close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задачи

код для вставки
МОУ Новлянская средняя общеобразовательная школа
Исследовательская работа
Авторы:
Воинова Виктория, Ежкова Дарья
Руководитель:
Щёткина В.П., учитель
математики МОУ
Новлянской СОШ.
Новлянка
2016
Обоснование выбора темы.
Математика – царица наук,
Арифметика – царица математики
М.В. Ломоносов
Магницкий Леонтий Филиппович (1669-1739) – выдающися русский педагог–
математик, крупнейший деятель петровских времен в области просвещения. Он внес
огромный вклад в развитие этой науки. Главной же его заслугой является создание
книги под длинным заглавием:
«Арифметика, сиречь наука числительная,
с разных диалектов на славянский язык
преведеная и во едино собрана и на две
книги разделена… Сочинися сия книга чрез труды
Леонтия Магницкого».
В течение полустолетия книга с честью выполняла свою роль, став пособием для
всех русских людей, которые стремились к математическому образованию. В числе
этих людей был великий русский ученый – М.В. Ломоносов, который назвал
«Арифметику» «вратами своей учености».
В «Арифметике» Л.Ф. Магницкого уделяется большое внимание занимательным
задачам, так как считалось, что элемент занимательности облегчает обучение.
Поэтому нам захотелось побольше узнать об этих задачах и способах их решения,
тем самым расширить круг своих познаний.
Титульный лист таблиц логарифмов, в
составлении которых участвовал Магницкий.
Страница из «Арифметики»
Л.Ф. Магницкого.
2
Цель:
Расширить знания о Л.Ф. Магницком и его учебнике «Арифметика»,
задачах, предложенных в этой книге и способах их решения.
Задачи.
1. Ознакомиться с неизвестными для нас занимательными задачами из
«Арифметики» Л.Ф. Магницкого и способами их решения.
2. Найти дополнительные источники, содержащие сведения о занимательных
задачах Л.Ф. Магницкого.
3. Провести игру среди младших школьников в рамках школьной Математической
недели, на основе интересных, доступных для них, задачах из «Арифметики»
Магницкого, подготовить материалы для школьной Математической недели по
данной теме.
Что такое занимательные задачи?
«Занимательный» – это интересный, способный занять внимание, воображение.
( По толковому словарю русского языка С.И. Ожегова.)
Позволим себе смелость, высказать собственное мнение на этот вопрос.
Занимательные задачи – это задачи, которые занимают у нас время, и мы не
замечаем, как оно мгновенно пролетает. Решение их дает нам массу положительных
эмоций, заряд бодрости, хорошее настроение. Рождает желание поделиться с
родными и друзьями тем восторгом, который испытываешь, когда находишь их
решение.
Занимательные задачи – это задачи вызывающие восхищения способами их
решения, предложенными автором.
Занимательные задачи – это задачи, постижение которых дает ощущение личного
интеллектуального роста, и возможность видеть высокую оценку этого твои
3
учителем, родителями, друзьями. К занятиям ими никто не принуждает, в них как
будто изначально заложено притягивать, восхищать, возбуждать воображение,
удивлять…(Решением занимательных задачах очень увлеклась моя мама).
Эту тему мы выбрали не случайно, так как часто встречалась с занимательными
задачами на уроках, на факультативах.
Занимательные задачи.
1. Собака и заяц.
Собака усмотрела зайца в 150 саженях от себя. Заяц
пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собака – за 5 минут
1300 саженей. За какое время собака догонит зайца.
Решение задачи.
За одну минуту заяц пробегает 250 саженей, а собака
260 саженей. Следовательно, за 1 минуту расстояние
между собакой и зайцем уменьшится на 10 саженей.
Поскольку между собакой и зайцем, когда собака увидела
зайца, было 150 саженей, то собака догонит зайца через
150:10=15 минут.
2.Постройка дома.
Четыре плотника хотят строить дом. Первый плотник один может построить дом за
год, второй плотник может построить дом за 2 года, третий плотник может
построить дом за 3 года, а четвертый – за 4 года. Однако дом строили четыре
плотника вместе. За какое время они выстроили дом.
Решение задачи.
Решение Магницкого Л.Ф.: «… Возьми число первому плотнику 12, а другому в
полы 6, а третьему 1/3 – 4, а четвертому 1/4 - 3. Сочти же все те перечни как 12 да 6
да 4 да 3, станет 25. То стал деловой перечень. Разочти же те 12 годов – первое
число на дни; умножи с 365-ю дни, придет 4380 дней. Дели же те дни на 25, придет
175,2 дни, столько они вместе делали. Станет 25 недель 4,8 часа».
Таким образом, в рукописи задача решается с помощью приведения количества
работы каждого плотника к одному и тому же времени, именно, к 12 годам. За 12 лет
первый плотник может построить 12 домов, второй – 6 домов, третий – 4 дома, а
четвертый – 3 дома. Всего же они вместе могут построить 12+6+4+3=25 домов.
Принимая, что в году 365 дней, автор рукописи умножает 365 дней на 12 и получает
4
4380 дней. Поделив это число на 25, узнаем, за какое время 4 плотника вместе
построят дом, получаем 4380:25=175,2 дней или 25 недель 4,8 часа.
3. Сколько яиц в лукошке?
Пришел крестьянин на базар и принес лукошко яиц. Торговцы его спросили:
«Много ли у тебя в том лукошке яиц?». Крестьянин молвил им так: « Я всего не
помню на перечень, сколько в том лукошке яиц. Только помню: перекладывал я те
яйца в лукошко по 2 яйца, то одно лишнее осталось на земле; и я клал в лукошко по
3 яйца, то одно же яйцо осталось; и я клал по 4 яйца, то одно же яйцо осталось; И я
их клал по 5 яиц, то одно же яйцо осталось; И я и клал по 6 яиц, то одно же яйцо
осталось; и я клал их по 7 яиц, то ни одного не осталось. Сочти мне, сколько яиц в
том лукошке было?»
Решение задачи.
Задача сводится к нахождению такого числа, которое делится нацело на 7, а при
делении на2,3,4,5 и 6 дает в остатке 1. Если искомое число уменьшить на 1, то
получится число делящееся на 2,3,4,5 и 6.
Наименьшее число, которое делится без остатка на числа 2,3,4,5 и 6, есть 60.
Нужно найти такое число, которое делилось бы на 7 нацело и было бы вместе с тем
на 1 больше числа, делящегося на 60.
Рассмотрим числа 61, 121, 181, 241, 301 и т.д. Первое из выписанных чисел,
делящееся на 7, есть 301. Кроме этого числа, условию задачи удовлетворяют числа
721, 1141, 1561 и т.д. Ряд чисел, удовлетворяющих условию задачи, бесконечен.
Каждое из них получается прибавлением к предыдущему 420 – наименьшего числа,
делящегося на 4,5,6,7.
4. Далеко ли до деревни?
Прохожий, догнавший другого, спросил: «Как
далеко до деревни, которая у нас впереди?». Ответил
другой прохожий: «Расстояние от той деревни, от
которой ты идешь, равно третей части всего
расстояния между деревнями, а если еще пройдешь 2
версты, тогда будешь ровно посередине между
деревнями». Сколько верст еще осталось пройти
первому прохожему?
Решение задачи.
До середины расстояния между деревнями первому
прохожему нужно идти 2 версты, и это составляет 1/2
- 1/3 = 1/6 всего расстояния между деревнями.
5
Поэтому расстояние между деревнями равно 12 верстам, к моменту встречи первый
прохожий прошел 1/3 ·12= 4 версты и осталось ему идти еще 8 верст.
5. Сколько стоят гуси?
Некто купил 96 гусей, половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7 полушек
за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без
полушки. Сколько стоит покупка?
Решение задачи.
Так как алтын состоит из 12 полушек, то 2 алтына и 7 полушек составляют
2·12+7=31 полушки. Следовательно, за половину гусей уплачено 48·31=1488
полушек. За вторую половину гусей уплачено 48· (24-1) = 48·23= 1104 полушки, то
есть за всех гусей уплачено 1488+1104=2592 полушек, что составляет 2592:4=648
копеек или 6 рублей 48 копеек, или 6 рублей 16 алтын.
6. Замысловатый ответ.
Принес крестьянин на рынок продавать яйца. Подходит к нему торговец и
спрашивает: «Сколько стоит десяток яиц?». Крестьянин ответил замысловато:
«Двадцать пять яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц».
Сосчитайте, по какой цене продавал крестьянин десяток яиц.
Решение задачи.
Так как 25 яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц, то 30 яиц без
полушки стоят пять полушек. Следовательно, 30 яиц стоят 6 полушек, откуда
получаем, что один десяток яиц стоит две полушки или полкопейки.
Текст решения этой задачи из рукописи Магницкого: «А считай сице: складывай
яйца с яйцы да деньги с деньгами. Как 25 яиц да 5 яиц станет 30 яиц. Сложив
деньгами 2,5 деньги да 0,5 деньги – 3 деньги, дели ж 30 яиц на 3 деньги, придет 10
яиц за деньгу». (Деньга – 2 полушки).
7. Как узнать день недели?
Перенумеровав дни недели, начиная с понедельника, по порядку с 1 до 7,
предложите кому-нибудь загадать некоторый день недели. Затем предложите
порядковый номер задуманного дня увеличить в 2 раза и к этому произведению
прибавить 5. Полученную сумму предложите умножить на 5, а затем то, что
получится, умножить на 10. По объявленному результату вы называете день недели,
который был загадан. Как узнать загаданный день
недели?
Решение задачи.
Надо из первой цифры объявленного результата
вычесть 2. Остаток укажет номер задуманного дня
недели.
6
Пример. Пусть задумали четверг. Порядковый номер этого дня есть 4. После
удвоения этого числа получим 8, прибавляя к 8 число 5, получаем 13. Умножив это
число на 5, а затем полученный результат – число 65 – умножив на 10, имеем число
650. Отняв от числа 6 – числа сотен – число 2, получаем 4 – порядковый номер
задуманного дня недели, т.е. четверга.
Обоснование. Пусть кто-то задумал некоторый день недели, порядковый номер
которого удовлетворяет условию 1≤ m ≤ 7. После умножения этого числа на 2 и
прибавления к результату 2m получим число 2m+5. Умножая это число на 5, а затем
умножая полученный результат на 10, имеем
[(2m+5) · 5]· 10= 100m+250= (2+ m) · 100 +50
Поскольку 1≤ m ≤ 7, то 3≤ m+2≤9. Если от числа m+2 отнять 2, то получим число m,
т.е. как раз то число, который означает порядковый номер задуманного числа недели.
8. О сплаве серебра.
Имеется серебро: одно 11 пробы, а другое 14 пробы. Сколько, какого серебра надо
взять, чтобы получить 1 фунт серебра 12 пробы?
Решение задачи.
Имеем
11
2
1
12
14
Значит, для получения серебра 12 пробы надо брать 2 части серебра 11 пробы и 1
часть серебра 14 пробы. Поэтому для получения одного фунта серебра 12 пробы
надо взять 2/3 фунта серебра 11 пробы и 1/3 фунта серебра 14 пробы.
9. Как смешать чай?
Имеет некто чай трех сортов – цейлонский по 5 гривен
за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по
12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти 3
сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?
Решение задачи
Решение из «Арифметики» Магницкого Л.Ф.:
«А когда случится мешати 3 товара из них же зделати
чеивертый по желаемой цене и тогда един перечень
7
малейший дважды в правиле полагается. Яко же зде видимо есть:
5
6
1
6
12
5
2
1
6
Попытки смешать
«три» и сделать «четвертый».
8
Здесь предполагается взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части
чая ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Указанный Магницким способ состоит
в следующем. Первый раз, взяв вещества с наименьшей и наибольшей стоимостью, а
второй раз с наименьшей и средней стоимостью. При этом будут найдены доли, в
которых нужно смешивать вещества наибольшей и средней стоимости. Сложив
затем доли дешевого вещества, найденные в первый и во второй раз (6+2=8),
получим долю дешевого вещества в общей смеси.
10. Покупка коровы.
Два человека хотят купить корову. Говорит первый второму: «Если ты дашь мне
2/3 твоих денег, то я один смогу заплатить ее цену». А второй отвечает первому:
«Дай мне ¾ твоих денег, тогда и я заплачу ее цену». Сколько у каждого из них денег,
если корова стоит 24 рубля.
Решение задачи
Предположим, что у первого человека 12 рублей. Тогда второй должен дать ему
24-12=12 рублей, что составляет по условию задачи 2/3 от денег второго человека.
Значит, второй имеет 12· 1,5=18 рублей. После того как первый даст второму 3/4
своих денег, у второго станет 18+3/4· 12=27 рублей, что на 3 рубля больше
стоимости коровы.
Предположим, что у первого человека было 20 рублей. Тогда у второго 1,5(24-20)=6
рублей. После того как первый даст ему 3/4 своих денег, у второго человека станет
6+3/4 · 20=21 рубль, что на 3 рубля меньше стоимости коровы. Применяя
«фальшивое» правило, имеем
12
3
12·3=36, 20·3=60,
8
20 3
60+36=96, 3=3=6.
Значит, у первого человека было 96:6=16 рублей, а у второго 2/3 · (24-16)=12 рублей.
Умножение на пальцах.
Каждый вспомнит, как трудно заучивать
наизусть таблицу умножения. Между тем эту
работу существенно облегчить, если воспользоваться одним старым способом
вычисления на пальцах.
Вот как описывает его Магницкий Л.Ф. на
примере вычисления умножения семь на семь.
Загнем на левой руки столько пальцев, на
сколько первый сомножитель превышает 5, а на
правой руке столько пальцев, на сколько второй
сомножитель превышает 5. В рассмотренном
примере на каждой из рук будет загнуто по 2
пальца. Если сложить количества загнутых
пальцев и перемножить количество не загнутых,
то получиться соответственно числа десятков и
единиц искомого произведения (в данном
примере 4 десятка и 9 единиц).
А вот еще один способ умножения на 9.
Положив обе руки на стол, по порядку
занумеруем пальцы обеих рук следующим
образом: первый палец слева обозначим 1,
второй 2, затем 3,4,5,... до десятого пальца. Если
надо умножить на 9 любое число из первых
9
девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец
номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев,
лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев,
лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного
произведения.
Алгебра на клетчатой бумаге.
В учебнике Магницкого, изданным двести лет назад и служившим целых полвека
основным руководством для школьного обучения, прогрессии хотя и имеются, но
общих формул, связывающих входящие в них величины между собой, в нем не дано.
Сам составитель учебника не без затруднений справляется с такими задачами.
Между тем формулу суммы членов арифметической прогрессии легко вывести
простым и наглядным приемом с помощью клетчатой бумаги. На такой бумаги
любая арифметическая прогрессия изображается ступенчатой фигурой. Например,
фигура АВDС на рис.1 изображает прогрессию:
2; 5; 8; 11; 14.
Чтобы определить сумму ее членов, дополним чертеж до прямоугольника АВGЕ.
Получим две равные фигуры ABDC и DGEC. Площадь каждой из них изображает
сумму членов нашей прогрессии. Значит, двойная сумма прогрессии равна площади
прямоугольника ABGE, то есть
(АС+СЕ)· АВ.
Но АС+СЕ изображает сумму 1-го и 5-го членов прогрессии; АВ – число членов
прогрессии. Поэтому двойная сумма
2S=(сумма крайних членов) · (число членов)
или
S= (первый + последний член) · (число членов): 2
10
Уравнения и функции.
Как люди учились решать уравнения.
Метод двух ложных положений.
От периода между концом второго тысячелетия и началом нашего летоисчисления
история сохранила один самых древних письменных памятников математики –
«Наставление, как достигнуть знания всех темных (трудных) вещей… всех тайн,
которые скрывают в себе вещи…писец Ахмес написал это… со старых
рукописей…». В папирусе Ахмеса содержится ряд задач, которые мы решаем при
помощи уравнений первой степени. Египетский автор решает их способом, который
в течение нескольких тысячелетий употреблялся разными народами для решения
подобных задач и который называется «метод ложного положения». Это есть тот же
метод предположения, который на уроках математики применяется в наше время. В
дальнейшем у разных народов (в Китае, Индии) был создан метод двух ложных
положений, для которого арабы дали правило, применявшееся даже 18 веке
(приведенное, между прочем, Магницким Л.Ф. в его «Арифметики»). Вот пример
решения Магницким задачи по способу двух ложных положений.
Наше первое знакомство с Магницким Л.Ф. и его задачами
Задача. Отец ученика спросил учителя, сколько у того учится ребят. Учитель
ответил, что если бы у него было учеников еще столько, сколько сейчас есть, и
полстолька, и четверть столька, и сын спрашивающего, то их было бы ровно 100
человек. В нашем понимании задача сводится к решению уравнения
х + х + х + х+ 1 =100.
2 4
Решение по Магницкому. Предположим, что учеников было 24. Тогда согласно
условию имели бы 24+24+12+6+1=67, то есть на 100-67=33 меньше требуемого.
Делаем второе предположение: учеников было 32; тогда 32+32+16+8+1=89, то есть
на 100-89=11 меньше требуемого. На основании веками выработанного правила,
Магницкий указывает готовый способ нахождения х:
х = 32·33 - 24·11 = 36.
33-11
Если при одном предположении получится больше, а при другом – меньше, чем
требует условие задачи, то в формуле, по которой вычисляется х, вместо знака
«минус» надо поставить знак «плюс». Например, пусть первое предположение 60.
11
Тогда 60+60+30+15+1=166, 166-100=66 (избыток); пусть второе предположение 20.
Тогда 20+20+10+5+1=56, 100-56=44 (недостаток). В таком случае:
х = 60·44 + 20·66 = 36.
66+44
Современный способ решения.
х(4 + х(4 + х (2+ х(1+ 1(4 =100(4
2 4
4х+4х+2х+х+4=400
11х=400-4
11х=396
х=36
«Счастье в ладошках» от познания нового.
12
Страницы из «Арифметики» Магницкого Л.Ф.
13
Таблица Магницкого Л.Ф.
14
Заключение
В заключении надо отметить, что «Арифметика» Л.Ф.Магницкого оказала
несомненное влияние на те учебники арифметики ХVIII cтолетия, которые
пришли ей на смену, и справедливо можно сказать, что она послужила
«связующим звеном» между русской математической литературой ХVIII
cтолетия.
Таким образом, мы видим, что задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого
не устарели и сейчас. Они имеют большое практическое значение, так как
взяты из жизни и связаны с конкретными жизненными ситуациями. Такое
впечатление, что эти задачи придуманы только сейчас, а не 300 лет назад.
Нам знакомы эти задачи, готовясь к олимпиадам, конкурсу «Кенгуру» решаем их, хотя раньше не знали, что они из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.
Данные задачи помогают развивать мышление, вызывают интерес к
математике, учат приспосабливаться к жизни.
15
Литература
1. Депман И.Я. Рассказы о математике. – М.: Детгиз-Ленинград, 1954. – 144 с.
2. Детская энциклопедия для среднего и старшего возраста. В 10 т. – М.: Академия
педагогических Наук РСФСР, Москва – 1958.
3. Ишлинский А.Ю. М.В. Ломоносов – великий русский ученый. / Ишлинский А.Ю.,
Павлова Г.Е. – М.: Педагогика, 1986. – 128 с., ил. – (Б-чка Детской энциклопедии
«Ученые – школьнику»).
4. Олехник С.Н. Старинные занимательные задачи. / Олехник С.Н., Нестеренко
Ю.В., Потапов М.К. – М.: издат. отдел УНЦ ДО МГУ, 1996. – 152 с.
5. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – М.: издат. Наука, 1978. – 200 с. с илл.
6. Юшкевич А. История математики в России до 1917 г. – М.: Наука, 1968.
16
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
215
Размер файла
18 588 Кб
Теги
задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа