close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задачник

код для вставки
ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ВЛАДИМИРСКОГО КРАЯ
БАНК ЗАДАЧ
ИЗ СТАРИННЫХ УЧЕБНИКОВ МАТЕМАТИКИ
Составители и авторы
иллюстраций:
Головин Илья
Головина Дарья
Петров Илья
Петрова Екатерина
2016 год
1
ОГЛАВЛЕНИЕ.
1.
Сосчитай, сколько учеников?
Задача из учебника Л. Ф. Магницкого………………………... стр.3
2.
Как быстро бежал заяц?
Задача из учебника Т. Ф. Осиповского……………………….. стр.5
3.
Сколько сыновей получили наследство?
Задача из учебника Л. Эйлера…………………………………. стр.7
4.
Сколько денег лежит в сундуке?
Задача из учебника Л. Н. Толстого……………………………. стр.9
5.
Помоги смешать два сорта чая!
Задача из учебника А. П. Киселёва…………………………… стр.10
6.
Сколько у торговца товара?
Задача из учебника В. Арбузова………………………………. стр.12
7.
Найдите прибыль от вложения капитала.
Задача из учебника П. Н. Никульцева………………………… стр.13
8.
Сколько лошадей в табуне?
Задача из учебника А. А. Лямина……………………………... стр.14
9.
Сколько продали муки?
Задача из учебника И. П. Верещагина………………………... стр.16
10.
Сколько сахара в бочонке?
Задача из учебника К. П. Арженикова………………………... стр.17
2
Сосчитай, сколько учеников?
Задача №1.
Автор учебника:
Леонтий Филиппович
Магницкий
Учебник:
«Арифметика, сиречь
наука числительная…»
Год издания: 1703
рисунок Дарьи Головиной
Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать
к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придёт ещё учеников столько же,
сколько имею, и полстолько, и четверть столько и твой сын, тогда будет у меня учеников 100».
Спрашивается, сколько учеников в классе?
Решение.
1 способ
(с помощью «фальшивого
правила», изложен Л. Ф.
Магницким в учебнике)
Предположим, что в классе было 24 ученика. Если придёт столько
же учеников и затем полстолько, затем четверть столькои, наконец,
ещё один ученик, то всего получится:
24 +24+12+6+1=67 (учеников). Не угадали.
Если предположить, что в классе 32 ученика, то, проделав такие же
выкладки, получим:
32+32+16+8+1=89 (учеников). Опять не угадали.
Действуя согласно «фальшивому» правилу, находим
24
33
100-67=33,
100-89=11,
24х11=264,
33х32=1056,
32
11
1056-264=792.
33-11=22.
Следовательно, в классе было 792:22=36 (учеников).
3
2 способ
алгебраический
Пусть х – количество учеников в классе. Составим уравнение:
х+х+1/2х+1/4х+1=100
х=36 (учеников).
3 способ
комбинированный
Пусть х – четверть имеющихся учеников. Тогда«столько же,
сколько имею, и полстолько, ичетверть столько» - 11х (см.
рисунок).
сколько имею
х
х
столько же, сколько имею
х
х
х
х
х
х
полстолько
х
х
четверть
столько
х
11х = 99
х = 9.
9·4 = 36 (учеников).
В нашем классе 25 учащихся. Нам стало интересно, сколько учеников могло
быть у учителя три столетия назад? А ещё задача интересна тем, что, на первый
взгляд, в условии прописано только одно число - 100. Кроме того, на примере
этой задачи мы познакомились с методом «фальшивого правила».
4
Как быстро бежал заяц?
Задача №2.
Автор учебника:
Тимофей Фёдорович Осиповский
Учебник:
«Курс математики. Том 1»*
Год издания: 1803
№ задачи: 6
Собака
побежала
за
зайцем,
находившемся на расстоянии 150 саженей от
неё. Пробегая за две минуты 245 саженей,
собака через 9 минут догнала зайца. Сколько
саженей в минуту пробегал заяц?
рисунок Дарьи Головиной
Решение.
1 способ
арифметический
1)245:2·9 = 1102,5 (саженей) – пробежала собака
2)1102,5 – 150 = 952,5 (саженей) – пробежал заяц
3)952,5:9 = 105 5/6 (саженей/ мин).
2 способ
алгебраический
Пустьх – скорость зайца. Составим и решим уравнение.
9х = 9:2·245-150
18х = 1905
х = 105 5/6(саженей/ мин).
3 способ
комбинированный
Пусть х (саженей) пробежала собака. Составим и решим
пропорцию.
2 = 245
9
х
5
х = 1102,5 (саженей).
1102,5 – 150= 952,5 (саженей) – пробежал заяц
Пусть у (саженей) скорость зайца. Составим и решим пропорцию.
9
1
=
952
у
у = 105 5/6(саженей/ мин).
В задаче используются старинная мера длины – сажень (1 сажень = 2,16
метра). Кроме того, нам было интересно узнать, что решать задачи на движение
приходилось решать не только нам, но и школярам, жившим несколько столетий
назад.
6
Задача №3.
Сколько сыновей получили наследство?
Автор учебника:
Леонард Эйлер
Учебник:
«Руководство к арифметике для
употребления
гимназии
при
императорской академии наук»
Год издания: 1740
рисунок Дарьи Головиной
(русский вариант)
Отец оставил завещание сыновьям: «Старший сын должен получить 1000 рублей и одну
восьмую часть остатка, следующий сын – 2000 рублей и одну восьмую нового остатка,
третий сын – 3000 рублей и тоже восьмую часть нового остатка и т.д.» Все сыновья
получили наследство поровну. Сколько всего было сыновей и какого количество завещанных
денег?
7
Решение.
1 способ
алгебраический
Пусть х (руб.) – завещанная отцом сумма. Составим и решим
уравнение.
х-1000-2000-(х-1000)
1000 + х-1000 = 2000 +
8
8
х = 49 000 (руб.)
Вычислим, сколько получил старший брат:
1000+ 48 000/8 = 7 000 (руб.)
Т. к. все сыновья получили поровну, значит:
49 000 : 7 000 = 7 (братьев).
2 способ
логический
Так как все сыновья получили одинаковую сумму, то восьмая часть
каждого нового остатка была на 1000 руб. меньше восьмой части
предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000
руб. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были
поделены полностью, то, когда младший сын получил деньги,
остатка не было. Но тогда предыдущий остаток 8000 руб. Из него
предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1000 руб., а
остальные 7000 руб. получил младший сын, который был седьмым
сыном. Значит, сыновей было 7, а завещанная сумма – 7000 руб.
Нам было интересно узнать, сколько сыновей было у отца. Решение задачи
алгебраическим способом оказалось непростым, но мы всё же справились:
составили и решили уравнение!
8
Задача №4.
Сколько денег лежит в сундуке?
Автор учебника:
Лев Николаевич Толстой
Учебник:
Арифметика
Год издания: 1703
№ задачи: 24
Муж и жена брали деньги из одного
сундука, и ничего не осталось. Муж взял
7/10 всех денег, а жена 690 руб. Сколько
было всех денег?
рисунок Ильи Петрова
Решение.
1 способ
арифметический
7
1) 1 -
10
=
3
10
часть денег, которую взяла жена.
2) 690:3·10 =2300 (руб.)
2 способ
комбинированный
7
1) 1 -
10
=
3
10
часть денег, которую взяла жена.
2) Пусть х(руб.) – взял муж. Составим и решим пропорцию.
7
3
=
х
690
х = 1610 (руб.)
3) 690 + 1610 = 2300 (руб.)
3 способ
деление на части
1) 690: 3 = 230 (руб.) – 1 часть
2) 230·10 = 2300 (руб.)
Задача нам понравилась тем, что она простая, а способов решения у неё
несколько. Кроме того, задача про деньги будет в учебниках в любые времена!
Только теперь деньги в сундуках уже не хранят.
9
Задача №5.
Помоги смешать два сорта чая!
Автор учебника:
Андрей Петрович Киселёв
Учебник:
Элементарная алгебра
Год издания: 1906
(издание 17)
Из двух сортов чая составлено 32
фунта смеси; фунт первого сорта
стоит 3руб., фунт второго сорта 2 руб.
40 коп. Сколько фунтов взято от того
и другого сорта, если фунт смешанного
чая стоит 2 руб. 50 коп.?
рисунок Ильи Головина
Решение.
1 способ
логический
2 способ
алгебраический
32 фунта смеси по 2 руб. 85 коп.стоят 91 руб. 85 коп. Если бы весь
чай был второго сорта, 32 фунта этого чая стоили бы 76 руб. 80 коп.
Разница между стоимостью смеси и стоимостью чая второго сорта
составляет 14 руб. 40 коп.и обусловлена добавлением чая первого
сорта, стоимость которого на 60 коп. больше. Значит, количество
чая первого сорта составляет: 14 руб. 60 коп. : 60 коп. = 24 (фунта),
второго сорта: 32 – 24 = 8 (фунтов).
Пусть х(фунтов) – количество чая первого сорта, тогда (32 – х)
фунтов – количество чая второго сорта. Составим и решим
уравнение:
10
(3х + 2,4(32 – х))/32 = 2,85.
0,6х = 14,4
х = 24 (фунта).
32 – 24 = 8 (фунтов).
3 способ
комбинированный
Один фунт чая первого сорта стоит дороже смеси на 15 коп., а один
фунт чая второго сорта стоит на 45 коп.дешевле смеси (в 3 раза).
Взяв три фунта чая первого сорта и один фунт чая второго сорта,
получим смесь по цене:
(3·3 + 1·2,4)/4 = 2 руб. 85 коп.
Значит, чая первого сорта надо взять 3 части:
32/4 = 8 (фунтов),
а чая второго сорта 1 часть:
32 – 8 = 24 (фунта).
Задачи на смеси и сплавы, на наш взгляд, одни из самых трудных. Мы не
ожидали, что такие задачи решали за триста лет до нас! В задаче используется
старинная мера веса – фунт (1 фунт = 0,45 кг).
11
Задача №6.Сколько у торговца товара?
Автор учебника:
В. Арбузов
Учебник:
Систематический
арифметических задач.
Год издания: 1913
сборник
(издание 17)
№ задачи: 1108
Если торговец продаст весь имеющийся у
него товар по 7 руб. 20 коп.за пуд, то получит за
весь товар 15 руб. 11 коп. прибыли. Если же
продаст его по 15 руб. 40 коп.за пуд, то получит
113 руб. 51 коп. прибыли. Сколько пудов товара у
купца?
рисунок Дарьи Головиной
Решение.
1 способ
арифметический
1)15, 4 – 7, 2 = 8,2 (руб.) – разность в цене за пуд.
2)113,51 – 15,11 = 98,4 (руб.) – разность в прибыли.
3)98,4 : 8, 2 = 12 (пудов).
2 способ
алгебраический
Пусть х – количество пудов. Составим и решим уравнение:
15,4х -7,2х = 113,51 – 15,11
8,2 х = 98,4
х =12 (пудов).
Задача на расчёт прибыли в любое время будет актуальной! Кроме того, в задаче
использована старинная мера массы - пуд (1 пуд = 16, 38 кг).
12
Задача №7.
Найдите прибыль от вложения капитала.
Автор учебника:
Капиталъвъ 640 руб.
отданъвъростъ по 5% на
3
года.
Сколько
получено
процентныхъденегъ?
П. Н. Никульцев
Учебник:
Арифметика. Курс средних
учебных заведений.
Год издания: 1887 (издание 2)
Номер задачи: 1 (п. 243)
Капитал в 640 рублей положили в банк на
три года под 5% годовых. Какова будет
сумма вклада через три года?
Примечание: ежегодный х процент начисляется от
первоначальной суммы.
рисунок Ильи Головина
Решение.
1 способ
арифметический
1)640·0,05 = 32 (руб.) – прибыль за 1 год
2)32·3 = 96 (руб.)
2 способ
арифметический
1)5% · 3 = 15% - прибыль за три года
2)640 · 0,15 = 96 (руб.)
3 способ
описан
в
учебнике
(тройное правило)
100 руб.
640 руб.
1 год
3 года
5 руб.
х руб.
1 руб.
640 руб.
1 год
3 года
0,05 руб.
32 · 3хруб.
х = 96 руб.
Проценты встречаются на каждом шагу в окружающей нас жизни. Мы были
удивлены, что актуальность некоторых задач за столетия не снижается, а,
наоборот, повышается! Единственное отличие данной задачи на вклады по
сравнению с современной – использование «простых процентов».
13
Задача №8.Сколько лошадей в табуне?
Автор учебника:
Лямин А. А.
Учебник:
Математические досуги.
Год издания: 1703
Номер задачи: 21
рисунок Даши Головиной
Помещик продал табун лошадей трём покупателям. Первому он продал
половину всех лошадей и ещё пол-лошади; второму половину оставшихся лошадей и ещё
пол – лошади; наконец, третьему половину оставшихся и пол – лошади. Сколько
лошадей было в табуне, если известно, что ни одной лошади не пришлось резать
пополам?
Решение.
1 способ
алгебраический
Пусть х (лошадей) было в табуне. Тогда первому продали:
х +1
2
Второму продали:
х+1
4
Третьему продали:
х+1
8
14
Составим и решим уравнение.
х +1
2
+
х +1
4
+
х +1
8
=
х
х = 7 (лошадей).
После прочтения задачи стало очень интересно (и страшно), как можно
продать пол-лошади? Только после того, как мы решили эту задачу,
успокоились. А потом нашли похожие задачи (торговка продавала яйца и т. д.).
Оказывается, у этой задачи много задач-близнецов!
15
Задача №9.
Сколько продали муки?
Автор учебника:
Ираклий Петрович Верещагин
Учебник:
Сборник арифметических задач
для средних учебных заведений.
Год издания: 1908
Номер задачи: 126
(издание 21)
рисунок Екатерины Петровой
В лавке мука находилась в двух мешках, и в первом было на 45 фунтов больше, чем во
втором. После того, как из первого мешка было продано 37 фунтов, а из второго некоторое
другое количество, оказалось, что в первом мешке осталось на 78 фунтов больше, чем осталось
во втором. Сколько фунтов муки было продано из второго мешка?
Решение.
1 способ
арифметический
1)45 – 37 = 8 (фунтов) – разница после продажи из первого мешка
2)78-8 = 70 (фунтов).
2 способ
алгебраический
Пусть х (фунтов) было во втором мешке, а у (фунтов) продали из
второго мешка. Тогда в первом - (х+45).
Составим и решим уравнение.
х+45-37-78 = х-у
х-70 = х-у
у = 70 (фунтов).
В условии задачи используется старинная мера массы - фунт (1 фунт = 0,45 кг).
Похожие задачи мы решали на уроках математики и на занятиях
математического кружка.
16
Сколько сахара в бочонке?
Задача №10.
Автор учебника:
Константин Петрович Аржеников
Учебник:
Сборник арифметических задач и
примеров для начальных народных
училищ (год 4)
Год издания: 1916
Номер задачи: 347
(издание 9)
Торговец получил бочонок с сахаром.
Взвесив его, он увидел, что сахар вместе с
бочонком весит 10 пудов. Сколько сахара в
этом бочонке, если вес пустого бочонка
составляет 9% общего веса, т.е. веса сахара и
бочонка вместе?
рисунок Ильи Головина
Решение.
1 способ
алгебраический
Пусть х – вес пустого бочонка. Составим и решим пропорцию.
100 =
9
10
х
х = 0,9 (пуда).
10 - 0,9 = 9,1 (пуда).
2 способ
арифметический
1)10·0,09 = 0,9 (пуда)
2)10 – 0,9 = 9,1 (пуда).
3 способ
арифметический (с %)
1)100 – 9 = 91 (%)
2)10·0,91 = 9,1 (пуда).
В тексте задачи встречается старинная мера массы - пуд (1 пуд = 16, 381 кг).
Кроме того, задачам на проценты на уроках математики уделяется много
времени и в современной школе. Не случайно задачи на проценты включена в
контрольно-измерительные материалы на экзамене по математике в 9 и в 11
классах.
17
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
22
Размер файла
2 118 Кб
Теги
zadachnik, задачник
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа