close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Сборник задач по математике

код для вставки
Сборник задач
«Старинные задачи по математике»
Задача №1: «Арифметика» Магницкого(21
ноября 1701 года – представлена для
публикации)
Купил некто 112 баранов старых и молодых, дал 49
рублей и 20 алтын. За старого платил по 15 алтын и по
2 деньги, а за молодого по 10 алтын; и ведательно есть,
колико старых и молодых баранов купил он?
Решение:
1 алтын — 3 копейки
1 деньга – 1/2 копейки.
49 рублей и 20 алтын = 49 рублей 60 копеек
15 алтын и 2 деньги = 46 копеек
10 алтын = 30 копеек.
112*46 копеек = 51 рубль 52 копейки – стоят старые бараны
51 рубль 52 копейки – 49 рублей 60 копеек = 19 рублей 20 копеек
19 рублей 20 копеек : 16 копеек =12 молодых более дешёвых баранов вместо
старых.
Ответ: некто купил 100 старых баранов и 12 молодых.
Задача №2: старинная русская задача
Крестьянин хочет купить лошадь и для этого продает рожь. Если он
продаст 15 ц ржи, то ему не хватит для покупки лошади 80 рублей, а если он
продаст 20 ц ржи, то после покупки у него останется 110 рублей. Сколько
стоит лошадь?
Решение:
1 способ: Для того чтобы купить лошадь, крестьянину к стоимости 15 ц ржи
надо добавить 80 рублей, а от стоимости 20 ц у него останется 110 рублей. Это
означает, что разница между стоимостями 20 ц и 15 ц, равная стоимости 5 ц ржи,
составляет 80 + 110 = 190 (рублей). Отсюда находим стоимость 1 ц ржи
(190рублей : 5 = 38 рублей). Значит, стоимость лошади составила 15*38 + 80 =
650 (рублей).
2 способ: Пусть стоимость 1 ц ржи составляет х рублей. Тогда стоимость
лошади составляет 15х + 80 или 20х — 110.
А значит:
15х + 80 = 20х – 110.
Решая это уравнение, находим:
5х = 190
х = 38, стоимость лошади 38*15 = 80 = 650 (рублей).
Ответ: 650 рублей.
Задача №3: задача индийского математика и астронома
Брахмагупты - индийский математик и астроном Брахмагупта
(ок.598-660)-автор сочинения «Усовершенствованное учение
Брахмы»).
Слон,
слониха
и
слонёнок
пришли
к
озеру,
чтобы напиться воды. Слон может выпить озеро за 3ч, слониха — за 5ч, а
слонёнок — за 6ч. За сколько времени они все вместе выпьют озеро?
Решение:
1 способ: Примем объём озера за единицу. Тогда за 1 час слон выпьет 1/3
часть озера, слониха – 1/5 часть, а слонёнок – 1/6 часть. Вместе они выпьют за
час 1/3 + 1/5 + 1/6 часть озера, что составляет 10/30 + 6/30 + 6/30 = 21/30 или
7/10
частей
озера.
Следовательно, всё озеро будет выпито семьёй слонов за 1: 7/10 = 10/7 или 1 и
3/7 часа.
2 способ: Из условия задачи известно, за какое время каждое животное
способно выпить одно озеро – это 3, 5 и 6 часов. Тогда за 30 часов слон выпьет
10 (30 : 3) озёр, слониха – 6 (30 : 5), а слонёнок – 5 (30 : 6). Значит, все вместе за
30 часов слоны выпьют 10 + 6 + 5 = 21 (озеро), а одно озеро выпью за время, в 21
раз меньшее, то есть равное 30 : 21 = 30/21 или 10/7 часа (1 3/7 часа).
Ответ: 1 и 3/7 часа.
Задача №4: Задача из акмимского папируса.
Акмимский папирус относят к 6 – 9 векам новой эры. Он написан на греческом языке и
отражает состояние математической мысли в Византии 7 — 8 веков н.э. Документ был
найден египетскими феллахами (земледельцими) в одном из некрополей Акхима
(Акмима)–города в долине реки Нил в Верхнем Египте. В древности город был известен
под греческим именем Панополис или египетским Хент-Мин.
Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял
1/17, оставив же он в сокровищнице 150. Сколько было в сокровищнице
первоначально?
Решение:
После того, как из сокровищницы некто первый забрал 1/13 часть
сокровищ, в ней осталось 12/13 от первоначального количества. Затем некто
второй из того, что осталось, то есть из 12/13, проявив известную
скромность, забрал всего 1/17 часть, то есть 12/13*17 = 12/221 части. В
сокровищнице, таким образом, осталось 12/13 – 12/221 = 192/221 части. И эта
оставшаяся часть составила 150 предметов.
Ответ: 150 предметов
Задача №5: задача А.П.Чехова
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540
руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и
другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное
3 рублей?» Повторите задачу.
Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова не
говоря, начинает делить 540 на 138.
— Для чего же это вы делите? Постойте! Впрочем,
так… продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть
остатка. Дайте-ка я разделю!
Зиберов делит, получает 3 с остатком и быстро стирает.
«Странно… — думает он, ероша волосы и краснея. — Как же она
решается? Гм!.. Это задача на неопределенные уравнения, а вовсе не
арифметическая»…
Учитель глядит в ответы и видит 75 и 63.
«Гм!.. странно… Сложить 5 и 3, а потом делить 540 на 8? Так, что ли?
Нет, не то».
— Решайте же! — говорит он Пете.
— Ну, чего думаешь? Задача-то ведь пустяковая! — говорит Удодов
Пете. — Экий ты дурак, братец! Решите уж вы ему, Егор Алексеич.
Егор Алексеич берет в руки грифель и начинает решать. Он заикается,
краснеет, бледнеет.
— Эта задача, собственно говоря, алгебраическая, — говорит он. — Ее с
иксом и игреком решить можно. Впрочем, можно и так решить. Я, вот,
разделил… понимаете? Теперь, вот, надо вычесть… понимаете? Или,
вот что… Решите мне эту задачу сами к завтраму… Подумайте…
Петя ехидно улыбается. Удодов тоже улыбается. Оба они понимают
замешательство учителя. Ученик VII класса еще пуще конфузится,
встает и начинает ходить из угла в угол.
— И без алгебры решить можно, — говорит Удодов, протягивая руку к
счетам и вздыхая. — Вот, извольте видеть…
Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.
— Вот-с… по-нашему…
Решение:
Предположим, что купец купил бы 138 аршин только синего сукна,
стоимость которого составляла 5 рублей за аршин. Тогда он истратил бы на эту
покупку 138*5 = 690 рублей. Но купец истратил всего 540 рублей, то есть на 150
рублей меньше за счёт покупки синего сукна, которое на 2 рубля дешевле. Таким
образом, выигрывая на каждом аршине по 2 рубля, для того чтобы сократить
стоимость покупки на 150 рублей, нужно купить 150:2 = 75 аршин чёрного
сукна. Остальное сукно в количестве 63 аршин (138 – 75) – синее.
Ответ: 63 аршин
Задача №6: Старинная задача из сборника
С.А. Рачинского «1001 задача для умственного
счёта».
В школе равное число мальчиков и девочек. Всякому
мальчику
дали
по
4 ореха, всякой девочке по 3 — всего 168 орехов.
Сколько
детей
учится
в
школе?
Решение:
1 способ: В школе учится равное количество мальчиков и девочек, и это
условие делает задачу простой для решения. Два ребёнка, мальчик и девочка,
вместе получили 4 + 3 = 7 орехов. Значит всего таких пар детей было 168 : 7 =
24, а в школе учится всего 48 детей – 24 мальчика и 24 девочки.
2 способ: Пусть количество мальчиков – х и ,согласно условию, количество
девочек тоже х. Мальчики получили 4х орехов, девочки — 3х орехов, а вместе
им выдали 4х + 3х = 168 (орехов).
Отсюда: 7х = 168
х = 24, а всего мальчиков и девочек 48 человек.
Ответ: 48 человек
Задача №7: задача из сборника «Греческая антология»
Антология – сборник избранных художественных произведений разных авторов.
«Греческая антология» содержит 48 задач в стихах.
Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:
«Что так тебя огорчило, ответствуй немедля!»
«Яблок я нес с Геликона немало,— Эрот отвечает,—
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.
Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Қлио
Пятую долю взяла. Талия — долю восьмую.
С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть
взяла Терпсихора,
С частью седьмою Эрато от меня убежала.
Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать
Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками.
Только полсотни плодов мне оставили музы на
долю».
Решение: Эрот – греческий бог дружбы и любви – нес с горы Геликон много
яблок, но по дороге был «атакован» музами. Эвтерпа, муза поэзии, забрала 1/12
часть, Клио, муза истории, — 1/5 часть, Талия, муза комедии, — 1/8.
Мельпомена, муза трагедии, забрала 1/20 часть, а Терпсихора, муза танца, и
Эрато, муза поэзии любви, 1/4 и 1/7 части соответственно. Все вместе они
забрали: 1/12 + 1/5 + 1/8 + 1/20 + 1/4 + 1/7= 70/840 + 168/840 + 105/840 + 42/840 +
210/840 + 120/840 = 715/840 = 143/168.
Значит, до встречи с Полимнией у Эрота оставалось 1 – 143/168 = 25/168
частей яблок.
Эта часть яблок равна суммарному количеству тех яблок, которые забрали
остальные музы, Полимния, Урания и Каллиопа, и тех яблок, что остались у
самого Эрота: 30 + 120 + 300 + 50 = 500 (штук).
Теперь решение задачи сводится к нахождению целого по его части. 25/168
частей составляют 500 яблок и, следовательно, вначале у Эрота было 500*168
/25 = 3360 яблок.
Ответ: 3360 яблок
Задача №8: задача Бхаскары
Если некоторое число умножить на 5, от
произведения отнять его треть, остаток разделить
на 10 и прибавить к этому последовательно 1/3, 1/2 и
1/4 первоначального числа, то получится 68. Каково
начальное число?
Решение: Обозначим искомое число буквой а.
Увеличим а в пять раз (5а) и отнимем от этого числа
его 1/3 часть:5а – 5/3а = 5а – 1(2/3)а = 3(1/3)а = 10/3а. Разделим остаток на 10 и
получим 1/3а.
Теперь сложим:
1/3а + 1/3а + 1/2а + 1/4а = 17/12а.
И, наконец, 17/12а
Ответ: начальное число 48.
=
68,
откуда
а
=
(68/17)*12
=
48.
Задача №9: Старинная задача из Бахшалийской рукописи.
Бахшалийская рукопись была найдена в 1881 году на северо-западе Индии при раскопках
в Башхали и датируется 3 – 4 или, по некоторым данным, 12 веками новой эры.
Из
четырех
жертвователей
второй дал вдвое больше первого, третий — втрое больше
второго, четвертый — вчетверо больше третьего, все вместе
дали 132. Сколько дал первый?
Решение: Примем полную сумму пожертвованных денег за единицу. Тогда
первый человек дал 1 часть, второй – 2 части, третий – 6 частей, а четвёртый – 24
части.
Таким
образом,
полная
сумма
состоит
из:
1 + 2 + 6 + 24 = 33 частей, а одна часть составляет 132 : 33 = 4. Значит, первый
жертвователь дал 4 единицы каких то денег, второй – 8, третий – 24, а четвёртый
– 96.
Ответ: первый жертвователь дал 4 единицы каких то денег
Задача №10: Древнеримская задача (II век н.э.).
Некто, умирая, завещал: если у моей жены родится сын, то пусть ему
будет дано 2/3 имения, а жене — остальная часть. Если же родится
дочь, то ей — 1/3 , а жене — 2/3. Родилась двойня — сын и дочь. Как
разделить имение?
Решение: Завещание составлено в «третьих» долях состояния: 1/3 и 2/3 и
содержит в себе два условия. Объединяя эти два условия, приходим к выводу,
что, согласно распоряжению завещателя, сын должен был получить в два раза
больше жены, а жена в два раза больше дочери. Значит, что в случае рождения
двойни долевое распределение должно остаться неизменным. Исходя из этого,
дочь должна получить 1 часть целого, жена – 2 части, а сын – 4 части и,
следовательно, всё состояние следует разделить на 1 + 2 + 4 = 7 частей и сын
должен получить — 4/7, жена – 2/7, а дочь – 1/7.
Задача №11: Старинная задача армянского ученого Анания
Ширакаци (Армения, VII в н.э.).
Перу армянского ученого принадлежит более 20 работ по арифметике, теории
летосчисления, космографии и географии «Математика Анании Ширакаци — о весах и
мерах», «Вопросы и решения» (сборник арифметических задач),Трактат о календаре и
космографии, «География»
Страница из учебника арифметики Анании Ширакаци, 1283 год
Учебник по арифметике «Вопросы и решения» является одним из древнейших дошедших
до нас трудов по арифметике , включает материал по искусству счисления в виде таблиц.
Он стал значительным вкладом в развитие математического образования.
Один купец прошел через три города, и взыскали с него в первом городе
пошлины половину и треть имущества, во втором городе половину и
треть (с того, что осталось), и в третьем городе снова взыскали
половину и треть(с того, что у него было); и когда он прибыл домой, у
него осталось 11 дахеканов (денежных единиц). Итак, узнай, сколько
всего дахеканов было вначале у купца.
Решение: В первом городе с купца взыскали 1/2 + 1/3 = 5/6 имущества. При
этом у него осталось 1 – 5/6 = 1/6 имущества. Во втором городе количество
взысканного имущества также составило 5/6, а значит всего во втором городе
с купца взыскали 1/6*5/6 = 5/36 имущества и теперь у него осталось 1/6 –
5/36 = 1/36. В третьем городе вновь забрали 5/6 оставшегося, то есть 1/36*5/6
= 5/216 имущества. Теперь у купца осталось 1/36 – 5/216 = 1/216, что,
согласно условию, составило в денежном выражении 11 дахеканов. То есть,
1/216 = 11 дахеканов, а значит всего в начале путешествия у купца было
11*216 = 2376 дахеканов.
Задача №12: Задача из сборника И.Верещагина «Сборникъ
Арифметическихъ задачъ для среднихъ учебныхъ заведенiй
мужскихъ и женскихъ», 1908 год.
Виноторговецъ купилъ за 420 рублей бочку вина, содержавшую 35 вёдеръ.
Это вино онъ перелилъ въ 7 равныхъ бочонковъ и в каждый поровну; доливъ
все бочонки водою, онъ началъ продавать ведро смеси по 10 рублей и черезъ
это не получилъ ни прибыли, ни убытку. Сколько воды он налилъ въ каждый
бочонокъ?
Решение: Согласно условию в каждый бочонок налили по 35:7 = 5 вёдер вина
и добавили некоторое количество воды. Стоимость каждого ведра вина
составляла 420:35 = 12 рублей. Поскольку в каждом бочонке 5 вёдер вина (при
условии, что вода бесплатна) стоимость каждого из бочонков должна быть не
менее 60 рублей, так как иначе торговля пойдёт в убыток, но и не более,
поскольку, согласно условию, виноторговец прибыли не получил.
Ведро смеси продавали по 10 рублей, поэтому, для того, чтобы стоимость
бочонка составила 60 рублей, в нём должно было содержаться всего 6 вёдер, а
поскольку 5 из них вино, шестое ведро должно было быть водой.
Ответ: в каждый бочонок было добавлено по ведру воды.
Задача
№13:
Старинная
«Арифметики» А.П. Киселёва.
задача
из
Первый школьный учебник по арифметике А.П. Киселёва вышел в
1884 г. В 1938 г. он был утвержден в качестве учебника арифметики для
5-6 классов средней школы; в 1955 г. вышло его 17-е издание.
Из двух сортов чаю составлено 32 фунта смеси; фунт
первого сорта стоит 3 р., фунт второго сорта 2 р.40 к.
Сколько фунтов взято от того и другого сорта, если фунт
смешанного чая стоит 2 р.85 к.?
Решение:
1 способ: Пусть количество фунтов чая первого сорта х. Тогда, согласно
условию, количество чая второго сорта – (32 – х). Стоимость фунта смешанного
чая равна суммарной стоимости чая двух сортов, в нашем случае это (х*3 + (32х)*2,4), делённой на количество смеси (32 фунта). Поэтому уравнение будет
иметь вид:
(х*3 + (32-х)*2,4)/32 = 2,85
0,6а = 32*2,85 – 32*2,4 = 14,4
а = 24 (фунта) – количество чая первого сорта, откуда количество чая второго
сорта составит 8 фунтов.
2 способ: Так как 1 фунт чая 1-го сорта стоит дороже смешанного чая на 15
копеек, а один фунт чая 2-го сорта стоит на 45 копеек дешевле смешанного чая,
то есть в 3 раза. То взяв 3 фунта чая 1-го сорта и 1 фунт чая 2-го сорта мы
получим смешанный чай по цене 2руб.85коп. (3*3руб. + 1*2руб.40коп.) /4 =
2руб.85коп. Значит чая 1-го сорта надо взять 3 части, а чая 2-го сорта 1часть или
32/4 = 8 (фунт)- 2-го сорта и 32 — 8 = 24 (фунт) 1-го сорта. Ответ. 8 фунтов чая
2-го сорта, 24фунта чая 1-го сорта.
Задача
№14:
Из
«Всеобщей
арифметики» И.Ньютона(1707 г.)
Некто желает
распределить между
бедными деньги. Если бы у него было на восемь
динаров больше, то он мог бы дать каждому по
три, но он раздал лишь по два, и у него еще
остается три. Сколько бедных?
Решение: Некто раздал бедным по два динара, а оставшиеся у него 3 начал
добавлять каждому бедному с тем, чтобы к него стало 3 динара. Таких людей
оказалось трое. Согласно условию, для того, чтобы у всех участников стало по 3
динара, не хватило 8 динаров. Значит, всего бедных было 3 + 8 = 11.
Задача №15: Из «Арифметики» Л. Н. Толстого.
У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько
у каждого овец?
Решение: Если бы у двух мужиков овец было поровну и по стольку, сколько
было у того, у кого овец меньше, то в сумме у них было бы 35 – 9 = 26 (овец), а у
каждого по 13 овец. Но у одного на самом деле было на 9 овец больше, то есть
13 + 9 = 22 (овцы).
Итак: у одного 13, а другого 22 овцы
Задача №16: Старинная задача (Франция, XVII – XVIII в. в.).
Трое хотят купить дом за 24000 ливров. Они условились, что первый
даст половину, второй — одну треть, а третий — оставшуюся часть.
Сколько даст каждый?
Решение: Первый даст половину всей суммы, то есть 24000:2 = 12000
(ливров). Второй – 1/3, то есть 24000:3 = 8000 (ливров), а третий – оставшуюся
сумму, то есть 24000 – 12000 – 8000 = 4000 (ливров).
Задача №17: Из «Азбуки» Л.Н. Толстого.
Мужик вышел пешком из Тулы в Москву 5 часов утра. В 12 часов выехал
барин из Тулы в Москву. Мужик идет 5 верст в каждый час, а барин едет 11
вёрст в каждый час. На какой версте барин догонит мужика?
Решение: Барин выехал на 12 – 5 = 7 (часов) после мужика, и за это время
мужик прошёл 7•5 = 35 (вёрст). Теперь мы имеет типичную задачу на движение
вдогонку. Барин догонит мужика за время, равное первоначальному расстоянию
между ними (35 вёрст), делённому на разность скоростей их скоростей (6 вёрст в
час), то есть за: 35:6 = 5 5⁄6 (часа). За это время барин окажется на расстоянии от
Тулы, составляющем 11•5 5⁄6 = (11•35):6 = 385⁄6 = 64 1⁄6 (версты).
Ответ: барин догонит мужика на 65-ой версте.
Задача №18: Старинная задача (Китай).
В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно,
что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число
кроликов.
Решение: Пусть в клетке одни кролики. Тогда число ног составит 35*4 = 140.
Но на самом деле в клетке на 140 – 94 = 46 (ног) меньше, поскольку часть из
них принадлежит фазанам, у которых на две ноги меньше, чем у кроликов.
Значит, число фазанов составляет 46:2 = 23, а число кроликов,
соответственно, 35 – 23 = 12.
Источники:
http://uchimsya-reshat-zadach.ru/category/starinnyie-zadachi-po-matematike
http://matematika.gym075.edusite.ru/zadachi.html
http://math4school.ru/starinnie_russkie_zadachi.html
Автор
Анна
Документ
Категория
Образование
Просмотров
130
Размер файла
747 Кб
Теги
сборник
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа