close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Банк задач

код для вставки
проект
Экспозиция 4. Банк интересных задач из разных учебников, по
которым изучали математику в 18-20 веках наши земляки.
ЭПИГРАФ. «Как показывает опыт, ничто с такой силой не побуждает высокие умы к
работе над обогащением знания, как постановка трудных и в то же время полезных
задач.» И. Бернулли.
Банк интересных задач:
1) Арифметика Л.П. Магницкий



Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу
отдать тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придёт ещё
учеников столько же, сколько имею, и полстолько и четвёртая часть и
твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Спрашивается: сколько
было у учителя учеников.
Некто оставил в наследство жене, дочери и трем сыновьям 48 000
рублей и завещал жене – 1/8 всей суммы, а каждому из сыновей вдвое
больше, чем дочери. Сколько досталось каждому из наследников?
Лошадь съедает воз сена за месяц, коза — за два месяца, овца — за три
месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз
сена?


Один человек выпивает бочонок кваса за 14 дней, а вместе с женой
выпивает такой же бочонок кваса за 10 дней. Нужно узнать за сколько
дней жена одна выпивает бочонок кваса.
2) Арифметика А.П. Киселев
8 метров сукна стоят 960 рублей. Сколько стоят 15 метров того же
сукна?
3) Арифметика С.А.Рачинский
 Летом у меня целые сутки было открыто окно. В первый час влетел 1
комар, во второй — 2, в третий —3 и т. д. Сколько комаров налетело за
сутки?
4) Задачи из старинных рукописей
 Летели скворцы и встретились им деревья. Когда сели они по одному на
дерево, то одному не хватило дерева, а когда на каждое дерево село по
два скворца, то одно дерево осталось не занятым. Сколько было
скворцов и сколько деревьев?
 Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложив
свои деньги без первого, они соберут 90 руб., сложившись без второго 85 руб., сложившись без третьего - 80 руб., сложившись без четвертого
- 75 руб.
Сколько денег у каждого купца?
 У пятерых крестьян - Ивана, Петра, Якова, Михаила и Герасима – было
10 овец. Не могли они найти пастуха, чтобы пасти овец, и говорит Иван
остальным: «Будем, братцы, пасти овец по очереди - по столько дне
сколько каждый из нас имеет овец». По сколько дней должен каждый
крестьянин пасти овец, если известно, что у Ивана в два раза меньшн
овец, чем у Петра, у Якова в два раза меньше, чем у Ивана; Михаил
имеет овец в два раза больше, чем Яков, а Герасим- вчетверо меньше,
чем Петр?
5) Курс математики. Том1 Т.Ф. Осиповский.
 Мужчины и женщины обедали в трактире: каждый мужчина заплатил
на три алтына боле, нежели было женщин, а каждая женщина
заплатила двумя алтынами более, нежели сколько мужчин было; всего
же за обед заплатили 474 копейки. Спрашивается: сколько было мужчин
и сколько женщин?
6) Алгебра. 9-10класс. Виленкин Н. Я.1968 год. С. 283
 Сколькими способами можно выбрать 3 различные краски из имеющихся
пяти?
7) Алгебра. Учебное пособие для 6-го класса средней школы.
Авторы: Ю.Н. Макарычев; Н.Г. Миндюк; К.С. Муравин.
Москва «Просвещение» 1974 4-е издание.
8) "Курса чистой математики» Е.Д.Войтеховский
 Бутылка с пробкой стоят 12 копеек. Бутылка стоит на 10 копеек
дороже, чем пробка. Сколько стоит бутылка и сколько пробка?
9) « Основания алгебры» Л. Эйлер
 Отец, у которого было трое сыновей, оставил им 1600 крон. Старший
сын получил на 200 крон больше среднего, а средний на 100 крон больше
младшего. Сколько получил каждый из сыновей?
Задача 1. 8 метров сукна стоят 960 рублей. Сколько стоят 15 метров
того же сукна?
( А.П.Киселев. Арифметика; № 203, стр. 155). 17 издание, год 2002.
Текст в оригинале повторяется.
Обоснование выбора: задача имеет несколько способов решения, имеет
практическое значение.
1 способ. Решение способом приведения к единице (авторское – Киселев
А.П.)
«Стоимость сукна пропорциональна числу метров его; поэтому 1 метр
стоит в 8 раз меньше, чем 8 м, а 15 м стоят в 15 раз более, чем 1 м, но 8
м стоят 960 руб., значит, 1 стоит 960/8 (=120 рублей)
15 стоят 960/8 *15 (=1800 рублей)
2 способ. Решение задачи посредством пропорции. (авторское – Киселев
А.П.) Обозначим через х стоимость 15 м сукна, по правилу пропорции:
Х:960=16:8
Х=
Х=1800 рублей
Текст в оригинале
(скриншот страницы учебника А.П.Киселева)
3 способ
1) 960:8 =120 (руб.)- цена 1 метра
2) 120*15=1800 (руб.)- стоят 15 м ткани
Ответ: 1800 рублей.
Задача 2. Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так
как хочу отдать тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если
придёт ещё учеников столько же, сколько имею, и полстолько и
четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100.
Спрашивается: сколько было у учителя учеников.
Задача 41 Арифметика Магницкого. Точное воспроизведение подлинника (с приложением
статьи П. Баранова) Москва, 1914 год.
Арифметика Л.П.Магницкого
Текст в оригинале:
Обоснование: задача имеющая несколько способов решения, интерес вызвало
«фальшивое» правило
1 способ. Решение с помощью «фальшивого» правила. Предположим, что в
классе было 24 ученика. Если еще придет столько же учеников и затем
полстолько, затем четверть столько и еще один ученик, то всего получится
24 + 24 + 12 + 6 + 1 = 67 учеников. Не угадали. Если предположить. Что в
классе 32 ученика, то, проделав такие же выкладки, получим 32 + 32 +16 + 8 +
1 = 89 учеников. Опять не угадали. Действуя согласно «фальшивому» правилу,
находим 24 33 100 – 67 = 33, 100 – 89 = 11, 24 * 11 = 264, 33 * 32 = 1056. 32 11
1056 – 264 = 792, 33 – 11 = 22. Следовательно, в классе было 792 : 22 = 36
учеников.
2 способ. Пусть у учителя а учеников. Если придёт ещё столько, учеников
станет 2а, ещё полстолько — (2а + 1/2а), ещё 1/4 столько – (2а + а/2 + а/4) =
2а + 3а/4 = 11а/4. Добавив к этому числу ещё одного ученика, получим:
11а/4 + 1 = 100
11а/4 = 99
а = 36
Итак, у учителя было 36 учеников.
3 способ.
Пусть х человек в классе. Тогда х + х + х/2 + х/4 + 1 = 100
8х + 2х + х = 99 *4
11х = 396
х = 36
Ответ: у учителя было 36 учеников.
Задача № 3 Летом у меня целые сутки было открыто окно. В первый
час влетел 1 комар, во второй — 2, в третий —3 и т. д. Сколько
комаров налетело за сутки?
С.А.Рачинский. Задача № 46 1001 задача для умственного счета в школе
Богданов-Бельский Н. Устный счет. В народной школе С.А.Рачинского. 1895, холст, масло
Обоснование: на уроках алгебры задача легко решается с помощью формулы
суммы арифметической прогрессии, но решение методом Гаусса нас также
заинтересовло.
Решение.
1 способ. За каждый час количество влетевших комаров увеличивалось на 1.
Следовательно, нужно найти сумму 24 (поскольку в сутках 24 часа)
натуральных чисел, каждое из которых на 1 больше предыдущего (в порядке
увеличения). Таким образом, мы имеем дело с арифметической прогрессией.
Рассмотрим первые 10 чисел:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
Их сумму легко найти, если складывать числа, дополняющие друг друга до 10,
например 1 + 9, 2 + 8 и т. д. Таких пар найдётся четыре и в сумме они
составят 40, теперь надо ещё прибавит 5 и 10 и получим сумму 55.
Второй десяток имеет вид:
11,12,13,14,15,16,17,18,19,20.
Будем вновь складывать попарно число, но теперь дополняющие друг друга до
30, например 11 + 19, 12 + 18 и т.д. Таких пар также наберётся 4 и в сумме
они составят 120. Добавив к этому числу 15 и 20, получим 155. Таким образом,
сумма первых 20 чисел равна 210. Прибавив к этому числу сумму 21 + 22 + 23 +
24 = 90, получим, что всего влетевших комаров оказалось 300.
2 способ. Метод Гаусса. А вот великий математик Гаусс обнаружил, что если
попарно складывать числа, например, в первом ряду: 1 + 10 =11, 2 +9 = 11, и
т. д., то таких пар найдётся 5 и , умножив 11 на 5, получим 55. Действуя
аналогичным образом, сумму чисел второго ряда найдём умножением 11 + 20
= 31 на 5, что составляет 155. Добавляя сумму последних 4 чисел, найдём ту
же сумму, равную 300.
3
способ.
С
применением
= 1+ 1(24-1)= 24
=(1+24)*24/2 = 300
Ответ: 300 комаров.
формул
арифметической
прогрессии.
Задача 4. Мужчины и женщины обедали в трактире: каждый
мужчина заплатил на три алтына боле, нежели было женщин, а
каждая женщина заплатила двумя алтынами более, нежели
сколько мужчин было; всего же за обед заплатили 474 копейки.
Спрашивается: сколько было мужчин и сколько женщин?
Курс математики Т.Ф. Осиповского
Часть 1, год издания 1813
Стр.280 №2
Скриншот «Курс математики».Часть1.
В кабаке
Обоснование: Мы не могли не решить задачу из учебника Т.Ф.Осиповского, так как во
Владимирской губернии ученики учились по его учебнику, а также в этом году исполнилось
250-лет со дня рождения Т.Ф.Осипвского.
Авторский текст и решение задачи (способ 1)
Способ 2
мужчин
женщин
Количество
человек
? чел. Х
? чел. У
Заплатил 1 чел.
?, на 3 алтына
больше чем У
474
?, на 2 алтына алтын
больше, чем Х
Составим уравнение:
Х(У+3)+У(Х+2)=158
ХУ+3Х+ХУ+2У=158
ХУ+3Х+ХУ+2У=158
2ХУ+3Х+2У=158
Х(2У+3)=158-2У
Х=
Применим подбор: Х и У – натуральные числа
Пусть У=1, то Х=
Всего
- не является целым числом
Пусть У=2, то Х=22 (удовлетворяет смыслу задачи)
Пусть У=3, то Х=
- не является целым числом
Пусть У=4, то Х=
- не является целым числом
Пусть У=5, то Х=
- не является целым числом
Пусть У=6, то Х=
- не является целым числом
Пусть У=7, то Х=
- не является целым числом
коп.=158
Пусть У=8, то Х=
- не является целым числом
Пусть У=9, то Х=
- не является целым числом
Пусть У=10, то Х=
=6 (удовлетворяет смыслу задачи)
Пусть У=11, то Х=
- не является целым числом
Пусть У=12, то Х=
- не является целым числом …Дальнейшая проверка
показала, что других решений нет.
Ответ: 2 женщины и 22 мужчины или 10 женщин и 6 мужчин
Задача №5. Сколькими способами можно выбрать 3 различные
краски из имеющихся пяти?
Виленкин Н. Я.Алгебра. 9-10класс. 1968 год. С. 283
Номер задачи в оригинале: 5.
Обоснование. В настоящий момент мы изучаем задачи комбинаторики.
Захотелось найти и решить комбинаторную задачу из более старых
учебников.
1 способ.
Подстановка
123, 124, 125, 234, 235, 314, 315, 345, 415, 425
2 способ.
Дерево
1
2
3
2 3 4 5
3 4 5
4 5
345 45 5
45
1 1
3 способ.
4
5
1
5
Формула размещения
Ответ: 10 способов.
=10.
Задача №6. Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно,
что сложившись без первого, они соберут 90 рублей, сложившись без
второго – 85 рублей, сложившись без третьего – 80 рублей,
сложившись без четвертого – 75 рублей. Сколько у кого денег?
Сборник старинных задач.
№ 30.
Обоснование: задача понравилась тем, что имеет потенциал для развития
логического мышления
Решение
1 способ
Второй, третий и четвертый купцы, сложив свои деньги вместе, соберут 90
рублей. Если от этой суммы отнять деньги второго купца и добавить деньги
первого, то получится 85 рублей. Поэтому у первого купца на 5 рублей меньше,
чем у второго. Но точно также легко увидеть, что у третьего купца на 5
рублей больше, чем у второго. Значит, первый, второй и третий купцы,
сложив свои деньги вместе, соберут втрое больше денег, чем имеется у
второго купца. Эта сумма составляет 75 рублей, Значит у первого купца было
20 рублей, у второго 25 рублей, у третьего 30 рублей и у четвертого было 35
рублей.
2 способ.
Сложим последовательно деньги второго, третьего и четвёртого купцов (2 купец + 3 купец
+ 4 купец) – 90 руб., первого, третьего и четвёртого купцов (1 купец + 3 купец + 4 купец) –
85 руб., первого второго и четвёртого купцов (1 купец + 2 купец + 4 купец) – 80 руб. и
первого, второго и третьего купцов (1 купец + 2 купец + 3 купец) – 75 руб.. В полученной
последовательности:
(2 купец + 3 купец + 4 купец + 1 купец + 3 купец + 4 купец + 1 купец + 2 купец + 4 купец + 1
купец + 2 купец + 3 купец)
количество денег каждого из купцов войдёт в общую сумму с коэффициентом 3:
3•1 купец + 3•2 купец + 3•3 купец + 3•4 купец = 90 + 85 + 80 + 75 = 330 (руб.). Отсюда
сумма денег у всех купцов составляет 330:3 =110 (руб.).
Следовательно у первого купца 110 – 90 = 20 (руб.), у второго — 110 – 85 = 25 (руб.), у
третьего – 110 – 80 = 30 (руб.), у четвёртого – 110 – 75 = 35 (руб.).
3 способ
С помощью системы уравнений
2 КУПЕЦ + 3 КУПЕЦ + 4 КУПЕЦ = 90
1 КУПЕЦ + 3 КУПЕЦ + 4 КУПЕЦ = 85
1 КУПЕЦ + 2 КУПЕЦ + 4 КУПЕЦ = 80
1 КУПЕЦ + 2 КУПЕЦ + 3 КУПЕЦ = 75
Сравнив первые два уравнения, видим, что 1 купец имеет на 5 рублей меньше, чем второй,
т.е.
1 купец + 5 рублей = 2 купец
Сравнив второе и третье уравнения, видим, что 2 купец имеет на 5 рублей меньше, чем
третий, т.е.
2 купец + 5 рублей = 3 купец
или
1 купец + 10 рублей = 3 купец
Мы знаем, что первые три купца вместе имеют 75 рублей.
Составим уравнение:
1 купец + (1 купец + 5) + (1 купец + 10) = 75
получаем:
1 купец = 20
2 купец = 25
3 купец = 30
4 купец = 35
Задача 7. Периметр прямоугольника равен 30 метров, его длина
больше ширины на 1 метр. Чему равны стороны и площадь
прямоугольника?
Задача № 7. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк Алгебра, 1974 год , 4 издание
Обоснование. Задача геометрического содержания, решаемая алгебраически.
Задача 8. У двух мальчиков 16 орехов. Если один передаст другому 6 орехов, то у
него останется в три раза меньше орехов, чем станет у другого. Сколько орехов
было у каждого мальчика?
Москва «Просвещение» 1974 4-е издание.
Алгебра. Учебное пособие для 6-го класса средней школы.
Авторы: Ю.Н. Макарычев; Н.Г. Миндюк; К.С. Муравин.
Обоснование. Задача интересна тем, что еще в старинных рукописях
встречалась задача про орешки «Как разделить орехи?». Мы нашли
аналогичную задачу с несколько иным содержанием и в учебнике под редакцией
Ю.Н. Макарычева, решили ее тремя способами.
№ 970.
1 М. - ?
↓+ 6
←
, то в 3 раза м.,
↓
чем
←
2 М. - ?
I способ. Подбор.
1. Допустим, что орехов было поровну.
Тогда: у 1-го
16:2=8 (шт.)
у 2-го
8-6=2 (ор.) - у 1 после того, как он отдал 6 орехов.
8+6=14 (ор.) - у 2-го после того, как он получил 6 орехов.
2. Допустим, что у 1-го было 10 орехов, а у 2-го 6.
Тогда: у 1-го 10-6=4 (ор.) - после того, как он отдал 6 орехов.
У 2-го 6+6=12 (ор.) - после того, как он получил 6 орехов.
} 16 орехов
12:4=3 (отношение), следовательно у 1-го мальчика было 10 орехов, а у 2-го 6
орехов.
Ответ: у 1-го 10 ор., у 2-го 6 ор.
II способ.
1. Пусть у 2-го мальчика было Х орехов.
Тогда после получения орехов у него стало их (Х+6).
По условию задачи известно, что у 1-го орехов стало в меньше,
следовательно у 1-го стало (Х+6) : 3 (ор.).
Также известно, что всего было 16 орехов.
Составим и решим уравнение:
(Х+6) : 3 + (Х+6) = 16
Х + 6 + 3Х + 18 = 16
4Х = 48 — 24
4Х = 24
Х=6
У 2-го мальчика было 6 орехов.
2. 16 — 6 = 10 (ор.) - было у 1-го мальчика.
Ответ: у 1-го 10 ор., у 2-го 6 ор.
3 способ смотри на сканкопии – рукописный вариант (продолжение)
Задача 9. Бутылка с пробкой стоит 11 рублей, бутылка дороже
пробки на 10 рублей,сколько стоит пробка?
Задача из "Курса чистой математики» Войтеховского(1811 г.)
Обоснование: чаще всего к этой задаче пытаются дать устный ответ: 10 и
1… Но, увы! Этот ответ неправильный! Следовательно - задачу нужно
решать!!! «Истина дороже!»
Решение.
1 способ. Пусть х -пробка,тогда бутылка (х+10). По условию задачи известно,
что бутылка с пробкой стоят 11 рублей.
Решим уравнение
х+х+10=11
2х=11-10
2х=1
х=0.5
2 способ. x+y=11 - пробка вместе с бутылкой
y - допустим, бутылка.
отсюда следует
y=x+10 -то есть бутылка равна крышка плюс 10
подставляем в верхнее уравнение вместо игрека:
x+x+10=11 переносим неизестные в одну сторону, известные в другую.
Получаем:
2x=1
x=0.5 подставляем полученое значение во второе уравнение
y=0.5+10
y=10.5
Итого: бутылка - 10.5
пробка - 0.5
3 способ – подбором
Пусть пробка 1 кг, тогда бутылка 10кг. Проверка: 10-1=9, а по условию
разница 10.
Пусть пробка 2 кг, тогда бутылка 9 кг. Проверка: 9-2=7 –разница
уменьшается… А у нас она равна 10, следовательно, масса пробки меньше
одного кг. Предположим 0,5 кг, тогда бутылка 10,5 кг. Проверяем
0,5+10,5=11.
Задача 10. Отец, у которого было трое сыновей, оставил им 1600 крон.
Старший сын получил на 200 крон больше среднего, а средний на 100
крон больше младшего. Сколько получил каждый из сыновей?
Из учебника Эйлера « Основания алгебры»(1707-1773гг.)
Обоснование. Интересен ход решения «с конца»
1 Способ. Задачи, решаемые с конца
Пусть х крон - получил младший сын,
тогда ( х + 100 ) крон – получил средний сын,
и ( х + 100 + 200 ) – получил старший сын.
А так как всего они получили 1600 крон, составляем уравнение:
х + х + 100 + х + 300 = 1600
3х =1200
х = 400
400 крон получил младший сын,
400 + 100 = 500 (крон) – получил средний сын,
400 + 300 = 700 (крон) – получил старший сын.
2 способ. Путем логических рассуждений. Метод подбора.
Старшему брату на 200 больше, чем среднему, а среднему на 100 рублей
больше, чем младшему. Значит, из равных долей вычитаем 400 рублей, так как
у среднего на 100 больше, чем у младшего, а у старшего на 300 рублей больше,
чем у младшего.
1600-400=1200 рублей на равные доли.
1200:3=400 рублей у младшего
400+100=500рублей у среднего
500+200=700рублей у старшего
3 способ. С помощью системы уравнений.
Пусть у младшего брата Х рублей, у среднего –Урублей, у старшего-Z
рублей. По условию задачи известно, что всего 1600 рублей. У среднего
на 100 рублей больше, чем у среднего, а у старшего на 200 рублей
больше, чем у среднего.
Составим и решим систему уравнений.
Х+У+Z=1600
У-Х=100
Z-Y=200
Y-X=100
Y=100+X
(Y-100)+Y+(200+Y)=1600
Y-X=100
Y-100+Y+200+Y=1600
3Y=1500
Y=500
Z-Y=200
500 рублей у среднего
Y=200+Z
500-100=400 рублей у младшего
Z=200+500 =700 рублей у старшего
Ответ: 400 рублей у младшего, 500 рублей у среднего, 700 рублей у старшего
Автор
nadya.pavl300572
Документ
Категория
Образование
Просмотров
5
Размер файла
10 579 Кб
Теги
1138465
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа