начальный момент времени t = 0 равновесная сферическая с радиусом R
капля идеальной, несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью ρ , коэффициентом поверхностного натяжения γ и электрическим зарядом Q , распределенным
по ее поверхности, претерпевает виртуальное осесимметричное возмущение фиксированной амплитуды, меньшей радиуса капли. Зададимся целью исследовать эволюцию во
времени формы поверхности такой капли, которая при
t > 0 будет совершать нелинейные осцилляции в окрестности равновесной сферической формы.
Очевидно, что капля будет осесимметричной как в начальный, так и во все последующие моменты времени, и уравнение, описывающее ее поверхность в сферической системе координат с началом в центре масс капли в безразмерных переменных, в
которых ρ = R = γ = 1 , можно записать в виде:
r (θ , t ) = 1 + ξ (θ , t ) ;
| ξ |<< 1 .
(1)
Движение жидкости в капле будем полагать потенциальным с потенциалом
поля
 

скоростей движения жидкости в капле ψ (r , t ) ; само поле скоростей V (r , t ) при этом
 

определяется через градиент потенциала V (r , t ) = grad (ψ (r , t )) . Принимая, что скоро8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сти гидродинамических движений жидкости в капле много меньше скорости распространения электромагнитных взаимодействий, электрическое поле заряда Q в окрестности капли будем считать электростатическим [59] и станем описывать его с помощью


потенциала Φ (r , t ) , с которым напряженность поля E связана известным соотношени-

ем E = − grad (Φ ) .
Математическая формулировка решаемой задачи имеет вид:


ΔΦ ( r , t ) ;
Δψ ( r , t )= 0;

ψ ( r , t ) → 0;
r→0:
r=1 + ξ(θ, t):
∂ψ
∂t
(3)

| grad (Φ(r , t )) |→ 0 ;
r → ∞:
Δ p−
(2)
−
(4)
1 ∂ψ
∂ξ ∂ψ
=
− 2
;
∂t ∂r
r ∂θ
1
( ∇ψ ) 2
2
(5)

1
( ∇Φ )2 = div n ;
8π
+
(6)
Φ(r, θ, t) = const ;
(7)
4
π,
3
v
v = [0 ≤ r ≤ 1 + ξ ( θ ,t ), 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ]

r 2 dr sin θ dθ dϕ
=
(8)
 3
e
 r r dr sin θ dθ dϕ = 0 ;
(9)
V
−
1
4π

 (n ⋅ ∇Φ) ds = Q,
s = [ r = 1 + ξ (θ , t ), 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ]; (10)
s
t=0:
ξ ( θ ) = ξ0 P0 ( μ ) + ξ1 P1 ( μ ) + ε  hi Pi ( μ );
i∈Ξ
∂ξ (θ , t )
=0;
∂t
μ = cosθ .
 hi = 1;
i∈Ξ
(11)
Поскольку условия (8) и (9) должны выполняться в любой момент времени, в том
числе и в начальный, то при t = 0 они определяют амплитуды нулевой и первой мод в
разложении начального возмущения равновесной сферической формы поверхности капли ξ (θ ) в ряд по полиномам Лежандра. Иначе говоря, амплитуды нулевой и первой мод
не могут быть произвольны, но будут зависеть от вида начальной деформации.
В выражениях (6) – (11) введены обозначения: Δp – перепад постоянных давлений

внутри и вне капли в состоянии равновесия; n – единичный вектор нормали к поверх9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ности (1); ε – безразмерная амплитуда начального возмущения формы поверхности капли, являющаяся малым параметром задачи; Pi (μ ) – полиномы Лежандра порядка i;
hi – коэффициенты, определяющие парциальный вклад i-ой колебательной моды в суммарное начальное возмущение; Ξ – множество значений номеров изначально возбуж-
денных колебательных мод; ξ 0 и ξ1 – константы, определяемые из условий (8) и (9) в
начальный момент времени и с точностью до слагаемых второго порядка малости по ε ,
равные:
hi2
+O ε3 ;
m =1 (2i + 1)
∞
( )
ξ 0 ≈ −ε 2 
( )
9 i hi −1 hi
+O ε3 .
i∈Ξ (2i − 1)(2i + 1)
ξ1 ≈ −ε 2 
(12)
2. Для отыскания решения поставленной задачи воспользуемся методом многих
масштабов, как это делалось в задачах этого типа в [1, 32]. Искомые функции ξ (θ , t ) ,


ψ (r , t ) , Φ(r , t ) представим в виде рядов по степеням малого параметра ε и будем считать зависящими не просто от времени t, а от разных его масштабов, определенных через
малый параметр
ε : Τm ≡ ε m t :
∞
∞

ξ (θ , t ) =  ε mξ (m ) (θ , T0 , T1 ,...) ; ψ (r , t ) =  ε mψ (m ) (r ,θ , T0 , T1 ,...) ;
m =1
m =1
∞

Φ(r , t ) =  ε m Φ (m ) (r ,θ , T0 , T1 ,...) .
(13)
m =0
Ограничимся рассмотрением поставленной задачи в квадратичном по ε приближении, в рамках которого можно определить зависимость искомых величин от двух
временных масштабов T0 и T1 .
Подставляя разложения (13) в систему (2) – (11) и приравнивая слагаемые, содержащие одинаковую степень параметра ε , получим набор краевых задач для определе(m )
(m )
(m )
ния функций ξ , ψ , Φ . Очевидно, что линейным уравнениям (2) должна удов(m )
(m )
летворять каждая из функций ψ , Φ .
В нулевом порядке малости несложно найти выражение для электростатического
потенциала в окрестности равновесной сферической капли, обладающей зарядом Q :
Φ (0 ) = Q / r .
Решения уравнений (2) для функций первого и второго порядков малости, удовлетворяющие условиям ограниченности (3), (4), запишем в виде:
∞
ψ (m ) (r ,θ , T0 , T1 ) =  Dn(m ) (T0 , T1 ) ⋅ r n ⋅ Pn (μ ) ,
n =1
∞
(
)
(m = 1;2) ;
Φ (m ) (r ,θ , T0 , T1 ) =  Fn(m ) T0 , T1 ⋅ r −(n+1) ⋅ Pn (μ ) .
n =0
10
(14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Последовательные поправки к равновесной поверхности капли так же представим
в виде разложений по полиномам Лежандра:
ξ
(m )
∞
(θ ,T0 ,T1 ) =  M n(m ) (T0 ,T
n =0
1
) ⋅ P (μ ) ; (m = 1,2) .
(15)
n
Подставляя решения (14), (15) при m = 1 в систему граничных условий первого
порядка малости, полученную из (5) – (7), после соответствующих преобразований по(1)
лучим дифференциальные уравнения относительно коэффициентов M n (T0 ,T1 ) :
∂ 2 M n(1) (T0 , T1 )
Q2
(1)
2
2
+ ω n M n (T0 , T1 ) = 0 ; ω n = n(n − 1)((n + 2) − W ) ; W =
.
4π
∂T02
(16)
Решением уравнений (16) являются гармонические функции с коэффициентами,
зависящими от времени T1 :
M n(1) (T0 , T1 ) = An1 (T1 ) ⋅ exp(i ⋅ ω n ⋅ T0 ) + к.с.;
(
)
An1 (T1 ) = an(1) (T1 ) ⋅ exp i ⋅ bn(1) (T1 ) ;
( n ≥ 2)
(17)
здесь и далее аббревиатура "к.с." обозначает слагаемые, комплексно сопряженные к вы-
писанным; a1n (T1 ) и bn (T1 ) – вещественные функции, зависимость которых от времени
1
T1 может быть определена только при рассмотрении задачи следующего порядка малости.
Из условий (9), (10), записанных в линейном по малой величине
следует, что
M 0(1) (T0 , T1 ) = 0 ;
ε приближении,
M 1(1) (T0 , T1 ) = 0 .
(18)
Отметим, что формально выражения (18) не противоречат уравнениям (16) для
n = 0 и n = 1.
Удовлетворяя начальным условиям (11) в первом приближении по ε , получим:
1
ai(1) (0 ) = hi ; bi(1) (0 ) = 0 ; (i ∈ Ξ ) ;
2
(1)
an (0) = 0 ;
bn(1) (0) = 0 ; (n ∉ Ξ ) .
(19)
Решения первого порядка (17), (18) и решения (14), (15) при m = 2 подставим в полученную из (5) – (7) систему граничных условий второго порядка малости и после гро(2 )
моздких преобразований получим уравнение относительно коэффициентов M n (T0 ,T1 ) :
∂ 2 M n(2 ) (T0 , T1 )
dAn1 (T1 )
(1)
2
∂T02
+ ω n M n (T0 , T1 ) = −2 ⋅ i ⋅ ω
11
dT1
⋅ exp(i ⋅ ω n ⋅ T0 ) +
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

   (γ l mn + ωl ⋅ ωm ⋅ ηl mn ) ⋅ Al1 (T1 ) ⋅ Am1 (T1 ) ⋅ exp(i ⋅ (ωl + ωm )T0 ) +
∞
+
∞
l =1 m = 2 

+ (γ l mn − ωl ⋅ ω m ⋅ η l mn ) ⋅ Al1 (T1 ) ⋅ Am1 (T1 ) ⋅ exp(i ⋅ (ωl − ω m )T0 ) + к.с.  ;
(20)

W

γ ijn = K ijn ω i2 ( n − i + 1 ) + 2n( j( j + 1 ) − 1 ) + ( j( i + 1 ) − i( 2i − 2n + 7 ) + 3 ) n  +
2

n 
1
W
n

1 2
η ijn = K ijn  − i +1 + α ijn 1 +  ;
+ α ijn  ω i + n  ;
i 2j
2
2

i
[
]
2
K ijjn = Cin00j 0 ;
n0
α ijjn = − i (i + 1) j ( j + 1) Cin00j 0 Cin(0−1) j1 .
n0
Здесь Ci 0 j 0 Ci ( −1) j1 - коэффициенты Клебша – Гордана [64]. Они отличны от нуля,
только если нижние индексы удовлетворяют следующим соотношениям:
(i +
| i − j |≤ n ≤ (i + j ) ;
j + n) = 2 g .
(21)
Поэтому во втором порядке малости будут возбуждаться колебания мод, номера
которых удовлетворяют (21).
3. Из вида правой части (20) можно заметить, что если для каких либо трех мод колебаний поверхности капли с номерами p, q, k выполняется одно из соотношений:
ω p + ωq = ωk ;
ω p − ωq = ωk ,
(22)
то в соответствии с общей идеологией метода многих масштабов эти моды вступают в
резонансное взаимодействие, при этом говорят о вторичном (поскольку проявляется
лишь во втором порядке малости) комбинационном резонансе.
Заметим, что согласно (16) значения частот собственных колебаний поверхности
капли ω n зависят от величины заряда на капле (от параметра W ). Причем при значении
Wcr = 4 частота колебаний основной моды (с n = 2) обращается в ноль, дальнейшее же
увеличение W приводит к тому, что поверхность капли становится неустойчивой по отношению к собственному заряду. Поэтому вторичные резонансы оказывают влияние на
нелинейные осцилляции капли, и их имеет смысл исследовать только в том случае, если
соотношения (22) выполняются при W < Wcr . В работе [29] был обнаружен один резо-
нанс подобного типа для случая, когда ω 6 = 2ω 4 , а в [65, 66] показано, что общее количество резонансов при W < 4 весьма велико, и при p, q, k < 100 их количество измеряется сотнями.
Пусть индекс n нумерует моды, возбуждающиеся за счет нелинейного взаимодействия во втором порядке малости, а индексы k , p, q нумеруют моды, связанные резонансным взаимодействием.
Рассмотрим вначале случай, n ≠ k , p, q , т.е. когда мода n не связана никаким резонансным соотношением, а условие исключения секулярных членов и членов с малыми
знаменателями из решения уравнения (20) имеет простой вид:
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
dAn1 (T1 )
= 0.
dt
Из этого равенства, используя выражение для An (T1 ) через скалярные функции
1
an(1) (T1 ) и bn(1) (T1 ) (см. (18)) и требуя обращения в ноль действительной и мнимой час-
тей, несложно получить
dan(1) (T1 ) dbn(1) (T1 )
=
= 0.
dt
dt
Эти равенства означают, что a n (T1 ) и bn (T1 ) не зависят от медленного времени
(1)
(1)
T1 , и в рамках рассмотрения задачи с учетом лишь второго порядка малости их можно
считать константами, равными своим начальным значениям (19). Выражение (17) для
коэффициентов первого порядка малости M n (t ) в разложении возмущения формы
(1)
равновесной поверхности ξ (θ , t ) в ряд по полиномам Лежандра (15) примет вид
(1)
M n(1) (t ) = δ n,i ⋅ hi ⋅ cos(ωi ⋅ t ) ;
i ∈ Ξ; n ≠ k , p, q ,
(23)
δ n,i – дельта-символ Кронекера. Амплитуды поправок второго порядка малости,
получаемые при решении уравнения (19), в рассматриваемой ситуации примут вид:

1

1

M n(2 ) (t ) =   hi ⋅ h j λ(i +j )n ⋅ sin  (ω n + ωi + ω j ) ⋅ t  ⋅ sin  (ω n − ωi + ω j ) ⋅ t  +
2

2


i∈Ξ j∈Ξ
1

1

+ λ(i−j )n ⋅ sin (ωn + ωi − ω j ) ⋅ t  ⋅ sin (ωn − ωi + ω j ) ⋅ t ; (n ≥ 2; n ≠ p, q, k )
2

2

(
λ(i ±j )n ≡ (γ i j n ± ωi ⋅ ω j ⋅ η i j n ) ⋅ ω n2 − (ωi ± ω j )2
)
−1
.
(24)
(± )
Заметим, что из соотношений для λi j n следует, что выражение для амплитуды до(2 )
бавки второго порядка малости M n (t ) при выполнении условия
ω n2 − (ωi ± ω j )2 = 0
(22a)
будет содержать малые знаменатели. Считая, что ω n > 0 , несложно увидеть, что это равенство эквивалентно (22), т.е. условию реализации внутреннего трехмодового комбинационного резонанса.
4. Выражения (23), (24), подставленные в (15), дают закон эволюции поверхности
заряженной капли во времени, если характер взаимодействия между изначально возбужденными модами не резонансный:
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r (θ , t ) = 1 + ε
M
j∈Ξ
M i( 1 ) = hi cos( ω i t );
(1)
j
Pj ( μ ) + ε
2
M 0( 2 ) = −
∞
 M n( 2) Pn (μ )
+ Ο(ε 3 ) ;
n =0
hi
1
( 1 + cos( 2ω i t ));

2 i∈Ξ ( 2i + 1 )
9ihi −1 hi
cos( ω i t ) cos( ω i −1 t );
(
2
i
1
)(
2
i
1
)
−
+
i∈Ξ
M 1( 2 ) = − 
M n( 2 ) = [N n ( t ) − N n ( 0 ) cos( ω n t )];
Nn( t ) =
[
n > 2;
]
1
hi h j λ(ijn+ ) cos(( ω i + ω j ) t ) + λ(ijn− ) cos(( ω i − ω j )t ) ;

2 i , j∈Ξ
Анализ полученных соотношений показывает, что начальное возмущение (четной
либо нечетной) одиночной моды m капиллярных колебаний приводит к возбуждению во
втором порядке малости только четных мод с номерами, лежащими в диапазоне [0; m].
Численный анализ по (24) показывает, что в противоречии с предсказаниями линейной
теории независимо от вида начальной деформации равновесной сферической формы капли, несущей заряд, близкий к критическому, но меньший его, неустойчивость по отношению к собственному заряду может быть реализована через быстрое нарастание амплитуды основной моды (n=2), возбуждающейся во втором порядке малости за счет нелинейного взаимодействия, даже если основная мода не входит в спектр мод, определяющих начальную деформацию. Этот вывод качественно согласуется с данными [51]
посвященной численному расчету нелинейных осцилляций заряженной капли. Когда начальная деформация капли определена пятой модой, имеется и количественное согласие
полученных выше временных зависимостей амплитуд мод, возбужденных во втором порядке малости с работой [2].
Расчеты показывают, что скорость увеличения амплитуды основной моды увеличивается с ростом номера моды, определяющей начальную деформацию. С увеличением
номера моды, начальное возмущение которой определяет исходное возмущение равновесной сферической формы растет и количество мод капиллярных осцилляций заряженной капли, возбуждающихся за счет взаимодействия.
Когда начальное возмущение равновесной формы определено четными полиномами Лежандра, то образующая формы капли в любой момент строится из четных же полиномов Лежандра и имеет симметричный относительно начала координат вид. При
достаточно большом значении времени t (лежащем на границе интервала равномерности
решения по t) капля проявляет тенденцию к делению на две равные части. Если же начальное возмущение связано с нечетными полиномами Лежандра, то форма капли в любой последующий момент времени асимметрична относительно начала координат, несмотря на то, что за счет взаимодействия мод во втором порядке малости по ε возбуждаются только четные моды. При больших значениях времени t такая капля проявляет
тенденцию к асимметричному делению.
Взаимодействие вырожденного резонансного типа возникает между модами во
втором порядке малости, когда начальная деформация капли определена одной модой, а
частоты взаимодействующих мод при некотором значении заряда Q удовлетворяют со2
2
2
отношению ω m = j ⋅ ω n , где j – целое число, m ≠ n . В результате такого взаимодействия амплитуда одной из взаимодействующих мод растет со временем, а второй –
уменьшается.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Расчеты показывают, что независимо от вида начальной деформации наиболее
быстро растет амплитуда основной моды капиллярных колебаний. Поскольку использованная процедура расчета обеспечивает пригодность полученных выражений до тех
пор, пока амплитуда мод, возбужденных во втором порядке малости, не сравняется с
амплитудой начального возмущения, то увеличение амплитуды основной моды до величины порядка ε будет соответствовать вытягиванию капли в сфероид с квадратом экс2
2
центриситета e ≈ 3ε − 5.25ε [67]. Несложно видеть, что даже при малых значениях
ε ~ 0.1 это приведет к заметному удлинению капли и к снижению критических условий
реализации неустойчивости капли по отношению к собственному заряду, которые для
2
сфероидальной капли в линейном по e приближении имеют вид:
( ) (
) (
(
) )
W* e 2 = 4 1 − 2e 2 / 7 ≈ 4 1 − 2 3ε − 4.25 ⋅ ε 2 / 7 .
Таким образом, если параметр Рэлея W капли близок к критическому, то может
реализовываться неустойчивость капли. Если капля характеризуется некоторым значением параметра Рэлея W = W+ , достаточно близким к критическому W = 4 , но мень-
( ) можно найти текущую безразмер-
шим его, то из приведенного выражения для W* e
2
ную амплитуду основной моды a 2 , при достижении которой капля претерпит неустойчивость:
a2 ≈
1
1 − 8.17 ⋅ 1 − 8.17 ⋅ W+ .
3.5
(
)
Так, при W = 3.6 капля станет неустойчивой, когда безразмерная амплитуда основной моды достигнет величины a ≈ 0.16 . При этом капля сбросит часть своего заряда путем эмиссии значительного количества сильно заряженных высокодисперсных капелек [42 – 45, 68].
1.2. Внутреннее нелинейное резонансное
трехмодовое (вторичное комбинационное)
взаимодействие мод осцилляций заряженной капли
1. Внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие мод осцилляций заряженной капли электропроводной несжимаемой жидкости среди прочих нелинейных эффектов, связанных с нелинейными осцилляциями капли, занимает в проводимых исследованиях видное место: начиная с первых работ на эту тему, появившихся двадцать лет назад
[1, 3, 4, 24, 29] и до настоящего времени [2, 19, 21, 22, 69 – 77] более трех четвертей публикаций так или иначе его затрагивают. Причина такого интереса в том, что резонансное
взаимодействие обеспечивает наиболее быстрое и эффективное перераспределение
энергии начальной деформации капли между модами, возбуждающимися за счет нелинейного взаимодействия, и тем самым оказывает определяющее влияние как на закономерности реализации нелинейных осцилляций (и связанными с ними акустическим и
электромагнитным излучениями [71, 73]), так и на закономерности распада капли, несущей заряд, близкий к критическому в смысле линейной устойчивости [2, 24, 29, 70, 74,
76]. Но, несмотря на значительное количество публикаций, посвященных резонансному
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
взаимодействию мод, на многие вопросы, с ним связанные, ответа пока не получено.
Так. до сих пор не исследован вопрос о направлении перекачки энергии между модами
при резонансном взаимодействии. Первыми были открыты и исследованы так называемые вырожденные трехмодовые резонансы [1, 3, 29], в которых одна из двух взаимодействующих мод дважды взаимодействует с другой. В [69, 75] было показано, что в таких
резонансах энергия перекачивается только в направлении от низких мод к высоким, что,
вообще говоря, не согласуется с представлениями о "распадной неустойчивости" при
трехмодовых взаимодействиях [78]. В работе [72] было обнаружено, что распадная неустойчивость может иметь место при истинно трехмодовых резонансах (вторичных
комбинационных резонансах): было показано, что существует несколько резонансных
ситуаций, в которых энергия перекачивается из высоких мод в третью, но особенности
такого взаимодействия (характерное время взаимодействия и его глубина) исследованы
не были. В [72] было показано, что в четырехмодовых взаимодействиях энергия также
может перекачиваться от высоких мод к низким, но с малой интенсивностью, поскольку
эти взаимодействия реализуются только в третьем порядке малости. Исследование возможности перекачки энергии из высоких мод нелинейных осцилляций к низким (точнее
говоря, к основной моде) представляет существенный интерес в связи с обсуждающимся
в научной литереатуре механизме инициирования разряда молнии коронным разрядом в
окрестности крупной сильно заряженной капли [74, 77].
В связи с вышесказанным в настоящей работе проводится детальное исследование
закономерностей перераспределения энергии между модами в вырожденных и во вторичных комбинационных резонансах при трехмодовом взаимодействии.
2. Рассмотрим эволюцию во времени формы поверхности нелинейно осциллирующей капли идеальной, несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью ρ ,
коэффициентом поверхностного натяжения γ и электрическим зарядом Q , однородно
распределенным по ее поверхности. В начальный момент времени t = 0 равновесная
сферическая форма капли с радиусом R претерпевает осесимметричное возмущение
фиксированной амплитуды, существенно меньшей радиуса капли. Зададимся целью найти спектр возникающих капиллярных осцилляций капли (форму капли) при t > 0 .
Примем, что форма капли – осесимметрична как в начальный, так и во все последующие моменты времени, и уравнение, описывающее ее поверхность, в сферической
системе координат с началом в центре масс капли в безразмерных переменных, в которых ρ = R = γ = 1 , имеет вид:
r (θ , t ) = 1 + ξ (θ , t ) ;
| ξ |<< 1 .
(1)
Движение жидкости в капле будем полагать потенциальным с потенциалом поля
 

скоростей движения жидкости в капле ψ (r , t ) ; само поле скоростей V (r , t ) при этом
 

определяется через градиент потенциала V (r , t ) = grad (ψ (r , t )) . Принимая, что скорости гидродинамических движений жидкости в капле много меньше скорости распространения электромагнитных взаимодействий, электрическое поле заряда Q в окрестности капли будем считать электростатическим и станем
описывать его с помощью по

тенциала Φ (r , t ) , с которым напряженность поля E связана известным соотношением

E = − grad (Φ ) .
Математическая формулировка решаемой задачи имеет вид:


ΔΦ ( r , t ) ;
Δψ ( r , t )= 0;
16
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ψ ( r , t ) → 0;
r→0:
r → ∞:
r=1 + ξ(θ, t):
Δ p−
∂ψ
∂t
−
(3)

| grad (Φ(r , t )) |→ 0 ;
1 ∂ψ
∂ξ ∂ψ
;
=
− 2
∂t ∂r
∂
θ
r
1
( ∇ψ ) 2
2
(4)
(5)
1

( ∇Φ )2 = div n ;
8π
Φ(r, θ, t) = const ;
+
(6)
(7)
4
, V= [0 ≤ r ≤ 1 + ξ ( θ ,t ), 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ] (8)
3π
 3
(9)
 er ⋅ r dr sin θ dθ dϕ = 0 ;
r 2 dr sin θ dθ dϕ =

V
V
−

1
(n • ∇Φ) ds = Q,

4π S
t=0:
S = [r = 1 + ξ (θ , t ), 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ];
ξ (θ ) = ξ 0 P0 ( μ ) + ξ1 P1 ( μ ) + ε
 hi Pi ( μ );  hi = 1;
i∈Ξ
i∈Ξ
(10)
∂ξ (θ , t )
= 0 . (11)
∂t
Поскольку условия (8) – (9) должны выполняться в любой момент времени, в том
числе и в начальный, то при t = 0 они определяют амплитуды нулевой и первой мод в
разложении начального возмущения равновесной сферической формы поверхности капли ξ (θ ) в ряд по полиномам Лежандра. Другими словами, амплитуды нулевой и первой
мод не могут быть произвольны, но будут зависеть от вида начальной деформации.
В выражениях (6) – (11) введены обозначения: μ = cosθ ; Δp – перепад постоян
ных давлений внутри и вне капли в состоянии равновесия; n – единичный вектор нормали к поверхности (1); ε – амплитуда начального возмущения формы поверхности капли, являющаяся малым параметром задачи; Pi (μ ) – полиномы Лежандра порядка i;
hi – коэффициенты, определяющие парциальный вклад i-ой колебательной моды в суммарное начальное возмущение; Ξ – множество значений номеров изначально возбуж-
денных колебательных мод; ξ 0 и ξ1 – константы, определяемые из условий (8) и (9) в
начальный момент времени, с точностью до слагаемых второго порядка малости по ε ,
равные:
( )
hi2
ξ 0 ≈ −ε 
+O ε3 ;
m =1(2i + 1)
2
∞
( )
9 i hi −1 hi
+O ε3 .
i∈Ξ (2i − 1)(2i + 1)
ξ1 ≈ −ε 2 
(12)
3. Для отыскания решения поставленной задачи воспользуемся методом многих
масштабов, как это делалось в задачах этого типа в [2, 19, 21, 24, 29, 69 – 77]. Искомые


функции ξ (θ , t ) , ψ (r , t ) , Φ (r , t ) представим в виде рядов по степеням малого параметра ε , и будем считать зависящими не просто от времени t, а от разных его масштабов,
определенных через малый параметр
ξ (θ , t ) =
∞
ε : Τm ≡ ε mt :
 ε mξ (m ) (θ ,T0 ,T1,...) ;
m =1

ψ (r , t ) =
17
∞
 ε mψ (m ) (r ,θ ,T0 ,T1,...);
m =1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Φ(r , t ) =
∞
 ε mΦ(m ) (r ,θ ,T0 ,T1,...) .
(13)
m=0
Ограничимся рассмотрением поставленной задачи в квадратичном по приближении, в рамках которого можно определить зависимость искомых величин от двух временных масштабов T0 и T1 .
Подставляя разложения (13) в систему (2) – (11) и приравнивая слагаемые, содержащие одинаковые степени параметра ε , получим набор краевых задач для определе(m ) , ψ (m ) , Φ (m ) . Очевидно, что линейным уравнениям (2) должна удовния функций ξ
(m )
(m )
летворять каждая из функций ψ , Φ .
В нулевом порядке малости получим выражения для электростатического потенциала в окрестности равновесной сферической капли, обладающей зарядом Q :
Φ (0 ) = Q / r .
Решения уравнений (2) для функций первого и второго порядков малости, удовлетворяющие условиям ограниченности (3), (4), запишем в виде:
ψ (m ) (r , θ , T0 , T1 ) =
∞
 Dn(m ) (T0 , T1 )⋅ r n ⋅ Pn (μ ) ,
n =1
∞
(
(m = 1;2) ;
)
Φ (m ) (r ,θ , T0 , T1 ) =  Fn(m ) T0 , T1 ⋅ r −(n+1) ⋅ Pn (μ ) .
n =0
(14)
Последовательные поправки к равновесной поверхности капли так же представим
в виде разложений по полиномам Лежандра:
ξ
(m )
∞
(θ ,T0 ,T1 ) =  M n(m ) (T0 ,T
1
n =0
) ⋅ P (μ ) ;
n
(m = 1,2) .
(15)
Подставляя решения (14), (15) при m = 1 в систему граничных условий первого
порядка малости, полученную из (5) – (7), после соответствующих преобразований по(1)
лучим дифференциальные уравнения относительно коэффициентов M n (T0 , T1 ) :
∂M n(1) (T0 , T1 )
+ ω n2 M n(1) (T0 , T1 ) = 0 ;
2
∂T0
Q2
W=
.
4π
ω = n(n − 1)((n + 2) − W ) ;
2
n
(16)
Решением уравнений (16) являются гармонические функции (для n ≥ 2 ) с коэффициентами, зависящими от времени T1 :
(
)
An(1) (T1 ) = a1n (T1 ) ⋅ exp i ⋅ bn(1) (T1 ) . (17)
M n(1) (T0 , T1 ) = An(1) (T1 ) ⋅ exp(i ⋅ ωn ⋅ T0 ) + к.с.;
Здесь и далее аббревиатура "к.с." обозначает слагаемые, комплексно сопряженные
к выписанным; an (T1 ) и bn (T1 ) – вещественные функции, зависимость которых от
(1)
(1)
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
времени T1 может быть определена только при рассмотрении задачи следующего порядка малости.
Из условий (9), (10), записанных в линейном по малой величине ε приближении,
следует, что
M 0(1) (T0 , T1 ) = 0 ;
M 1(1) (T0 , T1 ) = 0 .
(18)
Отметим, что формально выражения (18) не противоречат уравнениям (16) для
n = 0 и n = 1.
Удовлетворяя начальным условиям (11) в первом приближении по ε , получим:
1
ai(1) (0 ) = hi ;
2
(1)
an (0 ) = 0 ;
bi(1) (0) = 0 ;
(i ∈ Ξ ) ;
bn(1) (0 ) = 0 ;
(n ∉ Ξ ) .
(19)
Решения первого порядка (17), (18) и решения (14), (15) при m = 2 подставим в полученную из (5) – (7) систему граничных условий второго порядка малости и после громоздких преобразований получим уравнение относительно неизвестных коэффициентов
M n(2 ) (T0 , T1 ) :
(1)
∂M n(2 ) (T0 , T1 )
(1) (T , T ) = −2 ⋅ i ⋅ ω dAn (T1 ) ⋅ exp(i ⋅ ω ⋅ T ) +
2
+
ω
⋅
M
n
n
0 1
n
n 0
dT1
∂T02
∞
+
 {(γ l mn + ωl ⋅ ωm ⋅ηl mn )⋅ Al(1) (T1 ) ⋅ Am(1) (T1 ) ⋅ exp(i ⋅ (ωl + ωm )T0 ) +
∞
l =2m=2

+ γ l mn − ωl ⋅ ωm ⋅ηl mn ⋅ Al(1) (T1 ) ⋅ Am(1) (T1 ) ⋅ exp(i ⋅ (ωl − ωm )T0 ) + к.с.  ; (20)

(
)
W
γ ijn = K ijn ωi2 (n − i + 1) + 2n( j ( j + 1) − 1) + ( j (i + 1) − i(2i − 2n + 7) + 3) n  +
2

+α
W
1 2
ijn  i ωi + n 2 ;
[
]
2
K ijn = Cin00j 0 ;
n0
1
n
n 
ηijn = K ijn  − i +1) + α ijn 1 +  ;
i 2j
2

α ijn = − i(i + 1) j ( j + 1) Cin00j 0 C n0
.
i(−1) j1
n0
Здесь Ci 0 j 0 , Ci ( −1) j1 – коэффициенты Клебша – Гордана. Они отличны от нуля, только если нижние индексы удовлетворяют следующим соотношениям:
(i +
| i = j | ≤ n ≤ (i + j ) ;
19
j + n) = 2 g .
(21)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поэтому во втором порядке малости будут возбуждаться только колебания мод,
номера которых удовлетворяют (21).
4. Из вида правой части (20) видно, что если для трех мод колебаний поверхности
капли с номерами p, q, k выполняется одно из соотношений:
ω p + ωq = ωk ;
ω p + ωq = ωk ,
(22)
то в соответствии с общей идеологией метода многих масштабов эти моды вступают в
резонансное взаимодействие, при этом говорят о вторичном (поскольку проявляется
лишь во втором порядке малости) комбинационном резонансе.
Заметим, что, согласно (16), значения частот собственных колебаний поверхности
капли ω n зависят от величины заряда на капле (от параметра W ). Причем при значении
Wcr = 4 частота колебаний основной моды (с n = 2) обращается в ноль, дальнейшее же
увеличение W приводит к тому, что поверхность капли становится неустойчивой по отношению к собственному заряду. Поэтому вторичные резонансы оказывают влияние на
нелинейные осцилляции капли, и их имеет смысл исследовать только в том случае, если
соотношения (22) выполняются при W < Wcr . В работе [29] был обнаружен резонанс
подобного типа, для случая когда
ω6 = 2ω 4 , а в [70, 72, 74] показано, что общее коли-
чество резонансов при W < 4 весьма велико, и при p, q, k < 100 их количество измеряется сотнями.
Пусть индекс n нумерует моды, возбуждающиеся за счет нелинейного взаимодействия во втором порядке малости, а индексы k , p, q нумеруют моды, связанные резонансным взаимодействием.
4а. Рассмотрим вначале случай n ≠ k , p, q , т.е. когда мода n не связана никаким
резонансным соотношением, а условие исключения секулярных членов и членов с малыми знаменателями из решения уравнения (20) имеет простой вид:
( )
(1)
dAn T
1 = 0.
dt
Из этого равенства, используя выражение для An(1) (T1 ) через скалярные функции
a n(1) (T1 ) и bn(1) (T1 ) (см. (18)) и требуя обращения в ноль действительной и мнимой частей,
несложно получить
dan(1) (T1) dbn(1) (T1)
=
=0 .
dt
dt
(1)
( )
(1)
( )
Эти равенства означают, что a n T и bn T не зависят от медленного времени
1
1
T1 , и в рамках рассмотрения задачи во втором порядке малости их можно считать константами, равными своим начальным значениям (19). Выражение (17) для коэффициен-
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1) ( )
t в разложении возмущения формы равновесной
тов первого порядка малости M n
поверхности
ξ (1) (θ , t ) в ряд по полиномам Лежандра (15) примет вид
(1)
M n (t ) = δ n,i ⋅ hi ⋅ cos(ωi ⋅ t ) ;
где
i ∈ Ξ;
n ≠ k , p, q ,
(23)
δ n,i – дельта-символ Кронекера. Амплитуды поправок второго порядка малости, по-
лучаемые при решении уравнения (20), в рассматриваемой ситуации примут вид:
M n(2 ) (t ) =



1



1

  hi ⋅ h j λ(i +j )n ⋅ sin 2 (ω n + ωi + ω j )⋅ t  ⋅ sin 2 (ωn − ωi − ω j )⋅ t  +
i∈Ξ j∈Ξ

1

1

+ λ(i −j )n ⋅ sin  ωn + ωi − ω j ⋅ t  ⋅ sin  ωn − ωi + ω j ⋅ t  ;
2

2

(
)
(
)
(
λ(i ±j )n ≡ (γ i j n ± ωi ⋅ ω j ⋅ η i j n ) ⋅ ω n2 − (ωi ± ω j )2
)
−1
(n ≥ 2; n ≠ p, q, k )
.
(24)
4b. При анализе уравнения (20) для мод с n = k , p, q , чтобы отразить близость
комбинации частот
ω p − ω q к частоте ω k , введем параметр расстройки σ ~ O(1) , оп-
ределяемый соотношением:
ω p − ω q = ω k (1 + ε ⋅ k ) .
(25)
Отметим, что параметр расстройки можно связать с величиной собственного заряда капли (с величиной параметра W ), имея в виду, что, варьируя заряд капли, можно
изменять частоту осцилляций, уводя ее от положения точного резонанса.
Если (25) подставить в (20), то в правой части уравнения (20) для рассматриваемых
случаев появятся слагаемые, содержащие следующие сомножители:
exp(i ⋅ (ω p − ω q ) ⋅ T0 ) = exp(i ⋅ (ω k + ε ⋅ ω k ⋅ σ ) ⋅ T0 ) = exp(i ⋅ σ ⋅ ω k ⋅ T1 ) ⋅ exp(i ⋅ ω k ⋅ T0 ) ;
exp(i ⋅ (ω k + ω q ) ⋅ T0 ) = exp(i ⋅ (ω p − ε ⋅ ωk ⋅ σ ) ⋅ T0 ) = exp(− i ⋅ σ ⋅ ω k ⋅ T1 ) ⋅ exp(i ⋅ ω p ⋅ T0 ) ;
exp(i ⋅ (ω p − ωk ) ⋅ T0 ) = exp(i ⋅ (ωq + ε ⋅ ωk ⋅ σ ) ⋅ T0 ) = exp(i ⋅ σ ⋅ ωk ⋅ T1 ) ⋅ exp(i ⋅ ωq ⋅ T0 ) ,
а условия исключения секулярных членов из решения уравнения (20) для n = k , p, q запишутся в виде:
dAk(1) (T1 )
− 2 ⋅ i ⋅ ωk ⋅
+ Λ(p− )q k ⋅ exp(i ⋅ σ ⋅ ω k ⋅ T1 ) ⋅ A(p1) (T1 ) ⋅ Aq(1) (T1 ) = 0 ;
dt
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
− 2 ⋅i ⋅ωp ⋅
− 2 ⋅ i ⋅ ωq ⋅
dA(p1) (T1 )
dt
dAq(1) (T1 )
+ Λ(k+q) p ⋅ exp(− i ⋅ σ ⋅ ω k ⋅ T1 ) ⋅ Ak(1) (T1 ) ⋅ Aq(1) (T1 ) = 0 ;
+ Λ(p− )k q ⋅ exp(i ⋅ σ ⋅ ω k ⋅ T1 ) ⋅ A(p1) (T1 ) ⋅ Ak(1) (T1 ) = 0 ;
dt
(
)
(
(26)
)
Λ(l±m) n = γ l m n + γ m l n ± ωl ⋅ ωm ⋅ ηl m n + η m l n .
Приравнивая нулю действительную и мнимую части выражений (26) и вводя новую функцию
β k(1) (T1 ) = σ ⋅ ω k ⋅ T1 − bk(1) (T1 ) ,
(27)
получим систему дифференциальных уравнений относительно вещественных функций
ak(1) (T1 ) , β k(1) (T1 ) , a (p1) (T1 ) , b(p1) (T1 ) , aq(1) (T1 ) , bq(1) (T1 ) :
dak(1) (T1 )
)
(T1 ) ;
2ω k ⋅
= Λ(p− q) k ⋅ a (p1) (T1 ) ⋅ aq(1) (T1 ) ⋅ sin ϕ k(1pq
dT1
(
)
dβ k(1) (T1 )
)
(T1 ) ;
2ω k ⋅ ak (T1 ) ⋅
= 2ω k2 ⋅ ak(1) (T1 ) ⋅ σ + Λ(p− q) k ⋅ a (p1) (T1 ) ⋅ aq(1) (T1 ) ⋅ cos ϕ k(1pq
dT1
(
(1)
2ω p ⋅
da (p1) (T1 )
dT1
(1)
2ω p ⋅ a p (T1 ) ⋅
2ω q ⋅
db (p1) (T1 )
dT1
dT1
2ω q ⋅ aq (T1 ) ⋅
)
)
(T1 ) ;
= −Λ(k+q) p ⋅ ak(1) (T1 ) ⋅ aq(1) (T1 ) ⋅ sin ϕ k(1pq
daq(1) (T1 )
(1)
(
)
)
(
)
)
(T1 ) ;
= Λ(p− k) q ⋅ a (p1) (T1 ) ⋅ ak(1) (T1 ) ⋅ sin ϕ k(1pq
dbq(1) (T1 )
dT1
(
)
(T1 ) ;
= −Λ(k+q) p ⋅ ak(1) (T1 ) ⋅ aq(1) (T1 ) ⋅ cos ϕ k(1pq
(
)
)
(T1 ) ;
= −Λ(p− k) q ⋅ a (p1) (T1 ) ⋅ ak(1) (T1 ) ⋅ cos ϕ k(1pq
)
(T1 ) = β k(1) (T1 ) + b (p1) (T1 ) − bq(1) (T1 ) .
ϕ k(1pq
(28)
Начальными условиями для уравнений (28) служат соотношения (19), причем из
требования непротиворечивости системы (28) при t = 0 получаем, что если какая либо из
мод – k, p или q не присутствует в спектре изначально возбужденных мод Ξ , т.е. ее амплитуда в начальный момент времени равна нулю, то ее фаза при t = 0 не произвольна,
а равна π / 2 . В итоге, начальные условия для системы (28) можно записать в следующей компактной форме:
a (j1) (0 ) = δ i , j ⋅ h j / 2 ;
b (j1) (0 ) = ±(1 − δ i , j ) ⋅ π / 2 ;
22
i ∈ Ξ; j = k , p, q .
(29)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Коэффициенты первого порядка в разложении (15) для резонансно взаимодействующих мод k , p, q запишутся в виде (см. (17)):
((
)
)
M k(1) (t ) = 2 ⋅ ak(1) (ε ⋅ t ) ⋅ cos ω p − ω q ⋅ t − β k(1) (ε ⋅ t ) ;
(
)
M (p1) (t ) = 2 ⋅ a (p1) (ε ⋅ t ) ⋅ cos ω p ⋅ t + b (p1) (ε ⋅ t ) ;
(
)
M q(1) (t ) = 2 ⋅ aq(1) (ε ⋅ t ) ⋅ cos ω q ⋅ t + bq(1) (ε ⋅ t ) ,
(1)
где коэффициенты ak (T1 ) ,
(30)
β k(1) (T1 ) , a (p1) (T1 ) , b (p1) (T1 ) , aq(1) (T1 ) , bq(1) (T1 ) являются ре-
шениями системы уравнений (28) с начальными условиями (29).
H
LH
LH
L
¶ M 41 , ¶ M 51 , ¶ M 71
0.1
0
- 0.1
- 0.2
0
2
4
t
(1)
Рис. 1. Зависимости от безразмерного времени безразмерных амплитуд M n резонансно
взаимодействующих четвертой, пятой и седьмой мод нелинейных капиллярных осцилляций
заряженной капли в положении точного резонанса W = 1.649 . Седьмая мода приведена
тонкой линией, четвертая – тонкой штрих-пунктирной, пятая – полужирной
Отметим, что в используемом приближении (до второго порядка включительно)
резонансное взаимодействие трех мод будет проявляться лишь в том случае, когда хотя
бы две из них присутствуют в спектре мод, возбужденных в начальный момент Ξ , т.е.
их амплитуды при t = 0 должны быть отличны от нуля. Третья же мода, даже имея нулевую начальную амплитуду, появится в спектре колебаний первого порядка малости,
если ее номер удовлетворяет соотношениям вида:
p + q + k – четно;
| p − q | ≤ k ≤ ( p + q ) (для случая p, q∈ Ξ; k ∉ Ξ ), возникающим из требования отли(− )
(+ )
(− )
чия от нуля коэффициентов Λ p q k , Λ k q p , Λ p k q в уравнениях (28).
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Результаты расчета по соотношениям (28) – (30) при ε = 0.3 временной эволюции
амплитуд первого порядка малости резонансно взаимодействующих при W = 1.649
четвертой, пятой и седьмой мод, когда начальная деформация определена четвертой и
седьмой модами, представлены на рис. 1. Видно, что возбуждение отсутствовавшей в
спектре начального возмущения пятой моды происходит за счет резонансной перекачки
энергии из наиболее высокой седьмой моды. Видно также, что часть энергии седьмой
моды передается и четвертой, амплитуда которой увеличивается синхронно с амплитудой пятой моды, т.е. имеет место передача энергии от высокой моды к более низким в
соответствии с представлениями о распадной неустойчивости.
4c. Рассмотрим теперь случай вырожденного резонанса, когда одна из мод дважды
резонансно взаимодействует с другой: т.е. когда ω s = 2 ω k .
Проводя такой же анализ, как описано выше, получим для временных коэффициентов первого порядка малости в разложении (15):
(
)
M s(1) (t ) = 2 ⋅ a s(1) (ε ⋅ t ) ⋅ cos 2 ⋅ ω s ⋅ t − β s(1) (ε ⋅ t ) ;
(
)
M k(1) (t ) = 2 ⋅ ak(1) (ε ⋅ t ) ⋅ cos 2 ⋅ ω k ⋅ t + bk(1) (ε ⋅ t ) ,
где вещественные функции a s (ε ⋅ t ) , β s (ε ⋅ t ) , ak
шениями системы дифференциальных уравнений:
(1)
(1)
(1)
(31)
(ε ⋅ t ) ; β k(1) (ε ⋅ t ) являются ре-
2
da s(1) (T1 )
4ω s ⋅
= Λ(k+k) s ⋅ ak(1) (T1 ) ⋅ sin ϕ s(1k) (T1 ) ;
dT1
(
)
(
)
2
dβ s(1) (T1 )
4ω s ⋅ a s (T1 ) ⋅
= 4ω s2 ⋅ a s(1) (T1 ) ⋅ σ + Λ(k+k) s ⋅ ak(1) (T1 ) ⋅ cos ϕ s(1k) (T1 ) ;
dT1
(
(1)
)
(
)
dak(1) (T1 )
2ω k ⋅
= −Λ(s−k) k ⋅ a s(1) (T1 ) ⋅ ak(1) (T1 ) ⋅ sin ϕ s(1k) (T1 ) ;
dT1
(
)
dbk(1) (T1 )
2ω k ⋅ ak (T1 ) ⋅
= −Λ(s−k) k ⋅ a s(1) (T1 ) ⋅ ak(1) (T1 ) ⋅ cos ϕ s(1k) (T1 ) ;
dT1
(
(1)
ϕ s(1k) (T1 ) = β s(1) (T1 ) + 2 ⋅ bk(1) (T1 ) ;
β s(1) (T1 ) = σ ⋅ ω s ⋅ T1 − bs(1) (T1 ) .
)
(32)
Из соотношений (19) следует, что для системы (32) возможны следующие комбинации начальных условий:
[ s, k ] ∈ Ξ :
a s(1) (0) = hs / 2 ;
s,∉ Ξ, k ∈ Ξ : : a s(1) (0 ) = 0 ;
β s(1) (0 ) = 0 ;
β s(1) (0 ) = π / 2 ;
24
ak(1) (0 ) = hk / 2 ;
ak(1) (0 ) = hk / 2 ;
bk(1) (0 ) = 0 ;
bk(1) (0 ) = 0 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1)
,
∂ M4
(1)
∂ M6
0.1
0.05
0
− 0.05
− 0.1
− 0.15
0
10
20
30
40
t
Рис. 2a
(1)
(1)
∂ M4 ,∂ M6
0.1
0.05
0
− 0.05
− 0.1
− 0.15
0
3
6
t
Рис. 2б
(1)
(1)
∂ M4 ,∂ M 6
0.1
0.05
0
− 0.05
− 0.1
0
3
6
9
Рис. 2в
25
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1)
,
∂ M4
(1)
∂ M6
0.1
0.05
0
− 0.05
− 0.1
− 0.15
0
3
6
t
6
t
Рис. 2г
∂ M4
, ∂ M 6 (1)
(1)
0.1
0.05
0
− 0.05
− 0.1
− 0.15
0
3
Рис. 2д
Рис. 2. Зависимости от безразмерного времени безразмерных амплитуд резонансно взаимодействующих четвертой и шестой мод: a) в положении точного резонанса W = 2.66667 ;
б) W = 1.5 ; в) W = 2.5 ; г) W = 3 ; д) W = 3.9 .
Тонкая линия соответствует четвертой моде, толстая – шестой
(1)
(1)
В ситуации, когда k ∉ Ξ , s ∈ Ξ (т.е. когда a k (0 ) = 0 ; a s (0 ) = hs / 2 ), резонансное взаимодействие мод s и k в используемом приближении иметь места не будет, так
как из системы (32) при t = 0 получим, что
da s(1) (0 ) dak(1) (0 )
=
= 0,
dT1
dT1
(1)
(1)
т.е. амплитуды a k и a s сохраняют свои начальные значения. На рис. 2a представлены
(1)
(1)
временные зависимости амплитуд M 4 (t ) и M 6 (t ) резонансно взаимодействующих
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
четвертой и шестой мод, рассчитанные в положении точного резонанса Wr = 2.66667
при ε = 0.3 , когда в начальный момент времени возбуждена только четвертая мода, а
шестая имеет нулевую амплитуду (при начальном возбуждении только шестой моды резонансная раскачка амплитуды четвертой моды места не имеет [69]). На рис. 2б – 2д
приведены аналогичные зависимости, рассчитанные при различных значениях параметра W (определяющего величину расстройки σ ), отличных от Wr .
Из сравнения зависимостей, приведенных на рис. 2, видно, что нелинейное взаимодействие мод имеет резонансный характер при любых значениях параметра
W < Wcr = 4 , что означает малость расстройки частоты при изменении W в указанном
диапазоне; по мере увеличения абсолютной величины параметра расстройки уменьшается: a) характерное время резонансного взаимодействия мод, определяемое временем нарастания амплитуды моды до максимального значения; b) характерное время нахождения энергии в резонансно раскачиваемой моде; c) доля энергии, передаваемой изначально возбужденной модой резонансно раскачиваемой моде, полная перекачка энергии
между модами имеет место только в положении точного резонанса. К сказанному следует добавить, что при резонансной раскачке мода, имевшая в начальный момент времени
нулевую амплитуду, приобретает амплитуду первого порядка малости, хотя само резонансное взаимодействие мод обнаруживается и реализуется только во втором порядке
малости.
5. Сказанное о слабой зависимости условий реализации резонанса от величины
собственного заряда капли допускает обобщение на случай одновременной реализации
нескольких резонансных взаимодействий [79]. Пусть при W < 4 какая-либо, например,
j -ая мода может быть вовлечена в резонансное взаимодействие в нескольких резонансных ситуациях, отличающихся наборами взаимодействующих мод и величинами W ,
соответствующими положениям точных резонансов. Например, пусть j -ая мода участвует в двух резонансных ситуациях: j , i, k при Wr = C1 и j , n m при Wr = C 2 , где
C1 , C 2 < 4 . Тогда при начальном возбуждении j -ой моды с ней будут резонансно
взаимодействовать моды из обеих существующих резонансных ситуаций: i -ая, k -ая,
n -ая и m -ая. Амплитуды мод, резонансно раскачиваемых за счет взаимодействия с
j -ой в каждой из комбинаций, будут зависеть от величины параметра расстройки для
данной ситуации (т.е. от отклонения истинного значения параметра W от резонансных
значений C1 и C 2 ). Так, например, при рассмотрении только первых десяти мод четвертая мода может участвовать в следующих резонансных взаимодействиях: при
W = 0.612 четвертая мода резонансно взаимодействует с шестой и восьмой; при
W = 1.649 с пятой и седьмой; при W = 2.66667 дважды с шестой (случай вырожденного резонанса, рассмотренный выше); при W = 3.623 с третьей и пятой. Таким образом, виртуально возбужденная четвертая мода при любом W < 4 может резонансно
взаимодействовать со всеми перечисленными выше модами, степень же взаимодействия
(доля передаваемой энергии) будет зависеть от величины расстройки в каждой из возможных комбинаций.
Проанализируем ситуацию, когда мода с номером k участвует одновременно в
двух резонансных взаимодействиях: в одном вырожденном двухмодовом и одном невырожденном трехмодовом. Введем для обеих резонансных ситуаций параметры расстройки σ 1 и σ 2 :
2 ⋅ ω k = ω s (1 + ε ⋅ σ 2 ) .
ω p − ω q = ω k (1 + ε ⋅ σ 1 ) ;
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проводя анализ этого случая аналогично тому, как это делалось выше, получим,
что амплитуды первого порядка малости для мод p, q, k имеют вид (28), а для моды s
получим:
( (
)
)
M s(1) (t ) = 2 ⋅ as(1) (ε ⋅ t ) ⋅ cos 2 ⋅ ω p − ωq ⋅ t − β s(1) (ε ⋅ t ) .
Функции
β s(1) (ε ⋅ t ) из последнего выражения и β k(1) (ε ⋅ t ) из (28) определены сле-
дующим образом:
β k(1) (T1 ) = σ 1 ⋅ ω k ⋅ T1 − bk(1) (T1 ) ;
β s(1) (T1 ) = (σ 2 ⋅ ω s + 2 ⋅ σ 1 ⋅ ω k ) ⋅ T1 − bs(1) (T1 ) .
Система дифференциальных уравнений относительно вещественных функций
a p (ε ⋅ t ) , b (p1) (ε ⋅ t ) , aq(1) (ε ⋅ t ) , bq(1) (ε ⋅ t ) ; a s(1) (ε ⋅ t ) , β s(1) (ε ⋅ t ) , ak(1) (ε ⋅ t ) , β k(1) (ε ⋅ t )
(1)
включает в себя третье, четвертое, пятое и шестое уравнения системы (28), а также
уравнения:
dak(1) (T1 )
2ωk
= Λ(p− q) k ⋅ a (p1) (T1 )aq(1) (T1 ) ⋅ sin ϕ k(1p) q (T1 ) − Λ(s−k) k ⋅ as(1) (T1 )ak(1) (T1 ) ⋅ sin ϕ s(1k) (T1 ) ;
dT1
(
)
(
)
dβ k(1) (T1 )
2ω k ⋅ ak (T1 ) ⋅
= 2ω k2 ⋅ ak(1) (T1 ) ⋅ σ 1 + Λ(p− q) k ⋅ a (p1) (T1 ) ⋅ aq(1) (T1 ) ⋅ cos ϕ k(1p) q (T1 ) +
dT1
(
(1)
(
)
)
+ Λ(s−k) k ⋅ a s(1) (T1 ) ⋅ ak(1) (T1 ) ⋅ cos ϕ s(1k) (T1 ) ;
2
da s(1) (T1 )
4ω s ⋅
= Λ(k+k) s ⋅ a (p1) (T1 ) ⋅ sin ϕ s(1k) (T1 ) ;
dT1
(
)
(
)
2
dβ s(1) (T1 )
(
1)
4ωs ⋅ as (T1 )
= 4ωs ⋅ (σ 2ωs + 2σ 1ωk )as(1) (T1 ) + Λ(k+k) s ⋅ ak(1) (T1 ) ⋅ cos ϕ s(1k) (T1 ) ;
(
dT1
(1) (T ) = β (1) (T ) − 2 b (1) (T ) .
ϕ sk
1
1
1
s
k
)
(
)
(33)
Начальные условия для системы решаемых уравнений можно записать в виде (29),
но j = k , p, q, s.
Результаты расчета по системе (33), дополненной третьим, четвертым, пятым и
шестым уравнениями системы (28), временных зависимостей резонансно взаимодействующих мод, а в том числе и резонансно раскачиваемых пятой и шестой мод при тех же
начальных условиях, что и на рис. 1 (в условиях точного резонанса четвертой, пятой и
седьмой мод, когда начальная деформация задается четвертой и седьмой модами) показывают, что имеет место перекачка энергии седьмой моды во все моды с меньшими номерами. Интересно, что шестая мода в вырожденном резонансе с четвертой модой раскачивается за счет энергии четвертой моды [69] (cм. также рис. 2), тем не менее, в рас28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сматриваемой ситуации амплитуда четвертой моды не только не уменьшается, а немного
увеличивается синхронно с пятой и шестой модами. Иными словами, перекачка энергии
из седьмой моды в четвертую не только полностью компенсирует затраты энергии четвертой моды на раскачку шестой, но и приводит к ее увеличению.
Результаты аналогичных расчетов, выполненных при W = 2.66667 , т.е. в условиях точного вырожденного резонанса между четвертой и шестой модами с теми же начальными условиями показывают, что в этом случае в отличие от предыдущей ситуации,
энергию отдают и четвертая и седьмая моды, а сами временные зависимости амплитуд
резонансно раскачиваемых пятой и шестой мод становятся асимметричными.
6. Заключение. В расчетах обнаружено различие в особенностях реализации внутренних нелинейных трехмодовых вырожденных и комбинационных резонансов: в первых энергия, вложенная в начальную деформацию капли, переносится только от низких
мод к высоким, а во вторых – в обоих направлениях. Оказалось, что вырожденные резонансы малочувствительны к значениям физических величин (например, к величине
электрического заряда), определяющих точные положения резонансов: отклонения от
резонансных значений сказываются лишь на доле энергии, участвующей в обмене между модами, и длительности характерного времени резонансного обмена энергией, само
же взаимодействие остается резонансным.
При значениях параметра Рэлея меньших критического для основной моды, т.е.
при W < 4 расстройка частот возбуждающихся мод достаточно мала, чтобы нелинейное
взаимодействие мод носило резонансный характер при любых W , независимо от величины резонансных значений Wr в положениях точных резонансов. Величина расстройки
отражается лишь на доле передаваемой энергии и характерных временах этого процесса.
Механизм распада нелинейно-осциллирующей заряженной капли при малой величине собственного заряда может быть связан с нелинейной резонансной перекачкой
энергии капиллярных осцилляций капли из высоких мод в низкие. Распадная неустойчивость при трехмодовых резонансах реализуется только для комбинационных резонансов,
а для вырожденных резонансов она места не имеет.
2. Анализ нелинейных осцилляций
заряженной капли идеальной жидкости
в третьем порядке малости
по амплитуде исходной деформации
2.1. Нелинейные осцилляции деформированной
в начальный момент времени заряженной капли.
Вывод выражений для нелинейных поправок
к частотам мод
1. Одной из первых работ, посвященных исследованию нелинейных осцилляций
поверхности заряженной капли идеальной жидкости, является статья Тсамопулоса и
Брауна [1], в которой приведено решение задачи о нелинейных колебаниях поверхности
заряженной капли при одномодовой начальной деформации, когда начальная форма капли в сферической системе координат ( r , ϑ , ϕ ) описывается уравнением
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r = R + ξ 0 P0 (cosϑ ) + ε Pm (cosϑ ) ,
где ε – произвольный малый параметр, определяющий амплитуду начальной деформации, Pm (cosϑ ) – полином Лежандра порядка m , ξ 0 – константа, подобранная так, чтобы объем капли при указанной начальной деформации оставался равным объему сферической капли радиуса R. В [1] аналитическое выражение для образующей капли, совершающей нелинейные осцилляции, было приведено с точностью до величин второго
порядка малости по амплитуде начальной деформации. Кроме того, в [1] были рассчитаны аналитические выражения для нелинейных поправок к частотам осцилляций для
фиксированных начальных деформаций, появляющиеся лишь в третьем порядке малости, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными [14]. Однако все исследование было выполнено для ограниченного спектра начальных деформаций формы капли:
когда начальная деформация капли определялась второй ( n = 2 ), третьей ( n = 3 ) или
четвертой ( n = 4 ) модой.
Исследование, начатое в [1], было продолжено в [80], где во втором порядке приближений по ε была проанализирована ситуация с начальным возбуждением произвольной m -ой моды. В [80] было также показано, что спектр мод, возбуждающихся во
втором порядке малости за счет нелинейного взаимодействия, содержит только моды с
четными номерами из диапазона [0 , 2m] . Также выяснилось, что нелинейные осцилляции поверхности капли происходят в окрестности фигуры типа вытянутого сфероида, а
не в окрестности сферы, как это следовало из линейного анализа
Ситуация, когда начальная форма поверхности описывается выражением
(
)
r = R + ξ 0 P0 (cos ϑ ) + ξ1P1 (cos ϑ ) + ε hn1 Pn1 (cos ϑ ) + hn 2 Pn 2 (cos ϑ ) ,
где
ξ1 – константа, определяемая из условия неподвижности центра масс капли при не-
линейных осцилляциях, hn1 , hn2 – константы, учитывающие парциальный вклад каждой
моды в начальную деформацию сферической поверхности, рассмотрена в квадратичном
приближении по ε в работе [69]. В [69] исследованы также закономерности реализации
нелинейного резонансного обмена энергией между модами, имеющем место при условии выполнения соотношения:
ω n = 2ω n ,
1
2
где ω n = ( σ / ρR 3 ) n(n − 1)(n + 2 − W ) – частота n ой моды капиллярных колебаний капли,
W = Q 2 /( 4πσR 3 ) – параметр Рэлея.
Случай, когда начальная деформация поверхности капли определяется суперпозицией произвольного конечного числа мод, проанализирован в [81]. В такой ситуации начальная форма поверхности капли описывается уравнением
r = R + ξ 0 P0 (cos ϑ ) + ξ1P1 (cos ϑ ) + ε
 hm Pm (cosϑ ) ,
m∈Ω
где Ω – множество номеров изначально возбужденных мод, hm – константа, учитывающая парциальный вклад m моды в формирование начальной деформации сферической формы капли. Исследования, выполненные в [81], были проведены с точностью до
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
величин второго порядка малости по величине ε , что позволило получить аналитические выражения для нелинейных поправок к амплитудам мод. Анализ этих выражений
показал, что спектр мод второго порядка малости может содержать как четные, так и нечетные моды. Так, например, при возбуждении двух мод с номерами n1 и n2 в спектре
второго порядка малости будут содержаться только четные моды с номерами из диапазона [0 , max{2n1 , 2n2 }] , если n1 и n2 имеют одновременно либо четные либо нечетные значения. Если же n1 четно, а n2 нечетно, то спектр второго порядка будет содержать четные моды с номерами
[ n1 − n2 ,
n1 + n2 ] .
[0, max{2n1 , 2n2 }]
и нечетные из диапазона
В [82] расчет нелинейных осцилляций заряженной капли в третьем порядке малости по амплитуде начальной деформации был проведен при произвольной одномодовой
начальной деформации, получены аналитические выражения для образующей капли и
нелинейных поправок к частотам. В [83] указано на существование внутренних нелинейных резонансов, реализующихся в заряженной капле при четырехмодовом взаимодействии, когда начальная деформация капли определена суперпозицией нескольких
мод.
В настоящей работе, выполненной в развитие [82, 83], предполагается изучить особенности реализации нелинейных осцилляций капли в третьем порядке малости по амплитуде начальной многомодовой деформации и найти в такой ситуации аналитические
выражения для поправок к частотам осцилляций.
2. Пусть имеется капля радиуса R идеальной идеально проводящей жидкости с
плотностью ρ и коэффициентом поверхностного натяжения σ , несущая заряд Q . Движение жидкости в капле, связанное с ее капиллярными осцилляциями, примем потенциальным с потенциалом скорости ψ . Потенциал электростатического поля собственного
заряда в окрестности капли обозначим φ . Форму капли будем считать осесимметричной
как в начальный, так и во все последующие моменты времени. Уравнение поверхности
капли в безразмерных переменных, в которых R = ρ = σ = 1, в произвольный момент
времени t запишется в виде
F ( r ,ϑ ,t ) = r − 1 − ξ ( ϑ ,t ) = 0 .
(1)
Начальную деформацию формы капли зададим в виде суперпозиции нескольких
мод:
t = 0:
ξ = ξ 0 P0 (cosϑ ) + ξ1 P1 (cosϑ ) + ε  hm Pm (cosϑ ) ;
(2)
m∈Ω
а начальную скорость всех точек на поверхности капли примем нулевой
t = 0:
∂ tξ = 0 ,
(3)
где знак ∂ t означает частную производную по переменной t .
Полная математическая формулировка задачи о капиллярных колебаниях заряженной капли, кроме уравнения поверхности капли (1) и начальных условий (2), (3), содержит [84, 85]: уравнения Лапласа для потенциалов скорости жидкости и электрического
поля
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Δψ = 0;
Δφ = 0;
(4)
условия ограниченности потенциалов
r → 0:
r → +∞ :
ψ → 0;
(5)
∇φ → 0 ;
(6)
кинематическое и динамическое граничные условия
dF
= 0;
dt
(7)
1
(∇ψ )2 = p + pq − pат − pσ ;
2
(8)
r = 1 + ξ(ϑ, t ) :
∂t ψ +
условие неизменности объема капли
2
 r sin ϑ dr dϑ dϕ =
V
4π
;
3
(9)
V = {r , ϑ, ϕ 0 ≤ r ≤ 1 + ξ; 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π};
условие неподвижности центра масс
r r
2
sin ϑ dr dϑ dϕ = 0;
(10)
V
условие постоянства полного заряда
r = 1 + ξ(ϑ, t ) :
 n ⋅ ∇φ
dS = −4πQ;
(11)
S
S = {r , ϑ, ϕ r = 1 + ξ; 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π};
условие постоянства электрического потенциала вдоль поверхности
r = 1 + ξ(ϑ, t ) :
φ = φ S (t );
(12)
в выражениях (4) – (12) p – давление внутри капли в равновесном состоянии; pq и
pσ – давление электрического поля и капиллярное, pат – атмосферное давление; n –
вектор нормали к поверхности капли; φ S – электрический потенциал поверхности капли.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для удобства записи дальнейших выражений расширим множество констант hm
дополнив его так, что при любых m ∉ Ω имеем hm ≡ 0 .
3. Задачу (1) – (12) будем решать методом многих масштабов [53, 54]. Для этого
m
введем три различных временных масштаба Tm = ε t , m = 0 , 1, 2 , а искомые величины задачи представим в виде разложений:
3
φ (r ,ϑ , t ) =  ε nφ ( n ) (r ,ϑ , T0 , T1 , T2 ) + O(ε 4 );
(13)
n =0
3
φ S (r , t ) =  ε n φ S( n ) (r , T0 , T1 , T2 ) + O(ε 4 );
(14)
n =0
3
ψ (r ,ϑ , t ) =  ε nψ ( n ) (r ,ϑ , T0 , T1 , T2 ) + O(ε 4 );
n =1
3
ξ(ϑ, t ) =  ε n ξ( n ) ( ϑ, T0 , T1 , T2 ) + O (ε 4 ) ,
(15)
n =1
( 0)
(0)
где φ = Q / r ; φ S = Q – решения нулевого порядка малости, т.е. для равновесной
сферической поверхности капли.
Подставляя (13) – (15) в (1) – (12) получим задачи различных порядков малости,
которые для краткости изложения вынесены в Приложение A.
Поскольку уравнение Лапласа (4) является линейным, то в каждом порядке малости потенциалы скорости жидкости и электрического поля будут являться решениями
уравнений Лапласа (1А), (10А), (19А), и с учетом условий ограниченности их можно записать в виде
∞
ψ ( m ) (r ,ϑ , T0 , T1 , T2 ) =  r n Dn( m ) (T0 , T1 , T2 ) Pn (cosϑ );
m = 1, 2, 3;
(16)
n =1
φ
(m)
Fn( m ) (T0 , T1 , T2 )
(r ,ϑ , T0 , T1 , T2 ) = 
Pn (cosϑ );
r n+1
n =0
∞
m = 1, 2, 3 .
(17)
Заметим, что в выражении (16) суммирование начинается с n = 1 , поскольку, как
известно, потенциал определяется с точностью до произвольной функции времени, что
( m)
позволяет принять D0 = 0 .
Функцию, описывающую отклонение формы поверхности капли от сферической в
произвольный момент времени, представим в виде разложения по полиномам Лежандра:
∞
ξ ( m ) (ϑ , T0 , T1 , T2 ) =  M n( m ) (T0 , T1 , T2 ) Pn (cosϑ ); m = 1, 2, 3 .
n =0
33
(18)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подстановка выражений (16) – (18) в уравнения (1А) – (9А) позволяет определить
явные зависимости величин первого порядка малости от T0 :
(
)
M n(1) (T0 , T1 , T2 ) = an(1) (T1 , T2 )cos ω nT0 + τ n(1) (T1 , T2 ) ;
(19)
Dn(1) (T0 , T1 , T2 ) = ∂ T0 M n(1) (T0 , T1 , T2 ) / n ;
(20)
Fn(1) (T0 , T1 , T2 ) = Q M n(1) (T0 , T1 , T2 ) .
(21)
В выражении (19) амплитудный множитель an (T1 , T2 ) и нелинейная поправка к
(1)
частоте τ n (T1 , T2 ) – функции, зависящие только от времен T1 и T2 .
При решении задачи с точностью до величин первого порядка малости по величи(1)
не начальной деформации поверхности капли функции an (T1 , T2 ) и τ n (T1 , T2 ) следует считать постоянными, значения которых определяются из начальных условии (9А), и
имеют вид:
(1)
an(1) = hn ,
:
τ n(1) = 0 ,
(1)
n∈Ω.
(22)
(1)
Из выражений (22) следует, что величины an (T1 , T2 ) отличны от нуля только когда n ∈ Ω .
При решении задачи с точностью до величин третьего порядка малости по величи-
не начальной деформации зависимости an (T1 , T2 ) и τ n (T1 , T2 ) от T1 и T2 определяются из требования обращения в ноль секулярных членов в задачах второго и третьего
порядков малости соответственно, при учете начальных условий (9А).
Подставляя выражения (16) – (21) в уравнения (13А) – (18А) и исключая секуляр(1)
(1)
ные члены, найдем, что функции an (T1 , T2 ) и
(1)
τ n(1) (T1 , T2 ) не зависят от временного
масштаба T1 . Явные зависимости величин второго порядка малости от временного масштаба T0 с учетом (22) можно записать в виде:
M 0( 2 ) ( T0
M 1( 2 ) ( T0 ) =
)= −

(am( 1 ) )2 cos 2 (ω mT0 ) ;
2m + 1
m∈Ω
 χ m am( 1 )am( 1+)1 cos(ω mT0 )cos(ω m +1T0 ) ;
m∈Ω
(
)
M n( 2 ) ( T0 ,T1 ) = an( 2 ) (T1 )cos ω nT0 + τ n( 2 ) (T1 ) +
+

l ,m∈Ω
(1 )
al( 1 )am
2
(λ
(+)
lmn cos
−)
((ω l + ω m )T0 ) + λ(lmn
cos((ω l − ω m )T0 ));
34
(23)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Fn( 2 ) ( T0 ,T1 ,T2 ) = Q M n( 2 ) ( T0 ,T1 ) +
F0( 2) = 0;
+Q
 l K lmn al( 1 )am( 1 ) cos(ω lT0 )cos(ω mT0 ) ;
n ≥1
l ,m∈Ω
(24)
1
Dn( 2 ) ( T0 ,T1 ) = ∂ T0 M n( 2 ) ( T0 ,T1 ) +
n
+
где

ω

 (l (l − 1)K lmn − α lmn ) ll al( 1 )am( 1 ) sin(ω lT0 )cos(ω mT0 )
n ≥1

l ,m∈Ω
(25)
(+)
(−)
χ m , λlmn
, λlmn , K lmn , α lmn – коэффициенты, определенные в Приложении B. Вы-
(2)
ражения для a n
и
τ n2 , удовлетворяющие начальным условиям (18А), имеют вид
an( 2) = −
(
)
hl hm ( + )
−)
λlmn + λ(lmn
,
2
l ,m∈Ω

τ n( 2) = 0 .
(26)
Подставляя (16) – (21), (23) – (25) в систему уравнений (22А) – (28А) и исключая из
решений секулярные слагаемые, находим, что функции an (T2 ) , an
(1)
( 2)
(T1 ) и τ n( 2) (T1 ) не
зависят от временных масштабов T1 и T2 , и равны своим начальным значениям (22) и
(26). Для функции τ n (T2 ) справедливо выражение
(1)
(
)
hk2 Ξ n
hn2 2(n − 1)ω n2 + Ξ n
T2 
+
−
τ (T2 ) = T2 bn =

2ω n k∈Ω 2(2k + 1)
4(2n + 1)
χ n−1hn2−1 2( + )
χ n hn2 1( − )
2( − )
−
β n−1,n ,1,n−1,n + β n−1,n ,1,n−1,n −
β n+1,n+1,1,n ,n + β 2n(++1,)n+1,1,n,n −
4
4
(1)
n
(
)
(
)
hk2 1( − )( + )
2 ( + )( + )
2 ( − )( − )
1( − )( + )
2 ( + )( + )
2 ( − )( − ) 
H nkkn + H knkn
−
+ H knkn
+ (1 − δ kn ) H kknn
+ H kknn
+ H nkkn
 ; (27)
k∈Ω 4

[
(
а коэффициенты разложений (16) – (18) определяются выражениями
M 0( 3 ) ( T0
−
2 M k( 2 ) ( T0 )
)=−
hk cos(ωk T0 ) −
2
1
k
+
k ∈Ω
K kml hk hm hl
cos(ωk T0 )cos(ωmT0 )cos(ωl T0 ) ;
k ,m ,l ∈Ω 3( 2l + 1 )

35
)]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∞
6
M 1(3) (T0 ) = − M 1( 2) (T0 ) h2 cos(ω 2T0 ) − 3   K km1M k( 2) (T0 ) hm cos(ω mT0 ) −
5
m∈Ω k =0
∞
 K kmg K gl1hk hm hl cos(ω k T0 ) cos(ω mT0 ) cos(ω lT0 ) ;
−
g =0 k ,m ,l∈Ω
M n(3) (T0 )
hn hk2 (2(n − 1)ω nω k − Ξ n )
(cos((ω n + 2ω k )T0 ) − cos(ω nT0 )) −
= −
k∈Ω 16( 2k + 1)ω k (ω n + ω k )
hn hk2 (1 − δ nk )(2(n − 1)ω nω k + Ξ n )
(cos((ω n − 2ω k )T0 ) − cos(ω nT0 )) +
−
16(2k + 1)ω k (ω n − ω k )
k∈Ω
(cos(ψ k ,l ,l +1 T0 ) − cos(ω nT0 )) +
χ h h h  β
+   l k l l +1  k ,l +1,1,l ,n 2
4
ω n − (ω k + ω l + ω l +1 )2

k = n−1 l∈Ω
1( + )
n +1
(
+
+
( + )( + )
)
β k1(, l−+)1,1, l , n Dkl n, l +1 (cos(ψ k( +, l)(, l−+)1 T0 ) − cos(ω nT0 ))
(ω
2
n
− (ω k + ω l − ω l +1 )
2
)
+
β k2,(l++)1,1, l , n Dlkl, n −1Dkl n, l +1 (cos(ψ k( −, l)(, l−+)1T0 ) − cos(ω nT0 ))
(ω
+
2
n
− (ω k − ω l − ω l +1 )
2
)
+
β k2,(l−+1),1,l ,n Dlkl,n−1 (cos(ψ k( +,l)(+1−,l)T0 ) − cos(ω nT0 ))
(ω
(
2
n
− (ω k − ω l + ω l +1 )
2
)
−

)
+)
−) 
0( + )
+ λ(lmg
hk hm hl λ(lmg
 H kgn (cos((ω k + ω g )T0 ) − cos(ω n T0 ))
− 
+

4
ω n2 − (ω k + ω g )2

g = 2 k ,m ,l∈Ω
∞
0( −)
(cos((ω k − ω g )T0 ) − cos(ω nT0 )) +
H kgn
+

ω n2 − (ω k − ω g )2

hh h
+  k m l
4
k ,m ,l∈Ω
+
( (
)
)
1( + )( − )
( + )( + )
 H kml
cos ψ klm
T0 − cos(ω nT0 )
n
+

ω n2 − (ω k + ω l + ω m )2

( (
)
)+
+ )( − )
1( − )( + ) kn l n
H kml
Dlm Dkm cos ψ (klm
T0 − cos(ωnT0 )
n
ω2n − (ωk + ωl − ωm )2
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+
( (
)
)+
− )( − )
2( + )( + ) mn l n
H kml
Dkl Dkm cos ψ (klm
T0 − cos(ωnT0 )
n
ω2n − (ωk − ωl − ωm )2
( (
)
)
2( − )( − ) mn kn
+ )( − )
H kml
Dkl Dml cos ψ (kml
T0 − cos(ωnT0 ) 
n
(28)
+
;
ωn2 − (ωk − ωl + ωm )2

k +1 
k (k + 1)

F0(3) (T0 ) = Q 
K kml hk hm hl cos(ω k T0 )cos(ω mT0 )cos(ω l T0 ) ;
α kml −
2

k ,m ,l∈Ω 2l + 1 
Fn(3) (T0 ) = QM n(3) (T0 ) +
+ Q
∞
  (k + 1) K kmn Fk( 2) (T0 )hm cos(ω mT0 ) +
m∈Ω k =1
∞
 (k − 1)K kmn M m( 2) (T0 )hk cos(ω k T0 ) −
k∈Ω m =0
∞
− Q
g =0
k (k + 3)
K kmg K gl n hk hm hl cos(ω k T0 )cos(ω mT0 )cos(ω l T0 ) ; n ≥ 1 , (29)
2
k ,m ,l∈Ω

Dn(3) (T0 , T2 )
−α
∞
1 − δ 1n
1
1
( 3)
(
)
= ∂ T0 M n (T0 ) −
hn bn sin ω nT0 −   (k (k − 1) K kmn −
n
n
n m∈Ω k =1
( 2)
kmn ) Dk (T0 ) hm
∞
1
cos(ω mT0 ) +   (k (k − 1) − α kmn )M m( 2) (T0 )ω k hk sin (ω k T0 ) +
n k∈Ω m=0
∞
1
 k (k − 1)

+
K kmg − α kmg (k − 2) ×



n k ,m,l∈Ω g =0  2

× K gl nω k hk hm hl sin (ω k T0 )cos(ω mT0 )cos(ω l T0 ) ;
n ≥ 1,
(30)
1( ± )
2( ± )
0( ± )
1( ± )( ± )
2 ( ± )( ± )
( ± )( ± )
kn
β kmgl
, ψ kml , Dlm – коэффициенты, выn , β kmgl n , H kgn , H kml n , H kml n
несенные в Приложение B, δ kn – символ Кронекера.
где Ξ n ,
Подставляя (18) в (1), найдем выражение для образующей капли в виде
∞
(
)
r (ϑ , T0 , T2 ) = 1 + ε  M n(1) (T0 , T2 )Pn (cosϑ ) + ε 2  M n( 2) (T0 ) + ε M n(3) (T0 ) Pn (cosϑ ) . (31)
n∈Ω
n =0
4. Для анализа выражения (31) заметим, что амплитуды отклонения поверхности
капли от равновесной сферической формы пропорциональны следующим выражениям
(см. выражения (23) и (28)):
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
M g( 2) ~
 K kmg ,
k ,m∈Ω
∞
M n(3) ~ 
 K kmg K gl n ,
g =0 k ,m ,l∈Ω
где коэффициенты K kmg отличны от нуля, только если
k −m ≤g≤ k +m и
k + m + g – четное число.
Таким образом, если изначально возбуждается только одна мода, т.е. Ω = {n1 }, то
во втором порядке малости возбуждаются только четные моды с номерами из диапазона
0 ≤ g ≤ 2n1 , а в третьем порядке: при четном n1 возбуждаются четные моды из диапазона 0 ≤ n ≤ 3n1 , а при нечетном n1 возбуждаются нечетные моды из диапазона
1 ≤ n ≤ 3n1 . Таким образом, при четном n1 поверхность капли формируется четными
модами из диапазона [0, 3n1 ], а при нечетном n1 – всеми модами из диапазона [0, 2n1 ]
и нечетными из диапазона [2n1 + 1, 3n1 ] .
Если изначально возбуждаются две моды с номерами n1 и n2 , то есть
Ω = {n1 , n2 }, то множество мод вовлеченных в формирование поверхности капли еще
более расширяется.
Так если n1 и n2 – четные числа, то спектр мод второго порядка содержит только
четные моды с индексами из диапазона 0 ≤ g ≤ max{2n1 , 2n2 }, а спектр третьего по-
рядка формируется четными модами из диапазона 0 ≤ n ≤ max{3n1 , 3n2 } . Иначе говоря, суммарная поверхность капли формируется четными модами из диапазона
[0, max{3n1 , 3n2 }] .
Если номера изначально возбужденных мод n1 и n2 являются нечетными, то во
втором порядке малости возбуждаются четные моды с номерами из диапазона
0 ≤ g ≤ max{2n1 , 2n2 }, а в третьем порядке малости участвуют в формировании поверхности только нечетные моды с номерами, удовлетворяющими условию
1 ≤ n ≤ max{3n1 , 3n2 }. Другими словами, поверхность формируется всеми модами из
[0, max{2n1 , 2n2 }] и нечетными
[max{2n1 + 1, 2n2 + 1}, max{3n1 , 3n2 }].
диапазона
с
номерами
из
промежутка
Если же номера изначально возбужденных мод таковы, что n1 – четное, а n2 – нечетное, то спектр второго порядка малости содержит моды с четными номерами из диапазона 0 ≤ g ≤ max{2n1, 2n2} и нечетные с номерами |n1 – n2| ≤ g ≤ n 1+ n2. Спектр
же третьего порядка малости содержит четные моды с номерами из диапазона
0 ≤ n ≤ max{3n1, n1+2n2} и нечетные с номерами 1 ≤ n ≤ max{3n1, n1+2n2}. В итоге, суммарная поверхность капли формируется четными модами из диапазона
[0,max{3n1, n1+2n2}] и нечетными с номерами из промежутка [1,max{3n1, 2 n1+n2}].
Видно, что учет величин третьего порядка малости по величине начальной деформации
приводит к существенному расширению спектра мод, вовлеченных в формирование поверхности капли.
4а. Учет величин третьего порядка малости приводит к нелинейному сдвигу частот
изначально возбужденных мод, пропорциональному квадрату амплитуды начальной де2
формации ε . Знак поправки к частоте всегда отрицателен, а ее величина существенно
зависит от спектра мод, вовлеченных в формирование поверхности капли в начальный
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
момент времени, и от величины заряда капли. Так, если изначально возбуждаются две
моды, одна из которых, основная, n = 2 , то наблюдается увеличение поправок к частотам по сравнению с ситуацией одномодовой начальной деформации поверхности капли,
исследованной в [1]. На рис. 1 приведены зависимости поправок к частотам различных
пар мод, возбужденных в начальный момент времени, от величины безразмерного параметра W. Из рис. 1 видно, что величина поправки к частоте основной моды зависит от
того, какая из мод возбуждается вместе с ней в начальный момент времени: с ростом
номера моды, возбуждающейся одновременно с основной, величина поправки к частоте
основной моды увеличивается. Если вспомнить, что критические условия реализации
неустойчивости капли определяются требованием перехода с ростом параметра W квадрата частоты основной моды через ноль (см. [43, 82]), то становится ясно, что учет нелинейной поправки к частоте основной моды приводит к снижению критического значения
параметра W в соответствии с выражением [82]: ω22 + 2 ⋅ ε 2 ⋅ b2 = 0 (см. рис. 2). Вытекающая из этого соотношения нелинейная поправка к критическим условиям реализации неустойчивости капли тем заметнее, чем более высокая мода возбуждается в начальный момент времени одновременно с основной.
2
( )
Рис. 1. Зависимости коэффициента bm от параметра Рэлея W = Q / 4π .
Номер кривой совпадает с номером изначально возбужденной моды
На рис. 3 и 4 приведены временные зависимости нелинейно возбуждающихся мод:
видно, что в поправках второго порядка максимальной величины достигает амплитуда
основной моды, а в поправках третьего порядка максимальную амплитуду может иметь
и мода, отличная от m–ой с более высоким номером.
Численный анализ выражения (31) указывает на то, что наибольшим отклонениям
от равновесного состояния подвергаются элементы поверхности капли, располагающиеся в окрестности оси симметрии (см. рис. 5). Это связано с тем, что только при углах
ϑ , близких к ϑ = 0 и ϑ = π , наблюдается суммирование колебаний отдельных мод.
Вдали от этих значений ϑ формируется более гладкая волнообразная поверхность. Указанная тенденция тем выше, чем больше значение номеров изначально возбужденных
мод.
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2. Зависимости квадрата частоты
m=2
ω2m
основной моды
от параметра Рэлея W : 1 – с учетом поправки
для
ε = 0.3 ; 2 – без учета поправки
ε 2bm
Рис. 3. Зависимости от времени t поправок к амплитудам мод третьего порядка малости
при W = 2.2 и начальном возбуждении третьей моды.
Номер у кривой совпадает с номером изначально возбужденной моды
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4. То же, что на рис. 3, применительно к амплитудам
мод второго порядка малости
Рис. 5. Контур образующей капли при начальном возбуждении четвертой (a) и девятой моды
(b). Для четвертой моды ε = 0.3 , W = 2.5 , t = 0 (1); 0.5 (2); 0.9 (3); 1.1 (4).
Для девятой моды ε = 0.3 , W = 2.2 , t = 0 (1); 0.1 (2); 0.2 (3); 0.3 (4)
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Напряженность электростатического поля на свободной поверхности капли определяется выражением
∞
(
)
E = En( 0) + ε  En(1) Pn (cosϑ ) + ε 2  En( 2) + ε En(3) Pn (cosϑ ) ;
n∈Ω
n =0
En( 0) = Q = 2 π W ;
(32)
En(1) = Q(n − 1) M n(1) ;
En( 2) = (n + 1) Fn( 2) − 2QM n( 2) +
+Q
 [(3 − (m + 1)(m + 2) )K kmn + α kmn / 2]hk hm cos(ω k T0 )cos(ω mT0 ) ;
k ,m∈Ω
En(3) = (n + 1) Fn(3) − 2QM n(3) +
∞
∞
 (α kmn − (m + 1)(m + 2) K kmn )hk cos(ωk T0 )Fm( 2) −
k∈Ω
m =0
− Q  ( k + 4)(k − 1) K kmn hk cos(ω
m =0
k∈Ω
)
( 2)
k T0 M m
∞
+Q
 [((k + 1)(k + 2)(k + 3) / 2 − 4)K kmg −
g =0
k ,m ,n∈Ω
]
− ((l + 1) / 2 + k + 1)α kmg K gl n hk hm hl cos(ω k T0 )cos(ω mT0 )cos(ωl T0 ) ;
Согласно данным расчетов по (32) напряженность поля собственного заряда в
окрестности нелинейно осциллирующей капли существенно возрастает на полюсах капли при ее вытягивании (см. рис. 5), что может привести к зажиганию у поверхности капли коронного разряда. Это обстоятельство представляет интерес в связи с проблемой
инициирования разряда молнии [86, 87]. Согласно существующим представлениям разряд молнии может начаться с коронного разряда в окрестности падающей в облаке обводненной градины или крупной капли. Признанию такого механизма инициирования
разряда молнии препятствует то, что собственные заряды капель, регистрируемые при
натурных измерениях в грозовых облаках, слишком малы для того, чтобы коронный
разряд мог зажечься в окрестности невозмущенной капли [88]. Обнаруженный факт значительного усиления электростатического поля у вершин нелинейно осциллирующей
капли позволяет посмотреть на обсуждаемую проблему с новых позиций.
Расчеты, проиллюстрированные рис. 2 – 5, выполнены для случая отсутствия резонансного взаимодействия мод, которое требует отдельного детального рассмотрения
[73]. Тем не менее возможность резонансного обмена энергией между модами существует.
Из выражений (28) для нелинейных поправок третьего порядка малости к ампли(3)
тудам осцилляций M n ( t ) несложно видеть, что они имеют резонансный вид: содержат знаменатели, обращающиеся при определенных условиях в нуль. Все новые по
сравнению с квадратичным приближением [1, 81, 82] (см. разделы 2.1, 2.2) резонансы
соответствуют четырехмодовому взаимодействию капиллярных осцилляций капли, когда частоты резонансно взаимодействующих мод связаны друг с другом одним из соотношений:
ω n ± ω k ± ω l ± ω m = 0.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Среди множества реализующихся в заряженной капле внутренних нелинейных резонансов наибольший интерес в связи с проблемой инициирования разряда молнии в
грозовых облаках [86, 87] представляют такие, в которых основная мода (n = 2) увеличивает свою амплитуду за счет перекачки энергии из более высоких мод при докритических в смысле устойчивости по отношению к собственному заряду значениях параметра Рэлея W < 4. Согласно данным расчетов, проведенных во втором порядке малости
[73, 75, 80, 81], когда реализуются только трехмодовые резонансы, наинизшая мода,
способная приобретать энергию у высоких мод за счет резонансного взаимодействия, –
третья. В расчетах третьего порядка малости, когда реализуется четырехмодовое взаимодействие появляется возможность резонансной раскачки и второй моды. Так, если ограничиться условиями
ω n + ω k − ω l − ω m = 0;
W ≤ 4,
то в диапазоне номеров мод 2 ≤ n , k , l , m ≤ 30 реализуются более десятка резонансных
четырехмодовых ситуаций, в семи из которых участвует вторая мода.
5. Заключение. Учет величин третьего порядка малости по амплитуде начальной
многомодовой деформации капли позволяет получить нелинейные поправки к частотам
капиллярных колебаний капли, которые существенно зависят от величины заряда капли
и от спектра изначально возбужденных мод и приводят к появлению нелинейных поправок к критическому для реализации неустойчивости капли значению параметра Рэлея.
Учет величин третьего порядка малости по амплитуде начальной многомодовой деформации при расчете образующей нелинейно осциллирующей капли позволяет проследить
тенденцию к вытягиванию капли вдоль оси симметрии. Это косвенно указывает на то,
что эмиссионные выступы капли формируются наложением большого числа высоких
мод [89].
6. Приложение A. Выделение задач различного порядка малости.
После подстановки разложений (13) – (15) в систему уравнений (1) – (12), выделяя
1
слагаемые пропорциональные ε , несложно получить задачу первого порядка малости
Δψ (1) = 0;
ψ (1) → 0 ;
r → 0:
r → +∞ :
r = 1:
∂ T0 ψ (1) =
Δφ(1) = 0;
(2A)
∇φ(1) → 0 ;
(3A)
∂ T0 ξ (1) = ∂ r ψ (1) ;
(4A)
(
)
1
∂ r φ( 0) ∂ r φ (1) + ξ (1) ∂ rr φ( 0) + 2ξ (1) + Δ Ω ξ (1) ;
4π
1
ξ
(1)
(1A)
1
ξ
d (cos ϑ) = 0;
−1
−1
43
(1)
P1 d (cos ϑ) = 0;
(5A)
(6A)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
 {∂ r φ
(1)
(
)}
+ ξ (1) ∂ rr φ( 0) + 2∂ r φ( 0) d (cos ϑ) = 0;
−1
(7A)
φ(1) + ξ (1) ∂ r φ( 0) = φ(S1) (t );
ξ (1) = ε  hm Pm (cos ϑ) ;
t = 0:
(8A)
∂ T0 ξ (1) = 0.
m∈Ω
(9A)
2
Слагаемые, пропорциональные ε , определяют задачу второго порядка малости,
которая имеет вид:
Δψ ( 2) = 0;
Δφ ( 2) = 0;
(10A)
r → 0:
ψ ( 2) → 0 ;
(11A)
r → +∞ :
∇φ ( 2 ) → 0 ;
(12A)
∂ T0 ξ ( 2) + ∂ T1 ξ (1) = ∂ r ψ ( 2) + ξ (1) ∂ rr ψ (1) − ∂ ϑξ (1) ∂ ϑψ (1) ;
r = 1:
∂ T0 ψ ( 2) + ∂ T1 ψ (1) + ξ (1) ∂ rT0 ψ (1) +
( ) ((∂
+ ξ (1)
2
rr φ
)
( 0) 2
(
)
1
∂ r ψ (1)
2
)
2
+
(
+ ∂ rrr φ ( 0) ∂ r φ ( 0) + ∂ ϑ φ (1)
(
(
)
1
∂ ϑ ψ (1)
2
2
=
{
1
2ξ ( 2) ∂ r φ ( 0) ∂ rr φ ( 0) +
8π
) + (∂ φ )
2
(1) 2
r
)}
 (ξ
( 2)
( ) ) d (cos ϑ) = 0;
+ ξ
−1
1
 {∂ rφ
−1
(1) 2
(2)
(
+ 2∂ r φ ( 2) ∂ r φ ( 0) +
( )
+ 2ξ (1) ∂ rr φ ( 0) ∂ r φ (1) + ∂ rr φ (1) ∂ r φ ( 0) + 2ξ ( 2) + Δ Ω ξ ( 2) − 2 ξ (1)
1
 (2ξ
1
( 2)
−1
)
(13A)
2
− 2ξ (1) Δ Ω ξ (1) ; (14A)
( ) ) P d (cos ϑ) = 0;
+ 3 ξ (1)
2
1
(
(15A)
)
+ ξ ( 1 ) ∂ rrφ ( 1 ) + 2∂ rφ ( 1 ) + ξ ( 2 ) ∂ rrφ ( 0 ) + 2∂ rφ ( 0 ) +
2 1


+ ξ (1)  ∂ rrr φ( 0) + 2∂ rr φ ( 0 ) + ∂ r φ( 0)  − ∂ ϑξ (1) ∂ ϑφ(1) d (cos ϑ) = 0;
2


( )
φ ( 2) + ξ (1) ∂ r φ (1) + ξ ( 2) ∂ r φ( 0) +
( )
1 (1) 2
ξ
∂ rr φ ( 0 ) = φ (S2) (t );
2
44
(16A)
(17A)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
t = 0 : ξ ( 2) = −  hm P0 (cos ϑ ) − 3
2m + 1
m∈Ω
 hl hm K lm1P1 (cos ϑ ) ; ∂T ξ
( 2)
0
2 l ,m∈Ω
+ ∂ T1 ξ (1) = 0 . (18A)
Задача третьего порядка малости определяется слагаемыми, пропорциональными
3
ε , и имеет вид:
Δψ (3) = 0;
Δφ (3) = 0;
(19A)
r → 0:
ψ ( 3) → 0 ;
(20A)
r → +∞ :
∇φ ( 3) → 0 ;
(21A)
∂ T0 ξ (3) + ∂ T1 ξ ( 2) + ∂ T2 ξ (1) = ∂ r ψ (3) − ∂ ϑξ ( 2) ∂ ϑψ (1) − ∂ ϑξ (1) ∂ ϑψ ( 2) +
r = 1:
(
(
)
) 12 (ξ ) ∂
(1) 2
+ ξ ( 2) ∂ rr ψ (1) + ξ (1) ∂ ϑξ (1) 2∂ ϑψ (1) − ∂ rϑψ (1) + ∂ rr ψ ( 2 ) +
rrr ψ
(1)
;
(22A)
∂ T0 ψ (3) + ∂ T2 ψ (1) + ∂ T1 ψ ( 2) + ξ (1) ∂ rT1 ψ (1) + ∂ ϑψ (1) ∂ ϑψ ( 2) + ∂ r ψ (1) ∂ r ψ ( 2) +
(
(
)
)
+ ξ ( 2) ∂ rT0 ψ (1) + ξ (1) ∂ rT0 ψ ( 2) + ∂ ϑψ (1) ∂ rϑψ (1) − ∂ ϑψ (1) + ∂ r ψ (1) ∂ rr ψ (1) +
+
1 (1) 2
1  ( 3)
1
(0)
(0)
(1) 3 
(0)
(0)
(0)
(0) 
ξ
∂ rrT0 ψ (1) =
 ∂ rr φ ∂ rrr φ + ∂ r φ ∂ rrrr φ  +
2ξ ∂ r φ ∂ rr φ + ξ
2
8π 
3


( )
( )
(
(
)
)
+ 2 ∂ ϑφ(1) ∂ ϑφ( 2) + ∂ r φ(1) ξ ( 2) ∂ rr φ( 0) + ∂ r φ( 2) + ∂ r φ( 0) ∂ r φ(3) + ξ ( 2) ∂ r φ( 0) ∂ rr φ(1) +
( ((
+ 2ξ (1) ξ ( 2) ∂ rr φ
)
( 0) 2
)
) ( ) (∂
((
+ (2 + Δ Ω )ξ (3) + 2ξ (1) ξ (1)
(
)
2
)
2
2
rrr φ
)
 (3ξ
( 3)
(0)
∂ r φ (1) + 2∂ rr φ ( 0) ∂ rr φ (1) + ∂ r φ ( 0 ) ∂ rrr φ (1)
)
) }+
( )
2
− (2 + Δ Ω )ξ ( 2) − 2ξ ( 2) Δ Ω ξ (1) + 3 ξ (1) Δ Ω ξ (1) −
− ∂ ϑξ (1) ∂ ϑϑξ (1) −
−1
(
+ ∂ r φ( 0) ∂ rrr φ( 0) + ∂ rr φ( 0) ∂ r φ( 2) + ∂ ϑφ(1) ∂ rϑφ(1) − ∂ ϑφ(1) +
+ ∂ r φ (1) ∂ rr φ (1) + ∂ r φ ( 0) ∂ rr φ ( 2) + ξ (1)
1
\
(
)
2
1
∂ ϑξ (1) Δ Ω ξ (1) ;
2
( ) ) d (cos ϑ) = 0 ;
+ 6ξ (1) ξ ( 2 ) + ξ (1)
45
3
(23A)
(24A)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 (ξ
1
( 3)
( ) ) P (cos ϑ) d (cos ϑ) = 0 ;
+ 3ξ (1) ξ ( 2) + ξ (1)
−1
1
 {∂ r φ
( 3)
3
(25A)
1
(
)
(
)
+ ξ (3) ∂ rr φ( 0) + 2∂ r φ( 0) + ξ ( 2) ∂ rr φ(1) + 2∂ r φ(1) +
−1
( )
( )
3 1
2 1


+ ξ (1)  ∂ rrrr φ ( 0) + ∂ rrr φ ( 0) + ∂ rr φ ( 0)  + ξ (1)  ∂ rrr φ (1) + 2∂ rr φ (1) + ∂ r φ (1)  +
6

2

( (
)
)
+ ξ (1) ξ ( 2) ∂ rrr φ(0) + 4∂ rr φ( 0) + 2∂ r φ( 0) + 2∂ r φ( 2) + ∂ rr φ( 2) − ∂ ϑξ (1) ∂ rϑφ(1) −
}
− ∂ ϑξ ( 2) ∂ ϑφ(1) − ∂ ϑξ (1) ∂ ϑφ( 2) d (cos ϑ) = 0 ;
φ (3) + ξ (1) ∂ r φ( 2) + ξ ( 2) ∂ r φ(1) + ξ (3) ∂ r φ ( 0) +
+ ξ (1) ξ ( 2) ∂ rr φ( 0) +
( )
1 (1) 2
ξ
∂ rr φ (1) +
2
( )
1 (1) 3
ξ
∂ rrr φ( 0) = φ(s3) (t ) ;
6
ξ ( 3) = −
t = 0:
(26A)
(27A)
hk hm hl
K kml P0 (cos ϑ) −
l
3
(
2
+
1
)
k ,m ,l∈Ω

∞
9

−  h2  hk hm K km1 +   hk hm hl K kmg K gl1  P1 (cos ϑ) ;
g =0 k ,m ,l∈Ω
 5 k ,m∈Ω

∂ T0 ξ (3) + ∂ T1 ξ ( 2) + ∂ T2 ξ (1) = 0 ,
(
n0
где K ml n = Cm 0l 0
) ,а C
2
n0
m 0l 0
– коэффициенты Клебша – Гордана [64].
7. Приложение B. Выражения для коэффициентов задачи
H k1(m+l)(n− )
H k1(m−l)(n+ )
=
∞

g =2
=
H k2m( +l )(n + ) =
∞

g =2
β1k(m+ )g l n λ(l+m) g
β1k(m− )g l n λ(l−m) g
∞
+
g =1
∞
+
g =1
μ1k(m− )g l n
μ1k(m+ )g l n
∞
+  μ 0k (m−g) l n ;
g =0
∞
+  μ 0k (m+g) l n ;
g =0
∞
∞
∞
g =2
g =1
g =0
 β k2(m+g) l n λ(l+m) g +  μ1k(m+ )g l n +  μ 0k (m+g) l n ;
46
(28A)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
H k2m( −l )(n − ) =
∞
∞
∞
g =2
g =1
g =0
 β k2(m−g) l n λ(l−m) g +  μ1k(m−)g l n +  μ 0k (m−g) l n ;
(
)(
)
(
)(
)
0( + )
+)
−)
H mgn
= Π 0mgn − Π1mgn ωm ω g − Π 2mgn ω2g λ(mmg
+ λ(mmg
;
0( −)
+)
−)
H mgn
= Π 0mgn + Π1mgn ωm ω g − Π 2mgn ω2g λ(mmg
+ λ(mmg
;
2
(ωl + ωm ) ;
β1k(m+ )g l n = Π 0kgn − Π1kgn ωk (ωl + ωm ) − Π kgn
2
β1k(m− )g l n = Π 0kgn − Π1kgn ωk (ωl − ωm ) − Π 2kgn (ωl − ωm ) ;
2
β 2k (m+g) l n = Π 0kgn + Π1kgn ωk (ωl + ωm ) − Π 2kgn (ωl + ωm ) ;
2
β 2k (m−g) l n = Π 0kgn + Π1kgn ωk (ωl − ωm ) − Π 2kgn (ωl − ωm ) ;
2
μ1k(m− )g l n = Λ1k m g l n − Γk1m g l n ωm ωk ;
μ 0k (m−g) l n = Λ0k m g l n − Γk0m g l n ωm ωk ;
Λ0kmgl n =
μ1k(m+ )g l n = Λ1k m g l n + Γk1m g l n ωm ωk ;
μ 0k (m+g) l n = Λ1k m g l n + Γk0m g l n ωm ωk ;
{
1
K gl n (α kmg (kn(l + 3l 2 − 2(k + 2) W ) + 2(k − 2)ωk2 ) + K kmg (kn(4 −
2k
− 6k (k + 1) + (k 3 − 2(m + 1)(m + 2) − k 2 (n − 9) − k (3n + 2m(m + 3) − 22)) W ) −
− (k − 1)k (k − n − 2)ωk2 )) − 2knα kmg
[l / 2]
 (2l − 4ν + 1) K g ,l −2ν,n }
ν =1
Λ1k m g l n = (( g − n − 1) K g l n − α g l n / g )((m − 1) K kmg − α kmg / m )ω2m +
+ Wnk (( g + 1)(l + n − g − 2) K g l n + α g l n )K kmg ;
Γk0m g l n = ((k − 1)(k − 2(n + 1)) K kmg / 2 − ((k − 1)(m + n) − m )α kmg /(km) )K g l n +
+ ((k − 1)(k − 2) K k l g / 2 − (k − 2)α k l g / k )K gmn ;
Γk1m g l n = −(( g − n − 1) K gkn − (n + k )α gkn /(kg ) )((m − 1) K lmg − α lmg / m ) −
− (( g − n − 1) K g l n − α g l n / g )((m − 1) K kmg − α kmg / m ) ;
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
Π 0kmn = ω2k (n − k + 1) + 2kn(k + 1) + 2mn(m + 1) − 4n +
(
)
+ n W ((n − k − 5)(k − 1) + (m + 1)(k + n − m − 2) ))K kmn + ωk2 / k + n W α kmn ;
Π1kmn = (m + k − n − 2) K kmn − (n + k + m )α kmn /(mk ) ;
Π 2kmn = (m − n − 1) K kmn − α kmn / m ;
+ )( + )
ψ (kml
= ωk + ωm + ωl ;
Ξ k = ω2k + 2k 2 (k + 1) − 4k − 5k (k − 1)W
+ )( − )
ψ (kml
= ω k + ω m − ωl ;
− )( − )
ψ (kml
= ωk − ωm − ωl ;
(
)
λ(m±l)n = (γ ml n ± ωm ωl ηml n )/ ω2n − (ωm ± ωl ) 2 ;
α ml n = −Cmn 00l 0Cmn 0( −1)l1 m(m + 1)l (l + 1) ;
[
γ ml n = K ml n ω2m (n − m + 1) + 2n(l (l + 1) − 1) + (l (m + 1) −
[
]
− m(2m − 2n + 7) + 3)nW / 2] + α ml n ω2m / m + nW / 2 ;
ηml n = K ml n (n / 2 − m + 1) + α ml n (1 + n /(2l ) ) / m ;
kn
Dlm
= 1 − δ lm δ kn .
2.2. Нелинейное резонансное четырехмодовое
взаимодействие капиллярных осцилляций
заряженной капли идеальной жидкости
1. Некоторые вопросы нелинейных осцилляций заряженной капли, представляющие значительный интерес для теории грозового электричества, остались за рамками ранее проведенных исследований [1, 29, 52, 69, 71, 80, 82]. Это, в частности, относится к
исследованию возможности резонансной раскачки амплитуды основной моды капли за
счет перекачки в нее энергии из высоких мод. Данная проблема имеет принципиальное
значение для теории грозового электричества в связи с обсуждающимся механизмом
инициирования разряда молнии коронным разрядом в окрестности заряженной крупной
капли или обводненной градины в грозовом облаке [86, 87]. Несмотря на очевидную
привлекательность такого механизма, пока нет доказательств возможности его реализации: согласно данным натурных измерений [88] собственные заряды крупных капель и
градин в облаках слишком малы для того, чтобы в их окрестности мог зажечься коронный разряд или реализоваться неустойчивость заряженной поверхности капли. В то же
время очевидно, что при вытягивании капли в фигуру, близкую к сфероиду, напряженность поля у ее вершин существенно увеличивается. Одной из возможностей вытягивания капли в сфероид является возбуждение основной моды ее осцилляций при резонансной перекачке энергии из высоких мод осцилляций в основную [65, 73, 75]. Однако проведенные расчеты [73, 75] (см. разделы 2.1, 2.2) показывают, что при трехмодовом
нелинейном резонансном взаимодействии осцилляций капли наинизшей модой, в кото48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рую возможна перекачка энергии из высоких мод, является третья. Только в расчетах
третьего порядка малости по амплитуде начальной деформации капли, когда проявляются четырехмодовые резонансы, основная (вторая) мода включается в резонансное взаимодействие с высокими модами [82, 83]. Заметим, что трехмодовые резонансы, проявляющиеся в расчетах второго порядка малости, приводят при реализации к эффекту первого порядка малости: амплитуда моды, раскачивающейся за счет перекачки энергии из
высоких мод, имеет первый порядок малости [73] и может превышать амплитуды изначально возбужденных высоких мод. В этой связи возникает и чисто академический вопрос теории нелинейного взаимодействия мод осцилляций: каким порядком малости будет характеризоваться мода, раскачивающаяся за счет резонансной перекачки энергии
при четырехмодовом взаимодействии, проявляющемся лишь в третьем порядке малости? С целью отыскания ответов на поставленные вопросы и решалась приведенная ниже задача.
2. Рассмотрим каплю радиуса R , обладающую зарядом Q , идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью ρ и коэффициентом поверхностного
натяжения γ в условиях отсутствия внешней среды и гравитации. Пусть в начальный
момент времени равновесная сферическая форма поверхности капли претерпела возмущение малой амплитуды. Зададимся целью проследить временную эволюцию формы
поверхности капли и проанализировать закономерности её колебаний под действием капиллярных и электрических сил. Учитывая, что движение жидкости в капле вызвано
малыми колебаниями её поверхности, можно провести рассмотрение в рамках модели
потенциального движения, когда поле скоростей характеризуется потенциалом ψ . Потенциал электрического поля в окрестности капли обозначим φ . Форму капли будем
считать осесимметричной как в начальный, так и во все последующие моменты времени.
Уравнение поверхности капли в сферической системе координат, связанной с её центром масс, в безразмерных переменных, в которых ρ = 1 , R = 1 , γ = 1 запишем в виде
F (r , ϑ, t ) ≡ r − 1 − ξ(ϑ, t ) = 0.
(1)
где r ,ϑ – сферические координаты, ξ( ϑ,t ) – функция, описывающая отклонение формы капли от сферической ( ξ( ϑ,t ) << 1 ).
Математическая формулировка задачи содержит: уравнения Лапласа для потенциалов скорости жидкости и электрического поля
Δψ = 0;
Δφ = 0;
(2)
условия ограниченности
r → 0:
r → +∞ :
∇ψ → 0 ;
∇φ → 0 ;
(3)
(4)
кинематическое и динамическое граничные условия
r = 1 + ξ(ϑ, t ) :
−
∂ξ
+ ∇ ψ ⋅ ∇ F = 0;
∂t
49
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∂ψ 1
+ (∇ψ )2 = p + pq − pат − pσ ;
∂t 2
(6)
условие неизменности объема капли
r
2
sin ϑ dr dϑ dϕ =
V
4π
;
3
V = {r , ϑ, ϕ 0 ≤ r ≤ 1 + ξ; 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π}; (7)
условие неподвижности центра масс
r r
2
sin ϑ dr dϑ dϕ = 0;
(8)
V
условие постоянства полного заряда
 n ⋅ ∇φ
dS = −4πQ;
S = {r ,ϑ,ϕ r = 1 + ξ; 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π};
(9)
S
условие постоянства электрического потенциала вдоль поверхности
r = 1 + ξ(ϑ, t ) :
φ = φ S (t );
(10)
начальные условия
t = 0:
ξ = ξ 0 P0 (cos ϑ) + ξ1 P1 (cos ϑ) + ε
 hk Pk (cos ϑ);
k ∈Ω
∂ξ
= 0;
∂t
(11)
в выражениях (2) – (11) pат , p , pq , pσ – атмосферное давление, гидродинамическое
давление в равновесном состоянии, давления электрического поля и капиллярное, соответственно; n – вектор нормали к поверхности капли; φ S – электрический потенциал
капли; ε – амплитуда начальной деформации, являющаяся малым параметром задачи;
Ω – спектр мод, определяющих начальную деформацию; hk – парциальный вклад k -ой
моды в начальную деформацию (
 hk
k ∈Ω
~ O(1) ); Pk (cosϑ) – полином Лежандра по-
рядка k ; ξ 0 , ξ1 – величины, определенные так, чтобы интегральные условия (7) и (8)
выполнялись в начальный момент времени.
Для удобства записи дальнейших выражений расширим множество констант hk ,
дополнив его так, что hk ≡ 0 при любых k ∉ Ω .
3. Будем решать краевую задачу (2) – (11) методом многих масштабов с точностью
до третьего порядка малости по амплитуде начального возмущения ε , представляя все
искомые величины в виде разложений по степеням ε и полагая, что они зависят не проj
сто от времени t , но от разных его масштабов T j = ε t , ( j = 0 ,1,2 ) . Производная по
времени t в этом случае выражается через производные по временным масштабам T j
следующим образом:
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∂
∂
∂
∂
=
+ε
+ ε2
.
∂t ∂ T0
∂ T1
∂ T2
Подставляя разложения
:
ξ = εξ (1) + ε 2 ξ ( 2) + ε 3ξ (3) + O(ε 4 );
(12)
ψ = εψ (1) + ε 2 ψ ( 2) + ε 3ψ (3) + O(ε 4 );
(13)
φ = φ ( 0 ) + εφ (1) + ε 2 φ ( 2 ) + ε 3 φ (3) + O (ε 4 );
(14)
φ S = φ (S0) + εφ (S1) + ε 2 φ (S2) + ε 3φ (S3) + O(ε 4 );
(15)
в краевую задачу (2) – (11) и собирая слагаемые при одинаковых степенях ε , получим
задачи различных порядков малости, которые для краткости изложения вынесены в
( 0)
(0)
«Приложение A». В разложениях (14), (15) φ = Q / r ; φ S = Q – решения нулевого
порядка малости, т.е. для равновесной сферической поверхности капли.
(k )
(k )
и φ
являОчевидно, что в силу линейности уравнений Лапласа функции ψ
ются решениями уравнений, аналогичных (2). Учитывая условия ограниченности (3), (4),
можно записать:
∞
 r n ⋅ Dn( k ) (t ) ⋅ Pn (cos ϑ);
ψ (k ) =
φ
n =1
(k )
=
∞

n=0
Fn( k ) (t )
r n +1
Pn (cos ϑ);
( k = 1, 2, 3 ) ;
(16)
( k = 1, 2 , 3 ) .
(17)
Функцию, описывающую отклонение формы поверхности капли от сферической,
представим в виде аналогичного разложения по полиномам Лежандра
ξ(k ) =
∞
 M n( k ) (t ) ⋅ Pn (cos ϑ);
n =0
( k = 1, 2 , 3 ) .
(18)
Отметим, что в рамках рассмотрения задачи с точностью до третьего порядка малости, мы можем определить зависимость временных коэффициентов первого порядка в
(16) – (18) от трех масштабов времени:
M n( 1 ) ( T0 , T1 , T2 ),
Fn( 1 ) ( T0 , T1 , T2 ),
Dn( 1 ) ( T0 , T1 , T2 ) ; зависимость коэффициентов второго порядка – от двух масштабов
M n( 2 ) ( T0 , T1 ), Fn( 2 ) ( T0 , T1 ), Dn( 2 ) ( T0 , T1 ) ; а зависимость коэффициентов третьего
(3)
(3)
(3)
порядка – только от T0 : M n ( T0 ), Fn ( T0 ), Dn ( T0 ) .
Последовательно используя решения (16) – (18) для разных значений k = 1, 2 , 3 , из
систем граничных условий первого, второго и третьего порядков малости получим диф(k )
ференциальные уравнения, которым должны удовлетворять коэффициенты M n ( t ) ,
характеризующие временную эволюцию формы поверхности капли.
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. При решении задачи первого порядка (см. Приложение А) для коэффициентов
M n( 1 ) ( t ) получим гармоническое уравнение по времени T0 :
∂ 2 M n(1) (t )
∂T0
2
+ ω2n ⋅ M n(1) (t ) = 0 ;
(19)
2
где ωn = n( n − 1)(n + 2 − W ) – собственная частота n-ой моды колебаний поверхности
2
капли, W = Q /(4π) – параметр Релея, характеризующий устойчивость капли по отношению к собственному заряду. Общее решение этого уравнения содержит произвольные функции: одну комплексную, либо две действительные, зависящие от временных
масштабов T1 , T2 :
(
)
M n(1) (t ) = An(1) (T1 , T2 ) ⋅ exp [i ω n T0 ] + ( к.с.) = 2 a n(1) (T1 , T2 ) ⋅ cos ω n T0 + bn(1) (T1 , T2 ) .
(20)
Здесь и далее (к.с.) – означает слагаемые, комплексно сопряженные к выписанным;
[
]
An(1) (T1 , T2 ) = a n(1) (T1 , T2 ) ⋅ exp i bn(1) (T1 , T2 ) – комплексные амплитуды; an( 1 )( T1 ,T2 )
(1)
и bn ( T1 ,T2 ) – действительные функции, характеризующие амплитуду и фазу коле(1)
(1)
(1)
баний. Вид функций An ( T1 ,T2 ) , an ( T1 ,T2 ) , bn ( T1 ,T2 ) определяется при анализе
задач следующих порядков малости.
5. При рассмотрении задачи второго порядка малости (см. Приложение А) для эво(2)
люционных коэффициентов M n ( t ) получим неоднородное дифференциальное уравнение:
∂ 2 M n( 2) (t )
∂T0 2
+
+ ω2n
⋅ M n( 2) (t ) = −2 i ωn
∂An(1) (T1 , T2 )
exp[i ωnT0 ] +
∂T1
  {[γ kmn + ωk ⋅ ω m ⋅ η kmn ] ⋅ Ak(1) (T1 , T2 ) ⋅ Am(1) (T1 , T2 ) ⋅ exp[i (ω k
∞
∞
k =2 m=2
+ ω m )T0 ] +
}
+ [γ kmn − ωk ⋅ ωm ⋅ ηkmn ]Ak(1) (T1 , T2 )⋅ Am(1) (T1 , T2 ) ⋅ exp[i (ωk − ωm )T0 ] + (к.с.) . . (21)
Константы γ kmn , ηkmn определены в Приложении B.
Для того чтобы решение уравнения (21) не содержало секулярных слагаемых, необходимо из его правой части исключить слагаемые, зависимость которых от времени
T0 определяется выражением exp[i ω nT0 ] . Это требование позволяет выяснить зави(1)
(1)
(1)
симость функций An ( T1 ,T2 ) (или an ( T1 ,T2 ) и bn ( T1 ,T2 ) ) от временного масштаба T1 . В простейшем случае такое условие имеет вид:
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∂An( 1 ) ( T1 ,T2 )
=0
∂T1
(1)
(1)
и означает, что An , an
(1)
и bn
(22)
не зависят от T1 .
Внимательный анализ функции неоднородности уравнения (21) показывает, что
если для каких-либо трёх мод капиллярных осцилляций с номерами n, p и q выполняется
одно из соотношений: ωn = ω p ± ωq , то условия исключения секулярных слагаемых из
решений аналогичных уравнений (записанных для мод n, p и q) будут иметь вид системы трех связанных дифференциальных уравнений, определяющих зависимость от временного масштаба T1 взаимосвязанных функций
An( 1 ) ( T1 ,T2 ) , A(p1 ) ( T1 ,T2 ) и
Aq( 1 ) ( T1 ,T2 ) . В таком случае принято говорить о внутреннем трёхмодовом резонансном взаимодействии капиллярных осцилляций капли, рассмотрению которого посвящены работы [73, 75].
Общее решение уравнения (21) также содержит произвольные функции: одну ком(2)
(2)
плексную An
(2)
, либо две действительные ( an и bn ), но зависящие только от временного масштаба T1 . В случае отсутствия трёхмодовых резонансных взаимодействий
решение уравнения (21) для колебательных мод (n > 2) имеет вид:
M n( 2) (t ) = An( 2) (T1 ) ⋅ exp[i ωnT0 ] +
+
(23)
}
+)
−)
⋅ Ak(1) ⋅ Am(1) ⋅ exp[i (ωk + ωm )T0 ] + λ(kmn
⋅ Ak(1) ⋅ Am(1) ⋅ exp[i (ωk − ωm )T0 ] + (к.с.) .
  {λ(kmn
∞
∞
k = 2m = 2
(+)
(−)
Выражения для констант λ kmn и λ kmn приведены в Приложении В. Вид функций
[
]
An( 2 ) ( T1 ) , an( 2 ) ( T1 ) и bn( 2 ) ( T1 ) (где An( 2) (T1 ) = an( 2) (T1 ) ⋅ exp i ⋅ bn( 2) (T1 ) ) может
быть определен лишь в третьем порядке малости.
6. Остановимся более подробно на анализе неоднородного дифференциального
(3)
уравнения для эволюционных коэффициентов M n ( t ) , получающегося при рассмотрении системы граничных условий третьего порядка (см. Приложение А):
∂ 2 M n(3) (t )
∂T0
+
2
∞

k , g =2
{Η


 ∂A ( 2) ∂A (1) 
+ ω 2n ⋅ M n(3) (t ) = − 2iω n  n + n  + Gn ⋅ An(1)  exp[iω nT0 ] +
∂T2 


 ∂T1
0( + )
kgn
+
[
](
)
[
](
(24)
)}
( −)
⋅ exp i (ωk + ω g )T0 Ak(1) ⋅ Ag( 2) + Η 0kgn
⋅ exp i (ω k − ω g )T0 Ak(1) ⋅ Ag( 2) +
1
 (2k + 1) [2(n − 1) ⋅ ωn ⋅ ωk − Ξ n ](Ak(1) )
∞
2
k =2
53
⋅ exp[i (ωn + 2ω k )T0 ] −
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( ) ⋅ exp[i(ω
− (1 − δ n,k )[
]
2(n − 1) ⋅ ωn ⋅ ωk + Ξ n Ak(1)
2
[
n

− 2ωk )T0 ] An(1) +

] [
](
] [
]
)
+ Dkl ,,nm δ m,l +1 ⋅ (δ k ,n−1 + δ k ,n+1 ) ⋅ χ l ⋅ β1k(,−m),1,l ,n + Dkl ,,mn ⋅ Η 1k(,−m)(,l+,n) ⋅ exp iΨk( ,+l ,)(m−)T0 Al(1) ⋅ Am(1) +
[
+ Dkl ,,nm ⋅ Dkm,l,n ⋅ δ m,l +1 ⋅ (δ k ,n−1 + δ k ,n+1 ) ⋅ χ l ⋅ β k2(,m+ ),1,l ,n + Η k2(,m+ )(,l ,+n) ⋅ exp iΨk( −,l )(,m−)T0  Al(1) ⋅ Am(1)  +


[
] [
}
]
+ Dkm,l,n δ m,l +1 ⋅ (δ k ,n−1 + δ k ,n+1 )⋅ χ l ⋅ β 2k (,m−),1,l ,n + Dkl ,,mn ⋅ Η 2k (,m−)(,l ,−n) ⋅ exp i ⋅ Ψk( ,−l )(,m+) ⋅ T0  Al(1) ⋅Am(1)  Ak(1) ,


( ± )( ± )
где Ψk , l , m ≡ ωk ± ωl ± ωm , а δ i , j – дельта-символ Кронекера.
Выражения для коэффициентов, использованных в (24), вынесены в Приложение
В. Для краткости при записи (24) в правой его части комплексно сопряженные слагаемые опущены.
Аналогично тому, как это описано выше, условие исключения секулярных членов
(1)
(2)
из решения уравнения (24) позволяет определить вид функций An ( T2 ) и An ( T1 ) .
В простейшем случае отсутствия каких-либо резонансных взаимодействий между колебательными модами это условие имеет вид:
 ∂An( 2) (T1 ) ∂An(1) (T2 ) 
(1)
2iω n 
+
 + Gn ⋅ An (T2 ) = 0;
∂T2 
 ∂T1
откуда несложно получить, что
bn( 1 ) ( T2 ) =
Gn
T2 ,
2 ωn
(1)
(2)
(25)
(2)
в то время как, an не зависит от времени T2 , а an и bn – от времени T1 . Выражение (25) определяет поправки 2-го порядка малости к собственным частотам ωn капиллярных осцилляций капли (см. (20)).
Решение уравнения (24) (из правой части которого исключены слагаемые, приводящие к появлению секулярных членов) после удовлетворения начальным условиям (11)
может быть записано в виде:
M n(3) (t )
hk2 hn
=−
ki∈Ξ 16
+(1 − δn ,k )
∞
 [2(n − 1)ω n ω k − Ξ n ]
[сos((ωn + 2ωk )t ) − сos(ωn t )] +

(
)
(
2
1
)
+
ω
ω
+
ω
k
k
n
k

[ 2(n − 1)ωn ωk + Ξ n ] сos ω − 2ω t − сos ω t   −
( n ) 
(( n k ) )
(2k + 1)ωk ( ωn − ωk ) 

54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
−
∞

g =2
k , l , m∈Ξ
(
hl hm hk ( + )
λ l , m, g + λ(l−, m) , g
4
+
[ω
(+)

Η 0kgn
сos (ωk + ω g )t − сos(ωn t ) +
 2
2
 ωn − (ωk + ω g )
)[
(−)
Η 0kgn
2
n
− (ω k − ω g )
][ (
]
)


[
]
(
)
(
)
сos
(
ω
−
ω
)
t
−
сos
ω
t
+
k
g
n
2
]


1( + )
1( + )( − )
hl hm hk  δ m, l +1 (δ k , n −1 + δ k , n +1 )χ l ⋅ β k , m,1, l , n + Η k , m, l , n
+ 
сos Ψk( ,+l)(, m+ ) t − сos(ωn t ) +

2
4 
ω2 − Ψ ( + )( + ) 
k , l , m∈Ξ
k ,l , m
 n


[
∞
+
+
+
[
(
)
Dkl ,,nm δ m, l +1 (δ k , n −1 + δ k , n +1 )χ l ⋅ β1k(,−m),1, l , n + Dkl ,,mn Η1k(,−m)(, l+, n)
(
)
ω2 − Ψ ( + )( − ) 2 
k ,l , m
 n

[
Dkl ,,nm Dkm, l, n δ m, l +1 (δ k , n −1 + δ k , n +1 )χ l ⋅ β k2(, m+ ),1, l , n + Η k2(, m+ )(, l+, n)
[
ω 2 −
 n
(
][ (
)
2
Ψk( ,−l)(, m− ) 

][сos(Ψ
( + )( − )
k ,l , m t
) − сos(ω t )]+
][сos(Ψ
( − )( − )
k ,l, m t
) − сos(ω t )] +
Dkm, l, n δ m, l +1 (δ k , n −1 + δ k , n +1 )χ l ⋅ β k2(, m− ),1, l , n + Dkl ,,mn ⋅ Η k2(, m− )(, l−, n)
(
)
ω2 − Ψ ( − )( + ) 2 
k ,l , m
 n

]
)
n
n


( − )( + )
(
)
t
сos
t
−
ω
n .
k ,l , m


][сos(Ψ
)
]
Из вида функции неоднородности уравнения (24) несложно заметить, что помимо
трёхмодового резонансного взаимодействия, проявившегося при анализе задачи второго
порядка малости (см. (21)), появляется дополнительная возможность четырёхмодового
резонансного взаимодействия, когда для собственных частот мод с различными номерами n, p, q и s выполняется какое-либо из соотношений вида: ω p ± ωq − ω s = ωn (см.
тройную сумму в функции неоднородности уравнения (24)). Возможна также ситуация,
когда одна из мод участвует в резонансном взаимодействии дважды, что соответствует
случаю вырожденного резонанса. Кроме того, в рассматриваемом приближении третьего
порядка малости возможно трёхмодовое резонансное взаимодействие, при котором происходит обмен энергией между модами первого порядка малости, определяющими
спектр начальной деформации капли, и модами, возбуждающимися во втором порядке
малости (см. двойную сумму в функции неоднородности уравнения (24)). Взаимодействия указанных видов в ранее выполненных расчётах третьего порядка малости обнаружены не были (см. [29]).
Рассмотрим четырёхмодовое взаимодействие более подробно.
7. Чтобы отразить близость комбинации частот ω p ± ωq − ω s к частоте ωn , введём параметр расстройки σ ~ Ο( 1 ) , определяемый соотношением:
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ω p ± ω q − ω s = ω n (1 + ε 2σ ) .
(26)
Выписывая в дополнение к (24) аналогичные уравнения для мод p, q, s и исключая
из их правых частей слагаемые, приводящие к появлению секулярных членов в решениях, получим систему связанных дифференциальных уравнений относительно функций
A(j i ) (где i = 1,2; j = n , p ,q , s ). Для примера приведём вид такой системы для случая,
(
)
2
когда реализуется первая из резонансных ситуаций (26) ω p + ωq − ω s = ωn 1 + ε σ :
∂ An( 2) (T1 )
∂ An(1) (T2 )
− 2 i ωn
= 2 i ωn
+ Gn (T2 ) ⋅ An(1) (T2 ) −
∂ T1
∂ T2
− Yn( + ) ⋅ A(p1) (T2 ) ⋅ Aq(1) (T2 ) As(1) (T2 ) ⋅ exp[i ⋅ ωn ⋅ σ ⋅ T2 ];
− 2i ω p
∂ A(p2) (T1 )
∂ T1
= 2i ω p
∂ A(p1) (T2 )
∂ T2
+ G p (T2 ) ⋅ A(p1) (T2 ) −
− Y p( + ) ⋅ An(1) (T2 )⋅ Aq(1) (T2 ) ⋅ As(1) (T2 ) ⋅ exp[− i ⋅ ωn ⋅σ ⋅T2 ];
− 2 i ωq
∂ Aq( 2) (T1 )
∂ T1
= 2 i ωq
∂ Aq(1) (T2 )
∂ T2
+ Gq (T2 ) ⋅ Aq(1) (T2 ) −
− Yq( + ) ⋅ An(1) (T2 )⋅ A(p1) (T2 ) ⋅As(1) (T2 ) ⋅ exp[− i ⋅ ωn ⋅ σ ⋅T2 ] ;
∂ As( 2) (T1 )
∂ As(1) (T2 )
− 2 i ωs
= 2 i ωs
+ Gs (T2 ) ⋅ As(1) (T2 ) −
∂ T1
∂ T2
− Ys( + ) ⋅ An(1) (T2 ) ⋅ A(p1) (T2 ) ⋅ Aq(1) (T2 ) ⋅ exp[i ⋅ ωn ⋅σ ⋅T2 ]. (27)
Выражения для всех использованных здесь обозначений приведены в Приложении
В. При рассмотрении второй резонансной ситуации ω p − ω q − ω s = ω n 1 + ε 2 σ систе-
(
)
ма уравнений имеет вид, аналогичный (27).
Систему (27) необходимо дополнить условиями исключения секулярных членов из
решений дифференциальных уравнений для амплитуд второго порядка малости мод n, p,
q и s (см. (21)). Предположим, что моды n, p, q и s ни в каких других резонансах, кроме
(1)
(1)
(1)
резонансов вида (26) не участвуют. Это означает, что для функций An , A p , Aq
и
As( 1 ) при анализе задачи второго порядка малости следует записать соотношения, ана(1)
(1)
(1)
логичные (22), согласно которым An , A p , Aq
(1)
и As
не зависят от времени T1 . В
результате получим, что в уравнениях (27) слева от знаков равенства стоят функции
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
временного масштаба T1 , а справа – функции, зависящие только от T2 . Поскольку в методе многих масштабов T1 и T2 рассматриваются как независимые переменные, то следует отдельно левые и правые части уравнений (27) положить равными константе, например, нулю.
(2)
Для функций A j (где
(2)
что A j
(2)
, aj
(2)
и bj
j = n , p ,q , s ) получим:
∂A(j 2 ) ( T1 )
∂T1
= 0 , откуда следует,
являются постоянными величинами, равными своим начальным
значениям, которые несложно получить из (11), используя разложения (12), а также учи( 2)
тывая (18), (20), (23): a j
1

4 k∈Ω
=−

m∈Ω
(λ
(+)
kmj
)
−)
+ λ(kmj
⋅ hk ⋅ hm ;
b(j 2 ) = 0 . В резуль-
тате выражение для амплитуд второго порядка малости (23) примет вид:
M n( 2) (t )
=
+)
[сos((ωk + ωm )t ) − сos(ωn t )] +
  {λ(kmn
∞
∞
k = 2m = 2
}h 2⋅ h
−)
[сos((ωk − ωm )t ) − сos(ωn t )]
+ λ(kmn
k
m
.
(28)
(1)
Для функций A j (где j = n , p ,q , s ) получим комплексные уравнения, приравнивая нулю действительные и мнимые части которых, запишем следующую систему для
(1)
(1)
определения функций a j и b j

an(1) (T2 )  2ωn


( j = n , p ,q , s ):

 ∂ β(n1) (T2 )




−
ω
σ
+
G
T
(
)
n 
n 2 −
 ∂T
2



[
(29)
]
− Yn( ± ) ⋅ a (p1) (T2 ) ⋅ aq(1) (T2 ) ⋅ a s(1) (T2 ) ⋅ cos ϕ(n−, s)(, +p)(, q± ) = 0 ;
[
]
∂ an(1) (T2 )
2 ωn
− Yn( ± ) ⋅ a (p1) (T2 ) ⋅ aq(1) (T2 ) ⋅ a s(1) (T2 ) ⋅ sin ϕ (n−, s)(, +p)(, q± ) = 0 ;
∂ T2

∂ b (p1) (T2 )


∂ T2
a (p1) (T2 )  2ω p
2ωp
∂ a (p1) (T2 )
∂ T2

∂ bq(1) (T2 )


∂ T2
aq(1) (T2 )  2ωq

− G p (T2 )  + Y p( ± ) ⋅ an(1) (T2 ) ⋅ aq(1) (T2 ) ⋅ a s(1) (T2 ) ⋅ cos ϕ(n−, s)(, +p)(, q± ) = 0 ;


[
[
]
]
+ Y p( ± ) ⋅ an(1) (T2 ) ⋅ aq(1) (T2 ) ⋅ a s(1) (T2 ) ⋅ sin ϕ (n−, s)(, +p)(, q± ) = 0 ;

− Gq (T2 )  + Yq( ± ) ⋅ an(1) (T2 ) ⋅ a s(1) (T2 ) ⋅ a (p1) (T2 ) ⋅ cos ϕ(n−, s)(, +p)(, q± ) = 0 ;


[
57
]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 ωq
∂ aq(1) (T2 )
∂ T2
[
]
± Yq( ± ) ⋅ an(1) (T2 ) ⋅ a s(1) (T2 ) ⋅ a (p1) (T2 ) ⋅ sin ϕ (n−, s)(, +p)(, q± ) = 0 ;


∂ b (1) (T2 )
a s(1) (T2 )  2ω s s
− Gs (T2 )  + Ys( ± ) ⋅ an(1) (T2 ) ⋅ aq(1) (T2 ) ⋅ a (p1) (T2 ) ⋅ cos ϕ(n−, s)(, +p)(, q± ) = 0 ;
∂ T2


[
[
]
]
∂ a s(1) (T2 )
2 ωs
− Ys( ± ) ⋅ an(1) (T2 ) ⋅ aq(1) (T2 ) ⋅ a (p1) (T2 ) ⋅ sin ϕ (n−, s)(, +p)(, q± ) = 0 ;
∂ T2
β(n1) (T2 ) = ωn ⋅ σ ⋅T2 − bn(1) (T2 ) ;
ϕ(n−, s)(, +p)(, q± ) (T2 ) ≡ β (n1) (T2 ) − bs(1) (T2 ) + b (p1) (T2 ) ± bq(1) (T2 ).
Начальные условия для системы (29) также несложно получить из исходных условий (11), учитывая (12), (18), (20). Отметим, что из вида уравнений (29) следует, что четырёхмодовый резонанс может проявляться лишь в том случае, если амплитуды хотя бы
трёх из взаимодействующих мод в начальный момент времени отличны от нуля. Рассмотрим для примера ситуацию, когда моды p, q и s присутствуют в спектре, определяющем начальную деформацию капли, а мода n возбуждается в результате межмодового взаимодействия (т.е. p ,q , s∈ Ω; n∉Ω ). Система уравнений (29) в этом случае
должна быть дополнена следующими начальными условиями:
an(1) (0) = 0 ; β (n1) (0) = ±
hj
π
(1)
; a j (0) =
; b (j1) (0) = 0 ;
2
2
(j=p, q, s) .
(30)
Решения системы (29) с начальными условиями (30) определяют зависимость от
(1)
2
медленного временного масштаба T2 = ε t амплитуд 1-го порядка малости M j ( t )
(см.(20)) для мод, связанных резонансным взаимодействием ( j = p ,q , s ,n ).
8. На рис. 1 представлены результаты численных расчётов, выполненных для резонансной ситуации: ω17 + ω21 − ω30 = ω2 , реализующейся при значении безразмерного
параметра W=0.460245 (параметр W характеризует величину заряда капли
W = Q 2 / 4 π γ R 3 ). Предполагалось, что начальное возмущение определяется 17, 21 и
30-й модами, парциальные вклады которых в амплитуду этого возмущения ( ε = 0.1 )
равны между собой ( h17 = h21 = h30 = 1 / 3 ). Поскольку наибольший интерес представляет раскачка моды, отсутствующей в спектре начального возмущения, то на рис. 1 (и
всех последующих) приводятся только результаты, полученные для второй (основной)
моды. Из представленных графиков видно, что для данной моды, раскачиваемой за счет
4-модового резонансного взаимодействия, эволюционный коэффициент первого порядка
(1)
малости M 2 (t ) (см. разложения (12), (18)) может достигать лишь весьма незначительных амплитуд (на порядок меньших соответствующих амплитуд 17, 21 и 30-й мод) и не
превышает величин второго порядка малости. Увеличение относительной амплитуды
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
начального возмущения ε приводит лишь к уменьшению периода резонансного взаимо(1)
действия, практически не сказываясь на амплитуде M 2 (t ) (см. рис. 2, где представлены результаты аналогичных расчетов при ε = 0.3 ).
Рис. 1. Временная зависимость эволюционного коэффициента первого порядка малости в разложении в ряд по амплитуде начального возмущения
амплитуды раскачиваемой основной (второй) моды капиллярных колебаний поверхности капли. Значение параметра W соответствует положению точного резонанса W = 0.46 , ε = 0.1 , h17 = h21 = h30 = 1 / 3
Естественно предположить, что в реальности форма начального возмущения поверхности капли определяется более широким спектром мод (а не только 17, 21 и 30-й),
тогда парциальный вклад интересующих нас мод уменьшится. На рис. 3 приведены результаты расчетов, выполненных для случая, когда h17 = h21 = h30 = 1 / 12 , а ε = 0.1 .
Как и следовало ожидать, уменьшение парциального вклада резонансно взаимодействующих мод приводит к пропорциональному уменьшению амплитуды раскачиваемой
основной моды. При этом значительно увеличивается период резонансного взаимодействия.
Рис. 2. Те же зависимости, что на рис. 1,
рассчитанные при ε = 0.3
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 3. Те же зависимости, что на рис. 1,
рассчитанные при h17 = h21 = h30 = 1 / 12
Изменение величины заряда капли (величины параметра W) приводит к увеличению параметра расстройки в соотношении (26), т.е. к ухудшению условий резонансной
перекачки энергии из высоких мод в низкую – основную. На рис. 4 и 5 изображены зависимости, рассчитанные при значениях заряда капли, больших и меньших резонансного: W = 0 и W = 0.87 соответственно. Параметры расстройки в этих случаях практически
одинаковы, но имеют разные знаки. Несложно заметить, что следствием изменения заряда капли является уменьшение как амплитуды резонансно раскачиваемой моды, так и
периода резонансного взаимодействия. Отметим, что при увеличении заряда снижение
амплитуды основной моды менее значительно, поскольку в обычных условиях (при отсутствии резонансов) увеличение заряда ведёт к росту амплитуд колебательных мод.
Рис. 4. Те же зависимости, что на рис. 1, рассчитанные при W
60
=0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 5. Те же зависимости, что на рис. 1,
рассчитанные при W = 0.87
Численные расчеты проводились также и для второй четырёхмодовой резонансной
ситуации
(
)
ω p − ω q − ω s = ωn 1 + ε 2 σ (см. (26)), реализующейся, например, для 34,
30, 10 и 2-й мод при значении параметра W = 0.983454. Однако полученные результаты
полностью аналогичны представленным на рис. 1 и здесь не приводятся.
Расчёт обычными методами теории нелинейных осцилляций [1, 29, 52, 69, 71, 80,
81] возникающей за счёт нерезонансного межмодового взаимодействия поправки 2-го
(2)
порядка малости M 2 ( t ) к амплитуде основной моды (см. (12), (18), (28)) показывает,
(1)
что она достигает величины, сравнимой с M 2 ( t ) . Это вызвано тем, что выражение
( 2)
для поправки второго порядка к амплитуде n-ой моды M n (t ) содержит коэффициенты
(−)
λkmn
~ (ωn − ωk + ωm )(ωn + ωk − ωm ) 
−1
, причём индексы k и m пробегают
значения номеров мод из спектра начального возмущения. Очевидно, что, когда k и m
(−)
принимают одинаковые значения, λ kkn ~
1
ω2n
. Поскольку частота второй моды сущест-
венно меньше всех возможных частот колебательных мод, то величины коэффициентов
λ(kk−)2 , а следовательно, и поправки M 2( 2) (t ) значительно больше, чем аналогичные по( 2)
правки M n (t ) для высоких мод. В результате вклад нерезонансной поправки второго
2
( 2)
порядка в суммарную амплитуду основной моды (равный ε ⋅ M 2 (t ) ) сравним со
(1)
вкладом, вносимым эволюционным коэффициентом первого порядка ( ε ⋅ M 2 (t ) ), появляющимся вследствие резонанса. Данное обстоятельство в сочетании с требованием
равномерности асимптотического разложения для амплитуды раскачиваемой основной
моды фактически накладывает ограничение сверху на величину малого параметра ε.
9. Заключение. При асимптотическом расчете нелинейных капиллярных осцилляций заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости выяснилось, что в третьем порядке малости по амплитуде многомодовой начальной деформации имеет место четырехмодовое внутреннее резонансное взаимодействие мод, обеспечивающее раскачку ос61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
новной моды даже при отсутствии ее в спектре мод, возбужденных в начальный момент
времени. Однако амплитуда основной моды, раскачиваемой при резонансной перекачке
в неё энергии из возбужденных в начальный момент времени высоких мод, хотя формально имеет первый порядок малости, тем не менее, не превышает величины поправки
второго порядка малости, появляющейся за счет нерезонансного нелинейного взаимодействия. Это делает возможность применения результатов проведенных расчетов к истолкованию проблемы инициирования разряда молнии достаточно проблематичной.
В том же третьем порядке малости проявляется трехмодовое резонансное взаимодействие амплитуд мод первого порядка, возбужденных в начальный момент времени, с
поправками к амплитудам, имеющим второй порядок малости.
10. Приложение A. Краевые задачи различных порядков малости.
Подставляя разложения (12) – (15) в краевую задачу (2) – (11) и собирая слагаемые
при одинаковых степенях ε , получим задачи различных порядков малости. В нижеследующем изложении для частных производных (например, по переменной x ) используется обозначение ∂ x .
1
Выделяя слагаемые с ε , получим задачу первого порядка малости:
Δψ (1) = 0;
Δφ(1) = 0;
r → 0:
ψ (1) → 0 ;
r → +∞ :
∇φ(1) → 0 ;
∂ T0 ξ (1) = ∂ r ψ (1) ;
r = 1:
∂ T0 ψ (1) =
1
ξ
(1)
(
)
1
∂ r φ( 0) ∂ r φ(1) + ξ (1) ∂ rr φ( 0) + 2ξ (1) + Δ Ω ξ (1) ;
4π
1
ξ
d (cos ϑ) = 0;
−1
(1)
P1 d (cos ϑ) = 0;
−1
1
 {∂ r φ
(1)
(
)}
+ ξ (1) ∂ rr φ ( 0) + 2∂ r φ ( 0) d (cos ϑ) = 0;
−1
φ(1) + ξ (1) ∂ r φ( 0) = φ(S1) (t );
t = 0:
ξ (1) = ε  hk Pk (cos ϑ) ;
k∈Ω
∂ T0 ξ (1) = 0.
2
Слагаемые, содержащие ε , определяют задачу второго порядка малости:
Δψ ( 2) = 0;
Δφ ( 2) = 0;
r → 0:
ψ ( 2) → 0 ;
r → +∞ :
∇φ ( 2 ) → 0 ;
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∂ T0 ξ ( 2) + ∂ T1 ξ (1) = ∂ r ψ ( 2) + ξ (1) ∂ rr ψ (1) − ∂ ϑξ (1) ∂ ϑψ (1) ;
r = 1:
∂ T0 ψ ( 2) + ∂ T1 ψ (1) + ξ (1) ∂ rT0 ψ (1) +
( ) ((∂
2
+ ξ (1)
rr φ
)
( 0) 2
(
1
∂ r ψ (1)
2
)
)
2
+
(
1
∂ ϑψ (1)
2
(
+ ∂ rrr φ ( 0) ∂ r φ ( 0) + ∂ ϑ φ (1)
(
)
2
=
{
1
2ξ ( 2) ∂ r φ ( 0) ∂ rr φ ( 0) +
8π
) + (∂ φ )
2
r
(1) 2
)}
+ 2∂ r φ ( 2) ∂ r φ ( 0) +
( )
+ 2ξ (1) ∂ rr φ ( 0 ) ∂ r φ (1) + ∂ rr φ (1) ∂ r φ ( 0) + 2ξ ( 2 ) + Δ Ω ξ ( 2 ) − 2 ξ (1)
 (ξ
1
( 2)
( ) ) d (cos ϑ) = 0;
+ ξ
−1
 {∂ r φ
1
 (2ξ
1
(1) 2
( 2)
( 2)
)
− 2ξ (1) Δ Ω ξ (1) ;
( ) ) P d (cos ϑ) = 0;
+ 3 ξ (1)
−1
(
2
2
1
(
)
+ ξ (1) ∂ rr φ (1) + 2∂ r φ (1) + ξ ( 2) ∂ rr φ ( 0) + 2∂ r φ (0) +
−1
2 1


+ ξ (1)  ∂ rrr φ( 0) + 2∂ rr φ( 0) + ∂ r φ( 0)  − ∂ ϑξ (1) ∂ ϑφ (1) d (cos ϑ) = 0;
2


( )
φ ( 2) + ξ (1) ∂ r φ(1) + ξ ( 2 ) ∂ r φ ( 0) +
( )
1 (1) 2
ξ
∂ rr φ( 0) = φ (S2) (t );
2
hk P0 (cos ϑ) 3
−  hk hm K km1 P1 (cos ϑ) ;
2k + 1
2 k ,m∈Ω
k∈Ω
t = 0 : ξ ( 2) = − 
∂ T0 ξ ( 2) + ∂ T1 ξ (1) = 0 .
3
Задача третьего порядка малости определяется слагаемыми, содержащими ε :
Δψ (3) = 0;
Δφ (3) = 0;
r → 0:
ψ ( 3) → 0 ;
r → +∞ :
∇φ ( 3) → 0 ;
r = 1:
∂ T0 ξ (3) + ∂ T1 ξ ( 2) + ∂ T2 ξ (1) = ∂ r ψ (3) − ∂ ϑξ ( 2) ∂ ϑψ (1) − ∂ ϑξ (1) ∂ ϑψ ( 2) +
(
(
)
) 12 (ξ ) ∂
+ ξ ( 2) ∂ rr ψ (1) + ξ (1) ∂ ϑ ξ (1) 2∂ ϑ ψ (1) − ∂ rϑ ψ (1) + ∂ rr ψ ( 2) +
(1) 2
rrr ψ
(1)
∂ T0 ψ (3) + ∂ T2 ψ (1) + ∂ T1 ψ ( 2) + ξ (1) ∂ rT1 ψ (1) + ∂ ϑψ (1) ∂ ϑψ ( 2) + ∂ r ψ (1) ∂ r ψ ( 2) +
(
(
)
)
+ ξ ( 2) ∂ rT0 ψ (1) + ξ (1) ∂ rT0 ψ ( 2) + ∂ ϑψ (1) ∂ rϑψ (1) − ∂ ϑψ (1) + ∂ r ψ (1) ∂ rr ψ (1) +
63
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+
1 (1) 2
1  ( 3)
1
(0)
(0)
(1) 3 
(0)
(0)
(0)
(0) 
ξ
∂ rrT0 ψ (1) =
 ∂ rr φ ∂ rrr φ + ∂ r φ ∂ rrrr φ  +
2ξ ∂ r φ ∂ rr φ + ξ
2
8π 
3


( )
( )
(
(
)
)
+ 2 ∂ ϑφ(1) ∂ ϑφ( 2) + ∂ r φ(1) ξ ( 2) ∂ rr φ( 0) + ∂ r φ( 2) + ∂ r φ( 0) ∂ r φ(3) + ξ ( 2) ∂ r φ( 0) ∂ rr φ(1) +
( ((
+ 2ξ (1) ξ ( 2) ∂ rr φ( 0)
)
2
)
(
) ( ) (∂
+ ∂ r φ (1) ∂ rr φ (1) + ∂ r φ ( 0 ) ∂ rr φ ( 2) + ξ (1)
((
+ (2 + Δ Ω )ξ (3) + 2ξ (1) ξ (1)
)
2
(
2
rrr φ
(0)
 (3ξ
1
)
)
2
( 3)
( 3)
 {∂ r φ
−1
( 3)
2
(
)
2
1
∂ ϑξ (1) Δ Ω ξ (1) ;
2
( ) ) d (cos ϑ) = 0 ;
3
( ) ) P (cos ϑ) d (cos ϑ) = 0 ;
+ 3ξ (1) ξ ( 2) + ξ (1)
−1
1
) }+
( )
+ 6ξ (1) ξ ( 2) + ξ (1)
−1
 (ξ
∂ r φ (1) + 2∂ rr φ ( 0 ) ∂ rr φ (1) + ∂ r φ ( 0) ∂ rrr φ (1)
− (2 + Δ Ω )ξ ( 2) − 2ξ ( 2) Δ Ω ξ (1) + 3 ξ (1) Δ Ω ξ (1) −
− ∂ ϑξ (1) ∂ ϑϑξ (1) −
1
)
+ ∂ r φ( 0) ∂ rrr φ( 0) + ∂ rr φ( 0) ∂ r φ( 2) + ∂ ϑφ(1) ∂ rϑφ(1) − ∂ ϑφ(1) +
3
1
(
)
(
)
+ ξ (3) ∂ rr φ( 0) + 2∂ r φ( 0) + ξ ( 2) ∂ rr φ(1) + 2∂ r φ(1) +
( )
( )
3 1
2 1


+ ξ (1)  ∂ rrrr φ ( 0) + ∂ rrr φ ( 0) + ∂ rr φ ( 0)  + ξ (1)  ∂ rrr φ (1) + 2∂ rr φ (1) + ∂ r φ (1)  +
6
2


( (
)
)
+ ξ (1) ξ ( 2) ∂ rrr φ(0) + 4∂ rr φ( 0) + 2∂ r φ( 0) + 2∂ r φ( 2) + ∂ rr φ( 2) − ∂ ϑξ (1) ∂ rϑφ(1) −
}
− ∂ ϑξ ( 2) ∂ ϑφ(1) − ∂ ϑξ (1) ∂ ϑφ( 2) d (cos ϑ) = 0 ;
φ (3) + ξ (1) ∂ r φ( 2) + ξ ( 2) ∂ r φ(1) + ξ (3) ∂ r φ ( 0) +
+ ξ (1) ξ ( 2) ∂ rr φ( 0) +
t = 0 : ξ ( 3) = −
( )
1 (1) 2
ξ
∂ rr φ (1) +
2
( )
1 (1) 3
ξ
∂ rrr φ (0) = φ(s3) (t ) ;
6
hk hm hl
K kml P0 (cos ϑ) −
k ,m ,l∈Ω 3( 2l + 1)

64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∞

9
−  h2  hk hm K km1 +   hk hm hl K kmg K gl1  P1 (cos ϑ) ;
g =0 k ,m ,l∈Ω

 5 k ,m∈Ω
∂ T0 ξ (3) + ∂ T1 ξ ( 2) + ∂ T2 ξ (1) = 0 ;
t = 0:
(
n0
где K k m n = C k 0 m 0
) ,а C
2
n0
k 0 m 0 – коэффициенты Клебша – Гордана.
11. Приложение B. Использованные обозначения.
[
γ k m n = K k mn ω2k (n − k + 1) + 2n(m(m + 1) − 1) + (m(k + 1) −
[
]
− k (2k − 2n + 7) + 3)nW / 2] + α k m n ω2k / k + nW / 2 ;
ηk m n = K k m n (n / 2 − k + 1) + α km n (1 + n /(2m) ) / k ;
(
)
2
K k m n = Ckn00m 0 ;
α km n = −Ckn00m 0C kn(0−1) m1 k (k + 1)m(m + 1) ;
)(
(
λ(k±m) n = γ km n ± ωk ωm ηk m n / ω2n − (ωk ± ωm ) 2
)
(
)(
)
(
)(
)
0( + )
+)
−)
0
1
2
H kgn
= Π kgn
− Π kgn
ω k ω g − Π kgn
ω g2 λ(kkg
+ λ(kkg
;
0( − )
+)
−)
H kgn
= Π 0kgn + Π1kgn ωk ω g − Π 2kgn ω2g λ(kkg
+ λ(kkg
;
(
Π 0kgn = ω2k (n − k + 1) + 2n ((k − 1)(k + 2) + g ( g + 1) ) +
(
)
+ n W (3 − k (3 − n + k ) − g (3 − n − k + g )))K kgn + ωk2 / k + n W α kgn ;
Π1kgn = ( g + k − n − 2) K kgn − (n + k + g )α kgn /( gk ) ;
2
Π kgn
= ( g − n − 1) K kgn − α kgn / g ;
(
)
Ξ n = 3 ω2n − n(n − 1)W ; χ l = −
9 (l + 1)
;
(2 l + 1)(2 l + 3)
β1k(m+ )g l n = Π 0kgn − Π1kgn ωk (ωl + ωm ) − Π 2kgn (ωl + ωm ) ;
2
β1k(m− )g l n = Π 0kgn − Π1kgn ωk (ωl − ωm ) − Π 2kgn (ωl − ωm ) ;
2
2
(ωl + ωm ) ;
β k2(m+g) l n = Π 0kgn + Π1kgn ωk (ωl + ωm ) − Π kgn
2
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
β k2(m−g) l n = Π 0kgn + Π1kgn ωk (ωl − ωm ) − Π 2kgn (ωl − ωm ) ;
2
H k1(m+l)(n− ) =
H k1(m−l)(n+ ) =
H k2m( +l )(n + )
=
H k2m( −l )(n − ) =
∞
∞
∞
g =2
g =1
g =0
∞
∞
∞
g =2
g =1
g =0
 β1k(m+ )g l n λ(l+m) g +  μ1k(m−)g l n +  μ 0k (m−g) l n ;
 β1k(m−)g l n λ(l−m) g +  μ1k(m+ )g l n +  μ 0k (m+g) l n ;
∞

g =2
β k2(m+g) l n λ(l+m) g
∞
+
g =1
μ1k(m+ )g l n
∞
+  μ 0k (m+g) l n ;
g =0
∞
∞
∞
g =2
g =1
g =0
 β k2(m−g) l n λ(l−m) g +  μ1k(m−)g l n +  μ 0k (m−g) l n ;
μ1k(m− )g l n = Λ1k m g l n − Γk1m g l n ωm ωk ;
μ1k(m+ )g l n = Λ1k m g l n + Γk1m g l n ωm ωk ;
μ 0k (m−g) l n = Λ0k m g l n − Γk0m g l n ωm ωk ;
μ 0k (m+g) l n = Λ1k m g l n + Γk0m g l n ωm ωk ;
Λ0kmgl n =
{ [
1
K gl n α kmg (2(k − 2)ω2k − kn(2(k + 2) W − l (3l + 1))) + K kmg (kn(4 −
2k
− 6k (k + 1) + (k 3 − 2(m + 1)(m + 2) − k 2 (n − 9) − k (3n + 2m(m + 3) − 22)) W ) −
− (k − 1)k (k − n −
2)ωk2 )
] − 2knα
[l / 2]
kmg
 (2l − 4ν + 1) K g , l − 2ν, n };
ν =1
Λ1k m g l n = (( g − n − 1) K g l n − α g l n / g )((m − 1) K kmg − α kmg / m )ω2m +
+ Wnk (( g + 1)(l + n − g − 2) K g l n + α g l n )K kmg ;
Γk0m g l n = ((k − 1)(k − 2(n + 1)) K kmg / 2 − ((k − 1)(m + n) − m )α kmg /(km) )K g l n +
+ ((k − 1)(k − 2) K k l g / 2 − (k − 2)α k l g / k )K gmn ;
Γ k1m g l n = −(( g − n − 1) K gkn − (n + k )α gkn /(kg ) )((m − 1) K lmg − α lmg / m ) −
− (( g − n − 1) K g l n − α g l n / g )((m − 1) K kmg − α kmg / m ) ;
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Gn ≡
 ( 2k + 1 ) [2Ξ n + δ n ,k (2( k − 1 )ω k2 + Ξ k )]−
∞

1
k =2
[
]
− (δ k , n −1 + δ k , n +1 )χ k −δ k ,n +1 β k2,(k+,1) , n, n + β k1(, −k ,)1, n, n −
−
+)
+)
)+
+ (1 − δ k , n )λ(nkg
 {(1 − δ g ,0 )(1 − δ g ,1 )[β k2,(k+,)g , n, n (λ(kng
∞
g =0
(
]
)
−)
−)
−)
0
+ β k1(,k−,g) ,n ,n λ(kng
+ λ(nkg
+ 2( 1 − δ k ,n )Π ngn
λ(kkg
+
[
+ ( 2 − δ k , n ) (1 − δ g , 0 ) Z k1 , g , n + Z k0, g , n
]}  (A
Z ki , g , n ≡ μ ki (,+k ), g , n, n + Λin, k , g , k , n + Λik , n, g , k , n (i = 0;1);
(
(1 )
k
)
A k(1 ) ;
D kl ,,mn ≡ 1 − δ k ,n δ l ,m ;
)(
)
Yn( + ) = Dqp,,ns δ p , n −1 + δ p , n +1 δ s , q +1 χ q + δ q , s +1 χ s β 1p(,−s ,)1, q , n +
(
)(
)
+ D qp,, ns δ q , n −1 + δ q , n +1 δ s , p +1 χ p + δ p , s +1 χ s β q1(, −s ,)1, p , n +
[
(
)
+ Dqp,,ns D qp,, ns (δ s , n −1 + δ s , n +1 ) δ q , p +1 χ p + δ p , q +1 χ q β s2,(p+,1) , q , n +
]
+ H 1p(,−s)(, q+, n) + H q1(, −s ,)(p+, n) + H 2p(, q−,)(s ,−n) + H q2,(p−,)(s ,−n) + H s2,(q+, )(p ,+n) + H s2,(p+,)(q ,+n) ;
(
)
Yn( − ) = Dqp,,ns (δ s , n −1 + δ s , n +1 ) δ p , q +1 χ q + δ q , p +1 χ p β s1,( −p ,)1, q , n +
(
)(
)
+ Dsq,,np δ q , n −1 + δ q , n +1 δ p , s +1 χ s + δ s , p +1 χ p β q1(, −p),1, s , n +
[(
)(
)
+ Dqp,,ns Dsq,,np δ p , n −1 + δ p , n +1 δ q , s +1 χ s + δ s , q +1 χ q β p2,(s+,1) , q , n +
]
+ H 1s ,( −p)(, q+, n) + H q1(, −p)(, s+, n) + H s2,(q−, )(p ,−n) + H q2,(s−, )(p ,−n) + H 2p(, q+,)(s ,+n) + H 2p(, s+,)(q ,+n) ;
(
)(
)
Y p( + ) = Dqp,,ns δ n, p −1 + δ n, p +1 δ q , s +1 χ s + δ s , q +1 χ q β n1(, q−,)1, s , p +
(
)(
)
+ D qp,, ns δ s , p −1 + δ s , p +1 δ q , n +1 χ n + δ n, q +1 χ q β s1,(q−,)1, n, p +
[(
)
+ D qp ,, ns Dqp,,ns δ q , p −1 + δ q , p +1 (δ s , n +1 χ n + δ n, s +1 χ s ) β q2,(s+,1), n, p +
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
]
+ H n1(, −q ,)(s+, p) + H 1s ,(q−,)(n+, p) + H n2,(s−, )(q ,−p) + H s2,(n−, )(q ,−p) + H q2,(s+, )(n,+p) + H q2,(n+,)(s ,+p) ;
(
)(
)
Y p( −) = δ n, p −1 + δ n, p +1 δ q , s +1 χ s + δ s , q +1 χ q β n1(, q+,)1, s , p +
(
)(
(
)
)
+ δ s , p −1 + δ s , p +1 δ q , n +1 χ n + δ n, q +1 χ q β s1,(q+,)1, n, p +
+ δ q , p −1 + δ q , p +1 (δ s , n +1 χ n + δ n, s +1 χ s ) β q1(, +s ,)1, n, p +
+ H n1(, +q ,)(s−, p) + H 1s ,(q+,)(n−, p) + H n1(, +s ,)(q−, p) + H 1s ,(n+,)(q−, p) + H q1(, +s ,)(n−, p) + H q1(, +n,)(s−, p)
(
)(
)
Yq( + ) = Yq( − ) = D qp,, ns δ n, q −1 + δ n, q +1 δ p , s +1 χ s + δ s , p +1 χ p β n1(, −p),1, s , q +
(
)(
)
+ Dqp,,ns δ s , q −1 + δ s , q +1 δ p , n +1 χ n + δ n, p +1 χ p β s1,( −p ,)1, n, q +
[(
)
+ D qp ,, ns Dqp,,ns δ p , q −1 + δ p , q +1 (δ s , n +1 χ n + δ n, s +1 χ s ) β p2,(s+,1) , n, q +
]
+ H n1(, −p)(, s+, q) + H 1s ,( −p)(, n+, q) + H n2,(s−, )(p ,−q) + H s2,(n−, )(p ,−q) + H 2p(, s+,)(n,+q) + H 2p(, n+,)(s ,+q) ;
(
)(
)
Ys( + ) = D qp,, ns δ p , s −1 + δ p , s +1 δ n, q +1 χ q + δ q , n +1 χ n β 1p(,−n),1, q , s +
(
)(
)
+ Dqp,,ns δ q , s −1 + δ q , s +1 δ n, p +1 χ p + δ p , n +1 χ n β q1(, −n,)1, p , s +
[
(
)
+ D qp,, ns Dqp,,ns (δ n, s −1 + δ n, s +1 ) δ q , p +1 χ p + δ p , q +1 χ q β n2,(p+,)1, q , s +
]
+ H 1p(,−n)(, q+, )s + H q1(, −n,)(p+, )s + H 2p(, q−,)(n−, s) + H q2,(p−,)(n−, s) + H n2,(q+,)(p+, s) + H n2,(p+,)(q+, s) ;
(
)
Ys( −) = D qp,, ns (δ n, s −1 + δ n, s +1 ) δ p , q +1 χ q + δ q , p +1 χ p β n1(, −p),1, q , s +
(
)(
)
+ Dsq,,np δ q , s −1 + δ q , s +1 δ p , n +1 χ n + δ n, p +1 χ p β q1(, −p),1, n, s +
[(
)(
)
+ D qp,, ns Dsq,,np δ p , s −1 + δ p , s +1 δ q , n +1 χ n + δ n, q +1 χ q β p2,(n+,)1, q , s +
]
+ H n1(, −p)(, q+, )s + H q1(, −p)(, n+, s) + H n2,(q−,)(p−, s) + H q2,(n−,)(p−, s) + H 2p(, q+,)(n+, s) + H 2p(, n+,)(q+, s) .
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Временная эволюция формы поверхности
деформированной в начальный момент
заряженной капли вязкой жидкости
1. Задача аналитического расчета нелинейных осцилляций заряженной капли до
сих пор решалась лишь в приближении идеальной жидкости [1, 29, 52, 69, 71, 73, 82, 83],
нелинейные анализы осцилляций вязких капель до сих пор выполняются лишь численными методами [9 – 11]. Попытка аналитического асимптотического расчета нелинейных осцилляций капли с произвольной вязкостью, предпринятая в [90], привела к весьма
громоздким выражениям на финальной стадии анализа и трудностям чисто математического плана. Представляется, однако, что в предельных ситуациях весьма большой и
весьма малой вязкости, отмеченные в [90] трудности удастся обойти. В этой связи в настоящем рассмотрении решается задача об исследовании временной эволюции формы
заряженной капли вязкой жидкости, деформированной в начальный момент времени, в
линейном по амплитуде осцилляций приближении, и получаются асимптотики большой
и малой вязкости. Следует отметить, что в ранее проведенных рассмотрениях линейных
осцилляций заряженной капли вязкой жидкости основным результатом линейной теории
являлось дисперсионное уравнение задачи, анализ которого позволял судить о режимах
осцилляций и об устойчивости капли [45, 92 – 94], а начальные условия вообще не входили в постановку задачи. Исследования временной эволюции формы осциллирующей
капли сводились к выписыванию асимптотических выражений для декрементов затухания. В связи со сказанным проводимый в настоящей работе анализ представляет качественно иной подход к анализу осцилляций капли вязкой жидкости в рамках линейной
теории, являясь, по сути, линейной стадией решения задачи о расчете нелинейных осцилляций вязкой капли.
2. Пусть сферическая капля радиуса r0 идеально проводящей несжимаемой вязкой
жидкости с плотностью ρ , кинематической вязкостью ν , коэффициентом поверхностного натяжения σ , несет электрический заряд Q . Поле скоростей течения жидкости в
капле обозначим U (r , ϑ, t ) , поле давлений – P(r , ϑ, t ) , потенциалы электрического
поля в окрестности капли и на ее поверхности обозначим φ(r , ϑ, t ) и φ S (t ) соответственно. Уравнение поверхности капли, совершающей осесимметричные осцилляции в
любой момент времени t , запишем в сферической системе координат r , ϑ , ϕ в виде
F (r , ϑ, t ) = r − r0 − ξ(ϑ, t ) ;
(1)
ξ = ε  hm Pm (μ ),
(2)
с начальным условием
t = 0:
m∈Ω
μ ≡ cos ϑ , ;
где ε – малый параметр, характеризующий амплитуду начального возмущения;
Pm (μ ) – полином Лежандра порядка m ; Ω – множество индексов изначально возбужденных мод; hm – константы, учитывающие парциальный вклад m -ой моды в формирование начальной формы капли, такие, что
h
m∈Ω
69
m
= O (1) .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математическая формулировка задачи о расчете капиллярных колебаний заряженной капли, форма которой определяется (1), (2), вязкой несжимаемой электропроводной
жидкости имеет вид [91, 92]:
(
)
∂tU + U ⋅ ∇ U = −
1
ρ
grad p + ν Δ U ;
t = 0:
Δφ = 0 ;
div U = 0 ;
U = 0;
r → 0:
U <∞;
r = r0 + ξ(ϑ, t ) :
φ = φ S (t ) ;
( )
( )
τ ⋅ n ⋅∇ U + n ⋅ τ ⋅∇ U = 0;
 n ⋅ ∇φ
r → +∞ :
(
∇φ → 0 ;
)
∂t F + U ⋅ ∇ F = 0 ;
( )
− p + 2 ρ ν n ⋅ n ⋅ ∇ U − pQ + pσ = 0 ;
dS = −4πQ ; S = {r , ϑ, ϕ r = r0 + ξ; 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π};
S
2
 r sin ϑ dr dϑ dϕ =
V
→
r r
2
4π 3
r0 ;
3
V = {r , ϑ, ϕ 0 ≤ r ≤ r0 + ξ; 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π};
sin ϑ dr dϑ dϕ = 0 ,
V
где символ ∂ t означает частную производную по переменной t; n и τ – единичные вектора нормали и касательной к поверхности капли; pσ и pQ – давления сил поверхностного натяжения и электрического поля собственного заряда определяются выражениями:
pQ =
( )
1
(∇ φ )2 ,
8π
pσ = σ ∇ ⋅ n .
3. Поскольку выписанная система уравнений является нелинейной, то для отыскания ее решения в рамках метода прямого разложения [53, 54] все искомые величины задачи представим в виде рядов по малому параметру ε
( )
ξ(ϑ, t ) = ε ξ (1) (ϑ, t ) + O ε 2 ;
( )
U (r , ϑ, t ) = ε U r(1) (r , ϑ, t ) e r + ε U ϑ(1) (r , ϑ, t ) e ϑ + O ε 2 ;
p (r, ϑ , t ) = p ( 0 ) (r, ϑ , t ) + ε p (1) (r, ϑ , t ) + O (ε 2 ) ;
( )
φ(r , ϑ, t ) = φ (0) (r , t ) + ε φ (1) (r , ϑ, t ) + O ε 2 ;
70
( )
φ S (t ) = φ (S0) (t ) + ε φ (S1) (t ) + O ε 2 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3а. Подставляя эти разложения в выписанную систему уравнений и приравнивая
коэффициенты при нулевой степени малого параметра, получим систему уравнений нулевого порядка малости
Δφ ( 0) = 0 ;
r → +∞ :
∇φ ( 0 ) → 0 ;
1
r = r0 :
 r0 ∂ r φ
2
( 0)
d (cos ϑ) = −2Q ;
φ ( 0) = φ (S0) (t ) ;
− p ( 0 ) − pQ( 0 ) + pσ( 0 ) = 0 .
−1
Решая которую, найдем
φ (0) =
Q
;
r
φ (S0) =
Q
;
r0
p(0) +
Q2
2σ
=
.
4
8π r0
r0
(3)
3b. Выделяя слагаемые, содержащие малый параметр в первой степени, и учитывая
векторное тождество [93]
(
)
(
)
Δ U = grad div U − rot rot U ,
получим задачу первого порядка малости, которая будет иметь вид:
∂ t U r(1) = −
−
ctg (ϑ )
1
∂ r p (1) + ν  2 ∂ϑϑU r(1) +
∂ϑU r(1) −
2
r
ρ
r
1
1
ctg (ϑ)
1
ctg (ϑ) (1) 
Uϑ  ;
∂ rϑU ϑ(1) −
∂ rU ϑ(1) − 2 ∂ ϑU ϑ(1) −
r
r
r
r2

∂ t Uϑ(1) = −
1 1
2
1


∂ϑ p (1) + ν  ∂ rr Uϑ(1) + ∂ r Uϑ(1) − ∂ rϑ U r(1)  ;
r
r
ρ r


ctg (ϑ) (1)
2
1
∂ r U r(1) + U r(1) + ∂ ϑ U ϑ(1) +
Uϑ = 0;
r
r
r
ξ (1) = ε  hm Pm (μ ) ;
t = 0:
r → 0:
r = r0 :
U
m∈Ω
U
(1)
r → +∞ :
< ∞;
∂ t ξ (1) = U r(1) ;
∂ rU ϑ(1) +
71
Δφ (1) = 0 ;
(1)
= 0;
∇φ (1) → 0 ;
1
1
∂ ϑU r(1) − U ϑ(1) = 0 ;
r
r
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
− p (1) + 2 ρ ν ∂ r U r(1) −
1
 (r ∂ φ
0
( 1)
r
−1
σ
1
∂ rφ ( 0 ) (∂ rφ (1) + ξ (1) ∂ rrφ ( 0 ) ) − 2 (2 + Δ Ω )ξ (1) = 0 ;
r0
4π
+ ξ (1) (r0 ∂ rrφ ( 0 ) + 2 ∂ rφ ( 0 ) )) d (μ ) = 0 ;
1
ξ
(1)
φ (1) + ξ (1) ∂ r φ ( 0) = φ (S1) (t ) ;
1
ξ
d ( μ ) = 0;
−1
−1
(1)
P1 (μ ) d ( μ ) = 0;
(4)
где Δ Ω – угловая часть оператора Лапласа.
4. В системе (4) выполним преобразование Лапласа по времени, т.е. от функций
перейдем к их изображениям [95]:
F (S ) =
+∞
 f (t ) exp(− S t ) d t ;
0
f = U r(1) ; f = U ϑ(1) ; f = p (1) ; f = ξ (1) ;
f = φ (1) ; f = φ (S1) .
Изображения Лапласа разложим по бесконечному набору полиномов Лежандра:
+∞
+∞
U r(1) (r, ϑ , S ) =  U r(1n) (r, S ) Pn (μ ) ;
U ϑ(1) (r, ϑ , S ) =  U ϑ(1n) (r, S ) ∂ ϑ Pn (μ ) ;
n =0
+∞
n =0
+∞
ξ (1) (ϑ , S ) =  ξ n(1) (S ) Pn (μ ) ;
φ (1) (r, ϑ , S ) =  φn(1) (r, S ) Pn (μ ) ;
n =0
n =0
+∞
p (1) (r, ϑ , S ) =  pn(1) (r, S ) Pn (μ ) .
(5)
n =0
В результате чего система (4) примет вид
S U r(1n) (r, S ) = −
1
ρ
∂ r pn(1) (r, S ) +
1
1
1

+ ν n (n + 1)  ∂ rU ϑ(1n) (r , S ) + 2 U ϑ(1n) (r , S ) − 2 U r(1n) (r , S ) ;
r
r
r

S Uϑ(1n) (r, S ) = −
1
2
1


pn(1) (r, S ) + ν  ∂ rrU ϑ(1n) (r, S ) + ∂ rUϑ(1n) (r, S ) − ∂ rU r(1n) (r, S ) ; (7)
ρr
r
r


∂ rU r(1n) (r , S ) +
r → 0:
(6)
n (n + 1) (1)
2 (1)
U ϑ n (r , S ) = 0 ;
U r n (r , S ) −
r
r
U r(1n) (r , S ) < ∞ ;
U ϑ(1n) (r , S ) < ∞ ;
72
(8)
(9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S ξ (n1) (S ) − hn = U r(1n) ;
r = r0 :
(10)
1
1
∂ rU ϑ(1n) (r , S ) + U r(1n) (r , S ) − U ϑ(1n) (r , S ) = 0 ;
r
r
− pn(1) (r, S ) + 2 ρ ν ∂ rU r(1n) (r, S ) −
+∞

−1 n =0
ξ
( 1)
n
1
∂ rφ ( 0 ) (∂ rφn(1) (r, S ) + ξ n(1) (S ) ∂ rrφ ( 0 ) ) +
4π
σ
(n + 2)(n − 1) ξ (n1) (S ) = 0 ;
2
r0
+
1
(11)
1
+∞
(12)
  ξ (S ) P (μ ) P (μ ) d ( μ ) = 0;
(S ) P (μ ) d ( μ ) = 0;
n
−1 n =0
(1)
n
n
1
2
∂ r φ (n1) (r , S ) − n (n + 1) φ (n1) (r , S ) = 0 ;
r
(1)
∂ r φ n (r , S ) → 0 ;
φ (n1) (r , S ) → 0 ;
∂ rr φ (n1) (r , S ) +
r → +∞ :
1
+∞
  (r ∂ φ (r, S ) + ξ (S ) (r
r = r0 :
−1 n =0
0
r
( 1)
n
( 1)
n
0
(13)
(14)
(15)
∂ rrφ ( 0 ) + 2 ∂ rφ ( 0 ) )) Pn (μ ) d (μ ) = 0 ; (16)
φ (n1) (r , S ) + ξ (n1) (S ) ∂ r φ ( 0) = φ (S1) (S ) δ n 0 ;
(17)
где δ n 0 – символ Кронекера.
Решение системы (6) – (17) начнем с решения уравнений (13), которые с учетом
условия
ортогональности
полиномов
Лежандра
приводят
к
условиям
ξ (01) (S ) = ξ1(1) (S ) = 0 . Используя эти условия и решение нулевого порядка малости (3),
нетрудно найти решение системы уравнений (14) – (17), которое имеет вид
φ (S1)
(S ) = 0 ;
φ (n1)
(r , S ) = Q2  r0 
r0  r 
n +1
ξ (n1) (S ) .
(18)
Для того чтобы найти поля скоростей жидкости и давления в капле из уравнения
неразрывности (8) выразим U ϑ n (r , S )
(1)
U ϑ(1n) (r , S ) =
r
2 (1)


(1)
 ∂ rU r n (r , S ) + U r n (r , S ) ;
n (n + 1) 
r

(19)
а из уравнения (7) pn (r , S )
(1)
2
1


pn(1) (r, S ) = − S ρ r Uϑ(1n) (r, S ) + ρ ν r  ∂ rrUϑ(1n) (r, S ) + ∂ rUϑ(1n) (r, S ) − ∂ rU r(1n) (r, S ) . (20)
r
r


Выражения (19) и (20) подставим в (6), после чего оно примет вид [18]:
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(n − 1)(n + 2)   ∂ + 4 ∂ − (n − 1)(n + 2) − S  U (1) (r , S ) = 0 . (21)
4

 ∂ rr + ∂ r −
  rr
 rn
r
r
r
ν
r2
r2


Решение уравнения (21), удовлетворяющее условиям ограниченности (9), имеет
вид
1  S 
jn 
r ,
(22)
r  ν 
где An (S ) , Bn (S ) – произвольные постоянные, jn – модифицированная сферическая
функция Бесселя первого рода порядка n .
U r(1n) (r, S ) = An (S ) r n −1 + Bn (S )
Подставляя (22) в (19) и (20) найдем U ϑ n (r , S ) и pn (r , S ) :
(1)
Uϑ(1n) (r, S ) =
(1)

1
1  S
 An (S ) (n + 1) r n −1 + Bn (S ) jn 
n (n + 1) 
r  ν
pn(1) (r, S ) = − An (S )

 S 
r  + Bn (S ) ∂ r jn 
r   ; (23)
ν



Sρ n
r .
n
(24)
Подставим теперь (3), (18), (22) – (24) в уравнения (10) – (12), получим систему
трех уравнений для отыскания зависимостей An (S ) , Bn (S ) , ξ n (S )
(1)
(
)
r0 S ξ (n1) (S ) − hn = An (S ) r0n + Bn (S ) jn (χ ) ;
(
)
2 An (S )(n − 1)(n + 1) r0n + Bn (S ) (n − 1)(n + 2 ) jn (χ ) + χ 2 ∂ χχ jn (χ ) = 0 ;
(
)
ω n2 r03 ξ (n1) (S ) + An (S ) r0n 2 n ν (n − 1) + r02 S + 2 n ν Bn (S ) (χ ∂ χ j n (χ ) − jn (χ )) = 0 ; (25)
χ=
S
ν
r0 ;
ωn2

σ
Q2 
.
= 3 n (n − 1) n + 2 −
3
ρ r0
4
πσ
r
0 

Используя рекуррентные соотношения для модифицированных сферических
функций Бесселя [96]
∂ χ jn (χ ) = jn+1 (χ ) +
n
n +1
jn (χ ) ; ∂ χ jn (χ ) = jn−1 (χ ) −
jn (χ ) ;
χ
χ
 n(n − 1) 
2

(
)
∂ χχ jn (χ ) = 1 +
j
χ
−
jn+1 (χ ) ,
n
2

χ
χ


из системы (25) найдем функции ξ n (S ) , An (S ) , Bn (S ) и, подставляя их в выражения
(22) – (24), получим:
(1)
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

(S ) =  S + 2(n − 1)(2n + 1) ν2 + 2(n − 1)2 (n + 1) ν2
r0
r0

ξ (n1)
U r(1n)
 χ jn (χ ) 
1 −

(
)
2
j
χ


n +1
 χ jn (χ ) 
 2
r02 S  1 jn (χ )
1 −



(r , S ) =   2 n − 1 +
1
−

 2 j (χ ) 
(
)
ν
2
j
χ
χ
1
1
n
+
n
+





(
)
−1
−1
U ϑ(1n)
 h
 n ;
 Dn (S )

ωn2 hn  r 
 
Dn (S )  r0 

ωn2 ν
2 jn+1 (χ ) 
hn 1  S

+ 2 (n − 1) 1 −
jn 
(
)
(
)
(
)
χ
χ
χ
j
r
S
j
D
S
r
n
n
n
 0

 ν
2
−1
−1
)
−1
 n +1  S

2 jn +1 (χ ) 
ωn2 ν
hn



+ 2 (n − 1) 1 −
 r jn  ν
(
)
(
)
(
)
χ
χ
χ
j
r
S
j
n
D
S
n
n
n

 0


+

r  ;

 2
 χ jn (χ )  ω2n hn  r 
r02 S  1 jn (χ )


 

(r , S ) =   2 n − 1 +
− 11 −


(
)
(
)
(
)
2
j
2
j
n
D
S
ν
χ
χ
χ
n
+
1
n
+
1
n
 r0 





(
n −1
 S

S
r  +
jn +1 
ν
 ν

n −1
+

r   ;

−1


χ jn (χ )  Sρωn2 hn r n
r 2 S  1 jn (χ )
; (26)

− 11 −
p (r, S ) = −   2(n 2 − 1) + 0 
n −1
(
)
(
)
(
)
ν
χ
χ
χ
2
j
2
j
n
D
S
r

n +1
n +1
n
0



( 1)
n
Sν
S ν  χ jn (χ ) 
2

Dn (S ) = S 2 + 2(n − 1)(2n + 1) 2 + 2(n − 1) (n + 1) 2 1 −
r0
r0  2 jn+1 (χ ) 
−1
+ ω2n .
Из вида выражений (26) видно, что они имеют особые точки, положение которых
(k )
(k )
определяется условием Dn S n = 0 . Уравнение же Dn S n = 0 представляет собой
дисперсионное уравнение задачи и имеет бесконечное число решений, в каждом из ко(k )
торых функция 1 Dn S n
имеет полюс первого порядка. Кроме того, каждое из выражений (26) при S → ∞ стремится к нулю, что позволяет в формуле обратного преобразования Лапласа
(
(
(
)
(
)
))
f (t ) =
1
γ +i ∞
 F (S ) exp(S t ) d S
2π i γ −i ∞
интеграл вдоль прямой Re S = γ , заменить контурным интегралом, охватывающим всю
левую часть комплексной плоскости и применить к этому интегралу теорему о вычетах.
В результате формула обращения примет вид
f (t ) =  Выч[F (S ) ⋅ exp(S t ), S k ] .
+∞
(27)
k =1
Подставляя (26) в (5), используя формулу обращения (27) и начальные условия,
найдем выражения для отклонения поверхности капли от равновесной сферической и
полей давления и скоростей течения жидкости в капле:
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ξ (1) (ϑ , t ) =  ξ n(1) (t ) hn Pn (μ ) ;
n∈Ω
Uϑ(1) (r, ϑ , t ) =  Uϑ(1n) (r, t ) hn ∂ϑ Pn (μ ) ;
n∈Ω
U r(1) (r, ϑ , t ) =  U r(1n) (r, t ) hn Pn (μ ) ;
n∈Ω
pn(1) (r, ϑ , t ) =  pn(1) (r, t ) hn Pn (μ ) ;
(28)
n∈Ω
+∞
ξ n(1) (t ) =  aξ (S n( k ) ) exp(S nk t ) ;
где
k =1
n −1



r
jn (ηn( k ) r ) 
(
k
)
k 1

exp(S n( k ) t );
U (r, t ) =  a (S n )   + b(S n )
(k )
r jn (ηn r0 ) 
k =1 
 r0 

n −1
(k )
+∞ 


r
r ) ηn( k ) jn +1 (ηn( k ) r )   exp(S n( k ) t )
(1)
(
)
( k )  1 jn (η n
k


U ϑ n (r, t ) =  a (S n )  + b(S n ) 
;
+
(k )
(k )

(
)
(
)
1
r
r
j
η
r
n
j
η
r
n
+
k =1 
0 
n
n
 0
 n n 0

+∞
( 1)
rn
η
(k )
n
≡ S ν ;
(k )
n
−1
p
(1)
n
+∞
(r, t ) = − ρ r  a (S ) S
0
(k )
n
k =1

ν
ν
2
aξ (S n( k ) ) =  S n( k ) + 2(n − 1)(2n + 1) 2 + 2(n − 1) (n + 1) 2

r0
r0

 r  exp(S n( k ) t )
 
;
r
n
 0
n
(k )
n
 χ jn (χ ) 
1 −

2 jn +1 (χ ) 

−1
(29)

1

;
 ∂ S Dn (S n( k ) )

−1


r 2 S ( k )  1 jn (χ )
χ jn (χ ) 
ωn2

a (S n( k ) ) =   2(n 2 − 1) + 0 n 
− 11 −
;
(k )
(
)
(
)
(
)
2
j
2
j
∂
D
S
ν
χ
χ
χ

n +1
n +1


 S n n
−1

2 jn+1 (χ ) 
ωn2 ν

b(S ) = 2 (n − 1) 1 −
;
(k )
(k )
(
)
(
)
j
r
S
∂
D
S
χ
χ
n

 0 n S n n
(k )
n
2
∂ S Dn (S n( k ) ) = 2 S n( k ) + 2(n − 1)(2n + 1)
ν
r02
+
2
−2
(
ν 
2n + 1)χ jn (χ ) χ 2   jn (χ )     χ jn (χ ) 

1 −
 .
+ (n − 1) (n + 1) 2 2 +
+
1− 
2
jn+1 (χ ) 2   jn+1 (χ )     2 jn+1 (χ ) 
r0 



2
Отметим, что в выражениях (29), определяющих коэффициенты разложений (28)
ξ(n1)
(t ) , U r(1n) (r , t ) , U ϑ(1n) (r , t ) ,
(
(k )
корней уравнения Dn S n
pn(1) (r, t ) , суммирование ведется по бесконечному набору
)= 0.
5. Рассмотрим случай маловязкой жидкости, т.е. ситуацию, в которой вязкость
жидкости является настолько малой, что аргумент сферической модифицированной
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
функции Бесселя принимает достаточно большие значения, чтобы было справедливо
асимптотическое разложение [96]:
jn (χ ) =
 1 
exp(χ )  n (n + 1) n (n 2 − 1)(n + 2 )
1 −
+
+ O  3   ;
2
2χ 
2χ
8χ
 χ 
( ), a (S ), b(S ) ,
(k )
(k )
n
Выпишем выражения для aξ S n
(k )
n
χ→∞.
(30)
Dn (S n( k ) ), ограничиваясь
двумя первыми слагаемыми в ряде (30):


1
ν
aξ (S n( k ) ) =  S n( k ) + 2(n − 1)(2n + 1) 2 + O (ν 3 / 2 )
;
(k )
r0

 ∂ S Dn (S n )

ν
ωn2
2
3/ 2 
a (S ) = −1 + 2 (n − 1) 2 ( k ) + O (ν )
;
(k )
r0 S n

 ∂ S Dn (S n )
(k )
n

ν
ωn2
2
3/ 2 
;
b(S ) =  2 (n − 1)
+ O (ν )
(k )
(k )
(
)
r
S
∂
D
S
0
n
 S n n

(k )
n
Dn (S
(k )
n
) = (S )
(k ) 2
n
S n( k ) ν
+ 2(n − 1)(2n + 1) 2 + ωn2 + O (ν 3 / 2 ) .
r0
(31)
Из (31) видно, что в приближении малой вязкости дисперсионное уравнение
Dn S n( k ) = 0 имеет только два комплексно сопряженных корня S n+ = −δ n + i ωn и
(
)
S n− = −δ n − i ωn , где δ n = (n − 1)(2n + 1)ν / r02 , поэтому в выражениях (29) вместо бес(1)
+
(2)
−
конечных сумм будем иметь сумму по двум значениям S n = S n и S n = S n . При этом
коэффициенты (29) примут более простой вид:

ξ n(1) (t ) =  cos(ωn t ) +

r
U (r, t ) = − 
 r0 
( 1)
rn
− (n
2
n −1

δn
sin(ωn t ) exp(− δ n t ) ;
ωn



ν
 ωn sin(ωn t ) − 2 (n 2 − 1) 2 cos(ωn t ) exp(− δ n t ) −
r0


( S ν r ) exp(− i ω t ) + j ( S ν r ) exp(i ω t ) exp(− δ
− 1)

r r  j ( S ν r )
j ( Sν r)

ν  jn
0
n
−
n
−1
−
n
−1
+
n
−1
n
−1
n
+
n
n
0
n
n
0
n −1

exp(− δ n t )  r  
ν
2
U (r, t ) = −
   ωn sin(ωn t ) − 2 (n − 1) 2 cos(ωn t ) +
n
r0
 r0  

(1)
ϑn
77
t) ;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+ (n
2
( S ν r ) Exp(− i ω t ) + j ( S ν r ) exp(i ω t ) +
− 1)

r r  j ( S ν r )
j ( Sν r)

ν  jn
0
n
−
n
−1
−
n
−1
)
)
ωn ν  jn +1 S n−ν −1 r
+ (n − 1)
r0  jn S n−ν −1 r0
(
+
n
−1
n
n
0
(
+
n
−1
n
(
jn +1
− i exp(− i ωn t ) +
)
)
jn
(
(
n
0
)
r)
S n+ν −1 r
S n+ν −1
(
0

i exp(i ωn t ) +


)
)
 
jn +1 S n+ν −1 r
ν  jn +1 S n−ν −1 r
 ;
(
)
(
)
+ 2(n − 1) 2
exp
−
i
ω
t
+
exp
i
ω
t
n
n
− −1
+ −1


r0  jn S n ν r0
jn S n ν r0

(
(
 r  exp(− δ n t ) 
(n − 1) ν sin(ω t ) .
 cos(ωn t ) +
p (r, t ) = ρ ω r0  
n

n
ωn r02

 r0 

n
( 1)
n
2
n
(32)
Можно видеть, что в выписанных выражениях оставлены отношения сферических
цилиндрических функций, а не заменены согласно (30). Это обстоятельство связано с
тем, что в центре капли, при r → 0 , аргументы сферических цилиндрических функций,
стоящих в (32) числителях, не будут малыми, и асимптотическое разложение (30) будет
не справедливо.
Отметим, что выражения (32) при стремлении вязкости жидкости к нулю переходят в хорошо известные выражения, справедливые для идеальной жидкости
ξ (n1) (t ) = cos(ωn t ) ;
U r(1n)
 
(r , t ) = − r 
 r0 
n −1
pn(1) (r, t ) =
ωn sin (ωn t ) ;
ρ ωn2 r0  r 
U ϑ(1n)
n
  cos(ωn t ) ;
 r0 
n
 
(r , t ) = − r 
 r0 
n −1
ωn
sin (ωn t ) .
n
6. Рассмотрим случай умеренно вязкой жидкости, когда в разложении модифицированной сферической цилиндрической функции [96]


χ2
χ4
jn (χ ) =
+
+
...
1 +

(2 n + 1) !!  1!⋅21 ⋅ (2 n + 3) 2!⋅2 2 ⋅ (2n + 3)(2n + 5) 
χn
(33)
ее аргумент χ достаточно мал, чтобы в выражении, стоящем в скобках, каждый после2
дующий член ряда был меньше предыдущего, и выполнялось условие Re χ <0 так,
чтобы ряд был знакопеременным, его можно было оборвать на нескольких первых слагаемых, и вместе с тем вязкость такова, что еще существуют периодические осцилляции
капли.
Ограничиваясь в (33) первыми двумя слагаемыми, можно найти выражения для ко(k )
(k )
(k )
(k )
и для Dn S n в виде:
эффициентов aξ S n , a S n , b S n
( ) ( ) (
)
(
78
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 3 (4 n 3 + 8 n 2 + 6 n + 3) ( k ) 2(n − 1)(2n 2 + 4n + 3) ν
1
 1 
;
+
Sn +
O
aξ (S ) = 
  
2
2
(k )
(
)
+
2
1
n
r
ν
∂
D
S
(
)
(
)
+
+
2
1
2
5
n
n
  S n n
0

(k )
n
 8n 3 + 24n 2 + 22n + 9 2(n 2 − 1)(2n + 3) ν
ωn2
 1 
a (S ) = −
+
+ O   
;
2
(k )
2n + 1
S n( k ) r02
 ν   ∂ S Dn (S n )
 (2n + 1) (2n + 5)
(k )
n
r0 ωn2
2(n 2 − 1) 
2
ν
1 


b(S ) = −
− (2n + 3) 2 ( k ) + O   
;
(k )
2n + 1  (2n + 1)(2n + 5)
r0 Sn
 ν   ∂ S Dn (Sn )
(k )
n
Dn (S n( k ) ) =
3 (4 n 3 + 8 n 2 + 6 n + 3) ( k ) 2 2(n − 1)(2n 2 + 4n + 3) Sn( k ) ν
1
(Sn ) +
+ ωn2 + O   . (34)
2
2
2n + 1
r0
(2n + 1) (2n + 5)
ν 
(
)
Из выражения (34) хорошо видно, что дисперсионное уравнение Dn S n = 0 в
случае умеренной вязкости жидкости, как и для случая малой вязкости, имеет только два
комплексно сопряженных корня:
S = −δ n + i γ n ;
+
n
αn =
S = −δ n − i γ n ;
γ n = αn
−
n
(2n + 1)(2n + 5)(n − 1)(2n 2 + 4n + 3) ; β =
n
3
2
(
3 4 n + 8n + 6 n + 3
)
ν
2
0
r
βn
r04ωn2
ν
−1 ;
2
(
δn = α n
3 4n 3 + 8n 2 + 6n + 3
(2n + 5)(n − 1)
2
(2n
2
(k )
)
)
+ 4n + 3
2
ν
;
r02
. (35)
Поэтому в выражениях (29) вместо бесконечной суммы будем иметь сумму по
( 1)
+
(2)
−
двум значениям S n = S n и S n = S n . Учитывая это, а также разложения (33) и (34),
несложно получить асимптотические выражения для отклонения поверхности капли от
равновесной сферической формы и полей скоростей и давлений жидкости в капле

ξ n(1) (t ) = exp(− δ n t ) ⋅  cos(γ n t ) +


αn ν
sin(γ n t ) ;
2
r0 γ n

n −1
 r   2 n (n + 2 ) 2 
n +1
α n ωn2
  r − 2
U (r, t ) =
r0  exp(− δ n t ) sin(γ n t ) ;
n −1
γ n r02 2n 2 + 4n + 3  r0  

(1)
rn
n −1
r  2
n+3
n (n + 2 )
α ω2
2


−
U (r, t ) = n 2n
r
r

 exp(− δ n t ) sin(γ n t ) ;
0
(n − 1)(n + 3) 
γ n r0 (2n 2 + 4n + 3) n  r0  
(1)
ϑn
n
ρ ωn2 r0 8 n 3 + 24 n 2 + 22 n + 9  r 
  exp(− δ n t ) ×
p (r, t ) =
γ n 3 n (4 n 3 + 8 n 2 + 6 n + 3)  r0 
(1)
n
 (4n + 3)(8 n 4 + 28 n 3 + 34 n 2 + 20 n + 9 )

× 
δ n sin(γ n t ) + γ n cos(γ n t ) .
2
3
2
 (2 n + 4 n + 3)(8 n + 24 n + 22 n + 9 )

79
(36)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
(
7. Наконец, можно выделить область больших значений вязкости (таких, что
)
ν / r04 ωn2 >> β n ), когда периодические движения жидкости исчезают, и капля может
совершать только апериодические движения. Воспользовавшись, как и в предыдущем
+
−
случае, разложением (33), можно найти, что два корня дисперсионного S n и S n определятся выражениями:
S n+
r02 ωn2
2n + 1
=−
;
2 (n − 1) 2 n 2 + 4 n + 3 ν
(
ν
;
r02
S n− ≅ −2 α
)
и в широком диапазоне значений вязкости для них будет справедливо соотношение
S n− >> S n+ (см. рис. 1). В такой ситуации при построении асимптотического решения
можно вообще ограничиться лишь одним корнем, тем, величина которого убывает с рос+
том вязкости: S n . В этом случае выражения (36) примут вид
ξ (n1)
(t ) = exp(
S n+
U r(1n)
U ϑ(1n)
)
t ;
pn(1)
(r , t )
= ρ ω2n r0
r
ωn2
n +1
 
(r , t ) =
2 ν 2n 2 + 4n + 3  r0 
r
ωn2
n+3
 
(r , t ) =
2 ν 2n 2 + 4n + 3 n  r0 
(
n −1
)
n −1
(n + 1)(2n + 3)
n
r
  exp S n+ t ;
2
n 2 n + 4 n + 3  r0 
(
)
( )
 2 n(n + 2 ) 2 
r0  exp S n+ t ;
r − 2
n −1


( )
 2

n(n + 2 )
r02  exp S n+ t .
r −
(n − 1)(n + 3) 

( )
(37)
Отметим, что выражения (37) хорошо согласуются с точным решением (29), только
−
в те моменты времени, для которых будет выполнено соотношение S n t >> 1 . При ма−
лых же временах, когда величина S n t сравнима с единицей, получающиеся решения
для компонент поля скорости ( U r n (r , t ) , U ϑ n (r , t ) ) очень сильно отличаются от своих
(1)
(1)
истинных значений и пользоваться (37) нельзя.
8. Для удобства численного анализа полученного решения задачи о капиллярных
колебаниях заряженной осесимметричной вязкой капли перейдем к безразмерным переменным, принимая ρ = σ = r0 = 1 . Тогда все физические величины задачи будут выражаться в своих характерных масштабах. Так, масштабами длины, плотности, времени,
частоты, скорости, давления и кинематической вязкости будут соответственно величины
r0 ;
ρ;
ρ r03
;
σ
σ
;
ρ r0
σ
;
ρ r03
80
σ
;
r0
σ r0
.
ρ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1. Зависимость отношения второго
S n( 2)
( )
и первого
S n(1)
(k )
корней дисперсионного уравнения Dn S n = 0 от безразмерной
вязкости ν , рассчитанная для области большой вязкости, когда
периодические движения в капле исчезают, при W = 1 , n = 2
Примем, что радиус капель меняется в пределах от r0 = 10 cm до r0 = 10 cm .
Поверхностное натяжение и плотность жидкостей в среднем составляют
−4
−1
σ = 50 dyne / cm и ρ = 1 g / cm 3 . При принятых значениях физических параметров ха−7
−3
рактерный масштаб измерения времени составит 5 ⋅ 10 s ÷ 10 s , масштаб измерения
2
−1
7
−1
частоты 2 ⋅ 10 s ÷ 10 s , масштаб измерения скорости 20 cm / s ÷ 700 cm / s , мас-
5 ⋅ 10 2 dyne / cm ÷ 5 ⋅ 10 5 dyne / cm ,
7 ⋅ 10 −2 cm 2 / s ÷ 2 cm 2 / s .
штаб
давления
масштаб
вязкости
При использованном обезразмеривании все величины задачи будут зависеть от па-
раметра W = Q / (4π ) – характеризующего устойчивость капли по отношению к собственному заряду; безразмерной кинематической вязкости жидкости ν ; малого параметра
ε ; множества значений индексов изначально возбужденных мод Ω и констант hn
( n ∈ Ω ), учитывающих парциальный вклад n -ой моды в формирование начальной
формы капли.
(k )
Численный анализ точного дисперсионного уравнения (см. (26)) Dn S n = 0 ,
проведенный при использованном обезразмеривании, указывает на то, что оно имеет
бесконечное число корней. Среди корней дисперсионного уравнения при малой и уме( 1)
(2)
ренной вязкости ν и W < 4 имеются два комплексно сопряженных корня S n и S n с
2
(
( )
( )
)
отрицательной вещественной частью, мнимая часть Im S n = − Im S n
которых определяет частоту колебаний поверхности капли (см. выражения (29)), а вещественная
Re S n(1) = Re S n( 2 ) – декремент затухания. Остальные корни S n( k ) уравнения
(2)
( )
( )
81
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Dn (S n( k ) ) = 0 с k ≥ 3 являются отрицательными вещественными и определяют декре-
менты затухания.
( 1)
(2)
Вещественные части корней S n и S n при увеличении вязкости жидкости увеличиваются по абсолютной величине, а мнимые уменьшаются до полного исчезновения
( 1)
(2)
периодического движения при ν ≈ 0.65 (см. рис. 2). При ν > 0.65 корни S n и S n оба
становятся чисто вещественными отрицательными, один из которых убывает по абсолютной величине, асимптотически приближаясь к оси абсцисс с ростом ν (как показано
на рис. 2), а другой увеличивается по модулю, асимптотически стремясь к линейному
(k )
росту с увеличением вязкости (см. рис. 2 и 3). Корни S n с более высокими номерами k
с увеличением вязкости жидкости быстро уменьшаются по линейному закону (см.
рис. 2).
Рис. 2. Зависимости вещественной
( ) (a) и мнимой Im(S ) (b)
Re S n( k )
( )
(k )
n
Dn S n( k ) = 0 от безразмерной вязкости ν ,
рассчитанные при W = 1 , n = 2 и различных k . Номер у кривой совпадает с номером
корня k . Сплошная кривая – точное решение, пунктир – приближение маловязкой жидкокомпонент корней уравнения
сти, штриховая – приближение умерено вязкой жидкости
На основе рис. 2б можно провести разграничение между приближниями малой,
умеренной и большой вязкостей. Из рис. 2б видно, что при ν > 0.1 различие между точным решением дисперсионного уравнения и приближением умеренной вязкости весьма
мало (порядка толщины линии). При ν < 0.05 частота осцилляций вязкой капли лучше
аппроксимируется приближением маловязкой жидкости тогда, как приближение умеренной вязкости дает заниженное значение частоты в пределе ν → 0 . Приближение
большой вязкости естественно обозначится условием исчезновения периодических решений ν>0.65.
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( ) компонент корней точного дисперсионного уравнения D (S ) = 0 от безразмерной вязкоРис. 3. Зависимости вещественных
n
Re S n( k )
(k )
n
сти жидкости ν , рассчитанные при W = 1 , n = 2 и различных
Номер у кривой совпадает с номером корня k
k.
Численные расчеты (см. табл. 1), указывают, что при увеличении номера k корня
(k )
(k )
(k )
(k )
дисперсионного уравнения Dn S n = 0 коэффициенты aξ S n , a S n , b S n , оп-
(
( ) ( ) (
)
)
ределяющие форму поверхности осциллирующей капли, поля скоростей и давления в
ней (см. (28), (29)), быстро стремятся к нулю. Причем скорость их стремления к нулю
зависит от вязкости жидкости.
(k )
(k )
(k )
экспоОтметим также, что согласно (29) коэффициенты aξ S n , a S n , b S n
( ) ( ) (
)
(
)
ненциально уменьшаются со временем, причем декременты затухания, равные Re S n ,
с увеличением номера k быстро увеличиваются (см. табл. 1). Поэтому члены рядов (29)
с большими номерами k весьма быстро стремятся к нулю с ростом времени, и определяющими становятся члены, соответствующие первым двум корням уравнения
Dn S n( k ) = 0 , имеющие минимальные величины декрементов затухания. В итоге имеется хорошее численное согласие точных выражений (28) с приближенными, полученными в асимптотиках малой (32) и умеренной (36) вязкостей жидкости (см. рис. 4).
Представляется, что для дальнейшего нелинейного анализа целесообразно использовать приближение умеренной вязкости, которое в приближениях второго и третьего
порядков малости по амплитуде начальной деформации приведет к вполне разрешаемым
неоднородным задачам.
(
(k )
)
9. Заключение. Проведенный в первом порядке малости по амплитуде начальной
деформации анализ решений задачи о расчете временной эволюции капиллярных осцилляций заряженной капли вязкой несжимаемой электропроводной жидкости показал, что
в используемом приближении форма капли как функция времени, а также поля скоростей и давлений жидкости в ней, представлены бесконечными рядами по корням дисперсионного уравнения и конечными суммами по номерам изначально возбужденных
мод. В асимптотиках малой, умеренной и большой вязкости бесконечные ряды по кор83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ням дисперсионного уравнения можно асимптотически корректно заменить конечным
числом слагаемых и найти компактные, удобные для дальнейшего анализа аналитические выражения, которые могут быть использованы для отыскания приближений более
высоких порядков малости по амплитуде начального отклонения
Таблица 1.
(k )
Величины безразмерных значений корней S n дисперсионного уравнения
Dn (S n( k ) ) = 0 и коэффициентов aξ (S n( k ) ) , a (S n( k ) ), b(Sn( k ) ) , вычисленные при n = 2 ,
W = 1 и различных значениях безразмерной вязкости ν
k
S n( k )
1
−0.04721 +
+2.44660 i
2
−0.04721 −
−2.44660 i
aξ (S n( k ) )
0.50072 −
−0.00936 i
0.50072 +
+0.00936 i
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
− 0.28228
− 0.78440
− 1.47743
− 2.36657
− 3.45262
− 4.73585
− 6.21638
− 7.89426
− 9.76952
− 11.84215
− 0.00061
− 0.00039
− 0.00024
− 0.00012
− 0.00005
− 0.00002
1
−0.39951 +
+2.36952 i
0.50799 −
3
4
5
6
7
8
9
− 0.07524 i
− 0.39951 − 2.36952 0.50799 +
+0.07524 i
− 2.91160
− 0.01548
− 7.87661
− 0.00045
− 14.78764
− 0.00003
− 23.67140
− 34.52866
− 47.35961
− 62.16433
1
2
3
4
5
6
− 0.90254
− 6.21851
− 29.93916
− 78.80501
− 147.88167
− 236.71521
2
1.16747
− 0.16697
− 0.00050
ν = 0.01
ν = 0.1
a (S n( k ) )
b(Sn( k ) )
0.03201 + 1.22244 i
−0.03274 +
0.03201 −
+0.00305 i
−0.03274 −
−1.22244 i
−0.00305 i
0.01319
0.00350
0.00164
0.00083
0.00041
0.00020
0.00010
0.00005
0.00003
0.00002
− 0.01301
− 0.00319
− 0.00129
− 0.00055
− 0.00024
− 0.00011
− 0.00005
− 0.00003
− 0.00001
0.36731 +
−0.39198 +
+1.12760 i
+0.10615 i
0.36731 − 1.12760 i
ν =1
84
0.09730
0.00671
0.00099
0.00023
0.00007
0.00003
0.00001
8.81096
− 0.43380
0.02192
0.00078
0.00010
0.00002
−0.39198 −
− 0.10615 i
− 0.05222
− 0.00317
− 0.00048
− 0.00011
− 0.00004
− 0.00001
− 9.86465
1.47210
− 0.00703
− 0.00035
− 0.00005
− 0.00001
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ξ (n1)
от безразмерного времени t , построенная при W = 1 ,
n = 2 . Сплошная кривая – точное решение, пунктир – при-
Рис. 4. Зависимость обезразмеренного коэффициента
ближение малой вязкости, штриховая - приближение умеренно вязкой жидкости. Когда пунктир или штриховая кривая не просматриваются, они совпадают со сплошной линией. a) ν = 0.01 ; b) ν = 0.1 ; c) ν = 0.4
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
1. Tsamopoulos J. A., Brown R. A. Nonlinear oscillation of inviscid drops and bubles
// J. Fluid Mech. 1983. V. 127. P. 519 – 537.
2. Feng Z. Instability caused by the coupling between non-resonant shape oscillation
modes of a charged conducting drop // J. Fluid Mech. 1997. V. 333. P. 1 – 21.
3. Natarajan R., Brown R.A. Quadratic resonance in the three-dimensional oscillation of
inviscid drops with surface tension // Phys. Fluids. 1986. V. 29, № 9. P. 2788 – 2797.
4. Natarajan R., Brown R.A. Third-order resonance effects and the nonlinear stability of
drops oscillations // J. Fluid Mech. 1987. V. 183. P. 95 – 121.
5. Trinch E., Wang T.G. Large amplitude free and driven drop-shape oscillations: experimental observations // J. Fluid Mech. 1982. V. 122. P. 315 – 338.
6. Jakobi N., Croonquist A.P., Elleman D.D. Wang T.G. Acoustically induced oscillations and rotation of a large drop in Space // Proc. 2-nd Int. Colloq. on Drop and Bubbles. Pasadena, 1982. JPL Publication 82 – 7. P. 31 – 38.
7. Brown R.A., Scriven L.E. The shape and stability of rotating liquid drop // Proc. R.
Soc., London. 1980. V. A371. P. 331 – 357.
8. Patzek T.W., Benner R.E., Basaran O.A., Scriven L.E. Nonlinear oscillations of inviscid free drops // J. Coputational Physics. 1991. V. 97. P. 489 – 515.
9. Basaran O.A. Nonlinear oscillations of viscous drops // J. Fluid Mech. 1992. V. 241.
P. 169 – 198.
10. Lundgren T.S., Mansour N.N. Oscillation of drops in zero gravity with weak viscous
effects // J. Fluid Mech. 1988. V. 194. P. 479 – 510.
11. Becker E., Hiller W.J., Kowalewski T.A. Nonlinear dynamics of viscous droplets
// J. Fluid Mech. 1994. V. 258. P. 191 – 216.
12. Baker G. R., Merion D.I., Orzag S.A. Generalized vortex methods for free-surface
flow problems // J. Fluid Mech. 1982. V. 123. Р. 477 – 501.
13. Becker E., Hiller W.J., Kowalewski T.A. Experimental and theoretical investigation
of large amplitude oscillations of liquid droplets // J. Fluid Mech. 1991. V. 231. P. 189 – 210.
14. Wang T.G., Anilkumar A.V., Lee C.P. Oscillations of liquid drops: results from
USML-1 experiments in Space // J. Fluid Mech. 1996. V. 308. P. 1 – 14.
15. Azuma H., Yoshinara S. Three-dimensional large-amplitude drop oscillations: experiments and theoretical analysis // J. Fluid Mech. 1999. V. 393. P. 309 – 332.
16. Inculet I.I., Kroman R. Breakup of large water droplets by electric fields // IEEE
Transactions on Ind. Appl. 1992. V. 28. № 5. P. 945 – 948.
17. Inculet I.I., Floryan J.M., Haywood R.J. Dynamic of water droplets in electric fields
// IEEE Transactions on Ind. Appl. 1989. V. 25. № 5. P. 1203 – 1209.
18. Jong-Wook Ha, Seunng-Man Yang. Deformation and breakup of Newtonian and
non- Newtonian conducting drops in an electric field. // J. Fluid Mech. 2000. V. 405. P. 131 –
156.
19. Feng Z.C., Leal L.G. On energy transfer in resonant bubble oscillations // Phys. Fluids. 1993. V. A5. № 4. P. 826 – 836.
20. Feng Z.C., Leal L.G. Bifurcation and chaos in shape and volume oscillations of a periodically driven bubble with two-to-one internal resonans // J. Fluid Mech. 1994. V. 266.
P. 209 – 242.
21. Feng Z.C., Leal L.G. Translational instability of a bubble undergoing oscillations
// Phys. Fluids. 1995. V. 7. № 6. P. 1325 – 1336.
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22. Feng Z.C., Su Y.H. Numerical simulation of the translational and shape oscillations
of a liquid drop in an acoustic field // Phys. Fluids. 1997. V. 9, № 3. P. 519 – 529.
23. Lundgren T.S., Mansour N.N. Oscilllation of drops in zero gravity with weak viscous
effects // J.Fluid Mech. 1988. V. 194. P. 479 – 510.
24. Natarayan R., Brown R. A. The role of three-dimensional shapes in the break-up of
charged drops // Proc. Roy. Soc., London. 1987. V. A410. P. 209 – 227.
25. Pelekasis, Tsamopoulos J. A., Manolis G.d. Equilibrium shapes and stability of
charged and conducting drops // Phys. Fluids. 1990. V. A2, № 8. P. 1328 – 1340.
26. Foote G.B. A numerical method for studying simple drop behavior: simple oscillation
// J. Comp. Phys. 1973. V. 11. P. 507 – 530.
27. Trinch E., Wang T.G. Large amplitude drop oscillations // Proc. 2-nd Int. Colloq. on
Drop and Bubbles. Pasadena, 1982. JPL Publication. 82 – 87.
28. Beard K.V. Oscillation model for predicting raindrop axis and backscattering ratios
// Radio Sci. 1984. V. 19, № 1. P. 67 – 74.
29. Tsamopoulos J. A., Brown R. A. Resonant oscillations of inviscid charged drop
// J. Fluid Mech. 1984. V. 147. P. 373 – 395.
30. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Левчук Т.В. Нелинейный аналитический асимптотический анализ осцилляций неосесимметричных мод заряженной струи идеальной
жидкости // ЖТФ. 2004. Т. 74, вып. 8. С. 6 – 14.
31. Коромыслов В.А., Ширяева С.О., Григорьев А.И. Нелинейные осцилляции и
устойчивость заряженной капли, движущейся относительно диэлектрической среды
// ЖТФ. 2004. Т. 74. Вып. 9. С. 23 – 31.
32. Tsamopoulos J. A., Akylas T.R., Brown R. A. Dynamic of charged drop break-up
// Proc. Roy. Soc., London. 1985. V. A401. P. 67 – 88.
33. Wang T.G., Anilkumar A.V., Lee C.P. Oscillations of liquid drops: results from
USML-1 experiments in Space // J. Fluid Mech. 1996. V. 308. P. 1 – 14.
34. Габович М.Д. Жидкометаллические источники ионов (обзор) // УФН. 1983.
Т. 140. № 1. С. 137 – 151.
35. Baily A.G. Electrostatic atomization of liquids (rev.) // Sci. Prog., Oxf. 1974. V. 61.
P. 555 – 581.
36. Коженков В.И., Фукс Н.А. Электрогидродинамическое распыление жидкости
(обзор) // Успехи Химии. 1976. Т. 45, № 12. С. 2274 – 2284.
37. Bogy D.B. Drop formation in a circular liquid jet // Ann. Rev. Fluid Mech. 1979.
V. 11. P. 207 – 228.
38. Bailey A.G. The Theory and Practice of Electrostatic Spraying (revue) // Atomization
and Spray Technology. 1986. V. 2. P. 95 – 134.
39. Дудников В.Г., Шабалин А.Л. Электрогидродинамические источники ионных
пучков (обзор) // Препринт 87-63 ИЯФ СО АН СССР. Новосибирск, 1987. 66 с.
40. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Сыщиков Ю.В. Электростатическое монодиспергирование жидкостей как метод получения двухфазных систем (обзор) // ЖПХ. 1989.
Т. 62, № 9. С. 2020 – 2026.
41. Fenn J.B., Mann M., Meng C.K. et al. Electrospray ionization for mass spectrometry
of large biomolecules (revue) // Science. 1989. V. 246, № 4926. P. 64 – 71.
42. Григорьев А.И. Неустойчивости заряженных капель в электрических полях (обзор) // ЭОМ. 1990. № 6. С. 23 – 32.
43. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Шевченко С.И. ЭГД неустойчивости в дисперсных системах (обзор) // Научное приборостроение. 1991. Т. 1, № 3. С. 25 – 43.
44. Шевченко С.И., Григорьев А.И., Ширяева С.О. ЭГД распыление жидкости (обзор) // Научное приборостроение. 1991. Т. 1, № 4. С. 3 – 21.
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
45. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Капиллярные неустойчивости заряженной поверхности капель и электродиспергирование жидкостей (обзор) // Изв. РАН. МЖГ. 1994.
№ 3. С. 3 – 22.
46. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Деление заряженных капель во внешнем электрическом поле на части сравнимых размеров (обзор) // ЭОМ. 2000. № 4. C. 17 – 27.
47. Rayleigh On the equilibrium of liquid conducting masses charged with electricity
// Phil. Mag. 1882. V. 14. P. 184 – 186.
48. Hendricks C.D., Schneider J.M. Stability of conducting droplet under the influence of
surface tension and electrostatic forces // Amer. Phys. 1963. V. 1, № 6. P. 450 – 453.
49. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Критические условия неустойчивости сплюснутой сфероидальной сильно заряженной капли ЖТФ. 1999. Т. 69, вып. 7. С. 10 – 14.
50. Щукин С.И., Григорьев А.И. Устойчивость заряженной капли, имеющей форму
трехосного эллипсоида ЖТФ. 1998. Т. 68, вып. 11. С. 48 – 52.
51. Basaran O.A., Scriven L.E. Axisymmetric shapes and stability of isolated charged
drops // Phys. Fluids A. 1989. V. 1, № 5. P. 795 – 798.
52. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные колебания заряженной капли
// ЖТФ. 2000. Т. 70, вып. 8. С. 45 – 52.
53. Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 455 с.
54. Найфе А. Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с.
55. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. 274 с.
56. Григорьев А.И., Синкевич О.А. О возможном механизме возникновения огней
св. Эльма // ЖТФ. 1984. Т. 54. Вып. 7. С. 1276 – 1283.
57. Имянитов И.М. Особенности инициирования разряда с изолированных объектов в облаках Атмосферное электричество. Тр. 2-го Всесоюзн. сим. 26 – 28 окт. 1982. Л.:
Гидрометеоиздат, 1983. С. 237 – 242.
58. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Параметры электростатического распыливания
жидкости //Изв. АН СССР. МЖГ. 1988. №2. С.5-13.
59. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Электромагнитное излучение осциллирующей
заряженной капли конечной проводимости // Изв. РАН МЖГ. 2002. № 5. С. 74 – 80.
60. Калечиц В.И., Нахутин И.Е., Полуэктов П.П. О возможном механизме радиоизлучения конвективных облаков ДАН СССР. 1982. Т. 262. № 6. С. 1344 – 1347.
61. Гаибов А.Р., Григорьев А.И. Об акустическом излучении нелинейно колеблющейся заряженной капли // ЖТФ. 2003. Т. 73, вып. 7. С. 13 – 20.
62. Trinh E.H., Holt R.G, Thiessen D.B. The dynamics of ultrasonically levitated drops
in an electric field // Phys. Fluids. 1996. V. 8, № 1. P. 43 – 61.
63. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Ширяева С.О. Неустойчивость заряженной
сферической вязкой капли, движущейся относительно среды // ЖТФ. 2000. Т. 70, вып. 7.
С. 26 – 34.
64. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового
момента. Л.: Наука, 1975. 439 с.
65. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. О росте амплитуды осцилляций основной моды заряженной капли при внутреннем нелинейном резонансе // Письма
в ЖТФ. 2003 Т. 29, вып. 6. С. 69 – 75.
66. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф. Григорьев А.И. Об условиях реализации внутреннего нелинейного резонанса при осцилляциях заряженной капли // Письма в ЖТФ.
2002. Т. 28, вып. 22. С. 45 – 51.
67. Ширяева С.О., Григорьев А.И. Характерное время развития неустойчивости
сильно заряженной капли // ЖТФ. 1995. Т. 65, вып. 9. С. 39 – 45.
68. Григорьев А.И. Электродиспергирование жидкости при реализации колебательной неустойчивости ее свободной поверхности // ЖТФ. 2000. Т. 70, вып. 5. С. 22 –
27.
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
69. Ширяева С.О. Асимметрия нелинейного резонансного взаимодействия мод капиллярных осцилляций заряженной капли // Письма в ЖТФ. 2000. Т. 26, вып. 22. С. 76 –
83.
70. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. О росте амплитуды осцилляций основной моды заряженной капли при внутреннем нелинейном резонансе // Письма
в ЖТФ. 2003. Т. 29, вып. 6. С. 69 – 75.
71. Ширяева С.О. Нелинейные осцилляции заряженной капли при начальном возбуждении соседних мод // ЖТФ. 2002. Т. 72, вып. 4. С. 15 – 22.
72. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Об условиях реализации внутреннего нелинейного резонанса при осцилляциях заряженной капли // Письма в ЖТФ.
2002. Т. 28, вып. 22. С. 45 – 51.
73. Ширяева С.О.. О внутреннем резонансе мод нелинейно-осциллирующей объемно заряженной диэлектрической капли // ЖТФ. 2003. Т. 73, вып. 2. С. 19 – 30.
74. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. О росте амплитуды осцилляций основной моды заряженной капли при внутреннем нелинейном резонансе // Письма
в ЖТФ. 2003. Т. 29, вып. 6. С. 69 – 75.
75. Ширяева С.О. О влиянии собственного заряда нелинейно-осциллирующей капли на внутреннее резонансное взаимодействие мод // Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29, вып.
17. С. 28 – 35.
76. Ширяева С.О., Жаров А.Н., Григорьев А.И. О некоторых особенностях нелинейного резонансного четырехмодового взаимодействия капиллярных осцилляций заряженной капли // ЖТФ. 2004. Т. 74, вып. 1. С. 10 – 20.
77. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Волкова М.В. О возможности зажигания коронного разряда в окрестности нелинейно-осциллирующей слабо заряженной капли // ЖТФ.
2003. Т. 73, вып. 11. С. 31 – 36.
78. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.:
Наука, 1984. 432 с.
79. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред. М: Наука, 1982. 439 с.
80. Ширяева С.О. Нелинейные капиллярные колебания и устойчивость сильно заряженной капли при одномодовой начальной деформации большой амплитуды // ЖТФ.
2001. Т. 71, вып. 2. С. 27 – 35.
81. Ширяева С.О. Нелинейные осцилляции заряженной капли при многомодовой
начальной деформации равновесной формы // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 3. С. 173 – 184.
82. Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. О нелинейных осцилляциях заряженной капли в третьем порядке малости по амплитуде одномодового начального возбуждения // ЖТФ. 2003. Т. 73, вып. 6. С. 36 – 45.
83. Жаров А.Н., Григорьев А.И., Ширяева С.О. О внутреннем нелинейном четырехмодовом взаимодействии капиллярных осцилляций заряженной капли // Письма в
ЖТФ. 2003. Т. 29, вып. 9. С. 75 – 82.
84. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.
620 с.
85. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 733 с.
86. Дьячук В.А., Мучник В.М. Коронный разряд с обводненной градины, основной
механизм инициирования молнии // ДАН СССР. 1979. Т. 248, № 1. С. 60 – 63.
87. Grigor’ev A.I., Shiryaeva S.O. The possible physical mechanism of initiation and
growth of lightning // Physica Scripta. 1996. V. 54. P. 660 – 666.
88. Мазин И.П., Хргиан А.Х., Имянитов И.М. Облака и облачная атмосфера: Справочник. Л.: Гидрометеоиздат, 1989. 647 с.
89. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Закономерности рэлеевского распада заряженной капли // ЖТФ. 1991. Т. 61, вып. 3. С. 19 – 28.
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
90. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Световой В.Б., Григорьев А.И. Формулировка
задач об аналитическом расчете нелинейных движений вязкой жидкости со свободной
поверхностью. Препринт № 31. ИМИ РАН. Ярославль. 2001. 87 с.
91. Григорьев А.И., Лазарянц А.Э. Об одном методе решения уравнения НавьеСтокса в криволинейных системах координат // ЖВММФ. 1992. Т. 32, № 6. С. 929 – 938.
92. Ширяева С.О., Лазарянц А.Э., Григорьев А.И. и др. Метод скаляризации векторных краевых задач. Препринт № 27. ИМ РАН. Ярославль. 1994. 128 с.
93. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1973. 832 с.
94. Левачева Г.А., Маныкин Э.А., Полуэктов П.П. // Изв. АН СССР. МЖГ 1985.
№ 2. С. 17 – 22.
95. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Высшая школа,
1975. 408 с.
96. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовиц, И. Стиган.
М.: Наука, 1979. 832 с.
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
Введение ......................................................................................................................... 3
1. Анализ нелинейных осцилляций заряженной капли
идеальной жидкости во втором порядке малости по амплитуде
исходной деформации ........................................................................................... 8
1.1. Нелинейные осцилляции деформированной
в начальный момент времени заряженной капли ............................. 8
1.2. Внутреннее нелинейное резонансное трехмодовое
(вторичное комбинационное) взаимодействие мод
осцилляций заряженной капли ................................................................ 15
2. Анализ нелинейных осцилляций заряженной капли
идеальной жидкости в третьем порядке малости по амплитуде
исходной деформации ......................................................................................... 29
2.1. Нелинейные осцилляции деформированной в
начальный момент времени заряженной капли.
Вывод выражений для нелинейных поправок
к частотам мод ........................................................................................... 29
2.2. Нелинейное резонансное четырехмодовое взаимодействие
капиллярных осцилляций заряженной капли идеальной
жидкости ....................................................................................................... 48
3. Временная эволюция формы поверхности деформированной
в начальный момент заряженной капли вязкой жидкости .................... 69
Литература ................................................................................................................... 86
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Григорьев Александр Иванович
Ширяева Светлана Олеговна
Белоножко Дмитрий Федорович
Нелинейные задачи
гидродинамики волновых процессов
Редактор, корректор А.А. Антонова
Компьютерная верстка И.Н. Ивановой
Подписано в печать 06.03.2005 г. Формат 60×84/8. Бумага тип.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 10,69. Уч.-изд.л. 7,14. Тираж 100 экз.
Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе ЯрГУ
Ярославский государственный университет
150000 Ярославль, ул. Советская, 14
Отпечатано
ООО «Ремдер» ЛР ИД № 06151 от 26.10.2001.
г. Ярославль, пр. Октября, 94, оф.37, тел.(4852) 73-35-03
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
93
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
12
Размер файла
1 127 Кб
Теги
нелинейные, процессов, волновые, гидродинамика, григорьева, 1164, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа