close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1321.Современные проблемы математики и информатики Вып 8 Сборник научных трудов молодых ученых аспирантов и студентов

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ
МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
Сборник научных трудов
молодых ученых, аспирантов и студентов
ВЫПУСК 8
Ярославль 2006
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 51
ББК В1+Ч23
С 56
Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве научного издания. План 2006 года.
Современные проблемы математики и информатики: Сборник
научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып. 8 / Яросл.
гос. ун-т. Ярославль: ЯРГУ, 2006. 152 с.
В сборнике представлены работы молодых ученых, аспирантов и студентов.
В статьях рассматриваются различные проблемы алгебр Ли, качественной теории дифференциальных уравнений, аналитического и численного моделирования сложных систем, в том числе нейронных сетей; исследуются
задачи управления реляционными базами данных.
Сборник подготовлен с использованием издательской системы LATEX.
Редакционная коллегия:
А.Л. Онищик.
С.Д. Глызин (отв. ред.), В.В. Майоров,
c
°
Ярославский
государственный
университет
им. П.Г. Демидова, 2006
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Алгебра и анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Башкин М.А. Однородные супермногообразия
1|4
с ретрактом CP2210 . . . . . . . . . . . . . . . .
Вишняковa Е.Г. Векторные поля
на супермногообразиях флагов . . . . . . . . .
Королев М.Г. Контактные градуировки
классических простых супералгебр Ли . . . . .
Бондаренко Ю.В. О конусах
в пространствах последовательностей . . . . . .
Зыкова Е.А. О полноте всплесковых систем функций
в симметричных пространствах . . . . . . . . .
5
. . . . .
5
. . . . .
11
. . . . .
24
. . . . .
34
. . . . .
40
Динамика нейронных сетей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Богомолов Ю.В. Хаотическая синхронизация нейронных сетей
Коновалов Е.В. Организация колебаний в кольце,
состоящем из обобщенных нейронных
клеточных автоматов возбудительного типа . . . . . . .
45
52
Математическое моделирование . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Аминова С.М., Кубышкин Е.П. Докритический случай
возбуждения хаотических колебаний
в одной распределенной системе с круговой симметрией
Глазков Д.В., Харламов И.А. Динамические свойства
нормализованной формы уравнения Ланга-Кобаяши
при больших значениях параметра накачки . . . . . . .
Глызин Д.С. Существование и устойчивость
двухмодовых резонансных циклов
нелинейного телеграфного уравнения . . . . . . . . . .
3
57
63
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4
СОДЕРЖАНИЕ
Кащенко И.С. Нормализация в системе
с периодически распределенным запаздыванием . . . . 83
Коршунова Е.В. Пространственно-неоднородные циклы
деловой активности
в модели мультипликатор-акселератор . . . . . . . . . . 92
Нестеров П.Н. Усреднение систем
с колебательно убывающими коэффициентами
в случае периодичности осциллирующей составляющей
98
Толбей А.О. Применение бифуркационной теоремы
Андронова-Хопфа к исследованию колебаний пластинки
в сверхзвуковом потоке газа
при малом коэффициенте демпфирования . . . . . . . . 109
Теоретическая информатика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Андреев С.Е. Распознавание эталонов в линейном потоке
с помощью оконного преобразования Фурье . . . .
Беззубов С.Н., Майоров А.В. Построение индекса
по иерархии записей в реляционной базе данных .
Кулаченко Р.С. Дискретное преобразование Хартли
и его применение для вычисления свертки . . . .
Чехранов Д.В. Основные концепции
объектно-динамического языка запросов ODQL
динамической информационной модели DIM . . . .
. . . 115
. . . 123
. . . 134
. . . 143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
АЛГЕБРА И АНАЛИЗ
УДК 515.177
М.А. Башкин1
Однородные супермногообразия
1|4
с ретрактом CP2210
Проведена классификация однородных нерасщепимых супермногообразий, связанных с комплексной проективной прямой, в случае, когда ретракт
определяется векторным расслоением с сигнатурой (2, 2, 1, 0). Показано, что
с точностью до изоморфизма существует ровно одно однородное нерасщепимое супермногообразие с требуемым ретрактом.
Предполагается, что читатель знаком с основами теории комплексных
супермногообразий (см., например, [1]). Из-за ограничения на объем статьи
большинство доказательств опущено.
Как известно, любое голоморфное векторное расслоение E ранга n над
1
CP единственным образом
Lnразлагается в прямую сумму расслоений на прямые, т.е. имеет вид E = j=1 L−kj , где L−kj — расслоение на прямые степени −kj . Соответствующее расщепимое супермногообразие однородно тогда
и только тогда, когда все kj ≥ 0.
Для n ≤ 3 классификация однородных нерасщепимых супермногообразий известна (см. [2]). При n = 4 среди множества сигнатур (k1 , k2 , k3 , k4 )
выделим те, для которых k4 = 0. Тогда возникает вопрос: можно ли классификацию однородных нерасщепимых супермногообразий в данном случае
свести к известной классификации для (k1 , k2 , k3 )? Рассматриваемый в данной статье пример показывает, что ответ на поставленный вопрос отрицательный. Действительно, как известно, для сигнатуры (2, 2, 1) однородных
нерасщепимых супермногообразий не существует (см. [2]).
1|4
Обозначим через CP2210 расщепимое супермногообразие, определяемое
расслоением E = 2L−2 ⊕ L−1 ⊕ L0 . Покроем CP1 двумя аффинными картами U0 и U1 с локальными координатами x и y = x1 соответственно. Тогда
1
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(грант 04-01-00647).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6
Алгебра и анализ
1|4
функции перехода супермногообразия CP2210 в U0 ∩ U1 имеют вид

y = x−1




 η1 = x−2 ξ1
η2 = x−2 ξ2 ,


η3 = x−1 ξ3


η =ξ
4
4
где ξi и ηi — базисные сечения расслоения E над U0 и U1 соответственно.
Обозначим через Tgr градуированный касательный пучок супермногооб1|4
разия CP2210 и через v(CP1 , Ogr ) супералгебру Ли векторных полей на нем.
Рассмотрим точную последовательность (см. [2])
β
0 → End E → v(CP1 , Ogr )0 → sl2 (C) → 0.
(1)
Подалгебра a ⊂ v(CP1 , Ogr )0 расщепляет последовательность (1), если β
изоморфно отображает ее на sl2 (C) или, что равносильно, имеем разложение в полупрямую сумму v(CP1 , Ogr )0 = End E ⊕ a. В работе [2] показано,
что супермногообразие с ретрактом (CP1 , Ogr ) четно-однородно (или 0-однородно) тогда и только тогда, когда на него поднимается некоторая подалгебра a, расщепляющая (1). В этой ситуации мы будем говорить, что супермногообразие (CP1 , O) является 0-однородным относительно a. В нашем
случае с точностью до автоморфизма из Aut E существуют две расщепляющие подалгебры ai ' sl2 (C), i = 1, 2, которые можно задать следующими
базисами (см. [2]):
a1 : e = ∂ , h = −2x ∂ − ∇, f = −x2 ∂ − x∇;
∂x
∂x
∂x
a2 : e = ξ2 ∂ + ∂ , h = −2x ∂ − 3ξ1 ∂ − ξ2 ∂ − ξ3 ∂ ,
∂ξ1 ∂x
∂x
∂ξ1
∂ξ2
∂ξ3
∂
2 ∂
f = ξ1
−x
− x∇;
∂ξ2
∂x
здесь ∇ = 2ξ1 ∂ + 2ξ2 ∂ + ξ3 ∂ .
∂ξ1
∂ξ2
∂ξ3
Рассмотрим подпучок Aut(2) Ogr = exp((Tgr )2 ⊕(Tgr )4 ) пучка Aut Ogr . Согласно теореме Грина, множество супермногообразий с заданным ретрактом
(M, Ogr ) находится в биективном соответствии с множеством орбит группы Aut E на множестве H 1 (M, Aut(2) Ogr ). Будем описывать когомологии с
помощью коциклов Чеха в покрытии U = {U0 , U1 }. Можно доказать следующее
Предложение 1. Предположим, что n ≤ 5 и H 0 (M, (Tgr )2 ) = 0. Пусть
заданы такие подпространства Q2p ⊂ Z 1 (U, (Tgr )2p ) (p = 1, 2), что каждый
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1|4
Однородные супермногообразия с ретрактом CP2210
7
класс когомологий из H 1 (M, (Tgr )2p ) содержит ровно по одному коциклу из
Q2p (p = 1, 2). Тогда любой класс когомологий из H 1 (M, Aut(2) Ogr ) представляется единственным коциклом вида z = exp(u2 + u4 ), где u2 ∈ Q2 ,
u4 ∈ Q4 .
Мы будем говорить далее о задании супермногообразия (M, O) коциклом
2
u + u4 , подразумевая, что (M, O) соответствует коциклу z = exp(u2 + u4 ).
Используя метод, изложенный в разделе 2 работы [3], можно доказать
следующие леммы.
Лемма 1. Справедливо равенство H 0 (CP1 , (Tgr )2 ) = {0}.
Лемма 2. Базис пространства H 1 (CP1 , (Tgr )q ), q = 2, 4, может быть
представлен следующими коциклами:
1) q = 2
x−1 ξ1 ξ2 ξ3 ∂ ,
∂ξ3
−1
x ξ1 ξ2 ξ4 ∂ ,
∂ξ4
−1
x ξ1 ξ3 ξ2 ∂ ,
∂ξ2
x−1 ξ1 ξ4 ξ2 ∂ ,
∂ξ2
−1
x ξ2 ξ3 ξ4 ∂ ,
∂ξ4
x−1 ξ1 ξ2 ξ3 ∂ ,
∂ξ4
−1
x ξ1 ξ2 ξ4 ∂ ,
∂ξ3
2) q = 4
x−2 ξ1 ξ2 ξ3 ∂ , x−3 ξ1 ξ2 ξ3 ∂ ,
x−1 ξ1 ξ2 ∂ ,
∂ξ3
∂ξ3
∂x
∂
∂
−2
−3
x ξ1 ξ2 ξ4
, x ξ1 ξ2 ξ4
,
∂ξ4
∂ξ4
x−2 ξ1 ξ3 ξ2 ∂ ,
x−1 ξ1 ξ3 ξ4 ∂ , x−2 ξ1 ξ3 ξ4 ∂ ,
∂ξ2
∂ξ4
∂ξ4
x−1 ξ1 ξ4 ξ3 ∂ ,
x−1 ξ2 ξ3 ξ1 ∂ , x−2 ξ2 ξ3 ξ1 ∂ ,
∂ξ3
∂ξ1
∂ξ1
∂
∂
−2
−1
−1
x ξ2 ξ3 ξ4
,
x ξ2 ξ4 ξ1
, x ξ2 ξ4 ξ3 ∂ ,
∂ξ4
∂ξ1
∂ξ3
∂
∂
x−2 ξ1 ξ2 ξ3
,
x−3 ξ1 ξ2 ξ3
,
x−4 ξ1 ξ2 ξ3 ∂ ,
∂ξ4
∂ξ4
∂ξ4
∂
−2
x ξ1 ξ2 ξ4
;
∂ξ3
x−1 ξ1 ξ2 ξ3 ξ4 ∂ , x−2 ξ1 ξ2 ξ3 ξ4 ∂ .
∂x
∂x
Проведем исследование на 0-однородность супермногообразий с ретрак1|4
том CP2210 . Обозначим через H 1 (CP1 , (Tgr ))a множество a-инвариантных
классов когомологий.
Предложение 2. Базис пространства H 1 (CP1 , (Tgr )2 )ai , где ai , i = 1, 2, —
расщепляющая подалгебра, может быть представлен следующими коциклами:
1) i = 1: 2x−1 ξ1 ξ2 ∂ + x−2 ξ1 ξ2 ξ3 ∂ ,
∂x
∂ξ3
∂
∂
−1
−1
x ξ1 ξ4 ξ2
,
x ξ1 ξ4 ξ3
,
x−1 ξ2 ξ4 ξ1 ∂ ,
x−1 ξ2 ξ4 ξ3 ∂ ;
∂ξ2
∂ξ3
∂ξ1
∂ξ3
2) i = 2: 2x−1 ξ1 ξ2 ∂ + x−2 ξ1 ξ2 ξ3 ∂ ,
x−2 ξ1 ξ3 ξ2 ∂ + x−1 ξ2 ξ3 ξ1 ∂ ,
∂x
∂ξ3
∂ξ2
∂ξ1
x−2 ξ1 ξ3 ξ4 ∂ + x−1 ξ2 ξ3 ξ4 ∂ .
∂ξ4
∂ξ4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8
Алгебра и анализ
Предложение 3. Для любой расщепляющей подалгебры a имеем
H 1 (CP1 , (Tgr )4 )a = {0}.
Пусть λ2 : Aut(2) Ogr → (Tgr )2 — гомоморфизм пучков, сопоставляющий каждому ростку автоморфизма a 2-компоненту элемента log a в (Tgr )2 ⊕
⊕(Tgr )4 . Из предложений 1 и 3 и леммы 1 можно вывести
Предложение 4. Если a — подалгебра, расщепляющая последовательность
(1), и если H 1 (CP1 , Aut(2) Ogr )a — множество классов, определяющих 0-однородные относительно a супермногообразия, то λ∗2 биективно отображает это
множество на H 1 (CP1 , (Tgr )2 )a .
Иначе говоря, 0-однородные относительно a супермногообразия задаются коциклами u2 + u4 , где класс [u2 ] a-инвариантен, а класс [u4 ] может
быть определен с помощью предложения 5.1 из [4]. Далее, a-инвариантные
классы [u2 ] описаны в предложении 2. Так как для них [u2 , u2 ] = 0, то из
предложения 5.1 работы [4] следует, что класс [u4 ] также должен быть aинвариантным. Используя предложение 3, получаем
Предложение 5. Для любой расщепляющей подалгебры a четно-однородные относительно a супермногообразия задаются коциклами из предложения 2.
Проведем теперь исследование на однородность полученных 0-однород1|4
ных супермногообразий с ретрактом CP2210 . Для этого будем использовать
Предложение 6. Пусть выполнены условия предложения 1, и пусть
супермногообразие(CP1 , O) является 0-однородным относительно ai . В случае i = 1 супермногообразие (CP1 , O) однородно тогда и только тогда, когда
векторные поля ∂ для j = 1, . . . , 4, поднимаются на (CP1 , O), а в случае
∂ξj
i = 2 — когда этим свойством обладают поля ∂ для j = 1, 3, 4.
∂ξj
Доказательство. Согласно предложению 5 из [2], вопрос об однородности сводится к вопросу о сюръективности отображения evo : v(M, O)1 →
To (M, O)1 для некоторой точки o ∈ M. Пусть o — точка в U0 с координатой
x = 0. Представим это отображение в виде evo = ev
˜ o ◦ p−1 , где ev
˜ o — отображение v(M, Ogr ) → To (M, Ogr ), вычисляющее значение векторного поля
в точке o ∈ M, p−1 — естественное отображение v(M, O)1 → v(M, Ogr )−1 .
Очевидно, W = Im p−1 является a-подмодулем в v(M, Ogr )−1 .
В случае i = 1 любой старший вектор a-подмодуля W есть линейная
комбинация векторных полей ∂ (см. [2]). Если (CP1 , O) однородно, то
∂ξj
evo (W ) = To (CP1 , O)1 и W содержит все ∂ , j = 1, . . . , 4, откуда следует,
∂ξj
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1|4
Однородные супермногообразия с ретрактом CP2210
9
что W = v(CP1 , O)−1 . Следовательно, все поля ∂ поднимаются. Обратно,
∂ξj
если все поля ∂ поднимаются, то p−1 сюръективно. Поскольку элемен∂ξj
ты ∂ натягивают To (CP1 , O)1 для x ∈ U0 , то ev
˜ o сюръективно. Поэтому
∂ξj
(CP1 , O) однородно.
В случае i = 2 старшими векторами a-модуля v(CP1 , Ogr )−1 являются
∂ ,2x ∂ − ∂ , ∂ , ∂ (см. [2]). Далее,
∂ξ1
∂ξ1 ∂ξ2 ∂ξ3 ∂ξ4
[f , ∂ ] = 2x ∂ − ∂ , (ad f )r ( ∂ ) ∈ Ker(evo ) при r ≥ 2;
∂ξ1
∂ξ1 ∂ξ2
∂ξ1
(ad f )r ( ∂ ) ∈ Ker(evo ) при r ≥ 1, j = 2, 3, 4.
∂ξj
Отсюда следует, что если (CP1 , O) однородно, то ∂ ∈ W, j = 1, 3, 4. Следо∂ξj
вательно, поля ∂ , j = 1, 3, 4, поднимаются на (CP1 , O). Обратно, если ука∂ξj
занные поля поднимаются на (CP1 , O), то ∂ ∈ W, j = 1, 3, 4. Значит, W со∂ξj
держит соответствующие неприводимые компоненты модуля v(CP1 , Ogr )−1 ,
и потому 2x ∂ − ∂ ∈ W. Следовательно, evo сюръективно, а (CP1 , O)
∂ξ1
∂ξ2
однородно.
Из доказанного вытекает следующий окончательный результат.
Теорема 1. Единственное с точностью до изоморфизма нерасщепимое
1|4
однородное супермногообразие с ретрактом CP2210 задается коциклом
x−1 ξ1 ξ4 ξ3 ∂ .
∂ξ3
Доказательство. Рассмотрим коциклы, указанные в предложении 2, и
применим к ним предложение 6. Используя критерий подъема из [4] (предложение 5.1), в случае i = 1 получаем, что нерасщепимые однородные супермногообразия задаются ненулевыми коциклами вида
Ax−1 ξ1 ξ4 ξ3
∂
∂
+ Bx−1 ξ2 ξ4 ξ3
,
∂ξ3
∂ξ3
где A, B ∈ C.
Из тех же соображений следует, что в случае i = 2 нерасщепимых однородных супермногообразий не существует. Используя предложение 12 из [2], в
котором дано описание алгебры End E, можно доказать, что все указанные
выше ненулевые коциклы переводятся друг в друга автоморфизмом расслоения E.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10
Алгебра и анализ
Литература
1. Онищик А.Л. Проблемы классификации комплексных супермногообразий // Математика в Ярославском университете: Сб. обзорных статей. К 25-летию математического факультета / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2001. С. 7 – 34.
2. Бунегина В.А., Онищик А.Л. Однородные супермногообразия, связанные с комплексной проективной прямой // Алгебраическая геометрия
– 1. Современная математика и ее приложения. Т. 19. М.: ВИНИТИ,
2001. С. 141 – 180.
3. Вишнякова Е.Г. Четно-однородные комплексные супермногообразия
размерности 1|3 на сфере Римана // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых,
аспирантов и студентов. Вып. 7. Ярославль: ЯрГУ, 2005. С. 22 – 30.
4. Onishchik A.L. A construction of non-split supermanifolds // Ann. Global
Analysis and Geometry. 1998. V. 16. P. 309 – 333.
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.54
Е.Г. Вишняковa
Векторные поля на супермногообразиях флагов 1
Работа посвящена вычислению супералгебр Ли голоморфных векторных полей на комплексных супермногообразиях флагов, введенных в рассмотрение Ю.И. Маниным [1]. Доказывается, что при некоторых ограничениях на тип флагов все эти поля являются фундаментальными для естественного действия полной линейной супергруппы объемлющего векторного
суперпространства. При этом используются результаты работы [2], где та
же задача рассматривалась для суперграссманианов. Ввиду ограничения на
объем статьи некоторые доказательства опущены.
1. Супермногообразия флагов
Мы начнем с определения классического многообразия флагов. Напомним, что флагом типа (k1 , . . . , kr ), где 0 < kr < · · · < k1 < m, в пространстве
Cm называется набор r вложенных друг в друга подпространств размерноm
стей k1 , . . . , kr в Cm . Множество Fm
k1 ,...,kr всех флагов типа (k1 , . . . , kr ) в C
можно рассматривать как комплексное многообразие; атлас на нем состоит из карт, которые определяются следующим образом. Пусть Cm ⊃ W1 ⊃
· · · ⊃ Wr — некоторый флаг типа (k1 , . . . , kr ). Выберем в каждом подпространстве Ws некоторый базис Bs , считая, что B0 = (e1 , . . . , en ) — стандартный базис в W0 = Cm . Тогда для любого s = 1, . . . , r определена матрица
Xs ∈ Mks−1 ,ks (C), где k0 = m, в столбцах которой стоят координаты векторов из Bs в базисе Bs−1 , причем rk Xs = ks , так что Xs содержит ненулевой
минор порядка ks . Для каждого s = 1, . . . , r фиксируем некоторый набор
Is ⊂ {1, . . . , ks−1 }, состоящий из ks чисел, и положим I = (I1 , . . . , Ir ). Обозначим через UI множество таких флагов, что минор матрицы Xs , стоящий
в строках с номерами из Is , отличен от 0. Легко проверить, что это условие на флаг не зависит от выбора базисов Bs и что для флага из UI эти
базисы можно выбрать так, чтобы в Xs в строках с номерами из Is стояла единичная матрица Eks . Более того, это последнее условие определяет
набор базисов Bs однозначно. Обозначим соответствующие матрицы Xs через XIs . Элементы этих матриц, не лежащие в строках с номерами из Is ,
1
Работа выполнена при финансовой поддержке Роcсийского фонда фундаментальных исследований
(грант 04-01-00647).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12
Алгебра и анализ
однозначно определяются флагом и могут принимать любые значения. Эти
элементы мы будем считать координатами флага из UI в карте, отвечающей системе I. Таким образом, локальные координаты в UI определяются
набором координатных матриц (XI1 , . . . , XIr ). Если задана другая система
J = (J1 , . . . , Js ) наборов Js ⊂ {1, . . . , ks−1 }, |Js | = ks , то функции перехода
между соответствующими координатами в UI ∩ UJ получаются из формул
XJ1 = XI1 CI−1
, XJs = CIs−1 Js−1 XIs CI−1
, s ≥ 2,
1 J1
s Js
где CIs Js – подматрица матрицы XIs , состоящая из строк с номерами из Js .
Заметим, что далее нам придется рассматривать более общий случай, когда
тип флагов (k1 , . . . , kr ) удовлетворяет условиям 0 ≤ kr ≤ . . . ≤ k1 ≤ m.
Естественно считать, что соответствующее многообразие флагов совпадает
с многообразием флагов типа (k10 , . . . , ks0 ), где 0 < ks0 < . . . < k10 < m и
{k10 , . . . , ks0 } — множество попарно различных чисел ks , отличных от 0 и m.
Перейдем теперь к супермногообразиям флагов. Мы дадим явное описание этих супермногообразий в терминах атласов, которые будут построены
по аналогии с рассмотренным выше классическим случаем (заметим, что в
[1] такое описание дано только для суперграссманианов). Пусть заданы два
числа m, n ∈ N и две последовательности неотрицательных целых чисел
k1 , . . . , kr и l1 , . . . , lr , такие, что 0 ≤ kr ≤ . . . ≤ k1 ≤ m, 0 ≤ lr . . . ≤ l1 ≤ n
и 0 < kr + lr < . . . < k1 + l1 < m + n. Мы хотим определить супермноm|n
гообразие Fk1 ,...,kr |l1 ,...,lr флагов типа (k1 , . . . , kr |l1 , . . . , lr ) в суперпространn
стве V = Cm|n , редукцией которого будет произведение Fm
k1 ,...,kr × Fl1 ,...,lr
супермногообразий флагов в пространствах Cm = V0̄ и Cn = V1̄ . Для
каждого s = 1, . . . , r фиксируем некоторые наборы Is0̄ ⊂ {1, . . . , ks−1 } и
Is1̄ ⊂ {1, . . . , ls−1 }, такие, что |Is0̄ | = ks , |Is1̄ | = ls чисел, и положим
Is = (Is0̄ , Is1̄ ), I = (I1 , . . . , Ir ). Каждому набору Is поставим в соответствие
матрицу
¶
µ
Xs Ξs
, s = 1, . . . , r,
(1)
ZIs =
Hs Ys
размера (ks−1 + ls−1 ) × (ks + ls ), такую, что Xs ∈ Mks (C), Ys ∈ Mls (C), а Ξs
и Hs состоят из некоторых нечетных элементов, причем в строках с номерами i ∈ Is0̄ и ks−1 + i, i ∈ Is1̄ , стоит единичная подматрица Eks +ls . Как мы
видели выше, системам наборов (I10̄ , . . . , Ir0̄ ) и (I11̄ , . . . , Ir1̄ ) отвечают карты
n
в некоторых открытых множествах UI ⊂ Fm
k1 ,...,kr и VI ⊂ Fl1 ,...,lr соответственно, причем элементы строк матриц Xs и Ys , не входящие в единичную
подматрицу, интерпретируются как локальные координаты, определяющие
эти карты. Будем считать эти элементы четными координатами в открытом
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Векторные поля на супермногообразиях флагов
13
множестве WI = UI × VI , а элементы матриц Ξs и Hs , не входящие в единичную подматрицу, — нечетными координатами в WI . Таким образом, мы
n
определили набор карт на Fm
k1 ,...,kr × Fl1 ,...,lr , занумерованный системами I и
покрывающий это многообразие. Локальные координаты в каждой из этих
карт определяются набором координатных матриц (ZI1 , . . . , ZIr ). Зададим
теперь функции перехода между двумя картами, определенными системами I = (Is ) и J = (Js ), с помощью формул
ZJ1 = ZI1 CI−1
, ZJs = CIs−1 Js−1 ZIs CI−1
, s ≥ 2,
1 J1
s Js
(2)
где CIs Js — подматрица матрицы ZIs , состоящая из строк, отвечающих номерам из Js . Cклеенные с помощью таких функций перехода суперобласти
m|n
определяют супермногообразие флагов Fk1 ,...,kr |l1 ,...,lr . В случае r = 1 суперm|n
многообразие флагов имеет вид Fk|l и называется суперграссманианом; мы
будем обозначать его также через Grm|n,k|l (см. [2]).
Далее мы будем использовать терминологию и обозначения, принятые
в [1, 2]. Комплексное супермногообразие записывается в виде (M, O), где
M — его редукция, являющаяся обычным комплексным многообразием, а
O — структурный пучок. С каждым супермногообразием (M, O) связан касательный пучок T = Der O на M , являющийся пучком супералгебр Ли
относительно операции [X, Y ] = Y X − (−1)p(X)p(Y ) XY . Глобальные сечения
пучка T называются голоморфными векторными полями на (M, O); они
составляют супералгебру Ли v(M, O), которая конечномерна, если M компактно. Наша задача состоит в вычислении этой супералгебры Ли в случае,
когда (M, O) — супермногообразие флагов заданного типа.
m|n
Заметим (см. [1]), что на супермногообразии флагов Fk1 ,...,kr |l1 ,...,lr определено действие супергруппы Ли GLm|n (C), которое во введенных выше картах записывается формулами вида
(A, (ZI1 , . . . , ZIr )) 7→ (Z̃J1 , . . . , ẐJr ),
(3)
где A ∈ GLm|n (C), Z̃J1 = AZI1 C1−1 , Z̃Js = Cs−1 ZIs Cs−1 .
Здесь C1 — обратимая подматрица матрицы AZI1 , стоящая в строках с номерами из J1 , а Cs , s ≥ 2, — обратимая подматрица матрицы Cs−1 ZIs , стоящая в строках с номерами из Js . Это действие индуцирует гомоморфизм
супералгебр Ли µ : glm|n (C) → v(M, O). В случае r = 1 в [2] доказано,
что Ker µ = hEm+n i; это доказательство легко переносится на общий случай. Следовательно, µ индуцирует инъективный гомоморфизм супералгебр
Ли pglm|n (C) = glm|n (C)/hEm+n i → v(M, O). Мы докажем далее, что для
большинства типов флагов этот гомоморфизм является изоморфизмом.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14
Алгебра и анализ
2. Суперрасслоения и проектирование векторных полей
Приведем несколько важных определений.
Морфизмом супермногообразия (M, O) в супермногообразие (M1 , O1 )
называется пара ϕ = (f, f˜), где f : M → M1 — голоморфное отображение и f˜ : f ∗ (O1 ) → O — гомоморфизм пучков супералгебр (см. [1, 3]).
Суперрасслоением с пространством (M, O), слоем (M2 , O2 ) и базой
(M1 , O1 ) называется набор ((M, O), (M2 , O2 ), (M1 , O1 ), π), где π : (M, O) →
(M1 , O1 ) — морфизм супермногообразий, локально являющийся морфизмом
проекции прямого произведения супермногообразий (подробности см. в [3]).
Для нас будет важен следующий пример суперрасслоения: при r > 1
m|n
супермногообразие Fk1 ,...,kr |l1 ,...,lr представляет собой пространство суперрасm|n
k |l
1
слоения с базой Fk1 |l1 = Grm|n,k1 |l1 и слоем Fk12 ,...,k
. Его проекция
r |l2 ,...,lr
m
n
p : Fk1 ,...,kr × Fl1 ,...,lr → Grm,k1 × Grn,l1 имеет вид p = p0 × p1 , где p0 и
p1 сопоставляют каждому флагу входящее в него подпространство максимальной размерности k1 и l1 соответственно. Выберем, как в п. 1, систему
наборов I = (I1 , . . . , Ir ). Легко видеть, что p−1 (WI1 ) изоморфно многообраn
зию (Fm
k2 ,...,kr × Fl2 ,...,lr ) × WI1 . Морфизм π имеет вид (p, p̃), где p̃ отображает
элементы координатной матрицы ZI1 (см. (1)) в те же элементы матрицы
m|n
ZI1 , входящей в набор (ZI1 , . . . , ZIr ), определяющий карту в Fk1 ,...,kr |l1 ,...,lr .
Из формул (2) видно, что это условие действительно определяет морфизм
наших супермногообразий. Из (3) следует, что проекция π эквивариантна
относительно естественных действий супергруппы GLm|n (C) на пространстве и базе расслоения.
Пусть π = (p, p̃) : (M, O) → (M1 , O1 ) — морфизм супермногообразий.
Векторное поле v ∈ v(M, O) называется проектируемым относительно π,
если существует такое поле v1 ∈ v(M1 , O1 ), что p̃(v1 f ) = v(p̃(f )) для любых
f ∈ O1 . При этом говорят, что поле v проектируется в поле v1 . Легко проверить, что проектируемые векторные поля составляют подалгебру v(M, O)
супералгебры Ли v(M, O).
Предположим теперь, что π = (p, p̃) : (M, O) → (M1 , O1 ) — проекция
суперрасслоения. Tогда гомоморфизм пучков p̃ : p∗ (O1 ) → O инъективен,
и поэтому каждое проектируемое поле v проектируется в единственное векторное поле v1 = Π(v). Отображение Π : v(M, O) → v(M1 , O1 ) является
гомоморфизмом супералгебр Ли. Поле v ∈ v(M, O) назовем вертикальным,
если оно проектируется в 0. Вертикальные поля составляют идеал Ker Π в
супералгебре Ли v(M, O).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Векторные поля на супермногообразиях флагов
15
Теорема 1. Пусть π : (M, O) → (M1 , O1 ) — проекция суперрасслоения
со слоем (M2 , O2 ). Если O2 (M ) ' C, то любое векторное поле из v(M, O)
проектируемо относительно π.
Эта теорема была доказана в [4] в случае, когда π — проекция прямого произведения супермногообразий. Очевидно, она обобщается на случай
проекции суперрасслоения.
Пусть теперь (M, O) = U × (M2 , O2 ), где U = (U, O1 ) — суперобласть в
m|n
C , и пусть π = (p, p̃) — проекция на первый сомножитель. Пусть (xi ) –
четные и нечетные координаты в U и (yj ) — четные и нечетные координаты
в некоторой координатной окрестности V ⊂ M2 . Тогда (xi , yj ) — четные
и нечетные координаты в U × V ⊂ M . Выберем максимальную линейно
независимую систему (fk ) одночленов от (xi ). Тогда каждая f ∈ O(U × V )
записывается в виде суммы сходящегося ряда
X
f=
gk fk ,
(4)
k
где gk ∈ O2 (V ) — однозначно определенные голоморфные функции от (yj ).
Заметим также, что каждое поле w ∈ v(M2 , O2 ) однозначно определяет вертикальное векторное поле w0 ∈Pv(M, O), которое в локальной записи (4)
действует по формуле w0 (f ) = k w(gk )fk . Очевидно, что при этом получается вложение супералгебры Ли v(M2 , O2 ) в v(M, O) в виде подалгебры,
состоящей из вертикальных (относительно π) векторных полей. С помощью
(4) легко доказывается следующая лемма.
Лемма 1. Векторное поле v ∈ v(M, O) вертикально тогда и только тогда,
когда оно представляется в виде суммы сходящегося ряда
X
v=
fk vk ,
(5)
k
где fk — определенные выше одночлены, vk ∈ v(M2 , O2 ), причем vk определяются по v однозначно.
Пусть теперь ((M, O), (M2 , O2 ), (M1 , O1 ), π) — произвольное суперрасслоение. Сопоставляя каждому открытому U ⊂ M1 супералгебру Ли W(U )
всех вертикальных векторных полей на (p−1 (U ), O) с естественными гомоморфизмами ограничения, мы получим некоторый предпучок W супералгебр Ли на M1 , который, как легко видеть, является пучком. Из леммы 1
выводится следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть M2 компактно. Тогда W — локально свободный пучок O1 модулей, ранг которого равен dim v(M2 , O2 ), причем W(M1 ) — подалгебра
всех вертикальных векторных полей в v(M, O).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16
Алгебра и анализ
Построим теперь по пучку W градуированный пучок супералгебр Ли,
являющийся пучком модулей над редукцией (M1 , F1 ) супермногообразия
(M1 , O1 ). Для этого рассмотрим хорошо известную фильтрацию (J p ) пучка O1 степенями пучка идеалов J , порожденного его нечетными
L элементами. С ней связан градуированный пучок супералгебр Õ1 = p≥0 (O1 )p , где
(O1 )p = J p /J p+1 . Напомним, что супермногообразие (M1 , Õ1 ) называется
ретрактом супермногообразия (M1 , O1 ).
Полагая W(p) = J p W, получаем фильтрацию
W = W(0) ⊃ W(1) ⊃ . . . W(N ) ⊃ W(N +1) = {0}.
Определим градуированный пучок F1 -модулей
M
W̃ =
Wp , где Wp = W(p) /W(p+1) .
(6)
(7)
p≥0
3. Функции на супермногообразиях флагов
Используя разложение (4), легко доказать следующее утверждение.
Лемма 2. Пусть (M, O) — суперрасслоение с базой (M1 , O1 ) и слоем
(M2 , O2 ), причем O1 (M1 ) ' O2 (M2 ) ' C. Тогда O(M ) ' C.
Выясним теперь условия, при которых на супермногообразии флагов нет
непостоянных голоморфных функций. Сначала рассмотрим случай суперграссманиана.
Теорема 3. Пусть (M, O) = Grm|n,k|l , тогда O(M ) ' C за исключением
случаев k = m, l = 0 и k = 0, l = n.
Доказательство. Докажем сначала, что на ретракте (M, Õ) суперграссманиана нет непостоянных голоморфных функций, за исключением указанных
случаев. Для этого воспользуемся теоремой Бореля - Вейля - Ботта (см. [5]).
Многообразие M = Grm,k × Grn,l есть однородное пространство, изоморфное G/P , где G = GLm (C) × GLn (C), а P = P1 × P2 , причем
¶¾
¶¾
½µ
½µ
A2 0
A1 0
,
(8)
, P2 =
P1 =
C 2 B2
C1 B1
где A1 ∈ GLm−k (C), A2 ∈ GLn−l (C), B1 ∈ GLk (C) и B2 ∈ GLl (C).
Редуктивная часть подгруппы P имеет вид R = GLm−k (C) × GLk (C)×
×GLn−l (C) × GLl (C). Пусть ρ10 , ρ20 , ρ11 , ρ21 – стандартные представления групп GLm−k (C), GLk (C), GLn−l (C), GLl (C) соответственно. Рассмотрим голоморфное векторное расслоение E → M , соответствующее ло-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Векторные поля на супермногообразиях флагов
17
кально свободному пучку E = J /J 2 . В [2] доказано, что E — однородное векторное расслоение, отвечающее вполне приводимому представлению ϕ группы P , ограничение которого на R имеет следующий вид:
ϕ|R =V1 ⊗ ρ20 ⊗ ρ∗11 ⊗ 1 + ρ∗10 ⊗ 1 ⊗ 1 ⊗ ρ21 . Пространство сечений пучка
Õr 'V r E есть пространство голоморфных
Vr сечений однородного расслоеr
E, отвечающего представлению
ϕ. Нам нужно найти доминантния
ные старшие веса этого представления. Рассмотрим подалгебру Картана t
алгебры Ли g = glm (C) ⊕ gln (C) группы G, имеющую вид t = t0 ⊕ t1 , где
t0 = {diag(µ1 , . . . , µm )}, t1 = {diag(λ1 , . . . , λn )}. Мы имеем
r
^
ϕ=
a
X ^
(ρ20 ⊗
ρ∗11 )
⊗
b
^
(ρ∗10 ⊗ ρ21 ).
a+b=r
При r > 0 любой вес этого представления имеет вид Λ = Λ0 + Λ1 , где
Λ0 = −µi1 − · · · − µib + µj1 + · · · + µja , Λ1 = −λi01 − · · · − λi0a + λj10 + · · · + λi0b ,
причем 1 ≤ i1 , . . . , ib ≤ m−k, 1 ≤ i01 , . . . , i0a ≤ n−l, m−k+1 ≤ j1 , . . . , ja ≤ m,
n − l + 1 ≤ j10 , . . . , jb0 ≤ n. При r = 0 старший вес равен 0. Найдем доминантные старшие веса. Вес Λ = 0, очевидно, доминантен, а при r > 0, как
легко проверить, вес Λ может быть доминантным только в следующих случаях: m = k, n = l; k = l = 0; m = k, l = 0; k = 0, n = l. Первый и
второй случаи исключаются определением супермногообразия флагов, третий и четвертый – условием теоремы. По теореме Бореля - Вейля - Ботта
Õ0 (M ) ' C, Õr (M ) = {0} для r > 0.
Рассмотрим теперь функции на (M, O). Очевидно, J p (M ) = {0} при достаточно больших p. Для любого r ≥ 0 имеется точная последовательность
пространств сечений
0 → J r+1 (M ) → J r (M ) → Õr (M ).
Рассуждая по индукции, видим, что J r (M ) = {0} для r > 0. В случае r = 0
из той же точной последовательности следует, что O(M ) = J 0 (M ) ' C.
Очевидно, при k = m, l = 0 и k = 0, l = n на Grm|n,k|l есть непостоянные
функции.
В общем случае мы воспользуемся тем, что любое супермногообразие
флагов является пространством суперрасслоения над суперграссманианом
(см. п. 2). Используя лемму 2 и теорему 3, легко доказать по индукции
следующую теорему.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18
Алгебра и анализ
m|n
Теорема 4. Пусть (M, O) = Fk1 ,...,kr |l1 ,...,lr . Если (k1 , l1 ) 6= (m, 0), (0, n) и
(ki , li ) 6= (ki−1 , 0), (0, li−1 ), i ≥ 2, то O(M ) ' C.
4. Векторные поля на супермногообразии флагов
Супералгебра Ли векторных полей на суперграссманиане Grm|n,k|l была
вычислена в работах [2, 6, 7]:
Теорема 5. Гомоморфизм µ : glm|n (C) → v(Grm|n,k|l ), определенный в п. 1,
почти всегда сюръективен, так что супералгебра Ли v(Grm|n,k|l ) почти всегда изоморфна pglm|n (C). Исключения составляют следующие случаи:
1) Для Gr2|2,1|1 имеем v(Gr2|2,1|1 ) ' psl2|2 (C)+
⊃ sl2 (C), где psl2|2 (C) =
= sl2|2 (C)/< E > (см. [7]).
2) Для изоморфных друг другу суперграссманианов Gr1|n,0|n−1 ,
Grn|1,n−1|0
V , Grn|1,1|1 , Gr1|n,1|1 , n > 1, имеем v(Gr1|n,0|n−1 ) ' Wn =
= Der (ξ1 , . . . , ξn ) (см. [6]).
3) Для вырожденных
случаев Grm|n,0|n ' Grm|n,m|0 имеем v(Grm|n,0|n ) '
V
' Wmn = Der (ξ1 , . . . , ξmn ), для Grm|n,0|0 ' Grm|n,m|n имеем v(Grm|n,0|0 ) '
' {0}.
4) Для Gr2|2,0|1 ' Gr2|2,1|0 ' Gr2|2,1|2 ' Gr2|2,2|1 имеем v(Gr2|2,0|1 ) ' H̃4 +
⊃
+
⊃ hzi, причем ad z действует на супералгебре Ли картановского типа H̃4 как
градуирующий оператор.
Заметим, что суперграссманианы Gr0|n,0|l1 ' Grn|0,l1 |0 являются обычными комплексными многообразиями; напомним, что v(Gr0|n,0|l1 ) ' pgl0|n (C) =
= pgln (C).
m|n
Далее приняты следующие обозначения: (M, O)=Fk1 ,...,kr |l1 ,...,lr , (M1 , O1 )=
k |l
1
= Grm|n,k1 |l1 , (M2 , O2 ) = Fk12 ,...,k
, причем мы везде будем предполагать,
r |l2 ,...,lr
что для (M, O) выполнены условия теоремы 4. В силу теоремы 1 проекция определенного выше суперрасслоения (M, O) → (M1 , O1 ) = Grm|n,k1 |l1
задает гомоморфизм супералгебр Ли Π : v(M, O) → v(M1 , O1 ). Из эквивариантности проекции расслоения относительно действий (3) супергруппы
Ли GLm|n (C) на (M, O) и (M1 , O1 ) следует, что соответствующие этим действиям гомоморфизмы µ : glm|n (C) → v(M, O) и µ1 : glm|n (C) → v(M1 , O1 )
удовлетворяют условию µ1 = Π ◦ µ. Предположим теперь, что база (M1 , O1 )
нашего суперрасслоения не относится к исключительным случаям теоремы 5. Тогда ясно, что гомоморфизм Π сюръективен. Если мы докажем, что
Π инъективен, то µ = Π−1 ◦ µ1 также будет сюръективным гомоморфизмом,
откуда, как мы видели в п. 1, следует, что v(M, O) ' pglm|n (C).
В связи с этим мы займемся изучением идеала вертикальных полей
Ker Π ⊂ v(M, O). В п. 2 мы построили пучок W̃ на M1 (см. (7)). Мы имеем
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Векторные поля на супермногообразиях флагов
19
также естественное действие группы G = GLm (C) × GLn (C) на этом пучке, что позволяет рассматривать соответствующее голоморфное векторное
расслоение W0 → M1 как однородное векторное расслоение. Используя обозначения доказательства теоремы 3, вычислим линейное представление подгруппы P ⊂ G в слое этого расслоения над точкой o ∈ M1 , стабилизатором
которой является P . Как видно из леммы 1, этот слой можно отождествить
с суперпространством v2 (M2 , O2 ) векторных полей на (M2 , O2 ).
Рассмотрим локальную карту в окрестности точки o на суперграссманиане (M1 , O1 ), соответствующую набору I1 = (I10̄ , I11̄ ), где I10̄ = {m − k1 +
+1, . . . , m}, I11̄ = {n − l1 + 1, . . . , n}, и запишем соответствующую координатную матрицу (1) в виде


X1 Ξ1
 Ek1 0 

ZI1 = 
(9)
 H1 Y1 
0 El1
Эту карту дополним до атласа в окрестности слоя над точкой o в (M, O),
используя некоторые наборы Is ⊂ I1 , s = 2, . . . , r, и записывая соответствующие координатные матрицы в виде (1). В обозначениях (8) и (9) группа P
преобразует матрицу ZI1 следующим образом:




A1 0 0 0
A1 X1
A1 Ξ1

 C 1 B1 0 0 

C1 Ξ1
.

 ZI =  C1 X1 + B1

 0 0 A2 0  1  A2 H1
A2 Y1
C2 H1
C 2 Y 1 + B2
0 0 C 2 B2
Следовательно, матрица ZI2 преобразуется следующим образом:
µ
¶µ
¶
C1 X1 + B1
C1 Ξ1
X2 Ξ2
=
C2 H1
C 2 Y 1 + B2
H2 Y2
¶
µ
B1 X2 + C1 X1 X2 + C1 Ξ1 H2 B1 Ξ2 + C1 X1 Ξ2 + C1 Ξ1 Y2
.
=
B2 H2 +C2 Y1 H2 + C2 H1 Y2 B2 Y2 + C2 Y1 Y2 + C2 H1 Ξ2
(10)
Напомним, что координатные матрицы ZIs , s ≥ 2, задают локальные координаты на слое (M2 , O2 ). Чтобы записать в этих координатах действие
группы P на слое, нужно положить в (10) X1 = 0, X2 = 0, Ξ1 = 0, H1 = 0
и соответствующим образом преобразовать матрицы ZIs , s ≥ 3. Отсюда
следует, что нильрадикал группы P и подгруппа GLm−k1 (C) × GLn−l1 (C)
ее редуктивной части R действуют на (M2 , O2 ) тривиально, а подгруппа
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20
Алгебра и анализ
GLk1 (C) × GLl1 (C) ⊂ R действует стандартным образом, как четная часть
супергруппы GLk1 |l1 (C) (см. (3)). Далее, индуцированное действие группы
GLk1 (C) × GLl1 (C) в pglk1 |l1 (C) ⊂ v2 (M2 , O2 ) совпадает с композицией этого
действия и присоединенного представления. Несложное вычисление приводит теперь к следующей лемме.
Лемма 3. Предположим, что v2 (M2 , O2 ) ' pglk1 |l1 (C). Тогда представление
ψ группы P , индуцированное в слое (W0 )o = v2 (M2 , O2 ), вполне приводимо
и

 Ad20 + Ad21 +ρ20 ⊗ ρ∗21 + ρ21 ⊗ ρ∗20 + 1 при k1 , l1 > 0,
Ad20 при k1 > 0, l1 = 0,
ψ|R =
(11)

Ad21 при k1 = 0, l1 > 0
Здесь использованы обозначения из доказательства теоремы 3, через Ad20 и
Ad21 обозначены присоединенные представления групп GLk1 (C) и GLl1 (C)
в пространствах slk1 (C) и sll1 (C) соответственно, а через 1 – одномерное
тривиальное представление.
Далее мы будем использовать карту, соответствующую набору Is =
= (Is0̄ , Is1̄ ), где I1 выбрано выше, Is0̄ = {ks−1 − ks + 1, . . . , ks−1 }, Is1̄ =
= {ls−1 − ls + 1, . . . , ls−1 }, s ≥ 2. Координатные матрицы этой карты имеют
вид:


Xs Ξs
 Ek 0 
1

ZIs = 
 Hs Ys  ,
0 El1
где Xs = (xsij ), Ys = (yijs ), Ξs = (ξijs ) и Hs = (ηijs ).
Следующая лемма почти очевидна:
Лемма 4. Среди фундаментальных векторных полей на (M, O) есть поля,
которые в нашей карте записываются в виде
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,
,
,
, uij + 2 , vij + 2 , wij + 2 , zij + 2 ,
1
1
1
1
∂xij ∂yij ∂ξij ∂ηij
∂xij
∂yij
∂ξij
∂ηij
где uij , vij , wij , zij – векторные поля, которые выражаются только через
координаты из ZI1 .
Нам понадобится также
Лемма 5. Пусть Ker Π 6= {0}, тогда существует поле v ∈ Ker Π\{0},
которое
P
записывается в выбранной выше локальной карте в виде v = q fq vq , где vq
– базис алгебры Ли v(M2 , O2 ), а fq – функции, зависящие только от четных
координат координатной матрицы ZI1 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Векторные поля на супермногообразиях флагов
21
Доказательство легко следует из лемм 1 и 4. Напомним, что Ker Π –
идеал в v(M, O).
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 6. Пусть r > 1, k1 < m и l1 < n. Тогда, если v(M2 , O2 ) '
' pglk1 |l1 (C), O2 (M2 ) ' C и v(M1 , O1 ) ' pglm|n (C), то Ker Π = {0} и
v(M, O) ' pglm|n (C).
Доказательство. Найдем сначала глобальные сечения расслоения W0 . При
этом мы будем пользоваться теоремой Бореля - Вейля - Ботта (см. [5]).
Представление ψ группы P было вычислено в лемме 3. Из (11) следует, что
старшие веса представления ψ при k1 , l1 > 0 имеют вид: 1) µm−k1 +1 − µm ;
2) µm−k1 +1 − λn ; 3) λn−l1 +1 − µm ; 4) λn−l1 +1 − λn ; 5) 0. Веса 1) – 4) не являются доминантными при k1 < m, l1 < n. Таким образом, пространство
сечений расслоения W0 представляет собой неприводимый g-модуль со старшим весом 0. Следовательно, алгебра глобальных сечений расслоения W0
изоморфна C.
Векторное поле u, которое является базисом одномерного инвариантного подпространства пространства v(M2 , O2 ), соответствующего представлению 1, определяется однопараметрической подгруппой γ(t) =
= diag(et/2 Ek1 , e−t/2 El1 ) в GLk1 (C) × GLl1 (C). С помощью несложных вычислений (см. [2]) получаем, что в построенной выше карте оно имеет вид:
u=
X
ij
ξij2
X
∂
∂
ηij2 2 + u1 ,
−
2
∂ξij
∂ηij
ij
где u1 – векторное поле, которое выражается только через координаты из
ZIs , s ≥ 3. Базисное сечение расслоения W0 над WI1 (см. пункт 1) имеет
вид f u, где f – обычная голоморфная функция на WI1 .
Пусть α : W(0) (M1 ) → W0 (M1 ). В нашей локальной карте отображение
α действует по формуле α(v) = v|ξij1 ,ηij1 =0 , где v ∈ W(0) (M1 ), а через v|ξij1 ,ηij1 =0
обозначен элемент из W0 (M1 ), который получается из v, если положить
ξij1 , ηij1 = 0.
Пусть теперь Ker Π 6= {0} и v ∈ Ker Π – поле из леммы 5. Очевидно, в
нашей локальной карте записи полей v и α(v) будут иметь один и тот же
вид, следовательно, v = f u, где f 6= 0.
Вместе с полем v в Ker Π содержится и [v, wij + ∂ξ∂2 ] = wij (f )u + f ∂ξ∂2 ,
где wij +
∂
2
∂ξij
ij
взято из леммы 4. Имеем
α([v, wij +
∂
∂
1 ,η 1 =0 u + f
])
=
(w
(f
))
∈ W0 (M1 ),
ij
ξ
ij ij
∂ξij2
∂ηij1
ij
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22
Алгебра и анализ
следовательно, (wij1 (f ))ξijt =0 u + f ∂η∂1 = af u, a ∈ C. Поскольку u и ∂η∂1 –
ij
ij
линейно независимые элементы модуля W0 (M1 ), получаем, что f = 0, что
приводит к противоречию и доказывает теорему.
При k1 > 0, l1 = 0 (соответственно при k1 = 0, l1 > 0) старший вес имеет
вид µm−k1 +1 − µm (λn−l1 +1 − λn ), откуда по теореме Бореля - Вейля - Ботта
получаем, что W0 (M ) = {0}, следовательно, W(0) (M ) ' W(1) (M ), что противоречит лемме 5 и доказывает теорему. По индукции легко доказывается
следующая
Теорема 7. Если v(Grm|n,k1 |l1 ) ' pglm|n (C), v(Grkj |lj ,kj+1 |lj+1 ) ' pglkj |lj (C), и
k1 < m, l1 < n, kj+1 < kj , lj+1 < lj , j = 1, . . . , r − 1, то
v(Fm|n
k1 ,...,kr |l1 ,...,lr ) ' pglm|n (C).
Далее мы разберем некоторые случаи, не вошедшие в теорему 7.
Теорема 8. Пусть r = 2, (M2 , O2 ) – суперграссманиан из пунктов 1) или 4)
теоремы 5, причем m > 2, n > 2. Тогда Ker Π = {0}.
Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 6. Необходимо подсчитать веса представления ψ и доказать, что единственный доминантный вес – это 0.
Используя теоремы 7 и 8, получаем основной результат
Теорема 9. Если r > 1, 0 < kr < · · · < k1 < m и 0 < lr < · · · < l1 < n, то
m|n
v(Fk1 ,...,kr |l1 ,...,lr ) ' pglm|n (C).
Далее, приведем без доказательства следующую лемму.
Лемма 6. Любой элемент w ∈P
Ker Π в выбранной выше локальной карте
можно представить в виде w = k fk vk , где vk – базис алгебры v(M2 , O2 ), а
fk – многочлены от координат из ZI1 .
Из лемм 4 и 6 следует
Лемма 7. Если r = l = 2 и Ker Π 6= {0}, то существует векторное поле
v ∈ Ker Π \ {0}, которое записывается в выбранной локальной карте так:
X
X
∂
∂
∂
∂
v = v0̄ + v1̄ , v0̄ =
(αij 2 + βij 2 ), v1̄ =
(γij 2 + δij 2 ),
∂xij
∂yij
∂ξij
∂ηij
ij
ij
где αij , βij , γij , δij ∈ C.
Теорема 10. Пусть r = 2, k1 > 1 и выполняется одно из условий:
(M2 , O2 ) = Gr1|k1 ,0|k1 −1 ; (M2 , O2 ) = Grk1 |1,k1 −1|0 ; (M2 , O2 ) = Grk1 |1,1|1 ,
m > k1 ; (M2 , O2 ) = Gr1|k1 ,1|1 , n > k1 . Тогда Ker Π = {0}.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Векторные поля на супермногообразиях флагов
23
Приведем идею доказательства. Пусть, например, (M2 , O2 ) =
= Gr1|k1 ,0|k1 −1 , тогда либо m > 1, либо n > k1 . Пусть для определенности
m > 1. Тогда легко доказать, что векторное поле из леммы 7 не является голоморфным. Для этого надо записать его в новой карте (ZJs ), которая отличается от (ZIs ) тем, что J10̄ = {m − k1 , m − k1 + 2, . . . , m}, J11̄ =
= {n − l1 + 1, . . . , n}. Отсюда следует, что Ker Π = {0}.
Этот результат можно обобщить на случай флагов произвольной длины.
Литература
1. Манин Ю.И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. М.: Наука, 1984.
2. Onishchik A.L., Serov A.A. Holomorphic vector fields on superGrassmannians. Adv. in Soviet Mathematics. V. 5. Providence: AMS, 1995.
P. 113-129.
3. Лейтес Д.А. Теория супермногообразий. Петрозаводск: Карельский
фил. АН СССР, 1983.
4. Башкин М.А. Векторные поля на прямом произведении комплексных
супермногообразий // Современные проблемы математики и информатики. Вып. 3. Ярославль, ЯрГУ, 2000. С. 11-16.
5. Ахиезер Д.Н. Однородные комплексные многообразия. Комплексный
анализ – многие переменные - 4. Современные проблемы математики.
Фундаментальные направления. Т. 10. М.: ВИНИТИ, 1986. С. 223-276.
6. Серов А.А. Супералгебры Ли векторных полей на комплексных флаговых супермногообразиях / Яросл. ун-т. Ярославль, 1986. Деп. в
ВИНИТИ в 1987 г., N 610B.
7. Бунегина В.А. Вычисление супералгебры Ли векторных полей на суперграссманиане Gr2|2,1|1 // Вопр. теории групп и гомолог. алгебры.
Ярославль: ЯрГУ, 1989. С. 157-160.
Тверской государственный университет
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 512.554
М.Г. Королев
Контактные градуировки
классических простых супералгебр Ли1
В работе [4] описаны контактные градуировки простых комплексных
алгебр Ли. В данном изложении делается попытка перенести результаты
работы [4] на случай классических простых супералгебр Ли.
Введение
Пусть
Градуировка
L g — конечномерная супералгебра Ли над полем C. L
g =
k∈Z gk называется контактной, если подалгебра m =
k<0 gk удовлетворяет условиям:
m = g−2 ⊕ g−1 ,
dim g−2 = 1
и билинейное отображение g−1 ×g−1 → g−2 , определенное коммутированием,
является невырожденным. Известно (см. [4]), что любая простая комплексная алгебра Ли g допускает единственную, с точностью до внутренних автоморфизмов, контактную градуировку. В настоящей работе мы начинаем
изучение контактных градуировок простых комплексных супералгебр Ли.
Мы классифицируем такие градуировки для двух серий классических простых супералгебр Ли (A(m, n), m 6= n, и P(n)). Оказывается, что любая из
этих супералгебр Ли допускает контактную градуировку, но она не является единственной. В то же время простые супералгебры Ли серии Q(n) не
допускают контактных градуировок.
Контактные градуировки и минимальные корни
Пусть снова g = g0̄ ⊕ g1̄ — конечномерная комплексная супералгебра
Ли. Для описания Z-градуировок супералгебры Ли g мы используем метод,
развитый в [2]. Пусть der0̄ g — алгебра Ли всех четных дифференцирований
супералгебры g и a ⊂ der0̄ g — ее максимальный тор, т.е. максимальная
1
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(грант 04-01-00647).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контактные градуировки классических простых супералгебр Ли
25
коммутативная подалгебра, состоящая из диагонализуемых дифференцирований. Тогда имеем весовое разложение
M
g=
gλ ,
(1)
λ∈Φ0
где Φ0 ⊂ a∗ — множество всех весов, т.е. таких линейных форм λ ∈ a∗ , что
gλ = {x ∈ g | ε(x) = λ(ε)x ∀ε ∈ a} 6= {0}. Определим множества:
a(R) = {δ ∈ a | α(δ) ∈ R ∀α ∈ Φ}
a(Z) = {δ ∈ a | α(δ) ∈ Z ∀α ∈ Φ}.
Тогда любой ε ∈ a(Z) определяет градуировку
M
M
g=
gk , где gk =
k∈Z
gλ .
(2)
λ∈Φ0 ,λ(ε)=k
При этом любая градуировка супералгебры Ли g получается таким образом
при помощи элемента некоторого максимального тора a. Поскольку все максимальные торы в der0̄ g сопряжены при помощи автоморфизмов из связной
компоненты единицы (Aut g)◦ группы Aut g (см. [1]), любая градуировка
супералгебры Ли g переводится автоморфизмом из (Aut g)◦ в градуировку
вида (2), определенную элементом фиксированного максимального тора a.
Пусть Φ = Φ0 \ {0} — множество всех корней, т.е. ненулевых весов. Элемент ε ∈ a(R) называется регулярным, если α(ε) 6= 0 для всех α ∈ Φ.
Связные компоненты множества всех регулярных элементов называются камерами. Если фиксировать некоторый регулярный элемент ε0 ∈ a(R), то
получим разбиение Φ = Φ+ t Φ− системы всех корней, где Φ+ = {α ∈ Φ |
α(ε0 ) > 0} и Φ− = {α ∈ Φ | α(ε0 ) < 0} — системы положительных и
отрицательных корней относительно ε0 . Корень ρ ∈ Φ− называется минимальным (относительно ε0 ), если α + ρ + α ∈
/ Φ для всех α ∈ Φ− .
L
Предложение 1. Пусть g = k>−2 gk — контактная градуировка, определяемая элементом ε ∈ a(Z). Тогда g−2 = gρ , где ρ — минимальный корень
относительно некоторого регулярного элемента ε0 ∈ a(R).
L
k
Доказательство. Мы имеем gk =
λ∈Φ0 ,λ(ε)=k g для любого k ∈ Z. Из
определения контактной градуировки следует, что g−2 = gρ для некоторого
ρ ∈ Φ, причем ρ(ε) = −2 и ρ — единственный корень, обладающий этим
свойством. Пусть Φ0 = {λ ∈ Φ | λ(ε) < 0} и Φ00 = {λ ∈ Φ | λ(ε) > 0}.
Тогда эти неравенства сохраняются в некоторой окрестности элемента ε в
a(R). Очевидно, в этой окрестности найдется регулярная точка ε0 . Если Φ+
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26
Алгебра и анализ
и Φ− — множества корней, положительных и отрицательных относительно
ε0 , то Φ0 ⊂ Φ− , Φ00 ⊂ Φ+ . В частности, ρ ∈ Φ− . Докажем, что ρ минимален
относительно ε0 . Пусть α ∈ Φ− и ρ + α ∈ Φ. Тогда α ∈
/ Φ00 , так что α(ε) 6 0
и (ρ + α)(ε) = ρ(ε) + α(ε) 6 −2. Поскольку gk = {0} при k < −2, имеем
(ρ + α)(ε) = −2, что дает противоречие, так как ρ + α 6= ρ.
Далее мы будем также рассматривать разбиение системы корней Φ =
= Φ0̄ ∪ Φ1̄ , где система четных корней Φ0̄ состоит из таких корней λ, что
gλ0̄ 6= {0}, а система нечетных корней Φ1̄ — из таких корней λ, что gλ1̄ 6= {0}.
Классические простые супералгебры Ли и их системы корней
Простая комплексная супералгебра Ли g называется классической, если
алгебра Ли g0̄ редуктивна и ее линейное представление в g1̄ вполне приводимо. Описание классических простых супералгебр Ли см. в [3].
Пусть g — классическая простая супералгебра Ли и t — подалгебра Картана алгебры Ли g0̄ . Тогда ad t — торическая подалгебра в der0̄ g. Мы имеем
разложение на весовые подпространства относительно этой подалгебры или,
другими словами, относительно представления ad|t:
M
g=h⊕
gα ,
(3)
α∈∆
где через ∆ ⊂ t(R)∗ обозначена система корней, т.е. ненулевых весов, а
через h — весовое подпространство веса 0, т.е. централизатор подалгебры t.
Пусть a — максимальный тор в der0̄ g, содержащий ad t. Тогда (см. [2]) ad t
либо совпадает с тором a, либо является его подалгеброй коразмерности 1.
Очевидно, в первом случае систему Φ можно отождествить с ∆, и тогда
разложения (3) и (1) будут совпадать.
Можно рассмотреть также группу Вейля W редуктивной алгебры Ли
g0̄ , она порождается отражениями rα в гиперплоскостях Sα = {x ∈ t(R) |
α(x) = 0}, α ∈ ∆0̄ . Обозначим через Int g подгруппу Aut g, порожденную
автоморфизмами вида exp (ad x), x ∈ g0̄ . Очевидно, любой автоморфизм
из Int g0̄ продолжается до некоторого автоморфизма из Int g, т.е. гомоморфизм ограничения Intg 7→ Int g0̄ сюръективен. Отметим следующее свойство
группы Вейля, хорошо известное для редуктивных алгебр Ли (см. [1]).
Предложение 2. Для любого w ∈ W имеем w> (∆) = ∆, причем w> переводит четные корни в четные, а нечетные — в нечетные и существует такой
> −1
автоморфизм a ∈ Int g, что a(t) = t, a|t = w и a(gα ) = g(w ) α для любого
α ∈ ∆.
Здесь через w> обозначается транспонированное (или сопряженное) по
отношению к w отображение.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контактные градуировки классических простых супералгебр Ли
27
Контактные градуировки супералгебры Ли spn
В этом разделе мы рассматриваем простые супералгебры Ли типа P.
Обозначим через pn подалгебру в полной линейной супералгебре gln|n , аннулирующую невырожденную нечетную кососимметрическую билинейную
форму в векторном суперпространстве Cn|n ; в подходящем базисе она состоит из матриц вида
µ
¶
X
Y
,
Z −X >
где X, Y, Z — квадратные матрицы порядка n, причем Y > = −Y, Z > = Z.
Алгебра Ли (pn )0̄ задается условиями Y = Z = 0 и естественно изоморфна
gln (C); подалгебра t̃ = {diag (x1 , . . . , xn , −x1 , . . . , −xn )} является ее подалгеброй Картана. Обозначим через spn идеал в pn , определяемый условием
tr X = 0; он является простой супералгеброй Ли при n > 2. Подалгебра
t = t̃ ∩ spn является подалгеброй Картана в (spn )0̄ . Как показано в [2], при
n > 3 единственным максимальным тором в der0̄ spn , содержащим ad t, является подалгебра a, состоящая из ограничений операторов ad x, x ∈ t̃ на spn .
Далее, тор a можно отождествить с t̃, причем система корней ∆ = ∆0̄ ∪ ∆1̄
относительно a задается формулами
∆0̄ = {xi − xj | i 6= j},
∆1̄ = {xi + xj | i < j} ∪ {−xi − xj | i 6 j}.
При ограничении t̃∗ → t∗ эта система отождествляется с системой корней
относительно t, причем разложение (3) совпадает с (1).
Пусть C ⊂ t̃(R) — некоторая камера и x0 = (a1 , . . . , an ) ∈ C. Поскольку
∆ содержит все корни вида xi − xj , i 6= j, знаки разностей ai − aj не зависят
от выбора точки x0 в C. Далее мы будем рассматривать камеры, для точек
которых выполняется условие
a1 > . . . > an .
(4)
Пусть W — группа Вейля, которая в нашем случае есть группа линейных
преобразований, определяемых перестановками координат x1 , . . . , xn . Очевидно, любую регулярную точку x0 ∈ t̃(R) можно привести к виду (4), если
применить к ней подходящий элемент w ∈ W . В силу предложения 2 w
переставляет камеры. Следовательно, любая камера переводится в камеру,
удовлетворяющую условию (4), при помощи некоторого элемента группы
W.
Предположим, что (4) выполнено, и рассмотрим соответствующую систему положительных корней ∆+ = ∆+ (x0 ). Тогда
(∆+ )0̄ = {xi − xj | i < j}.
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28
Алгебра и анализ
Обозначим через r, 0 6 r 6 n, наибольшее из таких чисел i, что ai > 0 (мы
считаем, что r = 0, если все ai < 0, и что r = n, если все ai < 0, и что r = n,
если все ai > 0). Имеем
a1 > . . . > ar > 0 > ar+1 > . . . > an .
Найдем теперь минимальные корни относительно регулярных элементов
из камеры C.
Лемма 1.
1) Корень xi − xj , i < j, не может быть минимальным.
2) Корень −xi + xj , i < j, является минимальным тогда и только тогда,
когда выполняются условия i = 1, j = n, |an | > |a1 | > |an−1 |.
3) Корень −2xi является минимальным тогда и только тогда, когда i = 1
и |a1 | > |an |.
4) Корень −xi − xj , i < j не может быть минимальным.
5) Корень xi + xj , i < j, является минимальным ровно тогда, когда
i = n − 1, j = n, |an−1 | > |a1 |.
Доказательство. Как уже было замечено, при выполнении (4) корень
xi − xj ∈ ∆+ , а корень −xi + xj ∈ ∆− при i < j. Рассмотрим случаи по
порядку.
1) Очевидно, так как xi − xj ∈ ∆+ при i < j.
2) Пусть ρ = −xi + xj , тогда ρ ∈ ∆− . Если i 6= 1, то положим α =
= −x1 + xi ∈ ∆− . Получаем ρ + α = −x1 + xj ∈ ∆. Если j 6= n, то положим
α = −xj + xn ∈ ∆− . Получаем ρ + α = −xi + xn ∈ ∆. Таким образом, если
ρ = −xi + xj является минимальным корнем, то обязательно ρ = −x1 + xn .
Найдем условия на ai , при которых ρ = −x1 + xn является минимальным
корнем. Выпишем все α ∈ ∆, такие, что ρ + α ∈ ∆, и найдем условия на ai ,
такие, чтобы все эти α лежали в ∆+ .
а) α = x1 − xk , 1 < k < n. При выполнении (4) α лежит в ∆+ .
б) α = x1 + xk , 1 < k < n. Если α ∈ ∆+ , то a1 + ak > 0 при 1 < k < n
или |a1 | > |an−1 |.
в) α = xk − xn , 1 < k < n. При выполнении (4) α лежит в ∆+ .
г) α = −xk − xn , 1 6 k < n. Если α ∈ ∆+ , то ak + an < 0 при 1 6 k < n,
или |an | > |a1 |.
д) α = −2xn . В этом случае an < 0.
Суммируя пункты а)–д), получаем условие |an | > |a1 | > |an−1 |.
3) Пусть ρ = −2xi , ρ ∈ ∆− . Если i 6= 1, то положим α = −x1 + xi ,
α ∈ ∆− . Получаем ρ + α = −x1 − xi ∈ ∆. Таким образом, если ρ = −2xi
является минимальным корнем, то обязательно ρ = −2x1 . Найдем условия
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контактные градуировки классических простых супералгебр Ли
29
на ai , при которых ρ = −2x1 является минимальным корнем. Выпишем все
α ∈ ∆, такие, что ρ + α ∈ ∆, и найдем условия на ai такие, чтобы все α
лежали в ∆+ .
а) α = x1 − xk , k > 1. При выполнении (4) α лежит в ∆+ .
б) α = x1 + xk , k > 1. Если α ∈ ∆+ , то a1 + ak > 0 при k > 1, или
|a1 | > |an |.
Суммируя пункты а) и б), получаем условие |a1 | > |an |.
4) Пусть ρ = −xi − xj , i < j. Положим α = −x1 + xj ∈ ∆− . Получаем
ρ + α = −x1 − xi или ρ + α = −2x1 . В любом случае ρ + α ∈ ∆, значит, ρ не
является минимальным корнем.
5) Пусть ρ = xi + xj , i < j. Если j 6= n, то возьмем α = −xj + xn ∈
∈ ∆− . Получаем ρ + α = xi + xn ∈ ∆. Если i 6= n − 1, то возьмем α =
= −xi + xn−1 ∈ ∆− . Получаем ρ + α = xn−1 + xn ∈ ∆. Таким образом, если
ρ = xi + xj является минимальным корнем, то обязательно ρ = xn−1 + xn .
Найдем условия на ai , при которых ρ = xn−1 + xn является минимальным
корнем. Выпишем все α ∈ ∆, такие, что ρ + α ∈ ∆, и найдем условия на ai ,
такие, чтобы все α лежали в ∆+ .
а) α = xk − xn−1 , k < n − 1. При выполнении (4) α лежит в ∆+ .
б) α = −xk − xn−1 , k < n − 1. Если α ∈ ∆+ , то ak + an−1 < 0 при k < n − 1
или |an−1 | > |a1 |.
в) α = −2xn−1 , тогда an−1 < 0.
г) α = xk − xn , k < n − 1, тогда α лежит в ∆+ во всех случаях.
д) α = −xk − xn , k < n − 1. Аналогично б) получаем, что |an | > |a1 |.
е) α = −2xn , тогда an < 0.
Суммируя пункты а)–е), получаем условие |an−1 | > |a1 |. Лемма доказана.
Теорема 1. Супералгебра Ли spn , n > 3, имеет две контактные градуировки с точностью до автоморфизма.
Доказательство. Согласно лемме 1, в spn три корня могут быть минимальными. Если существуют контактные градуировки, то в силу предложения 1
они связаны с этими корнями. Рассмотрим по отдельности все три случая.
1) Минимальным является корень ρ = −x1 + xn . Предположим, что в
этом случае существует контактная градуировка, и пусть элемент ε ∈ t̃(Z),
определяет эту градуировку. Получаем, что ρ(ε) = −2 и α(ε) > −2 для
всех корней α 6= ρ. Если ε = (ε1 , . . . , εn ), то εn − ε1 = −2. Предположим, что ε1 >0, тогда (−2x1 )(ε) = −2ε1 6 −2. Корень −2x1 не является
минимальным, значит, (−2x1 )(ε) > −2, в таком случае ε1 6 0, εn 6 −2.
Возьмем корни xn−1 + xn и −xn−1 + xn , тогда (xn−1 + xn )(ε) = εn−1 + εn и
(−xn−1 +xn )(ε) = −εn−1 +εn . Получается, что либо (xn−1 +xn )(ε) 6 −2, либо
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30
Алгебра и анализ
(−xn−1 + xn )(ε) 6 − 2. Таким образом, минимальный корень ρ = −x1 + xn
не соответствует никакой контактной градуировке.
2) Минимальным является корень ρ = −2x1 . Рассмотрим элемент
ε = (ε1 , . . . , εn ) ∈ t̃(Z). Тогда ε1 = 1. Если εi 6= 0 при i 6= 1, то либо
(−x1 + xi )(ε) 6 −2, либо (−x1 − xi )(ε) 6 −2. Таким образом, если ε определяет контактную градуировку, то ε = (1, 0 . . . , 0). В этом случае контактная
градуировка имеет вид:
g−2 = g(−2x1 )
M
g−1 =
g(−x1 ±xk )
k6=1
g0 = h ⊕
g1 =
M
M
g(±xi ±xj ) ⊕
1<i<j
M
g(−2xk )
k6=1
g(x1 ±xk ) .
k6=1
3) Минимальным является корень ρ = xn−1 + xn . Рассмотрим элемент ε = (ε1 , . . . , εn ) ∈ t̃(Z). Тогда εn−1 + εn = −2. Если εn−1 > 0, то
(−2xn−1 )(ε)6 −2, значит, εn−1 6 0. Аналогично εn 6 0. Если εn−1 < −1, то
εn−1 = −2, εn = 0 и (xn−1 − xn )(ε) = −2, значит, εn−1 = εn = −1. Если εi 6= 0
при i < n − 1, то либо (−xi + xn )(ε) 6 −2, либо (xi + xn )(ε) 6 −2. Таким образом, если ε определяет контактную градуировку, то ε = (0, . . . , 0, −1, −1).
В этом случае контактная градуировка имеет вид:
g−2 = g(xn−1 +xn ) ,
M
M
g−1 =
g(±xi +xn−1 ) ⊕
g(±xi +xn ) ,
i<n−1
i<n−1
g0 = h ⊕ g(−xn−1 +xn ) ⊕ g(xn−1 −xn ) ⊕
g1 =
M
i<n−1
g(±xi −xn−1 ) ⊕
M
M
g(±xi ±xj ) ,
i,j<n−1
g(±xi −xn ) ,
i<n−1
g2 = g(−xn−1 −xn ) ⊕ g(−2xn−1 ) ⊕ g(−2xn ) .
Контактные градуировки супералгебры Ли slm|n , m 6= n
Рассмотрим супералгебру Ли slm|n , m 6= n, m, n > 1. Подалгеброй Картана в (slm|n )0̄ является t = {diag (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn )} ∩ slm|n . Как показано
в [2], a = ad t является максимальным тором в der0̄ slm|n . Если отождествить
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контактные градуировки классических простых супералгебр Ли
31
a с t, то соответствующая система корней ∆ = ∆0̄ ∪ ∆1̄ задается формулами
∆0̄ = {xi − xj , yi − yj | i 6= j},
∆1̄ = {xi − yj , yi − xj }.
(6)
Лемма 2. В супералгебре Ли slm|n , m 6= n, m, n > 1, с точностью до преобразований из группы Вейля существуют четыре минимальных корня.
Доказательство. Рассмотрим некоторый элемент
x0 = diag(a1 , . . . , am , b1 , . . . , bn ) ∈ t(R).
Его регулярность равносильна тому, что все вещественные числа ai и bj
различны между собой. Применяя подходящий элемент группы Вейля, мы
можем добиться того, чтобы выполнялись неравенства
a1 > . . . > am , b1 > . . . > bn .
Тогда возможны четыре случая:
a1 > b1 ,
b1 > a 1 ,
a1 > b1 ,
b1 > a 1 ,
bn > am ,
a m > bn ,
a m > bn ,
bn > am .
(7)
(8)
(9)
(10)
Найдем в каждом случае минимальный корень. Пусть выполнено условие
(7), тогда ρ = xm − x1 — минимальный корень. Действительно, пусть α ∈ ∆
и ρ + α ∈ ∆. Тогда возможны следующие два случая:
а) α = x1 − a, где либо a = xi , 2 6 i 6 m, либо a = yj , 1 6 j 6 n.
Очевидно, что все такие α лежат в ∆+ .
б) α = a − xm , где либо a = xi , 1 6 i 6 m − 1, либо a = yj , 1 6 j 6 n.
Очевидно, α ∈ ∆+ .
Нетрудно показать, что для любого другого γ ∈ ∆− всегда существует
такой α ∈ ∆− , что γ + α ∈ ∆.
Аналогично, рассматривая неравенства (8), (9) и (10), находим, что минимальными являются в этих случаях корни yn − y1 , yn − x1 и xm − y1 .
Теорема 2. В супералгебре slm|n , m 6= n, m, n > 1, существуют четыре
контактные градуировки с точностью до автоморфизмов.
Доказательство. Нетрудно показать, что каждому минимальному корню ρ соответствует единственная контактная градуировка. В частности,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
32
Алгебра и анализ
1) Минимальному корню ρ = xm − x1 отвечает контактная градуировка
g−2 = g(xm −x1 ) ,
m−1
n
m−1
n
M
M
M
M
g−1 =
g(xi −x1 ) ⊕
g(yj −x1 ) ⊕
g(xm −xi ) ⊕
g(xm −yj ) ,
i=2
j=1
m−1
M
g0 = h ⊕
n
M
g(xi −xj ) ⊕
i,j=2
i6=j
g1 =
m−1
M
i=2
m−1 M
n
M
g(yi −yj ) ⊕
i,j=1
i6=j
g(x1 −xi ) ⊕
i=2
n
M
j=1
g(xi −yj ) ⊕
i=2 j=1
g(x1 −yj ) ⊕
j=1
m−1
M
m−1 M
n
M
g(yj −xi ) ,
i=2 j=1
g(xi −xm ) ⊕
i=2
n
M
g(yj −xm ) ,
j=1
g2 = g(x1 −xm ) .
2) Минимальному корню ρ = yn − y1 отвечает контактная градуировка
g−2 = g(yn −y1 ) ,
n−1
m
n−1
m
M
M
M
M
g−1 =
g(yj −y1 ) ⊕
g(xi −y1 ) ⊕
g(yn −yj ) ⊕
g(yn −xi ) ,
j=2
m
M
g0 = h ⊕
i=1
g(xi −xj ) ⊕
i,j=1
i6=j
g1 =
n−1
M
g(yi −yj ) ⊕
i,j=2
i6=j
g(y1 −yj ) ⊕
j=2
j=2
n−1
M
m
M
g(xi −yj ) ⊕
i=1 j=2
g(y1 −xi ) ⊕
i=1
i=1
m M
n−1
M
n−1
M
g(yj −xi ) ,
i=1 j=2
g(yj −yn ) ⊕
j=2
m M
n−1
M
m
M
g(xi −yn ) ,
i=1
g2 = g(y1 −yn ) .
3) Минимальному корню ρ = yn − x1 отвечает контактная градуировка
g−2 = g(yn −x1 ) ,
m
n−1
m
n−1
M
M
M
M
g−1 =
g(xi −x1 ) ⊕
g(yj −x1 ) ⊕
g(yn −xi ) ⊕
g(yn −yj ) ,
i=2
g0 = h, ⊕
j=1
m
M
i,j=2
i6=j
g(xi −xj ) ⊕
i=2
n−1
M
i,j=1
i6=j
g(yi −yj ) ⊕
j=1
m M
n−1
M
i=2 j=1
g(xi −yj ) ⊕
m M
n−1
M
i=2 j=1
g(yj −xi ) ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Контактные градуировки классических простых супералгебр Ли
g1 =
m
M
g(x1 −xi ) ⊕
i=2
n−1
M
g(x1 −yj ) ⊕
j=1
m
M
g(xi −yn ) ⊕
i=2
n−1
M
33
g(yj −yn ) ,
j=1
g2 = g(x1 −yn ) .
4) Минимальному корню ρ = xm − y1 отвечает контактная градуировка
g−2 = g(xm −y1 ) ,
n
m−1
n
m−1
M
M
M
M
g−1 =
g(yj −y1 ) ⊕
g(xi −y1 ) ⊕
g(xm −yj ) ⊕
g(xm −xi ) ,
j=2
g0 = h ⊕
m−1
M
i=1
g(xi −xj ) ⊕
i,j=1
i6=j
g1 =
n
M
g(y1 −yj ) ⊕
j=2
j=2
n
M
g(yi −yj ) ⊕
i,j=2
i6=j
m−1
M
i=1
g(y1 −xi ) ⊕
i=1
m−1 M
n
M
g(xi −yj ) ⊕
i=1 j=2
n
M
j=2
g(yj −xm ) ⊕
m−1 M
n
M
g(yj −xi ) ,
i=1 j=2
m−1
M
g(xi −xm ) ,
i=1
g2 = g(y1 −xm ) .
Контактные градуировки супералгебры Ли sqn
Рассмотрим супералгебру Ли sqn , n > 3. В [2] показано, что весовое разложение (1) совпадает с весовым разложением (3). При этом dim gα = 1|1
для любого α ∈ ∆. Согласно определению контактной градуировки и предложению 1, размерность хотя бы одного из пространств gα должна равняться 1. Следовательно, супералгебра Ли sqn не имеет контактных градуировок.
Литература
1. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим
группам. M.: УРСС, 1995.
2. Иванова Н.И. Параболические подалгебры супералгебр Ли классического типа // Вопр. теории групп и гомолог. алгебры. 2003. Ярославль:
ЯрГУ. С. 118 – 151.
3. Kac V.G. Lie superalgebras //Adv. Math. 1977. V. 26. P. 8 – 96.
4. Yamaguchi K. Differential systems associated with simple graded Lie algebras // Progress in Differential Geometry. Adv. Studies in Pure Math.
V. 22. Tokyo: Math. Soc. Japan, 1993. P. 413 – 494.
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 513.88
Ю.В. Бондаренко
О конусах в пространствах последовательностей
Для конусов последовательностей, определяемых условиями убывания,
выписаны крайние лучи, приведены теоремы вложения и показано, что множество таких конусов замкнуто относительно операции пересечения.
В последнее время, в связи с различными задачами гармонического
анализа, возродился интерес к конусам функций или последовательностей,
определяемых различными условиями монотонности [1], [5-8]. В настоящей
заметке доказываются различные свойства конусов, определяемых условием
монотонности.
Напомним некоторые определения [2-4]. Пусть E, как обычно, линейное
пространство над полем действительных чисел.
Определение 1. Множество K ⊆ E называется конусом в E, если выполнены следующие условия:
a) из x, y ∈ K вытекает, что αx + βy ∈ K при всех α, β ≥ 0;
b) из каждой пары точек x, −x ∈ E (x 6= 0) по крайней мере одна не
принадлежит K.
Если E - банахово пространство, то к условиям a) и b) добавляют еще
одно условие:
c) множество K замкнуто.
Определение 2. Пусть x0 ∈ K, x0 6= 0. Множество L(x0 ) = {x : x = αx0 },
(α ≥ 0) называется лучом в E, порожденным x0 ∈ K.
Определение 3. Луч L(x0 ) ∈ K называется крайним в конусе K, если его
нельзя представить как выпуклую комбинацию двух других лучей из K.
Как обычно бывает в теории выпуклости, последнее определение можно
переформулировать в следующем виде.
Определение 30 . Луч L(x0 ) ∈ K называется крайним в конусе K, если его
нельзя представить как полусумму двух других лучей из K.
Пусть E есть пространство всех последовательностей действительных
чисел с покоординатной сходимостью.
Определение 4. Пусть задана положительная последовательность {ψi }∞
1 .
Символом K(ψ, ↓) (соответственно K(ψ, ↑) ) будем обозначать множество
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О конусах в пространствах последовательностей
35
неотрицательных последовательностей {xi }∞
1 , для каждой из которых выполнено условие:
xi+1 · ψi+1 ≤ xi · ψi (соответственно xi+1 · ψi+1 ≥ xi · ψi ) (i ∈ N ).
Отметим, что, какова бы ни была положительная последовательность
{ψi }∞
1 , конус K(ψ, ↓) всегда содержит ненулевые элементы, например, последовательность { ψ1i }∞
1 . Легко видеть, что эта последовательность порождает крайний луч.
Следующая теорема описывает остальные крайние лучи конуса K(ψ, ↓).
Теорема 1. Зафиксируем последовательность {ψi }∞
1 . Для того, чтобы по∞
следовательность {ϕi }1 порождала крайний луч в конусе K(ψ, ↓), необходимо и достаточно, чтобы нашлись число a > 0 и натуральное n > 1 такие,
что эта последовательность имеет вид:
 1
 ψi , если 1 ≤ i ≤ n,
ϕi = a
(1)

0, если i > n.
Доказательство. Докажем достаточность. Итак, пусть при всех λ ≥ 0, i ∈ N
выполнено равенство
x0,i + x1,i
λϕi = λ
,
(2)
2
∞
где последовательности {x0,i }∞
1 , {x1,i }1 лежат в конусе K(ψ, ↓).
Поскольку все последовательности из конуса K(ψ, ↓) неотрицательны,
то при всех i > n справедливы равенства ϕi = x0,i = x1,i ≡ 0.
Пусть теперь i = 1, n. Тогда, умножая равенство (1) на ψi , получим, что
при всех i = 1, n верно соотношение 2a ≡ ψi x0,i + ψi x1,i . Поскольку правая
часть есть сумма невозрастающих последовательностей, а левая часть есть
константа, то каждое слагаемое в правой части есть константа и, следовательно, при всех i = 1, n выполняются равенства x0,i ≡ b0 /ψi ; x1,i ≡ b1 /ψi ,
∞
∞
где (b0 + b1 ) = 2a, т.е. L({x0,i }∞
1 ) = L({x1,i }1 ) = L({ϕi }1 ). Достаточность
доказана.
Докажем необходимость. Пусть последовательность {ϕi }∞
1 порождает крайний луч в конусе K(ψ, ↓), то есть из равенства (1) следует, что
x0,i ≡ b0 ϕi ; x2,i ≡ b1 ϕi , (i ∈ N ), причем (b0 + b1 ) = 2a.
∞
Умножим последовательность {ϕi }∞
1 на последовательность {ψi }1 и положим ϕ0,i = ψi ·ϕi , (i ∈ N ). Тогда последовательность {ϕ0,i }∞
1 не возрастает.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
36
Алгебра и анализ
Положим m1 = ϕ0,1 , m2 = inf ϕ0,i = lim ϕ0,i . Покажем, что не существует
i∈N
i→∞
точки i ∈ N такой, что выполняются неравенства m2 < ϕ0,i < m1 .
Предположим противное. Пусть i0 первый номер, для которого m1 >
> ϕ0,i0 = m3 , и пусть ϕ0,i = m3 при i = i0 , i1 , ϕ0,i1 +1 = m4 < m3 . Положим δ = min(m1 − m3 , m3 − m4 ) > 0 и определим две последовательности
равенствами

ϕ ,
если 1 ≤ i < i0 ,
1  0,i
m3 + δ/2, если i0 ≤ i ≤ i1 ,
x0,i =
ψi  ϕ ,
если i > i1 ,
0,i
и

ϕ ,
если 1 ≤ i < i0 ,
1  0,i
m3 − δ/2, если i0 ≤ i ≤ i1 ,
x1,i =
ψi  ϕ ,
если i > i1 .
0,i
∞
Тогда обе эти последовательности {x0,i }∞
1 и {x1,i }1 лежат в конусе
K(ψ, ↓), не являются пропорциональными и, следовательно, порождают различные лучи в конусе. С другой стороны, прямо из определений следует, что
справедливо равенство (2). Противоречие.
Таким образом, последовательность, порождающая крайний луч, с необходимостью имеет вид
½
1
m1 , если 1 ≤ i < i0 ,
ϕi =
ψi m2 , если i ≥ i0 ,
c m1 > m2 .
Покажем, что выполняется равенство
½
1
m1 ,
x0,i =
ψi (m1 + m2 )/2,
и
½
1
m1 ,
x1,i =
ψi (m1 − m2 )/2,
m2 = 0. Если m2 > 0, то положим
если 1 ≤ i ≤ i0 ,
если i0 < i < ∞,
если 1 ≤ i ≤ i0 ,
если i0 < i < ∞.
∞
Тогда последовательности {x0,i }∞
1 и {x1,i }1 лежат в конусе K(ψ, ↓), не являются пропорциональными, но соотношение (2) выполнено. Таким образом,
мы снова пришли к противоречию.
Теорема доказана.
Сформулируем теорему вложения для конусов.
Теорема 2. Пусть задано две положительных последовательности {ψ1,i },
{ψ2,i }, по которым построено два конуса K(ψ1 , ↓), K(ψ2 , ↓). Для того, чтобы
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О конусах в пространствах последовательностей
37
выполнялось вложение
K(ψ1 , ↓) ⊆ K(ψ2 , ↓),
необходимо и достаточно, чтобы для всех i ∈ N выполнялось соотношение
ψ2,i+1
ψ2,i
≤
,
ψ1,i+1
ψ1,i
то есть функция
ψ2,i
ψ1,i
(3)
не возрастает.
Доказательство. Необходимость (3) следует из того, что выполняется условие { ψ11,i } ∈ K(ψ1 , ↓), а достаточность следует из соотношений
xi+1 ψ2,i+1 = xi+1 ψ1,i+1
ψ2,i+1
ψ2,i+1
ψ2,i
≤ xi ψ1,i
≤ xi ψ1,i
= xi ψ2,i .
ψ1,i+1
ψ1,i+1
ψ1,i
Теорема доказана.
Теперь мы переходим к изучению различных операций над конусами
K(ψ1 , ↓), K(ψ2 , ↓). Первая теорема дает необходимые и достаточные условия
для того, чтобы объединение конусов было конусом.
Теорема 3. Пусть задано две положительных последовательности {ψ1,i },
{ψ2,i }, по которым построено два конуса K(ψ1 , ↓), K(ψ2 , ↓). Множество
K(ψ1 , ↓) ∪ K(ψ2 , ↓) является конусом тогда и только тогда, когда для всех
i ∈ N выполнено одно (или оба сразу) из соотношений
ψ1,i
ψ1,i+1
≤
,
ψ2,i+1
ψ2,i
ψ2,i+1
ψ2,i
≤
.
ψ1,i+1
ψ1,i
(4)
В первом случае верно равенство
K(ψ1 , ↓) ∪ K(ψ2 , ↓) = K(ψ1 , ↓),
(5)
а во втором справедливо равенство
K(ψ1 , ↓) ∪ K(ψ2 , ↓) = K(ψ2 , ↓).
(6)
Доказательство. Если выполнено одно из соотношений (4), то очевидно,
что объединение конусов будет конусом и одно из равенств (5-6) будет выполнено.
Пусть теперь K(ψ1 , ↓) ∪ K(ψ2 , ↓) является конусом. Очевидно, что выполняются соотношения
{
1 ∞
} ∈ K(ψ1 , ↓) ⊆ K(ψ1 , ↓) ∪ K(ψ2 , ↓),
ψ1,i 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
38
Алгебра и анализ
1 ∞
} ∈ K(ψ2 , ↓) ⊆ K(ψ1 , ↓) ∪ K(ψ2 , ↓).
ψ2,i 1
Поскольку множество K(ψ1 , ↓) ∪ K(ψ2 , ↓) является конусом, то
1
1 ∞
{
+
} ∈ K(ψ1 , ↓) ∪ K(ψ2 , ↓),
ψ1,i ψ2,i 1
{
и, значит, выполняется одно (или оба сразу) из соотношений
{(
1
1
ψ1,i ∞
+
)ψ1,i }∞
} ↓,
=
{1
+
1
ψ1,i ψ2,i
ψ2,i 1
1
1
ψ2,i ∞
+
)ψ2,i }∞
} ↓.
1 = {1 +
ψ1,i ψ2,i
ψ1,i 1
Отсюда следует, что выполняется (4).
Теорема доказана.
Поскольку пересечение конусов всегда является конусом, то встает вопрос об описании конуса K(ψ1 , ↓) ∩ K(ψ2 , ↓). В частности, будет ли множество K(ψ, ↓) замкнутым относительно операции пересечения и, если это
справедливо, как по последовательностям ψ1 , ψ2 , по которым построены конусы K(ψ1 , ↓), K(ψ2 , ↓), найти порождающую последовательность их пересечения.
Теорема 4. Зафиксируем положительные последовательности {ψ1,i }∞
1 ,
∞
∞
{ψ2,i }1 . Существует положительная последовательность {ψi }1 такая, что
конус K(ψ1 ↓) ∩ K(ψ2 ↓) совпадает с конусом K(ψ ↓).
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что
ψ1,1 = ψ2,1 = 1.
Если последовательность {xi }∞
1 принадлежит конусу K(ψ1 , ↓)∩K(ψ2 , ↓),
то для всех i выполняются соотношения

 ψ1,i+1 xi+1 ≤ ψ1,i xi ,
{(

ψ2,i+1 xi+1 ≤ ψ2,i xi ,
или
ψ1,i
ψ2,i
,
}xi .
ψ1,i+1 ψ2,i+1
Определим теперь последовательность ψi с помощью равенств:


ψ1 = 1,



xi+1 ≤ min{
ψi

ψi+1 =
, если i = 2, 3, ...


ψ
ψ2,i
1,i

min{ ψ1,i+1
, ψ2,i+1
}
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О конусах в пространствах последовательностей
39
Тогда прямо из определения следует, что неравенство
ψi+1 xi+1 ≤ ψi xi
эквивалентно следующему
xi+1 ≤
ψi
xi ,
ψi+1
или
ψ1,i
ψ2,i
,
}xi .
ψ1,i+1 ψ2,i+1
Таким образом, условия принадлежности последовательности {xi }∞
1 конусу K(ψ1 ↓) ∩ K(ψ2 ↓) и конусу K(ψ, ↓) тождественны.
Теорема доказана.
Все теоремы имеют естественный аналог для конусов K(ψ, ↑).
xi+1 ≤ min{
Литература
1. Бережной Е.И. Точные оценки операторов на конусах в идеальных
пространствах // Труды МИАН им. В.А. Стеклова. 1993. Т. 204.
С. 3 – 36.
2. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматлит, 1962.
3. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.
4. Фелпс Р. Лекции о теоремах Шоке. М.: Мир, 1968.
5. Sawyer E.T. Boundedness of classical operators in classical Lorentz spaces
// Studia Math. 1990. V. 96. P. 145 – 158.
6. Heinig H., Maligranda L. Weighted inequalities for monotone and concave
functions // Studia Math. 1995. V. 116. P. 133 – 165.
7. Gol’dman M.L., Heinig H.P., Stepanov V.D. On the principle of duality
in Lorentz spaces // Can. J. Math. 1996. V. 48. N 5. P. 959 – 979.
8. Kufner A., Persson L.-E. Weighted inequalities of Hardy type. World Scientific, 2003.
Ярославский государственный
педагогический университет им. К.Д. Ушинского
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 513.88+517.51
Е.А. Зыкова
О полноте всплесковых систем функций в
симметричных пространствах
Доказывается теорема о полноте систем функций {ψnk } = ψ(2n t − k),
n ∈ Z, k = 0, 2n − 1 , где ψ(t) — произвольная определенная на [0, 1] измеримая функция.
Пусть S(0, 1) — метрическое пространство всех измеримых по Лебегу
почти всюду конечных функций x(t) на интервале (0, 1). Для каждой неотрицательной функции x(t) ∈ S(0, 1) вводится функция распределения nx (τ ),
определенная формулой
nx (τ ) = mes {t : |x(t)| > τ }.
Функция распределения убывает, непрерывна справа. Для каждой функции из S(0, 1) функция nx (τ ) → 0 при τ → ∞.
Определение 1. Две неотрицательные функции x(t) и y(t) на S(0, 1) называются равноизмеримыми, если для любого τ ∈ (0, ∞) выполнено тождество
nx (τ ) ≡ ny (τ ).
Определение 2. Перестановкой неотрицательной фукции x ∈ S(0, 1) называется убывающая непрерывная слева фукция x∗ (t), равноизмеримая с
фукцией x(t).
Перестановка единственна и может быть определена по формуле
x∗ (t) = inf{τ : nx (τ ) < t}.
Определение 3. Функциональное банахово пространство на интервале (0,1) с мерой Лебега называется симметричным, если
1) из того, что y ∈ E и |x(t)| ≤ |y(t)| почти всюду на (0,1), вытекает, что
x ∈ E и kxkE ≤ kykE (т. е. E является идеальной структурой);
2) из того, что y ∈ E и функция |x(t)| равноизмерима с функцией |y(t)|,
следует, что x ∈ E и kxkE = kykE .
Условия 1) и 2) эквивалентны одному:
10 ) если y ∈ E и x∗ (t) ≤ y ∗ (t) для всех t ∈ (0,1), то kxkE ≤ kykE .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О полноте всплесковых систем функций . . .
41
Определение 4. В пространстве S(0,1) действуют операторы растяжения,
определяемые формулой
στ x(t) = x(τ −1 t) (0 < τ ≤ 1).
Теорема 1. [1] Операторы στ ограниченно действуют в любом симметричном пространстве E и справедливо неравенство kστ k ≤ 1.
Из последней теоремы и из неравенства kστ xkE ≤ kστ kE kxkE следует
kστ xkE ≤ kxkE .
(1)
Определение 5. Базисом в сепарабельном банаховом пространстве E называется такая система элементов {uk }∞
1 , что каждый элемент x ∈ E представим единственным образом в виде сходящегося ряда
x=
∞
X
ck uk .
1
Определение 6. Ортонормированной системой функций Хаара на отрезке
[0,1] называется система, определяемая равенствами
½
1, 0 ≤ t < 1/2,
(1)
h0 (t) =
h00 (t) ≡ 1;
−1, 1/2 < t ≤ 1
и
 n/2
2k−1
2 , 2k−2

2n+1 ≤ t ≤ 2n+1 ,


 −2n/2 , 2k−1 ≤ t ≤ 2k
(k)
2n+1
2n+1
hn (t) =

(k = 1, 2, 3, . . . , 2n ),



0 для остальных значений t.
Семейство Хаара можно определить еще и следующим образом:
χn,k (t) = 2n/2 χ0,0 (2n t − k) , k = 0, 2n − 1, n ∈ Z.
Определение 7. Система элементов {xn }∞
n=1 сепарабельного банахова пространства E называется полной системой в E, если для любого элемента
m
P
f ∈ E и произвольного ² > 0 существует сумма
ck xk , такая, что
k=1
°
°
m
X
°
°
°f −
° < ².
c
x
k
k
°
°
k=1
E
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
42
Алгебра и анализ
Теорема 2. [2] Ортонормированная система Хаара является базисом в любом сепарабельном симметричном пространстве.
Далее будем рассматривать системы функций вида {ψnk } = ψ(2n t − k)
n ∈ Z, k = 0, 2n − 1, где ψ(t) - произвольная определенная на [0, 1] измеримая функция.
Теорема 3. Пусть E — сепарабельное пространство, в котором система
Хаара всюду плотна. Для того, чтобы система {ψnk } была плотна в E, необn
m 2P
−1
P
ходимо и достаточно, чтобы существовала сумма
cn,k ψn,k (t), такая
n=0 k=0
что
n
°
°
m 2X
−1
X
°
°
° = 0.
χ
(t)
−
(2)
lim °
c
ψ
(t)
0,0
n,k
n,k
°
m→∞ °
E
n=0 k=0
Доказательство.
Достаточность. Так как система {ψnk } плотна в E, то равенство будет
иметь место для любой функции f (t), в частности, и для функции χ0,0 (t).
Необходимость. Покажем сначала, что каждую функцию из системы Хаара можно приблизить с любой степенью точности. Зафиксируем χn,k (t) и
n
m 2P
−1
P
εn > 0. Из условия (2) следует существование суммы
cn,k ψn,k такой,
n=0 k=0
что
n
°
°
m 2X
−1
X
°
°
°χ0,0 (t) −
° < εn 2−n/2 .
c
ψ
(t)
(3)
n,k n,k
°
°
E
n=0 k=0
n
Определим функцию y(t) = χ0,0 (t) −
m 2P
−1
P
n=0 k=0
cn,k ψn,k (t). Подействуем на
нее оператором растяжения с τ = 2−n . Тогда получим
p
στ y(t) = χ0,0 (2n t) −
m 2X
−1
X
cp,q ψp,q (2n t).
p=0 q=0
Из неравенств (1) и (3) следует соотношение:
p
p
°
°
°
°
m 2X
−1
m 2X
−1
X
X
°
°
°
°
n °
°χ0,0 (2n t)−
°χ0,0 (t)−
° < 2−n/2 εn .
c
ψ
(2
t)
≤
c
ψ
(t)
p,q
p,q
p,q
p,q
°
°
°
°
p=0 q=0
E
p=0 q=0
E
Подействуем на функцию στ y(t) оператором сдвига. Поскольку норма
пространства Е инвариантна относительно сдвига, то неравенство сохранится
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О полноте всплесковых систем функций . . .
43
p
°
°
m 2X
−1
X
°
°
n
n
°χ0,0 (2 t − k) −
° ≤ 2−n/2 εn .
c
ψ
(2
t
−
k)
p,q
p,q
°
°
E
p=0 q=0
Умножим обе части неравенства на 2n/2 . Тогда получим
p
°
°
m 2X
−1
X
° n/2
°
n
n/2
n
°2 χ0,0 (2 t − k) − 2
° ≤ εn .
c
ψ
(2
t
−
k)
p,q
p,q
°
°
E
p=0 q=0
Поскольку справедливо равенство 2n/2 χ0,0 (2n t−k) = χn,k (t), k = 0, 2n −1,
n ∈ Z, то последнее неравенство можно переписать в виде:
p
°
°
m 2X
−1
X
°
°
n
°χn,k (t) − 2n/2
° ≤ εn .
c
ψ
(2
t
−
k)
p,q p,q
°
°
E
p=0 q=0
Пусть f ∈ E произвольная функция. Так как E — симметричное сепарабельное пространство, в котором система Хаара является базисом, то любой
элемент f (t) ∈ E можно разложить по системе Хаара
n
°
°
r 2X
−1
X
°
°
° = 0.
lim °
f
(t)
−
a
χ
(t)
n,k n,k
°
r→∞ °
E
n=0 k=0
Отсюда следует, что для любого элемента f (t) ∈ E и любого δ > 0
n
r 2P
−1
P
существует сумма
an,k χn,k (t), такая что
n=0 k=0
n
°
°
r 2X
−1
X
°
°
°f (t) −
° < δ.
a
χ
(t)
n,k n,k
°
°
n=0 k=0
E
Добавим и вычтем в последнем неравенстве сумму
n
r 2X
−1
X
n=0 k=0
an,k
p
µX
m 2X
−1
¶
cp,q ψp,q (2 t − k) .
n
p=0 q=0
Неравенство при этом не изменится.
n
n
p
°
r 2X
−1
r 2X
−1
m 2X
−1
X
X
X
°
n/2
°f −
an,k χn,k +
an,k 2
cp,q ψp,q (2n t − k) −
°
n=0 k=0
n=0 k=0
p=0 q=0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
44
Алгебра и анализ
n
−
r 2X
−1
X
an,k
n=0 k=0
p
µX
m 2X
−1
¶°
°
cp,q ψp,q (2n t − k) °
° < δ.
E
p=0 q=0
В симметричных пространствах имеет место неравенство треугольника.
Используя его, получим
n
p
°
°
r 2X
−1
m 2X
−1
X
X
°
°
n/2
n
°f −
° < δ+
2
a
c
ψ
(2
t
−
k)
n,k
p,q p,q
°
°
n=0 k=0
E
p=0 q=0
n
p
°X
−1
m 2X
−1
³
´°
X
° r 2X
°
n/2
n
° ≤
+°
a
χ
−
2
c
ψ
(2
t
−
k)
n,k
n,k
p,q
p,q
°
°
n=0 k=0
n
≤δ+
r 2X
−1
X
E
p=0 q=0
p
°
°
m 2X
−1
X
°
°
n/2
n
°
|an,k |°χn,k − 2
cp,q ψp,q (2 t − k)°
° ≤
n=0 k=0
p=0 q=0
E
n
≤δ+
Возьмем в качестве εn : εn =
r 2X
−1
X
|an,k |εn
n=0 k=0
1
max |an,k |
k= 0,2n −1
·
1
(r+1)2n+r .
Тогда получим, что
n
p
°
µX
¶°
r 2X
−1
m 2X
−1
X
°
°
n/2
n
°f −
° ≤ δ + 1 r→∞
−→ 0.
2
a
c
ψ
(2
t
−
k)
n,k
p,q
p,q
°
°
r
2
E
n=0
p=0 q=0
k=0
Литература
1. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных
операторов. М.: Наука, 1978.
2. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: Изд-во АФЦ,
1999.
3. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск, 2001.
4. Филиппов В.И. Об общих вопросах представления в пространствах
Lp (R). Вопросы классификации функциональных систем // Тезисы
докладов международной конференции. Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ, посвященной 90-летию
С.М. Никольского. М., 1995.
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ДИНАМИКА НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ
УДК 541.1 + 612.82
Ю.В. Богомолов
Хаотическая синхронизация нейронных сетей
В работе проведен анализ поведения взаимодействующих нейронных
сетей. Рассматривается вопрос синхронизации сетей со сложной динамикой
с различными типами взаимодействия.
Введение
Искусственные нейронные сети как средство моделирования нервной системы и происходящих в ней процессов появились достаточно недавно, в
середине прошлого века. С тех пор появилось много моделей нейронов и
сетей на их основе, а интерес к изучению возможностей нейронных сетей
неуклонно растет.
В работе рассматриваются сети на основе одной из самых простых моделей формального нейрона. Ранее было показано возможное наличие параметров, при которых динамика рассматриваемых сетей похожа на хаотическую. В дальнейшем для таких сетей рассматривался вопрос синхронизации, что имеет применение в задачах передачи информации. Отдельно рассматривается случай взаимодействия нейронных сетей со случайным
воздействием одной сети на другую, в результате чего получено численное подтверждение выдвинутым ранее предположениям о существовании
порогового значения коэффициента воздействия, при котором наблюдается
устойчивая синхронизация однородных нейронных сетей.
Модель нейронной сети
Рассматривается простейшая сеть на основе трёх нейронов Мак-Каллока
– Питтса. Общее описание нейронного элемента (нейрона) и структура нейронной сети приведены ранее в [1], [2].
Сеть состоит из n элементов, на каждый из которых подаются входные
вещественные значения x1 , x2 , . . . , xn и суммируются с весами w1 , w2 , . . . ,
wn с добавлением вектора смещения w0 :
X=
n
X
i=1
w i xi + w 0 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
46
Динамика нейронных сетей
К полученной сумме применяется активационная функция f (X), полученное значение является выходом нейрона, его же будем отождествлять с текущим состоянием нейрона. Выходы нейронов подаются на входы всех нейронов сети (в том числе и на собственный). Сеть функционирует в дискретном
времени (t = 0, 1, 2, . . . ), в каждый момент времени нейроны одновременно
меняют свое состояние.
Опишем общую структуру сети. Пусть X(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) —
вектор состояния нейронной сети в момент времени t, W = {wij } — матрица синаптических весов (wij — синаптический вес связи от i-го нейрона к
j-му), F (X) = (f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn )) — активационная функция (применяется покомпонентно). В этих обозначениях динамику сети можно описать
следующим уравнением:
X(t + 1) = F (W · X(t) + I).
Описание численного эксперимента
В работе рассмотрен ряд нейронных сетей на трех нейронах (n = 3).
Ранее [1] был выявлен ряд параметров, при которых динамика сети похожа
на хаос. Для этого в определенном диапазоне значений с заданным шагом
менялись некоторые синаптические веса с сохранением общей структуры
сети, и при каждом значении параметров вычислялась некоторая глобальная характеристика, которую в соответствии с работой [3] будем называть
энтропией сети.
Порядок вычисления энтропии нейронной сети описан в [2], [4]. Отметим
лишь, что низкие значения энтропии соответствуют периодической динамике нейронной сети (вектор состояния нейросети, начиная с некоторого
момента времени, циклически принимает некоторый небольшой набор состояний). Высокая энтропия означала непериодическое изменение вектора
состояния соответствующей нейронной сети, что позволяло предполагать
наличие сложной динамики сети.
Для сетей с высокой энтропией отсутствие циклического режима дополнительно проверялось численно, после чего, в случае обнаружения нейронной сети с непериодической динамикой, выдвигалось предположение о сложном (хаотическом) поведении вектора состояния нейронной сети. Для подтверждения этого на третьем этапе эксперимента проводился анализ устойчивости сети к малым изменениям (возмущениям) начального состояния
(так как хаотическая динамика характеризуется неустойчивостью к изменению начальных данных). В ходе эксперимента c некоторого момента времени
t0 параллельно рассматривалось поведение сетей с вектором начального состояния X(t0 ) (эталонная сеть) и с начальным состоянием X(t0 )+∆, где ∆ —
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Хаотическая синхронизация нейронных сетей
47
вектор с небольшой нормой — малое возмущение начального состояния сети
(такую сеть будем называть возмущенной). Устойчивость определялась как
сходимость к нулю евклидовой нормы разности векторов состояния эталонной и возмущенной сетей (δ(t) = kX(t) − X̃(t)k) в течение периода наблюдения. Если такого рода сходимость имела место, предполагалась устойчивость сети к малым возмущениям начального состояния, иначе отмечалась
неустойчивость сети к подобного рода возмущениям, что позволяло сделать
вывод о хаотической динамике нейронной сети при данных значениях параметров (синаптических весов). При этом отмечалась определенная связь
между энтропией сети и ее устойчивостью к возмущениям вектора состояния.
a
b
Рис. 1. Двумерная карта энтропии и диаграмма синхронизации
На рис. 1 можно сопоставить двумерную карту энтропии (точка p(x, y)
на карте 1а будет тем темнее, чем больше будет значение энтропии для
пары изменяющихся синаптических весов x и y) и диаграмму устойчивости к малым возмущениям вектора начального состояния (черная точка на
диаграмме 1б соответствует параметрам (синаптическим весам) x и y, для
которых сеть была неустойчива к описанным малым возмущениям, в противном случае соответствующая точка отмечалась белым). Отметим, что
для сетей с высокими значениями энтропии характерна неустойчивость к
данным малым возмущениям вектора состояния, что говорит о том, что
динамика такой сети похожа на хаос. Для сетей с низкими значениями энтропии отмечалась асимптотическая устойчивость вектора состояния сети
к малым возмущениям, при этом результаты серии численных экспериментов позволяли говорить о том, что скорость сходимости вектора состояния
возмущенной сети к сектору состояния исходной сети тем выше, чем ниже
значение энтропии (при этом также отмечалась определенная прямая зависимость длины периода от значения энтропии).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
48
Динамика нейронных сетей
Синхронизация взаимодействующих сетей
Следующим этапом исследования динамики сетей являлся анализ взаимодействующих нейронных сетей различной структуры. При этом рассматривалась пара нейросетей описанного выше вида с одинаковым количеством
нейронов в каждой из них. Первая нейронная сеть функционирует автономно, выходные значения данной нейросети подаются на ее входы без изменений, а также, возможно, частично подаются на вход другой нейронной сети (будем называть первую нейронную сеть передатчиком). Соответственно
вторую нейронную сеть, на вход которой подается комбинация собственного выхода и выхода сети-передатчика, будем называть приемником. В ходе
исследования рассматриваются взаимодействующие нейронные сети с различными параметрами, а также различные виды организации связи между
сетью-передатчиком и сетью-приемником.
Первый тип взаимодействия сетей ранее описан в [2]. В этом случае на
вход приемника в каждый момент времени подаются выходы передатчика
с некоторым коэффициентом (α), а также собственные выходы (с коэффициентом 1 − α). Таким образом, мы имеем дело с постоянным воздействием
передатчика на приемник. Рекуррентное соотношение, описывающее динамику такой пары взаимодействующих сетей, выглядит следующим образом:
½
X(t + 1) = F1 (W1 · X(t) + I1 ),
Y (t + 1) = F2 (W2 · (αX(t) + (1 − αY (t))) + I2 ).
Здесь X(t) и Y (t) — векторы состояния передатчика и приемника соответственно, W1 и W2 — их матрицы синаптических коэффициентов, I1 и I2 —
векторы смещения. В работе преимущественно рассматривается случай взаимодействия однородных сетей, для которых W1 = W2 , I1 = I2 , F1 = F2
(то есть структура нейронных сетей абсолютно одинаковая, а их динамика
определяется только начальным состоянием).
Как и при анализе устойчивости, начиная с некоторого момента времени рассматривается разность векторов состояния передатчика и приемника
(X(t) − Y (t)), и в случае сходимости этой разницы к нулю делался вывод о
синхронизации взаимодействующих нейронных сетей при данных значениях
их параметров (синаптических весов) и коэффициента воздействия α.
Случай взаимодействия пары однородных сетей при постоянном воздействии подробно рассматривался в [2], [4]. При этом наблюдалась синхронизация векторов состояния передатчика и приемника для значений веса связи
α не ниже 0,05-0,15, в том числе и для однородных сетей с хаотическим поведением. Это свойство (синхронизация сетей со сложной динамикой) может
быть использовано для передачи информации на хаотическом носителе [5]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Хаотическая синхронизация нейронных сетей
49
(синхронизации передатчика и приемника будет соответствовать значение
“0”, отсутствию синхронизации за время наблюдения соответствует значение
“1” в двоичной системе). Для малых значений веса связи (менее 0,01) между
приемником и передатчиком устойчивой синхронизации не наблюдалось.
В случае взаимодействия сетей с различной структурой (с различными матрицами синаптических весов, то есть W1 6= W2 ) синхронизации не
наблюдалось. Поэтому в данном случае рассматривался лишь вопрос, возможно ли воздействие передатчика с периодической динамикой привести к
хаотическим колебаниям приемника, для которого также характерна периодическая динамика в случае автономного функционирования. Проведенный численный эксперимент не дал положительного ответа на данный вопрос; при анализе взаимодействующих разнородных сетей с периодической
динамикой обнаружилось установление сложного периодического режима
колебания вектора состояния сети-приемника при постоянном воздействии
передатчика. Динамика системы разнородной пары передатчик-приемник в
случае хаотической динамики компонент при автономном функционировании большого интереса не представляла.
Особое внимание в работе уделено изучению обобщенной схемы взаимодействия нейронных сетей, где воздействие передатчика на приемник не
является постоянным. В этом случае в каждый момент времени передатчик с постоянной вероятностью p воздействовал на приемник аналогично
описанному выше случаю взаимодействия (с коэффициентом α), а с вероятностью 1 − p сети в данный момент времени функционировали автономно.
Динамика такой пары передатчик-приемник может быть условно описана
следующим образом:
½
X(t + 1) = F1 (W1 · X(t) + I1 ),
Y (t + 1) = F2 (W2 · (ξX(t) + (1 − ξ)Y (t)) + I2 ),
где ξ — случайная величина, принимающая значения α и 0 с вероятностями
p и 1 − p соответственно. Величина ξ определяет случайный коэффициент
воздействия передатчика на приемник. Очевидно, в случае ξ ≡ α (что соответствует случаю p = 1) мы получим рассмотренную выше пару сетей с
постоянным воздействием. В работе рассматривался случай взаимодействия
нейронных сетей с одинаковыми параметрами (W1 = W2 , I1 = I2 , F1 = F2 ).
Для такого типа взаимодействия также рассматривается вопрос, при каких значениях параметров α и p наблюдается синхронизация передатчика
и приемника. С этой целью был проведен численный эксперимент, описание
которого приводится ниже.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
50
Динамика нейронных сетей
Рис. 2 Диаграмма синхронизации нейронной сети
Изначально сети (передатчик и приемник) с различными начальными состояниями функционируют автономно (то есть в моменты времени
t = 0, 1, . . . , t0 вес связи α от передатчика к приемнику равен 0), при этом
сети за данный промежуток времени (по ходу эксперимента использовалось
значение t0 = 512) сети входят в некоторый установившийся режим (периодический или более сложный). Далее в каждый последующий момент
времени вычисляется вероятность того, что передатчик будет воздействовать на приемник. При этом снимается значение со стандартного генератора
псевдослучайных чисел и, если это значение оказывается меньше заданного
значения p, выход передатчика с коэффициентом α суммируется с выходом
приемника с коэффициентом 1 − α и подается на вход приемника, иначе
(если значение, снятое с датчика случайных чисел оказывается не меньше
p) на вход приемника подается в чистом виде только собственный выход
в предыдущий момент времени (то есть на данном этапе определяется, будет ли в данный момент времени передатчик воздействовать на приемник с
некоторым коэффициентом или нет). В таком режиме сети функционируют
в течение некоторого времени наблюдения Ta и в том случае, если после
этого на протяжении некоторого времени норма разности между векторами
состояния передатчика и приемника не превосходила малого параметра ²,
полагалось, что для данных значений p, α и для данных начальных состояний наступила синхронизация сетей. Для того чтобы снизить вероятность
ложных предположений о синхронизации сетей (в случае случайной синхронизации сетей для данных начальных состояний), указанный эксперимент
при данных значениях параметров p и α проводился для серии начальных
значений передатчика и приемника, и заключение о синхронизации сетей
выносилось только в том случае, когда сети при данных p и α синхронизи-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Хаотическая синхронизация нейронных сетей
51
ровались при любых рассматриваемых начальных состояниях. Результаты
анализа представлялись в виде диаграммы, при этом черные точки с координатами (p, α) соответствуют устойчивой синхронизации сетей для данных
значений параметров p и α, белые точки — отсутствию синхронизации сетей
за время наблюдения для данных значений параметров взаимодействия. В
результате было получено численное подтверждение выдвинутого в [2] предположения о существовании некоторого порогового значения α веса связи
между приемником и передатчиком на уровне 0.05-0.15, начиная с которого
наблюдается устойчивая синхронизация сетей.
При этом стоит особо отметить, что в случае взаимодействия сетей второго типа данное пороговое значение претерпевало малые изменения при
снижении вероятности воздействия передатчика на приемник (p) с 1 до 0,5,
и синхронизируемость передатчика и приемника определялась преимущественно значением коэффициента воздействия α.
Литература
1. Богомолов Ю.В. О хаотическом поведении одной модели нейронной
сети // Моделирование и анализ информационных систем. Т.9, № 2.
Ярославль, 2003. С. 35-40.
2. Богомолов Ю.В. О синхронизации взаимодействующих нейронных сетей с различной динамикой // Современные проблемы математики и
информатики. 2005. Вып. 7. С. 49 – 55.
3. Radu Dogaru, A.T.Murgan, Daniel Ioan Robust Oscillations and Bifurcations in Cellular Neural Networks // Proceedings of IEEE Int. Workshop
on Cellular Neural Networks and Their Applications, (CNNA’94), Rome,
1994. P. 297 – 302.
4. Богомолов Ю.В. Синхронизация нейронных сетей с различной динамикой // VII всероссийская научно-техническая конференция
"Нейроинформатика-2005": Сб. научных трудов. Ч.2. С. 11 – 16.
5. Бельский Ю.Л., Дмитриев А.С. Передача информации с помощью
детерминированного хаоса // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38,
№ 7. С. 1310 – 1315.
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 541.1
Е.В. Коновалов
Организация колебаний в кольце,
состоящем из обобщенных нейронных
клеточных автоматов возбудительного типа
Предлагается обобщенная модель нейронного клеточного автомата. На
основе данной модели формируется нейронная сеть. Формулируется и доказывается теорема о существовании в предложенной сети устойчивого колебательного режима.
Большинство моделей нейронных сетей может быть разделено на два
класса. К одному из них относятся сети, элементы которых не способны к
собственной авторитмичности (нейроны-детекторы). При этом сеть, в целом,
обладает способностью функционировать в колебательном режиме. Примерами таких сетей являются сеть Винера [1] или сеть, составленная из Wнейронов [2]. Другой класс образуют нейронные сети, состоящие из элементов, обладающих авторитмичностью (нейроны-пейсмейкеры). Данные нейронные сети, иначе называемые осцилляторными, рассматриваются, например, в [3], [4]. К этому же классу относятся сети нейронных клеточных автоматов — нейронных элементов, впервые введенных в [5]. Как показывают
биологические исследования, нервные клетки обоих типов присутствуют в
биологических нейронных сетях, в том числе — в человеческом мозге.
В настоящей работе предлагается новая модель обобщенного нейронного клеточного автомата (ОНКА). Эта модель, в зависимости от выбранных
параметров, может представлять собой как нейрон-детектор, так и нейронпейсмейкер. Состояние обобщенного нейронного клеточного автомата в момент времени t характеризуется двумя функциями: u(t) — функцией мембранного потенциала и p(t) — функцией порогового значения мембранного
потенциала. В данной работе функция порогового значения считается равной константе: p(t) = p0 . Если в некоторый момент времени t0 : u(t0 ) = p0 ,
то ОНКА генерирует выходной сигнал σ(t0 ) = 1 — мгновенный импульс
(спайк), который передается всем автоматам, связанным с данным. Импульс, поступивший на вход обобщенного НКА-приемника, не находящегося
в рефрактерном состоянии, преобразуется в ступенчатую функцию (растягивается по времени). Воздействие осуществляется в течение времени T1 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Организация колебаний в кольце . . .
53
Если в течение этого времени ОНКА-приемник генерирует импульс, то воздействие прекращается. После генерации импульса нейронный элемент на
время TR переходит в рефрактерное состояние (состояние абсолютной невосприимчивости к воздействию со стороны других автоматов). В течение рефрактерного периода значение мембранного потенциала равно 0.
После выхода ОНКА из рефрактерного состояния (в момент времени
t0 +TR ) и до генерации импульса (в момент вренени tsp ) функция мебранного
потенциала u(t) при t = t0 + TR + τ меняется по закону:
µ
n
³
´¶
X
u(t) = (u0 ) − exp ln(u0 ) − θτ 1 +
qi σi (t) ,
(1)
i=1
где параметры θ и u0 положительны. Если при некотором t∗ ∈ [t0 + TR , tsp ]
значение импульсного сигнала на i-том синапсе σi (t∗ ) = 1, то σi (t) = 1
при всех t из промежутка [t∗ , tsp ]. Во всех остальных случаях σi (t) = 0. В
формуле (1) через n обозначено число синапсов, через qi — синаптические
веса связей, ведущих к данному обобщенному НКА-приемнику. Эти веса
характеризуют эффективность воздействия.
Если для некоторой связи между автоматами величина qi положительна,
то эта связь относится к возбудительному типу. В противном случае (qi < 0)
— к тормозному типу. Каждый ОНКА образует связи одного типа. Назовем
ОНКА возбудительным, если он оказывает возбудительное действие на связанные с ним автоматы, в противном случае — тормозным. Ниже рассматриваются обобщенные нейронные клеточные автоматы возбудительного типа.
Формально определенная динамика мембранного потенциала ОНКА соответствует развитию потенциала биологического нейрона. Она согласуется с
базовой нейронной моделью [6].
Важно отметить, что если u0 > p0 , то ОНКА будет вести себя как нейронпейсмейкер, то есть будет периодически генерировать импульсы через промежуток времени T2 , определяемый по следующей формуле:
ln u0 − ln(u0 − p0 )
θ
Если u0 ≤ p0 , то ОНКА будет вести себя как нейрон-детектор. В настоящей
работе рассмотрен случай нейрона-пейсмейкера.
В качестве проверки работоспособности предложенной модели рассмотрим нейронную сеть, представляющую собой кольцо из N обобщенных нейронных клеточных автоматов возбудительного типа (с номерами 1, . . . , N ).
Пусть tji — момент j-ого импульса i-ого автомата (на j-ом такте прохождения волны возбуждения по кольцу). Здесь i = 1, . . . , N , j ≥ 1.
T2 = TR +
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
54
Динамика нейронных сетей
Выберем моменты времени t1i (i = 1, . . . , N ) так, чтобы они удовлетворяли следующим неравенствам:
t11 = 0, t1i−1 < t1i < t1i−1 + T1 , TR < t1N < T2 .
Прокомментируем смысл этих неравенств. Импульс первого автомата
приурочен к нулевому моменту времени. Волна возбуждения распространяется от первого автомата ко второму и т.д. в порядке возрастания номеров.
Импульс i-ого автомата происходит раньше, чем закончилось воздействие
на него со стороны i − 1-ого автомата. Волна возбуждения, порожденная
импульсом первого автомата, пробегая по кольцу, индуцирует импульс N ого автомата уже после того, как первый автомат вышел из рефрактерного
состояния, но раньше, чем тот успел спонтанно сгенерировать импульс.
В нейронной сети существует устойчивый периодический режим такой,
что импульсы автоматов кольца следуют в порядке возрастания номеров.
Для такого режима распределение моментов импульсов автоматов на последовательных тактах прохождения волны должно удовлетворять следующим
условиям.
1. Импульсы автоматов на каждом такте волны должны следовать в порядке возрастания номеров, т.е.
k+1
k
k
k
tk−1
N < t1 < t2 < . . . < tN < t1 .
(2)
2. Импульс i-ого автомата происходит раньше, чем закончилось воздействие на него со стороны i − 1-ого автомата, т.е.
tk+1
< tkN + T1 , tki < tki−1 + T1 .
1
(3)
3. Волна возбуждения, порожденная импульсом i-ого автомата, пробегая
по кольцу, индуцирует импульс этого автомата уже после того, как он
вышел из рефрактерного состояния. Это гарантируется неравенствами:
tk1 + TR < tkN , tki + TR < tk+1
i−1 .
(4)
4. Все импульсы носят индуцированный характер. Поскольку автоматы
обладают собственной авторитмичностью, то волна, порожденная импульсом i-ого автомата, возвращается к нему раньше, чем автомат
успел спонтанно сгенерировать следующий импульс. Выполнение этого условия гарантируется следующими неравенствами:
k
tkN < tk1 + T2 , tk+1
i−1 < ti + T2 .
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Организация колебаний в кольце . . .
55
В неравенствах (2) — (5): k = 1, 2, . . .; i = 2 . . . N .
Введем обозначения для временных рассогласований ξik между импульсами i-ого и i − 1-ого автомата (i = 1, . . . , N ) на k-ом такте прохождения
волны. Положим
(
tk1 − tk−1
k
N , если i = 1
ξi = k
ti − tki−1 , если i 6= 1
Условия (2) — (5) применительно к временным рассогласованиям означают,
что, во-первых,
0 < ξik < T1 ,
(6)
во-вторых,
N
X
ξik < T2 ,
(7)
ξik − ξjk > TR ,
(8)
i=1
в-третьих,
N
X
i=1
причем неравенство (8) должно выполняться для всех j (j = 1, . . . , N ).
В неравенствах (6) — (8): k = 1, 2, . . .; i = 2, . . . , N . Обозначим через ξi0
ожидаемые в стационарном режиме значения промежутков времени между
импульсами i-ого и i − 1-ого обобщенных НКА (i = 1, . . . , N ). Имеет место
следующая теорема.
Теорема 1. Пусть при всех i (i = 1, . . . , N ) числа ξi0 удовлетворяют условиям
0<
ξi0
< T1 ,
N
X
i=1
ξi0
< T2 ,
N
X
ξj0 − ξi0 > TR
j=1
и синаптические веса qk−1,k определены формулами
qk−1,k
N
³
´.
X
0
= (1 + p) T2 −
ξi
ξk0 ,
j=1
где k = 1, . . . , N . Тогда существует устойчивый режим работы кольца из N
обобщенных нейронных клеточных автоматов, при котором импульсы автоматов следуют в порядке возрастания номеров, и временные рассогласования между импульсами i-ого и i−1-ого автоматов (i = 1, . . . , N ) принимают
значения ξi0 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
56
Динамика нейронных сетей
Доказательство теоремы проводится по аналогии с доказательством соответствующей теоремы для нейронных клеточных автоматов [5].
На основе обобщенной модели нейронного клеточного автомата можно
формировать нейронные сети и исследовать возникающие в них колебательные режимы.
Литература
1. Винер Н., Розенблют А. Кибернетический сборник. Вып. 3. М.: ИЛ.
1961. С. 3 – 56.
2. Майоров В.В., Шабаршина Г.В. Сообщение о сетях W-нейронов //
Моделирование и анализ информационных систем. Ярославль, 1997.
Вып. 4. С. 37 – 50.
3. Li Z., Hopfield J.J. Modelling the olfactory bulb and its neural oscillatory
processing // Biol. Cybern., 1989. V.61. P. 379 – 392.
4. Omata S., Yamaguchi Y., Shimuzi H. Entrainment among coupled limit
cycle oscillator with frustration // Physica D. 1988. V.31. P. 397 – 408.
5. Шабаршина Г.В. Проведение возбуждения по кольцевой структуре
нейронных клеточных автоматов // Моделирование и анализ информационных систем. Ярославль, 1994. № 2. С. 116 – 121.
6. Крюков В.И., Борисюк Г.Н., Борисюк Р.М. и др. Метастабильные и
неустойчивые состояния в мозге. Пущино, 1986.
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 517.958
С.М. Аминова, Е.П. Кубышкин
Докритический случай
возбуждения хаотических колебаний
в одной распределенной системе
с круговой симметрией1
Показано, что периодическое воздействие на распределенную кинетическую систему с круговой симметрией может привести к „жесткому“ возбуждению хаотических колебаний
1. Рассматривается поведение распределенной кинетической системы в
плоском круговом реакторе в окрестности пространственно однородного состояния равновесия, на которую осуществляется некоторое периодическое
воздействие. Математической моделью такой системы является следующая
краевая задача
∂u
= D(ε)∆u + A(ε)u + F (u; ε) + µF1 (x, θt, u; µ),
∂t
¯
∂u ¯¯
= 0.
∂ν ¯∂KR
(1)
(2)
Здесь u(x, t) ∈ Rn , (x = x(x1 , x2 )) — вектор, характеризующий величину
отклонения концентрации веществ от состояния равновесия; ∂KR — граница
круга KR радиуса R; ∆ — двумерный оператор Лапласа, ν — направление
внешней нормали к границе круга, ε, µ > 0 — малые параметры, D(ε), A(ε)
— матрицы порядка n и вектор-функции F (u; ε), F1 (x, s, u; µ) ∈ Rn являются достаточно гладкими по совокупности переменных, 2π-периодическими
1
Работа выполнена при финансовой поддержке программы „Университеты России“ (грант 04.01.452).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
58
Математическое моделирование
по s. Матрица D(ε), определяющая коэффициенты диффузий веществ, является симметричной и положительно определенной при 0 ≤ ε ≤ ε0 . Матрица A(ε) и вектор-функция F (u; ε) определяют скорости реакций веществ,
вектор-функция F1 (x, s, u; µ) определяет величину внешнего воздействия на
кинетическую систему. При µ = 0 краевая задача (1),(2) обладает круговой
симметрией.
В гильбертовом пространстве H = L2 (KR ) вектор-функций со значениями в Rn рассмотрим оператор
L(ε)u ≡ D(ε)∆u + A(ε)u.
(3)
Областью определения считаем пространство H1 ⊂ H, полученное замыканием в метрике пространства W22 (KR ) множества вектор-функций
C 2 (KR ) ∩ C 1 (K R ) со значениями в Rn , удовлетворяющих условию (2).
Собственные значения λk (ε) оператора (3) являются собственными значениями последовательности матриц
2
G(γpq ; ε) = −γpq
D(ε) + A(ε),
(4)
2
где γpq
— некоторое собственное значение краевой задачи
¯
¯
∂ψ
¯
−∆ψ = γ 2 ψ,
= 0,
∂ν ¯∂KR
а соответствующие собственные функции
ek (r, ϕ; ε) = e1k (r, ϕ; ε) + ie2k (r, ϕ; ε), i =
√
−1
(5)
имеют следующий вид: ek (r, ϕ; ε) = gk (ε)ψγ (r, ϕ),


1,
γ = γ00 = 0;



I (γ r),
γ = γ0q > 0, q > 0;
0 0q
(
где ψγ (r, ϕ) =

sin(pϕ),


I
(γ
r)
γ = γpq > 0, p, q > 0.

p
pq

cos(pϕ),
Здесь r, ϕ — полярные координаты в KR ; gk (ε) — собственный вектор
матрицы (4), отвечающий собственному значению λk (ε), Ip (·) — функция
Бесселя 1 рода порядка p.
В дальнейшем предполагается следующее:
1) нулевое решение краевой задачи (1) , (2) при ε = µ = 0 асимптотически
устойчиво (условия этого будут сформулированы ниже);
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Докритический случай возбуждения хаотических колебаний . . .
59
∗
2) матрица (4) имеет при некотором γpq
> 0, p > 0 пару простых комплексно сопряженных собственных значений λ1 (ε) и λ1 (ε) вида
¯
∂τ1 ¯¯
0
< 0.
λ1 (ε) = τ1 (ε) + iσ1 (ε), τ1 (0) = 0, σ0 = σ1 (0) > 0, τ1 =
∂ε ¯
ε=0
Остальные собственные значения оператора (3) лежат строго в левой
комплексной полуплоскости.
Таким образом, если в краевой задаче (1),(2) отбросить периодическое
возмущение (µ = 0), то решения (1),(2) с начальными условиями, принадлежащими некоторому шару радиуса R0 пространства H1 , стремятся (здесь и
ниже это понимается в метрике пространства H1 ) к нулевому решению при
t → ∞.
Ниже будем интересоваться поведением решений краевой задачи (1),(2)
с начальными условиями, принадлежащими шару радиуса R0 пространства
H1 при µ 6= 0.
2. Обозначим через H+ (ε) и H− (ε) (H+ (ε) ⊕ H− (ε) = H1 ) соответственно линейную оболочку вектор-функций e11 (r, ϕ; ε), e21 (r, ϕ; ε) и множество
вектор-функций u ∈ H1 вида (u, h)H = 0, где (. , .)H – скалярное произведение в H, h = h11 (.), h21 (.), а h = h11 (r, ϕ; ε) + ih21 (r, ϕ; ε) = fk (ε)ψγ (r, ϕ) –
собственная функция оператора, сопряженного с (3), отвечающая собственному значению λk (ε). При этом G∗ (γpq ; ε)f1 (ε) = λk (ε)fk (ε), где G∗ (γpq ; ε)
– сопряженная с (4) матрица. Для вектор-функций e11 (.), e21 (.) и h11 (.), h21 (.)
выполняются естественные условия биортогональности, dim H+ (ε) = 4.
Обозначим через S(R0 ) шар радиуса R0 в пространстве H1 , S± (R0 ; ε) =
= S(R0 ) ∩ H± (ε) .
Множество M (ε, µ) точек (u, t) ∈ H1 × R будем называть интегральным
многообразием краевой задачи (1),(2), если из условия (u0 , t0 ) ∈ M (ε, µ)
вытекает, что (u(t0 ; ε, µ), t) ∈ M (ε, µ), где u(t; ε, µ) — решение краевой задачи (1),(2) с начальными условиями u(t0 ; ε, µ) = u0 , а t принимает любые
значения в промежутке существования решения.
Из результатов [1] следует справедливость следующих утверждений.
Теорема 1. Для каждого θ > 0 существуют такие ε0 , µ0 , R0 > 0, что при
0 ≤ ε ≤ ε0 , 0 ≤ µ ≤ µ0 краевая задача (1),(2) имеет интегральное многообразие Mθ (ε, µ) ⊂ S(R0 ) × R , которое может быть представлено в виде
u− = Gθ (s, u+ ; ε, µ), u± ∈ S± (R0 ; ε), s = tθ,
(6)
где нелинейный оператор
Gθ (s, u+ ; ε, µ) ≡ Gθ (s+2π, u+ ; ε, µ) : R×S+ (R0 , ε)×[0, ε0 ]×[0, µ0 ] → S− (R0 ; ε)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
60
Математическое моделирование
(Gθ (s, u+ ; ε, 0) = G(u+ ; ε), G(0; ε) ≡ 0) непрерывен по совокупности переменных и достаточно гладко зависит от u+ , ε и µ.
Обозначим через d(t, u; ε, µ) расстояние от точки u ∈ H1 до многообразия
Mθ (ε, µ) при фиксированном t в метрике пространства H1 .
Теорема 2. Пусть (u0 , t0 ) ∈ S(r0 ) × R — начальное условие решения u(t, ε)
краевой задачи (1),(2). Тогда
d(t, u; ε, µ) = Kd(t0 , u0 ; ε, µ) exp[−α(t − t0 )],
где K, α > 0 — некоторые постоянные.
Таким образом, поведение решений краевой задачи (1),(2) с начальными
условиями u0 ∈ S(R0 ) определяется поведением решений некоторой системы
обыкновенных дифференциальных уравнений на интегральном многообразии (6).
Представим элементы из H+ (ε) в виде
∗
r)((g1 (ε)z1 + g 1 (ε)z2 ) exp(ipϕ)+
u+ = Ip (γpq
+ (g 1 (ε)z 1 + g1 (ε)z2 ) exp(−ipϕ)), z1 , z2 ∈ C. (7)
Система обыкновенных дифференциальных уравнений на интегральном
многообразии имеет вид [2]:
ż1 = z1 Z 1 (z1 , z2 ; ε) + z 2 Z 2 (z1 , z2 ; ε) + µZθ1 (s, z1 , z2 ; ε, µ),
ż2 = z2 Z 1 (z2 , z1 ; ε) + z 1 Z 2 (z2 , z1 ; ε) + µZθ2 (s, z1 , z2 ; ε, µ),
(8)
(9)
где комплекснозначные функции Z j (z1 , z2 ; ε)≡Z j (z1 exp(iβ), z2 exp(−iβ); ε)
(β — любое вещественное число) и Zθj (s, z1 , z2 ; ε, µ) ≡ Zθj (s + 2π, z1 , z2 ; ε, µ),
j = 1, 2 непрерывны по совокупности переменных и достаточно гладко зависят от zj , z j , ε, µ, а s = tθ.
Методика построения функций Z j (∗) и Zθj (∗) изложена в [2]. При этом
отметим, что a(ε) = a1 (ε) + ia2 (ε), b(ε) = b1 (ε) + ib2 (ε), |z|2C 4 = |z1 |2 + |z2 |2 .
3. Ниже считаем a1 (0) < 0, a21 (0)−b21 (0) > 0 (условие п.1) и |θ−3σ0 | << 1.
В этом случае
Zθ1 (.) = (A1 z 21 + A3 z 22 + A4 z 1 z 2 ) exp(is) + O(ε2 + µ2 + |z|2C 4 ),
Zθ2 (.) = (A2 z 22 + A3 z 1 z 2 + A4 z 22 ) exp(is) + O(ε2 + µ2 + |z|2C 4 ),
(10)
(11)
где Aj = |Aj | exp(iγj ) (j = 1, 2, 3, 4) — эффективно вычисляемые постоянные.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Докритический случай возбуждения хаотических колебаний . . .
61
Будем считать µ ∼ ε1/2 и выполним в (8)–(11) замену переменных
zj = ε1/2 (τ10 /a1 (0))1/2 ρj exp(iθj ), τj = θj − (s + γj )/3, t → tε(−τ10 ).
Введем следующие обозначения: νj = |Aj |(τ10 a1 (0))−1/2 , (j = 1, 2, 3, 4),
dj = −bj (0)/aj (0), (j = 1, 2), εδ = (θ/3 − σ0 − εσ10 )/τ10 (σ10 = dσ1 /dε|ε=0 ),
γ1 /3 + 2γ2 /3 + γ3 → −γ3 , 2γ1 /3 + γ2 /3 + γ4 → −γ4 .
В результате получим следующую систему уравнений „медленных переменных“:

ρ̇1 =(−1 − ρ21 + kρ22 )ρ1 + ρ21 ν1 cos(3τ1 )+




2

+
ρ

2 ν3 cos(τ1 + 2τ2 + γ3 ) + ρ1 ρ2 ν4 cos(2τ1 + τ2 + γ4 ),




ρ̇2 =(−1 + kρ21 − ρ22 )ρ2 + ρ22 ν2 cos(3τ2 )+




+ ρ21 ν4 cos(2τ1 + τ2 + γ4 ) + ρ1 ρ2 ν3 cos(τ1 + 2τ2 + γ3 ),
¡
(12)
2
2

−
ρ
ν
sin(3τ
)+
+
d
ρ
τ̇
=δ
+
d
ρ
1
1
1
2
1
1

2
1

¢

2


+
ρ
/ρ
ν
sin(τ
+
2τ
+
γ
)
+
ν
ρ
sin(2τ
+
τ
+
γ
)
1
2
3
4 2
1
2
4 ,

2 1 3

¡



τ̇2 =δ + d2 ρ21 + d1 ρ22 − ρ21 /ρ2 ν4 sin(2τ1 + τ2 + γ4 )+


¢

+ ρ2 ν2 sin(3τ2 ) + ν3 ρ1 sin(τ1 + 2τ2 + γ3 ) .
p2
p1
Рис.1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
62
Математическое моделирование
Отметим, что „грубым“ (асимптотически устойчивым) аттракторам системы уравнений (12) отвечают соответствующие (с точностью до замен переменных) аттракторы краевой задачи (1),(2).
Система уравнений (12) анализировалась численно. Для этого использовалась разностная схема Рунге-Кутта четвертого порядка и программа
численного интегрирования с автоматическим выбором шага. На рис. 1 приведена проекция фазового портрета системы (12) на плоскость (ρ1 , ρ2 ) для
случая k = 0.99, ν1 = 10, ν2 = 5, ν3 = 8, ν4 = 0, γ3 = γ4 = 0, δ = 2,
d1 = −2, d2 = 0.5. Приведенный аттрактор возникает через серию бифуркаций удвоения периода. Для аттрактора вычислены ляпуновские показатели:
λ1 = 1, 225, λ2 = 4, 09 · 10−3 , λ3 = −1.09 · 102 , λ4 = −1.43 · 102 и ляпуновская
размерность dL = 2.0113.
Литература
1. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1985.
2. Костенко О.В., Кубышкин Е.П. Возникновение хаотических колебаний в распределенных системах при нарушении круговой симметрии
// Журнал выч. матем. и матем. физики. Т.35, № 4. С. 624 – 630.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.929
Д.В. Глазков, И.А. Харламов
Динамические свойства нормализованной формы
уравнения Ланга-Кобаяши
при больших значениях параметра накачки 1
Исследуется динамика уравнений Ланга-Кобаяши с большим запаздыванием в некоторой области пространства параметров. Строится и исследуется нормализованная форма модели в случае близком к критическому.
Введение
Рассмотрим математическую модель динамики полупроводникового лазера, которая основана на уравнениях Ланга-Кобаяши [1]:

dE


= v(1 + iα)EZ + γe−iω0 h E(t−h),
dt
(1)
dZ

2

= Q − Z − (Z + 1) |E| .
dt
Здесь E(t) — комплексная амплитуда электрического поля, Z(t) — инверсия носителей; γ > 0 и −ω0 h — сила и фаза обратной связи (ОС), ω0 —
оптическая частота; Q — превышение тока накачки над пороговым; v пропорционален отношению времен распада; α — коэффициент уширения линии, отвечающий за нелинейное взаимодействие между амплитудой и фазой
поля; h — время прохода луча по внешнему резонатору. Отметим, что физически осмысленными являются значениями параметров удовлетворяющие
неравенствам Q, v, h > 0.
Далее мы будем рассматривать случай, когда Q асимптотически велико.
Предварительные замечания
Рассмотрим уравнение (1) при условии, что параметр Q=ε−1 , где ε¿1.
Нормируя переменные следующим образом:
t = εs,
1
1
E = √ · e−iωs E1 ,
ε
Работа выполнена при финансовой поддержке ведомственной научной программы Минобрнауки РФ
„Развитие научного потенциала высшей школы“ (проект №49233) и программы „Университеты России“
(грант 04.01.452).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
64
Математическое моделирование
приходим к системе

dE

 1 = iωE1 + εv(1 + iα)E1 Z + εγe iδ(ε) E1 (s−h0 ),
ds

 dZ = 1 − (Z + 1) |E1 |2 − εZ,
ds
(2)
где δ(ε)= − ω0 h+ωhε−1 , а h связано с h0 равенством h=εh0 . Эту систему мы
и будем исследовать.
Наряду с системой уравнений (2) рассмотрим модельное дифференциальное уравнение с запаздыванием вида
¡
¢
(3)
x0 = F (x) + ε · Φ x, x(s−hε−1 ) .
Отметим, что (2) есть частный случай (3). Общая методика исследования динамики уравнения (3) была разработана в [2]. В соответствии с алгоритмом, представленным в этой статье, в малой окрестности некоторого
периодического решения системы “нулевого приближения“ x0 =F (x) строится нормализующая замена, позволяющая получить асимптотические оценки
системы (3).
В случае системы (2) система ОДУ x0 =F (x) является гамильтоновой и
имеет семейство периодических решений, которое в форме вектора с вещественными компонентами может быть приведено к следующему виду:
V0 (s) =
¡
c cos(ωs), c sin(ωs), c−2 −1
¢T
.
Стандартная линеаризация x0 =F (x) на V0 (s) приводит к системе
u0 = A(s)u,
(4)
2π/ω-периодическая матрица которой имеет вид


0
−ω
0
¡
¢
ω
0
0 .
A(s) = F 0 V0 (s) = 
− 2c cos(ωs) − 2c sin(ωs) −c2
Для системы (4) легко находятся все линейно независимые решения, два из
которых можно выбрать периодическими:






0
cos(ωs)
− sin(ωs)
K0 (s) =  sin(ωs)  , K1 (s) =  cos(ωs)  , K2 (s) =  0  .
2
0
− c23
e−c s
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Динамические свойства нормализованной формы . . .
65
Полученные линейно независимые решения позволяют утверждать, что
мультипликаторы системы (4) имеют вид µ1 =µ2 =1, |µ3 |<1.
Линейно независимые периодические решения сопряженной к (4) системы выберем таким образом, чтобы hKi , Hj i = δij , i, j = 0, 1, где δij - символ
Кронекера, а угловыми скобками h i обозначено скалярное произведение
1
hX, Y i =
T
ZT ³
´
X(τ ), Y (τ ) dτ.
0
Таким условиям удовлетворяют векторы вида




− sin(ωs)
cos(ωs)
H0 (s) =  sin(ωs)  , H1 (s) =  cos(ωs)  .
0
0
Построение “нормальной формы“
Рассмотрим свободную постоянную c как функцию “медленного“ времени:
c = c(t) = c(εs).
Тогда решение системы “нулевого приближения“ примет вид:
¡
¢T
V0 (s) = c(0) cos(ωs), c(0) sin(ωs), c−2 (0)−1
.
Для построения нормализованных уравнений выполним замену:
V (s, ε) = V0 (c(εs), τ (s)) + εV1 (t(s), τ (s)) + ε2 V2 (t(s), τ (s)) + . . . ,
(5)
dτ
(6)
= 1 + εϕ(t) + ε2 ψ(t) + . . . .
ds
Здесь Vj (t, τ ) по-прежнему являются T -периодичными по τ , ϕ(t) —
скалярная почти периодическая функция. Подставим (5), (6) в (2) и будем
приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях ε. Тогда, собирая
коэффициенты при первой степени ε, придем к системе
³ ¡
¢ ¡
¢´
dV0
dV0 dV1
0
(7)
c (t)
+ ϕ(t)
+
= A(τ )V1 + Φ V0 τ (s) , V0 τ (s − h0 ) .
dc
dτ
dτ
Отметим, что из (6) имеем
Zs
τ (s)=s−s0 +ε
s0
£
¤
ϕ(εr)+ . . . dr и τ (s−h0 )=τ (s)−h0 −
Zt
t−h
£
¤
ϕ(r)+ . . . dr,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
66
Математическое моделирование
и, с точностью до слагаемых более высокого порядка малости получаем, что
Z0
τ (s − h0 ) ≈ τ (s) − y,
где y = h0 +
ϕ(t+r)dr.
−h
Условие существования периодического (по τ ) решения уравнения (7) состоит в ортогональности его неоднородной части функциям H0 (τ ), H1 (τ ). Это
приводит нас к следующей паре уравнений:
где
c0 (t) = hΦ, H0 i,
(8)
c(t) ωϕ(t) = hΦ, H1 i,
(9)
µ
¶
¡
¢
1
hΦ, H0 i = v
− c(t) + c(t−h)γ cos ωy−δ(ε) ,
c(t)
µ
¶
¡
¢
1
hΦ, H1 i = vα
− c(t) − c(t−h)γ sin ωy−δ(ε) .
c(t)
Отметим, что аргумент синуса и косинуса в данном выражении приводится к виду
Z0
ω0 h + ωϕ(t+r)dr ,
−h
а сделав замену ωϕ → ϕ, можно избавиться от ω.
Таким образом, равенства (8), (9) преобразуются к следующей системе
интегрально-дифференциальных уравнений:

µ
¶
µ
¶
Z0


1


c0 (t) = v
− c(t) + γ cos ω0 h + ϕ(t+r)dr c(t−h) ,



c(t)

−h
(10)
0
µ
¶
µ
¶
Z



1
c(t−h)


ϕ(t)
=
vα
−
1
−
γ
sin
ω
h
+
ϕ(t+r)dr
.
0


c2 (t)
c(t)

−h
Система (10) играет роль нормальной формы в задаче о локальной динамике уравнения (2) в окрестности решения V0 (s) системы “нулевого приближения“. Отыскав его решение в указанном классе функций, можно последовательно найти любое число элементов рядов (5), (6).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Динамические свойства нормализованной формы . . .
67
Следует отметить, что при vÀ1 функция c(t)→1 при t→ + ∞. Тогда,
складывая нормированные уравнения системы (10), получим в точности
квазинормальную форму из [3].
Свойства нормализованной системы
Состояния равновесия системы (10) определяются из системы алгебраических уравнений
µ
¶
¡
¢
1
v 2 − 1 = −γ cos ω0 h+ϕh ,
c
¶
µ
¡
¢
1
ϕ = vα 2 − 1 − γ sin ω0 h+ϕh ,
c
относительно ϕ и c. Исключая переменную c, приходим к трансцендентному
уравнению для ϕ
£
¡
¢
¡
¢¤
ϕ = −γ α cos ω0 h+ϕh + sin ω0 h+ϕh .
Обозначая η=ω0 h+ϕh, получим уравнение, близкое по свойствам хорошо
известному соотношению для определения числа мод внешнего резонатора
(ECMs) в [4] (см. также [5], [6]):
p
¡
¢
(11)
η − ω0 h = −γh 1+α2 sin η + arctg(α) ,
которое, очевидно, имеет, по крайней мере, одно решение
"
¡
¢
[− arctg(α), ω0 h], если sin ω0 h+ arctg(α) > 0,
¡
¢
η1 ∈
[ω0 h, 2π− arctg(α)], если sin ω0 h+ arctg(α) < 0.
Легко видеть,
√ что уравнение (11) имеет тем больше решений, чем больше
значение γh 1+α2 .
f (η) 6
¡
¡
√
γh 1 + α2
¡
¡
¡
η1
− arctg(α)
0
− π2
¡
¡
¡
√
−γh 1 + α2
¡
¡
¡
¡
¡ π
¡
2
ω0 h
¡
π
3π
2
2π
-
η
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
68
Математическое моделирование
Будем обозначать ηs решения уравнения (11). Отметим, что по ηs можно
однозначно определить ϕ и c. Устойчивость каждого из состояний равновесия системы (10) определяется из следующего соотношения (для удобства
умноженного на λ):
λ2 + 2λγ cos ηs F1 + γ 2 F12 + 2(v−γ cos ηs )[λ + γ(cos ηs −α sin ηs )F1 ] = 0, (12)
где F1 = 1 − e−λh . Заметим, что при v−γ cos ηs 6=0 не зависящий от параметров нулевой корень этого уравнения имеет кратность 1 и на устойчивость
не влияет.
Легко видеть, что
√ если параметр γ достаточно мал, то единственное (поскольку мал и γh 1+α2 ) состояние равновесия (c1 , ϕ1 ) системы (10) будет
устойчиво.
Нормализованная система при большом запаздывании
Рассмотрим систему (10) при условии, что параметр h асимптотически
велик. В этом случае она может быть переписана в виде
µ
¶

1
0


−c(t) + γ cos (Ω+θ(t)−θ(t−1)) c(t−1) ,
εc (t) = v

c(t)
µ
¶
(13)

1
c(t−1)
0

 εθ (t) = −m + vα 2 −1 − γ sin (Ω+θ(t)−θ(t−1))
.
c (t)
c(t)
где ε=h−1 , время заменено εt→t, за m обозначено одно из решений трансцендентного уравнения (11).
Динамика системы уравнений (13) при ε→0 может быть достаточно точно описана двумерным отображением
µ
¶

1


−v
− cn+1 = γ cos (Ω + θn+1 − θn ) cn ,

cn+1
µ
¶
(14)
1
c

n

 −m + vα 2 − 1 = γ sin (Ω + θn+1 − θn )
.
cn+1
cn+1
При тех фиксированных значениях параметров v, α, γ, m, при которых исходная система (10) диссипативна, у отображения (14) наблюдается следующая динамика. Если начальная точка удовлетворяет неравенству c20 > c2bnd ,
где
c2bnd
i
2 hp 2
2
2
2
2
2
= 2
(v (1+α ) + αvm) + (vm) − (v (1+α ) + αvm) ,
γ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Динамические свойства нормализованной формы . . .
69
то единственным аттрактором этой динамической системы будет неподвижная точка вида
p
2
2
v
(1+α
)
+
αvm
+
v
γ 2 (1+α2 ) − m2
2
c∗ =
,
v 2 + (m+αv)2 − γ 2
¶
µ ·
µ
¸¶
m
v
1
√
θ∗ = arctg(α) + arcsin
− arccos
1− 2
,
γ
c∗
γ 1+α2
где θ∗ = lim (θn+1 − θn ).
n→∞
Отметим тот факт, что при θ∗ 6=0 за время порядка h=ε−1 в исходной
системе (10) монотонное возрастание (или убывание) производной θ0 (t) приведет к изменению параметра m, т.е. переходу на другой режим исходной
системы (1). Поэтому, отказываясь от фиксированного значения m, можем
получить, что со временем θ∗ →0, m→0.
Исследуя устойчивость состояния равновесия c=c∗ , θ=0 системы (10) при
m=0, получим следующее характеристическое уравнение (где Fλ =1−e−λ ):
µ
¶h
i
p
γ
γ
2
2 2
2
(ελ) + 2ελ √
Fλ + γ Fλ + 2 v− √
ελ+γ 1+α Fλ . (15)
1+α2
1+α2
√
(v+2ε) 1+α2
.
3+α2
Теорема 1. Пусть γ < γ1 =
Тогда все корни уравнения (15)
имеют отрицательные действительные части.
√
2
1+α
Теорема 2. Пусть γ < γ2 = 2v2+α
. Тогда все корни уравнения (15)
2
имеют отрицательные действительные части. В противном случае
существует корень с положительной действительной частью.
Используя то, что ε асимптотически мало, и раскладывая λ в ряд по степеням ε, так что λ=λ0 +ελ1 +ε2 λ2 + . . ., можем получить, что √
Re λ0 =Re λ1 =0,
2
а знак Re λ2 определяется знаком выражения γ(2+α ) − 2v 1+α2 .
Теорема 1 является достаточным условием, полученным без учета малости ε. На рисунках ниже изображены графики γ1 (α) и γ2 (α) при v=100; ε=1.
Результаты численного анализа
Исходные уравнения Ланга-Кобаяши и нормализованная система (10)
исследовались с помощью программ, разработанных авторами в среде Delphi, а также программы Tracer (www.yarland.narod.ru), за которую ее автору
особая благодарность. Можно сразу отметить, что при большом запаздывании (h порядка 10; 100) в пределах точности вычислений граница устойчивости γ(v, α) состояния равновесия системы (10), которое соответствует
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
70
Математическое моделирование
т.н. “maximum gain mode“ [6] исходной системы (1), хорошо согласуется с
границей, задаваемой γ2 (v, α) из теоремы 2.
Типичные фазовые переходы при изменении параметров представлены
на рисунках ниже. Отметим похожесть сценариев изменения фазового портрета системы (10) при возрастании γ и α. Подчеркнем также связь между
режимами систем (1) и (10). Именно, устойчивому состоянию равновесия,
циклу в (10) соответствуют устойчивый цикл, тор в (1).
Следует также обратить внимание на то, что в случае QÀ1 согласно [7]
в исходной системе (1) реализуется явление т.н. “когерентного коллапса“
(“coherence collapse“ в [8]), которое в зависимости от величины запаздывания h характеризуется либо квазипериодическим переходом к хаосу (если h
велико), либо через удвоение периода (если h мало). Это хорошо согласуется
с наблюдаемой динамикой системы (10).
Авторы выражают благодарность С.А. Кащенко и С.Д. Глызину за постановку задачи, помощь и внимание к работе.
Литература
1. Lang R., Kobayashi K. External optical feedback effects on semiconductor injection laser properties // IEEE J. Quantum Electron., 1980. 16(1).
P. 347 – 355.
2. Кащенко С.А. Бифуркации цикла в сингулярно возмущенных нелинейных автономных системах // Известия РАЕН, серия МММИУ.
1998. Т.2. № 4. С. 5 – 53.
3. Глазков Д.В. Простейшие устойчивые режимы уравнения ЛангаКобаяши с большим запаздыванием // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Динамические свойства нормализованной формы . . .
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
72
Математическое моделирование
аспирантов и студентов. Вып. 7 / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2005.
C. 123 – 130.
4. Rottschafer V., Krauskopf B. A three-parameter study of external cavity
modes in semiconductor lasers with optical feedback // Proc. IFAC-TDS
2004, to appear. (www.enm.bris.ac.uk/ anm/preprints/2004r05.html)
5. Sano T. Antimode dynamics and chaotic itinerancy in the coherent collapse
of semiconductor lasers with optical feedback // Phys. Rev. 1994. A 50.
P. 2719 – 2726.
6. Levine A.M., Tartwijk G.H.M., Lenstra D. and Erneux T. Diode lasers
with optical feedback: Stability of the maximum gain mode // Phys. Rev.
1995. A 52. P. 3436 – 3439.
7. Heil T., Fischer I., and Elsaber W. Influence of amplitude-phase coupling
on the dynamics of semiconductor lasers subject to optical feedback //
Phys. Rev. 1999. A 60. P. 634 – 641.
8. Van Tartwijk G.H.M. and Agrawal G.P. Laser instabilities: a modern perspective // Progress in Quantum Electronics. 1998. 22. P. 43 – 122.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.954
Д.С. Глызин
Существование и устойчивость
двухмодовых резонансных циклов
нелинейного телеграфного уравнения1
Изучается вопрос о бифуркации периодических решений нелинейного
телеграфного уравнения utt + u = a2 uxx + (µu − u2 )ut с нулевыми граничными условиями Дирихле. В случае, когда линеаризованная в нуле задача
допускает решения exp(±iωn t) sin nx с резонансом вида 2ωn = ω2k+1 , построена асимптотика периодического решения, бифурцирующего на модах,
которым соответствуют частоты, находящиеся в резонансном соотношении.
Показано существование и устойчивость цикла с данной асимптотикой.
1. Постановка задачи. Рассмотрим краевую задачу:
utt + u = a2 uxx + (µu − u2 )ut ,
u|x=0 = u|x=π = 0,
(1)
где µ > 0 — малый параметр. Фазовым пространством для (u(t, x), ut (t, x))
◦
◦
2
W2 (0, π)× W12 (0, π),
◦
считаем
где Wi2 (0, π) — соболевские пространства функций с нулевыми граничными условиями из (1).
Линеаризуем краевую задачу (1) при µ = 0. Полученная задача
√ допус±iωn t
кает решения вида u(t, x) = e
sin(nx), с частотами ωn = 1 + a2 n2 ,
n = 1, 2, . . .
Допустим, что для некоторого k ≥ n величина a зафиксирована равной
p
a = ank = 3/((2k + 1)2 − 4n2 ),
(2)
тогда имеет место резонанс вида 2ωn = ω2k+1 .
Требуется найти приближение цикла задачи (1), бифурцирующего из
нулевого решения на модах sin nx и sin(2k + 1)x при условии (2).
2. Алгоритмическая часть. Произведем в задаче (1) подстановку
u = µu1 (t, τ, x) + µ3 u2 (t, τ, x) + . . . ,
1
τ = µ2 t,
(3)
Работа выполнена при финансовой поддержке программы „Университеты России“ (грант 04.01.452).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
74
Математическое моделирование
где u1 задается выражением
u1 (t, τ, x) = (eiωn t z1 (τ ) + e−iωn t z̄1 (τ )) sin nx+
+ (e2iωn t z2 (τ ) + e−2iωn t z̄2 (τ )) sin(2k + 1)x.
Приравнивая коэффициенты при µ3 , получим задачу на u2 :
2
∂ 2 u2
∂ 2 u1
2 ∂u1
2 ∂ u2
+
(u
−
u
,
+
u
−
a
=
−2
1
2
1)
nk
2
∂t¯2
∂x
∂t∂τ
∂t
¯
u2 ¯x=0 = u2 ¯x=π = 0.
(4)
Правая часть уравнения (4) представляет собой линейную комбинацию
гармоник e±stiωn , s = 1, . . . , 6. В аналогичном виде будем искать решение u2 :
u2 =
6
X
(Bs (τ, x)estiωn + B̄s (τ, x)e−stiωn ).
(5)
s=1
Подставив (5) в (4), получаем шесть краевых задач:
(1 − s2 ωn2 )Bs (τ, x) − a2nk Bs xx (τ, x) = γs (τ, x),
Bs (τ, 0) = Bs (τ, π) = 0, 1 ≤ s ≤ 6.
(6)
При s = 1, 2 задачи всегда вырождены: у соответствующих им однородных
существуют нетривиальные решения sin nx и sin(2k + 1)x соответственно.
Условия их разрешимости
Z π
Z π
γ1 (τ, x) sin nx dx = 0,
γ2 (τ, x) sin(2k + 1)x dx = 0
0
0
дают систему уравнений на z1 (τ ) и z2 (τ ):
z10 + λz2 z̄1 + z1 z2 z̄2 /4 + 3z12 z̄1 /16 = 0,
z20 + z1 z2 z̄1 /4 + z22 z̄2 /8 + λz12 /8 = 0,
(7)
где λ = 4n2 /(π(1 + 2k)(1 + 2k + 2n)(1 + 2k − 2n)).
Задачи (6) при s =p5, 6 заведомо разрешимы. Действительно, если предположить, что число (s2 ωn2 − 1)/a2nk — целое (т.е. s-ая задача вырождена),
то оно будет отлично от всех частот синусов в правой части соответствующего уравнения, что следует из неравенства 1 ≤ n ≤ k, а потому интегралы
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Существование и устойчивость двухмодовых резонансных циклов . . .
75
из условий разрешимости будут равны нулю. В явном виде уравнения выглядят следующим образом:
(1 − 25ωn2 )B5 − a2nk B5 xx =
¡
¢
= −5iωn z1 z22 2 sin nx − sin(2 + 4k + n)x − sin(n − 2 − 4k)x /4,
¡
¢
(1 − 36ωn2 )B6 − a2nk B6 xx = −iωn z23 3 sin(2k + 1)x − sin 3(2k + 1)x /2.
Случаи s = 3, 4 отличаются от указанных выше присутствием в правой
части квадратичных слагаемых:
(1 − 9ωn2 )B3 − a2nk B3 xx =
= −iωn (z13 sin3 nx − 3z1 z2 sin(1 + 2k)x sin nx + 3z22 z̄1 sin2 (1 + 2k)x sin x),
(1 − 16ωn2 )B4 − a2nk B4 xx =
= −4iωn z12 z2 sin(1 + 2k)x sin2 nx + 2iωn z22 sin2 (1 + 2k)x.
При вырожденности условие разрешимости для них не можетpбыть выполнено,pпоэтому необходимо исключить ситуацию, когда числа (9ωn − 1)/a2nk
и (16ωn − 1)/a2nk являются целыми. Можно записать эти условия так:
3ωn 6= ωr ,
4ωn 6= ωr .
(8)
Систему (7) приведем полярной заменой zj (τ ) = ρj (τ )eiϕj (τ ) , j = 1, 2 к следующему виду:
ρ01 = −ρ1 (3ρ21 +4ρ22 )/16−λρ1 ρ2 cos α, ρ02 = −ρ2 (2ρ21 +ρ22 )/8−λρ21 /8 cos α,
(9)
α0 = 2λρ2 (1 + ρ21 ρ−2
2 /2) sin α.
Здесь α = 2ϕ1 − ϕ2 , ρ1 , ρ2 ≥ 0, α ∈ [0, 2π]. У системы (9) существует одно
устойчивое состояние равновесия
q
. √
√
√
0
ρ1 = ρ1 = 8λ 2 61 − 13 (5 3), ρ2 = ρ02 = 2λ(9 − 61)/5, α = π.
В системе (7) ему соответствуют решения z1 = ρ01 eiϕ0 , z2 = −ρ02 e2iϕ0 , где
ϕ0 ∈ [0, 2π].
С учетом этих равенств выражение для u из (3) примет вид:
u(t, x) = µρ01 (ei(ωn t+ϕ0 ) + e−i(ωn t+ϕ0 ) ) sin nx−
− µρ02 (e2i(ωn t+ϕ0 ) + e−2i(ωn t+ϕ0 ) ) sin(2k + 1)x + µ3 u2 (t, x) + . . . (10)
Теперь, считая, что все условия разрешимости выполнены, решим краевые
задачи (6).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
76
Математическое моделирование
Решения задач на B1 и B2 задаются формулами
Z x
iωn
sin n(x − s)γ̂1 (s)ds + c1 sin nx,
B1 = 2
nank 0
Z x
iωn
B2 =
sin(2k + 1)(x − s)γ̂2 (s)ds + c2 sin(2k + 1)x,
(2k + 1)a2nk 0
(11)
где γ̂1 (s) = z12 z̄1 sin3 ns − z2 z̄1 sin(1 + 2k)s sin ns + 2z1 z2 z̄2 sin2 (1 + 2k)s sin ns,
γ̂2 (s) = z12 sin2 ns − 4z1 z2 z̄1 sin(1 + 2k)s sin2 ns − 2z22 z̄2 sin3 (1 + 2k)s; они представляют собой линейную комбинацию синусов.
Задачи на B3 и B4 разрешимы однозначно:
·Z x
¸
Z
iωn
sin r3 x π
B3 = 2
sin r3 (x−s)γ̂3 (s)ds −
sin r3 (π−s)γ̂3 (s)ds ,
ank r3 · Z0
sin r3 π Z0
¸ (12)
x
iωn
sin r4 x π
sin r3 (x−s)γ̂4 (s)ds −
B4 = 2
sin r4 (π−s)γ̂4 (s)ds ,
ank r4 0
sin r4 π 0
где γ̂3 = z13 sin3 nx − 3z1 z2 sin(1 + 2k)x sin nx + 3z22p
z̄1 sin2 (1 + 2k)x sin nx,
γ̂4 = p
4z12 z2 sin(1+2k)x sin2 nx+2z22 sin2 (1+2k)x, r3 = (8(2k + 1)2 − 5n2 )/3,
r4 = 5(2k + 1)2 − 4n2 .
Решения задач на B5 и B6 задаются выражениями, аналогичными (12),
если они не вырождены, и выражениями вида (11) в противном случае.
Отметим, что в любом случае u1 и u2 являются ограниченными функциями.
Таким образом, для исходной задачи (1), обладающей резонансом (2),
при условии (8) мы получили первое приближение цикла. Поскольку параметр ϕ0 отвечает за сдвиг по циклу, в дальнейшем будем считать его равным
нулю.
3. Линейный анализ устойчивости. Линеаризуем на решении (10)
задачу (1)
htt + h − a2n,k hxx = µ2 (a1 (t, x)h + a2 (t, x)ht ), h|x=0 = h|x=π = 0,
3
X
X
(1)
stiωn
a1 (t, x) =
ζs (t, x)e
, a2 (t, x) =
ζs(2) (t, x)estiωn .
−3≤s≤3, s6=0
(13)
s=−3
Расчет характеристических показателей, отвечающих за устойчивость цикла, будем производить стандартным образом. Сперва найдем характеристические показатели для мод, частоты которых находятся в резонансном соотношении (2). Сделаем замену
h = (V0 + µ2 V1 ) exp(µ2 Dt).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Существование и устойчивость двухмодовых резонансных циклов . . .
77
Здесь V1 , V2 и D — соответственно вектор-строки и матрица размерности 4
следующего вида:
V0 =(eiωn t sin nx, e−iωn t sin nx, e2iωn t sin(2k+1)x, e−2iωn t sin(2k+1)x),


d1,1 d1,2 d1,3 d1,4
 d¯1,2 d¯1,1 d¯1,4 d¯1,3 

V1 =(b1 (t, x), b̄1 (t, x), b2 (t, x), b̄2 (t, x)), D= 
 d3,1 d3,2 d3,3 d3,4  .
d¯3,2 d¯3,1 d¯3,4 d¯3,3
(14)
Подставим эти выражения в уравнение (13), в первой и третьей компонентах
вектора приравняем коэффициенты при µ2 , в результате получим задачи на
b1 и b2 :
X
b1 tt + b1 − a2n,k b1 xx = iωn
esiωn t γs(1) (x), b1|x=0 = b1|x=π = 0,
b2 tt + b2 −
a2n,k b2 xx
= iωn
−3≤s≤5,
X s6=0
esiωn t γs(2) (x),
b2|x=0 = b2|x=π = 0.
(15)
−2≤s≤6, s6=0
Как обычно, решения ищем в том же виде, который имеют правые части
(15)
X
X
b1 (t, x) = iωn
esiωn t Bs(1) (x), b2 (t, x) = iωn
esiωn t Bs(2) (x),
−3≤s≤5
s6=0
−2≤s≤6
s6=0
в результате чего получим 16 краевых задач вида:
(1)
(1)
(1)
(1 − s2 ωn2 )Bs (x) − a2n,k Bs (x) = iωn γs (x),
(2)
(2)
(2)
(1 − s2 ωn2 )Bs (x) − a2n,k Bs (x) = iωn γs (x),
−3 ≤ s ≤ 5, s 6= 0,
−2 ≤ s ≤ 6, s =
6 0.
(16)
Из условий разрешимости этих задач при s = −2, −1, 1, 2 можно найти
значения всех элементов первого и третьего столбцов матрицы D, которыми
она однозначно определяется. Матрица D примет вид:
 ρ2 3ρ2

3ρ21
ρ1 ρ2
ρ1 ρ2
2
1
− 2 − 4 λρ2 − 8
2 − λρ1
2


3ρ21
ρ22
3ρ21
ρ1 ρ2
ρ1 ρ2
− λρ1 
 λρ2 − 8 − 2 − 4
2
2
D =  ρ1 ρ2
.
ρ21
3ρ22
3ρ22
ρ1 ρ2
 2 − λρ1

−
−
−
2
2
4
8
2
2
2
ρ1 ρ2
ρ1 ρ2
− 3ρ82
− ρ21 − 3ρ42
2
2 − λρ1
Среди собственных чисел этой матрицы одно равно нулю и три — отрицательны.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
78
Математическое моделирование
Отметим, что в силу условий (8) остальные задачи (16) также разреши(2)
(1)
мы. Задачи на B5 и B5 отличаются от задачи на слагаемое B5 , входящее
в u2 , лишь коэффициентом при неоднородности. То же справедливо и для
(2)
задач B6 и B6 .
На прочих модах (sin mx, m 6= n, m 6= 2k + 1) расчет показателей будем производить в одночастотном виде, для чего сделаем в (13) следующую
замену:
h = (sin mx + µ2 σm (t, x)) exp((iωm + µ2 νm )t).
Приравняв коэффициенты при µ2 , получим задачу на σm :
2
σm tt (t, x) + 2iωm σm t (t, x) + (1 − ωm
)σm (t, x) − a2n,k σm xx (t, x) =
= sin mx(a1 (t, x) + iωm a2 (t, x) − 2iωm νm ),
σm (t, 0) = σm (t, π) = 0.
Представляя σm в виде σm =
4
P
s=−4
Bsm (x) exp(siωn t), разбиваем задачу
на девять, условия их разрешимости при s = 0 дадут для νm выражение:
νm = −(ρ1 + ρ2 )/2, m 6= n, m 6= 2k + 1, а для остальных s превратятся в
условия нерезонансности следующего вида:
ωm ± sωn 6= ωp ,
−4 ≤ s ≤ 4, s 6= 0.
(17)
Итак, все полученные характеристические показатели отрицательны
(кроме одного нулевого). Покажем, что это обеспечивает устойчивость решения исходной задачи с заданной асимптотикой, а именно докажем следующее утверждение:
Теорема. Пусть выполнены условия (2), (8), (17). Тогда существует
µ0 > 0, такое что при всех 0 < µ ≤ µ0 краевая задача (1) имеет экспоненциально орбитально устойчивый цикл с асимптотикой (10).
4. Обоснование алгоритмической части. Доказательство проводится по стандартной схеме (см., например, [1]). С помощью классической за∂2
мены h1 = Bh, h2 = ht , где B — такой оператор, что B 2 = I − ∂x
2 , приведем
уравнение (13) к системе первого порядка по времени:
ḣ1 = Bh2 ,
ḣ2 = −Bh1 + µ2 (a1 B −1 h1 + a2 h2 ).
(18)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Существование и устойчивость двухмодовых резонансных циклов . . .
79
Далее, рассмотрим оператор C, действующий из пространства последо◦
вательностей l2 в пространство W22 :
h = Cη = (V0 + µ2 V1 )v+
X
−2
+
ωm
[exp(iωm t)(sin mx + µ2 σm (t, x))ηm +
m∈M
+ exp(−iωm t)(sin mx + µ2 σ̄m (t, x))η̄m ]. (19)
Здесь
¡
η = ηn , η̄n , η2k+1 , η̄2k+1 , η1 , η̄1 , . . . , ηn−1 , η̄n−1 ,
¢
ηn+1 , η̄n+1 , . . . , η2k , η̄2k , η2k+2 , η̄2k+2 , . . . ∈ l2 ,
v = (ηn , η̄n , η2k+1 , η̄2k+1 )T , функции V0 , V1 взяты из (14), M = {m ∈ N :
m 6= n, m 6= 2k + 1}.
Подставим в (18) h = Cη, считая, что компоненты η формально дифференцируются как v̇ = µ2 Dv, η̇m = µ2 νm ηm , m ∈ M . Иначе говоря, положим
h1 = BCη,
2
h2 = ht = ∂C
∂t η + µ CΛ0 η,
где Λ0 = diag(D, ν1 , ν̄1 , . . . , νn−1 , ν̄n−1 , νn+1 , ν̄n+1 , . . . , ν2k , ν̄2k , ν2k+2 , ν̄2k+2 , . . . ).
Данная замена даст нам в пространстве последовательностей следующее
уравнение:
η̇ = µ2 Λ0 η + µ4 Λ1 (µ, t, x)η.
(20)
Таким образом, легко видеть, что вычисленные выше характеристические
показатели совпадают с точностью до порядка µ4 с показателями, действительные части которых определяют устойчивость данной, а следовательно,
и исходной системы.
Нам остается доказать существование решения. Воспользуемся для этого
стандартным методом, изложенным в [2]. Сделаем в (1) замену
u(t, x) = µu1 (t, x) + µ3 u2 (t, x) + µ3 h(t, x),
τ = (1 + µ4 δ)t
и соберем в левой части все линейные по h слагаемые
£
(1+µ4 δ)2 hτ τ +h−a2 hxx − µ2 (1+µ4 δ) h(u1τ +µ2 u2τ )(1−2u1 −2µ2 u2 )+
¤
+ hτ (u1 + µ2 u2 )(1 − u1 − µ2 u2 ) = µ2 F (τ, x, h, hτ , µ, δ), (21)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
80
Математическое моделирование
где F — гладкая по совокупности переменных, периодическая по τ с периодом 2π/ωn функция. Обозначив линейный оператор в левой части Π(µ, δ),
перейдем к уравнению
Π(µ, δ)h = µ2 F (τ, x, h, hτ , µ, δ).
Поскольку оператор Π есть результат линеаризации исходной задачи на
∂
функции u = µu1 + µ3 u2 , дающей невязку O(µ5 ), то h0 = ∂τ
(u1 + µ2 u2 )
является приближенным решением однородной задачи Πh = 0 с невязкой
O(µ4 ). Рассмотрим уравнение
Π̃h = 0,
Z πh
i
∂h
l(h)
hωn sin ωn τ +
где Π̃h = Πh−Πh0
, l(h) =
cos ωn τ sin nxdx. Для
l(h0 )
∂τ
0
l(h)
него h0 будет уже точным решением. Вычтем такое же слагаемое Πh0
l(h0 )
4
(имеющее порядок µ ) из правой части (21) и рассмотрим вопрос о разрешимости полученной задачи
Π̃(µ, δ)h = µ2 F̃ (τ, x, h, hτ , µ, δ),
где
l(h)
µ2 F̃ = µ2 F (τ, x, h, hτ , µ, δ) − Πh0
,
l(h0 )
(22)
в пространстве H, состоящем из 2π/ωn -периодических по τ функций h(τ, x),
◦
◦
таких, что h(τ, x) непрерывна по τ в метрике W22 , hτ — в метрике W12 , а
hτ τ — в метрике L2 . Также рассмотрим пространство H0 функций h(τ, x),
◦
2π/ωn -периодических и непрерывных по τ , как функций из R в W12 . Нормы
определим следующим образом:
||h||H = max{||h|| ◦ 2 + ||hτ || ◦ 1 + ||hτ τ ||L2 },
τ
W2
W2
||h||H0 = max{||h|| ◦ 1 }.
W2
τ
Легко показать, что, если g0 — принадлежащее H решение сопряженной однородной задачи Π̃∗ g = 0, удовлетворяющее условию нормировки
2π/ω
R n Rπ
∂h0
2π
(g0 , ∂τ ) = ωn , где круглые скобки обозначают (u, v) =
uv̄dxdτ , то
0
0
задача (22), если считать, что правая часть не зависит от искомой функции
и ее производной по τ , имеет в H решение hF тогда и только тогда, когда
ωn 2
(µ F̃ (τ, x, µ, δ), g0 (τ, x, µ, δ)) = 0.
2π
(23)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Существование и устойчивость двухмодовых резонансных циклов . . .
81
Решение hF определяется единственным образом, если на него наложить
F
условие ( ∂h
∂τ , g0 ) = 0, которое будем считать выполненным.
Вычтем из правой части (22) левую часть равенства (23), умноженную
∂h0
на ∂τ . Полученное уравнение
´ ∂h
ωn ³ 2
0
Π̃(µ, δ)h = µ F̃ (τ, x, µ, δ) −
µ F̃ (τ, x, µ, δ), g0 (τ, x, µ, δ)
2π
∂τ
2
(24)
заведомо разрешимо в нужном классе.
Можно показать, что выполнены следующие неравенства:
supτ ||F (τ, x, u1 , v1 , µ, δ) − F (τ, x, u2 , v2 , µ, δ)|| ◦ 1 ≤
W2
≤ N1 µ(|u1 − u2 | + |v1 − v2 |),
supτ ||F (τ, x, 0, 0, µ, δ)|| ◦ 1 ≤ N2 , ||hF ||H ≤ N3 µ−2 ||F̃ ||H0 ,
(25)
W2
первые два из которых проверяются непосредственно, а третье следует из
замены (19) и получаемой с ее помощью системы (20). (Здесь Ni , i = 1, 2, 3
— универсальные константы, которые не зависят от µ, δ. N1 = N1 (R), где
R = max{|u1 |, |v1 |, |u2 |, |v2 |}.)
Теперь обратим в (24) оператор Π̃. В качестве Π̃−1 здесь выступает оператор, сопоставляющий правой части (24) функцию hF , однозначно определенную указанным выше образом. Неравенства (25) позволяют применить в
H к полученному интегральному уравнению принцип сжимающих отображений. Заметим, что сделанные по ходу рассуждений добавки не оказывают
влияния на существенные свойства правых частей. Обозначим найденное по
принципу сжимающих отображений решение h∗ (его норма ограничена так,
что ||h∗ ||H ≤ N4 ). Подстановка h∗ в функцию F̃ из (23) даст уравнение на
поправку к частоте δ
δ = p(µ) + µΩ(µ, δ).
(26)
Здесь функция p(µ) ограничена, а функции Ω(µ, δ) и Ω0δ (µ, δ) ограничены
равномерно по µ на любом компактном множестве изменения δ (см., например, [3]). Следовательно, уравнение (26) можно разрешить относительно δ,
применив к нему теорему о неявной функции.
Найденное решение δ = δ(µ) зануляет сделанную в (24) добавку к правой
части. Таким образом, теорема доказана, то есть мы убедились в существовании у исходной задачи цикла
u = µu1 (τ, x) + µ3 u∗ (τ, x, µ),
τ̇ = 1 + µ2 δ(µ),
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
82
Математическое моделирование
где функция u∗ = u2 (τ, x) + h(τ, x, µ, δ(µ)) ограничена равномерно по τ, µ в
◦
метрике пространства W22 .
Автор благодарит А. Ю. Колесова за постановку задачи и многочисленные консультации.
Литература
1. Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Влияние квадратичной нелинейности на
динамику периодических решений волнового уравнения // Матем. сб.
2002. Т. 193. №1. С. 93–118.
2. Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Инвариантные торы нелинейных волновых
уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
3. Камбулов В. Ф., Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Существование и устойчивость быстро осциллирующих циклов у нелинейного телеграфного
уравнения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1998. Т. 38.
№8. С. 1287 – 1300.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.96+517.929
И.С. Кащенко
Нормализация в системе с периодически
распределенным запаздыванием1
Исследована локальная динамика дифференциального уравнения первого порядка с большим, периодически распределенным запаздыванием.
Выделены области параметров, при которых имеют место критические случаи. Построены специальные уравнения, играющие роль нормальных форм.
Введение
Рассматривается вопрос о динамике интегро-дифференциального уравнения:
Z0
ẋ + γx = a r(s)x(t + s)ds + F (x)
(1)
−T
при r(s) = cos(σsT −1 ). Здесь a 6= 0, γ, σ — некоторые параметры (не ограничивая общности будем считать, что σ ≥ 0), F (x) достаточно гладкая функция, имеющая в нуле порядок малости выше первого. Можно представить
F (x) в окрестности нуля в виде
F (x) = px2 + qx3 + . . . .
Отметим, что динамика уравнения (1) в случае линейной функции r(s) исследовалась в [1].
Наибольший интерес динамика уравнения (1) представляет при достаточно большом запаздывании. Поэтому будем считать, что T À 1. При
таком условии удобно произвести замену следующего вида
t → tT,
x(tT ) → x(t),
ε = T −1 ¿ 1.
В итоге получим уравнение
Z0
ε2 ẋ + εγx = a
cos(σs)x(t + s)ds + εF (x).
(2)
−1
1
Работа выполнена при финансовой поддержке программы „Университеты России“ (грант 04.01.452).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
84
Математическое моделирование
1. Устойчивость нулевого решения
Изучение динамики системы (2) начнем с исследования линеаризованного уравнения. Стандартным образом построим характеристическое уравнение для его линейной части
£
¤
ε2 λ3 + εγλ2 + ε2 σ 2 λ + εγσ 2 = a λ − λe−λ cos(σ) + σe−λ sin(σ) ,
(3)
λ2 + σ 2 6= 0.
Справедливы следующие утверждения.
Лемма 1. Пусть a < 0, γ > 0, 2a + γ 2 > 0, 0 < σ < π. Тогда существует
c < 0 такое, что при достаточно малых ε все решения λ характеристического уравнения (3) удовлетворяют условию Re λ < c.
Лемма 2. Пусть выполнено одно из условий
a > 0;
γ < 0;
2a + γ 2 < 0;
a < 0, γ > 0, 2a + γ 2 > 0, πn < σ < π(n + 1), n – натуральное.
Тогда существует такое c > 0, что при любом, сколь угодно малом, ε
характеристическое уравнение (3) имеет корень λ+ такой, что Re λ+ > c.
Лемма 3. Пусть a < 0, γ > 0, 2a + γ 2 > 0, σ = πn, n = 0, 1, 2, . . . . Тогда при достаточно малых ε характеристическое уравнение (3) не имеет
корней в правой комплексной полуплоскости, отделенных от мнимой оси,
и существует корень λ(ε), такой что Re λ(ε) → 0 при ε → 0.
В силу лемм 1–2 и [2], справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 1, тогда нулевое решение
уравнения (2) асимптотически устойчиво при любой функции F (x).
Пусть выполнены условия леммы 2, тогда нулевое решение уравнения
(2) неустойчиво, и в некоторой его окрестности нет устойчивых режимов при любой функции F (x).
2. Динамика системы в критических случаях
Если параметры a, γ, σ таковы, что выполняются условия леммы 3, то
необходимо проводить дополнительные исследования. Как уже отмечалось,
в этом случае нет собственных значений с отделенной от мнимой оси положительной вещественной частью, и есть корень, действительная часть
которого стремится к нулю. Важной особенностью этого случая является
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нормализация в системе с распределенным запаздыванием
85
то обстоятельство, что одновременно существует бесконечное количество
корней характеристического уравнения (3), стремящихся к мнимой оси при
ε → 0. Таким образом, реализуется критический случай бесконечной размерности. Отметим, что исследование динамики в случаях конечной размерности, близких к критическим, базируется на методах интегральных многообразий (см., например, [3]) и нормальных форм (см., например, [4,5]). Хотя
в данной ситуации эти методы оказываются неприменимыми непосредственно, однако их формализм существенно используется.
2.1. Случай σ = 0
Пусть a < 0, γ > 0, 2a + γ 2 > 0, σ = 0. Тогда уравнение (2) принимает
вид
Z0
ε2 ẋ + εγx = a x(t + s)ds + εF (x).
(4)
−1
Исследование динамики такого уравнения описано в [1]. Основной результат
состоит в том, что локальная динамика системы (4) определяется поведением решений системы параболических уравнений
∂u 2a + γ 2 ∂ 2 u γ 2 ∂u
d 2
=
+
−
p
u
∂τ
2a2 ∂y 2 a2 ∂y
dy
(5)
с граничными условиями
Z1
u(τ, y) = u(τ, y + 1),
u(τ, s)ds = 0.
(6)
0
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть задача (5)-(6) имеет периодическое решение u0 (τ, y), и
только один мультипликатор линеаризованной на нем задачи по модулю
равен 1. Тогда у уравнения (4) существует решение, допускающее асимптотическое представление
¡
¢
x(t) = εu0 ε2 t, t(1 + o(1)) (1 + o(1))
той же устойчивости.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
86
Математическое моделирование
2.2. Случай σ = 2πn
Пусть a < 0, γ > 0, 2a + γ 2 > 0, σ = 2πn, n – натуральное. В этом
случае характеристическое уравнение (3) имеет набор корней, стремящихся
при ε → 0 к мнимой оси
r
γ 1/2 π 2 N 2 γ
λ0 = πN − iε +
ε + ...,
a
4a
r
π2N 2γ
γ
ε + ...,
λ0 = −πN − iε1/2 +
a
4a
λk = πiK + ελk1 + ε2 λk2 + . . . .
Здесь k целое (k 6= 0, ±n), K = 2k, N = 2n,
γπ(K 2 − N 2 )
λk1 =
i,
aK
π2
γ 2π
2
2
2
2
2 2
λk2 =
(N
−
K
)((2a
+
γ
)K
−
γ
N
)
+
(K 4 − N 4 )i.
2
2
2
3
2a K
aK
Все остальные решения (3) находятся в левой комплексной полуплоскости
и отделены при ε → 0 от мнимой оси.
Согласно общей идеологии бифуркационных методов установившиеся режимы уравнения (2) могут формироваться в „окрестности“ критических частот 2πik, k ∈ Z. Представим x в виде формального ряда
√ X
x(t) = ε
ξk (τ )eλk1 θ eπiKt + εu1 + ε3/2 u2 + ε2 u3 + ε5/2 u4 +
k6=0,±n
´
p
p
√ ³
−1
−1
+ ε ξ0 (θ) exp(πN −γa it1 ) + ξ 0 (θ) exp(−πN −γa it1 ) . . . , (7)
√
где τ = ε2 t, θ = εt, t1 = εt, а функции uk = uk (t, t1 , θ, τ ) предполагаются
периодичными по первому аргументу и ограниченными по второму и третьему аргументам. Подставим (7) в (2) и будем последовательно собирать
слагаемые при одинаковых степенях ε.
Из уравнения при ε1 следует
X
u1 =
u1k (t1 , θ, τ )eπiKt .
k6=±n
При ε3/2 получаем равенство
0=
X
k6=±n
K
∂u1k πiKt
e
+
π(K 2 − N 2 )i ∂t1
Z0
cos(πN s)u2 (t + s, t1 , θ, τ ) ds.
−1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нормализация в системе с распределенным запаздыванием
87
Для существования периодического u2 , удовлетворяющего этому уравнению, необходимо, чтобы для всех k 6= 0, ±n выполнялось
∂u1k
= 0.
∂t1
При этом
u2 =
X
u2k (t1 , θ, τ )eπiKt .
k6=±n
Приравнивая коэффициенты при ε2 , получаем
X
γ
u1k eπiKt = a
k6=±n
+a
+p
k6=±n
X
k6=±n
π(K 2
µ X
X
K
∂u1k πiKt
a ∂ 2 u10
e
+
+
π(K 2 − N 2 )i ∂θ
π 2 N 2 ∂t21
∂u2k πiKt
K
e
+a
2
− N )i ∂t1
ξk (τ )eλk1 θ eπiKt + ξ0 (θ)eπN
Z0
cos(πN s)u3 (t + s, t1 , θ, τ ) ds +
−1
√
−γa−1 it
1
+ ξ 0 (θ)e−πN
√
¶2
−γa−1 it
1
+
k6=0,±n
µ³
¶
√
γ
dξ0 π 2 N 2 γ ´ πN √−γa−1 it1
√
+a
−2
+
ξ0 e
+ к.с. .
dθ
2a
πN −a
Для существования периодического u3 необходимо, чтобы были равны коэффициенты при всех exp(πiKt). Значит, должны выполняться следующие
равенства:
γu10
X
¡ πN √−γa−1 it
¢2
a ∂ 2 u10
1
= 2 2
+
p
ξ
ξ
+
ξ
e
+
+
к.с.
m −m
0
π N ∂t21
=0,±n
¶
√ µ³ m6
2
2a γ
π N 2γ
dξ0 ´ πN √−γa−1 it1
√
+
ξ0 −
e
+ к.с.
4a
dθ
πN −a
(8)
и при всех k 6= 0, ±n
X
πi(K 2 − N 2 )p
∂u1k ∂u2k
+
= λk1 u1k −
ξm ξk−m e(λm1 +λk−m,1 )θ −
∂θ
∂t1
aK
m6=0,k,±n,k±n
³
´
√
√
2πi(K 2 − N 2 )p
πN −γa−1 it1
−πN −γa−1 it1
+ ξ 0e
eλk1 θ . (9)
−
ξk ξ0 e
aK
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
88
Математическое моделирование
Для того, чтобы существовало ограниченное u10 , удовлетворяющее
(8),
p
−1
необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при exp(±πN −γa it1 )
были равны нулю, т.е.
dξ0
π2N 2γ
=
ξ0 ,
dθ
4a
dξ 0
π2N 2γ
=
ξ .
dθ
4a 0
Значит, ξ0 и ξ 0 экспоненциально стремятся к нулю и никакого влияния на
динамику системы не оказывают. Будем далее считать ξ0 ≡ ξ 0 ≡ 0. Тогда
из (9) и из ограниченности u2 следует, что
∂u2k
= 0,
∂t1
а u1k выражается как
u1k =
pλk1
γ
X
m6=0,k,±n,k±n
ξm ξk−m
e(λm1 +λk−m,1 )θ ,
λk1 − λm1 − λk−m,1
u10 =
k 6= 0, ±n,
p X
ξm ξ−m .
γ
m6=0,±n
Приравняем коэффициенты при ε5/2 .
Z0
X
πKiξk eλk θ eπKit + γu2 = a
k6=0,±n
+a
X µ
k6=0,±n
+a
cos(2πns)u4 (t + s, t1 , θ, τ )ds +
−1
´ ¶
aK
dξk γ 2 π ³ π(K 2 + N 2 )
+ 2
−2(K 2 −N 2 )i ξk eλk1 θ eπiKt +
2
2
πi(K − N ) dτ a K
K
X
X
∂u2k πiKt
a ∂ 2 u20
K
e
+
+
2pu
ξk eλk1 θ eπiKt +
1
2
2
2
2
2
π(K − N )i ∂θ
π N ∂t1
k6=0,±n
k6=±n
³ X
´3
+q
ξk eλk1 θ eπiKt
k6=0,±n
Для существования периодического u4 необходимо и достаточно, чтобы
сумма всех коэффициентов при e2πikt (k 6= ±n) была равна нулю. Таким
образом, получаем набор дифференциальных уравнений относительно u2k :
∂u2k dξk λk1 θ
+
e
= λk2 ξk eλk1 θ + λk1 u2k −
∂θ
dτ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нормализация в системе с распределенным запаздыванием
−
2pπi(K 2 − N 2 )
aK
X
ξm u1,k−m eλm1 θ −
m6=0,±n,k±n
89
qπi(K 2 − N 2 )
ϕk ,
aK
где ϕk – это коэффициент при e2πikt в разложении в ряд Фурье функции
µ X
¶3
ξk eλk1 θ eπiKt .
k6=0,±n
Для того, чтобы у этого уравнения существовало ограниченное решение,
необходимо, чтобы коэффициенты при резонансной экспоненте были равны,
т.е. сумма коэффициентов при eλk1 θ должна быть равна нулю. Получаем
X
2p2 λk1
dξk
3λk+m,1 − λk1 − λm1
= λk2 ξk −
ξ
ξm ξ−m
−
k
2
dτ
γ
λk+m,1 − λk1 − λm1
m6=0,±n
X
3qλk1
−
ξk
ξm ξ−m . (10)
γ
m6=0,±n
Система (10) является нормализованной формой для исходного уравнения
(2). Справедлива следующая теорема
Теорема 3. Пусть система (10) имеет грубое состояние равновесия
{ξk∗ }k6=±n . Тогда уравнение (2) имеет решение
√ X ∗ ελk1 t πiKt
x(t) = ε
ξk e
e
(1 + o(1))
k6=0,±n
той же устойчивости.
2.3. Случай σ = π(2n − 1)
Пусть a < 0, γ > 0, 2a + γ 2 > 0, σ = π(2n − 1), n – натуральное. В этом
случае уравнение (3) имеет набор корней, стремящихся при ε → 0 к мнимой
оси
γN 2 π 2
+ ...,
2a
= πiK + ελk1 + ε2 λk2 + . . .
λ0 = ε
λk
Здесь k целое (k 6= 0, ±n), K = 2k − sign(k), N = 2n − 1,
γπ(K 2 − N 2 )
i,
aK
π2
γ 2 π(K 4 − N 4 )
2
2
2
2
2 2
=
(N − K )(2a + γ )(K − γ N ) +
i.
2a2 K 2
a2 K 3
λk1 =
λk2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
90
Математическое моделирование
Все остальные решения (3) находятся в левой комплексной полуплоскости
и отделены при ε → 0 от мнимой оси.
Так же как и в предыдущем пункте, сделаем подстановку
x(t) =
√
ε
X
ξk (τ )eλk1 θ eπiKt +
√
εξ0 (θ) + εu1 (t, θ, τ ) +
k6=0,±n
+ ε3/2 u2 (t, θ, τ ) + ε2 u3 (t, θ, τ ) + ε5/2 u4 (t, θ, τ ) + . . . , (11)
где τ = ε2 t, а θ = εt, функции uk (t, θ, τ ) предполагаются ограниченными, а
в многоточиях собраны слагаемые более высокого порядка малости.
Действуя таким же образом, как и выше, будем собирать слагаемые при
одинаковых степенях ε. В конечном итоге получим, что для амплитуд ξk
(k 6= ±n) должны выполняться равенства
dξ0
N 2π2
=
ξ0 .
dθ
2a
(12)
X
λk1 2
dξk
= λk2 ξk − 2 (2p + 3qγ)ξk
ξm ξ−m .
dτ
γ
(13)
m6=0,±n
Из (12) следует, что ξ0 экспоненциально стремится к нулю, а следовательно,
никакого влияния на динамику системы не оказывает.
Пусть функция u(y) такова, что u(y) = −u(y + 1). Тогда у нее существует первообразная, удовлетворяющая этому же условию. Будем обозначать
такую первообразную через J(u).
Рассмотрим следующую задачу:
∂u
2a + γ 2 ∂ 2 u γ 2 ∂u π 2 N 2
2p + 3qγ d
2
=
+
+
(a
+
γ
)u
−
u||u||2 +
2
2
2
2
∂τ
2a ∂y
a ∂y
a
aγ
dy
π4N 4γ 2 2
π4γ 2N 4 3
π 2 N 2 (2p + 3qγ)
+
J (u) −
J (u) −
J(u||u||2 )
2
2
2a
a
aγ
(14)
с граничными условиями
Z1
u(τ, y) = −u(τ, y + 1),
cos(πN y)u(τ, y) dy = 0.
0
Z1
Здесь обозначено ||u||2 =
u2 (τ, y)dy.
0
(15)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нормализация в системе с распределенным запаздыванием
91
Если разложить решение этой задачи в ряд по собственным функциям
линейной части (14), который совпадает с рядом Фурье
X
u(τ, y) =
ξk (τ )eπiKy ,
k6=0,±n
то получим, что для ξk (τ ) должны выполняться равенства (13).
Поэтому задачу (14)-(15) можно считать нормализованной формой для
исходного уравнения (2). Справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Пусть задача (14)-(15) имеет периодическое по τ решение
u0 (τ, y). Причем только один мультипликатор линеаризованной на этом
решении системы равен по модулю 1. Тогда у уравнения (2) существует
решение с асимптотикой
¡
¢
x(t) = εu0 ε2 t, t(1 + o(1)) (1 + o(1))
той же устойчивости.
Литература
1. Кащенко И.С. Динамические свойства одного класса дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием // Современные проблемы математики и информатики. Вып. 7. Ярославль, 2005.
С. 138 – 145.
2. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.:
Мир, 1984.
3. Марсен Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.
4. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979.
5. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука 1978.
6. Кащенко С.А. Бифуркации цикла в сингулярно возмущенных нелинейных автономных системах // Известия РАЕН (серия МММИУ).
1998. Т. 2, № 4. С. 5 – 54.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.9+519.86
Е.В. Коршунова
Пространственно-неоднородные циклы
деловой активности
в модели мультипликатор-акселератор
В работе рассматривается математическая модель мультипликатора акселератора циклов деловой активности, при этом рассматривается вариант, предложенный Аленном. Ниже исследуется уточненная математическая модель из монографий Т. Пу [1] и В.-Б. Занга [2], учитывающая
эффект пространственных взаимодействий, при этом рассматривается двумерная область, что, конечно, более точно отражает реалии экономических
процессов.
1. Постановка задачи
Простейший вариант модели с учетом пространственных взаимодействий, предложенной Т. Пу, был рассмотрен в [3]. Ниже исследуется уточненная математическая модель из тех же монографий [1], [2] на двумерной
области.
Рассмотрим уравнение
µ ¶3
∂ 2u
∂u
∂
∂u
2
2
2
−
2c
−
b
(4u)
−
a
4u
+
ω
u
=
−
.
(1)
∂t2
∂t
∂t
∂t
Здесь u(t, x, y) — нормированное отклонение от равновесного национального дохода, a2 , b2 — нормированные постоянные, характеризующие динамику
экономического процесса, а ∆ — оператор Лапласа. Пусть (x, y) ∈ D =
= {(x, y) : 0 ≤ x ≤l1 , 0 ≤ y ≤l2 }. Для (1) рассмотрим два типа краевых условий: условия Дирихле
u |∂D = 0
(2)
и нормированные условия Неймана
∂u ¯¯
∂u ¯¯
∂u ¯¯
∂u ¯¯
= 0,
= 0,
= 0,
= 0,
¯
¯
¯
¯
∂x x=0
∂x x=l1
∂y y=0
∂y y=l2
Z l1 Z l2
u(x, y)dxdy = 0.
0
0
(3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пространственно-неоднородные циклы деловой активности . . .
93
Интегральное равенство из условий (3) означает, что среднее отклонение
предполагается равным нулю. Далее исследуются эти две краевые задачи.
2. Линейный анализ
Задача нахождения спектра устойчивости поставленных краевых задач
сводится к нахождению корней многочлена
λ2 + (b2 µ − 2c)λ + (ω 2 + a2 µ) = 0,
(4)
¢
¡
где µ = µkn = π 2 k 2 l1−2 + n2 l2−2 – собственные значения вспомогательной
задачи ∆V = −µV с собственными функциями
Vkn (x, y) = sin(kπxl1−1 ) sin(nπyl2−1 ), k, n = 1, ∞
для задачи Дирихле и
Wkn (x, y) = cos(kπxl1−1 ) cos(nπyl2−1 ), k, n = 0, ∞
для задачи Неймана.
Для исследования спектра устойчивости достаточно рассмотреть знак
выражения b2 µkn − 2c. Отметим,
для
n = 1 по¡ что−2
¢ задачи Дирихле при2 k2=
¡ −2
¢
2
2 2 −2
лучаем, что b µ11 − 2c = b π l1 + l2 − 2c. Если c = cD = b π l1 + l2−2 ,
то характеристическое
уравнение (4) имеет пару чисто мнимых корней ±iσ,
q
¡ −2
¢
ω 2 + a2 π 2 l1 + l2−2 . Если либо k, либо n отличны от 1, то
где σ =
b2 µkn − 2c > 0 и все точки спектра устойчивости лежат в полуплоскости,
выделяемой неравенством Re λkn ≤ −γ < 0. Далее положим c = cD + ε.
Для задачи Неймана будем считать l1 = l2 = l. Отметим, что для этой задачи k и n могут принимать нулевые значения. Действуя аналогично преды2 2 −2
дущему случаю, устанавливаем, что при c = c√
N = b π l /2 уравнение (4)
имеет пару чисто мнимых корней ±iσ, где σ = ω 2 + a2 π 2 l−2 , которой соответствует кратная пара точек спектра устойчивости. В свою очередь, точке
спектра устойчивости соответствуют две линейно-независимые собственные
функции W10 (x, y) = cos(πxl−1 ) и W01 (x, y) = cos(πyl−1 ). Далее, как и для
задачи Дирихле, положим c = cN + ε.
Таким образом, далее будем исследовать две краевые задачи
µ ¶3
∂u
∂u
∂ 2u
∂
2
2
2
−
2(c
+
ε)
−
b
(4u)
−
a
4u
+
ω
u
=
−
D
∂t2
∂t
∂t
∂t
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
94
Математическое моделирование
с краевыми условиями (2) и
µ ¶3
∂u
∂
∂u
∂ 2u
2
2
2
−
2(c
+
ε)
−
b
(4u)
−
a
4u
+
ω
u
=
−
N
∂t2
∂t
∂t
∂t
(6)
с краевыми условиями (3).
3. Построение и анализ нормальной формы для задачи Дирихле
Будем искать решение уравнения (5) с краевыми условиями (2) в виде
u(t, τ, x, y) = ε1/2 u0 (t, τ, x, y) + ε3/2 u1 (t, τ, x, y) + · · · .
(7)
Здесь u0 (t, τ, x, y) = (z(τ ) exp(iσt) + z(τ ) exp(−iσt)) sin(πxl1−1 ) sin(πyl2−1 ),
τ = εt, а точками обозначены слагаемые более высокого порядка малости
по ε. Подставляя (7) в (5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях ε при ε3/2 , получаем
∂ 2 u1
∂u1
2 ∂
−
2c
−
b
(4u1 ) − a2 4u1 + ω 2 u1 = F (t, τ, x, y).
D
2
∂t
∂t
∂t
Нетрудно проверить, что
(8)
˙ ) exp(−iσt)) + 2cD (ż exp(iσt) +
F (t, τ, x, y) = [− (2iσ ż exp(iσ) − 2iσ z̄(τ
˙ ) exp(−iσt)) + 2 (iσz exp(iσt) − iσz̄ exp(−iσt)) − b2 π 2 (l1−2 + l2−2 ) ×
+ z̄(τ
˙ ) exp(−iσt))] sin(πxl1−1 ) sin(πyl2−1 ) − [−iσ 3 z 3 exp(3iσt) +
× (ż exp(iσt) + z̄(τ
+ 3iσ 3 z|z|2 exp(iσt) − 3iσ 3 |z|2 z̄ exp(−iσt) + iσ 3 z̄ 3 exp(−3iσt)] ×
× sin3 (πxl1−1 ) sin3 (πyl2−1 ).
Из условий разрешимости неоднородного уравнения (8) в классе тригонометрических многочленов
2π/σ
Z Zl2 Zl1
F (t, x, y) exp(−iσt) sin(πxl1−1 ) sin(πyl2−1 )dxdydt = 0
0
0
0
получаем главную часть нормальной формы
³
27 2 2 ´
ż = z 1 − σ |z| .
32
Полагая z = dy, где константа d равна 32σ −2 /27, для квадратов амплитуд
p = |y|2 получаем уравнение
0
p = p(1 − dp).
(9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пространственно-неоднородные циклы деловой активности . . .
95
(9) имеет два состояния равновесия: p = 0, которое является неустойчивым,
и p = d−1 . Линеаризуем уравнение (9) на втором состоянии равновесия, то
есть положим p = d−1 + W . Соответствующее линейное уравнение будет
иметь вид Ẇ = −W , откуда вытекает, что второе состояние равновесия
устойчиво.
Теорема 1. Нетривиальному состоянию равновесия дифференциального уравнения (9) соответствует устойчивое периодическое решение
краевой задачи (5),(2)
r
πx
πx
4 2ε
u(t, x, y) =
(exp(iσt) + exp(−iσt)) sin
sin
+ o(ε1/2 ).
3σ 3
l1
l2
4. Построение и анализ нормальной формы для задачи Неймана
Будем искать решение уравнения (6) с краевыми условиями (3) в виде
(7), но в этом случае следует положить
lu0 (t, τ, x, y) = (z1 (τ ) exp(iσt) + z1 (τ ) exp(−iσt)) cos(πxl−1 )+
+ (z2 (τ ) exp(iσt) + z2 (τ ) exp(−iσt)) cos(πyl−1 ).
Подставляя (7) в (5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ε при ε3/2 , получаем
∂ 2 u1
∂u1
2 ∂
−
2c
−
b
(4u1 ) − a2 4u1 + ω 2 u1 = F (t, τ, x, y).
N
2
∂t
∂t
∂t
(10)
Принципиально несложные, но громоздкие вычисления показывают, что
F (t, τ, x, y) = −(2iσ z˙1 −2cN z˙1 −2iσz1 +b2 π 2 l−2 z˙1 ) exp(iσ) cos(πxl−1 )−(2iσ z˙2 −
− 2cN z˙2 − 2iσz2 + b2 π 2 l−2 z˙2 ) exp(iσ) cos(πyl−1 ) − [−3iσ 3 z1 |z1 |2 cos3 (πxl−1 )+
+ 3iσ 3 z2 |z2 |2 cos3 (πyl−1 ) + (6iσ 3 |z1 |2 z2 + 3iσ 3 z12 z¯2 ) cos2 (πxl−1 ) cos(πyl−1 )+
+ (6iσ 3 z1 |z2 |2 + 3iσ 3 z¯1 z22 ) cos(πxl−1 ) cos2 (πyl−1 )] exp(iσt) + k.c.
Из условий разрешимости уравнения (10) в классе тригонометрических
многочленов получаем главную часть нормальной формы
¡
¢
z˙1 = z1 − d0 z1 3|z1 |2 /2 + 2|z2 |2 − d0 z¯1 z22 ,
¡
¢
(11)
z˙2 = z2 − d0 z2 2|z1 |2 + 3|z2 |2 /2 − d0 z12 z¯2 ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
96
Математическое моделирование
где d0 = 3σ 2 /4.
Система (11) имеет три типа состояний равновесия, которые могут быть
заданы следующим образом:
R1 : z1 = z2 = 0,
R2 : z1 = 0, z2 6= 0; z1 6= 0, z2 = 0,
R3 : z1 =
6 0, z2 6= 0.
Нетрудно заметить, что тривиальное состояние равновесия R1 неустойчиво.
Найдем одно из состояний равновесия R2 , например, z1 = 0, z2 6= 0. Для
этого положим z2 = ρ exp(iϕ).
q Подставляя выражение для z2 в правую часть
(11), получаем, что ρ = 2d−1
0 /3, ϕ = ϕ0 = const. Найденные состояния
равновесия неустойчивы. В этом можно убедиться, линеаризовав систему
(11) на любом из них. Положим в (11) z1 = x + iy, z2 = ρ exp(iϕ) и приравняем коэффициенты при действительной q
и мнимой частях, тогда матрица
линеаризованной в точке x = y = 0, ρ = 2d−1
0 /3, ϕ = ϕ0 системы будет
иметь собственные числа λ1 = −1, λ2 = 1/3, λ3 = −2, λ4 = 0. Легко заметить, что исследуемое состояние равновесия неустойчиво. Аналогичный
результат получается и для состояний равновесия вида z1 6= 0, z2 = 0.
Найдем и исследуем устойчивость состояний равновесия третьего типа.
Переходя в (11) к полярным координатам z1 = ρ1 exp(iϕ1 ), z2 = ρ2 exp(iϕ2 ),
где ρ1 = ρ1 (t), ρ2 = ρ2 (t), ϕ1 = ϕ1 (t), ϕ2 = ϕ2 (t) приходим к системе
¢
¡
ρ˙1 = ρ1 − d0 ρ1 3ρ21 /2 + 2ρ22 − d0 ρ1 ρ22 cos 2(ϕ1 − ϕ2 ),
¡
¢
ρ˙2 = ρ2 − d0 ρ2 2ρ21 + 3ρ22 /2 − d0 ρ21 ρ2 cos 2(ϕ1 − ϕ2 ),
ϕ̇1 = d0 ρ22 sin 2(ϕ1 − ϕ2 ),
ϕ̇2 = −d0 ρ21 sin 2(ϕ1 − ϕ2 ).
Полагая ψ = 2(ϕ1 −ϕ2 ), окончательно получаем систему для определения
состояний равновесия
¡
¢
ρ˙1 = ρ1 − d0 ρ1 3ρ21 /2 + 2ρ22 − d0 ρ1 ρ22 cos ψ,
¡
¢
ρ˙2 = ρ2 − d0 ρ2 2ρ21 + 3ρ22 /2 − d0 ρ21 ρ2 cos ψ,
(12)
¡ 2
¢
ψ̇ = 2 ρ1 + ρ22 d0 sin ψ.
Система (12) имеет 2 состояния равновесия: ρ1 =
q
и ρ1 = ρ2 = 5d20 , ψ = π.
√2 ,
3 d0
ρ2 =
√1 ,
3 d0
ψ=0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пространственно-неоднородные циклы деловой активности . . .
97
Для исследования устойчивости линеаризуем систему (12) на найденных
состояниях равновесия. Для первого из них матрица линеаризованной
√
√ на
−13− 265
−13+ 265
нем системы будет иметь собственные числа λ1 =
, λ2 =
,
12
12
λ3 = 10/9, следовательно, оно неустойчиво. Аналогично, для второго
состояния равновесия собственными числами соответствующей матрицы
будут λ1 = −2, λ2 = −2/5, λ3 = −8/5, откуда вытекает, что оно устойчиво.
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
q
2
Теорема 2. Состоянию равновесия ρ1 = ρ2 = 5d
, ψ = π системы (12)
соответствует устойчивое периодическое решение краевой задачи (6),(3)
r
πy
πx ´
4 2ε ³
cos(ϕ0 + σt) cos
− sin(ϕ0 + σt) cos
+ o(ε1/2 ).
u(t, x, y) =
σ 15
l
l
q
2
Состоянию равновесия ρ1 =ρ2 = 5d
, ψ = 0 системы (12) соответствует
неустойчивое периодическое решение краевой задачи (6),(3)
r
³
4 ε
πx
πy ´
u(t, x, y) =
cos(ϕ0 + σt) 2 cos
+ cos
+ o(ε1/2 ).
3σ 3
l
l
Наконец, обоим состояниям равновесия типа R2 системы (12) соответствуют неустойчивые периодические решения краевой задачи (6),(3)
√
2
u(t, x, y) = 3σ
2ε cos(ϕ0 + σt) cos πyl + o(ε1/2 ) и
√
2
1/2
u(t, x, y) = 3σ
2ε cos(ϕ0 + σt) cos πx
)
l + o(ε
для случаев z1 = 0, z2 6= 0; z1 6= 0, z2 = 0 соответственно.
Литература
1. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. Ижевск: Издательский
дом “Удмуртский университет“, 2000.
2. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории // М.: Мир, 1999.
3. Косарева Е.С., Куликов А.Н. Об одной нелинейной краевой задаче,
моделирующей экономические циклы // Моделирование и анализ информационных систем. 2003. T.10, № 2. С. 18 – 21.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.928
П.Н. Нестеров
Усреднение систем с колебательно убывающими
коэффициентами в случае периодичности
осциллирующей составляющей1
Обосновывается законность использования методики усреднения для
преобразования систем с колебательно убывающими коэффициентами, в
случае когда осциллирующие величины представляют собой периодические
функции с одним и тем же периодом T > 0.
В этой статье мы продолжаем развивать вариант метода усреднения (метода Штокало) для построения асимптотики решений линейных уравнений
с колебательно убывающими коэффициентами. Напомним один из основных результатов, полученных в этом направлении. Рассмотрим следующую
систему дифференциальных уравнений:
h
i
2
k
ẋ = A0 + ξ(t)A1 (t) + ξ (t)A2 (t) + . . . + ξ Ak (t) + R(t) x.
(1)
Здесь A0 – постоянная матрица с вещественными собственными значениями, а элементами матриц Aj (t) являются тригонометрические многочлеM
P
ны, т.е. Aj (t) =
αlj eiωl t , где αlj – постоянные комплексные матрицы, а
l=1
ωl – действительные числа. Относительно скалярной действительной функции ξ(t) мы потребуем, чтобы ξ(t) → 0, когда t → ∞. Далее, пусть ни
одна из функций ξ(t), ξ 2 (t), . . . , ξ k (t) не принадлежит классу L1 [t0 , ∞), a
˙
функции
ξ(t),
ξ k+1 (t) ∈ L1 [t0 , ∞). (Мы пишем, что f (t) ∈ L1 [t0 , ∞), если
R∞
t0 |f (s)|ds < ∞.) Естественно предполагать, что функция ξ(t) интегрируема по Лебегу на любом конечном отрезке I. Наконец, пусть R(t) ∈ L1 [t0 , ∞)2 .
Справедлива
Теорема 1. Система (1) при достаточно больших t с помощью замены
h
i
2
k
x = I + ξ(t)Y1 (t) + ξ (t)Y2 (t) + . . . + ξ (t)Yk (t) y,
(2)
1
Работа выполнена при финансовой поддержке программы „Университеты России“ (грант 04.01.452).
Запись R(t) ∈ L1 [t0 , ∞), где R(t) — квадратная матрица означает, что ||R(t)|| ∈ L1 [t0 , ∞), и || · || –
некоторая матричная норма.
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Усреднение систем с колебательно убывающими коэффициентами . . .
99
где I – единичная матрица, а элементами матриц Yj (t) являются тригонометрические многочлены с нулевым средним значением, преобразуется в
систему
h
i
2
k
ẏ = A0 + ξ(t)A1 + ξ (t)A2 + . . . + ξ (t)Ak + R1 (t) y
с постоянными матрицами A1 , . . . , Ak и матрицей R1 (t) ∈ L1 [t0 , ∞).
Доказательство этой теоремы приведено в [1]. Для определения матриц
Yj (t) и Aj мы получаем матричные дифференциальные уравнения вида
Ẏj + Yj A0 − A0 Yj = Fj (t) − Aj ,
(3)
где Fj (t) – матрица, элементами которой являются тригонометрические многочлены. В качестве матрицы Aj мы выбираем среднее значение матрицы
Fj (t), т.е.
ZT
£
¤
1
Fj (s)ds.
Aj = M Fj (t) = lim
T →∞ T
0
£
¤
В частности, A1 = M A1 (t) . Таким образом, основной момент в доказательстве теоремы 1 – это разрешимость в классе тригонометрических многочленов с нулевым средним значением уравнения (3).
В этой статье мы рассмотрим случай, когда все матрицы Aj (t) являются
периодическими с периодом T > 0. Теорема 1 в этом случае останется справедливой, если нам удастся доказать разрешимость уравнения (3) в классе
периодических матриц с нулевым средним значением. Без ограничения общности будем считать, что матрица A0 приведена к каноническому (жорданову) виду J. Пусть матрица J состоит из жордановых блоков Jλ1 , Jλ2 , . . . , Jλk
k
P
размером n1 × n1 , n2 × n2 , . . . , nk × nk соответственно и
nj = n. В таj=1
ком случае обычно пишут J = Jλ1 ⊕ Jλ2 ⊕ . . . ⊕ Jλk . Здесь λ1 , λ2 , . . . , λk –
собственные числа матрицы A0 .
Уравнение (3) мы запишем в виде
Ẏ + Y J − JY = F (t),
(4)
где F (t) – T -периодическая матрица, среднее значение которой равно нулю.
Оказывается, что в периодическом случае можно ослабить требования на
спектр матрицы A0 . Будем считать, что для собственных чисел матрицы A0
справедливо утверждение
λl − λm 6=
2πqi
,
T
l, m = 1, . . . , k,
q = ±1, ±2, ±3, . . . .
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
100
Математическое моделирование
То есть никакие два из собственных чисел матрицы A0 не отличаются друг
от друга на число, кратное 2πi/T . Класс T -периодических матриц произвольного порядка c нулевым средним значением мы будем обозначать Π0 .
Рассмотрим сперва скалярное уравнение
ẏ + (λl − λm )y = f (t),
(6)
где f (t) ∈ Π0 . Если λl = λm , то единственное решение уравнения (6) из
класса Π0 имеет вид:
Zt
y(t) =
hZ t
f (s)ds − M
0
i
f (s)ds .
0
В дальнейшем будем полагать, что λl 6= λm . Заметим сначала, что если нами
будет найдено какое-то T -периодическое решение уравнения (6), то оно по
необходимости имеет нулевое среднее значение. Чтобы в этом убедиться,
достаточно взять среднее значение от обеих частей в (6) и заметить, что
M [ẏ] =
1
T
ZT
ẏdt =
0
¢
1¡
y(T ) − y(0) = 0
T
в силу T -периодичности решения y(t). Хорошо известно, что скалярное уравнение (6) для любой функции из класса Π0 имеет единственное решение
y(t) ∈ Π0 при условии, что e(λm −λl )T 6= 1, т.е. когда выполнено (5). В этом
случае единственное решение уравнения (6) из класса Π0 задается следующей формулой:
Zt
y(t) = e(λm −λl )t y∗ +
f (s)e(λm −λl )(t−s) ds,
(7)
0
где постоянная y∗ определяется из условия периодичности y(0) = y(T ).
Вернемся теперь к уравнению (4). Разобьем матрицу Y (t) на блоки размером ni × nj , т.е.

 n1
nk
n2
z}|{
z}|{ z}|{
 Y11 Y12 . . . Y1k }n1 


Y21 Y22 . . . Y2k }n2  .
Y (t) = 

 .
..
..
...

 ..
.
.
Yk1 Yk2 . . . Ykk }nk
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Усреднение систем с колебательно убывающими коэффициентами . . .
101
Таким образом, блочная матрица Yij (t) имеет размер ni × nj , где i, j =
= 1, . . . , k. Аналогичное разбиение осуществим и для матрицы F (t). Пользуясь правилами оперирования с блочными матрицами, приходим к выводу,
что исходное уравнение (4) распадается на k 2 систем, из которых определяются матрицы Yij . Именно,
Ẏij + Yij Jλj − Jλi Yij = Fij (t).
(8)
Каждая такая система состоит из ni nj скалярных уравнений, из которых
определяются элементы ỹps (t) блочной матрицы Yij (t), где p = 1, . . . , ni и
s = 1, . . . , nj . Здесь через ỹps (t) мы обозначили элемент матрицы Y (t), стоящий на пересечении n1 + . . . + ni−1 + p-ой строки и n1 + . . . + nj−1 + s-ого
столбца (n0 = 0), для краткости упустив зависимость этого элемента от i и
j. Заметим, что
Jλl = λl Inl + ∆nl ,
l = 1, . . . , k,
где Inl – единичная матрица порядка nl ×nl , а матрица ∆nl такого же порядка
имеет вид


0 1 0 0 ... 0
0 0 1 0 . . . 0
. . .

 .. .. . . . . . . . . ... 

∆nl = 
0 0 . . . 0 1 0  .


0 0 . . . 0 0 1 
0 0 ... 0 0 0
С учетом этого система (8) перепишется следующим образом:
Ẏij + (λj − λi )Yij + Uij (t) = Fij (t),
где матрица
Uij (t) = Yij (t)∆nj − ∆ni Yij (t).
Несложно убедиться в том, что при умножении матрицы Yij (t) на матрицу
∆nj справа все элементы матрицы Yij (t) сдвигаются на один столбец вправо,
и первый столбец становится нулевым. Если же матрица Yij (t) умножается
слева на матрицу ∆ni , все элементы матрицы Yij (t) сдвигаются на одну строку вверх, и, таким образом, последняя строка становится нулевой. Поэтому
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
102
матрица Uij (t) порядка

0 ỹ11 . . .
0 ỹ21 . . .
Uij (t) = 
 ... ... . . .
0 ỹni 1 . . .
Математическое моделирование
ni × nj имеет следующий вид:

 
ỹ1(nj −1)
ỹ21 ỹ22 . . . ỹ2nj
..
.. 
 ...
ỹ2(nj −1) 
.
.
.
.
. =


−
..
 ỹn 1 ỹn 2 . . . ỹn n 
.
i
i
i j
0
0 ... 0
ỹni (nj −1)


−ỹ21
ỹ11 − ỹ22
...
ỹ1(nj −1) − ỹ2nj
 −ỹ31
ỹ21 − ỹ32
...
ỹ2(nj −1) − ỹ3nj 
 .

..
..
.
..
=
.
...
.


−ỹn 1 ỹ(n −1)1 − ỹn 2 . . . ỹ(n −1)(n −1) − ỹn n 
i
i
i j
i
i
j
0
ỹni 1
...
ỹni (nj −1)
Итак, первое, на что нам следует обратить внимание, это равенство нулю
элемента uni 1 (t) матрицы Uij (t). Таким образом, для определения элемента
ỹni 1 (t) мы получаем скалярное уравнение вида (6)
ỹ˙ ni 1 + (λj − λi )ỹni 1 = fni 1 (t),
о котором мы говорили выше. В силу (5) это уравнение однозначно разрешимо в классе Π0 при любой функции fni 1 (t) из этого класса. Далее, для
ỹni 2 (t) имеем снова уравнение типа (6)
ẏni 2 + (λj − λi )yni 2 = pni 2 (t),
где pni 2 (t) = fni 2 (t) − uni 2 (t) = fni 2 (t) − ỹni 1 (t). Поскольку элемент ỹni 1 (t)
нами уже найден на предыдущем шаге, и он принадлежит классу Π0 , то
функция pni 2 (t) определена и также принадлежит классу Π0 . Таким образом, мы можем однозначно определить элемент ỹni 2 (t). Рассуждая аналогично, находим последовательно все элементы последней строки матрицы Yij (t), т.е. ỹni 1 (t), ỹni 2 (t), . . . , ỹni nj (t). Переходим теперь к предпоследней
строке. Все составляющие элементов (ni − 1)-ой строки матрицы Uij (t) со
знаком минус, т.е. величины −ỹni s (t), s = 1, . . . , nj , нами определены на
предыдущих шагах. Теперь, если мы будем двигаться слева направо, то мы
последовательно найдем все элементы (ni − 1)-ой строки матрицы Yij (t), т.е.
ỹ(ni −1)1 (t), ỹ(ni −1)2 (t), . . . , ỹ(ni −1)nj (t), исходя из тех же соображений, что мы
использовали ранее. Поднимаясь каждый раз на строчку выше, мы постепенно находим все элементы матрицы Yij (t).
Наиболее простой случай имеет место, когда матрица J диагональна.
Тогда выражение (8) превращается в
ẏij + (λj − λi )yij = fij (t).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Усреднение систем с колебательно убывающими коэффициентами . . .
103
Для определения функций yij (t) имеем тогда формулу вида (7).
Таким образом, мы показали, что в случае, когда матрицы Aj (t) являются T -периодическими, теорема 1 остается справедливой при условии, что для
собственных чисел матрицы A0 выполнены условия (5). При этом матрицы
Yj (t), фигурирующие в замене (2), являются T -периодическими с нулевым
средним значением.
Обсудим теперь случай, когда у матрицы A0 существует хотя бы одна
пара собственных чисел, связанных соотношением
λl − λm =
2πN i
,
T
N 6= 0,
N – целое.
(9)
Будем говорить, что два собственных числа λl и λm связаны отношением ρ,
если для них имеет место (9) или они равны. Понятно, что для различных
пар собственных чисел, связанных отношением ρ, соответствующие числа
N , вообще говоря, различны. Очевидно, что отношение ρ является отношением эквивалентности. Поэтому спектр матрицы A0 можно разбить на
непересекающиеся классы, в каждом из которых содержатся все собственные числа, связанные друг с другом отношением ρ. В каждом классе есть
некоторое количество совпадающих между собой собственных чисел и собственных чисел, связанных посредством (9). Если нам удастся избавиться от
последних, то наша цель будет достигнута. Рассмотрим тот класс, в котором
есть хотя бы одна пара таких собственных чисел. Пусть этими собственными
числами будут λl и λm . Кроме того, пусть в этом классе есть еще собственные
числа, равные соответственно λl и λm , скажем
λl1 = . . . = λlt = λl ,
λm1 = . . . = λmu = λm .
Мы будем считать, что суммарный размер жордановых клеток, соответствующих собственным числам λl1 , . . . , λlt , λl , меньше или равен суммарному размеру клеток, соответствующих собственным числам λm1 , . . . , λmu , λm ,
иначе мы будем рассматривать пару λm и λl . Это замечание вытекает из соображений вычислительного характера. В системе (1), где A0 = J, сделаем
замену x = <(t)z. Диагональная матрица <(t) устроена следующим образом: на месте блока Jλls расположена матрица exp(2πN it/T )Inls для всех
s = 0, 1, . . . , t, (l0 = l), а на всех остальных местах по диагонали стоят единицы. Очевидно, что такая замена переводит исходную систему в систему
того же вида. При этом в классе, в котором находились собственные числа
λl и λm , уменьшается количество пар, связанных равенством (9). В результате такой замены лишь увеличивается кратность собственного числа λm :
вместо блоков Jλls будут находиться блоки той же структуры, на диагонали
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
104
Математическое моделирование
которых будет стоять собственное число λm . В остальном же форма матрицы A0 = J не изменится. Проделывая такую замену для всех остальных
собственных чисел в этом и в других классах, связанных посредством (9),
мы, в конце концов, достигнем поставленной цели.
В качестве примера к изложенной теории рассмотрим следующее уравнение второго порядка, так называемый адиабатический осциллятор:
¡
¢
ẍ + 1 + ξ(t)P (t) x = 0.
(10)
Здесь функция ξ(t) > 0 такова, что ξ(t) → 0 при t → +∞, ξ(t) ∈
/ L1 [t0 , ∞),
2
˙
а ξ(t) и ξ (t) принадлежат классу L1 [t0 , ∞). Действительная функция P (t)
является T -периодической. Определим следующую функцию:
³s´
def
def 2π
,
ν =
.
p(s) ≡ P
ν
T
Очевидно, что введенная таким образом функция p(s) является 2π-периодической. Вместо функции P (t) нам в дальнейшем удобнее будет рассматривать функцию p(νt). Функции p(s) поставим в соответствие ее ряд Фурье
p(s) ∼
+∞
X
ck eiks ,
c−k = c̄k .
k=−∞
От уравнения (10) перейдем к системе стандартным образом
·µ
¶
µ
¶¸
0 1
0 0
ẏ0 =
+ ξ(t)p(νt)
y0 ,
−1 0
−1 0
µ ¶
µ
¶
x
1 1
где y0 =
. В этой системе сделаем замену y0 =
y. Приходим к
ẋ
i −i
системе
µ
¶¸
·µ
¶
1
1 1
i 0
y.
(11)
ẏ =
+ iξ(t)p(νt)
−1 −1
0 −i
2
Рассмотрим сначала случай, когда для собственных чисел матрицы A0 =
= diag(i, −i) выполнено условие (5).
2
1. ν 6= , q = ±1, ±2, . . . .
q
¡
¢
С помощью замены типа (2) y = I + ξ(t)Y1 (t) z, где Y1 (t) – T -периодическая функция c нулевым средним значением, мы приходим к системе
"µ
¶
¶
¸
µ
c0
i 0
1 1
+ iξ(t)
+ R(t) z.
ż =
0 −i
−1 −1
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Усреднение систем с колебательно убывающими коэффициентами . . .
105
Здесь матрица R(t) ∈ L1 [t0 , ∞), а c0 = M [p(s)]. Проделывая
µ
¶ еще одну за¡
¢
c0 0 1
мену того же типа z = I + ξ(t)C v, где C = −
, приходим к
4 1 0
L-диагональной системе
"µ
¶
µ
¶
¸
c0
1 0
i 0
+ R1 (t) v,
v̇ =
+ iξ(t)
0 −1
0 −i
2
R1 (t) ∈ L1 [t0 , ∞). По теореме Левинсона (см., например, [2,3]) фундаментальная матрица V (t) этой системы имеет следующую асимптотику при
t → +∞:
Zt
h
i
n
¢ o
¡
c0
V (t) = I + o(1) exp diag(i, −i)
1 + ξ(s) ds .
2
t∗
Отсюда получаем асимптотику для линейно независимых решений уравнения (10):
n ³
£
¤
c0
y1,2 (t) = 1 + o(1) exp ±i t +
2
Zt
´o
ξ(s)ds
,
t → +∞.
t∗
2
2. ν =
для некоторого целого N 6= 0.
N
Итак, первое, с чего мы начнем в этом случае, — преобразуем систему
(11) с той целью, чтобы в новой системе для собственных чисел матрицы
A0 не выполнялось бы соотношение (9). В системе (11) мы делаем замену
y = diag(e2it , 1)y1 . Приходим к системе
"µ
¶
µ
¶¸
1
−i 0
1 e−2it
ẏ1 =
+ iξ(t)p(νt)
y1 .
0 −i
−e2it −1
2
¡
¢
Усредняя эту систему с помощью замены y1 = I + ξ(t)Ŷ1 (t) z, получим
"µ
¶
¶
¸
µ
1
−i 0
c0
cN
+ iξ(t)
ż =
+ R̂(t) z,
(12)
0 −i
−c̄N −c0
2
поскольку
£
¤
1
M p(νt) =
πN
ZπN ³
Z2π
1
2 ´
p
s ds =
p(τ )dτ = c0
N
2π
0
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
106
Математическое моделирование
и
£
M p(νt)e
¤
−2it
1
=
2π
Z2π
p(τ )e−N iτ dτ = cN ,
¤
£
M p(νt)e2it = c−N = c̄N .
0
µ
Для определения собственных чисел матрицы Γ =
рактеристическое уравнение
c0
cN
−c̄N −c0
¶
имеем ха-
µ2 + (|cN |2 − c20 ) = 0.
Рассмотрим следующие ситуации:
a) cN = 0.
Система (12) в таком случае уже имеет L-диагональный вид. Несложно
установить, что линейно независимые решения уравнения (10) имеют следующую асимптотику, когда t → +∞:
Zt
n ³
´o
¤
c0
y1,2 (t) = 1 + o(1) exp ±i t +
ξ(s)ds .
2
£
t∗
б) |cN | > |c0 |.
В этом случае собственные числа матрицы Γ имеют вид
q
µ1,2 = ∓iγ, где γ = |cN |2 − c20 .
µ
От системы (12) с помощью замены z =
¶
cN
cN
v мы прихо−c0 − iγ −c0 + iγ
дим к L-диагональной системе
"µ
¶
¶
¸
µ
1
−i 0
γ 0
+ ξ(t)
+ R̂1 (t) v.
v̇ =
0 −i
0 −γ
2
Согласно теореме Левинсона, фундаментальная матрица V (t) этой системы
имеет следующую асимптотику при t → +∞:
h
i
nZ t ¡
¢ o
1
V (t) = I + o(1) exp
−iI + ξ(s) diag(γ, −γ) ds .
2
t∗
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Усреднение систем с колебательно убывающими коэффициентами . . .
107
Возвращаясь к уравнению (10), получаем асимптотику для линейно независимых решений при t → +∞:
h
i
n γ Zt
o
¡
¢
it
−it
y1,2 (t) = cN e − c0 ± iγ e + o(1) exp ±
ξ(s)ds .
2
t∗
Для того, чтобы перейти к действительному базису в пространстве решений,
достаточно взять, к примеру, действительные части решений y1 (t) и y2 (t).
Заметим, что в этом случае все решения уравнения (10) неустойчивы.
в) |cN | < |c0 |, cN 6= 0.
Собственные числа матрицы Γ имеют вид
q
∗
∗
µ1,2 = ±γ , где γ = c20 − |cN |2 .
На сей раз систему
¶ к L-диагональному виду с помоµ (12) можно привести
cN
cN
v. Мы позволим себе сразу написать
щью замены z =
∗
−c0 + γ −c0 − γ ∗
асимптотику линейно независимых решений уравнения (10) в этом случае:
h
i
n γ ∗ Zt
o
¡
¢
it
∗ −it
y1,2 (t) = cN e − c0 ∓ γ e + o(1) exp ±i
ξ(s)ds ,
2
t → +∞.
t∗
Для того, чтобы перейти к действительному базису в пространстве решений,
в этой ситуации достаточно взять действительную и мнимую части, скажем,
решения y1 (t).
Аналогичные результаты, касающиеся уравнения (10), с помощью
несколько иной техники получены в монографии [3].
Пусть в системе (10) действительная функция P (t) является тригонометрическим многочленом
P (t) =
L
X
ck eiωk t ,
c−k = c̄k ,
ω−k = −ωk ,
L ≥ 0.
k=−L
В этом случае получаются точно такие же асимптотические формулы для
решений уравнения (10). При этом подслучай 1. соответствует ситуации
ωk 6= 2 для всех k = −L, . . . , L, а подслучай 2. — ситуации, когда ωN = 2
для некоторого целого −L ≤ N ≤ L.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
108
Математическое моделирование
Наконец, если в (10) функция ξ(t) интегрируема с более высокой степенью или вообще не интегрируема ни с какой степенью, то можно показать,
что в случае 1. б) у системы (10) также будут существовать неограниченные
решения.
Автор выражает признательность профессору В.Ш. Бурду за интерес,
проявленный к работе.
Литература
1. Бурд В.Ш., Каракулин В.А. Асимптотическое интегрирование систем
линейных дифференциальных уравнений с колебательно убывающими
коэффициентами // Матем. заметки. 1998. Т. 64, № 5. C. 658 – 666.
2. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. 475 с.
3. Eastham M.S.P. The asymptotic solution of linear differential systems.
London Math. Soc. Monographs, Clarendon Press, 1989.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.9+533.6013.42
А.О. Толбей
Применение бифуркационной теоремы
Андронова-Хопфа к исследованию колебаний
пластинки в сверхзвуковом потоке газа при малом
коэффициенте демпфирования
Различные варианты постановки задачи о колебаниях пластинки в
сверхзвуковом потоке газа можно найти в монографии [1]. Методика применения бифуркационной теоремы Андронова-Хопфа к таким задачам развита в работах [2]– [4]. Ниже рассматривается один из частных случаев такой
задачи. Он интересен тем, что задача в линейной постановке решена практически точно, на основе результатов, полученных в работе [5].
1. Постановка задачи
Рассмотрим краевую задачу
∂ 2w
∂w ∂ 4 w
∂w
+
g
+
+
c
+ g1
∂t2
∂t
∂x4
∂x
µ
∂w
∂x
¶3
∂ 2w
− βg2 2
∂x
Z1 µ
0
∂w
∂x
¶2
w(t, 0) = w(t, 1) = 0, wxx (t, 0) = wxx (t, 1) = 0.
dx = 0,
(1)
(2)
Здесь x ∈ [0; 1], w(t, x) – нормированный прогиб пластинки, уравнение (1)
записано в перенормированном виде. Некоторые варианты таких перенормировок можно найти в [1], [6], [7]. При этом коэффициент g > 0 пропорционален коэффициенту демпфирования, и в этой работе считаем g ¿ 1.
Через c обозначена нормированная скорость набегающего потока газа. Предпоследний член уравнения (1) отвечает за аэродинамическую нелинейность,
которая учтена в уравнении на основе применения закона плоских сечений
А.А. Ильюшина в его квазистационарном варианте. В уравнении отсутствуют квадратичные слагаемые, что соответствует обтеканию пластинки потоком газа с одинаковыми скоростями с обеих сторон. Последнее слагаемое
в уравнении (1) отвечает за учет геометрической нелинейности, при этом
следует считать, что g1 , g2 – положительные постоянные и в большинстве
случаев постоянная β > 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
110
Математическое моделирование
Уравнение (1) рассматривается вместе с краевыми условиями — условиями шарнирного опирания. Их выбор предопределен традициями: в большинстве работ рассматриваются именно эти краевые условия. Результаты
работы [5] позволяют рассматривать и иной выбор краевых условий, например, условий жесткого закрепления пластинки.
2. Спектр устойчивости
Рассмотрим линеаризованную в нуле краевую задачу (1), (2):
Здесь
∂ 2w
∂w
+ L(c)w = 0,
+g
2
∂t
∂t
(3)
w(t, 0) = w(t, 1) = 0, wxx (t, 0) = wxx (t, 1) = 0.
(4)
d4 w
dw
.
L(c)w =
+
c
dx4
dx
Хорошо известно, что спектру устойчивости принадлежат те λ ∈ C,
при которых краевая задача (3), (4) имеет нетривиальные решения вида
w(t, x) = exp(λt)v(x). В свою очередь, v(x) является собственной функцией
дифференциального оператора
dv
d4 v
Lv ≡ 4 + c ,
dx
dx
отвечающего собственному значению µ = −λ2 − gλ. В работе [5] показано,
что дифференциальный оператор L(c) ни при каких c > 0 не может иметь
нулевых собственных значений. Последнее означает, что в данной постановке дивергентный вариант потери устойчивости исключен. Следующий простейший вариант потери устойчивости – это вариант, когда спектру устойчивости принадлежит пара простых чисто мнимых собственных значений
λ1,2 = ±iσ (σ > 0), а остальные лежат в полуплоскости, определяемой неравенством Reλ ≤ −γ < 0.
В работе [5] показано, что при c < c0 все точки спектра оператора L(c)
простые и действительные, а при c = c0 (с0 ≈ 334, 36) оператор L(c0 ) имеет
двукратное действительное собственное значение λ = λ0 (λ0 ≈ 1051, 81).
Положим теперь c = c0 + ε. Тогда оператор L(c0 + ε) имеет уже пару
простых собственных значений вида
√
λ(ε) = λ0 ± iλ1 ε + O(ε),
−1/2 √
где λ1 ≈√56, 276. Зафиксируем ε = ε∗ и положим g = g∗ = λ1 λ0
ε∗ ≈
≈ 1, 735 ε∗ . Тогда при данных ε∗ и g∗ спектру устойчивости краевой задачи
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Колебания пластинки в сверхзвуковом потоке газа
111
√
√
принадлежит пара простых собственных значений ∓i λ0 ( λ0 ≈ 32, 432).
√
Отметим, что собственным числам λ∗ (ε) = λ0 ± iλ1 ε∗ отвечают собственные функции
√
√
e(x; ε∗ ) = e0 (x) ± e1 (x) ε∗ + o( ε∗ ),
где
e0 (x) =
h0 (x) =
4
X
j=1
4
X
j=1
Aj exp(µj x),
Bj exp(µj x) +
e1 (x) = λ1 h0 (x),
4
X
cj x exp(µj x),
j=1
численное выражение коэффициентов Aj , Bj , cj , µj (j = 1; 2; 3; 4) можно
найти в [5]. Напомним, что
A1 = −0, 63 − 1, 07i; A2 = A1 ; A3 = 0, 26; A4 = 1;
B1 = −0, 00125 − 0, 0045i; B2 = B 1 ; B3 = 0, 0025; B4 = 0;
c1 = −0, 0001 + 0, 0012i; c2 = c1 ; c3 = −0, 00017; c4 = 0, 0023.
3. Построение нормальной формы
Рассмотрим сопряженный дифференциальный оператор L∗ :
d4 v
dv
dv
L (c0 + ε)v = 4 − c0 − ε∗ ,
dx
dx
dx
определенный на достаточно гладких функциях, удовлетворяющих краевым
√
условиям (4). Он имеет собственные значения λ∗ (ε) = λ0 ± iλ1 ε∗ , которым
соответствуют собственные функции
√
√
e(x; ε∗ ) = e0 (x) ± e1 (x) ε∗ + o( ε∗ ),
∗
где e0 (x) = e0 (x), e1 (x) = −e1 (x).
Далее для построения главной части нормальной формы положим в краевой задаче (1), (2) g = g∗ − ν. Решения ищем в виде
¢
¡
(5)
w = ν 1/2 z(s)E(t, x) + z(s)E(t, x) + νw2 (t, x) + ν 3/2 w(t, x) + · · · ,
где w = w(t; x; ν); E(t, x) = e(x; ε) exp(iσt), E(t, x) = e(x; ε) exp(−iσt).
Подставим данный ряд в дифференциальное уравнение (1) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ν. В результате перейдем к рекуррентной последовательности систем обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка. При ν 1/2 получаем уравнение
ẅ1 + g∗ ẇ1 + L(ε)w1 = 0,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
112
Математическое моделирование
которому удовлетворяют первые два слагаемых суммы (5). Приравнивая
коэффициенты при ν, опять получаем однородное уравнение
ẅ2 + g∗ ẇ2 + L(ε)w2 = 0,
у которого следует выбрать решение w2 (t; x) = 0. При ν 3/2 получаем неоднородное дифференциальное уравнение вида
ẅ3 + g∗ ẇ3 + L(ε)w3 = F3 (t; x; z; z).
Приведем условия разрешимости полученного выше уравнения, в классе
2π/σ-периодических функций
< F3 , H >=< F3 , H >= 0,
где
Z
2π/σ
Z
1
< F3 , H >=
F3 · H · dxdt,
0
0
а H(t; x), H(t; x) — периодические решения присоединенной краевой задачи
∂w
∂ 2w
−
g
+ L∗ (c)w = 0,
∗
2
∂t
∂t
(6)
w(t, 0) = w(t, 1) = 0, wxx (t, 0) = wxx (t, 1) = 0.
(7)
Данные условия позволяют выписать систему двух дифференциальных
уравнений первого порядка, которую называют главной частью нормальной
формы:
ż(s) =
³1
2
√ ´
√
+ 0, 014i ε z(s) + { ε(−9, 898g1 − 125, 821βg2 )+
+i(−480, 571g1 + 4660, 04βg2 )}z 2 (s)z(s),
³1
√ ´
√
− 0, 014i ε z(s) + { ε(−9, 898g1 − 125, 821βg2 )+
ż(s) =
2
+i(480, 571g1 − 4660, 04βg2 )}z(s)z 2 (s).
√
Легко видеть, что величина d = ε(−9, 898g1 − 125, 821βg2 ) всегда отрицательна, поскольку изначально предполагаем, что ε, β, g1 , g2 > 0. Тогда
справедливо утверждение
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Колебания пластинки в сверхзвуковом потоке газа
113
Теорема. Краевая задача (1), (2) при ε = ε∗ и ν ∈ (0; ν0 ), где величина ν0 (ε∗ ) достаточно мала, имеет единственный устойчивый предельный
цикл, который может быть задан уравнением
Ã
!
1
3/2
w(t; x; ν) = ν 1/2 p
√ E(t, x) + к.с. + o(ν ).
2(9, 898g1 + 125, 821βg2 ) ε∗
4. Некоторые выводы
Результаты, полученные здесь одначастотным методом, предполагают,
что бифуркационный параметр ν “подчинен“ параметру ε, который был
введен для решения линейной задачи, то есть ν ¿ ε ¿ 1. Последнее означает, что величина ν, при которой справедливы результаты этой статьи, очень
и очень мала. Вместе с тем ясно, что полученные результаты не противоречат результатам работ [2,3], где так же использовался одночастотный метод,
и не противоречат результатам [8, 9], где использовалась иная постановка
задачи. В работах [8, 9] найдено несколько периодических решений. Периодическое решение, найденное в данной статье, соответствует наименьшему
по амплитуде решению из работ [8, 9].
Автор выражает благодарность своему научному руководителю
А.Н. Куликову за помощь при подготовке данной статьи.
Литература
1. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Наука, 1961.
2. Куликов А.Н., Либерман Б.Д. О новом подходе к исследованию задач нелинейного панельного флаттера // Вестник ЯрГУ. 1975. Вып. 3.
С. 118 – 139.
3. Куликов А.Н. Исследование некоторых классов уравнений гиперболического типа, встречающихся в теории упругой устойчивости и радиофизике: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук. Ростов-на-Дону, 1977. 153 с.
4. Колесов В.С., Колесов Ю.С., Куликов А.Н., Федик И.И. Об одной
математической задаче теории упругой устойчивости // ПММ. 1978.
Т. 42, №3. С. 458 – 465.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
114
Математическое моделирование
5. Куликов А.Н., Толбей А.О. Определение нижней критической скорости флаттера // Современные проблемы математики и информатики.
2005. Вып. 7. С. 157 – 163.
6. Толбей А.О. Резонанс 1:2 как причина возникновения колебаний пластинки при двустороннем воздействии потока газа // Моделирование
и анализ информационных систем. 2005. Т.12, №2. С. 40 – 45.
7. Бекбулатова А.О. Анализ одной феноменологической модели, встречающейся в теории аэроупругости // Современные проблемы математики и информатики. 2004. Вып. 6. С. 25 – 30.
8. Куликов А.Н. Нелинейный панельный флаттер: опасность жесткого
возбуждения колебаний // Диф. уравнения. 1992. Т.28, №6. С. 1080 –
1083.
9. Куликов А.Н. Об одном аналоге бифуркационной теории Хопфа в задаче о математическом исследовании нелинейного панельного флаттера при малом коэффициенте затухания // Диф. уравнения. 1993. Т.29,
№5. С. 780 – 785.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ИНФОРМАТИКА
УДК 519.688
С.Е. Андреев
Распознавание эталонов в линейном потоке
с помощью оконного преобразования Фурье
В работе предложен алгоритм распознавания эталонных сигналов в дискретном линейном потоке, основанный на оконном преобразовании Фурье,
инвариантный к изменениям амплитуды потока и его зашумлению, а также
к сдвигам эталона в потоке.
В последние годы все чаще требуется автоматизировать процессы, связанные с потоками информации и поиском в ней заданных фрагментов. Например, на ретранслирующих радио- и телевизионных станциях требуется
заменять блоки новостей и рекламы местными новостями и рекламой. Как
правило, перед подобными эфирными блоками и сразу за ними проходят
определенные заставки. Программно отслеживая эти заставки, можно автоматически заменять соответствующие блоки.
В данной статье описан алгоритм, позволяющий распознавать фрагменты в линейном дискретном потоке информации.
Под дискретным линейным потоком будем понимать бесконечную числовую последовательность: xj (j = 0, 1, 2, . . .). Отсчеты потока xj поступают к нам строго по одному через некоторые промежутки времени. Отметим
также, что на практике поток всегда зашумлен.
Под образом будем понимать конечную числовую последовательность: yj
(j = 0, . . . , N − 1). Обратим внимание на то, что образ, в отличие от потока,
известен нам сразу целиком, от начала до конца. Будем считать, что даны
несколько образов: yj1 , . . . , yjQ с длинами N1 , . . . , NQ соответственно.
Под распознаванием образа понимается его идентификация непосредственно после формирования в потоке. То есть образ yj длины N считается распознанным в момент времени n + N тогда, когда yj = axn+j + εj
(j = 0, . . . , N − 1). Здесь константа a корректирует амплитуду потока, εj —
шумовая составляющая потока.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
116
Теоретическая информатика
Итак, требуется построить алгоритм, на вход которого подаются отсчеты
линейного дискретного потока, а на выходе выдается номер распознанного
образа или ноль, если ни один из образов не был распознан в данный момент.
В основе предложенного алгоритма лежит оконное преобразование Фурье [2]. Алгоритм делится на две основные части: предобработку образов
с целью выявления наиболее важной для их распознавания информации и
собственно распознавание образов в потоке. Главная суть предобработки образа состоит в нахождении его оконного спектра Фурье. При распознавании
образов очередная порция отсчетов потока преобразуется в спектр Фурье [1,
2, 3]. Получившийся спектр сопоставляется с оконными спектрами образов.
При решении данной задачи возникают некоторые сложности. Первая
сложность заключается в том, что поток зашумлен. Как правило, чаще
встречаются два вида шума: импульсный (мощные кратковременные помехи) и высокочастотный (достаточно слабый, но искажающий все отсчеты
потока). Вторая сложность — возможность изменения амплитуды потока с
течением времени. То есть образы, которые необходимо распознать, могут
приходить из потока усиленными или ослабленными. Третья сложность:
поскольку отсчеты потока подаются на вход алгоритма порциями, то искомый образ может быть смещен в потоке (максимально возможное смещение
— половина длины порции).
Предобработка отдельного образа делится на несколько этапов:
1) фильтрация сигнала:
yj0
=
K
P
yj+i hi , где hi — это импульсная харак-
i=−K
теристика симметричного низкочастотного фильтра порядка 2K + 1;
2) целочисленная децимация сигнала (уменьшение частоты дискретизации): yj0 = ymj , где m — коэффициент децимации;
3) оконное преобразование Фурье: yj −→ Ykl = ДОПФ(yj , LW , SW ), где Ykl
— оконный спектр сигнала yj (k и l — номера отсчетов, определяющие
момент времени и частоту соответственно), LW — длина окна и SW —
шаг окна;
4) поиск локальных максимумов в спектре по временным срезам и усечение значений спектра по порогу T :
½
1, если Ykl > Ykl−1 , Ykl > Ykl+1 и Ykl > T,
Mkl =
0, иначе;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Распознавание эталонов в линейном потоке . . .
117
5) поиск единичных последовательностей, длина которых не менее заданной величины LP , по частотным срезам бинарной матрицы Mkl :
½
1, если Mkl = 1 и |Pkl | ≥ LP ,
l
M̂k =
0, иначе,
где Pkl — последовательность единиц, содержащих элемент Mkl ;
6) усечение найденных последовательностей:
½
l
1, если Mkl = 1 и Mk−1
= 1,
l
M̂k =
0, иначе.
Первые два шага не обязательны. Они требуются в случае, когда те же
действия планируется производить над порциями потока при распознавании образов. Например, если сигнал дискретизирован с частотой 48 кГц, а
передаваемые им частоты находятся в пределах от 50 Гц до 12 кГц, то имеет
смысл сжать сигнал в четыре раза. Полезная информация при этом практически не теряется, а время, затрачиваемое на обработку порций потока,
уменьшается.
Фильтрация сигнала может производиться как сама по себе, так и в сочетании с децимацией. Децимации же всегда должна предшествовать фильтрация, чтобы избежать наложения спектра. Отдельно фильтрация производится в случае, если сигнал содержит высокочастотные шумовые составляющие, но отсечь их нельзя по причине близости в спектре полезной
информации. Такая ситуация может возникнуть, например, если частота
дискретизации потока не достаточно велика. Вид фильтра определяется из
расчета, чтобы не испортить и не уничтожить полезную информацию и как
можно лучше погасить шум. Когда фильтрация предшествует децимации,
то берется «идеальный» фильтр низких частот с частотой среза π/m, где
m — коэффициент децимации. Поскольку идеальный фильтр физически не
реализуем, то его импульсную характеристику обрезают каким-либо окном
(например, окном фон Ганна, Кайзера или Хэмминга) [2].
Далее сигнал подается на вход оконного преобразования Фурье, после которого мы получаем распределение амплитудного спектра сигнала во времени. У оконного преобразования Фурье есть два параметра: длина окна (LW )
и шаг окна (SW ). Длина окна должна быть такой, чтобы окно могло захватывать по крайней мере одно колебание самой низкой передаваемой потоком
частоты. Диапазон возможных значений шага окна: 1 ≤ SW ≤ LW . Чтобы
не считать спектр слишком долго и в то же время сохранить «плавность» его
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
118
Теоретическая информатика
изменения, за шаг окна можно принять половину длины окна: SW = [LW /2].
Амплитудный спектр сигнала симметричен относительно среднего отсчета (l = [LW /2]), следовательно, размер матрицы спектра Ykl будет таким:
0 ≤ k < [ ( [N/m] − LW + SW )/SW ] (N — длина образа, m — коэффициент
децимации) и 0 ≤ l < [LW /2].
Следующий шаг — поиск локальных максимумов в спектре по временным срезам и усечение значений спектра по порогу — служит для выявления
в спектре доминирующих частот, которые наилучшим образом характеризуют сигнал в данный момент времени. Величина порога определяется экспериментально для конкретной задачи. После данного шага мы получим из
спектра сигнала бинарную матрицу тех же размеров, что и спектр. Единица
в матрице будет означать, что в данный момент времени в сигнале присутствует ярко выраженная составляющая данной частоты. Обратим внимание,
что информации об амплитуде этой составляющей уже нет (мы знаем только, что амплитуда не меньше величины порога T ).
На пятом шаге по каждому из частотных срезов мы ищем и оставляем последовательности, состоящие из единиц, минимальная длина которых
LP . Это не обязательный этап. И иногда он может быть «опасен». Если на
предыдущем шаге информативность о сигнале почти не теряется (не считая
потерю информации об амплитуде), то на этом — теряется, и очень существенно. Как следствие, растет вероятность того, что по оставшейся информации можно идентифицировать не только данный образ, но и другие. Без
побочных эффектов этот шаг может быть выполнен только при условии, что
сохранится достаточное для дальнейшей работы количество информации и
не возникнет коллизий при распознавании. В случае выполнения этот шаг
дает существенную выгоду в скорости распознавания, так как количество
сопоставляемой информации резко уменьшается (в среднем в LP раз).
По существу, величина LP — это минимальное «время действия» гармоник, на которые алгоритм будет обращать внимание. Вернемся к нашему
примеру. Есть поток с частотой дискретизации 48 кГц, и передаваемые потоком частоты находятся в пределах от 50 Гц до 12 кГц. Сжимаем сигнал
в четыре раза, берем длину окна в преобразовании LW = 256 отсчетов и
шаг окна — SW = 128 отсчетов. Тогда один временной срез в спектре будет
соответствовать приблизительно сотой доле секунды. Если мы хотим, чтобы наш алгоритм работал с гармониками, длительность которых не меньше
десятой доли секунды, то величина LP должна быть равна десяти.
Последний шаг в предобработке образов — усечение найденных единичных последовательностей. Эта операция необходима для того, чтобы алгоритм мог идентифицировать сдвинутый в потоке образ.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Распознавание эталонов в линейном потоке . . .
119
3075
-2977
0
129227
Рис. 1. График сигнала
0
63
0
129227
Рис. 2. Локальные максимумы спектра, срезанные по порогу
Итоговая информация об образе может быть представлена массивом,
длина которого равна количеству временных срезов полученной бинарной
матрицы (K = [ ( [N/m]−LW +SW )/SW ]). Элементами массива будут списки с номерами частот, которым соответствуют единицы в соответствующих
временных срезах.
На рисунке 1 представлен пример реального звукового сигнала, а на рисунках 2 и 3 — четвертый и пятый этапы его предобработки.
Перейдем ко второй части алгоритма — распознаванию образов. В списке намеченных трудностей совсем не затронутой осталась только одна. Это
проблема импульсного шума, то есть мощных кратковременных искажений
сигнала. Ее можно обойти, сконструировав инертный сканер, который в случае несоответствия потока образу некоторое время будет продвигаться вперед, принимая поток за искаженный образ.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
120
Теоретическая информатика
0
63
0
129227
Рис. 3. Поиск единичных последовательностей при LP = 10
Время инертного движения сканера должно совпадать с максимально
возможным временем действия импульсного шума. Допустим, что время
разового действия шума ограничено 0.05 секунды. Тогда в прошлом примере
это будет соответствовать пяти временным срезам спектра. И сканер должен
в течение пяти шагов воспринимать неверный выход потока за правильный.
Теперь зададим вопрос: что будет, если поток сначала выдаст неполный
образ, а сразу за ним — тот же самый образ, но уже полный? Ясно, что сканер не сможет его распознать, так как некоторое время он будет работать
по инерции и пропустит начало настоящего образа. Следовательно, надо последовательно друг за другом запускать целый каскад сканеров (длину каскада обозначим за LS ). Но все равно, какой бы длины ни был каскад, легко
искусственно построить образ вместе с предшествующей ему последовательностью потока, который не будет распознаваться. Однако с ростом величины LS вероятность появления такой последовательности в реальном потоке
уменьшается. Параметр LS предлагается подбирать в последнюю очередь,
и с таким расчетом, чтобы алгоритм распознавания успевал работать в режиме реального времени. Если вычислительные мощности позволяют, то
можно выбрать максимальное значение LS — количество временных срезов
в оконном спектре образа. При таком значении LS проблема пропуска образа
устраняется полностью.
Таким образом, сканирующее устройство для каждого из распознаваемых образов будет представлять собой массив сканеров длины LS , состоящих из двух полей: счетчика продвижения сканера по образу (CM ) и счетчика инертных шагов (CI ).
Отсчеты потока подаются на вход сканера порциями длины mLW . В качестве i-ой порции берется последовательность zk =xk+(i−1)mSW , 0≤ k <mLW .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Распознавание эталонов в линейном потоке . . .
121
Теперь остановимся на обработке порции потока перед тем, как подавать
ее на вход сканера. Шаги ее частично повторяют предобработку образа:
1) фильтрация: zj0 =
N
P
zj+k hk ;
k=−N
2) целочисленная децимация: zj0 = zmj ;
3) преобразование Фурье: zj −→ Z l = ДПФ(zj ), где Z l — амплитудный
спектр сигнала zj .
После обработки порции получается массив Z l , 0 ≤ l < [LW /2]. Он будет
полностью соответствовать по размерам и масштабу частот любому временному срезу Ykl оконного спектра образов.
Схема сканирования потока каскадом сканеров, связанным с некоторым
образом, выглядит так:
1) начальная установка по всем сканерам каскада: CM = 0 и CI = 0;
2) цикл по всем сканерам каскада:
если спектр порции Z l соответствует текущему положению сканера в
образе, то переходим на 3), иначе — на 4);
3) CM = CM + 1, CI = 0 и переходим на 5);
4) если CI < LI (LI — максимальное количество инертных шагов), то
CM = CM + 1, CI = CI + 1 и переходим на 5), иначе CM = 0, CI = 0 и
возвращаемся на 2);
5) если CM = K (количество временных срезов в оконном спектре образа), то распознали образ, иначе возвращаемся на 2).
Подробнее разберем второй шаг. Пусть CM — текущее положение сканера в образе. Если для всех l, при которых MCl M = 1, выполняется условие
Z l > Z l−1 , Z l > Z l+1 и Z l > T , то будем считать, что спектр порции соответствует текущему положению сканера в образе.
Обратим внимание на один момент. Чтобы положения сканеров не совпадали, необходимо разрешить продвижение только одного сканера с нулевой
позиции, а остальные — «выключать».
Оценим трудоемкость одного шага распознавания. Она зависит от:
• длины порции потока (Lz );
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
122
Теоретическая информатика
• длины импульсной характеристики фильтра (LF );
• длины окна в преобразовании Фурье (LW );
• количества распознаваемых образов (Q);
• максимальной длины списков с номерами частот (N ) (имеются в виду
списки в массивах информации об образах);
• количества сканеров в одном каскаде (LS ).
Ясно, что Lz = mLW , где m — коэффициент децимации, а N = [LW /4].
Интересно заметить, что трудоемкость не зависит от длины образов.
Трудоемкость выражается следующей формулой:
T = Lz LF + Lz + LW log2 LW + QN LS = O(QLW LS ).
Здесь первое слагаемое соответствует фильтрации порции, второе — децимации, третье — преобразованию Фурье, четвертое — сопоставлению амплитудного спектра порции с информацией обо всех образах.
Предложенный алгоритм был запрограммирован, и был проведен ряд
экспериментов. В качестве образов брались небольшие звуковые файлы формата WAV с частотой дискретизации 48 кГц. Они вставлялись в произвольном порядке в более крупный файл, который брался в качестве потока.
Часть экспериментов была направлена на проверку инвариантности алгоритма к зашумлению потока, к изменению амплитуды потока и к смещению образов в потоке. Тестирование показало высокую надежность распознавания образов в потоке.
Другая часть экспериментов была направлена на выяснение максимального количества образов, которое алгоритм способен распознавать в режиме
реального времени. Для современных компьютеров это число составляет порядка нескольких десятков образов.
Литература
1. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1968.
2. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978.
3. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. СПб.: Питер, 2003.
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 681.3
С.Н. Беззубов, А.В. Майоров
Построение индекса по иерархии записей
в реляционной базе данных
В статье предлагается метод построения индекса по логической иерархии записей в реляционной базе данных. Индекс облегчает выборку записей,
лежащих ниже или выше по иерархии, в том числе и на заданном расстоянии от заданной записи.
1. Постановка задачи
Дана реляционная база данных, в которых среди всего множества связей между таблицами можно выделить иерархическую структуру. При этом
иерархия не обязательно должна иметь древовидную структуру (то есть у
каждой записи может быть больше одного родителя), но в ней не должно
быть циклов. Другими словами, записи образуют направленный ациклический граф.
Задача: разработать методику, позволяющую максимально быстро выбирать всех потомков или всех предков заданной записи или группы записей.
В том числе и предков или потомков, удаленных от заданной записи на
заданное число шагов.
2. Существующие решения
2.1. CONNECT BY в Oracle
Популярная СУБД Oracle уже давно имеет возможность формирования
иерархии внутри выборки. Для этого в команду SELECT добавляется конструкция CONNECT BY, указывающая, как именно нужно связывать записи между собой [1]. Например:
SELECT name
FROM employee
START WITH name = ’John’
CONNECT BY PRIOR employee_id = manager
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
124
Теоретическая информатика
Этот запрос выбирает работника по имени John, его подчиненных, подчиненных его подчиненных и так далее, до тех пор, пока не дойдет до низа
иерархической лестницы. Если бы в запросе не было указано, с какой записи
нужно начинать рекурсию, то запрос выбрал бы все существующие деревья
подчинения.
Очевидно, что данный подход позволяет решить задачу выборки дочерних или родительских записей. Если учесть, что в таком запросе еще можно
использовать псевдоколонку LEVEL, то мы можем ограничить выборку и
по удаленности от стартовой записи.
Недостатки этого метода:
1. Для получения списка объектов выполняется столько запросов, сколько существует уровней иерархии. Таким образом, скорость работы запроса равна скорости выборки записей по полю связи (в нашем примере - manager), умноженной на количество уровней иерархии.
2. Довольно сложно делать гетерогенные иерархии (т.е. иерархии, содержащие записи из разных таблиц).
3. Данный подход работает только в Oracle.
2.2. Common Table Expressions
В стандарте ANSI SQL-99 была введена конструкция Common Table Expressions (CTE), позволяющая, в частности, делать рекурсивные выборки.
CTE похожи на представления (view), но в отличие от последних они не
сохраняются в схеме базы данных. На них можно ссылаться только в том
блоке кода, где они декларируются. Причем ссылаться можно и изнутри этого самого выражения, организуя рекурсию. Вот запрос из первого раздела,
переписанный при помощи CTE:
WITH t( employee, name ) AS (
SELECT employee_id, name
FROM
employee
WHERE
name = ’John’
UNION ALL
SELECT next.employee_id, next.name
FROM
employee as next
INNER JOIN t ON t.employee_id = next.manager
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Построение индекса по иерархии записей . . .
125
SELECT name FROM t
Конструкция получилась более громоздкая, но работает она примерно
так же. Первый SELECT внутри CTE заменяет собой START WITH, второй
- CONNECT BY PRIOR. В том случае, если нам понадобится индикатор
уровня вложенности, то его реализация также вполне прямолинейна. Более
подробно о соответствии между CONNECT BY и CTE можно узнать в статье
“Port CONNECT BY to DB2“ [2].
Сравним этот подход с предыдущим:
1. Скорость работы должна быть сравнимой с предыдущим вариантом.
2. Гетерогенные иерархии строятся проще. При помощи оператора
UNION ALL мы можем объединять несколько выборок, присоединяющих к иерархии разные таблицы, каждый раз используя специфический критерий связи.
3. На данный момент Common Table Expressions поддерживаются основными коммерческими СУБД (DB2, MS SQL Server, Oracle), но не популярными СУБД с открытым кодом (MySQL, Firebird, PostgreSQL и
другие).
2.3. Построение иерархии вручную
Если в СУБД нет поддержки рекурсивных запросов, то можно эмулировать их вручную, используя специальную временную таблицу, а потом
выбрать из этой таблицы записи, находящиеся вне заданного диапазона расстояний от начальной записи. Сравнивая этот подход с предыдущими, мы
понимаем, что он, в общем-то, очень похож на подход с использованием
CTE. При этом он может быть реализован в любой базе данных, поддерживающей хранимые процедуры. В то же время ручной метод не позволяет
надеяться на ту поддержку со стороны СУБД, которая теоретически могла
бы существовать для штатных средств. Например, оптимизация выполнения рекурсивного запроса в зависимости от внешних критериев, кэширование результатов и т.п. Таким образом, скорость выборки при данном подходе
будет наименьшей.
3. Цель работы
Как мы увидели, штатные методы решения нашей задачи сопряжены с
итеративной выборкой связанных записей. Хотя при каждой из этих выборок может быть использован индекс по полю связи, это все равно будет
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
126
Теоретическая информатика
столько выборок по индексу, сколько существует уровней иерархии. В идеале
хотелось бы, чтобы необходимый нам запрос выполнялся за одну выборку по
одному индексу. Этого можно добиться, если у нас будет таблица, хранящая
все пути между любыми связанными записями базы данных: RelationMap
( child, parent, distance ). Здесь:
• child - идентификатор дочерней записи,
• parent - идентификатор родительской записи,
• distance - расстояние между этими записями.
• В таблице должен быть построен индекс, включающий в себя все три
поля.
С такой таблицей поставленная нами задача решается простейшим запросом, приводящим к одной выборке по индексу без каких-либо рекурсивных
итераций. Очевидно, что эта таблица должна всегда содержать актуальные
данные о связях между записями, то есть она должна обновляться вместе с
изменением связей между записями, и это обновление должно занимать как
можно меньше времени.
4. Разбор задачи на примере
Рассмотрим задачу на примере следующего направленного ациклического графа объектов, представленного на рис. 1. Расположенные выше объекты будем считать родительскими, ниже - дочерними. Пути внутри графа
ведут от дочерних объектов к родительским; длина пути равна количеству
ребер, входящих в этот путь.
1
2
3
4
6
5
7
Рис. 1.
Отметим, что объект 7 и объект 3 связывают два пути с одинаковой
длиной. Один путь ведет через объект 4, другой - через объект 5. По этой
же причине есть два одинаковых пути из 7 в 1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Построение индекса по иерархии записей . . .
A
1
127
B
1
3
3
5
4
5
4
7
7
8
8
9
10
Рис. 2.
Добавим новый элемент в иерархию и рассмотрим это на фрагменте дерева (рис. 2).
В варианте A мы добавляем связь между элементами 7 и 8. Очевидно,
что при этом у нас появляются следующие новые пути:
1. Прямой путь из 8 в 7 (длина 1).
2. Пути из объекта 8 через объект 7 во все объекты, в которые можно
попасть из объекта 7. При этом длина всех путей будет на единицу
больше, чем из объекта 7.
В варианте B мы также добавляем связь между объектами 7 и 8, но при
этом у нас уже есть независимый фрагмент графа, состоящий из объектов
8, 9, 10. Здесь добавляются следующие пути:
1. Прямой путь из 8 в 7 (длина 1).
2. Из 8 ко всем объектам, принадлежащим множеству предков объекта
7, с длиной, увеличенной на единицу.
3. Из 7 ко всем объектам, принадлежащим множеству потомков объекта
8, с длиной, увеличенной на единицу.
4. Из всех объектов, до которых есть пути из 7, мы теперь также можем
попасть в объекты 9 и 10, и наоборот. При этом длина пути между
потомком объекта 8 и предком объекта 7 будет равна сумме длин путей
до 8 и до 7 соответственно плюс 1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
128
Теоретическая информатика
Отдельно следует рассмотреть вопрос количества одинаковых путей, которые возникнут в результате соединения фрагментов графа (рис. 2, B).
Если из объекта 7 в объект x можно попасть cx путями с длиной dx, а из
объекта y в объект 8 — cy путями с длиной dy, то из x в y можно будет
попасть cx ∗ cy путями с длиной dx + dy + 1.
Таким образом, мы видим, что при добавлении связи между некоторыми
объектами parent (родитель) и child (ребенок) появляется следующий набор
путей:
для всех x ∈ descendants(child), dx ∈ distances(x, child),
y ∈ ancestors(parent), dy ∈ distances(parent, y) добавляется
count(x, child, dx) ∗ count(parent, y, dy) путей с длиной dx + dy + 1, ведущих
из x в y.
Здесь:
• ancestors(x) — множество объектов, до которых из объекта x есть путь
вверх по иерархии. Другими словами - множество предков. Считаем,
что множество предков объекта x содержит и сам этот объект.
• descendants(x) — множество объектов, до которых из объекта x есть
путь вниз по иерархии, т.е. множество потомков. Также включает в
себя сам объект x.
• distances(x, y) — множество различных длин путей между связанными
объектами x и y. distances(x, x) ≡ 0.
• count(x, y, distance) — количество различных путей из x в y, имеющих
длину distance.
Очевидно, что при удалении связи между объектами мы будем должны сделать такие же выборки, как и при вставке, сформировать множество
путей затрагиваемых этой связью, и вычесть его из всего множества существующих путей.
5. Решение для реляционной модели
Разобранный нами выше пример может быть смоделирован следующей
системой таблиц (рис. 3).
Здесь таблица Object содержит объекты системы, идентифицируемые
целочисленным ключом, а записи таблицы Relation связывают эти объекты попарно. При этом в каждой паре выделяются родительский и дочерний
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Построение индекса по иерархии записей . . .
129
Рис. 3.
объекты. Таблица RelationMap содержит карту путей между объектами. Заметим, что, так как тройка parent, child, distance в таблице RelationMap является первичным ключом, мы не можем сохранять одинаковые пути в виде
отдельных записей. Для их учета мы ввели дополнительное поле count.
В нашей модели только таблица Relation отвечает за формирование графа объектов, поэтому для поддержания карты связей в актуальном состоянии нам нужно будет отслеживать изменения именно в этой таблице. При
этом нас интересует только вставка и удаление записи, так как, во-первых,
изменение первичного ключа является плохой практикой, а, во-вторых, любое изменение можно выразить в виде пары операций удаление-вставка.
Таким образом, нам необходимо создать триггеры, которые будут срабатывать по вставке или удалению записей таблицы Relation и обновлять
таблицу RelationMap соответственно произошедшим изменениям.
Так как в любой момент времени таблица RelationMap содержит полную
карту связей внутри графа, то мы можем использовать ее при построении
множества дополнительных путей, возникающих при создании новой связи.
Следующая выборка дает нам множество путей, появляющихся при добавлении связи между объектами с идентификаторами @iParent и @iChild (в
нотации MS SQL Server):
SELECT descendants.child,
ancestors.parent,
ancestors.distance + descendants.distance + 1,
sum( ancestors.count * descendants.count )
FROM
(
SELECT *
FROM
RelationMap
WHERE
child = @iParent
UNION
SELECT @iParent, @iParent, 0, 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
130
Теоретическая информатика
) AS ancestors,
(
SELECT *
FROM
RelationMap
WHERE
parent = @iChild
UNION
SELECT @iChild, @iChild, 0, 1
) AS descendants
GROUP BY
descendants.object,
ancestors.ancestor,
ancestors.distance + descendatds.distance + 1
Принципы работы запроса:
1. Выбираются все пути, в которых родительский объект вставляемой
связи выступает в качестве потомка. К выборке добавляется путь от
этого объекта к самому себе с длиной 0 и количеством повторений 1.
2. Выбираются все пути, в которых дочерний объект выступает в качестве предка. Также добавляется путь к самому себе.
3. Делается декартово произведение этих двух выборок, и получается
выборка всех возможных путей от объектов второго множества к объектам первого. Длины путей складываются, количество повторений
перемножается.
4. Так как в результате складывания длин путей мы можем получить новые наборы путей с идентичной длиной, мы группируем набор записей
и суммируем количество повторений внутри групп.
Получившуюся выборку нужно добавить к таблице RelationMap (таблица @tSubTree - временное хранилище результатов предыдущей выборки):
UPDATE
SET
FROM
INNER
ON
AND
AND
RelationMap
count = om.count + st.count
@tSubTree st
JOIN RelationMap om
st.child = om.child
st.parent = om.parent
st.distance = om.distance
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Построение индекса по иерархии записей . . .
INSERT
SELECT
FROM
LEFT
ON
AND
WHERE
131
INTO RelationMap
st.child, st.parent, st.distance, st.count
@tSubTree st
JOIN RelationMap om
st.child = om.child
st.parent = om.parent AND st.distance = om.distance
om.child IS NULL
Здесь мы сначала добавляем количество повторений к уже существующим путям, а затем вставляем те пути, которых ранее не было.
Необходимо отметить, что инкрементальный характер алгоритма построения множества путей, возникающих при создании новой связи, не позволяет
надежно вставлять несколько связей параллельно. Каждая вставка должна
быть просчитана последовательно, при этом порядок выполнения вставок
не важен.
Карта путей помогает также избежать появления циклов в графе объектов. Для этого в начале триггера, обрабатывающего вставку новой связи, нужно проверить, не существует ли уже путей, ведущих от @iParent к
@iChild (т.е. в обратном направлении).
Аналогично вставке, процесс удаления связи также полностью опирается
на содержимое таблицы RelationMap. Мы делаем точно такую же выборку
путей, как и при вставке, а затем “вычитаем“ ее из таблицы RelationMap:
UPDATE
SET
FROM
INNER
ON
AND
AND
RelationMap
count = om.count - st.count
@tSubTree st
JOIN RelationMap om
st.child = om.child
st.parent = om.parent
st.distance = om.distance
DELETE
FROM
WHERE
RelationMap
count = 0
Так как в данном случае все пути уже должны существовать в таблице RelationMap, мы вычитаем количество повторений путей в выборке из
общего количества повторений этих путей, а затем удаляем записи, где количество повторений равно 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
132
Теоретическая информатика
Аналогично вставке, удаление связей также должно выполняться последовательно.
6. Расширение до гетерогенного случая
Мы рассмотрели упрощенный случай, когда имеется только одна таблица
связи, а все объекты имеют сквозную нумерацию. Возможны модели, когда
иерархия строится по-другому. Например, следующим образом: в таблице
A есть поля, ссылающиеся на таблицы B и C, и связь многие-ко-многим к
таблице D (хранится в таблице AD). При этом считается, что записи таблицы A подчинены соответствующим записям из B и C, а записи таблицы D
находятся в подчиненном положении по отношению к связанным с ними записям таблицы A. Основной сложностью в этом случае является построение
такой таблицы RelationMap, которая могла бы хранить ссылки на объекты
разных типов. Например, если все таблицы имеют целочисленный первичный ключ, то таблица RelationMap может быть такой: parent, parentType,
child, childType, distance, count. Если ключи таблиц имеют разные типы, то
можно, в принципе, использовать строковые ссылки. Хотя, конечно, производительность от этого пострадает. После того, как построена обобщающая
таблица с путями, мы можем поддерживать ее практически тем же способом
— при помощи триггеров на таблицах со связями. В нашем примере нужно
будет создать триггеры на таблицах A (отслеживать связи в B и C) и AD
(отслеживать связи из D в A).
7. Характеристики метода
Достоинства описанного метода:
1. Выборки, описанные в постановке задачи, делаются за один запрос и
с использованием одного индекса. Синтаксис выборок очень прост и
подразумевает только связь целевой таблицы с картой путей.
2. Обновление карты путей происходит по мере изменения данных. Алгоритм обновления состоит из набора простых операций с самой картой:
выборка по индексу, группировка, обновление таблицы.
3. Метод может быть реализован для любой базы данных, в которой поддерживаются триггеры.
4. В том случае, если в таблице RelationMap создать кластерный индекс
по всем полям (clustered covering index), то СУБД (по крайней мере –
MS SQL Server) будет хранить данные записей в самом индексе. В этом
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Построение индекса по иерархии записей . . .
133
случае мы фактически получаем просто некий иерархический индекс,
распространяющийся на несколько таблиц.
Недостатки подхода:
1. Если граф содержит много уровней иерархии, то таблица путей может
получиться достаточно большой.
2. Хотя алгоритм обновления таблицы путей прост и требует всего двух
выборок по хорошему индексу, он не бесплатен (что, впрочем, очевидно).
Хочется заметить, что все перечисленные недостатки относятся также и
к обычным индексам базы данных — они занимают место, и на их построение требуется время. В то же время выигрыш от использования индексов
многократно превышает затраты. Конечно, в том случае, если индексы правильно применены. Это справедливо и для нашего метода.
Литература
1. Kreines David C. Oracle SQL: The Essential Reference // ISBN: 1-56592697-8, O’Reilly, 2000.
2. Rielau Serge Port CONNECT BY to DB2 // http://www.ibm.com/
developerworks/db2/library/techarticle/dm-0510rielau/, 13 Oct 2005.
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 519.725
Р.С. Кулаченко
Дискретное преобразование Хартли
и его применение для вычисления свертки
Доказывается ряд свойств дискретного преобразования Хартли, необходимых для получения и обоснования алгоритма быстрого вычисления
свертки.
Р. Хартли ввел специальное преобразование дискретных последовательностей в 1942 году, однако эти результаты оставались не востребованными до
начала 1980 годов, когда теория преобразования Хартли была разработана
Р. Брейсуэллом (см. [1], [2]). Он же предложил и запатентовал метод быстрого вычисления данного преобразования. В связи с тем, что сроки действия
патентов на алгоритм вычисления БПХ недавно истекли, представляет интерес строгое математическое обоснование этого алгоритма. Отметим, что
основные идеи построения алгоритма вычисления БПХ были представлены в [2] без доказательства. В известной нам литературе (см., например,
[1 – 8]), также приводятся лишь основные свойства преобразования Хартли без сколь-нибудь подробных обоснований. В связи с этим и с тем, что
преобразование Хартли нашло ряд новых применений в задачах быстрого
вычисления свертки, представляет интерес получение строгих обоснований
теорем, лежащих в основе алгоритма БПХ.
1. Дискретное преобразование Хартли
Определим дискретное преобразование Хартли. Пусть f (t) — вещественнозначная функция дискретного аргумента. Тогда функция
H(v) = N
−1
N
−1
X
f (τ ) cas((2πvτ )N −1 )
τ =0
называется прямым дискретным преобразованием Хартли (ДПХ), в свою
очередь функция
N
−1
X
f (τ ) =
H(v) cas((2πvτ )N −1 )
v=0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дискретное преобразование Хартли . . .
135
называется обратным ДПХ. Здесь cas(θ) = cos(θ) + sin(θ).
Покажем, что введенное таким образом обратное ДПХ действительно
является обратным к дискретному преобразованию Хартли.
Отметим важное равенство:
N
−1
X
cas((2πvτ )N −1 ) · cas((2πv 0 τ )N −1 ) = δ(τ, τ 0 ) ,
v=0
где δ(τ, τ 0 ) – дискретный аналог дельта-функции (импульсная функция).
Подставим выражение для прямого ДПХ в выражение для обратного
ДПХ и получим:
N
−1
X
H(v) · cas((2πvτ )N −1 ) =
v=0
=
N
−1
X
N
v=0
=N
−1
−1
N
−1
X
f (τ 0 ) · cas((2πvτ 0 )N −1 ) · cas((2πvτ )N −1 ) =
τ 0 =0
N
X
0
f (τ )
N
−1
X
cas((2πvτ 0 )N −1 ) · cas((2πvτ )N −1 ) =
v=0
τ 0 =0
=N
−1
X
f (τ 0 ) · δ(τ, τ 0 ) = f (τ ).
τ 0 =0
Сформулируем ряд теорем, необходимых для обоснования алгоритма
быстрого вычисления ДПХ.
2. Свойства дискретного преобразования Хартли
Теорема 1. Пусть f (τ ) имеет ДПХ H(v), тогда f (τ − T ) имеет ДПХ
вида
cos ((2πvT )N −1 )H(v) − sin ((2πvT )N −1 )H(N − v).
Доказательство. Для доказательства подставим f (τ + T ) в формулу для
прямого ДПХ и сделаем замену индекса τ 0 = τ + T
N
−1
X
τ =0
f (τ + T ) cas ((2πvτ )N
−1
)=
NX
−1+T
f (τ 0 ) cas ((2πv(τ 0 − T ))N −1 ).
τ 0 =T
Преобразуем правую часть полученного выражения, пользуясь тригонометрической формулой разности касинусов
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
136
Теоретическая информатика
X
³
f (τ ) cas ((2πvτ 0 )N −1 ) cos ((2πvT )N −1 )+
0
τ0
0
+ cas ((2πvτ )N
−1
) sin ((2πvT )N
−1
´
) .
Разобьем данную сумму на две следующим образом:
cos((2πvT )N −1 )
X
f (τ 0 ) cas((2πvτ 0 )N −1 )+
τ0
+ sin((2πvT )N −1 )
X
f (τ 0 ) cas((2πvτ 0 )N −1 ).
τ0
Теперь, в силу определения ДПХ получаем:
cos((2πvT )N −1 )H(v) − sin((2πvT )N −1 )H(−v),
что и требовалось.
Теорема 2. Пусть f1 (τ ), f2 (τ ) имеет ДПХ H1 (v), H2 (v) соответственно.
Тогда последовательность f1 (τ ) + f2 (τ ) имеет ДПХ H(v) = H1 (v) + H2 (v).
Доказательство. Доказательством служит следующая последовательность
выкладок:
H1 (v) =
H(v) =
N
−1
X
f1 (τ ) cas((2πvτ )N
τ =0
N
−1
X
−1
), H2 (v) =
N
−1
X
f2 (τ ) cas((2πvτ )N −1 ),
τ =0
(f1 (τ ) + f2 (τ )) cas((2πvτ )N −1 ) = H1 (v) + H2 (v).
τ =0
Теорема 3. Пусть последовательность {a0 , a1 , . . . , aN −1 } имеет ДПХ
вида {α0 , α1 , . . . , αN −1 }. Тогда последовательность вида
{a0 , 0, . . . , 0 , a1 , . . . , aN −1 , 0, . . . , 0 } имеет
| {z }
| {z }
n-1 нулей
n-1 нулей
ДПХ {α0 , . . . , αN −1 , α0 , . . . , αN −1 , . . . , α0 , . . . , αN −1 }
|
{z
}
n групп
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дискретное преобразование Хартли . . .
137
Доказательство. Выпишем преобразования Фурье первой и второй последовательностей:
N −1
N n−1
1 X
1 X 0
−1
H(v) =
ak cas((2πvk)N ), H1 (v) =
ak cas((2πvk)(N n)−1 ).
N
Nn
k=0
k=0
Здесь a0k = ak , если k = 0, n, . . . , N (n − 1) и a0k = 0 во всех остальных
случаях. Для доказательства теоремы необходимо обосновать равенства:
H(v) = H1 (v + mN ), где 0 ≤ v ≤ N − 1, 0 ≤ m ≤ n.
При v = 0, 1, . . . , N − 1 очевидно, выполняется равенство H(v) = H1 (v).
Докажем равенство
H1 (v) = H1 (v + N ).
2π
Обозначим θ =
, тогда
Nn
N n−1
N n−1
1 X
1 X
H1 (v + N ) =
ak cas(θ(v + N )k) =
ak cas(θvk + θN k) =
Nn
Nn
=
1
Nn
k=0
NX
n−1
ak cas(θvk + 2πk) =
k=0
1
Nn
k=0
NX
n−1
ak cas(θvk) = H1 (v).
k=0
Что и доказывает теорему.
Теорема 4. Если f (τ ) — циклическая свертка последовательностей f1 (τ )
и f2 (τ ), то есть
f (τ ) = f1 (τ ) ∗ f2 (τ ) =
N
−1
X
f1 (τ 0 )f2 (τ − τ 0 ),
(1)
τ 0 =0
£
¤
то H(v) = H1 (v)H2 (v) − H1 (−v)H2 (−v) + H1 (v)H2 (−v) + H1 (−v)H2 (v) /2,
где H(v), H1 (v), H2 (v) — ДПХ последовательностей f (τ ), f1 (τ ), f2 (τ ) соответственно.
Доказательство. Для сокращения записи будем обозначать H1 (v) = H1 ,
H1 (−v)=H1 (−), H2 (v) = H2 , H2 (−v) = H2 (−). Очевидно, что
H1 (v)
H1 (v)
H2 (v)
H2 (v)
=
=
=
=
Re(F1 (v)) − Im(F1 (v)),
Re(F1 (v)) − Im(F1 (v)),
Re(F2 (v)) − Im(F2 (v)),
Re(F2 (v)) − Im(F2 (v)).
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
138
Теоретическая информатика
Пусть Fs (v), Fx (v), Fy (v) — образы Фурье последовательностей sk , xk , yk
соответственно, уравнение свертки имеет вид:
sk = xk ∗ yk ,
(3)
где ∗ обозначает операцию свертки.
Выпишем равенство 1 и подставим в него равенства 2, получим:
H(v) = [Hx Hy − Hx (−)Hy (−) + Hx Hy (−) + Hx (−)Hy ]/2 =
= [Re(Fx ) Re(Fy ) − Im(Fx ) Re(Fy ) − Re(Fx ) Im(Fy ) + Im(Fx ) Im(Fy )+
+ Re(Fx )(−) Re(Fy ) − Im(Fx )(−) Re(Fy ) − Re(Fx )(−) Im(Fy )+
+ Im(Fx )(−) Im(Fy ) + Re(Fx ) Re(Fy )(−) − Im(Fx ) Re(Fy )(−)−
− Re(Fx ) Im(Fy )(−) + Im(Fx ) Im(Fy )(−) + Re(Fx )(−) Re(Fy )(−)−
− Im(Fx )(−) Re(Fy )(−) − Re(Fx )(−) Im(Fy )(−) + Im(Fx )(−) Im(Fy )(−)]/2.
Приводя подобные слагаемые и учитывая циклический характер свертываемых последовательностей, имеем:
£
H(v) = Re(Fs (v)) − Im(Fs )(v) = Re(Fx ) Re(Fy )(−) − Im(Fx ) Re(Fy )(−)−
− Re(Fx ) Im(Fy )(−) + Im(Fx ) Im(Fy )(−) + Re(Fx )(−) Re(Fy )(−)−
¤
− Im(Fx )(−) Re(Fy )(−) − Re(Fx )(−) Im(Fy )(−) + Im(Fx )(−) Im(Fy )(−) /2.
Перегруппируем слагаемые и окончательно получаем:
£
Re(Fx )(Re(Fy )(−) + Im(Fy )(−)) − Im(Fx )(Re(Fy )(−) − Im(Fy )(−))+
¤
+ Re(Fx )(−)(Re(Fy ) + Im(Fy )) − Im(Fx )(−)(Re(Fy ) − Im(Fy )) /2 =
£
¤
= (Re(Fx − Im(Fx ))) · (Re(Fy − Im(Fy )) ,
что и требовалось доказать.
3. Алгоритм вычисления свертки при помощи ДПХ
В общем случае преобразование свертки f1 (τ ) ∗ f2 (τ ) содержит четыре компоненты. Основными величинами, которые должны быть вычислены,
являются прямые произведения Pa (v) = H1 (v)H2 (v) и смешанные произведения Pb (v) = H1 (v)H2 (−v). С использованием этих обозначений имеем:
H(v) = 1/2N · [Pa (v) − Pa (−v) + Pb (v) + Pb (−v)].
Таким образом, получаем два действительнозначных умножения для
каждого элемента ДПХ свертки.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дискретное преобразование Хартли . . .
139
Eсли H2 (v) — четная функция, то формула упрощается:
H(v) = N H1 (v)H2 (v).
Точно такую же простую формулу получим, если H2 (v) — нечетная функция, имеем:
H(v) = N H1 (−v)H2 (v).
Рассмотрим теперь вопрос о быстром вычислении ДПХ. Для этого рассмотрим метод разбиения последовательности на подпоследовательности
меньшей длины. Выполним такое разбиение, вычислим ДПХ от каждой подпоследовательности, а результаты объединим. Так как затрачиваемое время
возрастает быстрее скорости изменения N , при реализации преобразования
будет иметь место экономия времени счета, но потребуется дополнительное
время для объединения результатов вычислений. Можно применить эту процедуру вновь, и вычислять ДПХ от последовательностей меньшей длины.
После выполнения (P − 1) разбиения получим короткие сегменты длины
2, 3, для вычисления которых будут предложены быстрые методы далее.
Идея этого алгоритма содержится в [2], приведем строгое обоснование.
Теорема 5. Пусть f (τ ) — последовательность, τ = 0, 1, . . . , N − 1, N четное. Имеет место разложение
f (τ ) = {f (0), 0, f (1), 0, . . . , f (N − 2), 0} + {0, f (1), . . . , 0, f (N − 1)}.
Обозначим
f1 (τ ) = {f (0), f (2), . . . , f (N − 2)},
f2 (τ ) = {f (1), f (3), . . . , f (N − 1)}.
Пусть ДПХ(f1 )=H1 (v), ДПХ(f2 )=H2 (v). Тогда
H(v) = H1 (v) + H2 (v) cos ((2πv)N −1 ) + H2 (N − v) sin ((2πv)N −1 ).
Доказательство. По теореме о растяжении 3 получаем, что ДПХ последовательности {f (0), 0, f (2), 0, . . . , f (N − 2), 0} равно H1 (v(mod(N/2))), a ДПХ
последовательности {f (1), 0, f (3), . . . , f (N − 1), 0} равно
H2 (v(mod(N/2))). Обозначим ее через G(v).
Нам нужно ДПХ последовательности {0, f (1), 0, f (3), . . . , 0, f (N − 1)},
т.е. от последовательности, элементы которой циклически сдвинуты на один
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
140
Теоретическая информатика
вправо. Для этого применим теорему 1 о сдвиге, получаем:
ДПХ{0, f (1), 0, f (3), . . . , 0, f (N − 1)} =
= G(v) cos ((2πv)N −1 ) + G(N − v) sin ((2πv)N −1 ).
Наконец, применяя теорему сложения 2, получаем искомый результат.
Эта теорема позволяет свести вычисление ДПХ от последовательности
длины N к вычислению двух ДПХ от подпоследовательностей длины N/2.
Если N = 2k , то последовательно применяя эту теорему, можно свести вычисление ДПХ от последовательности длины N к вычислению k ДПХ от
подпоследовательностей длины 2 или k2 ДПХ подпоследовательностей длины 4.
Этой теоремой можно воспользоваться и в случае, когда N не есть степень двойки, но так как ∃ k ∈ Z : N < 2k , то можно дополнить исходную
последовательность нулями и применить описанный выше алгоритм.
Теорема 6. Пусть f (τ ) — последовательность, τ = 0, 1, . . . , N − 1, N —
кратно трем. Имеет место разложение
f (τ ) = {f (0), 0, 0, f (3), 0, 0, . . . , f (N − 3), 0, 0}+
+ {0, f (1), 0, . . . , 0, f (N − 2), 0} + {0, 0, f (2), . . . , 0, 0, f (N − 1)}. (4)
Обозначим
f1 (τ ) = {f (0), f (3), . . . , f (N − 3)},
f2 (τ ) = {f (1), f (4), . . . , f (N − 2)},
f3 (τ ) = {f (2), f (5), . . . , f (N − 1)},
] ]
а f]
1 (τ ), f2 (τ ), f3 (τ ) — последовательности f1 (τ ), f2 (τ ), f3 (τ ), участвующие
в разложении 4.
Пусть ДПХ(f1 )=H1 (v), ДПХ(f2 )=H2 (v), ДПХ(f3 )=H3 (v). Тогда
h
H(v) = 1/3 H1 (v) + H2 (v) cos ((2πv)N −1 ) + H2 (N − v) sin ((2πv)N −1 )+
i
−1
−1
+ H3 (v) cos ((4πv)N ) + H3 (−v) sin ((2πv)N ) .
Доказательство. По теореме 3 (о растяжении) получаем, что ДПХ
последовательности
{f (0) , 0 , 0 , f (3) , 0, 0, . . . , f (N − 3) , 0, 0}
равно
H1 (v(mod(N/3))), а ДПХ последовательностей {0, f (1), 0, . . . , 0, f (N −2), 0}
и {0, 0, f (2), . . . , 0, 0, f (N − 1)} равно H2 (v(mod(N/3))) и H3 (v(mod(N/3)))
— соответственно.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дискретное преобразование Хартли . . .
141
Применяя теорему 1 о сдвиге ко второй и третьей последовательностям,
получаем:
ДПХ (fe1 ) = H1 (v)/3,
£
¤
ДПХ (fe2 ) = H2 (v) cos ((2πv)N −1 ) + H2 (−v) sin ((2πv)N −1 ) /3,
h¡
¢
e
ДПХ (f3 )= H3 (v) cos ((2πv)N −1 )+H3 (−v) sin ((2πv)N −1 ) · cos ((2πv)N −1 ) +
i
¢
¡
−1
−1
−1
+ H3 (−v) cos ((2πv)N ) + H3 (v) sin ((2πv)N ) · sin ((2πv)N )) /3 =
h
= H3 (v) · cos2 ((2πv)N −1 ) + 2 · H3 (−v) cos ((2πv)N −1 ) sin ((2πv)N −1 )−
i
2
−1
−H3 (v) · sin ((2πv)N ) /3 =
h
i
−1
−1
= H3 (v) · cos ((4πv)N ) + H3 (−v) · sin ((4πv)N ) /3.
Наконец, применяя теорему сложения 2, получаем искомый результат.
4. Быстрое вычисление ДПХ последовательностей малой
длины
Сложность вышеописанного метода вычисления ДПХ сильно зависит от
сложности вычисления ДПХ малой длины. Здесь необходимо минимизировать число умножений.
Для ДПХ длины 2 имеем:
£
¤
H(v) = f (0) + f (1) cas(πv) /2, где v = 0, 1.
Для этого вычисления не нужны умножения; очевидно, что
£
¤
£
¤
H(0) = f (0) + f (1) /2, H(1) = f (0) − f (1) /2.
Умножение на 1/2 вполне можно выполнить после вычисления всех малых
ДПХ.
Для ДПХ длины три имеем:
¤
1 £
· f (0) + f (1) cas(2πv/3) + f (2) cas(4πv/3) , где v = 0, 1, 2.
3
Непосредственно получаем:
¤
1 £
H(0) = · f (0) + f (1) + f (2) ,
3
√
√
£
¤
1
H(1) = · f (0) + f (1)( 3 − 1)/2 − f (2)( 3 + 1/2) ,
3
√
√
¤
1 £
H(2) = · f (0) − f (1)( 3 + 1)/2 + f (2)( 3 − 1)/2 .
3
H(v) =
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
142
Теоретическая информатика
Это вычисление содержит 4 умножения и 6 сложений. Произведем следующие преобразования:
√
√
√
£
¤
f (1)( 3 − 1)/2 − f (2)( 3 + 1)/2 = (( 3 − 1)/2) f (1) − f (2) − f (2)
√
√
√
£
¤
f (0) − f (1)( 3 + 1)/2 + f (2)( 3 − 1)/2 = (( 3 − 1)/2) f (1) − f (2) − f (1).
В результате этих преобразований для вычисления БПХ длины 3 необходимое число операций умножения уменьшено до одной, а сложений требуется семь.
Литература
1. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов.
М.:Мир, 1989.
2. Брейсуэлл Р. Преобразование Хартли. Теория и приложения. М.:Мир,
1990.
3. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений /Под редакцией Т.С. Хуанга. М.: Радио и связь, 1984.
4. Martins A. Signal Analysis: Wavelets, Filter Banks, Time-Frequency
Transforms and Applications. John Wiley and Sons Ltd, 1999.
5. Oppenheim A.V. and Schafer R.W. Digital signal processing. Prentice
Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1975.
6. Pollack D.G. A Handbook of Time-Series Analysis, Signal Processing and
Dynamics. Academic Press in Great Britain, Cambridge, 1999.
7. Mertins A. Signal Analysis. John Wiley and Sons LTD, 1999.
8. Alexander D. Poularikas The Transforms and Applications Handbook.
CRC Press, 2000.
9. Введение в цифровую фильтрацию / Под ред. Р. Богнера, А. Константинидиса. М.: Мир, 1976.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 519.682;681.324.06
Д.В. Чехранов
Основные концепции
объектно-динамического языка запросов ODQL
динамической информационной модели DIM
Рассматривается проблема введения объектного языка запросов и манипулирования данными ODQL (Object Dynamic Query Language) динамической информационной модели DIM. Для работы опытного пользователя введена полная форма ODQL, для недостаточно опытного пользователя
введена сокращенная форма, как подмножество ODQL. Рассмотрено соответствие полной и сокращенной формы, приведен пример их соответствия.
Для обоснования полноты языка запросов сформулированы 3 теоремы.
1. Постановка задачи
В [1] описана динамическая информационная модель DIM. Введены понятия объекта, класса и типа объекта DIM, основные отношения: наследование и включение классов и объектов, внутреннее наследование и внутреннее
включение. Для схемы отношений определены ограничения определенности,
однозначности, выбора и идентификации. Дадим некоторые необходимые
определения:
1. Свойство объекта называется врожденным, если оно является свойством класса объекта.
2. Свойство объекта называется наследуемым, если оно является свойством одного из родительских классов (не обязательно непосредственных) класса объекта.
3. Свойство объекта OA называется свойством включения, если оно является врожденным свойством такого объекта OB , что пара (OA ,OB )
находится в отношении включения.
4. Объект OB включен в объект OA (объект OA содержит объект OB ),
если пара (OA ,OB ) находится в отношении включения.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
144
Теоретическая информатика
5. Аналогично приведенным выше определениям для объектов для классов вводятся понятия врожденного свойства, наследуемого свойства,
свойства включения, а также понятие включения двух классов.
Нашей целью является построение языка манипулирования данными
DIM. Одним из способов построения такого языка является запросная форма, подобная SQL. Язык должен содержать конструкции, отвечающие введенным отношениям DIM и, в частности, быть объектным, т.е.
– уметь выделять группу объектов из множества всех объектов того или
иного класса по ограничениям на свойства этих объектов;
– уметь выделять свойства объекта независимо от того, являются ли они
врожденными или наследуемыми;
– уметь выделять включенные объекты (как включенные в сам объект,
так и включенные в его родительские объекты);
– уметь выделять свойства включенных объектов.
Но также при этом хотелось бы, чтобы недостаточно опытный пользователь мог наглядно и просто получать доступ к данным и манипулировать ими, не зная в деталях отношения классов соответствующих объектов. Опытный пользователь должен иметь возможность применять знание
отношений объектов и классов для построения более сложных запросов и
управления их оптимизацией. Для этого введем 2 формы языка запросов:
полную и сокращенную. Покажем далее, как можно ввести полную форму и
как запрос в полной форме можно свести к запросу в сокращенной форме.
2. Полная форма языка
Подобно SQL, главной фразой запроса является select, которая выделит
данные свойств объектов (или выражений от этих свойств). Ограничения на
данные и связи в языке SQL указываются во фразе where предикатным выражением. Мы разделим их на ограничения значений свойств, которые будем учитывать во фразе for, и ограничения на связи объектов, которые будем указывать фразой where. Такое разделение ограничений способствует
более эффективной реализации запроса. Как правило, ограничения в фразе
for представляют собой конъюнкцию одноместных предикатов, каждый из
которых зависит от некоторого свойства. Конъюнкцию обозначим запятой,
дизъюнкцию – знаком “|“, отрицание – знаком “!“. Введем стандартные операции сравнения (>, <, >=, <=, =, <>) и возможность указывать не только
конечные значения, но и их диапазон (через знак “−“). Например, запрос
for p1 = v1 |v2 |v3 − v4 |v5 , p2 <> v6 select p3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Основные концепции объектно-динамического языка запросов . . .
145
должен выбрать все объекты со свойствами p1 , p2 и p3 , у которых значение
свойства p2 не равно v6 , а значение свойства p1 либо принадлежат множеству
{v1 , v2 , v5 }, либо v3 <= p1 <= v4 .
Во фразе from через запятую будем перечислять имена классов объектов, участвующих в запросе. Фраза from может быть опущена, что будет
означать выбор объектов класса, к которому принадлежит первое указанное
во фразе select свойство. Чтобы указать, из объектов какого класса выбирается каждое свойство, будем указывать имя этого класса перед именем
свойства, разделяя их точкой.
Во фразе where будем указывать ограничения на отношения между объектами. Если объекты класса Cp являются родительскими объектами класса Cd (отношение наследования), то во фразе where будем указывать это
ограничение в виде “Cp parent Cd“. Если объекты класса Cl включены в
объекты класса Ch через объекты класса Chie (отношение функционального
включения), то во фразе where будем указывать это ограничение в виде
“Ch contains (Chie ) Cl“. Если имеет место простое включение (без класса
Chie ), то скобки остаются пустыми. В случае, если не имеет значения, является ли включение простым или функциональным, скобки и класс связи
можно опустить.
Приведенные выше ограничения связей будем объединять операциями
конъюнкции and, дизъюнкции or и отрицания not. Например, если p —
наследуемое свойство класса C3 , являющееся врожденным свойством класса
C1 , то запрос
select C3 .p from C1 , C2 , C3 where C1 parent C2 and C2 parent C3
выделит свойство p объектов класса C1 , являющихся наследниками объектов класса C2 , которые в свою очередь являются наследниками объектов
класса C3 .
Определение 1. Два объекта O1 и O2 назовем непосредственно связанными, если пары (O1 ,O2 ) или (O2 ,O1 ) находятся в отношении включения или
в отношении наследования.
Определение 2. Два объекта O1 и On назовем связанными, если существует последовательность объектов O1 , O2 , . . . On−1 , On такая, что для всех
i = 1 . . . n − 1 объекты Oi и Oi+1 непосредственно связаны.
Аналогично приведенным выше определениям для объектов вводятся понятия непосредственно связанных классов и связанных классов.
Может возникнуть ситуация, когда нам необходимо будет установить
более сложные ограничения на выбираемые объекты (например, необходи-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
146
Теоретическая информатика
мость выбрать лишь те объекты, которые связаны с выделенной ранее группой объектов). Такие ограничения будем оформлять в виде запроса, который
назовем подзапросом, и указывать их во фразе for в круглых скобках (чтобы
отделить от остальных ограничений). При этом фраза select в подзапросе
является необязательной. Например, если класс C2 является родительским
классом класса C1 , то запрос
for C2 .p1 = v1 |v2 , (for C1 .p3 = v3 from C1 )
select C2 .p2 from C2 , C1 where C2 parent C1
выделит свойство p2 объектов класса C2 , у которых свойство p1 равно v1
или v2 и которые являются родителями объектов класса C1 со свойством p3
равным v3 . Если запрос имеет несколько подзапросов, то эти подзапросы перечисляются через запятую и каждый берется в скобки; каждый подзапрос
может также обладать перечнем подзапросов и так далее для достижения
желаемого результата.
Для выделения двух разных объектов, принадлежащих внутреннему
включению или внутреннему наследованию, каждому имени класса во фразе from присвоим уникальный (в пределах всего запроса и его подзапросов)
псевдоним (алиас). Тогда достаточно будет указать во фразе from два одинаковых имени класса и дать им разные алиасы.
Для работы с историей свойств и объектов введем ключевое слово history. Если оно является префиксом временного свойства , то это означает
выбор значения, предшествующего текущему, а если постфиксом - следующему за текущим. В случае, если нам необходимо выбрать из истории не
значения свойств объектов, а сами объекты, то префиксом (постфиксом)
снабжается соответствующий класс фразы from. Для выбора всех предшественников (последователей) слово history предваряется словом hierarchy.
Для выбора объектов, существовавших в определенный период времени, во
фразе for можно использовать врожденные свойства объектов “Дата рождения“ и “Дата смерти“.
Выбор взаимодействия для объектов и их классов будем делать следующим образом: во фразе from указывать вместо имени класса функцию interaction (<Откуда>, <Куда>, <Что>, <Как>). Если один из параметров
опущен, то это означает выбор опущенного класса (например, interaction
(<Откуда>„<Что>,<Как>) для конкретных значений параметров выделит
класс (классы) <Куда>). Если все параметры указаны, функция выделяет
класс взаимодействий <Как>. Далее выделенный класс можно использовать для выборки его свойств. Также можно вместо выбора класса во фразе
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Основные концепции объектно-динамического языка запросов . . .
147
from указать взаимодействие как ограничение во фразе where : <Откуда> (<Что>) interaction (<Как>) <Куда>. Здесь нужно указать хотя бы
один класс. Например, фраза <Откуда> interaction ограничивает выборку
объектов класса <Откуда> участием в некотором взаимодействии.
Мы ввели полную форму языка запросов, состоящего из фраз :
• FOR - ограничения на значения параметров и подзапросы;
• SELECT - перечень выбираемых свойств;
• FROM - имена классов, объекты которых мы выбираем или используем
для прохождения пути к выбираемым;
• WHERE - перечисления связей между классами.
Назовем этот язык ODQL - Object Dynamic Query Language. Легко заметить, что его полная форма требует знаний об отношениях классов и
объектов. Для того, чтобы позволить недостаточно опытному пользователю писать запросы, введем упрощенную форму ODQL. Суть упрощения в
том, что имеется возможность возложить часть работы на систему, которая,
зная схемы отношений классов и объектов, может преобразовать упрощенную форму запроса (упрощенный запрос) в полную форму запроса (полный
запрос).
3. Упрощенная форма языка
В упрощенную форму введем следующие изменения:
1) Каждое свойство принадлежит лишь одному классу. Значит, избавимся от указания имени класса у свойства.
2) Каждый класс, указанный во фразе from, связан с любым другим
классом в той же фразе. Поэтому возложим поиск этой связи на систему, лишь предоставив пользователю выбирать, от какого класса будет искаться связь. Это упрощение позволяет не использовать фразу
where. Одновременно это снижает эффективность языка, т.к. автоматический поиск пути не всегда приводит к оптимальному результату.
3) Укажем во фразе from лишь один класс (или вовсе не будем указывать, что означает выбор класса первого свойства), ввиду автоматизации поиска связей с остальными классами.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
148
Теоретическая информатика
При таких упрощениях понадобятся правила умолчания, которые позволят преобразовать упрощенный запрос в полный запрос.
1) Предположим, класс Cl включен в класс Ch через 2 класса связи: C1
и C2 . Ранее эта ситуация не являлась проблемой: опытный пользователь сам указывал, какое отношение выбрать. Но отказавшись от фразы where, в данном случае мы получаем коллизию. Для разрешения
этой коллизии введем правило: выбираются объекты такие, что тройка
(Oh , Ohie , Ol ) принадлежит отношению функционального включения,
где Oh ∈ Ch , Ol ∈ Cl и Ohie ∈ C1 или Ohie ∈ C2 .
2) Для указания внутреннего включения или внутреннего наследования
в полной форме использовались алиасы. Желательно в сокращенной
форме не использовать алиасы, но тогда нельзя различить одно и то
же свойство различных объектов, принадлежащих внутреннему отношению или внутреннему включению. Для устранения неоднозначности
иcпользуем отношение выбора.
Введенная сокращенная форма также является языком ODQL. Она позволит недостаточно опытному пользователю работать с данными, не думая
об их реальной структуре. Это упрощает доступ к данным (указываем, что
желаем получить и, если знаем, откуда – этого достаточно). Чтобы различать введенные две формы ODQL, обозначим полную его форму так же,
как и сам язык, а упрощенную обозначим SODQL – Simplified ODQL.
4. Различия форм запросов
Следует отметить 2 аспекта, касающихся ODQL и SODQL.
1. В SODQL нет возможности выбирать, в каком порядке будут выбираться ограничения на связи между объектами. Это может сказаться
на оптимальности запросов SODQL, т.к. возможно система не всегда
сможет найти оптимальную последовательность ограничений на отношения.
2. Из-за введения правил умолчания каждому SODQL запросу можно
поставить в соответствие не менее одного ODQL запроса, тогда как
каждый ODQL запрос соответствует только одному SODQL запросу.
Пример: пусть класс Ch включает класс Cl через классы связи Chie1 и
Chie2 , pr – врожденное свойство класса Cl , т. е. pr - свойство включения
класса Ch . Тогда SODQL запрос
select pr from Ch
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Основные концепции объектно-динамического языка запросов . . .
149
выделит свойство pr всех объектов класса Cl , которые включены в
некоторый объект класса Ch хотя бы через один объект классов Chie1
и Chie2 . Ему соответствует ODQL запрос
select C2 .pr from Ch a1 , Cl a2 where a1 contains a2
Но, рассмотрев ODQL запрос
select a2 .pr from Ch a1 , Cl a2 , Chie a3 where a1 contains (a3 ) a2
заметим, что он выделит множество объектов, отличное от множества,
выделяемого предыдущим запросом.
Введем стандартные функции: агрегирующие (функции, которые используются для сбора статистических данных), строковые (функции, которые либо принимают в качестве аргумента, либо возвращают как результат
строки), числовые (функции работы с числовыми значениями свойств) и
функции работы с датами.
5. Полнота языка
Под полнотой языка мы будем понимать возможность представить любое допустимое изменение данных в виде некоторого запроса (или последовательности запросов) ODQL. Полноту языка отражают следующие утверждения:
Теорема 1. Для любого класса DIM, связанного с ним множества классов,
связанного множества объектов этих классов и их свойств существует запрос на языке ODQL, который выделяет заданные множества объектов и
их свойства.
Теорема 2. Для любых множеств классов DIM, связанных объектов этих
классов, идентификационных свойств этих объектов и любого допустимого
изменения этих свойств существует запрос на языке ODQL, который определяет такое изменение свойств, порождая новые объекты-последователи и
связывая их со старыми объектами-предшественниками отношениями истории объектов.
Теорема 3. Для любого изменения классов DIM и связанных с ними
допустимых изменений объектов существует последовательность запросов
ODQL, приводящая к этим изменениям.
Эти теоремы обосновывают алгоритмы, которые в дальнейшем будут
использованы для автоматического создания запросов.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
150
Теоретическая информатика
6. Пример соответствия двух форм запросов
SODQL запрос
for (for Группа продукции = “Грузовые диагональные шины“
from Группы продукции)
select Наименование продукции, Показатель,
Нижняя норма, Верхняя норма, Имя единицы
from Продукция
Соответствует полному ODQL запросу
for (for C21 .Группа продукции = “Грузовые диагональные шины“
from Группы продукции C21 , ТУ и ТР продукции C22
where C21 parent C22 )
select C12 .Наименование продукции, C13 .Показатель,
C14 .Нижняя норма, C14 .Верхняя норма, C15 .Имя единицы
from Продукция C11 , Наименования продукции C12 ,
Показатели C13 , Нормы показателя C14 ,
Единицы измерения C15 , Группы продукции C21 ,
ТУ и ТР продукции C22
where C11 contains (C14 ) C13 and C12 parent C11 and
C15 parent C13 and C22 parent C11
Литература
1. Рублев В.С., Юсупов А.Р. Концепции объектной динамической информационной модели // Деп. в ВИНИТИ РАН 30.05.05, N771-B 2005.
Ярославль: ЯрГУ, 2005.
2. Рублев В.С., Чехранов Д.В., Юсупов А.Р. Полнота объектнодинамического языка запросов динамической информационной модели
DIM // Проблемы теоретической кибернетики: Тезисы докладов XIV
Международной конференции (Пенза). М., 2005. С. 130.
3. Юсупов А.Р. Языки объектно-динамических запросов и решение проблем доступа к информации в Динамической информационной модели DIM // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып. 6.
Ярославль: ЯрГУ, 2004. С. 157 - 163.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Основные концепции объектно-динамического языка запросов . . .
151
4. Чехранов Д.В., Юсупов А.Р. Язык запросов DQL и проблема реализации компилятора из языка DQL в язык OQL // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып. 6. Ярославль: ЯрГУ, 2004.
С. 148 – 156.
5. Лабюк М.Ю. Язык объектных запросов для динамической модели DIM
// Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып. 6. Ярославль: ЯрГУ, 2004. С. 123 – 127.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Научное издание
Современные проблемы
математики и информатики
Сборник научных трудов
молодых ученых, аспирантов и студентов
Выпуск 8
Редактор, корректор А. А. Аладьева
Компьютерный набор, верстка С. Д. Глызин
Подписано в печать 30.03.06. Формат 60×84/16. Бумага Data Copy.
Усл. печ. л. 8,8. Уч.-изд. л. 8,5. Тираж 70 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе
Ярославского государственного университета.
Ярославский государственный университет.
150000 Ярославль, ул. Советская, 14.
Отпечатано в типографии ООО „Ремдер“.
г. Ярославль, пр. Октября, 94, оф. 37.
Тел. (0852) 73-35-03
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
16
Размер файла
1 440 Кб
Теги
информатика, 1321, научный, трудове, сборник, проблемы, современные, ученых, молодым, вып, аспирантов, математика, студентов
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа