close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1294.Медианная фильтрация Методические указания

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Кафедра динамики электронных систем
МЕДИАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Методические указания
Ярославль 2006
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Медианная фильтрация: Метод. указания / Сост. А.Л. Приоров,
В.В. Хрящев; Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2006. 53 с.
Описаны основные методы медианной фильтрации цифровых
изображений. Методические указания предназначены для
студентов специальности 010801 Радиофизика и электроника
физического факультета ЯрГУ, изучающих дисциплину
специализации «Цифровая обработка изображений». Могут
использоваться студентами, обучающимися по специальности
210302 Радиотехника, а также направлению 550440
Телекоммуникации. Материал может быть использован при
подготовке студентами курсовых и дипломных проектов.
Рецензент: кафедра радиофизики Ярославского
государственного университета им. П.Г. Демидова.
© Ярославский государственный университет, 2006
© А.Л. Приоров, В.В. Хрящев
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВВЕДЕНИЕ
Интенсивное развитие технологии производства интегральных
схем и расширение возможностей современных компьютеров
позволяют реализовать на практике все более сложные методы
цифровой обработки сигналов и изображений. С появлением
современных цифровых сигнальных процессоров стало реальностью
практическое воплощение алгоритмов, представлявших ранее лишь
теоретический
интерес.
До
последнего времени в цифровой
обработке сигналов в основном использовались методы линейной
фильтрации, что связано с наличием подходящего математического
аппарата, простотой интерпретации и расчета линейных фильтров.
Эти методы стали уже классическими и активно используются в
системах связи, радио- и гидролокации, для анализа и синтеза речи, в
системах обработки изображений, компьютерной томографии и др.
В то же время использование методов линейной фильтрации не
позволяет получить приемлемое решение в ряде практически важных
приложений.
Известно,
например,
что
задача
оптимальной
фильтрации допускает решение в классе линейных фильтров только в
том случае, когда сигнал и аддитивная помеха независимы и имеют
нормальное распределение. В действительности помеха может
зависеть от полезного сигнала, иметь мультипликативный характер
или закон распределения, отличный от нормального, например,
представлять собой импульсный шум. В этих случаях оптимальным
решением будет являться нелинейный фильтр.
С целью расширения спектра задач, решаемых средствами
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
цифровой
обработки
сигналов,
и
преодоления
ограничений,
присущих методам линейной фильтрации, в настоящее время активно
внедряются методы нелинейной фильтрации. Наиболее известными
классами нелинейных фильтров являются:
─ гомоморфные фильтры;
─ морфологические фильтры;
─ фильтры, основанные на порядковых статистиках, и их
разновидности: L-, R-, M-фильтры, медианные фильтры;
─ расширенные фильтры Калмана;
─ нейронные фильтры и сети;
─ полиномиальные фильтры.
Данная
классификация,
не
претендуя
на
полноту,
демонстрирует лишь многообразие видов нелинейной фильтрации. В
отличии от теории линейной фильтрации построение единой теории
нелинейной
фильтрации
вряд
ли
возможно.
Каждый
из
перечисленных классов имеет свои преимущества и область
применения.
Например,
фильтрация
Калмана,
гомоморфная
фильтрация, имеют достаточно долгую историю. Другие направления
появились совсем недавно и активно разрабатываются в настоящее
время. К таким новым направлениям относится цифровая фильтрация
на основе ранговой статистики. Самым известным представителем
данного класса нелинейных фильтров являются медианные фильтры,
которые и рассматриваются в данной работе. Ниже приводятся
определения одномерного и двумерного медианных фильтров, их
статистические характеристики, а также описания самых известных
модификаций медианных фильтров.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕДИАННЫХ ФИЛЬТРОВ
1.1. Одномерный медианный фильтр
Медианная фильтрация была предложена Дж. Тьюки в 1971 г.
для анализа экономических процессов, а в дальнейшем получила
широкое применение при обработке изображений и речевых
сигналов. Она осуществляется посредством движения некоторой
апертуры (маски) вдоль последовательности дискретных отсчетов и
замены значения в центре апертуры медианой исходных отсчетов
внутри апертуры.
Медианой последовательности x1 , ... , x n , где n - нечетное,
является средний по значению член ряда, получающегося при
упорядочивании последовательности по возрастанию. Для четного n
определим медиану как среднее арифметическое двух средних
членов. В литературе можно найти другие определения, но поскольку
они мало отличаются друг от друга и
n
в большинстве
интересующих нас случаев нечетное, мы не будем возвращаться к
этому в дальнейшем. Обозначим медиану следующим образом:
(x1 ,
медиана
..., xn ) .
Медианный фильтр последовательности длиной n { xi , i ∈ Ζ
}
для нечетных n определяется как
yi = медиана xi ≡ медиана
n
(xi −ν ,
..., xi , ..., xi +ν ) ,
где ν = (n − 1)/2 и Ζ обозначает множество всех натуральных чисел.
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.2. Двумерный медианный фильтр
Будем считать, что цифровые изображения представляются
набором чисел на квадратной решетке {xi , j }, где (i, j ) изменяются по
Ζ 2 или по некоторому подмножеству Ζ 2 . Двумерный медианный
фильтр
с
апертурой
A
для
изображения
{x
i, j
, (i, j ) ∈ Ζ 2
}
определяется как:
[
]
yi , j = медиана xi , j ≡ медиана xi + r , j + s ; (rs ) ∈ A , (i, j ) ∈ Ζ 2 .
A
(1)
Можно использовать различные формы апертур A фильтра,
например, линейные сегменты, квадраты, круги, кресты, квадратные
рамки, кольца (рис. 1).
Рис. 1. Примеры апертур (масок) типа квадрат и типа крест размером 3х3
Приведенные определения медианных фильтров не объясняют
способа
нахождения
выходного
сигнала
вблизи
конечных
и
пограничных точек в конечных последовательностях и изображениях.
Один из простых приемов, состоит в том, что нужно находить
медиану только тех точек внутри изображения, которые попадают в
пределы апертуры. Поэтому для точек, расположенных рядом с
границами, медианы будут определены, исходя из меньшего, чем в
A , числа точек.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕДИАННОЙ
ФИЛЬТРАЦИИ
2.1. Сохранение перепадов
Под перепадом понимается фрагмент изображения, в котором
точки по одну сторону от некоторой линии имеют одинаковое
значение a , а все точки по другую сторону от этой линии - значение
b, b≠a.
Следующие
результаты
представляют
свойство медианных фильтров. Если апертура
фундаментальное
A симметрична
относительно начала координат и содержит его в себе, т.е. если
(r , s )∈ A  (− r ,
− s ) ∈ A,
(0,0 )∈ A ,
(2)
то тогда медианный фильтр (1) сохраняет любое изображение
перепада. Условия (2) выполняются для всех перечисленных апертур,
кроме квадратной рамки и колец, которые не содержат начала
координат. Тем не менее, квадратные рамки и кольца будут лишь
незначительно изменять перепад. Точно так же будут вести себя и
фильтры с другой формой апертуры, для которых выполняются
условия (2). Эти условия означают, что число точек n в A является
четным.
Легко заметить, что соответствующая линейная фильтрация
путем вычисления среднего
zi = (xi −ν + ... + xi + ... + xi +ν ) / n, i ∈ Ζ ,
в отличие от медианной фильтрации превращает перепад в пологий
скат шириной n.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.2. Подавление шумов с помощью медианной фильтрации
Как
утверждалось
выше,
медианные
фильтры
могут
использоваться для подавления шумов. Далее будут приведены
некоторые соотношения для дисперсии, которые в количественной
форме оценивают степень подавления шума. Медианные фильтры
нелинейны,
и
это
усложняет
математический
анализ
их
характеристик. Нельзя разграничить влияние этих фильтров на сигнал
и шум, что для линейных фильтров делается очень просто.
Ограничимся
рассмотрением
простейшего
случая
постоянного
сигнала.
2.2.1. Белый шум
Введем модель белого шума. Значение элементов изображения
{x }
i, j
или последовательность чисел
{xi }
являются независимыми
одинаково распределенными случайными величинами со средним
значением m :
x =m+ z,
где E ( z ) = 0 и, следовательно, E ( x ) = m .
Пусть
F (x )
и
f (x) =
d
F ( x)
dx
обозначают
функции
распределения и плотности вероятностей величин x. Запишем два
известных результата из теории вероятностей, касающихся медиан
независимых,
одинаково
распределенных
Плотность распределения y = медиана
8
(x1 ,
случайных
величин.
..., xn ) для нечетных n :
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 n −1 
( n −1) / 2
( n −1) / 2
 ⋅ f ( y ) ⋅ F ( y )
g ( y ) = n ⋅ 
⋅ [1 − F ( y )]
.
 (n − 1) / 2 
Распределение y = медиана
(x1 ,
(3)
..., xn ) для больших n является
~
~ - теоретическая
приблизительно нормальным N (m, σ n ) , где m
~
медиана, определяемая из условия F (m ) = 0,5 и
σ n2 =
1
~ ) = Var [медиана ( x1 , ..., xn )] .
n ⋅ 4 ⋅ f 2 (m
(4)
При малых n обычно можно получить лучшее приближение для
дисперсии заменой члена 1 / n в (4) членом 1 / (n + b ) , где
b=
1
~) ⋅ σ 2 − 1 .
4 ⋅ f 2 (m
x
Эта модификация получена вследствие выбора b таким, что при
n = 1 формула (4) становится точной.
Приведенные результаты справедливы как для одномерной, так
и двумерной фильтрации, если n выбирать равным числу точек в
апертуре фильтра. Если f (x) симметрична относительно m , то
формула (3) также будет симметрична относительно m и, таким
образом, справедлива следующая простая формула:
E [медиана
(x1 ,
..., xn )] = E ( xi ) = m .
2.2.2. Небелый шум
Для входных последовательностей (изображений), которые
являются случайными процессами (случайными полями) общего
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вида, т.е. полями с независимыми значениями отсчетов, нельзя
получить простые точные формулы для распределения медиан. Тем
не менее, существуют предельные теоремы, аналогичные (4).
Условия, необходимые для предельных теорем, состоят в том, что
процессы {xi } , {xi , j } стационарны и перемешаны. Согласно условиям
перемешивания отсчеты процесса, расположенные далеко друг от
друга, должны быть практически независимыми. Для стационарного
перемешанного нормального процесса с ковариационной функцией
Cov( xi , xi +τ ) = rx (τ ) = σ x2 ⋅ ρ x (τ ), τ = 0, ± 1, ... ,
имеем приближенное выражение для дисперсии медианы
n −1

j
σ x2
Var[медиана (x1 , ..., x n )] ≈
⋅  1 −  ⋅ arcsin[ρ x ( j )] .
n + π / 2 − 1 j = − ( n −1) 
n
(5)
Для случая двумерной фильтрации получаем аналогичный результат.
Интересно сравнить (5) с дисперсией арифметического среднего
x=
x
i
n
n случайных величин:
Var ( x ) =
σ x2
n
⋅

j

 ⋅ ρx ( j ) .
1
−


n 
j = − ( n −1) 
n −1
(6)
Сходство (5) и (6) довольно заметно. Для нормальных процессов с
неотрицательными значениями корреляции
ρ x (τ ) ≥ 0, τ = 0, ± 1, ... ,
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
получаем при больших n , используя (5), (6) и тот факт, что
ρ x (τ ) ≤ arcsin ρ x (τ ) ≤ ρ x (τ ) ⋅
π
2
:
1 ≤ Var ( медиана ) / Var ( x ) ≤
π
2
.
(7)
Этот результат справедлив также для двумерной фильтрации. Таким
образом, для нормальных процессов с неотрицательными значениями
корреляции дисперсия медианы почти на 57% больше дисперсии
арифметического среднего. Для процессов с отрицательными и
положительными
значениями
корреляции
значения
отношений
дисперсии (7) могут быть намного больше π /2.
2.2.3. Импульсный шум
Под
импульсным
шумом
понимаем
искажение
сигнала
импульсами, т.е. выбросами с очень большими положительными или
отрицательными значениями и малой длительностью. Медианная
фильтрация хорошо приспособлена для подавления такого шума при
условии, что размер апертуры должен быть выбран по крайней мере в
два раза больше ширины импульса. В этом случае импульсы шума,
которые достаточно удалены друг от друга, будут полностью убраны
медианным фильтром. Однако импульсы, расположенные близко друг
к другу, могут сохраниться.
При обработке изображений импульсный шум возникает,
например, вследствие ошибок декодирования, которые приводят к
появлению черных и белых точек на изображении. Поэтому его часто
называют точечным шумом. Выбросы шума особенно заметны на
очень темных или очень светлых участках изображений. Для таких
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
участков
можно
вывести
несколько
несложных
формул
для
вероятности правильного воспроизведения. Рассмотрим две модели
импульсного шума. В первой модели (в англоязычной литературе
обозначаемой как «salt-and-pepper») все выбросы шума имеют
одинаковое значение, во второй («random valued») шум принимает
значения, выбранные случайно из всего диапазона от черного до
белого.
Импульсный шум. Модель 1
Появление выброса шума в каждой точке (i, j ) изображения
имеет вероятность p и не зависит ни от наличия шума в других
точках изображения, ни от
исходного изображения. Искаженная
точка приобретает постоянное значение d (от 0 до 255). Пусть {xi , j } искаженное изображение. Тогда
d
xi , j = 
si , j
с вероятностью p,
c вероятностью (1 − p ) ,
где si , j - значения неискаженного изображения.
Предположим теперь, что точка (i ′, j ′) расположена на участке с
постоянным значением
{s }
i, j
исходного изображения (по крайней
мере, в окрестности A с центром в (i ′, j ′) ), т.е.:
s i′+ r , j ′+ s = s i′, j ′ = c ≠ d ,
(r , s ) ∈ A .
Применим к {xi , j } медианный фильтр с апертурой A
yi , j = медиана xi , j .
12
(8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда значение выходной величины
y i′, j ′
будет верным, т.е.
y i′, j′ = si′, j′ = c , в том и только в том случае, если число выбросов
шума в пределах апертуры A с центром в (i ′, j ′) меньше половины
числа точек в A , т.е. меньше или равно (n − 1) / 2 , где n - размер
апертуры A . Из того, что число искаженных точек в апертуре имеет
биноминальное распределение, вытекает следующий результат:
P[правильног о воспроизве дения в
=
( n −1) / 2

k =0
(i′, j′)] = P (yi ′, j ′ = si ′, j ′ ) =
n k
n−k
  ⋅ p ⋅ (1 − p ) ≡ Q(n, p ) .
k 
(9)
Значения 1 − Q ( n, p ) для различных значений n и p приведены
в таблице 1. Видно, что если вероятность ошибки не очень велика
(например, не больше 0,3), то медианная фильтрация с достаточно
малой апертурой значительно снизит число ошибок. Фильтр с
большой апертурой подавит шум в еще большей степени, но он также
исказит и сигнал.
Таблица 1. Вероятность ошибки при фильтрации импульсного шума
Вероятность
ошибки p
0,01
0,05
0,1
0,15
0,2
0,3
0,4
0,5
Размер апертуры n
3
5
9
25
49
0,00030 0,0000099 0,0000000
0
0
0,00725 0,00116
0,000033 0,0000000
0
0,028
0,0086
0,00089 0,0000002
0
0,0608
0,0266
0,00563
0,000017
0
0,104
0,058
0,0196
0,00037 0,000013
0,216
0,163
0,099
0,017
0,00165
0,352
0,317
0,267
0,154
0,0776
0,500
0,500
0,500
0,500
0,500
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Импульсный шум. Модель 2
Эта модель отличается от модели 1 только тем, что искаженные
точки приобретают случайные, а не фиксированные, значения z i , j .
Предполагается, что они являются независимыми случайными
величинами с равномерным распределением на интервале [0, d ], т.е.
 zi , j
xi , j = 
 si , j
Для
получения
неискаженное
с вероятностью p,
c вероятностью (1 − p ) .
простой
изображение
формулы
является
предположим,
полностью
белым
что
(или
полностью черным) в окрестностях (i ′, j ′) , т.е. в (8) c = 0 (или c = d ).
Это, по сути, наиболее сложный случай для медианного фильтра, так
как все ошибочные значения попадают по одну и ту же сторону от
правильного значения. Вероятность правильного воспроизведения
совпадает с Q(n, p ) в (9), но, кроме того, значения неисправленных
ошибок уменьшаются. Математическое ожидание выходных величин
и оставшихся выбросов шума определяется формулами:
[
E медиана
[
E медиана
(x )
i′, j ′
k − (n − 1) / 2  n  k
n−k
⋅   ⋅ p ⋅ (1 − p ) ,
k +1
k = n +1 / 2
k 
(x )] = d ⋅ 
( )
n
i′, j ′
]
| ошибочное воспроизведение в точке (i ′, j ′) =
[
]
= E медиана xi′, j′ /[1 − Q(n, p )] .
Экспериментальные результаты фильтрации изображений хорошо
согласуется с этими оценками.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.2.4. Перепад плюс шум
Ранее показано, что медианные фильтры сохраняют перепады (в
отсутствии шума), тогда как усредняющая линейная фильтрация
смазывает такие перепады. Кроме того, для случая нормального
белого шума (на постоянном фоне) усреднение уменьшает такой шум
несколько эффективнее, чем медианные фильтры с тем же размером
апертуры. В этом разделе рассмотрим фильтрацию перепадов при
наличии
аддитивного
белого
шума,
т.е.
фильтрацию
последовательностей, или изображений с
x=s+z,
где s - детерминированный сигнал, равный 0 по одну сторону от
перепада и h - по другую, а z - случайные значения белого шума.
Предположим, что случайные значения шума z распределены
по
нормальному
N (0, σ n ) .
закону
Рассмотрим
одномерную
фильтрацию и будем считать, что перепад происходит в точке i=1.
Таким образом, для i ≤ 1 величина xi есть N (0, σ n ) , а для i ≥ 1
величина xi есть N (h, σ n ) . Распределение скользящего среднего
(
)
- число точек в пределах
апертур, имеющих значение
s = h . Поведение математического
является N (hk ) / n, σ n / n , где k
ожидания значений медианы также свидетельствует о некотором
смазывании, хотя и меньше, чем для скользящего среднего. Чтобы
иметь
возможность
сравнить
эффективность
фильтров
на
последовательностях типа перепад плюс шум, нужны меры точности
передачи
перепада.
Воспользуемся
мерой
среднеквадратичной
ошибки (СКО), усредненной по N точкам вблизи перепада:
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
⋅  E ( yi − si ) 2 ,
N i
(10)
где y i - значения на выходе фильтра.
При h < 2 (h < 2σ ) СКО для скользящего среднего немного
меньше, чем для медианы, а при h > 3 (h > 3σ ) СКО медианы
значительно меньше, чем СКО среднего. Этот результат показывает,
что скользящая медиана значительно лучше, чем скользящее среднее,
для перепадов большой высоты (h > 3σ ) , а для перепадов меньшей
высоты различие между двумя фильтрами очень незначительно.
Очень похожие результаты получены для больших апертур и для
двумерной фильтрации с апертурами 3 × 3 и 5 × 5 .
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ СВОЙСТВА
МЕДИАННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
В этом разделе на основе детерминированного подхода
излагаются некоторые результаты, касающиеся свойств медианных
фильтров. Наша цель - найти для каждого медианного фильтра
специальный класс последовательностей, которые не изменяются под
действием этого фильтра. Такие последовательности называются
стабильными точками фильтра. Медианная фильтрация в том виде, в
каком она была введена вначале, используется главным образом
вследствие ее вычислительной простоты и нечувствительности к
помехам, имеющим распределение с тяжелыми хвостами. Обратим
внимание и на другое свойство медианных фильтров, а именно на то,
что, действуя как сглаживающие фильтры, они в то же время могут
сохранять
крутые
перепады,
или
контуры
в
сигналах.
Эта
способность сохранять края делает медианные фильтры удобными
сглаживающими фильтрами, если в сигнале часто встречаются
крутые перепады и их нельзя смазывать при сглаживании. То, что
такие фильтры сохраняют перепады, равносильно утверждению, что
перепады инвариантны к медианной фильтрации. Это - одна из
причин, которая заставляет заниматься изучением стабильных точек
медианных
фильтров.
Если
стабильная
точка
имеет
не
удовлетворяющие нас характеристики, то для того, чтобы она не
появлялась на выходе медианного фильтра, может оказаться
необходимым
так
модифицировать
фильтр,
что
данная
последовательность не будет стабильной точкой или что эти
нежелательные свойства будут подавляться. Может также случиться,
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
что произвольный входной сигнал при повторной многократной
медианной фильтрации будет сходиться к одной из стабильных точек
фильтра. Стабильные точки можно разделить на две категории.
Стабильные точки первой категории можно рассматривать как
некоторые обобщенные монотонные последовательности. Ко второй
категории относятся точки более специального вида. Результаты,
полученные в одномерном случае, будут перенесены на двумерный.
3.1. Стабильные точки одномерных медианных фильтров
Обозначим
одномерный
медианный
фильтр
с
шириной
апертуры ( 2k + 1) через MФ2k +1 , т.е. определим соотношение вход выход как { y n } = MФ2k +1{xn }, где
yn = медиана( xn − k ,..., xn ,..., xn + k )
для всех n . Предполагается, что последовательности продолжаются
бесконечно в обе стороны. Имеется относительно немного хорошо
известных свойств медиан. Рассмотрим два из них.
Свойство 1
Если x− k ≤ ... ≤ x0 ≤ ... ≤ xk ,
то медиана( x− k ,..., x0 ,..., xk ) = x0 .
Свойство 2
Если g ( x) монотонна,
то медиана[ g ( x1 ),..., g ( x2 k +1 )] = g[ медиана( x1 ,..., x2 k +1 )].
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для медианного фильтра, из свойства 1 можно сделать вывод,
что монотонная последовательность {xn } , т.е. последовательность с
xn ≤ xm (или xn ≥ xm ) для всех n < m , инвариантна к медианной
фильтрации
с
произвольной
шириной
апертуры.
Например,
ступенчатая функция является монотонной последовательностью,
поэтому она инвариантна к медианной фильтрации. Если считать
перепад в идеальном случае ступенчатой функцией, то очень просто
объяснить,
почему
после
медианной
фильтрации
перепады
сохраняются. Монотонные последовательности являются всего лишь
простейшими стабильными точками медианных фильтров. Их
обобщение дает более важный класс стабильных точек. Из свойства 2
вытекает, что, поскольку рассматриваются только медианы, масштаб
значений последовательностей не играет роли. В самом деле,
исходную последовательность данных можно свести к бинарной
последовательности, без потери какой-либо информации о медианах,
путем введения последовательности {g a ( xn )} , такой, что для всех
− ∞ < a < ∞ , где
1, x ≥ a
g a ( x) = 
0, x < a .
Очевидно, что {xn } является стабильной точкой медианного
фильтра MФ2 k +1 тогда и только тогда, когда {g a ( xn )} является его
стабильной точкой для всех a . Это свойство позволяет значительно
упростить входную последовательность данных и будет особенно
полезно при рассмотрении двумерных последовательностей.
Как указывалось выше, монотонные последовательности - это
стабильные точки медианных фильтров с произвольной шириной
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
окна.
Однако
требование
абсолютной
монотонности
является
необязательным. Поскольку медианный фильтр имеет фиксированные
и конечные размеры апертуры, понятно, что монотонность должна
сохраняться только в пределах каждого сегмента, совпадающего по
размерам с апертурой. На самом деле это требование можно ослабить
еще сильнее.
Определение. Последовательность
{xn } является локально-
монотонной на отрезке m [ЛОМО (m)] , если ( xn ,...., xn+m−1
) монотонна
для каждого n .
Очевидно, что ЛОМО (m )
является также ЛОМО( p) , если
p < m . Допустим, что {xn } есть ЛОМО(m) . Тогда последовательности
(xn ,...xn+m−1 ) и (xn+1 ,...xn+m ) монотонны. Если
xn < xn+ m−1 и xn+1 > xn+ m , то
имеем xi < x j и xi ≥ x j для всех n + 1 ≤ i ≤ n + m − 1 , откуда вытекает, что
xn+1 = ... = xn+ m−1 .
Отсюда
следует,
что
локально-монотонные
последовательности могут быть иначе определены при помощи
леммы.
Лемма 1. Если имеется какое-нибудь изменение в общем,
направлении, то ЛОМО(m ) - последовательность должна оставаться
постоянной хотя бы для (m − 1) членов.
Используя функцию уровня g a ( x ) , определённую ранее, можно
легко показать, что последовательность является ЛОМО(m) , если при
всех a выходной сигнал остаётся равным 1 или 0 хотя бы для (m − 1)
членов. Получаем теорему, касающуюся локально-монотонных
последовательностей и медианной фильтрации.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 1. ЛОМО (m ) - последовательность
инвариантна к
МФ2 h+1 для всех k , k ≤ m − 2 .
Теорема 2. Если
{xn } является стабильной точкой
МФ2 k +1 и
имеется монотонный сегмент (x p , x p +1 ,...x p +k ) длиной (k + 1) , тогда {xn }
является ЛОМО(k + 2) .
Эта теорема говорит о том, что если стабильная точка
МФ2 k +1 является достаточно гладкой, (т.е. монотонной для сегмента
длиной (k + 1) ), то она является гладкой по всей длине (т.е. является
ЛОМО(k + 2) ).
Определение. Последовательность нигде не является гладкой
(назовем такую последовательность НЕЛОМО (k ) ), если она не
содержит монотонного сегмента длиной k .
Теорема 3. Если {xn }является стабильной точкой МФ2 k +1 , если
она является НЕЛОМО(k + 1) , то {xn } – бинарная последовательность,
т. е. xn может принимать только два значения.
Для каждого медианного фильтра
МФ2 k +1 будем
относить
стабильные точки, описываемые теоремой 2, к точкам первого типа и
точки, описываемые теоремой 3, – ко второму типу.
Поскольку любой сегмент, состоящий из двух отсчетов,
является монотонным, то по теореме 2 любая стабильная точка МФ3
является ЛОМО(3) . Для МФ3 не имеется стабильных точек второго
типа. Однако для медианных фильтров с размером апертуры больше 3
стабильные точки второго типа существуют. Ниже описан метод
получения некоторых из них.
Рассмотрим периодическое продолжение последовательности
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
− a0 ,− a1 ,..., − ak ,
a0 , a1 , a 2 ,..., a k ;
(11)
где ai = 1 или − 1 . Очевидно, что эта последовательность является
стабильной точкой
МФ2 k +1 . Если
последовательность
есть
(a0 ,..., ak ) монотонна, то эта
ЛОМО(k + 2)
и,
следовательно,
она
принадлежит к стабильным точкам первого типа. Если (a0 ,..., ak ) не
монотонна, то легко увидеть, что эта последовательность есть
НЕЛОМО(k + 1) и, следовательно, она принадлежит к стабильным
точкам второго типа. Этот метод позволяет получить стабильные
точки для МФ5 и МФ7 , но для МФ9 он не справедлив. Например,
периодическое чередование 1, 1, —1, —1 является стабильной точкой
второго типа для MФ9 , но ее период равен 4, а не 10, как требуется в
(11). Остается невыясненным, все ли стабильные точки второго типа
периодические. Так как стабильные точки второго типа для MФ2 k +1
двузначны
и
имеют
тенденцию
колебаться
быстрее
(будучи
НЕЛОМО(k + 1) ), чем стабильные точки первого типа ( ЛОМО(k + 2) ),
их можно считать нежелательными с точки зрения сглаживания
последовательностей.
последовательности
Действительно,
данных
является
если
бинарной
отрезок
и
быстро
колеблющейся последовательностью, нахождение медианы конечном
счете мало что дает. Поэтому интересно рассмотреть те обобщенные
медианные
фильтры,
которые
являются
сглаживающими,
построенными на простых медианах, но, если это нужно, ведут себя
при наличии стабильных точек второго типа или бинарных быстро
колеблющихся последовательностей как линейные фильтры. Прежде
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чем мы остановимся на получении таких обобщенных медианных
фильтров, приведем теорему, обратную теореме 1.
Теорема 4. Если последовательность {xn }инвариантна к МФ2 p−1
для всех p = 1,2,..., k , то она является ЛОМО(k + 2) .
До
сих
бесконечные
конечной
пор
мы
рассматривали
последовательности;
длиной
используются
для
только
двусторонние
последовательностей
с
сразу несколько определений
концевых точек. Например, для МФ2 k +1 мы можем уменьшать размер
апертуры на 2 для каждого шага по направлению к концу
последовательности, как только центр апертуры окажется только на
k отсчетов от ее конца. При таком определении теоремы 1 и 2
остаются
справедливыми,
однако,
теорема
3
нуждается
в
незначительном изменении для концевых точек.
Была
замечена
очень
тесная
связь
между
медианными
фильтрами и их стабильными точками. Начнем с рассмотрения этой
связи для стабильных точек первого типа. Локально-монотонные
последовательности
обладают
некоторым
типом
гладкости,
выражающейся в монотонности. Возьмем в качестве примера
последовательности
ЛОМО(m) ;
в
пределах
сегмента
из
последовательных m отсчетов не допускается никаких изменений,
или, что то же самое, для любого изменения сигнала он должен
оставаться постоянным в течение следующих (m − 1) отсчетов, а
между плоскими участками сигнал является монотонным. Это
исключает возможность появления изолированных пиков или
выбросов с длительностью, меньшей или равной (m − 2) . Они не
имеют должной поддержки и медианные фильтры с размером
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
апертуры, большим или равным (2m − 3) , способны устранять их. С
другой стороны, разрывы в виде перепадов допускаются независимо
от перепада, поскольку сигнал локально-монотонен, и следующий
перепад, который, по предположению, будет иметь противоположное
направление, не может встретиться в пределах (m − 1) отсчетов. Точно
так же медианные фильтры с размером апертуры, меньшим или
равным (2m − 3) , способны сохранить их. Конечно, не все свойства
ЛОМО -последовательностей полезны. Например, плоские участки,
которые
неизбежны
для
любого
изменения
в
ЛОМО -
последовательностях, могут оказаться нежелательными, а медианная
фильтрация имеет тенденцию создавать большое их число. Так как
требуется только локальная монотонность, сигналы такого рода
локально не должны быть полиномами малого порядка. Это
непосредственно
подтверждается
медианной
фильтрацией
зашумленного пилообразного сигнала. Выходной сигнал фильтра
будет больше напоминать лестницу с регулярно расположенными
ступеньками, чем пилообразную кривую.
Медианной
фильтрацией
можно
восстановить
только
монотонность, но не линейность или другие свойства полинома
низкого порядка, присущие сигналу. В этом случае можно
рекомендовать
после
медианной
фильтрации
использовать
симметричные линейные сглаживающие фильтры с малой апертурой.
Малые апертуры выбираются во избежание искажений на перепадах.
Что касается плоских участков, образованных при медианной
фильтрации,
то
искаженный
сигнал
может
быть
частично
восстановлен с помощью специальной процедуры огрубления.
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Преимущества и недостатки медианной фильтрации обсуждались
выше,
исходя
из
характеристик
локально
-
монотонных
последовательностей, которые являются также стабильными точками
первого типа. Теперь рассмотрим стабильные точки второго типа.
Представляется,
что
последовательности
стабильные
точки
фиксированной
второго
формы,
типа -
которые
это
редко
встречаются в отрезках реальных сигналов. Однако возможно, что
части последовательности данных быстро флуктуируют, принимая
два значения. Если требуется восстановить взвешенное среднее
каждой части, то медианные фильтры, вряд ли будут пригодны. Здесь
опять
после
медианной
фильтрации
можно
использовать
симметричные линейные сглаживающие фильтры с малой апертурой.
Однако более интересны нелинейные сглаживающие фильтры,
которые строятся на простых медианных фильтрах и не имеют таких
стабильных точек второго типа. Основная причина интереса к
нелинейным сглаживающим фильтрам состоит в том, что они
сохраняют перепады.
3.2. Обобщенные медианные фильтры
Существует другой класс последовательностей, связанных с
медианными
фильтрами,
последовательности
которые
можно
нам следует изучить.
назвать
рекуррентными
Эти
точками
(последовательностями). В общем, для нелинейного сглаживающего
фильтра Т последовательность рекуррентна, если она является
стабильной точкой T
m
при некотором m ≥ 2 , но не для Т . Здесь Т m
означает m – кратное применение Т. Например, знакопеременная
(осциллирующая) последовательность
25
1, - 1, 1, -1,… не является
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стабильной точкой МФ3, тем не менее это – стабильная точка МФ23. В
целом известно очень немного о рекуррентных последовательностях
медианных фильтров. Несколько примеров дают возможность
предположить, что они должны быть бинарными, флуктуирующими
и иметь фиксированную форму. Однако нет математического
доказательства правильности этих наблюдений. Если существование
стабильных
точек
бесполезными
в
второго
качестве
типа
делает
медианные
сглаживающих,
то
фильтры
следует
искать
альтернативные пути, свободные от этих точек. Точно так же
хотелось бы избежать и рекуррентных точек. В этом направлении
получено немного результатов и некоторые из них, касающиеся МФ3,
даны ниже без доказательства.
Теорема 5. Пусть a 0 ≠ 1, a k ≥ 0 и
n
a
k
= 1.
Тогда стабильными
k =0
точками сглаживающего фильтра
n
T =  a k МФ 3k
k =0
являются только ЛОМО(3) – последовательности при
некоторых нечетных k. Если
аk = 0
аk ≠ 0
для
для всех нечетных k, то
стабильными точками Т будут и последовательности ЛОМО (3), и
знакопеременные последовательности. Для m ≥ 2 стабильной точкой
Т
m
также
должна
быть
ЛОМО(3)
или
знакопеременные
последовательности. Последние не могут быть инвариантны к Т m,
если только не справедливо, что: 1)
2)
аk = 0
аk = 0
для всех четных k и m или
для всех нечетных k.
С учетом приведенной теоремы сделать, чтобы знакопеременная
последовательность не была ни стабильной, ни рекуррентной точкой,
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
можно только, если рассматривать сглаживающий фильтр T для, по
крайней мере, четных k и нечетных j, причем ak и aj должны быть
положительны. Например, вместо простого МФ3 можно использовать
T1 = βI + (1 − β ) МФ3 ,
где 0 < β < 1 , I – тождественный оператор, или
T2 = МФ3 + (1 − β ) МФ 2 3 = МФ3 ∗ T1 .
В самом деле, оба они свободны от
стабильных точек второго типа и рекуррентных точек. Далее можно
показать, что верны следующие теоремы.
Теорема 6. Для T = βI + (1 − β ) МФ3 , 0 < β < 1 , последовательность
T m {x n }
сходится поточечно к ЛОМО(3) – последовательностям при
m→∞.
Знакопеременные последовательности являются рекуррентными
точками МФ3 и стабильными точками второго типа для МФ5, однако
с помощью линейной комбинации МФ3 и МФ5 можно от них
избавиться.
Теорема 7. Пусть T = βМФ3 + (1 − β ) МФ5 , 0 < β < 1 . Тогда {x n }
является стабильной точкой T, тогда и только тогда если она есть
ЛОМО(4).
Нетрудно показать, что стабильными точками сглаживающих
фильтров,
построенных
посредством
повторения
комбинаций и соединения [т.е. βT1 + (1 − β )T2 или
T1 ∗ T2 ]
выпуклых
медианных
фильтров с апертурой, меньше или равной (2k+1), являются
последовательностями ЛОМО (k+2). Но установить, имеют ли они
другие стабильные точки, в особенности второго типа, достаточно
сложно.
Для более полного понимания детерминированных свойств
медианных фильтров или их обобщений, очевидно, необходимо
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пойти дальше простой теории стабильных точек. В литературе при
изучении устойчивости медианных и связанных с ними нелинейных
фильтров применялся иной подход к изучению сглаживающих
свойств этих фильтров. Исследованные сигналы имели вид чистой
синусоиды. Сначала брались отсчеты чистой синусоиды с нулевой
фазой. Затем после выполнения медианной или другой нелинейной
фильтрации вычислялись: мощность или амплитуда основной
гармоники (которая имела частоту входного сигнала), а также
несколько первых гармоник (или их смеси). Тем самым можно
определить мощность, пропускаемую фильтром на частоте входного
сигнала, а также мощность, перешедшую к каждой из ее гармоник.
Подобно передаточной функции по мощности линейной системы, для
рассматриваемого нелинейного фильтра можно также построить
график, отражающий часть мощности, переданной на входной
частоте при чистой синусоиде с нулевой фазой на входе.
Хотя принцип суперпозиции к нелинейным фильтрам не
применим,
определение
переданной
мощности
и
мощности,
перешедшей в гармоники, все-таки дает важную информацию о
поведении и свойствах каждого нелинейного фильтра. Например,
численные результаты показывают, что передаточные функции
медианных фильтров с апертурой, размеры которой – нечетные
числа, имеют довольно большие боковые лепестки. Так, при частоте
дискретизации 128 отсчет/с для МФ5 возникают большие боковые
лепестки на частотах 32 и 64 Гц. Интересно, что это явление тесно
связано с стабильными и рекуррентными точками МФ5. Рассмотрим
это подробнее.
Пусть выходной сигнал xn – дискретная синусоида с частотой f и
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
фазой φ . Частота дискретизации равна 128 отсчет/с. Имеем
 2πfn

x n = sin 
+φ.
 128

При f = 32 Гц
(− 1) sin φ , n − четное,
xn = 
(−1) ( n −1) / 2 cos φ , n − нечетное.
n/2
Без потери общности предположим, что φ ≤ π / 4. Выходной
сигнал yn МФ5
− 2 sin φ sin(πn / 2 + π / 4), 0 ≤ φ ≤ π / 4,
yn = 
 2 sin φ sin(πn / 2 − π / 4), − π / 4 ≤ φ ≤ 0.
Таким образом, амплитуда, переданная на частоте f = 32 Гц,
равна
2 sin φ
при φ ≤ π / 4 . Введя случайную фазу с равномерным
распределением, получим, что средняя переданная мощность равна
4
π
π /4
0
что
дает
значительный
2(sin φ ) 2 dφ = 0,363,
(-4,4
дБ)
боковой
лепесток
к
передаточной функции по мощности.
Внимательное рассмотрение выходного сигнала {y n } показывает,
что это рекуррентная последовательность
 , a, a, − a, − a, , МФ5 ,
или
стабильная точка МФ25. Действительно, входной сигнал {x n } сам по
себе является рекуррентной последовательностью при условии, что
φ = ±π / 4 . Поэтому совершенно ясно, почему на этой частоте будет
возникать большой боковой лепесток.
Аналогично,
при
x n = sin(πn + φ ) = (−1) n sin φ ,
f
т.
=
е.
64
он
Гц
является
входной
сигнал
знакопеременной
последовательностью и поэтому будет стабильной точкой второго
типа для МФ5. Ясно, что {y n } = {x n } и передаточная функция имеет на
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
этой частоте пик, равный 1.
Для устранения нежелательных боковых лепестков было
предложено использовать МФ4 после МФ2, т. е.
МФ4 ∗ МФ2 .
Здесь
выходной сигнал медианного фильтра с апертурой, размеры которой
являются четными числами, определяется выражениями:
{y n+1 / 2 } = МФ2 к {x n },
y n +1 / 2 = медиана( x n − k +1 , , x n +1 ),
где медиана четного числа отсчетов есть среднее двух центральных
отсчетов. Следовательно, выходной сигнал y n
yn =
МФ4 ∗ МФ2
равен
1
1
медиана( x n −1 , x n , x n +1 , x n + 2 ) + медиана( x n −2 , x n −1 , x n , x n +1 ),
2
2
что также покрывает пять соседних отсчетов. Было показано, что
передаточная по мощности такого составного фильтра имеет
лепесток, равный -13,3 дБ вблизи f = 43 Гц. С точки зрения
сглаживания он работает гораздо лучше, чем простой фильтр МФ4.
Однако при этом ступенчатые функции уже не сохраняются.
Фактически МФ4 в значительной мере лишен свойства медианных
фильтров сохранять перепады; МФ4 следует рассматривать, скорее,
как на 25% сглаживающий усреднением фильтр, а не как
представитель обобщенных медианных фильтров. Кроме того, МФ2 –
это фильтр, усредняющий каждые два соседних отсчета.
С другой стороны, в соответствии с нашей теорией стабильных
точек, можно рассматривать среднее от МФ3 и МФ5, т. е.
0,5МФ3 + 0,5МФ5 .
Для синусоиды с частотой f = 32 Гц можно легко проверить, что
МФ3 {x n } = − МФ5 {x n }
передаточная
для произвольного φ , т. е. при f = 32 Гц
функция
этого
фильтра
проходит
через
нуль.
Аналогично, при f = 64 Гц входной сигнал, который является
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
знакопеременной последовательностью, есть стабильная точка МФ5 и
рекуррентная точка МФ3; находя среднее между ними, мы опять-таки
получаем нуль. Так как фильтр 0,5МФ3 + 0,5МФ5 не имеет других
стабильных точек, кроме последовательности ЛОМО(4). Для нас
неважно, что он имеет некоторую рекуррентную точку, поэтому
можно предположить, что боковые лепестки его передаточной
функции будут гораздо меньше, чем у МФ3 и МФ5. Это
подтверждается результатами моделирования. Они показывают, что
максимальное значение бокового лепестка составляет 13 дБ при f =
51 Гц, а следующее наибольшее значение равно -23,3 дБ при f = 37
Гц.
3.3. Стабильные точки двумерных медианных фильтров
Чтобы распространить приведенные результаты, полученные
для стабильных точек одномерных фильтров, на их двумерные
аналоги,
представляющие
большой
практический
интерес
в
обработке изображений, естественно, следует попытаться отыскать те
характеристики, которые отличают один тип стабильных точек от
другого. Такая задача гораздо сложнее, чем та, которая решалась
выше. Для понимания этого достаточно сравнить используемые
апертуры фильтров. В одномерном случае, при смещении апертуры
на один шаг, вводится только один новый отсчет и пропадает один
старый. Следовательно, многообразие структур стабильных точек
одномерных медианных фильтров сильно ограничено. Хотя мы не
знаем всех свойств стабильных точек второго типа и не знаем, как их
получить и еще меньше нам известно о рекуррентных точках
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
обобщенных медианных фильтров, мы высказали весьма полезные
соображения относительно их общих характеристик. Кроме того,
когда апертура двумерного медианного фильтра (которая не
вырождается в линейный сегмент) сдвигается на один шаг, то
вводится или пропадает более одного отсчета. Интуитивно ясно, что
это расширяет наши возможности и стабильные точки двумерных
медианных фильтров, будут значительно сложнее или менее
структурированы, чем их одномерные аналоги. Примеры стабильных
точек показывают, что они могут сильно напоминать стабильные
точки
второго
типа
в
одной
области,
оставаясь
локально-
монотонными в другой; для одномерного случая это неверно.
Известно, что изображения с перепадами сохраняются после
двумерной медианной фильтрации, если апертура симметрична и
имеет центр. Благодаря своей практической важности ранее
рассматривались только апертуры этого типа, и именно такие
апертуры будут подразумеваться в этом разделе. Изображение
перепада напоминает ступенчатую функцию в одномерном случае; в
обоих случаях это простейшие монотонные функции. Как указано
ранее
локальной
монотонности
достаточно,
чтобы
сделать
последовательность стабильной точкой. По аналогии можно ожидать,
что изображение будет инвариантно медианной фильтрации с
апертурой A до тех пор, пока оно остается монотонным в пределах
апертуры, когда ее центр продвигается от одного элемента
изображения
к
другому.
Необходимо
точное
определение
монотонности, которое будет дано позднее. Сначала разложим
двумерную апертуру на строки и предположим, что то, что требуется
от всей апертуры, истинно также для каждой строки. Будем считать,
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
что апертура содержит начало координат (0,0) и симметрична
относительно него.
Лемма 2. Пусть A – апертура и L – произвольная линия в R2.
Если
медиана( xi , j (i,j ) ∈ L ∩ A) = x0, 0
для всех L, проходящих через начало координат, то медиана
( xi , j (i,j ) ∈ A) = x0, 0 .
Определение. Апертура A является p-симметричной, если в
дополнение к тому, что она содержит начало координат (0, 0) и
симметрична относительно него, она содержит все точки (r, s)
пересечения Ζ 2 и конечного линейного сегмента θ (i, j), 0< θ <1, для
всех (i, j) в A, где θ (i, j) — линейный сегмент, соединяющий точки (0,
0) и (i, j).
Теперь допустим, что L является произвольной линией в Ζ 2 , а A
- p-симметричная апертура. Тогда точки, содержащиеся в L, будут
расположены периодически. Для точек (r , s) на L обозначим через N L, A
число точек, содержащихся в L ∩ { A + (r , s)} , где { A + (r , s)} означает
апертуру A, смещенную так, что ее центр находится в точке (r, s). В
результате периодичности Ζ 2 число N L, A не зависит от выбранного
(r, s) и является нечетным вследствие симметричности апертуры A.
На самом деле, все линии в Ζ 2 , параллельные L, имеют одно и тоже
N L, A .
Теорема которая распространяет теорему 1 на двумерный
случай, является по сути обобщением путем использования идеи
локально-монотонных последовательностей.
Теорема 8. Пусть A является p-симметричной апертурой, а {xi , j }
— изображение. Если для каждой линии L отсчеты xi , j на ней
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
локально-монотонны на длине ( N L, A + 3) / 2 , то {xi , j } инвариантно к
медианной фильтрации с p-симметричной апертурой, равной A или
являющейся подмножеством A.
Аналогично теореме 4 для данной теоремы также существует
обратная.
Теорема 9. Если изображение {xi , j } инвариантно к любой
медианной фильтрации с p-симметричной апертурой, которая
аналогична A или является ее подмножеством, где A p-симметрична,
то отсчеты xi , j на любой линии локально-монотонны ( N i , A + 3) / 2 .
Если изображение инвариантно к любой медианной фильтрации
с p-симметричной аппретурой, то согласно теореме 9 ее пересечение с
любой линией L из Ζ 2 должно быть монотонным. Изображения,
обладающие этим свойством, называются монотонными во всех
направлениях и, как оказывается, имеют простую структуру.
Юстуссуном был обнаружен следующий результат.
Теорема 10. Если {xi , j } монотонно во всех направлениях, то
существует наклон b, такой, что
случае
b = ±∞
xi , j ≥ x r , s
для всех j − bi > s − br . В
неравенство j − bi > s − br заменяется более простым
неравенством i > r . Наклон b единствен, если только xi , j не является
константой.
Достаточные условия, приведенные в лемме 3 или в теореме 8,
обычно трудно выполнить, особенно для больших апертур. На рис. 2
показаны некоторые двоичные изображения, которые для нескольких
р-симметричных апертур удовлетворяют достаточному условию
теоремы 8 (оно является менее жестким, чем условие леммы 3). Эти
двоичные изображения могут рассматриваться либо как однородные
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
объекты на однородном белом фоне, либо как выходные сигналы
функций уровня ga(⋅). Они строятся следующим образом.
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
Рис. 2. Некоторые двумерные апертуры (а-д) и соответствующие им
стабильные точки (е-к)
Для каждой апертуры изучим те направленные линейные
сегменты, которые начинаются в центре (основании) и кончаются в
точке на границе (верхушке). Каждый из этих линейных сегментов
можно определить, задав его угол θ, 0о ≤ θ ≤ 360о , с сегментом
соединяющим центр, допустим, точку (0, 0) и точку (1, 0). Тогда
можно легко увидеть, что каждый объект имеет границу, которая
является
кусочно-линейной
и
образована
35
этими
сегментами,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
расположенными в порядке возрастания или уменьшения θ, причем
основание каждого связано с верхушкой предыдущего. Поэтому
объект является выпуклой группой в Z2 с указанной границей. Не все
двоичные изображения, полученные этим способом, являются
локально монотонными в смысле теоремы 8. Например, ели
используемая апертура имеет форму креста, состоящего из пяти
точек (0, 0) и (i, j), где
i = j = 1,
то объект, построенный таким образом
имеет граничные точки (1, 0), (0, 1), (-1, 0) и локальная монотонность
в смысле теоремы 8 в центре объекта не сохраняется. Однако она, повидимому, сохраняется, если апертура А удовлетворяет следующему
условию:
lim A n = Z 2 ,
n ←∞
где
A n +1 = A n + A = {x + y x ∈ A n y ∈ A}
и А1 = А. Мы можем считать, что
апертура А вырождается, если она не удовлетворяет этому условию,
поскольку двумерная область Z2 может быть разложена на несвязные
участки, которые в совокупности составляют А*, где
А* = lim A n
n ←∞
и
медианная фильтрация с вырожденной апертурой А может быть
выполнена также путем раздельной фильтрации по каждой из
составных частей А*. Взаимосвязь между составными частями А*
полностью отсутствует.
Возвращаясь к рис. 2, можно сделать следующие наблюдения.
Во-первых, ни одна из апертур не является вырожденной. Во-вторых,
каждый объект является наименьшим конечным выпуклым объектом,
который сохраняется при медианной фильтрации с соответствующей
апертурой. Даже несмотря на поставленное ограничение, что каждая
линия L должна быть локально монотонной и инвариантной к МФN
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
L,A,
оказывается, что в случае конечного выпуклого объекта
достаточное условие теоремы 8 является также необходимым для
того чтобы объект сохранялся при медианной фильтрации. Наконец,
по аналогии с тем, как построена граница каждого выпуклого
объекта, можно было бы предположить, что, в общем, для того чтобы
двоичное изображение гладких объектов на равномерном фоне было
инвариантным к медианной фильтрации с невырожденной рсимметричной апертурой, будет необходимым и достаточным
следующее условие: выпуклая часть границ объектов или фона
должна складываться из хорд длиной, большей или равной размерам
апертуры, и соответствующие хорды любых двух связанных
сегментов контуров должны также являться смежными хордами
апертуры. Это наложило бы некоторые ограничения на контуры
сохраняемых изображений. К сожалению, такое условие является ни
необходимым, ни достаточным. В самом деле, определение таких
понятий, как граница или линейные сегменты границы для двоичных
изображений общего вида, является достаточно широким.
В начале этого раздела было упомянуто, что в отличие от
стабильных точек МФ2k+1, которые являются либо ЛОМО(k+2), либо
НЕЛОМО (k+1), стабильные точки двумерных медианных фильтров
могут быть смешанными. Некоторые примеры показаны на рис. 3.
Рассмотрим периодическое продолжение изображений, показанных
на рис. 3. Очевидно, они аналогичны во всем кроме масштаба, и все
три инвариантны к медианному фильтру с квадратной апертурой 3х3,
обозначенной через А. Если о гладкости судить по локальной
монотонности в квадратной апертуре 3х3, то а и б нигде не являются
локально-монотонными по отношению к А. Изображение в локально37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
монотонно по отношению к А везде, кроме тех седловых точек типа
a, b, c и d, где это неверно. При еще меньшем масштабе изображение,
которое остается стабильной точкой медианного фильтра с апертурой
А, становится более гладким; однако указанные седловые точки
также сохраняются. Следовательно, изображение на рис. 3в можно
рассматривать как стабильную точку смешанного типа.
а)
б)
a
b
c
d
в)
Рис. 3. Примеры стабильных точек для квадратной апертуры 3х3
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. МОДИФИКАЦИИ МЕДИАННЫХ ФИЛЬТРОВ
4.1. Взвешенный медианный фильтр
В рассмотренных выше медианных фильтрах все величины xi в
пределах апертуры влияют на результат фильтрации одинаково. Но
иногда желательно придать больший вес центральным или другим
точкам. Эта возможность реализована в алгоритме взвешенной
(центрально-взвешенной)
медианной
фильтрации.
Взвешенный
медианный фильтр отличается тем, что при построении массива
упорядоченных отсчетов каждый отсчет берется не один раз, а
столько, сколько указано его «весом» в окне. Например, для окна 3х3
веса можно задать следующими способами
1 1 1


1
3
1


1 1 1


или
 3 1 3


1
5
1
,

 3 1 3


тогда соответствующие массивы будут составляться из 11 и 21 чисел.
Целочисленные веса должны удовлетворять двум условиям:
─ их сумма должна быть нечетной (для возможности выбора
медианы);
─ каждый вес должен быть меньше половины суммы (иначе
применение фильтра бессмысленно).
Результат
зашумлённого
обработки
импульсным
тестового
шумом
изображения
модели
медианным фильтром представлен на рис. 4.
39
1,
«Барбара»,
взвешенным
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а) ПОСШ=11,30 дБ
б) ПОСШ=21,15 дБ
Рис. 4. Удаление импульсного шума с фиксированными значениями
импульсов взвешенным медианным фильтром: а) изображение с
внесённым импульсным шумом (p=0.25); б) результат обработки
В качестве объективной меры оценки качества алгоритма
фильтрации используется в данном случае пиковое отношение
сигнал/шум (ПОСШ), определяемое по следующей формуле:
ПОСШ = 20 log10
СКО =
1
N
255
,
СКО
N
 ( xi − y i ) 2 ,
i =1
где xi и yi – значения пикселей исходного и восстановленного
изображений соответственно, а СКО - среднеквадратичная ошибка.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.2. Адаптивный медианный фильтр
Как и многие другие методы фильтрации,
адаптивный
медианный фильтр действует в прямоугольной апертуре
Si, j
размером S × S и центром с координатами (i, j ) . Однако, он изменяет
(увеличивает) размер апертуры S во время обработки изображения, в
зависимости от его локальной статистики. Выходом
фильтра
является значение, используемое для замены величины пикселя xi , j ,
находящегося в центре окна в данный момент.
Введем следующие обозначения:
Z min = минимальное значение в апертуре S i , j ;
Z max = максимальное значение в апертуре S i , j ;
Z med = медиана апертуры S i , j ;
Z i , j = значение пикселя с координатами (i, j ) ;
S max = максимально допустимый размер апертуры S i , j .
Алгоритм адаптивной медианной фильтрации работает за два
шага, обозначенных Шаг A и Шаг B :
Шаг A :
A1 = Z med − Z min ;
A2 = Z med − Z max .
Если A1 > 0 и A2 < 0 , перейти на Шаг B . В противном случае
увеличить размер окна.
Если текущий размер окна S ≤ S max повторить Шаг A. В
противном случае выход фильтра равен Z i , j .
Шаг B :
B1 = Z i , j − Z min ;
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
B 2 = Z i , j − Z max .
Если B1 > 0 и B 2 < 0 , выход фильтра равен Z i , j . В противном
случае выход фильтра равен Z med .
Цель шага A – определить, является ли выход медианного
фильтра Z med импульсом (черным или белым) или нет. Если условие
Z min < Z med < Z max соблюдается, то Z med не может быть импульсом. В
этом случае осуществляется переход на шаг B и проверка, является
ли точка Z i , j в центре окна импульсом.
Если условия B1 > 0 и B 2 < 0 верны, то Z min < Z i , j < Z max , и
Z i , j не может быть импульсом по той же причине, что и Z med . В этом
случае алгоритм возвращает неизменное значение пикселя Z i , j . Так
как
подобные
пиксели
с
промежуточными
значениями
не
изменяются (в отличие от медианного фильтра, обрабатывающего все
пиксели
изображения),
суммарный
уровень
искажений
в
восстановленном изображении уменьшается.
Если условие B1 > 0 и B 2 < 0 неверно, тогда Z i , j = Z min или
Z i , j = Z max . И в том и другом случае, значение пикселя является
критическим, и алгоритм выводит медиану Z med , которая, как следует
из шага A , не является импульсным шумом.
Предположим, что шаг A обнаружил импульс. Тогда алгоритм
увеличивает размер окна и повторяет шаг A . Выполнение цикла
происходит до тех пор, пока алгоритм не находит среднее значение,
которое не является импульсом (и выполняет переход к шагу B ), или
пока максимальный размер окна не достигнут. Если это так, то
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
алгоритм возвращает величину Z i , j . Заметим, что нет гарантии, что
это значение не импульс. Чем меньше шумовая вероятность p или
большие S max достижимы, тем менее вероятно, что произойдет
преждевременный выход из алгоритма. Как только плотность шумов
возрастает, мы нуждаемся в большем размере окна для очищения
шумовых импульсов.
Последний этап – проведение обработки аналогичной алгоритму
стандартного медианного фильтра. Каждый раз, после того как
алгоритм выдает значение на выходе, апертура S i , j перемещается по
изображению. Алгоритм переинициализируется и применяется к
пикселям в новом расположении окна.
Таким
образом,
рассмотренная
модификация
медианного
фильтра преследует следующие три основные цели:
− оптимальное удаление импульсного шума;
− сглаживание других типов шумов;
− уменьшение искажений, таких, как чрезмерное утоньшение
или утолщение границ объектов на изображении.
Результат
обработки
тестового
изображения
«Танк
1»,
зашумлённого импульсным шумом модели 1, адаптивным медианным
фильтром представлен на рис. 5. Наглядно показано, что адаптивный
медианный фильтр позволяет удалять импульсный шум типа «соль-иперец» даже из очень сильно зашумленных изображений. Некоторым
недостатком данного подхода следует считать повышенную по
сравнению с медианным фильтром вычислительную сложность
алгоритма.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а) ПОСШ=12,79 дБ
б) ПОСШ=34,72 дБ
в) ПОСШ=6,80 дБ
г) ПОСШ=20,24 дБ
Рис. 5. Удаление импульсного шума с фиксированными значениями
импульсов адаптивным медианным фильтром: а) изображение с внесённым
импульсным шумом (p=0.2; б) результат обработки; в) изображение с
внесённым импульсным шумом (p=0.8); г) результат обработки
4.3. Линейная комбинация медиан
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть Ak
(k = 1,
..., K ) - различные апертуры. Тогда фильтр,
полученный с помощью линейной комбинации медиан, определяется
следующим образом:
K
y i , j =  a k ⋅ медиана ( xi , j ) ,
Ak
k =1
где ak
- вещественные коэффициенты. Апертуры могут быть,
например, квадратами со стороной 1, 3, ... ,2k − 1 или окружностями
с диаметром 1, 3, ... ,2k − 1 . Можно, разумеется, также выбрать
наборы апертур, которые не включают начала координат.
Если все апертуры Ak симметричны относительно центра
координат и содержат его, тогда форма изображения перепада {x 0 i , j }
сохраняется, а высота перепада изменится в
a
k
раз, т.е.

 K
yi, j =   a k  ⋅ x 0 i, j .
 k =1 
Это следует из того, что каждая медиана в комбинации сохраняет
перепад. Заметим, что если
a
k
= 0 , то y i , j = 0 .
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При построении современных систем цифровой обработки
изображений следует принимать во внимание нелинейных характер
самих процессов передачи, кодирования и восприятия информации,
например, датчиков информации, канала связи, зрительной системы
человека и т.п. Это приводит к идее использования нелинейных
алгоритмов
в
фильтрации,
цифровых
задачах
улучшения
предобработки,
изображений.
качества,
классификации
Рассмотренные
в
восстановления,
и
кластеризации
работе
медианные
фильтры и их модификации являются наиболее известными
представителями
класса
нелинейных
алгоритмов,
широко
используемыми в задачах обработки изображений и распознавания
образов. Метод медианной фильтрации является эвристическим. Он
предполагает
использование
интерактивных
систем
обработки
изображений, когда пользователь осуществляет экспериментальный
подбор типа и размера окна и текущий контроль за результатами
обработки.
Экспериментально
установлена
слабая
эффективность
медианных фильтров при удалении флуктуационного шума. Гораздо
лучший эффект они дают при обработке изображений, искаженных
импульсными помехами, помехами типа «царапин», сбойных строк,
«штрихов» и т.п. При равной среднеквадратичной погрешности
восстановления изображение, обработанное медианным фильтром,
визуально
воспринимается
лучше,
чем
изображение,
отфильтрованное линейными методами, так как в данном случае
сохраняются контуры и границы областей.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Что такое медиана?
2. Что такое медианный фильтр?
3. В чем заключаются основные свойства медианных фильтров?
4. В чем преимущества медианных фильтров перед линейными
фильтрами?
5. Какие недостатки есть у медианных фильтров?
6. Какие
виды
шумов
наиболее
эффективно
обрабатываются
медианным фильтром? Почему?
7. Опишите известные вам математические модели импульсного
шума.
8. Как медианный фильтр действует на границы изображения?
9. Как медианный фильтр действует на контуры изображения?
10. Как влияет на результат обработки увеличение размера маски?
11. Опишите принцип работы основных модификаций медианных
фильтров.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Tukey J. Exploratory data analysis. Reading. / MA: Addison-Wesley,
1977.
2.
Justusson B. Median filtering: statistical properties, in Twodimensional digital signal processing II / Springer Verlag, 1981.
3.
Tyan G. Median filtering deterministic properties, in Two-dimensional
digital signal processing II / Springer Verlag, 1981.
4.
T. Nodes, N. Gallagher. Median filters: some modifications and their
properties // IEEE Trans. acoustics, speech, signal processing. 1982.
V. 30, № 5. P. 739-746.
5.
Brownrigg D. The weighted median filter // Comm. ACM. 1984.
V. 27, P. 807-818.
6.
Arce G., McLoughlin M. Theoretical analysis of max/median filters //
IEEE Trans. acoustics, speech, signal processing. 1987. V. 35, № 1. P.
60-69.
7.
Ko S., Lee Y. Center weighted median filters and their applications to
image enhancement // IEEE Trans. circuits systems. 1991. V. 38, № 9.
P. 984-993.
8.
H. Hwang, R. Haddad. Adaptive median filters: new algorithms and
results // IEEE Trans. on image processing. 1995. V. 4, № 4. P. 499502.
9.
L. Yin, R. Yang, M. Gabbouj, Y. Neuvo. Weighted median filters: a
tutorial // IEEE Trans. circuits systems. 1996. V. 43, № 3. P. 157-192.
10. E. Abreu, M. Lightstone, S. Mitra, K. Arakawa. A new efficient
approach for the removal of impulse noise from highly corrupted
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
images // IEEE Trans. on image processing. 1996. V. 5, №. 6.
P. 1012-1025.
11. Zhang D., Wang Z. Impulse noise detection and removal using fuzzy
techniques // Electron. lett. 1997. V. 33, P. 378-379.
12. Kong H., Guan L. A neural network adaptive filter for the removal of
impulse noise in digital images // Neural networks. 1996. V. 9, №. 3.
P. 373-378.
13. Wang Z., Zhang D. Progressive switching median filter for the
removal of impulse noise from highly corrupted images // IEEE Trans.
circuits systems – II. 1999. V. 46, №. 1. P. 78-80.
14. Apalkov I., Khryashchev V., Priorov A., Zvonarev P. Image denoising
using adaptive swithching median filter // Proc. IEEE int. conf. on
image processing (ICIP’05). Genoa. Italy. 2005. V. I, P. 117-120.
15. Apalkov I., Khryashchev V., Priorov A., Zvonarev P. Adaptive
switching median filter with neural network impulse detection step
// Proc. of the 15th international conference on artificial neural
networks (ICANN-2005). Warsaw. Poland. 2005. LNCS 3696,
Springer-Verlag, P. 537-542.
16. R. Chan, C. Ho, M. Nikolova. Salt-and-pepper noise removal by
median-type noise detectors and detail-preserving regularization
// IEEE Trans. on image processing. 2005. V. 14, № 10. P. 1479-1485.
17. Pitas I., Venetsanopoulos A. Nonlinear Digital Filters: Principles and
Applications. – Boston, MA: Kluwer, 1990.
18. Russ J. The image processing handbook. – CRC, 1995.
19. Mitra S., Sicuranza G. Nonlinear Image Processing. Academic Press,
2000.
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20. Aubert G., Kornprobst P. Mathematical Problems in Image
Processing: Partial Differential Equations and the Calculus of
Variations. – Springer Verlag, 2002.
21. Мушкаев С.В. Реализация ранжирующих и медианных фильтров
на процессоре NM6403 // Цифровая обработка сигналов. 2004.
№ 4. С. 44-46.
22. Хрящев В.В., Соколенко Е.А., Звонарев П.С., Куйкин Д.В.
Усовершенствование алгоритмов восстановления изображений
на основе ранговой статистики // Докл. 7-й Междунар. конф.
«Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA-2005).
Москва, 2005. Т. 2, С. 304-306.
23. Колкер А.Б. Взвешенные и рекурсивные алгоритмы векторной
медианной фильтрации // Сб. науч. тр. НГТУ. - Новосибирск:
Изд-во НГТУ, 2000. Вып. 5(22). С. 8-12.
24. Радченко Ю.С. Эффективность приема сигналов на фоне
комбинированной помехи с дополнительной обработкой в
медианном фильтре // Журнал Радиоэлектроники. 2001. №7. С.
21-24.
25. Радченко Ю.С., Радченко Т.А., Назарьев А.Л. Вероятностные
характеристики случайных процессов на выходе медианного
фильтра // Тез. докл. LI науч. сессии, посвященной Дню радио,
Москва. 1996. Т. 2, С. 169.
26. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений.
- М.: Советское радио, 1979.
27. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. - М.: Мир, 1982.
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений / Под
ред. Т.С. Хуанга. – М.: Радио и связь, 1984.
29. Павлидис Т. Алгоритмы машинной графики и обработки
изображений. Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1986.
30. Цифровая
обработка
телевизионных
и
компьютерных
изображений. Под ред. Ю.Б. Зубарева и В.П. Дворковича – М.:
МЦНТИ, 1997.
31. Шлихт Г.Ю. Цифровая обработка цветных изображений. – М.:
Эком, 1997.
Приоров А.Л., Ганин А.Н., Хрящев В.В. Цифровая обработка изображений:
Учеб. пособие. – Ярославль, 2001.
Красильников Н.Н. Цифровая обработка изображений. – М.: Вузовская
книга, 2001.
Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. – М.: Техносфера,
2005.
Приоров А.Л., Хрящев В.В., Апальков И.В., Бухтояров С.С. Применение
переключающихся медианных фильтров для восстановления зашумленных
изображений // Вопросы радиоэлектроники. Серия общетехническая. 2006.
Вып. 2. С. 137-147.
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕДИАННЫХ ФИЛЬТРОВ
1.1. Одномерный медианный фильтр
1.2. Двумерный медианный фильтр
2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕДИАННОЙ
ФИЛЬТРАЦИИ
2.1. Сохранение перепадов
2.2. Подавление шумов с помощью медианной фильтрации
2.2.1. Белый шум
2.2.2. Небелый шум
2.2.3. Импульсный шум
2.2.4. Перепад плюс шум
3. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ СВОЙСТВА МЕДИАННОЙ
ФИЛЬТРАЦИИ
3.1. Стабильные точки одномерных медианных фильтров
3.2. Обобщенные медианные фильтры
3.3. Стабильные точки двумерных медианных фильтров
4. МОДИФИКАЦИИ МЕДИАННЫХ ФИЛЬТРОВ
4.1. Взвешенный медианный фильтр
4.2. Адаптивный медианный фильтр
4.3. Линейная комбинация медиан
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Приоров Андрей Леонидович,
Хрящев Владимир Вячеславович
МЕДИАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Методические указания
Редактор, корректор Л.Н. Селиванова
Компьютерный набор, верстка Ю.А. Лукашевича
Лицензия ЛР № 020319 от 30.12.96.
Подписано в печать 24.12.01. Формат 60х84/16. Бумага тип.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 12,7. Уч.-изд. л. 10,0.
Тираж 50 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе
ЯрГУ.
Ярославль, ул. Советская, 14.
Отпечатано на ризографе.
ООО “РИО Гранд”.
Ярославль, ул. Свердлова, 18.
Тел. (0852) 30-75-98, 72-95-78.
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
54
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
14
Размер файла
1 381 Кб
Теги
1294, указания, методические, фильтрация, медианная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа