close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Сборник задач по математике

код для вставки
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №19 г. Коврова
Сборник задач
по математике
Работа команды «Дельфин» в рамках сетевого проекта
«История математики Владимирского края»
Составители и иллюстраторы:
Юхневич Виктория
Климова Дарья
Руководители команды:
Лобанова Ольга Викторовна
Фоменкова Екатерина Викторовна
Ковров 2016
Задача №1 «Ответ учителя»
Источник: Магницкий Л.Ф. «Арифметика …». 1703
год. Пример №3 (стр. РНБ – 152)
Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у
тебя в классе учеников, так как хочу отдать к
тебе в учение своего сына». Учитель ответил:
«Если придет ещё столько же, сколько имею, и
полстолька и четверть столько и твой сын, тогда
будет у меня 100 учеников». Сколько учеников было
у учителя?
Выбор задачи связан с тем, что при решении
этой задача используется «второе фальшивое
правило» или метод ложного положения, которое формулируется следующим
образом: «Возьми для неизвестного число, которое ты хочешь, назови его
первое положение и поступай согласно условию задачи. Если оно подходит к
условию, то это и есть неизвестное. Но если оно отклоняется в ту или иную
сторону, назови разницу первым отклонением. Затем возьми другое число и
назови вторым положением; если оно не удовлетворяет условию, то оно даёт
второе отклонение. После этого умножай первое положение на второе
отклонение и назови первым результатом; потом второе положение умножай на
первое отклонение, это есть второй результат. Если оба отклонения в одно и то
же время больше или оба меньше, дели разность двух результатов на разность
двух отклонений; если дело обстоит иначе, дели сумму двух результатов на
сумму отклонений, частное и есть искомое число».
Решение:
I способ «второе фальшивое правило»
Предположим, что учеников было 24.
Проделаем описанные в задаче операции:
24 + 24 + 12 + 6 + 1 = 67 учеников
Не угадали, результат вычислений меньше 100
Предположим, что учеников было 32.
Проделаем описанные в задаче операции:
32 + 32 + 16 + 8 + 1 = 89 учеников
Не угадали, результат вычислений меньше 100
Вычислим, насколько мы ошиблись:
24
100 – 67 = 33; 100 – 89 = 11.
Нарисуем схему:
32
33
100
11
Разделим разность результатов на разность ошибок:
учеников.
Ответ: 36 учеников.
II способ
Пусть x – число учеников. Тогда
.
11x = 396;
x = 36 учеников.
Ответ: 36 учеников.
III способ
100 учеников можно выразить как
Тогда 2
3
- это 99 учеников, откуда находим, что
4
да ещё один ученик.
.
Ответ: 36 учеников.
Задача №2 «Летели гуси»
Источник:
Румовский
С.Я.
«Сокращения математики», 1760 год.
Пример 163 (стр.125)
Летела стая гусей, а навстречу
ей один гусь. «Здравствуйте,
100
гусей», - говорит он, а вожак стаи
отвечает: «Нас не 100 гусей. Если бы
нас было столько, сколько теперь, да ещё столько, да ещё пол столько, да
ещё четверть столько, да ещё ты, гусь, то нас было бы ровно 100 гусей».
Сколько гусей было в стае?
Выбор задачи связан с тем, что она очень похожа на предыдущую.
Данная задача решается тоже с помощью «правила фальшивого», описанного
С.Я. Румовским. Оно немного отличается от предыдущего. В современных
учебниках математики это правило нигде не встречается.
Решение:
I способ «правило фальшивое»
1) Пусть гусей было 4 (кратно 2 и 4). Тогда по условию задачи 4+4+2+1+1=100,
но 4+4+2+1+1=12, 12 меньше 100; погрешность равна -88.
2) Пусть гусей было 12. Тогда по условию задачи 12+12+6+3+1=100, но
12+12+6+3+1=34, погрешность равна -66.
3) Разность погрешностей равна 22. Разность гусей равна 8. Тогда по правилу
фальшивому 22:8={
, отсюда
Р=(8
Q=(8
4) Т.к. погрешности были в недостатке, то полученные числа надо сложить с 4
и 12 соответственно: 32+4=36 гусей, и 24+12=36 гусей.
Ответ: 36 гусей.
II способ
1)
Пусть гусей было 8. Тогда по условию задачи 8+8+4+1+1=100, но
8+8+4+2+1=23, погрешность равна -77.
2)
Пусть гусей было 44. Тогда по условию задачи 44+44+22+11+1=100, но
44+44+22+11+1=122, погрешность равна +22.
3)
Сумма погрешностей равна 99. Разность гусей равна 36. Тогда по правилу
фальшивому 99:36={
, отсюда Р=28, Q=8.
4)
44-8=36 гусей.
Ответ: 36 гусей.
III способ
Пусть гусей было х. Тогда по условию задачи
х+х+ + +1=100 /умножим на 4
4х+4х+2х+х+4=400
11х=396/разделим на 11
х=36
Итак, гусей было 36.
Ответ: 36 гусей.
IV способ (наглядно-геометрический)
Изобразим стаю гусей в виде прямоугольника. Его размеры можно выбирать
произвольно, но так как нам надо будет изображать половину и четверть стаи,
то удобно взять его длину, равную 4 клеткам или 4см.
- это стая
- половина стаи
- четверть стаи
По условию задачи стаю, да ещё одну стаю, да ещё пол стаи четверть стаи
можно изобразить так:
Большой прямоугольник изображает 99 гусей, а в нём 11 четвертей стаи.
Значит, одна четверть стаи – 9 гусей. В большом прямоугольнике 4 четверти,
поэтому в стае 9*4=36 гусей.
Ответ: 36 гусей.
Задача №3 «Офицер и чиновник»
Источник: А.И. Гольденберг. Сборник
задач и примеров для обучения начальной
арифметике. Выпуск I. 1903 год. № 638.
Офицер
и
чиновник
выехали
одновременно из двух городов навстречу друг
другу и встретились через 4 часа; офицер
проезжал в час тремя верстами больше
чиновника. Сколько верст в час проезжал
чиновник, если расстояние между городами 84 версты?
Мы выбрали эту задачу, так как в современных учебниках предлагается
способ её решения с помощью уравнения, а в учебнике 1904 года требуется её
решить арифметическим способом. Нам стало интересно, в чем он заключается.
Решение:
На 3 версты в час больше
4 часа
Офицер
?верст в час
Чиновник
84 версты
I способ
1) Пусть, скорость чиновника = х верст в час.Тогда, скорость офицера = (х+3)
верст в час. Составим и решим уравнение:
4(х+3)+4х=84;
8х=72;
х=9.
Итак, чиновник проезжал 9 верст в час.
Ответ: 9 верст в час.
II способ
1) 84 версты: 4 часа= 21 верста в час – скорость сближения.
2) 21 верста в час- 3 версты= 18 верст – проезжали за час оба без 3 верст.
3) 18 верст: 2= 9 верст – столько верст, проезжал чиновник в час.
Ответ: 9 верст в час.
III способ
1) Пусть, скорость чиновника = х верст в час. Тогда, скорость офицера = у верст
в час. Составим и решим систему линейных уравнений:
у – х= 3 *(-4)
4у + 4х = 84
-4у + 4х = -12
+
4у + 4х = 84
8х = 72
х=9
Итак, чиновник проезжал 9 верст в час.
Ответ: 9 верст в час.
Задача №4
Источник: Т.Ф. Осиповский. Курс
математики. Том I. 1813 год. № 10.
350 человек в 60 дней, работая в
день по 6 часов, вынесли земли 12000
кубических сажень. Спрашивается: во
сколько времени 420 человек, работая
в день по 8 часов, вынесут земли 15000
кубических сажень, работая с таким же проворством?
Мы выбрали эту задачу, т.к. для её решения применяется тройное
правило, которого в современных учебниках не содержится. Мы очень ею
заинтересовались, и решили на данном примере применить новый для нас
метод решения.
Решение:
Кол-во
человек
350
Кол-во
дней
60
Кол-во
часов
6
Кол-во земли
420
?
8
15000 кубических сажень
12000 кубических сажень
I способ
В задаче надо найти время. Количество дней обратно зависит от
количества людей и времени работы в течение суток и прямо зависит от
количества дней.
Составляем пропорцию:
420 : 350
8:6
12000 : 15000
= 60 : х
6:5
4:3
= 60 : х
4:5
96 : 75 = 60 : х
х=
Итак, за 46 дней 420 человек, работая в день по 8 часов, вынесут 15000
кубических сажень земли.
Ответ: 46 дней.
II способ
1) 420 чел. : 350 чел. = 60 дн. : х дн.
х=
– столько дней потребуется 420 человекам для выполнения
того же задания, что и 320 человекам.
2) 8 ч : 6 ч = 50 дн. : х дн.
х=
– необходимо, если в день работают по 8 часов.
3) 12000 куб.сажень : 15000 куб.сажень =
х=
- необходимо 420 человекам, работая в день по 8
часов, чтобы вынести 15000 кубических сажень земли.
Ответ: 46 дней.
III способ
1)
2)
3)
4) 60 дн. *
Ответ: 46 дней.
= 46 дней
Задача №5. «В трактире»
Источник: Н.И. Фусс. Начальные
основания чистой математики. Часть I. 1826
год. §362, вопрос 5.
Двадцать человек, мужчин и женщин,
едят в трактире. Мужчины издерживают
24 рубля, и женщины столько же. Нашлось,
что каждый мужчина издержал одним
рублем
более,
нежели
женщина.
Вопрошается, сколько было мужчин и
женщин?
Мы выбрали эту задачу, так как было удивительно, что в начале 19 века
ученики решали задачи с помощью рациональных уравнений. Нам стало
любопытно, какими ещё способами можно решить эту задачу.
Мужчин - ? чел., 24 р., на 1 р. б.
20 чел.
Женщин - ? чел., 24 р.
Решение:
I способ
1) Пусть, количество мужчин = х чел.Тогда, количество женщин = ( 20-х) чел.
Составим и решим уравнение:
;
=0
х ≠ 0; х ≠ 20
=0
D = 2704
( не подходит по смыслу задачи, т.к. всего 20 человек)
Итак, мужчин – 8 человек.
2) 20 чел. – 8 чел. = 12 чел. – женщин.
Ответ: мужчин – 8 человек, женщин – 12 человек.
II способ
1) Пусть, количество мужчин = х чел. Тогда, количество женщин = у чел.
Составим и решим систему рациональных уравнений:
х–у=1
х=1+у
Решим второе уравнение:
20 - 28у – 24 = 0
у ≠ 0; у ≠ -1
20 - 28у – 24 = 0
D = 169
(не подходит по смыслу задачи)
х=3
у=2
2) Тогда, мужчин: 24р. : 3 = 8 чел. женщин: 24р. : 2 = 12 чел.
Итак, мужчин – 8 человек, женщин – 12 человек.
Ответ: мужчин – 8 человек, женщин – 12 человек.
III способ
1) Пусть, количество мужчин = х чел. Тогда, количество женщин = у чел.
Составим и решим систему линейных уравнений:
х + у = 20
х = 20 – у
Решим второе уравнение:
у ≠ 0; у ≠ 20
D = 2704
(не подходит по смыслу задачи, т.к. всего 20 человек)
Х=8
у = 12
Итак, мужчин – 8 человек, женщин – 12 человек.
Ответ: мужчин – 8 человек, женщин – 12 человек.
Задача №6. «Про чай»
Источник:
А.П.
Киселев.
Систематический курс арифметики.
1912 год. № 256.
Из двух сортов чая составлено
32 фунта смеси; фунт первого
сорта стоит 3 рубля, фунт второго
сорта – 2 рубля 40 копеек. Сколько
фунтов взято от того и другого
сорта, если фунт смешанного чая
стоит 2 рубля 85 копеек (без прибыли и убытка)?
Задача «Про чай» - это классическая задача на смеси. Вопрос, связанный с
их решением актуален в наши дни, так как задачи этого типа вынесены на ОГЭ
и ЕГЭ. Способы, предложенные в учебнике Киселёва достаточно сложные,
поэтому мы использовали более простой «метод стаканчиков» (III способ).
1 фунт I сорта – 3 р., ? фунтов.
32 фунта
1 фунт II сорта – 2р. 40 к., ? фунтов.
1 фунт смеси – 2р. 85 к.
Решение:
I способ
1) 3р. – 2р. 85к. = 15к. – убыток.
2) 2р. 85 к. – 2р. 40 к. = 45 к. – прибыль.
3) 45к. : 15 к. = 3 раза – во столько раз прибыль больше убытка.
4) Значит, дорогой чай по отношению к дешевому надо взять в отношении 3:1.
5)
– дорогого чая.
6)
– дешевого чая.
Ответ: 24 фунта чая 1 сорта и 8 фунтов чая 2 сорта.
II способ
1) 3р. – 2р. 85к. = 15к. – разница в цене дорогого и смешанного чая.
2) 15к. * 32 фунта = 480к. – на столькодороже 32 фунта чая 1 сорта, чем 32
фунта смешанного чая.
3) 3р. – 2р. 40к. = 60к. – разница в цене между дорогим и дешевым чаем.
4) Значит, чтобы понизить стоимость на 480к., надо заменить столько фунтов
первого сорта вторым, сколько раз 60к. содержится в 480к.
480к. : 60к. = 8 фунтов – надо взять 2 сорта
5) 32 фунта – 8 фунтов = 24 фунта – надо взять 1 сорта
Ответ: 24 фунта чая 1 сорта и 8 фунтов чая 2 сорта.
III способ
1 сорт
2 сорт
3р. +
2,4р.
Смешанный
=
2,85р
Х фунтов 32-Х фунтов 32 фунта
1) Пусть, масса чая 1 сорта = х фунтов. Тогда, масса чая 2 сорта = 32-х фунтов.
Составим и решим уравнение:
3х + 2,4(32-х) = 32*2,85
3х + 76,8 – 2,4х = 91,2
0,6х = 14,4
х = 24
Итак, надо взять 24 фунта чая 1 сорта.
2) 32 фунта – 24 фунта = 8 фунтов – надо взять чая 2 сорта.
Ответ: 24 фунта чая 1 сорта и 8 фунтов чая 2 сорта.
Задача №7
Источник: А.Ф. Малинин и К.П.
Буренин. Арифметика.1897 год. № 289.
Три купца внесли для общей
торговли: первый 12000 рублей,
второй 8000 рублей, третий 10000
рублей и получили прибыли 3600
рублей. Сколько следует получить каждому из этой прибыли?
В учебнике Малинина и Буренина для решения задачи «на расчёт
прибыли» используется правило товарищества (один из старинных методов
решения задач). Мы решили выяснить, как с помощью него решаются задачи.
Решение:
I способ
Тот должен получить больше прибыли, что больше внесёт денег;
следовательно, прибыль каждого должна быть во столько раз меньше общей
прибыли, во сколько капитал каждого меньше всего капитала 30000, который
получится
от
сложения
12000+8000+10000;
поэтому,
пусть первый х, второй у, третий z, получим:
Х:3600=12000
у:3600=8000
z:3600=10000
30000=12
30000=8
30000=1
30
30
3, откуда
х=
=1440р.; у=
=960р.; z=
Ответ: 1440 руб., 960 руб., 1200 руб.
=1200р.
II способ
Решим ту же задачу приведение к единице: если с 30000 руб. получено
3600 руб. прибыли, то
с 1 руб. получится
=
руб;
с 12000 руб.
*12000=1440 р.;
с 8000 руб.
*8000=960 р.;
c 10000 руб.
*10000=1200 р.
В задаче, решённой нами, требовалось разделить прибыль
пропорционально внесённый капитала; такие задачи, в которых требуется
данное число разделить на части, пропорциональные другим данным числам,
относятся к правилу товарищества или пропорциональному делению. Для
решения таких задач, надо сложить все числа, пропорционально которым
должно разделить данное число (в нашем примере мы сложили
12000+8000+10000), а потом надо составить следующую пропорцию: первая
искомая часть меньше всего числа (х 3600) во столько раз, во сколько первое из
чисел, пропорционально которым делятся данное; меньшие суммы этих чисел
(12000 30000); потом - вторая искомая часть относится к данному числу так,
как второе из числа, пропорционально которым делится данное, относится к их
сумме, и т.д.
Ответ: 1440 руб., 960 руб., 1200 руб.
III способ
1)
капитала
2)
капитала
3)
капитала
4)
- составляет капитал первого купца от общего
- составляет капитал второго купца от общего
- составляет капитал третьего купца от общего
5)
6)
Ответ: 1440 руб., 960 руб., 1200 руб.
Задача №8
Источник: Л.Н. Толстой. Азбука.
Книга II.1872 год. Часть 3. Счет. №2
(стр.154).
У одного хозяина 23 овцы, а у
другого на 7 больше. Сколько у них
овец вместе?
Это задача на нахождение двух чисел по их сумме и разности. Мы её
решали в 5 классе. Она опубликована в современном учебнике Никольского
С.М. «Математика», 5 класс.
Решение:
I способ
1) 23 + 7 = 30 (ов.) – столько овец у второго хозяина.
2) 23 + 30 = 53 (ов.) – столько овец у двух хозяев.
Ответ: 53 овцы
II способ
1) 23 + 23 = 46 (ов.) – столько овец было бы у двух хозяев, если бы у второго
было столько же овец, сколько у первого.
2) 46 + 7 = 53 (ов.) – столько овец было у двух хозяев в действительности.
Ответ: 53 овцы
III способ:
1) 23 x 2 = 46 (ов.) – столько овец было бы у двух хозяев, если бы у второго
было столько же овец, сколько у первого.
2) 46 + 7 = 53 (ов.) – столько овец было у двух хозяев в действительности.
Ответ: 53 овцы
Задача №9
Источник: Рачинский С.А.
101 задача для умственнаго
счёта. 1899 год. №108.
Я за 200 рублей купил
собаку, корову и лошадь.
Корова втрое дороже собаки, а
лошадь
вчетверо
дороже
собаки вместе с коровой.
Эта задача из учебника для сельских школ. Подразумевалось, что учащиеся
должны решать её устно. Мы попробовали решить данную задачу уже
знакомыми способами. Например, можно попробовать «второе фальшивое
правило» Магницкого.
Решение:
I способ «второе фальшивое правило»
Предположим, что цена собаки 8 рублей.
Проделаем описанные в задаче операции:
8 + 24 + 128 = 160 рублей.
Не угадали, результат вычислений меньше 200
Предположим, что цена собаки 15 рублей.
Проделаем описанные в задаче операции:
15 + 45 + 240 = 300 рублей.
Не угадали, результат вычислений больше 200
Вычислим, насколько мы ошиблись:
8
200 – 160 = 40; 300 – 200 = 100.
Нарисуем схему:
15
40
200
100
Разделим разность результатов на разность ошибок:
рублей стоит собака.
Следовательно, цена коровы – 30, лошади – 160 рублей.
Ответ: собака стоит 10 рублей, корова – 30, а лошадь 160 рублей.
II способ
1) Пусть, цена собаки = х рублей. Тогда, цена коровы равна 3х, а цена лошади
– 4(х+3х) рублей. Общая стоимость покупки соответствует выражению х + 3х +
4(х+3х), и составляет 200 рублей.
Составим и решим уравнение:
х + 3х + 4(х+3х)=200
20х=200
Х=10
Итак, цена собаки 10 рублей, коровы – 30, лошади – 160 рублей.
Ответ: собака стоит 10 рублей, корова – 30, а лошадь 160 рублей.
III способ (наглядно-геометрический)
Изобразим стоимость собаки в виде 1 клетки. Тогда стоимость коровы – 3
клетки, а лошади (3+1)*4 = 16 клеток
- собака
- корова
- лошадь
Стоимость всей покупки 1+3+16 = 20 клеток. Так как я заплатил 200
рублей, то одна клетка соответствует 10 рублям. А это значит, что собака стоит
10 рублей, корова – 30, а лошадь 160 рублей.
Ответ: собака стоит 10 рублей, корова – 30, а лошадь 160 рублей.
Задача № 10
Источник: Евтушевский В.А.
Сборник арифметических задач и
численных примеров. Ч.2. Дроби.
1905. №649.
На фабрике работают 40
мужчин, 28 женщин и несколько
детей, и все работники за 7 дней
работы получили 386 руб. Сколько
детей работало на фабрике, если каждый мужчина получал ежедневно
руб., женщина - того, что мужчина, а дети н а 1 руб. 30коп. меньше,
нежели каждый мужчина и женщина вместе?
Мы выбрали эту задачу, так как по тексту её условия выяснилось, что на
фабрике работали дети вместе со взрослыми, а труд их оплачивался по другому
тарифу (очень несправедливо). Задача на дроби всегда вызывала затруднения. В
старину говорили про человека, который попал в неудобное положение, что он
«попал на дроби». С этой задачей нам пришлось сидеть дольше всего, так как
допускали вычислительные ошибки.
Решение:
I способ
1) × = руб. – получали женщины за один день.
2) ( + ) – 1 = руб.
3) Пусть, на фабрике работает х детей. Составим и решим уравнение:
7(40
+ 28
+х
) = 386
1848 + 7х =1932
7х = 84
х = 12
Итак, на фабрике 12 детей
Ответ: 12 детей
II способ
1) 386 руб. : 7 дней =
руб. – зарплата всех работников за 1 день.
руб. – 40
руб. - 28
руб.
) = 2 руб. – заработок детей за
1 день.
3) 2 руб. : (( + ) – 1 ) руб. =
руб. : ( + ) руб. = 12 детей –
работало на фабрике.
Ответ: 12 детей
2)
III способ:
(руб.) – заработок одной женщины за 1 день.
(руб.) – совместный заработок 40 мужчин и 28
женщин за 1 день.
3)
(руб.) - совместный заработок 40 мужчин и 28 женщин за
7 дней.
4)
(руб.) - заработок одного ребенка за 1 день.
1)
2)
5)
6)
7)
(руб.) - заработок одного ребенка за 7 дней.
(руб.) – заработок детей за 7 дней.
(руб.) – детей работало на фабрике.
Ответ: 12 детей.
Приложение
Скриншоты задач из первоисточников
Задача 1. Магницкий Л.Ф. «Арифметика …». 1703 год. Пример №3 (стр.
152)
РНБ
–
Задача 2. Румовский С.Я. «Сокращения математики», 1760 год. Пример 163
(стр.125)
Задача 3. А.И. Гольденберг. Сборник задач и примеров для обучения начальной
арифметике. Выпуск I. 1903 год. № 638.
Задача 4. Т.Ф. Осиповский. Курс математики. Том I. 1813 год. № 10.
Задача 5. Н.И. Фусс. Начальные основания чистой математики. Часть I. 1826
год. №5.
Задача 6. А.П. Киселев. Систематический курс арифметики. 1912 год. № 256.
Задача 7. А.Ф. Малинин и К.П. Буренин. Арифметика.1897 год. № 289.
Задача 8. Л.Н. Толстой. Азбука. Книга II.1872 год. Часть 3. Счет. №2 (стр.154).
Задача 9. Рачинский С.А. 101 задача для умственнаго счёта. 1899 год. №108.
Задача 10. Евтушевский В.А. Сборник арифметических задач и численных
примеров. Ч.2. Дроби. 1905. №649.
Автор
olgavl33
Документ
Категория
Образование
Просмотров
53
Размер файла
1 927 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа