close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1179.Проблемы повышения эффективности образовательного процесса в высших учебных заведениях Сб науч-метод статей

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Проблемы повышения эффективности
образовательного процесса
в высших учебных заведениях
Сборник научно-методических статей
Ярославль 2004
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ББК
Ч 481я43
П 78
УДК 378.02:372.8
Редакционная коллегия – Л.П. Бестужева (отв. редактор),
Л.Б. Медведева (зам. отв. редактора),
Е.В. Никулина (отв. секретарь)
Рецензенты:
кафедра теории и методики обучения математике Ярославского
государственного педагогического университета им. К.Д. Ушинского;
канд. пед. наук Н.Л. Дашниц.
Проблемы повышения эффективности образовательного процесса в высших учебных заведениях: Сб. науч.-метод. статей / Под
ред. Л.П. Бестужевой. Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2004. 155 с.
ISBN 5-8397-0351-6
Сборник содержит статьи, в которых обсуждаются программы, методическое и организационное обеспечение дисциплин математического цикла на математических и нематематических факультетах высших
учебных заведений; вопросы подготовки учителей математики в университетах России, а также проблемы работы с учащимися средней
школы и учета их учебных достижений.
Сборник предназначен для преподавателей, аспирантов и студентов; будет полезен и учителям средней школы.
© Ярославский
государственный
университет им. П.Г. Демидова,
2004 г.
ISBN 5-8397-0351-6
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проблемное пространство
задач с параметрами
Л.П. Бестужева
Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова
Задачи с параметрами заняли прочное место в школьном курсе
математики. Еще лет 15- 20 назад их можно было встретить только
в экзаменационных материалах ведущих вузов страны. В настоящее время задачи с параметрами включены в содержание ЕГЭ,
причем не только в часть С, наиболее трудных задач экзамена, но и
в часть В. Нельзя сказать, что школьники совсем не были знакомы
с такими задачами раньше. Так, решение линейного уравнения (неравенства) ax = b ( ax > b ) или квадратного уравнения (неравенства)
ax 2 + bx + c = 0 ( ax 2 + bx + c > 0 ) есть не что иное, как решение
уравнений и неравенств с параметрами a, b или a, b, c соответственно, а эти задачи всегда входили в школьную программу, в ее
теоретическую часть, которая сопровождалась, как правило, решением соответствующих задач с числовыми коэффициентами. Те
школьники, чей интерес к математике не ограничивался решением
задач из школьных учебников, были знакомы с задачами с параметрами по таким, например, книгам: П.С. Моденов "Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения"; В.Б. Лидский
и др. "Задачи по элементарной математике"; В.Г. Болтянский и др.
"Лекции и задачи по элементарной математике"; и, конечно, нельзя
не назвать "Сборник задач по математике" под ред. М.И. Сканави,
по которому училось решать задачи не одно поколение учащихся.
В этих книгах задачи с параметрами не выделены и встречаются
наряду с другими задачами элементарной математики. О возросшей за последние лет 10 популярности задач с параметрами говорит тот факт, что появились книги, которые посвящены только
этим задачам, о чем свидетельствуют их названия. Достаточно назвать книги: В.В. Амелькин, В.Л. Рабцевич "Задачи с параметрами"; П.И. Горнштейн и др. "Задачи с параметрами". В этих книгах
задачи систематизированы, причем в первой книге – в основном,
по видам функций, входящих в уравнения или неравенства, а во
второй – по методам решения. Обе книги содержат примеры решения задач и достаточно большие списки задач для самостоятельного решения. К книгам, в которых разработана теория задач с пара3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
метрами, относится работа В.И. Горбачева "Элементы теории и
общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами".
Следует упомянуть и публикации в журнале "Математика в школе", в которых обсуждаются различные аспекты решения и использования в учебном процессе задач с параметрами.
Включение уравнений и неравенств с параметрами в содержание школьного обучения обусловлено многими причинами, и в
первую очередь, связано с задачей формирования у школьников
исследовательских умений и навыков. Немаловажными в этой связи являются и высокие требования к математической подготовке
школьников – абитуриентов. Вузы постоянно снабжают школу целой системой ориентиров в виде контрольных материалов (программ, тестов, задач и т.д.), оказывающих сильнейшее воздействие
на весь учебный процесс в школе. В последние годы такие ориентиры задают и материалы ЕГЭ. Обратимся к мнению тех, чей авторитет в вопросах математического образования не вызывает сомнений. А.Г. Мордкович рассматривает уравнения и неравенства с
параметрами как один из труднейших разделов школьного курса
математики: "Здесь кроме использования определенных алгоритмов решения уравнения или неравенства приходится думать об
удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить много тонкостей. Уравнения и неравенства с параметрами – это тема,
на которой проверяется не натасканность ученика, а подлинное понимание им материала". А.Г. Мордкович считает, что "обучать
этому (решению задач с параметрами) массового школьника вряд
ли целесообразно, но сильных учащихся знакомить с этим, безусловно, необходимо, ведь задачи с параметрами дают прекрасный
материал для настоящей учебно-исследовательской работы" [1].
Г.В. Дорофеев в предисловии к книге [2] еще более категоричен:
"…так называемая элементарная математика (а может быть, просто
школьная математика) даже в ограниченном контексте – задачи с
параметрами – представляет собой широкое поле для полноценной
математической деятельности – во всяком случае, более широкое,
чем многочисленные и зачастую вполне алгоритмические задачи
на вычисление пределов, производных и интегралов, которыми наполнены практические занятия студентов по высшей математике".
Анализ содержания материалов Государственного централизованного тестирования, проводимого на территории России в послед4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ние восемь лет (1997 – 2004 гг.), и материалов ЕГЭ (2001 - 2004 гг.)
показывает, что задачи с параметрами являются обязательными для
усвоения именно "массовым школьником", а не только сильными
учащимися, как считает А.Г. Мордкович.
Отличительной чертой задач с параметрами является их большое разнообразие. В то же время в целях обучения их решению
можно выделять некоторые классы задач. Для одних классов можно
сформулировать алгоритм в виде последовательности предписаний,
выполнение которых приводит к решению задачи. Для других классов описание подобного алгоритма затруднительно. Тем не менее,
можно выделять группы (совокупности задач), в основе решения которых лежит одна "идея", и выработать стратегию их решения. Возникновение идеи решения задачи тесно связано с построением и
проверкой гипотез. Способности к этому виду интеллектуальной
деятельности формируются в процессе решения задач, а "уровень
развития этих способностей, как и качество приобретенных знаний,
зависят прежде всего от содержания этих задач, которое определяет
пространство возможных гипотез или проблемное пространство" [3].
Проблемное пространство задач с параметрами задает широкий спектр поисковой деятельности на основе актуализации знаний
и умений, относящихся, как говорят, к различным темам. Часто
приходится наблюдать неумение применить знания и умения,
сформированные при изучении одной темы, при решении задач,
относящихся к другой теме. Наборы фактов, утверждений, методов
существуют в сознании учащихся изолированно, не пересекаясь и
не взаимодействуя между собой. Именно этим, вероятно, объясняется тот факт, что многие задачи, не являющиеся по своей сути
сложными, трудны для учащихся. Задачи с параметрами выступают средством целенаправленной и, следовательно, управляемой
интеграции знаний и умений. При их решении происходит процесс
образования целостного знания, возникает понимание взаимосвязей между различными разделами школьной математики и единства применяемых методов. Тем самым реализуются обучающие
функции задач, направленные на формирование системы математических знаний, умений и навыков как предусмотренных программой, так и расширяющих и углубляющих ее содержание.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выделим предметные знания и умения, которые актуализируются при решении уравнений и неравенств с параметрами. Необходимо:
- знать и уметь применять теоремы о равносильности уравнений и неравенств;
- знать и уметь применять основные методы решения уравнений и неравенств;
- знать свойства элементарных функций, уметь их использовать при решении уравнений и неравенств;
- уметь строить графики функций с использованием приемов
преобразования графиков известных функций и на основе исследования с помощью производной;
- уметь строить множества точек, удовлетворяющих уравнениям, неравенствам и их системам;
- уметь выделять элементы графика или множества точек и переосмысливать их с точки зрения различных понятий в соответствии с условием или требованием задачи.
Очевидно, что каждый из обозначенных пунктов можно детализировать. Остановимся на последнем пункте как наиболее важном для умения решать задачи с параметрами. Определим понятие
"чтение графика", которое часто используют, когда требуется описать свойства функции по ее графику. Такое задание, рассматриваемое как самостоятельное, как правило, не вызывает трудности.
Другое дело, когда при решении уравнения или неравенства надо
использовать то или иное свойство функции, которое надо "считать" с графика. Под чтением графика будем понимать выделение
элементов графика и их осмысление с точки зрения различных понятий в соответствии с условиями или требованиями задачи. График в этом случае рассматривается как средство решения задачи.
Проблемное пространство задач с параметрами характеризуется и тем, что многие из них имеют внутренний потенциал, состоящий в возможности использовать при их решении различные способы. Так, в [4] приведено пять способов решения уравнения
4 x + a = 2 x − 1 , а в [5] - семь способов решения уравнения
x + 1 − x2 = a .
В качестве примера рассмотрим задачу, относящуюся к классу
задач, в которых уравнение заменой переменной сводится к квадратному уравнению.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача. При каких значениях параметра a уравнение
x
5 − 4 sin 2 x − 8 cos 2 = 3a
2
имеет решение?
Решение. В результате преобразований уравнение приводится
к виду
4 cos 2 x − 4 cos x − 3 − 3a = 0 .
Рассмотрим различные способы решения этого уравнения.
Способ 1.
Выделив
полный
квадрат,
получим
2
(2 cos x − 1) = 4 − 3a . Далее с помощью последовательности оценок, начиная с − 1 ≤ cos x ≤ 1, получим 0 ≤ (2 cos x − 1)2 ≤ 9 . Ответ на
вопрос задачи дает решение неравенств 0 ≤ 4 − 3a ≤ 9 . Ответ:
 4 5
a ∈ − ,  .
 3 3
Способ 2. Сделав замену переменной t = cos x и записав урав4
4
нение в виде a = t 2 − t − 1, приходим к графическому способу
3
3
4
4
решения. Для этого строим график функции a = t 2 − t − 1 и
3
3
"считываем" ответ с графика, переформулировав задачу: "При каких значениях параметра а прямая, параллельная оси ОТ, пересекает график функции при − 1 ≤ t ≤ 1 хотя бы в одной точке?".
Способ 3. Сделаем замену переменной t = cos x , − 1 ≤ t ≤ 1, запишем уравнение в виде 4t 2 − 4t − 3 − 3a = 0 и переформулируем задачу: "При каких значениях параметра a хотя бы один корень
квадратного уравнения принадлежит отрезку [− 1,1]?". Воспользуемся задачей исследования расположения корней квадратного
трехчлена относительно двух данных чисел, в нашем случае –1 и 1.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для этого рассмотрим функцию f (t ) = 4t 2 − 4t − 3 − 3a и приведем
графическую интерпретацию необходимых и достаточных условий: 1) принадлежности только одного корня уравнения отрезку
[− 1,1]; 2) принадлежности обоих корней уравнения отрезку [− 1,1]
(которые доказываются аналитически). В данном случае
D = 16(3a + 4), f (− 1) = 5 − 3a, f (1) = −3 − 3a, x0 = 0,5.
1) f (− 1) ⋅ f (1) < 0
 D > 0,
 f (−1) > 0,

2) 
 f (1) > 0,
− 1 ≤ x0 ≤ 1.
4
5
Случаи D = 0 , т.е. a = − , x = −1, т.е. a = , x = 1, т.е. a = 1 ,
3
3
рассматриваются отдельно.
Проанализируем эти способы на возможность их использования при решении аналогичных уравнений. Дидактическая ценность
первых двух способов решения состоит в том, что в их основе понимание эквивалентности двух задач: "Найти множество значений
функции a = f ( x )" и "При каких значениях параметра а уравнение f ( x ) = a имеет хотя бы одно решение?". Заметим, что во втором
способе
решения
множество
значений
функции
4
4
a = t 2 − t − 1 на отрезке [− 1,1] можно искать не только путем
3
3
считывания этого свойства с графика функции, но и аналитически
путем поиска наибольшего и наименьшего значений функции на
отрезке с учетом ее непрерывности на этом отрезке. В материалах
ЕГЭ [6] в комментариях к решению задачи "Найдите все значения
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
р, при которых уравнение 8 sin 3 x = p − 7 cos 2 x не имеет корней" по
этому поводу сказано: С точки зрения решения уравнений, ключевым является очевидное, но редко отрабатывающееся в достаточной степени на уроках утверждение: "Уравнение f ( x ) = p имеет
хотя бы один корень в том и только в том случае, когда р принадлежит множеству значений E ( f ) функции f и приведен образец
решения, использующий способ оценки выражения снизу и сверху.
Для этого уравнение записывается в виде 2 sin 2 x(4 sin x − 7 ) + 7 = p ,
и далее: так как − 1 ≤ sin x ≤ 1, то 0 ≤ 2 sin 2 x ≤ 2, –11≤4sinх–7≤–3
и − 15 ≤ 2 sin 2 x(4 sin x − 7 ) ≤ 7. Поэтому − 15 ≤ 2 sin 2 x(4 sin x − 7 ) + 7 ≤ 7.
В этом фрагменте решения самым тонким моментом является переход от неравенств 0 ≤ 2 sin 2 x ≤ 2, − 11 ≤ 4 sin x − 7 ≤ −3 к неравенству − 15 ≤ 2 sin 2 x(4 sin x − 7 ) ≤ 7 , который, к сожалению, не обсуждается. Упоминается также решение, основанное на исследовании
функции p = 8t 3 − 14t 2 + 7 , где t = sin x , − 1 ≤ t ≤ 1, с помощью
производной, однако предпочтение отдается именно способу оценки, строгость обоснования которой, на наш взгляд, не бесспорно.
Возвращаясь к нашей задаче, заметим, что графический способ
решения уравнения f (t ) = a (способ 2) легко реализуем, так как в
нашем случае это парабола (точнее, ее фрагмент, соответствующий
значениям переменной t), которую без всякого сомнения должны
уметь строить все успевающие по математике школьники. Преимущество этого способа решения особенно ощутимо, если в формулировке задачи содержится указание на количество решений
уравнения. И, самое главное, этот способ решения обратим и может служить источником новых задач. Так, на основе графика
функции a = f ( x ) можно составлять задачи с параметром, варьируя требования задачи, а на основе графика функции a = f (t ) можно составлять задачи, варьируя переменную t . Иллюстрацией вышесказанного может быть следующая задача, составленная на основе квадратного трехчлена, который фигурировал в вышеприведенной задаче.
Задача. При каких значениях
4 x +1 − 2 x + 2 − 3 − 3a = 0 имеет решение?
9
параметра
а
уравнение
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Остановимся на особенностях решения этой задачи. В результате преобразования и замены переменной t = 2 x , t > 0 получим
уравнение 4t 2 − 4t − 3 − 3a = 0 , и задачу можно решать любым из
тех способов, что были описаны выше. Однако, если условие задачи изменить и потребовать указать количество решений в зависимости от параметра a, становится очевидным, что способ 1 не даст
ответа на поставленный вопрос, и задача может быть решена вторым или третьим способами. Остановимся на способе 2. Запишем
4
4
уравнение в виде a = t 2 − t − 1, построим график функции
3
3
4
4
a = t 2 − t − 1 и "считаем" ответ с графика, переформулировав
3
3
задачу: "При каких значениях параметра a прямая, параллельная
оси Ot, пересекает график функции при t > 0 в одной точке, в двух
точках?".
Заметим, что особенность
этого способа решения состоит
в том, что фактически графическое
решение
уравнения
f ( x ) = a в плоскости ХОY, при
котором решениями уравнения
являются абсциссы точек пересечения графиков функций
y = f ( x ) и y = a , фактически
совпадает с решением в плоскости XOa ("переменная – параметр"). Реализация этого способа решения возможна при выполнении двух условий: 1) уравнение F ( x, a ) = 0 можно записать в
виде f ( x ) = a и учащиеся могут построить график этой функции.
Так, например, для решения уравнения 4 x − a ⋅ 2 x +1 + a + 2 = 0 споt2 − 2
собом 2 надо уметь строить график функции a =
, где t = 2 x ,
2t − 1
t > 0 , и, следовательно, этот способ решения задачи недоступен подавляющему большинству школьников, а, скажем, для уравнения
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4 x − a ⋅ 2 x +1 + 2a 2 − 4a + 3 = 0 способ 2 неприемлем в принципе, и это
уравнение надо решать способом 3. Таким образом, способ 3, использующий в качестве ключевой задачу исследования расположения корней квадратного трехчлена относительно одного или двух
данных чисел, является универсальным для задач этого класса. В то
же время учет индивидуальных особенностей каждой задачи влияет
на выбор оптимального для данной задачи решения. Можно сказать,
что выбор способа решения представляет собой эвристический поиск, суть которого состоит в распознавании типа задачи, выявление
ее индивидуальных особенностей, определяющих оптимальный
способ решения, а реализация самого способа носит уже алгоритмический характер. Всё это свидетельствует о том, что при решении
задач с параметрами обсуждаемого класса в результате приобретения опыта их решения происходит изменение соотношения эвристической и алгоритмической деятельности учащихся в сторону
увеличения доли последней.
Одно из направлений исследовательской работы с задачами
связано с использованием метода укрупненных дидактических
единиц (УДЕ), предложенного П.М. Эрдниевым и суть которого
состоит в том, что "основной формой упражнения должно стать
многокомпонентное задание, образующееся из нескольких логиически разнородных, но психологически состыкованных в некоторую целостность частей, например: а) решение "обычной готовой"
задачи; б) составление обратной задачи и ее решение;
в) составление аналогичной задачи и ее решение; г) составление
задачи по некоторым элементам, общим с исходной задачей;
д) решение или составление задачи, обобщенной по тем или иным
параметрам исходной задачи" [7]. Задачи с параметрами позволяют
с успехом реализовать в обучении концепцию УДЕ, так как относятся к задачам, допускающим их видоизменение, которое можно
рассматривать как один из приемов конструирования (составления)
новых задач. Эта особенность задач с параметрами отмечена в [8] и
раскрыта на примере решения неравенства x 2 − x − a − x − 1 + 3 ≥ 0
и составления на его основе новых задач.
Для рассматриваемого класса задач можно определить три основных направления видоизменения "готовой" задачи. Первое направление состоит в том, что квадратное уравнение "готовой" за-
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дачи остается неизменным, например: t 2 − 2at + a + 2 = 0 , а происходит варьирование переменной t , например:
t = 2x, t = 2x, t = 2–x, t = x2, t = x , t = x, t = sinx, t = lg sinx,
1+ x
t = sin2x, t = sinx+cosx, t = 2sinx, t =
,
t = 2 x + 2− x , и т.д.
x
Второе направление заключается в составлении различных
квадратных уравнений с параметром при сохранении переменной t,
например, t 2 − 2at + a + 2 = 0 , t 2 − 4t + a = 0 , t 2 + 2t + a 2 − 2 = 0 ,
at 2 − 2at + 1 = 0 и т.д., где t = 2 x . Подчеркнем еще раз, что от вида
квадратного уравнения во многом зависит выбор способа решения.
И, наконец, "готовое" уравнение остается без изменения, а меняются требования задачи: Для каждого значения параметра a найти
все решения уравнения; при каких значениях параметра a уравнение не имеет решений; имеет хотя бы одно решение; имеет единственное решение, и т.д. Задачи с параметрами позволяют "обеспечить единство процессов решения и составления задач" [7] при соответствующей организации учебной деятельности.
Литература
1. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики. М.: Школа-Пресс, 1995.
272 с.
2. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. М.:
Илекса, Харьков: Гимназия, 1998. 336 с.
3. Гетс Х. Построение гипотез при решении задач на идентификацию // Формирование учебной деятельности школьников / Под ред. В.В. Давыдова, И. Ломпшера, А.К. Марковой. М.: Педагогика, 1982. С. 133 - 140.
4. Амелькин В.В., Рабцевич В.А. Задачи с параметрами. Минск: Асар, 1996.
464 с.
5. Моденов П.С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. М.: Просвещение, 1969. 351 с.
6. Единый государственный экзамен: Математика: Контрол. измерит. материалы / Л.О. Денищева и др.; М-во образования Рос. Федерации. М.: Просвещение,
2003. 191 с.
7. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М.: Просвещение, 1986. 255 с.
8. Мещерякова Г.П. Метод областей – еще одна грань реализации технологии
УДЕ // Математика в школе. 2000. № 8. С. 36 – 38.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об организации
турнира математических боев
Ю.В. Богомолов
Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова
В настоящее время существует достаточно много различных
форм внеурочной математической деятельности. С целью привлечения способных школьников к занятию математикой ежегодно
устраиваются математические олимпиады различных уровней.
Также достаточно популярными являются такие виды состязаний,
как математические аукционы, брейн-ринги, викторины, математические регаты и «математические драки».
В последнее время все большую популярность завоевывает такая форма командных математических соревнований школьников,
как математический бой. Эта игра была придумана в 60-х годах
XX века ленинградским учителем И.А. Веребейчиком. Математический бой включает в себя групповую работу над решением интересных нестандартных задач, устное изложение решения, поиск ошибок и недочетов в предложенном решении (оппонирование), оценку
трудности задач (с целью выбора правильной игровой стратегии), а
также прививает навыки ведения научной дискуссии.
С 1994 года в Ярославской области проводится областной турнир математических боев среди школьных команд. В самом первом
турнире приняло участие всего 4 команды. Впоследствии количество участников увеличивалось и в последние годы борьбу в турнире ведут более 20 школьных команд Ярославля и Ярославской
области.
Правила математического боя
За четыре десятка лет существования математических боев
правила этой игры сильно изменились, появилось множество дополнительных условий, ограничений, поправок. В разных городах,
на разных турнирах используются различные варианты правил (поэтому иногда участники турниров сталкиваются с непривычной
трактовкой правил, что доставляет определенные неудобства), однако в целом структура игры осталась неизменной. Ниже приводится сокращенный вариант правил математического боя.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В математическом бою принимают участие две команды
(обычно по 7-8 человек). В начале математического боя (матбоя)
команды получают одинаковые подготовленные жюри комплекты
условий задач (чаще всего 8) и в течение определенного времени
(подготовительной части) решают их. В ходе решения задач команда имеет право пользоваться любой имеющейся в наличии литературой и непрограммируемыми вычислительными устройствами. Во время подготовительной части члены команды имеют право
общаться лишь друг с другом и членами жюри. На решение обычно отводится 4 часа.
После окончания подготовительной части команды собираются
в одном помещении, где проходит зрелищная часть математического боя. В этот период времени команды рассказывают друг другу
решения задач в определенном правилами порядке.
Для определения порядка вызовов проводится конкурс капитанов, в котором капитаны команд решают не предлагавшуюся во
время подготовительной части задачу. Тот из капитанов, который
первым справится с предложенной задачей, объявляется победителем. После этого победившая в конкурсе капитанов команда определяет, будет ли она делать первый вызов, или же она хочет быть
сначала вызванной. Возможно также проведение конкурса капитанов в другой форме (например, в виде некоторой игры). О форме
проведения конкурса капитанов объявляет жюри.
После определения порядка вызовов начинается рассказ решений. При этом команды последовательно рассказывают друг другу
решения задач. Та из команд, которая обладает правом вызова, вызывает противоположную команду на одну из задач, решение которой еще не рассказывалось (например: «Мы вызываем соперника
на задачу № 5»). Команда может принять вызов и выставить к доске докладчика, а вызвавшая команда выставляет к доске оппонента.
Также команда может проверить корректность вызова (для этого
достаточно сказать: «Проверка корректности»). В этом случае докладчика выставляет вызывавшая команда, а совершившая проверку
корректности команда выставляет оппонента. После этого между
докладчиком и оппонентом происходит обсуждение задачи.
Докладчик рассказывает решение задачи. Доклад должен содержать ответы на все поставленные в задаче вопросы и доказательство правильности и полноты полученных результатов. На
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
доклад обычно отводится 10 минут, но по решению жюри время
может быть увеличено. Докладчик обязан доказывать каждое промежуточное утверждение, либо ссылаться на него как на общеизвестное. Общеизвестными принято считать утверждения школьной
программы, а также некоторые дополнительные факты (в любом
случае вопрос об общеизвестности утверждения решается жюри).
В свою очередь задачей оппонента является обнаружение в решении ошибок и недочетов (если такие имеются). Каждая задача оценивается в 12 баллов, которые распределяются между командами
(которые в каждом раунде представлены докладчиком и оппонентом) и жюри.
Оппонент может уточнить некоторые моменты доклада (например, попросить уточнения какого-либо высказывания или предложить его более понятную переформулировку). Также оппонент имеет право попросить докладчика доказать сформулированное тем не
общеизвестное утверждение. В том случае, если на какие-либо вопросы оппонента докладчик не дал ответа, считается, что в решении
обнаружена «дыра». Жюри оценивает стоимость «дыр», и оппонент
получает, как правило, половину этой стоимости. Если в данном раунде не было проверки корректности вызова, то оппонент получает
возможность закрыть «дыры» (доказав то, что не удалось сделать
докладчиком, или, в исключительных случаях, рассказав свое решение), за что может получить и оставшуюся стоимость «дыр». Утверждения, которые оппонент доказал лишь после вопросов оппонента или жюри, называются «грязью» (за что с докладчика снимают обычно не более двух баллов). Оппонент, после того как задаст
все вопросы, высказывает резюме по докладу, давая общую его
оценку и перечисляя моменты, которые не были доказаны. Далее в
роли оппонента выступает жюри, и докладчик отвечает уже на его
вопросы. После того как вопросов не остается, жюри объявляет счет
по данному раунду, распределяя баллы по задаче между докладчиком, оппонентом и жюри. В спорных ситуациях жюри рассматривает претензии капитанов по существу.
Если при вызове на задачу была проверка корректности и оппоненту удалось обнаружить отсутствие решения (показал ли оппонент, что задача не решена, определяет жюри), то вызов признается некорректным и право вызова остается у той команды, которая вызывала. В противном случае вызов признается корректным и
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
право вызова переходит к противоположной команде. Команда,
обладающая в текущий момент правом вызова, может отказаться
от него, в этом случае противоположная команда имеет право рассказать решения любых не рассказанных до этого задач с оппонентом от отказавшейся команды, после чего бой заканчивается.
Во время доклада команда имеет право взять полуминутный
перерыв (всего в распоряжении команд по ходу матбоя имеется
шесть таких перерывов) для совещания со своим представителем у
доски. Также команда имеет право заменять своего докладчика или
оппонента (за это с команды снимается два полуминутных перерыва). Каждый член команды имеет право выходить к доске не более
двух раз, при этом не играет роли, был ли это выход с докладом
или же выход на оппонирование. Участие в конкурсе капитанов
выходом не считается.
По ходу математического боя докладчик, оппонент и жюри
высказываются в вежливой и корректной форме, обращаются друг
к другу строго на «Вы». Критика доклада не должна переходить в
критику личности докладчика или оппонента. В течение математического боя жюри имеет право оштрафовать команду или отдельных ее членов за шум, некорректное поведение и прочие нарушения правил матбоя. В качестве штрафов жюри снимает имеющиеся
у команды полуминутные перерывы, а также может лишить команду права на дальнейшее обсуждение доклада или дисквалифицировать команду или отдельных ее членов.
Зрелищная часть математического боя заканчивается тогда, когда рассказаны решения всех задач, или когда одна из команд совершила отказ от вызова, а другая команда предложила решения
некоторых из оставшихся задач и больше с докладом выступать не
будет. После окончания зрелищной части жюри подводит итоги,
суммируя набранные командами баллы по задачам. В том случае,
если разница набранных командами баллов не превышает трех,
объявляется ничья, иначе победителем объявляется команда, набравшая больше баллов. Если бой не может окончиться вничью
(например, в турнирах на выбывание), то победитель определяется
путем так называемых «пенальти» (небольшое командное соревнование, победителем в котором объявляется команда, быстрее и
правильнее справляющаяся с решением дополнительных задач).
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Очевидно, правила математического боя достаточно сложны,
поэтому по ходу математического боя жюри комментирует тонкие
моменты правил командам. Также жюри является верховным толкователем правил матбоя и мотивирует все свои решения, не вытекающие из правил напрямую.
Цели проведения математического боя
Отметим некоторые особенности математического боя, сходства и отличия от других форм математических состязаний и основные цели, которых можно с их помощью достигнуть.
Как упоминалось ранее, неотъемлемой частью математического боя является решение интересных, нестандартных задач различной степени трудности. Таким образом, у участников матбоя формируются навыки решения задач такого рода (в «экстремальных»
условиях). В этом можно отметить сходство математического боя
со многими формами внеурочной математической работы (с олимпиадами, математическими аукционами, брейн-рингами, регатами
и «математическими драками»). Участники математического боя
сталкиваются с интересными и, возможно, не известными им до
этого типами задач и практически сразу (во время зрелищной части
или разбора задач членами жюри) знакомятся с общими принципами решения задач такого рода, что отчасти отличает матбой от
упомянутых выше форм математических состязаний.
Математический бой принадлежит к категории командных состязаний, поэтому участники решают задачи не для себя, не для
своего личного рейтинга (как в индивидуальных состязаниях), а
для того, чтобы внести их в «копилку» своей команды, что повышает ее шансы на общий успех. При решении участники активно
обмениваются мнениями по задачам. В процессе обсуждения задач
во время подготовительной части боя члены команды приобретают
навыки четкого изложения собственных идей, решений, выявления
позитивных моментов и устранения имеющихся недостатков (в том
числе в чужих решениях), что способствует формированию навыков групповой научной работы. Большую роль в организации играет капитан, который координирует действия членов команды, распределяет задачи, организует внутренний разбор решений задач,
определяет возможную тактику команды, назначает докладчиков и
оппонентов. Именно капитан в большей степени получает навыки
организации групповой работы.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В отличие от других командных математических соревнований, на математическом бою происходит групповая работа в течение относительно длительного промежутка времени (для сравнения: во время математического брейн-ринга или математической
регаты групповая работа, направленная на коллективное решение
поставленных задач, продолжается в течение нескольких минут и
не распространяется на процесс изложения решения).
Математический бой отличает от многих других форм математических состязаний устное изложение решений поставленных задач. Стоит также отметить, что члены команд принимают участие в
состязании друг с другом непосредственно, в отличие от многих
других математических игр, когда команды или индивидуальные
участники, в лучшем случае, отчитываются перед жюри, не вступая в прямое взаимодействие между собой. При этом участники
боя в процессе доклада оттачивают навыки монологической речи.
Необходимость четкого, последовательного изложения решения
задач сразу осознается участниками, так как пробел в решении может стоить команде не просто потери баллов: фактически, упущенные по этой причине баллы чаще всего становятся «добычей» соперника. В состязании примерно равных по силе соперников более
четкая работа докладчиков может быть вознаграждена победой команды, что стимулирует участников более аккуратно, четко и последовательно излагать имеющееся в наличии решение, не допуская ошибок и необоснованных утверждений.
Большое внимание на математическом бою уделяется выявлению ошибок и недочетов в решениях. В процессе отделения неверных правдоподобных утверждений от верных участники развивают
критическое мышление. При этом упор делается на конструктивную критику предлагаемых решений: во время подготовительной
части требуется четко указать на недостатки и устранить их совместными усилиями, возможно привлекая для этого имеющуюся в
наличии литературу. Это же прослеживается и на зрелищной части: конечно, оппоненту желательно задать вопрос так, чтобы не
дать докладчику дополнительной информации, но в том случае, если докладчику не удается ликвидировать пробел в решении, оппонент должен в кратчайшее время найти возможные пути решения и
самостоятельно исправить найденные ошибки, при этом команда
может прийти на помощь своему представителю. Пропущенная
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ошибка может привести к неправильному выбору тактики, что, в
свою очередь, может послужить причиной поражения (например, в
случае «сбоя» в порядке вызовов и передаче инициативы сопернику). Конечно, претензии у оппонента иногда возникают и к вполне
верному решению, но, во-первых, таким образом осуществляется
его «проверка на прочность», а во-вторых, мелкие придирки (вроде
указания на неаккуратность построения чертежа или излишне настойчивое обращение внимания на различного рода оговорки)
снимаются жюри. В любом случае от участников требуется предельно корректное отношение друг к другу, ни в коем случае не
допускается переход на личности. (Интересные примеры возможных злоупотреблений во время математического боя описаны в
иронической пьесе К. Кохася «Вызываем вас (пособие для начинающих)».)
Таким образом, во время математического боя мы имеем дело с
коллективной деятельностью по решению поставленных проблем с
последующим корректным конструктивным обсуждением возможных путей их решения. Указанные выше признаки позволяют заключить, что в ходе рассмотренной формы математического состязания формируются первичные навыки творческой научной деятельности и ведения научной дискуссии. Участников игры нередко
захватывает сам процесс совместного поиска решения новых задач,
выдвижения своей точки зрения, поиска ошибок и путей их исправления, при этом сам результат имеет второстепенное значение.
Об организации математических боев
Ранее было показано, что проведение математических боев
преследует вполне серьезные цели. Не менее очевидно, что для того, чтобы это мощное средство формирования у школьников важных умений и навыков эффективно работало, требуется кропотливая работа по организации данной формы внеклассного мероприятия. Большая ответственность при этом ложится на членов жюри.
Особое место в работе жюри занимает подбор задач. Это в какой-то мере напоминает подбор задач для математической олимпиады: в комплект обычно включают разнообразные по своей тематике, нестандартные по формулировке или принципам решения
относительно трудные задачи. Однако сама специфика игры имеет
некоторые дополнительные условия, что несколько усложняет
подбор задач.
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Во-первых, редко встречаются задачи, предполагающие излишне большой объем технической работы при их решении. Обсуждение такого рода задач превращается в обсуждение однообразных
выкладок, а также часто не укладывается в регламентированное
время, отведенное на доклад. Вообще говоря, такими задачами стараются не злоупотреблять и на математических олимпиадах, но
здесь это дополнительно подчеркивается самими правилами игры.
Также не стоит забывать, что это увлекательное математическое состязание, в котором монотонный доклад, построенный на обилии
однообразных выкладок, оказывается «не к месту».
Во-вторых, мало предложить просто интересную задачу с нестандартной идеей решения. Математический бой – не просто соревнование по решению задач, это еще и работа докладчиков, излагающих решение, и оппонентов, выявляющих в нем недочеты. Соответственно задачи должны по возможности предоставлять пищу
для обсуждения, поэтому часто содержат «подводные камни» (например, подлежащие рассмотрению частные случаи, или разнообразные конфигурации фигурирующих в задаче объектов, каждая из
которых требует отдельного изучения). В такой ситуации от докладчика требуется аккуратное рассмотрение всех встречающихся
случаев, а оппонент должен внимательно следить за докладом,
чтобы не пропустить какой-либо нерассмотренный случай.
По этим же причинам жюри также должно отлично владеть задачами и правилами. В течение подготовительной части математического боя члены жюри комментирует условия задач и правила,
чтобы у команд не возникало некорректного или неверного их истолкования. (В правилах есть пункт, который гласит, что в случае
неверного истолкования условия команда не получает никаких
преимуществ, однако упущенные по этой причине баллы не добавляют радости командам.) Также жюри должно быть готово к тому,
чтобы указать докладчику на возможные пробелы в решении, если
они не будут обнаружены оппонентом, а эта задача упрощается,
если жюри владеет возможными решениями задач.
Во время зрелищной части жюри лишь держит дискуссию в
рамках правил, не допуская активного вмешательства в ее ход. Несвоевременное включение жюри в обсуждение задач может натолкнуть докладчика на решение (или на недостающую его часть),
а оппоненту указать на имеющиеся недочеты или, напротив, ли20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
шить его «заслуженных» баллов за обнаружение ошибки. Поэтому
чрезмерная активность жюри приводит к недовольству участвующих в обсуждении задачи сторон. Жюри подключается к обсуждению задач лишь тогда, когда завершилась дискуссия между докладчиком и оппонентом, и только после этого задает свои вопросы
участникам.
После окончания обсуждения задачи жюри делает общие выводы: определяет, решена задача или нет, отмечает пробелы в решении (возможно, указывая «стоимость» дыр в баллах), указывает, какие из них были обнаружены оппонентом, решает вопрос о корректности вызова. Данные выводы доносятся до команд, и лишь после этого объявляется счет по докладу. Решение жюри, тем самым,
оказываются мотивированными, что снимает большую часть претензий команд.
В целом задачу жюри можно сформулировать так, как во многих игровых видах спорта: хорошо, если жюри не замечают. Это означает, что у команд должно сложиться ощущение того, что исход
матбоя вплоть до мелочей зависит только от них самих, от их работы, от верности предпринятых ими ходов и от их просчетов. При
этом не должно складываться впечатления, что на конечный результат повлияли какие-либо посторонние, внешние, причины: некорректная формулировка задач, ошибки жюри, неверное истолкование
правил или действия, противоречащие правилам. Этим подчеркиваются объективность оценок и результативность работы команд.
Задачи на математический бой подбираются с учетом предполагаемой силы, уровня команд-участников. Действительно, большую роль в математическом бою играет непосредственное решение задач. С малым количеством решенных задач сложно рассчитывать на успех, в такой ситуации оказывается практически бесполезной любая стратегия. Однако если большинство задач оказались
непосильными для обеих команд (если жюри предложило очень
трудные задачи), то результат матбоя может оказаться весьма случайным и может не отразить истинного уровня команд. Возможна
и другая крайность: командам могут быть предложены слишком
простые задачи, и команды, даже если они значительно различаются по уровню, могут легко с ними справиться, а исход математического боя будет зависеть от случайной ошибки докладчика или оппонента при обсуждении задачи. Одинаково малоинтересна ситуа21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ция, когда решение задач не потребовало сколь бы то ни было значительных усилий, и ситуация, когда серьезные попытки решения
задач ни к чему не привели. В обоих случаях решение задач не
доставит удовольствия командам, ведь при этом результат мало зависит от затраченных усилий.
Чтобы избежать подобного рода ситуаций, обычно руководствуются следующими правилами: во-первых, в комплекте должны
быть задачи, с которыми справятся обе команды. Во-вторых, должны быть задачи, справиться с решением которых крайне тяжело
(обычно в комплект включают четное количество задач первого рода и четное число задач второго рода, чтобы снизить влияние относительно случайных факторов, таких как порядок вызова). Втретьих, желательно наличие задач, с которыми справится только
одна из команд. При этом команда, которая решает больше задач,
пользуется некоторым преимуществом, однако соперники все же
имеют возможность восполнить данный недостаток за счет верной
стратегии и качественной работы в процессе обсуждения задач.
Для математического боя с участием относительно неопытных
команд допускается включение большего количества «стандартных» задач с той целью, чтобы участники чувствовали себя более
комфортно при их решении. Во встречах команд математического
кружка возможно наличие задач по разобранным на занятиях темам (с целью дополнительной проверки степени ее усвоения).
Также необходимо учитывать возрастной состав участников: ученики шестых–седьмых классов обычно не приспособлены к целенаправленному решению задач в течение длительного промежутка
времени, поэтому подготовительная часть в таком случае обычно
сокращается до полутора - двух часов (а количество задач может
быть уменьшено до шести). Соответственно, в бою с участием более старших и опытных участников возможно увеличение количества задач и отводимого на их решение времени (что, например, и
делается в финале ярославского областного турнира).
При организации турнира математических боев с участием нескольких команд заранее определяется формат турнира. При небольшом количестве команд турнир удобно проводить по круговой
системе, в котором каждая команда играет с каждой (так проводится
турнир по подгруппам в уральском турнире юных математиков).
Это имеет определенные преимущества: независимо от своего
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
уровня, команда участвует в нескольких играх, накапливая определенный опыт. Однако участие большого количества команд в круговом турнире не представляется возможным ввиду необходимости
проведения значительного количества встреч между командами. В
таком случае прибегают к «олимпийской» форме проведения турнира, в котором проигравший выбывает из дальнейшей борьбы, а
победитель продолжает участие, встречаясь с победителями других
встреч (по такой схеме проводится ярославский областной турнир
математических боев). Допускается использование смешанной
формы проведения турнира.
С целью повышения уровня зрелищности турнира желательно
по возможности снизить вероятность встречи в бою команд с объективно сильно отличающимся уровнем. В ярославском областном
турнире эта задача частично решается на этапе формирования турнирной сетки: более сильные команды начинают участие в турнире
с более высоких стадий (самые сильные команды вступают в борьбу
с полуфинальных и четвертьфинальных игр). Поэтому на организаторов ложится дополнительная работа по оценке начального уровня
команд. Это осуществляется по предположительному наличию в составе команд игроков с опытом участия в математических боях, а
также призеров математических олимпиад различного уровня (от
городского до российского).
Примеры предлагаемых задач
Приведем пример комплекта задач, предложенных в финале
II лиги X ярославского областного турнира математических боев:
1. Внутри треугольника ABC отмечена точка O. Известно, что
∠ OAC ≥ ∠ OAB, ∠ OBA ≥ ∠ OBC, ∠ OCB ≥ ∠ OCA. Докажите, что
O – центр вписанной в треугольник ABC окружности.
2. На шахматной доске 8×8 расставлено N фигур так, что в каждом горизонтальном и в каждом вертикальном ряду стоит хотя
бы одна фигура. При каком наименьшем значении N можно с уверенностью утверждать, что с доски можно убрать одну фигуру так,
что и при этом в каждом горизонтальном и вертикальном ряду
найдется хотя бы одна фигура?
3. Каждая сторона выпуклого четырехугольника разделена на
8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом; полученные клетки
раскрашены в два цвета (черный и белый) в шахматном порядке.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Докажите, что сумма площадей белых клеток равна сумме площадей черных клеток.
4. Докажите, что квадратное уравнение с целыми нечетными
коэффициентами не имеет рациональных корней.
5. Решите уравнение: 3x+16 = 5x.
6. Имеется группа из 9 человек. Известно, что среди любых четырех из них обязательно найдутся двое знакомых. Докажите, что
найдутся хотя бы трое попарно знакомых между собой человек.
7. На плоскости дано 3N точек, причем никакие три не лежат
на одной прямой. Докажите, что можно начертить N треугольников
с вершинами в этих точках, не пересекающихся и не содержащих
друг друга.
8. Докажите неравенство: 1 − 13 1 − 13 1 − 13 ...1 − 13  > 1 .
2 

3 
4  
n 
2
В приведенном комплекте задач есть две достаточно легкие задачи: № 3 (достаточно решить задачу для четырехугольника, разбитого средними линиями на четыре части, после чего распространить решение на указанный в условии случай) и № 5 (интуитивно
понятное решение, которое нужно аккуратно «облачить» в строгие
рамки). Задачи № 6 и № 8 весьма трудны, и команды с ними не
справились. Остальные задачи были так называемого «среднего
уровня».
Условия некоторых задач требовали дополнительных комментариев. Например, в задаче № 2 оказалось необходимым отдельно
прокомментировать слова «с уверенностью», а также пояснить, что
значит найти минимальное значение параметра. К задаче № 3 команды попросили привести чертеж, что и было сделано (так как,
скорее всего, это не наводило на решение). А при ответе на вопрос
по задаче № 7 («Достаточно ли привести алгоритм построения серии треугольников?») отмечена необходимость обоснования каждого шага решения и каждого ответа (фактически, необходимость
доказательства корректности предлагаемого алгоритма).
Таким образом, во время подготовительной части иногда необходимо отводить некоторое время на обучение, на ознакомление с
правилами, на комментирование непривычных в некоторых случаях задач. В течение областного турнира математических боев можно заметить, что количество отводимого на такого рода задачи
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
времени сокращается по мере продвижения команд вверх по сетке
турнира, что несложно объяснить постепенным накоплением опыта. Поэтому в математических боях с участием команд высокого
уровня работа жюри во время подготовительной части сводится к
минимуму.
Литература
1. Математика: Интеллектуальные марафоны, турниры, бои: 5 – 11-е классы:
Книга для учителя. М.: Изд-во «Первое сентября», 2003.
2. Бахтина Т.П. Математикон 8: Готовимся к олимпиадам, турнирам и математическим боям: Пособие для учащихся общеобразоват. учреждений. Мн.:
«Аверсэв», 2003.
3. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические
кружки: Пособие для внеклассной работы. Киров: Изд-во «АСА», 1994.
4. Федотов В. Математический бой // Квант. 1972. №10.
5. Мерзляков А.С. Факультативный курс по математике (первый год обучения). Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 2002.
Изучение темы “Взаимное расположение
линейных многообразий в аффинном пространстве”
в курсе геометрии и алгебры
Г.М. Бродский
Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова
Тема “Взаимное расположение линейных многообразий в аффинном пространстве” в том или ином объеме рассматривается во
многих учебниках по геометрии и алгебре. Используемые при этом
понятия (параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся линейные многообразия) появились из попыток описать взаимное расположение линейных многообразий в n-мерном пространстве по аналогии с известным из школьной геометрии случаем пространств
размерностей 2 и 3. Однако при переходе к случаю n-мерного пространства этих понятий оказывается недостаточно в связи с ростом
числа различных случаев взаимного расположения. Авторы одних
учебников по геометрии и алгебре ограничиваются введением и
изучением указанных понятий для n-мерного случая (см., например, [1 – 3]). При этом отсутствие общепринятой терминологии
приводит к тому, что два линейных многообразия, параллельные
или скрещивающиеся в смысле одного из этих учебников, могут
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
оказаться не являющимися таковыми в смысле другого учебника.
Алгоритмы, которыми сопровождается изложение темы, скажем, в
[2], ориентированы лишь на грубую классификацию случаев взаимного расположения двух линейных многообразий (параллельны
они, пересекаются или скрещиваются). В других учебниках предпринимается попытка полностью охарактеризовать взаимное расположение двух линейных многообразий некоторым набором целых неотрицательных чисел. Так, например, в [4] предлагается для
такой
характеризации
использовать
четверку
чисел
(k , k1, k2 , m) (0 ≤ k ≤ k1 ≤ k2 ≤ m ≤ n) , где n – размерность точечного
пространства V; k1 и k 2 – размерности линейных многообразий
V1 и V2 в V, занумерованных так, что k1 ≤ k 2 ; k – степень параллельности V1 и V2, т.е. размерность пересечения их направляющих
подпространств; m – размерность аффинной оболочки множества
V1 ∪ V2 . Отметим, что если числа n, k1 , k 2 считать заданными, то
вместо четверки потребуется лишь пара целых неотрицательных
чисел (k, m).
В [5] автор предложил излагать раздел “Аффинные пространства и линейные многообразия” с позиций теории многоосновных
универсальных алгебр. В настоящей статье, во-первых, предлагается при изложении темы использовать для характеризации взаимного расположения двух линейных многообразий единственное “число”, названное алгебраической степенью параллельности. (Слово
“число” понимается здесь в некотором обобщенном смысле, на что
и указывают кавычки.) Во-вторых, предлагается, на наш взгляд,
наиболее удобная терминология для описания качественной картины взаимного расположения линейных многообразий. В-третьих,
для различных способов задания линейных многообразий уравнениями приводятся алгоритмы вычисления алгебраической степени
параллельности. Здесь приводится лишь схема изложения темы в
курсе геометрии и алгебры. Разумеется, само изложение темы для
студентов в отличие от этой схемы должно быть менее формализованным.
Всюду ниже (V, L) – это n-мерное точечно-векторное (аффинное) пространство над полем K, где V – точечное пространство, а
L – соответствующее векторное пространство. Условимся употреблять обозначения: AS(V) и VS(L) – множества всех линейных многообразий в V и всех векторных подпространств в L соответствен26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
но;
– направляющее подпространство линейного многообразия
V1 в V; dep (V1 ,V2 ) = dim ( L1 ∩ L2 ) , где Li
( i = 1,2 ), – степень параллельности линейных многообразий V1 и V2 в V; 〈 l1 , ... , l s 〉 – линейная оболочка системы векторов l1 , ... , l s ∈ L ; aff W – аффинная
оболочка непустого подмножества W ⊆ V ; [P] – координатный
столбец точки P ∈ V в заданной системе координат Oe1...en точечно-векторного пространства (V, L); [r ] – координатный столбец
вектора r ∈ L в заданном базисе e1 , ... , en векторного пространства
L; Mat p , q ( K ) – множество всех p × q - матриц над полем K; p K –
множество всех столбцов высоты p над полем K; rg A – ранг матрицы A над полем K.
Пусть Z ± 0 – множество всех пар (ε , m) , где ε ∈ { + , − } и
m ∈ N ∪ {0}. Если m ≠ 0 , то пары ( + , m ) и ( − , m ) можно отождествить с соответствующими целыми числами + m и − m . Пары
( + , 0 ) и ( − , 0 ) можно записывать в виде + 0 и − 0 . Подчеркнем,
что + 0 ≠ − 0 , так что + 0 и − 0 нельзя путать с целым числом 0.
Итак, можно на Z ± 0 смотреть как на множество ненулевых целых
чисел, к которому добавлены два новых различных элемента + 0 и
− 0 . Для краткости формулировок условимся называть Z ± 0 множеством обобщенных целых чисел. Превратим его в линейно упорядоченное множество, положив ... < −2 < −1 < −0 < +0 < +1 < +2 < ... .
Следуя общепринятым в теории частично упорядоченных
множеств обозначениям, для любых a, b ∈ Z ± 0 , где a ≤ b , положим
[ a, b] = { c ∈ Z ± 0 | a ≤ c ≤ b } .
Пусть sgn : Z ± 0 → { + , − } и | ⋅ | : Z ±0 → N ∪ {0} – отображения, определяемые условиями sgn a = ε и | a | = m для любого
a = (ε , m) ∈ Z ± 0 . Будем называть sgn a и | a | соответственно знаком
и абсолютной величиной обобщенного целого числа a. Алгебраической степенью параллельности линейных многообразий
V1 ,V2 ∈ AS (V ) назовем обобщенное целое число adep (V1 , V2 ) ,
определяемое условиями
 +, если V1 ∩ V2 ≠ ∅,
и | adep (V1 ,V2 ) | = dep (V1 ,V2 ) .
sgn adep (V1 ,V2 ) = 
,
если
V
V
−
∩
=
∅

1
2
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Утверждение 1. Если V – это n-мерное точечное пространство
над
полем
K;
и
k1 , k 2 ∈ Z ;
0 ≤ k1 , k 2 ≤ n
Q k1k2 (V ) = {(V1 ,V2 ) | V1 ,V2 ∈ AS (V ); dim V1 = k1 ; dim V2 = k 2 } ,
то
adep
Im Q k1k2
индуцирует отображение Q k1k2 (V ) → Z ± 0 , образ которого
 [− min ( k1 , k 2 ),− max ( k1 + k 2 − n + 1,0)] ∪ [+ max ( k1 + k 2 − n,0),+ min ( k1 , k 2 )],

=
если max ( k1 , k 2 ) ≤ n − 1,
 [+ max (k + k − n,0),+ min (k , k )], если max (k , k ) = n.

1
2
1 2
1 2
Доказательство. Положив k = dep (V1 ,V2 ) , напомним, что
k + k − k , если V1 ∩ V2 ≠ ∅,
dim aff (V1 ∪ V2 ) =  1 2
 k1 + k 2 − k + 1, если V1 ∩ V2 = ∅.
Ясно, что необходимым и достаточным условием существования пары (V1 , V2 ) ∈ Q k1k 2 (V ) , для которой V1 ∩ V2 ≠ ∅ и
dep (V1 ,V2 ) = k , является система неравенств
 k1 + k 2 − k ≤ n ,

 0 ≤ k ≤ min (k1 , k 2 ),
т.е. условие
max (k1 + k 2 − n , 0) ≤ k ≤ min (k1 , k 2 ).
Аналогично, необходимым и достаточным условием существования пары (V1 , V2 ) ∈ Q k1k 2 (V ) , для которой V1 ∩ V2 = ∅ и
dep (V1 ,V2 ) = k , является система неравенств
 k1 + k 2 − k + 1 ≤ n ,

 0 ≤ k ≤ min (k1 , k 2 ),
т.е. условие
max (k1 + k 2 − n + 1 , 0) ≤ k ≤ min (k1 , k 2 ).
Легко видеть, что целые числа k , удовлетворяющие последнему двойному неравенству, существуют тогда и только тогда, когда
max (k1 , k 2 ) ≤ n − 1 . Остается учесть определение adep (V1 , V2 ) .
Утверждение 2. Пусть в системе координат Oe1...en точечновекторного пространства (V, L) над полем K линейные многообразия V1 и V2 в V заданы соответственно общими уравнениями
A 1[ P] = b1 и A2 [ P ] = b2 ,
где A i ∈ Mat qi , n ( K ) и bi ∈ qi K ( i = 1,2 ). Тогда
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и

 A1
 A1 



+
,
если
rg
=
rg

A 
A


2 
 2
sgn adep (V1 ,V2 ) = 
 − , если rg  A 1  ≠ rg  A 1
A 
A

 2
 2

b1 
,
b2 
b1 

b2 
A 
| adep (V1 ,V2 ) | = n − rg  1  .
 A2 
Доказательство. Заметим, что подмножество V1 ∩ V2 ⊆ V в
системе координат Oe1...en и подпространство L1 ∩ L2 ∈ VS ( L) , где
( i = 1,2 ) , в базисе e1 , ... , en задаются соответственно уравнеLi
ниями
 A1 
b   A 
  [ P] =  1  и  1  [r ] = 0 .
 A2 
 b2   A2 
Доказательство завершается применением теоремы Кронекера - Капелли и общеизвестной формулы для размерности пространства решений однородной системы линейных уравнений.
Утверждение 3. Пусть в системе координат Oe1...en точечновекторного пространства (V , L) над полем K линейные многообразия V1 и V2 в V заданы соответственно параметрическими уравнениями
[ P] = [ P1 ] + D 1 u и [ P ] = [ P 2 ] + D 2 v ,
где P1 , P2 ∈ V ; Di ∈ Mat n, ki ( K ) – матрица, по столбцам которой записаны координаты векторов некоторого базиса li 1 , li 2 , ... , lik i подпространства
( i = 1,2 );
 u1 
 v1 
 


u =  ...  и v =  ...  – столбцы параметров. Тогда
u 
v 
k
 1
 k2 
 + , если rg (D1 | D2 ) = rg (D1 | D2 | [l ]) ,
sgn adep (V1 ,V2 ) = 
 − , если rg (D1 | D2 ) ≠ rg (D1 | D2 | [l ]) ,
где
,и
| adep (V1 ,V2 ) | = k1 + k 2 − rg (D 1 | D2 ) .
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Доказательство. Положим V3 = aff (V1 ∪ V2 ) и
Поскольку
Li = 〈 li 1 , li 2 , ... , lik i 〉 (i = 1,2) , то
Li
( i = 1,2,3 ).
L 1 + L 2 = 〈 l 11 , l 12 , ... , l 1k1 , l2 1 , l22 , ... , l2 k2 〉 и
L 3 = 〈 l 11 , l 12 , ... , l 1k1 , l2 1 , l22 , ... , l2 k2 , l 〉 .
После этого первое из доказываемых равенств следует из равносильности условий: 1) V1 ∩ V2 ≠ ∅ ; 2) L 3 = L 1 + L 2 . Для доказательства второго равенства остается привлечь формулу Грассмана
dim ( L 1 + L 2 ) = k1 + k 2 − dim ( L 1 ∩ L 2 ) .
Утверждение 4. Пусть в системе координат Oe1...en точечновекторного пространства (V , L) над полем K линейные многообразия V1 и V2 в V заданы соответственно общими и параметрическими уравнениями
A 1[ P] = b1 и [ P ] = [ P 2 ] + D 2 v , где A 1 ∈ Mat q1, n ( K ) ; b 1 ∈ q1K ;
P2 ∈ V ; D2 ∈ Mat n, k 2 ( K ) – матрица, по столбцам которой записаны
координаты векторов некоторого базиса l2 1 , l22 , ... , l2 k 2 подпространства
;
 v1 


v =  ...  – столбец параметров. Тогда
v 
 k2 
и
 + , если rg ( A 1 D2 ) = rg ( A 1 D2 | b1 − A 1[ P2 ]) ,
sgn adep (V1 ,V2 ) = 
 − , если rg ( A 1 D2 ) = rg ( A 1 D2 | b1 − A 1[ P2 ])
| adep (V1 ,V2 ) | = k 2 − rg ( A 1 D2 ) .
Доказательство. Для нахождения V1 ∩ V2 подставим выражение для [P] из параметрических уравнений линейного многообразия V2 в общие уравнения линейного многообразия V1. Применяя к
полученной системе линейных уравнений
A 1 D2 v = b1 − A 1[ P2 ]
теорему Кронекера - Капелли, получим первое из доказываемых
равенств. Положим Li
( i = 1,2 ). Поскольку L 1 и L2 задаются соответственно уравнениями
A 1[r ] = 0 и [r ] = D2 v ,
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
то для нахождения L1 ∩ L2 следует рассмотреть однородную систему линейных уравнений A 1 D2 v = 0 . Пусть размерность пространства ее решений равна k. Тогда k = k 2 − s , где s = rg ( A 1 D2 ) .
Пусть для определенности минор матрицы A1D2, расположенный
в строках с номерами 1,2, ... , s и столбцах с номерами
k + 1, k + 2, ... , k2 , является базисным. Тогда, выражая главные неизвестные vk +1 , vk + 2 , ... , vk 2 через свободные неизвестные v1 , ... , vk для
нахождения общего решения системы, получаем, что
vk +1 = c11v1 + ... + c1k vk ,
...................
vk 2 = cs1v1 + ... + csk vk
для некоторой матрицы (cij ) ∈ Mat s , k ( K ) . Поэтому
L1 ∩ L2 = {v1l21 + ... + vk l2 k + (c11v1 + ... + c1k vk )l2, k +1 + ...
+ (cs1v1 + ... + csk vk )l2 k 2 | v1,..., vk ∈ K } =
s
s
s
i =1
i =1
i =1
= 〈 l21 + ∑ ci1l2, k + i , l22 + ∑ ci 2l2, k + i , ... , l2 k + ∑ cik l2, k + i 〉 .
Учитывая линейную независимость системы векторов
l2 1 , l22 , ... , l2 k 2 , заключаем, что dim ( L 1 ∩ L 2 ) = k . Справедливость
второго из доказываемых равенств установлена.
Отметим, что утверждения 2 – 4 обобщают факты, относящиеся к случаю аффинных пространств размерностей 2 и 3 и содержащиеся во многих учебниках по геометрии и алгебре (в задачнике
[6] обоснование этих фактов предоставлено студентам в серии задач, имеющих теоретическое значение).
Перейдем к терминологии, дающей качественную картину взаимного
расположения
линейных
многообразий.
Пусть
V1 ,V2 ∈ AS (V ) , причем dim V1 = k1 и dim V2 = k 2 . Линейные многообразия V1 и V2 назовем сравнимыми, если V1 ⊆ V2 или V2 ⊆ V1
(т.е. adep (V1 ,V2 ) = + min (k1 , k 2 ) ). Таким образом, здесь имеется в
виду сравнимость V1 и V2 по включению, и термин “сравнимые”
заимствован из теории частично упорядоченных множеств. Линейные многообразия V1 и V2 назовем пересекающимися в широком
смысле (или пересекающимися в теоретико-множественном смысле), если V1 ∩ V2 ≠ ∅ (т.е. + 0 ≤ adep (V1 ,V2 ) ≤ + min (k1 , k 2 ) ). В
учебниках [2, 4, 7] пересекающиеся в широком смысле линейные
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
многообразия называются пересекающимися. Линейные многообразия V1 и V2 назовем пересекающимися в узком смысле, если V1 и
V2 являются пересекающимися в широком смысле и не сравнимыми (т.е. + 0 ≤ adep (V1 ,V2 ) < + min (k1 , k 2 ) ). В [8] пересекающиеся в
узком смысле линейные многообразия называются пересекающимися. Линейные многообразия V1 и V2 называются параллельными
или
в широком смысле, если
⊆
⊆
(т.е.
adep (V1 ,V2 ) = − min (k1 , k 2 ) или adep (V1 ,V2 ) = + min (k1 , k 2 ) ). Этот
термин используется в [10, 11], в [1, 2, 4, 7 – 9] вместо него используется термин “параллельные”, а в [12] – термин “вполне параллельные”. Линейные многообразия V1 и V2 назовем параллельными
в узком смысле, если V1 и V2 являются параллельными в широком
смысле и не сравнимыми (т.е. adep (V1 ,V2 ) = − min (k1 , k 2 ) ). Параллельные в узком смысле линейные многообразия размерностей ≥ 1
в [3] называются полностью параллельными, а в [10] – параллельными. Назовем степенью скрещивания линейных многообразий
V1 и V2, не являющихся пересекающимися в широком смысле, целое неотрицательное число
des (V1 ,V2 ) = min (k1 , k 2 ) − dep (V1 ,V2 ) .
Линейные многообразия V1 и V2 назовем скрещивающимися,
если V1 и V2 не являются ни пересекающимися в широком смысле,
ни параллельными в узком смысле и des (V1 ,V2 ) = min (k1 , k 2 )
(т.е. − min (k1 , k 2 ) < adep (V1 ,V2 ) = −0 ). В [9] скрещивающиеся линейные многообразия называются абсолютно скрещивающимися.
В [1, 3] под скрещивающимися линейными многообразиями понимаются линейные многообразия V1 и V2, для которых
adep (V1 ,V2 ) = −0 . Линейные многообразия V1 и V2 назовем параллельно-скрещивающимися, если V1 и V2 не являются ни пересекающимися в широком смысле, ни параллельными в узком смысле,
ни скрещивающимися (т.е. − min (k1 , k 2 ) < adep (V1 ,V2 ) < −0 ). В [2,
4, 7 – 9] под скрещивающимися линейными многообразиями понимаются линейные многообразия V1 и V2, являющиеся в нашей
терминологии скрещивающимися или параллельно-скрещивающимися. В [3] под параллельными линейными многообразиями понимаются линейные многообразия V1 и V2 размерностей ≥ 1, яв32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ляющиеся в нашей терминологии параллельными в узком смысле
или параллельно-скрещивающимися.
Итак, в рамках грубой классификации для линейных многообразий V1 ,V2 ∈ AS (V ) , где dim V1 = k1 и dim V2 = k 2 , имеет место
один и только один из следующих случаев взаимного расположения: 1) V1 и V2 – сравнимые; 2) V1 и V2 – пересекающиеся в узком
смысле; 3) V1 и V2 – параллельные в узком смысле; 4) V1 и V2 –
скрещивающиеся; 5) V1 и V2 – параллельно-скрещивающиеся. Отметим, что не для любой тройки чисел (n, k1 , k 2 ) , где n ∈ N ;
k1 , k 2 ∈ Z и 0 ≤ k1 , k 2 ≤ n , реализуются все пять случаев (см. утверждение 1).
Литература
1. Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002. 544 с.
2. Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия. СПб.: Лань, 2003.
416 с.
3. Пензов Ю.Е. Аналитическая геометрия. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та,
1972. 367 с.
4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. 2. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000. 368 с.
5. Бродский Г.М. Об общеалгебраическом подходе к изложению раздела
“Аффинные пространства” // Стимулирование академической активности студентов: Сб. науч. тр. Ярославль: Яросл. гос. ун-т, 1991. С. 18 – 22.
6. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1976. 384 с.
7. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия.
М.: Наука, 1970. 528 с.
8. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980. 400 с.
9. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: Физматлит, 2001. 496 с.
10. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми из алгебры с приложением собрания задач, снабженных решениями,
составленного А.С. Пархоменко. М.: Наука, 1968. 912 с.
11. Пизо Ш., Заманский М. Курс математики: Алгебра и анализ. М.: Наука,
1971. 656 с.
12. Яглом И.М. Пространства евклидовы и неевклидовы. Ярославль: Яросл.
гос. ун-т, 1980. 75 с.
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О задачах на составление
уравнений множеств точек
Г.М. Бродский
Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова
Существуют два подхода к преподаванию аналитической геометрии студентам прикладных специальностей. Первый подход
вынужденным образом используется в некоторых технических вузах, где аналитическая геометрия является лишь одним из разделов
курса высшей математики. (Разумеется, это не относится к втузам с
расширенной программой по математике.) Он в значительной степени сводится к перечислению на лекциях многочисленных фактов, содержащих формулы для решения задач. При этом из-за ограниченности времени приводится обоснование лишь части этих
фактов, а процесс решения задач студентами зачастую сводится к
подстановке числовых данных в известные формулы. Для обучения
студентов университетской специальности “Прикладная математика и информатика”, осваивающих аналитическую геометрию в
рамках курса “Геометрия и алгебра”, представляется целесообразным использование иного подхода. Этот второй подход предусматривает существенно более глубокое изучение материала. Он
имеет целью не только вооружить студентов аппаратом, широко
используемым в других курсах и приложениях, но и сделать их
способными в дальнейшем, если это потребуется, пополнить
имеющийся запас знаний. Вот почему, на наш взгляд, в преподавании геометрии и алгебры особое внимание следует уделять следующему: 1) формированию алгебраического мышления; 2) развитию геометрической интуиции; 3) повышению логической культуры. Потребность в наиболее рациональном использовании времени
учебных занятий заставляет по-новому организовать построение
курса, используя группировку материала не только по предмету, но
и по методу изучения. Эта тенденция нашла отражение в учебниках и задачниках по геометрии и алгебре (см., например, [1, 2]).
В адресованных молодым преподавателям методических указаниях [3] автор предложил четкие формулировки некоторых правил, дающих единый метод решения задач на прямые и плоскости.
В настоящей статье предлагается использовать в преподавании
геометрии и алгебры задание множеств точек системами неявных
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
уравнений с параметрами. Этот способ задания обобщает стандартные (с помощью неявных или параметрических уравнений) и
позволяет легко переводить ряд задач на составление уравнений
множеств точек на алгебраический язык. Показывается, как для
одних задач этот перевод немедленно приводит к системе неявных
уравнений с параметрами, после чего остается лишь позаботиться о
приведении системы к удобному виду с помощью исключения параметров (полного или частичного). Рассматриваются и ситуации,
когда такой перевод не приводит непосредственно к системе уравнений. Показывается, что даже в этих случаях есть возможность
сформулировать конкретные правила организации дальнейших
рассуждений, которые полезно иметь в виду студентам при решении задач. Решение задачи с использованием систем неявных
уравнений с параметрами может содержать три этапа. Первый из
них – это перевод задачи на алгебраический язык, второй – нахождение системы неявных уравнений с параметрами, третий – нахождение эквивалентной ей системы неявных или параметрических
уравнений. При этом, разумеется, некоторые из этих этапов могут
оказаться лишними или тривиальными. В то же время, как показывает опыт преподавания, реализация каждого из этапов студентами
может сопровождаться логическими ошибками. Примеры таких
ошибок приводятся в статье.
Всюду ниже, если не оговорено противное, предполагается,
что в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Впрочем, определения и правила, формулируемые ниже, допускают очевидные обобщения на случай n-мерного аффинного пространства и аффинной системы координат.
Рассмотрим систему неявных уравнений
 F1 ( x, y, z , u1 , ... , u p ) = 0,

(1)
 ...............
 F ( x, y, z , u , ... , u ) = 0
1
p
 k
с параметрами u1 , ... , u p . При этом не исключается случай, когда
p=0, т.е. параметры отсутствуют. Будем говорить, что система (1)
задает множество Q точек трехмерного пространства, если для всякой точки M(x,y,z)
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 F1 ( x, y, z , u1 , ... , u p ) = 0,

M ∈ Q ⇔ ∃ u1 , ... , u p ∈ R  . . . . . . . . . . . . . . .
 F ( x, y, z , u , ... , u ) = 0.
1
p
 k
Рассматривая наряду с (1) другие системы такого вида, будем
их нумеровать и обозначать множество, которое задает система (i),
через Q(i). Итак, пусть задана еще одна система неявных уравнений
G 1 ( x, y , z , v 1 , ... , vq ) = 0,

(2)
 ...............
 G ( x, y, z , v , ... , v ) = 0
1
q
 l
с параметрами v 1 , ... , vq . Будем говорить, что система (2) является
следствием системы (1), если Q(1) ⊆ Q( 2) . Системы (1) и (2) будем
называть эквивалентными, если каждая из них является следствием
другой, т.е. Q(1) = Q( 2) .
Переходя к формулировке шести правил, отметим прежде всего, что они содержат не утверждения, которые обязательно следует
сформулировать студентам, а способы рассуждений, которым их
рекомендуется научить (возможно, в процессе обсуждения решений конкретных задач).
Правило 1. Пусть каждой точке M 0 ( x0 , y0 , z0 ) множества (например, линии) Q(1) сопоставлено множество (например, линия)
QM 0 , заданное системой неявных уравнений
 H 1 ( x, y , z , x0 , y0 , z 0 , w 1 , ... , wr ) = 0,

........................
 H ( x, y, z , x , y , z , w , ... , w ) = 0
 m
0 0 0
1
r
с параметрами w 1 , ... , wr . Если искомое множество (например, поверхность) задано (или его удалось представить) как  QM 0 , то
M 0 ∈Q(1)
его можно задать системой неявных уравнений
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 F1 ( x0 , y0 , z0 , u1 , ... , u p ) = 0,
 ..................

 Fk ( x0 , y0 , z0 , u1 , ... , u p ) = 0,
(3)

(
,
,
,
,
,
,
,
...
,
)
=
0
,
H
x
y
z
x
y
z
w
w
r
0 0 0
1
 1
 .......................

 H m ( x, y, z , x0 , y0 , z 0 , w 1 , ... , wr ) = 0
с параметрами x0 , y0 , z0 , u1 , ... , u p , w 1 , ... , wr .
Отметим, что система (3) неудобна для использования: ее первые k уравнений содержат лишь параметры и не содержат координат x,y,z. Поэтому после применения правила 1 целесообразно выполнение этапа 3, отмеченного выше. Правило 1 оказывается полезным при составлении уравнений поверхностей, получаемых путем движения линии по заданной траектории. В геометрическом
моделировании [4] такие поверхности называются поверхностями
движения, или кинематическими поверхностями. Примерами могут
служить поверхности вращения; цилиндрические и конические поверхности; поверхности, заметаемые подвижной параболой при
скольжении по неподвижной (см. задачу 1000 из [5]). Правило 1
применимо и в ситуациях, когда каждое множество QM 0 является
точкой (например, если требуется составить уравнение проекции
линии Q(1) на заданную плоскость; уравнение линии, симметричной Q(1) относительно заданной плоскости, и т.п.). Так что при
изучении, скажем, геометрических преобразований тоже есть возможность его использования.
Пример 1. Составить уравнение конуса с вершиной в начале
координат, направляющей которого служит парабола
 y 2 = 2 px,

 z = 1.
Решение. Рассматриваемый конус – объединение прямых
 x = x0 t ,

 y = y0t ,
 z = z t,

0
37
(4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
проходящих через начало координат и точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) параболы (4). Поэтому его можно задать системой неявных уравнений
 y02 = 2 px0 ,

 z 0 = 1,
(5)
 x = x0 t ,
 y = y t,
0

 z = z 0t
с параметрами x0 , y0 , z0 , t . Остается выполнить последний, третий,
этап. Заметим, что при исключении параметров желательно обойтись без использования равенств
x
y
z
x0 = ; y 0 = ; z 0 = .
t
t
t
Это связано с тем, что параметр t может принимать значение 0,
и случай t = 0 тогда придется рассматривать отдельно. Удобнее, выражая из первых двух уравнений системы (5) параметры x0 и z0 и
подставляя в последние три, получить систему
1 2

=
x
y0 t ,

2p

(6)
 y = y0t ,
 z = t.


Покажем два способа организации дальнейших рассуждений.
Способ 1. Уравнения (6) – это параметрические уравнения
множества Q(6). Поскольку Q(5) ⊆ Q( 6) , остается установить справедливость обратного включения. Действительно, положив
1 2
x0 =
y0 ; z 0 = 1; из (6) выводим (5). Переобозначив y0 через S,
2p
получаем ответ в виде параметрических уравнений:
1 2

=
x
s t,

2p

 y = st ,
 z = t.


38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отметим, что в геометрическом моделировании параметрические уравнения широко используются наряду с неявными [4].
Способ 2. Пытаясь выполнить полное исключение параметров,
умножим первое уравнение системы (6) на t. Из полученного ра1
венства xt =
( y0t ) 2 с учетом двух последних уравнений системы
2p
1 2
(6) находим, что xz =
y , т.е.
2p
(7)
y 2 = 2 pxz.
Типичной ошибкой, допускаемой студентами на третьем этапе,
является объявление уравнения (7) решением задачи. На самом деле доказано лишь, что Q(5) ⊆ Q( 7 ) . Для доказательства обратного
включения рассмотрим сначала случай, когда z ≠ 0 . Тогда, полагая
x
y
t = z; x0 = ; y0 = ; z0 = 1 ,
z
z
из (7) действительно получаем (5). Однако рассмотрение случая,
когда z = 0 , показывает, что включение Q( 7 ) ⊆ Q(5) неверно. Действительно, прямая
 y = 0,

z =0
не содержится в конусе (5), так как его пересечение с плоскостью
z = 0 состоит из одной точки O(0,0,0). Одна из простейших возможностей получить ответ в виде системы неявных уравнений такова.
Заметим, что из (5) следует, что x(1 − (sgn z ) 2 ) = 0 , где
 1, если z > 0,

sgn z =  0, если z = 0,
− 1, если z < 0.

Поэтому Q(5) ⊆ Q(8) для системы неявных уравнений
 y 2 − 2 pxz = 0,
(8)

2
 x(1 − (sgn z ) ) = 0,
причем проверка включения Q(8) ⊆ Q(5) проходит и в случае z = 0.
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Правило 2. Если искомое множество задано (или его удалось
представить) как Q(1) ∩ Q( 2) , то его можно задать системой неявных уравнений
 F1 ( x, y , z , u1 , ... , u p ) = 0,
 ................

 Fk ( x, y , z , u1 , ... , u p ) = 0,
(9)

G
x
y
z
v
v
(
,
,
,
,
...
,
)
=
0
,
q
1
 1
 ...............

Gl ( x, y, z , v 1 , ... , vq ) = 0
с параметрами u1 , ... , u p , v 1 , ... , vq .
Правило 2 оказывается полезным, в частности, при исследовании взаимного расположения двух множеств точек (например, линейных многообразий), при нахождении линий пересечения двух
поверхностей (например, сечений поверхностей плоскостями) и
при составлении общих уравнений прямой в трехмерном пространстве. Одна из возможных логических ошибок при использовании
правила
2
совершается
при
нарушении
условия
{u1 , ... , u p } ∩ {v 1 , ... , vq } = ∅ вопреки тому, что u1 , ... , u p , v 1 , ... , vq –
попарно различные переменные. Примером служит неправильное
нахождение точки пересечения двух прямых, заданных параметрическими уравнениями, когда при составлении системы (9) в качестве параметров u1 и v1 используется одна и та же буква t. Чтобы
показать другую логическую ошибку, приведем
Пример 2. Составить уравнения прямой, проходящей через
точку (2,1,0) и пересекающей две прямые
 x = −1 + 2t ,

(10)
 y = 1 + t,
 z = 3t

и
 x = 2 + 9t ,

(11)
 y = −2 + t ,
 z = 3t.

Система координат аффинная.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. Прямая (10) проходит через точку P1 (−1,1,0) и имеет
направляющий вектор (2,1,3) ; прямая (11) проходит через точку
P 2 (2,−2,0) и имеет направляющий вектор (9,1,3) . Легко видеть,
что данные прямые скрещиваются. Поскольку
= (3,0,0) и
= (0,3,0) , где P0 (2,1,0) – данная точка, то
не коллинеарен
и
не коллинеарен . Следовательно, однозначно определены плоскости, проходящие через данную точку и данные прямые. Уравнения этих плоскостей
x − 2 y −1 z
x − 2 y −1 z
2
1
3 = 0;
9
1
3 = 0;
1
0
0
0
1
0
или 3 y − z − 3 = 0 ; x − 3 z − 2 = 0 . Если искомая прямая существует,
то она является линией пересечения этих плоскостей. Типичной
ошибкой является объявление общих уравнений
3 y − z − 3 = 0,
(12)

 x − 3z − 2 = 0
решением задачи. На самом деле искомая прямая не существует.
Действительно, если прямая V1 лежит в плоскости, проходящей через прямую V2 и точку P ∉ V2 , и проходит через точку P, то V1 либо
пересекает прямую V2, либо параллельна ей. Поэтому необходимо
проверить, не оказалась ли прямая (12) параллельна одной из данных прямых (т.е. не оказалась ли одна из найденных плоскостей,
проходя через одну из данных прямых, параллельна другой). Поскольку прямая (11) параллельна плоскости 3 y − z − 3 = 0 , заключаем, что задача не имеет решений. Отметим, что указанная выше
ошибка в решении задачи делается на первом этапе, когда с целью
перевода задачи на алгебраический язык используется ее переформулировка, носящая характер неравносильного перехода. Остается
высказать пожелание, чтобы аналогичные примеру 2 задачи (с числовыми данными, при которых искомая прямая не существует)
появились в задачниках по геометрии и алгебре, давая возможность студентам учиться на своих ошибках.
Правило 3. Пусть задано множество (например, линия) Q(1) и
известно, что искомое множество (например, поверхность) Q принадлежит семейству множеств
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(Qa ) a = ( a1 ,..., as )∈W ,
где W – заданное непустое подмножество арифметического векторного пространства R s , s ∈ N. Пусть каждое множество
Qa (a ∈ W ) задано системой неявных уравнений
 K1 ( x, y , z , a1 , ... , a s , t1 , ... , t q ) = 0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 K ( x, y, z , a , ... , a , t , ... , t ) = 0
1
s 1
q
 m
с параметрами t1 , ... , t q . Если известно, что Q(1) ⊆ Q , то при нахождении искомого множества Q (т.е. таких a ∈ W , что Q = Qa ) можно
использовать условие
  F1 ( x, y , z , u1 , ... , u p ) = 0,

∀ x, y, z , u1 , ... , u p ∈ R   . . . . . . . . . . . . . . . ⇒
 
  Fk ( x, y, z , u1 , ... , u p ) = 0


(13)
.


Правило 3 оказывается полезным при составлении уравнений
поверхностей из некоторого семейства, проходящих через заданную линию; при нахождении прямых, целиком лежащих не поверхности (например, прямолинейных образующих), и т.п.
Пример 3. Составить уравнение гиперболического параболоида, проходящего через гиперболу
( y + 1) 2 − x 2 = 1,
(14)

 z = y,
зная, что его плоскости симметрии совпадают с двумя плоскостями
координат Oxz и Oyz и что третья координатная плоскость пересекает его по паре прямых.
Решение. Если плоскости симметрии гиперболического параболоида совпадают с плоскостями Oxz и Oyz, и единственной перпендикулярной им плоскостью, пересекающей его по паре прямых
является плоскость Oxy, то, как известно, уравнение гиперболического параболоида имеет вид
 K1 ( x, y , z , a1 , ... , a s , t1 , ... , t q ) = 0,

⇒ ∃ t1 , ... , t q ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 K ( x, y, z , a , ... , a , t , ... , t ) = 0
1
s 1
q
 m
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x2
y2
(15)
− ~ = 2z
~
p
q
для некоторых ~
p , q~ ∈ R , таких, что ~
pq~ > 0 . Поскольку он проходит
через гиперболу (14), то
2
2
 ( y + 1) 2 − x 2 = 1,

x
y
⇒ ~ − ~ = 2 z  . (16)
∀ x, y , z ∈ R  
 z=y
p
q


Покажем три способа организации дальнейших рассуждений,
каждому из них предпослав формулировку некоторого правила.
Прежде чем сформулировать правило 4, напомним, что курс
геометрии и алгебры изобилует ситуациями, в которых приходится
иметь дело с бесконечными системами каких-либо условий. Весьма общий подход к организации рассуждений в таких ситуациях
указывает
Правило 4. Если требуется получить или использовать уже полученную бесконечную систему каких-либо условий, то целесообразно попытаться сделать это с привлечением некоторой ее конечной подсистемы, выбранной подходящим образом. При этом следует позаботиться о том, чтобы замена бесконечной системы ее
конечной подсистемой не свелась к переформулировке задачи, носящей характер неравносильного перехода.
Способ 1. Выделяя из системы условий (16) конечную подсистему, возьмем на гиперболе (14) две точки: ( 3,1,1) и ( 3,−3,−3) .
Тогда в силу (16) имеем
1
3
−
= 2,
 ~
p
q~
3
9
 ~ − ~ = − 6,
 p
q
откуда находим, что ~
p = 1 и q~ = 1. Типичная ошибка, допускаемая
студентами на втором этапе при таком способе решения, заключается в том, что уравнение x 2 − y 2 = 2 z сразу объявляется искомым.
Сначала надо убедиться в справедливости утверждения
 ( y + 1) 2 − x 2 = 1,

⇒ x2 − y 2 = 2z  .
∀ x, y , z ∈ R  
 z=y



С этой целью докажем равносильное ему утверждение
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 ( y + 1) 2 − x 2 = 1,
∀ x, y , z ∈ R  
 z=y

Это легко сделать, заметив, что
 x 2 − y 2 = 2 z,
⇔

=
z
y

 x 2 − y 2 = 2 z,
⇒ 
z = y

.


( y + 1) 2 − x 2 = 1,

 z = y.
Итак, x 2 − y 2 = 2 z – искомое уравнение.
Правило 5. При использовании условия (13) для нахождения
a1 , ... , as целесообразно попытаться из системы (1) выразить x,y,z
через u1 , ... , u p и подставить в условие
 K1 ( x, y , z , a1 , ... , a s , t1 , ... , t q ) = 0,

∃ t1 , ... , t q ∈ R  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 K ( x, y, z , a , ... , a , t , ... , t ) = 0.
1
s 1
q
 m
(17)
Если это невозможно сделать (например, если p = 0), то можно
пытаться из системы (1) выразить, скажем, x и y через z , u1 , ... , u p
(или выразить x2 и y через z , u1 , ... , u p , если в (17) входят только
четные степени x, и т.п.) и подставить в (17). Наконец, если, например, p = 0 и часть переменных x,y,z не удается выразить через
остальные, можно попытаться сначала заменить систему (1) на эквивалентную ей систему параметрических уравнений.
Способ 2. Поскольку
( y + 1) 2 − x 2 = 1,
 x 2 = ( y + 1) 2 − 1,
⇔ 

 z = y
 z = y,
то, подставляя полученные выражения для x2 и z в уравнение (15),
приходим к условию
1

1
1
∀ y ∈ R  ~ − ~  y 2 + 2 ~ − 1 y = 0.
q
p

p
Приравнивая коэффициенты получившегося в левой части равенства квадратного трехчлена нулю, находим, что ~
p = 1 и q~ = 1.
Правило 6. Если множество Q(1) лежит в некоторой плоскости
(например, одним из уравнений системы (1) является общее уравнений некоторой плоскости), то для использования условия (13) можно привлечь проектирование на одну из координатных плоскостей.
Способ 3. Условие (16) равносильно следующему:
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2

 x2
y
2
2
 ( y + 1) − x = 1,

− ~
∀ x, y , z ∈ R  
⇒ ~
p
q
 z = y
 z = y

т.е. условию

 ( y + q~ ) 2
 ( y + 1) 2 − x 2 = 1,

−
∀ x, y , z ∈ R  
⇒  q~ 2
 z = y
z = y



= 2 z, 
,


(18)

x2

1
,
=
~
~
pq
.


На втором этапе при таком способе решения студенты часто
допускают следующую неточность. Вместо (18) делается утверждение, что линией пересечения гиперболического параболоида
(15) с плоскостью z = y является гипербола (14). Конечно, это более
сильное утверждение в данном случае нетрудно обосновать. Но эти
усилия будут напрасными, так как это утверждение не нужно для
решения задачи. По-видимому, следует обращать внимание студентов на неустойчивость подобного рассуждения к обобщениям.
Например, тор
16( x 2 + y 2 ) = ( x 2 + y 2 + z 2 + 3) 2
проходит через окружность
( x − 2) 2 + z 2 = 1,

 y = 0,
но пересечение его с плоскостью y = 0 является объединением
двух окружностей
( x ± 2) 2 + z 2 = 1,

 y = 0.
Продолжая решение задачи, из того, что гипербола (14) содержится в гиперболе
 ( y + q~ ) 2
x2

− ~ ~ = 1,
 q~ 2
pq
 z = y,

заключаем, что такое же включение имеет место для их проекций
на плоскость Ox,y, т.е.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


∀ x, y , z ∈ R 


2

 ( y + q~ ) 2
x
( y + 1) − x = 1,


1
,
−
=
~
~
⇒  q~ 2

pq
.
0
z
=


z = 0


x2
y2
Отсюда, учитывая известную форму гиперболы 2 − 2 = − 1
a
b
2
2
( y + c)
x
(и, следовательно, гиперболы 2 −
= − 1 ), выводим, что
a
b2
q~ = 1; q~ 2 = 1; ~
p = 1 и q~ = 1.
pq~ = 1 ; т.е. ~
2
2
Литература
1. Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия. СПб.: Лань, 2003.
416 с.
2. Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. 1. М.: ИКД “Зерцало-М”, 2003. 430 с.
3. Бродский Г.М. Аналитическая геометрия: Методические указания к проведению практических занятий. Ярославль: Яросл. гос. ун-т, 1978. 12 с.
4. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование. М.: Физматлит, 2002. 472 с.
5. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1976. 384 с.
О важности использования
математического инструментария в решении
экономических задач школьного курса экономики
Н.Л. Будахина
Ярославский государственный педагогический
университет им. К.Д. Ушинского
О важности и необходимости преподавании экономики в школе ведется немало разговоров. Актуальность включения предмета в
школьный базисный учебный план связывают с наступлением рыночных отношений в нашей стране, и главная задача педагога научить школьника мыслить экономически грамотно, подготовить
его к принятию правильных и рациональных решений и поступков.
Особенно эта задача обострилась в связи с последними постановлениями и решениями правительства в сфере образования.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Среди приоритетных направлений модернизации образования,
опубликованных в "Учительской газете" № 22 от 30.05.2003 г. в
статье "Стратегия развития образования", названы:
 "Усиление социальной и гуманитарной ориентированности
общего образования, расширение и конкретизация его социального
и культурного контекста. Для этого, прежде всего, необходимо
преодолеть технократизм школьного образования, вывести на
должный уровень предметы социально-гуманитарного цикла (право, экономика, основы политической системы, общественного устройства, иностранные языки должны преподаваться в объеме, достаточном для полноценной гражданской деятельности выпускников школы)…;
 усиление практической ориентации и инструментальной направленности общего среднего образования, что означает:
- достижение оптимального сочетания фундаментальных и
практических знаний; направленность образовательного процесса
не только на усвоение знаний, но и на развитие способностей
мышления, выработку практических навыков;
- изучение процедур и технологий, а не набора фактов;
- расширение различного рода практикумов, интерактивных и
коллективных форм работы; привязка изучаемого материала к проблемам повседневной жизни, и т.д.".
Другими словами, перед общеобразовательной школой ставится задача формирования целостной системы универсальных знаний, умений, навыков, а также опыта самостоятельной деятельности и личной ответственности обучающихся, т.е. ключевых компетенций, определяющих современное качество образования.
Однако сложившаяся образовательная практика порой противоречит новым взглядам на сущность качественного изменения
общего образования, формируя проблемы модернизации. О.Е. Лебедев, руководитель Экспертно-аналитического центра при Национальном фонде подготовки кадров, доктор педагогических наук,
профессор, член-корреспондент РАО, выделяет, по крайней мере,
восемь проблем модернизации содержания школьного образования. Не называя всех проблем модернизации содержания образования, считаю необходимым выделить одну из них, актуальную
для преподавателей всех учебных дисциплин и экономики в том
числе - это проблема соотношения изучения социального опыта и
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
формирования собственного опыта учащихся в различных видах
деятельности. "В этой связи основным результатом должна стать
не система знаний, умений и навыков сама по себе, а набор ключевых компетентностей в интеллектуальной, социально-правовой,
коммуникационной, информационной и прочих сферах" [1].
На мой взгляд, такая правительственная стратегия на формирование "ключевых компетентностей" предполагает и изменение
методов обучения, уделяя больше внимания тем из них, которые
формируют практические навыки и способствуют усилению роли
самостоятельной работы учащихся. Более того, именно решение
экономических задач на уроках экономики или обществознания в
процессе обучения этому предмету предполагает реализацию
принципа субъектности и включение в учебное занятие приемов и
методов актуализации субъектного опыта учащихся, а значит, и
способствует формированию социальной компетентности, усиливает роль самостоятельной деятельности. Убеждена в том, и многолетняя практика преподавания подтверждает, что использование
задач по экономике имеет ряд преимуществ по сравнению с другими возможными формами работы в процессе освоения учащимися
нового материала и для проверки их знаний имеет ряд преимуществ. Решение задач, на мой взгляд, особенно эффективно ввиду
их практической направленности, так как задачи позволяют:
- учащимся применить свои знания к анализу конкретных событий реальной экономической действительности;
- проверить знания по всей программе и осуществить узковыборочную проверку, сконцентрированную на наиболее важных
или «традиционно» наиболее трудных понятиях или темах;
- решение задач упрощает понимание сложных экономических
явлений.
Содержание задач и упражнений необходимо подбирать в соответствии Обязательному минимуму содержания среднего общего
образования по экономике, утвержденному приказом Минобразования России от 30.06.99 г. № 56, и оно не должно быть перегружено задачами повышенной сложности. Решение задач в школьном
курсе экономики ставит своей целью не только разъяснение и освоение основных, базовых, понятий, а скорее актуализацию экономического мышления учащихся. А интеграция математических и
экономических знаний при этом способствует целостному воспри48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ятию экономических явлений, формированию навыков рационального экономического поведения.
В связи с этим возрастает роль умений и навыков самого учителя решать и использовать на уроках экономические задачи.
Большая роль в овладении методикой решения стандартных задач
по экономике отводится математической подготовке учителя и
учеников. Так, условие максимизации прибыли MR(Q)=MC(Q)
может быть строго и корректно объяснено, используя математический инструментарий. Дана функция прибыли П(Q) = TR(Q) TC(Q), и нужно определить ее максимум. Это обычная задача на
нахождение экстремума, и решается она стандартным способом –
берется первая производная функции прибыли и приравнивается к
нулю:
dП dTR dTC
=
−
= 0.
dQ
dQ dQ
Отсюда следует, что условие максимизации прибыли – это
dTR dTC
. Нетрудно видеть, что при очень маленьких прираще=
dQ
dQ
ниях объема выпуска, когда ∆Q → 0 , предельная выручка будет не
чем иным, как первой производной функции общей выручки,
∆TR (Q)
,
∆Q
а предельные издержки – первой производной функции общих издержек
MR(Q) =
MC (Q) =
∆TC (Q)
.
∆Q
∆TC dTC
∆TR dTR
и lim
. Следова=
=
∆Q → 0 ∆Q
∆Q → 0 ∆Q
dQ
dQ
тельно, MR(Q) = MC(Q) в точке максимума функции прибыли.
Безусловно, эта часть объяснения материала не является обязательной в школьном курсе, тем более что преподают экономику в
школах и географы, и историки, в основном, неспециалисты. Педагоги хотя и владеют большим количеством содержательной информации по предмету, но математический аппарат, применяемый
Действительно, lim
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
при решении задач, у них оказывается явно недостаточным. В данном случае учителю следует не только учитывать математическую
подготовку своих учащихся, но и привлекать имеющиеся у них
знания по математике для объяснения материала на уроке. Актуализировав тем самым собственный опыт ребенка, учитель имеет
возможность формировать интегративное мышление учащихся,
опираясь на межпредметные связи и повышая познавательную активность класса.
В качестве примера, подтверждающего важность практического применения знаний, умений и навыков по определению производной, рассмотрим тестовое задание № 19 по экономической теории Всероссийской олимпиады школьников по основам предпринимательской деятельности и потребительских знаний:
Зависимость общих затрат (ТС) фирмы, действующей на рынке
совершенной конкуренции, от величины выпуска описывается
формулой: TC =120Q2 - 80Q +100 (Q - величина выпуска, тыс. единиц). Если на рынке установилась цена, равная 640 руб. за единицу, то максимальную прибыль фирма получит, произведя и продав:
А) 2 тыс. ед. Б) 3 тыс. ед. В) 375 единиц. Г) Нельзя определить.
Развернутое решение тестового задания выглядит следующим
образом.
Условие максимизации прибыли фирмы, действующей на
рынке совершенной конкуренции:
(1)
MC = MR = p ,
где МС – предельные издержки фирмы,
MR – предельная прибыль,
р – цена изделия.
А предельные издержки (МС) можно получить, взяв производную от общих издержек (ТС), т.е. МС = ТС', отсюда
МС = ТС' = (120 Q2)' - (80Q)' + 100 = 2 × 120 Q – 80. Подставив полученные данные в уравнение (1), получаем:
240 Q - 80 = 640 → Q = 3 тыс.
Эту задачу легко интерпретировать в упражнение, позволяющее провести отработку навыков нахождения таких экономических
величин, как общие и предельные издержки, а также общая и предельная прибыль. Построение графика по данным этого упражнения облегчает понимание нахождение оптимального объема выпуска, максимизирующего прибыль фирмы.
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Упражнение
В таблице приведены данные о цене единицы продукции, объемах выпуска и соответствующей им величине общих издержек
фирмы, работающей на совершенно конкурентном рынке.
1) Рассчитайте общую выручку фирмы при каждом возможном
объеме выпуска и заполните третью колонку таблицы.
2) Рассчитайте предельную выручку фирмы при каждом возможном объеме выпуска и заполните четвертую колонку таблицы.
О чем говорят ваши расчеты?
3) Рассчитайте предельные издержки при каждом возможном
объеме выпуска и заполните шестую колонку таблицы.
4) Определите объем выпуска, при котором фирма получит
максимальную прибыль.
5) Подсчитайте прибыль фирмы при каждом возможном объеме выпуска и удостоверьтесь в том, что фирма действительно максимизирует свою прибыль, осуществляя тот объем выпуска, который отвечает условию максимизации.
Цена
единицы
продукции
Р, руб.
640
640
640
640
640
640
640
Выпуск
продукции
Q, тыс.
шт.
0
1
2
3
4
5
6
Общая Предельная Общие Предельные Общая
выручка
выручка издержки издержки прибыль П,
TR, руб.
MR, руб.
ТС, руб.
МС, руб.
руб.
Решение.
Выполнение этого упражнения требует от учителя и учащихся
в дополнение к расчетным экономическим формулам элементарных математических знаний по применению арифметических действий. Заполнение 3-й колонки не вызовет особого труда, так как
достаточно перемножить данные первых двух колонок.
Выручка (R) = Количество изделий (Q) × Цена изделия (p).
Предельная выручка (MR) находится простым вычитанием и
делением, так как показывает выручку каждой последней единицы
изделия:
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∆TR (Q)
.
∆Q
Например, при Q1 = 1 тыс. ед., TR1 = 640 тыс. руб., а при
Q0 = 0 тыс. ед., TR0 = 0, тогда
MR = (TR1 – TR0) : (Q1 – Q0 ) = 640 тыс. руб.
Для заполнения 5-й колонки достаточно подставить данные из
2-й колонки (Q) в уравнение TC = 120Q2 - 80Q +100. Например, при
Q1 = 1 тыс. ед. ТС = 120 × 12 - 80 × 1 + 100 = 140 тыс. руб.
Предельные издержки (МС) в 6-й колонке также находятся
простым вычитанием и делением, так как показывают, во сколько
обходится производителю последняя произведенная единица продукции
∆TC (Q)
.
MC (Q) =
∆Q
Например, при Q1 = 1 тыс. ед. TС1 = 140 тыс. руб., а при
Q0 = 0 тыс. ед. TС0 = 100 тыс. руб., тогда MС = (TС1 – TС0) : (Q1 –
Q0) = 40 тыс. руб.
Любую прибыль, в том числе и общую (7-я колонка), можно
получить простым вычитанием затрат из выручки. Полностью заполненная таблица выглядит следующим образом:
MR(Q) =
ПредельВыпуск Общая вы- ПредельОбщие
Общая
Цена ед.
ные изпродукции ручка TR, ная выруч- издержки
прибыль П,
продукции
держки
Q, тыс. тыс. руб.
ка MR,
ТС, тыс.
тыс. руб.
Р, руб.
МС, тыс.
шт. в день
в день
тыс. руб. руб. в день
в день
руб.
640
0
0
100
-100
640
1
640
640
140
40
500
640
2
1280
640
420
280
860
640
3
1920
640
940
520
980
640
4
2560
640
1700
760
860
640
5
3200
640
2700
1000
500
640
6
3840
640
3940
1240
-100
Данные в таблице четко показывают оптимальный объем, максимизирующий прибыль.
Заполненная таблица может служить и объектом для развития
аналитических способностей учащихся. Осуществляя дифференцированный подход в обучении, учитель может предложить учащимся с хорошей математической подготовкой построить графики
зафиксированных в таблице экономических величин, что послужи52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ло бы хорошим логическим завершением и обобщением материала
по данной теме.
На этом примере я хотела показать, как владение математическим инструментарием помогает учителю экономики повышать
познавательный интерес к своему предмету, добиваться самоактуализации учащихся, формировать у них экономическое мышление. Это поможет и самим педагогам реализовать свой творческий
потенциал и быть компетентными в преподавании такого социально-значимого предмета, как экономика.
Литература
1. Стратегия модернизации содержания общего образования: Материалы для
разработки документов по обновлению общего образования. М: Мир книги, 2001.
Обучение истории математики
с методическим уклоном
М.Ф. Гильмуллин
Елабужский государственный педагогический университет
Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики является объектом многих
теоретических исследований. В основу большинства из них положена концепция профессионально-педагогической направленности
обучения студентов в педвузе, разработанная А.Г. Мордковичем
[1]. Все положения этой концепции – принципы фундаментальности, бинарности, непрерывности, ведущей идеи – могут быть реализованы в различных видах профессиональной подготовки учителя. В работах С.В. Белобородовой [2] эти принципы применены к
историко-математической подготовке студентов педвуза. Они
влияют и на содержание, и на методику преподавания курса истории математики. Проблеме историко-методической подготовки
учителей посвящены работы К.А. Рыбникова, Т.С. Поляковой,
А.Е. Томиловой, Н.А. Буровой, О.В. Шабашовой и др. Если раньше
стоял вопрос о разработке методики использования историкоматематического материала в обучении математике в школе, то теперь стоит вопрос об ознакомлении будущих учителей этой методикой. Мы считаем, что, пока разработанные разными авторами
курсы истории математики остаются больше математическими
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
курсами. Но речь не идет о сведении этого курса к частной методике применения исторических сведений на уроках. Должна быть
создана методическая система обучения истории математики. И
все компоненты этой методической системы (цели, содержание,
методы, формы, средства и др.) должны в своей структуре содержать элементы, реализующие методическую направленность. Причем эта методическая система должна охватывать не только курс
истории математики. Такое широкое понимание задач профессиональной направленности историко-математической и методической
подготовки учителей в педвузе ставит соответствующие задачи методического обеспечения всех курсов из всех блоков учебного плана. Внешняя среда такой методической системы фактически охватывает все образование.
Одним из главных компонентов является содержание историко-математического образования. Методике отбора содержания
курса истории математики и его реализации в педагогическом вузе
посвящены, в частности, работы А.Е. Томиловой [3]. Эти и все подобные им работы реализуют авторские концепции курса. Также
мы проанализировали существующие программы и учебные пособия по истории математики с точки зрения задач этого курса. Они
решают не все задачи профессиональной направленности. Методическая направленность не везде соблюдается. Мы не можем рекомендовать ни одно конкретное учебное пособие для студентов,
опираясь на которое можно было бы решать все поставленные задачи.
Одно из рекомендуемых учебных пособий – классический
учебник К.А. Рыбникова для университетов. Имеются несколько
изданий этого учебника (1960, 1974, 1994 гг.) [4]. Его можно положить в основу фундаментального курса лекций, излагаемого по историческим периодам в хронологической последовательности. Но
при таком построении курса достаточно сложно проследить содержательно-методические линии школьной математики. А следование им мы объявляли одной из задач обучения истории математики. Тогда естественно построить цикл семинарских занятий по
тематическому принципу, последовательно изучая историю развития отдельных теорий или понятий. В этом случае мы рекомендуем
использовать пособие для учителей Г.И. Глейзера [5]. Естественно,
ограничиться только этими пособиями нельзя. Всегда надо иметь в
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
виду необходимость использования монументального исследования истории математики с древнейших времен до двадцатого века
коллектива авторов под редакцией А.П. Юшкевича и А.Н. Колмогорова. Но это сочинение не может быть рассмотрено как учебное пособие. Существует и другая рекомендованная в программах
литература (Д.Я. Стройк, А.П. Юшкевич, Б.В. Гнеденко и др.). Таким образом, имеется колоссальный объем исторического материала, накопленного и систематизированного наукой. Проблема
отбора содержания курса истории математики до конца не решена,
особенно с точки зрения его методической направленности. При
этом серьезным препятствием является также ограниченность часов, отводимых на изучение предмета. Как нам известно, при существующем положении вещей каждая кафедра решает данную
проблему по-своему. Для примера, сравним некоторые современные учебные пособия (С.Н. Марков [6], Н.А. Бурова [7], Р.А. Майер [8]).
С.Н. Марков излагает историю математики тематически. Каждой теме соответствует отдельная глава. Главы относительно независимы друг от друга. В каждой главе имеются вопросы и задания,
которые рекомендуется разбирать на семинарских занятиях. Но эти
задания нельзя рассматривать как планы семинаров. В соответствующих местах пособия включены упражнения для самостоятельной работы студентов. Рассматриваемые в темах вопросы позволяют «перекинуть мостик» между школьной и вузовской математикой. Но это учебное пособие нельзя рассматривать как методическое пособие.
Учебное пособие Н.А. Буровой составлено как средство реализации гуманизации и гуманитаризации математического образования и ставит целью улучшение профессиональной подготовки учителя. В основу курса положен историко-хронологический метод в
комбинации с другими методами: предметно-модульным, концептуально-логическим, доминантным, историко-географическим,
персонифицированным. История основных понятий школьного
курса математики, по мере возможности, прослеживается при изложении материала. Большое внимание уделяется вопросам мировоззренческого и философского характера. Разработаны темы
практических занятий и рефератов. Причем предполагается подготовка и защита двуединых рефератов, включающих не только ис55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
торию изучаемого понятия, но и ее отражения в курсе математики
средней школы и вуза.
Учебное пособие Р.А. Майера представляет собой комплект,
состоящий из курса лекций и пособия к семинарским занятиям.
Изложение ведется по историческим периодам, с выделением в
каждом из них основных сформировавшихся к тому времени разделов математики. Вопросы, выносимые на семинары, рассматриваются с точки зрения умения анализировать, оценивать рассматриваемый исторический материал. И этот анализ является показателем, характеризующим не столько знание истории математики,
сколько уровень математической подготовки студента. Особое
значение уделяется знакомству студентов с первоисточниками.
Содержится детальная разработка семинарских занятий. Знание
истории предмета рассматривается как необходимый элемент математического образования педагога, который помогает ему в решении методических вопросов. Методическая линия, тем не менее,
представлена в пособии слабо.
Таким образом, все рассмотренные курсы истории математики
являются авторскими и решают разные задачи. Мы ставим целью
создание такого учебного пособия для студентов, которое было бы
средством реализации профессионально-направленного обучения
истории математики. Мы представляем его как некоторый комплекс. В этот комплекс входят:
1) курс лекций на историко-хронологической основе, в котором также четко выделена история основных понятий школьной
математики;
2) методическое пособие для семинарских занятий и самостоятельной работы студентов. В нем будет отражена каждая содержательно-методическая линия школьной и вузовской математики;
3) комплект средств обучения истории математики, включая
электронные.
Решить все поставленные задачи историко-методической подготовки учителей математики без такого комплексного пособия
очень сложно. Таким образом, каждая содержательная часть учебного материала будет иметь методическое приложение.
Сводить весь курс истории математики к подробным рекомендациям, какие исторические сведения и каким образом нужно применять, считается нецелесообразным. Но методические рекомен56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дации или выводы о значении каждой темы для школьной математики совершенно необходимы. В методическом пособии мы предполагаем также установить связи истории математики с другими
предметами, особенно с методикой обучения математике. Исторический материал может с успехом служить многим целям обучения
математике.
Первую лекцию курса истории математики следует посвятить
вопросу ее применения при обучении математике в школе, ее педагогическому значению. Раскрываются цели, формы изучения исторического материала. Определяется предмет математики и истории
математики. История математики определяется как составная часть
истории человеческого общества. Устанавливается ее взаимосвязь
с другими науками и с практикой. Определяются периоды развития
математики. Таким образом, устанавливается необходимость начинать описание истории каждого периода развития математики с
общей характеристики состояния общества того периода.
Семинарские занятия лучше организовать по темам. В заданиях к ним все задачи, упражнения, вопросы связываются с конкретными школьными темами. В планы семинарских занятий, рефератов, индивидуальных творческих заданий обязательно включается
работа со школьными учебниками. Видами деятельности студентов
являются доклады на историко-математические темы, решение исторических задач, изучение различных форм использования исторических сведений в процессе обучения в школе (сообщение,
справка, беседа, решение задач, доказательство именных теорем,
показ и разъяснение рисунка, доклады учащихся, кружковые и факультативные занятия, математические вечера, викторины, выпуск
тематических математических газет и пр.), фрагменты уроков математики с применением исторического материала, подготовка
сценариев и программ историко-математических конкурсов, вечеров, оформление газет к юбилейным датам, изучение и обсуждение
исторической литературы, журнальных статей, защита рефератов
(о жизни и творчестве известных математиков, по отдельным темам), и др. Разрабатываются как планы отдельных уроков с применением исторического материала, так и тематические планы с историко-генетическим уклоном. Фактически будущие учителя учатся строить свою методическую систему обучения.
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
1. Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте. Дис. … д-ра
пед. наук. М., 1986. 355 с.
2. Белобородова С.В. Профессионально-педагогическая направленность историко-математической подготовки учителей математики в педвузах. Дис. … канд.
пед. наук. М., 1999. 163 с.
3. Томилова А.Е. Методика отбора содержания курса истории математики и
его реализации в педагогическом вузе. Дис. … канд. пед. наук. Архангельск, 1998.
230 с.
4. Рыбников К.А. История математики: Учебник. М.: Изд-во МГУ, 1994.
496 с.
5. Глейзер Г.И. История математики в школе: Пособие для учителей: В 3 кн.
М.: Просвещение, 1981 - 1983.
6. Марков С.Н. Курс истории математики: Учеб. пособие. Иркутск: Изд-во
Иркут. ун.-та, 1995. 248 с.
7. Бурова Н.А. История математики: Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во
НГПУ, 1999. 168 с.
8. Майер Р. А. История математики: Курс лекций. Часть 1. Красноярск: РИО
КГПУ, 2001. 191 с.
Роль доклада в организации учебного процесса
И.П. Иродова, С.И. Яблокова
Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова
Среди различных форм самостоятельной работы студентов
важное место занимает такая форма работы, как подготовка докладов. В этой статье мы попытаемся ответить на вопросы:
- Когда нужно давать доклады?
- Какие цели при этом преследует преподаватель?
- Как организовать учебный процесс?
- Какие при этом возникают трудности?
- Какова специфика математических докладов?
Рассмотрим конкретные примеры, опираясь на опыт работы
авторов статьи.
Учебный процесс в университете организован таким образом,
что студенты 1 - 2-го курсов только начинают изучать серьезную
математику. Конечно, в рамках основного базового курса доклады
студентам, как правило, не даются, потому что они не могут самостоятельно справиться с неизвестным материалом. Кроме того, изложение материала основного курса требует особой четкости,
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
строгости и ясности дли того, чтобы привить элементы математической грамотности. Поэтому преподаватель излагает материал такого курса сам, не привлекая студентов к чтению докладов. На
этом этапе обучения хорошо себя зарекомендовали такие виды самостоятельной работы, как домашние контрольные и расчетнографические работы, рефераты, индивидуальная работа под руководством преподавателя.
Начиная с 3-го курса, когда студенты в рамках специализации
начинают изучать специальные дисциплины, давать им доклады
полезно как для развития навыков работы с математической литературой, так и для развития математической речевой грамотности
будущих специалистов. Известно, что в настоящее время экзамены
в большинстве случаев проводятся в письменной форме (а с введением единого экзамена письменный экзамен окончательно вытеснит устный). В связи с этим студенты не учатся рассказывать изученный материал перед аудиторией. Они не могут внятно изложить
даже тот теоретический материал, которым довольно свободно
пользуются при решении задач. Лучшее, чего от них можно добиться, – изложение хода решения задачи в виде алгоритма действий без объяснения смысла этих действий.
Итак, цель, которую преследует преподаватель, давая студентам доклады, в первую очередь состоит в том, чтобы научить студента читать специальную математическую литературу и грамотно,
понятно для остальных излагать разобранный самостоятельно новый материал.
Еще одна цель - заинтересовать студентов, привить им навыки
самостоятельной творческой работы. Конечно, эта вторая задача
намного сложнее и всех увлечь невозможно. Многие отнесутся к
докладу как к очередному заданию. Но всегда находятся те, кто
может и хочет работать, кто желал бы глубже изучить предмет.
Если сам преподаватель - лектор интересно излагает свой курс,
то он заинтересует тех студентов, которые стремятся стать хорошими специалистами. Студенты "загораются" желанием свободно
владеть материалом, самостоятельно узнавать новые факты.
Ученики очень часто неосознанно стараются быть похожими
на того педагога, который интересно излагает материал и сумел заинтересовать их своим предметом. Ученик Давида Гильберта Герман Вейль так писал о своем учителе: "По своей душевной просто59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
те и в полном неведении я позволил себе записаться на курс по
квадратуре круга и понятию числа, объявленный Гильбертом на
этот семестр. Большая его часть была выше моего понимания. Но
двери нового мира уже распахнулись передо мною, и я недолго сидел у ног Гильберта, пока в моем молодом сердце не созрело окончательное решение всеми средствами стремиться прочесть и изучить все, что написал этот человек".
Конечно, великий Гильберт - это только образец для подражания, но стараться увлечь студентов своим предметом, зажечь в них
интерес к его изучению должен стремиться каждый преподаватель.
Наконец, в ходе подготовки студентами докладов и затем их
выступлении перед аудиторией преподаватель может выделить самых способных студентов, увидеть, кто из них может продолжить
обучение в магистратуре и аспирантуре, с кем можно работать по
индивидуальному плану. Ведь известно, что далеко не каждый отличник способен к творческой работе. Иногда студент, не заинтересованный в предмете, не особенно старается его постичь, получая удовлетворительные оценки без особых хлопот, не прикладывая к изучению материала никаких усилий. Но если это способный
человек, которого удастся заинтересовать тем или иным вопросом
курса, и он захочет сам разобраться в поставленной перед ним
проблеме, вникнуть в ее суть, то порой результаты бывают самые
неожиданные. Считавшийся слабым (а на деле просто неактивный)
студент вдруг с увлечением начинает заниматься заинтересовавшей его проблемой. В ходе решения задачи ему потребуется привлекать знания и из других курсов. Он вдруг видит, что казавшиеся
ранее ненужными факты требуются ему для решения задачи. Возникает сильная мотивация к изучению не только данного курса, но
и других математических дисциплин.
Остановимся несколько подробнее на проблемах, с которыми
может столкнуться студент при подготовке доклада. Чтение математических книг обладает рядом особенностей. Это длительная и
кропотливая работа. Глубокое понимание математического текста
приходит не сразу, зачастую требуется затратить немало времени и
труда, чтобы понять новый материал, вникнуть в тонкости того или
иного доказательства, понять причинно-следственные связи утверждений, суметь применить результаты к решению практических
задач. Иногда даже для того, чтобы понять одно предложение,
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нужно затратить много усилий. Еще знаменитый французский математик Жозеф Луи Лагранж обращался к молодым математикам
со словами: " Читайте, понимание придет потом".
Задача преподавателя - научить студента не бояться возникающих сложностей, читать материал в несколько приемов. При
первом прочтении постараться удержать главную нить рассуждений, понять основную идею, при последующих прочтениях сначала усвоить основные этапы доказательства, а затем разобраться в
тонкостях и деталях. При этом материал будет усваиваться лучше,
если использовать полученные знания на практике, решая задачи.
Перейдем теперь к вопросу о том, как организовать учебный
процесс. Доклады, которые предлагаются студентам для изучения
спецкурса, могут быть не связаны между собой, использовать материал, взятый из нескольких источников, а могут и продолжать
друг друга, развивая какую-либо одну проблему.
В рамках спецкурса "Теория Галуа и геометрические задачи на
построение", сложного с точки зрения даже студента-математика
5-го курса, доклады давались, как правило, с элементами повторения того материала, который в принципе должен быть студентам
известен из ранее изученных курсов. На известные уже вопросы
требовалось посмотреть как бы с новой точки зрения, с точки зрения его использования в данной теории. Поэтому доклады не были
жестко связаны друг с другом, студенты освещали разные вопросы
и могли пользоваться разными источниками. Такого рода доклады
полезны еще и тем, что заставляют студента, вспоминая изученный
ранее материал, заново переосмысливать его, обновлять свои знания, замечая, как этот материал применяется в других разделах математики.
В рамках спецкурса "Быстрые алгоритмы" доклады, наоборот,
зависели друг от друга. Студенты изучали этот курс, пользуясь одним источником. Большинство из входящих в курс алгоритмов основано на одной теореме о решении системы сравнений над кольцом многочленов. В этом случае была важна связь между различными докладами, нужно, чтобы доклады были максимально понятны для всех слушателей, так как следующие выступающие должны
будут использовать этот материал в своих выступлениях.
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Наконец, приведем пример, как предлагались доклады на
спецкурсе "Прикладная теория приближений", который рассчитан
на студентов четвертого года обучения.
В начале семестра каждый студент получает индивидуальное
задание для написания программы на компьютере. Чтобы справиться с поставленной задачей, студенту необходимо изучить соответствующий теоретический материал. Он и является темой доклада. Хотя доклады жестко и не связаны между собой, почти все
они посвящены решению одной и той же задачи - приближению
заданной функции более простой. Изменяется только аппарат приближения и способ приближения. Поэтому в конце семестра, когда
программы написаны и отлажены, происходит сравнение применяемых алгоритмов, которые тестируются на одних и тех же примерах. Обсуждение проходит опять в форме небольших докладов.
Таким образом, студенты делают еще по одному докладу, в которых уже разбирается не теоретический материал, а анализируется
проделанная работа.
На конкретных примерах мы показали, как можно организовать работу спецкурса. Обсудим теперь, как оценить работу студента в конце семестра. Можно, конечно, поставить отметку за
подготовку доклада, но нужен постоянный контроль, иначе тот, кто
сделал доклад, будет считать свою работу выполненной и не станет
принимать участие в дальнейшей работе спецкурса.
Можно рекомендовать устроить зачетное мероприятие по всему прослушанному курсу. Это значительно активизирует работу
студентов на занятиях. Они задают много вопросов докладчику,
стараясь разобраться в материале. Если после доклада предполагается дать еще и задание для выполнения его на компьютере, то это
можно сделать следующим образом: теоретический материал рассказывает один студент, а программу на эту тему пишет другой.
Можно раздробить доклады на более мелкие части и давать не
один доклад, а несколько. Можно увеличить количество выступающих, давая доклад сразу двум студентам. Все это преследует
одну цель - привлечь к обсуждению на занятиях как можно больше
слушателей. Конечно, есть студенты, которым не нужна дополнительная опека со стороны преподавателя. Они занимаются, потому
что им интересно. Задача преподавателя - сделать так, чтобы таких
студентов было как можно больше. Можно напомнить студентам
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
слова И. Гете: "Приобретать познания еще недостаточно для человека, надо уметь отдавать их в рост". Именно это и делает докладчик. Поняв и осмыслив материал, он пытается донести его до слушателей.
Остановимся теперь на том, какую форму может иметь доклад.
Это зависит от цели, которая ставится перед докладчиком:
- обзор некоторых вопросов;
- подробное обсуждение какого-то одного вопроса;
- иллюстрация известного материала на примерах интересных
задач.
Упор может быть сделан как на теоретический, так и на практический аспект рассматриваемой в докладе темы. Во втором случае очень важен подбор задач и порядок их обсуждения. Если начать со сложной задачи, то, встречаясь с "непреодолимыми", по его
мнению, трудностями, студент, как правило, не делает никаких попыток их преодолеть, так как не понимает, с чего следует начинать.
Поэтому задачи должны усложняться постепенно. Лучше всего,
когда задачи связаны между собой так, что решение каждой последующей раскрывает новые аспекты вопроса, углубляя знания слушателей.
В заключение скажем о некоторых трудностях, которые возникают при организации работы спецкурса в форме докладов.
Во-первых, такая работа требует от преподавателя много дополнительных индивидуальных консультаций. Как правило, студенты не могут самостоятельно справиться с предложенным материалом и нуждаются в помощи. Если этой помощи не оказать, то
доклады становятся непонятными для самого докладчика и, как
следствие, неинтересными для слушателей.
Во-вторых, нужно внимательно относиться к выбору тем, выбирая золотую середину между сложностью материала и его познавательностью.
В третьих, важен подбор литературы. Если по данному спецкурсу есть хорошие методические разработки, пособия, наборы задач, то студенту легче разобраться в материале, а преподаватель
получает существенную помощь в руководстве самостоятельной
деятельностью студентов. Поэтому издание методической литературы не только по основным, но и по специальным курсам особенно важно как в плане руководства учебной работой студентов, так
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и в плане помощи преподавателю, ведущему семинарские занятия.
В таком издании можно обратить особое внимание на тот или иной
вопрос, наиболее сложный для понимания, проиллюстрировать
вводимые понятия на примерах, указать план изложения того или
иного раздела курса.
Наконец, преподаватель должен организовать работу спецкурса, помогать докладчику при возникающих трудностях. При подготовке доклада следует совместно с докладчиком обсудить план его
выступления, обратить его внимание на особо важные моменты,
посоветовать, каким образом более наглядно иллюстрировать вводимые понятия, обсудить те примеры и задачи, которые следует
разобрать в ходе доклада, научить пользоваться доской. Позднее
эти навыки пригодятся студенту при защите курсовых и дипломных работ.
Таким образом, доклад, как один из методов организации самостоятельной работы студентов, является важным этапом в обучении - одним из организующих факторов в работе студентов.
Методические и организационные
основы формирования в классических университетах
единой структуры подготовки и переподготовки
кадров сферы образования
В.А. Кузнецова, В.С. Сенашенко, В.С. Кузнецов
Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова,
Российский университет дружбы народов
Классические университеты, работая со студенческим и аспирантским контингентом, накопили большой опыт подготовки педагогических кадров в рамках дополнительного профессионального
образования. Этот опыт целесообразно использовать для создания
в университетах единой организационно-методической структуры,
обеспечивающей подготовку, переподготовку и повышение квалификации кадров сферы образования. Новые социально-экономические условия, возникшая регионализация образования во многом
изменили роль классических университетов в регионах. Они становятся научно-методическими центрами по подготовке преподавателей для школ продвинутого уровня, преподавателей высшей
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
школы, центрами повышения квалификации преподавателей вузов
своего региона и руководителей профессионального образования.
Обзор информации о системах подготовки преподавателей в
развитых в образовательном отношении странах указывает не
только на различие, но и на общие трудности, аналогичные российским, неудовлетворённость и стремление трансформировать
систему, в том числе решить проблему повышения квалификации
преподавателей.
Подготовка преподавателя высшей школы в рамках дополнительного образования (в магистратуре и послевузовском образовании) есть подсистема, не имеющая аналогов в мировой практике.
Она требует серьёзной проработки методологии соответствующих
образовательно-профессиональных программ, изучения способов
реализации. Однако до сих пор многие дисциплины не имеют достаточно развёрнутых учебных программ, т.е. используются авторские варианты, да и Государственные требования нуждаются в модернизации.
Послеуниверситетская профессиональная переподготовка преподавателей организована в ряде стран (Австралия, Ирландия,
Франция и др.). В нашей стране формой повышения квалификации
являлась организация институтов и факультетов повышения квалификации. При изменении социально-экономических условий ФПК
столичных вузов стали недоступны для многих преподавателей периферийных учебных заведений. В середине девяностых годов стала очевидной тенденция интеграции подсистем профессиональной
переподготовки, стажировки, повышения квалификации и дополнительной подготовки преподавателя высшей школы. В последние годы было обращено внимание на подготовку в рамках дополнительного образования менеджеров для системы высшей школы, на переподготовку руководящих кадров разного уровня для сферы образования. Анализ научного, методического, культурного, материальнотехнического потенциала классических университетов позволил
сделать вывод о целесообразности создания в части периферийных
университетов единой преемственной системы подготовки и переподготовки педагогических кадров разных уровней и различных направлений, реализуемой в форме дополнительного образования с
использованием современных образовательных технологий, в частности зачётных единиц. Такой подход вызвал необходимость теоре65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тических обоснований построения организационно-методических
структурных форм, разработки содержательного наполнения новых
программ (например, переподготовка руководящих работников для
сферы образования, в том числе для высшей школы), обновления
уже имеющихся программ, содержательной преемственности и сопряжения отдельных звеньев единой системы, разработки новой
технологической реализации. В настоящее время в решении некоторой части этих проблем определены ориентиры, построены общие
конструкции подготовки преподавателей разных уровней, подкреплённые Государственными требованиями к качеству подготовки
выпускника. Однако часть, касающаяся дополнительной педагогической подготовки в послевузовском образовании, и модель функционирования на университетском уровне единой системы подготовки и переподготовки педагогических кадров сферы образования,
которые должны иметь обширное научно-методическое сопровождение, ещё находятся в состоянии разработки. По-прежнему актуальными остаются вопросы модификации многоуровневой системы
и расширения спектра дополнительных профессиональных программ педагогической направленности.
Теоретической основой для создания организационно-методической структуры являются системный анализ и метод логического
моделирования, позволяющие построить преемственную модель
подготовки преподавателей разного уровня, начиная с программ
преподавателя основной школы (на базе бакалавриата), преподавателя (на базе подготовки специалиста), затем - преподавателя высшей школы (на базе магистратуры и аспирантуры) и кончая программами повышения квалификации преподавателей и руководящих работников для сферы образования. Проектирование моделей с
помощью метода логического моделирования предполагает сначала
выявить требования, которым должны удовлетворять подсистемы
образовательной системы, а затем на их основе сформировать обновлённое содержание имеющихся программ и содержание новых
программ подготовки и переподготовки работников для сферы образования. Применительно к обсуждаемой единой университетской
системе это означает, что одной из первоочередных задач является
исследование особенностей профессиональных компетенций современного преподавателя для школ продвинутого уровня, современного преподавателя вуза и руководителя в сфере образования. Зная
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
спектр профессиональных компетенций, можно сформулировать
требования, которым должна удовлетворять содержательная компонента системы дополнительного образования организационнопедагогического профиля. Термин «организационно-педагогический» употреблён для того, чтобы подчеркнуть, что профессиональные качества современного работника в сфере образования, будь то
преподаватель или руководитель какого-либо уровня, включают в
себя как определённые педагогические, так и организаторские и
управленческие умения и навыки.
Начатая в этом направлении работа обозначила необходимость
существенного обновления действующих с 1995 года Государственных требований для получения дополнительной квалификации
"Преподаватель". Первоначально программа разрабатывалась в расчёте на массовую подготовку преподавателей. Анализ опыта её реализации показал, что при сильном расслоении системы среднего образования, возникновении профильных классов, изменении программ, появлении новых технологий учебного процесса и выпускных экзаменационных работ должен измениться спектр профессиональных качеств преподавателя. Современный педагог должен быть
готов к самообразованию, доучиванию, непрерывному образованию
в течение всей жизни. Последнее означает не только необходимость
изменения подготовки в области предметного поля, но и определённую трансформацию менталитета. Будущий вариант Гостребований
должен быть направлен в сторону подготовки преподавателя, владеющего продуктивными, творческими методами и приёмами, способного к проектированию учебного процесса, не только к использованию готовых, но и к разработке собственных, авторских, методик. Указанные изменения вместе с обновлением содержания Гостребований потребуют разработки новых технологий.
Хотя необходимость изменения направленности Гостребований достаточно ясна, способы достижения цели не определены.
Во-первых, очевидно, что сформулированная позиция относительно формирования у выпускника готовности к непрерывному образованию в течение всей жизни касается, в первую очередь, обучения по основной профессиональной университетской программе.
Подготовка преподавателя выступает здесь лишь сопутствующим
фактором. Во-вторых, введение какого-либо специального курса не
изменит ситуации. Наверное, надо во многих курсах (если не во
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
всех) ставить одной из задач формирование у студента умения самостоятельной работы с книгой, отыскания необходимой информации и её обработки, психологической готовности к постоянному
профессиональному самосовершенствованию. Отсюда следует необходимость изменения методики обучения будущих преподавателей: уход от требований репродуктивного воспроизведения изучаемого материала к умению самостоятельно ставить и решать нестандартные задачи предметного поля. В Гостребованиях для получения дополнительной квалификации «Преподаватель» этим вопросам могут быть посвящены отдельные дисциплины.
Профессионально-педагогические компетенции преподавателя
высшей школы долгое время практически не находились в поле
зрения исследователей. До конца девяностых годов прошлого века
целенаправленная подготовка преподавателей высшей школы в период обучения в вузе вообще не осуществлялась, а в аспирантуре
номинально выполнялась на факультативной основе. С 1997 года и
в магистратуре (т.е. на вузовском этапе), и в аспирантуре она начала
осуществляться в рамках дополнительного профессионального образования в соответствии с «Государственными требованиями к
минимуму содержания и уровню профессиональной подготовки для
получения дополнительной квалификации “Преподаватель высшей
школы”». В 2001 году эти Государственные требования были обновлены. Подготовка преподавателя стала несколько привлекательнее для обучающихся: появилась содержательно более чётко очерченная программа, сопровождаемая получением государственного
диплома о дополнительной квалификации. Не останавливаясь подробно на содержании подготовки преподавателей высшей школы,
заметим лишь, что и обновлённые Гостребования нуждаются в совершенствовании. Особую трудность представляет реализация этой
программы в магистратуре, поскольку её содержание сильно пересекается с аспирантской программой и никак не сопряжено с магистерской подготовкой.
В последние годы во многом в связи с появлением рыночной
экономики, платных образовательных услуг, многоканального финансирования образовательных учреждений стала очевидной проблема изучения процессов реализации образовательного менеджмента как определённого вида социального управления. Маркетинг
и менеджмент, являясь основой организационно-педагогической
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
системы управления образованием, требуют глубокого изучения
руководителями образовательных учреждений и поэтому определяют программы их повышения квалификации и переподготовки.
Все описанные виды работ по подготовке, повышению квалификации и переподготовке кадров в сфере образования могут выполнять классические университеты, имеющие достаточный научный, методический потенциал и обширное материально-техническое оснащение. Классические университеты должны стать лидерами в формировании образовательной политики в регионе, в развитии важных, современных направлений подготовки специалистов, в
реализации опережающей функции образования. Однако университет готовит не только специалистов различных хозяйственных отраслей, но и кадры для учебных заведений всех уровней, значит, во
многом определяет качество образованности будущих поколений.
Хотя подготовка преподавателей высшей категории реализуется в
разных вузах, но в первую очередь эта функция возлагается на классический университет. Созданная в нём единая структура, обеспечивающая все виды подготовки и переподготовки работников сферы профессионального образования, реально осуществит содержательную преемственность программ разных уровней и сопряжённость дополнительных программ между собой и с основным профессиональным образованием. Единая университетская структура
не только содержательно, но и функционально может соединить все
звенья организационно-педагогической подготовки, вплоть до объединения отдельных потоков слушателей для изучения конкретных
дисциплин и составления необходимого расписания.
Одним из важных направлений модернизации высшей школы
России и формирования механизмов для вхождения российского
высшего образования в международное образовательное пространство является разработка эффективных методик применения системы зачётных (кредитных) единиц, которая может функционировать параллельно с действующей в настоящее время системой учёта трудоёмкости в академических часах. Кредитная (зачётная) система несёт не только учётную функцию, по мнению многих исследователей, она может выступать в качестве инструмента управления учебным процессом. Введение системы при так называемом
нелинейном подходе вызывает необходимость новой организации
учебного процесса, изменения технологии преподавания дисцип69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лин, разработок новых методических материалов. Применение зачётных единиц в дополнительном образовании, в силу его модульности, представляется весьма целесообразным. В частности, при
реализации курсов для руководящего состава образовательных учреждений надо иметь в виду, что руководитель не может позволить
себе долгое отсутствие на рабочем месте и поэтому его программа
повышения квалификации может быть распределена во времени на
основе последовательного накопления и перезачёта освоенных отдельных модулей, трудоёмкость каждого из которых выражена в
зачётных единицах. В сущности, такой же подход целесообразно
осуществлять и при подготовке по любым дополнительным программам.
Работа выполняется в рамках программы «Университеты
России (2004)».
Тестирование как одно из эффективных
средств измерения, обработки
и интерпретации учебных достижений
Н.Л. Майорова, В.В. Майоров
Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова
До настоящего времени в нашей стране отдавалось предпочтение традиционным формам контроля уровня знаний учащихся, однако в последние годы значительно вырос интерес к тестам применительно к средней школе и вузу. Тесты являются сейчас наиболее
развитой в научном отношении частью методического арсенала, позволяющего адекватно скреплять теорию с эмпирией в соответствии
с некоторыми известными стандартами качества информации.
В учебном процессе постоянно ощущается потребность в хорошо разработанных методах измерения уровня обученности в самых различных областях знаний. Традиционная система оценивания обучаемых не лишена многих недостатков, главными из которых являются: субъективизм, отсутствие регулярности контроля и
четких критериев оценки. Одним из путей преодоления этих недостатков может являться использование тестового контроля [1].
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На языке педагогической науки тестирование – это исследовательский метод, в основе создания и использования которого лежат
определенные правила. Научный тест – творение конца 19-го века.
Педагогическим тестом называется система заданий специфической
формы, определенного содержания, возрастающей трудности, создаваемая с целью объективно оценить структуру и измерить уровень подготовленности учащихся [2]. Тест в более сильной степени,
чем другие диагностические инструменты, отвечает критериям качества, предъявляемым к социологическим измерениям. В педагогической диагностике под тестированием понимаются исследовательские методы, с помощью которых результаты учебного процесса могут быть измерены, обработаны и интерпретированы с целью
использования результатов измерения в педагогической практике.
Профессиональное тестирование было начато еще в 2200 году
до нашей эры, когда служащие китайского императора тестировались, чтобы определить их пригодность для императорской службы. Педагогические тесты в ряде стран используются уже более ста
лет. Среди развитых в тестовом отношении стран – Нидерланды,
США, Австралия, Англия, Япония, Дания, Израиль, Канада, Новая
Зеландия, Франция. Не случайно, что многие из них имеют весьма
высокий уровень жизни населения. В Великобритании и в США
тестирование проводится независимыми организациями, в нем
участвуют все желающие поступить в университеты. В США уже в
1929 году была создана современная программа тестирования. В
середине 60-х годов 20-го века получила поддержку практика измерения результатов учебного процесса в школах с помощью общенациональных репрезентативных поперечных срезов (NAEP –
National Assessment of Educational Progress). Результаты обследования получают широкую огласку. Для учителей и родителей эти
данные очень наглядны, а для школ служат отправной точкой при
определении необходимости организации дополнительных программ повторения школьных курсов. В США поощряется конкуренция при создании и применении тестов. В настоящее время там
функционируют несколько сотен независимых от государственных
органов образования центров, осуществляющих различного рода
тестовые мониторинги.
В Австралии затраты на образование уже вышли на третье место в национальном бюджете. Доля образовательных услуг неук71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лонно возрастает, большое внимание уделяется разработке и применению тестов для нужд развития образования.
В Германии и Франции тестирование организуется в школе. Во
Франции в течение длительного времени положительная роль тестов отрицалась. Лишь в 1989 году был принят закон об основных
направлениях развития образования, в котором записано требование обязательной подготовки учителей по методам объективной
оценки знаний учащихся.
В Японии первый тур тестирования осуществляется государственным экзаменационным центром при министерстве образования,
а второй – университетами. Последние годы характеризуются объединением стран в проведении международных сравнительных исследований, осуществляемых на основе стандартизированных тестов.
Сопоставление положения дел с тестовым контролем в других
странах и в России показывает, что мы существенно отстаем по
масштабам практической работы, по финансированию научных исследований, по подготовке тестологов в педагогических вузах, по
уровню и качеству развития теории тестов, по программнотехнической оснащенности тестового процесса. В нашей стране
пристальное внимание к вопросам тестирования применительно к
средней школе было обращено лишь в начале 1990-х годов. В современном мире педагогической общественности относительно
тестов сложилась противоречивая ситуация. С одной стороны, тесты признаны оригинальным методом исследования широкого спектра проблем, с другой – можно констатировать затянувшуюся по
времени сдержанность в отношении к тестам, недостаток научных
публикаций и проистекающее отсюда частое непонимание сущности и возможностей практического использования [1].
При выборе новых методов оценки и обоснования их преимуществ над существующими следует опираться на научные достижения теории измерений, в частности последовательно учитывать
критерии качества педагогических измерений. Самые важные из
них – объективность, надежность, валидность и точность. Понастоящему объективное педагогическое измерение дает результаты, которые не зависят от состояния, личных черт характера и количества тех, кто его проводит. Обеспечить объективность оценивания можно лишь максимальной стандартизацией ее проведения.
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В этом смысле понятия «объективность» и «стандартизация» почти
тождественны. Объективность процедуры измерения возможна
лишь при одинаковых условиях для всех участников, следовательно, при максимальной стандартизации процесса оценивания. Эта
процедура должна дополняться объективностью обработки данных
и интерпретации полученных результатов [3].
Надежность метода измерения определяется уровнем устойчивости результатов, их повторяемостью во время аналогичных измерений в стандартных условиях. Степень надежности метода определяется с помощью коэффициента надежности, который равен
коэффициенту корреляции между результатами, полученными
одинаковыми методами и при одинаковых условиях.
Валидность (от английского valid – действительный, пригодный, имеющий силу) – один из важнейших критериев качества тестов, означающий пригодность теста для измерения того, что он по
замыслу должен измерять [5]. Валидность измерения – обязательная предпосылка уверенности педагога в том, что действительно
измеряются знания учащихся, а не что-то другое. Валидность считается достаточно высокой, если коэффициент корреляции будет
более 0,6. Чем выше валидность метода измерения, тем точнее полученные данные. Стопроцентно валидных тестов существовать
практически не может. Для большинства педагогических измерений валидность метода характеризуют более узкими критериальными признаками – валидностью содержания, соответствия и прогноза. На выпускных и вступительных испытаниях на первый план
выступает валидность прогноза успешности дальнейшего обучения
испытуемого на более высокой образовательной ступени.
Точность метода определяет минимальную или систематическую ошибку, с которой можно произвести измерения. Теория ошибок исходит из того, что при условии устранения систематических
ошибок постороннего характера колебания результатов измерения
подчинены четким статистическим закономерностям. Это и дает
возможность количественно определить меру точности и пользовать ею в дальнейшем [3].
Существует много традиционных способов педагогического
оценивания (измерения). Это и письменные контрольные работы, и
устный опрос, и наблюдения, и собеседования, и анкетирование.
Каждый из этих способов обладает как выраженными положитель73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ными чертами, так и отрицательными. Как отмечает немецкий педагог и психолог К. Ингенкамп [4], количество исследований, в которых доказана недостаточная объективность обработки письменных работ по всем предметам, весьма велико. Первые попытки
изучения объективности традиционных письменных работ относятся еще к 1912 - 1913 годам, когда исследовались экзаменационные работы по английскому языку, математике и истории. Самые
значительные расхождения показали работы по математике. В настоящее время исследователи уже перешли от констатации расхождений в оценках к изучению факторов, препятствующих объективности обработки письменных работ. Ингенкамп делает вывод:
нельзя гарантировать объективность обработки традиционных
письменных работ, если они оцениваются обычным образом. Надежность и валидность письменных работ также недостаточна.
Одни и те же преподаватели оценивают одну и ту же работу в разное время по-разному. В исследованиях немецких педагогов доказывается, что письменные работы, используемые на приемных экзаменах, не только варьировались по степени сложности в зависимости от места и года их использования, но часто не обладали никакой прогностической валидностью. Несмотря на то, что традиционные письменные работы играют определенную роль при переводе учащихся на другую образовательную ступень, они не являются достаточно надежной базой для проведения процедуры подобного рода.
Устная форма проверки знаний имеет более давнюю традицию, чем письменная, однако также является весьма малопригодным инструментом контроля знаний. Она появилась в школах
средневековья в форме диспута. Устная форма контроля является
наименее изученной, так как устный ответ не может быть конкретно зафиксирован для проведения его повторного анализа. С точки
зрения социальной психологии она нехороша тем, что экзаменатор
и экзаменующийся занимают асимметричные позиции, когда одни
определяют экзаменационную норму, а другие вынуждены к ней
приспосабливаться. Если экзаменатор и экзаменующийся не были
до сих пор знакомы, то первое впечатление приобретает особое
значение для общей оценки. Ритуал устного экзамена вызывает
очень сильный страх. Исследователи отмечают противоречие, заключающееся в том, что экзамен, призванный измерить успевае74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мость, препятствует достижению этой цели именно из-за чувства
страха, вызываемого самой формой измерения. Без интенсивной
подготовки и обучения преподавателей устный опрос становится
слишком необъективной, ненадежной и невалидной формой проверки [2]. Специалисты доказывают несоответствие устного опрашивания всем современным критериям качества. Если проведение
устного экзамена необходимо, то рекомендуется привлекать к участию в работе экзаменационной комиссии большее количество
преподавателей, чтобы обеспечить более объективную оценку знаний учащихся, что, например, должно неукоснительно выдерживаться при проведении любого вступительного экзамена в высшее
учебное заведение, хотя «грубость» и малую распознавательную
способность устного опроса не удается повысить ни применением
шкал с большим количеством ступенек, ни расширением состава
экзаменационной комиссии.
Тестирование нельзя рассматривать как универсальный и идеальный метод оценивания учебных достижений. Хотя хорошо подготовленное тестирование дает возможность удовлетворить основные методические критерии объективности, надежности и валидности. При этом может быть оценен и объем знаний, и его системность, и обобщение, и мобильность. К одним из немаловажных отрицательных черт тестовой формы контроля можно отнести значительные затраты времени на первичную подготовку качественных
материалов для проведения измерений, а также преодоление предубеждений приверженцев традиционных методов педагогических
измерений.
Тестовая форма может содержать задания с выбором одного ответа из двух, трех, четырех, пяти и большего числа ответов, среди
которых один правильный, остальные правдоподобны, но неверны.
Такие ответы в американской тестовой литературе обозначаются
словом distractor (to distract – отвлекать). В общем случае, чем лучше подобраны дистракторы, тем лучше бывает задание. Каждый ответ должен как бы привлекать к себе испытуемых: как правильные,
так и неправильные ответы выбираются в зависимости от подготовки учащегося. Среди недостатков заданий с двумя ответами – сравнительно высокая вероятность угадывания правильного ответа (она
равна ½, если ответы одинаково правдоподобны), поэтому резул ьтаты такого тестирования нельзя считать весьма достоверными. К
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
достоинствам заданий с двумя ответами можно отнести быстроту
выполнения тестирования, высокую технологичность проверки. В
практике тестирования задания с тремя ответами распространены
больше, чем задания с двумя ответами, но меньше, чем с четырьмя
или пятью. Одна из причин такого положения – исследования
1975 года, где с точки зрения надежности теста было показано преимущество заданий с четырьмя и пятью ответами по сравнению с
тремя. Из всех существующих в мире заданий с выбором одного ответа из нескольких возможных задания с четырьмя ответами распространены больше других. Одна из причин – кажущаяся оптимальность числа ответов. Подобрать к заданию более четырех эффективных дистракторов довольно трудно. Исключение могут составить тестовые задания по математике и физике. Задания с большим количеством дистракторов создавать достаточно трудно. Если
вариант теста содержит 30 заданий, то необходимо подобрать не
менее 120 отвлекающих дистракторов, каждый из которых должен
предварительно эмпирически проверяться.
Конечно, тестирование нельзя рассматривать как идеальный
метод оценивания знаний учащихся, исключая на этом основании
все иные. Хотя нет сомнений – при надлежащей предварительной
подготовке именно тесты лучше других средств удовлетворяют основным методическим критериям качества, удобны для измерения
знаний, их обработки и интерпретации.
В последние годы в педагогике сложилось некоторое представление о возможности проведения педагогических измерений
уровня знаний личности и уровня трудности предъявляемых заданий, являющихся латентными переменными. Можно утверждать,
чт.е. некоторая взаимосвязь между эмпирическими результатами
тестирования и этими латентными переменными. Широко известна
математическая модель датского исследователя Г. Раша латентной
дистанции, т.е. зависимости тестового результата от соотношения
уровня способности личности и уровня трудности задания. Логарифмическая оценка таких, казалось бы, реально несопоставимых
феноменов привела к попытке сравнить их посредством вычитания. Благодаря этому впервые появилась возможность корректного
сопоставления любого множества заданий с любым множеством
испытуемых, а на этой основе – решения вопросов шкалирования
результатов, адаптивного обучения и контроля знаний.
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Можно также использовать еще один подход к оценке информационной «стоимости» тестовых заданий, основанный на введенном Шенноном понятии энтропии системы. Если в тестовом задании имеются разные по трудности задания и если какое-то задание
является слишком простым, и его правильно решают все испытуемые или, наоборот, слишком сложным, и его не решает ни один
испытуемый, то значение энтропии уменьшается. Чем больше таких заданий в тесте, тем меньше степень неопределенности системы и тем хуже селективность теста. Применяя предложенную модель к ситуации централизованного тестирования по математике,
были рассмотрены четыре выборки испытуемых. Оказалось, что
используемая система тестовых заданий обладает энтропией, близкой к идеальной (равной 20): для абитуриентов ЯрГУ – 18,9; для
ЯГТУ – 18,8; для сельских школьников – 19,0, что свидетельствует
о хорошей «разрешающей способности» заданий для учащихся
общеобразовательных учебных учреждений. Энтропия для выборки учеников школы № 33 значительно ниже – 13,4, что говорит о
среднем уровне селективности государственных тестов для учащихся школ с математическим уклоном.
Можно утверждать, что в настоящее время основные усилия
исследователей в области тестирования должны быть направлены
на создание качественных контрольно-измерительных материалов,
обеспечивающих высокую точность, надежность и валидность
оценки учебных достижений учащихся в тестовой форме. В городе
Ярославле в течение последних трех лет группой методистов Городского центра развития образования под руководством сотрудников Центра тестирования при государственном университете
им. П.Г. Демидова проводится работа по созданию и внедрению
технологии педагогического и административного внутришкольного контроля учебного процесса (ВШТК) на основе диагностики усвоения учебных знаний учащимися в тестовой форме. Для этого
была создана базовая площадка (10 общеобразовательных средних
школ города) с целью апробации разработанных тестов и процедур
проведения тестирования, а также распространения опыта использования тестовых технологий в школах города. Для учителей базовых школ проводятся обучающие семинары по методике тестового
контроля, а для заместителей директоров – семинары по организации работ, связанных с тестовой формой оценивания. Проведено
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
обучение 407 педагогов школ города методике ВШТК по 5 предметам 7 – 11-х классов. Творческими коллективами опытных учителей города и методистов ГЦРО разработаны тестовые задания по
основным учебным предметам, осуществлена их апробация и экспертиза, разработана структура банка тестовых заданий и методические рекомендации педагогам и администрации школы по организации и проведению ВШТК. Группой компьютерной поддержки
при ГЦРО разработана автоматизированная система для накопления, статистической обработки и представления результатов тестирования на уровне отдельного ученика, учителя, класса, параллели,
школы в целом, района и т.д. Проводится работа по психологическому сопровождению внедрения ВШТК.
Особенно актуальным внедрение технологии ВШТК становится в период эксперимента по проведению Единого Государственного экзамена по отдельным предметам, заменяющим традиционные выпускные экзамены в школе. Учителя выпускных классов
стремятся как можно лучше подготовить учащихся к новому для
всех испытанию, в связи с чем активно посещают курсы, на которых прорабатываются организационные вопросы по подготовке к
ЕГЭ, его структура и содержание, нормативные документы и виды
контрольно-измерительных материалов. Преподаватели университета проводят разбор типичных заданий по разделам школьной
программы.
Нужно отметить, что весьма удобным банком тестовых заданий является система тестовых заданий Централизованного тестирования, в котором выпускники Ярославской области очень активно участвуют уже шесть лет. Процедура ЦТ вполне прочно утвердилась как одна из доступных, приемлемых и добровольных форм
оценивания знаний выпускников. Школьные педагоги также приняли и поддерживают государственное абитуриентское тестирование как удобную для школьников форму повторения всего объема
знаний по предмету, в связи с чем активно посещают организованные для них преподавателями университета тренинговые занятия,
чтобы еще более качественно оказывать помощь ученикам. Центр
тестирования, в свою очередь, организует тренинг-курсы по математике, физике и русскому языку для учащихся, готовящихся к
процедуре абитуриентского тестирования. Опытные педагоги помогают школьникам систематизировать знания и применять их к
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
решению заданий, сформулированных именно в тестовой форме.
Оказалось, что слушатели тренинг-курсов показали лучшие результаты по всем трем предметам как в сравнении со средним баллом по России, так и со средним баллом всех абитуриентов регионального представительства ЦТ при ЯрГУ (РПЦТ). Соответствующие цифры (баллы) по русскому языку: 58.3, 50.0, 54.7; по математике: 60.9, 50.0, 58.1; по физике: 56.5, 50.0, 52.6. При этом процент
участников абитуриентского тестирования РПЦТ и слушателей
тренинг-курсов, набравших тестовый балл, соответствующий
оценкам «4» и «5», соответственно равен: по математике – 62.5% и
78%, по русскому языку – 57.5% и 73%, по физике – 53.2% и 64%.
Цифры еще раз подтверждают незаменимую роль педагога в какой
бы то ни было его деятельности.
Показателями доверия к процедуре Централизованного тестирования (а следовательно, и к новой, тестовой форме контроля знаний) можно считать систематическое увеличение числа участников
абитуриентского тестирования. В 2003 году процедуру тестирования в Ярославском государственном университете прошло около
5 000 выпускников средних образовательных учреждений. По данным Госкомстата России, в Ярославский государственный университет в 2003 году предъявили сертификаты Централизованного
тестирования 1 742 школьника, из них было зачислено 472 абитуриента, что составило 30,1% от числа всех зачисленных в ЯрГУ.
Для сравнения, аналогичные цифры по Ярославскому государственному техническому университету составляют: 1 159, 931 и
52,5%; по Рыбинской государственной авиационной технологической академии: 1 887, 836 и 44,3%.
Литература
1. Кречетников К.Г. Задания в тестовой форме и методика их разработки.
Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2002. 36 с.
2. Аванесов В.С. Композиция тестовых заданий. М., 1996. 191 с.
3. Карсак К. Тесты – и не роскошь, и не идеал // Народное образование. 2002.
№ 8. С. 91 - 98.
4. Ингенкамп К. Педагогическая диагностика. М.: Педагогика, 1998, 239 с.
5. Анастази А. Психологическое тестирование. Книга 1. М.: Педагогика, 1982,
315 с.
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обсуждение вопроса о введении
начального курса геометрии в средних
учебных заведениях дореволюционной России
Л.Б. Медведева
Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова
Мысль о необходимости разделения обучения геометрии в
средних учебных заведениях на два курса - пропедевтический и
систематический - широкое распространение в России получила в
конце 19-го – начале 20-го века. Эта идея составила одну из основных проблем, обсуждавшихся на первом и втором Всероссийских
съездах преподавателей математики, которые проходили в Петербурге с 27 декабря 1911 по 3 января 1912 года и ровно через два
года – в Москве.
Разделение школьного курса геометрии на две части поддерживали многие участники съездов. Наиболее яркими выступлениями на эту тему были выступления С.А. Богомолова «Обоснование геометрии в связи с постановкой ее преподавания», ([1], т. 1) и
А.Р. Кулишера «Начальный (пропедевтический) курс геометрии в
средней школе. Его цели и осуществление» ([1], т. 1).
Главные причины необходимости реформирования курса геометрии и методики ее преподавания выделяют в своих докладах не
только С.А. Богомолов и А.Р. Кулишер, но и Д. Мордухай-Болтовской, С.И. Шохор-Троцкий, Д.В. Ройтман, Н.А. Извольский и
другие. Суммируя мнения разных докладчиков, эти причины можно сформулировать так:
1. В силу своих психолого-возрастных особенностей дети, приступающие к изучению геометрии, не в состоянии усвоить курс,
построенный на общих выводах современной аксиоматики. А
“психология указывает единственный путь в область абстракции,
это – тот, который идет через интуицию ” ([4], c. 23).
2. Для успешного усвоения материала преподавание должно
быть интересным. Интерес к знанию есть у каждого нормального
ребенка. Только направление интереса, его характер меняется с возрастом… Чем моложе человек, тем более его интересы направлены
в сторону внешнего мира. Учащиеся в том возрасте, в котором приступают к изучению геометрии, полны жажды знания, но при непременном условии, чтобы это знание преподносилось им в живой,
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
интуитивной форме, связанной с другими их интересами в области
природы и жизни ” ([1], т. 1, с. 46 - 47).
По этому поводу С.И. Шохор-Троцкий пишет ([1], т. 1, с. 74 75): “Недочеты и трудности, возникающие в процессе усвоения
геометрии, зависят, большей частью, от невнимания к психологии
мышления. … Известно, что пространственные представления и
восприятия предшествуют счету. Но вся беда в том, что количество
и качество пространственных восприятий и представлений у
школьника, приступающего к занятиям геометрией, считается достаточным для прохождения с ним курса евклидовой геометрии”. А
это далеко не так, “и та высота логического усилия, на которую
учитель сразу хочет поднять учащихся, для них недоступна”.
Итак, необходимость перестройки курса геометрии диктовалась как необходимостью соблюдения принципа наглядности в
обучении геометрии, так и требованием учета возрастных особенностей учащихся в процессе обучения.
3. В современном курсе геометрии наблюдается постоянное
смешение двух различных методологических подходов – интуиции
и логики – в изложении материала: “там нет единства метода: доказательства частью основаны на интуиции, частью – на логике”
([1], т. 1, с. 45).
Избавиться от этой двойственности, по мнению С.А. Богомолова, можно, построив геометрию по единому методу. Доказав неприемлемость построения школьного курса геометрии на основе
одной только интуиции или одной только логики, С.А. Богомолов
находит решение проблемы в разбиении курса геометрии на две
части. В каждой из них он предлагает выдержать единство метода
и каждую посвятить почти исключительному развитию одной из
наших духовных способностей – интуиции и логики. Первая будет
соответствовать интуитивному, вторая – логическому элементу в
геометрии” ([1], т. 1, с. 47).
“Первая часть – пропедевтический курс – должна иметь целью
развитие пространственной интуиции и накопление геометрических знаний. В этом курсе учащиеся должны самым широким образом использовать свою способность пространственного воображения. Здесь следует отвести видное место так называемому лабораторному методу и экспериментированию разного рода: построениям простейшими чертежными инструментами, построениям на
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
клетчатой бумаге, вырезанию и накладыванию фигур, различного
рода измерениям, и т.д. Вполне уместным будет ввести понятие
движения в механическом смысле и использовать его для конструирования новых для учащихся плоских и пространственных фигур, новых предложений геометрии”.
По мнению С.А. Богомолова, преобладание в начальном курсе
наглядных доказательств, основанных только на интуиции, опыте,
позволяет оживить и пополнить традиционный материал элементарной геометрии, неизменный со времен Евклида, некоторыми
главами новейших геометрических теорий. Считая геометрию положения более элементарной по сравнению с обычной геометрией
меры, докладчик предлагает включить в пропедевтический курс
начала проективной геометрии и некоторые вопросы геометрии
начертательной. Эти разделы геометрии хорошо поддаются наглядному, интуитивному изложению, а благодаря наличию прекрасных моделей, они научат изображать пространственные образы на плоскости и тем самым принесут немалую практическую
пользу многим учащимся.
Полную поддержку идеям С.А Богомолова являл собой доклад
А.Р. Кулишера ([1], с. 376 - 413).
А.Р. Кулишер не останавливается на обосновании необходимости начального курса в школе, отсылая слушателей к сочинению
немецкого дидакта Трейтлейна (“Der geometrische Anschaungsunterricht”. Berlin, 1911), сорок лет проработавшего в области дидактики
математики. Он говорит, что в этой книге (рус. пер. см. [8]), помимо
методики наглядной геометрии, читатель найдет историю попыток
введения начального курса геометрии, охватывающую весь 19-й век
(к тому времени этот курс в Австрии преподавали уже почти 40 лет,
в Германии - 10 лет, в Швейцарии его изучали с 1820 г., а в России
он был введен в 1911 году в кадетских корпусах).
Прослеживая схему построения традиционного курса геометрии того времени, А.Р. Кулишер указывает на некоторые ее недостатки. Первый недостаток он видит в том, что ученики старших
классов “хорошо владеют всеми изученными главами в отдельности, но с трудом представляют себе весь курс в виде связного,
стройного целого. А между тем одной из задач курса является объединение всех его предложений в нечто целое, в то, что называют
системой” ([1], т. 1, с. 379). Причина этого обстоятельства, по его
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мнению, кроется в том, что занятия по геометрии начинаются “не с
укрепления и разработки имеющихся уже у учащихся сведений относительно пространства трех измерений, а с изучения некоторых
отвлеченных предложений относительно фигур на плоскости” ([1],
т. 1, с. 380), и это в то время, когда “многочисленные наблюдения
преподавателей-практиков подтверждают, что тела для детей
“проще”, чем прямые и плоскость” ([1], т. 1, с. 380).
Другим слабым местом обычного систематического курса геометрии является игнорирование целой области геометрии, “невзирая на ее доступность для учащихся и ценность в дидактическом
отношении”. Ученики, успешно окончившие гимназию, “затруднились бы указать, что геометрия – не только наука о протяженных
величинах, но также и наука о взаимном расположении и соотношении элементов геометрических образов” (Там же, с. 380).
Большая часть доклада А.Р. Кулишера посвящена анализу наиболее значимых пропедевтических курсов геометрии того времени.
Среди них “Наглядная геометрия” В. Кемпбела [9], “Начатки
опытной геометрии” Поля Бэра [10], примыкающий к ним курс
А.М. Астряба [11], книга Н.Е. Кутузова [12], начальный и систематический курсы итальянского математика Веронезе, “Дидактика
преподавания математики” австрийского педагога Гефлера ([1],
т. 1, с. 382 - 387). Особое внимание уделяется курсу Трейтлейна:
дается подробная характеристика программы этого курса и принципов его построения, описывается методика проведения первых
занятий ([1], т. 1, с. 389 - 394).
Собственный курс А.Р. Кулишера внутреннее очень похож на
курс Трейтлейна, о чем свидетельствует краткий обзор материала,
подлежащего рассмотрению в этом курсе.
Начальный курс геометрии А.Р. Кулишера рассчитан на
3 учебных года при 1 часе в неделю и предполагает изучение следующих вопросов.
Первый год обучения. Знакомство с телами (куб, шар, цилиндр). Понятие прямой, ломаной, плоской поверхности. Отрезок,
измерение длин отрезков. Квадрат, параллельные и перпендикулярные прямые. Прямой угол, понятие угла. Прямоугольник. Площадь квадрата и прямоугольника. Развертка куба. Ромб, его некоторые свойства.
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Второй год обучения. Расположение прямых и плоскостей в
пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости. Параллельные плоскости, параллельные прямые. Параллелограмм, виды
параллелограммов. Трапеция. Призмы. Боковая поверхность и объем прямоугольного параллелепипеда.
Третий год обучения. Связка прямых и шар, пучок прямых и
круг. Симметрия. Подобие. Прямоугольный треугольник, теорема
Пифагора. Измерение площадей параллелограмма и трапеции.
Треугольники и их площади. Треугольная пирамида. Конус. Цилиндр. Шар. Объемы и поверхности этих тел.
Важным моментом введения пропедевтического курса геометрии в школьные учебные планы А.Р. Кулишер считает “отчетливое
понимание критериев правильности построения подобного курса”
([1], т. 1, с. 411). Существование достаточно большого числа учебников по данному предмету тем более делает необходимым “установление признаков, при наличии которых то или иное построение
пропедевтического курса можно было бы признать целесообразным” ([1], т. 1, с. 381). Сравнение различных курсов, проведенное
А.Р. Кулишером, позволило ему сформулировать основные требования к любому начальному курсу геометрии ([1], т. 1, с. 409):
1. Пропедевтический курс должен удовлетворять всем требованиям общей дидактики, учитывающей особенности того или
иного возраста и основанной на разумной самодеятельности учащихся.
2. Материал курса не должен быть очень велик; он должен
стать прочным достоянием учащихся и в результате планомерной,
в основном классной, работы перейти в область твердых навыков
учащихся.
3. Слово должно сопутствовать всей той работе, которую выполняют рука и мысль ребенка.
4.Учебный материал должен быть связан с теми пространственными представлениями, которые ребенок вынес или может вынести из повседневного опыта, а также «с некоторыми сторонами
строительного и инженерного искусства и творений природы».
5. Изучаемые в курсе объекты должны быть взаимосвязаны;
весьма важно, чтобы новые образы возникали из старых, причем
рассмотрение трехмерных фигур целесообразно сочетать с их изображением на плоскости.
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. На материал должны влиять, в известной мере, приемы
мышления новых геометров.
7. В нем должны возникать рассуждения и обобщения доказательного характера (особенно в заключении курса).
8. Переход от начального курса к следующей части занятий
геометрией должен быть тщательно продуман.
По мнению Кулишера, пропедевтический курс должен не только знакомить учащихся с важнейшими свойствами пространственных и плоских фигур и “способствовать выработке “пространственной грамотности”, но и внести свою долю в дело развития мышления и умения правильно формулировать умозаключения”([4], с. 24).
Следует заметить, что весьма желательным введение в пропедевтический курс доказательного элемента считали многие сторонники этого курса. “Следует познакомить учеников с чисто интуитивными доказательствами (индусской геометрией). Этими доказательствами можно убедить ребенка больше, чем доказательствами логическими. …Геометрические истины можно сообщить без
доказательства; но необходимо, так сказать с пеленок, внушить,
что наука - область не веры, а знания, потому предпочтительнее в
пользу их представить аргументы, хотя бы и только наглядные”, –
пишет, например, Д. Мордухай-Болтовской ([4], с. 24). Малопомалу, – говорит С.А. Богомолов, – учащихся надо привести к
мысли, что математика не может удовлетвориться методами интуитивного установления фактов, и на простейших примерах показать, как из известных предложений получить новые путем одних
только рассуждений; постепенно школьники смогут оценить силу
дедукции ([1], т. 1, с. 49).
Как уже отмечалось, ни в докладе Богомолова, ни в докладе Кулишера не содержится четко очерченной программы начального
курса геометрии. Такую программу фактически предложила
Н.А. Тамамшева в своем шестилетнем курсе математики ([1], т. 2,
с. 140 - 162), который она называет пропедевтическим. Сведения по
геометрии, которые заложены в этот курс, композиционно удачно
расположены, значительны по объему. Будучи извлеченными из
программы курса, они составят хорошую программу начального
курса геометрии. Положительными моментами этой геометрической программы являются:
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) введение значительных сведений из наглядной геометрии,
начиная с первого года обучения;
2) включение в пропедевтический курс интересных сведений
из аналитической геометрии;
3) оживление геометрического материала занимательными
сведениями и приложениями из механики, астрономии, геодезии;
4) введение в курс понятия симметрии относительно точки,
прямой, плоскости и понятия движения.
Следует отметить, что в “Наглядной геометрии” Н.А. Таммамшева видит “самое могучее средство как для приучения детей к наблюдательности, так и для выработки привычки к сосредоточенному и продолжительному вниманию” ([1], т. 2, с. 156).
В заключение следует сказать, что первые два съезда преподавателей математики поставили много интересных проблем, относящихся к преподаванию геометрии в средней школе ([12, 13]).
Обсуждение их предполагалось и на третьем Всероссийском съезде, о чем свидетельствует список вопросов, который подготовил
для обсуждения на третьем Всероссийском съезде его распорядительный Комитет [14]:
1. Необходимо ли разделение курса геометрии в средней школе
на циклы и вопрос о числе циклов?
2. Постановка первого цикла в различных учебных заведениях
и достигаемые этим курсом результаты.
3. Определения и рассуждения доказательного характера в
первом цикле геометрии.
4. Развитие пространственных представлений в первом цикле.
5. Задачи и цели 2-го (и 3-го) циклов курса элементарной геометрии.
6. Вопрос о сокращении курса Евклида, об элементах геометрии начертательной и проективной.
7. Вопрос о слиянии планиметрии и стереометрии (фузионизм).
Литература
1. Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики. Т. 1, 2.
СПб., 1913.
2. Доклады, читанные на 2-м Всероссийском съезде преподавателей математики в Москве. М., 1915.
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Метельский Н.В. Очерки истории методики математики (к вопросу о реформе преподавания математики в средней школе). Минск, 1968. С. 199 − 267.
4. Мордухай−Болтовской Д. О первом Всероссийском съезде преподавателей
математики. Варшава, 1912. С. 42.
5. Мрочек В.П. Итоги первого Всероссийского съезда преподавателей математики // Русская школа. 1912. № 2. С. 82 - 89.
6. Смирнова И. Из истории учебников по наглядной геометрии // Математика
(еженедельное приложение к газете “Первое сентября”). 1999. № 43.
7. Трейтлейн П. Методика геометрии / Под ред. Ф.В. Филипповича. Ч. 1.
СПб., 1912; Ч. 2. СПб., 1913.
8. Кемпбель В. Наглядная геометрия: Пособие для обучения и самообучения
/ Пер. с англ. Е. Попова. М., 1910.
9. Бэр П. Начатки опытной геометрии в приложении к измерению линий, поверхностей и тел. М., 1909.
10. Астряб А.М. Наглядная геометрия. Киев, 1909.
11. Кутузов Н.Е. Наглядная геометрия для 2-классных школ. 2-е изд. М.,
1915.
12. Резолюции 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики
// Моб. 1912. № 2. С. 86 – 88.
13. Резолюции 2-го Всероссийского съезда преподавателей математики
// Моб. 1914. № 1. С. 50 – 52.
14. Третий Всероссийский съезд преподавателей математики // ВОФЭМ.
1915. № 630. С. 139 - 141.
Элементы учебных исследований при изучении курса
элементарной математики в педагогическом вузе
Н.А. Меньшикова
Ярославский государственный педагогический
университет им. К.Д. Ушинского
Данная статья является логическим продолжением научно-методических исследований автора по проблеме организации учебноисследовательской математической деятельности в средней и высшей школе.
Перед современной высшей школой стоит задача подготовки
специалистов, обладающих исследовательскими умениями, в связи
с постоянным ростом наукоемкого производства. Формирование
исследовательских умений и методологических знаний осуществляется в процессе учебно-исследовательской деятельности. Роль
учебно-исследовательской деятельности как особого вида учебной
деятельности заключается в передаче опыта творческой деятельно87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сти в интеллектуальной области, причем в решении педагогической проблемы передачи этого опыта необходима преемственность
между средней и высшей школой. Выпускник педагогического вуза как специалист в образовательной сфере должен уметь организовать процесс передачи опыта творческой деятельности в интеллектуальной области в тех педагогических условиях, в которых он
приступает к работе. С этой целью в процессе обучения студенты
знакомятся с понятиями учебно-исследовательской математической деятельности в средней школе и трактовкой понятия учебноисследовательской задачи, основными типами таких задач [1].
Под учебно-исследовательской математической деятельностью
в средней школе мы понимаем особый вид учебной деятельности
по приобретению индивидуального опыта творческой математической деятельности в процессе решения учебно-исследовательских математических задач, который подобен научной деятельности ученого-математика. Учебно-исследовательская математическая задача определяется нами как многокомпонентное задание, представляющее собой укрупненную дидактическую единицу
с дополнительными характеристиками:
- совместным построением учениками и учителем на основе
опорной задачи из основной учебной программы;
- варьированием учителем уровня сложности задачи для
обеспечения дифференциации и индивидуализации обучения;
- составлением учениками общего плана исследования выбранного объекта, предусматривающего их самостоятельную деятельность по выявлению свойств и варьированию параметров объекта, сравнению его свойств со свойствами аналогичных объектов,
выявлению внутрипредметных и межпредметных связей, формулировке результатов исследования и определению их приложений;
- совместным поиском рациональной организации действий,
необходимых для решения задачи, в том числе с помощью компьютера.
Посредством анализа основных характеристик нами выделены
восемь основных типов учебно-исследовательских математических
задач:
1) подготовительные (пропедевтические задачи);
2) логическая цепочка связанных между собою задач, построенная на основе ключевой задачи учебной программы;
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) учебно-исследовательская задача, организованная по принципу пучка задач, связанных общей идеей;
4) многокомпонентное задание, созданное на основе ключевой
задачи, в котором главной является обобщенная задача, а основная
цель - усвоение обобщенного способа действий;
5) учебно-исследовательская задача – аналог ключевой;
6) задачи, известные из истории науки;
7) многокомпонентные задачи межпредметного характера;
8) самостоятельно составленные учащимися новые задачи по
изученному материалу.
Придерживаясь взглядов Л.М. Фридмана и Т.А. Ивановой, к
основным учебно-исследовательским умениям мы относим те, которые соответствуют общей схеме научного поиска. В области математики это умения:
- производить наблюдения математических объектов и сравнивать результаты наблюдений;
- выполнять анализ наблюдаемых фактов и синтезировать на
основе наблюдений и анализа новые умозаключения;
- проводить математический эксперимент (выполнять вычисления, построения, измерения, моделировать объекты);
- проводить классификацию объектов по выбранному основанию;
- проводить индуктивные и дедуктивные рассуждения;
- осуществлять доказательство;
- обобщать полученные факты;
- определять область применения полученных фактов.
В предыдущих работах автора статьи было показано, что в условиях педагогического вуза курс элементарной математики для
старшекурсников позволяет на практических занятиях рассматривать тематику учебно-исследовательских задач, использовать творческие задания по их составлению. В программе курса элементарной математики существуют темы, обладающие большой ценностью с точки зрения организации учебно-исследовательской математической деятельности. К этим темам прежде всего отнесем методы решения задач с параметром, доказательство неравенств, общие подходы к решению избранных нестандартных задач, много89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
компонентные геометрические задачи, межпредметные задачи, и
т.п. Курс элементарной математики в целом подготавливает студентов к работе над содержанием учебно-исследовательской математической деятельности: отбору, осмыслению и конструированию
задачного материала.
Поскольку курс элементарной математики в педагогическом
вузе изучается на протяжении всех лет подготовки по математической специальности, целесообразно в практические занятия даже
на младших курсах включать задания с элементами учебных исследований, осуществляя преемственность в формировании исследовательских умений между школой и вузом. В процессе обучения
в средней школе к участию в учебно-исследовательской математической деятельности студенты были подготовлены в разной степени. В связи с этим методическая работа в данном направлении
проводится поэтапно, начиная с формирования основных исследовательских умений.
Рассмотрим на конкретных примерах приемы формирования
исследовательских умений студентов с помощью особых форм постановки учебного задания.
Пример 1. Выявить общий прием решения группы тригонометрических уравнений:
1) sin x + sin 5 x = 2 + cos 2 x;
2) sin x + 2 sin 2 x = 4 + sin 17 x;
3) sin x + cos x = 2 + sin 4 4 x;
4) sin x ⋅ sin 5 x = 1;
5) (sin x + 3 cos x) sin 3 x = 2;
6) 3 sin 2 ( x / 3) + 5 sin 2 x = 8.
Наблюдения и сравнительный анализ составных частей уравнений позволяет сделать вывод о том, что при решении этих упражнений необходимо использовать свойство ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x . С помощью этого
свойства уравнения преобразуются в системы, либо в совокупности систем простейших уравнений:
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1)
4)
5)
6)
sin x = 1,
sin x = 1,
sin( x + π / 4) = 1,


sin 5 x = 1, 2) sin 2 x = 1, 3) 
sin 4 x = 0;
cos x = 0;
sin 17 x = −1;


sin x = 1,
sin x = −1,
U


sin 5 x = 1; sin 5 x = −1;
sin( x + π / 3) = 1, sin( x + π / 3) = −1,
U

sin
3
x
=
1
;

sin 3 x = −1;
sin( x / 3) = 1, sin( x / 3) = −1, sin( x / 3) = 1, sin( x / 3) = −1,
U
U
U

sin
4
x
0
sin
x
1
;
sin
x
1
;
=
;
=
=
−



sin x = −1.
Далее студенты самостоятельно выполняют решение составленных совокупностей систем по общим правилам.
Пример 2. Выявить общий прием решения группы уравнений:
а) 2 cos( x / 3) = 5 x + 5 − x ;
б) 2 cos 2 (( x 2 + x) / 6) = 2 x + 2 − x ;
в) log 3 (8 + 2 x − x 2 ) = 2 x −1 + 21− x ;
г) log 2 (3 + 2 x − x 2 ) = tg 2 (πx / 4) + ctg 2 (πx / 4).
При анализе структуры этих уравнений можно заметить, что
правые части трех первых уравнений представляют собой сумму
взаимно обратных положительных выражений, а правая часть четвертого похожа на правые три, с учетом области определения тангенса и котангенса.
Используя опорное неравенство (a + 1 / a) ≥ 2 для положительных a, заключаем, что выражения, стоящие в правых частях этой
группы уравнений, принимают значения, не меньшие 2.
Если докажем, что значения левых частей этой группы уравнений не превосходят 2, тогда можно будет выделить корень методом
наблюдений.
В первом случае воспользуемся ограниченностью функции
y = cos(x / 3) и выявим единственный корень x = 0; во втором случае ограниченность сверху левой части также следует из свойств
тригонометрических функций, а единственным решением будет
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
также x = 0. В третьем и четвертом уравнениях выражения, стоящие под знаком логарифма, преобразуем, выделив полный квадрат:
log 3 (8 + 2 x − x 2 ) = log 3 (9 − ( x − 1) 2 );
log 2 (3 + 2 x − x 2 ) = log 2 (4 − ( x − 1) 2 ).
Оценив значения этих выражений и сравнив результаты оценки с правыми частями, получаем в этих случаях единственный корень x = 1.
В процессе разбора этого примера целесообразно переформулировать задание: при каких значениях переменной будут равны
значения функций, записанных в обеих частях уравнений? В этом
случае сравнивается характер ограниченности функций, а также
сравниваются значения переменной, при которых одна из функций
достигает наименьшего значения, а другая – наибольшего.
Пример 3. Выделите общую структуру данной группы неравенств и общий прием их доказательства:
1
1
≥ 1;
а) sin(π / 5) +
г) a 2 + 2
> 2;
sin(π / 5)
a +1
a2 + a + 2
б) log 2 3 + log 3 6 > 3;
д)
≥ 2.
2
a +a+2
1
в) x + e x ≥ 2;
e
Сравнение этих неравенств позволяет преобразовать каждое из
них к виду суммы двух взаимно обратных положительных величин, которая всегда не меньше 2.
Задания, аналогичные приведенным примерам, целесообразно
включать в практические занятия с целью формирования исследовательских умений, поскольку с помощью одного-двух уравнений
дать наглядное представление об эффективности того или иного
приема решения бывает затруднительно.
Необходимым умением для будущего учителя является составление математической модели сюжетной задачи. Для его формирования полезно проводить сравнительный анализ сюжетных задач с
похожей структурой.
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 4. Составить математические модели и выявить общий
план решения группы сюжетных задач.
а) Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью по 80 т, но
последний вагон был загружен не полностью. Если взять вагоны
вместимостью 60 т, то их понадобится на 8 больше, но при этом
последний вагон вновь окажется неполным. Если взять вагоны
вместимостью 50 т, то понадобится еще на 5 вагонов больше, и все
вагоны будут загружены полностью. Сколько тонн груза было?
б) Если пионеров лагеря построить в колонну по 8 человек в
ряду, то один ряд окажется неполным. Если построить по 7 человек
в ряду, то рядов будет на 2 больше, и все они будут полными. Если
же выполнить построение по 5 человек в ряду, то рядов будет еще
на 7 больше, но один ряд будет заполнен не весь. Сколько пионеров в лагере?
в) Если жидкость разлить в бутыли емкостью 40 л, то при этом
последняя бутыль окажется неполной. Если эту же жидкость разлить в бутыли емкостью 50 л, то бутылей понадобится на 5 меньше, и все они будут заполнены. Если жидкость разлить по бутылям
емкостью 70 л, то понадобится еще на 4 бутыли меньше, но одна
бутыль будет неполной. Сколько было литров жидкости?
Рассмотрим кратко основные этапы методики работы с этими
задачами.
Анализ условий и требований задач показывает, что их структура очень похожа. В каждой из них имеется по два условия, которые могут быть представлены двойным неравенством; по одному
условию, порождающему уравнение. В каждой из задач условием
является принадлежность к натуральному ряду вспомогательных
величин. Во всех трех случаях основное неизвестное удобнее найти после определения значения вспомогательной величины. Для
поиска общего способа решения рассмотрим первую задачу. С помощью цепочки вопросов учащимся определяем, как связаны между собой общее количество груза Х и количество вагонов имеющейся вместимости.
Пусть n - количество вагонов вместимостью 50 т. Тогда общее
количество груза x = 50n . Для вагонов вместимостью 60 т получаем неравенство 60(n − 6) < x < 60(n − 5), а для вагонов вместимостью 80 т получаем неравенство 80(n − 14) < x < 80(n − 13) .
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Одновременное выполнение всех условий представимо системой:
 x = 50n, n ∈ N ;

60(n − 6) < x < 60(n − 5);
80(n − 14) < x < 80(n − 13).

Далее обсуждается план решения: 1) перейти от составленной
общей системы к вспомогательной системе двух неравенств с одной переменной и найти ее общее решение; 2) отобрать натуральные значения искомой вспомогательной величины, удовлетворяющие условию задачи; 3) определить искомое значение основной
неизвестной величины.
Реализуем составленный план.
Исключая из неравенств x, получим:
60(n − 6) < 50n < 60(n − 5);
30 < n < 36;


80(n − 14) < 50n < 80(n − 13), n ∈ N ; 104 / 3 < n < 112 / 3, n ∈ N ;
откуда n = 35 , тогда x = 50 ⋅ 35 = 1750.
Ответ: было 1 750 т груза.
Вводя аналогичные обозначения в двух оставшихся задачах,
получаем системы:
- для второй задачи:
 x = 7 n, n ∈ N ;

8(n − 3) < x < 8(n − 2);
5(n + 6) < x < 5(n + 7),

откуда n = 17, x = 119. т;
- для третьей задачи:
 x = 50n, n ∈ N ;

40(n + 4) < x < 40(n + 5);
70(n − 5) < x < 70(n − 4),

тогда n = 17, x = 850 т.
Замечаем, что составленные смешанные системы однотипны, а
составленный для первой задачи план решения может быть использован и для второй, и для третьей задачи. Проверка найденных
решений выполняется непосредственной подстановкой.
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Анализируя составленные системы, замечаем, что они допускают вариативность, поскольку существуют три варианта вспомогательной величины. Одной из дальнейших форм работы с этой
группой задач может быть обобщение и решение задачи в общем
виде. Опыт работы со студентами, обучающимися на заочном отделении, показывает, что самостоятельный поиск метода решения
аналогичных задач вызывает у учащихся затруднения: часто предлагаются другие попытки (табличный способ, перебор вариантов и
др.). Тем более целесообразным представляется включение таких
заданий в тему «Методы решения сюжетных задач».
Другим видом работы является конструирование математических объектов.
Пример 5. Пользуясь свойствами окружности, параболы и гиперболы, а также свойствами модуля, сконструировать на координатной плоскости несколько замкнутых точечных множеств разной
формы. Задать эти множества аналитически с помощью системы
неравенств. Рассмотреть аналогичную задачу, используя графики
известных функций.
Не менее наглядны как учебные исследования позиционные
геометрические задачи на построение. Рассмотрим с этой точки
зрения достаточно известную задачу.
Пример 6. Через заданную точку А провести прямую так, чтобы ее отрезок с концами на заданной прямой m и заданной окружности ω делился точкой А пополам. Провести исследование для
различных взаимных расположений А, m, ω .
В общем случае задача решается с помощью центральной
симметрии с центром в точке А. Строится образ либо прямой m,
либо окружности ω : если существуют общие точки построенного
образа со второй фигурой, то задача будет иметь одно или два решения. В учебном исследовании на основе этой задачи основной
целью будет поиск вариантов расположения фигур, при которых
решение существует. В общий план исследования вводятся основные варианты взаимного расположения этих фигур, а затем внутри
каждого основного пункта плана могут быть выделены частные
случаи, когда одна из фигур считается неподвижной, а положение
других меняется.
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подобное исследование можно провести и на основе других
известных позиционных задач.
Пример 7. Между двумя окружностями на плоскости проходит
прямая l. Построить равносторонний треугольник так, чтобы две
его вершины лежали на окружностях, а одна из высот лежала на
прямой l.
Исследование может быть проведено как по направлению рассмотрения различных вариантов взаимного расположения этих окружностей, так и по соотношению величин радиусов.
В общем случае задача решается с помощью осевой симметрии
с осью l. Если образ одной из окружностей имеет общие точки с
другой окружностью, то задача имеет решение. Интересен случай
симметричности заданных окружностей относительно заданной
прямой: в этом случае задача имеет бесчисленное множество решений.
Упражнения такого рода целесообразно предлагать в качестве
домашней контрольной работы, индивидуального задания.
Практикум по элементарной геометрии предоставляет большие
возможности для развития исследовательских умений учащихся
как на планиметрическом, так и стереометрическом материале.
Организация учебно-исследовательской деятельности студентов по другим учебным дисциплинам описывается, например, в монографии [2].
Целостное формирование исследовательских умений у студентов как дневного, так и заочного отделений осуществляется в процессе междисциплинарного подхода к подготовке учителей математики и других специальностей факультета.
Литература
1. Меньшикова Н.А. Основы методики работы с учебно-исследовательскими
математическими задачами // Ярославский пед. вестник. 2002. № 3. С. 109 - 114.
2. Ястребов А.В. Научное мышление и учебный процесс – параллели и взаимосвязи: Монография. Ярославль: ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, 1997. 137 с.
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Педагогические условия развития
пространственного воображения
у будущих преподавателей математики
в классическом университете в рамках дополнительной
профессионально-педагогической программы
Е.В. Никулина
Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова
Профессионально-педагогическая подготовка студентов в
классическом университете осуществляется в рамках дополнительного образования, которое имеет ряд отличительных особенностей,
сказывающихся, в частности, на геометрической подготовке будущих преподавателей математики.
Под дополнительным образованием понимается получение
квалификации, отличной от предусмотренной основной вузовской
образовательной программой [1]. В частности, в качестве дополнительной выступает квалификация «Преподаватель» (регламентируемая Государственными требованиями к минимуму содержания
и уровню профессиональной подготовки выпускника для получения дополнительной квалификации «Преподаватель», далее – Государственные требования), в качестве основной – специальность
«Математик» (регламентируемая Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности 010100 - «Математика», далее - Государственный стандарт).
Проанализировав разработанные дополнительные профессионально-педагогические программы, внедряемые в различных университетах (Ивановском, Мордовском, Нижегородском, Сыктывкарском, Ярославском) и исследования разных авторов по данной
тематике (Т.А. Вороновой, Г.А. Засобиной, О.А. Иванова, Л.С. Казарина, В.А. Кузнецовой, А.С. Проворова, О.Г. Проворовой,
Н.Р. Сенаторовой, В.С. Сенашенко), выделим следующие особенности дополнительной педагогической подготовки в классическом
университете:
1. Дополнительная программа представляет отдельный модуль,
содержание которого не отражено в Государственном стандарте
подготовки математика.
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Реализация дополнительной профессионально-педагогической программы занимает относительно короткое время. Основная часть программы сосредоточена после окончания бакалавриата. Объем теоретической подготовки по дополнительной программе занимает 800 часов [2], по основной образовательной программе
подготовки математика – 8 370 часов [3].
3. Дополнительная программа включает два вида курсов:
- курсы, входящие в пересечение с основной программой (например, «Психология и педагогика»);
- курсы, требуемые для освоения только дополнительной программы, но не основной (например, «Методика преподавания математики», «Новые информационные технологии в учебном процессе», и т.д.).
Последние относятся к факультативным, или элективным, курсам.
4. Дополнительная программа имеет базовую и вариативную
составляющие. К базовой относятся дисциплины цикла ОД – общие дисциплины и некоторые дисциплины цикла СД – специальные дисциплины. К вариативной относятся специальные дисциплины по выбору студентов (входящие в блок СД).
Дополнительная программа реализуется только на базе основной образовательной программы. При этом предметная подготовка
осуществляется в основном в рамках основной образовательной
программы подготовки специалиста.
На основании вышесказанного, относительно геометрической
подготовки будущих преподавателей в классическом университете
можно сделать следующие выводы:
1. В настоящее время уровень геометрической подготовки будущих преподавателей в основном определяется Государственным
образовательным стандартом подготовки математика. Геометрия в
нем представлена следующими дисциплинами: «Аналитическая
геометрия», «Линейная алгебра и геометрия», «Дифференциальная
геометрия», «Топология», при изучении которых студенты получают представление только об аналитических методах геометрии,
но не о ее строении в целом и различных методах. Этот факт подчеркивается и в работе [4]: «Анализ стандарта показывает, что геометрия, как одна из важнейших математических составляющих,
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
представлена лишь номинально, ее разделы в основном разбросаны
по отдельным математическим курсам, стоят там в самом конце в
виде заголовков глобальных тем, не очень связанных как между
собой, так и с тем курсом, в котором они находятся… Содержательно геометрия также сильно обделена – отсутствуют вопросы
общей аксиоматики; нет упоминания о неевклидовых геометриях;
никак не представлена элементарная геометрия n-мерного пространства, … отсутствует упоминание о важных идеях и методах
синтетической, проективной геометрии. По существу, выпускник
университета не имеет представления о том, что такое геометрия и
каковы ее методы».
2. Знакомство с научными основами школьной геометрии, с
методами синтетической геометрии, составляющими основу
школьного геометрического образования, может быть реализовано
только на специальных курсах, входящих в блок профессиональнопедагогической подготовки, осуществляющейся на основании Государственных требований. На сегодняшний день в качестве одного из разделов геометрия может быть представлена в курсе «Научные основы школьного курса математики». Одна из программ данного курса представлена в монографии [5]. Эта программа «рассчитана на то, что все основные математические дисциплины студент уже знает и надо провести некий параллелизм, установить
аналогию между понятиями и результатами порой различных математических ветвей или, наоборот, понять особенности и отличия». Заметим, что при этом опять есть опасность, во-первых,
«сползания» в сторону алгебраического подхода в геометрии, вовторых, отказа от рассмотрения некоторых необходимых для будущего учителя аспектов геометрии, вызванного недостатком времени, отводимого на изучение данного курса (80 часов). В качестве
подтверждения данного тезиса может служить следующий факт:
только один из разделов обсуждаемого курса, посвященный методам изображения (читаемый в течение нескольких лет автором),
требует для качественного усвоения материала порядка 20 аудиторных часов. Таким образом, преподавание геометрии для будущих учителей только в курсе «Научные основы школьного курса
математики» явно не достаточно. Что касается курса «Методика
преподавания математики», в частности его раздела «Методика
преподавания геометрии», то здесь акцент должен быть смещен
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
именно в сторону методики преподавания предмета, а не его содержания.
Таким образом, геометрические курсы основной образовательной программы, а также обязательные курсы дополнительной программы, в которые входит геометрия, - необходимы, но недостаточны для полноценной геометрической подготовки будущих преподавателей математики в классическом университете.
Одним из путей решения данной проблемы является разработка и введение за счет вариативной составляющей дополнительной
программы системы специальных геометрических курсов, связанных с различными аспектами школьной геометрии. Такие авторские курсы присутствуют в некоторых университетах: «Конструктивная геометрия» (Чувашский государственный университет),
«Основания геометрии» (Нижегородский и Сыктывкарский университеты), «Методы изображений» (ЯрГУ).
На основании вышесказанного, становятся понятны причины
трудностей, которые испытывают молодые преподаватели, выпускники университета, в процессе преподавания геометрии в школе.
Актуальность решения рассматриваемой проблемы определяется следующими факторами:
1. Как уже было отмечено, в классическом университете будущий учитель получает геометрическое образование, не ориентированное на проблемы преподавания геометрии в школе. С опытом,
конечно, имея достаточно высокую математическую культуру, он
может самостоятельно получить необходимые геометрические
знания, но тем не менее долгое время недостатки его геометрического образования будут накладывать соответствующий отпечаток
на знания его учащихся. Со временем они сами станут преподавателями с теми же проблемами по геометрии. Таким образом, получается замкнутый круг, который необходимо разорвать.
2. На современном этапе классический университет должен готовить преподавателей, способных работать в различных типах
учебных заведений, профильных классах, по различным методикам. Например, у гуманитариев преобладает наглядно-образное
мышление, поэтому преподавание геометрии в гуманитарных
классах нужно строить исходя из данной особенности учащихся.
Но это по понятным причинам достаточно трудно будет сделать
выпускникам университета, у которых в течение обучения в уни100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
верситете акцент делался на развитие абстрактно-логического
мышления.
В подтверждение данных выводов приведем результаты контрольной работы, проведенной для 48 студентов 5-го курса ЯрГУ и
4-го курса Костромского государственного университета, желающих получить дополнительную квалификацию «Преподаватель».
Контрольная работа проверяла следующие знания и умения: графическую культуру (знание свойств параллельного проецирования,
умение видеть чертеж, знание того, на каком этапе при построении
чертежа заканчивается допустимый произвол с точки зрения его позиционных и метрических свойств; знание некоторых тонкостей при
изображении шара и конуса); имеющиеся школьные представления;
творческое воображение; умение решать позиционные задачи.
Результаты контрольной работы могут быть представлены в
виде следующего графика:
к оличество учащихся,
правильно решивших задачу
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1 2
3 4 5
6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
номер задачи
1 – 3 – задачи на знание свойств параллельного проецирования,
4 – 7 – задачи, проверяющие умение видеть чертеж,
8 – 9 – задачи на изображение шара и конуса,
10 – 16 – задачи, проверяющие школьные представления
студентов,
17 – 18 – задачи на творческое воображение,
19 – 21 – позиционные задачи,
21 – задача, проверяющая знание того, когда на проекционном
чертеже заканчивается произвол при построении с точки
зрения его позиционных свойств.
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Успешнее всего справились студенты с задачами, проверявшими их школьные представления (более 50%). Практически с каждой из остальных задач справились менее 40% студентов.
Таким образом, можно сказать, что те умения и знания, которые были перечислены выше, находятся у студентов - будущих
преподавателей математики на очень низком уровне, в то время как
они являются необходимыми для их будущей работы.
Вывод: возникает противоречие между требованиями практики
к уровню геометрической подготовки будущих преподавателей в
классическом университете и реально существующей ситуацией.
Геометрическое образование в качестве необходимого включает образный компонент. Под последним, в частности, понимается определенный уровень развития пространственного воображения, способность к которому – профессиональное качество, необходимое каждому учителю математики.
Учитывая особенности геометрической подготовки студентов – будущих преподавателей в классическом университете, можно выделить следующие педагогические условия развития пространственного воображения у студентов в рамках дополнительной
педагогической программы:
1. Разработка и введение за счет вариативного компонента
дополнительной профессионально-педагогической программы специальных курсов синтетической геометрии для будущих преподавателей.
В качестве таких курсов могут выступать: «Позиционная полнота изображений», «Геометрическое моделирование», «Метрические задачи теории изображений», «Научные основы школьного
курса геометрии», и т.п. Задача подобных специальных курсов состоит в следующем: во-первых, дать студентам необходимую фундаментальную подготовку, выходящую далеко за рамки школьной
геометрии, при этом не теряя связи со школьным предметом; вовторых, дать студентам методические рекомендации по преподаванию тех или иных разделов школьной геометрии; в-третьих, развивать профессиональные качества, необходимые для будущей работы в школе. К таким профессиональным качествам относится и
пространственное воображение студентов – будущих преподавателей. Специфика развития пространственного воображения во мно102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
гом определяется наглядной основой, в качестве которой могут выступать: топографические карты, чертежи, применяемые в черчении, геометрические школьные чертежи, образы вузовской математики. Специальные курсы для будущих преподавателей должны
развивать пространственное воображение студентов именно на основе образов школьной геометрии.
2. Разработка средств диагностики пространственного воображения будущих преподавателей.
Пространственные представления и уровень развития пространственного воображения, имеющиеся у студента на начальном этапе, – это база для дальнейшего их развития в университете, поэтому
необходима диагностика этой базы для выбора оптимальной технологии обучения и определения конечной цели обучения. Диагностика необходима также в течение всего учебного процесса с целью
его своевременной коррекции.
3. Формирование у студентов установки, связанной с педагогической мотивацией, на развитие пространственного воображения.
Под установкой на развитие пространственного воображения
понимается готовность студентов развивать свое пространственное
воображение в период обучения в вузе и в процессе своей будущей
педагогической деятельности. Указанная установка формируется
через осознание значимости пространственного воображения для
профессиональной деятельности (т.е. через связь с профессиональной мотивацией).
Указанные педагогические условия в течение нескольких лет
реализуются автором на математическом факультете ЯрГУ имени
П.Г. Демидова в процессе чтения специального курса «Методы изображений» для будущих преподавателей математики. Содержание,
структура и методическое обеспечение данного курса, реализуемого
за счет вариативной составляющей дополнительной профессионально-педагогической программы, направлены на развитие у студентов видения чертежа (одного из видов пространственного воображения). Под последним понимается процесс создания пространственного (трехмерного) образа фигуры по ее плоскому изображению и результат этого процесса. Автором выявлены следующие показатели развития видения чертежа: способность создавать на осно103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ве чертежа пространственное представление, адекватное изображенной фигуре; умение применять видение чертежа при решении
различных геометрических задач. При этом для определения адекватности пространственного представления используются: описание
расположения изображенных объектов в геометрических терминах,
с помощью естественного языка и модель фигуры. В процессе чтения курса «Методы изображений» у студентов формируется установка на развитие видения чертежа через осознание значимости его
для будущей профессиональной деятельности. В качестве основного средства формирования установки выступает проблемная ситуация, связанная с преподаванием геометрии в школе и разрешаемая с
помощью видения чертежа. Кроме проблемной ситуации на занятиях курса практикуется применение навыков видения чертежа при
решении школьных позиционных задач.
Опытная работа автора в течение нескольких лет со студентами - будущими преподавателями математики подтвердила эффективность предложенных педагогических условий в процессе развития их пространственного воображения, а разработанный курс
«Методы изображений» может быть использован как в классических университетах, так и в педагогических вузах при подготовке
учителей математики.
Литература
1. Сенашенко В., Чистова И., Кузнецова В., Казарин Л. Дополнительное образование: идеи и решения // Высшее образование в России. 2000. № 5.
2. Приказ от 03.08.2000 г. № 2400 «О присвоении дополнительных квалификаций педагогического профиля выпускникам вузов по специальностям высшего
профессионального образования».
3. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального
образования. Специальность 010100 Математика. Квалификация – Математик. М.,
2000.
4. Белов Ю.А., Кузнецова В.А. О геометрическом образовании будущих преподавателей математики // Проблемы теории и практики обучения математике:
Сборник научных работ, представленных на Всероссийскую научную конференцию «54-е Герценовские чтения» / Под ред. В.В. Орлова. СПб.: Изд-во РГПУ им.
А.И. Герцена, 2001. 215 с.
5. Кузнецова В.А. Теория и практика многоуровневого университетского педагогического образования. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1995. 268 с.
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отношения физических и математических дисциплин
в их преподавании
Е.В. Рыбникова, В.Ф. Чаплыгин
Ярославский госуниверситет имени П.Г. Демидова
Хорошо известно, что зарождение и развитие математики было
вызвано потребностями практики, в частности астрономическими
наблюдениями, проблемами навигации и др. В дальнейшем это
привело к тесной связи между математикой и физикой. Генезис
многих математических понятий берет начало в физических науках. Достаточно вспомнить труды Архимеда, Галилея, Кеплера,
Торричелли, Ньютона и др., в которых зародились основные понятия анализа бесконечно малых, перешедшего затем в дифференциальное и интегральное исчисление. Причем методы бесконечно
малых использовались для отыскания площадей, объемов, статических моментов, центров масс. Возникновение теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления для функций одного
или нескольких переменных, также связано с решением задач физики, в частности механики.
На протяжении многих веков в физике возникали проблемы,
требующие математических методов решения. В отдельных случаях физика заимствовала из математики готовые математические
структуры и использовала их в своих целях. Причем, нередко случалось, что математический аппарат ждал часа своего практического применения веками. Так было, например, с теорией функции
комплексного переменного, нашедшей применение в гидро- и аэродинамике лишь в конце XIX века, с теорией групп, которая применяется в кристаллографии, неевклидовой геометрией, использующейся в теории относительности, физике элементарных частиц,
в теории валентности и т.д.
Генезис многих математических понятий предопределяет необходимость подхода к ним через физические задачи. К понятию
производной естественно подойти от задачи о мгновенной скорости, к понятию интеграла – от задачи о нахождении пути по известной мгновенной скорости или работе силы; несобственный интеграл возникает как средство нахождения потенциала гравитационного поля, криволинейный интеграл второго типа выражает работу силового поля, формула Остроградского - Гаусса устанавли105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вает связь потока векторного поля, проходящего через поверхность
тела, с дивергенцией поля в нем. Такой подход позволяет в дальнейшем применять введенный математический аппарат к решению
многих физических задач. Кроме упомянутых выше, к ним относятся задачи об отыскании массы, центра масс, моментов инерции
и многие другие, которые решаются с помощью интегралов разного вида. При этом необходимо помнить, что студент должен получить не только тот объем знаний, который он будет применять при
изучении физических дисциплин, обучаясь в университете, но и
тот запас фундаментальных знаний, которые ему потребуются в
будущем.
Чему же должны учить преподаватели-математики студентафизика? Выпускник физических специальностей должен:
- строить математические модели по физическим явлениям и
процессам;
- выбирать подходящий математический метод из уже имеющихся для их решения, что требует знания того, чем располагает
математика;
- уметь использовать численные методы, в частности проводить численный эксперимент с использованием ЭВМ;
- уметь качественно оценить полученный результат и выбрать
практические рекомендации для его реализации;
- уметь численно оценивать полученные физические величины,
полученные в эксперименте, не прибегая к техническим средствам,
чтобы сравнить его с теоретическим значением;
- уметь увидеть простейшие табличные интегралы, пределы в
сложных, на первый взгляд, математических уравнениях.
В связи с последним можно вспомнить выдающегося физикатеоретика Д. Ландау, который в экзамен по математике для своих
учеников включал вычисление неопределенных интегралов.
Но достижение этих целей возможно лишь после того, как студенты овладеют математическими дисциплинами: математическим
анализом, аналитической геометрией и линейной алгеброй, дифференциальными уравнениями, уравнениями математической физики.
Определив общую стратегию и цели математического образования физиков, необходимо ответить на два вопроса – чему учить и
как учить. На первый вопрос, каким разделам математики учить и в
каких объемах, должны ответить физики, посоветовавшись с мате106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
матиками, а как этому учить, в какой последовательности изучать
материал, с какой строгостью и глубиной – должны решить профессиональные математики. Так называемые министерские программы по математическим дисциплинам составлены с учетом
мнения указанных двух сторон. Они определяют так называемый
федеральный компонент, а далее необходимо учитывать специфику собственного университета, профилирующего по определенным
специальностям и специализациям, т.е. составлять региональный
компонент. Если говорить о Ярославском университете, в котором
сильно развита радиофизика, то для этой специальности важны такие разделы математического анализа, как ряд и интеграл Фурье,
теория вычетов, операционное исчисление, в частности прямое и
обратное преобразование Лапласа. Для студентов, специализирующихся на кафедре теоретической физики, необходима очень
серьезная математическая подготовка. Они должны знать теорию
функций многих переменных, дифференцирование, интегрирование (криволинейные, кратные, поверхностные интегралы), теорию
неявных функций, замену переменных, зависимость функций, специальные функции, иметь представления об обобщенных функциях. Кроме того, они должны овладеть теорий дифференциальных
уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, теорий групп и многим другим. Для студентов, проходящих специализацию на кафедре общей и экспериментальной физики, важны знания функций распределения Гаусса и Максвелла, теории ошибок и
их физическая трактовка, метод наименьших квадратов. В спектроскопии, например, широко используется Фурье-анализ, а в связи с
широким развитием электронной техники в эксперименте возникает проблема математической обработки больших массивов информации, снимаемых с датчиков. Сказанное выше обязывает преподавателя математики, ведущих занятия для студентов различных
специальностей «Физика», «Микроэлектроника», «Радиофизика и
электроника», «Телекоммуникации», не нарушая логики математического изложения, делать акценты на тех ее разделах, которые играют для них наиболее важное значение. Задача преподавателей
математики состоит в том, чтобы вооружить этими знаниями студентов, а обучить решению прикладных задач, дать выходы на
применения на основе математики – задача преподавателей физики, которую они решают в основных и специальных курсах.
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Изложенное выше – это проект, а далее должна идти речь о его
реализации. И вот здесь дело обстоит не очень благополучно. Если
тридцать лет назад вещественный математический анализ изучался
три семестра, то теперь этот срок сократили до двух. И порядок
изучения математических и основанных на них физических дисциплин оставляет желать много лучшего. В ущерб изучению математического анализа приходится изменять порядок изучения тем,
форсировать их изложение, что приводит к негативным последствиям. Взять, например, векторный и тензорный анализ (ВТА), который по рабочему плану изучается во втором семестре и требует
для его усвоения знаний функций нескольких переменных, кратных, криволинейных и поверхностных интегралов, теорем Грина,
Остроградского - Гаусса, Стокса, но курс математического анализа
не может к этому времени дать студентам эти знания. Не успевает
обеспечить курс обыкновенных дифференциальных уравнений
теория функций комплексного переменного (они изучается параллельно в третьем семестре), в частности, требуется знание извлечения корней из комплексных чисел, элементов операционного исчисления, теории рядов аналитических функций. Курс механики
также не имеет должной математической поддержки, и перечень
подобных примеров можно продолжить.
Вторым важным вопросом, обозначенным выше, является вопрос, как преподавать. И вот тут-то иногда возникают разночтения
у физиков и математиков. Это естественно, так как восприятие мира явлений, их описание у этих двух категорий ученых различно.
Математиков часто упрекают в излишнем увлечении доказательствами, в том числе теорем существования, а то и в чистой схоластике. А иногда физики задают математикам-преподавателям вопрос,
помнят ли те, что читают математику физикам, а не математикам.
Но ведь хорошо известно, что сущность математики, ее основной
метод – это доказательство утверждений (конечно, на уровне разумной строгости), и выхолащивать эту суть ни в коем случае
нельзя. Следует отметить, что преподавание математики на физическом факультете МГУ, в МФТИ, в МИФИ всегда велось на очень
высоком уровне. Математики обязаны убедить студентов в справедливости высказываемых положений, может быть, не настаивая
на воспроизведении их доказательств на экзамене. Понимая, что
для физика, который по духу близок к инженеру, математика – ин108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
струмент, преподаватель-математик должен показать ему, где лежит тот или иной инструмент и как им пользоваться, какова область его применения. Общим недостатком преподавания физических и математических дисциплин является их разобщенность. Физики и математики очень мало обсуждают содержание математических дисциплин. Это случается лишь в частном порядке, в индивидуальных беседах. На наш взгляд, этому значению можно придать
более организованный характер. Эту функцию должны выполнять
деканат и НМК.
Очень важной является проблема: донести до студента главное, выделить основные идеи, не перегружать изложение второстепенными деталями. По словам А.Я. Хинчина: «Помочь за деревьями увидеть лес», а как говорил А.Д. Гильберт: «На примере
уравнений y ′′ = 0 и y ′′ + y = 0 можно изучить всю теорию и даже
понять разницу в задачах с начальными или краевыми условиями».
К важнейшим фактам математического анализа, безусловно, относится формула Тейлора, которая имеет многочисленные приложения для исследования функций, приближенных вычислений и различных оценок, вычисления пределов, на ее основе легко получить
разложение функций в степенные ряды, которые являются основным аппаратом, как в вещественном, так и в комплексном анализе.
Следующим важным понятием является дифференцируемость
функций одного и нескольких переменных, в том числе и неявных
функций. И конечно, совершенно необходимо донести до студентов идею интеграла. Хорошо поняв, что такое определенный интеграл, с помощью которого решается большое число задач, студент
осваивает и все остальные виды интегралов: криволинейные, кратные, поверхностные. Главное для учащегося - усвоить тот факт,
что величина Q, которую надо найти с помощью определенного
интеграла
должна
обладать
свойством
аддитивности
( Q([a; b]) = Q([a; c]) + Q([c; b]); ∀c ∈ [a; b] ). Он должен научиться
выделять из ее приращения ∆Q главную часть – дифференциал
b
dQ , после чего Q[a, b] находится без труда: Q[a; b] = ∫ dQ . Стреa
мясь к разумной строгости изложения, прибегая в необходимых
случаях к интуитивно-наглядным соображениям, используя контрпримеры, следует избегать излишнего упрощенчества, вульгариза109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ции, так как это может привести к грубым ошибкам в применении
математических методов. Извечный вопрос преподавания состоит
в том, что лучше индукция, чем дедукция. Большинство преподавателей склоняется к мнению, что использовать надо и тот и другой метод, однако предпочтительнее идти от индукции, от примеров к общим понятиям. Преподаватель должен стремиться к тому,
чтобы выработать у студентов интуицию, помогающую предсказать итоговый результат, видеть аналогии, опровергать ложное
предположение с помощью контрпримеров.
Литература
1. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. М.: Наука,
Физматиздат, 1980.
2. Хинчин А.Я. Восемь лекций по математическому анализу. М.; Л.: Гостехиздат, 1948.
3. Чаплыгин В.Ф. Содержание, методическое и организационное обеспечение
дисциплины «Математический анализ» // Проблемы эффективности образовательного процесса в вузе. Ярославль, 2000. С. 75 - 80.
4. Алексеев В.П., Кириков М.В., Рыбникова Е.В. О подготовке преподавателей на физическом факультете университета // Материалы Всероссийской конференции «Проблемы педагогического образования в классических университетах».
Ярославль: ЯрГУ, декабрь 2000. С. 70.
5. Математический анализ в образовании физика // Тезисы докладов VIII Международной научно-методической конференции. Ч. 2. Нижний Новгород, 2000.
С. 62 - 63.
Антропокультурологический потенциал образования
как методологическое основание
образовательной деятельности
Е.А. Савченко
Мозырский государственный педагогический университет
Решение исследовательской задачи определения методологического основания образовательной деятельности основано на анализе работ философов, психологов, педагогов по проблеме образования человека (В.И. Андреев, А.Г. Асмолов, И.С. Батракова,
Р.У. Богданова, А.П. Валицкая, С.Г. Вершловский, В.И. Генецинский, Б.С. Гершунский, Э.Н. Гусинский, И.С. Заир-Бек, А.С. Запе110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
соцкий, И.А. Зимняя, В.П. Зинченко, Е.И. Казакова, Г.Б. Корнетов,
И.А. Колесникова, О.Е. Лебедев, Л.Н. Лесохина, Е.Б. Моргунов,
А.С. Роботова, В.В. Сериков, А.П. Тряпицына и др.).
Выполненный нами анализ имеющегося научного знания позволил прийти к следующим выводам.
В настоящее время образование рассматривается как: а) процесс; б) результат усвоения знания и связанных с ними способов
практической деятельности; в) ценность; г) система, и т.д. Известно, что потенциал (от лат. potentia – сила) – это совокупность возможностей, источников, средств, запасов и т.п., которые могут
быть приведены в действие, использованы для достижения поставленных целей; возможности отдельного лица, общества, государства в отдельной области.
Уточняя содержание антропокультурологического образования
в контексте проводимого нами исследования, рассмотрим имеющиеся возможности, источники, подходы, которые будут способствовать методологизации образовательной деятельности в современной социокультурной ситуации. С позиции антропокульторологического подхода правомерно обосновывать содержание потенциала образования в трёх направлениях:
1. Человек 3-го тысячелетия: сущностные характеристики в соответствии с философией образования.
Человек как субъект образования и развития человеческих
возможностей в ходе образовательной деятельности.
2. Социокультурные факторы и их роль в развитии человека.
Поскольку наше исследовательское внимание обращено к человеку 3-го тысячелетия, обратимся к научной теории, накопившей
в своём арсенале различные концепции человека. Это такие концепции, как:
- социально-прагматическая, где сущность человека сводится к
совокупности социальных отношений (Н. Добролюбов, П. Кропоткин);
- универсалистская, в которой человек понимается как часть
мироздания (А. Радищев, А. Герцен, В. Вернадский);
- духовно-религиозная, истоки которой идут от учений исихастов и развиты в учениях Вл. Соловьёва, Н. Бердяева, П. Флоренского, С. Франка, Г. Федотова, Б. Вышеславцева. Основная идея их
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
учений – целостность и онтологизм человека, утверждение приоритета духовной жизни.
Анализ различных концепций убеждает, что духовность, сознание, ум в структуре человеческой сущности считаются высшей
ступенью. Существенной особенностью отечественной философской антропологии является целостность человеческой личности.
Принципиальным отличительным признаком русского антропологизма (в отличие от западных теорий) является теоцентричность, пронизывающая все уровни образовательной деятельности.
Данный признак находит отражение в поиске духовных оснований
бытия как высшей цели образовательной деятельности, в построении образовательных практик и др. В теологической традиции
обоснованы основания антропологизма Вл. Соловьёвым, В. Несмеловым, идеи которых составляют особую духовную традицию, связанную с пониманием человека и высшего предназначения его
жизни. Этой традиции следовали: Н. Бердяев, С. Булчаков, Н. Федоров, П. Флоренский и др. Данная традиция реализовалась не
только в философской, но и в педагогической теории и практике. В
этой связи в педагогике следует назвать концепции и идеи К. Победоносцева, Л. Толстого, В. Вахтерева, К. Вентцеля, П. Лесгафта,
К. Ушинского, Р. Розанова, Н. Пирогова и др. Педагогический
принцип “познания и самопознания человека” есть принцип антропологической методологии. Его обосновали и развили А. Галич,
К. Ушинский, Н. Пирогов, В. Острогорский, А. Каптерев, В. Водовозов, Н. Неклюев, П. Лесгафт. Они были едины во взгляде человека как на объект и субъект образования. Глубока по смыслу педагогическая антропология К. Ушинского. Цель воспитания, по
К. Ушинскому, должна обозначать вектор человеческих устремлений в соответствии с возможностями и потребностями общественной жизни. Анализ образовательных концепций предыдущих веков
свидетельствует о том, что они обусловливались общекультурным
содержанием.
В трудах П. Лаврова, Д. Менделеева, А. Галича, П. Редкина,
П. Кропоткина и других мыслителей идея признания личности как
основа бытия и познания является центрирующей в теоретической
и практической деятельности в сфере образования.
Антропологический подход нашёл своё развитие в русском
космизме, основная идея которого – неразрывная связь человека с
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Космосом, Вселенной. Исходные принципы относительно развития
человека как участника космических процессов сформулированы
Н. Федоровым (см. “Философия общего дела”). Познание должно
быть преобразовательно-деятельным, а самопознание является условием постижения опыта всего человечества. Актуальны идеи В.
Вернадского о необходимости учёта в процессе образования роли и
места человека в мире. Он указывал, что “мощь человечества” – не в
материале, а в разуме и направлении разума трудом. Образовательную деятельность В. Вернадский рассматривал как часть социального (и даже космического) целого.
В обосновании сущностных характеристик человека начала
3-го тысячелетия особый интерес с точки зрения антропологического направления представляют идеи С. Франка, исследовавшего
проблемы свободы и ответственности, нравственного идеала человека. С. Франк актуализирует вопрос духовно-нравственного развития личности, целостности культуры как единого комплекса достижений человечества, в состав которого входят наука, искусство,
нравственная жизнь, образование и воспитание, творчество гениев
и духовный уровень народных масс, правовые отношения и государственный порядок, хозяйство и техника.
В ситуации духовного кризиса образованию С. Франк отводил
главенствующую роль, так как оно призвано задавать свои приоритеты, как в развитии умственных способностей, так и в нравственном развитии, должно преподносить определённые идеалы и ценности.
Резюмируя наши рассуждения относительно развития образовательных концепций и их роли в жизни человека, мы констатируем,
что отечественное философско-педагогическое наследие со своим
богатством идей о духовной культуре человечества в контексте решения задач воспитания человека следует рассматривать как методологическое основание образовательной деятельности. Именно такое понимание антропокультурологического потенциала образования даёт нам возможность определить сущностные характеристики
человека 3-го тысячелетия, выступающего целью и результатом образовательной деятельности.
Антропокультурологический подход задаёт конкретный методологический ориентир в выдвижении целеполагания в обучении и
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
воспитании учащихся, в построении образовательной деятельности, в процессе социализации и индивидуализации, а также гуманитаризации образовательного процесса.
Следовательно, содержание образовательной деятельности
формируется на основе:
- понимания методологического основания, наполненного антропокультурологическим потенциалом образования;
- сущностных характеристик человека.
Сущностью человека является его “способность строить себя, а
значит, постоянно изменять содержание ответа на вопрос о собственной сущности”.
Таким образом, методологическое основание образовательной деятельности в антропокультурологической плоскости определяется как система условий, методов, целенаправленно активизирующих человеческое развитие в соответствии с сущностными
характеристиками человека, т.е. ценностно-нормативной моделью
человека (формируемой на основе антропокультурологического
понимания концепций человека и требований общества).
Нами определены следующие сущностные характеристики человека в начале 3-го тысячелетия, выделенные на основе понимания концепций человека предыдущих столетий и учёта требований,
предъявляемых к человеку как:
- члену планетарного общества;
- представителю определённого социума, представителю этнокультуры, специалисту профессиональной сферы;
- личности, индивидуальности.
Личностное ядро слагают духовно-нравственная целостность и
потребность в непрерывном самопознании и развитии. Основные
характеристики человеческой сущности:
- высокий уровень самосознания, позволяющий человеку объективно познавать Мир, Природу, Общество, Вселенную, определять своё место в мире, выявлять закономерности в общественном
и личностном развитии, определять причину и следствие в культурно-историческом развитии;
- способность к сотрудничеству и созиданию в системе “Человек – Человек – Группа – Общество - Человечество”;
- ответственное отношение к экологическому здоровью планеты и сохранению жизни на ней;
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- осознание единства Человека и окружающего мира;
- способность осознавать общечеловеческие, национальные,
личностные ценности, обогащать и передавать новым поколениям
образцы духовной, материальной культуры, накопленной в процессе человеческого развития;
- активная жизненная позиция в утверждении нравственных
идеалов, норм, ценностей в деятельности и поведении;
- развитое концептуальное мышление, позволяющее давать
оценку, выделять позитивы и негативы в окружающей действительности;
- способность быть преемником традиций национальной и мировой культуры;
- высокий уровень эстетической, этической, правовой, экологической, гражданской, гендерной, семейной, физической культуры;
- способность целенаправленно, осознанно выбирать и осуществлять жизненную тактику и стратегию, прогнозировать собственное и общественное развитие;
- гуманность, демократичность, творческий подход к делу;
- высокий профессионализм;
- высокий уровень этики межличностных отношений в процессе взаимодействия с людьми;
- взаимопонимание, эмпатия по отношению к другим людям;
- готовность к диалого-дискуссионному общению;
- рефлексия;
- человеческий долг;
- способность определять методологию собственного действия
и деятельности в соответствии с общественными идеалами и требованиями; и др.
Образование как ценность для личности и общества содержит
антропокультурологический потенциал, который является основой
для раскрытия способностей человека построения его собственной
жизнедеятельности, заимствования идеалов, ценностей. Это та почва, на которой человек открывает тайны бытия, осмысливает триаду: Природа – Культура – Общество. В процессе непрерывного образования в течение всей жизни человек открывает смыслообразующие жизненные ценности и перспективы, обнаруживает новые
технологии самообразования, и др. При этом личность “вступает” в
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
диалог с Веком, другой Личностью, что, несомненно, обогащает и
активизирует процессы интеллектуального, духовно-нравственного,
культурного самоопределения. Это позволяет личности в процессе
самостроительства “жить” жизнью других людей: переживать жизненные события других, сочувствовать, сорадоваться, осознавать,
понимать, а следовательно, избирать собственную жизненную стратегию и тактику.
В обществе в соответствии с законодательными государственными документами создаются условия, необходимые для интеллектуального, духовно-нравственного развития личности. Система
образования как социальная инфраструктура государства содержит
антропокультурологический потенциал, который является методологическим основанием образовательной деятельности. Приведём
доказательства.
Первое. Концептуальные основы образовательной политики
сводятся к основной идее о том, что образование является важнейшим фактором, “определяющим как положение государства в современном мире, так и статус человека в обществе, является средством выявления и развития творческих возможностей каждого
гражданина, воспитания в нём трудолюбия и высоких нравственных принципов”… Государство должно принять на себя ответственность за настоящее и будущее отечественного образования, являющегося основой социально-экономического и духовного развития общества и человека, - отмечается в Национальной Доктрине
образования в РФ. Цели, сформированные в этом документе, являются тем ведущим структурным компонентом в методологии образовательной деятельности, от которого зависят содержание, средства и результат образовательной деятельности.
Многообразные образовательные программы на всех ступенях
системы образования (начиная от дошкольной педагогики и завершая андрогогикой – педагогикой взрослых) призваны своим целеполаганием задавать ценностно-смысловую основу, дух, культуру,
образовательной пространство, в котором личность способна развивать, созидать, творить, постигать те или иные социальные
функции.
Второе. Содержание образования обеспечивается следующими основными принципами:
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- исторической преемственностью поколений;
- сохранением и развитием национальной культуры;
- непрерывностью образования в течение всей жизни человека;
- систематическим обоснованием всех аспектов образования;
- развитием отечественных традиций в работе с одарёнными
детьми и молодёжью; и др.
Принципы – обязательный компонент в структуре алгоритма
методологии субъекта образовательной деятельности.
В свою очередь, задачи государства в сфере образования, которые должны перевести субъекты образовательной деятельности
на свой индивидуальный уровень, заключаются в следующем:
- в реализации конституционного права на получение бесплатного образования высокого качества;
- в формировании в общественном сознании отношения к образованию как высшей ценности гражданина, общества и государства;
- в сознании условий для полноценного обучения и воспитания
детей в семье, в государственных и муниципальных образовательных учреждениях;
- в воспитании молодого поколения в духе высокой нравственности и уважения к закону;
- в создании социально-экономических условий для приоритетного развития системы образования, и др.
Предметом особого внимания субъектов образовательной деятельности в ходе реализации методологических подходов должно
стать создание морально-психологической атмосферы, которая будет благоприятствовать развитию человеческого в человеке. Такая
атмосфера порождается в ходе сотрудничества, совместной жизнедеятельностью субъектов образования – деятельностью, общением,
межличностными отношениями, всем укладом жизни того или
иного образовательного учреждения. Субъекты образовательной
деятельности в различных видах образовательных учреждений
призваны содержанием образования:
- создавать благоприятные предпосылки для понимания личностью взаимообусловленности и взаимозависимости в системе “Человек – Человек – Мир – Природа – Культура”;
- расширять ценностно-смысловое поле личности, в котором
ведётся поиск смысла жизни, идеалов, перспектив и др.;
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- обогащать социокультурное пространство, содействующее
духовному развитию субъектов образования;
- создавать предпосылки для постижения социального опыта.
Третье. Содержание образования на каждой ступени обучения
систематизировано, конкретизировано, аргументировано. Оно выступает инструментом познания и понимания Мира, Природы,
Культуры, Жизни и отражает развитие культуры, способов миропонимания, человеческих возможностей. Наряду с познавательным, развивающим компонентами, оно включает и ценностномировоззренческий.
В связи с этим спектр содержания образовательной деятельности широк: от материализованных текстов о жизни до событийности человека и Вечности. Проблемы, представленные в содержании образования, связаны с реальной действительностью, с жизнью конкретных людей, общества. Педагогические средства, технологии, способы взаимодействия субъектов образовательной деятельности должны быть обращены к человеку, учитывать его индивидуальные особенности. Ведущим средством является диалог
педагога и учащегося, в ходе которого возможно самостоятельное
постижение познаваемого. Технология освоения познавательномировоззренческого опыта в таком случае включает: коллективное
и индивидуальное целеполагание; соучастие и содействие в познавательном, эмоционально-чувственном саморегулировании; содействие в построении духовно-нравственного компонента опыта
жизни, и др. При этом меняется позиция обучающегося субъекта,
так как он при содействии других сам определяет личностно значимое для себя ценностно-смысловые ориентиры и соответствующее им содержание своей жизнедеятельности. Это требует от педагога как субъекта образовательной деятельности умений владения
технологией обучения и воспитания, осмысленной с точки зрения
антропокультурологического подхода.
Приведенные доказательства (первое, второе, третье) убеждают
в том, что антропокультурологический потенциал образования, центрируемый на человеке как высшей ценности в культурно-образовательном пространстве, создаёт необходимую методологическую
основу образовательной деятельности в начале 3-го тысячелетия.
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Маркетинг образовательных услуг –
стратегия образовательного учреждения
в условиях крупного города
Е.Р. Семко
Муниципальное образовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа
с углубленным изучением отдельных предметов
«Провинциальный колледж»
Развитие рыночных отношений в России неразрывно связано с
процессом становления маркетинга. Среди специалистов нет общепринятого определения маркетинга. Мы будем пользоваться определением Ф. Котлера: «Маркетинг – вид человеческой деятельности, направленной на удовлетворение нужд и потребностей посредством обмена» [1]. Социальные основы маркетинга связаны со
следующими понятиями: нужды, потребности, запросы, товар, обмен, сделка и рынок.
«Возникновение в России рынка образовательных услуг различной привлекательности поставило перед субъектами, оказывающими образовательные услуги, принципиально новую задачу…
нужен новый, научно обоснованный метод управления образованием. Таким методом является маркетинг, т.е. комплексное управление производством и сбытом образовательных услуг» [2]. Таким
образом, если понимать образование как товар, то его производство должно строиться на основе изучения рынка, использования
маркетинга.
«Предмет маркетинга в сфере образования – это философия,
стратегия и тактика отношений и взаимодействий потребителей
(пользователей) и производителей образовательных услуг и продуктов в условиях рынка, свободного выбора приоритетов и действий с обеих сторон обмена ценностями. Целевой результат маркетинговой деятельности – это наиболее эффективное удовлетворению потребностей: личности – в образовании; учебного заведения – в развитии и благосостоянии его сотрудников; организацийзаказчиков - в росте кадрового потенциала; общества – в расширенном воспроизводстве совокупного личного и интеллектуального потенциала» [3].
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Маркетинг, как ничто другое, способен помочь разрешению
обострившихся противоречий между высокими темпами перемен,
низкими - в развитии сферы образования между спросом и фактическим предложением образовательных услуг. Однако для рассмотрения этой проблемы недостаточно знать только понятие
«маркетинг», следует определить, что же такое образование. По
определению ЮНЕСКО, под образованием понимается процесс и
результат совершенствования способностей и поведения личности,
при котором она достигает социальной зрелости и индивидуального роста. Сочетание «процесс и результат» свидетельствует о правомерности выбора именно образовательных услуг (ОУ) в качестве
основного объекта маркетинга в данной сфере.
Маркетинг образования играет двоякую роль в современной
экономике.
Во-первых, это связано с особой значимостью образования в
экономическом развитии. Современные технологии обеспечивают
высокий уровень и качество жизни, задают верхний предел экономического роста. Современные технологии доступны всем, однако
их распространение зависит от системы и уровня образования населения. Следовательно, маркетинг образования связан с распространением идеи образования.
Во-вторых, учебные заведения содержатся, как правило, на
средства бюджетов, пожертвования и средства, получаемые путем
взимания платы за образовательные услуги. Ограниченность возможностей федерального и регионального бюджетов в условиях
кризиса российской экономики определяет интенсивное развитие
маркетинга платных образовательных услуг.
Особенности маркетинга образования обусловлены, кроме того, приверженностью рынка формальному материальному представлению образования в виде аттестатов и дипломов.
Понимая возможность и необходимость использования всего
арсенала средств и методов маркетинга в образовании, прежде всего у руководителя должно возникнуть понимание того, что «маркетинг – это элемент устройства сознания участников цивилизованных рыночных отношений, соотносимый со стилем их жизни на
рынке. Для производителей услуг, в том числе образовательных,
степень приверженности маркетингу как философии рынка воплощается в ступенях перехода от так называемой «производствен120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ной» или производственно-бытовой ориентации организации к рыночной, маркетинговой ориентации» [4].
Переориентация на нужды потребителей – это не только структурные или технологические перемены, анализ разнообразной информации под иным углом зрения или провозглашение звучных
лозунгов «любви к ближнему». Это, прежде всего, серьезнейшая
психологическая перестройка персонала учреждения – от директора до учителя или технического работника. Подобные изменения
не происходят в одночасье, даже если выдвигается самый привлекательный лозунг, декларируются новые стратегические цели организации. Время, в течение которого содержание программного
лозунга станет внутренним убеждением подавляющего большинства сотрудников, может оказаться очень продолжительным. Пока
будет длиться этот период, образовательное учреждение не раз
столкнется с задачами, которые можно было бы решить привычными проверенными методами.
Преодолеть соблазн частичного отступления нелегко, но если
этого не сделать, организация, в конце концов, окажется перед необходимостью начинать все сначала, поскольку концепция маркетинга приносит успех только тем, кому хватает последовательности, настойчивости и терпения. Маркетинг – не панацея от неудач
на рынке, но это те «правила игры», которые в системе товарноденежных отношений вооружают учреждение верными ориентирами на пути к успеху.
Таким образом, первая задача, решаемая в Провинциальном
колледже и любой школе, принявшей маркетинговую ориентацию, - сориентировать коллектив и организационно приспособить
его к работе с новыми услугами, программами.
Учитывая возрастающую конкуренцию на рынке образовательных услуг, для оценки потенциального спроса следует обратиться к маркетинговым способам исследования рынка. Цель маркетинговых исследований состоит в выявлении перспективных потребностей, оценке степени их удовлетворения, проверке конкретных гипотез и прогнозировании потребительского поведения. С
этой точки зрения имеет смысл применить методику проведения
маркетинговых исследований к анализу образовательных потребностей.
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следовательно, вторая решаемая задача – проводить и изучать перспективы маркетинговых исследований рынка, в частности
выявлять образовательные потребности учащихся, родителей и местного сообщества.
Далее, активизируя классические элементы маркетинга – сегментирование рынка, продвижение услуг с помощью маркетинговых коммуникаций – решать проблему согласования изученных
образовательных потребностей и возможностей школы.
И, наконец, рассматривать процесс управления маркетинговой
деятельностью как целостный процесс согласования образовательных потребностей с возможностями школы и формирования модели маркетинга образовательных услуг. К этому выводу пришли
члены команды, осуществляя элементы маркетинга в колледже,
выстраивая процесс управления маркетинговой деятельности в целом.
Каждое образовательное учреждение обречено заняться маркетингом в силу изменившихся общественных отношений, выхода на
рынок услуг.
Согласно определению Ф. Котлера маркетинг образовательных
услуг – это совокупность работ по исследованию, планированию,
осуществлению и контролю за тщательно сформулированными
программами, задуманными, чтобы вызвать добровольный обмен
ценностями с целевыми рынками с целью достижений стремлений
учебного заведения.
Проанализируем это определение.
Во-первых, маркетинг образовательных услуг – процесс управления, включающий в себя предварительные исследования, целевое планирование, собственно реализацию при наличии постоянного контроля состояния.
Во-вторых, маркетинг образовательных услуг – это программа,
имеющая в качестве основного целевого ориентира предложение
услуг, обладающих необходимой привлекательностью не для всех,
а только для определенного круга потребителей.
В-третьих, маркетинг образовательных услуг предполагает в
качестве главного своего практического результата – наиболее
обоснованный выбор области деятельности (приложения) конкретного учреждения, наиболее эффективного его места на рынке образовательных услуг.
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В-четвертых, маркетинг образовательных услуг – комплексная система, необходимо включающая: составление программы,
ценообразование, финансирование и кредитование, право, бухгалтерский учет, методы распространения, продвижения услуг и другие составляющие современного бизнеса, необходимые для поддержания высокого спроса на предлагаемые образовательные услуги. Иначе говоря, в отличие от традиционной системы общественного образования предприниматель на рынке образовательных услуг должен обладать многими дополнительными знаниями, обеспечивающими эффективное достижение поставленных целей.
Обеспечивает решение задач колледжа разработка и осуществление маркетинговой программы, включающей в себя следующие позиции:
1. Определение предмета и цели деятельности, выявление так
называемой миссии учебного заведения с фиксацией этих позиций
в Уставе.
2. Организация группы по маркетингу.
3. Изучение своих слабых, сильных сторон, возможностей,
опасностей.
4. Определение основных рынков (внутренний – учредитель,
ученики, родители; внешний – выявление организаций, заинтересованных в деятельности колледжа, различных контактных групп
населения).
5. Содействие продвижению идеи (идей) своего учебного заведения (проспекты, использование средств массовой коммуникации,
работа среди населения).
6. Привлечение финансовой поддержки (спонсоры, изучение
рынка попечителей, возможно, организация сбора средств, привлечение целевых денег).
7. Оценка маркетинга (по итогам осуществления маркетинговой программы).
Выбор стратегии образовательным учреждением в значительной степени влияет на процедуры согласования разного рода между внешней и внутренней средой, в том числе и на процедуры согласования образовательных потребностей учащихся, местного сообщества и возможностей колледжа.
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В теории маркетинга описаны различные виды стратегий в зависимости от выбора основных приоритетов фирмой или какойлибо организацией.
Нам близка стратегия «фирменного товара», предполагающая
четыре классических уровня:
- постоянное качество услуг;
- стабильный уровень цен;
- возможность приобрести услугу вдали от фирмы;
- возможность предварительной договоренности на услуги.
Для Провинциального колледжа последние два уровня можно
интерпретировать следующим образом:
- возможность приобрести требуемую услугу по специальному
заказу (родителей или (и) учащихся);
- возможность заказать услугу до (при) поступлении в колледж
или на какую-либо программу колледжа.
Напомним, что практическому применению маркетинга предшествует необходимость осуществления ряда предварительных
мер. Во-первых, надо принять определенную концепцию; вовторых, создать организационную структуру, позволяющую претворить концепцию в действие; в-третьих, необходима собственная
система маркетинговой информации о состоянии рынка и ее обработки для формулировки целей развития школы и определения путей достижения этих целей; в-четвертых, нужна система доведения
планов школы до ответственных лиц, обеспечения этих людей ресурсами и полномочиями.
Литература
1. Котлер Ф. Основы маркетинга. М.: Прогресс, 1990.
2. Конаржевский Ю.А. Менеджмент и внутришкольное управление. М.:
Центр «Педагогический поиск», 2000.
3. Панкрухин А.П. Цена образования // Alma mater. 1997. № 5. С. 24 - 28.
4. Маркетинг образовательных услуг // Маркетинг. 1993. № 1. С. 18 - 31.
5. Похабов В.И., Тарелко В.В. Основы маркетинга. Минск: Вышейшая школа,
2001.
6. Басовский Л.Е. Маркетинг. М.: Инфра-М, 2001.
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Единый государственный экзамен по математике:
проблемы школы и вуза
Н.В. Сенчакова
Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова
Единый государственный экзамен является важным составляющим элементом попытки модернизации образования в Российской Федерации. Он призван выступать как способ создания объективной стандартизированной системы оценки достижений учащихся, обеспечить эквивалентность государственных документов о получении среднего образования, привести в соответствие школьные
выпускные экзамены и вступительные экзамены в вузы. Особым аргументом для широких масс абитуриентов и их родителей является
то, что введение ЕГЭ позволит избавиться от коррупции вузовских
преподавателей при проведении вступительных экзаменов и сделает
бессмысленной систему репетиторства.
Далее речь будет идти о едином государственном экзамене по
математике и о результатах, которые показали на этом экзамене
выпускники школ Ярославской области.
Так случилось, что автор данной статьи, являясь преподавателем вуза, по совместительству работает еще и учителем средней
школы (правда, в специализированном физико-математическом
классе). Если еще добавить, что мне довелось уже дважды (в 2003
и 2004 гг.) участвовать в проверке задач раздела С, то мое «столкновение» с процессом ЕГЭ было довольно полным и разносторонним.
Контрольно-измерительные материалы ЕГЭ (зафиксируем: это
и не называется задачами) содержат задания трех типов, условно
обозначенные как А (примерно 15 заданий), В (примерно 10 заданий), С (4 задания). Время выполнения – 240 минут.
Задания типа А являются более чем элементарными и сопровождаются несколькими вариантами ответа, из которых только
один правильный, а остальные правдоподобные, но неверные. Если
испытуемый выбрал верный ответ, ему выставляется один балл, в
противном случае – ноль баллов.
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задания типа В сложнее и ответами не сопровождаются. За
верный самостоятельно полученный ответ испытуемый получает
один балл, за неверный ответ – ноль баллов. Само решение не рассматривается, проверку, как и заданий раздела А, осуществляет
компьютер. Признаётся, что недостатком проверки здесь может
быть получение нулевого балла за «почти верное» решение, когда
неверный ответ есть следствие, например, случайной описки. Считается, что это компенсируется количеством заданий, одна ошибка
не сильно повлияет на конечный результат, а за большое количество
мелких огрехов оценка и должна быть понижена.
Задания раздела С требуют от испытуемых подробного выполнения и предполагают оценки 0, 1, 2, 3, 4 балла. Проверка проводится экспертами-предметниками, и в расчет принимаются не
только (и не столько) правильность ответа, но и все детали развернутого выполнения задания.
Цель заданий раздела С – выделить школьников с высокой математической подготовкой. Высокой математической подготовке
присущи следующие качества (Денищева Л.О. и др. Методические
рекомендации по оцениванию заданий С с развернутым ответом.
Москва, 2003):
1) прочное владение системой математических знаний, указанных в школьной программе по математике;
2) умение построить логически верную цепочку математических утверждений, шагов решения;
3) умение обосновать сделанные выводы ссылкой на известные
математические факты (определения, свойства, формулы и т.п.);
4) умение построить математическую модель ситуации, проанализировать и исследовать ее;
5) умение синтезировать информацию из различных разделов
школьного курса математики для решения поставленной задачи.
На наш взгляд, перечисленные качества характеризуют хорошо
подготовленного исполнителя заданий, но не человека, способного
решить, а тем более поставить задачу. Конечно, в профессии, где
математика не более чем инструмент, этого достаточно, но математические факультеты университетов, если они, конечно, желают
соответствовать своему предназначению, нуждаются в несколько
других абитуриентах. Видимо, теперь коллективам вузовских пре126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
подавателей нужно будет не только их искать, привлекать, но прежде всего самим создавать и воспитывать. Разумеется, это предмет
отдельного разговора.
Целью всего ЕГЭ (в том числе и задач раздела С) объявляется
измерение учебных достижений учащихся в рамках стандартной
школьной программы, проверка знаний, но не творческих способностей. Для этого, говорят всем нам, проводятся специальные
олимпиады, имеющие другую структуру, где предлагаются совсем
иные задачи, которые и проверяются, и оцениваются по-другому.
Если так, то заметим сразу, что способности к исследовательской
работе далеко не всегда и не полностью выявляются в рамках
олимпиадного движения. Лидеры олимпиад не всегда становятся
таковыми в науке. Кроме того, сколько абитуриентов могут зачислить вузы региона по результатам математических олимпиад? Одного победителя? Трех, занявших призовые места? Больше? Тогда,
видимо, требуется пересмотр положения об олимпиадах, предоставление права проводить их самим вузам. Не исчезнет ли при
этом сама суть олимпиадного движения и не превратятся ли они во
вступительные экзамены?
Раздел С содержит четыре задания. Как правило, это иррациональные, логарифмические, показательные и т.п. уравнения или
системы уравнений, задача по стереометрии, задача с параметром,
при решении которой следует ответить на некоторый очень специфический и достаточно неожиданный вопрос. В 2004 году в качестве одного из заданий было предложена задача на оптимизацию.
Следует сразу сказать, что развернутые решения четырех достаточно серьезных задач практически невозможно уместить на
листе формата А4 (второй лист не выдается). Во всяком случае,
предлагаемые предметной комиссией образцы решений, напечатанные достаточно мелким шрифтом (более пятидесяти строк на
странице), занимают обе его стороны.
В первой задаче способ решения обычно вполне однозначен.
Возникающие проблемы: потеря корней, приобретение посторонних корней, расширение или сужение области допустимых значений переменной. Предлагаемые инструкцией критерии оценки
сильно привязаны к той последовательности действий, которая выбрана в образце для решения уравнения (или системы уравнений) и
«борьбы» с обозначенными выше проблемами. Вследствие этого,
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
например, отбор посторонних корней путем непосредственной
проверки без нахождения области допустимых значений переменной объявляется серьезным недостатком. Возможность решения
путем перехода к равносильным уравнениям, системам и совокупностям не рассматривается, хотя для учащихся это наиболее вероятный путь выполнения задания.
Предлагаемое в инструкции понятие грубой и негрубой ошибки представляется проблематичным. При этом постулируется, что
учащиеся, имеющие высокий уровень математической подготовки
(т.е. решающие задания раздела С), не должны допускать грубых
ошибок, иначе при наличии грубой ошибки за соответствующее
задание ставится ноль баллов.
К грубым ошибкам предлагается отнести ошибки, которые обнаруживают незнание учащимися формул, правил, основных теорем и неумение их применять, незнание приемов решения задач,
рассматриваемых в учебниках, а также вычислительные ошибки,
если они не являются описками.
К негрубым ошибкам предлагается отнести потерю корня или
сохранение в ответе постороннего корня, отбрасывание без пояснений одного из них, и т.п.
Получается, что почти прощается принципиальная ошибка,
показывающая непонимание самого процесса решения уравнений,
и строго наказываются чисто технические ошибки, например в
таблице умножения.
Все это примерно похоже на то, что нельзя быть художником,
если не умеешь ровно выкрасить забор. Может быть, это и так.
Решения геометрических задач раздела С, предложенные учащимися при сдаче ЕГЭ 2003 года свидетельствуют, что подавляющее число выпускников современных общеобразовательных школ
не подготовлены к записи обоснованного решения задачи по геометрии. В решениях присутствовали вычисления искомых геометрических величин, но соответствующими объяснениями они не сопровождались. Таким образом, итоги 2003 года показали, что реальная подготовка большинства учащихся не обеспечивает выполнение требований к обоснованию решений, сформулированных в
первоначальных критериях для оценки выполнения этих заданий в
указанном году. Только 1% участников ЕГЭ успешно справились с
решением этих задач. Поэтому в 2004 году требования к уровню
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
обоснования решения геометрических задач были снижены. Задача
считалась решенной, если при правильном ходе решения ученик
явно описал, но, возможно, не обосновал взаимное расположение и
свойства геометрических фигур, играющих ключевую роль к решении задачи. Допускается, что ученик не обосновал ни одного
ключевого момента. Наверное, действительно можно считать, что
уровень общей математической подготовки ученика при этом достаточно высок, так как он понял сущность предложенной в задаче
конфигурации геометрических тел, проявил интуицию и хорошие
пространственные представления. Однако получается, что уже и в
геометрии (в школьном курсе алгебры и анализа уже давно!) исчезло понятие доказательства, недаром оно заменено более размытым термином «обоснование».
Причинами такого положения дел объявляются следующие обстоятельства:
1) два часа геометрии в неделю в программе средней школы;
2) отмена обязательного (устного) экзамена по геометрии как в
девятом, так и в одиннадцатом классах;
3) на вступительных экзаменах вузы перестали требовать
обоснований при записи решений геометрических задач;
4) все более широкое использование тестов с выбором ответа в
практике работы школы и вуза.
Аргументация очень любопытна. Еще вопрос: является ли
3) правдой, но даже если это так, то здесь явно перепутаны причина и следствие; 1) – существенно, но, впрочем, чистота в доме не
зависит от его бедности или богатства; 4) прямо указывает на
вредность тестирования, но это – существенная часть ЕГЭ, а 2) – на
необходимость устных экзаменов по математике в школе и, как
следствие, устного вступительного экзамена по этому предмету.
Задачи с параметром до сих пор вызывают у учащихся большие затруднения. За редким исключением в представленных работах предлагались лишь какие-то частичные действия, про которые
трудно было сказать, намечают ли они путь к решению. Радовало,
что среди пусть немногочисленных предложенных решений было
много разных. Учащиеся активно использовали различные графически соображения, сочетая их с алгебраическими, целочисленные
методы. Критерии оценки этих задач, содержащиеся в инструкции,
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
настолько сильно привязаны к имеющемуся там решению, что не
дают никаких ориентиров в случае отступления от него.
В 2004 году задачу с параметром пытались решать довольно
много учащихся, испугавшись, наверное, не только геометрии (что
традиционно), но и впервые появившейся задачи на оптимизацию.
Видимо, к ней не были готовы, и, конечно, к следующему году этот
пробел будет формально ликвидирован, но полного понимания и
осознанного решения подобного рода задач невозможно добиться
без серьезной теории предела, серьезных теорем о непрерывных
функциях, а это не присутствует в достаточно полном виде даже в
программе математических школ. С другой стороны, именно выход
на такие задачи оправдывает наличие элементов математического
анализа в школьном курсе математики. Впрочем, применение неравенства Коши и различных других методов позволяет ставить, обсуждать и решать оптимизационные задачи с учащимися седьмых восьмых классов. Их появление как в рамках ЕГЭ, так и на традиционных вступительных экзаменах может только радовать.
Ярославская область участвует в эксперименте по проведению
ЕГЭ по математике с 2003 года. Результаты в нашем регионе несколько выше средних по стране, причем преимущество ярославских школьников возрастает при рассмотрении количества учащихся с более высокими результатами. Например, в 2003 году
оценку «4» имели 32,8% школьников по стране и 35,7% ярославских, оценку «5» - 12,3% и 17,8% соответственно. Школьников,
получивших более 90 баллов, в нашем регионе в полтора раза
больше, среди них в 2003 году пятеро имели 100 баллов (всего таких было 44 на 47 участвовавших в ЕГЭ регионов).
В математической школе и профильных классах гимназий и
колледжей «школьные» пятерки получили практически все учащиеся (за исключением четырех-пяти в каждом классе), а в целом
оценки на ЕГЭ превышали выставленные учащимся годовые оценки (в вышеуказанных классах процент повышенных оценок доходил до шестидесяти). Пребывающая в стрессовом состоянии
школьная общественность вздохнула свободнее и на основе
имеющегося уже двухлетнего опыта целенаправленно готовит
учащихся к процедуре ЕГЭ.
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Эта подготовка, конечно, даст свои плоды. Например, в математической школе № 33 города Ярославля в 2003 году не было
учащихся, получивших 100 баллов, а в 2004-м их стало семь (при
не очень сильном выпуске). Разумеется, дети просто больше тренировались именно на материале тестовой части заданий ЕГЭ.
Вообще есть опасность понижения уровня обучения в математических школах и специализированных профильных классах гимназий и колледжей. Что делать учителю, если его троечники получают пять на ЕГЭ? Если получается, что он шестидесяти процентам учащихся занижает оценку? Как это скажется уже на следующем поколении его учеников? Будут ли они стараться «выкарабкиваться» из троек?
Вузовским преподавателям, а особенно преподавателям математических факультетов университетов, придется усилить и просто
резко изменить всю работу по адаптации первокурсников. Ясно,
что вчерашние абитуриенты, придя в университет, столкнутся совсем с другой постановкой математических задач и (им покажется!) совсем с другой математикой. Положение будет усугубляться,
так как различные способы тестирования, содержащие ответы без
обсуждения, откуда они взялись, неизбежно проникают уже чуть
ли не в начальную школу. Понятие «доказать» если и не исчезло
уже, то становится все более размытым, а, наверное, оно важно не
только для будущего математика, но и филолога, юриста, наконец,
политика.
Представляется достаточно очевидным, что отбор на математические специальности университетов не должен ограничиваться
рассмотрением баллов, полученных на ЕГЭ. Проблема состоит не
только в отборе абитуриентов, видимо, придется еще создавать и
развивать ту среду, в которой дети начиная с самого младшего возраста будут учиться не столько отвечать на вопросы, сколько задавать их, в которой будет идти процесс познания, а не узнавания знакомых ситуаций и реакций на них на уровне условных рефлексов.
А пока еще сильнее расцвело репетиторство. Оно, конечно,
частично решает проблему подготовки к учебе в вузе, но все-таки
больше нацелено на сдачу вступительных экзаменов, а теперь еще
и единого государственного экзамена.
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О курсе по выбору для экономистов
Т.Ф. Серебренникова
Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова
Информатизация российского бизнеса, интернетизация многих
сфер предпринимательской деятельности (финансы, реклама, торговля и т.п.), внедрение компьютерных технологий управления выдвигают на первый план проблемы информационной безопасности
организации. Изменения, происходящие в экономической жизни
России - создание финансово-кредитной системы, предприятий
различных форм собственности и т.п. - оказывают существенное
влияние на вопросы защиты информации. Переход экономики на
рыночные отношения, в том числе и в вопросах интеллектуальной
собственности, требует от руководителей фирм, предприятий не
только разработки рыночной стратегии, но и стратегии информационной безопасности.
Реальные угрозы информационной безопасности проявились в
профессиональной сфере сразу же с началом экономических реформ (рынок и конкуренция, нестабильность власти, экономики,
финансов, законодательства, политический и информационный
плюрализм, коррупция и т.п.). Информационная безопасность определяется и тем, насколько каждый из членов общества в соответствии со своей позицией и интересами имеет возможность через
средства массовой информации и средства телекоммуникаций свободно искать, получать и распространять достоверную информацию. Общество не может чувствовать себя в безопасности, если
оно получает препарированную, управляемую информацию.
Общеизвестно, что в любом бизнесе есть информация, раскрытие которой приводит к значительному ущербу, а иногда и к гибели фирмы. В условиях рынка для принятия оптимальных управленческих решений своевременная и достоверная информация
приобретает важнейшее решение. В бизнесе цена решения во все
времена была очень высока. Из-за ошибки в выборе стратегического партнера, из-за неожиданно появившегося в нише рынка удачливого конкурента, из-за недобросовестного поставщика можно
потерять многое, если не все.
Далеко не всегда тайны фирмы связаны с криминалом, уклонением от уплаты налогов или другими противоправными действия132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ми. В качестве конфиденциальной информации могут выступать
сведения о конкурентах, досье на собственных сотрудников, перспективные планы развития фирмы, предполагаемые контракты, и
т.д.
В условиях становления рыночной экономики каждое предприятие, фирма вынуждены постоянно вести конкурентную борьбу
за свое существование, за прибыльное ведение дел, за свое доброе
имя. Само понятие «безопасность» принимает расширенное содержание, оно включает в себя как составляющие информационнокоммерческую, юридическую и физическую безопасность. Вопросы информационно-коммерческой безопасности занимают особое
место и в связи с возрастающей ролью информации в жизни общества требуют особого внимания. Успех производственной и предпринимательской деятельности в немалой степени зависит от умения распоряжаться таким ценнейшим товаром, как информация. Но
выгодно использовать можно лишь ту информацию, которая требуется рынку, но неизвестна ему. Поэтому в условиях ужесточения
конкуренции успех предпринимательства, гарантия получения
прибыли все в большей мере зависят от сохранности в тайне секретов производства, опирающихся на определенный интеллектуальный потенциал и конкретную технологию.
Часть общества адаптировалась к ситуации правового и режимного беспредела, появился новый вид бизнеса (торговля государственными и ведомственными секретами, различного рода конфиденциальной информацией, коммерциализация бюджетных информационных ресурсов, и т.п.), рядовые граждане испытали на
себе длительный стресс качественно нового уровня опасности социального бытия, сформировавшегося в этот период. Дореформенная система государственной, общественной и личностной безопасности рухнула вместе с ее политическим, экономическим и
идеологическим фундаментом, а новые концепции еще не сформировались, не проникли в общественное сознание и политику. Российские менеджеры вынуждены были бороться с повышенной (если не сказать, экстремальной) опасностью для своего бизнеса методом проб и ошибок, обретая опыт, обучаясь на ходу необходимой тактике и определяя стратегии. Последнее было дано не каждому, поэтому итогом первого этапа в истории отношения молодого российского бизнеса к проблеме экономической и информаци133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
онной безопасности было множество ошибок, банкротств, потерь,
обман потребителей, экономические убийства и т.п.
Одним из важнейших, хотя и не гарантирующих быструю отдачу, направлений формирования оптимальных стратегий безопасности в профессиональной сфере следует считать систему вузовского образования. В зависимости от профессиональных задач подготовки кадров можно выделить основную задачу: преподавание
широкому кругу специалистов дисциплин по проблемам экономической и информационной безопасности с целью формирования
профессиональной (в том числе информационной) культуры.
Понятие «безопасность» определяется как состояние защищенности жизненно важных интересов (Закон РФ «О безопасности»). Однако в общественном сознании все еще сильны стереотипы восприятия безопасности как исключительно относящейся к
сфере компетенции государства и специальных органов. Отсюда
традиционно «слабое» понимание специфики этих проблем, прежде всего первыми руководителями предприятий и организаций, отнесение ими вопросов информационной безопасности к не основной деятельности. В итоге нередко вопросы защиты коммерческой
тайны упускаются в лицензионных соглашениях, договорах подряда на создание научно-технической продукции. Такие упущения
приводят к утечке коммерчески значимой информации, затрудняют
определение собственника на результаты работы.
Не случайно лейтмотив высказываний специалистов в области
информационной и экономической безопасности - это констатация
неготовности российских предпринимателей, менеджеров принимать активные меры к защите своего бизнеса, сохранности своих
секретов.
Информационная безопасность дает гарантию того, что достигаются следующие цели:
- конфиденциальность критической информации;
- целостность информации и связанных с ней процессов (создания, ввода, обработки и вывода);
- доступность информации, когда она нужна;
- учет всех процессов, связанных с информацией.
Большое внимание уделяется этой проблеме и в Ярославской
области.
134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В 1999 году в УВД Ярославской области был создан отдел по
борьбе с преступлениями в сфере высоких технологий (ОБПСВТ) 1.
В числе задач, возложенных на отдел, - борьба с компьютерными
преступлениями, а также противодействие незаконному обороту
радиоэлектронных средств и специальных технических средств
(средств негласного получения информации). И в первый же год
работы отдела было возбуждено восемь уголовных дел в отношении лиц, использовавших чужие пароли для входа в глобальную
сеть Internet (ст. 165 УК РФ «Причинение имущественного ущерба
путем обмана или злоупотребления доверием»). Одной из серьезных проблем, с которой столкнулись работники ОБПСВТ, является
недостаточный уровень подготовки следователей, специализирующихся на расследовании преступлений данного вида. У работников отдела возникают и затруднения по выявлению ущерба от
компьютерных преступлений (неправомерный доступ к компьютерной информации, создание, использование и распространение
вредоносных программ, и т.д.).
Основной причиной наличия потерь, связанных с информационными технологиями, на наш взгляд, является недостаточная
образованность в области безопасности. Только наличие некоторых знаний в области безопасности может прекратить инциденты и
ошибки, обеспечить эффективное применение мер защиты, предотвратить преступление или своевременно обнаружить подозреваемого.
Так как выпускники подавляющего большинства российских
вузов не получают практически никаких знаний в области информационной, экономической и социальной безопасности, то они эти
знания приобретают в реальной жизни, ошибаясь, подвергаясь
рискам, становясь нередко жертвами обстоятельств или недобросовестных конкурентов.
Выпускник вуза должен владеть не только навыками по безопасности современных информационных технологий, но и:
- знать основы самих технологий;
- иметь представления о главных тенденциях развития информационных процессов и их влияния на современное общество;
1
Евстюничев Р. Пресс-служба УВД / Золотое кольцо. 2000. 2 июля.
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- владеть методами оценки угроз информации и информационных угроз;
- иметь представление о способах, методах и средствах информационных противодействий и информационной борьбы;
- знать организационно-правовые основы обеспечения информационной безопасности.
Такого рода перспективы отражают реальную востребованность в обществе специалистов нового типа, обладающих демократическим менталитетом, специальными знаниями, обостренным
чувством социальной ответственности.
Особенно актуальны такие знания будущим экономистам, поскольку им неизбежно в профессиональной деятельности предстоит столкнуться с проблемами безопасности, защиты информации,
необходимостью создавать собственные службы безопасности,
грамотно ставить для них задачи. Этим целям служит разработанный автором и предложенный студентам в виде курса по выбору
курс «Информационная безопасность». В рамках данного курса
студенты знакомятся с основными понятиями информационной
безопасности, системами угроз и рисков, методами их идентификации и предотвращения, задачами и методами деятельности собственных служб экономической и информационной безопасности в
фирме, информационными ресурсами и технологиями, необходимыми для обеспечения безопасности. Обучение сочетает в себе как
теоретические, так и практические разделы.
В ходе занятий по данной дисциплине будущие экономисты
получают представление о значимости социальной, корпоративной, профессиональной и личностной стратегий безопасности в успешной карьере и повседневной жизни, знания того, что руководитель должен и может требовать и ожидать от собственной службы
безопасности, с какими проблемами необходимо обращаться в
коммерческие или государственные структуры.
На практических занятиях студенты работают с антивирусными
программами, осваивают программы сжатия и архивирования данных, знакомятся с понятиями стеганографии и криптографии, средствами идентификации и аутентификации пользователей, изучают в
Internet материалы научных конференций по безопасности. На сервере факультета для самостоятельной работы студентов создана
специальная папка, содержащая материалы по большинству тем,
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
программу курса, вопросы для самостоятельной подготовки, тексты
законов, постановлений, касающихся информационной безопасности, «Доктрину информационной безопасности РФ». Зачет по курсу
студенты сдают в виде теста на компьютере. Курс читается для студентов всех форм обучения и особенно большой интерес вызывает у
студентов вечернего и заочного отделения, уже столкнувшихся с
проблемами защиты информации у себя на работе.
Мы считаем, что введение подобных курсов целесообразно и
для студентов других специальностей, так как он способствует
формированию у специалистов любого профиля необходимых знаний в области безопасности, информационной культуры (профессиональной и личностной). Вместе с изучением базового курса
«Информатика» курс «Информационная безопасность» способствует преодолению страха перед «цифровым» будущим, учит использовать компьютеры как инструмент достижения успеха в бизнесе. Подготовленность и вооруженность выпускников этими знаниями – частичный ответ на запрос современных рыночных отношений в экономической жизни современной России.
Если вуз не видит задачи подготовки своих выпускников в области информационной и экономической безопасности, то эти знания выпускники смогут получить лишь в реальной жизни, ошибаясь, подвергаясь рискам, становясь нередко жертвами обстоятельств или недобросовестных конкурентов.
На наш взгляд, с основами информационной безопасности необходимо знакомить студентов всех специальностей.
Мониторинг уровня учебных достижений учащихся
по математике в Ярославской области
Н.В Шведова
Департамент образования Администрации Ярославской области,
Центр оценки и контроля качества образования
Изменения в сфере образования, произошедшие за последнее
время, привели к противоречию между развитием образовательных
услуг, с одной стороны, и отсутствием системы контроля, направленной на обеспечение объективности проверки знаний на основе
государственных стандартов - с другой. Агрессивная информационность внешней среды, а также содержательная перегруженность
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
школьных программ привели к тому, что учащиеся не в состоянии
усвоить учебные программы, что негативно отражается на их здоровье. Происходит разрушение старой системы оценивания учебных достижений учащихся, возникают проблемы, когда необходимо оценить результаты новых технологий, инновационных программ и методик, организационных структур. Отметка учителя уже
давно выполняет воспитательные, мотивационные функции и не
может отражать действительный уровень подготовки учащихся.
Происходит разрушение единого образовательного пространства.
В этих условиях образование может утратить свои социальные
функции.
В последнее десятилетие в большинстве развитых стран мира
уделяется особое внимание проблемам оценки качества образования, создаются национальные службы для контроля за результатами образования, мониторинга его качества. На протяжении двух
последних десятилетий в Англии, Голландии, Франции, США и
других странах вопросы оценки качества образования, позволяющей сравнивать эффективность работы учебных учреждений, остаются главнейшими, с каждым годом замеряемые показатели дают все более и более объективную картину, учитывающую как результаты, так и условия обучения [10, с. 33]. Во Франции при
оценке качества школьного образования с начала 1990-х годов используются мониторинговые исследования образовательных достижений учащихся (на выборках), проводится национальное диагностическое тестирование, результаты которого используются для
корректировки образовательного процесса, они обобщаются на
уровне школы, региона, страны в целом, публикуются ежегодно
[10, с. 109].
Вопрос о контроле качества образования тесно связан с вопросами: «Чему учить? Какое содержание образования может обеспечить развитие ребенка? Каков должен быть результат? Как получить объективные, достоверные и сопоставимые данные о качестве
обучения на уровне учебного заведения, муниципального округа,
региона?». Российское педагогическое сообщество в настоящее
время пытается ответить на эти вопросы, исходя из реалий нашего
времени: активного движения страны в общеевропейское образовательное пространство. Разрабатываются государственные стандарты, как система параметров, характеризующих качество общего
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
образования. Однако стандартизацию не следует понимать как жесткую регламентацию, стандарт – ядро, на котором строится множество вариативных программ.
Одним из важнейших направлений модернизации системы российского образования является совершенствование контроля и
управления качеством образования. Под «качеством образования
понимается соответствие образовательных результатов нормативным требованиям, потребностям социума, рынка труда и обучающихся» [9, с. 6]. Цель государственного контроля качества - обеспечить стабильное соответствие качества образования потребностям
человека, общества и государства. Система образования является
важнейшим фактором социального прогресса. В настоящее время
необходима целенаправленная научно-исследовательская и технологическая работа по созданию информационных образовательных
систем, способствующих повышению уровня педагогического
взаимодействия всех субъектов образовательного процесса. В регионах создаются центры тестирования, аттестационные службы, в
рамках которых формируются модели мониторинга. Например, в
Самарской области создан «Региональный Центр мониторинга», в
Республике Чувашии - «Республиканская служба образовательной
статистики и мониторинга качества образования». Разработанные в
других областях аналогичные системы не могут быть механически
перенесены на Ярославскую область, так как не учитывают ее специфических особенностей: инфраструктуру, ресурсное обеспечение
и т.п. В «Программе развития образования Ярославской области на
2001 - 2003 годы и перспективы по 2005 год» [9, c. 15] одним из
приоритетных направлений деятельности системы образования в
области является создание региональной системы мониторинга качества общего образования.
В настоящее время мониторинг в образовании нуждается в
теоретическом обосновании, в разработке конкретных методик его реализации.
Мониторингом (от лат. monitor – предостерегающий, предупреждающий) принято называть регулярные, выполняемые по заданной программе наблюдения состояния предварительно выделенного одного или нескольких объектов [7, c. 119].
В экологии понятие «мониторинг» определяют как комплексную систему наблюдений, оценки и прогноза изменений состояния
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
окружающей среды под влиянием антропогенных воздействий. В
этой области деятельности человека разработан методологический
аппарат мониторинга, созданы средства измерения, мониторинг
широко принят научным сообществом, статус закреплен на законодательном уровне (ст. 63 Конституции РФ).
В социологии мониторинг рассматривается как средство обеспечения эффективного функционирования системы прогнозирования [6].
В последние годы мониторинг широко используется в медицине: в научных целях с целью выявления и предупреждения критических ситуаций, опасных для здоровья человека, для доказательства исследовательских гипотез.
Понятие «мониторинг» не имеет точного однозначного толкования, так как изучается и используется в различных сферах научно-практической деятельности. Он может рассматриваться как способ исследования реальности и как способ обеспечения сферы
управления. Все объекты, изучение или обследование которых
осуществляется с применением мониторинга, находятся в постоянном изменении, развитии. Мониторинг представляет собой довольно сложное формирующееся понятие, которое носит междисциплинарный характер. Для каждой из сфер общественной деятельности мониторинг будет иметь свои особенности.
В процессе осуществления мониторинга образовательных систем значительной проблемой является обеспечение высокого качества инструментария, разработка критериев оценивания, индикаторов и показателей, сам процесс измерения, статистическая обработка результатов и их адекватная интерпретация, существенную
проблему может представлять структурирование и хранение полученной информации, обеспечение свободного доступа к информационным ресурсам [2]. Подчеркнем тот факт, что мониторинг реализуется в рамках управленческой деятельности.
Важнейшим условием повышения эффективности управления
системой образования является систематический анализ объективных данных о состоянии результатов обучения учащихся. Постоянный мониторинг за качеством учебного процесса, результатов
обучения школьников становится особенно актуальным в условиях
модернизации школы, обновления содержания образования, нормализации учебной нагрузки учащихся. Понятие «мониторинг»
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
возникло в конце двадцатого столетия с появлением информационных технологий. Прообразом «мониторинга образования» являлась «педагогическая диагностика», которая широко рассматривалась зарубежными педагогами, в частности хорошо известны по
данному вопросу работы немецкого педагога К. Ингекампа. В нашей стране вопросам массовых обследований результатов обучения в 1980-е годы посвящены работы ученых Академии педагогических наук под руководством А.А. Кузнецова, Московского государственного педагогического института им. В.И. Ленина под руководством В.Н. Огарелкова и др. [4, с. 27]. Идея мониторинга в
настоящее время активно разрабатывается многими учеными –
А.Н. Майоровым, С.Е. Шишовым, В.А. Кальней и др. [1, 2, 5].
Контроль в системе образования существовал всегда: контрольные работы, экзамены, инспекторские проверки. Но традиционные формы контроля недостаточно эффективны, они имеют ряд
недостатков, приведем некоторые из них:
- контроль состояния обучения носит нерегулярный, эпизодический характер, не вскрывается динамика изменений;
- основная направленность на итоги обучения, сам процесс
обучения остается в стороне;
- результаты мало информативны, так как используются при
анализе достаточно субъективные школьные отметки; трудно определить, какие именно элементы содержания не усвоены учащимися;
- значительная часть традиционных методик пренебрегает статистическими закономерностями выборочного обследования на
репрезентативной выборке.
Все изложенное выше подчеркивает, что традиционный контроль не выполняет диагностическую функцию: вскрыть причины
тех или иных ошибок учащихся, выявить недочеты в работе учителей, выявить факторы влияния на успеваемость школьников [3,
c. 38]. Мониторинг качества образования отличается от контроля
систематичностью и протяженностью во времени. Главное отличие
состоит в том, что задача мониторинга заключается в установлении
причин и величины несоответствия результата целям [4, c. 27].
Системы мониторинга за знаниями учащихся могут быть определены как выбор инструментов оценки, позволяющий осуществлять
долговременную оценку объема знаний, как отдельных учащихся,
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
так и групп. Обоснование, разработка и использование системы
мониторинга за знаниями учащихся является дорогостоящим мероприятием и требует значительных временных затрат, но результаты ее использования дают очень полезную информацию об эффективности образования.
Построение системы мониторинга, которая даст целостное
представление о качестве математической подготовки выпускников в области, позволит прогнозировать динамику развития региональной системы математического образования и своевременно
выявлять факторы влияния. В нашей работе система мониторинга
строится с использованием модели «цель-результат с учетом процесса обучения». Главное внимание в работе уделено созданию:
региональной системы мониторинга математической подготовки
выпускников основной и средней школы, которая использует объективные методы измерения, дает целостное представление о качестве и динамике математического образования в области; измерителя, который позволит проводить измерения, адекватные целям
мониторинга; системы интерпретации результатов и возможностям
их использования.
Становление регионального мониторинга уровня учебных достижений школьников по математике прошло три этапа.
На первом этапе - теоретическом (1998 г.) - осуществлялось
изучение состояния исследуемой проблемы, анализ исторического
и современного зарубежного и отечественного опыта построения
мониторинга уровня учебных достижений учащихся, научной организации контроля качества образования.
На втором этапе – экспериментальном (1999 – 2000 гг.) продолжилось изучение научной литературы по исследуемой проблеме, в целом сложилась система мониторинга уровня учебных
достижений математического образования в регионе; были определены базовые площадки и экспериментальные территории, на которых проводилась апробация технологии тестирования. В целях
наработки и апробирования методического материала по мониторингу качества знаний учащихся, созданию единых измерителей
контроля, выставлению статистической нормы было проведено
тестирование:
- в 1999 году – в 6-х классах (371 человек) по предмету «Математика»,
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ра».
- в 2000 году - в 7-х классах (365 человек) по предмету «Алгеб-
Апробация осуществлялась в шести школах Ярославского района и в четырех школах Ленинского района г. Ярославля. Проверялся уровень усвоения учащимися минимума содержания образования независимо от программ и учебно-методических комплектов,
по которым велось преподавание.
Третий этап – внедренческий - берет свое начало с 2000 года.
В 2000 - 2002 годах проводилось исследование качества математической подготовки на репрезентативной выборке в выпускных
классах. Исследование осуществлялось в формах:
- тестирования по «Алгебре» за курс основной школы (2001 г. 574 человек из 47 школ; 2002 г. – 1 458 человек из 64 школ);
- перепроверки письменных аттестационных работ по алгебре
за курс основной школы (538 работ из 18 школ);
- перепроверки письменных аттестационных работ выпускников 11-го класса, получивших серебряные медали.
В 2003 – 2004 годах, в соответствии с приказом департамента
образования Администрации Ярославской области, эксперимент
проводится в выпускных классах основной школы области на репрезентативной выборке по предмету «Геометрия» (400 человек);
результат по желанию выпускников может быть засчитан за экзамен по выбору.
В Ярославской области имеется более 500 общеобразовательных учреждений, из них порядка 300 – средние, остальные - основные и начальные. Для осуществления мониторинга уровня учебных
достижений школьников по математике в регионе необходима информация о результатах обучения как в основных, так и средних
школах.
В 2003 году Ярославская область вступила в эксперимент по
введению Единого государственного экзамена (ЕГЭ). Результаты
экзамена начинают использоваться для формирования информационных баз региональных систем мониторинга качества образования. Накапливается опыт по организации и использованию результатов ЕГЭ. Общероссийские тестовые баллы массового тестирования задают средние статистические нормы учебных достижений.
Результаты ЕГЭ можно рассматривать как информационную основу для организации многоуровневого мониторинга качества подго143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
товленности выпускников: на внутришкольном, территориальном,
муниципальном, региональном уровнях.
Анализ успехов и недостатков требуется образовательным учреждениям, органам управления образованием на всех иерархических уровнях для коррекции образовательного процесса подготовки выпускников, школьникам - для оценки требований к уровню
подготовленности. Система образования в области не является однородной по качеству предоставляемых услуг. Теоретически за родителями и их ребенком сохраняется право выбора более качественного, с их точки зрения, образовательного учреждения, однако
возможности реализовать это право в условиях полного или частичного отсутствия информации – нет. В результате проведения
ЕГЭ появится возможность реализации этих прав. ЕГЭ позволит
заметно усилить влияние органов управления образованием региона, если в основу их деятельности будет положена открытость,
объективность и оперативность. Проблема системы качества образования имеет не только ведомственный характер, но и общественный: информация необходима потребителям образовательных услуг. Разным пользователям нужны разные данные. При аттестации
учреждений должны использоваться не одномоментные замеры, а
наблюдение необходимо вести в течение четырех - пяти лет, чтобы
прослеживать динамику изменений. Аналогично использование результатов при аттестации учителей, так как может оказаться, что на
момент аттестации попадет более слабый выпуск. Всякая информация, полученная в ходе мониторинга качества, должна иметь
своего адресата и аккуратно представляться.
Математика является обязательным экзаменом для всех выпускников средней школы, результаты, полученные на генеральной
совокупности, обладают большей надежностью. Ведение ЕГЭ по
другим предметам, которые не являются обязательными при проведении итоговой аттестации (химии, биологии, истории и т.д.), не
даст реальной картины результатов обучения по предмету в области, так как выборка будет непредставительна.
Особо подчеркнем, что вводимая независимая система оценивания, осуществляемая в рамках ЕГЭ, является мощным воспитывающим средством, так как формирует уверенность в необходимости качественного труда для успеха в жизни. Отсюда – воспитательная функция мониторинга, которая проявляется опосредованно.
144
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В результате проведения мониторинговых исследований в области ряд школ скорректировали свои учебные программы, а
именно: добавили «часы» на изучение математики в старших классах за счет вариативной части базисного учебного плана и заявили
об углубленном изучении математики.
Некоторые муниципальные округа, например Ярославский,
полностью перешли в старших классах на изучение математики по
курсу «В». Институт развития образования осуществляет подготовку учителей-инструкторов, которые изучают проблемы, связанные с
подготовкой выпускников к ЕГЭ и тестовой форме контроля.
Благодаря мониторинговым исследованиям, активизировалась
методическая работа по пропедевтике ошибок, допускаемых выпускниками. Сегодня информация по учебно-методическим комплектам помогает учителю сориентироваться в широком многообразии
учебников. Проведение ЕГЭ и региональных мониторинговых исследований привлекло внимание общественности к вопросу о преподавании математики в области.
Литература
1. Кальней В.А., Шишов С.Е. Мониторинг качества образования. Москва; Вологда, 1998. 204 с.
2. Майоров А.Н. Мониторинг в образовании. СПб.: Образование – Культура,
1998. 344 с.
3. Майоров А.Н. Теория и практика создания тестов для системы образования. М.: Народное образование, 2000. 352 с.
4. Макарова Т.Д. О массовых исследованиях качества обучения // Стандарты
и мониторинг в обучении. 2000. № 4. С. 27 - 31.
5. Матрос Д.Ш., Полев Д.М., Мельникова Н.Н. Управление качеством образования на основе новых информационных технологий. М.: ПОР, 2001. 128 с.
6. Мониторинг как практическая система. http:www.mto.ru/children/
monitoring/system.htm
7. Осипов Ю.Б., Дымов Д.Е., Зилинг Д.Г. и др. Управление природоохранной
деятельностью в Российской Федерации. М.: МГУ, 2001. 440 с.
8. Попов В.Г., Голубков П.В. Мониторинг развития региональной системы
образования // Стандарты и мониторинг в обучении. 2000. № 2. С. 30 - 33.
9. Региональная система управления качеством образования. Департамент образования Администрации Ярославской области. Ярославль, 2000. С. 4 - 8.
10. Реформы образования. Аналитический обзор / Под ред. В.М. Филиппова.
М.: Центр сравнительной образовательной политики, 2003. 303 с.
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оптимальная система математического образования
студентов 1-го курса естественнонаучных факультетов
классических университетов
Е.И. Щукин
Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова
В основу указанной системы математического образования положен принцип единства трех линий математического анализа явлений действительности - стохастической, детерминистической и
компьютерной - в сочетании с принципом мотивации учебной деятельности изучающих дисциплину «Математика – общий курс».
В дисциплине изучаются:
- теория вероятностей (случайные события; дискретные и непрерывные случайные величины; предельные теоремы);
- математический анализ (функции; пределы; производные;
дифференциалы; интегралы; дифференциальные уравнения и их
системы).
Указанные разделы изучаются на 1-м курсе естественнонаучных факультетов классических университетов, где - в соответствии
с учебными планами - I семестр составляет 18 учебных недель,
II семестр - 15 недель, и каждую неделю проводятся одна двухчасовая лекция и один двухчасовой семинар (практическое занятие).
Оптимальный учебный план (рабочий план) выглядит следующим образом:
I семестр (18 недель)
Теория вероятностей событий
(Часть 1 - «Случайные события»)
1. Классификация событий. Определения вероятности (классическое; статистическое; геометрическое).
2. Математическое и компьютерное моделирование ряда реальных
задач.
3. Метод математической индукции. Элементы комбинаторики.
4. Сумма и произведение событий. Теоремы о нахождении вероятности суммы событий.
5. Зависимые и независимые события. Условная вероятность события. Теоремы о нахождении вероятности произведения событий.
6. Полная вероятность события. Теорема о переоценке вероятностей
гипотез (формула Байеса).
146
2/2
2/2
2/2
2/2
2/2
2/2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Математический анализ
(Дифференциальное и интегральное исчисления)
7. Основные числовые множества. Координаты точки на плоскости
8. Функция. Взаимнообратные функции.
9. Основные элементарные функции.
10. Числовые последовательности; их сходимость или расходимость.
11. Предел функции непрерывного аргумента. Теоремы о пределах.
12. Первый и второй замечательные пределы.
13. Непрерывность. Понятие производной.
14. Основные правила дифференцирования. Производные основных
элементарных функций.
15. Общая схема исследования функции.
16. Дифференциал функции.
17. Уравнения Мальтуса и Ферхюльста – Перла (логистическое).
18. Резерв.
2/2
2/2
2/2
2/2
2/2
2/2
2/2
2/2
2/2
2/2
2/2
II семестр (15 недель)
19. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные
методы интегрирования.
20. Определенный интеграл. Теорема Ньютона-Лейбница.
21. Аналитические и численные методы нахождения определенных
интегралов.
22. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.
2/2
2/2
2/2
2/2
Теория вероятностей событий (Часть 2)
23. Дискретные случайные величины (ДСВ). Закон распределения
ДСВ. Числовые характеристики ДСВ.
24. Равномерное дискретное распределение. Теорема о повторении
опытов. Формулы Бернулли и Пуассона.
25. Распределение Бернулли, Пуассона и геометрическое.
26. Непрерывная случайная величина (НСВ). Интегральная и дифференциальная функции распределения; их свойства и графики.
27. Числовые характеристики НСВ. Равномерное непрерывное и
экспоненциальное распределения.
28. Нормальное распределение. Правило «трех сигм».
29. Неравенство и теорема Чебышева.
30. Теорема Ляпунова (центральная предельная теорема) и следствие из нее.
147
2/2
2/2
2/2
2/2
2/2
2/2
2/2
2/2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дифференциальные уравнения и их системы
31. Основные понятия и определения. Уравнения с разделенными и
разделяющими переменными. Линейные уравнения 1-го порядка
и решение их методом Лагранжа.
2/2
32. Линейные уравнения 2-го порядка и их решение методом Лагранжа.
2/2
33. Нормальные линейные системы дифференциальных уравнений
1-го порядка.
2/2
Основой методического обеспечения математического образования являются материалы лекций и семинаров, где - наряду с традиционными формами обучения - широко используются компьютерные программы, составляющие так называемую «Библиотеку
стандартных программ». Эти программы - двух основных видов:
программы - компьютерные модели реальных задач и программыиллюстраторы тех или иных математических методов. Укажем
схему применения этих программ, рассмотрев следующие две задачи (обе они решаются методом статистических испытаний на
одной из первых лекций по теории вероятностей).
Задача 1. Случайным образом (наудачу) взяты 2 числа:
0 < x Ј 2; 0 < y Ј 2. Найти х × y и y : x и сравнить x × y? 1; y x? 2.
Каждый из участников эксперимента выбирает свою пару чисел (х; y), выступая тем самым в роли «датчика случайных чисел»,
и сравнивает указанные выше произведение и отношение с 1 и 2.
Проводящий эксперимент дает прогноз: примерно 4 человека из 10
выбрали пару (х; y) таким образом, что у них: x × yЈ1; y : xЈ2. Простым подсчетом узнаем реальную относительную частоту указанного выше события (выбор такой пары (х; y), что: x × yЈ1; y × x Ј2)
и сравним с предсказанием. Обсуждая с участниками эксперимента
его ход и результаты, приходим к выводу, что мы методом статистических испытаний на небольшой, как правило, выборке, вычислили - и это мы уже указали - относительную частоту этого события. Как изменится результат, если объем выборки увеличить и,
главное, как это сделать? Откуда проводящий эксперимент узнал
число 0,4, к которому - в определенной, конечно, степени - сходится результат и по весьма большой выборке.
148
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ответами на эти вопросы являются следующие соображения:
1) можно решить задачу на основе геометрического определения
вероятности события (используя для вычисления площади некоторой фигуры понятие определенного интеграла); 2) можно составить - на языке Бейсик, например, - компьютерную программу (и
даже не одну!), осуществляющие весьма большую выборку. Результаты счета по программам ВМР 11 и ВМР 12 (Случайная пара
чисел) и сами программы приводятся ниже:
ВМР 11
10 REM СЛУЧАЙНАЯ ПАРА ЧИСЕЛ
20 INPUT «ВВЕДИТЕ ЧИСЛО N»; N
30 A = 0
40 M = 0
50 FOR I = 1 TO N
60 XI = 2*RND(1)
70 YI = 2*RND(1)
80 TI = XI*YI
85 LI = YI/XI
90 IF TI<=1 AND LI<=2 THEN 100 ELSE 110
100 M=M+1
110 A=A+1
120 NEXT I
130 W=M/N
140 PRINT “W=”; W
150 END
Результаты:
N=100
W=0,4
N=1000
W=0,396
N=1000000
W=0,384264
N=10000000
W=0,3849506
BMP 12
INPUT “enter N “, n
T=0
FOR a=1 TO n
X=RND*2
Y=RND*2
IF (x*y<=1) AND (y/x<=2) THEN t=t+1
NEXT a
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
PRINT “it is”; t/n
Результаты:
N=100
t=0,4
N=1000
t=0,396
N=1000000
t=0,384264
N=10000000
t=0,3849506
Задача 2. Наудачу (случайным образом) выбраны два целых
числа (l; m): -4ЈlЈ4;
-4ЈmЈ-4; которые затем используются для составления «случайного» квадратного уравнения x + 2lx + m = 0. Какова вероятность того, что составленное таким образом уравнение не имеет
действительных (вещественных) корней?
Как и в предыдущем случае, проведем эксперимент: предложим выбрать указанную пару целых чисел (l, m) группе студентов
и затем подсчитаем, как и в предыдущем случае, относительную
частоту события А, под которым понимается выбор такой пары
(l; m), что дискриминант указанного выше квадратного уравнения
меньше нуля (l – m<0). Аналогично предыдущему обсуждается вопрос о том, как увеличить объем выборки для уточнения полученных результатов и как другим способом отыскать указанную выше
характеристику события А.В результате приходим к следующим
соображениям: 1) можно - по существу на основе классического
определения вероятности события - определить указанную вероятность события А, используя целочисленную решетку (квадрат, в
котором 9 × 9 – 81 точка, в том числе 10 точек таких, где m>l - это
ясно каждому, кто представляет расположение параболы m = l, в
указанном целочисленном квадрате:
-4Ј l Ј 4; -4 Ј m Ј 4; 2) можно составить на языке Бейсик компьютерную программу - и опять-таки даже не одну, которые осуществляют большие по объему выборки. Две таких программы входят
в составленную, как уже указывалось, «Библиотеку стандартных
программ», где - наряду с программами указанного типа, т.е. осуществляющими компьютерное моделирование различных задач имеются программы, которые просто иллюстрируют, например,
вычисление определенных интегралов методом трапеций (ВМР30)
или методом Монте-Карло (ВМР31).
150
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приведем и эти программы и результаты их работы:
ВМР30
(Метод трапеций)
5
CLS
10
DATA 10, 0. 1, 1e-06
20
DEF fnf (x) = sqr(1+x 2)
30
GOSUB 1000
40
STOP
1000 REM
1010 READ n, a, b, e
1020 GOSUB 1100
1030 n=2*n
1040 y1=y
1050 GOSUB 1100
1060 y=y*h
1070 IF ABS(y-y1) > e THEN 1030
1080 PRINT “y=”; y
1090 RETURN
1100 h=(b-a)/n
1110 y= .5*(fnf(a)+fnf(b))
1120 FOR k=1 TO n-1
1130 y=y+fnf(a+k*h)
1140 NEXT k
1150 RETURN
1160 END
Результат: y = 1,147793
ВМР31
10 REM МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО
20 PRINT «Подинтегральная функция задается оператором 30»
30 DEF FNI(X)=SQR(1+X 2)
40 INPUT «введите пределы интегрирования А, В»; А,В
50 INPUT «введите число случайных испытаний N”; N
60 S=O:D=B-A
70 FOR I=1 TO N
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
80 X=A+D*RND(1):S=S+FNI(X)
90 NEXT I
100 I=S*D/N
110 PRINT “I=”; I
120 END
Результаты:
N = 100
N = 1000
N = 100000
N = 1000000
I=1,150524
I=1,148811
I=1,147307
I=1,146735
Таким образом, в «Библиотеке стандартных программ» действительно рассматриваются компьютерные программы двух основных видов: программы – компьютерные модели реальных задач и
программы-иллюстраторы тех или иных математических методов.
Всего в «Библиотеке стандартных программ» » 30 программ, список которых постоянно пересматривается и пополняется. Кроме
того, помимо программ, составленных на Бейсике, в «Библиотеку
стандартных программ» включаются теперь и программы, написанные на Паскале студентами экономического факультета ЯрГУ.
152
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
Проблемное пространство задач с параметрами 3
Л.П. Бестужева ..........................................................................................3
Об организации турнира математических боев
Ю.В. Богомолов.........................................................................................13
Изучение темы “Взаимное расположение линейных многообразий
в аффинном пространстве” в курсе геометрии и алгебры
Г.М. Бродский............................................................................................25
О задачах на составление уравнений множеств точек
Г.М. Бродский............................................................................................34
О важности использования математического инструментария
в решении экономических задач школьного курса экономики
Н.Л. Будахина ............................................................................................46
Обучение истории математики с методическим уклоном
М. Ф. Гильмуллин ......................................................................................53
Роль доклада в организации учебного процесса
И.П. Иродова, С.И. Яблокова ..................................................................58
Методические и организационные основы формирования
в классических университетах единой структуры подготовки
и переподготовки кадров сферы образования
В.А. Кузнецова, В.С. Сенашенко, В.С. Кузнецов....................................64
Тестирование как одно из эффективных средств измерения,
обработки и интерпретации учебных достижений
Н.Л. Майорова, В.В. Майоров .................................................................70
Обсуждение вопроса о введении начального курса геометрии
в средних учебных заведениях дореволюционной России
Л.Б. Медведева ..........................................................................................80
Элементы учебных исследований при изучении курса элементарной
математики в педагогическом вузе
Н.А. Меньшикова ......................................................................................87
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Педагогические условия развития пространственного воображения
у будущих преподавателей математики в классическом
университете в рамках дополнительной профессиональнопедагогической программы
Е.В. Никулина ............................................................................................97
Отношения физических и математических дисциплин
в их преподавании
Е.В. Рыбникова, В.Ф. Чаплыгин ............................................................105
Антропокультурологический потенциал образования
как методологическое основание образовательной деятельности
Е.А. Савченко ..........................................................................................110
Маркетинг образовательных услуг – стратегия образовательного
учреждения в условиях крупного города
Е.Р. Семко ...............................................................................................119
Единый государственный экзамен по математике:
проблемы школы и вуза
Н.В. Сенчакова ........................................................................................125
О курсе по выбору для экономистов
Т.Ф. Серебренникова ..............................................................................132
Мониторинг уровня учебных достижений учащихся по математике
в Ярославской области
Н.В Шведова ...........................................................................................137
Оптимальная система математического образования
студентов 1-го курса естественнонаучных факультетов
классических университетов
Е.И. Щукин ..............................................................................................146
154
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Научное издание
Проблемы повышения эффективности
образовательного процесса
в высших учебных заведениях
Сборник научно-методических статей
Редактор, корректор А.А. Антонова
Компьютерная верстка И.Н. Ивановой
Подписано в печать 30.12.2004 г. Формат 60×84/16.
Бумага тип. Усл. печ. л. 9,07. Уч.-изд. л. 7,7.
Тираж 50 экз. Заказ
.
Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе ЯрГУ.
Отпечатано
ООО «Ремдер» ЛР ИД № 06151 от 26.10.2001.
г. Ярославль, пр. Октября, 94, оф. 37 тел. (0852) 73-35-03.
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
156
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
63
Размер файла
1 150 Кб
Теги
эффективность, учебный, статей, метод, процесс, научи, образовательная, высших, заведений, 1179, проблемы, повышения
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа