close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1223.Введение в теорию пограничного слоя Ширяева С О

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
С. О. Ширяева, А. И. Григорьев
Введение
в теорию пограничного слоя
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по специальности Физика
Ярославль 2009
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 53
ББК В 253.35я73
Ш 64
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2009 года
Рецензенты:
кафедра прикладной математики и вычислительной техники
Ярославского государственного технического университета;
доктор физ.-мат. наук, профессор В. А. Коромыслов
Ширяева, С. О. Введение в теорию пограничного слоя: учеб.
Ш 64 пособие / С. О. Ширяева, А. И. Григорьев ; Яросл. гос. ун-т
им. П. Г. Демидова. – Ярославль : ЯрГУ, 2009. – 140 с.
ISBN 978-5-8397-0658-3
Рассматривается модификация теории пограничного слоя,
связанного с периодическим движением заряженной свободной
поверхности вязкой жидкости, ориентированная на аналитические
расчеты осцилляций большой амплитуды конечных объемов
маловязкой жидкости и капиллярно-гравитационного волнового
движения на свободной плоской или цилиндрической маловязкой
жидкости.
Предназначено для студентов, обучающихся по специальности
010701 Физика (дисциплина "Задачи теории пограничного слоя",
блок ДС), очной формы обучения.
При написании учебного пособия авторы пользовались поддержкой гранта губернатора Ярославской области, гранта Рособразования № 2.1.1/3776 и грантов РФФИ № 09-01-00084 и № 09-0800148.
УДК 53
ББК В 253.35я73
ISBN 978-5-8397-0658-3
© Ярославский государственный
университет им. П. Г. Демидова, 2009
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Основы представлений о пограничном слое в окрестности
твердого тела, контактирующего с потоком маловязкой жидкости,
были заложены Л. Прандтлем в 1904 году [1–2]. За прошедшее столетие его представления были развиты и превратились в тщательно
проработанную корректную теорию, нашедшую самые широкие
приложения в практике технических расчетов [1–8].
Как отмечено в [4], к началу двадцатого столетия наука о
движении жидкости распалась на две ветви, почти не связанные
между собой: с одной стороны, достигшая совершенства теоретическая гидродинамика, основанная на модели идеальной жидкости, но во многом расходившаяся с данными экспериментальных исследований, а с другой – экспериментальные исследования
и весьма громоздкие теоретические расчеты для вязкой жидкости, практическая потребность в которых была весьма насущной.
Так, в [5] собрано значительное количество весьма любопытных
гидродинамических парадоксов, происходящих из-за расхождения между теорией гидродинамики идеальной жидкости и данными экспериментальных наблюдений. Наиболее резкое противоречие теории и практики имело место в весьма важных вопросах о потере давления в трубах и каналах и о сопротивлении, которое оказывает жидкость движущемуся в ней телу; поэтому
классическая гидромеханика идеальной жидкости имела для
практики лишь небольшое значение, что и побудило создать для
решения проблем, выдвигавшихся быстро развивавшейся техникой, свою собственную науку о движении жидкости по трубам –
гидравлику. Эта наука, принявшая резко выраженный эмпирический характер, опиралась в основном на экспериментальные данные и очень сильно отличалась от теоретической гидродинамики
идеальной жидкости как методами, так и целью.
Связав теорию с практикой, Л. Прандтль [1–2] положил начало созданию теории пограничного слоя. Правда, еще в девятнадцатом веке было известно, что резкое расхождение между результатами гидродинамики идеальной жидкости и данными экс3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
периментальных исследований возникало в очень многих случаях
вследствие пренебрежения в теоретических расчетах вязкостью
жидкости. Уравнения Навье – Стокса, описывающие движение
вязкой жидкости с учетом трения, были окончательно сформулированы еще в середине девятнадцатого века, однако вследствие
больших математических трудностей их не удавалось применить
к теоретическому исследованию течения жидкости с трением за
исключением нескольких частных случаев [5–8]. Между тем для
многих жидкостей и газов, важных в технических приложениях,
коэффициент вязкости весьма мал, и, следовательно, силы трения, обусловленные вязкостью, также малы по сравнению с силами тяжести и давления. Это обстоятельство долгое время мешало пониманию того, каким образом малые силы трения, которые в гидродинамике идеальной жидкости считалось возможным
отбрасывать, оказывали, тем не менее, весьма важное влияние на
процесс движения вязких жидкостей.
Исходя из теоретических соображений и данных экспериментальных исследований, Л. Прандтль показал, что течение в окрестности твердого тела можно разделить на две области: на область очень тонкого слоя вблизи тела (пограничный слой), где
трение играет существенную роль, и на область вне этого слоя,
где трением можно пренебрегать, а движение жидкости можно
считать потенциальным. Это предложение Л. Прандтля, с одной
стороны, позволило получить физически наглядное объяснение
важной роли вязкости в проблеме сопротивления жидкостей
движению твердых тел в ней, а с другой стороны, дало возможность преодолеть математические трудности, стоявшие перед
гидродинамикой вязкой жидкости. Свои теоретические соображения он подтвердил очень простыми и наглядными опытами в
небольшом, построенном им самим гидроканале. В итоге гипотеза Л. Прандтля положила начало восстановлению утраченной
связи между теоретической гидродинамикой идеальной жидкости
и практическими результатами гидравлики. Теория пограничного
слоя Прандтля сразу же после своего опубликования в 1904 году
дала мощный толчок к дальнейшему развитию теоретических исследований в области гидродинамики вязкой жидкости.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пограничный слой в окрестности твердого тела в
потоке вязкой жидкости
Фундаментальный вопрос механики жидкости состоит в том,
чтобы найти взаимосвязь между решениями для уравнений Эйлера для движения идеальной жидкости в окрестности твердого тела, обтекаемого ею, и решениями той же задачи на основе уравнений Навье – Стокса для жидкостей с малой вязкостью [1–8].
Математически речь идет об асимптотическом (при ν → 0 ) поведении решений системы уравнений:




 ∂U
1
+ U ∇ U = − ∇P + ν ⋅ ΔU ;

∂
t
ρ


divU = 0.

(
)
При рассмотрении некоторых видов течений, таких как, например, течение около удобообтекаемого тела вращения или течение около профиля крыла можно заметить очень важную особенность: влияние вязкости при очень больших числах Рейнольдса проявляется только в очень тонком слое, находящемся в непосредственной близости от твердых стенок. Если бы в действительных жидкостях не происходило прилипания к стенкам, то для
указанных выше течений картина линий тока была бы почти одинаковой как при наличии, так и при отсутствии вязкости. Однако
в реальных жидкостях всегда имеет место прилипание к стенкам,
и оно значительно изменяет картину линий тока, так как вызывает вследствие трения торможение прилегающего к стенкам тонкого слоя жидкости. В этом тонком слое скорость течения возрастает от нуля на стенке (прилипание) до своего полного значения во внешнем потоке на внешней границе тонкого слоя, за пределами которого жидкость можно рассматривать как идеальную.
Указанный тонкий слой называют, следуя Прандтлю, пограничным слоем, или слоем трения.
Оценка толщины пограничного слоя
Толщину пограничного слоя безотрывного обтекания маловязкой жидкостью твердого тела можно приближенно определить
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
следующим образом. Вне пограничного слоя вследствие малой
вязкости можно пренебречь силами трения по сравнению с силами инерции. Однако внутри пограничного слоя порядок величины этих сил одинаков. Сила инерции, отнесенная к единице объема, равна
ρU
∂U
∂x
. Для пластины длиной l величина
∂U
пропор∂x
циональна U l , где U есть скорость внешнего течения. Следовательно, сила инерции имеет величину порядка ρU 2 l . С другой
стороны, сила трения, отнесенная к единице объема, равна
∂τ
,
∂y
последняя величина при условии, что течение ламинарное, равна
∂ 2U
μ 2 . Градиент скорости в направлении, перпендикулярном к
∂y
∂U
, имеет величину порядка U δ ; постенке, т. е. производная
∂y
этому сила трения, отнесенная к единице объема, пропорциональна μU δ 2 . Приравняв силу трения силе инерции, мы получим соотношение ( μU δ 2 )  ( ρU 2 l ) , решив которое относительно
толщины пограничного слоя δ , найдем
δ = C ⋅ μ l ρU ≡ C ⋅ ν l U .
В этом соотношении остается пока неопределенным численный
множитель С. На основании точного решения Г. Блаузиуса этот
множитель приближенно оценен как равный 5. Следовательно,
для ламинарного течения толщина пограничного слоя равна
δ = 5 νl U .
Если мы разделим δ на длину пластины, то получим безразмерную толщину пограничного слоя:
(δ l ) = 5 ν
Ul ≡ 5
Re .
Из этих соотношений видно, что толщина пограничного слоя
пропорциональна и ν и l . Заменив длину переменным расстоянием х от переднего края пластины, увидим, что толщина по6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
граничного слоя возрастает пропорционально x . С другой стороны, из последнего равенства мы видим, что относительная величина пограничного слоя δ l уменьшается при увеличении числа Re пропорционально1 Re , следовательно, при переходе к
жидкости, лишенной трения, т. е. при переходе Re → ∞ , пограничный слой исчезает.
Поясним найденные оценки численным примером. Как показывают наблюдения, течение вдоль пластины остается ламинарным до тех пор, пока число Рейнольдса
Ul
ν
не превышает значе-
ния, равного приблизительно от 5 ⋅ 105 до 106 . При больших числах Рейнольдса пограничный слой становится турбулентным.
Вычислим толщину пограничного слоя на конце пластины длиной l=1м, обтекаемой воздухом ν = 0,15 ⋅ 10−4 м2 / cек со скоро-
(
)
стью U=15 м/сек. Заданным числам соответствует число Рейнольдса Re ≡ (Ul ν ) = 106 ; следовательно, мы можем применить
следующую формулу
δ
l
=
5
= 0,005 , откуда δ = 5мм .
103
Допущения теории пограничного слоя [1–8]
Теория течения вдоль твердой границы без отрыва базируется на следующих допущениях:
1) поток вне слоя толщиной δ , прилегающего к твердой
стенке, считается невязким и к нему могут быть применены методы потенциального потока;
2) толщина пограничного слоя δ мала по сравнению с линейным масштабом тела L в направлении движения потока;
3) если U – постоянная скорость порядка величины скоростей
вне пограничного слоя, то число Рейнольдса UL ν очень велико,
по меньшей мере порядка величины ( L δ )2 ;
4) компоненты скорости, касательные к границе, имеют величину порядка U. В этом случае, согласно уравнению неразрывности, нормальный компонент имеет порядок Uδ L ;
5) для турбулентного пограничного слоя порядок величины
рейнольдсовых касательных напряжений составляет ρU 2δ L , а
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
величина рейнольдсовских напряжений заключена между ρU 2 и
ρU 2δ L .
Хотя приемлемость этих допущений можно рассматривать с
точки зрения физики потока у стенки или проверять экспериментальными измерениями, однако главным доказательством их
обоснованности является совпадение эксперимента и теоретических расчетов.
Определение толщины пограничного слоя [1–8]
Так как переход скорости пограничного слоя в скорость
внешнего течения совершается асимптотически, то определение
толщины пограничного слоя в известной степени произвольно.
Однако для практических целей эта произвольность не играет роли, так как скорость пограничного слоя достигает скорости
внешнего течения уже на весьма малом расстоянии от стенки.
Поэтому за толщину пограничного слоя можно принять, например, такое расстояние от стенки, на котором скорость течения отличается на 1% от скорости внешнего течения. Именно при таком
определении толщины
пограничного слоя
в формуле (δ l ) = 5 ν Ul = 5 Re получается численный множитель 5. Вместо толщины пограничного слоя часто используется так называемая толщина вытеснения δ1 . Эта толщина определяется посредством соотношения
U ⋅ δ1 =
∞
 (U − u )dy .
y =0
Толщина вытеснения есть не что иное, как расстояние, на которое
отодвигаются от тела линии тока внешнего течения вследствие
образования пограничного слоя (вытесняющее действие пограничного слоя). Для пластины, обтекаемой вдоль своей плоскости,
толщина вытеснения δ1 равна приблизительно 1/3 от толщины
пограничного слоя, определяемой формулой δ = 5 ν l U .
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обтекание шара
Рассматривая обтекание шара, мы имеем дело со сферической поверхностью. Остановимся на этом случае подробнее (на
примере ползущего движения).
Совместим центр шара с началом координат и направим положительную ось X параллельно скорости U ∞ ; радиус шара
пусть равен R. Тогда, решив систему уравнений
1
ρ
gradP = νΔU ;
divU = 0;
мы получим следующие формулы для составляющих скорости и
для давления:
 3 Rx 2  R 2  1 R 
R2  
U x = U∞ 
 2 − 1 −
 3 + 2  + 1 ;
3
r  
 4r
 4 r  r
3 Rxy  R 2 
− 1 ;
U y = U∞


4 r 3  r 2

P − P∞ = −
3 Rxz  R 2 
U z = U∞
− 1 ;


4 r 3  r 2

3 ρν U ∞ Rx
.
3
2
r
Легко убедиться в том, что значения системы действительно
удовлетворяют исходным уравнениям и что на всей поверхности
шара скорость равна нулю. Давление на поверхности шара равно
P − P∞ = −
3 ρν U ∞ x
;
2 R2
следовательно, давление имеет максимальное и минимальное
значение в точках Р1 и Р2, и эти значения равны:
P1,2 − P∞ = ±
9
3 ρν U ∞
.
2 R
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Последняя формула также позволяет легко вычислить распределение касательных напряжений на поверхности шара. Наибольшее значение касательное напряжение имеет в точке A, где оно
равно:
τ = 3ρν U ∞ 2 R ,
т. е. численно совпадает с абсолютным значением повышения и
соответственно понижения давления в точках Р1 и Р2. Проинтегрировав давление и касательное напряжение по всей поверхности
шара, мы найдем полное сопротивление шара:
F = 6πρν U ∞ R.
Это есть известная формула Стокса для сопротивления шара. Отметим, что одна треть этого сопротивления возникает вследствие
разностей давления, а две трети – вследствие действия сил трения.
Придадим теперь формуле Стокса такой же вид, какой имеют
установленные на основании опыта законы сопротивления при
больших числах Рейнольдса. Для этой цели представим сопротивление W как произведение коэффициента сопротивления Cw
2
на площадь π R поперечного сечения шара и на динамическое
2
2
давление ρU ∞ / 2, мы получим F = Cwπ R
ρ
U ∞2 .
2
Заменив F его значением из формулы F = 6πρν U ∞ R , мы найдем
коэффициент сопротивления: Cw = 24 Re . Сравнение получен-
ной формулы с результатами практических измерений показывает, что она верна только при Re < 1 .
Линии тока впереди и позади шара при рассматриваемом
ползущем движении симметричны относительно оси, проходящей через центр шара перпендикулярно к направлению скорости
набегающего потока. В самом деле, при изменении направления
вектора скорости на противоположное система уравнений


grad p = μ ⋅ ΔU ;
divU = 0
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
переходит в самое себя.
Картина линий тока при вязком обтекании шара получается
следующая: шар увлекает за собой в своей окрестности довольно
широкий слой жидкости, ширина которого по каждую сторону
шара примерно равна его диаметру. Совсем иное получается при
движении шара с очень большим числом Рейнольдса; в этом случае ширина увлекаемого слоя, т. е. толщина пограничного слоя,
чрезвычайно мала.
Пограничный слой в окрестности свободной
поверхности вязкой жидкости, по которой бежит
капиллярно-гравитационная волна
Основа существующих в настоящее время представлений о
пограничном слое в окрестности свободной поверхности вязкой
несжимаемой жидкости, совершающей периодические движения,
была заложена в работе Лонгет-Хиггинса [9] в середине двадцатого столетия. Лонгет-Хиггинс обратил внимание на то, что характерный линейный масштаб экспоненциального затухания с
глубиной амплитуды вихревого движения, генерируемого периодической капиллярно-гравитационной волной, распространяющейся по плоской поверхности бесконечно глубокой вязкой жидкости, определяется выражением: δ L ≡ 2ν ω , где ν – коэффициент кинематической вязкости, а ω – частота волны. Полагая,
что экспоненциальность затухания с глубиной вихревого движения обеспечивает достаточно большую скорость его исчезновения, Лонгет-Хиггинс предложил считать, что все вихревое движение сконцентрировано в слое толщиной δ L , введя тем самым
первую грубую оценку на толщину пограничного слоя, связанного с волновым движением. С тех пор и до недавнего времени
оценки скорости вязкой диссипации энергии волн проводились
на основе высказанных в [9] представлений. При этом движение
жидкости за пределами пограничного слоя считается потенциальным. Такой подход позволяет в общем случае весьма сложную
задачу строгого аналитического расчета движения вязкой жидкости в области с заданными границами свести к двум более простым: расчету потенциального движения невязкой жидкости в
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
объеме и расчету вихревого движения вязкой жидкости в пограничном слое.
Правильная оценка толщины пограничного слоя в каждой
отдельно взятой задаче существенно упрощает расчет течения
жидкости при заданных граничных условиях и облегчает качественный анализ его свойств. В то же время само понятие толщины
пограничного слоя не обладает той строгостью, которая присуща
другим механическим величинам. В истинном течении компоненты ротора скорости плавно уменьшаются по абсолютной величине при выходе из пограничного слоя в область почти потенциального течения. Выделение четкой границы, разделяющей
движение на область с вихревым движением и без него, означает
условное установление порога, начиная с которого ротор скорости в задаче считается нулевым (что в конечном итоге приводит к
ограничению точности проводимых расчетов). Сам порог может
быть выбран по-разному в зависимости от целей исследования.
Именно поэтому оценочные выражения для толщины пограничного слоя, используемые на практике, как правило, содержат безразмерный множитель, выбор которого диктуется сравнением с
экспериментом, свойствами известного приближенного решения
или какими-либо вспомогательными соглашениями.
Объектом настоящего рассмотрения является течение в пограничном слое, возникающем под свободной плоской поверхностью маловязкой жидкости, по которой распространяется капиллярно-гравитационная волна; под цилиндрической поверхностью
струи, по которой бежит капиллярная волна; под сферической
поверхностью капли, совершающей осцилляции. В большинстве
классических монографий по гидродинамике (см., например, [2,
6–7]) для оценки толщины δ такого пограничного слоя используется выражение, предложенное в [9]:
δ =C ν ω .
(1)
Здесь ω – циклическая частота периодической капиллярногравитационной волны; ν – коэффициент кинематической вязкости жидкости; C – безразмерный параметр, значение которого в
[9] принято равным 2 . Соотношение (1) сформулировано на основании анализа точного решения задачи о расчете течения жид12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кости, связанного с капиллярно-гравитационной волной, распространяющейся по поверхности бесконечно глубокой маловязкой
жидкости в линейном по амплитуде волны приближении. Значение C = 2 выбрано таким образом, чтобы в известном приближенном решении закон убывания с глубиной h амплитуды ротора скорости течения жидкости описывался через параметр δ наиболее просто, выражением вида: exp ( −h / δ ) . Очевидно, такой выбор C в выражении для δ не гарантирует достаточной подавленности вихревого движения на глубине большей, чем δ , и остается
неясным, каким нужно взять значение толщины слоя, чтобы охарактеризовать положение уровня, ниже которого вихрь скорости
можно положить равным нулю с заранее заданной точностью для
отыскания характеристик течения. Принято считать, что при распространении по свободной поверхности слоя жидкости конечной толщины периодической капиллярно-гравитационной волны
глубина в половину длины волны является тем уровнем, начиная
с которого дно и свободная поверхность перестают «чувствовать» друг друга. Представляет интерес формулировка аналогичного критерия относительно вихревой составляющей течения,
порожденного поверхностными волнами, т. е. возможность получения ответа на вопрос: начиная с какой глубины в количественных расчетах течения вязкой жидкости и в качественных рассуждениях можно полагать вихревое движение, порожденное свободной поверхностью, полностью подавленным, не влияющим на
потенциальное течение в объеме.
В [6] отмечается, что скачок завихренности течения маловязкой жидкости вблизи свободной ее поверхности по нормали к поверхности существенно меньше скачка завихренности на границе
твердого тела в потоке вязкой жидкости. В связи с этим согласно
[6] некоторые феномены, характерные для пограничного слоя
вблизи твердой границы для пограничного слоя, у свободной поверхности отсутствуют. Например, сказанное относится к феномену отрыва пограничного слоя, который имеет место для твердого тела и весьма маловероятен для свободной границы.
Кроме того, в [6] говорится (хотя аргументы автора не вполне
понятны), что градиенты скорости внутри пограничного слоя у
свободной поверхности вязкой жидкости по порядку величины не
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
превышают градиентов скорости в основном течении вне пограничного слоя, которое принимается потенциальным. Это обстоятельство согласно [6] приводит к тому, что скорость диссипации
энергии в единице объема за счет влияния вязкости будет одного
и того же порядка в пограничном слое у свободной поверхности
и в основном потенциальном течении. Из этого в [6] делается вывод, что полная скорость диссипации энергии течения в вязкой
жидкости со свободной поверхностью в отсутствие твердых границ обусловлена главным образом более обширной областью
безвихревого течения. Такой вывод представляется излишне поспешным. По-видимому, он справедлив для расчета затухания
капиллярно-гравитационного волнового движения в бесконечно
глубокой жидкости, когда объем жидкости, охваченной безвихревым течением, на много порядков превосходит объем, занятый
вихревым течением. Но совершенно очевидно, что для капель
или тонких струй вязкой жидкости, когда отношение объема
жидкости, охваченного вихревым течением, сравним с ее объемом, в котором течение потенциально, вклад в затухание осцилляций свободной поверхности в пограничном слое уже нельзя
считать бесконечно малым. В этой связи встает проблема построения теории пограничного слоя для осциллирующей сферической капли, струи вязкой жидкости и для волнового движения
на свободной поверхности тонкого слоя вязкой жидкости на
твердом дне.
Отметим, что скорость рассеяния механической энергии T
при движении жидкости c коэффициентом динамической вязкости μ в объеме V определяется выражением [8]:
2
dT
μ  ∂u ∂u 
= −   i + k  dV .
2 V  ∂xk ∂xi 
dt

где uk – проекция вектора скорости на k-й орт nxk прямолинейной
декартовой системы координат. Это выражение применимо и к
потенциальному, и к вихревому движениям жидкости, и к их суперпозиции. Применительно к расчету диссипации энергии волнового движения с длиной λ на свободной поверхности достаточно глубокого (такого, чтобы можно было не учитывать зату14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
хание в придонном пограничном слое) плоского слоя маловязкой
жидкости на твердом дне это выражение можно разбить на два.

dT
μ   ∂ 2ϕ
∂ 2ϕ
= −  
+
dt
2  V  ∂xk ∂xi ∂xi ∂xk
 *

2
 ∂ 2ϕ 
 ∂
≡ −  4 
dV* +  

 ∂x
2  V  ∂xk ∂xi 
k

V
0
 *
μ
2
2


 ∂ui ∂uk 
+
 dV* +  
 dV0  ≡

x
x
∂
∂
k
i 

V0 

2

 ∂ϕ ∂ψ  ∂  ∂ϕ ∂ψ  
−
+
+
  dV0  . (2)



∂
∂
∂
∂
∂
x
x
x
x
x
k 
i
k
i 
 i

В (2) V0 – часть объема, приходящаяся на пограничный слой у
свободной поверхности жидкости, и движение жидкости в этом
объеме в основном вихревое; V ≡ V0 + V* ; V* – часть объема, движение жидкости в котором можно считать потенциальным с по

тенциалом поля скоростей ϕ (r , t ) ; ψ (r , t ) – функция тока. В соответствии с общими представлениями о пограничном слое (и как
будет показано ниже) производные от скоростей по координате,
перпендикулярной к поверхности в пределах пограничного слоя,
как правило, примерно на порядок больше производных вдоль
свободной поверхности. Поскольку такие производные во второй
интеграл входят в квадрате, то и подынтегральное выражение во
втором интеграле будет примерно на два порядка превосходить
подынтегральное выражение в первом интеграле. Мы знаем, что
V0 и V* – объемы, ограниченные сверху и снизу плоскостями и
различающиеся лишь высотами, причем для объема V0 , в котором
движение вихревое, высота равна толщине пограничного слоя δ .
Это означает, что при высоте h ~ 100 ⋅ δ ~ 10 ⋅ λ для объема V* первый и второй интегралы в (2) будут иметь примерно одинаковую
величину. А для того, чтобы диссипацией энергии волнового
движения в приповерхностном пограничном слое маловязкой
жидкости можно было пренебречь по сравнению с диссипацией в
объеме V* , где движение можно считать потенциальным, толщина слоя h должна на несколько порядков превышать h = 10 ⋅ λ .
Подчеркнем, что эту оценку мы получили, исключая из рассмотрения диссипацию энергии волнового движения на твердом дне,
в придонном пограничном слое.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из сказанного ясно, что при расчете диссипации механической энергии периодического волнового движения в слоях маловязкой жидкости с толщинами, измеряемыми сотнями длин волн,
обязательно следует учитывать наличие пограничного слоя вблизи
свободной поверхности жидкости так же, как и у твердого дна.
1. Толщина пограничного слоя,
связанного с капиллярно-гравитационным
волновым движением на плоской
заряженной свободной поверхности
бесконечно глубокой вязкой жидкости
1.1. Оценка толщины пограничного слоя при малом
отклонении плотности поверхностного заряда от
критической по Тонксу – Френкелю
Как отмечалось во введении, в научных исследованиях достаточно часто используется представление о том, что вблизи свободной поверхности бесконечно глубокой вязкой жидкости, по
которой распространяется периодическая волна, имеется тонкий
пограничный слой, внутри которого сосредоточена основная
часть вихревого движения, а движение жидкости в основном
объеме можно считать безвихревым. Для толщины δ пограничного слоя предлагается пользоваться оценкой [9]:
δ=
2ν
ω
,
(1.1)
здесь ν – кинематическая вязкость жидкости, а ω – частота периодической капиллярно-гравитационной волны. Для ряби (капиллярно-гравитационных волн в переходной от ветви капиллярных к
ветви гравитационных волн области) на воде с длиной волны порядка 1 см величина частоты имеет величину примерно 150 Гц, а
толщина пограничного слоя согласно (1.1) будет около 0.1 мм [7].
Анализ литературных источников показывает, что оценка (1.1) получена не из уравнений движения, а в результате анализа классического решения задачи о распространении капиллярно16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
гравитационных волн по поверхности вязкой жидкости [10]. В связи со сказанным, возникает вопрос о правомерности оценки (1.1)
при введении в задачу расчета спектра капиллярногравитационных волн новых физических факторов. В частности,
справедливость формулы (1.1) вызывает сомнение при рассмотрении задачи о расчете спектра капиллярно-гравитационных волн на
свободной поверхности электрически заряженной вязкой электропроводной жидкости. Согласно существующим представлениям об
устойчивости заряженной поверхности жидкости по отношению к
наличию на ней электрического заряда [11–13], увеличение поверхностной плотности электрического заряда связано с уменьшением циклической частоты ω , входящей в формулу (1.1). Значение
ω стремится к нулю при приближении поверхностной плотности
заряда к критической, выше которой электрические силы начинают
преобладать над силами поверхностного натяжения, инициируя
рост эмиссионных выступов для сброса избыточного электрического заряда [11–13]. В итоге, согласно (1.1), получается, что при околокритических значениях поверхностной плотности заряда толщина пограничного слоя, в котором сосредоточена основная часть
вихревого движения, расширяется фактически на всю область, занятую жидкостью, и движение жидкости следует считать полностью вихревым. Вопрос о справедливости этого неожиданного вывода и является предметом анализа настоящего раздела, который
посвящен оценке толщины пограничного слоя под деформированной волновым движением свободной однородно заряженной поверхностью вязкой несжимаемой идеально проводящей жидкости.
Преследуется цель – продемонстрировать несостоятельность оценки (1.1) для толщины пограничного слоя и дать более корректное
аналитическое оценочное выражение этой величины. Изложение
проводится согласно [14].
Математическая формулировка задачи
Примем, что несжимаемая ньютоновская жидкость с кинематической вязкостью ν , плотностью ρ и коэффициентом поверхностного натяжения γ в декартовой системе координат с осью


Oz , направленной вертикально вверх в поле сил тяжести g || − ez ,
заполняет полупространство z < 0 и граничит с вакуумом. Жид17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кость считается идеальным проводником, несущим однородно
распределенный поверхностный заряд такой, что электрическое
поле над искаженной волновым движением поверхностью жидкости в пределе z → ∞ стремится к однородному с напряженно
стью E0 e z . Рассмотрим линеаризованную по амплитуде возмущения задачу определения спектра капиллярно-гравитационных
волн на заряженной свободной поверхности жидкости.
Пусть u = u ( x, z, t ) и v = v(x, z , t ) – горизонтальная и вертикальная компоненты поля скоростей волнового движения жидкости,
которые для простоты считаются независящими от координаты


y , e x и ez – орты осей Ox и Oz декартовой системы координат,
координатная поверхность z = 0 которой совпадает с невозмущенной равновесной в поле сил тяжести свободной поверхностью жидкости. Тогда отклонение свободной поверхности жидкости ξ = ξ ( x, t ) от равновесной формы z = 0 , обусловленное волновым движением
малой амплитуды, поле скоростей волнового



течения U = u⋅ ex + v⋅ ez и добавка Φ к величине электростатического потенциала над однородно заряженной свободной поверхностью жидкости, вызванная искажением равновесной формы
ξ = ξ ( x, t ) , имеют один порядок малости и удовлетворяют линеаризованным уравнениям гидродинамики:
z <0:
 1
 
∂ tU + ∇p − ν ΔU = 0 ;
ρ
z > 0:
z = 0:
ΔΦ = 0 ;
∂ tξ − v = 0 ;
∂ z u+ ∂ x v = 0 ;
z → −∞ :

divU = 0 ;
p − 2 ρν ∂ z v −
E0
∂ z Φ + γ ∂ xxξ = 0 ;
4π
Φ − E0 ξ = 0 ;
u → 0;
v → 0;
z →∞:
∇Φ → 0 .
Здесь t – время; p – добавка к равновесному значению давления внутри жидкости, обусловленная волновым движением; ∂ t и
∂ x – частные производные по времени и координате.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение линеаризованной задачи
Согласно [13, 15] решением линеаризованной задачи является суперпозиция волн вида:
ξ 
u
 =
v
 
Φ
1




2
−
+
+
ν
ν
i
S
2
k
exp
k
z
2i
k
q
exp
q
z
(
)
(
)
(
)


a

 exp( S t − i k x) + k .c. (1.2)
2  ( S + 2ν k 2 ) exp ( k ⋅ z ) − 2 ν k 2 exp ( q z ) 


E0 exp ( − k z )


Аббревиатура «к.с.» означает комплексно сопряженные слагаемые; a – комплексная амплитуда, определяемая из начальных
условий; k – волновое число; i – мнимая единица; S – комплексная частота, связанная соотношением
q = k2 +
S
(1.3)
ν
с корнем q дисперсионного уравнения:
(k
2
+ q2
)
2
+ ω02 − 4ν 2 k 3 q = 0 ;
(1.4)
Re(q ) > 0 ;
γ
α=
;
ρg
ω = gk (1 + α k − αk W );
2
0
2 2
(1.5)
W=
E02
4π ρ gγ
;
где α есть капиллярная постоянная жидкости, W – безразмерный
параметр Тонкса – Френкеля, характеризующий соотношение капиллярных и электрических сил на свободной поверхности жидкости, пропорциональный квадрату поверхностной плотности
электрического заряда. Параметр ω02 равен предельному при
ν → 0 значению квадрата комплексной частоты S 2 и имеет смысл
квадрата частоты капиллярно-гравитационной волны на однородно заряженной свободной поверхности идеальной несжимаемой электропроводной жидкости. Физический смысл имеют не
все значения комплексной частоты S , разрешающие дисперсион19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ное уравнение, а только те, для которых выполняется условие
(1.5), реализуемое, если:
((
Re S + 2 ⋅ν ⋅ k 2
)
2
)
+ ω02 > 0 .
(1.6)
Только в этом случае вихревая часть поля скоростей, которая в
(1.2) описывается слагаемыми, пропорциональными ~ exp(qz ) , затухает с глубиной.
В нижеследующем изложении будут использованы обозначения:
r = Re(S ) ;
q1 = Re(q ) ;
ω = Im(S ) ;
q2 = Im(q ) .
(1.7)
Модуль действительного параметра r характеризует скорость изменения амплитуды волнового движения со временем.
При r < 0 параметр r определяет декремент затухания волнового
движения, а при r > 0 он дает инкремент нарастания неустойчивости. Действительная величина ω имеет смысл циклической
частоты волнового движения.
Выражение для характерной толщины
пограничного слоя на заряженной свободной
поверхности бесконечно глубокой жидкости



Несложно вычислить ротор поля скоростей U = u⋅ ex + v⋅ ez , заданного соотношениями (1.2):


rotU = ( ak i(r + iω)⋅ exp(q1z) ⋅exp(rt )⋅ exp(i q2z) ⋅exp(i(ωt − kx)) + k.c.) ey
Отсюда следует, что
δ = q1−1
(1.8)
– вертикальный масштаб, на котором вихревая компонента поля
скоростей уменьшается в e раз. В связи с экспоненциальным законом уменьшения амплитуды вихревого движения с глубиной
параметр δ полностью характеризует линейный масштаб затухания вихревого движения в том смысле, что через его значение
легко вычисляется глубина D , на которой интенсивность вихре20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вого движения уменьшается в произвольное наперед заданное
число раз N :
D = δ ⋅ ln ( N ) .
Например, если умножить δ на ln(100) ≈ 4.6 , то получится глубина, при погружении на которую интенсивность вихревого движения уменьшится в 100 раз.
На основании сказанного, примем соотношение (1.8), в котором q – корень уравнения (1.4), удовлетворяющий условию (1.5),
за определение характерной толщины пограничного слоя у заряженной свободной поверхности бесконечно глубокой жидкости.
Итак, оказывается, что дисперсионное уравнение в форме
(1.4), рассматриваемое как уравнение относительно вспомогательного параметра q, имеет самостоятельный физический
смысл. Действительная часть корня q уравнения (1.4), удовлетворяющего условию (1.5), – величина, обратная характерной толщине пограничного слоя.
Данное определение характерной толщины пограничного
слоя полностью согласуется с общепринятой оценкой (1.1) при
условии, что вязкость мала, но значение ω не является малой величиной. Действительно, в этом приближении S ≈ −2νk 2 + i ω0 [7].
Пользуясь тем, что значение ω0 не является малым, легко выде-
(
)
лить главную часть соотношения q1−1 = 1 / Re k 2 + S /ν в пределе
малой вязкости. Получится выражение 2ν / ω0 . При малой вязкости будем иметь: ω ≈ ω0 , т. е. приходим к определению (1.1).
Для значений ω , близких к нулю, предложенное определение
для характерной толщины пограничного слоя пока неинформативно, поскольку значение δ для этого случая вычисляется в результате непосредственного решения трансцендентного уравнения (1.4) с отбором корней, удовлетворяющих (1.5). Зададимся
целью: получить для толщины пограничного слоя δ при близких
к нулю значениях частоты ω явные аналитические выражения,
которые упростят анализ и практическое применение теории пограничного слоя вблизи заряженной поверхности жидкости.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Реперные значения параметра Тонкса – Френкеля,
связанные с качественными изменениями
в характере движения
Определимся со значениями параметра Тонкса – Френкеля
W , при которых будут строиться приближенные аналитические
выражения для характерной толщины пограничного слоя δ , и со
значениями W , при которых эти выражения должны отражать качественно важные свойства точных зависимостей.
W
Ω
4
Г
3
2
C
B
A
1
0
1
2
3
4
K
Рис. 1. Граница устойчивости волнового движения Γ
на плоскости безразмерных параметров (K ,W ) .
Параметр K = αk – произведение волнового числа
на капиллярную постоянную
Плоскость параметров (K ,W ) , где K = αk – безразмерное волновое число, можно рассматривать как плоскость физических параметров, характеризующих капиллярно-волновое движение, на
которой линия (рис. 1)
Γ:
W=
1
+K
K
является границей устойчивости движения. Точки, расположенные под Г, соответствуют режиму капиллярно-волнового движения с экспоненциально уменьшающейся амплитудой ( r < 0 ). На
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
гребнях волн, соответствующих точкам этой области, капиллярные силы преобладают над электрическими. Над линией Γ расположена область неустойчивости, соответствующая условиям,
когда электрические силы на гребнях любого малого пространственно периодического возмущения преобладают над силами поверхностного натяжения, приводя к экспоненциальному росту
( r > 0 ) во времени амплитуды виртуального возмущения.
Чтобы определить значения параметра W , при которых режим капиллярно-волнового движения претерпевает качественные
изменения, нужно проанализировать, как изменяются параметры
ω , r (см. (1.7)) и характерная толщина пограничного слоя δ (определенная согласно (1.1)) с изменением W при фиксированном
значении волнового числа. На рис. 2а-c такие зависимости построены в безразмерных переменных, в которых ρ = g = γ = 1 . На
этих зависимостях увеличению параметра W соответствует перемещение точки, характеризующей на рис. 1 состояние капиллярно-волнового движения, вверх вдоль луча Ω . Для лучшей визуализации деталей поведения рассматриваемых зависимостей в окрестности критического значения W = 2 зависимости построены
при весьма большом значении безразмерной вязкости (ν = 0.5 ).
На представленных зависимостях безразмерное волновое число
фиксировано значением К = 1 , но все качественные свойства зависимостей сохранятся и в случае их построения при другом значении K . Главным отличием будет изменение критического значения параметра W , определенного соотношением: W = K −1 + K .
Из рис. 1–2 видно, что при W = 0 существуют две капиллярно-гравитационные ветви 1 и 2 движения жидкости с одинаковыми декрементом затухания и характерной толщиной пограничного слоя: одна волна распространяется вдоль Ox , а другая – в противоположном направлении. При увеличении W частоты обоих
движений уменьшаются и при W = W A обращаются в ноль, а сами
движения жидкости становятся апериодическими, амплитуда которых экспоненциально затухает со временем.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r
0.2
B1 3
W
0
0.5
1
1.5
A1
-0.2
-0.4
ω
2.5
2
1;2
C1
a)
1
0.5
3;4 3
0
0.5
1
1.5
A2,B2,C2
W
2.5
-0.5
2
b)
-1
δ
8
4
6
c)
4
A3
2
0
1;2
0.5
3
1
1.5
2
B3
W
2.5
Рис. 2. Зависимости действительной r = Re(S ) и мнимой ω = Im(S ) частей
комплексной частой и характерной толщины пограничного слоя δ от значений параметра Тонкса – Френкеля W , рассчитанные при безразмерном
значении волнового числа k = 1 и безразмерной вязкости ν = 0.5
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Значение W A – первая реперная точка, положение которой нужно
описать аналитически. Именно в окрестности W = W A формула
(1.1) становится неверной из-за обращения в ноль знаменателя.
Значение W A характеризует положение точек разветвления: A1 на
зависимости r = r (W ) ; A2 на зависимости ω = ω (W ); A3 на зависимости δ = δ (W ) . Значение W A – левый край диапазона значений W ,
на котором существуют два затухающих со временем апериодических движения, описываемых ветвями 3 и 4 на рис. 2а и 2b.
Каждому из них соответствует своя характерная толщина пограничного слоя δ . Декремент затухания движения, связанного с
ветвью 3, при увеличении W уменьшается и в реперной точке
WB = K −1 + K обращается в ноль. При W > WB ветвь 3 соответствует
неустойчивым экспоненциально нарастающим со временем движениям жидкости. В точке W = WA < WB толщина пограничного
слоя, соответствующего ветви 3, достигает максимума и уменьшается при дальнейшем увеличении W . У движения, описываемого ветвью 4, декремент затухания существенно больше, чем у
ветви, претерпевающей неустойчивость, и его величина растет с
увеличением W . Толщина пограничного слоя δ для ветви 4
асимптотически растет до бесконечности. Положение асимптотики W = WC > WB – третья представляющая интерес реперная точка
и правый край диапазона значений W , на котором существуют
две апериодические ветви и два характерных масштаба для толщины пограничного слоя. При W > WB реализуется только неустойчивое апериодическое движение, связанное с ветвью 3, а продолжение ветви 4 за порог W = WC перестает удовлетворять условию (1.5), уходит на нижний лист римановой поверхности, на которой определены решения дисперсионного уравнения (1.4), и
физически не реализуется.
Для определения WA и WB выполним в (1.4) последовательную замену переменных:
Q=
q
;
k
25
(1.9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


δW = W −  αk +
Λ=
1 
 = W − WB ;
αk 
(1.10)
αg
δW .
ν 2k 2
(1.11)
Здесь δW характеризует отклонение параметра Тонкса – Френкеля W от критического значения, а Λ введено для уменьшения в
результирующем уравнении числа независимых переменных. В
результате описанной подстановки получится уравнение относительно Q с единственной независимой переменной Λ :
(
f (Q, Λ ) = 1 + Q 2
)
2
− 4Q − Λ = 0 .
(1.12)
1
2 f(Q,Λ)
2 3 4
1
Q
1.0
0.5
-1
-2
Рис. 3. Примеры расчета зависимости левой части уравнения (16)
от переменной Q при различных значениях параметра Λ :
1 – Λ = Λ A ≈ −0.581 ; 2 – Λ = 0.2 ; 3 – Λ = Λ C = 1; 4 - Λ = 2
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассматривая поведение корней уравнения (12) с положительной
действительной частью, легко установить реперные значения Λ A
(точка рождения двух действительных корней) и Λ C (точка исчезновения одного из корней), через которые в свою очередь по
формулам (1.10)–( 1.11) легко вычислить W A и WC .
Рис. 3 иллюстрирует поведение зависимости f (Q, Λ ) при различных значениях Λ . Видно, что при больших Λ уравнение
(1.11) имеет только один положительный действительный корень.
Легко сообразить, что этот корень соответствует ветви 3 на
рис. 2a–c. При уменьшении Λ до значения Λ = 1 появляется корень Q = 0 , которому соответствует правый, уходящий в бесконечность конец C3 ветви 4 на рис. 2: δ ~ (1/ Q ) → ∞ . При Λ < 1
появившийся новый действительный положительный корень существует в том же диапазоне значений параметров, что и первый
корень, связанный с ветвью 3. Через значение этого нового корня
выражается положение ветви 4 на рис. 2a-c. Естественно принять
Λ C = 1. Из (1.11) следует, что Λ B = 0 . Как видно из рис. 3, дальнейшее уменьшение Λ до Λ = Λ A приводит к слиянию двух действительных положительных корней при Λ = Λ A (это соответствует точке W = W A ), когда минимум изображенной на рисунке функции касается оси OQ . Значение Λ A легко находится в виде:
Λ A = −Π ≈ −0.581.
В результате получаются значения:
Λ A = −0.581 ;
ΛB = 0 ;
Λ C = 1.
Через них по формулам (1.10)–( 1.11) легко вычисляются реперные значения W A и WC . Область значений Λ , на которой будут
строиться аналитические выражения, примем симметричной относительно нуля и опишем диапазоном:
− 1 ≤ Λ ≤ 1.
(1.13)
Этому множеству значений Λ соответствует диапазон значений
параметра W , симметричный относительно критического значения:
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
WL = WB − δWC ≤ WB ≤ WB + δWC = WR .
(1.14)
Легко установить, что левая половина диапазона (1.14) содержит
внутри значение W A . Таким образом, множество значений параметра W (1.14) содержит все интересные для настоящего анализа
реперные значения W A , WB , WC . Именно на этом множестве и будут определены искомые приближенные аналитические зависимости. Очевидно, рассматриваемый диапазон изменения W можно описать как отрезок:
 1
ν 2k 2
1
ν 2k 2 
α k + α k − α g ; α k + α k + α g  .


(1.15)
Приближенные аналитические зависимости
для толщины пограничного слоя в окрестности
критического значения параметра Тонкса – Френкеля
Будем аппроксимировать корни уравнения (1.12) на отрезке
(1.13). Из расчетов и рис. 2 следует, что аналитические выражения получаются наиболее простыми и в то же время точными, если аппроксимацию провести следующим образом.
На отрезке − 1 ≤ Λ < −Π , там, где движения жидкости периодические, затухающие, следует использовать линейную аппроксимацию. На отрезке − Π ≤ Λ < 1 для аппроксимации большего (по
абсолютной величине) из корней, соответствующего ветви 3,
удобно воспользоваться разложением по целым степеням Λ + Π .
Для меньшего (по абсолютной величине) корня, соответствующего ветви 4, выгоднее использовать покусочную аппроксимацию:
на части отрезка − Π ≤ Λ ≤ 0 проводить разложение по Λ + Π , а на
части 0 ≤ Λ ≤ 1 ограничиться линейными по Λ − 1 слагаемыми. В
результате для корней (1.12) можно получить следующие аналитические представления:
Q1, 2 =
Q3 = M +
Λ+Π
2 + 6M 2
1 1+ Λ 
1 
+
;
M −
2 1− Π 
2
−
M (Λ + Π )
(
2 1 + 3M
)
2 2
(7M
+
2
− 1 ≤ Λ < −Π ;
)
− 1 (Λ + Π )
(
8 2 1 + 3M
28
3/ 2
)
2 7/2
(1.16)
; − Π ≤ Λ < 1 ; (1.17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3/ 2
2

M ( Λ + Π ) ( 7 M − 1) ( Λ + Π )
Λ+Π
 M −
, − Π ≤ Λ ≤ 0;
−
+
2
2 7/2
2 + 6 M 2 (1 + 3 M 2 )
Q4 = 
8 2 (1 + 3M )

0 ≤ Λ ≤ 1;
H ( Λ − 1) ,

(1.18)
Π = 0.581 ; M = 0.682 .
Здесь M – действительный корень уравнения (1 + Q 2 ) − 4Q + Π = 0 ,
а Н вычисляется по формуле:
2
Π
H =M −
2+ 6M 2
−
MΠ
2 (1 + 3 M 2
( 7 M − 1) Π
+
) 8 2 (1 + 3M )
2
2
3/ 2
2 7/2
.
Расчеты показали, что для определения корней уравнения
(1.12) с положительной действительной частью и двумя верными
значащими цифрами достаточно упрощенного вида соотношений
(1.16)–(1.18):
Q1, 2 = 0.648 − 0.059 Λ ;
− 1 ≤ Λ < −0.581 .
Q3 = 0.682 + 0.457 0.581 + Λ − 0.059Λ (0.581 + Λ) ; − 0.581 ≤ Λ < 1 ;
 0.682 − 0.457 0.581 + Λ − 0.059Λ ( 0.581 + Λ) ,
Q4 = 
−0.3( Λ −1) ,
(1.19)
(1.20)
− 0.581 ≤Λ ≤ 0;
0 ≤Λ ≤ 1.
(1.21)
Индекс при Q указывает, каким ветвям рис. 2 соответствует
данный корень.
Согласно (1.8)–(1.9) через Qn можно выразить характерные
толщины пограничного слоя для различных ветвей:
δ n = (k Qn )−1
n = 1,2,3,4 .
(1.22)
Соотношения (1.22) с учетом(1.19)–(1.21), в которых
Λ≡
gα 
 1

+αk ,
W −
2 2 
ν k 
αk

29
(1.23)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
являются искомыми приближенными аналитическими выражениями для толщины пограничного слоя в окрестности критического значения поверхностной плотности электрического заряда.
Анализ полученных результатов
Полученные выражения для характерной толщины пограничного слоя интересно привести к виду, в котором эта величина
будет измеряться в долях длины волны λ . Очевидно, что
−1
d = δ / λ = δk / (2π ) = (2πQ ) . Таким образом, толщина пограничного
слоя, обезразмеренная на длину волны, вычисляется по формуле:
d n = (2πQn ) ;
−1
n = 1,2,3,4 .
(1.24)
Здесь индекс п имеет тот же смысл, что и в (1.19)–(1.21).
d
4
0.8
0.6
0.4
1;2
3
0.2
ΛA≈-0.581
-1
Λ
0
-0.5
0.5
1
Рис. 4. Зависимость толщины пограничного слоя d ,
обезразмеренной на длину волны, от безразмерного параметра Λ
(см.(1.15)), пропорционального отклонению квадрата поверхностной
плотности электрического заряда от критического значения
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 4 показаны рассчитанные по формулам (1.19)–( 1.21),
(1.24) характерные толщины пограничных слоев в долях длины
волны для движений, реализующихся на поверхности бесконечно
глубокой вязкой идеально проводящей жидкости при поверхностной плотности заряда из диапазона (1.15). Сам диапазон изменения W преобразован с помощью (1.23) в отрезок [−1;1] , на котором изменяется вспомогательный параметр Λ , однозначно связанный с W формулой (1.23). Между наиболее существенными
для проводимого анализа значениями параметров Λ и W имеются следующие соответствия:
1
ν 2k 2
Λ = ±1 ↔ W =
+ αk ±
;
αk
αg
Λ = Λ B = 0 ↔ W = WB =
1
+ αk ;
αk
1
ν 2k 2
Λ = Λ A ≈ −0.581 ↔ W = W A =
+ αk − 0.581
.
αk
αg
Из рис. 4 следует, что в окрестности критического для данной длины волны значения поверхностной плотности электрического заряда толщина пограничного слоя не может оцениваться
по общепринятой формуле (1.1). Во-первых, во внутренней точке
W = W A этого диапазона значение параметра ω , входящего в (1.1),
обращается в ноль, и формула (1.1) предсказывает бесконечную
толщину пограничного слоя, в то время как корректное вычисление дает значение примерно 0.2 от длины волны. Во-вторых,
формула (1.1) никак не отражает факт бифуркационного поведения решения уравнений движения в обозначенном диапазоне.
При W > WA (на рис. 4 это область Λ > Λ A ≈ −0.581 ), в околокритической области значений поверхностной плотности электрического заряда реализуются два апериодических движения (ветви 3
и 4 на рис. 4), каждому из которых соответствует своя характерная толщина пограничного слоя. Движению, связанному с ветвью 3, отвечающему за реализацию неустойчивости, соответствует тонкий пограничный слой в десятые доли длины волны,
толщина которого уменьшается с увеличением поверхностной
плотности электрического заряда. Апериодическое движение,
связанное с ветвью 4, не претерпевает неустойчивости и сопро31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вождает ветвь 3 исключительно на рассматриваемом диапазоне.
Толщина отвечающего ему пограничного слоя растет с увеличением поверхностной плотности электрического заряда и при критическом значении заряда составляет примерно половину длины
волны. Дальнейшее увеличение поверхностной плотности электрического заряда приводит к асимптотическому росту d 4 до бесконечности при Λ = 1 .
Описанные апериодические движения не взаимодействуют в
приближении волн малой амплитуды и накладываются друг на
друга аддитивно. Поэтому в условиях эксперимента при докритическом значении поверхностной плотности заряда отчетливее
будет наблюдаться наиболее слабо затухающее движение: движение с наименьшим по модулю параметром r (см. соотношение
(1.7) и комментарий к нему). При закритическом значении заряда
легче наблюдать движение с медленно растущей во времени амплитудой, чем быстро затухающее движение. На основании (1.3),
(1.7), (1.9) и учитывая действительность Q в рассматриваемых
условиях, несложно найти, что
r3
Q32 − 1
= 2
.
r4
Q4 − 1
Рис. 5 показывает, как ведет себя отношение r3 / r4 с изменением Λ . Видно, что в околокритической области Λ < 0 наименее
слабо затухает и претерпевает неустойчивость ветвь 3, а движение 4 на фоне ветви 3 быстро затухает. В закритической области
( 2 ≤ W ≤ WC ) рассматриваемого диапазона физических параметров
движение 3 медленно нарастает на фоне быстро затухающего
движения 4, а при WC ≤ W остается вообще одно реализуемое
движение 3. Поэтому в расчетах, по крайней мере, на начальной
стадии развития неустойчивости, при околокритических значениях поверхностной плотности электрического заряда, движению
вязкой жидкости нужно сопоставлять толщину пограничного
слоя соответствующего ветви 3, т. е. проводить расчеты по формулам (1.20), (1.24).
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
|r3|
|r4|
0.8
0.6
0.4
a
b
0.2
Λ
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
Рис. 5. Зависимость отношения: а – декремента затухания движения,
связанного с устойчивой частью ветви 3 на рис. 4 при ( Λ < 0 )
к декременту затухания движения, связанного с ветвью 4 на рис. 4;
b – инкремента нарастания неустойчивости движения, связанного
с неустойчивой частью ветви 3 на рис. 4 при ( Λ > 0 )
к декременту затухания движения, связанного с ветвью 4 на рис. 4
Описанная схема расчета характерной толщины пограничного слоя вблизи свободной поверхности электрически заряженной
поверхности вязкой несжимаемой идеально проводящей жидкости, связанного с периодической волной, позволяет выделить физические условия, при которых аналитические формулы для
толщины пограничного слоя принципиально отличаются от принятых для описания волнового движения под незаряженной поверхностью жидкости. Предлагаемая модель демонстрирует качественно новый взгляд на теорию пограничного слоя под свободной поверхностью жидкости, несущей однородно распределенный электрический заряд, докритический в смысле реализации неустойчивости Тонкса – Френкеля. Ясно, что при значениях
поверхностной плотности заряда, близких к околокритической,
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
следует вводить две характерных толщины пограничного слоя в
соответствии с двумя видами реализующихся движений жидкости. Один пограничный слой соответствует движению, претерпевающему неустойчивость, а его толщина не превышает десятых долей длины волны. Но в тех же условиях уравнения движения вязкой жидкости допускают еще одно быстро затухающее
движение жидкости со значительно большей характерной толщиной пограничного слоя. Вихревая часть этого движения заполняет слой с толщиной порядка длины волны, но затухает значительно быстрее, чем первое движение, и поэтому второй тип
движения должен вносить более слабый вклад в практические
расчеты движения жидкости, по крайней мере, на начальной стадии развития неустойчивости.
Уравнение (1.4), рассматриваемое как уравнение относительно вспомогательного параметра q , имеет самостоятельный физический смысл. Действительная часть корня q уравнения (1.4),
удовлетворяющего условию (1.5), есть величина, обратная характерной толщине пограничного слоя при любом значении поверхностной плотности электрического заряда.
1.2. Формулировка теории пограничного слоя
Выполненные в последние годы корректные аналитические
асимптотические расчеты нелинейного периодического волнового движения на поверхности вязкой жидкости связаны с крайне
громоздкими даже при использовании компьютерных пакетов
аналитических вычислений расчетами [16–19]. Чрезвычайная
сложность подобных расчетов резко тормозит темпы и качество
исследований многочисленных нелинейных эффектов, реализующихся на свободной поверхности вязкой жидкости. Это заставляет искать пути упрощения математической процедуры
отыскания параметров периодических нелинейных волн и, в частности, реанимировать проблему построения корректной теории
пограничного слоя у свободной поверхности жидкости.
Правильная оценка толщины пограничного слоя в каждой
отдельно взятой задаче существенно упрощает расчет течения
жидкости при заданных граничных условиях и облегчает качест34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
венный анализ его свойств. В то же время само понятие толщины
пограничного слоя не обладает той строгостью, которая присуща
другим механическим величинам. В истинном течении компоненты ротора скорости плавно уменьшаются по абсолютной величине при выходе из пограничного слоя в область почти потенциального течения. Выделение четкой границы, разделяющей
движение на область с вихревым движением и без него, означает
условное установление порога, начиная с которого ротор скорости в задаче считается нулевым (что в конечном итоге приводит к
ограничению точности проводимых расчетов). Сам порог может
быть выбран по-разному в зависимости от целей исследования.
Именно поэтому оценочные выражения для толщины пограничного слоя, используемые на практике, как правило, содержат безразмерный множитель, выбор которого диктуется сравнением с
экспериментом, свойствами известного приближенного решения
или какими-либо вспомогательными соглашениями.
Объектом настоящего исследования является течение в пограничном слое, возникающем под свободной поверхностью бесконечно глубокой маловязкой жидкости, по которой распространяется капиллярно-гравитационная волна. Как отмечалось выше,
для оценки толщины δ такого пограничного слоя используется
выражение, предложенное [9]:
δ =C ν ω.
(1.25)
Здесь ω – циклическая частота периодической капиллярногравитационной волны; ν – коэффициент кинематической вязкости жидкости. Но остается неясным, каким нужно взять значение
толщины слоя, чтобы охарактеризовать положение уровня, ниже
которого вихрь скорости можно положить равным нулю с заранее
заданной точностью для отыскания характеристик течения. Известно, что при распространении по свободной поверхности слоя
жидкости конечной толщины периодической капиллярногравитационной волны глубина в половину длины волны является тем уровнем, начиная с которого дно и свободная поверхность
перестают «чувствовать» друг друга [20–21]. Представляет интерес формулировка аналогичного критерия относительно вихревой составляющей течения, порожденного поверхностными вол35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нами, т. е. возможность получения ответа на вопрос: начиная с
какой глубины в количественных расчетах течения вязкой жидкости и в качественных рассуждениях, можно полагать вихревое
движение, порожденное свободной поверхностью, полностью
подавленным, не влияющим на потенциальное течение в объеме.
В нижеследующем изложении, которое приводится согласно
[22], движение жидкости, возникающее при распространении периодической капиллярно-гравитационной волны по поверхности
маловязкой бесконечно глубокой жидкости, аппроксимируется с
помощью модельного течения, состоящего из вихревой части
внутри приповерхностного пограничного слоя, и потенциальной
части во всем объеме жидкости.
Математическая формулировка
и известное решение задачи
Примем, что несжимаемая жидкость с кинематической вязкостью ν , плотностью ρ и коэффициентом поверхностного натяжения γ в декартовой системе координат Oxyz , с осью Oz , на 
правленной вертикально вверх, в поле сил тяжести g || − ez , заполняет полупространство z < 0 и граничит с вакуумом. Рассмотрим линеаризованную по амплитуде возмущения задачу определения спектра капиллярно-гравитационных волн на свободной
поверхности жидкости.
Пусть u = u ( x, z, t ) и v = v(x, z , t ) – горизонтальная и вертикальная компоненты поля скоростей течения жидкости, связанного с
периодическим волновым движением ее свободной поверхности,
которые для простоты считаются независящими от координаты
y . Тогда отклонение свободной поверхности жидкости ξ = ξ ( x, t )
от равновесной
плоской в поле сил тяжести формы z = 0 и поле



скоростей U = u⋅ e x + v⋅ ez в приближении волн малой амплитуды
удовлетворяют соотношениям:
z <0:
 1
 
∂ tU + ∇p − ν ΔU = 0 ;
ρ

∇ ⋅U = 0 ;
(1.26)
z = 0 : ∂ t ξ − v = 0 ; − ρ gξ + p − 2 ρν ∂ z v + γ ∂ xxξ = 0 ; ∂ z u + ∂ x v = 0 ; (1.27)
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
u → 0;
z → −∞ :
(1.28)
v → 0;
где t – время; p – добавка к равновесному значению давления
внутри жидкости; ∂ t и ∂ x частные производные по времени и ко

ординате; e x и ez – орты осей Ox и Oz .
Решение сформулированной задачи хорошо известно и может быть записано в виде [15]:
1
2
ξ = α ⋅ exp (θ ) + к.с. ;
(1.29)

( p) 
(e) 
 u( r , t )   u ( r , t )   u ( r , t ) 
 v( r , t )  =  ( p )   +  ( e )   ;

  v (r , t)   v (r , t) 
(1.30)
 u ( p ) (r, t )  1  − i ( S + 2ν k 2
 ( p)   = α 
 v (r , t )  2  S + 2ν k 2



)  exp ( k ⋅ z ) exp (θ ) + к.с.;


 u ( e ) (r, t )  1  2iν kq 
exp ( q ⋅ z ) ⋅ exp (θ ) + к.с.;
 (e)   = α 
 v (r , t )  2  −2ν k 2 



1
S

p (r , t ) = − α ρ S  + 2ν k  exp ( kz ) ⋅ exp (θ ) + к.с. ;
2
k

S
θ ≡ St − i kx .
q = k2 + ;
ν
Поле скоростей течения жидкости представлено в виде суперпозиции потенциальной u ( p ) , v ( p ) и вихревой u ( e ) , v ( e ) компонент; α – комплексная амплитуда поверхностной волны, определяемая из начальных условий; аббревиатура «к. с.» обозначает
комплексно сопряженные слагаемые к выписанным; i – мнимая
единица; k – волновое число; Re ( q ) > 0 – характерный масштаб
скорости экспоненциального убывания амплитуды вихревого
движения с глубиной; S – комплексная частота, являющаяся решением дисперсионного уравнения:
2
S
 2 S
2
2 2
 2k +  + ω0 − 4ν  k + 
ν
ν


32
= 0;
37

ω02 ≡ gk 1 +

γ 2
k .
ρ g 
(1.31)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Здесь ω02 имеет смысл квадрата комплексной частоты S 2 при
ν → 0 , иными словами, ω0 есть частота капиллярно-гравитационных волн на поверхности идеальной несжимаемой жидкости.
В пределе малой (но ненулевой) вязкости комплексная частота S и вспомогательный параметр q выражаются в явном виде:
S ≈ i ω0 − 2ν k 2 ; q ≈ (1 + i ) ω0 / ( 2ν ) . Если в соотношениях (1.29)–(1.30)
параметры S и q выразить по этим формулам, то получится
асимптотическое по малой вязкости решение задачи (1.26)–(1.28),
в котором поле скоростей описывается соотношениями:

( p) 
(e) 
 u(r , t )   u (r , t )   u (r , t ) 
 v(r, t )  =  ( p )   +  ( e)   ;

  v (r , t )   v (r , t ) 
(1.32)
 u( p)  1
1
 ( p )  = αω0   exp ( kz ) ⋅ exp (θ ) + к.с.;
v  2
i 


(1.33)
 u ( e )  1  k 2νω (1 + i ) i 
0
 (e)  = α 
 exp ( qδ ) ⋅ exp (θ ) + к.с.;
2
v  2 
2
ν
k
−



S = i ω0 − 2ν k 2 ;
q=
(1 + i ) ;
δL
δL ≡
2ν
ω0
.
(1.34)
(1.35)
Здесь δ L – характерная толщина пограничного слоя по Лонгет –
Хиггинсу [9], определяющая глубину, на которой амплитуда ротора скорости ∂ x v− ∂ z u поля скоростей (1.32) уменьшается в
e ≈ 2.73 раз.
Если учесть, что в реальных условиях маловязкой жидкости
толщина пограничного слоя обычно много меньше длины волны:
δ L  λ = 2π / k , то из формулы (1.32) следует, что структура аналитического выражения для поля скоростей является типичной для
теории пограничного слоя: потенциальная (основная) часть течения плюс вихревая (погранслойная) часть. Для нижеследующего
существенно, что потенциальное течение с компонентами скорости u ( p ) , v ( p ) играет важную роль во всем объеме, тогда как вихревая часть течения с компонентами u ( e) , v ( e) при малой вязкости
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
существенна только в тонком слое вблизи свободной поверхности. Действительно, амплитуда потенциальных компонент поля
скоростей u ( p ) , v ( p ) уменьшается с глубиной пропорционально
exp ( kz ) ≡ exp ( z / 2πλ ) , а амплитуда вихревых компонент скорости
e
e
u ( ) , v ( ) уменьшается при малой величине коэффициента кинематической вязкости (когда Re (q)  k ) значительно быстрее: по закону exp ( Re ( q ) ⋅ z ) ≡ exp ( z / δ L ) ≡ exp ( z ⋅ ω0 / 2ν ) .
Вихревые компоненты поля скоростей u ( e) , v ( e) стремятся к
нулю в пределе ν → 0 на любой глубине. Из непрерывности
e
e
u ( ) , v ( ) следует, что при малой, но отличной от нуля вязкости,
вихревая составляющая течения является малой добавкой к основному потенциальному движению во всей области течения, в
том числе и в приповерхностном пограничном слое. Таким образом, даже в области пограничного слоя основную составляющую
течения маловязкой жидкости следует считать потенциальной.
Модельная задача
Сформулируем модельную задачу, которой будем аппроксимировать точное решение (1.32)–(1.35), и которая получается из
задачи (1.26)–(1.28) на основании представлений о погранслойном строении ее решения. Для достижения этой цели будем исходить из предположения, что вихревая часть модельного течения сосредоточена только в пограничном приповерхностном слое
и ротор скорости модельного течения обращается в ноль на нижней границе этого слоя.

В исходных уравнениях (1.26)–(1.28) скорость U состоит из
погранслойной (вихревой) и основной (потенциальной) составляющих движения. Чтобы воспользоваться фактом погранслойности строения решения, эти две составляющие необходимо разделить и уравнения для потенциальной составляющей решать во
всей области z ≤ 0 , а уравнения для погранслойной вихревой добавки – только в узком слое −δ ≤ z ≤ 0 . Толщину пограничного
слоя δ пока будем считать определенной с точностью до постоянного множителя G и в соответствии с (1.25), (1.35), удовлетворяющей соотношению:
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1.36)
δ ≡ G ⋅ 2ν ω0 ≡ G ⋅δ L
и малой по сравнению с длиной волны
 δ / λ  1 .
Будем искать поле скоростей U ( r , t ) , разрешающее задачу
(1.26)–(1.28) на основании теоремы
Гельмгольца [23], в виде су ( p) 
перпозиции потенциального U ( r , t ) и вихревого соленоидально 
го U ( e ) ( r , t ) течений:
 
 p 
e 
U (r , t ) = U ( ) (r , t ) + U ( ) (r , t ) ;
z ≤ 0:
 p 

U ( ) ( r , t ) ≡ ∇ϕ ( r , t ) ;
z ≤ 0:
−δ ≤ z ≤ 0 :
(1.37)
e
∇U ( ) = 0;
 
e 


∇ × U ( ) ( r , t ) ≡ Ω( r , t ) ≡ Ω( r , t ) ⋅ e y ;

e 
e 
Ω( r , t ) ≡ ∂ x v ( ) ( r , t ) − ∂ z u ( ) ( r , t ).

Здесь ϕ ( r , t ) – скалярный гидродинамический потенциал основно 
го течения; Ω( r , t ) – ротор поля скоростей течения жидкости. Из
e
соленоидальности
U ( ) и уравнения неразрывности следует, что


поле U ( p ) тоже соленоидально: ∇U ( p ) ≡ Δϕ = 0 . Из соленоидально
сти U ( e) , т. е. условия ∂ x u ( e ) + ∂ z v ( e ) = 0 , следует существование по
ψ (r , t)
тенциальной
функции
с
дифференциалом
e
e
e
e
dψ = v ( ) dx − u ( ) dz . Откуда u ( ) = −∂ zψ ; v ( ) = ∂ xψ . При этом
e
e
Δψ = ∂ x v ( ) − ∂ z u ( ) ≡ Ω . К обеим частям линеаризованного уравнения Навье – Стокса (1.26) применим операцию rot и получим
уравнение для отыскания вихревой компоненты течения:


∂ t Ω( r , t ) − ν ΔΩ( r , t ) = 0 .
Окончательно получим отдельные уравнения для функции

ϕ ( r , t ) , отвечающей за основное потенциальное течение, и для


функций ψ ( r , t ), Ω( r , t ) , через которые определяется погранслойное вихревое движение:
z ≤ 0:
−δ ≤ z ≤ 0 :
Δϕ = ∂ xxϕ + ∂ zzϕ = 0 ;
∂ t Ω − ν ΔΩ = 0;
40
Ω = Δψ .
(1.38)
(1.39)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В уравнениях (1.39) функция Ω является вспомогательной. Из
этих соотношений важно определить функцию ψ , поскольку все
граничные условия на границе слоя −δ ≤ z ≤ 0 возможно записать в
форме, которая содержит только ψ и не содержит Ω . В линейной
по амплитуде волны теории для системы (1.39) существует процедура исключения вспомогательной функции Ω , описанная, например в [15], где (1.39) сводится к одному уравнению относительно
ψ , отвечающей за вихревое движение: ∂ tψ − ν Δψ = 0 . Однако процедура такого упрощения основана на линейности уравнений
(1.39). В нелинейном по амплитуде волны приближении скалярный
ротор  скорости
Ω удовлетворяет нелинейному уравнению

∂ t Ω + (U ∇U ) − ν ΔΩ = 0 [7]. В паре с уравнением Δψ = Ω оно обобщает систему (1.39) на общий случай волнового движения с произвольной амплитудой. Но для такой ситуации неизвестна процедура
исключения из имеющейся пары уравнений функции Ω . Для единообразия с последующими исследованиями, в которых аналогичная задача будет рассматриваться в нелинейной постановке, соотношения на функцию ψ используются в форме (1.39).
Теперь учтем, что если вихревое (погранслойное) течение сосредоточено только в узком приповерхностном слое, то компоненты скорости этого течения поперек пограничного слоя изменяются на характерном линейном масштабе δ , а вдоль слоя – на
характерном линейном масштабе, равном длине волны λ . Поэтому отношение производных от этих величин вдоль Oz к производным вдоль Ox имеет порядок  λ / δ . Здесь и далее знак «~»
имеет смысл символа отношения «сравнение по порядку величины». Мы приняли, что δ / λ  1 и δ → 0 при ν → 0 (см. (1.1)). Отсюда получаются оценки:
∂ x v( )
∂ ψ
δ 
= xx  O   → 0 ;
(e)
∂ xzψ
∂z v
λ
e
ν → 0:
∂ x u( )
∂ ψ
δ 
= xz  O   → 0.
(e)
∂ zzψ
∂z u
λ
e
Несложно сделать вывод, что интересующий нас класс решений должен удовлетворять условию:
ν → 0:
δ2 
∂ xxψ
∂ xxψ ∂ xzψ
 O  2  → 0.
=
∂ zzψ
∂ xzψ ∂ zzψ
λ 
41
(1.40)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Граничные условия (1.27)–(1.28) превращаются в граничные
условия на функции ϕ , ψ , Ω , если учесть, что входящие в них
компоненты скорости выражаются через введенные скалярные
функции по формулам:
u ( ) = ∂ xϕ ;
p
v ( ) = ∂ zϕ ;
u ( ) = −∂ zψ ;
p
v ( ) = ∂ xψ .
e
e
(1.41)
Во второе из соотношений (1.27) входит давление р на уровне
z = 0 . Чтобы обойтись без поиска давления во всем объеме, дополним граничные условия проекцией уравнения Навье – Стокса
(1.26) на ось Ox . Оно вместе с динамическим граничным условием (1.27) будет содержать функцию p = p ( t , x ) ≡ p ( t , x, z = 0 ) , которая в процессе решения исключится. В полученном соотношении
нужно учесть, что для горизонтальной компоненты потенциальной
части
течения
выполняется
условие:
( p)
( p)
( p)
∂ xx u + ∂ zz u = Δ u = Δ ( ∂ xϕ ) = ∂ x ( Δϕ ) = 0 . Наконец, примем во
внимание обращение в ноль ротора скорости Ω на нижней границе слоя. В результате (1.38)–(1.39) будут дополнены граничными
условиями:
(
∂ tξ − v ( ) + v (
z = 0:
p
(
e)
− ρ gξ + p − 2 ρν ∂ z v( ) + v(
(
p
)
) = 0;
e)
(1.42)
)+γ ∂
ξ = 0;
(1.43)
xx
(
)
ρ ∂ t u ( p ) + u ( e ) + ∂ x p − ρν ∂ xx u ( e ) + ∂ zz u ( e ) ;
(
∂ z u( ) + u(
p
z = −δ :
z →∞:
u( ) → 0 ;
p
e)
(1.44)
) + ∂ ( v( ) + v( ) ) = 0 ;
(1.45)
Ω = 0;
(1.46)
p
x
v( ) → 0 .
p
e
(1.47)
Соотношения (1.38)–(1.47) представляют собой формулировку модельной задачи, в которую преобразуется исходная задача
(1.26)–(1.28) на основании представлений о погранслойной
структуре ее решения. Несложно видеть, что в пределе δ → ∞
формулировка модельной задачи (1.38)–(1.47) полностью эквивалентна формулировке исходной задачи (1.26)–(1.28), переписан42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ной через вспомогательные скалярные функции ϕ , ψ , Ω . Значит,
решения модельной и исходной задач в пределе δ → ∞ совпадают. Но это утверждение не конструктивно. Целесообразно рассмотреть вопрос, при каком конкретном численном значении
толщины пограничного слоя δ можно говорить о близости решений точного и модельного.
Решение модельной задачи
Для неизвестных величин ξ = ξ ( x, t ) , p = p ( x, t ) , ϕ = ϕ ( x, z, t ) ,
ψ = ψ ( x, z, t ) будем искать решение в виде бегущей волны
~ exp (θ ) :
ξ   α 
 p  β 

  
 ϕ  =  f ( z )  ⋅ exp (θ ) .
  h z 
ψ   ( ) 
  

Ω  r (z) 
(1.48)
Подставляя выражение для ϕ в уравнение Лапласа (1.38) и учитывая (1.47), найдем, что f ( z ) = a ⋅ exp ( k z ) , где a – неопределенная
константа. Подставляя выражение для Ω в (1.39) с учетом граничного условия (1.46), найдем r ( z ) = b ⋅ sinh ( q ( z + δ ) ) , где b – неопределенная константа. Теперь из второго уравнения (1.39), выбирая решение, удовлетворяющее условию (1.40), можно получить: h ( z ) = ( b / q 2 ) ⋅ sinh ( q ( z + δ ) ) . Подставляя эти выражения в
(1.48), приходим к выражениям для неизвестных функций:
α


ξ  

β
 p 

  
a ⋅ exp ( k z ) 
ϕ  = 
 ⋅ exp (θ ) .
b
   sinh ( q ( z + δ ) ) 
ψ   q 2

Ω


 
 b ⋅ sinh ( q ( z + δ ) ) 
43
(1.49)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставляя (1.49) в (1.41), а полученные выражения в граничные
условия (1.42)–(1.45), получаем систему четырех линейных однородных алгебраических уравнений для определения неизвестных
констант α , β , a , b , которая в матричной форме записи имеет
вид:

 S

 ρ 2
 − k ω0


 0


 0


0
−k
1
−2 ρν k 2
−i k
− i ρ kS
0
−2i k 2



α   0 
   
 β   0
2
2
  a  =  0 .
S +ν ( k − q )
cosh ( kδ )     
−ρ
q
 b   0

k 2 + q2 )
(

sinh ( qδ )
−
2

q

ik
sinh ( qδ )
q2
2i ρν k
cosh ( qδ )
q
(1.50)
Условие нетривиальной разрешимости этой системы – обращение в ноль определителя коэффициентов при неизвестных α , β ,
a , b – приводит к дисперсионному уравнению:
(
)
4 ρν k 3 ( S + ν k 2 ) − q ρ ω02 + ( S − 2ν k 2 ) tanh ( qδ ) = 0.
2
(1.51)
Полагая, согласно (1.36)
ν = Λδ ;
2
Λ=
δ 2ω0
2G
,
и определяя решение (1.51) с точностью до слагаемых ~ δ 2 находим, что S ≈ i ω0 − 2Λδ 2 k 2 = i ω0 − 2ν k 2 . Иными словами, независимо
от выбора значения G в формуле (1.36) исследуемое волновое
движение в модельном течении подчиняется при малой вязкости
дисперсионному соотношению, которое получается в точном решении. При таком значении S выражение для параметра q в пределе
малой
вязкости
примет
вид:
q ≡ k 2 + S /ν ≈ (1 + i ) ω0 / ( 2ν ) ≡ (1 + i ) / δ L , что совпадает со вторым
соотношением (1.35).
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выполнение соотношения (1.51) гарантирует линейную зависимость системы уравнений (1.50). Поэтому константы β , a , b
можно выразить через амплитуду волны α , оставив три уравнения с ненулевым определителем из коэффициентов при β , a , b .
Взяв первое, третье и четвертое уравнения, получим:

coth ( qδ ) 
 ρ S S ( k 2 + q 2 ) − 2kq S + ν ( k 2 − q 2 )

k ( k 2 − q2 ) 

β 


k 2 + q2
 a  =α
.
−S
2
2
 


k (k − q )
b


 


S
2 i kq 2
⋅




sinh ( qδ ) ( k 2 − q 2 )


(
(
))
Легко проверить, что компоненты потенциальной части поля
скоростей модельной задачи определяются по тем же формулам
(1.33), что и компоненты потенциальной части поля скоростей
точного решения задачи (1.26)–(1.28).
Для погранслойной части решения модельной задачи получаются формулы, отличные от выражений (1.34) для вихревой
составляющей точного поля скоростей в приближении малой
вязкости:

cosh ( q ( z + δ ) ) 
k
i
1
i
2
νω
⋅
+
( )


0
 u (e)  1 
sinh (δ ⋅ q ) 
 (e)  = α 
 exp ( St − i kx ) + k .c. . (1.52)
v  2
+
sinh
q
z
δ
( ( ))
2




−
ν
k
2


sinh (δ ⋅ q )


Здесь S и q вычисляются по формулам (1.35).
Упрощение модельной задачи
Математическая формулировка модельной задачи без ущерба
для вида решения в пределе малой вязкости может быть упрощена с помощью построений, аналогичных тем, что используются в
традиционной теории пограничного слоя [1–2], с некоторым различием в представлении о строении течения в пограничном слое,
связанном с наличием свободной поверхности. Нижеследующее
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
упрощение основано на оценочных рассуждениях, которые легко
провести даже без знания точного решения. Но для проверки полученных выводов там, где это важно, проводится сравнение
свойств моделируемого решения со свойствами точного (1.32)–
(1.35).
Примем следующее соглашение о строении течения в пограничном слое вблизи свободной поверхности. Течение состоит из
главной (потенциальной) и добавочной погранслойной (вихревой) частей. Вихревая часть течения является малой, исчезающей
в пределе ν → 0 , добавкой к основной части течения. Для основной части движения характерный линейный масштаб, на котором
изменяются компоненты скорости, одинаков во всех направлениях. Для вихревой части течения характерный линейный масштаб,
на котором изменяются компоненты скорости в направлении,
перпендикулярном пограничному слою, равен толщине слоя, а
вдоль слоя определяется характерным горизонтальным размером
поверхностного возмущения.
На основании изложенного введем правила оценки производных от искомых величин по пространственным координатам.
Для ϕ , u ( p ) , v ( p ) будем пользоваться следующим формальным
правилом построения оценки сравнения: ∂ x переходит в 1/ λ и ∂ z
переходит в 1/ λ . Например: ∂ x u ( p )  u ( p ) / λ . Для погранслойных
величин ψ , Ω, u ( e) , v ( e) правило оценки производных другое: ∂ x
переходит в 1/ λ , а ∂ z переходит в 1/ δ . Например: ∂ x u ( e )  u ( e ) / λ , но
e
e
∂ z u( )  u( ) / δ .
Воспользуемся малостью толщины пограничного слоя δ по
сравнению с длиной волны λ и упростим формулировку модельной задачи (1.42)–(1.47), пренебрегая в суммах вида Ξ = A + B слагаемым B , если B / A  O (δ 2 / λ 2 ) :

 δ 2 
 B
A + B = A 1 +  = A 1 + O  2   ≈ A .
A

 λ 

В используемом приближении в (1.39) можно опустить слагаемые ∂ xx Ω и ∂ xxψ . Тогда основные уравнения (1.39) модельной
задачи упростятся до соотношений:
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Δϕ = 0 ;
z < 0:
−δ < z < 0 :
(1.53)
∂ t Ω − ν ∂ zz Ω = 0;
∂ zzψ = Ω.
(1.54)
Упростим и граничные условия. Заметим, что условие (1.45),
с учетом определения функции Ω = ∂ x v− ∂ z u , можно переписать в
виде:
(
Ω = 2 ∂ x v = 2 ∂ x v( ) + v(
z = 0:
p
e)
).
(1.55)
Пусть W – характерное значение скорости потенциального
течения на уровне z = 0 . При потенциальном волновом течении
частицы жидкости двигаются по траекториям, близким к окружностям [8]. Поэтому горизонтальную и вертикальную компоненту
скорости потенциального течения будем считать величинами одного порядка:
u( ) v( )

 O (1) .
W
W
p
v(
p)
p
(1.56)
Из (1.55), (1.56), оценки ∂ x v  v/ λ и малости v ( e) в сравнении с
следует оценка:
Ω  W /λ .
(1.57)
Из условия соленоидальности вихревой части поля скоростей
e
e
e
∂ x u + ∂ z v ( ) = 0 следует, что ∂ x u ( )  ∂ z v ( ) . Отсюда можно получить оценки:
(e)
e
δ2 
∂ x v( )

O
 2 .
e
∂ z u( )
λ 
v( )
δ 
O

 ;
e
u( )
λ
e
(1.58)
Значит, в левой части соотношения Ω = ∂ x v ( e) − ∂ z u ( e ) главным является второе слагаемое, и поэтому Ω  u/ δ . Сравнивая эту оценку с (1.57) и (1.58), получаем:
e
δ2 
v( )
 O 2 .
W
λ 
u( )
δ 
 O ;
W
λ
e
47
(1.59)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из оценок (1.58) и определения Ω следует, что (1.45) можно
записать в другом виде:
(
∂ z u( ) + 2 ∂ x v( ) + v(
p
z = 0:
p
e)
) = 0.
(1.60)
Если в (1.34) учесть, что кинематическая вязкость ν пропорциональна δ 2 , то несложно убедиться, что оценочные соотношения (1.58)–(1.60) действительно выполняются для точно вычисленных компонент u ( e) и v ( e) .
За характерное время, в течение которого изменяются функции, входящие в задачу, естественно принять T = ω0 −1 , где ω0 – характерная циклическая частота волнового движения в пределе
идеальной жидкости.
Несложно показать, что в условии (1.43) в приближении малой вязкости можно пренебречь слагаемым 2 ρν ∂ z v(b ) . Действительно, из кинематического условия (1.42), оценки (1.56) и малости v ( e) в сравнении с v ( p ) имеем: ξ  W / ω0 . Кроме того, воспользуемся тем, что ν  ω0δ 2 . Тогда легко оценить отношение слагаемого 2 ρν ∂ z v ( e ) ко второму слагаемому левой части (1.43):
ω0δ 2 W
2 ρν ∂ z v ( )

g (W / ω0 ) δ
ρ gξ
e
 δ 2  δω02  δ 2 
 2=
 2 .
g
λ
 
λ 
Произведение величины порядка δ 2 / λ 2 на малую δω02 / g при
δ → 0 дает величину более высокого порядка малости, чем величина ~ δ 2 / λ 2 .
Аналогичным образом можно убедиться в возможности пренебречь в (1.44) слагаемым ρν ∂ xx u ( e ) , сравнивая его с первым слагаемым этого условия:
ρν ∂ xx u ( e ) ω0δ 2 W  δ   δ 

=
.
ω0 W λ 2  λ   λ 
ρ ∂t u( p)
3
Проводя аналогичный анализ для всех остальных слагаемых,
входящих в граничные условия, можно убедиться, что они, в
рамках выбранного приближения, должны быть сохранены.
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Собирая все соотношения упрощенной модельной задачи, получим математическую формулировку модельной задачи, которая
получилась в результате применения теории пограничного слоя:
Δϕ = 0 ;
z < 0:
∂ zzψ = Ω ;
−δ < z < 0 :
z = −δ :
∂ t Ω − ν ∂ zz Ω = 0 .
u ( ) = ∂ xϕ ;
e
(
∂ tξ − v ( ) + v (
(
p
e)
) = 0;
e
( ))+γ ∂
− ρ gξ − p − 2 ρν ∂ z v (
)
ρ ∂ t u ( p ) + u ( e ) + ∂ x p − ρν ∂ zz u ( e ) ;
u( ) → 0 ;
(
p
∂ z u( ) + 2 ∂ x v( ) + v(
p
p
e)
xx
ξ = 0;
) = 0;
v( ) → 0 .
p
z → −∞ :
p
v ( ) = ∂ xψ ;
u ( ) = −∂ zψ ;
z = 0:
v ( ) = ∂ zϕ ;
p
Ω = 0;
p
(1.61)
Видно, что в формулировке упрощенной модельной задачи
отсутствует условие (1.16), но это не означает, что оно не учитывается: это условие было использовано на этапе упрощения уравнений и для искомых решений удовлетворяется.
Решение упрощенной задачи
Принцип решения упрощенной модельной задачи (1.61) такой же, как у модельной задачи (1.14)–(1.23). Но объем вычислений заметно меньше. Отличие состоит в том, что другим получается явный вид параметра q, а вместо (1.50), получается система
уравнений:

 S

 ρ 2
 − k ω0


 0


 0


0
−k
1
−2 ρν k 2
−i k
− i ρ kS
0
−2i k 2



α   0 
0
   
  β  =  0 .
2
( S −ν q ) cosh ( kδ )   d   0 
−ρ
   
q
 b   0 

2k 2 + q 2 )
(
sinh ( qδ ) 
−
q2

ik
sinh ( qδ )
q2
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дисперсионное уравнение после сокращения на
принимает вид:
( S + 2ν k )
2 2
i ⋅ k ⋅ ρ ⋅ sinh ( qδ )
+ ω02 = 0 ,
и в приближении малой вязкости из него получаются известные
соотношения (1.11). Вычисление компонент поля скоростей в
приближении малой вязкости приводит к прежним соотношениям: (1.9) – для потенциальной части течения и (1.52) – для вихревой (погранслойной) части.
Получилось, что в приближении малой вязкости при моделировании решения задачи (1.2)–(1.4) с помощью задачи, в которой
вихревое движение сосредоточено в пограничном слое толщиной
δ , без ущерба для вида финальных выражений можно использовать не полные уравнения и граничные условия модельной задачи (1.14)–(1.23), а упрощенные уравнения (1.61). Упрощенные
уравнения получаются из (1.14)–(1.23) с помощью теории пограничного слоя, модифицированной для расчета течения вблизи
подвижной свободной поверхности жидкости. В отличие от теории пограничного слоя вблизи твердой стенки, в теории пограничного слоя вблизи свободной поверхности нужно учитывать
значительность потенциальной составляющей течения в пограничном слое. Причем на компоненты этой составляющей не распространяются упрощения теории пограничного слоя, основанные на утверждении о малости производных от компонент скорости вдоль слоя по сравнению с производными от тех же компонент поперек слоя.
Подбор толщины пограничного слоя
Независимо от выбора уравнений модельной задачи (1.14)–
(1.23) или (1.61) в пределе малой вязкости получились соотношения, которые отличаются от решений (1.8)–(1.11) исходной задачи (1.2)–(1.4) только в выражениях для компонент скорости погранслойной добавки u ( e) , v ( e) : вместо (1.10) получились соотношения (1.52). Исследуем, насколько хорошо соотношения (1.52)
аппроксимируют выражения (1.10) в зависимости от значения
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
параметра δ , а конкретнее от значения безразмерного параметра
G в формуле (1.12).
Растянем вертикальную координату в δ раз перпендикулярно
пограничному слою:
Π=z δ.
(1.62)
Согласно
(1.11)–(1.12) в приближении малой вязкости
q = (1 + i ) / δ L = G (1 + i ) / δ . Поэтому, учитывая (1.62), можно записать:
qz = G (1 + i ) Π ;
qδ = G (1 + i ) ;
q ( z + δ ) = G (1 + i )(1 + Π ) ;
ν q = ν (1 + i ) G / δ = νω0 (1 + i ) / 2 . Таким образом, через растянутую
вертикальную координату (1.62), которая равна нулю на уровне
z = 0 и минус единице на границе пограничного слоя, соотношения (1.10) и (1.52) можно переписать в виде:
 u ( e )  1  k 2νω0 (1 + i ) iexp ( G (1 + i ) Π ) 
 exp (θ ) + к.с.; (1.63)
 (e)  = α 
2
v  2 
ν
k
G
−
+
Π
2
exp
1
i
( ( ) ) 



 u *( e )  1  k 2νω0 ( i + 1) i F ( G, Π ) 
 (e)  = α 
 exp (θ ) + к.с. ;
2
v  2 
2
,
−
Φ
Π
ν
k
G
(
)


 * 
F ( G, Π ) =
cosh ( G (1 + i )(1 + Π ) )
Φ ( G, Π ) =
(1.64)
;
(1.65)
sinh ( G (1 + i )(1 + Π ) )
(1.66)
sinh ( G (1 + i ) )
sinh ( G (1 + i ) )
.
Звездочкой обозначены компоненты погранслойной добавки
к основному полю скоростей, рассчитываемые из решения модельной задачи, а для компонент точного решения (1.2)–(1.4) сохранено прежнее обозначение.
Из (1.63) следует, что точность аппроксимирования функций
e
e
(e) (e)
u , v функциями u*( ) , v *( ) при фиксированном значении параметра G = G0 полностью определяется тем, насколько точно зависимость ηG ( Π ) = exp ( G0 (1 + i ) Π ) аппроксимируется функциями
FG ( Π ) = F ( G0 , Π ) и Φ G = Φ ( G0 , Π ) на промежутке −1 ≤ Π ≤ 0 . Выяс0
0
0
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ним, насколько близки эти функции при толщине пограничного
слоя, определяемой по Лонгет – Хиггинсу [9], т. е. когда δ = δ L ,
что согласно (1.12) означает выбор G = 1 .
На рис. 6а-b показано, как ведут себя действительные и мнимые части сравниваемых функций на промежутке −1 ≤ Π ≤ 0 . Из
этих рисунков видно, что при G = 1 зависимости действительной и
мнимой частей функции (1.65) и (1.66) от параметра Π заметно
отличаются от действительной и мнимой части функции
exp ( (1 + i ) Π ) на всем промежутке −1 ≤ Π ≤ 0 . В частности, модельное решение прогнозирует уменьшение вертикальной компоненты
скорости на нижней границе слоя до нуля, а не в e ≈ 2.7 раза, как в
точном решении. Кроме того, на верхней границе слоя аппроксимирующая функция u*( e) имеет заметную ненулевую отрицательную мнимую часть (см. поведение Im ( F (1, Π ) ) на рис. 6b), что означает наличие в законе эволюции вихревого движения фазового
сдвига по отношению к волновому возмущению ξ . Другими словами, при моделировании возникает фиктивный эффект наличия
конечного времени релаксации – характерного времени, в течение
которого вихревое движение на верхней границе слоя реагирует
на изменения, происходящие на свободной поверхности. В точном
решении такого эффекта нет: Im ( exp ( ( i+ 1) Π ) ) = 0 при Π = 0 .
Таким образом, при выборе толщины пограничного слоя по
Лонгет – Хиггинсу, представление о существовании вихревого
движения только в приповерхностном слое толщиной δ L приводит к существенным ошибкам: при моделировании течения получаются неверные значения для компонент скоростей вихревой
составляющей течения и появляется фиктивный релаксационный
эффект. Эти ошибки моделирования принципиальны в ситуации,
когда рассматриваемый метод моделирования применяется для
расчета влияния на движение свободной поверхности релаксационных эффектов (релаксации заряда, поверхностно-активных веществ и т.п.), ввиду их чувствительности к поведению поля скоростей непосредственно в приповерхностной области течения
[18–19].
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.0
0.8
0.6
Re(f(∏))
0.4
0.2
-0.8
-1.0
-0.6
-0.4
-0.2
-0.4
-0.2
0
∏
∏
-1.0
-0.8
-0.6
0
-0.2
Im(f(∏))
-0.4
-0.6
Рис. 6. Сравнение зависимости амплитудных множителей
при периодической части волнового решения от безразмерной глубины Π :
точного (обозначенного сплошной линией) и модельных
(обозначено пунктиром для горизонтальной компоненты скорости
и штрихпунктиром для вертикальной), построенных при G = 1.
Сплошная линия соответствует функции f ( Π ) = exp ( (1 + i ) G ⋅ Π ) ,
пунктир – f ( Π ) = Φ ( G, Π ) , штрихпунктир – f ( Π ) = F ( G, Π )
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 7–9 построены зависимости действительных и мнимых частей функций exp ( G ( i + 1) Π ) , Φ ( G, Π ) и F ( G, Π ) на промежутке −1 ≤ Π ≤ 0 при различных значения G = 3 (рис. 7), G = 4
(рис. 8) и G = 5 (рис. 9). Из рисунков видно, что при увеличении
значения G разница между рассматриваемыми функциями быстро уменьшается. Конкретнее: уменьшается абсолютная погрешность, с которой функции Φ ( G, Π ) и F ( G, Π ) модельного решения
(1.64) аппроксимируют функцию exp ( G ( i + 1) Π ) точного решения
(1.63). Расчеты показывают, что погрешность аппроксимации,
понимаемая в смысле абсолютного значения максимального отклонения аппроксимирующих функций от точной величины, достигает максимума на нижней границе слоя при Π = −1 . На большей части пограничного слоя 0.8 ≤ Π ≤ 0 эта погрешность при
G ≥ 4 примерно на порядок меньше (см. рис. 8–9). При значении
G = 4 сравнение действительных частей функций exp ( G ( i + 1) Π ) ,
Φ ( G, Π ) и F ( G, Π ) (рис. 9а) обнаруживает погрешность ≈ 0.01 , а
сравнение мнимых частей этих функций приводит к погрешности ≈ 0.03 . При G < 4 соответствующие погрешности увеличиваются (рис. 6–7), а при G > 4 уменьшаются (см рис. 9, на котором
различия между кривыми порядка толщины линии). С определенным запасом точности можно утверждать, что при G = 4 абсолютная погрешность, с которой функции Φ ( 4, Π ) и F ( 4, Π ) аппроксимируют функцию exp ( 4 ( i + 1) Π ) , не превышает 5% от значения этой функции на верхней границе слоя: exp ( 4 ( i + 1) Π ) Π=0 = 1.
Рассматривая строение модельных (1.64) и точных (1.63) выражений, несложно заключить, что аналогичное утверждение
имеет место относительно характера аппроксимации соотношений (1.53) выражениями (1.54). Так, для горизонтальной компоненты скорости имеем:
1
e
e
e
u ( ) − u *( ) = Δ u ( ) = α k 2νω0 (1 + i ) i ΔΦ exp (θ ) + к.с. ;
2
ΔΦ = ΔΦ ( G, Π ) = exp ( G (1 + i ) Π ) − Φ ( G , Π ) .
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0.8
0.6
Re(f(∏))
0.4
0.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
∏
-1.0
-0.8
-0.6
∏
0
-0.2
-0.2
-0.4
-0.2
0
-0.1
Im(f(∏))
-0.2
-0.3
Рис. 7. Те же зависимости, что и на рис. 6, но построенные при G = 3
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.0
0.8
0.6
Re(f(∏))
0.4
0.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
∏
0.1
∏
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
-0.1
Im(f(∏))
-0.2
-0.3
Рис. 8. Те же зависимости, что и на рис. 6, но построенные при G = 4
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
0.8
0.6
0.4
Re(f(∏))
0.2
∏
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
-0.2
0.1
-0.6
-1
-0.8
-0.4
0
-0.2
Im(f(∏))
∏
-0.1
-0.2
-0.3
Рис. 9. Те же зависимости, что и на рис. 6, но построенные при G = 5
Отсюда, на основании (1.63) и выполненных оценок, получаем:
Δ u(
u(
e)
=
e)
Π=0
ΔΦ
exp ( G (1 + i ) Π )
= ΔΦ = Re ( ΔΦ ) + Im ( ΔΦ ) ≈
2
2
Π=0
≈ 0.012 + 0.032 ≈ 0.03
Таким образом, можно утверждать, что модельные выражения для вихревых компонент поля скоростей (1.64) при выборе
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
значения G = 4 аппроксимируют точные компоненты (1.63) вихревой составляющей поля скоростей с погрешностью не более
5% от значения этих компонент на верхней границе слоя. Точность аппроксимации увеличивается с ростом значений G и
уменьшается при уменьшении G .
Можно утверждать, что значение G = 4 это то значение, начиная с которого толщина пограничного слоя δ = G ⋅ δ L может быть
принята за глубину, на которой вихревое движение, порождаемое
движением свободной поверхности, существенно подавлено. На
глубине более чем δ оно настолько незначительно, что при изменении полной формулировки задачи расчета течения на формулировку с дополнительным условием исчезновения ротора скорости
при z ≤ δ , решение измененной задачи слабо отличается от точного: ошибка лежит в пределах нескольких процентов от значения
вихревой компоненты скорости на верхней границе слоя.
Теория пограничного слоя может быть с успехом использована для аналитического расчета течений жидкости, связанных с
капиллярно-гравитационными волнами на свободной поверхности маловязкой жидкости. Но при этом необходимо принимать во
внимание, что хорошее приближение к точному решению можно
получить только при достаточно больших толщинах пограничного слоя (не менее чем в четыре раза больших традиционно используемых). Структура поля скоростей течения жидкости в пограничном слое вблизи свободной поверхности отличается от
строения погранслойного течения вблизи твердой стенки: при
наличии свободной поверхности имеется потенциальное течение,
доминирующее во всей области движения, в том числе и в пограничном слое; в самом пограничном слое на потенциальное течение аддитивно накладывается вихревое; однако выводы классической теории пограничного слоя о быстром изменении компонент скорости в направлении, перпендикулярном границе по
сравнению с их изменением вдоль границы, справедливы только
для компонент поля скоростей вихревого движения и неприменимы к компонентам потенциальной части течения.
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Расчет волнового движения
на заряженной свободной поверхности слоя
маловязкой жидкости конечной толщины
на твердом дне в рамках
теории пограничного слоя
2.1. Формулировка задачи и точное решение
Рассмотрим задачу о расчете капиллярно-гравитационных
волн на граничащей с вакуумом плоской заряженной поверхности идеально проводящей жидкости конечной глубины d с плотностью ρ , вязкостью ν , коэффициентом поверхностного натяже
ния γ в поле сил тяжести g и в электростатическом поле E0 , направленном в сторону, противоположную направлению ускорения поля силы тяжести.
Расположим декартову систему координат так, чтобы ось z

 
была направлена вертикально вверх nz || − g ( nz - орт оси z ), а ось
x – по направлению движения плоской капиллярной волны
~ exp( st − ikx ) . Примем также, что плоскость z = 0 совпадает со невозмущенной свободной поверхностью жидкости ( s – комплексная частота, k – волновое число, t – время, i – мнимая единица).
Пусть функция ξ ( x, t ) = ζ 0 ⋅ exp( st − ikx ) описывает малую виртуальную
  деформацию плоской равновесной поверхности жидкости, а
U (r , t ) – поле скоростей движения жидкости, вызванного возмущением ξ ( x, t ) , имеющее в безразмерных переменных в которых
ρ = g = γ = 1 тот же порядок малости, что и ξ ( x, t ) . Амплитуду
волны ζ 0 будем принимать много меньше ее длины и капиллярной постоянной жидкости: α ≡ γ ρ ⋅ g
Система уравнений электрогидродинамики вязкой жидкости,
описывающая движение жидкости в анализируемой системе,
имеет вид


dU

= −∇P(r , t ) + ν ⋅ ΔU − ∇z ;
dt

∇U = 0 ;
59
ΔΦ = 0 ;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
z = ξ:
dF
= 0,
dt
Φ = const ;
F ( x , z , t ) ≡ z − ξ( x , t ) ,
  


 

 


n (τ ∇)U + τ (n ∇)U = 0 , − P(r , t ) + 2ν ⋅ n ( n ∇)U − PE ( r , t ) + Pγ (r , t ) = 0 ,
U = 0;
z = −d :

−∇Φ → E0 ⋅ nz .
z → ∞:
ξ ( x, t ) = ζ 0 ⋅ exp(ikx ).
t = 0:


В выписанных выражениях τ и n – орты касательной и нормали к



свободной поверхности жидкости; P(r , t ) и Φ (r , t ) ≡ Φ 0 ( z ) + φ (r , t ) –
поля гидродинамического давления в жидкости и электростатического (в предположении, что гидродинамические скорости много
меньше скорости распространения электромагнитного сигнала)


потенциала вне жидкости, соответственно PE (r , t ) и Pγ (r , t ) – давления электрического поля и сил поверхностного натяжения на
свободную поверхность жидкости.
Полагая безразмерную амплитуду волны много меньше единицы, линеаризуем по ней задачу и, снося граничные условия на
свободной поверхности: F ( x, z , t ) = 0 , на невозмущенную поверхность жидкости z = 0 , получим:


∂U
= −∇P + ν ⋅ ΔU − ∇z ;
∂t
z = 0:
−

∇U = 0 ;
∂ξ
+ U z = 0;
∂t
Δφ = 0 ;
∂U z ∂U x
+
= 0;
∂x
∂z
− p(ξ) + 2ν
U = 0;

∇Φ → − E0 ⋅ nz ;
z → ∞:
p(ξ) , pE (ξ) =
∂Φ0
ξ;
∂z
∂U z
− pE (ξ) + pγ (ξ) = 0 ;
∂z
z = −d :
t = 0:
φ=−
ξ ( x, t ) = ζ 0 ⋅ exp(ikx ).
(
)
1  ∂Φ0 ∂φ 
2
2

 и pγ (ξ) = − ∂ ξ ∂x – линейные по
4π  ∂z ∂z 
(2.1)
ξ по-
правки к гидродинамическому давлению, давлению электриче60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ского поля и давлению капиллярных сил, вызванные волновым
движением поверхности ξ ( x, t ) ; φ (r, t ) – вызванная волновым движением свободной поверхности ξ ( x, t ) линейная по ξ поправка к
потенциалу электростатического поля над невозмущенной свободной поверхностью жидкости Φ0 ( z ) ≡ − E0 ⋅ z .
Не останавливаясь на процедуре решения сформулированной
задачи, подробно описанной в [24], приведем сразу готовое решение, удовлетворяющее начальному условию (2.1):
ξ ( x, t ) = ζ 0 ⋅ exp( st − ikx ) + k .c. ;
ϕ ( x, z , t ) = ζ 0 ⋅ ( B1 ⋅ sh( kz ) + B2 ⋅ ch( kz )) ⋅ exp( st − ikx ) + k .c. ;
B1 = ( s + 2ν k 2 ) k ;
( ( s + 2ν k ) ⋅ ( k ⋅ sh(kd ) ⋅ sh(qd ) − q ⋅ ch(kd ) ⋅ ch(qd ) ) + 2ν k q ) ;
=
2
B2
2
k ⋅ ( k ⋅ ch( kd ) ⋅ sh(qd ) − q ⋅ sh( kd ) ⋅ ch(qd ) )
ψ ( x, z , t ) = ζ 0 ⋅ ( B3 ⋅ sh(qz ) + B4 ⋅ ch(qz )) ⋅ exp( st − ikx ) + k .c. ;
B3
( ( s + 2ν k
=i
2
) − 2ν k ( k ⋅ ch( kd ) ⋅ ch(qd ) − q ⋅ sh( kd ) ⋅ sh(qd ) ) )
( k ⋅ ch( kd ) ⋅ sh(qd ) − q ⋅ sh(kd ) ⋅ ch(qd ) )
; B4 = −2iν k ;
φ( x, z, t ) = ζ 0 ⋅ E0 ⋅ exp(− kz ) ⋅ cos( st − ikx ) + k .c. ,
(2.2)
где ϕ ( x, z , t ) – потенциал поля скоростей, а ψ ( x, z , t ) – функция тока: аббревиатура k .c. означает слагаемые, комплексно сопряженные к выписанным.
 
Выпишем теперь компоненты вектора U (r , t ) – поля скоростей течения жидкости, связанного с волной:

∂ϕ ∂ψ
−
=
U x (r , t ) =
∂x ∂z
= −ζ 0 ⋅ i ⋅ {k ⋅ B1 ⋅ ( sh( kz ) + sh( kd ) ⋅ ch[q( z + d )])
+ k ⋅ B2 ⋅ ( ch( kz ) − ch( kd ) ⋅ ch[q( z + d )]) +
+ q [ B2 ⋅ sh( kd ) − B1 ⋅ ch( kd ) ]⋅sh[q( z + d )]} ⋅ exp( st − ikx ) + k .c.;
61
(2.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

∂ϕ ∂ψ
= ζ 0 ⋅ k ⋅ q −1 ⋅ {q ⋅ B1 ⋅ ( ch( kz ) − ch( kd ) ⋅ ch[q( z + d )]) +
+
U z (r , t ) =
∂z ∂x
+ q ⋅ B2 ⋅ ( sh( kz ) + sh( kd ) ⋅ ch[q( z + d )]) −
−k ⋅ ( B2 ⋅ ch(kd ) − B1 ⋅ sh(kd ) ) ⋅ sh[q ( z + d )]} ⋅ exp( st − ikx) + k .c.
(2.4)
В выписанных решениях q ≡ k 2 + ( s ν ) является решением дисперсионного уравнения:
(
) (
4qk 2 k 2 + q 2 + k 2 + q 2
)
2
⋅ ( k ⋅ sh( kd ) ⋅ sh(qd ) − q ⋅ ch( kd ) ⋅ ch(qd ) ) +
+4qk 3 ⋅ ( q ⋅ sh( kd ) ⋅ sh(qd ) − k ⋅ ch( kd ) ⋅ ch(qd ) ) −
−ω02 ( k ) ⋅ ν−2 ⋅ ( q ⋅ sh( kd ) ⋅ ch(qd ) − k ⋅ ch( kd ) ⋅ sh(qd ) ) = 0;
ω02 ( k ) ≡ k ( k 2 − Wk + 1) ,
W ≡ E02 4π .
ω02 имеет смысл квадрата частоты капиллярно-гравитационных
волн в идеальной несжимаемой однородно поверхностно заряженной электропроводной бесконечно глубокой жидкости [12–
13]. Безразмерный параметр W , называемый параметром Тонкса – Френкеля, характеризует устойчивость плоской равновесной в поле сил тяжести и поле капиллярных сил однородно заряженной свободной поверхности электропроводной жидкости по
отношению к отрицательному давлению электрического поля
[12–13]. Критические условия реализации неустойчивости имеют
вид: W = k + k −1 , k = 1 и не зависят от вязкости жидкости [12–13].
Когда заряд на свободной поверхности жидкости настолько велик, что W = 2 , то волна с k = 1 претерпевает неустойчивость и на
поверхности жидкости появляются эмиссионные выступы, называемые конусами Тейлора, с вершин которых начинается сброс
избыточного заряда путем эмиссии высокодисперсных сильно
заряженных струй жидкости и капелек [25]. Таким образом, поверхностная плотность заряда, при которой W = 2 , является максимально возможной.
При ν << 1 , когда q >> k дисперсионное уравнение в линейном
приближении по безразмерной вязкости ν может быть переписа-
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
но в существенно более простом виде относительно комплексной
частоты s:
s2 + 4ν k 2 s + ω02 ( k ) ⋅ th( kd ) = 0;
(2.5)
а его решения в том же приближении легко выписываются:
s(1,2) = η ± iω ≡ −2ν k 2 ± (2ν k 2 ) 2 − ω02 ( k ) ⋅ th( kd );
(2.6)
ω – частота капиллярно-гравитационной волны в заряженном
слое вязкой электропроводной жидкости конечной толщины.
Видно, что при z = − d обе компоненты поля скоростей обращаются в ноль, как и должно быть для вязкой жидкости. При предельном переходе d → −∞ выражения для потенциала поля скоростей, функции тока и компонент поля скоростей превращаются в
соответствующие решения для бесконечно глубокой вязкой жидкости с однородно заряженной свободной поверхностью [22].
Имея в виду исследование вихревой компоненты поля скоростей, связанного с волновым движением в слое вязкой жидкости
конечной толщины, выпишем выражение для ротора поля скоростей:


Ω ⋅ n y ≡ rotU = −ζ 0 ⋅ i ⋅ s ⋅ (ν ⋅ q ) −1 ( q ⋅ ( B1 ⋅ ch(kd ) − B2 ⋅ sh(kd ) ) ⋅ ch[q ( z + d )] +
{

+ k ⋅ ( B2 ⋅ ch(kd ) − B1 ⋅ sh(kd ) ) ⋅ sh[q ( z + d )]) ⋅ exp( st − ikx) + k .c. ⋅ n y .
}
(2.7)
Несложно видеть, что вихри, связанные с волновым движением, в анализируемой ситуации являются плоскими и реализуются в плоскости XОZ.
На рис. 10 приведены рассчитанные по (2.7) в различные моменты времени при малой вязкости жидкости зависимости
Ω ≡ Ω( z ) . Из рис. 10 видно, что вихревое движение сконцентрировано в малой окрестности свободной поверхности жидкости, по
которой бежит волна, и в малой окрестности твердого дна, на котором обе компоненты поля скоростей обращаются в ноль. Указанное обстоятельство означает, что попытки использования для
расчета характеристик волнового движения в вязкой жидкости
приближенного метода расчета, называемого теорией погранич63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ного слоя, должны учитывать наличие двух пограничных слоев:
приповерхностного и придонного, и это должно быть учтено при
формулировке модельной задачи.
Rot(U)y
4
1,6
2
2
3
5
5
Z
3
1
−0.8
–0.6
−0.4
−0.2
-1
4
2
-2
3
1,6
-3
Рис. 10. Зависимости от безразмерной глубины амплитудных значений
безразмерного ротора поля скоростей течения жидкости,
рассчитанные при ν = 0.002 , k = 3 , W = 0 , d = 1 в различные моменты
безразмерного времени, измеренного в долях периода волны:
1 – t = 0 ; 2 – t = T 5 ; 3 – t = 2T 5 ;
4 – t = 3T 5 ; 5 – t = 4T 5 ; 6 – t = T .
2.2. Модельная задача
Сформулируем модельную задачу, которой будем аппроксимировать точное решение (2.2) и которая получается из задачи
(2.1) на основании представлений о погранслойном строении поля скоростей течения жидкости в слое вязкой жидкости конечной
толщины. Для достижения этой цели будем исходить из предположения, что вихревая часть модельного течения сосредоточена в
приповерхностном пограничном слое, толщиной δ1 , и в придонном пограничном слое, толщиной δ 2 (см. рис. 10), а потенциальная составляющая поля скоростей течения жидкости охватывает
весь ее объем. В соответствии с этим потенциальное течение во
всем объеме слоя жидкости и вихревые течения в приповерхностном и придонном слоях будем рассчитывать отдельно, а граничным условиям на свободной поверхности и на дне будем
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
удовлетворять соответствующими комбинациями потенциальной
и вихревой компонент поля скоростей.
2.2.1. Приповерхностный пограничный слой: −δ1 ≤ z ≤ 0
Будем полагать,
в указанной области поле скоростей те (1) что

чения жидкости U (r , t ) состоит из вихревой и потенциальной
составляющих. Толщину слоя δ1 будем оценивать по аналогии с
тем, как это делалось в [22] с точностью до постоянного множителя G в виде
δ1 ≡ G ⋅ δ L ;
δ L ≡ 2ν ω ;
ω ≡ − ( (2ν k 2 ) 2 − ω02 ( k ) ⋅ th( kd ) ) ;
(2.8)
ω02 ( k ) ⋅ th( kd ) > (2ν k 2 ) 2 .
Поле скоростей течения жидкости в приповерхностном слое
 
U (1) (r , t ) будем искать с использованием процедуры скаляризации
исходной векторной задачи на основе теоремы Гельмгольца, вво
дя потенциал поля скоростей ϕ (r, t ) и функцию тока ψ (1) (r , t ) :
∧
∧
 


U (1) (r , t ) = N 1 ϕ (r , t ) + N 2 ψ (1) (r , t ) ,
∧
N1 ≡ ∇ ,
∧

N 2 ≡ ∇ × ny ,
∧
∧

где n y – орт декартовой координаты y ; N 1 и N 2 – векторные
дифференциальные операторы, удовлетворяющие соотношениям
ортогональности и условиям коммутативности с оператором Ла∧
пласа. Эрмитовый оператор N 1 выделяет потенциальную часть
∧
поля скоростей, а антиэрмитовый N 2 – вихревую.
На основе уравнений гидродинамики вязкой жидкости, при∧ + ∧
∧ + ∧
няв собственные значения операторов N1 N 2 и N 2 N 1 (верхний
индекс «+» означает эрмитовое сопряжение) отличными от нуля,
несложно вывести скалярное уравнение для отыскания функции
тока [15]:
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∂ψ (1)
− ν ⋅ Δψ (1) = 0 .
∂t
−δ1 ≤ z ≤ 0 :
Учитывая, что в соответствии с вышесказанным ротор скорости должен обращаться в ноль на нижней границе слоя, получим
граничное условие для функции тока на нижней границе слоя:
∂ψ (1)
= 0;
∂t
z = −δ1 :

(т.к. rotU ≡ ∇ × ∇ϕ + (∇ × n y )ψ ( j ) ≡ ∇ × (∇ × n y )ψ ( j ) ≡ ∇ ∂ψ
(
)
( j)
∂y

− n y Δψ ( j ) ≡

≡ n y ⋅ Δψ ( j ) = 0 , или Δψ ( j ) = 0 ).
2.2.2. Придонный пограничный слой −d ≤ z ≤ −d + δ 2
В указанной области идеология введения пограничного слоя
несколько отлична. Пограничный слой, связанный с периодической волной, бегущей по свободной поверхности вязкой жидкости, порождается периодическим движением поверхности жидкости и обусловлен пространственной скоростью затухания вихревой части движения с глубиной. По предположению, вихревое
движение жидкости, порождаемое волной, затухает на глубине
z = −δ1 . Причина возникновения вихревого движения возле твердого дна, когда над ним реализуется течение вязкой жидкости с
изменяющейся во времени амплитудой, порождаемое волной на
поверхности жидкости, заключается в прилипании жидкости ко
дну (обращение на дне в ноль полной скорости течения) и генерации вихревого течения с интенсивностью, экспоненциально
убывающей с расстоянием по мере удаления от дна [8]. Ситуация, складывающаяся в этом случае, аналогична обтеканию постоянным потоком жидкости твердого тела конечных размеров,
совершающего колебания возле некоторого положения равновесия (см. [8], параграф 24). Поэтому толщину пограничного слоя в
окрестности дна δ 2 будем оценивать по обычной формуле теории
пограничного слоя [2, 8] но введем неопределенный численный
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
множитель H , величину которого установим, добиваясь заданной
точности аппроксимации точного решения приближенным:
(
δ2 ≡ H ⋅ l
)
(
Re ≡ H ⋅ l
)
V ⋅ l ν ≡ H ⋅ l ⋅ν V ,
где в качестве характерного линейного размера l примем длину
волны λ , а в качестве скорости потока V возьмем фазовую скорость волны: (ω k ) ≡ (ωλ 2π ) . Окончательно для оценки толщины
пограничного слоя возле дна получим:
(2.9)
δ 2 ≡ H ⋅ 2π ⋅ν ω .


Поле скоростей течения жидкости в придонном слое U (2) (r , t )
будем искать так же, как это делалось для приповерхностного
слоя, вводя потенциал поля скоростей ϕ (r, t ) и функцию тока

ψ (2) (r , t ) :
∧
∧
 (2) 


U (r , t ) = N 1 ϕ (r , t ) + N 2 ψ (2) (r , t ).
В итоге для отыскания функции тока ψ (2) (r , t ) получим скалярное уравнение:
∂ψ (2)
− ν ⋅ Δψ (2) = 0
∂t
−d ≤ z ≤ −d + δ 2 :
с граничным
условием на верхней границе придонного слоя, где

rotU = 0 :
∂ψ (2)
= 0,
∂t
z = −d + δ 2 :
и граничными условиями на дне:
z = −d :
∂ϕ ∂ψ (2)
−
= 0;
∂x
∂z
∂ϕ ∂ψ (2)
+
= 0,
∂z
∂x
соответствующими обращению в ноль проекций поля скоростей


U x (r , t ) и U z (r , t ) .
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.2.3. Потенциальная составляющая поля скоростей
Во всей исследуемой области − d ≤ z ≤ 0 справедливы уравнения для потенциальной составляющей поля скоростей:
Δϕ = 0 ,
−d ≤ z ≤ 0 :
∂ϕ

P(r , t ) = −
−z.
∂t
Соберем теперь выписанные уравнения для отыскания функ


ций ϕ (r , t ) , ψ (1) (r , t ) , ψ (2) (r , t ) с соответствующими граничными
условиями и дополним их гидродинамическими граничными условиями на свободной поверхности жидкости и электростатической
(в предположении, что гидродинамические скорости много меньше
скорости передачи электромагнитных волн) задачей для отыскания
электростатического поля в пространстве над жидкостью.
2.2.4. Общая математическая формулировка
модельной задачи
Выпишем всю задачу:
z>0
Δφ = 0 ;
−d ≤ z ≤ 0 :
Δϕ = 0 ;
−δ1 ≤ z ≤ 0 :
∂ψ (1)
−ν ⋅ Δψ (1) = 0 ;
∂t
−d ≤ z ≤ −d + δ 2 :
∂ψ (2)
− ν ⋅ Δψ (2) = 0 ;
∂t
z = −δ1 :
z = −d + δ 2 :
z = −d :
∂ψ (1)
∂t
∂ψ (2)
∂t
∂ϕ ∂ψ (2)
−
= 0;
∂x
∂z
68
= 0;
= 0;
∂ϕ ∂ψ (2)
+
= 0;
∂z
∂x
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∂ξ ∂ϕ ∂ψ (1)
=
+
,
∂t ∂z
∂x
z = 0:
2
∂ 2ϕ ∂ 2ψ (1) ∂ 2ψ (1)
+
−
= 0,
2
2
∂x∂z
∂x
∂z
 ∂ 2ϕ ∂ 2ψ (1) 
∂ϕ
+ ξ + 2ν  2 +
 − pE (ξ ) + pγ (ξ ) = 0 ,
 ∂z
x
z
∂t
∂
∂


z → ∞:
φ=−
∂Φ0
ξ;
∂z
∇Φ → − E0 ⋅ e z .
2.2.5. Решение модельной задачи
Ограниченные периодические по x решения будем искать в
декартовой системе координат в виде
ξ ( x, t ) = a ⋅ exp( st − ikx ) ;

ϕ (r , t ) = ( B1 ⋅ sh(kz ) + B2 ⋅ ch(kz )) ⋅ exp( st − ikx) ;

ψ (1) (r , t ) = ( B3 ⋅ sh(qz ) + B4 ⋅ ch(qz )) ⋅ exp( st − ikx) ;

ψ (2) (r , t ) = ( B5 ⋅ sh(qz ) + B6 ⋅ ch(qz )) ⋅ exp( st − ikx) ;

φ (r , t ) = a ⋅ E0 ⋅ exp(−kz ) ⋅ exp( st − ikx) ,
(2.10)
где B1, B2 , B3 , B4 , B5 , B6 , s – комплексные величины.
Так как ротор скорости обращается в нуль на соответствую

щих границах слоев, то выражения для ψ (1) (r , t ) и ψ (2) (r , t ) в (2.10)
преобразуются
−δ1 ≤ z ≤ 0 :
d ≤ −z ≤ d − δ2 :

ψ (1) (r , t ) = B3 ⋅ ch −1 (qδ1 ) ⋅ sh[q ( z + δ1 )] ⋅ exp( st − ikx) ;

ψ (2) (r , t ) = B5 ( sh(qz ) − ch(qz ) ⋅ th[q (−d + δ 2 )]) exp( st − ikx) .
Воспользуемся теперь условиями на дне и сократим количество неизвестных констант:
B1 = i ⋅ B5 ⋅ ( q ⋅ ch(qδ2 ) ⋅ sh( kd ) − k ⋅ ch( kd ) ⋅ sh(qδ2 ) ) k ⋅ ch[q( d − δ2 )] ;
B2 = i ⋅ B5 ⋅ ( q ⋅ ch(qδ2 ) ⋅ ch( kd ) − k ⋅ sh( kd ) ⋅ sh(qδ2 ) ) k ⋅ ch[q( d − δ2 )] .
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставляя (2.10) в граничные условия на свободной поверхности, получим однородную систему линейных уравнений относительно неизвестных B3 , B5 , a :
ik ⋅ th(qδ1) ⋅ B3 + i ⋅ ch−1[q( d − δ 2 )] ⋅ ( k ⋅ sh(qδ 2 ) ⋅ ch( kd ) −q ⋅ ch(qδ 2 ) ⋅ sh( kd ) ) ⋅ B5 + s ⋅ a = 0 ;
(
)
i k 2 + q 2 ⋅ th(qδ1) ⋅ B3 − 2k ⋅ ch−1[q( d − δ 2 )] ⋅ ( q ⋅ ch(qδ 2 )) ⋅ sh( kd ) −
− k ⋅ sh(qδ 2 )) ⋅ ch( kd ) ) ⋅ B5 = 0 ;
(
)
−2ik 2qν ⋅ B3 + i s + 2ν k 2 ⋅ ch−1[q( d − δ 2 )] ⋅ ( q ⋅ ch(qδ 2 ) ⋅ ch( kd ) −
− k ⋅ sh(qδ 2 ) ⋅ sh( kd ) ) ⋅ B5 + ω02 ( k ) ⋅ a = 0 .
Данная система имеет нетривиальное решение тогда и только
тогда, когда ее определитель равен нулю. Это условие дает дисперсионное уравнение для спектра капиллярных движений жидкости в анализируемой системе, имеющее вид:
(ω (k ) ⋅ ν
2
0
−2
)
⋅ th(qδ1) − 4k 3q ⋅ ( q ⋅ ch(qδ2 ) ⋅ sh( kd ) −
(
− k ⋅ sh(qδ2 ) ⋅ ch( kd ) ) + k 2 + q 2
)
2
⋅ ( q ⋅ ch(qδ2 ) ⋅ ch( kd ) −
− k ⋅ sh(qδ2 ) ⋅ sh( kd ) ) ⋅ th(qδ1) = 0 .
В приближении малой вязкости ν << 1 из него получается выражение (2.5).
В результате решение задачи в пределах пограничных слоев
при заданном начальном условии имеет вид:
ξ( x, t ) = ζ 0 ⋅ exp( st − ikx ) + k .c. ,
ϕ (r, t ) = ( B1 ⋅ sh( kz ) + B2 ⋅ ch( kz )) ⋅ exp( st − ikx ) + k .c. ,
B1 = ( s + 2ν k 2 ) k ;
( s + 2ν k 2 ) ⋅ ( k ⋅ sh( dk ) ⋅ sh(qδ 2 ) − q ⋅ ch( dk ) ⋅ ch(qδ 2 ) )
;
B2 =
k ⋅ ( k ⋅ sh(qδ 2 ) ⋅ ch( dk ) − q ⋅ ch(qδ 2 ) ⋅ sh( dk ) )
ψ (1) (r, t ) = ζ 0 ⋅ B3 ⋅ ch−1(qδ1) ⋅ sh[q( z + δ1)] ⋅ exp( st − ikx ) + k .c. ,
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
B3 = −2iν k ⋅ cth(qδ1) ;
ψ (2) (r, t ) = ζ 0 ⋅ B5 ⋅ ( sh(qz ) − ch(qz ) ⋅ th[q(− d + δ 2 )]) ⋅ exp( st − ikx ) + k .c. ,
i ( s + 2ν k 2 ) ⋅ ch[q( d − δ 2 )]
B5 =
;
( k ⋅ sh(qδ 2 ) ⋅ ch(kd ) − q ⋅ ch(qδ 2 ) ⋅ sh( kd ) )
φ(r, t ) = ζ 0 ⋅ E0 ⋅ exp(− kz ) ⋅ exp( st − ikx ) + k .c.
За пределами пограничных слоев принимается ψ ( j ) (r, t ) ≡ 0 , и
движение жидкости чисто потенциально.
2.2.6. Характеристики
векторного поля скоростей
 (1) 
U (r , t ) в приповерхностном слое
Выпишем теперь компоненты векторного поля скоростей течения жидкости в приповерхностном слое −δ1 ≤ z ≤ 0 :

U x(1) (r , t ) =
∂ϕ ∂ψ (1)
−
=
∂x
∂z
{
= ζ 0 ⋅ ch−1[q( d − δ 2 )] ⋅ ( q ⋅ ch[ k ( z + d )] ⋅ ch(qδ 2 ) − k ⋅ sh[ k ( z + d )] ⋅ sh(qδ 2 ) ) ⋅ B5 −
}
− q ⋅ ch−1(qδ1) ⋅ ch[q( z + δ1)] ⋅ B3 ⋅ exp( st − ikx ) + k .c. ;

U z(1) (r , t ) =
(2.11)
∂ϕ ∂ψ (1)
+
=
∂z
∂x
{
= −ζ 0 ⋅ i ⋅ ch−1[q( d − δ 2 )] ⋅ ( q ⋅ sh[ k ( z + d )] ⋅ ch(qδ 2 ) − k ⋅ ch[ k ( z + d )] ⋅ sh(qδ 2 ) ) ⋅ B5 +
}
+ k ⋅ ch−1(qδ1) ⋅ sh[q( z + δ1)] ⋅ B3 ⋅ exp( st − ikx ) + k .c.
(2.12)
Выражение для ротора имеет вид

−1
rot (U (1) ) y = −ζ 0 ⋅ B3 ⋅ s ⋅ [ν ⋅ ch(qδ1 )] ⋅ sh[q ( z + δ1 )] ⋅ exp( st − ikx) + k .c. (2.13)
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.2.7. Характеристики векторного поля скоростей


U (2) (r , t ) в придонном слое
Выпишем компоненты векторного поля скоростей течения
вязкой жидкости в придонном слое d ≤ − z ≤ d − δ 2 :

∂ϕ ∂ψ (2)
−
=
U x(2) (r , t ) =
∂x
∂z
= −ζ 0 ⋅ B5 ⋅ ch−1[q( d − δ 2 )] ⋅ {q ⋅ ch[q( d + z − δ 2 )] − q ⋅ ch[ k ( z + d )] ⋅ ch(qδ 2 ) +
+ k ⋅ sh[ k ( z + d )] ⋅ sh(qδ 2 )} ⋅ exp( st − ikx ) + k .c. ;

U z(2) (r , t ) =
(2.14)
∂ϕ ∂ψ (2)
+
=
∂z
∂x
= −ζ 0 ⋅ i ⋅ B5 ⋅ ch−1[q( d − δ 2 )] ⋅ {k ⋅ sh[q( d + z − δ 2 )] − q ⋅ sh[ k ( z + d )] ⋅ ch(qδ 2 ) +
+ k ⋅ ch[ k ( z + d )] ⋅ sh(qδ 2 )} ⋅ exp( st − ikx ) + k .c.
(2.15)
Выражение для ротора поля скоростей имеет вид
rot (U(2) ) y = −ζ 0 ⋅ B5 ⋅ s ⋅ν −1 ⋅ {sh(qz ) − ch(qz ) ⋅ th[q(− d + δ 2 )]} ⋅ exp( st − ikx ) + k .c.
(2.16)
Решенную модельную задачу используем для построения
приближения пограничного слоя, когда в математической формулировке задачи можно пренебречь некоторыми слагаемыми,
что позволит упростить математическую формулировку и облегчить процедуру отыскания решения. В используемом линейном
приближении по малой амплитуде ζ 0 это упрощение не существенно, но при решении нелинейных задач расчета периодического волнового движения в слоях вязкой жидкости конечной толщины, отличающихся крайней громоздкостью, оно может стать
весьма важным.
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.3. Упрощение модельной задачи
в рамках приближения пограничного слоя
Математическая формулировка модельной задачи в пределе
малой вязкости может быть упрощена с помощью построений,
аналогичных тем, что используются в традиционной теории пограничного слоя, с некоторым различием в представлении о
строении течения в пограничных слоях, связанных с наличием
свободной поверхности и дна. Нижеследующее упрощение основано на оценочных рассуждениях, которые можно провести, даже
не имея точного решения.
Выделим наиболее существенные свойства точного решения
рассматриваемой задачи вблизи свободной поверхности и вблизи
твердого дна. Течение состоит из главной (потенциальной) и добавочных погранслойных (вихревых) частей. Для основной части
движения характерный линейный масштаб l , на котором изменяются компоненты скорости, одинаков во всех направлениях и
определяется длиной волны: l ~ λ . Для вихревой части течения
характерный линейный масштаб, на котором изменяются компоненты скорости в направлении, перпендикулярном пограничным
слоям, равен толщине каждого из слоев: l ~ δ j , а вдоль них определяется длиной волны: l ~ λ .
На основании принятого введем правила оценки производных от искомых величин по пространственным переменным. Для

производных от гидродинамического потенциала ϕ (r , t ) будем
пользоваться следующим формальным правилом построения
оценки: операторы дифференцирования ∂ x и ∂ z переходят в оператор умножения на 1 λ . Для функций тока, определенных в по

граничных слоях: ψ (1) (r , t ), ψ (2) (r , t ) , правило оценки производных другое: оператор дифференцирования ∂ x переходит в оператор умножения на 1 λ , а оператор ∂ z переходит в операторы ум

ножения на 1 δ1 и 1 δ 2 для ψ (1) (r , t ) и ψ (2) (r , t ) соответственно.
Воспользуемся малостью толщин приповерхностного и придонного пограничных слоев δ1 , δ 2 по сравнению с длиной волны λ
и упростим формулировку модельной задачи, пренебрегая в суммах вида Ξ = A + B слагаемыми B , если B A  O (δ i2 λ 2 ) , для i = 1,2 .
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть V – характерное значение скорости потенциального
течения на уровне z = 0 . Тогда имеем следующие оценки:
∂ϕ ∂ϕ

V ;
∂x ∂z
 ∂ 2ψ (i ) 


2 
∂
x


 ∂ 2ψ (i )  δ i2

;
 ∂z 2  λ 2


 ∂ψ (i ) 


∂
x


 ∂ψ (i )  δ i
 ,
 ∂z  λ


 ∂ψ (i )  δ i
  ⋅V ;

z
∂

 λ
 ∂ψ (i )  δ i2
  2 ⋅V ;

x
∂

 λ
i = 1,2 .
Учитывая все проведенные выше рассуждения, модифицируем
математическую формулировку модельной задачи к упрощенному виду:
z>0
Δφ = 0 ;
−d ≤ z ≤ 0 :
Δϕ = 0 ;
−δ1 ≤ z ≤ 0 :
∂ψ (1)
∂ 2ψ (1)
−ν ⋅
= 0;
∂t
∂z 2
−d ≤ z ≤ −d + δ 2 :
∂ψ (2)
∂ 2ψ (2)
−ν ⋅
= 0;
∂t
∂z 2
∂ψ (1)
z = −δ1 :
∂t
z = −d + δ 2 :
∂ψ (2)
∂t
z = −d :
∂ϕ ∂ψ (2)
−
= 0;
∂x
∂z
z = 0:
∂ξ ∂ϕ ∂ψ (1)
;
=
+
∂t ∂z
∂x
= 0;
= 0;
∂ϕ ∂ψ (2)
+
= 0;
∂z
∂x
2
∂ϕ
∂ 2ϕ
+ ξ + 2ν ⋅ 2 − pE (ξ ) + pγ (ξ ) = 0;
∂t
∂z
z → ∞:
∇Φ → − E0 ⋅ e z .
74
∂ 2ϕ ∂ 2ψ (1)
−
= 0;
2
∂x∂z
∂z
φ=−
∂Φ0
ξ;
∂z
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.3.1. Решение упрощенной модельной задачи
Принцип решения упрощенной модельной задачи такой же,
как и у точной модельной задачи. Но объем вычислений, естественно, меньше. Отличие состоит в том, что другим получается
явный вид параметра q = s ν , а система уравнений относительно
искомых коэффициентов примет вид
ik ⋅ th(qδ1) ⋅ B3 + i ⋅ ch−1[q( d − δ 2 )] ⋅ ( k ⋅ sh(qδ 2 ) ⋅ ch( kd ) − q ⋅ ch(qδ 2 ) ⋅ sh( kd ) ) ⋅ B5 + s ⋅ a = 0;
− q 2 ⋅ th(qδ1) ⋅ B3 + 2k ⋅ ch−1[q( d − δ 2 )] ⋅ ( q ⋅ ch(qδ 2 )) ⋅ sh( kd ) − k ⋅ sh(qδ 2 )) ⋅ ch( kd ) ) ⋅ B5 = 0;
(
)
i s + 2ν k 2 ch−1[q( d − δ 2 )] ⋅ ( q ⋅ ch(qδ 2 ) ⋅ ch( kd ) − k ⋅ sh(qδ 2 ) ⋅ sh( kd ) ) ⋅ B5 + ω02 ( k ) ⋅ a = 0 .
Дисперсионное уравнение упрощенной задачи после преобразований имеет вид:
(
)
ω02 ( k ) ⋅ 2k 2 − q 2 ⋅ ( k ⋅ sh(qδ2 ) ⋅ ch( kd ) − q ⋅ ch(qδ2 ) ⋅ sh( kd ) ) +
(
)
+ν2q 4 2k 2 + q 2 ⋅ ( q ⋅ ch(qδ2 ) ⋅ ch( kd ) − k ⋅ sh(qδ2 ) ⋅ sh( kd ) ) = 0.
В приближении малой вязкости ν << 1 это дисперсионное уравнение сводится к виду, совпадающему с асимптотикой (5) точного дисперсионного уравнения:
s + 4ν k 2 s + ω02 ( k ) ⋅ th( kd ) = 0.
Решения в упрощенной модельной задаче в пределах пограничных слоев имеют вид
ξ( x, t ) = ζ 0 ⋅ exp( st − ikx ) + k .c.;

ϕ (r , t ) = ( B1 ⋅ sh(kz ) + B2 ⋅ ch(kz )) ⋅ exp( st − ikx) + k .c.;
B2 =
(
s2 ⋅ ( k ⋅ sh( kd ) ⋅ sh( qδ 2 ) − q ⋅ ch( kd ) ⋅ ch(qδ 2 ) )
k ⋅ s − 2ν k
2
(
)
B1 = s2 k s − 2ν k 2 ;
) ⋅ ( k ⋅ sh(qδ 2 ) ⋅ ch(kd ) − q ⋅ ch(qδ 2 ) ⋅ sh(kd ) )
;
ψ (1) (r, t ) = ζ 0 ⋅ B3 ⋅ ch−1(qδ1) ⋅ sh[q( z + δ1)] ⋅ exp( st − ikx ) + k .c.;
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)
B3 = −i ⋅ 2kν s ⋅ cth(qδ1) s − 2ν k 2 ;

ψ (2) (r , t ) = ζ 0 ⋅ B5 ⋅ ( sh(qz ) − ch(qz ) ⋅ th[q(−d + δ 2 )]) ⋅ exp( st − ikx) + k .c.;
B5 = i ⋅
(
)
s2 ⋅ ch[q( d − δ 2 )]
s − 2ν k 2 ⋅ ( k ⋅ sh(qδ 2 ) ⋅ ch( kd ) − q ⋅ ch(qδ 2 ) ⋅ sh( kd ) )
;
φ(r , t ) = ζ 0 ⋅ E0 ⋅ exp(−kz ) ⋅ exp( st − ikx) + k .c.
2.3.2. Компоненты векторного поля скоростей
течения жидкости U (1) (r, t ) в поверхностном слое

∂ϕ ∂ψ (1)
U x(1) (r , t ) =
−
=
∂x
∂z
{
= ζ 0 ⋅ ch−1[q( d − δ 2 )] ⋅ ( q ⋅ ch[ k ( z + d )] ⋅ ch(qδ 2 ) − k ⋅ sh[ k ( z + d )] ⋅ sh(qδ 2 ) ) ⋅ B5 −
}
− q ⋅ ch−1(qδ1) ⋅ ch[q( z + δ1)] ⋅ B3 ⋅ exp( st − ikx ) + k .c.;

U z(1) (r , t ) =
(2.17)
∂ϕ ∂ψ (1)
+
=
∂z
∂x
{
= −ζ 0 ⋅ i ⋅ ch−1[q( d − δ 2 )] ⋅ ( q ⋅ sh[ k ( z + d )] ⋅ ch(qδ 2 ) − k ⋅ ch[ k ( z + d )] ⋅ sh( qδ 2 ) ) ⋅ B5 +
}
+ k ⋅ ch−1(qδ1) ⋅ sh[q( z + δ1)] ⋅ B3 ⋅ exp( st − ikx ) + k .c.
(2.18)
Выражение для ротора поля скоростей имеет вид
−1
rot (U (1) ) y = −ζ 0 ⋅ s ⋅ B3 ⋅ [ν ⋅ ch(qδ1 ) ] sh[q ( z + δ1 )] ⋅ exp( st − ikx) + k .c. (2.19)
В приближении малой вязкости: ν  1 , полученные решения
(2.17)–(2.19) упрощенной задачи совпадают с точными решениями модельной задачи (2.11)–(2.13), в чем можно убедиться, проводя в (2.17)–(2.19) разложения по малому коэффициенту безразмерной вязкости ν и ограничиваясь линейными по ν членами
разложений.
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.3.3. Компоненты векторного
поля скоростей
 (2) 
течения жидкости U (r , t ) в придонном слое

U x(2) (r , t ) =
∂ϕ ∂ψ (2)
−
=
∂x
∂z
= −ζ 0 ⋅ B5 ⋅ ch−1[q( d − δ 2 )] ⋅ {q ⋅ ch[q( d + z − δ 2 )] − q ⋅ ch[ k ( z + d )] ⋅ ch(qδ 2 ) +
+ k ⋅ sh[ k ( z + d )] ⋅ sh(qδ 2 )} ⋅ exp( st − ikx ) + k .c. ;

U z(2) (r , t ) =
(2.20)
∂ϕ ∂ψ (2)
+
=
∂z
∂x
= −ζ 0 ⋅ i ⋅ B5 ⋅ ch−1[q( d − δ 2 )] ⋅ {k ⋅ sh[q( d + z − δ 2 )] − q ⋅ sh[ k ( z + d )] ⋅ ch(qδ 2 ) +
+ k ⋅ ch[ k ( z + d )] ⋅ sh(qδ 2 )} ⋅ exp( st − ikx ) + k .c.
(2.21)
Выражение для ротора имеет вид
rot (U (2) ) y = −ζ 0 ⋅ B5 ⋅ s ⋅ν −1 {sh(qz ) − ch(qz ) ⋅ th[q (− d + δ 2 )]} ⋅ exp( st − ikx) + k .c.
(2.22)
Сравнение выражений для компонент поля скоростей (2.20) и
(2.14), (2.21) и (2.15), а также для ротора поля скоростей (2.22) и
(2.16), показывает, что решения упрощенной задачи отличаются
от точных решений модельной задачи лишь видом коэффициентов B5 . В приближении малой вязкости решения упрощенной задачи совпадают с точными решениями модельной задачи.
2.4. Оценка погрешности найденного приближенного
решения (2.20)–(2.21) упрощенной модельной задачи
по сравнению с точным решением (2.3)–(2.4)
исходной задачи (2.1)
Чтобы оценить погрешность, допускаемую при замене точного
решения (2.3)–(2.4) на полученное в рамках упрощенной математической постановки решение (2.20)–( 2.21), на рис. 11a-b и рис. 12a-b
приведем рассчитанные при различных значениях неопределенных
коэффициентов G и H относительные погрешности:
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ηx
1
0.05
0.04
0.03
2
4
0.02
3
0.01
–0.12
–0.1
–0.08
–0.06
–0.04
–0.02
Z
Рис. 11а. Относительная погрешность горизонтальной компоненты

поля скоростей U x(1) (r , t ) в приповерхностном слое, рассчитанная
при d = 1, W = 1.99, ζ 0 = 0.1, k = 3, ν = 0.002, t = 0 для различных
значений коэффициента G : 1 – G = 1, 2 – G = 2 , 3 – G = 3 , 4 – G = 4
ηZ
0.008
0.006
1
0.004
4
–0.12
3
–0.1
–0.08
0.002
2
–0.06
–0.04
–0.02
Z
Рис 11b. То же, что на рис. 11а, но для вертикальной компоненты

поля скоростей U z(1) (r , t )
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ηx
0.15
1
0.1
0.05
2
3
–0.95
–0.9
–0.85
4
–0.8
Z
Рис. 12a. То же, что на рис. 11а, при тех же значениях
физических параметров, но для поля скоростей в придонном слое

U x(2) (r , t ) , для различных значений коэффициента H :
1 – H = 1, 2 – H = 2 , 3 – H = 3, 4 – H = 4
ηZ
0.015
1
0.01
2
0.005
–0.95
–0.9
3
4
–0.85
–0.8
Z
Рис. 12b. То же, что на рис. 12а, но для вертикальной компоненты

поля скоростей U z(2) (r , t )
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ηχ =
( j)
U ξ( j ) − U ξ( j )
U ξ( j )
,
j = 1;2,
χ ∈ { x; z} ,


где U χ( j ) (r , t ) – точное решение, а U χ( j ) (r , t ) – приближенное. Из
приведенных рисунков видно, что 1) при G = 4 и H = 3 относительная погрешность составляет доли процента; 2) относительная
погрешность приближенного расчета горизонтальной компоненты поля скоростей η x , как для приповерхностного, так и для придонного пограничных слоев, в несколько раз превышает погрешность расчета вертикальной компоненты поля скоростей η z . Сказанное означает, что общая погрешность расчетов вихревого
движения в пограничных слоях определится в первую очередь
погрешностью η x , и что сами расчеты могут быть проведены с
контролируемой точностью.
На рис. 13 приведены зависимости толщин приповерхностного и придонного пограничных слоев от волнового числа волны,
создающей вихревое движение. Общая тенденция увеличения
толщины пограничных слоев с увеличением длины волны (с
уменьшением волнового числа) физически понятна. Обращают
на себя внимание максимумы на кривых, относящихся как к приповерхностному, так и придонному пограничным слоям, связанных с волновым движением на сильно заряженной поверхности
жидкости W = 1.99 . Напомним, что критические для начала реализации неустойчивости свободной поверхности жидкости по отношению к давлению электрического поля значения параметра
W = Wcr и волнового числа k = kcr определяются соотношениями
Wcr = k + k −1 , kcr = 1. При указанных значениях W → Wcr и k → kcr
частота волны стремится к нулю, что и приводит к увеличению
толщины пограничных слоев. На рис. 14 приведены зависимости
толщин приповерхностного и придонного пограничных слоев от
величины параметра W , рассчитанные для двух значений волновых чисел k = 1 и k = 3 , подтверждающие вышесказанное.
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3
δ1,2
1
0.8
0.6
4
0.4
2
0.2
1
2
3
4
k
Рис. 13. Зависимости безразмерной толщины приповерхностного δ1
(кривые 1 и 2) и придонного δ 2 (кривые 3 и 4) пограничных слоев
от безразмерного волнового числа k , построенные при ζ 0 = 0.1, ν = 0.002 ,
d = 1 и различных значениях параметра W : кривые 1 и 3 рассчитаны
при W = 1.99 , кривые 2 и 4 – при W = 0
δ1,2
1.2
1
3
0.8
1
0.6
0.4
4
2
0.2
0.5
1
1.5
W
Рис. 14. Зависимости безразмерной толщины приповерхностного δ1
(кривые 1 и 2) и придонного δ 2 (кривые 3 и 4) пограничных слоев
от безразмерного параметра W при d = 1 , рассчитанные для различных
волновых чисел: кривые 1 и 3 при k = 1, кривые 2 и 4 при k = 3
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Расчеты показывают, что интенсивность вихревого движения
(амплитуда ротора поля скоростей течения жидкости) в придонном слое снижается с увеличением толщины слоя жидкости d и
при достаточно большой толщине слоя интенсивность вихревого
движения может уменьшиться до пренебрежимо малой (в рамках
принятой точности расчетов) величины. На рис. 15 приведены зависимости модуля безразмерного ротора поля скоростей в придонном слое от безразмерной толщины слоя. Расчеты показывают (можно видеть из рис. 15, если прилегающие к оси части графиков привести в более мелком масштабе), что когда толщина
слоя жидкости превышает примерно 1,5–2 длины волны (в зависимости от амплитуды волны и плотности поверхностного заряда), амплитуда ротора поля скоростей течения вязкой жидкости у
твердого дна сравнивается с относительной погрешностью расчетов в рамках модели пограничного слоя при H = 3 – порядка десятой доли процента. Это означает, что в слоях вязкой жидкости
с толщиной d > 2 ⋅ λ движение жидкости у твердого дна в рамках
обозначенной точности расчета полностью определяется потенциальной компонентой течения (ранее об этом феномене для
волн на незаряженной поверхности жидкости при выполнении
существенно более мягкого условия ( d > 0.5 ⋅ λ ) сообщалось в [26],
но без указания на допускаемую при этом погрешность, хотя она
для указанного соотношения между толщиной слоя и длиной
волны согласно рис. 14 будет не меньше двух процентов). Интенсивность вихревого движения в приповерхностном слое от толщины слоя практически не зависит.
Другой предельный случай соответствует малым толщинам
слоев вязкой жидкости, когда приповерхностный и придонный
пограничные слои перекрываются, а вихревое движение заполняет весь объем жидкости. Такая ситуация, согласно рис. 13, реализуется при W = 1.99 и d = 1 для волн с волновыми числами из диапазона k ∈ {0.5 ÷ 1.5} . С увеличением вязкости жидкости толщины
приповерхностного и придонного пограничных слоев увеличиваются примерно ~ ν и при ν = 0.02 в слое с d = 1 будут перекрываться пограничные слои из диапазона k < 3 даже при отсутствии заряда на поверхности жидкости (при W = 0 ). Иными словами, в этой ситуации мы приходим к приближению тонкой
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пленки вязкой жидкости, детально разобранному ранее [27–28].
Здесь следует отметить, что принятое при расчетах значение безразмерной вязкости ν = 0.002 в размерных переменных примерно
соответствует кинематической вязкости воды.
Ω2
d
–8
–6
–4
–2
-0.5
1
-1
-1.5
-2
2
-2.5
-3
Рис. 15. Зависимости амплитуды безразмерного ротора поля скоростей
течения жидкости в придонном слое Ω2 от безразмерной толщины слоя,
построенные при ζ 0 = 0.1, k = 3, ν = 0.002, z = − d , t = T 2 .
Кривая 1 соответствует W = 1.99 и кривая 2 – W = 0
Теория пограничного слоя, связанного с волновым движением на свободной поверхности жидкости, может быть использована для расчета с контролируемой точностью волнового движения
конечной амплитуды в слоях вязкой жидкости конечной толщины. В ситуации, когда толщина слоя превышает длину волны более чем в два раза, с контролируемой точностью движение жидкости у дна можно считать безвихревым. Если же это условие не
выполняется, то необходимо учитывать рассеяние энергии волны
в двух пограничных слоях: у свободной поверхности жидкости и
у твердого дна. Если толщина слоя жидкости не превышает двух
десятых от длины волны, приповерхностный и придонный пограничные слои перекрываются, и мы приходим к приближению
тонкой пленки вязкой жидкости. При приближении поверхност83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ного заряда к величине, критической для начала реализации неустойчивости по отношению к отрицательному давлению электрического поля, толщина обоих пограничных слоев резко увеличивается.
3. Расчет волновых движений
на поверхности цилиндрической струи
маловязкой жидкости
в рамках теории пограничного слоя
Метод введения пограничного слоя у свободной поверхности
жидкости, использованный в двух предыдущих разделах, не
единственен. В [29–31] предложен иной подход к его определению, который проиллюстрируем в настоящем разделе на примере
введения пограничного слоя для расчета волнового движения на
заряженной поверхности цилиндрической струи.
3.1. Математическая формулировка
и точное решение задачи
Рассмотрим задачу расчета периодических волновых движений свободной поверхности цилиндрической струи радиуса R
несжимаемой электропроводной жидкости с плотностью ρ , коэффициентом кинематической вязкости ν и коэффициентом поверхностного натяжения σ . Пусть в окружающем пространстве с
помощью коаксиальных электродов создаётся электрическое поле, нормальное к поверхности струи, вследствие чего по невозмущенной волновым движением цилиндрической поверхности
жидкости однородно распределён заряд с равновесной плотностью χ . Введём цилиндрическую систему координат, ось Oz которой направим вдоль оси симметрии цилиндрической струи, а
начало координат примем движущимся вдоль оси с постоянной
скоростью, равной скорости струи. Поле скоростей течения жидкости в такой системе будет определяться волновыми движениями свободной поверхности. Рассмотрение ограничим анализом
осесимметричных волн. Весь анализ проведем в безразмерных
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
переменных, полагая три характерных физических масштаба
обезразмеривания равными единице: R = ρ = σ = 1 , тогда поле

скоростей течения жидкости в струе u ( r , z , t ) , поле давлений в
жидкости p ( r , z , t ) будут иметь тот же порядок величины, что и
волновая деформация ξ ( z , t ) цилиндрической формы r = 1 струи.
В линейном приближении по амплитуде волновых колебаний функция ξ ( z , t ) , которую будем считать малой по сравнению

с радиусом струи, поле скоростей u ( r , z , t ) и поле давлений
p ( r , z , t ) в жидкости определяются следующей задачей:
0 ≤ r ≤ 1:


∂ t u + ∇p −ν Δu = 0 ;

∇u = 0;
(3.1)
r > 1:
Δ Φ = 0;
(3.2)
r = 1:
∂ t ξ − ur = 0 ;
∂ r uz + ∂ z ur = 0;
− p + 2ν ∂ r ur + χ ( ∂ r Φ + 4πχ ξ ) − (ξ + ∂ zzξ ) = 0;
Φ − 4πχ ξ = 0;
r → 0:
r →∞:
ur → 0;
uz → const ;
∇Φ → 0.
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
В выписанной системе уравнений r , z – цилиндрические координаты; t – время; ∂ t и ∂ z – частные производные; u z и ur – осевая
и
радиальная
составляющие
вектора
скорости:
 






u (r , t ) = uz (r , t ) ⋅ ez + ur (r , t ) ⋅ er ; p(r , t ) и Φ(r , t ) – добавки к равновесным значениям гидродинамического давления и электрического потенциала.
Решение гидродинамических уравнений (3.1) удобно искать
методом операторной скаляризации, представляя поле скоростей
p 
в виде суперпозиции его потенциальной u ( ) ( r , t ) и вихревой
c 
u ( ) ( r , t ) частей (иными словами, вводя гидродинамический по

тенциал ϕ ( r , t ) и функцию тока, определенную как: r ⋅ ∂ rψ ( r , t ) ):
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∧
∧
 
( p) 
(c) 


u ( r , t ) = u ( r , t ) + u ( r , t ) ≡ N p ϕ ( r , t ) + N c ψ ( r , t ).
(3.7)
∧
∧
Векторные операторы N p и N c выделяют потенциальную и
вихревую составляющие поля скоростей соответственно, удовлетворяют условиям ортогональности и условиям коммутативности
с оператором Лапласа:
∧
N p = ∇;
∧

N c = ∇ × ( ∇ × ez ) ;
∧+ ∧
∧+ ∧


N p N c f ( r ) = N c N p f ( r ) = 0;




Ni ⋅ Δ f ( r ) = Δ ⋅ Ni f ( r ) ;
( i = p, c ) .
(3.8)

Верхний индекс "+ " означает эрмитово сопряжение; f ( r ) – произвольная непрерывная скалярная функция координат.
Подстановка разложения (3.7) в систему (3.1), а также свойства (3.8) позволяют легко перейти от исходных уравнений гид

родинамики относительно искомых функций uz ( r , t ) , ur ( r , t ) и

p ( r , t ) к эквивалентной системе трёх скалярных уравнений отно


сительно ϕ ( r , t ) , ψ ( r , t ) и p ( r , t ) [15]:
Δϕ = 0 ;
∂ tψ −ν Δψ = 0 ;
p = −∂ tϕ .
(3.9)
Проекции вектора скорости согласно (3.7) и (3.8) определяются


через скалярные функции ϕ ( r , t ) и ψ ( r , t ) следующими соотношениями:
1
p
c
uz = uz( ) + uz( ) = ∂ zϕ − ∂ r ( r ∂ rψ ) ;
r
ur = ur( ) + ur( ) = ∂ rϕ + ∂ zrψ .
p
c
(3.10)
Решение сформулированной задачи в форме бегущей волны
известно [15] и может быть записано в виде:
ξ ( z , t ) = α ⋅ exp ( st − ikz ) + ( к.с.) ;
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)

 s + 2ν k 2 ⋅ I 0 ( kr ) ( k I1 ( k ) ) 
 ϕ (r ,t ) 


  
−i 2ν k ⋅ I 0 ( lr ) ( l I1 ( l ) )


ψ ( r , t )  = α ⋅ 
 exp ( st − ikz ) + ( к.с. ) .
2
 p (r ,t ) 
 − s s + 2ν k ⋅ I 0 ( kr ) ( k I1 ( k ) ) 
  


 Φ(r ,t )
K
kr
K
k
4
πχ
⋅
(
)
(
)
0
0


(3.11)
(
)
Для потенциальной и вихревой составляющих вектора поля скоростей решение определяется выражениями:
(
)
 −i s + 2ν k 2 ⋅ I 0 ( kr ) I1 ( k ) 
 uz( p ) ( r, t ) 
 exp ( st − ikz ) + ( к.с. ) ;
 ( p)   = α ⋅ 
2
 u (r ,t )
 s + 2ν k ⋅ I1 ( kr ) I1 ( k ) 
 r



(
)
 uz( c ) ( r, t ) 
 i 2ν k l ⋅ I 0 ( lr ) I1 ( l ) 
 (c)   = α ⋅ 
 exp ( st − ikz ) + ( к.с. ) ; (3.12)
2
 u (r ,t )
−
⋅
ν
2
k
I
lr
I
l
(
)
(
)
1
1


 r

l = s ν + k2 .
(3.13)
В формулах (3.11)–( 3.13) α – комплексная амплитуда поверхностной волны; k – волновое число; I j ( x ) и K j ( x ) - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода j -го порядка;
аббревиатура ( к.с.) означает слагаемые, комплексно сопряжённые к выписанным; s – комплексная частота, определяемая из
дисперсионного уравнения:
(
)
s2 − 2ν  sG ( k ) − 2k 2 s + ν k 2 (1 − G ( k ) G ( l ) ) + ω 2 = 0;
(3.14)
ω 2 ≡ G ( k )  k 2 − 1 + 4πχ 2 (1 − H ( k ) ) ;
G ( x ) ≡ x ⋅ I1 ( x ) I 0 ( x ) ;
H ( x ) ≡ x ⋅ K1 ( x ) K 0 ( x ) ,
здесь ω 2 – квадрат частоты волновых движений поверхности
струи идеальной жидкости, т. е. ω = lim s .
ν →0
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В пределе малой вязкости дисперсионное уравнение можно
переписать в более простом виде с сохранением слагаемых, линейных по ν , выписать его решение и получить явный вид параметра l :
(
)
s2 + s ⋅ 2ν ⋅ 2k 2 − G ( k ) + ω 2 = 0;
(
)
l ≈ (1 + i ) ω 2ν .
s ≈ ±i ω − ν 2 k 2 − G ( k ) ;
(3.15)
Асимптотическое (в пределе малой вязкости) решение всей задачи получим, выражая в решениях (3.12) параметры s и l по формулам (3.15):
(
))

p ( r , t ) = −α ⋅ iω iω − 2ν k 2 − G ( k ) I 0 ( kr ) ( k I1 ( k ) ) ⋅ exp ( st − ikz ) ;
(
 uz( p ) ( r, t ) 
 (ω − iν G ( k ) ) ⋅ I 0 ( kr ) I1 ( k ) 
 ( p)   = α ⋅ 
 exp ( st − ikz ) + ( к.с.) ;
 ( i ω +ν G ( k ) ) ⋅ I1 ( kr ) I1 ( k ) 
 u (r ,t )


 r

 uz( c ) ( r, t ) 
 i (1 + i ) k 2νω ⋅ I 0 ( lr ) I1 ( l ) 
 (c)   = α ⋅ 
 exp ( st − ikz ) + ( к.с.) .
2

 u (r ,t )
2
k
I
lr
I
l
ν
−
⋅
(
)
(
)
1
1


 r

(3.16)
Выражения (3.16) позволяют выяснить структуру аналитического решения для поля скоростей в приближении малой вязкости. Из (3.16) следует, что: во-первых, вихревая компонента скорости является малой добавкой к основной потенциальной составляющей; во-вторых, она существенно быстрее, чем потенциальная компонента убывает с уменьшением координаты r (т. е.
по мере удаления от поверхности струи к ее оси). Действительно,
из асимптотического поведения модифицированных функций
Бесселя при больших и малых аргументах следует, что вихревая
составляющая скорости убывает по экспоненциальному закону
c
u ( )  exp ( −l (1 − r ) ) , в то время как поперечная и продольная проекции потенциальной составляющей скорости убывают по степенным законам: ur( p )  r ; u z( p )  ( 2 k ) 1 + k 2 r 2 4 . Такая струк-
(
88
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тура поля скоростей характерна для теории пограничного слоя, и
можно полагать, что вихревая составляющая скорости существенна лишь в тонком слое вблизи свободной поверхности жидкости, в то время как в остальном объёме движение является потенциальным.
3.2. Формулировка задачи
в рамках представлений о пограничном слое
Сформулируем модельную задачу, исходя из выявленной выше структуры течения. Представление поля скоростей в виде (3.7)
позволяет решать задачу для потенциальной компоненты во всём
объёме жидкости, а для вихревой – лишь в тонком пограничном
слое толщиной δ (которую пока будем считать неопределенной).
В математической формулировке задачи (3.1)–(3.6) изменения
коснутся только условий ограниченности решения на оси струи
(3.5). Для точной задачи с учётом разложения (3.10) они принимали вид: r → 0 : ϕ → 0 ; ψ → 0 . В модельной задаче условие ограниченности решения на оси сохраняется для потенциальной компоненты поля скоростей, а для вихревой его составляющей потребуем обращения в ноль вихря на нижней границе пограничного
c
слоя: r = 1 − δ : rot u ( ) = 0 . Учитывая (3.9), (3.10), это условие несложно записать в терминах скалярной функции ψ :
c

rot u ( ) = ∂ r Δψ eϕ = 0  ∂ r Δψ = 0 .
Из уравнения (3.9) для функции ψ и решения (3.11) следует:
Δψ = (1 ν ) ∂ tψ = ( s ν )ψ ,
и условие обращения в ноль ротора скорости на нижней границе
пограничного слоя принимает вид:
r = 1− δ :
∂ rψ = 0 .
В результате уравнения (3.9) для модельной задачи дополнятся следующими граничными условиями:
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∂ tξ − ur( ) − ur( ) = 0 ;
p
r = 1:
(
∂ r u z( ) + u z(
(
p
− p + 2ν ⋅∂ r ur( ) + ur(
p
c)
c)
c
(3.17)
) + ∂ (u( ) + u( ) ) = 0
p
z
r
c
) + χ ⋅ ( ∂ Φ + 4πχ ξ ) − (ξ + ∂
r
r → 0:
r = 1− δ :
(3.18)
r
zz
ξ) = 0.
(3.19)
ϕ → 0.
(3.20)
∂ rψ = 0.
(3.21)

Электрический потенциал Φ ( r , t ) вблизи поверхности струи
определяется из соотношений (3.2), (3.4), (3.6).
3.3. Решение модельной задачи
Решение сформулированной задачи для неизвестных функ


ций ξ ( z , t ) , ϕ ( r , t ) , ψ ( r , t ) , Φ ( r , t ) ищется в виде бегущих волн:
 ξ ( z, t )   α 
   

f
r
,
ϕ
r
t
(
)
(
)
  =
 ⋅ exp ( st − ikz ) .
(3.22)
ψ ( r , t )   h ( r ) 
   

g
r
,
r
t
Φ
(
)
(
)







Подставляя выражения для функций ϕ ( r , t ) , ψ ( r , t ) и Φ ( r , t ) в
уравнения (3.2), (3.9) и учитывая соответственно условия (3.6),
(3.20), (3.21), получим следующие решения для искомых величин:
α

 ξ ( z, t )  





a ⋅ I 0 ( kr )
r
,
t
ϕ
(
)
 exp ( st − ikz ) ; (3.23)
  =
ψ ( r , t )   b ( I 0 ( lr ) I1 ( lη ) + K 0 ( lr ) K1 ( lη ) ) 

   
Φ
,
r
t
⋅
4
K
kr
K
k
πχ
α
(
)
(
)
(
)
0
1

 

l = s ν + k2 ;
90
η ≡ 1− δ .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Используя (3.9)–(3.10), находим поля скоростей и давления:

p ( r , t ) = − s ⋅ a ⋅ I 0 ( kr ) ⋅ exp ( st − ikz ) ;
 −i k ⋅ I 0 ( kr )
 uz( p ) ( r, t ) 
 = a ⋅

 u ( p ) ( r, t ) 

 r

 k I1 ⋅ ( kr )

 ⋅ exp ( st − ikz ) ;


{
{
} 
exp ( st − ikz ) .

}
 −l 2  I 0 ( lr ) I1 ( lη ) +  K 0 ( lr ) K1 ( lη )
 uz( c ) ( r, t ) 
 (c)   = b 


 −i k l  I1 ( lr ) I1 ( lη ) −  K1 ( lr ) K1 ( lη )
 ur ( r , t ) 

 


(3.24)
Подставив решения (3.23)–(3.24) в граничные условия (3.17)–
(3.19), получим систему трёх линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных констант α , a и b :

k ⋅ I1 ( k )
 −s

0
2ik 2 ⋅ I1 ( k )

 ω 2 G ( k ) I ( k ) ⋅ s + 2ν k 2 − G ( k )
0

(
(
))


2
2
×
l l + k ⋅ f1 ( l ,η )

−2iν kl ( l⋅ f 2 ( l ,η ) − f1 ( l ,η ) ) 

(
−ikl⋅ f1 ( l ,η )
)
α   0 
× a  =  0  ;
   
 b  0
   
(3.25)
f1 ( l ,η ) ≡ I1 ( l ) I1 ( lη ) − K1 ( l ) K1 ( lη ) ;
f 2 ( l ,η ) ≡ I 0 ( l ) I1 ( lη ) + K 0 ( l ) K1 ( lη ) .
Чтобы система (3.25) имела нетривиальное решение, необходимо,
чтобы определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных α , a и b обращался в ноль. Это требование позволяет
найти дисперсионное уравнение задачи:
(
)
s2 − 2ν  s ⋅ G ( k ) − 2k 2 s + ν k 2 (1 − G ( k ) ⋅ f ( l ,η ) ) + ω 2 = 0; (3.26)
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f ( l ,η ) ≡
f 2 ( l ,η )
=
l ⋅ f1 ( l ,η )
 I 0 ( l ) ⋅ K1 ( l η ) + K 0 ( l ) ⋅ I1 ( l η )
.
l  I1 ( l ) ⋅ K1 ( l η ) − K1 ( l ) ⋅ I1 ( l η )
Используя граничные условия (3.17)–(3.18), можно выразить константы a и b через амплитуду волны α и записать решение для
полей скорости течения жидкости и давления в струе в виде:
I ( kr )

p ( r , t ) = −α ⋅ s s + 2ν k 2 0
⋅ exp ( st − ikz ) ;
k ⋅ I1 ( k )
(
)
(
)
 −i s + 2ν k 2 ⋅ I 0 ( kr ) I1 ( k )
 uz( p ) ( r, t ) 
 ( p)   = α ⋅ 
 u (r ,t )
 s + 2ν k 2 ⋅ I ( kr ) I ( k )
 r
1
1


(
)

 ⋅ exp ( st − ikz )



 I 0 ( lr ) ⋅ K1 ( lη ) + K 0 ( lr ) ⋅ I1 ( lη ) 
2
i
ν
kl


 uz( c ) ( r, t ) 
 I1 ( l ) ⋅ K1 ( lη ) − K1 ( l ) ⋅ I1 ( lη ) 

 (c)   = α ⋅ 
 ⋅ exp ( st − ikz )
 u (r ,t )
 −2ν k 2  I1 ( lr ) ⋅ K1 ( lη ) − K1 ( lr ) ⋅ I1 ( lη ) 
 r


 I1 ( l ) ⋅ K1 ( lη ) − K1 ( l ) ⋅ I1 ( lη ) 

(3.27)
Переход к точному решению соответствует стремлению
толщины пограничного слоя к единице (к радиусу струи): δ → 1,
это соответствует стремлению параметра η к нулю. Учитывая,
что при стремлении аргумента к нулю модифицированные функции Бесселя I n ( x ) ограничены, а K n ( x ) → ∞ , несложно получить, что lim f ( l ,η ) = 1 G ( l ) , а предел выражений (3.26)–(3.27)
η →0
совпадает с соответствующими выражениями точного решения
(3.12), (3.14).
В приближении малой, но не нулевой вязкости, сохранение в
дисперсионном уравнении (3.26) линейных по ν слагаемых позволяет легко привести его к виду (3.15) (здесь следует учесть,
что при ν → 0 функция f ( l ,η ) ведёт себя как ν ). Таким образом, исследуемое движение в модельном приближении при малой
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вязкости подчиняется дисперсионному уравнению, которое получается в точном решении, т. е. s и l также определяются формулами (3.15).
3.4. Упрощение модельной задачи
Опираясь на характерные свойства точного решения рассматриваемой задачи, можно упростить математическую формулировку модельной задачи (3.9), (3.10), (3.17)–(3.21) без ущерба
для вида решения в пределе малой вязкости. Соответствующие
рассуждения приводились в [22] при рассмотрении теории пограничного слоя для плоской свободной поверхности жидкости. Отметим следующие наиболее существенные свойства точного решения:
- течение состоит из двух составляющих: основной – потенциальной и добавочной – вихревой (сосредоточенной в пограничном слое);
- вихревая часть течения является малой по сравнению с потенциальной и стремится к нулю при уменьшении вязкости жидкости ν ;
- для потенциальной составляющей характерный линейный
масштаб изменения одинаков, как в продольном, так и в перпендикулярном к поверхности направлениях, и равен длине волны
λ – характерному горизонтальному размеру поверхностного возмущения;
- характерный пространственный масштаб изменения вихревой компоненты течения в продольном направлении также равен
λ , а в поперечном существенно меньше и определяется толщиной пограничного слоя δ  λ .
На основе вышеизложенного примем следующие правила
оценки производных от искомых величин по пространственным
переменным:
- для потенциальной составляющей поля скоростей (т.е. для

p 
p 
функций uz( ) ( r , t ) , ur( ) ( r , t ) , ϕ ( r , t ) ) дифференцирование по координатам z и r формально сводится к появлению множителя
p
p
1 λ у соответствующей функции, например: ∂ z u z( ) → u z( ) λ ;
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
c 
- для вихревой составляющей (т. е. для функций uz( ) ( r , t ) ,

c 
ur( ) ( r , t ) , ψ ( r , t ) ) оператор ∂ z переходит в 1 λ , а оператор ∂ r – в
1 δ , например: ∂ z u z( ) → u z( ) λ , но ∂ r u z( ) → u z( ) δ .
В соответствии со сказанным выше, учитывая малость δ по
сравнению с λ , упрощение модельной задачи проведём, пренебрегая там, где это возможно, слагаемыми, имеющими величину
 δ 2 λ2 .

В уравнении (3.9) для функции ψ ( r , t ) можно пренебречь
производными по координате z . Действительно, соотношение
между слагаемыми в операторе Лапласа показывает, что
∂ zzψ ( ∂ r ( r ∂ rψ ) r )  δ 2 λ 2 .
c
c
c
c
Уравнение неразрывности (3.1), записанное для каждой из
компонент течения: потенциальной и вихревой, позволяет получить оценки на соотношение между величинами проекций соответствующих компонент:
 ( p ,c )
1
p ,c
p ,c
∇u
=0 
∂ r r ur( )  ∂ z uz( ) ;
r
(
ur( )  u z( )  V ;
p
)
ur(
p
c)
u z( )  δ λ ,
c
(3.28)
где V обозначает характерную скорость потенциального течения.
Учитывая (3.28), из динамического граничного условия для
касательной компоненты тензора напряжений (3.18) можно оценить соотношение на поверхности струи между величинами проекций на оси координат потенциальной и вихревой компонент
течения. Во-первых, несложно убедиться, что из двух «вихревых» слагаемых уравнения (3.18) одним можно пренебречь:
c
c
c
c
∂ z ur( ) ∂ r u z( )  δ ur( ) λ u z( )  δ 2 λ 2 . Во-вторых, в силу соотношений (10), очевидно, что «потенциальные» слагаемые равны между собой: ∂ r u z( p ) = ∂ r ∂ zϕ = ∂ z ∂ rϕ = ∂ z ur( p ) . В результате граничное
условие (3.18) может быть записано в виде: 2 ∂ z ur( ) + ∂ r u z( ) = 0 .
p
Откуда следует, что ∂ r u z( )  ∂ z ur(
оценки:
94
c
p)
c
и с учётом (3.28) получаем
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
u z(
c)
ur(
V δ λ;
c)
V  δ 2 λ2 .
(3.29)
Согласно (3.29) в кинематическом граничном условии (3.17)
следовало бы пренебречь последним слагаемым – вихревой компонентой скорости. Однако в этом случае получающееся в ходе
решения упрощенной модельной задачи дисперсионное уравнение в пределе малой вязкости ν → 0 не совпадет с пределом малой вязкости точного дисперсионного уравнения (3.15). Если же
в кинематическом граничном условии (3.17) сохранить вихревую
компоненту скорости, несмотря на ее малость, согласно (3.29), то
дисперсионные уравнения точной и упрощенной модельной задач совпадают. Исходя из приведенных соображений, уравнение
(3.17) оставим без изменений.
В динамическом граничном условии для нормальной компоненты тензора напряжений (3.19) оценим отношение «вязких»
слагаемых к Лапласовскому давлению. Из кинематического условия (3.17) следует, что ω ⋅ ξ  V , т. е. ξ  V ω . Кроме того, воспользуемся тем, что согласно [9] для толщины пограничного слоя
у свободной поверхности вязкой жидкости используется следующая оценка: δ  ν ω , откуда получим: ν  δ 2ω . Тогда отношение «вязких» слагаемых к «Лапласовским» в (3.19) будет
p
c
следующим: ν ∂ r ur( ) ξ  ω 2δ 2 λ ; ν ∂ r ur( ) ξ  ω 2δ 3 λ 2 . Видно,
что вторым из оцениваемых слагаемых (вихревым) можно пренебречь, как имеющим более высокий порядок малости, чем
δ 2 λ 2 при δ → 0 .
Учитывая все описанные выше оценки, выпишем математическую формулировку упрощённой модельной задачи:
Δ ϕ = 0;
r = 1:
ν
∂ tψ − ∂ r ( r ∂ rψ ) = 0;
r
∂ tξ − ur( ) − ur( ) = 0;
p
c
p = −∂ tϕ ;
2 ∂ z ur( ) + ∂ r uz( ) = 0;
p
c
− p + 2ν ∂ r ur( ) + χ ( ∂ r Φ + 4πχ ξ ) − (ξ + ∂ zzξ ) = 0;
p
r → 0:
ϕ → 0;
r = 1− δ :
95
∂ rψ = 0.
(3.30)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Поле электрического потенциала Φ(r , t ) вблизи поверхности
струи определяется, как и прежде, из уравнений (3.2), (3.4), (3.6).
3.5. Решение упрощённой модельной задачи
Ход решения упрощённой задачи аналогичен решению исходной модельной задачи, однако, объём вычислений уменьшается. Отметим, что модельные изменения и последующие упрощения коснулись только вихревой части течения, поэтому решения для потенциальной и электрической частей задачи останутся
такими же, как и в точной задаче и определятся формулами
(3.11), (3.12). Решение упрощенного уравнения для функции



ψ (r , t ) (а следовательно, и выражения для uz( c ) (r , t ) и ur( c ) (r , t ) )
имеет такой же вид, как и в модельной задаче (см. (3.23), (3.24)),
изменится лишь явный вид параметра l ≡ s ν , а вместо системы
уравнений (3.25), получим следующую:

k ⋅ I1 ( k )
 −s

0
2ik 2 ⋅ I1 ( k )
 2
 ω G ( k ) I 0 ( k ) ⋅ s + 2ν k 2 − G ( k )

(
(
))

−ikl ⋅ f1 ( l ,η )   α   0 
l 3 ⋅ f1 ( l ,η )  ×  a  =  0  .
    
  b  0
0

Приравнивание нулю определителя этой системы позволяет в пределе малой вязкости получить дисперсионное уравнение в виде:
(
)
s2 + s 2ν 2k 2 − G ( k ) + ω 2 = 0.
Видно, что это уравнение совпадает со взятыми в пределе
малой вязкости дисперсионными уравнениями как точной, так и
модельной задач (см. (3.15)). В этом же приближении выражения
для комплексной частоты и параметра l определяются формулами (3.15), а решение упрощённой модельной задачи имеет вид
(3.27). Таким образом, в приближении малой вязкости для моделирования течения в рамках теории пограничного слоя можно
пользоваться упрощённой математической формулировкой задачи (3.30).
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выражая в (3.27) параметры s и l по формулам (3.15), получим асимптотический (в пределе малой вязкости) вид решения,
несколько отличающийся от полученных в точном решении выражений (3.16) для вихревой составляющей поля скоростей:
 uz( c ) (r, t ) 
 i (1 + i ) k 2νω ⋅ Fz(2) ( r , l ,η ) 
 = α ⋅

 ⋅ exp ( st − ikz ) ; (3.31)
2
(2)

 u ( c ) (r, t ) 
2
,
,
ν
η
k
F
r
l
−
⋅
(
)
r


 r

 I 0 ( lr ) K1 ( lη ) + K 0 ( lr ) I1 ( lη )
;
Fz(2) ( r , l ,η ) ≡ 
 I1 ( l ) K1 ( lη ) − K1 ( l ) I1 ( lη )
 I1 ( lr ) K1 ( lη ) − K1 ( lr ) I1 ( lη )
.
Fr(2) ( r , l ,η ) ≡ 
 I1 ( l ) K1 ( lη ) − K1 ( l ) I1 ( lη )
(3.32)
Сравнивая (3.31) с (3.16), легко видеть, что отличие приближенного решения (3.31) от точного (3.16) заключается лишь в
множителях Fz(2) ( r , D,δ L ) и Fr(2) ( r , D,δ L ) , которые в точных решениях имеют более простой вид:
Fz(1) ( r , l ) ≡ I 0 ( lr ) I1 ( l ) ;
Fr(1) ( r , l ) ≡ I1 ( lr ) I1 ( l ) .
(3.33)
3.6. Подбор толщины пограничного слоя
Исследуем, насколько хорошо соотношения (3.31) в зависимости от толщины пограничного слоя δ аппроксимируют вихревую составляющую (3.16), полученную из точного решения.
Аналогично тому, как это делалось в [22], толщину пограничного
слоя будем считать определённой с точностью до постоянного
множителя D согласно следующим соотношениям:
δ = D ⋅δ L ;
δ L ≡ 2ν ω ,
(3.34)
где δ L – величина, предложенная для оценки толщины пограничного слоя Лонгет – Хиггинсом [9].
Введём новую координату x = ( r − 1) δ , так, чтобы при изменении r в диапазоне 1 − δ ≤ r ≤ 1 координата x менялась в преде97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лах: −1 ≤ x ≤ 0 . Аргументы модифицированных функций Бесселя
в сравниваемых решениях примут следующий вид:
l = (1 + i ) δ L ;
l ⋅r = (1 + i )( D x + 1 δ L ) ;
l ⋅η = (1 + i )(1 δ L − D ) ,
а сами решения (3.31) и (3.16) будут отличаться только функциональными множителями, Fz(2) ( x, D,δ L ) , Fr(2) ( x, D,δ L ) в прибли-
женном решении и Fz(1) ( x, D,δ L ) , Fr(1) ( x, D,δ L ) в точном решении, определяющими зависимость решений от радиальной переменной x . Зададимся вопросом, при каком значении коэффициента D в формуле (3.34) функции Fz(2) ( x, D,δ L ) , Fr(2) ( x, D,δ L ) из
модельного решения, определенные соотношениями (3.32), наилучшим образом описывают соответствующие функции
Fz(1) ( x, D,δ L ) , Fr(1) ( x, D,δ L ) точного решения, определенные соотношениями (3.33).
На рис. 16 показано, как изменяются реальные и мнимые части сравниваемых функций (3.32)–(3.33) в диапазоне −1 ≤ x ≤ 0
при значении коэффициента D = 1 . Поведение функциональных
множителей Fz(2) и Fr(2) сильно отличается от аналогичных множителей Fz(1) и Fr(1) , что свидетельствует о недостаточной корректности формулы: δ L ≡ 2ν ω , предложенной для оценки толщины пограничного слоя в [9].
Отметим, что в отличие от задачи о волнах на плоской поверхности [22], в случае цилиндрической геометрии исследуемые
функции (3.32)–(3.33) зависят от параметра δ L , а следовательно,
от таких физических характеристик задачи, как вязкость жидкости ν , волновое число k , поверхностная плотность заряда χ (см.
выражение (3.14) для частоты ω ). Выбор принятых для расчёта
значений безразмерных физических параметров: k = 2 , ν = 0.01 ,
χ = 0.3 обусловлен следующими соображениями.
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Re
F
0.8
0.6
0.4
0.2
x
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
а
x
–0.8 –0.6 –0.4
–0.2
Im F
–0.2
–0.4
–0.6
б
Рис. 16. Зависимости от безразмерной радиальной переменной x
в пределах пограничного слоя вещественной (а) и мнимой (b) частей
функциональных множителей: Fz(1) – сплошная линия,
Fz(2) – точечная линия, Fr(1) – пунктирная линия, Fr(2) – штрихпунктирная
линия, рассчитанные при D = 1 , k = 2 , ν = 0.01 , χ = 0.3 (W ≈ 1.1)
1. Значение безразмерной вязкости ν = 0.01 соответствует радиусу струи воды порядка десятых долей миллиметра, а струи
этилового спирта порядка миллиметра. Увеличение радиуса соответствует уменьшению значения безразмерного параметра ν ,
поэтому ν = 0.01 примерно соответствует верхней границе области реальных значений данного параметра в области практических
приложений [32–34].
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Из выражения (3.14) для частоты ω следует, что на незаряженной поверхности струи идеальной жидкости устойчивы
только достаточно короткие волны с k > 1 (что соответствует
λ < 2π R ). Принятое для модельных расчётов значение k = 2 достаточно близко к границе области устойчивости – границе области применимости излагаемой теории.
3. Наличие электрического заряда на поверхности струи приводит к тому, что изначально устойчивая волна становится неустойчивой, если величина поверхностной плотности заряда превысит некоторое критическое значение χ cr . Для k = 2 это значение
равно χ cr ≈ 0.4 [34–35], поэтому для расчётов принималась величина плотности заряда из области устойчивости χ = 0.3 . Заметим,
что в работах с заряженной свободной поверхностью жидкости
для оценки её устойчивости по отношению к напряжённости
электрического поля часто используется безразмерный параметр:
W ≡ E 2 4π [34]. В случае идеально проводящей жидкости он связан с поверхностной плотностью заряда соотношением: W = 4πχ 2 .
Значению χ cr ≈ 0.4 соответствует критическое значение Wcr ≈ 2 , в
то время как принятое значение χ = 0.3 соответствует значению
параметра, примерно равному половине критического: W ≈ 1.
На рис. 17 приведены те же зависимости, что и на рис. 16 для
D = 4 . Увеличение D по сравнению с единицей улучшает соответствие модельного и точного решений, и уже при D = 4 разница
между решениями заметна лишь в непосредственной близости
нижней границы пограничного слоя. Уменьшение относительной
погрешности аппроксимации продольной и поперечной составляющей скорости с ростом параметра D хорошо иллюстрирует
рис. 18, на котором показана зависимость от глубины x величин
Δ z и Δ r , определяемых выражениями:
Δ z = Fz(1) − Fz(2)
Fz(1)
x =0
Δ r = Fr(1) − Fr(2)
;
100
Fr(1)
x =0
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ReF
0.8
0.6
0.4
0.2
0
x
–0.8 –0.6 –0.4 –0.2
0
а
x
–0.8 –0.6 –0.4 –0.2
ImF
0
–0.1
–0.2
–0.3
б
Рис. 17. Те же зависимости, что и на рис. 16, рассчитанные при D = 4
При значении D = 4 погрешность на нижней границе пограничного слоя не превышает двух процентов для обеих компонент
вектора скорости. Дальнейшее увеличение параметра D приведет
к еще более значительному снижению погрешности, но это приведет и к увеличению толщины пограничного слоя, что не всегда
желательно, а потому значение D = 4 представляется оптимальным. Подводя итог сказанному выше, можно утверждать, что
значение D = 4 определяет ту толщину пограничного слоя
δ = D ⋅ δ L , глубже которой вихревое движение жидкости можно не
учитывать с контролируемой точностью.
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|Δ z |
0.3
0.2
0.1
x
–0.8 –0.6
–0.4 –0.2
0
0
а
|Δr |
0.3
0.2
0.1
x
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0
б
Рис. 18. Зависимости от безразмерной радиальной переменной x
в пределах пограничного слоя относительной погрешности Δ z
аппроксимации точного выражения для продольной проекции скорости
течения жидкости приближенным выражением, рассчитанным в рамках
теории пограничного слоя – (а), и то же для радиальной компоненты
скорости Δ r – (b), рассчитанные при k = 2 , ν = 0.01 , χ = 0.3 (W ≈ 1.1)
для различных значений параметра D: сплошная линия – D = 1 ;
пунктирная линия – D = 2 ; точечная линия D = 3 ;
штрихпунктирная линия – D = 4
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выпишем ротор поля скоростей волнового течения маловязкой жидкости в струе:
→
(
Ω ≡ ∂ z ur( ) − ∂ r uz(
c
c)
) ⋅ n
ϕ
≡

∂Fz(2) ( r , D,δ L ) 

3
(2)
≡ iα ⋅ 2ν k ⋅ Fr ( r , D,δ L ) − (1 + i ) k 2νω ⋅
 ⋅ exp ( st − ikz ) ⋅ nϕ .
∂r


(3.35)
Несложно показать, что
∂Fz(2)
≡ l ⋅ Fr(2) .
∂r
(3.36)
Ω
4
2
x
− 0.8 − 0.6 − 0.4 − 0.2
0
Рис. 19. Зависимости от безразмерной радиальной переменной x
в пределах пограничного слоя ротора поля скоростей, рассчитанные
при D = 4 , z = 0 , k = 2 , ν = 0.01 , χ = 0.3 (W ≈ 1.1) для различных
моментов времени, измеренного в долях T – периода волны:
t = 0 – сплошная линия, t = T 8 – пунктирная линия,
t = T 4 – точечная линия, t = T 2 – штрихпунктирная линия
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
δ/ λ
0.4
0.2
0
1
2
3
4 λ
Рис. 20. Зависимости отношения толщины пограничного слоя
к длине волны от безразмерной длины волны, рассчитанные при D = 4 ,
χ = 0 (W = 0) и различных значениях безразмерного коэффициента
кинематической вязкости жидкости: ν = 0.001 – сплошная линия;
ν = 0.005 – точечная линия; ν = 0.01 – пунктирная линия;
ν = 0.05 – штрихпунктирная линия
Подставим (3.36) в (3.35) и с учетом того, что при малой вязкости l = (1 + i ) ω 2ν , получим:
→
(
Ω ≡ ∂ z ur( ) − ∂ r uz(
c
c)
)

⋅ nϕ ≡

≡ 2α k ω + i ⋅ν k 2 ⋅ Fr(2) ( r , D,δ L ) ⋅ exp ( st − ikz ) + k .c. ⋅ nϕ .
(
)

nϕ – орт угловой переменной цилиндрической системы координат, параллельный оси струи; аббревиатура k .c. означает слагаемые, комплексно сопряженные к выписанным. Именно ротор поля скоростей определяет вихревое движение жидкости в струе.
Из рис. 19 видно, что в соответствии с рис. 17а на нижней границе пограничного слоя ротор обращается в ноль, как это и требовалось в модельной постановке задачи. Видно также, что направления вращения вихрей в пограничном слое зависят как от расстояния до поверхности струи, так и от времени.
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.7. Пределы применимости предлагаемой
модификации теории пограничного слоя
Увеличение волнового числа k , т. е. уменьшение длины волны, улучшает качество аппроксимации точного решения модельным в рамках теории пограничного слоя. Увеличение параметра
вязкости ν , так же, как и приближение к критическому для реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости значению поверхностной плотности заряда, приводит к выходу за
пределы области применимости теории пограничного слоя, и построенная теория перестаёт работать. Действительно, упрощение
модельной задачи основано на малости толщины пограничного
слоя δ по сравнению с характерным линейным продольным
масштабом возмущения свободной поверхности жидкости – длиной волны λ . Учитывая выражения (3.34), можно получить ограничение области регулярности принятых упрощений по величине
безразмерного параметра вязкости:
δ
 1
λ

D 2δ L2
λ2
 1

4π 2ω
ν
.
2k 2 D 2
Для принятых в расчётах значений k = 2 , χ = 0.3 , D = 4 правая
часть последнего соотношения составляет  0.4 и, следовательно,
верхняя граница параметра ν  0.04 , что и подтверждается расчётами.
На рис. 20 приведены зависимости отношения δ λ от безразмерного волнового числа (обезразмеренного на радиус струи),
рассчитанные для незаряженной струи и различных значений
безразмерного коэффициента кинематической вязкости. Диапазон изменения безразмерного волнового числа λ естественным
образом характеризуется неравенствами: 0 < λ < 2π , где верхний
предел находится из условия обращения в ноль частоты в определении характерного масштаба пограничного слоя: δ L ≡ 2ν ω
(что соответствует проявлению капиллярной неустойчивости цилиндрической струи, сопровождающейся ее разбиением на отдельные капли под действием сил поверхностного натяжения
(см., например, [15, 34, 36])). При λ ≥ 2π частота s из комплекс105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ной величины становится чисто вещественной, что означает смену затухающего периодического волнового движения поверхности струи для волн из диапазона 0 < λ < 2π на апериодическое с
растущей во времени амплитудой в диапазоне λ ≥ 2π (при этом
квадрат мнимой части комплексной частоты s переходит из области положительных значений через ноль в область вещественных отрицательных значений, а положение такого перехода определяется условием ω 2 = 0 [34]). Из выражения для δ L видно, что
при ω → 0 толщина пограничного слоя неограниченно увеличивается. Это соответствует распространению вихревого движения
на весь объем струи.
Из рис. 20 видно, что левые и правые концы кривых загибаются кверху, что означает ограниченную применимость теории
пограничного слоя в соответствующих диапазонах длин волн.
Левые концы кривых увеличиваются при λ → 0 из-за того, что в
дроби δ λ длина волны стоит в знаменателе. Если построить чистые зависимости δ = δ (λ ) , то при λ → 0 они независимо от величины коэффициента кинематической вязкости сходятся в начале
координат.
Иными словами, при λ → 0 толщина пограничного слоя также стремится к нулю δ → 0 , но несколько медленнее, чем ~ λ .
Правые же концы кривых на рис. 20 увеличиваются при λ → 2π
за счет стремления частоты волны при таком переходе к нулю и
соответствующего неограниченного роста толщины пограничного слоя.
Поскольку обезразмеривание коэффициента кинематической
вязкости проведено на σ R ρ , то по заданному значению безразмерного коэффициента кинематической вязкости, например
ν = ν * , для конкретной жидкости можно найти минимальный радиус струи, для которого еще можно использовать обсуждаемую
теорию пограничного слоя: Rmin = ρ ⋅ν 2 σ ⋅ν *2 . Так, согласно
рис. 20, необходимую точность расчетов может обеспечить безразмерный коэффициент кинематической вязкости ν = ν * = 0.01,
для воды можно найти Rmin ≈ 150 μ m . При ν = ν * = 0.05 для воды
можно найти Rmin ≈ 6 μ m .
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из сказанного выше и рис. 20 следует, что предлагаемая модификация теории пограничного слоя применима для расчетов
волновых течений жидкости в струе маловязкой жидкости в диапазоне длин капиллярных волн, по отношению к которым струя
устойчива 0 < λ < 2π , за исключением некоторых окрестностей
(зависящих от величины безразмерного коэффициента кинематической вязкости) границ диапазона. Наличие на струе вязкой
электропроводной жидкости электрического заряда приводит к
некоторому смещению правой границы диапазона 0 < λ < 2π в
сторону меньших значений длин волн, поскольку электрический
заряд на струе играет дестабилизирующую роль для всех волн из
обсуждаемого диапазона длин [34].
4. Расчет осцилляций конечной амплитуды
заряженной капли маловязкой жидкости
в рамках теории пограничного слоя
Нижеследующее изложение проведено в соответствии с работами [29–31].
4.1. Постановка задачи
Пусть имеется сферическая капля идеально проводящей несжимаемой вязкой электропроводной жидкости радиуса r0 с массовой плотностью r , коэффициентами кинематической вязкости
n и поверхностного натяжения s , имеющая электрический заряд
Q, совершающая осцилляции вследствие создания в начальный
момент времени виртуальной осесимметричной деформации равновесной сферической формы капли. Зададимся целью исследовать аналитическим путем в линейном по амплитуде начальной
деформации приближении временную эволюцию осцилляций.
Все рассмотрение проведем в сферической системе координат r,
J , j с началом в центре масс невозмущенной сферической капли.
Поле скоростей течения
жидкости в капле, связанное с ее осцилur
ляциями, обозначим U (r , J , t ), возникающее при этом поле давлений – p (r , J , t ), связанное с движением жидкости, потенциалы
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
электрического поля в окрестности капли и на ее поверхности
обозначим f (r , J , t ) и f S (t ) соответственно. Уравнение свободной
поверхности осциллирующей капли в произвольный момент времени t запишем в виде
F (r , J , t ) є r - r0 - x( J , t ) = 0 .
(4.1)
Начальную деформацию капли зададим в виде суперпозиции
мод:
t = 0:
x( J ) є
е
hm
= e;
m ОX r0
е
hm ЧPm (m);
m ОX
mє cos J
;
(4.2)
где e – малый параметр, характеризующий амплитуду начальной
деформации; hm – константа, определяющая парциальный вклад
отдельной моды колебаний в форму начальной деформации;
Pm (m) – полином Лежандра; X – множество номеров мод, суперпозиция которых
определяет начальную деформацию капли. Отur
метим, что U (r , J , t ) и p (r , J , t ) являются величинами первого порядка малости по ε (или, что то же самое, по ξ (ϑ ) ).
Асимптотически корректная математическая формулировка
задачи о расчете осесимметричных капиллярных осцилляций заряженной капли, форма которой в начальный момент времени
определяется (4.1)–( 4.2), в линейном по ε приближении имеет
вид [37]:
ur
div U = 0 ;
(4.3)
ur
ur
1
¶ t U = - grad p + n ЧD U ;
r
(4.4)
ur
U ® 0;
r ® 0:
t = 0:
ur
U = 0;
(4.5)
Df = 0;
r ® +Ґ
ur
:
т n ЧС f
(4.6)
( ):
Сf ® 0;
r = r0 + x J , t
{
f = f S (t ) ;
dS = - 4p Q ; S = r , J , j r = r0 + x; 0 Ј J Ј p ; 0 Ј j Ј 2p
S
108
(4.7)
};
(4.8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ur
¶ t F + (U gС ) F = 0 ;
( ):
r = r0 + x J , t
ur ur r
ur
r ur
t g n gС U + n g t gС U = 0 ;
(
)
(
ur
ur ur
- p + 2 r n n g n gС U -
(
тr
V
2
sin J dr d J d j =
)
)
( ) + s Чdiv nur = 0 ;
1
С f
8p
2
(4.9)
(4.10)
(4.11)
4p 3
r0 ; V = r , J , j 0 Ј r Ј r0 + x; 0 Ј J Ј p ; 0 Ј j Ј 2p
3
{
}
(4.12)
®
тr
r 2 sin J dr d J d j = 0 .
(4.13)
V
r
Символ ¶ t означает частную производную по переменной t; t и
ur
n – орты касательной и внешней нормали к свободной поверхности капли, определяемой соотношением (4.1).
4.1.1. Вывод уравнений пограничного слоя
Хорошо известно [23], что поле скоростей течения вязкой
жидкости в капле может быть представлено в виде суммы потенциальной и вихревой компонент. Потенциальная компонента течения не изменяется при переходе к модели идеальной жидкости
(при ν → 0 ), наличие же вихревой компоненты течения всецело
обусловлено вязкостью реальной жидкости.
Согласно начальным условиям сформулированной задачи
(4.2) и (4.5) в начальный момент времени поверхность капли неподвижна и движение жидкости в капле отсутствует. При t > 0
под влиянием сил поверхностного натяжения, стремящихся вернуть капле сферическую форму, жидкость в капле начнет двигаться таким образом, чтобы были выполнены условия (4.9)–
(4.13). Периодическое движение свободной поверхности капли
вязкой жидкости будет приводить к образованию потенциальных
и вихревых движений. Вихри, рожденные на свободной поверхности, будут диффундировать к центру капли. Этот процесс может быть описан уравнением, которое несложно получить из линеаризованного уравнения Навье-Стокса (4.4), применяя к нему
операцию ротора:
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ur
ur
¶ t rot (U ) = n ЧD rot (U ).
(
)
Как видно из приведенного уравнения, процесс диффузии
вихря, рожденного на свободной поверхности, вглубь капли, определится величиной коэффициента кинематической вязкости
жидкости ν . При большом значении ν характерная глубина проникновения вихревого движения внутрь капли [8–9] (расстояние,
на котором амплитуда вихря за период осцилляций затухает в e
раз), пропорциональная ν , может быть значительной. При малой же вязкости вихревое движение будет локализовано в тонком
приповерхностном слое.
В соответствии с вышесказанным при модификации теории
пограничного слоя для расчета осцилляций капли маловязкой
жидкости будем считать, что в основном объеме капли, вдали от
ее свободной поверхности, движение жидкости является чисто
потенциальным. В тонком же пограничном слое у свободной поверхности капли движение жидкости будем представлять в виде
суммы потенциального и вихревого, как это принято при расчете
волновых течений вязкой жидкости [15]. При этом будем считать,
что вихревая компонента течения затухает с глубиной и заметно
убывает на некотором характерном масштабе d , который и будем
называть толщиной пограничного слоя.
Поля скоростей течения жидкости и давлений, связанных с
течением жидкости, представим в виде
ur
ur ( p )
ur (c )
U (r , J , t ) = U (r , J , t )+ U (r , J , t );
(4.14)
p (r , J , t ) є p ( p ) (r , J , t );
(4.15)
где индекс ( p ) соответствует потенциальному движению, а (c ) –
вихревому. При записи выражения для давления в жидкости учитывалось, что согласно [15] в расчетах первого порядка малости
давление в жидкости целиком определяется потенциальной компонентой поля скоростей, вклад вихревой компоненты поля скоростей в формирование поля давлений в жидкости пропорционален квадрату вихревой компоненты скорости и в расчетах первого порядка малости должен быть опущен.
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставляя (4.14)–(4.15) в уравнение неразрывности (4.3) и
линеаризованное уравнение Навье-Стокса (4.4), получим уравнения, описывающие потенциальное движение:
ur ( p )
1
¶ t U = - grad p( p ) ;
r
ur ( p )
div U = 0 ;
(4.16)
и уравнения для вихревой компоненты поля скоростей:
ur (c )
div U = 0 ;
(4.17)
ur (c )
ur (c )
¶ t U = - n rot rot U
(
).
(4.18)
Уравнения (4.17) и (4.18) выпишем в проекциях на орты сферической системы координат:
1
1
2
U r(c ) +
¶ J sin (J )ЧU J(c ) = 0 ;
2 ¶r r Ч
r sin (J )
r
(
¶ tU r(c ) =
n
¶J
r sin (J )
(
)
)
ж
ц
1
1
цч
зsin (J )зж
з ¶ JU r(c ) - ¶ rU J(c ) - U J(c ) ч
;
ч
зи
ч
з
иr
шч
ш
r
ж
2
1
ц
ч.
¶ tU J(c ) = n зз¶ rrU J(c ) + ¶ rU J(c ) - ¶ r JU r(c ) ч
ш
и
r
r
(4.19)
(4.20)
(4.21)
Несложно видеть, что в системе трех уравнений (4.19)–(4.21) определению подлежат лишь две неизвестных величины U r(c ) и U J(c ) .
Сказанное означает, что из уравнений (4.19)–(4.21) одно должно
быть отброшено. Для разрешения этой проблемы и чтобы получить приближенные уравнения, описывающие вихревые компоненты поля скоростей внутри погранслоя, оценим отдельные слагаемые, входящие в уравнения (4.19)–(4.21). Для этого учтем, что
вихревые составляющие поля скоростей как функции координаты
r должны заметно меняться на характерном линейном масштабе,
равном толщине пограничного слоя d , а как функции от полярного угла J должны заметно меняться на характерном угловом
масштабе, равном p . Следовательно, при оценке отдельных вихревых слагаемых производные по радиальной и по угловой пере111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
менным будем оценивать на основе соотношений: ¶ r ® 1/ d ,
¶ J ® 1/ p .
Оценивая компоненты уравнения (4.19), найдем
жU (c ) ц
1
2
(c )
ч
;
U r : O ззз r ч
ч
2 ¶r r Ч
ч
зи d ш
r
(
)
жU (c ) ч
ц
1
(c )
з
J ч
¶ J sin (J )ЧU J : O зз
.
ч
ч
зи r0p ш
r sin (J )
(
)
Приравнивая порядки вышеуказанных величин, несложно найти
оценку для угловой компоненты поля скоростей по сравнению с
радиальной компонентой:
жr p
ц
U J(c ) : O зз 0 U r(c ) ч
.
ч
иd
ш
(4.22)
Из (4.22) видно, что если толщина пограничного слоя d < < p r0 , то
r
проекция вихревой компоненты скорости на направление e J существенно превосходит по величине проекцию вихревой компоr
ненты скорости на направление e r , что является основным свойством пограничного слоя, прилегающего к свободной поверхности жидкости.
Для того чтобы иметь возможность оценить производные от
вихревых компонент скорости по времени, содержащиеся в уравнениях (4.20), (4.21), выпишем уравнение для вихря скорости:
ж1
ц
1
1
ч
;
¶ t (W) = n ззз 2 ¶ r (r 2¶ r W) + 2
¶ J (sin (J )¶ J W)- 2 2
Wч
ч
зиr
r sin (J )
r sin (J ) ч
ш
где
ur
Wє (rotU )
j
r
– проекция ротора скорости на направление e j .
Производя оценку каждого слагаемого, найдем характерное время диффузии вихря скорости T : O (d2 / n ).
Учитывая оценку (4.22), а также оценку для характерного
времени диффузии вихря Т, оценим каждое слагаемое в уравнении (4.20)
жU (c ) ц
ж n
ц
n
1
ц
жn
ч
ч
;
¶ J sin (J )¶ JU r(c ) : O зз 2 2 U r(c ) ч
;
¶ tU r(c ) : O ззз r ч
= O зз 2 U r(c ) ч
ч
ч
ч
зиp r
иd
ш r sin (J ) r
ч
ч
зи T ш
ш
0
(
112
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ж n (c ) ц
n
n
1
ц
жn
(c )
зз U ч
ч
¶
sin
J
;
U
:
O
.
¶ J sin (J )¶ rU J(c ) : O зз 2 U r(c ) ч
(
)
J
J
ч
ч
зиr d r ш
и
ш
ч
r sin (J )
r sin (J ) r
d
0
(
(
)
)
(4.23)
Примем во внимание, что согласно сказанному выше (см. также
[1]) толщина пограничного слоя δ  ν . Тогда из (4.23) видно, что
в пределе ν → 0 первая и третья компоненты имеют тот же порядок малости что и U r(c ) , а остальные стремятся к нулю.
Оценивая слагаемые в уравнении (4.21), с учетом (4.22) и
оценки характерного времени диффузии вихря T = O (d2 / n ), найдем
жU (c ) ц
ц
жnr p
ч
;
¶ tU J(c ) : O ззз J ч
= O зз 03 U r(c ) ч
ч
ч
ш
ч
иd
зи T ш
2n
ж2np
ц
¶ rU J(c ) : O зз 2 U r(c ) ч
;
ч
иd
ш
r
жnr p
ц
;
n ¶ rrU J(c ) = O зз 03 U r(c ) ч
ч
иd
ш
жn
ц
n
ч
U r(c ) ч
¶ r JU r(c ) : O зз
ч.
зиr pd
ч
r
ш
0
Несложно видеть, что в уравнении (4.21) наиболее значимыми
слагаемыми являются ¶ tU J(c ) и n Ч¶ rrU J(c ) , имеющие порядок
(
O nr0p U r(c ) / d3
) и растущие в пределе ν → 0 . Остальные компоненты
уравнения (4.21) в пределе ν → 0 либо убывают, либо не изменяются.
Таким образом, из проведенных оценок следует, что в системе дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка (4.20)–(4.21), описывающих вихревую компоненту течения жидкости в капле, уравнение (4.20) состоит из слагаемых,
много меньших в пределе ν → 0 наиболее значимых компонент
уравнения (4.21). В итоге в асимптотике малой вязкости уравнение (4.20) должно быть отброшено, а в уравнении (4.21) оставлены лишь два слагаемых, величина которых растет при ν → 0 :
¶ tU J(c ) = n Ч¶ rrU J(c ) .
(4.24)
Уравнения (4.19), (4.24) и дают нам искомую систему уравнений пограничного слоя в окрестности осциллирующей свободной поверхности капли вязкой жидкости.
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.1.2. Решение уравнений пограничного слоя
Система уравнений, описывающая динамику заряженной капли маловязкой жидкости, содержит в себе уравнения (4.16),
(4.19), (4.24), а также граничные и начальные условия (4.2), (4.5),
и (4.9)–(4.13). Кинематическое и динамические условия для касательных и нормальных компонент тензора напряжений (4.10)–
(4.11), а также условие постоянства объема (4.12) и условие неподвижности центра масс (4.13) оставляем неизменными. Электростатическую задачу (4.6)–(4.7) с условием постоянства заряда
(4.8), на основе которых рассчитывается давление электрического
поля на поверхность капли, модификации также не подвергаем.
Решение сформулированной задачи будем искать методом
прямого разложения по малому параметру e , имея в виду, что ξ ,
U J(c ) ,U r(c ) , U r( p ) , U J( p ) являются величинами первого порядка по ε , а
давление внутри жидкости и электростатический потенциал
имеют компоненты и нулевого порядка малости. Поэтому давление и потенциалы представим в виде асимптотических разложений:
(
)
(
)
(
)
p ( p ) r , J , t = p0( p ) r , J , t + p1( p ) r , J , t + O (e2 );
(
)
( )
(
)
(1)
2
f r , J , t = f (0) r , t + f (1) r , J , t + O (e2 ); f S (t ) = f (0)
S (t ) + f S (t ) + O (e ),
где величины с индексом «0» имеют нулевой порядок малости, а
величины с индексом «1» – первый. Подставляя данные разложения в систему уравнений (4.16), (4.19), (4.23), (4.24), (4.5)–(4.13) и
выделяя слагаемые нулевого порядка малости, получим задачу
для расчета равновесного состояния:
D f (0) = 0 ;
r ® +Ґ :
С f (0) ® 0 ;
1
r = r0 :
f
(0)
= f
(0)
S (t )
;
- p
(0)
-
pQ(0)
+
ps(0)
= 0;
2
т r0 ¶ r f
d m= - 2Q ;
(0)
- 1
имеющую решение:
f (0) =
Q
r
;
f (0)
S =
Q
r0
;
p (0) +
114
Q2
2s
4 =
r0
8 p r0
.
(4.25)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выделяя слагаемые первого порядка малости, получим задачу для расчета полей скоростей, давления и электростатических
потенциалов, связанных с линейными осцилляциями капли:
1
1
2
U r( p ) +
¶ J sin (J )ЧU J( p ) = 0 ;
2 ¶r r Ч
r sin (J )
r
(
(
)
¶ tU r( p ) = -
1
¶ r p1( p ) ;
r
)
¶ tU J( p ) = -
1
1
2
U r(c ) +
¶ J sin (J )ЧU J(c ) = 0 ;
2 ¶r r Ч
r sin (J )
r
(
(
)
ur ( p ) ur (c )
t = 0: U + U = 0; x =
е
)
1
¶ J p1( p ) ;
rr
¶ tU J(c ) = n ¶ r ,rU J(c ) ;
ur ( p )
ur (c )
hm ЧPm (m); r ® 0 : U ® 0 ; U ® 0 ;
m ОW
D f (1) = 0 ;
r ® +Ґ
:
С f (1) ® 0 ;
¶ t x = U r( p ) + U r(c ) ; ¶ rU J( p ) + ¶ rU J(c ) +
- p( p ) + 2 r n ¶ rU r( p ) + 2 r n ¶ rU r(c ) 1
т (r0 ¶ r f
(1)
(
+ x r0 ¶ rr f
(0)
+ 2 ¶ rf
- 1
r = r0 :
f (1) + x ¶ r f (0) = f (1)
S (t ) ;
1
1
1
1
¶ JU r( p ) + ¶ JU r(c ) - U J( p ) - U J(c ) = 0 ;
r
r
r
r
1
s
¶ r f (0) ¶ r f (1) + x ¶ rr f (0) - 2 (2 + D W)x = 0 ;
4p
r0
(
(0)
)
1
1
- 1
- 1
)) d m= 0 ; т x Чd m= 0; т x ЧP1 (m) d m= 0;
(4.26)
где D W – угловая часть оператора Лапласа в сферических координатах.
В системе (4.26) выполним преобразование Лапласа по времени [38]
+Ґ
f (S ) =
т
(
)
f (t ) Чexp - S t d t = Б [f (t )];
0
f = {U r( p ) ; U J( p ) ; U r(c ) ; U J(c ) ; p1( p ) ; x ; f (1) ; f (1)
S },
а изображения Лапласа разложим в ряд по полиномам Лежандра
и их производным [39]
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+Ґ
( ) е
xn (S )ЧPn (m);
x J, S =
n= 0
(
+Ґ
) е
U r( p ) r , J , S =
n=1
(
+Ґ
) е
U J( p ) r , J , S =
(
+Ґ
) е
(
) е
( )
(
( )
(
+Ґ
) е
( )
U J(cn) r , S ¶ J Pn (m);
n=1
+Ґ
) е
p1(np ) r , S Pn (m); f (1) r , J , S =
n=1
( )
U r(cn) r , S Pn (m);
n=1
U J( pn) r , S ¶ J Pn (m); U J(c ) r , J , S =
n=1
p1( p ) r , J , S =
( )
+Ґ
U r( pn) r , S Pn (m); U r(c ) r , J , S =
( )
f (1)
n r , S Pn (m).
n= 0
(4.27)
Подставляя разложения (4.27) в образ Лапласа системы
(4.26), найдем
¶ rU r( pn) (r , S )+
SU r( pn) (r , S ) = -
2 ( p)
n (n + 1) ( p )
U r n (r , S )U J n (r , S ) = 0 ;
r
r
1
¶ r p1(np ) (r , S );
r
¶ rU r(cn) (r , S )+
SU J( pn) (r , S ) = -
1 ( p)
p1n (r , S );
rr
2 (c )
n (n + 1) (c )
U r n (r , S )U J n (r , S ) = 0 ;
r
r
SU J(cn) (r , S ) = n ¶ rrU J(cn) (r , S );
(4.28)
(4.29)
(4.30)
(4.31)
r ® 0 : U r( pn) (r , S ) ® 0 ; U J( pn) (r , S ) ® 0 ; U r(cn) (r , S ) ® 0 ; U J(cn) (r , S ) ® 0 ;
(4.32)
( )
¶ rr f (1)
n r, S +
r ® +Ґ
( )
( )
:
( )
( )
¶ r f (1)
n r, S ® 0 ;
f (1)
n r, S ® 0 ;
( )
r = r0 :
(0)
f (1)
= f (1)
n r , S + xn (S ) ¶ r f
S (S )Чdn
1
r = r0 :
2
(1)
¶ r f (1)
n r , S - n (n + 1) f n r , S = 0 ;
r
+Ґ
т nе= 0
(r
0
( )
(
(0)
¶ r f (1)
+ 2 ¶ r f (0)
n r , S + xn (S ) r0 ¶ rr f
(4.33)
(4.34)
0
;
(4.35)
)) Pn (m) d m= 0 ;
- 1
(4.36)
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
+Ґ
т nе= 0
1
xn (S )ЧPn (m) d m= 0;
- 1
+Ґ
т nе= 0
xn (S ) ЧPn (m) ЧP1 (m) d m= 0;
(4.37)
- 1
r = r0 :
S xn (S )- hn = U r( pn) (r , S )+ U r(cn) (r , S );
( )
( )
¶ rU J( pn) r , S + ¶ rU J(cn) r , S +
-
(4.38)
1 ( p)
1 (c )
U rn r , S + U rn
r, S r
r
( )
( )
1 ( p)
1
U J n r , S - U J(cn) r , S = 0 ;
r
r
( )
( )
( )
( )
(4.39)
( )
( p)
(c )
- p1(np ) r , S + 2r n¶ rU rn
r , S + 2r n¶ rU rn
r, S -
-
s
1
(0)
¶ r f (0) ¶ r f (1)
+ 2 (n + 2)(n - 1) xn (S ) = 0 ;
n r , S + xn (S ) ¶ rr f
4p
r0
(
)
( )
(4.40)
где dn 0 – символ Кронекера.
Решение системы (4.28)–(4.40) начнем с уравнений (4.28)–
(4.29), которые несложно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению типа Эйлера для давления и получить решение, удовлетворяющее условиям ограниченности (4.32), вида
p1(np ) (r , S ) = -
A (S ) n - 1
rS
An (S )Чr n ; U r( pn) (r , S ) = An (S )Чr n - 1 ; U J( pn) (r , S ) = n
.
r
n
n
(4.41)
Вихревые компоненты поля скоростей несложно найти, решая
систему (4.30)–(4.31) и удовлетворяя условиям ограниченности
(4.32):
ж S ч
ц
U J(cn) (r , S ) = B n (S )Чsh зз
rч
;
ч
ч
зи n ш
(c )
U rn
(r , S ) = B n (S )
ц 1 n ж S ч
цц
n (n + 1) n зж зж S ч
ч
з
ч
ч
ч
ch
r
sh
r
з зз
з
ч.
ч
ч
з
з
ч
чч
r
S зи и n ш r S
и n шш
(4.42)
Далее из условия (4.37), используя ортогональность полиномов
Лежандра, найдем x0 (S ) = x1 (S ) = 0 . Используя эти условия и решение нулевого порядка малости (4.25), нетрудно найти решение
электростатической задачи (4.33) с условиями ограниченности
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(4.34), условием постоянства потенциала поверхности (4.35) и
условием неизменности заряда (4.36)
( )
f (1)
S (S ) = 0 ;
f (1)
n r, S =
Q
r02
n+1
жr0 ц
зз ч
xn (S ).
ч
иr ш
(4.43)
Подставляя выражения (4.41)–(4.43) в систему граничных условий: кинематического (4.38) и динамических (4.39)–(4.40), и учитывая (4.25), несложно найти коэффициенты An (S ), B n (S ), xn (S ),
которые с учетом слагаемых не выше первого порядка малости
по величине коэффициента кинематической вязкости примут вид:
ц
n ч
1 ж
зз
2
ч
+ O n 3/ 2
An (S ) = 1 + 2 (n - 1) 2 ч
n- 1 з
ч
Dn (S ) r0 ззи
S r0 ш
ч
hn wn2
(
hn wn2
2 (n - 1)
B n (S ) =
n
Dn (S )ch S n- 1 r0
(
xn (S ) =
)
n ззж
з1 +
S r0 ззи
ц
ч
ч
S n- 1 r0 ч
+ O n 3/ 2
ч
ч
ш
(
)
ц
nч
hn ж
ч + O n 3/ 2
зззS + 2 (n - 1)(2n + 1) 2 ч
ч
Dn (S )и
r0 ш
Dn (S ) = S 2 + 2 (n - 1)(2n + 1)
wn2 =
n
th
S r0
s
n (n - 1)(n + 2 - W ),
r r03
nS
r02
);
(
);
(
);
+ wn2 + O n 3/ 2
W =
Q2
4ps r03
(
);
(4.44)
.
Из выражений (4.44) видно, что изображения Лапласа величин xn (S ), p1(np ) (r , S ), U rn( p ) (r , S ), U J( pn)(1) (r , S ), U J(cn) (r , S ), U rn(c ) (r , S ), для которых справедливы выражения (4.41)–(4.42), являются аналитическими функциями во всей комплексной плоскости за исключением точек, в которых Dn (S ) = 0 . Дисперсионное уравнение
Dn (S ) = 0 , полученное выше в рамках модели пограничного слоя,
имеет два комплексно сопряженных корня
S n( + ) = - gn + i v
n
;
S n(- ) = - gn - i v
118
n
,
(4.45)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
gn = (n - 1)(2n + 1)n / r02 ,
v
=
n
wn2 - gn2
.
С учетом сказанного, формула обратного преобразования
Лапласа запишется в виде:
1
f (t ) =
2p i
a +iҐ
f (S )exp (St )dS = res( + ) (f (S )exp (St ))+ res( - ) (f (S )exp (St )).
т
S=S
a- i Ґ
S=S
(46)
Подставляя коэффициенты (4.44) в выражения (4.41)–(4.42),
учитывая (4.46), найдем решение задачи первого порядка малости
по амплитуде начального отклонения поверхности капли
ж
ц
g
ч
xn (t ) = hn ззcos v n t + n sin v n t ч
exp (- gn t );
ч
зи
ч
vn
ш
(
p1(np ) (r , t ) =
r
wn2
(
)
ц
цn exp (- gn t )зж
ч
ч
ззcos (v n t )+ (n - 1)2 n sin (v n t )ч
ч
;
ч
ч
ч
ч
з
n
r
v
ч
ш
з
0
n 0
ш
и
жr
hn r0 зз
зиr
ц
цn - 1 жwn2
n
2
ч
ч
з
ч
ч
t
n
t
sin
2
1
cos
v
v
(
)
(
)
з
(
)
n
n чexp (- gn t );
ч
ч з
ч
r02
ш
0 ш иv n
( p)
U rn
(r , t ) =
жr
- hn зз
зиr
U J( pn) (r , t ) =
h
- n
n
U J(cn)
)
n- 1
жwn2
ц
ц
n
2
ч
ч
з
ч
ч
t
n
t
sin
2
1
cos
v
v
(
)
(
)
з
(
)
n
n чexp (- gn t );
ч
ч з
ч
r02
ш
0 ш иv n
жr
ззз
иr
й (- ) sh c (- )r
n
к hn
exp (- i v n t )к (- )
кc n r0 ch c (n- )r0
кл
(
(
2
(n - 1) i hn wn
(r , t ) =
vn
n
)
)
(+ )
щ
h(n+ ) sh c n r
ъ
exp
i
t
- (+ )
v
(
)
ъexp (- gn t );
n
ъ
c n r0 ch c (n+ )r0
ъ
ы
(
(
)
)
й
2 i h кж
sh c (n- )r
з
w
n
(c )
2
(- )
n
з
кзch c n r U rn (r , t ) = (n - 1)
v n r0 r кззз
c (n- )r
кли
(
119
)
(
)чччц exp (- i v n t ) ч
2
ч
ч(c (n- ) ) ch (c (n- )r0 )
ш
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ж
sh c (n+ )r
зз
(+ )
- ззch c n r c (n+ )r
ззи
(
)
c (n- ) =
h(n- )
(
= 1+
- iv
n
- gn
n
(
th c (n- )r0
c
(- )
n r0
)чччц exp (i v n t ) ъъщexp - g t ;
( n )
ч
ъ
ч
(+ ) 2
(+ )
ч
ш(c n ) ch (c n r0 )ъ
ы
;
c (n+ ) =
);
h(n+ )
iv
= 1+
n
- gn
n
(
;
th c (n+ )r0
c
(+ )
n r0
(4.47)
).
4.1.3. Оценка толщины пограничного слоя
Напомним, что выражения (4.47) являются не точными решениями уравнений гидродинамики, а получены при частичном учете в линеаризованном уравнении Навье – Стокса вязких слагаемых, поэтому они будут хорошо описывать точное решение задачи только при малой вязкости жидкости, то есть в условиях, когда
вихревая компонента решения будет отлична от нуля лишь в тонком приповерхностном слое толщиной d = p r0 . Для завершения
предпринятой модификации теории пограничного слоя для расчета осцилляций заряженной капли вязкой жидкости остается оценить толщину пограничного слоя, возникающего вблизи свободной поверхности осциллирующей капли маловязкой жидкости.
Для оценки толщины пограничного слоя можно использовать
тот факт, что вихрь скорости, рождаясь на свободной поверхности жидкости, диффундирует вглубь капли на некоторое характерное расстояние и затухает. Это характерное расстояние естественно принять за толщину пограничного слоя d . В итоге для
вихря скорости можно найти приближенное выражение
ur
rot U (r , J , t ) =
ж
ц
uur
ч
зз
ч
W
¶
m
r
,
t
P
ej ;
(
)
(
)
е
ч
n
J
n
зз
ч
иn ОX
ш
uur
где ej – азимутальный орт сферической системы координат.
(- )
(- )
2 й
ж
l (n- ) sh c n r
(n - 1) i hn wn к (- ) зз (- ) ch c n r
Wn (r , t ) =
+ (- )
кhn зbn
(- )
v n r0 к ззз
n
c n r ch c (n- )r0
c
ch
r
n 0
кл и
(
(
120
)
)
(
(
) чцччexp - i v t ( n )
ч
ч
)шч
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ж
-
з
h(n+ ) зззb(n+ )
з
зи
l
(- )
n
( )+
ch (c (n+ )r0 )
= 1+
b(n- ) = 1 -
(+ )
l (n+ ) sh c n r
c (n+ )r ch c (n+ )r0
n (n + 1)
(
c
(- ) 2 2
r
n
)
;
n (n + 1)
(
c
) ччцчexp i v t щъexp - g t ;
( n )
ч ( n )ъ
ъ
)шчч
ъ
ы
(
(
ch c (n+ )r
(- ) 2 2
r
n
)
l
;
(+ )
n
= 1+
n (n + 1)
(
2
)
c (n+ ) r 2
n (n + 1)
b(n+ ) = 1 -
(
2
)
c (n+ ) r 2
(4.48)
;
.
При малых значениях коэффициента кинематической вязкости:
n ® 0 , для коэффициентов выражения (4.48), при v n № 0 и r < r0
можно найти асимптотические значения входящих коэффициентов:
c
(± )
n
® Ґ
;
h(n± )
® 1;
l
(± )
n
® 1;
b(n± )
® 1;
( )®
c (n± ) ch (c (n± )r0 )
1
sh c (n± )r
0;
с учетом которых, выражение для вихря Wn (r , t ) можно переписать в приближенном виде
(n - 1) ihn wn2
Wn (r , t ) =
v n r0
n
(
(
)
)
жch c (- )r
зз
n
exp (- i v n t )зз
ззиch c (n- )r0
( ) exp i v t цчччexp - g t .
( n )ч ( n )
ч
ch (c (n+ )r0 )
ч
ш
ch c (n+ )r
(4.49)
Выражение (4.49) содержит величины c (n± ) , численные значения которых зависят от коэффициента вязкости n и заряда Q капли, характеризуемого параметром Рэлея W = Q 2 / (4ps r03 ). Пусть
величина параметра Рэлея W лежит в диапазоне значений
0 Ј W < W * , где W * – значение, разделяющее при фиксированной
вязкости жидкости периодические и апериодические движения
свободной поверхности капли. (Известно (см., например, [40]),
что в зависимости от номера моды осцилляций при любой отличной от нуля величине коэффициента вязкости существует такое
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
значение параметра Рэлея W * , что при W < W * поверхность капли
может совершать периодические движения, т. е. осциллировать, а
при W * і W поверхность капли может двигаться только апериодически). В области W < W * корни (4.45) будут комплексно сопряженными и поверхность капли будет осциллировать, что возможно в случае v n2 > 0 . Величины c (n± ) также будут комплексно
сопряженными:
±i v
c (n± ) =
Если
- gn
n
=
n
wn - gn
±i
2n
wn + gn
2n
.
параметр Рэлея W
лежит в пределах
W * < W < W cr = n + 2 , когда свободная поверхность капли совершает апериодические, но устойчивые движения (при v n2 < 0 и
v n - gn < 0 ), то величины c (n± ) будут чисто мнимыми:
c (n+ ) =
же
iv
n
- gn
n
= i
v
n
+ gn
n
; c (n- ) =
- iv
n
- gn
n
= i
- v
n
+ gn
n
.
Если величина параметра Рэлея будет удовлетворять условию W > W cr = n + 2 , то поверхность капли будет неустойчивой по
отношению к собственному заряду (при этом v n2 < 0 и
v n - gn > 0 ), а величины c (n+ ) и c (n- ) имеют значения:
c (n+ ) =
iv
n
- gn
n
= i
v
n
+ gn
n
;
c (n- ) =
- iv
n
n
- gn
=
v
n
- gn
n
.
Анализируя выражение (4.49), несложно видеть, что в случае,
когда параметр Рэлея W * < W < W cr = n + 2 , то есть когда свободная
поверхность капли совершает апериодические, но устойчивые
движения, вихрь скорости жидкости будет периодической функцией координаты r и не будет иметь явно выраженного множителя, затухающего при r ® 0 , в связи с чем вихревое движение
будет проникать в глубь капли на значительное расстояние и развитая выше теория пограничного слоя в данной ситуации будет
не применима. Анализ показывает, что для маловязкой жидкости
диапазон W * < W < W cr весьма узок, а то обстоятельство, что в
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
этом диапазоне вихревое движение заполняет весь объем капли,
по всей видимости, связано с закономерностями реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости по отношению
к избыточному заряду. Согласно [41] при приближении поверхностной плотности заряда к критической для реализации неустойчивости свободной поверхности жидкость под свободной поверхностью становится неустойчивой по отношению к возникновению в ней вихревых движений конвективного типа даже в отсутствии градиентов температуры.
Если параметр Рэлея лежит в диапазоне 0 Ј W < W * и поверхность капли совершает периодические движения или
W > W cr = n + 2 , а поверхность капли претерпевает неустойчивость, в выражении (4.49), можно выделить экспоненциальные
множители, быстро убывающие при r ® 0 , а следовательно, можно определить и толщину пограничного слоя, в котором будет
локализовано вихревое движение. Так, при параметре Рэлея
0 Ј W < W * , используя вышеприведенные оценки для величин c (n± )
и асимптотические равенства для гиперболических функций
ch (z 1 ± iz 2 ) = cos (z 2 )ch (z 1 )± i sin (z 2 )sh (z 1 ) @
exp (z 1 )
(cos (z 2 )± i sin (z 2 ));
2
справедливые при z 1 ® Ґ , выражение (4.49) при условии r № 0
можно переписать в виде
Wn (r , t ) =
ц
ж w - gn
ц зж wn + gn
2 (n - 1)hn wn2
ч.
+
v
exp зз n
r - r0 )- gn t ч
sin
r
r
t
(
(
)
ч
з
n ч
0
ч
ч зи
з
ч
и
ш
n v n r0
2n
2n
ш
(4.50)
При W > W cr = n + 2 , с учетом асимптотического выражения
ch (z ) @ exp (z )/ 2 , справедливого при z ® Ґ , и приведенных выше
оценок для c (n± ) , выражение (4.49) принимает асимптотический
вид:
ж v
(n - 1) hn wn2
з
Wn (r , t ) =
exp зз
зи
n
v n r0
n
ц
- gn
ч
(r - r0 )чччexp ( v
n
ч
ш
123
n
t - gn t ).
(4.51)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При записи (4.51) учтено только первое слагаемое (4.49), поскольку именно оно неограниченно возрастает во времени, формируя пограничный слой.
Анализируя выражения (4.51) и (4.50), несложно видеть, что
амплитуда вихря скорости имеет максимальное значение при
r = r0 , то есть на свободной поверхности капли, и затухает в глубь
капли, уменьшая свою амплитуду в e @ 2.718 раз на характерном
линейном масштабе 2n / (wn - gn ) при 0 Ј W < W * или на масштабе
при W > W cr = n + 2 . Данные характерные линейные
масштабы и определяют характерную толщину d пограничного
слоя вблизи свободной поверхности заряженной капли вязкой
жидкости при различных значениях параметра Рэлея:
n / (v
n
- gn )
м
п
п 2n / (wn - gn ),
d= п
н
п
n / ( v n - gn ),
п
п
о
0 Ј W < W *;
W > W cr = n + 2.
(4.52)
Выделим теперь область физических параметров n и W , в которых предлагаемая модификация теории пограничного слоя может быть использована с заранее заданной точностью.
Пусть, например, требуется провести расчет с точностью
(c )
U r / U J(c ) = Q : d / (r0p ), где Q – допустимая погрешность, тогда соотношение d : Q Чr0p совместно с (4.52) дает связь между предельными значениями коэффициента вязкости n и параметра Рэлея W , при которых можно воспользоваться развитой теорией
пограничного слоя. Результаты подобного расчета приведены на
рис. 21, где для заданного Θ выделены области А и В, в которых
возможно использование теории пограничного слоя, и область С,
в которой нужно пользоваться строгой теорией. Отметим, что все
кривые на рис. 21 и на всех нижеследующих рисунках рассчитаны в безразмерных переменных, в которых r = s = r0 = 1 , для основной моды осцилляций n = 2 .
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 21. Тория пограничного слоя применима в областях A и B ,
но не применима в области C . Сплошной кривой нанесены результаты
расчета при Q = 0.09 , пунктирной кривой – при Q = 0.05
4.2. Анализ полученных результатов
В целях оценки точности предлагаемой модификации теории
пограничного слоя для расчета осцилляций заряженной капли
вязкой жидкости проведем сравнение найденного решения с точным решением системы (4.1)–(4.13), найденным в [37] и имеющим вид
+Ґ
xn (t ) =
е
k= 1
U rn
ж
з
з
r , t = е hn ззan S n(k )
зз
k= 1
и
( )
+Ґ
( )
UJn
( )
+ bn S n(k )
(
( )
hn a x n S n(k ) exp S n(k ) t
(
(
( )
+Ґ
цn - 1
ч
ч
+
ч
ч
0ш
жr
зз
зиr
( )
)чччцщъexp (S n(k )t );
ъ
ч
ч
ъ
ч
) шъы n
(k )
ж j c (k )r
зз 1 n n
c (nk )r0 jn + 1 c n r
+
з
n + 1 jn c (nk )r0
зззиr jn c (nk )r0
(
(
)чцчч exp S (k ) t ;
(n )
ч
)чшчч
n- 1
jn c (nk ) r
ц
1
ч
ч
+ bn S n(k )
ч
ч
r jn c (nk ) r0
0ш
ж
зз r
зиr
й
r , t = е hn ккan S n(k )
кл
k= 1
( )
);
)
)
(
(
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(r , t ) = -
pn(1)
( )
a x n S n(k )
+Ґ
е
r r0 hn
( )
an S n(k )
k= 1
S n(k )
- 1
) чччц
ч
)шчч
(
(
wn2
2
S n(k )
( )= ( )
Dn S n(k )
ж
S n(k )n зз
1) 2 зз1 r0 зз
и
c
(k )
n r0
2
( )
¶ S ( k ) Dn S n(k )
n
;
)
)
;
ц- 1
wn2 n
ч
ч
ч
ч
(k )
(k )
ч
ч
ш r0 S n ¶ S n( k ) Dn S n
)
)
(k )
ж
зз
2 j n + 1 c n r0
2
= 2 (n - 1) зз1 - (k )
c n r0 jn c (nk )r0
з
зи
+ 2 (n - 1)2 (n +
( )
(
(
(
(
( )
ъ
1
ъ
ъ¶ ( k ) D S (k )
ъ Sn n n
ы
ж
ц
ц
jn c (nk )r0
r02 S n(k ) ч
ч
зззж 2
1
ч
ч
ч
1
= зззз2 (n - 1)+
ґ
ч
ч
ч
зз
ч
ч 2 c (nk )r0 jn + 1 c (nk )r0
n ш
зи
ч
зи
ш
(k )
ж
зз
c (nk )r0 jn c n r0
ґ зз1 2 jn + 1 c (nk )r0
ззи
bn S n(k )
; (4.53)
- 1щ
) чччц
ч
)шчч
(
(
( )
)
й
к
n
= кS n(k ) + 2 (n - 1)(2n + 1) 2 +
к
r0
кл
(k )
ж
n зз
c (nk )r0 jn c n r0
2
+ 2 (n - 1) (n + 1) 2 зз1 2 jn + 1 c (nk )r0
r0 зз
и
an S n(k )
(
(k )
цn exp S n t
ч
ч
ч
ч
n
ш
0
жr
зз
зиr
( )
;
S n(k )n
+ 2 (n - 1)(2n + 1) 2 +
r0
- 1
jn c (nk )r0 ц
ч
ч
ч
+ wn2 ;
ч
(k )
ч
jn + 1 c n r0 ш
ч
(
(
)
)
c (nk ) є
S n(k ) / n ,
где S n(k ) – корень дисперсионного уравнения Dn (S n(k ) ) = 0 , а
(
jn c (nk )r
) – модифицированная сферическая функция Бесселя пер-
вого рода [42].
Используя точное решение (4.53), найдем выражение для ротора скорости в первом порядке малости по амплитуде начальной
деформации равновесной сферической формы капли:
ur
rot U (r , J , t ) =
ж
цuur
ч
чej ;
ззз е Wn (r , t )Ч¶ J Pn (m)ч
ч
зиn ОX
ш
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( )
(
(
)
(
)
hn bn S n(k ) S (k ) j n c (nk )r
n
Wn (r , t ) = е
exp S n(k )t
k
(
)
n jn c n r0
k = 1 n (n + 1)
+Ґ
).
(4.54)
Дисперсионное уравнение Dn (S n(k ) ) = 0 и выражение для вихря
(4.54) перепишем в асимптотике малой вязкости: n ® 0 и получим:
2
( ) ( )
Dn S n(k ) є S n(k )
+ 2 (n - 1)(2n + 1)
(
S n(k )n
2
2 + wn = 0 ;
r0
)
2
exp c (nk ) (r - r0 )
2 (n - 1) wn hn
Wn (r , t ) = е
exp S n(k )t
(
k
)
n
r
¶ S Dn S n
k= 1
+Ґ
( )
(
).
(4.55)
(4.56)
При записи (4.55) и (4.56) было использовано асимптотическое
представление модифицированной сферической функции Бесселя
первого рода [42]:
jn (z ) =
ц
exp (z )ж
1 цч
зз1 + O зж
з ч
;
ч
ч
иz шч
ш
2 z зи
z® Ґ
.
Использование этого соотношения означает, что выражения
(4.55)–(4.56) будут хорошо описывать вихрь только когда c (nk ) Чr
велико. Иначе говоря, в центре капли выражения (4.55)–(4.56) не
работают. Тем не менее данное ограничение не сильно сказывается на расчетной величине вихря в окрестности начала координат.
Дисперсионное уравнение (4.55) имеет корни, определенные
выражениями (4.45), а выражение для вихря (4.56) можно привести к виду, схожему с выражениями (4.50)–(4.51). Так, в частности, выбирая значения параметра Рэлея W из различных диапазонов и анализируя, как и выше, величины c (nk ) , выражение (4.56)
можно привести к виду
ц
ж w - gn
ц ж
2 (n - 1)hn wn2
з wn + gn (r - r )+ v t ч
ч
,
Wn (r , t ) =
ч
exp зз n
r - r0 )- gn t ч
sin
(
з
0
n ч
ч и
з
з
ч
и
ш
n v nr
2n
2n
ш
(4.57)
если 0 Ј W < W * , или к виду
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ж
(n - 1) hn wn2
зз v
Wn (r , t ) =
exp з
зи
n
vn r
n
ц
- gn
ч
ч
(r - r0 )ччexp ( v
n
ч
ш
n
t - gn t ),
(4.58)
если W > W cr = n + 2 .
Из сравнения выражений (4.57)–(4.58) с (4.50)–(4.51) видно,
что они практически совпадают, за тем лишь исключением, что в
точных выражениях (4.57)–(4.58) содержится множитель 1/ r , а в
выражениях (4.50)–(4.51), полученных в приближении погранслоя, вместо данного множителя содержится множитель 1/ r0 . При
малой вязкости жидкости амплитуда вихревой компоненты скорости жидкости стремится к нулю при r ® 0 за счет быстрого
убывания экспоненциального множителя, различие между точным и приближенным решениями при этом уменьшается, так как
зависимость 1/ r является слабой по сравнению с экспоненциальным уменьшением амплитуды волны при r ® 0 .
Отметим также, что точные выражения для отклонения поверхности xn (t ), поля давлений pn(1) (r , t ) и потенциальных компонент поля скоростей жидкости U r( pn) (r , t ) U J( pn) (r , t ), определяемые
выражениями (4.53), в пределе малой вязкости жидкости n ® 0
имеют аналитический вид, в точности совпадающий с такими же
величинами, найденными в модели пограничного слоя и определенными выражениями (4.47).
Последние два факта: 1) аналитическое совпадение (с точностью до слабо меняющегося множителя 1/ r ) точных выражений
для вихрей скорости в приближении малой вязкости с такими же
выражениями, полученными в приближении теории пограничного
слоя; 2) полное аналитическое совпадение точных выражений для
образующей поверхности капли, поля давления и потенциальных
компонент полей скоростей в приближении малой вязкости с такими же величинами, найденными в модели пограничного слоя
указывают на то, что в условиях малой вязкости предлагаемая модификация теории пограничного слоя для описания осцилляций
капли вязкой жидкости качественно адекватно характеризует процессы, реализующиеся на поверхности и внутри капли.
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Интересно отметить, что согласно выражениям (4.50)–(4.51)
и (4.57)–(4.58) на поверхности заряженной капли r = r0 идеальной
жидкости (при n = 0 ) вихрь скорости будет отличен от нуля и
примет значения:
Wn (r0, t ) =
Wn (r0, t ) =
2 (n - 1) hn wn
sin (wn t )
n
r0
(n - 1) hn wn
exp ( wn t )
n
r0
а W = 0
при 0 Ј W < W * ;
при W > W cr = n + 2 .
б W = 4.1
Рис. 22. Зависимости от радиальной переменной r вихря Wn ,
построенные при n = 0.01 , t = 4 (кривая 1), t = 5 (кривая 2), t = 6
(кривая 3). Сплошной кривой нанесены результаты расчета по точному
выражению (4.54), точечной кривой – по приближенному (4.48).
Вертикальная штрихпунктирная линия указывает толщину
пограничного слоя, определенную выражением (4.52)
4.2.1. Численный анализ точности
теории пограничного слоя
Проанализируем зависимости от радиальной переменной r
выражения для вихря скорости Wn (r , t ) при фиксированном времени t = const , отталкиваясь от выражения (4.48), полученного в
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
теории пограничного слоя, и от (4.54) в точной теории. Результаты расчета по (4.48) и (4.54) приведены на рис. 22a-b. Детальные
расчеты показывают, что теория пограничного слоя хорошо приближает точное решение, только начиная с некоторого времени
t 0 , с которого корни дисперсионного уравнения Dn (S n(k ) ) = 0 с номерами n і 3 становятся несущественными в выражении (4.54). В
начальный же момент времени t = 0 модифицированная теория
пограничного слоя дает большие отклонения от точной теории в
широком диапазоне значений r , как это видно из рис. 23.
Рис. 23. Зависимости вихря Wn от переменной r , рассчитанные
в начальный момент времени t = 0 по выражению (4.48),
при n = 0.01 , W = 1 (кривая 1), W = 3 (кривая 2), W = 3.8 (кривая 3),
W = 4.1 (кривая 4). Точное значение вихря при t = 0 ,
рассчитанное по (4.54) есть Wn = 0
Появление обсуждаемой особенности с математической точки
зрения связано с тем, что в точной теории суммирование в выражении (4.54) производится по большому количеству корней дисперсионного уравнения Dn (S n(k ) ) = 0 до тех пор, пока ряд (4.54) не
сойдется, а в приближенной теории пограничного слоя учитывается только один или два корня дисперсионного уравнения. С фи130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
зической точки зрения данное обстоятельство связано с заданием
в решаемой задаче нулевого начального условия для поля скоростей: полноценное распределение поля скоростей течения жидкости, связанное с осцилляциями капли, установится на интервале
времени порядка периода осцилляций.
На рис. 24a-b приведены зависимости от времени t величины
выражения вихря Wn (r , t ) при r = const . Из рис. 24a можно видеть,
что величина времени t 0 , начиная с которого теория пограничного слоя хорошо приближает точную теорию, является величиной,
много меньшей времени затухания движений на поверхности капли и в ее объеме.
Тот факт, что теория пограничного слоя описывает реальные
движения жидкости в капле, только начиная с некоторого момента времени, указывает на то, что на ее основе нельзя описать зарождение пограничного слоя вблизи свободной поверхности капли. Для описания образования пограничного слоя вблизи свободной поверхности заряженной капли нужно использовать точное
выражение (4.54) для вихря скорости. Принимая за толщину пограничного слоя δ расстояние от свободной поверхности капли,
на котором величина вихря, описываемого точным решением
(4.54), уменьшается в e » 2.718 раз, нанесем зависимость δ = δ (t )
на рис. 25 пунктиром. На том же рисунке точечная кривая даст
нам пограничный слой, определенный в рамках модифицированной теории по соотношению (4.52). Анализ рис. 25 показывает,
что толщина пограничного слоя вблизи свободной поверхности
капли, определенная по точному решению при малых временах
возрастает, а затем остается практически постоянной, примерно
равной толщине пограничного слоя (4.52), определенной в модифицированной теории.
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 24a. Зависимости от времени t
разности вихрей D Wn ,
определенных выражениями (4.54)
и (4.48), при n = 0.02 , W = 0 ,
r = 1 (сплошная кривая),
r = 0.95 (пунктирная кривая)
Рис. 24b. Зависимости от времени t
вихря Wn , построенного по точному
значению (4.54) (сплошная кривая),
и по приближению пограничного
слоя (4.48) (точечная кривая)
при n = 0.01 , W = 4.1 ,
r = 1 (кривая 1),
r = 0.9 (кривая 2),
r = 0.8 (кривая 3)
Из рис. 25 можно видеть, что время формирования пограничного скоростного слоя у поверхности капли вязкой жидкости является небольшим по сравнению с характерными временами вязкого затухания колебаний поверхности капли и примерно равно
периоду осцилляций в области устойчивости или величине, обратной инкременту неустойчивости при W ≥ Wcr .
Таким образом, проведенный анализ точности теории пограничного слоя указывает на то, что при t і t 0 теория пограничного
слоя весьма точно описывает реальное вихревое движение жидкости в капле. Если же вязкость жидкости является малой величиной, то вихревые компоненты, пропорциональные U rn(c ) (r , t ) ~ n и
U J(cn) (r , t ) ~ n , оказываются малыми величинами в сравнении с
крупномасштабным потенциальным движением жидкости в кап132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ле. Все это приводит к тому, что проекции скорости жидкости на
орты сферической системы координат, определенные с учетом
потенциальных и вихревых компонент при малой вязкости жидкости в теории пограничного слоя и точной теории, отличаются
весьма незначительно, как это можно видеть из рис. 26.
Рис. 25. Зависимость толщины пограничного слоя d ,
возникающего у свободной поверхности капли в зависимости от времени t
при W = 4.1 , n = 0.005 (кривая 1), n = 0.01 (кривая 2), n = 0.02 (кривая 3).
Пунктирной кривой нанесено значение, рассчитанное по (4.54),
а точечной кривой – рассчитанное по (4.52)
Рис. 26. Зависимости проекций скоростей
U rn (толстая кривая) и U J n (тонкая кривая) от координаты r ,
построенные при W = 1 , n = 0.02 , t = 2 (кривые 1), t = 3.2 (кривые 2).
Сплошные кривые соответствуют точному решению,
пунктирные кривые – приближению пограничного слоя
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Использование теории пограничного слоя
для расчета нелинейных осцилляций и волн
1. Пусть имеются ε – малый параметр, определенный как безразмерная амплитуда волны; δ – относительная погрешность расчета методом пограничного слоя нелинейного волнового движения, связанная с неопределенностью понятия толщины погранслоя. В асимптотических расчетах j-го порядка малости порядок
малости j-го приближения есть ε j . При аналитическом асимптотическом расчете нелинейного волнового движения с использованием теории пограничного слоя порядок малости последнего сохраняемого слагаемого ε j не должен быть меньше относительной погрешности расчета δ . Иными словами, должно выполняться условие: ε j  δ . Отсюда возникает ограничение снизу на величину малого параметра, который может быть использован в расчетах:
ε ≥ δ 1 j . Так, если брать толщину погранслоя, в четыре раза превышающую его величину по Лонгет-Хиггинсу, то относительная погрешность расчетов будет ≈ 0.01 , и при аналитических асимптотических расчетах третьего порядка малости амплитуда нелинейной
волны не может быть меньше, чем ε ≈ 1 3 100 ≈ 0.2 .
Складывающаяся ситуация представляется не вполне корректной: в задачах о волновом движении в вязкой жидкости, когда амплитуда волны затухает со временем, аналитические выражения оказываются асимптотически корректными только до
тех пор, пока их амплитуда не уменьшится до определенной величины, затем становится некорректным слагаемое  ε j , затем
 ε j −1 и т. д. Другими словами, аналитические выражения для физических характеристик нелинейной волны будут справедливы
только на начальном отрезке времени и исследование таких феноменов как нелинейный резонансный обмен энергией между нелинейно взаимодействующими волнами, реализующийся в зависимости от порядка малости на характерных временах  ε −1,  ε −2 ,
становится проблематичным.
2. В рамках теории погранслоя, связанного с волновым движением свободной поверхности жидкости, потенциальная часть решения определяется точно, а погрешность, о которой идет речь
выше, относится только к вихревой компоненте течения. Сказанное
134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
означает, что при расчетах нелинейного волнового течения (с квадратичной нелинейностью, характерной для уравнений гидродинамики) нелинейные поправки к потенциальной и вихревой компонентам течения будут определяться с различной погрешностью. В
линейном приближении решение для поля скоростей имеет вид:

( p) 
(e) 
 u(r , t )   u (r , t )   u (r , t ) 



 v(r, t )  =  ( p )   +  ( e )   .

  v (r , t )   v (r , t ) 



U = u⋅ ex + v⋅ ez ;
Учтем теперь, что вихревая часть решения определяется в рамках
теории погранслоя с относительной погрешностью δ , т.е.:

( p) 
(e) 
 u(r , t )   u (r , t )   (1 ± δ ) u (r , t ) 
.
 v(r, t )  =  ( p )   + 


  (v (r , t )   (1 ± δ ) v( e ) (r , t ) 
Тогда слагаемые, пропорциональные U 2 , будут иметь вид:
2
2
U 2 ≡ u 2 + v 2 ≡  u ( p ) + (1 ± δ ) u ( e )  +  v ( p ) + (1 ± δ ) v ( e)  ≡

 

2
2
≡  u ( p ) + u ( e )  +  v ( p ) + v ( e )  ± 2δ

 

( )
 ( p ) (e)
(e)
 u ⋅ u + u
2
( )
2
+ v( p) ⋅ v(e) + v(e)  .

Далее, при расчетах в рамках асимптотического подхода уже в
квадратичном по амплитуде волны ε приближении появятся поправки
( )

 ε ⋅ U 2 ≡ ε ⋅ U 02 ± 2δ ⋅ ε  u ( p ) ⋅ u (e ) + u (e )

2
( )
2
+ v ( p ) ⋅ v(e) + v(e)  ;

где U 0 – точное решение. Так как нелинейные расчеты проводятся
с точностью  δ , то слагаемыми  δ ⋅ ε должно пренебречь.
3. При расчетах с фиксированной точностью следует учитывать, что вихревая компонента скорости в приближении малой
вязкости является малой поправкой к потенциальной части.
Иными словами, отношение вихревой компоненты скорости к
потенциальной является также малым параметром: v (e) v ( p )  ν –
для вертикальной компоненты поля скоростей и u(e) u( p )  ν – для
горизонтальной.
4. Должен быть учтен еще один малый параметр, зависящий
от вязкости: отношение толщины погранслоя к длине волны.
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
1. Прандтль, Л. Гидро- и аэромеханика / Л. Прандтль, О. Титьенс. –
М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. – Т. 2. – 312 с.
2. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. – М.: Наука, 1974. – 712 с.
3. Рауз, Х. Механика жидкости / Х. Рауз. – М.: Изд. лит. по строительству, 1967. – 392 с.
4. Загузов, И. С. Математическое моделирование течения вязкой жидкости вблизи твердых поверхностей / И. С. Загузов, К. А. Поляков. – Самара: Самарский университет, 1999. – 92 с.
5. Биргхоф, Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие
/ Г. Биргхоф. – М.: ИЛ, 1963.
6. Бэтчелор, Дж. К. Введение в динамику жидкости / Дж. К. Бэтчелор. – М.; Ижевск: Изд-во НИЦ. Регулярная и хаотическая динамика,
2004. – 768 с.
7. Фабер, Т. Е. Гидроаэродинамика / Т. Е. Фабер. – М.: Постмаркет,
2001. – 560 с.
8. Ландау, Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – М.:
Наука, 1986. – 733 с.
9. Longuet-Higgins, M. S. Mass transport in water waves / M. S. LonguetHiggins // Royal Soc. London. Trans. Ser. A. 1953. – V. 245, № 903. – P. 535–
581.
10. Ламб, Г. Гидродинамика / Г. Ламб. – Л.: Гостехтеориздат, 1947. –
928 с.
11. Tonks, L. A Theory of liquid surface rupture by uniform electric field
/ L. Tonks // Phys. Rev. 1935. – V. 48. – P. 562–568.
12. Френкель, Я. И. К теории Тонкса о разрыве поверхности жидкости
постоянным электрическим полем в вакууме / Я. И. Френкель // ЖЭТФ. –
1936. – Т. 6, № 4. – С. 348–350.
13. Григорьев, А. И. Механизм развития неустойчивости заряженной
поверхности жидкости / А. И. Григорьев, О. А. Григорьев, С. О. Ширяева
// ЖТФ. – 1992. – Т. 62, вып. 9. – С. 12–21.
14. Белоножко, Д. Ф. О толщине пограничного слоя, связанного с волновым движением заряженной свободной поверхности вязкой жидкости
/ Д. Ф. Белоножко, А. И. Григорьев // ЖТФ. – 2008. – Т. 78, вып. 3. – С. 21–
28.
15. Левич, В. Г. Физико-химическая гидродинамика / В. Г. Левич. –
М.: Изд-во АН СССР, 1952. – 538 с.
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16. Белоножко, Д. Ф. Нелинейные движения вязкой жидкости со свободной поверхностью / Д. Ф. Белоножко, А. И. Григорьев // Изв. РАН.
МЖГ. – 2003. – № 2. – С. 184–192.
17. Белоножко, Д. Ф. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности вязкой электропроводной жидкости / Д. Ф. Белоножко,
А. И. Григорьев // ЖТФ. – 2003. – Т. 73, вып. 11. – С. 37–45.
18. Белоножко, Д. Ф. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности глубокой электропроводной маловязкой жидкости
/ Д. Ф. Белоножко, А. И. Григорьев // ЖТФ. – 2004. – Т. 74, вып. 3. – С. 5–
13.
19. Белоножко, Д. Ф. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности вязкой жидкости конечной проводимости / Д. Ф. Белоножко, С. О. Ширяева, А. И. Григорьев // ЖТФ. – 2005. – Т. 75, вып. 2. –
C. 37–44.
20. Ле Блон, П. Волны в океане: Ч. 1 / П. Ле Блон, Л. Майсек. – М.:
Мир, 1981. – 480 с.
21. Ширяева, С. О. Линейное взаимодействие волн на заряженной
границе раздела сред при наличии тангенциального разрыва поля скоростей / С. О. Ширяева // ЖТФ. – 2001. – Т. 71, вып. 3. – C. 9–16.
22. Белоножко, Д. Ф. К формулировке теории пограничного слоя, связанного с волновым движением на свободной поверхности жидкости
/ Д. Ф. Белоножко, А. И. Григорьев // ЖТФ. – 2007. – Т. 77, вып. 8. – С. 19–
28.
23. Морс, Ф. Методы теоретической физики / Ф. Морс, Г. Фешбах. –
М.: ИЛ, 1960. – Т. 2. – 886 с.
24. Григорьев, А. И. О структуре течения, связанного с капиллярногравитационной волной в заряженном слое вязкой электропроводной жидкости на твердом дне / А. И. Григорьев, Д. М. Пожарицкий, С. О. Ширяева
// ЖТФ. – 2009. – Т. 79, вып. 2. – С. 51–57.
25. Григорьев, А. И. О форме «конуса Тэйлора» и характерном времени его роста / А. И. Григорьев, С. О. Ширяева, Д. Ф. Белоножко, А. В.
Климов // ЭОМ. – 2004. – № 4. – С. 34–40.
26. Саночкин, Ю. В. Ван-дер-ваальсовы волны в жидкостях со свободной поверхностью / Ю. В. Саночкин // ЖТФ. – 2003. – Т. 73, вып. 5. –
С. 24–29.
27. Габов, С. А. Введение в теорию нелинейных волн / С. А. Габов. –
М.: МГУ, 1988. – 177 с.
28. Бояджиев, Х. Массоперенос в движущихся пленках жидкости
/ Х. Бояджиев, В. Бешков. – М.: Мир, 1988. – 137 с.
29. Жаров, А. Н. Линейный анализ осцилляций заряженной капли вязкой жидкости в рамках теории пограничного слоя / А. Н. Жаров,
С. О. Ширяева, И. Г. Жарова, А. И. Григорьев // ЭОМ. – 2007. – № 5. –
С. 39–47.
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30. Жаров, А. Н. Модификация теории пограничного слоя для расчета
осцилляций конечной амплитуды заряженного пузырька в вязкой жидкости / А. Н. Жаров, А. И. Григорьев, И. Г. Жарова // ЖТФ. – 2008. – Т. 78,
вып. 8. – С. 41–53.
31. Жаров, А. Н. Модификация теории пограничного слоя для расчета
осцилляций конечной амплитуды заряженной капли вязкой жидкости
/ А. Н. Жаров, С. О. Ширяева, И. Г. Жарова // ЖТФ. – 2008. – Т. 78,
вып. 8. – С. 54–63.
32. Ширяева, С. О. Классификация режимов работы электрогидродинамических источников ионов / С. О. Ширяева, А. И. Григорьев,
А. А. Святченко. – Препринт ИМ РАН № 25. – Ярославль, 1993. – 118 с.
33. Аметистов, Е. В. Монодиспергирование вещества: принципы и
применение / Е. В. Аметистов, В. В. Блаженков, А. К. Городов и др. ; под
ред. В. А. Григорьева. – М.: Энергоатомиздат, 1991. – 336 с.
34. Ширяева, С. О. Спонтанный капиллярный распад заряженных
струй / С. О. Ширяева, А. И. Григорьев, М. В. Волкова. – Ярославль: ЯрГУ,
2007. – 340 с.
35. Григорьев, А. И. Об устойчивости неосесимметричной заряженной
струи вязкой электропроводной жидкости / А. И. Григорьев, С. О. Ширяева, Т. В. Левчук, М. В. Рыбакова // ЖТФ. – 2003. – Т. 73, вып. 5. – С. 5–12.
36. Стретт, Дж.В. (Лорд Рэлей) Теория звука / Дж. В. Стретт (Лорд
Рэлей). – М.: Гостехиздат, 1955. – Т. 2. – 475 c.
37. Жаров, А. Н. О временной эволюции формы поверхности, деформированной в начальный момент заряженной капли вязкой жидкости
/ А. Н. Жаров, А. И. Григорьев // ЖТФ. – 2005. – Т. 75, вып. 1. – С. 22–31.
38. Диткин, В. А. Операционное исчисление / В. А. Диткин,
А. П. Прудников. – М.: Высшая школа, 1975. – 408 с.
39. Жаров, А. Н. О некоторых свойствах разложений по производным
от полиномов Лежандра, проявляющихся при исследовании нелинейных
осцилляций капли вязкой жидкости / А. Н. Жаров, А. И. Григорьев,
С. О. Ширяева // ЖТФ. – 2005. – Т. 75, вып. 9. – С. 20–26.
40. Ширяева, С. О. Волновые и вихревые движения жидкости в сильно заряженной капле / С. О Ширяева., М. И. Муничев, А. И. Григорьев
//ЖТФ. – 1996. – Т. 66, вып. 7. – С. 1–8.
41. Белоножко, Д. Ф. Конвективные движения в слое вязкой жидкости
с однородно заряженной свободной поверхностью / Д. Ф. Белоножко,
А. И. Григорьев // ЖТФ. – 2006. – Т. 76, вып. 9. – С. 41–45.
42. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовиц,
И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 832 с.
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
Введение .............................................................................................................. 3
Пограничный слой в окрестности твердого тела в потоке вязкой
жидкости ............................................................................................... 5
Пограничный слой в окрестности свободной поверхности вязкой
жидкости, по которой бежит капиллярно-гравитационная волна
............................................................................................................... 11
1. Толщина пограничного слоя, связанного с капиллярногравитационным волновым движением на плоской заряженной
свободной поверхности бесконечно глубокой вязкой жидкости ..... 16
1.1. Оценка толщины пограничного слоя при малом отклонении
плотности поверхностного заряда от критической по Тонксу –
Френкелю .............................................................................................. 16
1.2. Формулировка теории пограничного слоя ......................................... 34
2. Расчет волнового движения на заряженной свободной поверхности
слоя маловязкой жидкости конечной толщины на твердом дне в
рамках теории пограничного слоя ......................................................... 59
2.1. Формулировка задачи и точное решение ........................................... 59
2.2. Модельная задача ................................................................................. 64
2.3. Упрощение модельной задачи в рамках приближения пограничного
слоя ........................................................................................................ 73
2.4. Оценка погрешности найденного приближенного решения (2.20)–
(2.21) упрощенной модельной задачи по сравнению с точным
решением (2.3)–(2.4) исходной задачи (2.1) ..................................... 77
3. Расчет волновых движений на поверхности цилиндрической струи
маловязкой жидкости в рамках теории пограничного слоя ........... 84
3.1. Математическая формулировка и точное решение задачи .......... 84
3.2. Формулировка задачи в рамках представлений о пограничном слое
............................................................................................................... 89
3.3. Решение модельной задачи .................................................................. 90
3.4. Упрощение модельной задачи ............................................................. 93
3.5. Решение упрощённой модельной задачи ............................................ 96
3.6. Подбор толщины пограничного слоя ................................................. 97
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.7. Пределы применимости предлагаемой модификации теории
пограничного слоя .............................................................................. 105
4. Расчет осцилляций конечной амплитуды заряженной капли
маловязкой жидкости в рамках теории пограничного слоя ......... 107
4.1. Постановка задачи............................................................................. 107
4.2. Анализ полученных результатов ...................................................... 125
5. Использование теории пограничного слоя для расчета нелинейных
осцилляций и волн .................................................................................. 134
Список литературы....................................................................................... 136
Учебное издание
Ширяева Светлана Олеговна
Григорьев Александр Иванович
Введение
в теорию пограничного слоя
Учебное пособие
Редактор, корректор И. В. Бунакова
Компьютерная верстка И. Н. Ивановой
Подписано в печать 15.06.09. Формат 60×84 1/16.
Бум. офсетная. Гарнитура "Times New Roman".
Усл. печ. л. 8,14. Уч.-изд. л. 7,35.
Тираж 50 экз. Заказ
.
Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе
Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова.
150000, Ярославль, ул. Советская, 14.
Отпечатано на ризографе.
140
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
26
Размер файла
1 216 Кб
Теги
слоя, 1223, пограничного, введение, ширяева, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа