close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1323.Устойчивость уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами Учебное пособие Кащенко

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
С.А. Кащенко
Устойчивость уравнений второго порядка
с периодическими коэффициентами
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов специальностей Математика и
Прикладная математика и информатика
ЯРОСЛАВЛЬ 2005
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.925
ББК В161.61я73
К 31
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2004 года
Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук, профессор Н.Х. Розов;
кафедра математики физического факультета Московского
государственного университета им. М.В. Ломоносова
Кащенко, С.А. Устойчивость уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами: Учебное пособие / С.А. Кащенко;
К 31 Яросл. гос. ун-т. – Ярославль: ЯрГУ, 2005. – 216 с.
ISBN 5-8397-0362-1
Изложена теория устойчивости решений линейных уравнений
второго порядка с периодическими коэффициентами, базирующаяся на теории зон устойчивости А.М. Ляпунова. В качестве
приложений асимптотическими методами исследованы вопросы
устойчивости для широких классов регулярно и сингулярно возмущенных уравнений, в том числе уравнений с точками поворота.
Рассмотрены классические вопросы построения функции Грина и
вывода асимптотических законов распределения собственных значений периодической и антипериодической краевых задач.
Учебное пособие по дисциплине Дифференциальные урав”
нения“ (блок ОПД) предназначено студентам специальностей
010100 Математика и 010200 Прикладная математика и информатика очной формы обучения.
Рис. 3. Библиогр.: 36 назв.
УДК 517.925
ББК В161.61.я73
ISBN 5-8397-0362-1
c Ярославский
°
государственный университет
им. П.Г. Демидова,
2005
c Кащенко С.А.,
°
2005
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
Введение
6
1 Теория зон устойчивости
§ 1.1. Теоремы сравнения . . . . . . . . . . . . .
§ 1.2. Краевые задачи Штурма - Лиувилля . . .
§ 1.3. Уравнения с периодическими
коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 1.4. Теория зон устойчивости А.М. Ляпунова .
§ 1.5. Об одном критерии неустойчивости
решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 1.6. Распространение теории зон
устойчивости на несамосопряженный случай
. . . . . . . .
. . . . . . . .
7
7
10
. . . . . . . .
. . . . . . . .
14
18
. . . . . . . .
28
. . . . . . . .
42
2 Устойчивость решений уравнений с близкими к постоянным
коэффициентами
§ 2.1. Уравнения с близкими к нулевым коэффициентами . . .
§ 2.2. Уравнения с близкими к постоянным коэффициентами .
§ 2.3. Параметрический резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
49
53
58
3 Устойчивость решений сингулярно возмущенных уравнений 61
§ 3.1. Устойчивость решений уравнений без точек поворота . . 61
§ 3.2. Уравнения с точками поворота . . . . . . . . . . . . . . . 65
§ 3.3. Уравнения со знакопеременным
и гладким коэффициентом p(t) . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 Асимптотические
законы
распределений
собственных
значений периодической и антипериодической краевых
задач
84
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ОГЛАВЛЕНИЕ
4
§ 4.1. Асимптотика собственных значений для уравнений без
точек поворота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 4.2. Асимптотика собственных значений при условии r(t) ≥ 0
§ 4.3. Асимптотика собственных значений
в случае знакопеременной r(t) . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Параметрический резонанс при двухчастотном возмущении
§ 5.1. Постановка задачи и редукция к специальному
уравнению второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 5.2. Исследование уравнений первого приближения
при достаточно больших значениях расстройки
между частотами внешних возмущений . . . . . . . . . . .
§ 5.3. Исследование уравнения первого приближения
при достаточно малой расстройке
между частотами внешних возмущений . . . . . . . . . . .
6 Функции Грина периодической краевой задачи
§ 6.1. Функции Грина первого порядка . . . . . . .
§ 6.2. Функция Грина уравнения второго порядка
§ 6.3. Вырожденные случаи . . . . . . . . . . . . .
§ 6.4. О приближенном вычислении
первых собственных значений . . . . . . . . .
84
87
95
103
103
106
107
111
. . . . . . . 111
. . . . . . . 115
. . . . . . . 118
. . . . . . . 121
7 Предельные значения собственных чисел первой краевой
задачи для сингулярно возмущенного дифференциального
уравнения второго порядка с точками поворота
127
§ 7.1. Постановка задачи и формулировка основного результата 128
§ 7.2. Обоснование предельного свойства функции s(b) . . . . 136
§ 7.3. Вспомогательное утверждение . . . . . . . . . . . . . . . 141
§ 7.4. Обоснование теоремы 7.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
§ 7.5. Обобщение результата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8 Асимптотика собственных чисел первой краевой
для сингулярно возмущенного дифференциального
ния второго порядка с точками поворота
§ 8.1. Постановка задачи и формулировка результата .
§ 8.2. Вспомогательные утверждения . . . . . . . . . . .
§ 8.3. Обоснование теоремы 8.1.1 . . . . . . . . . . . . .
задачи
уравне160
. . . . 160
. . . . 166
. . . . 180
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
9 Асимптотика собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для сингулярно возмущенных
дифференциальных уравнений второго порядка с точками
поворота
183
§ 9.1. Постановка задачи и формулировка результатов в самосопряженном случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
§ 9.2. Обоснование теоремы 9.1.1 для собственных значений
−
λ+
1 (ε) и λ1 (ε) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
§ 9.3. Вспомогательное утверждение . . . . . . . . . . . . . . . 187
§ 9.4. Завершение доказательств приведенных теорем . . . . . 191
§ 9.5. Постановка задачи и основные результаты в несамосопряженном случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
§ 9.6. Несамоcопряженный случай:
вспомогательное утверждение . . . . . . . . . . . . . . . . 196
§ 9.7. Обоснование теоремы 9.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
§ 9.8. Обоснование соотношений (9.5.8) . . . . . . . . . . . . . 203
§ 9.9. Обоснование соотношений (9.5.7) . . . . . . . . . . . . . 204
§ 9.10. Завершение доказательств теорем несамосопряженного
случая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Литература
212
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Уравнения второго порядка занимают особое место в теории дифференциальных уравнений. Это связано с тем обстоятельством, что, вопервых, именно с них, а не с уравнений первого порядка, начинается
изучение нетривиальных поведений решений. Во-вторых, для автономных нелинейных уравнений второго порядка построена полная динамическая теория. И, наконец, в-третьих, огромное число математических
моделей в различных областях науки описано именно уравнениями второго порядка. Особое место в теории дифференциальных уравнений занимают линейные уравнения, исследование которых является базовым и
для анализа поведения решений нелинейных уравнений. При этом наиболее важным и интересным является изучение решений уравнений с
периодическими коэффициентами.
Настоящее пособие посвящено изучению линейных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами. В первой его части приводится одна из самых красивых, на взгляд автора, теория зон устойчивости А.М. Ляпунова. Эта теория, к сожалению, содержится лишь
в небольшом количестве учебных изданий. Здесь мы придерживаемся, в основном, методики, изложенной в монографии Э. Коддингтона
и И. Левинсона Теория обыкновенных дифференциальных уравнений“.
”
Все остальное содержание пособия (главы 2 – 9), так или иначе привя”
зано“ к ляпуновской теории зон устойчивости. Последовательно и с примерами излагаются так называемые регулярные асимптотические методы
и методы теории сингулярных возмущений для исследования вопросов
устойчивости решений. На основе теории зон устойчивости решается вопрос об устойчивости решений уравнений с близкими к постоянным коэффициентами (глава 2) и сингулярно возмущенных уравнений (глава 3).
При этом формулируются эффективные алгоритмы исследования устойчивости. В главе 4 изучаются асимптотические законы распределения
собственных значений. Особо подчеркнем, что разобран случай наличия
точек поворота. Глава 5 посвящена решению важной задачи о параметрическом резонансе при двухчастотном возмущении. В этой главе широко
используются результаты всех предыдущих глав. Шестая глава стоит
несколько в стороне. В ней вводится в рассмотрение функция Грина периодической краевой задачи и изучаются ее свойства. Особую сложность
представляет изложение теории сингулярных возмущений уравнений с
точками поворота (главы 7 – 9). Соответствующие разделы, принадлежащие автору, ранее в учебно-методической литературе не публиковались.
Они достаточно сложны и могут быть пропущены при первом чтении.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 1
Теория зон устойчивости
Основное содержание главы посвящено изложению принадлежащей
А.М. Ляпунову [1-3] теории зон устойчивости линейных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами.
Доказательство соответствующих утверждений (теоремы 1.4.1 и 1.4.2),
отличающихся сравнительной простотой и изяществом, будет заимствовано из [4] (глава VIII).
§ 1.1. Теоремы сравнения
Как будет выяснено в дальнейшем, свойства устойчивости решений рассматриваемого класса уравнений тесно связаны с их осцилляционными
свойствами. В связи с этим первый параграф посвящен изучению распределения нулей решений. Приводимые здесь доказательства повторяют соответствующие утверждения из [4] (глава VIII, §1). На некотором
отрезке [a, b] рассмотрим два линейных дифференциальных уравнения
ẍ + q1 (t)x = 0
(1.1.1)
ẍ + q2 (t)x = 0,
(1.1.2)
и
коэффициенты q1 (t) и q2 (t) которых являются непрерывными функциями.
Фиксируем произвольно решения x1 (t) и x2 (t) (xj (t) 6≡ 0, j = 1, 2) уравнений (1.1.1) и (1.1.2) соответственно. Напомним, что в силу теоремы
единственности решений нуль любого нетривиального решения рассматриваемых уравнений является простым.
Теорема 1.1.1. Пусть выполнены неравенства
q1 (t) ≤ q2 (t), q1 (t) 6≡ q2 (t),
7
t ∈ [a, b].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
8
Тогда между любыми двумя последовательными нулями t1 и t2 функции x1 (t) лежит хотя бы один нуль функции x2 (t).
Доказательство. Предположим противное, т.е. пусть x2 (t) не имеет
нулей на интервале (t1 , t2 ). Без ограничения общности можно считать,
что на этом интервале x1 (t) > 0 и x2 (t) > 0. Умножая уравнения (1.1.1)
(при x = x1 (t)) на x2 (t) и (1.1.2) (при x = x2 (t)) на x1 (t) и вычитая
полученные выражения одно из другого, приходим к равенству
x¨1 x2 − x¨2 x1 + (q1 (t) − q2 (t))x1 x2 = 0.
(1.1.3)
Последнее слагаемое в этом равенстве неположительно, поэтому, интегрируя (1.1.3), получаем неравенство
Zt2
(x¨1 x2 − x¨2 x1 ) dt > 0.
t1
Выражение, стоящее здесь под знаком интеграла, есть полная производная функции (x˙1 x2 − x˙2 x1 ). Отсюда, принимая во внимание, что
x1 (t1 ) = x1 (t2 ) = 0, приходим к соотношению
x˙1 (t2 )x2 (t2 ) − x˙1 (t1 )x2 (t1 ) > 0.
(1.1.4)
Учитывая, наконец, что x˙1 (t1 ) > 0, а x˙1 (t2 ) < 0, заключаем, что последнее неравенство выполняться не может. Таким образом, функция x2 (t)
обращается в нуль на интервале (t1 , t2 ). Теорема доказана.
Следствие. Пусть q1 (t) ≡ q2 (t). Тогда либо нули решений x1 (t) и
x2 (t) совпадают (т.е. x1 (t) = const · x2 (t)), либо между любыми двумя
нулями x1 (t)(x2 (t)) лежит ровно один нуль функции x2 (t) (x1 (t)). Тем
самым нули линейно независимых решений перемежаются.
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 1.1.1 с заменой знака неравенства в (1.1.4) на знак равенства.
Для дальнейшего удобно в уравнениях (1.1.1) и (1.1.2) произвести
полярные замены переменных
x = r sin ω, ẋ = r cos ω.
(1.1.5)
Дифференцируя первое равенство (1.1.5) и заменяя ẋ при помощи второго равенства, а также учитывая уравнения (1.1.1) и (1.1.2), для переменных r и ω получаем систему двух дифференциальных уравнений
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.1.
Теоремы сравнения
9
(i = 1, 2)
ṙ = (1 − qi (t))r sin ω cos ω,
ω̇ = cos2 ω + qi (t) sin2 ω.
Из (1.1.5) вытекает, что
r=
p
ẋ2
+
x2 ,
ω = arctg
³x´
ẋ
,
поэтому, в частности, r(t) > 0, (t ∈ [a, b]) и решение x(t) тогда и только
тогда обращается в нуль, когда величина ω есть целое кратное π.
Пусть, как и ранее, x1 (t) и x2 (t) – решения уравнений (1.1.1) и (1.1.2)
соответственно,
µ
¶
q
(t)
x
i
, i = 1, 2.
ri (t) = ẋ2i (t) + x2i (t), ωi (t) = arctg
ẋi (t)
Теорема 1.1.2. Пусть выполняются неравенства
q1 (t) < q2 (t),
t ∈ [a, b]
(1.1.6)
и
ω1 (a) ≤ ω2 (a).
(1.1.7)
Тогда
ω1 (t) < ω2 (t),
t ∈ [a, b].
(1.1.8)
Доказательство. Вычтем сначала одно из уравнений
ω̇i = cos2 ωi + qi (t) sin2 ωi ,
i = 1, 2
(1.1.9)
из другого. В результате получим выражение
(ω2 − ω1 )0 = (q1 (t) − 1)(sin2 ω2 − sin2 ω1 ) + h,
или
u̇ − f u = h,
где
h = (q2 (t) − q1 (t)) sin2 ω2 ,
sin ω2 − sin ω1
f = (q1 (t) − 1)(sin ω2 + sin ω1 )
.
ω2 − ω1
u = ω2 − ω1 ,
(1.1.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
10
Так как h ≥ 0, то
u̇ − f u ≥ 0.
Положим F (t) =
Rb
f (s)ds, умножим последнее неравенство на eF (t) , и
t
проинтегрируем его затем в пределах от a до t. В итоге, учитывая (1.1.7),
приходим к выводу, что
u(t)eF (t) ≥ u(a)eF (a) ≥ 0.
(1.1.11)
Из неравенств (1.1.11) вытекает обоснование пока лишь нестрогого неравенства в (1.1.8). Завершение доказательства проведем, рассуждая от противного. Пусть (1.1.8) не имеет места. Тогда найдется такое
c0 ∈ (a, b], что
ω1 (t) ≡ ω2 (t), t ∈ [a, c0 ].
(1.1.12)
Действительно, если для какого-то t0 из (a, b] имеем u(t0 ) > 0, то из
(1.1.11) получаем, что u(t) > 0 для t ∈ [t0 , b].
Из тождества (1.1.12) и выражения (1.1.10) следует, что h(t) ≡ 0
при t ∈ [a, c0 ]. Отсюда, в свою очередь, приходим к тождествам
ω1 (t) ≡ ω2 (t) ≡ 0 (mod π) при t ∈ [a, c0 ]. В силу равенств (1.1.9) последние тождества невозможны. Теорема доказана.
§ 1.2. Краевые задачи Штурма - Лиувилля
Результаты этого параграфа, при доказательстве которых существенно
используются утверждения §1.1, будут, в свою очередь, играть важную
роль в обосновании положений §1.4.
На отрезке [a, b] рассмотрим дифференциальное выражение
ẍ + (λr(t) + q(t))x = 0,
(1.2.1)
где λ - параметр, r(t) и q(t) – непрерывные функции, причем r(t) > 0
(t ∈ [a, b]). Фиксируем два значения α и β. Значения λ, для которых
(1.2.1) имеет нетривиальное решение x(t, λ), удовлетворяющее краевым
условиям
x(a) cos α − ẋ(a) sin α = 0,
(1.2.2)
x(b) cos β − ẋ(b) sin β = 0,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.2.
Краевые задачи Штурма - Лиувилля
11
называются собственными значениями краевой задачи (1.2.1)–(1.2.2).
Функция x(t, λ) называется собственной функцией. Отметим, что собственная функция определяется единственным, с точностью до постоянного множителя, образом. Краевые задачи вида (1.2.1)–(1.2.2) составляют класс краевых задач Штурма-Лиувилля. Основной результат параграфа состоит в следующем.
Теорема 1.2.1. Существует бесконечно много собственных значений λ0 , λ1 , . . ., которые все вещественны и которые образуют монотонно возрастающую последовательность, причем λn → ∞ при
n → ∞. Собственная функция, отвечающая λn , имеет ровно n нулей
на интервале (a, b).
Доказательство. Основу доказательства теоремы составляют рассуждения из [4] (глава VIII, §2).
Первый этап. Сначала установим вещественность любого собственного значения.
Предположим, что λ0 = γ + iδ является собственным значением, а
x(t, λ0 ) - отвечающая ему собственная функция. В силу вещественности
функций q(t) и r(t) заключаем, что число λ0 = γ − iδ также является
собственным значением с собственной функцией x(t, λ0 ).
Положим в уравнении (1.2.1) λ = λ0 , x = x(t, λ0 ), а затем умножим
его на x(t, λ0 ) и проинтегрируем от a до b. Аналогично положим в (1.2.1)
λ = λ0 и x = x(t, λ0 ), умножим его на x(t, λ0 ) и тоже проинтегрируем от
a до b. Полученные два выражения вычтем одно из другого. В результате
придем к равенству
Zb
(λ0 − λ0 )
r(t)x(t, λ0 )x(t, λ0 )dt = 0.
(1.2.3)
a
Поскольку выражение x(t, λ0 ) · x(t, λ0 ) ≥ 0 (6≡ 0), то из (1.2.3) получаем,
что 2δ = λ0 − λ0 = 0, т.е. λ0 вещественно.
Второй этап. Покажем, что нули любого решения (1.2.1) с фиксированными при t = a начальными условиями являются непрерывными и монотонно убывающими функциями параметра λ. Обозначим через x(t, λ)
решение (1.2.1) с начальными условиями, удовлетворяющими первому
соотношению из (1.2.2), т.е.
x(a, λ) = sin α,
ẋ(a, λ) = cos α.
Будем в дальнейшем предполагать, что 0 ≤ α < π, 0 < β ≤ π. Очевидно,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
12
это не ограничивает общности. Положим далее,
ω(t, λ) = arctg
x(t, λ)
,
ẋ(t, λ)
ω(a, λ) = α.
В силу теоремы 1.1.2 функция ω(t, λ) для каждого фиксированного t ∈ [a, b] есть монотонно возрастающая функция λ. Если
ω(t, λ) = 0 (modπ), то x(t, λ) = 0. Напомним, что ω(t, λ) является решением уравнения
ω̇ = cos2 ω + (λr(t) + q(t)) sin2 ω.
(1.2.4)
Отсюда видно, что условие ω(t, λ) = 0 (modπ) влечет за собой неравенство ω̇(t, λ) > 0. Таким образом, если для некоторого
tk ∈ (a, b) ω(tk , λ) = kπ, то ω(t, λ) > kπ для t > tk и ω(t, λ) < kπ
для t < tk . Кроме того, из монотонности ω(t, λ) по λ заключаем, что при
возрастании λ нули x(t, λ), если вообще существуют, движутся влево к
точке t = a. Пусть tk (λ) есть координата k-го нуля функции x(t, λ), т.е.
ω(tk (λ), λ) = kπ. Дифференцируя последнее равенство по λ, получаем
выражение
dtk (λ) ∂ω(tk (λ), λ)
ω̇ (tk (λ), λ)
+
= 0.
dλ
∂λ
Отсюда и из отмеченных выше свойств ω(t, λ) непосредственно следуk (λ)
ет, что dtdλ
< 0. Таким образом, tk (λ) является монотонно убывающей
функцией параметра λ.
Третий этап. Установим справедливость (для каждого фиксированного c ∈ (a, b]) предельного равенства
lim ω(c, λ) = ∞.
(1.2.5)
λ→∞
Фиксируем постоянные R и Q так, чтобы
r(t) ≥ R > 0,
q(t) ≥ Q,
t ∈ [a, c].
Введем в рассмотрение уравнение с постоянными коэффициентами
ẍ + (λR + Q)x = 0
и обозначим через x̃(t, λ) решение этого уравнения с начальными условиями
˙ λ) = ẋ(a, λ).
x̃(a, λ) = x(a, λ), x̃(a,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.2.
Краевые задачи Штурма - Лиувилля
13
Отсюда и из теоремы 1.1.2 получаем
ω(c, λ) ≥ ω̃(c, λ),
(1.2.6)
где положено
ω̃(t, λ) = arctg
x̃(t, λ)
,
˙ λ)
x̃(t,
ω(a, λ) = ω̃(a, λ).
Последовательные нули функции x̃(t, λ) отличаются на величину
1
π(λR + Q)− 2 . Отсюда следует, что количество нулей x̃(t, λ) на отрезке [a, c] неограниченно растет при λ → ∞. Для функции ω̃(t, λ) это
означает, что
lim ω̃(c, λ) = ∞.
(1.2.7)
λ→+∞
Обоснование (1.2.5) следует теперь из соотношений (1.2.6) и (1.2.7).
Четвертый этап. Здесь будет показано, что для каждого c ∈ (a, b]
lim ω(c, λ) = 0.
(1.2.8)
λ→−∞
Сначала заметим, что ω(t, λ) ≥ 0. Это вытекает из условий α ≥ 0 и ω̇ > 0,
если ω = 0(modπ). Фиксируем затем три положительные постоянные δ,
R и Q так, чтобы
α < π − δ,
R ≤ r(t),
Q ≥| q(t) |,
t ∈ [a, b].
В предположении, что δ ≤ ω ≤ π − δ, оценим производную функции
ω(t, λ). Из (1.2.4) получаем тогда, что
ω̇ < 1− | λ | R sin2 δ + Q.
Таким образом, при условии δ ≤ ω ≤ π − δ функция ω̇(t, λ) для каждого
t ∈ (a, b] неограниченно убывает при λ → −∞. Отсюда приходим к
выводу, что ω(c, λ) < δ для достаточно больших значений −λ. Поскольку
δ > 0 произвольно, то имеет место равенство (1.2.8).
Пятый этап. На основе предельных равенств (1.2.5) и (1.2.8) доказательство теоремы завершается без труда. Действительно, при λ → −∞
имеем ω(b, λ) → 0. Из монотонности ω(b, λ) по λ и из условия β > 0
заключаем, что найдется первое значение λ0 , для которого ω(b, λ0 ) = β.
Тем самым решение x(t, λ0 ) удовлетворяет условиям (1.2.2). Далее из
неравенств 0 < ω(t, λ0 ) < π следует, что x(t, λ0 ) нулей на интервале (a, b)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
14
не имеет. Аналогично, найдется и притом единственное значение λ1 , для
которого ω(b, λ1 ) = β+π. Функция x(t, λ1 ) при этом удовлетворяет (1.2.2)
и имеет один нуль на (a, b). Собственное значение λn определяется из
равенства ω(b, λn ) = πn + β. Собственная функция x(t, λn ) имеет тогда,
очевидно, n нулей на интервале (a, b). Теорема доказана.
§ 1.3. Уравнения с периодическими
коэффициентами
Основным объектом исследования в дальнейшем является уравнение
ẍ + p(t)ẋ + q(t)x = 0
(1.3.1)
с T -периодическими коэффициентами, т.е. p(t + T ) ≡ p(t), q(t + T ) ≡ q(t)
(T > 0). Нас будет интересовать вопрос об устойчивости решений уравнения (1.3.1).
Введем в рассмотрение два линейно независимых решения x1 (t) и
x2 (t) этого уравнения с начальными условиями
x1 (0) = 1, ẋ1 (0) = 0,
x2 (0) = 0, ẋ2 (0) = 1.
Матрицу
µ
U (t) =
x1 (t) x2 (t)
ẋ1 (t) ẋ2 (t)
¶
,
µ
µ
¶
¶
1 0
U (0) =
=E
0 1
(1.3.2)
называют фундаментальной матрицей решений уравнения (1.3.1). Непосредственно проверяется, что определитель этой матрицы удовлетворяет
уравнению
(det U (t))0 = −p(t) det U (t).
Отсюда получаем формулу (Остроградского-Лиувилля)
−
det U (t) = e
Rt
p(s)ds
0
Положим далее
U = U (T ).
.
(1.3.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.3.
Уравнения с периодическими коэффициентами
15
Матрица U называется матрицей монодромии уравнения (1.3.1), а ее собственные значения µ1 и µ2 называются мультипликаторами. Из формулы
(1.3.3) имеем
RT
− p(s)ds
µ1 · µ2 = det U = e 0
.
(1.3.4)
Сформулируем теперь несколько промежуточных утверждений. Пусть
µ = ρeiδ является мультипликатором, а вектор (x0 , ẋ0 ) есть собственный вектор матрицы монодромии, отвечающий собственному значению
µ.
Лемма 1.3.1. Для решения x0 (t) уравнения (1.3.1) с начальными
условиями x0 (0) = x0 , ẋ0 (0) = ẋ0 имеет место соотношение
x0 (t + T ) ≡ µx0 (t).
(1.3.5)
Доказательство. Из определения U (t) следует равенство
µ
¶
µ
¶
x0 (t)
x0
= U (t)
.
ẋ0
ẋ0 (t)
Из определения (x0 , ẋ0 ) и µ находим, что
¶
µ
¶
µ
x0 (T )
x0
.
=µ
ẋ0
ẋ0 (T )
(1.3.6)
Обозначим затем через y(t) функцию x0 (t + T ). Очевидно, y(t) есть решение (1.3.1), причем, согласно (1.3.6),
µ
¶
µ
¶
y(0)
x0 (0)
=µ
.
ẏ(0)
ẋ0 (0)
Из теоремы единственности решений последнее равенство влечет за собой тождество y(t) ≡ µx0 (t), т.е. имеет место (1.3.5). Лемма доказана.
Лемма 1.3.2. Существует такая T -периодическая функция ϕ0 (t),
что
x0 (t) ≡ ϕ0 (t)eγt ,
(1.3.7)
где
γ = (iδ + ln ρ)T −1 .
(1.3.8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
16
Доказательство. Положим
ϕ0 (t) = x0 (t)e−γt .
Тогда периодичность ϕ0 (t) следует из леммы 1.3.1. Действительно,
ϕ0 (t + T ) = x0 (t + T )e−γt−γT = x0 (t)eγT −γt−γT = x0 (t)e−γt = ϕ0 (t). (1.3.9)
Из (1.3.9) непосредственно вытекает равенство (1.3.7). Лемма доказана.
В том случае, когда матрица монодромии имеет два линейно независимых собственных вектора, существуют два линейно независимых решения (1.3.1), представимых в виде (1.3.7). Рассмотрим теперь случай,
когда существует лишь один (с точностью до множителя) собственный
вектор (x0 , ẋ0 ). В этом случае необходимо µ1 = µ2 = µ = ρeiδ . Присоединенный вектор обозначим через (x0 , ẋ0 ), т.е.
¶
µ 0¶
µ 0¶ µ
¶
µ
¶
µ
x
x
x0
x0
x0
.
(1.3.10)
,U
=µ
+
=µ
U
ẋ0
ẋ0
ẋ0
ẋ0
ẋ0
Пусть x0 (t) и x0 (t) – решения уравнения (1.3.1) с начальными условиями
x0 (0) = x0 , ẋ0 (0) = ẋ0 ; x0 (0) = x0 , ẋ0 (0) = ẋ0 . Из леммы 1.3.2 получаем,
что
x0 (t) = ϕ0 (t)eγt , ϕ0 (t + T ) ≡ ϕ(t), γ = (iδ + ln ρ)T −1 .
Лемма 1.3.3. Существует такая T -периодическая функция ϕ0 (t),
что
x0 (t) = ϕ0 (t)eγt + atϕ0 (t)eγt , a = (T eγt )−1 .
(1.3.11)
Доказательство. Как и в лемме 1.3.1, из условий (1.3.10) приходим
к выводу, что
x0 (t + T ) ≡ µx0 (t) + x0 (t).
Функцию ϕ0 (t) определим равенством
ϕ0 (t) = x0 (t)e−γt − atϕ0 (t).
(1.3.12)
Как и при обосновании леммы 1.3.2, непосредственно устанавливаем периодичность этой функции. Формула (1.3.11) есть следствие (1.3.12).
Лемма доказана.
Основной результат настоящего параграфа состоит в получении критерия устойчивости решений в терминах мультипликаторов уравнения
(1.3.1).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.3.
Уравнения с периодическими коэффициентами
17
Теорема 1.3.1.
1. Для асимптотической устойчивости решений (1.3.1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства
| µi |< 1,
i = 1, 2.
(1.3.13)
2. Для устойчивости решений (1.3.1) необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись неравенства
| µi |≤ 1,
i = 1, 2,
(1.3.14)
и при | µ1 |=| µ2 |= 1 матрица монодромии имела два линейно независимых собственных вектора.
Доказательство. Общее решение (1.3.1) в том случае, когда матрица монодромии имеет два линейно независимых собственных вектора,
дается формулой
x(t) = c1 ϕ1 (t)eγ1 t + c2 ϕ2 (t)eγ2 t
(1.3.15)
в случае, когда существует присоединенный вектор, формулой
x(t) = [c1 ϕ1 (t) + c2 ϕ2 (t) + c2 tϕ1 (t)] eγ1 t .
(1.3.16)
В (1.3.15) и (1.3.16) функции ϕ1 (t) и ϕ2 (t) периодичны, c1 и c2 - произвольные постоянные, γk = (iδk + ln ρk )T −1 (k = 1, 2; µk = ρk eiδk ). Условия
(1.3.13) означают, что Re γk < 0 (k = 1, 2). Последнее, в свою очередь,
есть необходимое и достаточное условие стремления к нулю всех решений (1.3.1) при t → ∞. Условие (1.3.14) эквивалентно неравенствам
Re γi ≤ 0, а условие отсутствия присоединенного вектора у матрицы
монодромии означает, что x(t) определяется формулой (1.3.15), а не
(1.3.16). В заключение остается заметить, что при Re γ1 = Re γ2 = 0
решение (1.3.16) при c2 6= 0 неограниченно. Теорема доказана.
Сделаем несколько замечаний. Сначала отметим, что для асимптотической устойчивости решений (1.3.1) необходимо выполнение неравенства
ZT
1
M (p) =
p(s)ds > 0.
T
0
Это следует из (1.3.4) и (1.3.13). Если же M (p) < 0, то решения (1.3.1)
неустойчивы. Пусть теперь M (p) = 0. Тогда для устойчивости решений
(1.3.1) необходимо и достаточно, чтобы либо мультипликаторы µ1 и µ2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
18
были комплексными, либо µ1 = µ2 = ±1, и матрица U не имела присоединенного вектора. Действительно, требование комплексности мультипликаторов вместе с равенством µ1 µ2 = 1 означает, что | µ1 |=| µ2 |= 1
и µ1 и µ2 различны (µ1 = µ2 ). Различным же собственным значениям
отвечают линейно независимые собственные векторы матрицы U , т.е.
присоединенного вектора быть не может.
§ 1.4. Теория зон устойчивости А.М. Ляпунова
Настоящий параграф является центральным. В нем будут изложены основные положения теории зон устойчивости А.М. Ляпунова. Приводимые здесь доказательства теорем принадлежат Э. Коддингтону и И. Левинсону [4] (глава 8, §3).
Рассмотрим дифференциальное выражение
ẍ + p(t)ẋ + [λr(t) + q(t)]x = 0,
(1.4.1)
где λ — параметр. Здесь и далее T -периодические функции r(t) > 0
(t ∈ [0, T ]) и q(t) непрерывны, p(t) непрерывно дифференцируема. Главное ограничение на функцию p(t) состоит в том, что
1
M (p) =
T
ZT
p(s)ds = 0.
(1.4.2)
0
Значения λ, при которых уравнение (1.4.1) имеет (нетривиальное) решение, удовлетворяющее периодическим краевым условиям
x(0) = x(T ), ẋ(0) = ẋ(T ),
(1.4.3)
называются собственными значениями периодической краевой задачи.
Аналогично, значения λ, при которых уравнение (1.4.1) имеет (нетривиальное) решение, удовлетворяющее антипериодическим краевым условиям
x(0) = −x(T ), ẋ(0) = −ẋ(T ),
(1.4.4)
называются собственными значениями антипериодической краевой задачи. Собственные значения задачи (1.4.1),(1.4.3) будем обозначать через
λ+ , а собственные значения задачи (1.4.1),(1.4.4) — через λ− .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.4.
Теория зон устойчивости А.М. Ляпунова
19
Введем в рассмотрение матрицу монодромии U (λ), мультипликаторы
которой обозначим через µi (λ) (i = 1, 2). Напомним, что
det U (λ) = µ1 (λ) · µ2 (λ) = 1.
(1.4.5)
Важным для дальнейшего будут следующие простые замечания: λ = λ+
тогда и только тогда является собственным значением периодической
краевой задачи, когда
µ1 (λ+ ) = µ2 (λ+ ) = 1,
(1.4.6)
и λ = λ− тогда и только тогда есть собственное значение антипериодической краевой задачи, когда
µ1 (λ− ) = µ2 (λ− ) = −1.
(1.4.7)
Нам понадобится еще след f (λ) матрицы монодромии, т.е.
f (λ) = µ1 (λ) + µ2 (λ).
(1.4.8)
Отсюда и из (1.4.6) и (1.4.7) заключаем, что собственные значения периодической (антипериодической) краевой задачи и только они являются
корнями уравнения
f (λ) = 2 (f (λ) = −2).
(1.4.9)
Основные утверждения, которые будут сформулированы в конце параграфа в виде теорем, явятся следствием приводимых ниже лемм.
Прежде всего в уравнении (1.4.1) произведем замену
x = ye
− 12
Rt
0
p(s)ds
,
(1.4.10)
в результате которой, переобозначая y = x, получим уравнение
ẍ + [λr(t) + g(t)]x = 0,
где
(1.4.11)
1
1
g(t) = q(t) − ṗ(t) − p2 (t).
2
4
Из (1.4.2) следует, что при замене (4.12) собственные значения периодической и антипериодической краевых задач для уравнения (1.4.11) те
же, что и для уравнения (1.4.1). Поэтому в дальнейшем будем рассматривать уравнение (1.4.11).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
20
Лемма 1.4.1. Все собственные значения рассматриваемых краевых задач вещественны.
Доказательство. Достаточно установить справедливость леммы для
+
λ , поскольку λ− является в то же время собственными значениями периодической с периодом 2Т краевой задачи для того же уравнения. Итак,
пусть λ+ — собственное значение, а x+ (t) — отвечающая ему собственная функция. Поступим так же, как и при обосновании соответствующего утверждения в §1.2. Положим в (1.4.11) λ = λ+ , x = x+ (t) и умножим
каждое слагаемое этого уравнения на x+ (t). После этого проинтегрируем полученное выражение от 0 до Т и вычтем аналогичное выражение,
+
которое получается при замене λ+ на λ и x+ (t) на x+ (t). В результате
получим
ZT
+
(λ+ − λ ) r(t)x+ (t)x+ (t)dt = 0.
0
+
Отсюда следует, что λ+ = λ , т.е. λ+ вещественно. Лемма доказана.
Введем далее в рассмотрение для уравнения (1.4.11) еще одну краевую задачу
x(0) = x(T ) = 0.
(1.4.12)
Эта краевая задача, принадлежащая классу краевых задач ШтурмаЛиувилля, называется первой. Из результатов §1.2 вытекает, что существует бесконечно много собственных значений µj (j = 0, 1, . . .) этой
краевой задачи, причем
µ0 < µ 1 < µ 2 < . . .
(1.4.13)
каждому λ = µ отвечает собственная функция, имеющая ровно j нулей
на интервале (0, Т). Количество же нулей этой функции на отрезке [0, Т]
равно, очевидно, j + 2.
Обозначим, наконец, через ν0 наименьшее собственное значение краевой задачи для уравнения (1.4.11) и краевых условий
ẋ(0) = ẋ(T ) = 0.
Согласно результатам §1.2, собственная функция x(t, ν0 ) для этого собственного значения положительна на [0, Т]. Отсюда и из теоремы сравнения §1.1 получаем неравенство
ν0 < µ 0 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.4.
Теория зон устойчивости А.М. Ляпунова
21
Следующие утверждения посвящены детальному анализу поведения следа матрицы монодромии.
Лемма 1.4.2. Имеют место неравенства
f (ν0 ) ≥ 2, f (µ2i ) ≤ −2, f (µ2i+1 ) ≥ 2,
i = 0, 1, . . .
(1.4.14)
Доказательство. Обозначим через x1 (t, λ) и x2 (t, λ) решения (1.4.11)
с начальными условиями
x1 (0, λ) = 1, ẋ1 (0, λ) = 0;
x2 (0, λ) = 0, ẋ2 (0, λ) = 1.
Из определения матрицы монодромии для ее следа f (λ) кроме формулы
(1.4.8) верно представление
f (x) = x1 (T, λ) + ẋ2 (T, λ).
(1.4.15)
Пусть теперь λ = µi . Тогда функция x2 (t, µi ) является собственной
функцией первой краевой задачи. Это означает, что x2 (T, µi ) = 0 и
x2 (t, µi ) имеет ровно i нулей на (0, Т). Таким образом,
(−1)i+1 ẋ2 (T, µi ) > 0.
(1.4.16)
Учтем еще равенство (1.4.5), которое имеет вид
x1 (T, λ)ẋ2 (T, λ) − ẋ1 (T, λ)x2 (T, λ) = 1.
(1.4.17)
Тогда при λ = µi отсюда находим, что
ẋ2 (T, µi ) =
1
.
x1 (T, µi )
Подставляя последнее равенство в (1.4.15), получим
f (µi ) = x1 (T, µi ) +
1
.
x1 (T, µi )
Отсюда и из (1.4.16) вытекает обоснование неравенств
f (µ2i ) ≤ −2, f (µ2i+1 ) ≥ 2,
i = 0, 1, . . .
Пусть теперь λ = ν0 . Тогда x1 (t, ν0 ) является собственной функцией, отвечающей этому собственному значению, причем x1 (t, ν0 ) > 0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
22
(t ∈ [0, T ]), ẋ1 (T, ν0 ) = 0. Формула (1.4.17) при λ = ν0 принимает более
простой вид:
x1 (T, ν0 )ẋ2 (T, ν0 ) = 1.
Отсюда находим, что
f (ν0 ) = x1 (T, ν0 ) +
1
≥ 2.
x1 (T, ν0 )
Лемма доказана.
Лемма 1.4.3. Пусть λ0 - корень одного из уравнений (1.4.9), причем λ0 6= µi (i = 0, 1, . . .). Тогда,
во-первых, λ0 есть простое собственное значение для краевых
условий (1.4.3) или (1.4.4) и,
i 0
во-вторых, ³f 0 (λ0 ) <
´ 0, если λ0 < µ0 и (−1) f (λ0 ) > 0, если
df
µi < λ < µi+1
f 0 = dλ
.
Доказательство. Выразим f 0 (λ) через функции x1 (t, λ) и x2 (t, λ).
(t,λ)
Для этого рассмотрим сначала функцию u(t, λ) = ∂x1∂λ
. Очевидно,
u(0, λ) = u̇(0, λ) = 0 и
ü + (λr(t) + g(t))u = −r(t)x1 (t, λ).
Из формулы вариации произвольной постоянной получаем
Zt
u(t, λ) =
[x1 (t, λ)x2 (τ, λ) − x1 (τ, λ)x2 (t, λ)] r(τ )x1 (τ, λ)dτ.
0
Отсюда
∂x1 (T, λ)
= u(T, λ) =
∂λ
ZT
= [x1 (T, λ)x2 (τ, λ) − x1 (τ, λ)x2 (T, λ)] r(τ )x1 (τ, λ)dτ.
(1.4.18)
0
Аналогично находим
∂ ẋ2 (T, λ)
=
∂λ
ZT
[ẋ1 (T, λ)x2 (τ, λ) − x1 (τ, λ)ẋ2 (T, λ)] r(τ )x2 (τ, λ)dτ.
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.4.
Теория зон устойчивости А.М. Ляпунова
23
Складывая последние два выражения, получаем равенство
ZT
f 0 (λ) =
©
x22 (τ, λ)ẋ1 (T, λ) + x2 (τ, λ)x1 (τ, λ) [x1 (T, λ)−
0
ª
− ẋ2 (T, λ)] − x21 (τ, λ)x2 (T, λ) r(τ )dτ.
(1.4.19)
Выражение, стоящее в фигурной скобке (1.4.19), является квадратичной
формой относительно x1 (τ, λ) и x2 (τ, λ). Эта форма не меняет знака,
если [x1 (T, λ) − ẋ2 (T, λ)]2 + 4ẋ1 (T, λ)x2 (T, λ) ≤ 0. Учитывая (1.4.17), это
неравенство можно переписать в виде
[x1 (T, λ) + ẋ2 (T, λ)]2 ≤ 4.
(1.4.20)
Итак, при условии −2 < f (λ) < 2 фигурная скобка имеет определенный
знак. Если f (λ) = 2 или −2, то, с точностью до множителя −1, эта
скобка есть точный квадрат и f 0 (λ) может обратиться к нулю лишь
тогда, когда фигурная скобка тождественно по τ равна нулю.
Пусть λ = λ0 , где λ0 удовлетворяет условиям леммы. Тогда, очевидно,
x2 (T, λ0 ) 6= 0, а значит, фигурная скобка в (1.4.19) не равна тождественно нулю, причем знак f 0 (λ0 ) совпадает со знаком величины −x2 (T, λ0 ).
Пользуясь опять теоремой сравнения §1.1, находим, что имеет место
неравенство
(−1)i x2 (T, λ0 ) < 0, если µi < λ0 < µi+1 .
Тем самым доказательство леммы завершено.
В том случае, когда f (µi ) = ±2 и f 0 (µi ) 6= 0, число λ = µi есть простое
собственное значение краевой задачи (1.4.1), (1.4.3) или (1.4.1), (1.4.4).
Лемма 1.4.4. Пусть для некоторого номера i
(−1)i+1 f (µi ) = 2,
f 0 (µi ) = 0.
(1.4.21)
Тогда, во-первых, µi является кратным собственным значением для
(1.4.1), (1.4.3), если i нечетно, и для (1.4.1), (1.4.4), если i четно, причем значению λ = µi отвечают две линейно независимые собственные
функции. Во-вторых, имеет место неравенство
(−1)i+1 f 00 (µi ) < 0.
(1.4.22)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
24
Доказательство. Предположим для определенности, что i нечетно.
Из соотношений (1.4.21) вытекает, что каждое слагаемое, стоящее в
фигурных скобках (1.4.19), есть тождественный нуль, т.е.
x2 (T, µi ) = ẋ1 (T, µi ) = 0, x1 (T, µi ) = ẋ2 (T, µi ) = 1.
(1.4.23)
Обозначим для краткости
ϕλ =
∂x(T, λ)
∂ ẋ(T, λ)
∂x2 (T, λ)
∂ ẋ2 (T, λ)
, ϕ̇λ =
, ψλ =
, ψ̇λ =
.
∂λ
∂λ
∂λ
∂λ
Тогда
f 00 (λ) = ϕλλ + ψ̇λλ .
(1.4.24)
Продифференцировав (1.4.17) по λ, получим
ẋ1 (T, λ)ψλ + x2 (T, λ)ϕ̇λ − x(T, λ)ψ̇λ − ẋ2 (T, λ)ϕλ = 0.
(1.4.25)
Учитывая здесь (1.4.23), приходим к выводу, что
ϕλ = −ψ̇λ ,
λ = µi .
(1.4.26)
Дифференцируя снова (1.4.25) и используя (1.4.23) и (1.4.26), находим
2ψλ ϕ̇λ + 2ϕ2λ − ψλλ − ϕλλ = 0,
λ = µi .
Выражая отсюда ϕλλ + ψ̇λλ и подставляя найденное выражение в (1.4.24),
получим новое представление для f 00 (λ):
£
¤
f 00 (µi ) = 2 ϕ2λ (µi ) + ψλ (µi )ϕ̇λ (µi ) .
(1.4.27)
Для величин, фигурирующих в правой части (1.4.27), можно получить формулы, аналогичные (1.4.18), выражающие их через x1 (t, λ) и
x2 (t, λ).
Так, например, используя (1.4.23) и (1.4.18), придем к следующему
соотношению:
ZT
ϕλ = x1 (τ, µi )x2 (τ, µi )r(τ )dτ.
0
Аналогично найдем
ZT
ZT
x22 (τ, µi )r(τ )dτ,
ψλ =
0
x21 (τ, µi )r(τ )dτ.
ϕ̇λ = −
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.4.
Теория зон устойчивости А.М. Ляпунова
25
В итоге выражение для f 00 (µi ) принимает вид
"µ ZT
f 00 (µi ) = 2
¶2
x1 (τ, µi )x2 (τ, µi )r(τ )dτ
µ ZT
x21 (τ, µi )r(τ )dτ ×
−
0
¶
0
¶#
µ ZT
x22 (τ, µi )r(τ )dτ
×
.
(1.4.28)
0
Из неравенства Коши-Буняковского вытекает, что правая часть
(1.4.28) неположительна, причем равенство нулю возможно лишь при
x1 (τ, µi ) ≡ x2 (τ, µi ). Последнее же места не имеет в силу линейной независимости решений. Тем самым, установлено неравенство f 00 (µi ) < 0.
Лемма доказана.
На основании результатов лемм 1.4.2 — 1.4.4 можно заключить, что
график функции f (λ) имеет вид, представленный на рисунке 1.1.
Рис. 1.1
Таким образом, непосредственным следствием этих лемм является
существование бесконечных последовательностей собственных значений
−
λ+
n (n = 0, 1, . . .) и λn (n = 1, 2, . . .) периодической и антипериодической
краевых задач, причем
−
−
+
+
−
−
+
λ+
0 < λ1 ≤ µ0 ≤ λ2 < λ1 ≤ µ1 ≤ λ2 < λ3 ≤ µ2 ≤ λ4 < λ3 ≤ . . . (1.4.29)
−
+
Собственные функции, отвечающие λ+
n и λn , обозначим через xn (t)
и x−
n (t) соответственно. Изучим теперь осцилляционные свойства этих
функций.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
26
Лемма 1.4.5. Функция x+
0 (t) не имеет нулей на [0, Т]; функции
+
+
x2n+1 (t) и x2n+2 (t) (n = 0, 1, . . .) имеют каждая точно 2n + 2 нулей
−
на полуинтервале [0, Т), а функции x−
2n+1 (t) и x2n+2 (t) имеют каждая
точно 2n + 1 нулей на [0, Т).
Доказательство. В силу краевых условий функция x+
n (t) имеет чет−
ное число нулей, а xn (t) - нечетное. Собственными функциями для краевых условий (1.4.11) являются x2 (t, µn ) с n нулями на интервале (0, Т).
+
Поскольку λ+
0 < µ0 , то функция x0 (t) не может иметь (по теореме 1.1.1)
двух нулей на [0, Т), а так как число нулей x+
0 (t) на этом полуинтервале
четно, то это число должно быть нулем.
Далее, из неравенств
+
µ2n < λ+
2n+1 ≤ λ2n+2 < µ2n+2 ,
(n ≥ 0)
+
следует, что функции x+
2n+1 (t) и x2n+2 (t) имеют более 2n+1 нулей и менее
2n + 4 нулей на [0, Т), т.е. точно 2n + 2. Для функций x−
n (t) рассуждения
аналогичны. Лемма доказана.
Подведем итог сказанному в этом параграфе.
Теорема 1.4.1. Существует бесконечно много собственных зна−
чений λ+
n (n = 0, 1, . . .) периодической краевой задачи и λn (n = 1, 2, . . .)
антипериодической краевой задачи, все из которых вещественные,
причем имеют место неравенства
−
−
+
+
−
−
+
+
−∞ < λ+
0 < λ1 ≤ λ2 < λ1 ≤ λ2 < λ3 ≤ λ4 < λ3 ≤ λ4 < . . . .
Для λ = λ+
0 существует единственная (с точностью до множителя) собственная функция x+
0 (t). Если для некоторого номера n име+
ет место неравенство λ2n+1 < λ+
2n+2 , то существуют единственные
+
+
+
собственные функции x2n+1 (t) и x+
2n+2 (t). Если же λ2n+1 = λ2n+2 , то
существуют две линейно независимые собственные функции x+
2n+1 (t)
+
+
+
и x2n+2 (t). Далее, функция x0 (t) не имеет нулей на [0, Т]; x2n+1 (t) и
x+
2n+2 (t) имеют точно по 2n + 2 нулей на [0, Т). Аналогичные результаты имеют место для функций x−
n (t) с той лишь разницей, что
+
−
x2n+1 (t) и x2n−2 (t) имеют по 2n + 1 нулей на [0, Т).
Изучим в заключение вопрос об устойчивости решений при различных значениях λ.
Теорема 1.4.2. Пусть значение параметра λ таково, что для
некоторого n
±
±
1. λ ≤ λ+
0 или λ2n+1 ≤ λ ≤ λ2n+2
±
(λ±
2n+1 6= λ2n+2 ).
Тогда решения уравнения (1.4.1) неустойчивы.
(1.4.30)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.4.
Теория зон устойчивости А.М. Ляпунова
27
+
−
+
+
−
2. λ = λ±
2n+1 = λ2n+2 или λ2n+2 < λ < λ2n+1 или λ2n < λ < λ2n+1 .(1.4.31)
Тогда решения (1.4.1) устойчивы.
±
±
Отметим, что промежутки (−∞, λ+
0 ], [λ2n+1 , λ2n+2 ] (n = 0, 1, . . .)
называются зонами неустойчивости решений (1.4.1), а промежутки
−
−
+
(λ+
2n , λ2n+1 ) и (λ2n+2 , λ2n+1 ) (n = 0, 1, . . .) называются зонами устойчивости.
Доказательство теоремы. Сначала обоснуем первое утверждение
теоремы. Пусть в (1.4.30) неравенства строгие. Тогда, как следует из
свойств следа f (λ) матрицы монодромии, имеет место неравенство
| f (λ) |> 2.
Отсюда и из (1.4.5) и (1.4.8) вытекает, что мультипликаторы вещественны и один из них по модулю превосходит 1. Для доказательства неустойчивости решений (1.4.1) в этом случае остается сослаться на теорему
1.3.1.
±
±
±
Пусть теперь λ = λ±
2n+1 или λ = λ2n+2 , причем λ2n+1 6= λ2n+2 . В этом
случае оба мультипликатора равны +1 или −1, а уравнение (1.4.1) имеет
лишь одно (с точностью до множителя) периодическое решение. Поэтому
найдется решение x(t), которое согласно лемме 1.3.3 имеет вид
x(t) = tϕ1 (t) + ϕ2 (t),
где периодические функции ϕ1 (t) и ϕ2 (t) не равны тождественно нулю.
Наличие неограниченного решения, очевидно, влечет за собой неустойчивость решений.
Докажем затем второе утверждение теоремы. При вычислении первого из условий (1.4.31) существуют два линейно независимых периодических решения уравнения (1.4.1). Отсюда следует устойчивость. Если
же выполнены второе или третье условия (1.4.31), то, как было показано ранее, | f (λ) |< 2. Учитывая, наконец, (1.4.5) и (1.4.8) получаем,
что оба мультипликатора равны по модулю 1 и различны (комплексно
сопряжены).
Устойчивость решений теперь следует из теоремы 1.3.1. Теорема доказана.
Уравнение вида (1.4.1) при условии (1.4.2) будем в дальнейшем называть самосопряженным, а при условии M (p) > 0 — несамосопряженным.
В заключение отметим один интересный факт. Между собственными
−
значениями λ+
n , λn и собственными значениями первой краевой задачи
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
28
существует более тесная связь. Обозначим через µn (α) (n = 0, 1, . . .) собственные значения первой краевой задачи на отрезке [α, α + T ].
Лемма 1.4.6. Имеют место равенства
λ+
2n+1 = min µ2n+1 (α),
α∈[0,T ]
λ−
2n+1 = min µ2n (α),
α∈[0,T ]
λ+
2n+2 = max µ2n+1 (α),
α∈[0,T ]
λ−
2n+2 = max µ2n (α),
α∈[0,T ]
где n = 0, 1, . . ..
Доказательство.
Достаточно
¤ что каждое значение λ из
¤
£установить,
£ +
−
−
+
(n = 0, 1, . . .) является
промежутков λ2n+1 , λ2n+2 или λ2n+1 , λ2n+2
собственным значением одной из рассматриваемых первых краевых задач.
При указанных λ мультипликаторы (1.4.1) вещественны. Поэтому существует такое решение x(t, λ) 6= 0 и такое ненулевое число µ(λ), что
x(t + T, λ) = µ(λ)x(t, λ).
(1.4.32)
Далее, из осцилляции решений (1.4.1) следует, что найдется такое
τ (λ) ∈ [0, T ], что
x(τ (λ), λ) = 0.
Отсюда и из (1.4.32) получаем, что x(t, λ) является собственной функцией первой краевой задачи на отрезке [τ (λ), τ (λ) + T ], а λ является
собственным значением этой же краевой задачи. Лемма доказана.
§ 1.5. Об одном критерии неустойчивости
решений
В этом параграфе на основе предыдущих результатов будет получен
необходимый и достаточный критерий неустойчивости решений в терминах пробных“ функций. Этот критерий будет использован в дальней”
шем.
1. Постановка задачи и формулировка результатов.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
ẍ + p(t)ẋ + q(t)x = 0
(1.5.1)
с Т-периодическими коэффициентами. Будем предполагать, что выполнено неравенство
M (p) ≥ 0.
(1.5.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.5.
Об одном критерии неустойчивости решений
29
Для сокращения записи удобно считать, что Т = 1. Это не ограничивает
общности. В самом деле, в уравнении (1.5.1) можно выполнить замену
времени t = T · τ , которая приводит к уравнению вида
d2 x
dx
+
p̃(τ
)
+ q̃(τ )x = 0.
dτ 2
dτ
Здесь функции p̃(τ ) = T p(T τ ) и q̃(τ ) = T 2 p(T τ ) уже периодичны по τ с
периодом 1.
Отметим еще, что всюду ниже рассматриваются периодические функции лишь с периодом 1.
Прежде чем сформулировать основной результат настоящего параграфа, введем ряд обозначений. Ниже будут фигурировать функции
v0 (t), v1 (t) и v2 (t), которые обладают следующими свойствами. Вопервых, функция v0 (t) периодична, а функции v1 (t) и v2 (t) либо обе
периодичны, либо обе антипериодичны. Во-вторых, v0 (t) положительна,
а v1 (t) и v2 (t) имеют одинаковое число m > 0 нулей на полуинтервале
[0, 1). Наконец, в-третьих, справедливо дифференциальное равенство
£
¤
v̈i (t) + p(t)v̇i (t) + q(t) + (−1)i ϕi (t) vi (t) = 0, i = 0, 1, 2,
(1.5.3)
где непрерывные периодические функции ϕi (t) неотрицательны и
ϕi (t) 6≡ 0 (i = 0, 1, 2).
Будем говорить, что решения (1.5.1) не осциллируют на отрезке [0, 1],
если среди решений этого уравнения найдется решение, не имеющее нулей на [0, 1]. В противном случае будем говорить, что решения осциллируют.
Теорема 1.5.1. Пусть решения уравнения (1.5.1) не осциллируют
на отрезке [0, 1]. Тогда его решения неустойчивы в том и только том
случае, если существует функция v0 (t) с описанными выше свойствами.
Теорема 1.5.2. Пусть решения уравнения (1.5.1) осциллируют на
отрезке [0, 1]. Тогда его решения неустойчивы в том и только том
случае, когда существует пара функций v1 (t) и v2 (t) с описанными
выше свойствами.
Отметим, что при условии M (p) = 0 обоснование сформулированных
теорем можно непосредственно получить из теории зон устойчивости
А.М. Ляпунова (см., например, [5], с. 584). В этом случае существует и
аналогичный критерий устойчивости. В случае M (p) > 0 теорема 1.5.1
впервые приведена в [6], а теорема 1.5.2 - в [7]. Обращаем внимание,
что в последнем случае подобного критерия устойчивости не существует.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
30
Следующие 8 пунктов посвящены обоснованию теоремы 1.5.2, а в
последнем пункте доказывается теорема 1.5.1. При этом в первых семи
пунктах обосновывается достаточность условий неустойчивости.
2. Предварительные построения.
Сделаем сначала одно дополнительное предположение, которое будет
снято в пункте 9. Будем считать, что
ϕ1 (t) · ϕ2 (t) 6≡ 0.
(1.5.4)
Введем в рассмотрение линейное дифференциальное уравнение
ẍ + p(t)dotx + q(t, λ)x = 0.
(1.5.5)
Свойства функции q(t, λ), которые мы сейчас опишем, будут играть важную роль при доказательстве теоремы 1.5.2. Во-первых, эта функция
непрерывно дифференцируема по λ и, кроме того, для каждого λ ∈ [−2, 2]
выполнены соотношения
qλ (t, λ) =
∂q(t, λ)
≥ 0,
∂λ
qλ (t, λ) 6≡ 0.
(1.5.6)
Во-вторых, выполнены равенства
q(t, −1) ≡ q(t) − ϕ1 (t), q(t, 0) ≡ q(t), q(t, 1) ≡ q(t) + ϕ2 (t).
Третье свойство заключается в том, что имеют место неравенства
q(t, −2) < 0,
(1.5.7)
q(t, 2) ≥ c0 ,
(1.5.8)
где c0 > 0 - некоторое число, выбором которого распорядимся позже.
Легко видеть, что функция q(t, λ), обладающая нужными свойствами,
существует. Например, можно положить


[ϕ1 (t) − δ0 ϕ1 (t)ϕ2 (t)] λ3 +



+d0 (λ + 1)3 + λδ0 ϕ1 (t)ϕ2 (t) + q(t), λ ∈ [−2, −1],




[ϕ1 (t) − δ0 ϕ1 (t)ϕ2 (t)] λ3 +



+λδ0 ϕ1 (t)ϕ2 (t) + q(t),
λ ∈ (−1, 0],
(1.5.9)
q(t, λ) =
3
[ϕ
(t)
−
δ
ϕ
(t)ϕ
(t)]
λ
+

2
0
1
2



+λδ0 ϕ1 (t)ϕ2 (t) + q(t),
λ ∈ (0, 1],



3

[ϕ2 (t) − δ0 ϕ1 (t)ϕ2 (t)] λ +



+d0 (λ − 1)3 + λδ0 ϕ1 (t)ϕ2 (t) + q(t), λ ∈ (1, 2],
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.5.
Об одном критерии неустойчивости решений
31
а положительные постоянные δ0 и d0 можно определить здесь так, чтобы
выполнялись соотношения
·
µ
¶¸−1
δ0 < max max ϕ1 (t), max ϕ2 (t)
, d0 ≥ c0 + max | q(t) | .
t∈[0,1]
t∈[0,1]
t∈[0,1]
Доказательство теоремы основано на анализе поведения мультипликаторов ν1 (λ) и ν2 (λ) уравнения (1.5.5). Условимся для определенности
считать, что
| ν1 (λ) |≥| ν2 (λ) |, λ ∈ [−2, 2].
Тогда из (1.5.2) и (1.5.3) вытекают равенства
ν1 (−1) = ν2 (1) = (−1)m .
(1.5.10)
Отметим, что здесь в правой части стоит знак ’+’, если функции
v1 (t) и v2 (t) периодические, и знак ’–’, если функции антипериодические.
Обоснование достаточности будет получено, если покажем, что
| ν1 (λ) |> 1, когда λ ∈ (−1, 1).
(1.5.11)
Введем в рассмотрение самосопряженное дифференциальное уравнение
·
¸
1
1 2
ÿ + q(t, λ) − ṗ(t) − p (t) y = 0,
(1.5.12)
2
4
которое получается из (1.5.5), а это будет особенно важно, при помощи
замены
Rt
1
− 2 p(τ )dτ
0
x = ye
.
(1.5.13)
Обозначим через y1 (t, τ, λ) и y2 (t, τ, λ) решения уравнения (1.5.12) с начальными условиями
y1 (τ, τ, λ) = ẏ2 (τ, τ, λ) = 1,
ẏ1 (τ, τ, λ) = y2 (τ, τ, λ) = 0.
Функция
f (λ) = y1 (τ + 1, τ, λ) + ẏ2 (τ + 1, τ, λ)
(1.5.14)
является следом матрицы монодромии (1.5.12) и поэтому не зависит от τ .
Исследование свойств f (λ) занимает центральное место при доказательстве теоремы 1.5.2. Порядок дальнейших рассуждений таков. Сначала
покажем, что функция | f (λ) | ведет себя на некотором отрезке [λ0 , λ0 ]
так, как это показано на рис. 1.2.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
32
Рис. 1.2
Сформулируем точно нужный факт: найдутся два таких числа
λ0 ∈ (−2, −1] и λ0 ∈ [1, 2), что
1. f (λ0 ) = f (λ0 ) = 2 · (−1)m .
(1.5.15)
2. (−1)m f (λ0 ) > 2,
λ ∈ (λ0 , λ0 ).
(1.5.16)
3. Функция f 0 (λ) =
∂f (λ)
имеет не более одного нуля на интервале
∂λ
(λ0 , λ0 ).
Отметим, что особую трудность составляет обоснование последнего
свойства. Отсюда уже легко будет следовать справедливость неравенства
(1.5.11). Действительно, пусть µ1 (λ) и µ2 (λ) — мультипликаторы уравнения (1.5.12). Пусть для определенности | µ1 (λ) |≥| µ2 , (λ) | (λ ∈ [−2, 2]).
Тогда, с одной стороны, из равенства (1.5.13) получаем, что
ν1 (λ) = µ1 (λ)e
− 12
R1
p(t)dt
0
,
(1.5.17)
а с другой, в силу определения f (λ), что
f (λ) = µ1 (λ) +
1
.
µ1 (λ)
(1.5.18)
Далее, так как | µ1 (λ) | есть монотонно возрастающая функция | f (λ) |
при | µ1 (λ) |≥ 1, т.е. при λ ∈ [λ0 , λ0 ], то в силу (1.5.10)
(−1)m µ1 (λ) > (−1)m µ1 (−1) = (−1)m µ1 (1),
λ ∈ (−1, 1).
(1.5.19)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.5.
Об одном критерии неустойчивости решений
33
Неравенство (1.5.11) является теперь непосредственным следствием
неравенства (1.5.19) и равенств (1.5.10) и (1.5.17).
3. Вспомогательное утверждение.
Утверждение этого пункта будет использовано ниже для установления нужных свойств функции f (λ).
Пусть xτ (t, λ) - решение уравнения (1.5.12), обращающееся в нуль в
точке τ . Введем в рассмотрение функцию ψk (τ, λ), равную расстоянию
от τ до k-го следующего нуля функции xτ (t, λ). Из теоремы сравнения
(§1.1) вытекает, что при любых k и τ функция ψk (τ, λ) монотонно убывает по λ. Далее, если при некотором λ = λ мультипликаторы (1.5.12)
комплексны, то найдется такой номер k0 , что
max ψk0 (τ, λ) < 1,
τ ∈[0,1]
min ψk0 +1 (τ, λ) > 1.
τ ∈[0,1]
Действительно, в предположении противного существует такой номер k0
и такая точка τ0 ∈ [0, 1], что ψk0 (τ0 , λ) = 1. Отсюда вытекает существование такого вещественного числа µ0 6= 0, что
xτ0 (t + 1, λ) ≡ µ0 xτ0 (t, λ),
т.е. µ0 является вопреки предположению, вещественным мультипликатором (1.5.12).
Отметим еще, что необходимым и достаточным условием принадлежности значения λ = λ зоне устойчивости является в случае осцилляции
решений выполнение неравенств
max ψk0 (τ, λ) ≥ 1,
τ ∈[0,1]
min ψk0 (τ, λ) ≤ 1
τ ∈[0,1]
для некоторого k0 > 0. Наконец, значения λ = λ1 и λ = λ2 являются
соответственно левой и правой границами зоны неустойчивости, если
min ψk0 (τ, λ1 ) = 1,
τ ∈[0,1]
max ψk0 (τ, λ2 ) = 1.
τ ∈[0,1]
Значения λ1 и λ2 являются собственными значениями периодической или
антипериодической краевой задачи.
4. Существование чисел λ0 и λ0 , фигурирующих в (1.5.15).
При λ = −2 функция q(t, −2) неположительна. Поэтому при этом
значении λ решения (1.5.12) не осциллируют. С другой стороны, при
Rt
1
p(s)ds
2
0
, обращающееся
λ = −1 это уравнение имеет решение y = v1 (t)e
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
34
в нуль на [0, 1) ровно m > 0 раз. С помощью утверждений предыдущего
пункта отсюда выводим существование такого λ0 ∈ (−2, −1], что
max ψm (τ, λ0 ) = 1,
τ ∈[0,1]
min ψm (τ, λ0 ) < 1.
τ ∈[0,1]
При этом имеет место неравенство
(−1)m f (λ) > 2,
λ ∈ (λ0 , −1].
(1.5.20)
Прежде чем доказывать существование λ0 из (1.5.15), определим величину c0 в (1.5.8). Положим
µ
¶
1
1
c0 = π 2 (m + 2)2 + max
| ṗ(t) | + p2 (t) .
4
t∈[0,1] 2
При таком выборе c0 имеет место неравенство
1
1
q(t, 2) − ṗ(t) − p2 (t) ≥ π 2 (m + 2)2 .
2
4
Поэтому количество нулей на [0, 1] решений уравнения (1.5.12) при λ = 2
не менее m + 2.
Таким образом, ψm+2 (τ, 2) < 1, а max ψm (τ, 1) ≥ 1. Отсюда найдется
такое λ0 ∈ [1, 2), что
max ψm (τ, λ0 ) = 1.
τ ∈[0,1]
При этом имеет место неравенство
(−1)m f (λ) > 2,
λ ∈ [1, λ0 ),
(1.5.21)
аналогичное (1.5.20).
5. Обоснование неравенства (1.5.16).
Предположим противное, т.е. пусть найдется такое λ ∈ (−1, 1), что
| f (λ) |= 2. Обозначим через τ1 и τ2 точки из отрезка [0, 1], в которых
функции v1 (t) и v2 (t) обращаются в нуль соответственно. Очевидно,
ψm (τ1 , −1) = −1.
Из определения λ тогда вытекает равенство
max ψm (τ, λ) = 1.
τ ∈[0,1]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.5.
Об одном критерии неустойчивости решений
35
Наконец, из монотонности ψm (τ, λ) по λ заключаем, что для λ > λ
max ψm (τ, λ) < 1.
τ ∈[0,1]
Однако, в точке τ = τ2 верно равенство ψm (τ2 , 1) = 1. Получено противоречие. Таким образом, неравенство (1.5.16) доказано.
6. Одно вспомогательное неравенство.
Пусть для некоторого λ̃ ∈ (λ0 , λ0 ) выполнено условие
f 0 (λ̃) = 0.
(1.5.22)
Тогда из самого определения мультипликаторов следует существование
единственного (с точностью до множителя) решения y2 (t, λ) уравнения
(1.5.12), для которого
y2 (t + 1, λ) ≡ µ2 (λ̃)y2 (t, λ),
λ ∈ (λ0 , λ0 ).
(1.5.23)
Обозначим через τ0 ∈ [0, 1) точку, в которой y2 (t, λ̃) обращается в нуль,
и будем считать, что ẏ2 (τ0 , λ̃) = 1. Через y1 (t, λ) обозначим решение
(1.5.12), для которого y1 (τ0 , λ̃) = 1, y1 (τ0 , λ) = 0. Из (1.5.23) вытекает,
что
y2 (τ0 + 1, λ̃) = 0, ẏ2 (τ0 + 1, λ̃) = µ2 (λ̃),
(1.5.24)
а из формул (1.5.14) и (1.5.18) получаем равенство
y1 (τ0 + 1, λ̃) = µ1 (λ̃).
(1.5.25)
Основным содержанием этого пункта является следующий результат.
Лемма 1.5.1. Из условия (1.5.22) следует оценка
¯ τ +n
¯
¯ Z0
¯
¯
¯
¯
¯ ≤ c, n = 1, 2, . . . ,
y
(τ,
λ̃)y
(τ,
λ̃)q
(τ,
λ̃)dτ
(1.5.26)
1
2
λ
¯
¯
¯
¯
τ0
где постоянная c > 0 не зависит от n.
Доказательство. Без потери общности можно считать, что τ0 = 0.
Действительно, при τ0 6= 0 в уравнении (1.5.12) следует произвести замену времени ξ = t − τ0 и обозначить ξ снова буквой t, а функции
q(ξ + τ0 , λ), p(ξ + τ0 ), ṗ(ξ + τ0 ), обозначить опять через q(t, λ), p(t) и ṗ(t)
соответственно.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
36
Введем в рассмотрение фундаментальную матрицу U (t, λ) решений
уравнения (1.5.12). Тогда след fn (λ) матрицы U (n, λ) выражается следующими двумя формулами:
fn (λ) = µn1 (λ) + µn2 (λ)
(1.5.27)
и
fn (λ) = y1 (n, λ) + ẏ2 (n, λ).
Из (1.5.27) вытекает, что все нули функции fn0 (λ) при λ ∈ (λ0 , λ0 ) и
только они являются в то же время нулями функции f 0 (λ). Отсюда, в
частности, следует, что
fn0 (λ̃) = 0.
(1.5.28)
Подобно выражению (1.4.18), для функции fn (λ) справедливо интегральное представление
Zn
fn0 (λ) =
©
y22 (τ, λ)ẏ1 (n, λ) + y2 (τ, λ)y1 (τ, λ) [y1 (n, λ)−
ª
− ẏ2 (n, λ)] − y12 (τ, λ)y2 (n, λ) qλ (τ, λ)dτ.
(1.5.29)
0
Учитывая здесь равенства (1.5.24), (1.5.25) и (1.5.28), приходим к равенству
Zn n
h
io
2
n
n
0 =
y2 (τ, λ̃)ẏ1 (n, λ̃) + y2 (τ, λ̃)y1 (τ, λ̃) µ1 (λ̃) − µ2 (λ) ×
0
(1.5.30)
× qλ (τ, λ̃)dτ.
Из (1.5.23) и из условия | µ2 (λ̃) |< 1 вытекает следующая оценка для
интеграла от первого слагаемого в правой части (1.5.30):
¯ n
¯
¯Z
¯
¯
¯
¯ y22 (τ, λ̃)ẏ1 (n, λ̃)qλ (τ, λ̃)dτ ¯ ≤ c1 | ẏ1 (n, λ̃) |,
¯
¯
¯
¯
0
где c1 > 0 не зависит от n. В свою очередь, правая часть здесь, очевидно,
допускает оценку
| ẏ1 (n, λ̃) |≤ c2 | µn1 (λ̃) | .
(1.5.31)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.5.
Об одном критерии неустойчивости решений
37
Но тогда из неравенства (1.5.30) получаем, что при больших значениях
n выполнено неравенство
¯
¯
¯
¯h
Zn
i
¯
¯ n
¯ ≤ c1 · c2 | µn1 (λ̃) | .
¯ µ1 (λ̃) − µn2 (λ̃)
y
(τ,
λ̃)y
(τ,
λ̃)q
(τ,
λ̃)dτ
2
1
λ
¯
¯
¯
¯
0
Отсюда и из условия | µ1 (λ̃) |> 1 непосредственно следует оценка
(1.5.26). Лемма доказана.
7. Единственность нуля функции f 0 (λ) при λ ∈ (λ0 , λ0 ).
Нужное утверждение будет следовать из приводимой ниже леммы.
Лемма 1.5.2.
неравенство
Из условия f 0 (λ̃) = 0 при λ̃ ∈ (λ0 , λ0 ) вытекает
µ
(−1)m f 00 (λ̃) < 0,
¶
2
d
f
(λ)
f 00 (λ) =
.
dλ2
(1.5.32)
Доказательство. Прежде всего отметим формулу
fn00 (λ̃)
=
nµ001 (λ̃)
h
i
n−1
n+1
µ1 (λ̃) − µ2 (λ̃) ,
которая следует из (1.5.27) и (1.5.18). Отсюда вытекает, что знак функций в точке fn00 (λ) в точке λ = λ̃ один и тот же при всех n = 1, 2, . . ..
Поэтому можно ограничиться рассмотрением случая, когда n достаточно
велико. Поступая так же, как и при выводе формулы (1.4.27), получим
при λ = λ̃ следующее выражение для fn00 (λ̃):
fn00 (λ̃) = In1 + In2 ,
где положено
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
38
In1 =
"Zn
2ẏ1 (n, λ̃)
Zn
−
0
0
Zn
× ẏ1 (n, λ̃)
×
0
#
Zτ
y22 (τ, λ̃) y1 (ξ, λ̃)y2 (ξ, λ̃)qλ (ξ, λ)dξqλ (τ, λ̃)dτ ×
"0
Zn
Zτ
y1 (τ, λ̃)y2 (τ, λ̃) y22 (ξ, λ̃)qλ (ξ, λ̃)dξqλ (τ, λ̃)dτ −
#
Zn
y1 (τ, λ̃)y2 (τ, λ̃)qλ (τ, λ̃)dτ − µn2 (λ̃) y12 (τ, λ̃)qλ (τ, λ̃)dτ ×
0
0
Zn
Zτ
y22 (τ, λ̃)qλ (τ, λ̃)dτ − µn2 (λ̃) y12 (τ, λ̃) y22 (ξ, λ̃)qλ (ξ, λ̃)dξqλ (τ, λ̃)dτ +
0
0
0
Zn n
h
io
2
n
n
+
y2 (τ, λ̃)ẏ1 (n, λ̃)+ y2 (τ, λ̃)y1 (τ, λ̃) µ1 (λ̃) − µ2 (λ̃) qλλ (τ, λ̃)dτ +
0
Zn
Zτ
+ µn2 (λ̃) y22 (τ, λ̃) y12 (ξ, λ̃)qλ (ξ, λ̃)dξqλ (τ, λ̃)dτ,
0
(1.5.33)
0
" Zn
In2 = µn1 (λ̃)
#
Zτ
y12 (τ, λ̃)
0
y22 (ξ, λ̃)qλ (ξ, λ̃)dξqλ (τ, λ̃)dτ .
(1.5.34)
0
Величина In1 удовлетворяет оценке сверху
¯
¯
¯ 1¯
¯In ¯ ≤ c ¯¯µn1 (λ̃)¯¯ ,
(1.5.35)
где c ≥ 0 не зависит от n. Это следует из того, что аналогичная оценка
верна для каждого слагаемого в (1.5.33). Поясним сказанное. Выражение
Rτ 2
y2 (τ, λ̃)qλ (τ, λ̃)dτ удобно представить в виде
0
Zτ
Z∞
y22 (τ, λ̃)qλ (τ, λ̃)dτ =
0
Z∞
y22 (τ, λ̃)qλ (τ, λ̃)dτ −
0
y22 (τ, λ̃)qλ (τ, λ̃)dτ.
τ
Из (1.5.23) заключаем, что первый интеграл в правой части этого равенства сходится, а второй не превосходит по модулю величины
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.5.
Об одном критерии неустойчивости решений
39
c3 | µ2 (λ̃) |2τ (c3 > 0 – некоторая постоянная, точное значение которой нас не интересует). Отсюда и из леммы 1.5.1 вытекает, что первое
слагаемое, стоящее в первых квадратных скобках (1.5.33), ограничено
некоторой постоянной, не зависящей от n. Ограниченность второго слагаемого в тех же скобках следует опять из (1.5.23) и леммы 1.5.1. Для
доказательства оценки вида (1.5.35) для остальных слагаемых (1.5.33)
достаточно заметить, что | y1 (t, λ̃) |≤ c4 | µ1 (λ̃) |t (t > 0).
Отрицательность величин (−1)m fn00 (λ̃) будет следовать теперь из неравенства (1.5.35) и из оценок
In2 < −c0 n | µn1 (λ̃) |,
In2 > −c0 n | µn1 (λ̃) |,
если m четно,
если m нечетно.
(1.5.36)
Здесь c0 > 0 не зависит от n. В справедливости (1.5.36) нетрудно убедиться, используя выражение (1.5.34). Действительно, функция y1 (t, λ̃)
имеет вид
y1 (t, λ̃) = ϕ1 (t)eγ1 t + ϕ2 (t)e−γ1 t ,
в котором ϕ1 (t) и ϕ2 (t) периодичны (с периодом, вообще говоря, равным
2), а γ1 = ln | µ1 (λ̃) |. Отсюда
Zτ
y12 (ξ, λ̃)qλ (ξ, λ̃)dξ ≥ c4 | µ1 (λ̃) |2τ ,
τ ≥1
0
и далее
Zn
Zτ
y22 (τ, λ̃)
0
y12 (ξ, λ̃)qλ (ξ, λ̃)dξqλ (τ, λ̃)dτ ≥ c5 n | µn1 (λ̃) | .
0
Если еще учесть, что первый множитель в (1.5.34) имеет знак, противоположный знаку µ1 (λ̃), то обоснование (1.5.36) вытекает из последнего
неравенства. Лемма доказана.
8. Завершение доказательства теоремы 1.5.2.
Нам осталось доказать необходимость условий этой теоремы. Введем
в рассмотрение семейство уравнений
·
¸
1
1 2
ÿ + q(t) + λ − ṗ(t) − p (t) y = 0,
(1.5.37)
2
4
зависящих от параметра λ. Из неустойчивости решений уравнения
(1.5.1) следует, что решения (1.5.37) при λ = 0 и подавно неустойчивы,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
40
ибо последнее уравнение при λ = 0 получается из (1.5.1) в результате замены (1.5.13). При этом решения (1.5.37), как и решения (1.5.1),
осциллируют на отрезке [0, 1]. Из результатов §1.4 вытекает тогда, что
существуют такое отрицательное и такое положительное значения λ, при
которых (1.5.37) имеет периодические или антипериодические решения.
Обозначим через λ1 наибольшее из таких отрицательных λ, а через λ1
– наименьшее из таких положительных λ. Далее заметим, что решения
уравнения
ẍ + p(t)ẋ + [q(t) + λ]x = 0
устойчивы, когда λ = λ1 и λ = λ1 . Отсюда и из непрерывной зависимости мультипликаторов от параметра λ заключаем, что найдутся такие
λ2 ∈ [λ1 , 0) и λ2 ∈ (0, λ1 ], при которых последнее уравнение имеет периодическое или антипериодическое решение с нужными осцилляционными
свойствами. Таким образом, можно положить
ϕ1 (t) ≡ −λ2 ,
ϕ2 (t) ≡ λ2 .
Теорема 1.5.2 доказана.
9. Случай ϕ1 (t) · ϕ2 (t) ≡ 0 (ϕ1 (t), ϕ2 (t) 6≡ 0).
При этом условии qλ (t, 0) ≡ 0. Поэтому предыдущие построения непосредственно неприменимы.
Введем в рассмотрение уравнение
·
¸
1
1 2
ÿ + q(t, λ, δ) − ṗ(t) − p (t) y = 0,
2
4
где
q(t, λ, δ) ≡ q(t, λ) + δλ,
δ > 0,
а функция q(t, λ) определяется равенствами (1.5.9). След матрицы монодромии этого уравнения обозначим через f (λ, δ). Для функции f (λ, δ)
при любом δ > 0 уже справедливы все выводы пунктов 2 - 8, ибо
qλ (t, λ, δ) ≥ 0 (6≡ 0). Таким образом, имеет место неравенство (0 < δ ¿ 1)
| f (λ, δ) |>| f (−1, δ) |,
λ ∈ (−1, 1),
причем найдется такое не зависящее от δ число α0 ,
| f (0, δ) |> α0 + | f (−1, δ) |. Отсюда и из предельного равенства
lim[f (λ, 0) − f (λ, δ)] = 0,
δ→0
что
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.5.
Об одном критерии неустойчивости решений
41
которое выполняется равномерно относительно λ ∈ [−1, 1], следует справедливость неравенства | f (0, 0) |≥ α0 + | f (−1, 0) |. Последнее неравенство эквивалентно неустойчивости решений уравнения (1.5.1).
10. Доказательство теоремы 1.5.1.
Необходимость обосновывается так же, как и в предыдущем случае.
Докажем достаточность условий теоремы. Положим q(t, λ) ≡ q(t)+λϕ0 (t)
и рассмотрим уравнение
¸
·
1 2
1
(1.5.38)
ÿ + q(t, λ) − ṗ(t) − p (t) = 0.
2
4
Обоснование нужного факта будет получено, если покажем, что выполняется неравенство
f 0 (λ) < 0 при λ ≤ 1,
(1.5.39)
где f (λ) — след матрицы монодромии уравнения (1.5.38).
Проведем несколько вспомогательных построений. По условию при
λ = 1 решения (1.5.1), а значит, и (1.5.38) не осциллируют. Поэтому и
для всех λ < 1 решения (1.5.38) тоже не осциллируют. Отсюда, в свою
очередь, следует вещественность мультипликаторов µ1 (λ) и µ2 (λ). Нам
удобно здесь считать, что µ1 (λ) и µ2 (λ) занумерованы так, что
0 < µ1 (λ) ≤ 1 ≤ µ2 (λ),
λ ∈ [0, 1].
(1.5.40)
Обозначим через y1 (t, λ) решение, которое представимо (согласно §1.3)
в виде
y0 (t, λ) = ϕ(t, λ)e−γ(λ)t ,
где ϕ(t, λ) периодичны, а γ(λ) = ln µ2 (λ) ≥ 0. Разберем отдельно два
случая.
Первый случай. Пусть для некоторого λ0 < 1 найдется такая точка
t0 ∈ [0, 1], что
ϕ̇(t0 , λ0 ) − γ(λ)ϕ(t0 , λ0 ) = 0.
(1.5.41)
Фиксируем два решения y1 (t, λ) и y2 (t, λ) с начальными условиями
y1 (t0 , λ) = ẏ2 (t0 , λ) = 1,
y2 (t0 , λ) = ẏ1 (t0 , λ) = 0.
Из определения t0 делаем вывод, что
y1 (t, λ0 ) ≡
1
ϕ(t, λ0 )e−γ(λ0 )t .
ϕ(t0 , λ0 )
(1.5.42)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
42
Отсюда получаем, что ẏ1 (t + 1, λ0 )
=
0. Следовательно,
y1 (t0 + 1, λ0 ) = µ2 (λ0 ) и ẏ2 (t0 + 1, λ0 ) = µ1 (λ0 ). Эти равенства, а
также (1.5.40) и условие положительности y1 (t, λ0 ) и y2 (t, λ0 ) при t > t0
позволяют сделать вывод о том, что выполняется неравенство (1.5.39).
Действительно, нужно лишь воспользоваться формулой (1.4.18), которая
в наших обозначениях имеет вид
tZ0 +1
©
f 0 (λ) =
y22 (τ, λ)ẏ1 (t0 + 1, λ) + y2 (τ, λ)y1 (τ, λ) [y1 (t0 + 1, λ) −
ª
−ẏ2 (t0 + 1, λ)] − y12 (τ, λ)y2 (t0 + 1, λ) ϕ0 (t)dt.
t0
(1.5.43)
Второй случай. Пусть равенство (1.5.41) для некоторого λ0 < 1 не
имеет места ни при каких t0 ∈ [0, 1]. Обозначим через g(t) такую гладкую
положительную периодическую функцию, чтобы выражение
ġ(t)ϕ(t, λ0 ) + g(t)ϕ̇(t, λ0 ) − γ(λ0 )g(t)ϕ(t, λ0 )
(1.5.44)
было знакопеременно. Существование g(t) очевидно. Произведем затем
в уравнении (1.5.38) замену
y = g(t)z.
В результате получим уравнение, след матрицы монодромии которого
тот же, что и для уравнения (1.5.38). Более того, для нового уравнения
остается верной формула (1.5.43), имея в виду, что y1 (t, λ) и y2 (t, λ)
теперь уже суть решения соответствующего уравнения. Роль функции
ϕ(t, λ) играет теперь функция g(t)ϕ(t, λ), поэтому выражению, стоящему
в левой части (1.5.41), отвечает выражение (1.5.44). Наличие же нулей
у последнего при λ = λ0 гарантировано в силу выбора функции g(t).
Таким образом, рассматриваемый нами второй случай удалось свести к
первому. Доказательство теоремы 1.5.1 завершено.
§ 1.6. Распространение теории зон
устойчивости на несамосопряженный случай
1. Формулировка результатов.
Как и в §1.4, рассмотрим уравнение с T - периодическими коэффициентами
ẍ + p(t)ẋ + [q(t) + λ]x = 0,
(1.6.1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.6.
Распространение теории зон устойчивости...
43
однако здесь мы будем предполагать, что
M (p) > 0.
(1.6.2)
Основной результат состоит в следующем.
Теорема 1.6.1.
Существует такой конечный набор чисел
λ1 , . . . , λN (N ≥ 1 и нечетно), связанных неравенствами
−∞ < λ1 < λ2 ≤ λ3 < λ4 ≤ λ5 < . . . ≤ λN < ∞,
(1.6.3)
что при всех λ ∈ (−∞, λ1 ), (λ2n , λ2n+1 ), (n = 1, . . . , N2−1 ) решения уравнения (1.6.1) неустойчивы, а при остальных λ, включая случай, когда
λ = λ2n = λ2n+1 — устойчивы. При этом λ1 является собственным
значением периодической краевой задачи для (1.6.1), а λ2n и λ2n+1
являются одновременно собственными значениями либо периодической, либо антипериодической краевой задачи. Других, отличных от
λn (n = 1, . . . , N ) вещественных собственных значений эти краевые
задачи не имеют.
Таким образом, как периодическая, так и антипериодическая краевые задачи имеют конечное число вещественных собственных значений.
Комплексных же собственных значений у каждой из этих краевых задач бесконечно много. Следующее утверждение уточняет расположение
невещественных собственных значений.
Теорема 1.6.2. В промежутках (−∞, λ1 ], [λ2n , λ2n+1 ],
(n = 1, . . . , N2−1 ) не могут находиться вещественные части собственных значений периодической и антипериодической краевых задач.
Отметим, что теорема 1.6.1 приведена в [7]. Утверждение теоремы
1.6.2, касающееся полуинтервала (−∞, λ1 ), получено в [6].
2. Доказательство теоремы 1.6.1.
Выполним в уравнении (1.6.1) замену
x = ye
− 21
Rt
0
p(s)ds
,
(1.6.4)
в результате которой получим самосопряженное уравнение
1
1
ÿ + [g(t) + λ]y = 0, g(t) = q(t) − ṗ(t) − p2 (t).
2
4
(1.6.5)
След матрицы монодромии этого уравнения обозначим через f (λ). Легко
видеть, что собственные значения периодической и антипериодической
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
44
краевых задач (и только они) для уравнения (1.6.1) являются решениями
уравнений
 T


 T
Z
Z
1
1
f (λ) = 2 ch 
p(s)ds и f (λ) = −2 ch 
p(s)ds ,
(1.6.6)
2
2
0
0
соответственно. Как показано в п.10 §1.5, функция f (λ) является монотонно убывающей на полуоси (−∞, λ0 ], где λ0 - наименьшее собственное
значение периодической для (1.6.5) краевой задачи. Поэтому найдется
такое λ1 < λ0 , для которого выполнено первое равенство (1.6.6), причем
при вещественных λ < λ1 , уравнения (1.6.6) неразрешимы.
Важную роль играет следующий простой результат.
Лемма 1.6.1. При достаточно больших (вещественных) λ имеет
место соотношение
³√
´
1
f (λ) = 2 cos
λ · T + O(λ− 2 ).
(1.6.7)
Доказательство. Обозначим через y1 (t, λ) и y2 (t, λ) решения (1.6.5)
с начальными условиями
y1 (0, λ) = ẏ2 (0, λ) = 1,
y2 (0, λ) = ẏ1 (0, λ) = 0
и применим формулы метода вариации произвольной постоянной для
нахождения решений уравнения (1.6.5), записанного в виде
ÿ + λy = ϕ(t),
ϕ(t) = −g(t)y.
В результате получим равенства
y1 (t, λ) = cos
√
1
λt + √
λ
Zt
g(τ )y1 (τ, λ) sin
h√
i
λ(t − τ ) dτ,
(1.6.8)
0
√
1
1
√
y2 (t, λ) =
sin λt + √
λ
λ
Zt
g(τ )y2 (τ, λ) sin
h√
i
λ(t − τ ) dτ.
(1.6.9)
0
Положим M = max | g(t) |, m(λ) = max | y1 (t, λ) |. Тогда из (1.6.8)
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
вытекает неравенство
m(λ) ≤ 1 +
M m(λ)
√
.
λ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.6.
Распространение теории зон устойчивости...
Отсюда
·
M
m(λ) ≤ 1 − √
λ
45
¸−1
.
Учитывая затем эту оценку в (1.6.8), находим асимптотическое представление для y1 (t, λ):
y1 (t, λ) = cos
Аналогично
ẏ2 (t, λ) = cos
√
√
1
λt + O(λ− 2 ).
1
λt + O(λ− 2 ).
Используя последние два выражения в формуле
f (λ) = y1 (T, λ) + ẏ2 (T, λ),
приходим к равенству (1.6.7). Лемма доказана.
Из леммы вытекает, что при некотором λN выполняется условие: для
всех λ ≥ λN решения (1.6.1) устойчивы, причем при λ > λN устойчивость
асимптотическая (оба мультипликатора меньше по модулю 1). На отрезке [λ1 , λN ] изменения λ существует конечное число зон неустойчивости
решений уравнения (1.6.5). Из теоремы 1.5.2 следует, что вещественные
решения уравнений (1.6.6) могут принадлежать лишь зонам неустойчивости, причем в каждой такой зоне либо нет ни одного решения (1.6.6),
либо ровно два (с учетом кратности). Теорема 1.6.1 доказана.
3. Доказательство теоремы 1.6.2.
Решения (1.6.5) с фиксированными начальными условиями являются
при каждом t целыми функциями параметра λ. Отсюда следует, что
f (λ) тоже есть целая функция λ. Далее, функция f (λ) имеет бесконечно
много нулей λ1 , λ2 , . . ., все из которых вещественны и простые. Покажем
теперь, что порядок роста функции f (λ) при λ → ∞ не превышает 1, т.е.
найдется такое c > 0, что
| f (λ) |≤ ceT |λ| ,
(| λ |→ ∞).
(1.6.10)
Заметим сначала, что фундаментальная матрица решений U (t, λ)
уравнения (1.6.5) удовлетворяет системе уравнений
µ
¶
0
1
U̇ = A(t, λ)U, где A(t, λ) =
,
−λ − g(t) 0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
46
или, что то же самое,
µ
Zt
U (t, λ) = E +
A(s)U (s, λ)ds
µ
E=
1 0
0 1
¶¶
.
0
Отсюда приходим к неравенству
Zt
kU (t, λ)k < 2 + (| λ | +a)
kU (s, λ)k ds,
(1.6.11)
0
где
°µ
¶°
4
° a1 a2 ° X
°
°
| ai |,
° a3 a4 ° =
a = 1 + max | g(s) | .
0≤s≤T
i=1
Неравенство (1.6.11) удобно переписать в виде
kU (t, λ)k
=
Rt
2 + (| λ | +a) kU (s, λ)kds
0
"
#
Zt
1
d
=
· ln 2 + (| λ | +a) kU (s, λ)kds ≤ 1.
| λ | +a dt
0
После интегрирования, из последнего неравенства находим
kU (t, λ)k ≤ 2e(|λ|+a)t .
Применяя это соотношение при t = T , получим неравенство
kU (T, λ)k ≤ ce|λ|T ,
(c = 2eaT ).
(1.6.12)
Оценка (1.6.10) следует теперь из (1.6.12) и из определения f (λ).
Сформулированные здесь относительно функции f (λ) факты позволяют воспользоваться одним результатом Адамара [8], из которого получаем важное представление для f (λ):
¶
∞ µ
Y
λ
λ
f (λ) = λk eαλ+δ
1−
e λj ,
λj
j=1
(1.6.13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 1.6.
Распространение теории зон устойчивости...
47
где k = 1, если f (0) = 0, и k = 0 в противном случае. Не ограничивая
общности, можно считать, что k = 0.
Обозначим затем через γ0 вещественный корень одного из уравнений
(1.6.6), а через γ 0 = α0 + iβ0 (β0 6= 0) — комплексный корень одного из
этих уравнений.
Лемма 1.6.2. Имеет место неравенство
γ0 6= α0 .
(1.6.14)
Доказательство. Докажем лемму, рассуждая от противного. Пусть
найдутся такие γ0 и γ 0 , о которых говорилось выше, что γ0 = α0 . Уравнения (1.6.6) можно объединить в одно:
#
" ZT
1
p(s)ds = c0 .
f 2 (λ) = 4 ch
2
(1.6.15)
0
Подставляя в (1.6.15) выражение (1.6.13) и логарифмируя, находим
"
Ã∞ µ
¶!#
∞
X
Y
λ
= ln c0 .
2 αλ + δ − λ
λ−1
1−
j + ln
λ
j
j=1
j=1
Положим здесь λ = γ0 +iβ0 и учтем, что (1.6.15) выполняется при λ = γ0 .
Тогда для определения β0 получим уравнение
Ã∞ µ
Ã∞ µ
¶!
¶!
Y
Y
γ0 + iβ0
γ0
iδ0 β0 + ln
1−
− ln
1−
= 0,
(1.6.16)
λ
λ
j
j
j=1
j=1
где δ0 = α −
∞
P
j=1
λ−1
j . Равенство (1.6.16) влечет за собой равенство
e
−iδ0 β0
=
∞
Y
ρj eiϕj ,
j=1
в котором
s
ρj =
β02
,
1+
(λj − γ0 )2
µ
ϕj = arctg
β0
γ0 − λj
¶
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
48
Условие равенства модуля обеих частей этого уравнения означает, что
∞ µ
Y
1=
1+
j=1
β02
(λj − γ0 )2
¶
.
Это равенство невозможно, ибо правая часть заведомо больше 1. Лемма
доказана.
Из этой леммы легко вытекает доказательство теоремы 1.6.2. Действительно, рассмотрим семейство уравнений
ẍ + µp(t)ẋ + [q(t) + λ]x = 0,
зависящее еще от одного параметра µ ∈ [0, 1]. При µ = 0 все корни уравнений, аналогичных (1.6.6), вещественны. Если же допустить, что при
µ = 1, т.е. в уравнении (1.6.1), вещественные части комплексных
корней
¡
¢
N −1
(1.6.6) лежат в промежутках (−∞, λ1 ], [λ2n , λ2n+1 ], n = 1, . . . , 2 , то
обязательно найдется такое µ0 ∈ [0, 1], для которого хотя бы один вещественный корень совпадает с вещественной частью комплексного корня.
Это, в свою очередь, невозможно в силу леммы 1.6.2. Теорема доказана.
В заключение параграфа сделаем одно замечание. Утверждения этого
параграфа не изменятся, если в уравнении (1.6.1) заменить λ на λr(t),
где периодическая функция r(t) > 0 (t ∈ [0, 1]). Если же r(t) имеет нули,
то теорема 1.6.2 останется верной, а теорема 1.6.1, вообще говоря, места
не имеет. Случай наличия нулей у функции r(t) изучается в главе 4.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 2
Устойчивость решений
уравнений с близкими
к постоянным
коэффициентами
Основную роль при разработке алгоритмов исследования устойчивости решений уравнений с близкими к постоянным периодическими
коэффициентами будут играть результаты главы 1, которые связывают
вопросы устойчивости решений с расположением собственных значений
периодической и антипериодической краевых задач.
§ 2.1. Уравнения с близкими к нулевым
коэффициентами
Используемый здесь алгоритм исследования устойчивости решений
предложен в [9].
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
ẍ + p(t, ε)ẋ + q(t, ε)x = 0,
(2.1.1)
в котором ε ∈ (0, ε0 ], а T - периодические функции p(t, ε) и q(t, ε) разлагаются при этих значениях ε в равномерно относительно t ∈ [0, T ]
сходящиеся ряды
p(t, ε) = εp1 (t) + ε2 p2 (t) + . . . , q(t, ε) = εq1 (t) + ε2 p2 (t) + . . . ,
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 2. Устойчивость решений уравнений . . .
50
причем
1
M (p) =
T
ZT
p(s, ε)ds ≥ 0.
(2.1.2)
0
Нас будет интересовать вопрос об устойчивости решений уравнения
(2.1.1) для достаточно малых значений ε. Для того чтобы воспользоваться результатами главы 1, введем в рассмотрение еще два дифференциальных выражения
ẍ + p(t, ε)ẋ + [q(t, ε) + λ]x = 0,
·
¸
1
1 2
ÿ + q(t, ε) − ṗ(t, ε) − p (t, ε) + λ y = 0.
2
4
(2.1.3)
(2.1.4)
Поставим затем для (2.1.3) и (2.1.4) периодические и антипериодические краевые задачи. Наименьшие собственные значения периодических
краевых задач для (2.1.3) и (2.1.4) обозначим через λ0 (ε) и µ0 (ε) соответственно, а наименьшее собственное значение антипериодической для
(2.1.4) краевой задачи обозначим через µ1 (ε). Очевидно, λ0 (ε), µ0 (ε) и
µ1 (ε) есть вещественные и непрерывные функции параметра ε. Далее,
при ε = 0 оба уравнения (2.1.3) и (2.1.4) имеют вид
z̈ + λz = 0.
Наименьшее собственное значение периодической краевой задачи для
этого уравнения равно нулю, а наименьшее собственное значение антипериодической краевой задачи равно π 2 T −2 . Поэтому
lim λ0 (ε) = lim µ0 (ε) = 0,
ε→0
ε→0
lim µ1 (ε) =
ε→0
π2
.
T2
(2.1.5)
Из результатов главы 1 знаем, что при условии
λ0 (ε) ≤ λ ≤ µ1 (ε)
(2.1.6)
решения уравнения (2.1.3) устойчивы. Здесь используем еще тот факт,
что имеет место неравенство (2.1.2) и уравнения (2.1.3) и (2.1.4) переходят друг в друга с помощью замены
x = ye
− 12
Rt
0
p(s, ε)ds
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 2.1.
Уравнения с близкими к нулевым коэффициентами
51
Учитывая, наконец, (2.1.5), приходим к выводу, что решения уравнения
(2.1.1) при достаточно малых ε будут устойчивы (неустойчивы), если
λ0 (ε) < 0
(λ0 (ε) > 0).
(2.1.7)
Покажем, что при малых ε λ0 (ε) разлагается в сходящийся ряд
λ0 (ε) = ελ1 + ε2 λ2 + . . .
(2.1.8)
В самом деле, для рассматриваемых ε след f (λ, ε) матрицы монодромии
уравнения (2.1.3) аналитичен по ε (и λ), а λ0 (ε) является простым корнем
уравнения
 T

 T

Z
Z
1
1
f (λ, ε) = 2 ch 
p(s, ε)ds , f (0, 0) = 2 ch 
p(s, 0)ds = 2,
2
2
0
причем
0
¯
∂f ¯¯
= −T 2 .
¯
∂λ λ=0,ε=0
Нужное утверждение следует теперь из теоремы о неявной функции.
Отсюда же вытекает, что собственную функцию x0 (t, ε), отвечающую
λ0 (ε) (которая положительна), можно разложить в ряд
x0 (t, ε) = 1 + εx1 (t) + ε2 x2 (t) + . . . ,
(2.1.9)
где функции xi (t) (i = 1, 2, . . .) периодичны. Таким образом, решения
(2.1.1) устойчивы при всех достаточно малых ε, если первый ненулевой
коэффициент ряда (2.1.8) отрицателен, и неустойчивы, если этот коэффициент положителен.
Сформулируем, наконец, эффективный алгоритм определения коэффициентов ряда (2.1.8).
Рассмотрим тождество
ẍ0 (t, ε) + p(t, ε)ẋ0 (t, ε) + [q(t, ε) + λ0 (ε)]x0 (t, ε) = 0.
(2.1.10)
Подставляя сюда вместо всех фигурирующих здесь функций их разложения в ряды по степеням ε и приравнивая коэффициенты при каждой
степени ε, найдем
ẍ1 + [q1 (t) + λ1 ] = 0,
(2.1.11)
...............
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
52
ГЛАВА 2. Устойчивость решений уравнений . . .
ẍk + [ϕk (t) + λk ] = 0
...............
(2.1.12)
В (2.1.12) периодическая функция ϕk (t) (k = 2, 3, . . .) зависит только от q1 (t), . . . , qk (t), p1 (t), . . . , pk−1 (t), x1 (t), . . . , xk−1 (t), λ1 , . . . , λk−1 , т.е.
система уравнений (2.1.12) (k = 1, 2, . . .) является рекуррентной. Очевидно, для существования периодических решений уравнений (2.1.12)
необходимо и достаточно, чтобы
1
λk +
T
ZT
ϕk (t)dt = 0.
(2.1.13)
0
Отсюда λk однозначно находятся. Так, например,
λ1 = −M (q1 ).
(2.1.14)
Пример [10]. Рассмотрим вопрос об устойчивости верхнего состояния
равновесия маятника с вибрирующей по гармоническому закону точкой
подвеса. В математической постановке задача сводится к исследованию
устойчивости решений уравнения
£
¤
ẍ + 2αεẋ + −ε2 k 2 + ε sin t x = 0,
(2.1.15)
где α, k — некоторые положительные постоянные, а 0 < ε ¿ 1. Согласно
R2T
1
(2.1.14) имеем λ1 = − 2π sin t dt = 0, а из уравнения (2.1.11) находим
0
тогда x1 (t) = sin t. Для определения λ2 и x2 (t) уравнение (2.1.12) такое:
ẍ2 + 2α cos t + sin2 t − k 2 + λ2 = 0,
т.е. λ2 = k 2 − 12 , x2 (t) = 2α cos t − 18 cos 2t. Таким образом, при k 2 < 21
верхнее состояние равновесия устойчиво, а при k 2 > 12 — неустойчиво
(когда ε достаточно мало). Рассмотрим случай, когда k 2 = 21 , т.е. λ2 = 0.
Для определения λ3 и x3 (t) имеем уравнение
1
ẍ3 (t) + 2αẋ2 (t) − x2 (t) + x3 (t) sin t + λ3 = 0.
2
(2.1.16)
Отсюда находим, что λ3 = 0, поэтому необходимо определить еще λ4 .
Для этого рассмотрим уравнение
1
ẍ4 (t) + 2αẋ3 (t) − x2 (t) + x3 (t) sin t + λ4 = 0.
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 2.2.
Уравнения с близкими к постоянным коэффициентами
53
Из этого уравнения
λ4 = −M (x3 (t) sin t).
Далее, так как M (x3 (t) sin t) = −M (ẍ3 (t) sin t), то из уравнения (2.1.16)
получаем, что
µ
¶
1 2
7
> 0.
λ4 = −M − sin t + 2αẋ2 (t) sin t + x2 (t) sin2 t = 2α2 +
2
32
Таким образом, при k = 12 верхнее состояние равновесия неустойчиво.
В заключение этого параграфа сделаем два замечания. Во-первых, к
уравнению вида (2.1.1) сводится уравнение
ẍ + p(ωt)ẋ + q(ωt)x = 0
с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами, т.е. при
условии ω À 1. Для этого достаточно лишь произвести замену времени
ωt = τ и малый параметр ε ввести по правилу ε = ω −1 .
Во-вторых, изложенный выше алгоритм исследования устойчивости
без изменения распространяется на уравнения, в которых функция q(t, ε)
та же, что и в (2.1.1), а p(t, ε) имеет вид
p(t, ε) = p0 (t) + εp1 (t) + ε2 p2 (t) + . . .
(M (p) ≥ 0).
§ 2.2. Уравнения с близкими к постоянным
коэффициентами
Здесь будет изучен вопрос об устойчивости решений уравнения с T периодическими коэффициентами
ẍ + p(t, ε)ẋ + q(t, ε)x = 0,
(2.2.1)
в котором 0 < ε ¿ 1,
p(t, ε) = p0 +εp1 (t)+ε2 p2 (t)+. . . , q(t, ε) = q0 +εq1 (t)+ε2 q2 (t)+. . . . (2.2.2)
При условии p0 < 0 или q0 < 0 решения (2.2.1) при малых ε неустойчивы,
а при p0 > 0 и q0 < 0 — устойчивы. Случай p0 ≥ 0 и q0 = 0 рассмотрен в
§2.1. Здесь разберем оставшийся случай, когда
p0 = 0,
q0 > 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 2. Устойчивость решений уравнений . . .
54
Как и ранее, в предположении, что
M (p(t, ε)) ≥ 0
(2.2.3)
ẍ + p(t, ε)ẋ + [q(t, ε) + λ]x = 0
(2.2.4)
для уравнений
и
·
¸
1 2
1
(2.2.5)
ÿ + q(t, ε) − ṗ(t, ε) − p (t, ε) + λ y = 0
2
4
поставим периодическую и антипериодическую краевые задачи. Для
уравнения (2.2.5) собственные значения первой из них обозначим через
−
λ+
n (ε) (n = 0, 1, . . .), а второй — через λn (ε) (n = 1, 2, . . .), так что
−
−
+
+
λ+
0 (ε) < λ1 (ε) ≤ λ2 (ε) < λ1 (ε) ≤ λ2 (ε) < . . . .
Все λ±
n (ε) непрерывно зависят от ε, причем
+
+
lim λ+
0 (ε) = −q0 , lim λ2n−1 (ε) = lim λ2n (ε) =
ε→0
ε→0
ε→0
4π 2 n2
− q0 ,
T2
(2.2.6)
(2n − 1)2 π 2
− q0 ,
(2.2.7)
T2
где (n = 1, 2, . . .). Напомним еще, что решения уравнения (2.2.5) могут
быть неустойчивы лишь тогда, когда параметр λ в (2.2.5) удовлетворяет
неравенствам
+
λ ≤ λ+
λ+
0 (ε),
2n−1 (ε) ≤ λ ≤ λ2n (ε),
−
lim λ−
2n−1 (ε) = lim λ2n (ε) =
−
λ−
2n−1 (ε) ≤ λ ≤ λ2n (ε),
n = 1, 2, . . . .
Отсюда и из неравенств (2.2.6) и (2.2.7) заключаем, что при условии
q0 6=
π 2 n2
,
T2
n = 0, 1, . . .
решения уравнения (2.2.5) при λ = 0, а значит, и (2.2.1) устойчивы, если
ε достаточно мало.
Пусть теперь для некоторого натурального n ≥ 1
π 2 n2
q0 = 2 .
T
(2.2.8)
Необходимым и достаточным условием неустойчивости решений (2.2.1)
является существование таких двух вещественных собственных значений λ1 (ε) и λ2 (ε) периодической (если n четно) и антипериодической
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 2.2.
Уравнения с близкими к постоянным коэффициентами
55
(если n нечетно) краевой задачи для (2.2.4), что выполняются следующие два условия. Во-первых,
λ1 (ε) ≤ 0 ≤ λ2 (ε) (λ1 (ε) 6= λ2 (ε)),
(2.2.9)
причем, если в (2.2.3) неравенство строгое, то и в (2.2.9) оба неравенства
строгие. Во-вторых, собственные функции x1 (t, ε) и x2 (t, ε), отвечающие
λ1 (ε) и λ2 (ε), имеют одинаковое на полуинтервале число нулей. Отметим
здесь, что из непрерывной (равномерно относительно t ∈ [0, T ]) зависимости функций x1 (t, ε) и x2 (t, ε) от параметра ε вытекает, что найдутся
такие числа ai и bi (a2i + b2i 6= 0, i = 1, 2), для которых
h
πn
πn i
lim xi (t, ε) − ai sin
t − bi cos
t = 0.
ε→0
T
T
Изложим затем алгоритм определения λi (ε) и xi (t, ε) (i = 1, 2). В уравнении (2.2.4) положим
λ = ελ1 + ελ̃(ε), x = a sin
πn
πn
t + b cos
t + εx1 (t) + εx̃(t, ε).
T
T
(2.2.10)
Здесь x1 (t) и x̃(t, ε) периодичны по t, а для величин λ̃(ε) и x̃(t, ε) имеют
место соотношения
λ̃(ε) = o(1),
x̃(t, ε) = o(1),
(2.2.11)
причем последнее выполняется равномерно относительно t. Тогда, приравнивая коэффициенты при первой степени ε, получим уравненине относительно x1 (t):
³
π 2 n2
πn
πn ´
ẍ1 (t) + 2 x1 = −λ1 a sin
t + b cos
t + ϕ(t),
T
T
T
(2.2.12)
где
h
h
πn
πn i πn
πn
πn i
ϕ(t) = −q1 (t) a sin
t + b cos
t −
p1 (t) a cos
t − b sin
t .
T
T
T
T
T
Лемма 2.2.1. Для того чтобы уравнение
π 2 n2
ẍ + 2 x = f (t),
T
(2.2.13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 2. Устойчивость решений уравнений . . .
56
где f (t) периодична с периодом 2kT
n , имело периодическое решение,
необходимо и достаточно, чтобы
2kT
2kT
Zn
f (t) sin
0
πn
tdt =
T
Zn
f (t) cos
0
πn
tdt = 0.
T
(2.2.14)
Доказательство. Сначала докажем необходимость. Для этого, считая в (2.2.13) x(t) 2kT
n -периодической функцией, умножим левую и пра2kT
вую часть этого уравнения на sin πn
T t и проинтегрируем от 0 до n .
Интегрируя по частям, находим, что
2kT
2kT
Zn
ẍ(t) sin
0
πn
π 2 n2
tdt = − 2
T
T
Zn
x(t) sin
0
πn
tdt.
T
Отсюда следует, что интеграл левой части равен нулю, а значит и
2kT
Zn
f (t) sin
0
πn
tdt = 0.
T
Аналогично получаем, что выполнено и второе равенство в (2.2.14).
Установим затем достаточность. С помощью метода вариации произвольной постоянной приходим к выводу, что общее решение уравнения
(2.2.13) выражается формулой
πn
πn
x(t) = c1 sin
t + c2 cos
t+
T
T
Zt
f (τ ) sin
0
πn
(t − τ )dτ.
T
Учитывая
¡ здесь
¢(2.2.14), непосредственно находим, что
2kT
x(t) ≡ x t + n . Лемма доказана.
Период функции ϕ(t), фигурирующей в (2.2.12) равен T , если n четно, и равен 2T , если n нечетно. Поэтому условия (2.2.14) для уравнения
(2.2.12) приводят к задаче на нахождение собственных значений и собственных векторов
Az = λ1 z,
(2.2.15)
¶
µ
a11 a12
,
где z = (a, b), A =
a21 a22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 2.2.
Уравнения с близкими к постоянным коэффициентами
a11
a12
a21
a22
=
=
=
=
57
£¡
¢
¤
πn
πn
πn
−2M q1 (t) sin πn
t
+
p
(t)
cos
t
sin
t
T
T 1
T ¢
T ¤,
£¡
−2M q1 (t) cos πn
t + πn
p1 (t) sin πn
t sin πn
T
T
T
T t ¤,
£¡
¢
πn
πn
πn
πn
−2M q1 (t) sin T t + T p1 (t) cos T t cos T t ,
£¡
¢
¤
πn
πn
πn
t
+
p
(t)
sin
t
cos
t
,
−2M q1 (t) cos πn
T
T 1
T
T
M (f (t)) =
1
2T
Z2T
f (t)dt.
0
Обозначим через λ11 и λ12 собственные значения, найденные из
(2.2.15). Пусть для определенности Reλ11 ≤ Reλ12 . Имея теперь в виду, что
λ1 (ε) = ελ11 + o(ε), λ2 (ε) = ελ12 + o(ε),
(2.2.16)
приходим к такому выводу: при условии λ11 , λ12 6= 0 решения (2.2.1)
неустойчивы при малых ε в том и только в том случае, если λ11 и λ12
вещественны и
λ11 < 0 < λ12 .
Если же хотя бы одно из чисел λ11 или λ12 равно нулю, то алгоритм
следует продолжить. Сделаем несколько замечаний о том, как действовать в случае λ11 · λ12 = 0. Если только одно собственное значение равно
нулю, то следует находить поправку лишь к тому собственному значению из (2.2.16), в котором первое слагаемое нулевое. Для этого следует
для соответствующего λi (ε) написать выражение
λi (ε) = ε2 λ2 + o(ε2 ),
(2.2.17)
а собственную функцию искать в виде
πn
πn
xi (t, ε) = a0 sin πn
T t + b0 cos T t + εx1 (t) + εa1 sin T t+
2
2
+ εa2 cos πn
T t + ε x2 (t) + o(ε ),
(2.2.18)
где a0 и b0 — координаты собственного вектора z0 , отвечающего в (2.2.15)
нулевому корню. Подставляя (2.2.17) и (2.2.18) в (2.2.4), приравнивая
коэффициенты при ε2 и пользуясь леммой 2.2.1, для определения λ2 и
вектора z1 = (a1 , b1 ), получим выражение вида
Az1 = λ2 z0 + v,
(Az0 = 0),
(2.2.19)
в котором вектор v выражается через известные величины. Необходимое
и достаточное условие разрешимости (2.2.19) позволяет нам однозначно
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
58
ГЛАВА 2. Устойчивость решений уравнений . . .
найти λ2 :
−(v, u0 )
,
(2.2.20)
(z0 , u0 )
где через u0 обозначим собственный вектор матрицы A∗ , отвечающий
нулевому собственному значению. Если в (2.2.20) λ2 6= 0, то вопрос об
устойчивости (2.2.1) при малых ε сразу решается. Если же λ2 = 0, то,
действуя по аналогии со сказанным, алгоритм следует продолжить.
Ситуация в случае λ11 = λ12 = 0 для продолжения алгоритма несколько сложнее, хотя используются те же идеи. Подробнее на этом останавливаться не будем.
λ2 =
§ 2.3. Параметрический резонанс
Применение результатов предыдущего параграфа будет проиллюстрировано на примере изучения явления параметрического резонанса [5].
Объектом изучения служит дифференциальное уравнение
¡
¢
ẍ + εp1 (ωt) + ε2 p2 (ωt) + . . . ẋ +
£
¤
+ q02 + εq1 (ωt) + ε2 q2 (ωt) + . . . x = 0,
(2.3.1)
в котором ε и ω – положительные параметры, q0 > 0, а функции pj (s) и
qj (s) (j = 1, 2, . . .) периодичны по s с периодом 2π, причем, как и ранее
M (εp1 (t) + ε2 p2 (t) + . . .) ≥ 0.
Ставится задача определения такого множества на плоскости параметров εω (ε достаточно мало), для каждых ε и ω из которого решения
уравнения (2.3.1) неустойчивы.
Наметим путь решения этой задачи. В уравнении (2.3.1) удобно сделать замену времени ωt = τ (и τ вновь переобозначить через t). В результате получим уравнение
·
¸
· 2
¸
ε
ε2
q0
ε
ẍ +
p1 (t) + p2 (t) + . . . ẋ + 2 + 2 q1 (t) + . . . x = 0.
(2.3.2)
ω
ω
ω
ω
Прежде всего отметим, что при всех достаточно больших значениях ω
решения (2.3.2) устойчивы. Это следует из результатов §2.1. Далее, в
§2.2 установлено, что при фиксированном ω (ω 6= 0) и достаточно малых
2
ε неустойчивость решений возможна, лишь если q02 ω −2 = n4 (n = 1, 2, . . .).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 2.3.
Параметрический резонанс
59
Таким образом, области неустойчивости решений (2.3.2) примыкают
на плоскости εω к точкам (0, ωm ), где
ωm =
2q0
m
(m = 1, 2, . . .).
Будем изучать отдельно окрестность каждой точки. В связи с этим в
уравнении (2.3.2) удобно вместо ω ввести новый (малый) параметр δ по
правилу
q02
m2
+ δ.
(2.3.3)
=
ω2
4
Уравнение (2.3.2) теперь примет вид
#
" µ ¶
¸
· 2
−1
m
m2
2q0
p1 (t) + . . . ẋ +
+ δ + ε 2 q1 (t) + . . . x = 0, (2.3.4)
ẍ + ε
m
4
4q0
где точками обозначены слагаемые, имеющие порядок малости по ε и
δ выше первого. Для уравнения (2.3.4) поставим периодическую, если
m четно, и антипериодическую, если m нечетно, краевые задачи. Пусть
δ1 (ε) и δ2 (ε) (δ1 (ε) < δ2 (ε)) вещественные собственные значения этой
краевой задачи, причем отвечающие им собственные функции имеют
одно и то же число нулей на [0, 2π]. Множество тех δ, для которых
решения (2.3.4) неустойчивы, удовлетворяют неравенству
δ1 (ε) < δ < δ2 (ε).
Алгоритм вычисления δ1 (ε) и δ2 (ε) приведен в §2.2.
В заключение главы разберем один пример.
Пример. Рассмотрим задачу о параметрическом резонансе для уравнения
ẍ + εa0 ẋ + [1 + εa1 sin ωt]x = 0,
(2.3.5)
в котором a0 > 0. После замены времени ωt = τ в уравнении (2.3.5)
положим
1
m2
=
+ δ.
ω2
4
В результате рассматриваемое уравнение примет вид (здесь переобозначено τ = t)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
60
ГЛАВА 2. Устойчивость решений уравнений . . .
´
mεa0 ³
2
ẍ +
1 + 2 δ + . . . ẋ +
2
m
h m2
i
εm2
+
+δ+
a1 sin t + εδa1 sin t x = 0.
4
4
Применяя алгоритм §2.2, положим в этом уравнении
δ = εδ1 + o(ε), x(t, ε) = a sin
(2.3.6)
m
m
t + b cos t + εx1 (t) + o(ε),
2
2
где x1 (t) периодична (с периодом 2π, если m четно, и с периодом 4π,
если m нечетно). Для определения x1 (t) тогда получим уравнение
³
´
m2
m2 a
m2
ẍ1 + 4 x1 = − δ1 a + 4 a1 sin t − 4 a0 b sin m2 t−
³
´
m2 b
m2
− δ1 b + 4 a1 sin t + 4 a0 a cos m2 t.
Условия существования периодического решения этого уравнения (лемма
2.2.1)√ позволяют определить значение δ1 . На этом пути получаем, что
(i = −1)
(
m2
ia
если m 6= 1,
0
4 ,
q
δ11 =
− 14 14 a21 − a20 , если m = 1;
(
m2
−ia
если m 6= 1,
0
4 ,
q
δ12 =
1
1 2
2
если m = 1.
4
4 a1 − a0 ,
Отсюда заключаем, что решения (2.3.6) могут быть неустойчивы при
малых ε лишь при m = 1 и лишь тогда, когда
2a0 ≤| a1 | .
Множество тех ω, для которых уравнение (2.3.5) неустойчиво, находится
(в первом приближении) из неравенства
Ã
!−1
Ã
!−1
r
r
ε 1 2
ε 1 2
2 1+
a1 − a20
<| ω |< 2 1 −
a − a20
.
(2.3.7)
2 4
2 4 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 3
Устойчивость решений
сингулярно возмущенных
уравнений
§ 3.1. Устойчивость решений уравнений без
точек поворота
Уравнение с T -периодическими коэффициентами
εẍ + p(t)ẋ + q(t)x = 0,
(3.1.1)
где ε > 0 — малый параметр, называется уравнением без точек поворота,
если
p(t) > 0, t ∈ [0, T ].
(3.1.2)
Изучим вопрос об устойчивости решений уравнения (3.1.1) при достаточно малых ε.
Рассмотрим периодическую краевую задачу для уравнения
εẍ + p(t)ẋ + [q(t) + λ]x = 0.
(3.1.3)
Наименьшее собственное значение этой краевой задачи обозначим через
λ0 (ε). Следующий результат получен в [11].
Теорема 3.1.1. Имеет место предельное равенство

ZT
lim λ0 (ε) = λ0 , где λ0 = 
ε→0
0
−1 
dt 
p(t)
61
ZT

0

q(t)dt 
.
p(t)
(3.1.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
62
ГЛАВА 3.
Устойчивость сингулярно возмущенных уравнений
¶
µ
Доказательство. Обозначим через x0 (t, ε)
max | x0 (t, ε) |= 1
o≤t≤T
соб-
ственную функцию (которая положительна), отвечающую λ0 (ε). Сначала
будет показано, что
min q(t) ≤ −λ0 (ε) ≤ max q(t).
0≤t≤T
(3.1.5)
0≤t≤T
В самом деле, пусть t1 — точка минимума функции x0 (t, ε). Тогда
ẋ0 (t, ε) = 0,
ẍ0 (t, ε) ≥ 0.
(3.1.6)
Из определения λ0 (ε) и x0 (t, ε) имеем
εẍ0 (t, ε) + p(t)ẋ0 (t, ε) + [q(t) + λ0 (ε)]x0 (t, ε) ≡ 0.
(3.1.7)
С учетом (3.1.6) это тождество при t = t1 сразу приводит к неравенству
λ0 (ε) + q(t1 ) ≤ 0.
Отсюда следует левое неравенство в (3.1.5). Правое неравенство (3.1.5)
доказываем, рассматривая (3.1.7) в точке максимума функции x0 (t, ε).
Далее непосредственно проверяем равенство
−1
ẋ0 (t, ε) =
ε
Zt
[λ0 (ε) + q(s)]x0 (s, ε)e
− 1ε
Rt
s
p(τ )dτ
ds.
(3.1.8)
−∞
Условие ограниченности λ0 (ε), x0 (t, ε) и неравенство (3.1.2) позволяет
заключить, что
max | ẋ0 (t, ε) |≤ c,
(3.1.9)
0≤t≤T
где c не зависит от ε.
Фиксируем затем произвольную последовательность εj → 0
(j = 1, 2, . . .). Без потери общности можно считать, что последовательность λ0 (εj ) имеет предел, который обозначим через λ. Последовательность функций x0 (t, εj ) равномерно на отрезке [0, T ] ограничена и, как
следует из (3.1.2), равностепенно непрерывна. Поэтому из нее можно
выделить подпоследовательность, которая равномерно сходится к некоторой функции x(t). При этом правая часть (3.1.8), очевидно, сходится
к величине
λ + q(t)
−
x(t).
p(t)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 3.1.
Устойчивость решений уравнений без точек поворота
63
Как следствие этого факта, получаем, что x(t) является T -периодическим
решением уравнения
£
¤
p(t)ẋ + λ + q(t) x = 0.
Отсюда находим, что λ = λ0 . Теорема доказана.
Здесь же отметим, что одновременно мы установили предельное равенство
lim |x0 (t, ε) − x(t)| = 0,
ε→0
где
x(t) = c0 e
Rt
− (λ0 +q(s))p−1 (s)ds
0
.
Введем еще в рассмотрение самосопряженное дифференциальное
уравнение
·
¸
1 2
1
εÿ + q(t) − ṗ(t) − p (t) + λ y = 0,
(3.1.10)
2
4
которое получается из (3.1.3) с помощью замены
x = ye
− 21
Rt
p(s)ds
0
.
(3.1.11)
Наименьшее собственное значение периодической краевой задачи для
уравнения (3.1.10) обозначим через µ0 (ε).
Теорема 3.1.2. Имеет место предельное равенство
lim µ0 (ε) = ∞.
ε→0
(3.1.12)
Докажем сначала одно вспомогательное утверждение.
Лемма 3.1.1. При условии λ > µ0 (ε) решения уравнения (3.1.10)
имеют бесконечно много нулей на полуоси [0, ∞).
Доказательство. Пусть µ1 (ε) — наименьшее собственное значение
антипериодической краевой задачи для уравнения (3.1.10) Тогда при
µ0 (ε) < λ < µ1 (ε) решения этого уравнения устойчивы, причем, как
установлено в главе 1 (§1.3), все решения являются, вообще говоря,
почти периодическими функциями.
Фиксируем
решение x̃(t, ε) с началь¡
¢
˙
ным условием x̃(0, ε) = 0 x̃(0, ε) 6= 1 . В силу почти периодичности это
решение имеет бесконечно много нулей на [0, ∞). С помощью теоремы сравнения заключаем, что, во-первых, любое другое решение имеет
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
64
ГЛАВА 3.
Устойчивость сингулярно возмущенных уравнений
бесконечно много нулей на том же промежутке и, во-вторых, при всех
λ ≥ µ1 (ε) решения (3.1.10) тем более имеют бесконечно много нулей на
[0, ∞). Лемма доказана.
Для всех достаточно малых ε > 0 решения уравнения
·
¸
1
p2 (t) c
εÿ + q(t) − ṗ(t) −
+
y=0
(3.1.13)
2
4ε
ε
не осциллируют, если 0 < c <
верно неравенство
1
4
min p2 (t). Действительно, для малых ε
1
p2 (t) c
q(t) − ṗ(t) −
+ < 0 (t ∈ [0, T ]).
2
4ε
ε
Тогда из неосцилляции на всей оси решений уравнения ÿ = 0 и из теоремы сравнения заключаем, что решения (3.1.3) и подавно не осциллируют.
Отсюда и из леммы 3.1.1 вытекает, что
c
µ0 (ε) ≥ .
ε
Теорема доказана.
Следствием положений теории зон устойчивости и двух приведенных
здесь теорем является следующий результат.
Теорема 3.1.3. Пусть λ0 < 0 (> 0). Тогда существует такое
ε0 > 0, что при всех ε ∈ (0, ε0 ) решения уравнения (3.1.1) устойчивы (неустойчивы).
В том случае, когда в теореме 3.1.3 собственное число λ0 = 0, вопрос
об устойчивости нуждается в дополнительном рассмотрении. Соответствующие построения незначительно отличаются от изложенных выше,
поэтому подробнее на этом останавливаться не будем. Приведем лишь
один результат из [12].
Рассмотрим уравнение
εẍ + p(t)ẋ + εq1 (t)x = 0,
(3.1.14)
где 0 < ε ¿ 1, p(t) > 0 (t ∈ [0, ω]). В этом случае, очевидно λ0 = 0.
Теорема 3.1.4. Существует такое ε0 > 0, что при ε ∈ (0, ε0 )
решения уравнения (3.1.14) устойчивы (неустойчивы), если
 T

ZT
Z
q1 (t)dt
q1 (t)dt
<0 
> 0 .
p(t)
p(t)
0
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 3.2.
Уравнения с точками поворота
65
§ 3.2. Уравнения с точками поворота
Точками поворота с T -периодическими коэффициентами уравнения
εẍ + p(t)ẋ + q(t)x = 0 (0 < ε ¿ 1)
(3.2.1)
называются нули функции p(t). Поведение собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для уравнения с точками
поворота детально изучалось в [7]. Соответствующие результаты принципиально отличаются от тех, которые имеют место в отсутствие точек
поворота (§3.1). Они будут изложены в последующих главах. Содержание этого параграфа будет посвящено изучению более простого случая,
когда q(t) непрерывна, а p(t) имеет на отрезке длины периода следующий
вид
½
−p1 (t), t ∈ [0, a],
p(t) =
0<a<T
p2 (t), t ∈ (a, T ),
причем p1 (t) и p2 (t) непрерывно дифференцируемы и, что самое главное,
inf pi (t) > 0,
t
i = 1, 2.
(3.2.2)
Как обычно, будем еще предполагать, что
M (p) ≥ 0.
(3.2.3)
Обозначим через λ0 (ε) собственное значение периодической для уравнения
εẍ + p(t)ẋ + [q(t) + λ]x = 0
(3.2.4)
краевой задачи с наименьшей вещественной частью, а через λ1 (ε) и λ2 (ε)
— собственные значения антипериодической краевой задачи для (3.2.4)
тоже с наименьшими среди всех остальных собственных значений вещественными частями. Отметим сразу, что λ0 (ε) вещественно.
Теорема 3.2.1.
Существует такое ε0 > 0, что при всех
ε ∈ (0, ε0 ) λ1 (ε) и λ2 (ε) вещественны, причем в промежутках
(λ0 (ε), λ1 (ε)) и (λ1 (ε), λ2 (ε)) не лежит вещественная часть ни одного другого собственного значения рассматриваемых краевых задач.
Кроме этого, имеют место предельные равенства
lim λ0 (ε) = lim λ1 (ε) = −q(0),
(3.2.5)
lim λ2 (ε) = ∞.
(3.2.6)
ε→0
ε→0
ε→0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
66
ГЛАВА 3.
Устойчивость сингулярно возмущенных уравнений
Непосредственным следствием утверждений теории зон устойчивости
и этой теоремы является следующий результат.
Теорема 3.2.2. Предположим, что
q(0) 6= 0.
(3.2.7)
Тогда существует такое ε0 > 0, что при всех ε ∈ (0, ε0 ) решения
уравнения (3.2.1) неустойчивы.
Интересно отметить, что величина среднего значения функции p(t)
на устойчивость при малых ε существенного влияния не оказывает.
Доказательство теоремы 3.2.1. Доказательство разобьем на
несколько этапов.
Этап 1. На этом этапе докажем следующее важное для дальнейшего
утверждение, касающееся осцилляционных свойств решений (3.2.1).
Лемма 3.2.1. Пусть в уравнении (3.2.1)
q(0) > 0.
(3.2.8)
Тогда найдется такое ε0 > 0, что при каждом ε ∈ (0, ε0 ) найдется
такое решение (3.2.1), которое имеет ровно два нуля на интервале
(0, T ).
Доказательство. Обозначим через x0 (t, ε) решение уравнения (3.2.1)
с начальными условиями
x0 (t0 , ε) = 0, ẋ0 (t0 , ε) > 0, где t0 ∈ (−T + a, 0).
Первое, что установим, это наличие предельного равенства
ẋ0 (0, ε)
q(0)
lim
=−
ε→0 x0 (0, ε)
p2 (0)
³
´
p2 (0) = lim p2 (t) .
t→0
(3.2.9)
Для того чтобы обосновать (3.2.9), удобно при t ∈ [t0 , 0] использовать
две формулы
ẋ0 (t, ε) = ẋ0 (t0 , ε)e
− 1ε
Rt
p2 (s)ds
t0
Zt
−
1
ε
q(s)x0 (s, ε)e
t0
−
− 1ε
Rt
s
p2 (τ )dτ
(3.2.10)
ds
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 3.2.
Уравнения с точками поворота
и
1
ẋ0 (t, ε) = ẋ0 (t0 , ε) −
ε
67
Zt
[p2 (s)ẋ0 (s, ε) + q(s)x0 (s, ε)] ds.
(3.2.11)
t0
Проинтегрируем по частям выражение p2 (s) · ẋ0 (s, ε) в (3.2.11) и подставим в равенство (3.2.10) вместо ẋ0 (t0 , ε) ее выражение через (3.2.11). В
полученном соотношении положим
y0 (t, ε) =
x0 (t, ε)
,
x0 (ε)
(3.2.12)
где
x0 (ε) = max | x0 (t, ε) | .
0≤t≤T
В результате получим следующее выражение
"
Ã
!#
t
R
ẏ0 (t, ε) 1 − exp − 1ε p2 (s)ds
=
t0
Zt
= − 1ε
 tt0
Z
×

Ã
!
¶
µ
t
t
R
R
q(s)y0 (s, ε) exp − 1ε p2 (τ )dτ ds + 1ε exp − 1ε p2 (s)ds ×
s


[ṗ2 (s) − q(s)] × y0 (s, ε)ds − p2 (t)y0 (t, ε) .

t0
t0
(3.2.13)
Используя (3.2.13), доказательство (3.2.9) завершается без труда. В самом деле, фиксируем произвольно последовательность
εj → 0 (j = 1, 2, . . .). На отрезке [t0 , 0] последовательность функций
| y0 (t, εj ) | равномерно ограничена, а из (3.2.13) вытекает, что на отрезке
[t1 , 0], где 0 > t1 > t0 , равномерно ограничена последовательность функций | ẏ0 (t, εj ) |. Поэтому на [t1 , 0] последовательность функций y0 (t, ε) является равностепенно непрерывной. Отсюда делаем вывод, что на некоторой подпоследовательности εjk → 0 последовательность y0 (t, εjk ) равномерно на отрезке [t1 , 0] сходится к некоторой функции y0 (t). Переходя,
наконец, в (3.2.13) к пределу при εjk → 0, заключаем, что
ẏ0 (t) = −
q(t)
y0 (t),
p2 (t)
t ∈ [t1 , 0].
Это равенство (вместе с (3.2.12)) приводит к обоснованию предельного
равенства (3.2.9).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
68
ГЛАВА 3.
Устойчивость сингулярно возмущенных уравнений
Отметим, что на каждом из промежутков [0, a] и [a, T ] решения уравнения (3.2.1) не осциллируют. Покажем на следующем этапе, что функция
¡ T xT0 (t,
¢ ε) имеет при всех достаточно малых ε два нуля на интервале
− 2 , 2 . Отсюда, очевидно, будет следовать обоснование леммы. При
этом достаточно разобрать лишь случай, когда x0 (t, ε) положительна на
полуинтервале (t0 , 0]. Обоснование наличия двух нулей у x0 (t, ε) проведем, рассуждая от противного. Предположим, что для сколь угодно малых ε x0 (t, ε) > 0 на [0, T2 ). Фиксируем затем отрезок [0, t0 ] (0 < t0 < T2 )
так, чтобы на нем функция q(t) была положительной. Тогда непосредственно из уравнения (3.2.1) и из неравенства (3.2.9) следует, что
−t0 x0 (0, ε) ≤ ẋ0 (t, ε) < 0,
t ∈ [0, t0 ].
(3.2.14)
Последнее влечет за собой неравенство
0 < x0 (t, ε) ≤ 1,
t ∈ [0, t0 ],
(3.2.15)
где положено
x0 (t, ε)
.
x0 (0, ε)
Для положительных значений t аналогично (3.2.10) имеет место формула
Rt
− 1ε p1 (s)ds
0
ẋ0 (t, ε)e
=
Rs
1
− ε p1 (τ )dτ
Rt
1
0
0
0
ds.
= ẋ (0, ε) − ε q(s)x (s, ε)e
x0 (t, ε) =
0
После интегрирования по частям в последнем слагаемом этой формулы,
получим, что
0
ẋ (t, ε)e
− 1ε
Rt
p1 (s)ds
0
= ẋ0 (0, ε) −
где
z(t, ε) =
−
q(t) 0
p1 (t) x (t, ε)e
Rt
p1 (s)ds
0
i0 − 1ε
0
p1 (s) x (s, ε) e
Rt h q(s)
0
− 1ε
q(0)
+ z(t, ε),
p1 (0)
Rs
0
−
p1 (τ )dτ
ds.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 3.2.
Уравнения с точками поворота
69
Фиксируем так некоторое t1 , что 0 < t1 ≤ t0 . Из неравенств (3.2.14)
и (3.2.15) находим для всех достаточно малых ε оценку для функции
z(t, ε) равномерно на отрезке [0, t1 ]:
µ
¶0
¤
q(t) £
q(t)
max | z(t, ε) |≤ max
.
1 + t0 t1 + t1 max
0≤t≤t1
0≤t≤t1 p1 (t)
0≤t≤t1 p1 (t)
Вывод, который следует из (3.2.9) и этой оценки, такой: найдется такое
t1 ∈ (0, t0 ), что (для всех малых ε) имеет место неравенство
0
ẋ (t, ε)e
− 1ε
Rt
p1 (s)ds
0
≤−
q(0)
,
2p2 (0)
t ∈ [0, t1 ].
Отсюда уже получаем, что
q(0)
ẋ (t, ε) < −
e
2p2 (0)
0
1
ε
Rt
p1 (s)ds
0
,
t ∈ [0, t1 ],
т.е. неравенство (3.2.14) места не имеет. Получено противоречие.
¡ T ¢ Таким
образом, функция x0 (t, ε) обращается в нуль на интервале 0, 2 . Лемма
доказана.
Сделаем одно замечание. Ниже получим результаты, из которых будет следовать, что при условии q(0) < 0 решения (3.2.1) не осциллируют
при всех достаточно малых ε.
Этап 2. Доказательство неравенства
limλ0 (ε) ≤ −q(0).
ε→0
(3.2.16)
Предположим противное, т.е. пусть существует такая последовательность εj → 0, что
lim λ0 (εj ) = −q(0) + δ0 , где δ0 > 0.
εj →0
(3.2.17)
Отсюда и из леммы 3.2.1 тогда вытекает, что при всех достаточно малых
εj решения уравнения
εj ẍ + p(t)ẋ + [q(t) + λ]x = 0
(3.2.18)
¡
¢
при λ = λ0 (εj ) имеют на интервале − T2 , T2 не менее двух нулей. Введем
в рассмотрение последовательность уравнений
εj ẍ + p̃n (t)ẋ + [q(t) + λ]x = 0
(n = 1, 2, . . .).
(3.2.19)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
70
ГЛАВА 3.
Устойчивость сингулярно возмущенных уравнений
Здесь через p̃n (t) обозначена последовательность непрерывно дифференцируемых T -периодических
функций, которая равномерно на каждом
S
промежутке [t0 , a − t0 ] [a + t0 , T − t0 ] (t0 > 0) сходится к функции p(t),
а через λn0 (εj ) обозначим наименьшее собственное значение периодической краевой задачи для каждого из уравнений (3.2.19). Легко видеть,
что между решениями уравнений (3.2.18) и (3.2.19) имеется тесная взаимосвязь, а именно, для решений x(t) и xn (t) с (фиксированными) одинаковыми начальными условиями на любом отрезке [α, β] имеет место
равенство
lim max | x(t) − xn (t) |= 0.
(3.2.20)
n→∞ α≤t≤β
Отсюда, в частности, следует, что для λ0 (εj ) и λn0 (εj ) верно аналогичное
равенство
lim [λ0 (εj ) − λn0 (εj )] = 0.
n→∞
Более того, из последнего равенства и соотношения (3.2.17) вытекает,
что при достаточно больших n и λ = λ0n (εj ) решения уравнений (3.2.19)
тоже осциллируют. Произведем в (3.2.19) замену
x = ye
− 1ε
Rt
pn (s)ds
0
,
в результате которой получим самосопряженное уравнение
·
¸
1
1 2
εj ÿ + q(t) − ṗn (t) −
p (t) + λ y = 0.
2
4εj n
(3.2.21)
(3.2.22)
Вследствие замены (3.2.21), решения этого уравнения при λ = λ0n (εj )
тоже осциллируют. Отсюда и из теории зон устойчивости получаем, с
одной стороны, при достаточно больших n
λ̃n0 (εj ) < λn0 (εj ),
где λ̃n0 (εj ) — наименьшее собственное значение периодической краевой
задачи для (3.2.22). В то же время на основании той же замены и условия (3.2.3), как легко видеть, имеет место противоположное неравенство
λ̃n0 ≥ λn0 (εj ).
Получено противоречие. Тем самым соотношение (3.2.16) доказано.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 3.2.
Уравнения с точками поворота
71
Этап 3. Доказательство неравенства.
lim λ0 (ε) ≥ −q(0).
ε→0
(3.2.23)
Будем опять рассуждать от противного. Пусть существует такая последовательность εj → 0, что
lim λ0 (εj ) = −q(0) − δ0 , где δ0 > 0.
εj →0
(3.2.24)
Противоречие будет получено, если нам удастся показать, что при условии (3.2.24) и достаточно малых εj найдется такая положительная периодическая функция ϕ0 (t, εj ), что уравнение
εj ẍ + p(t)ẋ + [q(t) + λ0 (εj ) + ϕ0 (t, εj )] x = 0
имеет положительное периодическое решение x0 (t, εj ). Действительно,
тогда, как следует из критерия неустойчивости главы 1 §1.5, один мультипликатор уравнения (3.2.18) при λ = λ0 (εj ) больше 1. Однако, из
определения собственного значения и из (3.2.3) следует, что оба мультипликатора не превосходят 1. Итак, приступим к построению функции
ϕ0 (t, εj ).
В уравнении (3.2.18) при λ = λ0 (εj ) выполним сначала замену
Rt
x=
g(s, ε)ds
ye 0
,
(3.2.25)
где g(s, ε) – некоторая периодическая функция, которая будет определена
ниже, причем
M (g) = 0.
(3.2.26)
В результате (3.2.25) получим уравнение
εÿ + [p(t) + εg(t)] ẏ + ϕ(t, ε)y = 0,
где
(3.2.27)
ϕ(t, ε) = q(t) + p(t)g(t, ε) + εg 2 (t, ε) + εġ(t, ε).
Отметим, что следствием равенства (3.2.26) является совпадение мультипликаторов уравнений (3.2.27) и (3.2.18) при λ = λ0 (εj ). Функцию
g(t, ε) будем определять из условия
ϕ(t, ε) < 0,
t ∈ [0, T ].
(3.2.28)
Прежде чем непосредственно строить g(t, ε), приведем ее график (см.
рис. 3.1).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
72
ГЛАВА 3.
Устойчивость сингулярно возмущенных уравнений
Рис. 3.1
Сразу отметим, что p(t)g(t, ε) ≤ 0. Фиксируем некоторое
0 < t0 < min(a, T − a) на отрезке [a − εt0 , a] и [−T + a, −T − a + εt0 ]
−1
положим g(t, ε) = −c1 ε−1
j (t − a) и g(t, ε) = −c1 εj (t + T − a) соответственно. Условие (3.2.28) позволяет на этих отрезках определить постоянную
c1 > 0 из неравенства
c1 > λ0 (εj ) + q(t).
На отрезке [−t0 , t0 ] положим g(t, ε) = c2 t. Для достаточно малых εj и
t0 неравенство (3.2.28) заведомо выполнено в силу (3.2.24). Для остальных значений t из отрезка [−T + a, a] ограничения на g(t, ε) следующие:
g(t, ε) достаточно гладкая, выполняется условие (3.2.26), неравенства
| g(t, ε) |≥ c и ġ(a − T + εt0 , ε) = ġ(a − εt0 , ε) < 0. При этом неравенство (3.2.28) для указанных значений t выполнено, если εj мало и
µ
¶
q(t) + λ0 (εj )
c > max
, i = 1, 2.
0≤t≤T
pi (t)
После того, как функция g(t, ε) определена, введем функции ϕ̃0 (t, εj )
и x̃0 (t, εj ). Для этого положим
ϕ̃0 (t, εj ) ≡ −ϕ(t, εj ),
x̃0 (t, εj ) = 1.
Функция x̃0 (t, εj ) является тогда периодическим положительным решением уравнения
εj ÿ + (p(t) + εg(t, ε)ẏ + [ϕ(t, ε) + ϕ̃0 (t, ε)] y = 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 3.2.
Уравнения с точками поворота
73
Возвращаясь, наконец, от
¶ y к переменной x, получаем, что
µ tпеременной
R
функция x0 (t, εj ) = exp
g(s, εj )ds является периодическим положи0
тельным решением уравнения
εj ẍ + p(t)ẋ + [q(t) + λ0 (εj ) + ϕ0 (t, ε)]x = 0,
причем ϕ0 (t, ε) = ϕ̃0 (t, ε) > 0. Все построения завершены. Неравенство
(3.2.2) доказано.
Объединяя (3.2.16) и (3.2.23), получаем предельное равенство
lim λ0 (ε) = −q(0).
ε→0
(3.2.29)
Этап 4. Доказательство равенства
lim λ1 (ε) = −q(0)
ε→0
(3.2.30)
в предположении, что M (p) = 0, т.е. уравнение (3.2.4) является самосопряженным. Первое собственное значение λ1 (ε) антипериодической краевой задачи для (3.2.4) вещественно и для него выполняется неравенство
λ1 (ε) > λ0 (ε).
Отсюда и из (3.2.29) тогда заключаем, что
limλ1 (ε) ≥ −q(0).
ε→0
Предположим затем, что (3.2.30) не выполняется. Тогда на некоторой
последовательности εj → 0
lim λ1 (εj ) = −q(0) + δ0 , где δ0 > 0.
εj →0
(3.2.31)
Из этого равенства и леммы 3.2.1 получаем, что при всех достаточно
малых εj уравнение
εẍ + p1 (t)ẋ + [q(t) + λ1 (ε)]x = 0
(3.2.32)
имеет
¡ T T ¢при ε = εj решение, которое обращается в нуль на интервале
− 2 , 2 не менее двух раз. Поэтому для некоторого τ = τ (εj )
ψ1 (τ, εj ) < T,
(3.2.33)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
74
ГЛАВА 3.
Устойчивость сингулярно возмущенных уравнений
где ψ1 (τ, ε) есть расстояние между двумя соседними нулями решения,
обращающегося в нуль при t = τ . С другой стороны, как установлено в
главе 1, для λ = λ1 (ε) необходимо выполняется условие
min ψ1 (τ, εj ) = T,
− T2 ≤τ ≤ T2
т.е. неравенство (3.2.33) не имеет места. Получено противоречие. Таким
образом, равенство (3.2.30) в предположении M (p) = 0 доказано.
Этап 5. Пусть теперь
M (p) > 0.
Покажем, что при условии q(0) > 0 решения уравнения (3.2.1)
неустойчивы, если ε достаточно мало. Обозначим через µ1 (ε) и µ2 (ε)
мультипликаторы (3.2.1), а через f (ε) — след матрицы монодромии этого уравнения. Имеем равенства
f (ε) = µ1 (ε) + µ2 (ε),
µ1 (ε) · µ2 (ε) = e
− 1ε
RT
p(s)ds
0
.
Отсюда видно, что для обоснования неустойчивости решений достаточно
установить при малых ε неравенство
f (ε) < −2.
(3.2.34)
Для f (ε) имеет место еще одно представление
f (ε) = x1 (a, ε) + ẋ2 (a, ε),
(3.2.35)
где через x1 (t, ε) и x2 (t, ε) обозначены решения (3.2.1) с начальными
условиями
x1 (a − T, ε) = ẋ2 (a − T, ε) = 1, ẋ1 (a − T, ε) = x2 (a − T, ε) = 0.
(3.2.36)
Анализируя свойства этих функций, докажем неравенство (3.2.34).
Лемма 3.2.2. Существует такое ε0 > 0, что при всех ε ∈ (0, ε0 )
на промежутке (a − T, 0] функции xi (t, ε) (i = 1, 2) положительны, а на
промежутке (0, a) каждая из этих функций имеет ровно один нуль.
Доказательство. Сначала установим, что на отрезках [a − T, 0] и
[0, a] ни одно решение не может иметь при малых ε более одного нуля. Действительно, произведем в (3.2.1) на каждом из рассматриваемых
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 3.2.
Уравнения с точками поворота
75
промежутков отдельно замены
x = ye
1
− 2ε
Rt
p2 (s)ds
a−T
,
x = ye
1
2ε
Rt
p1 (s)ds
0
соответственно. В результате получим уравнение
¸
·
p2i (t)
i+1 1
ṗi (t) −
y = 0.
εÿ + q(t) − (−1)
2
4ε
(3.2.37)
(3.2.38)
На указанных отрезках коэффициент при y в (3.2.38) отрицателен. Отсюда и из теоремы сравнения непосредственно следует, что количество
нулей любого решения на [a − T, 0] и [0, a] не превосходит 1.
Далее, в лемме 3.2.1 показано, что решение x2 (t, ε) имеет нуль на интервале (0, a), когда ε мало. Учитывая сказанное выше, получаем обоснование леммы 3.2.2 для функции x2 (t, ε). Отметим здесь же, что, согласно
лемме 3.2.1, имеет место равенство
ẋ2 (0, ε)
q(0)
=−
.
ε→0 x2 (0, ε)
p2 (0)
lim
(3.2.39)
Рассмотрим теперь функцию x1 (t, ε). Аналогично (3.2.10) имеем равенство (ẋ1 (a − T, ε) = 0)
1
ẋ1 (t, ε) = −
ε
Zt
q(s)x1 (s, ε)e
− 1ε
Rt
p2 (τ )dτ
s
ds,
(3.2.40)
a−T
из которого получаем, что на отрезке [a − T, 0]
| ẋ1 (t, ε) |≤ c max | x1 (τ, ε) |,
a−T ≤τ ≤t
где постоянная c > 0 не зависит от t и ε. Последнее, вместе с условием
x1 (a − T, ε) = 1 (ẋ1 (a − T, ε) = 0), дает нам основание заключить, что
при ε → 0 последовательность x1 (t, ε) равномерно на [a − T, 0] сходится
к некоторой предельной функции x1 (t). Из (3.2.40) тогда следует, что
ẋ1 (t, ε) = −
q(t)
x1 (t),
p2 (t)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 3.
76
Устойчивость сингулярно возмущенных уравнений
причем x1 (a − T ) = 1. Отсюда находим x1 (t)


Zt
q(s) 
x1 (t) = exp −
ds .
p2 (s)
a−T
Таким образом, при всех достаточно малых ε функция x1 (t, ε) положительна на [a − T, a], причем
Ã
lim x1 (0, ε) = α0 = exp
ε→0
Z0
−
a−T
!
ẋ1 (0, ε)
q(0)
=−
. (3.2.41)
ε→0 x1 (0, ε)
p2 (0)
q(s)
ds ,
p2 (s)
lim
Учитывая последние соотношения, как и при доказательстве леммы
3.2.2, убеждаемся в том, что x1 (t, ε) обращается в нуль на интервале
(0, t0 ) (t0 > 0), если только ε достаточно мало. Лемма доказана.
Лемма 3.2.3. Имеет место предельное равенство
lim x1 (a, ε) = −∞.
ε→0
Доказательство. Положим
x1 (t, ε) = y1 (t, ε)e
1
2ε
Rt
p1 (s)ds
0
.
(3.2.42)
Тогда функция y1 (t, ε) является решением уравнения (3.2.38) при i = 1,
причем, как следует из (3.2.41) и (3.2.42), при достаточно малых ε
y1 (0, ε) ≤ 2α0 ,
ẏ1 (0, ε) ≤
1
p1 (0)α0 .
2ε
Проинтегрируем затем выражение (3.2.38) при y = y1 (t, ε). В результате
получим, что
1
ẏ1 (t, ε) = ẏ1 (0, ε) +
ε
Zt ·
0
¸
p21 (s)
1
− q(s) + ṗ1 (s) y(s, ε)ds.
4ε
2
(3.2.43)
Отметим, что выражение, стоящее в квадратных скобках (3.2.43) при
малых ε положительно, а функция y1 (t, ε) отрицательна вне некоторой
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 3.2.
Уравнения с точками поворота
77
(произвольно малой) окрестности точки t = 0. Отсюда и из (3.2.43)
вытекает, что
lim y1 (a, ε) = −∞.
(3.2.44)
ε→0
Утверждение леммы 3.2.3 тогда следует из (3.2.44) и (3.2.42).
Лемма 3.2.4. При всех достаточно малых ε имеет место неравенство
ẋ2 (a, ε) < 0.
(3.2.45)
Доказательство. Пусть x2 (t, ε) = y2 (t, ε)e
1
2ε
p(a)
y2 (a, ε)e
ẋ2 (a, ε) = ẏ2 (a, ε) +
2ε
Rt
p1 (s)ds
0
1
2ε
Rt
. Тогда
p1 (s)ds
0
.
Отрицательность ẋ2 (a, ε) будет установлена, если удастся показать, что
ẏ2 (a, ε) < 0. (При этом мы учитываем отрицательность y2 (a, ε)). Из
(3.2.39) вытекает, что ẏ2 (0, ε) < 0. Обозначим затем через t(ε) точку, в
которой функция y2 (t, ε) обращается в нуль на отрезке [0, a]. Очевидно,
ẏ2 (t(ε), ε) < 0. Отрицательность ẏ2 (a, ε) следует теперь непосредственно
из приведенных фактов и из равенства
Zt ·
1
ẏ2 (t, ε) = ẏ2 (t(ε), ε) +
ε
¸
p21 (s)
1
− q(s) + ṗ1 (s) y2 (s, ε)ds.
4ε
2
t(ε)
Лемма доказана.
Как следствие соотношений (3.2.42) и (3.2.45) получаем, что
lim f (ε) = lim(x1 (a, ε) + ẋ2 (a, ε)) = −∞,
ε→0
ε→0
т.е. для всех достаточно малых ε имеет место неравенство (3.2.34). Отсюда, в свою очередь, следует неустойчивость решений (3.2.1), когда ε
мало. Вместе с равенством (3.2.29), из которого вытекает неустойчивость
решений при q(0) < 0 и малых ε, это приводит к обоснованию теоремы
3.2.2.
Этап 6. Завершение доказательства теоремы 3.2.1. Фиксируем произвольно δ0 > 0 и положим в уравнении (3.2.4) λ = −q(0) + δ0 . Из
результатов предыдущего пункта тогда заключаем, что при всех малых
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
78
ГЛАВА 3.
Устойчивость сингулярно возмущенных уравнений
ε решения полученного уравнения неустойчивы. Отсюда и из утверждений §1.6 приходим к выводу, что существуют два вещественных собственных значения λ1 (ε) и λ2 (ε) антипериодической краевой задачи для
(3.2.4), причем
λ0 (ε) < λ1 (ε) < −q(0) + δ0 ,
λ2 (ε) > −q(0) + δ0 .
Из произвола в выборе δ0 тогда следует справедливость предельных равенств
lim λ1 (ε) = −q(0), lim λ2 (ε) = ∞.
ε→0
ε→0
Отсутствие в промежутках (−∞, λ0 (ε)], [λ1 (ε), λ2 (ε)] вещественных частей других собственных значений следует из теоремы 1.6.2 главы 1.
Таким образом теорема 3.2.1 доказана.
В заключение параграфа отметим, что полученные выводы нетрудно
распространить на тот случай, когда функции p(t) и q(t) имеют произвольное (конечное) число разрывов и | p(t) |> 0.
§ 3.3. Уравнения со знакопеременным
и гладким коэффициентом p(t)
В этом параграфе будут приведены результаты и кратко описана схема
их доказательства в случае, когда коэффициент p(t) в уравнении (3.2.1)
является знакопеременным и гладким. Полное обоснование приведено в
работах автора [7,13,14] и будет изложено в главах 7,8,9.
1. Предельные числа собственных значений первой краевой задачи на
отрезке [α, β]. Рассматривается первая краевая задача для уравнения
εẍ + p(t)ẋ + [q(t) + λ]x = 0,
(3.3.1)
где ε — малый положительный параметр, q(t) — непрерывна, а p(t) —
непрерывно дифференцируема и, что самое главное, функция p(t) имеет
конечное число t1 , . . . , tn простых нулей в интервале (α, β). Обозначим
через µj (ε) (j = 0, 1, . . .) собственные значения первой краевой задачи,
причем, как обычно, условимся считать, что нумерация идет в порядке
возрастания.
Введем затем в рассмотрение величины (k = 1, . . . , n; i = 0, 1, . . .)
¸
·
1
νik = |ṗ(tk )| · i − q(tk ) − (ṗ(tk ) + |ṗ(tk )|) .
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 3.3. Уравнения со знакопеременным и гладким коэффициентом p(t)79
Затем все числа νik расположим в ряд в порядке возрастания и через µj
обозначим (j − 1)-ый член этого ряда.
Теорема 3.3.1. Имеют место предельные равенства
lim µj (ε) = µj
ε→+0
(j = 0, 1, . . .).
(3.3.2)
2. О доказательстве теоремы 3.3.1. На первом этапе рассматривается
случай, когда p(t) имеет лишь один нуль в точке t1 ∈ (α, β). Основной
результат здесь такой:
Лемма 3.3.1. Пусть для некоторого целого положительного k
выполнено неравенство
·
¸
1
k − 1 < q(t1 ) − (ṗ(t1 ) + |ṗ(t1 )|) |ṗ(t1 )| < k.
(3.3.3)
2
Тогда существует такое ε0 > 0, что при ε ∈ (0, ε0 ) найдется решение
x0 (t, ε) уравнения
εẍ + p(t)ẋ + q(t)x = 0,
(3.3.4)
имеющее ровно k + 1 нуль на отрезке [α, β]. Количество нулей любого
другого решения на [α, β] не превосходит k + 1.
При обосновании леммы на первом шаге уравнению (3.3.4) путем
Rt
1
p
− 2ε
p(s)ds
преобразования x = ye 0
и замены времени t = t1 + ε | ṗ(t1 ) | −1s
придается более удобный вид:
·
¸
2q(t1 ) − ṗ(t1 ) s2
ÿ +
− + ω(si , ε) y = 0.
(3.3.5)
2 |ṗ(t1 )|
4
Здесь функция ω(s, ε) стремится к нулю при ε → 0 равномерно на каждом конечном промежутке времени s. Уравнение (3.3.5) при ω(si , ε) ≡ 0
интегрируется в рядах. Анализируя получающиеся ряды, удается показать, что при условии (3.3.3) максимальное количество нулей решений
(3.3.5) ровно k + 1. Используя затем отмеченное выше свойство функции ω(si , ε), приходим к выводу, что наибольшее число нулей решений
(3.3.4) при малых ε не меньше k + 1. Таким образом, для завершения
обоснования леммы необходимо показать, что при малых ε уравнение
(3.3.4) не может иметь решения с большим числом нулей на [α, β]. Соответствующее доказательство основано на применении осцилляционных
критериев, связанных с построением пробных“ функций, обладающих
”
специальными свойствами.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
80
ГЛАВА 3.
Устойчивость сингулярно возмущенных уравнений
На втором этапе рассматривается общий случай, т.е. тот, когда функция p(t) удовлетворяет условиям теоремы 3.3.1. Сформулируем утверждение, которое будет играть основную роль при обосновании теоремы.
Предположим, что имеют место неравенства
·
¸
1
hk = q(tk ) − (ṗ(tk ) + |ṗ(tk )|) |ṗ(tk )|−1 6= j (j = 0, 1, . . . ; k = 1, . . . , n).
2
Обозначим через Nk (k = 1, . . . , n) наименьшие неотрицательные целые
числа, превосходящие hk соответственно.
Лемма 3.3.2. Существует такое ε0 > 0, при котором для всех
ε ∈ (0, ε0 ) у уравнения (3.3.4) найдется решение, число нулей которого
равно N0 , где
n
X
N0 = 1 +
Ni .
(3.3.6)
i=1
При этом число нулей любого другого решения не превосходит N0 .
При обосновании леммы действуем так. Сначала, используя лемму
3.3.1, показываем, что число N0 , фигурирующее в (3.3.6), уменьшить
нельзя. Для того, чтобы установить тот факт, что число нулей решений
уравнения (3.3.4) при малых ε не может превзойти N0 , удобнее работать
с уравнением
·
¸
1
1 2
εÿ + q(t) − ṗ(t) − p (t) y = 0,
(3.3.7)
2
4ε
в которое преобразуется исходное уравнение при помощи замены
x = ye
1
− 2ε
Rt
a
p(s)ds
.
Следующий шаг является центральным. Здесь вводится уравнение
·
¸
1 2
εÿ + q0 (t) − p0 (t) y = 0,
(3.3.8)
ε
поведение решений которого вблизи точек поворота близко“ к пове”
дению решений уравнения (3.3.7) на соответствующих промежутках и,
кроме того, коэффициенты последнего уравнения выбираются достаточно простыми. Они определяются, исходя еще из того, чтобы выражение,
стоящее в квадратных скобках (3.3.8), превосходило при каждом t аналогичное выражение в (3.3.7). Таким образом, если мы покажем, что количество нулей решений (3.3.8) не превосходит N0 , то тем самым будет
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 3.3. Уравнения со знакопеременным и гладким коэффициентом p(t)81
завершено доказательство леммы. Здесь используется теорема сравнений
(глава 1).
Изучение осцилляционных свойств решений (3.3.8) основано на том,
что можно так подобрать коэффициенты этого уравнения, чтобы решения выражались через достаточно простые функции (например, через
комбинации функций параболического цилиндра и экспонент).
На последнем этапе доказательства теоремы 3.3.1 используются, кроме леммы 3.3.2, лишь осцилляционные свойства собственных функций
первой краевой задачи.
В заключение пункта отметим, что предельное (при ε → 0) значение
собственных чисел можно находить и в случае, когда кроме простых
нулей p(t) имеется множество кратных.
3. Асимптотика собственных значений первой краевой задачи. Дополнительное предположение касается лишь гладкости функций p(t) и
q(t). Будем предполагать, что p(t) и q(t) бесконечно дифференцируемы.
Теорема 3.3.2. Имеют место асимптотические представления
µj (ε) = µj + εµj1 + ε2 µj2 + . . .
(j = 0, 1, . . .).
(3.3.9)
Алгоритм нахождения чисел µjr приведен в главе 8. Отметим, что все
числа µjr вычисляются лишь по значениям функций p(t), q(t) и их производных в точках поворота. По поводу асимптотических рядов (3.3.9)
можно утверждать, что они, вообще говоря, являются расходящимися.
Доказательство теоремы 3.3.2 существенно сложнее, чем доказательство предыдущей теоремы. Здесь его приводить не будем.
4. Асимптотика собственных значений периодической и антипериодической краевых задач в самосопряженном случае. Рассматривается уравнение (3.3.1) с малым положительным параметром ε и T -периодическими
коэффициентами, которые предполагаются бесконечно дифференцируемыми. Условие самосопряженности означает, что M (p(t)) = 0. Основное
предположение состоит в наличии точек поворота, т.е. что p(t) имеет конечное число простых нулей на [0, T ]. Рассмотрим для уравнения (3.3.1)
на отрезке [α, α + T ] первую, периодическую и антипериодическую краевые задачи. Собственные значения первой краевой задачи обозначим
через µj (ε, α) (j = 0, 1, . . .), а собственные значения периодической и
антипериодической задач (которые не зависят от α) обозначим через
−
λ+
j (ε) (j = 0, 1, . . .) и λj (ε) (j = 1, 2, . . .) соответственно. При этом нуме−
рация происходит в порядке убывания так, что все λ+
j (ε) и λj (ε) непрерывны по ε при ε > 0. На основании теоремы 3.3.2 для каждого α имеем
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
82
ГЛАВА 3.
Устойчивость сингулярно возмущенных уравнений
представления
µj (ε, α) = µj (α) + εµj1 (α) + ε2 µj2 (α) + . . . .
Теорема 3.3.3. Имеют место асимптотические представления
2
λ+
j (ε) = µj (α0 ) + εµj1 (α0 ) + ε µj2 (α0 ) + . . . ,
2
λ−
j+1 (ε) = µj (α0 ) + εµj1 (α0 ) + ε µj2 (α0 ) + . . . ,
(3.3.10)
(3.3.11)
где j = 0, 1, . . ., а α0 такое, что p(α0 ) 6= 0.
Сформулируем затем критерий устойчивости решений уравнения
(3.3.4) в рассматриваемом случае.
Теорема 3.3.4. Предположим, что коэффициенты ни одного из
рядов (3.3.10) и (3.3.11) не состоят из одних нулей. Тогда существует такое ε0 > 0, что при ε ∈ (0, ε0 ) решения уравнения (3.3.1)
неустойчивы.
Отметим, что теорема 3.3.4 непосредственно вытекает из теоремы
3.3.3. Кроме результатов предыдущих пунктов для обоснования теоремы 3.3.3 широко используются результаты главы 1. Важную роль играет
лемма 1.4.6 главы 1, которая позволяет перейти от рассмотрения собственных значений периодической и антипериодической краевых задач
к изучению свойств собственных значений некоторых первых краевых
задач.
5. Асимптотика собственных значений в несамосопряженном случае.
Функции p(t) и q(t) здесь те же, что и в п.4, с той лишь разницей, что
M (p(t)) > 0. Наряду с уравнением (3.3.1) рассмотрим периодическую и
антипериодическую краевые задачи для самосопряженного уравнения
·
¸
1 2
1
εÿ + q(t) − ṗ(t) − p (t) + λ y = 0.
(3.3.12)
2
4ε
Пусть νj+ (ε) (j = 0, 1, . . .) и νj− (ε) (j = 1, 2, . . .) — собственные значения периодической и антипериодической краевых задач для уравнения
(3.3.12) соответственно. Оказывается, что для этого уравнения применимы все выводы п.4. Тем самым мы знаем асимптотику всех рассматриваемых собственных значений. Обозначим, далее, через h0 (ε) — собственное значение периодической краевой задачи для (3.3.1) с наименьшей
вещественной частью. Из результатов §1.6 главы 1 вытекает вещественность h0 (ε). Условимся, наконец, писать ϕ(ε) = o(ε∞ ), если для любого
` > 0 выполняется равенство ϕ(ε) = o(ε` ).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 3.3. Уравнения со знакопеременным и гладким коэффициентом p(t)83
Теорема 3.3.5. Имеет место равенство
h0 (ε) − ν0+ (ε) = o(ε∞ ).
Теорема 3.3.6. Пусть для некоторого номера j асимптотические
+
+
−
−
ряды для ν2j−1
(ε) и ν2j
(ε) (или ν2j−1
(ε) и ν2j
(ε)) не совпадают. Тогда
найдется такое ε0 > 0, что при ε ∈ (0, ε0 ) существуют два таких
собственных значения hj1 (ε) и hj2 (ε) периодической (антипериодической) краевой задачи для (3.3.1), которые вещественны, непрерывно
зависят от ε (ε > 0) и выполняются соотношения
+
+
ν2j−1
(ε) < hj1 (ε) < hj2 (ε) < ν2j
(ε)
¡ −
¢
−
ν2j−1 (ε) < hj1 (ε) < hj2 (ε) < ν2j
(ε)
¡
¢
+
−
hj1 (ε) − ν2j−1
(ε) = o(ε∞ )
hj1 (ε) − ν2j−1
(ε) = o(ε∞ )
¡
¢
+
−
hj2 (ε) − ν2j
(ε) = o(ε∞ )
hj2 (ε) − ν2j
(ε) = o(ε∞ ) .
При этом интервалу (hj1 (ε), hj2 (ε)) не может принадлежать вещественная часть ни одного из собственных значений рассматриваемых краевых задач для уравнения (3.3.1).
Сформулируем в заключение критерии устойчивости решений уравнения (3.3.4) для случая M [p(t)] > 0.
Теорема 3.3.7. Пусть коэффициенты ни одного из асимптотических рядов νj+ (ε) и νj− (ε) не состоят из одних нулей. Тогда найдется
такое ε0 > 0, что при ε ∈ (0, ε0 ) решения уравнения (3.3.4) неустойчивы.
Несколько слов о доказательстве теорем. Теорема 3.3.7 непосредственно вытекает из теоремы 3.3.5, 3.3.6 и результатов §1.6 главы 1. Основу обоснования теорем 3.3.5 и 3.3.6, кроме общих положений теории
зон устойчивости, составляют результаты §1.5 главы 1. Эти результаты
позволяют исходную задачу свести к задаче на построение специальных
пробных“ функций.
”
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 4
Асимптотические законы
распределений собственных
значений периодической и
антипериодической краевых
задач
Сначала излагаются хорошо известные результаты (см. например,
[15]) для уравнений без точек поворота. Приведенные в §§4.2 и 4.3
утверждения для уравнений с точками поворота получены в [16].
§ 4.1. Асимптотика собственных значений для
уравнений без точек поворота
1. Основной результат. Рассмотрим дифференциальное уравнение
ẍ + [λ2 r(t) + q(t)]x = 0,
(4.1.1)
где T -периодические функции r(t) и q(t) достаточно гладкие. Основное
предположение состоит в том, что отсутствуют точки поворота, т.е.
r(t) > 0,
t ∈ [0, T ].
(4.1.2)
Поставим для уравнения (4.1.1) периодическую и антипериодическую
краевые задачи. Согласно изложенной в главе 1 теории, существует бесконечно много собственных значений λ+
n (n = 0, 1, . . .) периодической и
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 4.1.
Уравнения без точек поворота
85
λ−
n (n = 1, 2, . . .) антипериодической краевых задач, причем
2
− 2
− 2
+ 2
− 2
(λ+
0 ) < (λ1 ) ≤ (λ2 ) < (λ1 ) < (λ3 ) ≤ . . . .
Нас будет интересовать вопрос о зависимости собственных значений
и λ−
n от номера n, когда n стремится к бесконечности. Поскольку при
2
±
больших номерах n величины (λ±
n ) положительны, то через λn удобно
2
обозначать в дальнейшем арифметическое значение корня из (λ±
n) .
Теорема 4.1.1. Имеют место асимптотические неравенства
λ+
n
λ+
2n−1 =
2πn
2πn
− 12
+
− 12
+
O(n
),
λ
=
+
O(n
),
2n
RT p
RT p
r(t)dt
r(t)dt
0
λ−
2n−1 =
(4.1.3)
0
(2n − 1)π
(2n − 1)π
− 12
−
− 12
+
O(n
),
λ
=
+
O(n
).
2n
RT p
RT p
r(t)dt
r(t)dt
0
(4.1.4)
0
2. Обоснование теоремы 4.1.1. Сначала приведем уравнение (4.1.1)
к более удобному для исследования виду. Для этого выполним в нем
последовательно несколько преобразований. Сначала произведем замену
времени
t = ϕ(τ ) (ϕ0 (τ ) > 0),
(4.1.5)
затем положим x(ϕ(τ )) = z(τ ) и, наконец,
z(τ ) =
³p
ϕ̇(τ )
´−1
y(τ ).
Тогда для функции y(τ ) получаем дифференциальное уравнение
£
¤
ÿ + λr(ϕ(τ ))ϕ̇2 (τ ) + g(τ ) y = 0,
(4.1.6)
где
2ϕ̈0 (τ )ϕ̇(τ ) − ϕ̈2 (τ )
g(τ ) = ϕ̇ (τ )g(ϕ(τ )) +
.
4ϕ̇2 (τ )
2
Функцию ϕ(τ ) определим из условия равенства единице коэффициента
при λ2 , т.е.
r(ϕ(τ ))ϕ̇2 (τ ) = 1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 4.
86
Асимптотические законы распределений . . .
Решая это уравнение, находим неявное выражение для ϕ(τ ):
τ=
ϕ(τ )
Z
p
r(t)dt.
0
Отсюда функция ϕ(τ ) легко определяется.
RT p
T1 =
r(t)dt-периодическими коэффициентами
Для
уравнения
с
0
£
¤
ÿ + λ2 + g(τ ) y = 0
(4.1.7)
в главе 1 §1.6 была получена асимптотика при больших λ следа f (λ)
матрицы монодромии:
f (λ) = 2 cos λT1 + O(λ−1 ).
(4.1.8)
Отметим, что f (λ) является также следом матрицы монодромии уравнения (4.1.1). Поэтому собственные значения рассматриваемых краевых
задач и только они являются решениями уравнений
f (λ) = 2,
Положим затем λ+
2n−1 =
2πn
RT √
r(t)dt
0
f (λ) = −2.
+ δ2n−1 , λ+
2n =
(4.1.9)
2πn
RT √
r(t)dt
+ δ2n . Тогда, ис-
0
пользуя в первом равенстве (4.1.9) выражение (4.1.8) для определения
δ2n−1 и δ2n , получим равенства
1
4 sin2 δ2n−1 = O
2
µ ¶
µ ¶
1
1
1
, 4 sin2 δ2n = O
.
n
2
n
Из общих свойств функции
³ f1 ´(λ) вытекает,³ что1 ´эти уравнения разрешимы, а значит, δ2n−1 = O n− 2 и δ2n = O n− 2 . Для того чтобы установить наличие нужного числа нулей у собственных функций x+
2n−1 (t)
+
и x2n (t), опять используем полученные в §1.6 главы 1 асимптотические
−
представления решений (4.1.7). Для величин λ−
2n−1 и λ2n рассуждения те
же. Тем самым теорема доказана.
Сделаем одно замечание. Можно показать, что для любого натураль-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 4.2.
Асимптотика при условии r(t) ≥ 0
87
ного k ≥ 1 имеют место асимптотические равенства
³ RT p
´−1
¡
¢
1
c1
= 2πn
r(t)dt
+ cn1 + . . . + nkk + O n−k−1 ,
0
³ RT p
´−1
¡
¢
1
c1
+
λ2n = 2πn
r(t)dt
+ cn1 + . . . + nkk + O n−k−1 ,
0
³ RT p
´−1
¡
¢
2
c2
−
r(t)dt
+ cn1 + . . . + nkk + O n−k−1 ,
λ2n−1 = (2n − 1)π
0
³ RT p
´−1
¡
¢
2
c2
−
r(t)dt
λ2n = (2n − 1)π
+ cn1 + . . . + nkk + O n−k−1 ,
λ+
2n−1
0
в которых коэффициенты cij выражаются через r(ϕ(τ )), g(τ ) и ее производные. Обращаем внимание, что для любого целого k
¡ ±
¢
¡ −k ¢
λ2n−1 − λ±
,
2n = O n
т.е. длина зон неустойчивости стремится к нулю (быстрей любой отрицательной степени n). Длина зон устойчивости, очевидно, стремится к
µT
¶−1
Rp
числу π
r(t)dt
.
0
§ 4.2. Асимптотика собственных значений при
условии r(t) ≥ 0
1. Формулировка результатов. Основным предположением здесь является
неотрицательность и наличие нулей функции в уравнении
£
¤
ẍ + p(t)ẋ + λ2 r(t) + q(t) x = 0.
(4.2.1)
Ограничимся для простоты изложения рассмотрением случая, когда r(t)
имеет конечное число t1 , . . . , tm (m ≥ 1) нулей на промежутке (0, T ) длины периода, причем будем считать, что кратность каждого нуля равна
двум. Далее, как обычно, предположим, что непрерывно дифференцируемая функция p(t) такова, что
M (p) ≥ 0.
(4.2.2)
Наряду с (4.2.1) введем в рассмотрение самосопряженное уравнение
£
¤
ÿ + λ2 r(t) + g(t) y = 0,
(4.2.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 4.
88
где
Асимптотические законы распределений . . .
1
1
g(t) = q(t) − ṗ(t) − p2 (t).
2
4
Напомним, что решения (4.2.1) и (4.2.3) связаны соотношением
x = ye
− 12
Rt
p(s)ds
.
0
(4.2.4)
Поставим для каждого из уравнений (4.2.1) и (4.2.3) периодическую и антипериодическую краевые задачи. Собственные значения этих
краевых задач для уравнения (4.2.3) обозначим через λ+
n (n = 0, 1, . . .)
−
и λn (n = 1, 2, . . .) соответственно. Нас будет интересовать вопрос об
асимптотической зависимости λ±
n от номера n, когда n велико, а также вопрос о существовании бесконечного множества вещественных
собственных значений рассматриваемых краевых задач для уравнения
(4.2.1) и об их асимптотических законах распределения. Отметим, что
уравнение (4.2.3) может иметь лишь конечное число комплексных (чисто
мнимых) собственных значений.
Сначала сформулируем результаты для случая m = 1.
Теорема 4.2.1. Имеют место равенства
λ+
2n−1
µ ZT
¶−1
³ 1
´
p
¢
¡
1
−2
r(t)dt
+ O n ln n ,
= 2π n − 8
0
¡
λ+
=
2π
n+
2n
µ ZT
p
¢
1
¶−1
r(t)dt
8
³ 1
´
−2
+ O n ln n ,
(4.2.5)
0
λ−
2n−1
µ ZT
¶−1
³ 1
´
p
¡
¢
5
−2
= 2π n − 8
r(t)dt
+ O n ln n ,
λ−
2n
µ ZT
¶−1
´
³ 1
p
¡
¢
3
−2
= 2π n − 8
r(t)dt
+ O n ln n .
0
(4.2.6)
0
Опишем теперь, как можно получить соответствующие результаты
для произвольного m > 1. Сначала введем несколько обозначений. Считая, что нули t1 , . . . , tm функции r(t) занумерованы в порядке возраста-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 4.2.
Асимптотика при условии r(t) ≥ 0
89
ния, положим
tm+1
1
= t1 + ω, ai =
2
Zti+1p
r(t)dt −
ti
Далее, введем матрицы
µ i
¶
u11 (λ) ui12 (λ)
Ui (λ) =
ui21 (λ) ui22 (λ)
π
8
(i = 1, . . . , m).
(i = 1, . . . , m),
элементы которых определяются следующим образом:
ui11 (λ)
ui12 (λ)
ui21 (λ)
ui22 (λ)
=
=
=
=
cos λ[ai + ai+1 ] − 2 sin λai · cos λai+1 ,
λ−1 (sin λ[ai + ai+1 ] + 2 cos λai · cos λai+1 ),
−λ(sin λ[ai + ai+1 ] − 2 sin λai · sin λai+1 ),
cos λ[ai + ai+1 ] − 2 cos λai · sin λai+1 .
Матрицу U (λ) определим тогда по правилу
U (λ) = Um (λ) · . . . · U1 (λ),
а след этой матрицы обозначим через ϕ(λ).
В формулировке следующего результата будут участвовать решения
уравнений
ϕ(λ) = 2 и ϕ(λ) = −2.
−
Неотрицательные решения h+
n (n = 0, 1, . . .) первого и hn (n = 1, 2, . . .)
второго из этих уравнений удобно считать занумерованными в порядке
возрастания с учетом кратности.
Теорема 4.2.2. Имеют место равенства
³ 1
´
³ 1
´
+
−2
−
−2
+
−
λn = hn + O n ln n , λn = hn + O n ln n .
(4.2.7)
Если M (p) = 0, то собственные значения рассматриваемых краевых
задач для уравнения (4.2.1) те же, что и у (4.2.3). Пусть
M (p) > 0.
Теорема 4.2.3. Пусть m = 1 и выполняется неравенство
 T

Z p
√
ch 
r(t)dt > 2.
0
(4.2.8)
(4.2.9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
90
ГЛАВА 4.
Асимптотические законы распределений . . .
Тогда уравнение (4.2.1) имеет лишь конечное число вещественных
собственных значений периодической и антипериодической краевых
задач, причем при всех достаточно больших λ решения (4.2.1) устойчивы. Если же
 T

Z p
√
ch 
r(t)dt < 2,
(4.2.10)
0
то уравнение (4.2.1) имеет лишь конечное число комплексных собственных значений тех же краевых задач, причем при неограниченном увеличении λ устойчивость и неустойчивость решений неограниченно чередуются.
Из приводимого ниже доказательства теоремы 4.2.3 будет следовать,
что при условии (4.2.10) у уравнения (4.2.1) существует бесконечно много зон устойчивости и неустойчивости, причем длины этих зон имеют
конечные ненулевые пределы при неограниченном росте n. Интересно
отметить, что в случае r(t) > 0 существование конечного числа вещественных собственных значений (и устойчивость решений (4.2.1) при
всех достаточно больших λ) следует уже из неравенства (4.2.8).
Можно сформулировать результаты, аналогичные теореме 4.2.3, и для
m > 1, однако на этом останавливаться не будем.
2. Вспомогательные построения. Важным моментом доказательства
является сведение случая, когда m > 1, к рассмотрению более простого
случая m = 1. Для этого поступим следующим образом. Обозначим
через U (t, λ) фундаментальную матрицу решений уравнения (4.2.3). Все
значания параметра λ, при которых матрица монодромии U (t, λ) имеет
собственные значения ±1 (и только они), будут являться собственными
значениями периодической и антипериодической краевых задач. Изучим
асимптотику матрицы U (t, λ). Считая, что
0 < t1 < . . . < tm < T,
введем в рассмотрение числа τi (i = 0, . . . m) так, чтобы выполнялись
неравенства
τ0 = 0 < t 1 < τ 1 < t 2 < τ 2 < . . . < t m < T = τm .
(4.2.11)
Если теперь обозначить через Ui (t, λ) (i = 1, . . . m) такие фундаментальные матрицы уравнения (4.2.3), что Ui (τi−1 , λ) = I, то получим следующее важное для нас равенство
U (T, λ) = Um (τm , λ) · Um−1 (τm−1 , λ) · . . . · U1 (τ1 , λ).
(4.2.12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 4.2.
Асимптотика при условии r(t) ≥ 0
91
Из него вытекает, что асимптотика U (T, λ) будет получена, если удастся
получить асимптотику каждой из матриц Ui (τi , λ). Для этого, в свою очередь, достаточно изучить поведение одной из этих матриц при больших
значениях λ. Выберем для определенности в качестве такой матрицы
U1 (τ1 , λ) и займемся изучением ее свойств.
Введем несколько обозначений. Через x1 (t, λ) и x2 (t, λ) обозначим
решения уравнения (4.2.3) с начальными условиями
x1 (0, λ) = ẋ2 (0, λ) = 1, ẋ1 (0, λ) = x2 (0, λ) = 0.
Элементами матрицы U1 (τ1 , λ) являются величины x1 (τ1 , λ), ẋ1 (τ1 , λ),
x2 (τ1 , λ) и ẋ2 (τ1 , λ). Поэтому изучим эти величины при больших λ. Как
оказывается, это удобно сделать, вводя две вспомогательные функции
x0 (t, λ) и x0 (t, λ), которые являются решениями того же уравнения, что
и функции x1 (t, λ) и x2 (t, λ), а начальные условия их таковы:
x0 (t1 , λ) = ẋ0 (t1 , λ) = 1, ẋ0 (t1 , λ) = x0 (t1 , λ) = 0.
Отметим,что функции x1 (t, λ) и x2 (t, λ) легко выражаются через x0 (t, λ)
и x0 (t, λ), а именно
x1 (t, λ) = ẋ0 (0, λ) · x0 (t, λ) − ẋ0 (0, λ)x0 (t, λ),
(4.2.13)
x2 (t, λ) = −x0 (0, λ) · x0 (t, λ) + x0 (0, λ)x0 (t, λ).
(4.2.14)
Отсюда вытекает, что для получения асимптотики U1 (τ1 , λ) необходимо
изучить асимптотическое поведение величин x0 (t, λ), x0 (t, λ) и их производных при t = 0 и t = τ1 . Этим сейчас и займемся.
3. Обоснование результатов. Введем в рассмотрение модельное уравнение
d2 y
+ s2 y = 0.
2
ds
0
Пусть решения y0 (s) и y (s) этого уравнения удовлетворяют начальным
условиям
y0 (0) = ẏ 0 (0) = 1, y 0 (0) = ẏ0 (0) = 0.
Асимптотические (при больших значениях s) представления этих функций хорошо известны (см., например, [17]):
³ 5´
¡3¢ −1
£1 2 π¤
1
− 12
2
2
y0 (s) = 2 π Γ 4 s cos 2 s − 8 + O s− 2 ,
³ 3´
¡3¢ 1
£1 2 π¤
1
1
−
ẏ0 (s) = 2 2 π 2 Γ 4 s 2 cos 2 s + 8 + O s− 2 ,
³ 5´
(4.2.15)
¡5¢ −1
£ 1 2 3π ¤
3
0
− 12
−2
2
2
y (s) = 2 π Γ 4 s cos 2 s − 8 + O s
,
³
´
¡
¢
£
¤
3
1
1
3
ẏ 0 (s) = 2 2 π − 2 Γ 54 s− 2 cos 12 s2 − π8 + O s− 2 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 4.
92
Асимптотические законы распределений . . .
Лемма 4.2.1. Имеют место асимптотические формулы
h 1
i
1
− 12
− 12
0
0
(ω (t1 )) x0 (τ, λ) = (ω (τ )) y0 λ 2 ω(τ ) + O(λ− 2 ln λ),
h
h 1
i
i
1
1
− 12
0
0
− 12
2
2
2
(ω (t1 )) ẋ0 (τ, λ) = λ (ω (τ )) ẏ0 λ ω(τ ) + O(λ ln λ) ,
h
h 1
i
i
1
1
1
1
−
0
0
−
0
0
−
(ω (t1 )) 2 x (τ, λ) = λ 2 (ω (τ )) 2 y λ 2 ω(τ ) + O(λ 2 ln λ) ,
h 1
i
1
1
1
0
0
0
0
2
2
2
(ω (t1 )) ẋ (τ, λ) = (ω (τ )) ẏ λ ω(τ ) + O(λ− 2 ln λ),
(4.2.16)
где τ принимает значения 0 и τ1 , а

ω(t) = 2
Zt p
 21
r(ξ)dξ 
(ω(t)r(t) ≥ 0).
(4.2.17)
t1
О доказательстве леммы 4.2.1. В уравнении (4.2.3) произведем замены
s = ω(t),
где ω(t) определяется формулой (4.2.17), а затем
x(t) = (ω 0 (t))
− 12
y(s).
(4.2.18)
Тогда для функции y(s) получим дифференциальное уравнение
d2 y
+ λ2 s2 y = g(s)y,
2
ds
(4.2.19)
в котором через g(s) обозначена функция, легко вычисляющаяся в процессе замен (4.2.17) и (4.2.18). Точный вид этой функции нам не понадобится. Пусть y1 (s, λ) и y2 (s, λ) — решения уравнения (4.2.19) с начальными условиями
y1 (0, λ) = ẏ2 (0, λ) = 1, ẏ1 (0, λ) = y2 (0, λ) = 0.
Метод вариации произвольной постоянной для уравнения (4.2.19) позволяет получить представления
Zs
− 12
³
1
2
´
y0 λ τ K(s, τ )dτ + λ
u1 (s, λ) = λ
0
Zs
− 12
u1 (τ, λ)K(s, τ )dτ,
0
(4.2.20)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 4.2.
Асимптотика при условии r(t) ≥ 0
Zs
− 12
u2 (s, λ) = λ
Zs
³ 1 ´
1
y 0 λ 2 τ K(s, τ )dτ + λ− 2 u2 (τ, λ)K(s, τ )dτ,
0
где
93
(4.2.21)
0
h
´ ³ 1 ´
³ 1 ´ ³ 1 ´i
0
0
K(s, τ ) = g(τ ) y0 λ s y λ 2 τ − y λ 2 s y0 λ 2 τ ,
³ 1 ´
³
³ 1 ´´
1
0
2
2
u1 (s, λ) = y1 (s, λ) − y0 λ s , u2 (s, λ) = λ y2 (s, λ) − y λ 2 s .
³
1
2
Учет в формулах (4.2.20) и (4.2.21) свойств функций y0 (s) и y 0 (s) позволяет непосредственно получить оценки для функций ui (s, λ) (i = 1, 2)
при фиксированном s 6= 0:
³ 1
´
−2
ui (s, λ) = O λ ln λ
(i = 1, 2).
Отсюда уже, производя замену, обратную (4.2.18), приходим к обоснованию леммы.
Равенства (4.2.16) позволяют по формулам (4.2.13) и (4.2.14) определить асимптотические соотношения для элементов матрицы U1 (τ1 , λ).
Производя необходимые вычисления, получаем
s
µ Zτ1
·
¶
p
r(0)
π
x1 (τ1 , λ) =
cos λ
r(t)dt −
−
r(τ1 )
4
0
µ Zt1
µ Zτ1
¶
¶¸
p
p
π
π
− 2 sin λ
cos λ
+
r(t)dt −
r(t)dt −
8
8
t1
0
³ 1
´
−2
+ O λ ln λ ,
·
µ Zτ1
¶
p
p
π
ẋ1 (τ1 , λ) = −λ r(0)r(τ1 ) sin λ
r(t)dt −
−
4
0
µ
− 2 sin λ
Zt1
0
µ Zτ1
¶
p
π
π
r(t)dt −
r(t)dt −
sin λ
+
8
8
t1
³ 1
´¸
+ O λ− 2 ln λ ,
p
¶
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
94
ГЛАВА 4.
µ
x2 (τ1 , λ) = −λ−1
Асимптотические законы распределений . . .
¶− 12 ·
µ Zτ1
¶
p
π
r(0)r(τ1 )
sin λ
r(t)dt −
+
4
0
µ Zt1
¶
µ Zτ1
¶
p
p
π
π
+ 2 cos λ
r(t)dt −
cos λ
r(t)dt −
+
8
8
t1
0
µ
¶¸
− 12
+ O λ ln λ ,
s
·
µ Zτ1
¶
p
r(τ1 )
π
cos λ
−
r(t)dt −
ẋ2 (τ1 , λ) =
r(0)
4
0
µ
Zt1
− 2 cos λ
p
0
π
r(t)dt −
8
¶
µ Zτ1
¶¸
p
π
sin λ
+
r(t)dt −
8
t1
µ
¶
− 12
+ O λ ln λ .
Тем самым найдено асимптотическое представление матрицы U1 (τ1 , λ).
Аналогично получаются подобные выражения для всех остальных матриц, фигурирующих в определении U (T, λ).
Заметим теперь, что при таком специальном выборе чисел τ0 , . . . , τm ,
при котором верны соотношения
Zti+1p
Zti+1p
τi
ti
1
r(t)dt =
2
r(t)dt,
³
− 12
´
ln λ . Отсюда, в свою
справедливо равенство U (T, λ) = U (λ) + O λ
очередь, следует, что
³ 1
´
−2
f (λ) = ϕ(λ) + O λ ln λ .
(4.2.22)
Здесь через f (λ) обозначен след матрицы монодромии U (T, λ). Собствен−
ные значения λ+
n и λn являются корнями уравнений
f (λ) = 2 и f (λ) = −2,
(4.2.23)
соответственно. Отсюда, из равенства (4.2.22) и из определения чисел
−
h+
n и hn вытекает доказательство теорем 4.2.1 и 4.2.2. Отметим еще,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 4.3.
Случай знакопеременной r(t)
95
−
что проверку того, что собственные функции, отвечающие λ+
n и λn , имеют нужное число нулей, легко осуществить, используя асимптотические
формулы решений.
Перейдем к доказательству теоремы 4.2.3. Собственные значения периодической и антипериодической краевых задач (и только они) являются соответственно решениями уравнений
 T

 T

Z
Z
(4.2.24)
f (λ) = 2 ch  p(s)ds и f (λ) = −2 ch  p(s)ds .
0
0
Для следа матрицы монодромии справедлива формула
f (λ) = x1 (T, λ) + ẋ2 (T, λ).
Асимптотические представления для x1 (T, λ) и ẋ2 (T, λ) приводят к равенству
 T

Z p
¡
¢
3
f (λ) = 2 2 cos λ
r(t)dt + O λ−1 ln λ .
0
Подставляя последнее выражения в (4.2.24), легко убеждаемся в справедливости теоремы 4.2.3.
Таким образом, сравнивая поведение собственных значений при
r(t) > 0 и r(t) ≥ 0, делаем вывод, что наличие нулей у r(t) приводит
к сдвижке всех собственных значений на некоторые постоянные величины.
§ 4.3. Асимптотика собственных значений
в случае знакопеременной r(t)
1. Формулировка результатов. Будем считать, что T - периодическая
функция r(t) в уравнении
£
¤
ẍ + λ2 r(t) + q(t) x = 0,
(4.3.1)
имеет конечное число простых нулей t1 < t2 < . . . < tm на интервале (0, T ). При неограниченном увеличении λ количество нулей решений
(4.3.1) на отрезке [0, T ] стремится к бесконечности. Отсюда и из результатов главы 1 вытекает, что существует бесконечно много собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
96
ГЛАВА 4.
Асимптотические законы распределений . . .
уравнения (4.3.1). Очевидно, кроме бесконечного числа вещественных
собственных значений существует и бесконечно много чисто мнимых
собственных значений, однако, поскольку замена λ2 на −λ2 не меняет
типа задачи, достаточно рассмотреть лишь вещественные собственные
значения. Условимся о нумерации. Собственными значениями λ+
2n−1 и
+
λ2n будем называть такие неотрицательные собственные значения периодической краевой задачи, которым отвечают собственные функции, имеющие ровно 2n нулей на [0, T ). Аналогично, собственными значениями
−
λ−
2n−1 ≥ 0 и λ2n ≥ 0 назовем такие собственные значения антипериодической краевой задачи, отвечающие которым собственные функции имеют
ровно 2n − 1 нулей на [0, T ). Как и в §§4.1 и 4.2, нас будет интересовать
вопрос о зависимости λ±
n от номера n, когда n неограниченно растет.
Прежде чем перейти к формулировке результатов, введем несколько
обозначений. Пусть (αi , βi ) (i = 1, . . . , m2 ) — все те интервалы отрезка
[t1 , t1 + T ], концами которых служат нули функции r(t) и на которых r(t)
положительна. Положим
½
r(t),
t ∈ (αi + kT, βi + kT ) (k = 0, ±1, . . .),
ri (t) =
0,
t∈(αi + kT, βi + kT ) (k = 0, ±1, . . .).
Рассмотрим затем совокупность чисел
¡
¢
³
´
π k + 12
m
hik = T
i = 1, . . . , ; k = 0, 1, . . . .
Rp
2
ri (t)dt
0
Расположим все числа hik в ряд в порядке возрастания. Определим затем
числа hn , которые будем считать равными соответственно (n + 1)-му
члену этого ряда.
Теорема 4.3.1. Имеют место асимптотические равенства
−1
−
−1
λ+
n−1 = hn + O(n ), λn = hn + O(n ).
Рассмотрим затем несамосопряженное уравнение
£
¤
ẍ + p(t)ẋ + λ2 r(t) + q(t) x = 0,
(4.3.2)
(4.3.3)
где r(t) та же, что и выше. Условие несамосопряженности означает, что
M (p) > 0.
(4.3.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 4.3.
Случай знакопеременной r(t)
λ̃+
2n−1
λ̃+
2n
³
λ̃−
2n−1
λ̃−
2n
97
´
Через
и
и
будем обозначать такие вещественные
собственные числа (если они существуют) периодической (антипериодической) краевой задачи, отвечающие которым собственные функции
имеют ровно 2n (2n − 1) нулей на полуинтервале [0, T ).
Теорема 4.3.2. Для уравнения (4.3.3) имеют место следующие
утверждения:
1. Найдутся такое λ0 > 0 и такое четное n0 , что на полуоси [λ0 , ∞) существует бесконечно много собственных значений
−
λ̃+
n (n = n0 , n0 + 1, . . .) и λ̃n (n = n0 , n0 + 1, . . .), для которых справедливы
неравенства
−
−
+
+
λ̃+
n0 < λ̃n0 +1 ≤ λ̃n0 +2 < λ̃n0 +1 ≤ λ̃n0 +2 < . . . .
2. Решения устойчивы в том и только в том случае, когда
³
λ∈
−
λ̃+
2n , λ̃2n+1
´
´
³
−
+
или λ ∈ λ̃2n , λ̃2n−1 .
3. Имеют место асимптотические равенства
¡ −1 ¢ −
¡ −1 ¢
λ̃+
=
h
+
O
n
,
λ̃
=
h
+
O
n
.
n
n
n
n−1
(4.3.5)
Из этой теоремы вытекает, в частности, что независимо от величины M (p), длина зон устойчивости стремится к нулю с ростом n, а
последовательность длин зон неустойчивости состоит, вообще говоря,
из нескольких подпоследовательностей, имеющих конечный предел при
n → ∞, причем хотя бы один из этих пределов не равен нулю.
2. Об обосновании результатов. Будем здесь придерживаться обозначений §4.2. Так же, как и в предыдущем случае, здесь достаточно
изучить асимптотику матрицы U1 (τ1 , λ). Считая, что r(0) < 0, в качестве
модельного уравнения примем такое:
d2 y
+ sy = 0.
ds2
(4.3.6)
Для решений y0 (s) и y 0 (s) этого уравнения с начальными условиями
y0 (0) = ẏ 0 (0) = 1, ẏ0 (0) = y 0 (0) = 0 воспользуемся известными [17]
асимптотическими формулами для больших значений s. Эти формулы
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 4.
98
имеют вид:
n h 3
i
³ 3 ´o
2 2
π
− 14
s
cos
s
−
+
O
s− 2
, s > 0,
3
3
12
n
³
´o
3
¡ ¢
1 1
1 2
3
2−1 π − 2 3 6 Γ 23 (−s)− 4 e 3 (−s) 2 1 + O s− 2
, s < 0,
n
h
i
³
´o
¡ ¢ 1
5
1
3
− 23
3 6 π − 2 Γ 43 s− 4 cos 32 s 2 − 5π
+
O
s
, s > 0,
12
n
³
´o
3
¡ ¢
1 2
3
5
1
3 6 2−1 π − 2 Γ 43 (−s)− 4 e 3 (−s) 2 1 + O s− 2
, s < 0,
n
h
´o
i
³
¡ ¢ 1
1
1
3
− 32
, s > 0,
−3 6 π − 2 Γ 23 s 4 cos 23 s 2 − 7π
+
O
s
12
´o
n
³
¡ ¢ 1 2 3
1
1
3
−3 6 π − 2 2−1 Γ 23 s 4 e 3 s 2 1 + O s− 2
, s < 0,
h
i
n
³
´o
¡
¢
5
1
3
3
1
4
2
π
−
−
3 6 π 2 Γ 3 s 4 cos 3 s 2 − 12 1 + O s 2
, s > 0,
n
³
´o
¡ ¢ 1 2 3
5
1
3
3 6 2−1 π − 2 Γ 43 s 4 e 3 s 2 1 + O s− 2
, s < 0.
1
1
y0 (s) = 3 6 π − 2 Γ
y0 (s) =
y 0 (s) =
y 0 (s) =
ẏ0 (s) =
ẏ0 (s) =
ẏ 0 (s) =
ẏ 0 (s) =
Асимптотические законы распределений . . .
¡2¢
(4.3.7)
На следующем этапе, действуя так же, как при доказательстве леммы
4.2.1, получаем выражения для функций x0 (τ, λ) и x0 (τ, λ) через y0 (s, λ)
и y 0 (s, λ). Окончательные формулы здесь такие:
´£
³ 2
¡ ¢¤
− 21
− 12
0
0
3
[ω (t1 )] x0 (τ, λ) = [ω (τ )] y0 λ ω(τ ) 1 + O λ−1 ,
´£
³ 2
¡ ¢¤
1
2
− 12
0
0
[ω (t1 )] ẋ0 (τ, λ) = λ 3 [ω (τ )] 2 ẏ0 λ 3 ω(τ ) 1 + O λ−1 ,
´£
n
³ 2
¡ −1 ¢¤o (4.3.8)
1
− 21 0
0
0
− 23
0
2
3
[ω (t1 )] x (τ, λ) = λ
,
[ω (τ )] y λ ω(τ ) 1 + O λ
´
³
£
¡
¢¤
1
1
2
[ω 0 (t1 )] 2 ẋ0 (τ, λ) = [ω 0 (τ )]− 2 ẏ 0 λ 3 ω(τ ) 1 + O λ−1 ,
где τ принимает значения 0 и τ1 , а функция ω(t) определяется равенством
 t
 32
Z p
3
ω(t) = 
r(s)ds .
2
t1
По формулам (4.3.7) и (4.3.8) находим асимптотические выражения
для x0 (τ, λ) и x0 (τ, λ), а затем из равенств (4.2.13) и (4.2.14) получим
асимптотику U1 (τ1 , λ). Для того чтобы подобным образом изучить матрицу U2 (τ2 , λ), необходимо в качестве модельного уравнения принять
d2 y
− sy = 0.
ds2
Отметим, что это уравнение получается из уравнения (4.3.6) с помощью
замены времени s на −s. Учитывая это, можно воспользоваться предыдущими формулами.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 4.3.
Случай знакопеременной r(t)
99
Для упрощения вычислений можно положить | r(τ1 )| = |r(τ2 )| = . . .
= |r(τm )|. Прежде чем привести окончательные формулы, введем еще два
обозначения:
µ T
¶
µ Tq
¶
Rp
R
m
ψ(λ) = 2 2 cos λ
r1 (t)dt · . . . · cos λ
r m2 (t)dt ,
0
0
½
−r(t), если r(t) ≤ 0,
r− (t) =
0, если r(t) > 0.
Тогда
RT p
x1 (T, λ) =
£
¡ −1 ¢¤ λ
ψ(λ) + O λ
e 0
RT
£
¡ −1 ¢¤ λ
ẋ1 (T, λ) = λ ψ(λ) + O λ
e 0
r− (t)dt
p
RT
,
r− (t)dt
,
(4.3.9)
p
r− (t)dt
¡ −1 ¢¤ λ
0
x2 (T, λ) = λ
ψ(λ) + O λ
e
,
T
Rp
λ
r− (t)dt
£
¡ −1 ¢¤
0
ẋ2 (T, λ) = ψ(λ) + O λ
e
.
−1
£
Отсюда получаем соотношение для следа f (λ) матрицы монодромии:
RT p
¡ −1 ¢¤ λ
f (λ) = 2 ψ(λ) + O λ
e 0
£
r− (t)dt
.
(4.3.10)
Подставляя (4.3.10) в равенства (4.2.23) и (4.2.24) и анализируя получающиеся выражения, приходим к обоснованию всех сформулированных
в первом пункте результатов.
3. Пример. Изучим асимптотические законы распределения собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для
уравнения
ẍ + 2αẋ + λ2 r(t)x = 0,
(4.3.11)
где α > 0, а периодическая с периодом T = 1 функция r(t) имеет вид
½
r(t) =
β 2,
−1,
если
если
t ∈ [0, a], β > 0, 0 < a < 1,
t ∈ [a, 1].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
100
ГЛАВА 4.
Асимптотические законы распределений . . .
Несмотря на то, что функция r(t) не принадлежит к рассмотренному выше классу, тем не менее выводы для уравнения (4.3.10) будут примерно такими же, что и в случае непрерывной и знакопеременной r(t). Уравнение (4.3.11) интегрируется в явном виде. Найдем
решения x1 (t, λ) и x2 (t, λ) этого уравнения с начальными условиями
x1 (0, λ) = ẋ2 (0, λ) = 1, ẋ1 (0, λ) = x2 (0, λ) = 0. Для значений t из отрезка
[0, a] находим, что
h
³p
´
2
2
2
x1 (t, λ) = cos
λ β −α t +
³p
´i
(4.3.12)
α
2
2
2
+ √ 2 2 2 sin
λ β − α t e−αt ,
λ β −α
x2 (t, λ) = p
1
³p
´
2
2
2
sin
λ β − α t e−αt .
(4.3.13)
λ2 β 2 − α 2
Учитывая это, получим следующее выражение для значений t ∈ (a, 1]:
³ p
´−1
2
2
2
×
x1 (t, λ) = 2 λ β +α
½h³
³
√ 2 2 2´
´
i
p
λ β +α (t−a)
−α+
×
− (4.3.14)
α+ λ2 β 2 +α2 x1 (a, λ)+ẋ1 (a, λ) e
¾
´
√
h
³ p
´
i ³
−α− λ2 β 2 +α2 (t−a)
2
2
2
− ẋ1 (a, λ)+ α+ λ β +α x1 (a, λ) e
,
³ p
´−1
2
2
2
x2 (t, λ) = 2 λ β +α
×
½h³
³
√ 2 2 2´
´
i
p
λ β +α (t−a)
−α+
−
×
α+ λ2 β 2 +α2 x2 (a, λ)+ẋ2 (a, λ) e
¾
√ 2 2 2´
h
³ p
´
i ³
−α−
λ
β
+α
(t−a)
− ẋ2 (a, λ)+ α+ λ2 β 2 +α2 x2 (a, λ) e
,
(4.3.15)
причем входящие в эти равенства величины xi (a, λ) и ẋi (a, λ) (i = 1, 2)
определяются в (4.3.12) и (4.3.13) при t = a. Формулы (4.3.14) и (4.3.15)
дают возможность получить асимптотическое выражение для следа f (λ)
матрицы монодромии уравнения (4.3.11). Имеем
f (λ) = x1 (1, λ) + ẋ2 (1, λ) =
£
¡ ¢¤
−1
= cos λβ + O λ−1 eλ(1−a+O(λ )) .
Уравнения для нахождения собственных значений принимают после простых преобразований вид
£
¡ ¢¤
−1
cos λβ + O λ−1 eλ(1−a+O(λ )) = ±1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 4.3.
Случай знакопеременной r(t)
101
Отсюда собственные значения легко находятся. Очевидно, что при
неограниченном увеличении
λ они стремятся к нулям функции cos λβ,
¢ −1
¡
1
т.е. к числам вида π n + 2 β .
4. Пример. Устойчивость решений уравнений с медленно меняющимися коэффициентами. Рассмотрим уравнение
ẍ + p(εt)ẋ + q(εt)x = 0
(4.3.16)
с периодическими медленно меняющимися коэффициентами, т.е. при
условии 0 < ε ¿ 1. Рассмотрим вопрос об устойчивости решений уравнения (4.3.16) для достаточно малых значений ε и при условии
M (p) > 0.
После замены εt → t рассматриваемое уравнение принимает вид
ε2 ẍ + εp(t)ẋ + q(t)x = 0.
(4.3.17)
Выполним стандартную замену
1
x = y exp(−
2ε
Zt
p(s) ds)),
0
в результате которой получим уравнение
ε2 ÿ + [r(t) + εm(t)]y = 0,
(4.3.18)
где r(t) = q(t) − 14 p2 (t), m(t) = − 12 ṗ(t). Положим
ZT ·
r+ =
0
(|r(t)| + r(t))
2
ZT ·
¸1/2
dt,
r− =
0
(|r(t)| − r(t))
2
¸1/2
dt.
Асимптотические формулы для решения уравнения (4.3.18) приведены
выше. Из них вытекает следующее утверждение
Теорема 4.3.3. Пусть
M (p) > 2r− .
Тогда при всех достаточно малых ε решения уравнения (4.3.16)
асимптотически устойчивы.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
102
ГЛАВА 4.
Асимптотические законы распределений . . .
Пусть
M (p) < 2r− и r+ = 0,
тогда при всех достаточно малых ε решения уравнения (4.3.16)
неустойчивы.
Пусть
M (p) < 2r− и r+ > 0.
Тогда при ε → 0 устойчивость и неустойчивость уравнения (4.3.16)
неограниченно чередуются.
5. Упражнение. Показать, что при достаточно малых значениях ε и
при условиях
q(t) > 0, M (p) > 0
решения уравнения
ẍ + εp(εt)ẋ + q(εt)x = 0
асимптотически устойчивы.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 5
Параметрический резонанс при
двухчастотном возмущении
В этой главе излагаются результаты работы [18]. Сразу отметим, что,
как будет показано, задачи об устойчивости решений при двухчастотном
и одночастотном возмущении принципиально различны.
§ 5.1. Постановка задачи и редукция
к специальному уравнению второго порядка
1. Постановка задачи. Будем исследовать вопрос об устойчивости решений описывающего движение качелей“ уравнения
”
ẍ + 2εa0 ẋ + [1 + εa1 sin ν1 t + εa2 sin ν2 t] x = 0,
(5.1.1)
где ε — малый параметр (ε > 0), постоянная a0 > 0, ν1 = 2(1 + εδ1 ),
ν2 = 2(1 + εδ2 ), a1 , a2 , δ1 , δ2 — произвольные постоянные.
Величину
δ2 − δ1
µ=2
1 − εδ1
будем называть расстройкой между частотами внешних возмущений.
Отметим, что уравнение (5.1.1) является, вообще говоря, уравнением
с почти периодическими коэффициентами. Поэтому никакие из предыдущих выводов к нему непосредственно не применимы.
2. Редукция исходного уравнения. В уравнении (5.1.1) выполним сначала замену времени τ = (1 + εδ1 )t, а затем обычным способом перейдем
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
104
ГЛАВА 5. Параметрический резонанс при двухчастотном...
к системе двух уравнений
µ
ẏ = A0 y + εA1 (τ, µξ)y + ε2 A(τ, ε)y;
где
µ ¶¶
x
y=
,
ẋ
(5.1.2)
µ
¶
0 1
ξ = ετ, A0 =
,
−1 0
µ
¶
0
0
A1 (t, ξ) = −
,
−2δ1 + a1 sin 2τ + a2 sin(2τ + ξ) 2a0
а элементы матрицы A(τ, ε) почти периодичны по τ и равномерно ограничены при всех τ ∈ (−∞, ∞) и ε ∈ [0, ε0 ] (ε0 > 0). На следующем этапе
произведем замену
µ
µ
¶¶
cos
τ
sin
τ
y = eA0 τ z, eA0 τ =
,
− sin τ cos τ
в результате которой получим уравнение
ż = εÃ1 (τ, µξ)z + ε2 Ã(τ, ε)z.
Здесь
(5.1.3)
Ã1 (τ, µξ) = e−A0 τ A1 (τ, µξ)eA0 τ ,
Ã(τ, ε) = e−A0 τ A(τ, ε)eA0 τ .
Обозначим через A(µξ) среднее значение матрицы Ã1 (τ, µξ), т.е.
A(µξ) =
1
2π
Z2π
Ã1 (τ, µξ)dτ.
(5.1.4)
0
Учитывая явный вид Ã1 (τ, µξ), из (5.1.4) находим матрицу
¶
µ
a11 (µξ) a12 (µξ)
:
A(µξ) =
a21 (µξ) a22 (µξ)
a11 (µξ) = −a0 − b1 − b2 cos µξ, a12 (µξ) = δ1 − b2 sin µξ,
a21 (µξ) = −δ1 − b2 sin µξ, a22 (µξ) = −a0 + b1 + b2 cos µξ,
причем 4bk = ak (k = 1, 2).
Выполним, наконец, в уравнении (5.1.3) еще одну замену
z = [I + εΦ(τ, εµτ )] u,
(5.1.5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 5.1.
Постановка задачи и редукция к специальному уравнению... 105
где
Zτ
Φ(τ, ξ) =
[A(τ, ξ) − A(ξ)] dτ.
0
Из равенства (5.1.4) и из периодичности матрицы A(τ, ξ) по каждому
аргументу заключаем, что матрица Φ(τ, ξ) тоже периодична по каждому
аргументу. Итогом замены (5.1.5) является уравнение
u̇ = εA(µετ )u + ε2 B(τ, ε).
(5.1.6)
Явный вид матрицы B(τ, ε) нам не понадобится. Отметим лишь, что элементами B(τ, ε) являются почти периодичные по τ функции, равномерно
ограниченные при всех достаточно малых ε.
3. Преобразование системы первого приближения. После перенормировки времени ξ = ετ от уравнения (5.1.6) перейдем к уравнению
µ
¶
du
ξ
= A(µε)u + εB
, ε u.
(5.1.7)
dξ
ε
Уравнение с периодическими коэффициентами
du
= A(µξ)u
dξ
(5.1.8)
естественно назвать системой первого приближения. Ясно, что характер
расположения мультипликаторов этого уравнения во многом определяет поведение решений уравнения (5.1.7). Без потери общности можно
считать, что в рассматриваемом случае 0 ≤| b2 |≤ b1 . Удобно положить
b = b1 , b2 = bb0 . В уравнении (5.1.8) выполним преобразование
µ
¶
cos π4 − sin π4
y=
z,
sin π4 cos π4
а затем заменим µξ на t. В итоге получим уравнение
¶
µ
b0 sin t − a0
−δ1 + bb0 cos t
z.
µż =
δ1 + b(1 + b0 cos t) −b0 sin t − a0
(5.1.9)
От векторного уравнения (5.1.9) обычным способом перейдем к скалярному уравнению второго порядка
µ
¶
¤
2a0
1 £
ẍ +
+ p(t) ẋ + 2 r(t) + a20 + µa0 p(t) ± µq(t) x = 0.
(5.1.10)
µ
µ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
106
ГЛАВА 5. Параметрический резонанс при двухчастотном...
Здесь
+(|δ1 |+b) cos t
bb0 sin t
p(t) = |δ1 |+b(1+b
, r(t) = δ12 −b2 −b2 b20 −2b2 b0 cos t, q(t) = bb0 |δbb10|+b(1+b
,
0 cos t)
0 cos t)
знак плюс“ выбирается при δ1 ≥ 0, а знак минус“ — при δ < 0. Объек”
”
том дальнейших исследований является уравнение (5.1.10).
§ 5.2. Исследование уравнений
первого приближения
при достаточно больших значениях расстройки
между частотами внешних возмущений
В этом параграфе будем считать, что значение |µ| достаточно велико. В
силу симметрии задачи достаточно рассмотреть лишь случай µ → ∞.
При этом условии уравнение (5.1.10) принадлежит классу уравнений,
который был изучен в главе 1. Для того, чтобы удобнее было воспользоваться соответствующими результатами, положим в этом уравнении
δ12 = µ2 λ (λ ≥ 0),
σ = µ−1 .
В результате рассматриваемое уравнение примет вид
³
´
bb
sin
t
0
ẍ + σ 2a0 + √λ+σb(1+b cos t) ẋ+
0
h
i
√
λ
cos
t
2
√
+ λ ± σ λ+σb(1+b cos t) + σ g(t, λ, σ) x = 0,
(5.2.1)
0
где
a20
2
b2 b20
2
g(t, λ, σ) =
−b −
− 2b b0 cos t +
£
¤
× a0 ± b2 b0 (b0 + cos t) .
³√
´−1
×
λ + σb(1 + b0 cos t)
Для уравнения (5.2.1) поставим сначала периодическую краевую задачу
и обозначим через λ0 (σ) собственное значение этой задачи с наименьшей
вещественной частью. Напомним, что λ0 (σ) вещественно. Очевидно, что
λ0 (0) = 0. Поэтому λ0 (σ) будем искать в виде
λ0 (σ) = λ1 σ + λ2 σ 2 + . . . ,
(5.2.2)
а собственную функцию, отвечающую λ0 (σ), обозначим через x0 (t, σ) и
положим
x0 (t, σ) = 1 + σx1 (t) + σ 2 x2 (t) + . . . .
(5.2.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 5.3.
Уравнения первого приближения при малой расстройке
107
Подставляя (5.2.2) и (5.2.3) в уравнение (5.2.1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях σ найдем, что
λ1 = 0, x1 (t) ≡ 0, λ2 = b2 − a20 .
Таким образом, решения уравнения (5.1.10) неустойчивы при всех достаточно больших µ, если
δ12 + a20 < b2 .
Наряду с периодической, рассмотрим еще антипериодическую краевую задачу для уравнения (5.2.1). Так же, как и в главе 1, §1.3, устанавливается, что неустойчивость решений (5.2.1) при достаточно малых
σ возможна лишь тогда, когда параметр λ в (5.2.1) близок к 14 , т.е. положим
1
λ = + σλ1 + σ 2 λ2 + . . .
4
Проведя соответствующие простые вычисления, найдем, что при достаточно больших µ решения уравнения (5.2.1) неустойчивы, если
δ22 + a20 < b2 b20 .
Относительно устойчивости решений уравнения (5.2.1) можно сказать
следующее. Пусть δ12 + a20 > b2 (δ22 + a20 > b2 b20 ). Тогда найдется такое
µ0 > 0, что при | µ |> µ0 решения уравнения (5.2.1), а значит, и (5.1.10),
асимптотически устойчивы. Таким образом, при больших | µ | действие
двухчастотного возмущения в уравнении (5.1.1) сводится, по существу,
к одночастотному.
§ 5.3. Исследование уравнения
первого приближения
при достаточно малой расстройке
между частотами внешних возмущений
В этом параграфе рассмотрим случай µ → 0. Будем дополнительно предполагать, что
| b0 |< 1.
(5.3.1)
Уравнение (5.1.10) удобно еще немного преобразовать. Положим
x = ye−a0 t .
(5.3.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
108
ГЛАВА 5. Параметрический резонанс при двухчастотном...
В результате получим уравнение
ẍ +
bb0 sin t
1
ẋ + 2 [r(t) ± µq(t)] x = 0.
| δ1 | +b(1 + b0 cos t)
µ
(5.3.3)
Рассмотрим отдельно три случая.
Первый случай. Пусть r(t) > 0 при всех t. Асимптотика следа матрицы монодромии для уравнения (5.3.3) изучалась в главе 4, §4.1. Из
полученных там результатов следует, что при µ → 0 мультипликаторы уравнения (5.3.3) стремятся по модулю к 1. Поэтому найдется такое
µ0 > 0, что при | µ |≤ µ0 решения уравнения (5.1.10) асимптотически
устойчивы.
Второй случай. Пусть r(t) < 0 при всех t. Обозначим через f (µ) след
матрицы монодромии уравнения (5.3.3).
Лемма 5.3.1. Имеет место асимптотическое равенство

 2π
Z p
¡
¢
1
−r(t)dt 1 + O(µ−1 )  .
(5.3.4)
f (µ) = ch 
µ
0
Доказательство этой леммы проводится по той же схеме (но существенно проще), что и доказательство соответственных формул в главе
4, поэтому его опустим.
Из формулы (5.3.4) и замены (5.3.2) следует существование такого
µ0 > 0, что при | µ |≤ µ0 решения уравнения (5.1.10) асимптотически
устойчивы (неустойчивы), если
1
2π
Z2π p
−r(t)dt < a0
(> a0 ).
0
Третий случай. Пусть функция r(t) является знакопеременной. При
этом условии уравнение (5.3.3) является уравнением с точками поворота.
Из результатов главы 4, §4.3 вытекает, что
½
f (µ) =
+
·
cos
1
µ
R2π q |r(t)|+r(t)
2
¸
dt + ϕ1 (µ) +
¾0 · 2π q
¸
R |r(t)|−r(t)
1
ϕ2 (µ) ch µ
dt + ϕ3 (µ) ,
2
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 5.3.
Уравнения первого приближения при малой расстройке
109
где ϕk (µ) → 0 при µ → 0 (k = 1, 2, 3). Отсюда и из замены (5.3.2) получаем, что при условии
Z2π r
1
| r(t) | −r(t)
dt < a0
(5.3.5)
2π
2
0
и достаточно малой величине | µ | решения уравнения (5.1.10) асимптотически устойчивы. Если же выполнено неравенство
Z2π r
| r(t) | −r(t)
1
dt > a0 ,
(5.3.6)
2π
2
0
то устойчивость и неустойчивость решений уравнения (5.1.10) бесконечно чередуются при µ → 0.
Заменяя в случае необходимости t на t + π, запишем функцию r(t) в
виде:
t
r(t) = δ12 − (b1 − | b2 |)2 − 4b1 | b2 | cos2 .
(5.3.7)
2
Из этой формы записи функции r(t) непосредственно вытекает, что неравенство
| a1 a2 |> π 2 a20
(5.3.8)
необходимо для существования таких δ1 , при которых может выполняться неравенство (5.3.6).
Подведем итоги.
Теорема 5.3.4. Существует такое µ0 > 0, что при 0 <| µ |≤ µ0
относительно поведения решений уравнений (5.1.10) можно утверждать следующее:
1. Если выполнено неравенство, противоположное (5.3.8), то при
любом δ решения асимптотически устойчивы;
2. Если выполнено (5.3.8), то при 16δ12 < (| a1 | − | a2 |)2 решения
(5.1.10) неустойчивы, а при выполнении неравенства | δ1 |> δ0 , где
δ0 > 0 — положительный корень уравнения (относительно δ1 )
Z2π r
1
| r(t) | −r(t)
dt = a0 ,
2π
2
0
решения асимптотически устойчивы. Наконец, при выполнении неравенств
(| a1 | − | a2 |)2 < 16δ12 < 16δ02
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
110
ГЛАВА 5. Параметрический резонанс при двухчастотном...
в множестве параметров имеется бесконечно много областей устойчивости и неустойчивости.
Отметим для сравнения, что при µ = 0, т.е. при одночастотном возмущении, решения (5.1.8) устойчивы (неустойчивы), если
(a1 + a2 )2
− a20 < δ12
16
(> δ12 ).
Скажем несколько слов о поведении решений системы первого приближения при близких постоянных | b1 | и | b2 |. Сохранив предыдущие
обозначения, будем теперь считать, что | b2 |= b1 − α, где положительный
параметр α достаточно мал. Если при этом параметр δ1 не является малой величиной, то поведение решений уравнения (5.3.3) может быть исследовано, как и выше. Если же δ1 мало, то возникают дополнительные
трудности, связанные с тем, что при некоторых значениях t знаменатель
коэффициентов p(t) и q(t) в (5.1.10) тоже становится малым. В этом случае при некоторых достаточно естественных предположениях векторное
уравнение (5.1.8) может быть сведено к скалярному дифференциальному
уравнению второго порядка, к которому применимы выводы работы [7].
Более подробно этот случай разбирается в главе 9.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 6
Функции Грина периодической
краевой задачи
Во многих вопросах теории уравнений с периодическими коэффициентами функция Грина периодической краевой задачи играет важную
роль. Основное содержание главы посвящено построению этой функции
и изучению ее свойств для дифференциального уравнения второго порядка. Приводимые результаты хорошо известны (см., например, [13]).
§ 6.1. Функции Грина первого порядка
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
ẋ = a(t)x
(6.1.1)
с
T -периодическим
коэффициентом
a(t).
Функция
Грина
J (t, τ ) (−∞ < t < ∞, 0 < τ < T ) периодической краевой задачи
для этого уравнения определяется следующим образом. Во-первых,
при t ∈ [0, T ] и t 6= τ функция J (t, τ ) непрерывно дифференцируема
по t и является решением уравнения (6.1.1). Во-вторых, имеет место
соотношение
J (τ + 0, τ ) − J (τ − 0, τ ) = 1
(6.1.2)
и, в-третьих, при каждых таких t и τ , для которых t 6= τ + kT ,
(k = 0, ±1, . . .)
J (t + T, τ ) ≡ J (t, τ ).
(6.1.3)
Теорема 6.1.1. Пусть уравнение (6.1.1) не имеет ненулевого периодического решения. Тогда функция J (t, τ ) существует и единственна.
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
112
ГЛАВА 6. Функции Грина периодической краевой задачи
Доказательство. Начнем с обоснования единственности J (t, τ ).
Пусть J1 (t, τ ) и J2 (t, τ ) — функции Грина периодической краевой задачи для уравнения (6.1.1). Тогда при каждом τ ∈ (0, T ) функция
J0 (t, τ ) = J1 (t, τ ) − J2 (t, τ ) является непрерывно дифференцируемым по
t (t ∈ (−∞, ∞)) периодическим решением (6.1.1). Из того, что уравнение (6.1.1) имеет только нулевое периодическое решение, вытекает,
что J1 (t, τ ) ≡ J2 (t, τ ). Единственность J (t, τ ) доказана. Установим теперь существование этой функции. Фиксируем решение x(t, τ ) уравнения
(6.1.1) с начальным условием
Rt
Ã
x(τ, τ ) = 1,
a(s)ds
т.е. x(t, τ ) = e τ
!
.
(6.1.4)
Из того, что на промежутках [0, τ ) и (τ, T ] функция J (t, τ ) является
решением (6.1.1) следует, что найдутся такие (не зависящие от t) величины c1 и c2 , для которых
J (t, τ ) = c1 x(t, τ ), t ∈ [0, τ ),
J (t, τ ) = c2 x(t, τ ), t ∈ (τ, T ].
Отсюда и из условий (6.1.2) и (6.1.4) находим, что
c2 − c1 = 1,
(6.1.5)
а на основании равенства (6.1.3) для t = 0 получаем соотношение
c2 x(T, τ ) − c1 x(0, τ ) = 0.
(6.1.6)
Определитель системы уравнений (относительно c1 и c2 ) (6.1.5) и (6.1.6)
равен x(T, τ ) − x(0, τ ). Условие отсутствия ненулевого периодического
решения уравнения (6.1.1) означает, что рассматриваемый определитель
отличен от нуля. Поэтому система уравнений (6.1.5) и (6.1.6) однозначно
разрешима, и окончательно


à RT
!−1 Rt


− a(s)ds
a(s)ds



τ
0
e
−1
e
, kT ≤ t < τ + kT, ∀k ∈ Z


J (t, τ ) =

!−1 Rt
à RT


a(s)ds
a(s)ds



τ
0

−1
e
, τ + kT < t ≤ kT + T, ∀k ∈ Z
− e
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 6.1.
Функции Грина первого порядка
113
Теорема доказана.
Отметим, что необходимым и достаточным условием отсутствия ненулевого периодического решения уравнения (6.1.1) является выполнение
неравенства
ZT
a(s)ds 6= 0.
(6.1.7)
0
Рассмотрим затем неоднородное уравнение
ẋ = a(t)x + f (t),
(6.1.8)
в котором функция f (t), как и a(t) является T -периодической. Нас будет интересовать вопрос о существовании периодического решения этого
уравнения.
Теорема 6.1.2. Пусть уравнение (6.1.1) не имеет ненулевого периодического решения. Тогда для любой периодической функции f (t)
существует и единственно периодическое решение xf (t) уравнения
(6.1.8), причем
ZT
xf (t) =
J (t, τ )f (τ )dτ.
(6.1.9)
0
Доказательство. Единственность периодического решения (6.1.8)
следует из того, что разность двух периодических решений (6.1.8) является периодическим решением уравнения (6.1.1), а это уравнение ненулевых периодических решений не имеет. Докажем, что формулой (6.1.9)
дается решение уравнения (6.1.8). Для этого формулу (6.1.9) перепишем
в виде
Zt
xf (t) =
ZT
J (t, τ )f (τ )dτ +
0
J (t, τ )f (τ )dτ,
t
и продифференцируем по t это равенство. В результате найдем, что
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
114
ГЛАВА 6. Функции Грина периодической краевой задачи
ẋf (t) = (J (t + 0, t) − J (t − 0, t)) f (t)+
Zt
ZT
∂J (t, τ )
∂J (t, τ )
+
f (τ )dτ +
f (τ )dτ =
∂t
∂t
t
T
Z
0
= f (t) + a(t)
J (t, τ )f (τ )dτ = f (t) + a(t)xf (t).
0
Сравнивая начало и конец этих равенств, получаем, что xf (t) является решением уравнения (6.1.8). Периодичность xf (t) следует из (6.1.9)
и периодичности функции J (t, τ ). Теорема доказана.
В заключение рассмотрим вырожденный случай, т.е. будем предполагать, что однородное уравнение имеет ненулевое периодическое решение.
В терминах коэффициентов (6.1.1) это предположение означает, что
M (a(t)) = 0.
(6.1.10)
Теорема 6.1.3. Пусть выполнено условие (6.1.10). Тогда для того
чтобы уравнение (6.1.8) имело периодическое решение, необходимо и
достаточно, чтобы
!
Ã
Rt
M
f (t)e
− a(s)ds
0
= 0.
(6.1.11)
Доказательство. Предположим сначала, что для некоторой периодической f (t) периодическое решение уравнения (6.1.8) существует. УмноRt
− a(s)ds
жим тогда каждое слагаемое этого уравнения на e 0
и проинтегрируем полученное равенство от 0 до T . В итоге сразу получим равенство
(6.1.11). Пусть теперь выполнено равенство (6.1.11). Тогда существование периодического решения уравнения (6.1.8) непосредственно следует
из формулы для общего решения


τ
R
Rt


t

Z


− a(s)ds
a(s)ds 
0
0
x(0) + f (τ )e
dτ .
x(t) = e






0
Отметим еще, что при условиях (6.1.10) и (6.1.11) все решения уравнения (6.1.8) периодичны. Теорема доказана.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 6.2.
Функция Грина уравнения второго порядка
115
§ 6.2. Функция Грина уравнения второго
порядка
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
ẍ + p(t)ẋ + q(t)x = 0,
(6.2.1)
коэффициенты которого T -периодичны. Функцией Грина J (t, τ ) периодической краевой задачи для уравнения (6.2.1) называется функция, обладающая тремя свойствами. Во-первых, J (t, τ ) (t ∈ (−∞, ∞), 0 < τ < T )
непрерывна по совокупности переменных, при каждом τ и t 6= τ непрерывно дифференцируема по t, причем
∂J (τ + 0, τ ) ∂J (τ − 0, τ )
−
= 1.
∂t
∂t
(6.2.2)
Во-вторых, при каждом τ и t 6= τ + kT (k = 0, ±1, . . .) функция J (t, τ )
является решением уравнения (6.2.1). Наконец, в-третьих, имеет место
свойство периодичности, т.е.
J (t + T, τ ) ≡ J (t, τ ),
(6.2.3)
∂J (t + T, τ )
∂J (t, τ )
≡
(t 6= τ + kT ; k = 0, ±1, . . .).
(6.2.4)
∂t
∂t
Основной результат состоит в следующем.
Теорема 6.2.1. Пусть уравнение (6.2.1) не имеет ненулевых T периодических решений. Тогда функция J (t, τ ) существует и единственна.
Доказательство. Единственность функции Грина устанавливается
так же, как и при обосновании соответствующего свойства в теореме
6.1.1. Докажем существование функции J (t, τ ). Фиксируем два решения x1 (t, τ ) и x2 (t, τ ) уравнения (6.2.1) с начальными условиями
x1 (τ, τ ) = ẋ2 (τ, τ ) = 1,
ẋ1 (τ, τ ) = x2 (τ, τ ) = 0.
(6.2.5)
Используя тот факт, что при t 6= τ функция J (t, τ ) является решением
уравнения (6.2.1), получаем равенства
J (t, τ ) = c1 x1 (t, τ ) + c2 x2 (t, τ ), 0 ≤ t ≤ τ,
(6.2.6)
J (t, τ ) = c3 x1 (t, τ ) + c4 x2 (t, τ ), τ ≤ t ≤ T.
(6.2.7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
116
ГЛАВА 6. Функции Грина периодической краевой задачи
Воспользуемся теперь непрерывностью J (t, τ ) в точке t = τ и условием
(6.2.2). Отсюда, учитывая (6.2.5), имеем
c1 = c3 , c4 = c2 + 1.
(6.2.8)
Далее, подставляя выражения (6.2.6), (6.2.7) в (6.2.3) и (6.2.4) и полагая
там t = 0, находим, что
c1 x1 (0, τ ) + c2 x2 (0, τ ) = c1 x1 (T, τ ) + (c2 + 1)x2 (T, τ ),
(6.2.9)
c1 ẋ1 (0, τ ) + c2 ẋ2 (0, τ ) = c1 ẋ1 (T, τ ) + (c2 + 1)ẋ2 (T, τ ).
(6.2.10)
Обозначим через X матрицу
µ
¶
x1 (0, τ ) x2 (0, τ )
X=
.
ẋ1 (0, τ ) ẋ2 (0, τ )
Из линейной независимости решений x1 (t, τ ) и x2 (t, τ ) следует невырожденность этой матрицы. Матрицу монодромии уравнения (6.2.1) обозначим через V . Напомним, что
µ
¶ µ
¶
x(0)
x(T )
V
=
.
ẋ(0)
ẋ(T )
Два уравнения (относительно c1 и c2 ) (6.2.9) и (6.2.10) можно объединить в одно векторное уравнение
µ
¶
x2 (T, τ )
(E − V )Xc =
,
(6.2.11)
ẋ2 (T, τ )
где c = (c1 , c2 ). Сделанное в формулировке теоремы предположение о
том, что уравнение (6.2.1) не имеет ненулевого периодического решения,
означает, что ни один из мультипликаторов не равен 1. Отсюда, в свою
очередь, следует невырожденность матрицы (E − V ). Таким образом,
вектор c из (6.2.11) однозначно определяется. Существование функции
Грина установлено. Отметим, что в приведенных выше рассуждениях
условия (6.2.3) и (6.2.4) использовались лишь при t = 0. Очевидно,
значение t может быть любым, и величины c1 , c2 , c3 и c4 от этого не
изменятся. Теорема доказана.
Следующее утверждение касается вопроса о существовании периодического решения неоднородного уравнения
ẍ + p(t)ẋ + q(t)x = f (t)
(6.2.12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 6.2.
Функция Грина уравнения второго порядка
117
с T -периодической правой частью.
Теорема 6.2.2. Пусть уравнение (6.2.1) не имеет ненулевых
T -периодических решений. Тогда уравнение (6.2.12) при каждой T периодической функции f (t) имеет единственное T -периодическое решение xf (t), причем
ZT
xf (t) =
J (t, τ )f (τ )dτ.
(6.2.13)
0
О доказательстве теоремы. Единственность периодического решения
(6.2.12) обосновывается стандартным способом, а формула (6.2.13) (как
и при доказательстве теоремы 6.1.2) проверяется непосредственно.
Пример. Построим функцию Грина T -периодической краевой задачи
для уравнения
ẍ + a2 x = 0.
(6.2.14)
Условие существования J (t, τ ), т.е. условие отсутствия ненулевых T периодических решений (6.2.14) означает, что (a > 0)
2πn
(n = 0, 1, . . .).
T
Решения x1 (t, τ ) и x2 (t, τ ), фигурирующие в доказательстве теоремы
6.2.1, имеют для уравнения (6.2.14) следующий вид
a 6=
x1 (t, τ ) = cos a(t − τ ), x2 (t, τ ) =
1
sin a(t − τ ).
a
Имеем
J (t, τ ) = c1 cos a(t − τ ) + c2 a1 sin a(t − τ ), 0 ≤ t ≤ τ,
J (t, τ ) = c1 cos a(t − τ ) + (c2 + 1) a1 sin a(t − τ ), τ ≤ t ≤ T.
Решая уравнения, соответствующие (6.2.9) и (6.2.10), находим c1 и c2 :
1
aT
1
ctg
, c2 = .
2
2
2
Таким образом, функция Грина определяется равенством

1

ctg aT

2 cos a(t − τ ) − a sin a(t − τ ),


kT ≤ t ≤ τ + kT, (k = 0, ±1, . . .),
2J (t, τ ) =
1

ctg aT

2 cos a(t − τ ) + a sin a(t − τ ),


kT + τ ≤ t ≤ (k + 1)T, (k = 0, ±1, . . .).
c1 =
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
118
ГЛАВА 6. Функции Грина периодической краевой задачи
§ 6.3. Вырожденные случаи
Здесь будет изучен вопрос о существовании периодического решения
уравнения (6.2.12) в том (вырожденном) случае, когда однородное уравнение (6.2.1) имеет ненулевые периодические решения.
1. Предположим сначала, что уравнение (6.2.1) имеет два линейно
независимых T -периодических решения x1 (t) и x2 (t). В этом случае оба
мультипликатора обязательно равны 1, и имеет место равенство
M (p(t)) = 0.
(6.3.1)
Теорема 6.3.1. При сделанном предположении уравнение (6.2.12)
имеет T -периодическое решение тогда и только тогда, когда
Ã
Rt
p(s)ds
!
M f (t)xi (t)e 0
=0
(i = 1, 2).
(6.3.2)
Доказательство. Пусть существует периодическое решение xf (t)
уравнения (6.2.12). Покажем, что имеют место соотношения (6.3.2). В
(6.2.12) при x = xf (t) сначала удобно сделать периодическую замену
xf (t) = yf (t)e
− 12
Rt
p(s)ds
,
0
(6.3.3)
в результате которой получим равенство
ÿf (t) + g(t)yf (t) = f1 (t),
(6.3.4)
где
1
1
g(t) = q(t) − ṗ(t) − p2 (t), f1 (t) = f (t)e
2
4
Линейно независимые периодические функции
yi (t) = xi (t)e
1
2
Rt
1
2
p(s)ds
0
(i = 1, 2)
являются решениями однородного уравнения
ÿ + g(t)y = 0.
Rt
0
p(s)ds
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 6.3.
Вырожденные случаи
119
Умножим теперь левую и правую часть (6.3.4) на yi (t) и проинтегрируем
получившееся выражение от 0 до T . Учитывая, что
ZT
ZT
yi (t) [ÿf (t) + g(t)yf (t)] dt =
0
yf (t) [ÿi (t) + g(t)yi (t)] dt = 0,
0
приходим к равенствам
ZT
f1 (t)yi (t)dt = 0
(i = 1, 2).
0
Отсюда и из определения f1 (t) и yi (t) следуют равенства (6.3.2).
Пусть теперь имеют место соотношения (6.3.2). Существование T периодических решений уравнения (6.2.12) следует непосредственно из
формулы общего решения уравнения (6.2.12):
Zt
x(t) =
Rτ
f (τ )e0
p(s)ds
{x1 (0)ẋ2 (0) − ẋ1 (0)x2 (0)}−1 · {x1 (t)x2 (τ )−
0
− x1 (τ )x2 (t)} dt + c1 x1 (t) + c2 x2 (t).
Теорема доказана.
2. В формулировке следующих утверждений будем предполагать, что
уравнение (6.2.1) имеет единственное (с точностью до множителя) ненулевое периодическое решение. Выполним в (6.2.1) периодическую замену
x = ye
− 12
Rt
[p(s) − M (p)]ds
0
,
в результате которой получим уравнение
ÿ + M (p)ẏ + g(t)y = 0,
где
(6.3.5)
1
1
g(t) = q(t) − M (p)[p(t) − M (p)] − [M (p) − p(t)]2 .
2
4
Уравнение (6.3.5), так же, как и уравнение (6.2.1), имеет ненулевое периодическое решение.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
120
ГЛАВА 6. Функции Грина периодической краевой задачи
Лемма 6.3.1. Уравнение
ÿ − M (p)ẏ + g(t)y = 0
(6.3.6)
имеет ненулевое периодическое решение y0 (t).
Доказательство. Уравнения (6.3.5) и (6.3.6) в результате замен
1
1
y = ze− 2 M (p)t и y = ze 2 M (p)t соответственно преобразуются в одно и
то же уравнение
1
z̈ + [g(t) − M 2 (p)]z = 0.
(6.3.7)
4
Обозначим мультипликаторы этого уравнения через µ1 и µ2 , (µ1 · µ2 = 1).
Один из мультипликаторов уравнения (6.3.6) равен 1, поэтому для одного из мультипликаторов (6.3.7), пусть, для определенности, для µ1
имеем
1
µ1 e− 2 M (p)T = 1.
1
Но тогда число µ = µ2 e 2 M (p)T = 1 является мультипликатором уравнения
(6.3.6). Отсюда и из связи мультипликаторов уравнений (6.3.6) и (6.3.7)
уже непосредственно следует существование T -периодического решения
y0 (t) 6≡ 0 уравнения (6.3.6). Лемма доказана.
Отметим здесь же, что функция
x0 (t) = y0 (t)e
− 12
Rt
[p(s) − M (p)]ds
0
является периодическим решением сопряженного к (6.2.1) уравнения
ÿ − p(t)ẏ + [q(t) − ṗ(t)]y = 0.
Сформулируем теперь основной результат в рассматриваемом случае.
Теорема 6.3.2. При сделанных выше предположениях, для того,
чтобы уравнение (6.2.12) имело периодическое решение, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось равенство
Ã
M f (t)y0 (t)e
Rt
!
− 12 [p(s) − M (p)]ds
0
= 0.
Доказательство этого результата проводится примерно по той же схеме, что и доказательство теоремы 6.3.1. Подробнее на этом останавливаться не будем.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 6.4.
О приближенном вычислении первых собственных значений 121
§ 6.4. О приближенном вычислении
первых собственных значений
В главе 4 была получена асимптотика собственных значений периодической краевой задачи. Как оказывается, используя эти результаты и свойства функции Грина, можно получить приближенные выражения для
собственных значений с небольшими номерами.
1. Основное свойство функции Грина.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
ẍ + [λr(t) + q(t)]x = 0,
(6.4.1)
коэффициенты которого T -периодичны. Пусть функция r(t) удовлетворяет одному из условий главы 4. Поставим для уравнения (6.4.1) периодическую краевую задачу и обозначим через λn (n = 0, ±1, ±2, . . .)
собственные значения этой краевой задачи, а через xn (t) — собственную функцию, отвечающую λn . Напомним, что λn и xn (t) — вещественны. Сделаем одно упрощающее предположение. Будем считать, что либо
q(t) ≤ 0, либо r(t) ≥ 0 (t ∈ [0, T ]). Любое из отмеченных неравенств
RT
гарантирует отличие от нуля выражения r(t)x2n (t)dt, поэтому функции
0
xn (t) можно считать нормированными так, чтобы
ZT
r(t)x2n (t)dt = 1
(n = 0, ±1, ±2, . . .).
(6.4.2)
0
В том случае, когда функции xn1 (t) и xn2 (t) соответствуют одному и
тому же собственному значению, потребуем еще, чтобы наряду с (6.4.2)
для этих функций выполнялось условие ортогональности
ZT
r(t)xn1 (t)xn2 (t)dt = 0.
(6.4.3)
0
Предположим далее, что уравнение
ẍ + q(t)x = 0
не имеет ненулевых T -периодических решений, и обозначим через J (t, τ )
функцию Грина (периодической краевой задачи) этого уравнения. Следующий результат устанавливает основное свойство функции Грина.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 6. Функции Грина периодической краевой задачи
122
Теорема 6.4.1. Имеет место равенство
∞
X
xk (t)xk (τ )
J (t, τ ) = −
.
λk
(6.4.4)
k=−∞
Доказательство. Прежде всего отметим, что из условия λn ∼ O(n2 )
(глава 4) следует абсолютная сходимость ряда (6.4.3).
Лемма 6.4.1. Имеют место равенства
ZT
r(t)xn (t)xm (t)dt = 0
(n 6= m).
(6.4.5)
0
Для обоснования (6.4.5) умножим уравнение (6.4.1), в котором положим λ = λn и x = xn (t) на xm (t) и проинтегрируем получившееся
выражение от 0 до T . Получим
ZT
ZT
r(t)xn (t)xm (t)dt = −
λn
0
ẍn (t)xm (t)dt =
0
ZT
=−
ZT
xn (t)ẍm (t)dt = λm
0
r(t)xn (t)xm (t)dt.
0
Сравнивая начало и конец последнего равенства, замечаем, что при
λn 6= λm из него непосредственно следует соотношение (6.4.5). Если же
λn = λm , то нужное равенство выполняется в силу специального выбора
(6.4.3) фигурирующих там функций. Лемма доказана.
Обозначим затем через Q(t, τ ) функцию
#
"
∞
X
xk (t)xk (τ )
r(t).
Q(t, τ ) = J (t, τ ) +
λk
k=−∞
Теорема будет доказана, если удастся показать, что Q(t, τ ) ≡ 0. Предположим противное, т.е. пусть Q(t, τ ) 6≡ 0. Отсюда и из одного результата [19] вытекает, что найдутся такое число λ0 и такая периодическая
функция u(t) 6≡ 0, что
ZT
u(t) + λ0
Q(t, τ )u(τ )dτ = 0.
0
(6.4.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 6.4.
О приближенном вычислении первых собственных значений 123
Лемма 6.4.2. Для любого n = 1, 2, . . . выполняется условие
ZT
r(t)u(t)xn (t)dt = 0.
(6.4.7)
0
Докажем эту лемму. Положим
ZT
cn =
r(t)u(t)xn (t)dt
0
и через un (t) обозначим периодическую функцию un (t) = u(t) − cn xn (t).
Очевидно
ZT
r(t)un (t)xn (t)dt = 0.
(6.4.8)
0
Отсюда вытекает, что
ZT Ã X
∞
k=−∞
0
!
xk (t)xk (τ )
λk
∞
X
cn
xk (t)×
r(τ )u(τ )dτ = xn (t) +
λn
k6=n
k=−∞
ZT
(6.4.9)
r(τ )un (τ )xk (τ )
dτ.
λk
×
0
Отметим, далее, что уравнение для xn (t) имеет вид
ẍn (t) + q(t)xn (t) = −λn r(t)xn (t),
поэтому
ZT
xn (t) = −λn
J (t, τ )r(τ )xn (τ )dτ.
0
Учитывая это равенство, находим, что
ZT
0
cn
J (t, τ )r(τ )u(τ )dτ = − xn (t) +
λn
ZT
J (t, τ )r(τ )un (τ )dτ.
0
(6.4.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 6. Функции Грина периодической краевой задачи
124
Умножим теперь каждое слагаемое в (6.4.6) на r(t)xn (t) и проинтегрируем от 0 до T . С учетом равенств (6.4.9), (6.4.10) и леммы 6.4.1 тогда
получим следующее выражение:
ZT
cn +
ZT
r(t)xn (t)
0
J (t, τ )r(τ )un (τ )dτ dt = 0.
(6.4.11)
0
Покажем, что второе слагаемое в этом соотношении равно нулю. Обозначим через vn (t) периодическое решение уравнения
v̈ + q(t)v = −λn r(t)un (t),
т.е.
(6.4.12)
ZT
vn (t) = −λn
J (t, τ )r(τ )un (τ )dτ.
0
Второе слагаемое в (6.4.11) можно записать теперь так:
1
−
λn
ZT
r(τ )vn (τ )xn (τ )dτ.
0
Умножим, наконец, уравнение (6.4.12) при v = vn (t) на xn (t) и проинтегрируем по периоду. Получим
ZT
−λn
ZT
=
ZT
r(τ )un (τ )xn (τ )dτ =
0
xn (τ ) [v̈n (τ ) + q(τ )vn (τ )] dτ =
0
Zt
vn (τ ) [ẍn (τ ) + q(t)xn (τ )] dτ = −λn
0
r(τ )vn (τ )xn (τ )dτ.
0
Из (6.4.8) следует, что левая часть последней цепочки соотношений равна нулю, поэтому правая часть тоже равна нулю. Тем самым второе
слагаемое в (6.4.11) равно нулю. Следовательно cn = 0. Лемма доказана.
Из леммы 6.4.2 и определения Q(t, τ ) сразу вытекает, что
ZT
ZT
Q(t, τ )u(τ )dτ =
0
J (t, τ )r(τ )u(τ )dτ.
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 6.4.
О приближенном вычислении первых собственных значений 125
В то же время, из определения функции Грина и равенства (6.4.6) приходим к выводу, что u(t) является периодическим решением уравнения
ü + q(t)u = −λ0 r(t)u.
Это означает, что λ0 является собственным значением, а u(t) — собственной функцией периодической краевой задачи. Тогда, с одной стороны,
RT
r(t)u2 (t)dt 6= 0, а с другой, как это следует из леммы 6.4.2, имеет место
0
противоположное соотношение. Получено противоречие. Таким образом,
Q(t, τ ) ≡ 0. Теорема доказана.
2. Повторные функции Грина.
Положим
J1 (t, τ ) = J (t, τ ),
RT
Jn (t, τ ) =
Jn−1 (t, ξ)J1 (ξ, τ )r(ξ)dξ
(n = 2, 3, . . .).
(6.4.13)
0
Функции Jk (t, τ ) называются повторными функциями Грина. Из результатов предыдущего пункта вытекают равенства
∞
X
xk (t)xk (τ )
Jn (t, τ ) = (−1)
.
λnk
n
k=−∞
Формулы, которые лежат в основе приближенного вычисления первых собственных значений, имеют вид:
ZT
∞
X
1
Jn (t, t)r(t)dt = (−1)
λnk
n
Jn =
0
(n = 1, 2, . . .).
(6.4.14)
k=−∞
Зная асимптотические выражения собственных значений для больших
номеров, можно приближенно вычислить величины
anm
=
∞
X
|k|=m+1
1
λnk
(n = 1, 2, . . . , m),
причем соответствующие вычисления будут тем точнее, чем больше номер m. Далее, зная функцию Грина, можно по формулам (6.4.13) вычислить значения Jn (n = 1, . . . , m). Тогда для определения собственных
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
126
ГЛАВА 6. Функции Грина периодической краевой задачи
значений λ0 , λ1 , λ−1 , . . . , λ−m получим систему из (2m + 1) уравнений
m
X
1
= (−1)n Jn − anm
n
λk
(n = 1, . . . , 2m + 1).
k=−m
Отметим, что подобные построения легко обобщаются на случай, когда вместо уравнения (6.4.1) рассматривается более общее уравнение
ẍ + p(t)ẋ + [λr(t) + q(t)]x = 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 7
Предельные значения
собственных чисел первой
краевой задачи для сингулярно
возмущенного
дифференциального уравнения
второго порядка с точками
поворота
Систематическое изучение дифференциальных уравнений с малым
множителем при старшей производной началось с работы А.Н. Тихонова [20]. К настоящему времени хорошо изучен вопрос об асимптотике
решений начальной задачи Коши для достаточно широкого класса таких уравнений. С основными результатами на эту тему можно ознакомиться в работах [21] и [22]. Одними из первых работ, посвященных
качественным вопросам в теории рассматриваемых уравнений, явились
статьи А.А. Дородницына [23], а также Е.Ф. Мищенко и Л.С. Понтрягина [24]. Дальнейшее развитие идей этих работ нашло отражение в
[25].
В статьях [26-27] изучалась асимптотика по некоторому параметру
собственных чисел первой краевой задачи для некоторых классов дифференциальных операторов, порядок которых понижался при нулевом
значении этого параметра. При этом предполагалось, что у предельного оператора существуют собственные числа соответствующей первой
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
128
ГЛАВА 7. Предельные значения собственных чисел...
краевой задачи, причем устанавливается, что именно к ним происходит
стремление собственных чисел исходного дифференциального оператора при стремлении параметра к нулю. В настоящей работе вычисляются,с использованием качественных методов, пределы всех собственных
значений первой краевой задачи для уравнений, указанных в названии.
Предел, к которому стремится первое собственное значение этой краевой
задачи, определен в [28]. Трудности, которые здесь возникают, связаны
с тем, что нет предельного оператора и, следовательно, методика работ
[26-27] не применима.
§ 7.1. Постановка задачи и формулировка
основного результата
На некотором отрезке [α, β] рассматривается первая краевая задача для
дифференциального уравнения
εẍ + p(t)ẋ + q(t)x = λx
(7.1.1)
с малым положительным параметром ε. Предполагается, что функция
q(t) непрерывна, а p(t)– непрерывно дифференцируема на [α, β] и, что
является самым важным, функция p(t) имеет конечное число простых
нулей t1 , . . . , tn , принадлежащих интервалу (α, β). Из главы 1 известно,
что поставленная задача имеет счетное количество собственных чисел,
которые вещественны и просты. Обозначим их через λj (ε) (j = 1, 2, . . . ).
Условимся считать, что эти числа занумерованы в порядке убывания.
Это всегда можно проделать, поскольку λj (ε) (j = 1, 2, . . . ) ограничены
в совокупности сверху, и, кроме того, ни одна конечная точка числовой
оси не может являться точкой сгущения последовательности рассматриваемых чисел. Каждому λj (ε) соответствует решение xj (t, ε) дифференциального уравнения
εẍ + p(t)ẋ + [q(t) − λj (ε)]x = 0.
Функция xj (t, ε) обращается в нуль в концах отрезка [α, β] и имеет ровно
j − 1 нулей на интервале (α, β).
Введем в рассмотрение величины
·
¸
|ṗ(tk )| + ṗ(tk )
νik = q(tk ) −
− |ṗ(tk )|i, (i = 0, 1, . . . ; k = 1, . . . , n).
2
(7.1.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 7.1.
Постановка задачи и формулировка результата
129
Расположим числа νik в ряд в порядке убывания. Определим затем числа
λj , которые будем считать равными соответственно j-ым членам этого
ряда.
Главным результатом главы является следующая теорема.
Теорема 7.1.1. Имеют место предельные равенства
lim λj (ε) = λj
ε→0
(j = 1, 2, . . . ).
(7.1.3)
Доказательство теоремы 7.1.1 будет построено на основе анализа осцилляционных свойств решений дифференциального уравнения
εẍ + p(t)ẋ + q(t)x = 0.
(7.1.4)
В этом пункте определим наибольшее количество нулей, которое могут
иметь решения уравнения (7.1.4) на отрезке [α, β] при малых значениях
параметра ε, причем сначала рассмотрим самый простой случай.
Лемма 7.1.1. Пусть на интервале (α, β) функция p(t) имеет лишь
один нуль в точке t1 . Пусть, далее, для некоторого целого положительного k выполнено неравенство
ν01
< k.
|ṗ(t1 )|
k−1<
(7.1.5)
Тогда существует такое ε0 > 0, что для любого ε ∈ (0, ε0 ) найдется решение x0 (t, ε) уравнения (7.1.4), имеющее ровно k + 1 нулей на
отрезке [α, β]. Любое другое решение того же уравнения имеет число
нулей меньшее или равное k + 1.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что
t1 = 0. С помощью преобразования


Zt
1
x = y exp −
p(τ )dτ 
(7.1.6)
2ε
α
и последующего
t=
p
ε|ṗ(0)|−1 s
уравнение (7.1.4) приводится к виду
¸
·
2q(0) − ṗ(0) s2
− + ω(s, ε) y = 0.
ÿ +
2|ṗ(0)|
4
(7.1.7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
130
ГЛАВА 7. Предельные значения собственных чисел...
В (7.1.7) непрерывная функция ω(s, ε) стремится к нулю при стремлении
ε к нулю равномерно на каждом конечном промежутке изменения s. В
результате новой замены
· 2¸
s
y = u exp −
4
придем к уравнению
¸
ν01
+ ω(s, ε) u = 0.
ü − su̇ +
|ṗ(0)|
·
(7.1.8)
С уравнением (7.1.8) тесно связано уравнение Вебера [29]
ü − su̇ − au = 0,
(7.1.9)
где
ν01
.
(7.1.10)
|ṗ(0)|
Линейно независимыми решениями последнего уравнения являются
функции
∞
X
a(a + 2) . . . (a + 2i − 2) 2i
ur (s) = 1 +
s
(7.1.11)
(2i)!
i=1
a=−
и
u(s) = s +
∞
X
(a + 1) . . . (a + 2i − 1)
i=1
(2i + 1)!
s2i+1 .
(7.1.12)
Исследуем осцилляционные свойства этих функций. Мы покажем, что
функция ur (s) имеет ровно k + 1 нулей при нечетном k, фигурирующем
в неравенствах (7.1.5), а в случае четного k функция u(s) будет иметь
ровно k + 1 нулей.
Сначала установим, что наибольшее количество нулей функций ur (s)
и u(s), с одной стороны, не превосходит числа k + 1, а с другой стороны,
оно не меньше, чем k − 1. Для этого введем в рассмотрение функции
· 2 ¸ k−2+i
· 2¸
s d
s
k−2+i
ui (s) = (−1)
exp
exp −
, i = 1, 2, 3.
(7.1.13)
k−2+i
2 ds
2
Непосредственно проверяется, что введенные таким образом функции
являются решениями дифференциальных уравнений
ü − su̇ − (k − 2 + i)u = 0,
i = 1, 2, 3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 7.1.
Постановка задачи и формулировка результата
131
соответственно. Легко показать, рассуждая, например, по индукции, что
для каждого целого положительного k функция ui (s) обращается в ноль
ровно k−2+i раз на интервале (−∞, ∞). Отсюда и из теоремы сравнения
(глава 1) вытекает, что при условии (7.1.5) в случае нечетного k число
нулей функции ur (s) не больше, чем k + 1, и не меньше, чем k − 1. При
этом количество нулей функции u(s) не превосходит k. Если же k четно,
то функция u(s) обращается в нуль не более k + 1 и не менее k − 1 раз,
а число нулей функции ur (s) меньше или равно k.
Уточним теперь полученный результат. А именно, докажем, что количество нулей функции ur (s) в точности равно k + 1, если k нечетно. В
случае четного k столько же нулей имеет на интервале (−∞, ∞) функция u(s). Разберем только случай, когда в условии (7.1.5) k нечетно. В
случае четного k в том же условии доказательство проводится аналогично и поэтому мы его опустим.
Предположим противное. Тогда, очевидно, решение (7.1.11), которое
является четной функцией, имеет необходимо k − 1 нулей. Приняв во
внимание тот факт, что ur (0) = 1, легко получить равенство
½
−∞,
если k − 1 не кратно 4,
lim ur (s) =
(7.1.14)
s→∞
∞,
если k−1
=
p,
p
=
0,
1,
.
.
.
.
4
Если, однако, мы воспользуемся формулой (7.1.11), записанной в виде
ur (s) = 1 +
k
X
a(a + 2) . . . (a + 2i − 2)
i=1
(2i)!
∞
X
a(a + 2) . . . (a + 2i − 2) 2i
s +
s ,
(2i)!
2i
i=k+1
где под последним знаком суммирования все слагаемые положительны,
когда k − 1 не кратно четырем, и отрицательны– в противном случае, то
получим равенство
½
∞,
если k−1
p = 0, 1, . . . ,
4 6= p,
lim ur (s) =
k−1
s→∞
−∞,
если 4 = p, p = 0, 1, . . . .
Сравнивая последнее равенство с соотношением (7.1.14), приходим к
противоречию.
Таким образом, мы доказали, что при нечетном k функция ur (s) обращается в нуль ровно k + 1 раз на интервале (−∞, ∞). Ясно, что количество нулей функции u(s) при этом равно k.
Фиксируем так s0 > 0, чтобы на интервале (−s0 , s0 ) содержались
все нули функций ur (s) и u(s). Будем, далее, рассматривать только те
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
132
ГЛАВА 7. Предельные значения собственных чисел...
значения ε, при которых
h ¡
¢1
¡
¢1 i
−1 2
−1 2
− ε|ṗ(0)|
s0 , ε|ṗ(0)|
s0 ⊂ [α, β].
Тогда на отрезке [−s0 , s0 ] определены коэффициенты уравнения (7.1.8),
которые на нем равномерно сходятся к коэффициентам уравнения (7.1.9)
при стремлении ε к нулю. Отсюда следует существование такого ε0 > 0,
что при всех ε ∈ (0, ε0 ) наибольшее число нулей решений уравнения
(7.1.8), а значит, и уравнения (7.1.4), не меньше, чем k + 1. Поэтому
ясно, что для доказательства леммы необходимо показать следующее:
у уравнения (7.1.7) не может быть решений с числом нулей на отрезке
[α, β] большим, чем k + 1, когда ε достаточно мало.
Введем сначала несколько обозначений. Через u1 (s, ε) и u2 (s, ε) обозначим решения дифференциального уравнения (7.1.8), начальные условия которых, заданные при s = 0, совпадают соответственно с начальными условиями решений ur (s) и uH (s) уравнения (7.1.9). Введем затем
в рассмотрение отрезки
h ¡
i
¢ 1
−1 − 2
∆1 (ε) = α ε|ṗ(0)|
, s1 (ε)
и
h
¡
¢ 1i
−1 − 2
∆2 (ε) = s2 (ε), β ε|ṗ(0)|
.
Здесь через si (ε) ∈ [−s0 , s0 ] (i = 1, 2) обозначены числа, являющиеся соответственно левым крайним и правым крайним нулем функции u1 (s, ε)
при четном k, фигурирующем в (7.1.5), и функции u2 (s, ε) – при нечетном. Отметим, что при малых ε нули у функций u1 (s, ε) и u2 (s, ε) существуют, и, более того, количество нулей у каждой из рассматриваемых
функций на отрезке [−s0 , s0 ] равно соответственно числу нулей функций
ur (s) и uH (s). Это следует из равномерной сходимости u1 (s, ε) к ur (s),
а u2 (s, ε) к uH (s) на каждом конечном промежутке при стремлении ε к
нулю. Отсюда же вытекает справедливость предельных равенств
− lim s1 (ε) = lim s2 (ε) = s1 ,
ε→0
ε→0
(7.1.15)
где s1 > 0 является правым крайним нулем функции ur (s), если k четно,
и функции uH (s), если k нечетно.
Покажем, что решения дифференциального уравнения (7.1.7) не осциллируют при достаточно малых ε на отрезках ∆1 (ε) и ∆2 (ε). Отсюда
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 7.1.
Постановка задачи и формулировка результата
133
и из теоремы о разделении нулей будет следовать, что решения рассматриваемого уравнения имеют не более k + 1 нулей на отрезке [α, β] при
тех же значениях ε. Как и в [28], воспользуемся для этого вариантом
критерия неосцилляции Валле-Пуссена [30].
Установим существование функции z0 (s, ε), обладающей следующими
двумя свойствами.
Во-первых, она непрерывна на отрезках ∆1 (ε) и ∆2 (ε), когда
1
k ≥ 2, и непрерывна лишь на полуинтервалах [α(ε|ṗ(0)|−1 )− 2 , s1 (ε)) и
1
(s2 (ε), β(ε|ṗ(0)|−1 )− 2 ] при k = 1, но в этом случае выполнены предельные
равенства
lim z0 (s, ε) = ∞
s→s1 (ε)−0
и соответственно
lim
s→s2 (ε)+0
z0 (s, ε) = −∞.
Очевидно, что при k = 1 имеют место соотношения
s1 (ε) ≡ s2 (ε) ≡ 0,
ε ∈ (0, ε0 ),
где ε0 достаточно мало.
Во-вторых, функция z0 (s, ε) удовлетворяет дифференциальному неравенству
∗
D z0 (s, ε) ≥
z02 (s, ε)
2q(s, ε) − ṗ(s, ε)
p2 (s, ε)
+
−
.
2|ṗ(0)|
4ε|ṗ(0)|
(7.1.16)
В (7.1.16) положено
p
q(s, ε) = q(pε|ṗ(0)|−1 s),
p(s, ε) = p(pε|ṗ(0)|−1 s),
ṗ(s, ε) = ṗ( ε|ṗ(0)|−1 s),
а D∗ z0 (s, ε) – правое верхнее производное число функции z0 (s, ε).
Сначала введем одну вспомогательную функцию, которая потребуется нам при построении функции z0 (s, ε).
Положим

∞
P

b(b+2)...(b+2i−2) 2i

1
+
s , k четно,

(2i)!
i=1
(7.1.17)
u(b, s) =
∞
P
(b+1)...(b+2i−1) 2i+1


s
, k нечетно.
 s+
(2i+1)!
i=1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
134
ГЛАВА 7. Предельные значения собственных чисел...
В (7.1.17) параметр b удовлетворяет неравенствам
−k < b < −k + δ0 ,
(7.1.18)
где положительная постоянная δ0 < 1, вообще говоря, достаточно мала.
Ниже будет указано, насколько малой ее следует выбрать. Заметим, что
функция (7.1.17) является решением дифференциального уравнения
ü − su̇ − bu = 0.
(7.1.19)
Тем самым, при условии (7.1.18) она имеет ровно k нулей на интервале
(−∞, ∞). Обозначим через s(b) правый крайний нуль функции u(b, s).
Отметим, что
s(b) ≤ s1 ,
если только выполнено неравенство
δ0 ≤ k + a.
Этот факт следует из определения чисел s(b) и s1 , а также из теоремы
сравнения (глава 1). Далее, так как левее точки −s(b) и правее точки s(b)
функция (7.1.17) не меняет знака, то для значений s, принадлежащих
интервалам (−∞, −s(b)) и (s(b), ∞), определена непрерывная нечетная
функция
s u̇(b, s)
v(b, s) = −
,
(7.1.20)
2 u(b, s)
которая, очевидно, является решением дифференциального уравнения
Риккати
s2
1
2
v̇ = v + − b − .
(7.1.21)
2
4
Ниже будет установлено существование такого δ1 > 0, что при
−k < b ≤ −k + δ1
функция v(b, s) будет обращаться в нуль в некоторой точке
s(b) ∈ (s(b), ∞), причем непрерывная функция s(b) параметра b будет
удовлетворять предельному равенству
lim s(b) = ∞.
b→−k+0
(7.1.22)
Если δ0 в (7.1.18) определить так, чтобы имело место неравенство
δ0 ≤ min(δ1 , k + a),
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 7.1.
Постановка задачи и формулировка результата
135
то построить функцию z0 (s, ε) можно без труда.
Действительно, пусть выполняется (7.1.22). Функцию z0 (s, ε) начнем
строить следующим образом. Предварительно введем несколько обозначений. Выберем такое положительное σ0 , чтобы отрезок [−σ0 , σ0 ] принадлежал интервалу (α, β) и чтобы
m0 = min |ṗ(t)| > 0,
−σ0 ≤ t ≤ σ0 .
Затем фиксируем некоторое положительное число l0 так, чтобы имело
место неравенство
l0 > max[4q(t) − 2ṗ(t)],
Далее, положим
r0 = m−1
0
α ≤ t ≤ β.
p
l0 |ṗ(0)|.
Из неравенства (7.1.15) вытекает существование такого ε0 > 0, что при
всех ε ∈ (0, ε0 ) выполняются соотношения (k ≥ 2)
s(b) < s1 (ε) ≤ s2 ,
−s(b) < s2 (ε) ≥ −s2 ,
где s2 > 0 не зависит от ε. Отметим, что при k = 1
s(b) = si (ε) ≡ 0,
i = 1, 2.
Используя (7.1.22), можно сделать вывод о существовании такого b,
удовлетворяющего условию (7.1.18), и такого r > max(r0 , s2 ), что
s(b) = r ∈ (s1 (ε), ∞). Функцию
S z0 (s, ε) будем считать теперь равной
v(b, s)Sпри |s| ≤ r и s ∈ ∆1 (ε) ∆2 (ε), а для остальных значений s из
∆1 (ε) ∆2 (ε) определим ее равной тождественно нулю.
Покажем, что построенная так функция z0 (s, ε) удовлетворяет дифференциальному неравенствуS(7.1.16).
При |s| ≤ r (s ∈ ∆1 (ε) ∆2 (ε)) неравенство (7.1.16) будет иметь
место, если
a − b ≥ max ω(s, ε),
S
т.е. при достаточно малых значениях ε. При s ∈ ∆1 (ε) ∆2 (ε) и
p
r ≤ s ≤ σ0 ε−1 |ṗ(0)|
неравенство (7.1.16) будет выполнено, если будет выполнено неравенство
p
p
−1
|p( ε|ṗ(0)| s| ≥ l0 ε,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
136
ГЛАВА 7. Предельные значения собственных чисел...
которое, используя формулу Лагранжа, запишем в виде
p
p
p
|ṗ( ε|ṗ(0)|−1 θs) ε|ṗ(0)|−1 s| ≥ l0 ε,
где θ ∈ (0, 1). Последнее неравенство является следствием другого неравенства
p
m0 r ≥ l0 |ṗ(0)|−1 ,
которое верно в силу выбора чисел r0 и r. При остальных значениях s,
принадлежащих отрезкам ∆1 (ε) и ∆2 (ε), дифференциальное неравенство
будет выполнено, если
εl0 ≤ min p2 (t),
t ∈ [α, β],
t∈(−σ0 , σ0 ),
т.е. при достаточно малых ε.
Таким образом, нам осталось обосновать лишь предельное равенство
(7.1.22). Соответствующее доказательство разобьем на четыре этапа,
причем ограничимся случаем четного k, так как при k нечетном рассуждения аналогичны.
§ 7.2. Обоснование
функции s(b)
предельного
свойства
1. Докажем сначала один общий факт, касающийся свойств решений
дифференциального уравнения (7.1.21). Именно, покажем, что непрерывная на некотором интервале функция, являющаяся решением уравнения
(7.1.21), не может иметь на этом интервале более двух нулей с учетом
их кратностей. Поскольку в дальнейшем мы будем работать только с
решением v(b, s), то применительно к нему и обоснуем это утверждение.
Предположим противное, т.е. будем считать, что существует такое
значение параметра b, удовлетворяющее условию (7.1.18), при котором
непрерывная на некотором интервале функция v(b, s) обращается в нуль
не менее, чем в трех точках этого интервала. Пусть для определенности
первые три нуля, о которых идет речь, находятся в точках
s1 ≤ s2 ≤ s3 .
(7.2.1)
Непосредственно из уравнения (7.1.21) видно, что кратность любого нуля, не совпадающего с началом координат, не может превышать двух,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 7.2.
Обоснование предельного свойства функции s(b)
137
так как для второй производной функции v(b, s) выполняется равенство
1
v̈(b, si ) = − si ,
2
i = 1, 2, 3.
(7.2.2)
Из (7.2.2) следует, что в неравенствах (7.2.1) хотя бы в одном месте
стоит знак строгого неравенства.
Обозначим через sj (b) (j = 1, . . . , k2 ) все положительные нули функции u(b, s), которые будем считать занумерованными в порядке возрастания. Равенство (7.1.20) определяет функцию v(b, s) для неотрицательных значений s не только на интервале (s(b), ∞), но и на интервалах
(sj (b), sj+1 (b)) (j = 1, . . . , k2 − 1) и полуинтервале [0, s1 (b)). Достаточно доказать сформулированное выше утверждение для этих интервалов.
Обоснование того же факта для остальных интервалов, на которых функция v(b, s) непрерывна, будет следовать из нечетности рассматриваемой
функции.
Из определения чисел sj (b) и из формулы (7.1.20) вытекают предельные равенства
lim v(b, s) = ∞,
(7.2.3)
s→sj (b)−0
lim
s→sj (b)+0
v(b, s) = −∞.
(7.2.4)
Равенство (7.2.4) позволяет нам без потери общности считать, что выполняется неравенство
v̇(b, s1 ) ≥ 1.
Если же s1 ∈ [0, s1 (b)), то ясно, что s1 = 0, причем s1 является простым
нулем функции v(b, s). Используя эти замечания и соотношение (7.2.2),
убеждаемся в справедливости неравенства
s2 < s3 .
(7.2.5)
На основании формулы (7.1.21) и, вновь учитывая (7.2.2) и (7.2.4), заключаем теперь, что
1
1
− b − (s1 )2 ≥ 0,
2
4
1
1
− b − (s2 )2 ≤ 0,
2
4
1
1
− b − (s3 )2 ≥ 0.
2
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
138
ГЛАВА 7. Предельные значения собственных чисел...
Однако, в силу (7.2.5) последние два неравенства одновременно выполняться не могут. Мы пришли к противоречию. Тем самым показано, что
на промежутках, на которых v(b, s) непрерывна, не может существовать
у нее более двух нулей с учетом их кратностей. Заметим, что полученный вывод справедлив и в случае, когда b = −k.
В заключение этого этапа отметим, что в силу предельного равенства (7.2.3) на интервалах (sj (b), sj+1 (b)) (j = 1, . . . , k2 − 1) у функции
v(b, s) находится лишь один простой нуль. На полуинтервале [0, s1 (b))
эта функция единственный раз обращается в нуль в точке s = 0, причем
этот нуль также простой.
2. Здесь будут изучены некоторые специальные свойства функции
v(b, s) при значении параметра b, равном −k.
Как было показано выше, четная функция u(−k, s) обращается в нуль
в k точках интервала (−∞, ∞). Обозначим через sj (−k) (j = 1, . . . , k2 ) положительные нули этой функции, причем будем считать, что нумерация
происходит в порядке возрастания. Формула (7.1.20) определяет непрерывную функцию v(−k, s) на промежутках [0, s1 (−k)), (s1 (−k), s2 (−k)),
. . . , (s k −1 (−k), s k (−k)), (s k (−k), ∞). Основным содержанием этого этапа
2
2
2
является доказательство того факта, что функция v(−k, s) обращается в
нуль в некоторой точке s(−k), принадлежащей интервалу (s k (−k), ∞),
2
причем выполнено неравенство
v̇(−k, s(−k)) > 0.
В дальнейшем нам будет удобно работать с формулой
"
1
u(b, s)v(b, s) = s − b+
2
µ
¶ #
∞
X
b(b + 2) . . . (b + 2i − 2) 1 2i + b 2i
+
s ,
−
(2i)!
2
2i
+
1
i=1
которая при b = −k принимает более простой вид
"
1
u(−k, s)v(−k, s) = s + k+
2
µ
¶ #
k/2
X
−k . . . (−k + 2i − 2) 1 + k
+
s2i .
(2i)!
4i + 2
i=1
(7.2.6)
(7.2.7)
(7.2.8)
Заметим теперь, что все нули многочлена степени k + 1, стоящего в
правой части формулы (7.2.8), совпадают с нулями функции v(−k, s),
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 7.2.
Обоснование предельного свойства функции s(b)
139
причем других нулей у последней функции нет. Поскольку, как отмечалось выше, на каждом из промежутков [0, s1 (−k)), [sj (−k), sj+1 (−k))
(j = 1, . . . , k2 −1) функция v(−k, s) имеет ровно один простой нуль, то для
доказательства существования нуля на интервале (s k (−k), ∞) необходи2
мо показать следующее: многочлен (7.2.8) имеет точно k2 положительных
нулей. Очевидно, что больше, чем k2 , их быть не может. Предположим
противное, т.е. будем считать, что количество положительных нулей этого многочлена меньше, чем k2 . Тогда число их в точности равно k2 − 1. В
точке s = 0 многочлен равен нулю, а его производная при этом положительна. Из сказанного следует предельное равенство
½
∞,
если k4 6= p, (p = 1, 2, . . . ),
lim u(−k, s)v(−k, s) =
(7.2.9)
s→∞
−∞,
если k4 = p, (p = 1, 2, . . . ).
С другой стороны, если воспользоваться формулой (7.2.8), то получим
вместо равенства (7.2.9) не совпадающее с ним равенство
½
−∞,
если k4 6= p, (p = 1, 2, . . . ),
lim u(−k, s)v(−k, s) =
s→∞
∞,
если k4 = p, (p = 1, 2, . . . ).
Тем самым получено противоречие. Неравенство (7.2.6) для нуля
s(−k) ∈ (s k (−k), ∞) функции v(−k, s), существование которого мы до2
казали, выполняется очевидным образом.
3. Покажем здесь, используя предыдущий результат, что существует
такое δ1 ∈ (0, 1), при котором для всех b ∈ (−k, −k + δ1 ) функция v(b, s)
обращается в нуль в некоторой точке s(b) ∈ (s(b), ∞). Покажем также,
что при этом выполняется неравенство
v̇(b, s(b)) > 0.
(7.2.10)
Введя новый параметр
δ = k + b,
перепишем формулу (7.2.7) в более удобном для нас виде
"
u(b, s)v(b, s) = s
+
1
2
+k+
k/2
P
i=1
−k(−k+2)...(−k+2i−2) ¡ 1
(2i)!
2
−
¢
2i−k
2i+1
#
s2i + f (s, δ) ,
(7.2.11)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
140
ГЛАВА 7. Предельные значения собственных чисел...
где непрерывная функция f (s, δ) стремится к нулю при стремлении δ к
нулю равномерно на каждом конечном промежутке изменения s. Фиксируем затем такое s0 > 0, чтобы s(−k) ∈ (0, s0 ). На отрезке [0, s0 ] правая
часть формулы (7.2.11) равномерно сходится к (7.2.8). Отсюда следует,
что при малых δ у функции v(b, s) существует нуль s(b) ∈ (s(b), ∞),
причем в силу (7.2.6) имеет место неравенство (7.2.10).
Отметим, что для непрерывной функции s(b) параметра
b ∈ (−k, −k + δ1 ) выполняется неравенство
√
s(b) < 2 + 4k.
Этот вывод можно сделать на основании (7.1.21) и с помощью неравенства (7.2.10).
4. Покажем теперь, что при достаточной близости параметра b к числу −k у функции v(b, s) существует второй нуль s(b), удовлетворяющий
предельному равенству (7.1.22).
При решении поставленной задачи мы вновь воспользуемся представлением (7.2.7), которое перепишем в несколько ином виде
·
k
¢ 2i
P
b(b+2)...(b+2i−2) ¡ 1
1
2i+b
u(b, s)v(b, s) = s 2 − b +
−
(2i)!
2
2i+1 s +
i=1
¸
(7.2.12)
∞
¢ 2i
P
b(b+2)...(b+2i−2) ¡ 1
2i+b
+
.
(2i)!
2 − 2i+1 s
i=k+1
Для значений b из интервала (−k, −k + δ1 ) все слагаемые, объединенные
под последним знаком суммирования в формуле (7.2.12), положительны,
если k не кратно четырем, и отрицательны– в противном случае. Отсюда
следует, что выполняется равенство
½
∞,
если k4 6= p, p = 1, 2, . . . ,
lim u(b, s)v(b, s) =
(7.2.13)
s→∞
−∞,
если k4 = p, p = 1, 2, . . . .
Из определения числа s(b) и из неравенства (7.2.10) вытекает, что функция v(b, s) положительна в некоторой окрестности справа от точки s(b).
Отсюда, из предельных равенств
½
−∞,
если k4 6= p, p = 1, 2, . . . ,
lim u(b, s) =
s→∞
∞,
если k4 = p, p = 1, 2, . . .
и (7.2.13) следует, что функция v(b, s) отрицательна при достаточно
больших значениях s. Из этого вытекает существование у этой функции второго нуля s(b).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 7.3.
Вспомогательное утверждение
141
Равенство (7.1.22) доказывается теперь без труда. В самом деле,
предположим противное: пусть существует такая последовательность
bm → −k + 0, что выполняется равенство
lim s(bm ) = s0 ,
m→∞
s0 ∈ (s(−k), ∞).
Фиксируем тогда такое s1 > 0, чтобы
[s0 − s1 , s0 + s1 ] ⊂ (s(−k), ∞).
На отрезке [s0 − s1 , s0 + s1 ] правая часть (7.2.12) равномерно сходится
к правой части (7.2.8) при стремлении bm к числу −k. Следовательно,
существует такое δ > 0, при котором для всех b ∈ (−k, −k + δ) функция
v(b, s) положительна на рассматриваемом отрезке. Тем самым мы пришли
к противоречию. Предельное равенство (7.1.22) доказано.
§ 7.3. Вспомогательное утверждение
1. Приведенное в этом параграфе утверждение, для обоснования которого мы будем использовать уже полученные результаты, будет играть
основную роль при доказательстве теоремы 7.1.1.
Пусть функция p(t) обращается в нуль в точках t1 , . . . , tn интервала
(α, β). Фиксируем такое t0 > 0, чтобы принадлежащие интервалу (α, β)
отрезки [ti − t0 , ti + t0 ] (i = 1, . . . , n) не пересекались между собой. Эти
отрезки нам удобно обозначить через ∆i (t0 ) соответственно.
Предположим, что
−hi =
ν0i
6= j,
|ṗ(ti )|
j = 0, 1, . . . ; i = 1, . . . , n.
(7.3.1)
Отметим, что в силу леммы 7.1.1 наименьшее число нулей, которое могут иметь решения дифференциального уравнения (7.1.4) на каждом из
отрезков ∆i (t0 ), не зависит от ε, если только ε достаточно мало. Наименьшее возможное число нулей на ∆i (t0 ) мы будем обозначать ниже
через ki . Очевидно, что наибольшее количество нулей у решений уравнения (7.1.4) на том же отрезке будет равно ki + 1.
Лемма 7.3.1. Пусть выполнены неравенства (7.3.1). Тогда найдется такое ε0 > 0, что при каждом ε ∈ (0, ε0 ) существует решение
x∗ (t, ε) уравнения (7.1.4), имеющее ровно k0 нулей на отрезке [α, β],
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
142
ГЛАВА 7. Предельные значения собственных чисел...
где
k0 = 1 +
n
X
ki .
i=1
Любое другое решение при этом обращается в нуль не более k0 раз.
Доказательство. Сначала покажем, что существует решение уравнения (7.1.4), которое имеет на отрезке [α, β] не менее k0 нулей при малых
ε. Для этого выберем такое ε0 > 0, чтобы при ε ∈ (0, ε0 ) на каждом
из отрезков ∆i (t0 ) существовало решение, имеющее ki + 1 нулей соответственно. Ясно, что тогда любое решение имеет не менее ki нулей на
каждом из рассматриваемых отрезков. Таким образом, если зафиксировать такое решение, которое имело бы k1 + 1 нулей на отрезке ∆1 (t0 ), то
на каждом из остальных отрезков ∆i (t0 ) это же решение обращается в
нуль не менее, чем ki раз. Начальные условия такого решения, заданные
в момент времени t1 , можно взять не зависящими от ε. Отсюда следует, что наибольшее количество нулей, которое могут иметь решения
уравнения (7.1.4) на отрезке [α, β], не меньше k0 для достаточно малых
ε.
Доказательство леммы будет завершено, если мы покажем, что существует решение уравнения (7.1.4), имеющее при малых ε не более k0 − 1
нулей. Чтобы показать это, нам будет удобнее работать с дифференциальным уравнением
¸
·
2q(t) − ṗ(t) p2 (t)
x = 0,
(7.3.2)
εẍ +
−
2
4ε
в которое преобразуется уравнение (7.1.4) с помощью замены (7.1.6) и
переобозначения y = x.
Без ограничения общности можно считать, что нули функции p(t)
занумерованы в порядке возрастания. Введем в рассмотрение дифференциальное уравнение
·
¸
2q0 (t) − pe0 (t) p20 (t)
εẍ +
−
x = 0.
(7.3.3)
2
4ε
Здесь положено
½
S
a0 > 0,
если t ∈ [α, β] и t∈ i ∆i (t0 ),
p0 (t) =
ai (t − ti ),
если t ∈ ∆i (t0 ),
½
S
0,
если t ∈ [α, β] и t∈ i ∆i (t0 ),
pe0 (t) =
ṗ(t),
если t ∈ ∆i (t0 ),
(7.3.4)
(7.3.5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 7.3.
Вспомогательное утверждение
½
q0 (t) =
0,
bi ,
если
если
t ∈ [α, β] и
t ∈ ∆i (t0 ).
143
t∈
S
i ∆i (t0 ),
(7.3.6)
В (7.3.4) – (7.3.6) индекс i принимает значения от 1 до n, а числа ai
(i = 0, . . . , n) и bi (i = 1, . . . , n) считаем выбранными таким образом,
чтобы имели место неравенства
ni − 1 < νi =
2bi − ai − |ai |
< ni ,
2|ai |
i = 1, . . . , n,
(7.3.7)
где ni – целые числа. Докажем сначала лемму для дифференциального
уравнения (7.3.3). Отметим, что это уравнение подобрано так, чтобы его
можно было проинтегрировать в явном виде.
На заключительном этапе доказательства леммы будет показано, что
существует такое ε0 > 0, при котором для всех ε ∈ (0, ε0 ) выполняется
неравенство
2q(t) − ṗ(t) p2 (t) 2q0 (t) − pe0 (t) p20 (t)
−
≤
−
2
4ε
2
4ε
(7.3.8)
при t ∈ [α, β]. При этом можно так определить числа ai и bi в формулах
(7.3.4) – (7.3.6), чтобы числа νi были заключены между теми же целыми
числами, что и ν0i |ṗ(ti )|−1 . При таком определении чисел νi (i = 1, . . . , n)
максимальное возможное количество нулей, которое могут иметь при
малых ε решения уравнения (7.3.3), не превзойдет числа k0 . Отсюда и
из неравенства (7.3.8) будет следовать, что у решений уравнения (7.3.2)
не может существовать при тех же ε нулей больше, чем k0 . Последнее
вытекает из теоремы сравнения (теорема 1.1.1).
Итак, основную роль при доказательстве леммы играет обоснование соответствующего утверждения для дифференциального уравнения
(7.3.3). Приступим к изучению свойств решений этого уравнения.
2. Свойства решений уравнения (7.3.3). Первый этап.
Введем в рассмотрение функции, используя которые докажем на следующих этапах нужное утверждение.
На отрезке ∆i (t0 ) (i = 1, . . . , n) определим функции
"
xi1 (t, ε) =
1+
∞
P
j=1
#
−νi (−νi +2)...(−νi +2j−2)|ai |j
(t
(2j)!εj
h
i
|ai |
2
× exp − 4ε (t − ti )
− ti )2j ×
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
144
ГЛАВА 7. Предельные значения собственных чисел...
и
xi2 (t, ε) =
i√
h
√
√ ε exp − |a4εi | (t − ti )2 √|aε i | (t
|ai |
2j+1
∞
P
(−νi +1)...(−νi +2j−2)|ai | 2
+
j=1
Далее положим
½
xi1 (t, ε),
xi (t, ε) =
xi2 (t, ε),
2j+1
(2j+1)ε 2
если ni ≥ 2
если ni ≤ 0
− ti )+
(t − ti )2j+1 .
и ni четно,
или ni нечетно.
(7.3.9)
Числа ni , входящие в (7.3.9), те же, что и в (7.3.7). Каждая из функций
xi (t, ε) является решением дифференциального уравнения (7.3.3) на соответствующем промежутке. Как следует из доказательства леммы 7.1.1,
функция xi (t, ε) обращается в нуль на отрезке ∆i (t0 ) ровно ki раз при
малых значениях ε. При этом количество нулей любого другого решения
уравнения (7.3.3) на том же отрезке не меньше, чем ki .
Рассмотрим отдельно функцию x1 (t, ε), определенную на отрезке
∆1 (t0 ). Эта функция будет играть особую роль в дальнейших рассуждениях. Нам будет удобно считать, что x1 (t, ε) определена на всем отрезке [α, β]. На значениях t ∈
/ ∆1 (t0 ) определим эту функцию так, чтобы
она была решением уравнения (7.3.3). Обозначим полученную функцию
через x0 (t, ε). Для нас будет важно знать, как ведет себя эта функция
при значениях t ∈
/ ∆1 (t0 ). Поэтому нам будет удобно вводить новые
обозначения этой функции, рассматриваемой на некоторых специальных
отрезках.
Рассмотрим отрезки [t1 +t0 , t2 −t0 ] и ∆2 (t0 ). На этих отрезках функция
x0 (t, ε) определяет соответственно две функции x01 (t, ε) и x02 (t, ε). Как
оказывается, первую из этих функций можно выписать в явном виде, а
вторую выразить через x21 (t, ε) и x22 (t, ε).
Имеем
x01 (t1 + t0 , ε) = x1 (t1 + t0 , ε),
ẋ01 (t1 + t0 , ε) = ẋ1 (t1 + t0 , ε).
Используя формулы, при помощи которых мы ввели p0 (t), pe0 (t) и q0 (t),
получим, что
³
ha
i
1
0
0
x01 (t , ε) = x1 (t1 + t0 , ε) exp
(t2 − t1 − 2t0 ) +
2
2ε i´
h a
ε
0
+ exp − (t2 − t1 − 2t0 ) + ẋ(t1 + t0 , ε)×
(7.3.10)
³
h a2ε
i
ha0 a
i´
0
0
× exp
(t2 −t1 −2t0 ) − exp − (t2 −t1 −2t0 ) ,
2ε
2ε
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 7.3.
Вспомогательное утверждение
145
³
ha
i
1
0
ẋ01 (t , ε) = ẋ(t1 + t0 , ε) exp
(t2 − t1 − 2t0 ) +
2
2ε i´ a
h a
0
0
(7.3.11)
+ exp − (t2 − t1 − 2t0 ) + x1 (t1 − t0 , ε)×
4εh a
³
h a2ε
i
i´
0
0
× exp
(t2 − t1 − 2t0 ) − exp − (t2 − t1 − 2t0 ) ,
2ε
2ε
0
где положено t = t2 − t0 . Отметим, что
0
x21 (t, ε)ẋ22 (t, ε) − ẋ21 (t, ε)x22 (t, ε) ≡ 1,
Поскольку
x02 (t0 , ε) = x01 (t0 , ε),
t ∈ ∆2 (t0 ).
(7.3.12)
ẋ02 (t0 , ε) = ẋ01 (t0 , ε),
то из (7.3.12) получаем, что имеет место представление
£
¤
x02 (t0 , ε) = x01 (t0 , ε)ẋ22 (t0 , ε) − ẋ01 (t0 , ε)x22 (t0 , ε) x21 (t, ε)+
£
¤
+ ẋ01 (t0 , ε)x21 (t0 , ε) − x01 (t0 , ε)ẋ21 (t0 , ε) x22 (t, ε).
(7.3.13)
Ниже нам потребуется еще функция
·
¸
0
0
ẋ
(t
,
ε)
x21 (t, ε)
ẋ
(t
,
ε)
22
01
x0 (t, ε) =
−
−
x22 (t0 , ε) x01 (t0 , ε) x21 (t0 , ε)
·
¸
ẋ21 (t0 , ε) ẋ01 (t0 , ε) x22 (t, ε)
−
−
.
x21 (t0 , ε) x01 (t0 , ε) x22 (t0 , ε)
(7.3.14)
Используя эту функцию, формулу (7.3.13) можно записать в виде
x02 (t, ε) = x01 (t0 , ε)x21 (t, ε)x22 (t, ε)x0 (t, ε),
(7.3.15)
из которого становится ясно, что наличие k1 +k2 нулей у функции x0 (t, ε)
на отрезке [t1 − t0 , t2 + t0 ] будет доказано, если мы покажем, что она не
меняет знака на [t1 + t0 , t2 − t0 ], а функция x0 (t, ε) обращается в нуль
ровно k2 раз на отрезке [t2 − t0 , t2 + t0 ].
3. Свойства решений уравнения (7.3.3). Второй этап.
На этом этапе будет доказано одно вспомогательное неравенство, при
помощи которого мы ниже установим существование ровно k2 нулей у
функции x0 (t, ε) на [t2 − t0 , t2 + t0 ].
Покажем, что существует такое ε0 > 0, при котором для всех
ε ∈ (0, ε0 ) выполняется неравенство
·
¸
ẋ21 (t0 , ε) ẋ22 (t0 , ε)
ẋ01 (t0 , ε)
− max
,
> 0.
(7.3.16)
x01 (t0 , ε)
x21 (t0 , ε) x22 (t0 , ε)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 7. Предельные значения собственных чисел...
146
Прежде всего обоснуем соотношение
ẋ01 (t0 , ε)
c0
≥
,
x01 (t0 , ε)
ε
(7.3.17)
где положительная постоянная c0 не зависит от ε, когда ε мало. Для
этого воспользуемся равенствами (7.3.10) и (7.3.11). Полагая
z(t, ε) =
ẋ1 (t1 + t0 , ε)
,
x1 (t1 + t0 , ε)
(7.3.18)
левую часть неравенства (7.3.17) запишем в виде
´
´
³
£ a0
¤ ³ 2ε
2ε
ẋ01 (t0 , ε)
a0  a0 z(t0 , ε) + 1 exp ε (t2 − t1 ) + a0 z(t0 , ε) − 1 
³
´
´ .
=
£ a0
¤ ³
2ε
2ε
x01 (t0 , ε) 2ε
z(t , ε) + 1 exp (t − t ) + 1 − z(t , ε)
0
a0
ε
2
1
0
a0
Отсюда вытекает, что для обоснования неравенства (7.3.17) достаточно
показать, что при малых ε имеет место неравенство
2ε
z(t0 , ε) + 1 ≥ c > 0,
a0
в котором постоянная c не зависит от ε. Мы покажем, что z(t0 , ε) положительна при достаточно малых ε. Тем самым можно будет положить
c = 1. Учитывая (7.3.9), получим, что
z(t, ε) =
u̇(t, ε) (t − t1 )|a1 |
−
.
u(t, ε)
2ε
Здесь положено
½
u0 (t, ε) =
u1 (t, ε),
u2 (t, ε),
если
если
x1 (t, ε) ≡ x11 (t, ε),
x1 (t, ε) ≡ x12 (t, ε),
где, в свою очередь, приняты следующие обозначения:
u1 (t − t1 , ε) = 1 +
∞
X
−ν1 (−ν1 + 2) . . . (−ν1 + 2j − 2)|a1 |j
j=1
p
∞
(2j)!εj
|a1 | X (−ν1 + 1) . . . (−ν1 + 2j − 1)|a1 |
u2 (t − t1 , ε) = √ +
2j+1
ε
2
(2j
+
1)!ε
j=1
(t − t1 )2j ,
2j+1
2
(t − t1 )2j+1 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 7.3.
Вспомогательное утверждение
147
Воспользуемся теперь одним результатом, полученным при доказательстве леммы 7.1.1. Там нами была построена функция v(b, s), которая
определялась равенством (7.1.20), и было получено такое утверждение:
при достаточной близости параметра b к числу −k (k– целое неотрицательное) существует такое s0 > 0, что при всех s > s0 функция v(b, s)
отрицательна, а при s < −s0 положительна. Заметим теперь, сравнивая
формулу (7.1.20) с формулой, положенной в основу определения z(t, ε),
что
p
|a1 |
z(t0 , ε) = −v0 (−ν1 , √ t0 ),
ε
где функция v0 (b, s) обладает перечисленными выше для функции v(b, s)
свойствами. При этом, конечно, предполагается, что ν1 достаточно близко слева к целому неотрицательному числу. Тем самым показано, что
при малых ε функция z(t0 , ε) положительна.
Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что числа νi
(i = 1, . . . , n) достаточно близки к целым неотрицательным числам, не
превосходя последних.
Для следующих рассуждений нам удобно будет использовать формулу
ẋ22 (t0 , ε) ẋ21 (t0 , ε)
1
−
=
,
(7.3.19)
x22 (t0 , ε) x21 (t0 , ε) x21 (t0 , ε)x22 (t0 , ε)
вытекающую из тождества (7.3.12). Отсюда и из определения функций
x21 (t, ε) и x22 (t, ε) следует равенство
·
¸ ( ẋ21 (t0 ,ε)
n2 четно или n2 ≤ 0,
ẋ21 (t0 , ε) ẋ22 (t0 , ε)
x21 (t0 ,ε) ,
max
,
=
0
ẋ22 (t ,ε)
x21 (t0 , ε) x22 (t0 , ε)
n2 нечетно и n2 > 0.
x22 (t0 ,ε) ,
(7.3.20)
0
Обозначим левую часть последнего равенства через u(t , ε). Для завершения доказательства неравенства (7.3.16) достаточно установить, что
при малых ε функция u(t0 , ε) отрицательна. На основании (7.3.20) в
этом нетрудно убедиться, если заметить, что
p
|a2 |
u(t0 , ε) = −v1 (−ν2 , √ t0 ),
ε
где v1 (b, s)– некоторая функция, по отношению к которой справедливы выводы, полученные для ранее изучавшейся функции v(b, s). Поскольку, как мы уже упоминали на этом этапе, v(b, s) положительна при s < −s0 (s0 – некоторое фиксированное число), то, очевидно,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 7. Предельные значения собственных чисел...
148
√
|a |
v1 (−ν2 , − √ε2 t0 ) > 0, когда ε достаточно мало. Таким образом, неравенство (7.3.16) доказано.
4. Свойства решений уравнения (7.3.3). Третий этап.
Здесь мы покажем, что функция x0 (t, ε) обращается в нуль ровно
k1 раз на отрезке [α, t2 − t0 ], когда ε достаточно мало. Этот результат
будет следовать из того, что функция x0 (t, ε) не обращается в нуль на
отрезках [α, t1 − t0 ] и [t1 + t2 , t2 − t0 ], а также из того, что она имеет
k1 нулей на промежутке ∆1 (t0 ). Для обоснования сформулированного
утверждения воспользуемся той частью доказательства леммы 7.1.1, в
которой показывается, что решения уравнения (7.1.4) не осциллируют
на определенных выше отрезках ∆1 (t0 ) и ∆2 (t0 ). Это же доказательство
целиком, без изменений, переносится на рассматриваемый здесь случай,
только роль отрезков ∆1 (t0 ) и ∆2 (t0 ) будут теперь играть соответственно
отрезки
h ¡
¢ 1 ¡
¢¡
¢ 1i
∗
−1 − 2
−1 − 2
e
∆1 (ε) = α ε|ṗ(t1 )|
, t1 − t(ε) ε|ṗ(t1 )|
,
(7.3.21)
∆∗1 (ε)
h¡
¢¡
¢ 1
¡
¢ 1i
−1 − 2
−1 − 2
e
= t1 + t(ε) ε|ṗ(t1 )|
, (t2 − t0 ) ε|ṗ(t1 )|
,
(7.3.22)
где через t1 − e
t обозначен крайний левый нуль функции x0 (t, ε) на от0
резке ∆1 (t ), а через t1 + e
t– соответственно крайний правый нуль этой
функции. Таким образом, убеждаемся в том, что x0 (t, ε) не имеет нулей
на отрезках [α, t1 + t0 ] и [t1 + t0 , t2 − t0 ], если ε достаточно мало.
5. Свойства решений уравнения (7.3.3). Четвертый этап.
Этот и последующий этапы будут посвящены обоснованию того факта, что существует такое ε0 > 0, для которого при всех ε ∈ (0, ε0 ) решение x0 (t, ε) дифференциального уравнения (7.3.3) на отрезке ∆2 (t0 )
имеет ровно k2 нулей.
Здесь будет разобран случай, когда n2 , входящее в одно из неравенств
(7.3.7), меньше или равно нулю. Отметим, что при этом функция x21 (t, ε)
(x21 (t, ε) ≡ x2 (t, ε)) положительна на отрезке ∆2 (t0 ), а функция x22 (t, ε)
один раз обращается в нуль в точке t2 при всех положительных ε. Как
следует из определения x22 (t, ε), производная этой функции в точке t2
положительна. Производная же функции x21 (t, ε) в точке t2 равна нулю.
Эти простые замечания будут использованы в дальнейшем при выводе
нужных неравенств.
Для доказательства сформулированного выше утверждения достаточно показать, что в точках t0 и t2 функция x0 (t, ε) имеет один и тот же
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 7.3.
Вспомогательное утверждение
149
знак, причем выполняется неравенство
x0 (t2 , ε)ẋ0 (t2 , ε) > 0.
(7.3.23)
Действительно, из сказанного следует, что на отрезке [t0 , t2 ] у рассматриваемой функции одного нуля быть не может, а наличие большего числа нулей исключается, благодаря теореме о разделении нулей решения
уравнения (7.3.3). На промежутке [t2 , t2 + t0 ] функция x0 (t, ε) в нуль обратиться не может в силу того, что имеет место представление
x0 (t, ε) = x0 (t2 , ε)x21 (t, ε) + x0 (t2 , ε)x22 (t, ε),
в котором оба слагаемые, стоящие в правой части, имеют один и тот же
знак на этом отрезке.
Проведем обоснование отмеченных неравенств. Соотношение
x0 (t0 , ε)x0 (t2 , ε) > 0
(7.3.24)
следует из формулы
·
¸
0
0
ẋ
(t
,
ε)
ẋ
(t
,
ε)
22
21
x0 (t0 , ε)x0 (t2 , ε) =
−
×
x22 (t0 , ε) x21 (t0 , ε)
¸
·
ẋ22 (t0 , ε) ẋ01 (t0 , ε) x21 (t2 , ε)
×
−
,
x22 (t0 , ε) x01 (t0 , ε) x21 (t0 , ε)
которая имеет место на основании (7.3.14). При этом мы учитываем, что
выполняется неравенство (7.3.16) и равенство (7.3.19), в котором правая
часть отрицательна при малых ε. Неравенство (7.3.21), в свою очередь,
следует из представления
·
¸
0
0
ẋ
(t
,
ε)
ẋ
(t
,
ε)
22
01
x0 (t2 , ε)ẋ0 (t2 , ε) = −
−
×
x22 (t0 , ε) x01 (t0 , ε)
·
¸
ẋ21 (t0 , ε) ẋ01 (t0 , ε)
1
×
−
,
x21 (t0 , ε) x01 (t0 , ε) x21 (t0 , ε)x22 (t0 , ε)
вытекающего из (7.3.14), и упоминающихся свойств входящих туда
функций. Таким образом, в случае, когда n2 ≤ 0, мы доказали, что на
отрезке [α, t2 + t0 ] функция x0 (t, ε) имеет ровно k1 + k2 нулей.
На этом же этапе установим еще один факт. Обозначим через x∗2 (t, ε)
решение дифференциального уравнения (7.3.3), совпадающее на отрезке
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
150
ГЛАВА 7. Предельные значения собственных чисел...
∆2 (t0 ) с функцией x21 (t, ε). Предположим, что это решение первый раз
на отрезке [t2 + t0 , β] обращается в нуль в некоторой точке t∗ (ε). Тогда
выполняется неравенство
t1 (ε) ≥ t∗ (ε),
(7.3.25)
где через t1 (ε) обозначен наименьший нуль, если таковой вообще существует, функции x0 (t, ε) на отрезке [t2 − t0 , β]. Если же на рассматриваемом отрезке функция x∗2 (t, ε) в нуль не обращается, тогда и функция
x0 (t, ε) сохраняет знак на том же отрезке.
Для обоснования этого факта введем в рассмотрение функции
ẋ0 (t, ε)
,
x0 (t, ε)
(t ∈ [t2 − t0 , β])
ẋ∗2 (t, ε)
z (t, ε) = − ∗
,
x2 (t, ε)
(t ∈ [t2 − t0 , β]).
z0 (t, ε) = −
и соответственно
∗
Напомним, что везде на этом этапе предполагается выполненным неравенство n2 ≤ 0. Заметим, далее, что обе функции z0 (t, ε) и z ∗ (t, ε) являются решениями на отрезке [t2 − t0 , β] дифференциального уравнения
Риккати
2q0 (t) − pe0 (t) pe0 (t)
εż = εz 2 +
−
.
(7.3.26)
2
4ε
Из неравенства (7.3.21) вытекает соотношение
z0 (t2 , ε) < 0,
а из определения функций x∗2 (t, ε) и z ∗ (t, ε) следует, что в точке t2 последняя функция обращается в нуль. Отсюда и в силу теоремы о монотонной
зависимости от начальных условий решений уравнения (7.3.26) делаем
следующий вывод:
z0 (t, ε) < z ∗ (t, ε)
при t ∈ [t2 − t0 , t∗ (ε)] или при t ∈ [t2 − t0 , β], если x∗2 (t, ε) не обращается
в нуль. Из последнего неравенства следует обоснование соотношения
(7.3.25).
6. Свойства решений уравнения (7.3.3). Пятый этап.
Покажем, что при малых ε функция x0 (t, ε) ровно k2 раз обращается в нуль на отрезке ∆2 (t0 ). На этом этапе мы рассматриваем только
случай, когда соответствующее из неравенств (7.3.7) выполняется для
положительного n2 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 7.3.
Вспомогательное утверждение
151
Обозначим через t21 (ε) и t22 (ε) крайние левые нули функций x21 (t, ε)
и x22 (t, ε) на промежутке ∆2 (t0 ). Для доказательства сформулированного
утверждения можно ограничиться лишь обоснованием неравенства
t1 (ε) ≥ max[t21 (ε), t22 (ε)].
(7.3.27)
Отметим, что все функции параметра ε, входящие в (7.3.27), при положительном n2 заведомо существуют, если только ε достаточно мало.
Существование еще ровно k2 −1 нулей у функции x0 (t, ε) на рассматриваемом отрезке будет гарантировано тем, что одна из функций x21 (t, ε) или
x22 (t, ε) имеет k2 + 1 нулей, а другая – k2 , а также теоремой о разделении
нулей решений уравнения (7.3.3).
Обоснование неравенства (7.3.27) будет завершено, если мы покажем,
что в точках t0 , t21 (ε) и t22 (ε) функция x0 (t, ε) имеет один и тот же знак.
Выпишем значения этой функции в точках:
¸
·
1
ẋ22 (t0 , ε) ẋ21 (t0 , ε)
0 0
=
−
,
x (t , ε) =
x22 (t0 , ε) x21 (t0 , ε)
x21 (t0 , ε)x22 (t0 , ε)
·
¸
0
0
ẋ
(t
,
ε)
x22 (t21 (ε), ε)
ẋ
(t
,
ε)
21
01
x0 (t21 (ε), ε) = −
−
x21 (t0 , ε) x01 (t0 , ε)
x22 (t0 , ε)
и наконец
·
¸
0
0
ẋ
(t
,
ε)
x21 (t22 (ε), ε)
ẋ
(t
,
ε)
22
01
x0 (t22 (ε), ε) =
−
.
x22 (t0 , ε) x01 (t0 , ε)
x21 (t0 , ε)
Отсюда доказательство того факта, что знак левых частей последних
трех равенств совпадает, завершается ссылкой на обоснованное выше
неравенство (7.3.16) и соотношения
½
> 0,
если n2 нечетно,
x21 (t0 , ε)x22 (t0 , ε)
< 0,
если n2 четно,
½
x22 (t21 (ε), ε) > 0,
если n2 нечетно,
0
< 0,
если n2 четно,
x22 (t , ε)
½
x21 (t22 (ε), ε) < 0,
если n2 нечетно,
> 0,
если n2 четно,
x21 (t0 , ε)
которые выполняются для малых ε.
Суммируя сказанное на последних трех этапах, приходим к выводу, что при достаточно малых ε функция x0 (t, ε) обращается в нуль на
отрезке [α, t2 + t0 ] ровно k1 + k2 раз.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
152
ГЛАВА 7. Предельные значения собственных чисел...
7. Свойства решений уравнения (7.3.3). Шестой этап.
Завершим доказательство леммы для дифференциального уравнения
(7.3.3).
Обозначим через x∗i (t, ε) (i = 1, . . . , n) решение уравнения (7.3.3),
которое совпадает соответственно с функциями xi (t, ε) на отрезке ∆i (t0 ).
Как мы уже показали, функция x∗1 (t, ε) (x∗1 (t, ε) ≡ x0 (t, ε)) на отрезке
[α, t2 + t0 ] имеет при малых ε ровно k1 + k2 нулей. При этом выполняется
неравенство (7.3.25), если n2 ≤ 0, и имеет место (7.3.27) в противном
случае. Последнее обстоятельство сыграет основную роль в дальнейших
рассуждениях.
Так же, как и при обосновании соответствующих свойств функции x∗1 (t, ε), можно доказать существование такого ε0 > 0, что при
всех ε ∈ (0, ε) функция x∗2 (t, ε) имеет ровно k2 + k3 нулей на отрезке
[t2 − t0 , t3 + t0 ]. В этом случае будут справедливы неравенства
t2 (ε) ≥ max(t31 (ε), t32 (ε)),
t2 (ε) ≥ t∗3 (ε),
если
если n3 > 0,
n3 ≤ 0.
Здесь через t2 (ε), t31 (ε) и t32 (ε) обозначены крайние левые нули функций
x∗2 (t, ε), x31 (t, ε), x32 (t, ε) на отрезке [t3 − t0 , t3 + t0 ], а точка t∗3 (ε) такова,
что в ней функция x∗3 (t, ε) обращается в нуль первый раз на отрезке
[t3 − t0 , β] в случае, когда n3 ≤ 0. Если же в последнем случае x∗3 (t, ε) не
меняет знак на промежутке [t3 − t0 , β], то на этом отрезке нет нулей и у
функции x∗2 (t, ε). Поскольку нули всех решений разделены, то из (7.3.25)
и (7.3.27) следует, что функция x∗1 (t, ε) имеет при достаточно малых ε
ровно k1 + k2 + k3 нулей на отрезке [α, t3 + t0 ].
Рассуждая дальше аналогично, придем к тому, что функция x∗1 (t, ε)
имеет ровно k0 − 1 нулей на отрезке [α, β], когда ε достаточно мало.
Отсюда вытекает, что наибольшее число нулей, которое могут иметь решения рассматриваемого уравнения, не превосходит k0 . Тем самым доказательство леммы для дифференциального уравнения (7.3.3) полностью
завершено.
8. Обоснование неравенства (7.3.8).
Последнее, что нам осталось установить для обоснования леммы в
общем случае, является неравенство (7.3.8).
Фиксируем такое t0 > 0, чтобы на отрезках ∆i (t0 ) (i = 1, . . . , n) выполнялось неравенство
·
¸
2q(t) − ṗ(t) p2 (t)
max
−
≤
2
4ε
t∈∆i (t0 )
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 7.3.
Вспомогательное утверждение
153
2[q(ti ) + gi ] − [ṗ(ti ) + di ] [ṗ(ti ) + di ]2 (t − ti )
−
.
(7.3.28)
2
4ε
В (7.3.28) числа gi и di (i = 1, . . . , n) выбраны так, что имеют место
неравенства
di
|di |
<
ṗ(ti )
(7.3.29)
2
|di |
и
di
gi − > 0.
(7.3.30)
2
Ясно, что для каждых di и gi (i = 1, . . . , n), обладающих отмеченными
в (7.3.29) и (7.3.30) свойствами, можно указать такое число t0 > 0, не
зависящее от ε, чтобы выполнялось неравенство (7.3.28).
Положим затем
≤
ai = ṗ(ti ) + di ,
i = 1, . . . , n,
bi = q(ti ) + gi ,
i = 1, . . . , n.
Тем самым определены числа νi (i = 1, . . . , n). Отметим, наконец, что
за счет подходящего выбора чисел di и gi можно сделать так, чтобы
выполнялись соотношения
ν01
νi − 1 <
< νi < n i ,
|ṗ(ti )|
когда целые числа ni положительны и
ν0i
< νi < 0
|ṗ(ti )|
при неположительных ni . При этом можно добиваться какой угодно близости νi к числу, занимающему крайнее правое место в соответствующем
из последних двух неравенств. Это замечание важно, поскольку на примере уравнения (7.3.3) лемма доказана лишь в предположении, что νi
достаточно близки к целым неотрицательным числам.
Нам осталось определить в (7.3.4) – (7.3.6) только число a0 . Введем
его следующим образом:
[
a0 = min |p(t)| − d0 , (t ∈ [α, β], t∈ ∆i (t0 )),
i
где положительное число d0 выбрано так, чтобы выполнялось неравенство
a0 > 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
154
ГЛАВА 7. Предельные значения собственных чисел...
Нетрудно показать, что при достаточно
малых ε неравенство (7.3.8)
S
имеет место и для всех t ∈ [α, β], t∈ i ∆i (t0 ). Тем самым неравенство
(7.3.8) доказано. Отсюда следует завершение обоснования леммы в общем случае.
§ 7.4. Обоснование теоремы 7.1.1
Покажем сначала, что для каждого j (j = 1, 2, . . . ) собственное число
λj (ε) ограничено при стремлении ε к нулю. Предположим противное, т.е.
будем считать, что существует такой номер j и такая последовательность
εm → 0, на которой выполняется одно из следующих равенств:
lim λj (εm ) = ∞
(7.4.1)
lim λj (εm ) = −∞.
(7.4.2)
m→∞
или
m→∞
Пусть, например, имеет место (7.4.1). Введем в рассмотрение дифференциальное уравнение
εm ẍ + p(t)ẋ + [q(t) − λj (εm )]x = 0.
(7.4.3)
С помощью замены (7.1.6) это уравнение преобразуется в уравнение
¸
·
2q(t) − 2λj (εm ) − ṗ(t) p2 (t)
y = 0.
(7.4.4)
εm ÿ +
−
2
4εm
Из последнего утверждения видно, что при всех m, для которых
·
¸
ṗ(t)
λj (εm ) > max q(t) −
,
2
t∈[α,β]
решения (7.4.4) не осциллируют на отрезке [α, β]. Но в то же время, как
следует из определения λj (ε), у уравнения (7.4.4) должно существовать
решение


Zt
1
yj (t, εm ) = xj (t, εm ) exp 
p(τ )dτ  ,
2εm
α
имеющее на рассматриваемом отрезке не менее двух нулей. Таким образом, мы пришли к противоречию. Отсюда вытекает, что предельное
равенство (7.4.1) не имеет места.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 7.4.
Обоснование теоремы 7.1.1
155
Предположим затем, что выполняется равенство (7.4.2). Из доказательства предыдущей леммы следует, что при этом справедливо следующее утверждение: для любого целого k > 2 существует такое ε0 > 0, при
котором для всех εm ∈ (0, ε0 ) найдется решение уравнения (7.4.4), имеющее не менее k нулей. Тем самым показано, что число нулей, которое
могут иметь решения этого уравнения на отрезке [α, β], возрастает до
бесконечности при стремлении ε к нулю. Собственная функция xj (t, ε),
а, значит, и yj (t, ε), имеет при всех положительных ε ровно j + 1 нулей
на [α, β]. Отсюда приходим к противоречию. Следовательно, равенство
(7.4.2) тоже не имеет места.
Доказательство результата (7.1.3) проведем, вновь рассуждая от противного. Предположим, что существует такой номер j и такая последовательность εm → 0, для которой справедливо равенство
lim λj (εm ) = λj + δ,
m→∞
причем δ 6= 0. Рассмотрим отдельно случаи, когда
δ>0
(7.4.5)
δ < 0.
(7.4.6)
и когда
Сначала разберем случай (7.4.5). Введем в рассмотрение дифференциальное уравнение
·
µ
¶¸
δ
εm ẍ + p(t)ẋ + q(t) − λj +
x = 0.
(7.4.7)
2
Из определения числа λj и из утверждений леммы 7.3.1 следует, что
при малых εm наибольшее число нулей, которое могут иметь решения
уравнения (7.4.7) на отрезке [α, β], не превосходит j. Очевидно, такой же
вывод справедлив и для решений дифференциального уравнения (7.4.3),
когда εm достаточно мало. Однако, собственная функция xj (t, ε), как мы
уже отмечали, имеет на том же отрезке точно j + 1 нулей. Получено
противоречие. Тем самым показано, что неравенство (7.4.5) выполняться
не может.
Предположим тогда, что выполняется соотношение (7.4.6). В этом
случае дифференциальное уравнение (7.4.7) имеет решение, которое обращается в нуль на интервале (α, β) не менее j + 1 раз, если εm достаточно мало. То же можно сказать и об уравнении (7.4.3). Тем не менее,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
156
ГЛАВА 7. Предельные значения собственных чисел...
функция xj (t, ε) только в j − 1 точках интервала (α, β) принимает значение, равное нулю. Доказательство того факта, что неравенство (7.4.6)
не имеет места, получим, если вновь воспользуемся теоремой о разделении нулей решений уравнения (7.4.3). Таким образом, теорема 7.1.1
полностью доказана.
§ 7.5. Обобщение результата
В этом пункте мы сформулируем сначала несколько более общее утверждение, обоснование которого будет следовать из доказательства леммы
7.3.1 и теоремы 7.1.1.
Как и ранее, обозначим через t1 , . . . , tn все нули функции p(t), принадлежащие интервалу (α, β). Основное отличие настоящего пункта от
разобранного выше случая состоит в том, что здесь мы допускаем существование у этой функции нулей в одном или обоих концах отрезка
[α, β].
Предположим, что p(α) = 0. Величины νiα (i = 0, 1, . . . ) введем по
следующему правилу:
·
¸
|ṗ(α)| + ṗ(α)
α
νi = q(α) −
− |ṗ(α)|(1 + 2i).
2
В случае, когда p(β) = 0, положим
·
¸
|ṗ(β)| + ṗ(β)
β
νi = q(β) −
− |ṗ(β)|(1 + 2i).
2
Наконец, числа νik (i = 0, 1, . . . ; k = 1, . . . , n) определим, как и ранее,
формулами (7.1.2). Затем все числа вида νiα , νiβ , если они определены,
а также величины νik (i = 0, 1, . . . ; k = 1, . . . , n) расположим в ряд в
порядке убывания. Через λj (j = 1, 2, . . . ) обозначим соответственно jый член этого ряда. Тогда имеют место предельные равенства
lim λj (ε) = λj ,
ε→0
j = 1, 2, . . . .
Выше мы всегда предполагали, что все нули функции p(t) простые.
Пределы собственных значений рассматриваемой краевой задачи можно
вычислить и тогда, когда у функции p(t) есть кратные нули. Покажем,
как это можно сделать. Предположим, что функция p(t) имеет лишь конечное число t1 , . . . , tn простых нулей на отрезке [α, β] и, кроме того, эта
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 7.5.
Обобщение результата
157
функция обращается в нуль вместе со своей производной на некотором
множестве точек M ⊂ [α, β].
Положим
ν0 = max q(t), t ∈ M.
Будем затем рассматривать только те из чисел νik (i = 0, 1, . . . ;
k = 1, . . . , n), для которых выполнено неравенство
ν0 < νik .
Отметим, что при tk ∈ (α, β) соответствующие νik (i = 0, 1, . . . ) определяются формулой (7.1.2), а в случае, когда tk совпадает с одним из концов
отрезка [α, β], считаем, что для каждого номера i = 0, 1, . . .
½ α
νi ,
если tk = α,
νik =
β
νi ,
если tk = β.
Расположим теперь такие числа νik в ряд в порядке убывания. Очевидно, число членов этого ряда конечно. Пусть оно равно N . Обозначим
через λj (j = 1, . . . , N ) соответственно j–ый член полученного ряда.
Теорема 7.5.1. Имеют место следующие предельные равенства:
lim λj (ε) = λj ,
ε→0
lim λj (ε) = ν0 ,
ε→0
j = 1, . . . , N.
j = N + 1, N + 2, . . . .
Сначала докажем ряд вспомогательных утверждений. Рассмотрим
дифференциальное уравнение (7.1.4). Пусть функция p(t) обращается в
нуль только в точках некоторого множества M0 ⊂ [α, β], причем все нули кратные. Тогда имеют место следующие утверждения, которые будут
играть основную роль при доказательстве теоремы 7.5.1.
Лемма 7.5.1. Существует такое ε0 > 0, при котором для всех
ε ∈ (0, ε0 ) решения уравнения (7.1.4) не осциллируют на отрезке [α, β],
если
ν0 = max q(t) < 0, t ∈ M0 .
Лемма 7.5.2. Пусть ν0 > 0. Тогда для любого натурального k
существует такое εk > 0, при котором для всех ε ∈ (0, εk ) найдется решение уравнения (7.1.4), имеющее не менее k нулей на отрезке
[α, β].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
158
ГЛАВА 7. Предельные значения собственных чисел...
Доказательство. Сначала докажем лемму 7.5.1. Ясно, что достаточно
доказать неосцилляцию решений уравнения (7.3.2), получающегося из
(7.1.4) с помощью замены (7.1.6). Фиксируем такое замкнутое множество
M1 ⊂ [α, β], чтобы выполнялось равенство
¸
·
1
(7.5.1)
max q(t) − ṗ(t) < 0, t ∈ M1 ,
2
причем M1 ⊃ M0 выберем так, чтобы каждая точка множества M0 , исключая, может быть, лишь точки α и β, являлась внутренней точкой M1 .
Отметим, что этого всегда можно достигнуть, поскольку q(t) ≤ ν0 < 0 и
ṗ(t) = 0 при t ∈ M0 . Лемма 7.5.1 будет доказана, если мы покажем, что
1 2
p (t)] отрицательна, когда ε мало. Для этого
функция [q(t) − 21 ṗ(t) − 4ε
достаточно установить, что наряду с (7.5.1) имеет место неравенство
·
¸
1
2
max 4ε(q(t) − ṗ(t)) − p (t) < 0, t ∈ [α, β], t∈M1 .
2
Последнее неравенство выполняется при достаточно малых ε очевидным
образом. Лемма 7.5.1 доказана.
Доказательство леммы 7.5.2. Пусть для некоторой точки t0 ∈ M0
имеем
q(t0 ) = ν0 > 0.
Без потери общности можно считать, что t0 = 0. В уравнении (7.3.2)
произведем замену времени
√
t = ετ.
Тогда это уравнение можно представить в виде
ẍ + [ν0 + ω(τ, ε)]x = 0,
(7.5.2)
где непрерывная функция ω(τ, ε) стремится к нулю при стремлении ε к
нулю равномерно по τ из каждого конечного промежутка. Рассмотрим
более простое уравнение
ü + ν0 u = 0.
(7.5.3)
√
Одним из решений последнего уравнения является функция cos( ν0 τ ).
Для каждого номера k (k = 1, 2, . . . ) можно указать такой отрезок
√
[−τk , τk ], на котором функция cos( ν0 τ ) имела не менее k нулей. Если один из концов отрезка [α, β] совпадает с точкой t0 = 0, то вместо
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 7.5.
Обобщение результата
159
отрезка [−τk , τk ] следует выбрать отрезок [0, 2τk ], либо [−2τk , 0]. Далее
будем рассматривать только те значения параметра ε, для которых
√
√
[α, β] ⊃ [− ετk , ετk ]
√
(или [α, β] ⊃ [0, 2 ετk ]
√
или [α, β] ⊃ [−2 ετk , 0]).
Тогда на последнем отрезке определены коэффициенты уравнения (7.5.2),
которые на нем равномерно сходятся к коэффициентам уравнения (7.5.3)
при ε → 0. Поэтому у (7.5.2), а значит, и у уравнения (7.1.4), при малых
ε существует решение, имеющее не менее k нулей на рассматриваемом
отрезке. Таким образом, лемма 7.5.2 доказана.
Нам потребуется еще одно промежуточное утверждение, относящееся
к уравнению (7.1.4). Пусть, как и ранее, t1 , . . . , tn – все те нули функции
p(t), в которых ṗ(t) отлична от нуля. Пусть выполняются неравенства
ν0 < 0,
ν0i
6= j,
|ṗ(ti )|
(7.5.4)
j = 0, 1, . . . ;
i = 1, . . . , n.
(7.5.5)
Обозначим через ∆i (i = 1, . . . , n) отрезки, принадлежащие [α, β], с центром соответственно в точках ti (i = 1, . . . , n). Будем считать эти отрезки
выбранными так, что в каждом из них находится лишь один нуль функции p(t). Из леммы 7.1.1 тогда следует, что наименьшее число нулей,
которое могут иметь решения уравнения (7.1.4) на ∆i , не зависит от ε,
когда ε достаточно мало. Обозначим такое число, как и ранее, через ki .
Лемма 7.5.3. Пусть выполняются неравенства (7.5.4) и (7.5.5).
Тогда существует такое ε0 > 0, что для всех ε ∈ (0, ε0 ) найдется
решение уравнения (7.1.4), имеющее на [α, β] ровно k0 нулей, где
k0 = 1 +
n
X
ki .
i=1
При этом любое другое решение того же уравнения обращается в
нуль не более k0 раз.
Доказательство этой леммы, а также завершение обоснования теоремы 7.5.1, проводятся аналогично доказательству соответственно леммы
7.3.1 и рассуждениям пункта 8 §7.3, поэтому мы их здесь не приводим.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 8
Асимптотика собственных
чисел первой краевой задачи
для сингулярно возмущенного
дифференциального уравнения
второго порядка с точками
поворота
В настоящей главе, тесно примыкающей к предыдущей, продолжается изучение свойств дифференциальных уравнений второго порядка с
точками поворота.
§ 8.1. Постановка задачи и формулировка
результата
1. На отрезке [α, β] рассматривается линейное дифференциальное уравнение
εẍ + p(t)ẋ + q(t)x = λx
(8.1.1)
с малым положительным параметром ε. Будем считать, что коэффициенты p(t) и q(t) дифференцируемы бесконечное число раз. Основное же
предположение состоит в том, что функция p(t) имеет n простых нулей в точках t1 , . . . , tn , принадлежащих интервалу (α, β). Для уравнения (8.1.1) на отрезке [α, β] ставится первая краевая задача. Напомним,
160
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 8.1.
Постановка задачи и формулировка результата
161
что эта задача имеет счетное число простых вещественных собственных чисел λj (ε) (j = 1, 2, . . . ), которые можно считать занумерованными в порядке убывания. Ранее было установлено, что при стремлении
ε к нулю существуют пределы собственных чисел λj (ε) (j = 1, 2, . . . ),
и были вычислены соответствующие предельные значения для каждого собственного числа. В настоящей главе будет показано, что функции
λj (ε) переменного ε бесконечно дифференцируемы в точке ε = +0. Кроме этого, будет дан алгоритм вычисления значений производных этих
функций.
Введем в рассмотрение числа
νik = [q(tk ) −
|ṗ(tk )| + ṗ(tk )
− |ṗ(tk )|i,
2
i = 0, 1, . . . ;
k = 1, . . . , n. (8.1.2)
Расположим их в порядке убывания. Через λj обозначим j- ый коэффициент полученного ряда. В главе 7 было показано, что имеют место
предельные равенства
lim λj (ε) = λj ,
ε→0
j = 1, 2, . . . .
(8.1.3)
Теорема 8.1.1. Имеют место асимптотические представления
λj (ε) = λj + ελ1j + ε2 λ2j + . . . ,
j = 1, 2, . . . .
(8.1.4)
В (8.1.4) λrj (j = 1, 2, . . . ; r = 1, 2, . . . )– некоторые числа, алгоритм
вычисления которых приводится ниже.
Предположим, что для некоторых номеров j0 и m1 выполняются соотношения
h1 = λj0 = · · · = λj0 +m1 −1 ,
(8.1.5)
λj0 −1 > h1 > λj0 +m1 ,
(8.1.6)
где положено λ0 = ∞. Очевидно, что целое положительное число m1 не
может превзойти числа n. Из определения чисел λj и из (8.1.5) следуют
равенства
h1 = νi1 k1 = · · · = νim1 km1 .
Прежде всего введем в рассмотрение функции
·
¸
1
ṗ(t + tkr )
1
ϕ(t, ε) =
q(t + tkr ) − h1 − ṗ(t + tkr ) −
,
|ṗ(tkr )|
2
4ε|ṗ(tkr )|
r = 1, . . . , m1 .
(8.1.7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
162
ГЛАВА 8.
Асимптотика собственных чисел первой краевой . . .
Из свойств функций p(t) и q(t) следует, что в окрестности каждой из
точек tkr (r = 1, . . . , m1 ) справедливо асимптотическое представление
ϕ(t, ε) =
∞
X
ari (ε)ti ,
(8.1.8)
i=0
где коэффициенты ari (ε) легко вычисляются по значениям в точке t = 0
соответствующих производных функций q(t + tkr ) и p(t + tkr ). Отметим,
что имеют место равенства
ar0 =
1
+ ir ,
2
r = 1, . . . , m1 ,
(8.1.9)
1
lim εar2 (ε) = − , r = 1, . . . , m1 .
(8.1.10)
ε→0
4
Основную роль при реализации алгоритма вычисления коэффициентов ряда (8.1.4) играют функции
fr (τ, ε) = ψ̇r2 (τ, ε)ϕr [ψr (τ, ε), ε]+
Ã
!
ε d ψ̈r (τ, ε)
εψ̈r2 (τ, ε)
+
−
, r = 1, . . . , m1 .
2 dτ ψ̇r (τ, ε)
4ψ̇r2 (τ, ε)
(8.1.11)
Поясним значение величин, входящих в (8.1.11). Через ψr (τ, ε) обозначен
формальный ряд
∞
X
ψr (τ, ε) =
cri (ε)τ i ,
(8.1.12)
i=1
где коэффициенты cri (ε), в свою очередь, также являются формальными
рядами вида
∞
X
r
ci (ε) =
εj crij .
(8.1.13)
j=0
Ниже будет изложено правило, с помощью которого определятся коэффициенты последнего ряда. Функция ϕr [ψr (τ, ε), ε] получается путем
формальной подстановки (8.1.12) вместо переменной t в представлении
(8.1.8).
Определим сначала несколько коэффициентов из (8.1.13). А именно,
будем считать, что
cr10 = 1, r = 1, . . . , m1 .
(8.1.14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 8.1.
Постановка задачи и формулировка результата
163
Равенства (8.1.14) дают нам возможность представить функции (8.1.11)
в виде формального ряда по степеням переменной τ . Тем самым, приняв
во внимание (8.1.9), (8.1.10) и (8.1.14), имеем
∞
1
τ2 X r
fr (τ, ε) = + ir −
+
di (ε)τ i .
2
4ε i=0
(8.1.15)
Коэффициенты рядов (8.1.13) будем искать методом неопределенных
коэффициентов, исходя из тождеств
dri (ε) ≡ 0,
i = 2, 3, . . . ; r = 1, . . . , m1 .
(8.1.16)
Как будет показано ниже, отсюда числа crij однозначно определяются.
Приступим, наконец, непосредственно к определению коэффициентов
рядов (8.1.4). Предварительно введем еще одно обозначение. Положим
gr (ε) = dr0 (ε) + ε(dr1 (ε))2 ,
r = 1, . . . , m1 .
(8.1.17)
Из свойств функций, входящих в определение gr (ε), следует, что справедливо представление
gr (ε) =
∞
X
εi gir ,
r = 1, . . . , m1 .
(8.1.18)
i=1
Отметим, что ряд (8.1.18), как и все предыдущие ряды, является формальным.
После этого описание алгоритма завершается без труда. Сначала покажем, как определить числа λ1j+i (i = 0, . . . , m1 − 1). Расположим числа
g1r (r = 1, . . . , m1 ) в ряд в порядке убывания. Через λ1j0 +i (i = 0, . . . , m1 −1)
обозначим соответственно (i + 1)- ый член полученного ряда.
Для определения остальных коэффициентов рядов (8.1.4) поступаем
следующим образом. Предположим, что наряду с (8.1.5) и (8.1.6) выполняются соотношения
hi = λij0 +ri = · · · = λij0 +mi −1 ,
λij00 +ri
−1
0
i = 1, . . . , i0 ,
> hi0 > λij00 +mi .
0
Отметим, что имеют место неравенства
ri−1 ≤ ri ≤ mi ≤ mi−1 .
(8.1.19)
(8.1.20)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
164
ГЛАВА 8.
Асимптотика собственных чисел первой краевой . . .
На заключительной стадии поступаем, как и ранее. Расположим в ряд
в порядке убывания числа gj0 +ri0 +i (i = 0, . . . , m1 − 1). Положим затем
λij00 +ri +i равным соответственно (i + 1)-ому коэффициенту этого ряда.
0
Таким образом, описание алгоритма завершено.
Выпишем в качестве примера значения чисел λ1j и λ2j (j = 1, 2, . . . ).
Основную трудность представляет здесь вычисление коэффициентов
ряда (8.1.18). Приведем здесь значения первых двух членов этого ряда. Предварительно введем для краткости записи несколько обозначений. Поскольку вычисления носят независимый характер, то индекс r
в (8.1.18), (8.1.12) и (8.1.13) мы в некоторых случаях будем опускать.
Положим, далее,
·
¸
1
1 (i+1)
(i)
bi =
q (tir ) − p
(tir ) , i = 1, 2, . . . ,
|ṗ(tir )|
2
а через ai обозначим значение i-ой производной функции
p2 (t + tir )
(t − tir )2 |ṗ(tir )|2
в точке t = tir .
Для чисел dr0 (ε) и dr1 (ε), фигурирующих в (8.1.17), имеют место формулы (в которых опущен индекс r)
¶
µ
¶
µ
c1 (ε)c3 (ε) − c22 (ε)
1
1
2
+ ir c1 (ε) + 3ε
−
+ ir ,
d0 (ε) =
2
c21 (ε)
2
d1 (ε) = b1 c31 (ε) + 2c1 (ε)c2 (ε) + 4ir c1 (ε)c2 (ε)+
¢
12ε ¡ 2
+ 3
c1 (ε)c4 (ε) − 2c1 (ε)c2 (ε)c3 (ε) + c32 (ε) .
c1 (ε)
Таким образом, первые два коэффициента ряда (8.1.18) представим в
следующем виде:
g1 = (1 + 2ir )c11 + b1 + (2 + 4ir )c20 + 3c30 − 3c220 ,
¶
µ
1
+ ir c211 − 3c11 c30 + 3c31 − 6c20 c21 +
g2 = (1 + 2ir )c12 +
2
+c20 c11 + 6b1 c11 + 4c11 c20 + 4c21 + 8ir c11 c20 + 8ir c21 +
+24c40 − 48c20 c30 + 24c320 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 8.1.
Постановка задачи и формулировка результата
165
Производя соответствующие вычисления, получим такие значения интересующих нас величин:
¤
a2
1 £ 2
, c30 =
a2 − 3a3 ,
3
12
·
¸
a2 4
7
59 2
=
a2 + a3 − a2 ,
10 3
2
18
c20 = −
c40
c50 = −
1 £ 2
22c30 + 26a22 c220 + a3 + 20a3 c30 + 18a2 a3 c20 +
12
42c20 c40 + 50a2 c320 + 88a2 c20 c30 + 40a3 c220 + 10a4 c20 +
¤
4c420 + 22a2 c40 + 10a22 c30 + 2a2 a4 + 2a5 + 46c220 c30 ,
c11 =
¤
4£ 2
2c20 + 4ir c220 + 6ir c30 + 5b1 c20 + b2 ,
3
2
[6c20 c30 + 4c40 + 12ir c20 c30 + 8ir c40 + 7b1 c30 +
3
¸
5
9
8b1 c220 + 6b2 c20 + b3 − a2 c11 − c11 c20 ,
2
2
·
1 9 2
=
c30 + 8c20 c40 + 5c50 + 9ir c230 + 16ir c20 c40 +
2 2
c21 =
c31
10ir c50 + 9b1 c40 + 13b2 c220 + 8b2 c30 + 7b3 c20 +
22b1 c20 c30 + b4 + 4b1 c320 −
13
13
c11 c20 − c21 −
2
2
¸
7
3 2
a2 c21 − 14a2 c11 c20 − a2 c11 − 3a3 c11 − 6c11 c30 ,
2
2
c12 =
4
[4c20 c21 + 4ir c20 c21 + 3c11 c30 + 3c31 + 6ir c11 c30 +
3
3
6ir c31 + 5b1 c21 + 10b1 c11 c20 + 4b2 c11 − c211 + 30c50 −
4
¤
60c20 c40 − 36c230 + 102c220 c30 − 36c420 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
166
ГЛАВА 8.
Асимптотика собственных чисел первой краевой . . .
§ 8.2. Вспомогательные утверждения
В этом параграфе мы докажем промежуточные утверждения, которые
будут играть основную роль при доказательстве теоремы 8.1.1. Сначала
введем необходимые обозначения. Рассмотрим дифференциальное уравнение
εẍ + p(t)ẋ + q(t)x = 0.
(8.2.1)
В предыдущей главе подсчитано наибольшее число нулей, которое могут
иметь решения этого уравнения на отрезке [α, β], когда ε достаточно
мало, и выполнены неравенства
ν0k
6= j,
|ṗ(tk )|
j = 0, 1, . . . ,
k = 1, . . . , n.
(8.2.2)
Покажем, как можно определить такое число нулей, когда для некоторых
номеров k (1 ≤ k ≤ n) неравенство (8.2.2) не имеет места.
Рассмотрим сначала частный случай. Предположим, что функция p(t)
лишь один раз на [α, β] обращается в нуль в точке t1 ∈ (α, β). По правилу, изложенному в §8.1, вычислим числа gi1 (i = 1, 2, . . . , r), фигурирующие в (8.1.18). Пусть имеют место соотношения
ν01
= p,
|ṗ(t1 )|
p−
gi1 = 0,
целое неотрицательное,
(8.2.3)
i = 1, . . . , r − 1,
(8.2.4)
gr1 6= 0.
(8.2.5)
Лемма 8.2.1. При условиях (8.2.3), (8.2.4) и (8.2.5) существует
такое ε0 > 0 и такое решение x0 (t, ε) уравнения (8.2.1), что при всех
ε ∈ (0, ε0 ) функция x0 (t, ε) обращается в нуль на отрезке [α, β] ровно
p + 1 раз, если
gr1 < 0
(8.2.6)
и имеет ровно p1 + 2 нулей, если
gr1 > 0.
(8.2.7)
При этом число нулей любого другого решения не превосходит числа
нулей функции x0 (t, ε).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 8.2.
Вспомогательные утверждения
167
Доказательство. Без потери общности можно считать, что α < 0 < β
и t1 = 0. В уравнении (8.2.1) произведем замену


Zt
1
x = y exp −
p(s)ds .
(8.2.8)
2ε|ṗ(0)|
α
В результате получим уравнение
εÿ + ϕ1 (t, ε)y = 0,
(8.2.9)
где ϕ1 (t, ε) определяется формулой (8.1.7). В первую очередь нас будет
интересовать поведение решений (8.2.9) в некоторой достаточно малой
окрестности нуля. По аналогии с рассуждениями, приведенными в главе 7, казалось бы естественным вместо рассмотрения свойств решений
уравнения (8.2.9) перейти к изучению близкого“ к (8.2.9) и в то же
”
время более простого уравнения
εÿ + [
l
X
ai (ε)ti ]y = 0,
(8.2.10)
i=1
в котором, по мере надобности, следовало бы распорядиться выбором
номера l > 0. Однако, в отличие от случая из предыдущей главы, исследование поведения решений уравнения (8.2.10) здесь затруднено тем,
что мы не знаем явного вида общего решения такого уравнения. Чтобы
устранить эту трудность, сначала произведем в уравнении (8.2.9) замену
времени
t = ψ1 (τ, ε),
(8.2.11)
где функция ψ1 (τ, ε) определяется формулами (8.1.12) и (8.1.13). Вопрос
о сходимости рядов, фигурирующих в определении ψ1 (τ, ε), нас интересовать не будет, поскольку в конечном итоге нам понадобятся лишь их
частичные суммы. После того, как мы по некоторому правилу определим
коэффициенты ci (ε) в (8.2.11), выберем число t0 > 0 так, чтобы замена
времени была обратимой на ∆(t0 ) = [−t0 , t0 ]. Итак, после преобразования
(8.2.11) получим уравнение
εÿ − ε
ψ̈1 (τ, ε)
ẏ + ψ̇12 (τ, ε)ϕ1 (ψ1 (τ, ε), ε)y = 0.
ψ̇1 (τ, ε)
В результате следующей замены
y=
(8.2.12)
q
ψ̇(τ, ε)z
(8.2.13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
168
ГЛАВА 8.
Асимптотика собственных чисел первой краевой . . .
от уравнения (8.2.12) перейдем к уравнению
εz̈ + f1 (τ, ε)z = 0,
(8.2.14)
где f1 (τ, ε) определяется формулой (8.1.11). Из свойств функций, фигурирующих в определении f1 (τ, ε), а также из (8.1.9), (8.1.14) и (8.1.15)
следует, что уравнение (8.2.14) можно записать в виде


l(r)
1
τ2 X
(8.2.15)
di (ε)τ i + ω(τ, ε) z = 0.
+
εz̈ +  + p −
2
4ε i=0
В (8.2.15) положено
l(r)
1
τ2 X
ω(τ, ε) = f1 (τ, ε) − − p +
−
di (ε)τ i ,
2
4ε i=0
(8.2.16)
а номер l(r) следует определить как наименьший из тех, для которых
lim τ (−2r−δ) ω(τ, ε) = 0,
τ →0
δ ∈ (0, 1).
(8.2.17)
Важную роль в приводимых ниже рассуждениях будет играть тот
факт, что для коэффициентов di (ε) (i = 2, . . . , l(r)) справедливо следующее представление
di (ε) =
γi
ai
ci−1 (ε) + + ω(ε, c1 (ε), . . . , cli (ε)).
ε
ε
(8.2.18)
Отметим, что при выводе (8.2.18) было учтено первое из равенств
(8.1.14). Поясним значения величин, входящих в (8.2.18). Прежде
всего отметим, что ни одно γi не обращается в нуль. Числа ai
(i = 3, . . . , l(r)) не зависят явно от ε и являются алгебраическими функциями c1 (ε), . . . , ci−2 (ε) (a2 = 0), а ωi (ε, c1 (ε), . . . , cli (ε)) содержат все
входящие туда параметры только как сомножители. Формулу (8.2.18)
нетрудно доказать, рассуждая по индукции.
Положим затем в (8.1.12) и (8.1.13)
c1i (ε) = 0,
c1ij = 0,
i = l(r) + 1, l(r) + 2, . . . ,
i = l(r) + 1, l(r) + 2, . . . ,
j = 0, 1, . . . .
(8.2.19)
(8.2.20)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 8.2.
Вспомогательные утверждения
169
Представление (8.2.18) и равенства (8.2.19) и (8.2.20) дают возможность
применить теорему о неявной функции для определения коэффициентов
ci (ε) (i = 1, . . . , l(r)) из уравнений
εdi (ε) = 0,
i = 2, . . . , l(r).
(8.2.21)
Ясно, что величины ci (ε) можно искать в виде (8.1.13) по методу неопределенных коэффициентов. Нам потребуется лишь знание первых r и r−1
коэффициентов d0 (ε) и d1 (ε) соответственно. Будем считать, что эти коэффициенты нами определены. Остальные члены рядов (8.1.13) положим
равными нулю.
Итак, функция ψ1 (τ, ε) определена. Теперь нужно выбрать число
t0 > 0, чтобы на отрезке ∆(t0 ) замена (8.2.11) была обратимой. Будем
пока изучать решения (8.2.1) лишь на этом отрезке.
В уравнении (8.2.15) произведем замену времени
√
τ = εξ,
(8.2.22)
в результате которой это уравнение запишется так:
·
¸
√
1
ξ2
z̈ +
+ p − + d0 (ε) + εd1 (ε)ξ + εr ω0 (ξ, ε) z = 0,
2
4
(8.2.23)
где непрерывная функция ω0 (ξ, ε) такова, что она стремится к нулю
при стремлении ε к нулю равномерно относительно ξ, удовлетворяющих
неравенству
|ξ| ≤ c| ln ε|,
(8.2.24)
в котором c – произвольное положительное число.
Приведем уравнение (8.2.23) к более удобному для нас виду. Для
этого воспользуемся преобразованием
µ 2
¶
√
ξ
z = u exp − + εd1 (ε)ξ .
(8.2.25)
4
В результате получим уравнение
£
¤
ü − su̇ + ε(d1 (ε))2 + d0 (ε) + p + ε2 ω1 (s, ε) u = 0,
в котором
√
s = ξ − 2 εd1 (ε),
¡
¢
√
ω1 (s, ε) = ω0 s + 2 εd1 (ε), ε .
(8.2.26)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
170
ГЛАВА 8.
Асимптотика собственных чисел первой краевой . . .
Из определения чисел gi1 (i = 0, . . . , r), а также из соотношений (8.2.4) и
(8.2.5) следует, что
g 1 (ε) = εr gr1 + O(εr+δ ),
δ ∈ (0, 1).
(8.2.27)
Используя последнее равенство, рассмотрим наряду с (8.2.26) более простое уравнение
ü − su̇ − b(ε)u = 0,
(8.2.28)
где положено для краткости
b(ε) = −p + b1 (ε),
b1 (ε) = −εr gr1 .
Линейно независимыми решениями уравнения (8.2.28) являются функции
ur (s, ε) = 1 +
∞
X
b(ε)(2 + b(ε)) . . . (2j − 2 + b(ε))
j=1
uH (s, ε) = s +
(8.2.29)
s2j+1 .
(8.2.30)
(2j)!
∞
X
(b(ε) + 1) . . . (b(ε) + 2j − 1)
j=1
s2j ,
(2j + 1)!
2. Предположим сначала, что выполнено неравенство (8.2.7). Покажем, что в этом случае у уравнения (8.2.26) существует решение, имеющее на рассматриваемом промежутке изменения s не менее p + 2 нулей,
когда ε достаточно мало.
Как ясно из предыдущей главы, одна из функций (8.2.29) или (8.2.30)
обращается в нуль на всей числовой прямой ровно p + 2 раз, а другая
p + 1 раз. Отметим, что в случае четного p функция ur (s, ε) будет иметь
p + 2 нулей, а при нечетном p решение uH (s, ε) будет обращаться в нуль
p + 2 раз. Обозначим через s0 (ε) наибольший из всех нулей функций
(8.2.29) и (8.2.30). Предположим, что справедлива оценка
s0 (ε) ≤ c| ln ε|,
(8.2.31)
где положительная постоянная c не зависит от ε, когда ε достаточно
мало. Будем, далее, рассматривать только те значения ε, при которых
h
i
1
1
−cε 2 | ln ε|, cε 2 | ln ε| ⊂ ∆τ (t0 ),
где
£
¤
∆τ (t0 ) = ψ1−1 (−t0 , ε), ψ1−1 (t0 , ε) .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 8.2.
Вспомогательные утверждения
171
h
i
1
1
Тогда на отрезке −cε 2 | ln ε|, cε 2 | ln ε| определены коэффициенты уравнения (8.2.26), которые на нем равномерно сходятся к коэффициентам
уравнения (8.2.28) при стремлении ε к нулю. Тем самым мы показали,
что при малых ε у уравнения (8.2.26) найдется решение, имеющее не
менее p + 2 нулей. Очевидно, что такой же вывод справедлив и для уравнения (8.2.1). Как ясно из главы 7, большего числа, чем p + 2, их быть
не может. Таким образом, при условии (8.2.7) лемма будет полностью
доказана, если мы обоснуем оценку (8.2.31).
Разберем случай, когда p четно. Соответствующее утверждение для
нечетного p доказывается аналогично, поэтому мы его приводить не будем.
При четном p число s0 (ε) является наибольшим нулем функции
ur (s, ε). Нам удобно эту функцию представить следующим образом:
·
sp+2
ur (s, ε) = D(s, ε) + b1 (ε)c(ε)
+
(p + 2)!
+
∞
X
(2 + b1 (ε)) . . . (2i − 2 + b1 (ε))
(p + 2i)!
i=2
#
sp+2i .
(8.2.32)
В (8.2.32) положено
p
D(s, ε) = 1 +
2
X
b(ε)(2 + b(ε)) . . . (2i − 2 + b(ε))
i=1
c(ε) =
(2i)!
s2i ,
b(ε)(b(ε) + 2) . . . (b(ε) + p − 2)
.
p!
Оценим затем функцию ur (s, ε) сверху и снизу через более простые
функции. В качестве таких функций возьмем функции, имеющие следующий вид
¡ ¢
u(s, ε, b) = Db (s, ε) + b1 (ε)c(ε) exp bs2 ,
где Db (s, ε) есть многочлен степени p, аналитически зависящий от ε.
Покажем, как можно определить такие числа b1 и b2 , что выполняются
соотношения
u(s, ε, b1 ) ≤ ur (s, ε) ≤ u(s, ε, b2 ),
s ∈ [0, ∞).
(8.2.33)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
172
ГЛАВА 8.
Асимптотика собственных чисел первой краевой . . .
Исходя из (8.2.32), существование таких b1 и b2 будет доказано, если
удастся для некоторых значений b1 и b2 установить неравенства
∞
X (2 + b1 (ε)) . . . (2i − 2 + b1 (ε))
¡
¢
sp+2
+
sp+2i ≤ exp b2 , s2
(p + 2)! i=2
(p + 2i)!
(8.2.34)
и
p
∞
X
(2 + b1 (ε)) . . . (2i − 2 + b1 (ε))
2
¡ 2¢ X
s
(b)i s2i
p+2i
+
s
≥ exp b, s −
.
(p + 2)! i=2
(p + 2i)!
i!
i=2
(8.2.35)
Неравенство (8.2.34) будет выполнено, например, при b2 = 1 и малых ε,
поскольку оно является следствием более грубого неравенства
p+2
¶
∞ µ
X
1
(2i)!!
s2i+p ≤ 0,
−
(p + 2i)! i!
i=0
которое легко установить, применив метод математической индукции. В
1
(8.2.35) можно положить b1 = (p+2i)!
, поскольку, заменив b1 (ε) на 1, будем
иметь оценку
∞
X
(2i − 1)!!
i=1
(p + 2i)!
2i+p
s
≥
∞
X
i= p2 +1
1
s2i .
i
i![(p + 2)!]
Таким образом, (8.2.33) будет иметь место, если b1 и b2 определить так:
½
b1 ,
если c(ε) < 0,
b1 =
b2 ,
если c(ε) > 0,
½
b2 =
b2 ,
b1 ,
если
если
c(ε) < 0,
c(ε) > 0,
а через Db1 (s, ε) и Db2 (s, ε) обозначить многочлены
Dbj (s, ε) = D(s, ε) + b1 (ε)c(ε)
p/2 i
X
bj
i=0
i!
s2i ,
j = 1, 2.
Заметим, что все функции, фигурирующие в неравенствах (8.2.33),
при стремлении s к бесконечности одновременно стремятся либо к ∞,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 8.2.
Вспомогательные утверждения
173
либо к −∞. На основании этого и из (8.2.33) следует, что значение s0 (ε)
не превосходит числа s0 (ε), являющегося наибольшим из всех нулей
функций u(s, ε, b1 ) и u(s, ε, b2 ). Покажем, что для некоторого c > 0 имеет
место неравенство
s0 (ε) ≤ c| ln ε|,
(8.2.36)
из которого, очевидно, будет следовать оценка (8.2.31). В точке s0 (ε)
имеем
¡
¢
Dbj (s0 (ε), ε) + b1 (ε)c(ε) exp bj (s0 (ε))2 = 0,
где либо j = 1, либо j = 2. Отсюда вытекает новое равенство
(s0 (ε))2 =
1
ln |Dbj (s0 (ε), ε)| − ln |b1 (ε)| − ln |c(ε)|.
bj
Оценка (8.2.31) непосредственно следует из последнего равенства. Итак,
лемма 8.2.1 при условии (8.2.7) доказана.
Пусть имеет место неравенство (8.2.6). Доказательство соответствующего утверждения проведем в три этапа.
Первый этап. На этом этапе мы обоснуем два неравенства, носящие
вспомогательный характер. Введем сначала в рассмотрение функцию
(
P b(ε)(2+b(ε))...(2i−2+b(ε)) 2i
s ,
если p четно,
1+ ∞
i=1
(2i)!
u(s, ε, g) =
P∞ (b(ε)+1)...(b(ε)+2i−1) 2i+1
s + i=1
s
,
если p нечетно,
(2i+1)!
(8.2.37)
где положено
−b(ε) = p + εr g.
(8.2.38)
Параметр g, фигурирующий в (8.2.38), таков, что g ∈ (gr1 , 0). Обозначим через s(g, ε) наибольший нуль (если таковые вообще существуют)
функции u(s, ε, g). Покажем, что имеет место неравенство
s(g, ε) ≤ c,
(8.2.39)
в котором c не зависит от ε. Отметим, что функция u(s, ε, g) является
решением дифференциального уравнения
ü − su̇ − b(ε)u = 0.
(8.2.40)
Отсюда следует, что функция
v(s, ε, g) =
s u̇(s, ε, g)
−
2 u(s, ε, g)
(8.2.41)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
174
ГЛАВА 8.
Асимптотика собственных чисел первой краевой . . .
есть решение уравнения Риккати
1
s2
v̇ = v + − b(ε) − .
2
4
2
(8.2.42)
Функция (8.2.41) изучалась в предыдущей главе. Используя полученные там результаты, легко показать, что непрерывная на интервале
(s(g, ε), ∞) функция v(s, ε, g) обращается в нуль в двух точках s(g, ε)
и s(g, ε), причем
lim s(g, ε) = ∞.
(8.2.43)
ε→0
Неравенство (8.2.39) будет установлено, если мы покажем, что для некоторого c > 0
s(g, ε) ≤ c.
Последнее неравенство вытекает непосредственно из (8.2.42) и того, что
v̇(s(g, ε), ε, g) > 0.
Установим, далее, справедливость оценки
s(g, ε) ≤ c0 | ln ε|.
(8.2.44)
Доказательство (8.2.44) проведем в предположении, что p четно. При
нечетном p доказательство проводится аналогично, поэтому мы его опустим.
Прежде всего отметим формулу
·
1
sw(s, ε) ≡ v(s, ε, g)u(s, ε, g) = s
− b(ε)−
2
µ
¶#
∞
X
b(ε)(2 + b(ε)) . . . (b(ε) + 2i − 2) 1 b(ε) − 1
+
.
(8.2.45)
−
(2i)!
2
2i
+
1
i=1
Очевидно, что все нули функции v(s, ε, g), кроме s = 0, и только они
являются в то же время нулями функции w(s, ε). Нам будет удобно работать с последней функцией. При доказательстве нужной оценки для
наибольшего нуля функции w(s, ε) поступаем так же, как и при доказательстве неравенства (8.2.31). Укажем такие положительные значения b1
и b2 , чтобы выполнялись соотношения
¡
¢
D1 (s, ε) + b1 (ε)c(ε) exp b1 s2 ≤ w(s, ε) ≤
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 8.2.
Вспомогательные утверждения
175
¡
¢
D2 (s, ε) + b1 (ε)c(ε) exp b2 s2 ,
(8.2.46)
где Di (s, ε) (i = 1, 2) некоторые многочлены, аналитически зависящие от
ε, явный вид которых нас не интересует. В (8.2.46) коэффициент c(ε)
таков, что
lim c(ε) = c0 6= 0.
ε→0
Неравенства (8.2.46) будут доказаны, если найдутся такие положительные b1 и b2 , при которых
µ
¶
i
∞
∞
X
X
b1 2i
(2i − p + b(ε)) . . . (2 − p + b(ε)) b(ε) − 1 1 2i
s ≤
+
s ,
i!
(2i)!
2i + 1
2
p
p
i= 2 +1
i= 2 +1
и
(8.2.47)
∞
X
(b2 )i 2i
w(s, ε) ≤
s ,
i!
p
(8.2.48)
i= 2 +1
где через w(s, ε) обозначена правая часть неравенства (8.2.47). Соотношение (8.2.47) будет иметь место, например, при b1 = (24(p + 2)!)−1 ,
поскольку,
∞
∞
X
1
1 X (2i − p − 1)!! 2i
w(s, ε) ≥
s ≥
s2i .
i
3 p
(2i)!
i!(24(p + 2)!)
p
i= 2 +1
i= 2 +1
Неравенство (8.2.48) легко проверить для b2 = 1, если воспользоваться
соотношением
∞
X
(2i − 2)!! 2i
s .
w(s, ε) ≤
(2i)!
p
i= 2 +1
Для завершения доказательства оценки (8.2.44) следует воспользоваться рассуждениями, уже проводившимися ранее при обосновании
неравенства (8.2.31).
Второй этап. Введем в рассмотрение отрезки
h¡
¢ −1 ¡
¢ −1 i
√
√
2
∆(t0 , ε) = −t0 + τ1 (ε) + 2 εd1 (ε) ε , t0 + τ2 (ε) + 2 εd1 (ε) ε 2 .
Функции τi (ε) (i = 1, 2) параметра ε, фигурирующие в определении
∆(t0 , ε), являются соответственно решениями уравнений
ψ(−t0 + τ1 (ε), ε) = −t0 ,
ψ(t0 + τ2 (ε), ε) = t0 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
176
ГЛАВА 8.
Асимптотика собственных чисел первой краевой . . .
В силу определения функции ψ(τ, ε) эти уравнения однозначно разрешимы, если t0 и ε достаточно малы. Численные значения τ1 (ε) и τ2 (ε) нас
не будут интересовать. Отметим только, что τi (ε) гладко зависит от ε и,
выполняются равенства
τi (ε)
= 0,
ε,t0 →0 t0
lim
i = 1, 2.
(8.2.49)
Целью настоящего этапа является обоснование того факта, что при
малых ε у уравнения (8.2.26) найдется решение, имеющее на отрезке
∆(t0 , ε) ровно p нулей.
Обозначим через u(s, ε) решение уравнения (8.2.26), начальные условия которого при s = 0 совпадают с начальными условиями функции
u(s, ε, g), определенной равенством (8.2.37) при g = gr1 . Из результатов
предыдущей главы следует, что u(s, ε, gr1 ) обращается в нуль ровно p
раз. Отметим, что функция u(s, ε) сходится к u(s, ε, gr1 ) при стремлении
ε к нулю равномерно на каждом конечном промежутке и, далее, выполняется оценка (8.2.39). Отсюда следует, что при малых ε функция
u(s, ε) обращается в нуль ровно p раз на отрезке [−c, c] (c – постоянная,
фигурирующая в (8.5.3)). Обозначим самый левый нуль u(s, ε) на этом
отрезке, если таковые существуют, через s(ε), а самый правый – через
s(ε). Введем, наконец, в рассмотрение отрезки
h¡
i
¢ −1
√
∆1 (ε) = −t0 + τ1 (ε) + 2 εd1 (ε) ε 2 , s(ε) ,
h
¡
¢ −1 i
√
∆2 (ε) = s(ε), t0 + τ2 (ε) + 2 εd1 (ε) ε 2 .
Если p = 0, то положим
∆1 (ε) = ∆2 (ε) = ∆(t0 , ε).
Последующие рассуждения будут посвящены обоснованию того факта, что решения уравнения (8.2.26) не осциллируют на отрезках ∆1 (ε)
и ∆2 (ε), когда ε достаточно мало. Очевидно, тем самым будет доказано,
что функция u(s, ε) обращается в нуль ровно p раз на ∆(t0 , ε) при малых
ε. Для доказательства неосцилляции воспользуемся вариантом критерия
Валле-Пуссена [30]. Построим такую функцию z0 (s, ε), которая обладала
бы следующими свойствами.
Во-первых, она непрерывна на отрезках ∆1 (ε) и ∆2 (ε), когда p 6= 1, и
непрерывна лишь на полуинтервалах
h¡
´ ³
¢ −1
¡
¢ −1 i
√
√
−t0 + τ1 (ε) + 2 εd1 (ε) ε 2 , s(ε) , s(ε), t0 + τ2 (ε) + 2 εd1 (ε) ε 2 ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 8.2.
Вспомогательные утверждения
177
когда p = 1, причем в последнем случае будут иметь место предельные
равенства
lim z0 (s, ε) = ∞,
lim z0 (s, ε) = −∞.
(8.2.50)
s→s(ε)−0
s→s(ε)−0
Отметим сразу же, что при p = 1 выполняются равенства
s(ε) ≡ s(ε) ≡ 0.
Во-вторых, для значений, принадлежащих ∆1 (ε)
полняться дифференциальное неравенство
∗
D z0 (s, ε) ≥
z02 (s, ε)
S
1
s2
+ − b(ε) − + w(s, ε),
2
4
∆2 (ε), будет вы-
(8.2.51)
где w(s, ε) = w1 (s, ε) + g(ε) − εr gr1 , а через D∗ z0 (s, ε) обозначено правое
верхнее производное число функции z0 (s, ε).
Функцию z0 (s, ε) определим следующим образом:
½
S
v(s, ε, g),
при |s| ≤ s(g, ε), s ∈ ∆1 (ε) S ∆2 (ε),
z0 (s, ε) =
(8.2.52)
0,
при |s| > s(g, ε), s ∈ ∆1 (ε) ∆2 (ε),
где v(s, ε, g) и s(g, ε) определены по правилу, изложенному на предыдущем этапе. Покажем, что функция (8.2.52) удовлетворяет дифференциальному неравенству (8.2.51), когда ε достаточно мало. Остальные
требования, наложенные
на z0 (s, ε), выполняются очевидным образом.
S
При s ∈ ∆1 (ε) ∆2 (ε) и |s| ≤ s(g, ε) неравенство (8.2.51) будет выполнено, если
g − gr1 ≥ max w(s, ε), |s| ≤ s(g, ε).
Справедливость этого неравенства вытекает из определения w(s, ε) и g,
а также из соотношений (8.2.24),
S (8.2.27) и (8.2.44). Прежде чем обосновывать (8.2.51) для s ∈ ∆1 (ε) ∆2 (ε) и |s| > s(g, ε), введем несколько
обозначений. Будем считать, что
min |ψ̇1 (τ, ε)| ≥ c0 > 0
(8.2.53)
для всех рассматриваемых значений τ и ε ∈ (0, ε0 ), где ε0 достаточно
мало. Этого всегда можно добиться за счет уменьшения t0 . Далее, положим
1
ψ̇ 2 (τ, ε)p2 (ψ1 (τ, ε))
l0 ≥ max[4f1 (τ, ε) − 1
].
c0 τ
ε
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
178
ГЛАВА 8.
Асимптотика собственных чисел первой краевой . . .
В последнем неравенстве функция f1 (τ, ε) определяется формулой
(8.1.15).
Таким образом, неравенство (8.2.51) для указанных значений s будет
выполнено, если
p
|p(ψ0 (s, ε))| > l0 ε,
(8.2.54)
√
где через ψ0 (s, ε) обозначена функция ψ0 (s, ε) = ψ1 ( εs + 2εd1 (ε), ε). Из
свойств функции p(t) вытекает, что неравенство (8.2.54) эквивалентно
неравенству
p
|ψ0 (s, ε) + O(ψ0 (s, ε))| > l0 ε,
справедливость которого следует из определения ψ0 (s, ε) и из предельного равенства (8.2.43). Тем самым справедливость дифференциального
неравенства (8.2.51) для всех рассматриваемых s доказана.
Мы показали, что при малых ε уравнение (8.2.26) имеет решение,
количество нулей которого на отрезке ∆(t0 , ε) равно p. Отсюда можно
сделать вывод, что существуют такие ε0 > 0, t0 > 0 и такое решение
y0 (t, ε) уравнения (8.2.9), что при всех ε ∈ (0, ε0 ) функция y0 (t, ε) имеет
на отрезке [−t0 , t0 ] ровно p нулей. Используя результаты главы 7, приходим к выводу, что при этом найдется решение (8.2.9), число нулей
которого на этом же отрезке равно p + 1.
Третий этап. На этом этапе будет завершено обоснование леммы
8.2.1. Сначала введем в рассмотрение функцию



s

Z






z0 (σ, ε)dσ ,
s ∈ ∆1 (ε),
exp 




−s(g,ε)

u0 (s, ε) =
(8.2.55)
s(g,ε)

Z






exp 
z0 (σ, ε)dσ ,
s ∈ ∆2 (ε).




s
На основании
(8.2.51) делаем вывод, что эта функция
S
s ∈ ∆1 (ε) ∆2 (ε) удовлетворяет дифференциальному неравенству
√
ü0 (s, ε) − su̇0 (s, ε) + f1 ( εs + 2εd1 (ε), ε)u0 (s, ε) ≤ 0.
при
Выполним затем в последнем выражении замены, обратные к (8.2.25),
(8.2.22) и (8.2.13). В результате вместо u0 (s, ε) мы получим некоторую
функцию y0 (t, ε), которая будет обладать следующими свойствами. Вопервых, при малых ε и при всех
[
t ∈ [−t0 , t(ε)] [t(ε), t0 ],
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 8.2.
Вспомогательные утверждения
179
где положено
√
t(ε) = ψ1 (− εs(ε) + 2εd1 (ε), ε)
и соответственно
√
t(ε) = ψ1 ( εs(ε) + 2εd1 (ε), ε),
выполняется дифференциальное неравенство
εÿ0 + ϕ1 (t, ε)y0 (t, ε) ≤ 0.
(8.2.56)
Во-вторых, как ясно из (8.2.52), (8.2.55) и (8.2.13), имеет место тождество
q
[
y0 (t, ε) ≡ ψ̇(ψ −1 (t, ε), ε), t ∈ [−t0 , t(g, ε)] [t(g, ε), t0 ].
В последней формуле через t(g, ε) и t(g, ε) обозначены величины
√
t(g, ε) = ψ1 (− εs(g, ε) + 2εd1 (ε), ε),
√
t(g, ε) = ψ1 ( εs(g, ε) + 2εd1 (ε), ε).
Доказательство леммы будет полностью закончено, если мы покажем, что
S функцию y0 (t, ε) можно так продолжить на весь промежуток
[α, −t0 ] [t0 , β], чтобы y0 (t, ε) оставалась положительной, и сохранялось
бы дифференциальное неравенство (8.2.56). При этом, может быть, придется уменьшить несколько t0 и ε0 .
Прежде всего отметим, что имеют место предельные равенства
lim
y0 (±t, ε) = 1,
t →0
0
ε→0
lim
ẏ0 (±t, ε) = lim
ÿ0 (±t, ε) = 0.
t →0
t →0
0
ε→0
(8.2.57)
0
ε→0
Далее, положим

S
 y0 (t, ε), t ∈ [−t0 , t(ε)] [t(ε), t0 ],
ÿ0 (−t0 , ε)(t + t0 )2 + ẏ0 (−t0 , ε)(t + t0 ) + y0 (−t0 , ε), t ∈ [α, −t0 ],
y0 (t, ε) =

ÿ0 (t0 , ε)(t − t0 )2 + ẏ0 (t0 , ε)(t − t0 ) + y0 (t0 , ε), t ∈ [t0 , β].
(8.2.58)
Равенства (8.2.57) обеспечивают положительность функции y0 (t, ε) на
промежутках [α, −t0 ] и [t0 , β], когда 0 < ε < ε0 и ε0 и t0 достаточно малы.
Остается проверить лишь (8.2.56), когда t принадлежит этим отрезкам.
На промежутке [α, −t0 ] имеем
εÿ0 (t0 , ε) + ϕ1 (t, ε)y0 (t0 , ε) =
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
180
ГЛАВА 8.
Асимптотика собственных чисел первой краевой . . .
·
¸
2q(t) − ṗ(t)
p2 (t)
1
= 2εÿ0 (−t0 , ε) +
−
y0 (t0 , ε).
|ṗ(0)|
2
4ε|ṗ(0)|
Отсюда доказательство того факта, что правая часть последнего равенства отрицательна, когда t0 и ε0 малы, завершается ссылкой на (8.2.57) и
(8.2.58). Аналогично обосновывается неравенство (8.2.56) для t ∈ [t0 , β].
Таким образом, лемма доказана.
Сделаем одно замечание. Можно показать, что в общем случае ряды
(8.1.8) и (8.1.18) не являются сходящимися даже при условии аналитичности коэффициентов p(t) и q(t).
Сформулируем еще одно утверждение, относящееся к дифференциальному уравнению (8.2.1). Мы рассмотрим общий случай, когда функция p(t) имеет нули в точках t1 , . . . , tn интервала (α, β).
Обозначим через ∆k ⊂ [α, β] (k = 1, . . . , n) непересекающиеся отрезки [tk − t0 , tk + t0 ]. Наибольшее число нулей (8.2.1) на каждом из ∆k ,
положим равным соответственно pk (ε). Предположим, что для каждого
рассматриваемого k выполняется либо соотношение (8.2.2), либо найдется в выражении (8.1.18) хотя бы один ненулевой коэффициент. Тогда,
как следует из предыдущей главы и из леммы 8.2.1, pk (ε) (k = 1, . . . , n)
не зависит от ε, если ε достаточно мало.
Лемма 8.2.2. Существует такое ε0 > 0, что при всех ε ∈ (0, ε0 )
найдется решение уравнения (8.2.1), которое обращается в нуль на
отрезке [α, β] ровно p0 раз, где
p0 = −n + 1 +
n
X
pk
(pk = pk (ε) = const).
k=1
При этом количество нулей любого другого решения (8.2.1) не превосходит p0 .
Доказательство этого утверждения проводится аналогично доказательству соответствующего утверждения в главе 7, поэтому мы его приводить не будем.
§ 8.3. Обоснование теоремы 8.1.1
Рассмотрим дифференциальное уравнение
εẍ + p(t)ẋ + [q(t) − λj (ε)]x = 0.
(8.3.1)
Через xj (t, ε) будем обозначать собственную функцию первой краевой
задачи, соответствующую собственному числу λj (ε). Отметим, что эта
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 8.3.
Обоснование теоремы 8.1.1
181
функция обращается в нуль в обоих концах отрезка [α, β] и, кроме этого,
имеет ровно j − 1 нулей внутри рассматриваемого отрезка.
Доказательство теоремы 8.1.1 будет завершено, если мы установим,
что для любого натурального l справедливо соотношение
λj (ε) =
l
X
εi λij + O(εl ),
(8.3.2)
i=0
в котором положено λ0j = λj . Обоснование отмеченного факта проведем,
рассуждая от противного. Предположим, что для некоторых номеров j
и l равенство (8.3.2) не имеет места. Тогда существует такая последовательность εm → 0, что справедливо соотношение
lim
m→∞
ε−l
m λj (εm )
−
l
X
εi λij = δ,
(8.3.3)
i=0
где δ 6= 0. При этом мы допускаем, что δ может принимать значения,
равные либо ∞, либо −∞. Разберем отдельно два возможных случая.
Первый из них реализуется, когда
δ > 0,
(8.3.4)
δ < 0.
(8.3.5)
а второй – когда
Предположим сначала, что выполняется неравенство (8.3.4). Тогда в
силу ранее доказанной леммы все решения последнего уравнения могут
обращаться в нуль на отрезке [α, β] не более j раз. Тем не менее, как мы
уже отмечали, функция xj (t, ε), являющаяся решением того же уравнения, имеет ровно j + 1 нулей. Получено противоречие. Таким образом,
неравенство (8.3.4) не может иметь места.
Далее, предположим, что справедливо неравенство (8.3.5). В этом
случае у дифференциального уравнения (8.3.1) при достаточно малых ε
существует решение, имеющее не менее j + 1 нулей на интервале (α, β).
Это следует из лемм 8.2.1 и 8.3.2. Однако функция xj (t, ε) обращается
в нуль на том же интервале точно j − 1 раз. Воспользовавшись здесь
теоремой о разделении нулей решений уравнения (8.3.1), получим противоречие. Тем самым показано, что неравенство (8.3.5) выполняться не
может. Представление (8.3.2) доказано.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
182
ГЛАВА 8.
Асимптотика собственных чисел первой краевой . . .
Выше мы всегда предполагали, что функция p(t) не имеет нулей в
концах отрезка [α, β]. Опираясь на результаты предыдущей главы и применяя те же, что и выше, рассуждения, можно установить справедливость теоремы и без этого предположения. Отметим только, что при
условии p(α) = 0 роль чисел (8.1.2) играют величины
¸
·
2q(α)
−
ṗ(α)
−
|
ṗ(α)|
νiα =
− |ṗ(α)|(1 + 2i), i = 0, 1, . . . .
2
Аналогично дело обстоит и в случае, когда p(β) = 0.
В заключение отметим, что развитая методика без труда распространяется на более общий класс уравнений
εẍ + p(t, ε)ẋ + [q(t, ε) − λr(t, ε)]x = 0,
в котором все коэффициенты аналитичны по ε равномерно относительно
t ∈ [α, β].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 9
Асимптотика собственных
значений периодической и
антипериодической краевых
задач для сингулярно
возмущенных
дифференциальных уравнений
второго порядка с точками
поворота
В предыдущих главах изучена асимптотика собственных значений
первой краевой задачи для уравнений, указанных в названии. В настоящей главе изучается поведение собственных значений периодической
и антипериодической краевых задач. Устанавливаются асимптотические
представления, и дается алгоритм вычисления коэффициентов этих представлений для всех собственных значений данных краевых задач. При
этом широко используются результаты из глав 7 и 8. На основании полученных утверждений исследуется вопрос об устойчивости решений.
Структура главы такова. Она состоит из 10 параграфов. В §§1–4 исследуется асимптотика собственных значений и вопрос об устойчивости
для самосопряженных уравнений из указанного в названии класса, а в
§§5–10 для несамосопряженных. Отметим, что некоторые результаты,
касающиеся вопроса об устойчивости решений, были изложены в [31].
183
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
184
ГЛАВА 9. Асимптотика собственных значений периодической. . .
§ 9.1. Постановка задачи и формулировка
результатов в самосопряженном случае
Рассматривается линейное дифференциальное уравнение
εẍ + p(t)ẋ + q(t)x = λx
(9.1.1)
с малым положительным параметром ε и T - периодическими коэффициентами p(t) и q(t). Для того, чтобы каждый раз не оговаривать гладкость
этих функций, будем считать их бесконечно дифференцируемыми. Основное же предположение состоит в том, что функция p(t) имеет нули
на отрезке [0, T ].
Для уравнения (9.1.1) ставятся на отрезке [α, α + T ] первая, периодическая и антипериодическая краевые задачи. Требование самосопряженности операторов, порожденных последними двумя краевыми задачами,
заключается в том, что справедливо равенство
M [p(t)] = 0.
(9.1.2)
Как известно, каждая из поставленных задач имеет счетное число
вещественных собственных значений, которые можно считать занумерованными в порядке убывания. Собственные значения первой краевой
задачи обозначим через µi (ε, α) (j = 1, 2, . . . ), а собственные значения
периодической и антипериодической задач, которые, очевидно, не зави−
сят от α, обозначим соответственно через λ+
j (ε) и λj (ε) (j = 1, 2, . . . ).
При этом можно так произвести нумерацию в случае кратных собствен−
ных значений, чтобы все λ+
j (ε) и λj (ε) (j = 1, 2, . . . ) были непрерывными
функциями параметра ε. Собственную функцию, отвечающую собствен+
−
ному значению λ+
j (ε), обозначим через xj (t, ε), а через xj (t, ε) будем
обозначать собственную функцию, отвечающую λ−
j (ε). Как отмечалось в
+
+
главе 1, функция x1 (t, ε) положительна, а функции x2j
(t, ε) и x+
2j+1 (t, ε)
имеют ровно 2j нулей на некотором отрезке длины периода. Собствен−
ные функции x−
2j−1 (t, ε) и x2j (t, ε) обращаются в нуль ровно 2j − 1 раз
−
каждая на отрезке [α, α + T ], если x−
2j−1 (α, ε) 6= 0 и x2j (α, ε) 6= 0.
Предположим сначала, что функция p(t) имеет лишь конечное число
простых нулей на отрезке длины периода. Как показано в предыдущих
главах, при таком предположении для каждого номера j = 1, 2 . . . имеет
место асимптотическое представление
µj (ε, α) = µ0j (α) + εµ1j (α) + ε2 µ2j (α) + . . .
(9.1.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 9.1.
Самосопряженный случай: постановка задачи
185
В главе 8 приведен алгоритм вычисления коэффициентов рядов (9.1.3).
Здесь отметим только, что эти коэффициенты вычисляются лишь по значениям функций p(t), q(t) и их производных в точках поворота, т.е. там,
где функция p(t) обращается в нуль. Напомним еще один полезный факт
из главы 8. Функция µij (α) параметра α, которая, очевидно, периодична
с периодом T , может принимать лишь два различных значения, причем
при всех таких α, для которых p(α) 6= 0, значение µij (α) одно и то же.
Нам удобно зафиксировать одно из таких чисел, которое не совпадает с
нулем функции p(t). Ниже мы будем обозначать его через α0 .
Теорема 9.1.1. Имеют место асимптотические представления
0
1
λ+
j (ε) = µj (α0 ) + εµj (α0 ) + . . . ,
(9.1.4)
0
1
λ−
j (ε) = µj (α0 ) + εµj (α0 ) + . . . ,
(9.1.5)
где j = 1, 2, . . .
−
Обратим внимание, что асимптотические ряды для λ+
j (ε) и λj (ε) совпадают для одинаковых номеров j (j = 1, 2, . . . ). Отсюда, в частности,
следует, что эти ряды расходятся.
Сформулируем критерий устойчивости решений уравнения
εẍ + p(t)ẋ + q(t)x = 0,
(9.1.6)
в котором функция p(t) такая же, как и в условиях предыдущей теоремы.
Теорема 9.1.2. Предположим, что коэффициенты ни одного из
рядов (9.1.4) и (9.1.5) не состоят из одних нулей. Тогда существует такое ε0 > 0, что при всех ε ∈ (0, ε0 ) решения уравнения (9.1.6)
неустойчивы.
Перейдем к случаю, когда у функции p(t) существуют кратные нули,
а число простых нулей конечно. В этом случае к числу
ν0 = max q(t),
t ∈ {α : p(α) = ṗ(α) = 0}
стремятся все собственные значения µj (ε, α) первых краевых задач, для
всех j больших N , при стремлении ε к нулю. При этом для µi (ε, α)
(0 ≤ i ≤ N ) имеет место представление (9.1.3).
−
Теорема 9.1.3. Для N первых чисел λ+
j (ε) и λj (ε) имеет место
теорема 9.1.1. Для остальных собственных значений справедливы равенства
lim λ+
lim λ−
(9.1.7)
j (ε) = ν0 ,
j (ε) = ν0 .
ε→0
ε→0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
186
ГЛАВА 9. Асимптотика собственных значений периодической. . .
Теперь сформулируем следующий критерий устойчивости.
Теорема 9.1.4. Пусть ν0 < 0 и коэффициенты ни одного из асимп−
тотических рядов (9.1.4) и (9.1.5) для N первых чисел λ+
j (ε) и λj (ε)
не состоят из одних нулей. Тогда существует такое ε0 > 0, для
которого при всех ε ∈ (0, ε0 ) решения уравнения (9.1.6) неустойчивы.
При условии ν0 > 0 существуют две такие последовательности
1
εm → 0 и ε2m → 0, что при каждом ε1m (m = 1, 2, . . . ) решения уравнения
(9.1.6) устойчивы, а при каждом ε2m (m = 1, 2, . . . ) – неустойчивы.
§ 9.2. Обоснование теоремы 9.1.1
−
собственных значений λ+
(ε)
и
λ
1
1 (ε)
для
Сначала докажем теорему 9.1.1 для собственного значения λ+
1 (ε). Будем
рассуждать от противного. Предположим, что существует такой номер l0
и такая последовательность εm → 0, на которой выполняется предельное
равенство
#
"
l0
X
0
εim µi1 (α0 ) = δ0 ,
(9.2.1)
lim ε−l
λ+
m
1 (εm ) −
m→∞
i=0
где δ0 6= 0. Из леммы 1.4.6 главы 1 и из способа нумерации собственных
значений вытекает неравенство
λ+
1 (ε) > µ1 (ε, α0 )
(ε > 0).
Отсюда можно сделать вывод о том, что
δ0 > 0.
(9.2.2)
Из соотношений (9.2.1) и (9.2.2) следует, что при достаточно малых
εm верно неравенство
λ+
1 (εm )
>
εlm0 δ 0
+
l0
X
εim µi1 (α0 ),
i=0
½
1
2 δ0 ,
если δ0 < ∞,
1, если δ0 = ∞.
Отметим, далее, один общий факт. При условии
0
в котором δ =
λ < λ+
1 (ε)
(9.2.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 9.3.
Вспомогательное утверждение
187
(ε как-то фиксировано) решения уравнения (9.1.1) осциллируют. Отсюда
и из (9.2.3) вытекает существование такого отрезка [0, δ(εm )], на котором
решения уравнения
"
#
l0
X
εm ẍ + p(t)ẋ + q(t) − εlm0 δ0 −
εim µi1 (α0 ) x = 0
(9.2.4)
i=0
осциллируют. Затем мы вновь воспользуемся результатами из глав 7 и 8,
где показано, что условие (9.2.2) влечет за собой неосцилляцию на всей
оси решений последнего уравнения при всех достаточно малых εm . Тем
самым получено противоречие. Соотношение (9.1.4) для значения λ+
1 (ε)
доказано.
Для того, чтобы установить равенство (9.1.5) для номера j = 1, воспользуемся утверждением леммы 1.4.6, на основании которого
−
λ+
1 (ε) > λ1 (ε) ≥ µ1 (ε, α0 ) (ε > 0).
Отсюда и из уже доказанного в этом параграфе утверждения получаем
равенство
0
1
λ−
1 (ε) = µ1 (α0 ) + εµ1 (α0 ) + . . . ,
т.е. соотношение (9.1.5) справедливо при j = 1.
§ 9.3. Вспомогательное утверждение
В этом параграфе мы установим утверждение, которое будет играть основную роль при доказательстве теоремы 9.1.1. Точнее, будет изучено
поведение некоторых собственных значений первых краевых задач в одном частном случае.
Введем в рассмотрение дифференциальное уравнение
εẍ + p(t)ẋ + q(t, ε)x = λx,
(9.3.1)
в котором функция p(t) такая же, как и в уравнении (9.1.1) при условиях теоремы 9.1.1, а функция q(t, ε), которая периодична и сколь угодно
гладка по t, представима в виде асимптотического ряда по степеням параметра ε в окрестности точки ε = 0. Собственные значения первых краевых задач для этого уравнения на отрезках [α, α + T ] обозначим через
µj (ε, α) (j = 1, 2, . . . ). Как и везде выше, считаем, что нумерация этих
собственных значений произведена в порядке их убывания. Как ясно из
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
188
ГЛАВА 9. Асимптотика собственных значений периодической. . .
предыдущих глав, для каждого µj (ε, α) имеет место представление, аналогичное по виду (9.1.3). Первое предположение состоит в том, что ни
один из рядов вида (9.1.3), соответствующий µj (ε, α), не имеет только
нулевых коэффициентов. Рассмотрим, далее, лишь те собственные значения µj (ε, α), для которых первый неисчезающий член в представлении
(9.1.3) для µj (ε, α) положителен. Понятно, что таких собственных значений может быть лишь конечное число. Мы будем предполагать, что это
число не равно нулю. Через j0 обозначим наибольший из номеров рассматриваемых собственных значений. Последнее предположение заключается в том, что асимптотические представления в нуле для каждого α
из отрезка [0, T ] собственных значений µj0 (ε, α) совпадают.
Прежде чем сформулировать соответствующее утверждение, условимся о терминологии. Будем писать
ϕ(ε) = o(ε∞ ),
если для каждого l ≥ 0 выполняется соотношение
ϕ(ε) = o(εl ).
Лемма 9.3.1. Имеет место равенство
µj0 +1 (ε, α0 ) − min µj0 (ε, α) = o(ε∞ ).
α∈[0,T ]
(9.3.2)
Доказательство. Рассмотрим уравнение (9.3.1) при нулевом значении параметра λ, т.е. такое уравнение:
εẍ + p(t)ẋ + q(t, ε)x = 0.
(9.3.3)
Главную роль при обосновании нужного нам утверждения будет играть
один факт из предыдущих глав. Сформулируем его. Предварительно
введем еще несколько обозначений. Через t1 , . . . , tn обозначим все нули функции p(t) на отрезке [0, T ]. Обозначим затем через ∆i отрезок
[ti − t0 , ti + t0 ], в котором число t0 > 0 выберем настолько малым, чтобы
в каждом из этих отрезков лежал лишь один нуль функции p(t). Теперь
мы легко сможем указать наибольшее и наименьшее число нулей, которое могут иметь решения уравнения (9.3.3) на отрезке ∆i (i = 1, . . . , n)
при малых ε. Наименьшее возможное число нулей на каждом из отрезков ∆i , которое не зависит от ε, когда ε достаточно мало, мы будем
обозначать соответственно через ki . Наибольшее возможное количество
нулей на том же отрезке равно ki + 1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 9.3.
Вспомогательное утверждение
189
Из условия совпадения асимптотических рядов µj0 (ε, α) для каждого
α из отрезка [0, T ] и из того, что j0 ≥ 1, следуют два вывода. Во-первых,
среди чисел ki (1 ≤ i ≤ n) найдется хотя бы одно положительное. Вовторых, все положительные ki четны. Для определенности будем считать, что k1 > 0. Тогда решение x0 (t, ε) уравнения (9.3.3) с начальными
условиями
x0 (t1 , ε) = 0, ẋ0 (t1 , ε) 6= 0
обращается в нуль при всех малых ε ровно j0 раз на полуинтервале
[t1 , t1 + T ), причем
n
X
j0 = 1 +
ki .
i=1
В то же время решение x0 (t, ε) уравнения (9.3.3) с начальными условиями
x0 (t1 , ε) 6= 0, ẋ0 (t1 , ε) = 0
имеет ровно k1 нулей на отрезке ∆1 . Обозначим через t(ε) наименьший на отрезке ∆1 нуль этой функции. Важный для дальнейшего результат заключается в следующем. Функция x0 (t, ε) имеет на отрезке
[t(ε), t(ε) + T ] ровно j0 + 1 нулей при всех ε ∈ (0, ε0 ), где ε0 достаточно
мало.
Выведем одно следствие из сказанного. Пусть функция ψk (τ, ε) равна
расстоянию от точки τ , в которой некоторое решение уравнения (9.3.3)
обращается в нуль, до следующего (k − 1)-го нуля того же решения.
Тогда имеют место неравенства
ψj0 (t1 , ε) > T, ψj0 (t(ε), ε) < T.
Приступим теперь непосредственно к доказательству равенства
(9.3.2). Рассуждать будем от противного. Пусть существует такое целое
l0 ≥ 0 и такая последовательность εm → 0, что имеет место равенство
·
¸
0
lim ε−l
µj0 +1 (εm , α0 ) − min µj0 (εm , α) = δ0 ,
(9.3.4)
m
m→∞
α∈[0,T ]
где δ0 6= 0. Отсюда, учитывая очевидное неравенство
max µj0 +1 (ε, α) < min µj0 (ε, α),
α∈[0,T ]
α∈[0,T ]
получаем, что
δ0 < 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
190
ГЛАВА 9. Асимптотика собственных значений периодической. . .
Таким образом, при всех достаточно больших m выполняется неравенство
δ0
min µj0 (εm , α) > µj0 +1 (εm , α0 ) − εl0 ,
(9.3.5)
2
α∈[0,T ]
½
δ0 , если δ0 > −∞,
в котором δ 0 =
−1, если δ0 = −∞.
Далее, введем в рассмотрение уравнение
·
¸
0
δ
εẍ + p(t)ẋ + q(t, εm ) − µj0 +1 (εm , α0 ) − εlm0
x = 0.
(9.3.6)
2
Первое, что мы отметим, это неравенство
max ψ j0 (τ, εm ) < T,
(9.3.7)
τ ∈[0,T ]
которое выполняется при всех достаточно малых εm . Здесь функция
ψ j0 (τ, ε) имеет тот же смысл, что и ψj0 (τ, ε), но с тем единственным отличием, что строится она по решениям уравнения (9.3.6). В справедливости
неравенства (9.3.7) нетрудно убедиться. Действительно, из условия
ψ j0 (τmk , εmk ) ≥ T,
где εmk → 0, вытекает, что имеет место неравенство
min µj0 (εmk , α) ≤ µj0 +1 (εmk , α0 ) − εlm0 k
α∈[0,T ]
δ0
.
2
Последнее соотношение противоречит неравенству (9.3.5).
Вторым важным моментом в доказательстве равенства (9.3.2) является тот факт, что для уравнения (9.3.6) выполнены все условия, при
которых рассматривалось уравнение (9.3.3). Здесь имеется в виду, что
для уравнения (9.3.6) числа k i (i = 1, . . . , n), определяемые аналогично числам ki (i = 1, . . . , n) для уравнения (9.3.3), совпадают при всех
достаточно малых ε с ki соответственно. Правило вычисления этих чисел изложено в главах 7 и 8. Применяя его к уравнению (9.3.6), мы
убеждаемся в справедливости равенств
ki = k i
(i = 1, . . . , n).
(9.3.8)
Добавим несколько слов в пояснение к сказанному. Из условия δ 0 < 0
вытекает, что все k i (i = 1, . . . , n) не зависят от ε, если ε мало, причем
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 9.4.
Завершение доказательств приведенных теорем
191
это свойство сохраняется при любых возмущениях коэффициента, стоящего при x в уравнении (9.3.6), функциями ϕ(t, ε), имеющими более
высокий, чем l0 , порядок по ε. Как следует из глав 7 и 8, числа k i , обладающие перечисленными свойствами, могут меняться, грубо говоря, при
переходе через собственное значение первой краевой задачи на отрезке
[α, α + T ]. В рассматриваемом же случае такого перехода не происходит,
т.е. выполняются равенства (9.3.8).
Фиксируем решение x0 (t, εm ) уравнения (9.3.6) с начальными условиями
x0 (t1 , εm ) 6= 0, ẋ0 (t1 , εm ) = 0.
Тогда, как и ранее,
ψ j0 (t(εm ), εm ) > T,
(9.3.9)
где εm достаточно мало. В последнем неравенстве через t(εm ) обозначен наименьший на отрезке ∆1 нуль функции x0 (t, εm ). Для завершения
доказательства леммы остается заметить, что неравенство (9.3.9) противоречит неравенству (9.3.7).
Отметим, что можно установить еще такое соотношение:
µj0 (ε, t(ε)) − µj0 +1 (ε, α0 ) = O(ε∞ ).
§ 9.4. Завершение доказательств приведенных
теорем
Сначала докажем теорему 9.1.1. Для этого, прежде всего, все номера j (j = 1, 2, . . . ) разобьем на два класса. К первому из них отнесем
все те номера j, для каждого из которых соответствующее собственное
значение µj (ε, α) первой краевой задачи при некотором фиксированном
αj ∈ [0, T ] имеет асимптотическое представление (9.1.3), не совпадающее с асимптотическим представлением для µj (ε, α0 ). Остальные номера
j включим во второй класс. Формулы (9.1.4) и (9.1.5) докажем отдельно
для собственных значений с номерами из разных классов.
Пусть некоторый номер j0 принадлежит первому классу. Для доказательства теоремы 9.1.1 в этом случае нам понадобится еще один факт
из предыдущих глав. Там показано, что из условия несовпадения рядов
для µj0 (ε, αj0 ) и µj0 (ε, α0 ) вытекает, что соответствующие ряды одни и те
же для собственных значений µj0 (ε, αj0 ) и µj0 +1 (ε, α0 ), т.е.
µj0 (ε, αj0 ) − µj0 +1 (ε, α0 ) = O(ε∞ ).
(9.4.1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
192
ГЛАВА 9. Асимптотика собственных значений периодической. . .
Теперь остается лишь воспользоваться леммой 1.4.6, на основании которой доказательство равенств (9.1.4), (9.1.5) для собственных значений
−
λ+
j0 +1 (ε) и λj0 +1 (ε) следует из соотношения (9.4.1).
Пусть, далее, некоторый номер j0 принадлежит второму классу. Тогда в справедливости равенств (9.1.4) и (9.1.5) для значений λ+
j0 +1 (ε) и
−
λj0 +1 (ε) убеждаемся, используя утверждения леммы 9.3.1 и леммы 1.4.6.
Таким образом, обоснование теоремы 9.1.1 закончено.
Теорема 9.1.2 является непосредственным следствием предыдущей
теоремы. Действительно, для этого достаточно заметить (см. главу 1),
что решения уравнения (9.1.1) устойчивы тогда и только тогда, когда
выполняется одно из двух условий:
либо
либо
−
+
−
λ = λ+
2j (ε) = λ2j+1 (ε) (λ = λ2j−1 (ε) = λ2j (ε)),
+
−
−
λ+
2j−1 (ε) < λ < λ2j−1 (ε) (λ2j (ε) < λ < λ2j (ε)).
Кроме этого, из теоремы 9.1.1 и из результатов главы 7 следует и
первое утверждение теоремы 9.1.3, а с ним и теорема 9.1.4.
Второе утверждение теоремы 9.1.3 доказывается тоже без труда. Для
того, чтобы убедиться в этом, достаточно воспользоваться леммой 1.4.6
и предельными равенствами
lim µj (ε, α) = ν0 ,
ε→0
(9.4.2)
справедливыми для всех, начиная с некоторого, номеров j. Однако, может так случиться, что первое утверждение теоремы 9.1.3 не определяет асимптотику собственного значения λ+
1 (ε). Равенств (9.4.2) для всех
j = 1, 2, . . . тогда тоже недостаточно для изучения поведения этого собственного значения. Можно лишь утверждать, что
lim λ+
1 (ε) ≥ ν0 .
ε→0
Покажем, что на самом деле λ+
1 (ε) удовлетворяет равенству (9.1.7).
В предположении противного существует такая последовательность
εm → 0, что
lim λ+
1 (εm ) = ν0 + δ0 ,
m→∞
где δ0 > 0. Рассмотрим уравнение
·
¸
δ0
εm ẍ + p(t)ẋ + q(t) − ν0 −
x = 0,
2
(9.4.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 9.5.
Несамосопряженный случай: постановка задачи...
½
где δ 0 =
193
δ0 , если δ0 < ∞,
Тогда, с одной стороны, из условия
1, если δ0 = ∞.
λ+
1 (εm ) > ν0 +
δ0
,
2
справедливого, когда m достаточно велико, следует осцилляция решений
уравнения (9.4.3). С другой стороны, как следует из главы 7, неравенство
δ 0 > 0 позволяет нам сделать вывод о неосцилляции на всей оси решений
этого уравнения. Итак, теорема 9.1.3 полностью доказана.
§ 9.5. Постановка задачи и основные результаты в несамосопряженном случае
Как и в предыдущем параграфе, рассматривается линейное дифференциальное уравнение
εẍ + p(t)ẋ + q(t)x = λx
(9.5.1)
с T - периодическими коэффициентами. Дифференциальные свойства
функций p(t) и q(t) те же, что и выше. Однако, в отличие от предыдущих параграфов, здесь будет разобран случай, когда равенство (9.1.2)
не имеет места. Поскольку в дальнейшем мы будем интересоваться свойствами устойчивости, то будем предполагать, что
M [p(t)] > 0.
(9.5.2)
Для уравнения (9.5.1) ставятся периодическая и антипериодическая
краевые задачи. Известно (см., например, [35]), что каждая из этих задач имеет при любом ε > 0 счетное число собственных значений, которые
можно занумеровать в порядке убывания их вещественных частей. При
условии (9.5.2) нельзя гарантировать вещественность собственных значений. Более того, число комплексных собственных значений не может
быть конечно, а число вещественных – обязательно конечно. Важной
особенностью вещественных собственных значений является то, что они,
вообще говоря, не являются непрерывными функциями коэффициентов
уравнения (9.5.1), а значит – и параметра ε. Это легко показать, используя теорему 1.5.2 главы 1. Отметим еще, что комплексные собственные
значения, в отличие от вещественных, непрерывно зависят от ε. В настоящем параграфе мы построим асимптотику при малых ε вещественных
собственных значений.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
194
ГЛАВА 9. Асимптотика собственных значений периодической. . .
Рассмотрим, наряду с уравнением (9.5.1), новое дифференциальное
уравнение
·
¸
2q(t) − ṗ(t) p2 (t)
εÿ +
−
y = λy,
(9.5.3)
2
4ε
которое получается из (9.5.1) с помощью преобразования


Zt
1
x = y exp −
p(τ )dτ  .
2ε
(9.5.4)
0
Для уравнения (9.5.3) тоже ставятся периодическая и антипериодическая краевые задачи. Соответствующие дифференциальные операторы –
самосопряженные. Поэтому у них существует счетное число вещественных собственных значений, которые мы обозначим соответственно через
νj+ (ε) и νj− (ε) (j = 1, 2, . . . ). Нумерацию естественно проводить в порядке убывания собственных значений. При этом всегда можно нумеровать
так, чтобы все функции νj+ (ε) и νj− (ε) параметра ε были непрерывны.
Важный для нас вывод заключается в том, что для значений νj+ (ε)
и νj− (ε) (j = 1, 2, . . . ) справедливы, в зависимости от свойств функции
p(t), теоремы 9.1.1 и 9.1.4. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить
следующее: доказательство отмеченных теорем проводилось на основе
анализа осцилляционных свойств решений уравнения (9.1.1). Уравнение
же (9.1.1) с помощью замены (9.5.4), не влияющей на нули его решений,
преобразуется в уравнение (9.5.3). Поэтому к последнему применимы
выводы теорем 9.1.1 и 9.1.4. Этот факт будет играть большую роль при
изучении собственнных значений краевых задач для уравнения (9.5.1)
при условии (9.5.2).
Сделаем, наконец, последнее замечание. Как мы уже отмечали, в [6]
установлено, что собственное значение с наибольшей из всех рассматриваемых собственных значений обеих краевых задач для (9.5.1) вещественной частью всегда вещественное и простое. Очевидно, оно непрерывно зависит от ε. Мы будем обозначать его через h1 (ε).
Предположим, что выполнены условия теоремы 9.1.1. Тогда мы знаем
асимптотические представления всех νj+ (ε) и νj− (ε) (j = 1, 2, . . . ).
Теорема 9.5.1. Имеет место асимптотическое равенство
h1 (ε) − ν1 (ε) = O(ε∞ ).
(9.5.5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 9.5.
Несамосопряженный случай: постановка задачи...
195
Теорема 9.5.2. Пусть для некоторого номера j асимптотические
−
+
+
−
(ε) или ν2j−1
(ε) и ν2j
(ε) не совпадают. Тогда
(ε) и ν2j+1
ряды для ν2j
найдется такое ε0 > 0, что при ε ∈ (0, ε0 ) существуют два таких
вещественных собственных значения периодической и антипериодической краевой задачи hj1 (ε) и hj1 +1 (ε), которые непрерывно зависят
от ε для указанных значений ε и для которых выполняются соотношения
+
ν + (ε) < hj1 +1 (ε) < hj1 (ε) < ν2j
(ε)
¢
¡ −2j+1
(9.5.6)
−
(ε) ,
ν2j (ε) < hj1 +1 (ε) < hj1 (ε) < ν2j−1
¡
¢
+
−
hj1 (ε) − ν2j
(ε) = O(ε∞ )
hj1 (ε) − ν2j−1
(ε) = O(ε∞ ) ,
(9.5.7)
¡
¢
+
−
hj1 +1 (ε) − ν2j+1
(ε) = O(ε∞ )
hj1 +1 (ε) − ν2j
(ε) = O(ε∞ ) .
(9.5.8)
Отметим, что при ε ∈ (0, ε0 ), где ε0 такое, как в предыдущей теореме, в интервале (hj1 +1 (ε), hj1 (ε)) не лежит ни одно другое вещественное собственное значение рассматриваемых краевых задач для уравнения
(9.5.1).
Рассмотрим, далее, уравнение
εẍ + p(t)ẋ + q(t)x = 0.
(9.5.9)
Теорема 9.5.3. Пусть коэффициенты ни одного из асимптотических рядов для νj+ (ε) и νj− (ε) (j = 1, 2, . . . ) не состоят из одних нулей.
Тогда существует такое ε0 > 0, что при всех ε ∈ (0, ε0 ) решения
уравнения (9.5.9) неустойчивы.
Предположим затем, что выполняются условия теоремы 9.1.3.
Теорема 9.5.4. Имеет место утверждение теоремы 9.5.1.
Условимся, далее, обозначать через νj+ (ε) и νj− (ε) только те собственные значения, о которых говорится в первой части теоремы 9.1.3. Отметим, что их конечное число.
Теорема 9.5.5. Пусть для некоторого номера j асимптотические
+
+
−
−
ряды для ν2j
(ε) и ν2j+1
(ε) или ν2j−1
(ε) и ν2j
(ε) не совпадают. Тогда
имеет место утверждение теоремы 9.5.2. Если вещественное собственное значение hj (ε) одной из рассматриваемых краевых задач
для уравнения (9.5.1) определено при всех ε ∈ (0, ε0 ) и не стремится
при стремлении ε к нулю ни к одному из собственных значений νj+ (ε)
и νj− (ε), тогда необходимо
lim hj (ε) = ν0 ,
ε→0
(9.5.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
196
ГЛАВА 9. Асимптотика собственных значений периодической. . .
где
ν0 = max q(t),
t ∈ {α : p(α) = ṗ(α) = 0}.
(9.5.11)
Сформулируем теперь критерий устойчивости решений уравнения
(9.5.9).
Теорема 9.5.6. Пусть ν0 < 0, и коэффициенты ни одного из асимптотических рядов для νj+ (ε) и νj− (ε) не состоят из одних нулей. Тогда
существует такое ε0 > 0, что при всех ε ∈ (0, ε0 ) решения уравнения
(9.5.9) неустойчивы.
Подводя итог сказанному, отметим, что налицо тесная связь между поведением собственных значений для самосопряженного и несамосопряженного уравнений (9.5.1) и (9.5.3). Эта взаимосвязь обеспечена
суммарным влиянием малого параметра и точек поворота. При условии
положительности функции p(t) (или отрицательности), т.е. при отсутствии точек поворота, подобной связи нет. В этом случае имеет место
соотношение [11]
£
¤ £
¤
lim h1 (ε) = M −1 p−1 (t) M q(t)p−1 (t) .
ε→0
Можно показать, что все собственные значения периодической и антипериодической краевых задач для уравнения (9.5.3) неограниченно
убывают при стремлении ε к нулю. В случае уравнения (9.5.1) все вещественные, кроме h1 (ε), собственные значения тех же краевых задач либо
с уменьшением ε пропадают, либо неограниченно убывают.
§ 9.6. Несамоcопряженный случай:
вспомогательное утверждение
Задача исследования поведения вещественных собственных значений периодической и антипериодической краевых задач тесно связана с задачей
об устойчивости решений уравнения (9.5.1) при различных значениях
параметра λ. Эта связь, в частности, устанавливается в §1.6. В свою
очередь, задача определения неустойчивости, как следует из теоремы
1.5.2 главы 1, эквивалентна задаче на построение некоторых пробных“
”
функций. В настоящем параграфе будут построены пробные“ функции
”
для самосопряженного уравнения вида (9.5.3), используя которые мы
сконструируем пробные“ функции и для уравнения (9.5.1).
”
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 9.6.
Несамоcопряженный случай: вспомогательное утверждение 197
Предположим, что выполнены условия теорем 9.5.1 и 9.5.2. Рассмотрим дифференциальное уравнение
·
¸
2q(t) − ṗ(t) p2 (t)
εÿ +
−
y = 0.
(9.6.1)
2
4ε
Основное предположение этого параграфа заключается в допущении,
что решения последнего уравнения неустойчивы при малых ε, причем
коэффициенты ни одного из асимптотических представлений для собственных значений νj+ (ε) и νj− (ε) (j = 1, 2, . . . ) для уравнения (9.5.3) не
состоят из одних нулей.
Прежде чем сформулировать соответствующее утверждение, введем
ряд обозначений. Ниже через ϕ0 (t, ε) будем обозначать некоторую периодическую неотрицательную и не равную тождественно нулю функцию,
явный вид которой нас не будет интересовать. Введем в рассмотрение
затем дифференциальное уравнение
·
¸
2q(t) − ṗ(t) p2 (t)
εÿ +
−
+ ϕ0 (t, ε) y = 0,
(9.6.2)
2
4ε
относительно которого будем предполагать, что оно принадлежит при
всех достаточно малых ε той же зоне неустойчивости, что и уравнение (9.6.1). Наконец, через y0 (t, ε) обозначим функцию, обладающую
следующими тремя свойствами. Во-первых, y0 (t, ε) либо периодическая,
либо антипериодическая. Во-вторых, эта функция является решением
уравнения (9.6.2). В-третьих, |y0 (t, ε)| может быть отличен от единицы
лишь на некоторых интервалах с центрами в точках t1 , . . . , tn (p(ti ) = 0,
i = 1, . . . , n), длина которых стремится к нулю при стремлении ε к нулю.
Лемма 9.6.1. В предположениях настоящего параграфа существует такая функция ϕ0 (t, ε), что уравнение (9.6.2) имеет решение
y0 (t, ε) с перечисленными выше свойствами.
Доказательство. Сразу отметим, что существование функций ϕ0 (t, ε)
и y0 (t, ε), вторая из которых обладает всеми, кроме последнего, свойствами, непосредственно вытекает, например, из утверждений теоремы 1.5.2.
Возможность осуществления и третьего свойства для функции y0 (t, ε)
будет являться следствием наличия малого параметра.
Предположим для простоты, что первый член каждого из асимптотических разложений для всех νj+ (ε) и νj− (ε) отличен от нуля. В случае,
когда это не имеет места, доказательство проводится аналогично. Поэтому ниже этот случай рассматриваться не будет.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
198
ГЛАВА 9. Асимптотика собственных значений периодической. . .
Упрощающее ограничение, сформулированное выше, позволяет заключить, что
·
¸
1
νi = q(ti ) − (ṗ(t) + |ṗ(t)|) |ṗ(t)|−1 6= j (j = 0, 1, . . . ; i = 1, . . . , n).
2
(9.6.3)
Обозначим через Ni (i = 1, . . . , n) наименьшее неотрицательное целое
число, превосходящее νi . Важное место в доказательстве леммы будут
играть некоторые построения из главы 7. Напомним, что там были введены функции (i = 1, . . . , n)
(
)
∞

P
j

bi (bi +2)...(bi +2j−2)|ṗ(ti )|

(t − ti )2j ×
1+

j (2j)!
ε


j=1


³
´


 × exp |ṗ(ti )| (t − ti )2 , если Ni четно,
ε
(
)
ui (t, bi , ε) =
2j+1
1
∞

P

|ṗ(ti )| 2
(bi +1)...(bi +2j−1)|ṗ(ti )| 2

(t − ti )2j+1 ×
(t − ti ) +

1
2j+1

2
2 (2j+1)!
ε

ε
j=1


³
´


|
ṗ(t
)|
i
2
 × exp
, если Ni нечетно,
ε (t − ti )
где bi лежит в пределах
−Ni < bi < −νi .
Было показано, что каждая из функций ui (t, bi , ε) обращается в нуль
ровно Ni раз на интервале (−∞, ∞). Крайний правый нуль, если таковые
вообще имеются, этой функции мы обозначим через ti (bi , ε). Очевидно,
lim ti (bi , ε) = ti .
ε→∞
Далее, по каждой из функций ui (t, bi , ε) конструировалась новая нечетная функция
1
|ṗ(ti )| 2
u̇i (t, bi , ε)
vi (t, bi , ε) =
(t − ti ) −
,
1
ui (t, bi , ε)
2ε 2
которая обращается в нуль в некоторой точке ti (bi , ε), когда δi = Ni + bi
достаточно мало, причем
ti (bi , ε) > ti (bi , ε).
Наконец, в главе 7 вводились функции zi (t, ε), каждая из которых
тождественно равна vi (t, bi , ε) при всех t ∈ [−ti (bi , ε), ti (bi , ε)], а при
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 9.6.
Несамоcопряженный случай: вспомогательное утверждение 199
остальных значениях t ∈ ∆i (t0 ) = [ti − t0 , ti + t0 ] (t0 > 0, tj ∈ ∆i (t0 ),
если i 6= j) они тождественно равны нулю. Основным свойством этих
функций является то, что при малых δi и ε они удовлетворяют дифференциальным уравнениям
∗
D zi (t, ε) =
zi2 (t, ε)
2q(t) − ṗ(t) p2 (t)
+
−
+ ϕi (t, ε),
2ε
4ε
(9.6.4)
где ϕi (t, ε) ≥ 0, а D∗ zi (t, ε) – правое верхнее производное число функции zi (t, ε). Используя свойства функций zi (t, ε), а также связь между
решениями уравнения Риккати (9.6.4) и линейным дифференциальным
уравнением второго порядка, заключаем, что функция


Zt
yi (t, ε) = exp −
zi (τ, ε)dτ 
ti −t0
обладает следующими свойствами. Во-первых, она имеет ровно Ni нулей
при всех малых ε. Во-вторых, она отлична от единицы лишь на интервале с центром в ti , длина которого стремится к нулю при стремлении ε к
нулю. Наконец, в-третьих, она является решением (на соответствующем
отрезке) уравнения
·
¸
2
2q(t)
−
ṗ(t)
p
(t)
−
+ ϕi (t, ε) y = 0.
εD∗ ẏ +
2
4ε
С помощью таких функций yi (t, ε) легко строится функция y0 (t, ε), о
которой говорится в формулировке леммы.
Пусть t2 , . . . , tn лежат в интервале (t1 − t0 , t1 − t0 + T ). Понятно, что
это не ограничивает общности. Положим

 yi (t, ε), если t ∈ ∆i (t0 ) (i = 1, . . . , n),
n
S
y 0 (t, ε) =
 ±1, если t ∈ [t1 − t0 , t1 − t0 + T ], t∈ ∆i (t0 ),
i=1
где знак + или − берется так, чтобы y 0 (t, ε) была непрерывной функцией.
Легко видеть, что y 0 (t, ε) является решением уравнения
·
¸
2
2q(t)
−
ṗ(t)
p
(t)
εD∗ ẏ +
−
+ ϕ0 (t, ε) y = 0,
2
4ε
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
200
ГЛАВА 9. Асимптотика собственных значений периодической. . .
в котором

 ϕi (t, ε),
p2 (t) 2q(t) − ṗ(t)
ϕ0 (t, ε) =
−
,

4ε
2
если t ∈ ∆i (t0 ) (i = 1, . . . , n),
n
S
если t ∈ [t1 − t0 , t1 − t0 + T ] \
∆i (t0 ),
i=1
Далее, отметим, что функция ẏ 0 (t, ε) непрерывно дифференцируема на
[t1 −t0 , t1 −t0 +T ] за исключением конечного числа точек, где существуют
односторонние производные. Поэтому существует такая функция y0 (t, ε),
количество нулей которой на каждом из отрезков ∆i (t0 ) (i = 1, . . . , n)
совпадает с числом нулей функции y 0 (t, ε) и которая может быть отлична
по модулю от единицы лишь на ∆i (t0 ) (i = 1, . . . , n). Наконец, y0 (t, ε)
является решением уравнения
·
¸
2q(t) − ṗ(t) p2 (t)
εÿ +
−
+ ϕ0 (t, ε) y = 0,
2
4ε
причем ϕ0 (t, ε) ≥ 0. Остальные свойства функции y0 (t, ε), о которых
говорится в лемме, выполняются очевидным образом. Лемма доказана.
§ 9.7. Обоснование теоремы 9.5.1
Предположим, что равенство (9.5.5) не имеет места, т.е. на некоторой
последовательности εm → 0
£
¤
+
0
lim ε−l
h
(ε
)
−
ν
(ε
)
= δ0 ,
(9.7.1)
1
m
m
m
1
m→∞
где δ0 6= 0, а l0 ≥ 0 – целое. Из того простого факта, что при λ = ν1+ (ε)
решения уравнения (9.5.1) экспоненциально устойчивы, следует равенство
h1 (εm ) > ν1+ (εm ),
а, значит, в (9.7.1)
δ0 > 0.
(9.7.2)
Если мы докажем существование таких периодических функций
ϕ0 (t, εm ) 6≡ 0 и x0 (t, εm ) > 0, для которых выполняется равенство
εm ẍ0 (t, εm ) + p(t)ẋ0 (t, εm ) + [q(t) − h1 (εm ) + ϕ0 (t, εm )]x0 (t, εm ) = 0, (9.7.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 9.7.
Обоснование теоремы 9.5.1
201
то тем самым получим противоречие с тем, что h1 (εm ) является собственным значением периодической краевой задачи. Здесь мы вновь используем результаты главы 1.
Приступим к построению функций x0 (t, εm ) и ϕ0 (t, εm ). Введем в рассмотрение новое самосопряженное уравнение
εm ẍ + pe(t)ẋ + q(t)x = λx,
(9.7.4)
в котором непрерывно дифференцируемая функция pe(t) обладает следующими свойствами. Во-первых, она совпадает с функцией p(t) там, где
p(t) ≤ α,
причем α > 0, вообще говоря, достаточно мало. Насколько малым оно
должно быть, будет видно из дальнейшего. Во-вторых, все нули pe(t)
совпадают соответственно с нулями функции p(t). Наконец, в-третьих,
выполняются соотношения
M [e
p(t)] = 0,
pe(t) ≤ p(t) (t ∈ [0, T ]).
(9.7.5)
Отметим, что для всех собственных значений νj+ (ε) и νj− (ε) асимптотические в нуле представления вычислялись лишь по значениям функций
p(t), q(t) и их производных в тех точках, где p(t) = 0. Поэтому из свойств
функции pe(t) вытекает, что первое собственное значение νe1+ (ε) периодической краевой задачи для уравнения (9.7.4) удовлетворяет равенству
νe1+ (ε) − ν1+ (ε) = O(ε∞ ).
(9.7.6)
Рассмотрим затем уравнение
·
εẍ + pe(t)ẋ + q(t) −
½
где δ 0 =
δ0 , если δ0 < ∞,
1, если δ0 = ∞.
С помощью замены x = y exp
µ
1
− 2ε
ется к виду
"
εÿ +
2
νe1+ (ε)
Rt
¸
δ 0 l0
− ε x = 0,
2
(9.7.7)
¶
p(τ )dτ
это уравнение преобразу-
0
0
#
2q(t) − p(t)
ė
pe (t)
δ
−
− νe1+ (ε) − εl0 y = 0.
2
4ε
2
(9.7.8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
202
ГЛАВА 9. Асимптотика собственных значений периодической. . .
Нетрудно видеть, что к уравнению (9.7.8) применима лемма 9.6.1, т.е. существуют такие периодические функции ϕ
e0 (t, ε) ≥ 0 (6≡ 0) и y0 (t, ε) > 0,
для которых справедливо дифференциальное равенство
"
#
2
0
pe (t)
δ
2q(t)−p(t)
ė
εÿ0 (t, ε) +
−
− νe1+ (ε)− εl0 + ϕ
e0 (t, ε) y0 (t, ε) = 0. (9.7.9)
2
4ε
2
При этом функция |y0 (t, ε)| может быть отлична от единицы лишь на
некоторых интервалах, стягивающихся в точки t1 , . . . , tn при уменьшении
ε до нуля. Фиксируем, далее, такое ε0 > 0, чтобы |y0 (t, ε)| ≡ 1 для всех
тех значений t ∈ [0, T ], для которых
pe(t) < p(t).
Существование такого ε0 не вызывает сомнений. В дальнейшем будем
рассматривать только те значения ε, которые лежат в интервале (0, ε0 ).
Для периодической (в силу первого из условий (9.7.5)) функции
Ã
x
e0 (t, ε) = y0 (t, ε) exp
−
1
2ε
!
Zt
pe(τ )dτ ,
0
очевидно, выполняется соотношение
·
¸
0
δ
εx
ë0 (t, ε) + pe(t, ε)x
ė0 (t, ε) + q(t) − νe1+ (ε) − εl0 + ϕ
e0 (t, ε) x
e0 (t, ε) = 0.
2
Это равенство можно переписать и так:
·
δ 0 l0
+
εx
ë0 (t, ε) + p(t)x
ė0 (t, ε) + q(t) − νe1 (ε) − ε + ϕ
e0 (t, ε)+
2
¶¸
µ
1
ẏ0 (t, ε)
− pe(t) x
e0 (t, ε) = 0.
(9.7.10)
+(e
p(t) − p(t))
y0 (t, ε) 2ε
из свойств функций pe(t) и y0 (t, ε) следует, что последний коэффициент,
стоящий в квадратных скобках равенства (9.7.10), неотрицателен. После
этого построение описанных функций ϕ0 (t, εm ) и x0 (t, εm ) завершается
без труда. Действительно, фиксируем m0 так, чтобы при всех m > m0
выполнялось условие
h1 (εm ) −
ν1+ (εm )
δ 0 l0
≥ εm .
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 9.8.
Обоснование соотношений (9.5.8)
203
Тогда, очевидно,
−ν1+ (ε)
δ 0 l0
− εm + ϕ0 (t, εm ) ≥ −h1 (ε),
2
m > m0 ,
(9.7.11)
причем тождественное равенство в последней формуле исключено. Здесь
положено
·
¸
ẏ
(t,
ε)
1
0
ϕ0 (t, εm ) = ϕ
e0 (t, εm ) + [e
p(t) − p(t)]
− pe(t)
y0 (t, ε) 2ε
или, учитывая свойства функции y0 (t, ε),
ϕ0 (t, εm ) = ϕ
e0 (t, εm ) −
1
pe(t)[e
p(t) − p(t)].
2ε
Используя равенство (9.7.6), замечаем, что в формуле (9.7.11) вместо
ν1+ (ε) можно писать νe1+ (ε). При этом, может быть, придется несколько
увеличить m0 . Положим, наконец,
ϕ0 (t, εm ) = h1 (ε) − νe1+ (ε) −
δ 0 l0
εm + ϕ0 (t, εm ).
2
Тогда уравнение (9.7.10) принимает вид (9.7.3), где x0 (t, εm ) ≡ x
e0 (t, εm ).
При этом функция ϕ0 (t, εm ) 6≡ 0 неотрицательна на основании неравенства (9.7.11), а положительность функции x0 (t, εm ) вытекает из аналогичного свойства функции y0 (t, εm ). Таким образом, обоснование соотношения (9.5.5) завершено.
§ 9.8. Обоснование соотношений (9.5.8)
В этом и следующем параграфах мы будем предполагать, что при всех
достаточно малых ε существуют собственные значения hj1 (ε) и hj1 +1 (ε),
удовлетворяющие неравенствам (9.5.6). Доказательство же существования таких собственных значений будет проведено несколько позже.
В настоящем параграфе будут использованы рассуждения, подобные
тем, которые применялись для обоснования равенства (9.5.5).
Итак, предположим, что для некоторого номера j0 асимптотические
+
+
в нуле ряды для ν2j
(ε) и ν2j
(ε) не совпадают. Сразу отметим, что
0
0 +1
−
−
подобный случай для собственных значений ν2j
(ε) и ν2j
(ε) разбирает0 −1
0
ся аналогично, и поэтому мы его опустим. Доказательство соотношения
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
204
ГЛАВА 9. Асимптотика собственных значений периодической. . .
(9.5.8) проведем, как мы уже неоднократно делали, рассуждая от противного. На этом пути получим равенство
£
¤
+
0
lim ε−l
h
(ε
)
−
ν
(ε
)
= δ0 .
(9.8.1)
j
+1
m
m
m
1
2j0 +1
m→∞
Здесь εm → 0, а δ0 6= 0. Из неравенств (9.5.6) получаем, что δ0 > 0.
Если мы покажем, что для всех достаточно больших m имеют место
соотношения
εm ẍ0 (t, εm )+p(t)ẋ0 (t, εm )+[q(t)−hj1 +1 (εm )+ϕ0 (t, εm )]x0 (t, εm ) = 0, (9.8.2)
где ϕ0 (t, εm ) ≥ 0 (6≡ 0), а x0 (t, εm ) – периодическая функция, имеющая
ровно 2j0 нулей на некотором отрезке длины периода, то тем самым получим противоречие с (9.8.1), а значит, докажем равенство (9.5.8). Соответствующие рассуждения, приводящие к нужному результату, близки
к использованным в предыдущем параграфе. Единственное отличие состоит в том, что функция y0 (t, εm ) в нашем случае будет иметь ровно
2j0 нулей на некотором отрезке длины периода. Наличие нужного числа
нулей у функции y0 (t, εm ) удается проследить, используя снова лемму
9.6.1.
§ 9.9. Обоснование соотношений (9.5.7)
Общий ход рассуждений в этом параграфе тот же, что и в двух предыдущих. Однако в деталях соответствующие построения существенно отличаются от изложенных ранее.
Итак, пусть асимптотические в нуле ряды для собственных значений
+
+
ν2j0 (ε) и ν2j
(ε) не совпадают. Предположим противное, т.е. пусть со0 +1
отношение (9.5.7) места не имеет. Тогда найдется такой номер l0 ≥ 0 и
такая последовательность εm → 0, что
£
¤
+
0
lim ε−l
h
(ε
)
−
ν
(ε
)
= δ0 ,
(9.9.1)
j1 m
m
2j0 m
m→∞
где δ0 6= 0. Отметим, что в силу (9.5.6)
δ0 < 0.
(9.9.2)
Нашей конечной целью является построение такой пробной“ функ”
ции x0 (t, εm ), которая, во-первых, периодична и является решением уравнения
εm ẍ + p(t)ẋ + [q(t) − hj1 (εm ) − ϕ0 (t, εm )]x = 0,
(9.9.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 9.9.
Обоснование соотношений (9.5.7)
205
где периодическая функция ϕ0 (t, εm ) положительна и, во-вторых,
x0 (t, εm ) имеет ровно 2j0 нулей на любом отрезке [α, α + T ], для которого
выполнено условие x0 (t, εm ) 6= 0. Построив функцию, обладающую перечисленными выше свойствами, мы, очевидно, получим противоречие с
тем, что hj1 (εm ) является собственным значением периодической краевой
задачи и удовлетворяет неравенствам (9.5.6).
При построении функции x0 (t, εm ) основную роль будет играть некоторая вспомогательная функция y0 (t, εm ). Определим эту функцию. Для
этого введем в рассмотрение уравнение
εm ÿ + ψ0 (t, εm )y = λy.
(9.9.4)
В (9.9.4) периодическая функция ψ0 (t, εm ) определяется следующим образом. Фиксируем сначала такой отрезок [α1 , β1 ] ⊂ [0, T ], чтобы при всех
t ∈ [α1 , β1 ] функция p(t) была отрицательной. Положим затем

 q(t) − 12 ṗ(t) − 4ε1 p2 (t), t ∈ [0, T ] t∈(α1 , β1 ),
m
a0
ψ0 (t, εm ) =
−
,
t ∈ (α1 , β1 ),

ε2m
где a0 > 0. Отметим, что в дальнейшем будем рассматривать лишь те
значения m, при которых выполняется неравенство
1
1 2
ψ0 (t, εm ) ≤ − ṗ(t) −
p (t) + q(t),
2
4εm
t ∈ [0, T ].
Поставим теперь для уравнения (9.9.4) периодическую краевую задачу.
Собственные значения ν +
j (εm ) этой краевой задачи будем нумеровать в
порядке убывания. Нас будет интересовать поведение только собственного значения ν +
2j0 (εm ). Для него, впрочем, как и для всех остальных
собственных значений, справедливо асимптотическое равенство
+
∞
ν+
2j0 (εm ) − ν2j0 (εm ) = O(ε ).
(9.9.5)
Этот важный для нас вывод следует непосредственно из результатов глав
7 и 8 и §§9.1 - 9.4 . Обозначим, далее, через y0 (t, εm ) собственную функцию, соответствующую собственному значению ν +
2j0 (εm ). От возможного
поведения этой функции зависят последующие построения. В связи с
этим изучим некоторые свойства функции y0 (t, εm ).
Предположим сначала существование такой подпоследовательности
{εmk } последовательности {εm }, что при каждом εmk функция y0 (t, εmk )
имеет нуль на отрезке [α1 , α2 ] ⊂ [α1 , β1 ).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
206
ГЛАВА 9. Асимптотика собственных значений периодической. . .
Лемма 9.9.1. Существует такое m0 , что при всех mk > m0 функция
ẏ0 (t, εmk )
u0 (t, εmk ) =
y0 (t, εmk )
положительна для значений t из промежутка [α0 + rT, β 0 + rT ]
(r = 0, ±1, ±2, . . . ), где
α 2 < α 0 < β 0 ≤ β1 .
Ниже для сокращения записи часто будем считать, что в качестве
подпоследовательности {εmk } взята сама последовательность {εm }.
Доказательство. Для доказательства леммы достаточно заметить,
что в уравнении
εm ÿ + [ψ0 (t, εm ) − ν +
2j0 (εm )]y = 0,
(9.9.6)
решением которого является y0 (t, εm ), коэффициент, стоящий при y, отрицателен при всех малых εm и t ∈ [α1 + rT, β1 + rT ] (r = 0, ±1, ±2, . . . ).
Предположим, далее, что описанная выше ситуация места не имеет,
т.е. нельзя указать такого отрезка вида [α1 , α2 ] ⊂ [α1 , β1 ), на котором
бы функция y0 (t, εm ) обращалась в нуль на некоторой подпоследовательности {εmk } ⊂ {εm }. Тогда выполняется хотя бы один из следующих
двух случаев. Первый из них состоит в допущении существования такого отрезка [α0 , β 0 ] ⊂ (α1 , β1 ), что при всех t ∈ [α0 , β 0 ] функция u0 (t, εm )
неотрицательна на некоторой подпоследовательности {εmk } последовательности {εm }. Второй случай состоит в том, что найдется такой отрезок [α2 , β2 ] ⊂ [α1 , β1 ] и такая подпоследовательность {εmk }, что при
t ∈ [α2 , β2 ] и малых εmk функция y0 (t, εmk ) в нуль не обращается, а знак
ее производной противоположен знаку самой функции. Определим в последнем случае отрезок [α0 , β 0 ] так, чтобы выполнялись неравенства
α 2 ≤ α 0 < β 0 < β2 .
(9.9.7)
Тогда справедливо следующее утверждение.
Лемма 9.9.2. Имеет место оценка
|u0 (t, εmk )| ≤
c0
3
(εmk ) 2
,
t ∈ [α0 + rT, β0 + rT ]
где c0 не зависит от εmk .
(r = 0, ±1, ±2, . . . ), (9.9.8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 9.9.
Обоснование соотношений (9.5.7)
207
Доказательство. Ниже вместо εmk будем писать εm . Для доказательства леммы заметим, что на отрезке [α1 , β2 ] выполняется равенство
Ãs
!
a0
1 +
y0 (t, εm ) = c1 (εm ) exp
−
ν (εm )t +
ε3m εm 2j0
à s
+c2 (εm ) exp −
!
a0
1 +
−
ν (εm )t .
ε3m εm 2j0
Далее, из условий
|y0 (t, εm )| > 0 и
y0 (t, εm )ẏ0 (t, εm ) < 0,
t ∈ [α1 , β2 ]
вытекает соотношение
s
Ã
|c(εm )| ≤ exp −2β2
где положено
c(εm ) =
!
a0
1 +
−
ν (εm ) ,
ε3m εm 2j0
(9.9.9)
c1 (εm )
.
c2 (εm )
Для функции u0 (t, εm ) на отрезке [α0 , β 0 ] справедлива формула
s
"
Ã
!#
a0
1 +
×
u0 (t, εm ) = c(εm ) − exp −2t
−
ν (εm )
ε3m εm 2j0
"
Ã
× c(εm ) + exp −2t
s
a0
1 +
−
ν (εm )
ε3m εm 2j0
!#−1 s
a0
1 +
−
ν (εm ).
ε3m εm 2j0
Отсюда, принимая во внимание (9.9.7) и (9.9.9), и следует обоснование
леммы.
На следующем этапе введем в рассмотрение еще одну вспомогательную периодическую и непрерывно дифференцируемую функцию p0 (t).
Положим
p0 (t) ≡ p(t), t ∈ [0, T ], t∈[α0 , β 0 ],
а на отрезке [α0 , β 0 ] определим p0 (t) так, чтобы выполнялись условия:
M [p0 (t)] = 0,
p0 (t) ≤ p(t),
t ∈ [0, T ].
(9.9.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
208
ГЛАВА 9. Асимптотика собственных значений периодической. . .
Будем, далее, считать, что число m0 выбрано таким образом, чтобы для
всех m > m0 имело место неравенство
a0
1
1 2
>
ṗ
(t)
+
p (t),
0
ε2m
2
4εm 0
t ∈ [α0 , β 0 ].
(9.9.11)
Теперь, когда все подготовительные построения проделаны, мы можем определить функцию x0 (t, εm ). Для этого положим


Zt
1
(9.9.12)
x0 (t, εm ) = y0 (t, εm ) exp −
p0 (τ )dτ  .
2εm
0
Для этой функции справедливо дифференциальное равенство
εm ẍ0 (t, εm ) + p0 (t)ẋ0 (t, εm )+
·
¸
1
1 2
+
p0 (t) − ν 2j0 (εm ) x0 (t, εm ) = 0.
+ ψ0 (t, εm ) + ṗ0 (t) +
(9.9.13)
2
4εm
Последнее выражение можно переписать и так:
·
1
1 2
0
0
p0 (t) − ν +
εm ẍ (t, εm ) + p(t)ẋ (t, εm ) + ψ0 (t, εm ) + ṗ0 (t) +
2j0 (εm )+
2
4εm
¸
1
+(p0 (t) − p(t))(u0 (t, εm ) −
p0 (t)) x0 (t, εm ) = 0.
(9.9.14)
2εm
Таким образом, мы показали, что функция x0 (t, εm ) является решением
уравнения (9.9.3), в котором
1
1 2
−ϕ0 (t, εm ) = ψ0 (t, εm ) + ṗ0 (t) +
p (t) − ν +
2j0 (εm )+
2
4εm 0
·
¸
1
+hj1 (εm ) − q(t) + [p0 (t) − p(t)] u0 (t, εm ) −
p0 (t) .
2εm
Установим теперь положительность функции ϕ0 (t, εm ). Из определения
функций ψ0 (t, εm ) и p0 (t) вытекает неравенство
1 2
1
p (t) − q(t)+
ψ0 (t, εm ) + ṗ0 (t) +
2
4εm 0
¸
·
1
p0 (t) ≤ 0,
+[p0 (t) − p(t)] u0 (t, εm ) −
2εm
(9.9.15)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 9.10.
Завершение доказательств теорем . . .
209
если только εm достаточно мало. Действительно, если на отрезке [α0 , β 0 ]
функция u0 (t, εm ) положительна, то все последнее слагаемое в (9.9.15)
неположительно. Если функция u0 (t, εm ) отрицательна на [α0 , β 0 ], то,
как мы показали, имеет место оценка (9.9.8). Поэтому все равно знак
левой части (9.9.15) будет определяться при малых εm первым слагаемым, которое отрицательно на отрезке [α1 , β1 ] ⊃ [α0 , β 0 ]. Наконец, из
соотношений (9.9.3), (9.9.4) и (9.9.5) получаем, что
l0 0
ν+
2j0 (εm ) − hj1 (εm ) > εm δ ,
m > m0 ,
в котором m0 достаточно велико, а δ 0 определяется формулой
(
δ0
−
, если δ0 6= −∞,
0
δ =
2
1,
если δ0 = ∞.
Итак, мы установили неравенство
ϕ0 (t, εm ) ≥ εlm0 δ 0
(m > m0 ).
Остальные нужные нам свойства функции x0 (t, εm ) выполняются очевидным образом. Отметим лишь, что из периодичности функции y0 (t, εm ) и
из условия (9.9.10) следует периодичность функции x0 (t, εm ).
§ 9.10. Завершение доказательств
несамосопряженного случая
теорем
Прежде всего закончим обоснование теоремы 9.5.1. Для этого нам осталось лишь установить существование при всех достаточно малых ε
собственных значений hj1 (ε) и hj1 +1 (ε), удовлетворяющих неравенствам
(9.5.6). Напомним, что мы рассматриваем тот случай, когда асимпто+
+
тические в нуле ряды для собственных значений ν2j
(ε) и ν2j
(ε) не
0
0 +1
совпадают. В этом случае найдется такой номер l ≥ 0, что
+
+
δ0 = ν2j
− ν2j
> 0,
0 ,l
0 +1,l
(9.10.1)
+
+
где через ν2j
и ν2j
обозначены l-тые производные по ε при ε = 0 со0 ,l
0 +1,l
+
+
ответственно функций ν2j
(ε) и ν2j
(ε) параметра ε. Через l0 обозначим
0
0 +1
наименьший из номеров l, удовлетворяющих неравенству (9.10.1).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
210
ГЛАВА 9. Асимптотика собственных значений периодической. . .
Введем, далее, в рассмотрение дифференциальное уравнение
·
¸
+
l0 δ0
εẍ + p(t)ẋ + q(t) − ν2j0 (ε) + ε
x = 0.
(9.10.2)
2
+
+
При λ = ν2j
(ε) и λ = ν2j
(ε) решения уравнения (9.5.1) экспоненциаль0
0 +1
но устойчивы. Поэтому для доказательства существования собственных
значений hj1 (ε) и hj1 +1 (ε) периодической краевой задачи для уравнения
(9.5.1), удовлетворяющих соотношениям (9.5.6), достаточно показать,
что решения уравнения (9.10.2) неустойчивы при малых ε. Для этого,
в свою очередь, мы воспользуемся критерием неустойчивости, полученным в §1.5 главы 1.
Итак, мы покажем, как определить такие периодические функции
u1 (t, ε) и u2 (t, ε), чтобы, во-первых, выполнялись дифференциальные равенства
εüi (t, ε) + p(t)u̇i (t, ε)+
¸
·
i
+
l 0 δ0
+ (−1) ϕi (t, ε) ui (t, ε) = 0,
(9.10.3)
+ q(t) − ν2j0 (ε) + ε
2
в которых ϕi (t, ε) 6≡ 0 (i = 1, 2) есть неотрицательные периодические
функции, а во-вторых, чтобы каждая из функций u1 (t, ε) и u2 (t, ε)
имела ровно 2j0 нулей на любом таком отрезке [α1 (ε), α1 (ε) + T ] и
[α2 (ε), α2 (ε) + T ] соответственно, что u1 (α1 (ε), ε) 6= 0 и u2 (α2 (ε), ε) 6= 0.
При этом мы воспользуемся некоторыми построениями, приведенными в
§9.7, §9.8 и §9.9.
Положим
u1 (t, ε) = x0 (t, ε), u2 (t, ε) = x0 (t, ε),
где функции x0 (t, ε) и x0 (t, ε) определены в §9.8 и §9.9. Тогда, очевидно,
выполняются равенства (9.10.3), в которых функции ϕi (t, ε) таковы:
δ0
+ q(t) − ψ0 (t, ε)−
2
¸
·
1
1 2
1
− ṗ0 (t) − p0 (t) + [p(t) − p0 (t)] u0 (t, ε) − p0 (t) ,
(9.10.4)
2
4ε
2ε
3 l0
+
+
ϕ2 (t, ε) = ν2j
ν
ε δ0 + ϕ0 (t, ε).
(9.10.5)
(ε)
−
(ε)
−
2j
+1
0
0
4
В формулах (9.10.4) и (9.10.5) использованы обозначения, подобные тем,
которые применялись в §§9.7-9.9. Детальнее мы на этом останавливаться не будем. Для доказательства положительности при всех достаточно
+
l0
ϕ1 (t, ε) = ν +
2j0 (ε) − ν2j0 (ε) + ε
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 9.10.
Завершение доказательств теорем . . .
211
малых ε функций ϕ1 (t, ε) и ϕ2 (t, ε) заметим, что имеют место соотношения
+
∞
ν+
2j0 (ε) − ν2j0 (ε) = O(ε ),
·
¸
1
[p(t) − p0 (t)] u0 (t, ε) − p0 (t) + q(t)−
2ε
1
1
− ṗ0 (t) − p20 (t) − ψ0 (t, ε) ≥ 0,
2
4ε
+
ν2j0 (ε) − ν 2j0 +1 (ε) − εl0 δ0 = O(εl0 ), ϕ0 (t, ε) ≥ 0,
полученные ранее.
Отметим, что в случае несовпадения асимптотических рядов для соб−
−
ственных значений ν2j
(ε) и ν2j
(ε) антипериодической краевой задачи
0
0 −1
доказательство теоремы 9.5.2 проводится аналогично, и поэтому мы его
приводить не будем.
Как следствие трех теорем – 9.5.1, 9.5.2 и 1.5.2 – получаем обоснование критерия устойчивости, содержащегося в теореме 9.5.3. Первое
утверждение теоремы 9.5.5, а с ним и теорема 9.5.6, также являются
непосредственным следствием теорем 9.5.1, 9.5.2 и результатов, полученных в предыдущих главах. Второе утверждение теоремы 9.5.5, в свою
очередь, вытекает из утверждений теорем 1.5.2 и 9.1.3. Таким образом,
нам осталось доказать лишь теорему 9.5.4, причем достаточно ограничиться случаем, когда
lim ν1+ (ε) = ν0 .
ε→0
Отсюда можно сделать вывод о справедливости неравенства
lim h1 (ε) ≥ ν0 .
ε→0
Доказательство наличия равенства (9.5.10) для h1 (ε) можно провести с
помощью построения, как мы уже делали, пробной“ функции. При этом
”
используются примерно те же соображения, что и приведенные в §9.7.
Детально на этом мы останавливаться не будем.
В заключение отметим, что развитую в двух предыдущих параграфах
теорию можно обобщить на более общий класс уравнений
εẍ + p(t, ε)ẋ + q(t, ε)x = λr(t, ε)x,
где периодические по t функции разлагаются в асимптотические ряды по
ε при ε = 0. Пользуясь методикой, разработанной в предыдущих главах,
можно изучить асимптотику собственных значений в случае наличия у
функции p(t, 0) нулей конечной кратности.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
[1] Ляпунов А.М. Об одном линейном дифференциальном уравнении
второго порядка // Собр. соч. Т. 2. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956.
С. 401 — 403.
[2] Ляпунов А.М. Об одном трансцендентном уравнении и о линейных
дифференциальных уравнениях второго порядка с периодическими
коэффициентами // Собр. соч. Т.2, М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956.
С. 404 — 406.
[3] Смирнов В.И. Научный архив А.М.Ляпунова по вопросам устойчивости и теории обыкновенных дифференциальных уравнений // Тр.
III Всесоюзн. матем. съезда, I. М.: Изд-во АН СССР, 1956. С. 236.
[4] Коддингтон Э., Левинсон И. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.
[5] Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные
уравнения с периодическими коэффициентами. М.: Наука, 1972.
[6] Колесов Ю.С. Периодические решения квазилинейных параболических уравнений второго порядка // Тр. Моск. мат. общ. 1970. Т. 21.
С. 103 — 134.
[7] Кащенко С.А. Асимптотика собственных значений периодической
и антипериодической краевых задач для сингулярно возмущенных
дифференциальных уравнений второго порядка с точками поворота // Вестник Яросл. ун-та. 1975. Вып. 13. С. 20 — 83.
[8] Титчмарш Е. Теория функций. М.: Гостехиздат, 1951.
[9] Колесов Ю.С. Об одном алгоритме исследования устойчивости решений линейного дифференциального уравнения второго порядка
212
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЛИТЕРАТУРА
213
с близкими к нулевым почти периодическими коэффициентами //
Вестник Яросл. ун-та. 1973. Вып. 5. С. 27.
[10] Колесов Ю.С., Кубышкин Е.П. Минимальный алгоритм исследования устойчивости линейных систем // Исслед. по устойчив. и теор.
колеб. Ярославль, 1977. С. 142 — 155.
[11] Чаплыгин В.Ф. Положительные периодические решения сингулярно
возмущенных нелинейных дифференциальных уравнений второго
порядка // Тр. научно-исслед. ин-та математики ВГУ. 1970. Вып. 2.
С. 43 — 46.
[12] Кащенко С.А. Об устойчивости почти периодической системы линейных дифференциальных уравнений с малым множителем при
части производных в простейшем критическом случае // Вест. Яросл. ун-та. 1973. Вып. 5. С. 3 — 14.
[13] Кащенко С.А. Предельные значения собственных чисел первой
краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка с точками поворота // Вест. Яросл.
ун-та. 1974. Вып. 10. С. 3 — 39.
[14] Кащенко С.А. Асимптотика собственных чисел первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения
второго порядка с точками поворота // Вест. Яросл. ун-та. 1974.
Вып. 10. С. 40 — 64.
[15] Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М.:
Наука, 1970.
[16] Кащенко С.А. Асимптотические законы распределения собственных
значений периодической и антипериодической краевой задачи для
дифференциальных уравнений второго порядка с точками поворота // Исслед. по устойч. и теории колеб. Ярославль, 1976. С. 95 —
113.
[17] Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука,
1971.
[18] Кащенко С.А., Колесов Ю.С. Раскачивание качелей“ при помощи
”
двухчастотной силы // Исслед. по устойч. и теории колеб. Ярославль, 1978. С. 19 — 25.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
214
ЛИТЕРАТУРА
[19] Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.:
Гостехиздат, 1948.
[20] Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих
малые параметры при производных // Математический сборник.
1952. 31 (73), № 3. С. 575 — 586.
[21] Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Федорюк М.В. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки. Математический анализ, 1967. ВИНИТИ АН СССР. М.,
1969.
[22] Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.
[23] Дородницын А.А. Асимптотическое решение уравнения Ван-дерПоля // ПММ. 1947 II. С. 313 — 328.
[24] Мищенко Е.Ф., Понтрягин Л.С. Периодические решения систем
дифференциальных уравнений, близкие к разрывным // ДАН
СССР. 1955. Т. 102, № 5. С. 889 — 891.
[25] Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир,
1970.
[26] Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым
параметром // УМН. 1957. 12, № 5. С. 3 — 122.
[27] Вишик М.И., Люстерник Л.А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных
дифференциальных уравнений // I, УМН. 1960. 15, № 3. С. 3 —
80.
[28] Колесов Ю.С., Чаплыгин В.Ф. О неосцилляции решений сингулярно возмущенных уравнений второго порядка // ДАН СССР. 1971.
Т.199, № 6. С. 1240 — 1242.
[29] Камке Е. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1965.
[30] de la Vallie-Poussin Ch. T. T. Math. Pure et Appl. 1929. (9) 8. С. 125.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЛИТЕРАТУРА
215
[31] Кащенко С.А., Колесов Ю.С. Критерий устойчивости решений сингулярно возмущенных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами // УМН. 1974. Т. XXIX, 4 178. С. 171 — 172.
[32] Адамов Н.В. О колебании интегралов уравнения второго порядка с
периодическими коэффициентами и некоторые условия устойчивости // Математический сборник. 1935. 42 124: 6. С. 651 — 668.
[33] Ендовицкий И.И. Условия устойчивости решений линейного дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами // Известия высших учебных заведений. Математика.
1967. № 5. С. 28 — 33.
[34] Крейн М.Г. Основные положения теории λ- зон устойчивости канонических систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // Сборник Памяти А.А. Андронова.
М.: Изд-во АН СССР, М., 1955.
[35] Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.
[36] Дородницын А.А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка // УМН. 1952. Т. 7, 6(52). С. 3 —
96.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Кащенко Сергей Александрович
Устойчивость уравнений второго порядка
с периодическими коэффициентами
Учебное пособие
Редактор, корректор А. А. Аладьева
Компьютерный набор, верстка И. С. Кащенко
Подписано в печать 18.02.06. Формат 60×84/16. Бумага Data Copy.
Усл. печ. л. 12,7. Уч.-изд. л. 11,4. Тираж 150 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе
Ярославского государственного университета.
Отпечатано в типографии ООО Ремдер“.
”
г. Ярославль, пр. Октября, 94, оф. 37.
Тел. (0852) 73-35-03
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
21
Размер файла
1 441 Кб
Теги
уравнения, 1323, устойчивость, учебно, коэффициента, кащенко, пособие, порядке, периодических, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа