close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1304.Жидко-капельный аэрозоль Теоретические основы получения Ширяева С О

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
С. О. Ширяева, А. И. Григорьев
Жидко-капельный аэрозоль.
Теоретические основы
получения
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по направлению Физика
Ярославль
ЯрГУ
2013
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 538.9-404(075.8)
ББК В253я73
Ш 64
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2013 года
Рецензенты:
Коромыслов В. А., доктор физ.-мат. наук, профессор;
кафедра прикладной математики и вычислительной техники
Ярославского государственного технического университета
Ширяева, С. О. Жидко-капельный аэрозоль.
Ш 64 Теоретические основы получения : учебное пособие / С. О. Ширяева, А. И. Григорьев; Ярос. гос. ун-т
им. П. Г. Демидова. – Ярославль : ЯрГУ, 2013. – 100 с.
ISBN 978-5-8397-0925-6
Рассматриваются методы получения заряженного
жидко-капельного аэрозоля путём электродиспергиро­
вания заряженных капель и струй заряженной свободной поверхностью жидкости, ориентированные на
аналити­ческие расчеты осцилляций конечных объемов
жидкости и капиллярного волнового движения на цилиндрической маловязкой жидкости.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлению 011200.62 Физика (дисциплина «Атмосфер­
ное электричество», цикл Б3), очной формы обучения.
УДК 538.9-404(075.8)
ББК В253я73
ISBN 978-5-8397-0925-6
© ЯрГУ, 2013
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Капиллярный распад струй жидкости
1.1. Капиллярный распад
заряженных жидких струй
Проблема корректного теоретического аналитического исследования устойчивости бесконечного цилиндрического столба
жидкости под действием капиллярных сил впервые была сформулирована и решена Рэлеем. В своих работах он опирался на результаты экспериментальных исследований Савара, Магнуса, Плато,
Бидона. В их экспериментах была детально изучена феноменология распада струи. В частности, было показано, что длина не распадающейся ее части зависит от вида начального возмущения. Было
установлено, что струя жидкости, подверженная синусоидальному
осесимметричному возмущению с длиной волны, превышающей
длину окружности, ограничивающей сечение струи, неустойчива
по отношению к этому возмущению, сама же неустойчивость возникает в результате действия капиллярных сил, а виртуально возникшее возмущение нарастает с течением времени.
В самом деле, из общефизических соображений следует, что
любая замкнутая механическая система стремится занять положение с минимальной потенциальной энергией. Если рассмотреть виртуально созданный жидкий цилиндр радиуса R и длины L, то его
потенциальная энергия в отсутствие внешних силовых полей будет равна его площади: 2πR2 + 2πRL, умноженной на коэффициент
поверхностного натяжения γ. Объем этого цилиндра будет равен
π R 2 L , радиус же r равновеликой сферы r = 3 3R 2 L 4 , а энергия
23
сил поверхностного натяжения этой сферы – 4πγ 3R 2 L 4 . Беря
отношение энергии сил поверхностного натяжения сферы к энергии
сил поверхностного натяжения исходного цилиндра, несложно убедиться, что во всех возможных диапазонах изменения R и L:
(
(
4πγ R 9 RL2 16
)
13
)
9 RL2 2
< 0.8 < 1.
2πγ R ( R + L )
( R + L)
Сказанное означает, что исходный виртуальный цилиндр,
будучи предоставлен действию сил поверхностного натяжения,
≡
3
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стремясь к положению с минимальной потенциальной энергией,
под их действием свернется в сферическую каплю.
Рассмотрим теперь участок длины L жидкой бесконечной
струи радиуса R и определим, для какого соотношения между
R и L переход под действием сил поверхностного натяжения
от цилиндрической струи к совокупности сферических капель
будет энергетически выгоден. Для этого сравним потенциальную
энергию сил поверхностного натяжения боковой поверхности
цилиндра с длиной L с потенциальной энергией сил поверхностного натяжения поверхности N сферических капель, на которые предположительно может распасться цилиндр. Приравнивая
объем цилиндра объему N сферических капель, найдем радиус
одной капли:
2
r = 3 3R L 4 N .
Найдем теперь отношение потенциальной энергии сил поверхностного натяжения поверхности N сферических капель
к потенциальной энергии сил поверхностного натяжения боковой поверхности участка струи длиной L :
(
N 4πγ R 9 RL2 16 N 2
2πγ RL
)
13
≡
3
9 RN
.
2L
Потребуем теперь, чтобы это отношение было меньше единицы, и получим условие самопроизвольного разбиения струи на
N отдельных капель в виде:
9 RN
< 1.
2L
(1)
Очевидно, что это условие тем лучше будет выполняться,
чем меньше N . Полагая N = 1 , найдем, что при L ≥ 4.5 ⋅ R цилиндрической струе энергетически выгодно разбиваться на отдельные капли с радиусами r ≥ 3R 2. Сказанное означает, что
цилиндрическая струя неустойчива по отношению к волнам
с длиной λ ≥ 4.5 ⋅ R . По отношению же к синусоидальным возмущениям поверхности с длинами волн λ , меньшими чем 4.5 ⋅ R ,
струя оказывается устойчивой. Следует отметить, что спектр
волн с длинами, удовлетворяющими условию λ ≥ 4.5 ⋅ R , бесконечен, но инкременты нарастания неустойчивости волн с раз4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
личными длинами будут различны, и реальный распад струи
на капли определится волной с максимальной величиной инкремента неустойчивости. Но в рамках проведенного качественного
рассмотрения найти длину волны с максимальным инкрементом
не представляется возможным.
Если струя диэлектрической жидкости с объёмным зарядом
μ, то капля приобретёт заряд q = 4πr3μ / 3, и если этот заряд удовлетворит условию неустойчивости q2 > 16πr3γ, то капля распадется на множество более мелких по закону, описанному ниже.
Для этого объёмный заряд μ должен быть достаточно большим
и удовлетворять неравенству: μ > √8γ / 3πR3.
Еще в конце позапрошлого века в корректных аналитических
расчетах (см. нижеследующие разделы настоящей главы) Рэлей
получил соотношение, связывающее скорость роста амплитуды
волнового возмущения и его длину волны. Время от момента возникновения синусоидального возмущения до момента распада
струи на капли, вычисленное при помощи теории Рэлея, хорошо согласовывалось с результатами опытов. В рамках линейного
по амплитуде возмущения теоретического анализа удалось выяснить, что коротковолновые возмущения (kR>>1) на струе жидкости устойчивы и могут распространяться вдоль струи в виде
капиллярных волн. Однако они быстро затухают под действием
имеющейся в реальных условиях вязкости жидкости. Длинноволновые же возмущения (kR<1) неустойчивы, и при всех длинах
волн, удовлетворяющих условию kR<1, реализуется капиллярная неустойчивость струи, сопровождающаяся разбиением последней на капли. Максимальным инкрементом обладают волны
с длиной λ*≈ 9R. Выяснилось, что вязкость оказывает стабилизирующее действие на распад струи, а вязкая диссипация внутри
струи и вязкое трение на ее поверхности приводят к изменению
профиля скорости и возрастанию времени релаксации.
Тем не менее сложившиеся на основе линейной теории
представления об осцилляциях, развитии капиллярной неустойчивости и распаде струи, несмотря на успешное объяснение
многих экспериментальных фактов, не являются исчерпывающими и должны быть обобщены с учетом внутренних течений
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в струе, эффектов релаксации вязкости, заряда и коэффициента
поверхностного натяжения, а также с учетом реальной нелинейности феномена (см. следующую главу). Кроме того, среди необходимых обобщений следует указать и на полуограниченность
реальных струй. Для истолкования расхождений теории и экспериментальных данных было предложено несколько гипотез:
динамическое воздействие окружающего воздуха на осесимметричные возмущения струи, увеличивающие давление в сужениях и уменьшение – на выпуклостях струи, что приводит к более
быстрому росту возмущений; влияние вязкости окружающего
воздуха; изменение механизма распада струи – переход от осесимметричных возмущений к изгибным (изгибается ось струи);
переход к турбулентному режиму течения в струе; влияние релаксации начального профиля скорости в струе.
Еще на заре исследования электрических явлений Вильям
Гилберт заметил, что капля воды на сухой подложке приобретает коническую (вершиной вверх) форму, если над ней на небольшом расстоянии поместить наэлектризованный кусок янтаря. Как
было показано уже в наше время, при этом на свободной поверхности капельки появляется индуцированный электрический заряд
и капля претерпевает неустойчивость: она деформируется к вытянутому сфероиду, на ее вершине формируется эмитирующий
выступ, названный «конусом Тейлора», с вершины которого выбрасывается тоненькая струйка воды, распадающаяся на отдельные капельки. По-видимому, первые наблюдения эмиссии струек
жидкости, распадающихся на отдельные капельки, при электризации свободной поверхности жидкости связаны с работами одного
из первых исследователей электрических явлений аббата Ж. Нолле в середине восемнадцатого века: он заметил, что если человека
поместить на изолирующую подставку и подвергнуть электризации (с помощью созданного О. Герике прообраза электрофорной
машины), то из ранок и порезов на коже человека начинают бить
очень тонкие струйки крови, распадающиеся на отдельные капли.
Систематические исследования феномена электризации
менисков жидкости на торце капилляра (по нему жидкость подается в разрядную систему), сопровождающейся выбросом за6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ряженных струй, распадающихся на отдельные капли, начались
лишь в начале двадцатого века и связаны с именем Дж. Зелени,
который детально исследовал закономерности эмиссии капель
и струй жидкости при электризации ее свободной поверхности.
В связи с многообразием академических, технических и технологических приложений феномена электродиспергирования жидкости эксперименты с ним были продолжены. При этом было обнаружено около десятка различных режимов электродиспергирования жидкости, приведенных в систему в работах [3, 4]. Но для
проводимого рассмотрения важно, что во всех этих работах имел
место выброс с заряженной поверхности жидкости заряженных
же струй последней, распадающихся на отдельные капли. Следует отметить, что в последние двадцать лет регулярно проводятся международные симпозиумы по электродиспергированию
жидкости, собирающие сотни докладов, посвященных этому феномену. И хотя подавляющее большинство докладываемых работ носят экспериментальный характер и посвящены в основном
особенностям электродиспергирования конкретных жидкостей
в конкретных установках и устройствах, тем не менее общее количество публикаций по обсуждаемой теме исчисляется тысячами и насущной проблемой является построение общей теории
электродиспергирования (дробления заряженной струи на капли)
с учетом реальных физико-химических характеристик жидкостей
и многообразия релаксационных эффектов.
В настоящей главе, в нижеследующем изложении, будут рассмотрены основные идеи и методы расчета осцилляций и устойчивости струй жидкости в линейном приближении: от использования Лангражева подхода для расчета линейных осцилляций цилиндрических незаряженных струй идеальной электропроводной
жидкости до расчета в рамках метода операторной скаляризации
осцилляций и устойчивости заряженных струй вязкой жидкости
с конечной проводимостью, виртуальная форма которых отлична
от цилиндрической.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.2. Распад незаряженной цилиндрической
струи идеальной жидкости
Начнем наше рассмотрение с первой работы Рэлея, посвященной исследованию устойчивости незаряженной струи идеальной жидкости. Изложение проведем, придерживаясь варианта
расчета, приведенного в [1].
Широкий класс явлений, не только интересных самих по себе,
но и проливающих свет на другие, еще более темные явления, получает объяснение в связи с изменениями, которые претерпевает
цилиндрическое жидкое тело, равновесная цилиндрическая форма которого медленно деформирована и затем предоставлена восстанавливающему действию сил поверхностного натяжения. Такой цилиндр образуется при истечении жидкости под давлением
сквозь круглое отверстие по крайней мере в случае, когда можно
пренебречь силой тяжести; при этом поведение струи, изученное
экспериментально Саваром, Магнусом, Плато и другими, практически независимо от общего движения вперед всех частей ее.
Начнем исследование с теории бесконечного жидкого цилиндра,
рассматриваемого как система, находящаяся в равновесии под действием силы капиллярности. Большинство экспериментальных результатов легко будет связать с решением этой механической задачи.
В цилиндрических координатах r, φ, z уравнение слегка возмущенной поверхности можно написать в виде
(1)
=
r a0 + h(ϕ , z ),
где h (φ, z) – величина малая по сравнению с радиусом α0.
По теореме Фурье произвольная функция может быть разложена
в ряд, состоящий из членов вида αm·cos mφ·cos kz; и каждый из этих
членов можно рассматривать независимо от других. Каждый косинус можно заменить синусом; суммирование распространяется
на все положительные значения k и на все целые положительные
значения m, включая нуль.
Величина α0 не остается абсолютно постоянной во время
движения; ее значение должно определяться условием неизменности заключенного в цилиндре объема V. Для поверхности
r=
a0 + am (t ) ⋅ cos mϕ ⋅ cos kz,
8
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
находим
V
=
1
1


r 2 dϕ ⋅ =
dz z  π a02 + π am2  ;
2 ∫∫
4


таким образом, если обозначить через а радиус сечения невозмущенного цилиндра, то
1
2
a=
a02 + am2 ,
4
откуда приближенно
 1 a2 
a0 ≈ a  1 − m2  .
(3)
 8a 
Это соотношение хорошо удовлетворяется при m = 1,2,3, ...
При m = 0 формула (2) дает вместо (3)
 1 a02 
a0 ≈ a  1 −
.
(4)
2 
 4a 
Потенциальная энергия системы в любой конфигурации, создаваемая силой капиллярности, просто пропорциональна площади поверхности. В выражении (2) площадь поверхность S струи
=
S
∫∫
2
2

1
1
a2 
 ∂r   1 ∂r 
= z  2π a0 + π k 2 am2 a + π m2 k 2 m  ,
1+   + 
 ⋅ r ⋅ dϕ ⋅ dz
4
4
a 
 ∂z   r ∂ϕ 

так что в силу (3), обозначая через s поверхность, соответствующую в среднем единице длины, найдем:
1
a2
(5)
s = 2π a + π k 2 a 2 + m2 − 1 m .
4
a
Следовательно, потенциальная энергия Uγ, связанная с силой
капиллярности, определенная на единицу длины из равновесной
конфигурации, есть
(
)
1
a2 
=
U γ  πγ ( k 2 a 2 + m2 − 1) m  .
a 
4
(6)
где γ обозначает коэффициент поверхностного натяжения.
В выражении (6) предполагается, что ни k, ни m не равны
нулю. Если k = 0, то нужно удвоить (6), чтобы получить потенциальную энергию, соответствующую
r = a0 + am ⋅ cos mϕ ,
(7)
а если m = 0, то нужно положить
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
a2 
=
U γ  πγ ( k 2 a 2 − 1) 0  .
a
2
в соответствии с
r = a0 + a0 ⋅ cos kz.
(8)
(9)
Из соотношения (6) следует, что когда m = 1 равно единице или какому-нибудь большему целому числу, то Uγ имеет положительное значение, что показывает, что при всех смещениях
такого рода начальное положение равновесия является устойчивым. Для случая смещений, симметричных относительно оси
(m = 0), из (8) мы видим, что равновесие устойчиво или неустойчиво в зависимости от того, будет ли kα больше или меньше единицы, т. е. в зависимости от того, будет ли длина волны (λ ≡ 2πα)
симметричной деформации меньше или больше окружности цилиндра, – положение, впервые установленное Плато. Иными словами, струя устойчива по отношению к коротковолновым деформациям с длинами волн, удовлетворяющими условию λ < 2πα.
По отношению к длинноволновым деформациям (λ ≥ 2πα) струя
неустойчива.
Если выражение (2) для r содержит несколько членов с различными значениями m и k и с произвольной заменой косинусов на синусы, то соответствующее выражение для Uγ находится путем простого сложения выражений, соответствующих отдельным компонентам, и содержит только квадраты величин am
(но не произведения их).
Теперь нам нужно получить аналитическое выражение для
кинетической энергии движения жидкости, вызванного колебанием поверхности струи. Поскольку жидкость предполагается
невязкой, существует потенциал скоростей φ , который удовлетворяет уравнению Лапласа в силу несжимаемости жидкости:
1 ∂  ∂φ  1 ∂ 2φ ∂ 2φ
∆φ ≡
+
=
0,
r
+
r ∂r  ∂r  r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2
или если для получения соответствия с (2) мы предположим, что переменная часть пропорциональна cos mϕ ⋅ cos kz , то
1 ∂  ∂φ   m2
2
0.
(10)
r
 −  2 + k φ =
r ∂r  ∂r   r

10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение уравнения (10) при условии, что нет притока и оттока жидкости вдоль оси симметрии, имеет вид:
φ =⋅
β m J m (ikr ) ⋅ cos mϕ ⋅ cos kz.,
(11)
β
где J m (ikr ) – функция Бесселя [25]. Постоянную m следует определить из условия, что радиальная скорость ∂φ ∂r при
r = a совпадает со скоростью, предполагаемой в выражении (2)
dr dt (кинематическое граничное условие). В итоге получим:
∂a
ik ⋅ β m ⋅ J m′ (ika ) =m .
∂t
(12)
Если массовую плотность жидкости обозначить ρ , то кинетическая энергия движения, в силу теоремы Грина
 ∂φ  2  ∂φ  2  ∂φ  2 
∂φ

∫∫∫  ∂x  +  ∂y  +  ∂x  dV =
�∫∫ φ ∂n dS ,


равна
∫∫
1
∂φ
1
ρ�
φ a ⋅ dϕ ⋅ dz = πρ z ⋅ ika ⋅ J m (ika) ⋅ J m′ (ika) ⋅ β m2 ;
∫∫
2
∂n
4
так что если обозначить через T кинетическую энергию движе-
∫∫
ния жидкости, приходящуюся на единицу длины, то, в силу (12),
2
1
J m (ika )  ∂am 
=
T
πρ a 2
⋅
 .
4
ika ⋅ J m′ (ika )  ∂t 
При m = 0 вместо (13) следует принять
2
1
J 0 (ika )  ∂a0 
2
=
T
πρ a
⋅
 .
2
ika ⋅ J 0′ (ika )  ∂t 
(13)
(14)
Наиболее общее значение T получается из частных значений,
определяемых выражениями (13) и (14), простым сложением. Поскольку выражения для Uγ и T содержат только квадраты, а не
произведения величин am , ∂am ∂t и соответствующие величины, в которых косинусы заменены синусами, то отсюда следует, что движения, выражаемые соотношением (2), происходят
совершенно независимо друг от друга, пока величина начальной
деформации цилиндрической струи в целом мала.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Имея аналитическое выражение для кинетической энергии
T  (13) и потенциальной энергии U γ системы (6), можно выписать
функцию Лагранжа L ≡ T − U γ и уравнение Лагранжа для отдельных волн, которые, согласно сказанному выше, независимы:
γ ika ⋅ J m′ (ika )
∂ 2 am
0,
+ 3
⋅ ( m2 + k 2 a 2 − 1) am =
(15)
2
ρ a J m (ika )
∂t
что без всяких изменений применимо и к случаю m = 0 . Таким
образом, если am изменяется пропорционально cos(ωt − α ) , то
γ ika ⋅ J m′ (ika )
=
ω2
⋅ ( m2 + k 2 a 2 − 1) ,
(16)
ρ a 3 J m (ika )
определяет частоту колебаний в случаях устойчивости.
Если m = 0 , а ka < 1 , то решение меняет свой вид. Если
предположить, что a0 изменяется со временем пропорционально
exp( ±η t ) , то
η2
=
γ ika ⋅ J 0′ (ika )
⋅ (1 − k 2 a 2 ) .
ρ a 3 J 0 (ika )
(17)
Когда m больше единицы, то условия обычно таковы, что
движение приближенно происходит только в двух измерениях.
Тогда мы можем с успехом предположить в (16), что ka мало по
сравнению с единицей. Таким путем получим:
=
ω 2 m( m2 − 1 + k 2 a 2 )
k 2a 2 
γ 
+
1
,
ρ a 3  2m( m + 1) 
(18)
или если совершенно пренебречь ka , то получим двумерную формулу
=
ω 2 m( m2 − 1)
γ
.
ρ a3
(19)
При m = 1 нет восстанавливающей силы при чисто двумерном смещении. При m >> 1 (надо m больше 1), выражая длину
волны в длинах окружности цилиндра, получим λ = 2π a m ,
из (19) при бесконечно больших m и a найдем
ω2 =
γ  2π 
 
ρ λ 
3
(20)
в согласии с теорией капиллярных волн на плоской поверхности.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аналогичное заключение можно вывести, рассматривая
волны, длина которых измеряется по оси. Так, если λ = 2π k
и α→∞, то (16) приводится к (20) в силу соотношения
i ⋅ J m′ (ika )
= 1.
z →∞ J (ika )
m
lim
Рассматривая выражение (17) как уравнение относительно
η, получим, что оно при положительной правой части имеет два
решения разных знаков, одно из них со знаком минус определяет декремент затухания волнового движения в струе, а второе –
положительное – инкремент нарастания неустойчивости. Рэлей
в приближении k2α2 << 1 разложил правую часть (17) по степеням
k2α2, приравнял нулю производную по аргументу kα от полученного разложения, получил, ограничиваясь первыми тремя слагаемыми разложения, алгебраическое уравнение для отыскания k2α2,
соответствующего максимальному инкременту:
0.98928 − 2.25 ⋅ k 2 a 2 + (7 16)k 4 a 4 =
0.
Найдя положительный корень этого уравнения, Рэлей получил, что максимальное значение инкремент неустойчивости
достигает при k 2 a 2 ≈ 0.4858 . Это условие соответствует длине
волны λ ≈ 9.016 ⋅ a . Волны с указанной длиной волны имеют максимальный инкремент неустойчивости и определяют закономерности дробления струи на отдельные капли. Плато на основе анализа экспериментов Савара получил соотношение: λ ≈ 8.76 ⋅ a .
1.3. Распад незаряженной цилиндрической
струи вязкой жидкости
1. Первые теоретические исследования влияния вязкости
жидкости на условия разбиения струи на капли выполнены Рэлеем [1]. Более детально этот вопрос был исследован Бассетом
и Вебером. В нижеследующем изложении мы воспроизведем решение задачи об осцилляциях и устойчивости струи вязкой жидкости, приведенное в [2].
2. Пусть в вакууме цилиндрическая струя радиуса R жидкости с массовой плотностью ρ, кинематической вязкостью v и коэффициентом поверхностного натяжения γ движется вдоль оси
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

симметрии со скоростью U 0 , выходя из цилиндрического сопла. Будем исследовать цилиндрические волны, бегущие по такой
струе, и закономерности распада ее на капли, имея в виду, что
основными характеристиками процесса распада струи является
длина ее сплошной части и размер образующихся капель. Длина
сплошной части определяет дальность полета струи и характер
ее разбиения. Все рассмотрение проведем в цилиндрической си
n
стеме координат,
орт
z которой совпадает с осью симметрии

цилиндра и U 0 .
Ограничимся рассмотрением осесимметричных возмущений, при которых движение жидкости вокруг оси симметрии отсутствует, т. е. при которых проекция поля скоростей течения

жидкости на орт nϕ цилиндрической системы координат равна
нулю: U ϕ = 0 . При симметричных волнах сечение струи остается
круговым, претерпевая лишь сжатия и расширения.
Уравнение поверхности струи запишем в виде:
F (ϕ ,=
z , t ) r (ϕ , z , t ) − R0 − ξ (ϕ ,=
z , t ) 0;
где R0 – радиус цилиндрической поверхности струи,
ξ (ϕ , z, t ) – возмущение поверхности струи, вызванное капиллярными волнами тепловой природы (всегда существующими
в жидкости) с амплитудой �~ κ T γ ( κ – постоянная Больцмана;
T – абсолютная температура). Для любых жидкостей амплитуда
таких волн, возбуждаемых тепловым движением молекул, есть
величина порядка ангстрема, поэтому для струй любых реальных
радиусов будет выполняться соотношение ( ξ (ϕ , z , t ) R0 ) << 1 .
Математическая формулировка задачи состоит из уравнения
Навье-Стокса и уравнения
неразрывности:





∂U
1
+ U •⋅ ∇ U = − ∇p + ν ⋅ ∆U ; divU = 0;
∂t
(
)
ρ
с граничными условиями на поверхности струи:
кинематическим:
=
r R0 + ξ :
14
dF
= 0;
dt
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и динамическими для нормальной и касательной компонент
тензора напряжений
=
r R0 + ξ :
Ξ rr =− pγ ;
Ξ rz =0;
Ξ rr ≡ − p + 2νρ
∂U r
;
∂r
 ∂U ∂U 
=
Ξ rz νρ  z + r  .
∂z 
 ∂r
Учтем также, что поле скоростей на оси струи должно быть
конечно.
Зададимся целью исследовать устойчивость осесимметричных волн в такой струе в линейном по отношению ( ξ R0 ) приближении, когда в уравнении Навье-Стокса конвективным сла

гаемым (U •⋅∇ ) U можно пренебречь, поскольку поле скоростей,
порождаемое волновым движением теплового происхождения,
имеет тот же порядок малости, что и амплитуды волн. В линейном приближении граничные условия можно отнести к невозмущенной цилиндрической поверхности струи: r = R0 , а давление
капиллярных сил pγ записать в виде:
∂ 2ξ ∂ 2ξ 
γ
γ 
pγ = − 2 ξ + R02 2 +
.
∂z
∂ϕ 2 
R0 R0 
Линеаризованное уравнение Навье-Стокса и уравнение неразрывности в соответствии с симметрией задачи выпишем в цилиндрических координатах
 ∂ 2U

∂U r
1 ∂p
∂ 1 ∂
=
−
+ν  2r + 
( r ⋅ U r )   ,
∂t
ρ ∂r
∂r  r ∂r

 ∂z
(1)
 ∂ 2U
∂U z
1 ∂p
1 ∂  ∂U z  
=
−
+ν  2z +
r⋅
 ,
∂t
∂r  
ρ ∂z
r ∂r 
 ∂z
(2)
∂U z 1 ∂
(3)
+
0.
( r ⋅U r ) =
∂z r ∂r
Система граничных условий, отнесенная к поверхности
r = R0 , примет вид:
∂U r γ 
∂ 2ξ ∂ 2ξ 
∂
∂U z ∂U r
− p + 2νρ
+ 2 ξ + R02 2 + 2  =
0,
+
=
0. (4)
∂
∂
∂
r
R
z
ϕ
∂
∂r
∂z

0 
Проекции поля скоростей движения жидкости внутри струи
на орты цилиндрических координат представим в виде:
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
U r = U r0 + u1 ,
0
z
U z = U + u 2 ,
(5)
(6)
где величины, отмеченные индексом нуль, идентичны с соответствующими величинами в идеальной жидкости.
Гидродинамическое давление p , связанное с движением
жидкости, должно быть таким же, как и в идеальной жидкости,
т. к. наличие вязкости влияет на частоту волн, а не на давление в
жидкости.
Скорость в идеальной жидкости связана с потенциалом скорости ϕ соотношениями, которые в цилиндрических координатах имеют вид:
∂ϕ
∂ϕ
0
U r0 =
,
, Uz =
(7)
∂z
∂r
1 ∂  ∂ϕ  ∂ 2ϕ
∆ϕ ≡
=
0.
(8)
r⋅ +
r ∂r  ∂r  ∂z 2
Гидродинамическое давление p определится согласно представлениям о волновом движении в идеальной жидкости соотношением:
∂ϕ
p = −ρ
.
(9)
∂t
Из уравнения непрерывности следует, что u1 и u 2 связаны
между собой соотношением
∂u2 1 ∂
+
0.
( r ⋅ u1 ) =
∂z r ∂r
Из этого уравнения вытекает,
 что u1 и u 2 можно выразить
через скалярную функцию ψ ( r , t ) , называемую функцией тока,
в виде
1 ∂ψ
1 ∂ψ
.
u1 = −
, u2 =
(10)
r ∂r
r ∂z
Подставляя выражения для компонент скорости в (1) и (2) и
учитывая выражения для u1 и u 2 , получаем:
∂U r0 1 ∂ ∂ψ
∂  1 ∂ψ  
1 ∂p 0
U0
1 ∂  ∂ 2ψ
−
=−
+ ν∆U r0 − ν 2r + ν
+r 
 ,

2
∂t
∂r  r ∂r  
r ∂z ∂t
ρ ∂r
r
r ∂z  ∂z
∂  1 ∂ψ
1 ∂p 0
1 ∂  ∂ 2ψ
∂U z0 1 ∂ ∂ψ
+ ν∆U z0 + ν
+r 
−
=−
∂r  r ∂r
ρ ∂z
r ∂r  ∂z 2
∂t
r ∂z ∂t
16

 .

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поскольку
∆U r0 −
∂
∂U z ∂ ϕ
1 ∂p
U r0 ∂
0
∆ϕ = 0,
=
∆ϕ = 0, ∆U z =
=
= −
,
2
r
∂r
∂z
∂t ∂z∂t
ρ ∂z
0
2
0
находим, чтофункция ψ должна удовлетворять уравнению
∂ 2ψ 1 ∂ψ ∂ 2ψ 1 ∂ψ
−
+
= .
∂r 2 r ∂r ∂z 2 ν ∂t
(11)
Поскольку нас интересуют волновые движения жидкости,
будем искать решение уравнений для ϕ и ψ в виде периодических функций по z и экспоненциальных по t :
ϕ=
Φ ( r ) ⋅ exp(ikz + α t ),
(12)
ψ=
Ψ ( r ) ⋅ exp(ikz + α t ).
(13)
Подставляя (12)–(13) в (8) и (11), находим:
∂ 2Φ 1 ∂Φ 2
+
− k Φ =0,
(14)
∂r 2 r ∂r
∂ 2 Ψ 1 ∂Ψ  2 α 
−
−  k +  Ψ =0.
(15)
∂r 2 r ∂r 
ν
Решением уравнения (14) является функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента J 0 ( ikr ) (модифицированная
функция Бесселя нулевого порядка I 0 ( kr ) ):
Φ= C1 ⋅ I 0 ( kr ) .
(16)
Решение уравнения (15) будем искать в виде
Ψ ( r ) =⋅
r y ( r ).
Тогда для y ( r ) получим уравнение:
y′ 
1
y′′ + −  l 2 + 2  y =
0,
(17)
r 
r 
α
l ≡ k2 + .
(18)
ν
Решением уравнения (17), остающимся конечным на оси струи,
является модифицированная функция Бесселя первого порядка:
=
y C2 ⋅ I1 ( lr ) ,
1
i
где I1 ( lr ) = J1 ( ilr ) .
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Окончательно получим:
ϕ=
C1 ⋅ I 0 ( kr ) ⋅ exp(ikz + α t ),
(19)
ψ = C2 ⋅ r ⋅ I1 ( lr ) ⋅ exp(ikz + α t ).
(20)
Распределение скоростей и давления находим из ϕ и ψ
по формулам:
Ur =
−ik iC1 I 0′ ( kr ) + C2 I1 ( lr )  ⋅ exp(ikz + α t ),
(21)


 I ( lr ) l
U z k iC1 I 0 ( kr ) + C2  1
=
+ I1′ ( lr )   ⋅ exp(ikz + α t ), (22)
k
 kr


p=
− ρα C1 ⋅ I 0 ( kr ) ⋅ exp(ikz + α t ).
(23)
В выражения (21)–(23) входят три неизвестные величины:
амплитудные коэффициенты C1 и C2 и комплексная частота α .
Из динамического граничного условия для касательных компонент тензора напряжений находим связь между C1 и C2:
I1 ( lR0 ) ( l 2 + k 2 )
C1 = −C2
.
(24)
2ik 2 I1 ( kR0 )
Из кинематического граничного условия найдем:
ik
ξ ( z, t ) =
− iC1 ⋅ I1 ( kR0 ) + C2 ⋅ I1 ( lR0 )  ⋅ exp(ikz + α t ).
∫ (U r )r= R dt =
α
Подставляя это значение ξ ( z, t ) в динамическое граничное
условие для нормальных компонент тензора напряжений с учетом (24), получаем дисперсионное уравнение, связывающее частоту α с волновым числом k :
0
α2 +
 γ k2
I ( kR0 ) l 2 − k 2
2ν k 2α 
2kl I1 ( kR0 )
1 − k 2 R02 ) 1
I1′ ( lR0 )  =
(
 I1′ ( kR0 ) − 2 2
I 0 ( kR0 ) 
k + l I1 ( lR0 )
I 0 ( kR0 ) l 2 + k 2
 ρ R0
(25)
Это дисперсионное уравнение в общем случае весьма сложно, так как l зависит от α и не может быть решено аналитически. Ограничимся рассмотрением предельных случаев маловязкой и очень вязкой жидкости. Если вязкость достаточно мала, так
что в интересующей области длин волн имеет место неравенство
α
> k 2 или l >> k .
(26)
ν
При l >> k линейный член в дисперсионном уравнении (25)
мал и может быть опущен, тогда (25) приобретает простой вид
I ( kR0 )
γk
=
α2
1 − k 2 R02 ) 1
.
(27)
2 (
ρ R0
I 0 ( kR02 )
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Частота α имеет мнимое значение для волн, длина которых
мала по сравнению с радиусом струи R0, когда kR0 > 1.
В пределе, при kR0 > 1, имеем по известной формуле теории
функции Бесселя
ex
,
In ( x ) ~
2π x
exp( kR0 )
I1 ( kR0 ) ≈ I 0 ( kR0 ) ≈
.
2π kR0
Вводя частоту
ω , равную ω ≡ −iα , находим:
ω = γ k3 ρ ;
это совпадает с частотой капиллярных волн на плоской поверхности маловязкой жидкости. Коротковолновые возмущения kR0 > 1
на струе жидкости устойчивы и могут распространяться вдоль
струи в виде капиллярных волн. Однако следует учесть, что коротковолновые возмущения быстро затухают под действием имеющейся в реальных условиях вязкости. Более интересным является
случай длинных волн, для которых выполнено неравенство
2π R0
=
kR0
< 1.
(28)
λ
Для таких волн величина α имеет вещественное положительное значение. Положительным значениям α отвечает неограниченное возрастание во времени амплитуды волн. В теории
турбулентности показано, что экспоненциальное возрастание амплитуды волновых движений означает появление в жидкости незатухающих пульсаций. Масштаб этих пульсаций порядка длины
волны незатухающих волновых движений. Наличие турбулентных пульсаций в жидкости со свободной поверхностью приводит
к разрыву поверхности и выбросу жидкости. В случае жидкой
цилиндрической струи экспоненциальное возрастание во времени амплитуды волны приводит к неустойчивости ее поверхности
и распаду струи на капли. Поверхность струи неустойчива по отношению ко всем волнам, длина которых удовлетворяет неравенству (28). Однако выражение (27) при kR0 < 1 имеет максимум
при определенной длине волны. Положение этого максимума
определяется условием
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
I1′ ( kR0 ) ⋅ I 0 ( kR0 ) − I 0′ ( kR0 ) ⋅ I1 ( kR0 )
I ( kR )
∂α 2
=
0=
1 − k 2 R02 ) − 1 0 2kR0 .
(
2
∂k
I 0 ( kR0 )
I 0 ( kR0 )
Численное решение последнего уравнения показывает, что
точка максимума отвечает значению волнового числа k, равному
2π
1
k=
= 0.70 ⋅ ,
max
9.02 ⋅ R0
R0
или длине волны λ=
9.02 ⋅ R0 . Эта формула была впервые поmax
лучена Рэлеем. Значение α в максимуме может быть найдено без
труда путем подстановки числовых значений функций Бесселя:
α max = 0,12 γ ρ R03 .
Волны с k = k max обладают наибольшей неустойчивостью
по сравнению со всеми другими волнами, волновое число которых
удовлетворяет неравенству (28). Максимум функции α 2 (k ) имеет
достаточно резко выраженный характер. Поскольку рост амплитуды во времени происходит по экспоненциальному закону exp(α t ) ,
решающее значение для распада струи имеет рост амплитуды волны, длина которой λ имеет значение, отвечающее максимуму α .
За время
1
=
τ = 8.46 ρ R03 γ
α max
амплитуда возрастает в e раз. Распад струи происходит на капли, размер которых связан с длиной волны, обладающей максимальным инкрементом λmax , соотношением: r ≈ 3R0 3 4 ,
т. е. примерно в два раза превышает радиус струи. Основной
интерес представляет длина неразбившейся части струи. Если
пренебречь изменением скорости U 0 струи в процессе ее полета, что можно сделать при небольших значениях длины неразбившейся части струи, то эту длину можно найти по формуле
L ≈ U 0 ⋅τ =
8,46U 0 ρ R03 γ .
Влияние вязкости на закономерности распада струи рассмотрим в пределе длинных волн, когда длина волны много больше радиуса струи, т. е. когда выполняются условия: kR0 << 1,
lR0 << 1. В этом случае дисперсионное уравнение (25) с учетом
того, что
I 0 (kR0 ) ≈ 1, I1 (kR0 ) ≈ 0.5 ⋅ kR0 , I1 (lR0 ) ≈ 0.5 ⋅ lR0 , I1′(kR=
I1′(lR0 ) ≈ 0.5,
0)
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
принимает вид:
α 2 + 2ν k 2α =
γ k2
(1 − k 2 R02 ) ,
ρ R0
а его решения легко выписываются:
−ν k 2 ±
α=
(ν k )
2 2
+
γ k2
(1 − k 2 R02 ) .
ρ R0
Отсюда легко найти, что величина инкремента неустойчивости достигает своего максимального значения при


ρ R0
kmax ν R0
=
+ 2 R02 
2γ


−1 2
.
При этом величина инкремента неустойчивости определится
выражением:
γ 8 ρ R3
α max =
0
1 + ν 2 ρ γ R0
.
Если вязкость жидкости велика, так что выполняется условие:
γ R0 ρν 2 >>
� 1,
то для kmax и α max получим соответственно:
−1 2

ρ R0 
γ
γ
kmax ≈ 6ν R0
0.5 4 2 3 , α max ≈
.
 =
2γ 
ν ρ R0
6νρ R0

Характерное время распада струи определится соотношением:
1
6νρ R0
=
≈
τ
.
α max
γ
Длина волны с максимальным инкрементом и длина сплошной части струи определятся простыми соотношениями:
−1
λmax = 2π kmax , =
L U 0 ⋅ α max
.
1.4. Распад струи,
движущейся относительно среды
1. Математическая формулировка задачи. В связи со сказанным выше, рассмотрим задачу об исследовании устойчивости
капиллярных волн на однородно заряженной с поверхностной
плотностью заряда χ цилиндрической поверхности идеально
проводящей несжимаемой струи идеальной жидкости радиуса R,
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
с коэффициентом межфазного натяжения σ и плотностью ρ 2 ,
движущейся со скоростью U0 e z , где e z – орт продольной координаты, в идеальной несжимаемой диэлектрической среде, имеющей плотность ρ1 и диэлектрическую проницаемость равную
единице. Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета,
связанной с осью симметрии струи и движущейся со струёй со
скоростью U0 , в цилиндрических координатах, орт e z которой
совпадает по направлению с U0 и с осью симметрии невозмущенной капиллярным волновым движением цилиндрической поверхности струи. Все рассмотрение проведем в безразмерных переменных, в которых R= ρ 2= σ= 1, а поверхность раздела сред,
возмущенная капиллярным волновым движением, описывается
соотношением:
� 1,
F (r , z ,ϕ , t ) ≡ r − 1 − ξ ( z ,ϕ , t ) =0, ξ <<
где ξ ( z ,ϕ , t ) – малое возмущение цилиндрической поверхности
струи, ϕ – азимутальный угол.
Полная математическая формулировка задачи имеет вид:
=
div u1 0;=
div u2 0; ∆Φ = 0;
∂ t u1 + ( u1∇ ) u1 = −
1
∇p1;
∂ t u2 + ( u2∇ ) u2 = −∇p2 ;
ρ
r → 0 : u2 → 0;
r → ∞ : u1 → −U0 ; ∇Φ → 0;
r =ξ :
dF
0;
= 0 , n •⋅ u1 =n •⋅ u 2 ; p2 − p1 + pE − pσ =
dt
Φ ( r,, t ) =
Φ s (t );
где u j ≡ u j (r, t ) – поля скоростей течения жидкости в среде
(j = 1) и в струе (j = 2), генерируемые волнами на поверхности
раздела сред; p j ≡ p j (r, t ) – гидродинамические давления в среде (j = 1) и струе (j = 2); pE и pσ – давление электрических сил и
давление сил поверхностного натяжения на границе раздела сред
соответственно; Φ ≡ Φ(r, t ) – потенциал электростатического
поля; Φ s (t ) – потенциал поверхности струи; n – орт нормали к
поверхности струи; ρ – безразмерная плотность среды.
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В качестве дополнительных условий примем: условие постоянства объёма струи, приходящегося на одну длину волны λ
(при одноволновой деформации границы раздела сред):
∫ dV = πλ; V = {0 ≤ r ≤ 1 + ξ ( z,ϕ , t ); 0 ≤ ϕ ≤ 2π ; z0 ≤ z ≤ z0 + λ};
V
и условие сохранения заряда на отрезке струи, длиной λ :
1
• ∇ΦdS = 2πχλ ;
− ∫ n�
S = {r = 1 + ξ ( z ,ϕ , t ); 0 ≤ ϕ ≤ 2π ; z0 ≤ z ≤ z0 + λ}.
π
4
S
2. Скаляризация задачи. В силу идеальности и несжимаемости жидкостей, которыми моделируются капля и среда, воспользуемся моделью потенциального волнового движения жидкостей, в рамках которой можно ввести потенциалы полей скоростей ψ 1 (r, t ) и ψ 2 (r, t ) :
u1 ≡ − U 0 + ∇ψ 1;
u2 ≡ ∇ψ 2 .
( , ) так же как и Φ(r, t ) , при этом будут
Потенциалы,
гармоническими функциями:
=
∆ψ 1 0;
=
∆ψ 2 0;
удовлетворяющими условиям ограниченности:
r → 0 : ψ 2 → 0; r → ∞ : ψ 1 → 0 /
Введение потенциалов скоростей позволяет проинтегрировать
уравнения Эйлера и получить выражения для давлений в обеих
средах:
ρ
2
p1 = − ρ∂ tψ 1 − ( − U 0 + ∇ψ 1 ) + ρ C1;
2
p2 = −∂ tψ 2 −
Cj
1
( ∇ψ 2 )2 + C2 ;
2
– константы интегрирования.
3. Линеаризация задачи. Поскольку потенциалы ψ j (r, t )
описывают ту часть поля скоростей, которая порождается волновыми движениями поверхности раздела сред, примем, что в безразмерном виде являются величинами того же порядка малости,
что и возмущение границы раздела сред:
ψ 1 ~� ψ 2 ~� ξ .
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Потенциал электростатического поля в окрестности струи
представим в виде суперпозиции Φ0 – потенциала в окрестности цилиндрической струи, являющегося величиной нулевого
порядка малости по ξ ., и поправки Φ1 , порождаемой волновой
деформацией цилиндрической поверхности струи, которая будет
величиной того же порядка малости, что и возмущение границы
раздела сред и гидродинамические потенциалы:
Φ1 ~� ξ .
Указанные обстоятельства позволяют линеаризовать систему
уравнений и граничных условий, разложив исходную векторную
задачу на две скалярные задачи для величин нулевого и первого
порядков малости.
Задача нулевого порядка малости описывает стационарное
состояние системы:
ρ
(0)
u1 = − U 0 ; p1( 0 ) =
− U 02 + C1; p2 = C2 ; ∆Φ0 = 0;
2
0
r → ∞:
Φ =Φ( ) ;
Φ0 → 0; r = 1:
−
1
4π
2π z0 + λ
∫ ∫
0
z0
p2(0) − p1(0) +
∂Φ0
∂r
r =1
0
s
dϕ dz =
2πχλ ;
1
( ∇Φ0 )2 − 1 = 0;
8π
и имеет решение:
(0)
(0)
p0 − 2πχ 2 + 1.
u1 = − U0 ; u2 = 0; Φ0 =−4πχ ln r; p1 = p0 ; p2 =
(0)
Здесь p j , где ( j = 1;2 ) , и Φ0 – гидродинамические давления в обеих средах и электростатический потенциал в стационарном состоянии; p0 – константа, равная гидростатическому
давлению во внешней среде.
Задача первого порядка запишется в виде:
0; ∆Φ1 = 0;
∆ψ 1 =
0; ∆ψ 2 =
r → 0 : ψ 2 → 0; r → ∞ : ψ 1 → 0; Φ1 → 0;
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∂ξ
∂ξ
∂ψ 2 ∂ξ
1
r = 1: ∂ψ=
− U0
; ∂ r Φ0ξ + Φ1 =0;
=
;
∂r
∂t
∂z
∂r
∂t
−∂ tψ 2 + ρ ∂ tψ 1 + ρ U0 �∇ψ 1 +
2
1 ∂ ( ∇Φ0 )
1
ξ + ( ∇Φ0 �∇Φ1 ) + ξ + ∆ Sξ = 0;
8π
4π
∂r
2π z0 + λ
∫ ∫
0
2π z0 + λ
∫ ∫
0
z0
ξ dϕ dz = 0;
z0
 ∂Φ0
∂ 2Φ0
∂Φ1 
+
ξ+
ξ
0;
 dϕ dz =

∂r 
∂r 2
 ∂r
∆S ≡
1 ∂2
r 2 ∂ϕ 2
+
∂2
∂z 2
.
Решение этой задачи ищем в виде элементарных бегущих волн:
=
ξ (ϕ , z , t ) α ( t ) exp(ikz + imϕ );
ψ 1=
(r, t ) c ( t ) exp(ikz + imϕ ) ⋅ K m ( kr ) ;
ψ 2=
(r, t ) b ( t ) exp(ikz + imϕ ) ⋅ I m ( kr ) ;
Φ1=
(r, t ) a ( t ) exp(ikz + imϕ ) ⋅ K m ( kr ) ;
(1)
где I m ( kr ) и K m ( kr ) – модифицированные функции Бесселя
первого и второго рода, порядка m ; m – азимутальный параметр
[3–5]. Кинематическое граничное условие и условие эквипотенциальности поверхности струи позволяют выразить неизвестные
амплитуды a ( t ) , b ( t ) и c ( t ) в решениях для гидродинамических и электростатического потенциалов через амплитуду α ( t )
волн на границе раздела сред:
α '(t )
b ( t ) ==
; c (t )
′ (k )
k Im
4πχ
1
. (2)
α ' ( t ) − α ( t ) i kU 0  ; a (t ) = α (t )
′ (k )
Km ( k )
k Km
Подставляя проекты решений (1) с учетом (2) в динамическое граничное условие, получим дифференциальное уравнение
относительно неизвестной амплитуды α ( t ) :
β m ⋅ α '' ( t ) − 2iδ m ⋅ α ' ( t ) + κ m ⋅ α ( t ) =
0;
25
(3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
β m ( k ) ≡ ρ hm−1 − gm−1 ≡
{
ρ gm − hm
; δ m ( k ,U 0 ) ≡ k ρU 0 hm−1;
gmhm
}
κ m ( k , χ ,U 0 ) ≡ 1 − m2 − k 2 − w (1 + hm ) − We ⋅ k 2 hm−1 ;
hm ( k ) ≡
′ (k )
k Km
gm ( k ) ≡
Km ( k )
′ (k )
k Im
Im (k )

≡ m−
≡ m+
k K m+1 ( k )
Km ( k )
k I m+1 ( k )
Im (k )
;
;
w ≡ 4πχ 2 ; We ≡ ρU 02 .
Решение уравнения (3) естественно искать в периодическом виде:
α (t ) ~� exp(ist ),
(4)
где s – частота капиллярных волн, в общем случае комплексная.
Подставим (4) в (3) и получим дисперсионное уравнение задачи:
s2 −
2δ m
βm
s−
κm
=
0.
βm
Несложно видеть, что при U 0 = 0 это дисперсионное уравнение сводится к дисперсионному уравнению для капиллярных
волн на поверхности идеальной несжимаемой электропроводной
струи, неподвижной относительно идеальной несжимаемой диэлектрической среды, а при ρ = 0 – к дисперсионному уравнению
для струи в вакууме.
Решения дисперсионного уравнения имеют вид:
2
δm  δm  κm
s1,2 =
±   + ;
βm  βm  βm
или
=
s1,2
gm
k ρU ±
( ρ gm − hm ) 0
(
)
2 
1 − m2 − k 2 − w (1 + hm ) hm g m − We ⋅ k 2 g m 
 g m k ρU 0 

 . (5)
± 
 +
( ρ gm − hm )
 ( ρ g m − hm ) 
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При изменении физических параметров системы волны на
поверхности раздела сред будут сохранять устойчивость, пока частоты s1,2 остаются вещественными, т. е. пока подкоренное выражение в (5) положительно. Когда подкоренное выражение станет
отрицательным, у частот s1,2 появится мнимая часть, и они образуют пару комплексно сопряженных корней: s ≡ Re s ± Im s . При
этом амплитуда волны с отрицательной мнимой частью частоты,
� exp  Im s ⋅ t  ⋅ exp [i Re s ⋅ t ] ,
пропорциональная exp i ( Re s − i Im s ) t  ~
будет экспоненциально со временем увеличивать свою амплиту- 
ду с инкрементом: γ ≡ Im s , что приведет к распаду струи на
отдельные капли. Амплитуда волны с положительной мнимой
частью частоты будет экспоненциально во времени затухать.
Для удобства качественного анализа соотношения (5) на
рис. 1 и 2 для первых трёх значений азимутального числа m
приведены графики зависимостей hm = hm ( k ) и g m = g m ( k )
соответственно. Из (5) видно, что поскольку независимо от номера азимутального числа hm < 0 , а g m > 0 , то для ситуации
жидкой струи в газообразной среде ( ρ ~� 0.001 g cm3 ) при любых разумных скоростях ( U 0 ≤ 1000 cm / s ) для волн с волновыми числами, представляющими интерес в плане капиллярноэлектростатического дробления струи ( k ~� 1 ), второе слагаемое
под радикалом в (5), как правило, отрицательно и фактически
определяет величину инкремента неустойчивости.
Рис. 1. Зависимости от безразмерного волнового числа коэффициента hm ( k ) , построенные при различных значениях
азимутального числа:
m = 0; 1; 2 (сверху вниз)
Рис. 2. Зависимости от безразмерного волнового числа
коэффициента g m ( k ) , построенные при различных значениях азимутального числа:
m = 0; 1; 2 (снизу вверх)
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приравнивая в (5) подкоренное выражение нулю, получим
критическое условие перехода от устойчивых волн к неустойчивым:

(

ρ k 2We +  1 − m2 − k 2 − w (1 + hm )
0.
) ghmm − k 2We ⋅ g1m  ( ρ gm − hm ) =
(6)
Из (6) легко найти критическое для начала реализации неустойчивости значение параметра We , пропорционального квадрату скорости:
(
)
−1 + m2 + k 2 + w (1 + hm ) ρ g m − hm

We = 
.
2
k
(7)
Здесь следует отметить, что безразмерный параметр We  ,
будучи выражен через размерные переменные, имеет вид:
We ≡ ρ1RU 02 σ , и согласно экспериментальным данным в газообразной среде его величина ограничена сверху значением: We ~� 1 .
Из (7) несложно видеть, что с увеличением χ – поверхностной
плотности электрического заряда на границе раздела сред (параметра w ), критическая для начала распада струи величина скорости
стационарного движения U 0 (параметра We ) снижается и при
(
)
1 − m2 − k 2 )
(
w=
(8)
( hm + 1)
обращается в ноль. При значении параметра w, определяемого
соотношением (8), реализуется электростатически-капиллярная
неустойчивость волны с азимутальным числом m [3–4].
Для отыскания волнового числа km наиболее неустойчивой
волны (волны, обладающей максимальным инкрементом γ и
определяющей феноменологию разбиения струи на капли) следует приравнять нулю ϒ ≡ ∂γ ∂k производную по волновому
числу k от инкремента неустойчивости
(
)


2 
1 − m2 − k 2 − w (1 + hm ) hm g m − We ⋅ k 2 g m   (9)
  g m k ρU 0 


γ ≡ − Im  
 +

( ρ gm − hm )

  ( ρ g m − hm ) 


и разрешить получившееся уравнение ϒ( k ) =
0 относительно k .
В силу громоздкости получающегося уравнения, содержащего функ28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ции Бесселя первого и второго родов и их производные, такая задача
аналитически не разрешима, но её можно решить графически.
γ
Рис. 3 а–с. Зависимости от безразмерного волнового числа величины инкремента неустойчивости осесимметричных волн
(m=0), построенные при ρ=0,001 для различных значений
безразмерного параметра We.
Снизу вверх: We = 0; 0,1; 0,5; 1; 1,5. а) w=0
γ
γ
Рис. 3b. w = 1
Рис. 3с. w = 2
Из рис. 3a, на котором приведены графики зависимости величины инкремента осесимметричных волн ( m = 0 ) на границе раздела сред от волнового числа k при нескольких фиксированных
значениях параметров We и w = 0 , видно, что с увеличением параметра We ширина области волновых чисел, соответствующих
неустойчивым волнам, расширяется, а величина волнового числа,
соответствующего волне с максимальным инкрементом, смещается в область больших значений волновых чисел. В самом деле, для
струи в вакууме (при We = 0 ) капиллярную неустойчивость претерпевают волны с волновыми числами k 2 < 1. При наличии материальной внешней среды (We ≠ 0 ) в отсутствие электрического
заряда ширина диапазона волновых чисел неустойчивых осесим29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
метричных волн расширяется до: k 2 < h0 / ( h0 − We ) . Видно,
что чем больше We , тем шире зона неустойчивости. При наличии
на капле заряда при прочих равных условиях правая граница зоны
неустойчивости еще больше смещается в область больших волновых чисел, так же как и волновое число волны с максимальным инкрементом (см. рис. 3b), а величины инкрементов увеличиваются.
При больших зарядах на струе левая граница зоны неустойчивости
отрывается от начала координат и смещается вправо, в область
больших значений волновых чисел (см. рис. 3с). Такое поведение
зон неустойчивости обязано сильному влиянию электрического
заряда (см. [3–4]), наиболее ярко проявляющемуся в отсутствие
относительного движения струи и среды. Зона капиллярной неустойчивости струи в отсутствие электрического заряда определяется соотношением: k 2 < 1. По мере увеличения заряда зона капиллярной неустойчивости целиком смещается в область больших
значений волновых чисел и расширяется согласно условию:
k 2 ≤ 1 − w (1 + h0 ) .
(10)
В (10) множитель (1 + h0 ) положителен при малых значениях
волновых чисел (при k < 0.595 , см. рис. 1) и отрицателен при больших значениях (при k > 0.595 ) [3–4]. Из (10) видно, что при доста-
точно больших значениях заряда (параметра w ) и при малых волновых числах (при k < 0.595 ) правая часть (10) там, где w (1 + h0 ) > 1 ,
становится отрицательной, что и будет соответствовать исчезновению неустойчивых решений или, что то же самое, – смещению зоны
неустойчивости в область больших величин волновых чисел.
Несколько иная картина влияния относительного движения капли и среды складывается для изгибной моды ( m = 1 ).
На рис. 4a приведены зависимости инкрементов неустойчивости
от волновых чисел осенесимметричных волн с m = 1 при нулевом
заряде на струе (w = 0). Видно, что с ростом скорости (с ростом
параметра We) ширина зоны неустойчивости расширяется, величины инкрементов увеличиваются, а положение волнового числа, соответствующего волне с максимальным инкрементом, смещается в область больших значений волновых чисел. Интересно,
что неустойчивость изгибной моды при w = 0 имеет пороговый
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
по We (по скорости) характер и реализуется при We > 1 . В самом деле, для изгибной моды из (9) при w = 0 несложно получить критическое условие реализации неустойчивости в виде: We
> |h1|. А поскольку, согласно рис. 1, при m = 1 минимальное значение |h1| есть единица, то мы получаем аналитическое подтверждение полученных расчетных данных. При увеличении электрического заряда, приходящегося на единицу длины струи, изгибная неустойчивость струи реализуется уже при весьма маленьких
значениях относительной скорости струи и среды (параметра We
). Ширина области неустойчивости и величина инкремента, так
же как и волновое число волны, обладающей максимальным инкрементом, увеличиваются с ростом скорости (параметра We ),
как это видно из рис. 4b–4c.
γ
и
Рис. 4а–с. Зависимости от безразмерного волнового числа величины
инкремента неустойчивости осенесимметричных волн с m = 1 (изгибных
волн), построенные при ρ =0,001 для различных значений безразмерного
параметра We. Снизу в верх: а) We = 1,05; 1,25; 1,5; 2; 2,5, w = 0
γ
γ
Рис. 4b. We = 0,001; 0,1;
0,5; 1,5 , w = 1
Рис. 4с. We = 0,001; 0,1;
0,5; 1; 1,5 , w = 2
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 5. Зависимость критической для реализации
электростатически-аэродинамической неустойчивости
боковой поверхности струи величины параметра We
от отношения плотностей ρ для осенесимметричных волн:
m = 2, рассчитанная при w = 1
Электростатически-аэродинамическая неустойчивость в потоке внешней среды боковой поверхности струи (m = 2), согласно
рис. 5, реализуется только при больших значениях параметра We.
При этом с ростом отношения плотностей критическая величина
We увеличивается. При уменьшении зарядового параметра w поверхность We = We (ρ, k) поднимается вверх.
Критическая величина скорости U0 с ростом отношения плотностей будет уменьшаться, как это видно из рис. 6, на котором приведены зависимости от ρ критической величины скорости U0:
 −1 + m2 + k 2 + w (1 + hm )  ( ρ g m − hm )


≥ 0.
2
ρk
При уменьшении величины зарядового парметра поверхность U0 = U0 (ρ, k) поднимается вверх, как это имело место для
параметра We.
U0
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 6. Зависимость критической для реализации
электростатически-аэродинамической неустойчивости
боковой поверхности струи величины скорости U0
от отношения плотностей ρ для осенесимметричных волн:
m = 2, рассчитанная при w = 1
1.5. Контрольные вопросы и задания
1) Почему распадается струя?
2) Чем отличается метод Рэлея от использованного Левичем?
3) Как вязкость жидкости влияет на нераспавшуюся часть
струи?
4) Как влияет на устойчивость струи заряд, приходящийся на
единицу её длины?
5) Как влияет на устойчивость струи материальная среда?
6) От чего зависят размеры капель, на которые распадается
струя?
7) Записать критерий неустойчивости n-й моды струи.
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Распад капли
2.1. Анализ Рэлея неустойчивости заряженной
сферической капли идеальной жидкости
1. Постановка задачи. Рассмотрим некоторую массу идеально проводящей несжимаемой невязкой жидкости, имеющую
температуру Т, большую температуры плавления, заряженную
зарядом Q. В вакууме в отсутствие силы тяжести эта масса жидкости под действием сил поверхностного натяжения примет
приблизительно сферическую форму. «Приблизительно» потому, что равновесная сферическая форма капли будет искажаться капиллярным волновым движением, которое всегда имеется
в капле уже в силу теплового движения молекул. Амплитуда an
таких тепловых капиллярных колебаний будут порядка κ T γ ,
где κ – постоянная Больцмана. T – абсолютная температура, γ –
коэффициент поверхностного натяжения. Для реальных жидкостей в реальных условиях величины an не превышают единиц
ангстрем, и, значит, возникающее капиллярное волновое движение можно анализировать в приближении волн бесконечно малой
амплитуды для капель с радиусами a >> an , т. е. для a > 10 нм.
2. Разложение уравнения возмущенной капиллярными
осцилляциями свободной поверхности капли по амплитудам
мод осцилляций
Примем для простоты, что форма капли имеет осевую симметрию. В этом случае вместо разложений по сферическим функциям, как это было сделано в [26], можно проводить разложения
по полиномам Лежандра, что упрощает рассмотрение, но не снижает общности. Согласно сказанному, представим уравнение поверхности капли в виде
∞
=
r a0 + ∑ an Pn (cosθ )
(1)
n =1
где r – расстояние от начала координат до поверхности;
an >> a0 ∀ n, Pn (cosθ ) – полиномы Лежандра, θ – угол между
осью симметрии и радиус-вектором точки на поверхности капли в сферической системе координат с началом в центре сферы;
a0 – постоянный коэффициент, имеющий смысл амплитуды ка34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пиллярных волн. Отношения an a0 весьма малы ( | an / a0 |<< 1 )
и убывают с увеличением номера моды n так, что | an / an +1 |> 1 .
Для упрощения нижеследующих достаточно громоздких выкладок введем обозначение µ =cosθ и, воспользовавшись известным биноминальным разложением
(1 + x)α = 1 + αx + [α(α − 1) / 2!] + ... ≈ 1 + αx, x << 1., (2)
Вычислим объём капли
V =
2π
r
π
∫0 ∫0 ∫0
π
−1
2
2
r 2 sin θ∂ϕ∂r ∂θ = − π ∫ r 3 sin θ = µ ∫ r 3d µ;
3 0
3 1
2
=
dV r sin θ dθ d ϕdr ; d µ = − sin θ dθ ;
где r= r (µ) определяется (1). В итоге, используя (1) и (2),
получим:
V≈
2π
3
∞
∞ ∞

an
an am
3
a
P
P
P
+
µ
+
1
3
(
)
3

∑ ∑ a2 n m  dµ .
∫−1 0  ∑ a0 n

= 1
= 1n
= 1
n
n
0

1
Пользуясь свойствами полиномов Лежандра:
0;

∫−1 Pn (µ)d µ = 0; ∀n > 0 ; ∫−1 Pn (µ)Pmd µ =  2 . ,
 2n + 1
1
1
найдём интеграл в выражении для объема V и окончательно получим:
2
∞
 an  
4 3
1
=
V
π a0 1 + 3
  .
3

n =1 (2n + 1)!  a0  


С другой стороны, вводя радиус равновесной сферической капли a , её объём можно записать в известной элементарной форме:
3
∑
V = 4π a 3.
Приравнивая два последних выражения для объёма капли,
радиус равновесной сферической капли a можно выразить через
амплитуды капиллярных волн an в виде:
2

∞
−1  an 
(3)
a ≈ a0 1 +
2n + 1    .
a
 n =1

 0 

∑(
35
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Вывод выражения для потенциальной энергии сил поверхностного натяжения
Потенциальная энергия сил поверхностного натяжения рассматриваемой колебательной системы (потенциальная энергия,
связанная с деформацией поверхности капли капиллярными
осцилляциями) равна произведению коэффициента поверхностного натяжения на приращение площади реальной поверхности
капли по сравнению с площадью сферы (т. е. если за ноль потенциальной энергии выбрать потенциальную энергию сферы).
Площадь поверхности капли вычислим по известной формуле
2π π r 2 sin θ
∫0 ∫0
=
S
cosϑ
dθ d ϕ;
где θ и ϕ – сферические координаты, ϑ – угол между нормалью к поверхности и радиус-вектором.
Если уравнение поверхности имеет вид F ( r ,θ , ϕ ) = 0 ,
то
вектор
нормали к поверхности можно найти по формуле

n ≡ ∇F ∇F . В нашем случае
∞
и, следовательно:
Тогда
F ( r , µ ) = r − a0 − ∑ an Fn ( µ );
n =1
∞

   a  ∂P
∇F = nr −  ∑  n  n sin θ  nθ .
 n =1 r  ∂µ


( nr , ∇F ) ≡
cos
ϑ
=
∇F
где
2
 ∞ a ∂P

1 −  ∑ n n sin θ  ;


 n =1 r ∂µ


nr – единичный вектор радиальной переменной.

1
∞
(
an am dPn dPm
1 − µ2
2 dµ dµ
n, m r
( cosϑ )−1 ≈ 1 + ∑
2

)

.

Подставив это соотношение в выражение для площади поверхности, получим:
S
=
2π 1
∫0 ∫−1
r 2 d µd ϕ +
dPn dPm
1 2π 1 ∞
an am d µd ϕ
1 − µ2
∑
∫
∫
dµ dµ
2 0 −1 n. , m
(
36
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Интегрирование по углу ϕ (с точностью до членов первого
порядка малости) легко проводится прямым интегрированием:
Для вычисления интеграла по полярному углу θ воспользуемся формулой:
2
1
dPn dPm
d=
µ n(n + 1) ∫ Pn ( µ )Pn d µ.
−1
dµ dµ
Тогда интеграл по θ , если расчёты производить с сохранением малых величин второго порядка, вычисляется в виде:
1
∫−1(1 − µ )
=
I2
2π
2
∞
∑
∞
1
n(n + 1) 2
an .
1 (2n + 1)
n(n + 1)an am ∫=
Pn Pm d µ 2π ∑
−1
n, m 1 =
n
В итоге для площади поверхности капли получим
∞
∞
−1
(2nn++1)
S S==44πα
π a0202 ++ 44ππ ∑ ((2n
2n++1)
1) an2 + 2π ∑ n(n
n(n++1)
1)(2
1) −1 an2 .
n 1=
n 1
=
Перепишем это равенство несколько иначе:
∞
∞
∞


S = 4π  a02 + 2 ∑ (2n + 1)−1 an2  − 4π ∑ (2n + 1)−1 an2 + 2π ∑ n(n + 1)(2n + 1)−1 an2 .
=
n 1 =
n 1=
n 1


Учитывая (2) и (3), выражение, стоящее в квадратных скобках, можно представить как a 2 . Тогда, объединяя два последних
слагаемых в одно, получим:
∞
S = 4π ⋅ a 2 + 2π ∑ (n − 1)(n + 2)(2n + 1) −1 ⋅ an2 .
n =1
Если γ – коэффициент поверхностного натяжения (измеряемого в дин/см), то потенциальная энергия капиллярных сил, отсчитываемая от потенциальной энергии капиллярных сил равновесной сферы, имеет вид:
∞
W= 2π ⋅ γ (n − 1)(n + 2)(2n + 1) −1 a 2 .
γ
∑
n
n =1
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проанализируем это выражение. Оно дает нам Wγ в виде
однородной квадратичной функции от an . Если мы представим
электростатическую потенциальную энергию сфероида в таком
a
же виде, то мы сможем принять n за обобщённые координаты.
Необходимое приближение можно получить, если вычислить поверхностную плотность заряда в первом порядке малости по an , а
затем использовать это выражение для нахождения электростатической потенциальной энергии во втором порядке малости по an .
4. Вывод выражения для потенциальной энергии электрического поля заряженной капли, имеющей форму сферы, возмущенной капиллярными осцилляциями
Чтобы вычислить распределение электрического заряда по
возмущенной осцилляциями поверхности капли, запишем:
∞
∞
r=
a0 + ∑ an Pn ( µ ) ≈ a + ∑ an Pn ( µ );
a
n 1=
n 1
=
отличается от a0 только во втором порядке малости.
Электростатический потенциал у свободной поверхности
проводящей деформированной согласно (1) капли может быть
представлен в виде разложения по полиномам Лежандра:
т. к.
=
Φ
∞
∑ Bn ⋅ r −n −1Pn ( µ );
n =1
где постоянные коэффициенты Bn таковы, что для n>1 Bn<< B0,
так как an<<a0. Из теории мультиполей ясно, что B0 = Q , т. е.
определяет полный заряд капли. Учитывая, что P0 ( µ ) =
1 , выражение для потенциала можно записать в виде:
Q ∞
Φ=
+ ∑ Bn r − n −1Pn ( µ ).
r n =1
Поверхность проводника является эквипотенциальной. Обозначив её потенциал Φs , запишем
∞


Q  a + ∑ an Pn ( µ ) 
Φ
=
s


n


−1
∞
∞


+ ∑ Bn Pn ( µ ) ⋅  a + ∑ am Pm ( µ ) 


n
m


−1− n
.
Подставляя сюда (3) и пренебрегая произведениями малых
величин Bn и an, найдём:
∞
B
Q Q ∞ an
Φn =
− ∑ Pn ( µ ) + ∑ mm+1 Pm ( µ ) .
a
a
a
=
n 1=
m 1a
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приравнивая коэффициенты при полиномах одного порядка,
получим
Q
n +1
= Bn ⋅ a 2 .
Φ0 = ; Q ⋅ an ⋅ a
a
Тогда выражение потенциала электрического поля деформированной капли можно записать в виде:
∞
Q
a n −1
Φ( r ,θ=
)
+ Q ∑ an n +1 Pn ( µ ) .
r
r
n =1
Чтобы найти значение плотности заряда σ = σ (r ,θ ) в любой
точке свободной поверхности капли, воспользуемся формулой:

∂Φ
4πσ (r ,θ ) = −n �• ∇Φ ≈ −
cosϑ .
∂r
Т. к. cosϑ отличается от единицы на малую величину, пропорциональную an2 , примем cosϑ = 1 , тогда
Q ∞

∂Φ
4πσ (r ,θ ) ≈ −
=  2 + ∑ (n + 1)Qa n −1r − n − 2an Pn ( µ ) 
=
∂r r= a + ∑ an Pn  r n =1
 r= a + ∑ an Pn
=
an a ( n −1) Pn
=
n+2
2
∞
∞

n =1
an 
am
n+2 
2
a 1 + ∑
Pn 
a
Pm 
1 + ∑
a
 n 1=

 m 1 a

Q
∞
− ∑ (n + 1)Q
∞

an 
a
Q  ∞ an  ∞
= 2 1 − ∑ 2 Pn  + ∑ (n + 1)Q 3 Pn 1 − (n + 2) ∑ m Pm 
a  n1
a  n 1=
a =
m 1 a
=
.
Или, пренебрегая членами более высокого порядка малости,
чем первый, получим:
∞
a
Q
Q
4πσ (r ,θ ) =+
(n − 1) n3 Pn ( µ ). .
∑
2
a
a
n =1
Теперь можно вычислить приближенно потенциал самой
капли с сохранением слагаемых второго порядка малости, используя выражение для поверхностной плотности заряда, написанное в первом порядке малости следующим образом:
=
ΦS
1
 
a
a 
Q 
σ dΩ
2
π
≈
 ad µ
∫ r
∫ 4π a 2 1 + ∑ (n − 1) an Pn  ⋅ 1 − ∑ an Pn =
n
n




−1
S
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a2
Q Q
=
− ∑ (n − 1) n2 (2n + 1) −1.
a a n
a
Электростатическая потенциальная энергия капли определяется известной формулой:
WQ = QΦ 2 .
Если за нулевой уровень отсчёта энергии принять электростатическую энергию равновесной сферы, то можно получить
соотношение:
Q2 2
(4)
W =
− (n − 1)
a (2n + 1) −1.
Q
∑
2a 3
n
n
Это выражение является квадратичной функцией амплитуд
осцилляций an . Знак «минус» в (4) показывает, что электростатические силы противодействуют силам поверхностного натяжения.
5. Вывод выражения для кинетической энергии волнового
движения жидкости, связанного с осцилляциями капли
Чтобы выписать функцию Лагранжа и найти уравнения Лагранжа – Эйлера для коэффициентов an необходимо выписать
выражение для кинетической энергии волнового движения жидкости в капле. Так как проводящая жидкость, составляющая
каплю, предполагается однородной, невязкой и несжимаемой,
то движение жидкости в капле будем считать потенциальным
и введём потенциал скоростей волнового движения:
∞
Ψ( r ,θ=
) P0 + ∑ βn ⋅ r n ⋅ Pn ( µ );
n =1
где коэффициенты βn пока неизвестны. Кинетическая энергия
движущейся жидкости в этом случае определится выражением
=
K
ρ
ρ
2
U
⋅
dV
=
∇ψ �• ∇ψdV .
2 V∫
2 V∫
Поскольку ∇ ( ψ ⋅ ∇ψ ) = ( ∇ψ,∇ψ ) + ψ ⋅ ∆ψ и ∆ψ = 0 , то,
пользуясь формулой Грина, можно записать:
ρ
ρ
∂ψ
=
K
= ∫∫ ψ a 2d ϕd=
µ 2π a 2ρ∑ an2n −1 ⋅βn2 ⋅ (2n + 1)−1.
( ∇ψ, ∇ψ )dV
∫
2V
2
∂r
n
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Скорость движения поверхности в направлении радиус-вектора

∂r ∂t можно вычислить, используя кинематическое граничное
условие, выписанное в линейном по амплитудам мод осцилляций
∂r ∂ψ
≈
. Приравнивая коэффициенты при полиномах
∂t ∂r
∂an
n −1
приближении:
одного порядка, получим:
∂t
= n ⋅βn ⋅ a
. Следовательно:
−1  ∂an
2

K
= 2π ⋅ a ⋅ ρ ∑ (2n + 1) 
 .
 ∂t 
nν
Так как в выражении для потенциальной и кинетической
энергии не входят перекрестные произведения ∂an ∂t и an , то
движения, представляемые различными слагаемыми, могут осуществляться независимо друг от друга, а координаты an имеют
смысл нормальных координат колебательной системы.
6. Вывод уравнения Лагранжа, описывающего временную
эволюцию амплитуд мод
3
Функция Лагранжа L(an , ∂an ∂t ) анализируемой колебательной системы, т. е. капли с бесконечным набором мод осцилляций, имеет вид:
2
 da 
L(an , ∂an ∂t ) ≡ K − Wγ − Wq ≡ 2π a3ρ∑ n −1 (2n + 1)−1  n  −
 dt 
n
2
Q
−2πγ ∑ (n − 1)(n − 2)(2n + 1) −1an2 + ∑ 3 (n − 1)(2n + 1) −1 an2 .
n
n 2a
Уравнения же Лагранжа для координат an записываем из-
вестным образом
d ∂L
∂L
0.
−
=
dt  ∂an  ∂an
∂

 ∂t 
Подставляя сюда выражение для функции Лагранжа, получим
3
2π a ρn
−1 d
2
an
dt 2
+ 2πγ (n − 1)(n + 2)an −
Q2
2a 3
(n − 1)an =
0;
2
2
или d an + (n − 1)n  (n + 2) γ − Q  a =0.
(6)
n
dt 2
4π a 3 
ρa 3 
Таким образом, мы получили систему несвязанных между
собой обыкновенных дифференциальных уравнений второго по-
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рядка, описывающих гармонические колебания различных мод
капиллярных волн в заряженной сферической капле идеальной
несжимаемой жидкости.
Если учесть, что an ~� exp [ −iωnt ] , тогда из (6) получим дисперсионное уравнение для капиллярных колебаний капли
=
ω2n
n(n − 1)γ
ρa3
[(n + 2) − W ];
W≡
Q2
4πγ a3
.
(7)
Отсюда видно, что при Q 2 > 16π a 3γ , частота основной
моды ( n = 2 ) капиллярных колебаний капли становятся мнимой,
а ее амплитуда начинает экспоненциально расти со временем,
т. е. капля становится неустойчивой
2.2. Устойчивость заряженной капли
вязкой жидкости
В нижеследующем изложении приводится решение методом
скаляризации задачи о расчете спектра осцилляций заряженной
капли несжимаемой вязкой жидкости в вакууме и исследуется
устойчивость заряженной вязкой капли по отношению к собственному заряду [7].
Рассмотрим изолированную сферическую каплю вязкой несжимаемой жидкости с массовой плотностью ρ , коэффициентами поверхностного натяжения и кинематической вязкости γ и
ν , с равновесным радиусом R , поверхность которой возмущена осцилляциями бесконечно малой амплитуды, возникающими
вследствие теплового движения молекул жидкости. Амплитуда
тепловых осцилляций капли по порядку величины определится соотношением: ξ ~ κ T γ , где κ – постоянная Больцмана, T –
абсолютная температура жидкости. Оценка показывает, что для
любых жидкостей, включая жидкие металлы, |ξ| ~ (0,5 ÷ 1) · 10-8cm.
Эта оценка означает, что для капель реальных жидкостей с любыми физически аргументированными размерами (R ≥ 0,1 μm)
амплитуда тепловых осцилляций много меньше радиуса капли:
( ξ R )<< 1. Тот же порядок малости будут иметь поле скоростей u ( r , t ) течения жидкости в капле, связанное с осцилляциями
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ее свободной поверхности, и поле давлений внутри капли, также

связанное с движением жидкости p in (r , t ) .
Уравнение свободной поверхности
 капли в сферической си0 , где
стеме координат запишем в виде:F (r , t ) ≡ r − R − ξ (ϑ ,ϕ , t ) =
ξ (ϑ , ϕ , t ) – возмущение равновесной сферической поверхности
капли, вызванное ее тепловыми осцилляциями.
Рассмотрим два случая: 1) жидкость является идеально проводящей, и весь заряд капли распределен по ее свободной поверхности; 2) жидкость является диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε d и имеет однородное распределение заряда по объему
с плотностью . В обоих случаях полный заряд капли равен Q .
Для упрощения записи и последующих вычислений введем
безразмерные переменные, в которых R = 1, ρ = 1,γ = 1. Тогда все
остальные физические величины будут выражены в единицах
своих характерных значений
r* = R ; t =
*
γ
R3 ρ ;
p* = ; u* =
R
γ
γ ; Q = R 3γ ;
Rγ .
ν* =
Rρ
ρ
2. Математическая формулировка задачи о колебаниях заряженной капли вязкой несжимаемой жидкости. Система урав
нений гидродинамики в электростатическом поле E ( r , t ) с потенциалом Ф, создаваемым зарядом Q , распределенным в жидкости,
состоит из уравнений Навье-Стокса и несжимаемости жидкости:



du ∂u 
1


≡
+ (u �•∇) u = − ∇ p in + ν ⋅∆ u ; div u = 0 ; (1)
dt ∂t
ρ
 
in 
in 
in 
(
r
,
t
)
p
(
r
,
t
)
−
Φ
(r , t ) ,
где u ( r , t ) − поле скоростей; p=
*
in

p (r , t )
in
p (r , t ) −
давление внутри капли в отсутствие электрического
 *
in 
внешнего электрического поля внутри
p (rполя;
, t ) − ΦФ (r , t ) – потенциал

in
in 
p=
(r ,имеющий
t ) p*in (r , t )вид
− ΦФ
(r , t ) :
жидкости,
для случая проводящей жидкости:
(2)
Φ in =
0;
для случая диэлектрической жидкости:
in 2
 ∂ε d  E
in
(3)
=
Φ
ρ
− µ ⋅ Φ in .

∂
ρ
8
π


in
*
( )
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На свободной поверхности сферической капли, описываемой
уравнением:

F (r , t ) ≡ r − R − ξ (ϑ ,ϕ , t ) =
0,
должны выполняться следующие граничные условия:
кинематическое:

dF ∂F
≡
+ ( u, ∇F ) =
0
dt
∂t
(4)
 

 

[ (τ ,(n , ∇) u ) + ( n ,(τ , ∇) u )] =
0;
(5)
и динамические:
для касательной компоненты тензора напряжений:
и для его нормальной компоненты:
 

− ( p in − p ex ) + 2 ρ ⋅ν ⋅ ( n ,(n , ∇) u ) + pq + pγ =0; (6)
pγ – давление капиллярных сил; pq – давление электриче-
ского поля собственного заряда:
pq =Π in − Π inn + Π ex
n ;
имеющее вид для капли проводящей жидкости:
pq ≡ ( E ex ) 8π ;
2
а для капли диэлектрической жидкости:
(7)
( Eτ ) ; (8)
ε − 1 ( En )
pq ≡ − µ ⋅ Φ + d
+ (ε d − 1)
εd
8π
8π
ex 2
ex 2
in
здесь µ – объемная плотность заряда.
Кроме выписанных граничных условий, для решения конкретной задачи о колебаниях поверхности заряженной капли вязкой несжимаемой жидкости необходимо потребовать выполнения условий:
1) постоянства объема капли, поскольку при любых колебаниях
поверхности объем капли несжимаемой жидкости сохраняется:
4
∫ dV = 3 π R ;
3
(9)
V
2) неподвижности центра масс капли:

∫ r dV = 0.
V
(10)
В (9) и (10) интегрирование ведется по всему объему капли.
Система уравнений (1) с условиями (4)–(10) представляет собой
математическую модель решаемой задачи.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Равновесная форма капли. Из системы уравнений (1)
с граничными условиями (4)–(10) может быть определена равновесная форма поверхности капли в отсутствие всякого движения
жидкости и колебания
 ее свободной поверхности. Для этого достаточно положить u ( r , t ) ≡ 0 и ξ (ϑ , ϕ , t ) ≡ 0 . Тогда из систеin
мы уравнений (1) получим, что p = const . Граничные условия
(4)–(5) обратятся в тождества, а из граничного условия (6) получим уравнение,
определяющее равновесную сферическую форму

капли F ( r , t ) ≡ r − R =
0:
in
ex
(11)
∆p ≡ p(0) − p(0)
= pσ(0) − pq(0) ;
∆p –(0)перепад
давлений на свободной поверхности капли;
p и pq – давления сил поверхностного натяжения и электрического поля собственного заряда на равновесную сферическую поверхность капли, т. е. в нулевом порядке малости по ξ
(индекс «0» указывает, что величины относятся к невозмущенной равновесной сферической поверхности капли).
4. Линеаризация задачи.
  Будем решать задачу в линейном по полю скоростей u ( r , t ) и возмущению поверхности
ξ (ϑ , ϕ , t ) приближении.
Уравнение Навье-Стокса
упростится,
 т. к. в нем исчезнет
 
• ∇u . Давление внутри
квадратичное по u ( r , t ) слагаемое: u �
in
капли p ( r , t ) можно представить в виде:

in
in 
(12)
p in (r , t ) ≈ p(0)
+ p(1)
(r , t ) + ...
(0)
σ
in

где p(1) ( r , t ) – слагаемое первого порядка малости (в нижеследующем изложении мы будем иметь дело лишь с компонентой давления первого порядка малости и нижний индекс «1»
будем опускать, имея в виду, что не зависящая от координат
in
и времени компонента давления нулевого порядка малости p(0)
влияет лишь на форму капли и не сказывается на спектре осцилляций и устойчивости капли).
В итоге система уравнений гидродинамики (1) в безразмерном
виде в линейном приближении
запишется следующим образом:

∂u

= −∇p in + ν ∆u ;
∂t

div u = 0;
45
(13)
(14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а уравнение свободной поверхности капли примет вид:

F (r , t ) ≡ r − 1 − ξ (ϑ , ϕ , t ) =0;
(15)
Перейдем к рассмотрению граничных условий. Прежде всего,
отметим, что все граничные условия (4)–(6) в линейном приближении должны быть взяты на невозмущенной поверхности капли, т. е. при r = 1 , т. к. в указанном приближении сами граничные условия представляют собой линейные комбинации величин
первого порядка малости. Разложение границы (15) приведет лишь
к появлению слагаемых более высоких порядков малости.
Выпишем кинематическое граничное условие (см. (4)) в линейном приближении. Учитывая (15), получим:
r = 1:
∂ξ (ϑ , ϕ , t )
= ur ;
∂t
(16)
так как в первом порядке малости выполняется:

( u , ∇F ) = u r
u ∂F
∂F uϑ ∂F
1 ∂ξ
1 ∂ξ
+
+ ϕ
= ur − uϑ
− uϕ
≈ ur ;
r ∂ϑ
r ⋅ sin ϑ ∂ϕ
∂r r ∂ϑ r ⋅ sin ϑ ∂ϕ
где ur , uϑ , uϕ – проекции вектора поля скоростей на орты сферической системы координат.
Динамическое граничное условие для касательной компоненты тензора напряжений (5) в первом порядке малости достаточно взять на невозмущенной поверхности сферы:
 
  

r = 1: [τ •�(n•�∇) u + n �(τ •�∇) u ] =
0.
•
Распишем это выражение в терминах проекций вектора скорости ur , uϑ , uϕ на орты сферической системы координат. Очевидно, что для сферической невозмущенной поверхности капли
вектором нормали к свободной поверхности n будет являться орт

сферической системы
 координат er . В качестве единичного век
тора касательной τ может быть выбран как орт eϑ , так и орт eϕ .
В результате вместо одного динамического условия для касательной компоненты тензора напряжений
мы должны записать два:


первое, когда в качестве τ взят орт eϑ :


r = 1 , τ ≡ eϑ :
∂uϑ 1 ∂ur 1
0;
+
− uϑ =
∂r
r ∂ϑ r

второе, когда в качестве τ взят орт
46

eϕ :
(17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 
r = 1 , τ ≡ eϕ : ∂uϕ +
∂r
1 ∂ur 1
− uϕ =
0.
r ⋅ sin ϑ ∂ϕ r
(18)
Прежде чем записать динамическое граничное условие для
нормальной компоненты тензора напряжений (6), заметим, что
искажение равновесной сферической поверхности капли волновым движением ξ (ϑ , ϕ , t ) вызывает изменение входящих в условие (6) давлений: pq и pγ . Поскольку ξ << 1, то эти давления
pq и pγ могут быть разложены в асимптотические ряды по степеням малости и представлены в виде:


pq ( r , t ) ≈ pq(0) + pq(1) ( r , t ) + ... ;


(19)
pγ (r , t ) ≈ pγ(0) + pγ(1) (r , t ) + ... ;

(1) 
(1)
где pq ( r , t ) и pγ ( r , t ) – добавки к давлению электрического поля и к давлению сил поверхностного натяжения, вызванные
возмущением свободной поверхности капли и имеющие первый
порядок малости по ξ . В нижеследующем изложении индекс
(1) 
«1» у поправок первого порядка малости к давлениям pq ( r , t ) и

pγ(1) (r , t ) будем опускать.
Выражение для добавки первого порядка малости к давлению электрических сил получено в [6]. В случае капли проводящей жидкости оно имеет вид:
Q ∞ l
Q2

m
=
pq (r , t )
l
+
1
⋅
A
(
t
)
⋅
Y
ϑ
,
ϕ
−
⋅ ξ (ϑ ,ϕ , t ); (20)
(
)
(
)
∑∑
lm
l
4π l =0 m=− l
2π
2π
π
∫ ξ (ϑ ,ϕ , t ) ⋅Y (ϑ ,ϕ ) ⋅ sin ϑ ⋅ dϑ ⋅ dϕ.
=
Al m (t ) Q ∫
l
0
m*
0
В случае же капли диэлектрической жидкости оно примет
несколько более громоздкий вид:

2ε − 1
Q  ∞ l ε −1
=
pq
( l + 1) Al m − 3Bl m Yl m (ϑ ,ϕ ) − d Qξ (ϑ ,ϕ , t ) ; (21)
∑ ∑ 
4π  l =0 m=−l  ε
εd


Al m (t )
Bl m (t )
2π
l (ε − 1) + 3
Q
l (ε + 1) + 1 ∫0
π
∫ ξ (ϑ ,ϕ , t ) ⋅Y (ϑ ,ϕ ) ⋅ sin ϑ ⋅ dϑ ⋅ dϕ ;
l
0
2π
(l + 1)(ε − 1) − 3
Q∫
l (ε + 1) + 1
0
m*
π
∫ ξ (ϑ ,ϕ , t ) ⋅Y (ϑ ,ϕ ) ⋅ sin ϑ ⋅ dϑ ⋅ dϕ.
l
0
47
m*
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В формулах (20)–(21) Yl m (ϑ , ϕ ) – нормированные сферические функции; Yl m* – нормированные сферические функции комплексно сопряженные Yl m (ϑ , ϕ ) .
Несложно видеть, что выражение (21) для диэлектрической
капли переходит в выражение (20) для проводящей капли, если
в (21) значение диэлектрической проницаемости устремить
к бесконечности: ε d → ∞ .
Выражение для добавки к давлению сил поверхностного натяжения (лапласовскому давлению) можно получить разными
способами:

1 ∂
1 ∂2 
∂
ξ (ϑ ,ϕ ); (22)
pγ = − ( 2 + ∆ Ω ) ξ (ϑ ,ϕ ) ≡ −  2 +
(sin ϑ ) − 2
∂ϑ sin ϑ ∂ϕ 2 
 sin ϑ ∂ϑ
Подставим выражения для поправок первого порядка малости к давлениям в динамическое граничное условие (6) и в линейном приближении получим выражение для нормальной компоненты тензора напряжений в виде:
r = 1 : − p in + 2ν ⋅n �(n �∇) u − pq + pγ =
0.
• •
Перепишем его в терминах проекций вектора скорости ur , uϑ ,
Для этого вспомним,
uϕ на орты сферической системы координат.

что единичным
вектором
нормали
к
сферической
поверхности
n

является орт er . В результате получим:
r = 1 : − p in + 2ν ∂ur − pq + pγ =
0;
∂r
(23)
pq и pγ определяются формулами (20)–(21) (или (20), (22)).
Теперь нам осталось линеаризовать дополнительные условия постоянства объема капли (9) и неподвижности центра масс
капли (10). В безразмерном виде условие (9) может быть расписано следующим образом:
где
1+ξ
∫ dV ≡ ∫ d Ω
V
Ω
∫
0
4
r 2 ⋅ dr =π ;
3
где dΩ – элемент телесного угла. Вычисляя интеграл по радиальной переменной r в левой части равенства, получаем:
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
1
∫ dV ≡ 3 ∫ (1 + ξ (ϑ ,ϕ , t ) ) d Ω ≈ 3 ∫ (1 + 3ξ (ϑ ,ϕ , t ) + ...) d Ω =
V
=
3
Ω
Ω
1
4
4
d Ω + ∫ ξ (ϑ , ϕ , t ) ⋅d =
Ω
π + ∫ ξ (ϑ , ϕ , t ) ⋅d =
Ω
π.
∫
3Ω
3
3
Ω
Ω
Окончательный вид условия постоянства объема капли
в первом порядке:
(24)
ξ (ϑ , ϕ , t ) ⋅d Ω =0 .
∫
Ω
Аналогично расписывается и условие неподвижности центра
масс капли (10):

r
∫ dV=
V
≈
1+ξ
∫ dΩ
Ω
∫
0

1 
4
er ⋅ r 3 ⋅ dr=
er ⋅ (1 + ξ (ϑ ,ϕ , t ) ) d Ω ≈
∫
4Ω
1 
1 

er ⋅ (1 + 4ξ (ϑ ,ϕ , t ) + ...=
) ⋅d Ω 0;
) d Ω ∫ er d Ω + ∫ er ⋅ ξ (ϑ ,ϕ , t=
∫
4Ω
4Ω
Ω
В результате, условие неподвижности центра масс капли в
линейном приближении приняло вид:

e
∫ r ⋅ ξ (ϑ ,ϕ , t ) ⋅d Ω =0 .
(25)
Ω
Итак, система уравнений (13)–(25) определяет математическую модель поставленной задачи в линейном приближении по
малому параметру.
5. Скаляризация уравнений. Следующим этапом решения
задачи является процедура скаляризации векторного уравнения
Навье-Стокса (13). Несложно показать, что векторное уравнение
 
Навье-Стокса в линейном по полю скоростей u ( r , t ) приближении может быть скаляризовано путем разложения векторного
 
поля u ( r , t ) по векторным операторам-проекторам Nj
 



u (r , t ) = N1Ψ1 (r , t ) + N 2 Ψ 2 (r , t ) + N 3 Ψ 3 (r , t ); (26)
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где Ψ j (r, t ) – скалярные функции, определяемые видом век 
торного поля u ( r , t ) , а операторы Nj имеют вид:



N1 ≡ ∇ ; N 2 ≡ N1 × r ≡ ∇ × r ; N 3 ≡ N1 × N 2 ≡ ∇ × (∇ × r ). ; (27)
Подставим разложение (26) в векторное уравнение (13):




 ∂u

− ν ⋅∆  ( N1Ψ1 ( r , t ) + N 2 Ψ 2 ( r , t ) + N 3 Ψ 3 (r , t ) ) + N1 p in = 0.

∂
t


Здесь использован явный вид оператора N1. Учтем теперь свой-
ства коммутативности операторов Nj с оператором Лапласа
46]. Коммутативность Nj с производной
∆
[43–
∂ ∂t не вызывает сомне-
ний. В результате перепишем полученное уравнение в виде:
3
 ∂



in 
∑ N j  −ν ⋅∆  Ψ j (r , t ) + δ j1 ⋅ p (r , t )  = 0;
j =1

 ∂t

(28)
где δ j1 – символ Кронекера.
Для того чтобы разделить данное уравнение на три скалярных уравнения, необходимо воспользоваться условием ортогональности выписанных операторов Nj :
+
(Nj , Nj); i ≠ j ;
(29)
+
где операторы Nj эрмитово сопряжены операторам Nj.
Домножая слева уравнение (28) последовательно на операто+
ры Nj и пользуясь условием ортогональности (29), получим систему трех независимых уравнений:
� ++, N
� ) δ ⋅ p in + ∂Ψ j −ν ⋅∆Ψ  = 0; ;
((Nj
N
j = 1, 2,3. (30)
j Nj)
j  j1
j
∂
t


Так как векторные операторы Nj коммутируют с оператором
Лапласа ∆ , то и эрмитово сопряженные им операторы Nj коммутируют с ∆ , поскольку оператор Лапласа является самосопряженным оператором. Следовательно, условие коммутации спра+
+
ведливо и для операторов (Nj , Nj), и для оператора Лапласа
50
∆.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Это, в свою очередь, означает, что операторы (Nj , Nj) и ∆ обладают общей системой собственных функций. Обозначим эту систему собственных функций через ϕ j . Тогда
+
{ }
+ 
 � (N
� 
nij ⋅ ϕ j ;
 N i �jN, Ni j) ϕ=
j


∆ϕ j = λ j ⋅ ϕ j ;
+
где
n
i
j и
(31)
(32)
λ j – константы – собственные значения операторов (Nj ,
+
Nj) и ∆ , соответствующие собственным функциям{φj}.
Воспользуемся тем, что произвольная непрерывная функция,
определенная в той же области пространства, что и {φj}, может
быть разложена в ряд по полному набору собственных функций


{φj}, и представим неизвестные функции Ψ i ( r , t ) и p in ( r , t ) в
уравнениях (30) в виде следующих разложений:


p in (=
r , t ) ∑ Aj ⋅ ϕ j ( r , t );
j


i
(33)
Ψ i (r , t ) = ∑ B j ⋅ ϕ j (r , t ) ;
j
i
и B j – коэффициенты разложения; суммирование ведется по всему набору собственных функций {ϕi } .
Подставим разложения (33) в уравнения (30):
Aj

∂ i
 � ++ �  
i
N
�
N
A
ϕ
δ
+
B
ϕ
−
ν
⋅∆
B
ϕ
(Nj
,
Nj)
i
i

 ∑  j j i1
j j
j j  = 0;
∂t

 j 

или
∑( N
j
+
i


∂
, N i )  Aj ϕ jδ i1 + B ijϕ j − ν ⋅B ij ⋅ ∆ϕ j  = 0.
∂t


Учтем, что {ϕi } являются собственными функциями оператора Лапласа ∆ (см. (32)) и запишем:

∑A δ
j

j
i1
+

∂ i
B j − ν ⋅B ij ⋅ λ j  ( N i+ , N i )ϕ j =
0.
∂t

51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теперь воспользуемся тем, что {ϕi } – собственные функции
+
операторов (Nj , Nj), тогда получим:

∑A δ

j
j
i1
+

∂ i
B j − ν ⋅B ij ⋅ λ j  nij ⋅ ϕ j =
0.
∂t

Поскольку система собственных функций {ϕi } отлична
от нуля, то последнее равенство может выполниться лишь тогда,
когда либо все собственные значения nij = 0 , либо все выражения, стоящие в фигурных скобках, равны нулю. Выберем второй
случай, т. е. будем считать, что:
nij ≠ 0;
(34)


∂ i
B j − ν ⋅ λ j ⋅ B ij  =
0; ( ∀i, j ) . (35)
 Aj ⋅ δ i1 +
∂
t


Умножая каждую скобку (35) на соответствующую собственную функцию {ϕi } и суммируя по всем j , запишем:


∂ i
∂
i
+
−
⋅
⋅
=
A
δ
B
ν
B
λ
δ i1 ∑ Ajϕ j + ∑ B ij ⋅ϕ j −

∑j j i1 ∂t j
j
j  ⋅ϕ j
∂t j
j


−ν ⋅∑ λ j ⋅ B ij ⋅ϕ j =
0.
j
Учитывая, наконец, выражения (32) и (33), получим следующую систему трех скалярных уравнений для функций Ψ ( r , t ) :
i
∂


δ i1 ⋅ p + Ψ i (r , t ) −ν ⋅∆Ψ i (r , t ) = 0; i = 1,2,3. (36)
∂t
in
Рассмотрим теперь условие несжимаемости жидкости (14).
 
Подставим в него разложение (26) для поля скоростей u (r , t )
и учтем явный вид оператора N1 ≡ ∇ , а также тот факт, что
N1+ ≡ − N1 . Тогда можно записать:
3
3
3


∇, u =N1 , u =N1 , ∑ N j Ψ j =− N1+ , ∑ N j Ψ j =−∑ ( N1+ , N j ) ⋅ Ψ j =0.
=j 1
=j 1 =j 1
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Используя условия ортогональности (29) для операторов Nj,
окончательно получим:
(37)
( ∇, ∇ ) Ψ1 ≡ ∆Ψ1 =0.
Из уравнения (36) при j = 1 с учетом (37) легко получить:
∂


p in (r , t ) =
− Ψ1 (r , t ).
∂t
(38)
В итоге исходную систему уравнений (13)–(14) для вектор 
ной функции u ( r , t ) мы преобразовали в систему скалярных

уравнений для скалярных функций Ψ i (r , t ) (см. (36) при j = 2;3
(37) и (38)), которую в окончательном виде удобно записать:
∂


Ψ j (r , t ) −ν ⋅∆Ψ j (r , t ) = 0; i = 1; 2;3;
∂t

∂Ψ1 (r , t )
in 
p (r , t ) = −
.
∂t
(1 − δ j1 )
(39)
(40)
6. Скаляризация граничных условий. Теперь нам необходимо
граничные условия (16)–(18), (23) переписать в терминах неизвест
ных функций Ψ i ( r , t ) . Для этого удобно воспользоваться выра 
жениями для компонент ur , uϑ , uϕ векторного поля u ( r , t )

в сферической системе координат через функции Ψ i ( r , t ) :



∂ψ 1 (r , t ) 1
=
ur ( r , t )
− ∆ Ωψ 3 (r , t );
∂r
r




1 ∂ψ 1 (r , t )
1 ∂ψ 2 (r , t ) 1 ∂  ∂ψ 3 (r , t ) 
=
+
+
uϑ (r , t )
r
;
r ∂ϑ
sin ϑ
∂ϕ
r ∂r 
∂ϑ 



1 ∂ψ 1 (r , t ) ∂ψ 2 (r , t )
1
∂  ∂ψ 3 (r , t )  (41)
−
+
r
.
r ⋅ sin ϑ ∂ϕ
∂ϑ
r ⋅ sin ϑ ∂r 
∂ϕ 
Кинематическое граничное условие (16) с учетом соотношений (41) легко переписать в виде:

uϕ=
(r , t )


∂ξ (ϑ , ϕ , t ) ∂Ψ1 (r , t ) 1
r = 1:
=
− ∆ Ω Ψ 3 (r , t ) .
∂t
∂r
r
53
(42)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Динамические граничные условия для касательной компоненты тензора напряжений (17) и (18) выписываются в виде:
∂  ψ 1  ∂ 2ψ 3
r = 1: 2   + 2 − ( 2 + ∆ Ω )ψ 3 =0;
∂r  r  ∂r
∂ ψ 2 
  = 0.
∂r  r 
(43)
(44)
Динамическое граничное условие для нормальной компоненты
тензора напряжений (23) с учетом соотношений (41) легко преобразуется в граничное условие на скалярные функции Ψ i (r , t ) :

 ∂ 2 Ψ1
r = 1 : − pin + 2ν 
2
 ∂r


 ∂  Ψ  
− ∆ Ω   3    − pq + pσ  = 0. (45)
 ∂r  r  

Поработаем теперь с дополнительными условиями (24) и (25).
Условие постоянства объема капли (24) остается без изменений,
а условие неподвижности центра масс капли
(25) нужно скаляри
зовать. Поскольку направление орта er в сферической системе
координат зависит от положения точки в пространстве,
   разложим
его по ортам декартовой системы координат: ex , e y , ez , независящим от положения точки в пространстве:




er= sin ϑ ⋅ cos ϕ ⋅ ex + sin ϑ ⋅ sin ϕ ⋅ ey + cos ϑ ⋅ ez .
Подставим это разложение в соотношение (25) и умножим
  
его последовательно на орты ex , e y , ez . В результате вместо
(25) получим три равенства следующего вида:
∫ ξ (ϑ ,ϕ , t ) ⋅ sin ϑ ⋅ cos ϕ ⋅d Ω =0;
Ω
0;
∫ ξ (ϑ ,ϕ , t ) ⋅ sin ϑ ⋅ sin ϕ ⋅d Ω =
Ω
∫ ξ (ϑ ,ϕ , t ) ⋅ cosϑ ⋅d Ω =0.
Ω
(46)
Заметим далее, что из определения нормированных сферических функций:
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
exp(imϕ ) 2l + 1 (l + m)! d l − m{cos 2 ϑ − 1}l
Yl (ϑ ,ϕ ) =
;
4π ( l − m )! sin m ϑ ⋅ d (cosϑ )l − m
2l ⋅ l !
m
следует, что:
Поэтому если второе из уравнений (46) умножить на минус
единицу и сначала сложить с первым, а затем вычесть, то соотношения (46)) перепишутся в виде:
∫ ξ (ϑ ,ϕ , t ) ⋅ sin ϑ ⋅ exp(iϕ ) ⋅d Ω =0;
Ω
∫ ξ (ϑ ,ϕ , t ) ⋅ sin ϑ ⋅ exp(−iϕ ) ⋅d Ω =0;
Ω
∫ ξ (ϑ ,ϕ , t ) ⋅ cosϑ ⋅d Ω =0.
Ω
Учитывая
пропорциональность
sin ϑ ⋅ exp(iϕ ) ;
cosϑ;
sin ϑ ⋅ exp(−iϕ ) соответствующим сферическим функциям, послед-
ние три равенства можно записать в виде одного, которое и будет выражать скаляризованное условие неподвижности центра масс капли:
ξ (ϑ ,ϕ , t ) ⋅ Y1m (ϑ ,ϕ ) ⋅d Ω =0;
(47)
∫
Ω
т. к. при l = 1 азимутальный параметр может принимать значения: m = 1; m = 0; m = −1
Таким образом, скаляризация краевой задачи (13)–(18), (23)–
(25) закончена и изначально сформулированная векторная задача
свелась к решению системы скалярных уравнений (39)–(40) с граничными и дополнительными условиями (24), (42)–(45), (47).
7. Решение скаляризованной задачи. Отметим сразу, что

функция Ψ 2 ( r , t ) , описывающая тороидальные вихревые движения, не оказывает влияния на осцилляции поверхности капли,
т. к. для нее мы получили совершенно независимую краевую задачу: уравнение (39) при i = 2 и граничное условие (44).
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отыскание решения системы линейных дифференциальных
уравнений (13)–(14) можно рассматривать как исследование на
устойчивость по Ляпунову равновесного тривиального решения
исходной системы нелинейных дифференциальных уравнений
(формула (1)), которое, как упоминалось выше, имеет вид:
 
(47)
u (r , t ) = 0 ; ξ (ϑ ,ϕ , t ) = 0 .
при этом из (47) следует, что начальное условие также является
нулевым:
t
ξ (ϑ ,ϕ , t ) ≡ 0.
0:
Допустим теперь, что мы задали некоторое малое возмущение начального условия, т. е. предположили, что
(48)
ξ (ϑ ,ϕ ,=
t 0)
= ξ 0 (ϑ ,ϕ ).
Очевидно, что решение (47) при этом также получит малое
возмущение и не будет уже тривиальным:

u (r , t ) ≠ 0; ξ (ϑ ,ϕ , t ) ≠ 0; .
Это обстоятельство позволяет нам линеаризовать исходную
систему уравнений и привести ее к виду (13)–(14), а затем (после
скаляризации) к виду (39)–(40). Чтобы исследовать поведение
возмущенного решения со временем, нужно составить характеристическое уравнение системы (39)–(40). Положим, что зави 
симость от времени t искомых функций ξ (ϑ , ϕ , t ) и u ( r , t )

(а следовательно, и Ψ j (r , t ) ) является экспоненциальной:

Ψ j (r , t ) ~ exp(st ) ; ξ (ϑ ,ϕ , t ) ~ exp (st ) .
(49)
При этом Re s – вещественная часть параметра s будет характеризовать экспоненциальное затухание либо экспоненци
альное нарастание функций ξ (ϑ , ϕ , t ) и Ψ j (r , t ) со временем,
а Im s – мнимая часть параметра s – частоту их периодических
изменений.
Заданные временные зависимости (49) позволяют легко произвести дифференцирование по времени в системе (39)–(40), т. к.:

∂Ψ j (r , t )
∂t
∂ξ (ϑ ,ϕ , t )

= s ⋅ Ψ j (r , t );
= s ⋅ ξ (ϑ ,ϕ , t ). (50)
∂t
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В результате с использованием (50) система уравнений (39)–
(40) несколько упрощается:
1


∆Ψ j (r , t ) − (1 − δ j1 ) s ⋅ Ψ j (r , t ) = 0 ; j = 1, 2,3 ;
ν


p in (r , t ) = − s ⋅ Ψ1 (r , t ).
(51)
(52)
Разделяя переменные в уравнениях (51) в сферической системе координат, несложно убедиться, что зависимость функций

Ψ j ( r , t )m от углов ϑ и ϕ определяется сферическими функциями Yl (ϑ , ϕ ) . Поэтому решения уравнений (51) будем искать в виде рядов по сферическим функциям:

Ψ j (=
r ,t)
∞
l
∑ ∑C
l = 0 m =− l
j
lm
⋅ψ j (r )⋅ Yl m (ϑ ,ϕ ) ⋅ exp( st ); (53)
где функции ψ j ( r ) выражают зависимость искомых функций

Ψ j (r , t ) от радиальной переменной r .
Подставим (53) в (51) и, пользуясь тем, что сферические
функции Yl m (ϑ ,ϕ ) являются собственными функциями угловой
части оператора Лапласа ∆ ΩYlm (ϑ ,ϕ ) =
−l (l + 1) ⋅ Ylm (ϑ ,ϕ ) ,
получим:
∞
l
 1 d  dψ (r )   s
l (l + 1) 

0.
∑ ∑  r 2 dr  r 2 drr  −  ν (1 − δ j1 ) + r 2 ψ r (r )  Clmj ⋅Ylm (ϑ ,ϕ ) =
l = 0 m = −l
Поскольку сферические функции Yl m (ϑ ,ϕ ) линейно независимы, а величины Clmj ≠ 0 (иначе мы получили бы тривиальное решение, см. (53)), для выполнения последнего равенства необходимо потребовать, чтобы обращались в ноль все выражения,
стоящие в фигурных скобках. В результате получим следующие
уравнения для определения функций ψ j ( r ) :
1 d  2 dψ j (r )   s
l (l + 1) 
r
0; j = 1;2;3. (54)
 −  1 − δ j1 +
ψ j (r ) =
2 dr 
dr   ν
r
r2 

(
)
Если индекс j положить равным 1, то это уравнение превратится в обыкновенное дифференциальное уравнение типа Эйлера:
d  2 dψ 1 (r ) 
0;
r
 − l (l + 1) ⋅ψ 1 (r ) =
dr 
dr 
решение которого легко находится в виде:
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ψ 1 (r )= D ⋅ r l + G ⋅ r −(l +1) ;
где
D и G – константы.
Поскольку функции ψ j ( r ) выражают зависимость поля
скоростей внутри капли от радиальной переменной, то необходимо потребовать, чтобы найденное решение было ограничено
внутри сферы, отсюда следует, что G = 0. Таким образом, для
функции ψ 1 ( r ) получаем решение:
(55)
ψ (r=) D ⋅ r l .
1
Для функций ψ 2 ( r ) и ψ 3 ( r ) (т. е. когда в (54) j = 2;3 )
уравнение (54) принимает вид:
1 d  2 dψ j (r )   s l (l + 1) 
r
ψ (r ) =
0; j = 2;3.
− +
2 dr 
2  j
dr
ν
r
r


 
Сделаем в этом уравнении замену переменных: x= r ⋅ s ν ,
и получим:
d  2 dψ j ( x) 
2
0; j = 2;3.
x
 − x + l (l + 1) ψ j ( x) =
dx 
dx 
Решениями этого уравнения являются модифицированные
сферические функции Бесселя il ( x ) и kl ( x ) . Общее решение
можно выписать в виде:
(
)
ψ j (r )= B j ⋅ il ( x) + H j ⋅ kl ( x); j = 2;3;
где B j и H j – константы. Поскольку нас интересуют решения,
ограниченные внутри сферы, то необходимо положить H j = 0, т.
к. kl ( x) → ∞ при x → 0 .
Таким образом, для функций ψ 2 ( r ) и ψ 3 ( r ) получаем решения:
ψ j (=
r ) B j ⋅ il (r s ν ); j = 2;3.
(56)
Подставляя найденные решения (55) и (56) в разложения
(4.43) для функций и переобозначая константы Clmj (неопределенные константы D и B j вносим в неопределенные константы
Clmj ), запишем:

Ψ
=
1 (r , t )
∞
l
∑ ∑C
l = 0 m =− l
1
lm
⋅r l ⋅ Yl m (ϑ ,ϕ ) ⋅ exp( st );
58
(57)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Ψ j (r=
,t)
∞
l
∑ ∑C
j
lm
l = 0 m =− l
⋅il (r s ν )⋅ Yl m (ϑ ,ϕ ) ⋅ exp( st ); j = 2;3. (58)
Используя найденные выражения (57) и (58) для функций

Ψ j ( r , t ) , можно попытаться определить вид функции ξ (ϑ , ϕ , t ) .
Функция ξ (ϑ ,ϕ , t ) , описывающая возмущение поверхности капли, связана со скалярными функциями Ψ (r , t ) через кинематичеj
ское граничное условие (42). Из вида выражения (42) ясно, что зависимость функции ξ (ϑ ,ϕ , t ) от углов ϑ и ϕ должна быть аналогична угловой зависимости функций Ψ (r, t ) . Поэтому представим
j
ξ (ϑ ,ϕ , t ) также в виде разложения по сферическим функциям:
где
l
∞
∑ ∑Z
ξ (ϑ ,ϕ , t ) =
l = 0 m =− l
lm
⋅ Yl m (ϑ ,ϕ ) ⋅ exp( st ).
(59)
Z lm – коэффициенты разложения, являющиеся константами.
Для уточнения границ изменения индекса l в этом разложении можно сразу же воспользоваться дополнительными условиями (24) и (47). Исходя из выражения (46) для сферических функций Yl m (ϑ ,ϕ ) , несложно получить, что Y00 (ϑ ,ϕ ) → 1 4π .
Поэтому дополнительное условие постоянства объема капли
можно записать в виде:
(
∫ ξ (ϑ ,ϕ , t ) ⋅ Y (ϑ ,ϕ ) ⋅d Ω =0.
0
0
)
(60)
Ω
Подставляя разложение (59) для ξ (ϑ ,ϕ , t ) в условие (60)
и (47) и пользуясь ортонормированностью сферических функций
Yl m (ϑ ,ϕ ) , получим:
из (60):
∞
l
0
ξ
(
ϑ
,
ϕ
,
t
)
⋅
Y
ϑ
=
,
ϕ
⋅
d
Ω
Z lm ⋅ exp( st ) ∫ Y00 (ϑ ,ϕ ) ⋅ Yl m (ϑ=
,ϕ ) ⋅ d Ω
(
)
∑
∑
0
∫
l = 0 m=− l
Ω
∞
l
∑ ∑Z
=
l = 0 m =− l
Из (47):
m
,ϕ ) ⋅d Ω
∫ ξ (ϑ ,ϕ , t ) ⋅ Y1 (ϑ=
=
⋅ exp( st )⋅ δ l 0 ⋅ δ m 0 = Z 00 = 0;
l
∞
∑ ∑Z
l = 0 n =− l
Ω
∞
lm
Ω
l
∑ ∑Z
l = 0 m =− l
lm
ln
⋅ exp( st ) ∫ Y1m (ϑ ,ϕ ) ⋅ Yl n (ϑ=
,ϕ ) ⋅ d Ω
Ω
⋅ exp( st )⋅ δ l1 ⋅ δ mn = Z1m = 0;
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где m = −1; 0;1 . Таким образом мы получили, что в разложении
(59):
Z 00 = 0; Z1m = 0; m = −1; 0;1;
а это означает, что в разложениях (57)–(59) суммирование по
должно
начинаться с l = 2 . Оставшиеся неизвестными в решеl
j
ниях (57)–(59) коэффициенты разложений Clm , где j = 1;2;3 и Z lm ,
должны быть определены из кинематического (42) и динамических (43)–(45) граничных условий.
Начнем с кинематического граничного условия (42). С учетом (49) оно может быть переписано в виде:

∂Ψ1 (r , t ) 1
− ∆ Ω Ψ 3 (r , t )= s ⋅ ξ (ϑ , ϕ , t ).
(61)
r = 1:
∂r
r
Проставляя в это равенство решения (57)–(59) и учитывая
линейную независимость сферических функций Yl m (ϑ ,ϕ ) , а также соотношение:
(62)
∆ ΩYl m (ϑ ,ϕ ) =−l (l + 1) ⋅ Yl m (ϑ ,ϕ );
получим:
(63)
l ⋅ Clm1 + l (l + 1) ⋅ il ( s ν ) ⋅ Clm3 = s ⋅ Z lm .
Используем теперь динамическое граничное условие (43),
3
1
связывающее коэффициенты Clm
и Clm
. Подставим в него решения (57)–(58). Аналогично избавляясь от суммирования по индексам l и m , получим:
2


 d i (r s ν )
 3
1
2(l − 1) ⋅ Clm
0. (64)
+ l 2
+ (l − 1)(l + 2) ⋅ il ( s ν )  Clm
=
dr




r =1
Вторую производную от модифицированной функции Бесселя по r можно записать следующим образом:
 s  s
d 2il ( r s ν )
s
  s 
=
−2
⋅ il +1 
 +  + l (l − 1)  ⋅ il 
.
2
ν
dr
  ν 
 ν  ν
r =1
Подставим это выражение в (64) и получим второе уравнение для определения неизвестных коэффициентов:

 s  s
s
  s   3
1
2
2(l − 1) ⋅ Clm
+ −2
⋅ il +1 
0. (65)
 +  + 2(l − 1)  ⋅ il 
  Clm =
ν
  ν  
 ν  ν

60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Прежде чем использовать динамическое граничное условие (45), распишем входящие в него выражения для добавок к

давлениям электрических сил pq (r , t ) (см. (20) и (21)) и сил поверхностного натяжения pγ (r , t ) (см. (22)) с учетом выписанного решения для возмущения поверхности ξ (ϑ ,ϕ , t ) (см. (29)).
Вычислим интегралы, через которые определяются
коэффици
енты в разложениях (20) и (21) для pq ( r , t ) , подставляя в них
(59) и пользуясь ортонормированностью сферических функций.
Для капли проводящей жидкости получим:
Alm (t ) =Q ⋅ Zlm ⋅ exp( st );
а для капли диэлектрической жидкости:
l (ε d − 1) + 3
=
Alm (t )
Q ⋅ Z lm ⋅ exp( st );
l (ε d + 1) + 1
(66)
(67)
(l + 1)(ε d − 1) − 3ε d
Q ⋅ Zlm ⋅ exp( st ).
(68)
[l (ε d + 1) + 1] ⋅ ε d
Таким образом, подставляя (59), (66)–(68) в выражения
(20) и (21) соответственно,
для добавки к давлению электриче
ских сил pq (r , t ) вызванной возмущением поверхности капли
ξ (ϑ ,ϕ , t ) запишем:
в случае проводящей жидкости
=
Blm (t )
(69)
в случае диэлектрической жидкости
(70)

Поскольку выражение для pq ( r , t ) в случае проводящей жидкости (69) легко получается из выражения (70) для диэлектрической жидкости при стремлении диэлектрической проницаемости
ε d к бесконечности
( ε d → ∞ ), то в дальнейших вычислениях

для pq ( r , t ) будем использовать формулу (70), а финальный результат для капли проводящей жидкости получим в конце, совершив указанный предельный переход.
Подставим теперь разложение (59) для возмущения ξ (ϑ ,ϕ , t )
в выражение (22) и выпишем добавку к давлению сил поверх61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ностного натяжения pγ ( r , t ) , вызванную возмущением поверхности капли ξ (ϑ ,ϕ , t ) :
∞
l

pγ (r , t ) =
− ∑ ∑ ( l − 1) (l + 2) ⋅Z l m ⋅ Yl m (ϑ ,ϕ ) ⋅ exp( st ).
l = 0 m=− l
(71)
Теперь можно использовать граничное условие (45), чтобы
получить последнее третье уравнение, связывающее неизвестные
3
1
коэффициенты Clm , Clm и Z lm . Подставляя (52), (57)–(59), (70)–
(71) в граничное условие (45) и вновь пользуясь линейной независимостью сферических функций Yl m (ϑ , ϕ ) , для того чтобы
избавиться от суммирования по l и m , запишем:
 s
 s
 s   3
⋅ il +1   + (l − 1) ⋅ il    Clm
+
 ν
 ν  
 ν
[ s + 2ν l (l − 1)] ⋅ Clm1 + 2ν l (l + 1) 

Q 2 (lε 2 − (2l − 5)ε + (l + 1)) 
0. (72)
+(l − 1) (l + 2) −
 Zlm =
4π
[l (ε + 1) + 1] ⋅ ε


Здесь учтено, что:

dil (r s ν )
s
s l 
s
=
⋅ il +1  r
 + ⋅ il  r
.
dr
ν
 ν  r  ν 
r =1
Итак, полученная система уравнений (63), (65), (72) определяет
1
3
неизвестные коэффициенты Clm
, Clm
и Z lm . в решениях (57)–(59)

для функций Ψ1 ( r , t ) , Ψ 3 ( r , t ) и ξ (ϑ ,ϕ , t ) . Для упрощения записи дальнейших вычислений введем следующие обозначения:
 s 3
(lε 2 − (2l − 5)ε d + (l + 1))
s
3
x2 ≡ ;
Dlm
≡ il 
κl ≡ d
;
 ⋅ Clm ;
ν
[l (ε d + 1) + 1] ⋅ ε d
 ν 
Q2
⋅ κl ;
(73)
4π (l + 2)
и пререпишем систему уравнений ((63), (65), (72) для определе3
1
3
ния коэффициентов Clm , Dlm и Z lm (т. е. Clm ) в виде:
αl ≡ 1 −
1
l ⋅ Clm
+ l (l + 1) ⋅ Dlm3 + ν ⋅ x 3 ⋅ Z lm =
0;
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
i ( x)


1
+  x 2 − 2 x ⋅ l +1
+ 2(l 2 − 1)  Dlm3 =
2(l − 1) ⋅ Clm
0;
il ( x )




 i ( x)
 3
1
 x 2 + 2l (l − 1)  ⋅ Clm
+ 2l (l + 1)  x ⋅ l +1
+ (l − 1)  Dlm
+
 il ( x )



α 

+ (l − 1)(l + 2) l  Z lm =
0.
(74)
ν 

Для того чтобы эта однородная система линейных алгебраи3
1
ческих уравнений относительно неизвестных Clm , Dlm и Z lm
имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы, составленной по системе (74) из ко1
3
эффициентов при неизвестных Clm , Dlm и Z lm , обращался в
ноль. Расписывая определитель системы (74), можно получить
для неизвестной величины
(т. е. s ), которая, как указывалось

выше, определяет эволюцию искомых функций Ψ1 (r, t ) , Ψ 3 (r , t )
и ξ (ϑ ,ϕ , t ) со временем:
x 4 + 2(l − 1)(2l + 1) x 2 + l (l − 1)(l + 2)
αl
+ 2(l − 1)2 (l + 1)
ν
x2
=
0. (75)
x i ( x)
1− ⋅ l
+ (l + 1)
2 il +1 ( x )
Сделаем в этом уравнении обратный переход от переменной
x к переменной s (см. (73)), чтобы в явном виде выявить за2
висимость компонент (75) от вязкости ν . Умножая (75) на ν ,
запишем дисперсионное соотношение в окончательном виде:
s 2 + 2(l − 1)(2l + 1) ⋅ν ⋅ s + l (l − 1)(l + 2)α l +
ν ⋅s
+2(l − 1) 2 (l + 1)
1−
il
(
sν
⋅
2
il +1
(
sν
)
sν
=
0.
)
(76)
+ (l + 1)
Напомним, что согласно (49) зависимость интересующих нас
функций (в том числе и возмущения равновесной поверхности
капли ξ (ϑ ,ϕ , t ) от времени будет определяться аналитической
зависимостью ~ exp(st), причем реальная часть параметра s определит экспоненциальное нарастание либо затухание амплитуды
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
возмущения ξ (ϑ ,ϕ , t ) со временем, а мнимая часть s – частоты
собственных колебаний свободной поверхности капли.
Рассмотрим частные случаи уравнения (76): идеальную жидкость, маловязкую жидкость и сильновязкую жидкость.
8. Приближение идеальной жидкости. Для того чтобы рассмотреть случай капли идеальной жидкости, необходимо положить равной нулю коэффициент кинематической вязкости (ν = 0 ).
При этом аргумент сферических функций Бесселя il ( s ν )
и il +1 ( s ν ) , входящих в уравнение (76), обращается в бесконечность. Поэтому, чтобы понять, как ведет себя последнее
слагаемое в (76) при v → 0, следует воспользоваться асимптотическим разложением для сферических функций Бесселя при
больших значениях аргумента, т. к. il ( x) ≡
π
2x
⋅ I ( l +(1 2 ) ) ( x) [5]:
1

 1 
exp( x) ⋅ 1 + Ο    ;
(77)
2x
 x 

тогда отношение сферических функций Бесселя ( il ( x) il +1 ( x) )
при x → ∞ имеет асимптотику:
i ( x) 
 1 
≈ 1 + Ο    ;
x →∞: l
il +1( x) 
 x 
x → ∞ : il ( x) ≈
следовательно, дробь в уравнении (75) при x → ∞ представима в виде:
x →∞:
x2
x2
≈−
≈ 2 x;
x il ( x )
x 2
1− ⋅
+ (l + 1)
2 il +1 ( x )
(78)
или в терминах переменной s (см. (73)) получим:
ν ⋅s
ν → 0:
1−
(
)
s ν il s ν
⋅
+ (l + 1)
2
il +1 s ν
(
)
≈
ν ⋅s
=
2ν sν → 0. (79)
1
⋅ sν
2
Таким образом, учитывая соотношение (79), для случая идеальной (v = 0) жидкости дисперсионное уравнение (76) запишется в виде:
s 2 + l (l − 1)(l + 2)α l =
0.
64
(80)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отсюда, вспоминая введенное обозначение для α l (см. (73)),
получим:


Q2
s=
± l (l − 1)(l + 2)α l ≡ ± l (l − 1)(l + 2) 1 −
κl  ≡
 4π (l + 2) 

Q2
(lε 2 − (2l − 5)ε + (l + 1)) 
≡ ± l (l − 1)(l + 2) 1 −
 . (81)
[l (ε + 1) + 1] ⋅ ε
 4π (l + 2)

Из выражения (81) следует:
1) если α l >0, т. е. Q 2κ l 4π (l + 2) < 1 , то величина s определяет собственные частоты колебания свободной поверхности
заряженной капли идеальной жидкости:


Q2
s=
± l (l − 1)(l + 2)α l ≡ ±iωl l (l − 1)(l + 2) 1 −
κ l  ; (82)
 4π (l + 2) 
2) если α l <0, т. е. Q 2κ l 4π (l + 2) > 1, то величина s определяет инкремент экспоненциального нарастания, либо декремент
экспоненциального затухания решений со временем:
 Q2

s = ±γ l ≡ ± l (l − 1)(l + 2) 
κ l − 1 .
 4π (l + 2)

(83)
Появление нарастающих со временем решений (т. е. увеличивающегося со временем возмущения поверхности ξ (ϑ ,ϕ , t ) )
означает неустойчивость капли;
3) значение α l = 0 разделяет устойчивые и неустойчивые решения,
т. е. определяет критическую величину, имеющегося на капле заряда:
Q 2κ l 4π (l + 2) =
1.
Очевидно, что для того, чтобы капля стала неустойчивой,
достаточно, чтобы условие неустойчивости выполнилось для
основной моды.
Согласно сказанному выше, минимальное значение, которое
принимает индекс l, равно 2, и, следовательно, критическое значение заряда определится соотношением:
(84)
Qcr2 κ 2 16π = 1;
или, переходя к размерным величинам, с учетом (37) запишем
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Qcr2 (2ε d2 + ε d + 3)
= 1.
16π [2ε d + 3] ⋅ ε d
(85)
Для случая идеально проводящей жидкости (εd→∞) величина
обращается в единицу, и из (85) получаем значение критического заряда, полученное еще Рэлеем, в размерном виде:
(86)
Q 2 16πσ R 3 = 1.
Из сказанного выше ясно, что критические условия реализации неустойчивости капли по отношению к собственному заряду
не зависят от вязкости жидкости, но в случае диэлектрической
капли зависят от величины ее диэлектрической проницаемости.
9. Асимптотика маловязкой жидкости. Для того чтобы
выяснить влияние вязкости жидкости на собственные частоты колебаний заряженной капли и на инкремент нарастания ее
неустойчивости, рассмотрим случай маловязких жидкостей, т. е.
когда v мало. Из асимптотического разложения (79) видно, что
четвертое слагаемое в дисперсионном соотношении (76) ~ v3/2,
а второе слагаемое ~ v, поэтому в случае маловязких жидкостей
сохраним в (76) лишь слагаемые до первого порядка малости по v
включительно. Тогда вместо выражения (76) получим следующее дисперсионное соотношение:
κl
s 2 + 2(l − 1)(2l + 1) ⋅ν ⋅ s + l (l − 1)(l + 2) ⋅ α l =
0.
Решения этого уравнения записываются в виде:
(87)
s =−(l − 1)(2l + 1) ⋅ν ± (l − 1) 2 (2l + 1) 2 ⋅ν 2 −l (l − 1)(l + 2) ⋅ α l . (88)
Однако поскольку само уравнение (87) получено из исходного дисперсионного соотношения (76) путем отбрасывания
слагаемого ~ v3/2, то и в выражении для решений (88) следует под
знаком квадратного корня отбросить член ~ v2. Таким образом,
с точностью до членов первого порядка малости по v получим:
s =−(l − 1)(2l + 1) ⋅ν ± i l (l − 1)(l + 2) ⋅ α l .
(89)
Из выражения (89) следует, что:
1) если α l >0, т. е. Q 2κ l 4π (l + 2) < 1 , то величина определяет собственные частоты колебаний поверхности заряженной
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
капли маловязкой жидкости ωl , совпадающие с собственными
частотами колебаний капли идеальной жидкости. Учет наличия
вязкости жидкости приводит к появлению пропорционального
коэффициенту кинематической вязкости декремента затухания
βl собственных колебаний поверхности капли:
s= βl ± i ⋅ ωl ≡ −(l − 1)(2l + 1) ⋅ν ± i l (l − 1)(l + 2) ⋅ α l ; (90)
2) если α l <0, т. е. Q 2κ l 4π (l + 2) > 1 , то величина s опреде-
ляет инкремент нарастания неустойчивости заряженной капли маловязкой жидкости γ l , который оказывается несколько меньше, чем
в случае идеальной жидкости, а именно на величину декремента β l :
 Q2

s = γ l ≡ l (l − 1)(l + 2) 
κ l − 1 − (l − 1)(2l + 1) ⋅ν ; (91)

 4π (l + 2)
3) как и в случае идеальной жидкости, равенство α l = 0 раз-
деляет устойчивые и неустойчивые решения, а выражения для
критического значения заряда (84)–(86) остаются справедливыми
и для капли маловязкой жидкости.
10. Асимптотика сильновязкой жидкости. Для того чтобы
рассмотреть случай сильновязкой жидкости ν велико, x мало,
следует воспользоваться разложением для сферических функций
Бесселя в степенной ряд
(
)
(
)
2


2
2
x
2
x
2
xl


il ( x) =
1+
+
+ ... .

( 2l + 1)!!  1!( 2l + 3) 2!( 2l + 3)( 2l + 5) 


4
Учитывая это разложение, можно с точностью ~ x получить
следующее представление для отношения сферических функций
Бесселя из последнего слагаемого в дисперсионном уравнении (75):
 x il ( x )

− 1
 ⋅
i
x
2
 l +1 ( ) 
−1
≈

x2
2 
4(l + 2) x 4
1 −
 . (92)
+
+
...
( 2l + 1)  ( 2l + 1)( 2l + 5) ( 2l + 1)2 ( 2l + 5)2 ( 2l + 7 ) 
Подставляя (92) в дисперсионное уравнение (75) и собирая
слагаемые с одинаковыми степенями x , несложно получить
с точностью до членов ~ x 4 следующее уравнение:
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3(4l 3 + 8l 2 + 6l + 3)
( 2l + 1)2 ( 2l + 5)
x4 +
α
2(l − 1)(2l 2 + 4l + 3) 2
x + l (l − 1)(l + 2) 2l =
0. (93)
( 2l + 1)
ν
Переходя к величине s , запишем дисперсионное уравнение
для случая больших значений вязкости:
3(4l 3 + 8l 2 + 6l + 3)
( 2l + 1)2 ( 2l + 5)
s2 +
2(l − 1)(2l 2 + 4l + 3)
ν s + l (l − 1)(l + 2)α l =
0. (94)
( 2l + 1)
При получении уравнения (93) в разложении (92) было от4
брошено слагаемое ~ x .
Найдем ограничение на минимальную величину коэффициента кинематической вязкости (на величину x ), при которой можно пользоваться дисперсионным уравнением (93) (или (94)). Для
этого рассмотрим отношение третьего члена ряда (92) ко второму
и потребуем, чтобы это отношение было много меньше единицы.
В итоге получим:
4(l + 2) x 2
( 2l + 1)( 2l + 5)( 2l + 7 )
<< 1.
Это соотношение будет справедливо, когда
x 2 <<
( 2l + 1)( 2l + 5)( 2l + 7 ) .
4(l + 2)
Отсюда, переходя от величины x к вязкости ν (см. (73))
и помня, что минимальное значение индекса l в разложении
возмущения поверхности ξ (ϑ ,ϕ , t ) по сферическим функциям
Yl m (ϑ ,ϕ ) равно 2, получим условие на величину коэффициента
кинематической вязкости:
(95)
ν ~ 0.03 ⋅ s.
Несложно видеть, что с ростом индекса l численный коэффициент справа в неравенстве (95) увеличивается ~ l2.
Выпишем решения дисперсионного уравнения (94) в виде:

α
= ηl  −1 ± 1 − χ l ⋅ 2l
sl1;2 ≡ − β l ± i ⋅ ω
ν

68

;

(96)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
(l − 1) ( 2l + 1)( 2l + 5 ) 2l + 4l + 3
(
3
2
3 4l + 8l + 6l + 3
χl =
)
3l (l + 2)(4l 3 + 8l 2 + 6l + 3)
(
(l − 1) ( 2l + 5 ) 2l 2 + 4l + 3
)
)
.
Из вида решения (96) следует, что:
Q2
1) если величина α l >0, т. е.
κ l < 1 , и выражение под
4π (l + 2)
знаком квадратного корня отрицательно, то поверхность капли
совершает затухающие колебания, при этом величина sl определяет частоты собственных колебаний ωl и декременты их затухания β l согласно (96):
αl ;
ν2
αl ~ 1
sl1;2 ≡ − βl ± i ⋅ ωl ≡ −ηl  i ⋅ηl ⋅ 1 − χ l ⋅
2) если величина
α l >0,
(
Q2
κ l < 1 ), но
4π (l + 2)
(97)
за счет
большой величины коэффициента кинематической вязкости или
за счет большой величины собственного заряда капли Q , так,
что выражение под знаком квадратного корня положительно
и весьма мало, то оба решения sl1;2 вещественны и положительны и виртуальное возмущение свободной поверхности экспоненциально затухает, а величины sl1;2 характеризует декременты затухания колебаний поверхности β l1;2 :
αl
α
;
β l(2) ≡ −ηl + ηl ⋅ 1 − χ l ⋅ 2l ;. (98)
ν2
ν
При этом зависимость возмущения l -й моды капиллярных
колебаний поверхности от времени будет определяться линейной
комбинацией двух экспонент
βl(1) ≡ −ηl − ηl ⋅ 1 − χ l ⋅
~� C1 ⋅ exp( βl(1) ⋅ t ) + C2 ⋅ exp( βl(2) ⋅ t ).
Очевидно, что при больших значениях времени затухание
виртуального возмущения свободной поверхности будет характеризовать меньший из декрементов β l(2) , т. к. экспонента с боль69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
шим значением величины декремента убывает со временем быстрее и может полностью затухнуть к моменту наблюдения.
Таким образом, при α l >0 условие обращения в ноль подкоренного выражения в (96) разделяет периодические и непериодические решения задачи. Запишем это условие в виде:
(l − 1) ( 2l + 5 ) ( 2l + 4l + 3)
αl
1
=
≡
.
(99)
2
ν
χ l 3l (l + 2)(4l 3 + 8l 2 + 6l + 3)
Уравнение (99) определяет точки бифуркации, т. е. такие
значения вязкости ν cr (для заданного заряда капли Q и номера
моды l ), при которых частота осцилляций (определяемая формулой (97)) обращается в ноль и два периодических затухающих
с одинаковым декрементом движения свободной поверхности
капли сменяются на два апериодически затухающих с различными декрементами движения.
Расчеты показывают, что при фиксированном заряде капли
,
меньшем
критического значения Qcr , с увеличением номера
Q
моды l частота ν cr уменьшается. Таким образом, при заданном ν
в капле вязкой жидкости возможно лишь конечное число колебаний с несколькими первыми (малыми) l , для которых ν cr >ν . Движения жидкости, соответствующие остальным модам, являются
апериодическими;
3) если величина α l <0, т. е. Q 2κ l 4π (l + 2) > 1 , то поверхность капли неустойчива, т. к. один из корней дисперсионного
уравнения становится вещественным положительным и соответствует моде, амплитуда которой нарастает со временем. Второе
решение в указанных условиях соответствует экспоненциально
затухающему решению. Иными словами, величина sl(1) опреде(2)
ляет инкремент нарастания неустойчивости γ l , а величина sl
определяет декремент затухания β l :
2
sl(1) ≡ γ l ≡ −ηl + ηl ⋅ 1 + χl ⋅
αl
sl(2) ≡ βl ≡ −ηl − ηl ⋅ 1 + χl ⋅
αl
; (100)
ν
ν2
Численные оценки по (4.90) показывают, что инкремент нарастания неустойчивости является резко убывающей функцией вязкости. Из сказанного выше следует, что, как и в случаях
идеальной и маловязкой жидкости, для сильновязкой жидкости
2
;
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
значение α l = 0 разделяет устойчивые и неустойчивые решения
задачи и выражения для критического значения заряда капли
(84)–(85) остаются справедливыми.
11. Временная эволюция амплитуд осцилляций заряженной
капли вязкой жидкости. Определение неизвестных коэффициен3
1
тов Clm и Clm . Если решать задачу об исследовании временной
эволюции капиллярных осцилляций заряженной капли вязкой жидкости, виртуально деформированной в начальный момент времени,
то возникает необходимость в определении явного вида функций

Ψ j ( r , t ) и ξ (ϑ ,ϕ , t ) . А для этого в известных (см. выше) выражениях для общего вида решений необходимо найти коэффициенты
1
3
, Clm и Z lm . Такая же задача появляется и при расчете явного
Clm
вида полей скоростей течения жидкости внутри капли.
Обратимся вновь к системе алгебраических уравнений (74).
Как уже упоминалось, для того чтобы она имела нетривиальное
решение, необходимо, чтобы ее определитель обращался в ноль,
т. е. чтобы величина s являлась корнем дисперсионного уравнения (76). При выполнении этого условия, разрешая систему
3
(74) относительно неизвестных lm и Dlm с учетом обозначе1
ния (73), можно получить выражения для коэффициентов Clm
3
и Clm через Z lm – коэффициенты разложения в ряд по сферическим функциям Yl m (ϑ , ϕ ) возмущения свободной поверхности
капли в начальный момент времени ξ (ϑ ,ϕ , t = 0) (см. (59)). Отметим, что если задана форма капли в начальный момент времени ξ (ϑ ,ϕ , t = 0) , то коэффициенты
Z lm ≡ ∫ ξ (ϑ ,ϕ , t = 0) ⋅ Yl m (ϑ ,ϕ ) ⋅d Ω
(101)
Ω
можно считать известными. Искомые выражения для коэф1
3
фициентов Clm и Clm через Z lm имеют вид:
s
2(l − 1)(l + 1)
s
1
Clm
=
Zlm +
⋅ Zlm ;
l

 l
i
sν
 s − 2 s ⋅ l +1
+ (l + 1) 
ν il s ν
l



(
71
(
)
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2(l − 1)
3
Clm
=
−

i
sν
 s − 2 s ⋅ l +1
ν il s ν
l

(
(
⋅
)  il (
) 
s
⋅ Zlm . (102)
sν l
1
)
Подстановка выражений (101) в решения (57)–(58) полностью определяет функции Ψ1 ( r , t ) и Ψ 3 (r , t ) при заданном начальном возмущении равновесной сферической формы поверхности капли ξ (ϑ ,ϕ , t = 0) . Временная зависимость формы капли
при известных коэффициентах Z lm (см. (101)) определится соотношением (59).
12. Отыскание функции Ψ 2 (r, t ) , определяющей тороидальное вихревое движение внутри капли. Ранее уже отмеча
лось, что для функции Ψ 2 (r , t ) мы получили полностью независимую краевую задачу, состоящую из уравнения (51) (при j = 2) и
граничного условия (44). Решение уравнения (51) имеет вид (58),
подставляя его в условие (44) и пользуясь соотношением для
производной от модифицированной сферической функции Бесселя, запишем:
∞
 s


s
s  2
m
0.
⋅ il +1  r

+ (l − 1) ⋅ il  r
  ⋅ Clm ⋅ Yl (ϑ ,ϕ ) ⋅ exp( st ) =
ν
ν
ν






m = −l 
l
∑ ∑
l=0
Для того чтобы этот ряд обращался в ноль при любых значениях ϑ , ϕ и t , необходимо положить равными нулю все выражения в квадратных скобках либо все коэффициенты lm .
В первом случае получим, что показатель экспоненты s должен быть решением дисперсионного уравнения вида:
 s
 s
s
⋅ il +1  r
0;
 + (l − 1) ⋅ il  r
=
ν
 ν
 ν
Выражение для производной от модифицированной сферической функции
имеет вид:
 s  l +1  s 
1 d   s 
s
⋅ il +1  r
il  r
 r ⋅ il  r
 =
+
 . (104)
r dr   ν  
ν
ν
r
ν




72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставляя решения (57)–(58) в выражения (41) и используя
выражения (62),
 (103), выпишем компоненты векторного поля
скоростей u ( r , t ) в виде:
l (l + 1)  s   m
⋅ il  r
  ⋅ Yl (ϑ ,ϕ ) ⋅ exp( st );
r
 ν  
l = 2 m =−l 
∞
l
 1
 s
 s

3
=
⋅ l ⋅ r l −1 + Clm
⋅ il +1  r
uϑ (r , t ) ∑ ∑ exp( st ) ⋅ Clm

+
 ν 
l = 2 m =−l
 ν


ur ( r , t )
=
+
∞
l

∑ ∑ Clm1 ⋅ l ⋅ r l −1+ Clm3
(l + 1)  s   
m
m +1
il  r
   m ⋅ ctgϑ ⋅ Yl (ϑ ,ϕ ) + l (l + 1) − m(m + 1) ⋅ Yl (ϑ ,ϕ )  ;
r
 ν   

=
uϕ (r , t )
+
∞
l


 s
 s
⋅ il +1  r
+
 ν
 ν 
∑ ∑ Clm1 ⋅ r l −1 + Clm3 
l = 2 m =−l 

(l + 1)  s    i ⋅ m m
il  r
⋅ Yl (ϑ ,ϕ ) ⋅ exp( st ).
 
r
 ν    sin ϑ
(105)
Полученные выражения (105) позволяют найти уравнения
 
векторных линий поля скоростей u ( r , t ) как решения дифференциальных уравнений:
dr r ⋅ dϑ r ⋅ sin ϑ ⋅ dr
= =
.
ur
uϑ
uϕ
2.3. Неустойчивость сферической капли
в поле точечного диполя
Можно поставить вопрос о том, почему мы исследуем каплю
в неоднородном поле, не обращая внимание на однородное. Ответ
простой: наиболее общий случай вида электростатических полей –
неоднородные поля. В большинстве случаев, говоря о распаде капли в электростатическом поле, имеют в виду именно неоднородное
поле. Во-первых, достаточно сильное однородное электростатическое поле (а речь идёт о полях напряженностью порядка десятков
киловольт делённых на сантиметр) достаточно трудно получить
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в искусственных условиях, а в естественных поля по определению
неоднородны. Однородные поля представляют простой частный
случай неоднородных. В данном рассмотрении в качестве неоднородного поля мы рассмотрим поле диполя.
Постановка задачи. Пусть имеется сферическая радиуса R
незаряженная капля идеальной, несжимаемой, идеально проводящей жидкости в вакууме с коэффициентом поверхностного натяжения свободной поверхности σ и массовой плотностью ρ ,
расположенная на расстоянии L от точечного диполя Q .
Рассмотрим только осесимметричные капиллярные колебания капли, что существенно уменьшит громоздкость математических выкладок, но не отразится на общности рассуждений.
Задачу будем решать в сферических координатах (r ,θ ,ϕ ) с началом в центре масс капли (ось, от которой отсчитывается угол
θ , будем принимать проходящей через заряд и центр масс капли
и направленной от заряда). Форму капли представим в виде суперпозиции её равновесной формы r = r (θ ) и малого возмущения ξ (θ , t ) на её поверхности:
F ( r,θ , t ) ≡ r − r (θ ) =
− ξ (θ , t ) 0;
ξ (θ , t ) <<
� min r (θ ).
Математическая формулировка задачи состоит из: уравнения
Эйлера, уравнения неразрывности и уравнений, определяющих
напряжённость электрического поля в предположении малости
гидродинамических скоростей по сравнению со скоростью распространения электромагнитного сигнала:
F
∂V
1
+ ( V, ∇ ) V =− ∇P + in ; divV = 0; divE = 0; E = −∇Φ.
ρ
ρ
∂t
Здесь V – скорость волнового движения жидкости в капле;
P – давление в жидкости; Fin – сила инерции, действующая на еди-
ницу объёма, которая возникает вследствие ускоренного движения
центра масс капли при втягивании поляризованной капли в область
большей неоднородности электрического поля; E и Φ – напряжённость и потенциал электростатического поля точечного заряда.
Задачу дополним условием ограниченности скорости в центре масс капли и условием убывания электростатического потенциала с увеличением расстояния:
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r = 0 : V < ∞; r → ∞ : Φ ex ≡
p
(L + r
2
2
+ 2 Lr µ
)
3
;
µ ≡ cosθ ;
а также граничными условиями: динамическим, кинематическим и условием эквипотенциальности поверхности капли:
Pσ ; ∂F + ( V, ∇ ) F =
=
r r (θ ) + ξ (θ , t ) : P − Patm + PE =
0; Φ =Const ;
∂t
где давление на свободную поверхность капли электростатического поля PE и капиллярное давление Pσ выражаются формулами:
PE =
E2
; Pσ = σ divn.
8π
Орт нормали к возмущённой поверхности капли n определяется выражением:
∇F
n=
∇F
F =0 .
Исходя из общефизических соображений, дополним задачу
условиями: сохранения объёма капли (следствие несжимаемости
жидкости); неподвижности центра масс капли в выбранной системе
координат при колебаниях её поверхности и незаряженности капли:
4
3
∫∫∫ dV = 3 π R ; {V : 0 ≤ r ≤ r(θ ) + ξ (θ , t ), 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π };
V
∫∫∫ r dV = 0; {V : 0 ≤ r ≤ r(θ ) + ξ (θ , t ), 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π };
V
∫∫ κ dS = 0; {S :=r
r (θ ) + ξ (θ , t ), 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π };
S
где κ – поверхностная плотность заряда, определяемая выражением:
κ ≡ ( E, n ) 4π .
Для удобства расчетов перейдём к безразмерным переменным, выбирая в качестве основных масштабов обезразмеривания: R = 1, ρ = 1, σ = 1. При этом все остальные величины будут
выражены в долях своих характерных значений:
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
[V ] = R
−
1
2
ρ
−
1 1
2 σ 2 ; [ P ] = σ R −1 ;
[Q ] =
3 1
2
R σ 2;
[t ] =
3
2
R
1
1
−
2
ρ σ 2;
Условимся за безразмерными величинами сохранять старые
обозначения.
Скаляризация задачи. Поскольку в поставленной задаче
исследуются движения жидкости, связанные с малыми колебаниями свободной поверхности, воспользуемся моделью потенциального течения жидкости, в рамках которой поле скоростей
V определяется гидродинамическим потенциалом ψ ( r,θ , t ) :
V = ∇ψ . Переходя к электрическому Φ (r ,θ , t ) и гидродинамическому ψ ( r ,θ , t ) потенциалам, получим систему скалярных
уравнений, в безразмерных переменных имеющую вид:
P = P0 + Fin r µ −
∂ψ 1
2
0; ∆Φ = 0;
− ( ∇ψ ) ; ∆ψ =
∂t 2
� r <<
� L : Φ = Φ ex Φ ex ≡
r = 0 : ∇ψ < ∞; 1<<
p
(L + r
2
2
+ 2 Lr µ
)
3
;
∂ξ  ∂ψ 1 ∂ψ  ∂r (θ ) ∂ξ (θ , t )  
+
+
−
0; Φ =Const ;
−
 =
∂t  ∂r r 2 ∂θ  ∂θ
∂θ  
(∇Φ )2 P = divn;
PE =
; σ
8π
1
2 − 2

∂r (θ ) ∂ξ (θ , t ) 
1 ∂
1

−
n =  e r + eθ
[ − r(θ ) − ξ (θ , t )]  1 + 2  −
  ;
∂θ  
r ∂θ

  r  ∂θ
−
2π
π
r (θ ) +ξ (θ ,t ) 2
∫0 ∫0 ∫0
2π
π
r sin θ drdθ dϕ =
r (θ ) +ξ (θ ,t )
∫0 ∫0 ∫0
2π
4
π;
3
r r 2 sin θ drdθ dϕ = 0;
π
∫0 ∫0 ( ∇Φ, n ) ⋅ r
2
dθ dϕ = 0.
e r и eθ – орты сферической системы координат.
Выписанную задачу будем решать асимптотическим методом, предполагая, что искажение равновесной поверхности капли
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ξ (θ , t ) мало, и, как следствие, мала скорость течения жидкости,
вызванного колебаниями поверхности: ψ ( r,θ , t ) ~ ξ (θ , t ) . Рассмотрение ограничим нулевым и первым порядками малости по
амплитуде осцилляций ξ (θ , t ) , представляя искомые величины в
виде суммы компонент указанных порядков:
( )
P
+ Ο (ξ ) ;=
( )
+ Ο (ξ ) .
Φ = Φ(0) + Φ(1) + Ο ξ 2 ; =
PE PE(0) + PE(1) + Ο ξ 2 ;
=
Pσ Pσ(0) + Pσ(1)
2
P (0) + P (1)
2
Проводя процедуру линеаризации стандартными методами,
получим задачу нулевого порядка для определения равновесной
формы поверхности и задачу первого порядка для анализа устойчивости поверхности.
Равновесная форма поверхности. Решая электрическую задачу нулевого порядка, получим выражение для потенциала Φ (0)
в окрестности капли
Φ (0) (r , µ ) =
p  2
1
1 +  2 − 2r  P1 ( µ ) +
2
L  r
L

 3
1
 4

 5
1
+  − 3 + 3r 2  2 P2 ( µ ) +  4 − 4r 3  R 3( µ ) +  − 5 + 5r 4  4 P4 ( µ )  (1)
 r
L
r

 r
L

Из задачи нулевого порядка несложно получить равновесную форму поверхности капли r (θ ) , определяемой из баланса
давлений нулевого порядка на поверхности капли:
r (θ ) =
1 + a2 P2 ( µ ) + a3 P3 ( µ ) + a4 P4 ( µ ) + a5 P5 ( µ ).
где коэффициенты an имеют вид:
336 K s (1,3, 2) 225 K s (2, 2, 2) 
1
a2 = W  36 K s (1,1, 2) +
+
;
8
L2
L2

9
K
(1,
2,3)
27
K
(1,
4,3)
42
K
(2,3,3)


s
s
s
a3 =
W −
−
−
;
L
L3
L3


1  336 K s (1,3, 4) 225 K s (2, 2, 4) 
+

;
36 
L2
L2

1  270 K s (1,4,5) 420 K s [(2,3,5) 
−
a5 =
W −
;
28 
L3
L3

=
a4 W
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
p2
а параметр W ≡
; характеризует величину поля в окрестно4π L6
сти капли.
Устойчивость равновесной формы. Задача первого порядка
малости, полученная из исходной системы уравнений, имеет вид:
∆ψ =
0; ∆Φ(1) = 0;
r → 0 : ∇ψ < ∞; r → ∞ : Φ(1) → 0;
граничные условия на поверхности: динамическое, кинематическое и условие эквипотенциальности
∂ξ (θ , t ) ∂ψ ( r,θ , t ) ∂ψ ( r,θ , t ) ∂r (θ )
r = r (θ ) : P (1) + P (1) =
+
−
=
0;
Pσ(1) ; −
E
∂t
∂r
∂θ
∂θ
∂Φ(0)
Φ(1) +
ξ (θ , t ) =Const;
∂r
выражения для поправок первого порядка малости к давлениям гидродинамическому, электрического поля и капиллярных сил:
(1)
r = r (θ ) : P = Finξ (θ , t ) µ −
PE(1)
=
∂ψ ( r,θ , t )
;
∂t
(∇Φ(0) ∇Φ(1) )
∂  (∇Φ(0) )2 
ξ
θ
t
,
;
(
)
+


π
8π
4
∂r 

Pσ(1) =−
[ 2ξ (θ , t ) − ∆θ ξ (θ , t )] − 2
∂r (θ ) ∂ξ (θ , t )
+
∂θ
∂θ
и интегральные условия: сохранения объёма, неподвижности
центра масс и незаряженности капли
π 2
∫0 r
π
∫0
π
∫0
(θ ) ξ (θ , t ) sin(θ )dθ =
0;
r 3 (θ ) ξ (θ , t ) sin θ dθ =
0;
 ∂Φ(0)
 ∂ 2 Φ(0)
∂Φ(1) 
2
ξ
(
θ
,
t
)
+
(2
r
(
θ
)
−
1)
ξ
(
θ
,
t
)
+

 −

2
∂
r
∂
r
 ∂r


78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
−
∂Φ(0) ∂ξ (θ , t ) ∂ 2 Φ(0) ∂r(θ )
∂Φ(1) ∂r(θ ) 
ξ (θ , t ) −
−
 sin θ dθ = 0.
∂θ
∂θ
∂r ∂θ ∂θ
∂θ ∂θ 
Решение задачи первого порядка малости. Решение уравнения Лапласа для гидродинамического потенциала с учётом
ограниченности скорости в центре капли имеет вид:
∞
ψ ( r,θ , t ) = ∑ Vn (t ) r n Pn ( µ ).
n =0
Подставляя выражения для равновесной формы поверхности
и гидродинамического потенциала в кинематическое граничное
условие определим координатную зависимость ξ:
∞
ξ (θ , t ) = ∑ α n (t )Pn ( µ );
n =0
(2)
и выразим коэффициенты Vn разложения через амплитуды αn(t):
Vn (t )
=
5

1

α
t
α n + m (t ) N m (n) 
(
)
−
 n
∑
n
m = −5

Коэффициенты Ni(n) имеют громоздкий вид и здесь не приводятся.
Решение уравнения Лапласа для электрического потенциала
первого порядка, удовлетворяющее условию убывания потенциала на бесконечности, запишем в виде:
∞
Φ(1) =
∑ Dn r −( n+1) Pn ( µ ).
(3)
n =0
Коэффициенты Dn , выраженные через амплитуды возмущения
α n , полученные подстановкой (1)–(3) в условие эквипотенциальности, легко выводятся, имеют громоздкий вид и здесь не приводятся.
Чтобы удовлетворить динамическому граничному условию,
получим выражения для добавок первого порядка малости по амплитуде возмущения к давлениям капиллярных сил и электрического поля. Подставляя (2) в выражение для капиллярного давления первого порядка, получим для Pσ(1) :
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Pσ(1) =
∞
5
∑ ∑ α n + m (t ) G m (n)
ò= 0
n
= −5
Коэффициенты G m (n) не приводятся. С учётом вида электрических потенциалов (1), (3) и выражений для формы поверхности, рассчитаем и электрическое давление PE(1) :
PE(1) =
∞
5
∑ ∑
n = 0 m = −5
α n + m (t ) Z m (n) Pn ( µ );
где zm(n) – численные коэффициенты, явный вид которых несущественен.
Эволюционное уравнение. Используя полученные выражения для давлений PE(1) , Pσ(1) , P (1) и формулы для формы поверхности и гидродинамического потенциала, запишем баланс давлений. Перенеся все слагаемые в левую часть, объединим их в одну
сумму, после чего, воспользовавшись ортогональностью полиномов Лежандра, получим систему связанных дифференциальных
уравнений второго порядка, каждое из которых имеет вид:
αn(t)
(t ) + ωnn22α n ((t)
t) −
5
n)α n + m (t)
(t ) + Cmd (n)
(n)αn + m (t)
(t ) ) =
00 (4)
∑ ( Cmf ((n)
m = −5
где ωn – собственная частота колебаний моды с номером n ,
определяемая выражением:
1


ωn2 =(n − 1)(n + 2)n − nW  Cω + 2 Dω  ;
L


d
f
а Ci (n) , Ci (n), Cω , и Dω – численные коэффициенты, выражения для которых несущественны. Заметим, что индексы n
амплитуд α n (t ) не могут быть отрицательными, поэтому будем
считать α n (t ) = 0 при n < 0.
Из системы (4), в частности, видно, что в неоднородном
электростатическом поле выделенная мода (под выделенной модой будем понимать n-ю моду) взаимодействует с шестью ближайшими. В однородном электростатическом поле n-я мода взаимодействует только с двумя соседними модами.
Кроме того, следует отметить, что условия сохранения объёма капли и неподвижности её центра масс определяют величи80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ны амплитуд нулевой и первой мод соответственно, которые несложно получить, подставляя в соответствующие интегральные
условия неизменности объёма и неподвижности центра масс выражение для формы поверхности.
Так как амплитуды возмущений α 0 ( t ) , α1 (t ) определены,
систему уравнений (4) будем решать для n ≥ 2 методом последовательных приближений. В нулевом приближении пренебрежём
слагаемыми, отвечающими за взаимодействие мод и содержащими малые множители W / L2 , W / L3 , система примет вид:
αn0 (t ) + ωn2 α n0 (t ) =
0 , ( n ≥ 2).
Решение этого гармонического уравнения запишется в виде:
α n0=
(t ) An+ exp(iωn t ) + An− exp( −iωn t );
где An± = const .
Ограничиваясь в расчётах первым приближением, для вычисления амплитуд α n (t ) получим следующее уравнение:
α n′′ (t ) + ωn2 α n (t ) −
(
)
)
−  C−f5 (n) − ωn2−5C−d5 (n)  An+−5 exp(iωn −5t ) + An−−5 exp(−iωn −5t )  +



f
2
d
+
−

+ C−4 (n) − ωn − 4C−4 (n) An − 4 exp(iωn − 4t ) + An − 4 exp(−iωn − 4t )  +


(
(
(
)
)
+ C−f3 (n) − ωn2−3C−d3 (n)  An+−3 exp(iωn −3t ) + An−−3 exp(−iωn −3t )  +


f
2
d
+
−


+ C−2 (n) − ωn − 2C−2 (n) An − 2 exp(iωn − 2t ) + An − 2 exp(−iωn − 2t ) +


f
2
+
−
d
+ C−1 (n) − ωn −1C−1 (n)  An −1 exp(iωn −1t ) + An −1 exp(−iωn −1t )  +


(
)
(
(
)
)
+ C1f (n) − ωn2+1C1d (n)  An++1 exp(iωn +1t ) + An−+1 exp(−iωn +1t )  +


+ C2f (n) − ωn2+ 2C2d (n)  An++ 2 exp(iωn + 2t ) + An−+ 2 exp(−iωn + 2t )  +


(
)
)
+ C3f (n) − ωn2+ 3C3d (n)  An++ 3 exp(iωn + 3t ) + An−+ 3 exp(−iωn + 3t )  +


f
2
+
−
d
+ C4 (n) − ωn + 4C4 (n)  An + 4 exp(iωn + 4t ) + An + 4 exp(−iωn + 4t )  +


(
(
)
+ C5f (n) − ωn2+ 5C5d (n)  An++ 5 exp(iωn + 5t ) + An−+ 5 exp(−iωn + 5t )   =
0. (5)


81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнение (5) является неоднородным уравнением второго
порядка. Его общее решение ищется в виде суммы общего решения однородного уравнения:
(одн))
α n( î äí =
(t ) An+ exp(iωn t ) + An− exp( −iωn t );
(6)
и частного решения неоднородного, которое представим в
виде суперпозиции экспонент, аналогичных экспонентам, входящим в функцию неоднородности:
(неодн)
äí )
α n( í±åîm=
(t ) Bn+,± m exp(iωn ± m t ) + Bn−,± m exp( −iωn ± m t ); ( m = 1, 2,3) . (7)
Подставляя (7) в уравнение (5), определим выражения для
±
коэффициентов Bn ,± m :
W
W
m = 2: Bn±,± m = C±s m ( n ) 2 An±± m ; m = 1,3 : Bn±,± m = C±s m ( n ) 3 An±± m ;
L
L
C±s m ( n )
=
C±fm ( n ) − ωn2± mC±dm ( n )
ωn2 − ωn2± m
.
(8)
Отметим, что, исходя из физических соображений, амплитуды колебаний должны описываться вещественными функциями,
*
*
поэтому можно записать Bn+,± m = Bn−,± m , An+ = An− , где « * »
обозначает комплексное сопряжение. Используя (6), (7) с учётом
±
±
соотношений (8) для Bn,± m и представляя коэффициенты An
±
=
An an exp( ±ibn ) , где an и bn – вещественные константы,
в виде:
запишем выражение для αn(t) как суперпозицию αn(одн)(t) и αn(неодн)(t):
(
)
( )
(9)
Аббревиатура к.с. обозначает слагаемые, комплексно сопряжённые к выписанным. В решении (9) константы an и bn
определяются из начальных условий.
Начальные условия. Рассмотрим случай, когда в начальный
момент времени возбуждена мода с номером k , амплитуду которой положим равной константе ζ , а скорость движения поверхности в начальный момент примем равной нулю:
t = 0 : α n (t ) = ζ δ n, k ; α n′ (t ) = 0 ( n ≥ 2 ) .
82
(10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставляя решение (9) в систему начальных условий (10),
получим:
5

a
cos(
b
)
ζ δ n, k
+
 n
∑ an ± m cos(bn ± m ) ⋅ C±s m (n) =
n
(11)

m =1

5

s
0
anωn sin(bn ) + ∑ an ± mωn ± m sin(bn ± m ) ⋅ C± m (n) =
m =1

Систему связанных уравнений (11) будем решать методом
последовательных приближений.
В нулевом приближении, пренебрегая взаимодействием мод,
2
отбросим все слагаемые, содержащие множители W / L , W / L3 ,
после чего система примет вид:
0
0

 an cos(bn ) = ζ δ n,k
 0
0

 anωn sin(bn ) = 0
а её решения при ωn ≠ 0 достаточно очевидны:
 an0 = ζ δ n,k
 0
=
 bn π m , m ∈ Z
(12)
В первом приближении запишем систему, учитывая решение
(12) в слагаемых, которыми пренебрегли в нулевом приближении. При этом (11) приводится к виду:
5

a
cos(
b
)
ζ δ n, k
+
 n
∑ an0± m cos(bn0± m ) ⋅ C±s m (n) =
n

m =1
(13)

5

0
0
s
0.
anωn sin(bn ) + ∑ an ± mωn ± m sin(bn ± m ) ⋅ C± m (n) =
m =1

Решая систему (13) для различных n , получим, что она
даёт нетривиальные решения для номеров мод в интервале
k − 5 ≤ n ≤ k + 5.
 ak = ζ ;

sin(bk ) = 0;
ak ± m =
−ζ Cs m (k ± m);

sin(bk ± m ) = 0;
83
(14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выражение для функции, описывающей возмущение поверхности капли,
с учётом решений (14) запишется в виде:
=
ξ (θ , t ) ζ cos(ωk t ) Pk ( µ ) +
+ζ
(15)
5
∑ Cs m (k ± m) [cos(ωk t ) − cos(ωk ± mt )] Pk ± m (µ ).
m =1
Анализ результатов. Заметим, что расчётная форма равновесной поверхности капли совпадает со сфероидальной в линейном по квадрату эксцентриситета приближении. Слагаемое
( – 18W / 5L3)P3(μ) возникает вследствие неоднородности электрического поля, обусловливая асимметрию формы поверхности
капли – её «вытянутость» в сторону заряда. Увеличение полевого
параметра W/L2 усиливает искажение формы капли.
Для анализа устойчивости равновесной поверхности заметим, что капля устойчива, когда полная амплитуда возмущения
поверхности ξ (θ, t), описываемого выражением (15), ограничена
во времени. Это справедливо, когда собственные частоты колебаний мод ωn, определяющих возмущение ξ (θ, t), вещественны.
Мода колебаний с номером n теряет устойчивость, когда квадрат
её частоты проходит через ноль. Из условия (ωn)2=0 получим выражение для критического значения полевого параметра:
s
Wcr =
−(n − 1)(2 + n) (72 K1,1,0
− 36nK1,s n −1, n K1,s n, n −1 − (72 + 36n) K1,s n, n +1K1,s n +1, n +
9 θ
 27 s
 s
+
K 2, n, n −
K 2, n, n  K1,1,2
−(n 2 + n − 2) 
2n
 2

1
s
+ 2 (450 K 2,2,0
+ 225(1 − n) K 2,s n − 2, n K 2,s n, n − 2 −
L
675 s
s
−(n 2 + n − 2)(126 K1,3,2
+
K 2,2,2 ) K 2,s n, n −
8
225 s  θ
 42 s
K 2,2,2  K 2, n, n −
−225(n + 1) K 2,2 sn, n − (n 2 + n − 2)  K1,3,2
+
8
 n

(
)
−900 K 2,s n, n + 2 K 2,s n + 2, n − 168n K1,s n, n −1K3,s n −1, n + K1,s n −1, n K3,s n, n −1 −
−168 ( n + 2 )
(
K1,s n +1, n K3,s n, n +1 +
84
K1,s n, n +1K3,s n +1, n
)−
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
34 
25 s  θ
 28 s
s
s
−  n 2 + n −  (112 K1,3,4
+ 75K 2,2,4
) K 4,s n,n − (n 2 + n − 2)  K1,3,4
+ K 2,2,4
 K 4,n,n ))
4
3
4
 3

Значения этого параметра в зависимости от номеров мод (которые условно приняты непрерывно изменяющимися) представлены на рис. 1а, б.
Рис. 1а. Зависимость критических2
p
значений полевого параметра W ≡ 6 ;
4π L
от номера моды. Верхняя кривая –
при L=10, средняя
– при L=7, нижняя – при L=3.
С ростом степени неоднородности
поля, что соответствует
уменьшению L, сужается область
устойчивых колебаний
Рис. 1b. То же, что
на рис. 1а. Приведённые
зависимости
при больших n выходят
на горизонтальные
асимптотики.
При этом их уровень
снижается
с уменьшением расстояния L
Расчёты показывают, что данная кривая имеет горизонтальную асимптотику при значении критического параметра
(W/L2)cr ≈ 0,45. Из этого следует, что можно задать такое поле,
при котором будут неустойчивы все моды осцилляций. Кроме
того, из рис. 1 видно, что моды с меньшими номерами теряют
устойчивость при меньших значениях полевого параметра, рост
которого соответствует росту напряжённости и неоднородности
электрического поля.
Из рис. 2 следует, что с уменьшением параметра L происходит понижение кривой для поля диполя, которое сопровождается
и уменьшением предельного значения. При задании большого L
кривая диполя сливается с кривой однородного поля, средняя кривая неподвижна. Это согласуется с анализом вида невозмущённых
приближённых потенциалов – коэффициент при первом полиноме
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
одинаковый (с учётом согласования W), а при втором начинается
расхождение (коэффициент в точечном – 1, в поле диполя – 1.5).
Рис. 2а. Зависимости
критических значений
полевых параметров
однородного и неоднородных
полей при L=10. Верхний
график – однородное поле,
средний – поле точечного
заряда, нижний – поле диполя.
Рис. 2b. То же, что и на рис. 2а,
в интервале номеров мод
2 ≤ n ≤ 500. На графике более
наглядно проиллюстрировано
уменьшение предельного значения
(по сравнению с однородным полем
и полем точечного заряда)
с уменьшением L для поля диполя
Из полученного выражения (15) следует, что возбуждение единичной k -й моды в начальный момент времени вызывает возбуждение шести соседних мод. Моды с номерами
k ± 1, k ± 2, k ± 3 будем называть связанными модами. Из (14)
видно, что амплитуды связанных мод пропорциональны амплитуде изначально возбуждённой моды ( ~ ζ ) и малы по сравнению
с ней за счёт наличия множителей W / L2 , W / L3 . При больших
значениях параметра L , а именно ( L ≥ 10 ), вклад связанных мод
с номерами k ± 2 более существен, чем с номерами k ± 1, k ± 3 .
На рис. 3 приведена критическая зависимость, рассчитанная
при L=50, т. е. на большом удалении от источника поля. При
таком удалении кривая, соответствующая полю диполя, сливается с кривой однородного поля. Дело, по-видимому, в том, что
на больших расстояниях от центра поле в пределах объёма капли
становится примерно однородным.
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 3. Зависимости критических значений полевых параметров
однородного и неоднородных полей от номера моды. Критические
значения рассчитаны при L=50
Важным результатом, следующим из (15), является тот факт,
что если изначально возбуждённая мода теряет устойчивость,
то одновременно с ней становятся неустойчивыми все связанные
моды за счёт присутствия cos(ωk t ) в амплитуде каждой из них.
Фотографии распада незаряженных капель в резко неоднородном поле и возможных режимов спонтанного распада заряженных струй, приведенные в работе [8]. (Воспроизводятся
с любезного согласия О. В. Кима, одного из авторов работы)
Заключение. В проведенных расчётах выяснилось: с увеличением степени неоднородности поля увеличивается и степень
связности мод осцилляций капли; зависимость полевого параметра от номера моды выходит на насыщение при номерах мод
~100 и можно указать такое значение полевого параметра, при
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
котором все моды неустойчивы; наложение амплитуд неустойчивых мод на вершине капли, обращенной в сторону увеличения
неоднородности поля, формирует эмиссионный выступ, выбрасывающий струю жидкости, как это наблюдается в эксперименте
[8]. Струя, в свою очередь, распадается на заряженные капельки
существенно меньшего (примерно на два порядка) размера. Что
будет дальше? Это зависит от величины заряда капельки, её размера и напряженности внешнего поля. Один из возможных сценариев развития событий описан в следующем разделе.
2.4. Закономерности
электростатического распада
заряженной капли
С начала 60-х годов прошлого века одновременно с развитием
теории рэлеевского распада стали предприниматься попытки экспериментальной проверки критерия неустойчивости сильно заряженной капли (см. предыдущий раздел) и изучения закономерностей ее распада. Суммируя результаты, полученные в экспериментальных работах, можно сказать, что справедливость рэлеевского
критерия неустойчивости надежно подтверждена, и выяснилось,
что при электростатическом распаде капля теряет (23 ± 5) % своего исходного заряда и (5 ± 5) % массы. Что же касается определения размеров, зарядов и количества мелких капелек, выбрасываемых при неустойчивости, – задачи, представляющей наибольший
интерес для приложений, – то тут сколь-либо надежные экспериментальные данные отсутствуют. В этой связи в последние годы
предпринято несколько попыток теоретического расчета параметров распада на основе принципа минимума энергии конечного состояния системы, окончившихся, однако, неудачей в связи
с тем, что авторы указанных работ, во-первых, принимали, что все
эмиттированные капельки тождественны, во-вторых, пренебрегали энергией их электростатического взаимодействия в конечном
состоянии, в-третьих, количество эмиттированных капелек брали
в качестве независимого термодинамического параметра наравне
с радиусом капли. Сама идея минимизации энергии конечного состояния в задачах обсуждаемого класса была предложена экспе88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
риментаторами в 60-е и в начале 70-х годов прошлого века и была
весьма популярна в это время в связи с расчетами режимов работы ионных коллоидных реактивных двигателей, а также в связи
с попытками реанимации жидкокапельной модели ядра. Но было
указано, что результаты расчетов параметров электродиспергирования жидкостей на основе принципа минимума энергии конечного состояния (с вышеперечисленными недостатками) не согласуются с данными экспериментов. В реальности же при расчете
параметров распада необходимо учитывать, что процесс перехода
неустойчивой капли в устойчивое состояние является неравновесным, и следует проводить минимизацию не энергии конечного состояния, а скорости рассеяния энергии системы – исходя из
принципа термодинамики неравновесных процессов наименьшей
скорости рассеяния энергии Онзагера.
1. Пусть капля идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости радиуса R, несущая электрический заряд Q ,
чуть больший предельного в смысле устойчивости по Рэлею,
претерпела неустойчивость. При этом капля вытягивается в сфероид с эксцентриситетом e2 ≈ 0.8 и с ее вершин начинается
эмиссия мелких капелек, уносящих избыточный заряд (рис. 1).
Следует отметить, что величина предельного в смысле устойчивости по Рэлею заряда сильно зависит от e2 .
Рис. 1. Схематическое изображение неустойчивой
по отношению к собственному заряду капли,
сбрасывающей избыточный заряд
путем эмиссии высокодисперстных сильно заряженных
дочерних капелек
Согласно сказанному, когда первоначально сферическая
капля с зарядом, равным предельному по Рэлею, вытягивается
в сфероид, имеющийся на ней заряд становится существенно закритическим (т. е., кроме основной моды осцилляций, неустой89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чивость претерпевают еще несколько первых мод). На первый
взгляд представляется, что для возвращения к исходной сферической форме капля может сбросить лишь небольшую часть
имеющегося заряда так, чтобы на капле остался заряд, лишь чуть
меньший предельного, при котором капля могла бы обратимо деформироваться внешними силами до сфероида с e2 ≈ 0.8 . Но, как
будет показано ниже, это не так.
Примем далее в соответствии со сказанным, что исходная
сфероидальная капля выбросила в результате неустойчивости
капельку радиуса с зарядом q , где q <<
� Q . Будем считать, что
при этом процессе температура системы остается неизменной,
а также сохраняются полный объем и электрический заряд
жидкой фазы. Тогда, учитывая, что эмитируемая капелька
отрывается от большой в поле ее заряда, а, значит, также имеет сфероидальную форму с эксцентриситетом e1 для изменения
свободной энергии системы, можно записать:
2rA 
q2
Q⋅q
q2
q2
Q⋅q

=
∆F 4π r 2γ  A1 − 2  + B1 − B2
+ B2 − K + K
− 0; (1)
2R 
2r
2R
R
R
R

1

2 1/ 2
−1
2 −1/6
Ai =
e
e
e
e
1
arcsin
1
;
−
+
⋅
−
i
i
i 
i

2

(
)
(
(
Bi = ei−1 ⋅ 1 − ei2
(
K = e2−1 ⋅ 1 − e22
)
1/ 3
)
1/ 3
)
( )
⋅ arth ei ;
⋅ arth ( e2 ν ) ; ν=
(1 + ξ a )
2 1/ 2
.
2
В (1) первое слагаемое определяет изменение свободной
энергии сил поверхностного натяжения, три последующих слагаемых определяют изменение собственной электростатической энергии заряженных капель, два последующих – энергию
взаимодействия выброшенной капельки с остатком большой
капли. В (1) γ – коэффициент поверхностного натяжения жидкости; ξ – сфероидальная координата центра маленькой капли
в момент ее отрыва от большой; ν – расстояние между каплями в момент разрыва контакта между ними, измеренное в a2 ; a2
(
и b2 – большая и меньшая полуоси сфероида a2 ≡ R 1 − e22
90
)
−1/ 3
,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( ) . Примем, что отрыв маленькой капли от большой происходит с вершины выступа, вырастающего на большой
b2 ≡ R 1 − e22
1/ 6
капле при развитии в ней неустойчивости капиллярных волн.
При этом под действием кулоновского взаимодействия заряда
вершины выступа и заряда большой капли вершина выступа
вместе с находящимся на ней зарядом отрывается, как только
кулоновская сила отталкивания между зарядами превысит силу
поверхностного натяжения 2πr0γ, удерживающую вершину выступа (r0 – радиус перетяжки, связывающей капли).
Пусть заряд вершины выступа в момент начала отрыва β q ,
где β < 1 , а часть заряда (1 − β )q отрывающаяся капелька получает за время отрыва, которое хоть и мало, но конечно. Примем
далее, что форма вершины выступа сфероидальна с меньшей
полуосью b1 , и учтем, что величина напряженности поля Е, создаваемого большой сфероидальной каплей в месте отрыва
маленькой капельки [9],
E ≡σ
(
Q 1 − e22
)
3/ 2
R 2 (ν 2 − e22 )
;
где параметр σ учитывает тот факт, что часть поверхности сфероида, образующая эмиттирующий выступ, от вершины которого отрывается капля, в создании поля не участвует.
И наконец, из условия баланса сил в момент начала разрыва
перетяжки получим уравнение для определения параметра ν
α
8W
=
(
e1 1 − e22
(
)
)
1/ 2
e2 1 − e12
arth
( e1 )
 ν −1

arth
e
 2 ν − e22
(ν 2 − e22 )


;


(2)
α ≡ rn σβ b1 ; W ≡ Q 2 16πγ R3 ;
где в α собраны все неопределенные параметры задачи.
Изменение свободной энергии системы связано с появлением новой поверхности, т. е. с изменением энергии сил поверхностного натяжения, которое можно выразить через r , и с из91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
менением энергии электрического поля, выражающимся через
q. Потребуем, чтобы в силу принципа наименьшей скорости рассеяния энергии это изменение было экстремальным, т. е. чтобы
выполнялись условия ∂ ( ∆F ) ∂r =0 и ∂ ( ∆F ) ∂q =0 , из которых
несложно получить уравнения для нахождения r и q:
−1
X [ A1 − X ⋅ A2 ] − W ⋅ B1 ⋅ Y 2 ⋅ X −2 =
0; Y = X ⋅ C 1 − X ⋅ ( D − C ) ; (3)
D ≡ K B1 ;
C ≡ ( B2 − K ) B1 .
Принимая W = 1, e22 = 0.7 , из системы уравнений (2)–(3)
несложно найти r = r (α ) и q = q(α ) . Причем в отличие от [30]
эксцентриситет отрывающейся капельки e1 будем определять
в итерационной процедуре, а не задавать изначально.
Принимая во внимание гидродинамическую инерционность
большой капли (то очевидное обстоятельство, что характерное
время эмиссии одной капельки много меньше времени гидродинамической релаксации большой капли к сферической форме),
несложно видеть, что эмиссия капелек будет иметь место до тex
пор, пока сила кулоновского отталкивания заряда отрывающейся
капельки от заряда, остающегося на исходной капле, будет превышать удерживающую лапласовскую силу в перетяжке.
Ясно, что заряд каждой последующей капли будет больше, чем предыдущей, так как для выполнения условия (2) при
уменьшающемся заряде большой капли Q необходимо увеличение заряда маленькой капли q. На рис. 2 представлены рассчитанные на компьютере из системы (2)–(3) зависимости от α количества эмиттированных капелек п (кривая 1), параметра Рэлея
для остатка исходной капли W (кривая 2), а также относительной
потери заряда большой капли ζ ≡ ∆Q Q (кривая 3) и ее массы
η ≡ ∆M M (кривая 4). Вертикальными штриховыми линиями
отделены те значения α , при которых значения ζ (как наиболее точно измеряемой в экспериментах величины) соответствуют экспериментальным данным =
ζ (23 ± 5) % . Значения
η и W, соответствующие выделенному параметру α , также хорошо согласуются с результатами экспериментов. На рис. 2 вид92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
но также, что количество капелек, эмиттируемых при распаде
неустойчивой по Рэлею родительской капли, в выделенном
интервале α изменяется от 100 до 300. На рис. 3 представлены
рассчитанные при α = 0.9 и исходном параметре Рэлея большой
капли W=1 зависимости безразмерного заряда отрывающихся капелек Y (кривая 1), безразмерного радиуса X (кривая 2), удельного заряда Z= Y ⋅ X −3 (кривая 3); критерия Рэлея для остатка
родительской капли (кривая 4) от порядкового номера эмиттируемой капельки. Как показали расчеты, значение эксцентриситета
эмиттируемой капельки практически нe зависит от W и n и равно
e1 = 0.46 .
Как несложно видеть из рис. 3 значения характерных размеров и зарядов эмиттируемых капелек примерно на два порядка
меньше размера и заряда родительской капли. Чтo касается значения параметра Рэлея для эмитированных капелек W* , то этот
вопрос нуждается в более подробном рассмотрении.
Как выяснилось в численных расчетах, величина параметра
для эмитированных капелек W* немного превышает единицу,
т. е. является закритическим в смысле критерия Рэлея. Следовательно, дочерние капельки изначально неустойчивы по отношению к имеющемуся на них заряду. Это обстоятельство, несмотря
па кажущуюся противоречивость, достаточно прозрачно физически. В самом деле, изолированная капля радиуса r с зарядом
q характеризуется свободной энергией
=
U 4π r 2γ +
имеющей экстремум при
q2
;
2r
q2
∂U
= 8π rγ − 2 = 0;
∂r
2r
т. е. при
q2
16π r 3γ
93
≡ W* =
1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2.
Рис. 3.
Находя вторую производную от U по r, несложно убедиться, что найденный экстремум является минимумом, так как
∂ 2U ∂r 2 > 0 . А это означает, что наличие на капле предельного по Рэлею заряда наиболее выгодно с термодинамической
точки зрения. Пусть теперь та же капля находится во внешнем электростатическом поле напряженности Е. Тогда
полная потенциальная энергия капли запишется в виде:
(
)
= 4π r 2γ +
U

q2 E 2  r 3
+
 + C*  + qϕ ;
2r
2  3

где C* – константа, зависящая от геометрии пространства,
занятого полем; ϕ – потенциал внешнего электрического поля в
месте нахождения капли.
Находя производную ∂U
сложно получить уравнение
ного (минимального, как и
Рэлея для рассматриваемой
W* = 1 +
∂r и приравнивая ее нулю, недля нахождения экстремальраньше) значения параметра
капли в виде:
E 2r
≡ 1 + w;
16πγ
где безразмерный параметр w характеризует устойчивость капли по отношению к поляризационному заряду.
В рассматриваемой ситуации маленьких капель, находящихся в электрическом поле заряда большой капли, значе94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ние параметра w для них много меньше критического и много
меньше единицы:w << 1. Это и объясняет тот факт, что все
дочерние капельки несут заряд, чуть больший предельного
в смысле устойчивости по Рэлею.
Дисперсионное уравнение для капиллярных осцилляций в дочерних капельках имеет вид:
=
ωn2
γ
n( n − 1)[( n + 2) − 4W* ].
ρ r3
Отсюда видно, что если W* превышает единицу, то капля
становится неустойчивой и амплитуда основной моды начинает нарастать со временем по экспоненциальному закону
с инкрементом
=
χ 2 ω20 1 − W* ;
где ω20 – частота колебаний основной моды незаряженной
капли в отсутствие внешнего поля.
Сказанное выше означает, что изначально неустойчивые
по Рэлею дочерние капельки будут распадаться за характерное
время τ ~ χ2-1. Кривая 5 на рис. 3 иллюстрирует зависимость τ
– от порядкового номера эмиттированной капельки.
Рис. 4.
Рис. 5.
На рис. 4,5 представлена рассчитанная при α =0.9 нормированная на единичный интервал гистограмма функции распре95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
деления вторичных капель по размерам f . Всего вторичных капель при принятом значении α получается 115 штук. На рис. 5
приведена нормированная на единичный интервал гистограмма
функции распределения по размерам третичных капель, которые
будут эмиттированы при распаде вторичных. Общее количество
третичных капель будет ~1.3 ⋅ 104. Характерные размеры вторичных и третичных эмиттированных капель, приведенные на рис. 4
и 5, обезразмерены на радиус R исходной большой капли. Третичные капли также неустойчивы по Рэлею и снова распадаются. Ограничения на обсуждаемый механизм последовательных
распадов накладывает вязкость жидкости: когда коэффициент
кинематической вязкости жидкости, обезразмеренный на радиус
капли, коэффициент поверхностного натяжения жидкости и ее
плотность, становится сравним с единицей, тогда наиболее вероятным каналом распада капли становится ее деление на части
сравнимых размеров.
Явление последовательного распада эмиттированных при
Рэлеевской неустойчивости капель подтверждается данными как прямых экспериментов, так и косвенных (наблюдались
и фотографически зафиксированы вторичные распады капель,
получаемых при электростатическом диспергировании жидкости с вершины мениска жидкости на торце капилляра, по которому жидкость подается в разрядную систему). Физические механизмы неустойчивости Рэлея и неустойчивости поверхности
жидкого мениска на срезе капилляра (по отношению к индуцированному заряду имеют одну природу). Поэтому механизм выброса струй, будет иметь место и для заряженной капли. Полная
функция распределения эмиттируемых капель по размерам с
учетом процессов распада вторичных капель в соответствии со
сказанным выше должна быть разрывной (рис. 4, 5), т. е. должна
состоять из нескольких не связанных между собой пиков, что
подтверждается данными экспериментов по электростатическому диспергированию жидкостей.
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.5. Контрольные вопросы и задания
1) Чем отличается анализ Рэлея устойчивости капли и струи?
2) Метод скаляризации. В чём он заключается?
3) В чём особенности распада заряженной капли в однородном и неоднородном полях?
4) Чем отличаются критерии неустойчивости Рэлея для
заряженной капли и для незаряженной капли во внешнем
электрическом поле?
5) Какой заряд остаётся на капле поле того, как она распадется?
6) Сколько дочерних капелек выбрасывает родительская
капля?
7) Как различаются размеры дочерних и родительских
капель?
Итог, или то, о чем мы хотели сказать
в этом пособии
Заряженные жидко-капельные системы встречаются весьма часто: и в результате естественных процессов (достаточно
вспомнить туманы и облака), и в искусственных условиях при
электродиспергированнии жидкости. Мы в нашем изложении
лишь указали на возможные пути их образования, совершенно
не принимая во внимание возможный нуклеационный рост как
выходящий за рамки использованного математического аппарата. Мы лишь обратили внимание читателя на то, что при распаде
сильно заряженных капель образуются тоже заряженные капли,
только на два порядка более мелкие; что при распаде цилиндрических заряженных струй опять же получаются заряженные капли, которые будут распадаться по описанным правилам. Разобрали основные математические модели этих процессов и надеемся,
что читатель, встретившись с необходимостью описать конкретную жидко-капельную систему, не оплошает.
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
1. Стретт, Дж. В. (Лорд Рэлей). Теория звука / Дж. В. Стретт. –
Т. 2. – М.: Гостехиздат, 1955. – 475 c.
2. Левич, В. Г.
Физико-химическая
гидродинамика
/ В. Г. Левич. – М.: Физматгиз, 1959. – 700 c.
3. Ширяева, С. О. Спонтанный распад струй / С. О. Ширяева,
А. И. Григорьев. – Ярославль: ЯрГУ, 2011. – 204 с.
4. Ширяева С. О. Спонтанный капиллярный распад
заряженных струй / С. О. Ширяева, А. И. Григорьев, М. В. Волкова. – Ярославль: ЯрГУ, 2007. – 340 с.
5. Абрамовиц М. Справочник по специальным функциям
/ М. Абрамовиц, И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 830 с.
6. Ширяева, С. О. Заряженная капля в грозовом облаке
/ С. О. Ширяева, А. И. Григорьев. – Ярославль: ЯрГУ, 2008. – 535 с.
7. Ширяева С. О., Григорьев А. И. Скаляризация векторных
краевых задач гидродинамики / С. О. Ширяева, А. И. Григорьев.
– Ярославль: ЯрГУ, 2010. – 180 с.
8. Kim O. V., Dunn P. F. Control production by in-flight electrospraying // Langmuir. 2010. V. 26. P. 15807–15813.
9. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред
/ Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – М.: Наука, 1982. – 620 с.
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
1. Капиллярный распад струй жидкости.......................................3
1.1. Капиллярный распад заряженных жидких струй............3
1.2. Распад незаряженной цилиндрической струи
идеальной жидкости...................................................................8
1.3. Распад незаряженной цилиндрической струи
вязкой жидкости.......................................................................13
1.4. Распад струи, движущейся относительно среды............21
1.5. Контрольные вопросы и задания.....................................33
2. Распад капли................................................................................34
2.1. Анализ Рэлея неустойчивости заряженной
сферической капли идеальной жидкости ..............................34
2.2. Устойчивость заряженной капли вязкой жидкости.......42
2.3. Неустойчивость сферической капли в поле
точечного диполя......................................................................73
2.4. Закономерности электростатического распада
заряженной капли.....................................................................88
2.5. Контрольные вопросы и задания.....................................97
Итог, или то, о чем мы хотели сказать в этом пособии...........97
Список литературы........................................................................98
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Ширяева Светлана Олеговна
Григорьев Александр Иванович
Жидко-капельный аэрозоль.
Теоретические основы
получения
Учебное пособие
Редактор, корректор М. В. Никулина
Правка, верстка Е. Б. Половковой
Подписано в печать 08.07.2013. Формат 60х84 1/16.
Усл. печ. л. 5,81,. Уч.-изд. л. 6,0.
Тираж 50 экз. Заказ
.
Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе ЯрГУ.
Ярославский государственный университет.
150000 Ярославль, ул. Советская, 14.
100
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
17
Размер файла
1 402 Кб
Теги
теоретические, 1304, аэрозоли, жидкой, капельный, основы, получения, ширяева
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа