close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1267.Скаляризация векторных краевых задач гидродинамики Ширяева С О

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
С. О. Ширяева
А. И. Григорьев
Cкаляризация
векторных краевых задач
гидродинамики
Ярославль 2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 532.5:537.1
ББК В 253.3
Ш 64
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве научного издания. План 2009/10 года
Рецензенты:
доктор физ. – мат. наук, доцент В. А. Коромыслов;
кафедра прикладной математики и вычислительной техники Ярославского
государственного технического университета
Ширяева, С. О. Скаляризация векторных краевых задач гидроШ 64 динамики: монография / С. О. Ширяева, А. И. Григорьев; Яросл.
гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2010. – 180 с.
ISBN 978-5-8397-0761-0
Книга посвящена описанию и применению эффективного метода решения векторных краевых задач гидродинамики вязкой жидкости, основанного на представлении искомого векторного поля в
виде суперпозиции трех более простых векторных полей: одного
потенциального и двух вихревых, получаемых действием трех взаимно ортогональных векторных дифференциальных операторов на
три различных скалярных поля, задача отыскания которых существенно проще исходной.
Монография адресована научным сотрудникам, преподавателям и студентам университетов и технических вузов.
При написании пособия авторы имели поддержку грантов:
Рособразования № РНП 2.1.1/3776 и РФФИ
(№ 09-01-00084 и № 09-08-00148).
УДК 532.5:537.1
ББК В 253.3
ISBN 978-5-8397-0761-0
 Ярославский государственный
университет им. П. Г. Демидова, 2010
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Введение Решение векторных краевых задач математической физики
вообще и задач гидродинамики вязкой жидкости в частности
реализуется в громоздкой и трудоемкой вычислительной процедуре. Эта характерная особенность векторных краевых задач
особенно наглядно проявляется, когда граничные условия требуют применения криволинейных координат, хотя бы и ортогональных, орты которых не являются постоянными в пространстве
векторами. В такой ситуации вместо независимых уравнений для
трех проекций искомого векторного поля на три постоянных орта
(как в прямолинейных декартовых координатах) получается
связанная система уравнений, отыскание решения которой, как
правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. В этой связи история науки свидетельствует о неоднократных попытках сведения краевых задач для векторных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка к
системе краевых задач для скалярных уравнений математической
физики. Наиболее известная из них основана на теореме Гельмгольца [1], согласно которой любое векторное поле можно представить в виде суммы градиента скалярного потенциала и ротора
векторного потенциала. Если по каким-либо причинам векторное
поле является потенциальным, т. е. его векторный потенциал равен нулю (а это реализуется в достаточно широком классе физических задач), то краевая задача для векторного поля сводится к
скалярной для его скалярного потенциала. Имея в виду цель выражения искомого векторного поля через три скалярных, можно
утверждать, что в общем случае одним из скалярных полей,
определяющих векторное поле, может быть скалярный потенциал. Тогда два других скалярных поля должны единственным
образом определить векторный потенциал. Несложно видеть, что
для полного определения векторного потенциала достаточно
иметь лишь два скалярных поля, а не три, так как дополнительное
условие равенства нулю дивергенции векторного потенциала
сокращает число независимых скалярных полей до двух [1].
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если в решаемой краевой задаче имеется симметрия по одной из координат, например: а) отсутствует проекция векторного
поля на ось, соответствующую этой координате; б) само векторное поле, а также коэффициенты Ламе выбранной координатной
системы не зависят от этой координаты, тогда возможно определение соленоидального векторного поля на основе всего лишь
одной скалярной функции – функции тока. Функция тока широко
применяется в гидродинамике [2, 3] для описания плоскопараллельных и осесимметричных течений, также как и в произвольных
векторных задачах математической физики, обладающих симметрией.
В более общей ситуации соленоидальное векторное поле может быть представлено в виде суммы тороидального и полоидального [1, 4–8] векторных полей, ортогональность которых не
раз доказывалась и которые легко выражаются через скалярные
поля. Метод разложения векторного поля на потенциальное,
тороидальное и полоидальное при использовании его в сферических координатах непосредственно связан с векторными сферическими функциями [4]. Обобщение метода собственных сферических функций на другие координатные системы произведен в
теории упругости [9]. В этом методе векторное поле разлагается
по собственным векторным функциям (так же как скалярное поле
разлагается по собственным функциям в классическом методе
Фурье). Если система собственных векторных функций известна,
то дальнейшее решение не содержит каких либо принципиальных
сложностей. Однако процедура нахождения необходимого набора собственных векторных функций остается неопределенной,
что существенно затрудняет использование данного метода.
Существенным шагом в развитии метода скаляризации векторных дифференциальных уравнений математической физики
явился перенос центра тяжести рассмотрения от векторных полей
к векторным операторам, проектирующим векторное поле на
скалярное. Основы этого метода были предложены Хансеном
[10] при решении векторных уравнений Гельмгольца и использовались для поиска собственных векторных функций. Этот метод
получил распространение в электродинамике [11]. Однако непосредственное обобщение метода Хансена на другие дифференциальные уравнения реализовать не удалось, так как скалярные
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
поля, определяющие различные типы векторных полей в этом
методе, различались лишь на мультипликативную константу.
Связь между методами операторной скаляризации Хансена,
разложением по собственным векторным функциям и разложением векторного поля на потенциальное, тороидальное и полоидальное обсуждается в [1]. Там же найдены виды систем координат, для которых возможны такие разложения. В [1] показано,
что обсуждаемые разложения могут быть проведены, если в
криволинейной системе координат один из коэффициентов Ламе
равен единице, а отношение двух других не зависит от координаты, соответствующей первому коэффициенту Ламе. Существует лишь шесть координатных систем, удовлетворяющих этому
условию, а именно прямолинейная декартова, три цилиндрических, сферическая и коническая. В остальных системах координат решать векторные дифференциальные уравнения этими методами невозможно [1]. В настоящей работе будет проведено обобщение метода операторной скаляризации на другие виды операторов (помимо использованных в [1–10]) и проиллюстрировано
его применение на примерах решения нескольких типичных
задач линейной гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости со
свободной поверхностью. Как будет видно из изложенного ниже,
применение метода скаляризации приводит к существенному
уменьшению объема вычислительной работы.
2. Скаляризация векторных краевых задач линейной гидродинамики  
1. Пусть векторное поле U ( r ) с помощью векторных (в об ,
щем случае и дифференциальных) операторов-проекторов N
1





 
N 2 , N 3 и трех скалярных полей 1 ( r ) ,  2 ( r ) ,  3 (r ) может быть
представлено в виде суперпозиции:
 






U (r , t )  N 11 (r , t )  N 2  2 (r , t )  N 3  3 (r , t ).
(2.1)
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 – такие операторы-проекторы, что векторные поля
Здесь N
j



 


N 11 (r ) , N 2  2 (r ) , N 3  3 (r ) взаимно ортогональны, т. е.



  (r )  N
  (r ) dV  0;
N
i
j
i
j
V
 i; j  1, 2,3;
i  j
.
(2.2)
Интегрирование
ведется по всему объему пространства, занятого
 
полем U ( r ) , с условием равенства нулю поля на границе.


Введем операторы N j , эрмитово сопряженные операторам


N j:


 

     
V Fi (r ) N i Gi (r ) dV  V  Gi (r ) N i Fi (r ) dV ;
(2.3)


где Fi (r ) и Gi ( r ) – произвольные (векторные или скалярные)
действительные функции, и перепишем (2.2) в виде операторного
соотношения:
  

N i  N j  0;
 i; j  1, 2,3;
i  j,
(2.4)
которое должно выполняться независимо от вида скалярных
  

функций, подверженных действию оператора N i  N j .

Разложение по ортам e j , j  1, 2,3, криволинейной координатной системы, очевидно, может быть представлено в виде (2.1),


если положить N
j  ej .
2. Предположим, что векторное дифференциальное уравнение, которое требуется решить, может быть представлено с по в виде
мощью скалярного дифференциального оператора L

LU ( r )  0;
(2.5)
 
Векторное поле U ( r ) представим в виде (2.1), выбрав опера

:
торы-проекторы N j так, чтобы они коммутировали с L
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
   
NjL
 LN j
.
(2.6)
Тогда получим



 
 
 
N1 L
1 ( r , t )  N 2 L
 2 (r , t )  N 3 L
 3 (r , t )  0.
(2.7)
Подействовав слева на уравнение (2.7) поочередно операто

рами N j , j  1, 2,3, получим три независимых скалярных
уравнения:


     
     
 N 1  N 1  L 1 (r )  0;
 N 2  N 2  L  2 (r )  0;






    
(2.8)
 N 3  N 3  L  3 (r )  0.


Если операторы-проекторы являются дифференциальными,
то порядок дифференциальных уравнений (2.8) выше, чем у
исходного уравнения (2.5). Так как никаких дополнительных
граничных условий не возникло, а порядок уравнения повысился,
то решение нашей задачи в общем случае не было бы
единственным. Однако этого неприятного момента не возникает,
поскольку из коммутационных соотношений (2.6) вытекает, что
    
 имеют общие системы собственных
операторы  N j  N j  и L


функций (хорошо известный результат квантовой механики).
Поэтому из уравнения (2.8) следуют уравнения
  (r )  0;
L
1
  (r )  0;
L
2
  (r )  0;
L
3
(2.9)
имеющие тот же порядок, что и уравнение (2.5).
Таким же образом могут быть скаляризованы уравнения
более общего по сравнению с (2.5) вида.
3. Рассмотрим теперь вопрос о выборе операторов-проекто , удовлетворяющих свойству ортогональности (2.4). Для
ров N
j
определенности следует исходить из следующего представления
операторов проекторов:
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  
  
  
N 1  A; N 2  A  B ; N 3  A  ( A  B );
(2.10)
 
будем называть образующими проекторов.
где операторы A и B

 – эрмитоПримем также, что образующие операторы A и B
вые (самосопряженные) или антиэрмитовые операторы. Такое
представление удобно потому, что оно обобщает методы скаляризации, предлагавшиеся ранее (см. введение). Так, разложение
произвольного поля в сферической системе координат на
потенциальное, тороидальное и полоидальное может быть запи

сано в виде (2.1), причем операторы-проекторы N , удовлетворяj
ющие условиям ортогональности (2.4), имеют образующие
операторы:

A  ;
 
B  r.
При описании соленоидального поля на основе функции тока
в случае наличия симметрии по одной из координат, например по
углу  для осевой симметрии, образующие имеют следующий
вид:
 

B  e h ,
A  ;

где e – орт координаты  ; h – соответствующий коэффициент

Ламе. Функцией тока при этом является скалярное поле  2 ( r ) , а

векторное поле  3 ( r ) , как несложно показать, тождественно
равно нулю.
  , сопряженные операторам-проекторам (2.10),
Операторы N
j
имеют вид
   
N1  A ;
 
   
N 2  B  A ;
         
N3   B  A  A .


 ,  и операторов  , 
Ортогональность операторов N
N1 N 3
1 N2
8
(2.11)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  
N 1  N 2  0;
  
N 2  N 1  0;
  
N 1  N 3  0;
  
N 3  N 1  0;
выполняется для данного представления при условии
 
(2.12)
A  A  0.
Если, кроме того,
 
 
       
A A B  B A A  AQ;


  

B  A  B  0,
(2.13);
 

операторы-проекторы N 2 , N 3 ортогональны друг другу. В (2.13)
 – скалярный оператор, который подбирается таким образом,
Q
чтобы удовлетворить первому равенству (2.13):
  
N 2  N 3  0;
  
N 3  N 2  0.
Таким образом, если образующие операторы удовлетворяют
условиям (2.12)–(2.13), операторы-проекторы образуют полный
ортогональный набор векторных операторов в трехмерном
пространстве.
4. Следует отметить, что существуют представления операто
, не сводящиеся к (2.10). Так, операторы
ров-проекторов N
j
 
 
 

N 1  n; N 2    n; N 3  n  (n  ),
удовлетворяют соотношению ортогональности
для произволь
ного единичного векторного поля l , которое может являться
полем нормалей к некоторой поверхности, т. е.

 

n l  0;
l rot n  0.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Линейные осцилляции капли вязкой жидкости Применим теперь метод скаляризации к системе уравнений и
граничных условий линейной гидродинамики вязкой жидкости со
свободной поверхностью. Для определенности рассмотрим
модельную задачу о расчете спектра осцилляций в вакууме под
действием сил поверхностного натяжения капли несжимаемой
жидкости плотностью  , с коэффициентами поверхностного
натяжения и кинематической вязкости  и  , в окрестности
невозмущенной сферической формы радиуса R , задаваясь целью
найти дисперсионное уравнение. Эта задача неоднократно
рассматривалась многими авторами (см., например, [6, 12–14]).
Методы решения векторных уравнений в [6, 12–14] были
различными, но всегда весьма громоздкими.
Пусть уравнение возмущенной капиллярными осцилляциями
весьма малой амплитуды, поверхности капли в сферической системе координат с началом в центре невозмущенной сферической
формы капли, описывается уравнением
r  R   ( , , t ),

R   1.
(3.1)
Причиной возникновения осцилляций может быть и тепловое
движение молекул
В безразмерных переменных, в которых   1,   1,   1,
уравнения линейной гидродинамики для отыскания поля
 
скоростей течения жидкости u ( r , t ) и поля давлений в капле

P ( r , t ) имеют вид:


u

div u  0
  p1  u ;
.
(3.2)
t

На свободной поверхности капли F ( r , t )  r  1   ( ,  , t )  0
должны выполняться граничные условия:
кинематическое
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
dF F 

 u  F  0
dt
t
;
динамическое для касательных компонент тензора напряжений
 
  

 [  ( n   ) u  n  (   ) u ]  0
;


где n и  – орты нормали и касательной к поверхности

F ( r , t )  r  1   ( ,  , t )  0 ;
динамическое граничное условие для нормальной компоненты
тензора напряжений
 

(3.3)
 p  2 n  ( n ) u  p  0 ,
где p – давление сил поверхностного натяжения:
1
p    2      ( )   2
R


1 
1 2 
 2  sin   (sin   )  sin 2   2    ( ) .


Выбрав набор операторов-проекторов в виде


 
;


 
;
N

N
3
1  N 2    (  r ) ;
N1  
N 2  N1  r    r
 
N 1   ;
  
N2  r ;

 
N 3  (r  )  
и пользуясь методикой, изложенной в предыдущем параграфе,

получаем уравнения на скалярные функции  j ( r , t ) :



 2 (r , t )  2 (r , t )  0;
t

1 ( r , t )  0;



 3 (r , t )  3 (r , t )  0;
t
и выражение для давления



p(r , t )   1 (r , t ),
t
11
(3.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
которое позволяет его исключить из граничных условий.
Граничные условия, полученные из (3.3), приобретают вид
 ( ,  , t ) 1 1

   3 ;
t
r r
r  1:

 p1  2

(3.6)
     1   2  3

 2 

2


r
r

r



 
 
r  1 ,   e :


  2 1
   3  



P
 2


      0;
r
r
r


 
 


(3.5)

1
1    2

2







2   0
  3
2 
;
r
 sin     r

(3.7)
 1     1   2  3

2 


2
sin
r
r
r











r  1 ,   e :

1
    2  2 
2








  0 ;
3 

r2
r 
    r
(3.8)
Граничные условия (3.6)–(3.7) совместны, если одновременно равны нулю выражения в фигурных скобках, т. е.
   1   2  3 1






 0;
2


2 


3

2
2
r

 r  r  r
  2  2 


  0.

r
r


(3.9)

Несложно заметить, что функция  2 ( r , t ) не оказывает влияния на остальную часть анализируемой системы, так как задача



на ее отыскание не зависит от 1 ( r , t ) ,  3 ( r , t ) ,  ( r , t ) и она не
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


входит в уравнения, из которых находятся 1 ( r , t ) ,  3 ( r , t ) ,

 (r , t ) .
При рассмотрении собственных колебаний капли вязкой
жидкости зависимость от времени искомых величин
предполагается известной:


 j (r , t )   i0 (r )  exp(st );
 ( ,  , t )   0 ( ,  ) exp ( st ).
где s    i   ;  – декремент затухания осцилляций;  –
частота осцилляций; i – мнимая единица.
Решения уравнений (3.4) легко выписываются в общем виде:


 (r )  
0
1


 (r )  
0
j
l 2
l
C
l 2 m  l
j
lm
l
r m
(
)

C
s

   Yl ( ,  );
R
m l
l
( s )il
1
lm


s r  Yl m ( ,  );
j  2;3,
где Yl m ( ,  ) – сферические функции, in ( x ) – модифицированные
сферические функции Бесселя.
Выражение для  ( ,  ) имеет вид

0 ( ,  )  
l
Z
l  2 m l
lm
( s ) Yl m ( ,  ).


Подставляя  ( ,  , t ) , 1 ( r , t ) ,  3 ( r , t ) в граничные условия
(3.5)–(3.6), (3.9), получим систему трех алгебраических урав1
нений относительно коэффициентов Z lm , Clm
, Clm3 . Приравнивая к
нулю определитель этой системы, сразу же получаем дисперсионное соотношение, совпадающее с полученным в работах [12–
13] и найденное без сколь-либо заметных математических
трудностей:
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
sl2 
sl 2l  1  l (l  2)  fl ( R sl )
R2
1  fl ( R sl )

1
l  l  1 l  2   0;
R2
f l  x   2  il 1  x  x  il  x  .
Таким образом, разобранный пример иллюстрирует простоту
и удобство решения сложных векторных краевых задач
предлагаемым методом, который использовался авторами ранее в
работах [14–18].
В заключение следует указать, что попытки применять идеи
скаляризации при решении краевых задач гидродинамики применялись и ранее (см., например, [19–20]), но в виду того, что
основные положения метода, введенного для решения электродинамических задач [10–11], применялись к задачам гидродинамики напрямую, без модификации к специфике уравнения НавьеСтокса и к граничным условиям на свободной поверхности, выгода предлагаемого метода скаляризации оказалась утерянной,
завуалированной использованием в [19–20] громоздких собственных функций векторного уравнения Гельмгольца.
4. Осцилляции и устойчивость заряженной капли вязкой жидкости Ниже приводится детальное решение методом скаляризации
[17-18] задачи расчета спектра осцилляций заряженной капли
несжимаемой вязкой жидкости в вакууме и исследования устойчивости капли по отношению к собственному заряду.
1. Рассмотрим изолированную сферическую каплю вязкой
несжимаемой жидкости с массовой плотностью ρ, коэффициентами поверхностного натяжения и кинематической вязкости σ и
ν, равновесным радиусом R, поверхность которой возмущена
осцилляциями бесконечно малой амплитуды, возникающими
вследствие теплового движения молекул жидкости. Амплитуда
тепловых осцилляций капли по порядку величины определится
соотношением    T  , где к – постоянная Больцмана, Т –
абсолютная температура жидкости. Для любых жидкостей,
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
включая жидкие металлы,   (0.5  1)  108 cм . Эта оценка означает, что для капель реальных жидкостей с любыми физически
аргументированными размерами ( R  105  0,1 мкм ) амплитуда
тепловых осцилляций много меньше радиуса капли:   R   1.
 
Тот же порядок малости будут иметь поле скоростей u ( r , t ) течения жидкости в капле, связанное с осцилляциями ее свободной
поверхности, и поле давлений внутри капли, также связанное с

движением жидкости p in ( r , t ) .
Уравнение свободной поверхности капли в сферической
системе координат запишем в виде

F ( r , t )  r  R   ( , , t )  0,
(4.1)
где  ( ,  , t ) – возмущение равновесной сферической поверхности капли, вызванное ее тепловыми осцилляциями.
Рассмотрим два случая: 1) жидкость является идеально проводящей, и весь заряд капли распределен по ее свободной поверхности; 2) жидкость является диэлектриком с диэлектрической проницаемостью  и имеет однородное распределение
заряда по объему с плотностью  . В обоих случаях полный заряд
капли равен Q . (Математическая формулировка задачи приведена в «Приложении А».)
Для упрощения записи и последующих вычислений введем
безразмерные переменные, в которых R  1,   1,   1. Тогда
все остальные физические величины будут выражены в единицах
своих характерных значений:
r*  R ; t* 
R3 

; p* 

R
; u* 

R
; Q  R 3 ;  * 
.

R
4.1. Равновесная форма капли Из системы уравнений (А.1) с граничными условиями (А.4)–
(А.10) может быть определена равновесная форма поверхности
капли в отсутствии всякого движения жидкости и колебания ее
свободной поверхности. Для этого достаточно положить
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 
u ( r , t )  0 и  ( ,  , t )  0 . Тогда из системы уравнений (А.1)
получим, что p in  const . Граничные условия (А.4)–(А.5)
обратятся в тождества, а из граничного условия (А.6) получим
уравнение, определяющее равновесную сферическую форму

капли F ( r , t )  r  R  0 :
in
ex
p  p(0)
 p(0)
 p(0)  pq(0) ,
(4.2)
где p – перепад давлений на свободной поверхности капли; p(0)
и pq(0) – давления сил поверхностного натяжения и электрического поля собственного заряда на равновесную сферическую
поверхность капли, т. е. в нулевом порядке малости по 
(индекс «0» указывает, что величины относятся к невозмущенной
равновесной сферической поверхности капли).
4.2. Линеаризация задачи  
Будем решать задачу в линейном по полю скоростей u ( r , t ) и
возмущению поверхности  ( ,  , t ) приближении.
Уравнение Навье – Стокса (см. формулу (А.1)) упростится,
 
 
т. к. в нем исчезнет квадратичное по u ( r , t ) слагаемое u u .

Давление внутри капли p in ( r , t ) можно представить в виде

in
in 
p in (r , t )  p(0)
 p(1)
(r , t )  ... ,
in 
(r , t ) – слагаемое первого порядка малости (в ниже
где p(1)
приведенном изложении мы будем иметь дело лишь с компонентой давления первого порядка малости и нижний индекс «1»
будем опускать, имея в виду, что не зависящая от координат и
in
времени компонента давления нулевого порядка малости p(0)
влияет лишь на форму капли, установленную в разделе 4.1, и не
сказывается на спектре осцилляций и устойчивости капли).
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В итоге система уравнений гидродинамики (А.1) в безразмерном виде в линейном приближении запишется следующим
образом:

u

(4.3)
 p in   u ;
t

(4.4)
div u  0,
а уравнение свободной поверхности капли примет вид

F ( r , t )  r  1   ( , , t )  0.
(4.5)
Перейдем к рассмотрению граничных условий. Прежде всего
отметим, что все граничные условия (А.4)–(А.6) в линейном приближении должны быть взяты на невозмущенной поверхности
капли, т. е. при r  1 , т. к. в указанном приближении сами
граничные условия представляют собой линейные комбинации
величин первого порядка малости. Разложение границы (4.5)
приведет лишь к появлению слагаемых более высоких порядков
малости.
Выпишем кинематическое граничное условие (см. (А.4)) в
линейном приближении. Учитывая (4.5), получим
r  1:
так как
 ( , , t )
 ur ,
t
(4.6)
u F
F u F
1 
1 



 ur  u
 u
 ur ,
u  F  ur
r
r  r  sin  
r 
r  sin  
где u r , u , u – проекции вектора скорости на орты сферической
системы координат.
Динамическое граничное условие для касательной
компоненты тензора напряжений (А.5) в первом порядке малости
достаточно взять на невозмущенной поверхности сферы:
r  1:
 
  

[  ( n   ) u  n  (   ) u ]  0.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Распишем это выражение в терминах проекций вектора
скорости ur , u , u на орты сферической системы координат.
Очевидно, что для сферической
невозмущенной поверхности

капли вектором нормали n будет являться орт сферической си
стемы координат er , в качестве же единичного вектора касатель


ной  может быть выбран как орт e , так и орт e . В результате
вместо одного динамического условия для касательной компоненты тензора напряжений мы должны записать два:

первое, когда в качестве  взят орт e (см. «Приложение Д»,
формулы (Д.9) и (Д.10)):
 
r  1 ,   e :
u 1 ur 1

 u  0;
 r r  r
(4.7)


второе, когда в качестве  взят орт e (см. выражения (Д.11)
и (Д.12),
u
1 ur 1
 
r  1 ,   e :

 u  0.
(4.8)
 r r  sin   r
Прежде чем записать динамическое граничное условие для
нормальной компоненты тензора напряжений (А.6), заметим, что
искажение равновесной сферической поверхности капли
волновым движением  ( ,  , t ) вызывает изменение входящих в
условие (А.6) давлений pq и p . Поскольку   1, то давления
pq и p могут быть разложены в асимптотический ряд по
степеням малости и представлены в виде




pq (r , t )  pq(0)  pq(1) (r , t )  ... ; p ( r , t )  p(0)  p(1) ( r , t )  ... , (4.9)


где pq(1) (r , t ) и p(1) (r , t ) – добавки к давлению электрического поля
и к давлению сил поверхностного натяжения, вызванные
возмущением свободной поверхности капли и имеющие первый
порядок малости по  . В нижеприведенном изложении индекс
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

«1» у поправок первого порядка малости к давлениям: pq(1) (r , t ) и

p(1) (r , t ) будем опускать.
Выражение для добавки к давлению электрических сил
получено в «Приложении Е» (см. формулы (Е.19) и (Е.38)). В
случае капли проводящей жидкости оно имеет вид
Q  l
Q2

m
pq (r , t ) 
   l  1 Al m (t )  Yl  ,   2   ( , , t ); (4.10)
4 l 0 m l
2
Al m (t )  Q 
0

  ( , , t ) Y  ,   sin   d  d.
m*
l
0
В случае же капли диэлектрической жидкости
Q   l  1
2  1

pq 
Q ( , , t ) ;
 l  1 Al m  3Bl m Yl m  ,  
  

4  l 0 m l  


(4.11)
2 
l (  1)  3
Al m (t ) 
Q    ( , , t ) Yl m*  ,   sin   d  d ;
l (  1)  1 0 0
2
(l  1)(  1)  3
Bl m (t ) 
Q
l (  1)  1
0
В
формулах

  ( , , t ) Y  ,   sin   d  d.
m*
l
0
(4.10)-(4.11)
Yl m  ,   –
нормированные
сферические функции (см. [26], с. 118, формулы (1)–(3)); Yl m* –
нормированные сферические функции, комплексно сопряженные
Yl m  ,   .
Несложно видеть, что выражение (4.11) для диэлектрической
капли переходит в выражение (4.10) для проводящей капли, если
в (4.11) значение диэлектрической проницаемости устремить к
бесконечности:    .
Выражение для добавки к давлению сил поверхностного
натяжения (лапласовскому давлению) можно получить разными
способами (см. [21], с. 343, формула (62.5) или «Приложение Ж»,
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
выражения (Ж.5), (Ж.7)). Оба способа приводят к следующему
результату:

1 
1

2 
p    2      ( ,  )    2 
(sin 
)
 ( ,  ),
 sin 2   2 
 sin  
(4.12)
где   – угловая часть оператора Лапласа в сферических
координатах.
Подставим выражения для поправок первого порядка
малости к давлениям в динамическое граничное условие (А.6) и в
линейном приближении получим выражение для нормальной
компоненты тензора напряжений в виде
r  1:
 

 p in  2 n  (n  ) u  pq  p  0.
Перепишем его в терминах проекций вектора скорости u r ,
u , u на орты сферической системы координат. Для этого

вспомним, что единичным вектором нормали n к сферической

поверхности является орт er . В результате получим (см.
«Приложение Д», формула (Д.8))
ur
 pq  p  0;
(4.13)
r
где pq и p определяются формулами (4.10)–(4.11) (или (4.10),
(4.12)).
Теперь нам осталось линеаризовать дополнительные условия
постоянства объема капли (А.9) и неподвижности центра масс
капли (А.10). В безразмерном виде условие (А.9) может быть
расписано следующим образом:
r  1:
 p in  2
1
4
2
dV

d

r

dr

,
V
 0
3
где d – элемент телесного угла. Вычисляя интеграл по
радиальной переменной r к в левой части равенства, получаем
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 dV 
V

1
1
3
1
(
,
,
)




t
d




1  3 ( ,  , t )  ... d  


3
3
1
4
4
d
(
,
,
t
)
d
(
,
,
t
)
d
















.



3
3
3


Окончательный вид условия постоянства объема капли в
первом порядке
  ( ,  , t ) d   0 .

(4.14)
Аналогично расписывается и условие неподвижности центра
масс капли (А.10):
1
1 

 3
4
1
(
,
,
)
r
dV

d

e

r

dr

e





t
d 


r
r
V
 0

4

1 
1 

1
4
(
,
,
)
...
e





t

d


e
d


e


r
r
 r   ( , , t ) d   0;
4 
4 
В результате, условие неподвижности центра масс капли в
линейном приближении приняло вид:

e
 r   ( ,  , t ) d   0 .
(4.15)

Итак, система уравнений (4.3)–(4.15) определяет математическую модель поставленной задачи в линейном приближении по
малому параметру.
4.3. Скаляризация уравнений Следующим этапом решения сформулированной задачи является процедура скаляризации векторного уравнения Навье-Стокса (4.3). Общая теория скаляризации линейных векторных дифференциальных уравнений изложена в «Приложении В». В «Приложении Г» показано, что векторное уравнение Навье-Стокса в
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 
линейном по полю скоростей u ( r , t ) приближении может быть
 
скаляризовано путем разложения векторного поля u ( r , t ) по
 (см. «Приложение Г», формула (Г.1)):
векторным операторам N
j
 






u (r , t )  N
11 ( r , t )  N 2  2 ( r , t )  N 3  3 ( r , t ),
где

 j (r , t )
(4.16)

скалярные функции, определяемые видом
 

векторного поля u ( r , t ) , а операторы N j имеют вид (см. «Приложение Г», формула (Г4))
 



 
 
;
;
N


N

N

r



r
N

N
1
2
1
3
1  N 2    (  r ).
(4.17)
Подставим разложение (4.16) в векторное уравнение (4.3):




 u
 


 in









(
,
)
(
,
)
(
,
)
N
r
t
N
r
t
N
r
t
N
1
2
3
1 p  0.
1
2
3



t



Здесь использован явный вид оператора N
1 . Учтем теперь
доказанные в «Приложении Г» (формулы (Г.13)–(Г.15)) свойства


коммутативности операторов N j с оператором Лапласа  . Ком с производной
мутативность N
 t не вызывает сомнений. В
j
результате перепишем полученное уравнение в виде





  
in 
 N j      j (r , t )   j1  p (r , t )   0,
j 1

 t

3
(4.18)
где  j1 – символ Кронекера.
Для того чтобы разделить данное уравнение на три скалярных уравнения необходимо воспользоваться условием ортого
нальности выписанных операторов N
(см. «Приложение Г»,
j
формулы (Г.6)–(Г.11)):
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  
( N j N i )  0 ;
i  j,
(4.19)

 .

где операторы N j – эрмитово сопряжены операторам N
j
Домножая слева уравнение (4.18) последовательно на опера

торы N j и пользуясь условием ортогональности (4.19), получим
систему трех независимых уравнений:
   
 j


in
  j   0;
( N j , N j )  j1  p 
(4.20)
j  1, 2, 3.
t


 коммутируют с оператором
Так как векторные операторы N
j
Лапласа  (см. «Приложение Г», формулы (Г.13)–(Г.15)), то и


эрмитово сопряженные им операторы N коммутируют с  , поj
скольку оператор Лапласа является самосопряженным оператором (     , см. «Приложение В», формулы (В.12), (В.15),
(В.16)). Следовательно, условие коммутации справедливо и для
  

операторов N  N и оператора Лапласа  . Это в свою очередь
j
j
    
означает, что эти операторы  N j  N j  и  обладают общей


системой собственных функций (см. теорему в «Приложении В»).
Обозначим эту систему собственных функций через  j  . Тогда
    
i
 N i  N i  j  n j  j ;


 j   j   j ;
(4.21)
(4.22)
где n ij и  j – константы – собственные значения операторов
    
 N j  N j  и  , соответствующие собственным функциям  j  .


Воспользуемся тем, что произвольная непрерывная функция,
определенная в той же области пространства, что и  j  , может
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
быть разложена в ряд по полному набору собственных функций
 j  , и представим неизвестные функции  i (r, t ) и pin (r, t ) в
уравнениях (4.20) в виде следующих разложений:




p in (r , t )   Aj   j (r , t );
 i (r , t )   B ij   j (r , t )
, (4.23)
j
j
где A j и B ij  коэффициенты разложения; суммирование ведется
по всему набору собственных функций {i } .
Подставим разложения (4.23) в уравнения (4.20):

 i
     
i
 N i  N i    A j  j i1  B j j   B j j   0,
t

 j 

или

 i
     
i






N
N
A


B


B

i
i
j 
  j j i1
j j
j
j   0.

t


Учтем, что {i } являются собственными
оператора Лапласа  (см. (4.22)) и запишем
функциями

     
 i
i




A

B

B

j  j i1 t j
j
j   N i  N i   j  0.



воспользуемся, что {i } – собственные
    
операторов  N j  N j  (см. (4.22)), тогда получим


Теперь
функции

 i
 i
i




A

B

B

j  j i1 t j
j
j  n j   j  0.


Поскольку система собственных функций {i } отлична от нуля,
то последнее равенство может выполниться лишь тогда, когда
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
либо все собственные значения nij  0 , либо все выражения,
стоящие в фигурных скобках, равны нулю. Выберем второй
случай, т. е. будем считать, что
n ij  0;
(4.24)


 i
B j    j  Bij   0;
 Aj   i1 
t


( i , j ) .
(4.25)
Умножая каждую скобку (4.25) на соответствующую
собственную функцию {i } и суммируя по всем j , запишем


 i

i
A

B

B



A

Bij  j 







j  j i1 t j

j
j
j
i1  j j
t j
j


   j  B ij  j  0.
j
Учитывая, наконец, выражения (4.22) и (4.23), получим
следующую систему трех скалярных уравнений для функций

 i (r , t ) :
 i1  p in 



 i (r , t )   i (r , t )  0;
t
i  1, 2,3.
(4.26)
Рассмотрим теперь условие несжимаемости жидкости (4.4).
 
Подставим в него разложение (4.16) для поля скоростей u ( r , t ) и

учтем явный вид оператора N
1   , а также тот факт, что

   N
 (см. «Приложение Г», формула (Г.15)). Тогда можно
N
1
1
записать
3 
3
    3 
    
 

u  N 1 u  N 1  N j  j   N 1  N j  j    N 1  N j    j  0.

j 1
j 1
j 1 
Используя условия ортогональности (4.19) для операторов


N , окончательно получим
j
(  ) 1  1  0.
25
(4.27)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из уравнения ((4.26)) при j  1 с учетом уравнения (4.27)
легко получить



p in (r , t )   1 (r , t ).
t
(4.28)
В итоге исходную систему уравнений (4.3)–(4.4) для вектор 
ной функции u ( r , t ) мы преобразовали в систему скалярных

уравнений для скалярных функций  i (r , t ) (см. (4.26) при j  2;3
(4.27) и (4.28)), которую в окончательном виде удобно записать:
(1   i1 )



 i (r , t )   i (r , t )  0;
t

1 (r , t )
in 
p (r , t )  
.
t
i  1; 2;3;
(4.29)
(4.30)
4.4. Скаляризация граничных условий Теперь нам необходимо граничные условия (4.6)–(4.8), (4.13)

переписать в терминах неизвестных функций  i ( r , t ) . Для этого
удобно воспользоваться выражениями для компонент ur , u , u
 
векторного поля u ( r , t ) в сферической системе координат через

функции  i (r , t ) , полученные в «Приложении Г», (формула
(Г.19)):



 1 (r , t ) 1
ur ( r , t ) 
   3 (r , t );
r
r




1  1 (r , t )
1  2 (r , t ) 1    3 (r , t ) 


u (r , t ) 
r
;
sin 

 
r 
r r 

u (r , t ) 



1  1 (r , t )  2 (r , t )
1
   3 (r , t ) 
r
.


 
r  sin  

r  sin  r 
26
(4.31)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кинематическое граничное условие
соотношений (4.31) легко переписать в виде:
(4.6)
с
учетом

r  1:

 ( ,  , t ) 1 (r , t ) 1

    3 (r , t )
.
t
r
r
(4.32)
Преобразования динамических граничных условий для касательной компоненты тензора напряжений (4.7) и (4.8) проделаны
в «Приложении З». В результате получены следующие гранич
ные условия на скалярные функции  i (r , t ) (см. «Приложение
З», формулы: (З.14)–(З.15)):
r  1:
2
   1   2 3
  2     3  0;
 
r  r  r 2
  2 
   0.
r  r 
(4.33)
(4.34)
Динамическое граничное условие для нормальной
компоненты тензора напряжений (4.13) с учетом соотношений
(4.31) легко преобразуется в граничное условие на скалярные

функции  i (r , t ) :
r  1:
 in

  2 1
   3  
 p  2  2     
    pq  p   0.
r
r
r


 
 



(4.35)
Поработаем теперь с дополнительными условиями (4.14) и
(4.15). Условие постоянства объема капли (4.14) остается без
изменений, а условие неподвижности центра масс капли (4.15)

нужно скаляризовать. Поскольку направление орта er в сферической системе координат зависит от положения точки в пространстве, разложим его по ортам декартовой системы координат
  
ex , e y , ez , не зависящим от положения точки в пространстве (см.
«Приложение Д», формула (Д.7)):




er  sin   cos   ex  sin   sin   e y  cos   ez .
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставим это разложение в соотношение (4.15) и умножим его
  
последовательно на орты ex , e y , ez . В результате вместо (4.15)
получим три равенства следующего вида:
  ( , , t )  sin   cos d   0;   ( , , t )  sin   sin  d   0;


  ( , , t )  cos d   0.
(4.36)

Заметим далее, что из определения нормированных сферических
функций (см. [6], с. 18, формула (2))
exp(im ) 2l  1 (l  m)! d l m {cos 2   1}l
Yl  ,  
2l  l !
4  l  m ! sin m   d (cos )l m
m
следует, что
Y10  ,   cos ;
Y11  ,   sin   exp(im );
Y11  ,   sin   exp( im ).
Поэтому если второе из уравнений (4.36) умножить на минус
единицу и сначала сложить с первым, а затем вычесть, то
соотношения (4.36) перепишутся в виде
  ( , , t )  sin   exp(i ) d   0;   ( , , t )  sin   exp(i ) d   0;


  ( , , t )  cos d   0.

cos ;
Учитывая
пропорциональность
sin   exp(i ) ;
соответствующим сферическим функциям,
sin   exp( i )
последние три равенства можно записать в виде одного, которое
и будет выражать скаляризованное условие неподвижности
центра масс капли:
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  ( , , t )  Y  ,  d   0,
m
1

(4.37)
т. к. при l  1 азимутальный параметр может принимать значения
m  1; m  0; m  1 .
Таким образом, скаляризация краевой задачи (4.3)–(4.8),
(4.13)–(4.15) закончена и изначально сформулированная векторная задача свелась к решению системы скалярных уравнений
(4.29)–(4.30) с граничными и дополнительными условиями (4.14),
(4.32)–(4.35), (4.37).
4.5. Решение скаляризованной задачи 
Отметим сразу, что функция  2 ( r , t ) , описывающая тороидальные вихревые движения, не оказывает влияния на осцилляции поверхности капли, т. к. для нее мы получили совершенно
независимую краевую задачу – уравнение (4.29) при i  2 и
граничное условие (4.34).
Отыскание решения системы линейных дифференциальных
уравнений (4.3)–(4.4) можно рассматривать как исследование на
устойчивость по Ляпунову (см. [27], с. 317) равновесного
тривиального решения исходной системы нелинейных
дифференциальных уравнений (см. «Приложение А», формула
(А.1)), которое, как упоминалось выше, имеет вид
 
u (r , t )  0 ;
 ( ,  , t )  0 .
При этом из (4.37) следует, что начальное условие также является
нулевым:
t  0:
 ( ,  , t )  0.
Допустим теперь, что мы задали некоторое малое возмущение
начального условия, т. е. предположили, что
 ( , , t  0)   0 ( , ).
29
(4.38)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Очевидно, что решение (4.37) при этом также получит малое
возмущение и не будет уже тривиальным:

u ( r , t )  0;
 ( , , t )  0.
Это обстоятельство позволяет нам линеаризовать исходную систему уравнений и привести ее к виду (4.3)–(4.4), а затем (после
скаляризации) к виду (4.29)–(4.30). Чтобы исследовать поведение
возмущенного решения со временем, нужно составить характеристическое уравнение системы (4.29)–(4.30) (см. [27], с. 320).
Положим, что зависимость от времени t искомых функций

 
 ( ,  , t ) и u ( r , t ) (а следовательно, и  j ( r , t ) ) является экспоненциальной:

 j ( r , t )  exp(st ) ;
 ( ,  , t )  exp ( st ) .
(4.39)
При этом Re s – веществеенная часть параметра s будет
характеризовать экспоненциальное затухание, либо экспоненци
альное нарастание функций  ( ,  , t ) и  j ( r , t ) со временем, а
Im s – мнимая часть параметра s – частоту их периодических
изменений.
Заданные временные зависимости (4.39) позволяют легко
произвести дифференцирование по времени в системе (4.29)–
(4.30), т. к.:

 j (r , t )
t

 s   j (r , t );
 ( , , t )
 s   ( , , t ).
t
(4.40)
В результате с использованием (4.40) система уравнений (4.29)–
(4.30) несколько упрощается:
1


 j (r , t )  1   i1  s   j (r , t )  0 ;
(4.41)
j  1, 2,3 ;



(4.42)
p in ( r , t )   s  1 ( r , t ).
Разделяя переменные в уравнениях (4.41) в сферической
системе координат, несложно убедиться, что зависимость
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

функций  j ( r , t ) от углов  и  определяется сферическими
функциями Yl m ( , ) (см. «Приложение И»). Поэтому решения
уравнений (4.41) будем искать в виде рядов по сферическим
функциям:


 j (r , t )  
l
C
l 0 m l
j
lm
 j (r ) Yl m ( , )  exp( st ),
(4.43)
где функции  j ( r ) выражают зависимость искомых функций

 j ( r , t ) от радиальной переменной r.
Подставим (4.43) в (4.41) и пользуясь тем, что сферические
функции Yl m ( , ) являются собственными функциями угловой
части оператора Лапласа  Yl m ( , )  l (l  1)  Yl m ( , ) , получим

 1 d  2 d r (r )   s
 j m
l (l  1) 


r

1


(
r
)


Clm Yl (, )  0.
i
r
1




2
2

dr
dr
r


 
ml

l
   r
l 0
Поскольку сферические функции Yl m ( , ) линейно независимы, а величины Clmj  0 (иначе мы получили бы тривиальное
решение, см. (4.43)), для выполнения последнего равенства необходимо потребовать, чтобы обращались в нуль все выражения,
стоящие в фигурных скобках. В результате получим следующие
уравнения для определения функций  j ( r ) :
1 d  2 d j (r )   s
l (l  1) 



r
1




 
i1
 j (r )  0; j  1;2;3. (4.44)
r 2 dr 
dr   
r2 
Если индекс j положить равным 1, то это уравнение превратится
в обыкновенное дифференциальное уравнение типа Эйлера:
d  2 d 1 (r ) 
r
  l (l  1)  1 (r )  0,
dr 
dr 
решение которого легко находится в виде (см. [2], с. 126)
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 1 (r ) D  r l  G  r  (l 1) ,
где D и G – константы.
Поскольку функции  j ( r ) выражают зависимость поля скоростей внутри капли от радиальной переменной, то необходимо
потребовать, чтобы найденное решение было ограничено внутри
сферы. Отсюда следует, что G  0. Таким образом, для функции
 1 (r ) получаем решение
 1 ( r ) D  r l .
(4.45)
Для функций  2 (r ) и  3 ( r ) (т. е. когда в (4.44) j = 2;3)
уравнение (4.44) принимает вид
1 d  2 d j (r )   s l (l  1) 
r
 
 j (r )  0;
r 2 dr 
dr   
r2 
j = 2;3.
Сделаем в этом уравнении замену переменных x  r  s  и
получим
d  2 d j ( x) 
2
x
   x  l (l  1)  j ( x)  0; j = 2;3.
dx 
dx 
Решениями этого уравнения являются модифицированные сферические функции Бесселя il ( x) и kl ( x) (см. [29], с. 261, формулы
10.2.1, 10.2.4; [28], с. 451, 460). Общее решение можно выписать
в виде:
j = 2;3,
 j ( r ) B j  il ( x)  H j  kl ( x);
где B j и H j – константы. Поскольку нас интересуют решения,
ограниченные внутри сферы, то необходимо положить H j  0 ,
т. к. kl ( x)   при x  0 . Таким образом, для функций  2 (r ) и
 3 ( r ) получаем решения:
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 j ( r ) B j  il ( r s  );
j = 2;3.
(4.46)
Подставляя найденные решения (4.45) и (4.46) в разложения
(4.43) для функций и переобозначая константы Clmj
(неопределенные константы D и B j вносим в неопределенные
константы Clmj ), запишем


1 ( r , t )  
l
C
l 0 m l


 j (r , t )  
l
C
l 0 m l
j
lm
1
lm
r l  Yl m ( , )  exp( st );
(4.47)
il (r s  ) Yl m ( , )  exp( st ); j = 2;3. (4.48)
Используя найденные выражения (4.47) и (4.48) для функций

 j ( r , t ) можно попытаться определить вид функции  ( ,  , t ) .
Функция  ( ,  , t ) , описывающая возмущение поверхности кап
ли, связана со скалярными функциями  j ( r , t ) через кинематическое граничное условие (4.32). Из вида выражения (4.32) ясно,
что зависимость функции  ( ,  , t ) от углов  и  должна быть

аналогична угловой зависимости функций  j ( r , t ) . Поэтому
представим  ( ,  , t ) также в виде разложения по сферическим
функциям:

 ( , , t )  
l
Z
l 0 m  l
lm
 Yl m ( , )  exp( st ). ,
(4.49)
где Z lm – коэффициенты разложения, являющиеся константами.
Для уточнения границ изменения индекса l в этом разложении можно сразу же воспользоваться дополнительными
условиями (4.14) и (4.37). Исходя из выражения для сферических
функций Yl m ( , ) несложно получить, что Y00 ( , )  1 4 .


Поэтому дополнительное условие постоянства объема капли
(4.14) можно записать в виде
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  ( , , t )  Y  ,  d   0.
0
0

(4.50)
Подставляя разложение (4.49) для  ( ,  , t ) в условие (4.50) и
(4.37) и пользуясь ортонормированностью сферических функций
Yl m ( , ) (см. «Приложение Е», формула (Е.15)), получим:
из (4.50):

  (,, t )  Y ,   d   
0
0
l
Z
l 0 ml



l
Z
l 0 m l
lm
lm
 exp(st )  Y00 ,   Yl m (, )  d  

 exp( st )  l 0   m 0  Z 00  0;
из (4.37):

l
  (,, t )  Y ,  d     Z
m
1
l 0 nl



l
Z
l 0 m l
lm
ln
 exp(st )  Y1m ,   Yl n (, )  d  

 exp( st )  l1   mn  Z1m  0,
где m  1; 0; 1 . Таким образом, мы получили, что в разложении
(4.49)
Z 00  0;
Z1m  0;
m  1; 0; 1,
а это означает, что в разложениях (4.47)–(4.49) суммирование по
l должно начинаться с l  2 . Оставшиеся неизвестными в
решениях (4.47)-(4.49) коэффициенты разложений Clmj , где
j  1;2;3 , и Z lm должны быть определены из кинематического
(4.32) и динамических (4.33)-(4.35) граничных условий.
Начнем с кинематического граничного условия (4.32). С
учетом (4.39) оно может быть переписано в виде
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


1 (r , t ) 1
    3 (r , t )  s   ( ,  , t ).
r
r
r  1:
(4.51)
Проставляя в это равенство решения (4.47)–(4.49) и учитывая
линейную независимость сферических функций Yl m ( , ) , а также
соотношение
 Yl m ( , )  l (l  1)  Yl m ( , );
(4.52)
получим
1
l  Clm
 l (l  1)  il ( s  )  Clm3  s  Z lm .
(4.53)
Используем теперь динамическое граничное условие (4.33),
1
связывающее коэффициенты Clm
и Clm3 . Подставим в него
решения (4.47)–(4.48). Аналогично избавляясь от суммирования
по индексам l и m, получим:
 d 2i (r s  )

l
 (l  1)(l  2)  il ( s  )  Clm3  0. (4.54)
2(l  1)  C  
2
dr


r 1
1
lm
Вторую производную от модифицированной функции Бесселя можно записать следующим образом (см. «Приложение К»,
формула (К.8)):
d 2il (r s  )
dr 2
 2
r 1
 s  s
  s
 il 1 
    l (l  1)   il 
.










s
Подставим это выражение в (4.54) и получим второе
уравнение для определения неизвестных коэффициентов:

 s  s
s
  s   3
1
2
 il 1 
2(l  1)  Clm  2
    2(l  1)   il 
  Clm  0. (4.55)

    
   

35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Прежде чем использовать динамическое граничное условие
(4.35), распишем входящие в него выражения для добавок к дав
лениям электрических сил pq ( r , t ) (см. (4.10) и (4.11)) и сил по
верхностного натяжения p (r , t ) (см. (4.12)) с учетом выписанного решения для возмущения поверхности  ( ,  , t ) (см. (29)).
Вычислим интегралы, через которые определяются коэффици
енты в разложениях (4.10) и (4.11) для pq ( r , t ) , подставляя в них
(4.49) и пользуясь ортонормированностью сферических функций
(см. «Приложение Е», формула (Е.15)). Для капли проводящей
жидкости получим
Alm (t )  Q  Z lm  exp( st );
(4.56)
а для капли диэлектрической жидкости
Alm (t ) 
Blm (t ) 
l (  1)  3
Q  Z lm  exp( st );
l (  1)  1
(l  1)(  1)  3
Q  Z lm  exp( st ).
[l (  1)  1]  
(4.57)
(4.58)
Таким образом, подставляя (4.49), (4.56)–(4.58) в выражения
(4.10) и (4.11) соответственно, для добавки к давлению

электрических сил pq ( r , t ) , вызванной возмущением поверхности
капли  ( ,  , t ) , запишем:
в случае проводящей жидкости
Q2

pq (r , t ) 
4

l
   l  1 Z
l 0 m  l
lm
 Yl m  ,   exp( st );
(4.59)
в случае диэлектрической жидкости
Q2

pq (r , t ) 
4
(l 2  (2l  5)  (l  1))
Z l m  Yl m  ,   exp( st ).
 l  1


[l (  1)  1]  
l 0 m l

l
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(4.60)

Поскольку выражение для pq ( r , t ) в случае проводящей жидкости (4.59) легко получается из выражения (4.60) для диэлектрической жидкости при стремлении диэлектрической проницаемости
 к бесконечности (    ),то в дальнейших вычислениях для

pq ( r , t ) будем использовать формулу (4.60), а финальный
результат для капли проводящей жидкости получим в конце,
совершив указанный предельный переход.
Подставим теперь разложение (4.49) для возмущения
 ( ,  , t ) в выражение (4.12) и выпишем добавку к давлению сил

поверхностного натяжения p ( r , t ) , вызванную возмущением
поверхности капли  ( ,  , t ) :

l

p (r , t )      l  1 (l  2) Z l m  Yl m  ,   exp( st ).
(4.61)
l 0 m l
При выводе соотношения (4.61) учтено (4.52).
Теперь можно использовать граничное условие (4.35), чтобы
получить последнее третье уравнение, связывающее неизвестные
1
коэффициенты Clm
, Clm3 и Z lm . Подставляя (4.42), (4.47)–(4.49),
(4.60)–(4.61) в граничное условие (4.35) и вновь пользуясь линейной независимостью сферических функций Yl m ( , ) для того,
чтобы избавиться от суммирования по l и m , запишем
 s
 s
 s   3
1
2

(
1)
2

(
1)
(
1)









s
l
l
C
l
l
i
l
i

 lm

  Clm 

l 1 
l
  
   
 

Q 2 (l 2  (2l  5)  (l  1)) 
(l  1) (l  2) 
 Z lm  0.



4
[
l
(
1)
1]





Здесь учтено (см. «Приложение Е», формула (Е.1)), что
37
(4.62)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
dil (r s  )
dr

r 1
 s l  s
 il 1  r
   il  r
.



r




s
Итак, полученная система уравнений (4.53), (4.55), (4.62) оп1
, Clm3 и Z lm . в решениях
ределяет неизвестные коэффициенты Clm


(4.47)–(4.49) для функций 1 (r , t ) ,  3 (r , t ) и  ( ,  , t ) . Для упрощения записи дальнейших вычислений введем следуюшие
обозначения:
s
x  ;
2

 s 3
D  il 
  Clm ;



(l 2  (2l  5)  (l  1))
;
l 
[l (  1)  1]  
3
lm
Q2
l  1 
 l ;
4 (l  2)
(4.63)
и перепишем систему уравнений (4.53), (4.55), (4.62) для
1
, Dlm3 и Z lm (т. е. Clm3 ) в виде:
определения коэффициентов Clm
1
l  Clm
 l (l  1)  Dlm3    x 3  Z lm  0;
 2
 3
il 1  x 
2
2(l  1)  C   x  2 x 
 2(l  1)  Dlm  0;
il  x 


1
lm
 i  x 

1
 x 2  2l (l  1)   Clm
 2l (l  1)  x  l 1
 (l  1)  Dlm3 
 il  x 

 

(4.64)
 (l  1)(l  2) l  Z lm  0.
 

Для того чтобы эта однородная система линейных алгебраи1
, Dlm3 и Z lm имела
ческих уравнений относительно неизвестных Clm
нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы, составленной по системе (4.64) из коэффици38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
ентов при неизвестных Clm
, Dlm3 и Z lm , обращался в ноль (см. [30],
с. 69). Расписывая определитель системы (4.64), можно получить
(см. «Приложение Л») для неизвестной величины x (т. е. s , см.
(4.63)), которая, как указывалось выше (см. (4.39)), определяет


эволюцию искомых функций 1 (r , t ) ,  3 (r , t ) и  ( ,  , t ) со
временем:
x 4  2(l  1)(2l  1) x 2  l (l  1)(l  2)
l


x2
2(l  1) (l  1)
 0.
(4.65)
x il  x 
1 
 (l  1)
2 il 1  x 
Сделаем в этом уравнении обратный переход от переменной
x к переменной s (см. (4.63)), чтобы в явном виде выявить
зависимость компонент (4.65) от вязкости  . Умножая (4.65) на
 2 , запишем дисперсионное соотношение в окончательном виде:
s 2  2(l  1)(2l  1)   s  l (l  1)(l  2) l 
2
2(l  1) 2 (l  1)
 s




s  il s 
1

 (l  1)
2 il 1 s 
 0.
(4.66)
Напомним, что согласно (4.39) зависимость интересующих
нас функций (в том числе и возмущения равновесной поверхности капли  ( ,  , t ) )от времени будет определяться аналитической
зависимостью  exp( st ) , причем реальная часть параметра s
определит экспоненциальное нарастание либо затухание амплитуды возмущения  ( ,  , t ) со временем, а мнимая часть s –
частоты собственных колебаний свободной поверхности капли.
Рассмотрим частные случаи уравнения (40): идеальную
жидкость, маловязкую жидкость и сильновязкую жидкость.
4.6. Приближение идеальной жидкости Для того чтобы рассмотреть случай капли идеальной жидкости, необходимо положить равной нулю коэффициент кинемати39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ческой вязкости (  0 ). При этом аргумент сферических функций Бесселя il ( s  ) и il 1 ( s  ) , входящих в уравнение (4.66),
обращается в бесконечность. Поэтому, чтобы понять, как ведет
себя последнее слагаемое в (4.66) при   0 , следует воспользоваться асимптотическим разложением для сферических функций
Бесселя при больших значениях аргумента (см. [29], с. 199;
формула (9.7.1), т. к. il ( x) 

2x
 I ( l 1 2 ) ( x) ; [29], с. 261; формулы
(10.2.9)–(10.2.10)):
x :
il ( x) 
1

 1 
exp( x)  1      .
2x
 x 

(4.67)
Тогда отношение сферических функций Бесселя  il ( x ) il 1 ( x )  при
x   имеет асимптотику
il ( x) 
 1 
 1      .
il 1 ( x) 
 x 
x :
Следовательно, дробь в уравнении (4.65) при x   представима
в виде
x :
x2
x2

 2x
x2
x il  x 
1 
 (l  1)
2 il 1  x 
(4.68)
или в терминах переменной s (см. (4.63)) получим
 s
 s

 2 s  0. (4.69)
  0:
1
i
s

s l
 s

 (l  1) 2
1
2 il 1 s 




Таким образом, учитывая соотношение(4.69), для случая идеальной жидкости (  0 ) дисперсионное уравнение (4.66) запишется
в виде
s 2  l (l  1)(l  2) l  0.
40
(4.70)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отсюда, вспоминая введенное обозначение для  l (см.
(4.63)), получим


Q2
l  
s   l (l  1)(l  2) l   l (l  1)(l  2) 1 
 4 (l  2) 

Q2
(l 2  (2l  5)  (l  1)) 
  l (l  1)(l  2) 1 
 . (4.71)
4
(
l
2)
[
l
(
1)
1]









Из выражения (4.71) следует:
Q2
 l <1, то величина s определяет
1) если  l > 0 , т. е.
4 (l  2)
собственные частоты колебания свободной поверхности
заряженной капли идеальной жидкости:


Q2
 l  ; (4.72)
s   l (l  1)(l  2) l  il l (l  1)(l  2) 1 
 4 (l  2) 
Q2
 l  1, то величина s определяет
2) если  l < 0 , т. е.
4 (l  2)
инкремент экспоненциального нарастания либо декремент экспоненциального затухания решений со временем:
 Q2

 l  1 .
s   l   l (l  1)(l  2) 
 4 (l  2)

(4.73)
Появление нарастающих со временем решений (т. е. увеличивающегося со временем возмущения поверхности  ( ,  , t ) )
означает неустойчивость капли;
3) значение  l  0 разделяет устойчивые и неустойчивые
решения, т. е. определяет критическую величину, имеющегося на
капле заряда:
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Q2
 l  1.
4 (l  2)
Очевидно, для того, чтобы капля стала неустойчивой, достаточно выполнения условия неустойчивости хотя бы для одной из
мод.
Согласно сказанному выше минимальное значение, которое
принимает индекс l , равно 2 и, следовательно, критическое значение заряда определится соотношением
Qcr2
 2  1;
16
(4.74)
или, переходя к размерным величинам, с учетом (37) запишем
Qcr2 (2 2    3)
 1.
16 [2  3]  
(4.75)
Для случая идеально проводящей жидкости (    ) величина  l обращается в единицу, и из (4.75) получаем значение критического заряда, полученное еще Рэлеем:
Q2
1
16
или в размерном виде
Q2
16 R 3
 1.
(4.76)
4.7. Асимптотика маловязкой жидкости Для того чтобы выяснить влияние вязкости жидкости на собственные частоты колебаний заряженной капли и на инкремент
нарастания ее неустойчивости, рассмотрим случай маловязких
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жидкостей, т. е. когда  мало. Из асимптотического разложения
(4.69) видно, что четвертое слагаемое в дисперсионном соотношении (4.66)   3 2 , а второе слагаемое   , поэтому в случае маловязких жидкостей сохраним в (4.66) лишь слагаемые до первого порядка малости по  включительно. Тогда вместо выражения
(4.66) получим следующее дисперсионное соотношение:
s 2  2(l  1)(2l  1)   s  l (l  1)(l  2)   l  0.
(4.77)
Решения этого уравнения записываются в виде
s  (l  1)(2l  1)   (l  1) 2 (2l  1) 2  2 l (l  1)(l  2)   l . (4.78)
Однако поскольку само уравнение (4.77) получено из исходного
дисперсионного соотношения (4.66) путем отбрасывания слагаемого   3 2 , то и в выражении для решений (4.78) следует под
знаком квадратного корня отбросить член   2 . Таким образом, с
точностью до членов первого порядка малости по  получим
s  (l  1)(2l  1)   i l (l  1)(l  2)   l .
(4.79)
Из выражения (4.79) следует, что
Q2
 l <1, то величина s определяет
1) если  l > 0 , т. е.
4 (l  2)
собственные частоты колебаний поверхности заряженной капли
маловязкой жидкости l , совпадающие с собственными частотами колебаний капли идеальной жидкости (4.72). Учет наличия
вязкости жидкости приводит к появлению пропорционального
коэффициенту кинематической вязкости декремента затухания  l
собственных колебаний поверхности капли:
s   l  i  l  (l  1)(2l  1)   i l (l  1)(l  2)   l ;
(4.80)
Q2
2) если  l < 0 , т. е.
 l >1, то величина s определяет
4 (l  2)
инкремент нарастания неустойчивости заряженной капли мало43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вязкой жидкости  l , который оказывается несколько меньше, чем
в случае идеальной жидкости, а именно на величину
декремента  l :
 Q2

 l  1  (l  1)(2l  1)  ; (4.81)
s   l  l (l  1)(l  2) 
 4 (l  2)

3) как и в случае идеальной жидкости, равенство  l  0 разделяет устойчивые и неустойчивые решения, а выражения для
критического значения заряда (4.74)–(4.76) остаются справедливыми и для капли маловязкой жидкости.
4.8. Асимптотика сильновязкой жидкости Для того, чтобы рассмотреть случай сильновязкой жидкости
v – велико, x – мало, следует воспользоваться разложением для
сферических функций Бесселя в степенной ряд (см. [29], с. 261$
формула (10.2.5)):
2
2
2


x
2
x
2




x
1 
il ( x) 

 ... .
 2l  1!!  1! 2l  3 2! 2l  3 2l  3 
l
Учитывая это разложение, можно с точностью  x 4 получить
следующее представление для отношения сферических функций
Бесселя из последнего слагаемого в дисперсионном уравнении
(4.65) (см. «Приложение М»):
1
 x il  x 

1



 
i
x
2


l 1



x2
2 
4(l  2) x 4


 ... .
1 
 2l  1   2l  1 2l  5   2l  12  2l  5 2  2l  7  
(4.82)
Подставляя (4.82) в дисперсионное уравнение (4.65) и собирая слагаемые с одинаковыми степенями x, несложно получить с
точностью до членов ~x4 следующее уравнение:
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3(4l 3  8l 2  6l  3)
 2l  1  2l  5
2

2(l  1)(2l 2  4l  3) 2
x 
x  l (l  1)(l  2) 2l  0.

 2l  1
4
(4.83)
Переходя к величине s, запишем дисперсионное уравнение
для случая больших значений вязкости:
3(4l 3  8l 2  6l  3)
 2l  1  2l  5
2
2(l  1)(2l 2  4l  3)
s 
 s  l (l  1)(l  2) l  0.
2
l

1


2
(4.84)
При получении уравнения (4.83) в разложении (4.82) было
отброшено слагаемое  x 4 . Это можно сделать, поскольку оно в
силу большой величины коэффициента кинематической вязкости
(стоящей в знаменателе выражения для определения x (см.
(4.63)) много меньше слагаемого  x 2 .
Найдем ограничение на минимальную величину коэффициента кинематической вязкости (на величину x ), при которой
можно пользоваться дисперсионным уравнением (4.83) (или
(4.84)). Для этого рассмотрим отношение третьего члена ряда
(4.82) ко второму и потребуем, чтобы это отношение было много
меньше единицы. В итоге получим
4(l  2) x 2
 1.
 2l  1 2l  5 2l  7 
Это соотношение будет справедливо, когда
x2 
 2l  1 2l  5 2l  7  .
4(l  2)
Отсюда, переходя от величины x к вязкости v (см. (4.63)) и
помня, что минимальное значение индекса l в разложении
возмущения поверхности  ( ,  , t ) по сферическим функциям
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Yl m ( , ) равно 2, получим условие на величину коэффициента
кинематической вязкости:
  0.03  s.
(4.85)
Несложно видеть, что с ростом индекса l численный коэффициент справа в неравенстве (4.85) увеличивается  l 2 .
Выпишем решение дисперсионного уравнения (4.84):


sl1;2  l  1  1   l  2l


l 

;

(l  1)  2l  1 2l  5   2l 2  4l  3
3  4l 3  8l 2  6l  3
(4.86)
;
3l (l  2)(4l 3  8l 2  6l  3)
l 
.
2
(l  1)  2l  5   2l  4l  3
Из вида решения (4.86) следует, что:
Q2
 l  1, и выражение под
1) если величина  l > 0 , т. е.
4 (l  2)
знаком квадратного корня отрицательно, то поверхность капли
совершает затухающие колебания, при этом величина s j
определяет частоты собственных колебаний l и декременты их
затухания  l согласно (4.86):
sl1;2   l  i  l  l  i l  1   l 
l
;.
2
(4.87)
Q2
 l  1), но  l  1 за счет
2) если величина  l > 0 , (
4 (l  2)
большой величины коэффициента кинематической вязкости или
за счет большой величины собственного заряда капли Q , так что
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
выражение под знаком квадратного корня положительно и весьма
мало, то оба решения sl1;2 вещественны и положительны и виртуальное возмущение свободной поверхности экспоненциально затухает, а величина sl1;2 характеризует декременты затухания колебаний поверхности l1;2 :
l1  l  l  1   l 
l
;
2

l2  l  l  1   l 
l
.
2

(4.88)
При этом зависимость возмущения i-й моды капиллярных
колебаний поверхности от времени будет определяться линейной
комбинацией двух экспонент:
 C1  exp( l1  t )  C2  exp( l2  t ).
Очевидно, что при больших значениях времени затухание виртуального возмущения свободной поверхности будет характеризовать меньший из декрементов l2 , т. к. экспонента с большим
значением величины декремента убывает со временем быстрее и
может полностью затухнуть к моменту наблюдения.
Таким образом, при  l > 0 условие обращения в нуль подкоренного выражения в (4.86) разделяет периодические и непериодические решения задачи. Запишем это условие в виде:
2
 l 1 (l  1)  2l  5   2l  4l  3
(4.89)


.
 2  l 3l (l  2)(4l 3  8l 2  6l  3)
Уравнение (4.89) определяет точки бифуркации, т. е. такие
значения вязкости  cr (для заданного заряда капли Q и номера
моды l), при которых частота осцилляций (определяемая
формулой (4.87)–(4.87) обращается в нуль, и два периодических
затухающих с одинаковым декрементом движения свободной
поверхности капли сменяются на два апериодически затухающих
с различными декрементами движения.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Расчеты показывают, что при фиксированном заряде капли
Q , меньшем критического значения Qcr , с увеличением номера
моды l частота  cr уменьшается. Таким образом, при заданном 
в капле вязкой жидкости возможно лишь конечное число
колебаний с несколькими первыми (малыми) l , для которых
 cr > . Движения жидкости, соответствующие остальным модам?
являются апериодическими;
Q2
 l  1, то поверхность
3) если величина  l < 0 , т. е.
4 (l  2)
капли неустойчива, т. к. один из корней дисперсионного уравнения становится вещественным положительным и соответствует
моде, амплитуда которой нарастает со временем. Второе решение
в указанных условиях соответствует экспоненциально затухающему решению. Иными словами величина sl(1) определяет инкремент нарастания неустойчивости  l , а величина sl(2) определяет
инкремент нарастания неустойчивости l :
l
l
(2)




;
s





1


.
l
l
l
l
l
2
2


(4.90)
Численные оценки по (4.90) показывают, что инкремент
нарастания неустойчивости является резко убывающей функцией
вязкости. Из сказанного выше следует, что, как и в случаях идеальной и маловязкой жидкости, для сильновязкой жидкости значение  l  0 разделяет устойчивые и неустойчивые решения
задачи и выражения для критического значения заряда капли
(4.74)–(4.75) остаются справедливыми.
sl(1)   l  l  l  1   l 
4.9. Определение неизвестных коэффициентов Clm1 и Clm3 Если решать задачу об исследовании временной эволюции
капиллярных осцилляций заряженной капли вязкой жидкости,
виртуально деформированной в начальный момент времени, то
возникает необходимость в определении явного вида функций
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

 j (r , t ) и  ( , , t ) . А для этого в известных (см. выше) выражениях для общего вида решений необходимо найти коэффициенты
1
Clm
, Clm3 и Zlm . Такая же задача появляется и при расчете явного
вида полей скоростей течения жидкости внутри капли.
Обратимся вновь к системе алгебраических уравнений (4.64).
Как уже упоминалось, для того чтобы она имела нетривиальное
решение, необходимо, чтобы ее определитель обращался в нуль,
т. е. чтобы величина s являлась корнем дисперсионного уравнения (4.66). При выполнении этого условия, разрешая систему
1
3
(4.64) относительно неизвестных Clm
и Dlm
с учетом обозначения
1
(4.63), можно получить выражения для коэффициентов Clm
и Clm3
через Zlm – коэффициенты разложения в ряд по сферическим
функциям Yl m ( , ) возмущения свободной поверхности капли в
начальный момент времени  ( , , t  0) (см. (4.49). Отметим, что
если задана форма капли в начальный момент времени
 ( , , t  0) , то коэффициенты
Z lm    ( , , t  0)  Yl m  ,  d 
(4.91)

можно считать известными. Искомые выражения для коэффици1
ентов Clm
и Clm3 через Zlm имеют вид






2(l  1)(l  1)
1

 s Z ;
Clm  1 
 
 l lm


i
s
  s  2 s  l 1
 (l  1)  
 l
 il s 


 
2(l  1)
1
s
Clm3  

 Z lm .
(4.92)
l


il s 
i
s
 s  2 s  l 1

 il s  
l






49






Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подстановка выражений (4.91) в решения (4.47)–(4.48) полно

стью определяет функции 1 (r , t ) и  3 ( r , t ) при заданном начальном возмущении равновесной сферической формы поверхности капли  ( , , t  0) . Временная зависимость формы капли
при известных коэффициентах Zlm (см. (4.91)) определится соотношением (4.49).

4.10. Решение задачи для функции  2 ( r , t ) , определяющей тороидальное вихревое движение внутри капли 
Ранее уже отмечалось, что для функции  2 ( r , t ) мы получили полностью независимую краевую задачу, состоящую из
уравнения (4.41) (при j  2 ) и граничного условия (4.34). Решение
уравнения (4.41) имеет вид (4.48). Подставляя его в условие
(4.34) и пользуясь соотношением для производной от модифицированной сферической функции Бесселя (см. «Приложение К»,
формула (К.1)), запишем


l 0
 s
 s
 s  2 m
 il 1  r

 (l  1)  il  r
   Clm  Yl ( , )  exp( st )  0.




m l 



 

l
Для того чтобы этот ряд обращался в нуль при любых значениях  ,  и t , необходимо положить равными нулю все выражения в квадратных скобках, либо все коэффициенты Clm2 .
В первом случае получим, что показатель экспоненты s
должен быть решением дисперсионного уравнения вида:
 s
 s
 il 1  r
  (l  1)  il  r
  0,







s
а коэффициенты Clm2 произвольны и являются коэффициентами

разложения в ряд (4.48) функции  2 ( r , t ) в начальный момент
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

времени. Поскольку функция  2 ( r , t ) не влияет на движение
поверхности капли, то виртуальная начальная деформация
поверхности произвольного вида не приводит к возникновению
тороидального движения, поэтому можно выбрать нулевое

начальное условие для  2 (r , t ) , т. е. положить Clm2  0 .
Во втором случае мы сразу получаем тривиальное решение

для
Поэтому
в
дальнейшем
рассматривать
 2 (r , t ) .

функцию  2 ( r , t ) не будем.
4.11. Определение вида проекций  
векторного поля скоростей u (r , t ) на орты сферической системы координат В заключение, используя найденные решения (4.47)–(4.48)

для скалярных функций  j (r , t ) с коэффициентами, определяемыми выражениями (4.92), а также выражения (4.31) для проек 
ций векторного поля скоростей u (r , t ) на орты сферической сис
темы координат через функции  j (r , t ) , можно выписать окончательный вид для компонент ur , u , u .
Для этого выпишем сначала производные от сферических
функций по углам  ,  (см. [26], с. 129, формулы (4)–(5)):
Yl m ( , )



 m  ctg  Yl m ( , )  l (l  1)  m( m  1)  Yl m1 ( , )  exp( i );
Yl m ( , )
 i  m  Yl m ( , )

(4.93)
и, учитывая соотношение (К.1) (см. «Приложение К»), производную от модифицированной сферической функции il r s  :

51

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 s 
 s  l 1  s 
1 d 
s


i
il  r
 r  il  r



.
l 1  r
r dr 
r





 




(4.94)
Подставляя решения (4.47)–(4.48) в выражения (4.31) и используя
выражения (4.52), (4.93)–(4.93), выпишем компоненты вектор 
ного поля скоростей u ( r , t ) в виде


ur ( r , t )  
l 2
 1
 s  m
l 1
3 l (l  1)




C
l
r
C
i
 lm
   Yl ( , )  exp( st );

lm
l r
r

m l 

 

l


u (r , t )  
l 2

 1
 s
 s
3
l 1
 exp(st )  Clm  l  r  Clm    il 1  r   
m l




l
(l  1)  s   
m
m1
il  r
   m  ctg  Yl ( , )  l (l  1)  m(m  1)  Yl ( , )  ;
r
    
 1 l 1
 s
 s
3



C
r
C
i

 lm

lm 
l 1  r


l  2 m l 




(l  1)  s    i  m m

 Yl ( , )  exp( st ).
il  r
 


r
sin

  


u (r , t )  
l
(4.95)
Выражения (4.95) позволяют найти уравнения векторных
 
линий поля скоростей u ( r , t ) как решения дифференциальных
уравнений, получающихся из соотношений [2,28]:
dr r  d r  sin   dr


.
ur
u
u
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 4А. Математическая формулировка
задачи о колебаниях заряженной капли вязкой
несжимаемой жидкости
Система
уравнений гидродинамики в электростатическом
 
поле E (r , t ) с потенциалом Ф, создаваемом зарядом Q, распределенным в жидкости, состоит из уравнения Навье-Стокса и условия несжимаемости жидкости (см. «Приложение Б», формула
(Б6)):


du u
1




(А.1)

 (u ) u    p in    u ;
div u  0 ,
dt t




 
pin (r , t )  p*in (r , t )  in (r , t ) ,
где u ( r , t ) – поле скоростей;

p*in (r , t )  давление внутри капли в отсутствие электрического

поля;  (r , t ) – потенциал силы внешнего электрического поля
внутри жидкости, имеющий вид (см. «Приложение Б», формулы
(Б7)–(Б8)):
для случая проводящей жидкости
 in  0;
для случая диэлектрической жидкости
(А.2)
    E 
 in    
    in .
(А.3)


8

 
На свободной поверхности сферической капли, описываемой
уравнением вида
in 2

F ( r , t )  r  R   ( , , t )  0
должны выполняться следующие граничные условия:
кинематическое (см. «Приложение Б», формула (Б.9))
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
dF F 

 u  F  0
dt
t
и динамические граничные условия:
для касательной компоненты тензора
«Приложение Б», формула (Б.20))
(А.4)
напряжений
 
  

[  ( n  ) u  n  (  ) u ]  0
(см.
(А.5)
и для его нормальной компоненты (см. «Приложение Б», формулы: (Б.19), (Б.21)–(Б.22))
 

 ( p in  p ex )  2    n  ( n ) u  pq  p  0;
(А.6)
где pq – давление электрического поля собственного заряда:
pq   in   inn   exn ,
имеющее вид для случая капли проводящей жидкости (см. (А.2) и
(Б.21)):
E 

ex 2
pq
8
(А.7)
,
а для случая капли диэлектрической жидкости (см. (А.3) и
(Б.22)):
pq      in
 1  E 

ex 2
n

8
E 
 (  1)
ex 2

8
,
(А.8)
где  – объемная плотность заряда.
Кроме выписанных граничных условий, для решения конкретной задачи о колебаниях поверхности заряженной капли вязкой несжимаемой жидкости необходимо потребовать выполнения
условий:
1) постоянства объема капли, поскольку при любых колебаниях поверхности объем капли несжимаемой жидкости сохраняется:
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4
 dV  3  R ;
3
(А.9)
V
2) неподвижности центра масс капли:

r
 dV  0.
(А.10)
V
В (А.9) и (А.10) интегрирование ведется по всему объему
капли. Система уравнений (Ф1) с условиями (Ф4)–(Ф10) представляет собой математическую модель решаемой задачи.
Приложение 4Б. Уравнения движения вязкой
несжимаемой жидкости и граничные условия к ним
Общие уравнения механики вязкой несжимаемой жидкости,
записанные в тензорной форме, состоят из уравнения непрерывности, сводящегося (при   t   0 ) к условию несжимаемости
ui
0
xi
(Б.1)
и уравнения движения вязкой жидкости – уравнения НавьеСтокса
dui ui
u
1 ik
.

 uk i 
(Б.2)
dt
t
xk  xk
Здесь ui – компоненты вектора скорости жидкости, ik – тензор напряжений, имеющий вид (см. [21], с. 73, формула (15.8))
 u u 
(Б.3)
 ik   p*in   ik    i  k    ik ,


x
x
 k
i 
где p*in – давление в жидкости в отсутствие внешнего электрического поля;  ik – часть тензора напряжений, определяющая
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
напряжения, происходящие из-за наличия электрического поля
(максвелловский тензор напряжений).
Максвелловский тензор напряжений имеет вид:
внутри проводящей жидкости
 ik  0,
(Б.4)
а внутри диэлектрической жидкости (см. [22], стр.94, формула
(15.9))

Ei  Ek
    E 2
(Б.5)
 ik      



,
ik


4
    8

где Ei – компоненты вектора напряженности электрического
поля.
Подставим выражения (Б.3)–(Б.5) в уравнение (Б.2). Для
этого выпишем сначала производную:
  2 ui
 ik
p
 uk   ik

  ik    2 
,

xk
xk




x
x
x
x
 k
i
k 
k
где для диэлектрической жидкости

 ik
Ek
Ek 
  Ei
    1
E
E
E
     


i
 k
.
  4 k x

4

x
x
xk







i
k
k 
Воспользуемся уравнениями Максвелла для электрического
поля в однородном диэлектрике:
в векторном
виде

rot E  0;
в тензорном виде
Ek Ei

 0;
xi xk
Ek 4
,

xk

 4
div E 
;

56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


где E   grad  , ( Ei  
);  – объемная плотность заряда.
xi
Выражение для  ik xk с учетом уравнений Максвелла
перепишется в виде
 ik
 
     E 2 

.
 


 x  8 

xk


x

x

 i

i
i
Здесь введена величина  , которую можно рассматривать
как потенциал внешней силы:
    E 2 
  
  8   .





Учитывая этот результат, а также принимая во внимание
условие несжимаемости жидкости (Б.1), производную от тензора
напряжений можно записать в окончательной форме:
ik
 2ui 
p

  2 
.
xk
xi
xk xi
Подставим, наконец, полученное выражение в уравнение
Навье-Стокса (Б.2) и запишем уравнения движения вязкой
жидкости (Б.1) и (Б.2) в векторных обозначениях:

u
1


 1
 (u ) u    p    u  ;


t
где для случая проводящей жидкости
 ik  0;
а для диэлектрической жидкости
   E 2
   
 .

8


 
57

div u  0 ,
(Б.6)
(Б.7)
(Б.8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнения движения вязкой жидкости (Б.6) необходимо
дополнить граничными условиями.
Граничное условие на неподвижных твердых поверхностях
состоит в требовании обращения в нуль на стенках скорости

жидкости: u  0 , т. к. между поверхностью твердого тела и вязкой жидкостью всегда существуют силы молекулярного сцепления, приводящие к тому, что прилегающий к твердой стенке
слой жидкости полностью задерживается, как бы прилипая к ней.
В случае движущейся твердой поверхности скорость жидкости
должна быть равна скорости этой поверхности.
Условия на границе раздела двух несмешивающихся
жидкостей (или жидкости и газа) гласят, что на этой
поверхности:
1) скорости обеих жидкостей должны быть равны друг другу
ul(1)  ul(2)
где индексы 1 и 2 относятся к двум жидкостям;
2) равнодействующая сил, с которыми жидкости, разделенные Кривовой поверхностью раздела действуют друг на друга,
должна равняться силе поверхностного натяжения (см. [21],
с. 337) – динамическое граничное условие;
3) полная производная по времени t от функции, описываю
щей уравнение границы раздела ( F (r , t )  0 ), должна обращаться
в нуль – кинематическое граничное условие:
dF F 
(Б.9)

 u  F  0.
dt
t
Физический смысл этого условия заключается в том, что точка, лежащая на границе раздела сред, при движении границы никуда с этой поверхности не перемещается. В случае малых колебаний границы раздела кинематическое граничное условие может
быть сведено к требованию, чтобы нормальная составляющая
вектора поля скоростей на поверхности раздела совпадала со скоростью перемещения этой поверхности в направлении своей
нормали.
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим более подробно динамическое граничное условие. При определении силы, действующей со стороны жидкости
на некоторый элемент поверхности, следует рассматривать данный элемент поверхности в системе отсчета, в которой он покоится. В таком случае сила равна просто потоку импульса через

этот элемент. Поток импульса через элемент поверхности dS
есть
 ik  dSk    ui uk  ik  dSk ,
где  ik – тензор плотности потока импульса (см. [1], с. 71–73,
формулы (15.1), (15.8)), тензор напряжения ik определяет ту
часть потока импульса, которая не связана с непосредственным
переносом импульса вместе с массой передвигающейся жидкости. Записав элемент поверхности dS k в виде dS k  nk  dS , где

n – единичный вектор нормали к поверхности, и учитывая, что в

системе координат, связанной с границей раздела, скорость u на


этой границе обращается в нуль u  0 , находим, что сила f ,
действующая со стороны жидкости на единицу площади
поверхности раздела, равна
f i   ik  nk .
Выпишем теперь динамическое граничное условие на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей (или жидкости и
газа):
fi (1)  fi (2)  p  ni
ik(1)  nk(1)  ik(2)  nk(2)  p  ni ,
или
где индексы 1 и 2 относятся к двум жидкостям, p  n - сила
поверхностного натяжения, направленная по нормали к
поверхности, величина которой определяется формулой Лапласа
(см. [21], с. 337):
p  2 H  ;
59
(Б.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где Н – средняя кривизна поверхности в точке;  – коэффициент
поверхностного натяжения границы раздела.


Векторы нормали n (1) и n (2) имеют взаимопротивоположные



направления, поэтому, приняв n (1)   n (2)  n , динамическое
граничное условие можно записать в виде

(2)
ik
  ik(1)   nk  p  ni .
(Б.11)
Для того чтобы разделить условие (Б.11) на нормальную и
касательную составляющие, умножим его скалярно сначала на

орт нормали к поверхности раздела n , а затем на орт касательной

 к поверхности раздела

(2)
ik

  ik(1)   nk ni  p ;
(Б.12)
  ik(1)   nk i  0.
(Б.13)
(2)
ik
Подставим выражения (Б.3)–(Б.5) в условия (Б.12)–(Б.13).
Для этого введем вектор  i   ik  nk и распишем его для случая
 
 
диэлектрической жидкости. Учитывая, что n n  1, n   0 и используя (Б.5), получим

E E
    E 2
ni   i k   n ni    i , (Б.14)
 i   ik  nk      


4
    8

где

 En 
    E 2
   E 2
 n   i  ni   ik  nk  ni        

  


8

4


8



 
 

2

 En 
8
2

 E 
8
2
;
   i   i   ik  nk   i  
60
Ei  En
.
4
(Б.15)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Индексы n и  помечают нормальную и тангенциальную
компоненты соответствующих векторов.
Очевидно, что в случае проводящей жидкости имеем
 n  0;
  0.
(Б.16)
Теперь несложно выписать в векторных обозначениях произведения  ik  ni  nk и  ik   i  nk , используя (Б.3) и разложение
(Б.14):

u
u 
 ik  ni  nk   p  ni  nk    ni  nk i  ni  nk k   ni   i 
xk
xi 

 

  p  2    n  (n  ) u   n ;

u
u
 ik   i  nk   p   i  nk     i  nk i   i  nk k
xk
xi

 
  

     (n ) u  n  ( ) u    .
Подставим полученные выражения
граничные условия (Б.12) (Б.13):
 

в

   i  i 

динамические
 

(1)
  p  2    n  (n ) u   n   p ;
(Б.17)
 
  
 (2)
 
  
 (1)
     (n ) u  n  ( ) u         ( n ) u  n  ( ) u   .
(Б.18)
Поскольку в силу граничных условий для нормальных и касательных компонент вектора напряженности электрического
поля на границе раздела двух диэлектриков (см. [22], с. 59,
формула (7.3))
  p  2    n  (n ) u   n 
(2)
 (1) En(1)   (2) En(2) ;
E(1)  E(2) ,
имеем, что
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

(2)
 (2)  E(2)  En(2)  (1)  E(1)  En(1)
  

 0.
4
4
(1)
Динамические граничные условия на свободной поверхности
жидкости несложно получить как частный случай условий (Б.17),
(Б.18), когда внешняя среда является диэлектриком с   1 ,   0
и      0 . Пусть индекс 2 относится к внешней среде
(поэтому в дальнейшем заменим его на индекс (ex) ), а индекс 1
относится к жидкости (в дальнейшем заменим его на индекс (in) ).
В итоге получим
   pin  p ex   2    n  (n ) u    inn   exn    p  0;


 

 

  (n ) u  n ( ) u   0.
(Б.19)
(Б.20)
В заключение распишем выражение  inn и  ex
n в случаях,
когда жидкость является проводником и диэлектриком.
Для свободной поверхности проводящей жидкости следует
учесть
следующие
граничные
условия
для
вектора
напряженности электрического поля (см. [22], с. 15):

Enex  E .
Eex  0;
Тогда, используя выражения (Б.15)–(Б.16) и помня, что для
внешней среды   1 ,   0 , запишем

in
n
  exn    exn  
 E ex 
2
8
.
(Б.21)
В случае свободной поверхности диэлектрической жидкости
граничные условия для вектора напряженности электрического
поля в принятых обозначениях примут вид:
  Enin  Enex ;
Ein  Eex
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где  – диэлектрическая проницаемость жидкости.
Учитывая это и используя выражение (Б.15), несложно
получить
in 2
in 2
in 2 

E

E

E
     
  inn   exn        8  8n  8  




2
2
2
2
in
ex
ex 2
  E ex   E ex  
E
E
E
   (  1)  n   (  1)    .
n

     


 8
8 
8
8

   8


(Б.22)
Приложение 4В. Разложение векторного поля
скоростей на сумму трех независимых векторных
полей. Скаляризация линейных векторных
дифференциальных уравнений
 
1. Хорошо известно, что произвольное векторное поле u ( r ) в
ортогональной системе координат может быть разложено по ор
там e j данной системы и представлено в виде:
3
  
 
 



u (r )  e1  u1 (r )  e2  u2 (r )  e3  u3 (r )   e j  u j (r )  0,
(В.1)
j 1

где орты e j удовлетворяют соотношениям ортогональности:
1; i  j;
 
ei e j   ij  
0; i  j;
i; j  1, 2,3.
(В.2)
Из соотношений (В.2) следуют условия ортогональности для


векторных полей e j  u j (r ) :





  
e

u
(
r
)
e

u
(
r
)
dV

u
(
r
)

u
(
r
)  ei e j  dV  0





i
i
j
j
i
j


V
V
(В.3)
при i  j.
Из сказанного следует, что в равенстве (В.1) исходное век 
торное поле u ( r ) разложено на сумму трех независимых вектор63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»



ных полей e j  u j (r ) , причем каждая из компонент u j (r ) является
некоторым скалярным полем.
Можно обобщить разложение (В.1), заменив орты ортогональной системы координат на некоторые векторные дифферен , и записать разложение исходного векциальные операторы N
j
 
торного поля u ( r ) в виде
  
 
 

(В.4)
u (r )  N
1  1 ( r )  N 2   2 ( r )  N 3   3 ( r ).
Очевидно, что в частном случае, когда векторные операторы

 совпадают с ортами некоторой ортогональной системы коорN
j


динат e j , скалярные функции  j (r ) совпадут с компонентами

 
векторного поля u ( r ) в этой системе координат u j (r ) .
Посмотрим, каким условиям должны удовлетворять вектор

  ( r , t ) в
ные операторы N . Для того чтобы векторные поля N
j
j
j
разложении (В.4) являлись независимыми, необходимо потребовать выполнения для них условий ортогональности, аналогичных
условиям (В.3):



  (r )  N
  (r ) dV  0;
N
i
j
i
j
V
 i; j  1, 2,3;
i  j.
(В.5)


N
и
В выражении (В.5) поменять местами оператор
j

скалярное поле  j ( r , t ) (подобно тому как в (В.3) были просто


переставлены орт ei и компонента векторного поля ui ( r , t ) )

– это оператор и должен располагаться слева от
нельзя, т. к. N
j
той функции, на которую он действует. Однако необходимой
перестановки можно добиться, если для векторных операторов
ввести понятие эрмитовой сопряженности, аналогично тому, как
это понятие вводится для скалярных операторов (см.[23]): пусть

 
векторные операторы A j и A j называются эрмитово сопряженными, если для них справедливо равенство

V

*













1* (r ) A2 (r ) dr   2 (r )  N i 1 (r )  dr ,


V
64
(В.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

где знак «*» означает комплексное сопряжение, а функции 1 ( r )

и  2 ( r ) удовлетворяют нулевым граничным условиям.
Запишем соотношения эрмитового сопряжения для
 
произведений двух векторных операторов A и B :
для скалярного произведения
 
 
A B
*
   

 B A ,
(В.7)
для векторного поизведения

 
A B


   A  .
 B
(В.8)
Применим теперь условие эрмитового сопряжения (В.6) к


условию ортогональности векторных полей N j  j (r , t ) (В.5). Но
прежде отметим, что реальные физические величины и процессы
описываются действительными функциями и операторами,
поэтому мы в дальнейшем будем рассматривать только действительные поля и операторы и знак комплексного сопряжения ( * )




будем опускать. Итак, обозначив N
i  i ( r , t ) за 1 ( r ) , оператор N j



за A , а функцию  i (r , t ) за  2 (r ) , используя (В.6) легко переписать при i  j (В.5) в виде

V



 
     
 

N i  i (r )  j (r )dr    j (r )  N j  N i   i (r )dr  0.


V
(В.9)
Поскольку соотношения (В.9) должны выполняться для

произвольных скалярных полей  j (r , t ) , то отсюда получаем, что
 должны удовлетворять следующим
векторные операторы N
j
условиям ортогональности:
    
 N j  N i   0;


65
i  j.
(В.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Равенство (В.10) частично обобщает равенство (В.2), отличие
 не являются нормированзаключается в том, что операторы N
j
ными и поэтому
    
 N j  N i   1;


i  j.

Итак, мы получили, что произвольное векторное поле ui ( r , t )
может быть представлено в виде суммы трех независимых век должны
торных полей (В.4), причем векторные операторы N
j
удовлетворять условиям ортогональности (В.10).
2. Обратимся теперь к процедуре скаляризации дифференциальных векторных уравнений и посмотрим, не требуется ли
для возможности ее осуществления наложить на векторные опе какие либо дополнительные условия.
раторы N
j
Рассмотрим сначала процедуру скаляризации на примере

разложения векторного поля ui (r , t ) по ортам ортогональной
системы координат (В.1).
Общий вид векторного дифференциального уравнения может
быть записан следующим образом:
 u (r, t )  0,
L
(В.11)
 – произвольный скалярный дифференциальный эрмитовый
где L
оператор, т. е.
  L
.
L
(В.12)

Условие эрмитовости (или самосопряженности) оператора L
накладывается потому, что в физике реальные процессы описываются именно эрмитовыми операторами.
Подставим разложение (В.1) в уравнение (В.11):
3
L u (r, t )  L
 e u (r, t )  L
 e u (r, t )  L
 e u (r, t )  L
 e u (r, t )  0.
 j j
1 1
2 2
3 3
j 1
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

В декартовой системе координат орты e j постоянны, т. е. не
зависят от положения точки в пространстве, поэтому их можно
 . Другими словами, орты декартовой
вынести за знак оператора L

системы координат e j коммутируют с дифференциальным
 , т. е. справедливо равенство
оператором L
e  e L
;
L
j
j
j  1; 2; 3.
(В.13)
Учитывая это, исходное уравнение можно переписать в виде
3
  
L u (r )  e Lu
 (r, t )  e Lu
 (r, t )  e Lu
 (r, t ) 
 e j Lu
1
1
2
2
3
3
j ( r , t )  0.
j 1

Умножим теперь это уравнение последовательно на орты ei и
воспользуемся условиями ортогональности (В.2):
3
3
 3   
   
 (r, t )  Lu
 (r, t )  0.
ei  e j Lu j (r , t )    ei e j  Lu j (r , t )    ij  Lu
j
i
j 1
j 1
j 1
Таким образом, вместо исходного векторного уравнения для

векторного поля ui (r , t ) (см. (В.11)) мы получили три скалярных
уравнения для компонент этого поля на орты системы координат

ui ( r , t ) :
 (r , t )  0;
Lu
1
 (r , t )  0;
Lu
2
 (r , t )  0.
Lu
3
Совсем иная ситуация получится в произвольной ортогональной криволинейной системе координат. В этом случае орты

системы координат e j зависят от положения точки в пространстве, т. е. являются функциями самих координат, поэтому их
нельзя так просто вынести из-под действия дифференциального
 . Другими словами, орты e криволинейной ортогооператора L
j
,
нальной системы координат не коммутируют с оператором L
т. е. соотношения (В.13) не выполняются. В связи с этим не
удается воспользоваться условиями ортогональности (В.2) и
разложить исходное векторное уравнение (В.11) в произвольной
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ортогональной криволинейной системе координат на три скаляр
ных уравнения, используя разложение векторного поля ui (r , t ) по

ортам этой системы координат e j (В.1).
Испробуем другой способ. Представим исходное векторное

поле ui (r , t ) в виде разложения (В.4) по произвольным векторным


дифференциальным операторам N и подставим это разложение
j
в векторное уравнение (В.11):
3








 u (r )  L
N



L
1 1 ( r , t )  L N 2  2 ( r , t )  L N 3  3 ( r , t )   L N j  j ( r , t )  0.
j 1
(В.14)

 произвольные (на них наложено
Поскольку операторы N
j
лишь условие ортогональности (В.5)), потребуем, чтобы они
 , т. е. налокоммутировали с дифференциальным оператором L
 дополнительное условие коммутативности:
жим на N
j

 

L N j  N j L;
(В.15)
j  1; 2; 3.
 условия комОтметим, что в силу эрмитовости оператора L
 будут выполняться и для эрмитово сопряженмутативности с L
 
ных векторных операторов N j . Чтобы убедиться в этом, достаточно взять эрмитовое сопряжение от левой и правой частей
равенства (В.15) и воспользоваться соотношениями (В.7), (В.12):
  


LNj

 
 NjL
;


     
N j L  L N j;
j  1; 2; 3.
(В.16)
Учитывая (В.15), выражение (В.14) можно переписать в виде
3






 L


 
L u (r )  N



1 1 ( r , t )  N 2 L  2 ( r , t )  N 3 L  3 ( r , t )   N j L u j ( r , t )  0.
j 1
(В.17)
Умножим слева полученное уравнение последовательно на


операторы N с учетом условия ортогональности (В.10). В реi
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
зультате вместо одного векторного уравнения (В.17) получим три
скалярных:

     

N
N
L
(
r
)  0;

1
1

1



     

N
N
L
(
r
)  0;

2
2

2



     
N

N
L

(
r
)  0.
3

3
3


(В.18)
Несложно показать, что из уравнений (В.18) при условии выполнения соотношений коммутативности (В.15) и (В.16) следует,

что функции  j (r , t ) могут быть определены как решения уравнений:
  (r )  0;
L
1
  (r )  0;
L
2
  (r )  0.
L
3
(В.19)
3. Вспомним теперь элементы теории операторного исчисления [23]. Но прежде заметим, что из (В.15) и (В.16) следует
     
коммутативность операторов  N 3  N 3  и L .


Теперь докажем следующую теорему:
 и G
 коммутируют друг с другом,
Если два оператора F
   GF
  , то они обладают общей системой собственных
т. е. FG

функций l (r ) .
Справедливо и обратное утверждение.
 , соответстОбозначим собственные функции оператора F

вующие собственным значениям f l через l (r ) , а собственные
 , соответствующие собственным значениям
функции оператора G

gl , через l (r ) , т. е. пусть
 (r )  f   (r );
F
l
l
l
 (r )  g   (r );
G
l
l
l
   GF
,
где f l и gl – константы. Требуется доказать, что если FG


то l (r )  l (r ) . Составим следующую цепочку равенств:
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  (r )  GF
  (r )  G
 f  (r )  f G
 (r ),
FG
l
l
l l
l
l
т.е.

 

 G
 (r )  f G
 (r ) .
F
l
l
l
Таким образом, из условия коммутативности получили, что
 (r ) тоже является собственной функцией оператора
функция G
l
 , соответствующей тому же собственному значению f , что и
F
l


 ( r ) и  ( r )
функция l ( r ) . Отсюда следует, что функции G
l
l
могут отличаться друг от друга лишь на некоторый постоянный
множитель, который обозначим константой g l , и тогда получим
 ( r )  g   ( r ).
G
l
l
l

Но это в свою очередь означает, что функция l ( r ) является
 , соответствующей собственсобственной функцией оператора G

ному значению gl , для которой мы ввели обозначение l (r ) , т. е.


l (r )  l (r ) . В итоге мы получили, что коммутирующие операто и G
 обладают общей системой собственных функций
ры F

l (r ) .
4. Рассмотрим теперь уравнение вида
   (r )  0,
FG
 и G
 и G
 коммутируют, т. е. F
 обладают
причем операторы F
общей системой собственных функций, которые мы обозначим

l (r ) . Примем, что
 (r )  f   (r );
F
l
l
l
 (r )  g   (r ).
G
l
l
l

Разложим неизвестную функцию  (r ) в ряд по полному набору

собственных функций l (r ) :



 (r )   Cl l (r ).
l 0
Подставив это разложение в уравнение, получим
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»





   (r )  FG

  (r )  
FG
Cl l (r )   Cl  FG
C

f

g


(
r
)  0.
l
l
l
l
l
l 0
l 0
l 0

Поскольку набор собственных функций l (r ) является полной ортогональной ненулевой системой функций, то из последнего равенства следует что либо все собственные числа опера должны обращаться в нуль ( f  0 ), либо нулевыми являтора F
l
 , а это означает, что
ются ( g  0 ) собственные числа оператора G
l
должно быть справедливым одно из уравнений
 (r )  0;
F
 (r )  0.
G
Вернемся теперь к выписанным нами скалярным уравнениям
     
(В.18). Поскольку операторы  N i  N i  и L коммутируют друг с


другом (см. формулы (В.15)–(В.16)), то в силу всего вышесказан
ного из уравнений (В.15) следует, что для функций  i (r , t )
должны быть справедливы либо уравнения

    
 N i  N i   i (r , t )  0;


i  1; 2; 3,
либо уравнения (В.19)
  (r )  0;
L
1
  (r )  0;
L
2
  (r )  0.
L
3
Не нарушая общности решения, потребуем, чтобы функции

 i (r , t ) удовлетворяли уравнениям вида (В.19).
5. Подведем итоги: мы показали, что в произвольной ортогональной криволинейной системе координат произвольное вектор
 –
ное дифференциальное уравнение (В.11) для поля ui ( r , t ) (где L
эрмитовый оператор (В.12)) может быть разложенно на три
скалярных дифференциальных уравнения (В.19) для скалярных


полей  i ( r , t ) , если векторное поле ui ( r , t ) представить в виде
разложения (В.4) по дифференциальным векторным операторам
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

N i , удовлетворяющим условиям ортогональности (В.10) и усло (В.15)–(В.16).
виям коммутативности с оператором L

В заключение отметим, что операторы N i выбираются с учетом требований решаемой задачи. В качестве таких операторов
могут выступать орты криволинейной системы координат,  –
дифференциальный векторный оператор "набла" либо их линейные комбинации.
Приложение 4Г. Выбор векторных дифференциальных
 для задачи о колебаниях поверхности
операторов N
j
заряженной капли вязкой несжимаемой жидкости
1. В «Приложении В» показано, что векторное уравнение вида
 u (r )  0,
L
L
  ), может быть скаляри – эрмитовый оператор, (т. е. L
где L
зовано, т. е. сведено к трем скалярным уравнениям, путем разло


жения векторного поля ui (r , t ) по векторным операторам N j :
3
 
  (r, t )  0,
u (r )   N
j
j
j 1
(Г.1)

где  j (r , t ) – скалярные функции, определяемые видом поля


ui (r , t ) , а операторы N j удовлетворяют условиям ортогональности
    
 N j  N i   0;


i  j.

и условиям коммутативности с оператором L

 

L N j  N j L;
j  1; 2; 3.
72
(Г.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Система уравнений гидродинамики вязкой несжимаемой
жидкости в безразмерном виде, в линейном приближении состоит
из векторного уравнения Навье – Стокса и условия несжимаемости жидкости:


du u
1





 (u ) u    p in    u ;
div u  0 ;
(Г.3)
dt t





 
где u (r , t ) – поле скоростей; pin (r , t )  p*in (r , t )  in (r , t ) , p*in (r , t ) –

давление внутри капли в отсутствие электрического поля;  ( r , t ) –
потенциал силы внешнего электрического поля внутри жидкости.
 действуют лишь на пространственные
Поскольку операторы N
j
 и оператора взятия
координаты, то условия коммутативности N
j
частной производной во времени   t  выполняются автоматически. Таким образом, из вида уравнений (Г.3) следует, что для
скаляризации уравнения Навье–Стокса при выборе операторов
 , кроме условий ортогональности (Г.2), необходимо потребоN
j
вать выполнения условий коммутативности с оператором Лапласа  . Кроме того, отметим, что задачу о колебаниях поверхности
сферической капли естественно решать в сферической системе
координат.
Принимая во внимание все сказанное выше, выберем
 в виде
векторные операторы N
j

N 1  ;


 
N 2  N1  r    r;


 
N 3  N 1  N 2    (  r ), (Г.4)

где r – радиус-вектор.
Эрмитово сопряженными к ним будут следующие операторы:
 
N 1  ;
  
N 2  r  ;

 
N 3  (r  )  .
(Г.5)
Здесь учтено соотношение (В.8).
Проверим теперь для операторов (Г.4)–(Г.5) выполнение
условий ортогональности (Г.2). Для этого нам потребуется
вспомнить (см. [24], с. 65, формулы (4.21)–(4.22) и с. 63, формула
(4.13)):
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) закон сочетательности для смешанного произведения
векторов:
  
  
a  b  c  a  b c ;

 

2) закон круговой переместительности для смешанного
произведения векторов:
     
     
  
  
a  b  c  b  c  a   c  a  b  a  b c  b  c a   c  a b ;



 



3) правило разложения двойного векторного произведения
векторов на скалярные (формула с известным мнемоническим
названием «бац-цап»):
     
  
a  b  c  b   a c   c  a b .


 
Принимая их во внимание, распишем последовательно следующие выражения:
  
N1 N 2;
Получим
1)
  
N1 N 3;
  

N 2  N 3.


  
N 1  N 2     r        r  0;
(Г.6)
т. к. векторное произведение вектора самого на себя равно нулю:
    0.
Очевидно, что

       
N 2  N 1   N 1  N 2   0;


   N
       r         r  0.
N
1
3


   
(Г.7)
(Г.8)
Аналогично (Г.7) получаем

       
N 3  N 1   N 1  N 3   0.


74
(Г.9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Более сложным является доказательство ортогональности
  

операторов N 2 и N 3 . Используя (Г.4), запишем
  
     


N 2  N 3  N 2  N 1  N 2  .


(Г.10)

  N
   N
  N
  M

N
;
1
2
2
1
(Г.11)
Предположим, что
 

 



N 2  r      r  G   N 2  G,
(Г.12)



где M и G – неизвестные пока операторы.

2. Вычислим сначала оператор G . Несложно видеть, что







 
G (r )   r      r  (r )   r    (r )     r  (r ) 






  r    (r )    r  r  (r )     r  (r )  






  r    (r )   (r )   r  r    r    (r )  




  r    (r )   r    (r )  0.
При выводе полученного соотношения учтено, что


 r  r      r   0 . Здесь и в дальнейшем нижний индекс у
оператора «набла» показывает, на какую функцию он действует.

 – антиэрмитовый
Таким образом, мы получили, что G  0 , а N
2
оператор, т. к. согласно (Г.12)
 

N 2  N 2.
(Г.13)
Подставим выражения (Г.11) и (Г.13) в равенство (Г.10):



 

   N
   N
  N
  N
   N
   N
  N
  M

N

2
3
2
1
2
2
2
1
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»






  N
  N
  N
  M

  N
  N
  N
  M

N
 N
.
2
2
1
2
2
2
1
2
Здесь использовано свойство круговой переместительности.
Введем обозначение



 


K  N2  N2 ,
(Г.14)
тогда последнее равенство запишется в виде:

   N
  K
  N
  N
  M

(Г.15)
N
.
2
3
1
2



Вычислим теперь операторы K и M , но прежде определим

результат действия на некоторую функцию  (r ) следующей


 


комбинации операторов T  r  (r ) , где T – произвольный

векторный оператор, действующий только на функцию  ( r ) , а

оператор «набла» действует только на r :
 
 




 
 
T  r  (r )  T  r r  (r ) 
       


  
 T x
T y
 T z   xnx  yn y  znz  (r )  T (r ).
(Г.16)


z 
x
y

Пользуясь соотношением (Г.11), откуда видно, что

  
 
M  N 1  N 2  N 2  N 1 , запишем выражение для неизвестного


оператора M :




 




 
 
 
 
M (r )   N 1  N 2  N 2  N 1   (r )  N 1  N 2  (r )  N 2  N 1  (r ) 






      r  (r )     r    (r ) 






  r     r  (r )       r  (r )      r    (r ) 






  r     r  (r )     r    (r )      r    (r ) 
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»






  r     r  (r )     r r  (r )    r   r   (r ) 







    r  r  (r )    r  r   (r )  3 (r )   (r )  2 (r ).
В предпоследнем равенстве учтены два обстоятельства:


1) r  div r  3; 2) применено соотношение (Г.16), где в

роли T выступил оператор «набла»  . В итоге мы получили


следующее выражение для оператора M :




M  2 N 1.
(Г.17)


3. Вычислим теперь оператор K (Г.14):


  (r )  N
  N
  (r )    r    r  (r ) 
K
2
2

 







  1r  r    1r  r  (r )   1r  r      r  (r ) 






   2 r  r    1r  r  (r )    2 r  r      r  (r ) 






    r    1r  r  (r )     r      r  (r ).
При записи приведенной последовательности тождественных
преобразований нижний индекс у оператора «набла»  вида «1r»
означает, что оператор  действует на первый из двух стоящих

за ним радиус-векторов r , а индекс «2r» означает, что оператор
 действует на второй из двух стоящих за ним радиус-векторов

r . Индекс « » у оператора «набла»  означает, что оператор 

действует на функцию  ( r ) .


Учтем теперь, что    r   rot r  0 , а также, что
   r      r  (r )  0 , поскольку дифференциальная часть
этого выражения представляет собой векторное произведение
двух одинаковых векторных операторов. В результате из шести
слагаемых в последнем равенстве отличным от нуля окажется
лишь одно:



 
K
 (r )    2 r  r      r  (r ),
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
которое и будем модифицировать далее через серию тождественных преобразований. Начнем с того, что в обоих векторных операторах поменяем местами оператор «набла» и радиус вектора,
изменяя и индексацию при первом операторе «набла». Получим






 
K  (r )    2 r  r      r  (r )   r  1r    r    (r ).
Преобразуем далее векторное произведение
по
  операторов



формуле «бац-цап», полагая a   r  1r  ; b  r ; c   :



 

 
K  (r )   r  1r    r    (r )   r   r   2 r    (r ) 




 



  r  1r r   ( r )   r  1r   r  ( r )   r  1r  r    ( r ) 

 



    2 r  r   r  (r )   r   1r  r    (r ) 

 


   r   1r  r (r )    r      (r ).
В предпоследней строчке преобразований второе слагаемое обращается в нуль, поскольку циклическая перестановка в смешанном
произведении векторов приводит к появлению векторного
произведения радиус вектора самого на себя



 

 r   1r  r    (r )   2 r  r  r    (r )  0 . В последней строчке преобразований использовано соотношение (Г.16). Знак «-» в
нижних индексах у оператора «набла» означает, что он действует
влево. В итоге можно записать
  
(Г.18)
K  (r )  N 2 .
Подставим, наконец, (Г.16) и (Г.17) в равенство (Г.15) и,
учитывая (Г.13) и (Г.7), получим
  
   
  
 
 
  





N 2  N 3  K  N 1  N 2  M  N 2  N 1  2 N 2  N 1   N 2  N 1  N 2  N 1  0.
(Г.19)
Пользуясь выражением (Г.19), легко показать, что
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

    
  
N 3  N 2   N 2  N 3   0.


(Г.20)
Итак, соотношения (Г.6)–(Г.9), (Г.19)–(Г.20) полностью доказывают справедливость условий ортогональности (Г.2) для
 , выбранных в виде (Г.4).
операторов N
j
4. Для того чтобы доказать возможность скаляризации уравнения Навье – Стокса (Г.3) путем разложения векторного поля
 
 вида (Г.4), нам осталось убеu (r , t ) по векторным операторам N
j
диться, что эти операторы коммутируют с оператором Лапласа,
т. е.


(Г.21)
N
j  N j .
Отметим сразу, что эрмитовость оператора Лапласа не вызывает
сомнений прежде всего потому, что в квантовой механике он
является оператором кинетической энергии (см. [23]), а ранее уже
упоминалось, что вещественные (не мнимые) физические величины могут изображаться только эрмитовыми, самосопряженными
операторами. Кроме того, в эрмитовости оператора Лапласа
несложно убедиться непосредственным вычислением интегралов
(см. «Приложение В», соотношение (В.6)). Особенно просто
равенство (В.6) записывается для оператора Лапласа в декартовой системе координат для одномерного случая:
2
2
 1 ( x ) 2  2 ( x) dx    2 ( x) 2 1 ( x) dx.
x
x
Проинтегрировав выражение, стоящее слева, два раза по частям и
воспользовавшись нулевыми граничными условиями для функций 1 ( x ) и  2 ( x ) , легко получить правую часть равенства.
Заметим также, что оператор Лапласа – скалярный дифференциальный оператор и, следовательно, на векторные свойства




операторов N не влияет. В свою очередь операторы N и операj
j
тор "набла"  – это тоже дифференциальные операторы, хотя и
обладающие векторными свойствами (которые при использовании в паре с оператором Лапласа не влияют на коммутационные
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
свойства), поэтому можно воспользоваться известным свойством
дифференциальных операторов: от порядка применения дифференциальных операторов результат не зависит.
В результате получаем




1)
 N 1      N 1;









2)  N 2  (r )      r  (r )   r    r  (r )      r  (r ) 






     r r  (r )     r   (r )     r   (r ),
(Г.22)


т. к. r  0 в силу того, что r – линейная функция координат, а
оператор Лапласа  содержит производные второго порядка по
координатам. Таким образом:


(Г.23)
 N 2  N 2 .
  (r )       r  (r ) 
N
3
  
3)




        r    ( r )         r    ( r ) 




        r r    ( r )        r     ( r ) 

 

       r    (r )  N 3 (r ),
или в операторном виде


 N 3  N 3 .
(Г.24)
Соотношения (Г.21)–(Г.23) доказывают коммутативность
 , имеющих виде (Г.4) и оператора Лапласа  .
операторов N
j
Итог данного приложения можно выразить следующей формулировкой: векторное уравнение Навье – Стокса (Г.3) в линей 
ном по полю скоростей u (r , t ) риближении может быть скаля 
ризовано путем разложения (Г.1) поля коростей u (r , t ) по векторным дифференциальным операторам, которые в сферической системе координат имеют вид (Г.4).
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  

5. В заключение выпишем вид операторов N 1 , N 2 , N 3 в
сферической
системе координат. Для этого напомним, что
 
rot A(r ) в сферической системе координат расписывается следующим образом (см. [25], с. 86):
 
rot A(r ) 
A  
1 


sin

A
er 



 
r  sin   r
1  1 Ar   rA    1    rA  Ar  
 



 e  
 e ,
r 
 
r  sin  
r  r
   
где Ar , A , A – компоненты вектора A ; er , e , e – орты сферической системы координат.



Выражение для N 11 ( r ) записывается просто:




N 11 (r )  1 (r )  grad 1 (r ) 



1 (r )  1 1 (r ) 
1 1 (r ) 
(Г.25)

er 
e 
e .
r
r 
r  sin  
 
Учитывая вышевыписанное выражение для rot A(r ) , для


N
 (r ) получим
2
2








N 2  2 (r )     r   2 (r )     r   2 (r )   rot  r   2 (r )  


1   r   2 (r )   1   r   2 (r )  
 e 
 e 
r  sin 

r



1  2 (r )   2 (r ) 

 e 
 e .
(Г.26)

sin  
 
Используя (Г.26) и выражение для rot A(r ) , несложно выпи

сать и N
 (r ) :

 0  er 
3
3
  (r )      r  (r )  rot  rot r   (r )  
N
3 3

   3
3
 
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


 3 (r )    1  3 (r )   
1   

   sin  
  er 

r  sin    
    sin    


1 1 
   3 (r )    1    r  3 (r )   
 
0  r 
  e .
  e   
r  sin  
r  r  sin    
r 
  
В результате получим


 3 (r ) 
1  2  3 (r )  
 1  1  

N 3 3 (r )  
  er 
 sin  

r  sin   
  sin 2   2 


1    3 ( r )  
1
   3 (r )  

r
 e .
r 
  e 
(Г.27)
r r 
 
r  sin  r 
 
Наконец, пользуясь выражениями (Г.26)-(Г.27) и разложе 
нием (Г.1), запишем компоненты векторного поля u (r , t ) в сферической системе координат, выраженные через скалярные функ
ции  j (r ) :



 3 (r ) 
1  2  3 (r ) 
 1 (r ) 1  1  
ur ( r ) 
 
;
 sin  

r  sin   
r
  sin 2   2 



1  2 (r ) 1    3 (r ) 
 1 1 (r )


u (r ) 
r 
;
sin  
 
r 
r r 

u (r ) 



1 1 (r )  2 (r )
1
   3 ( r ) 


r
.
r  sin  

r  sin  r 
  (Г.25)
Приложение 4Д. Вычисление выражений
 
 
вида ei  e j   u (r , t ).
1. Пусть q1 , q2 , q3 – координаты точки пространства, а
  
e1 , e2 , e3 – орты некоторой криволинейной системы координат.
Вычислим выражение вида
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 
 
ei  e j   u ( r , t );
i; j  1, 2, 3,
(Д.1)
 
где u (r , t ) – векторное поле.
Пользуясь правилом дифференцирования произведений и

выражением для проекции вектора grad  (r ) на направления координатных линий криволинейной системы координат (см. [25],
с. 82, формула (21)), распишем выражение (Д.1) следующим
образом:
 
 

  
 


ei  e j   u (r , t )   e j    ei u (r , t )   u (r , t ) e j   ei 

1 ui  1 ei
.

 u
h j q j
h j q j
2
2
(Д.2)
2
 x   y   z 
hj  


Здесь
 q   q   q 
 j  j  j
коэффициенты Ламе (см. [25], с. 77, формула (7)). Суммирование
по повторяющимся индексам не подразумевается.
Из курса аналитической геометрии известно, что орты криволинейной системы координат определяются как отношение при
ращения радиус-вектора dr к приращению длины дуги ds при
движении точки вдоль координатной линии, т. е. когда ds  h j dq j
(см. [25], с. 78, формула (8)). Таким образом, можно записать
общее выражение для ортов криволинейной системы координат в
виде

1 r

.
ej 
(Д.3)
h j q j
Подставляя (Д.3) в (Д.2), получаем окончательно:


2r 
1 ui   1 hi r
1
 
 
 u 

ei  e j   u (r , t ) 
 . (Д.4)
2
h j q j
h
h
q
q
h
h
q
q






 j i
j
i
j
i
i
j 

2. Рассмотрим для примера следующее выражение в сферической системе координат:
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 
 
er  e   u (r , t ).
Для конкретного случая сферической системы координат роль
координат q1 , q2 , q3 будут выполнять сферические координаты
  
  
r ,  ,  , а роль ортов e1 , e2 , e3 – орты er , e , e . Коэффициенты Ламе для сферической системы координат примут вид
hr  1; h  r ; h  r  sin .
(Д.5)
Выпишем выражение для радиус-вектора:




r  r  sin   cos   ex  r  sin   sin   e y  r  cos   ez ,
(Д.6)
  
где ex , ey , ez – орты декартовой системы координат, не зависящие от положения точки пространства, в которой они определяются.
Наконец, пользуясь определением (Д.3) и выражениями
(Д.5)–(Д.6) для ортов сферической системы координат, получим
следующие соотношения:




er  sin   cos   ex  sin   sin   e y  cos   ez ;




e  cos   cos   ex  cos   sin   e y  sin   ez ;



e   sin   ex  cos   e y .
(Д.7)
3. Обратимся теперь к решаемой задаче о капиллярных колебаниях свободной поверхности сферической капли. В динамические
граничные
условия
входят
выражения
вида
 
  

 

n  ( n  ) u , n  (  ) u и   ( n   ) u . Очевидно, что для сфериче
ской поверхности капли единичным вектором нормали n будет


являться орт er , в качестве же единичного вектора касательной 


следует поочередно выбирать орты e и e .
 

Начнем с вычисления выражения n  (n   ) u , пользуясь выражениями (Д.4)–(Д.7). Применительно к сферической поверхности
получим
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


 
  
 1 ur   1 hr r 1  2 r  ur
.
n  (n  ) u  er (er  ) u 
 u  3
 2 2
hr r
h
r
r
h
r
r




 r

r
(Д.8)


Выберем в качестве орта касательной  орт e и распишем
 
  

выражения   ( n   ) u и n  (   ) u :


1 2r 
 
  
 1 u   1 h r
 u  2

  (n  ) u  e (er  ) u 

hr r
 h  hr r  h  hr r 

u   1



 u   2  r  cos  cos   ex  r  cos  sin   ey  r  sin   ez  
r
r

1


 
cos  cos   ex  cos  sin   ey  sin   ez   

r


u   1  1   u
 u   e  e  
.
r
r  r
r
(Д.9)
Аналогично


1 2r 
 
  
 1 ur   1 hr r
 u  2

n  (  ) u  er (e  ) u 

h 
h
h
r
h
h
r









r
 r 


1 ur 
1


 
 u  0   cos  cos   ex  cos  sin   ey  sin   ez   
h 
r


1 ur  1 
 u  e .
h 
r
В итоге получим
 
  
 1 ur 1
n  (  ) u  er (e  ) u 
 u .
r  r
(Д.10)


Теперь возьмем в качестве орта касательной  орт e и
 
  

распишем выражения   ( n   ) u и n  (   ) u . В этом случае:
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


1 2r 
 
  
 1 u   1 h r
 u  2

  (n  ) u  e (er  ) u 

hr r
h
h
r
h
h
r









r

  r

u
1



 u  2
sin    r  sin   sin   ex  r  sin   cos   ey  
2
r
 r  sin 

1

 
 sin   sin   ex  sin   cos   ey   

r  sin 


u
1   u
 1 
e 
e 
 u 
.
r
r
r
sin
sin


r





(Д.11)
Наконец, последнее выражение примет вид


1 2r 
 
  
 1 ur   1 hr r
n  (  ) u  er (e  ) u 
 u  2


h 
h
h
r
h
h
r








 r 

r


1 ur  
1

  
 u  0 
 sin   sin   ex  sin   cos   ey    

r  sin  
 
 r  sin 

1 ur  1 
1 ur 1
 u  e 
 u .
r  sin  
r
r  sin   r
(Д.12)
Приложение 4Е. Вычисление давления
электрического поля собственного заряда капли
на ее свободную поверхность
Рассмотрим случаи капли идеально проводящей жидкости и
капли диэлектрической жидкости отдельно.
1. Пусть имеется заряженная зарядом Q капля проводящей
жидкости, равновесная сферическая поверхность которой возмущена капиллярными колебаниями и описывается уравнением
вида
r  1   ( , , t );
 ( , , t )  1.
86
(Е.1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Напряженность электрического поля внутри заряженного проводника равна нулю, а на его поверхности в отсутствии электрического тока имеет только нормальную к ней компоненту. Поэтому
весь заряд капли будет рассредоточен по ее поверхности.
Поверхностная плотность заряда в равновесном состоянии (т. е. в
отсутствие возмущения поверхности  ( , , t ) ) будет постоянна и
иметь значение Q 4 .
Давление электрического поля на поверхность заряженной
проводящей капли pq , имеющего у поверхности капли напряжен ex
ность E определяется выражением (А.7)
pq   E ex  8 .
2

Вспоминая, что для постоянного электрического поля E   ,
запишем pq в виде
pq    ex  8 ,
2
(Е.2)
где  ex – потенциал электрического поля вне капли.
Для определения потенциала  ex можно выписать следующую краевую задачу (см. [2], с. 14–15, формулы (1.6)–(1.7)):
 ex  0; ,
(Е.3)
 ex  const ;
(Е.4)
 ex  0
(Е.5)
с граничными условиями
r 1  :
r  :
Представим потенциал  ex в виде суммы:
ex  0ex  ex ,
(Е.6)
– потенциал электрического поля собственного заряда
где  ex
0
капли вблизи ее невозмущенной сферической поверхности;  ex –
добавка к потенциалу, вызванная возмущением поверхности
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 ( , , t ) , имеющая тот же порядок малости, что и возмущение
 ( , , t ) .
Запишем выражение для производной по нормали к возмущенной поверхности капли (Е.1). Производная по направлению
определяется формулой (см. [25], с. 10, формула (4))
 
 n .
n
(Е.7)

Вектор нормали n к свободной поверхности капли вида

F ( r , t )  r  1   ( , , t )  0 несложно вычислить, пользуясь выражением



n  F (r , t ) F (r , t ) .
(Е.8)
Подставляя F (r , , , t ) в (Е.8) в линейном по возмущению
свободной поверхности капли приближении получим

n r 1

F ( r , t )


F ( r , t )

r 1
 1  
1  
er 
 e 
 e
r 
r  sin  
2
1
1   
1
  



r 2    r 2  sin 2    

2
r 1


e  
  e 
 er 









r
r
sin

 r 1



e
e 
1   
     
 er 

e 
e  .
  er 
sin    r 1
1     1     sin     

(Е.9)

Наконец, подставим полученное выражение для n в (Е.7) и
запишем необходимую формулу для вычисления производной по
нормали к поверхности (Е.1) в линейном по  ( , , t ) приближении:
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 
  
1  
 n   
 2
.
n
r   sin   
(Е.10)
Используя разложение (Е.6) и учитывая (Е.10), разложим краевую задачу (Е.3)–(Е.5) для потенциала  ex на две задачи для  ex
0
ex
и  . Рассмотрим отдельно граничное условие (Е.4):

ex
r 1

ex
0 r 1
 

ex
r 1
ex
0 r 1
 ex
0

r
    ex
r 1
 const.
r 1
на невозмущенной
Потребуем, чтобы для потенциала  ex
0
свободной поверхности капли выполнялось граничное условие
вида
 ex
0
r 1
 const.
Тогда для добавки к потенциалу  ex получим следующее
граничное условие на невозмущенной свободной поверхности:
 ex  
r  1:
  ex 
r
.
В итоге выпишем отдельно краевую задачу для потенциала  ex
0 :
 ex
0  0,
(Е.11)
с граничными условиями
r  1:
 ex
0  const ;
r  :
ex
0 0
(Е.12)
и для добавки  ex :
 ex   0;
r  1:
  
ex
  ex 
r
r  :
 ;
89
(Е.13)
 ex0  0.
(Е.14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В силу сферической симметрии задачи для потенциала  ex
0
уравнение Лапласа для него сводится к обыкновенному
дифференциальному уравнению типа Эйлера:
 2  ex
2  0ex
0

 0.
r 2
r r
l
Решение такого уравнения ищется в виде  ex
0  C  r . Под-
ставляя это выражение в уравнение для  ex
0 , несложно опредеполучим решение
лить, что l  1. В результате для  ex
0
 ex
удовлетворяющее граничным условиям (Е.12).
0  C r  ,
Определить неизвестную константу C можно, используя связь
нормальной компоненты напряженности электрического поля на
поверхности проводника En и поверхностной плотности заряда 
(см. [22], с. 15, формула (1.9)): En  4 . Применительно к
нашему случаю это соотношение примет вид
 ex
0
 Q ,
r
r  1:
т. к. на равновесной поверхности заряженной сферы   Q 4 .
Отсюда несложно найти константу C  Q. В итоге для потенциала электрического поля  ex
в окрестности невозмущенной
0
сферической поверхности заряженной капли получим решение
вида
 ex
0  Q r.
(Е.15)
Решение уравнения Лапласа для добавки к потенциалу  ex
(Е.13) может быть выписано в виде ряда по шаровым функциям
(см. [25], с. 146, или [26], с. 117, формула (15)):

l
 ex (r , , , t )     Al m (t )  r  (l 1)  Bl m (t )  r l  Yl m ( , ).
l 0 m l
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В силу граничного условия при r   необходимо потребовать, чтобы все коэффициенты Bl m (t )  0 . Из граничного условия
на поверхности капли (см. (E.14)), используя решения для  ex
0
(Е.15), получим
r  1:
 ex
0
   Q   ,
 ( , , t )    Al m (t ) Yl ( , )
l 0 m  l
r

ex

l
m
l
m
  Al m (t ) Yl ( , )  Q   ( , , t ).
или
l 0 m l
Для определения коэффициентов Al m (t ) воспользуемся условием нормировки и ортогональности сферических функций (см.
[26], с. 116, формула (6) или [28], с. 496, формула (12.151)):
 Y  ,  
*
k
n
 Yl m ( , )  d    nl   km .

Верхний индекс «*» означает взятие операции комплексного
сопряжения. Тогда для коэффициентов Al m (t ) получим следующее выражение:
Al m (t )    ( , , t )  Y1m  ,    d .
*

(Е.16)
Решение же задачи (E.13)–(E.14) для добавки к потенциалу
 , вызванной возмущением равновесной поверхности капли
 ( , , t ) , запишется в виде
ex

l
 ex (r , , , t )    Al m (t )  r  (l 1) Yl m ( , ).
l 0 m l
(Е.17)
2. Теперь мы можем рассчитать давление электрического поля на поверхность заряженной проводящей капли по формуле
(Е.2), пользуясь выражениями (Е.6), (Е.9), (Е.14), (Е.16) и (Е.17).
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учтем
также,
что
на
поверхности
ex

 
E   ex  
 n . В итоге получим
n
pq
r 1



2
1
 ex 

8
2
1
 0ex     ex  

8 

r 1
1 
ex 2
ex
ex 



0   2   0    
 r 1
8 
1 
ex 2

 0
8 
1

8
r 1

проводника
r 1
  ex  2
  0 

 r


ex 2

 0
r

r 1
r 1

ex 2

 0
r
   2   0ex   ex 
r 1


r 1 

   2   0ex   ex 


r 1

Q2 Q2
Q2  l
m


 
  (l  1) Al m (t ) Yl ( , ) .
8 2
4 l 0 m l
Таким образом, мы получили выражение для давления
электрического поля на невозмущенную поверхность заряженной
проводящей капли:
p
(0)
q
Q2

8
(Е.18)
и выражение для добавки к давлению электрического поля, вызванной возмущением равновесной сферической поверхности капли  ( , , t ) , имеющей первый порядок малости по этому возмущению:
(1)
q
p
Q2
Q2  l
m

 
  (l  1)  Al m (t ) Yl ( , ) ,
2
4 l 0 m l
(Е.19)
где коэффициенты Al m (t ) определяются формулой (Е.16).
3. Рассмотрим каплю диэлектрической жидкости с диэлектрической проницаемостью  , заряженную зарядом Q , который
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
равномерно распределен по объему с постоянной плотностью
   3Q 4  . Пусть равновесная сферическая поверхность капли
возмущена капиллярными колебаниями и описывается уравнением вида (Е.1).
Давление электрического поля на поверхность заряженной
диэлектрической капли pq определяется выражением (А.8)
pq      in
(  1)  E 

ex 2
n

8
E 
 (  1)
ex 2

8
,

 

или, учитывая, что E   ex , En  n  E  n      n  , а
 

E    E          , запишем давление pq , выраженное через электростатический потенциал:
2
2
(  1) 1   ex 
1   ex 
pq      



(

1)


   . (Е.20)
 8  n
8  


in
Таким образом, для вычисления давления pq необходимо

найти потенциал  электрического поля с напряженностью E
внутри и вне диэлектрической заряженной капли в линейном по
возмущению ее поверхности  ( , , t ) приближении.
3а. Для определения потенциалов  in и  ex можно выписать
следующую краевую задачу (см. [22], с. 59, формулы (7.4)–(7.5)):
 in  4

3Q
;



 ex  0,
(Е.21)
с граничными условиями
r 1  :
r  0:
 in  ex

;

n
n
  ;
in
ex
 in  const.
r  :
 ex  0,
(Е.22)
(Е.23)
где  ex
0 – потенциал электрического поля собственного заряда капли вблизи ее невозмущенной сферической поверхности;  ex –
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
добавка к потенциалу, вызванная возмущением поверхности
 ( , , t ) , имеющая тот же порядок малости, что и возмущение
 ( , , t ) .
Разделим потенциал электрического поля внутри и снаружи
капли на две части: потенциал в отсутствие возмущения сферической поверхности капли  0 и добавку к потенциалу  , вызванную возмущением формы поверхности капли  ( , , t ) , имеющую
первый порядок малости по этому возмущению:
in  in0  in ;
(Е.24)
 ex   0ex   ex .
(Е.25)
Подставляя разложения (Е.24), (Е.25) в систему (Е.21) – (Е.23),
несложно получить краевые задачи отдельно для невозмущенных
потенциалов  0 и для добавок  . Для этого распишем предварительно выражения для потенциалов и производных по нормали, входящие в граничные условия на возмущенной поверхности
капли (Е.22), в линейном по  ( , , t ) приближении:

     r 1  
in
in
0
r 1
 in

n
r 1
in
in
0
r 1
 in0

r
    in
r 1
;
r 1






   in0   in 
   in0   in 





n
n
r
r

 r 1 
 r 1

  in0
r
r 1
 2  in0

r 2
 
r 1

 in
r
.
r 1
(Е.26)
Здесь учтено выражение для производной по нормали (Е.9), а
также тот факт, что потенциал электрического поля в отсутствие
возмущения поверхности капли  0 обладает сферической
симметрией и поэтому
 0  0

 0.


94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разложения
 
ex
для
потенциала
вне
капли
 ex
n r 1 производятся аналогично.
r 1
и
3b. Используя выражения (Е.26), легко выписать краевую
задачу для невозмущенных потенциалов:
 in0  
3Q

 0ex  0;
;
 in0  0ex

;

n
n
  ;
in
0
r  1:
r  0:
(Е.27)
ex
0
r  :
in0  const;
 ex
0  0,
(Е.28)
(Е.29)
и для добавок к потенциалам:
 in0   

 0ex   0;
;
 in0
 0ex
ex
 
    0 
 ;
r
r
r  1:
in
0

r  0:
3Q
  in0 
r
  0   2  0ex
 2  in0

 

 ;
r 2
r
r 2
in0  const;
(Е.30)
(Е.31)
ex
r  :
 ex0  0.
(Е.32)
(Е.33)
3c. Решение задачи (Е.27)–(Е.29) для невозмущенных потенциалов находится легко. В силу сферической симметрии уравнения Лапласа (Е.27) превращаются в обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка:
 2  in0 2  in0
3Q
;



r r

r 2
 2  ex
2  0ex
0

 0,
r 2
r r
решения которых следует искать в виде

 in0   Clin  r l ;
ex
l
 ex
0  C r ,
l 0
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где Clin и C ex – неизвестные константы. Подставляя эти выражения в уравнения (и приравнивая в уравнении для  in0 коэффициенты при одинаковых степенях r), находим
Q
   r 2  C0in ;
2
in
0
C ex
 
.
r
in
0
Из граничных условий на поверхности капли (Е.28) определяются константы C ex  Q и Coin  Q  2  1   . В результате для
невозмущенных потенциалов электростатического поля внутри и
вне диэлектрической заряженной капли получаем следующие
решения:
 in0 
Q
2  1  r 2  ;

2
 0ex 
Q
.
r
(Е.34)
3d. Теперь необходимо найти решения задачи (Е.30)–(Е.33)
для добавок к потенциалам. Решения уравнения Лапласа в сферической системе координат записываются в виде рядов по шаровым функциям (см. [25], с. 146 или [26], с. 117, формула (15)).
Учитывая граничные условия (E.33) при r  0 и r   , решение
для  in будем искать в виде ряда по шаровым функциям,
регулярным при r  0 , а для  ex в виде ряда по шаровым функциям, убывающим на бесконечности (при r   ), т. е. в виде

l
 ex (r , , , t )    Al m (t )  r  (l 1) Yl m ( , );
l 0 m l

l
 in (r , , , t )    Bl m (t )  r l Yl m ( , ),
l 0 m l
(Е.35)
где Yl m ( , ) – нормированные сферические функции.
Для определения Al m (t ) и Bl m (t ) подставим выражения (Е.35)
в граничное условие на поверхности капли (Е.31). Учитывая уже
найденные решения (E.34), запишем
r  1:
  in0  0ex
    

r

r

ex
0
in
0
96

 

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
или
m
   Al m (t )  Bl m (t )  Yl ( , ) 

l
l 0 m  l
 1
Q ( , , t ).

Пользуясь условием нормировки и ортогональности сферических функций (E.15) (см. [26], стр.116, (6)), получим
 Al m (t )  Bl m (t )  
*
 1
Q    ( , , t )  Y1m  ,    d  .


(Е.36)
Из второго граничного условия на поверхности капли (Е.32),
учитывая выражения (Е.34)–(Е.35), найдем второе уравнение для
коэффициентов Al m (t ) и Bl m (t ) :
   in0    0ex     2  ex
 2  in0 
0





2
2 
r
r
r
r





 

r  1:
или

l
m
    l  Bl m (t )  (l  1)  Al m (t )  Yl ( , )  3Q   ( , , t ).
l 0 m l
Вновь пользуясь условием нормировки и ортогональности
сферических функций (Е.15), запишем
  l  Bl m (t )  (l  1)  Al m (t )   3Q    ( , , t )  Y1m  ,    d  . (Е.37)

*
Решая систему уравнений (Е.36)–(Е.37), получим, наконец,
выражения для коэффициентов Al m (t ) и Blm (t ) в решениях (Е.35)
для добавок к потенциалам in0 и  ex
0 :
Al m (t ) 
Bl m (t )  
*
l (  1)  3
 Q    ( , , t )  Y1m  ,    d  ;
l (  1)  1

*
(l  1)(  1)  3
 Q    ( , , t )  Y1m  ,    d . (Е.38)
[l (  1)  1]  

97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3с. Теперь мы можем рассчитать давление электрического
поля на поверхность заряженной диэлектрической капли, пользуясь выражением (Е.20), разложениями (Е.24)–(Е.25) и найденными решениями для потенциалов (Е.34)–(Е.36). Сохраняя лишь
члены первого порядка малости по возмущению поверхности
(т. е. ~  , in0 и  ex
0 ), преобразуем формулу (Е.20) к виду
pq
r 1
ex 2
ex 2 

E
E



(

1)

 
n

      in 
 (  1)


8
8 


 r 1
2
ex

ex





 0  
(  1)  0

     in0   in  


n 
8    n

ex
(  1)   0ex   0  




8  
 
2





r 1
ex
ex 2


  0ex    0  


(
1)


in
in
0 
     0    


  2

8
n
n
n












2
ex
  0ex    0   
(  1)   0ex 




  2



8   




 r 1
  in   ex
     0   0
 n
 


in









2
2
ex
  0ex    0   
(  1)   0ex 
   0ex 


 .
  
   2

8    n  n  n 
 n  n  r 1 (Е.39)
При получении последнего выражения было учтено, что произ
водные по направлению орта касательной  к свободной поверхности капли от потенциала электрического поля во внешней
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
среде имеют более высокий порядок малости, чем первый, и в
расчетах линейных по малому параметру могут быть отброшены.

В самом деле, орт касательной  к поверхности r  1   может

  
быть записан в виде   c  n , где c – произвольный постоянный

вектор, а n – орт нормали, определяющийся в линейном по
приближении выражением (Е.9). Исходя из этого, несложно

записать выражение в линейном по  приближении и для  :
1 
   
1     
 

   c
 c 
 er   c  cr
 e   cr
 c  e ,


sin  
 
sin   
 




где cr , c , c – компоненты постоянного вектора c . Отсюда получим выражение для производной по направлению касательной в
линейном по  приближении:


r 1

1 
1   1 
   

   r 1   c
 c 



c
c

r
  r 
sin  
sin    r 

 
 1  
  cr
 c 



sin


r





 r 1

  
1 
 
 
  

c
1
  c
 c 




 



sin  
  r
 r   
 

 1    1  
cr 


sin




sin








c
1  
 
  



1


  .
sin   
 r    r 1
Из последнего выражения видно, что в выражении (Е.39) для
давления pq слагаемыми пропорциональными
ex
  ex  2
  0ex    0  
0


  2












99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в линейном по  приближении можно пренебречь, т. к. невозмущенный потенциал  ex
0 обладает сферической симметрией и,
 ex
 ex
0
0
следовательно,
 0, а производные по радиаль0 и


ной переменной r приведут к появлению в давлении pq слагаемых более высокого порядка малости, чем второй.
Пользуясь разложением (Е.39), выпишем отдельно давление
электрического поля на невозмущенную поверхность диэлектрической заряженной капли pq(0) (т. е. слагаемые нулевого порядка
малости по  ) и добавку к давлению электрического поля pq(1) ,
вызванную малым возмущением равновесной поверхности капли
и имеющую первый порядок малости по этому возмущению:
2
r  1:
(1)
q
p
pq(0)

1 (  1)   ex
in
0
   0 

 ;
8   n 
2
ex   ex 
 0  .


1 (  1)     ex
  in
in 
     0    
  0   2 0
r
r 
 r
 8   r  r 
Подставляя сюда решения (E.34)–(E.35), (Е.38), запишем
окончательно:
p
p
(1)
q
(0)
q
(5  1) Q 2

;
8

(Е.40)
(2  5) Q 2

  ( , , t ) 
4

Q 2  l  (  1)


(l  1)  Al m (t )  3  Bl m (t )  Yl m ( , ),
  
4 l 0 m l  

(Е.41)
где коэффициенты Al m (t ) и Bl m (t ) определяются формулой (Е.38).
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 4Ж. Вычисление давления сил
поверхностного натяжения
на искривленную поверхность жидкости
Выражение для давления сил поверхностного натяжения (капиллярных сил или лапласовского давления) на произвольную
искривленную поверхность жидкости имеет вид
p  2 H ,
где  – коэффициент поверхностного натяжения, H – средняя
кривизна поверхности.
В рассматриваемой задаче в выбранной системе единиц коэффициент поверхностного натяжения   1. Средняя же кривиз
на поверхности может быть определена по формуле 2  H  div n ,

где n – вектор нормали к свободной поверхности жидкости. В
результате лапласовское давление p будем вычислять, пользуясь следующим выражением:

p  div n.
(Ж.1)
Уравнение поверхности сферы, возмущенной капиллярными
колебаниями, запишем в виде

(Ж.2)
F ( r , t )  r  1   ( , , t )  0.

Несложно получить выражение для вектора нормали n к этой
поверхности в линейном по возмущению  приближении:

n r 1

F ( r , t )


F ( r , t )

r 1
 1  
1  
 e 
 e
er 
r 
r  sin  
2
1
1   
1
  



r 2    r 2  sin 2    


e  
  e 
 er 



r
r






sin

 r 1
101

2
r 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»



e
e 
1   
     
e 
e  .
 er 

  er 







1


1

sin



sin







 r 1


(Ж.3)

Вычислим теперь значение дивергенции нормали n на
поверхности (Ж.2):
 1  (r 2 )
1
1


 2 

div n r 1   2
(sin  ) 


2
2
r
r
r
sin



r
sin









 r 1
 2
1
1


 2 
(sin  ) 



2
2
1
(1
)
sin
(1
)
sin

















 r 1


1 
1  2 
  2  2 
 2   2      ( , ) r 1 ,
(sin  )  2
2



sin



sin



 r 1
где   – угловая часть оператора Лапласа в сферических
координатах.
Таким образом, для лапласовского давления на искаженную
поверхность (Ж.2) в линейном по возмущению поверхности 
приближении получим выражение
p  2   2      ( , ) r 1 .
(Ж.4)
В заключение выпишем отдельно Лапласовское давление на
невозмущеную поверхность сферы r  1 :
p  2
(Ж.5)
и добавку, вызванную возмущением поверхности  и имеющую
первый порядок малости по этому возмущению:
p    2      ( , ) r 1 .
102
(Ж.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение 4З. Преобразование динамических
граничных условий на свободной поверхности
жидкости для касательных компонент тензора
напряжений в задаче отыскания скалярных функций



1 ( r , t ),  2 (r , t ),  3 ( r , t )
1. Преобразуем динамические граничные условия для касательных компонент тензора напряжений (см. (6) и (7)):
u 1 ur 1
 

 u  0;
r  1 ,   e :
(З.1)
 r r  r
 
r  1 ,   e :
1 ur u 1

 u  0 ;
r  sin    r r
(З.2)
к
граничным
условиям
для
скалярных
функций



1 ( r , t ),  2 ( r , t ),  3 ( r , t ) . Для этого подставим в (З.1), (З.2)

выражения для комонент ur , u , u через  j (r , t ) (см.
«Приложение Г», формула (Г.19)):

 1 (r ) 1

ur ( r ) 
    3 (r );
r
r



1  2 (r ) 1    3 (r ) 
 1 1 (r )
u (r ) 


r 
;
r 
r r 
sin  
 



1 1 (r )  2 (r )
1
   3 ( r ) 

u (r ) 


r
.
r  sin  

r  sin  r 
  (З.3)
Сначала вычислим производные, входящие в граничные
условия (З.1), (З.2). Используя соотношения (З.3), получим


  1 (r ) 1

 
ur ( r ) 
(
r
) ;



3

(З.4)
r

  r

103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»




u (r )     1 (r )    1   r  3 (r )  
1    2 (r )  

 

 

 ;
r
  r  r  r  r
r


sin
r





(З.5)


  1 (r ) 1

 
ur ( r ) 
(
r
) ;



3

(З.6)

r

  r





u (r )
1     1 (r )    1   r  3 (r )       2 (r ) 

 
 
 

.
sin    r  r  r  r
r
r
    r 
(З.7)
2. Подставим выражения (З.4)–(З.5) в первое динамическое
граничное условие (З.1):



  1 1 (r ) 1
  1 ( r )    1   r  3 ( r )   

r  1:
 2    3 (r )  

 
 
  r r
r  r  r  r
r
r





1   2 (r )   1 (r ) 1   r  3 ( r )  
1   2 (r )


 2
  sin   r  0.
sin   r
r
  r 2
r

Поскольку все граничное условие рассматривается на поверхности невозмущенной сферы (т. е. при r  1 ), то везде, где r не
стоит под знаком производной   r  , можно положить r  1 .
Учитывая это и объединяя одинаковые производные, перепишем
это соотношение в виде



  1 (r )
  1 ( r )    1   r  3 ( r )   

    3 (r )  
r  1:

 
 
  r
r  r  r  r
r



 
1    2 ( r )
   r  3 (r )  
 
r
r


(
)




(
)   0. (З.8)
1
2



 
r

 sin    r
Раскроем производные по r и приведем подобные слагаемые
в фигурных скобках:
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


 1 (r )   1 (r )    1   r  3 ( r )  
  r  3 (r )  

2.1. 
 

  1 ( r ) 
 
r
r
r
r
r
r
r
















2
1 (r )
  1 ( r )    r  3 ( r )    r  3 ( r )    r  3 ( r ) 


 1 ( r )  




r
r  r 
r  r 2
r 2  r
r



2
  r  3 (r ) 
  1 ( r )    r  3 ( r ) 
2 
2


r  r 
r 2
r




 3 (r )
 2  3 (r )
 3 (r )
  1 ( r ) 

2 
r
 2 3 ( r )  2

2
r  r 
r
r 2
r


  1 ( r )   2  3 ( r )

2 


2

(
r
);
(З.9)
3

r  r 
r 2



   2 (r )  1  2 (r ) 1
  2 (r )




(
r
)



(
r
). (З.10)
2.2.
2
2


r2
r  r  r r
r
Соотношение, аналогичное (З.10), выполняется и для функции

1 (r ) . Отметим еще раз, что серии тождественных преобразований (З.9) и (З.10) для компонент граничных условий на свободной поверхности капли проведены с учетом того обстоятельства,
что на невозмущенной поверхности сферической капли r = 1.
Сказанное означает, что радиальная переменная r, выходившая в
ходе преобразований из-под операции взятия производных по r,
заменялась на единицу.
Подставляя (З.9) и (З.10) в (З.8), получим для первого
динамического граничного условия следующее выражение:



1     2 (r ) 
    1 ( r )   2  3 ( r )
 
  2      3 (r )  


  0.
2 
  r  r 
r 2
 sin   r  r 
(З.11)
3. Проделаем аналогичную процедуру для второго динамического граничного условия для касательных компонент тензора
напряжений (З.2). Подставим в (З.2) соотношения (З.6) и (З.7):
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r  1:


1   1 1 (r ) 1
1     1 ( r ) 
 
 2    3 (r )  
 

sin    r r
r
sin
r
r






 


  1   r  3 (r )      2 (r ) 
 



r  r
r


r







1  1 1 (r )  2 (r )
1
   3 (r )  
r
 


  0.
r  r  sin  
r  sin  r 

  
Положим там, где можно, r  1 (везде, где радиальная переменная r не подвержена действию оператора производной  r )
и объединим одинаковые выражения:



1   1 (r )
  1 ( r )    1   r  3 ( r )  

    3 (r )  

r  1:

 
r  r  r  r
r
sin    r



   r  3 (r )      2 (r )
 
1 (r ) 
  2 (r )  .


r

   r
(З.12)
Сравнив выражения, стоящие в квадратных скобках, с теми,
что стоят в (З.8), мы убедимся, что они полностью совпадают.
Следовательно, и в этом случае можно воспользоваться уже полученными соотношениями (З.8)–(З.10). Подставляя их в (З.12),
получим для 2-го динамического граничного условия выражение,
подобное (З.11):



1     1 ( r )   2  3 ( r )
      2 (r ) 
  2      3 (r )  


  0.
2 
r 2


sin    r  r 
r
r




(З.13)
4. Продолжим преобразования. Подействуем слева на уравне1 
ние (З.11) оператором
sin  , а на уравнение (З.13) – опеsin  
1 
и сложим оба уравнения. В результате получим
ратором
sin  
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


2

(
r
)


(
r
)

1



 


3
1
r  1:





sin 
2
2
(
r
) 


3




  r  r 
r 2
sin  



1
 2    1 ( r )   2  3 ( r )
 
2
2
(
r
)   0.
 2







3



r 2
sin   2  r  r 

Рассматривая выражение, стоящее в квадратных скобках как
некую функцию, в более компактной записи полученное соотношение можно переписать в виде


   1 ( r )   2  3 ( r )
 
2
(
r
)   0.
 2 







3


2
(З.14)
r
r
r






Теперь повторим проведенные преобразования в другой последовательности: на уравнение (З.11) подействуем слева опера1 
1 
, а на уравнение (З.13) – оператором
тором
sin 
sin  
sin  
и вычтем (З.13) из (З.11). В итоге получим


1 
     2 (r )  
1  2     2 (r )  
sin 
r  1:

 

 
  r  r   sin 2   2  r  r  
sin  

    2 (r )  
   
(З.14)
   0.

r
r



5. Прежде чем продолжить преобразования, убедимся в том,
что
    
    N 2  N 2   0.
(З.15)
r  1:


 


 , используя явный вид
Распишем скалярное произведение N 2  N
2

 и  (см. «Приложение Г», формулы (Г.4) и
операторов N
N2
2
(Г.5)):






     
N
N
(
r
)
r
r
(
r
)
r
r
(
r
) 

















2
2













107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»







      r     r   (r )     r     r    r r    r   (r )  




   r     r      r   (r )  .
(З.16)
При выводе (З.16) последовательно использованы следующие свойства произведений векторов:
 
  
  
 

2)   r  0;
3) a  b  b  a;
1) a  b  c  a  b c ;
     
  
   
a

b

c

b

a

c

c

a

b
;
5) a b  b a.
4)
 

 
 

 
Распишем отдельно действие первого и второго операторов,
стоящих в квадратных скобках в выражении (З.16). Для первого
из них будем иметь
  









r  r  (r )   r   r   (r )   r    r   (r )   r   r  r  r   (r )  









 r     r  r   (r )   r   r    r  (r )   r      r  (r )  






 r   0   (r )      r  r   (r )   r     (r )  

 




 r  2 (r )  r   (r )  2  r    (r )  r 2   (r ).
(З.17)
Здесь использовано соотношение (см. «Приложение Г», формула
(Г.16))
 

   

T  r  (r )  T (r ).
Для второго из операторов получится









 r    r  (r )    r r  r  r  (r )    r   r  r  (r )  






  r  r    r   (r )    r      r   (r )  





 0  3 r    (r )   r   r    (r ) 





 3 r   (r )   r   r   (r ).
Подставим теперь (З.17) и (З.18) в выражение (З.16):
108
(З.18)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»




     










N
N
(
r
)
r
r
r
(
r
) 





2
2

















 2  r    (r )  r 2   (r )  3  r    (r )   r    r     (r ) 






  r    (r )  r 2   (r )   r    r     (r ).
Распишем последнее соотношение в сферической системе
координат, помня, что (см. [25], (36), (38))
1

  
  1 
 

 (r )  er  (r )  e
 (r )  e
 (r );
r 
r  sin  
r



1   2  (r ) 
1
 
 (r ) 
1
 2  (r )

 (r )  2  r


 sin 

r r 
r  r 2 sin   
  r 2 sin 2   2

1   2  (r )  1

 2 r
  2    (r ).
r r 
r  r
В результате получаем






     
2
N
N
(
r
)
r
(
r
)
r
(
r
)
r
r
(
r
)















2
2














 (r )   2  (r ) 
   (r ) 

r
 r
     (r )  r  r

r
r 
r 
r 
r 





 (r )
 (r ) 2  2  (r )
 (r ) 2  2  (r )

r
 2r
r
    (r )  r
r

r
r
r 2
r
r 2

    (r ).
Таким образом, мы доказали справедливость равенства (З.15) и,
следовательно, граничные условия (З.13)–(З.14) можно записать в
виде


2
 
        1 (r )    3 (r )






2
2
(
)   0;
N
N
r
2
2



3



2
r  1: 


r
r
r




109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

         2 (r )  
 N 2 N 2   
   0.
(З.19)

r
r

 


6. Воспользуемся для функций  j (r ) разложениями по соб
  
ственным функциям l (r ) операторов N j  N j и  (см. формулу
(4.23)):


 i (r , t )   B ij   j (r , t );
i  1, 2,3.
(З.20)
j
Подставим эти разложения в (З.19):
  2 
 
        1
1
3
2
(
,
)
(
,t)  
N
N
B


r
t

B


r

2
2
  j j



j
2  j
r
r
r



 
 j

 j

 
  2      B 3j   j (r , t )   0;
j

 
        1
2
 N 2  N 2     B j   j (r , t )    0.

  r  r j
 
  
Из вида оператора N j  N j (см. (З.15)) видно, что он коммутирует с производными по координате r и тем более с оператором   . Поэтому получаем

j
   
   1 1  2

3
3 







2
2
(
B
B
B
N
N

r
2
2




 j , t )  0;

j 
 r  r j  r 2 j






j
   1 2       

(
, t )  0.
B
N

N


r
2
2


j
j


 r r


 
 
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Учтем теперь, что функции  j (r ) являются собственными функ    
циями операторов  N 2  N 2  , соответствующими собственным


значениям nij (см. основной текст задачи, формулу (4.21), т. е.


  



N i  N i  j (r )  nij   j (r );
i  1, 2, 3,
где nij – константы.
Поэтому граничные условия перепишем в виде
   1 1   2

 
j n  2 r  r B j j (r , t )   r 2  B3j  j (r , t )    2     B3j  j (r , t )   0;


2
j
 
2   1
2
(
n
B


r
j j  r  r j j , t )   0.
Напомним, что при скаляризации уравнения Навье–Стокса
мы положили, что nij  0 (см. основной текст задачи, формулу
(4.24)), поэтому для того, чтобы ряды в последних равенствах
обращались в нуль, необходимо потребовать, чтобы все выражения в квадратных скобках обращались в нуль. Таким образом,
можно записать
   1 1   2

 
3
3
 2 r  r B j j (r , t )   r 2  B j  j (r , t )    2      B j  j ( r , t )    0;




  1 2
 
B


r
(
 r  r j j , t )    0.

 
Просуммируем полученные выражения по j от 0 до  :
   1 1   2


3
2
(
,
)
(
,
)
2
B

r
t

B

r
t







j  r  r j j  r 2 j j
   0;


111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  1 2
 
(
B


r
j  r  r j j , t )   0.
И, наконец, пользуясь соотношениями (4.23), получим окончательный вид динамических граничных условий для касательных компонент тензора напряжений, преобразованных в гранич
ные условия для скалярных функций  j (r ) :

  1
   2  3 (r )
 
2
(
r
)
2
(
r
)   0;








1
3




2
r
r
r






  1
 

(
r
, t )    0.
2
 

 r  r
(З.21)
(З.22)
Приложение 4И. Разделение переменных

в уравнениях для скалярных функций  i (r )
Рассмотрим уравнение вида
s


 i (r )  (1   i1 )  i (r )  0;

i  1; 2; 3,
(И.1)
где оператор Лапласа в сферической системе координат (см. [5],
с. 139, формула (1)) имеет вид



1   2  (r ) 
1
 
 (r ) 
1
 2  (r )

 (r )  2  r


 sin 

r r 
r  r 2 sin   
  r 2 sin 2   2

1   2  (r )  1

 2 r
  2    (r ),
r r 
r  r
(И.2)
где   – угловая часть оператора Лапласа.
Будем искать решение уравнения (И.1) в виде произведения
двух функций:

(И.3)
 i (r )   ir (r )   i ( , ).
Подставляя (И.3) и (И.2) в (И.1), получим
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 i ( , )   2  ir (r )   ir (r )
 r
    i ( , ) 

2
2
r 
r 
r
r
s
(1   i1 )  ir (r )   i ( , )  0.

Умножим это уравнение на выражение r 2   ir (r )   i ( , ) 
и запишем в виде
  2  ir (r ) 
1
s 2 i



r
(1
)
r  r (r ) 

1
i


i

 r (r ) r 
r 

1
    i ( , ).
i
  ( , )
(И.4)
Приравнивая левую и правую части уравнения (И.4) некоторой
константе  , получим два уравнения для радиальной ir (r ) и

угловой i ( , ) частей функции  i ( r ) :
  2  ir (r )  
s 2
 i
r
  (1   i1 ) r     r (r )  0;

r 
r  

   i ( , )   i ( , )  0.
(И.5)
(И.6)
В курсе математической физики (см. [25], с. 143, формула
(20)) показывается, что уравнение (И.6) может иметь ограниченное решение, только если   l (l  1) , где l  0,1, 2,... Учитывая это
обстоятельство, перепишем уравнения (И.5), (И.6) в развернутом
виде:
  2  ir (r )  
s 2




r
(1
)
r  l (l  1)   ir (r )  0;
i1

 

r 
r  

  i ( , )  l (l  1) i ( , )  0.
113
(И.7)
(И.8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решениями уравнения (И.8) являются сферические функции
Yl m  ,  (см. [26], с. 115, формула (4) или [28], с. 495–496, формула (12.150)), где индекс m изменяется в пределах l  m  l .
Приложение 4К. Вычисление второй производной
по аргументу от модифицированной функции Бесселя
il ( x)
1. Для того чтобы расписать выражение вида  2il ( x) x 2 , воспользуемся следующими рекуррентными соотношениями (см.
[29], с. 262, 10.2.18 и 10.2.21):
il ( x)
l
 il 1 ( x)  il ( x);
x
x
il 1 ( x)  
2l  1
il ( x)  il 1 ( x).
x
(K.1)
(K.2)
Распишем интересующее нас выражение, используя (К.1):
 2il ( x)   il ( x )   
l
  il 1 ( x)  l il ( x) l


i
(
x
)

i
(
x
)
1
l

l
   x   x x  x 2 il ( x).
x 2
x  x  x 
x
(K.3)
Чтобы записать il 1 ( x) x , вновь используем (K.1), заменив в
нем формально l на (l  1) :
il 1 ( x)
l 1
 il  2 ( x) 
il 1 ( x).
x
x
(K.4)
Подставляя (K.4) и (K.1) в (K.3), запишем
 2il ( x)
l 1

i
(
x
)

il 1 ( x) 
l

2
x 2
x
 il  2 ( x) 
l
l
 l
i
(
x
)

i
(
x
)
l
l

1
  x 2 il ( x) 
x 
x
2l  1
l (l  1)
il 1 ( x) 
il ( x).
x
x2
114
(K.5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выразим теперь il 2 ( x) через il 1 ( x) и il ( x) , воспользовавшись
соотношением (K.2) и произведя в нем формальную замену l на
(l  1) :
il  2 ( x)  
2l  3
il 1 ( x )  il ( x).
x
(K.6)
Подставим (K.6) в (K.5) и запишем
 2il ( x)
2
 l (l  1) 


i
(
x
)

l 1
1  x 2  il ( x).
x 2
x
(K.7)
2. В заключение, пользуясь полученной формулой (K.7), распишем выражение, встречающееся в задаче  2 il (r s  )  r 2 .
r 1
Прежде
 x
всего
введем
обозначение
x  s  r,
тогда
r   s  , а если r  1 , то x  s  . Теперь запишем
 2 il (r s  ) 
r 2

r 1
s   il ( x)  s  2

 l (l  1) 




i
(
x
)
1
i
(
x
)

 
1

l
l

x 2 
 x  x    x
 r 1
 s  
s 

  s  
 2
 il 1  r
  1  l (l  1)  il  r
 
 
s

s






  r 1

 s  
s 

  s  





2
1
(
1)
i
l
l
il 

 
 
l 1 

 


s
s
 

 
 
 2
 s  s
  s
(
1)
 il 1 



 il 
l
l
 
.





 

 

s
(K.8)
Приложение 4Л. Получение дисперсионного уравнения
Приравняем нулю определитель матрицы, составленной из
коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений
1
3
(4.64) при неизвестных Clm
, Dlm
и Z lm :
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
anm


 x 2
l
l (l  1)


 2

il 1  x 
2
x
x
l
  2(l  1)




2
2(
1)
0



i
x
l 



 2
 il 1  x 


 (l  1) 
(l  1)(l  2) l
 x  2l (l  1)
x 

 il  x 







,




т. е. распишем
det anm  0
(Л.1)
и получим уравнение относительно x  s   r :
l (l  1)(l  2)
l 2
 x  2 xfl ( x)  2(l 2  1)   4l (l 2  1) x 2  xfl ( x)  (l  1) 

 x 2  x 2  2l (l  1)   x 2  2 xfl ( x)  2(l 2  1)   2l (l  1) 2 (l  1)(l  2)
fl ( x)  il 1  x  il  x  .
l
 0;

(Л.2)
Разделив уравнение (Л.2) на  , соберем вместе слагаемые,
пропорциональные отношению сферических функций Бесселя
f l ( x ) , и, приводя подобные слагаемые, получим
 

x 2  x 4  2(l  1)(2l  1) x 2  l (l  1)(l  2) l  
 

 

2 xfl ( x)  x 4  2l (l  1)(l  2) x 2  l (l  1)(l  2) l   0. (Л.3
 

Представим теперь во второй квадратной скобке выражение
l (l  2) при x 2 в виде
l (l  2)  (2l  1)  (l 2  1)
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и, разделив все уравнение на x 2 , перепишем (Л.3) следующим
образом:
l   2
 4

2









x
l
l
x
l
l
l
f
x
2(
1)(2
1)
(
1)(
2)
1
(
)
l




   x

 4(l  1)2 (l  1)  x  fl ( x)  0.
Разделим (Л.4) на выражение 1 
онное уравнение в виде
x 4  2(l  1)(2l  1) x 2  l (l  1)(l  2)
(Л.4)
2
f l ( x) и получим дисперсиx
l
x  f l ( x)
 4(l  1) 2 (l  1)
0
2

1  f ( x)
x
l
(Л.5)
или окончательно
l
x2
2
x  2(l  1)(2l  1) x  l (l  1)(l  2)  4(l  1) (l  1)
x

1
4
2
 0.
2  fl ( x)
(Л.5)
Приложение 4М. Разложение в степенной ряд
при малых значениях аргумента отношения
сферических функций Бесселя
В дисперсионное уравнение (4.65) (или (Л.5)) входит выражение вида
1
x
1
2  fl ( x)
.
Чтобы получить разложение этого выражения в степенной
ряд при малых значениях х, воспользуемся представлением сфе117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рической функции Бесселя в виде степенного ряда (см. [29],
с. 261, формула 10.2.5):
2
2
2


x
2
x
2




x

il ( x) 
1

 ... .
 2l  1!!  1! 2l  3 2! 2l  3 2l  3 
l
(М.1)
Будем производить вычисления с точностью до членов ~ x 4 . По
аналогии с (М.1) для функции il 1 ( x) запишем
2

x2 2
x2 2


x l 1 
il 1 ( x) 
1

 ... .
 2l  3!!  1! 2l  5  2! 2l  5  2l  7  
(М.2)
Пользуясь известным разложением (1  x) 1  1  x  x 2  .... , из
соотношения (М.2) получим
il ( x)
1

 2l  3!! 
x l 1
2

 x2 
 x2 
 2l  9 
1
1 
 
   ... .



1!
2
l
5
2
2!
2
l
5
2
l
7




 2 

 

(М.3)
Учитывая выражения (М.1) и (М.3), для отношения сферических функций Бесселя, запишем
2

 x2 
 x2 
il 1 ( x)  2l  3 
1
1

1 
 
   ... 
il ( x)
x  1! 2l  3  2  2! 2l  3 2l  3  2 

2


 x2 
 x2 
1
1
 1 
 
   ... 
1!
2
l

5
2
2!
2
l

5
2
l

7






 
 2


 2l  3 
x

x2
x4

 ... .
1 
2


2
l
3
2
l
5






2
l
3
2
l
5
2
l
7



  (М.4)

Умножим (М.4) на
x
и вычтем из всего выражения единицу:
2
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

 2l  1 
x il ( x)
x2
x4
1 

 ... .
1 
2 il 1 ( x)
2   2l  3 2l  5   2l  3 2l  5 2  2l  7 

(М.5)
Осталось выписать величину, обратную разложению (М.5).
Пользуясь формулой (1  x) 1  1  x  x 2  .... и приводя подобные
слагаемые, получим
1
 x il  x 



1

 
2
i
x


l 1



2 
x2
4(l  2) x 4




1
...

.
2
2
 2l  1   2l  1 2l  5  2l  1  2l  5  2l  7   (М.6)
5. Об устойчивости по отношению к поверхностному заряду мениска жидкости на торце капилляра 1. В настоящей и следующей главе метод скаляризации векторных уравнений гидродинамики будет проиллюстрирован на
задачах с осевой симметрией. В данной главе будет рассмотрена
задача с плоской свободной границей жидкости, но при наличии
осевой симметрии, в следующей главе будет рассмотрена задача
с цилиндрической свободной поверхностью жидкости. В обоих
случаях все рассмотрение будет проведено в цилиндрической
системе координат.
Применение метода скаляризации к решению векторных
уравнений гидродинамики вязкой жидкости в прямоугольной
декартовой системе координат, согласно сказанному во введении,
может быть сведено к использованию понятия функции тока, как
это проделано в [31], при решении задачи о волновом движении в
вязкой жидкости в линейном приближении по амплитуде волн.
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Явление электродиспергирования жидкости при реализации неустойчивости заряженной поверхности мениска на торце
капилляра, по которому жидкость подается в разрядную систему,
равно как и электродиспергирование сильно заряженных капель
во внешних электрических полях, имеет весьма широкий спектр
академических, технических и технологических приложений.
Оно весьма детально исследовано экспериментально для весьма
широкого спектра внешних условий, но в теоретическом отношении изучено весьма слабо ввиду сильной нелинейности проблемы, обусловленной как нелинейностью основных уравнений
электрогидродинамики, так и сильной деформацией свободной
поверхности жидкости при реализации неустойчивости. Феноменология процесса сводится к выбрасыванию неустойчивой
заряженной поверхностью жидкости струй, распадающихся полидисперсным образом на множество сильно заряженных капелек.
В зависимости от физико-химических свойств жидкости и характеристик разрядной системы насчитывается около десятка различных режимов электродиспергирования жидкости [32–33], что
связано с осенесимметричностью и закручиванием выбрасываемых неустойчивой поверхностью жидкости заряженных
струй. Сам феномен спонтанного полидисперсного распада струй
практически не исследован в теоретическом отношении, поскольку подавляющее количество проведенных теоретических анализов было ориентировано на изучение вынужденного капиллярного распада струй на монодисперcные капли. В настоящем
разделе в рамках наиболее простой модели будут рассмотрены
общие закономерности потери устойчивости мениском жидкости
на торце капилляра, по которому жидкость подается в разрядную
систему, на финальной стадии которой и имеет место выброс
струй, т. е. реализуется начальная стадия обсуждаемого феномена. В качестве исходного положения принимается, что неустойчивая поверхность жидкости выбрасывает струю, когда отрицательное давление на поверхность, обусловленное влиянием внешних силовых полей, превысит суперпозицию положительного
давления сил поверхностного натяжения под виртуально искривленной поверхностью жидкости и давления поля сил тяжести.
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.1. Формулировка и линеаризация задачи Примем, что вертикально ориентированная открытая с обоих
концов трубка с внутренним радиусом R, ось симметрии которой
совпадает с осью оси OZ цилиндрической системы координат

 

nz  g ( nz – орт оси OZ; g – ускорение поля сил тяжести),
заполнена вязкой несжимаемой идеально проводящей жидкостью
с массовой плотностью , кинематической вязкостью  и коэффициентом поверхностного натяжения . Нижний срез трубки
совпадает с плоскостью z  0 в системе плоских электродов,
нижний из которых удален на бесконечность, так что между
электродами существует
однородное электростатическое поле на
пряженностью E0 . Зададимся целью исследовать на устойчивость
мениск жидкости на торце капилляра по отношению к действию
электрического поля и поля силы тяжести, имея в виду, что на
торце капилляра могут реализоваться две апериодические
неустойчивости.
Уравнение поверхности мениска, возмущенной капиллярным
волновым движением тепловой природы весьма малой амплитуды   T  (к – постоянная Больцмана; Т – абсолютная
температура), запишется в виде
z    r , , t  ;
  R ,
(5.1)
где   r , , t  – возмущение поверхности мениска.
Математическая формулировка задачи состоит из уравнений
гидродинамики вязкой жидкости и электростатики (в предположении, что скорость движения поверхности мениска много
меньше релятивистской):




U
1
 U  U   P    U  ( g  z ) ;

t


divU  0;

z   ( r , , t ) :
  const;
 
dF
 0;
dt

 
F  r , , t   z    r , , t   0 ;

  n  U  n   U  0 ;
121
  0 ;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2

 
   
  P  P*   2 n  n  U    divn 
 0;
8
z  0, r  R :
z :



  E0 ;
 (r , , t )  0;
r  0:

U  ,
где  и n – орты касательной и нормали к поверхности
  мениска

(1); P* – постоянное давление в окружающей среде; U  r , t  , P  r , t 

и   r , t  – поля скоростей и поле давлений в жидкости и поле
электростатического потенциала в окружающей среде.
В нулевом приближении по малой амплитуде возмущения
  r , , t  равновесную поверхность мениска, пренебрегая эффектом смачивания на торце трубки, будем считать совпадающей
с плоскость z  0 ; гидродинамическое давление определится высотой столба жидкости; поле скоростей течения жидкости будет
тождественно равно нулю, а потенциал электростатического поля
будет иметь вид  0   E0 z.
Для упрощения записи и последующих вычислений перейдем
к безразмерным переменным, в которых g      1 и, оставляя
за всеми переменными прежние обозначения, перепишем математическую формулировку задачи в линейном по безразмерной амплитуде возмущения свободной поверхности мениска приближении (отметим, что при принятом обезразмеривании характерным
линейным пространственным масштабом, на который обезразмеривается амплитуда возмущения, является капиллярная постоянная жидкости     g ). При линеаризации задачи учтем, что
 

поля скоростей и давлений в жидкости U  r , t  , P1  r , t  , а также

поправка к электростатическому полю 1 (r , t ) , связанные с
волновым возмущением поверхности (1), имеют первый порядок
малости. В итоге получим


U
 P1    U  z ;
t

divU  0;
122
1  0 ;
(5.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

U r U z
Uz;
 0;

t
z
r
U z 
1   0 1 
 P1  2
 L 

  0;
z
4  z z 
z  0:
1  
 0
;
z
 (r , , t )  0;
z  0, r  R :
z :
r  0:
1  0 ;
U
z

U z
 0;
r  

U  ;
1  
1 2
.
L
r 
r r r r 2  2

5.2. Скаляризация задачи Для упрощения нижеследующих рассуждений проведем скаляризацию задачи по методике, описанной выше.
Из общих
  соображений очевидно, что произвольное векторное поле U r , t  может быть разложено на сумму трех ортогональных векторных полей. Это, в частности, можно сделать при


помощи векторных дифференциальных операторов N j :

3 
 

U  r , t    N j  j  r , t  ,
j 1
(5.3)


где  j r , t  – скалярные функции, а операторы N j , где j = 1; 2; 3,
в цилиндрической системе координат удобно выбрать в виде

N1   ;


N 2    ez ;


N3       ez  .
В цилиндрической системе координат векторные поля


N j  j  r , t 

(5.4)
в соотношении (5.3) будут иметь следующие
компоненты:


  1  1  1   1
;
 e
 ez
N1 1  r , t   er
r
z
r 
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»



 1  2   2
;
N 2 2  r , t     ez 2  er
 e
r 
r



  2 3  1  2 3   1    3  1  2 3 
.
N 3 3  r , t        ez  3  er
r
e
e

rz  r z z  r r  r  r 2  2 
Несложно убедиться, что операторы (5.4) удовлетворяют
условиям ортогональности:
 2
  
N j  N i   ij  N j ,
(5.5)
и условиям коммутативности с оператором Лапласа:


  N j  N j  ,
 

где N j – операторы, эрмитово сопряженные к операторам N j .
Подставим разложение (5.3) в линеаризованное уравнение
Навье – Стокса (5.2) и, пользуясь свойствами коммутативности

операторов N j с оператором Лапласа, запишем (5.2) в виде
   j

Nj 
 ( P1  z )  1 j     j   0 .

j 1
 t

3
Последовательно умножая слева полученное равенство ска-
 
лярным образом на операторы N j , где j  1;2;3 , и, пользуясь их
ортогональностью (см. (5.4)), вместо одного векторного линеаризованного уравнения Навье – Стокса (5.2) получим систему
    j

 ( P1  z )  1 j     j   0 ;
N j  N j 
 t

j  1;2;3 .
(5.6)

Поскольку операторы N j коммутируют с оператором Лапла-
са (см. (5.6)), то в силу самосопряженности последнего, опера-
 
N
торы j также будут с ним коммутировать. Но сказанное озна124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


чает, что и операторы N j  N j будут коммутировать с оператором
Лапласа и, следовательно, иметь общую систему собственных
функций  j  :
  
N j  N j k  kk ;
k  kk .
Разложим по бесконечному набору собственных функций  j 


функции  j (r , t ), P1 (r , t )  z , входящие в выражение, стоящее в (6) в
фигурных скобках:


P1 (r , t )  z   H k k .
 j (r , t )   Gk( j ) k ;
k
k
Теперь подставим эти разложения в (6) и после несложных
преобразований получим
 
  ( j)
 
( j)
k  t Gk  Dk  1 j   Gk k  N j  N j k  0

или


k  t Gk( j )  Dk  1 j   Gk( j )k   k  0 .
k
Поскольку система собственных функций  j  в общем случае не
нулевая, то полученное равенство может выполниться в двух
случаях: либо равны нулю все собственные значения k  , что в
общем случае неверно, либо – выражения в фигурных скобках
 ( j)
Gk  Dk  1 j    Gk( j )k  0.
t
Умножим теперь каждую скобку на собственную функцию k с
тем же номером и, суммируя по k , получим три скалярных
уравнения для отыскания неизвестных функций  j :
 j
t
 ( P1  z )1 j    j  0 ,
125
( j  1;2;3 ).
(5.7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнение неразрывности (5.2) после подстановки в него
разложения (5.3) и учета свойств ортогональности (5.4)
приводится к виду
 1  0 .
(5.8)
Первое уравнение системы (5.7) при учете (5.8) позволяет получить выражение гидродинамического давления внутри
жидкости, связанного с волновым движением:
P1  
 1
 z.
t
(5.9)
Тогда (5.7)–(5.8) можно переписать в виде
(1  1 j )
 j
t
    j  0 ;
j  1; 2; 3
(5.10)
 
Проекции поля скоростей U (r , t ) на орты цилиндрической
системы координат, выраженные через скалярные функции

 j  r , t  , имеют вид

 1 1  2  2 3


U r (r , t ) 
;
r r  zr

1  1  2 1  2 3


U (r , t ) 
;
r 
r z
r

 1  1    3  1  2 3 


.
U z (r , t ) 
r
z  r r  r  r 2  2 
(5.11)
Используя выписанные выражения, переформулируем кинематическое и динамические граничные условия задачи первого

порядка малости через неизвестные функции  j (r , t ) :
  1 

 L 3 ;
t
z
z  0:

1 
f1 
f 2  0;
r
r 
(5.12)
1 

f1 
f 2  0;
r
r 

 1  2 3 
 2  L 3 ;
f1 (r , t )  2
z
z
126

 2
f 2 (r , t ) 
;
z
(5.13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  

  2
1
 1
   2  21  L 3   L 
4
t
z 
 z
  0 1 

  0.
z
z




(5.14)
5.3. Преобразования динамических граничных условий для касательных компонент тензора напряжений Умножим первое граничное условие (13) на координату r и
продифференцируем один раз по r, затем сложим со вторым
граничным условием (13) продифференцированным по углу  , а
результат разделим на r, и в итоге найдем соотношение


L f1 (r , t )  0.
(5.15)
Умножим теперь второе граничное условие (13) на координату r
и продифференцируем один раз по r, затем сложим с первым
граничным условием (13) продифференцированным по углу  , а
результат разделим на r, и в итоге найдем соотношение


L f 2 (r , t )  0.
(5.16)
Рассмотрим детальнее выражение (5.16), учитывая, что


f 2 ( r , t )   2 z , а также то обстоятельство, что операторы L и
 z коммутируют друг с другом. Тогда (5.16) можно переписать
в виде

L

 
 2   L 2  0.
z
z

Из (5.17) следует, что либо L 2  0 , либо
(5.17)
 2
 0 . Первое из
z
выписанных соотношений в общем случае не может выполниться
в силу соотношения (5.7) для  2 , значит, верно второе:

 2
f 2 (r , t ) 
 0.
z
Несложно убедиться в том, что
127
(5.18)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

 
L  N j  N j .
Покажем это, учитывая, что
итоге


N 2    ez




и N 2  ez      ez   N 2 . В
  





 
N j  N j      ez    ez       ez   ez    ez   (ez ) ez 



2
    ez   ez      2   L .
z
Преобразуем теперь (5.15), учитывая, что, согласно принятому выше,
  
N j  N j k  kk ;

 j (r , t )   Gk( j ) k .
(5.19)
k
В итоге получим
     1  2 3  

L f1 (r , t )   N j  N j 2
 2  L 3  
z

z




  2Gk(1) 
k



2
 Gk(3)  2  Gk(3)  k  kk  0.
z
z

Последнее равенство при k   0 выполняется только при
условии равенства нулю выражений, стоящих в фигурных скобках:
2Gk(1) 

2
 Gk(3)  2  Gk(3)  k  0.
z
z
Умножим теперь каждую скобку на собственную функцию
k с тем же номером и, суммируя по k, найдем


  2
f1 (r , t )  2 1  23  L 3  0 .
z
z
(5.20)
В итоге соотношения (5.18) и (5.19) заменяют собой пару
динамических граничных условий для касательных компонент
тензора напряжений (5.13).
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из системы гидродинамических граничных условий (5.12),

(5.14) и (5.19) видно, что функция  2 ( r , t ) , не зависящая, согласно
(18), от координаты z и характеризующая плоские вихревые
движения в жидкости, перпендикулярные оси симметрии системы, при исследовании устойчивости мениска может быть опущена, т. к. она не входит ни в одно из граничных условий (5.12),
(5.14), (5.19).
5.4. Вывод и анализ дисперсионного уравнения Решения уравнений (5.7)–(5.8) в цилиндрической системе
координат, ограниченные на оси симметрии, будем искать в виде
следующих разложений:

 1 (r , t ) 


n 0, j 1

 3 (r , t ) 
Anj  J n (k j r )  exp  in   exp  k j  z   exp   s j t  ;


n 0, j 1
Bnj  J n (k j r )  exp  in   exp  q j  z   exp   s j t  ,
(5.21)
где q 2j  k 2j  s j / ; s j – комплексная частота; k j – волновое число;
 
n и j – целые числа; J n k j r – функция Бесселя первого рода.
Решение уравнения Лапласа (5.2) для отыскания потенциала


электростатического поля 1 ( r , t ) , как и функцию  1 ( r , t ) , имеющую смысл гидродинамического потенциала и являющуюся
решением уравнения Лапласа (8) будем искать в виде:

1 (r , t ) 


n 0, j 1
Cnj  J n (k j r )  exp  in   exp  k j  z   exp   s j t  .
(5.22)
Так же, как и выражение для волнового возмущения мениска,
 ( r , , t ) 


n 0, j 1
Dnj  J n (k j r )  exp  in   exp   s jt .
(5.23)
Из граничного условия задачи (5.2) для электростатического

потенциала 1 ( r , t ) легко найти связь между коэффициентами Cnj
и Dnj в виде
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Cnj  E0  Dnj .
Теперь, подставляя в граничные условия (5.12), (5.14), (5.19) проекты решений (5.21)–(5.23), получим систему трех однородных
алгебраических уравнений для отыскания неизвестных коэффициентов разложений Anj , Bnj , Dnj , которая имеет решения только
при условии обращения в нуль определителя, составленного из
множителей при искомых коэффициентах Anj , Bnj , Dnj . Это требование и даст нам дисперсионное уравнение задачи:
s
 2 k 2j    2j  4 2 k 4j 1 
2
j
 2j  k 3j  k j  W  k 2j ;
s
;
 k 2j
(5.24)
W  E02 4 .
Несложно видеть, что дисперсионное уравнение формально имеет такой же вид, как и для плоских капиллярно-гравитационных
волн на заряженной поверхности вязкой жидкости [34–35].
Отличие в том, что теперь иначе определена частота  j , поскольку ускорение поля сил тяжести в рассматриваемой задаче играет
дестабилизирующую роль и входит со знаком, обратным по
сравнению с классической задачей о волнах на свободной поверхности жидкости [34–35], и, кроме того, величина волнового
числа изменяется не непрерывно, как было в [34–35]. Она должна
удовлетворять условиям закрепления мениска на торце трубки:
z  0, r  R :  ( r , , t )  0 . Подставляя сюда (5.23), несложно найти,
что спектр допустимых волновых чисел определяется корнями
функций Бесселя:
J n ( nj )  0;
nj  knj R.
(5.25)
Несколько первых корней системы (24) имеют величины:
n  0 : 01  2.405, 02  5.520, 03  8.654, 04  11.792;
n  1: 11  3.832, 12  7.016, 13  10.174, 14  13.324;
n  2 : 21  5.136, 22  8.417, 23  11.620,  24  14.796;
n  3: 31  6.380, 32  9.761, 33  13.015, 34  16.223.
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В асимптотике малой вязкости, когда безразмерный коэффициент кинематической вязкости много меньше единицы   1 (в
размерном виде   4  3  3 g ) дисперсионное уравнение (5.24)
можно записать в линейном приближении по безразмерной
вязкости и оно существенно упростится:
snj2  4 knj2 snj  nj2  0 ,
(5.26)
а его решения в том же приближении легко выписываются в виде
snj (1;2)   nj  i0  2 knj2  (2 knj2 )2  nj2  2 knj2  nj2 
 2 knj2  (knj3  knj  W  knj2 ) .
(5.27)
Следует сразу отметить, что условие малости вязкости жидкости
  1 оставляет весьма широкий простор для использования
упрощенного и наглядного соотношения (5.27). В самом деле,
величина характерного масштаба измерения кинематической
вязкости жидкости при принятом обезразмеривании на 4  3  3 g
для большинства используемых в технических приложениях
жидкостей измеряется единицами стоксов ( cm 2 s 1 ). Так, например,
для воды характерный масштаб измерения кинематической
вязкости равен  4.4 cm2 s 1 , тогда как величина размерной
кинематической вязкости для воды равна 0.01 cm2 s 1 . Таким образом, область применимости соотношений (5.27) в технических и
технологических приложениях достаточно велика.
6. Неосесимметричные колебания заряженной поверхности струи электропроводной жидкости 6.1. Постановка задачи Рассмотрим бесконечную,
 движущуюся вдоль оси симметрии
с постоянной скоростью U 0 цилиндрическую струю радиуса R
вязкой несжимаемой жидкости с массовой плотностью , кинема131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тической вязкостью  и коэффициентом поверхностного натяжения , поддерживаемую при постоянном электрическом потенциале  0 . Будем считать, что жидкость является идеально проводящей и электрический заряд распределен по цилиндрической в
отсутствие возмущений поверхности струи с постоянной поверхностной плотностью заряда  0 . Найдем критические условия
неустойчивости капиллярных колебаний поверхности струи.
Поскольку мы рассматриваем бесконечную струю, то для
упрощения задачи перейдем в инерциальную систему координат,

движущуюся вместе со струей с такой же скоростью U 0 . Очевидно, что в такой
  системе отсчета поле скоростей течения жидкости в струе U r , t  полностью определяется возможными капиллярными волнами на ее поверхности и является величиной такого
же порядка малости.
Будем исследовать условия реализации неустойчивости капиллярных колебаний поверхности струи. Все расчеты проведем

в цилиндрических координатах r ,  , z , орт n z которой совпадает
по направлению с осью симметрии невозмущенной цилиндрической струи.
Уравнение поверхности струи, возмущенной капиллярным
волновым движением, запишем в виде
r  , z , t   R    , z , t ,
  R ,
где R – радиус равновесной поверхности струи,   , z, t  – возмущение поверхности струи, вызванное капиллярным волновым
движением на ее поверхности.
Математическая формулировка задачи о расчете капиллярных осцилляций струи состоит из уравнений гидродинамики и
электростатики (в предположении, что скорость движения
жидкости много меньше релятивистской):




U
1

 U  U   Р    U ;
div
U
 0.

t


На свободной поверхности струи должны выполняться
граничные условия:
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кинематическое
dF
 0,
dt
где
уравнение
F r ,  , z , t   r  R    , z , t   0 –
поверхности струи;
динамические:
для касательной
  

 
  n  U  n   U  0
свободной
и нормальной компонент тензора напряжений

 
  P  Pатм   2  n  n  U  P  PE  0 .
 
На оси струи поле скоростей U (r ) должно быть ограничено, т. е.

U
 const   ;
r  0:


 и n – орты касательной и нормали к поверхности струи; Pатм –
 

давление атмосферы; U r , t , P r , t  – поле скоростей и поле
давлений внутри струи; P – давление сил поверхностного
натяжения, определяемое соотношением

P    div n ,
r  R  :
 – коэффициент поверхностного натяжения; PE – давление
электростатического поля на поверхность струи
PE
  

8
2
,
для определения которого необходимо дополнить выписанную
систему уравнений краевой задачей для электрического потен
циала   r , t  вне струи:
  0;
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  const ;
  0.
r  R  :
r  :
В модели идеально проводящей жидкости заряд по поверхности жидкости перераспределяется с бесконечно большой
скоростью, мгновенно следуя за колебаниями поверхности и
обеспечивая ее эквивалентность в любой момент времени. Поэто
му зависимость электрического потенциала   r , t  от времени
полностью определяется изменением во времени формы поверхности струи, т. е. граничными условиями эквивалентности по
верхности, а зависимость потенциала   r , t  от пространственных переменных может быть найдена из уравнений Лапласа, как
в случае электростатического поля.
Для упрощения нижеследующих вычислений перейдем к безразмерным переменным, в которых R  1 ,   1 ,   1 , и перепишем основные уравнения и граничные условия в безразмерном
виде:
r  , z , t   1    , z , t  ;



U
 U  U  p   U ;
t

r  0:
r 1  :
dF
 0;
dt
(6.1)

(6.2)

div U  0 ;
(6.3)

U  const  ;
(6.4)
F  r , , z , t   r  1    , z , t    0;
 

 

  n  U  n   U  0 ;

 
  P  Pатм   2 n  n  U  P  PE  0;

P  div n;
134
(6.5)
(6.6)
(6.7)
(6.8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
PE
  

r 1  :
2
;
(6.9)
  0;
(6.10)
8
r 1  :
  const ;
(6.11)
r  :
  0.
(6.12)
6.2. Равновесная форма струи Из системы уравнений (6.2)–6.3) с граничными условиями
(6.4)–(6.12) может быть определено равновесное решение задачи
в отсутствие всякого движения жидкости и колебания ее свободной
Для
этого
достаточно
положить
  поверхности.
 


U  r , t   U 0  r , t   U 0  ez ( ez – орт цилиндрической системы
координат),   , z , t   0 .
Тогда, согласно (6.1), уравнение равновесной цилиндрической поверхности струи запишется в виде r  1 . Из уравнения
(6.2) получим p 0  const , граничные условия (6.5)–(6.6) обратятся
в тождества, а из граничного условия (6.7) получим равновесное
значение давления поля внутри струи p 0 :
P0  Pатм P0 PE0 ,
где P0 , PE0 – давления сил поверхностного натяжения и электрических сил на равновесную поверхность струи, которые выражаются формулами
P0  1;
(6.13)
PE0  2 02 .
(6.14)
Здесь  0 – поверхностная плотность заряда цилиндрической
струи, связанная с равновесной линейной плотностью заряда 
соотношением:
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  2 02 R .
Напряженность электрического поля вблизи равновесной
поверхности определяется выражением


4 0 r
E0   0 
.
r2
(6.15)
6.3. Линеаризация задачи Возмущение равновесной поверхности струи   , z, t  будем
считать малой величиной, т. е.   , z , t   1.
Поле скоростей движения жидкости внутри струи представим в виде
 
 
 
U r ,t   U0  r ,t   u r ,t ,
 
где u r , t  – возмущение поля скоростей, вызванное возмущением
поверхности струи и имеющее тот же порядок малости, т. е.
 
u r , t  ~   , z , t  .
Поскольку мы рассматриваем бесконечную струю, то для
упрощения задачи перейдем в инерциальную систему
 координат,
движущуюся вдоль струи с постоянной скоростью U 0 r , t  .
 
Заметим, что функции   , z, t  и u r , t  – это малые отклонения от равновесного решения исходной краевой задачи. Поэтому
для того, чтобы проследить их эволюцию во времени, примем,
 
что зависимости   , z, t  и u r , t  от времени определяются экспонентой, т. е.
 
u  r , t  ~ exp  st  ;
(6.16)
  , z , t  ~ expst  ;
где s – комплексная частота.
 
Будем решать задачу в линейном по полю скоростей u r , t  и
возмущению поверхности   , z, t  приближении.
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


В уравнении (6.2) слагаемым U  U можно пренебречь,


т. к. оно является величиной второго порядка малости. Таким
образом, уравнение Навье – Стокса примет вид


U
 p   U .
(6.17)
t
Отметим, что граничные условия (6.6), (6.7) в линейном при 
ближении по u r , t  и   , z, t  должны быть взяты на невозмущенной поверхности струи, т.е. при r  1 , т. к. сами граничные
условия уже содержат величины первого порядка малости.
Рассмотрим кинематическое граничное условие:
dF
dt
dF
dt
F 0
 0, F  r , z , , t   r  1    , z , t    0;

 F

 

 
 Ur   0.

 U F 
 t
 F 0  t
 r 1
 
F 0
Следовательно, с учетом (6.16)
(6.18)
r  1:
s  U r ,
где U r – радиальная компонента вектора скорости в цилиндрической системе координат.
Рассмотрим динамическое граничное условие для касательной компоненты тензора напряжений (6.7). Запишем его в терминах проекций вектора скорости на орты цилиндрической
системы координат U r , U , U z .
Выражение для радиус-вектора через цилиндрические
координаты имеет вид







r  x  ex  y  ey  z  ez  r  cos   ex  r  sin   ey  z  ez , (6.19)



где ex , e y , ez – орты декартовой системы координат.
Для ортов цилиндрической системы координат можно
записать



er  cos   ex  sin   ey ;



e   sin   ex  cos   ey ;
137
 
ez  ez . (6.20)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отметим, что для цилиндрической невозмущенной поверхности

струи вектором нормали n будет являться орт цилиндрической

системы координат er , в качестве же единичного вектора каса


тельной  может быть выбран как орт e , так и орт ez .
Применяя формулу

 
 

 

ei  e j  U   ei   ei U  U  e j  ei


и учитывая общее выражение для ортов криволинейной системы
координат в виде

 1 r
ei 
,
hi qi
получим:
 1 U i
 1 hi r
 
1
 2r 
ei  e j  U 
U  2


hi qi
h
h
q
r
q
hi  h j qi q j  ,



i
 i j i
(6.21)
где hi , q j – коэффициенты Ламэ и криволинейные координаты
точки пространства соответственно.
Коэффициенты Ламэ для цилиндрической системы
координат имеют вид
hr  1,
h  r ,
hz  1.
Используя
несложно расписать произведения
   (6.19)–(6.21),

 
  n  U , n   U , входящие в (6.6). В результате получим два
динамических условия для касательной компоненты тензора
напряжения:


первое, когда в качестве  взят орт e :
r  1:
U 
r

1 U r 1
 U   0;
r  r
(6.22)


второе, когда в качестве  взят орт ez :
r  1:
U z U r

 0.
r
z
138
(6.23)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим динамическое граничное условие для нормальной компоненты тензора напряжений (6.7). Прежде всего,
используя (6.19)–(6.21), распишем входящее в (6.7) выражение:
  
 U r
 
n  n  U  er  er  U 
.
r
(6.24)
Далее заметим, что искажение равновесной цилиндрической
поверхности струи волновым движением   , z, t  вызывает изменение давлений P , PE и P . Поскольку возмущение   , z, t  мало,
то эти давления могут быть разложены в ряд по   , z, t  и
представлены в виде
PE  PE0  pE  ... ; P  P0  p  ... ; P  p0  p  .... ,
(6.25)
где р, рЕ и p – добавки к соответствующим давлениям, вызванные возмущением поверхности и имеющие первый порядок
малости по   , z, t  . Величина р определяется из уравнения
Навье – Стокса (6.17). Добавку p несложно вычислить, используя выражение для давления сил поверхностного натяжения
лапласовского давления (6.8).

Орт нормали n к поверхности (6.1) в линейном по   , z, t 
приближении имеет вид
  1    
n  er 
e 
ez .
z
r 
r 1  :
Тогда
  1 1  2  2  
div n    2 2  2 ez 
 1  1   S    r 1 ,


r
r
z


 r 1
1 2
2
где  S  2 2  2 .
r 
z
Лапласовское давление на искаженную поверхность в
линейном приближении запишем в виде
r  1:
P  1  1   S   .
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учитывая, что лапласовское давление на невозмущенную
поверхность струи P0  1 (см. (6.13)), для добавки, вызванной
возмущением поверхности   , z, t  и имеющей первый порядок
малости по этому возмущению, получим
p   1   S   .
Подставим (6.24)–(6.25) в (6.7) и, учитывая баланс давлений
на равновесной поверхности струи, запишем динамическое граничное условие для нормальной компоненты тензора напряжений
в линейном приближении по малым величинам задачи:
 p  2
U r
 p E  1   S   0 .
r
(6.26)
Вычислим давление электрического поля на поверхность заряженной струи вязкой несжимаемой жидкости. Как известно,
напряженность электрического поля внутри проводника равна
нулю, а весь заряд струи будет рассосредоточен по ее поверхности. Поверхностная плотность заряда  в равновесном состоянии постоянна и будет иметь значение  0 . Давление электрического поля на поверхность заряженной проводящей струи PE
определяется выражением (6.9), а потенциал электрического поля
вне капли  является решением краевой задачи (6.10)–(6.12).
Разделим потенциал электрического поля вне струи на две
части: потенциал на невозмущенной поверхности струи  0 и
добавку к потенциалу  , вызванную возмущением поверхности
  , z, t  и имеющую тот же порядок малости:
  0  .
(6.27)
Подставляя (6.27) в систему (6.10)–(6.12), разобьем краевую
задачу по порядкам малости.
Для этого предварительно распишем выражение для потенциалов и производных по нормали, входящих в граничные условия на возмущенной поверхности струи (6.12), в линейном по 
приближении:
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


 0
 r 1   0   
  0  
 .
r 1
r

 r 1
(6.28)
При этом учитывалось выражение (6.25) и выражение для
производной по нормали
 

 1    
 n 
 

,
n
n r r   z z
(6.29)
а также тот факт, что потенциал электрического поля в отсутствии возмущения поверхности струи  0 обладает осевой симметрией, поэтому
 0  0

 0.

z
(6.30)
Используя выражения (6.27)–(6.30), запишем краевую задачу для
невозмущенных потенциалов и для добавок к потенциалам:
  0;
 0  0;
r  1:
 0  const ;
 
(6.31)
  0.
 0  0;
r  0:
 0
;
r
Решение нулевого порядка малости, т. е. электрическое поле
вблизи невозмущенной цилиндрической поверхности струи
определяется, как известно, выражением (6.14).
Решения уравнений Лапласа  в цилиндрической системе
координат, ограниченное при r   , запишем в виде разложения
по волнам, бегущим вдоль оси OZ :
 
    C4 I m  kr  exp  im  exp  ikz  exp  st  dk ,
0 m0
(6.32)
где m – азимутальные числа, k – волновое число, I m kr  и K m kr  –
модифицированные функции Бесселя первого и второго рода, C4 –
коэффициент разложения, зависящий от k и m .
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В виде аналогичного разложения представим и функцию
  , z, t  , описывающую возмущение равновесной поверхности
струи:
 
  , z , t     D expim  expikz  expst dk ,
0 m 0
(6.33)
где D , зависящие от m и k , – коэффициенты разложения.
Подставляя (6.32), (6.33) в граничное условие на поверхности
струи для функции    (см. (6.36)), несложно получить связь
коэффициентов D и C4 :
C4 
4 0
D.
Km  k 
(6.34)
Здесь мы учли линейную независимость функций expim 
при разных m и функций expikz  при различных значениях волнового числа k . Эти свойства могут быть выражены в виде следующих интегральных соотношений:
2
 exp i  m  m  d  
1
2
m1 ,m2
;
(6.35)
0
2
 exp i  k
1
 k2  z dz    k1  k2  ,
(6.36)
0
где  m1 ,m2 – дельта-символ Кронекера,  k1  k 2  – дельта-функция
Дирака.
Чтобы рассчитать давление электрического поля на свободную поверхность струи, предварительно распишем выражение
для потенциала, входящего в граничные условия на возмущенной
поверхности струи в линейном по  приближении: подставим
разложение (6.27) в выражение (6.9) и с точностью до слагаемых
первого порядка малости запишем
r  1:
1
PE r 1 
8
2





  0     
0

r


142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

1 
  0
8 


2

 2  0
 r    .
0
Используя решение для напряженности электрического поля
у поверхности равновесной цилиндрической струи (6.14), а также
учитывая (6.15) и (6.25) получим линейную по   , z, t  добавку к
давлению электрического поля на равновесную поверхность при
r  1:
pE  4 02   0

,
r
(6.37)
где функции   , z, t  и  определяются соотношениями (6.35)–
(6.36).
Подставляя (6.37) в (6.26), перепишем динамическое граничное условие для нормальной компоненты тензора напряжений :

U r 
 

  4 02   0
 p  2
  1   s     0.
r 
r 


r  1:
(6.38)
6.4. Скаляризация задачи Следующим этапом решения поставленной задачи является
процедура скаляризации векторного дифференциального
  уравнения Навье – Стокса. Произвольное векторное поле U r , t  может
быть разложено на сумму трех ортогональных векторных полей
 :
при помощи векторных дифференциальных операторов N
j
3 
 
  r, t
u r ,t    N
j

j
 i  1, 2, 3  ,
j 1

(6.39)
где  j r , t  – произвольные скалярные функции.
Поскольку равновесная форма струи обладает осевой
 удобно выбрать в виде:
симметрией, то операторы N
j

N 1  ;


N
2    ez ;
143



N 3       ez  .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В цилиндрической системе координат они будут иметь
следующие компоненты:


  1  1  1   1

 e
 ez
;
N 1  1  r , t   er
r r
r
z



 1  2   2

N 2  2  r , t     ez 2  er
 e
;
r 
r



 1  2 3  1  2 3

N 3  1  r , t        ez  3  er
 e

r r z
r z
 1   
 1  3 
 ez 
  3r    2
.
r
r
r
r








(6.40)
Несложно убедиться, что операторы (6.39) удовлетворяют
условиям ортогональности:
  
N j  N i  0;
(при i  j ; i, j  1,2,3 ),
(6.41)
 

где N j – операторы, эрмитово сопряженные к операторам N j и
условиям коммутативности с оператором Лапласа


  N j  N j  .
(6.42)
Подставим разложение (6.39) в линеаризованное уравнение
Навье – Стокса (6.17) и, пользуясь свойствами коммутативности
(6.42), запишем его в виде
3   


 N i  i  p1i  i   0 .
i 1
 t

Последовательно умножая полученное равенство слева ска 
лярно на операторы N j и пользуясь свойствами ортогональности
(6.44), можно вместо одного векторного уравнения (6.17)
записать систему трех скалярных уравнений:
144
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 i
 p1i  i  0; ( i  1,2,3 ).
t
(6.43)
Уравнение непрерывности (6.3) после подстановки в него
разложения (6.39) и учета свойств ортогональности (6.41)
приводится к виду
(6.44)
1  0
Заметим, из (6.16) и (6.39) следует, что зависимость функций
 j от времени также нужно принять экспоненциальной:
i  1, 2, 3 .
 i ~ exp  st  ;
(6.45)
Первое уравнение системы (6.43), при учете (6.44)–(6.45), позволяет получить следующее выражение для добавки первого порядка малости гидродинамического давления внутри жидкости:
 1
  s 1 .
t
p
(6.46)
Используя (6.49), уравнения (6.46) при i  2, 3 и (6.47) можно
записать в виде
 i 
s

1    
1, i
i
 0;
 i  2,3 .
(6.47)
Подставляя (6.40)
  в (6.39), несложно получить компоненты
поля скоростей U  r , t  , выраженные через скалярные функции

 i r , t :
 1 1  2  2 3


;
Ur 
r r 
zr
1  1  2 1  2 3
U 


;
r
r 
r z
 1  1    3  1  2 3 
.
Uz 


r
z  r r  r  r 2  2 
(6.48)
Используя (6.46) и (6.48), переформулируем граничные условия (6.18), (6.22)–(6.23), (6.38) для неизвестных функций
i i  2, 3 и   , z, t  :
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 1 1  2  2 3
s  


;
r r 
zr
r  1:
    1  1    3  1  2 3  


r
 2
 
2 
r
z
r
r
r




r




 


   1 1  2  2 3 
 


  0;
z  r r 
zr 
   1  1  2 1  2 3 



 
r
r

r
r
z







 

1    1 1  2  2 3  1  1  1  2 1  2 3 





 
  0;
zr  r  r 
r
r   r r 
r z 
 1
   1  2  2 3 
 2  1 

  pE  1   s    0.
t
r  r r 
zr 
(6.49)
6.5. Получение дисперсионного уравнения Решения уравнений (6.47) в цилиндрической системе координат, удовлетворяющие условию ограниченности при r   ,
запишем в виде следующих разложений:
 
 1    C1  I m  kr   exp  im   exp  ikz   exp  st  dk ;
0 m0

 i    Ci  I m  lr   exp  im   exp  ikz   exp  st  ;
 i  2,3,
(6.50)
m 0
где l 2  k 2  s /  , k – волновое число, m – азимутальные числа;
I m kr  и I m lr  – модифицированные функции Бесселя первого
рода, Ci i  1, 2, 3 – коэффициенты разложений, зависящие от m
и k.
Подставляя решения (6.50), (6.33) с учетом (6.34) в граничные условия (6.49) и используя соотношения (6.35)–(6.36), полу146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чим следующую систему уравнений относительно неизвестных
коэффициентов D , C1 , C2 , C3 :
Ds  C1kI m  k   C2imI m  l   C3iklI m  l   0;


C1  2i  m  k  I m  k   I m  k    C2 i  I m  l   m 2  I m  l   l 2  I m  l  
C3  2mk  I m  l   l  I m  l    0;

 k  K m  k   
D k 2  m 2  1  4 02 1 
 
K m  k   




C1  sI m  k   2 k 2 I m  k  
C2 2 im  lI m  l   I m  l    C3 2i kl 2  I m  l   0.
Здесь штрихами обозначены производные функций Бесселя
по их аргументу.
Напомним, что система однородных линейных уравнений
имеет нетривиальное решение только в случае, если ее
определитель равен нулю.
Запишем это условие в виде
a11  s ,
a21  a31  0 ,
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
a14
a24
 0,
a34
a41 a42
a43
a44
(6.51)
 kK  k 
a41  k 2  m 2  1  4 02 1  m  ,
K m k  

a12   kI m k  ,
a22  2imkI m k   I m k  ,
a32  2ik 2 I m k  ,
a42  sI m k   2k 2 I m k  ,
a13  imI m l  ,
a23  l 2  I m  l   l  I m  l   m 2  I m  l  ,
a33   mkI m l  ,
a43  2i m  l  I m  l   I m  l   ,
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a24  2mk  l  I m  l   I m  l   ,
a14  iklI m l  ,
a44  2ikI m l  ,


a34  l 3 I m  l   l 2 I m  l   l k 2  m 2  1 I m  l   2m 2 I m  l  ,
Fm  k  
k  I m  k 
Im  k 
Dm  k  
,
k  K m  k 
Km  k 
(6.52)
.
В выражениях (6.52) производные от функций Бесселя m-го
порядка по аргументу могут быть выражены через функции
Бесселя m-го и (m+1)-го порядков и их первые производные с
помощью следующих соотношений:
I m  z   I m 1  z  
Im z   Im 1 z  
I m z  
m
I m z 
z
,
m
m
Im z   2 I m z 
z
z
,
1
1
2mm  1
 mm  1  
I  z   I m 1  z   1 
I m z 
 I m z  
2 m 1
2
z
z
z
z3


,
K m  z  
m
K m  z   K m1  z  .
z
Таким образом, получим элементы aij :
a11  s , a21  a31  0 ,

K k 
a41  k 2  m 2  1  4 02 1  m  k m1  ,
K m k  



a42  s  2 k 2  mm  1 I m k   2kI m 1 k ,


a13  imI m l  ,
a23  2lI m 1 l   l 2  2mm  1 I m l  ,
a33   mkI m l  ,
a43  2imlI m 1 l   m  1I m l  ,
148
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a14  ik lI m 1 l   mI m l  ,
a24  2imlI m 1 l   m  1I m l  ,
a34  l 2  k 2 lI m 1 l   mI m l ,



a44  2ik l 2  mm  1 I m l   lI m 1 l  ,
kI m 1 k 
,
I m k 
Fm k  
kK m 1 k 
.
K m k 
Dm k  
Расписывая определитель (6.51), найдем дисперсионное
уравнение, связывающее частоты волн на поверхности струи s с
волновым числом k :


 F l l l  k   4ml  k   2l m  2l  k F l 
 2 s  ml l  k k  mm  1 
 F l l k l  k   l mm  1l  2mm  1  l k m3m  1 
 4k mk  mm  1 2l  k k  mm  1F l  
 F k 2l l k  m m  1  l ml  k 4m  5 
s 2 m l 2 l 2  k 2   2mm  1l 2 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m
m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m
2
m


 l 4  5k 2l 2  4mk 2  m 2  1  l 2 5k 2  4m  m 2  1  Fm  l  



 2m 2  1l 2  k 2 Fm2 l    1  k 2  m 2  4æ 02 1  m  Dm k 


 ml 2 ml 2  k 2   l 2 l 2  k 2   2ml 2  2k 2  Fm l   2l 2  k 2 Fm l  


 Fm  k  m l 2  l 2  k 2   2ml 2    l 2  k 2  l 2  4m  Fm  l   2  l 2  k 2  Fm2  l  .
Детальный анализ полученного дисперсионного уравнения и
предельные возможные переходы можно найти в [36].
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Капиллярно­гравитационное волновое движение в заряженном слое вязкой электропроводной жидкости на твердом дне В настоящей главе метод скаляризации векторных уравнений
гидродинамики будет проиллюстрирован на примере задачи о
расчете капиллярно-гравитационного волнового движения в слое
вязкой жидкости конечной глубины.
1. Будем решать задачу о временной эволюции капиллярногравитационных волн плоской однородно заряженной с плотностью заряда  свободной поверхности вязкой несжимаемой идеально проводящей жидкости конечной глубины d . Примем, что
жидкость характеризуется плотностью  , коэффициентом кинематической вязкости  , коэффициентом поверхностного натяжения  и находится в поле тяжести g и в электростатическом поле
напряженностью E0  4 , перпендикулярном свободной поверхности жидкости. Потенциал электрического поля 0 ( z ) над невозмущенной поверхностью жидкости имеет вид 0 ( z )  4 z .
Все рассмотрение проведем в прямолинейной декартовой
системе координат, плоскость z  0 которой совпадает с
невозмущенной свободной поверхностью жидкости так, что ось
z ориентирована противоположно направлению поля силы

 
тяжести nz ||  g ( nz – орт оси координаты z ), а ось x – по направлению движения плоской капиллярно-гравитационной волны
~ exp( st  ikx ) , ( s – комплексная частота, k – волновое число, t –
время, i – мнимая единица).
Пусть функция  ( x, t )   0  exp(ikx) описывает виртуальную начальную деформацию плоской равновесной в поле сил тяжести
поверхности жидкости, где  0 много меньше длины волны и капиллярной постоянной жидкости:      g . Примем также, что

амплитуда U (r , t ) – поля скоростей течения жидкости, вызванного
волной  ( x, t ) , в безразмерных переменных в которых
  g    1 имеет тот же порядок малости, что и  ( x, t ) .
150
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Система уравнений электрогидродинамики вязкой жидкости,
описывающая движение жидкости в анализируемой системе,
имеет вид



dU
 P(r , t )    U  z ;
dt
z  :
 U  0 ;
dF
 0,
dt
  const ;
  

 
n ( )U   ( n )U  0 ,
F ( x , z , t )  z  ( x , t ) ,


 


 P(r , t )  2  n ( n )U  PE (r , t )  P (r , t )  0 ,

U  0;
z  d :
  0 ;

  E0  ez .
z  :
 ( x, t )   0  exp(ikx ).
t  0:
В выписанных выражениях  и n – орты касательной и нор
P( r , t )
и
мали к свободной поверхности жидкости;


(r , t )  0 ( z )   (r , t ) – поля гидродинамического давления в жидкости и электростатического (в предположении, что гидродинамические скорости много меньше скорости распространения
электромагнитного сигнала) потенциала вне жидкости, соответст

венно PE (r , t ) и P (r , t ) – давления электрического поля и сил
поверхностного натяжения на свободную поверхность жидкости.
Полагая безразмерную амплитуду волны много меньшей
единицы, линеаризуем по ней задачу и, снося граничные условия
на свободной поверхности F ( x, z , t )  0 на невозмущенную
поверхность жидкости z  0 , получим


U
 P    U  z ;
t
(7.1)
  0 ;
(7.2)

U  0 ;
z  0:


 Uz  0;
t
 p()  2
U z U x

 0;
x
z

U z
 pE ()  p ()  0 ;
z
151
0
;
z
(7.3)
(7.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
z  d :
z  :
t  0:
U  0;
(7.5)

   E0  ez ,
(7.6)
 ( x, t )   0  exp(ikx). ,
(7.7)
где p() , pE () и p () – линейные по  поправки к гидродинамическому давлению, давлению электрического поля и давлению
капиллярных сил, вызванные волновым движением поверхности

 ( x, t ) ;  (r , t ) – линейная по  поправка к потенциалу электростатического поля, вызванная волновым движением свободной
поверхности  ( x, t ) .
2. Двухмерность задачи (возмущение формы поверхности


 ( x, t ) , поля скоростей U (r , t ) , давления P (r , t ) и электроста
тического поля  (r , t ) считаем не зависящими от координаты y )
позволяет провести скаляризацию задачи на основе теоремы

Гельмгольца введением потенциала поля скоростей  (r , t ) и

функции тока  (r , t ) :



 


 ,

 ,
,
(7.8)
N
2    ny
U (r , t )  N 1  (r , t )  N 2  (r , t )
N1  



где n y – орт оси декартовой координаты y ; N 1 и N 2 – векторные
дифференциальные операторы, удовлетворяющие соотношениям
ортогональности и условиям коммутативности с оператором

Лапласа [18]. Эрмитовый оператор N 1 выделяет потенциальную

часть движения, а антиэрмитовый N 2 – вихревую.
Подставляя разложение (7.8) в уравнения (7.1)–(7.2) и полагая, что собственные значения операторов Nˆ 1 Nˆ 2 и Nˆ 2 Nˆ 1 (верхний индекс «+» означает эрмитовое сопряжение) отличны от
нуля, получим систему скалярных уравнений:

    0 ;
t
  0 ;


P(r , t )    z  P0 ,
t
где P0 – постоянное давление в среде.
Подставим теперь (7.8) в гидродинамические граничные
условия на свободной поверхности жидкости (7.3)–(7.4) и преоб152
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

разуем граничные условия для векторного поля скоростей U (r , t )


в граничные условия для скалярных функций  (r , t ) и  (r , t ) .
  


;
t z x
z  0:
2
 2  2  2


 0;
xz x 2 z 2

0
;
z
  2  2 

   2  2 
  pE ( )  p ( )  0 .
 z
x
z
t




(7.9)
(7.10)
Выражения для добавок: p ( ) – к давлению сил поверхностного
натяжения и pE () – к давлению электрических сил, в линейном
по  приближении – записываются в виде [37]:
p ()  
 2
x
;
2
p E ( ) 
1  0  

.
4  z z 
Условие на дне (7.5) при скаляризации преобразуется в
следующие выражения:
z  d :
 

 0;
x z
 

 0.
z x
(7.11)
Таким образом, мы получили систему гидродинамических
уравнений и граничных условий к ним в скаляризованном виде.
3. Периодические по x ограниченные при z   d (условие
(7.11)) и z   (условие (7.6)) решения всей задачи естественно
искать в виде [34]:
 ( x, t )  a  exp( st  ikx ) ;
(7.12)
 ( x, z, t )  ( B1  sh(kz )  B2  ch(kz ))  exp(st  ikx) ;
(7.13)
 ( x, z , t )  ( B3  sh(qz )  B4  ch(qz ))  exp( st  ikx) ;
(7.14)
 ( x, z , t )  a  E0  exp( kz )  exp( st  ikx ) ,
q  k 2   s  ;
(7.15)
где B1 , B2 , B3 , B4 , s в общем случае – комплексные величины.
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставим (7.13)–(7.14) в условия на дне (7.11) и выразим
неизвестные коэффициенты B3 , B4 через коэффициенты B1 , B2 :
B3 
i
  ch( kd )   kB2ch(qd )  qB1sh(qd )   sh( kd )   kB1ch(qd )  qB2 sh(qd )   ;
q
B4 
i
  sh( kd )   qB2ch(qd )  kB1sh(qd )   ch( kd )   qB1ch(qd )  kB2 sh(qd )   .
q
После подстановки проектов решений (7.12)–(7.15) в скаляризованные граничные условия на невозмущенной поверхности
жидкости (7.9)–(7.10), приходим к однородной системе линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов B1, B2 , a :
  kq  kq  ch(kd )  ch(qd )  k
2
 sh( kd )  sh(qd )   B1 
   kq  ch(qd )  sh( kd )  k 2  ch( kd )  sh(qd )   B2  qs  a  0
  q( k
2
;
 q 2 )  ch( kd )  ch( qd )  k (2 kq  ( k 2  q 2 )  sh( kd )  sh( qd )   B1 
 ( k 2  q 2 )  q  ch(qd )  sh( kd )  k  ch( kd )  sh(qd )   B2  0
 2k
2
;
 ch( qd )  sh( kd )  2kq  ch( kd )  sh(qd )   B1 
  ( s  2k 2 )  2k 2  ch(kd )ch(qd )  2kq  sh(kd ) sh(qd )   B2  02 (k )  k 1a  0.
02 ( k )  k ( k 2  Wk  1)
,
W  E02 4
.
02 имеет смысл квадрата частоты капиллярно гравитационных
волн в идеальной несжимаемой однородно поверхностно заряженной бесконечно глубокой электропроводной жидкости [31,
37–38]. Безразмерный параметр W – называемый параметром
Тонкса-Френкеля, характеризует устойчивость плоской равновесной в поле сил тяжести и поле капиллярных сил однородно
заряженной свободной поверхности электропроводной жидкости
по отношению к отрицательному давлению электрического поля
154
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
[37]. Критические условия реализации неустойчивости имеют
вид W  k  k 1, k  1 и не зависят от вязкости жидкости [34, 38–
39]. Когда заряд на свободной поверхности жидкости настолько
велик, что W  2 , волна с k  1 претерпевает неустойчивость и на
поверхности жидкости появляются эмиссионные выступы,
называемые конусами Тейлора, с вершин которых начинается
сброс избыточного заряда путем эмиссии высокодисперсных
сильно заряженных струй жидкости и капелек [40–41]. Таким
образом, поверхностная плотность заряда, при которой W  2
является максимально возможной.
Данная система имеет нетривиальное решение тогда и только
тогда, когда ее определитель равен нулю, что и дает дисперсионное уравнение относительно q  k 2   s   :

 
4qk 2 k 2  q 2  k 2  q 2

2
  k  sh( kd )  sh(qd )  q  ch( kd )  ch(qd )  
4qk 3   q  sh( kd )  sh(qd )  k  ch( kd )  ch( qd )  
02 ( k )  2   q  sh( kd )  ch(qd )  k  ch( kd )  sh(qd )   0 .
(7.16)
При   1 , когда q  k , дисперсионное уравнение (7.16) в
линейном приближении по безразмерной вязкости  может быть
переписано в существенно более простом виде относительно
комплексной частоты s :
s 2  4 k 2 s  02 ( k )  th( kd )  0 ,
(7.17)
а его решения в том же приближении легко выписываются:
s(1,2)    i  2 k 2  (2 k 2 ) 2  02 ( k )  th( kd ) ,
(7.18)
 – частота капиллярно гравитационной волны в заряженном
слое вязкой электропроводной жидкости конечной толщины.
4. Найдя решения дисперсионного уравнения, можно записать решение всей задачи, удовлетворяющее начальному условию (7.7):
 ( x, t )   0  exp( st  ikx )  k .c. ;
155
(7.19)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 ( x, z, t )   0  ( B1  sh( kz )  B2  ch( kz ))  exp( st  ikx )  k .c. ;
B1  ( s  2 k 2 ) k ;
 (s  2 k )   k  sh(kd )  sh(qd )  q  ch(kd )  ch(qd )   2 k q 

2
B2
2
k   k  ch( kd )  sh(qd )  q  sh( kd )  ch(qd ) 
;
 ( x, z , t )   0  ( B3  sh(qz )  B4  ch(qz ))  exp( st  ikx )  k .c. ;
B3
 (s  2 k
i
2
)  2 k  k  ch( kd )  ch(qd )  q  sh( kd )  sh(qd )  
 k  ch(kd )  sh(qd )  q  sh(kd )  ch(qd ) 
;
B4  2i k ;
( x, z , t )   0  E0  exp( kz )  cos( s  t  ikx )  k .c.
Аббревиатура k .c. означает «слагаемые, комплексно сопряженные к выписанным».

Выпишем теперь компоненты вектора U ( x, z , t ) – поля скоростей течения жидкости, связанного с волной (7.19):
U x ( x, z , t ) 
 


x z
  0  i   k  B1   sh( kz )  sh( kd )  ch[ q( z  d )] 
 k  B2   ch( kz )  ch( kd )  ch[q( z  d )] 
 q   B2  sh( kd )  B1  ch( kd )   sh[q( z  d )]  exp( st  ikx )  k .c. ; (7.20)
U z ( x, z , t ) 
 


z x
  0  k  q 1   q  B1   ch( kz )  ch( kd )  ch[ q( z  d )] 
 q  B2   sh( kz )  sh( kd )  ch[q( z  d )] 
 k   B2  ch( kd )  B1  sh( kd )   sh[q( z  d )]  exp( st  ikx )  k .c. (7.21)
Видно, что при z   d обе компоненты поля скоростей обращаются в нуль, как и должно быть для вязкой жидкости. При пре156
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дельном переходе d   выражения для потенциала поля скоростей, функции тока и компонент поля скоростей превращаются в
соответствующие решения для бесконечно глубокой вязкой
жидкости с однородно заряженной свободной поверхностью [38].
Интересно отметить, что математические процедуры аналитического расчета волнового движения в бесконечно глубокой
вязкой жидкости [31, 38] и в слое вязкой жидкости конечной
глубины заметно различаются. Так для бесконечно глубокой
жидкости можно сначала найти чисто потенциальную часть решения, и лишь потом вводить функцию тока и исследовать влияние вязкой диссипации на закономерности волнового движения,
как это проделано в [31]. Для случая слоя вязкой жидкости конечной глубины такое разделение невозможно из-за условия обращения в нуль полной скорости на твердом дне (7.5) (в скаляризованном виде (7.8)), которому необходимо удовлетворять аддитивной комбинацией пространственных производных от потенциала
поля скоростей и функции тока (7.8). В случае бесконечно
глубокой жидкости пространственные производные от потенциала поля скоростей и от функции тока при z   обращаются в
нуль независимо друг от друга [31].
Имея в виду исследование вихревой компоненты поля
скоростей, связанного с волновым движением в слое вязкой
жидкости конечной толщины, выпишем выражение для ротора
поля скоростей:

 U   0  is  1q 1   q   B1  ch( kd )  B2  sh( kd )   ch[q( z  d )] 


 k   B2  ch( kd )  B1  sh( kd )   sh[q( z  d )]  exp( st  ikx )  k .c.  n y . . (7.22)

Несложно видеть, что вихри, связанные с волновым движением в
анализируемой ситуации, являются плоскими, реализуются в
плоскости X0Z.
5. Расчеты показывают, что, когда толщина слоя жидкости
сравнима с длиной волны, течение жидкости, связанное с волной,
охватывает весь объем жидкости. Если же толщина слоя много
больше длины волны, то все течение, связанное с волной, сосредоточивается в приповерхностном слое жидкости глубиной порядка длины волны. Отметим, что в принятом обезразмеривании
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
характерным масштабом длины является капиллярная постоянная
жидкости      g (например, для воды   0.26 cm ). Это означает, что приведенные рисунки иллюстрируют характеристики
поля скоростей течения жидкости, связанного с капиллярногравитационной волной с волновым числом k  3 , имеющей
безразмерную длину   2 k  2.1 (с размерным эквивалентом
для воды   0.55 cm ), бегущую в слое жидкости толщиной d  1 и
d  10 (для воды d  0.26 cm и d  2.6 cm ). Расчеты, проведенные
при в десять раз большей вязкости и прочих равных условиях,
показывают, что все обсуждаемые зависимости сохраняют свой
качественный вид, только более отчетливо проявляется вязкое
затухание амплитуд и снижается амплитудное значение обеих
компонент поля скоростей уже в начальный момент времени.
Расчеты показывают, что при уменьшении поверхностного
заряда отмеченные выше общие характеристики поля скоростей
сохраняются, но амплитудные значения обеих проекций поля
скоростей увеличиваются (при W  0 примерно в полтора раза).
Увеличение длины волны при прочих равных условиях приводит
к снижению амплитудных значений компонент поля скоростей
при сохранении остальных особенностей течения.
Наиболее физически значимым фактом проведенного исследования является наличие вихревого движения на дне, порождаемого волной, бегущей по свободной поверхности жидкости в ситуации, когда толщина слоя сравнима с длиной волны. При малой
вязкости   0.002 вихревое течение сосредоточено вблизи свободной поверхности жидкости, по которой бежит капиллярно-гравитационная волна, и вблизи дна. Толщины слоев, занятых вихревым движением, у свободной поверхности и вблизи дна примерно
одинаковы и составляют около двух десятых капиллярной постоянной жидкости. Увеличение вязкости в десять раз приводит к незначительному снижению амплитуды вихревого движения и более
значительному увеличению (примерно в два раза) толщин слоев
жидкости у свободной поверхности жидкости и у дна, охваченных
вихревым движением. Когда при   0.002 безразмерная толщина
слоя увеличивается от d  1 до d  10 , волна с   2 вихревого
движения на дне слоя уже не генерирует и оно концентрируется в
приповерхностном слое жидкости, толщина которого примерно
158
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
равна двум десятым капиллярной постоянной, а на указанной
глубине интенсивность вихревого движения убывает до нуля.
При уменьшении поверхностной плотности электрического
заряда и прочих равных условиях увеличиваются амплитудные
значения ротора вихревого течения жидкости и у свободной
поверхности, и у дна слоя, причем при W  0 амплитуда вихревого движения у дна становится равной амплитуде ротора вихревого движения у поверхности.
Увеличение длины волны приводит в случае сильно заряженной поверхности жидкости W  1.99 к тому, что при   2
вихревое движение заполняет весь объем жидкости, а амплитуда
ротора вихревого движения у дна слоя становится в два раза
больше амплитуды ротора вихревого движения у свободной
поверхности. При W  0 и прочих равных условиях для   2
амплитуда ротора вихревого движения у дна слоя становится
примерно на порядок величины больше амплитуды ротора
вихревого движения у свободной поверхности.
8. Пограничный слой у свободной поверхности осциллирующей заряженной капли вязкой жидкости В настоящем разделе покажем, как вышеизложенные представления о скаляризации векторной краевой задачи для расчета
осцилляций заряженной капли вязкой жидкости могут быть использованы для построения теории пограничного слоя. А именно
все расчеты, сопутствующие процедуре обоснования упрощенных уравнений теории пограничного слоя у осциллирующей
свободной поверхности капли, проведем на основе определения
скалярных функций, через которые выражаются компоненты
поля скоростей.
1. Классические представления о пограничном слое вблизи
свободной поверхности вязкой жидкости, совершающей периодические движения, сформулированы в середине прошлого века
Лонгет-Хиггинсом [42]. При решении задачи о расчете волнового
движения на плоской свободной поверхности бесконечно глубо159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кой маловязкой жидкости с коэффициентом кинематической
вязкости  в линейном приближении по амплитуде волны с волновым числом k и частотой  получено, что вихревая компонента поля скоростей убывает с глубиной (при z  0 ) по закону
 exp( z Re q) , где
q  k 2  (2k 2  i)  . Для маловязкой
жидкости (  0 ) несложно показать, что Re q   2 и закон
убывания амплитуды вихревой компоненты поля скоростей с
глубиной принимает вид  exp(  2 z ) . Величину, обратную
Re q , определяющую глубину слоя жидкости, на котором амплитуда волны уменьшается в e раз, а именно 2  , предложено в
[42] считать толщиной пограничного слоя, связанного с волновым движением на свободной поверхности маловязкой жидкости.
Такой способ введения пограничного слоя не позволяет контролировать точность расчетов, проводимых в рамках теории пограничного слоя, а потому в нижеследующих рассуждениях толщину пограничного слоя  будем оценивать с точностью до
постоянного численного множителя G в виде
  G  ,
как это было предложено в [43] с последующим выбором величины G так, чтобы удовлетворить необходимым требованиям по
точности расчета.
Теория пограничного слоя с определением его толщины в
рамках представлений Лонгет – Хиггинса была использована для
расчета осцилляций заряженной капли в [44], но основное внимание в этой работе было уделено исследованию временной
эволюции пограничного слоя от начального момента времени.
Следует отметить, что теория пограничного слоя у свободной
поверхности маловязкой жидкости до недавнего времени практически не развивалась. Причина такого положения дел в том, что
для глубокой жидкости потери энергии волнового течения за счет
вязкого затухания в тонком пограничном слое, где сосредоточено
вихревое течение, пренебрежимо малы по сравнению с
затуханием во всем объеме жидкости, охваченном потенциальным течением [45]. Тем не менее в задачах исследования ос160
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
цилляций капель маловязких жидкостей, когда объем всей капли
сравним по величине с объемом приповерхностного слоя, в
котором существует вихревое движение, учет затухания в
пограничном слое может быть весьма существен для расчета
временной эволюции осцилляций.
В настоящей работе предполагается на основе сравнения точного решения с решением, полученным в рамках теории пограничного слоя, найти адекватную оценку для толщины пограничного слоя в окрестности свободной поверхности осциллирующей
заряженной капли вязкой жидкости.
2. Пусть имеется сферическая капля радиуса R0 вязкой несжимаемой электропроводной жидкости с массовой плотностью
 , коэффициентом кинематической вязкости  и коэффициентом
поверхностного натяжения  , несущая электрический заряд Q .
Примем, что капля совершает осесимметричные осцилляции
вследствие создания в начальный момент времени виртуальной
осесимметричной деформации равновесной сферической формы
капли так, что ее форма в произвольный момент времени
определится соотношением
F  r , , t   r  R0    , t   0;   1. ,
где     ,t   отклонение свободной поверхности жидкости от
равновесной в поле сил тяжести формы r  R0 . Зададимся целью
исследовать аналитическим путем в линейном по амплитуде
начальной деформации приближении временную эволюцию
формы капли. Все рассмотрение проведем в сферической системе
координат с началом в центре масс невозмущенной сферической
капли.
Математическая формулировка задачи расчета линейных
осцилляций заряженной капли имеет вид


U 1
 P  U  0;
t 
r  R0 :
Ur 

;
t
161

divU  0;
  0;
U 1 U r U


 0;
r 
r
r
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 P  2

1

2
Ur 
       div n  0;
r
8
U r  0;
r  0:
x(J) º å Zl ⋅ Pl (h);
h º cos J;
l ÎX
 
U  0;
  0;
r  :
t =0:
  S ;

 

Z
å Rl
l ÎX
0
= e;

U  0,
 
где U (r , t )  U r (r , t )  er (r )  U (r , t )  e (r ) – поле скоростей течения
жидкости в капле, связанного с осцилляциями её свободной по

верхности; P(r , t ) – гидродинамическое давление в капле; (r , t ) –
потенциал электростатического поля собственного заряда капли;
 S (t ) – постоянное вдоль поверхности идеально проводящей
капли значение электростатического потенциала; Zl – амплитуда
начальной деформации l -й моды;  – безразмерный малый
параметр, определяющий суммарную амплитуду деформации
капли; Pl (h) – полином Лежандра порядка l ; X – множество
номеров мод, суперпозиция которых определяет начальную
деформацию капли. Поле скоростей течения жидкости на основе
теоремы Гельмгольца удобно представить в виде суперпозиции
потенциальной U r p  , U p  и вихревой U r e  , U e  компонент:

 p 
e 
 U r (r , t )   U r (r , t )   U r (r , t ) 
 U (r, t )     p       e    .
 
  U (r , t )   U (r , t ) 
(8.1)
Сформулированная задача дополняется естественными условиями сохранения объема и электрического заряда капли, а также
неподвижности при осцилляциях ее центра масс.
Решение сформулированной векторной задачи будем искать
в безразмерных переменных, в которых   R0    1, методом
скаляризации. В основе метода лежит упомянутая выше теорема
Гельмгольца о разделении произвольного векторного поля на
суперпозицию потенциального и вихревого. В анализируемой
ситуации осесимметричных осцилляций сферической капли
будем иметь
162
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 



U (r , t )   (r , t )       r  (r , t ),


где  (r , t ) – гидродинамический потенциал;  (r , t ) – скалярная
функция, через которую выражается вихревая часть течения.
Компоненты поля скоростей течения жидкости в капле


выражаются через скалярные функции  (r , t ) и  (r , t ) с помощью
соотношений
U r  
p
e
U r   

;
r
1
 

 sin  

r sin   
U  
p
1 
;
r 
1   
e
U  
r
r r  

;


.

(8.2)
Решение же изначально сформулированной векторной краевой
задачи сводится к решению двух скалярных задач для отыскания


функций  (r , t ) и  (r , t ) . В математическую формулировку задачи
вместо уравнений Навье – Стокса и неразрывности войдут урав

нения для отыскания функций  (r , t ) ,  (r , t ) и гидродинамического давления [17–18]:
  0;

1  (r , t )

 (r , t ) 
 0;
 t


 (r , t )
P(U , t )  
.
t
(8.3)
Граничные условия не изменятся, хотя их можно переписать в
терминах новых искомых функций. Не останавливаясь на про

цедуре отыскания функций (r,t) и  (r , t ) , подробно описанной
выше, приведем сразу окончательные выражения:
 ( , t )   Z l  Pl ( )  exp( st );
l

r ,t  

l

 r ,t   


2



2
l
1
x
 r l  Pl   exp( st );
1 
Zl
i ( x) 
l 
x 2  2 x l 1

il ( x ) 


l
2


2  l  1
v x2
i ( xr )
 l
 Pl ()exp( st ),
Zl
l  2
il 1 ( x)  il  x 
 x  2x

il ( x) 

163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где il  x   модифицированные сферические функции Бесселя
первого рода [29]; s   x 2 – комплексная частота, являющаяся
решением дисперсионного уравнения
l
x2
2
 0;
x  x 2(l  1)(2l  1)  l (l  1)(l  2) 2  2(l  1)(l  1)
x  il ( x )

1
4
2
2il 1 ( x )
x
s

Q2
l  1 
 1  Wl .
4  l  2 
;
Безразмерный параметр Wl характеризует устойчивость l-й моды
осцилляций капли: l-я мода теряет устойчивость при Wl  1 [46].
Следует иметь в виду, что, как только станет неустойчивой
основная мода ( l  2 ), капля начинает вытягиваться в сфероид,
при этом потеряют устойчивость моды, связанные со 2-й модой
взаимодействием, а критические условия неустойчивости всех
остальных мод будут снижаться с ростом сфероидальной
деформации [47].
0.20
0.15
0.10
Ω
0.05
0.00
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.05
r
Рис. 1. Зависимость амплитуды ротора поля скоростей  точного решения
от безразмерной радиальной переменной, построенная при l  2 , Z 2  0.1 ,
W  0 ,   0.01 ,   3 4
164
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


По найденным функциям (r,t) и  (r , t ) , определенным соотношениями (4), поле скоростей течения жидкости в капле легко
находится простым дифференцированием и сложением согласно
(8.1)–(8.2). Из рис. 1, на котором приведена зависимость
амплитуды ротора поля скоростей

 1   2  
  rotU    2  r
r  r  
 
    
   1

 sin 
   n ,





r
sin







от радиальной переменной видно, что вихревое течение, порождаемое осцилляциями свободной поверхности, достаточно быстро затухает по мере удаления от поверхности. Этот факт даёт
основание говорить о разделении всего поля скоростей на две
компоненты: потенциальную, охватывающую весь объем, и
приповерхностную вихревую, быстро затухающую с глубиной.
Теория пограничного слоя разработана для маловязких
жидкостей, следовательно, в контексте проводимого анализа


функции (r,t) и  (r , t ) , а также дисперсионное уравнение задачи
нам нужны для нижеследующих построений в пределе малой
вязкости   0 , в котором они принимают более простой вид (см.
[18], с. 38–39, где соответствующий асимптотический переход
при x   для отношения x  il ( x) 2il 1( x) описан детально; см.
также [29], с. 199, формула 9.7.1 и с. 261, формула 10.2.2.):

r ,t  
 


Zl
v
1  2 l 2  1 r l  Pl   exp( st );
l
Zl v
2  l  1 il ( xr )

 Pl ()exp( st );
l
il  x 
(8.4)
 2 x 4  2(l  1)(2l  1) 2 x 2  l (l  1)(l  2)  l  0.
(8.5)
l

 r ,t   

l
3. На основании представлений о погранслойном строении
реального течения маловязкой жидкости в приповерхностном ее
слое [42–45] (см. рис. 1) сформулируем модельную задачу,
решение которой будем аппроксимировать приведенное выше
точное решение (8.4). Для этого будем исходить из
165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
предположения, что потенциальное течение охватывает весь
объем капли и обращается в нуль в центре капли, а вихревая
часть течения сосредоточена только
в
пограничном
приповерхностном слое (в пограничном слое) толщиной  и
ротор скорости течения  обращается в нуль на нижней границе
этого слоя:
p
U r   0,
r  0:
r  1  :
p
U   0;
  0.
Остальные граничные условия оставим прежними, как и ре

шаемые уравнения (8.3) для отыскания функций (r,t) ,  (r , t ) и

P(r , t ) .
Уравнения для потенциальной составляющей течения будем
решать во всей области 0  r  1 , а для погранслойной вихревой
составляющей только в узком приповерхностном слое
(1   )  r  1. Толщину пограничного слоя будем считать определенной с точностью до постоянного множителя G и малой по
сравнению с радиусом капли   1 .
Решение модельной задачи имеет вид
   Zl
l
    Zl  v 
l

 
v
1  2 l 2  1 r l  Pl   exp( st );
l
2  l  1 il  xr  kl  x    kl  xr  il  x 

 Pl   exp( st );
l
il  x  kl  x    kl  x  il  x  
  1  ;
(8.6)
где частоты мод s (выраженные через х) удовлетворяют дисперсионному уравнению


kl  x     4
x  2  l  1 2l  1 x 2 

kl  x 





2
x 2 2  l  1  l  1
l 
 l  l  1 l  2  2  


x il  x  


1 

2
i
x


l 1



166
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


il  x    4
x  2  l  1 2l  1 x 2 


il  x 





2
x 2 2  l  1  l  1
l 
 l  l  1 l  2  2   0.


x kl  x  


1 

 2 kl 1  x  

(8.7)
где kl  x   модифицированные сферические функции Бесселя
второго рода [29]. Совершая переход   1 , несложно убедиться,
что решение модельной задачи (8.6) и её дисперсионное
уравнение (8.7) в пределе малой вязкости совпадают с решением
точной задачи (8.4) и её дисперсионным уравнением (8.5).
4. Математическая формулировка модельной задачи в пределе малой вязкости может быть упрощена с помощью построений,
аналогичных тем, что используются в классической теории
пограничного слоя.
Будем исходить из того, что течение жидкости в капле состоит из главной (потенциальной) и добавочной погранслойной
(вихревой) частей. Вихревая часть течения является малой, исчезающей в пределе v  0 добавкой к основной потенциальной
части течения. Для потенциальной части движения характерный
линейный масштаб, на котором изменяются компоненты скорости, одинаков во всех направлениях  R0 . Для вихревой части
течения характерный линейный масштаб, на котором изменяются
компоненты скорости в направлении, перпендикулярном пограничному слою, равен толщине слоя  , а вдоль слоя определяется
характерным линейным размером  R0 . На основании сказанного
введем правила оценки производных от искомых величин по
пространственным координатам. Для оценки величин производных от  , U p  , U r p  по пространственным переменным, будем
пользоваться следующим формальным правилом сравнения (в
размерном виде):

1
 ;
r
R0
1 
1
.

r 
R0
Для погранслойных величин ,  , U e  , U r e  правило оценки производных будет несколько иным (в размерном виде):
167
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 
1
.

r 
R0

1
 ;
r

Далее, пользуясь малостью толщины пограничного слоя   R0
будем упрощать формулировку модельной задачи, пренебрегая в
суммах вида   A  B слагаемым B , если
2 
B
 O 2 .
R 
A
 0
После упрощения граничных условий на основе сделанных
выше предположений гидродинамическая часть модельной задачи (электростатическая часть останется без изменений) принимает вид
  0;
0  r  1:
 t  v   0;
1    r  1:

r  1  :



p
e
 U r   U r   0;
t
r  1:
2

  0;

  p
  1 e 
U  r
 U   0;
r
  r  
 P  2
 

1
p
U r  
   2  div n  0;
8
r
p
U r   0;
r  0:
p
U   0.
Решение упрощенной модельной задачи имеет вид
   Zl
l
    Zl v 
l

 
v
1  2 l 2  1 r l  Pl   exp( st );
l
2  l  1 kl  xr  il  x    il  xr  kl  x  

Pl   exp( st );
l
kl  x  il  x    il  x  kl  x  

2 2

 il 1  x  x 2    x x  2l  l  1
kl  x   4
2
  fl 2 
x  x 2l  l  1  2  x
 i  x
2   
kl  x  
 l  2  l  1
 l


168
(8.8)
   h 




l
 

l
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2
2

 kl 1  x  x 2    x x  2l  l  1
il  x   4
2

  fl 2 
x  x 2l  l  1  2  x
 k  x
il  x  
2   
 l  2  l  1
l



fl 
l  l  1 l  2 
 l  2  l  1
;
hl 
l 2  l  1 l  2 
l  2
   h 

  0;
l
 

l
2


.
(8.9)
В пределе малой вязкости решение (8.8) и дисперсионное уравнение (8.9) совпадают с решением точной задачи (8.4) и ее
дисперсионным уравнением (8.5), полученными в пределе малой
вязкости.
5. Выпишем поля скоростей течения жидкости в капле в
пределе малой вязкости для точной и модельной упрощенной
задач исходя из выражения
 
 
 


U (r , t )  U r  er (r )  U  e (r )  U r( p )  U r( e )  er  U( p )  U( e )  e .




Для точной задачи по (8.1)–(8.2) и (8.4) несложно записать
1 
U  p  (r, t ) 
r
l
2

1
   Zl  1  2 l  1 r  1   Pl    exp(st );

p


U   (r, t )  l
 

 l  
  


il  xr 


l
l
1




il  x 
U  e (r, t ) 


v
 r
   2Zl  l  1 
Pl   exp(st ).
U  e (r, t )  l
lr  il  xr   il 1  xr  il  xr     

 

 r  x
l
  
  il  x 
i
x
i
x




l
 l
   

(8.10)
Для модельной упрощенной задачи по (8.1)–(8.2) и (8.8)
получим
1 
U  p  (r, t ) 
r
l
2

1
   Zl  1  2 l  1 r  1   Pl    exp(st );



U  p  (r, t )  l
 

 l  
  
169
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 U  e  (r, t ) 

    Z l  Ll  x,  
 r
 U  e  (r , t ) 
l 0
 


 l  l  1  kl  xr  il  x    il  xr  kl  x    


   1  lr   kl  xr  il  x    il  xr  kl  x        Pl   exp( st );
 


  rx  kl 1  xr  il  x    il 1  xr  kl  x      
 

Ll  x,   
(8.11)
2  l  1 v
1
.

lr kl  x  il  x   il  x  kl  x 
Частоты осцилляций s, в соотношениях (8.10)–(8.11) выраженные
через переменную х, будем определять из дисперсионного уравнения
s2  2  l  1 2l  1 s  v  l  l  1 l  2 1  Wl   0 ,
(8.12)
к которому в пределе малой вязкости (  0 ) приводятся дисперсионные уравнения (8.5) для точной задачи и (8.9) для
упрощенной модельной. Решения (8.12) в линейном по малой
вязкости приближении легко выписываются в виде
s1,2    l  1 2l  1 v  i l  l  1 l  2 1  Wl  .
На рис. 2а–b приведены зависимости радиальной U r и угловой U составляющих поля скоростей от расстояния до поверхности в пределах пограничного слоя, построенные для ситуации,
когда начальная деформация капли определяется одной основной
модой. Для удобства проделан переход от переменной r
(1    r  1) к переменной z , которая в пределах пограничного
слоя изменяется в диапазоне от -1 до 0:
z
r 1


170
r  1   z.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.006
0.005
0.004
U
Ur
1
2
3
0.00030
0.00028
0.00026
0.00024
0.00022
0.00020
0.00018
0.00016
0.0
0.003
2
0.002
0.00
3
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.000
0.0
z
z
Рис. 2 а. Зависимость радиальной компонеты поля скоростей U r от расстояния до поверхности в пределах пограничного слоя, построенная при l  2 ,
W  0 , Z 2  0.1 ,   0.001,   3 4 :
1
Рис. 2 b. То же, что на рис. 2 а,
но для угловой компоненты
поля скоростей U
кривая 1 – аппроксимация скоростей при
значении G  3 , 2 – при G  4 и 3 – при
G  5 ; пунктирная линия соответствует
точному решению, а сплошная – решению
в теории пограничного слоя
Задаваясь целью отыскать величину множителя G , при которой
решения упрощенной модельной задачи наилучшим образом
аппроксимируют точное решение для поля скоростей течения
жидкости в капле, несложно видеть, что расчеты, проведенные со
значением G  5 , дают по сравнению с расчетами, проведенными
с меньшими значениями G , значительно меньшую относительную погрешность, исчисляющуюся единицами процентов. Для
получения количественной оценки расхождения точного и
приближенного решений определим относительные ошибки для
обеих проекций поля скоростей на орты сферической системы
координат соотношениями
r 
U r 0  U r*
Ur0
 
;
U 0.  U *.
U 0
,
где индекс «*» соответствует решению, построенному в рамках
теории пограничного слоя, а индекс «0» - точному решению.
171
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0.20
0.025
0.15
r
0.020
0.010
2
0.8
0.6
0.4
0.2
0.000
0.0
z
0.10
2
0.05
3
0.005
3
1.0
1
0.015
1
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.00
0.0
z
Рис. 3 a. Зависимость относительной Рис. 3 b. То же, что на рис. 3 а, но
r
аппроксимации для относительной погрешности 
погрешности
точного решения его приближением
в
рамках
пограничного
слоя
для радиальной компоненты поля
Ur
скоростей
от
расстояния
до
поверхности
в
пределах
пограничного
слоя,
построенная
при l  2 , W  0 , Z 2  0.1 ,   0.001,
  3 4 , для различных значений
параметра
G:
1) G  3; 2) G  4; 3) G  5.
На рис. 3 а–b приведены зависимости  r и  от введенной
переменной z в пределах пограничного слоя для незаряженной
капли. Несложно видеть, что при G  5 погрешность расчета
угловой составляющей поля скоростей  превышает погрешность расчета радиальной составляющей  r примерно в два раза.
С увеличением заряда капли (параметра Рэлея W ) толщина пограничного слоя медленно растет, но при приближении к критическому для реализации неустойчивости основной моды значению скорость роста толщины пограничного слоя увеличивается и
вихревое движение охватывает весь объем капли, а толщина
пограничного слоя стремится к радиусу капли. Интересно отметить, что также ведет себя и толщина пограничного слоя у плоской однородно заряженной поверхности электропроводной жидкости конечной толщины [38, 48]. С физической и математической точки зрения такая тенденция вполне объяснима. В самом
172
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
деле, при приближении параметра Рэлея для капли или параметра
Тонкса – Френкеля для плоской поверхности к критическому для
реализации электростатической неустойчивости свободной
поверхности значению частота капиллярных волн (капиллярных
осцилляций) стремится к нулю, а толщина пограничного слоя,
обратно пропорциональная корню квадратному из частоты
    , увеличивается.
173
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы 1. Морс, Ф. Методы теоретической физики / Ф. Морс, Г. Фешбах. –
Т. 2. – М.: ИЛ, 1960. – 886 с.
2. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский . –
М.: Наука, 1987. – 840 с.
3. Хаппель, Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса
/ Дж. Хаппель, Г. Бренер. – М.: Мир, 1976. – 632 с.
4. Блатт, Дж. Теоретическая ядерная физика / Дж. Блатт, В. Вайскопф. –
М.: ИЛ, 1954.
5. Baskus, G. E. A class of self-sustaining dissipative spherical dynamos
/ G. E. Baskus // Ann. Phys. – 1958. – № 4. – C. 372–447.
6. Chandrasekhar, S.
Hydrodynamic
and
Hydromagnetic
Stability
/ S. Chandrasekhar. – Oxford: Clarendon Press, 1961. – 628 c.
7. Джозеф, Д. Устойчивость движений жидкости / Д. Джозеф. – М.: Мир,
1981. – 640 с.
8. Быков, В. М. Течения Стокса в шаре / В. М. Быков // ПМТФ. – 1980. –
№ 2. – С. 65–70.
9. Улитко, А. Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости / А. Ф. Улитко. – Киев: Наукова думка,
1979. – 342 с.
10. Hansen, W. W. A new type of expansion in radiation / W. W. Hansen
// Phys. Rev. – 1935. – V. 47. – С. 139–143.
11. Стреттон, Дж. А. Теория электромагнетизма / Дж. А. Стреттон. – М.;
Л.: Гостехиздат, 1948. – 539 с.
12. Miller, C. A. The oscillations of a fluid droplet immersed in another fluid
/ C. A. Miller, R. E. Scriven // J. Fluid Mech. – 1968. – V. 32, № 3. – P. 417–435.
13. Prosperetti, A. Normal-mode analysis for the oscillation of a viscous
liquid drop in an immiscible liquid / A. Prosperetti // J. Mechanique. – 1980. –
V. 19, № 1. – P. 149–181.
14. Григорьев, А. И. Параметрическая неустойчивость проводящей капли
по отношению к стохастически изменяющемуся со временем собственному
заряду / А. И. Григорьев, А. Э. Лазарянц // Изв. АН СССР. – МЖГ. – 1990. –
№ 5. – С. 29–36.
15. Лазарянц, А. Э. Устойчивость заряженного сферического слоя маловязкой жидкости на поверхности твердого ядра / А. Э. Лазарянц,
А. И. Григорьев // ЖТФ. – 1990. – Т. 60, вып. 1. – С. 29 –36.
16. Ширяева, С. О. Неустойчивость вязкой заряженной электропроводной
капли в периодическом электрическом поле точечного заряда / С. О. Ширяева,
А. И. Григорьев // ЖТФ. – 1992. – Т. 62, вып. 11. – С. 32–48.
17. Григорьев, А. И. Об одном методе решения уравнения Навье-Стокса
в криволинейных системах координат / А. И. Григорьев, А. Э. Лазарянц
// ЖВММФ. – 1992. – Т. 32, № 6. – С. 929–938.
174
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18. Ширяева, С. О. Метод скаляризации векторных краевых задач
/ С. О. Ширяева, А. Э. Лазарянц, А. И. Григорьев и др. – Препринт ИМРАН
№ 27. – Ярославль. 1994. – 126 с.
19. Затовский, А. В. Гидродинамические флуктуации в сферическом
обеме / А. В. Затовский, А. В. Звелиндовский // ЖТФ. – 1990. – Т. 60, вып. 9. –
С. 129–131.
20. Miskovsky, N. M. An electrohydrodynamic formalism for ion and droplet
formation in stressed conducting fluid / N. M. Miskovsky, M. Chung, P. H. Cutler
et al. // J. Vac. Sci. Teсhnol. – 1988. – V. 6, № 5. – С. 2992–2997.
21. Ландау, Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – М.:
Наука, 1986. – 730 с.
22. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М.
Лифшиц. – М.: Наука, 1982. – 620 с.
23. Блохинцев, Д. И. Основы квантовой механики / Д. И. Блохинцев. –
М.: Наука, 1976. – 664 с.
24. Лаптев, Г. Ф. Элементы векторного исчисления / Г. Ф. Лаптев. – М.:
Наука, 1975. – 336 с.
25. Несис, Е. И. Методы математической физик / Е. И. Несис. – М.:
Просвещение, 1977. – 199 с.
26. Варшалович, Д. А. Квантовая теория углового момента / Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонский. – Л.: Наука, 1975. – 436 с.
27. Степанов, В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. – М.: Наука, 1953. – 468 с.
28. Арфкен, Г. Математические методы в физике / Г. Арфкен. – М.:
Атомиздат, 1970. – 712 с.
29. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовиц,
И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 830 с.
30. Ильин, В. А. Линейная алгебра / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. – М.:
Наука, 1978. – 302 с.
31. Левич, В. Г. Физико-химическая гидродинамика / В. Г. Левич. – М.:
Физматлит, 1959. – 699 с.
32. Ширяева, С. О. Классификация режимов работы электрогидродинамических источников ионов / С. О. Ширяева, А. И. Григорьев,
А. А. Святченко. – Препринт ИМ РАН № 25. – Ярославль, 1993. – 118 с.
33. Shiryaeva, S. O. The semifenomenological classification of the modes of
electrostatic dispersion of liquids / S. O. Shiryaeva, A. I. Grigor’ev
// J. Electrostatics. – 1995. – V. 34. – P. 51–59.
34. Григорьев, А. И. Капиллярные колебания и неустойчивость ТонксаФренкеля слоя жидкости конечной толщины / А. И. Григорьев, С. О. Ширяева, В. А. Коромыслов, Д. Ф. Белоножко // ЖТФ. – 1997. – Т. 67, вып. 8. –
С. 27–33.
35. Белоножко, Д. Ф. Нелинейные периодические волны на заряженной
поверхности вязкой электропроводной жидкости / Д. Ф. Белоножко,
А. И. Григорьев // ЖТФ. – 2003. – Т. 73, вып. 11. – С. 37–46.
175
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
36. Ширяева, С. О. Об устойчивости неосесимметричной заряженной
струи вязкой электропроводной жидкости / С. О. Ширяева, А. И. Григорьев,
Т. В. Левчук, М. В. Рыбакова // ЖТФ. – 2003. – Т. 73, вып. 4. – С. 5–12.
37. Френкель, Я. И. К теории Тонкса о разрыве поверхности жидкости
постоянным электрическим полем в вакууме / Я. И. Френкель // ЖЭТФ. –
1936. – Т. 6, № 4. – С. 348–350.
38. Белоножко, Д. Ф. О толщине пограничного слоя, связанного с волновым движением заряженной свободной поверхности вязкой жидкости
/ Д. Ф. Белоножко, А. И. Григорьев // ЖТФ. – 2008. – Т. 78, вып. 3. – С. 21–
28.
39. Григорьев, А. И. Механизм развития неустойчивости заряженной
поверхности жидкости / А. И. Григорьев, О. А. Григорьев, С. О. Ширяева
// ЖТФ. – 1992. – Т. 62, № 9. – С. 12–21
40. Григорьев, А. И. О форме «конуса Тэйлора» и характерном времени
его роста / А. И. Григорьев, С. О. Ширяева, Д. Ф. Белоножко, А. В. Климов
// ЭОМ. – 2004. – № 4. – С. 34–40.
41. Григорьев, А. И. Нелинейный анализ временной эволюции неустойчивой плоской заряженной поверхности жидкости / А. И. Григорьев,
С. О. Ширяева, Д. Ф. Белоножко, А. В. Климов // ЖТФ. – 2005. – Т. 75,
вып. 2. – С. 19–25.
42. Longuet-Higgins, M. S. Mass transport in water waves / M. S. LonguetHiggins // Royal Soc. London. Trans. – Ser. A. – 1953. – V. 245. – № 903. –
P. 535–581.
43. Белоножко, Д. Ф. К формулировке теории пограничного слоя, связанного с волновым движением на свободной поверхности жидкости
/ Д. Ф. Белоножко, А. И. Григорьев // ЖТФ. – 2007. – Т. 77, вып. 8. – С. 19–28.
44. Жаров, А. Н. Модификация теории пограничного слоя для расчета
осцилляций конечной амплитуды заряженной капли вязкой жидкости
/ А. Н. Жаров, С. О. Ширяева, И. Г. Жарова // ЖТФ. – 2008. – Т. 78, вып. 8. –
С. 54–63.
45. Бэтчелор, Дж. К. Введение в динамику жидкости / Дж. К. Бэтчелор. –
М.; Ижевск: Изд. НИЦ, РХД, 2004. – 768 с.
46. Rayleigh (Strutt J. W.) On the equilibrium of liquid conducting masses
charged with electricity / Rayleigh (Strutt J. W.) // Phil. Mag. – 1882. – V. 14. –
P. 184–186.
47. Григорьев, А. И. О механизме неустойчивости заряженной проводящей капли / А. И. Григорьев // ЖТФ. – 1985. – Вып. 7. – С. 1272–1278.
48. Григорьев, А. И. О модификации теории пограничного слоя для
расчета волнового движения на поверхности слоя вязкой жидкости конечной
толщины на твердом дне / А. И. Григорьев, Д. М. Пожарицкий, С. О. Ширяева
// ЖТФ. – 2009. – Т. 79, вып. 5. – С. 8–17.
176
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
1. Введение ......................................................................................... 3
2. Скаляризация векторных краевых задач
линейной гидродинамики ............................................................ 5
3. Линейные осцилляции капли вязкой жидкости .................. 10
4. Осцилляции и устойчивость заряженной капли
вязкой жидкости ......................................................................... 14
4.1. Равновесная форма капли ...................................................... 15
4.2. Линеаризация задачи .............................................................. 16
4.3. Скаляризация уравнений........................................................ 21
4.4. Скаляризация граничных условий ........................................ 26
4.5. Решение скаляризованной задачи ......................................... 29
4.6. Приближение идеальной жидкости ...................................... 39
4.7. Асимптотика маловязкой жидкости ..................................... 42
4.8. Асимптотика сильновязкой жидкости .................................. 44
1
и Clm3 ........ 48
4.9. Определение неизвестных коэффициентов Clm

4.10. Решение задачи для функции  2 ( r , t ) , определяющей
тороидальное вихревое движение внутри капли ................ 50
4.11. Определение вида проекций векторного поля скоростей
 
u ( r , t ) на орты сферической системы координат ............... 51
Приложение 4А. Математическая формулировка задачи
о колебаниях заряженной капли вязкой несжимаемой
жидкости .................................................................................... 53
Приложение 4Б. Уравнения движения вязкой несжимаемой
жидкости и граничные условия к ним ...................................... 55
177
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение В. Разложение векторного поля скоростей
на сумму трех независимых векторных полей.
Скаляризация линейных векторных
дифференциальных уравнений ................................................... 63
Приложение Г. Выбор векторных дифференциальных
 для задачи о колебаниях поверхности
операторов N
j
заряженной капли вязкой несжимаемой жидкости ............... 72
Приложение Д. Вычисление выражений
 
 
вида ei  e j   u ( r , t ). .................................................................... 82
Приложение Е. Вычисление давления электрического поля
собственного заряда капли на ее свободную поверхность .... 86
Приложение Ж. Вычисление давления сил поверхностного
натяжения на искривленную поверхность жидкости ........ 101
Приложение З. Преобразование динамических граничных
условий на свободной поверхности жидкости для
касательных компонент тензора напряжений в задаче



отыскания скалярных функций 1 (r , t ),  2 ( r , t ),  3 ( r , t ) ... 103
Приложение И. Разделение переменных в уравнениях

для скалярных функций  i (r ) .................................................. 112
Приложение К. Вычисление второй производной
по аргументу от модифицированной функции Бесселя il ( x) 114
Приложение Л. Получение дисперсионного уравнения .......... 115
Приложение М. Разложение в степенной ряд при малых
значениях аргумента отношения сферических функций
Бесселя ....................................................................................... 117 5. Об устойчивости по отношению к поверхностному заряду
мениска жидкости на торце капилляра ............................... 119
5.1. Формулировка и линеаризация задачи ............................... 121
5.2. Скаляризация задачи ............................................................ 123
178
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.3. Преобразования динамических граничных условий
для касательных компонент тензора напряжений ............. 127
5.4. Вывод и анализ дисперсионного уравнения ...................... 129
6. Неосесимметричные колебания заряженной
поверхности струи электропроводной жидкости ............... 131
6.1. Постановка задачи ................................................................ 131
6.2. Равновесная форма струи..................................................... 135
6.3. Линеаризация задачи ............................................................ 136
6.4. Скаляризация задачи ............................................................ 143
6.5. Получение дисперсионного уравнения .............................. 146
7. Капиллярно-гравитационное волновое движение
в заряженном слое вязкой электропроводной жидкости
на твердом дне ........................................................................... 150
8. Пограничный слой у свободной поверхности
осциллирующей заряженной капли вязкой жидкости...... 159
Литература..................................................................................... 174
179
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Научное издание
Ширяева Светлана Олеговна
Григорьев Александр Иванович
Скаляризация
векторных краевых задач
гидродинамики
Редактор, корректор Л. Н. Селиванова
Верстка И. Н. Иванова
Подписано в печать 25.05.10. Формат 6084 1/16.
Бум. офсетная. Гарнитура "Times New Roman".
Усл. печ. л. 10,46. Уч.-изд. л. 9,07.
Тираж 50 экз. Заказ
.
Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе Ярославского
государственного университета им. П. Г. Демидова.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова.
150000, Ярославль, ул. Советская, 14.
Отпечатано на ризографе.
ООО «Ремдер» ЛР ИД № 06151 от 26.10.2001.
Ярославль, пр. Октября, 94, оф. 37
тел. (4852) 73-35-03, 58-03-48, факс 58-03-49.
180
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
1 319 Кб
Теги
1267, гидродинамика, векторных, скаляризация, задачи, ширяева, краевых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа