close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1391.Проблемы повышения эффективности образовательного процесса в высших учебных заведениях

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Проблемы повышения
эффективности
образовательного процесса
в высших учебных заведениях
Сборник
научно-методических статей
Ярославль 2009
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 378
ББК Ч 481я43
П 78
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве научного издания. План 2009 года
Редакционная коллегия:
Л. П. Бестужева (отв. редактор)
Л. Б. Медведева (зам. отв. редактора)
С. В. Поляков (отв. секретарь)
Проблемы повышения эффективности образовательного
процесса в высших учебных заведениях : сборник научноП 78
методических статей / Под ред. Л. П. Бестужевой ; Яросл. гос.
ун-т им. П. Г. Демидова. – Ярославль : ЯрГУ, 2009. – 152 с.
Сборник содержит статьи, в которых обсуждаются методическое и организационное обеспечение дисциплин математического цикла на математических и нематематических факультетах высших учебных заведений; вопросы подготовки учителей
математики в университетах, а также проблемы формирования
компетенций у учащихся средней школы.
Предназначается для преподавателей, аспирантов и студентов; будет полезен и учителям средней школы.
УДК 378
ББК Ч 481я43
© Ярославский государственный университет
им. П. Г. Демидова, 2009
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Возможности тестирования
при ступенчатой форме проведения зачета
по математическому анализу
С. Е. Ануфриенко, М. В. Ануфриенко
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Математический анализ относится к числу тех предметов, где освоение теоретических знаний и приобретение практических навыков
являются одинаково важными и тесно взаимосвязанными. Поэтому
любое контролирующее мероприятие, будь то экзамен или зачет,
включает в себя контроль как теоретических знаний, так и практических навыков решения задач. Также справедливым является и то, что с
помощью тестов невозможно проверить, знает ли студент доказательство теоремы и научился ли он решать задачи, связанные иногда с вычислениями, требующими существенных затрат времени.
Предлагаемая ниже форма проведения зачета по математическому
анализу содержит в себе возможности внедрения тестирования как составляющей части контроля знаний и практических навыков.
Любому преподавателю хорошо известна проблема: как принять
зачет за отведенные на это 20 минут на человека. Особенно остро она
стоит по тем дисциплинам, где объем контролирующих заданий достаточно велик. Так, например, по математическому анализу, в зависимости от семестра, он достигает 20–30 заданий. И это с учетом того, что
некоторые задания довольно трудоемки и требуют значительных затрат времени.
Конечно, существует стандартная (классическая) форма проведения зачета, при которой студенты получают задания по всему материалу семестра и устанавливается определенная «планка». Например, студенты, решившие правильно более половины заданий получают зачет,
остальные нет. Зачет в такой форме напоминает «просеивание» через
сито с одинаковыми ячейками. И хорош он лишь в том случае, когда
степень разброса знаний, уровня подготовки и способностей студентов
не слишком велика, чего нельзя сказать о контингенте студентов, обучающихся в настоящее время. В основном это связано с увеличением
числа студентов, поступивших в вуз, минуя конкурс.
Поэтому количество студентов, не получивших зачета по результатам контрольной, достаточно велико, как правило, не менее половины. И, как показывает опыт, при индивидуальной работе с такими сту3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дентами далеко не все из них являются безнадежными. Например: студент не решил задачу, но выясняется, что он владеет достаточными
знаниями и навыками для ее решения и решает ее, если его «подтолкнуть» в нужном направлении. Или же просто, являясь по природе своей «тугодумом», не может решить задачу за отведенные на нее 10–
15 минут, однако решает ее, если ему для этого дать больше времени.
Таким образом, индивидуальной работы со значительной частью
студентов не избежать. И тут встает вопрос: как минимизировать время?
Всегда существуют студенты, которые идут на зачет «круглыми
нулями» в надежде на авось. Как правило, они и являются основными
потребителями времени. Сидят как можно дольше, надеясь на подсказку или «чудо». Такие студенты должны быть выявлены в самом
начале. Если студент не знает производных основных элементарных
функций, то не имеет смысла предлагать ему продифференцировать
сложную функцию. Если студент пишет, что
dx
 sin x = ln | sin x | +c,
то
дальнейший разговор с ним бесполезен.
Таким образом, если перечислить вышесказанное, зачет проводится в три этапа:
• проверка элементарных знаний;
• проверка элементарных навыков и умений;
• проверка навыков и знаний по материалу семестра.
В качестве примера можно привести вариант зачетного задания по
второму семестру по пунктам 1 и 2.
а) Найти первообразные
dx
dx
=

 cos x dx =
 2 =.
x+5
1+ x
б) Сформулировать необходимое условие сходимости числового
ряда.
а) Найти первообразные
πx
 sin dx =
 x ⋅ ln x dx = .
2
б) Исследовать ряд на сходимость
∞
1
n.
n =1
в) Найти частные производные f ( x, y ) = x 2 y .
Если третий этап предполагает индивидуальную форму работы с
каждым студентом, то первый и второй могут быть проведены в форме
тестирования. Например, вместо вопроса о необходимом условии сходимости числового ряда может быть предложен следующий тест.
Расходящимися числовыми рядами являются:
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∞
1
n
∞
1
;
n
n =1 2
1)  n ; 2) 
n =1
∞
∞
1
;
n =1 sin n
3)  ( −1)n n ; 4) 
n =1
∞
1
;
3
n =1 n
5) 
∞
1+ n
.
n =1 2n − 1
6) 
Правильным ответом является выбор 1, 3, 4, 6. Заметим: тест составлен таким образом, что если даже студент не знает никаких других
признаков сходимости рядов, кроме необходимого, то он все равно
должен сделать правильный выбор. Также тест проверяет умение вычислять пределы. Применение теста в данном случае даже более эффективно, чем проведение устного опроса.
Соответствующим образом составленные тесты могут служить
также средством самоконтроля студентов. Они могут быть индикатором определенного уровня усвоения основных понятий и методов.
Студенты, у которых возникают трудности в изучении математического анализа, часто не могут отделить главное от второстепенного, определить тот уровень знаний, который необходим им для дальнейшего
обучения. Протестировав себя, они смогут оценить степень своей подготовленности к сдаче зачета или экзамена.
Тестирование является наиболее подходящей формой контроля
усвоения базовых определений, теорем и формул.
Рейтинговая система оценки знаний
по математическому анализу как индикатор
активности работы студентов в течение семестра
М. В. Ануфриенко
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Балльно-рейтинговая система оценки знаний студентов призвана
осуществить отход от сложившейся традиционной формы оценки знаний, мало стимулирующей систематическую и самостоятельную работу
студентов в семестре. Новая система также позволяет подойти более
дифференцированно к оценкам знаний и повысить объективность оценки знаний, исключая случайные факторы (выбор билета или задачи,
психологическое и физическое состояние студента и преподавателя).
Оценка успеваемости студента в рамках балльно-рейтинговой
системы осуществляется в ходе текущего и итогового контроля. Текущий контроль – это непрерывно осуществляемая в ходе учебных занятий оценка уровня усвоения знаний, формирования умений и навыков
у студента. Формами текущего контроля являются опросы на практи5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ческих занятиях, контрольные работы и решение задач повышенной
сложности. Итоговый контроль – это зачет и экзамен.
Этим формам контроля соответствуют текущий и итоговый рейтинг. Математический анализ относится к разряду тех дисциплин, для
которых лекционная и практическая нагрузки одинаковы, а контроль
приобретения теоретических знаний и практических навыков неразрывно связаны. С другой стороны, математический анализ относится к
тем дисциплинам, которые дают значительную свободу для самостоятельного освоения. Особенно это касается практических навыков решения задач. Учитывая это, баллы, которые студент получает в течение семестра, не являются определяющими на экзамене и лишь косвенно влияют на оценку, а текущие и семестровые рейтинги носят
рекомендательно-информативный характер.
Итоговое семестровое количество баллов, получаемое студентом,
определяется следующим образом:
• баллы за контрольные работы;
• баллы за решение задач повышенной сложности;
• баллы за посещаемость, активную работу на практических занятиях, интерес к предмету, культуру поведения, внешний вид и другие
социально-этические факторы.
Первые две группы относятся к объективной части оценки знаний,
а третья – к субъективной. Она не является обязательной и составляет
незначительную часть общего числа баллов. Максимальное количество баллов, которое преподаватель может добавить по своему усмотрению – 10.
Контрольные работы проводятся в течение всего семестра по темам. В зависимости от семестра их число колеблется от трех до четырех.
Каким образом формируется количество баллов и оценка за контрольную? Оценка за контрольную – это привычные для студентов 2,
3, 4, 5. Двойка является незачетной оценкой, все остальные – зачетными. Максимальное количество баллов за каждую контрольную может
быть различным в зависимости от количества заданий. Каждое задание
контрольной оценивается по четырехбалльной системе: от нуля до
трех. Для наглядности у каждого проверенного задания выставляется
один из четырех символов, соответствующий баллам:
«– –» – ноль баллов;
«– +» – один балл;
«+ –» – два балла;
«+ +» – три балла.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Критерии, по которым оценивается каждое задание, следующие.
Три балла ставится в том случае, если студент правильно решил
задание, продемонстрировав, что он владеет теоретическими знаниями
и практическими навыками в достаточном объеме, чтобы выбрать наиболее рациональный способ решения.
Два балла ставится в том случае, если задание в целом решено
правильно, но с недочетами, к которым относятся вычислительная
ошибка или описка, повлиявшая на дальнейший ход решения, выбор
нерационального способа решения. Эта оценка означает, что студент
владеет теоретическими знаниями, однако его практические навыки
сформированы не в полном объеме.
Один балл ставится в том случае, если задание решено неправильно, но студент показал, что он владеет некоторыми знаниями по теме.
Эта оценка соответствует отсутствию практических навыков при наличии теоретических знаний.
Ноль баллов ставится в том случае, если студент не обнаружил ни
теоретических знаний, ни практических навыков.
Следующий пример иллюстрирует применение данной системы
оценки знаний. Примеры решений взяты из реальных контрольных работ студентов первого курса факультета ИВТ.
∞ n3 + 1
Задание: исследовать на сходимость числовой ряд 
.
n =1 n
Решение «+ +».
(
)
2 1 = ∞.
n3 + 1 =
lim
lim n +
n
n
n→∞
n→∞
Ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда. Такое решение оценивается максимальным баллом.
Решение «+ –».
Применяется признак Раабе.
 3

 an

− 1 = lim n ⋅  n + 1 ⋅ n + 1 − 1 = −2 < 1 – ряд расходится.
lim n ⋅ 
(n + 1)3 
n → ∞  an +1  n → ∞  n
Данное решение формально является правильным. Однако студент не владеет четким алгоритмом исследования ряда на сходимость
и применяет признак, который приводит к довольно сложным вычислениям. Это можно рассматривать как нерациональное решение, являяющееся следствием недостаточности практических навыков. Оценивается в два балла.
Решение «– +».
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Применяется признак Даламбера:
 (n + 1)3 + 1 n 
⋅ 3  = 1.
lim 
n
+
1
n +1 
n → ∞
Так как предел равен единице, то вывод о сходимости ряда сделать невозможно.
Задание не решено. Отсутствие практических навыков не позволяет студенту выбрать подходящий для данной задачи признак сходимости. Это решение можно рассматривать как демонстрирующее наличие
некоторых теоретических знаний при отсутствии или существенной
нехватке практических навыков. Оценивается в один балл.
Решение «– –».
(n + 1)3 + 1
n3 + 1 = A,
= B,
lim
lim
+
1
n
n
– ряд сходится.
n→∞
n→∞
A = B  A− B = 0
Данное решение демонстрирует, что студент не понимает, что такое числовой ряд, и путает его с последовательностью. Оценивается в
ноль баллов.
Баллы, полученные за каждую задачу, суммируются и образуют
баллы за текущую контрольную. Каким образом эти баллы трансформируются в оценку?
Если студент решил не более половины предложенных задач, т.е.
набрал половину или менее половины максимально возможного количества баллов, то он не получает зачета по теме, что соответствует
оценке 2.
Если же студент набрал более половины максимально возможного
количества баллов, то он получает зачет по теме. Формирование оценки показывает следующая схема:
2
0
3
M
2
4
5
M
М – максимально возможное количество баллов.
Формула, переводящая зачетные баллы в оценку:
2x − M

⋅ 3 + 3
A= 
 M

при
M
2
< x< M,
где А – оценка,
М – максимально возможное количество баллов,
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x – набранное количество баллов,
[] – целая часть выражения.
У студентов, регулярно работавших в течение семестра, есть возможность получить зачет "автоматом". К таковым относятся студенты,
имеющие зачетные оценки по всем контрольным работам. Таким образом, количество набранных в течение семестра баллов, а следовательно, и рейтинг являются лишь косвенным критерием освобождения от
сдачи зачета. Студент может иметь высокие оценки по всем контрольным, кроме одной, которую он написал на двойку, или набрать высокий балл за счет решения задач повышенной сложности. Такая система
позволяет подойти к зачету дифференцированно. Студент, не имеющий зачета, получает задание лишь по тем темам, которые у него в семестре оказались не закрытыми положительными оценками. Отчитавшись по нужной теме, студент получает по ней зачет, то есть тройку, с
количеством баллов, соответствующим ее нижней границе. Студент,
не получивший зачета в течение зачетной недели, к экзамену не допускается.
Окончательный результат формируется в виде таблицы:
Ф.И.О.
студента
…
Количество баллов за
1-ю
2-ю
3-ю
контр. контр. контр.
работу работу работу
…
…
…
Общее
Баллы за
кол-во
решение
баллов за
задач
контр.
повырабо-ты шенной
сложности
…
…
Дополнительные баллы
Общее
число
баллов
…
…
Список упорядочивается по количеству баллов в целях наглядности и становится объектом, доступным для обозрения как преподавателям, так и студентам. Подобные списки-рейтинги могут составляться в течение семестра по результатам одной или нескольких контрольных. Существует возможность составления как потоковых рейтингов,
так и внутригрупповых. Такая система является довольно точным показателем успеваемости студента и ее динамики.
Как уже упоминалось выше, семестровый рейтинг студента не играет решающей роли на экзамене. Однако студенты, активно работавшие в течение семестра, должны быть поощрены. Это находит свое
отражение в формировании стартового экзаменационного балла, который включается в число баллов, полученных на экзамене, и может существенно повлиять на оценку. Максимальное его значение 2,5. Зна9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чение стартового экзаменационного балла формируется как среднее
арифметическое условных очков, полученных по результатам каждой
контрольной. Если студент написал контрольную работу на пять, то он
получает два условных очка по теме, если на четыре – то одно очко, и
если на три – не получает очков. Таким образом, стартовый балл по
n
результатам контрольных работ вычисляется по формуле S = 1 n  ai ,
i =1
где n – число контрольных в семестре, ai – оценка за i-ю контрольную.
Максимальное значение S равно 2. Кроме того, еще полбалла может
быть добавлено как результат решения задач повышенной сложности в
течение семестра.
И наконец, важной составляющей внедрения рейтинговой системы оценки знаний является ознакомление с нею студентов. Эта работа
проводится в течение всего семестра. Она включает в себя не только
рассказ об общих принципах построения рейтинговой системы знаний,
но и разбор заданий после каждой контрольной с установкой критерия
оценки. Студенты должны понимать, каким образом ставится оценка
за каждое задание, и в случае несогласия или непонимания иметь возможность обсудить это с преподавателем.
Элементы рейтинговой системы оценки знаний по математическому анализу существуют на потоке ИВТ уже не первый год. Однако
внедрение рейтинговой системы в таком виде позволяет сделать ее более дифференцированной, наглядной и эффективной.
Интуиция и логические рассуждения
в изложении математических курсов
В. Е. Балабаев, Р. Ф. Балабаева
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Многие математики понимают, что чрезмерно формальное изложение курсов в виде логически стройной цепочки определений, аксиом и теорем, без рассмотрения примеров и без приложений к решению
задач может быть сравнимо с изучением музыки с помощью лишь одной нотной грамоты, без музыкального звучания. Несомненно, студентов нужно обучать умению интуитивно предвидеть окончательный результат прежде, чем он будет получен, и умению проводить эвристи10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ческие рассуждения, развивать у студентов математическую интуицию.
Безусловно, в некоторых случаях при использовании математических методов не нужны правдоподобные рассуждения, и можно сразу
использовать логически строгие математические рассуждения. Например, такая ситуация может быть, когда для рассматриваемой задачи
имеется четкий, вполне определенный алгоритм и заранее известно,
что именно его нужно применить в данном случае. Впрочем, причина
применения выбранного алгоритма нередко оказывается основана на
правдоподобных и эвристических рассуждениях.
Конечно, всё вышесказанное нисколько не противоречит в случае
необходимости проведению строгих логических доказательств. Логические доказательства способствуют выработке у студентов навыков,
необходимых для использования математического аппарата, помогают
овладеть математическими методами и повышают математическую
культуру, составной частью которой является логическое мышление.
Кроме того, доказательства часто помогают лучше понять границы
применимости рассматриваемого математического метода и предостеречь от возможных ошибок в его использовании в будущем.
Преподаватель математики логически обосновывает свои утверждения, но совсем не из-за увлеченности строгостью логических рассуждений и не для противопоставления математики другим наукам, а в
силу того что логические рассуждения представляют собой метод математики. Конечно, математика не сводится к логике, но без логики
нет математики. Логические символы являются лишь внешним отражением сущности математики, подобно тому, как нотные знаки – отражением музыки.
Не стоит забывать о том, что интуиция иногда и обманывает. Хорошо известен исторический факт, что Лейбниц долго обсуждал вопрос
о производной произведения функций и полагал, что она равна произведению производных. Было время, когда считалось очевидным, что
всякая непрерывная функция является дифференцируемой. Непрерывные, но не дифференцируемые функции – это не придумка математиков, так как, например, скачкообразные изменения скорости могут
иметь место и в математических моделях реальных физических процессов. Приведем еще один исторический пример. Известный французский
математик Коши ошибочно полагал, что всякий сходящийся ряд непрерывных функций имеет своей суммой непрерывную функцию. После
приведения примера, опровергающего это утверждение, английским
физиком Стоксом и немецким математиком Зейделем независимо друг
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
от друга было введено понятие равномерной сходимости ряда функций,
при помощи которого утверждение Коши стало верным.
Рассмотренные примеры показывают, что проведение доказательства позволяет убедиться в справедливости сделанного утверждения,
показывают его закономерность и естественность. Этим свойством обладают все доказательства. Однако следует отдавать предпочтение прямым доказательствам перед доказательствами от противного, хотя логически они и равноправны просто потому, что при решении практических задач приходится исходить из того, что есть, а не из того, что нет.
Заметим, что все алгоритмические доказательства являются прямыми.
Другое достоинство доказательств состоит в том, что они помогают раскрыть смысл вводимых математических понятий, помогают овладеть ими и, следовательно, правильно использовать их на практике.
Так, например, доказательство того, что во внутренней точке экстремума производная, если она существует, равна нулю, основанное на
определении производной, помогает раскрыть его смысл и использовать при решении задач. Доказательство теоремы Ролля, основанное на
указанном выше свойстве точек экстремума, помогает лучше понять
последнее и запомнить его.
Из изложенного видно, что доказательство помогают усвоить логическую структуру математического курса, установить связь между
отдельными его частями, существенно облегчают его запоминание и
усвоение по сравнению с рецептурными методами изложения. Стоит
отметить, что при проведении доказательств демонстрируется применение математических идей, понятий, математических методов в действии, то есть происходит обучение студентов умению проводить решение задачи математическими методами. Важно помнить и о том, что
логическое оформление является неотъемлемой частью процесса решения любой задачи с применением математики.
Несомненно, что в ряде случаев по тем или иным соображением
оказывается более целесообразным ознакомить студентов с некоторым
утверждением, не приводя его доказательство, а лишь разъяснив его
смысл.
Естественно, что, приводя строгие доказательства, необходимо
придерживаться разумной строгости, не стремясь всегда сводить все к
аксиомам. Нужно помнить, что понятие строгости при изложении является относительным и историческим. Уровень строгости в доказательствах определяется потребностью практики. Так, например, при определении непрерывной функции, как функции график которой можно
нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги, факт, что любая непре12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рывная функция, принимающая значение разных знаков на концах отрезка, в некоторой его точке обращается в ноль, не следует доказывать,
считая, что он непосредственно наглядным образом вытекает из определения. При классическом же определении непрерывной функции тот
же факт следует доказывать на «общепринятом» уровне строгости.
К сожалению, даже внутри одного математического курса отдельные его части приходится излагать на разном уровне строгости. Так, в
самом начале курса математического анализа понятие производной,
признаки экстремума, свойства непрерывных и дифференцируемых
функций вполне можно излагать на уровне «классической строгости»,
заботиться о том, чтобы в формулировках доказываемых теорем не было лишних предпосылок и подтверждать это соответствующим анализом. При переходе к функциям нескольких переменных ситуация резко
меняется. Ввиду большей сложности рассматриваемых объектов здесь
не всегда имеет смысл доказывать теоремы при минимальных предположениях – огрубление предпосылок часто существенно упрощает доказательство и помогает прояснить суть вопроса. Например, теорему о
неявных функциях значительно проще, а значит, и целесообразнее доказывать для непрерывно дифференцируемых, а не просто дифференцируемых функций. Кроме того, как правило, снижается уровень строгости при изложении функций нескольких переменных. Для функций
одного переменного доказательство большей части теорем основного
курса анализа можно проводить по ясным логическим схемам, прибегая
к наглядным представлениям лишь для иллюстрации. Для функций же
нескольких переменных наглядные представления являются иногда основой понимания. Например, понятие ориентации поверхности можно
давать при помощи «правила штопора», так как логически строгое изложение данного вопроса потребовало бы слишком много времени и
усилий, не оправданных для малоподготовленной аудитории студентов.
Это неизбежно, следовательно, не надо этого бояться и стремиться к
обязательному построению всего курса математики на уровне логической строгости начал анализа. Бывает, что эти начала не всегда удается
так изложить, а чтобы удержаться на таком уровне в течение всего курса не хватит часов, отводимых на математический курс, да это и не целесообразно даже при наличии времени.
При построении математического курса необходимо не только заботиться о его внутренней логической стройности, сведя его к формальной логической последовательности определений, аксиом, теорем
и их доказательств, но и уделять достаточно большое внимание разъяснению понятий, в том числе и на интуитивном уровне, рассмотре13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нию иллюстрирующих примеров, демонстрации применения изучаемых методов при решении конкретных задач и разнообразным «лирическим отступлениям» и экскурсам в историю математики. Следует
всегда помнить, что когда мы учим математике студентов, то стоит отбирать лишь тот материал, который необходим и доступен им и может
быть ими усвоен за определенный промежуток времени.
Следует заметить, что, в отличие от вышеупомянутой точки зрения
о целесообразности использования при изучении математики строгих
логических рассуждений, существует и другая точка зрения, согласно
которой для студентов не является необходимым знакомство со строгими определениями математических понятий, целесообразно излагать их
«наглядно», ограничиваясь лишь интуитивным уровнем. Этот вопрос далеко не такой простой, как кажется на первый взгляд. Когда мы хотим
объяснить ребенку, что такое «стол», то мы не даем ему строгого логического определения этого понятия, а просто показываем ему конкретный
стол. Однако когда мы хотим заказать изготовление стола мастеру, то
для того чтобы изготовленный стол совпал с нашим желанием, приходится составлять достаточно подробное его описание. Подобно этому
обстоит дело и с математическими понятиями.
Там, где математика применяется как метод исследования, интуитивных представлений об основных понятиях обычно оказывается недостаточно. Более того, и это очень важно, использование математических понятий без точного понимания их смысла, то есть на интуитивном уровне, может привести к ошибкам. Нужно помнить, что когда
математика применяется в качестве аппарата, то для успешного ее
применения необходимо иметь четкое представление об используемых
при этом математических понятиях. Подчеркнем особо, что это представление не зависит от того, где преподают математику: на математических факультетах или на физических. Неправильно поступают те
преподаватели, которые излагают формулу конечных приращений Лагранжа на нематематических факультетах более просто, т. е. используя
лишь соответствующий чертеж, а также те, которые излагают эту
формулу на математических факультетах лишь аналитически. Такое
противопоставление неверно. Тот, кто изучает формулу Лагранжа,
должен понимать как смысл ее аналитического выражения, так и ее
геометрическую интерпретацию. Понимать одно и не понимать другое – значит не понимать вовсе.
Только при наличии указанных четких представлений об используемых математических понятиях может быть объективная уверенность в правильности сделанных выводов. Для того чтобы применять
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
математику как метод исследования, весьма важно осознать и хорошо
освоить сущность и взаимосвязь ее основных идей и понятий. В этом
случае можно смело использовать правдоподобные рассуждения, ибо
они надежны, только если базируются на истинном знании. Строить
же все обучение математике на правдоподобных рассуждениях заведомо недопустимо, поскольку в этом случае невозможно четко очертить границы допустимого применения рассматриваемого математического аппарата.
Знания, интуиция и свободное владение математическими методами приобретаются, накапливаются и развиваются в процессе длительной работы. Тот, кто последовательно овладевает математикой,
кто последовательно получает твердые и точные знания математических фактов, будет уверенно двигаться дальше.
Трудность изучения математики часто связана с нечетким ее изложением на интуитивном уровне. Эта трудность нередко обусловлена
тем, что математические методы не были своевременно, достаточно
хорошо разъяснены и потому остались непонятными. Четкое введение
математического понятия по сравнению с введением его на интуитивном уровне, как правило, оправдывает себя при его применении, позволяет его правильно использовать и не нуждается в дополнительных
пояснениях. Развитие математической интуиции у студентов происходит, прежде всего, на базе твердых математических знаний, на базе
владения математическими методами. Поэтому если говорить студенту бессмысленные вещи, что часто делается при попытке обучать математике на интуитивном уровне, то это приведет к выработке у него
неправильной интуиции, что, очевидно, скажется на дальнейшем обучении. Ошибочно думать, что строгость в доказательстве – враг простоты. Напротив, строгий метод в то же время проще, легче и доступней. Всякое усиление строгости направляет нас к отысканию простейших методов доказательства.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Некоторые аспекты изложения
физико-математических дисциплин
В. Е. Балабаев, Р. Ф. Балабаева
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Необходимым условием хорошей постановки всякого учебного
процесса является прежде всего высокая квалификация тех, кто учит.
Никакие самые замечательные программы не помогут, если уровень
преподавателей недостаточно высокий. Кроме того, не надо забывать,
что, вследствие постоянного прогресса науки, понятие о высокой квалификации подвергается изменению, поэтому надо обращать постоянное внимание на сохранение квалификации преподавателей на высоком уровне и принимать своевременные меры по его повышению.
Снижение профессионального уровня и появление дилетантизма
среди преподавателей опасны тем, что они приводят к выпуску специалистов, имеющих те же недостатки. Часто забывают о том, что далеко
не всякий хороший достигший успеха в своей научной деятельности
ученый является и хорошим преподавателем, даже в сфере своей узкой
специальности. Можно добиться большого успеха в сравнительно узкой
области физики или математики и с небольшим запасом знаний, а для
того чтобы быть хорошим педагогом, надо быть, в частности, хорошо
эрудированным в физике или математике в целом. Конечно, вопросу
общей эрудиции следует уделять большое внимание при подготовке не
только преподавателей, но и научных работников, чтобы они действительно были учеными. В силу вышеизложенного, вопрос о повышении
квалификации преподавателей физики и математики и специальной их
подготовке является очень своевременным и важным.
Как должна быть построена методика, чтобы преподавание физики или математики было простым, ясным и базировалось на уровне разумной строгости? Этот вопрос является объектом критики как внутренней, со стороны самих физиков или математиков, так и внешней, со
стороны специалистов, использующих физико-математические методы. Например, одно из распространенных обвинений в адрес математиков состоит в том, что они обучают студентов никому не нужному
"ε – δ " языку, в частности, требуют от них знания определения непрерывности функции в точке с помощью "ε – δ " , заставляют их проводить на этом языке какие-то искусственные доказательства. Этот упрек
основан на явном недоразумении и нежелании по существу разобрать16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ся в вопросе. Ведь определение непрерывности функции на "ε – δ "
языке просто говорит о том, с какой точностью нужно задавать значения аргумента функции для того, чтобы получить значения самой
функции с заданной точностью. Необходимость понимания этого ни у
кого не должна вызывать сомнений. Полезность решения подобных
задач очевидна. На этом примере хорошо видно, что преподавателей
математики, в частности, обвиняют в грехах, которые им не свойственны. С другой стороны, преподаватели математики прекрасно осознают, что применение математики не сводится к логическим упражнениям, они отдают себе отчет в необходимости развития интуитивного
мышления, но при этом отчетливо понимают, что на первом месте
стоит знание. Несомненно, преподаватели достаточно правильно воспринимают и принимают к сведению разумную критику со стороны.
Однако стоит подчеркнуть, что методика преподавания – это дело самих преподавателей при условии, конечно, что студенты получают необходимый запас знаний. Если же последнее условие не выполняется,
то причина этого лежит, прежде всего, в недостаточной квалификации
преподавателей.
Сложность ситуации преподавания математики и физики связана
ещё и с тем, что методика преподавания этих дисциплин ещё не достигла научного уровня и основывается лишь на несистематизированном опыте отдельных преподавателей и на вере их в собственную правоту и непогрешимость. Во всех методических дискуссиях особо остро
проявляется непримиримость и нетерпимость к другим точкам зрения,
как это всегда бывает там, где в основе лежит догма и вера. Весьма
часто даже внутри одной кафедры бывает очень трудно договориться о
едином методе изложения того или иного материала, впрочем, это далеко не всегда и нужно.
К сожалению, не существует точных рецептов, как надо преподавать различные разделы математики и физики. Методика преподавания не наука, а искусство. Перед разработкой методики и выработкой
достаточно обоснованных рекомендаций стоят большие сложности.
Ведь подобные рекомендации и принципы, лежащие в их основе, недоказуемы, а основаны на вере. Поэтому, даже если какие-то из них
удалось сформулировать, оказывается трудно убедить кого-либо в их
целесообразности. Большинству, кроме всего прочего, свойственно
считать, что так, как они сами учились у кого-нибудь или самостоятельно, так лучше всего учить и других, забывая о том, что часто с тех
пор, когда они учились сами, прошло много лет, что то, что понравилось им в свое время или хорошо было ими усвоено, является важным
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и нужным и сейчас. Часто то, что преподаватель сам не учил совсем
или учил в зрелом возрасте, кажется ему сложным, изысканным и
трудным, а поэтому ненужным при общем образовании.
Преподавателю обычно кажется, что как нечто понято и усвоено
им самим, так оно должно пониматься и усваиваться студентами, а
ведь индивидуальные способности и стили мышления у людей различны.
Стоит отметить также, что методика существенно зависит от формы преподавания. Методика чтения лекций отличается от методики
написания учебника. Методика чтения лекций зависит от числа слушателей и от уровня их подготовки.
Лекция не должна сводиться к более или менее дословному пересказу учебника. Лекции должна быть свойственна большая легкость и
непринужденность изложения. Материал для курса лекций должен
быть отобран так, чтобы он содержал все принципиальное и существенное, несмотря на его меньший, как правило, по сравнению с учебником, объем.
Методика написания учебника должна учитывать то, для кого пишется этот учебник. Непросто выбрать необходимый уровень общности изложения материала. Важно написать не простое перечисление
научных фактов, а выделить существенное, отделить главное от второстепенного. Это сделать сложнее, чем на лекции.
Важен и стиль написания учебника. Чрезмерная формализация,
также как и ее противоположность – описательный стиль, затрудняют
чтение учебника. Изложение в учебнике должно быть кратким, наглядным, логически строгим, но не сухим. Учебник должен не только
содержать перечисление определений, аксиом, теорем, их доказательств и разбор примеров, но и приводить краткие и точные их разъяснения. Доказательства теорем должны быть максимально подробные. Кроме того, автор учебника должен разъяснять читателю смысл и
значение возникающих понятий и доказываемых теорем, сообщать о
применениях излагаемой теории.
Что касается того, чему нужно учить, то здесь необходимо отобрать основные принципиальные вопросы, которым следует обучать
студентов в первую очередь и на этом сосредоточить внимание. Например, в курсе математического анализа студент должен первоначально научиться исследовать функции и овладеть формулой Тейлора.
Если он успешно справится с этим, то он будет уметь строить графики,
вычислять пределы функций, исследовать сходимость рядов и интегралов, находить приближенно интегралы и суммы рядов, решать
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дифференциальные уравнения. К сожалению, вместо этого часто в
курсе анализа изучаются теоремы, которые студент, заучивая перед экзаменом, бывает не в состоянии использовать в своем дальнейшем
обучении. Важно также попутно научить студентов численному решению задач, воспитать у них уважение к решению в численном виде.
Целесообразно заниматься численным решением задач на специальных кафедрах. Особенно обратить внимание на задачи, в которых величина численного значения ответа имеет принципиальное значение
для изучения рассматриваемого явления.
Следует знать, что обучение математике и физике, в том числе
владению математическими методами, должно быть направлено на
обучение конкретным алгоритмам и поиску решения. Например, в основу преподавания математики следует положить метод выделения
главной части функции в анализе, метод исключения неизвестных при
решении систем линейных уравнений в алгебре, метод решения линейных дифференциальных уравнений и т. д.
Безусловно, применение математики не сводится полностью к использованию заранее разработанных алгоритмов. Часто для решения
новых задач приходится проявлять определенную изобретательность,
искусство и эвристические соображения, то есть проявлять черты,
входящие в понятие математической культуры. Этому тоже надо
учить, но научить этому, конечно, гораздо труднее, чем научить использованию готовых алгоритмов.
Здесь уместно вспомнить раздающиеся в адрес математиков упреки, что они обучают студентов никому не нужной технике вычисления
неопределенных интегралов и интегрированию в конечном виде ряда
специальных дифференциальных уравнений, поскольку, если им в их
дальнейшей практике встретится подобная задача, они просто воспользуются имеющимися справочниками.
Однако, во-первых, не все типы интегралов имеются в справочнике и, во-вторых, надо уметь преобразовывать исходный интеграл к уже
имеющемуся в справочнике. Наконец, в-третьих, а это, возможно, самое главное, студента, изучающего математику, необходимо научить
основным элементам аналитических преобразований, умению проявлять изобретательность и развить у студентов определенное аналитическое чутье. Вычисление неопределенных интегралов и решение
дифференциальных уравнений в квадратурах дают для этого достаточно простой и содержательный материал.
Заменить обучение искусству аналитических преобразований обучением пользоваться справочниками нецелесообразно, хотя, конечно, в
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
процессе обучения весьма полезно показать студентам, как пользоваться справочной литературой. При этом, однако, не следует забывать, что использование справочников предполагает определенный
уровень знаний: надо знать, что можно найти, как можно найти и где
это можно найти.
В заключение хочется обратить внимание на существующую
опасность замены обучения классической математике знакомством с
примитивными методами численного решения задач на ЭВМ и попытками математического моделирования сложных задач. Конечно, и это
нужно и важно, более того, имеется и такой уровень обучения, где
этим можно ограничиться, но все-таки этого недостаточно там, где
требуется серьезное профессиональное использование математических
методов.
Стремление заменить углубленное изучение материала поверхностным знакомством с ним, пренебрежение к преодолению существенных трудностей (что необходимо для получения профессиональных
знаний), замена главных путей побочными приводят к качественно более низкому уровню обучения и являются одними из наиболее вредных тенденций в системе высшего образования.
Остановимся кратко на способах изложения материала. Дело в
том, что одни студенты лучше воспринимают понятия в рафинированном виде при кратком их описании, другие – при обстоятельном, всестороннем их описании. Одним студентам свойственен подход сверху,
от общего к частному, другим – подход снизу, от частного к общему,
одним – конструктивный, другим – аксиоматический подход, одним –
логически обоснованный, другим – интуитивный, одним – аналитический, другим – геометрический и т. д. Неодинакова и скорость усвоения информации у разных людей. Именно этими качествами студенты
и отличаются друг от друга как учащиеся.
Конечно, все это невозможно учесть и поэтому невозможно создать такой курс лекций или написать такой учебник, чтобы для каждого студента они были оптимальны с точки зрения усвоения ими изложенного там материала. Но забывать об этих важных обстоятельствах
при организации учебного процесса нельзя. Особо следует отметить,
что практические занятия, на которых преподаватель имеет дело с небольшой группой студентов, дают великолепную возможность организовать обучение с учетом индивидуальных особенностей студентов.
Несмотря на все вышеупомянутое, нужно стремиться к тому, чтобы основные понятия стали для учащегося естественными. Для этого
они должны появляться в уже знакомой обстановке, не отягощённой
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дополнительными понятиями, не существенными для объяснения основного понятия, а лишь дающими возможность провести изложение в
общем виде.
Например, математический анализ можно излагать сразу в метрических пространствах, причём получится большой выигрыш во времени, и курс будет логически стройным. Однако не стоит этого делать,
так как к восприятию такого курса студент должен быть достаточно
хорошо подготовлен. Вряд ли стоит излагать теорию пределов в метрических пространствах, когда студент ещё не знает других примеров
метрических пространств, кроме трехмерного. Не следует забывать,
что без понятия равномерной сходимости и определенного интеграла
невозможно ввести важнейшие метрические пространства. Поэтому
изучение основ анализа сразу в метрических пространствах не принесет ожидаемой пользы. До понятия метрического пространства, как и
до любой математической абстракции, надо дорасти. Функция сама
является достаточно содержательным понятием, и прежде, чем превращать её в точку метрического пространства, полезно как следует
ознакомиться с её свойствами.
Когда излагаются понятия, обобщающие уже известные, следует
обязательно отметить это обстоятельство. Например, изучая теоремы
по линейной алгебре в многомерных пространствах, очень полезно показать, как они выглядят в трехмерном пространстве и на плоскости.
Бывает, что студент, доказав ту или иную общую теорему, не в состоянии применить её в простейшем конкретном случае.
Индуктивные методы изложения материала, при которых происходит последовательное обобщение понятий, представляются более
благоприятствующими активному усвоению материала студентами. В
этом смысле понимается предпочтение индуктивного метода перед дедуктивными. Что же касается затраченного времени, то если его считать не по числу лекционных часов, а по числу часов, затраченных
студентами на усвоение материала, то вряд ли оно окажется большим,
чем при преподавании, основанном на дедуктивном методе.
Конечно, характер объектов, которые рассматриваются как конкретные или абстрактные, зависит от уровня математического образования студентов. Например, для студента, изучающего общую теорию
дифференциальных операторов, уравнение Лапласа будет конкретным
примером. Однако в теории операторов в банаховых пространствах
дифференциальные операторы, в свою очередь, являются лишь конкретными примерами. Но на любом уровне при изложении новых понятий и новых теорий целесообразно потратить достаточно много
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
времени на их конкретные иллюстрации, разбор примеров и анализ частных случаев. При выполнении этих условий может оправдать себя и
дедуктивный метод изложения. Стоит также отметить, что нельзя
предпочтительность индуктивного метода перед дедуктивным понимать как догму. Иногда некоторые преподаватели прежде, чем ввести
новое математическое понятие, излагают исторический путь возникновения и развития данного понятия. Конечно, это вряд ли оправданно, и есть лишь бесполезная трата времени. Современный студент по
своему образованию достаточно хорошо подготовлен к непосредственному восприятию математических понятий без анализа тех обстоятельств, которые привели к их появлению. Несомненно, что исторические экскурсы весьма полезны с общеобразовательной точки зрения,
не говоря уже о том, что, оживляя изложения, они способствуют лучшему усвоению материала.
Отметим ещё, что часто математики, объясняя математические
понятия, используемые в физике, не перекидывают мостика, связывающего эти понятия с их традиционными применениями, а это необходимо делать. Например, при изучении в курсе анализа понятий дивергенции, потока векторного поля следует вычислить дивергенцию
напряженности поля точечного единичного электрического заряда на
некотором расстоянии от него. Иными словами, в результате изучения
каких-либо математических понятий у студента не должно вызывать
затруднений использование их в физике.
Конечно, никто лучше хорошего математика не сможет научить
математике. Лишь он, владея всем предметом в целом, может по существу разобраться, что следует доказывать в общем виде, а что – в частном, а что и вовсе не доказывать, какие примеры полезней всего рассмотреть.
Обзор учебной литературы по математике
для экономических специальностей
Л. П. Бестужева, Н. Л. Майорова
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Еще совсем недавно существовал практически один учебник по математике, написанный специально для экономических специальностей
вузов, изданный в 1982 году в двух частях (Карасев А. И., Аксюти22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
на З. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов). Его содержание соответствовало программе трех дисциплин: "Высшая математика", "Теория вероятностей и математическая
статистика" и "Линейное программирование". В книге не рассматривались экономические приложения и модели, за исключением раздела
"Линейное программирование". Позже, в 1989 году, вышло Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу
высшей математики / под ред. А. И. Карасева, Н. Ш. Кремера.
Были и другие учебники, которые рекомендовались в то время студентам-экономистам, например, ставший классическим Краткий курс
высшей математики, авторы В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович, допущенный в качестве учебного пособия для студентов естественных
(геологического, географического, биологического, химического и др.)
факультетов университетов и неоднократно переиздававшийся. Этот
курс содержит почти все разделы, которые входят в программу по математике для экономических специальностей, отличается, как сказано в
аннотации к последнему изданию, четкостью и доступностью изложения и имеет большое количество примеров и задач. Это обстоятельство
позволяет использовать учебник и в настоящее время, несмотря на то
что курс не имеет экономической направленности.
С изменением социально-экономической ситуации в нашей стране
возник спрос на специалистов, способных решать новые задачи в условиях современной рыночной экономики. Ответом на новые требования
стала перестройка подготовки экономистов, в том числе и одного из ее
фундаментальных компонентов – математической подготовки. Основные изменения коснулись как содержания этой подготовки, так и усиления ее профессиональной экономической направленности. Новые
веяния отразились и на учебной литературе по математике для экономистов. Появились книги, которые так или иначе отвечали на запросы
времени. С принятием Государственного образовательного стандарта
высшего профессионального образования для экономических специальностей, определившего цели и содержание подготовки студентов,
подготовка учебной литературы приняла целенаправленный характер.
Были созданы как отдельные книги, так и комплекты книг по математике, которые в той или иной степени успешно решали проблему обеспечения учебного процесса качественной учебной литературой.
Согласно ГОС ВПО для экономических специальностей, действующему в настоящее время, "Математика" входит в блок естественнонаучных дисциплин, наряду с дисциплинами "Информатика", "Информационные системы в экономике", "Эконометрика" и "Концепции
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
современного естествознания". Содержание программы для специальности "Бухгалтерский учет, анализ и аудит" приведено ниже. Отметим,
что программы для специальностей "Мировая экономика", "Менеджмент организации" и "Финансы и кредит" имеют несущественные отличия от данной программы.
Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии: операции над векторами и матрицами; системы линейных алгебраических
уравнений; определители и их свойства; собственные значения матриц; комплексные числа; прямые и плоскости в аффинном пространстве; выпуклые множества и их свойства.
Математический анализ и дифференциальные уравнения: предел
последовательности и его свойства; предел и непрерывность функции;
экстремумы функций нескольких переменных; неопределенный и определенный интегралы; числовые и степенные ряды; дифференциальные уравнения первого порядка; линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Теория вероятностей и математическая статистика: случайные
события; частота и вероятность; основные формулы для вычисления
вероятностей; случайные величины; числовые характеристики дискретной и непрерывной случайных величин; нормальный закон распределения; генеральная совокупность и выборка; оценки параметров;
корреляция и регрессия.
Экономико-математические методы: линейное и целочисленное
программирование; графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования; динамическое программирование;
математическая теория оптимального управления; матричные игры;
кооперативные игры; игры с природой; плоские графы; эйлеровы графы; гамильтоновы графы; орграфы; сетевые графики; сети Петри;
марковские процессы; задачи анализа замкнутых и разомкнутых систем массового обслуживания.
Экономико-математические модели: функции полезности; кривые безразличия; функции спроса; уравнение Слуцкого; кривые "доход–потребление"; кривые "цены–потребление"; коэффициенты эластичности; материальные балансы; функции выпуска продукции; производственные функции затрат ресурсов; модели поведения фирмы в
условиях совершенной и несовершенной конкуренции; модели общего
экономического равновесия; модель Эрроу-Гурвица; статистическая и
динамическая модели межотраслевого баланса; общие модели развития экономики; модель Солоу.
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проанализируем учебники по математике для экономических специальностей по следующим позициям:
соответствие содержания учебника стандарту;
профессиональная направленность;
сочетание разумной строгости изложения теоретического материала и доступности;
наличие практикума, соответствующего учебнику.
Б. Т. Кузнецов. Математика.
В аннотации сказано, что учебник подготовлен в соответствии с
Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальностям экономики и управления
(060000). Это действительно так. В книге 6 разделов, разбитых на главы, а главы на пункты. Названия разделов совпадают с названиями частей программы, кроме последнего раздела, содержание которого относится к другой дисциплине – "Финансовой математике". Каждая глава
заканчивается контрольными вопросами и заданиями. Это, пожалуй,
единственное издание, где под одной обложкой раскрыто все содержание программы. Обращают на себя внимание два раздела. В IV разделе
"Экономико-математические методы" представлены темы: линейное
программирование, нелинейное программирование, игровые методы в
экономике, методы сетевого планирования и управления, системы массового обслуживания, а в V разделе "Экономико-математические модели" – темы: управление запасами, эластичность функции и ее применение в экономике, задача потребительского выбора, производственные
функции, поведение фирмы на рынке, модели экономического равновесия, модели межотраслевого баланса, общие модели развития экономики. Перечень этих тем свидетельствует о профессиональной направленности данного учебника. Но, как говорят, недостатки есть продолжение
достоинств. Объем представленного материала настолько велик, что дает целостное представление о структуре и содержании дисциплины.
Продвинутые студенты имеют возможность получить знания и умения,
связанные с математическим моделированием в экономике, овладеть
соответствующими методами и определить для себя направление личного образовательного роста. В то же время четкое и ясное изложение
во многом страдает краткостью. К сожалению, это делает учебник для
довольно значительной части студентов малопригодным. Краткость изложения теоретического материала могла бы быть компенсирована, если бы учебник сопровождался сборником задач.
Следующие две книги составляют комплект, что само по себе уже
является положительным фактом.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник
/ Под ред. В. И. Ермакова.
Сборник задач по высшей математике для экономистов / Под
ред. В. И. Ермакова.
В аннотации к учебнику сказано, что в книгу включены основные
разделы математики, необходимые для подготовки экономистов различных специализаций. В учебнике представлены разделы: основы алгебры векторов и матриц, основы математического анализа, теория вероятностей и математическая статистика, линейное программирование.
Таким образом, его содержание не вполне соответствует Госстандарту:
полностью отсутствует раздел "Экономико-математические модели".
Во всех разделах рассматриваются понятия и теоремы, выходящие за
рамки программы по математике для экономических специальностей.
Например, в разделе "Основы математического анализа" дается с доказательством теорема Больцано – Вейерштрасса о выделении из любой
ограниченной последовательности сходящейся подпоследовательности
или теорема Больцано – Коши (необходимое и достаточное условие
сходимости последовательности) с указанием на фундаментальное значение этой теоремы в теории пределов: "теорема является концептуальной установкой, на которую ориентируются все последующие предельные построения в анализе функций в пространствах более высокой размерности". Это было бы естественно для курса математического
анализа, читаемого для студентов физико-математических и технических специальностей, и вызывает сомнение уместность включения этого материала в учебник для экономистов. Такие примеры можно было
бы привести из всех разделов. Что касается стиля изложения, то он
представляется излишне подробным и сухим. Отсутствуют примеры,
связывающие математические понятия с экономикой.
Задачник, входящий в комплект, отличается от учебника, излагающего теоретическую часть дисциплины, в лучшую сторону. В начале каждого раздела приведены краткие теоретические сведения, даны образцы решений типовых задач, много задач для самостоятельного решения. Особенно полно и разнообразно представлен задачный
материал в разделе "Линейное программирование". Задачи в вычислительном плане не трудоемки, что позволяет сделать акцент на идее
решения задач. Каждый раздел завершается контрольными работами с
30 вариантами заданий. Встречаются профессионально ориентированные задачи, но их немного, и они в основном относятся к разделу
"Линейное программирование". Поскольку данный комплект учебных
пособий написан преподавателями кафедры высшей математики Рос26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сийской экономической академии им. Г. В. Плеханова, то можно предполагать, что в учебные планы подготовки студентов этого вуза на
старших курсах входят отдельные дисциплины, использующие изученный математический аппарат для составления экономикоматематических моделей, их исследования и анализа экономических
процессов.
Авторы М. С. Красс и Б. П. Чупрынов хорошо известны тем, кто
интересуется учебниками по математике для экономических специальностей. Их перу принадлежит несколько книг, охватывающих обширный материал, связанный как с основами математики, так и с ее
приложениями в экономике.
Красс М. С. Математика для экономических специальностей.
В учебнике изложены основы математического анализа, линейной
алгебры, дифференциальных и разностных уравнений. По мнению автора, именно такая совокупность сведений необходима сегодня тем,
кто решил всерьез овладеть экономическими знаниями. Заявленные в
учебнике разделы не полностью обеспечивают программу. Для учебника характерно строгое изложение математических фактов, практически все теоремы не только формулируются, но и доказываются. Многочисленные чертежи иллюстрируют смысл понятий и теорем, что делает изложение наглядным и относительно доступным. Изложение
теоретического материала сопровождается примерами решения задач.
Практически в каждой главе выделены параграфы, в которых показано
применение изучаемых понятий в экономике. Отдельная глава посвящена применению аппарата дифференциальных уравнений: рассматриваются модель естественного роста выпуска, модель роста выпуска
в условиях конкуренции, динамическая модель Кейнса, неоклассическая модель роста. В последней главе рассматриваются элементы теории линейных разностных уравнений и их применение в экономике:
модель рынка с запаздыванием сбыта, рыночная модель с запасами,
динамическая модель Леонтьева. Материал этой главы, не являясь
программным, расширяет на доступном уровне изложения математический кругозор студентов и в других учебниках по математике для
экономистов не встречается.
Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании.
Учебник характеризуется широким охватом материала. В первом
разделе излагаются основы математики. Сюда включены математический анализ, элементы теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, элементы линейной алгебры и элементы теории вероятно27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стей. Во втором разделе рассматриваются основы оптимального
управления. Третий раздел называется "Принятие решений и элементы
планирования". Сюда отнесены вопросы, связанные с теорией игр,
системами массового обслуживания и некоторыми моделями управления запасами. В конце книги помещен практикум, который содержит
достаточное количество задач, для того чтобы сориентировать студентов на уровень требований к умению их решать. На высокую степень
профессиональной направленности указывает тот факт, что практически все разделы заканчиваются примерами применения рассматриваемых математических понятий в экономике, причем сложность и содержательность этих примеров постепенно нарастают. Покажем это на
примере материала, относящегося к математическому анализу:
последовательности – формула сложных процентов;
производные – эластичность спроса;
интегралы – задача нахождения дневной выработки, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле;
функции двух переменных – задача максимизации производства
продукции;
дифференциальные уравнения – динамическая модель Кейнса, неоклассическая модель роста.
Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математика в экономике. Математические методы и модели.
В книге четыре раздела, каждый раздел разбит на главы, в конце
каждой главы даны упражнения.
В первом разделе "Элементы теории вероятностей и математической статистики" рассматриваются основные положения теории вероятностей, случайные величины, системы случайных величин и элементы математической статистики. Теория сопровождается решением задач, как с использованием традиционных для теории вероятностей
моделей (бросание игрального кубика, монеты, стрельба по мишени,
извлечение шаров и т.д.), так и с экономическим содержанием. Представление о таких задачах дает следующий пример.
Задача. Инвестор решил вложить поровну средства в три предприятия при условии возврата ему через определенный строк 150%
вложенной суммы каждым предприятием. Вероятность банкротства каждого из предприятий 0,2. Найти вероятность того, что по истечении срока кредитования инвестор получит обратно, по крайней
мере, вложенную сумму.
Второй раздел посвящен математическим методам в экономике:
определяются понятия графов, сетей, основ управления рисками, тео28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рии массового обслуживания, элементов теории игр применительно к
экономике; подробно раскрываются вопросы, относящиеся к линейному программированию. Интерес представляет обсуждение задач параметрического линейного программирования. В других учебниках этот
материал не встречается. Практически все задачи этого раздела имеют
экономическое содержание.
В третьем разделе внимание уделяется математическим моделям в
экономике. Как отмечают авторы книги, впервые в учебник включена
новая тема – моделирование эколого-экономических систем. Приводимые в этом разделе методы и модели используют достаточно сложный математический аппарат. Авторы справедливо полагают, что
"опираются на излагаемые в изданном ранее учебнике основы математических дисциплин, что обусловливает единую логику изложения материала в целом" (речь идет о книге Красс М. С. Математика в экономике. Основы математики).
Последний, четвертый, раздел называется "Эконометрика". Таким
образом, в книгу включен материал еще одной дисциплины, входящей
в блок ЕН и имеющей прямые связи с математикой, в частности, с теорией вероятностей.
В книге много таблиц, рисунков, графиков, что делает изложение
наглядным. Следует отметить и то, что для многих терминов даны
англоязычные аналоги, что делает понятным во многих случаях сокращенное обозначение этого понятия. Но самое главное состоит в
том, что эти знания могут быть полезными при работе с англоязычной
литературой по специальности. Выгодно отличает эту книгу от многих
других наличие исторических справок с именами ученых, внесших
вклад в становление и развитие математических направлений. Так, в
пункте 4.3 упоминается монография А. Я. Хинчина "Работы по математической теории массового обслуживания", в которой он систематизировал основные положения теории СМО. В главе 6 рассказывается о
Л. В. Канторовиче и его основополагающих работах, сформировавших
линейное программирование как новое направление прикладной математики, и о вкладе советских и зарубежных ученых в развитие этой
науки. Учебник, вообще, производит очень приятное впечатление не
только своим содержанием, но и оформлением.
Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математика для экономического
бакалавриата.
Как уже следует из названия, содержание учебника призвано
обеспечить базовую совокупность знаний, необходимых бакалавру
экономики. Книга состоит из двух больших разделов: раздел I "Осно29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вы математики" и раздел II "Основы оптимального управления, каждый из которых разбит на части, а части – на главы. В конце каждой
главы даны упражнения для самостоятельной работы. Завершается
учебник небольшим практикумом. В первом разделе рассматриваются
элементы математического анализа, линейной алгебры, теории вероятностей. Основные математические понятия иллюстрируются применением в экономике. Тем самым студент четко сориентирован, для чего и
когда ему будет полезно знание тех или иных частей дисциплины, т. е.
каким образом применяется в экономическом анализе математический
аппарат дифференциального исчисления, как с помощью теории функции нескольких переменных можно построить производственные
функции, функции спроса на ресурсы, функции полезности, изучаемые
в микроэкономике, и т. д.
Во втором разделе приводятся элементы линейного программирования, элементы оптимального правления и основы эконометрики, которые сами по себе являются прикладными разделами математики.
Несмотря на отсутствие доказательств, стиль изложения можно
охарактеризовать как строгий и аккуратный. Тщательный отбор теоретических сведений с достаточным количеством примеров делает материал учебника доступным для понимания. Как сказано в аннотации к
учебнику, материал полностью соответствует Государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования направления 521600 "Экономика", степень – бакалавр экономики.
Хорошо зарекомендовали себя учебники, написанные коллективами авторов под редакцией Н. Ш. Кремера:
Высшая математика для экономистов;
Практикум по высшей математике для экономистов;
Теория вероятностей и математическая статистика;
Исследование операций в экономике.
В совокупности они содержат всю теоретическую часть дисциплины "Математика". Что касается материала для практических занятий, то наиболее полно они обеспечены для разделов "Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии", "Введение в анализ",
"Дифференциальное исчисление", "Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения", "Ряды", "Функции нескольких переменных". Именно эти разделы составляют содержание практикума. Наличие в конце каждой главы контрольных заданий и теста делает практикум удобным для организации текущей проверки знаний и умений
решать задачи. Кроме того, каждый раздел завершается итоговым контрольным заданием и итоговым тестом. Практически в каждой главе
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
есть задачи с экономическим содержанием. "Практикум" является дополнением к учебнику "Высшая математика для экономистов", образуя
комплект. Остальные два учебника такими практикумами не подкреплены. И хотя все главы каждого учебника заканчиваются упражнениями, их количества явно недостаточно. Эти книги неоднократно переиздавались. Так, последнее издание 2009 года объединяет учебник и
практикум и называется: Кремер Н. Ш. Математика для экономических специальностей. Часть I: Учебник. Часть II: Задачник.
В состав учебного комплекса "Математика для экономистов", специально созданного для экономических вузов страны экономическим
факультетом МГУ им. М. В. Ломоносова, входят следующие пособия:
Малугин В. А. Математика для экономистов: Математический анализ: Курс лекций.
Малугин В.А. Математика для экономистов: Математический
анализ: Задачи и упражнения.
Малугин В. А. Математика для экономических специальностей. Часть I: Учебник. Часть II: Задачник.
Малугин В. А. Математика для экономистов: Линейная алгебра: Курс лекций.
Малугин В. А. Математика для экономистов: Линейная алгебра: Задачи и упражнения.
Фадеева Л. Н. Математика для экономистов: Теория вероятности и математическая статистика: Курс лекций.
Фадеева Л. Н., Жуков Ю. В., Лебедев А. В. Математика для
экономистов: Теория вероятностей и математическая статистика:
Задачи и упражнения.
В аннотации к комплексу указывается на его цель – в ясной и
удобной для восприятия форме дать студенту-экономисту весь объем
необходимых ему математических знаний в части математического
анализа, линейной алгебры, теории вероятностей и математической
статистике.
Остановимся подробнее на двух последних книгах, составляющих
комплект. Во вступлении к учебнику формулируются основные социально-экономические задачи, решаемые с привлечением теоретиковероятностных методов и моделей, в частности, задачи прогнозирования ожидаемой эффективности инвестиций, выгоды от вложения
средств в акции и т. д. Учебник отличает строгое изложение математических фактов. Все теоремы доказываются. Рассмотрим, как определяется понятие вероятности события в этом учебнике. Сначала дается
качественная характеристика этого понятия как "численной меры сте31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пени объективной возможности осуществления события". Далее вводятся понятия элементарного события, пространства элементарных событий и события A как подмножества множества элементарных событий и дается определение вероятности события A в дискретном пространстве элементарных событий как суммы вероятностей всех
элементарных событий, входящих в A . Позже в пункте 1.10 "Аксиоматическое построение теории вероятностей" на примере показывается
ограниченность "классического" определения вероятности, данного в
рамках дискретной модели с конечным или счетным пространством
элементарных событий, что указывает на необходимость применения
другого, более общего подхода к введению понятия вероятности случайного события, который в дальнейшем и реализуется. Отметим, что
в учебниках по математике для экономистов, как правило, ограничиваются именно классическим определением вероятности: "Отношение
числа благоприятных событию A элементарных исходов к общему
числу равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, называется вероятностью события A ", как
это сделано, например, в вышеупомянутом учебнике [9]. Структура
задачника повторяет структуру учебника: тот же состав и расположение разделов. Структура каждого раздела традиционна: сначала дается
краткое изложение теоретических сведений, затем приводятся решения типовых задач и список задач для самостоятельного решения. Отметим, что задачи в каждом разделе разбиты на две группы: теоретические задачи и вычислительные задачи, что еще раз указывает на высокий математический уровень данного комплекта учебных пособий.
Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г. Математические методы и
модели в управлении. Эта книга, как пишут авторы во вступлении,
написана на основе курса лекций, который читался студентам факультета государственного управления МГУ им. М.В. Ломоносова. Математические методы и модели, используемые при выработке управленческих решений, рассматривались с учетом гуманитарной направленности обучения. Это сказалось и на отборе материала, и на его
изложении.
Во вступлении рассказывается о становлении и развитии исследования операций – науке о построении и анализе математических моделей принятия оптимальных решений в различных сферах человеческой
деятельности. Дается определение ЛПР (лица принимающего решение) и коротко описываются основные этапы решения проблемы принятия решения с целью определить, какое место занимает в исследовании операций математическая составляющая.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное пособие состоит из трех частей. В первой части рассматриваются детерминированные методы, во второй – стохастические методы и, наконец, в третьей части – игровые методы. Каждая часть разбита на главы, которые заканчиваются заданиями для самостоятельного выполнения. Книга написана простым языком. Многие абстрактные
математические понятия иллюстрируются примерами с конкретным
содержанием. Часто авторы прибегают к интуитивным представлениям читателя, не давая строгих определений, например, когда вводят
понятие выпуклого множества. Что касается содержания, практически
не рассматриваются традиционные вопросы математического анализа,
многие темы линейной алгебры и аналитической геометрии. Акцент
сделан на приложениях математики. Приведем названия некоторых
глав: "Иерархии и приоритеты", "Методы прогнозирования", "Управление организационными системами". Несомненно, этот учебник
представляет интерес для организации учебно-исследовательской работы студентов специальности Менеджмент.
Интерес представляет книга
Ниворожкина Л. Н., Морозова З. А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями.
В этом учебном пособии сделан большой подбор задач экономической направленности. Об их содержании можно судить по двум
примерам.
Задача. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу,
ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением σ = 560 и неизвестным математическим ожиданием а. В 90% случаев число ежемесячных заказов 12439. Найдите среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.
Задача. Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21-м году жизни равна 0,006. Застрахована группа в
1000 человек 20-летнего возраста, каждый из которых внес 12 у. е.
страховых взносов за год. В случае смерти застрахованного наследникам выплачивается 1000 у. е. Какова вероятность того, что к концу
года страховая компания окажется в убытке?
Анализ содержания учебной литературы по математике для экономических специальностей позволяет сделать вывод, что в целом она
решает проблему соответствия стандарту и отвечает требованиям профессиональной направленности. Это требование является одним из условий подготовки компетентного специалиста, для которого характер33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
но не только владение знаниями в той или иной области, но и готовность их использовать.
Отметим, что список учебников и задачников по математике для
экономистов далеко не исчерпывается рассмотренной литературой.
Поэтому статья имеет приложение, где указана учебная литература, не
вошедшая в основной список, но которая была бы также полезна в
учебном процессе, в частности, для организации учебно-исследовательской работы, написания рефератов, подготовки докладов. Этим
книгам даны краткие аннотации, заимствованные в Интернете.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда, грант № 08-06-00302а.
Примечания
1. Карасев А. И., Аксютина З. М., Савельева Т. И. Курс высшей
математики для экономических вузов. Ч. 1, 2. М.: Высш. шк., 1982.
2. Руководство к решению задач с экономическим содержанием по
курсу высшей математики / под ред. А. И. Карасева и Н. Ш. Кремера.
М.: Экономическое образование, 1989.
3. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. М.: АСТ Астрель, 2005.
4. Кузнецов Б. Т. Математика: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (060000). М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
5. Общий курс высшей математики для экономистов: учебник
/ под ред. В. И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006.
6. Сборник задач по высшей математике для экономистов / Под
ред. В. И. Ермакова М.: ИНФРА–М, 2007.
7. Красс М. С. Математика для экономических специальностей:
учебник. М.: ИНФРА–М., 1998.
8. Красс М. С. Математика в экономике: Основы математики:
учебник. М.: ИД ФБК–ПРЕСС, 2005.
9. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математика в экономике. Математические методы и модели: учебник. М.: Финансы и статистика, 2007.
10. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математика для экономического
бакалавриата: учебник для вузов. М.: Дело, 2005.
11. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н.
Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / под ред.
проф. Н. Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2003.
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Путко Б. А. и др. Практикум по
высшей математике для экономистов: учеб. пособие для вузов / под
ред. проф. Н. Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2005.
13. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М. и др. Исследование
операций в экономике: учеб. пособие для вузов / под ред. проф.
Н. Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2006.
14. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ–ДАНА, 2007.
15. Кремер Н. Ш. Математика для экономических специальностей.
Ч. I: учебник. Ч. II: задачник / под ред. проф. Н. Ш. Кремера. М.: Высшее образование, 2009.
16. Малугин В. А. Математика для экономистов: Математический
анализ: курс лекций. М.: Эксмо, 2006.
17. Малугин В. А. Математика для экономистов: Математический
анализ: задачи и упражнения. М.: Эксмо, 2006.
18. Малугин В. А. Математика для экономистов: Линейная алгебра: курс лекций. М.: Эксмо, 2006.
19. Малугин В. А. Математика для экономистов: Линейная алгебра: задачи и упражнения. М.: Эксмо, 2006.
20. Фадеева Л. Н. Математика для экономистов: Теория вероятности и математическая статистика: курс лекций. М.: Эксмо, 2006.
21. Фадеева Л. Н., Жуков Ю. В., Лебедев А. В. Математика для
экономистов: Теория вероятностей и математическая статистика: задачи и упражнения. М.: Эксмо, 2007.
22. Ниворожкина Л. Н., Морозова З. А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: зчебное
пособие. М.: ИКЦ "МарТ"; Ростов н/Д.: Изд. центр "МарТ, 2005.
Приложение
Кузнецов Б. Т. Математические методы и модели исследования
операций. М.: Юнити, 2005.
Рассмотрены основные математические методы и модели в экономике: линейное, нелинейное и динамическое программирование, задачи управления запасами, сетевые модели, системы массового обслуживания. Теоретический материал сопровождается большим количеством примеров, позволяющих получить навыки самостоятельного
проведения финансово-аналитических расчетов.
Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математические методы и модели
для магистрантов экономики. Питер, 2006.
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Изложены основные математические методы и модели, необходимые в образовании магистрантов. Приведены основные элементы традиционных методов оптимизации в экономике, математической статистики и эконометрики. Книга содержит методы и модели по наиболее
актуальным современным аспектам экономики: финансовой математике, инфляции, эколого-экономическим системам, динамике государственного долга, расчетам эффективности работы в сфере обслуживания,
реинжинирингу.
Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М. Математика для экономистов: От Арифметики до Эконометрики. М.: Высшее образование,
2009.
В книге отражен широкий круг вопросов арифметики, алгебры и
элементарных функций, линейной алгебры и аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений, теории рядов и
дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической
статистики, математического программирования и специальных разделов исследования операций, эконометрики. Основные положения иллюстрируются практическими задачами (с решениями), схемами, графиками, таблицами. Раскрывается экономический смысл математических понятий, приводятся приложения математики в экономике.
Авторы позиционируют книгу как учебное пособие по основам математики и как справочник по математическим методам и моделям в
экономике.
Большакова Л. В. Теория вероятностей для экономистов: Учеб.
пособие. М.: Финансы и статистика, 2009.
Даны основные понятия и утверждения теории вероятностей. Рассмотрены случайные события и их вероятности, случайные величины и
законы их распределения. Краткое и простое изложение теории сопровождается большим количеством задач, в том числе экономического
содержания, с подробным решением. Предлагается достаточное количество задач для самостоятельного решения, к которым даны ответы.
Печенежская И. А., Стрикалов А. И. Экономико-математические
методы и модели: Пособие к решению задач. М.: Феникс, 2008.
В пособии изложены теоретические вопросы и решение широкого
класса прикладных задач экономического анализа и прогнозирования:
теории графов, теории массового обслуживания, теории игр, задачи
линейного программирования (графический метод решения, симплексный метод, двойственные задачи, транспортная задача, решения
некоторых моделей управления запасами). Приведены упражнения для
контроля усвоения изученных тем.
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Экономико-математические методы и модели: Задачник: Учеб.практ. пособие для вузов / под ред. С. И. Макарова,
С. А. Севастьяновой. М.: КноРус, 2009.
В пособии представлены задачи, примеры решений и краткие теоретические справки по основным разделам теории экономикоматематических методов: классическая оптимизация, линейное программирование, динамическое программирование, теория игр, сетевое
планирование и управление, системы массового обслуживания, а также основные модели потребления и производства.
Кундышева Е. С. Экономико-математическое моделирование. М.:
Дашков и Ко, 2008.
В книге поднимаются актуальные вопросы и рассматриваются
процессы, происходящие в современной экономике. Описывается построение экономико-математических моделей, а также приводятся готовые модели рыночной экономики. Учебник включает в себя курс
лекций, упражнения, контрольные вопросы и тесты для самостоятельной работы.
Белых А. А. История российских экономико-математических исследований (первые сто лет). СПб.: Изд-во ЛКИ, 2007.
В книге дан обобщающий анализ истории отечественных экономико-математических исследований на протяжении 100 лет – от зарождения в 60-е годы XIX века до середины 60-х годов ХХ века, когда
применение математики в экономике получило общее признание.
Применение математики экономистами рассматривается с точки зрения изучения влияния математических идей на способ мышления экономистов, на уровень экономического анализа в целом.
Балдин К. В., Рукосуев А. В., Башлыков В. Н. Математика. М.:
Юнити, 2006.
Учебное пособие содержит систематизированное изучение основ
математики и включает три основных раздела: "Основы дискретной и
высшей математики", "Теория вероятностей и математическая статистика" и "Экономико-математические методы". Пособие подготовлено
в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению "Экономика"
(специальности Финансы и кредит, Бухучет, анализ и аудит и Мировая
экономика).
Горлач Б. А. Математика. М.: Юнити, 2006.
Учебный комплекс соответствует Государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования по программам математических дисциплин для студентов экономических ву37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
зов. Изложение материала сопровождается примерами из экономики.
Разобраны решения типовых задач. Даны условия задач для самостоятельного решения и задания для выполнения расчетных работ. Приведены вопросы для самопроверки усвоения материала и типовые контрольные работы.
Винс Р. Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров; пер. с англ. В. И. Ритман; под ред. А. А. Лиманского. Альпина Бизнес Букс, 2007.
В книге излагаются различные методы управления капиталом на
фьючерсном, валютном, фондовом и др. рынках. Методы основаны на
теории вероятностей, статистике и современной теории портфеля.
О роли учебно-методического пособия
по математике для студентов
физического факультета
Ю. И. Большаков, Л. Б. Медведева
Ярославский государственный университет имени П. Г. Демидова
Качество подготовки специалистов в современных условиях, с
учетом кризисных явлений в обществе, приобретает особое значение,
которое напрямую зависит от уровня организации учебного процесса.
Одной из составляющих подобного рода деятельности служит организация самостоятельной работы студентов, для обеспечения которой,
несомненно, помощь могут оказать профессионально ориентированные учебные пособия.
Необходимость создания такого учебного пособия по математике
для студентов физического факультета, так же как и для прочих естественнонаучных направлений, продиктовано следующими причинами:
• Отсутствие у студентов-первокурсников мотивации на осознанное изучение математических дисциплин. Студент-первокурсник не
понимает необходимости усвоения изучаемых математических фактов,
которые потребуются ему при изучении смежных математических
дисциплин и, что более важно для него, при изучении специальных
дисциплин, ибо ему трудно объяснить суть тех математических моделей, которые будут в дальнейшем задействованы при описании тех или
иных физических явлений и процессов.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
• Постоянно возникающие трудности при освоении тех или иных
физических курсов, что часто объясняется нехваткой математических
знаний и методов.
• Имеет смысл изменить идеологию преподавания математических дисциплин, читаемых на естественных факультетах. Следует перенести акцент со строго логического построения курсов на их практическую значимость; вводя новые математические понятия и методы,
важно иллюстрировать их примерами и задачами, находящимися в области профессиональных интересов будущих специалистов.
Следует помнить о том, что «знания без применений и настоящими-то знаниями не являются: они с трудом усваиваются, да и забываются легко» [1, с. 6].
Стиль математического мышления естествоиспытателей существенно отличен от стиля мышления математиков, и задачи, стоящие перед ними, существенно отличаются друг от друга. Математиков интересует, прежде всего, строгое логическое обоснование изучаемых теорий в отличие от естественников, которым важно существование
самих фактов и области их возможного применения.
Существующие ныне учебники по высшей математике, как правило, не являются профессионально ориентированными. Практически в
них отсутствуют задачи с физическим содержанием и задачи прикладного характера. Исключения составляют лишь книги [1] и [2]. Приложения теории поля достаточно полно рассмотрены в учебном пособии
[3]. В учебниках и задачниках по аналитической геометрии прикладным вопросам должного внимания также не уделяется. Многие связи
современной геометрии с различными физическими теориями отражены в учебном пособии [4]. Однако, как отмечают сами авторы, содержание книги значительно выходит за рамки обязательного курса геометрии, который может быть прочитан студентам второго – третьего
курсов МГУ. В силу этого, данный учебник для студентов физического факультета малодоступен. В соответствии с вышеозначенными проблемами, нами разработано учебное пособие доступное студентам
младших курсов физического факультета. Пособие предназначено в
основном студентам-физикам младших курсов классического университета, начинающих изучение математики. Оно является своеобразным дополнением к учебникам по математическим дисциплинам, изучаемым в рамках первого года обучения. Цель этого учебного пособия
состоит в том, чтобы показать различные связи этих дисциплин между
собой и учебными дисциплинами физического профиля, рассмотреть
многочисленные приложения изучаемых математических понятий в
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
разных разделах физики. Нам представляется, что пособие решает задачу профессиональной направленности математических курсов и
обеспечение осознанной мотивации студентов на их освоение.
Пособие состоит из 4 глав. Первая глава посвящена теории систем
линейных уравнений, вторая – приложениям векторной алгебры в геометрии и механике. Особую роль играет третья глава, идейно направленная на радиофизику. В четвертой главе обсуждаются физические
приложения теории поля. Таким образом, пособие содержит банк профессионально ориентированных прикладных задач, которые позволяют отработать математический материал на примерах решения конкретных физических задач. Среди них можно выделить как круг задач
для знакомства студентов на лекциях с возможными приложениями
изучаемых математических понятий и методов в физике, так и задач
для самостоятельной работы.
Структура изложения каждой темы пособия такова. Сначала дается краткая теоретическая справка, оформленная в виде схемы или таблицы, представляющих собой своеобразный опорный конспект по теме, затем приводятся сведения на применение этой темы в различных
разделах математики и физики. Такие сведения, на наш взгляд, позволяют осознать важность понятий и увидеть целостную картину их использования не только в рамках изучаемой дисциплины. Далее рассматриваются примеры решения типовых задач, иллюстрирующих
значимость изучаемых понятий и методов, а также их приложений, и
предлагаются списки упражнений для самостоятельного выполнения.
Всего пособие содержит более двухсот профессионально ориентированных задач. Задачи, предназначенные для самостоятельного
решения, снабжены ответами или указаниями к решениям, а наиболее
трудные – краткими решениями. В конце каждой главы приведена необходимая для её усвоения литература.
Проиллюстрируем основные идеи пособия на примере его первой
главы.
1. Системы линейных уравнений
Тема «Системы линейных уравнений» является основополагающей при изучении курса «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». К решению системы линейных уравнений приводят многие задачи этого курса, а также других математических дисциплин.
Логические связи темы «Системы линейных уравнений» с другими темами учебной дисциплины демонстрирует схема 1. Эта схема является своеобразным опорным сигналом, позволяющим осознать важность темы и её место в изучаемом курсе.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Схема 1
Некоторое представление о преимуществах теории систем линейных уравнений в других областях знаний дает следующая схема (схема 2).
Схема 2
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ниже будет представлен список некоторых прикладных задач,
решение которых связано с решением систем линейных уравнений.
Но сначала мы приведем справочный материал по теме.
1.1. Понятие системы линейных уравнений и её решения
Определение 1. Системой линейных уравнений с n переменными
называется система вида
 a11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = b1 ,
 a x + a x + + a x = b ,
 21 1 22 2
2n n
2



am1 x1 + am 2 x2 +  + amn xn = bm ,
(1)
где ai , j , b j ∈  – заданные числа.
Определение 2. Решением системы линейных уравнений называется упорядоченный набор чисел (α1 , α 2 ,  , α n ) , при подстановке которых
в систему вместо переменных каждое из её уравнений обращается в
верное числовое равенство.
1.2. Виды систем линейных уравнений
Классификация систем по множеству решений.
Решить систему – это значит найти все её решения или доказать,
что решений нет.
Виды записи систем линейных уравнений.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.3. Методы решений системы
1.3.1. Комментарии к методу Гаусса
В основе метода Гаусса лежат элементарные преобразования системы.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Замечания:
Здесь r ≤ m , так как в процессе преобразований уравнения вида
0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x2 +  + 0 ⋅ xn = 0 вычеркиваются.
Если в процессе преобразований системы появляется уравнение
0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x2 +  + 0 ⋅ xn = c, c ≠ 0 , то система решений не имеет.
Система (2) называется системой, приведенной к разрешимому
виду.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.3.2. Комментарии к методу Жордана – Гаусса
Метод Жордана – Гаусса отличается от метода Гаусса лишь тем,
что вычисление коэффициентов системы, которая получается после
исключения какой-то переменной из всех уравнений, кроме одного,
производится по определенному правилу – правилу Жордана – Гаусса.
Пусть в матрице коэффициентов системы a pq ≠ 0 . Тогда исключим
переменную xq из всех уравнений
ai1 x1 + ai 2 x2 +  aik xk +  + aiq xq +  + ain xn = bi , i ≠ p ,
кроме уравнения с номером p :
a p1 x1 + a p 2 x2 +  a pk xk +  + a pq xq +  + a pn xn = bp .
Для этого уравнение с номером р разделим на a pq ≠ 0, умножим на
( −a )
и сложим с уравнением, номер которого i. В результате получим
правило пересчета коэффициентов aij системы:
iq
a′pj =
a pj
a pq
, j = 1, n , b′p =
bp
a pq
,
a′pj = 0, если i ≠ p ,
aik ⋅ a pq − a pk ⋅ aiq
aik′ =
, i ≠ p, k ≠ q.
a pq
Расчет по последней формуле удобно производить, пользуясь
мнемоническим «правилом прямоугольника», наглядно показанным на
рисунке 1.
заменяемый
элемент
+
–
aiq
i -я строка
a pk
a pq
p -я строка
k -й
q –й
aik
разрешающий
столбец элемент
столбец
Рис. 1
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.4. Однородная система линейных уравнений
Особо выделяют фундаментальную совокупность решений, отвечающую простейшему набору значений свободных переменных:
(1, 0,, 0 ) , ( 0,1, 0,, 0 ) ,, ( 0, 0,,1) ∈  n−r .
Далее рассматриваются применения теории систем линейных
уравнений
в аналитической геометрии,
при расчете электрических цепей,
при расчете потоков транспорта на развилках дорог,
при описании системы сил, действующих на упругую статическую
систему S , закрепленную на краях,
для обработки результатов измерений методом наименьших квадратов.
В конце главы приведен список литературы, отечественных и зарубежных авторов из девяти наименований.
Всё это позволяет успешно организовать целенаправленную работу студентов по осознанному овладению ими изучаемым математиче46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ским материалом и постоянно поддерживать профессиональный интерес к предмету.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда, грант № 08–06–00302а.
Примечания
1. Зельдович Я. Б., Яглом И. М. Высшая математика для начинающих
физиков и техников. М.: Наука, 1982.
2. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т. 2. М.: Наука, 1968.
3. Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Медведев Г. Н., Шашкин А. А. Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных: учеб. пособие для вузов / под ред. В. Ф. Бутузова. М.: Высшая школа,
1988.
4. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: учебное пособие для студентов физико-математических специальностей университетов. М.: Наука, 1979.
Формирование и развитие знаний,
умений и навыков обучающихся
как основа формирования ключевых компетенций
выпускника и повышения качества образования
в современной школе
Н. Л. Будахина
Ярославский государственный педагогический университет
им. К. Д. Ушинского
Проводимое реформирование системы образования ставит своей
задачей выведение образования на новый качественный уровень. Все
это придает вопросам качества образования новую актуальность.
При всем разнообразии значений словарных терминов можно выделить одно, нечто общее присущее понятию «качество» – все они характеризуют становление личности человека, передачу социального и
культурного опыта.
Качество образования – синтетическая категория, отражающая
все компоненты и аспекты развития образования как системы. Категория «качество» в педагогической теории и практике активно применя47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лась для анализа и интерпретации различных явлений педагогической
действительности.
Понимание качества образования сложное и многоаспектное, в
силу основных характерных черт образования на современном уровне.
Среди основных аспектов качества образования следует выделить
многосубъектность, многоуровневость (многоступенчатость).
Многосубъектность данного педагогического явления заключается в многообразии объектов, субъектов, институтов и взаимоотношений между ними. В зависимости от выбора объекта исследования
можно говорить о качестве конечного результата образования ученика,
учебного заведения, образовательных программ, образовательных систем, страны в целом. Исходя из определения понятия «образование»
вычленяются две важных составляющих – качество обучения и качество воспитания.
Среди современных характеристик качества образования следует
указать и его многоуровневость (многоступенчатость), которая напрямую связана с уровнями (ступенями) образования: начальное образование, основное, среднее, начальное профессиональное, среднее
специальное, высшее профессиональное.
Многокритериальность понятия «качество образования» вызвана
наличием широкого набора критериев в оценке качества образования,
поскольку могут быть использованы критерии по уровням обученности,
по ступеням образования, по уровням системы образования в целом, по
степени ожиданий различных потребителей образовательных услуг.
Решение вопросов качества образования в различные определенные
интервалы времени позволяет говорить о такой характеристике этого
понятия, как полихронность. В этой категории можно выделить следующие аспекты качества образования: текущее состояние качества образования, тактические и стратегические задачи качества образования.
Субъективная интерпретация вопросов качества образования
формирует неопределенность в оценке качества образования, которая
напрямую зависит от уровня субъективности (объективности) субъектов образования.
Современные требования общества к образованию и многоаспектность данной педагогической категории способствуют появлению различных концепций и научных подходов к его пониманию. В зависимости от выбранных критериев, определяющих и составляющих качество образования, следует выделить несколько подходов к
исследованию данной педагогической категории.
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Первая группа исследователей в своей трактовке качества образования ориентирована на соответствие ожиданиям и потребностям личности и общества (С. Е. Шишов, В. А. Кальней, A. M. Моисеев,
Е. Б. Яковлев). При этом качество образования определяется по совокупности показателей результативности и состояния процесса образования (содержание образования, формы и методы обучения, материально-техническая база, кадровый состав и пр.).
Вторая группа опирается на сформированный уровень знаний,
умений, навыков и социально значимые качества личности
(Е. В. Бондаревская, Л. Л. Радько, А. А. Санкин, Е. П. Тонконогая). Параметрами качества образования выступают социально-педагогические
характеристики (цели, технологии, условия, личностное развитие).
Третья группа акцентирует внимание на соответствии совокупности
свойств образовательного процесса и его результата требованиям стандарта, социальным нормам общества, личности (В. И. Байденко,
В. А. Исаев, Н. А. Селезнева, A. M. Субетто).
Четвертая группа ученых выделяет способность образовательного
учреждения (ОУ) удовлетворять установленные и прогнозируемые потребности
(Г. А. Бордовский,
Т. Н. Шамова,
П. И. Третьяков,
Г. Е. Володина). Качество образования здесь рассматривается как
свойство, обусловливающее способность ОУ удовлетворять запросы
потребителей разных уровней.
Пятая группа рассматривает в качестве критерия соответствие результата целям образования, спрогнозированным на зону потенциального развития личности (М. М. Поташник, В. М. Полонский,
Б. П. Панасюк, А. П. Крахмалев).
М. М. Поташник, определяет понятие «качество образования»
«как соотношение цели и результата, как меры достижения цели, притом что цели (результаты) заданы только операционально (предельно
конкретно и так, чтобы можно было определить, достигнута ли цель) и
спрогнозированы в зоне потенциального развития школьника» [1,
с. 33]. Приведенный анализ подходов к определению «качества образования» позволяет выявить основания их систематизации.
Сравнение подходов в условиях реализуемой классно-урочной
системы позволяет сделать вывод, что абсолютными показателями
оценки качества образования, являются знания, умения и навыки.
Среди результатов образования, которые можно зафиксировать с
большей или меньшей степенью точности, М. М. Поташник выделяет
ряд показателей, относящихся к характеристике ученика: знания, уме49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ния и навыки, показатели личностного развития, отрицательные эффекты образования – перегрузки, переутомление учеников [1, c. 43].
Введение федерального образовательного стандарта в качестве
центрального понятия, используемого для отработки и введения нового содержания образования, определило понятие ключевых компетентностей, личностно ориентированных по своей природе.
Понятие "компетенция" традиционно употребляется в значении
"круг полномочий". "Компетентность" же связана с информированностью, авторитетностью, квалификацией. Поэтому в педагогическом
смысле целесообразно пользоваться термином "компетенция".
Поэтому компетенцию следует понимать как заданное требование,
норму образовательной подготовки учеников, а компетентность – как
его реально сформированные личностные качества и минимальный
опыт деятельности.
Ориентация на формирование у школьников ключевых компетентностей не противоречит традиционным ценностям образования, а,
напротив, совершенствует и дополняет их. Ориентация на освоение
умений, способов деятельности и, более того, обобщенных способов
деятельности была ведущей в работах таких отечественных педагогов,
как М. Н. Скаткин, И. Я. Лернер, В. В. Краевский, Г. П. Щедровицкий,
В. В. Давыдов и их последователей. Одним из направлений такого анализа является системное рассмотрение качества знаний обучаемых и путей его совершенствования. Сторонники этого направления считают,
что качество усвоенных знаний определяет на многие годы возможности (потенциал) человека в сфере материальной и духовной культуры.
Например, от качества знаний, которые приобретаются учащимися в
общеобразовательной школе, зависит, насколько успешно ее выпускники смогут в дальнейшем овладеть специальными знаниями и умениями, а выпускники вуза – ориентироваться в сложных вопросах
профессиональной и общественной жизни. В работах И. Я. Лернера на
основе содержания образования и видов знаний сформулирована совокупность качеств полноценных знаний личности (полнота, глубина,
оперативность и гибкость, конкретность и обобщенность, свернутость
и развернутость, систематичность и системность, осознанность и
прочность) [2, с. 20]. Содержание образования рассматривается им как
система, в которую помимо знаний, умений и навыков включается на
правах элементов совокупный опыт творческой деятельности и эмоционально-чувственного отношения к действительности. Знания приобретают всё новые свойства по мере того, как обучаемые усваивают другие
элементы содержания образования. В основу современной трактовки
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
содержания образования, обозначенной в документах по модернизации,
положено следующее рабочее определение: «содержание образования
представляет собой педагогически адаптированный социальный опыт
человечества, изоморфный, то есть тождественный, по структуре (но
не по объему) человеческой культуре во всей ее структурной полноте.
Оно состоит из четырех основных структурных элементов:
опыта познавательной деятельности, фиксированного в форме ее
результатов – знаний;
опыта осуществления известных способов деятельности – в форме
умения действовать по образцу;
опыта творческой деятельности – в форме умения принимать эффективные решения в проблемных ситуациях;
опыта осуществления эмоционально-ценностных отношений – в
форме личностных ориентаций» [3].
Другими словами, освоение школьниками всех четырех видов
деятельности сформируют необходимые умения и способности, которые позволят им решать вопросы в повседневной, профессиональной
или социальной жизни, то есть ключевые компетенции. Компетенции
не противопоставляются знаниям, умениям, навыкам. Предметное
обучение – это только основа для формирования компетенций как интегрированного результата учебной деятельности учеников. Опыт познавательной деятельности, фиксированный в форме знаний и умений,
составляет когнитивную и операциональную базу для формирования
ключевых компетенций, как показано на следующей схеме.
Ключевая компетенция
Опыт
осуществления
эмоциональноценностных
отношений –
в форме личностных ориентаций
Опыт осуществления известных
способов деятельности –
в форме умения
действовать
по образцу
Опыт познавательной деятельности, фиксированный в форме
ее результатов –
знаний
Опыт творческой
деятельности –
в форме умения
принимать
эффективные
решения
в проблемных
ситуациях
Это означает, что сегодня ученику необходимо иметь опыт использования ЗУНов в активной практической деятельности. Таким образом, выпускник школы должен иметь достаточный для успешности в
жизни личный опыт познавательной и творческой деятельности, опыт
осуществления известных способов деятельности (например, модели51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рования, конструирования, проектирования и т.д.), опыт эмоционально-ценностных отношений.
Определив цели образования как формирование ключевых компетенций, необходимо констатировать, что уровень их сформированности
и определяет качество современного образования. Однако разработка
измерителей и критериев оценки ключевых компетенций займет достаточно долгий временной период, а педагоги уже реализуют ФК ГОС с
2004 года.
Примечания
1. Управление качеством образования / Под ред. М. М. Поташника. М., 2000.
2. Качество знаний учащихся и пути его совершенствования / Под
ред. М. Н. Скаткина, В. В. Краевского. М.: Педагогика, 1978.
3. Краевский В. В. Содержание образования: вперед к прошлому.
М.: Педагогическое общество России, 2005.
Об изучении теорем
в курсе теории и методики обучения математике
Т. М. Корикова, А. В. Ястребов
Ярославский государственный педагогический университет
им. К. Д. Ушинского
Плохой учитель преподносит истину, а хороший – учит ее находить.
А. Дистервег
В первом разделе настоящей статьи даются выразительные, тщательно проработанные примеры для тех общих положений, которые
касаются методики изучения теорем. Во втором разделе проводится
сопоставление между названиями теорем, принятыми в школе (свойство и признак), и между названиями теорем, принятыми в вузовской
практике (необходимое следствие, достаточное условие и критерий).
1. Методика изучения теорем
Общие положения. Умение доказывать математические утверждения является одним из ключевых при изучении математики. При
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
этом основными целями обучения доказательству являются следующие:
формирование навыков полноценной аргументации, способности
обосновывать и доказывать свои рассуждения;
формирование представлений о дедуктивном компоненте математики;
усвоение учащимися теоретических знаний по курсу математики;
обеспечение осознанности, глубины и оперативности знаний.
При изучении теоретического материала учителя, как правило,
интересуют два фактора: какое количество учебного материала усвоено учеником (мера обученности); какими методами получения знаний,
приемами и способами их использования владеет ученик (характер
обученности). При обучении доказательствам первый фактор выполняет информационную функцию, а второй – развивающую. Отсюда
следует, что в процессе работы над доказательствами теорем усилия
учителя должны быть направлены как на усвоение новых теоретических фактов, так и на овладение общими методами и конкретными
приемами, способами их доказательств.
Работа по формированию умения доказывать математические утверждения начинается задолго до того, как учащиеся явно познакомятся с понятием теоремы. Пропедевтическая подготовка к проведению
доказательств начинается уже при изучении математики в V–VI классах. В этот период у учащихся закладывается потребность в обосновании своих суждений, начала дедуктивного мышления, умение подмечать закономерности.
При изучении геометрии в VII классе появляются новые для
школьника понятия – аксиома, теорема, доказательство. Первоначально учащиеся знакомятся с доказательствами теорем, которые предлагает учитель, не вовлекая пока учащихся в самостоятельный поиск.
Готовые доказательства в данном случае выступают как образцы, на
которых школьники обучаются приемам умственной деятельности,
лежащим в основе умения доказывать. На этом этапе необходимо показать правильное построение умозаключений (силлогизмов): большая
посылка – малая посылка – вывод.
Следующий этап в обучении доказательствам состоит в том, что
учащиеся привлекаются к активной работе по поиску доказательств
теорем, выбору рациональных методов и способов аргументации, выдвижению гипотез, поиску доказательства их истинности или опровержения. Однажды начавшись, этот этап продолжается в течение всего периода изучения математики в школе.
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При обучении учащихся доказательству теорем могут быть использованы различные методы: объяснительно-иллюстративный, эвристический, исследовательский и т. д. Выбор метода диктуется теми конкретными обстоятельствами, в которых происходит изучение теоремы: содержанием теоремы, методом ее доказательства, возможностями тех
учащихся, которым она предлагается, и т. п. Поскольку изучение теоремы может происходить в самых разных условиях, учитель должен владеть возможно более широким арсеналом методов изучения теорем.
Работы методистов-математиков показывают, что полноценное
освоение теоремы включает в себя несколько этапов:
1) мотивация изучения теоремы;
2) ознакомление с фактом, изложенным в формулировке теоремы;
3) выделение условия и заключения теоремы, а в более широком
плане – усвоение ее содержания:
4) запоминание формулировки теоремы;
5) построение аналитического рассуждения, помогающего осознанию доказательства;
6) проведение доказательства и оформление его записи;
7) закрепление формулировки теоремы и ее доказательства, поиск
других способов доказательства;
8) применение теоремы;
9) установление связей изучаемой теоремы с другими теоремами
[1].
Естественно, что при доказательстве того или иного утверждения
отдельные этапы могут опускаться. Это зависит от сложности или
простоты конкретного этапа применительно к изучаемой тереме, от
новизны приемов рассуждения или хорошего знакомства с ними и от
многого другого.
Пример изучения конкретной теоремы. Рассмотрим одну из
теорем школьного курса геометрии и покажем, как может быть организовано ее изучение на уроке. При этом мы будем придерживаться
пунктов 1–9 вышеизложенного плана. Отметим, что для некоторых
этапов мы предложим несколько способов реализации. Выбор того или
иного способа реализации плана на конкретном уроке предоставляется
читателю.
Теорема 1 (свойство биссектрисы). Биссектриса внутреннего угла
треугольника делит противолежащую сторону на два отрезка, пропорциональные прилежащим сторонам.
Мотивация 1. В качестве мотивации изучения теоремы учащимся
можно дать следующее измерительно-вычислительное задание: «По54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стройте произвольный треугольник и биссектрису одного из углов.
Сравните отношение сторон угла и отношение длин отрезков, на которые биссектриса разбивает третью сторону».
В результате выполнения практической работы в классе будет
рассмотрено большое количество треугольников, у которых изучаемые
отношения равны, несмотря на различие типов треугольников, их размеров и другие отличия. Это дает веские основания считать, что эти
отношения равны в любом произвольно взятом треугольнике. Тем не
менее сделанный вывод нельзя считать точно установленным фактом,
причем по двум причинам сразу. Во-первых, вывод получен с помощью измерений, которые всегда имеют погрешность. Во-вторых, он
сделан по аналогии на основании метода неполной индукции, а эти
методы, как мы знаем, могут приводить к ошибкам. Тем самым перед
учащимися встает учебная задача – дать точную формулировку сделанному наблюдению, и исследовательская задача – найти метод доказательства сформулированного утверждения.
Очевидно, что при проведении практической работы одновременно происходит ознакомление с фактом, изложенным в теореме.
Мотивация 2. Иногда для «изобретения» теоремы самими учениками удобно использовать набор упражнений или задач. Приведем набор таких упражнений для изучаемой теоремы. В скобках будем давать ответ на поставленный вопрос.
1) Внимательно изучите рис. 1.
2) Выделите пары подобных треугольников ( ΔABH ~ ΔCBK ,
ΔAHE ~ ΔCKE ).
3) Укажите коэффициент подобия для каждой пары подобных
треугольников. Можно ли утверждать, что коэффициенты подобия
можно выразить через длины одних и тех же отрезков? (Оба коэффициента подобия равны отношению AH : CK = k . )
4) Выразите коэффициенты подобия каждой пары подобных прямоугольных треугольников через отрезки, являющиеся их гипотенузами ( k = BA : BC = EA : EC ).
5) Рассмотрите треугольник АВС, в котором ВЕ – биссектриса угла
ВВ. Учитывая соотношение, полученное в пункте 3, сформулируйте
свойство биссектрисы угла треугольника. (Формулировка теоремы.)
Очевидно, что в результате выполнения заданий 1–4 происходит
ознакомление с фактом, изложенным в теореме. Очевидно также, что
формальное доказательство теоремы может повторять приведенное
выше рассуждение. В силу этого мы можем сказать, что методом доказательства является метод подобия.
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для учителя важно следующее: если ученик самостоятельно обнаруживает закономерность, самостоятельно дает или пытается дать ее
словесное выражение, то это позволяет избавиться от формализма при
формулировке теорем.
Мотивация 3. Еще один подход – это создание проблемной ситуации. Учащимся может быть предложена задача, для решения которой потребуется новое знание – свойство биссектрисы угла треугольника.
Выделению условия и заключения в рассматриваемой теореме следует уделять внимание, поскольку
каждый ученик должен отчетливо
осознавать как то, что требуется доказать, так и то, на основании каких
данных будет вестись доказательство.
В нашем случае имеем следующее.
Дано: АВС – треугольник; ВЕ –
биссектриса; E ∈ AC .
Доказать: BA : BC = EA : EC .
Важным элементом работы с
теоремой является актуализация
необходимых знаний, то есть понятий, аксиом, теорем, на которых
строится доказательство. Она может быть проведена непосредственно
перед доказательством теоремы. Для этого с учащимся полезно рассмотреть либо систему вопросов для фронтальной работы, либо специально организованный набор задач. По мнению авторов, повторение
материала целесообразнее осуществлять через задачный материал, поскольку это часто облегчает восприятие трудных моментов доказательств.
Применительно к рассматриваемой теореме анализ ее формулировки показывает, что при проведении доказательства мы будем пользоваться следующими основными понятиями и их свойствами: треугольник, биссектриса угла, равные углы, отношение длин отрезков.
Анализ доказательства показывает, что мы дополнительно будем использовать признак подобия прямоугольных треугольников.
В методическом плане самым сложным этапом работы с теоремой
является поиск аналитического рассуждения, помогающего осознанию доказательства. Именно этот этап помогает ученикам уяснить последовательность шагов доказательства, необходимость выполнения
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дополнительных построений, выявить идею способа (приема) проведения рассуждений.
Можно предложить несколько аналитических рассуждений, приводящих к доказательству рассматриваемой теоремы.
Первое аналитическое рассуждение приводит нас к доказательству, основанному на методе подобия. С отношением длин отрезков
мы встречаемся при рассмотрении подобных треугольников. Выясним,
нельзя ли увидеть или получить с помощью дополнительного построения подобные треугольники, в которые отрезки АВ, СВ, АЕ, СЕ входят
как стороны. По условию теоремы, ВЕ – это биссектриса угла, поэтому
∠ABE = ∠CBE . Попытаемся получить с помощью дополнительного
построения подобные треугольники, в которые вышеназванные отрезки и равные углы входят как элементы. Для этого включим отрезки в
прямоугольные треугольники с равными острыми углами, а для этого
проведем перпендикуляры АК и СН из вершин A А и С к прямой, содержащей биссектрису угла В (рис. 2). Получим две пары прямоугольных треугольников АВК, СВН и АКЕ, СНЕ, подобие которых в каждой
паре легко доказывается. Теперь из подобия первой пары треугольников получим, что BA : BC = AH : CK , а из подобия второй пары получим, что AH : CK = EA : EC. Отсюда следует требуемое соотношение.
Второе аналитическое рассуждение. Другой способ получения
подобных треугольников – проведение прямой, параллельной одной из
сторон треугольника. Например, проведем АМ параллельно ВС, где
точка М лежит на ВЕ (рис. 3).
Д
B
B
C
A
H
B
E
C
E
A
K
Рис 2.
A
C
E
M
Рис 3.
Рис 4.
В этом случае проблема сводится к доказательству подобия треугольников МАЕ и ВСЕ, из которого следует пропорция
AE : CE = AM : BC. Для доказательства истинности утверждения теоремы достаточно убедиться, что отрезок АМ в полученной пропорции
можно заменить на равный ему отрезок АВ. Для этого достаточно до57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
казать, что АВМ – равнобедренный треугольник, используя определение биссектрисы угла, свойство углов при параллельных прямых и секущей, признак равнобедренности треугольника.
Заметим, что при работе со вторым аналитическим рассуждением
актуализации подлежит несколько иной набор понятий и фактов, чем
при работе с исходным доказательством.
Когда анализ поиска доказательства теоремы проведен, с учащимися обсуждается план доказательства. Теперь это легко сделать, поскольку все шаги доказательства логически и психологически обоснованны, а
учащиеся имеют серьезные мотивы для поиска доказательства.
Краткая запись доказательства может быть представлена по логическим шагам согласно плану, с кратким обоснованием сделанных
выводов (сделаны ссылки на определения, аксиомы, теоремы либо на
результаты предыдущих шагов). Запись доказательства по логическим
шагам удобна, так как легко прослеживается схема рассуждений.
После проведения доказательства теоремы необходимо выделить
основные утверждения, на основе которых строилось доказательство.
Это даст возможность проследить с учащимися связь нового теоретического факта с ранее изученными определениями понятий, аксиомами, теоремами, заложить основы для осознания системности знаний.
Поиск других способов доказательства теорем является существенным моментом в обучении доказательству. Важно показать учащимся, что новый способ доказательства мы получаем тогда, когда
меняем набор понятий, аксиом, теорем, который логически предшествует данной теореме в данном курсе геометрии. Обобщенно говоря,
мы должны показать другую идею доказательства.
Второе доказательство использует не метод подобия, а теорему
Фалеса. Такой шаг является вполне естественным, поскольку учащиеся уже знакомы с ней.
Идея состоит в следующем. Так как в заключении теоремы используется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой (отрезки АЕ и ЕС), то попытаемся получить ситуацию, соответствующую
теореме Фалеса. Для этого выделим две прямые АС и АВ, на которых
расположены три из отрезков, указанных в заключении теоремы (АЕ,
ЕС и АВ), и пересечем их двумя параллельными прямыми. Выбор таких прямых очевиден: это ВЕ и параллельная ей CD, где точка D лежит
на АВ. Согласно теореме Фалеса, можно записать соотношение
AE : EC = AB : BD . Чтобы получить требуемое соотношение, достаточно
доказать равенство отрезков ВС и BD. Это следует из свойств углов
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
при параллельных прямых и секущей и признака равнобедренности
треугольника (рис. 4).
Третье доказательство использует метод площадей. Рассматривают треугольник АВС с биссектрисой ВЕ и выражают площади треугольников АВЕ и СВЕ двумя способами: во-первых, через сторону и
высоту, проведенную из вершины В, и, во-вторых, через две стороны,
исходящие из вершины В, и углы между ними. Если в каждой паре выражений поделить одно равенство на другое, то получим соотношение
S ABE AE BA
=
=
.
S CBE CE BC
Итак, мы имеем несколько доказательств, проводимых различными методами. Естественно, что для работы на уроке можно использовать любой из них.
Работа по отысканию различных способов доказательства теоремы,
на основе имеющихся знаний обогащает опыт учащихся по поиску доказательства теорем, способствует осознанности и оперативности знаний.
Подбор упражнений, направленных на закрепление и применение
доказанной теоремы, осуществляется на двух уровнях: первоначально
предлагаются задачи на прямое применение полученного знания, с использованием типичных ситуаций; далее включаются задачи, при решении которых новая теорема используется в различных комбинациях
с другими, ранее изученными, то есть новое знание встраивается в
систему ранее приобретенных.
Задание – сформулировать утверждение, обратное доказанному, и
установить его истинность – позволяет привлечь учащихся к самостоятельному пополнению знаний. Так, для изучаемой теоремы можно
предложить сформулировать обратное утверждение и проверить его
истинность. Убедившись в истинности полученного утверждения,
учащиеся приходят к выводу, что имеет место обратная теорема – признак биссектрисы угла треугольника.
Теорема 2, обратная (признак биссектрисы). Если на стороне АС
треугольника АВС взята точка Е такая, что выполняется соотношение
BA : BC = AE : EC , то ВЕ является биссектрисой угла В треугольника.
В дальнейшем полезно обсудить вопрос о возможности дальнейшего расширения доказанной в теореме-свойстве закономерности. Для
этого заменим биссектрису угла треугольника на биссектрису внешнего угла. Можно предложить учащимся сделать чертеж. Самостоятельное выполнение чертежа особенно значимо в данном случае, так как
учащиеся фиксируют для себя основные элементы и соответствие между ними. В данной конфигурации весьма существенно выяснить сле59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дующее: для любого ли треугольника биссектриса внешнего угла пересекает противолежащую сторону? Затем возникает потребность
сформулировать новое утверждение, пользуясь приемом аналогии.
Теорема 3 (аналогия с теоремой-свойством). Если биссектриса
внешнего угла треугольника или ее продолжение пересекают продолжение противоположной стороны, то точка пересечения отстоит от
концов этой стороны на расстояния, пропорциональные длинам двух
других сторон.
Краткая запись теоремы такова:
Дано: ΔABC ; BE – биссектриса внешнего угла при вершине В;
BE ∩ AC = E.
Доказать: EA : EC = BA : BC.
Здесь важно понять, что указанные прямые не пересекаются в том
и только в том случае, когда стороны, исходящие из вершины В, не
равны.
Работа над доказательством этого утверждения важна, так как в
процессе доказательства проявится степень осознанности способов доказательства исходной теоремы и способность переносить усвоенные
приемы рассуждения на аналогичную ситуацию. Любой из предложенных способов доказательства, использованных в первом случае,
можно использовать и во втором.
Приведенное описание работы с теоремой показывает, что учащиеся могут не только принимать активное участие в получении знаний о геометрических фигурах, но одновременно с этим овладевать
методологией поиска этих знаний.
Мы видим, что тщательная методическая проработка одной теоремы достаточно трудоемка. Достоинство такой проработки заключается
в том, что она выявляет многочисленные взаимосвязи между математическими понятиями и фактами, а также формирует умение учителя, а
следовательно, и ученика применять разнохарактерные математические
рассуждения. Одна из стратегических задач учителя и студента, готовящегося к педагогической деятельности, состоит в том, чтобы накопить возможно большее количество методик изучения ключевых математических теорем. В этом случае появится надежда, что методическая
деятельность учителя перерастет в качество знаний учащихся.
2. Необходимое следствие, достаточное условие и критерий
Многие математические теоремы имеют вид импликации А  В.
Примем ряд соглашений, касающихся названия частей теоремы и
форм ее прочтения.
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) Высказывание А называется условием, или посылкой, теоремы.
Высказывание В называется заключением теоремы.
2) Высказывание В называется необходимым следствием высказывания А. Высказывание А называется достаточным условием для
высказывания В.
3) Теорема А  В имеет несколько равноправных форм прочтения.
Различие между формами прочтения состоит в употреблении различных союзов, связывающих высказывания А и В. Назовем их условной
формой прочтения, НД-формой (две модификации) и ТТ-формой (две
модификации).
Условная форма: «Если A , то B »;
«Из А следует В»;
«Из А вытекает В»;
«А влечет В».
Здесь и далее подчеркнуты союзы, связывающие высказывания А
и В.
НД1–форма: «Для того чтобы А, необходимо, чтобы В».
НД2–форма: «Для того чтобы В, достаточно, чтобы А».
Очевидно, что название «НД–форма» происходит от слов «необходимо» и «достаточно», употребляемых при прочтении теоремы.
ТТ1–форма: «А только тогда, когда В».
ТТ2–форма: «В тогда, когда А».
Очевидно, что название «ТТ–форма» происходит от «тогда» и
«только тогда», употребляемых при прочтении теоремы.
Пример 1. Рассмотрим следующую теорему: «Общий член сходящегося ряда стремится к нулю». Запишем ее в каждой из пяти форм,
описанных выше. Для этого введем два высказывания – А: «Числовой
ряд сходится» и В: «Общий член ряда стремится к нулю». Тогда теорему можно записать в виде А  В и выразить словесно одним из следующих способов.
Условная форма: «Если числовой ряд сходится, то его общий
член стремится к нулю».
НД–формы: 1) Для того чтобы числовой ряд сходился, необходимо, чтобы его общий член стремился к нулю.
2) Для того чтобы общий член числового ряда стремился к нулю,
достаточно, чтобы ряд сходился.
ТТ–формы: 1) Числовой ряд сходится только тогда, когда его
общий член стремится к нулю.
2) Общий член числового ряда стремится к нулю тогда, когда ряд
сходится.
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отметим, что различные формы прочтения теоремы А  В являются не более чем соглашениями, правда, достаточно удобными и хорошо согласованными с нормами русского языка. Они употребляются
с различной частотой: универсальной является условная форма, гораздо реже применяется НД-форма и совсем редко – ТТ-форма. Отметим
также, что исходная формулировка теоремы имела так называемую
категоричную форму, в которой не выделены условие и заключение
теоремы.
Мы видим, что один и тот же математический факт может быть
выражен шестью различными способами. Практика показывает, что
даже простой переход от одной формулировки к другой является для
части студентов не очень простым упражнением и, следовательно, полезен.
Очень часто встречается такая ситуация, когда оба взаимно обратных высказывания А  В и В  А истинны. Для сжатой словесной передачи этого факта в математике употребляются «парные» союзы:
«необходимо и достаточно» и «тогда и только тогда». (В английском
языке употребляется союз «если и только если» – if and only if.)
Пример 2. 1) Для того чтобы треугольник был равнобедренным,
необходимо и достаточно, чтобы два его угла были равны. 2) Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда
его противоположные углы попарно равны.
Одновременная истинность взаимно обратных высказываний
А  В и В  А означает, что истинным является высказывание А ⇔ В.
В этом случае говорят, что свойства А и В являются критериями друг
для друга. Так, в примере 1) равенство двух углов треугольника является критерием его равнобедренности. В примере 2) равенство противоположных углов четырехугольника является критерием того, что он
является параллелограммом.
В задачнике [2, раздел 4] содержатся многочисленные задания, в
которых выявляется роль критериев в школьном курсе математики, в
частности в курсе геометрии. Там же содержатся задания о необходимых следствиях, не являющихся достаточными условиями, о достаточных условиях, не являющихся необходимыми следствиями, и т. п.
Отметим одно важное негативное обстоятельство: терминология,
принятая в школьных учебниках, отличается от той, которая принята в
монографической литературе по математике и описана выше. Необходимые следствия того или иного определения называют «свойствами»
соответствующего понятия. Так, мы говорим о свойствах параллельных прямых. Достаточные условия, выполнение которых обеспечивает
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
принадлежность объекта к объему понятия, называют его признаками.
Так, мы говорим о признаках параллельности прямых. Термин «критерий» в школьных учебниках не употребляется. Между тем воспитание
логической культуры учащихся, осуществляемое, в частности, путем
правильного употребления логических союзов, не только способствует
усвоению теорем, но по своему значению выходит далеко за пределы
математики. Правильное употребление логических союзов – эффективный и не слишком затратный механизм повышения качества знаний, так что им вряд ли следует пренебрегать.
В заключение отметим, что существует широкий класс важных
математических теорем, которые не имеют вида импликации. Приведем десяток таких теорем, касающихся чисел и выбранных в соответствии со вкусами авторов. Советуем найти другие примеры.
1) Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника несоизмерима с его катетом. Благодаря этой теореме в математику вошли иррациональные числа.
2) Отношение длины окружности к ее диаметру постоянно, то есть
не зависит от окружности. Благодаря этой теореме в математику вошло число π .
3) π ≈ 3,14 . Так число π вошло в инженерные расчеты.
4) Число π трансцендентно. Тем самым выявлена его природа.
5) Последовательность xn = (1 + 1 n) n имеет предел. Благодаря этой
теореме в математику вошло число е.
6) Число e трансцендентно. Тем самым выявлена его природа.
7) Множество простых чисел бесконечно.
8) Любое натуральное число, большее 1, либо является простым,
либо разлагается на простые множители. Эту теорему даже называют
основной теоремой арифметики.
9) Множество рациональных чисел счетно, а множество вещественных чисел несчетно.
10) Многочлен с комплексными коэффициентами имеет корень.
Примечания
1. Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе: учеб. пособие для студентов математических специальностей педагогических вузов и университетов. М.: Просвещение, 2002.
2. Ястребов А. В. Избранные задачи по общей методике преподавания математики: учеб. пособие. Ярославль: изд-во ЯГПУ, 2007.
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Компетентностный подход
к математической подготовке
на гуманитарных специальностях и содержание
заданий Государственного тестирования
В. А. Кузнецова
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Одним из характерных особенностей современного высшего образования является противоречие между изменившимися требованиями
государства и общества к выпускникам высшей школы и реальным
снижением качества образования. Разрешение этого противоречия выступает весьма сложной многогранной проблемой, затрагивающей вопросы содержательного наполнения дисциплин и технологию их реализации с точки зрения конечного образовательного результата. Одним из путей, ведущих к решению этой проблемы, является
компетентностный подход, которому в последние годы уделяется
большое внимание как в России, так и за рубежом. В этом подходе основной упор делается не на качество учебного процесса (включая его
содержание и организацию), а на качество результатов.
Ключевыми характеристиками достижения качества выступают
компетенции. В настоящее время устоявшегося, единого определения
термина «компетенция» нет. Не останавливаясь на многочисленных
определениях, выяснении их отличий и смысловых идентичностей, в
качестве рабочего примем определение, приведенное в утвержденном
макете и проектах Федерального Государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования (третьего поколения): «Компетенция – способность применять знания, умения и личностные качества для успешной деятельности в определенной области».
Именно с позиций компетенций будущего специалиста предполагается
строить содержание программ высшего образования. Применительно к
математическому образованию студентов гуманитарных направлений
это означает, что содержание и технология математической подготовки должны преследовать не только общеобразовательные, общекультурные, но и профессиональные цели.
Заметим, что для отечественной высшей школы компетентностный подход не является принципиально новым, кардинально меняющим систему, поскольку наше высшее образование всегда было профессиональным и по окончании вуза выпускнику присваивалась ква64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лификация, чего нет на западе. Поэтому компетентностный подход (не
в его гипертрофированном виде) придает лишь некоторую дополнительную окраску к многолетним, существующим у нас требованиям
триады «знания, умения, навыки», выражающуюся в подчеркивании
значимости личностных характеристик индивидуума для успешной
деятельности в определенной области и жизни в социуме, его умения
использовать знания в конкретной практической ситуации, как бы
расширив их поле применимости. В последнем случае можно говорить
о наличии у специалиста «обобщенных» знаний. Поскольку критерием
качества образования в определенной степени является выполнение
требований Государственного образовательного стандарта и достижение выпускником обозначенных в Госстандарте компетенций, то для
более успешных результатов целесообразно разрабатывать компетенции с привлечением заинтересованных работодателей. Именно в этом
направлении осуществляется работа с Союзом промышленников и
предпринимателей по созданию так называемого профессионального
стандарта. Аналогичная деятельность должна выполняться и для гуманитарных направлений.
В дальнейшем, в соответствии с Госстандартом, будем исходить
из того, что компетенции подразделяются на универсальные и профессиональные. Первые, в свою очередь, включают три блока: общенаучные, инструментальные, социально-личностные и общекультурные.
Профессиональные компетенции разделяются на профильноспециализированные блоки, относящиеся к разным сферам деятельности. Приведенное деление на блоки достаточно условно, так как они
взаимозависимы и, например, сформированные общенаучные компетенции естественно влияют на профессиональные.
Математика, являясь общим языком наук, позволяющим перевести описательное, эмпирическое знание в точное числовое, раскрывает
способности человека к аналитическим и логическим выводам. При
этом, как показывает ряд ученых, общие умственные способности неразрывно связаны со специальными способностями и существенно
влияют на уровень развития последних. Математика в значительной
степени влияет на развитие общих умственных способностей. Следовательно, математическая подготовка гуманитариев, если она не сводится к заучиванию формул, репродуктивному воспроизведению отдельных отрывочных фактов, способствует формированию как универсальных, так и профессиональных компетенций.
Если говорить непосредственно о профессиональных компетенциях гуманитариев, то надо обратить внимание на то, что характер про65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
фессиональных задач у гуманитариев разных направлений и специальностей весьма существенно различается, поэтому математические курсы у них должны иметь профильную специфику. Первый шаг в этом
направлении был сделан, когда в Госстандартах второго поколения
гуманитарные направления были разделены на группы. Однако для
весьма значительной группы специальностей и направлений (юриспруденция, история, журналистика и т. д.) была предложена общая
краткая программа по дисциплине «Математика и информатика», математическая часть которой состояла из знакомства с аксиоматическим
методом, основными математическими структурами и теорией вероятностей. Компетентностный подход диктует необходимость более тонких различий в программах.
Отметим некоторые, на наш взгляд, важнейшие универсальные
компетенции, на формирование которых непосредственно влияет обучение математике:
Общенаучные:
– способность применять знания на практике,
– исследовательские навыки,
– способность учиться,
– способность адаптироваться к новым ситуациям.
Инструментальные:
–умение находить, анализировать и контекстно обрабатывать научную и профессиональную информацию,
– способность к анализу и синтезу.
Социально-личностные и общекультурные:
– работа в команде,
– способность к самокритике и критике.
В дальнейшем остановимся на рассмотрении математического образования студентов специальности Юриспруденция. Особенностью
деятельности юриста является наличие развитого логического мышления, в определенной степени аналогичного мышлению математика, когда на основании совокупности законов (аксиом) надо построить заключение (доказать теорему), когда надо сравнить два текста (две
формулы) и по конструкции выяснить их эквивалентность, когда надо
проверить правильность или неправильность приведенного аргумента
и т. д. Это значит, что у будущих юристов в большей степени, чем у
других гуманитариев, должны присутствовать элементы математической логики, аксиоматический метод, должно быть «привито» само
понятие доказательства. Между тем сделать это становится все труднее по ряду причин. Во-первых, из математики в средней школе прак66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тически уходит доказательство, в университет на юридический факультет зачастую приходят люди, ориентированные в лучшем случае
на запоминание информации, а отнюдь не на ее осмысление. Далее,
проведение контрольных (экзаменационных) мероприятий и в средней
школе, и в вузе в виде тестов также не способствует длительным глубоким обдумываниям. Тесты приучают к кратким мыслям, они проверяют не столько знания, сколько умение узнавать. Возникает вопрос о
целесообразности тестирования. Считаем, что, несмотря на указанные
недостатки, тестирование должно присутствовать, но ни в коем случае
им нельзя ограничиваться. Параллельно должны быть традиционные
устные формы опроса, личных бесед, где формируются и проявляются
такие важнейшие компетенции, как владение культурой мышления,
способность к обобщению, анализу, восприятию информации, умение
логически верно, аргументированно и ясно строить свою речь. Устные
формы контроля несут в себе значительный обучающий потенциал.
Обратимся теперь к рассмотрению получивших широкое распространение в последнее время так называемых Интернет-экзаменов.
Содержание репетиционных заданий для Интернет-экзамена по дисциплине «Математика и информатика» на специальности Юриспруденция для классических (не педагогических) университетов в своей
математической части почти полностью соответствовало тому, что
представлено в Госстандарте и в рекомендованной программе по математике. Но насколько это содержание отражает цели математической подготовки в контексте компетентностного подхода? К сожалению, дать утвердительный ответ на этот вопрос затруднительно. Формулировка заданий такова, что у студентов проверялись не столько
умения рассуждать, их подготовленность к профессиональной деятельности, сколько память. При этом весь набор заданий все-таки не
создавал целостной картины математического образования будущих
юристов и его соответствия требованиям компетентностного подхода.
Кроме того, по дидактическим единицам, связанным со случайными
величинами, было представлено единое для всех задание на распознавание графика нормально распределенной непрерывной случайной величины. Однако, несмотря на недоработки, встречающиеся опечатки и
некорректность отдельных формулировок, введение Интернетэкзамена несомненно является позитивным фактом, который:
заставляет студентов обратить большее внимание на изучаемые
дисциплины и в конечном итоге повысить их познавательный интерес;
способствует созданию своевременных модифицированных учебно-методических разработок и корректировке учебных программ;
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
способствует сохранению в стране единого образовательного пространства.
Последний тезис является наиболее значимым, поскольку автономность вузов и краткие, неконкретные программы дисциплины,
имеющиеся в Госстандарте, могут привести к тому, что содержание
курса будет полностью определяться вкусами преподавателя и пересечение содержательного наполнения программ разных вузов может
оказаться пустым. Именно Интернет-экзамен будет препятствовать
созданию подобной ситуации: его задания в основном определят канву
математического образования гуманитариев соответствующего направления.
Работа выполняется при поддержке Российского гуманитарного
научного фонда, грант № 08– 06–00302а.
Объектно ориентированный подход
как основа методологии преподавания
информационных технологий
Н. С. Лагутина, Ю. А. Ларина
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Интенсивное развитие компьютерных и информационных технологий в последние годы тесно связано с использованием все более
сложных концепций, которые аккумулируют в себе последние достижения науки и техники. Сфера объектно ориентированного программирования была существенно расширена за счет использования методологии объектно ориентированного анализа и проектирования, которая включает в себя не только процесс написания программного кода,
но и разработку моделей, а также анализ архитектуры приложений.
В прошлом объектно ориентированное сообщество занималось,
главным образом, языками программирования. В основном исследовались вопросы реализации, а не анализа и проектирования. Объектно
ориентированные языки программирования были полезны тем, что они
обладали гибкостью, нехарактерной для традиционных языков программирования. Однако для технологий разработки программного
обеспечения это был шаг назад, поскольку все внимание уделялось
механизмам реализации, а не лежащим в основе мыслительным процессам [1].
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Появление объектно ориентированной методологии анализа и
проектирования в первую очередь было обусловлено увеличением
сложности решаемых задач.
Объектно ориентированный подход внес достаточно радикальные
изменения в сами принципы создания и функционирования программ,
но в то же время позволил существенно повысить производительность
труда программистов, по-иному взглянуть на проблемы и методы их
решения, сделать программы более компактными и легко расширяемыми.
Объектно ориентированная разработка – это концептуальный
процесс, независимый от языка программирования. Объектно ориентированный подход поощряет работать и мыслить в терминах приложения на протяжении всего жизненного цикла программного продукта. Фактически это образ мышления, а не методика программирования.
Многолетний опыт обучения студентов показывает, что освоение
любых информационных технологий происходит постепенно: сначала
осваивается элементарная техника программирования, затем изучаются более сложные и общие элементы и приемы.
Для изучения объектно ориентированного подхода на факультете
ИВТ выбран язык С++, так как в ряду объектно ориентированных языков программирования С++ занимает место наиболее концептуально
строгого универсального языка программирования, область применения которого легко расширяется от системных задач до прикладных
систем. Некоторые другие объектно ориентированные языки также успешно развиваются, однако пока их распространение в значительной
степени уступает С++ [2].
Процесс обучения объектно ориентированному подходу с использованием языка С++ можно разделить на несколько частей и отдельно
изучать каждую, постепенно переходя от простых элементов языка к
более сложным аспектам объектно ориентированной методологии.
Первая часть – процедурная – преподается студентам первого курса, изучающим язык С как подмножество языка С++. В процессе обучения студенты осваивают основные элементы структурного программирования: понятия переменных, типов данных, элементов алгоритмизации, организации структур данных, выделение части задания в
отдельные функции, возможности низкоуровневого программирования.
Вторая часть базируется на изучении основных понятий объектно
ориентированного программирования, таких как класс, объект, метод,
инкапсуляция, полиморфизм, наследование, применении шаблонов и
стандартной библиотеки языка С++.
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Освоение перечисленных выше понятий позволяет перейти к изучению аспектов расширения языка С++, в частности к средствам создания приложений с графическим пользовательским интерфейсом, таких как библиотека Qt.
Библиотека Qt выбрана для освоения принципов объектно ориентированного программирования не случайно. В настоящий момент
библиотека Qt является безусловным лидером среди имеющихся
средств разработки межплатформенных программ на языке С++. Эта
библиотека представляет собой мощное средство для написания высокопроизводительных объектно ориентированных приложений с графическим пользовательским интерфейсом, а также является полномасштабной рабочей средой, расширяющей и частично заменяющей
стандартную библиотеку С++. Qt, являясь образцом объектно ориентированной библиотеки, включает в себя классы для работы со структурами данных, файлами и каталогами, сетевыми протоколами, потоками и процессами, 2D- и 3D-графикой, базами данных, форматами
HTML и XML, обширной коллекцией виджетов для построения графического интерфейса пользователя и многие другие возможности,
облегчающие процесс создания профессиональных приложений на
всех его этапах: от программирования заставки, показываемой при запуске, до разработки системы помощи.
Одним из наиболее существенных достоинств Qt является ее
кросс-платформенность. Она позволяет программисту работать по
принципу «написал программу – компилируй ее в любом месте», т. е.
использовать дерево классов с одним источником в приложениях, которые будут работать в системах от Windows95 до XP, Mac OS X, Linux, Solaris, во многих версиях Unix [3].
Все эти преимущества позволяют выбрать библиотеку Qt в качестве средства обучения студентов принципам объектно ориентированного программирования и создания высокотехнологичных графических пользовательских приложений.
И, наконец, для эффективного восприятия новых технологических
идей сегодня не обойтись без знания основ унифицированного языка
моделирования UML.
Язык UML (Unified Modeling Language) – это язык визуального
моделирования, предназначенный для спецификации, визуализации и
документирования объектно ориентированных систем во время их
проектирования и разработки [4].
Система обозначений языка UML, разработанная в середине
1990-х годов, оказалась настолько удачной, что вытеснила практиче70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ски все другие системы, и в настоящее время используется всеми ведущими разработчиками программного обеспечения, поэтому навыками использования унифицированного языка моделирования должен
овладеть каждый специалист, собирающийся работать над созданием
современных программных приложений.
Проектирование с использованием языка UML базируется на использовании методологии объектно ориентированного анализа и проектирования. Данная методология позволяет создавать модели сложных объектно ориентированных систем, выделяя наиболее существенные аспекты их структуры и поведения.
На этой основе еще до написания кода программы средствами
графической нотации языка UML строится визуальная модель решаемой задачи доступная для понимания и критики со стороны экспертов,
которые могут не являться профессиональными программистами. Это
обусловлено тем, что процесс создания современных программных
приложений подразумевает участие в их разработке множества специалистов различной квалификации, для которых единообразное понимание архитектуры и функциональности разрабатываемых систем
является серьезной проблемой, поэтому построение предварительной
модели приложения до начала написания соответствующего программного кода становится настоящей необходимостью.
Графические средства унифицированного языка моделирования
позволяют наглядно специфицировать требования к проектируемой
системе и достигнуть единообразного понимания всех аспектов решаемой проблемы. Это обеспечивается построением канонических
диаграмм языка UML, каждая из которых описывает моделируемую
систему с определенной точки зрения. Совокупность этих диаграмм не
только является наиболее полным описанием модели создаваемой системы, отображающим ее концепцию и конкретные особенности поведения, но и решает проблему документирования разрабатываемого
проекта.
Таким образом, изучение унифицированного языка моделирования студентами старших курсов является наиболее естественным продолжением освоения объектно ориентированной методологии.
Поэтапный подход в изучении современных информационных
технологий позволяет студентам на протяжении нескольких курсов
осваивать процесс создания сложных объектно ориентированных приложений. В ходе обучения главная роль отводится практическим занятиям, которые включают в себя задачи из самых разных областей, с
различными входными данными, на разных уровнях абстрагирования
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и разной сложности. Практическое применение полученных знаний
представляет собой важнейшую часть процесса изучения объектно
ориентированного подхода, так как позволяет выработать соответствующий стиль мышления и получить необходимый опыт применения
методологии объектно ориентированного анализа и проектирования
при создании программных приложений.
Примечания
1. Рамбо Дж., Блаха М. UML 2.0. Объектно ориентированное моделирование и разработка. 2-е изд. СПб.: Питер, 2007.
2. Шилдт Г. Полный справочник по С++. М.: Вильямс, 2004.
3. Бланшет Ж., Саммерфилд М. Qt 4: программирование GUI на
C++. М.: КУДИЦ-ПРЕСС, 2007.
4. Леоненков А. В. Самоучитель UML 2.0. СПб.: БХВ-Петербург,
2007.
Использование активных методов
для повышения эффективности обучения
студентов экономических специальностей
Д. С. Лебедев
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Одной из основных целей функционирования высшей школы является подготовка высококвалифицированных специалистов. Во многом это зависит не только от качества получаемых в вузах знаний, но и
от применяемых методов обучения. В связи с этим во многих вузах
страны делаются попытки сочетания традиционных и новых (активных) методов обучения для пробуждения интереса обучаемых и более
эффективного усвоения ими материала.
Несмотря на многообразие используемых методов обучения, лекции пока еще, бесспорно, остаются основными из них. Однако традиционная форма организации лекции может иметь ряд недостатков:
может быть скучной; иметь слабую обратную связь со студентами;
пассивность слушателей; быстро забывается излагаемый материал.
Кроме этого, зачастую при организации лекций теряется сама идея их
проведения: студенты, вместо того чтобы понимать, вдумываться,
должны быстро и аккуратно записывать все услышанное. Конечно, это
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вызвано стремлением дать больше знаний, но на практике дает обратный эффект. Все это существенно снижает эффективность обучения.
Для устранения данных недостатков преподаватель может использовать следующие приемы:
– лекционный монолог преподавателя должен длиться не более
20 минут;
– включать в лекцию мозговые атаки для дальнейшего введения
определений;
– иллюстрировать свое выступление краткими примерами и просить слушателей подобрать примеры по изложенному материалу;
– использовать видеоматериалы;
– применять электронные презентации.
Рассмотрим некоторые из них.
Мозговые атаки (штурмы) подразумевают использование кратко
сформулированных вопросов, обращенных ко всей аудитории, подразумевающих односложные ответы обучаемых с использованием опыта, знаний и интуиции. Данный метод полезно использовать, чтобы
ввести новое понятие (термин) и установить его взаимосвязь с уже
имеющимися у обучаемых знаниями и представлениями.
Вопрос, заданный аудитории, фиксируется на доске. Предложения
(даже самые абсурдные) записываются без комментариев в порядке их
поступления. В процессе проведения мозгового штурма допускается
стимулировать аудиторию к активной работе с наводящими вопросами. Далее путем обобщения записей, сделанных на доске (желательно
всех), подводится итог.
Еще одним активным методом обучения является обсуждение
конкретной ситуации. При этом обучаемым предлагается рассмотреть
некоторую проблему, в конце описания которой могут быть приведены вопросы. Студенты должны проанализировать предложенную ситуацию в аудитории. Далее обучаемые предлагают свою формулировку проблемы и пути ее решения. Как правило, мнения по поводу описанной ситуации не совпадают. Тогда возникает обстановка, близкая к
реальной, в которой проявляется многообразие бизнеса. Метод конкретных ситуаций можно применять с использованием приведенных в
учебных материалах практических примеров без решения.
Учебные видеофильмы являются одним из основных элементов
комплекса учебно-методических материалов при организации учебного процесса в вузах. Они позволяют обеспечить наглядность предлагаемого учебного материала и лучшее усвоение информации студентами. Основной особенностью существующих в настоящее время
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
фильмов является их проблемная, а не дисциплинарная ориентированность. Ориентация на решение реальных проблем повлекла за собой
большую информационную насыщенность видеофильмов. С одной
стороны, это является их достоинством, так как позволяет использовать каждый фильм в различных учебных курсах. С другой стороны,
большое количество информации, содержащейся в каждом фильме,
требует осторожного ее использования (демонстрации по частям), так
как есть большая опасность «перегрузить» обучаемых различными аспектами рассматриваемой проблемы. В результате они не смогут
сконцентрироваться на основных вопросах предлагаемой им учебной
дисциплины.
При организации учебного процесса видеофильмы можно использовать в двух ситуациях. Во-первых, как иллюстрацию использования
на практике знаний, полученных в рамках теоретического курса. В
этом случае сначала проводятся лекционные и практические занятия, а
фильмы используются как наглядное пособие для демонстрации полученных знаний на практике. Таким образом, фильм является вспомогательным элементом учебного процесса. Во-вторых, как материал для
разбора практических ситуаций и, например, обсуждения в группах
возможных вариантов решения проблем, возникающих у героев видеофильмов. В этом случае фильм используется как наглядное изложение конкретной ситуации, на основе которой проводится обучение,
то есть фильм является основным элементом учебного процесса. Первый способ использования видеофильмов более предпочтителен для
обучения студентов в рамках получения высшего образования. Опыт
практической работы у них в данном случае не обязателен. Второй же
способ более подходит для обучения практических работников в рамках повышения квалификации.
Независимо от конкретного способа применения видеофильмов
можно сформулировать следующие правила их применения в учебном
процессе:
1) неподготовленной аудитории не рекомендуется давать просматривать видеофильмы целиком от начала до конца, так как это утомляет
их и снижает эффективность обучения с использованием видеоматериалов. Наибольшее усвоение информации, представленной в видеофильмах, достигается при их просмотре по частям с комментариями
преподавателя по каждому из увиденных сюжетов и/или с обсуждением этих сюжетов;
2) перед показом фильма студентам преподаватель должен просмотреть фильм сам и сформулировать планы занятий с его использо74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ванием. Рекомендуется предусматривать достаточное время на обсуждение проблем и вариантов их решений самими обучаемыми, которое
зависит от величины группы, знаний и опыта обучаемых;
3) перед показом фильма преподаватель может изложить ситуацию, описанную в фильме, более подробно, чем это сделано в начале
самого фильма, а также отметить, что в основу ситуаций, рассматриваемых в каждом из учебных видеофильмов, положены факты из реальной практики российских предприятий, но названия предприятий и
имена действующих лиц изменены;
4) учитывая, что в некоторых видеофильмах участвует большое
число действующих лиц, преподавателю рекомендуется на первых минутах просмотра видеофильма называть должности каждого героя сюжета.
В случае, когда фильм используется как наглядное пособие, то
есть как иллюстрация использования на практике знаний, полученных
в рамках теоретического курса, рекомендуется следующий порядок
проведения занятий по конкретному учебному курсу (дисциплине):
лекционное занятие (обзор теории по соответствующей теме или
одному из эпизодов фильма);
практическое занятие (обсуждение того, как теоретические знания
могут использоваться на практике);
показ соответствующего эпизода видеофильма (наглядная демонстрация того, как теория применяется в реальных ситуациях);
разбор проблем и методов их решения с учетом требований конкретного учебного курса, в рамках которого проходят занятия.
Подобная практика использования учебных видеофильмов применяется на экономическом факультете ЯрГУ им. П. Г. Демидова. В частности, изучение темы «Международные валютные отношения и валютные рынки» в рамках дисциплины «Международные валютнокредитные и финансовые отношения» у студентов очного отделения
специальности «Мировая экономика» на 3 курсе обучения сопровождается показом учебного фильма «Введение в валютный дилинг».
Фильм наглядно иллюстрирует практические навыки и особенности
работы на валютном рынке FOREX. Это позволяет лучше и полнее
уяснить суть данного учебного курса, закрепить полученные теоретические знания практическими примерами из реальной жизни.
Еще одним методом, поднимающим организацию лекции на качественно новый уровень и повышающим эффективность обучения в целом, является конструирование лекций с использованием новых информационных технологий. Среди таких направлений наиболее акту75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
альными являются так называемые электронные презентации. Основной их принцип действия – это влияние на визуальное мышление студентов. Интерес к таким технологиям обучения возрастает еще и в связи с быстро становящимися доступнее преподавателю в вузе новыми
техническими средствами.
Одним из самых широко распространенных программных продуктов в области подготовки электронных презентаций является Microsoft
PowerPoint. Данный продукт предоставляет большие возможности в
анимации представляемого материала, импорта различных графиков,
таблиц, видео- и звуковых материалов. Microsoft PowerPoint используется для подготовки и организации электронных презентаций к лекциям
по ряду дисциплин на экономическом факультете ЯрГУ им. П. Г. Демидова для студентов специальности Мировая экономика («Международные валютно-кредитные и финансовые отношения», «Внешнеэкономическая деятельность предприятий и фирм» и др.). Лекции по данным учебным курсам организованы путем сочетания традиционных
методов с электронными презентациями. С помощью проектора на
большой экран выносятся основные теоретические положения отдельных тем читаемых курсов, схемы и таблицы.
На основании опыта чтения лекций с использованием электронных презентаций программы Microsoft PowerPoint можно выделить
следующие позитивные и негативные стороны данной методики.
Среди положительных результатов применения электронных презентаций на лекциях, как для студентов, так и для преподавателей,
можно выделить следующие:
повышение информативности и эффективности лекционного материала при его изложении, ввиду того что у студентов задействованы
зрительный и слуховой каналы восприятия;
увеличение выразительности, наглядности и зрелищности излагаемого материала;
создание презентаций полезно для преподавателя с той точки зрения, что позволяет упорядочить мысли, классифицировать материал,
вскрыть «узкие» места. Ввиду того что презентация представляет весь
отобранный и подготовленный преподавателем материал в концентрированном, сжатом виде, то все недостатки сразу становятся очевидными;
подготовка электронных презентаций способствует повышению
методического мастерства преподавателя, что является одним из главных условий повышения качества знаний;
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
освобождение студентов от традиционного механического записывания лекций, что создает предпосылки для большего понимания и
усвоения материала;
исключение вероятности ошибочной трактовки мыслей преподавателя;
снижение интенсивности труда преподавателя во время чтения
лекции, поскольку часть функций заменяется готовыми электронными
презентациями.
Среди недостатков использования электронных презентаций на
лекциях следует особо отметить высокую трудоемкость подготовки
для преподавателя данных материалов, так как процесс их создания –
это всегда большая, кропотливая и сложная работа.
Активные методы обучения могут применяться не только на лекциях, но и при организации практических занятий. Одним из таких методов является деловая игра.
Деловая игра представляет собой модель, условное воспроизведение экономической ситуации в игровой форме. Это метод имитации
(подражания, изображения) принятия эффективных решений руководящими работниками или специалистами, осуществляемый по заданным правилам группой людей или человеком в соответствии с их ролями, с целью решения какой-либо проблемы при наличии конфликтных ситуаций или информационной неопределенности.
В учебном процессе вуза деловые игры применяются в качестве
метода и средства активного обучения экономике, бизнесу, служат
средством познания норм экономического поведения, освоения процессов принятия экономических решений. Поэтому деловая игра выступает в качестве коллективной целенаправленной деятельности студентов по усвоению дисциплин или разделов с помощью делового
имитационного моделирования.
На экономическом факультете ЯрГУ им. П. Г. Демидова студентам III и V курсов специальности Мировая экономика предлагаются
деловые игры «Валютный рынок» (по дисциплине «Международные
валютно-кредитные и финансовые отношения») и «Внешнеторговая
деятельность предприятия» (по дисциплине «Внешнеэкономическая
деятельность предприятий и фирм») соответственно. Ключевым, центральным элементом деловой игры является имитационная модель
объекта, поскольку только она позволяет реализовать цепочку решений. В первой деловой игре в качестве модели выступает рынок по
торговле безналичной валютой Forex. Средой (внешним окружением
имитационной модели) является терминал валютного брокера с соот77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ветствующей инфраструктурой на базе программы ADC Games, что
формирует проблемное содержание игры. Действующими лицами в
данной деловой игре являются студенты, выполняющие индивидуальные роли валютных брокеров. При этом и модель, и действующие лица находятся в игровой среде, представляющей профессиональный
рынок валютных торгов, имитируемый в игре деятельностью его участников. Сама игровая деятельность студентов заключается в проведении сделок по купле-продаже валюты, использования всех видов валютных контрактов, способов хеджирования валютного риска, методов технического анализа и прогнозирования валютных курсов,
регламентируемых правилами электронного рынка валютных торгов
Forex. Основная задача в ходе проведения данной деловой игры – освоение на практике навыков работы на валютном рынке, технологии
проведения сделок с целью получения дохода от данного вида деятельности. При этом более эффективно достигается учебная цель по
данной дисциплине при введении такой системы оценивания, как сумма полученной прибыли.
В деловой игре «Внешнеторговая деятельность предприятия» моделью является процесс и техника осуществления экспортноимпортных операций российской компанией. Внешним окружением
имитационной модели являются две внешнеторговые сделки (экспорт
и импорт товаров) с соответствующим их правовым и документальным оформлением. При этом студенты организуются в определенные
команды, которые имитируют деятельность отделов компании: внешнеэкономического, валютно-финансового, отдела по таможенному
оформлению, юридического и бухгалтерии. Каждому студенту дается
роль того или иного сотрудника в соответствующих отделах. Игровая
деятельность участников заключается в практическом освоении документального оформления экспортных и импортных сделок: внешнеторговых контрактов, паспортов сделок, международных товаротранспортных документов, ГТД, других документов, необходимых для таможенного оформления, отражения всех совершенных хозяйственных
операций по счетам бухгалтерского учета. При этом вся игровая деятельность осуществляется в соответствии с существующими правилами, действующим законодательством и нормативными актами в этой
области. Система оценивания участников игры заключается в правильности и законности проведенных хозяйственных операций, что
служит обеспечением достижения учебных целей игры и данной дисциплины: практическому освоению техники проведения внешнеторговых операций российскими предприятиями.
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, можно сделать вывод, что на современном этапе
подготовки высококвалифицированных специалистов в вузах в работе
преподавателя необходимо использовать активные методы обучения
для повышения его эффективности. Такие методы, как учебные видеофильмы, должны являться неотъемлемой частью учебно-методического комплекса при организации изучения отдельных дисциплин.
Внедрение электронных презентаций также является одним из методов
повышения качества высшего образования. Использование же деловых
игр на практических занятиях позволяет снять противоречия между
абстрактным характером учебного предмета и реальным характером
профессиональной деятельности. Кроме того, проведение деловой игры позволяет выявить и проследить особенности психологии студентов, их уровень деловой активности, наличие стратегического или тактического мышления, скорость адаптации в новых условиях, способность анализировать собственные возможности и мотивы других
людей и влиять на их поведение, стимулирует творческую активность
участников.
О межпредметных связях дисциплин
математической подготовки на примере
дисциплины «Методы вычислений»
В. Н. Матвеев
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
В Ярославском государственном университете на математическом
факультете дисциплина «Методы вычислений» для специальности
010100(510100) читается в течение двух семестров на 3–4 курсах. В
системе математической подготовки специалиста эта дисциплина занимает особое место, так как ее содержание в значительной степени
связано с другими дисциплинами, изучаемыми ранее.
В структуре курса можно выделить три основные темы: 1) теория
интерполяции и примыкающие к ней вопросы численного интегрирования и наилучшего приближения в линейных пространствах; 2) численные методы алгебры – тема, которая включает в себя задачу отыскания наибольшего по модулю собственного значения матрицы, итерационные методы решения линейных систем, задачу регуляризации,
итерационные методы нелинейных уравнений и систем; 3) изучение
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
приближенных методов решения задачи Коши и краевых задач для
обыкновенных дифференциальных уравнений. Курс заканчивается
изучением сеточных методов решения краевых задач математической
физики.
Опыт чтения указанного курса и одновременного ведения лабораторных и практических занятий привел к выводу о необходимости изменения стандартной последовательности изучения тем. Обычно курс
начинается с теории аппроксимации, далее изучаются элементы наилучшего приближения, численное интегрирование и смежные вопросы. Затем изучаются численные методы алгебры и далее – приближенные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и сеточные методы решения краевых задач. Опыт
ведения практических занятий показал, что лабораторные работы следует начинать с более знакомой и поэтому простой для студентов темы – численных методов алгебры. Поэтому и лекционный курс начинается с численных методов алгебры и далее следует общепринятой
схеме изложения.
По теме численные методы алгебры студенты выполняют три лабораторных работы. В лабораторной работе № 1 рассматриваются
итерационные методы отыскания наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего ему собственного вектора. В этой работе, поскольку тип наибольшего по модулю собственного значения
заранее не известен, студенту приходится перебирать различные алгоритмы для получения сходящегося итерационного процесса. Лабораторная работа № 2 посвящена итерационным методам решения линейных систем. Здесь предлагается преобразовать систему так, чтобы
можно было запустить итерационный процесс по методу Зейделя, методу наискорейшего градиентного спуска или методу простой итерации. Лабораторная работа № 3 посвящена итерационным методам
нелинейных уравнений и систем. Для уравнений это метод секущих
или метод Ньютона, а для систем предлагается реализовать метод
Ньютона или один из вариантов метода градиентного спуска. Начальное приближение к решению студент определяет самостоятельно, используя стандартные методы исследования функций, известные студенту из курса математического анализа.
Теме «Интерполяция и смежные вопросы» посвящена лабораторная работа № 4, связанная с численным интегрированием по квадратурным формулам типа Ньютона – Котеса и квадратурным формулам
Гаусса. Здесь же рассматривается ряд задач по построению интерполяционных многочленов, в том числе и с кратными узлами, а также за80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дачи построения многочленов наилучшего равномерного приближения
для выпуклых функций. К этой теме примыкает задача интерполяции
функции сплайнами: для заданной функции и заданного разбиения отрезка предлагается построить сплайн третьего порядка с дефектом
единица, который приближает заданную функцию на отрезке [a,b].
Лабораторная работа № 5 посвящена применению метода Рунге – Кутта для численного исследования поведения решений системы
дифференциальных уравнений в окрестности положения равновесия.
Студентам предлагается определить тип положения равновесия, используя знания, полученные в курсе «Дифференциальные уравнения»,
а затем с помощью метода Рунге – Кутта численно проинтегрировать
систему с разными начальными условиями, но близкими к положению
равновесия. Графики решений выводятся на экран компьютера. При
этом студенты получают реальные картины поведения решений в окрестности особой точки.
Теме «Разностные методы решения краевых задач» посвящены
три лабораторные работы. В лабораторной работе № 6 изучаются сеточные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Студентам предлагается найти точное решение
краевой задачи, затем построить разностную аппроксимацию исходной задачи и с применением одного из вариантов метода прогонки или
метода пристрелки найти решение разностной задачи. Сравнивая в узлах сетки точное и приближенное решения, студенты имеют возможность сделать вывод о погрешности метода.
Следующая лабораторная работа № 7 посвящена изучению разностных методов решения краевых задач для уравнения теплопроводности. В качестве исходной задачи предлагается найти приближенное
решение для уравнения теплопроводности при заданных начальных и
граничных условиях. Точное решение этой задачи приводится. Студенты получают задание построить разностную схему (неявную или
схему Кранка – Никольсона) и найти решение на каждом слое с использованием методов предыдущей лабораторной работы. Вычисляя
значения приближенного решения в узлах на слое, соответствующем
заданному t, и значения точного решения, студенты могут судить о
точности приближенного решения. При сдаче работы студенты должны знать такие понятия, как порядок аппроксимации разностной схемы
и ее сходимость.
Заключает эту тему лабораторная работа № 8, посвященная сеточным методам решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Так же как и в предыдущей работе, точное решение краевой задачи за81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дается. Для того чтобы избежать возникновения погрешности, связанной с аппроксимацией граничных условий, в качестве области рассматривается прямоугольник. Далее, предлагается перейти к однородной краевой сеточной задаче и решить полученную систему уравнений либо одним из итерационных методов, либо используя сеточный
метод разделения переменных.
Наиболее успевающим студентам предлагается выполнить еще
одну лабораторную работу, содержание которой состоит в построении, решении разностной краевой задачи для уравнения теплопроводности на плоскости с использованием метода переменных направлений и сравнении полученного результата с точным решением, которое
задается. Таким образом, студенты знакомятся с приближенными методами решения многомерных задач математической физики.
Навыки, полученные при выполнении лабораторных работ, студенты достаточно успешно используют при выполнении курсовых и
дипломных заданий.
Об учебниках математики
для студентов юридического факультета
Л. Б. Медведева
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Существует много проблем, связанных с преподаванием математики на юридическом факультете. Одной из них является обеспечение
курса учебными пособиями. Создание учебных пособий, формирующих на базе изучения математики общенаучные и профессиональные
компетенции будущих специалистов в области юриспруденции, является одним из основных направлений обновления и содержания и технологии математического образования не только на юридическом факультете, но на всех гуманитарных факультетах.
По мнению Н. Х. Розова [6], математика для гуманитариев должна
«представлять принципиально новый по содержанию учебный предмет, предполагающий доступное, нетехническое изложение исключительно концептуальных положений математической науки». При создании такого курса «…придется осознать необходимость уважать и
учитывать психологические особенности гуманитариев. Для этого надо, изначально отказавшись от формальных доказательств и обучения
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
технике решения задач, разработать качественно новый наглядноописательный способ объяснения и живой стиль изложения фундаментальных математических фактов, придумать принципиально иные
приемы представления материала, предложить гибкие формы контроля
его усвоения».
Действующий Государственный стандарт определяет математическую составляющую дисциплины «Информатика и математика» для
юристов одной фразой «Аксиоматический метод, основные структуры,
составные структуры, вероятности». Такая достаточно широкая трактовка содержания этой части курса предоставляет большие возможности в выборе конкретного материала при его изучении. Появившиеся в
последние годы учебники и учебные пособия по математике для юристов достаточно разнообразны по содержанию и глубине изложения
материала.
На наш взгляд, учебное пособие по математике для гуманитариев
должно удовлетворять определенным требованиям:
– оно должно быть профессионально ориентированным, другими
словами, должно показывать роль математики в развитии научного познания и возможности приложения ее в гуманитарных науках, в нашем
случае – юридических науках;
– оно должно способствовать формированию общенаучных компетенций и вооружать знанием математических методов, которые характерны для точных наук, но могут применяться к исследованию
многих явлений окружающего мира;
– весь материал пособия должен быть мотивирован и интересен;
– изложение материала в пособии должно быть наглядным и доступным.
С этих позиций рассмотрим содержание и структуру наиболее известных учебных пособий по математике, предназначенных для студентов юридических факультетов [1, 2, 3, 4, 5].
Учебник Н. Б. Тихомирова и А. М. Шелехова «Математика:
Учебный курс для юристов» представляет собой учебный курс, подготовленный в соответствии с ГОС профессионального высшего образования по специальности 021100 Юриспруденция.
По мнению авторов, пособие помогает достичь следующих целей.
– Показать, что «математика – это часть общечеловеческой культуры, такая же неотъемлемая и важная, как право, медицина, естествознание и другое».
– Доказать, что, «занимаясь математикой, будущий правовед формирует свое профессиональное мышление: правоведы, как и матема83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тики, применяют одни и те же методы рассуждений с целью выявить
истину, поэтому они просто обязаны уметь логически мыслить и на
практике применять индуктивный и дедуктивный методы».
– Показать, что применение математических методов расширяет
возможности каждого специалиста. Для юриста, в частности, это возможности правильной обработки имеющегося статистического материала с целью сделать достоверный вывод или прогноз.
Содержание этого учебника охватывает достаточно широкий круг
вопросов по математике.
В первой главе обсуждается понятие числа в историческом его
развитии.
Вторая глава знакомит с некоторыми математическими методами
обработки статистического материала, понятиями случайной величины и закона ее распределения, интервального ряда, генеральной совокупности и выборки из нее, гистограммы. Здесь обсуждается роль интервального ряда и гистограммы при анализе большого числа экспериментальных данных.
Третья и четвертая главы посвящены изучению основ комбинаторики и теории вероятностей.
Пятая и шестая главы включают в себя основные сведения о
функциях и их графиках, теорию пределов, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Изложение материала здесь фактически не выходит за рамки школьных учебников по
математике, однако в главе 5 рассматривается метод наименьших
квадратов и целый параграф посвящен корреляционной зависимости
между случайными величинами.
В главе 7 авторы стараются показать, какое место занимает математика в мировой культуре и какова роль математики в современном
мире, дают некоторую характеристику профессии математика и математического стиля мышления. В этой же главе прослеживается история развития геометрии от Евклида до Лобачевского и дается понятие
об аксиоматическом методе построении науки.
Глава 8 знакомит читателя с такими фундаментальными алгебраическими структурами, как группа, кольцо, поле, линейное пространство, алгебра. Особо выделяются алгебры Буля, которые эффективно
применяют в математической логике, теории вероятностей, математической кибернетике описании работы различных управляющих систем – релейно-контактных и электронных схем, логических сетей
и т. д.
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Несомненный интерес представляет глава 9 «О теории принятия
решений», где рассматриваются некоторые математические методы и
критерии, которыми следует руководствоваться при принятии и обосновании решений в различных сферах деятельности. Изложение ведется на примере решения нескольких задач из теории игр.
Последняя глава посвящена вопросам истории математики. Здесь
приводятся сведения о жизни и основных открытиях 25 выдающихся
математиков мира – от Пифагора Самосского (530–510 г. до н. э.) до
математиков наших дней.
Говоря о структуре пособия, следует отметить, что каждый параграф в нем заканчивается списком упражнений для самостоятельного
решения, среди которых часто встречаются задачи с практическим содержанием и задачи, использующие терминологию, принятую в юриспруденции.
Подводя итог, следует сказать, что данный учебник действительно
профессионально ориентирован на студентов юридического факультета. В нем авторы стремятся к максимальной наглядности и мотивировке постановок задач. Учитывая психолого-педагогические особенности
студентов-гуманитариев (преобладание наглядно-образного мышления
и богатое воображение), они предусматривают в пособии достаточное
количество ярких, запоминающихся примеров, показывающих, что математика – это живая наука с многосторонними связями. При этом обсуждаются вопросы исторического, философского и мировоззренческого характера, достаточно много места отводится вопросам применения математических знаний в юридической практике. Особо это
относится к разделам, в которых излагаются основные положения теории статистической проверки гипотез и способы построения математических моделей процессов и явлений, которые могут быть интересны юристам.
Учебник В. Я. Турецкого «Математика и информатика» [2],
как говорится в предисловии автора, представляет собой базовый курс
математики и информатики для студентов гуманитарных направлений
и специальностей на уровне бакалавриата. Курс математики в нем разбит на пять частей: 1. Основания математики; 2. Основы алгебры и
аналитической геометрии; 3. Основы математического анализа;
4. Основы теории вероятностей; 5. Элементы математической статистики.
Данное учебное пособие отличает общий характер изложения и
отсутствие математических тонкостей, не столь важных и интересных
для читателя гуманитарного склада.
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Первая глава посвящена теории множеств. Все вводимые понятия
демонстрируются примерами. Достаточно подробно изучаются операции над множествами и их свойства. Во второй главе изучаются отношения порядка, эквивалентности, функциональной зависимости. При
рассмотрении функциональной зависимости систематизируются и несколько расширяются знания, известные студентам из школьного курса математики. Глава под названием «Основы математической логики»
знакомит нас с основами верных рассуждений, что чрезвычайно важно
для юристов.
Вторая часть учебника посвящена изложению основ алгебры и
аналитической геометрии. Отличительной чертой изложения является
единство алгебраического и геометрического подходов: здесь достаточно четко показано, что через уравнения геометрических объектов
(прямых, кривых, поверхностей) геометрия, по сути, смыкается с алгеброй. В последней главе этой части вводятся абстрактные алгебраические структуры на множествах с одной бинарной операцией (полугруппы и группы) и с двумя операциями (кольца, тела, поля), приводятся содержательные примеры. Основная цель этой главы – показать,
что можно изучать не свойства конкретных элементов заданных множеств, а свойства операций над этими элементами и тем самым выявлять общие свойства множеств различной природы.
Математический анализ в третьей части представлен в объеме традиционных курсов высшей математики, предназначенных для студентов
экономических, психологических и биологических специальностей.
В четвертой и пятой частях учебника дается достаточно полное и
глубокое изложение теории вероятностей и основ математической статистики, включая задачи проверки статистических гипотез и однофакторный дисперсионный анализ.
В конце каждой главы формулируются задачи для самостоятельного решения. Следует заметить, что типовые задачи разбираются в
соответствующих главах и параграфах. Некоторые разделы учебника
помечены звездочкой. Это означает, что раздел не входит в основной
курс и предназначен для самостоятельного освоения. Самостоятельно
предлагается изучать «Элементы линейной алгебры» и «Алгебраические структуры».
Анализ содержания учебника В.Я. Турецкого и его соотнесение с
учебным планом по математике для студентов юридического факультета показывает, что данный учебник для вышеназванного факультета
малоприменим. Он явно перегружен материалом, который на юридическом факультете можно и не рассматривать (непрерывность функ86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ции, пределы, дифференциальное и интегральное исчисление и др.)
или рассматривать в обзорном порядке, повторяя школьный курс. По
сравнению с первым учебным пособием он проигрывает и в плане
профессиональной ориентации. Это касается не только отбора и изложения материала, но и примеров, иллюстрирующих теоретический материал. Здесь нет примеров, показывающих применение изучаемого
математического инструментария при решении предметных юридических задач. Вместе с тем следует сказать, что он с самого начала ориентирован на студентов-психологов. Благодаря последним двум своим
частям, он для них просто необходим.
Учебник «Математика и информатика» [4] для студентов гуманитарных факультетов педагогических вузов, подготовленный коллективом авторов РГПУ им. А. И. Герцена, по своим целям, содержанию,
объему материала, манере изложения очень близок к учебному пособию [1] Н. Б. Тихомирова и А. М. Шелехова. Основная цель учебника – изложение математических идей и фактов, которые могут быть
использованы в профессиональной деятельности гуманитария.
Авторы постарались показать роль и место математики в общей
системе научного знания и познакомить с основными принципами построения математических теорий. За рамками пособия остались разделы математики, с которыми студенты в той или иной мере знакомы по
школьному курсу. А вошли в него те разделы, которые достаточно ярко показывают роль математических методов в современном мире и в
системе гуманитарного знания и в то же время сравнительно несложны для восприятия и могут быть понятыми людьми с гуманитарным
складом ума. Так, учебник знакомит нас с алгеброй высказываний и
предикатов, теорией множеств, комбинаторикой и теорией графов, началами теории чисел и основами теории вероятностей, аксиоматическим методом в геометрии и азами математического моделирования.
В отличие от предыдущих, данное пособие больше внимания уделяет вопросам математической логики как науки, позволяющей определять справедливость суждений, полученных с помощью логических
правил. Но здесь практически нет элементов математической статистики, то есть отсутствует описание математических методов, применяемых для анализа и обработки результатов эксперимента.
Теоретические вопросы изложены в данном пособии в привычном
для любой точной дисциплины стиле. Сначала дается определение математического понятия, вводится соответствующая символика, основные факты и связи между понятиями формулируются в виде теорем и
предложений. Однако теорем здесь не так уж и много, и прежде всего
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
потому, что немногие математические утверждения можно строго
обосновать, используя небольшое число звеньев при построении логической цепи рассуждений. А именно это важно для понимания математического содержания людьми гуманитарного стиля мышления. В
конце каждой главы приводятся краткие исторические сведения (под
рубрикой «Немного истории») и список литературы, позволяющий более глубоко изучить соответствующий раздел.
С целью организации самоконтроля за усвоением материала в
текст пособия включены вопросы и задания, которые необходимо выполнить по ходу чтения. Как и в предыдущих пособиях, в конце каждой главы имеется список задач для самостоятельного решения.
Текст учебника специальным образом организован: основные понятия выделены жирным шрифтом, вспомогательные – жирным курсивом, курсивом выделяются и все задания для студентов, к тому же
они расположены в левой части страницы. Необязательный для усвоения и даже чтения текст отмечен, как и в пособии 2, звездочкой.
От рассмотренных пособий резко отличается и не в лучшую сторону учебник П. В. Греса «Математика для гуманитариев». Формально этот учебник содержит все разделы, предусмотренные ГОС и
отраженные в предыдущих учебных пособиях: элементы теории множеств, дискретной математики, алгебры высказываний, основные части математического анализа, математические методы, которые используются в рамках теории вероятностей, математической статистики и
моделирования, принятия решений. Однако изложение материала
здесь слишком пространно и вольно, отсутствует та четкость и мотивированность объяснений, которые присущи языку математики. В пособии нет строгих определений, автор оперирует терминами и символами, о значении которых можно только догадываться, а догадаться
сможет только человек, знакомый с изучаемыми понятиями. Так, например, на странице 77 речь идет об операции навешивания кванторов,
но ничего не сказано об объектах, к коим она применяется. Параграфы
«Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление» занимают каждый по шесть страниц, а «Дифференциальные уравнения» –
3 страницы. Чтобы понять манеру изложения материала автором, приведем дословно текст пособия на страницах 88–89.
«6.1. Производная. Правила и формулы дифференцирования.
Производная функции f в точке x0 есть скорость изменения
функции f в этой точке.
Геометрическое толкование производной. Производная функции
f в точке x0 определяется тангенсом угла наклона касательной, прове88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
денной к графику функции f в точке x = x0 . Исходя из этого, выражение «производная от моего настроения по времени положительна» на
обычный язык переводится как «мое настроение улучшается».
Задача-шутка. Какой знак имеет производная от настроения по
расстоянию до кресла зубного врача?
Легко показать, что, приравнивая к нулю производную, можно
найти те значения независимой переменой, при которых функция может иметь максимум или минимум, т.е. экстремум.
В «критических» (подозрительных на максимум и минимум) точках, где функция достигает максимума, производная переходит от положительных значений к отрицательным (или вторая производная –
производная от производной – отрицательна); для минимума все наоборот.
Операцию получения функции f ′( x) из функции f ( x) называют
дифференцированием функции f ( x) .
Техника нахождения производных (или, как часто говорят, техника дифференцирования) сравнительно простое и более легкое дело,
чем, например, решение алгебраических уравнений. Формулы для
производных нередко оказываются даже проще (или, во всяком случае,
не сложнее), чем формулы для самих функций».
Далее следуют правила для нахождения производной константы,
суммы, произведения и частного двух функций и «цепное правило»,
под которым, надо полагать, подразумевается правило дифференцирования сложной функции. При этом никакой формулы для нахождения
производной сложной функции в учебнике нет. Затем приводится таблица производных степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций, применение сформулированных правил
демонстрируется тремя примерами. Пример на «цепное правило» отсутствует. На стр. 91 по поводу применения производных сказано
ровно следующее.
6.2. Приложения производной.
6.2.1. Исследования на экстремум
Исследование функций
Первая производная
Аналитические признаки
Исследования на экстремум
возрастания и убывания
Вторая производная
Аналитические признаки
Исследование на точки перегиба
выпуклости и вогнутости
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Далее следует пример решения задачи на оптимизацию с применением производной и формулируются две аналогичные задачи. Следует заметить, что вопрос о взаимосвязи понятий «Экстремум функции» и «Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке»
не обсуждается, хотя следующий пункт 6.2.2. данного параграфа только и состоит из решения задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений многочлена третьей степени на заданном отрезке.
По поводу правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей
при вычислении пределов на стр. 93 имеется только следующая информация.
«6.2.3. Вычисление пределов: раскрытие неопределенностей (праϕ ( x)
ϕ′( x)
»
= lim
x →∞ ψ ( x )
x →∞ ψ ′ ( x )
вило Лопиталя) lim
Ни понятия неопределенности, ни видов неопределенностей в пособии нет, как нет ни слова и об условиях применимости правила Лопиталя.
Странное чувство возникает, и когда читаешь определение вероятности случайного события.
В пособии часто встречаются утверждения и таблицы, смысл и назначение которых не всегда понятны. Примером может служить приведенная выше таблица. Никак не поясняются и таблицы на стр. 52 и
112. На стр. 77 после слов: «Для проведения доказательств применяют
так называемые таблицы истинности» следуют таблицы, определяющие логические операции над высказываниями, но ни слова не говорится, для проведения каких доказательств и как они применяются.
Читая этот учебник, трудно понять, что в нем главное, что нужно
усвоить, чтобы решать задачи, какие методы и приемы можно использовать в практической деятельности. Человеку, который не в ладах с
математикой, невозможно, например, изучив параграф 4.2, не только
выполнить к нему упражнения, но даже и понять, в чем состоит смысл
решения уже решенных задач.
Из всего сказанного следует, что для изучения математики юристами, для которых четкость формулировок и логическое обоснование
суждений очень важны в их профессиональной деятельности, данное
пособие не годится.
Из всех существующих ныне учебных пособий по математике для
гуманитариев запросам студентов юридического факультета, на наш
взгляд, наиболее полно отвечают пособия [1] и [4]. Более того, все разделы этих пособий могут быть объединены темой «Множества», так
как в каждом их разделе изучаются множества определенного вида:
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
множества высказываний и предикатов, множества событий и случайных величин и т. д. Таким образом, появляется возможность показать,
как из формальной математической теории возникают ее конкретные
приложения, и наоборот.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда, грант № 08–06–00302а.
Примечания
1. Тихомиров Н. Б., Шелехов А. М. Математика: Учебный курс
для юристов. М.: Юрайт, 1999.
2. Турецкий В. Я. Математика и информатика. М.: ИНФРА-М,
2000.
3. Грес П. В. Математика для гуманитариев: Учеб. пособие. М.:
Логос, 2004.
4. Математика и информатика: Учебник для студентов гуманитарных факультетов педагогических вузов / Под ред. В. Д. Будаева,
Н. Л. Стефановой. СПб.: Издательство РГПУ им. А. И. Герцена, 2001.
5. Рассолов М. М. Элементы высшей математики для юристов. М.,
Юрист. 1999.
6. Розов Н. Х. Гуманитарная математика // Математика в высшем
образовании. № 1. Н. Новгород, 2003.
7. Ведерников В. А., Сорокина М. М. Элементы высшей математики: Учеб. пособие для студентов юридического факультета. Брянск,
1999.
8. Тихомиров Н. Б., Шелехов А. М. Особенности преподавания
математики студентам юридических факультетов // Математика и общество: Математическое образование на рубеже веков (Дубна). М.,
2000.
9. Медведева Л. Б., Овсянникова И. Р. О преподавании математики на юридическом факультете // Проблемы повышения эффективности образовательного процесса в высших учебных заведениях. Ярославль: ЯрГУ, 2000.
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Индивидуальные домашние контрольные работы
при обучении математике на вечернем отделении
экономического факультета
И. Р. Овсянникова
Ярославский государственного университет им. П. Г. Демидова
Математическое образование является составной частью базового
общего образования будущих экономистов; оно должно быть достаточно фундаментальным и иметь четко выраженную прикладную направленность.
Одна из главных задач преподавания математики на экономическом факультете – научить студентов логике научных рассуждений, а
для этого надо научить их, прежде всего, работе над математическим
текстом, умению применять знания при решении различных (как чисто
математических учебных, так и прикладных) задач.
Обучение математике на вечернем отделении экономического факультета университета имеет ряд особенностей по сравнению с обучением на дневном отделении. Прежде всего, укажем на значительно
меньшее число часов, отводимых на аудиторные занятия (116 против
176 часов на первом курсе), обеспечение учебной литературой по остаточному принципу. Кроме того, знания по математике студентоввечерников в целом очень плохие, что объясняется не только тем, что
мы обучаем студентов, не прошедших по конкурсу на дневное отделение, но и проблемами преподавания предмета в школе, заменой традиционного по форме экзамена единым. Теперь все силы учителя математики в школе направлены на «натаскивание» учеников по применению нескольких алгоритмов при решении стандартных задач, а вот
логика рассуждений, обоснование возможности и необходимости производимых действий, все доказательства просто игнорируются и заменяются директивными указаниями «Запомни и делай так». Ученики
отвыкают задавать вопросы и, как следствие, перестают думать логически, рассуждать; в их сознании математика становится очень скучным предметом, требующим лишь механического запоминания большого числа формул и приемов решения задач, которые они с удовольствием забывают, написав очередную контрольную работу.
Студентам первого курса очень трудно адаптироваться к новым
требованиям в вузе. В течение 10 лет учебы в школе они привыкли к
определенному ритму изучения математики, определенным правилам
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
оценки работы. В школе материал каждой темы обычно рассматривался на нескольких уроках, решалось много однотипных примеров и
именно такие примеры предлагались ученикам на самостоятельной
или контрольной работе, т.е. каждая порция материала отрабатывалась
на уроке. В условиях существующего учебного плана на каждую
большую тему можно отвести не более 1–2 занятий (некоторые темы
приходится выносить на самостоятельное изучение). На занятии можно лишь показать особенности применения теоремы (метода, формулы
…), продемонстрировать основные правила действий, сформулировать
алгоритм решения и только. Вся работа по формированию навыков
решения задач, основательной проработке теоретического материала
переносится на домашнее задание. Дома студенты должны решить рекомендованные примеры, а если возникли какие-либо трудности, преодолеть их, привлекая учебники и лекции, разобрать дополнительное
число примеров, добиваясь полного понимания материала, выработать
навыки решения стандартных примеров. Большая часть студентов не
понимает (и не принимает) этих требований. Часть из них просто не
выполняет домашних заданий, часть сдается при первых же трудностях, а некоторые пишут всё, что угодно, не пытаясь оценить правильность и обоснованность выполняемых ими действий. Студенты просто
убеждены, что изучать математику надо так, как было в школе, и никак иначе.
Наша задача – научить студентов основным приемам работы над
математическим материалом, научить их логике суждений, поощрять к
постоянному применению этих приемов. Вся самостоятельная работа
студентов нуждается в постоянном контроле со стороны преподавателя, который должен помогать студентам преодолевать возникающие
трудности.
С особым вниманием надо подойти к выбору первых тем при изучении курса математики. На наш взгляд, стоит начать с простой темы,
не требующей знаний по предмету, и на её примере познакомить первокурсников с вузовскими требованиями и правилами изучения математики, критериями оценки знаний. Чтобы избежать ненужной конфронтации и сопоставления с привычными со школы требованиями,
лучше всего взять тему, которая в школе не рассматривалась. И, конечно, надо постараться не нарушать логику курса и учесть все её
взаимосвязи.
Университетский курс математики для экономистов содержит 13
тем, разнообразных по своему характеру, достаточно трудных для усвоения и тесно взаимосвязанных между собой:
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Матрицы. Определители.
2. Системы линейных уравнений.
3. Линейные векторные пространства.
4. Аналитическая геометрия.
5. Линейное программирование.
6. Дифференциальное исчисление.
7. Интегральное исчисление.
8. Ряды.
9. Дифференциальные уравнения.
10. Функции нескольких переменных.
11. Случайные события.
12. Случайные величины.
13. Элементы математической статистики.
Эти темы можно условно разделить на две большие группы, а характер взаимосвязей тем внутри каждой из этих групп легко установить с помощью следующих схем (рис. 1, 2).
Рис. 1.
Рис. 2.
Глядя на эти схемы, становится очевидным, что формальное усвоение одной темы не позволяет студентам понять в нужной степени
материал других тем. На наш взгляд, начинать изучение математики
надо с первой группы тем. Понятие матрицы и определителя являются
наиболее простыми для понимания, в теме нет сложных теорем, а алгоритмы решения основных задач не слишком длинные. Материал
этих тем позволит начать изучение математики «с чистого листа».
Чтобы научить студентов основным приемам работы над математическим текстом, недостаточно лекций и практических занятий, как
бы хорошо с методической точки зрения их не проводили. Первокурс94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ники должны научиться применять эти приемы при решении любых
задач, при чтении учебной литературы. В это время особенно важно
своевременно выявлять допускаемые ими ошибки и требовать их исправления.
Опыт работы со студентами-вечерниками экономического факультета показывает, что особое значение для достижения поставленных целей приобретают специальным образом подобранные и выполненные по определенным правилам индивидуальные домашние задания (контрольные работы).
В первом семестре студентам предлагаются три домашних индивидуальных задания. Первое из них содержит три примера:
Решить систему по теореме Крамера.
Решить систему методом Жордана – Гаусса, выписать базисное и
ещё какое-нибудь частное решение.
Решить матричное уравнение.
Если мы хотим научить студентов математике, то надо научить их
в первую очередь не запоминать, а логически рассуждать, обосновывая
каждый свой шаг. Именно поэтому основные требования при выполнении индивидуального задания – записывать не только вычисления,
но и обоснования возможности и необходимости выполняемых действий, обязательно формулировать основные определения и применяемые теоремы. Студентам сообщается, что все замечания, сделанные
преподавателем в их работах, должны быть исправлены в работе над
ошибками и сданы преподавателю на проверку.
Результаты проверки показывают, что при выполнении первого
задания (решить систему, используя метод Крамера) отмечаются следующие недочеты и недостатки:
Не сформулирована теорема Крамера.
Не выяснена возможность применения этой теоремы в конкретном
случае.
Не проводится проверка полученного решения.
Допускаются ошибки при выполнении арифметических действий.
С арифметическими ошибками всё понятно; если указать действие, в котором имеется ошибка, то, конечно, студент её исправит.
Правда, при этом он игнорирует все другие действия и не проводит
проверку остальных выполненных вычислений. Надо заметить, что
техника счета первокурсников с каждым годом всё ухудшается и всё
чаще встречаются студенты, не умеющие четко выполнять деление и
умножение чисел.
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Как показать студенту, что он решил пример неверно? Очевидно,
что если полученный «ответ» не удовлетворяет системе линейных
уравнений, то пример решен неверно. Однако это очевидно лишь для
половины студентов. Остальные студенты лишь удивленно смотрят,
ожидая еще каких-то, других, аргументов. Иногда можно услышать:
«Ну и что? Я всё решил правильно, я проверял». Слова «я проверял»
означают в их устах лишь то, что они проделали вычисления два раза и
получили тот же результат. Даже сама возможность допустить при
этих вычислениях одну и ту же ошибку ими отвергается с возмущением и вызывает негодование («Вот ведь я столько написал и даже дважды выполнил вычисления, а Вы недовольны»). И ещё, вот уж три года
как на сделанные замечания студенты возражают следующим образом:
«Я всё делаю правильно, я проверял (в том смысле, как было написано
выше) дважды. А если полученный ответ не удовлетворяет системе,
то, значит, пример неверный. Дайте мне другой пример».
Конечно, легче всего указать студенту на конкретную ошибку и
потребовать её исправить. Однако опыт проверки работ над ошибками
показывает, что очень часто студент просто переписывает своё решение дословно, с теми же ошибками, либо, исправив одну арифметическую ошибку, не вносит исправлений в остальные вычисления, формулирует требуемое определение или теорему с недочетами и ошибками и потому приходится снова и снова отдавать студенту работу на
исправление.
В школе, решая примеры на уроках математики, ученики никак не
объясняют процесс решения, а пишут только одни вычисления. Именно так поступают и первокурсники. Требование формулировать используемую теорему, обосновывать с её помощью решение считают
причудой преподавателя и в целом игнорируют. При решении первого
примера необходимо воспользоваться теоремой Крамера. Уступая требованиям преподавателя, студенты записывают эту теорему с неточностями, часто не понимая её смысла. Выясняется, что ряд первокурсников не понимает, что такое «главный определитель ∆ системы», как его
составить, зачем его надо считать, что делать, если ∆=0, для каких систем можно применить эту теорему.
Учитывая всё сказанное выше, можно сделать вывод, что максимального обучающего эффекта можно достичь лишь устраивая во внеурочное время индивидуальные собеседования со студентами по работе над ошибками, всячески поощряя студентов к диалогу, выясняя все
нюансы и добиваясь полного понимания сути.
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Во втором примере требовалось решить методом Жордана – Гаусса систему из четырех линейных уравнений с пятью неизвестными, а
также выписать базисное решение.
Используя жордановы преобразования, надо привести систему к
так называемому «единичному базису», для этого надо с помощью выбранного уравнения исключить выбранную неизвестную из всех остальных уравнений системы. Такие преобразования надо проделать
максимально возможное число раз, выбирая каждый раз новое уравнение.
Для того чтобы облегчить работу студентов (и показать им, как
нужно выделять основные этапы в решении более сложных задач), желательно попросить студентов придерживаться следующего развернутого алгоритма решения задач указанного вида:
1) записать систему в табличном виде, добавив столбик базисных
переменных;
2) выбрать разрешающий элемент в основной части таблицы;
3) в новой таблице записать разрешающую строку, предварительно разделив её на разрешающий элемент;
4) в разрешающем столбце записать в качестве остальных элементов нули;
5) выполнить пересчет остальных элементов по «правилу прямоугольника»;
6) перейти к п. 2;
7) если перейти к п. 2 нельзя, то записать систему в явном виде и
выписать ответ.
При выполнении этого задания вычисления производятся студентами не в матричной, а в табличной форме, что подготавливает студентов к решению задач линейного программирования и облегчает в ближайшем будущем усвоение достаточно сложного симплекс-метода.
Второе задание является более трудным по сравнению с предыдущим хотя бы потому, что алгоритм решения состоит из большего
числа шагов, а арифметические вычисления – более сложные.
Первый шаг алгоритма выполняется студентами практически без
ошибок, затруднения испытывают лишь некоторые из них при переходе от табличной к явной записи системы (п. 7) и такие ошибки легко
выяснить и исправить.
При выборе разрешающего элемента (п. 2) студенты иногда забывают, что надо выбрать его в основной части таблицы, т.е. среди коэффициентов при переменных, и выбирать его надо каждый раз в новой строке. Ошибки такого рода говорят о формальном усвоении
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
учебного материала и непонимании сути проделанных преобразований: выбрать разрешающий элемент – это значит выбрать ту переменную, которую надо исключить из всех уравнений, кроме выбранного.
Эта переменная становится базисной и её можно найти только из этого
уравнения (в остальных уравнениях её нет); вот почему надо каждый
раз выбирать разрешающий элемент в новой строке. Добиться понимания сути проделанных преобразований достаточно трудно, и потому
индивидуальные собеседования по исправлению ошибок предпочтительнее повторной проверки преподавателем работы над ошибками.
Конечно, индивидуальные собеседования отнимают у преподавателя много времени и сил, однако приносят студентам большую пользу, чем обычная проверка работы. Чтобы усилить эффект от таких собеседований (и заодно уменьшить затраты сил преподавателя), желательно проводить их в группе из 2 – 3 студентов, всячески поощряя
студентов к диалогу, задавая вопросы на понимание, а ответа добиваться от самих студентов. Обычно такая группа не распадается и сохраняется при дальнейшей работе по решению других примеров. Часть
студентов, поняв, что именно хочет преподаватель, превращаются в
помощников преподавателя. Они самоутверждаются в своих глазах, к
ним охотно обращаются за помощью их одногруппники. Всё это, несомненно, благотворно сказывается на учебном процессе.
При выполнении пятого шага алгоритма первокурсники неверно
применяют «правило прямоугольника», забывая делить результаты
вычислений на разрешающий элемент. Простое указание на эту ошибку ни к чему хорошему не приводит. Чтобы объяснить истоки этих
ошибок и исправить их, нужна помощь преподавателя или хорошо успевающего студента.
В третьем задании требовалось решить матричное уравнение следующего типа:
1 2 3
 −1 3 0 




0 4 7 ⋅ X =  0 1 2 
 1 −1 1 
 2 1 − 1




Этот пример, по сравнению с первыми двумя, является наиболее
сложным. Метод его решения студентам неизвестен.
При составлении этой домашней контрольной работы или, точнее,
индивидуального домашнего задания, использовался принцип «от простого к сложному». Если в задании 1 нужно было применить только
одну теорему и алгоритм состоял всего из трех шагов, то в задании 2
алгоритм решения стал значительно более длинным и сложным, а
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
арифметические вычисления – более трудными. При решении третьего
задания алгоритм студентам не сообщается. Студенты должны прежде
всего выяснить, что X – неизвестная матрица размера 3× 3 . Если определитель первой матрицы A отличен от нуля, то можно (пример в
лекциях или указание на учебник) применить так называемый «метод
обратной матрицы». А если A = 0 , что делать? С таким вопросом обращаются студенты, желая получить четкое указание типа «делай так».
Поскольку цель преподавания математики на экономическом факультете – научить студентов применять полученные знания, научить их
правильно обосновывать свои выводы и при необходимости добывать
недостающие знания из учебников и справочников, то поэтому в домашнем задании должен присутствовать пример не тренировочного
характера, заставляющий студентов подумать, почитать учебник, сопоставить разные подходы, выбрать один из методов. Таким примером
и является пример 3.
Вторая индивидуальная домашняя контрольная работа содержит
следующие задания по темам 3 и 4:
1. Среди заданных векторов выбрать пары коллинеарных и ортогональных векторов. Являются ли указанные векторы компланарными?
2. Найти ранг системы векторов.
3. Доказать, что три вектора а, в, с, заданные своими координатами в каком-то базисе, линейно независимы и найти координаты вектора х, заданного в том же базисе, в базисе (а, в, с).
4. Треугольник АВС задан координатами своих вершин. Написать
уравнение сторон треугольника, уравнение высоты АD. Задать внутреннюю область треугольника системой неравенств.
В конце первого семестра после изучения темы 5 студентам предлагается третья индивидуальная домашняя контрольная работа:
Решить графически задачу линейного программирования.
Решить симплекс-методом задачу линейного программирования.
Составить задачу, двойственную задаче 1, и получить её решение,
пользуясь теоремами двойственности.
Выполнив эти индивидуальные домашние задания, студент готов
к сдаче зачета за первый семестр (на зачет выносятся только задачи
указанных выше типов). Таким образом, схема: лекции – практические
занятия – домашние задания – индивидуальные домашние контрольные работы – зачет, помогает студентам понять уровень требований в
университете, освоить основные методы работы над математическим
материалом, научиться применять эти методы и, как следствие, успешно сдать зачет за первый семестр.
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Некоторые аспекты
дополнительного профессионального образования
математического факультета ЯрГУ
Ф. И. Папоркова
Ярославский государственного университет им. П. Г. Демидова
В ХХI веке неграмотным будет
считаться не тот, кто не умеет читать и писать, а тот, кто не умеет
учиться и переучиваться.
Элвин Тоффлер
На протяжении последних лет по инициативе ведущих вузов страны и общественно-государственных структур был сформирован массив образовательно-профессиональных программ, обеспечивающих
дополнительное профессиональное обучение студентов. Параллельное
обучение студентов, ориентированное на освоение в период обучения
в вузе дополнительных квалификаций, представляет собой одно из инновационных направлений высшей школы. Включение в учебный процесс дополнительных профессиональных программ с присвоением дополнительной квалификации открыли новые возможности осуществления межпредметных и межкурсовых связей в учебном процессе,
повысили профессиональную мобильность выпускников вузов на рынке интеллектуального труда, расширив границы будущего трудоустройства. Безусловно, выпускник учебного заведения, получивший дополнительную квалификацию, будет обладать более высокой способностью адаптироваться к изменившимся условиям, то есть процесс
вживания в новую ситуацию, освоение новых социальных ролей у него
будет проходить быстрее и менее болезненно.
На математическом факультете Ярославского государственного
университета разработана и внедрена в учебный процесс программа
дополнительной квалификации «Преподаватель», которая обеспечивает студентам возможность получения дополнительной профессиональной квалификации параллельно с основной специальностью. Еще
в начале ХХ века А. Ф. Лазурский писал: «Когда подходящая профессия найдена, то она очень скоро придает всему облику человека значительную определенность и законченность. Благодаря многократному
повторению укрепляются и, так сказать, кристаллизуются в опреде100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ленных профессиональных проявлениях те черты, которые наиболее
характерны для данного индивидуума и которые заставили его остановиться именно на этой профессии, в то время как все остальное отходит на задний план, становится мало заметным. В тех случаях, когда
преобладающая группа наклонностей выражена у человека не особенно отчетливо, удачно выбранная профессия может поддержать его, укрепить и оформить, между тем как неудачный выбор зачастую окончательно лишает таких людей всякой определенной физиономии. Для
характеристики человека важно не столько то, каким делом он занимается, сколько то, как он им занимается».
Наши студенты выбирают дополнительную квалификацию «Преподаватель» вполне осознанно еще и потому, что данная программа имеет
четко выраженную практическую направленность и ориентирована на
современный уровень требований к компетенциям специалиста.
В структуре программы три блока: блок гуманитарных дисциплин, соответствующий требованиям государственного стандарта РФ;
блок специальных дисциплин, определяющих специфику программы;
блок обязательной самостоятельной работы.
Самостоятельная работа студентов направлена на:
– развитие творческого начала и исследовательских навыков;
– самоисследование;
– развитие мотивации;
– получение навыков профессиональной работы с информацией;
– умение поставить и реализовать задачу.
Целью обучения и воспитания в рамках программы является развитие и формирование у выпускников личностных качеств и социально-профессиональных компетенций, позволяющих им осуществлять
деятельность в качестве преподавателя математики в учреждениях
системы образования различных форм собственности (школы, лицеи,
гимназии, колледжи), учреждениях, организациях, предприятиях, деятельность которых связана с различными аспектами преподавания.
Основными задачами обучения и воспитания являются:
• ознакомление студентов с объектом, предметом, основными категориями и понятиями психологии и педагогики обучения и воспитания, их задачами и исследовательскими методами, особенностями возрастной психологии и физиологии учащихся;
• развитие у студентов представлений об особенностях учебной
деятельности, формирование системы знаний о цели, задачах содержании, методах и технологиях обучения, воспитания и развития школьни101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ков и овладение на этой основе умениями эффективно осуществлять
профессиональную деятельность в качестве преподавателя математики;
• обучение умению самостоятельного поиска и анализа научной и
учебной информации в рамках дисциплины, использованию современных технологий в образовании; развитие интереса к разработке, освоению и анализу инноваций, внедряемых в практику обучения и воспитания, что будет способствовать педагогически целесообразному и
обоснованному выбору способов деятельности преподавателя;
• формирование целостных представлений о научных основах
школьного курса математики;
• развитие творческих и исследовательских навыков в процессе
подготовки к профессиональной деятельности в области преподавания, содействие формированию у студентов установки на постоянный
поиск и применение философских, социально-экономических, психолого-педагогических и других знаний в решении разнообразных проблем в области образования; воспитание и интеллектуальное развитие
личности студента.
Квалификационные требования к уровню подготовки выпускника:
• понимание роли учебных заведений в обществе, основные проблемы дисциплин, определяющих конкретную область его деятельности;
• знание основных законодательных документов, касающихся
системы образования, права и обязанности субъектов учебного процесса (преподавателей, руководителей, учащихся и их родителей);
• понимание концептуальных основ математики, ее места в общей
системе знаний и ценностей и в школьном учебном плане;
• учет в педагогической деятельности индивидуальных различий
учащихся: возрастных, социальных, психологических и культурных;
• знание математики, достаточное для аналитической оценки, выбора и реализации образовательной программы, соответствующей
уровню подготовленности учащихся, их потребностям, а также требованиям общества.
Каждый выпускник должен знать:
• сущность процессов обучения и воспитания, их психологические
основы;
• воспитательные и образовательные системы прошлого и настоящего; общие вопросы организации педагогических исследований,
методы исследований и их возможности, способы обобщения и
оформления результатов исследовательского поиска;
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
• пути совершенствования мастерства учителя и способы самосовершенствования;
• дидактику математики;
• содержание и структуру школьных учебных планов, программ и
учебников.
Профессиональное образование для получения дополнительной
квалификации «Преподаватель» – это капитал, который может дать
шанс для самореализации личности и повышения социального статуса.
Чтобы быть жизнеспособной, личность должна быть конкурентоспособной. На сегодняшний день условия жизни требуют от специалиста,
кроме профессионализма, еще целый ряд личностных качеств, таких
как самостоятельность, творческий подход к любому делу, умение доводить его до конца; постоянное обучение и обновление своих знаний,
гибкость мышления, общительность (О. И. Полькина). Другие авторы
указывают на такие аспекты, как инициативность, готовность к решению нестандартных проблем (А. Л. Полякова), жизнестойкость, быструю адаптацию в новой социальной среде (Ф. И. Минюшев). Кроме
того, конкурентоспособные преимущества имеют специалисты, которые владеют умениями и навыками работы на компьютере, пользования базами данных и новых информационных и педагогических технологий.
Остановимся подробнее на третьем блоке программы, основной
частью которого является педагогическая практика продолжительностью в десять недель.
Цель педагогической практики: моделирование будущей профессиональной деятельности в условиях общеобразовательной школы на
базе теоретической, научно-методической и практической подготовки,
полученной в период обучения в вузе; формирование профессионально необходимых преподавателю математики качеств в условиях самостоятельной педагогической деятельности.
Задачи педагогической практики:
• закрепление, углубление и практическое обогащение теоретических знаний, формирование и закрепление умений, их практического
применения в решении конкретных педагогических задач;
• формирование и закрепление основных профессионально-педагогических умений и навыков в организации педагогической деятельности в качестве учителя математики в старших классах и классного
руководителя;
• изучение опыта организации и планирования учебного процесса,
знакомство с новыми образовательными технологиями, с процессом
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
модернизации школьного образования, новым в работе школьного методического объединения учителей;
• разработка и реализация творческого и исследовательского подхода к педагогической деятельности;
• апробация материалов выпускной квалификационной работы.
В процессе педагогической практики в общеобразовательной
школе студенты овладевают различными педагогическими умениями:
организационными:
• осуществлять подготовку к проведению урока математики
(оформление места, размещение оборудования);
• выбирать методы организации информации в процессе ее подготовки и сообщения учащимся;
• организовывать собственную деятельность и поведение в процессе урока;
оценочно-диагностическими:
• оценивать уровень развития и подготовленности учащихся;
• регулировать и оценивать параметры нагрузки на уроках;
• анализировать проведенные уроки и мероприятия, давать им
оценку;
• проводить психолого-педагогические исследования;
• составлять психолого-педагогическую характеристику учащегося;
• оценивать результаты собственной педагогической деятельности;
гностическими:
• использовать в учебном процессе знания о возрастных и индивидуально-психологических особенностях;
• анализировать проблемную педагогическую ситуацию и находить новые знания, необходимые для ее решения;
• уметь пользоваться научно-методической литературой;
• изучать мотивы и интересы учащегося;
прогностическими:
• прогнозировать результаты влияния занятий на уровень развития
математических способностей и математического мышления;
• прогнозировать результаты влияния внеклассных мероприятий и
факультативных занятий по математике на уровень математической
подготовленности;
проектировочными:
• составлять документы планирования уроков по математике;
• составлять документы планирования факультативных (дополнительных) занятий по математике;
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
• разрабатывать программу по внеклассной работе по математике;
конструктивными:
• применять современные методы обучения и развития учащихся
согласно поставленным задачам урока;
• определять ошибки при обучении и находить пути их устранения;
• использовать различные средства обучения;
• проектировать деятельность учащихся, в которой информация
может быть усвоена;
• владеть техническими средствами обучения;
• корректировать собственную деятельность в зависимости от результатов освоения учащимися учебного материала, рекомендаций методиста, учителя математики;
• организовывать и проводить экспериментальную работу по теме
выпускной квалификационной работы;
коммуникативными:
• использовать информацию о великих математиках и достижениях в математике как средства общения и контакта на уроках математики, при проведении внеклассных воспитательных мероприятий;
• создавать благоприятную атмосферу общения учителя с учащимися, между учащимися;
• расположить к себе собеседника, владеть современными психологическими технологиями общения учащимися, с коллегами;
• устанавливать адекватные взаимоотношения между учителем и
учащимися;
• владеть образной эмоциональной речью; уметь вести диалог,
дискуссию и др.
Содержание педагогической практики в общеобразовательной
школе
Программа педагогической практики студентов предполагает выполнение следующих видов работ по разделам:
Организационная работа.
Учебно-методическая работа.
Воспитательная работа.
Внеклассная работа по математике.
Учебно-исследовательская работа.
Учет и оценка работы, выполненной студентами в период педагогической практики в школе.
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учет и оценку деятельности студентов осуществляют групповые
руководители в контакте с учителями математики, классными руководителями, администрацией школы и консультантами кафедр педагогики и психологии. В итоговой оценке должны учитываться все стороны
деятельности студентов на педагогической практике. Дифференцированная оценка складывается из следующих параметров:
• уровня профессионально-педагогических умений;
• эффективности проводимых уроков, воспитательных мероприятий;
• проявления творчества;
• уровня анализа и самоанализа;
• качества оформления документации;
• отношения к практике.
При оценке результатов работы практиканта используются следующие методы: анализ документации студентов на практике (дневников, отчетов, конспектов и т. д.); наблюдение за студентами в процессе практики и анализ качества отдельных видов работ (учебной,
воспитательной, методической, исследовательской и т. д.); беседа со
студентами, учителями математики, классными руководителями, администрацией; анализ характеристик студентов, написанных педагогами-наставниками;самооценка студентами степени подготовленности
к выполнению профессиональных функций и качества своей работы;
обобщение данных выполнения учащимися учебных заданий, их успеваемости, дисциплины.
Отчетная документация студентов по педагогической практике
в общеобразовательной школе («Портфель практиканта»)
• Сведения о руководителях практики.
• Характеристика базовой школы.
• Расписание учебных и внеклассных занятий по математике.
• Расписание методических занятий и индивидуальных консультаций.
• Индивидуальный план работы на все 10 недель практики.
• Поурочно-тематический план на третью четверть для работы в
закрепленном классе.
• 12 конспектов уроков по математике с самоанализом их проведения.
• План воспитательной работы (в закрепленном классе) на период
практики.
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
• Разработка двух воспитательных мероприятий, проведенных в
закрепленном классе, их самоанализ.
• Список закрепленного класса с общей его характеристикой.
• Психолого-педагогическая характеристика ученика.
• План внеклассной работы по математике на период практики.
• Отчет о «Неделе математики». Самоанализ проведенного мероприятия.
• Исследование познавательных интересов учащихся на уроке математики.
• Педагогический анализ урока математики.
• Отчет практиканта.
• Характеристика практиканта.
• Дневник практиканта.
По окончании практики студент составляет письменный отчет о
достигнутых результатах. Содержание отчета определяется настоящей
программой. Отчеты студентов рассматриваются руководителями
практики от базовых образовательных учреждений и от вуза. Руководители практики базовых образовательных учреждений дают отзыв
(характеристику) о работе каждого студента, отмечая в нем (ней) выполнение программы практики, овладение профессиональными умениями и качествами, отношение к работе, трудовую дисциплину. Итоговая оценка утверждается на защите результатов практики после анализа курсовым руководителем отчетной документации студентапрактиканта. Практикант, не выполнивший программу, получивший
отрицательный отзыв о работе или не защитивший результаты практики, считается не прошедшим педагогическую практику. Оценка по
практике приравнивается к оценкам теоретического обучения и учитывается при подведении итогов общей успеваемости студентов.
Следует отметить, что в период практики уроки, проводимые
практикантами, записываются на видеокамеру. Как правило, это первый и последний уроки. Применение видео нацелено, как правило, на
наблюдение и обсуждение «разносторонности личности». Участие в
видеосъемках происходит по принципу добровольности. При создании
среди практикантов климата взаимного доверия исчезает робость и
уходит страх показаться неудачником. После просмотров эти записи
обсуждаются. В обсуждении могут принимать участие и другие практиканты с разрешения студента, проводившего урок. Критика со стороны методистов и других практикантов должна выражаться таким
образом, чтобы она могла восприниматься без чувства ущерба.
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В целях защиты данных, с практикантами еще до начала съемки,
заключается соглашение о дальнейшем исследовании видеофильма.
Кроме того, до начала педагогической практики студенты посещают
мастер-классы и круглые столы ведущих учителей города, использующих в своей работе новые технологии. Тематику мастер-классов
разных педагогов стараемся делать одинаковой для более яркого проявления творчества и инноваций.
С другой стороны, лучшие выпускные квалификационные работы
студентов используются в работе школьных учителей и их методических объединений.
Ориентация дополнительного профессионального образования
«Преподаватель» на соединение предметной, психолого-педагогической, методической подготовки с опытом педагогической деятельности на практике в сочетании с активизацией его личностной позиции
позволяет достичь каждому студенту уровня, обеспечивающего ему
жизнеспособность, защищенность и конкурентоспособность на современном рынке труда.
Индивидуальная работа со студентами
в условиях пониженного уровня
среднего образования выпускников школ
В. С. Рублев
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Современный период характеризуется резким снижением уровня
образования, вызванного переходом на ЕГЭ. В единичных случаях высококвалифицированные учителя школ по-прежнему дают высокий
уровень образования, основанный на развитии логического мышления
и глубокого овладения понятиями предмета, будь то математика, литература, история или другие предметы. Направленность на тестирование ЕГЭ привело к тому, что подавляющее большинство учителей
стремится получить хорошие результаты за счет самого низкого уровня знаний, основанных на памяти. Так, для получения оценки 3 по математике ученику достаточно ответить на вопросы раздела «А», решение задач которого требуют только памяти, для чего учителям достаточно «натаскать» учеников на тот или иной вид теста. Беда в том, что
такой подход не требует от ученика труда в получении качественного
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
образования и ведет к тому, что большинство из них остается неучами.
А для хороших учеников, которых теперь на порядок меньше, для ответов по этому разделу достаточно 5 минут устного решения.
Низкий уровень конкурса при поступлении в высшие учебные заведения, вызванный демографическим спадом, привел к тому, что на
специальности, связанные с математикой и информатикой, поступает
много абитуриентов, которые не владеют большинством математических понятий и не могут проводить логических рассуждений. В таких
условиях дать базовый уровень образования студентам младших курсов невозможно без индивидуальной работы по следующим причинам:
лекционный материал сообщает студенту только информацию по
тому или иному разделу дисциплины, и некоторое количество примеров, связанных с обучением понятиям и логическому выводу доказательств, явно недостаточно;
решение домашних заданий практических занятий также недоступно для большинства студентов, так как они не привыкли трудиться,
да и уже не могут делать этого, а списывают решения у успешных студентов, если таковые есть в группе.
Ясно, что без проведения огромной индивидуальной работы преподавателю успеха не добиться. При этом каждый студент должен выполнить много индивидуальных заданий, и каждое задания должно
иметь столько вариантов, сколько имеется студентов. Выполнение каждого такого задания должно ставить целью не только формальное
получение студентом решения задач задания, но и грамотного обоснования этого решения со ссылками на понятия и объяснениями хода
решения на русском языке (во многих случаях студенты плохо знают
русский язык и не только не умеют выражать свои мысли, которых
возможно нет, но и не умеют разобрать и правильно понять сложное
предложение – с придаточными предложениями, причастными и деепричастными оборотами).
Проверяя индивидуальное задание, преподаватель делает неформальные замечания, объясняющие причину ошибок решения, неграмотность русского языка и рассуждений. Задача индивидуального задания может быть принята к зачету только после исправления всех
ошибок. Для этого студенту приходится неоднократно переделывать
решение задачи, но только такой подход вырабатывает у студента базовые знания по предмету.
Наш опыт преподавания дисциплины «Основы дискретной математики» по новой специальности «Информационные технологии»
привел к выделению 10 индивидуальных заданий (по 5 в каждом семе109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стре), каждое из которых содержит от 2 до 4 задач, направленных на
изучение и освоение базового материала дисциплины. Для каждого задания установлены сроки зачета задания. Студенты, сдавшие все задания досрочно и получившие по ним зачет, имеют право на зачетавтомат в осеннем семестре и высокую досрочную оценку по экзамену
в весеннем семестре, если они к тому же проявляют большую активность в выполнении домашних заданий по практике. Студенты, сдавшие все индивидуальные работы в срок, получают право на досрочную
зачетную работу, при выполнении которой устанавливаются льготы
для этих студентов. Это стимулирует студентов к активной работе в
течение семестра. Все остальные студенты допускаются к зачетной работе только после полной сдачи всех индивидуальных заданий.
Такой подход к индивидуальной работе требует от преподавателя
жертв, связанных с огромным временем на проверку индивидуальных
заданий. Так, при выполнении 15 задач 5 индивидуальных заданий
осеннего семестра для 46 студентов потока ИТ–1БО потребовалось в
среднем по 4 проверки каждой задачи, что составило примерно 2760
проверяемых задач и потребовало (при среднем времени проверки в 5
минут) 230 часов работы, не учитываемой в индивидуальной карточке
преподавателя. Естественно, что такие временные затраты не стимулируют многих преподавателей на такую индивидуальную работу. Но
без нее добиться подъема качества образования невозможно. Руководству университета следовало бы обратить на это внимание и возвратить на прежний уровень часы за индивидуальную работу по тем курсам, где она действительно ведется. Для проверки ведения этой работы
достаточно заключения заведующего кафедрой по объему выполненных студентами индивидуальных заданий.
Следует отметить, что нельзя только по выполненным индивидуальным работам поставить зачет, так как находятся недобросовестные
студенты, которые нанимают за плату репетиторов, выполняющих за
них такое задание. Только бесплатные консультации преподавателей,
ведущих дисциплину, могут помочь студентам освоить материал.
Для более успешной индивидуальной работы студентов в настоящее время разработаны методические указания по работам осеннего
семестра, которые содержат не только варианты задач индивидуальных заданий и примеры их решения, но и необходимый теоретический
материал, а также практические указания по решению задач и избежанию типичных ошибок. Все это вместе с настойчивой работой преподавателей должно поднять качество образования по дисциплине «Основы дискретной математики» до приемлемого уровня.
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В заключение приведем образцы 5 индивидуальных заданий осеннего семестра.
I задание. Множества.
Ввести обозначения множеств утверждения 1-й задачи и упростить их формулы по мере возможности, используя алгебру множеств.
Провести доказательство утверждения задачи, разделив его на отдельные части. Построить диаграммы Венна для множеств, входящих
в утверждение задачи, для случаев выполнения условий утверждения и
каждого случая невыполнения условий. Разные множества выделить
цветом и штриховкой с пояснениями. Построить примеры с множествами из натуральных чисел для случаев выполнения условий утверждения и каждого случая невыполнения условий, определив все
множества примера:
Ввести обозначения исходных множеств, заданных во 2-й задаче, и вывести формулу для искомого в задаче множества через исходные множества. Построить диаграмму Венна для всех указанных в
задаче множеств и выделить их штриховкой, цветом с пояснениями.
Основываясь на формуле включений и исключений для множеств, вывести формулу для числа элементов искомого множества и найти
это число.
В летний период транспортом пользовалось 90% населения. Причем 55% населения передвигалось поездом, 20% – самолетом, 40% –
автобусом, поездом и самолетом – 10%, всеми тремя видами – 5%.
Какой процент населения пользовался не менее чем двумя видами
транспорта, один из которых автобус?
II задание. Простые комбинаторные модели (без повторения
элементов).
1–3. Для каждой из первых трех задач определить одну из комбинаторных моделей, соответствующую этой задаче (перестановки без
повторений, сочетания без повторений, размещения без повторений;
любая из них, возможно, в сочетании с правилами умножения или
сложения), обосновав выбор модели (установлением взаимнооднозначного соответствия между множеством комбинаций задачи и множеством комбинаций модели) и правила умножения или сложения
(если требуется), а затем решить, используя формулу для числа комбинаций соответствующей модели.
Сколько существует 5-значных чисел, цифры каждого из которых различны и не являются простыми числами?
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сколько существует 5-значных чисел, цифры каждого из которых возрастают?
Сколько существует 5-значных чисел с различными цифрами, являющимися нечетными числами?
4. Дать развернутый ответ на вопрос, объяснив заданную модель
(или правило) и вывод формулы для числа комбинаций, определяемых этой моделью (или правилом). Привести пример использования
модели из решения других задач этого задания.
Комбинаторное правило умножения.
III задание. Простые комбинаторные модели (с повторением
элементов).
1–3. Для каждой из первых трех задач определить одну из комбинаторных моделей, соответствующую этой задаче (перестановки с повторениями, сочетания с повторениями, размещения с повторениями;
любая из них, возможно, в сочетании с правилами умножения или
сложения), обосновав выбор модели (установлением взаимнооднозначного соответствия между множеством комбинаций задачи и множеством комбинаций модели) и правила умножения или сложения
(если требуется), а затем решить, используя формулу для числа комбинаций соответствующей модели.
Сколько существует 8-значных чисел, у которых не более 2 цифр
являются нечетными?
Сколько существует 3-значных чисел с цифрами, не являющимися
степенями 3 и идущими в невозрастающем порядке?
Сколько существует чисел, состоящих из всех цифр, каждая из
которых является квадратом и повторяется число раз равное ей самой?
4. Дать развернутый ответ на вопрос, объяснив заданную модель
(или формулу) и вывод формулы (для числа комбинаций), определяемых этой моделью (или вопросом). Привести пример использования модели (формулы) из решения других задач этого задания.
Бином Ньютона и вычисление биномиальных коэффициентов.
IV задание. Булева алгебра и сложная комбинаторная задача.
Решить задачу 1 задания 1 путем сведения к проверке истинности формулы алгебры высказываний. Обосновать сведение к формуле алгебры высказываний ссылками на теорему и следствия для каждой ее части.
Решить комбинаторную задачу «Сколько чисел с заданным числом
знаков можно составить из цифр заданного числа?». Обосновать
подробно весь ход решения.
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сколько 7-значных чисел можно составить из цифр числа
393965321?
V задание. Булевы функции и сложная комбинаторная задача.
Булеву функцию, полученную в ходе решения задачи 1 задания 4
для равенства множеств, представить в следующих формах (с обоснованием, выводом и проверкой таблицей истинности):
СДНФ;
СКНФ;
полином Жегалкина;
формулу, содержащую только штрих Шеффера.
Для заданных систем булевых функций решить вопрос о полноте и замкнутости этих систем (с обоснованием).
{x + y, 1, х , х →у}{x, х y, у }
Решить комбинаторную задачу «Каким числом способов можно
вынуть заданное число карт с заданными свойствами из полной колоды в 52 карты?». Обосновать подробно весь ход решения.
Каким числом способов можно вынуть 4 карты 3 мастей и 2 значений из полной колоды в 52 карты?
Формирование общепредметных
учебных компетенций у учащихся
со средним и слабым уровнем подготовки
на уроках математики
Т. В. Сергеева
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Профилизация среднего образования затрагивает не только старшую, но и основную школу. В настоящее время существуют школы с
углублённым изучением отдельных предметов с 8 класса. Хорошо успевающие учащиеся чаще всего выбирают для продолжения обучения
математические классы. В классах других профилей, тем более в общеобразовательных классах, остаются школьники, у которых математика не является предпочитаемым предметом, не сформирован интерес
к какой-либо определённой предметной области, либо отсутствует интерес к учению вообще. Однако для завершения основного общего образования такие учащиеся должны освоить предусмотренный Феде113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ральным государственным образовательным стандартом (ФГОС) образовательный минимум и справиться с заданиями Государственной итоговой аттестации (ГИА). Кроме того, для продолжения обучения в
системе общего или профессионального образования выпускник основной школы должен владеть рядом учебных компетенций.
Условимся под учебной компетенцией понимать специфический вид компетенции, направленной на осознанное формирование связи между знанием и ситуацией в моделируемом пространстве с помощью содержания образования, имеющий целью достижение
конкретного
конечного
или
промежуточного
образовательного результата.
К формируемым с помощью математического содержания образования общепредметным учебным компетенциям отнесём стратегическую компетенцию, позволяющую построить последовательность действий для решения поставленной учебной задачи; вычислительную,
графическую, логическую, алгоритмическую компетенции.
Формирование учебных компетенций у школьников, безразлично
или негативно относящихся к математике, имеет ряд особенностей.
Приёмы обучения, стимулирующие появление и развитие интереса,
например дидактические игры, творческие самостоятельные задания,
оказываются малоэффективными, прежде всего, из-за низкого уровня
сформированности приёмов учебной деятельности, общепредметных
умений и навыков, слабого развития компетенций. Кроме того, значительная часть школьников имеет завышенный уровень самооценки.
Это ярко проявляется в конфликтных ситуациях с учителем, возникающих из-за отметок. Однако правильно организованная работа с
учебным материалом, индивидуальная работа учащегося над своими
ошибками, возможность самостоятельной отработки заданий задаёт
вектор развития учебных компетенций.
В предлагаемой статье рассматривается один из приёмов формирования учебных математических компетенций на примере изучения
темы «График квадратичной функции». Данная тема изучается в курсе
алгебры 8 или 9 класса основной школы в зависимости от используемого учебно-методического комплекта. На изучение отводится 3–4
урока. Отметим, что умение строить параболу, представлять её расположение на координатной плоскости относится к базовым и является
ключевым для освоения многих следующих тем. Например, для решения неравенств второй степени, графического способа решения уравнений и так далее. Согласно Требованиям к уровню подготовки выпускников основной школы, предъявляемым ФГОС, учащийся должен
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
«описывать свойства изученных функций, строить их графики; применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств» [2, с. 22].
Задания на построение графиков квадратичных функций соотносятся со следующими познавательными категориями, проверяемыми
на итоговой аттестации за курс основной школы: знание/понимание,
умение применить алгоритм.
Воспользуемся характеристикой каждой из выделенных категорий
применительно к базовому уровню подготовки, приведённых в Спецификации экзаменационной работы для проведения государственной
итоговой аттестации выпускников IX классов общеобразовательных
учреждений 2009 года (по новой форме) по алгебре [4].
Знание / понимание подразумевает владение термином; распознавание (на основе определений, известных свойств, сформированных
представлений); использование различных математических языков
(графический, символьный); переход от одного языка к другому, интерпретация.
Умение применить алгоритм – это использование формулы как
алгоритма вычислений; применение основных правил действий с числами, алгебраическими выражениями; решение основных типов уравнений, неравенств, систем (для рассматриваемой темы – графически).
Перечисленные познавательные категории отрабатываются с помощью различных форм обучения, одной из которых является работа
над ошибками, которые допустили учащиеся при самостоятельном
выполнении заданий. Остановимся подробнее на рассмотрении указанного вида учебной работы, так как нельзя недооценивать её дидактические возможности.
К традиционным видам работы над ошибками отнесём следующие:
• фронтальный, предполагающий работу с целым классом с приведением на доске правильно решённых заданий и записью в тетрадях;
• комментарии учителя или учащихся к работе;
• решение заданий, аналогичных ошибочно решенным.
Однако формальное отношение, как у учащихся, так и у педагогов, значительно снижает эффективность действий. Простое переписывание верных решений с доски при фронтальной организации работы над ошибками даёт, конечно, образец верного выполнения заданий,
но не заставляет найти именно свою ошибку, обратить на неё внимание, сказать самому себе, какие пробелы есть в знаниях.
Появление новых задач обучения, к которым можно отнести, в частности, формирование образовательных, учебных компетенций, часто
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ставит в тупик учителя-предметника. Поставив перед собой задачу
формирования учебных компетенций у учащихся, учитель не обязательно должен искать какие-то новые виды задач. Нужно адаптировать
формы работы, имеющиеся в его методическом «арсенале», к обновлённым требованиям.
Рассмотрим нетрадиционную форму проведения коррекции знаний и умений. Это работа с вспомогательными таблицами, имеющими
не образец решения, а план анализа собственной работы учащегося.
Школьнику предлагается его работа с проверенными решениями. Все
ошибки подчёркнуты, частично исправлены. Текст заданий обязательно должен находиться в распоряжении учащегося. Каждому ученику
класса выдаётся таблица, с которой он работает перед тем, как начать
исправление ошибок. Работа с таблицей предполагается на нескольких
уроках, причём не только в рамках узкой темы «График квадратичной
функции», а также после её изучения в случае необходимости.
Предлагаемая таблица составлена для коррекции знаний по теме
«График квадратичной функции». Первая часть заданий направлена на
повышение уровня мотивации к выполнению работы, формирование
адекватной самооценки. Она показывает учащемуся, какова часть верно решенных заданий, что снимает вопрос о несогласии с оценкой.
Для подбора формулировок вопросов классифицируем ошибки,
допущенные учащимися при решении заданий, следующим образом:
• вычислительные;
• ошибки, возникающие при работе с формулами;
• ошибки при построении точек координатной плоскости;
• отсутствие учёта коэффициента при х2, если он не равен 1.
Далее приводится таблица, с которой работают учащиеся.
Работа над ошибками по теме «График квадратичной функции»
Проверь свою работу заново, отвечая на вопросы.
1. Сколько всего графиков нужно построить во всех заданиях?
2. Сколько графиков ты построил за урок всего?
3. Сколько из них построено верно?
4. Сколько графиков ты построил самостоятельно?
5. Сколько из них построено верно?
6. Проверь, в каждом ли задании есть описание функции.
Внимательно посмотри на графики, которые построены неверно. Отвечая на вопросы, выясни, где ты допустил ошибки. Напротив описания ошибки поставь галочку, если такая ошибка есть в твоей работе. Если ошибки нет, то ничего не пиши.
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ошибка
Читай задание!
Что
сделать?
7. Проверь направление ветвей параболы. Помни, что при
a > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 – вниз.
8. Проверь вычисление координат вершины параболы.
а) знак коэффициента b при нахождении абсциссы вер−b
шины параболы меняется: x =
2a
−b
б) в знаменателе удвоенный коэффициент а: x =
.
2a
в) подстановка в формулу для нахождения ординаты вершины: верно ли подставлены коэффициенты a, b, c ? верно
ли подставлено значение x ?
г) верно ли проведены вычисления?
9. Проверь, верно ли построена вершина.
10. Проверь, помнишь ли ты таблицу для x 2 .
11. Проверь, верно ли отсчитаны единичные отрезки при
построении точек на координатной плоскости.
12. Если ты выполнял задания, где a ≠ 1 или –1, проверь,
учитывал ли ты это при построении.
Выполни заново те задания, где допущены ошибки.
Первый шаг в предлагаемой форме работы – установление учащимся личного уровня правильности решений. Кроме того, включение
в процесс проверки даёт ему возможность удостовериться в правильности поставленной отметки. Такой вид деятельности не характерен для
уроков и именно поэтому может вызвать интерес. Второй шаг – диагностика своих ошибок, третий – составление непосредственного плана
действий, который можно записать на полях тетради напротив задания,
выполненного неверно. Например, обнаружив ошибку при нахождении
координат вершины параболы, учащийся должен отметить, к какому
действию она относится: нет смены знака при вычислении абсциссы
вершины и так далее. В процессе выполнения заданий школьник приходит к пониманию, почему парабола построена неверно. Акцентируется внимание на темах, которые нужно дополнительно отработать – работа с формулами, действия с положительными и отрицательными числами, изображение точек на координатной плоскости.
Отметим, что описанный вид деятельности школьника направлен
на формирование как учебных, так и ключевых компетенций. В перечне ключевых образовательных компетенций (по А. В. Хуторскому)
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
выделена учебно-познавательная компетенция. Она характеризуется, в
частности, знаниями и умениями «анализа, рефлексии, самооценки
учебно-познавательной деятельности» [3, с. 116]. Однако задание
представляет собой алгоритм, включающий не только элементы самопроверки, но и повторение изучаемого способа построения параболы.
Таким образом, идёт формирование общепредметной алгоритмической
компетенции. Стратегическая компетенция проявляется, когда учащийся непосредственно приступает к новому построению графика.
Через предложенный алгоритм, диагностику своих ошибок школьник
учится составлять собственную последовательность действий для решения поставленной учебной задачи. Вычислительная компетенция
при обучении построению графиков формируется опосредованно, моделируя ситуацию межпредметной связи. Грамотность вычислений является необходимым условием правильного построения параболы (нахождение координат вершины, таблица значений функции), но без
умения строить на координатной плоскости точки (по заданным координатам) не приведёт к верному решению. Графическую компетенцию
в таком случае можно рассматривать двояко: с одной стороны, в качестве общепредметной, имея в виду навыки непосредственных построений, знания координатной плоскости. С другой стороны, выделим предметную (математическую) графическую компетенцию, название которой уточним, пользуясь терминологией А. Г. Мордковича [1,
с. 9] (по аналогии с названием содержательно-мето-дической линии в
УМК), и назовём функционально-графической. Эта компетенция формируется при изучении способов построения, чтения, исследования,
использования графиков функций для решения математических задач.
Таким образом, в статье показаны возможности традиционных
форм работы, таких как работа над ошибками, которые могут быть
расширены и направлены на формирование учебных компетенций
школьников.
Примечания
1. Мордкович А. Г. Алгебра. 7–9 кл.: Метод. пособ. для учителя.
2-е изд., доработ. М.: Мнемозина, 2001.
2. Сборник нормативных документов: Математика / сост.
Э. Д. Днепров, А. Г. Аркадьев. 2-е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2008.
3. Хуторской А. В. Дидактическая эвристика. Теория и технология
креативного обучения. М.: Изд-во МГУ, 2003.
4. www.fipi.ru
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Работа выполняется при поддержке Российского гуманитарного
научного фонда, грант № 08–06–00302а.
Математическая составляющая
в образовании физика
В. Ф. Чаплыгин
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Учение о природе будет содержать науку в собственном смысле
лишь в той мере, в какой может
быть применена к ней математика.
И. Кант
В настоящей заметке речь пойдет о месте и роли математических
дисциплин в образовании физика, имея в виду подготовку студентов
по физическим специальностям в классических университетах. Назовем эти дисциплины: математический анализ; аналитическая геометрия и высшая алгебра; дифференциальные и интегральные уравнения;
основы векторного и тензорного анализа; вычислительные машины,
программирование и информатика; теория вероятностей и математическая статистика. К ним можно отнести также "Решение прикладных
задач на ЭВМ" и "Методы математической физики". Основная задача
состоит в том, чтобы обеспечить глубокую общематематическую подготовку студентов-физиков. Каждая из названных дисциплин имеет
свое назначение, однако в конечном счете они направлены на то, чтобы помочь выработке у студентов навыков построения математических моделей физических явлений и решения (аналитического или
численного) полученных при этом математических задач. Конечно,
нельзя слишком утилитарно подходить к содержанию и построению
отдельного математического курса, требовать прямого выхода на приложения. У каждого из них имеется внутренняя логика, которая требует включения вспомогательных чисто математических вопросов (например, теория пределов в математическом анализе), не имеющих непосредственного выхода на прикладные задачи, но обеспечивающих
смежные математические дисциплины.
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так, математический анализ должен обеспечивать такие курсы,
как "Векторный и тензорный анализ" (ВТА), "Дифференциальные и
интегральные уравнения", "Теория вероятностей и математическая
статистика", "Методы математической физики" (ММФ). Не останавливаясь на этом подробно, отметим лишь, что по учебному плану ВТА
читается во втором семестре и математический анализ не в состоянии
дать ему необходимый материал по функциям многих переменных в
нужное время. Теория рядов Фурье, излагаемая в курсе математического анализа, используется в ММФ и ряде физических курсов.
Очень важное значение имеет методика преподавания математических дисциплин, которое не должно сводиться к формальному изложению предмета. Вчерашнему школьнику, пришедшему в университет, трудно разобраться, зачем изучается та или иная математическая
дисциплина, какую роль она играет в физических науках. Поэтому
весьма актуален вопрос мотивации обучения. Заинтересовать студента,
показать, как были построены математические модели и разработаны
методы решения математических задач, связанных с ними. Большую
роль в этом направлении может сыграть хотя бы краткий экскурс в историю зарождения физики и математики как наук. Как известно, на
протяжении многих тысячелетий шел процесс накопления фактов,
сведений, связанных с различными явлениями природы. Человек наблюдал за небесными светилами, их перемещениями, сменой времен
года, морскими отливами и приливами, разливами рек, солнечными и
лунными затмениями и т. п. Ему требовалось проводить различные
измерения длин, площадей, объемов, углов при строительстве дамб,
пирамид, плотин, культовых сооружений, домов, вести счет времени
и т. д. В результате был накоплен большой объем математических сведений, найдены способы решений конкретных задач, появились зачатки математических знаний в Древнем Египте и Вавилоне. Но то были
лишь рецепты решения задач, отдельные формулы для вычисления
площадей, объемов, которые отвечали на вопрос "как" решить задачу,
но не объясняли "почему" именно так. Науки как таковой не было.
Временем ее зарождения считается середина первого тысячелетия
до н.э., местом ее зарождения называют Древнюю Грецию и связывают с именами Фалеса, Пифагора, Демокрита, Аристотеля, Архимеда,
Гераклита, Платона, Птолемея, Анаксимандра и др. Первые ученые
были философами, которые пытались объяснить явления, происходящие в окружающем мире, природу вещей, ответить на вопрос "почему", доказать то или иное утверждение. Из философии стали выделяться конкретные науки: астрономия, математика, медицина, геогра120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
фия, механика и др.; возникают представления об атомном строении
вещества. Особую роль среди наук играла математика. Г. Галилей писал: "Философия природы написана в величайшей книге, которая всегда открыта перед нашими глазами, – я разумею Вселенную, но понять
ее сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена,
которыми она написана. А написана она на языке математики..." Математика как наука, зародившаяся в VII–V вв. до н.э., до XVII в. оставалась математикой постоянных величин. К началу XVIII в. был решен большой круг задач из геометрии, точной механики, гидравлики,
что потребовало привлечения переменных величин, в частности, бесконечно малых. Труды Галилея, Торричелли, Кавальери, Ферма, Декарта, Гука, Кеплера, Гюйгенса и др. были насыщены идеями бесконечно малых величин и привели Ньютона и Лейбница к открытию
дифференциального и интегрального исчисления.
Обращает на себя внимание тот факт, что основные идеи переменных величин Декарт излагает в трактате "Геометрия" – приложении к основному философскому сочинению "Рассуждение о методе".
Ньютон излагает основы классической физики, земной и небесной механики в "Математических началах натуральной философии". А сравнение философии Р. Декарта и И. Ньютона Л. Эйлер проводит в 1724 г.
Это еще раз подтверждает, что зарождение математики произошло в
недрах философии.
Заметим, кстати, что до XIX в. выдающиеся умы соединяли в себе
физика-исследователя и математика. Можно назвать имена Галилея,
Торричелли, Кеплера, Ньютона, Эйлера, Бернулли-старших, Лагранжа,
Фурье, Пуассона, Лапласа, Гаусса и др. В XIX в. намечается "узкая"
специализация, ряд ученых занимается "чистой" математикой: Коши,
Вейерштрасс, Риман, Гильберт и др. Однако часть ученых совмещает
интересы физической и математической наук: А. Пуанкаре, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин, М. А. Лаврентьев, М. В. Келдыш и др.
Как известно, Ньютон формулирует две основные взаимно обратные задачи анализа бесконечно малых: 1) определение скорости в данный момент времени по известному пути и 2) определение пройденного пути по известной скорости и заданному времени движения. Таким
образом, история науки показывает, что от отдельных конкретных задач математики пришли к общим математическим методам и основным понятиям математического анализа: производная, дифференциал,
интеграл. Поэтому при введении этих понятий имеет смысл, следуя
генезису их зарождения, идти от конкретных задач, геометрических и
физических, к их математическому описанию, построению математи121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ческой модели. Когда математическая модель оформляется в виде задачи, она решается в общем виде, а затем полученный аппарат используется для решения конкретных задач. Проиллюстрируем сказанное
примерами. Так, при введении понятия производной рассматриваются
подробно две задачи: о касательной к графику функции и мгновенной
скорости прямолинейного движения материальной точки, если известна зависимость пути от времени. И кратко описываются задачи: о силе
тока, скорости радиоактивного распада, точечной и линейной плотности, скорости охлаждения тела и т. п. Показывается, что все перечисленные задачи и им подобные приводят к необходимости нахождения
Δy
lim
, где Δх – приращение аргумента, а Δу – соответстпредела
Δx → 0 Δx
вующее ему приращение функции. Далее разрабатывается техника
дифференцирования функции, составляется таблица производных, тем
самым создается математический аппарат, с помощью которого решается большой круг задач геометрии и физики.
К понятию определенного интеграла можно подвести студентов с
помощью задач об отыскании площади криволинейной трапеции и пути, пройденном материальной точкой за данное время, если известна
ее скорость (задача, обратная приведенной выше). Эти задачи сводятся

n
f (ξ k ) Δxk при определенных
к нахождению предела сумм вида
k =1
условиях. После чего дается определение интеграла, устанавливаются
его свойства, выводится формула Ньютона – Лейбница и рассматриваются различные геометрические и физические приложения интеграла. В числе последних нахождение массы однородной пластины, статических моментов и моментов инерции, центра масс, работы переменной силы, силы давления и т. п. Приведем две физические задачи и
выделим основные этапы их решения.
Задача 1. Вычислить работу, которую
необходимо произвести, чтобы выкачать
воду из полусферического резервуара радиуса R, считая плотность воды равной 1.
При решении этой задачи со студентами стоит обратить их внимание на следующие моменты: выбор системы координат, нахождение элемента работы ΔА, замены его дифференциалом dA и, наконец,
интегрированием его по соответствующему промежутку. Сказанное выше в рас122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сматриваемой задаче сводится к выделению шарового слоя воды, за2
меной его цилиндром с объемом, равным π 2Rx − x , определение
(
)
дифференциала работы dA = π ( 2 Rx − x 2 ) ( R − x ) и его интегрированием
R
A = π  (2 Rx − x )( R − x)dx =
2
π R4
4
0
. Тот факт, что выделен именно диффе-
ренциал необходимо прокомментировать, пользуясь определением
дифференциала.
Задача 2. За какое время из вертикальной цилиндрической бочки
диаметра D, высотой Н вытечет жидкость через круглое отверстие
диаметром d в дне бочки?
Согласно закону Торричелли, скорость истечения жидкости задается формулой v(h)=c 2 gh , где с – опытный коэффициент, g – ускорение свободного падения, h – высота слоя жидкости над отверстием.
Кстати, эту функцию легко получить, используя переход потенциальной энергии в кинетическую. Если выделить в бочке слой жидкости
высотой Δh, то его объем будет равен ΔV=
πD 2
4
⋅Δh. Если Δt – время, за
которое из бочки вытечет этот объем жидкости, т. е. с момента времени t до момента времени t+Δt, тогда ΔV=
получаем равенство
Δt=
D 2 Δh
d 2 c 2 gh
время t=
πD 2
4
πd 2
4
⋅v(h)Δt. Таким образом,
2
⋅Δh= πd ⋅v(h)Δt, из которого выражаем
4
. Проинтегрировав по промежутку от 0 до Н, получаем
D 2 2H
d 2c g
.
К понятию криволинейных, кратных и поверхностных интегралов
также лучше подойти от физических задач: нахождение массы кривой,
поверхности тела по известной точечной плотности, работы силового
поля, потока векторного поля и т. п., что вызывает интерес у студентов, создает дополнительную мотивацию и показывает возможности
их приложения для решения прикладных задач, использования в ВТА
при изучении теории поля. Большие возможности для математического образования физиков предоставляют дифференциальные и интегральные уравнения как обыкновенные, так и в частных производных.
Безусловно, имеет смысл сформулировать задачи, сводящиеся к дифференциальным уравнениям, вывести эти уравнения. Имеются в виду
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
задачи на механическое движение с малыми и большими скоростями в
средах с различными сопротивлениями, реактивное движение, колебательные процессы, явление резонанса, колебания струны и мембраны,
распространение тепла и т. д. Хорошей иллюстрацией сказанного служит уравнение колебаний в механических системах или электрической
цепи. Опираясь на второй закон Ньютона, последовательно получаем
x + k 2 x = 0 ; зауравнения свободных колебаний (пружина, маятник) 
тухающих колебаний при сопротивлении среды, пропорциональном
x + nx + mx = 0 ; вынужденных колебаний при отскорости движения 
сутствии сопротивления среды и наличии периодической возмущаюx + k 2 x = q sin pt , условия появления резонанса и, наконец,
щей силы 
колебания с учетом сопротивления среды и возмущающей силы

x + nx + mx = q sin pt . Все эти уравнения описывают процессы в колебательном контуре. На то, что одна и та же математическая модель описывает различные физические процессы, следует обратить внимание
студентов особо.
Перед преподавателем, читающим математический курс студентам-физикам, стоит следующая педагогическая задача: объяснить студентам происхождение математических моделей и их построение, снабдить его математическим аппаратом для решения связанных с математической моделью задач, очертить круг их возможного применения.
Часто преподавателей математики упрекают за излишнюю строгость изложения теоретического материала. Вряд ли эту критику можно признать справедливой. В лучших вузах России – МФТИ, МИФИ,
физфаке МГУ и некоторых других – читаются очень серьезные математические курсы, не уступающие тем, которые читаются на математических факультетах университетов. Студента необходимо убедить в
истинности математических утверждений, предупредить о возможных
ошибках в их использовании. Здесь ни в коем случае нельзя обойтись
рецептами, как делать, не объяснив, почему именно так. Академик
А. Н. Крылов писал, что для инженера математика является инструментом, и он должен знать, где лежит тот или иной инструмент и как
им пользоваться.
В заключение следует сказать о взаимодействии преподавателей
математических и физических дисциплин. Их сотрудничество должно
быть обоюдовыгодным. Математик показывает, как создавалась математическая модель физического явления или процесса, дает математическое решение проблемы, а физик, используя математические методы, выходит на решение физической проблемы, объясняя студенту ее
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
суть. Только тесное взаимодействие даст возможность избежать формализма в усвоении знаний или, по крайней мере, уменьшить его
опасность.
Составление итоговой суммы баллов
для рейтинговой системы оценки знаний
Н. Б. Чаплыгина
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Рейтинговая система оценки знаний позволяет частично автоматизировать процесс выставления оценки. Достоинства системы очевидны. Она не позволяет студенту расслабиться в течение семестра; активизирует процесс учебной деятельности студента, требуя постоянного
внимания и мобилизации во время занятий: аудиторных и самостоятельных; запускает механизм обратной связи: студент знает, какова его
текущая оценка, может повлиять на нее, используя возможности рейтинговой системы; на промежуточную аттестацию (зачет или экзамен)
тратится меньше времени и студентов и преподавателя; оценка, выставляемая студенту на экзамене или зачете, прогнозируема и не является неожиданной для студента, что смягчает стрессовую ситуацию на
экзамене.
Однако существуют и недостатки этой системы. При подготовке к
оцениванию с помощью рейтинговой системы требуются затраты труда и времени преподавателя на создание алгоритма оценивания. Лучший вариант для экономии времени в процессе аттестации – реализовать алгоритм программно, например, с помощью электронных таблиц. После подготовительного этапа требуется время для отладки и
корректировки рейтинговой системы. В процессе ее использования
также могут вноситься изменения. И постоянно в процессе обучения
требуется дополнительное время для отслеживания текущей суммы
очков, набранных каждым студентом. Частично эту работу можно автоматизировать, но сделать незаметной не получается.
Необходимое условие для реализации рейтинговой системы – ясность правил и открытость информации.
Преподаватель в начале семестра знакомит студентов со всеми условиями рейтинговой системы оценок. Личный текущий рейтинг (в
очках), наибольший из возможных рейтингов и наибольший в группе
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(потоке) на настоящий момент должны быть известны студенту. Но
рейтинги всех студентов публиковать не стоит (по крайней мере, вывешивать в людных местах). Упорядочивание студентов по какимлибо критериям может быть для некоторых из них не совсем приятным
моментом (и не только для студентов). Как будет изложено ниже, некоторые входные данные для подсчета итоговых рейтинговых сумм
можно менять и во время аттестационного периода. Однако изменения
повлияют и на пороговые значения для выставления оценок, поэтому
такие изменения не желательны. Но без них порой трудно обойтись,
поскольку реальные показатели могут отличаться от планируемых
(например, число занятий в семестре или число контрольных работ).
Необходимо объявить студентам о такой возможности изменений,
чтобы не было конфликтных ситуаций, и своевременно вносить такие
изменения в таблицы, пересчитывающие выходные показатели. Таблицы должны быть доступны студентам, удобно помещать их на электронных сайтах или в общедоступных каталогах.
Ниже приводится пример подготовки алгоритма оценивания знаний студентов специальности "ПМИ" математического факультета по
рейтинговой системе для дисциплины "Дискретная математика" (семестровый курс).
Данные об объеме и содержании дисциплины
Часы: 36 лекционных и 30 практических. Итоговое мероприятие –
экзамен.
Семестровая программа дисциплины содержит три раздела:
1) Введение в теорию множеств.
2) Основные комбинаторные схемы.
3) Элементы математической логики.
Текущему контролю усвоения материала и приобретения знаний
студентами подлежат следующие виды учебной работы студентов.
Все виды работ разделены на категории: основные (отмечены
символом "о" в последнем столбце таблицы), дополнительные (символ
"д") и экзамен. Априорно рейтинговая сумма на конец семестра ориентируется на основные виды работ. Границы для выставления оценок за
экзамен определяются из расчета максимальной и минимальной сумм
по основным видам работ и экзамену. В результате учебной деятельности каждый студент набирает очки, составляющие текущую рейтинговую сумму, и по основным и по дополнительным видам работ. Таким образом, если студент не набрал желаемое число очков основной
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
категории, он может компенсировать этот недостаток числом очков за
работу дополнительной категории.
Таблица 1
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
Присутствие на занятии (лекции или практическом)
устные ответы студентов на лекциях
ответы студентов на практических занятиях
замечания студентов по изложению материала преподавателем,
сделанные на занятиях или после занятий
выполнение письменных домашних заданий и расчетнографических работ
выполнение контрольных и самостоятельных работ
тестирование (письменное или компьютерное)
участие в коллоквиумах (в письменной или устной форме)
отработка пропущенных занятий
выполнение курсовых работ
выступления на занятиях с реферативными исследованиями заданной темы
участие в соответствующих олимпиадах или научных конференциях
участие в проверке контрольных работ
участие в создании тестов для тестирования студентов
другие виды работ, оцениваемые преподавателем (например, активность)
о
о
о
о
о
о
о
о
о
д
д
д
д
д
д
Набранная студентом на конец семестра общая рейтинговая сумма
может служить критерием для допуска к экзамену. Желательно для
допуска к экзамену набрать минимальное число очков, показанное в
столбце 9 табл. 2 в строке "Сумма очков на конец семестра". Если набранная на конец семестра рейтинговая сумма существенно превышает
максимальную (за счет дополнительных видов работ), студент может
быть освобожден от сдачи экзамена с выставлением ему оценки "отлично".
Преподаватель может подойти к решениям о недопуске и выставлении оценки-автомата творчески, т. е. использовать максимальную и
минимальную суммы таблицы с подобранными им коэффициентами:
увеличивающим и уменьшающим соответствующие указанные суммы.
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
5
6
Основные виды учебной работы
1
1
1
присутствие на занятии 33
(лекции или практическом)
1
1
устные ответы студен- 20 0,20
тов на лекциях
1
1
ответы студентов на 20 0,50
практических занятиях
2
1
1
замечания студентов по 10
изложению материала
преподавателем, сделанные на занятиях или
после занятий
5
1
1
1
выполнение письменных домашних заданий
и
расчетно-графических работ
2
10
1
2
выполнение контрольных и самостоятельных
работ
1
5
1
тестирование
(письменное или компьютерное)
2
10
1
2
участие в коллоквиумах (в письменной или
устной форме)
0,5
1
1
отработка пропущенных занятий (баллы
добавляются к п. 1)
Сумма очков на конец
семестра
128
Сумма очков для min
полож. оценки
(ст. 7 ст. 8)
3
Макс. сумма очков
(произведение столбцов 3-6)
Коэффициент для min
полож. оценки
2
Коэффициент
важности
Виды учебной работы
Кол-во
мероприятий
№
пунк
тов
Макс. число очков
за одно мероприятие
Использование
пункта
Стоимость работ в очках
×
7
8
9
33
0,8
26,4
4
0
0
10
0
0
20
0
0
5
0,5
2,5
40
0,33
13,33
0
0,33
0
40
0,33
13,33
0
0
0,00
152
55,57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11
12
13
14
15
16
17
Дополнительные виды учебной работы
выполнение курсовых
5
1
5
работ
10
1
10
выступления с реферативными
исследованиями заданной темы
на занятиях
20
1
20
участие в соответствующих
олимпиадах
или научных конференциях
участие в проверке
10
1
10
контрольных работ
5
1
5
участие в создании тестов для тестирования
студентов
другие виды работ,
оцениваемые преподавателем
20
2
40
экзамен
192
Итоговая сумма очков (без учета доп. очков)
п. 10+ п. 17
0,33
13,33
68,9
Аттестационная оценка выставляется по итоговой сумме очков с
учетом дополнительных очков по следующей таблице.
Таблица 3
Перевод сумм очков в аттестационную оценку
Суммы очков
менее 68,9
от 68,9 и менее 96
Оценка
неудовлетворительно
удовлетворительно
от 96и менее 144
хорошо
от 144
отлично
Комментарии
минимальная сумма из итоговой строки
предыдущей таблицы
верхняя сумма = 50% от максимальной
итоговой суммы из предыдущей таблицы
верхняя сумма =75% от максимальной
итоговой суммы из предыдущей таблицы
Описание таблицы 2. Стоимость работ.
Столбец 2. Виды учебной работы
Заносим все виды учебной работы, учитываемые в рейтинговой
сумме, за которые начисляются очки.
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Столбец 3. Количество мероприятий
Указывается предполагаемое число мероприятий – видов учебной
работы. В течение семестра это число может меняться. Тогда автоматически произойдет пересчет всех ячеек таблиц. Можно, добавив еще
одну контрольную работу, внести ее либо в основную часть (увеличиваем лишь число мероприятий, если ее стоимость та же, что и у остальных контрольных работ, или отдельной строкой, если ее стоимость другая), либо в дополнительную.
Столбец 4. Максимальное число очков за одно аттестационное
мероприятие
Участие в каждом мероприятии оценивается преподавателем числом очков от нуля до указанного в этом столбце.
Столбец 5. Использование пункта
Если соответствующий вид работ не подготовлен, а лишь планируется, то в ячейке этого столбца указываем пусто или нуль. В противном случае, ставим символ "1".
Столбец 6. Коэффициент важности
Вес данного показателя в общей сумме. С помощью этого показателя можно уменьшать или увеличивать соответствующую составляющую рейтинговой суммы.
Столбец 7. Максимальная сумма очков (произведение столбцов 3–6)
Автоматически вычисляется максимальная сумма очков, равная
произведению значений в столбцах 3, 4, 5, 6.
Столбец 8. Коэффициент для минимальной положительной оценки
Коэффициент для получения минимальной пороговой суммы. Например, для посещаемости занятий введен коэффициент 0.8, т.е. желательно посетить не менее 80% занятий. В этой сумме могут быть учтены отработки, а можно оставить эту сумму "чистой" и отработки учитывать отдельно. В таком случае коэффициент можно понизить (на
усмотрение преподавателя).
Столбец 9. Сумма очков для минимальной положительной оценки
В этом столбце автоматически вычисляется сумма, равная произведению значений в столбцах 7 и 8.
Описание таблицы 3. Перевод сумм очков в аттестационную
оценку.
За время преподавания накоплен опыт, который сложился при выставлении оценки. Пороговые значения для оценок "удовлетворительно", "хорошо", "отлично" составляют примерно 30%, 50%, 75% от максимальной учитываемой суммы. Конечно, это среднестатистические
пороговые значения и могут меняться в зависимости от сложности
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
предложенных студентам заданий. Использование указанных пороговых коэффициентов дало указанные в таблице 3 значения рейтинговых
сумм. Коэффициенты можно изменить при необходимости, получив
другие значения.
Таблицы составлены таким образом, что изменение ячеек в столбцах 3, 4, 5, 6, 8 второй из них автоматически приводят к изменению
столбцов 7 и 9 и данных третьей таблицы. Поэтому таблицы легко перепрограммировать для оценки по любой другой дисциплине и для
любой другой схемы (набор работ, стоимость работ, коэффициенты
важности и т. п.).
Примечания
1. Ерунов В. П. Оценочно-критериальная система учебного процесса в вузе. Оренбург: ОГУ, 2002.
2. Анищенко В. Г., Лейкина О. Ю., Фокин Ю. Г. Пути совершенствования оценивания учебной деятельности студентов в высшей школе // Содержание, формы и методы обучения в высшей школе. Вып. 5.
М., 1994.
3. Огорелков Б. И., Ерунов В. П. Планирование и нормирование
научно-педагогического труда преподавателей вуза. Оренбург: ОГУ,
2000.
4. Рейтинг и тесты в системе оценки знаний студентов / Сост.
Г. А. Урванцева, А. Н. Щапов. Ярославль: ЯрГУ, 2001.
Элементарное введение
в линейное программирование
(как пример построения зачетной единицы)
Е. И. Щукин
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Предлагаемая в последнее время система обучения в вузах на основе так называемых зачетных единиц заслуживает внимания и требует методической проработки. Данная статья описывает попытку создания одной зачетной единицы (24–28 часов), где на основе некоторых
экономических задач сформирован элементарный подход к введению
таких важных понятий линейного программирования, как: основная
задача линейного программирования; решение этой задачи симплекс131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
методом; геометрия этой задачи в пространстве двух измерений; взаимно-двойственные задачи линейного программирования.
Первой из экономических задач рассмотренного выше свойства
может быть следующая задача:
Предприятием выпускается 3 вида продукции П1, П2, П3 с использованием для этого ресурсов, виды и нормы расхода по которым, а
также уровень получаемой от их реализации прибыли приведены в
следующей таблице. Необходимо получить оптимальный план производства по критерию максимума прибыли:
Вид продукции
Ресурсы
S1
S2
Прибыль с единицы
продукции
План
П1
4
2
8
П2
2
6
14
П3
5
5
10
Χ1
Χ2
Χ3
Располагаемый ресурс
800
1400
Замечание: здесь X 1 ; X 2 ; X 3 – количество единиц (изделий) трех
видов продукции (соответственно); тогда выражение: 8 X 1 + 14 X 2 + 10 X 3
должно быть максимальным с учетом того, что
4X1 +2X 2 +5X3 ≤ 800, 

2X1 +6X 2 +5X3 ≤ 1400.
Χ 1 ≥ 0 ; Χ 2 ≥ 0; Χ3 ≥ 0.
Итак, мы пришли к математической модели взятой экономической задачи, которую запишем так:
f = f ( X 1 ; X 2 ; X 3 ) = 8 X 1 + 14 X 2 + 10 X 3 → max
4X1 +2X 2 +5X3 ≤ 800, 

2X1 +6X 2 +5X3 ≤ 1400.
Χ 1 ≥ 0 ; Χ 2 ≥ 0; Χ 3 ≥ 0.
Рассматривая подобные экономические задачи и их математические модели, приходим к необходимости решения так называемой основной задачи линейного программирования:
Найти max (min) линейной функции f (целевой функции) при линейных ограничениях на переменные (система линейных неравенств и
условие неотрицательности переменных).
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f = C0 + C1 X 1 + C2 X 2 + ... ... + Cn X n → max(min)
A11 X1 + A12 X 2 +………….+ A1n X n ≤ B1 , 
A 21 X1 + A 22 X 2 +………….+ A 2n X n ≤ B2 , 

…………………………………………

A m1 X1 + A m2 X 2 +………….+ A mn X n ≤ Bm .
Χ 1 ≥ 0 ; Χ 2 ≥ 0; …… Χ n ≥ 0.
На полученном выше конкретном примере может быть рассмотрен и симплекс-метод (приведем это здесь, не вдаваясь в подробности
обоснования соответствующих выкладок и отчетливо понимая, что
указывается самый простой пример):
4X 1+2X 2 +5X 3 + X 4 = 800
2X 1+6X 2 +5X 3 + X 5


= 1400 
 4 2 5 1 0 | 800   4 2 5 1 0 | 800  1 3 5/2 0 1/2 | 700
 2 6 5 0 1 | 1400  → 1 3 5/2 0 1/2 | 700  →  0 -10 -5 1 -2 |-2000
 

 

→

1 0 1/2 3/10 2/5 | 100 
→

0 1 1/2 -1/10 1/5 | 200 
X 1 = 100 − X 3 − 3 10 X 4 − 2 5 X 5 

X 1 = 200 − 1 2 + 1 10 X 4 − 1 5 X 5 
X 1 ≥ 0; X 2 ≥ 0; X 3 ≥ 0; X 4 ≥ 0; X 5 ≥ 0
Если X 3 = X 4 = X 5 = 0; то X 1 = 100 ; X 2 = 200 и (100;200;0;0;0) –
опорное решение (первое)
f (100; 200;0;0;0) = 8 ∗100 + 14 ⋅ 200 + 10 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 = 3600
f = 8(100 − X 3 − 3 10 X 4 − 2 5 X 5 ) + 14(200 − 1 2 X 3 + 1 10 X 4 − 1 5 X 5 ) + 10 X 3 =
= 3600 − 8 X 3 − 12 5 X 4 − 16 5 X 5 − 7 X 3 + 7 5 X 4 − 14 5 X 5 + 10 X 3 =
= 3600 − 5 X 3 − X 4 − 2 X 5
(с учетом знаков перед свободными переменными X 3 ; X 4 ; X 5 видим,
что уже первое опорное решение оказалось и оптимальным).
Итак, получен ответ
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f max = f (100;200;0; ∅; ∅) = f ( X оптим ) = 3600
X оптим = (100; 200;0; ∅; ∅)
Замечание: последние два нуля в оптимальном решении перечеркнуты в связи с так называемой балансовостью переменных X 4 и X 5 .
Рассмотрим еще одну из экономических задач (приводимую в
книге Дж. Синки «Управление финансами в коммерческом банке»).
Пусть собственные средства банка в сумме с депозитами составляет 100 млн д. е. Часть этих средств, но не менее 35 млн д. е., должна
быть размещена в кредитах. Кредиты являются неликвидными активами банка, т. к. в случае непредвиденных потребностей в наличности
обратить кредиты в деньги без существенных потерь невозможно.
Иное дело – ценные бумаги (особенно государственные). Их можно
продать практически в любой момент, получив некоторую прибыль
(или, во всяком случае, без большого убытка). Поэтому существует
правило, согласно которому коммерческие банки должны покупать в
определенной пропорции ликвидные активы – ценные бумаги, чтобы
компенсировать неликвидность кредитов. В нашем примере ликвидное
ограничение выглядит так: ценные бумаги должны составлять не менее 30% средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах (вместе
взятых).
Обозначая: X 1 – средства (млн д. е.), размещенные в кредитах; X 2 –
средства (млн д. е.), размещенные в ценных бумагах, имеем следующую систему линейных ограничений
 X 1 + X 2 ≤ 100,

≥ 35,
 X1
X
≥ 0,3( X 1 + X 2 ).
 2
Цель банка состоит в том, чтобы получить максимальную прибыль от
кредитов и ценных бумаг: f = C1 X 1 + C2 X 2 , где C1 – доходность кредитов, C2 – доходность ценных бумаг.
Т.к. кредиты менее ликвидны, чем ценные бумаги, то C1 ≥ C2 . В
нашем случае будем считать: C1 = 0,15, C 2 = 0,10.
Итак, мы пришли к основной задаче линейного программирования:
f ( X 1 ; X 2 ) = 0,15 X 1 + 0,10 X 2 → max
X1 + X 2 ≤ 100,
X1
≥ 35,
X1
≥ 0,3(X 1 + X 2 ).
134





Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
X 1 ≥ 0; X 2 ≥ 0 (очевидное ограничение).
Указываем геометрическое решение этой задачи, для чего рассматриваем прямоугольную декартову систему координат X 1OX 2 ; выясняем геометрический смысл линейных неравенств; устанавливаем допустимое множество X задачи (здесь это окажется треугольником) и
методом движения прямой 0,15 X 1 + 0,10 X 2 = const находим точку выхода
(70;30), т.е. оптимальный портфель активов банка (кредиты, ценные
бумаги) в данном случае есть 70 и 30. Замечаем, что рассмотренная
геометрия основной задачи линейного программирования (для двух
переменных) позволяет сформулировать такой способ ее решения, как
«перебор вершин».
Среди математических задач, решаемых этим методом (на практических занятиях), целесообразно поместить следующую задачу (обозначим ее как задачу В):
g = 800Y1 + 1400Y2 → min
4Y1 +2Y2 ≥ 8,


2Y1 +6Y2 ≥ 14, 
5Y1 +5Y2 ≥ 10. 
Y1 ≥ 0; Y2 ≥ 0
После ее решения имеем: g min = 800 ⋅1 + 1400 ⋅ 2 = 3600, Yоптим = (1; 2) .
Сопоставим самую первую из рассматриваемых задач (обозначим
ее А) и только что указанную задачу В:
Задача А
f = 8 X 1 + 14 X 2 + 10 X 3 → max )
4X1 + 2X 2 + 5X 3 ≤ 800 

2X1 + 6X 2 + 5X 3 ≤ 1400
X 1 ≥ 0; X 2 ≥ 0; X 3 ≥ 0
f max = f (100;200;0) = 3600
Задача В
g = 800Y1 + 1400Y2 → min
4Y1 +2Y2 ≥ 8


2Y1 +6Y2 ≥ 14 
5Y1 +5Y2 ≥ 10 
Y1 ≥ 0; Y2 ≥ 0
g min = g (1;2) = 3600
X оптим = 100;200;0)
Yоптим = (1;2)
Задачи А и В называются взаимно двойственными задачами линейного программирования. Учитывая известные уже результаты ре135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
шения этих задач, можно сформулировать и предложение, которое
(после доказательства!) станет первой теоремой двойственности:
Если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение (оптимальный план), то другая также имеет оптимальное решение (оптимальный план). При этом оптимальные значения функций
цели равны между собой: f ( X оптим ) = g (Yоптим ).
Записывая ограничения взаимно двойственных задач в форме
уравнений, к левой части каждого неравенства в задаче A прибавим
вспомогательную неотрицательную переменную, что поможет восстановить нарушенный баланс. Аналогично поступаем в отношении системы ограничений задачи B , только здесь неотрицательные вспомогательные переменные придется вычитать из левых частей неравенств.
Сопоставим основные и вспомогательные переменные в задачах А и В
с помощью следующей таблицы:
1
(А)
2
(В)
Основные переменные
(100)
(200)
(0)
Вспомогательные
(0)
(0)
X1
X2
X3
X4
X5
(0)
(0)
(5)
(1)
(2)
Y3
Y4
Y5
Y1
Y2
Вспомогательные переменные
Основные
Замечание: значения Y3 ; Y4 ; Y5 найдены из уравнений системы ограничений к задаче В (т. к. Y1 = 1; Y2 = 2 известны после решения задачи В
методом перебора вершин).
Анализируя полученную выше таблицу, приходим ко второй теореме двойственности:
Если в оптимальном плане одной из взаимно двойственных задач
значение основной переменной положительно, то соответствующая ей
вспомогательная переменная другой задачи равна нулю. И наоборот:
из положительности вспомогательной переменной следует равенство
нулю соответствующей ей основной переменной в оптимальном плане
двойственной задачи.
Эта же таблица позволяет найти оптимальный план одной из
двойственных задач, зная оптимальный план другой (не решая при
этом самой задачи).
Предположим, что найден (методом перебора вершин) оптимальный план задачи В:
Yî ï ò èì = (1; 2), g min = 3600.
Напомним, что уравнения для задачи А имеют вид:
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4X1 +2X 2 +5X3 + X 4
2X1 +6X 2 +5X3
=800, 
,
+ X5 =1400.
а для задачи В:
4Y1 +2Y2 - Y3
2Y1 +6Y2
5Y1 +5Y2
= 8, 

- Y4
=14, 
- Y 5 = 10.
При составлении таблицы соответствия переменных заполняем
строку Yi (i = 1, 2,3, 4,5)
Y1 = 1; Y2 = 2 – найдено методом перебора вершин.
Из уравнений задачи В: Y3 = 0; Y4 = 0; Y5 = 5.
Следовательно, X 1 > 0(?); X 2 > 0(?); X 3 = 0; X 4 = 0; X 5 = 0 (вторая теорема двойственности). Найденные X 3 (= 0); X 4 (= 0); X 5 (= 0) подставляем
в систему уравнений задачи А:
4X1 +2X 2 =800, 

2X1 +6X 2 =1400.
откуда X 1 = 100; X 2 = 200.
Оптимальный план для задачи А:
X 1 = 100; X 2 = 200; X 3 = 0 (балансовые переменные оказались равными нулю: x4 = ∅, x5 = ∅ , т. е. X оптим = (100;200;0)
и f max = f ( X оптим ) = f (100; 200; 0) = 8 ⋅100 + 14 ⋅ 200 + 10 ⋅ 0 = 3600 ).
Предлагаемая автором схема элементарного введения в линейное
программирование рассчитана на 10–12 часов работы в аудитории
(лекции и практические занятия). Полагаю, что изучающие этот раздел
(например, студенты младших курсов экономических факультетов вузов) должны добавить к работе в аудитории столько же часов самостоятельной работы. Как итог изучения указанного раздела они должны выполнять контрольную работу, один из вариантов которой приводится ниже.
Решить методом перебора вершин:
f = X 1 − X 2 → min,
X1 +X 2 ≤ 6, 

X1 -2X 2 ≤ 0. 
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 ≤ X1 ≤ 3, 

X 2 ≥ 0.

Решить симплекс-методом:
f = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 → max,
X1 +X 2 + X3 +3X 4 =3, 

X1 +X 2 - X3 + X 4 =1, 
X1 - X 2 + X 3 + X 4 =1. 
X i ≥ 0; i = 1, 2,3, 4.
Составить задачу, двойственную к задаче № 1 этого варианта, и
решить ее симплекс-методом или на основе теорем двойственности.
Таким образом, указанное элементарное введение в линейное программирование может, на мой взгляд, рассматриваться как пример построения зачетной единицы по указанной тематике объемом в 24–28
часов. Эта «единица» может быть предложена любому студенту естественно-научных факультетов классических университетов и других
вузов (безотносительно к тому, какими математическими знаниями он
уже обладает).
Примечания
1. Коршунова Н. И., Плясунов В. С. Математика в экономике:
учеб. пособие. М.: «Вита-Пресс», 1996.
2. Щукин Е. И. Математика (Теория вероятностей. Системы линейных алгебраических уравнений и линейное программирование):
учеб. пособие. Ярославль, 2001.
О месте китайской теоремы об остатках
в курсе «Алгебраическая алгоритмика»
С. И. Яблокова
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Студентам специальности Компьютерная безопасность во втором
и третьем семестрах читается курс «Алгебраическая алгоритмика».
Этот курс является продолжением и расширением курса алгебры и
введением в курс теории чисел, поскольку включает в себя целые разделы той и другой дисциплины. В то же время здесь не просто повто138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ряются отдельные разделы курса алгебры, но происходит углубление и
расширение алгебраических вопросов, обсуждаются алгебраические
задачи с точки зрения их практического решения и рассматриваются
методы решения таких задач. В ходе получения алгоритмов решения
известных алгебраических задач приходится более глубоко изучать как
сам предмет исследования, так и имеющиеся методы решения алгебраических задач. Это приводит к более глубокому изучению предмета,
помогает студентам в дальнейшем при изучении как курсов алгебры и
теории чисел, так и других математических курсов, входящих в учебный план этой специальности и связанных с алгоритмическими решениями алгебраических задач.
Здесь мы обсудим только одну теорему, изучаемую в курсе алгебраической алгоритмики, и ее использование при решении различных
алгебраических задач. Это теорема, которая в простейшем ее варианте
была известна еще в Древнем Китае. Ее так и называют – китайская
теорема об остатках. В курсе алгоритмики эта теорема изучается после
освоения таких тем, как сравнения и классы вычетов, а также вопросов, связанных со строением групп, в частности, мультипликативных
групп колец вычетов.
Первый, самый простой, вариант этой теоремы (теорема 1) формулируется для абелевой группы Z mn в случае, когда m и n взаимно
простые целые положительные числа. В ходе доказательства того, что
отображение f группы Z mn в прямое произведение Z m × Z n , ставящее
элементу x из Z mn пару ( x(mod m), ( x mod n) ) , является сюръекцией, получаем способ решения системы из двух сравнений по взаимно простым
модулям. Это способ последовательного решения, когда сначала решается одно сравнение, затем полученный результат используется при
решении второго сравнения. Это уже позволяет решать системы из
двух сравнений и задачи, сводящиеся к решению таких систем.
Далее, полученное утверждение обобщается на случай группы Z m ,
где m есть произведение конечного числа степеней различных простых
чисел m = p a11 p a2 2 ... p as (теорема 2). В результате описания изоморфизма, отображающего Z m в прямое произведение групп Z pαi (i = 1, 2, , s) ,
i
получается
способ
решения
системы
сравнений
(
x ≡ xi mod piai
)
(i = 1, 2, , s ) . Это способ последовательного решения, когда сначала
решается
система из двух сравнений, получается решение
x ≡ y1 mod p1a1 p2a2 , затем это сравнение берется за первое уравнение, к
(
)
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нему добавляется третье сравнение из исходной системы и находится
решение этих двух сравнений x ≡ y2 mod p1a1 p2a2 p3a3 и так далее – про-
(
)
цесс повторяется, пока не будет найдено x, удовлетворяющее всем
сравнениям системы. Таким образом, получаем один из способов решения системы сравнений по взаимно простым модулям.
Одним из применений этой теоремы является греко-китайское
представление целых положительных чисел, когда такое число однозначно представимо своими наименьшими неотрицательными остатками по имеющимся модулям, и можно выполнять сложение и умножение таких чисел покомпонентно. Это приводит в дальнейшем к такому понятию, как многомодульная арифметика, которую часто и
эффективно используют при работе с большими целыми числами.
Следующая формулировка этой же теоремы (теорема 3) о существовании и единственности решения системы сравнений по модулю,
раскладывающемуся в произведение взаимно простых целых положительных чисел, следует из предыдущей формулировки. Далее следует
формулировка той же теоремы (теорема 4), дающая непосредственную
формулу для вычисления решения системы сравнений. Получается
еще один новый способ решения системы сравнений по взаимно простым модулям. Студентам предлагается решить систему сравнений с
помощью каждого из двух полученных методов и выяснить, какой из
них предпочтительнее в случае, когда система сравнений может расширяться за счет добавления новых сравнений.
Усвоение данного материала контролируется следующими заданиями:
Задание 1. Решить систему сравнений
а) с помощью формулы теоремы 4;
б) решая последовательно системы из двух сравнений:
x ≡ 1(mod 2), x ≡ 2(mod 5), x ≡ 5(mod 7) .
Задание 2. Добавить к системе предыдущего примера еще одно
сравнение x ≡ 3(mod11) и решить полученную систему также двумя
способами.
Задание 3.Описать строение мультипликативной группы кольца
Z56 .
Задание 4. Найти все элементы наибольшего порядка в мультипликативной группе кольца Z35 .
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задание 5. Число N представлено вычетами (2, 4, 0, 9, 2) соответственно по модулям 3, 5, 7, 11, 13, а число M – вычетами (0, 2, 1, 2, 5)
по тем же модулям. Найти N + M и NM.
Естественным приложением китайской теоремы об остатках является модулярная (или модульная) арифметика, которая состоит в проведении нескольких вычислений с малыми числами, получаемыми в
качестве вычетов исходных больших чисел по взаимно простым малым модулям (чаще в качестве модулей берутся разные простые числа), и восстановлении результата при помощи теоремы об остатках.
При этом возникает такое понятие, как смешанная система оснований
и представление числа в такой системе. Это следующий вопрос, обсуждаемый в данном курсе и дающий как способ работы с большими целыми числами, так и позволяющий вернуться к теореме об остатках,
закрепляя этот материал.
Еще одна (нормализованная) формулировка теоремы об остатках
(теорема 5) является более сложной и, как правило, дается без построения соответствующего изоморфизма. Это теорема об изоморфизме групп Z m × Z n и Z ( n ,m ) × Z[ n ,m ] , где ( n, m ) – наибольший общий делитель чисел n и m, а [n,m] – их наибольшее общее кратное. Теорема 5а
также утверждение о том, что среди всех групп Z m ' × Z n ' , изоморфных
группе Z m × Z n , существует единственная группа, для которой m' делит
n', и эта группа Z ( n ,m ) × Z[ n ,m ] , еще встретятся студентам в курсе «Теоретико-числовые методы в криптографии», когда придется не раз
вспоминать и простейшие формулировки этой теоремы и получать их
обобщения, а также применять эту теорему для решения уже более
серьезных задач.
В третьем семестре теорема об остатках формулируется и доказывается для кольца многочленов. В качестве задач студентам предлагаются задачи на решение сравнений по модулям попарно взаимно простых многочленов. В этом случае упор делается на втором способе
решения системы сравнений, который более удобен для многочленов и
подводит в дальнейшем к использованию теоремы об остатках в быстрых алгоритмах вычисления сверток. Приведем примеры задач, при
решении которых используется эта теорема.
Задача 1. Решить систему сравнений путем последовательного
решения пары сравнений:
f ( x) ≡ 2 (mod x − 1), f ( x) ≡ −1 (mod x + 1), f ( x) ≡ x + 3 (mod x 2 + 1) .
Задача 2. Решить систему сравнений, используя формулу (аналог
формулы теоремы 4) для нахождения решения системы сравнений:
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f ( x) ≡ 3(mod x − 2), f ( x) ≡ 2(mod x + 1), f ( x) ≡ x + 1(mod x 2 + 1) .
Теорема об остатках для многочленов далее применяется к решению задачи интерполяции многочлена по известным его значениям в
различных точках. При этом возникает частный случай применения
этой теоремы, когда все многочлены-модули являются многочленами
первой степени. При этом известную интерполяционную формулу Лагранжа можно считать обращением теоремы об остатках как раз для
того частного случая, когда все многочлены-модули имеют первую
степень. Другой же способ восстановления многочлена получается, если использовать представление многочлена по аналогии с представлением числа со смешанными основаниями, т.е. в виде
f ( x) = q0 ( x ) + q1 ( x)m1 ( x) + q2 ( x)m1 ( x ) m2 ( x) + ... + qn−1 ( x)m1 ( x ) ... mn−1 ( x),
где mi ( x) = x − ai (i = 1,, n) .
Здесь рассматриваются также возможные приложения теоремы об
остатках для решения задачи вычисления некоторой функции
f ( p1 ( x), p1 ( x), , pr ( x) ) от многочленов в кольце многочленов над полем
K в случае, когда вычисление в самом кольце K [ x] затруднительно. В
этом случае можно провести вычисление значений этой функции в полях K [ x]/ mi ( x) , где mi ( x ) = x − ai (i = 0,1, , n) , a0 , a1 , , an – попарно различные элементы поля K, n – степень многочлена
f ( p1 ( x), p1 ( x),, pr ( x) ) . Затем результат восстанавливается с помощью
интерполяции, которую можно провести, применяя алгоритм, основанный на теореме об остатках.
При вычислениях в кольце Z [ x] также можно использовать аналогичный
прием.
Вместо
того
чтобы
вычислять
Z [ x]
f ( x) = f ( p1 ( x), p2 ( x),, pr ( x) )
в
ищутся
многочлены
f mk ( x) = f ( p1k ( x), p2 k ( x),, prk ( x) ) в Z mk [ x] , где pik ( x ) ≡ pi ( x ) (mod mk )
(k = 1, 2, , s ) и
s
∏ mk больше любого коэффициента
k =1
f ( x ) , а числа mk –
попарно взаимно просты. Затем требуется решить систему сравнений
вида
f ( x) ≡ f mk ( x) (mod mk ) (k = 1, 2, , s ) ,
которая сводится к соответствующим системам сравнений для каждого
коэффициента многочлена f ( x) .
Для закрепления изложенного материала можно использовать
следующие задачи:
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Пользуясь интерполяционным алгоритмом, основанным на теореме об остатках, найти многочлен f ( x) из кольца Q[ x] такой, что
f (0) = 1, f (1) = −2, f (3) = 4, f ( −1) = 0 .
2. Пользуясь интерполяционным алгоритмом, основанным на теореме об остатках, найти многочлен f ( x) из кольца Z13[ x] такой, что
f (0) = 5, f (2) = 12, f (5) = 4, f (7) = 5, f (11) = 4 .
3. В кольце Z 7 [ x] вычислить произведение многочленов
p1 ( x) = 2 x 2 − 3x + 4 и p2 ( x) = x3 + 5 x 2 + 1 ,
используя поля Z 7 [ x]/ ( x − ak ) (k = 1, 2,  ,6) , если
a1 = 0, a2 = 1, a3 = 2, a4 = 3, a5 = 4, a6 = 5 .
4. В кольце Z [ x] вычислить произведение многочленов
2
p1 ( x) = 2 x + 4 и p2 ( x) = 3x + 5 x + 1 ,
используя кольца Z 5[ x] и Z 7 [ x] .
И, наконец, в самом конце курса в разделе «Некоторые быстрые
алгоритмы цифровой обработки сигналов» студенты опять встречаются с теоремой об остатках, которая является составной частью известных быстрых алгоритмов вычисления сверток. Так как вычисление линейной свертки в терминах многочленов означает вычисление коэффициентов многочлена, равного произведению двух данных, то
простейшая идея упрощения вычислений основана на переходе от вычисления произведения многочленов в кольце K [ x] к вычислению его
значений в полях K [ x]/( x − ai ) и последующей интерполяции, т. е. на
идее, уже рассмотренной выше. В результате получается быстрый алгоритм вычисления линейной свертки, известный как алгоритм Кука –
Тоома. Обобщение этой идеи на случай, когда в качестве модулей
служат не только многочлены первой степени, но и попарно взаимно
простые многочлены любых степеней, приводит к идее алгоритма Винограда.
Поскольку циклическая свертка представляет собой коэффициенты многочлена, равного произведению двух многочленов одинаковой
степени n − 1 по модулю многочлена x n − 1 , то та же идея позволяет
строить быстрые алгоритмы вычисления такой свертки. Теорема об
остатках для многочленов служит в качестве последнего (третьего)
шага знаменитого алгоритма Винограда построения быстрых алгоритмов сверток.
При выполнении контрольных работ студенты снова и снова
встречаются с задачами, для решения которых требуется использовать
китайскую теорему об остатках. Таким образом, возвращаясь к теоре143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ме в разных разделах курса и используя ее для решения различных алгебраических задач, студенты имеют возможность полнее и глубже усвоить этот материал и в дальнейшем эффективно его использовать при
обращении к нему в других курсах.
Примечания
1. Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика. М.: Мир, 1999.
2. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями.
М.: Мир, 1994.
О методике преподавания информатики
О. П. Якимова
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Информатика является важной частью фундаментального образования, создающей основу для формирования научного мировоззрения
и аналитического мышления. Преподавание этой дисциплины ведется
согласно учебно-методическому комплексу, который разработан в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего
профессионального образования и примерной программе по дисциплине «Информатика», рекомендованной Министерством образования
России для специальности 075200 Компьютерная безопасность.
Сегодня преподаватели информатики в вузе все чаще стали сталкиваться с проблемой поляризации – разного стартового уровня знаний, умений и навыков у студентов в области информатики и информационных технологий. Это обусловлено многими причинами: различным уровнем материально-технической базы школ; использованием разных программ по информатике в средней школе, особенно в
профильных классах; разной квалификацией учителей; разными возможностями доступа к учебно-методической литературе и к компьютерам в дополнительной системе образования у школьников городских
и сельских школ; наличием свободного доступа к компьютеру (например, дома) и др.
Учебный план для студентов специальности Компьютерная безопасность построен таким образом, что информатика является первым
предметом в русле обучения студентов компьютерным наукам, создает
базу для таких курсов, как «Языки программирования», «Методы про144
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
граммирования», «Аппаратные средства вычислительной техники» и
др. В связи с этим требуется привести студентов «к общему знаменателю»: все должны хорошо освоить необходимый минимум, чтобы
можно было двигаться дальше, но лучшие студенты должны получить
возможность для развития.
Суть предлагаемой методики состоит в следующем.
На первой лекции по предмету проводится анкетирование студентов для определения стартового уровня подготовки в области информатики и информационных технологий. В ходе него предлагается решить на любом языке программирования, языке блок-схем, школьном
алгоритмическом языке или естественном языке несколько задач.
Приведем пример такого комплекса задач для анкетирования.
1. Даны две целые переменные а и b. Составить фрагмент программы, после исполнения которого значения переменных поменялись
бы местами (новое значение a равно старому значению b, и наоборот). Примечание: Кто может, решите эту задачу без дополнительной переменной.
2. Дано натуральное положительное число N. Составить программу, которая печатает десятичную запись этого числа по цифрам
слева направо. ( Или хотя бы справа налево).
3. Дан массив целых чисел, упорядоченных по неубыванию
( x[1] ≤ x[2] ≤  ≤ x[n − 1] ≤ x[n]) . Найти количество различных чисел среди
элементов этого массива.
По результатам анкетирования студенты делятся на группы: с
низким, средним и высоким стартовым уровнем. Особо выделяются
студенты, не изучавшие информатику и студенты с очень высоким
стартовым уровнем (например, участники олимпиад). Студентам с
низким стартовым уровнем необходимо помочь в течение семестра усвоить обязательный минимум, повысить их мотивацию, но при этом
развивать самостоятельность и умение решать задачи повышенной
сложности у остальных студентов.
В рамках курса необходимо не только усвоить теоретические основы информатики, например, информация и различные формы ее
представления, понятие информационного процесса, архитектура персонального компьютера, роль служебного и прикладного программного обеспечения и др., но и освоить программирование на одном или
двух языках программирования. На лекциях основное внимание уделяется формированию алгоритмического мышления и программированию как наиболее важным и сложным задачам, которые закладывают
фундамент профессии. Остальные темы излагаются обзорно, но на
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сервер выкладывается подробная подборка материалов по этим вопросам для самостоятельной работы. Контроль усвоения тем по теоретическим основам информатики осуществляется на коллоквиуме и/или
экзамене.
Все студенты обеспечиваются литературой, в которой излагаются
основы языка программирования как в обычном виде (например,
С. А. Абрамов, Е. В. Зима "Основы программирования на языке Паскаль"), так и в электронном (книги из свободных источников выкладываются на сервер в папку, закрепленную за данной дисциплиной для
КБ1). Наиболее простые вопросы студентам предлагается разобрать по
книгам самостоятельно. Это позволяет сэкономить лекционное время
на изложение интересных задач, показать, как алгоритмически конструкции применяются для практических целей. Большинство задач, которые разбираются на лекциях, имеют два уровня сложности, что позволяет стимулировать творчество высокоуровневых студентов. Например, по теме "Массивы" предлагается задача:
Дан массив x: array[1..n] of integer. Найти количество различных
чисел среди элементов этого массива. Число действий порядка n2.
Для сильной части аудитории предлагается решить эту же задачу,
но требуется, чтобы число действий было порядка n log 2 n . Пока преподаватель разбирает на доске решение более легкой задачи, часть студентов пробует сделать более сложный вариант, а затем излагает свое
решение для товарищей. Дополнительной мерой стимулирования активности высокоуровневых студентов является рейтинговая система
оценки знаний, которая позволяет им зарабатывать баллы, учитывающиеся при очередной контрольной работе и/или экзамене.
Для проведения лабораторных занятий разработан комплекс практических заданий с задачами различного уровня сложности, что дает
возможность индивидуально подойти к работе каждого студента. Лабораторное занятие по какой-либо теме начинается с разбора и анализа
задачи по этой теме, решенной преподавателем. После этого студенты
получают индивидуальные задания. Требования к каждой лабораторной работе, такие как отобразить решение задачи графически на экране, ввод данных производить из файла, к задаче разработать систему
тестов и прочее, помещаются вместе с текстами условий для каждого
обучающегося в папку на сервере. Приведем пример подобных разноуровневых заданий для лабораторной работы № 4.
На плоскости N различных точек заданы своими координатами.
Найти уравнение прямой, делящей это множество точек на 2 равно146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мощных подмножества (т.е. на подмножества с одинаковым количеством элементов).
Найти ромб наибольшей площади с вершинами в заданном множестве точек на плоскости.
N точек на плоскости заданы своими координатами. Найти порядок, в котором можно соединить эти точки, чтобы получился
N-угольник (т. е. не было бы пересечений сторон).
В работе отрабатывается ввод данных из файла, использование
вложенных циклов и работа с графическим модулем. Первое из приведенных заданий для студентов с низким уровнем, второе – со средним
и третье – с высоким. Для решения любой из вышеприведенных задач
необходимо применить знания из другой дисциплины – геометрии, что
укрепляет межпредметные связи.
Следует отметить положительные стороны данной методики:
методика базируется на целостной системе составляющих учебного процесса (лекции, лабораторные работы, самостоятельная работа,
контроль);
присутствует высокая мотивация и индивидуализация обучения;
за счет разработки комплектов разноуровневых заданий по всем темам
практикума легко варьировать объем самостоятельности студентов,
уровень сложности и характер предлагаемых заданий, что дает возможность каждому студенту получить высокую оценку за свой труд;
методика развивает инициативность и творчество обучающихся
посредством решения задач повышенной трудности во время лекций и
рейтинговой системы оценки знаний.
Подобная методика обучения информатике является фактором повышения качества подготовки специалиста в вузе, так как позволяет
эффективно формировать алгоритмическое мышление, повышать информационную культуру студента, готовить его к профессиональной
деятельности с учетом его стартовых знаний в области информатики и
информационных технологий.
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Ануфриенко С. Е., Ануфриенко М. В. Возможности
тестирования при ступенчатой форме проведения
зачета по математическому анализу ............................................. 3
Ануфриенко М. В. Рейтинговая система оценки знаний
по математическому анализу как индикатор активности
работы студентов в течение семестра .............................................. 5
Балабаев В. Е., Балабаева Р. Ф. Интуиция и логические
рассуждения в изложении математических курсов ................. 10
Балабаев В. Е., Балабаева Р. Ф. Некоторые аспекты
изложения физико-математических дисциплин ....................... 16
Бестужева Л. П., Майорова Н. Л. Обзор учебной литературы
по математике для экономических специальностей ................ 22
Большаков Ю. И., Медведева Л. Б. О роли учебнометодического пособия по математике для студентов
физического факультета ................................................................. 38
Будахина Н. Л. Формирование и развитие знаний, умений
и навыков обучающихся как основа формирования
ключевых компетенций выпускника и повышения
качества образования в современной школе .............................. 47
Корикова Т. М., Ястребов А. В. Об изучении теорем в курсе
теории и методики обучения математике ................................... 52
148
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кузнецова В. А. Компетентностный подход к математической
подготовке на гуманитарных специальностях
и содержание заданий Государственного тестирования .......... 64
Лагутина Н. С., Ларина Ю. А. Объектно ориентированный
подход как основа методологии преподавания
информационных технологий ....................................................... 68
Лебедев Д. С. Использование активных методов для повышения
эффективности обучения студентов экономических
специальностей ................................................................................ 72
Матвеев В. Н. О межпредметных связях дисциплин
математической подготовки
на примере дисциплины «Методы вычислений» ...................... 79
Медведева Л. Б. Об учебниках математики для студентов
юридического факультета .............................................................. 82
Овсянникова И. Р. Индивидуальные домашние контрольные
работы при обучении математике на вечернем отделении
экономического факультета .......................................................... 92
Папоркова Ф. И. Некоторые аспекты дополнительного
профессионального образования математического
факультета ЯрГУ ........................................................................... 100
Рублев В. С. Индивидуальная работа со студентами
в условиях пониженного уровня среднего образования
выпускников школ......................................................................... 108
Сергеева Т. В. Формирование общепредметных учебных
компетенций у учащихся со средним и слабым уровнем
подготовки на уроках математики ............................................. 113
Чаплыгин В. Ф. Математическая составляющая
в образовании физика ................................................................... 119
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Чаплыгина Н. Б. Составление итоговой суммы баллов
для рейтинговой системы оценки знаний ................................ 125
Щукин Е. И. Элементарное введение в линейное
программирование (как пример построения
зачетной единицы)......................................................................... 131
Яблокова С. И. О месте китайской теоремы об остатках
в курсе «Алгебраическая алгоритмика».................................... 138
Якимова О. П. О методике преподавания информатики .............. 144
150
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Научное издание
Проблемы повышения
эффективности образовательного процесса
в высших учебных заведениях
Сборник
научно-методических статей
Редактор, корректор М. В. Никулина
Компьютерная верстка И. Н. Ивановой
Подписано в печать 07.06.09. Формат 60×84 1/16.
Бум. офсетная. Гарнитура "Times New Roman".
Усл. печ. л. 8,83. Уч.-изд. л. 7,4.
Тираж 80 экз. Заказ
.
Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе
Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова.
150000, Ярославль, ул. Советская, 14.
Отпечатано на ризографе.
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
152
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
31
Размер файла
1 749 Кб
Теги
эффективность, учебный, процесс, образовательная, высших, заведений, проблемы, повышения, 1391
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа