close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1200.Теория сигналов методические указания Кренёв

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Кафедра радиофизики
А.Н. Кренёв, А.Б. Герасимов
Теория сигналов
Методические указания
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов специальности Радиофизика и электроника
и направления подготовки Телекоммуникации
Ярославль 2006
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 621.391
ББК З 811я73
К 79
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2006 года
Рецензент кафедра радиофизики ЯрГУ
К 79
Кренёв, А.Н., Герасимов, А.Б. Теория сигналов : методические указания / А.Н. Кренёв, А.Б. Герасимов ; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль :
ЯрГУ, 2006. 68 с.
Изложены математические основы описания сигналов с помощью
разрывных функций, спектрального анализа периодических и непериодических сигналов, теории радиосигналов. Рассмотрены примеры решения
задач.
Предназначено для студентов, обучающихся по специальности
013800 Радиофизика и электроника и направлению подготовки 550400
Телекоммуникации очной и заочной форм обучения (дисциплины "Аналоговые цепи и сигналы", "Введение в теорию сигналов", блок ОПД,
ФТД).
Ил. 50. Табл. 1. Библиогр.: 7 назв.
УДК 621.391
ББК З 811я73
 Ярославский государственный университет, 2006
 А.Н. Кренёв, А.Б. Герасимов, 2006
Учебное издание
Кренёв Александр Николаевич
Герасимов Александр Борисович
Теория сигналов
Методические указания
Редактор, корректор А.А. Аладьева
Компьютерная верстка И.Н. Ивановой
Подписано в печать 22.06.2006 г. Формат 60х84/16. Бумага тип.
Усл. печ. л. 3,95. Уч.-изд. л. 1,6. Тираж 300 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе ЯрГУ.
Отпечатано на ризографе.
Ярославский государственный университет.
150000 Ярославль, ул. Советская, 14.
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Описание сигналов
с помощью разрывных функций
Цель описания сигналов с помощью разрывных функций состоит в получении их аналитического представления.
1.1. Простейшие разрывные функции
Простейшие разрывные функции, которыми пользуются в теории сигналов [1, 2], приведены в таблице 1
ТАБЛИЦА 1
№
1
Название функции
Функция знака Sign(t )
(сигнум–функция)
Единичная
σ (t )
функция
2 (функция Хевисайда)
Дельта-функция δ(t)
3 (функция Дирака)
Прямоугольный импульс
с единичной высотой
4
rect(t/τи)
(рект. функция)
Аналитическая запись
функции
Графическое изображение
1
 1; t > 0

Sign(t)=  0; t = 0
− 1; t < 0

0
σ (t)
1
∞; t = 0
δ(t)=  0; t ≠ 0

∞
 δ(t)dt =1
−∞
1/2
0
t
δ(t)
0
t
rect(t/τu)
rect(t/τи)=
3
t
-1
 1; t > 0
1
; t=0
σ(t)=  2
 0; t < 0

1; / t / ≤ τ u / 2
= 0; / t / > τ / 2
u

Sign (t)
t
-τu/2
0 τu/2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Функция знака Sign(t) . Данная функция имеет постоянную
величину, равную единице, знак которой скачком изменяется при
переходе переменной t через нуль. Умножение произвольной
функции f(t) на Sign(t) означает изменение знака f(t) в момент
времени t = 0 .
2. Единичная функция σ(t) . Сопоставляя аналитические записи функций σ(t) и Sign(t) , а также σ(t) и δ(t) , получим:
t
1
σ(t) = (1 + Sign(t) ) , σ(t) =  δ(t)dt
2
−∞
(1.1)
Умножение сигнала S(t) на единичную функцию равносильно
включению этого сигнала в момент t = 0 . Этим приемом широко
пользуются для описания сигналов на полубесконечном
(0 < t ≤ ∞) интервале времени. Помимо обозначения единичной
функции σ(t) в литературе часто встречается обозначение 1(t) .
3. Дельта-функция δ(t) . Значение функции равно нулю при
всех отличных от нуля значениях аргумента, принимая в точке
t = 0 бесконечно большое значение. Площадь под графиком δ функции равна единице.
Остановимся на основных свойствах δ - функции:
а) Свойство четности.
δ(t) является четной функцией δ(t) = δ(− t) . Из этого следует,
что:
1
 δ(t)dt =  δ(t)dt = .
2
−∞
0
0
Тогда
∞
 1 при t > 0

=
δ(t)dt

 1 2 при t = 0 ,
−∞
 0 при t < 0

t
что доказывает справедливость второго равенства в (1.1.), которое
можно записать иначе: δ(t) = dσ(t ) dt . Следовательно, используя
понятие δ - функции, можно выразить производную от разрывной
функции в точке ее разрыва.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
б) Фильтрующее свойство δ - функции.
Это свойство выражается соотношением:
t
b
 f(t)δ(t − t 0 )dt = f(t 0 )
t
(1.2)
a
при t a < t 0 < t b . Таким образом, интеграл от произведения произвольной функции f(t) , ограниченной на интервале времени (t a , t b ) ,
на дельта функции δ(t − t 0 ) , равен значению функции f(t) в точке
t = t0 .
в) Произведение произвольной функции f(t) на δ(t − t 0 ) .
Результатом умножения произвольной функции f(t) на
δ(t − t 0 ) является дельта-функция δ(t − t 0 ) , площадь которой равна значению функции f(t) в точке t 0 :
f(t)δ(t − t 0 ) = f (t 0 )δ(t − t 0 ).
(1.3)
г) Энергетические свойства δ -функции:
Энергия дельта-функции бесконечно велика, т.е.
∞
E =  δ 2 (t)dt = ∞ .
−∞
Средняя мощность дельта-функции на бесконечном интервале
времени равна единице:
T
2
1 2
 δ (t)dt = 1.
T →∞ T T
−
Ρ = lim
2
4. Прямоугольный импульс единичной амплитуды rect( t τ и )
Эта функция (от греческого rectangular – прямоугольный) используется при описании финитных сигналов.
В частном случае, при τ u → 0 , получим единичный импульс
U(t) = lim rect(t τ u ) .
τ →0
u
Таким образом, единичный импульс имеет единичную амплитуду и бесконечно малую длительность (рис. 1.1).
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
U(t)
1
0
t
dt
Рис. 1.1.
Очевидны следующие зависимости:
U(t − t 0 ) = lim rect(t − t 0 τ u ) ,
τ →0
и
U(t − t 0 ) = δ(t − t 0 )dτ ,
(1.4)
dτ 
dτ 


U(t − t 0 ) = σ  t − (t 0 − ) − σ  t − (t 0 + )  = dσ(− t 0 ) (1.5)
2 
2 


Используя эти выражения, можно любой бесконечно малый
элемент сигнала (рис.1.2) записать в виде
d[s(t)] = s(t 0 )u(t − t 0 ) = s(t 0 )δ(t − t 0 )dτ .
S(t),S(t0)
S(t0)
S(t)
0
t0 dτ
Рис. 1.2.
6
t
(1.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В результате суммирования таких элементов на участке от t a
до t b получим выражение для сигнала, ограниченного по времени
с обеих сторон
t
a
s 2 (t) =  s(τ )δ(t − τ)dτ .
t
b
1.2. Приемы описания сигналов
с помощью разрывных функций
Единичная функция может быть использована для получения
аналитического выражения процесса включения или выключения
сигнала в некоторые моменты времени.
Так, например, если сигнал S (t ) , изображенный на рисунке
1.3(б), включен в момент t0 , то образовавшийся сигнал S1(t ) можно записать в виде:
S1(t ) = σ (t − t0 )S (t ).
(1.7)
S(t)
σ(t–to)
1
0
to
S1(t)
S(t)
t
0
to
t
б
а
Рис. 1.3.
Правомерность такой записи станет очевидной, если вспомнить, что функция σ (t−t0 ) (рис. 3а) равна нулю слева от точки
t = t0 и равна единице справа от нее.
Точно так же любой сигнал S 2 (t ) , ограниченный по времени с
двух сторон (рис. 1.4б), можно записать в виде
S 2 (t ) =[σ (t −ta ) −σ (t −tb )]S (t ) .
(1.8)
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для ограничения сигнала по времени с двух сторон достаточно
его умножить на прямоугольный импульс с единичной амплитудой
(рис. 1.4 а). Поэтому выражение
S n1(t ) =σ (t −ta ) −σ (t −tb )
есть не что иное, как аналитическая запись прямоугольного импульса.
S2(t)
Sn1(t)
S(t)
1
0
ta
tb
t
0
ta
а
tb
t
б
Рис. 1.4.
При работе с функцией σ (t ) необходимо помнить, что
σ (0) =0,5, поэтому для описания импульсов более удобно использовать функцию rect (t τ u ) .
Если импульс запаздывает по времени на t0 (рис. 1.5а), то его
можно записать в виде:
τu
τu

−
≤
≤
+
при
t
t
t
1
,
0
0

2
2
S n 2 (t ) = rect (t − t0 τ u ) = 
0, при
остальных t

Финитный сигнал, определяемый выражением
Sв (t ) = S n2 (t )S (t ) ,
изображен на рисунке 1.5б.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Sв(t)
Sn2(t)
1
τu
t
τ
t0 − u
2
0
t
τ
t + u
0 2
t0
0
τ
t0 − u
2
t0
t
0
+
τu
2
Рис. 1.5.
Прямоугольный импульс является одним из простейших сигналов. Он широко применяется в радиолокации, технике связи, вычислительной технике и т.д. Помимо этого его часто используют в
качестве элемента более сложных сигналов.
Последовательность прямоугольных импульсов длительностью
τ u и с периодом повторения T (рис. 1.6) можно представить в виде:
∞
t − nT
n = −∞
τu
S (t ) =  rect(
).
(1.9)
S(t)
-T
τ
− u
2
τu
0
2
T−
τu
2
T
T +
τu
2
Рис. 1.6.
Продемонстрируем на простом примере смысл математических операций над сигналами, которые аналитически выражаются
с помощью элементарных разрывных функций. Допустим, что требуется найти производную от сигнала
S1(t ) =σ (t )S (t ) .
(1.10)
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если ее взять по обычным правилам, то получим
dS1(1) dσ (t )
dS (t )
=
.
S (t ) +σ (t )
dt
dt
dt
Учитывая, что
dσ (t )
=δ (t ) , δ (t )S (t ) =δ (t )S (0)
dt
Придем к выражению
dS1(t )
dS (t )
= S (0)δ (t ) +σ (t )
.
dt
dt
(1.11)
Это выражение соответствует представлению сигнала в виде
суммы скачка величиной S (0) в момент t = 0 и части сигнала, оставшейся за вычетом этого скачка.
1.3. Примеры описания сигналов
с помощью разрывных функций
1. Финитный гауссов импульс
Гауссов импульс
S (t ) = U 0 exp(−t ) 2
определен на интервале [−∞;∞] . При решении ряда практических
задач можно пользоваться моделью гауссова импульса (рис. 1.7),
−τ
τ
локализовав его на интервале [ u 2 ; u 2 ] ,
2
S (t ) = U 0rect(t τ u )e−t .
Если при этом сигнал необходимо сместить по времени на
(рис. 1.8), то
S (t ) = U 0rect(t −t0 τ u )e
10
− (t −t0 ) 2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
τ
− u
2
S(t)
S(t)
U0
U0
0
τ
u
2
t
0
τ
t0 − u
2
Рис. 1.7.
τ
t0+ u
t0
t
2
Рис. 1.8.
2. Трапецеидальный импульс
Аналитическое выражение такого сигнала можно получить,
применяя принцип суперпозиции. Для этого представим трапецеидальный импульс S (t ) в виде суммы трех колебаний
S (t ) = S1(t ) + S 2 (t ) + S3 (t ) (рис. 1.9).
S (t ) =
 0,


 S1 (t ),

S 2 (t ),


 S3 (t ),


 0,

t <t 0
t0 ≤t ≤t0 +τ φ
t0 +τ φ ≤t ≤t0 +τ φ +τ
t0 +τ φ +τ ≤t ≤t0 + 2τ φ +τ
t >t0 + 2τ φ +τ
Простые колебания S1(t ), S 2 (t ) и S3 (t ) определяются выражениями
S1(t ) = [σ (t − t0 ) − σ (t − (t0 +τ φ ))]⋅U 0 (
t −t 0
τφ
),
S 2 (t ) =[σ (t −(t0 +τ φ ))−σ (t −(t0 +τ φ +τ ))]⋅U 0,
S3 (t ) = [σ (t − (t0 +τ φ +τ )) − σ (t − (t0 + 2τ φ +τ ))]⋅U 0[1−
11
t −(t0 +τ φ +τ )
τφ
].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S(t)
U0
τф
t
0 t0
t0+τф
t0+τф+τu
t0+2τф+τu
а)
S1(t)
U0
0 t0
t0+τф
t
б)
S2(t)
U0
0
t0+τф
t0+τф+τu
t
в)
S3(t)
U0
0
t0+τф+τu
t0+2τф+τu
Рис. 1.9.
12
г)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Здесь для описания сигналов S1(t ), S 2 (t ) и S3 (t ) использована
функция σ (t ) . Это обеспечивает «сшивку» импульса S (t ) в точках
t = t0 + τ φ и t = t0 + τ φ + τ .
3. Периодическая последовательность когерентных радиоимпульсов с гауссовской огибающей.
К когерентным относятся радиоимпульсы, формируемые из
гармонического колебания путем его амплитудной модуляции. В
общем виде радиосигнал с амплитудной модуляцией определяется
выражением
S AM (t ) =U 0 S (t )Cos(ωt +u0 ) ,
где U 0 S (t ) =U (t ) - закон изменения огибающей.
Если периодическая последовательность радиоимпульсов имеет гауссову огибающую, то сигнал (рис. 1.10) определяется выражением
2
∞
T
T
S AM (t ) = U 0  [σ (t + − nT ) −σ (t − − nT )]e − (t − nT ) Cos(ωt + u0 ) .
2
2
n = −∞
SAM(t)
−
T
2
T
2
t
Рис. 1.10.
4. Колебание с линейной частотной модуляцией
Рассмотрим периодическую последовательность радиоимпульсов с прямоугольной огибающей, частота заполнения каждого из
которых высокочастотным колебанием определяется выражением
ω (t )=ω 0 +
2Δω
13
τu
(t − nT ) ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где ω 0 - несущая частота;
Δω - девиация частоты;
τ u - длительность радиоимпульса;
T - период повторения радиоимпульса;
n - порядковый номер импульса в последовательности.
Здесь
τ u ≤t ≤ nT +τ u
2
2
nT −
На рисунке 1.11а изображен радиоимпульс при n = 0 с линейной частотной модуляцией, а на рисунке 1.11б – закон изменения
частоты его заполнения.
Аналитическое выражение такого радиоимпульса удобно записать через rect-функцию
t
S0 (t ) = rect(
S0(t)
τu
)U 0 cos(ω 0 +
2Δω
τu
t )t .
U0
t
-U0
а)
ω(t)
ω0+Δω
τu
2
τu
2
ω0
t
ω0-Δω
б)
Рис. 1.11.
Для периодической последовательности радиоимпульса с линейной частотной модуляцией получим
∞
t − nT
n = −∞
τu
S (t ) = U 0  rect(
14
)Cos[ω0 +
2Δω
τu
(t − nT )]t .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.4. Задачи для самостоятельного решения
Пользуясь методами описания сигналов с помощью разрывных
функций, получить аналитические выражения сигналов
Задача 1.1.
S (t )
2
t2
t1
t
-1
Задача 1.2.
S(t)
А
-τu/2 -τp/2
0
−e
τp/2
−t 2
τu/2
t
Задача 1.3. (последовательность когерентных радиоимпульсов
с прямоугольной огибающей)
SAM(t)
U0
-τu/2
0
τu/2
T-τu/2
-U0
15
T
T+τu/2
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 1.4.
S(t)
А
А/2
-τu/2
-τp/2
0
τp/2
τu/2
t
Задача 1.5.
S(t)
А/2
τu/2
-τu/2
0
t
Задача 1.6. (периодическая последовательность гауссовых импульсов)
S(t)
U0
3
2
- T
-T
-T
2
0
16
T
2
T
3
2
t
T
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 1.7. (прохождение прямоугольного импульса через интегрирующую цепь)
S(t)
~ 1–exp[-t/Tс]
A
~ exp[–t/Tс]
τu
0
t
Задача 1.8.
A/2
0
T
2T
3T
t
–A/2
Задача 1.9. (сравнить с решением задачи 1.8.)
A/2
0
T
2T
–A/2
17
3T
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 1.10. (прохождение прямоугольного импульса через
дифференцирующую цепь)
S(t)
A
~ exp[–t/Tс]
0
τu
t
2τu
~ –exp[–t/Tс]
–A
Задача 1.11.
S(t)
~ sin[8πt/ (τf–τc)]
2
0.8
–τu/2
τc
0
τf
τu/2
t
–1.5
2. Спектральный анализ
периодических сигналов
Периодическим является такой сигнал S(t), для которого выполняется равенство:
S(t) = S(t + aT) ,
где Т – постоянная величина – период сигнала, а – любое целое
число, положительное или отрицательное.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Такое определение периодичности предполагает существование процесса на интервале [-∞, ∞], что является идеализацией.
2.1. Ряды Фурье.
Амплитудный и фазовый спектры
Всякая периодическая функция, ограниченная, кусочнонепрерывная и имеющая на интервале определения [–Т/2, Т/2], конечное число экстремальных значений, может быть разложена в
ряд Фурье по составной, формальной или комплексной системам
базисных функций [1, 2, 3].
Рассмотрим разложение сигналов с применением формальной
системы тригонометрических базисных функций
 cos κΩt sin κΩt 


+

.

2
2 
С учетом свойств четности входящих в ряд Фурье функций
сигнал можно представить в виде [1, 3]
a ∞
S (t ) = +  (ak cos kΩt +bk sin kΩt ) ,
2 k =1
(2.1)
0
где Ω=2π/Т, а коэффициенты разложения ak и bk определяются по
формулам
2 T /2
ak =  S (t ) cos kΩtdt ,
T −T / 2
2 T /2
bk =
 S (t ) sin kΩtdt . (2.2)
T −T / 2
Величина a0 2 называется средним значением или постоянной
составляющей сигнала S(t):
a0 1 T / 2
=
 S (t )dt .
2 T −T / 2
(2.3)
Разложение (2.1) можно записать в несколько иной форме
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S (t ) =
a ∞
+  Ak cos(kΩt +ϕ k ) .
2 k =1
0
2
2
Здесь Ak = ak +bk , tgϕk = −
(2.4)
bk
.
ak
(2.5)
Сумма гармонических составляющих ak cos kΩt и bk sin kΩt
в (2.1) и Ak cos(kΩt + ϕ k ) в (2.4), с частотами, кратными основной
частоте, определяет переменную составляющую колебания S(t).
Совокупность амплитуд ak и bk гармонических составляющих в
(2.1) является формальным спектром сигнала S(t), а совокупность
амплитуд Ак и начальных фаз гармонических составляющих ряда
(2.4), приведенных на рис. 2.1, – амплитудным и фазовым спектрами соответственно.
ϕк
Ak
2π
1
π
а0
2
0
Ω 2Ω 3Ω 4Ω 5Ω 6Ω
ω
0 Ω
Рис. 2.1.
2Ω 3Ω 4Ω 5Ω 6Ω
ω
Ряд Фурье может быть записан также в комплексном виде. Известно, что
e jkΩt + e − jkΩt
e jkΩt −e − jkΩt
; sin kΩt =
.
cos kΩt =
2
2j
Подставляя эти выражения в (2.1) и выполняя несложные преобразования, получим
S (t ) =
a0 ∞ ak − jbk jkΩt ∞ ak + jbk − jkΩt
+
+
e
e
.
2
2 k =1 2
k =1
20
(2.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обозначим
ck = (ak − jbk ) 2
Тогда
и
c− k = ( ak + jbk ) 2 .
∞ jkΩt
S (t ) =  ck e .
k = −∞
(2.7)
Выражение (2.7) определяет разложение функции S(t) по системе комплексных экспоненциальных базисных функций
{exp( jkΩt)}. Коэффициенты разложения определяются выражением:
1 T /2
ck =
 S (t ) exp[− jkΩt ]dt .
T −T / 2
(2.8)
В разложении (2.7) суммирование членов происходит как с положительными, так и с отрицательными частотами. Отрицательные
частоты появляются вследствие формального представления тригонометрических функций в виде совокупности показательных
функций с мнимым аргументом. Очевидно, что гармонические колебания с отрицательной частотой, по аналогии с колебаниями,
имеющими положительную частоту, можно представить в виде
вектора, который вращается на плоскости с постоянной угловой
скоростью по часовой стрелке.
Как любое комплексное число, комплексная амплитуда ck может быть представлена в виде
сk = ck e− jϕk .
Амплитудный и фазовый спектры сигнала S(t) при разложении
(2.7) определяются совокупностью модулей комплексных амплитуд ck и фаз ϕк соответственно (рис. 2.2).
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ϕк
π
Ск
-3Ω -2Ω -Ω
-3Ω -2Ω -Ω
0
Ω 2Ω 3Ω
ω
Ω 2Ω 3Ω
0
С0
-π
ω
а)
б)
Рис. 2.2.
Коэффициенты ck разложения (2.7) связаны с коэффициентами
Аk разложения (2.4) отношением
ck =
Ak
2
.
Спектральный анализ упрощается, если на сигнал S(t) наложить дополнительные условия.
Пусть S(t) – четная функция, т.е. S(–t) = S(t). При таком условии коэффициенты разложения S(t) в ряд Фурье (2.1) принимают
вид
2 T /2
4T /2
a =
S (t ) cos kΩtdt =
 S (t ) cos kΩtdt
k T 
Т
−T /2
0
2 T /2
b =
S (t ) sin kΩtdt = 0
k T 
−T / 2
.
(2.9)
Следовательно, в разложении (2.1) останутся только члены,
содержащие четные базисные функции {cos k Ωt}
a0 ∞
S (t ) = +  ak cos kΩt.
2 k =1
22
(2.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если S(t) нечетная функция, т.е. S(t) = – S(-t), то
2 T /2
a =
S (t ) cos kΩtdt = 0
k T 
−T /2
2 T /2
4T /2
b =
S (t ) sin kΩtdt =
 S (t ) sin kΩtdt
k T 
T
−T / 2
0
(2.11)
В этом случае ряд Фурье содержит только члены с нечетными
базисными функциями {sin k Ωt}
∞
S (t ) =  bk sin kΩt .
(2.12)
k =1
В разложении Фурье общего вида (2.1) сумма (2.10) является
четной функцией времени Sч(t), а сумма (2.12) – нечетной Sн(t). Отсюда вытекает, что любую периодическую функцию можно представить как совокупность четного и нечетного слагаемых
S (t ) = Sч (t ) + Sн (t ).
2.2. Спектры простейших
периодических сигналов
1. Последовательность прямоугольных импульсов
Пусть S(t) определяет периодическую последовательность
прямоугольных импульсов с амплитудой А, длительностью τu и
периодом следования Т (рис. 2.3).
S(t)
A
-T
−
Т
2
τ
− u
2
τu
0
2
Рис. 2.3.
23
Т
2
T
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При выбранном начале отсчета времени (точка t = 0 на рис. 2.3)
функция оказывается четной, разложение которой в ряд Фурье определяется выражениями (2.9):
τu
4 τu / 2
2 A kΩt 2 A
π
cos
Ω
=
sin
=
sin
, b =0
ak =
A
k
tdt
k

2 πk
T 0
T k
πk
(2.13)
а постоянная составляющая
a0 2 Т / 2
τ
=  Adt = А u .
2 T 0
T
Таким образом, ряд Фурье рассматриваемой функции принимает вид

τ
S (t ) = A u
T

2 ∞ sin πk
+ 
π k =1 k
τu


T
cos kΩt .


(2.14)
Из полученного выражения видно, что спектр периодической
последовательности прямоугольных импульсов имеет бесконечное
множество гармонических составляющих, амплитуды которых
пропорциональны величине 1/k, а начальные фазы определяются
знаком функции sin πk τ u T .
На рис. 2.4 и 2.5 изображены соответственно амплитудный и
фазовый спектры последовательности прямоугольных импульсов,
вычисленные для соотношения τ u T = 0,1.
ak
τu
2А
Т
τu
А
Т
0
2π
4π
τu
τu
Рис. 2.4.
24
ω
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ϕk
2π
π
0
2
ω
4π
τu
τu
Рис. 2.5.
На рисунке 2.4 видно, что огибающая спектра, а следовательно, и соответствующие коэффициенты разложения ак обращаются
в нуль в точках ω=2πm/τu, m=1,2,…,∞ .
Начальные фазы спектральных составляющих при переходе
через эти точки скачком меняются на π. (Мы полагаем, что на интервале 0 ≤ ω ≤ 2π/τu значения ϕk=0).
Последовательность прямоугольных импульсов имеет особые
точки, в которых функция скачкообразно меняет значение, a
dS/dt=∞. У этого колебания амплитуды спектральных составляющих пропорциональны 1/k.
2. Колебания треугольной формы.
Рассмотрим спектр периодической последовательности импульсов треугольной формы с произвольной скважностью
(рис. 2.6).
S(t)
A
–T
T
2
τu 0 τu T
2
2 2
Рис. 2.6
25
T
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Этот сигнал является четным, и разложение его в ряд Фурье
(2.1) осуществляется по четным базисным функциям cos kΩt , а
bk=0. Используя соотношения (2.9) и учитывая, что на интервале
0 ≤ t ≤ τu / 2 рассматриваемая функция S (t ) = А 1 − 2 t τ u получим
{
(
ak =
τu / 2
t
4

2
−
A
A

τu
T 0 
a0 =
kΩ τ u
4
2
k Ωτ u
2
sin
8A

 cos k Ω tdt =
π

}
)
(2.15)
,
τu
τu
t 
4 2 

.
2
A
A
dt
A
−
=
 

T
T
T 0 
0
kΩ τ u
sin 2
∞
Aτu 8A
4 cos k Ω t . (2.16)
+
S (t ) =

2
2 T
π k =1 k Ω τ u
Амплитудный спектр последовательности треугольных импульсов, рассчитанный для случая T=4τu, приведен на рисунке 2.7. Огибающая спектра (показана пунктиром) принимает нулевые значения в точках ω=4πm/τu, где m=1,2,3…. Для рассматриваемых колебаний треугольной формы ϕk=0.
Колебание треугольной формы имеет особые точки, в которых
2
d S/dt2=∞. Амплитуды спектральных составляющих пропорциональны коэффициенту 1/k2.
Ak
А
τu
Т
0 2π
Т
2π
τu
4π
τu
Рис. 2.7.
26
6π
τu
8π
τu
ω
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.3. Пример спектрального разложения
периодического сигнала сложной формы
Необходимо вычислить коэффициенты разложения в ряд Фурье периодического сигнала, представленного на рис. 2.8, построить график амплитудного спектра сигнала, а также найти точку на
оси частот f0 [Гц], в которой огибающая амплитудного спектра
первый раз обращается в ноль.
S’(t)
-
T
2
τи
1
4
0
τи
-1
2
3τ и
4
T t
2
Рис. 2.8.
Решение: Для вычисления коэффициентов спектрального разложения воспользуемся свойствами преобразования Фурье.
Сигнал S(t) представляет собой сумму постоянного напряжения U = -1 и сигнала S’(t) (см. рис. 2.9), задержанного на τи/4, который, в свою очередь, является суперпозицией прямоугольных импульсов амплитудой 1 и длительностью τи и τи/2 соответственно.
S’(t)
2
1
-
T
2
-
τи
2
-
τи
0
τи τи
4
4
2
T t
2
Рис. 2.9.
Согласно выражению (2.13) коэффициенты спектрального разложения последовательности прямоугольных импульсов длительностью τ имеют вид:
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а0 τ
= ,
2 T
an =
τ
τ
τ
2
2 2
cos(
)
sin(nΩt )
n
Ω
t
=

n
Ω
T
T −τ
2
2
−
τ
2
bn '= 0 (из свойства четности сигнала).
sin(nΩ )
τ
2 ,
=2
T nΩ τ
2
Тогда для S’(t) получаем:
τu
аn ' = 2 T
а0 ' τ u τ u 3 τ u
= +
=
,
2 T 2T 2 T
sin( nΩ
nΩ
τu
τu
)
τu
2 +T
2
sin( nΩ
nΩ
τu
τu
)
4 ,
bn '= 0 .
4
Преобразование коэффициентов разложения сигнала описывается матричным выражением:
 аn   cos(nΩτ 3 ) − sin(nΩτ 3 )  аn ' 
  . (2.17)
  =


sin(
Ω
)
cos(
Ω
)
b
n
τ
n
τ
 n 
3
3  bn ' 
В результате для заданного сигнала S(t) получаем:
а0
3τ
= −1 + u ,
2
2T
τ
τ
τ
4
[sin(nΩ u ) + sin( nΩ u )] cos(nΩ u ) ,
2
4
4
nΩT
τ
τ
τ
4
bn = −
[sin( nΩ u ) + sin( nΩ u )] sin( nΩ u ) .
2
4
4
n ΩT
аn =
Амплитудный спектр сигнала описывается выражением,
τ
τ
u
u
n
Ω
n
Ω
sin(
)
sin(
)
τu
τu
2
2
2
4
An = an + bn = 2
+
T nΩ τ u
T nΩ τ u
2
4
График
рис. 2.10.
амплитудного
спектра
28
сигнала
представлен
на
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S(ω)
3
Q
–1+
3
2Q
0
Ω
ω
ω0
Рис. 2.10.
Огибающая амплитудного спектра сигнала обращается в ноль
при условии:
sin(ω
τи
2
) + sin(ω
τи
4
которое можно переписать в виде:
sin(ω
τи
4
)[1 + 2 cos(ω
Данное условие выполняется при:
ω =
4π k
τи
; ω = (±
) = 0,
τи
4
)] = 0 .
2π
4
+ 2π k ) ;
3
τи
Отсюда первое (k=1) обращение огибающей в ноль происходит
при
ω 0 = 2π f 0 =
8π
;
3τ и
f0 =
4
[ Гц ] .
3τ и
2.4. Задачи для самостоятельного решения
В задачах 2.1 – 2.3, пользуясь действительной формой ряда
Фурье (2.1), найти спектральные коэффициенты сигналов, получить выражения и построить графики для их амплитудных спек29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тров. Рассчитать значения постоянных составляющих сигналов.
Найти значения частот, при которых огибающая амплитудного
спектра обращается в ноль.
Задача 2.1.
S(t)
2
−
T
2
−
τu
4
0
τu
2
− 0.5
T
2
3τ u
4
t
− 1.5
Задача 2.2.
S(t)
1 .5
τu
4
−
T
2
0
3τ u
4
τu
2
− 0.5
T
2
τu
t
Задача 2.3.
S(t)
1 .5
τu
3
−
T
2
−
τu
6
0
−1
30
τu
6
τu
2
5τ u
6
T
2
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В задачах 2.4 – 2.6, пользуясь комплексной формой ряда Фурье
(2.7), найти спектральные коэффициенты сигналов, получить выражения и построить графики для их амплитудных спектров. Рассчитать значения постоянных составляющих сигналов. Найти значения частот, при которых огибающая амплитудного спектра обращается в ноль.
Задача 2.4.
S(t)
−
− τu
T
2
−
3τ u
4
−
T
2
τu 0
4
− 0.5
t
− 1. 5
−2
Задача 2.5.
S(t)
1
5τ
− u
6
−
T
2
−
2τ u τ u
−
3
2
−
τu 0
6 − 0.5
−2
31
τu
6
T t
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 2.6.
S(t)
2
0.5
−
T
2
−
3τ u
4
−
τu
2
−
τu
4
τu
4
0
T
2
t
В задачах 2.7 – 2.10 найти спектральные коэффициенты сигналов, получить выражения и построить графики для их амплитудных спектров. Рассчитать значения постоянных составляющих
сигналов.
Задача 2.7.
S(t)
1
−
T
2
−
3τ u
4
0
τu
4
− 0 .5
 τ 
2π t + u 
4  1,
s(t) = sin 
−
τu
2
t ∈ [− 3 τ u 4 ; τ u 4]
32
T
2
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 2.8.
S(t)
1
−
T
2
−
11τ u
16
−
3τ u
16
0
T
2
5τ u
16
t
−2
3τ u

−
+
4
t

16
s(t) = 1 − 3exp 
τu







t ∈ [− 11 τ u 16 ; 5τ u 16]
Задача 2.9.
S(t)
2.5
−
T
2
0
− 1. 5
2
  τu  
 4 t −  
2  3
+
s(t) =  
 τu
 2




t ∈ [0; τ u ]
33
τu
T
2
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 2.10.
S(t)
2.5
0. 5
−
T
2
−
τu
4
τu
4
0
3τ u
4
T
2
t
− 1. 5
2
  τu  
 2 t −  
4  1
+
s(t) = 2 

 2
τu




t ∈ [− τ u 4 ; 3τ u 4]
3. Спектральный анализ
непериодических сигналов
Термин «непериодический сигнал» в общем случае означает,
сигнал не обладает свойством регулярной повторяемости во времени. Частным случаем такого рода сигналов являются одиночные
импульсы, определенные на бесконечном (−∞, ∞) интервале времени.
3.1. Преобразования Фурье.
Спектральная плотность
Спектральное разложение сигналов на бесконечном интервале
времени можно рассматривать как предельный случай для разложения в ряд Фурье на конечном интервале [0, T / 2) или [−T / 2, T / 2)
при T → ∞ . В результате ряд Фурье переходит в интеграл Фурье.
Преобразования Фурье сигнала S (t ) определяются выражениями
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∞
S (ω ) =  S (t )e jωt dt ,
−∞
(3.1)
1 ∞
jωt
S (t ) =
 S (ω )e dω.
2π −∞
Иногда бывает удобно воспользоваться другими формами интегральных
преобразований
Фурье.
Поскольку
e − jωt = cos ωt − j sin ωt , то из первого выражения (3.1) получим:
∞
S (ω ) =  [ S (t ) cos ωt − jS (t ) sin ωt ]dt = A(ω ) − jB(ω ),
(3.2)
−∞
где
∞
∞
−∞
−∞
A(ω ) =  S (t ) cos ωtdt ; B(ω ) =  S (t ) sin ωtdt.
Причем A(ω ) = A( −ω ) – четная, а B (ω ) = − B ( −ω ) – нечетная
относительно ω .
Модуль и аргумент спектральной плотности (3.2) определяются выражениями
B (ω )
S (ω ) = S (ω ) = A2 (ω ) + B 2 (ω ) ; arg S (ω ) = arctg
,
(3.3)
A(ω )
где S (ω ) = S ( −ω ) – четная, а arg S (ω ) = − arg S (−ω ) – нечетная
функция частоты ω .
3.2. Свойства преобразований Фурье
Между сигналом S (t ) и его спектром S (ω ) существует однозначное соответствие. Для практических приложений важно установить связь между преобразованием сигнала и соответствующим
изменением спектра. Из многочисленных возможных преобразований сигнала рассмотрим наиболее важные и часто встречающиеся.
1. Сдвиг сигналов во времени.
Пусть сигнал S (t ) обладает спектральной плотностью S (ω ) .
При задержке этого сигнала на время τ (с сохранением формы) получим новую функцию времени S (t − τ ) , спектр которой определяется выражением
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S τ (ω ) = e − jωt S (ω ) .
(3.4)
Из выражения (3.4) при запаздывании сигнала модуль спектральной плотности не изменяется, а фазовая характеристика спектра изменяется пропорционально частоте и задержке.
2. Изменение масштаба времени.
Пусть сигнал S (t ) обладает спектральной плотностью S (ω )
(сплошные линии на рис. 3.1а и б). Спектральная плотность сигнала S (at ) (где значению a > 1 соответствует сжатие, а a < 1 – растяжение колебания S (t ) по оси времени) может быть определена следующим образом:
1 ω 
S a (ω ) = S  ,
(3.5)
a a
Sa(t)
Sa(t)
a>1
a<1
0
Sa(ω)
t
t
a<1
a)
Sa(ω)
б)
a>1
0
ω
0
ω
Рис. 3.1
Итак, при сжатии сигнала в а раз на временной оси во столько
же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной
плотности при этом уменьшается в а раз. Очевидно, что при растяжении сигнала во времени (т.е. при а < 1) имеют место сужение
спектра и увеличение модуля спектральной плотности.
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Сложение сигналов.
n
Пусть S (t ) =  Sk (t ) , и каждому из сигналов Sk (t ) соответствуk =1
ет спектр S k (ω ) . Тогда спектр сигнала S (t ) определяется выражением
n
S (ω ) =  S k (ω ) .
(3.6)
k =1
Таким образом, спектр суммы сигналов равен сумме спектров
каждого сигнала. Это свойство используется при спектральном
анализе сложных сигналов.
4. Произведение двух сигналов.
Пусть рассматриваемый сигнал S (t ) является произведением
двух функций f (t ) и g (t ) . Будем считать, что функции f (t ) соответствует спектр F (ω ) , а функции g (t ) - спектр G (ω ).
Тогда
1 ∞
S (ω ) =
(3.7)
 G ( x) F (ω − x)dx.
2π −∞
Таким образом, спектр произведения двух функций времени
f (t ) и g (t ) равен (с коэффициентом 1 / 2π ) свертке их спектров
F (ω ) и G (ω ).
Аналогично, произведению двух спектров F (ω )G (ω ) = S (ω )
соответствует функция времени S (t ) , являющаяся сверткой функций f (t ) и g (t ) .
∞
∞
−∞
−∞
S (t ) =
 f (τ ) g (t − τ )dτ =  f (t − τ ) g (τ )dτ
=
(3.8)
1
jωt
=
 F (ω )G (ω )e dω.
2π −∞
Последнее выражение широко используется при анализе передачи сигналов через линейные цепи. В этом случае функции времени f (t ) и g (t ) имеют смысл соответственно входного сигнала и
импульсной характеристики цепи, F (ω ) и G (ω ) – спектральной
плотности сигнала и передаточной функции цепи.
∞
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.3. Пример спектрального разложения
непериодического сигнала
Необходимо найти спектральную плотность сигнала, представленного на рис. 3.2. Построить график модуля спектральной
плотности сигнала. Найти точку на оси частот f0 [Гц], в которой
значение спектральной плотности первый раз обращается в ноль.
S(t)
1
-
3τ и
4
-
τи
0
τи
2
-1
4
t
Рис. 3.2.
Решение: Для вычисления спектральной плотности воспользуемся свойствами преобразования Фурье.
Сигнал S(t) представляет собой разность задержанных на -τи/4
постоянного напряжения U = 1 и сигнала S’(t) (см. рис. 3.3.), который, в свою очередь, является суперпозицией прямоугольных импульсов с амплитудой 2 и длительностью τи и τи/2 соответственно.
S’(t)
2
1
-
τ и -τ и
2
4
0
τи τи
4
Рис. 3.3.
38
2
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Спектральная плотность прямоугольного импульса описывается выражением
τ
2
Sr (ω ) = A  e− jωt dt =
−
τ
A jωτ / 2 − jωτ / 2 2 A
τ
(e
−e
)=
sin(ω ) ,
2
jω
ω
2
где τ – длительность импульса.
Тогда для сигнала S’(t) получаем:
S ' (ω ) =
4
ω
sin(ω
τи
2
)−
4
ω
sin(ω
τи
4
).
Спектральная плотность постоянной составляющей:
S const (ω ) =
∞
− jωt
Ae
dt = 2πAδ (ω ) .

−∞
Преобразование спектральной плотности сигнала при его задержке на время τ 3 описывается выражением
S (ω ) = S ' (ω ) e − jωτ .
В результате для сигнала S(t) имеем:
3
4
τи 4
τ и  jω τ4и

S (ω ) = 2πδ (ω ) − [ sin(ω ) − sin(ω )]e .
4 ω
2 
ω

Модуль спектральной плотности будет равен:
4
τ
τ
S ' (ω ) = 2πδ (ω ) − [sin(ω и ) − sin(ω и )] .
ω
4
2
|S(ω)|
τи
0
ω0
Рис. 3.4.
39
ω
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Значение спектральной плотности равно нулю при условии
sin(ω
sin(ω
которое выполняется при
ω=
τи
4
4π k
τи
τи
4
) − sin(ω
τи
2
)[1 − 2 cos(ω
; ω = (±
π
3
) = 0,
τи
4
)] = 0 ,
+ 2π k )
4
τи
;
При ω = 0 S(ω) ≠ 0, поэтому первое обращение спектральной
плотности в ноль происходит при
ω 0 = 2π f 0 =
2
4π
[ Гц ] .
, f0 =
3τ и
3τ и
3.4. Задачи для самостоятельного решения
Пользуясь свойствами преобразования Фурье, получить выражение для спектральной плотности сигналов. Построить графики
модуля спектральной плотности. В задачах 3.1 – 3.6 найти значения частот, при которых значение спектральной плотности равно
нулю.
Задача 3.1.
S(t)
2
0 .5
− τu
−
3τ u
4
−
τu
4
0
40
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 3.2.
S(t)
τu
4
0
− 0 .5
τu
2
3τ u
4
τu
t
− 1.5
−2
Задача 3.3.
S(t)
2
−
−
3τ u
4
τu
2
−
τu 0
4
τu
4
t
−1
Задача 3.4.
S(t)
1
0
- 0.5
41
τu
4
3τ u
4
τu
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 3.5.
S(t)
2
−
3τ u
8
−
τu
8
0
3τ u
8
5τ u
8
t
−2
Задача 3.6.
S(t)
1.5
− τu
−
3τ u
4
−
τu
2
−
τu
4
0
t
−1
−2
Задача 3.7.
S(t)
3
1
−
τu
4
0
3τ u
4
−1
  τu
 4 t −
4
s(t) =  

τu


2


  −1



42
t ∈ [− τ u 4 ; 3τ u 4]
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 3.8.
S(t)
0 .5
−
5τ u
8
0
− 0 .5
3τ u
8
t
− 1 .5
 τ 
2π t + u 
8 1
s(t) = sin 
− ,
τu
2
Задача 3.9.
t ∈ [− 5τ u 8 ; 3τ u 8]
S(t)
0. 5
− τu
0
− 0.5
− 1.5
3
  τu  
 2 t +  
2  1
− ,
s(t) =  

 2
τu




t ∈ [− τ u ;0]
43
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 3.10.
S(t)
1.5
0.5
−
τu
3
0
2τ u
3
− 0.5

 4
τ
1
t− u
s(t) = + sign (t − τ u 6 ) × 1 − exp −
6
2
 τu

t ∈ [− τ u 3 ; 2τ u 3]
44

 

t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Радиосигналы
4.1. Модулированные сигналы
В радиотехнике распространение получили системы модуляции, использующие в качестве несущего простое гармоническое
колебание
S НЕС (t ) = U cos(ωt + ϕ ),
имеющее три свободных параметра U, ω и φ. Изменяя во времени
тот или иной параметр, можно получать различные виды модуляции. В общем виде модулированное колебание определяется выражением
S (t ) = U (t ) cosψ (t ),
(4.1)
где U(t) – амплитуда, а ψ(t) – полная фаза сигнала.
Существуют два основных вида модуляции – амплитудная и
угловая, которая подразделяется на фазовую (ФМ) и частотную
(ЧМ) модуляции. Результатом модуляции является радиосигнал
S(t), занимающий ту или иную полосу частот Δω . В зависимости от
соотношения Δω и ω радиосигналы подразделяются на узкополосные и широкополосные.
Так, если спектр радиосигнала является финитным и занимает
конечную полосу частот Δω , расположенную в окрестностях частоты ω , причем выполняется неравенство
Δω
<< 1,
(4.2)
ω
то такой сигнал называется узкополосным. В противном случае,
когда имеет место приближенное равенство Δω ω ≈ 1, радиосигнал
называется широкополосным.
Весь дальнейший материал в этом разделе посвящен узкополосным сигналам.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.1.1. Амплитудная модуляция
Если переменной является амплитуда сигнала U(t), причем остальные два параметра ω и φ неизменны, то имеет место амплитудная модуляция (АМ) несущего колебания, которая определяется
выражением
S АМ (t ) = U (t ) cos(ω 0t + ϕ 0 ).
(4.3)
Это колебание имеет характерный вид. Осциллограммы АМколебаний приведены на рис. 4.1 для случаев: гармонической модуляции (рис. 4.1а), модуляции сложным колебанием (рис. 4.1б и
в). В соответствии с формулой (4.3) АМ-сигнал есть произведение
огибающей U(t) и гармонического заполнения cos(ω0t + ϕ 0 ) . В большинстве практически интересных случаев, когда радиосигнал узкополосный, огибающая изменяется во времени гораздо медленнее, чем высокочастотное заполнение.
SАМ(t)
U0
SAM(t)
U(t)
ΔU=MU0
0
t
SAM(t)
U(t)
U(t)
0
0
t
U0
а)
б)
в)
Рис. 4.1
При амплитудной модуляции связь между огибающей U(t) и
модулирующим сигналом f(t) определяется выражением
U (t ) = U 0 [1 + Mf (t )],
где U 0 – амплитуда несущего колебания; M – коэффициент амплитудной модуляции.
В случае гармонической модуляции (см. рис. 4.1а)
f (t ) = cos(Ωt + ϕ ) , а S AM (t ) определяется выражением
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S AM (t ) = U 0 [1 + M cos(Ωt + ϕ )] cos(ω0t + ϕ 0 ) = U 0 cos(ω0t + ϕ 0 ) +
(4.4)
MU 0
MU 0
cos[(ω0t + ϕ 0 ) + ψ ] +
cos[(ω0t − ϕ 0 ) − ψ ],
2
2
где ψ = ϕ + ϕ0 , а коэффициент амплитудной модуляции M = ΔU /U 0 .
+
Осциллограммы колебаний, изображенных на рис. 4.1а и б, соответствуют М < 1, а на рис. 4.1в – M > 1 .
Из выражения (4.4) следует, что амплитудный спектр АМколебания (рис. 4.2) содержит три компоненты на частотах ω0 (несущая частота), ω0 − Ω (нижняя боковая частота) и ω0 + Ω (верхняя
боковая частота).
В случаях, когда необходимо учитывать фазовые соотношения
между отдельными составляющими спектра, удобно пользоваться
векторными диаграммами, где несущая и обе боковые спектральные составляющие представлены соответствующими векторами,
как изображено на рис. 4.3.
Если вращать плоскость чертежа (рис. 4.3) с угловой скоростью ω0 , т.е. синхронно с вектором несущей, то вектор несущей
будет выглядеть на ней неподвижным, а векторы верхней и нижней
боковых составляющих – вращающимися в противоположные стороны с частотой Ω, как показано на этом рисунке. Результат сложения трех векторов – вектор, совпадающий по фазе с вектором
колебания несущей частоты и модулем, равным мгновенному значению колебания S АМ (t ) .
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Существенной особенностью амплитудной модуляции является независимость амплитуды составляющей несущей частоты от
глубины модуляции, определяемой коэффициентом М, выраженным в процентах.
Из выражения (4.4), а также приведенного на рис. 4.2 спектра
видно, что при АМ верхняя боковая полоса (содержащая спектральные составляющие с частотами больше ω0 ) формируется путем простого переноса спектра модулирующего сигнала на величину ω0 , а нижняя боковая полоса (содержащая спектральные составляющие с частотами меньше ω0 ) является ее зеркальным
отображением относительно несущей частоты.
Эти зависимости сохраняются и при предельном переходе от
дискретного спектра к спектральной плотности модулирующей
функции. В этом предельном случае спектр колебаний будет содержать дискретную составляющую на несущей частоте и две
симметричные относительно нее нижнюю и верхнюю боковые полосы.
4.1.2. Балансные и однополосные
амплитудные модуляции
Анализ выражения (4.4), а также амплитудного спектра, изображенного на рис. 4.2, позволяет сделать вывод, что полоса частот, занимаемых АМ-сигналом, в два раза превышает полосу частот, занимаемую модулирующей функцией, и в спектре содержится составляющая на несущей частоте, которой нет аналога в
модулирующем сигнале. Кроме того, поскольку нижняя боковая
полоса является зеркальным отображением верхней, то, очевидно,
для передачи информации достаточно либо верхней, либо нижней
боковых полос АМ-сигнала.
Если в АМ-колебании подавить спектральную составляющую
на несущей частоте ω0 , то получим сигнал с так называемой балансной амплитудной модуляцией S БМ (t ) . В случае гармонической
модулирующей функции f(t) из (4.4) получим выражение для S БМ (t )
S БМ (t ) = U 0 M cos( Ωt + ϕ ) cos(ω0 t + ϕ 0 ) =
=
U0M
U M
cos[(ω0 − Ω)t − ψ ] + 0 cos[(ω0 + Ω)t + ψ ].
2
2
48
(4.5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Осциллограмма и амплитудный спектр этого колебания приведены на рис. 4.4 и 4.5 соответственно.
C(ω)
SБМ(t)
U0M/2
0
U0M/2
t
0
ω0-Ω ω0
Рис. 4.4
ω0+Ω
ω
Рис. 4.5
Если рассмотреть осциллограмму колебания SБМ(t), может показаться неясным, почему в спектре этого сигнала нет составляющих с частотой ω 0 , хотя высокочастотное заполнение (см.
рис. 4.4) имеет именно эту частоту.
На рис. 4.6 изображены векторные диаграммы колебания SБМ(t)
(4.5), соответствующие значениям фазы высокочастотного заполнения ϕ 0 и ϕ 0 + π .
Y
Y
U0M
а)
2
Ω
Ω
X
2
Ω
SБМ(t)
U0M
0
Ω
б)
U 0M
U0M
SБМ(t)
2
2
φ
X
Рис. 4.6
Еще более интересное усовершенствование принципа обычной
амплитудной модуляции заключается в формировании сигнала с
подавленной верхней или нижней боковой полосой частот.
Сигналы с одной боковой полосой (ОБП- или SSB-сигналы – от
англ. single sideband) по внешним характеристикам напоминают
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
обычные АМ-сигналы. Например, однотональный ОБП-сигнал с
подавленной нижней боковой частотой записывается в виде
S ОБП (t ) = U 0 cos(ω0t + ϕ 0 ) +
U0M
cos[(ω0 + Ω)t + ϕ 0 + ϕ ].
2
После тригонометрических преобразований получим
S ОБП (t ) = U 0 cos(ω0t + ϕ 0 ) +
U0M
cos(Ωt + ϕ ) cos(ω0t + ϕ 0 ) −
2
U0M
sin(Ωt + ϕ ) sin(ω 0 t + ϕ 0 ) =
2
 M

U 0 1 + cos(Ωt + ϕ ) cos(ω0 t + ϕ 0 ) −
2


U M
− 0 sin(Ωt + ϕ ) sin(ω 0 t + ϕ 0 ).
2
−
(4.6)
Два последних слагаемых представляют собой произведение
двух функций, одна из которых изменяется во времени медленно, а
другая – быстро. Принимая во внимание, что “быстрые” сомножители cos (ω0t + φ0) и sin (ω0t + φ0) находятся по отношению друг к
другу во временной квадратуре (относительная задержка составляет четверть периода этих колебаний), вычислим медленно изменяющуюся огибающую ОБП-сигнала.
2
U (t ) = U 0
M2
 M

1
+
cos(
Ω
t
+
ϕ
)
+
sin 2 (Ωt + ϕ ) =


2
4

= U0
M2
1 + M cos(Ωt + ϕ ) +
.
4
График огибающей U(t) ОБП-сигнала, при М = 1, приведем на
рис. 4.7 (кривая 1). Здесь же для сравнения построена огибающая
однотонального АМ-сигнала с тем же коэффициентом модуляции
(кривая 2). На рис. 4.8 изображен спектр рассматриваемого ОБПсигнала.
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
U (t )
U0
C(ω)
2
2,0
U0
1,5
U0M
1
1,0
2
0,5
0
π
π/2
3π/2
2π
0
Ωt
ω0 ω0+Ω
ω
Рис. 4.8
Рис. 4.7
Сравнение приведенных на рис. 4.7 кривых показывает, огибающие АМ и ОБП-сигналов имеют существенные отличия, поэтому непосредственная демодуляция ОБП-сигнала по его огибающей будет сопровождаться значительными искажениями. Векторная диаграмма ОБП-сигнала, соответствующая выражению
(4.6), приведена на рис. 4.9. Очевидно, что в этом случае, кроме
изменения модуля U(t) вектора сигнала SОБП(t), изменяется и угол
его наклона φ(t) относительно вектора колебания несущей частоты
ω0. Из (4.6) следует, что
U0M
Y
U(t)
2
tgϕ (t ) =
Ω
φ(t)
M sin(Ωt + ϕ )
.
 M

2U 0 1 + cos(Ωt + ϕ )
2


U0
φ0
Таким образом, кроме
0
амплитудной модуляции в
X
ОБП-сигнале, имеет место и
Рис. 4.9
угловая модуляция. При этом
законы модуляции этих параметров находятся в нелинейной связи с модулирующей функцией f(t).
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.1.3. Сигналы с угловой модуляцией
При угловой модуляции (УМ) амплитуда колебания (4.1) является постоянной величиной, поэтому
SУМ (t ) = U 0 cosψ (t ).
(4.7)
В зависимости от того, какой параметр колебания – частота
иди фаза – изменяется пропорционально модулирующей функции
f(t), угловая модуляция подразделяется на частотную и фазовую.
Предположим, что полная фаза ψ(t) связана с модулирующей
функцией f(t) зависимостью
ψ (t ) = ω0t + kf (t ),
(4.8)
где ω0 – значение частоты в отсутствие полезного сигнала: k – некоторый коэффициент пропорциональности.
Модуляцию, отвечающую соотношению (4.8), называют фазовой, а сигнал
SУМ (t ) = U 0 cos[ω0t + kf (t )]
(4.9)
фазомодулированным.
Если f (t ) = 0 , то ФМ-колебание вырождается в простой гармонический сигнал. С увеличением значений функции f(t) полная фаза ψ(t) растет во времени быстрее, чем по линейному закону. При
уменьшении значений модулирующего сигнала происходит спад
скорости роста ψ(t) во времени.
На рис. 4.10 приведены графики функции f(t) и SФМ (t ) . В моменты времени, когда функция f(t) достигает экстремальных значений, абсолютный фазовый сдвиг между ФМ-сигналом (1) и немодулированным гармоническим колебанием (2) оказывается наибольшим. Предельное значение этого фазового сдвига Δψ
называют девиацией фазы. В общем случае, когда сигнал f(t) изменяет знак, принято различать девиацию фазы вверх Δψ В = kf max и
девиацию фазы вниз Δψ H = kf min .
На векторной диаграмме сигнала изображающий вектор постоянной длины будет совершать вращение с непостоянной угловой
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f(t)
0
SФМ(t
t
ΔψВ
1
0
ψ
2
ΔψН
Рис. 4.10
скоростью. Мгновенная частота ω (t ) сигнала с угловой модуляцией
определяется как первая производная от полной фазы по времени:
ω (t ) =
dψ (t )
,
dt
поэтому
t
ψ (t ) =  ω (τ )dτ + const.
(4.10)
−∞
При частотной модуляции между функциями f(t) и ω (t ) имеется
связь
f(t)
ω (t ) = ω0 + kf (t ). (4.11)
Поэтому
max
t
0


t
min
SЧМ (t ) = U 0 cosω0t + k  f (τ )dτ .


−∞
SЧМ(t)
Естественными параметрами
ЧМ-сигнала при произвольной
0
t
функции f(t) в соответствии с
(4.11) являются девиация частоты
вверх Δψ В = kf max и девиация
Рис. 4.11
частоты вниз Δψ H = kf min .
На рис. 4. 11 приведены графики модулирующей функции f(t) и ЧМ-колебания.
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если f(t) – достаточно гладкая функция, то внешние осциллограммы ФМ- и ЧМ-сигналов не отличаются. Однако имеется принципиальна разница: фазовый сдвиг между ФМ-сигналом и немодулированным колебанием пропорционален f(t), в то время как для
ЧМ-сигнала этот сдвиг пропорционален интегралу от f(t).
В случает гармонической ЧМ мгновенная частота изменяется
по закону
ω (t ) = ω0 + Δω cos(Ωt + ϕ ),
где Δω – девиация частоты, на основании (4.10)
ψ (t ) = ω0t +
Δω
sin(Ωt + ϕ ) + ϕ0 ,
Ω
где ϕ 0 – начальная фаза радиосигнала.
Отсюда видно, что величина
m=
Δω
,
Ω
(4.12)
называемая индексом однотональной угловой модуляции, представляет собой девиацию фазы такого сигнала, выраженную в радианах.
Аналитическая форма записи ФМ-сигнала с гармонической
модуляцией будет аналогичной. Однако нужно иметь в виду, что
ЧМ- и ФМ-сигналы ведут себя по-разному при изменении частоты
модуляции и амплитуды модулирующего сигнала. При частотной
модуляции девиация частоты Δωд пропорциональна амплитуде модулирующей функции f(t). В то же время величина Δω не зависит
от частоты модулирующего сигнала. В случае фазовой модуляции
ее индекс m оказывается пропорциональным амплитуде низкочастотного сигнала независимо от его частоты. Как следствие этого,
девиация частоты при ФМ в соответствии с формулой (4.12) линейно увеличивается с ростом частоты.
Задачу о представлении сигналов с угловой модуляцией рядом
Фурье несложно решить в случае, когда m << 1. Для упрощения записи положим ϕ = ϕ 0 = 0 , тогда
SУМ (t ) = U 0 cos(ω0t + m sin Ωt ) =
= U 0 cos(m sin Ωt ) cos ω0t − U 0 sin(m sin Ωt ) sin ω0t.
54
(4.13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поскольку индекс угловой модуляции мал, воспользуемся
приближенными равенствами
cos(m sin Ωt ) ≈ 1;
sin(m sin Ωt ) ≈ m sin Ωt.
На основании этого из (4.13) получим
SУМ (t ) ≅ U 0 cos ω0t +
mU 0
mU 0
cos(ω0 + Ω)t −
cos(ω0 − Ω)t.
2
2
(4.14)
Таким образом, спектр сигнала с УМ состоит из колебания несущей частоты и двух боковых составляющих. Индекс m здесь играет такую же роль, как коэффициент амплитудной модуляции
(4.4). Однако имеется и существенное различие спектров АМсигнала и колебания с угловой модуляцией.
SУМ(t)
C(ω)
Y
mU0/2
Ω
mU0/2
-Ω
0
ω0-Ω
ψ(t)
ω0 ω0+Ω
ω
0
ω
φ
Рис. 4.13
Рис. 4.12
U0
X
Из (4.14) следует, что нижнее боковое колебание имеет дополнительный фазовый сдвиг на π. Спектр колебания, соответствующий выражению (4.14), изображен на рис. 4.12. Как следствие этого, сумма векторов, отображающих оба боковых колебания (рис.
4.13), всегда перпендикулярна вектору колебания несущей частоты. С течением времени вектор колебания с угловой модуляцией
будет “качаться” относительно вектора колебания несущей частоты. Незначительные изменения длины этого вектора обусловлены
приближенным характером анализа, и при очень малом m ими
можно пренебречь.
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для простейшего случая гармонической ЧМ и ФМ можно найти общее выражение для спектра, справедливое при любом значении индекса модуляции m.
Известно, что функция exp[ jm sin x] , периодическая на интервале [−π ; π ] , разлагается в комплексный ряд Фурье:
e
jm sin x
=
∞
 I k (m)e jkx ,
k = −∞
(4.15)
где m – любое вещественное число; I k (m) – функция Бесселя k-го
порядка от аргумента m.
Сравнивая формулы (4.15) и (4.13), а также подставляя в (4.15)
x = Ωt , из (4.13) получим
SУМ (t ) = U 0 Re e jω0t e jm sin Ωt =
(
)
∞


= U 0 Re e jω0t  I k (m)e jkΩt  =
k = −∞


= U0
(4.16)
∞
 I k (m) cos(ω0 + kΩ)t.
k = −∞
Это выражение является математической моделью ЧМ- и ФМсигналов с любым значением
индекса модуляции m.
C(ω)
Амплитудный спектр колебания с гармонической угловой
модуляцией (рис. 4.14) в общем
случае содержит бесконечное
число составляющих, частоты
ω0-Ω ω0 ω0+Ω
ω
которых равны ω 0 ± kΩ , а амплитуды пропорциональны знаРис. 4.14
чениям I k (m).
С ростом индекса модуляции расширяется полоса частот, занимаемая сигналом. Обычно полагают, что допустимо пренебречь
всеми спектральными составляющими с номерами k max > m , поскольку их относительные амплитуды не превышают значения
0,01. Отсюда следует, что полоса частот, занимаемая спектром
сигнала с угловой модуляцией, приближенно равна 2k max Ω . Для
случая m >> 1 эта полоса приближенно равна 2mΩ .
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.2. Аналитический сигнал.
Огибающая и фаза радиосигнала
Узкополосный радиосигнал, как уже отмечалось, в общем виде
может быть записан в форме
S (t ) = U (t ) cosψ (t ) = U (t ) cos(ω0t + θ (t ) + ϕ0 ), (4.17)
где U(t) – огибающая, а ψ (t ) – полная фаза сигнала.
Можно ли по мгновенному отсчету
Y
колебания S(t) определить U(t) и ψ (t ) ?
U4 S4
Очевидно, нет, так как по любому значеU3
нию S (ti ) будет соответствовать бескоS3
нечное множество пар U (ti ) и ψ (ti ) . Эту
U2
ситуацию иллюстрирует рис. 4.15, где
S2
мгновенные значения четырех сигналов,
ψ4
ψ2 ψ3
U1 S1
представленных в векторной форме и
S(ti) X
взятых в момент времени t, совпадают.
Рис. 4.15
Неопределенности можно избежать, если
одновременно рассматривать и вторую
~
проекцию S (t ) сигнала S(t) на ортогональную ось. Тогда огибающая и фаза сигнала определяются следующими соотношениями
~
U a (t ) = S 2 (t ) + S 2 (t ) ,
(4.18)
~
S (t )
ψ a (t ) = arctg
.
(4.19)
S (t )
~
Функция S (t ) называется сопряженной по Гильберту сигналу
S(t) и получается из последнего поворотом на π / 2 против часовой
стрелки всех гармонических составляющих функции S(t), т.е. вычитанием π / 2 из всех спектральных составляющих фазового спектра сигнала S(t).
~
Функцию S (t ) можно также получить при помощи интегрального преобразования
1 ∞ S (τ )
~
S (t ) = 
dτ ,
π −∞ t − τ
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(4.20)
которое называется преобразованием Гильберта. Имеет место и
обратное преобразование Гильберта, позволяющее получить функ~
цию S (t ) из S (t ) .
~
S (τ )
S (t ) = 
dτ .
π −∞ t − τ
1
Введем понятие аналитического сигнала, который
определяется как комплексная функция времени
~
jS ( t )
~
S (t )
∞
Ua(t)
~
S a (t ) = S (t ) + jS (t )
ψa(t)
S(t)
S(t)
(4.21)
или
S a (t ) = U a (t )e jψ
Рис. 4.16
a
(t )
(4.22)
Здесь огибающая U a (t ) и полная фаза ψ a (t ) аналитического
сигнала определяются по формулам (4.18) и (4.19) соответственно.
В векторной форме аналитический сигнал изображен на рис. 4.16.
Действительный сигнал S(t) совпадает с реальной частью аналитического сигнала S a (t ) .
4.3. Представление модулированного
радиосигнала через синфазную и квадратурную
составляющие огибающей
Запишем аналитический сигнал (4.21) в виде
S a (t ) = U a e j[ω0t +θ ( t )+ϕ0 ] = U a (t )e j[θ ( t )+ϕ0 ]e jω0t ,
(4.23)
j [θ ( t ) +ϕ0 ]
= U a (t ) –
где ω 0 t + θ (t ) + ϕ 0 = ψ a (t ) – полная фаза, а U a (t )e
комплексная огибающая аналитического сигнала.
Тогда, применяя к (4.23) формулу Эйлера, получим
S a (t ) = [U a (t ) cos(θ (t ) + ϕ 0 ) + jU a (t ) sin(θ (t ) + ϕ 0 )](cos ω0t + j sin ω0t ).
После перемножения и группировки слагаемых придем к выражению
S a (t ) = U a (t ) cos(θ (t ) + ϕ 0 ) cos ω0t − U a (t ) sin(θ (t ) + ϕ 0 ) sin ω0t +
+ j[U a (t ) cos(θ (t ) + ϕ 0 ) sin ω0t + U a (t ) sin(θ (t ) + ϕ 0 ) cos ω0t ].
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введем обозначения:
S c (t ) = U a (t ) cos[θ (t ) + ϕ0 ],
S s (t ) = U a (t ) sin[θ (t ) + ϕ0 ].
(4.24)
Тогда
S a (t ) = S c (t ) cos ω0t − S s (t ) sin ω0t + j[ S c (t ) sin ω0t + S s (t ) cos ω0t ] (4.25)
Поскольку S (t ) = Re S a (t ) , то из (4.25) следует, что
S (t ) = S c (t ) cos ω 0 t − S s (t ) sin ω 0 t .
(4.26)
Колебания S c (t ) и S s (t ) называют синфазной и квадратурной
составляющими огибающей U s (t ) сигнала S(t) соответственно.
Введем понятия огибающей U s (t ) и информационной компоненты фазы ϕ s (t ) физического сигнала S(t)
U s (t ) = S c2 (t ) + S s2 (t ) ,
S (t )
ϕ s (t ) = arctg s .
S c (t )
Из (4.27) и (4.24) следует, что
(4.27)
(4.28)
U s (t ) = U a2 (t )[cos 2 (θ (t ) + ϕ 0 ) + sin 2 (θ (t ) + ϕ 0 )] = U a (t )
Следовательно, огибающая узкополосного физического сигнала U s (t ) совпадает с огибающей аналитического сигнала U a (t ) .
Теперь рассмотрим соотношение фаз физического и аналитического сигналов.
U (t ) sin[θ (t ) + ϕ 0 ]
ϕ s (t ) = arctg a
= θ (t ) + ϕ 0 .
(4.29)
U a (t ) cos[θ (t ) + ϕ 0 ]
От выражения (4.26) для S(t) перейдем к виду (4.17), для чего в
(4.26) из (4.24) подставим значения S c (t ) , S s (t ) и воспользуемся
известным тригонометрическим соотношением, после чего получим
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S (t ) = U a (t )[cos(θ (t ) + ϕ 0 ) cos ω0t − sin(θ (t ) + ϕ 0 ) sin ω0t ] =
(4.30)
= U a (t ) cos[ω0t + θ (t ) + ϕ 0 ].
Поскольку U a (t ) = U s (t ) , то можно пользоваться одним общим
термином “огибающая сигнала” U (t ) = U a (t ) = U s (t ) . Таким образом, выражения (4.17) и (4.26), а следовательно, и (4.30), идентичны.
В выражениях (4.17), (4.23), (4.30) фаза физического сигнала
ϕ s (t ) = θ (t ) + ϕ 0 , определенная через синфазную и квадратурную
составляющие огибающей сигнала, является слагаемым его полной
фазы ψ s (t ) и отличается от полной фазы аналитического сигнала
тем, что не содержит линейного члена ω0t . Это естественно, поскольку синфазная S c (t ) и квадратурная S s (t ) составляющие содержат информацию только о законах модуляции огибающей U(t),
фазы θ (t ) и начальной фазе радиосигнала ϕ 0 . Полная фаза физического сигнала определяется аргументом осциллирующей функции в (4.17) и (4.30), т.е. ψ s (t ) = ω0t + ϕ s (t ) = ω0t + θ (t ) + ϕ 0 , что совпадает с выражением для полной фазы аналитического сигнала
ψ a (t ) . Следовательно, ψ a (t ) = ψ s (t ) = ω0t + ϕ s (t ) .
Представление узкополосного радиосигнала через синфазную
и квадратурную составляющие используется при решении задач
синтеза и анализа сигналов.
4.4. Примеры определения вида модуляции
по векторной диаграмме
1. Сигнал с амплитудной модуляцией
Дана векторная диаграмма амплитудно-модулированного сигнала. Получить аналитические выражения для сигнала S(t), синфазной SС(t) и квадратурной SS(t) компонент его комплексной огибающей.
Амплитудно-модулированный сигнал описывается выражением:
S(t) = U 0 [1 + mcos(Ωt + Φ 0 )]cos(ω0 t + ϕ0 ).
Пользуясь векторной диаграммой, определим коэффициент
модуляции и начальные фазы несущего и «информационного» колебания.
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.17.
Из векторной диаграммы (рис. 4.17) следует, что значения сигнала лежат в интервале [0,2U 0 ], следовательно, коэффициент модуляции равен единице m = 1. Поскольку вектор сигнала совершает колебания по биссектрисе четвертого квадранта векторной диаграммы, начальная фаза несущего колебания равна ϕ 0 = 7 π 4 . В
начальный момент времени длина вектора сигнала меньше длины
вектора несущего колебания, а ее изменение происходит в сторону
увеличения. На основании этого можно сделать вывод, что начальная фаза информационного колебания лежит в интервале [π, 3π 2].
Учитывая, что в начальный момент времени значение сигнала равно 0,5U 0 , начальная фаза «информационного» колебания будет
равна Φ 0 = 5 π 4 .
Таким образом, сигнал S(t) будет описываться выражением:
5π  
7π 


S(t) = U 0 1 + cos Ωt +  cos ω0 t +  .
4  
4


Теперь найдем выражения, описывающие синфазную и квадратурную компоненты комплексной огибающей сигнала S(t) . Для
этого перепишем полученное выражение в виде:
5π  


 7π 
 7π 
S(t) = U 0 1 + cos Ωt +  cos(ω0 t ) cos  − sin (ω0 t )sin   .
4  

 4 
 4 

Сравнивая данное выражение и выражение (4.26) получаем:
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5π   7π 


Sc (t) = U 0 1 + cos Ωt +  cos  ,
4   4 


5π   7π 


Ss (t) = U 0 1 + cos Ωt +  sin   .
4   4 


2. Сигнал с угловой модуляцией
Дана векторная диаграмма
ЧМ сигнала. Определить параметры модуляции, записать аналитические
выражения
для
SЧМ(t), SС(t) и SS(t).
Рис. 4.18.
Частотно-модулированный сигнал описывается выражением:
S(t) = U 0cos(ω0 t + m ⋅ sin (Ωt + Φ 0 ) + ϕ0 ) .
Определим индекс модуляции и начальные фазы несущего и
«информационного» колебания.
Из векторной диаграммы (рис. 4.18) видно, что вектор сигнала
совершает колебания в диапазоне углов [π, 3π 2]. Исходя из этого
получаем, что индекс модуляции равен m = π 4 . В общем случае
однозначное определение начальных фаз несущего и «информационного» колебаний невозможно. Поэтому будем считать для простоты, что значение сигнала в начальный момент времени задается
только величиной ϕ 0 . Тогда величина Φ 0 будет задавать направление вращения вектора сигнала и будет принимать только значения
0 или π . Итак, в начальный момент времени вектор сигнала совпадает с биссектрисой третьего квадранта. Следовательно,
ϕ0 = 5 π 4 . Направление вращения вектора сигнала в начальный
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
момент времени соответствует увеличению фазы, а это значит
Φ0 = 0 .
Таким образом, для заданного сигнала получаем выражение:
π
5π 

S(t) = U 0 cos ω 0 t + ⋅ sin (Ωt ) +  .
4
4

Перепишем полученное выражение в виде:
.
5π 
5π 

π
π
S(t) = U0 cos(ω0 t ) cos sin(Ωt ) +  − sin(ω0 t )sin sin(Ωt ) + 
4
4 
4
4

.
Воспользовавшись выражением (4.26) для синфазной и квадратурной компонент комплексной огибающей сигнала получаем:
5π 
5π 
π
π
Sc (t) = U0 cos sin(Ωt ) +  , Ss (t) = U0 sin sin(Ωt ) +  .
4
4
4
4
4.5. Задачи для самостоятельного решения
Для заданных векторных диаграмм АМ сигнала получить аналитические выражения для сигнала SАМ(t), синфазной SС(t) и квадратурной SS(t) компонент комплексной огибающей. Рассчитать
мощность сигнала S(t) на активной нагрузке 50 Ом.
Задача 4.1.
U0=1мB
Задача 4.2.
U =10B
0
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 4.3.
Задача 4.4.
U0=1B
U0=10мB
Для заданных векторных диаграмм сигнала получить аналитические выражения для сигнала S*(t) в линейной и квадратурной
формах. Построить графики модулирующих функций SС(t) и SS(t).
Задача 4.5.
Задача 4.6.
Задача 4.8.
Задача 4.7.
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для заданных векторных диаграмм ЧМ сигнала определить параметры модуляции, записать аналитические выражения для SЧМ(t),
SС(t) и SS(t) (для SС(t) и SS(t) с качественными графиками).
Задача 4.9.
Задача 4.10.
Задача 4.11.
Задача 4.12.
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для заданных векторных диаграмм ФМ сигнала получить аналитические выражения для сигнала SФМ(t), SС(t) и SS(t), построить
качественный график полной фазы ψ(t) для сигнала.
Задача 4.13.
Задача 4.14.
Задача 4.16.
Задача 4.15.
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
1. Трахтман, А.М. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов / А.М. Трахтман. – М. : Сов. Радио, 1972. – 352 с.
2. Радиотехнические цепи и сигналы / под ред. К.А. Самойло. –
М. : Радио и связь, 1982. –328 с.
3. Брюханов, Ю.А. Спектральная теория сигналов : уч. пособие / Ю.А. Брюханов, А.Н. Кренев; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль,
1990.
4. Зернов, Н.А. Теория радиотехнических цепей / Н.А. Зернов,
В.Г. Карпов. – М. : Энергия, 1965.
5. Гоноровский, И.С. Радиотехнические цепи и сигналы
/ И.С. Гоноровский. – М. : Радио и связь, 1986. – 512 с.
6. Мартынов, А.Н. Панорамные приемники и анализаторы
спектра / А.Н. Мартынов, Ю.И. Селихов. – М. : Сов. Радио, 1980.
7. Кренев, А.Н. Методические указания по изучению темы
«Описание сигналов с помощью разрывных функций»
/ А.Н. Кренев; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль, 1989. – 24 с
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
1. Описание сигналов с помощью разрывных функций .................... 3
1.1. Простейшие разрывные функции ..................................................... 3
1.2. Приемы описания сигналов с помощью разрывных функций ........ 7
1.3. Примеры описания сигналов с помощью разрывных функций .... 10
1.4. Задачи для самостоятельного решения ........................................ 15
2. Спектральный анализ периодических сигналов ............................ 18
2.1. Ряды Фурье. Амплитудный и фазовый спектры.......................... 19
2.2. Спектры простейших периодических сигналов ........................... 23
2.3. Пример спектрального разложения периодического сигнала
сложной формы ............................................................................... 27
2.4. Задачи для самостоятельного решения ........................................ 29
3. Спектральный анализ непериодических сигналов ....................... 34
3.1. Преобразования Фурье. Спектральная плотность ..................... 34
3.2. Свойства преобразований Фурье.................................................... 35
3.3. Пример спектрального разложения
непериодического сигнала ............................................................... 38
3.4. Задачи для самостоятельного решения ........................................ 40
4. Радиосигналы ........................................................................................ 45
4.1. Модулированные сигналы ................................................................ 45
4.1.1. Амплитудная модуляция ......................................................... 46
4.1.2. Балансные и однополосные амплитудные модуляции.......... 48
4.1.3. Сигналы с угловой модуляцией .............................................. 52
4.2. Аналитический сигнал. Огибающая и фаза радиосигнала .......... 57
4.3. Представление модулированного радиосигнала через синфазную
и квадратурную составляющие огибающей ................................. 58
4.4. Примеры определения вида модуляции по векторной диаграмме
........................................................................................................... 60
4.5. Задачи для самостоятельного решения ........................................ 63
Литература ................................................................................................. 67
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А.Н. Кренёв
А.Б. Герасимов
Теория
Сигналов
SAM(t)
−
T
2
T
2
70
t
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
20
Размер файла
1 173 Кб
Теги
кренев, указания, методические, 1200, сигналов, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа