close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1382.Электричество и магнетизм Учебное пособие

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Н.А. Рудь, А.Н. Сергеев
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
И МАГНЕТИЗМ
Учебное пособие
Ярославль 2004
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ББК В33 я 73
Р83
УДК 537.1
Рудь Н.А., Сергеев А.Н.
Электричество и магнетизм: Учеб. Пособие Н. А. Рудь, А. Н. Сергеев; Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2004. 206 с.
ISBN 5-8397-0168-8
В данном пособии рассмотрены базовые понятия современного курса "Базовые понятия электрических и магнитных взаимодействий",
предлагаемого для инженерно-физических специальностей классических и технических университетов. Отличительной чертой пособия является наличие подробных решений важнейших типов задач и 20 вариантов подобранных задач из базовых понятий разделов курса "Базовые
понятия электрических и магнитных взаимодействий" для самостоятельного решения.
Пособие предназначено для студентов физических и инженернофизических специальностей университетов вечерней и заочной формы
обучения. Оно будет полезно также и для студентов дневной формы
обучения.
Ил. 99. Библиогр.: 8
Рецензенты: кафедра физики Ярославского государственного технического университета; В.П. Глушаков, канд. физ.-мат. наук.
ISBN 5-8397-0168-8
© Ярославский государственный университет, 2004
© Н.А. Рудь, А.Н.Сергеев, 2004
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введение
Опыт показывает, что между электрически заряженными и намагниченными телами, a также телами, по которым текут электрические
токи, действуют силы, называемые электродинамическими, или электромагнитными. Относительно природы этих сил в науке выдвигались
две противоположные точки зрения. Более старая из них исходила из
представления о непосредственном действии тел на расстоянии, без
участия каких бы то ни было промежуточных материальных посредников. Другая, более новая точка зрения, принятая в настоящее время, исходит из представления, что взаимодействия передаются с помощью
особого материального посредника, называемого электромагнитным
полем.
Основная идея теории действия на расстоянии в учении об электрических и магнитных явлениях была заимствована из учения о всемирном тяготении и господствовала примерно до последней четверти XIX
века. Огромные успехи небесной механики, основанной на законе всемирного тяготения Ньютона (1643–1727), с одной стороны, и полная неудача как-то объяснить тяготение, с другой - привели многих ученых к
представлению, что тяготение, а также электрические и магнитные силы
не нуждаются в объяснении, а являются неотъемлемыми, врожденными
свойствами материи. По мнению этих ученых, задача теории электричества состояла в том, чтобы установить элементарные законы электрических и магнитных сил и на их основе объяснить все электрические и
магнитные явления. Под элементарными законами понимали законы,
определяющие силы взаимодействия на расстоянии между точечными
электрическими зарядами, точечными магнитными полюсами и элементами тока, т.е. между бесконечно короткими участками бесконечно
тонких проводов, по которым текут электрические токи. По своему содержанию и форме эти законы напоминали, а часто прямо копировали
ньютонов закон всемирного тяготения. Таковы были, например, законы
Кулона (1736–1806) о взаимодействии электрических зарядов или магнитных полюсов.
Благодаря трудам великих математиков и физиков (Лапласа, Ампера, Пуассона, Гаусса, Остроградского, Грина, Франца Неймана, Карла
Неймана, Вильгельма Вебера, Кирхгофа и других) в математическом
отношении теория действия на расстоянии достигла высокой степени
совершенства. Эта теория отличалась формальной простотой и ясностью исходных математических положений, математической строгостью, стройностью и конкретностью. Она совершенно не вводила сомнительных гипотетических представлений относительно физической
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
природы электрических и магнитных сил, а основывалась только на эмпирически прочно установленных фактах и их обобщениях. Количественные выводы теории были прочно обоснованными и достоверными
(разумеется, в пределах той области, в которой элементарные законы
подтверждены опытом). Не удивительно, что теории действия на расстоянии придерживалось большинство физиков вплоть до последней
четверти XIX века. Однако количественное согласие теории с опытом в
исследованной области явлений не может считаться достаточным доказательством правильности концепции непосредственного действия на
расстоянии.
Для некоторых физиков 19 века концепция непосредственного действия на расстоянии была неприемлема. Среди них возвышается фигура
гениального Фарадея (1791–1867) – основоположника физической теории электромагнитного поля. Над ним не довлели формальные идеи математиков. Его самобытный ум был свободен от укоренившихся представлений и не мог примириться с мыслью, что тело может производить
непосредственное действие в тех местах, в которых оно не находится и
которые отделены от него абсолютно пустым пространством. Согласно
Фарадею, действие одного тела на другое может осуществляться либо
непосредственным соприкосновением, либо передаваться через промежуточную среду.
Для электромагнитных взаимодействий роль такой среды играл
гипотетический мировой эфир, заполняющий все пространство между
телами и мельчайшими частицами, из которых они состоят. При электризации и намагничивании тел в окружающем эфире возникают, согласно Фарадею, какие-то изменения, напоминающие упругие деформации и связанные с ними натяжения и давления. Такими натяжениями
и давлениями Фарадей и объяснял электромагнитные взаимодействия
тел. Центр тяжести с изучения зарядов и токов, являвшихся в теории
действия на расстоянии центрами сил, переносился на изучение окружающего пространства. Это пространство с действующими в нем силами называется электромагнитным полем.
Используя изложенные воззрения к конкретным случаям, Фарадей
ограничивался преимущественно качественной стороной явлений. Он
никогда не пользовался точным языком математических формул. Рассуждения и доказательства Фарадея воспринимались с трудом и даже
отвергались его современниками. Однако среди убежденных последователей Фарадея был гениальный Максвелл (1831–1879), который в совершенстве владел математическими методами своего времени. Максвелл облек основные идеи Фарадея в математическую форму. Он
обобщил имеющиеся опытные факты и пополнил их новыми. Таким путем в начале 60-х годов XIX века ему удалось сформулировать систему
уравнений, в которой в сжатой и точной форме содержатся все количественные законы электромагнитного поля. Установление этих уравнений, пожалуй, является наиболее крупным открытием физики 19 века.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вначале теория Максвелла не получила признания. Это обусловлено главным образом тем, что вплоть до последней четверти XIX века
электродинамика занималась изучением только постоянных или почти
постоянных электрических и магнитных полей. А в этих случаях уравнения Максвелла переходят в уравнения теории действия на расстоянии, поэтому фактические выводы обеих теорий совпадают. По этой
причине никакие опыты с постоянными электромагнитными полями не
могут ответить на вопрос, какое из двух представлений о силах взаимодействия верно или, точнее, заведомо неверно. Для этого надо было обратиться к изучению переменных полей. Максвелл показал, что из его
уравнений следует существование электромагнитных волн, и вычислил
скорость их распространения. Оказалось, что в вакууме эта скорость
совпадает со скоростью света (300 000 км/с), т.е. очень велика. Громадный круг явлений воспринимается так, как если бы скорость распространения электромагнитных возмущений была бесконечна, т. е. так,
как если бы была справедлива теория действия на расстоянии. Электромагнитные волны впервые были получены и экспериментально исследованы в знаменитых опытах Герца в 1887–1888 гг. Их свойства оказались в точности такими, какие предсказывала теория Максвелла. С точки зрения теории действия на расстоянии существование электромагнитных волн абсолютно непонятно. Поэтому после опытов Герца
вопрос о характере электродинамических взаимодействий был однозначно решен в пользу теории поля. Громадную роль в деле распространения и развития теории Максвелла сыграло великое изобретение
радио А. С. Поповым (1859–1905), которое в конце концов преобразило
науку, технику и саму жизнь человека.
Долгое время физики считали, что явления электричества и магнетизма могут быть поняты до конца только тогда, когда они будут сведены к механическим причинам, например к упругим натяжениям, давлениям или каким-то другим механическим изменениям в окружающей
среде. Таковой в теории Фарадея — Максвелла считался мировой эфир.
Было затрачено много усилий для построения механической теории
электрических и магнитных явлений. Сам Максвелл положил этому начало. В первых работах по теории электричества он широко пользовался
механическими моделями для представления электромагнитного поля.
Однако для представления различных свойств поля потребовались разные модели, противоречащие друг другу. Механические же модели в
теории Максвелла сыграли лишь роль лесов строящегося здания. После
того как здание построено, леса убираются. Так и в завершенном варианте теории Максвелла, опубликованном им в «Трактате по электричеству и магнетизму» (1873), механические модели совсем не используются. Все усилия построения непротиворечивой механической теории
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
электрических и магнитных явлений потерпели неудачу. Они убедили
физиков последующих поколений в принципиальной невозможности
механической картины мира. Атомно-молёкулярная теория показала,
что упругие силы сами являются результатом электрического взаимодействия между электрически заряженными частицами, из которых построены тела. Упругость была сведена к электричеству. После этого
программа сведения электрических сил к упругим потеряла всякий
смысл. Электрические силы оказались более «простыми» и «понятными», чем силы упругие. Современная физика не связывает с понятием
электромагнитного поля никаких «наглядных» картин типа упругих деформаций, напряжений, давлений и пр. Она утверждает лишь, что поле
реально существует и в этом смысле, наряду с веществом, является одним из видов материи. Поле обладает энергией, импульсом и другими
физическими свойствами. Посредством полей осуществляются электромагнитные взаимодействия тел. Заряженное тело А возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле. Оно проявляется в силе,
действующей на другое заряженное тело В, вносимое в это поле. Но поле, возбуждаемое зарядами тела А, реально существует в каждой точке
пространства, даже если в нее не помещено никакое другое тело В. В
этом отличие точек зрения теории поля и теории непосредственного
действия на расстоянии. Последняя также пользуется понятием поля.
Однако в ней поле выступает не как физическая реальность, а как вспомогательное математическое понятие, вводимое лишь для удобства
описания электромагнитных взаимодействий. По теории действия на
расстоянии не имеет смысла говорить о поле в той или иной точке пространства, пока в нее не внесено заряженное тело, на которое действует
электромагнитная сила. Первоначальная теория Максвелла не вводила
принципиального различия между материальными средами и вакуумом
(эфиром). Вакуум рассматривался в ней как одна из сред, отличающаяся
от других сред только количественно: значениями диэлектрической и
магнитной проницаемости и электропроводности. Более глубокую и ясную картину дала электронная теория, творцом которой был великий
голландский физик Г. А. Лорентц (1853–1928), Она была создана и детально разработана еще до открытия электрона и установления структуры атома. [Электрон был открыт Дж. Дж. Томсоном (1856–1940) в 1897
г., модель атома Резерфорда (1871–1937) появилась в 1911 г., а теория
Бора (1885–1962) – в 1913 г.]. На современном языке основную идею
электронной теории можно сформулировать следующим образом. Вещество состоит из положительно заряженных атомных ядер и отрицательно заряженных электронов. Для наших целей пока нет необходимости вдаваться в детали строения атомов и их ядер. Важно заметить
лишь, что вакуум является универсальной средой, в которой воз6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
буждается электромагнитное поле. С точки зрения теории электричества всякое вещество следует рассматривать как вакуум, испорченный
вкрапленными в него атомными ядрами и электронами. Заряды этих
частиц возбуждают электромагнитные поля, накладывающиеся на
внешнее поле, в которое внесено вещество. Наложением таких полей и
определяется электромагнитное поле в веществе. С этой точки зрения
изучение электромагнитного поля в веществе сводится к изучению поля
в вакууме. Так мы и поступим в дальнейшем. Сначала изучим электрическое и магнитное поля в вакууме (1, 6 разделы), а затем исследуем,
как поле искажается зарядами атомных ядер и электронов вещества (2 4, 7, 8 главы). Таким путем электронная теория привела к более глубокому пониманию уравнений Максвелла в веществе. Она явилась рациональной основой для понимания электрических и магнитных свойств
вещества с атомистической точки зрения, хотя Лорентц и его последователи пользовались классическими представлениями.
Уравнения Максвелла являются обобщениями опытных фактов. Их
доказательство надо искать в сопоставлении с опытом выводимых из
них следствий. Эти уравнения составляют стержень всей электродинамики. Они могут рассматриваться как основные аксиомы электродинамики, играющие в ней такую же роль, какую законы Ньютона играют в классической механике. Мы глубже проникнем в сущность электродинамики Максвелла, если изберем индуктивный метод изложения,
т.е. от к простейших опытных фактов и явлений к постепенным обобщениям законов этих явлений.
1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
1.1. Электрическое поле
Электрический заряд. В настоящее время известно, что в основе
всего разнообразия явлений природы лежат четыре фундаментальных
взаимодействия между элементарными частицами – сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. Каждый вид взаимодействия связывается с определенной характеристикой частицы. Например, гравитационное взаимодействие зависит от масс частиц, электромагнитное – от
электрических зарядов.
Электрический заряд частицы является одной из основных, первоначальных ее характеристик. Ему присущи следующие фундаментальные свойства:
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) электрический заряд существует в двух видах: как положительный, так и отрицательный;
2) в любой электрически изолированной системе алгебраическая
сумма зарядов не изменяется, это утверждение выражает закон сохранения электрического заряда;
3) электрический заряд является релятивистки инвариантным: его
величина не зависит от системы отсчета, а значит, не зависит от того,
движется он или покоится.
Эти фундаментальные свойства электрического заряда имеют, как
мы увидим, далеко идущие последствия.
Электрическое поле. Согласно современным представлениям, взаимодействие между зарядами осуществляется через поле. Всякий электрический заряд q изменяет определенным образом свойства окружающего его пространства – создает электрическое поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку другой
«пробный» заряд испытывает действие силы.
Опыт показывает, что сила F, действующая на неподвижный точечный пробный заряд q′, всегда может быть представлена как:
F = q′E,
(1.1)
где вектор Е называют напряженностью электрического поля в данной
точке.
Вектор Е, как видно из (1.1), можно определить как силу, действующую на единичный положительный неподвижный заряд. Здесь
предполагается, что пробный заряд q′ должен быть достаточно малым,
чтобы его внесение не вызвало заметного искажения интересующего
нас поля (вследствие возможного перераспределения создающих поле
зарядов).
Поле точечного заряда. Из опыта (закон Кулона) непосредственно
следует, что напряженность поля неподвижного точечного заряда q на
расстоянии r от него можно представить как:
Ε=
q
4πε 0 r 2
1
e,
r
(1.2)
где ε₀ - электрическая постоянная;
er - орт радиус-вектора r, проведенного из центра поля, в котором
расположен заряд q, до интересующей нас точки.
Формула (1.2) записана в СИ. Здесь коэффициент
1/4πε₀ = 9·109 м/Ф.
Заряд q выражается в кулонах (Кл), напряженность поля Е - в вольтах на метр (В/м). В зависимости от знака заряда q вектор Е направлен
так же, как и r, или противоположно ему.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По существу формула (1.2) выражает не что иное, как закон Кулона,
но в «полевой» форме. Весьма важно, что напряженность Е поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния r. Вся совокупность экспериментальных фактов показывает, что этот закон справедлив для расстояний от 10-13 см до нескольких километров, и пока нет
никаких оснований ожидать, что этот закон не выполняется и при
больших расстояниях.
Заметим еще, что в поле, создаваемом неподвижным точечным
зарядом, сила, действующая на пробный заряд, не зависит от того, покоится пробный заряд или движется. Это относится и к системе неподвижных зарядов.
Принцип суперпозиции. Другой опытный факт, кроме закона (1.2),
заключается в том, что напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавали бы каждый из зарядов в отдельности:
q
1
(1.3)
Ε = ∑ Εi =
∑ r i2 eri ,
4πε 0
i
где ri – расстояние между зарядом qi и интересующей нас точкой поля.
Это утверждение называют принципом суперпозиции (сложения)
электрических полей. Он выражает одно из самых замечательных
свойств полей и позволяет вычислять напряженность поля любой системы зарядов, представив ее в виде совокупности точечных зарядов,
вклад каждого из которых дается формулой (1.2).
Распределение зарядов. Для упрощения математических расчетов во
многих случаях бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды имеют дискретную структуру (электроны, ядра), и считать, что они «размазаны» определенным образом в пространстве. Другими словами, удобно
заменить истинное распределение точечных дискретных зарядов фиктивным непрерывным распределением. Это позволяет значительно упрощать расчеты, не внося сколько-нибудь значительной ошибки.
При переходе к непрерывному распределению вводят понятие о
плотности зарядов – объемной ρ, поверхностной σ и линейной λ. По определению:
dq
dq
dq
(1.4)
ρ=
, σ=
, λ=
,
dV
dS
dl
где dq – заряд, заключенный соответственно в объеме dV, на поверхности dS и на длине dl.
С учетом этих распределений формула (1.3) может быть представлена в другой форме. Например, если заряд распределен по объему, то
надо заменить qi на dq = ρ dV и ∑ на интегрирование, тогда:
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
E=
1 ρe dV
1 ρe dV
=
,
2
∫
4πε 0
4πε 0 ∫ r 3
r
(1.5)
где интегрирование проводится по всему пространству, в котором ρ отлично от нуля.
Таким образом, зная распределение зарядов, мы можем полностью
решить задачу о нахождении напряженности электрического поля по
формуле (1.5) и аналогично ей, если распределение непрерывно. В общем случае расчет сопряжен со значительными трудностями (правда, не
принципиального характера). Действительно, для нахождения вектора Е
надо вычислить его проекции Еx, Еy, Еz, а это по существу три интеграла типа (1.5). И только в тех случаях, когда система зарядов обладает
той или иной симметрией, задача, как правило, значительно облегчается.
Геометрическое описание электрического поля. Зная вектор Е в каждой точке, можно представить электрическое поле с помощью линий
напряженности, или линий вектора Е. Эти линии проводят так, чтобы
касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора Е,
а густота линий, т.е. число линий, пронизывающих единичную площадку, перпендикулярную линиям в данной точке, была бы пропорциональна модулю вектора Е. Кроме того, этим линиям приписывают направление, совпадающее с направлением вектора Е. По полученной
картине можно легко судить о конфигурации данного электрического
поля – о направлении и модуле вектора Е в данных точках поля.
Об общих свойствах поля Е. Определенное выше поле Е обладает,
как выяснилось, двумя чрезвычайно важными свойствами, знание которых помогло глубже проникнуть в суть самого понятия поля и сформулировать его законы, а также открыло возможность решить ряд вопросов весьма просто и изящно. Эти свойства, определяемые теоремой Гаусса и теоремой о циркуляции вектора напряженности поля Е, связаны с
двумя важнейшими математическими характеристиками всех векторных полей: потоком и циркуляцией. Как мы увидим, пользуясь этими
двумя понятиями, можно описать все законы не только электричества,
но и магнетизма.
1.2. Теорема Гаусса
Поток вектора Е. Для большей наглядности воспользуемся геометрической картиной электрического поля (с помощью линий вектора Е)
и, дабы упростить рассуждения, будем считать, что густота линий Е
равна модулю вектора Е. Тогда число линий, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль n к которой составляет угол α с вектором
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е, определяется согласно рис. 1.1 как EdS cosα. Эта величина и есть поток dФ вектора Е сквозь площадку dS. В более компактной форме:
dФ = Еn dS = EdS
n
α
E
dS
Рис. 1.1
где Еn – проекция вектора Е на нормаль n к площадке dS; dS – вектор,
модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью n к
площадке. Заметим, что выбор направления вектора n (а следовательно,
и dS) условен, его можно было бы направить и в противоположную сторону.
Если имеется некоторая произвольная поверхность S, то поток вектора Е сквозь нее:
Ф = ∫ E dS.
(1.6)
s
Эта величина алгебраическая: она зависит не только от конфигурации поля Е, но и от выбора направления нормали. В случае замкнутых
поверхностей принято нормаль n брать наружу области, охватываемой
этими поверхностями, т.е. выбирать внешнюю нормаль, что в дальнейшем будет всегда и подразумеваться.
Хотя здесь речь шла о потоке вектора Е, понятие потока в равной
степени относится к любому векторному полю.
Теорема Гаусса. Поток вектора Е сквозь произвольную замкнутую
поверхность S зависит только от алгебраической суммы зарядов, охватываемых этой поверхностью, и обратно пропорционален ε₀. А именно:
1
∫ E dS = ε
qвнутр ,
0
(1.7)
где кружок у интеграла означает, что интегрирование проводится по
любой замкнутой поверхности.
Это выражение и составляет суть теоремы Гаусса: поток вектора E
сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов
внутри этой поверхности, деленной на ε₀.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Доказательство теоремы. Сначала рассмотрим поле одного точечного заряда q.
Окружим этот заряд произвольной замкнутой поверхностью S (рис.
1.2) и найдем поток вектора Е сквозь элемент dS:
dФ = E ds = E dS cos α =
q
1 q
dS cos α =
dΩ ,
2
4πε 0 r
4πε 0
(1.8)
где dΩ - телесный угол, опирающийся на элемент поверхности dS, с
вершиной в точке расположения заряда q. Интегрирование этого выражения по всей поверхности S эквивалентно интегрированию по всему
телесному углу, т.е. замене dΩ на 4π, и мы получим Ф = q/εο, как и требует формула (1.7).
Заметим, что при более сложной форме замкнутой поверхности
углы α могут быть больше π/2, а значит, cos α и dΩ в (1.8) принимают,
вообще говоря, как положительные, так и отрицательные значения.
Итак, dΩ - величина алгебраическая: если dΩ опирается на внутреннюю
сторону поверхности S, то dΩ > 0, если же на внешнюю сторону, то
dΩ < 0.
Отсюда, в частности, следует: если заряд q расположен вне замкнутой поверхности S, то поток вектора Е через нее равен нулю. Для этого достаточно провести из заряда q коническую поверхность так, чтобы
она оказалась касательной поверхности S. Тогда интегрирование выражения (1.8) по поверхности S эквивалентно интегрированию по Ω (рис.
1.3): внешняя сторона поверхности S будет видна из точки q под углом
Ω > 0, а внутренняя - под углом Ω (оба угла по модулю равны). В сумме
получим нуль, и Ф = 0, что также совпадает с утверждением (1.7). На
языке линий вектора Е это означает: сколько линий входит в объем, ограничивающий поверхность S, столько и выходит.
Теперь обратимся к случаю, когда электрическое поле создается
системой точечных зарядов q1, q2 и т.д. В этом случае согласно принципу суперпозиции Е = Е1 + Е2 + …, где Е1 - поле, создаваемое зарядом q1,
q2 и т. д. Тогда поток вектора Е можно записать так:
∮EdS = ∮(Е₁ + Е₂ + …) dS = ∮E₁dS + ∮E₂dS + … = Ф₁ + Ф₂ + …
Согласно предыдущему каждый интеграл в первой части равен q¡/ε₀,
если заряд q¡ находится внутри замкнутой поверхности s, и нулю, если
снаружи поверхности S. Поэтому в правой части останется алгебраическая сумма только тех зарядов, которые находятся внутри поверхности
S.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ds
Sα
N
S
dΩ
r
Q
Ω
q
Рис. 1.2 Рис. 1.3
Для завершения доказательства теоремы остается учесть случай, когда заряды распределены неравномерно с объемной плотностью, зависящей от координат. В этом случае можно считать, что каждый элементарный объем dV содержит точечный заряд ρdV. Тогда в правой части
(1.7) получим:
qвнутр = ∫ ρdV ,
(1.9)
где интегрирование происходит только по объему, заключенному внутри замкнутой поверхности S.
Необходимо обратить внимание на следующее важное обстоятельство: в то время как само поле Е зависит от конфигурации всех зарядов,
поток вектора Е сквозь произвольную замкнутую поверхность S определяется только алгебраической суммой внутри поверхности S. Это значит, что если передвинуть заряды, то поле Е изменится всюду, в частности и на поверхности S, изменится, вообще говоря, и поток вектора Е
через S. Однако, если передвижка зарядов произошла без пересечения
поверхности S, поток вектора Е через эту поверхность останется прежним, хотя, повторяем, само поле Е может измениться, причем весьма
существенно.
1.3. Теорема Гаусса в дифференциальной форме
Замечательное свойство электрического поля, которое выражает собой теорема Гаусса, побуждает представить эту теорему в иной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
В отличие от формы (1.7) – ее называют интегральной – мы будем
искать дифференциальную форму теоремы Гаусса, в которой устанавливается связь между объемной плотностью заряда ρ и изменениями напряженности Е в окрестности данной точки пространства.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для этого представим сначала заряд q в объеме V, охватываемом
замкнутой поверхностью S, как qвнутр = <ρ>V, где <ρ> - среднее по
объему V значение объемной плотности заряда.
Затем подставим это выражение в уравнение (1.7) и разделим обе
части его на V.
В результате получим:
1/V∮ E d S =< ρ > / ε 0 .
(1.10)
Теперь устремим объем V к нулю, стягивая его к интересующий нас
точке поля. Очевидно, при этом <ρ> будет стремиться к значению ρ в
данной точке поля, а значит, отношение в левой части уравнения (1.10)
будет стремиться к ρ/ε₀. Величину, являющуюся пределом отношения
∮EdS к V при V→0, называют дивергенцией поля Е и обозначают div E.
Таким образом, по определению:
div E = lim
1
V
∮EdS.
(1.11)
Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля. Из определения (1.11) следует, что дивергенция является скалярной функцией координат. Чтобы получить выражение для дивергенции поля Е, надо согласно (1.11) взять бесконечно малый объем V, определить поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность, охватывающую этот объем, и найти отношение этого потока к объему. Полученное
выражение для дивергенции будет зависеть от выбора системы координат (в разных системах координат оно оказывается разным). Например,
в декартовой системе координат
div E =
∂E x ∂E y ∂E z
+
+
.
∂x
∂y
∂z
(1.12)
Итак, мы выяснили, что при V→0 в выражении (1.10) его правая
часть стремится к ρ/ε₀, а левая - к div E. Следовательно, дивергенция
поля Е связана с плотностью заряда в той же точке уравнением:
div E = ρ/ε₀.
(1.13)
Это уравнение и выражает теорему Гаусса в дифференциальной
форме. Написание многих формул и действия с ними значительно уп14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рощаются, если ввести векторный дифференциальный оператор ∇ (набла). Оператор ∇ в декартовых координатах имеет вид:
∇=i
∂
∂
∂
+ j +k ,
∂z
∂x
∂y
(1.14)
где і, ј, k – орты осей X, Y, Z. Сам по себе вектор ∇ смысла не имеет. Он
приобретает смысл только в сочетании со скалярной или векторной
функцией, на которую символически умножается. Так, например, если
вектор ∇ умножить скалярно на вектор Е, то получим:
∇ ⋅ E = ∇ x Ex + ∇ y E y + ∇ z Ez =
∂
∂
∂
Ex + E y + Ez ,
∂x
∂y
∂z
а это есть не что иное, как div E, согласно (1.12).
Таким образом, дивергенция поля Е может быть записана как div E
или ∇ ∙ Е (в обоих случаях читается как «дивергенция Е»). Мы будем
пользоваться вторым, более удобным обозначением. Тогда, например,
теорема Гаусса (1.13) будет иметь вид:
∇ ∙ Е = ρ/ε ο .
(1.15)
1.4. Циркуляция вектора Е. Потенциал
Теорема о циркуляции вектора Е. Из механики известно, что любое
стационарное поле центральных сил является консервативным, т.е. работа сил этого поля не зависит от пути, а зависит только от положения
начальной и конечной точки. Именно таким свойством обладает электростатическое поле – поле, образованное системой неподвижных зарядов. Если в качестве пробного заряда, переносимого из точки 1 заданного поля Е в точку 2, взять единственный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на перемещении dl равна Edl, а вся работа
сил поля на пути от точки 1 до точки 2 определяется как:
2
∫ E dl.
(1.16)
1
Этот интеграл берется по некоторой линии (пути), поэтому его называют линейным.
Как мы сейчас покажем, из независимости линейного интеграла
(1.16) от пути между двумя точками следует, что по произвольному
замкнутому пути этот интервал равен нулю. Интеграл (1.16) по замкнутому пути называют циркуляцией вектора Е и обозначают
15
∮. Итак, мы
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
утверждаем, что циркуляция вектора Е в любом электрическом поле
равна нулю, т.е.:
∮
Edl = 0.
(1.17)
Это утверждение и называют теоремой о циркуляции вектора Е.
Для доказательства этой теоремы разобьем произвольный замкнутый
путь на две части 1а2 и 2в1 (рис. 1.4).
Ясно, что:
( а ) (в )
∫ = ∫.
12
С другой стороны,
12
(а )
(в )
12
21
∫ = − ∫.
Поэтому
( а ) (в )
( а ) (в )
12
12
∫ + ∫ = ∫ − ∫ = 0,
что и требовалось доказать.
21
12
а
1
2
в
Рис. 1.4
Поле, обладающее свойством (1.17), называется потенциальным.
Значит, любое электростатическое поле является потенциальным.
Потенциал. До сих пор мы рассматривали описание электрического
поля с помощью вектора Е. Существует, однако, и другой адекватный
способ описания – с помощью потенциала ϕ (заметим сразу, что оба эти
способа однозначно соответствуют друг другу). Как мы увидим, второй
способ обладает рядом существенных преимуществ.
Тот факт, что линейный интеграл (1.16), представляющий собой работу сил поля при перемещении единичного положительного заряда из
точки 1 в точку 2, не зависит от пути между этими точками, позволяет
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
утверждать, что в электрическом поле существует некоторая скалярная
функция координат ϕ(r), убыль которой:
2
ϕ1 − ϕ 2 = ∫ Е dl,
(1.18)
1
где ϕ₁ и ϕ₂ - значения функции ϕ в точках 1 и 2. Определенная таким
образом величина ϕ(r) называется потенциалом поля. Из сопоставления
выражения (1.18) с выражением для работы сил потенциального поля
(которая равна убыли потенциальной энергии частицы в поле) можно
сказать, что потенциал – это величина, численно равная потенциальной
энергии единичного положительного заряда в данной точке поля.
Потенциалу какой-либо произвольной точки О поля можно условно
присвоить любое значение ϕ₀. Тогда потенциалы всех других точек поля
определяются согласно (1.18) однозначно. Если заменить ϕ₀ на некоторую величину ∆ ϕ, то на такую же величину изменятся и потенциалы во
всех других точках поля.
Таким образом, потенциал ϕ определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Значение этой постоянной не играет
роли, так как все электрические явления зависят только от напряженности электрического поля. Последняя же определяется, как мы увидим,
не самим потенциалом в данной точке поля, а разностью потенциалов в
соседних точках поля.
Единицей измерения потенциала является вольт (В).
Потенциал поля точечного заряда. Формула (1.18) содержит не
только определение потенциала ϕ, но и способ нахождения этой функции. Для этого достаточно вычислить интеграл ∫Edl по любому пути
между двумя точками и представить полученный результат в виде убыли некоторой функции, которая и есть ϕ(r). Можно поступить проще.
Воспользуемся тем, что формула (1.18) справедлива не только для конечных перемещений, но и для элементарных dl. Тогда согласно этой
формуле элементарная убыль потенциала на этом перемещении есть:
− dϕ = Edl.
(1.19)
Другими словами, если известно поле Е(r), то для нахождения ϕ надо представить Edl (путем соответствующих преобразований) как убыль
некоторой функции. Эта функция и есть ϕ.
Найдем таким способом потенциал поля неподвижного точечного
заряда:
E dl =
q
4πε 0 r 2
1
e dl =
r

 1 q
dq
= −d
+ const  ,
2
4πε 0 r

 4πε 0 r
1
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где учтено, что ℮rdl = 1⋅(dl) r, ибо проекция вектора dl на вектор ℮ r, а
значит, и на r равна приращению модуля вектора r, т.е. dr. Величина,
стоящая в круглых скобках под знаком дифференциала, и есть ϕ(r). Так
как присутствующая здесь аддитивная константа никакой физической
роли не играет, ее обычно опускают, стремясь выражение для ϕ сделать
проще. Получаем потенциал поля точечного заряда:
ϕ=
q
.
4πε 0 r
1
(1.20)
Отсутствие в этом выражении аддитивной константы означает, что
мы условно полагаем потенциал на бесконечности (r→∞) равным нулю.
Потенциал поля системы зарядов. Пусть система состоит из неподвижных точечных зарядов q1, q2, … Согласно принципу суперпозиции в
любой точке поля напряженность Е = Е1 + Е2 + …, где Е1 - напряженность поля заряда q1 и т.д. Тогда можно записать, используя формулу
(1.19):
Edl = (Е₁ + Е₂ + …)dl = Е₁dl + Е₂dl + … = - dϕ₁- dϕ₂…=-dϕ,
где ϕ = Σϕ¡, т.е. принцип суперпозиции оказывается справедливым и
для потенциала. Таким образом, потенциал системы неподвижных точечных зарядов:
ϕ=
1
4πε 0
qi
∑r,
(1.21)
i
где r¡ - расстояние от точечного заряда q¡ до интересующей нас точки.
В выражении (1.21) произвольная аддивная постоянная также опущена.
Это полностью соответствует тому факту, что всякая реальная система
зарядов ограничена в пространстве, поэтому ее потенциал на бесконечности можно принять равным нулю.
Если заряды, образующие систему, распределены непрерывно, то,
как обычно, мы считаем, что каждый элементарный объем dV содержит
«точечный» заряд ρ dV, где ρ - объемная плотность заряда в месте нахождения объема dV. С учетом этого формуле (1.21) можно придать
иной вид:
ϕ=
1
4πε 0
18
∫
ρ dV
,
r
(1.22)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где интегрирование проводится или по своему пространству, или по той
его части, которая содержит заряды. Если заряды расположены только
на поверхности S, то:
ϕ=
1
4πε 0
∫
σ dV
,
r
(1.23)
где σ - поверхностная плотность заряда; dS – элемент поверхности S.
Аналогичное выражение будет и в том случае, когда заряды распределены линейно. Итак, зная распределение зарядов (дискретное, непрерывное), мы, в принципе можем найти потенциал поля любой системы.
1.5. Связь между потенциалом и вектором Е
Электрическое поле, как известно, полностью описывается векторной функцией Е(r). Зная ее, мы можем найти силу, действующую на интересующий нас заряд в любой точке поля, вычислить работу сил поля
при каком угодно перемещении заряда и др. А что дает введение потенциала? Прежде всего, оказывается что, зная потенциал ϕ(r) данного
электрического поля, можно достаточно просто восстановить и само
поле Е(r). Рассмотрим этот вопрос более подробно.
Связь между ϕ и Е можно установить с помощью уравнения (1.19).
Пусть перемещение dl параллельно оси X, тогда dl = i dx, где i – орт оси
X; dx – приращение координаты x. В этом случае:
Edl = Ei dx = Exdx,
где Ex – проекция вектора Е на орт i (а не на перемещение dl!). Сопоставив последнее выражение с формулой (1.19), получим:
Ex = − ∂ϕ/∂x,
(1.24)
где символ частной производной подчеркивает, что функцию ϕ(x, y, z)
надо дифференцировать только по x, считая y и z при этом постоянными.
Рассуждая аналогично, можно получить соответствующее выражение для Еy и Еz. А определив Ex, Еy, Еz, легко найти и сам вектор Е:
 ∂ϕ
∂ϕ ∂ϕ 
E = − i + j + .
∂y ∂z 
 ∂x
(1.25)
Величина, стоящая в скобках, есть не что иное, как градиент потенциала ϕ (grad ϕ или ∇ϕ). Мы будем пользоваться вторым, более
удобным обозначением и рассматривать формально ∇ϕ как произведение символьного вектора ∇ на скаляр ϕ. Тогда уравнение (1.25) можно
представить в более компактной форме:
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е = − ∇ϕ,
(1.26)
т.е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус.
Эквипотенциальные поверхности. Введем понятие эквипотенциальной поверхности – поверхности, во всех точках которой потенциал ϕ
имеет одно и то же значение. Убедимся в том, что вектор Е направлен в
каждой точке по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону
уменьшения потенциала ϕ. В самом деле, из формулы Еl = - ∂ϕ/∂l следует, что проекция вектора Е на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. А это значит,
что вектор Е нормален к данной поверхности. Далее, возьмем перемещение dl по нормали к поверхности в сторону уменьшения ϕ, тогда
∂ϕ<0, следовательно, Еl >0, т.е. вектор направлен в сторону уменьшения
ϕ или в сторону, противоположную вектору ∇ϕ.
Эквипотенциальные поверхности наиболее целесообразно проводить так, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей
была бы одинаковой. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно наглядно судить о значении напряженности поля в разных
точках. Там, где эти поверхности расположены гуще («круче потенциальный рельеф»), напряженность поля больше.
Далее, ввиду того что вектор Е всюду нормален к эквипотенциальной поверхности, линии вектора Е ортогональны к этим поверхностям.
О преимуществах потенциала. Ранее было отмечено, что электростатическое поле исчерпывающим образом характеризуется векторной
функцией Е(r). Какая же польза от введения потенциала? Существует
несколько весомых причин, убедительно свидетельствующих о том, что
потенциал – понятие действительно весьма полезное, и не случайно, что
этим понятием широко пользуются не только в физике, но и в технике.
1. Зная потенциал ϕ(r), можно предельно просто вычислить работу
сил поля при перемещении точечного заряда q′ из точки 1 в точку 2:
А₁₂ = q′ (ϕ₁ - ϕ₂),
(1.27)
где ϕ₁ и ϕ₂ - потенциалы в точках 1 и 2. Значит, искомая работа равна
убыли потенциальной энергии заряда q′ в поле при перемещении его из
точки 1 в точку 2.
2. Во многих случаях оказывается, что для нахождения напряженности Е электрического поля легче сначала подсчитать потенциал ϕ и затем взять градиент от него, нежели вычислять Е непосредственно. Это
весьма существенное преимущество потенциала. Действительно, для
вычисления ϕ нужно взять один интеграл, а для вычисления Е – три
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(ведь это вектор). Кроме того, обычно интегралы для определенной ϕ
проще, чем для Ex, Еy, Еz.
Сразу же заметим, что это не касается сравнительно большого числа
задач с достаточно хорошей симметрией. В этих случаях нахождение
поля Е непосредственно или с помощью теоремы Гаусса часто оказывается значительно проще.
Электрический диполь
Поле диполя. Электрический диполь – это система из двух одинаковых по модулю разноименных точечных зарядов +q и –q, находящихся
на некотором расстоянии l друг от друга. Когда говорят о поле диполя,
то предполагают сам диполь точечным, т.е. считают расстояния r от диполя до интересующих нас точек поля значительно больше l.
Поле диполя обладает осевой симметрией, поэтому картина поля в
любой плоскости, проходящей через ось диполя, одна и та же, и вектор
Е лежит в этой плоскости.
Найдем сначала потенциал поля диполя, а затем его напряженность.
Согласно (1.20) потенциал поля диполя в точке Р (рис. 1.5, а) определяется как:
ϕ=
1 q q
1 q(r− − r+ )
 − =
.
4πε 0  r+ r−  4πε 0 r+ r−
Так как r≫l, то, как видно из рис. 1.5, а, r₋ - r₊ = lcos θ и r₋ - r₊ =
r², где r – расстояние от точки Р до диполя (он точечный!).
Учитывая это,
ϕ=
р cosθ
,
4πε 0 r 2
1
(1.28)
где р = ql – электрический момент диполя. Этой величине сопоставляют
вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному:
p = ql,
где q >0 и l – вектор, направленный в ту же сторону, что и р.
21
(1.29)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а)
р
r₊
+q
l
б)
р
υ
r₋
℮r
α
Е
℮υ
р
υ
-q
Рис. 1.5
Из формулы (1.18) видно, что поле диполя зависит от его электрического момента р. Как мы увидим далее, и поведение диполя во внешнем
поле также зависит от р. Следовательно, р является важной характеристикой диполя. Следует также обратить внимание на то, что потенциал
поля диполя убывает с расстоянием r быстрее, чем потенциал поля точечного заряда (1/r² вместо 1/ r). Для нахождения поля диполя следует
воспользоваться формулой (Еl = - ∂ϕ/∂l), вычислив с ее помощью проекции вектора Е на два взаимно перпендикулярных направления – вдоль
ортов ℮r и ℮υ (рис. 1.5, б).
Сила, действующая на диполь. Поместим диполь во внешнее неоднородное электрическое поле. Пусть Е₊ и Е₋ - напряженности внешнего
поля в точках, где расположены положительный и отрицательный заряды диполя. Тогда результирующая сила F, действующая на диполь, равна:
F = qЕ₊ − qЕ₋ = q (Е₊ − Е₋).
Разность Е₊ − Е ₋ есть приращение ΔЕ вектора E на отрезке, равном
длине диполя l.
F= p
∂Ε
,
∂l
(1.30)
где р = ql – электрический момент диполя. Входящую в это выражение
производную принято называть производной вектора по направлению.
Момент сил, действующих на диполь. Рассмотрим, как ведет себя
диполь во внешнем электрическом поле в своей системе центра масс –
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
будет он поворачиваться или нет. Для этого мы должны найти момент
внешних сил:
М = [r₊F₊] + [r ₋ F ₋] = [r₊, q Е ₊] - [r ₋, q Е ₋].
M = [pE]
(1.31)
Этот момент сил стремится повернуть диполь так, чтобы его электрический момент р установился по направлению внешнего поля Е. Такое положение диполя является устойчивым.
Энергия диполя в поле. Мы знаем, что энергия точечного заряда q во
внешнем поле равна W = qϕ, где ϕ - потенциал поля в точке нахождения
заряда q. Диполь – это система из двух зарядов, поэтому его энергия во
внешнем поле:
W = − pE.
(1.32)
Из этой формулы следует, что минимальную энергию диполь имеет
в положении p↑↑Е (положение устойчивого равновесия). При отклонении из этого положения возникает момент внешних сил, возвращающий
диполь к положению равновесия.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. ПРОВОДНИК В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
2.1. Поле в веществе
Микро- и макрополе. Истинное электрическое поле в любом веществе – его называют микрополем – меняется весьма резко как в пространстве, так и во времени. Оно различно в разных точках атомов и промежутках между ними. Чтобы найти напряженность Е истинного поля в
некоторой точке в данный момент, нужно было бы сложить напряженности полей всех отдельных заряженных частиц вещества – электронов
и ядер. Решение этой задачи, очевидно, является совершенно нереальным. Да и сам результат оказался бы настолько сложным, что его просто нельзя было бы использовать. Более того, для решения макроскопических задач такое поле и вовсе не нужно. Для многих целей достаточно
более простое и несравненно более грубое описание, которым мы и будем пользоваться в дальнейшем.
Под электрическим полем Е в веществе – его называют макрополем
– мы будем понимать пространственно усредненное микрополе (поле
пространственного усреднения, для которого временное усреднение уже
не требуется). Это усреднение проводится по так называемому физически бесконечно малому объему – объему, содержащему большое число
атомов, но имеющему размеры во много раз меньше, чем те расстояния,
на которых макрополе меняется заметно. Усреднение по таким объемам
сглаживает все нерегулярные и быстро меняющиеся вариации микрополя на расстояниях порядка атомных, но сохраняет плавные изменения
макрополя на макро-скопических расстояниях.
Итак, поле в веществе:
Е = Емакро = 〈Емикро〉.
(2.1)
Влияние вещества на поле. При внесении любого вещества в электрическое поле в веществе происходит смещение положительных и отрицательных зарядов (ядер и электронов), что в свою очередь приводит
к частичному разделению этих зарядов. В тех или иных местах вещества
появляются некомпенсированные заряды различного знака. Это явление
называется электростатической индукцией, а появившиеся в результате
разделения заряды – индуцированными зарядами.
Индуцированные заряды создают дополнительное электрическое
поле, которое вместе с исходным (внешним) электрическим полем образуют результирующее поле. Зная внешнее поле и распределение инду24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
цированных зарядов, можно при нахождении результирующего поля
уже не обращать внимания на наличие самого вещества – его роль уже
учтена с помощью индуцированных зарядов.
Таким образом, результирующее поле при наличии вещества определяется просто как суперпозиция внешнего поля и поля индуцированных зарядов. Однако во многих случаях дело усложняется тем, что мы
заранее не знаем, как распределяются в пространстве все эти заряды –
задача оказывается далеко не такой простой, как могло бы показаться
вначале. Как мы увидим далее, распределение индуцированных зарядов
в решающей степени зависит от свойств самого вещества – от его физической природы и формы тел. С этими вопросами нам и предстоит ознакомиться более подробно.
2.2. Поле внутри и снаружи проводника
Внутри проводника Е = 0. Поместим металлический проводник во
внешнее электрическое поле или сообщим ему какой-нибудь заряд. В
обоих случаях на все заряды будет действовать электрическое поле. Такое перемещение зарядов (ток) будет продолжаться до тех пор (практически это происходит в течение малой доли секунды), пока не установится определенное распределение зарядов, при котором электрическое
поле во всех точках внутри проводника обратится в нуль. Таким образом, в статическом случае электрическое поле внутри проводника отсутствует (Е = 0).
Далее, поскольку в проводнике всюду Е = 0, то плотность избыточных (некомпенсированных) зарядов внутри проводника также всюду
равна нулю (ρ = 0). Это легко понять с помощью теоремы Гаусса. Действительно, так как внутри проводника Е = 0, то и поток вектора Е
сквозь любую замкнутую поверхность внутри проводника также равен
нулю. А это значит, что внутри проводника избыточных зарядов нет.
Избыточные заряды появляются лишь на поверхности проводника с
некоторой плотностью σ, вообще говоря, различной в разных точках его
поверхности. Заметим, что избыточный поверхностный заряд находится
в очень тонком поверхностном слое (его толщина около одного-двух
межатомных расстояний).
Отсутствие поля внутри проводника означает согласно (1.26), что
потенциал ϕ в проводнике одинаков во всех его точках, т.е. любой проводник в электрическом поле представляет собой эквипотенциальную
область и его поверхность является эквипотенциальной.
Из того факта, что поверхность проводника эквипотенциальна, следует, что непосредственно у этой поверхности поле Е направлено по
нормали к ней в каждой точке. Если бы это было не так, то под действи25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ем касательной, составляющей Е, заряды пришли бы в движение по поверхности проводника, т.е. равновесие зарядов было бы невозможным.
Поле у поверхности проводника. Напряженность электрического поля непосредственно у поверхности проводника связана, как мы сейчас
увидим, простым соотношением с локальной плотностью заряда на поверхности проводника. Эту связь можно легко установить с помощью
теоремы Гаусса.
Пусть интересующий нас участок поверхности проводника граничит с вакуумом. Линии вектора Е перпендикулярны поверхности проводника, поэтому в качестве замкнутой поверхности возьмем небольшой цилиндр, расположив его так, как показано на рис. 2.1. Тогда поток
вектора Е через эту поверхность будет равен только потоку через «наружный» торец цилиндра (потоки через боковую поверхность и внутренний торец равны нулю), и мы имеем Еn ∆S = σ ∆S / ε₀, где Еn – проекция вектора Е на внешнюю нормаль n (по отношению к проводнику),
∆S – площадь сечения цилиндра, σ - локальная поверхностная плотность заряда на проводнике. Сократив обе части этого равенства на ∆S,
получим:
Еn = σ /ε₀.
(2.2)
dS
Рис. 2.1
Если σ > 0, то и Еn > 0, т.е. вектор Е направлен от поверхности проводника – совпадает по направлению с нормалью n; если же σ < 0, то Еn
< 0 – вектор Е направлен к поверхности проводника.
В связи с соотношением (2.2) может возникнуть ошибочное заключение, что Е вблизи поверхности зависит только от локальной плотности σ заряда. Это не так. Напряженность Е определяется всеми зарядами
рассматриваемой системы, как и само значение σ.
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.3. Силы, действующие на поверхность проводника
Рассмотрим случай, когда заряженный участок поверхности проводника граничит с вакуумом. На малый элемент ∆S поверхности проводника действует сила
∆F = σ ∆S ∙ E₀,
(2.3)
где σ ∆S – заряд этого элемента, E₀ - напряженность поля, создаваемого
всеми остальными зарядами системы в месте нахождения заряда σ ∆S.
Сразу же заметим, что E₀ не равно напряженности Е поля вблизи данного элемента поверхности проводника, однако между ними имеется простая связь. Найдем ее, т.е. выразим E₀ через Е. Пусть Еσ – напряженность поля, создаваемого зарядом на площадке ∆S в точках, очень близких к этой площадке – здесь она ведет себя как бесконечная равномерно
заряженная плоскость. Тогда Еσ = σ / 2ε₀.
Е=2E₀
n
E₀
Еσ
E₀
Еσ
Рис. 2.2
∆S
Е=0
Рис.2.2.
Результирующее поле как внутри, так и вне проводника (вблизи
площадки ∆S) является суперпозицией полей E₀ и Еσ. По разные сторо-
ны площадки ∆S поле E₀ практически одинаково, поле же Еσ имеет противоположные направления (рис.2.2, где для определенности взято σ >
0). Из условия Е = 0 в проводнике следует, что Еσ = E₀, тогда снаружи
проводника у его поверхности Е = Еσ + E₀ = 2E₀. Итак:
E₀ = Е / 2
27
(2.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и уравнение (2.3) примет вид:
∆F = ½ σ ∆S ∙ E.
(2.5)
Разделив обе части этого уравнения на ∆S, получим выражение для
силы, действующей на единицу поверхности проводника:
Fед = ½ σ E.
(2.6)
Это выражение можно переписать в другой форме, ибо входящие в
него величины σ и Е являются взаимно связанными. Действительно, согласно (2.2):
ε0E2
σ2
Fед = n =
n,
2ε 0
2
(2.7)
где учтено, что σ = ε₀Еn и Еn² = Е². Величину Fед называют поверх-
ностной плотностью сил. Независимо от знака σ, а значит, и направления Е, сила Fед всегда направлена, как видно из (2.7), наружу проводника, стремясь его растянуть.
1.1. Свойства замкнутой проводящей оболочки
Мы выяснили, что в состоянии равновесия избыточных зарядов
внутри проводника нет – вещество внутри проводника электрически
нейтрально. А поэтому удаление вещества из некоторого объема внутри
проводника (создание замкнутой полости) поля нигде не изменится, т.е.
никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Это значит,
что избыточный заряд распределяется на проводнике с полостью так же,
как и на сплошном – по его наружной поверхности.
Таким образом, если в полости нет электрических зарядов, электрическое поле в ней равно нулю. Внешние заряды, в частности заряды на
наружной поверхности проводника, не создают в полости внутри проводника никакого электрического поля. Именно на этом основана электростатическая защита – экранирование тел, например измерительных приборов, от влияний внешних электрических полей. Практически
сплошной проводник-оболочка может быть заменен достаточно густой
металлической сеткой.
Доказать отсутствие электрического поля в пустой полости можно и
иначе. Возьмем замкнутую поверхность S, которая охватывает полость
и целиком находится в веществе проводника. Так как поле Е всюду в
проводнике равно нулю, то и поток вектора Е через S тоже равен нулю.
Отсюда, согласно теореме Гаусса, равен нулю и суммарный заряд внутри S. Это, правда, не исключает ситуации, показанной на рис. 2.3, когда
на поверхности самой полости имеются равные количества положи28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тельного и отрицательного зарядов. Такое предположение, однако, запрещает другая теорема – теорема о циркуляции вектора Е. В самом деле, пусть контур Г пересекает полость по одной из линий вектора Е и
замыкается в веществе проводника. Ясно, что линейный интеграл вектора Е вдоль этого контура не равен нулю, чего согласно теореме о циркуляции быть не может.
Теперь обратимся к случаю, когда полость не пустая, а в ней есть
какой-то электрический заряд q (может быть, и не один). Представим
себе также, что все внешнее пространство заполнено проводящей средой. Поле в ней при равновесии равно нулю, значит, среда электрически
нейтральна и не содержит нигде избыточных зарядов.
Так как всюду в проводнике Е = 0, то равным нулю будет и поток
вектора Е сквозь замкнутую поверхность, окружающую полость. По
теореме Гаусса это означает, что алгебраическая сумма зарядов внутри
этой замкнутой поверхности тоже будет равна нулю. Таким образом,
алгебраическая сумма индуцированных зарядов на поверхности полости
равна по модулю и противоположна по знаку алгебраической сумме зарядов внутри этой полости.
При равновесии заряды, индуцированные на поверхности полости,
располагаются так, чтобы полностью скомпенсировать снаружи полости
поле зарядов этой полости.
+
+
+++++
++
+
+
++
++
+
+ + --++
+
+
+
++++++
+
+
О
P
r
q
Рис. 2.3
Рис. 2.4
Поскольку проводящая среда внутри всюду электрически нейтральна, то она не оказывает никакого влияния на электрическое поле. Поэтому, если ее удалить, оставив только проводящую оболочку вокруг
полости, от этого поле нигде не изменится и вне оболочки оно останется
равным рулю.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, поле зарядов, окруженных проводящей оболочкой,
и зарядов, индуцированных на поверхности полости (на внутренней поверхности оболочки), равно нулю во всем внешнем пространстве.
Мы приходим к следующему важному выводу: замкнутая проводящая оболочка разделяет все пространство на внутреннюю и внешнюю
части, в электрическом отношении совершенно не зависящие друг от
друга. Это надо понимать так: после любого перемещения зарядов
внутри оболочки никаких изменений поля во внешнем пространстве не
произойдет, а значит, распределение зарядов на внешней поверхности
оболочки останется прежним. То же относится и к полю внутри полости
(если там есть заряды) и к распределению индуцированных на стенках
полости зарядов – они также останутся неизменными в результате перемещения зарядов вне оболочки. Все сказанное справедливо, разумеется, только в рамках электростатики.
1.2. Общая задача электростатики. Метод изображений
Очень часто приходится иметь дело с задачами, в которых распределение зарядов, их форма и относительное расположение заранее неизвестны. Требуется определить потенциал ϕ(r) в любой точке поля между проводниками. Напомним, что, зная ϕ(r), можно легко восстановить
поле Е(r) и по значению Е непосредственно у поверхности проводников
найти распределение поверхностных зарядов на них.
Уравнения Пуассона и Лапласа. Найдем дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция ϕ - потенциал. Для этого
подставим в левую часть (1.15) вместо Е его выражение через ϕ, т.е. Е =
− ∇ϕ. В результате получим общее дифференциальное уравнение для
потенциала – уравнение Пуассона:
∇ ² ϕ = − ρ / ε₀,
(2.8)
²
где ∇ - оператор Лапласа (лапласиан). В декартовых координатах
он имеет вид:
∇2 =
∂2
∂2 ∂2
+
+
,
∂х 2 ∂y 2 ∂z 2
т. е. представляет собой скалярное произведение ∇⋅∇.
Если между проводниками нет зарядов (ρ = 0), то уравнение (2.8)
переходит в более простое – уравнение Лапласа:
∇ ² ϕ = 0.
(2.9)
Определение потенциала сводится к нахождению функции ϕ, которая во всем пространстве между проводниками удовлетворяет условиям
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(2.8) или (2.9), а на поверхностях самих проводников принимает заданные значения ϕ₁, ϕ₂ и т.д.
В теории доказывается, что эта задача имеет единственное решение.
Это утверждение называют теоремой единственности. С физической
точки зрения этот вывод довольно очевиден: если решение не единственно, то будет не один потенциальный «рельеф», следовательно, в каждой точке поля Е, вообще говоря, не однозначно – мы пришли к физическому абсурду.
По теореме единственности можно также утверждать, что заряд на
поверхности проводника в статическом случае распределяется тоже
единственным образом. Действительно, между зарядами на проводнике
и электрическим полем вблизи его поверхности имеется однозначная
связь (2.2) σ = ε₀ En. Отсюда сразу следует, что единственность поля Е
определяет и единственность распределения заряда на поверхности
проводника.
Решение уравнений (2.8) и (2.9) в общем случае – задача сложная и
кропотливая. Аналитические решения этих уравнений получены лишь
для немногих частных случаев. Использование же теоремы единственности весьма облегчает решение ряда электростатических задач. Если
решение задачи удовлетворяет уравнению Лапласа (или Пуассона) и
граничным условиям, то можно утверждать, что оно является правильным и единственным, каким бы способом (хотя бы путем догадки) мы
ни нашли его.
Метод изображений. Это искусственный метод, позволяющий в ряде случаев (к сожалению, немногих) рассчитать электрическое поле
достаточно просто. Рассмотрим идею этого метода на самом простом
примере, когда точечный заря q находится около безграничной проводящей полости (рис. 2.5, а).
q
q
q
a)
-q
q’ = б)
Рис 2.5
31
q
в)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Идея метода заключается в том, что нужно найти другую задачу, которая решается просто и решение которой или часть его может быть использована. В нашем случае такой простой задачей является задача с
двумя зарядами q и -q. Поле этой системы известно (его эквипотенциал
и линии вектора Е показаны на рис. 2.5, б).
Совместим со средой эквипотенциальной поверхности (ее потенциал ϕ = 0) проводящую плоскость и уберем заряд –q. Согласно теореме
единственности поле в верхнем полупространстве останется прежним.
Действительно, на проводящей полости и всюду в бесконечности ϕ = 0,
точечный заряд q можно рассматривать как предельный случай малого
сферического проводника, радиус которого стремится к нулю, а потенциал – к бесконечности. Таким образом, в верхнем полупространстве
граничные условия для потенциала остались теми же, стало быть, тем
же осталось и поле в этой области (рис. 2.5, в). Заметим, что к этому выводу можно прийти, исходя из свойств замкнутой проводящей оболочки, поскольку оба полупространства, разделенные проводящей плоскостью, в электрическом отношении независимы друг от друга, поэтому
удаление заряда q никак не скажется на поле в верхнем полупространстве, оно останется прежнем. Итак, в рассматриваемом случае поле отлично от нуля только в верхнем полупространстве, и для вычисления
этого поля достаточно ввести фиктивный заряд-изображение q′ = − q,
противоположный по знаку заряду q, поместив его по другую сторону
проводящей плоскости на таком же расстоянии от нее, что и заряд q.
Фиктивный заряд q′ создает в верхнем полупространстве точно такое же
поле, как и индуцированные заряды на плоскости. Именно это подразумевают, когда говорят, что фиктивный заряд заменяет собой «действие»
всех индуцированных зарядов. Надо только иметь в виду, что «действие» фиктивного заряда распространяется только на то полупространство, в котором находится действительный заряд q. В другом полу - пространстве поле отсутствует.
Резюмируя, можно сказать, что метод изображения по существу основан на подгонке потенциала под граничные условия: мы стараемся
найти другую задачу (конфигурацию зарядов), у которой конфигурация
поля в интересующей нас части пространства была бы такой же. Если
это удается сделать с помощью достаточно простых конфигураций, то
метод изображений оказывается весьма эффективным.
1.3. Электроемкость. Конденсаторы
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Электроемкость уединенного проводника. Рассмотрим какой-либо
уединенный проводник, т.е. проводник, удаленный от других проводников, тел и зарядов. Опыт показывает, что между зарядом q такого проводника и его потенциалом ϕ (потенциал на бесконечности мы условились считать равным нулю) существует прямая пропорциональность: ϕ
∼ q. Следовательно, q/ϕ не зависит от заряда q, для каждого уединенного проводника это отношение имеет свое значение. Величину:
С = q/ϕ
(2.10)
называют электроемкостью уединенного проводника (сокращенно
емкость). Она численно равна заряду, сообщение которого проводнику
повышает его потенциал на единицу. Емкость зависит от размеров и
формы проводника.
За единицу емкости принимают емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл. Эту
единицу емкости называют фарадой (Ф).
Фарад – очень большая величина: емкостью 1 Ф обладал бы уединенный шар радиусом 9 млрд. км, что в 1 500 раз больше радиуса Земли
(емкость Земли С = 0,7 мФ). На практике чаще всего приходится встречаться с емкостями в интервале от 1 мкФ до 1пФ.
Конденсаторы. Если проводник не уединен, то его емкость будет
существенно увеличиваться при приближении к нему других тел. Это
обусловлено тем, что поле данного проводника вызывает перераспределение зарядов на окружающих телах – появление индуцированных зарядов.
Пусть заряд проводника q>0. Тогда отрицательные индуцированные
заряды оказываются ближе к проводнику, нежели положительные. Поэтому потенциал проводника, являющийся алгебраической суммой потенциала собственных зарядов и зарядов, индуцированных на других
телах, уменьшится при приближении к нему других незаряженных тел.
А значит, его емкость увеличится.
Это позволило создать систему проводников, которая обладает емкостью, значительно большей, чем уединенный проводник, и притом не
зависящей от окружающих тел. Такую систему называют конденсатором. Простейший конденсатор состоит из двух проводников (обкладок),
расположенных на малом расстоянии друг от друга. Чтобы внешние тела не оказывали влияния на емкость конденсатора, его обкладки располагают так относительно друг друга, чтобы поле, создаваемое накапливающимися на них зарядами, было сосредоточено практически полностью внутри конденсатора. Это означает, что линии вектора Е,
начинающиеся на одной обкладке, должны заканчиваться на другой, т.е.
заряды на обкладках должны быть одинаковыми по модулю и противоположными по знаку (q и -q).
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Основной характеристикой конденсатора является его емкость. В
отличие от емкости уединенного проводника под емкостью конденсатора понимают отношение заряда конденсатора к разности потенциалов
между обкладками (эту разность называют напряжением):
С = q / U.
(2.11)
Под зарядом q конденсатора имеют в виду заряд, расположенный на
положительно заряженной обкладке. Естественно, емкость конденсатора измеряют также в фарадах.
Емкость конденсатора зависит от его геометрии (размеров и формы
обкладок), от зазора между ними и от заполняющей конденсатор среды.
Найдем выражения для емкости некоторых конденсаторов, считая, что
между обкладками находится вакуум.
Емкость плоского конденсатора. Этот конденсатор состоит из двух
параллельных пластин, разделенных зазором шириной h. Если заряд
конденсатора q, площадь одной пластины – S, то после подстановки в
(2.11) получим:
С = ε₀ S / h . (2.12)
Этот расчет был проведен без учета искажения поля у краев пластин
(без учета краев эффектов). Емкость реального плоского конденсатора
определяется полученным выражением тем точнее, чем меньше зазор h
по сравнению с линейными размерами пластин.
Емкость сферического конденсатора. Пусть радиусы внутренней и
внешней обкладок конденсатора равны соответственно a и в. Если заряд
конденсатора q, то напряженность поля между обкладками определяется по теореме Гаусса:
Еr =
1 q
.
4πε 0 r 2
Напряжение на конденсаторе:
в
U = ∫ Er dr =
а
1 1 1
 − .
4πε 0  a в 
Отсюда легко видеть, что емкость сферического конденсатора:
C = 4πε 0 =
ав
. (2.13)
в-а
Полезно убедиться, что в случае малого зазора между обкладками,
т.е. при условии в – а ≪ a (или в), полученное выражение переходит в
(2.12) – выражение для емкости плоского конденсатора.
Емкость цилиндрического конденсатора. Рассуждая так же, как и в
случае со сферическим конденсатором, получим
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
C=
2πε0 l
.
ln (в/а )
(2.14)
где l – длина конденсатора; а и в – радиусы внутренней и наружной
обкладок. Здесь так же, как и в предыдущем случае, при малом зазоре
между обкладками полученное выражение переходит в (1.12).
2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.1. Поляризация диэлектрика
Диэлектрик. Диэлектриками (или изоляторами) называют вещества,
практически не проводящие электрического поля. Это значит, что в диэлектриках, в отличие, например, от проводников, нет зарядов, способных перемещаться на значительные расстояния, создавая ток.
При внесении даже нейтрального диэлектрика во внешнее электрическое поле обнаруживаются существенные изменения как в поле, так и
в самом диэлектрике; последнее следует хотя бы из того, что на диэлектрик начинает действовать сила, увеличивается емкость конденсатора
при заполнении его диэлектриком и др.
Чтобы знать, почему это происходит, надо, прежде всего, учесть,
что диэлектрики состоят либо из нейтральных молекул, либо из заряженных ионов, находящихся в узлах кристаллической решетки (ионные
кристаллы, например, типа NaCl). Сами же молекулы могут быть полярными и неполярными. У полярных молекул центр «тяжести» отрицательного заряда сдвинут относительно центра тяжести положительных
зарядов, в результате чего они обладают собственным дипольным моментом р. Неполярные же молекулы собственным дипольным моментом не обладают: у них центры тяжести положительного и отрицательного зарядов совпадают.
Поляризация. Под действием внешнего электрического поля происходит поляризация диэлектрика. Это явление заключается в следующем.
Если диэлектрик состоит из неполярных молекул, то в пределах каждой
молекулы происходит смещение зарядов – положительных по полю, отрицательных против поля. Если же диэлектрик состоит из полярных молекул, то при отсутствии внешнего поля их дипольные моменты ориентированы абсолютно хаотично (из-за теплового движения). Под действием же внешнего поля дипольные моменты ориентируются
преимущественно в направлении внешнего поля. Наконец, в диэлектрических кристаллах типа NaCl при включении внешнего поля все положительные ионы смещаются по полю, отрицательные – против поля *.
Таким образом, механизм поляризации связан с конкретным строением диэлектрика. Однако для дальнейшего существенно лишь то, что
независимо от механизма поляризации в этом процессе все положительные заряды смещаются по полю, а отрицательные – против поля.
Заметим, что смещения зарядов в обычных условиях весьма малы даже
по сравнению с размерами молекул. Это связано с тем, что напряжен*
Существуют ионные кристаллы, поляризованные даже при отсутствии внешнего поля. Этим же свойством обладают диэлектрики, называемые электретами (они подобны
постоянным магнитам).
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ность внешнего поля, действующего на диэлектрик, значительно меньше напряженности внутри электрических полей в молекулах.
Объемные и поверхностные связанные заряды. В результате поляризации на поверхности диэлектрика, а также, вообще говоря, и в его
объеме появляются нескомпенсированные заряды (особенно объемные).
Обратимся к следующей модели. Пусть имеется пластина из нейтрального неоднородного диэлектрика (рис 3.1, а), с ростом координаты x.
Обозначим ρ′₊ и ρ′₋ - модули объемной плотности положительного и
отрицательного зарядов в веществе (эти заряды связаны с ядрами и
электронами).
′
Е
ρ
±
=0
′
ρ
±
′₋ -
ρ
+
′₊+
+
+
+
х
А)
б)
ρ
+
-
х
в)
Рис. 3.1
При отсутствии внешнего поля в каждой точке диэлектрика ρ′₊ =
ρ′₋, ибо диэлектрик электрически нейтрален, но в силу неоднородности
диэлектрика как ρ′₊, так и ρ′₋, увеличивается с ростом х (рис. 3.1, б). Из
этого рисунка видно, что если внешнего поля нет, то оба распределения
в точности накладываются друг на друга (распределение ρ′₊(х) показано
сплошной линией, а распределение ρ′₋(х) – пунктирной).
Включение внешнего поля Е приведет к смещению положительных
зарядов по полю, отрицательных – против поля, и оба распределения
сдвинутся друг относительно друга (рис. 3.1, в). В итоге появятся нескомпенсированные заряды на поверхности диэлектрика и в его объеме
(на нашем рисунке в объеме появился отрицательный нескомпенсированный заряд). Заметим, что изменение направления поля на обратное
приведет к изменению знака всех этих зарядов. Нетрудно также видеть,
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
что в случае пластины из однородного диэлектрика каждое распределение ρ′₊(х) и ρ′₋(х) имело бы П-образную форму, и при их относительном смещении в поле Е возникли бы только поверхностные нескомпенсированные заряды.
Нескомпенсированные заряды, появляющиеся в результате поляризации диэлектрика, называют поляризационными, или связанными. Последним термином хотят подчеркнуть, что свобода перемещения таких
зарядов ограничена. Они могут смещаться лишь внутри электрически
нейтральных молекул. Связанные заряды мы будем отмечать штрихом
(q′, σ′, ρ′).
Итак, при поляризации диэлектрика в нем могут возникать в общем
случае и объемные и поверхностные связанные заряды.
Заряды, которые не входят в состав молекул диэлектрика, называют
сторонними *. Эти заряды могут находиться как внутри, так и вне диэлектрика.
Поле в диэлектрике. Полем Е в диэлектрике мы будем называть величину, являющуюся суперпозицией поля Е₀ сторонних зарядов поля Е′
связанных зарядов:
Е = Е₀ + Е′,
(3.1)
где Е₀ и Е′ представляют собой макрополя, т.е. усреднение по физически бесконечно малому объему микрополя соответственно сторонних
и связанных зарядов. Ясно, что определенное таким образом поле Е в
диэлектрике является также макрополем.
3.2. Поляризованность Р
Определение. Для количественного описания поляризации диэлектрика естественно взять дипольный момент единицы объема. Если
внешнее поле или диэлектрик (или то и другое) неоднородны, степень
поляризации оказывается различной в разных точках диэлектрика. Чтобы охарактеризовать поляризацию в данной точке, мысленно выделяют
физически бесконечно малый объем ∆V, содержащий эту точку, затем
находят векторную сумму дипольных моментов молекул в этом объеме
и составляют отношение:
P=
1
∑ Pi .
∆V
*
(3.2)
Сторонние заряды часто называют свободными, но последнее название для ряда
случаев является неудачным: сторонние заряды бывают и несвободными.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определенный таким образом вектор Р называют поляризованностью диэлектрика. Этот вектор равен дипольному моменту единицы
объема вещества.
Есть еще два полезных представления вектора Р. Пусть в объеме ∆V
содержится ∆N диполей. Умножим и разделим правую часть выражения
(3.2) на ∆N. Тогда можно записать:
Р = n <p>, (3.3)
где n = ∆N/∆V – концентрация молекул (их число в единице объема);
<p> = (∑рi) / ∆N – средний дипольный момент одной молекулы.
Другое выражение для Р соответствует модели диэлектрика как совокупности положительной и отрицательной «жидкостей». Выделим
очень малый объем ∆V внутри диэлектрика. При возникновении поляризации входящий в этот объем положительный заряд ρ’₊∆V сместится
относительного заряда на величину l, и эти заряды приобретут дипольный момент ∆р = ρ’₊∆V·l. Разделив обе части этого равенства на ∆V, получим выражение для дипольного момента единицы объема, т.е. вектор
Р:
Р = ρ’₊l.
(3.4)
Единицей поляризованности Р является кулон на квадратный метр
(Кл/м²).
Связь между Р и Е. Как показывает опыт, для широкого класса диэлектриков и обширного круга явлений поляризованность Р зависит линейно от напряженности Е поля в диэлектрике.
Если диэлектрик изолированный и Е не слишком велико, то:
Р = χε₀Е, (3.5)
где χ - безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью вещества. Эта величина не зависит от Е, она характеризует свойства самого диэлектрика. Всегда χ > 0.
В дальнейшем, если специально не оговорено, мы будем иметь в виду только изолированные диэлектрики, для которых справедливо соотношение (3.5).
Существуют, однако, и диэлектрики, для которых (3.5) не применимо. Это некоторые ионные кристаллы и электреты, а также сегнетоэлектрики. У сегнетоэлектриков связь между Р и Е линейная и зависит,
кроме того, от предыстории диэлектрика, т.е. от предшествующих значений Е (это явление называют гистерезисом).
3.3. Свойства поля вектора Р
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема Гаусса для поля вектора Р. Как мы сейчас покажем, поле
вектора Р обладает следующим замечательным свойством. Оказывается,
поток вектора Р сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен
взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью S, т.е.:
∮P dS = −q'
внутр
.
(3.6)
Это уравнение и выражает теорему Гаусса для вектора Р.
Доказательство теоремы. Пусть произвольная замкнутая поверхность S охватывает часть диэлектрика (рис. 3.2, а), где диэлектрик заштрихован). При включении внешнего электрического поля диэлектрик
поляризуется – положительные заряды сместятся относительно отрицательных. Найдем заряд, который проходит через элемент dS замкнутой
поверхности S наружу (рис. 3.2, б).
р
n
α
l₋
l₊ S
dS
а)
б)
Рис. 3.2
Пусть l₊ и l₋ − векторы, характеризующие смещения положительного и отрицательного связанных зарядов в результате поляризации. Тогда
ясно, что через элемент поверхности dS наружу поверхности S выйдет
положительный заряд ρ′₊l₊dS cosα, заключенный во «внутренней» части
косого цилиндра (рис. 3.2, б). Кроме того, через элемент dS войдет
внутрь поверхности S отрицательный заряд ρ′₋l₋dS cosα, заключенный
во «внешней» части косого цилиндра. Но мы знаем, что перенос отрицательного заряда в некотором направлении эквивалентен переносу положительного заряда в противоположном направлении. Учитывая это,
можно записать суммарный заряд, выходящий наружу поверхности S
через элемент dS, как:
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
dq′ = ρ′₊ (l₊ + l₋)dS cos α, = ρ′₊ldS cos α
, (3.7)
где l = l₊ + l₋– расстояние, на которое сместились относительно друг
друга положительные и отрицательные связанные заряды диэлектрика
при поляризации.
Далее, согласно (3.4):
dq′ = PndS = P dS, (3.8)
Проинтегрировав это выражение по всей замкнутой поверхности S,
мы найдем весь заряд, который вышел при поляризации из объема, ох-
ватываемого поверхностью S, он равен ∮ Р dS. В результате внутри поверхности S останется некоторый избыточный связанный заряд q′.
Ясно, что внешний заряд должен быть равен с обратным знаком оставшемуся внутри поверхности S избыточному связанному заряду, и мы
приходим к (3.6).
Дифференциальная форма уравнения (3.6). В дифференциальной
форме уравнение (3.6) – теорема Гаусса для поля вектора Р – имеет следующий вид:
∇•Р = − ρ′, (3.9)
Дивергенция поля вектора Р равна с обратным знаком объемной
плотности избыточного связанного заряда в этой точке. Это уравнение
можно получить из (3.6) точно таким же путем, как и аналогичное уравнение для вектора Е. Достаточно в проводимых там рассуждениях заменить Е на Р и ρ на ρ′.
Когда в диэлектрике ρ′ = 0? Как мы сейчас покажем, объемная
плотность избыточных связанных зарядов внутри диэлектрика будет
равна нулю при одновременном выполнении двух условий:1) диэлектрик должен быть однородным; 2) внутри него не должно быть сторонних зарядов (ρ = 0).
Действительно, из основного свойства поля вектора Р (3.6) следует,
что в случае однородного диэлектрика можно, заменив Р на χε₀Е согласно (3.5), вынести χ из-под знака интеграла и записать:
χ∮ ε 0E dS = −q'.
Оставшийся интеграл есть не что иное, как алгебраическая сумма
всех зарядов – сторонних и связанных – внутри рассматриваемой замкнутой поверхности S, т.е. q + q′. Поэтому χ(q + q′) = - q′, откуда:
q' = −
χ
q.
1+ χ
41
(3.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Это соотношение между избыточным связанным зарядом q′ и сторонним зарядом q справедливо для любого объема внутри диэлектрика,
в частности и для физически бесконечно малого, когда
q′ →dq′ = ρ′ dV и q→dq = ρdV.
Тогда (3.10) после сокращения на dV примет вид:
ρ' = −
χ
ρ.
1+ χ
(3.11)
Отсюда следует, что в однородном диэлектрике ρ′ = 0, если ρ = 0.
Таким образом, если в произвольное электрическое поле поместить
однородный изотропный диэлектрик какой угодно формы, можно быть
уверенным, что при его поляризации появятся только поверхностные
связанные заряды, которые во всех точках такого диэлектрика будут
равны нулю.
Граничные условия для вектора Р. Рассмотрим поведение вектора Р
на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. Мы
только что установили, что у таких диэлектриков объемного избыточного связанного заряда нет и в результате поляризации появляется только
поверхностный заряд.
n
∆S
n
2
1
n’
Рис. 3.3
Найдем связь между поляризованностью Р и поверхностной плотностью σ’ связанных зарядов на границе раздела диэлектриков. Для этого воспользуемся свойством (3.6) поля вектора Р.
Возьмем в качестве замкнутой поверхности небольшой плоский цилиндр, торцы которого расположены по разные стороны границы раздела (рис. 3.3). Высоту цилиндра будем предполагать ничтожно малой, а
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
площадь ∆S каждого торца настолько малой, что во всех точках каждого
торца цилиндра вектор Р был бы одинаков (это же касается и поверхностной плотности σ’ связанного заряда). Пусть n – общая нормаль к границе раздела в данном месте. Условимся всегда проводить вектор n от
диэлектрика 1 к диэлектрику 2.
Пренебрегая потоком вектора Р сквозь боковую поверхность выбранного нами цилиндра, запишем согласно (3.6):
Р₂n∆S + P₁n∆S = σ′∆S ,
где Р₂n и P₁n - проекции вектора Р в диэлектрике 2 на нормаль n и в
диэлектрике 1 на нормаль n’ (рис. 3.3). Учитывая, что проекция вектора
Р на нормаль n’ равна с обратным знаком проекции этого вектора на
противоположную (общую) нормаль n, т.е. Р₁n’ = - P₁n, перепишем предыдущее уравнение после сокращения на ∆S в следующем виде:
Р₂n - P₁n = - σ′.
(3.12)
Это значит, что на границе раздела диэлектриков нормальная составляющая вектора Р испытывает разрыв, величина которого зависит
от σ′. В частности, если среда 2 вакуум, то Р₂n = 0, и условие (3.12) приобретает более простой вид:
σ′ = Pn,
(3.13)
где Pn - проекция вектора Р на внешнюю нормаль к поверхности
данного диэлектрика. Знак проекции Pn определяет и знак поверхностного связанного заряда σ′ в данном месте. Последнюю формулу можно
представить в другом виде, а именно в соответствии с формулой (3.5)
можно записать:
σ′ = χε₀Еn,
(3.14)
где Еn – проекция вектора Е (внутри диэлектрика вблизи от его поверхности) на внешнюю нормаль. Здесь также знак Еn определяет знак
σ′.
Замечание о поле вектора Р. Соотношения (3.6) и (3.13) нередко
дают основание ошибочно думать, что поле вектора Р зависит от связанных зарядов. На самом деле это не так.
Поле вектора Р, как и поле Е, зависит от всех зарядов, как связанных, так и сторонних, об этом говорит хотя бы уже тот факт, что векторы Р и Е связаны друг с другом соотношением Р = χε₀Е. Связанные заряды определяют не поле вектора Р, а лишь поток этого вектора сквозь
замкнутую поверхность S. Более того, этот поток определяется не всеми
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
связанными зарядами, а только теми, которые охватывают поверхность
S.
3.4. Вектор D
Теорема Гаусса для поля вектора D. Поскольку источниками поля Е
являются все электрические заряды – сторонние и связанные, теорему
Гаусса для поля Е можно записать так:
∮ ε E dS = (q + q' )
внутр
0
,
(3.15)
где q и q′ – сторонние и связанные заряды, охватываемые поверхностью S.
Появление связанных зарядов q′ усложняет дело, и формула (3.15)
оказывается малополезной для нахождения поля Е в диэлектрике даже
при «достаточно хорошей» симметрии.
Действительно, эта формула выражает свойства неизвестного поля
Е через связанные заряды q′, которые в свою очередь определяются неизвестным полем Е.
Это затруднение, однако, можно обойти, если выразить заряд q′ через поток вектора Р по формуле (3.6).Тогда выражение (3.15) можно
преобразовать к такому виду:
∮ (ε E + P)dS = q
0
внутр
.
(3.16)
Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначают буквой
D. Итак, мы нашли вспомогательный вектор D:
D = ε₀E + Р
,
(3.17)
поток которого сквозь произвольную замкнутую поверхность равен
алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью:
∮ DdS = q
внутр
.
(3.18)
Это утверждение называют теоремой Гаусса для поля вектора D.
Заметим, что вектор D представляет собой сумму двух совершенно
различных величин: ε₀E и Р. Поэтому он действительно вспомогательный вектор, не имеющий какого-либо глубокого физического смысла.
Однако свойство поля вектора D, выражаемое уравнением (3.18), оправ-
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дывает введение этого вектора: во многих случаях он значительно упрощает введение поля в диэлектриках ∗.
Соотношения (3.17) и (3.18) справедливы для любого диэлектрика,
как изотропного, так и анизотропного.
Как видно из выражения (3.17), размерность вектора D та же, что и
вектора Р. Единицей величины D служит кулон на квадратный метр
(Кл/м²).
Дифференциальная форма уравнения (3.18):
∇ ⋅ D = ρ,
(3.19)
т.е. дивергенция поля вектора D равна объемной плотности стороннего заряда в той же точке.
Это уравнение можно получить из (3.18) тем же способом, как это
было проделано в случае поля Е. Достаточно в проводимых там рассуждениях заменить Е на D и учесть лишь сторонние заряды.
В тех точках, где дивергенция D положительна, мы имеем источники поля D (ρ>0), а в тех точках, где она отрицательна, - стоки поля D
(ρ<0).
Связь между векторами D и Е. В случае изотропных диэлектриков
поляризованность Р = χε₀Е. Подставив это выражение в (3.17), получим
D = (χ + 1)ε₀Е, или:
D = ε₀εЕ ,
(3.20)
где ε - диэлектрическая проницаемость вещества:
ε = (χ + 1) .
(3.21)
Диэлектрическая проницаемость ε (как и χ) является основной электрической характеристикой диэлектрика. Для всех веществ ε >1, для вакуума ε = 1. Значения ε зависят от природы диэлектрика и колеблются
от величин, весьма мало отличающихся от единицы (газы) до нескольких тысяч (у некоторых керамик). Большое значение ε имеет вода (ε =
81).
Из формулы (3.20) видно, что в изотропных диэлектриках вектор D
коллинеарен вектору Е. В анизотропных же диэлектриках эти векторы,
вообще говоря, не коллинеарны.
Поле вектора D наглядно можно изобразить с помощью линий вектора D, направление и густота которых определяются точно так же, как
и для линий вектора Е. Линии вектора Е могут начинаться как на сторонних, так и на связанных зарядах; мы говорим, что источниками и
∗
Величину D часто называют электрическим смещением или электрической индукцией, однако мы не будем пользоваться этими терминами, чтобы лишний раз подчеркнуть
вспомогательный характер вектора D.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стоками поля Е являются любые заряды. Источниками же и стоками
вектора D являются только сторонние заряды: только на них могут начинаться и заканчиваться линии вектора D. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора D проходят не прерываясь.
Замечание о поле вектора D. Поле вектора D зависит, вообще говоря, как от сторонних, так и от связанных зарядов (как и поле вектора Е).
Об этом говорит уже соотношение D=ε₀εЕ. Однако в некоторых случаях
поле вектора D определяется только сторонними зарядами. Именно для
таких случаев вектор D является особенно полезным. Вместе с тем это
дает повод довольно часто ошибочно думать, что поле D якобы зависит
всегда только от сторонних зарядов и неверно трактовать законы (3.18)
и (3.19). Эти законы выражают только определенное свойство вектора
D, само же поле этого вектора они не определяют.
3.5. Условия на границе
Рассмотрим поведение векторов Е и D сначала на границе раздела
двух однородных изотропных диэлектриков. Пусть для большей общности на границе раздела этих диэлектриков находится поверхностный d
сторонний заряд. Искомые условия нетрудно получить с помощью двух
теорем: теоремы о циркуляции вектора Е и теоремы Гаусса для вектора
D:
∮ Еdl=0, ∮ Ddl=q внутр .
Условие для вектора Е. Пусть поле вблизи границы раздела в диэлектрике 1 равно Е₁, а диэлектрике 2 – Е₂. Возьмем небольшой вытянутый прямоугольный контур, ориентировав его так, как показано на
рис. 3.4. Стороны контура, параллельные границе раздела, должны
иметь такую длину, чтобы в ее пределах поле Е в каждом диэлектрике
можно было считать одинаковым, а «высота» контура должна быть пренебрежимо малой. Тогда согласно теореме о циркуляции вектора Е:
Е₂τl + E₁τ′i = 0,
где проекции вектора Е взяты на направление контура, указанное на
рис 3.4 стрелками.
Если на нижнем участке контура проекцию вектора Е взять не на
орт τ′, а на общий орт τ, то Е₁τ = - E₁τ′ и из предыдущего уравнения следует, что:
Е₂τ = E₁τ’
(3.22)
т.е. тангенциальная составляющая вектора Е оказывается одинаковой по обе стороны границы разделения (не претерпевает скачка).
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Условие для вектора D. Возьмем очень малой высоты цилиндр, расположив его на границе раздела двух диэлектриков (рис. 3.5). Сечение
цилиндра должно быть таким, чтобы в пределах каждого его торца вектор D был одинаков. Тогда согласно теореме Гаусса можно получить
уравнение:
D₂n – D₁n = σ.
(3.23)
n
l
∆S
n
τ
2
τ
1 τ’
2
1
n’
Рис. 3.4
Рис. 3.5
Из этого соотношения видно, что нормальная составляющая вектора
D, вообще говоря, претерпевает скачок при переходе границы раздела.
Однако, если сторонние заряды на границе раздела отсутствуют (σ = 0),
то:
D₂n = D₁n ,
(3.24)
в этом случае нормальные составляющие вектора D скачка не испытывают, они оказываются одинаковыми по разные стороны границы
раздела.
Таким образом, если на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков сторонних зарядов нет, то при переходе этой границы
составляющие Еτ и Dn изменяются непрерывно, без скачка. Составляющие же Еn и Dτ претерпевают скачок.
Преломление линий Е и D. Полученные нами условия для составляющих векторов Е и D на границе раздела двух диэлектриков означают, как мы сейчас увидим, что линии этих векторов испытывают на
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
этой границе излом, преломляются (рис. 3.6). Найдем соотношение между углами α₁ и α₂.
Е₂
Е₂τ Е₂n α₂
α₁
E₁
E ₁n
E
Рис. 3.6
Если сторонних зарядов на границе раздела нет, то из рис. З.6 следует:
t
Е ₂τ
g α₂
/Е₂n
t
E ₁τ
g α₁
/E₁n
Отсюда с учетом предыдущих условий получаем закон преломления
линий Е, а значит, и линий D:
t
. (3.25)
g α₂
₂
t
₁
Это означает, что в диэлектрике с большим значением ε линии Е и
D будут составлять больший угол с нормалью к границе раздела (на рис.
3.6 ε₂>ε₁).
Условие на границе проводник – диэлектрик. Если среда 1 - проводник, а 2 – диэлектрик (см. рис. 3.5), то из формулы (3.23) следует, что:
Dn = σ
,
(3.26)
где n – внешняя нормаль по отношению к проводнику (двойка в индексе здесь опущена, поскольку она не существенна в данном случае).
Убедимся в справедливости формулы (3.26). В состоянии равновесия
g α₁
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
электрическое поле внутри диэлектрика Е = 0, значит, и поляризованность Р = 0. А это, в свою очередь, означает согласно (3.17), что и вектор D = 0. Внутри проводника, т.е. в обозначениях формулы (3.23) D₁ =
0 и D₁n = 0. Остается D₂n = σ.
Связанный заряд у поверхности проводника. Если к заряженному
участку поверхности проводника прилегает однородный диэлектрик, то
на границе этого диэлектрика с проводником выступают связанные заряды некоторой плотности σ′ (напомним, что для однородного диэлектрика объемная плотность связанных зарядов ρ′ = 0). Применим теперь
теорему Гаусса к вектору Е – аналогично тому, как это было сделано
при выводе формулы (2.2). Имея в виду, что на границе раздела проводника с диэлектриком есть как сторонние, так и связанные заряды (σ и
σ′), придем к следующему выражению: Еn = (σ + σ′) /ε₀. С другой стороны, согласно (3.26) Еn = Dn/εε₀. Из этих двух уравнений находим: σ/ε =
σ + σ′, откуда:
σ' = −
ε −1
σ. (3.27)
ε
Видно, что поверхностная плотность σ′ связанного заряда в диэлектрике однозначно связана с поверхностной плотностью σ стороннего
заряда на проводнике, причем знаки этих зарядов противоположны.
3.6. Поле в однородном диэлектрике
Ранее было отмечено, что определение результирующего поля Е в
веществе сопряжено с большими трудностями, поскольку мы не знаем
заранее, как распределяются индуцированные заряды в веществе. Ясно
только, что распределение этих зарядов зависит от природы и формы
вещества, а также от конфигурации внешнего поля Е₀. Поэтому в общем случае решение вопроса о результирующем поле Е в диэлектрике
наталкивается на серьезные трудности: определение макрополя Е’ связанных зарядов в каждом конкретном случае представляет собой, вообще говоря, сложную самостоятельную задачу – универсальной формы
для нахождения Е′, к сожалению, нет. Исключение составляет случай,
когда все пространство, где имеется поле Е₀, заполнено однородным
изотропным диэлектриком. Рассмотрим этот случай более подробно.
Представим себе заряженный проводник (или проводники) в вакууме –
обычно сторонние заряды располагаются на проводниках. Как мы уже
знаем, в состоянии равновесия поле внутри проводника Е = 0, это при
определенном и единственном распределении поверхностного заряда σ.
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть в окружающем проводник пространстве создано при этом поле
Е₀. Теперь заполним все пространство, где есть поле, однородным диэлектриком. В таком диэлектрике вследствие его поляризации появятся
только поверхностные связанные заряды σ′ – на границе с проводником,
причем заряды σ′ однозначно связаны со сторонними зарядами σ на поверхности проводника согласно (3.27). Внутри же проводника поле попрежнему будет отсутствовать (Е = 0). Это значит, что распределение
поверхностных зарядов (сторонних σ + связанных σ′) на границе раздела проводника будет подобно прежнему распределению сторонних зарядов σ, и конфигурация результирующего поля Е в диэлектрике останется той же, что и при отсутствии диэлектрика. Изменится только значение поля в каждой точке. Согласно теореме Гаусса:
σ + σ′ = σ / ε.
(3.28)
Но если заряды, создающие электрическое поле, всюду на границе
раздела уменьшились в ε раз, значит, и само поле Е тоже стало всюду
меньше поля Е₀ во столько же раз:
Е = Е₀/ε. (3.29)
Умножив обе части этого равенства на εε₀, получим:
D = D₀.
(3.30)
Поле вектора D в рассматриваемом случае не меняется.
Формула (3.29) и (3.30) оказывается справедлива и в общем случае,
когда однородный диэлектрик целиком заполняет объем между эквипотенциальными поверхностями поля Е₀ сторонних зарядов (или внешне-
го поля). И здесь внутри диэлектрика Е = Е₀/ε и D = D₀. В указанных
случаях напряженность Е поля связанных зарядов находится в простой
связи с поляризованностью Р диэлектрика, а именно:
Е’ = - Р/ε₀.
(3.31)
В других случаях, как уже было отмечено, дело обстоит значительно
сложнее, и формулы (3.29) – (3.31) становятся несправедливыми.
Следствия. Итак, если однородный диэлектрик заполняет все пространство, занимаемое полем, то напряженность Е поля будет в ε раз
меньше напряженности Е₀ поля тех же сторонних зарядов при отсутствии диэлектрика. Отсюда следует, что потенциал ϕ во всех точках
уменьшается в ε раз:
ϕ = ϕ₀/ε, (3.32)
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где ϕ₀ - разность потенциалов в вакууме без диэлектрика. Это же
относится и к разности потенциалов:
U = U₀/ε,
(3.33)
где U₀ - разность потенциалов в вакууме без диэлектрика.
В простейшем случае, когда однородный диэлектрик заполняет все
пространство между обкладками конденсатора, разность потенциалов
U между его обкладками будет в ε раз меньше, чем при отсутствии диэлектрика (разумеется, при том же значении заряда q на обкладках). А
раз так, то емкость конденсатора (С = q/U) при заполнении его диэлектриком увеличится в ε раз:
С’ = εС,
(3.34)
где С – емкость конденсатора без диэлектрика. Следует обратить
внимание на то, что эта формула справедлива при заполнении всего
пространства между обкладками конденсатора и без учета краевых эффектов.
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
4.1. Электрическая энергия системы зарядов
Энергетический подход к взаимодействию. Энергетический подход
к взаимодействию электрических зарядов является, как мы увидим,
весьма плодотворным по своим практическим применениям, а кроме того, открывает возможность по-иному взглянуть и на само электрическое
поле как физическую реальность.
Прежде всего, мы выясним, как можно прийти к понятию об энергии взаимодействия системы зарядов.
1. Сначала рассмотрим систему из двух зарядов 1 и 2. Найдем алгебраическую сумму элементарных работ сил F₁ и F₂, с которыми эти заряды взаимодействуют. Пусть в некоторой К-системе отсчета за время
dt заряды совершили перемещение dl₁ и dl₂. Тогда соответствующая работа этих сил:
δА₁‚₂ = F₁ dl₁ + F₂ dl₂.
Учитывая, что F₂ = - F₁ (по третьему закону Ньютона), перепишем
предыдущее выражение:
δА₁‚₂ = F₁ (dl₁ - dl₂).
Величина в скобках – это перемещение заряда 1 относительно заряда 2. Точнее, это есть перемещение заряда 1 в К’-системе отсчета, жестко связанной с зарядом 2 и перемещающейся вместе с ним поступательно по отношению к исходной К-системе.
Действительно, перемещение dl₁ заряда 1 в К-системе может быть
представлено как перемещение dl₂ К’-системы плюс перемещение dl₁’
заряда 1 относительно этой К’-системы: dl₁ = dl₂ +dl₁’. Отсюда dl₁ - dl₂
=dl₁’ и
δА₁‚₂ = F₁ dl₁′.
Итак, оказывается, что сумма элементарных работ в произвольной
К-системе отсчета всегда равна элементарной работе, которую совершает сила, действующая на один заряд, в системе отсчета, где другой заряд
покоится. Иначе говоря, работа δА₁‚₂ не зависит от выбора исходной Ксистемы отсчета.
Сила F₁, действующая на заряд 1 со стороны заряда 2, консервативная (как сила центральная). Поэтому работа данной силы на перемеще52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нии dl₁’ может быть представлена как убыль потенциальной энергии
взаимодействия рассматриваемой пары зарядов:
δА₁‚₂ = - dW₁₂,
где W₁₂ - величина, зависящая только от расстояния между этими
зарядами.
2. Теперь перейдем к системе из трех точечных зарядов (полученный
для этого случая результат легко будет обобщить на систему из произвольного числа зарядов). Работа, которую совершают все силы взаимодействия при элементарных перемещениях всех зарядов, может быть
представлена как сумма работ всех трех пар взаимодействий, т.е.
δА=δА₁‚₂+δА₁‚₃+δА₂‚₃. Но для каждой пары взаимодействий, как толь-
ко что было показано, δАi‚k = - dW ik, поэтому:
δА = - d(W₁₂ + W₁₃ + W₂₃) = - dW,
где W – энергия взаимодействия данной системы зарядов:
W = W₁₂ + W₁₃ + W₂₃.
Каждое слагаемое этой суммы зависит от расстояния между соответствующими зарядами, поэтому энергия W данной системы зарядов
есть функция ее конфигурации.
Подобные рассуждения, очевидно, справедливы и для системы из
любого числа зарядов. Значит, можно утверждать, что каждой конфигурации произвольной системы зарядов присуще свое значение энергии W
и работа всех сил взаимодействия при изменении этой конфигурации
равна энергии W:
δА = - dW. (4.1)
Энергия взаимодействия. Найдем выражение для энергии W. Сначала снова рассмотрим систему из трех точечных зарядов, для которой мы
показали, что W = W₁₂ + W₁₃ + W₂₃. Преобразуем эту сумму следующим
образом. Представим каждое слагаемое Wik в симметричном виде:
Wik=½(Wik+Wki), поскольку Wik = Wki. Тогда:
W = ½(W₁₂+W₂₁+W₁₃+W₃₁+W₂₃+W₃₂).
Сгруппируем члены с одинаковыми первыми индексами:
W = ½[(W₁₂+ W₁₃)+(W₂₁+ W₂₃)+(W₃₁+W₃₂)].
Каждая сумма в круглых скобках – это энергия Wi взаимодействия
i-го заряда с остальными зарядами. Поэтому последнее выражение
можно переписать так:
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
W =1
3
(W +W 2+W3 ) = 1 2 ∑ Wi .
2 1
i =1
Обобщение полученного выражения на систему
из
произвольного числа зарядов очевидно, ибо ясно, что проведенные рассуждения совершенно не зависят от числа зарядов, составляющих систему.
Итак, энергия взаимодействия системы точечных зарядов:
W = 1
∑W .
i
2
(4.2)
Имея в виду, что Wi = qiϕi, где qi – i-й заряд системы; ϕi – потенциал, создаваемый всеми остальными зарядами системы, получим окончательное выражение для энергии взаимодействия системы точечных зарядов:
W =1
∑q ϕ .
2
(4.3)
Полная энергия взаимодействия. Если заряды распределены неравномерно, то, разлагая систему зарядов на совокупность элементарных
зарядов dq = ρdV и переходя
i
i
q
q
q
q
Рис. 4.1
от суммирования в (4.3) к интегрированию, получаем:
W=
1
ρϕ dV ,
2∫
(4.4)
где ϕ - потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе
объемом dV. Аналогичное выражение можно записать для распределения зарядов, например, по поверхности; для этого достаточно в формуле
(4.4) заменить ρ на σ и dV на dS.
Можно ошибочно подумать (и это приводит к недоразумениям), что
выражение (4.4) – это только видоизмененное выражение (4.3), соответствующее замене представления о точечных зарядах представлением о
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
непрерывно распределенном заряде. В действительности это не так: оба
выражения отличаются по своему содержанию. Происхождение этого
различия – в разном смысле потенциала ϕ, входящего в оба выражения.
4.2. Энергия заряженного проводника и конденсатора
Энергия уединенного проводника. Пусть проводник имеет заряд q и
потенциал ϕ. Поскольку значение ϕ во всех точках, где имеется заряд,
одинаково, ϕ можно вынести из-под знака интеграла в формуле (4.4).
Тогда оставшийся интеграл есть не что иное, как заряд q на проводнике,
и:
W=
qϕ Cϕ 2 q 2
=
=
.
2
2
2C
(4.5)
Эти три выражения написаны с учетом того, что С = q/ϕ.
Энергия конденсатора. Пусть q и ϕ₊ - заряд и потенциал положительно заряженной обкладки конденсатора. Согласно формуле (4.4) интеграл можно разбить на две части – для одной и другой обкладок.
Тогда:
Так как q₋ = q₊, то:
W = ½(q₊ϕ₊ + q₋ϕ₋).
W = ½q₊(ϕ₊ + ϕ₋) = ½qU,
где q = q₊ - заряд конденсатора, U – разность потенциалов на его обкладках. Приняв во внимание, что С = q/U, получим следующее выражение для энергии конденсатора:
qU CU 2 q 2
W=
=
= .
2
2
2
(4.6)
Здесь надо заметить, что эти формулы определяют полную энергию
взаимодействия: не только энергию взаимодействия зарядов одной обкладки с зарядами другой, но и энергию взаимодействия зарядов каждой обкладки.
А если есть диэлектрик? Мы сейчас убедимся, что формулы (4.5) и
(4.6) справедливы и при наличии диэлектрика. С этой целью рассмотрим процесс зарядки конденсатора как перенос заряда малыми порциями dq’ с одной обкладки на другую.
Элементарная работа, совершенная нами при этом против сил поля,
запишется как:
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
δА = U’dq’ = (q’/C) dq’,
где U’ – разность потенциалов между обкладками в момент, когда
переносится очередная порция заряда dq’.
Проинтегрировав это выражение по q’ от 0 до q, получим:
А = q²/2C,
(4.7)
что совпадает с выражением для полной энергии конденсатора. Значит, совершаемая нами работа против сил электрического поля целиком
идет на создание энергии W заряженного конденсатора. Кроме того, полученное выражение для работы А справедливо и в том случае, когда
между обкладками конденсатора имеется произвольный диэлектрик.
Этим самым мы доказали справедливость формул (4.6) и при наличии диэлектрика.
Все сказанное относится, очевидно, и к формулам (4.5).
4.3. Энергия электрического поля
О локализации энергии. Формула (4.4) определяет электрическую
энергию W любой системы через заряды и потенциалы. Но, оказывается,
энергию W можно выразить также и через величину, характеризующую
само электрическое поле, - через напряженность Е.
Убедимся в этом сначала на простейшем примере плоского конденсатора, пренебрегая искажением поля у краев пластин (краевым эффектом).
Подстановка в формулу W = CU²/2 выражения С
= εε₀S/h дает:
CU 2 εε 0 SU 2 εε 0  U 
=
=
  Sh.
2
2h
2 h
2
W=
Поскольку U/h = Е и Sh = V (объем между обкладками конденсатора), то:
W = ½ε₀εΕ²V.
(4.8)
Полученная формула справедлива для однородного поля, заполняющего объем V.
В общей теории доказывается, что энергию W можно выразить через
Е (в случае, если диэлектрик изотропный) по формуле:
ε 0εE 2
ED
W =∫
dV = ∫ dV . (4.9)
2
2
Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смысл энергии, заключенной в объеме dV. Это подводит нас к весьма важной и
плодотворной физической идее о локализации энергии в самом поле.
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Данное предположение нашло опытное подтверждение в области переменных во времени полей. Только там встречаются явления, которые
можно истолковать на основе идеи о локализации энергии в поле.
Именно переменные поля могут существовать независимо от возбудивших их электрических зарядов и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн. И опыт показывает, что электромагнитные
волны переносят энергию – уже это заставляет нас признать, что носителем энергии является само поле.
Из последних двух формул следует, что электрическая энергия распределена в пространстве с объемной плотностью:
ε 0εE 2 ED
=
.
ϖ=
2
2
(4.10)
Заметим, что эта формула справедлива только в случае изотропного
диэлектрика, для которого выполняется соотношение Р = χε₀Е. Для
анизотропных диэлектриков дело обстоит сложнее.
Работа поля при поляризации диэлектрика. Анализируя формулу
(4.10) для объемной плотности энергии, мы замечаем, что при одном и
том же значении Е величина ϖ при наличии диэлектрика оказывается в
ε раз больше, чем при отсутствии диэлектрика. На первый взгляд это
кажется странным: ведь напряженность поля в обоих случаях мы поддерживаем одной и той же. Как мы сейчас увидим, все дело в том, что
при создании поля в диэлектрике оно совершает дополнительную работу, связанную с поляризацией. И под энергией поля в диэлектрике следует понимать всю энергию, которую нужно затратить на возбуждение
электрического поля, а она складывается из собственной электрической
энергии и той самой дополнительной работы, которая совершается при
поляризации диэлектрика.
Чтобы в этом убедиться, подставим в (4.10) вместо D величину ε₀Е
+ Р, тогда:
ϖ=
ε0E2
2
+
EP
.
2
(4.11)
Первое слагаемое здесь совпадает с плотностью энергии поля Е в
вакууме. Остается проверить, что «дополнительная» энергия ЕР/2 связана с поляризацией диэлектрика.
Подсчитаем работу, которую совершает поле при поляризации единицы объема диэлектрика, т.е. при смещении зарядов ρ′ + и ρ′ - соответственно по направлению и против направления поля – при возрастании
напряженности от Е до Е + dE.
dl- l- l+ dl+
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
l = l+ - lРис. 4.2
Пренебрегая членами второго порядка малости, запишем:
δА = ρ′ + Edl+ + ρ′ - Edl- = ρ′ + dl⋅Е,
где dl = dl+ - dl- - дополнительное смещение положительных зарядов относительно отрицательных. Согласно (3.4):
δА = Е dР.
(4.12)
Проведя несложные преобразования, получим, что вся работа на
поляризацию единицы объема диэлектрика равна:
А = ЕР/2,
(4.13)
что совпадает со вторым слагаемым формулы (4.11).
Таким образом, объемная плотность энергии ϖ = ED/2 включает в
себя собственную энергию поля и энергию ЕР/2, связанную с поляризацией вещества.
4.4. Система двух заряженных тел
Представим себе систему из двух заряженных тел в вакууме. Пусть
одно тело создает в окружающем пространстве поле Е₁, а другое – поле
Е₂. Результирующее поле Е = Е₁+Е₂, квадрат этой величины:
Е² = Е²₁+Е²₂+2 Е₁Е₂.
Поэтому полная энергия W данной системы согласно (4.9) равна
сумме трех интегралов:
W =∫
ε 0 E12
2
dV + ∫
ε 0 E22
2
dV + ∫ ε 0 E1E 2 dV , (4.14)
что совпадает с W = W₁ + W₂ + W₁₂ и раскрывает полевой смысл
входящих в нее слагаемых. Первые два интеграла (4.14) представляют
собой собственную энергию первого и второго заряженных тел (W₁ и
W₂), последний интеграл – энергию их взаимодействия (W₁₂).
Отметим следующие важные обстоятельства в связи с формулой
(4.14):
1.Собственная энергия каждого заряженного тела – величина существенно положительная.
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Положительной является всегда и полная энергия (4.9) – это сразу
видно из того, что под интегралом находятся существенно положительные величины. Энергия же взаимодействия может быть как положительной, так и отрицательной.
2. При всех возможных перемещениях заряженных тел, не изменяющих конфигурации зарядов на каждом теле, собственная энергия
тел остается полной, и поэтому ее можно считать аддитивной постоянной в выражении для полной энергии W. В этих случаях изменения W
определяются всецело только изменениями взаимной энергии W₁₂. В
частности, именно так ведет себя энергия системы двух точечных зарядов при изменении расстояния между ними.
3. В отличие от вектора Е энергия электрического поля – величина
не аддитивная, т.е. энергия поля Е, являющаяся суммой Е₁ и Е₂, вообще
говоря, не равна сумме энергий обоих полей из-за взаимной энергии
W₁₂. В частности, при возрастании всюду Е в n раз энергия поля увеличивается в n² раз.
4.5. Силы при наличии диэлектрика
Электризация. Опыт показывает, что на диэлектрик в электрическом поле действуют силы (их иногда называют пондеромоторными).
Эти силы возникают и в тех случаях, когда диэлектрик в целом не заряжен. Причиной их возникновения является в конечном счете действие
неоднородного электрического поля на дипольные молекулы поляризованного диэлектрика (как известно, на диполи в неоднородном электрическом поле действует сила, направленная в сторону возрастания данного поля). Причем эти силы обусловлены неоднородностью не только
макрополя, но и микрополя, создаваемого в основном ближайшими молекулами поляризованного диэлектрика.
Под действием указанных электрических сил поляризованный диэлектрик деформируется. Это явление называется электрострикцией.
Вследствие электрострикции в диэлектрике возникают механические
напряжения.
Все это приводит к тому, что на проводник, находящийся в поляризованном диэлектрике, действует не только электрическая сила, зависящая от зарядов на проводнике, но и дополнительная механическая сила со стороны диэлектрика.
В общем случае влияние диэлектрика на результирующую силу, испытываемую проводником, не может быть учтено никакими простыми
соотношениями, и задача вычисления сил с одновременным исследованием механизма их возникновения, как правило, оказывается весьма
сложной. Однако во многих случаях эти силы можно вычислить доста59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
точно просто без детального анализа их происхождения – с помощью
закона сохранения энергии.
Энергетический метод определения сил. Этот метод является наиболее общим. Он позволяет, отвлекаясь от причин возникновения сил,
автоматически учитывать все силовые взаимодействия (электрические и
механические) и поэтому приводит к правильному результату.
Покажем, в чем суть энергетического метода расчета сил. Наиболее
просто обстоит дело в случае, когда заряженные проводники отключены
от источников напряжения.
В этом случае заряды на проводниках остаются постоянными, и мы
можем утверждать, что работа А всех внутренних сил системы при медленных перемещениях проводников и диэлектриков совершается целиком за счет убыли электрической энергии W системы (или ее поля).
Здесь предполагается, что при указанных перемещениях не происходит
преобразование электрической энергии в другие формы, или, точнее,
считается, что такие преобразования пренебрежительно малы. Таким
образом, для бесконечно малых перемещений можно записать:
δА = - dWq,
(4.15)
где символ q подчеркивает, что убыль энергии системы должна
быть вычислена при постоянных зарядах на проводниках.
Уравнение (4.15) является исходным для определения сил, действующих на проводники в электрическом поле. Делается это, например,
так. Пусть нас интересует сила, действующая на данное тело (проводник или диэлектрик). Совершим бесконечно малое поступательное перемещение dx этого тела в интересующем нас направлении X. Тогда работа искомой силы F на перемещение dx есть δА = Fхdx, где Fх – проекция силы F на положительное направление оси Х.
После подстановки последнего выражения для δА в (4.15) и деления
на dx получим:
Fх = - dW/dxq. (4.16)
Следует обратить внимание вот на что. Сила, как известно, зависит
только от положения тел и распределения зарядов в данный момент.
Она не может зависеть от того, как будет развиваться энергетический
процесс в том случае, если система придет в движение под действием
сил. А это значит, что для величины Fх по формуле (4.16) нет надобности подбирать такой режим, при котором обязательно все заряды проводников остались бы постоянными (q = const).
Надо просто найти приращение dW при условии, что q = const, а это
– чисто математическая операция.
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заметим, что если перемещение проводить при постоянном потенциале на проводниках, то соответствующий расчет приводит к другой
формуле для силы: Fх = - ∂W/∂xϕ.
Однако – и это важно – результат расчета Fх по этой формуле или
по (4.16) оказывается одинаковым, как и должно быть. Поэтому мы ограничимся в дальнейшем использованием только формулы (4.16) и будем принимать ее для любых условий, включая и такие, где при малых
перемещениях q ≠ const. Нас это не должно смущать: произвольную
∂W/∂x мы в подобных случаях будем вычислять при q = const.
Силы в жидком диэлектрике. Сила взаимодействия обкладок плоского конденсатора в жидком диэлектрике в ε раз меньше, чем в вакууме
(где ε = 1). Этот результат, как показывает опыт, можно обобщить: при
заполнении всего пространства, где есть электрическое поле, жидким
или газообразным диэлектриком, силы взаимодействия между заряженными проводниками (при неизменных зарядах на них) уменьшаются в ε
раз:
F = F₀/ε.
(4.17)
Отсюда следует, что два точечных заряда q₁ и q₂, находящиеся на
расстоянии r друг от друга внутри безграничного жидкого или газообразного диэлектрика, взаимодействуют с силой F (4.18), т.е. тоже в ε раз
меньше, чем в вакууме.
Эта формула выражает закон Кулона для точечных зарядов в безграничном диэлектрике.
Следует обратить особое внимание на то, что в последнем законе
под точечными подразумеваются сторонние заряды, сосредоточенные
на макроскопических телах, размеры которых малы по сравнению с расстояниями между ними:
F=
q1q2
.
4πε 0 ε r 2
1
(4.18)
Таким образом, закон (4.18) в отличие от закона Кулона в вакууме
имеет весьма ограниченную область применения: диэлектрик должен
быть однородным, безграничным, обязательно жидким или газообразным, а взаимодействующие тела – точечными в макроскопическом
смысле.
Интересно, что в однородном жидком или газообразном диэлектрике, заполняющем все пространство, где есть поле, как напряженность Е,
так и сила F, действующая на точечный заряд q, в ε раз меньше Е₀ и F₀
при отсутствии диэлектрика. А это значит, что сила F, действующая на
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
заряд q, определяется в этом случае такой же формулой, как и в вакууме:
F = qE
,
(4.19)
где Е - напряженность поля в диэлектрике в том месте, куда помещают сторонний заряд q. Только в этом случае по силе F формула (4.19)
позволяет определить поле Е в диэлектрике.
Следует обратить внимание, что на сам сторонний заряд – он сосредоточен на каком-то небольшом теле – будет действовать другое поле –
не то, что в самом диэлектрике. И тем не менее формула (4.19) дает, как
это ни удивительно, верный результат.
Поверхностная плотность силы. Речь пойдет о силе, действующей
на единицу поверхности заряженного проводника в жидком или газообразном диэлектрике. Рассмотрим с этой целью плоский конденсатор в
жидком диэлектрике.
Пусть конденсатор заряжен и отключен от источника напряжения чтобы заряд конденсатора и поле Е внутри него не менялось при раздвигании обкладок.
Энергия конденсатора – это энергия поля внутри него. Согласно
(4.16) сила, действующая на верхнюю обкладку:
Fх = - ∂W/∂xq = - ½ EDS.
откуда поверхностная плотность силы:
Fед =
ED
.
2
(4.20)
Мы получили интересный и важный результат, имеющий общий характер (в жидком или газообразном диэлектрике). Оказывается, поверхностная плотность силы, действующей на проводник, равна объемной
плотности электрической энергии поверхности. Направлена эта сила
всегда по нормали к поверхности, причем наружу проводника (стремясь
его растянуть) независимо от знака поверхностного заряда.
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
5.1. Плотность тока. Уравнение непрерывности
Электрический ток. В этой главе мы ограничимся рассмотрением
тока проводимости в проводящей среде, главным образом в металлах.
Электрический ток, как известно, представляет собой перенос зарядов
через ту или иную поверхность S (например, через сечение проводника).
Носителями тока в проводящей среде могут быть электроны (в металлах), либо ионы (в электролитах), либо другие частицы. При отсутствии электрического поля носители тока совершают хаотические движения и через любую воображаемую поверхность S проходит в обе стороны в среднем одинаковое число носителей того и другого знака, так
что ток через поверхность S равен нулю. При включении же электрического поля на хаотическое движение носителей накладывается упорядоченное движение с некоторой средней скоростью u и через поверхность
S появляется ток. Таким образом, электрический ток – это, по существу,
упорядоченный перенос электрических зарядов.
Количественной мерой электрического тока служит сила тока I, т.е.
заряд, переносимый сквозь рассматриваемую поверхность S в единицу
времени:
I = dQ / dt.
(5.1)
Единицей силы тока является ампер (А).
Плотность тока. Электрический ток может быть распределен по
поверхности, через которую он протекает, неравномерно. Поэтому для
более детальной характеристики тока вводят вектор плотности тока j.
Модуль этого вектора численно равен отношению силы тока dI через
элементарную площадку, расположенную в данной точке перпендикулярно направлению движения носителей, к ее площади dS⊥:j = dI/dS⊥. За
направление вектора j принимают направление вектора скорости u упорядоченного движения положительных носителей (или направление,
противоположное направлению вектора скорости упорядоченного движения отрицательных носителей). Если носителями являются как положительные, так и отрицательные заряды, то плотность тока определяется формулой:
j = ρ₊u₊ + ρ₋u₋,
(5.2)
где ρ₊ и ρ₋ - объемные плотности положительного и отрицательного
зарядов-носителей; u₊ и u₋ - скорости их упорядоченного движения. В
проводниках же, где носителями являются только электроны (ρ₋< 0 и u₊
= 0), плотности тока:
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
j = ρ₋u₋.
(5.3)
Поле вектора j можно изобразить графически с помощью линий тока (линий вектора j), которые проходят так же, как и линии вектора Е.
Зная вектор плотности тока в каждой точке интересующей нас поверхности S, можно найти и силу тока через эту поверхность как поток
вектора j:
I = ∫ j dS.
(5.4)
Сила тока I является величиной скалярной и алгебраической. Ее
знак, как видно из формулы (5.4), определяется, кроме всего прочего,
выбором направления нормали в каждой точке поверхности S, т.е. выбором направления векторов dS. При изменении направления всех векторов dS на противоположные величина I меняет знак.
Уравнение непрерывности. Представим себе в некоторой проводящей среде, где течет ток, замкнутую поверхность S. Для замкнутых поверхностей векторы нормалей, а следовательно, и векторы dS принято
брать наружу, поэтому интеграл ∮j dS дает заряд, выходящий в единицу
времени наружу из объема V, охватываемого поверхностью S. В силу
закона сохранения заряда этот интеграл равен убыли заряда в единицу
времени внутри объема V:
∮ jdS = − dt .
dq
(5.5)
Это соотношение называют уравнением непрерывности. Оно является, по существу, выражением закона сохранения электрического заряда.
В случае стационарного (постоянного) тока распределение зарядов в
пространстве должно быть неизменным, т.е. в правой части (5.5) dq / dt
= 0. Следовательно, для постоянного тока:
∮ jdS = 0 ,
(5.6)
иначе говоря, линии вектора j в этом случае нигде не начинаются и
нигде не заканчиваются. Мы говорим, что в случае постоянного тока
поле вектора j не имеет источников.
Дифференциальная форма уравнения непрерывности. Преобразуем
последние два выражения к дифференциальной форме. Для этого представим заряд q как ∫ ρ dV и правую часть (5.5). Получим:
∂ρ
∮ jdS = - ∂t dV .
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дальнейшее следует проделать так же, как это было сделано для потока вектора Е. В результате получим, что дивергенция вектора j в некоторой точке равна убыли плотности заряда в единицу времени в той
же точке.
∇ ⋅ j = − ∂ρ/∂t.
(5.7)
Отсюда следует условие стационарности (когда ∂ρ/∂t = 0):
∇ ⋅ j = 0.
(5.8)
Оно означает, что в случае постоянного тока поле вектора j не имеет источников.
5.2. Закон Ома для однородного проводника
Закон Ома, открытый экспериментально, гласит: сила тока, протекающего по однородному проводнику, пропорциональна разности
потенциалов на его концах (напряжению U):
I = U/R,
(5.9)
где R – электрическое сопротивление проводника.
Единицей электрического сопротивления служит ом (Ом).
Сопротивление R зависит от формы и размеров проводника, от его
материала и температуры, а также – это следует помнить – от конфигурации (распределения) тока по проводнику. В случае провода смысл сопротивления не вызывает сомнений. В более общем случае объемного
распределения тока уже нельзя говорить о сопротивлении, пока не указаны или расположение подводящих к интересующему нас проводнику
проводов, или конфигурация тока. В простейшем случае однородного
цилиндрического проводника сопротивление выражается формулой:
l
R = −ρ ,
S
(5.10)
где l – длина проводника; S – площадь его поперечного сечения; ρ удельное электрическое сопротивление. Последнее зависит от материала проводника и его температуры. Выражают ρ в ом-метрах (Ом⋅м).
Значения удельного электрического сопротивления для наиболее хороших проводников (медь, алюминий) составляют при комнатной температуре несколько единиц на 10⁻⁸ Ом⋅м.
Закон Ома в дифференциальной форме. Найдем связь между плотностью тока j и полем Е в той же точке проводящей среды. Ограничим-
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ся случаем изотропного проводника, в котором направления векторов j
и Е совпадают.
Выделим мысленно в окрестности некоторой точки проводящей
среды элементарный цилиндрический объем с образующими, параллельными вектору j, а значит, и вектору Е. Если поперечное сечение
цилиндра dS, а его длина dl, то на основании (5.9) и (5.10) можно записать для такого элементарного цилиндра:
j dS =
де):
E dl
.
ρ dl / dS
После соответствующих сокращений получим (уже в векторном ви-
j=
1
E = σE ,
ρ
(5.11)
где σ = 1/ρ - удельная электропроводимость среды. Единицу, обратную ому, называют сименсом (См), поэтому единицей σ является
сименс на метр (См/м).
Соотношение (5.11) и выражает закон Ома в дифференциальной
форме. Оно не содержит дифференциалов (производных), а свое название получило потому, что в нем устанавливается связь между величинами, относящимися к одной и той же точке проводника. Иначе говоря,
соотношение (5.11) выражает локальный закон Ома.
Способы вычисления сопротивления R. Существует несколько таких
способов, и все они в конечном счете основаны на использовании соотношений (5.9) – (5.10). Целесообразность применения того или иного
способа в каждом случае зависит от конкретной постановки задачи и от
характера ее симметрии.
О заряде внутри проводника с током. Если ток постоянный, то избыточный заряд внутри однородного проводника всюду равен нулю. В
самом деле, для постоянного тока справедливо уравнение (5.6). Перепишем его с учетом закона (5.11) в виде:
∮ σEdS = 0,
где интеграл взят по произвольной замкнутой поверхности S внутри
проводника. Для однородного проводника величину σ можно вынести
из-под интеграла:
σ∮ EdS = 0.
66
(5.12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оставшийся интеграл, согласно теореме Гаусса, пропорционален
алгебраической сумме зарядов внутри замкнутой поверхности S, т.е.
пропорционален избыточному заряду внутри этой поверхности. Но из
последнего равенства сразу видно, что этот интеграл равен нулю (ибо σ
≠ 0), а значит, равен нулю и избыточный заряд. В силу произвольности
поверхности S мы заключаем, что избыточный заряд в этих условиях
всюду внутри проводника равен нулю.
Избыточный заряд может появиться только на поверхности однородного проводника, в местах соприкосновения с другими проводниками, а также там, где проводник имеет неоднородности.
Электрическое поле проводника с током. Итак, при протекании тока
на поверхности проводника (область неоднородности) выступает избыточный заряд, а это означает, согласно (2.2), что снаружи проводника
имеется нормальная составляющая вектора Е. Далее, из непрерывности
тангенциальной составляющей вектора Е мы приходим к выводу о наличии и тангенциальной составляющей этого вектора вблизи поверхности проводника. Таким образом, вектор Е вблизи поверхности проводника составляет (при наличии тока) некоторый неравный нулю угол α
(рис 5.1); при отсутствии тока α = 0.
Еn Е
α
Еτ
I
Рис. 5.1
Если токи стационарны, то распределение электрических зарядов в
проводящей среде (вообще говоря, неоднородной) не меняется во времени, хотя и происходит движение зарядов: в каждой точке на место
уходящих зарядов непрерывно поступают новые. Эти движущиеся заряды создают такое же кулоновское поле, что и неподвижные заряды
той же конфигурации. Стало быть, электрическое поле – поле потенциальное.
Вместе с тем, электрическое поле в случае стационарных токов существенно отличается от электрического – кулоновского поля неподвижных зарядов. Последнее внутри проводников при равновесии зарядов равно нулю. Электрическое поле у стационарных токов есть также
кулоновское поле, однако заряды, его возбуждающие, находятся в движении. Поэтому поле Е у стационарных токов существует и внутри
проводников с током.
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.3. Обобщенный закон Ома
Сторонние силы. Если бы все действующие на носители силы сводились к силам электростатического поля, то под действием этих сил
положительные носители перемещались бы из мест с большим потенциалом к местам с меньшим потенциалом, а отрицательные носители
двигались бы в обратном направлении. Это вело бы к выравниванию
потенциалов, в результате все соединенные между собой проводники
приобрели бы одинаковый потенциал и ток прекратится. Иными словами, при наличии лишь кулоновских сил стационарное поле должно
быть полем статическим.
Чтобы этого не произошло, в цепи постоянного тока наряду с участками, где положительные носители тока движутся в сторону уменьшения потенциала ϕ, должны иметься участки, на которых перенос положительных носителей происходит в сторону возрастания ϕ, т.е. против
сил электрического поля. Перенос носителей на этих участках возможен
лишь с помощью сил не электрического происхождения. Это так называемые сторонние силы.
Таким образом, для поддержания постоянного тока необходимы
сторонние силы, действующие либо на отдельных участках цепи, либо
во всей цепи. Физическая природа сторонних сил может быть различной. Они могут быть обусловлены, например, химической и физической
неоднородностью проводника – такие силы возникают при соприкосновении разнородных проводников (гальванические элементы, аккумуляторы) или проводников различной температуры (термоэлементы) и др.
Обобщенный закон Ома. Для количественной характеристики сторонних сил вводят понятие поля сторонних сил с напряженностью Е∗.
Этот вектор численно равен сторонней силе, действующей на единичный положительный заряд.
Теперь обратимся к плотности тока. Если под действием электрического поля Е в проводнике возникает ток плотности j=σЕ, то, очевидно,
что под совместным действием поля Е и поля сторонних Е∗ сил плотность тока:
j = σ (Е + Е∗ ).
(5.13)
Это уравнение обобщает закон (5.11) на случай неоднородных участков проводящей среды. Оно выражает обобщенный закон Ома в локальной форме.
Закон Ома для неоднородного участка цепи. Неоднородным называют участок цепи, на котором действуют сторонние силы.
Рассмотрим частный, но практически важный случай, когда электрический ток течет вдоль тонких проводов. В этом случае направление
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тока будет совпадать с направлением оси провода и плотность тока j
может считаться одинаковой во всех точках сечения провода.
Разделим обе части уравнения (5.13) на σ, полученное выражение
умножим скалярно на элемент оси провода dl, взятый по направлению
от сечения 1 к сечению 2 (его мы примем за положительное), и затем
проинтегрируем по длине провода от сечения 1 до сечения 2:
2
∫
1
j dl
2
2
1
1
= ∫ E dl + ∫ E*dl .
σ
(5.14)
Преобразуем подынтегральное выражение у первого интеграла: заменим σ на 1/ρ и j dl на jl dl, где jl - проекция вектора j на направление
вектора dl. Далее учтем, что jl - величина алгебраическая; она зависит от
того, как направлен вектор j по отношению к dl: если j⇈dl, то jl>0, если
же j⇅dl, то jl<0. И последнее: заменим jl на I/S, где I – одинаково во всех
сечениях цепи, эту величину можно вынести за знак интеграла.
В результате получим:
2
∫
1
2
j dl
= I∫ρ
σ
1
dl
.
S
(5.15)
Выражение ρ dl/dS определяет не что иное, как сопротивление участка цепи длиной dl, а интеграл от этого выражения – полное сопротивление R участка цепи между 1 и 2.
Теперь обратимся к правой части (5.14). Первый интеграл здесь –
это разность потенциалов ϕ₁ − ϕ₂, а второй интеграл представляет собой
электродвижущую силу (э.д.с.) ℰ, действующую на данном участке цепи:
2
∫
ℰ₁₂ = E* dl .
(5.16)
1
Эта величина, как и сила тока 1, является алгебраической: если э.д.с.
способствует движению положительных носителей тока в выбранном
направлении, то ℰ₁₂>0, если же препятствует, то ℰ₁₂<0.
После всех указанных преобразований уравнение (5.14) будет иметь
следующий вид:
RI = ϕ₁ − ϕ₂ + ℰ₁₂.
69
(5.17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Это уравнение выражает интегральную форму закона Ома для неоднородного участка цепи, в отличие от уравнения (5.13), представляющего тот же закон в локальной форме.
Из (5.17) следует, что для замкнутой цепи точки 1 и 2 совпадают, ϕ₁
= ϕ₂ и оно приобретает более простой вид:
RI = ℰ,
(5.18)
где R представляет собой уже полное сопротивление замкнутой це-
пи, а ℰ - алгебраическую сумму отдельных э.д.с. в данной цепи.
Далее представим себе участок цепи, содержащий сам источник
э.д.с., - между его клеммами 1 и 2. Тогда в уравнении (5.17) для выбранного нами участка ϕ₁ − ϕ₂ - разность потенциалов на его клеммах. Если
источник разомкнут, то I = 0 и ℰ = ϕ₁ − ϕ₂, т.е. э.д.с. источника можно
определить как разность потенциалов на его клеммах в разомкнутом состоянии.
5.4. Разветвление цепи. Правила Кирхгофа
Расчет разветвленных цепей, например нахождение токов в отдельных ее ветвях, значительно упрощается, если пользоваться двумя правилами Кирхгофа.
Первое правило Кирхгофа – оно относится к узлам цепи, т.е. к точкам ее разветвления: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле,
равна нулю:
∑I
k
= 0.
(5.19)
При этом токи, идущие к узлу, и токи, исходящие из узла, следует
считать величинами разных знаков, например: первые – положительными, вторые – отрицательными (или наоборот – это несущественно).
Применительно к рис. 5.2 уравнение (5.19) запишется так:
I₁ – I₂ + I₃ = 0.
I₂
I₃
I₁
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 5.2
Уравнение (5.19) является следствием стационарности (5.8); если бы
это было не так, в узле изменялся бы заряд и токи не были бы стационарными.
Второе правило Кирхгофа – относится к любому выделенному в
разветвленной цепи замкнутому контуру: алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого
контура на их сопротивления равна алгебраической сумме э.д.с., действующей в этом контуре:
∑ IkRk = ∑ ℰk.
(5.20)
Для доказательства этого правила достаточно рассмотреть случай,
когда выделенный контур состоит из трех участков. Зададим направление обхода, например, по часовой стрелке. Затем применим к каждому
из трех участков закона Ома (5.17):
R₁I₁ = ϕ₂ − ϕ₃ + ℰ₁,
R₂I₂ = ϕ₃ − ϕ₁ + ℰ₂,
R₃I₃ = ϕ₁ − ϕ₂ + ℰ₃.
Сложив эти равенства, приходим после сокращения всех потенциалов к формуле (5.20), т.е. ко второму правилу Кирхгофа.
Таким образом, уравнение (5.20) является следствием закона Ома
для неоднородных участков цепи.
Составление системы уравнений. Правила Кирхгофа в каждом конкретном случае позволяют написать полную систему алгебраических
уравнений, из которой могут быть найдены, например, все неизвестные
токи.
Уравнений (5.19) и (5.20) надо составлять столько, чтобы их число
было равно числу искомых величин. При этом надо следить, чтобы одни
уравнения не являлись следствием других:
1) если в разветвленной цепи имеется N узлов, то независимые
уравнения типа (5.19) можно составить лишь для N –1 узлов; уравнение
для последнего узла будет следствием предыдущих;
2
1
3
3
4
24
71
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 5.3 Рис. 5.4
2) если в разветвленной цепи можно выделить несколько замкнутых
контуров, то независимые уравнения типа (5.20) можно составить только для тех контуров, которые не получаются в результате наложения
уже рассмотренных. Например, для цепи (рис. 5.3) такие уравнения для
контуров 124 и 234 будут независимы. Уравнение же для контура 1234
является следствием двух предыдущих. Можно составить независимые
уравнения для других контуров, например, для контуров 124 и 1234, но
тогда уравнение для контура 234 будет следствием двух первых. Число
независимых уравнений типа (5.20) оказывается равным наименьшему
числу разрывов, которые следует сделать в цепи, чтобы нарушить все
контуры. Это число, кстати, равно числу областей, ограниченных проводниками, если схему удастся изобразить на плоскости без перечислений.
Например, для цепи (рис. 5.4), содержащей четыре узла, надо составить три уравнения типа (5.19) и три уравнения типа (5.20), ибо минимальное число разрывов (они помечены крестиками), нарушающее все
контуры, равно трем (трем равно и число областей). Если неизвестными
являются токи, то их число равно шести – по числу отдельных участков
между узлами, что соответствует числу независимых уравнений.
При составлении уравнений типа (5.19) и (5.20) необходимо руководствоваться следующими указаниями:
1. Обозначить стрелками предположительные направления токов, не
задумываясь над тем, куда эти стрелки направлены. Если в результате
вычислений окажется, что какой-то ток положителен, то это значит, что
его направление выбрано правильно. Если же ток окажется отрицательным, то его истинное направление противоположно направлению
стрелки.
2. Выбрав произвольно замкнутый контур, все его участки следует
обойти в одном направлении, например по часовой стрелке. Если предположительное направление некоторого тока совпадает с выбранным
направлением обхода, то соответствующее слагаемое IR в уравнении
(5.20) надо брать со знаком плюс, если же эти направления противоположны, то со знаком минус. Аналогично следует поступать и с ℰ: если
какая-то э.д.с. ℰ повышает потенциал в направлении обхода, ее надо
брать со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.
5.5. Закон Джоуля – Ленца
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С прохождением тока через проводник, обладающий сопротивлением, неразрывно связано выделение теплоты (нагревание проводников).
Наша задача – найти количество теплоты, выделяющееся за единицу
времени на определенном участке цепи. Здесь возможны два случая, которые мы и рассмотрим последовательно, - однородный и неоднородный участки цепи. В основу решения этого вопроса мы возьмем закон
сохранения энергии и закон Ома.
Однородный участок цепи. Пусть интересующий нас участок заключен между сечениями 1 и 2 проводника (рис. 5.5). Найдем работу,
которую совершают силы поля над носителями тока на участке 12 за
время dt.
2
I
ϕ₂
1
ϕ₁
Рис. 5.5
Если сила тока в проводнике равна I, то за время dt через каждое сечение проводника пройдет заряд dq = Idt.
В частности, такой заряд dq войдет внутрь участка сечения 1 и такой
же заряд выйдет из этого участка через сечение 2. Так как распределение зарядов в проводнике остается при этом неизменным (ток постоянный), то весь процесс эквивалентен непосредственному переносу заряда
dq от сечения 1 к сечению 2, имеющих потенциалы ϕ₁ и ϕ₂.
Поэтому совершаемая при таком переносе работа сил поля:
δА = dq (ϕ₁ − ϕ₂) = I (ϕ₁ − ϕ₂) dt.
Согласно закону сохранения энергии эквивалентная этой работе
энергия должна выделяться в иной форме. Если проводник неподвижен
и в нем не происходят химические превращения, то эта энергия должна
выделяться в форме внутренней (тепловой) энергии, в результате чего
проводник нагревается. Механизм этого превращения достаточно прост:
носители тока (например, электроны в металлах) в результате работы
сил поля приобретают дополнительную кинетическую энергию и затем
расходуют ее на возбуждение колебаний решетки при столкновении с ее
узлами-атомами.
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Итак, согласно закону сохранения энергии элементарная работа δА
= ϑ dt, где ϑ - теплота, выделяемая в единицу времени (тепловая мощность). Сравнивая последнее равенство с предыдущим, получаем:
ϑ = I (ϕ₁ − ϕ₂).
А так как по закону Ома ϕ₁ − ϕ₂ = RI, то:
ϑ = RI².
(5.21)
Эта формула выражает известный закон Джоуля - Ленца.
Получим выражение этого закона в локальной форме, характеризующей выделение теплоты в различных местах проводящей среды.
Для этой цели выделим в данной среде элементарный объем в виде
цилиндрика с образующими, параллельными вектору j – плотности тока
в данном месте.
Пусть поперечное сечение цилиндрика dS, а его длина dl. Тогда на
основании закона Джоуля - Ленца в этом объеме за время dt выделится
количество теплоты:
δQ = RI 2 dt =
ρ dl
dS
( j dS )2 dt = ρj 2dV dt ,
где dV = dS dl – объем цилиндрика. Разделив последнее уравнение
на dVdt, получим формулу, которая определяет количество теплоты,
выделяющееся за единицу времени в единице объема проводящей среды, - удельную тепловую мощность тока:
ϑуд = ρj².
(5.22)
Эта формула выражает закон Джоуля - Ленца в локальной форме:
удельная тепловая мощность тока пропорциональна квадрату плотности электрического тока и удельному сопротивлению среды в данной
точке.
Уравнение (5.22) представляет собой наиболее общую форму закона
Джоуля - Ленца, применимую к любым проводникам независимо от их
формы, однородности и от природы сил, возбуждающих электрический
ток. Если на носители тока действуют только электрические силы, то на
основании закона Ома (5.11):
ϑуд = jЕ = σЕ².
(5.23)
Таким образом, последнее уравнение имеет менее общий характер,
нежели (5.22).
Неоднородный участок цепи. Если участок цепи содержит источник
э.д.с., то на носители тока будут действовать не только электрические
силы, но и сторонние. В этом случае выделяемое в неподвижном проводнике тепло будет равно по закону сохранения энергии алгебраиче74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ской сумме работ электрических и сторонних сил. Это же относится и к
соответствующим мощностям: тепловая мощность должна быть равна
алгебраической сумме мощностей электрических и сторонних сил.
Проще всего в этом можно убедиться, умножив выражение (5.17) на I:
RI² = (ϕ₁ − ϕ₂) I+ ℰT.
(5.24)
Здесь в левой части стоит выделяющаяся на участке тепловая мощность ϑ; при наличии сторонних сил величина ϑ определяется той же
формулой (5.21), что и для неоднородного участка цепи. Последнее же
слагаемое в правой части представляет собой мощность, развиваемую
сторонними силами на данном участке. Заметим еще, что последняя величина (ℰT) является алгебраической: в отличие от RI² она изменяет
знак при направлении тока I.
Таким образом, уравнение (5.24) означает, что тепловая мощность,
выделяемая на участке цепи между точками 1 и 2, равна алгебраической
сумме мощностей электрических и сторонних сил. Сумму этих мощностей, т.е. правую часть (5.24), называют мощностью тока на рассматриваемом участке цепи. Тогда можно сказать, что в случае неподвижного участка цепи мощность выделяемой на этом участке теплоты равна
мощности тока.
Применив (5.24) ко всей неразветвленной цепи (тогда ϕ₁ = ϕ₂), получим:
ϑ = ℰI,
(5.25)
т.е. общее количество выделяемой за единицу времени во всей цепи
джоулевой теплоты равно мощности только сторонних сил. Значит, теплота производится только сторонними силами. Роль же электрического
поля сводится к тому, что оно перераспределяет эту теплоту по различным участкам цепи.
Получим теперь уравнение (5.24) в локальной форме. Для этого умножим обе части уравнения (5.12) на j, а также учтем, что σ = 1/ρ и ρj² =
ϑуд. Тогда удельная тепловая мощность тока в неоднородной проводящей среде:
ϑуд = ρj² = j(E + E*).
(5.26)
5.6. Переходные процессы в цепи с конденсатором
О переходных процессах. Так называют процессы при переходе от
одного установившегося в цепи режима к другому. Примером таких
процессов является зарядка и разрядка конденсатора, на них мы и остановимся более подробно в этом параграфе.
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
До сих пор мы рассматривали только постоянные токи. Оказывается, однако, что полученные законы во многих случаях можно применять
и к изменяющимся токам. Это касается всех тех случаев, когда изменение тока происходит не слишком быстро. В этих случаях мгновенное
значение тока будет практически одно и то же во всех поперечных сечениях цепи. Такие токи и соответствующие им поля называют квазистационарными.
Именно квазистационарные токи можно описать законами постоянного тока, если применять их только к мгновенным значениям величин.
А теперь обратимся к процессам разрядки и зарядки конденсатора,
предполагая токи в этих процессах квазистационарными.
Разрядка конденсатора. Если обкладки заряженного конденсатора
емкости С замкнуть через сопротивление R, то через него течет ток.
Пусть I, q, U – мгновенные значения тока, заряда положительной обкладки и разности потенциалов между обкладками (напряжения).
Считая ток I положительным, когда он течет от положительной обкладки к отрицательной (рис. 5.6), запишем I = −dq/dt. Согласно закону
Ома для внешнего участка цепи, содержащего сопротивление R:
RI = U.
q
q₀
C
+

IR
C
2
1
ℰ
R
K
Рис. 5.6
0t
K
Рис. 5.7
Рис. 5.8
Учитывая, что I = - dq/dt и U = q/C, преобразуем предыдущее выражение к виду:
dq
q
= 0.
+
dt RC
(5.27)
q = q₀e-t/τ ,
(5.28)
В этом дифференциальном уравнении переменные разделяются, и
после интегрирования мы получим:
где q₀ - начальный заряд конденсатора, а τ - постоянная, имеющая
разность времени:
τ = RC.
(5.29)
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Эту постоянную называют временем релаксации. Из (5.28) видно,
что τ есть время, за которое заряд конденсатора уменьшается в е раз.
На рис. 5.7 показан график зависимости q (t) – заряда на конденсаторе от времени. График зависимости l (t) имеет такой же вид.
Зарядка конденсатора. Рассмотрим цепь, содержащую последовательно соединенные конденсатор С, сопротивление R и источник э.д.с. ℰ
(рис. 5.8). Первоначально конденсатор не заряжен (ключ К разомкнут).
В момент t = 0 ключ замкнули, и в цепи пошел ток, заряжающий конденсатор. Увеличивающие заряды на обкладках конденсатора будут все
в большей степени препятствовать прохождению тока, постепенно
уменьшая его.
Теперь ток в цепи будем считать положительным, когда он течет в
направлении к положительно заряженной обкладке конденсатора: I =
dq/dt. Применим закон Ома для неоднородного участка цепи к участку
1ℰR2:
RI = ϕ₁ − ϕ₂+ ℰ, где под R понимается полное сопротивление
источника э.д.с. Учитывая, что I = dq/dt и ϕ₁ − ϕ₂ = U = q/C, перепишем
предыдущее уравнение в виде:
ℰ - q/C
d
q
d
t
R
.
Разделив переменные с учетом начального условия (q = 0 при t = 0),
получим:
RC ln
q
1
−
C
откуда:
ℰ
= − t,
q = qm(1 - e-t/τ).
(5.30)
Здесь qm = ℰ C – предельное значение заряда на конденсаторе (при
t→∞), τ = RC.
Закон перенесения тока со временем:
I=
где I₀ = ℰ /R.
77
dq
= I 0 e −t / τ ,
dt
(5.31)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
6.1. Сила Лоренца. Поле В
Сила Лоренца. Опыт показывает, что сила F, действующая на точечный заряд q, зависит в общем случае не только от положения этого
заряда, но и от его скорости v. Соответственно этому силу F разделяют
на две составляющие – электрическую Fэ (она не зависит от движения
заряда) и магнитную Fм (она зависит от скорости заряда). В любой точке пространства направление и модуль силы зависят от скорости v заряда, причем эта сила всегда перпендикулярна вектору v; кроме того, в
любом месте магнитная сила перпендикулярна определенному в данном
месте направлению и, наконец, ее модуль пропорционален той составляющей скорости, которая перпен-дикулярна этому выделенному направлению.
Все эти свойства магнитной силы можно описать, если ввести понятие магнитного поля. Характеризуя это поле вектором В, определяющим выделенное в каждой точке пространства направление, запишем
выражение для магнитной силы в виде:
Fм = q[vB].
(6.1)
Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд q:
F = qE + q[vB].
(6.2)
Ее называют силой Лоренца. Последнее выражение является универсальным: оно справедливо как для постоянных, так и для переменных
электрических магнитных полей, причем при любых значениях скорости v заряда.
По действию силы Лоренца на заряд можно в принципе определить
модули и направления векторов Е и В. Поэтому выражение для силы
Лоренца можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей.
Следует подчеркнуть, что на покоящийся электрический заряд магнитное поле не действует. В этом существенное отличие магнитного
поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущийся заряд.
Вектор В характеризует силовое действие магнитного поля на движущийся заряд и, следовательно, является в этом отношении аналогом
вектора Е, характеризующего силовое действие электрического поля.
Важной особенностью магнитной силы является то, что она всегда
перпендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над зарядом не совершает. Это значит, что в постоянном магнитном поле энергия движущейся заряженной частицы всегда остается неизменной, как
бы частица ни двигалась. В нерелятивистском приближении сила Ло78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ренца (6.2), как и любая другая сила, не зависит от выбора системы отсчета (инерциальной). Вместе с тем магнитная составляющая силы Лоренца меняется при переходе от одной системы отсчета к другой (из-за
v). Поэтому должна меняться и электрическая составляющая qE. Отсюда следует, что разделение полной силы F – силы Лоренца – на электрическую и магнитную зависит от выбора системы отсчета. Без указания
системы отсчета такое разделение не имеет смысла.
Магнитное поле равномерно движущегося заряда. Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (токами). В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, определяющий поле В точечного заряда q,
движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью v. Этот закон
записывается в виде *:
B=
µ 0 q[vr ]
,
4π r 3
(6.3)
где µ₀ - магнитная постоянная; коэффициент
µ₀/4π = 10⁻⁷Гн/м;
r – радиус-вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения.
Конец радиус-вектора r неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью v (рис. 6.1), поэтому вектор В в данной
системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но
и от времени.
В
r
qv
Рис. 6.1
В соответствии с формулой (6.3) вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы v и r, вращение вокруг вектора v в направлении вектора В образует с направлением v пра*
Формула (6.3) справедлива и в случае, когда заряд движется с ускорением, однако
только на достаточно малых расстояниях r от заряда (малых настолько, что за время r/c
скорость v заряда заметно не меняется).
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вовинтовую систему (рис. 6.1). Отметим, что вектор В является аксиальным (псевдовектором).
Величину В называют магнитной индукцией. Электрическое поле
точечного заряда q, движущегося тем же законом, есть (1.2). Поэтому
выражение (6.3) можно представить как:
В = ε₀µ₀[vE] = [vE]/c² , (6.4)
где с – электродинамическая постоянная ( c = 1 / ε 0 µ 0 ), она равна
скорости света в вакууме (совпадение, как потом выяснилось, не случайное).
6.2. Закон Био - Савара
Принцип суперпозиции. Опыт дает, что для магнитного поля, как и
для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими движущимися зарядами или токами, равно
векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или
током в отдельности:
В = ∑Вi.
(6.5)
Закон Био-Савара. Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного
поля, создаваемого постоянными электрическими токами. Этот вопрос
будем решать, исходя из закона (6.3), определяющего индукцию поля В
равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (6.3) вместо q
заряд ρ dV, где dV – элементарный объем, ρ - объемная плотность заряда, являющегося носителем тока, и учтем, что ρv = j согласно (5.3). Тогда формула (6.3) приобретет следующий вид:
dB =
µ 0 [jr ]dV
.
4π r 3
(6.6)
Если же ток I течет по тонкому проводу с площадью поперечного
сечения ∆S, то:
jdV = j ∆S dl = I dl,
где dl – элемент длины провода. Введя вектор dl в направление тока
I, перепишем предыдущее равенство так:
j dV = I dl.
(6.7)
Векторы jdV и Idl называют соответственно объемным и линейным
элементами тока. Произведя в формуле (6.6) замену объемного элемента тока на линейный, получим:
dB =
µ 0 I [dl, r ]
.
4π r 3
Формулы (6.6) и (6.8) выражают закон Био-Савара.
80
(6.8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полное поле В в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (6.6) и (6.8) по всем
элементам тока:
B=
µ0
4π
∫
[jr ]dV
r
3
B=
µ0 I [dl, r ]
.
4π ∫ r 3
(6.9)
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока произвольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет определенную симметрию.
6.3. Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией вектора поля, и выражают основные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом
представлении поля В. Как и любое другое векторное поле, поле В может быть представлено наглядно с помощью линий вектора В. Их проводят обычным способом – так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора В, а густота линий была
бы пропорциональна модулю вектора В в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картинка позволяет легко судить о конфигурации данного магнитного поля и сильно облегчает
анализ некоторых ситуаций.
Теперь обратимся к основным законам магнитного поля – теореме
Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля В. Поток вектора В сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:
∮В dS = 0.
(6.10)
Эта теорема является, по существу, обобщением опытов. Она выражает собой в постулативной форме тот экспериментальный факт, что
линии вектора В не имеют ни начала, ни конца. Поэтому число линий
вектора В, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S.
Это легко объяснить с помощью представления о линиях вектора В:
так как они нигде не прерываются, их число сквозь поверхность S, огра-
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ниченную данным контуром (т.е. поток вектора В), действительно не
должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (6.10) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора В. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Теорема о циркуляции вектора В (для магнитного поля постоянных
токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произвольному контуру Г
равна произведению µ₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых
контуром Г:
∮В dl =µ₀ I,
(6.11)
где I - ∑Ik, причем Ik – величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по
контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления
считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 6.2: здесь токи I₁ и I₃ положительные, ибо их направления связаны с направлением
обхода по контуру правилом правого винта, а ток I₂ – отрицательный.
Теорема о циркуляции (6.11) может быть доказана исходя из закона
Био-Савара. В общем случае произвольных токов это доказательство
достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем
рассматривать утверждение (6.11) как постулат, подтвержденный экспериментально.
Рис. 6.2
Еще одно замечание. Если ток I в (6.11) распределен по объему, где
расположен контур Г, то его можно представить как:
I = ∫ j dS.
(6.12)
Интервал здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой
на контур Г. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением
обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (6.11) можно записать так:
∮В dl =µ₀ ∫ jdS =µ₀ ∫ jndS.
(6.13)
Тот факт, что циркуляция вектора В, вообще говоря, не равна нулю,
означает, что поле В не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым, или соленоидальным.
Так как циркуляция вектора В пропорциональна току I, охватываемому контуром, то магнитному полю в общем случае нельзя приписать
скалярный потенциал, который был бы связан с вектором В соотношением, аналогичным Е = - ∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным:
при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ₀ I. Впрочем, в той области пространст-
ва, где токов нет, магнитный потенциал ϕm вводят и достаточно эффективно используют.
Роль теоремы о циркуляции вектора В. Эта теорема играет примерно ту же роль, что и теорема Гаусса для векторов Е и D. Мы знаем, что
поле В определяется всеми токами, циркуляция же вектора В - только
теми токами, которые охватывает данный контур. Несмотря на это, в
некоторых случаях – при наличии специальной симметрии – теорема о
циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто
находить В.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора В
можно свести, выбрав разумно контур, к произведению В (или Вl) на
длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля В приходится
проводить иными способами, например, с помощью закона Био - Савара
или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений, и
расчет становится значительно сложнее.
6.4. Дифференциальная форма основных законов магнитного поля
Дивергенция поля В. Теорема Гаусса (6.10) для поля В в дифференциальной форме имеет вид:
∇ ⋅ В = 0,
(6.14)
т.е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет),
а электрические токи.
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Закон (6.14) является фундаментальным: он справедлив не только
для постоянных, но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля В. Важное свойство магнитного поля, которое выражает
теорема о циркуляции вектора В, побуждает представить и эту теорему
в дифференциальной форме, расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора В к площади S, ограниченной контуром.
Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при
S→0, причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке
пространства. Ориентация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по
контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой
скалярную величину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля В и обозначают
символом rot B.
Таким образом:
lim
S →0
∫ B dl = (rot B ) ,
S
n
(6.15)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля В имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке.
Направление вектора rot B определяется тем направлением нормали
n площадки S, при котором достигается максимальное значение величины (6.15), являющееся модулем вектора rot B.
В алгебре получено выражение для rot B в координатном представлении. Для наших целей важно другое: оказывается, формально rot B
можно рассматривать как векторное произведение оператора ∇ на вектор В, т.е. как ∇×В с помощью определителя:
∇×В =
еx еy еz
∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z,
Вx Вy Вz
, (6.16)
где еx, еy, еz – орты осей декартовых координат. Данное выражение
справедливо для ротора не только поля В, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля Е. Обратимся теперь к циркуляции
вектора В. Согласно (6.15) уравнение (6.13) можно представить в виде:
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
lim
S →0
∫ B dl = µ
S
j
0 n
(6.17)
или (∇×В)n = µ₀jn. Отсюда:
∇×В = µ₀j.
(6.18)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора
В. Видно, что ротор поля В совпадает по направлению с вектором j –
плотностью тока в данной точке, а модуль ∇×В равен µ₀j.
В электрическом поле циркуляция вектора Е равна нулю, поэтому:
∇×Е = 0.
(6.19)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в противном случае поле является соленоидальным. Значит,
электрическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле – соленоидальное.
6.5. Сила Ампера
Закон Ампера. Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Действие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате магнитное поле действует с определенной
силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока
(электроны в металле, например), равна ρ. Выделим мысленно элемент
объема dV проводника. В нем находится заряд – носитель тока, равный
ρdV. Тогда сила, действующая на элемент dV проводника, может быть
записана по формуле (6.1) в виде:
dF = ρ [uB] dV.
Так как j = ρu, то:
dF = [jB] dV.
(6.20)
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (6.7) получим:
dF = I [dl,B] ,
(6.21)
где dl – вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (6.20) и (6.21) выражают закон Ампера. Интегрируя эти
выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти
магнитную силу на тот или иной объем проводника или его линейный
участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми, или силами Ампера.
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притягиваются, а противоположно направленные – отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако,
забывать, что кроме магнитной имеется еще и электрическая сила – сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности проводника.
Поэтому если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания
– все зависит от соотношения магнитной и электрической составляющих полной силы.
Сила, действующая на контур с током. Результирующая амперова
сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (6.21) как:
F = I ∮[dl,B],
(6.22)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I.
Если магнитное поле однородно, то вектор В можно вынести из-под
интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла ∮dl.
Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку элементарных
векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и F = 0, т.е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила
(6.22), вообще говоря, отлична от нуля и в каждом конкретном случае
она определяется с помощью выражения (6.22). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плоский и его
размеры достаточно малы.
Такой контур с током называют элементарным.
Поведение элементарного контура с током удобно описать с помощью магнитного момента рm. По определению:
рm = I Sn,
(6.23)
где I – ток; S – площадь, ограниченная контуром; n – нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 6.3). В магнитном отношении элементарный
контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом рm.
Р
m
n
S
I
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 6.3
Довольно кропотливый расчет по формуле (6.22) с учетом малости
контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на
элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = pm
∂B
,
∂n
(6.24)
где рm – модуль магнитного момента контура; ∂В/∂n – производная
вектора В по направлению нормали n или по направлению вектора рm.
Из формулы очевидно, что, как и в случае электрического диполя:
1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂В/∂n =0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с вектором B, ни с вектором рm; вектор F совпадает лишь с направлением элементарного приращения вектора В, взятого в направлении вектора рm в
месте расположения контура. Сказанное иллюстрирует рис. 6.4, где показаны три расположения контура в магнитном поле тока I₀. Здесь же
показан и вектор результирующей силы F, которая действует на контур
в каждом случае (полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление Х,
то достаточно записать выражение (6.24) в проекциях на это направление, и мы получим:
Fx = pm
∂Bx
,
∂n
(6.24)
где ∂Вx/∂n – производная соответствующей проекции вектора В
опять же по направлению вектора n к контуру (или по рm).
I
₀
I
₀
I
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
F
Р
m
Р
F
F =0
m
Р
m
Рис. 6.4
6.6. Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле
В. Выше мы выяснили, что результирующая сила (6.22), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из
механики известно, что если результирующая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил не зависит от
точки О, относительно которой определяют момент этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в
нашем случае.
По определению, результирующий момент амперовых сил:
М =∮[r,dF],
(6.25)
где dF дается формулой (6.21). Если провести расчет по формуле
(6.25) – он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем
его проводить, - то оказывается, что для произвольной формы контура с
током этот момент сил можно представить как:
М = [рmВ],
(6.26)
где рm – магнитный момент контура с током (для плоского контура
рm = ISn) *. Из (6.26) видно, что момент М амперовых сил, действующих
на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикулярен как
Если виток не плоский, то его магнитный момент рm = I ∫ dS, где интеграл берется
по поверхности S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
*
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вектору рm, так и вектору В. Модуль вектора М равен М = рmВ sin α,
где α - угол между векторами рm и В. В тех случаях, когда рm↑↑В, момент сил М = 0, нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если рm↑↓В, то тоже М = 0, но такое положение контура является неустойчивым: малейшее отклонение от этого положения
приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур
еще больше от начального положения.
В заключение необходимо отметить, что выражение (6.26) верно и
для неоднородного магнитного поля. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточно малы. Тогда влиянием неоднородности
на вращающийся момент М можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током. Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет
себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором рm↑↑В) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция В больше.
6.7. Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле (мы
будем предполагать, что оно постоянное), на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а поэтому при перемещении контура
эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что
работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как:
δА = I dФ,
(6.27)
где dФ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном
перемещении. Доказательство этой теоремы проведем в три этапа:
1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис. 6.5) с подвижной перемычкой длины l находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (6.21) действует амперова сила F = IlB. При
перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу:
δА = F dx = IBl dx = IB dS,
(6.28)
где dS – приращение площади, ограниченной контуром.
I
F
B
,n
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 6.5
Для определения знака магнитного потока Ф условимся всегда брать
нормаль n к поверхности, ограниченной контуром, так, чтобы она образовала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см. рис.
6.5). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же
Ф может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем
случае как Ф, так и dФ = В dS являются величинами положительными
(если бы поле В было направлено на нас или перемычка перемещалась
бы влево, то в обоих случаях dФ<0). Как бы то ни было, в любом из
этих случаев выражение (6.28) можно представить в виде (6.27).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля В. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор В на три составляющие: В = Вn + Вl + Вx.
Cоставляющая Вl – вдоль перемычки – параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая Вx
– вдоль перемещения – дает силу, перпендикулярную перемещению,
работы она не совершает. Остается лишь составляющая Вn, перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в
формуле (6.28) вместо В надо брать только Вn. Но ВndS = dФ, и мы снова приходим к формуле (6.27).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле
(контур может при этом произвольным образом деформироваться). Разобьем мысленно данный контур на бесконечно малые элементы тока и
рассмотрим бесконечно малые перемещения их.
4. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения
к каждому элементу тока применимо выражение δА = I d’Ф для элементарной работы, где под d’ надо понимать вклад в приращение потока
сквозь контур вдоль данного элемента контура. Сложив такие элементы,
получим выражение (6.27), где dФ есть приращение магнитного потока
сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от начального положения 1 до конечного 2, достаточно
проинтегрировать выражение (6.27):
2
А = ∫ I dФ.
1
90
(6.29)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то:
А = I (Ф₂ − Ф₁),
(6.30)
где Ф₂ и Ф₁ - магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях. Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока
сквозь контур. Выражение (6.30) дает не только величину, но и знак совершаемой работы.
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ
7.1. Намагничивание вещества, намагниченность J.
Поле в магнетике. Если в магнитное поле, образованное токами в
проводах, ввести то или иное вещество, поле изменится. Это объясняется тем, что всякое вещество является магнетиком, т.е. способно под
действием магнитного поля намагничиваться – приобретать магнитный
момент. Намагниченное вещество создает свое магнитное поле B′, которое вместе с первичным полем В₀, обусловленным токами проводимости, образует результирующее поле
В = В₀ + B′.
(7.1)
∮В dS = 0.
(7.
2)
Здесь под B′ и В имеются в виду поля, усредненные по физически
бесконечно малому объему.
Поле B′, как и поле В₀ токов проводимости, не имеет источников
(магнитных зарядов), поэтому для результирующего поля B при наличии магнетика справедлива теорема Гаусса:
Это означает, что линии вектора В и при наличии вещества остаются всюду непрерывными.
Механизм намагничивания. В настоящее время установлено, что молекулы многих веществ обладают собственным магнитным моментом,
обусловленным внутренним движением зарядов. Каждому магнитному
моменту соответствует элементарный круговой ток, создающий в окружающем пространстве магнитное поле. При отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты молекул ориентированы беспорядочно, поэтому обусловленное ими результирующее магнитное поле равно
нулю. Равен нулю и суммарный магнитный момент вещества. Последнее относится и к тем веществам, молекулы которых при отсутствии
внешнего поля не имеют магнитных моментов.
Если же вещество поместить во внешнее магнитное поле, то под
действием этого поля магнитные моменты молекул приобретают преимущественную ориентацию в одном направлении и вещество намагничивается – его суммарный магнитный момент становится отличным от
нуля. При этом магнитные поля отдельных молекул уже не компенсируют друг друга, в результате возникает поле B′.
Иначе происходит намагничивание веществ, молекулы которых при
отсутствии внешнего поля не имеют магнитного момента. Внесение таких веществ во внешнее поле индуцирует элементарные круговые токи
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в молекулах, и молекулы, а вместе с ними и все вещество приобретают
магнитный момент, что также приводит к возникновению поля B′.
Большинство веществ при внесении в магнитное поле намагничиваются слабо. Сильными магнитными свойствами обладают только
ферромагнитные вещества: железо, никель, кобальт, многие их сплавы и
др.
Намагниченность. Степень намагничивания магнетика характеризуют магнитным моментом единицы объема. Эту величину называют
намагниченность и обозначают J. По определению
J=
1
∑ pm ,
∆V
(7.3)
где ∆V – физически бесконечно малый объем в окрестности данной
точки, рm – магнитный момент отдельной молекулы. Суммирование
проводится по всем молекулам в объеме ∆V.
Аналогично тому как это было сделано для поляризованности Р,
намагниченность можно представить как
J = n< рm>,
где n – концентрация молекул; < рm> - средний магнитный момент
одной молекулы. Из последней формулы видно, что вектор J сонаправлен именно со средним вектором < рm>, поэтому в дальнейшем достаточно знать поведение вектора <рm> и представлять себе все молекулы
в пределах объема ∆V имеющими одинаковый магнитный момент <рm>.
Это будет значительно облегчать понимание вопросов, связанных с явлениями намагниченности. Например, увеличение намагниченности J
вещества означает увеличение вектора <рm>: если J = 0, то и <рm> = 0.
Если во всех точках вещества вектор J одинаков, говорят, что вещество намагничено однородно.
Токи намагничивания I′. Намагничивание вещества, как уже было
сказано, обусловлено преимущественной ориентацией или индуцированием магнитных моментов отдельных молекул в одном направлении.
Это же можно сказать и об элементарных круговых токах, связанных с
каждой молекулой, их называют молекулярными токами. Такое поведение молекулярных токов приводит, как мы сейчас увидим, к появлению
макроскопических токов I′, называемых токами намагничивания.
Обычные токи, текущие по проводникам, связаны с перемещением в
веществе носителей тока, их называют токами проводимости I.
Чтобы понять, как возникают токи намагничивания, представим себе сначала цилиндр из однородного магнетика, намагниченность J кото-
93
(7.
4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рого однородна и направлена вдоль оси. Молекулярные токи в намагниченном магнетике ориентированны, как показано на рис. 7.1.
У соседних молекул молекулярные токи в местах их соприкосновения текут в противоположных направлениях и макроскопически взаимно компенсируют друг друга. Некомпенсированными остаются только
те молекулярные токи, которые выходят на боковую поверхность цилиндра. Эти токи и образуют макроскопический поверхностный ток намагничивания I′, циркулирующий по боковой поверхности цилиндра.
Ток I′ возбуждает такое же макроскопическое магнитное поле, что и молекулярные токи, вместе взятые.
Теперь представим себе другой случай: намагниченный магнетик
является неоднородным. Пусть, например, молекулярные токи расположены так, как на рис. 7.2, где толщина линий соответствует силе молекулярных токов. Эта картина означает, что вектор J направлен за плоскость рисунка и растет по модулю при увеличении координаты х.
Здесь видно, что компенсации молекулярных токов внутри неоднородного магнетика уже нет, и в результате возникает объемный макроскопический ток намагничивания I′, текущий в положительном направлении оси Y. Соответственно говорят о линейной i′ и поверхностной j′
плотности тока, i′ (А/м) и j′ (А/м²).
Y
I
’
I
’
Рис. 7.1
Рис. 7.2
X
О расчете поля В в магнетике. Можно утверждать, что вклад от намагниченного магнетика в поле В равен вкладу, который был создан тем
же распределением токов I′ в вакууме. Иначе говоря, установив распределение токов намагничивания I′, можно с помощью закона Био-Савара
найти соответствующее им поле B′ и по формуле (7.1) вычислить результирующее поле В.
Однако неприятность состоит в том, что распределение токов I′ зависит не только от конфигурации и свойств магнетика, но и от самого
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
искомого поля В. Поэтому задача о нахождении поля В в магнетике в
общем случае непосредственно решена быть не может.
Остается попытаться найти иной путь подхода к решению этого вопроса. И первым шагом на этом пути является установление важной
связи между током намагничивания I′ и определенным свойством поля
вектора J, а именно его циркуляцией.
7.2. Циркуляция вектора J
Оказывается – в этом мы сейчас убедимся, - для стационарного случая циркуляция намагниченности J по произвольному контуру Г равна
алгебраической сумме токов намагничивания I′, охватываемых контуром Г:
∮J dl = I',
(7.5)
где I′ = ∫ j′ dS, причем интегрирование производится по произвольной поверхности, натянутой на контур Г.
Для доказательства этой теоремы вычислим алгебраическую сумму
молекулярных токов, охватываемых контуром Г. Натянем на контур Г
произвольную поверхность S дважды: раз в одном направлении, второй
раз - в другом. Поэтому такие токи не вносят никакого вклада в результирующий ток намагничивания через поверхность S.
dl
I
α
S
Рис. 7.3
Но те молекулярные токи, которые обвиваются вокруг контура Г,
пересекают поверхность S только один раз. Такие молекулярные токи и
создают макроскопический ток намагничивания I′, пронизывающий поверхность S.
Пусть каждый молекулярный ток равен Iм и площадь, охватываемая
им, Sм. Тогда, как видно из рис. 7.3, элемент dl контура Г обвивают те
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
молекулярные токи, центры которых попадают внутрь косого цилиндра
с объемом dV = Sм cos α dl, где α - угол между элементом dl контура и
направлением вектора J в данном месте. Все эти молекулярные токи пересекают поверхность S один раз, и их вклад в ток намагничивания dI′ =
Iмn dV, где n – концентрация молекул. Подставив сюда выражение для
dV, получим
dI′ = Iм Sм cos α dl = J cos α dl = J dl;
здесь учтено, что Iм Sм = рm – магнитный момент отдельного молекулярного тока, а Iм Sмn – магнитный момент единицы объема вещества.
Проинтегрировав полученное выражение по всему контуру Г, получим (7.5). Теорема доказана.
Остается заметить, что если магнетик неоднородный, то ток намагничивания I′, вообще говоря, пронизывает всю поверхность, а не только
у ее границы, прилегающей к контуру Г. В приведенном же доказательстве нам удалось весь ток I′ как бы «согнать» к границы поверхности S –
прием, единственной целью которого является упростить вычисление
этого тока.
Дифференциальная форма уравнения (7.5):
∇ × J = j′,
(7.6)
т.е. ротор намагниченности J равен плотности тока намагничивания
в той же точке пространства.
Замечание о поле вектора J. Свойства поля вектора J, выраженные
уравнениями (7.5) и (7.6), разумеется, не означают, что само поле J (оно
ограничено только той областью пространства, которое заполнено магнетиком) зависит от всех токов – как от тока намагничивания I′, так и от
тока проводимости I. Однако в некоторых случаях с определенной симметрией дело обстоит так, как будто поле вектора J определяется только
токами I′.
7.3. Вектор Н
Теорема о циркуляции вектора Н (для магнитного поля постоянных
токов). В магнетиках, помещенных во внешнее электрическое поле,
возникают токи намагничивания, поэтому циркуляция вектора В теперь
будет определяться не только токами проводимости, но и токами намагничивания, а именно:
∮В dl = µ₀(I +I′),
где I и I′ – токи проводимости и намагничивания, охватываемые заданным контуром Г.
96
(7.7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ввиду того, что определение токов I′ в общем случае задача сложная, формула (7.7) становится малопригодной в практическом отношении. Оказывается, однако, можно найти некоторый вспомогательный
вектор, циркуляция которого будет определяться только токами проводимости, охватываемыми контуром Г.
Действительно, мы уже знаем, что с током I′ связана циркуляция
намагниченности:
∮J dl = I′.
(7.8)
Предполагая, что циркуляция векторов В и J берется по одному и
тому же контуру Г, выразим I′ в уравнении (7.7) по формуле (7.8) тогда:
 B

.
 µ − J dl = I.
 0

∮
Н.

(7.9)
Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначают буквой
Итак, мы нашли некоторый вспомогательный вектор Н:
H=
BJ,
µ0
(7.10)
циркуляция которого по произвольному контуру Г равна алгебраической сумме токов проводимости I, охватываемых этим контуром:
∮Н dl = I.
(7.11)
Эта формула выражает теорему о циркуляции вектора Н: циркуляция вектора Н по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром.
Правило знаков для токов то же, что и в случае циркуляции вектора
B.
Заметим, что вектор Н представляет собой комбинацию двух совершенно различных величин В/µ₀ и J. Поэтому вектор Н – это действительно вспомогательный вектор, не имеющий сколько-нибудь глубокого физического смысла *.
Однако важное свойство вектора Н, выраженное в теореме о циркуляции, оправдывает введение этого вектора: во многих случаях он зна* Величину H часто называют напряженностью магнитного поля, однако мы не будем пользоваться этим термином, чтобы лишний раз подчеркнуть вспомогательный характер вектора H.
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чительно упрощает изучение поля в магнетиках. И еще, соотношения
(7.10) и (7.11) справедливы для любых магнетиков, в том числе и анизотропных.
Из формулы (7.11) видно, что модуль вектора Н имеет размерность
силы тока, деленной на длину. В связи с этим единицей величины Н является ампер на метр (А/м).
Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора Н:
(7.12)
∇ × Η = j,
т.е. ротор вектора Н равен плотности тока проводимости в той же
точке вещества.
Связь между векторами J и Н. Мы уже знаем, что намагниченность
J зависит от магнитной индукции В в данной точке вещества. Однако J
принято связывать не с В, а с вектором Н. Мы ограничимся пока рассмотрением только таких магнетиков, для которых зависимость J и Н
имеет линейный характер, а именно:
(7.13)
J = χН,
где χ - магнитная восприимчивость, безразмерная величина, характерная для каждого данного магнетика (безразмерность χ следует из того, что согласно (7.10) размерности Н и J одинаковы).
В отличие от диэлектрической восприимчивости, которая всегда
положительна, магнитная восприимчивость бывает как положительной,
так и отрицательной.
Соответственно магнетики, подчиняющиеся зависимости (7.13),
подразделяются на парамагнетики, (χ>0) и диамагнетики (χ<0). У парамагнетиков J↑↑Н, у диамагнетиков J↑↓H.
Заметим, что кроме этих магнетиков существуют ферромагнетики,
у которых зависимость J(Н) имеет весьма сложный характер: она не линейная и, помимо того, наблюдается гистерезис, т.е. зависимость J от
предыстории магнетика.
Связь между В и Н. Для магнетиков, которые подчиняются зависимости (7.13), выражение (7.10) принимает вид (1+χ)Н=В/µ₀. Отсюда
В = µµ₀Н,
(7.14)
µ =1+ χ.
(7.15)
где µ - магнитная проницаемость среды,
У парамагнетиков µ>1, у диамагнетиков µ<1, причем как у тех, так
и у других µ отличается от единицы весьма мало, т.е. магнитные свойства этих магнетиков выражены очень слабо.
Замечание о поле вектора Н. Обратимся к вопросу, с которым связано довольно часто встречающееся заблуждение: от каких токов зави-
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сит поле вектора Н? Поле Н зависит, вообще говоря, от токов намагничивания (как и поле вектора В). Об этом говорит уже формула (7.14).
Однако в некоторых случаях поле Н определяется только токами
проводимости – именно для таких случаев вектор Н является весьма полезным. Вместе с тем это дает повод ошибочно думать, что поле вектора Н якобы зависит всегда только от токов проводимости и неверно
трактовать теорему о циркуляции вектора Н и уравнение (7.12). Указанная теорема выражает только определенное свойство поля вектора Н,
само же поле этого вектора она не определяет.
Когда внутри магнетика j′=0? Мы сейчас покажем, что токи намагничивания внутри магнетика будут отсутствовать, если: 1) магнетик
однородный и 2) внутри него нет токов проводимости (j = 0). В этом
случае при любой форме магнетика и при любой конфигурации магнитного поля можно быть уверенным, что объемные токи намагничивания
равны нулю и остаются только поверхностные токи намагничивания.
Для доказательства этого воспользуемся теоремой о циркуляции
вектора J по произвольному контуру Г, взятому целиком внутри магнетика. В случае однородного магнетика можно заменить J на χН, вынести в уравнении (7.5) χ из-под интеграла и записать
I′ = χ∮Н dl.
(7.16)
Оставшийся интеграл равен согласно (7.11) алгебраической сумме
токов проводимости I, охватываемых контуром Г, поэтому для однородного магнетика
(7.17)
I′ = χI.
Это соотношение токов I′ и I справедливо для любого контура
внутри магнетика, в частности и для очень малого контура, когда I′→dI′
= j′ndS и I→dI = jndS. Тогда j′ndS = χjndS, и после сокращения на dS мы
получим j′n = χjn. Последнее равенство выполняется при любой ориентации малого контура, т.е. при любом направлении нормали n к нему. А
это значит, что таким же равенством связаны и сами векторы j′ и j:
(7.18)
j′ = χj.
Отсюда следует, что в однородном магнетике j′ = 0, если j = 0. Это и
требовалось доказать.
7.4. Граничные условия для В и Н
Речь идет об условиях для векторов В и Н на границе раздела двух
однородных магнетиков. Эти условия, как и в случае однородного диэлектрика, мы получим с помощью теоремы Гаусса и теоремы о циркуляции. Для векторов В и Н эти теоремы, напомним, имеют вид
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∮В dS = 0, ∮Н dl = I.
(7.19)
Условие для вектора В. Представим себе очень малой высоты цилиндрик, расположенный на границе раздела магнетиков, как показано
на рис. 7.5. Тогда поток вектора В наружу из этого цилиндрика (потоком через боковую поверхность пренебрегаем) можно записать так:
В₂n∆S + B₁n∆S = 0.
Взяв обе проекции вектора В на общую нормаль n, получим В₁n’ = ‒
B₁n, и предыдущее уравнение после сокращения на ∆S примет следующий вид:
В₂n = B₁n,
(7.20)
т.е. нормальная составляющая вектора В оказывается одинаковой по
обе стороны границы раздела. Эта величина скачка не испытывает.
Условия для вектора Н. Для большей обширности будем предполагать, что вдоль поверхности раздела магнетиков течет поверхностный
ток проводимости с линейной плотностью i. Применим теорему о циркуляции вектора Н к очень малому прямоугольному контуру, высота
которого пренебрежительно мала по сравнению с его длиной l, расположив этот контур так, как показано на рис. 7.4.
n
l
∆S
n
2 τ µ₂
µ₁
2
τ’
1
1
N
n’
Рис. 7.4
Рис. 7.5
Пренебрегая вкладом в циркуляцию на боковых сторонах контура,
запишем для всего контура:
Н₂τl + H₁τl = iNl,
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где iN – проекция вектора i на нормаль N к контуру (вектор N образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему). Взяв
обе проекции вектора Н на общий орт касательной τ (в среде 2), получим Н₂τ = − H₁τ, и после сокращения на l предыдущее уравнение примет вид
Н₂τ − H₁τ = iN,
(7.21)
т.е. тангенсальная составляющая вектора Н, вообще говоря, при переходе границы раздела магнетиков претерпевает скачок, связанный с
наличием поверхностных токов проводимости.
Однако если на границе раздела магнетиков токов проводимости
нет (i = 0), то тангенсальная составляющая вектора Н оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела:
Н₂τ = H₁τ.
(7.22)
Итак, если на границе двух одинаковых магнетиков токов проводимости нет, то при переходе этой границы составляющие Bn и Hτ изменяются непрерывно, без скачка. Составляющие же Bτ и Hn при этом
претерпевают скачок.
Заметим, что на границе раздела вектор В ведет себя аналогично
вектору D, а вектор Н – аналогично вектору Е.
Преломление линий вектора В. На границе раздела двух магнетиков
линии вектора В испытывают преломление (рис 7.6). Как и в случае диэлектриков, найдем отношение тангенсов углов α₁ и α₂:
tg
α₂
tg
α₁
В₂τ
/В₂n
В₁τ
/В₁n
В₂τ В₂n α₂
В₁ α₁ В₁n
В₁τ
101
В₂
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 7.6
Ограничимся случаем, когда на границе раздела тока проводимости
нет. В этом случае согласно (7.22) и (7.20):
В₂τ/µ₂ = В₁τ/µ₁, В₂n = B₁n.
С учетом последних соотношений получим закон преломления линий В (и значит, и линий Н):
tg α 2 µ 2
. (7.23)
=
tg α 1 µ 1
7.5. Поле в однородном магнетике
Как уже отмечено, нахождение результирующего магнитного поля
В при наличии произвольных магнетиков представляет собой, вообще
говоря, весьма сложную задачу. Действительно, для этого необходимо
согласно (7.1) к полю В₀ токов проводимости добавить макрополе В′,
создаваемое токами намагничивания. Неприятность состоит в том, что
нам заранее неизвестна конфигурация токов намагничивания. Мы можем лишь утверждать, что распределение этих токов зависит от природы и конфигурации магнетика, а также от конфигурации внешнего поля
В₀ – поля токов проводимости. А поскольку мы не знаем распределение
токов намагничивания, мы не можем рассчитать и поле В′.
Исключение составляет случай, когда все пространство, где имеется
поле В, заполнено однородным изотропным магнетиком. Рассмотрим
этот случай более подробно. Но прежде всего обратимся к явлениям,
возникающим при протекании тока проводимости по однородному проводнику в вакууме. Так как каждый проводник является магнетиком, то
в нем будут протекать и токи намагничивания – объемные согласно
(7.18) и поверхностные. Возьмем контур, охватывающий наш проводник с током. По теореме о циркуляции вектора J, поскольку во всех
точках контура J = 0, алгебраическая сумма токов намагничивания
(объемных и поверхностных) равна нулю: I′ = − I′об + I′пов = 0. Отсюда −
I′об= −I′пов, т.е. объемные и поверхностные токи намагничивания равны
и противоположны по направлению.
Таким образом, можно утверждать, что в обычных случаях, когда
токи текут по достаточно тонким проводам, магнитное поле в окружающем пространстве (в вакууме) зависит только от токов проводимо102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сти, ибо поля от токов намагничивания компенсируют друг друга (за
исключением, может быть, очень близких к проводу).
Теперь заполним окружающее проводник пространство однородным непроводящим магнетиком (пусть для конкретности это будет магнетик, χ>0). На границе этого магнетика с проводом появляется поверхностный ток намагничивания I′, имеющий, как нетрудно сообразить, то
же направление, что и ток проводимости I (это при χ>0).
В результате мы будем иметь ток проводимости I, объемный и поверхностный токи намагничивания в проводнике (магнитные поля этих
токов компенсируют друг друга, поэтому их можно не учитывать в
дальнейшем) и поверхностный ток намагничивания I′ на непроводящем
магнетике. При достаточно тонких проводах магнитное поле В в магнетике будет определяться как поле тока I + I′.
Таким образом, задача сводится к нахождению тока I′. С этой целью
окружим проводник контуром, расположенным в поверхностном слое
непроводящего магнетика. Пусть плотность контура перпендикулярна
оси провода, т.е. токам намагничивания. Тогда, принимая во внимание,
что i′ = J и J=χН, можно записать:
I′ = ∮i′ dl = ∮J dl = χ∮H dl.
Отсюда согласно (7.11) следует, что I′ = χI.
Конфигурации тока намагничивания I′ и тока проводимости I практически совпадают (провода тонкие), поэтому индукция B′ поля токов
намагничивания отличается от индукции В₀ поля токов проводимости
во всех точках только по модулю и эти векторы связаны друг с другом
так же, как и соответствующие токи, а именно:
B′ = χ В₀.
(7.24)
В = µ В₀.
(7.25)
Н = Н₀
(7.26)
Тогда индукция результирующего поля В = В₀ +B′ = (1 + χ) В₀, или
Это значит, что В при заполнении пространства однородным магнетиком возрастает в µ раз. Иначе говоря, величина µ показывает, во
сколько раз увеличится магнитная индукция В при заполнении магнетиком всего пространства, занимаемого полем.
Если разделить обе части равенства (7.25) на µµ₀, то получим
(в рассматриваемом случае поле Н оказывается таким же, как и в
вакууме).
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Формулы (7.24) – (7.26) справедливы и в тех случаях, когда однородный магнетик заполняет весь объем, ограниченный поверхностями,
которые образованы линиями вектора В₀ (поля тока проводимости). И
в этих случаях магнитная индукция В внутри магнетика будет в µ раз
больше В₀.
В указанных случаях магнитная индукция B′ поля токов намагничивания связана простым соотношением с намагниченностью J магнетика:
B′ = µ₀ J.
(7.27)
Это выражение можно легко получить из формулы В = В₀ + B′, если
учесть, что B′ = χВ₀ и В = µµ₀Н, где Н = J/χ.
В других случаях, как уже было сказано, дело обстоит значительно
сложнее и формулы (7.24) – (7.27) оказываются несправедливыми.
7.6. Ферромагнетизм
Ферромагнетики. В магнитном отношении все вещества можно
разделить на слабомагнитные (парамагнетики и диамагнетики) и сильно
магнитные (ферромагнетики). Пара- и диамагнетики при отсутствии
магнитного поля, как мы знаем, не намагничены и характеризуются однозначной зависимостью намагниченности J от Н.
Ферромагнетиками называют вещества (твердые), которые могут
обладать спонтанной намагниченностью, т.е. намагничены уже при отсутствии внешнего магнитного поля. Типичные представители ферромагнетиков – это железо, кобальт и многие другие сплавы.
Основная кривая намагничивания. Характерной особенностью ферромагнетиков является сложная нелинейная зависимость J(H) или В(Н).
На рис. 7.7 кривая намагничивания ферромагнетика, намагниченность
которой при Н = 0, тоже равна нулю, ее называют основной кривой намагничивания. Уже при сравнительно небольших значениях Н намагниченность J достигает насыщения Jнас. Магнитная индукция В также растет с увеличением Н, а после достижения состояния насыщения В продолжает расти с увеличением Н по линейному закону: В=µ₀Н+const, где
const=µ₀ Jнас. На рис. 7.8 приведена основная кривая намагничивания на
диаграмме В – Н.
В
J
нас
J
Рис. 7.8
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0Н
0Н
Рис. 7.7
Ввиду нелинейной зависимости В(Н) для ферромагнетиков нельзя
ввести магнитную проницаемость µ как определенную постоянную величину, характеризующую магнитные свойства каждого данного ферромагнетика. Однако по-прежнему считают, что µ = В/µ₀Н, при этом µ
является функцией Н (рис 7.9). Магнитная проницаемость µмакс для
ферромагнетиков может достигать очень больших значений. Так, например, для чистого железа – 5 000, для сплава суперметаллов – 800
000.
Заметим, что понятие магнитной проницаемости применяют только
к основной кривой намагничивания, ибо, как мы сейчас увидим, зависимость В(Н) неоднозначна.
µ
µмакс
В1
2
3
0Н
6
5
4
1
0Н
Рис. 7.9
Рис. 7.10
Магнитный гистерезис. Кроме нелинейной зависимости В(Н) или
J(Н) для ферромагнетиков характерно также явление магнитного гистерезиса: связь между В и Н или J и Н оказывается неоднозначной, а определяется предшествующей историей намагничивания ферромагнетика. Если первоначально не намагниченный ферромагнетик намагничивать, увеличивая Н от нуля до значения, при котором наступает
насыщение (точка 1 на рис 7.10), а затем уменьшать Н от Н₁ до –Н₁, то
кривая намагничивания В(Н) пойдет не по вертикальному пути 10, а
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
выше – по пути 1234. Если дальше изменять Н в обратном направлении
от – Н₁ до +Н₁, то кривая намагничивания пойдет ниже – по пути 4561.
Получившуюся замкнутую кривую называют петлей гистерезиса. В
том случае, когда в точках 1 и 4 достигается насыщение, получается
максимальная петля гистерезиса. Когда же в крайних точках (1 и 4) насыщения нет, получаются аналогичные петли гистерезиса, но меньшего
размера, как бы вписанные в максимальную петлю гистерезиса.
Из рис. 10 видно, что при Н = 0 намагничивание не исчезает (точка
2) и характеризуется величиной Br, называемой остаточной индукцией.
Ей соответствует остаточная намагниченность Jr. С наличием такого
остаточного намагничивания связано существование постоянных магнитов. Величина В обращается в нуль (точка 3) лишь под действием поля Н, имеющего направление, противоположное полю, вызвавшему намагничивание. Величина Нс называется коэрцитивной силой.
Значения Br и Нс для разных ферромагнетиков меняются в широких
пределах. Для трансформаторного железа петля гистерезиса узкая (Нс
мало), для ферромагнетиков, используемых для изготовления постоянных магнитов, - широкая (Нс велико, например, для сплава Нс = 50 000
А/м, Br = 0.9 Тл).
На этих особенностях кривых намагничивания основан удобный
практический прием для размагничивания ферромагнетика. Намагниченный образец помещают в катушку, по которой пропускают переменный ток, и амплитуду его постепенно уменьшают до нуля. При этом
ферромагнетик подвергается многократным циклическим перемагничиваниям, в которых петли гистерезиса постепенно уменьшаются, стягиваясь к точке О, где намагниченность равна нулю.
Опыт показывает, что при перемагничивании ферромагнетик нагревается. Можно показать, что в единице объема ферромагнетика выделяется при этом теплота Qед, численно равная «площади» Sn петли гистерезиса:
Qед = ∮Н dB = Sn.
(7.28)
Температура Кюри. При повышении температуры способность
ферромагнетиков намагничиваться уменьшается, в частности, уменьшается намагниченность насыщения. При некоторой температуре, называемой температурой или точкой Кюри, ферромагнитные свойства исчезают.
При температурах, более высоких, чем температура Кюри, ферромагнетик превращается в парамагнетик.
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О теории ферромагнетизма. Физическую природу ферромагнетизма удалось понять только с помощью квантовой механики. При определенных условиях в кристаллах могут возникать так называемые объемные силы, которые заставляют магнитные моменты электронов устанавливаться параллельно друг другу. В результате возникают области
(размером 1 – 10 мкм) спонтанного, т.е. самопроизвольного, намагничивания – эти области называют доменами. В пределах каждого домена
ферромагнетик намагничен до насыщения и имеет определенный магнитный момент. Направления этих моментов для разных доменов различны, поэтому при отсутствии внешнего поля суммарный момент образца равен нулю, и образец в целом представляется макроскопически
не намагниченным.
При включении внешнего магнитного поля домены, ориентированные по полю, растут за счет доменов, ориентированных против поля.
Такой рост в слабых полях имеет обратный характер. В более сильных
полях происходит одновременная переориентация магнитных моментов
в пределах всего домена. Этот процесс является необратимым, что и
служит причиной гистерезиса и остаточного намагничивания.
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. ЭЛЕКТОРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
8.1. Закон электромагнитной индукции. Правило
Ленца
Мы установили, что существует электромагнитное поле, соотношение между «компонентами» которого – электрическим и магнитными
полями – в решающей степени зависит от системы отсчета. Другими
словами, обе компоненты электромагнитного поля связаны друг с другом. В этой главе мы увидим, что существует еще более глубокая связь
между Е- и В-полями и обнаруживается она в явлениях электромагнитной индукции.
Открытие Фарадея. В 1831 г. Фарадеем было сделано одно из наиболее фундаментальных открытий в электродинамике – явление электромагнитной индукции. Оно заключается в том, что в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока (т.е. потока вектора В), охватываемого этим контуром, возникаем электрический ток –
его назвали индукционным.
Появление индукционного тока означает, что при изменении магнитного потока в контуре возникает э.д.с. индукции ℰi. При этом весьма
замечателен тот факт, что ℰi совершенно не зависит от того, каким образом осуществляется изменение магнитного потока Ф, и определяются
лишь его изменения, т.е. величиной dФ/dt приводит к изменению знака
или «направления» ℰi.
Г
Рис. 8.1
Фарадей обнаружил, что индукционный ток можно вызвать двумя
различными способами. Дальнейшее поясняет рис. 8.1, где изображены
катушка К с током I (она создает магнитное поле) и рамка Р с гальванометром Г – индикатором индукционного тока.
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1-й способ – перемещение рамки Р (или отдельных ее частей) в поле
неподвижной катушки К.
2-й способ – рамка Р неподвижна, но изменяется магнитное поле –
или за счет движения катушки К, или следствие изменения силы тока I в
ней, или в результате того и другого вместе.
Во всех этих случаях гальванометр Г будет показывать наличие индукционного тока в рамке Р.
Привило Ленца. Направление индукционного тока (а значит, и знак
э.д.с. индукции) определяется правилом Ленца: индукционный ток всегда направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызвавшей. Иначе говоря, индукционный ток создает магнитный поток, препятствующий изменению магнитного потока, вызывающего э.д.с. индукции. Если, например, рамку Р (рис. 8.1) приближать к катушке К, то
магнитный поток сквозь рамку возрастает. При этом в рамке возникает
индукционный ток, направленный по часовой стрелке (если смотреть
справа на рамку). Этот ток создает магнитный поток, «направленный»
влево, он и препятствует возрастанию магнитного потока, вызывающего
этот ток. То же произойдет, если увеличивать силу тока в катушке К,
оставляя катушку и рамку Р неподвижными. При уменьшении же силы
тока в катушке К индукционный ток в рамке Р изменит свое направление на противоположное (против часовой стрелки, если смотреть справа). Правило Ленца выражает существенный физический факт – стремление системы противодействовать изменению ее состояния (электромагнитная инерция).
Закон электромагнитной индукции. Согласно этому закону, какова
бы ни была причина изменения магнитного потока, охватываемого
замкнутым проводящим контуром, возникающая в контуре э.д.с. индукции определяется формулой
ℰi = −
dФ
. (8.1)
dt
Знак минус в этом уравнении связан с определенным правилом знаков. Знак магнитного потока Ф связан с выбором нормали к поверхности S, ограниченной рассматриваемым контуром, а знак э.д.с. индукции
ℰi – с выбором положительного направления обхода по контуру.
Здесь предполагается (как и ранее), что направление нормали n к
поверхности S и положительное направление обхода контура связаны
друг с другом правилом правого винта * (рис. 8.2). Поэтому, выбирая
* Если бы оба эти направления были связаны правилом левого винта, знака минус в
уравнении (8.1) просто не было бы.
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(произвольно) направление нормали, мы определяем как знак потока Ф,
так и знак (а значит, и «направление») э.д.с. индукции ℰi.
При сделанном нами выборе положительных направлений – в соответствии с правилом правого винта – величина ℰi и dФ/dt - противоположные знаки. Единицей магнитного потока является вебер (Вб). При
скорости изменения магнитного потока 1 Вб/с в контуре индуцируется
э.д.с., равная 1В.
+
Рис. 8.2
Полный магнитный поток (потокосцепление). Если замкнутый
контур, в котором индуцируется э.д.с., состоит не из одного витка, а из
N витков (например, катушка), то ℰi будет равна сумме э.д.с., индуцируемых в каждом из витков. И если магнитный поток, охватываемый
каждым витком, одинаков и равен Ф₁, то суммарный поток Ф сквозь
поверхность, натянутую на такой сложный контур, можно представить
как
Ф = N Ф₁.
(8.2)
Эту величину называют полным магнитным потоком или потокосцеплением. В этом случае соответствующая э.д.с. индукции в контуре определяется согласно (8.1) формулой
ℰi = − N
8.2. Природа электромагнитной индукции
dФ1
, (8.3)
dt
Теперь мы должны разобраться в тех случаях, которые приводят к
возникновению э.д.с. индукции, и попытаться вывести закон индукции
(8.1) из того, что нам уже известно. Рассмотрим последовательно два
случая.
Контур движется в постоянном магнитном поле. Прежде всего,
обратимся к контуру с подвижной перемычкой длиной l (рис. 8.3).
Пусть он находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. Начнем двигать перемычку вправо со скоростью v. С такой же скоростью начнут
двигаться и носители тока в перемычке – электроны. В результате на
каждый электрон начнет действовать магнитная сила F = − e[vB] и электроны начнут перемещаться по перемычке вниз – потечет ток, направленный вверх. Это и есть индукционный ток. Перераспределившиеся
заряды (на поверхности проводников) создают электронное поле, которое возбудит ток и в остальных участках контура.
Магнитная сила F играет роль сторонней силы. Ей соответствует
поле E* = F/(−e) = [vB]. Заметим, что это выражение можно получить и
с помощью формул преобразования полей.
E*
[vB]
=
v
В
Рис. 8.3
Циркуляция вектора E* по контуру дает по определению величину
э.д.с. индукции. В нашем случае
ℰi = − υВl,
(8.4)
ℰi = − dФ/dt.
(8.5)
где знак минус поставлен в связи с принятым правилом знаков:
нормаль n к поверхности, натянутой на наш контур, мы выбрали за
плоскостью рис. 8.3 (в сторону поля В), и поэтому по правилу правого
винта положительное направление обхода контура – по часовой стрелке,
как показано на рисунке. При этом стороннее поле E* направлено против положительного направления обхода контура и ℰi – величина отрицательная.
Произведение υl в (8.4) есть приращение площади, ограниченной
контуром, в единицу времени (dS/dt), поэтому υВl = B dS/dt = dФ/dt, где
dФ – приращение магнитного потока сквозь площадь контура (в нашем
случае dФ>0). Таким образом,
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Можно в общем виде доказать, что закон (8.1) справедлив для любого контура, движущегося произвольным образом в постоянном неоднородном магнитном поле.
Итак, возбуждение э.д.с. индукции при движении контура в постоянном магнитном поле объясняется действием силы ∾ [vB], которая
возникает при движении проводника.
Заметим попутно, что идея схемы (рис. 8.3) лежит в основе действия
всех индукционных генераторов тока, в которых ротор с обмоткой вращается во внешнем магнитном поле.
Контур покоится в переменном магнитном поле. Возникновение
индукционного тока и в этом случае свидетельствует о том, что изменяющееся во времени магнитное поле вызывает в контуре появление
сторонних сил. Но что это за силы? Какова их природа? Ясно, что это не
магнитные силы ∾ [vB]: привести в движение покоящиеся (v=0) заряды
эти силы могут. Но других сил, кроме qE и q[vB], нет! Остается заключить, что индукционный ток обусловлен возникающим в природе электрическим полем Е. Именно это поле и ответственно за появление э.д.с.
индукции в неподвижном контуре при изменении во времени магнитного поля.
Максвелл предположил, что изменяющееся во времени магнитное
поле приводит к появлению в пространстве электрического поля независимо от наличия проводящего контура. Последний лишь позволяет
обнаружить по возникновению в нем индукционного тока существование этого электрического поля.
Таким образом, согласно Максвеллу изменяющееся со временем
магнитное поле порождает электрическое поле. Циркуляция вектора Е
этого поля по любому неподвижному контуру определяется как
Е
− ∂Ф.
∮ dl = ∂t
(8.6)
Здесь символ частной производной по времени (∂/∂t) подчеркивает
тот факт, что контур и натянутая на него поверхность неподвижны. Так
как поток Ф=∫ВdS (интегрирование проводится по произвольной поверхности, натянутой на интересующий нас контур), то
∂
∂B
B dS= ∫ t dS..
∫
∂t
∂
В этом равенстве мы поменяли местами операции дифференцирования по времени и интегрирования по поверхности, поскольку контур и
поверхность неподвижны. Тогда уравнение (8.6) можно представить в
виде
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∮E dl = −∫ ∂∂Bt dS..
(8.7)
Данное уравнение имеет ту же структуру, что и уравнение (6.13),
причем роль вектора j играет вектор ∂В/∂t. Стало быть, оно может быть
преобразовано в дифференциальную форму так же, как и уравнение
(6.18). И в результате мы получим
∇×Е = − ∂В/∂t.
Это уравнение выражает локальную связь между электрическим и
магнитным полями: изменение поля В во времени в данной точке определяет ротор поля Е в этой же точке. Отличие же ∇×Е от нуля свидетельствует о наличии самого электрического поля.
Тот факт, что циркуляция электрического поля, возбуждаемого изменяющимся со временем магнитным полем, отлична от нуля, означает,
что это электрическое поле не потенциально. Оно, как и магнитное поле, является вихревым. Таким образом, электрическое поле может быть
как потенциальным (в электростатике), так и вихревым.
В общем случае электрическое поле Е может слагаться из электростатического поля и поля, обусловленного изменяющимся во времени
магнитным полем. Поскольку циркуляция электростатического поля
равна нулю, уравнения (8.6) – (8.8) оказываются справедливыми и для
общего случая, когда поле Е представляет собой векторную сумму этих
двух полей.
Заключение. Итак, закон электромагнитной индукции (8.1) справедлив, когда магнитный поток сквозь контур меняется за счет движения
контура или за счет изменения магнитного поля со временем (или когда
происходит и то и другое). Вместе с тем для объяснения закона в этих
двух случаях пришлось использовать два совершенно разных явления:
для движущегося контура – действие магнитной силы ∾ [vB], а для меняющегося во времени поля ∂В/∂t – представление о возникающем вихревом электрическом поле Е.
Ввиду того что никакого глубокого единого принципа, объединяющего оба явления, не видно, мы должны вспомнить закон электромагнитной индукции как совместный эффект двух совершенно различных
явлений. Оба эти явления, вообще говоря, независимы друг от друга, и
тем не менее – что удивительно – э.д.с. индукции в контуре всегда равна
скорости изменения магнитного потока сквозь контур.
Иначе говоря, в тех случаях, когда меняется и поле В во времени, и
конфигурация или расположение контура в поле, э.д.с. индукции надо
рассчитать по формуле (8.1), где справа стоит полная производная dФ/dt
113
(8.8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
по времени, автоматически учитывающая оба фактора. В связи с этим
закон (8.1) можно представить в таком виде:
∮
E dl = −
dФ +∮[ ] .
vB dl.
dt
(8.9)
Выражение, стоящее в правой части этого равенства, представляет
собой полную производную – dФ/dt. Здесь первое слагаемое связано с
изменением магнитного поля во времени, второе – с движением контура.
Возможные затруднения. Иногда приходится сталкиваться с ситуациями, где закон электромагнитной индукции (8.1) оказывается неприменимым (в основном из-за трудностей, связанных с выбором самого
контура). В этих случаях необходимо обращаться к основным законам –
силе Лоренца qE + q[vB] и закону ∇×Е = − ∂В/∂t. Именно они во всех
случаях выражают физическое содержание закона электромагнитной
индукции.
О кажущемся парадоксе. Мы знаем, что сила, испытываемая электрическим зарядом в магнитном поле, перпендикулярна его скорости и
потому никакой работы не совершается. Между тем при движении проводника с током (движущиеся заряды!) сила Ампера, несомненно, совершает работу (электромотор!). В чем здесь дело?
Это кажущееся противоречие исчезает, если учесть, что движение
проводника в магнитном поле неизбежно сопровождается явлением
электромагнитной индукции. И именно потому, что в проводнике индуцируется э.д.с., совершающая работу над зарядами, полная работа сил
магнитного поля (работа силы Ампера и работа э.д.с. индукции) равна
нулю. В самом деле, при элементарном перемещении контура с током в
магнитном поле силы Ампера совершают работу
δАА = I dФ,
(8.10)
а э.д.с. индукции за это время выполняет работу
δАi = ℰi I dt = − I dФ,
(8.11)
где учтено, что ℰi = − dФ/dt. Из последних двух формул видно, что
полная работа
δАА + δАi = 0.
(8.12)
Итак, в работу сил магнитного поля входит не только механическая
работа (обусловленная силами Ампера), но и работа э.д.с., индуцируемой при движении контура. Обе работы равны по модулю и противоположны по знаку, поэтому их сумма и равна нулю.
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Работа сил Ампера совершается не за счет энергии внешнего магнитного поля, а за счет источника, поддерживающего ток в контуре.
При этом источник совершает дополнительную работу против э.д.с. индукции δАдоп= − ℰiI dt = I dФ, которая оказывается одинаковой с работой δАА сил Ампера.
Работа δА, которая совершается при перемещении контура против
тормозящих амперовых сил (они возникают благодаря появлению индуцированного тока в соответствии с правилом Ленца), преобразуется в
работу э.д.с. индукции:
δА = − δАА = δАi.
(8.13)
С энергетической точки зрения в этом заключается сущность действия всех индуцированных генераторов тока.
8.3. Явление самоиндукции
Электромагнитная индукция возникает во всех случаях, когда изменяется магнитный поток сквозь контур. При этом совершенно неважно,
чем вызывается это изменение потока. Если в некотором контуре течет
изменяющийся во времени ток, то магнитное поле этого тока также будет изменяться. Это влечет за собой изменение магнитного потока через
контур, а следовательно, и появление э.д.с. индукции.
Таким образом, изменение тока в контуре ведет к возникновению
э.д.с. индукции в этом же самом контуре. Данное явление называется
самоиндукцией.
Индуктивность. Если в пространстве, где находится контур с током
I, нет ферромагнетиков, поле В, а значит, и полный магнитный поток Ф
через контур будут пропорциональны силе тока I, и можно написать
(8.14)
Ф = LI,
где L – коэффициент, называемый индуктивностью контура. В соответствии в принятым правилом знаков для величин Ф и I оказывается,
что Ф и I всегда имеют одинаковые знаки. Это означает, что индуктивность L – величина существенно положительная.
Индуктивность L зависит от формы и размеров контура, а также от
магнитных свойств окружающей среды. Если контур жесткий и поблизости от него нет ферромагнетиков, индуктивность является величиной
постоянной, не зависящий от силы тока I.
Единицей индуктивности является генри (Гн). Согласно (8.14) индуктивностью 1 Гн обладает контур, магнитный поток сквозь который
при токе 1 А равен 1 Вб, значит, 1 Гн = 1 Вб/А.
О некоторых трудностях. Отметим, что определение индуктивности по формуле L = Ф/I связано с определенными трудностями. Как бы
ни был тонок провод, его сечение конечно, и мы просто не знаем, как
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
надо провести в теле проводника геометрический контур, необходимый
для вычисления Ф. Результат оказывается неоднозначным. Для достаточно тонкого провода эта неоднородность существенна: здесь из-за неопределенности выбора геометрического контура результат вычисления
L может содержать большую ошибку. Об этом нельзя забывать.
Э.д.с. самоиндукции. При изменении силы тока в контуре согласно
(8.1) возникает э.д.с. самоиндукции ℰs:
ℰs = −
dФ
d
= − ( LI ), (8.15)
dt
dt
Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не
меняется конфигурация тока и нет ферромагнетиков), то
ℰs = − L
I
t
(L =
const).
(8.16)
Здесь знак минус показывает, что ℰs всегда направлена так, чтобы
препятствовать изменению силы тока – в соответствии с правилом Ленца. Эта э.д.с. сохраняет ток неизмененным: она противодействует току,
когда он увеличивается, и поддерживает ток, когда он уменьшается. В
явлениях самоиндукции ток обладает «инерцией», потому что эффекты
индукции стремятся сохранить магнитный поток постоянным, точно так
же, как механическая инерция стремится сохранить скорость тела неизменной.
Примеры появления самоиндукции. Характерные проявления самоиндукции наблюдаются при замыкании и размыкании тока в цепи. Установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании
цепи происходит не мгновенно, а постепенно. Причем эти эффекты замедления тем значительнее, чем больше индуктивность в цепи.
Любой большой электромагнит обладает большой индуктивностью.
Если его обмотку отсоединить от источника, ток быстро уменьшается
до нуля и в процессе уменьшения создает огромную э.д.с. самоиндукции. Это часто приводит к образованию вольтовой дуги между контактами выключателя и является весьма опасным, причем не только для
обмотки электромагнита, но и для человека, размыкающего цепь. По
этим причинам параллельно обмотке электромагнита обычно включают
лампочку с сопротивлением того же порядка, что и сопротивление обмотки. В этом случае ток в обмотке спадает медленно и опасности не
представляет.
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О сохранении магнитного потока. Пусть в произвольном внешнем
магнитном поле – постоянном или переменном – движет и деформирует
контур с током. При этом в контуре индукции ток
ℰi + ℰs
I=
R
=−
1d Ф
.
R dt
Если сопротивление контура R = 0, то должно быть и dФ/dt = 0, поскольку сила тока I не может быть бесконечно большой. Отсюда следует, что Ф = const.
Таким образом, при движении сверхпроводящего контура в магнитном поле пронизывающий его магнитный поток остается постоянным.
Такое сохранение потока обеспечивают индукционные токи, которые
согласно правилу Ленца препятствуют всякому изменению магнитного
потока сквозь контур.
Тенденция к сохранению магнитного потока сквозь контур имеется
в любом случае, но наиболее полно она проявляется в контурах из
сверхпроводников.
8.4. Взаимная индукция
Взаимная индуктивность. Рассмотрим два неподвижных контура 1
и 2 (рис. 8.4), расположенные достаточно близко друг к другу. Если в
контуре 1 течет ток I₁, он создает через контур 2 полный магнитный поток Ф₂, пропорциональный (при отсутствии ферромагнетиков) току I₁:
Ф₂ = L₂₁I₁.
(8.17)
Ф₁ = L₁₂I₂.
(8.18)
Совершенно так же, если в контуре 2 течет ток I₂, он создает через
контур 1 полный магнитный поток
Коэффициенты пропорциональности L₁₂ и L₂₁ называют взаимной
индуктивностью контура. Очевидно, взаимная индуктивность численно
равна магнитному потоку сквозь один из контуров, создаваемому единичным током в другом контуре. Коэффициенты L₁₂ и L₂₁ зависят от
формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости окружающей контуры среды. Выражаются эти
коэффициенты в тех же единицах, что и индуктивность L.
1
2
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 8.4
Теорема взаимности. Соответствующий расчет дает (и опыт его
подтверждает), что при отсутствии ферромагнетиков коэффициенты L₁₂
и L₂₁ одинаковы:
L₁₂ = L₂₁.
(8.19)
Это замечательное свойство взаимной индуктивности принято называть теоремой взаимности. Благодаря этой теореме можно не делать
различия между L₁₂ и L₂₁ и просто говорить о взаимности индуктивности двух контуров. Смысл равенства (8.19) в том, что в любом случае
магнитный поток Ф₁ сквозь контур 1, созданный током I в контуре 2,
равен магнитному потоку Ф₂ сквозь контур 2, созданному таким же током I в контуре 1. Это обстоятельство нередко позволяет сильно упрощать решение вопроса о нахождении, например, магнитных потоков.
Однако наличие ферромагнетиков меняет дело, и теорема перестает
выполняться.
Взаимная индукция. Наличие магнитной связи между контурами
проявляется в том, что при всяком изменении тока в одном из контуров
в другом контуре возникает э.д.с. индукции. Это явление и называют
взаимной индукцией.
Согласно закону электромагнитной индукции э.д.с., возникающие в
контуре 1 и 2, равны соответственно:
ℰ1 = −
dФ1
dI
= − L12 2
dt
dt
dФ
dI
ℰ2 = − 2 = − L21 1
dt
dt
Здесь предполагается, что контуры неподвижны и ферромагнетиков
поблизости нет.
С учетом явления самоиндукции ток, например, в контуре 1 при изменении токов в обоих контурах определяется по закону Ома как
118
(8.20)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
R₁I₁ = ℰ₁ − L1
dI 1
dI
− L12 2 ,
dt
dt
где ℰ₁ − сторонняя э.д.с. в контуре 1 (помимо индукционных э.д.с.);
L₁ - индуктивность контура 1. Аналогичное уравнение можно записать
и для определения силы тока I₂ в контуре 2.
Отметим, что на явлении взаимной индукции основано действие
трансформаторов – устройств, служащих для преобразования токов и
напряжений.
Замечание о знаке L₁₂. В отличие от индуктивности L, которая, как
было сказано, является существенно положительной величиной, взаимная индуктивность L₁₂ − величина алгебраическая (в частности, равная
нулю). Это связано с тем обстоятельством, что, например в (8.17) величины Ф₂ и I₁ относятся к разным контурам. Из рис. 8.4 сразу видно, что
знак магнитного потока Ф₂ при данном направлении тока I₁ будет зависеть от выбора нормали к поверхности, ограниченной контуром 2 (или
от выбора положительного направления обхода этого контура). Положительные направления для токов (и э.д.с.) в обоих контурах всегда
можно выбрать произвольно (а с положительным направлением обхода
контура однозначно – правилом правого винта – связано направление
нормали n к поверхности, ограниченной контуром, т.е. в конечном счете
знак магнитного потока). Раз эти направления выбраны, величину L₁₂
мы должны считать положительной, когда при положительных токах
магнитные потоки взаимной индукции через контуры оказываются также положительными, т.е. совпадают по знаку с потоками самоиндукции.
Положительные направления для токов (и э.д.с.) в обоих контурах
всегда можно выбрать произвольно (а с положительным направлением
обхода контура однозначно – правилом правого винта – связано направление нормали n к поверхности, ограниченной контуром, т.е. в конечном счете знак магнитного потока). Раз эти направления выбраны, величину L₁₂ мы должны считать положительной, когда при положительных
токах магнитные потоки взаимной индукции через контуры оказываются также положительными, т.е. совпадают по знаку с потоками самоиндукции.
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0
L₁₂ >
L₁₂ < 0
б)
Рис. 8.5
Другими словами, L₁₂ > 0, если при положительных токах в обоих
контурах они «подмагничивают» друг друга, в противном случае L₁₂ <
0. В частных случаях можно заранее так установить положительное направление обхода контуров, чтобы получить желательный нам знак величины L₁₂ (рис. 8.5).
8.5. Энергия магнитного поля
Магнитная энергия тока. Замкнем неподвижную цепь, содержа-
щую индуктивность L и сопротивление R, на источник тока с э.д.с. ℰ₀.
Согласно закону Ома RI = ℰ₀ + ℰs, откуда
ℰ₀ = RI − ℰs.
(8.21)
Найдем элементарную работу, которую совершают сторонние силы
(т.е. источник ℰ₀) за время dt. Для этого умножим предыдущее равенство на I dt:
ℰ₀I dt = RI² dt − ℰsI dt.
(8.22)
Учитывая смысл каждого слагаемого и соотношение ℰs= −dФ/dt, запишем
δАстор = δQ + I dФ.
(8.23)
Мы видим, что в процессе установления тока, когда поток Ф меняется и dФ > 0 (если I > 0), работа, которую совершает источник ℰ₀, оказывается больше выделяемой в цепи джоулевой теплоты. Часть этой работы (дополнительная работа) совершается против э.д.с. самоиндукции.
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заметим, что после того как ток установился, dФ = 0 и вся работа источника ℰ₀ будет идти только на выделение джоулевой теплоты.
Итак, дополнительная работа, совершаемая сторонними силами
против э.д.с. самоиндукции в процессе установления тока:
(8.24)
δАдоп = I dФ.
Это соотношение имеет общий характер.
Оно справедливо и при наличии ферромагнетиков, так как при его
выводе не вводилось никаких предложений относительно магнитных
свойств окружающей среды.
Теперь (и далее) будем считать, что ферромагнетики отсутствуют.
Тогда dФ = L dI и
δАдоп = LI dI.
(8.25)
Проинтегрировав это уравнение, получим Адоп = LI²/2. По закону
сохранения энергии любая работа идет на приращение какого-то вида
энергии. Мы видим, что часть работы сторонних сил (ℰ₀) идет на увеличение внутренней энергии проводников (с ней связано выделение джоулевой теплоты) и другая часть – в процессе установления тока – на
что-то еще. Это «что-то» есть не что иное, как магнитное поле, именно
его появление и связано с появлением тока.
Таким образом, мы приходим к выводу, что при отсутствии ферромагнетиков контур с индуктивностью L, по которому течет ток I, обладает энергией
2
Ф
W = 12 LI = 12 IФ = .
2L
(8.26)
Эту энергию называют магнитной энергией тока, или собственной
энергией тока. Она может быть целиком превращена во внешнюю энергию проводников, если отключить ℰ₀.
Энергия магнитного поля. Формула (8.26) выражает магнитную
энергию тока через индуктивность и ток (при отсутствии ферромагнетиков). Однако и здесь, как и в случае электрической энергии заряженных тел, энергию можно выразить непосредственно через магнитную
индукцию В.
Убедимся, что это так сначала на простейшем примере длинного соленоида, пренебрегая искажением поля на его торцах (краевыми эффектами).
Подстановка в формулу (8.26) выражения L=µµ₀n²V дает
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
W = ½ LI² = ½ µµ₀n²I²V.
А так как nI = H = B/µµ₀, то
W=
2
B
BH .
V=
V
2µµ0
2
(8.27)
Эта формула справедлива для однородного поля, заполняющего
объем V (как в нашем случае с соленоидом).
В общей теории показывается, что энергию W можно выразить через векторы В и Н в любом случае (но при отсутствии ферромагнетиков) по формуле
W=
∫
BH .
dV
2
(8.28)
Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смысл энергии, заключенной в элементе объемом dV. Отсюда, как и в случае электрического поля, мы приходим к выводу, что магнитная энергия также
локализована в пространстве, занимаемом магнитным полем. Из формул (8.27) и (8.28) следует, что магнитная энергия распределена в пространстве с объемной плотностью
ω=
2
BH= B .
2 2µµ0
(8.29)
Отметим, что полученное выражение относится лишь к тем средам,
для которых зависимость В и Н линейная, т.е. µ в соотношении В =
µµ₀Н не зависит от Н. Другими словами, выражения (8.28) и (8.29) относятся только к пара- и диамагнетикам. К ферромагнетикам они не
применимы *. Отметим также, что магнитная энергия – величина существенно положительная. Это легко усмотреть из последних двух формул.
Еще об основании формулы (8.29). Убедимся в справедливости этой
формулы, рассуждая в «обратном» порядке, а именно покажем, что если
* Это обусловлено, тем, что в конечном счете выражения (8.28) и (8.29) являются
следствиями формулы δАдоп = I dФ и того факта, что при отсутствии гистерезиса работа
δАдоп идет только на приращение магнитной энергии dW. Для ферромагнитной среды дело обстоит иначе: работа δАдоп идет еще и на приращение внутренней энергии среды, т.е.
на ее нагревание.
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
формула (8.29) справедлива, то магнитная энергия контура с током W =
LI²/2.
С этой целью рассмотрим магнитное поле произвольного контура с
током I (рис. 8.6). Представим себе поле, разделенное на элементарные
трубки, образующие которых являются линиями вектора В. Выделим в
одной из таких трубок элементарный объем dV = dldS. В соответствии с
формулой (8.29) в этом объеме локализована энергия ½ ВН dldS.
Теперь найдем энергию dW в объеме всей элементарной трубки. Для
этого проинтегрируем последнее выражение вдоль оси трубки. Поток
dФ = В dS сквозь сечение трубки постоянен вдоль всей трубки, поэтому
dФ можно вынести за знак интеграла:
dФ
dФ,
dW
= ∮H dl =
2
2
где использована теорема о циркуляции вектора Н (в нашем случае
проекция Нl = Н).
И наконец, просуммируем энергию всех элементарных трубок:
W = 12 I∫ dФ = IФ / 2 = LI /2,
2
Ф=
где Ф – полный магнитный поток, охватываемый контуром с током
dl
dS
Рис. 8.6
LI. Это и требовалось доказать.
Теперь найдем энергию dW в объеме всей элементарной трубки. Для
этого проинтегрируем последнее выражение вдоль оси трубки. Поток
dФ = В dS сквозь сечение трубки постоянен вдоль всей трубки, поэтому
dФ можно вынести за знак интеграла:
W=
dФ∮
dФ,
H dl =I
2
2
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где использована теорема о циркуляции вектора Н (в нашем случае
проекция Нl = Н).
И наконец, просуммируем энергию всех элементарных трубок:
W = 12 I∫ dФ = IФ / 2 = LI /2 ,
2
где Ф – полный магнитный поток, охватываемый контуром с током
Ф = LI. Это и требовалось доказать.
Определение индуктивности из выражения энергии. Мы ввели индуктивность L как коэффициент пропорциональности между магнитным
потоком Ф и током I.
Существует, однако, и другая возможность расчета L из выражения
энергии. В самом деле, из сопротивления формул (8.26) и (8.28) следует,
что при отсутствии ферромагнетика
L=
2
1 B
dV.
2 ∫
I µµ0
(8.30)
Нахождение L таким путем свободно от неопределенности, связанной с вычислением магнитного потока Ф в формуле (8.14).
8.6. Магнитная энергия двух контуров с током
Собственная и взаимная энергии. Возьмем два неподвижных контура 1 и 2, расположив их достаточно близко друг к другу (чтобы была
магнитная связь между ними).
Предполагая, что в каждом контуре есть свой источник постоянной
э.д.с. Замкнем в момент t = 0 каждый из контуров. Как в том, так и в
другом контуре начнет устанавливаться свой ток и, следовательно, появятся э.д.с. самоиндукции ℰs и э.д.с. взаимной индукции ℰi. Дополнительная работа, совершаемая при этом источниками постоянной э.д.с.
против ℰs и ℰi идет, как мы уже знаем, на создание магнитной энергии.
Найдем эту работу за время dt:
δАдоп= − (ℰs₁ + ℰi₁) I₁ dt − (ℰs₂ + ℰi₂) I₂ dt = dW.
Преобразуем эту формулу, учитывая, что ℰs₁ = − L₁ dI₁/dt, ℰi₁ = − L₁₂
dI₂/dt и т.д.:
dW = L₁I₁ dI₁ + L₁₂I₁ dI₂ + L₂I₂ dI₂ + L₂₁I₂ dI₁.
Имея в виду, что L₁₂ = L₂₁,
представим последнее уравнение в виде
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
откуда
dW = d(L₁I₁²/2) + d(L₂I₂²/2) + d(L₁₂I₁I₂),
W=
2
2
L1 I1 + L 2 I 2 +
L12 I1 I 2 .
2
2
(8.31)
Здесь первые два слагаемых называют собственной энергией тока I₁
и тока I₂, последнее слагаемое – взаимной энергией обоих токов. Взаимная энергия токов – величина алгебраическая в отличие от собственных
энергий токов. Изменение направления одного из токов приводит к изменению знака взаимной энергии – последнего слагаемого в (8.31).
Полевая трактовка энергии (8.31). Есть несколько важных вопросов, которые мы сможем решить, вычислив магнитную энергию двух
контуров еще иначе – с точки зрения локализации энергии в поле. Пусть
В₁ – магнитное поле тока I₁, а В₂ – поле тока I₂. Тогда по принципу суперпозиции поле в каждой точке В=В₁+В₂ и согласно (8.28) энергия поля
этой
системы
токов
W=∫(B²/2µµ₀)dV.
Подставив
сюда
В²=В₁²+В₂²+2В₁В₂, получим
W= ∫
2
2
B1
B2
B1 B2 .
dV + ∫
dV + ∫
dV
2µµ0
2µµ0
µµ0
(8.32)
Соответствие друг другу отдельных слагаемых в формулах (8.31) и
(8.32) не вызывает сомнения.
Формулы (8.31) и (8.32) приводят к таким важным следствиям.
1. Магнитная энергия системы двух (и более) токов – величина всегда положительная, W > 0. Это вытекает из того факта, что W ∾ ∫ В² dV,
где под интегралом стоят положительные величины.
2. Энергия токов – величина не аддитивная (из-за наличия взаимной
энергии).
3. Последний интеграл в (8.32) пропорционален произведению токов I₁I₂, так как В₁∾I₁ и В₂∾ I₂. Коэффициент же пропорциональности
(т.е. оставшийся интеграл) оказывается симметричным относительно
индексов 1 и 2, а поэтому его можно обозначить L₁₂ или L₂₁ [в соответ-
ствии с формулой (8.31)]. Таким образом, действительно L₁₂ = L₂₁.
4. Из выражения (8.32) вытекает другое определение индуктивности
L₁₂. В самом деле, сопоставление выражений (8.32) и (8.31) показывает,
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
что
L12 =
1
I1 I2
∫
B1 B2 .
dV
µµ0
(8.33)
8.7. Энергия и сила в магнитном поле
Наиболее общим методом определения сил в магнитном поле является энергетический. В этом методе используют выражение для энергии
магнитного поля.
Ограничимся случаем, когда система состоит из двух контуров с токами I₁ и I₂. Магнитная энергия такой системы может быть представлена в виде
W = ½ (I₁Ф₁ + I₂Ф₂),
(8.34)
где Ф₁ и Ф₂ - полные магнитные потоки, пронизывающие контуры 1
и 2 соответственно. Это выражение нетрудно получить их формулы
(8.31), если представить последнее слагаемое как сумму
½ L₁₂I₁I₂ + ½
L₂₁I₂I₁, а затем учесть, что
Ф₁ = L₁I₁ + L₁₂I₁,
Ф₂ = L₂I₂ +
(8.35
)
L₂₁I₁.
Согласно закону сохранения энергии работа δА*, которую совершают источники тока, включенные в контуры 1 и 2, идет на теплоту δQ,
на приращение магнитной энергии системы dW (из-за движения контуров или изменения токов в них) и на механическую работу δАмех
(вследствие перемещения или деформации контуров):
δА* = δQ + dW + δАмех.
(8.36)
Мы предположили, что емкость контуров пренебрежимо мала, и поэтому электрическую энергию учитывать не будем.
В дальнейшем нас будет интересовать не вся работа источника тока
δА*, а только та ее часть, которая совершается против э.д.с. индукции и
самоиндукции (в каждом контуре). Эта работа (мы назвали ее дополнительной) равна δАдоп=−(ℰs₁+ℰi₁)I₁dt−(ℰs₂+ℰi₂)I₂dt. Учитывая что для каждого контура ℰs + ℰi = − dФ/dt, перепишем выражение для дополнительной работы в виде
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
δАдоп = I₁ dФ₁ + I₂ dФ₂.
(8.37)
Именно эта часть работы источников тока (работа против э.д.с. индукции и самоиндукции), связанная с изменением потоков Ф₁ и Ф₂, и
идет на приращение магнитной энергии системы и на механическую работу:
I₁ dФ₁ + I₂ dФ₂ = dW + δАмех.
(8.38)
Эта формула является основной для расчета механической работы
δАмех, а из нее - и сил в магнитном поле.
Из формулы (8.38) можно получить и более простые выражения для
δАмех, если считать, что в процессе перемещения остаются неизменными или все магнитные потоки сквозь контуры, или токи в них. Рассмотрим это более подробно.
1. Если токи постоянны, Фk = const, то из (8.38) сразу следует, что
δАмех= − dWФ,
(8.39)
где символ Ф подчеркивает, что приращение магнитной энергии
системы должно быть вычислено при постоянных потоках через контур.
2. Если потоки постоянны, Ik = const, то
δАмех= dWI.
(8.40)
dWI = ½ (I₁dФ₁ + I₂dФ₂),
(8.41)
Действительно, при Ik = const из формулы (8.34) следует, что
т.е. в этом случае приращение магнитной энергии системы равно
согласно (8.37) половине дополнительной работы источников э.д.с.
Другая половина этой работы идет на совершение механической работы, иначе говоря, при постоянстве δАмех= dWI, что и требовалось показать. Необходимо подчеркнуть, что оба полученные нами выражения
(8.39) и (8.40) определяют механическую работу одной и той же силы,
т.е. можно написать:
F dl = − dWФ = dWI.
(8.42)
Для вычисления силы с помощью этих формул, конечно, нет необходимости подбирать такой режим, при котором обязательно оставались бы постоянными или магнитные потоки, или токи. Надо просто
найти приращение dW магнитной энергии системы при условии, что либо Фk = const, либо Ik = const, а это является чисто магической операцией.
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ценность полученных выражений (8.39) и (8.40) в их общности:
они пригодны для системы, состоящей из любого числа контуров – одного, двух и т.д.
Магнитное давление. Если магнитное поле по разные стороны поверхности с током разное − В₁ и В₂, то в этом случае, оказывается, магнитное давление
P=
B1 H1 B2 H2 ,
−
2
2
(8.43)
причем дело обстоит так, как если бы область с большей плотностью магнитной энергии была бы областью большего давления.
Соотношение (8.43) является одним из основных в магнитогидродинамике, изучающей поведение электропроводящих жидкостей (в
электротехнике и астрофизике).
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТОРМАГНИТНОГО ПОЛЯ
9.1. Ток смещения
Открытие Максвелла. Теория электромагнитного поля, начала которой заложил Фарадей, математически была завершена Максвеллом.
При этом одной из новых важнейших идей, выдвинутых Максвеллом,
была мысль о симметрии во взаимодействии электрического и магнитного полей. А именно, поскольку меняющееся во времени магнитное
поле (∂В/ ∂t) создает электрическое поле, следует ожидать, что меняющееся во времени электрическое поле (∂Е/ ∂t) создает магнитное поле.
К этой идее о необходимости существования по сути нового явления индукции можно прийти путем, например, следующих рассуждений. Мы знаем, что согласно теореме о циркуляции вектора Н
∮Н dl = ∮j dS.
-+
I
S’
(9.1)
S’
S
I
Г
n’ n
S
n
Г
а) б)
Рис. 9.1
Применим эту теорему к случаю, когда предварительно заряженный плоский конденсатор разряжается через некоторое внешнее сопротивление (рис. 9.1, а). В качестве контура Г возьмем кривую, охватывающую провод. На контур Г можно натянуть разные поверхности, например S и S′. Обе поверхности имеют «равные права», однако через
поверхность S течет ток I, а через поверхность S′ не течет никакого тока!
Получается, что циркуляция Н зависит от того, какую поверхность
мы натягиваем на данный контур (?!), чего явно не может быть (в случае постоянных токов этого и не происходило).
А нельзя ли как-то изменить правую часть (9.1), чтобы избежать
этой неприятности? Оказывается, можно, и вот как. Первое, что мы замечаем, это то, что поверхность S′ «пронизывает» только электрическое
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
поле. По теореме Гаусса поток вектора D сквозь замкнутую поверхность
∮D dS = q,
откуда
∮
∂D
∂q
dS= .
∂
∂t
С другой стороны, согласно уравнению непрерывности
∮
j dS
(9.2)
∂q.
∂t
(9.3)
Сложив отдельно левые и правые части уравнений (9.2) и (9.3), получим
 ∂D 
 j+
dS= 0.

∂t 
(9.4)
Это уравнение аналогично уравнению непрерывности для постоянного тока. Из него видно, что кроме плотности тока проводимости j
имеется еще одно слагаемое ∂D/∂t, размерность которого равна размерности плотности тока. Максвелл назвал это слагаемое плотностью тока
смещения:
∮
jсм = ∂D/∂t.
(9.5)
Сумму же тока проводимости и тока смещения называют полным
током. Его плотность
jполн = j+
∂D .
∂t (9.6)
Согласно (9.4) линии полного тока являются непрерывными в отличие от линий тока проводимости. Токи проводимости, если они не
замкнуты, замыкаются токами смещения.
Сейчас мы убедимся в том, что введение полного тока устраняет
трудность, связанную с зависимостью циркуляции вектора Н от выбора
поверхности, натягиваемой на контур Г. Оказывается, для этого достаточно в правой части уравнения (9.1) вместо тока проводимости ввести
полный ток, т.е. величину
 ∂ 
Iполн =  j+ D dS. .

∂t 
(9.7)
В самом деле, правая часть (9.7) представляет собой сумму тока
проводимости I и тока смещения Iсм: Iполн = I + Iсм. Покажем, что пол-
∫
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ный ток Iполн будет одинаков и для поверхности S′, и для поверхности S,
натянутых на один и тот же контур Г. Для этого применим (9.4) к замкнутой поверхности, составленной из поверхностей S и S′ (рис. 9.1, б).
Учитывая, что для замкнутой поверхности нормаль n направлена наружу, запишем
Iполн(S′) + Iполн(S) = 0.
Теперь, если обернуть нормаль n′ для поверхности S′ в ту же сторону, что и для S,то первое слагаемое в последнем уравнении изменит
знак и мы получим
Iполн(S′) = Iполн(S),
что и требовалось доказать.
Итак, теорему о циркуляции вектора Н, которая была установлена
для постоянных токов, можно обобщить для произвольного случая и записать
∮
 ∂ 
H dl = ∫  j+ D dS. .

∂t 
(9.8)
В таком виде теорема о циркуляции вектора Н справедлива всегда,
свидетельством чему является согласие этого уравнения с результатами
опыта во всех без исключения случаях.
Дифференциальная форма уравнения (9.8):
∇×H = j+
∂D ,
∂t (9.9)
т.е. ротор вектора Н определяется плотностью тока проводимости j
и тока смещения ∂D/∂t в той же точке.
Несколько замечаний о токе смещения. Следует иметь в виду, что
ток смещения эквивалентен току проводимости только в отношении
способности создавать магнитное поле.
Токи смещения существуют лишь там, где меняется со временем
электрическое поле. В диэлектриках ток смещения состоит из двух существенно различных слагаемых. Так как вектор D = ε₀ Е + Р, то отсю-
да видно, что плотность тока смещения ∂Е/∂t складывается из «истинного» тока смещения ε₀ ∂Е/∂t и тока поляризации ∂Р/∂t – величины,
обусловленной движением связанных зарядов. В том, что токи поляризации возбуждают магнитное поле, нет ничего неожиданного, ибо эти
токи по природе своей не отличаются от токов проводимости. Принципиально новое содержится в утверждении, что и другая часть тока смещения (ε₀ ∂Е/∂t), которая не связана ни с каким движением зарядов, а
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
обусловлена только изменением электрического поля, также возбуждает
магнитное поле. Даже в вакууме всякое изменение во времени электрического поля возбуждает в окружающем пространстве магнитное поле.
Открытие этого явления – наиболее существенный и решающий
шаг, сделанный Максвеллом при построении теории электромагнитного
поля. Это открытие вполне аналогично открытию электромагнитной
индукции, согласно которому переменное магнитное поле возбуждает
вихревое электрическое поле. Следует также отметить, что открытие
Максвеллом тока смещения – чисто теоретическое открытие, причем
первостепенной важности.
9.2. Система уравнений Максвелла
Уравнения Максвелла в интегральной форме. С введением тока
смещения макроскопическая теория электромагнитного поля была блестяще завершена. Открытие тока смещения (∂D/∂t) позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Теория
Максвелла не только объяснила все разрозненные явления электричества и магнетизма (причем с единой точки зрения), но и предсказала ряд
новых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии.
До сих пор мы рассматривали отдельные части этой теории. Теперь
можно представить всю картину в виде системы фундаментальных
уравнений электродинамики, называемых уравнениями Максвелла в неподвижных средах. Этих уравнений четыре (мы уже познакомились с
каждым из них в отдельности в предшествующих разделах, а сейчас
просто соберем их все вместе). В интегральной форме система уравнений Максвелла имеет следующий вид:
∮ Edl = −∫ ∂∂Bt dS,,
∮D dS= ∫ ρdV,
∮
∮
Нdl = ∫
 ∂D 
 j+
dS,,

∂t 
(9.10)
BdS= 0.,
(9.11)
где ρ - объемная плотность сторонних зарядов, j – плотность тока
проводимости.
Эти уравнения в сжатой форме выражают всю совокупность наших
сведений об электромагнитном поле. Содержание этих уравнений заключается в следующем:
1. Циркуляция вектора Е по любому замкнутому контуру равна со
знаком минус производной по времени от магнитного потока через любую поверхность, ограниченную данным контуром. При этом под Е по132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нимается не только вихревое электрическое поле, но и электростатическое (циркуляция последнего, как известно, равна нулю).
2. Поток вектора D сквозь любую замкнутую поверхность равен
алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью.
3. Циркуляция вектора Н по любому замкнутому контуру равна
полному току (току проводимости и току смещения) через произвольную поверхность, ограниченную данным контуром.
4. Поток вектора В сквозь произвольную замкнутую поверхность
всегда равен нулю.
Из уравнений Максвелла для циркуляции векторов Е и Н следует,
что электрическое и магнитное поля нельзя рассматривать как независимые: изменение во времени одного из этих полей приводит к появлению другого. Поэтому имеет смысл лишь совокупность этих полей,
описывающая единое электромагнитное поле.
Если же поля стационарны (Е = const и B = const), то уравнения
Максвелла распадаются на две группы независимых уравнений:
Edl
∮= 0,
DdS
∮= q,
dl = I,
H∮
∮BdS= 0.
(9.12)
В этом случае электрическое и магнитное поля независимы друг от
друга, что и позволило нам изучить сначала постоянное электрическое
поле, а затем независимо от него - и постоянное магнитное поле.
Необходимо подчеркнуть, что рассуждения, с помощью которых мы
пришли к уравнениям Максвелла, ни в коей мере не могут претендовать
на их доказательство. Эти уравнения нельзя «вывести», они являются
основными постулатами электродинамики, полученными путем обобщений опытных фактов. Эти постулаты играют в электродинамике такую же роль, как законы Ньютона в классической механике или начала
термодинамики.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Уравнения (9.10)
и (9.11) можно представить в дифференциальной форме, т.е. в виде системы дифференциальных уравнений, а именно:
∂B ,
∂t
∂
∇× H = j+ D ,
∂t
∇× E = −
133
∇⋅ D = ρ,
(9.13)
∇⋅ B = 0.
(9.14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнения (9.13) говорят о том, что электрическое поле может возникнуть по двум причинам. Во-первых, его источником являются электрические заряды, как сторонние, так и связанные (это следует из уравнения ∇ ⋅ D = ρ, если учесть, что D = ε₀E + Р и ∇ ⋅ Р = − ρ’, тогда ∇ ⋅ Е∾
(ρ + ρ’). Во-вторых, поле Е образуется всегда, когда меняется во времени магнитное поле (выражение закона электромагнитной индукции Фарадея).
Уравнения же (9.14) говорят о том, что магнитное поле В может
возбуждаться электрическими зарядами (электрическими токами), либо
переменными электрическими полями, либо тем и другим одновременно (это следует из уравнения ∇ × Н =j+∂D/∂t, если учесть, что Н = В/µ₀
+ J и ∇ × J = j′, тогда ∇ × Н ∾ j + j′ + + ∂P/∂t + ε₀∂E/∂t, где j′ – плот-
ность намагничивания; ∂P/∂t – плотность тока поляризации. Первые
три тока связаны с движением зарядов, последний ток – с меняющимся
во времени полем Е). Никаких источников магнитного поля, подобных
электрическим зарядам (по аналогии их называют магнитными зарядами), в природе не существует, это следует из уравнения ∇ ⋅ B = 0.
Значение уравнений Максвелла в дифференциальной форме не
только в том, что они выражают основные законы электромагнитного
поля, но и в том, что путем их решения (интегрирования) могут быть
найдены сами поля Е и В.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме совместно с
уравнением движения заряженных частиц под действием силы Лоренца
(9.15)
dp/dt = qE + q[vB]
составляют фундаментальную систему уравнений. Эта система в
принципе достаточна для описания всех электромагнитных явлений, в
которых не проявляются квантовые эффекты.
Граничные условия. Уравнения Максвелла в интегральной форме
обладают большей общностью, чем дифференциальные, ибо они справедливы и в тех случаях, когда существуют поверхности разрыва – поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно. Уравнения же Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются
непрерывно.
Можно, однако, достигнуть такой же общности и для дифференциальной формы уравнений, если дополнить их граничными условиями,
которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Эти условия содержатся в интегральной форме уравнений Максвелла и имеют уже знакомый нам вид:
D₁n = D₂n, E₁τ = E₂τ, B₁n = B₂n, H₁τ =
134
(9.16)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
H₂τ
(здесь первое и последнее условия относятся к случаям, когда на
границе раздела нет ни сторонних зарядов, ни токов проводимости). Заметим также, что приведенные граничные условия справедливы как для
постоянных, так и для переменных полей.
Материальные условия. Фундаментальные уравнения Максвелла
еще не составляют полной системы уравнений электромагнитного поля.
Этих уравнений недостаточно для нахождения полей по заданным распределениям зарядов и токов.
Уравнения Максвелла необходимо дополнить соотношениями, в которые входили бы величины, характеризующие индивидуальные свойства среды. Эти соотношения называют материальными уравнениями.
Вообще говоря, эти уравнения достаточно сложны и не обладают той
общностью и фундаментальностью, которые свойственны уравнениям
Максвелла.
Материальные уравнения наиболее просты в случае достаточно слабых электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в
пространстве и во времени. В этом случае для изотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков, материальные уравнения имеют следующий вид (он нам уже знаком):
D = εε₀E, B = µµ₀H, j = σ (E + E*),
(9.17)
где ε, µ, σ - известные нам постоянные, характеризующие электрические и магнитные свойства среды (диэлектрическая и магнитная проницаемости и электропроводимости), Е* - напряженность поля сторонних сил, обусловленная химическими или тепловыми процессами.
9.3. Свойства уравнений Максвелла
Уравнения Максвелла линейны. Они содержат только первые производные полей Е и В по времени и пространственным координатам и
первые степени плотности электрических зарядов ρ и токов j. Свойство
линейности уравнений Максвелла непосредственно связано с принципом суперпозиции: если два каких-нибудь поля удовлетворяют уравнениям Максвелла, то это относится и к сумме этих полей.
Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения электрического заряда. Чтобы убедиться в
этом, возьмем бесконечно малый контур Г, натянем на него произвольную конечную поверхность S (рис. 9.2), а затем стянем этот контур в
точку, оставляя поверхность S конечной. В пределах циркуляция ∮H dl
обращается в нуль, поверхность S становится замкнутой и первое из
уравнений (9.11) перейдет в
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∂D 

∮ j+ ∂t dS= 0.
Отсюда следует, что
∮jdS= − ∂∂t ,
∮DdS= − ∂∂qt ,
а это и есть не что иное, как уравнение непрерывности, которое утверждает, что ток, вытекающий из объема V через замкнутую поверхность S, равен убыли заряда в единицу времени внутри этого объема V.
S
Г
Рис 9.2
Тот же закон (уравнение непрерывности) можно получить и из
дифференциальных уравнений Максвелла. Достаточно взять дивергенцию от обеих частей первого из уравнений (9.14) и воспользоваться
вторым из уравнений (9.13), и мы получим ∇ ⋅ j = − ∂ρ / ∂t.
Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах
отсчета. Они являются релятивистски-инвариантными. Это есть следствие принципа относительности, согласно которому все инерциальные
системы отсчета физически эквивалентны друг другу. Факт инвариантности уравнений Максвелла (относительно преобразований Лоренца)
подтверждается многочисленными опытными данными. Вид уравнений
Максвелла при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не меняется, однако входящие в него величины преобразуются по
определенным правилам.
Итак, уравнения Максвелла являются правильными релятивистскими уравнениями в отличие, например, от уравнений механики Ньютона.
О симметрии уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено опять же тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет магнитных зарядов (насколько известно в наше время). Вместе с тем в нейтральной однородной непроводящей среде, где ρ = 0 и j =
0, уравнения Максвелла приобретают симметричный вид, т.е. Е так связано с ∂B/∂t, как В с ∂E/∂t:
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∇×Ε=−
∂B/∂t,
∇×H=−
∂D/∂t,
∇⋅D=
0,
∇⋅В=
0.
(9.18)
Симметрия уравнений относительно электрического и магнитного
полей не распространяется лишь не знак перед производными ∂B/∂t и
∂D/∂t. Различие в знаках перед этими производными показывает, что
линии вихревого электрического поля, индуцированного изменением
поля В, образуют с вектором ∂B/∂t левовинтовую систему, в то время
как линии магнитного поля, индуцированного изменением D, образуют
с вектором ∂D/∂t правовинтовую систему (рис. 9.3).
∂
∂
B
D
E
H
Рис. 9.3
Об электромагнитных волнах. Из уравнений Максвелла следует
также важный вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно – без электрических зарядов и токов. При этом изменение
его состояния обязательно имеет волновой характер. Поля такого рода
называют электромагнитными волнами. В вакууме они всегда распространяются со скоростью, равной скорости света с.
Выяснилось также, что ток смещения (∂D/∂t) играет в этом явлении
первостепенную роль. Именно его присутствие наряду с величиной
∂В/∂t и означает возможность появления электромагнитных волн. Всякое изменение во времени магнитного поля возбуждает поле электрическое, изменение же электрического поля, в свою очередь, возбуждает
магнитное поле. За счет непрерывности взаимодействия они и должны
сохраняться – электромагнитное возмущение распространяется в пространстве.
Теория Максвелла не только предсказала возможность существования электромагнитных волн, но и позволила установить все их основные свойства, а именно: любая электромагнитная волна независимо от
ее конкретной формы (это может быть гармоническая волна или элек-
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тромагнитное возмущение произвольной формы) характеризуется следующими общими свойствами:
1) ее скорость распространения в нейтральной непроводящей неферромагнитной среде
υ = c / εµ, ,
где
с =1/ ε0 µ0 ;
(9.19)
2) векторы Е, В и v (скорость волны) взаимно перпендикулярны и
образуют правовинтовую систему (рис. 9.4). Такое правовинтовое соотношение является внутренним свойством электромагнитной волны,
не зависящим ни от какой координатной системы;
3) в электромагнитной волне Е и В всегда колеблются в одинаковых фазах (рис. 9.5, где показана мгновенная «фотография» волны),
причем между мгновенными значениями Е и В в любой точке существует определенная связь, а именно Е = υВ, или
εε0 Е = µµ0 Н.
(9.20)
Это значит, что Е и Н (или В) одновременно достигают максимума,
одновременно обращаются в нуль и т.д.
Понимание того, что из дифференциальных уравнений (9.18) вытекала возможность существования электромагнитных волн, позволило
Максвеллу с блестящим успехом развить электромагнитную теорию
света.
v
v
В
B
Рис 9.4
Рис 9.5
9.4. Энергия и поток энергии. Вектор Пойнтинга
Теорема Пойнтинга. Исходя из представления о локализации энергии в самом поле и руководствуясь принципом сохранения энергии, мы
должны заключить, что если в какой-то определенной области энергия
уменьшается, то это может происходить только за счет ее «вытекания»
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
через границы рассматриваемой области (среда предполагается неподвижной).
В этом отношении существует формальная аналогия с законом сохранения заряда. Смысл этого закона в том, что убыль заряда в данном
объеме за единицу времени равна потоку вектора j сквозь поверхность,
охватывающую этот объем.
Так и в случае закона сохранения энергии следует признать, что существует не только плотность энергии ϖ в данной области, но и некоторый вектор S, характеризующий плотность потока энергии.
Если говорить только об энергии электромагнитного поля, то его
полная энергия в данном объеме будет изменяться как за счет вытекания ее из объема, так и за счет того, что поле передает свою энергию
веществу (заряженным частицам), т.е. производит работу над веществом. Макроскопически это уравнение можно записать так:
−
dW ∮
= SdA+ P,
dt
(9.21)
где dA – элемент поверхности.
Это уравнение выражает теорему Пойнтинга: убыль энергии за
единицу времени в данном объеме равна потоку энергии сквозь поверхность, ограниченную этим объемом, плюс работа в единицу времени
(т.е. мощность Р), которую поле производит над зарядами вещества
внутри данного объема.
В уравнении (9.21) W = ∫ϖ dV, ϖ - плотность энергии поля, Р = ∫ jE
dV, j – плотность тока, Е – напряженность электрического поля. Приведенное выражение для Р можно получить так. За время dt поле Е совершит над точечным зарядом q работу δА = qE ⋅ u dt, где u – скорость
заряда. Отсюда мощность силы qE равна Р = quE. Переходя к распределению зарядов, заменим q на ρ dV, ρ - объемная плотность заряда. Тогда
dP = ρuE dV = jE dV. Остается проинтегрировать dP по интересующему
нас объему.
Следует отметить, что мощность Р в (9.21) может быть как положительной, так и отрицательной. Последнее имеет место в тех случаях, когда положительные заряды в веществе движутся против направления
поля Е или отрицательные – в противоположном направлении.
Пойнтинг получил выражение для плотности энергии ϖ и вектора S,
воспользовавшись уравнениями Максвелла (этот вывод мы приводить
не будем). Если среда не содержит сегнетоэлектриков и ферромагнетиков (т.е. нет явлений гистерезиса), то плотность энергии электромагнитного поля
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ϖ = ED+ BH.
2
2 (9.22)
Заметим, что отдельные слагаемые этого выражения мы получили
ранее.
Плотность же потока энергии электромагнитного поля – вектор, называемый вектором Пойнтинга, определяется как
(9.23)
S = [EH].
Строго говоря, для обеих величин, ϖ и S, из уравнений Максвелла
нельзя получить однозначных выражений; приведенные выражения являются простейшими из бесконечного числа возможных. Мы должны
поэтому рассматривать эти выражения как постулаты, справедливость
которых должна быть подтверждена согласием выводимых из них следствий с опытом.
9.5. Импульс электромагнитного поля
Давление электромагнитной волны. Максвелл теоретически показал, что электромагнитные волны, отражаясь или поглощаясь в телах, на
которые они попадают, оказывают на них давление. Это давление возникает в результате воздействия магнитного поля волны на электрические токи, возбуждаемые электрическим полем той же волны.
Пусть электромагнитная волна распространяется в однородной среде, обладающей поглощением. Наличие поглощения означает, что в
среде будет выделяться джоулева теплота с объемной плотностью σЕ², а
поэтому σ ≠ 0, т.е. поглощающая среда обладает проводимостью.
Электрическое поле волны в такой среде возбуждает электрический
ток с плотностью j = σЕ. Вследствие этого на единицу объема среды
действует амперова сила Fед = [jB] = σ[EB], направленная в сторону
распространения волны (рис. 9.6). Эта сила и вызывает давление электромагнитной волны.
При отсутствии поглощения проводимость σ = 0 и Fед = 0, т.е. в
этом случае электромагнитная волна не оказывает никакого давления на
среду.
Е
р₀
j
р₀’
Fед∾[EB]
В
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис 9.6
Рис 9.7
Импульс электромагнитного поля. Поскольку электромагнитная
волна оказывает давление на вещество, последнее приобретает определенный импульс. Но в замкнутой системе, состоящей из вещества и
электромагнитной волны, возникло бы нарушение закона сохранения
импульса, если бы импульсом обладало только вещество.
Импульс такой системы может сохраняться лишь при условии, что
электромагнитное поле (волна) также обладает импульсом: вещество
приобретает импульс за счет импульса, передаваемого ему электромагнитным полем.
Введем понятие плотности импульса G электромагнитного поля как
величину, численно равную импульсу поля в единице объема. Расчет,
который мы не будем здесь приводить, показывает, что плотность импульса
(9.24)
G = S/c²,
где S = [EH] – вектор Пойнтинга. Как и вектор S, плотность импульса G является, вообще говоря, функцией времени и координат.
Для электромагнитной волны в вакууме согласно (9.20)
ε 0 E = µ 0 H, поэтому плотность энергии ϖ и модуль S вектора Пойн-
тинга равны. Отсюда следует, что
S = ϖ / ε 0µ 0 .
А так как
ε 0 µ 0 = 1 / с, с – скорость света в вакууме, то S = ϖс, и из формулы
(9.24) вытекает, что для электромагнитной волны в вакууме
(9.25)
G = ϖ/c.
Такая же связь между энергией и импульсом присуща (как показывается в теории относительности) частице с нулевой массой покоя. Это
и естественно, постольку согласно квантовым представлениям электромагнитная волна эквивалентна потоку фотонов – частиц с нулевой массой покоя.
Еще о давлении электромагнитных волн. Вычислим с помощью
формулы (9.25) давление электромагнитной волны на тело, когда волна
падает нормально на его поверхность и частично отражается в противоположном направлении. Согласно закону сохранения импульса р₀ = р₀′
+ р, где р₀, р₀′ – импульс падающей и отраженной волн, р – импульс,
переданный телу (рис .9.7). Спроектировав это равенство на направление падающей волны и отнеся все величины к единице площади поперечного сечения, получим
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
р = р₀′ + р₀ = <G′>c + <G>c,
где <G′> и <G> - среднее значение плотности импульса в отраженной и падающей волнах. Остается учесть связь (9.25) между <G> и <ϖ>
и тот факт, что <ϖ′> = ρ<ϖ>, где ρ - коэффициент отражения. В результате предыдущее выражение примет вид
(9.26)
р = (1 + ρ) <ϖ>.
Здесь величина р по своему смыслу есть не что иное, как давление
электромагнитной волны на тело. При полном отражении ρ = 1 и давление р = 2 <ϖ>, при полном поглощении ρ = 0 и р = <ϖ>.
Остается добавить, что давление электромагнитного излучения
обычно бывает очень малым (исключение составляет давление мощных
пучков лазерного излучения, особенно после фокусировки пучка, а также давления внутри горячих звезд). Например, давление солнечного излучения на Земле составляет несколько единиц на 10⁻⁶ Па, что в 10¹⁰
раз меньше атмосферного давления. Несмотря на ничтожные значения
этих величин, экспериментальное доказательство существования электромагнитных волн – светового давления – было получено П.Н. Лебедевым. Результаты этих опытов оказались в согласии с электромагнитной
теорией света.
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
10.1. Уравнения колебательного контура
Условие квазистационарности. Когда происходят электрические
колебания, ток в цепи изменяется во времени и, вообще говоря, в каждый момент ток оказывается неодинаковым на разных участках цепи
(из-за того, что электромагнитные возмущения распространяются хотя и
с очень большой, но конечной скоростью). Однако имеется много случаев, когда мгновенные значения тока оказываются практически одинаковыми на всех участках цепи (такой ток называют квазистационарным). Для этого все изменения во времени должны происходить настолько медленно, чтобы распространение электромагнитных
возмущений можно было считать мгновенным. Если l – длина цепи, то
на прохождение длины l электромагнитное возмущение затрачивает
время порядка τ = l/с. Для периодически изменяющихся токов условие
квазистационарности будет выполнено, если
τ = l/с≪Т,
где Т – период изменений.
В этой главе мы всюду будем предполагать, что в рассматриваемых
нами случаях условие квазистационарности выполняется, и токи будем
считать квазистационарными. Это позволит нам использовать формулы, полученные в статических полях. В частности, мы будем использовать тот факт, что мгновенные значения квазистационарных токов подчиняются закону Ома.
Колебательный контур. В цепи, содержащей катушки индуктивности L и конденсатор емкости С, могут возникнуть электрические колебания. Поэтому такую цепь называют колебательным контуром. Выясним, каким образом в колебательном контуре возникают и поддерживаются электрические колебания.
Пусть вначале верхняя обкладка конденсатора заряжена положительно, а нижняя - отрицательно (рис. 10.1, а). При этом вся энергия колебательного контура сосредоточена в конденсаторе. Замкнем ключ К.
Конденсатор начнет разряжаться, и через катушку L потечет ток. Электрическая энергия конденсатора начнет превращаться в магнитную
энергию катушки. Этот процесс закончится, когда конденсатор полностью разрядится, а ток в цепи достигнет максимума (рис. 10.1, б). С этого момента ток, не меняя направления, начнет убывать. Однако он прекратится не сразу: его будет поддерживать э.д.с. самоиндукции. Ток будет перезаряжать конденсатор, возникнет электрическое поле,
стремящееся ослабить ток. Наконец ток прекратится, а заряд на конденсаторе достигнет максимума. С этого момента конденсатор начнет раз143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ряжаться опять, ток потечет в обратном направлении и т.д. – процесс
будет повторяться.
В контуре при отсутствии сопротивления проводников будут совершаться строго периодические колебания. В ходе процесса периодически изменяется заряд на обкладках конденсатора, напряжение на нем
и ток через катушку. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергии электрического и магнитного полей.
Если же сопротивление проводников R ≠ 0, то помимо описанного
процесса будет происходить преобразование электромагнитной энергии
в джоулеву теплоту.
К
К
С
− − −
L
R
С
C1L
L
q2
−
а)
б)
Рис. 10.1
ℰ
Рис. 10.2
Сопротивление проводников цепи R принято называть активным
сопротивлением.
Уравнение колебательного контура. Найдем уравнение колебаний в
контуре, содержащем последовательно соединенный контур С, катушку
индуктивности L, активное сопротивление R и внешнюю переменную
э.д.с. ℰ (рис. 10.2).
Прежде всего выберем положительное направление обхода контура,
например по часовой стрелке. Обозначим через q заряд той обкладки
конденсатора, направление от которой к другой обкладке совпадает с
выбранным положительным направлением обхода контура. Тогда ток в
контуре определяется так
(10.1)
I = dq/dt.
Следовательно, если I > 0, то и dq > 0, и наоборот (знак I совпадает
со знаком dq).
Согласно закону Ома для участка цепи 1RL2
RI = ϕ₁ - ϕ₂ + ℰs + ℰ,
где ℰs – э.д.с. самоиндукции. В нашем случае
ℰs = - L dI/dt и ϕ₂ - ϕ₁ = q/C
144
(10.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(знак q должен совпадать со знаком разности ϕ₂ - ϕ₁, ибо С > 0).
Поэтому уравнение (10.2) можно переписать в виде
L
или с учетом (10.1) как
L
dI
q
+ RI + = ℰ (10.3)
dt
C
d 2q
dq I
+R
+ q = ℰ. (10.4)
2
dt
dt C
Это и есть уравнение колебательного контура – линейное дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами. Найдя с помощью этого уравнения q(t), мы можем
легко вычислить напряжение на конденсаторе как Uc = ϕ₂ - ϕ₁ = q/C и
силу тока I по формуле (10.1).
Уравнению колебательного контура можно придать иной вид:
2
q + 2βq
 + ω0 q = ℰ / L, (10.5)
где введены обозначения
2β = R
/L,
ω₀² = 1 /
LC.
(10.6)
Величину ω₀ называют собственной частотой контура, β - коэффициентом затухания. Смысл этих названий мы выясним ниже.
Если ℰ = 0, то колебания принято называть свободными. При R = 0
они будут незатухающими, при R ≠ 0 – затухающими. Рассмотрим последовательно все эти случаи.
10.2. Свободные электрические колебания
Свободные незатухающие колебания. Если в контуре нет внешней
э.д.с. ℰ и активное сопротивление R = 0, то колебания в таком контуре
являются свободными незатухающими. Их уравнение – частный случай
уравнения (10.5), когда ℰ = 0 и R = 0;
2
q + ω0 q = 0. (10.7)
Решением этого уравнения является функция
q = qmcos (ω₀t + α),
145
(10.8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где qm – амплитудное значение заряда на обкладках конденсатора;
ω₀ − собственная частота контура; α - начальная фаза. Значение ω₀ определяется только свойствами самого контура, значение qm и α − начальными условиями. В качестве таковых можно взять, например, значения заряда q и тока I = q в момент t = 0.
Согласно (10.6) ω 0 = 1 / LC, поэтому период свободных незатухающих колебаний
T0 = 2π LC
(10.9)
(формула Томсона).
Найдя ток I (дифференцированием (10.8) по времени) и имея в виду,
что напряжение на конденсаторе находится в фазе с зарядом q, нетрудно
убедиться, что при свободных незатухающих колебаниях ток I опережает по фазе напряжение на конденсаторе на π/2.
При решении некоторых вопросов можно использовать и энергетический подход.
Свободные затухающие колебания. Каждый реальный контур обладает активным сопротивлением, и энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание. Свободные колебания будут затухающими.
Уравнение данного колебательного контура мы получим, положив в
(10.5) ℰ = 0. Тогда
2
q + 2πq + ω0 q = 0.
(10.10)
Можно показать (но мы не будем этого делать, поскольку нас интересует другая сторона вопроса), что при β² < ω₀² решение этого дифференциального уравнения имеет вид
где
q = qme-βtcos(ωt + α),
(10.11)
2
ω= ω
2
0
− β2 =
1  R  ,
−
LC  2L 
(10.12)
qm и α − произвольные постоянные, определяемые из начальных
условий.
146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Величину Т = 2π/ω называют тем не менее периодом затухающих
колебаний:
T=
2π
ω −β
2
0
2
=
T0
1− (β / ω0 )
,
2
(10.13)
где Т₀ – период свободных незатухающих колебаний.
Множитель qme-βt в (10.11) называют амплитудой затухающих колебаний. Зависимость ее от времени показана штриховой линией на рис.
10.3.
q
q
e-βt
t
Рис. 10.3
Напряжение на конденсаторе и ток в контуре. Зная q(t), можно
найти напряжение на конденсаторе и ток в контуре.
Напряжение на конденсаторе:
UC =
q q m −β t (
e cos ωt + α)..
=
C C
Ток в контуре
I=
(10.14)
−βt
dq
qm e [−β cos(ωt + α)− ωsin(ωt + α)]..
dt
Преобразуем выражение в квадратных скобках к косинусу. Для этого умножим и разделим это выражение на
ω 2 − β 2 = ω 0 , а затем вве-
дем угол δ по формулам
− β / ω₀ =
cos δ,
После этого выражение для I примет вид
ω / ω₀ =
sin δ.
I = ω qme-βt cos (ωt + α + δ).
147
(10.15)
(10.16)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из (10.15) следует, что угол δ лежит во второй четверти (π/2 < δ <
π). Это означает, что при наличии активного сопротивления R ток в
конденсаторе опережает по фазе напряжение (10.14) на конденсаторе
более чем на π/2. Заметим, что при R = 0 опережение δ = π/2. Графики
зависимостей Uc(t) и I (t) имеют вид, аналогичный показанному на рис.
10.3 для q (t).
Величины, характеризующие затухание.
1. Коэффициент затухания β и время релаксации τ - время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в е раз. Из формулы (10.11) нетрудно видеть, что
(10.17)
τ = 1/β.
2. Логарифмический декремент затухания λ. Он определяется как
натуральный логарифм отношения двух значений амплитуд, взятых через период колебаний Т:
λ = ln
a(t)
= βT,
a(t + T)
где а – амплитуда соответствующей величины (q, U. I).
Иначе:
(10.18)
λ = 1 / Nе,
(10.19)
где Nе – число колебаний за время τ, т.е. за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Это легко получить из
формул (10.17) и (10.18).
Если затухание мало (β²≪ω₀²), то ω ≈ ω 0 = 1 / LC и согласно
(10.18)
λ ≈ β⋅ 2π / ω0 = πR C / L. (10.20)
3. Добротность Q колебательного контура. По определению
Q = π/λ = π Nе,
(10.21)
где λ - логарифмический декремент затухания.
Чем меньше затухание, тем больше Q. При слабом затухании (β² ≪
ω₀²) согласно (10.20) добротность
Q≈
1 L.
R C (10.22)
И еще одна полезная формула для Q в случае слабого затухания
148
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Q ≈ 2π
W,
δW (10.23)
где W – энергия, запасенная в контуре, δW – уменьшение этой энергии за период колебания Т. В самом деле, энергия W пропорциональна
квадрату амплитуды заряда конденсатора, т.е. W ∾ e-2βt. Отсюда относительное уменьшение энергии за период δW/W = 2βТ = 2λ. Остается
учесть согласно (10.21), что λ = π/Q.
В заключение отметим, что при β²≥ω₀² вместо колебаний будет
происходить апериодический разряд конденсатора. Активное сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называют критическим:
=
2
кр
L / C.
(10.24)
10.3. Вынужденные электрические колебания
Установившиеся колебания. Вернемся к уравнению колебательного
контура (10.3) и (10.4) и рассмотрим случай, когда в контур включена
внешняя переменная э.д.с. ℰ, зависящая от времени по гармоническому
закону:
ℰ = ℰm cos ωt.
(10.25)
Этот закон занимает особое положение благодаря свойствам самого
колебательного контура сохранять гармонический вид колебаний при
действии внешней гармонической э.д.с.
В данном случае уравнение колебательного контура записывается
как
L
или
dI
q
+ RI + = ℰm cos ωt, (10.26)
dt
C
q + 2 βq + ω02 q = (ℰ / L) cos ωt. (10.27)
Решение этого уравнения, как известно из математики, представляет
собой сумму общего решения однородного уравнения (без правой части) и частного решения неоднородного уравнения. Нас будут интересовать только установившиеся колебания, т.е. частное решение этого
уравнения (общее решение неоднородного уравнения экспоненциально
затухает, и по прошествии некоторого времени оно практически исчезает, обращается в нуль). Нетрудно убедиться, что это решение имеет вид
q = qm cos (ωt − ψ),
(10.28)
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где qm – амплитуда заряда на конденсаторе; ψ - разность фаз между
колебаниями заряда и внешней э.д.с. ℰ (10.25). Как мы увидим, qm и ψ
определяются только свойствами самого контура и вынуждающей э.д.с.
ℰ, причем оказывается, что ψ > 0, поэтому q всегда отстает по фазе от ℰ.
Чтобы определить постоянные qm и ψ, надо подставить (10.28) в исходное уравнение (10.27) и преобразовать полученное выражение. Мы
же поступим несколько иначе (в целях достижения большей простоты):
сначала найдем ток I и затем его выражение подставим в исходное
уравнение (10.26). Попутно будет решен и вопрос с постоянными qm и
ψ.
Продифференцировав (10.28) по t, найдем
I = − ω qm sin (ωt − ψ) = ω qm cos (ωt − ψ + π/2).
Запишем это выражение так:
I = Im cos (ωt − ϕ),
(10.29)
где Im – амплитуда тока; ϕ - сдвиг по фазе между током и внешней
э.д.с. ℰ,
Im = ω
qm,
ϕ=ψ−
π/2.
(10.30)
Наша задача найти Im и ϕ. С этой целью мы поступим следующим
образом. Представим исходное уравнение (10.26) в виде
UL + UR + UC = ℰm cos ωt,
(10.31)
где слева записана сумма напряжений на индуктивности L, сопротивлении R и емкости C. Таким образом, мы видим, что сумма этих напряжений равна в каждый момент внешней э.д.с. ℰ. Учитывая соотношения (10.30), запишем:
UR = RI = R Im cos (ωt − ϕ),
UC = q/C = qm/C cos (ωt − ψ) = Im/ωC cos (ωt − ϕ −
π/2),
UL = L dI/dt =−ωLImsin (ωt − ϕ) = ωLImcos (ωt−
ϕ+π/2).
Векторная диаграмма. Из последних трех формул видно, что UR
находится в фазе с током I, UC отстает по фазе от I на π/2, а UL опережает I на π/2. Все это можно наглядно представить с помощью векторной диаграммы, изобразив амплитуды напряжений
150
(1
0.32)
(1
0.33)
(1
0.34)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
URm = R
Im,
UCm =
Im/ωC,
ULm =
ωLIm
и их векторную сумму, равную согласно (10.31) вектору величины
ℰm (рис. 10.4).
Из прямоугольного треугольника этой диаграммы легко получить
следующие выражения для Im и ϕ:
Im =
tg ϕ =
ℰm
(10.35)
√R² + (ωL – 1/ωC)²
ωL – 1/ωC
R
.
(10.36)
Задача, таким образом, решена. Заметим в заключение, что полученная нами векторная диаграмма оказывается весьма полезной при
решении многих конкретных вопросов. Она позволяет наглядно, легко и
быстро анализировать различные ситуации.
Резонанс. Явление резонанса в нашем случае – это возбуждение
сильных колебаний при частоте внешней э.д.с. или напряжения, равной
или близкой к собственной частоте колебательного контура. Резонанс
используется для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. На этом основана вся техника радиоприема. Для того чтобы
радиоприемник принимал интересующую нас радиостанцию, его необходимо настроить, т.е. изменением C и L колебательного контура добиться совпадения его собственной частоты с частотой электромагнитных волн, излучаемых радиостанцией.
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ω
Im
LIm
m
ℰ
ϕ
(ωL – 1/ωC)
ψ RIm Ось тока
Im
0 ω₀ ω
Рис. 10.4
Рис. 10.5
С явлением резонанса связана и опасность: внешняя э.д.с. или напряжения могут быть малы, однако при этом напряжения на отдельных
элементах контура (на емкости или индуктивности) могут достигать
опасного для жизни значения. Об этом необходимо всегда помнить!
10.4. Переменный ток
Полное сопротивление (импеданс). Установившиеся вынужденные
колебания можно рассматривать как протекание в цепи, обладающей
емкостью, индуктивностью и активным сопротивлением R, переменного
тока.
Под действием внешнего напряжения (оно играет роль внешней
э.д.с. ℰ)
U = Um cos ωt
(10.37)
ток в цепи изменяется по закону
где
I = Im cos (ωt − ϕ),
Im =
Um
2
R + (ωL −1/ ωC)
(10.38)
,
2
(10.39)
ωL − 1/ ωC .
tgϕ =
(10.40)
R
Задача сводится к определению амплитуды силы тока и сдвига тока
по фазе относительно U.
152
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полученное выражение для амплитуды силы тока Im(ω) можно
формально толковать как закон Ома для амплитудных значений тока и
напряжения. Стоящую в знаменателе этого выражения величину,
имеющую размерность сопротивления, обозначают буквой Z и называют полным сопротивлением, или импедансом:
2
2
Z = R + (ωL −1/ ωC) . (10.41)
Видно, что при ω = ω 0 = 1 / LC это сопротивление минимально и
равно активному сопротивлению R. Величину, стоящую в круглых
скобках формулы (10.41), обозначают Х и называют реактивным сопротивлением:
(10.42)
Х = ωL – 1/ωC.
При этом величину ωL называют индуктивным сопротивлением, а
величину 1/ωC – емкостным сопротивлением. Их обозначают соответственно ХL и ХC. Итак,
2
2
X = ωL, XC = 1/ ωC, X XL − XC , Z = R + X . (10.43)
Заметим, что индуктивное сопротивление растет с увеличением частоты ω, а емкостное – уменьшается.
Когда говорят, что в цепи отсутствует емкость, то это надо понимать
в смысле отсутствия емкостного сопротивления, которое равно 1/ωС и,
следовательно, обращается в нуль, если С →∞ (при замене конденсатора закороченным участком).
И последнее. Хотя реактивное сопротивление измеряют в тех же
единицах, что и активное, между ними существует принципиальное
различие.
Оно заключается в том, что только активное сопротивление определяют необратимые процессы в цепи, такие, например, как преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту.
Мощность, выделяемая в цепи переменного тока. Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений напряжения и тока:
Р(t) = UmIm cos ωt cos (ωt − ϕ).
(10.44)
Воспользовавшись формулой cos (ωt − ϕ) = cos ωt cos ϕ + sin ωt cos
ωt sin ϕ, преобразуем (10.44) к виду
Р(t) = UmIm (cos² ωt cos ϕ + sin ωt cos ωt sin
ϕ).
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Практический интерес имеет среднее за период колебания значение
мощности. Учитывая, что < cos² ωt > = ½ и < sin ωt cos ωt > = 0, получим:
Um I m
P=
cos .
2
(10.45)
Это выражение можно привести к иному виду, если принять во
внимание, что из векторной диаграммы (рис. 10.4) следует U cos ϕ =
RIm. Поэтому
2
P = 12 RI .
(10.46)
ны
Такую же мощность развивает постоянный ток I = I m / 2 . Величи-
I = Im / 2
U = Um / 2 (10.47)
называют действующими (или эффективными) значениями тока и
напряжения. Все амперметры и вольтметры градуированы по действующим значениям тока и напряжения.
Выражение средней мощности (10.45) через действующие значения
напряжения и тока имеет вид
(10.48)
<P> = UI cos ϕ,
где множитель cos ϕ принято называть коэффициентом мощности.
Таким образом, выделяемая в цепи мощность зависит не только от напряжения и силы тока, но еще и от сдвига фаз между током и напряжением.
При ϕ = π/2 значение <P> = 0, каковы бы ни были величины U и I. В
этом случае энергия, передаваемая за четверть периода от генератора во
внешнюю цепь, в точности равна энергии, передаваемой из внешней
цепи в генератор в течение следующей четверти периода, и вся энергия
бесполезно «колеблется» между генератором и внешней цепью.
Зависимость мощности от cos ϕ необходимо учитывать при проектировании линий электропередачи на переменном токе. В этих случаях
для передачи потребителю нужной мощности (при данном напряжении
генератора) необходимо увеличить ток I, а это приводит к возрастанию
бесполезных потерь энергии в проводящих проводах. Поэтому всегда
нужно стремиться распределять нагрузки индуктивности и емкости так,
чтобы cos ϕ был по возможности близок к единице. Для этого достаточно сделать реактивное сопротивление Х как можно меньше, т.е. обеспечить равенство индуктивного и емкостного сопротивлений (ХL = ХC).
154
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В заключение заметим, что понятие активного сопротивления шире,
чем понятие электрического сопротивления проводников, образующих
цепь. Последнее обусловливает переход энергии тока только в джоулеву
теплоту, но возможны и другие превращения этой энергии, например в
механическую работу (электромоторы). Активное сопротивление тогда
уже не сводится к электрическому сопротивлению, а обычно значительно превышает его.
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
11.1. Электрическое поле в вакууме
Задача 1. Очень тонкий диск равномерно заряжен с поверхностной
плотностью σ >о. Найти напряженность Е электрического поля на
оси этого диска в точке, из которой диск виден под телесным углом Ω.
Из соображений симметрии ясно, что вектор Е на оси диска должен
совпадать с направлением этой оси (рис. 11.1). Поэтому достаточно
найти составляющую dEz в точке А от элемента заряда на площади dS и
затем проинтегрировать полученное выражение по всей поверхности
диска. Нетрудно сообразить (рис. 11.1), что
dEz =
1 σ dS
cosϑ.
4πε0 r2
(11.1)
E
dEz ϑ dE
d
Ω
d
0
Рис. 11.1
В данном случае dS cos ϑ / r 2 = dΩ − телесный угол, под которым
площадка dS видна из точки А, и выражение (11.1) можно переписать
так:
dE=
1 Ω.
σ
4πε0
Отсюда искомая величина
156
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
E=
1
σ Ω.
4πε0
Заметим, что на больших расстояниях от диска Ω = S / r 2 , где S –
площадь диска, и E = q / 4πε 0 r 2 как поле точечного заряда q = σS. В
непосредственной же близости от точки О телесный угол
Ω = 2π и E = σ / 2ε 0 .
Задача 2. Тонкое непроводящее кольцо радиусом R заряжено с линейной плотностью λ = λ 0 cos ϕ, где λ0 – положительная постоянная,
ϕ - азимутальный угол. Найти напряженность Е электрического поля в
центре кольца.
Заданное распределение заряда показано на рис. 11.2. Из симметрии
этого распределения ясно, что вектор Е в точке О направлен вправо и
модуль этого вектора равен сумме проекций на направление Е вектора
dE – от элементарных зарядов dq. Проекция вектора dE на вектор Е есть
dEcosϕ =
1 dq
cosϕ,
4πε0 R2
(11.2)
где dq = λR dϕ = λ 0 R cos ϕ dϕ. Проинтегрировав (11.2) по ϕ от 0 до
2π, найдем модуль вектора Е:
2π
Е=
λ0
λ0 .
2
cos ϕdϕ =
4πε0 R ∫0
4ε0 R
+−
dq+ −
+−
+− ϕ
+−
+−
+−
R
0
E
dE
Рис. 11.2
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заметим, что этот интеграл проще всего вычислить, зная, что
2π
cos 2 ϕ = 1 . Тогда
2
∫ cos
2
ϕ dϕ = cos 2 ϕ 2π = π.
0
11.2. Проводник в электрическом поле
Задача 1. Точечный заряд q находится на расстоянии r от центра
О незаряженного сферического проводящего слоя, внутренний и наружный радиусы которого равны соответственно а и b. Найти потенциал в точке О, если r<a.
В результате электростатической индукции на внутренней поверхности слоя выступят, допустим, отрицательные заряды, а на наружной –
положительные (рис. 11.3). Согласно принципу суперпозиции искомый
потенциал в точке О можно представить как
1  q σ− dS σ+ dS,
ϕ=
+
 +

4πε0  r
a
b 
∫
∫
где первый интеграл берется по всем индуцированным зарядам на
внутренней поверхности слоя, а второй интеграл – по всем зарядам на
внешней поверхности слоя. Из этого выражения следует:
q  1 1 1 .
ϕ=
− +
4πε0  r a b 
+
+−+
+−+
+−+
+−+
+−+
+−+
+
+
++
++
−
rq
0
ba
Рис. 11.3
158
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заметим, что так просто потенциал в плоскости можно найти только
в точке О, поскольку от этой точки все индуцированные заряды одного
знака находятся на одинаковом расстоянии и их распределение (нам неизвестное) не играет роли.
Задача 2. Система состоит из двух концентрических проводящих
сфер, причем на внутренней сфере радиусом R₁ находится заряд q₁. Какой заряд q₂ следует поместить на внешнюю сферу радиусом R₂
,чтобы потенциал внутренней сферы стал равен нулю? Как будет зависеть при этом потенциал ϕ от расстояния r до центра системы?
Изобразить примерный график этой зависимости, если q₁<0.
Запишем выражение для потенциала вне системы (ϕ₁₁) и в области
между сферами (ϕ₁):
ϕ11 =
1 q1 + q2 ,
4πε0
r
ϕ1 =
1 q1
+ ϕ0 ,
4πε0 r
где ϕ₀ − некоторая постоянная. Ее значение легко найти из граничного условия: при r=R₂ потенциал ϕ₁₁=ϕ₁. Отсюда
ϕ0 = q2 / 4πε0 R 2 .
ϕ
ϕI ϕII
0 R₁ R₂ r
Рис. 11.4
Из условия ϕ₁ (R₁)=0 находим q₂= −q₁R₂/R₁. Зависимость ϕ(r) будет
иметь вид (рис. 11.4):
159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ϕ11 =
1 1− R 2 / R1 ,
4πε0
r
ϕ1 =
q1
4πε0
1 1 
 −
.
 r R1 
11.3. Электрическое поле в диэлектрике
Задача 1. Точечный сторонний заряд q находится в центре сферического слоя неоднородного изотропного диэлектрика, проницаемость
которого изменяется только в радиальном направлении по закону
ε = α / r , где α − постоянная, r – расстояние от центра системы.
Найти объемную плотность ρ′ связанных зарядов как функцию r внутри слоя.
Воспользуемся уравнением (3.6), взяв в качестве замкнутой поверхности сферу радиусом r, центр которой совпадает с центром системы.
Тогда
2
4πr ⋅ Pr = −q' (r),
где q′(r) – связанный заряд внутри этой сферы. Запишем дифференциал этого выражения:
4π d r( P)= −dq'.
2
r
(11.3)
Здесь dq′ – связанный заряд в тонком слое между сферами радиусов
r и r+dr. Имея в виду, что dq ' = ρ'4πr 2 dr, преобразуем (11.3) к виду
r dPr + 2rPr dr = −ρ' r
2
2
dr,
откуда
 dPr
2 
+ Pr .
 dr r 
ρ' = −
(11.4)
В нашем случае
Pr = χε0 Er =
ε −1
ε −1 q ,
Dr =
ε
ε 4πr2
и выражение (11.4) после соответствующих преобразований будет
иметь вид
160
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ρ' =
1 q.
4πα r2
Это и есть искомый результат.
Задача 2. Сферический конденсатор с радиусами обкладок а и b,
где а<b, заполнен изотропным, но не однородным диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния r до центра системы как
ε = α / r, где α - постоянная. Найти емкость такого конденсатора.
Согласно определению емкости конденсатора (С=q/U) задача сводится к нахождению разности потенциалов U при заданном заряде q:
b
U = ∫ E dr,
a
(11.5)
где предполагается, что внутренняя обкладка имеет заряд q>0. Определим Е с помощью теоремы Гаусса для вектора D:
4πr D = q,
2
E=
D
1
.
=
=
εε0 4πε0 εr2 4πε0 αr
После подстановки последнего выражения в (11.5) и соответствующего интегрирования найдем:
4πε0 α
q
b
.
U=
ln ,
C=
4πε0 α
a
ln(b/a)
11.4. Энергия электрического поля
Задача 1. Два небольших металлических шарика радиусами R₁ и R₂
находятся в вакууме на расстоянии, значительно превышающем их
размеры, и имеют некоторый определенный суммарный заряд. При каком отношении q₁/q₂ зарядов на шариках электрическая энергия системы будет минимальной? Какова при этом разность потенциалов
между шариками?
Электрическая энергия данной системы
2
2
q2 q1q2 ,
1  q1
W = W1 + W2 + W3 =
+
+
4πε0  2R1 2R 2
l 
161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где W₁ и W₂ − собственные электрические энергии шариков (qϕ/2);
W₁₂ − энергия их взаимодействия (q₁ϕ₂ или q₂ϕ₁); l – расстояние между
шариками. Так как q₂=q−q₁, где q – суммарный заряд системы, то
W=
1
4πε0
 q12

 2R1
+
(q − q1 )2 q1 (q − q1 )
.
+
2R 2
l

Энергия W будет минимальной при ∂W / ∂q 1 = 0. Отсюда
q1 ≈ q
R1
R1 + R 2
и
q2 ≈ q
R2 ,
R1 + R 2
где учтено, что R₁ и R₂ значительно меньше l и
q1 / q2 = R1 / R 2 .
Потенциал каждого шарика (их можно рассматривать как изолированные) ϕ~q/R, поэтому из предыдущего равенства следует, что ϕ₁=ϕ₂,
т.е. разность потенциалов при таком распределении равна нулю.
Задача 2. Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладке которого равна S. Какую работу А’ против электрических
сил надо совершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками
от х₁ до х₂, если при этом поддерживать неизменным: 1) заряд конденсатора, равный q; 2) напряжение на конденсаторе, равное U? Чему
равно приращение электрической энергии конденсатора в обоих случаях?
1. Искомая работа
A' = qE1 (x 2 − x1 )=
2
q (
x 2 − x1 ).,
2ε0 S
где Е₁ − напряженность поля, создаваемого одной обкладкой
(Е = σ / 2ε 0 ). Именно в этом поле перемещается заряд, находящийся на
другой обкладке. Данная работа целиком идет на приращение электрической энергии: ∆W=A′.
2. В этом случае сила, действующая на каждую обкладку конденсатора, будет зависеть от расстояния между ними. Запишем элементарную
работу силы, действующую на обкладку при ее перемещении на dx относительно другой обкладки:
162
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
δA' qE1 dx =
ε0 SU dx ,
2 x2
2
где учтено, что q=CU,E₁=U/2x и C=ε₀S/x. После интегрирования получим
2
ε0 SU  1 1  .
A' =
−  >0
2  x1
2 
Приращение электрической энергии конденсатора
∆W =
(C2 − C1 )U2 ε0 SU2 
=
2

 x2
2
−
1  .
0
x1 
Заметим, что ∆W= −A’.
Таким образом, раздвигая обкладки, мы совершим положительную
работу (против электрических сил), энергия же конденсатора при этом
уменьшится. Чтобы понять, в чем тут дело, надо обратиться к источнику, поддерживающему неизменной разность потенциалов на конденсаторе. Этот источник тоже совершает работу Аист, причем согласно закону сохранения энергии Аист+A′=∆W, откуда видно, что Аист=∆W−A′=−
2A′<0.
Задача 3. Конденсатор состоит из двух неподвижных пластин,
имеющих форму полукруга радиусом R, и расположенной между ними
подвижной пластины из диэлектрика с проницаемостью ε. Пластина
может спокойно поворачиваться вокруг оси О (рис. 11.5), ее толщина
h, что практически равно расстоянию между неподвижными пластинами. Между пластинами конденсатора поддерживается постоянное
напряжение U. Найти момент сил М относительно оси О, действующий на подвижную пластину в положении, показанном на рисунке.
Работа, которую совершает момент сил М при повороте пластины
на элементарный угол dα, равна убыли электрической энергии системы
при q=const [см. (4.16)]:
Mz dα = −dW q ,
где W = q 2 / 2C. Поэтому
Mz = −
q ∂C / ∂α . (11.6)
∂W
=
∂α q 2 C2
163
2
α
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 11.5
В данном случае C = C1 + C ε , где C1 и C ε − емкость частей
конденсатора без диэлектрика и с диэлектриком. Площадь сектора с углом α определяется как S = ε 0 αR 2 / 2, поэтому
C = ε0 αR
2
2h + εε0 (π − α)R / 2h.
2
2
∂C ε 0 R
(1 − ε ). Подставим это выражение в формулу
=
∂α
2h
(11.6) и учтем, что C=q/U, тогда
Отсюда
Mz =
2
U ε 0 R ( ) ( ) ε0 R U
< 0.
1− ε = − ε −1
2 2h
4h
2
2
2
Отрицательное значение Mz показывает, что момент этих сил действует по часовой стрелке (против положительного направления отсчета
угла α; см. рис. 11.5).Этот момент стремится втянуть диэлектрик внутрь
конденсатора.
Заметим, что Mz не зависит от угла α. Однако в положении равновесия, когда α=0, момент Mz=0. Это расхождение связано с тем, что при
малых углах α нельзя пренебрегать угловыми коэффициентами, как мы
делали при решении этой задачи.
11.5. Постоянный электрический ток
Задача 1. Два металлических шарика одинакового радиуса а находятся в однородной слабо проводящей среде с удельным сопротивлением ρ. Найти сопротивление среды между шариками при условии, что
расстояние между шариками значительно больше их размеров.
Мысленно зарядим шарики +q и −q. Поскольку шарики находятся
далеко друг от друга, электрическое поле вблизи поверхности каждого
из них определяется практически только зарядом прилегающего шарика, причем этот заряд можно считать распределенным равномерно по
поверхности. Окружив шарик с положительным зарядом концентриче164
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ской сферой, непосредственно прилегающей к его поверхности, запишем выражение для тока, протекающего через эту сферу:
2
I = 4πa j,
где j − плотность тока. Воспользовавшись законом Ома (j=E/ρ) и
формулой E = q / 4πε 0 a 2 , получим
I = q / ε0 .
Теперь найдем разность потенциалов между шариками:
U = ϕ+ − ϕ− ≈ 2q / 4π .
Искомое сопротивление
R = U / I = ρ / 2π a.
Этот результат справедлив независимо от значения диэлектрической проницаемости среды.
Задача 2. Длинный проводник круглого сечения площадью S сделан
из материала, удельное сопротивление которого зависит только от
расстояния r до оси проводника как ρ = α / r 2 , где α − постоянная. По
проводнику течет ток I. Найти: 1) напряженность Е поля в проводнике; 2) сопротивление единицы длины проводника.
1. Напряженность Е поля по закону Ома связана с плотностью тока j,
a j − c током I, поэтому можно записать
I=
∫ j 2πr dr = ∫ (E / ρ) 2πr dr.
Напряженность Е одинакова во всех точках сечения данного проводника, т.е. не зависит от r. В этом легко убедиться, взяв прямоугольный контур внутри проводника так, чтобы одна сторона контура совпадала, например, с осью проводника, и затем применив к этому контуру
теорему о циркуляции вектора Е.
Таким образом, Е можно вынести из-под интеграла и мы получим в
результате интегрирования
2
E = 2παI / S .
2. Сопротивление единицы длины проводника можно определить с
помощью формулы R=U/I. Поделив обе части этого равенства на длину l
участка проводника, к которому относится R и U, найдем
2
R ед = E / I = 2πα/ S .
165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 3. В схеме (рис. 11.6) известны э.д.с. ℰ и ℰ₀ источников, со-
противления R и R₀ , а также емкость С конденсатора. Внутренние
сопротивления источников пренебрежимо малы. Найти заряд на обкладке 1 конденсатора.
В соответствии с законом Ома для замкнутой цепи, содержащей сопротивления R и R₀, запишем
R + R 0 = ℰ−ℰ₀,
ℰR
ℰ12
aв
ℰ R₀
Рис. 11.6
где положительное направление выбрано по часовой стрелке. С другой стороны, для неоднородного участка аRib цепи RI = ϕ a − ϕ b + ℰ,
а для участка аCob ℰ +ϕ 2 − ϕ1 = ϕ b − ϕ a .
Решив совместно эти три уравнения, получим ϕ1 − ϕ 2 =
R
(ℰ
R +R0
−ℰ₀).
Заряд на обкладке 1 определяется формулой q 1 = C(ϕ1 − ϕ 2 ).
Поэтому окончательный результат q 1 =
RC
(ℰ −ℰ₀). Видно, что
R +R0
при ℰ >ℰ₀ заряд q₁>0, и наоборот.
Задача 4. Стеклянная пластина целиком заполняет зазор между
обкладками конденсатора, емкость которого при отсутствии пластины равна С₀ . Конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения U. Найти механическую работу, которую необходимо совершить против электрических сил, чтобы извлечь пластину из конденсатора.
166
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Согласно закону сохранения энергии
А мех + А ист = ∆W, (11.7)
где Амех – совершенная внешними силами механическая работа
против электрических сил; ∆W – соответствующее приращение энергии
конденсатора (мы считаем, что участие других видов энергии в изменении энергии системы пренебрежимо мало).
Найдем ∆W и Аист. Из формулы для энергии конденсатора
(W = CU
2
)
/ 2 = qU / 2 следует, что при U=const
2
∆W = ∆CU / 2 = ∆qU/ 2.
(11.8)
Так как емкость конденсатора при извлечении пластины уменьшается (∆С<0), то уменьшается и заряд конденсатора (∆q<0). Последнее
означает, что заряд прошел через источник против направления действия сторонних сил и источник совершил отрицательную работу:
А ист = ∆qU..
Из сравнения формул (11.9) и (11.8) следует
А ист = 2∆W.
(11.9)
После подстановки последнего выражения в (11.7) получим
A мех = −∆W, или А мех = 1 (ε − 1) C 0 U 2 .
2
Таким образом, извлекая пластину из конденсатора, мы (внешние
силы) совершаем положительную работу (против электрических сил),
при этом источник э.д.с. совершает отрицательную работу и энергия
конденсатора уменьшается А мех > 0, А ист < 0, ∆W < 0.
Задача 5. Цепь состоит из источника тока постоянной э.д.с. ℰ и
последовательно подключенных к нему сопротивления R и конденсатора C. Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало. В момент t=0 емкость конденсатора быстро (скачком) уменьшили в η раз.
Найти ток в цепи как функцию времени.
167
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
I
1C
ℰ2
R
Рис. 11.7
Запишем закон Ома для неоднородного участка цепи 1ℰR2 (рис.
11.7):
RI = ϕ1 − ϕ 2 − ℰ = U −
ℰ.
Учтем, что U=q/C′, где c′=C/η, тогда
RI = ηq /C − ℰ . (11.10)
Продифференцируем это равенство по времени, принимая во внимание, что в нашем случае (q уменьшается) dq/dt= −I:
R
dI
η
dI
η
= − I,
= − Dt.
dt
C
I
RC
Интегрирование последнего уравнения дает
ln
I
ηt
=− ,
I0
RC
I = I0 e
− η t / RC
,
где
I₀
определяется
условием
(11.10).
Действительно,
RI 0 = ηq 0 / C − ℰ, причем q₀=ℰ C – заряд конденсатора до изменения
его емкости. Поэтому I₀ = (η − 1)ℰ /R.
Задача 6. Конденсатору емкостью С сообщили заряд q₀ и затем в
момент t=0 его замкнули на сопротивление R. Найти зависимость от
времени t количества теплоты, выделившегося на сопротивлении.
Искомое количество теплоты
t
∫
Q = RI 2 dt , (11.11)
0
откуда видно, что прежде всего надо найти зависимость I(t). Воспользуемся с
168
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
q1
CR
2
Рис. 11.8
этой целью законом Ома для участка цепи 1R2 (рис. 11.8):
RI = ϕ1 − ϕ2 = U,
или
RI = q /
C.
(11.12)
Продифференцируем (11.12) по времени:
R
dI 1 ,
= I
dt C
dI dt .
=
I RC
Проинтегрировав последнее уравнение, получим
ln
I
t ,
=
I0 RC
I = I0 e
− t / RC
,
(11.13)
где I₀ определяется условием (11.12) при q=q₀, т.е. I₀=q₀/RC.
После подстановки (11.13) в (11.11) и соответствующего интегрирования получим
Q=
q0 (1 − 2 t / RC ).
−e
2C
2
11.6. Магнитное поле в вакууме
Задача 1. Ток I течет по тонкому проводнику, изогнутому, как показано на рис. 11.9. Найти магнитную индукцию В в точке О. Необходимые данные указаны на рисунке.
Искомая величина В = В − + В ∪ , где В− − магнитное поле от прямолинейного участка контура; В∪ − от его криволинейной части. Согласно
закону Био−Савара
169
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2α₀ а
0
I
Рис. 11.9
α0
µ0 I cosα dα µ0 I
=
tg α0 ,
4πa cosα0 2πa
0
В− = 2 ∫
В∪ =
В результате
µ0 I(2π − 2α0 )a µ0 I (
=
π − α 0 ).
2
4π
2πa
a
B = (π − α0 + α0 )µ0 I / 2π a.
Полезно убедиться, что при α₀→0 мы приходим к выражению
В=
µ0 2πI .
4π a
Задача 2. Небольшая катушка с током, имеющая магнитный момент рm, находится на оси кругового витка радиусом R, по которому
течет ток I. Найти силу F, действующую на катушку, если ее расстояние от центра витка равно l, а вектор pm ориентирован, как пока-
R
l pm
I
Рис. 11.10
170
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
зано на рис. 11.10.
Искомая сила согласно (6.24) определяется так:
F = pm ∂B / ∂n,
(11.14)
где В – магнитная индукция поля, создаваемого витком в месте нахождения катушки. Выберем ось Z в направлении вектора pm, тогда
проекция
(11.14)
на
эту
ось
будет
иметь
вид Fz = p m ∂B z / ∂z = p m ∂B / ∂z, где учтено, что при заданном направлении тока в витке Bz=B. Магнитная индукция В определяется формулой
µ0 2πR 2 I ,
В=
4π (z2 + R 2 )3 / 2
откуда
∂B
3 µ0 R Il
=−
pm .
2 2(l 2 + R 2 )5 / 2
∂z
2
Вследствие того что ∂В/∂z < 0, проекция силы Fez < 0, т.е. вектор F
направлен в сторону витка с током I. В векторном виде полученный результат можно представить так:
F= −
3 µ0 R Il
pm .
2 2(l 2 + R 2 )5 / 2
2
Заметим, что если бы вектор pm (а значит, и ось Z) был направлен в
противоположную сторону, то Bz= −B и ∂Вя/∂z > 0, а следовательно, Fz >
0 и вектор F был бы направлен вправо, т.е. опять против вектора pm.
Задача 3. Вдоль длинного тонкостенного круглого цилиндра радиусом R течет ток I. Какое давление испытывают стенки цилиндра?
j
δh
δB
dS
171
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
?
Bi
B’
2
B’
1
Bj
Рис. 11.11
Рис. 11.12
Рассмотрим поверхностный элемент тока i dS, где i – линейная
плотность тока, dS – элемент поверхности. Найдем связь между поверхностным и объемным элементами тока:
j dV = jδh ⋅ δb dl = i dS.
Смысл входящих сюда величин пояснен на рис. 11.11. В векторном
виде
j dV = i dS,.
(11.15)
Сила Ампера, действующая на поверхностный элемент тока, в этом
случае определяется формулой, полученной из (6.20) путем замены
(11.15):
dF= [i B' ] dS,,
(11.15)
где B′ – магнитная индукция поля в месте нахождения данного элемента тока от всех других элементов тока, исключая данный. Чтобы
найти B′, поступим аналогично тому, как это было сделано для электрической силы. Пусть Вi – магнитная индукция поля, создаваемого самим
поверхностным элементом тока в точках, очень близких к его поверхности (см. рис. 11.12, где предполагается, что ток течет от нас).
Bi = 12 µ0 i.
Далее, воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора В и соображениями симметрии, легко установить, что магнитная индукция поля
снаружи цилиндра у его поверхности B = µ 0 I / 2πR , а внутри цилиндра
поле отсутствует. Последнее означает, что поле B′ от всех элементов
тока в двух очень близких к поверхности цилиндра точках 1 и 2 (см.
рис. 11.12) должно быть одинаково и удовлетворять следующим условиям
внутри
и
вне
поверхности
цилиндра
B' = Bi и B = B' + Bi = 2 B'. Отсюда следует, что
172
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
B' = B / 2. (11.17)
Подставив этот результат в (11.15), получим следующее выражение
для искомого давления:
B2
dF
2 B'
B' =
.
p=
= iB' =
dS
μ0
2μ 0
Учитывая (11.16), найдем окончательно
p = μ 0 I 2 / 8π 2 R 2 .
тие.
Из формулы (11.15) видно, что цилиндр испытывает боковое сжа-
11.7. Электромагнитная индукция
Задача 1. Внутри длинного соленоида находится катушка из N
витков с площадью поперечного сечения S. Катушку поворачивают с
постоянной угловой скоростью ω вокруг оси, совпадающей с ее диаметром и перпендикулярной оси соленоида. При этом магнитное поле в
соленоиде меняется во времени как В = В 0 sin ωt. Найти э.д.с. индукции в катушке, если в момент t=0 ось катушки совпадала с ось соленоида.
В момент t полный магнитный поток сквозь катушку
Ф = NBS cos ωt = NB0 S sin ωt ⋅ cos ωt = 1 NB0 S sin 2ωt .
2
Согласно закону электромагнитной индукции
ℰi = −dФ / dt = − 1 2 NB0 S ⋅ 2ω cos 2ωt = − NB0 Sω cos 2ωt .
Задача 2. Квадратная проволочная рамка со стороной а и прямой
длинный проводник с постоянным током I₀ лежат в одной плоскости
(рис. 11.13). Индуктивность рамки L, ее сопротивление R. Рамку повернули на 180° вокруг оси ОО’ и остановили. Найти количество электричества, протекшее в рамке. Расстояние b между осью OO’ и прямым
проводником с током предполагается известным.
Согласно закону Ома в процессе поворота рамки ток I в ней определяется по формуле
RI = −
dI
dФ
−L .
dt
dt
173
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
b
O
I₀ a 1 2
a
O’
Рис. 11.13
Поэтому искомое количество электричества
q = ∫ I dt = −
1
(dФ + L dI ) = − 1 (∆Ф + L ∆I ).
∫
R
R
Поскольку рамку после поворота остановили, ток в ней прекратился
и, следовательно, ∆I=0. Остается выяснить, чему равно приращение тока ∆Ф сквозь рамку (∆Ф=Ф₂-Ф₁).
Выберем нормаль n к плоскости рамки, например, так, чтобы в конечном положении n было направлено за плоскость рисунка (в сторону
В). Тогда нетрудно видеть, что в конечном положении Ф₂>0, а в начальном Ф₁<0 (нормаль направлена против В), и ∆Ф оказывается равным
просто потоку через площадь, ограниченную конечным и начальным
положениями рамки:
∆Ф = Ф2 + Ф1 =
b+a
∫ Ba dr ,
b -a
где В является функцией r, вид которой легко найти с помощью
теоремы о циркуляции.
Окончательно получим, опуская знак минус:
q=
∆Ф µ 0 aI 0 b + a
=
.
ln
R
2 πR
b-a
Найденная величина, как видим, от индуктивности контура не зависит (в случае если бы контур был сверхпроводящим, дело бы обстояло
иначе).
174
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.8. Электрические колебания
Задача 1. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью L и незаряженного конденсатора емкости С. Активное сопротивление контура R=0. Катушка находится в постоянном магнитном
поле так, что полный магнитный поток, пронизывающий все ее витки,
равен Ф. В момент t=0 магнитное поле резко выключили. Найти ток в
контуре как функцию времени t.
При резком выключении внешнего магнитного поля в момент t=0
появится индуктивный ток, но конденсатор будет еще не заряженным.
Поэтому согласно закону Ома
RI = −
dФ
dI
−L .
dt
dt
 + LI = 0. Отсюда Ф=LI₀, где I₀ −
В данном случае R=0 и, значит, Ф
начальный ток (непосредственно после выключения поля).
После выключения внешнего поля процесс будет описываться уравнением
0=−
q
dI
− L . (11.18)
C
dt
Продифференцировав это уравнение по времени, получим
d2I
1
+
I = 0.
2
dt
LC
Это уравнение гармонических колебаний, его решение ищем в виде
I = I m cos (ωt + α ).
Постоянные Im и α находим из начальных условий
I (0 ) = I 0 ,
dI
(0) = 0
dt
(второе условие следует из уравнения (11.18), ибо в начальный момент t=0 конденсатор был не заряжен). Из этих условий найдем α=0,
Im=I₀. В результате
I = I 0 cos ω0t = (Ф / L ) cos ω0t , где ω0 = 1
LC .
Задача 2. В колебательном контуре имеется конденсатор емкости
С, катушка с индуктивностью L, активное сопротивление R и ключ.
При разомкнутом ключе конденсатор зарядили, а затем ключ замкнули.
Найти отношение напряжения на конденсаторе к его амплитудному
значению в начальный момент (сразу после замыкания ключа).
Напряжение на конденсаторе будет зависеть от времени так же, как
и заряд, поэтому запишем
175
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
U = U m e − βt cos (ωt + α ). (11.19)
В начальный момент t=0 напряжение U(0)=Um cos α, где Um − амплитуда в этот момент. Нам надо найти U(0)/ Um, т.е. cos α.
U
Um
U(0)
0t
Рис. 11.14
Для этого воспользуемся другим начальным условием: в момент
t=0 ток I=q=0. Так как q=CU, то достаточно продифференцировать
(11.19) по времени и полученное выражение при t=0 приравнять к нулю.
Получим −β cos α − ω sin α = 0, откуда tg α = −β / ω. Поэтому искомое
отношение
1
1
U (0 )
= cos α =
=
. (11.20)
2
2
Um
1 + tg α
1 + (β / ω )
Величины U(0) и Um показаны на рис. 11.14.
Принимая во внимание, что ω 2 = ω 02 − β 2 , преобразуем (11.20) к
виду
U (0 ) / U m = 1 − (β / ω0 ) = 1 − R 2C / 4 L ,
2
где учтено, что β = R / 2L и ω 02 = 1 / LC.
Задача 3. Катушку с индуктивностью L и активным сопротивлением R подключили в момент t=0 к внешнему напряжению
U = U m cos ωt. Найти ток в цепи как функцию времени t.
В данном случае RI = U − LI, или
I + (R / L ) I = (U m / L ) cos ωt .
176
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение этого уравнения есть общее решение однородного уравнения плюс частное решение неоднородного:
I (t ) = Ae −( R / L )t +
Um
R + ω 2 L2
2
cos (ωt − ϕ ),
где А – произвольная постоянная, а угол ϕ определяется условием
(10.36): tg ϕ = ωL / R.
Постоянная А находим из начального условия I(0)=0. Отсюда
A = − U m / R 2 + ω 2 L2  cos ϕ. В результате


I (t ) =
Um
[cos (ωt − ϕ ) − e (
− R / L )t
R +ω / L
2
2
2
]
cos ϕ .
При достаточно большом t второе слагаемое в квадратных скобках
становится пренебрежительно малым, и мы получаем установившееся
решение I(t ) ~ cos (ωt − ϕ).
Задача 4. Цепь, состоящую из последовательно соединенных безындук-ционного сопротивления R и катушки с некоторым активным
сопротивлением, подключили к сети с действующим напряжением U.
Найти тепловую мощность, выделяемую в катушке, если действующее
напряжение на сопротивлении R и катушке равны соответственно U₁
и U2.
Воспользуемся векторной диаграммой, которая дана на рис. 11.15.
Из этой диаграммы согласно теореме косинусов имеем
U 2 = U12 + U 22 + 2U1U 2 cos ϕ L . (11.21)
Мощность же, выделяемая на катушке:
P2 = IU 2 cos ϕ L , (11.22)
где I = U 1 / R.
Из уравнений (11.21), (11.22) получим
(
)
P2 = U 2 − U12 − U 22 / 2 R.
ϕL
U₂
U
U₁
177
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 11.15
12. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Вариант № 1
178
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 1. Найти силу притяжения между ядром атома водорода и
электроном. Радиус атома водорода 0,5⋅10-8 см, заряд ядра равен по величине и противоположен по знаку заряду электрона.
Задача 2. Две длинные одноименно заряженные нити расположены
на расстоянии а=10 см друг от друга. Линейная плотность заряда на нитях τ₁=τ₂=10-7 Кл/см. Найти величину и направление напряженности результирующего электрического поля в точке, находящейся на расстоянии 10 см от каждой нити.
Задача 3. На расстоянии r₁=4 см от бесконечно длинной заряженной
нити находится точечный заряд q=2 СГСq. Под действием поля заряд
перемещается до расстояния r₂=2 см; при этом совершается работа
А=50 эрг. Найти линейную плотность заряда нити.
Задача 4. Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов
U=300 В, при прохождении через незаряженный горизонтальный плоский конденсатор параллельно его пластинам дает светящееся пятно на
флюоресцирующем экране, расположенном на расстоянии l₁=12 см от
конца конденсатора. При заряде конденсатора пятно на экране смещается на y=3 см. Найти разность потенциалов U₁, приложенную к пластинам конденсатора. Длина конденсатора l=6 см и расстояние между его
пластинами d=1,4 см.
Задача 5. Сила тока I в проводнике меняется со временем t по уравнению I=4+2t, где I выражено в амперах и t − в секундах 1. Какое количество электричества проходит через поперечное сечение проводника за
время от t₁=2 сек до t₂=6 сек? 2. При какой силе постоянного тока через
поперечное сечение проводника за это же время проходит такое же количество электричества?
Задача 6. Имеется предназначенный для измерения токов до 10 А
амперметр сопротивлением в 0,18 Ом, шкала которого разделена на 100
делений. 1. Какое сопротивление надо взять и как его включить, чтобы
этим амперметром можно было измерить силу тока до 100 А? 2. Как изменится при этом цена деления амперметра?
Задача 7. На плитке мощностью 0,5 кВт стоит чайник, в который
налит 1 л воды при температуре 16°С. Вода в чайнике закипела через
20 мин. после включения плитки. Какое количество тепла потеряно при
этом нагревании самого чайника на излучение и т.д.?
Задача 8. Реакция образования воды из водорода и кислорода происходит с выделением тепла 2Н2 + О2 = 2Н2О + 5,75⋅105 Дж. Найти наименьшую разность потенциалов, при которой будет происходить разложение воды электролизом.
179
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 9. Определить падение потенциала в сопротивлениях R1, R2
и R3 (рис. 12.1), если амперметр показывает 3 А; R1=4 Ом, R2=2 Ом и
R3=4 Ом. Найти I2 и I3 − силу тока в сопротивлениях R2 и R3.
R2
R1
R3
Рис. 12.1
Задача 10. Во сколько раз катод из тарированного вольфрама при
его рабочей температуре в 1800°К дает большую удельную эмиссию,
чем катод из чистого вольфрама при той же температуре? Эмиссионную
постоянную В для чистого вольфрама считать равной 30 А/см2⋅град2.
Задача 11. Найти напряженность магнитного поля в точке, отстоящей на 2 см от бесконечно длинного проводника, по которому течет ток
в 5 А.
Задача 12. Катушка длиною 30 см состоит из 1 000 витков. Найти
напряженность магнитного поля внутри катушки, если ток, проходящий
по катушке, равен 2 А. Диаметр катушки считать малым по сравнению с
ее длиной.
Задача 13. Поток магнитной индукции сквозь соленоид (без сердечника) равен 5⋅10-6 Вб. Найти магнитный момент этого соленоида. Длина
соленоида равна 25 см.
Задача 14. Найти кинетическую энергию протона, движущегося по
дуге радиусом 60 см в магнитном поле, индукция которого равна 104 гс.
Задача 15. Написать уравнение гармонического колебательного
движения с амплитудой в 5 см, если в 1 мин. совершается 150 колебаний и начальная фаза колебаний равна 45°. Начертить график этого
движения.
Вариант № 2
Задача 1. Два точечных заряда, находясь в воздухе на расстоянии 20
см друг от друга, взаимодействуют с некоторой силой. На каком расстоянии нужно поместить эти заряды в масле, чтобы получить ту же силу взаимодействия?
Задача 2. С какой силой (на единицу площади) отталкиваются две
одноименные заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда в 3⋅10-8 Кл/см2?
180
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 3. Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечно длинной нитью. Двигаясь под действием этого поля от
точки, находящейся на расстоянии х₁=1 см от нити, до точки х₂=4 см, αчастица изменила свою скорость от 2⋅105 до 3⋅106 м/сек. Найти линейную плотность заряда от нити.
Задача 4. Электрон движется в плоском горизонтальном конденсаторе параллельно его пластинам со скоростью 3,6⋅104 км/сек. Напряженность поля внутри конденсатора 37 В/см. Длина пластин конденсатора 20 см. На сколько сместится электрон в вертикальном направлении
под действием электрического поля за время его движения в конденсаторе?
Задача 5. Ламповый реостат состоит из пяти электрических лампочек, включенных параллельно. Найти сопротивление реостата: 1) когда
горят все лампочки, 2) когда вывинчиваются: а) одна, б) две, в) три,
г) четыре лампочки. Сопротивление каждой лампочки равно 350 Ом.
Задача 6. Имеется предназначенный для измерений разности потенциалов до 30 В вольтметр сопротивлением в 2 000 Ом, шкала которого
разделена на 150 делений. 1. Какое сопротивление надо взять и как его
включить, чтобы этим вольтметром можно было измерять разности потенциалов до 75 В? 2. Как изменится при этом цена деления вольтметра?
Задача 7. Намотка в электрической кастрюле состоит из двух одинаковых секций. Сопротивление каждой секции 20 Ом. Через сколько
времени закипит 2,2 л воды, если 1) включена одна секция, 2) обе секции включены последовательно, 3) обе секции включены параллельно?
Начальная температура воды 16°С, напряжение в сети 110 В, к.п.д. нагревателя 85%.
Задача 8. Вычислить эквивалентную электропроводность для очень
слабого раствора азотной кислоты.
Задача 9. Считая сопротивление вольтметра бесконечно большим,
определяют сопротивление реостата R по показаниям амперметра и
вольтметра в схеме рис. 12.2. Посчитать относительную погрешность
найденного сопротивления, если в действительности сопротивление
вольтметра равно Rv. Задачу решить для Rv=1000 Ом и R, равного:
1) 10 Ом, 2) 100 Ом, 3) 1000 Ом.
Задача 10. Какой ток пойдет между электродами ионизационной
камеры площадью каждого электрода каждого 100 см2 и расстояние между ними 6,2 см, если к электродам приложена разность потенциалов
20 В? Подвижность ионов u+=u−=1 см2/В⋅сек и коэффициент рекомбинации α=10-6. Какую долю тока насыщения составляет найденный ток?
Ионизатор образует в 1 см3 ежесекундно 109 ионов каждого знака. Ионы
считать одновалентными.
181
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ℰ
R
Рис. 12.2
Задача 11. Найти напряженность магнитного поля в центре кругового проволочного витка радиусом 1 см, по которому течет ток 1 А.
Задача 12. Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром
0,8 мм. Витки плотно прилегают друг к другу. Считая катушку достаточно длинной, найти напряженность магнитного поля внутри катушки
при силе тока в 1 А.
Задача 13. Замкнутый железный сердечник длиною 50 см имеет обмотку в 1 000 витков. По обмотке течет ток силой 1 А. Какой ток надо
пустить через обмотку, чтобы при удалении сердечника индукция осталась прежней?
Задача 14. Протон и электрон, двигаясь с одинаковой скоростью,
попадают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривизны траектории протона R1 больше радиуса кривизны траектории электрона R2?
Задача 15. Написать уравнение гармонического колебательного
движения с амплитудой в 0,1 м, периодом 4 сек. и начальной фазой,
равной нулю.
Вариант № 3
Задача 1. Постойте график зависимости силы взаимодействия между двумя зарядами от расстояния между ними в интервале 2 ≤ r ≤ 10 см
через каждые 2 см. Заряды равны соответственно 2⋅10-8 Кл и 3⋅10-8 Кл.
Задача 2. Медный шарик диаметром 1 см помещен в масло. Плотность масла ρ=800 кг/м3. Чему равен заряд шара, если в однородном
электрическом поле шар оказался взвешенным в масле? Электрическое
поле направлено вертикально вверх и его напряженность Е=36 000 В/см.
182
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 3. Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечной нитью с линейной плотностью заряд в 2⋅10-9 Кл/см.
Какую скорость получит электрон под действием поля, приблизившись
к нити с расстояния в 1см до расстояния 0,5 см от нити?
Задача 4. Протон влетает в плоский горизонтальный конденсатор
параллельно его пластинам со скоростью 1,2⋅105 м/сек. Напряженность
поля внутри конденсатора 30 В/см; длина пластин конденсатора 10 см.
Во сколько раз скорость протона при вылете из конденсатора будет
больше его начальной скорости?
Задача 5. Сколько витков нихромовой проволоки диаметром 1 мм
надо навить на фарфоровый цилиндр радиусом 2,5 см, чтобы получить
печь сопротивлением 40 Ом?
Задача 6. Миллиамперметр со шкалой от 0 до 15 мА имеет сопротивление, равное 5 Ом. Как должен быть включен прибор в комбинации
с сопротивлением (и каким) для измерения: 1) силы тока от 0 до 0,15 А,
2) разности потенциалов от 0 до 150 В?
Задача 7. Электрический чайник имеет две обмотки. При включении одной из них вода в чайнике закипит через 15 мин. при включении
другой − через 30 мин. Через сколько времени закипит вода в чайнике,
если включить обе обмотки: 1) последовательно, 2) параллельно?
Задача 8. Через раствор азотной кислоты пропускается ток I=2 А.
Какое количество электричества переносится за одну минуту ионами
каждого знака?
Задача 9. Считая сопротивление амперметра бесконечно малым, определяют сопротивление реостата R по показаниям амперметра и
вольтметра в схеме рис. 12.3. Найти относительную погрешность найденного сопротивления, если в действительности сопротивление амперметра равно RА. Задачу решить для RА=0,2 Ом и R, равного: 1) 1 Ом,
2) 10 Ом, 3) 100 Ом.
Задача 10. В схеме рис. 12.4 V1 и V2 − два вольтметра, сопротивления которых равны соответственно R1=3000 Ом и R2=2000 Ом;
R3=3000 Ом, R4=2000 Ом, ℰ=200 В. Найти показания вольтметров V1 и
V2 в случаях: 1) ключ К разомкнут и 2) ключ К замкнут. Сопротивлением батареи пренебречь. Задачу решить, применяя законы Кирхгофа.
Задача 11. Два прямолинейных проводника расположены параллельно на расстоянии 10 см друг от друга. По проводникам текут токи
I1=I2=5 А в противоположных направлениях. Найти величину и направление напряженности магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии 10 см от каждого проводника.
Задача 12. Из проволоки диаметром 1 мм надо намотать соленоид,
внутри которого напряженность магнитного поля должна быть равна
300 э. Предельная сила тока, которую можно пропускать по проволоке,
183
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
равна 6 А. Из какого числа слоев будет состоять обмотка соленоида, если витки наматывать плотно друг к другу? Диаметр катушки считать
малым по сравнению с ее длиной.
Задача 13. Железный сердечник длиною 50,2 см с воздушным зазором длиною 0,1 см имеет обмотку из 20 витков. Какой ток должен протекать по этой обмотке, чтобы в зазоре получить индукцию в 1,2 Вб/м2?
Задача 14. Протон и электрон, ускоренные одинаковой разностью
потенциалов, влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривизны траектории протона R1 больше радиуса кривизны траектории электрона R2?
Задача 15. Амплитуда гармонических колебаний равна 50 мм, периπ
од 4 сек. и начальная фаза . 1. Написать уравнение этого колебания.
4
2. Найти смещение колеблющейся точки от положения при t=0 и при
t=1,5 сек. 3. Начертить график этого движения.
ℰ
R
Рис. 12.3
184
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ℰ
V1 V2
R4 K R3
Рис. 12.4
Вариант № 4
Задача 1. Во сколько раз сила ньютоновского притяжения между
двумя протонами меньше силы их кулоновского отталкивания? Заряд
протона численно равен заряду электрона.
Задача 2. В плоском горизонтально расположенном конденсаторе
заряженная капелька ртути находится в равновесии при напряженности
электрического поля Е=600 В/см. Заряд капли равен 2,4⋅10-9 СГСq. Найти радиус капли.
Задача 3. Около заряженной бесконечно протяженной плоскости
находится точечный заряд q=2 СГСq. Под действием поля заряд перемещается по силовой линии на расстояние 2 см; при этом совершается
работа А=50 эрг. Найти поверхностную плотность заряда на плоскости.
Задача 4. Между пластинами плоского конденсатора, находящимися на расстоянии 5 мм друг от друга, приложена разность потенциалов
150 В. К одной из пластин прилегает плоскопараллельная пластина
фарфора толщиной 3 мм. Найти напряженность электрического поля в
воздухе и фарфоре.
Задача 5. Катушка из медной проволоки имеет сопротивление
R=10,8 Ом. Вес медной проволоки равен Р=3,41 кг. Сколько метров
проволоки и какого диаметра d намотано на катушке?
Задача 6. Имеется 120-вольтовая лампочка мощностью 40 Вт. Какое
добавочное сопротивление надо включить последовательно с лампочкой, чтобы она давала нормальный накал при напряжении в сети 220 В?
Сколько метров нихромовой проволоки диаметром 0,3 мм надо взять,
чтобы получить такое сопротивление?
Задача 7. Для нагревания 4,5 л воды от 23°С до кипения нагреватель
потребляет 0,5 кВт⋅ч электрической энергии. Чему равно к.п.д. нагревателя?
Задача 8. Эквивалентная электропроводность раствора KCl при некоторой концентрации равна 122 см2/Ом⋅г⋅экв, удельная электропровод185
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ность его при той же концентрации равна 0,00122 Ом-1⋅см-1 и эквивалентная электропроводность его при бесконечном разведении равна
130 см2/Ом⋅г⋅экв. Найти: 1) степень диссоциации KCl при данной концентрации, 2) эквивалентную концентрацию раствора, 3) сумму подвижностей ионов К+ и Cl−.
Задача 9. В схеме рис. 12.5 сопротивление R=1,4 Ом, ℰ1 и ℰ2 − два
элемента, э.д.с. которых одинаковы и равны 2 В. Внутренние сопротивления этих элементов равны соответственно r₁=1 Ом и r₂=1,5 Ом. Найти
силу тока в каждом из элементов во всей цепи.
Задача 10. Найти показания миллиамперметра mА в схеме рис. 12.6,
если ℰ1=ℰ2=1,5 В, r₁=r₂=0,5 Ом, R1=R2=2 Ом и R3=1 Ом. Сопротивление
миллиамперметра равно 3 Ом.
Задача 11. По длинному вертикальному проводнику сверху вниз
идет ток I=8 А. На каком расстоянии r от него напряженность поля, получающегося от сложного за емного магнитного поля и поля тока, направлена вертикально вверх? Горизонтальная составляющая земного
поля Нг=0,2 э.
Задача 12. Требуется получить напряженность магнитного поля,
равную 12,6 э, в соленоиде длиною 20 см и диаметром 5 см. Найти:
1) число ампер-витков, необходимое для этого соленоида, 2) разность
потенциалов, которую надо приложить к концам обмотки, если для нее
употребляется медная проволока диаметром 0,5 мм. Считать поле соленоида однородным.
ℰ1
R1
ℰ2
ℰ1 ℰ2 R3
R
R2
Рис. 12.5
mA
Рис. 12.6
Задача 13. Железное кольцо средним диаметром 11,4 см имеет обмотку из 200 витков, по которой течет ток силой 5 А. 1. Какой ток должен проходить через обмотку, чтобы индукция в сердечнике осталась
прежней, если в кольце сделать прорезь шириной в 1 мм? 2. Найти магнитную проницаемость материала сердечника при этих условиях.
186
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 14. На фотографии, полученной в камере Вильсона, помещенной в магнитное поле, траектория электрона представляет собой дугу окружности с радиусом 10 см. Индукция магнитного поля 10-2 мл.
Найти энергию электрона в электрон-вольтах.
Задача 15. Написать уравнение гармонического колебательного
π
движе-ния, если начальная фаза колебаний равна: 1) 0, 2) , 3) π,
2
3
4) π, 5) 5π. Амплитуда колебаний 5 см и период колебаний 8 сек. На2
чертить график колебаний во всех этих случаях.
Вариант № 5
Задача 1. Вычислить силу электрического отталкивания между
ядром атома натрия и бомбардирующим его протоном, считая, что протон подошел к ядру атома натрия на расстоянии 6⋅10-12 см. Заряд ядра
натрия в 11 раз больше заряда протона. Влиянием электронной оболочки атома натрия пренебречь.
Задача 2. Показать, что электрическое поле, образованное заряженной нитью конечной длины, в предельных случаях переходит в электрическое поле 1) бесконечно протяженной нити и 2) точечного заряда.
Задача 3. Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора равна 90 В. Площадь каждой пластины 60 см2 и заряд 10-9 Кл.
На каком расстоянии друг от друга находятся пластины?
Задача 4. Найти емкость земного шара. Радиус земного шара принять равным 6 400 км. На сколько изменится потенциал земного шара,
если ему сообщить количество электричества, равное 1 Кл?
Задача 5. Найти сопротивление железного стержня диаметром 1 см,
если вес этого стержня 1 кг.
Задача 6. Имеются три электрические лампочки, рассчитанные на
напряжение 110 В каждая, мощности которых равны соответственно 40,
60 и 80 Вт. Как надо включить эти лампочки, чтобы они давали нормальный накал при напряжении в сети 220 В? Найти силу тока, текущего через лампочки при нормальном накале. Начертите схему.
Задача 7. Для отопления комнаты пользуются электрической печью,
включенной в сеть напряжением в 120 В. Комната теряет в сутки
20 800 ккал тепла. Требуется поддерживать температуру комнаты неизменной. Найти: 1) сопротивление печи; 2) сколько метров нихромовой
проволоки надо взять для обмотки такой печи, если диаметр проволоки
1 мм; 3) мощность печи.
Задача 8. Определить сопротивление 0,1N раствора AgNO3, заполняющего трубку длиной 84 см и площадью поперечного сечения 5 мм2,
если 81% всех молекул AgNO3 диссоциирован на ионы.
187
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 9. В схеме рис. 12.7 сопротивление R=0,5 Ом, ℰ1 и ℰ2 − два
элемента, э.д.с. которых одинаковы и равны 2 В. Внутренние сопротивления этих элементов равны соответственно r₁=1 Ом и r₂=1,5 Ом. Найти
разность потенциалов на зажимах каждого элемента.
Задача 10. В схеме рис. 12.8 ℰ1=ℰ2, R2=2R1. Во сколько раз ток, текущий через вольтметр R1, больше тока, текущего через R2? Сопротивлением генераторов пренебречь.
Задача 11. Вычислить напряженность магнитного поля, создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током, в точке С, расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии
5 см от него. По проводнику течет ток 20 А. Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 60°.
Задача 12. Чему должно быть равно отношение длины катушки к ее
диаметру, чтобы напряженность магнитного поля в центре катушки
можно было найти по формуле для напряженности поля бесконечно
длинного соленоида? Ошибка при таком допущении не должна превышать 5%.
Задача 13. Требуется построить электромагнит, дающий индукцию
магнитного поля в межполюсном пространстве, равную 1 400 гс. Длина
железного сердечника 40 см, длина межполюсного пространства 1 см,
диаметр сердечника 5 см. Найти: 1) какую э.д.с. надо взять для питания
обмотки электромагнита, чтобы получить требуемое поле, если в распоряжении имеется медная проволока площадью поперечного сечения в
1 мм2; 2) какая будет при этом наименьшая толщина намотки, если считать, что предельная допустимая плотность тока 3 А/мм2.
ℰ
R1
R2
Рис. 12.7
Задача 14. Заряженная частица движется в магнитном поле по окружности со скоростью 106 м/сек. Индукция магнитного поля равна
0,3 мл. Радиус окружности 4 см. Найти заряд частицы, если известно,
что ее энергия равна 12 кэВ.
188
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 15. Начертить на одном графике два гармонических колебаамплитудами (А1=А2=2 см) и одинаковыми периодами
π
π
(Т1=Т2=8 сек), но имеющими разность фаз: 1) , 2) , 3) π, 4) 2π.
4
2
ния
Вариант № 6
Задача 1. Два одинаковых металлических заряженных шарика весом
0,2 кг каждый находятся на некотором расстоянии друг от друга. Найти
заряд шариков, если известно, что на этом расстоянии их электростатическая энергия в миллион раз больше их взаимной энергии.
Задача 2. Длина заряженной нити равна 25 см. При каком предельном расстоянии от нити (для точек, лежащих на перпендикуляре к середине нити) электрическое поле можно рассматривать как поле бесконечно заряженной нити? Ошибка при таком допущении не должна превышать 5%.
Задача 3. Плоский конденсатор может быть применен в качестве
чувствительных микровесов. Внутри горизонтально расположенного
плоского конденсатора, расстояние между пластинами которого
d=3,84 мм, находится заряженная частица с зарядом q=1,44⋅10-9 СГСq.
Для того чтобы частица находилась в равновесии, между пластинами
конденсатора нужно было приложить разность потенциалов U=40 В.
Найти массу частицы.
Задача 4. Шарик радиусом 2 см заряжается отрицательно до потенциала 2 000 В. Найти массу всех электронов, составляющих заряд, сообщенный шарику при заряде.
Задача 5. Два цилиндрических проводника, один из меди, а другой
из алюминия, имеют одинаковую длину и одинаковое сопротивление.
Во сколько раз медный провод тяжелее алюминиевого?
Задача 6. В лаборатории, удаленной от генератора на 100 м, включили электрический нагревательный прибор, потребляющий 10 А. На
сколько понизилось напряжение на зажимах электрической лампочки,
горящей в этой лаборатории? Сечение медных подводящих проводов
равно 5 мм2.
Задача 7. Температура водяного термостата емкостью 1 л поддерживается постоянной при помощи нагревателя мощностью 26 Вт; на нагревание воды тратится 80% этой мощности. На сколько градусов понизится температура воды в термостате за 10 мин. если нагреватель выключить?
Задача 8. Найти сопротивление 0,05N раствора KNO3, заполняющего трубку длиной l=2 см и площадью поперечного сечения S=7 см2, если
известно, что эквивалентная электропроводность этого раствора 1,1⋅103 2
м /Ом⋅кг⋅экв.
189
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 9. В схеме рис. 12.8 ℰ1=ℰ2=110 В, R2=R1=200 Ом, сопротивление вольтметра 1 000 Ом. Найти показания вольтметра. Сопротивлением батарей пренебречь.
ℰ1 R2
R1 ℰ2
Рис. 12.8
Задача 10. В схеме рис. 12.8 ℰ1=ℰ2, R2=R1=100 Ом. Вольтметр показывает 150 В, сопротивление вольтметра равно 150 Ом. Найти э.д.с. батарей. Сопротивлением батарей пренебречь.
Задача 11. Отрезок прямолинейного проводника с током имеет длину 30 см. При каком предельном расстоянии от него до точек, лежащих
на перпендикуляре к его середине, магнитное поле можно рассматривать как поле бесконечного длинного прямолинейного тока? Ошибка
при таком допущении не должна превышать 5%.
Задача 12. Найти распределение напряженности магнитного поля
вдоль оси соленоида, длина которого равна 3 см и диаметр 2 см. Сила
тока, текущего по соленоиду, равна 2 А. Катушка имеет 100 витков. Составить таблицу значений Н для значений х в интервале 0≤х≤3 см через
каждые 0,5 см и построить график с нанесением масштаба.
Задача 13. Между полюсами электромагнита создается однородное
магнитное поле, индукция которого равна 1 000 гс. По проводу длиной
в 70 см, помещенному перпендикулярно силовым линиям, течет ток силой 70 А. Найти силу, действующую на провод.
Задача 14. Протон и α-частица влетают в однородное магнитное
поле. Скорость частиц направлена перпендикулярно линиям поля. Во
сколько раз период обращения протона в магнитном поле больше периода обращения α-частицы?
190
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 15. Через сколько времени от начала движения точка, совершающая гармоническое колебание, сместится от положения равновесия на половину амплитуды? Период колебаний равен 24 сек. начальная фаза равна нулю.
Вариант № 7
Задача 1. Во сколько раз энергия электростатического взаимодействия двух частиц с зарядом q и массой m больше энергии их гравитационного взаимодействия? Задачу решить для: 1) электронов и 2) протонов.
Задача 2. Напряженность электрического поля на оси заряженного
кольца имеет максимальное значение на расстоянии L=Lmax от центра
кольца будет меньше максимальной напряженности?
Задача 3. В плоском, горизонтально расположенном конденсаторе,
расстояние между пластинами которого d=1 см, находится заряженная
капелька массой m=5⋅10-11 г. При отсутствии электрического поля капелька вследствие сопротивления воздуха падает с некоторой постоянной скоростью. Если к пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U=600 В, то капелька падает вдвое медленней. Найти заряд
капельки.
Задача 4. Восемь заряженных водяных капель радиусом 1 мм и зарядом в 10-10 Кл каждая сливаются в одну общую водяную каплю. Найти потенциал большой капли.
Задача 5. Сопротивление вольфрамовой нити электрической лампочки при 20°С равно 35,8 Ом. Какова будет температура нити лампочки, если при включении в сеть напряжением в 120 В по нити идет ток
0,33 А? Температурный коэффициент сопротивления вольфрама равен
4,6⋅10-3 град-1.
Задача 6. От батареи, э.д.с. которой равна 500 В, требуется передать
энергию на расстояние 2,5 км. Потребляемая мощность равна 10 кВт.
Найти минимальные потери мощности в сети, если диаметр медных
подводящих проводов равен 1,5 см.
Задача 7. Сколько надо заплатить за пользование электрической
энергией в месяц (30 дней), если ежедневно по 6 часов горят две электрические лампочки, потребляющие при 120 В ток 0,5 А? Кроме того,
ежедневно кипятится 3 л воды (начальная температура воды 10°С).
Стоимость 1 кВт⋅ч энергии принять равной 4 коп. К.п.д. нагревателя
принять равным 80%.
Задача 8. Трубка длиной 3 см и площадью поперечного сечения
10 см2 наполнена раствором, содержащим 0,1 кмоля CuSO4 в 1 м3. Сопротивление раствора равно 38 Ом. Найти эквивалентную электропроводность раствора.
191
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 9. Определить силу тока, показываемую амперметром в схеме на рис. 12.9. Напряжение на зажимах элемента в замкнутой цепи
равно 20,1 В; R1=5 Ом, R2=6 Ом и R3=3 Ом. Сопротивлением амперметра пренебречь.
Задача 10. В схеме рис. 12.10 ℰ1 и ℰ2 − два элемента с одинаковой
э.д.с. в 2 В и с одинаковым внутренним сопротивлением, равным
0,5 Ом. Найти силу тока, текущего: 1) через сопротивление R1=0,5 Ом,
2) через сопротивление R2=1,5 Ом, 3) через элемент ℰ1.
ℰ1 ℰ2
ℰ
R1 R2
R1
R3
R2
Рис. 12.9
Рис. 12.10
Задача 11. Вычислить напряженность магнитного поля, создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током, в точке С, расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии
6 см от него. По проводнику течет ток 30 А. Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 90°.
Задача 12. Конденсатор емкостью в 10-5 Ф периодически заряжается
от батареи, э.д.с. которой равна 100 В, и разряжается через катушку. Катушка имеет форму кольца диаметром 20 см с 32 витками, причем плоскость кольца совпадает с плоскостью магнитного меридиана. Помещенная в центре катушки горизонтальная магнитная стрелка отклоняется на
угол 45°. Переключение конденсатора происходит 100 раз в секунду.
Найти из данных этого опыта горизонтальную составляющую напряженности магнитного поля Земли.
Задача 13. Два прямолинейных длинных параллельных проводника
находятся на расстоянии 10 см друг от друга. По проводникам течет ток
в одном направлении I1=20 A и I2=30 А. Какую работу надо совершить
(на единицу длины проводников), чтобы раздвинуть эти проводники до
расстояния 20 см?
Задача 14. α-частица, кинетическая энергия которой равна 500 эВ,
влетает в однородное магнитное поле, перпендикулярное скорости ее
движения. Индукция магнитного поля 1 000 гс. Найти: 1) силу, дейст192
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вующую на частицу, 2) радиус окружности, по которой движется частица, 3) период обращения частицы.
Задача 15. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю.
Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее
максимальной скорости?
Вариант № 8
Задача 1. Построить график зависимости потенциальной электростатиче-ской энергии двух точечных зарядов от расстояния между ними
в интервале 2 ≤ r ≤ 10 см через каждые 2 см. Заряды q₁=10-9 Кл и q₂=3⋅109
Кл; ε =1. График построить для случаев: 1) заряды одноименные и 2)
заряды разноименные.
Задача 2. Показать, что электрическое поле, образованное заряженным диском, в предельных случаях переходит в электрическое поле 1)
бесконечно протяженной плоскости и 2) точечного заряда.
Задача 3. Между двумя вертикальными пластинами, находящимися
на расстоянии 1 см друг от друга, на нити висит заряженный бузиновый
шарик, масса которого равна 0,1 г. После того как на пластины была подана разность потенциалов 100 В, нить с шариком отклонилась на угол
10°. Найти заряд шарика.
Задача 4. Шарик, заряженный до потенциала 792 В, имеет поверхностную плотность заряда, равную 3,33⋅10-7 Кл/м2. Чему равен радиус
шарика?
Задача 5. Реостат из железной проволоки, миллиамперметр и генератор тока включены последовательно. Сопротивление реостата про 0°С
равно 120 Ом, сопротивление миллиамперметра 20 Ом. Миллиамперметр показывает 22 мА. Что будет показывать миллиамперметр, если
реостат нагреется на 50°? Температурный коэффициент сопротивления
железа 6⋅10-3 град-1. Сопротивлением генератора пренебречь.
Задача 6. От генератора, э.д.с. которого равна 110 В, требуется передать энергию на расстояние 2,5 км. Потребляемая мощность равна
1 кВт. Найти минимальное сечение медных подводящих проводов, если
потери мощности в сети не должны превышать 1%.
Задача 7. Электрический чайник с 600 см3 воды при 9°С, сопротивление обмотки которого равно 16 Ом, забыли выключить. Через сколько
времени после включения вся вода в чайнике выкипит? Напряжение в
сети 120 В, к.п.д. чайника 60%.
Задача 8. Удельная электропроводность децинормального раствора
соляной кислоты равна 0,035 Ом-1⋅см-1. Найти степень диссоциации.
193
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 9. В схеме рис. 12.11 ℰ1=2ℰ2, R1=R3=20 Ом, R2=15 Ом и
R4=30 Ом. Амперметр показывает n 1,5 А (ток через него идет снизу
вверх ). Найти величины ℰ1 и ℰ2, а также силы токов I2 и I3, идущих соответственно через сопротивления R2 и R3. Сопротивлением батарей и
амперметра пренебречь.
ℰ1 ℰ2
Рис.
R3 R2
R4
R1
R2
R1
А
R3
Рис.
Задача 9. В схеме рис. 12.12 R2=20 Ом, R3=15 Ом и сила тока, текущего через сопротивление R2, равна 0,3 А. Амперметр показывает
0,8 А. Найти сопротивление R1.
Задача 10. В точке С, расположенной на расстоянии 5 см от бесконечно длинного прямолинейного проводника с током, напряженность
магнитного поля равна 400 А/м. 1. При какой предельной длине проводника это значение напряженности будет верным с точностью до 2%?
2. Чему будет равна напряженность магнитного поля в точке С, если
проводник с током имеет длину 20 см? Точка С расположена на перпендикуляре к середине этого проводника.
Задача 11. Конденсатор емкостью в 10 мкФ периодически заряжается от батареи, дающей разность потенциалов 120 В, и разряжается через соленоид длиной 10 см с 200 витками. Среднее значение напряженности магнитного поля внутри соленоида 3,02 э. Сколько раз в секунду
194
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
происходит переключение конденсатора? Диаметр соленоида считать
малым по сравнению с его длиной.
Задача 12. Два прямолинейных длинных параллельных проводника
находятся на некотором расстоянии друг от друга. По проводникам текут токи, равные по величине и по направлению. Найти силу тока, текущего по каждому из проводников, если известно, что, для того чтобы
раздвинуть эти проводники на вдвое большее расстояние, пришлось совершить работу (на единицу длины проводника), равную 5,5 эрг/см.
Задача 13. α-частица, момент количества движения которого равен
1,33⋅10-22 кг⋅м2/сек, влетает в однородное магнитное поле, перпендикулярное скорости ее движения. Индукция магнитного поля равна 2,5⋅102
мл. Найти кинетическую энергию α-частицы.
Задача 14. Через сколько времени от начала движения точка, совершающая колебательное движение по уравнению х=7 sin 0,5 πt, проходит путь от положения равновесия до максимального смещения?
Вариант № 9
Задача 1. Найти напряженность электрического поля в точке, лежащей посередине между точечными зарядами q₁=8⋅10-9 Кл. Расстояние
между зарядами равно r= 10 см; ε =1.
Задача 2. Диаметр заряженного диска равен 25 см. При каком предельном расстоянии от диска по нормали к его центру электрическое
поле можно рассматривать как поле бесконечно протяженной плоскости? Ошибка при таком допущении не должна превышать 5%.
Задача 3. Мыльный пузырь с зарядом 2,22⋅10-10 Кл находится в равновесии в поле горизонтального плоского конденсатора. Найти разность
потенциалов между пластинами конденсатора, если масса пузыря равна 0,01 г и расстояние между пластинами 5 см.
Задача 4. Площадь каждой пластины плоского воздушного конденсатора 1 м2, расстояние между пластинами 1,5 мм. Найти емкость этого
конденсатора.
Задача 5. Обмотка катушки из медной проволоки при температуре
14°С имеет сопротивление 10 Ом. После пропускания тока сопротивление обмотки стало равно 12,2 Ом. До какой температуры нагрелась обмотка? Температурный коэффициент сопротивления меди равен 4,15⋅103
град-1.
Задача 6. В цепь включены последовательно медная и стальная проволоки равной длины и диаметра. Найти: 1) отношение количеств тепла,
выделяющегося в этих проволоках, 2) отношение падений напряжений
на этих проволоках.
195
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 7. В ртутном диффузионном насосе ежеминутно испаряется
100 г ртути. Чему должно быть равно сопротивление нагревателя насоса, если нагреватель включать в сеть напряжением 127 В? Теплоту парообразования ртути принять равной 2,96⋅105 Дж/кг.
Задача 8. Найти число ионов каждого знака, находящихся в единице
объема раствора соляной кислоты с удельной электропроводимостью
0,035 Ом-1⋅см-1.
ℰ
R1 R2 R3
R4
Рис. 12.13
Задача 9. В схеме рис. 12.13 ℰ − батарея с э.д.с., равной 100 В,
R1=R3=40 Ом, R2=80 Ом и R4=34 Ом. Найти: 1) силу тока, текущего через сопротивление R2, 2) падение потенциала на этом сопротивлении.
Сопротивлением батареи пренебречь.
Задача 10. В схеме рис. 12.11 ℰ1=ℰ2=100 В. R1=20 Ом, R3=40 Ом,
R2=10 Ом и R4=30 Ом. Найти показание амперметра. Сопротивлением
батарей и амперметра пренебречь.
Задача 11. Ток в 20 А идет по длинному проводнику, согнутому под
прямым углом. Найти напряженность магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии 10 см.
Задача 12. В однородном магнитном поле, напряженность которого
1 000 Э, помещена квадратная рамка. Ее плоскость составляет с направле-нием магнитного поля угол 45°. Сторона рамки 4 см. Определить
магнитный поток, пронизывающий рамку.
Задача 13. Из проволоки длиной 20 см сделаны контуры:
1) квадратный и 2) круговой. Найти вращающийся момент сил, действующий на каждый контур, помещенный в однородное магнитное поле,
индукция которого равна 1 000 гс. По контурам течет ток силой 2 А.
Плоскость каждого контура составляет угол в 45° с направлением магнитного поля.
Задача 14. Однозарядные ионы изотопов калия с атомными весами
39 и 41 ускоряются разностью потенциалов в 300 В; затем они попадают
196
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в однородное магнитное поле, перпендикулярное направлению их движения. Индукция магнитного поля 800 гс. Найти радиусы кривизны
траектории этих ионов.
Задача 15. Амплитуда гармонического колебания равна 5 см, период - 4 сек. Найти максимальную скорость колеблющейся точки и ее
максимальное ускорение.
Вариант № 10
Задача 1. В центре квадрата, в вершинах которого находится по заряду в 7 СГСq, помещен отрицательный заряд. Найти величину этого заряда, если результирующая сила, действующая на каждый заряд, равна
нулю.
Задача 2. Шарик массой в 40 мг, заряженный положительным зарядом в 10-9 Кл, движется со скоростью 10 см/сек. На каком расстоянии
может приблизиться шарик к положительному точечному заряду, равному 4 СГСq?
Задача 3. Расстояние между пластинами плоского конденсатора
4 см. Электрон начинает двигаться от отрицательной пластины в тот
момент, когда от положительной пластины начинает двигаться протон.
На каком расстоянии от положительной пластины они встретятся?
Задача 4. Требуется изготовить конденсатор емкостью в 2,5⋅104
мкФ. Для этого на парафинированную бумагу толщиной в 0,05 мм наклеивают с обеих сторон кружки станиоля. Каков должен быть диаметр
этих кружков?
Задача 5. Найти падение потенциала на медном проводе длиной
500 м и диаметром 2 мм, если сила тока в нем равна 2 А.
Задача 6. В цепь включены параллельно медная и стальная проволоки равной длины и диаметра. Найти: 1) отношение количества тепла,
выделяющегося в этих проволоках, 2) отношение падений напряжений
на этих проволоках.
Задача 7. В цепь, состоящую из медного провода площадью поперечного сечения S₁=3 мм2, включен свинцовый предохранитель площадью поперечного сечения S₂=1 мм2. На какое повышение температуры
проводов при коротком замыкании цепи рассчитан этот предохранитель? Считать, что при коротком замыкании вследствие кратковременности процесса все выделившееся тепло идет на нагревание цепи. Начальная температура предохранителя t₀=17°С.
Задача 8. При освещении сосуда с газом рентгеновскими лучами в
каждом миллиметре его объема ежесекундно ионизуется 1010 молекул.
В результате рекомбинации в сосуде установилось равновесие, причем в
197
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 см3 находится 108 ионов каждого знака. Найти коэффициент рекомбинации.
Задача 9. В схеме рис. 12.14 ℰ1=25 В падение потенциала на сопротивлении R1, равное 10 В, равно падению потенциала на R3 и вдвое
больше падения потенциала на R2. Найти величины ℰ2 и ℰ3. Сопротивлением батарей пренебречь. Токи I1 и I3 направлены справа налево, ток
I2 − сверху вниз.
R1 R3
R2
ℰ1 ℰ2 ℰ3
Рас. 12.14
Задача 10. В схеме рис. 12.14 ℰ1=ℰ2=ℰ3, R1=20 Ом, R2=12 Ом и падение потенциала на сопротивление R2 (ток через R2 направлен сверху
вниз) равно 6 В. Найти силу тока во всех участках цепи. Найти сопротивление R3. Внутренним сопротивлением элементов пренебречь.
Задача 11. Ток I=20 А, протекая по проволочному кольцу из медной
проволоки сечением S=1,0 мм2, создает в центре кольца напряженность
магнитного поля Н=2,24 э. Какая разность потенциалов приложена к
концам проволоки, образующим кольцо?
Задача 12. В магнитном поле, индукция которого равна 0,05 мл,
вращается стержень длиною 1 м. Ось вращения, проходящая через один
из концов стержня, параллельна силовым линиям магнитного поля.
Найти поток магнитной индукции, пересекаемый стержнем при каждом
обороте.
Задача 13. Алюминиевый провод, площадь поперечного сечения которого равна 1 мм2, подвешен к горизонтальной плоскости перпендикулярно магнитному меридиану, и по нему течет ток (с запада на восток)
силой 1,6 А. 1. Какую долю от веса проводника составляет сила, действующая на него со стороны земного магнитного поля? 2. На сколько из198
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
менится вес 1 м провода вследствие этой силы? Горизонтальная составляющая земного магнитного поля 0,2 э.
Задача 14. Найти отношение q/m для заряженной частицы, если она,
влетая со скоростью 108 см/сек, в однородное магнитное поле напряженностью в 2 500 Э, движется по дуге окружности радиусом 8,3 см.
Направление скорости движения частицы перпендикулярно направлению магнитного поля. Сравнить найденное значение со значением q/m
для электрона, протона и α-частицы.
Задача 15. Уравнение движения точки дано в виде
π
π
х = 2 sin  t + см. Найти: 1) период колебаний, 2) максимальную
4
2
скорость точки, 3) ее максимальное ускорение.
Вариант № 11
Задача 1. В вершинах правильного шестиугольника расположены
три положительных и три отрицательных заряда. Найти напряженность
электрического поля в центре шестиугольника при различных комбинациях в расположении этих зарядов. Величина каждого заряда q=4,5
СГСq. Сторона шестиугольника 3 см.
Задача 2. На какое расстояние могут сблизиться два электрона, если
они движутся навстречу друг другу с относительной скоростью, равной
108 см/сек?
Задача 3. Расстояние между пластинами плоского конденсатора
рав-но 1 см. От одной из пластин одновременно начинают двигаться
протон и α-частица за то время, в течение которого протон пройдет весь
путь от одной пластины до другой?
Задача 4. Радиус центральной жилы коаксиального кабеля 1,5 см,
радиус оболочки 3,5 см. Между центральной жилой и оболочкой приложена разность потенциалов 2 300 В. Вычислить напряженность электрического поля на расстоянии 2 см от оси кабеля.
Задача 5. Элемент с э.д.с. в 1,1 В и внутренним сопротивлением в
1 Ом замкнут на внешнее сопротивление 9 Ом. Найти: 1) силу тока в
цепи, 2) падение потенциала во внешней цепи, 3) падение потенциала
внутри элемента, 4) с каким к.п.д. работает элемент.
Задача 6. Элемент, э.д.с. которого равна 6 В, дает максимальную
силу тока 3 А. Найти наибольшее количество тепла, которое может
быть выделено во внешнем сопротивлении за 1 мин.
Задача 7. Найти количество тепла, выделяющееся ежесекундно в
единице объема медного провода при плотности тока в 30 А/см2.
Задача 8. К электродам разрядной трубки приложена разность потенциалов 5 В, расстояние между ними 10 см. Газ, находящийся в трубке, однократно ионизован и число пар ионов в 1 м3 равно 108, причем
199
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
u+=3⋅10-2 м2/В⋅сек и u−=3⋅102 м2/В⋅сек. Найти: 1) плотность тока в трубке,
2) какая часть полного тока переносится положительными ионами.
Задача 9. В схеме рис. 12.14 ℰ1=2 В, ℰ2=4 В, ℰ3=6 В, R1=4 Ом,
R2=6 Ом и R3=8 Ом. Найти силу тока во всех участках цепи. Сопротивлением элементов пренебречь.
Задача 10. В схеме рис. 12.15 ℰ − батарея с э.д.с., равной 120 В; АВ –
потенциометр, сопротивление которого равно 120 Ом, и М – электрическая лампочка. Сопротивление лампочки меняется при нагревании от 30
до 300 Ом. На сколько меняется при этом разность потенциалов на концах лампочки, если подвижный контакт С стоит на середине потенциометра? На столько меняется при этом мощность, потребляемая лампочкой?
ℰ
С
АВ
М
Рис.
Задача 11. Найти напряженность магнитного поля на оси кругового
контура на расстоянии 3 см от его плоскости. Радиус контура 4 см, сила
тока в контуре 2 А.
Задача 12. Рамка, площадь которой равна 16 см2, вращается в однородном магнитном поле, делая 2 об/сек. Ось вращения находится в
плоскости рамки и перпендикулярна линиям магнитного поля. Напряженность магнитного поля равна 7,96⋅104 А/м. Найти: 1) зависимость
магнитного потока, пронизывающего рамку, от времени, 2) наибольшее
значение магнитного потока.
Задача 13. Катушка гальванометра, состоящая из 400 витков тонкой
проволоки, намотанной на прямоугольный каркас длиной в 3 см и шириной в 2 см, подвешена на нити в магнитном поле, индукция которого
200
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 000 гс. По катушке течет ток силой 10-7 А. Найти вращающий момент,
действующий на катушку гальванометра, если: 1) плоскость катушки
параллельна направлению магнитного поля, 2) плоскость катушки составляет 60° с направлением магнитного поля.
Задача 14. Магнитное поле напряженностью Н=8⋅103 А/м и электрическое поле напряженностью Е=10 В/см направлены одинаково.
Электрон влетает в такое электромагнитное поле со скоростью
υ=105 м/сек. Найти нормальное аn, тангенциальное аt и полное а ускорения электрона. Задачу решить для случаев: 1) скорость электрона направлена параллельно силовым линиям и 2) скорость электрона направлена перпендикулярно силовым линиям полей.
π
Задача 15. Уравнение движения точки дано в виде х = sin t. Най6
ти моменты времени, в которые достигаются максимальная скорость и
максимальное ускорение.
Вариант № 12
Задача 1. В вершинах правильного шестиугольника расположены
положительные заряды. Найти напряженность электрического поля в
центре шестиугольника. Величина каждого заряда q=4,5 CГCq. Сторона
шестиугольника 3 см.
Задача 2. Протон (ядро атома водорода) движется со скоростью
7,7⋅108 см/сек. На какое наименьшее расстояние может приблизиться
этот протон к ядру атома алюминия? Заряд атомов алюминия q=Ze₀, где
Z − порядковый номер атома в таблице Менделеева и е₀ − заряд протона, численно равный заряду электрона. Массу протона считать равной
массе атома водорода. Протон и ядро атома алюминия считать точечными зарядами. Влиянием электронной оболочки атома алюминия пренебречь.
Задача 3. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной
пластины до другой, приобретает скорость 108 см/сек. Расстояние между пластинами 5,3 мм. Найти: 1) разность потенциалов между пластинами, 2) напряженность электрического поля внутри конденсатора,
3) поверхностную плотность заряда на пластинах.
Задача 4. Воздушный цилиндрический конденсатор имеет радиус
внутреннего цилиндра r=1,5 см, радиус внешнего цилиндра R=3,5 см.
Между цилиндрами приложена разность потенциалов U=2300 В. Какую
скорость получит электрон под действием поля этого конденсатора,
двигаясь с расстояния l₁=2,5 см до расстояния l₂=2 см от оси цилиндра?
Задача 5. Построить график зависимости падения потенциала во
внешней цепи от внешнего сопротивления для цепи от внешнего сопро201
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тивления для цепи предыдущей задачи. Внешнее сопротивление взять в
пределах 0 ≤ R ≤ 10 Ом через каждые 2 Ом.
Задача 6. Определить: 1) общую мощность, 2) полезную мощность
и 3) к.п.д. батареи, э.д.с. которой равна 240 В, если внешнее сопротивление равно 23 Ом и сопротивление батареи 1 Ом.
Задача 7. Какая разность потенциалов получается на зажимах двух
элементов, включенных параллельно, если их э.д.с. равны соответственно ℰ₁= В и ℰ₂=1,2 В и внутреннее сопротивление r₁=0,6 Ом и
r₂=0,4 Ом?
Задача 8. Площадь каждого электрода ионизационной камеры
100 см2 и расстояние между ними 6,2 см. Найти ток насыщения в такой
камере, если известно, что ионизатор образует в 1 см3 ежесекундно
109 ионов каждого знака. Ионы считать одновалентными.
Задача 9. В схеме рис. 12.16 ℰ − батарея с э.д.с., равной 120 В,
R3=20 Ом, R4=25 Ом и падение потенциала на сопротивлении R1 равно
40 В. Амперметр показывает 2 А. Найти сопротивление R2. Сопротивлением батарей и амперметра пренебречь.
Задача 10. 1. Какую силу тока показывает амперметр в схеме рис.
12.16, если ℰ=10 В, r=1 Ом и к.п.д. 0,8? 2. Чему равно падение потенциала на сопротивлении R2, если известно, что падение потенциала на
сопротивлении R1 равно 4 В и на сопротивлении R4 равно 2 В?
Задача 11. Напряженность магнитного поля в центре кругового витка радиусом 11 см равна 0,8 э. Найти напряженность магнитного поля
на оси витка на расстоянии 10 см от его плоскости.
Задача 12. Железный образец помещен в магнитное поле, напряженность которого 10 э. Найти магнитную проницаемость железа при
этих условиях.
Задача 13. На расстоянии 20 см от длинного прямолинейного вертикального провода на тонкой нити длиной 102 см и диаметром 0,1 мм
висит короткая магнитная стрелка, магнитный момент которой равен 102
А⋅м2. Стрелка находится в плоскости, проходящей через провод и
нить. На какой угол повернется стрелка, если по проводу пустить ток
силой 30 А? Модуль сдвига материала нити 600 кГ/мм2. Система экранирована от магнитного поля Земли.
202
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ℰ
R1
R2
R1
R3
Рис. 12.16
Задача 14. Магнитное поле, индукция которого В=5 гс, направлено
перпендикулярно электрическому полю, напряженность которого
Е=10 В/см. Пучок электронов, летящих с некоторой скоростью υ, влетает в пространство, где расположены эти поля, причем скорость электронов перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы Е и В. Найти:
1) скорость электронов υ, если при одновременном действии обоих полей пучок электронов не испытывает отклонения, 2) радиус кривизны
траектории электронов при условии включения одного магнитного поля.
Задача 15. Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний 2 сек, амплитуда 50 мм, начальная фаза равна нулю. Найти
скорость точки в момент времени, когда смещение точки от положения
равновесия равно 25 мм.
Вариант № 13
Задача 1. Расстояние между двумя точечными зарядами q₁=22,5
СГСq и q₂=−44,0 СГСq равно 5 см. Найти напряженность электрического
поля в точке, находящейся на расстоянии 3 см от положительного заряда и 4 см от отрицательного заряда.
Задача 2. При бомбардировке неподвижного ядра натрия αчастицей сила отталкивания между ними достигла 14 кГ. 1. На какое
наименьшее расстояние приблизилась α-частица к ядру атома натрия?
2) Какую скорость имела α-частица? Влиянием электронной оболочки
атома натрия пренебречь.
Задача 3. Электрическое поле образовано двумя параллельными
пла-стинами, находящимися на расстоянии 2 см друг от друга; разность
203
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
потенциалов между ними 120 В. Какую скорость получит электрон под
действием поля, пройдя по силовой линии расстояние в 3 мм?
Задача 4. Цилиндрический конденсатор состоит из внутреннего цилиндра радиусом r=3 мм, двух слоев изолятора и внешнего цилиндра
радиусом R=1 см. Первый слой изолятора толщиной d₁=3 мм примыкает
к внутреннему цилиндру. Найти отношение падений потенциала в этих
слоях.
Задача 5. Элемент с э.д.с. в 2 В имеет внутреннее сопротивление
0,5 Ом. Определить падение потенциала внутри элемента при силе тока
в цепи 0,25 А. Найти внешнее сопротивление цепи при этих условиях.
Задача 6. Найти внутреннее сопротивление генератора, если известно, что мощность, выделяемая во внешней цепи, одинакова при двух
значениях внешнего сопротивления R₁=5 Ом и R₂=0,2 Ом. Найти к.п.д.
генератора в каждом из этих случаев.
Задача 7. За какое время при электролизе водного раствора хлорной
меди (CuCl₂) на катоде выделится 4,74 г меди? Сила тока равна 2 А.
Задача 8. Найти возможное наибольшее число пар ионов в 1 см3 камеры площадью каждого электрода 100 см2, при расстоянии между ними 6,2 см в условиях, когда коэффициент рекомбинации равен 10-6. Ионизатор образует в 1 см3 ежесекундно 109 ионов каждого знака. Ионы
считать одновалентными.
Задача 9. Какую силу тока показывает миллиамперметр mA в схеме
рис. 12.17, если ℰ1=2 В, ℰ2=1 В, R1=103 Ом, R2=500 Ом, R3=200 Ом и сопротивление амперметра равно RА=200 Ом? Внутренним сопротивлением элементов пренебречь.
Задача 10. Какую силу тока показывает миллиамперметр mA в схеме рис. 12.17, если ℰ1=2 В, ℰ2=3 В, R3=1500 Ом, RА=500 Ом и падение
потенциала на сопротивлении R2 (ток через R2 направлен сверху вниз)
равно 1 В? Сопротивлением элементов пренебречь.
Задача 11. Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены
в параллельных плоскостях на расстоянии 0,1 м друг от друга. По виткам текут токи I1=I2=2 А. Найти напряженность магнитного поля на оси
витков в точке, находящейся на равном расстоянии от них. Задачу решить для случаев: 1) токи в витках текут в одном направлении, 2) токи в
витках текут в противоположных направлениях.
Задача 12. Сколько ампер-витков потребуется для того, чтобы внутри соленоида малого диаметра и длиной 30 см объемная плотность
энергии магнитного поля была равна 1,75 Дж/м3?
Задача 13. Катушка гальванометра, состоящая из 600 витков проволоки, подвешена на нити длиной в 10 см и диаметром 0,1 мм в магнитном поле напряженностью в 16⋅104 А/м так, что ее плоскость параллель204
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
на направлению магнитного поля. Длина рамки катушки а=2,2 см и ширина b=1,9 см. Какой ток течет по обмотке катушки, если катушка повернулась на угол, равный 0,5°? Модуль сдвига материала нити
600 кГ/мм2.
R2 R1
ℰ1 ℰ2
R3
Рис. 12.17
Задача 14. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U=6 кВ,
влетает в однородное магнитное поле под углом α=30° к направлению
поля и начинает двигаться по винтовой линии. Индукция магнитного
поля В=1,3⋅10-2 Вб/м2. Найти: 1) радиус витка винтовой линии и 2) шаг
винтовой линии .
Задача 15. Написать уравнение гармонического колебательного
дви-жения, если максимальное ускорение точки 49,3 см/сек2., период
колебаний 2 сек. и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.
Вариант № 14
Задача 1. Два шарика одинакового радиуса и веса подвешены на нитях так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам
заряда q₀=4⋅10-7 Кл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол
60°. Найти вес шариков, если расстояние от точки подвеса до центра
шарика равно 20 см.
Задача 2. Два шарика с зарядами q₁=20 СГСq находится на расстоянии r₁=40 см. Какую надо совершить работу, чтобы их до расстояния
r₂=25 см?
Задача 3. Электрон, находящийся в однородном электрическом поле, получает ускорение, равное 1014 см/сек2.. Найти: 1) напряженность
электрического поля, 2) скорость, которую получит электрон за 10-6 сек.
своего движения, если начальная его скорость равна нулю, 3) работу
205
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сил электрического поля за это время, 4) разность потенциалов, пройденную при этом электроном.
Задача 4. Чему будет равен потенциал шара радиусом 3 см, если:
1) сообщить ему заряд 10-9 Кл, 2) окружить его другим шаром радиусом
4 см, концентрическим с первым и соединенным с землей?
Задача 5. Электродвижущая сила элемента равна 1,6 В и внутреннее
его сопротивление 0,5 Ом. Чему равен к.п.д. элемента при силе тока в
2,4 А?
Задача 6. Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление
R₁=2 Ом, а затем на внешнее сопротивление R₂=0,5 Ом. Найти э.д.с.
элемента и его внутреннее сопротивление, если известно, что в каждом
из этих случаев мощность, выделяемая во внешней цепи, одинакова и
равна 2,54 Вт.
Задача 7. Медная пластинка общей площадью 25 см2 служит катодом при электролизе медного купороса. После пропускания в течение
некоторого времени тока, плотность которого в течение некоторого
времени тока, плотность которого равна 0,02 А/см2, масса пластинки
увеличилась на 99 мг. Найти: 1) сколько времени пропускался ток,
2) какой толщины образовался при этом слой меди на пластинке.
Задача 8. Найти сопротивление трубки длиною 84 см и площадью
поперечного сечения 5 мм2, если она наполнена воздухом, ионизованным так, что в 1 см3 его находится при равновесии 107 пар ионов. Ионы
одновалентны. Подвижность ионов равна u+=1,3⋅10-4 м2/В⋅сек.
Задача 9. В схеме рис. 12.18 ℰ − батарея с э.д.с., равной 100 В,
R1=100 Ом, R2=200 Ом и R3=300 Ом. Какое напряжение показывает
вольтметр, если его сопротивление равно 2 000 Ом? Сопротивлением
батареи пренебречь.
Задача 10. В схеме рис. 12.18 R1=R2=R3=200 Ом. Вольтметр показывает 100 В; сопротивление вольтметра RV=1 000 Ом. Найти э.д.с. батареи. Сопро-тивлением батареи пренебречь.
Задача 11. Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены
в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга. По виткам
текут токи I1=I2=4 А. Найти напряженность магнитного поля в центре
одного из витков. Задачу решить для случаев: 1) токи в витках текут в
одном направлении, 2) токи текут в противоположных направлениях.
206
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ℰ
R1 R2
R3
Рис. 12.18
Задача 9. Сколько ампер-витков потребуется для создания магнитного потока в 42 000 мкс в соленоиде с железным сердечником длиною
120 см и площадью поперечного сечения 3 см2?
Задача 10. Квадратная рамка подвешена на проволоке так, что силовые линии магнитного поля составляют угол 90° с нормалью к плоскости рамки. Сторона рамки равна 1 см. Магнитная индукция поля равна
1,37⋅10-2 мл. Если по рамке пропустить ток силой I=1 А, то она поворачивает на угол 1°. Найти модуль сдвига материала проволоки. Длина
проволоки 10 см, радиус нити 0,1 мм.
Задача 11. Протон влетает в однородное магнитное поле под углом
α=30° к направлению поля и движется по винтовой линии, радиус которой равен 1,5 см. Индукция магнитного поля равна 103 гс. Найти кинетическую энергию протона.
Задача 12. Уравнение колебания материальной точки массой
π
π
m=1,6⋅10-2 кг имеет вид х = 0,1 sin  t +  м. Построить график зави4
8
симости от времени t (в пределах одного периода) силы F, действующей
на точку. Найти значение максимальной силы.
Вариант № 15
Задача 1. Два шарика одинакового радиуса и веса подвешены на
двух нитях так, что их поверхности соприкасаются. Какой заряд нужно
сообщить шарикам, чтобы натяжение нитей стало равным 0,098 Н? Расстояние от точки подвеса до центра шарика равно 10 см. Вес каждого
шарика равен 5⋅10-3 кг.
Задача 2. Шар радиусом 1 см, имеющий заряд 4⋅10-8 Кл, помещен в
масло. Начертить график зависимости U=f(x) для точек поля, отстоящих
от поверхности шара на расстоянии х, равных 1, 2, 3, 4 и 5 см.
207
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 3. Электрон летит от одной пластины плоского конденсатора
до другой. Разность потенциалов между пластинами равна 3 кВ; расстояние между пластинами 5 мм. Найти: 1) силу, действующую на электрон; 2) ускорение электрона, 3) скорость, с которой электрон приходит
ко второй пластине, 4) поверхностную плотность заряда на пластинах
конденсатора.
Задача 4. Конденсатор емкостью в 20 мкФ заряжен до потенциала
100 В. Найти энергию этого конденсатора.
Задача 5. Электродвижущая сила элемента равна 6 В. При внешнем
сопротивлении, равном 1,1 Ом, сила тока в цепи равна 3 А. Найти падение потенциала внутри элемента и его сопротивление.
Задача 6. Элемент с э.д.с. в 2 В и внутренним сопротивлением в
0,5 Ом замкнут на внешнее сопротивление R. Построить графики зависимости от сопротивления: 1) силы тока в цепи, 2) разности потенциалов на концах внешней цепи, 3) мощности, выделяемой во внешней цепи, 4) полной мощности. Сопротивление R взять в пределах
0 ≤ R ≤ 4 Ом через каждые 0,5 Ом.
Задача 7. При электролизе медного купороса за один час выделилось 0,5 г меди. Площадь каждого электрода равна 75 см2. Найти плотность тока.
Задача 8. Какой наименьшей скоростью должен обладать электрон
для того, чтобы ионизовать атом водорода? Потенциал ионизации атома
водорода 13,5 В.
Задача 9. В схеме рис. 12.19 ℰ1 и ℰ2 − два элемента с равными э.д.с.
в 2 В. Внутренние сопротивления этих элементов равны соответственно
r1=1 Ом и r2=2 Ом. Чему равно внешнее сопротивление R, если сила тока I1, текущего через ℰ1, равна 1 А? Найти силу тока I2, идущего через
ℰ2. Найти силу тока IR , идущего через сопротивление R.
Задача 10. Решить задачу 9, если ℰ1=ℰ2=4 В, r1=r2=0,5 Ом и I1=2 А.
208
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
R
ℰ1 ℰ2
Рис. 12.19
Задача 11. Найти распределение напряженности магнитного поля
вдоль оси кругового витка диаметром 10 см, по которому течет ток силой 10 А. Составить таблицу значений Н для значений х в интервале
0≤х≤10 см через каждые 2 см и построить график с нанесением масштаба.
Задача 12. Длина железного сердечника тороида равна 2,5 м, длина
воздушного зазора 1 см. Число витков в обмотке тороида равно 1000.
При силе тока в 20 А индукция магнитного поля в воздушном зазоре
равна 1,6 мл. Определить магнитную проницаемость железного сердечника при этих условиях. (Зависимость В от Н для данного сорта железа
неизвестна.)
Задача 13. Круговой контур помещен в однородное магнитное поле
так, что плоскость контура перпендикулярна силовым линиям поля. Напряженность магнитного поля 2 000 Э. По контуру течет ток силой 2 А.
Радиус контура 2 см. Какую работу надо совершить, чтобы повернуть
контур на 90° вокруг оси, совпадающей с диаметром контура?
Задача 14. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью υ0=107 м/сек. Длина конденсатора l=5 см; напряженность электрического поля конденсатора
Е=100 В/см. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, силовые линии которого перпендикулярны силовым линиям
электрического поля. Индукция магнитного поля В=10-2 Тл. Найти:
1) радиус винтовой траектории электрона в магнитном поле и 2) шаг
винтовой траектории электрона.
Задача 15. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю.
При смещении точки от положения равновесия, равного 2,4 см, скорость точки равной 3 см/сек, а при смещении, равном 2,8 см, скорость
равна 2 см/сек. Найти амплитуду и период этого колебания.
209
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вариант № 16
Задача 1. Найти плотность материала двух шариков одинакового
радиуса и веса, подвешенных на нитях так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам заряда q₀=4⋅10-7 Кл они оттолкнулись на угол 60°. Известно, что расстояние от точки подвеса до центра
шарика равно 20 см, а при погружении этих шариков в керосин угол
расхождения нитей стал равен 54°.
Задача 2. Определить потенциал точки поля, находящейся на расстоянии 10 см от центра заряженного шара радиусом в 1 см. Задачу решить при следующих условиях: 1) задана поверхностная плотность заряда на шаре, равная 10-11 Кл/см2, 2) задан потенциал шара, равный
300 В.
Задача 3. Электрон с некоторой начальной скоростью υ₀ влетает в
плоский конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от
них. К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов
U=300 В. Расстояние между пластинами d=2 см, длина конденсатора
l=10 см. Какова должна быть предельная начальная скорость υ₀ электрона, чтобы электрон не вылетел из конденсатора? Решить эту же задачу для α-частицы.
Задача 4. В каких пределах может меняться емкость системы, состоящей из двух конденсаторов переменной емкости, если емкость каждого из них может меняться от 10 до 450 пФ?
Задача 5. Какую долю э.д.с. элемента сопротивления разность потенциалов на его концах, если сопротивлении элемента в n раз меньше
внешнего сопротивления. Задачу решить для: 1) n=0,1, 2) n=1, 3) n=10.
Задача 6. Элемент, э.д.с. которого ℰ и внутреннее сопротивление r,
замкнут на внешнее сопротивление R. Наибольшая мощность во внешней цепи равна 9 Вт. Сила тока, текущего при этих условиях по цепи,
равна 3 А. Найти величины ℰ и r.
Задача 7. Найти электрохимический эквивалент водорода.
Задача 8. При какой температуре атомы ртути имеют среднюю кинетическую энергию поступательного движения, достаточную для ионизации? Потенциал ионизации атома ртути 10,4 В.
Задача 9. В схеме рис. 12.20 ℰ − батарея, э.д.с. которой равна 120 В,
R3=30 Ом, R2=60 Ом. Амперметр показывает 2 А. Найти мощность, выделяющуюся в сопротивлении R1. Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь.
Задача 10. Найти показания амперметра в схеме рис. 12.20. Э.д.с. батареи равна 100 В, ее внутреннее сопротивление равно 2 Ом. Сопротивления R1 и R3 равны соответственно 25 Ом и 78 Ом. Мощность, выде210
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ляющаяся на сопротивлении R1, равна 16 Вт. Сопротивлением амперметра пренебречь.
Задача 11. Два круговых витка расположены в двух взаимноперпендикулярных плоскостях так, что центры этих витков совпадают.
Радиус каждого витка 2 см и токи, текущие по виткам, I1=I2=5 А. Найти
напряженность магнитного поля в центре витков.
Задача 12. Длина железного сердечника тороида равна 1 м, длина
воздушного зазора − 1 см. Площадь поперечного сечения равна 25 см2.
Найти, сколько ампер-витков потребуется для создания магнитного потока в 1,4⋅105 мкс, если известно, что при этих условиях магнитная проницаемость материала сердечника равна 800. (Зависимость В от Н для
данного сорта железа неизвестна.)
ℰ
А
R1 R2
R3
Рис. 12.20
Задача 13. В однородном магнитном поле, индукция которого равна
0,5 Вб/м2, движется равномерно проводник длиной 10 см. По проводнику течет ток силой 2 А. Скорость движения проводника 20 см/сек и направлена она перпендикулярно к направлению магнитного поля. Найти:
1) работу перемещения проводника за 10 сек. движения, 2) мощность,
затраченную на это движение.
Задача 14. Электрон, ускоренный разностью потенциалов
U=3000 В, влетает в магнитное поле соленоида под углом α=30° к его
оси. Число ампер-витков соленоида равно 5 000. Длина соленоида
25 см. Найти шаг винтовой траектории электрона в магнитном поле соленоида.
Задача 15. Материальная точка массой 10 г колеблется по уравне πt π 
нию х = 5 sin  +  см. Найти максимальную силу, действующую на
 5 4
точку, и полную энергию колеблющейся точки.
211
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вариант № 17
Задача 1. Два заряженных шарика одинакового радиуса и веса, подвешенные на нитях одинаковой длины, опускаются в жидкий диэлектрик, плотность которого ρ₁ и диэлектрическая проницаемость ε. Какова
должна быть плотность ρ материала шариков, чтобы углы расхождения
нитей в воздухе и в диэлектрике были одинаковыми?
Задача 2. Какая совершается работа при перенесении точечного заряда в 2⋅10-8 Кл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии
1 см от поверхности шара радиусом 1 см с поверхностной плотностью
заряда σ=10-9 Кл/см2?
Задача 3. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор
параллельно пластинам со скоростью 9⋅106 м/сек. Найти полное, нормальное и тангенциальное ускорение электрона через 10-8 сек. после начала его движения в конденсаторе. Разность потенциалов между пластинами равна 100 В, расстояние между пластинами 1 см.
Задача 4. Шар радиусом в 1 м заряжен до потенциала 30 000 В.
Найти энергию заряженного шара.
Задача 5. Элемент, реостат и амперметр включены последовательно. Элемент имеет э.д.с. 2 В и внутреннее сопротивление 0,4 Ом. Амперметр показывает силу тока 1 А. С каким к.п.д. работает элемент?
Задача 6. Разность потенциалов между двумя точками А и В равна
9 В. Имеются два проводника, сопротивления которых равны соответственно 5 и 3 Ом. Найти количество тепла, выделяющегося в каждом из
проводников в 1 сек, если проводники между А и В включены:
1) последовательно, 2) параллельно.
Задача 7. Амперметр, включенный последовательно с электролитической ванной с раствором AgNO3, показывает силу тока в 0,90 А. Верен ли амперметр, если за 5 мин. прохождения тока выделилось 126 мг
серебра?
Задача 8. Потенциал ионизации атома гелия 24,5 В. Найти работу
ионизации.
Задача 9. На рис. 12.21 ℰ1=110 В, ℰ2=220 В, R1=R2=100 Ом,
R3=500 Ом. Найти показания амперметра. Сопротивлением батареи и
амперметра пренебречь.
Задача 10. В схеме рис. 12.21 ℰ1=2 В, ℰ2=4 В, R1=0,5 Ом и падение
потенциала на сопротивлении R2 (ток через R2 направлен сверху вниз)
равно 1 В. Найти показания амперметра. Внутренним сопротивлением
элементов и амперметра пренебречь.
Задача 11. Из проволоки длиной 1 м сделана квадратная рамка. По
этой рамке течет ток силой 10 А. Найти напряженность магнитного поля в центре рамки.
212
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 12. Определить магнитную индукцию в замкнутом железном
сердечнике тороида длиною 20,9 см, если число ампер-витков обмотки
тороида равно 1 500. Найти магнитную проницаемость материала сердечника при этих условиях.
Задача 13. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 1 000 В,
влетает в однородное магнитное поле, перпендикулярное направлению
его движения. Индукция магнитного поля равна 1,19⋅10-3 мл. Найти:
1) радиус кривизны траектории электрона, 2) период обращения его по
окружности, 3) момент количества движения электрона.
Задача 14. Через сечение S=ab медной пластинки толщиной
а=0,5 мм и высотой b=10 мм идет ток I=20 А. При помещении пластинки в магнитное поле, перпендикулярное ребру b и направлению тока,
возникает поперечная разность потенциалов U=3,1⋅10-6 В. Индукция
магнитного поля В=1 Тл. Определить 1) концентрацию электронов проводимости в меди и 2) их среднюю скорость при этих условиях.
ℰ2 R2
R3
ℰ1
R1
Рис. 12.21
Задача 15. Уравнение колебания материальной точки массой в 16 г
 πt π 
имеет вид х = 2 sin  +  см. Построить график зависимости от вре 4 4
мени (в пределах одного периода) кинетической, потенциальной и полной энергии точки.
Вариант № 18
Задача 1. Определить напряженность электрического поля на расстоянии 2⋅10-8 см от одновалентного иона. Заряд иона считать точечным.
Задача 2. Шарик массой 1 г и зарядом 10-8 Кл перемещается из точки А, потенциал которой равен 600 В, в точку В, потенциал которой ра213
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вен нулю. Чему была равна его скорость в точке А, если в точке В она
стала равной 20 см/сек?
Задача 3. Протон и α-частица, двигаясь с одинаковой скоростью,
влетают в плоский конденсатор параллельно пластинам. Во сколько раз
отклонение протона полем конденсатора будет больше отклонения αчастицы?
Задача 4. Шар, погруженный в керосин, имеет потенциал 4 500 В и
поверхностную плотность заряда 3,4 СГСq/см2. Найти: 1) радиус,
2) заряд, 3) емкость и 4) энергию шара.
Задача 5. Имеются два одинаковых элемента с э.д.с. в 2 В и внутренним сопротивлением в 0,3 Ом. Как надо соединить эти элементы
(последовательно или параллельно), чтобы получить большую силу тока, если: 1) внешнее сопротивление равно 0,2 Ом, 2) внешнее сопротивление равно 16 Ом? Вычислить силу тока в каждом из этих случаев.
Задача 6. Две электрические лампочки включены в сеть параллельно. Сопротивление первой лампочки 360 Ом, сопротивление второй 240 Ом. Какая из лампочек поглощает большую мощность? Во сколько
раз?
Задача 7. Две электролитические ванны с растворами AgNO3 и CuSO4 соединены последовательно. Сколько меди выделится за время, в
течение которого выделилось 180 мг серебра?
Задача 8. Какой наименьшей скоростью должны обладать свободные электроны в 1) цезии и 2) платине, для того чтобы они смогли покинуть металл?
Задача 9. В схеме рис. 12.21 ℰ1=30 В, ℰ2=5 В, R2=10 Ом, R3=20 Ом.
Через амперметр идет ток в 1 А, направленный от R3 к R1. Найти сопротивление R1. Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь.
Задача 10. Найти силу тока в отдельных ветвях мостика Уитстона
(рис. 12.22) при условии, что сила тока, идущего через гальванометр,
равна нулю. Э.д.с. генератора 2 В, R1=30 Ом, R2=45 Ом, R3=200 Ом. Сопротивлением генератора пренебречь.
214
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
R1I1 R2I2
R3I3 R4I4
Iℰ
Рис.
Задача 11. В центре кругового проволочного витка создается магнитное поле Н при разности потенциалов U на концах витка. Как нужно
изменить приложенную разность потенциалов, чтобы получить такую
же напряженность магнитного поля в центре витка вдвое большего радиуса, сделанного из той же проволоки?
Задача 12. Длина железного сердечника тороида l2=1 м, длина воздушного зазора l1=3 мм. Число витков в обмотке тороида N=2000. Найти
напряженность магнитного поля Н1 в воздушном зазоре при силе тока
I=1 А в обмотке тороида.
Задача 13. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 300 В,
движется параллельно прямолинейному длинному проводу на расстоянии 4 мм от него. Какая сила подействует на электрон, если по проводнику пустить ток 5 А.
Задача 14. Через сечение S=ab алюминиевой пластины (а − толщина
и b − высота пластины) пропускают ток I=5 А. Пластина помещена в
магнитное поле, перпендикулярное ребру b и направлению тока. Определите возникающую при этом поперечную разность потенциалов, если
индукция магнитного поля В=0,5 Тл и толщина пластины а=0,1 мм.
Концентрацию электронов проводимости считать равной концентрации
атомов.
Задача 15. Чему равно отношение кинетической энергии точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии для
моментов времени: 1)
t=
T
T
T
сек.; 2) t = сек.; 3) t = сек.. На12
8
6
чальная фаза колебаний равна нулю.
Вариант № 19
215
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 1. С какой силой электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на каждый метр заряженной длинной нити,
помещенной в это поле? Линейная плотность заряда на нити 3⋅10-8
Кл/см и поверхностная плотность заряда на плоскости 2⋅10-9 Кл/см2.
Задача 2. Найти скорость υ электрона, прошедшего разность потенциалов U, равную 1, 5, 10, 100, 1 000 В.
Задача 3. Протон и α-частица, ускоренные одинаковой разностью
потенциалов, влетают в плоский конденсатор параллельно пластинам.
Во сколько раз отклонение протона полем конденсатора будет больше
отклонения α-частицы?
Задача 4. Между пластинами плоского конденсатора вложена тонкая слюдяная пластина. Какое давление испытывает эта пластина при
напряженности электрического поля в 10 кВ/см?
Задача 5. Элемент, амперметр и некоторое сопротивление включены последовательно. Сопротивление сделано из медной проволоки в
100 м и имеет поперечное сечение в 2 мм2, сопротивление амперметра
0,05 Ом; Амперметр показывает 1,43 А. Если же взять сопротивление из
алюминиевой проволоки длиной в 57,3 м и с поперечным сечением в
1 мм2, то амперметр покажет 1 А. Найти э.д.с. элемента и его внутреннее сопротивление.
Задача 6. Сколько воды можно вскипятить, затратив 3 гВт⋅ч электрической энергии? Начальная температура воды 10°С. Потерями тепла
пренебречь.
Задача 7. При получении алюминия электролизом раствора Al2O3 в
расплавленном криолите проходил ток 2⋅104 , а при разности потенциалов на электродах в 5 В. 1. Найти время, в течении которого будет выделено 103 кг алюминия. 2. Сколько электрической энергии при этом
будет затрачено?
Задача 8. Во сколько раз изменится удельная термоэлектронная
проводимость эмиссия вольфрама, находящегося при температуре
2400°К, если повысить температуру вольфрама на 100°?
Задача 9. В схеме рис. 12.23 ℰ − батарея, э.д.с. которой равна 120 В,
R1=25 Ом, R2=R3=100 Ом. Найти мощность, выделяющуюся на сопротивлении R1. Сопротивлением батареи пренебречь.
Задача 10. В схеме рис. 12.23 сопротивление R1=100 Ом, мощность,
выделяющаяся при этом сопротивлении, Р=16 Вт. К.п.д. генератора
80%. Найти э.д.с. генератора, если известно, что падение потенциала на
сопротивлении R3 равно 40 В.
Задача 11. По проволочной рамке, имеющей форму правильного
шестиугольника, идет ток силой I=2 А. При этом в центре рамки обра-
216
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
зуется магнитное поле напряженностью Н=33 А/м. Найти длину L проволоки, из которой сделана рамка.
Задача 12. Длина железного сердечника тороида равна 50 см, длина
воздушного промежутка - 2 мм. Число ампер-витков в обмотке тороида
равно 2 000. Во сколько раз уменьшится напряженность магнитного поля в воздушном зазоре, если при том же количестве ампер-витков увеличить длину воздушного зазора вдвое?
ℰ
R2 R3
R1
Рис.
Задача 13. Поток α-частиц (ядер атома гелия), ускоренных разностью потенциалов в 1 МВ, влетает в однородное магнитное поле напряженностью 15 000 э. Скорость каждой частицы направлена под прямым
углом к направлению магнитного поля. Найти силу, действующую на
каждую частицу.
Задача 14. Катушка длиной 0,2 см и диаметром 3 см имеет
400 витков. По катушке идет ток силой 5 А. Найти: 1) индуктивность
катушки, 2) магнитный поток, пронизывающий площадь ее поперечного
сечения.
Задача 15. К пружине подвешен груз 10 кг. Зная, что пружина под
влиянием силы в 1 кг растягивается на 1,5 см, определить период вертикальных колебаний груза.
Вариант № 20
Задача 1. С какой силой (на единицу длины) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечные длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда в 3⋅10-8 Кл/см, находящиеся на расстоянии 2 см
друг от друга? Какую работу (на единицу длины) надо совершить, чтобы сдвинуть эти нити до расстояния в 1 см?
217
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 2. При радиоактивном распаде из ядра атома полония вылетает α-частица со скоростью 1,6⋅109 см/сек. Найти кинетическую энергию этой α-частицы и разность потенциалов поля, в котором можно разогнать покоящуюся α-частицу до такой же скорости.
Задача 3. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор
параллельно его пластинам со скоростью υх=107 м/сек. Напряженность
поля в конденсаторе Е=100 В/см, длина конденсатора l-5 см. Найти величину и направление скорости при вылете его из конденсатора.
Задача 4. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора
100 см2 и расстояние между ними 5 мм. Найти, какая разность потенциалов была приложена к пластинам конденсатора, если известно, что
при разряде конденсатора выделилось 4,19⋅10-3 Дж тепла.
Задача 5. Амперметр, сопротивление которого 0,16 Ом, зашунтирован сопротивлением в 0,04 Ом. Амперметр показывает 8 А. Чему равна
сила тока в магистрали?
Задача 6. 1. Сколько ватт потребляет нагреватель электрического
чайника, если 1 л воды закипает через 5 мин? 2. Каково сопротивление
нагревателя, если напряжение в сети равно 120 В? Начальная температура воды 13,5°С. Потерями тепла пренебречь.
Задача 7. Какое количество электрической энергии надо израсходовать, чтобы при электролизе раствора AgNO3 выделилось 500 мг серебра? Разность потенциалов на электродах равна 4 В.
Задача 8. При какой температуре торированный вольфрам будет давать такую же удельную эмиссию, какую дает чистый вольфрам при
Т=2500°К? Эмиссионную постоянную В для чистого вольфрама считать
равной 60 А/см2⋅град2 и для торированного вольфрама 3 А/см2⋅град2.
Задача 9. Калориметр К имеет спираль, сопротивление которой
R1=60 Ом. Спираль R1 включена в цепь, как показано на схеме рис.
12.24. На сколько градусов нагреется 480 г воды, налитой в калориметр,
за 5 мин. пропускания тока, если амперметр показывает 6 А? Сопротивлением генератора и амперметра потерями тепла пренебречь.
Задача 10. В схеме рис. 12.25 ℰ − батарея с э.д.с. 120 В, R2=10 Ом, В
− электрический чайник. Амперметр показывает 2 А. Через сколько
времени закипит 0,5 л воды, находящейся в чайнике при начальной
температуре 4°С? Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь.
К.п.д. чайника равен 76%.
218
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ℰ
ℰ
R2
R2
R1
R1
В
Рис. 12.24
Рис. 12.25
Задача 11. Бесконечно длинный провод образует круговую петлю,
касательную к проводу. По проводу идет ток силой 5 А. Найти радиус
петли, если известно, что напряженность магнитного поля в центре петли равна 41 А/м.
Задача 12. Внутри соленоида длиной 25,1 см и диаметром 2 см помещен железный сердечник. Соленоид имеет 200 витков. Построить для
соленоида с сердечником график зависимости магнитного потока Ф от
силы тока I в пределах 0≤ I ≤5 А. По оси ординат откладывать Ф⋅104 Вб.
Задача 13. Электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям. Скорость электрона υ=4⋅107 м/сек. Индукция магнитного поля равна 10-3 мл. Чему равны тангенсальное и нормальное ускорения электрона в магнитном поле?
Задача 14. Из какого числа витков проволоки состоит однослойная
обмотка катушки, индуктивность которой 0,001 Гн? Диаметр катушки
4 см, диаметр проволоки 0,6 мм. Витки плотно прилегают друг к другу.
Задача 15. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает
вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к его
пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый такого же радиуса?
Литература
219
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Антонов А.И., Деденко А.Г., Матвеев А.Н. Методика решения
задач по электричеству. М.: Из-во Моск. ун-та, 1982. 168 с.
Калашников С.Г. Электричество. М.: Наука, 1970. 668 с.
Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм: Учеб. пособие. М.:
Высшая школа, 1983. 463 с.
Савельев И.В. Курс общей физики: Учеб. пособие: В 3 т. Т. 2:
Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. М.: Наука, 1988.
496 с.
Сивухин Д.В. Электричество: Учеб. пособие. М.: Наука, 1983.
688 с.
Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976. 616
с.
Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. М.:
Высшая школа, 1999. 542 с.
Трофимова Т.И., Павлова З. Г. Сборник задач по курсу физики
с решениями: Учеб. пособие. М.: Высшая школа, 1999. 591 с.
220
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................... 3
1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ................................................ 7
1.1. Электрическое поле……….......................................................................... 7
1.2. Теорема Гаусса...................……................................................................. 10
1.3. Теорема Гаусса в дифференциальной форме........................................... 12
1.4. Циркуляция вектора Е. Потенциал........................................................... 14
1.5. Связь между потенциалом и вектором Е…….......................................... 17
1.6. Электрический диполь………………………………............................... 19
2. ПРОВОДНИК В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ........................................ 22
2.1. Поле в веществе………………………...................................................... 22
2.2. Поле внутри и снаружи проводника………………................................. 23
2.3. Силы, действующие на поверхность проводника................................... 24
2.4. Свойства замкнутой проводящей оболочки………................................ 26
2.5. Общая задача электростатики. Метод изображений.............................. 27
2.6. Электроемкость. Конденсаторы……………………………………..…. 30
3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ…............................... 33
3.1. Поляризация диэлектрика……………………………............................. 33
3.2. Поляризованность Р..……………………................................................ 35
3.3. Свойства поля вектора Р........................................................................... 36
3.4. Вектор D……………………………......................................................... 40
3.5. Условия на границе……………............................................................... 42
3.6. Поле в однородном диэлектрике........................................................…. 45
4. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ….......................................... 47
4.1. Электрическая энергия системы зарядов……………........................... 47
4.2. Энергия заряженного проводника и конденсатора............................... 50
4.3. Энергия электрического поля.................................................................. 51
4.4. Система двух заряженных тел…………………..................................... 53
4.5. Силы при наличии диэлектрика……………………………………..… 54
5. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК........................................ 58
5.1. Плотность тока. Уравнение непрерывности.......................................... 58
5.2. Закон Ома для однородного проводника............................................... 60
5.3. Обобщенный закон Ома…………………………….............................. 62
5.4. Разветвление цепи. Правила Кирхгофа..........……………………….…64
5.5. Закон Джоуля - Ленца……………………………………………….…. 67
5.6. Переходные процессы в цепи с конденсатором………………..……. 69
6. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ……………................................ 72
6.1. Сила Лоренца. Поле В……………………………………………….… 72
6.2. Закон Био - Савара……………………………………………..……..... 74
6.3. Основные законы магнитного поля………………………………..…. 75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.4. Дифференциальная форма основных законов магнитного поля….... 77
6.5. Сила Ампера………………………………………………………….... 78
6.6. Момент сил, действующих на контур с током…………………….… 81
6.7. Работа при перемещении контура с током…………………….…….. 82
7. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ………………………….…….. 85
7.1. Намагничивание вещества, намагниченность J…………………….... 85
7.2. Циркуляция вектора J…………………………………………….…… 88
7.3. Вектор Н………………………………………………………..…….... 89
7.4. Граничные условия для В и Н……………………………….……….. 92
7.5. Поле в однородном магнетике……………………………….……..... 94
7.6. Ферромагнетизм………………………………………………..…....... 96
8.ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ……………………………. 100
8.1. Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца……………… 100
8.2. Природа электромагнитной индукции………………………..…….. 102
8.3. Явление самоиндукции………………………………………..……... 106
8.4. Взаимная индукция……………………………………………..……. 108
8.5. Энергия магнитного поля…………………………………….……… 111
8.6. Магнитная энергия двух контуров с током.......…………….……… 115
8.7. Энергия и сила в магнитном поле......……………………….……… 116
9. УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ............................................................................................... 119
9.1. Ток смещения……………………………………………………..…... 119
9.2. Система уравнений Максвелла…………………………………..….. 122
9.3. Свойства уравнений Максвелла…………………………………..…. 125
9.4. Энергия и поток энергии. Вектор Пойнтинга…………………….... 128
9.5. Импульс электромагнитного поля………………………………..…. 129
10. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ…………………………….….. 132
10.1. Уравнения колебательного контура………………………….……. 132
10.2. Свободные электрические колебания…………………………..…. 134
10.3. Вынужденные электрические колебания…………………….…… 138
10.4. Переменный ток ……………………………………………….…… 140
11. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ………………………………...…. 143
11.1. Электрическое поле в вакууме………………………………….…. 143
11.2. Проводник в электрическом поле……………………………….… 145
11.3. Электрическое поле в диэлектрике……………………………..…. 146
11.4. Энергия электрического поля…………………………………..….. 148
11.5. Постоянный электрический ток……………………………………. 151
11.6. Магнитное поле в вакууме…………………………………………. 155
11.7. Электромагнитная индукция……………………………………….. 158
11.8. Электрическое колебания……………………………………….….. 160
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. Варианты задания для самостоятельного решения …………..…… 164
ЛИТЕРАТУРА................................................................................................. 202
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Рудь Николай Алексеевич
Сергеев Александр Николаевич
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Редактор, корректор В.Н. Чулкова
Подписано в печать 01.12.2004. Формат 60х84/16.
Бумага тип. Усл. печ.л.7,7. Уч.-изд. л. 8.7.
Тираж 200 экз. Заказ 847.
Оригинал-макет подготовлен
В редакционно-издательском отделе
Ярославского государственного университета
Отпечатано
ООО «Ремдер» ЛР ИД №06151 от 26.10.2001
г.Ярославль, пр.Октября, 94, оф.37 тел (0852) 73-35-03
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
70
Размер файла
1 700 Кб
Теги
электричество, магнетизм, 1382, учебно, пособие
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа