close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1415.Теория квазичастиц в конденсированных средах Проказников А В

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
А. В. Проказников
Šе%!, *"=ƒ,ч=“2,ц
" *%…де…“,!%"=……/. “!ед=.
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по направлению Физика
Ярославль 2012
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 539.12:538.911(075.8)
ББК В36я73+В37я73
П 80
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве научного издания. План 2012 года
Рецензенты:
В. В. Морозов, доктор физ.-мат. наук, профессор;
Ярославский филиал Физико-технологического института
Российской академии наук
П 80
Проказников, А. В. Теория квазичастиц в конденсированных
средах: учебное пособие / А. В. Проказников ; Яросл. гос. ун-т
им. П. Г. Демидова. – Ярославль : ЯрГУ, 2012. – 136 с.
ISBN 978-5-8397-0863-1
Данное учебное пособие представляет собой введение в методы квазичастичного описания конденсированных сред. В частности, достаточно подробно рассмотрены квазичастицы –кванты
коллективных возбуждений (поляритоны, плазмоны, магноны)
в твердых телах, взаимодействующие с электромагнитным излучением. Изложены основные положения теории коллективных
магнитных колебаний в спиновой подсистеме твердых тел. Пособие снабжено заданиями и контрольными вопросами для самостоятельной работы.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 010700.62, 011200.62 Физика (дисциплина «Физика квазичастиц в конденсированном состоянии», блок СД, цикл Б3), очной
формы обучения.
Издано при финансовой поддержке НИР ЗН-1063.
В оформлении обложки использована композиция
М. Эшера «Куб с лентами»
УДК 539.12:538.911(075.8)
ББК В36я73+В37я73
ISBN 978-5-8397-0863-1
 Ярославский государственный
университет им. П. Г. Демидова, 2012
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
nгл="ле…,е
1. Введение. Материя и свет. Общие свойства
стационарных состояний кристалла, базирующиеся
на его симметрии .......................................................................... 5
1.1. Принципы симметрии. Симметрия физических явлений
и свойств кристаллов ............................................................ 10
1.2. Квантовая механика и теория групп ................................... 11
1.3. Теорема Блоха. ...................................................................... 16
Контрольные вопросы ................................................................. 18
2. Классификация веществ по удельной
электрической проводимости .................................................. 18
2.1. Классификация веществ по удельному сопротивлению ... 18
2.2. Модельные представления о механизме
электропроводности в полупроводниках .......................... 23
2.3. Элементарная теория электропроводности ........................ 30
Контрольные вопросы ................................................................. 34
3. Геометрия кристаллических решеток ................................... 35
3.1. Прямая и обратная решетки ................................................. 35
Задания для самостоятельной работы........................................ 37
Контрольные вопросы ................................................................. 40
4. Распространение света в ионных кристаллах ..................... 40
4.1. Микроскопическая теория
оптических ветвей колебаний.............................................. 40
4.2. Макроскопическая теория поляритонов ............................. 47
4.3. Квантовая теория поляритонов ........................................... 51
Контрольные вопросы ................................................................. 60
5. Плазменные волны в твердых телах...................................... 60
5.1. Введение ................................................................................ 60
5.2. Общие представления о плазменных колебаниях
в конденсированных средах................................................. 61
5.3. Теория плазменных волн в кристаллах............................... 63
5.4. Возбуждение плазменных волн ........................................... 72
Задания для самостоятельной работы........................................ 78
Контрольные вопросы ................................................................. 92
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Спиновые волны в ферромагнетиках. Магноны ................ 92
6.1. Введение ................................................................................ 92
6.2. Приближение молекулярного поля
и ферромагнитный переход ................................................. 95
6.3. Гейзенберговский спиновый гамильтониан .................... 101
6.4. Спиновые волны ................................................................. 104
6.5. Представление спиновых операторов через операторы
спиновых возбуждений ...................................................... 108
6.6. Энергетический спектр изотропного ферромагнетика
при малых возбуждениях ................................................... 111
6.7. Теплоемкость газа магнонов.............................................. 113
Задания для самостоятельной работы...................................... 115
Контрольные вопросы ............................................................... 117
7. Экситоны ................................................................................... 117
7.1. Экситоны Ванье – Мотта ................................................... 117
7.2. Экситон в квантовых ямах ................................................. 120
Задания для самостоятельной работы...................................... 122
Контрольные вопросы ............................................................... 123
Приложение. Расчетные задания
для компьютерных вычислений ........................................... 124
Литература .................................................................................... 132
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Да будут святы те, кто в творческом пылу
Исследуя весь мир, открыли в нем законы
И первобытный страх взорвали, как скалу,
Где груды золота скрываются исконно.
Эмиль Верхарн. Наука
1. b"еде…,е. l=2е!, , “"е2.
nK?,е “"%L“2"= “2=ц,%…=!…/. “%“2% …,L
*!, “2=лл=, K=ƒ, !3ю?, е“ …= ег% “, мме2!, ,
Богатая цветовая гамма растительного и животного мира,
волшебные краски неба, радуги, восхода и захода солнца, эффекты тени, смены дня и ночи, притягательная сила огня и раскаленного металла, многоцветие орнаментов национальных одежд,
посуды, витражей и т. д. – можно долго приводить примеры нашего повседневного соприкосновения с миром оптических явлений, которое начинается с раннего детства. Это и неудивительно,
так как зрение человека основано на закономерностях взаимодействия света с веществом. Оптические свойства твердых тел являются предметом пристального научного и технологического
интереса на протяжении последних трех – четырех столетий, хотя
эти свойства широко использовались для решения определенных
декоративных задач еще со времен ранних цивилизаций: уже
древние художники, создатели наскальных изображений, находили эффектные цветовые решения путем смешивания различных
природных пигментов. Начиная с открытия В. Снеллиусом в
1621 г. закона преломления света оптическая спектроскопия
прошла полный драматизма и внутренних противоречий путь
развития. За исследованиями явлений отражения и преломления
света последовал этап повышенного внимания к интерференции,
дифракции и поляризации света, а затем пришло время для целенаправленного изучения поглощения, флюоресценции (люминесценции), рассеяния света и нелинейных оптических эффектов.
Длительное соперничество между корпускулярной и волновой
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
теориями света увенчалось компромиссом, основанным на концепции дуализма, и открытием законов квантовой механики и
квантовой электродинамики. Создание лазерных источников и
совершенствование методов детектирования электромагнитного
излучения превратили спектроскопию в мощный метод исследования физических свойств твердого тела и протекающих в нем
элементарных процессов. Более того, вряд ли можно представить
сегодня наши познания о микромире без средств, которые обеспечиваются спектроскопией видимого, инфракрасного, радиочастотного, микроволнового, ультрафиолетового и рентгеновского диапазонов оптического излучения.
Наряду с тем, что оптические явления в полупроводниках
представляют самостоятельный раздел физики полупроводников
и используются в разных методах определения многочисленных
параметров полупроводниковых материалов, они служат базой
для создания множества оптоэлектронных приборов. Оптике
полупроводников и полупроводниковой оптоэлектронике посвящен ряд книг, учебников, обзорных статей.
Физика полупроводников последних 10–15 лет благодаря
успехам технологии и прежде всего метода МВЕ (Molecular Beam
Epitaxy – молекулярно-лучевая эпитаксия) – это главным образом
физика полупроводниковых низкоразмерных структур (наноструктур). В наноструктурах движение носителей заряда ограничено хотя бы вдоль одной из координат. Это ведет к размерному
квантованию, которое кардинально меняет энергетический
спектр носителей заряда, фононов, квазичастиц, и возникновению целого ряда новых физических явлений и свойств полупроводниковых наноструктур, в том числе и оптических. Исследование оптических явлений в наноструктурах расширяет наши
знания об оптике полупроводников. Кроме того, наноструктуры –
хороший объект для создания новых перспективных приборов,
таких как лазеры на квантовых ямах и квантовых точках, работающие в видимом, ближнем и среднем инфракрасных диапазонах, а также источники излучения терагерцового диапазона, новые фотоприемники и быстродействующие модуляторы излучения. Такие приборы уже созданы, и идет интенсивная разработка
новых электронных приборов.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Важное достоинство наноструктур связано с тем, что, изменяя
геометрические размеры и конфигурацию нанообъектов, можно
управлять свойствами системы. Открывается широкая возможность конструирования (engineering) параметров структур и
прежде всего энергетического спектра носителей заряда и фононов, а следовательно, и оптических свойств наноструктур. Физика наноструктур – быстро развивающаяся научная область. Уже
появилось множество книг и обзоров по физическим явлениям в
наноструктурах. К сожалению, это главным образом литература,
изданная за рубежом и поэтому малодоступная российским
студентам. Настоящее пособие посвящено описанию некоторых
основных оптических явлений, в том числе и в наноструктурах, и
таких, которые только начинают активно изучаться.
Интенсивно развиваются области науки и техники, связанные с
созданием новых оптических устройств на основе различных
наноструктур. К числу таких устройств, потребность в которых
ощущается в разных областях науки и техники, относятся, в
частности, однофотонные детекторы, лазеры на квантовых точках, а также усилители и детекторы терагерцевого (ТГц) излучения. Данные устройства в своей работе эксплуатируют различные свойства определенных наноструктур. Особый интерес вызывает исследование оптического отклика наносистем в присутствии внешних электрических и магнитных полей. Внешние поля
позволяют эффективно управлять оптическим откликом, что
можно использовать для создания новых оптоэлектронных приборов с управляемыми характеристиками. Для освоения этих
современных разделов физики необходимо знание материала,
изложенного в настоящем пособии.
В пособии даны основные теоретические представления об
элементарных возбуждениях: фононах, поляритонах, плазмонах,
магнонах, экситонах и др., возникающих в твердых телах и
проявляющихся при взаимодействии с фотонами и между собой.
Главное внимание уделено коллективным явлениям, связанным с
трансляционной симметрией твердого тела, а также оптическим
свойствам, обусловленным взаимодействием квазичастиц с
электромагнитным излучением.
Пособие знакомит с основными методами, описанными в современной оригинальной литературе, посвященной теории твер7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дого тела, и применяемыми в бурно развивающихся нанотехнологиях. Изложение базируется на использовании математического аппарата квантовой теории поля и новых методах теории
твердого тела – корреляционных функциях, статистических операторах и др. Для изучения пособия требуется предварительное
знание этих методов.
Наиболее распространенными примерами квазичастиц могут
служить:
1. Фононы. Кванты колебаний плотности конденсированной
среды. Это могут быть как звуковые, то есть периодические,
колебания, так и тепловые (хаотические).
2. Плазмоны. В электронном газе металлов могут возникать
флуктуации электронной плотности, подобные обычным колебаниям плотности в конденсированной среде. Таким образом, плазмоны являются квантами «плазменных колебаний» и в этом
смысле родственны фононам.
3. Магноны. В ферродиэлектриках могут распространяться
спиновые волны, то есть регулярные флуктуации вектора намагниченности, или плотности спинового момента. Соответствующие
квазичастицы, или кванты спиновых волн, и называют магнонами.
4. Поляритоны. Под «поляритоном» понимают единое состояние электромагнитного излучения и возбуждений среды, сквозь
которую распространяется излучение. Это особое состояние обусловлено взаимодействием электромагнитного излучения с возбуждениями данной среды. Так, говорят о фононных поляритонах,
плазмон-поляритонах, экситонных поляритонах и т. д.
5. Поляроны. Электрон, двигаясь в так называемом полярном
кристалле, взаимодействует с ионами кристаллической решетки,
возбуждая локальные флуктуации ионной плотности, то есть
фононы. Таким образом, полярон – это электрон + облако
возбужденных им фононов.
6. Электроны проводимости. Электрон, двигаясь в периодическом потенциале решетки твердого тела, может быть описан
как свободная частица с помощью введения эффективной массы,
которая и отражает влияние решетки.
7. Экситоны. Электрон проводимости в твердом теле может
образовать связанное состояние с дыркой, то есть вакансией в
валентной зоне, формально имеющей положительный заряд, рав8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ный по модулю заряду электрона. Такая пара, движущаяся сквозь
кристалл как водородоподобный атом, называется экситоном.
8. Купероны. Во многих металлах при достаточно низких температурах могут образовываться связанные состояния электронов
с противоположно направленными спинами и импульсами (но
равными по величине). Такие состояния называют куперовскими
парами, или куперонами. Именно наличие куперонов приводит к
появлению сверхпроводимости, то есть к резкому падению электрического сопротивления металла почти до нуля при достаточно
низких температурах.
Кроме указанных выше типов, существует большое количество других квазичастиц, которые регулярно возникают в процессе исследования различных узконаправленных проблем физики конденсированного состояния. Ниже мы подробнее рассмотрим некоторые из указанных видов квазичастиц, но в первую
очередь покажем, что сама возможность квазичастичного описания является фундаментальным свойством конденсированных
сред вблизи их основного состояния.
Поскольку твердые тела состоят из громадного числа частиц
(электронов и ядер атомов), то возможно только приближенное
квантово-механическое описание таких систем. Основным приближением, используемым в теории твердого тела, является
адиабатическое. Оно базируется на малости массы электрона т
по сравнению с массами М ядер атомов. Отношение m/M ~ 10-3,
поэтому в операторе энергии кристалла оператор кинетической
энергии ядер является малым возмущением. В нулевом приближении можно считать, что электроны движутся в поле неподвижных ядер, занимающих определенные положения в пространстве. Распределение атомов в твердом теле часто обладает
определенной упорядоченностью, поэтому необходим учет
свойств симметрии подобных систем. Когда говорят о твердых
телах, то обычно подразумевают только такие, которые обладают
кристаллической структурой. Они представляют собой либо
отдельные монокристаллы, либо поликристаллические агрегаты,
образованные из большого числа малых монокристаллов.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.1. o!, …ц, C/ “, мме2!, , .
q, мме2!, -, ƒ, че“*, . "ле…, L
, “"%L“2" *!, “2=лл%"
1.1.1. Принцип Неймана
Симметрия физических свойств кристалла связана с его точечной группой симметрии. Под симметрией физического свойства кристалла понимается симметрия тензорной поверхности, с
помощью которой описывается это свойство. Эта связь устанавливается фундаментальным законом кристаллофизики, сформулированным в работах К. Г. Неймана и Б. Миннегероде и
известным под названием принципа Неймана.
Группа симметрии любого физического свойства кристалла
включает в себя точечную группу симметрии кристалла.
Это означает, что группа симметрии кристалла либо
совпадает с группой симметрии его физического свойства, либо
является подгруппой последней. В соответствии с принципом
Неймана физическое свойство кристалла должно иметь все те
элементы симметрии, которыми обладает кристалл. Среди групп
симметрии, описывающих физические свойства кристаллов,
имеются группы, содержащие оси бесконечного порядка. Такие
группы симметрии называются предельными (группами Кюри).
1.1.2. Принцип Кюри
Если на кристалл накладывается физическое воздействие,
обладающее определенной симметрией, то симметрия такого
кристалла, находящегося в поле воздействия, изменяется и может
быть определена при помощи принципа суперпозиции симметрий, называемого принципом Кюри.
Когда несколько различных явлений природы накладываются
друг на друга, образуя одну систему, диссиметрии их складываются. В результате остаются лишь те элементы симметрии,
которые являются общими для каждого явления.
Под диссиметрией, по А. В. Шубникову, следует понимать
отсутствие элементов симметрии. Таким образом, кристалл, находящийся под влиянием внешнего воздействия, будет обладать
теми элементами симметрии, которые являются общими для
кристалла в отсутствие воздействия.
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.2. j"=…2%"= ме. =…, *= , 2е%!,
г!3CC
Матричные представления групп симметрии естественно
возникают при рассмотрении решений стационарного уравнения
Э. Шредингера.
Представим себе физическую систему в конфигурационном
пространстве «n» координат x1, x2, … xn, образующих n-мерный

вектор x = x1, x2, … xn. Волновая функция (ВФ) системы  ( x ) в
стационарном состоянии удовлетворяет уравнению Шредингера:
Ĥ( x ) ( x )  E ( x ) ,
(1.2.1)

где H ( x )  гамильтониан системы, Е  собственное значение ее
энергии.
Если состояние с энергией Е l-кратно вырождено, то ему
соответствуют «l» линейно независимых собственных функций:
 1 ( x ),  2 ( x ),..., i ( x ),..., l ( x ) .
(1.2.2)
Из квантовой механики известно, что эти функции всегда
можно считать ортонормированными, то есть скалярное произведение:
 i , k    i ( x ) k ( x )dx   ik ,
(1.2.3)
где d x  dx1 dx2 ...dxn .
Любое решение уравнения (1.2.1), соответствующее собственному значению Е, может быть представлено как линейная
комбинация функций (1.2.2).
Представим себе, что рассматриваемая система обладает некоторой симметрией, например пространственной симметрией некоторой точечной группы или симметрией по отношению к перестановкам тождественных частиц между собой. Всякая операция такой симметрии (вращение, отражение, инверсия, перестановка частиц) связана с некоторым линейным преобразованием конфигурационных координат системы, которое может быть записано в виде:

x'  R x ,
11
(1.2.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

где R  вещественная ортогональная матрица линейного
преобразования. Обратное к (1.2.4) преобразование имеет вид:

x  R x' .
Для

вещественных
ортогональных
(1.2.5)
матриц
 1

T
 R
R R
 1
T

  R  трансформированная матрица), то есть ( R )ij  R ji .
(R
Например, равносторонний треугольник на рис. 1.2.1 может быть
описан шестью координатами x1, x2, x3, x4, x5, x6, которые
последовательно равны координатам x и y вершин 1, 2, 3.
Рис. 1.2.1. Вращение равностороннего треугольника
Операции D (вращение на 120 по часовой стрелке вокруг
оси, перпендикулярной к плоскости треугольника и проходящей
через его центр) соответствует преобразование (при этом
вершина треугольника 1 переходит в вершину 2, 2 в 3 и 3 в 1):
x1’ = x3 = 0x1 + 0x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6,
x2’ = x4 = 0x1 + 0x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6,
x3’ = x5 = 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6,
x4’ = x6 = 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6,
x5’ = x1 = 1x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6,
x6’ = x2 = 0x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6,
так что матрица ортогонального преобразования:
12
(1.2.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0
0


0
R
0
0

0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 
0 0 0 1 0

0 0 0 0 1
1 0 0 0 0

0 1 0 0 0
(1.2.7)
Можно убедиться в том, что обратное преобразование:
0
0

 1
1
R 
0
0

0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 
0 0 0 0 0

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0

0 0 1 0 0
(1.2.8)
и что действительно:
 1
 .
R R
(1.2.9)
Если система обладает некоторой симметрией, так что она
совпадает сама с собой при преобразовании координат (1.2.5), то
потенциальная энергия системы V( x ), входящая в гамильтониан

H ( x ) в (1.2.1), удовлетворяет условию:
 1
V ( x )  V ( R x' )  V ( x' ) ,
(1.2.10)
где мы в V( x ) произвели преобразование (1.2.5) от x к x' .
Например, потенциальная энергия электрона в поле ядра атома
Ze2/r обладает сферической симметрией, то есть не меняется при
любых поворотах атома (или координатной системы) вокруг
начала координат, совпадающего с ядром. Действительно, производя ортогональное преобразование (1.2.5) по отношению к координатам электрона x1 = x, x2 = y, x3 = z, получим:
Ze 2
x2  y 2  z 2

13
Ze 2
x2  y2  z2
(1.2.11)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как оператор Лапласа инвариантен относительно ортогональных преобразований (1.2.5), то:


 1

(1.2.12)
H( x )  H( R x' )  H( x' ).
Если мы произведем замену координат (1.2.5) во всем уравнении (1.2.1), то получим:
 1

 1
H( x' ) ( R x' )  E ( R x' ) ,
(1.2.13)
где переменные x' можем, конечно, обозначить через x :
 1

 1
H( x ) ( R x )  E ( R x ) .
(1.2.13’)
Все преобразования симметрии, оставляющие гамильтониан
инвариантным, носят название группы уравнения Шредингера.
Сравнивая (1.2.13’) с (1.2.1), мы видим, что функция
 1
 ( R x )   ( x ) удовлетворяет тому же уравнению, что и функция
 ( x ) при том же собственном значении энергии Е.
Если собственное значение Е не вырождено, то ( x ) может
отличаться от  ( x ) только постоянным множителем, то есть
 ( x )  c ( x )
(1.2.14)

Если R 2  E , то с2 = 1 и, следовательно, с =  1. Таким

2
образом, в случае R  E существуют два решения уравнения
(1.2.1): одно не меняющее свой знак при преобразовании
симметрии (симметричное), а другое меняющее свой знак на
обратный при преобразовании симметрии (антисимметричное).
Если же собственное значение Е l-кратно вырождено, так что
 1
 ( x )   i ( x ) и равна одной из функций (1.2.2), то  i ( R x ) (см.
(1.2.13’)) является решением уравнения Шредингера (1.2.1) для
того же собственного значения энергии Е, поэтому оно должно
выражаться линейно через ВФ (1.2.2):
 1

l
 i ( R x )  P R i ( x )    ki ( R ) k ( x ) .
k 1
14
(1.2.15)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Это выражение совпадает с преобразованиями базисных
функций  i ( x ) . Элементы матрицы (R)ki – матричные элементы

оператора P R , построенные на ВФ (базисных) (1.2.2). Унитарные
матрицы (R)ki в (1.2.15) осуществляют представление группы
уравнения Шредингера (1.2.1).
(TS) = (T)(S)
(1.2.16)
Матрицы (R)ki в (1.2.15), где R – любой элемент группы,
перемножаются по той же таблице, что и элементы группы, и называются представлением группы.
Мы можем сделать важное заключение, что каждому собственному значению энергии Е соответствует определенное (с точностью до преобразования подобия) представление группы уравнения Шредингера.
В дальнейшем будем считать, что если нет случайного вырождения, то представление группы уравнения Шредингера, соответствующее определенному значению энергии, является
неприводимым.
В самом деле, если бы это представление было приводимым,
то матрицы (R)ki можно было бы соответствующим выбором l
базисных функций (1.2.2) привести к квазидиагональному виду,
например к двум блокам рангов «n» «l – n», расположенных
вдоль главной диагонали матрицы (R)ki. В этом случае «n» из
(1.2.2) преобразовывались бы при всех преобразованиях симметрии R, только друг через друга и то же имело бы место для остальных «l – n» функций. Таким образом, каждая из двух групп
функций вела бы себя так, как будто она принадлежит некоторому определенному уровню энергии, но тогда было бы маловероятным и во всяком случае не связанным с симметрией гамильто
ниана H ( x ) такое случайное совпадение обоих уровней энергии
(случайное вырождение).
Таким образом, мы будем считать, что каждому уровню энергии соответствует определенное неприводимое представление
группы уравнения Шредингера. Конечно, разным уровням энергии может соответствовать одно и то же неприводимое представление. Например, мы увидим далее, что неприводимые представления электрона в атоме в одночастичном приближении характе15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ризуются орбитальным квантовым числом «l», так что s-состояние (l = 0), р-состояние (l = 1), d-состояние (l = 2) и т. д. – различные неприводимые представления непрерывной группы вращений. При этом каждому уровню энергии электрона соответствует свое неприводимое представление с заданным квантовым
числом «l». Но, конечно, разным уровням энергии с различными
главными числами «n» могут соответствовать одни и те же неприводимые представления с одинаковым квантовым числом «l».
1.3. Šе%!ем= aл%. =
Запишем уравнение Шрёдингера для электрона в периодическом потенциале:
 2 2

  V  r    r   E  r  , V  r  R   V  r  .
H   r   
 2m


(1.3.1)
В силу периодичности потенциала гамильтониан электрона инвариантен относительно трансляции TR на вектор решетки. Имеем:
TRH( r )  H( r  R )TR = H( r )TR.
(1.3.2)
Таким образом, операторы трансляций TR коммутируют с гамильтонианом H, поэтому для любого решения  уравнения Шредингера (1.3.1) выполняется также равенство
H(TR) = TR(H) = E(TR),
(1.3.3)
т. е. для каждой собственной функции гамильтониана (1.3.1)
можно построить другую функцию, соответствующую тому же
собственному значению. Поскольку группа трансляций абелева,
ее представления одномерны. Поэтому нормированные функции
 и TR могут различаться лишь фазовым множителем, который обозначим через cR.
Введем периодические граничные условия (условия Борна –
Кармана):
 
TN a   r     r  N a   cN
N
  r    r  ,
где отсутствует суммирование по , N >> 1. Тогда имеем:
16
(1.3.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 
cN
N
= 1.
(1.3.5)
Очевидно, что
cN = exp(2in/N), n = 0, 1, 2, … N – 1.
(1.3.6)
Введем (пока чисто формально) волновое число
k a 
2 n
.
N  a
(1.3.7)
Тогда
Ta  r     r  a   exp  ik a   r  .
(1.3.8)
Переходя от трансляции вдоль одной из осей к трансляции общего вида в трехмерной решетке, получим аналогичным образом:
 k  r  R   exp  ikR   r  ,
(1.3.9)
где
R  m1a1  m2 a 2  m3 a 3 ,
k
n1b1 n2 b2 n3b3


.
N1
N2
N3
(1.3.10)

Фактически вектор k задает представление группы трансляций,
по которому преобразуется данная волновая функция. Формула
(1.3.9) представляет собой одно из выражений теоремы Блоха.
Другое выражение можно получить следующим образом. Умножим обе части (1.3.9) на exp  ikr  :
 k  r  R  expik  r  R    k  r  expikr .
(1.3.11)
uk  r   exp  ikr   r  ,
(1.3.12)
  r   exp  ikr  uk  r  ,
(1.3.13)
Обозначая
запишем
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где функция uk  r  имеет период решетки. Функции  k  r  в форме (1.3.13) называются блоховскими, а функции uk  r  называются блоховскими амплитудами.
j%…2!%ль…/е "%C!%“/
1. Дать историческую справку об изменении научных представлений об оптических явлениях.
2. Дать определения основным квазичастицам в конденсированных средах.
3. Сформулировать принцип Неймана.
4. Дать определение принципу Кюри.
5. Рассказать о связи квантовой механики с принципами
симметрии.
6. Что называется группой уравнения Шредингера?
7. Рассказать о представлениях групп. Что называется матричным представлением групп?
8. Раскрыть понятие неприводимого представления групп.
9. Пояснить смысл граничных условий Борна – Кармана.
10. Раскрыть содержание теоремы Блоха.
2. jл=““, -, *=ц, "е?е“2"
C% 3дель…%L .ле*2!, че“*%L C!%"%д, м%“2,
2.1. jл=““, -, *=ц, "е?е“2"
C% 3дель…%м3 “%C!%2, "ле…, ю
Все вещества по электрофизическим свойствам могут быть
разделены на три больших класса: металлы, полупроводники и
диэлектрики. Наиболее просто, казалось бы, классифицировать
вещества по удельному сопротивлению «».
У металлов оно находится в пределах 10-610-4 Омсм (например, удельное сопротивление серебра при комнатной температуре равно 1,5810-6 Омсм, сплав нихром имеет удельное сопротивление  = 1,0510-4 Омсм). Вещества с удельным сопротивлением
от 10-4 до 10-10 Омсм были отнесены к полупроводникам (например, удельное сопротивление сернистого кадмия при комнатной
температуре в зависимости от технологии его изготовления
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лежит в пределах от 10-3 до 1012 Омсм, а германия – от 10-4 до
47 Омсм). Наконец, вещества с удельным сопротивлением более
1010 Омсм считаются диэлектриками (например, при 200С
удельное сопротивление слюды в зависимости от ее состава
имеет10131016 Омсм, стекла  = 108–1015 Омсм).
Из приведенных примеров видно, что при переходе от одного
класса вещества к другому значения удельного сопротивления
перекрываются. Поэтому удельное сопротивление не может служить в качестве однозначного критерия для классификации веществ. Однако при снятии температурных зависимостей удельного сопротивления различие между металлами и полупроводниками часто проявляется достаточно четко. Графики температурной зависимости удельного сопротивления некоторых металлов и
полупроводников представлены на рис. 2.1.1. У химически
чистых металлов удельное сопротивление с ростом температуры
увеличивается пропорционально абсолютной температуре Т, т. е.
 = 0(1 + t) = 0T/T0 ,
(2.1.1)
где 0 – удельное сопротивление данного металла при 0С,  – температурный коэффициент сопротивления, равный 1/273, Т0 = 273K.
Характерным для температурной зависимости удельной проводимости металлов, как следует из рис. 2.1.2 а, является наличие
отрицательного температурного коэффициента электропроводности, т. е. удельная проводимость металла 1 при температуре T1
больше его проводимости 2 при более высокой температуре Т2.
Рис. 2.1.1. Изменение удельного сопротивления чистых металлов (а) и кремния (б) в зависимости от температуры
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2.1.2. Изменение удельной проводимости свинца (а) и кремния (б) в зависимости от температуры
Для полупроводников характер температурной зависимости
удельного сопротивления и проводимости иной. Для некоторого
интервала температур эти зависимости имеют вид:
 = 0e/T
(2.1.2)
 = 0e-/T ,
(2.1.3)
где 0, 0,   некоторые постоянные для данного интервала
температур величины, характерные для каждого полупроводникового вещества.
Такие зависимости удельного сопротивления и проводимости
от температуры имеют так называемые невырожденные полупроводники. Для них, как видно из графика температурной зависимости удельной проводимости, изображенного на рис. 2.1.2б, характерно наличие положительного температурного коэффициента удельной проводимости, т. е.
  2   1

0.
T T2  T1
(2.1.4)
Казалось бы, теперь вопрос о различии полупроводников и
металлов решен знаком температурного коэффициента удельной
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
проводимости. Однако выбор его в качестве определяющего критерия осложнен тем, что в некотором интервале температур полупроводник может вести себя подобно металлу. Поэтому по знаку
температурного коэффициента удельной проводимости не всегда
можно установить принадлежность вещества к классу полупроводников.
Ответить на этот вопрос можно, если проследить, как изменяется проводимость вещества при понижении температуры. Как
следует из рис. 2.1.2а, с понижением температуры удельная проводимость металлов растет. При температуре абсолютного нуля
металлы имеют конечное значение удельной проводимости, а у
ряда металлов и их сплавов наступает сверхпроводящее состояние, характеризующееся сильным возрастанием удельной проводимости. Такие изменения удельной проводимости металлов с
понижением температуры возможны лишь потому, что независимо от температуры в металле всегда имеются свободные носители заряда  электроны. У полупроводников, наоборот, удельная
проводимость уменьшается при понижении температуры
(рис. 2.1.2б), а по мере приближения температуры к абсолютному
нулю полупроводники по своим свойствам приближаются к
диэлектрикам. Из этого следует, что в полупроводнике свободные носители заряда возникают при подведении к нему тепловой
энергии. Эти носители заряда называются тепловыми или равновесными. Опыт показывает, что появление свободных носителей
заряда в полупроводнике имеет место также при освещении, облучении ядерными частицами, при наложении на полупроводник
электрического поля, при изменении внешнего давления. Возникающие в этих случаях носители заряда называются неравновесными. Процесс образования как равновесных, так и неравновесных носителей заряда очень сильно зависит от структуры
полупроводника и от наличия в нем примеси.
Следовательно, полупроводники  это такие материалы, которые при комнатной температуре имеют удельную проводимость в интервале от 10–10 до 104 Ом–1см–1, зависящую в сильной степени от структуры вещества, вида и количества примеси и от внешних условий: температуры, давления, освещения,
облучения ядерными частицами, электрического и магнитного
полей.
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Согласно этому определению между полупроводниками и
диэлектриками не существует принципиального качественного
различия, ибо они обладают проводимостью только вследствие
теплового возбуждения носителей заряда. Более различны по
своей природе металлы и полупроводники. У металлов проводимость слабо зависит от присутствия примеси, внешних условий и
при любой температуре концентрация свободных электронов
остается постоянной и составляет величину порядка 1022 см–3.
Различие между металлами и полупроводниками проявляется и в
том, что при прохождении тока через цепь, состоящую из двух
полупроводников, сила тока нелинейно зависит от приложенной
к цепи разности потенциалов.
Существует, как известно, два типа проводников электрического тока: электронные и ионные. Металлы  электронные проводники, у них ток переносится электронами. У ионных проводников ток переносится ионами вещества, вследствие чего состав
ионного проводника меняется при прохождении через него электрического тока. Типичные представители ионных проводников 
электролиты.
Полупроводниковые вещества также могут быть как электронными, так и ионными. К электронным полупроводникам относится огромное количество самых различных веществ. Полупроводниками являются как простые вещества: бор (В), углерод (С),
кремний (Si), фосфор (Р), сера (-S), германий (Ge), мышьяк (As),
серое олово (-Sn), сурьма (-Sb), селен (Se) (красный), теллур
(Те), йод (I), – так и многие сложные химические соединения.
Кроме неорганических веществ, полупроводниковыми свойствами обладают также и некоторые органические вещества, такие как фталоцианины и полициклические ароматические углеводороды (например, бензол, нафталин, антрацен, нафтацен,
коронен и др.).
Особенности электрофизических свойств полупроводников
обусловили их широкое применение для создания самых различных электронных устройств. Постановка высококачественного
производства полупроводниковых приборов и интегральных
схем, разработка новых устройств для разнообразных условий
применения  все это возможно при условии серьезных знаний в
области физики полупроводников.
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.2. l%дель…/е C!ед“2="ле…,
% ме.=…, ƒме .ле*2!%C!%"%д…%“2,
" C%л3C!%"%д…, *=.
Рассмотрим механизм электропроводности полупроводниковых веществ на примере элементарных полупроводников. Кремний и германий находятся в одной подгруппе периодической
системы Менделеева с углеродом. Электроны распределены у
них по состояниям следующим образом:
C(6)(ls22s22p2);
Si(l4)(ls22s22p63s23p2);
Ge(32)(ls22s22p63s23p63d104s24p2).
Внешняя электронная оболочка у этих атомов заполнена
частично, она содержит четыре электрона.
При образовании кристалла, например кремния, четыре валентных электрона каждого атома из состояния 3s23p2 переходят
в гибридное sp3-состояние с неспаренными спинами и образуют
четыре пространственно-эквивалентные связи. В результате каждый атом окружен четырьмя ближайшими соседями и находится
в центре тетраэдра. Возникает так называемый алмазоподобный
тип кристаллической решетки (рис. 2.2.1), которая является кубической. В ней четыре внешних электрона каждого атома участвуют в образовании ковалентных связей (по два электрона в каждой). Эти связи на рис. 2.2.1 представлены в виде двух направляющих, соединяющих два ближайших атома.
На рис. 2.2.2а дано двумерное изображение связей в решетке
кремния. Здесь в узле решетки находится ион кремния с зарядом
+4, которому принадлежат четыре валентных электрона. Валентные электроны, обеспечивающие ковалентную связь, на рис. 2.2.2а
представлены в виде черных точек. В идеальном полупроводнике,
изображенном на рис. 2.2.2а, все электроны связанные. Если поместить такой полупроводник в электрическое поле, то электрический ток не может возникнуть, так как все связи в решетке
заполнены и свободных носителей заряда нет.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2.2.11. Кристалллическаяя решеттка типаа алмазаа, постояянная
решеткки равна а
Рис. 2.2.22. Двумеррное представление располоожения сввязей в реешетке крем
мния (собсственный
й полупрооводник)
Допусттим, что под возд
действиеем какихх-либо ввозмущений, на-при
имер теп
пловой энергии,
э
произошел раззрыв валлентной связи и
элекктрон стал
с
сввободным
м. Проц
цесс прревращенния свяязанногоо
элекктрона в своб
бодный электро
э
он носит
т назваание геннерации.
На месте ушедшег
у
го электррона об
бразуетсяя незавеершеннаая связь,,
котторая буд
дет иметть избытточный положит
п
тельный заряд, поскольп
ку он теперрь не сккомпенси
ирован зарядом
м электроона. Ваккантноее
мессто в валлентнойй связи получило названиие дыркии. В цело
ом крис-таллл остаеттся элекктронейттральным
м, так как
к кажд
дому обр
разовав-шем
муся пооложителльному заряду в связзи-дыркее соотвеетствуетт
свободный электрон. На рис. 2.2
2.2 б сввободныее электроны и
дыррки изоб
бражены
ы соответственн
но черн
ными и светлым
ми кру-жоч
чками. Если
Е
своободный
й электр
рон подоойдет к тому аттому, отт
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
которого был оторван, то он может соединиться с атомом. Процесс превращения свободного электрона в связанный электрон
носит название рекомбинации.
Полупроводник, в котором в результате разрыва валентных
связей образуется равное количество свободных электронов и
дырок, называется собственным. При комнатной температуре
концентрация свободных электронов и дырок в германии составляет примерно до 1012 см-3, а у кремния  около 1010 см-3. Увеличение температуры приводит к возрастанию числа разорванных
валентных связей, а следовательно, к росту концентрации свободных электронов и дырок в полупроводнике.
Свободные электроны за счет тепловой энергии перемещаются по кристаллу полупроводника. Но в реальном веществе идеальность кристаллической структуры всегда нарушена наличием
в нем разных дефектов. Такими дефектами являются тепловые
колебания атомов кристалла, разные примеси, дислокации.
Поэтому свободный электрон, перемещаясь по кристаллу, будет
сталкиваться с дефектами кристаллической решетки, в результате
чего меняется направление его движения. В силу этого тепловое
движение свободного электрона является беспорядочным, как это
изображено на рис. 2.2.3а.
Вакантное место в валентной связи  дырка – может быть
заполнено электроном, перешедшим за счет тепловой энергии с
соседней насыщенной связи. При таком переходе от атома к
атому дырка также будет совершать хаотическое движение.
Рис. 2.2.3. Схема движения свободного электрона за счет тепловой
энергии и во внешнем электрическом поле
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, тепловое движение свободных носителей
заряда является беспорядочным. При этом каждый из носителей
заряда описывает сложную траекторию движения. Расстояние,
проходимое свободным носителем заряда между двумя столкновениями, называется длиной свободного пробега, а усредненное
значение всех отрезков пути есть средняя длина свободного
пробега. Соответственно время между двумя соударениями и его
усредненное значение называются временем свободного пробега
и средним временем свободного пробега.
Средняя длина свободного пробега l и среднее время
свободного пробега  связаны соотношением
l = vQ ,
(2.2.1)
где vQ  средняя скорость теплового движения свободного носителя заряда (среднее значение модуля скорости). В полупроводниках при комнатной температуре скорость теплового движения
электронов составляет величину порядка 107 см/с.
Поскольку тепловое движение свободных носителей заряда 
электронов и дырок  имеет хаотический характер, то их средняя
скорость, рассматриваемая как векторная величина, равна нулю.
Это означает, что каждому свободному носителю заряда можно
сопоставить соответствующий по знаку носитель заряда со скоростью, вектор которой направлен в обратную сторону. Схематически это представлено на рис. 2.2.4а. Вследствие беспорядочного
теплового движения количество свободных электронов и дырок,
движущихся в любом направлении, в среднем равно числу
электронов и дырок, движущихся в противоположном направлении. Поэтому в отсутствие внешнего электрического поля
суммарный заряд, переносимый свободными электронами и
дырками в любом направлении, равен нулю и беспорядочное
тепловое движение носителей заряда не дает тока.
Поместим собственный полупроводник в электрическое поле.
Под воздействием поля свободные электроны полупроводника
будут ускоряться и приобретут скорость, направленную против
поля. Благодаря этому у электронов, движение которых за счет
тепловой энергии происходило против направления поля,
скорость увеличится, а у электронов, движущихся по полю,
уменьшится. В результате вся совокупность свободных элект26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ронов получает некоторую скорость направленного движения
(рис. 2.2.4б). Изменение скорости движения электронов скажется
на их кинетической энергии. При столкновении с дефектами
кристаллической решетки электроны полностью передают решетке приобретенную в поле скорость и энергию, вследствие чего они
придут в тепловое равновесие с решеткой. После столкновения
электроны, совершая хаотическое тепловое движение, опять будут
иметь направленное движение во внешнем электрическом поле.
Рис. 2.2.4. Схематическое изображение скоростей электронов
проводимости при отсутствии (а) и наличии (б)
электрического поля
Таким образом, фактическое движение электрона в кристалле складывается из беспорядочного теплового и упорядоченного движения, вызванного действием внешнего электрического
поля (рис. 2.2.3б). В результате этого происходит медленное
перемещение всей совокупности свободных электронов с некоторой средней скоростью в направлении, противоположном направлению внешнего электрического поля. Направленное движение
совокупности свободных носителей заряда в электрическом поле
носит название дрейфа, а скорость их направленного движения
называется дрейфовой скоростью. На рис. 2.2.4б горизонтальными линиями изображены векторы дрейфовой скорости, а пунктиром  векторы суммарной скорости теплового движения и дрейфа. В этом случае средняя скорость движения свободных электронов уже не равна нулю и через полупроводник в направлении
электрического поля потечет ток, обусловленный свободными
электронами.
Таким образом, в чистом полупроводнике, не содержащем
примесей, осуществляется электронная и дырочная электропро27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вод
дность. Следоваательно,, электр
рический ток в собст
твенном
м
полу
лупровод
днике оппределяеется двуумя сост
тавляющ
щими  элект-роннным и дырочным
д
м токам
ми, текуущими в одном ннаправлеении.
Электроопроводн
ность собствен
с
нного полупров
п
водника можноо
объ
ъяснить, если исходитть из энергети
э
ических предстаавлений..
Элеектроны в изоллированн
ном атоме, как показы
ывает кввантоваяя
теоррия, облладают дискретн
д
ными знаачениями
и энерги
ии. При этом наа
каж
ждом энеергетическом уровне, со
огласно принцип
п
пу Паули
и, можетт
нахходиться не болеее двух электрон
э
нов, котоорые доллжны иметь про-тивоположн
но напрравленны
ые спины
ы. При образоввании полупроп
вод
дниковогго вещесства, т. е. при сб
ближении
и атомовв на рассстояниее
–8
при
имерно 10 см, валентны
в
ые электр
роны буд
дут двиггаться в сильном
с
м
элекктрическком полее соседн
них атомов. В реезультатее действи
ия этогоо
полля энергеетически
ий уровеень вален
нтных эллектроноов расщеепляетсяя
в зоону. Эта зона носсит назваание валеентной зоны.
з
Изз вышелеежащегоо
уроовня возбуждени
ия атомаа образу
уется зона, котоорая наззываетсяя
своб
бодной зоной, или
и
зоноой прово
одимостти. Кажд
дая из этих
э
зон
н
зани
имает оп
пределен
нную облласть эн
нергии. Зоны
З
доззволенны
ых энер-гий
й отделен
ны друг от другаа интерввалом, наазываемы
ым запреещеннойй
зоноой, или энергеттической
й щелью. На рисс. 2.2.4, где изоб
браженаа
энерргетичесская диааграмма собствен
нного поолупровоодника, Ес соот-ветсствует минималь
м
ьной энеергии, ко
оторую могут и
иметь сво
ободныее
элекктроны в кристталле, а величин
на Ev  максим
мальная энергияя
элекктронов валентн
ной зоны
ы.
Рис. 2.2.44. Схематическое изображеение энерргетическких зон собстс
венногоо полупрооводникаа
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть в валентной зоне собственного полупроводника все
возможные квантовые состояния заняты электронами. Но мгновенная плотность электрического тока j , связанного с движением
одного электрона, пропорциональна его скорости v и не совпадает
с ней по направлению; для полупроводника, имеющего объем ,
j
e

v .
(2.2.2)
Поскольку в валентной зоне все возможные квантовые
состояния заняты электронами, то результирующее мгновенное
значение плотности электрического тока для всей системы
электронов во всей зоне
j
e

v
s
 0,
(2.2.3)
s
( zone )

так как каждому электрону со скоростью v можно сопоставить
электрон со скоростью v , порождающий равный по величине,
но противоположный по направлению микроток.
В собственном полупроводнике при разрыве парноэлектронной связи, например за счет тепловой энергии, появляются свободный электрон и вакантное место в валентной связи. В схеме
энергетических зон, изображенной на рис. 2.2.4, это равнозначно
переходу электрона из валентной зоны в зону проводимости.
В этом случае валентная зона полностью заполнена электронами,
за исключением одного-единственного квантового состояния.
Соответствующую скорость вакантного места в связи обозначим
через vi. Тогда суммарный ток всех электронов валентной зоны
запишется в виде
j
e
v

s i
s

e

v
s
s
( zone )

e

vi .
(2.2.4)
Но сумма токов в правой части (2.2.4) по всем состояниям в зоне
равна нулю. Поэтому
j
29
e

vi .
(2.2.5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, суммарный ток всех электронов в валентной
зоне эквивалентен току одного электрона, если поместить последний в вакантное квантовое состояние и приписать ему положительный заряд «+е». Такое вакантное квантовое состояние
называется положительной дыркой, или просто дыркой.
При обычных температурах в зоне проводимости собственного полупроводника всегда имеется некоторое количество
электронов, заброшенных туда из валентной зоны путем термического возбуждения, а в его валентной зоне будет равное количество положительных дырок. При наложении на полупроводник
электрического поля свободные электроны и дырки будут
осуществлять перенос электрического заряда.
Ширина запрещенной зоны Eg (energy gap) определяется
природой химической связи, а также зависит от сорта атомов,
образующих кристаллическую решетку. В кристаллах, состоящих
из элементов IV группы периодической системы Менделеева, она
убывает по мере роста постоянной решетки. Решетка типа алмаза
более плотная, а следовательно, более прочная и на разрыв
парноэлектронной связи требуется больше энергии, чем для
более рыхлой решетки.
2.3. }леме…2=!…= 2е%!,
.ле*2!%C!%"%д…%“2,
Проведем подсчет плотности тока для донорного полупроводника, электроны проводимости которого будем рассматривать
как идеальные частицы, не имеющие собственного объема и не
взаимодействующие друг с другом. Отметим, что изложенная
ниже теория пригодна в некотором приближении и для металлов.
Так как по классической теории радиус электрона r0  10–13 см, то
при концентрации их n  1022 см–3 объем электронов составляет
(4/3)r03n  10–17 от объема вещества, и первое предположение
вполне оправдано. Законы квантовой механики в известном приближении позволяют рассматривать электроны как невзаимодействующие частицы.
Пусть концентрация электронов проводимости n (количество
свободных электронов в 1 см3 полупроводника), а скорость их
дрейфового движения v . Поскольку плотность тока есть заряд,
проходящий в единицу времени через единичное сечение, то
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
j  env .
(2.3.1)
Определение скорости дрейфа электронов проведем с учетом
следующих предположений. Пусть dt/ есть вероятность того,
что электрон за время dt испытывает столкновение (рассеяние).
Кроме того, будем считать, что вероятность столкновения в
единицу времени не зависит от времени. Это значит, что х есть
некоторая постоянная величина.
Количество столкновений п частиц за время dt соответственно будет равна пdt/. Следовательно, за время dt число носителей
заряда, движущихся в данном направлении, уменьшается в
результате рассеяния на величину
dn  n
dt

.
(2.3.2)
Решая уравнение (2.3.2) относительно n, получаем количество
электронов, не испытавших к моменту времени t соударения:
n( t )  n0 et  ,
(2.3.3)
где п = n0 при t = 0.
Из соотношения (2.3.3) следует, что количество электронов,
движущихся в данном направлении, в результате столкновений с
неоднородностями кристаллической решетки уменьшается по
экспоненциальному закону с постоянной времени .
Для определения  поступим следующим образом. Пусть ось
х совпадает по направлению с полем. Предположим, что все
электроны в момент времени t = 0 испытали столкновения. После
этого в направлении х до следующего столкновения в результате
дрейфа каждый электрон пройдет расстояние х1, х2, х3 соответственно в течение времени свободного пробега t1, t2, t3. Тогда все
электроны, двигаясь в поле, за время Т = t1 + t2 + t3 +… пройдут
суммарное расстояние X = х1 + х2 + х3 …. Скорость дрейфа есть
скорость направленного движения электронов, она равна:
v
X
.
T
(2.3.4)
Если n0 электронов имеют среднее время свободного пробега <t>, то
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
T = n0<t>.
(2.3.5)
С другой стороны, есть определенная вероятность того, что
среди электронов имеются такие, которые обладают одним и тем
же временем свободного пробега t. Это электроны, испытавшие
соударения в момент времени от t до t + dt. Их число согласно
(2.3.2) составит пdt/, и в суммарное время T они внесут время,
равное tпdt/. Тогда, интегрируя это выражение по всем временам
свободного пробега, которые вследствие случайного характера
столкновений могут принимать значения от 0 до , будем иметь:

T 
tndt

0
.
(2.3.6)
Воспользовавшись выражениями (2.3.2), (2.3.5) и (2.3.6),
получим:


1 tndt 1
t
dt
 t  
  n0 et    .
n0 0 
n0 0


(2.3.7)
Таким образом,  есть среднее время свободного пробега, т. е.
среднее время между двумя соударениями.
Электрическое поле напряженности E сообщит электрону с
массой т ускорение, равное
a
eE
.
m
(2.3.8)
За время свободного пробега t электрон приобретает дрейфовую
скорость
et
E
m
(2.3.9)
eE 2
t .
2m
(2.3.10)
vd  at 
и пройдет путь
x
Суммарное расстояние, которое пройдут все электроны по направлению х, совпадающему с направлением внешнего поля, будет:
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

en0 2 E  t  t  dt en0 2 E
X  x1  x2  x3  .....   xn 
. (2.3.11)

 e

2m
m





0
0
dt
Следовательно, скорость дрейфа электронов равна:
v
X e E

,
T
m
(2.3.12)
т. е. она пропорциональна напряженности электрического поля,
времени свободного пробега и обратно пропорциональна массе
электрона.
Величина, связывающая дрейфовую скорость носителей заряда с напряженностью электрического поля, называется подвижностью носителей заряда. Обозначим ее буквой , тогда
v = E,
(2.3.13)
откуда

v e
 ,
E m
(2.3.14)
т. е. подвижность носителей заряда численно равна скорости
дрейфа в электрическом поле единичной напряженности.
С учетом равенства (2.3.14) выражение (2.3.1) для плотности
тока примет вид:
j  env  en E ,
(2.3.15)

так как вектор скорости электронов v направлен в противоположную сторону вектора E .
Удельная проводимость на основании закона Ома может
быть выражена при помощи (2.3.15) как
 = j/E = en .
(2.3.16)
С учетом соотношения (2.3.14) удельная проводимость будет
равна:
 = e2n/m.
(2.3.17)
Если выразить  из (2.2.1), то соотношение (2.3.17) можно
записать в виде
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
e 2 nl
.

mv0
(2.3.18)
В действительности же при определении  надо учитывать полную скорость электрона, которая определяется тепловой скоростью v0 и скоростью дрейфа vd, т. е.

l
.
v0  vd
(2.3.19)
Поскольку дрейфовая скорость электрона зависит от напряженности электрического поля, то его полная скорость (v0 + vd) и,
следовательно, время свободного пробега  является функцией
энергии частицы. Поэтому для нахождения дрейфовой скорости
необходимо усреднять время свободного пробега с учетом
функции распределения электронов по энергии.
j%…2!%ль…/е "%C!%“/
1. Дать историческую справку об изменении научных представлений об оптических явлениях.
2. Дать определения основным квазичастицам в конденсированных средах.
3. Сформулировать принцип Неймана.
4. Дать определение принципу Кюри.
5. Дать представление о хаотическом и упорядоченном движениях электронов в твердом теле.
6. Дать представление о движении «дырки» в полупроводнике.
7. Дать модельные представления о механизме электропроводности в полупроводниках.
8. Изложить представления о зонной теории твердого тела.
9. Сформулировать основные положения элементарной
теории электропроводности.
10. Изложить элементарную теорию электропроводности.
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. cе%ме2!,
*!, “2=лл, че“*, . !еше2%*
3.1. o! м= , %K!=2…= !еше2*,
Периодичность в расположении
характеризуется вектором трансляции:
атомов
в
кристалле
a  an  n1a1  n2a2  n3a3 ,
(3.1.1)
где n1, n2, n3 – целые числа, a1 ,a2 ,a3 – основные векторы трансляций. Очевидно, что и некоторые другие величины, рассматриваемые в определенной точке внутри кристалла, периодичны:
электростатический потенциал, плотность электронов.
Рис. 3.1.1. Структура решетки типа алмаза и связи между атомами.
Пунктиром изображена элементарная решетка Бравэ
в форме параллелепипеда
Для электростатического потенциала имеет место соотношение:
V( r )  V( r  an ) ,
(3.1.2)
которое может быть разложено в ряд Фурье:
V( r ) 



Vk k k e



k  k  k  1 2 3
1
2

2 i k11 a1  k22 a2  k33 a3
,
(3.1.3)
3
где k1, k2, k3 – целые положительные и отрицательные числа.
Переходя в (3.1.3) от косоугольных координат i к прямоугольным координатам xi по формулам:
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1   11 x1   22 x2   33 x3

 2   21 x1   22 x2   23 x3
   x   x   x ,
31 1
32 2
33 3
 3
(3.1.4)
где ik – коэффициенты, зависящие от углов между осями
косоугольной и прямоугольной систем, получим:
V ( r )  Vb b
1 2b3
k1 k2 k3
e

i b1x1  b2 x2  b3 x3
,
(3.1.5)
здесь b1, b2, b3 – коэффициенты, зависящие от ik, kiai. Суммирование в (3.1.5) надо вести по всем bi, соответствующим всем
целочисленным значениям индексов ki. Рассматривая b1, b2, b3 как
прямоугольные компоненты вектора b , запишем (3.1.5) в виде:
 ei( br ) ,
V( r )  
V

b
(3.1.6)
b
Проще определить b из требования периодичности V ( r ) :
i( b , r an )
V( r  an )  
V e

b
b

V  ei( br )e

i( ban )
b
b
.
(3.1.7)
Следовательно, ei( ba )  1 , то есть:
n
 ban   n1  ba1   n2  ba2   n3  ba3   2  ( целое число )
для всех целочисленных значений n1, n2, n3, что возможно только
при:
 ba1   2 g1 ,  ba2   2 g 2 ,  ba3   2 g3 ,
(3.1.8)
где g1, g2, g3 – произвольные целые числа, включая ноль.
Всякий вектор определяется тремя своими компонентами,
поэтому трех независимых уравнений (3.1.8) достаточно для
определения b . Можно показать, что
bg  b  g1b1  g 2b2  g 3b3 ,
b1 
2  a2  a3 
0
, b2 
2  a3  a1 
0
где
, b3 
36
2  a1  a2 
0
(3.1.9)
,  0   a1   a2  a3  .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Легко проверить, что  ban    bg an   2 ( ng1  ng 2  ng 3 ) . Непо
средственно из определения (3.1.9) векторов b k следует, что
0, при i  k ,
ai  bk  2 ik  
.
2 , при i  j
(3.1.10)
Наоборот, исходя из уравнений (3.1.10), можно показать, что
векторы b k определяются выражениями (3.1.9). Векторы b k называются трансляционными, масштабными или основными векторами обратной решетки. Векторы b k имеют размерность, обратную длине.
Бесконечная периодическая решетка, построенная на трансляционных векторах b k , называется обратной решеткой. Пространство обратной решетки имеет размерность (длина)–3. Параллелепипед, построенный на векторах b k , называется элементарной ячейкой обратной решетки. Можно показать, что его «объем»
равен  b1   b2  b3   ( 2 )3 0 .
Из условия (3.1.9) видно, что вектор b 1  a2 ,a3 ; b 2  a1 ,a3 ; b 3 
a1 ,a2 . Если элементарная ячейка прямой решетки имеет форму
прямоугольного параллелепипеда, то b 1 , b 2 , b 3 параллельны соответственно a1 ,a2 ,a3 и bi = 2/ai. Очевидно, что если прямая решетка – простая кубическая, то и обратная – простая кубическая с
b1 = b2 = b3 = 2/a.
Представление об обратной решетке возникло из задачи
разложения в ряд Фурье функции, обладающей периодичностью
прямой решетки.
Понятие об обратной решетке плодотворно используется при
рассмотрении дифракции рентгеновских лучей в кристаллах, при
исследовании колебаний атомов в кристаллах, при квантово-механическом изучении движения электронов в периодическом
поле.
g=д=…,
дл “=м%“2% 2ель…%L !=K%2/
Задание 3-1.
Вычислить постоянную Маделунга «М» для бесконечной
плоской двумерной сетки из положительных и отрицательных
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ион
нов, представлен
нной наа рис. 3.2
2.1. Вырразить ээту посттоянную
ю
черрез рассттояние между
м
бллижайш
шими сосседями А
АВ. Рекоменду-етсяя принимать во вниман
ние ближ
жайшие группы ионов, окружа-ющ
щих данн
ный отри
ицательн
ный ион, и в окоончателььном реззультатее
ограничитьься четыррьмя знаачащими
и цифрам
ми.
Вычисллить даллее полн
ную энер
ргию кри
исталличческой решетки
р
и
е
имееется 2N
N ионов на
н равно
овесных расстояяниях r0, причем
м
U, если
заряяд каждого ионаа равен q. Принять, чтто междуу ионами
и дейст-вую
ют кулон
новские силы притяже
п
ения, а потенци
п
иальная энергияя
отталкиван
ния межд
ду ближаайшими соседям
ми равнаа K/rn.
ию заданния
Указаниия и пояснения к решени
Полную
ю энерггию кри
исталлич
ческой решетки
и в состоянии
и
равновесияя можно представить в виде:
NMq 2 NK
U r   
 n ,
4 0 r
r
(3-1.1))
где М – поостояннаая Мадеелунга, К – посттоянная,, котораая нахо-ия.
диттся из условия раавновеси
Рис. 3.2.11. Двумеррная схема положения взаим
модействуующих ио
онов
Вычислление постоянн
ной Мад
делунга M  
i
1
(«+1» – дляя
ri
полложителььных иоонов, «–1»
«
– для
д
отрицательн
ных) пр
роведем
м
снаачала дляя квадраатной грруппы EF
FGH бли
ижайши
их соседеей, при-чем
м от атом
мов, леж
жащих наа ребрах
х, входитт толькоо по поло
овине, а
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
от лежащих на вершинах – по четверти. АВ можно принять за
единицу. Вообще говоря, 1.5 < M < 2. Тогда:
M1 
4 2 44

 1.2929.
1
2
Рис. 3.2.2. Верхний график соответствует зависимости потенциальной энергии взаимодействия  1/rn, нижний график соответствует зависимости потенциальной энергии взаимодействия  1/r, средний график – результирующая
потенциальная энергия, соответствующая выражению
(3-1.1)
Однако это приближение грубое и надо учесть следующую
квадратную группу KLMN. Предыдущая квадратная группа
EFGH теперь считается целиком:
4 4  8 2 4 2 4 4


M2   

  1.6069.
2
2  5
8
1
Аналогично:
 8 4 4  4 2 8 2 8 2 4 4 
M 3  1.1716  
 




  1.6105.
8  3
13
10
18 
 5 2
4
M 4  1.1716  0.1635   
3
8 2 8 2 4 2 8 2





4
25
20
 17
39
8
8
44



13
10
18 
44
  1.6135.
32 
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В рационализированной системе единиц МКС
NMq 2 NK
 n (см. выше).
U r   
4 0 r
r
Величину К можно выразить из условия минимума U(r) при
r = r0 (см. средний график на рис. 3.2.2):
 dU 
NMq 2 nNK

0,

 r r0 
4 0 r02 r0n1
 dr 
(3-1.2)
Mq 2 r0n1
NMq 2 
1
K
, U  r0   
1  .
4 0 n
4 0 r0 
n
(3-1.3)
откуда:
j%…2!%ль…/е "%C!%“/
1. Дать представление о прямой решетке и ее связи с симметрией твердого тела.
2. Дать представление об обратной решетке.
3. Какая математическая операция приводит к понятию
обратной решетки?
4. Дать представление о пространстве волновых векторов.
5. Написать выражения для обратных векторов и для объема
элементарной ячейки.
4. p=“C!%“2!=…е…, е “"е2=
" , %……/. *!, “2=лл=.
4.1. l, *!%“*%C, че“*= 2е%!,
%C2, че“*, . "е2"еL *%леK=…, L
Большинство диэлектриков – ионные кристаллы. Кулоновские силы играют роль на больших расстояниях, на малых расстояниях основной вклад дает отталкивание за счет обменного
взаимодействия. Суммарный электрический заряд элементарной
ячейки равен нулю. Отклонения ионов из положений равновесия,
соответствующих минимуму потенциальной энергии, приводят к
появлению упругих и электрических сил, возвращающих ионы в
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
равновеесие. Прри длин
нноволн
новых колебани
к
иях (акуустическких)
ионы, входящи
в
е в состаав одной
й элемен
нтарной ячейки, смещаю
ются
одинакоово, ее электри
ическая нейтрал
н
н наруушается и в
ьность не
колебан
ниях учааствуют только упруги
ие силы. Оптичееские ко
олебания, связанны
ые с отн
носителььным пееремещеением эллектричеески
нных ион
нов, облладают рядом
р
особенносстей.
заряжен
Расссмотрим
м для прростоты кристал
ллы куб
бической
й сингон
нии,
содержаащие поо два иона
и
в элемента
э
арной ячейке, ттипа: NaCl,
Na
CsCl, ZnnS и др.
Рис. 4.1.11. Структуура решеттки типа NaCl
N
Буд
дем исслледоватьь длиннооволновы
ые (ka >>
> 1) элеементарные
возбужд
дения. Относите
О
ельно тааких возб
буждени
ий кристталлы ку
убической сингони
ии изотрропны. При
П иссл
ледовани
ии длинн
новолновых
дений кристалл
к
л можноо рассмаатриватьь как неепрерывн
ную
возбужд
среду и использзовать макроско
м
опическо
ое описан
ние.
Ввеедем  R  R  – относиттельные смещен
ния полоожительн
ных
и отриц
цательны
ых ионоов, соотвветствен
нно. Отн
носителььное дви
ижение харрактериззуется приведен
п
нной маассой m 
m m
. Если  –
m  m
объем элемента
э
арной яч
чейки, тоо  =m/
 – плоттность приведен
нной
массы. Вектор
В
с
смещени
ия введем соглассно:
   R  R   .
Тоггда кинеттическаяя энергия относи
ительногго движеения:
41
(4.1.1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
K   2 ,
2
(4.1.2)
а плотность потенциальной энергии упругих сил:
1
U el   2 2 .
2
(4.1.3)
В ионных кристаллах наряду с упругими силами F   2 ,
пропорциональными смещениям, играют роль электрические
силы взаимодействия между ионами. Смещения ионов создают
электрическую поляризацию, последняя вызывает появление
поля, которое взаимодействует с ионами. Удельная поляризуемость P обусловлена как смещением ионов, так и внутренней
поляризацией ионов (смещение электронов относительно ядер)
под действием электрического поля. Следовательно:
P   12   22 E ,
(4.1.4)
где 12, 22 – параметры, определенные ниже. Плотность потенциальной энергии, связанная с поляризацией:
E
1
U p    PdE  (  12 E   22 E 2 ) .
2
0
(4.1.5)
Складывая (4.1.3) и (4.1.5), получим плотность потенциальной энергии:
U
1 2 2
   2 12 E   22 E 2  .

2
(4.1.6)
Из (4.1.2) и (4.1.6) следуют уравнения движения:
1
1
L  K  U   2    2 2  2 12 E   22 E 2 
2
2

   2   22 E .
Часть удельной поляризации, обусловленная
внутренней поляризуемостью ионов, равна:
P   22 E .
42
(4.1.7)
(4.1.8)
только
(4.1.9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С другой стороны, эту же величину можно определить
формулой:
P 
  1
E.
4
(4.1.10)
Заметим, что имеет место соотношение  = 1 + 4, где  –
поляризуемость. Формула (4.1.10) выражает удельную поляризацию через поляризуемость кристалла при частотах, меньших частот собственных колебаний электронов в ионах ( 1015 с-1), но
больших частот колебаний ионов ( 1013 с-1). Сравнивая (4.1.9) и
(4.1.10), получаем:
 22 
  1
.
4
(4.1.11)
Для определения второго параметра 12 в (4.1.4) и (4.1.6)
примем во внимание, что в статическом поле E0 согласно (4.1.8)
ионы смещаются на величину 0   12 E0  2 . При этом, согласно
(4.1.4), возникает удельная поляризация:
P0    122  2   22  E0 .
(4.1.12)
Сравнивая это значение с удельной поляризацией, выраженной через поляризуемость  (и диэлектрическую проницаемость
0) в статическом поле:
P0 
0  1
E ,
4
(4.1.13)
получим с учетом (4.1.11):
 12  
 0     .
4
(4.1.14)
Исследуем теперь собственные длинноволновые оптические
колебания ионов (т. е. колебания без внешних сил), соответствующие определенному значению k (ka << 1). В изотропной
среде такие колебания подразделяются на продольные l / / k и
поперечные  t  k . Если не учитывать запаздывания взаимо43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
действия, переносимого поперечным электрическим полем Et , то
при поперечных колебаниях Et  0 и уравнение движения

t   2t  0, t  t( 0 ) exp  it t  , t   .
(4.1.15)
Таким образом, частота собственных поперечных колебаний
ионов (без учета запаздывания взаимодействий) определяется
только упругими силами.
Для продольных колебаний ионов векторы l, Pl , El параллельны и уравнения (4.1.4) и (4.1.8) принимают вид
Pl   12l   22 El ,

 l   2 l   12 El  0 .
(4.1.16)
(4.1.17)
Средняя плотность электрических зарядов в кристалле равна
нулю, поэтому div  E  4 P   0 . Для продольных составляющих
из этого равенства следует
El  4 Pl  0
(4.1.18)
С помощью (4.1.16) и (4.1.18) можно исключить из (4.1.17) продольное поле El и получить уравнение собственных продольных
колебаний ионов

l  l2l  0, l  l( 0 ) exp  il t  ,
(4.1.19)
4 122

где    
 0  t2 – квадрат частоты продольных коле1  4 2  
2
l
2
t
баний.
Итак, частоты длинноволновых продольных и поперечных собственных колебаний ионов связаны простым соотношением
(соотношение Лиддена – Сакса – Теллера):
l  t
0
,

(4.1.20)
определяющее продольно-поперечное расщепление фононов.
В табл. 4.1.1. приведены значения t, 0,  для некоторых
ионных кристаллов.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 4.1.1
Частоты поперечных колебаний ионов в кристаллах
Кристалл
t, 1013 сек-1
0

NaСl
КСl
ТlСl
ZnS
3,09
2,67
1,61
5,71
5,62
4,68
31,9
8,3
2,25
2,13
5,10
5,07
Рассмотрим теперь вынужденные колебания ионов кристалла под
влиянием внешнего поперечного поля E(t) = E(0)exp(-it) заданной частоты . В этом случае уравнение (4.1.8) принимает
вид

   2   12 E ( t ) .
(4.1.21)
Положив   0 exp( it ) , получаем решение для вынужденных
колебаний:
 
 12
 2  2
E ( t ) .
(4.1.22)
Теперь с помощью (4.1.4) можно определить удельную
поляризацию, возникающую в кристалле под влиянием внешнего
поля E(t) частоты :
  122


P ( t )   2

E (t ) .
22 
   2
 


(4.1.23)
С другой стороны, удельная поляризуемость определяется диэлектрической проницаемостью () с помощью соотношения
P ( t ) 
( )  1
E ( t ) .
4
(4.1.24)
Сравнивая (4.1.23) и (4.1.24), получаем при учете (4.1.11), (4.1.14)
и (4.1.20):
2
2
 0     t2    l   

(  )   

2
2
2
2
t  
45
t  
(4.1.25)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из (4.1.25)) следуеет, что нуль
н
ди
иэлектри
ической проницаемости
и
сооответствуует собсственным часто
отам проодольны
ых колеб
баний, а
поллюс – часстотам поперечн
п
ных колеебаний.
На рисс. 4.1.2 изображе
и
ена зави
исимостьь диэлекктрическкой про-ниц
цаемости
и от частоты.
ч
Диэлеектричесская проницаем
мость с
пом
мощью уравнени
у
ий Макссвелла определя
о
яет закоон прохо
ожденияя
элекктромаггнитных волн зад
данной частоты
ч
через крристалл.
Рис. 4.1.22. Зависим
мость диээлектричееской прооницаемоости , кввадратов покказателя преломлеения n2 и коэффициента поглоп
2
щения  от часттоты
В кристталле пллоская воолна часстоты  должна
д
иметь ви
ид:
E ( r ,t )  E0 exp i  kr   t   ,
(4.1.26))
где волновоой вектоор k зави
исит от частоты:
ч
:
k 
2
2
c2
( ).
(4.1.27))
Поллагая k  k1  ik2 и ввоодя покказатель прелом
мления n() и
коэффициент поглоощения (), с помощью
п
ю соотноошения
 k1  ik 2  
2
2
c
n  i 
2 
2
(4.1.28))
(
п
получаем
м
из (4.1.27)
n2 – 2 = (),
)
46
n = 0.
(4.1.29))
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следовательно, при () > 0 и  = 0 – n(  )   (  ) , поэтому
плоская волна (4.1.26) распространяется с вещественным
волновым вектором
k1 

c
 (  ), k2  0 .
(4.1.30)
При () < 0, n = 0 и  (  )   (  ) плоская волна (4.26) распространяется с мнимым волновым вектором
k1  0, k2 

c
 (  ) ,
(4.1.31)
т. е. в области частот , при которых () < 0, при прохождении
электромагнитной волны в кристалле ее амплитуда экспоненциально уменьшается.
4.2. l=*!%“*%C, че“*= 2е%!,
C%л !, 2%…%"
При исследовании поперечных оптических фононов в предыдущем параграфе мы учитывали только статическое кулоновское
взаимодействие между ионами. Запаздывающее взаимодействие
переносится поперечными электромагнитными волнами, которые
порождаются при поперечных оптических колебаниях ионов.
Взаимодействие квантов свободного электромагнитного поля –
фотонов и фононов поперечных оптических колебаний – особенно велико, когда их энергии и волновые векторы почти равны.
В этих условиях стационарным состояниям кристалла отвечает
«смесь» фононов и фотонов. Эти новые элементарные возбуждения были названы поляритонами.
Макроскопическая теория поляритонов в изотропных средах
может быть развита, если при исследовании поперечных колебаний ионов в уравнениях (4.1.4) и (4.1.8) мы сохраним поперечное
поле

 t   2 t   12 Et  0
Pt   12t   22 Et
и дополним их уравнениями Максвелла
47
(4.2.1)
(4.2.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
rot H 
1 
 t  , rot Et   1 H ,
Et  4 P

c
c
div H  0, div  Et  4 Pt   0,
(4.2.3)
(4.2.4)
связывающими поперечные поля H , Et с поперечной удельной
поляризуемостью. Для поперечных полей уравнения (4.2.4)
удовлетворяются автоматически. Решение системы уравнений
(4.2.1) – (4.2.4) будем искать в виде
H

Ex
P
 x  x  y  exp i  kz  t   ,
Ex0 Px0  x0 H y0
(4.2.5)
тогда получим систему уравнений
 t2   
2
x
  12 Ex  0, kEx 
Px   12 x   22 Ex , kH y 

c

c
Hy,
 Ex  4 Px  .
(4.2.6)
(4.2.7)
Условие нетривиальной разрешимости этой системы сводится к
равенству
c2k 2
2

 122 
 4   22  2
 1.
2 



t


(4.2.8)
Подставив значения (4.1.11), (4.1.14) и (4.1.20), получим
окончательно
c2k 2
2

   l2   2 
t2   2
.
(4.2.9)
Правая часть этого равенства совпадает с диэлектрической поляризуемостью () кристалла (4.1.25), вычисленной без учета запаздывания взаимодействия.
Уравнение (4.2.9) позволяет вычислить значение волнового
вектора k как функцию заданной вещественной частоты .
В этом случае оно определяет условие прохождения через кристалл электромагнитной волны определенной частоты. С другой
стороны, решая уравнение (4.2.9) относительно , мы определим
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
частоты новых элементарных возбуждений – поляритонов – как
функцию вещественного волнового вектора к. Относительно 
уравнение (4.2.9) четвертого порядка
  4   2    l2  k 2c 2   k 2c 2t2  0.
(4.2.10)
Если учесть равенство (4.1.20), то его решения можно записать в
виде
2
2 1,2
 t2 0  c 2 k 2 
 t20  c2k 2   4t2c2k 2  . (4.2.11)
2
При малых значениях k два решения (4.2.10) принимают вид
0 c2k 2
c2k 2
2

 l 
 (k )
,
 

2
2
2
t
(4.2.12)
12 ( k )  c 2 k 2  0 .
При больших значениях k ( k  
0
c
), еще удовлетворяю-
щих условию макроскопического описания (kа < 1),
 
2
2
c2k 2

, 12   t2 .
(4.2.13)
Таким образом, имеются две ветви элементарных возбуждений
(поляритонов): первая ветвь с частотами в интервале 0  1(k) < t
и вторая ветвь с частотами в интервале Ωl  2(k) < . При
больших значениях k возбуждения первой ветви совпадают с
поперечными фононами, а возбуждения второй ветви – с фотонами
в среде с диэлектрической проницаемостью . Однако в окрестности значений k =  0 t / c поляритоны представляют собой
весьма сложную «смесь» фотонов и фононов.
На правой половине рис. 4.2.1 изображены две ветви частот
поляритонных возбуждений, на левой половине этого рисунка
показано, как проявляются эти возбуждения на значениях показателя преломления n и коэффициента поглощения электромагнитных волн заданной частоты , распространяющихся внутри
кристалла. Таким образом, поляритонные возбуждения являются
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
не чем ины
ым, как стацион
нарными
и электрромагниттными волнами
в
и
внуутри кри
исталла. Энерги
ия этих волн есстествен
нно вклю
ючает и
энергию пооляризац
ционныхх колебан
ний криссталла.
Рис. 4.2.11. Зависим
мости частот 1 и 2 двухх ветвей
п
полярито
онных

возбуж
ждений отт волновогго векторра k (спррава) и кввадратов показателяя преломления n2 и ккоэффици
иента
щения 2 от
о частоты
ы  (слева)
поглощ
В облаасти прозрачности кри
исталла поляриттоны (б
большихх
ин) тожд
дественн
но совпаадают с фотонам
ми в кри
исталле, так какк
дли
отлличаютсяя от своб
бодных фотоновв той жее частотты толькко мень-шей
й (в n рааз) длин
ной волн
ны. Перввая поляяритоннаая ветвьь описы-ваетт фотон
ны с часстотами, меньш
шими t, а вторрая – фо
отоны с
часттотами, превыш
шающими
и l.
ном нам
ми случ
чае не учитывал
у
лась ди
исперсияя
В расссмотренн
поп
перечныхх фонон
нов. Далеее следу
ует иметьь в видуу, что: 1) форму-ла (4.1.25)
(
справедлива толлько внее области поглощ
щения (  t).
Поээтому наайденны
ые поляритонныее ветви соответс
с
ствуют электроэ
маггнитным
м волнам
м в кристталле в области
о
п
прозрач
ности. При
П уче-те конечно
к
го времеени жиззни попееречных фононоов и пол
ляритон-ныее состоян
ния будуут облад
дать конеечным временем
в
м жизни;; 2) мак-росскопичесская диэллектрическая пр
роницаем
мость оп
пределен
на толь-ко для
д криссталлов достаточно больших раазмеров по сравн
нению с
дли
иной элеектромаггнитногоо излучеения. Пооэтому о поляри
итонныхх
состтоянияхх можно говоритть только
о в случ
чае кристталлов, размеры
р
ы
котторых боольше дллины воллны излу
учения; и, након
нец, 3) в преды-дущ
щих расссуждениях предп
полагало
ось, что электроомагнитн
ное полее
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
находится внутри кристалла и не покидает его. Это справедливо
только для кристаллов, окруженных идеальными зеркалами или
имеющих бесконечные размеры. Из кристаллов конечных
размеров электромагнитное поле излучается. Это приводит к
дополнительному сокращению времени жизни поляритонов.
4.3. j"=…2%"= 2е%!,
C%л !, 2%…%"
Поляритоны представляют собой элементарные возбуждения
ионных кристаллов, в которых участвуют поперечное электромагнитное поле и относительные смещения ионов. Смещения
ионов из положений равновесия создают в кристалле поляризацию. Кроме того, поляризация кристалла возникает и при закрепленных ионах при смещении их электронов относительно ядер.
Эта электронная поляризация кристалла в области частот колебаний ионов характеризуется диэлектрической проницаемостью .
МЫ учтем электронную поляризацию, если будем считать, что
электромагнитные волны распространяются в кристалле, как в
непрерывной среде с диэлектрической проницаемостью . Следовательно, их скорость, в отличие от скорости света в пустоте
«с», будет равна с   .
Чтобы провести квантование такого поля, рассмотрим
плотность функции Лагранжа
Lf 
1
 E 2  H 2  ,

8
(4.3.1)
где E и H – напряженности электрического и магнитного полей,
которые выражаются через векторный потенциал A с помощью
равенств
1
E   A, H  rot A, div A  0.
c
(4.3.2)
Учитывая, что
L f
 
A
1
rot rot A ,
4
(4.3.3)
и вычисляя уравнения Лагранжа, получаем первое уравнение
Максвелла
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  E
c t
 rot H .
(4.3.4)
Три других уравнения Максвелла следуют автоматически из
равенств (4.3.2)
1 H
 rot E , div H  div E  0.
c t
(4.3.5)
Из (4.3.3) и (4.3.2) находим уравнение движения для векторного
потенциала
2
A  c  2 A  0 .

(4.3.6)
Согласно (4.3.1) обобщенный импульс B , сопряженный векторному потенциалу, определяется выражением
L

B   f   2 A .
A 4 c
(4.3.7)
Функция Гамильтона, выраженная через векторный потенциал и
обобщенный импульс, принимает вид
Wf 
1
8
 2 c 2
2
2
3
   E  H  d r   
 
B2 

1
( rot A )2 d 3 r.
8

(4.3.8)
Будем предполагать, что кристалл кубической сингонии с
постоянной решетки а имеет форму куба с ребром L и объемом
V = L3a3. На электромагнитное поле, заключенное в кристалле, и
на смещения ионов накладываются циклические граничные
условия. Тогда можно провести фурье-преобразования
A  r ,t  
B  r ,t  
1
V
e  Q  A  ( t )e



1
V
 e  Q  B   t  e
iQr
, AQ  A *Q  ,
(4.3.9)
iQr
, BQ   B *Q  ,
(4.3.10)
Q
Q,
Q
Q,
где компоненты волнового вектора Q пробегают бесконечный
ряд дискретных значений
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 l
,l  1,2,3; l  0,1,2......
L
Ql 
(4.3.11)
e  Q  – единичные векторы поляризации волн, удовлетворяющие
условиям
Qe  Q   0, e  Q  e  Q     ,  ,   1,2.
(4.3.12)
Векторный потенциал (4.3.9) удовлетворяет уравнению (4.3.6),
если AQ  ( t ) изменяются во времени по гармоническому закону
AQ   t   AQ   0  e
 i Q t
, Q2 
c2

(4.3.13)
Q2
Переход к квантовому описанию состоит в замене AQ и BQ операторами, удовлетворяющими перестановочным соотношениям



A
Q '  '  t  ,B Q '  '  t   i  QQ '   '


(4.3.14)


В представлении чисел заполнения операторы AQ  и BQ  выражаются через бозе-операторы рождения a  Q  и уничтожения aQ 
элементарных возбуждений электромагнитного поля (фотонов)

AQ 

2  c 2
Q 
a
Q

Q
 a
,

BQ 
i
 Q  
 a Q  aQ  .
8 c 2
(4.3.15)
При этом
 aQ  ,aQ11    Q1 ,Q  ,1 ,  aQ  ,aQ11   0.
(4.3.16)
Проведя преобразования (4.3.15) в (4.3.9) и (4.3.10), получим операторы векторного потенциала и сопряженного к нему обобщенного импульса
A  r ,t   
2  c 2
e  Q  eiQr  aQ   aQ   ,
V Q  
B  r ,t   i 

 Q 
e  Q  eiQr  a  Q   aQ   .
2
8 c V
Q ,
Q ,
53
(4.3.17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Переходя в (4.3.8) к операторам (4.3.17), интегрируя по объему
кристалла и учитывая равенство
Qe   Q   Qe 1  Q    Q 2 1 ,
(4.3.18)
получим гамильтониан электромагнитного поля в кристалле
1

H    Q  aQ  aQ   .
2

Q ,
(4.3.19)
Оператор напряженности электрического поля
E  r ,t   i 
Q ,
2  Q
V
e  Q  eiQr  aQ   aQ  
(4.3.20)
получается из (4.3.2) при переходе к операторам (4.3.17).
В изотропной среде электромагнитные волны поперечны и
взаимодействуют только с поперечной поляризацией кристалла.
Пусть P – вектор удельной поляризации, обусловленной только
смещением ионов из положений равновесия. Тогда плотность
энергии взаимодействия поля поперечной поляризации с полем
напряженности E будет
U int  PE .
(4.3.21)
Пренебрегая дисперсией частот t поперечных оптических
колебаний, можно записать плотность кинетической и потенциальной энергии поля поляризации кристалла в виде
1 2
1
K  P
, U  t2 P 2 .
2
2
(4.3.22)
Параметры , t, входящие в (4.3.22), будут определены ниже.
Итак, плотность функции Лагранжа для поля поляризации
кристалла, взаимодействующего с электромагнитным полем,
согласно (4.3.22) и (4.3.21) определяется выражением
1 2
Lp    P
 t2 P 2   PE .
2
(4.3.23)
С помощью (4.3.23) находим уравнения Лагранжа для поля
поляризации
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 P 2   t2 P   E .
(4.3.24)
Таким образом, в отсутствие поля E собственные колебания
вектора поляризации удовлетворяют уравнению
P   t2 P  0 ,
(4.3.25)
из которого следует, что величина t является собственной частотой поперечных колебаний поляризации. В статическом поле
E  E0 согласно (4.3.24) при смещении ионов возникает
поляризация
P0  E0 t2 .
(4.3.26)
Если 0 – диэлектрическая проницаемость кристалла в статическом поле, то удельная поляризация P0 определяется также
равенством
P0 
0  1
E0 .
4
(4.3.27)
Из этих выражений несложно получить:

4
.
t2   0    
(4.3.28)
Плотность функции Лагранжа электромагнитного поля и
поперечной поляризации равна сумме (4.3.1) и (4.3.23), т. е.
L
1    2
1 2
1 
2
P  t P 2   PA.

 2 A   rot A   
8  c
c
 2
(4.3.29)
Сопряженные импульсы B и  к векторному потенциалу A и
поляризации P определяются по общим правилам
L

1
L

B     2 A  P ,  
  P.
A 4 c
c
P
(4.3.30)
Следовательно, плотность функции Гамильтона
 piqi  L 
i
1
8
1 2
2
  2
  t2 P 2  .
 2 A   rot A      P
c
 2
55
(4.3.31)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Чтобы облегчить переход к квантовому описанию, надо в этом
выражении обобщенные скорости заменить с помощью (4.3.30)
обобщенными импульсами. Тогда получим полную функцию
Гамильтона при интегрировании по объему кристалла
W = Wf + Wp + Wint ,
(4.3.32)
 2 c 2 2  rot A 2 
Wf   d r 
B 
,
8 
  
Wp 
3
(4.3.33)

 n2   2t2 Pn2  ,

2 n
(4.3.34)
Wint 
4 c

B P
n
n
,
(4.3.35)
n
где  – объем элементарной ячейки кристалла; Pn ,  n – значения
удельной поляризации и сопряженного к ней импульса для n-й
ячейки кристалла.
Выражение (4.3.23) совпадает с (4.3.8). Как было показано
выше, заменяя A и B операторами (4.3.17), мы преобразуем его в
оператор Гамильтона (4.3.19).
Функция Гамильтона поля поляризации (4.3.34) преобразуется в оператор Гамильтона
H p 
  l  bk bk  1 2 

(4.3.36)
k ,
при замене Pn ,  n – операторами

Pn 

n  i

2 V l
  l
2V
 e  k e  b   b   ,
(4.3.37)
 e  k  e  b   b   .
(4.3.38)
ikn
k

k
k,
 ikn

k
k
k,
В (4.3.36) – (4.3.38) суммирование выполняется по всем N значениям вектора k , лежащим в первой зоне Бриллюэна, и по двум
значениям , характеризующим две возможные поляризации
поперечных колебаний ионов.
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Наконец, переходя в (4.3.35) к операторам (4.3.17) и (4.3.37),
получим оператор взаимодействия поля поляризации и
электромагнитного поля:
H int    Dk  a k ,  ak,  bk ,  bk ,  ,
(4.3.39)
k ,
где
D k   D k*  
i tQ   0    
, k  Q.
2
 0 
(4.3.40)
Из (4.3.39) следует, что фотоны с волновыми векторами Q ,
лежащими вне первой зоны Бриллюэна, не взаимодействуют с
фононами оптических поперечных колебаний ионов в кристалле.
Опуская энергии нулевых колебаний и часть oпeрaтoрa Hf с
векторами Q , не попадающими в первую зону Бриллюэна, можно
записать оператор Гамильтона системы взаимодействующих
поперечных фотонов и фононов в виде:
H
1
 H k , ,
2 k ,
(4.3.41)
где
H k   k  ak ak  ak a k    l  bk bk  bk b k  
(4.3.42)
 Dk  ak  a k  bk  bk    ak  a k  b k  bk  
В изотропных кристаллах k и Dk не зависят от индекса поляризации , ниже для упрощения записи мы будем этот индекс
опускать.
Диагонализация оператора (4.3.42) осуществляется каноническим преобразованием к новым бозе-операторам:
   u 1ak  u 2bk  v 1ak  v 2bk ,
 = 1, 2,
(4.3.43)

где ui и vi – четыре вещественные четные функции k , которые
выбираются так, чтобы оператор (4.3.42) принял вид:
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
H k      k      E0
(4.3.44)
 1
и операторы  удовлетворяли бозевским перестановочным
соотношениям
   ,  1     1 .
(4.3.45)
Подставив (4.3.43) в (4.3.45) и учтя коммутацию операторов
фононов с операторами фотонов, получим систему уравнений
2
  u u
i 1
l
1l

 vl v1l   1
(4.3.46)
Значения   в (4.3.44) для каждого k в первой зоне Бриллюэна
соответствуют энергии новых элементарных возбуждений – поляритонов. Для определения   вычислим коммутатор [, Hk]
двумя способами: а) подставим в коммутатор значение (4.3.44),
тогда
   ,H k      k    ,
(4.3.47)
б) подставим в коммутатор значения (4.3.42) и (4.3.43), тогда
1
  ,H   u   Dk  u 2  v 2   ak  u 2l  Dk  u 1  v 1   bk 
   k   1 k
 v 1k  Dk  u 2  v 2   ak  v 2l  Dk  u 1  v 1   bk
(4.3.48)
Сравнивая (4.3.47) с (4.3.48) при учете (4.13.43), находим систему
уравнений




 k  u 1  Dk  u 2  v 2  ,
  l  u 1  Dk  v 1  u  1  ,




 k  v 1  Dk  u 2  v 2  ,
  l  v 2  Dk  u 1  v 1  .
(4.3.49)
Из этих уравнений следуют равенства
v 1 
   k
  
u 1 , v 2  l
u ,
   k
 l    2
58
(4.3.50)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
позволяющие исключить v1 и v2. Таким образом, получаем
систему двух однородных уравнений


 k    l  u 1  2 l Dk u 2  0,
2k Dk u 1    k    l  u 2  0.
(4.3.51)
Условие разрешимости этой системы сводится к уравнению
 2 c 2 k 2  t2c 2 k 2
0,
   l 



 


4
2
(4.3.52)
определяющему две ветви новых элементарных возбуждений
2  k  
1  2
2 2
 t  0  c k 
2  
 
0
2
t
2

 c 2 k 2   4t2c 2 k 2   .

(4.3.53)
Эти значения в точности совпадают с решениями (4.2.11), полученными в классической теории.
Решая уравнение (4.3.52) относительно c2k2 при фиксированной частоте , определим диэлектрическую проницаемость
кристалла
   
c2k 2
2

    l2   2 
 t2   2
,
(4.3.54)
характеризующую отклик кристалла на внешнее воздействие.
Выражение (4.3.54) имеет смысл и для частот , лежащих в области
«щели» (t <  < l) в спектре поляритонов. В этой области

k является чисто мнимым и определяет закон убывания амплитуды плоской волны частоты  при ее прохождении в кристалле.
При учете (4.1.20) диэлектрическая проницаемость (4.3.54)
преобразуется к виду
   
c2k 2
2

    l2   2 
 t2   2
 l2   0    

  .
 t2   2
59
(4.3.55)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
j%…2!%ль…/е "%C!%“/
1. Пояснить микроскопическую теорию оптических ветвей
колебаний.
2. Представить основные положения макроскопической теории поляритонов.
3. Провести анализ дисперсионного соотношения в различных предельных случаях.
4. Пояснить характерную зависимость двух ветвей поляритонов.
5. Представить основные положения квантовой теории поляритонов.
6. Записать функцию Гамильтона для кристалла, взаимодействующего с электромагнитной волной.
7. Записать функцию Гамильтона в представлении операторов.
8. Провести линеаризацию гамильтониана.
5. oл=ƒме……/е "%л…/ " 2"е!д/. 2ел=.
5.1. b"еде…, е
В предыдущих главах рассматривались элементарные возбуждении в твердых телах, связанные с коллективными движениями нейтральных атомов, молекул или тяжелых ионов. Квантами этих элементарных возбуждений являются фононы. Рассмотрим теперь элементарные возбуждения, связанные с коллективным движением электронов относительно тяжелых ионов в твердых телах, эти элементарные возбуждения обусловлены кулоновским взаимодействием между электронами и положительными ионами. Им соответствуют продольные волны, которые
получили название плазменных волн. Кванты плазменных волн
называют плазмонами.
Плазменные колебания не очень высоких частот возникают в
металлах и полупроводниках, т. е. в твердых телах, имеющих слабосвязанные с ионами электроны. В основном состоянии электроны полностью компенсируют положительный заряд ионов и
каждая элементарная ячейка кристалла нейтральна. Пусть 0 –
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
среднее число электронов в единице объема кристалла, соответствующее такому нейтральному состоянию. Отклонение числа
электронов  от среднего значения 0 приводит к нарушению
нейтральности и появлению электрических сил, восстанавливающих равновесие. Так возникают колебания плотности электронов
относительно среднего значения 0.
В простейшей теории плазменных колебаний в твердых
телах, развитой Д. Бомом и Д. Пайнсом и в ряде последующих
работ, положительные ионы твердого тела заменяются однородно
распределенным положительным зарядом с плотностью, равной
средней плотности заряда электронов. Такая модель твердого
тела называется моделью «желе». Валентные электроны и
электроны проводимости рассматриваются как электронный газ,
разрежения и сжатия которого относительно среднего значения
приводят к продольным колебаниям. Плотность электронов в
твердом теле порядка 1023 см-3 в отличие от малой плотности
электронов (~ 1012 см-3) в обычной газовой плазме. При большой
плотности электронов кинетическая энергия их нулевого движения значительно превышает энергию теплового движения,
поэтому последнее не принимается во внимание.
5.2. nK?, е C!ед“2="ле…, % Cл=ƒме……/. *%леK=…, .
" *%…де…“, !%"=……/. “!ед=.
Электроны, находящиеся вблизи дна зоны проводимости,
движутся на фоне положительных ионов, которые можно считать
неподвижными.
В
среднем
сохраняется
электрическая
нейтральность, однако, если возникают флуктуации электронной
плотности, появляются и сильные электрические силы,
стремящиеся восстановить нейтральность, но приводящие лишь к
колебаниям. Это легко пояснить, рассматривая электронный газ
как сплошную среду со средней плотностью «n0» и записывая
уравнения движения электрона в присутствии электрического
поля E :
m*
dv
 eE .
dt
61
(5.2.1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поля здесь считаются такими, что применимо приближение
эффективной массы. Уравнение Пуассона дает:
E 
4 e

 n  n0  ,
(5.2.2)
где  – соответствующая диэлектрическая проницаемость, а «n –
n0» – флуктуация электронной плотности. Наконец, если число
электронов сохраняется, то можно записать уравнение непрерывности:
dn
   nv  .
dt
(5.2.3)
Рассматривая слагаемые типа vn как величины второго
порядка, из этих трех уравнений легко получаем:
dn
 vn  nv  n0v ,
dt
2
d 
d 2n
d
 e
 4 e n0
 n0  v   n0  v   n0 
E
 n  n0  . (5.2.4)
dt 2
dt
dt
m*

m*




Оно описывает гармонические колебания плотности электронов с
частотой, которая дается соотношением
4 e 2 n0
,
 
 m*
2
p
(5.2.5)
где p – плазменная частота. В приведенном выводе мы не учитывали чисто упругих сил, с расширением и сжатием электронного газа, рассматриваемого как нейтральная система частиц.
Если учесть эти упругие силы, то появляются решения в виде
бегущих волн флуктуаций плотности, закон дисперсии которых
имеет вид:
 2  q    p2  v2  q  q 2 ,
(5.2.6)
где v  q  – скорость акустических волн в электронном газе. Квантование приводит к появлению плазмонов, причем энергия плазмона равна    q  .
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для установления плазменных колебаний необходимо, чтобы
выполнялось следующее условие:
p  1,
где  – время между столкновениями. Так как в полупроводниках
  10–13 – 10–15 с, это условие обычно выполняется в полупроводниках при концентрациях носителей, превышающих 1018 см–3.
Практически такие условия осуществимы в узкозонных полупроводниках или в особых случаях широкозонных полупроводников,
например при облучении мощным лазером или при очень сильном легировании.
5.3. Šе%!,
Cл=ƒме……/. "%л… " *!, “2=лл=.
Рассмотрим длинноволновые плазменные колебания в изотропном кристалле. Для длинноволновых колебаний электроны
можно рассматривать как непрерывную среду. Изменение плотности электронов относительно среднего значения 0 можно
записать в виде:
  r ,t    0   0 div R  r ,t  ,
(5.3.1)
где R  r,t  – вектор малого смещения электронного газа из своего
нормального положения. Если e – единичный положительный
заряд, то изменение плотности электрического заряда
    r ,t   0  e 0 div R  r ,t  .
(5.3.2)
Изменение плотности электронов нарушает нейтральность. Появляется электростатический потенциал   r ,t  , удовлетворяющий
уравнению Пуассона:
 2  r ,t   4  4 e div R  r ,t  .
(5.3.3)
Потенциальная энергия, возникающая при смещении электронов,
будет слагаться из изменения упругой и электростатической
энергий:
U
1 
2
  div R     d ,


2 
63
(5.3.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где  – модуль упругости электронного газа без учета зарядов.
Мы рассматриваем только продольные смещения, т. е. полагаем
rot R  0. Если т – масса электрона, то кинетическая энергия
смещений электронов:
K
m 0  2
R  r ,t  d
2 
(5.3.5)
Предположим, что кристалл имеет форму куба со стороной L
и объемом V = L3. Для удобства введем циклические граничные
условия. Тогда волновые функции:
1
exp  ikr  ,
V
 k r  
(5.3.6)
где компоненты kx имеют значения 2lx/L (lx = 0, 1, …) и образуют полную ортонормированную систему функций. Разложим
смещения R  r ,t  по этой системе ортонормированных функций:
R  r ,t  
1
V
 A  t  e  k  exp  ikr  ;
k
(5.3.7)
k
здесь e  k  – единичный вектор
удовлетворяющий условиям:
продольной
e 2  k   1, e  k   e  k  , k  e  k  .
поляризации,
(5.3.8)
Для описания длинноволновых коллективных движений в
(5.3.7) и в последующих суммах по k следует сохранять только
слагаемые со значениями k, меньшими некоторого критического
kc, которое будет определено ниже.
Из условия вещественности смещении (5.3.7) вытекает
равенство
Ak  A k * .
(5.3.9)
Из (5.3.7) следует:
div R 
i
V
  ke  k  A exp  ikr  .
k
k
64
(5.3.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разложим потенциал
функций (5.3.6):
  r ,t  
1
V
по
ортонормированной
  t  exp  ikr  .
k
системе
(5.3.11)
k
Из уравнения (5.3.3) при учете (5.3.10) получаем:
0  0, k  
i4 e 0
 k e  k   Ak , k  0.
k2
(5.3.11а)
При учете (5.3.7) – (5.3.11) потенциальная энергия (5.3.4) преобразуется к виду:
U
1
k 2  4 e2 02 Ak A k



2 k
(5.3.12)
Кинетическая энергия (5.3.5) согласно (5.3.7) преобразуется к
виду:
K
m 0  
 Ak A k .
2 k
(5.3.13)
Из (5.3.12) и (5.3.13) следуют уравнения
m 0Аk   k 2  4 e 2 02  Ak  0.
(5.3.14)
Полагая Ak   2  k  Ak , получаем закон дисперсии плазменных

колебаний в области малых значений k :
 2  k    p2 
 2
k ,
m 0
(5.3.15)
где  p2  4 e2 0 m – квадрат плазменной частоты.
При е  0 электростатические эффекты исчезают и
(k)  k(/m0)1/2. Такая зависимость совпадает с законом
дисперсии частоты для звуковых волн, распространяющихся в
газе со скоростью (/m0)1/2. Значение (/m0)1/2  5–105 см/cек,
kmax  108 см–1. Поэтому ac  51013 сек–1. Для оценки величины
плазменной частоты примем во внимание, что 0  1023 см–3,
m = 910–28 г и е = 4.810–10 СГСЭ. Тогда
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4 e 2 0
p 
 2  1016 сек 1 или   p  12 эВ.
m
(5.3.16)
Следовательно, p >> ac и дисперсии плазменных волн очень
мала. Относительное изменение (k) в пределах первой зоны
Бриллюэна менее 10–3.
Обобщенный импульс, сопряженный коллективной координате Аk находится по общему правилу
Pk 
K U 

 Ak
 m 0 А k .
(5.3.17)
Поэтому классическая функция Гамильтона плазменных колебаний, выраженная через обобщенные координаты и импульсы,
определяется выражением
H  P,A  
1
Pk P k  m  k2 Ak A k .

m 0 k
k
(5.3.18)
Переход к оператору Гамильтона Н в представлении чисел заполнения плазмонов осуществляется в (5.3.18) преобразованием

ak  a k 

2m 0k
,

Ak  Ak 

Pk  Pk  i
 k m 0
2
a

k
 a k  ,
(5.3.19)
где a+k и аk – бозевские операторы рождения и уничтожения плазмонов с волновым вектором *. Таким образом, получаем
H    k  ak ak  1 2  .
(5.3.20)
k
Стационарные состояния кристалла изображаются функциями от чисел плазмонов nk. Вакуумное состояние характеризуется
функцией 0 . В этом состоянии нулевая энергия плазмонов
0H0 
1
 k .
2 k
Квадрат
амплитуды
определяется выражением
66
нулевых
колебаний
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0 Ak A k 0 

 x02k .
2m 0k
(5.3.21)
Следовательно, операторы (5.3.19) можно записать в виде:

Ak  x0 k  ak  a

k
,

Pk  i 0 mk x0 k  a  ak  .
(5.3.22)
Для выяснения предела применимости проведенного выше
макроскопического описания плазменных колебании исследуем,
при каких условиях оправдывается представление об электронах
кристалла как о непрерывной среде. Если принять, что электрон 
точечная частица, то плотность и вектор потока электронов в
точке г можно записать в виде:

  r     r  rl  , j  r    vl  r  rl  ,
l
(5.3.23)
l
где rl , vl – радиус-вектор и скорость l-го электрона; суммирование производится по всем электронам кристалла, объем которого принят равным единице.
Будем учитывать только электростатическое взаимодействие.
Потенциальная энергия взаимодействия l-го электрона со всеми
другими электронами и положительным однородно распределенным зарядом ионов имеет вид:
 e2
d
U  rl      e 2  ij

rij
l  rij

 , rij  rl  r j ,

j  l.
(5.3.24)
Положим e2 rlj   ck exp  ikrlj  , тогда при учете (5.3.6) и при услоk
вии V= 1 находим
ck  e
2

exp  ikrlj 
rlj

d
4 e2
d j  2 при k  0; c0  e2  j .
rlj
k
(5.3.25)
Таким образом, (5.3.24) преобразуется к виду:
4 e 2
U  rl   ' 2 exp ik  rl  r j   .
k
j ,k
67
(5.3.26)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Знак «штрих» у суммы указывает, что отсутствуют слагаемые
j = l и k 0.
Кинетическая энергия электронов имеет обычный вид:
K
m
vl2 .

2 l
(5.3.27)
Из выражений (5.3.26) и (5.3.27) следуют уравнения движения
отдельных электронов:
mvl  i4 e2 '
j ,k
k
exp  ikrlj  ,
k2
(5.3.28)
Чтобы получить уравнения, определяющие изменение плотности
электронов, проведем предварительно фурье-преобразования
(5.3.23)
  r    k exp  ikr  , j  r    jk exp  ikr  .
k
(5.3.29)
k
Тогда, используя (5.3.6) и (5.3.23), находим
 k   exp  ikr l  , 0  v0 ,
(5.3.30)
l
jk   vl exp  ikrl  .
l
Применяя к (5.3.30) уравнение непрерывности   div j  0, ,
получаем уравнения
 k   i  kvl  exp  ikrl  ,

l
2
 k    kvl   i  kv l   exp  ikrl  .


l
(5.3.31)
Подставив в последнее равенство значение vl , из (5.3.28),
находим при учете (5.3.30)
4 e 2
kq
2
 k  
' 2 q  k q    kvl  exp  ikrl  .

m q q
l
(5.3.32)
Если в первом слагаемом правой части этого равенства выделить
член q  k , то оставшуюся сумму
kq
' q
qk
68
2
 q k q следует опустить,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
так как она содержит большое число малых знакопеременных
слагаемых. Отбрасывая эту сумму, мы пренебрегаем связью
между изменениями фурье-образов плотностей, относящихся к
разным длинам волн (k и k’). Такое приближение называют
приближением беспорядочных фаз. Используя это приближение,
преобразуем уравнение (5.3.23) к виду:
 k   p2  k    kvl  exp  ikrl  .
2
(5.3.33)
l
Правая часть (5.3.33) зависит от скоростей электронов и при
абсолютном нуле. Это движение оказывает разупорядочивающее
действие на коллективные плазменные колебания. Его влияние
тем меньше, чем меньше k . Для оценки значений k , при которых

можно пренебречь правой частью (5.3.33), можно заменить vl ,
максимальным значением скорости 0 

 3  
m
13
2
0
, где 0  плот-
ность электронов. Тогда
  kv 
l
2
exp  ikrl   02 k 2  k .
(5.3.34)
l
Следовательно, при выполнении неравенства
 p2
 01 3
2
k k  2 6
, aB  2  5.29  10 9 cм
0
aB
me
2
2
c
(5.3.35)
уравнение (5.3.33) переходит в уравнение коллективных
плазменных колебаний k   p2 k  0 .
При выполнении неравенства (5.3.35) фазовая скорость плазмонов p/k превышает максимальную скорость электронов. Поэтому переход энергии плазмонов в энергию движения отдельных электронов невозможен. Затухание плазмонов в твердом теле
обусловлено взаимодействием с колебаниями решетки, с
примесями и другими
неоднородностями решетки.

Значение kc , определяемое (5.3.35), можно принять за верхнюю
границу волновых векторов плазмонов. Таким образом, волновые
векторы плазмонов занимают центральную область зоны Бриллюэна объема 4kc3/3. Так как на долю одного вектора приходится
объем (2)3/V, то в кристалле может быть kc3V/62 плазмонов.
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


Элементарные возбуждения с k 2  kc2 не имеют коллективного характера. При этих возбуждениях электронный газ следует
рассматривать как систему отдельных квазичастиц с потенциалом взаимодействия
4 e 2
U sc  r     2 exp  ikrlj  .
j  l k  kc k
(5.3.36)
Итак, неучтенное в плазменных колебаниях взаимодействие
электронов, находящихся на расстоянии r друг от друга,
определяется выражением
4 e 2
exp  ikr  .
2
k
k  kc
U sc  r   
 
(5.3.37)
Переходя в (5.3.37) от суммирования по k к интегрированию в kпространстве, получим
exp  ikr  3
e2
2e 2 sin  kr 
e2
U sc  r   2 
d k
dk  exp  kc r . (5.3.38)
 kc kr
2 k kc
k2
r

Таким образом, взаимодействие между электронами проявляется
только на малых расстояниях r < kс-1. Выражение
e
exp   kc r 
r
называется экранированным кулоновским потенциалом заряда е.
Значению
2
 p2 2 e 2 0
kc  2 
,
0
EF
(5.3.39)
где EF = 1/2m02  энергия Ферми, соответствует квадрат радиуса экранирования
TF2 = EF/2e20.
(5.3.40)
При вычислении TF мы исходили из предположения, что
плотность электронов 0 в металле велика и они заполняют все
состояния с энергией E < EF (вырождение). Величина TF
называется томас-фермиевским радиусом экранирования.
В полупроводниках плотность электронов 0 мала и вырождение не осуществляется. Распределение электронов по энерге70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тическим состояниям определяется законом Больцмана. Взаимодействие между электронами экранируется и в этом случае так,
что кулоновское взаимодействие е2/0r в полупроводнике с
диэлектрической проницаемостью 0 заменяется экранированным
взаимодействием:
U r  
 r 
e2
exp    ,
0r
 D 
(5.3.41)
где D  дебаевский радиус экранирования. Для его определения
вычислим потенциал, создаваемый малым пробным зарядом  в
полупроводнике.
Заряд  смещает электроны из положений равновесия, что
приводит к появлению дополнительного индуцированного заряда
. Суммарный заряд  +  создает потенциал (r), удовлетворяющий уравнению Пуассона:
 2  r   
4
0
     .
(5.3.42)
Плотность индуцированного заряда , в свою очередь, определяется потенциалом (r). В условиях термодинамического равновесия (при температуре T) индуцированный заряд определяется
выражением:

 e  r   
e 2 0  r 
  r   e 0 exp  
, e  kT .
  1  
kT
kT




(5.3.43)
Следовательно, уравнение Пуассона преобразуется к виду:

2
 D2   r  
4
0
 ,
(5.3.44)
D2 = 0kT/4e20  квадрат дебаевского радиуса экранирования.
Решая это уравнение, находим
 r  r' 
 r' 
exp  
D 

 r   
d 3 r'
0 r  r'
71
(5.3.45)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Итак, в полупроводнике при температуре T кулоновское взаимодействие заменяется экранированным взаимодействием
 r 
e2
U sc  r  
exp    .
0r
 D 
(5.3.46)
Квадрат дебаевского радиуса экранирования пропорционален
средней энергии тепловых колебаний ионов и обратно пропорционален плотности 0 носителей тока, которая увеличивается
при возрастании температуры.
5.4. b%ƒK3›де…, е Cл=ƒме……/. "%л…
Энергия плазмонов велика, поэтому они не возбуждаются
при нагревании. Возбуждение плазмонов осуществляют быстрыми электронами (порядка нескольких киловольт), проходящими

через тонкие (~100 A ) пленки. При прохождении быстрых электронов через пленки бериллия, магния, алюминия они теряют
энергию   p ,2  p ,... в соответствии с числом плазмонов, которые они возбудили. При этом наблюдаемая плазменная частота
хорошо совпадает с вычисленной при учете валентных электронов (два в Be и Mg и три в Al). В некоторых металлах и неметаллах (С, Si, Ge, ...) электроны побуждают по одному плазмону.
В углероде, кремнии и германии плазменная частота также определяется валентными электронами (по четыре на атом). В металлах Сu, Ag, Аu и многих других переходных металлах в плазменных колебаниях наряду с валентными принимают частичное
участие и другие электроны. В табл. 5.4.1 приведены значения
энергии плазмонов для некоторых твердых тел.
Таблица 5.4.1
Энергия плазмонов
Элемент
  p ,эВ
Be
19
B
19
C
22
Si
17
Ge
16
72
Al
15
Mg
10
Cu
20
Ag
23
ZnS
17
MgO
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Плазменные колебания проявляются также при взаимодействии
электромагнитных волн с твердыми телами. Как известно, взаимодействие электромагнитных волн с твердым телом определяется диэлектрической проницаемостью. Проведем элементарный расчет диэлектрической проницаемости для поперечной
электромагнитной волны, падающей перпендикулярно на плоскую пластинку металла:
Ex  Ex( 0 ) exp i  k z   t   .
(5.4.1)
Если толщина пластинки мала по сравнению с длиной волны,
то внутри пластинки exp(ikz)  1. В поперечных колебаниях
электронов электростатические силы не участвуют, поэтому без
учета слабых упругих сил электронного газа электроны можно
считать свободными. В этом приближении вынужденные
колебания определяются уравнением
  eEx ,
mx
(5.4.2)
его решение x = eEx/m2. Следовательно, возникающая в кристалле под действием электромагнитного поля удельная электрическая поляризуемость, вызванная смещением электронов,
пропорциональна полю
e 2 0 E x
.
Px  e 0 x  
m 2
(5.4.3)
     1
Ex .
4
(5.4.4)
С другой стороны,
Px 
Сравнивая (5.4.3) и (5.4.4), получаем
     1   p2  2 .
(5.4.5)
График этой функции изображен на рис. 5.4.1. Из (5.4.4) следует,
что плазменная частота является нулем диэлектрической проницаемости для поперечных электромагнитных волн.
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 5.4.11. Диэлекттрическаяя прониц
цаемость попереччных электромагнитных волн
н, обусло
овленная электрон
нами провводимости, в зависим
мости от частоты
ч
Учитыввая связзь диэлеектричесской прооницаем
мости с показа-телем прелоомленияя п и коэффициентом поглощени
ия 
      n    i    ,
2
(5.4.6))
поллучаем
n
n()
= 0,, ()  0 при  < p;
n() 0,, () = 0 при  > p.
(5.4.7))
Посскольку коэффи
ициент отражени
о
ия электтромагни
итной во
олны отт
n  1   2

плаастинки опредееляется выражеением R 
, то при
и
2
 n  1   2
2
  p доолжно наблюдат
н
ться по
олное оттражени
ие. Это обстоя--
тельство об
бъясняетт высоккую отраажательн
ную споособностть боль-шин
нства мееталлов в видим
мой и бл
лижней инфракр
и
расной областях
о
х
спектра. Тааким обрразом, прри увели
ичении частоты
ч
полное отраже-ниее сменяется резким уввеличением проозрачности плаастинки,,
когда  проходит
п
т через значени
ие p. Это реззкое изм
менениее
проозрачноссти иноггда используетсяя при оп
пределен
нии плаззменной
й
часттоты. Из-за
И
болльшого значени
ия p таакие опттическиее иссле-доввания доллжны прроводитьься в ваккуумном
м ультраф
фиолетее.
Вследствие взааимодей
йствия эл
лектронов с фоононами,, дефек-там
ми решеттки и прримесями
и свобод
дное дви
ижение ээлектрон
нов воз-мож
жно тольько в теечение среднего
с
промеж
жутка врремени  междуу
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
столкновениями. При учете этого обстоятельства уравнение
(5.4.2) надо заменить уравнением
1 

m x  x   eEx .
 

(5.4.8)
В этом случае при условии p > 1 выражение (5.4.5) принимает
вид:
 p2
     1 
.
   i  
(5.4.9)
В чистых металлах при низких температурах значение  порядка
10-9 сек. При этом условие p >> 1 слабого рассеяния легко
выполняется.
Плазменные колебания возможны и в полупроводниках.
Квадрат плазменной частоты в полупроводниках с одной
изотропной зоной проводимости определяется выражением
4 e 2 n0
,
 
m*  0
2
p
(5.4.10)
где m*  эффективная масса носителей тока; п0  их плотность.
Вследствие малого значения п0 энергия плазменных колебаний
сравнительно мала  порядка 0,01 эв. Для изучения таких
колебаний используется неупругое рассеяние инфракрасного излучения лазеров. В области частот , удовлетворяющих неравенству p <  < Eg  , полупроводники сравнительно прозрачны.
Кванты такого излучения, проходя через кристалл и возбуждая
плазмоны, теряют энергию     '     p . Измеряя частоту ',
можно определить p.
Путем введения примесей в полупроводник (легирование)
можно значительно увеличить плотность п0 носителей тока.
Однако введение примесей, увеличивая значение p, уменьшает
время  до значений 10–11  10–12 сек. Вследствие этого условие
малозатухающих колебаний (0 >> 1) осуществляется только в
полупроводниках с очень малой эффективной массой электронов.
Например, в InSb электронная эффективная масса т*  0.01 т.
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кроме низкочастотной моды плазменных колебаний, обусловленных электронами проводимости, в полупроводниках
возможны и высокочастотные моды плазменных колебании, в
которых принимают участие все валентные электроны атомов.
При вычислении диэлектрической проницаемости для продольных волн рассмотрим тонкую пластинку твердого тела, помещенную в плоский конденсатор, к которому приложено переменное электрическое поле Ez = E(0)zexp(it). Внутреннее поле в
твердом теле будет Eint = Ez  4Pz, где Pz  удельный электрический дипольный момент, обусловленный смещением электронов. Движение электронов под влиянием этого поля определяется
уравнением
  eEintz ,
mz
(5.4.11)
e
Eintz .
2
m
(5.4.12)
следовательно,
z
Поэтому
 p2 Ez
Pz  e 0 z 
.
4  p2   2 
С другой стороны, Pz 
(5.4.13)
     1
Ez . Следовательно, скалярная
4
продольная диэлектрическая
выражением
проницаемость
 p2
,
     1  2
p  2
определяется
(5.4.14)
его график изображен на рис. 5.4.2.
Она описывает линейный отклик системы на переменное
внешнее продольное электрическое поле. Из (5.4.14) следует, что
плазменная частота является полюсом скалярной продольной
диэлектрической проницаемости.
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 5.4.2. Диээлектричееская проницаемо
ость продольных электро-маггнитных волн, об
бусловлен
нная электронами проводи-моссти, в заввисимости
и от часто
оты
Соггласно общей
о
тееории лю
юбая ди
испергиррующая среда яввляется пооглощаю
ющей. Пооглощен
ние энер
ргии опрределяеттся мнимой
частью диэлекттрическоой прони
ицаемоссти. Форрмула (5.4.14) оп
преицаемость толькко при  = p. Для
деляет диэлектррическуую прони
) вещеественнаа, чтобы определлить мни
имую чаасть
этих чаастот (
диэлекттрическоой прони
ицаемости, восп
пользуем
мся сооттношениями
Крамерса  Кроонинга:
Re    
2


P
0
z Im   z 
d z  1,
z2  2
(5.4
4.15)
где букква «P» указыввает, чтоо интегр
рал вычисляетсяя в смы
ысле
главногго значен
ния. Леггко преоб
бразоватть (5.4.155) к видуу
Re
R      P 
 p2  z   p 
z2  2
d z  1.
(5.4
4.16)
Сравнивая (5.4.15) и (55.4.16), находим
м мнимуую частьь скаляр
рной
продолььной диээлектрич
ческой проницае
п
емости

 Im       p2    p  .
2
(5.4
4.17)
Она укаазывает,, что прродольноое перем
менное электрич
э
ческое поле
п
сильно поглощ
щается в пластин
нке, есл
ли его частота
ч
ссовпадаеет с
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
плазменной частотой. Интегрируя обе части (5.4.16) по частоте,
получим важное правило сумм

1
  Im   d  2 

2
p
.
(5.4.18)
0
Наиболее убедительные доказательства возможности образовании плазмонов в твердых телах были получены в опытах по
измерению потерь энергии быстрыми электронами (несколько
кэв), прошедшими через тонкие пленки либо отразившимися от
них. Продольное (кулоновское) поле электрона является хорошим средством для возбуждения плазмонов. Было установлено,
что быстрые электроны передают свою энергию в основном
плазмонам, если переданный импульс меньше  kc .
g=д=…,
дл “=м%“2% 2ель…%L !=K%2/
Задание 5-1.
Приложенное переменное гармоническое поле (частоты ),
вызывающее возмущение плотности газа свободных электронов.
Ограничиваясь членами первого порядка по возмущению,
показать, что реакция электронного газа на такое возмущение
описывается диэлектрической проницаемостью, равной
f0  Ek q   f0  Ek 
4 e2
   ,q   1  2 
,
q
Ek q  Ek   
k
(5-1.00)
где Еk – энергия свободного электрона как функция волнового
вектора k.
Указания и пояснения к решению задания
Система свободных электронов описывается набором волновых функций k, которые являются плоскими волнами. В системе действует потенциал V (t, q ) самосогласованного поля. Этот
потенциал учитывает приложенное извне поле и создаваемую
электронами экранировку. При этом можно считать, что гамильтониан этой системы имеет тот же вид, что и для независимых
частиц:
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
H  H 0  V  t,q  ,
(5-1.1)
где H0 = p2/2m, H0k = Ekk.
Определим оператор «матрицы плотности»  следующим
соотношением:
0 k  f0  Ek  k ,
(5-1.2)
где f0  Ek   функция распределения Ферми. Обобщение этого
оператора на возмущенные состояния дает оператор , который
удовлетворяет уравнению Лиувилля:
  
i     H ,   .
 t 
(5-1.3)
Допустим, что  отличается от 0 лишь малым возмущением 1:
 = 0 +1
(5-1.4)
Подставляя  в уравнение Лиувилля и пренебрегая членами,
содержащими произведения вида V1, получаем линеаризованное
уравнение:

 k 1  k q   k  H 0 , 1   k q   k V , 0   k q 
t
(5-1.5)

  Ek  Ek q   k 1  k q   f0  Ek q   f0  Ek   V  t,q  ,


где V (t, q ) – коэффициент Фурье функции V (t, r ) для волнового

вектора q .
i
Чтобы найти диэлектрическую проницаемость, рассмотрим
теперь Vs , т. е. ту часть V, которую создает индуцированный
заряд с плотностью п (п – число частиц в единице объема). Величины Vs и п самосогласованно связаны уравнением Пуассона:
 2Vs  4 e 2 n .
(5-1.6)
4 e2
Vs  t,q   2   k' 1  k' q .
q k'
(5-1.7)
Следовательно,

Уравнение Лиувилля для Vs принимает вид:
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

i    k 1  k  q   Ek  Ek  q   k 1  k  q 
 t 
4 e 2
 2  f0  Ek  q   f0  Ek     k ' 1  k '  q .
q
k'
(5-1.8)
Зависимость от времени для Vs должна быть той же самой,
что и для приложенного потенциала, а именно – периодической,
вида еit.
Поляризация P системы связана с п соотношением  P = еп,
а с электрическим полем – диэлектрической проницаемостью

  ,q  по соотношению
4 P  t,q     ,q   1 E  t,q  ,
(5-1.9)
где E  t ,q  – фурье-компонента вектора напряженности электрического поля.
Учтем, что
i
E  t,q   qV  t,q  .
e
(5-1.10)

Исключая E из приведенных выше уравнений, получаем для
диэлектрической проницаемости
   ,q   1 
f0  Ek q   f0  Ek 
4 e2
.

q 2 k Ek q  Ek   
(5-1.11)
Задание 5-2.
Пользуясь результатом задания 5-1, показать, что статическое
возмущение влияет на диэлектрическую проницаемость, в
результате чего происходит полная экранировка внешнего
длинноволнового (  0) поля, так что при q  0
  0,q   1 
2
q2
,
где 2 = 4e2N(EF) (N(EF)  плотность состояний на поверхности
Ферми. Этот результат известен как приближение Томаса – Ферми.
Вывести отсюда, что возмущающий потенциал точечного
заряда Ze в электронном газе имеет вид:
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ze 2
V r  
exp   r  .
r
Вычислить радиус экранирования в металле со свободными
электронами при плотности электронов, соответствующей Ag.
Указания и пояснения к решению задания
При малых q для разности энергий приближенно выполняется равенство
Ek  q  Ek  q   k Ek
(5-2.1)
и
f0  Ek q   f0  Ek   q 
f0
 k Ek .
Ek
(5-2.2)
Записывая суммирование по k как интеграл, имеем

4 e2 q   k Ek f0 3
4 e2 f0
4 e 2
  0,q   1  2  
d k  1 2 
N  E  dE  1  2 N  EF 
q
q   k Ek Ek
q
Ek
q

(5-2.3)
(здесь N(EF)  плотность состоянии на поверхности Ферми), так
как f0/Ek ведет себя, как дельта-функция при E = EF. Таким
образом,    при q  0 .
Экранированный потенциал примеси получаем делением
потенциала неэкранированного точечного заряда на   0,q  :
Vscr  0,q  
Vnon scr  0,q  4 Ze 2
 2
.
q  2
  0,q 
(5-2.4)
Переход с помощью преобразования Фурье к обычному r-пространству дает
Ze 2
Vscr  r  
exp   r  .
r
(5-2.5)
Поскольку с самого начала мы пользовались ограничивающим
приближением q  0 , то этот результат неверен вблизи от
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
точ
чечного заряда,
з
г стан
где
новятся существ
с
венными
и высшие члены
ы
в раазложени
ии по q .
Для Agg радиус экраниррования  = 3109 см.
Задани
ие 5-3. Плазменн
Пл
ые колеб
бания
Рассмоотрим ди
иаграммы на ри
ис. 5-3.1 при коонечной переда-ваем
мой часттоте  и импулььсе k . Говорят, что сум
мма диагр
рамм наа
рисс. 5-3.1 описывае
о
ет эффеккт динам
мическойй экранир
ировки заатравоч-ногго взаимоодействи
ия Vk , иззображенного воолнистой
й линией
й. Закон
н
диссперсии коллекттивных возбужд
в
ений   k  опрееделяетсяя полю-сам
ми заэкраанирован
нного вззаимодей
йствия.
Рис. 5-3
3.1.
А. Найд
дите поляриза
п
ационны
ый опеератор   ,k  при
и
k 
 p0 , 
 E. Счи
итая затрравочноее взаимоодействи
ие кулон
новским,,
Vk  4 e2 / k 2 , просу
уммируй
йте ряд и полуучите заэкранир
рванноее
взаи
имодейсствие Vk. Покаж
жите, чтто в этоом приб
ближени
ии закон
н

диссперсии плазмен
нных воолн   k  даетсся выраж
жением (анало-гич
чно дисперсионн
ному ураавнению для нулль-звука)):
   F k 

k2
lln 
,
1
4 e2
2 F k     F k 
(5-3.00))
где  – плоотность состояни
с
ий с учеетом спи
ина, полуученным
м из ки-оведениее
неттического уравнения феерми-жидкости. Определите по
  k  при малых и больших
б
х k.
ывается, что заккон дис-Б. (Точкка окончания спектра.)) Оказы
перрсии плаазменныхх волн заканчив
з
вается прри некоттором kmax
m , вливаясь в кон
нтинуум квазичаастичных
х возбуж
ждений. Чтобы исследои
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вать этот эффект с помощью диаграмм, показанных на рис. 5-3.1,
необходимо найти поляризационный оператор более точно, чем
это было сделано в части А.
Найдите поляризационный оператор при произвольных  и
k . Решая уравнение Vk   ,k   1 , определите точку окончания
спектра max и kmax.
В. Убедитесь, что уравнение для частоты плазменных волн
  k  совпадает с соотношением
1  Vk 
pRk
2 p ,k
 2   2p ,k
,
(5-3.01)
полученным в результате диагонализации гамильтониана HRPA
(Random Phase Approximation Hamiltonian) электрон-дырочных
пар.
Указания и пояснения к решению задания
Заэкранированное взаимодействие дается совокупностью
диаграмм, показанных на рис. 5-3.1. Этот ряд суммируется, как
геометрическая прогрессия:
Vk
Vk  Vk  Vk2  ,k   Vk3 2  ,k   ... 
1  Vk   ,k 
.
(5-3.1)
Поляризационный оператор есть
  ,k   2i  G    , p G    , p 
d 3 pd 
 2  
4
,
(5-3.2)
где ± =  ± /2, p  p  k / 2 , а множитель 2 возникает при
суммировании по спинам.
Интегрируя по частоте , находим
  ,k   2 
n  p   n  p 
d3p
,
    p     p   2  3
где n  p  – распределение Ферми.
83
(5-3.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение 5-3.А
Рассмотрим случай малых k  p0 . Приближенно можно
записать
n  p   n  p   k cos  p  p0  ,
(5-3.4)
где  – угол между векторами p и k . Из-за -функции интеграл в
(5-3.3) оказывается ограничен на поверхность ферми-сферы:

k F cos 
dcos .

k
cos



F
0
  ,k   2 0 
(5-3.5)
Интегрируя по , находим
s
2
  ,k   2 0  ln
s 1

 1 ,
s 1

(5-3.6)
где s = /kF. Мы убеждаемся, что уравнение Vk   ,k   1 , определяющее полюс заэкранированного взаимодействия Vk, тождественно соотношению (5-3.00), выведенному из кинетического
уравнения ферми-жидкости.
Закон дисперсии плазмона при малых k можно получить,
разложив выражение (5-3.6) по 1/s:
1
 1

 4  ... .
2
5s
 3s

  ,k   2 0 
(5-3.7)
Тогда уравнение Vk   ,k   1 принимает вид:
02  3 k 2 F2
1
 2  5  2

  1,

(5-3.8)
где 02 = 4nе2/т (n = p03/(22) – плотность
частиц). Следова
тельно, закон дисперсии при малых k есть
 ( k F )4 
3 2 2
  k     k F  O 
.
4
5
 0 
2
2
0
(5-3.9)
Закон дисперсии при больших k можно определить, заметив, что
выражение (5-3.6) стремится к бесконечности при s  1. Поэтому
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
уравнение Vk(s) имеет решение при произвольно большом k,
причем s  1 при k   . Это означает, что   k  приближается к
Fk при больших k, все время оставаясь выше границы
квазичастичного континуума (k) = Fk.
Решение 5-3. Б.
Как мы сейчас покажем, на самом деле закон дисперсии
плазменных волн имеет точку окончания при некотором kтах , где
происходит слияние с квазичастичным континуумом. Дело в том,
что поляризационный оператор (5-3.3) на самом деле остается
конечным на границе континуума. Расходимость же (s)  ,
полученная в части А, есть следствие принятого приближения
(5-3.4). Конечность поляризационного оператора приводит к
тому, что уравнение Vk   ,k   1 не имеет решений за пределами
квазичастичного континуума при достаточно больших k .
Найдем   ,k  точно, не используя приближение (5-3.4).
Для этого перепишем выражение (5-3.3) в виде:
n p
n p

 d3p
  ,k   2  
,


3
2
2








k
/
2m
k
k
/
2m
k


2





(5-3.10)

где   p / m . В этом выражении удобно сначала проинтегри

ровать по компонентам p , перпендикулярным вектору k .
Получается

 dp
  p02  px2 
  p02  px2 
x


, (5-3.11)
   ,k   2  
3
2
2


k
/
2m
kp
/
m
k
/
2m
kp
/
m






2




x
x
 p0 

p0


где px есть компонента p вдоль k . Оставшееся интегрирование по
рх выполняется элементарно. Результат удобно записать в виде:
  ,k  

 F  s  a   F  s  a  ,
8a
a
k

,s 
,
2 p0
F k
(5-3.12)
где
1
1  x2
u 1
F u   
d x  2u   1  u 2  ln
.
u
x
u
1


1
85
(5-3.13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выражения (5-3.12), (5-3.13) определяют точный поляризационный оператор.
Проверим, что при k << p0 получается выражение (5-3.6), найденное выше. Действительно, при а = k/2p0  0 выражение (5-3.12)
упрощается:



s 1
  ,k   F'  s     4  2sln
,
 
s 1
4
4
(5-3.14)
что совпадает с (5-3.6).
Теперь воспользуемся выражениями (5-3.12), (5-3.13) и
определим точку окончания спектра плазмонов. Граница
квазичастичного континуума есть  = Fk+ k2/2т. Это условие
можно записать как s – а = 1. Поэтому точка окончания спектра,
если таковая имеется, должна удовлетворять уравнению

k2
 F 1  F 1  2a    4 e2 .
8a
(5-3.15)
Это уравнение нетрудно переписать в виде
1 a
2k 2
1 2 ,
1  a  ln

a
(5-3.16)
где 2 = 4е2. Покажем, что в интервале 0 < а < 1 у уравнения (53.16) всегда имеется ровно одно решение. Действительно, левая
часть (5-3.16) при 0 < а < 0.5 монотонно убывает от  до
значения порядка единицы, в то время как правая часть (5-3.16)
монотонно возрастает от 0 до значения порядка p02/2. В то же
время e2 /  F  1 , поскольку мы занимаемся теорией возмущений в пределе большой плотности. Поэтому и уравнение (5-3.16)
имеет корень, причем ровно один.
Из сказанного также следует, что решение лежит в области
а << 1. Поэтому уравнение (5-3.16) можно упростить, отбросив в
левой части малые члены. Получаем ln(2p0/ek) = 2k2/к2, где
е = 2.71828.... С логарифмической точностью решение этого
уравнения есть
kmax
1 p 
   ln 0 
2  
86
1/ 2
.
(5-3.17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Находим частоту при k = kmax
3 p 
 0  ln 0 
2  
max   F kmax
1/ 2
.
(5-3.18)
При e2 /  F  1 частота в точке окончания спектра 0 < max < F.
Подчеркнем еще раз, что ключевым обстоятельством являет
ся отсутствие расходимости   ,k  на границе квазичастичного
спектра. Оценить величину поляризационного оператора можно и

не вычисляя     F k точно. Достаточно заметить, что ширина




пояска, в котором сосредоточена функция n  p   n  p  при

малых к порядка | k |. Поэтому
  – функция в (5-3.4) имеет
ненулевую «ширину» порядка | k |. В результате при s = /Fk = 1
логарифмическая расходимость выражения (5-3.6) обрезается на

s  1  k/p0, и получается     F k   0 ln  p0 k  . Нетрудно


видеть, что уравнение Vk = 1 с логарифмической точностью
совпадает с (5-3.16).
Решение 5-3.В.
Рассмотрим теперь коллективные моды, пользуясь представлением осцилляторов электрон-дырочных пар. Гамильтониан HRPA
квадратичен, поэтому диагонализация производится так же, как в
задаче о многомерном классическом осцилляторе. Уравнения на
собственные значения имеют вид:

 2 p ,k   2p ,k p ,k  2 p2 ,kVk 


  1/p',k2 p',k  .
p'Rk

(5-3.19)
Находим
 p ,k 
2 1/p ,k2


1/ 2

V



.
 2   p2 ,k k  p'Rk p',k p',k 
(5-3.20)
Умножая эти равенства на 1/p ,k2 и суммируя по k , p и спинам,
получаем уравнение самосогласования:
1  2Vk

p'Rk
2 p',k
2
87
  2p',k
(5-3.21)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(коэффициент 2 перед Vk – спиновое вырождение).
Проверим теперь, что (5-3.21) совпадает с 1  Vk   ,k  . Для
этого в выражении (5-3.3) для поляризационного оператора разделим область интегрирования по p на две подобласти:
n  p   n  p   0, n  p   n  p   1 . Простым сдвигом p  p  k / 2 в
первом случае и p  p  k / 2 – во втором получаем области Rk и
R-k. Делая в интеграле замену k  k , p   p , не меняющую
результата, приводим поляризационный оператор (5-3.3) к виду:

1
1


   p ,k
pRk     p ,k
  ,k   2  

 .

(5-3.22)
Таким образом, действительно, соотношение, полученное суммированием диаграмм, есть не что иное, как (5-3.21).
В заключение отметим, что, хотя точный поляризационный
оператор (5-3.12), (5-3.13) и может оказаться полезным в некоторых случаях, обычно бывает совершенно достаточно пользоваться выражением (5-3.6), соответствующим приближению кинетического уравнения ферми-жидкости.
Задание 5-4. Кулоновское экранирование
А. Электроны в металле экранируют любой внешний электростатический потенциал. Этот эффект можно изучить, рассмотрев диаграммный ряд, показанный на рис. 5-3.1. Просуммируйте
этот ряд в статическом пределе k >> /F, считая также, что
k << p0. Получите формулу Дебая для экранированного
кулоновского взаимодействия:

  r   e r r ,
(5-4.00)
где  2  4 e2 .
Разумеется, экранировка кулоновского взаимодействия в наряженной системе есть чисто классический эффект, возникающий из-за дальнодействия потенциала 1/r. Для иллюстрации этого обстоятельства напомним, как решается задача об экранировании в классической плазме.
Внесем в плазму статический заряд 0  r  . Возникающий
при этом потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2  r   4   r   0  r   , где   r  ) – плотность экранирующего
заряда,
связанная
с потенциалом формулой Больцмана:
  r   en  e
 1 . Получившуюся систему уравнений Пуассона – Больцмана нетрудно линеаризовать:
 e ( r )/ k BT
 2  r    2  r   40  r  ,
(5-4.01)
где  2  4 e2 n / k BT .
Следовательно, экранированный потенциал точечного заряда
дается таким же выражением (5-4.0), как и при Т = 0. Отличие
состоит только в величине длины экранирования -1.
Другое явление, имеющее место не только в ферми-жидкости, но и в классической плазме, – это плазменные колебания.
Б. Поучительно решить эту задачу другим способом, используя гамильтониан для электрон-дырочных возбуждений


1
H RPA      p ,k c p ,k c p ,k  Vk  k   k  .
2
k  pRk

(5-4.02)
Рассмотрим внешнее поле, взаимодействующее с электронной
плотностью. Используя представление (8.16) для оператора
плотности, запишем взаимодействие электронов с внешним
полем V ( ext )  r  так:



H ext    Vk( ext )   c p ,k  c p , k   .
k

pRk

(5-4.03)
Это выражение линейно по бозе-операторам c p ,k , а гамильтониан
(5-4.02) – квадратичен. Поэтому можно найти отклик плотности
на внешне поле, спроецировав возмущение (5-4.03) на нормальные моды системы осцилляторов, найдя отклик каждой из этих
мод, а затем просуммировав по всем модам. Найдите таким способом отклик электронной плотности на кулоновский потенциал
и покажите, что результирующий заэкранированный потенциал
совпадает с (5-4.00).
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Указания и пояснения к решению задания
Решение 5-4.А.
Сумма ряда на рис. 5-3.1 в статическом пределе  = 0 равна
 k  
Vk
.
1  Vk   k 
(5-4.1)
Поляризационный оператор (5-3.6) при  = 0 есть (s = 0) = –,
a Vk  4 e2 / k 2 , поэтому

4 e2
 k  2
,
k 2
 
(5-4.2)
где  2  4 e2 . Делая преобразование Фурье, получаем искомое
выражение (5-4.00). В справедливости последнего шага легче
всего убедиться, не вычисляя фурье-образ непосредственно, а
проверяя, что   2   2   r   4 e2 ( 3 )  r  .
Интересно отметить следующее. Вопреки ожиданиям, потенциал на большом расстоянии от заряда в ферми-газе спадает вовсе не экспоненциально. Дело в том, что вокруг внесенного заряда возникают фриделевские осцилляции плотности наведенного
заряда, амплитуда которых спадает степенным образом, как 1/r3.
Формально это проявляется в том, что поляризационный оператор   0  k  имеет слабую особенность при k  2 p0 . Чтобы ее найти, воспользуемся точным выражением (5-3.12), (5-3.13).
Получаем
  0  k   
 
1 a 
2
 2a   1  a  ln
 ,
4a 
1 a 
(5-4.3)
где a  k 2 p0 . Особенность при a = 1 и дает главный вклад в
потенциал при больших r .
Оценим осциллирующую компоненту потенциала, возникающего при возмущении электронной системы внешним потенциалом V ( ext )  r  . Заэкранированный потенциал в этом случае дается
выражением (5-4.1) с Vk( ext ) в числителе. Выделяя особенность при
k  2 p0 и делая фурье-преобразование, получаем
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 osc  r  
e2
4  F
)
V k( ext
 2 p0
cos  2 p0 r 
r
3
.
(5-4.4)
Отметим, что при  << p0 относительно медленно убывающий
фриделевский вклад (5-4.4) не противоречит экспоненциальной
зависимости (5-4.00). Чтобы в этом убедиться, достаточно усреднить распределение потенциала (5-4.1) по большому числу осцилляции. Усредненный потенциал спадает экспоненциально, в
соответствии с (5-4.00).
Решение 5-4.Б.
Рассмотрим задачу об экранировке в ферми-жидкости,
пользуясь представлением осцилляторов
1
 2 

H0 
k , pRk

p ,k
 p ,k   2p ,k p ,k p ,k  ,



H int  Vk    1/p ,k2 p,k 
 pRk
k

 p'Rk
1/ 2
p',k
(5-4.5)

 p',k  .

(5-4.6)
Взаимодействие с внешним полем (5-4.03) линейно по смещениям осцилляторов:
1/ 2
1

H ext    V(kext )  2 p ,k   p ,k  h.c.
2
k
(5-4.7)
pRk
Нам понадобятся средние смещения осцилляторов, которые
нетрудно найти из уравнений
 p2 ,k p ,k   p ,k  Vk   p',k   p',k    2 p ,k  Vk( ext ) .
1/ 2
1/ 2
1/ 2
(5-4.8)
p'
Пользуясь выражением
 k 
 c
pRk
 c p , k  ,
p ,k
(5-4.9)
записываем гармоники плотности
k 
  2 
1/ 2
pRk
p ,k
и, решая уравнения (5-4.8), находим
91
 p ,k
(5-4.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
k  1    k Vk     k Vk( ext ) ,
(5-4.11)
где   k     4  p ,k .
pRk
  k  есть не что иное, как поляризационный оператор   ,k 
при  = 0. Поэтому заэкранированный потенциал
( tot )
k
V
V
( ext )
k
Vk( ext )
 Vk  k 
1  Vk   k 
(5-4.12)
совпадает с (5-4.1).
j%…2!%ль…/е "%C!%“/
1. Рассказать об общих представлениях о плазменных
колебаниях.
2. Сформулировать основные положения теории плазменных
колебаний.
3. Что называется приближением хаотических фаз? В чем
заключается приближение хаотических фаз?
4. Объяснить закон дисперсии плазменных волн.
5. Рассказать о методах возбуждения плазменных волн.
6. Как описывается затухание плазменных колебаний?
6. qC, …%"/е "%л…/ " -е!!%м=г…е2, *=..
l=г…%…/
6.1. b"еде…, е
У некоторых атомов, ионов и молекул О2, NО уже в основном
состоянии имеется отличный от нуля магнитный момент.
В кристаллах, образованных из таких атомов, ионов, молекул,
при определенных условиях (низкие температуры) эти магнитные
моменты находятся в упорядоченном состоянии и образуют
вещества, активно реагирующие на внешнее магнитное поле. Эти
вещества делятся в основном на четыре группы.
А. Ферромагнетики  твердые тела, у которых при температуре ниже температуры Кюри магнитные моменты ионов расположены параллельно друг другу. Вследствие этого в твердом теле
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
имеются области (домены) с большим спонтанным магнитным
моментом. К таким твердым телам, например, относятся переходные металлы: железо, кобальт, никель и диспрозий, атомы которых имеют соответственно четыре, три и два внутренних незаполненных электронных состояния в оболочке 3d. При температуре, превышающей точку Кюри, ферромагнетик ведет себя как
парамагнитное вещество. Температуры Кюри Fe, Со, Ni соответственно равны 1043, 1393 и 631 К. Переход в парамагнитное
состояние является фазовым переходом второго рода.
Б. Антиферромагнетики  твердые тела, образованные окислами и солями переходных металлов, например FeO, СоО, CoF2,
NiSO4, RbMnF3 и др. Кристаллы антиферромагнетиков можно
представить как совокупность двух или нескольких ферромагнитных подрешеток, вставленных одна в другую так, что их результирующий магнитный момент равен нулю при температурах ниже температуры Нееля. В табл. 6.1.1 приведены значения
температуры Нееля для некоторых антиферромагнетиков.
Таблица 6.1.1
Температура Нееля для некоторых антиферромагнетиков
Кристалл
Температура Нееля, К
CoSO4 NiSO4 RbMnF3
12
37
82.5
FeO
188
CoO
290
NiO
520
В отсутствие внешнего магнитного поля суммарный магнитный момент ферромагнитных подрешеток равен нулю. Однако,
начиная с некоторого критического магнитного поля, появляется
результирующая намагниченность, которая линейно возрастает с
ростом поля вплоть до некоторого критического поля, при котором наступает насыщение намагниченности. Выше температуры
Нееля антиферромагнетик ведет себя как парамагнетик.
В. Ферримагнетики (ферриты)  твердые тела, образованные
комплексными солями переходных металлов, например МnО,
Fe2О3, FeOFe2О3, CoOFe2О3 и др. При температуре ниже температуры Кюри, которая для указанных выше соединений соответственно равна 593, 863 и 793 К, ферриты состоят из нескольких
магнитных подрешеток, магнитные моменты которых полностью
не компенсируются. При возрастании внешнего поля от некото93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рого критического магнитный момент возрастает линейно с ростом поля до другого критического значения, при котором наступает насыщение.
Г. Магнитоупорядоченные кристаллы со спиральными структурами. У ряда кристаллов (редкоземельные элементы, МnО2 ,
MnAu2 и др.) расположение спинов в решетке характеризуется
винтовой симметрией. Большое разнообразие в расположении
спинов в таких структурах затрудняет их единое описание.
Maгнитные моменты атомов имеют в основном спиновую
природу. Магнитная упорядоченность ферро-, антиферро- и
ферримагнетиков при низких температурах обусловлена корреляцией в пространственном расположении магнитных моментов.
Последняя определяется так называемым обменным взаимодействием. Обменное взаимодействие отражает факт зависимости
энергии системы от пространственной симметрии волновых
функций системы и, следовательно, от величины ее полного спина. В качестве примера зависимости энергии взаимодействия от
суммарного спина можно указать на взаимодействие атомов водорода. При параллельной ориентации спинов атомы отталкиваются друг от друга, а при антипараллельной  притягиваются.
По порядку величины обменная энергия равна е2/а, где е 
заряд электрона, а  постоянная решетки. Если а ~ 510-8 см, то
е2/а ~ 10-12 эрг. Упорядоченное расположение спинов нарушается
в ферромагнетике при температуре Кюри. Следовательно, обменная энергия по порядку величины равна средней тепловой энергии, приходящейся на один атом при температуре Кюри (температуре 1000°К соответствует энергия ~ 1.410-13 эрг).
От ориентации спинов зависит также непосредственное взаимодействие магнитных моментов электронов. Взаимодействие
спиновых магнитных моментов электронов называется спин-спиновым взаимодействием, а взаимодействие спинового магнитного
момента с магнитным моментом орбитального движения электрона называется спин-орбитальным. Оба эти взаимодействия пропорциональны произведению магнитных моментов и обратно пропорциональны кубу расстояния между ними. В кристалле это
взаимодействие по порядку величины равно 10–16–10–17 эрг для
ближайших атомов. Таким образом, спин-спиновое и спин-орбитальное взаимодействия значительно слабее обменного.
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обменное взаимодействие играет основную роль в относительной ориентации спинов, но не определяет направления суммарного спина относительно кристаллографических осей кристалла. Это вырождение по направлениям частично снимается
спин-орбитальным взаимодействием. Орбитальное движение
электронов связано с кристаллографическими направлениями в
кристалле и приводит к появлению эффективного магнитного
поля  поля анизотропии 103104 Э. В результате в кристалле
появляется одно или несколько направлений легкого намагничения, вдоль которых преимущественно ориентируется суммарный
спин электронов. Энергия взаимодействия магнитного момента
спина с полем анизотропии по порядку величины равна энергии
спин-спинового взаимодействия, т. е. 10-16 – 10-17 эрг.
Основное состояние кристалла соответствует упорядоченному расположению спинов. Слабые нарушения этой упорядоченности распространяются в кристалле в виде волн, которые называются спиновыми волнами. Здесь мы рассмотрим только основы
теории спиновых волн. Более полное изложение можно найти в
монографии А. Ахиезера, В. Барьяхтара и С. Пелетминского и
обзорных статьях.
6.2. o!, Kл, ›е…, е м%ле*3л !…%г% C%л
, -е!!%м=г…, 2…/L Cе!е.%д
Еще в 1907 г. П. Э. Вейс предложил одну из наиболее ранних
теорий ферромагнетизма, которая носит название «приближение
молекулярного поля». В то время, конечно, она была сугубо феноменологической и предшествовала уяснению того факта, что спины выстраиваются параллельно благодаря обменному взаимодействию. Полезно, однако, посмотреть, каким образом это приближение вытекает из гейзенберговского обменного гамильтониана.
Мы хотим выяснить, как ведет себя спин отдельного атома в результате взаимодействия со всеми остальными атомами. Это
можно сделать приближенно, если выделить самосогласованное
поле




H ex    J ij si s j     J ik si sk   J kj sk s j    sk  ' J ik si  , (6.2.1)
i j , j
k  i k
ik
k

 i

95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где <sj> – среднее значение спина. В начальной форме гамильтониана стоит Jij при i > j. В конечной мы положили Jij = Jji при при
j > i. В ферромагнетике <sj> – вектор, параллельный полному
спину системы, в антиферромагнетике он параллелен или антипараллелен спину подрешетки. Сделав это приближение, мы заменили двухэлектронный оператор одноэлектронным. Положим
теперь, что эта система обладает полным упорядоченным спином
(ферромагнетик), который мы будем считать направленным
вдоль оси z. Тогда если любой заданный спин si взаимодействует
с настолько большим числом соседей, чтобы имело смысл статистическое описание (даже 8 или 12 ближайших соседей может
быть достаточным), то взаимодействие i-гo иона задается просто
произведением его z-компоненты на поле, пропорциональное
полной спиновой поляризации. Мы получаем выражение, очень
похожее на модель Изинга, но в нем все эквивалентные ионы
«видят» одно и то же поле.
Интересно отметить, что конечное выражение в (6.2.1) имеет
ту же форму, что и гамильтониан взаимодействия магнитного
момента иона с магнитным полем, т. е.   B . Магнитный момент
иона задается гиромагнитным отношением (или g-фактором, равным 2 для электрона), умноженным на магнетон Бора  B  e 2mc
и умноженным еще на спин s . Удобно поэтому выразить взаимодействие (6.2.1) через эффективное магнитное поле Jij, называемое иногда молекулярным, а иногда внутренним полем.
Полагая ось z направленной вдоль s j , получаем
H ex    g  B siz BI ,
(6.2.2)
i
где
BI 
1
g B
' J
ij
s zj .
(6.2.3)
j
Заметим, что HI пропорционально и параллельно намагниченности единицы объема
Mz 
g s zj  B
0
96
.
(6.3.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда можно ввести связывающий их феноменологический
параметр
BI   M .
(6.3.5)
Чтобы получить гамильтониан с учетом обмена в любом
внешнем магнитном поле, к последнему нужно добавить
молекулярное поле (6.3.5). В изотропной системе оба их можно
считать направленными вдоль оси z, и гамильтониан с учетом
взаимодействия с внешним полем принимает форму
H   iz  B  BI  ,
(6.2.6)
zi = gBszi .
(6.2.7)
i
где
Этот гамильтониан настолько прост, что легко найти собственные состояния системы как без внешнего поля, так и с ним.
Перейдем к вычислению намагниченности, а значит, и магнитной восприимчивости как функции температуры и приложенного поля. Намагниченность находится путем суммирования
по единичному объему:
M   iz  N  z ,
(6.2.8)
i
где N – число ионов на единицу объема. Используя гамильтониан
(6.2.6) и соотношения обычной статистической механики,
получаем
 e


B  BI   z / k BT
z
z 
z
e


B  BI   z / k BT
,
(6.2.9)
z
где сумма по z означает суммирование по всем возможным
ориентациям спина. В классической механике это среднее по
всем углам, в квантовой – это сумма по 2s + 1 состояниям. Для
простоты мы вычислим среднее (6.2.9) для s = ½ и g = 2. Тогда
z = ± B и
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 z   Bth
 B  BI   B .
k BT
(6.2.10)
Прежде чем приступить к вычислению молекулярного поля, интересно рассмотреть тот простой случай, в котором обменного
поля нет:
HI = 0.
(6.2.11)
Тогда полная намагниченность на единицу объема есть
B B
.
k BT
(6.2.12)
N  B2
B.
k BT
(6.2.13)
N  B2
k BT
(6.2.14)
M  N  Bth
При малых полях это дает
M
Множитель пропорциональности

есть восприимчивость. Будучи выраженным через
 2   2 0  s  s  1  3  B2 ,
2
(6.2.15)
это соотношение приводит к закону Кюри для магнитной
восприимчивости

N 2
3k BT
.
(6.2.16)
Он дает хорошую оценку для парамагнитной восприимчивости
многих твердых тел с некомпенсированными моментами каждого
иона. Обычно полученная из этого выражения восприимчивость
очень мала. Полная поляризация на 1 кГс при комнатной
температуре составляет величину порядка 210-4.
Включим теперь молекулярное поле, выраженное через намагниченность, согласно соотношению (6.2.5). Тогда, используя
соотношение (6.2.10), получаем уравнение
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
M  N  Bth
 B   M  B ,
k BT
(6.2.17)
из которого должна быть найдена намагниченность М.
Если намагниченность опять мала, то гиперболический тангенс можно разложить в ряд по М и сразу решить получившееся
уравнение. Мы найдем, что восприимчивость равна
N  B2
.
k BT  N  B2 
(6.2.18)
Выразив ее опять через <2>, приходим к закону Кюри  Вейса,
где введена температура Кюри

N  B2 
3k B
.
(6.2.19)
Это выражение хорошо описывает магнитную восприимчивость
ферромагнитных материалов выше температуры Кюри, где намагниченность мала. Однако оно приводит к расходящейся восприимчивости при приближении температуры к температуре
Кюри. При этой температуре происходит фазовый переход, и мы
должны уточнить наше решение уравнения (6.2.17). Это легко
сделать графически.
На рис. 6.2.1 мы изобразили правую и левую части уравнения
(6.2.17). При этом внешнее поле положено равным нулю. При
высоких температурах имеется только одно решение, отвечающее отсутствию намагниченности при нулевом внешнем поле.
Наличие поля просто сдвигает кривую гиперболического тангенса влево или вправо и возникает парамагнетизм, отвечающий закону Кюри  Вейса. При низких температурах, однако, имеется
три решения  парамагнитное решение и два решения с ненулевой намагниченностью. Два последних описывают ферромагнетизм и соответствуют более низкой энергии, таким образом,
когда температура опускается ниже температуры Кюри, возникает спонтанная намагниченность, что соответствует кооперативному переходу в ферромагнитное состояние.
Спонтанная намагниченность есть величина порядка той,
которая отвечает всем одинаково ориентированным спинам. (Они
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
моггут бытьь, конеч
чно, напрравлены
ы как поо оси z, так и против.)
п
)
Реш
шая ураввнение (6.2.17) графич
чески длля разны
ых темп
ператур,,
мож
жно поллучить зависимо
з
ость спо
онтанноой намаггниченности отт
тем
мпературры. Резулльтат представлеен на ри
ис. 6.2.1.
Рис. 6.2.11. Графич
ческое реешение уравнения
у
я для нам
магниченн
ности
М в отссутствие магнитно
м
ого поля. Пересече
П
ение кривых М
и NBth(
t MB/kkBT) даетт самосоогласован
нное знач
чение
намагниченностти
Ясно, что
ч аналлогичноее рассмо
отрение можно провестти и дляя
анттиферром
магнетиззма. Реш
шетка дел
лится наа подреш
шетки: од
дну  соо
спи
ином ввеерх, другую  со
с спино
ом вниз. Далее п
предпол
лагается,,
чтоо спин даанного атома
а
нааходитсяя под дей
йствием
м молеку
улярногоо
полля другой
й подреш
шетки. Мы
М полу
учаем двва связан
нных уравненияя
дляя опредееления намагнич
н
ченности
и подреш
шеток. О
Опять-тааки воз-никкает кри
итическаяя темперратура, называеемая в теории антифер-ром
магнетиззма темппературрой Неелля. Можно вычи
ислить намагнин
чен
нность каак функкцию при
иложенн
ного маггнитногоо поля и темпе-ратууры. Ясн
но такжее, что эттот форм
мализм можно
м
исспользоввать дляя
опи
исания термодин
т
намичесских сво
ойств феерро- и антифеерромаг-неттиков. В обоих случаях
с
такое оп
писание прибли
иженное,, но оноо
учи
итывает многие
м
ф
физичес
кие чертты пробллемы.
В послледние годы
г
изуучались более точные
т
приближ
жения и
осообое вни
имание уделялоось само
ому перреходу. Вблизи темпе-ратууры перрехода воозникаю
ют больш
шие стати
истическкие флукктуации
и
маггнитногоо порядкка, которрые оказзывают сильное
с
воздейсствие наа
все свойствва. Особ
бо интен
нсивно обсуждае
о
ется воп
прос о кр
ритиче-й, однакко, мы не будем
м детальн
но осве-скихх показаателях, который
щатть. Один
н из таки
их показзателей можно определлить с по
омощью
ю
рисс. 6.2.2. Мы
М види
им, что при при
иближен
нии к крритическкой тем-перратуре сн
низу нам
магничен
нность обращаеттся в нулль как (  Т).
100
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 6.2.2. Заввисимость спонтан
нной нам
магниченн
ности от темпера-турры, следуующая изз приближ
жения саамосоглассованного
о
полля,   тем
мпературра Кюри
Разлагая ги
иперболи
ический тангенсс в уравн
нении (66.2.17) по М
жно легко получить, что
о критич
ческий п
показател
ль 
при B = 0, мож
равен ½.
½ Экспеериментально найдено, что он ближе ввсего к 1/3.
Вычислления, использу
и
ующие модель
м
Изинга,
И
также приводяят к
значени
ию, близзкому к 1/3.
1 Это было по
олучено путем чрезвычаайно
сложны
ых числоовых рассчетов и,
и кажетсся, не прролило м
много сввета
на проб
блему. Однако
О
и
интенсив
вная деяттельностть, напраавленнаяя на
выяснен
ние кри
итически
их показзателей, описыввающих поведеение
системы
ы вблизи
и магниттного и многих
м
других
д
ф
фазовых
х переход
дов,
упорно продолж
жается.
6.3.
3 cеLƒе
е…Kе!г%
%"“*, L
“C, …%"/L
…
г=м, ль
ь2%…, =…
…
Дляя описан
ния малы
ых энерггий возб
буждени
ия магни
итоупоряядоченныхх кристалллов опеератор Гамильто
Г
она криссталла, ссодержащ
щий
в качесттве потеенциальн
ной энерргии тол
лько анергию куулоновсккого
взаимод
действияя электрронов и ядер, зааменяетсся феном
менологи
ическим  гейзенб
берговскиим гамиильтониа
аном, в котором
м явно учиу
тываюттся толькко взаим
модействвия, ответственн
ные за оориентац
цию
спинов..
Преенебрегаая спин-спиновы
ым взаим
модействвием по сравнен
нию
с обмен
нным, запишем
з
м гейзен
нберговсккий (спиновый)) гамилььтониан крристаллаа, наход
дящегосяя в слабом внеешнем ооднородном
магнитн
ном полее B = {00, 0, В}, в виде
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n
H    B  Bs
z
n
1
 
' I  n  m s ns m ,

2 n ,m
(6.3.1)
где B = e  /(2mc)  магнетон Бора; I  n   I  n  , s n  векторные
спиновые операторы (в единицах  = 1), удовлетворяющие
перестановочным соотношениям
s nx ,s
 ny   i s nz ,
n ,m


(6.3.2)
I  n  m   интегралы обменного взаимодействия n-го и т-го ато-
мов, имеющие размерность энергии. Слабое магнитное поле В
вводят в гамильтониан (6.3.1), чтобы выделить направление
(ось z) намагничения в кристалле. Это приходится делать потому,
что в целях упрощения в оператор (6.3.1) не включены взаимодействия спинов с метрическим полем анизотропии кристалла.
Хотя это взаимодействие мало по сравнению с обменным, оно
естественным образом выделяет в кристалле направления
намагничения.
e2
, где
Обменные интегралы I  n  m  пропорциональны 
nm
  интегралы перекрывания волновых функций атомов n и m .
Эти интегралы экспоненциально убывают с увеличением расстояния между атомами, поэтому в (6.3.1) можно учитывать
взаимодействие только между ближайшими атомами.
Гамильтониан (6.3.1) коммутирует с операторами квадрата
суммарного спина и его проекции на магнитное поле,
направленное вдоль оси z,
2
S 2  
  

  sn  , S n   sn .

n

(6.3.3)
n
2
Квадрат оператора спина s n каждого атома имеет только
одно собственное значение s(s + 1), где s  одно из значений ½, 1,
3/2, ... Спиновые операторы действуют в пространстве спиновых
функций s,sz , где sz принимает 2s + 1 значений ±s, ±(s  1),...
Операторы s x ,s у ,s z можно заменить операторами
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
s z ,s
   s x  is
 y ,s  s x  is
 y,
(6.3.4)
удовлетворяющими перестановочным соотношениям
s  ,s
   2s
 z,


s z ,s
    s  , s z ,s
   s .




(6.3.5)
Операторы s' и s имеют следующие отличные от нуля матричные
элементы:


s,sz  1 s s,sz  s,sz s s,sz  1 
 s  sz  s  sz  1 .
(6.3.6)

Таким образом, оператор s увеличивает, а оператор s уменьшает на единицу проекцию спина на ось z. Спиновые операторы,
относящиеся к разным атомам, коммутируют между собой.
Используя тождество


s ns m  s nzs mz  1 s ns m  s ns m ,
2
(6.3.7)
можно преобразовать оператор (6.3.1) к виду:
H = E0 + H1 + H2,
(6.3.8)
1
E0   0 BNs  NsL( 0 )
2
(6.3.9)
где


H 1    B  L( 0 )  s  s n 
n
H2  
z

1
 
' I  n  m s ns m ,

2 n ,m



1
 
s nz s  s mz ,
'
I
n

m
s




2 n ,m

L( 0 )  s  I( n ) .
(6.3.10)
(6.3.11)
(6.3.12)
n
В ферромагнетике интегралы I  n  положительны. Минимум
энергии (Emin = E0) соответствует состоянию, при котором все
спины направлены вдоль поля. Возбужденные состояния образуются при повороте одного или нескольких спинов против поля.
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.4. qC,
q …%"/
/е "%л…/
В осноовном соостоянии
и просто
ого феррромагнеттика всее спины
ы
парраллельн
ны, как на
н схеме рис. 6.4.1 а:
Рис. 6.4.11. а) класссическая схема основного
о
о состояяния простого
ферром
магнетикаа  все сп
пины парааллельны и направвлены
в одну сторону; б) возмож
жное возб
бужденноое состояние 
один сп
пин переевернут; в)
в низколлежащие элементаарные
возбуж
ждения  спиновые
с
е волны. Концы
К
спиновых вектов
ров пррецeccирууют по поверхнос
п
стям конусов такк, что
каждый
й следую
ющий нах
ходится в постояянной фаазе с
предыд
дущим (уггол остаеттся постооянным)
Рассмоотрим N спинов величин
ной S, раасполож
женных в цепоч-ке (или
(
по кольцу), и пред
дположим
м, что сооседние спины связаны
ы
гейзенбергоовским взаимоде
в
ействием
м типа:
N
U  2J  s p s p 1 ,
(6.4.1))
p 1
где J  обм
менный интеграл
и
л, a  s p  спиноввый мом
мент кол
личестваа
ижения электрон
э
на в узлее с номеером р. Если сччитать сп
пины s p
дви
клаассически
ими веккторами,, то в оссновном
м состоян
нии s p s p1  s 2 и
обм
менная энергия
э
с
системы
ы U0 =  2NJs2. Какова
К
ээнергия первогоо
возбужденн
ного сосстояния такой
т
си
истемы? Рассмотрим неекотороее
возбужденн
ное состтояние, в которо
ом имееттся один
н перевеернутый
й
спи
ин (см. рис. 6.44.1 б). Из
И форм
мулы (6..4.1) вид
дно, что такоее
изм
менение состояяния прриведет к возррастанию
ю энер
ргии наа
2
2
величину 8JJs , поэттому U1 = U0 + 8Js
8 .
Возбуж
ждения значител
з
льно мен
ньшей энергии
э
можно образо-д
ть, что все
в спин
ны поверрнулись лишь чаастично,,
ватьь, если допустит
ения спи
какк на рис. 6.4.1 б. Элементтарные возбужд
в
иновой системы
с
ы
имееют хараактер воолн и наазываютсся спиноовыми воолнами, а когдаа
104
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
прокван
нтованы  магноонами (ррис. 6.4.2
2). Они сходны
с
с колебааниями реш
шетки, или
и фоноонами. Спиновы
С
ые волны
ы предсттавляютт собой коллебанияя относи
ительной
й ориен
нтации спинов
с
в решеетке,
точно так
т же каак упруггие волн
ны в кри
исталле есть
е
коллебания атоа
мов оттносителльно свооих раввновесны
ых полоожений в кристталлическоой решеттке.
Рис. 6.4.2. Спи
иновая воолна в ли
инейной цепочке
ц
с
спинов:
аа) вид це-поч
чки спиноов в персп
пективе (сбоку); б)) вид цепочки спи-новв сверху;; показан
на длина волны. Волна
В
иззображенаа
лин
нией, прооходящей через кон
нцы спин
новых веккторов
Теп
перь мы дадим классиче
к
еский вы
ывод дисперсионного заакосистемы
на для магноноов, исхоодя из модели
м
ы, в которой им
меет
место взаимоде
в
ействие типа (6.4.1). Чл
лены в сумме
с
(66.4.1), ко
оторые сод
держат спины с номером
н
м р, выпи
ишем оттдельно:
2JJs p   s p 1  s p 1  .
(6.4.2)
Для маггнитногоо моментта в узлее р имеем
м:
 p   g B s p .
(6.4.3)
Тогда (66.4.2) прримет ви
ид:
  B   2JJ g  B   s p1  s p 1   .
(6.4.4)
Это вырражениее имеет форму
ф
прроизведеения
 p Bp .
(6.4.5)
Здесь B p не что
ч иноее, как эффектив
э
вное маагнитноее поле, или
обменное поле,, котороее действвует на спин
с
с ноомером рр, для эттого
(
и (6.4.5) имеем:
и
поля согласно (6.4.4)
B p   2J g  B   s p 1  s p 1  .
105
(6.4.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из элементарной механики известно, что изменение во времени момента количества движения  S p равно вращающему моменту  p  B p , действующему на спин:

d sp
dt
  p  Bp
(6.4.7)
s
(6.4.8)
или

d sp
dt

g B

sp  Bp 
2J

p
 s p 1  s p  s p  1  .
Это уравнение перепишем в компонентах по осям декартовой
системы координат:
d s px
dt

2J  y z
z
z
y
y

s
s
s
s
s
s









1   ,
p
p
1
p
1
p
p
1
p


(6.4.9)
и еще два аналогичных уравнения для ds py dt и ds pz dt . Эти уравнения содержат произведения компонент спина и, следовательно,
являются нелинейными.
Если амплитуда возбуждения мала (т. е. если spx, spy < s), то,
положив все spz = s и пренебрегая членами, содержащими произведения sx и sy в уравнении, для ds z dt мы получим приближенно
линейную систему уравнений. Эта линеаризованная система
уравнении имеет вид:
ds px
dt
ds py
dt


2Js

2Js

 2s
y
p
 s py 1  s py1  ,
(6.4.10)
 2s
x
p
 s px 1  s px 1  ,
(6.4.11)
0.
(6.4.12)
ds pz
dt
Ищем решения уравнений (6.4.10) – (6.4.12) в виде бегущих волн
в форме
S px  ue 
i pka t 
, S py  ve 
106
i pka t 
,
(6.4.13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где и и v – а кон
нстанты
ы, р – целлые числ
ла, а – поостоянная решеттки.
Подставвляя (6.4.13) в (6.4.10) и (6
6.4.11), получи
им систтему
уравнен
ний для и и v.
iu 
2Js

iv  
2  e
2Js

 ika
2  e
 eika  v 
 ika
4JJs

 eika  u  
1  coss ka  v ,
4Js

c ka  u .
1  cos
(6.4
4.14)
(6.4
4.15)
Эти ураавнения линейны
ы и одноородны и поэтому имею
ют нетри
ивиальные решени
ия лишь при услловии, чтто детеррминант из коэф
ффиизвестны
ых равен
н нулю
циентовв при неи
i

4Js

4Js

1  cos ka 
1  cos ka 
0.
(6.4
4.16)
i
Отсюдаа следуетт, что
   4Js
Js  1  cos ka
k .
(6.4
4.17)
Граафик заввисимостти (6.4.17) привееден на рис.
р
6.4..3. Из по
олученногоо решени
ия следуует, что v =  iu,
i т. е. решение
р
е описыввает
круговуую прецеессию кааждого спина
с
оттносителльно оси z.
Рис. 6.4.3. Дисперсион
нный закоон для спи
иновых волн в одн
номерном
м
феррромагнеетике (м
модель, в которрой учитываютсяя
взааимодейсттвия лишь ближай
йших сосеедей)
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Соотношение (6.4.17) и является дисперсионным законом
(k) для спиновых волн в одномерной системе для модели, в
которой учитывается взаимодействие лишь ближайших соседей.
В случае длинных волн ka << 1 можно приближенно положить
1  cos(ka)  (ka)2. В этом предельном случае закон (6.4.17)
примет вид
    2Jsa 2  k 2 .
(6.4.18)
Заметим, что здесь частота пропорциональна k2, тогда как для
фононов в таком же предельном случае длинных волн частота
пропорциональна k.
Дисперсионный закон для ферромагнитных кубических решеток (простой кубической, ОЦК и ГЦК) в приближении ближайших соседей можно представить в виде


   2Js  z   cos  k   ,



(6.4.19)
где суммирование ведется по z векторам, обозначенным через  ,
которые соединяют центральный атом с его ближайшими соседями. При ka << 1 главные члены в разложении (6.4.19) имеют
один и тот же вид
    2Jsa 2  k 2
(6.4.20)
для всех трех кубических решеток (здесь а  постоянная решетки). Коэффициент при k2 часто можно точно определить из
результатов опытов по спин-волновому резонансу на тонких
пленках.
6.5. o!ед“2="ле…, е “C, …%"/. %Cе!=2%!%"
че!еƒ %Cе!=2%!/ “C, …%"/. "%ƒK3›де…, L
Квадрат оператора спина каждого атома имеет только одно
собственное значение s(s + 1). Следовательно, три оператора
s z ,s
  ,s связаны равенством
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


s 2  s 2z  1 s s  ss
   s( s  1 ) ,
2
(6.5.1)
поэтому их удобно выразить через два новых независимых оператора. В качестве таких операторов удобно выбрать операторы
рождения +n и уничтожения n спинового возбуждения на моле
куле n кристалла. При этом под спиновым возбуждением молекулы мы будем понимать уменьшение на единицу проекции
спина вдоль поля (ось z).
Если спины ионов равны 1/2, то переход к операторам + и 
с учетом (6.5.1) можно осуществить с помощью равенств
z

1
n  s n , n  s n ,s n   n n .

2
(6.5.2)
Операторы +n, n удовлетворяют перестановочным соотношениям для ферми-операторов
n n  n n  1, n2   n   0,
2
(6.5.3)
если они относятся к одному атому, и перестановочным соотношениям бозе-операторов



  n ,  m     n , m   0, n  m,
(6.5.4)
если относятся к разным атомам. Они действуют на функции
|Nn>, в которых аргументами являются целые числа Nn, принимающие только два значения – 0 или 1 – для каждого атома. Правила действия операторов n, +n на функции |Nn> определяются
равенствами
n|Nn> = Nn|1 – Nn>, n+|Nn> = (1 – Nn)|Nn + 1>. (6.5.5)
Операторы со смешанными перестановочными соотношениями (6.5.3) и (6.5.4) называются операторами Паули. Они мало
удобны при практических вычислениях. При вычислении первых
возбужденных состояний кристалла, когда число перевернутых
спинов мало, так что <+nn> << 1, можно перестановочные
соотношения (6.5.3) заменить приближенными
n+n – +nn =1 – 2+nn  1, [n, m] = 0,
109
(6.5.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
т. е. можно считать, что операторы n удовлетворяют обычным
бозевским соотношениям коммутации при условии, что собственные значения операторов +nn равны либо 0 либо 1.
Очень удобно осуществлять переход от спиновых операторов
к операторам рождения и уничтожения спиновых возбуждений с
помощью преобразований Хольштейна  IIримакова. Если атом
имеет спин s, то
s n    2s     ,s n  2s      ,s nz  s     .
n
n
n
n
n
n
n
n
(6.5.7)
Перестановочные соотношения (6.3.5) для операторов спинов
удовлетворяются, если операторы n удовлетворяют бозевским
перестановочным соотношениям (6.5.6).
В связи с тем, что спин атомов фиксирован, новые операторы
+
 n, n действуют в пространстве функции от целых чисел Nn,
пробегающих только 2s + 1 значений: 0, 1, 2, .... 2s. Ограничения
на «числа заполнения» отличают новые операторы от обычных
бозевских операторов, которые действуют в пространстве
функций с произвольными числами заполнения. Удовлетворение
условием Nn < 2s создает ряд трудностей, которые не имеют существенного значения только при НИЗКИХ температурах, когда
возбужденные состояния близки к основному, т. е. содержат малое число перевернутых спинов, что выражается неравенством
<+nn> << s.
(6.5.8)
Радикалы в выражениях (6.5.7) следует понимать как
бесконечные ряды по степеням +nn/2s , т. е.

1


s n  2s  n  n n  n  ... .
4s


(6.5.9)
При выполнении неравенства (6.5.8) можно сохранить в (6.5.9)
только первое слагаемое, тогда уравнения (6.5.7) принимают вид:

sn  

n

z
2s , s n  n 2s , s n   s  n   .
(6.5.10)
Используя эти приближенные выражения, преобразуем гейзенберговский оператор (6.3.8) к виду:
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
H = H0 + Hint,
(6.5.11)
где


H 0  E0    B  L  0    n n  s 'I  n  m  n m ,
n
H int  
(6.5.12)
n,m
1
 
'I  n  m  n n  m m .

2 n ,m
(6.5.13)
6.6. }…е!ге2, че“*, L “Cе*2!
, ƒ%2!%C…%г% -е!!%м=г…е2, *=
C!, м=л/. "%ƒK3›де…, .
В приближении малого числа возбуждений (<+nn> << 1)
оператор (6.5.13) можно рассматривать как возмущение. Тогда в
нулевом приближении энергетический спектр спиновых
возбуждений определяется оператором
H  H  E0    B  L  0    n n  s 'I  n  m  n m .
n
(6.6.1)
n ,m
Диагонализация оператора (6.6.1) осуществляется каноническим преобразованием к операторам рождения +n и уничтожения n элементарных спиновых возбуждении – магнонов, характеризующихся определенным значением квазиимпульса  k . Если
кристалл содержит N элементарных ячеек, то это преобразование
имеет вид:
1
N

exp  ikn  .
(6.6.2)
H   E  k k k ,
(6.6.3)
n 
k
k
Подставив (6.6.2) в (6.6.1), получаем
k
где
E k   B   k  ,
(6.6.4)
  k   L  0   L  k  , L  k   s  I  n  exp  ikn  .
n 0 
111
(6.6.5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В связи с тем, что обменные интегралы I  n  экспоненциально убывают ( I  n   exp(- 2| n |/aB), aB   2 me2  0,528  10 8 см) с
увеличением расстояния | n |, в сумме (6.6.5) можно учитывать
только взаимодействие с атомами ближайшего окружения. Если
 – число ближайших соседей (6 для простой кубической решетки, 8 – для объемноцентрированной и 12 – для гранецентрированной) в кубическом кристалле с постоянной решетки а, то
L(k) = sIcos(ka).
(6.6.6)
Следовательно, в области малых значений ka << 1 закон
дисперсии энергии магнонов можно записать в виде
  k   L 0   L  k  
 2k 2
2m*
,
(6.6.7)
где m*   2  sIa 2  – эффективная масса магнона. Для оценки
величины эффективной массы можно положить  = 6, s = ½, а =
10-8 см, I = kBTc, kB – постоянная Больцмана, Тс – температура
Кюри, тогда
m*  104me/Tc,
(6.6.8)
где тe – масса электрона.
Имеется некоторая аналогия между спиновыми волнами и
колебаниями атомов в твердых телах. Магноны и фононы вносят
вклад в теплоемкость твердого тела. В кристаллах чистых ферромагнитных металлов в каждой элементарной ячейке имеется по
одному иону. Поэтому в этих кристаллах имеется только одна
ветвь спиновых волн. При этом энергия магнонов стремится к
нулю при приближении их волновых векторов к центру зоны
Бриллюэна. Эту ветвь называют акустической ветвью магнонов.
В ферромагнитных сплавах (Fe – Сr, Fe – Ni, Fe – Ni – Al и
др.) в элементарной ячейке содержится несколько магнитноактивных ионов. Они имеют и соответствующее число ветвей
спиновых волн. Одна из них акустическая. Частоты других
стремятся к конечным пределам при увеличении длины волны.
Эти ветви называются оптическими ветвями магнонов.
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.7. ŠеCл%ем*%“2ь г=ƒ= м=г…%…%"
Взаимодействие магнонов между собой и с фононами колебаний решетки приводит к изменению их числа и к установлению
термодинамического равновесия. Как было показано выше, при
малых плотностях магнонов их можно рассматривать как бозечастицы с законом дисперсии (6.5.7). Поскольку число магнонов
не сохраняется, их химический потенциал
равен нулю и среднее


число магнонов с волновым вектором k и энергией E  k  при
температуре  определяется так же, как и среднее число
фононов, формулой

N k  k k
 
1


E k
  exp
 1  ,  k BT .





(6.7.1)
При
отсутствии
внешнего
магнитного
поля
2 2
E  k     k    k 2m* . Средняя энергия магнонов в кристалле с
одним ионом в элементарной ячейке равна
E  E0     k  N k .
(6.7.2)
k
Если в кристалле N элементарных ячеек объема , то, переходя от
суммы но k к интегралу, получим
 N  2m*  
E  E0 
4 2 m*  2
5 2 x0
x4 d x
0 exp  x2   1 ,
(6.7.3)
где
x0 
 kmax
.
2m* 
(6.7.4)
При низких температурах, когда х0 >> 1, верхний предел
интегрирования можно заменить бесконечностью, тогда, учи
тывая, что
x4 d x
e
0
x
2
1

3  5
   , где (5/2) – дзета-функция Римана,
8
2
равная  1.341 (отметим, что согласно таблице интегралов:
Прудников А. П. и др. Интегралы и ряды. М., 1981. Т. 1. С. 341
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(№ 6) – имеет место соотношение:
x 1
0 e x  1 d x   (  ) (  ) ), окон-
∞
чательно имеем следующее соотношение:
E  E0  AV 5/ 2 , x0 >> 1,
(6.7.5)
где
32
3  m* 
A
 2 .
4 2   
(6.7.6)
Следовательно, удельная теплоемкость магнонного газа при
низких температурах определяется законом
Cv = amag3/2, amag = 5/2AkB.
(6.7.7)
Теплоемкость фононного газа при низких температурах пропорциональна кубу температуры. Это обстоятельство позволяет
выделить теплоемкость магнонного газа из общей теплоемкости
твердого тела. Действительно, если
Cv = aph3 + amag3/2,
(6.7.8)
то график зависимости функции
–3/2Cv = aph3/2 + amag
(6.7.9)
от  3/2 будет прямой линией. Наклон этой линии определяет
величину aph, а точка пересечения с осью ординат определяет
величину amag , зная которую можно вычислить эффективную
массу магнона. Наличие магнонов в кристалле уменьшает магнитный момент M0 = 0sN его основного состояния. Средний магнитный момент вдоль оси z кристалла определяется выражением
N
M z   B  snz ,
(6.7.10)
n 1
значения (6.6.1) от суммигде B – магнетон Бора. Подставив

рования к интегрированию по k , получим
Mz = M0(1 – ),
где
114
(6.7.11)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
M0 = 0sN,
  2m*  

2 2 s 2
3 2 x0
(6.7.12)
32
  2m*  
3
0 e x  1  2 2 s   2    2  .
x2d x
2
(6.7.13)
Следовательно, при низких температурах магнитный момент
кристалла
уменьшается
при
возрастании
температуры
3/2
пропорционально  – закон трех вторых Блоха.
g=д=…,
дл “=м%“2% 2ель…%L !=K%2/
Задание 6-1.
Для частицы со спином s = 1/2 найти собственные значения и



собственные функции операторов s x , s y , s z , соответственно.
Указания и пояснения к решению задания
a


С. ф.  s    и с. з. sz оператора s z   z / 2 находятся из
b
z

решения уравнения s z s  s z s :
z
z
a
1  1 0  a  1  b 
 0 1  b    a   sz  b 
2
  2  
 
или b = 2sza, a = 2szb. Нетривиальное решение этой системы
уравнений существует при условии 4s2 = 1, определяющем
возможные значения (спектр) величины sz = ±1/2. При этом а = b
для sz = 1/2 и а = – b для sz = – ½; нормированные на единицу, так
что < s  s > = a2 + b2 =1, с. ф.  s имеют вид
z
z
z
 s 1/ 2 
1  1
1 1
 1  ,  sx 1/ 2 
 
2 
2  1 
 s 1/ 2 
1  1
1 1
,


s y 1/ 2
 
 .
2 i
2  i 
x
y
Аналогично находим
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
s
 1
0
,





sz 1/ 2  1 
z 1/ 2
0 
 
Задание 6-2.
В случае спина s = 1/2 нормированная волновая функция
 cos   ,
наиболее общего cпинового состояния имеет вид    i

 e sin 
где 0 <  < /2, 0 <  < 2.

Найти полярный и азимутальный углы такой оси n в
пространстве, вдоль которой проекция спина имеет определенное
значение, равное +1/2 (возможность указать такую ось для
произвольного состояния – специфика спина s = 1/2).
Используя полученный результат, решить задачу 6-1.
Указания и пояснения к решению задания
a
1. Найдем сначала собственную функцию  sn 1/ 2    операb

 
тора проекции спина на направление n . Используя явный вид
ei sin 
1  cos 

оператора s   i
 , из уравнения на собственную
2  e sin  cos  
функцию
s n
sn 1/ 2
1
  s 1/ 2
2 n
получаем соотношение a sin  / 2   bei cos  / 2  . Отсюда, выбрав
(для нормировки на 1) a  cos  / 2  , находим b  ei sin  / 2  , так
что спиновая функция  s 1/ 2 принимает вид, указанный в
условии задачи; при этом  = 2 и  =  определяют искомые
полярный и азимутальный углы.
2. Выбрав  = 2 = /2,  =  = 0, находим с. ф.  sz 1/ 2 . При
n
 = /2,  =  получаем с. ф.  sz 1/ 2 и т. д.
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
j%…2!%ль…/е "%C!%“/
1. Рассказать о магнитных классах веществ.
2. Объяснить наличие ферромагнитного перехода с точки
зрения теории молекулярного поля.
3. Рассказать о гейзенберговском гамильтониане и объяснить
происхождение его составляющих.
4. Рассказать о спиновых волнах как о коллективной моде
спиновых возбуждений.
5. Описать энергетический спектр изотропного ферромагнетика при малых возбуждениях.
6. Описать представление спиновых операторов через
операторы спиновых возбуждений.
7. Объяснить назначение и специфику преобразований
Холстейна – Примакова.
8. Оценить вклад магнонов в теплоемкость магнитных
веществ.
7. }*“, 2%…/
7.1. }*“, 2%…/ b=…ье $ l%22=
До сих пор мы рассматривали квазичастицы, появляющиеся в
результате некоторых коллективных процессов в ансамбле реальных частиц (их часто называют элементарными возбуждениями).
Такого рода квазичастицы трудно представить себе в реальном
пространстве ввиду того, что они строго определены лишь в
пространстве импульсов. Существует, однако, класс квазичастиц,
которые тесно связаны с конкретными реальными частицами
(а не с ансамблем в целом) и могут быть идентифицированы в
координатном пространстве.
К таким квазичастицам относятся, например, экситоны.
Представим себе идеальный ионный кристалл, в котором один из
ионов находится в возбужденном состоянии (имеется в виду,
конечно, возбуждение электронного состояния). Поскольку в
возбужденном состоянии может находиться любой ион, а между
внешними электронными оболочками ионов имеется сильное
взаимодействие, энергия возбуждения может передаваться от од117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ного иона к другому. Картину такого «блуждания» возбужденного состояния можно сделать наглядной, введя понятие некоторой квазичастицы, имеющей энергию, равную энергии возбуждения иона. Такая квазичастица называется экситоном Френкеля.
Поскольку экситон делокализован, его движение никак не связано с реальным движением ионов в кристалле и, следовательно,
подвижность таких квазичастиц может быть очень высокой.
Энергия связи экситона Френкеля (т. е. энергия его
ионизации на некоррелированную электрон-дырочную пару)
имеет порядок 100–300 мэВ. В настоящее время они наиболее
хорошо изучены в органических материалах, где они определяют
оптическую адсорбцию и спектры излучения.
В конце 1930 г. шведский ученый Г. Х. Ванье (1911–1983) и
английский теоретик сэр Н. Ф. Мотт развили теорию экситонов в
полупроводниковых кристаллах. Наиболее простым случаем
экситона является модель, когда пространственные размеры области, в которой локализованы электронные и дырочные уровни,
значительно превышают постоянную решетки. В этом случае
электрон в зоне проводимости и дырку в валентной зоне можно
рассматривать как частицы с массами me 1 и mh . Экситоны,
удовлетворяющие такой модели, называют экситонами Ванье –
случае параболических зон с экстремуМотта. В простейшем

мами при k  0 , энергии электронов проводимости и дырок
определяются формулами

 
Ee k   
 2k 2
2me
Eh  
,
 2k 2
2mh
,
(7.1.1)
где  – энергетическая щель между дном зоны проводимости и
потолком валентной зоны. Вводя взаимодействие между
электроном и дыркой в кулоновском виде
e2
U  re  rh   
 re  rh


1
(7.1.2)
Заметим, что здесь me (точнее, me*) – эффективная масса электрона проводимости, которая, вообще говоря, отлична от массы свободного электрона из-за влияния
периодического потенциала кристаллической решетки.
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и переходя к системе центра инерции, получим уравнение, определяющее энергию электронно-дырочной пары:

  2  2 e2 
 2 k 2 
r
E
k







 n  r  ,

 n   n 
2
2
r
r
2
m
m









e
h 


(7.1.3)

где r  re  rh ,  – диэлектрическая проницаемость, n – главное
квантовое число,  – приведенная масса электрона и дырки. В общем случае при расчете энергетических уровней экситонов в
выражении (7.1.3) необходимо было бы учесть пространственную
дисперсию диэлектрической проницаемости и тензорный характер эффективных масс электрона и дырки. В нашем простом
случае результирующая энергия может быть представлена в виде
трех слагаемых:
En  k  
 2k 2
2  me  mh 

 e4
.
2 2 2 n 2
(7.1.4)
Первое слагаемое в этом выражении отвечает кинетической энергии свободного совместного движения электрона и дырки. Второе слагаемое соответствует дискретным (n = 1, 2 …) возбужденным состояниям водородоподобного атома с приведенной
массой . Эффективный радиус экситона можно выразить
формулой
Rn 
n 2 m

aB ,
(7.1.5)
где aB   2 me2  0,528  10 8 см – боровский радиус. В кристалле
германия ( = 0.2m,   16) радиус наинизшего первого состояния
R1  80  aB значительно превышает постоянную решетки, что и
оправдывает макроскопическое описание взаимодействия между
электроном и дыркой по закону Кулона (7.1.2).
Энергия связи экситона выражается формулой:
 e4
2
.

EB 
2 2 2 2  aB2
119
(7.1.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 7.1.1. Водородоподобная «желтая» серия в спектре излучения
Cu2O, обнаруженная Е. Ф. Гроссом и Б. П. Захарченей,
и ее численная аппроксимация (из работы Гросс Е. Ф.,
Захарченя Б. П., Райнов Н. М. ДАН, 1954. Т. 111. С. 564)
Следует отметить, что в уравнении (7.1.3) мы не учли
спиновых состояний электрона и дырки. Поскольку электрон и
дырка имеют спин 1/2 (в единицах  ), то полный спин экситона
равен нулю либо единице. В первом случае экситон называют
синглетным, либо параэкситоном, во втором – триплетным, или
ортоэкситоном. Понятно, что энергия триплетного экситона
лежит ниже энергии синглетного экситона на величину, равную
удвоенной энергии обменного взаимодействия между электроном
и дыркой.
В отличие от экситонов Френкеля экситоны Ванье – Мотта
имеют типичные размеры порядка десятка постоянных решетки и
относительно малую энергию связи (обычно порядка нескольких мэВ).
м=.
7.2. }*“, 2%… " *"=…2%"/.
Тонкая свободная пленка полупроводника представляет собой пример прямоугольной потенциальной ямы, к которой применимо приближение бесконечных барьеров. Решения соответствующей квантово-механической задачи хорошо известны из
учебников и дают следующие спектр собственных энергий и
собственные функции:
2 N 
2
2
m 2  aB  2
EN 
   N

  13.6
2m*  Lz 
m*  Lz 
1/ 2
 2
 z   
 Lz 
120
sin
 Nz
Lz
,
(7.2.1)
(7.2.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
здесь aB – боровский радиус, N = 1, 2, … – квантовое число.
Таким образом, квантовые уровни энергии в потенциальной
яме с бесконечными стенками представляют собой разбегающуюся (как N2) последовательность дискретных уровней, их энергия
пропорциональна также 1/Lz2. Волновые функции имеют
синусоидальную форму с числом полупериодов на яму, соответствующим номеру уровня. Учет конечности высоты барьеров не
изменяет картины существенно, за исключением некоторого проникновения волновых функций в барьерную область и деформации зависимости E(N) при приближении к энергии барьера.
При межзонном оптическом поглощении, связанном с переходами из уровней валентной зоны на квантовые уровни электрона,
в яме образуется так называемый «confined», то есть ограниченный, или плененный, квазидвумерный экситон. В предельном
случае полной двумерности, когда Lz << a*, энергия связи его
основного состояния (n = 1) увеличивается до максимального
значения в четыре энергии связи объемного экситона, 4R*3D , и
может быть представлена простой формулой:
R*2 D 
R*3 D
n  1 / 2
2
.
(7.2.3)
При увеличении Lz/a* вплоть до Lz ≈ 10a* энергия связи
продолжает оставаться больше, чем у объемного экситона, а
волновая функция – сжатой во всех направлениях и сплюснутой
вдоль оси z. Типичный спектр поглощения c повторяющимися
многократно квантовыми ямами одинаковой ширины с
относительно широким барьером (так называемыми Multiple
Quantum Wells – MQW) представляет собой последовательность
экситонных максимумов, связанных энергиями связи R*3D <
R*(N, Lz) < R*2D с соответствующими ступеньками плотности
состояний. При увеличении Lz становится возможной ситуация, в
которой Lz > a*e,h, но сравнимо с радиусом экситона a* (радиус
экситона всегда больше боровских радиусов электрона и дырки,
так как приведенная масса электрона и дырки всегда меньше
обеих масс, отдельно взятых). Тогда возможно квантование экситона как целого, но в выражении для ЕN эффективную массу следует заменить на трансляционную массу экситона M = m*e + m*h.
Характерная структура собственно экситонного квантования
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
наблюдается вплоть до размеров Lz >> a*, когда эффекты квантования электронов и дырок по отдельности уже несущественны.
g=д=…,
дл “=м%“2% 2ель…%L !=K%2/
Задание 7-1.
Как изменяются значения Enrl энергетических уровней
частицы дискретного спектра
а) при фиксированном значении l с увеличением пr,
б) при фиксированном значении пr с увеличением l?
Указания и пояснения к решению задания
а) Так как уравнение
  2 d 2  2l( l  1 )

U(
r
)



 2m dr 2
  nr l  Enr l  nr l
2mr 2


(7-1.1)
имеет вид одномерного уравнения Шредингера, то, как и в одномерном случае, можно утверждать, что Enrl (при фиксированном l) возрастает с ростом пr.
б) Рассматривая в уравнении Шредингера (7-1.1) формально l
как непрерывный параметр, согласно формуле (7-1.2)
f n (  )
f
  fn (  )
 fn (  )


(7-1.2)
имеем
2

H   2l  1


 0,
l
l
2mr 2
Enr l
что доказывает возрастание En l с ростом l.
r
Задание 7-2.
Пусть N – номер уровня в центральном потенциале в порядке
возрастания энергии (основному уровню отвечает N = 1). Каковы
для N-го уровня
а) максимально возможное значение момента l,
б) максимально возможная кратность вырождения уровня,
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в) максимально возможная кратность вырождения уровня
при условии, что он имеет определенную четность?
Указания и пояснения к решению задания
а) Имея в виду возрастание Enr с ростом l (при фиксированном nr cм. 7-1), легко сообразить, что независимо от конкретного
вида U(r) в N-м состоянии д. с. значение момента частицы не может превышать lmax = N – 1 (для такого момента значение nr = 0).
б) Максимальная кратность вырождения уровня получается в
случае, когда этому уровню соответствуют состояния со значениями l от 0 до lmax, и равна
N 1
g max ( N )    2l  1  N 2
(7-2.1)
l 0
(такая ситуация реализуется в кулоновском потенциале). При
этом состояниям с данным значением l отвечает пr = N – 1 – l.
в) Так как четность I = (–1)l, то теперь суммирование в (7-1.1)
следует проводить по значениям l определенной четности (четным или нечетным), такой же как и lmax = N – 1. В этом случае
находим g max  N  N  1 / 2 , причем вырожденным состояниям с
данным lmax, lmax – 2,..., 1(0) отвечает nr = (lmax – l)/2 (такая
ситуация реализуется у сферического осциллятора).
j%…2!%ль…/е "%C!%“/
1. Дать общие представления об экситонах.
2. Что называется экситоном Ванье – Мотта?
3. Что называется экситоном Френкеля?
4. Написать выражение для энергетического спектра
экситонов.
5. Нарисовать энергетический спектр экситона Ванье – Мотта
и объяснить его вид.
6. Рассказать о специфике энергетического спектра экситона
в квантовой яме.
7. Написать выражения и привести численные оценки для
характерных величин, характеризующих экситон Ванье – Мотта:
энергию основного уровня, радиус орбиты.
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
o!, л%›е…, е
p=“че2…/е ƒ=д=…,
дл *%мCью2е!…/. "/ч, “ле…, L
П1. Модель Изинга
Простейшей и самой распространенной в статистической физике моделью системы фазовых взаимодействий является модель
Изинга. С этой моделью связана богатая история, которую описал
С. Браш. Модель была предложена В. Ленцем и исследована его
дипломником Э. Изингом с целью изучения фазового перехода из
парамагнитного состояния в ферромагнитное. Изинг рассчитал
термодинамические свойства модели в одномерной постановке и
нашел, что в ней фазовый переход отсутствует. Однако в
двумерном и трехмерном случаях модель Изинга действительно
обнаруживает переход. Природа фазового перехода в двумерном
случае и приложения модели Изинга к столь несхожим системам,
как ферромагнетики и антиферромагнетики, бинарные сплавы,
жидкости и немагнитные материалы, рассматриваются в научной
литературе.
Чтобы познакомиться с моделью Изинга, рассмотрим решетку, содержащую N узлов, и предположим, что с каждым узлом
решетки i связано число si , где si = +1, если спин ориентирован
«вверх», и si = –1, если он ориентирован «вниз». Любая конкретная конфигурация, т. е. микросостояние решетки, задается
набором переменных {s1, s2, … sN} для всех узлов решетки.
Мы знаем, что макроскопические свойства системы определяются свойствами ее достижимых микросостояннй. Следовательно, необходимо знать зависимость энергии Е от конфигурации спинов. Полная энергия при наличии магнитного поля h в
модели Изинга равняется
N
N
i , j 
i 1
E   J  si s j  h  si ,
(П1)
где первая сумма в (П1) берется по всем ближайшим соседним
парам спинов, а вторая сумма  по всем спинам решетки. Константа обменного взаимодействия J является мерой силы взаи124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
модейсттвия между бли
ижайши
ими сосеедними спинами
и (рис. П1).
П
Если J > 0, тоо состояяния 
 и , которы
ые харакктеризую
ются
иентациеей спиноов ближаайших соседей, энергети
ичеодинакоовой ори
ски выггоднее по
п сравн
нению с состоян
ниями  и ,, у котор
рых
соседни
ие спины
ы ориен
нтирован
ны в пр
ротивоп
положны
ые сторо
оны.
Следоваательно,, можно ожидатть, что для
д J > 0 состояяние с наин
меньшеей полной энерргией яввляется ферром
магнитнным, т. е.
е в
среднем
м суммаррное чиссло спин
нов, ори
иентировванных в одном направлен
нии, не равно нулю.
н
Е
Если
J < 0, преедпочтиттельнее состоянияя  и ,
 для которых
к
соседни
ие спины
ы антипаараллелььны,
и можно ожидаать, что состояни
с
ие с наим
меньшей
й энерги
ией являеется
м, т. е. спины упорядоочены ччерез од
дин.
антифеерромагннитным
Если наложить
н
ь внешн
нее «маагнитноее поле»» Н, нааправлен
нное
вверх, то
т спины
ы  и  приобрет
п
тают доп
полнителльную внутренн
нюю
энергию
ю, равнуую h и +h сооттветственно. Оттметим, ччто h иззмеряется в таких единица
е
ах, что магнитны
ый момен
нт на спи
ин равен
н 1.
Рис. П. 1. Энеергия взаи
имодействия межд
ду ближай
йшими сооседними
и
спи
инами в отсутстви
о
е внешнего магниттного полля
Важ
жным доостоинсттвом мод
дели Иззинга явлляется еее просттота.
В рядуу упрощ
щающих предпооложени
ий, полооженныхх в осн
нову
модели, отмети
им такиее: в ней пренебре
п
егается кинетич
к
ческой эн
нерэ
взаимод
дейгией атомов, сввязанныхх с узлаами решеетки; в энергии
у
ется вкллад толлько бли
ижайшихх соседей и пр
редствия учитыва
усматри
ивается только два ди
искретны
ых состоояния д
для спин
нов.
Несмоттря на простоту
п
у модели
и, мы увидим,
у
что онаа проявл
ляет
интерессные своойства.
Дляя хорошо знаком
мого слуучая клаассическких части
иц, коор
рдинаты и скоростти которых могуут прини
имать коонтинуум
м значен
ний,
динамика опрееделяетсся закон
нами Нььютона. В модеели Изи
инга
зависим
мости (П
П1) энерргии от спиново
ой конф
фигураци
ии недостаточно, чтобы определи
о
ить врем
менные свойствва систем
мы. Ины
ыми
словами
и, соотноошение (П1) не говоритт нам, каак меняется систтема
при иззменении
и спиноовой коонфигурации, и нам приходи
ится
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вводить динамику отдельно. Наибольшее распространение для
спиновых систем Изинга получила динамика «опрокидывания
спина». В этой динамике спин выбирается случайным образом и
пробное изменение (испытание Монте-Карло) соответствует
опрокидыванию спина из состояния  в  или из  в .
Применим теперь алгоритм демона к модели Изинга в микроканоническом ансамбле. В одномерной модели Изинга демон
должен выбирать спины случайно, чтобы не попадать на периодически повторяющиеся конфигурации. Поскольку нас интересуют свойства бесконечной системы, нужно учесть краевые
условия. В качестве простейшего краевого условия выбирается
«свободная граница», означающая, что спины в узлах 1 и N
взаимодействуют только с одним ближайшим соседом. Вообще
говоря, лучше выбирать периодические (тороидальные) краевые
условия. В этом варианте решетка превращается в кольцо и
спины в узлах 1 и N взаимодействуют друг с другом, а значит,
имеют такое же число взаимодействий, что и остальные спины.
Чему равны некоторые средние физические величины, которые желательно вычислить? Очевидной физической величиной
является суммарный магнитный момент, или намагниченность
М, определяемый формулой
N
M   si .
(П2)
i 1
(Напомним, что мы положили магнитный момент спина равным
единице.) Обычно интерес представляют средние значения
величины <М> и флуктуации <М2>  <М>2 как функции температуры системы и наложенного магнитного поля. Зависимость
температуры от энергии можно определять двумя способами.
Один состоит в измерении вероятности того, что демон имеет
энергию Ed. Поскольку мы знаем, что эта вероятность пропорциональна ехр(Еd/kBT), то можно определить температуру из
графика логарифма вероятности как функции от Еd. Более легкий
способ определения температуры  измерять среднюю энергию
демона. Однако поскольку в модели Изинга значения энергии
демона не непрерывны, то температура не пропорциональна
средней энергии демона, как это имеет место для идеального газа.
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В пределе бесконечной системы температура для h = 0 связана с
Ed соотношением
kBT / J 
4
.
ln  1  4J / Ed 
(П3)
Формула (П3) получается в результате замены интегралов в выражении (П4) суммами по всем возможным значениям энергии
демона:
Ed   E exp   E / k BT  dE /  exp   E / k BT  dE  k BT .
(П4)
Заметим, что в пределе J/Ed << 1 формула (П3) переходит в
равенство kBT = Ed, что и следовало ожидать.
В программе Ising_demon реализовано микроканоническое
моделирование одномерной модели Изинга с использованием
периодических краевых условий и динамикой опрокидывания
спина. По сравнению с идеальным газом в одномерной модели
Изинга спины нужно выбирать случайным образом.
PROGRAM Ising_demon
! алгоритм демона для одномерной модели Изинга
DIM s(1000)
RANDOMIZE
CALL initial{ N, nmcs, esystem, edemon, s,J,h, mag)
FOR imcs = 1 to nmcs
FOR i = 1 to N
CALL changes( N, esystem, edemon, i, i, h, mag, accept)
! накопление данных после каждого пробного опрокидывания
CALL data{ extern, edemonf mag, escum, magcum, mag2cum, edcum)
NEXT i
NEXT imcs
CALL averages( N, nmcs, J, escum, magcum, mag2cum, edcum, accept)
END
SUB initial ( N, nmcs, esystem, edemon, if), J, h, mag)
INPUT prompt "число спинов = ": N
INPUT prompt "число шагов Монте-Карло на спин = ": nmcs
LET h = 0
! внешнее магнитное поле
INPUT prompt "константа обменного взаимодействия = ": J
INPUT prompt "искомая полная энергия а ": esi
! начальная конфигурация спинов в состоянии с минимальной энергией
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
FOR ispin = 1 to N
LET s( ispin) = 1
NEXT ispin
LET mag = N
! суммарная намагниченность
! вычисляем начальную энергию системы
LET esystem = -(J + h)*N
LET edemon = 4*J*int((esi – esY*tem)/{4*J))
PRINT "полная энергия = "; esystem + edemon
END SUB
SUB changes ( N, esystem, edemon, s( ), J, h, mag, accept)
LET ispin = int(rnd*N + 1)
! случайный спин
! значения соседних спннов находим из периодических краевых условий
IF ispin = 1 then
LET left = s(N)
ELSE
LET left = s(ispin – 1)
END IF
IF ispin = N then
LET right = s(1)
ELSE
LET right = s(ispin + 1)
END IF
! spin flip dynamics
LET de = 2*s(ispin)*(-h + J*(left + right)) ! пробное изменение энергии
IF de <= edemon then
LET s(ispin) = s(ispin)
LET mag = mag + 2*s(ispin)
LET accept = accept + 1
! число принятых изменений
LET edemon = edemon – de
LET esystem = esystem + de
END IF
END SUB
SUB data ( esystem, edemon, mag, escum, magcum, mag2cum, edcum)
! накопление данных
LET edcum = edcum + edemon
LET escum = escum + esystem
LET magcum = magcum + mag
LET mag2cum = mag2cum + mag*mag
END SUB
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
SUB averages (N, nmcs, J, escum, magcum, mag2cum, edcum, accept)
LET norm = 1/(N*nmcs)
! данные собраны no каждому испытанию
LET edave = edcum*norm
LET accept = accept*norm
! коэффициент принятия
! средине на спин
LET norm = norm/N
LET cs AVC = escum*norm
LET magave = magcum*norm
LET mag2ave = mag2cum*norm
PRINT "средняя энергия демона = "; edave
PRINT "средняя энергия системы на спин = "; es_ave
PRINT "средняя намагниченность на спин = "; magave
PRINT "средний квадрат намагниченности на спин = "; mag2ave
PRINT "коэффициент принятия = "; accept
LET temperature = 4*J/log(1 + 4*J/edave)
PRINT "температура = "; temperature
END SUB
Отметим, что для h = 0 обусловленное опрокидыванием спина изменение энергии равно либо 0, либо ±4J. Отсюда начальная
энергия системы и демона должна быть кратна 4J. Поскольку
спины взаимодействуют, то трудно выбрать начальную конфигурацию спинов, имеющую точно требуемую энергию. В процедуре, заложенной в подпрограмму initial, все спины в начальной
конфигурации выбираются ориентированными «вверх», т. е.
формируется конфигурация с минимальной энергией. Преимущество данной конфигурации в том, что можно легко вычислить
полную энергию. После этого энергия демона выбирается так,
чтобы полная энергия системы и демона равнялась искомому
кратному 4J.
Задание П1. Одномерная модель Изинга
а. Используйте программу Ising_demon с N = 100, J = 1, h = 0
и требуемой полной энергией esi = 20. Какая начальная энергия
придается демону в подпрограмме initial? По мере распределения
энергии демона по N спинам все физические величины медленно
меняются. Вычислите скользящее среднее от энергии демона и М
как функции числа шагов Монте-Карло на спин («время»). Обратите внимание, что данные берутся после каждого испытания, а
не после каждого шага Монте-Карло на спин. Чему приближенно
равно время, необходимое для выхода этих величин на равно129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
весн
ные знач
чения? Модифи
М
цируйтее эту проограмму таким образом,
о
,
чтообы в вычислеении срредних от фи
изически
их величин нее
учи
итывалиссь нераввновесны
ые конфи
игураци
ии. Чемуу равны средниее
равновесны
ые значеения <E
Ed>, <М>
> и <М
М2>? Для тестир
рованияя
проограммы
ы вполнее можно взять nmcs
n
= 100,
1
при
и этом точность
т
ь
резуультатовв составит при
иблизительно 20%.
2
Чттобы получитьь
точ
чность нее хуже 5%, nmcss должно
о быть поорядка 11000.
Рис. П2. Одна
О
из 2N возмож
жных кон
нфигураци
ий систем
мы N = 16
6 спинов в моодели Изинга на квадратной решеттке. Покаазаны
также чеетыре перриодическкие копии
и централльной яч
чейки.
Состояни
ие спина «вверх»
» обознач
чено значчком , а состояние «вниз»
«
 значком
з
.
 Обрати
ите внимаание на то
о, что
в квадраатной реш
шетке число ближ
жайших ссоседей равно
р
четырем. При перриодичесских краеевых услоовиях энеергия
нфигураци
ии равна Е = 8J + 4h
изображеенной кон
б. Для параметтров системы, раассмотреенных в п. «а», опреде-литте, исполльзуя сооотношен
ние (П4), равноовесную темпераатуру Т.
Энеергию Е измеряй
йте в еди
иницах J.
J Чему равна
р
сооответсттвующаяя
энергия сисстемы?
в. Вычи
ислите E и T дляя трех сл
лучаев N = 100, J = 1 с essi = 40,,
ите полуученные результтаты с тточным ответом
м
600 и 80. Сравни
дляя бесконечной одномерн
ной реш
шетки, кооторый рравен E//N = –thh
(J/kkBT). Какк вычиссленные вами результат
р
ты для E/N заввисят отт
чиссла спиноов /V и количест
к
тва шаго
ов Монте-Карло на спин
н?
г. Испоользуя результат
р
ты тех же
ж вариаантов, вы
ычислитте <М2>
какк функци
ию от Т. Как вед
дет себяя <М2> с ростом
м T? Воззрастаетт
или
и убываеет?
130
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
д. Модифицируйте программу Ising_demon и проверьте,
подчиняется ли энергия демона распределению Больцмана
P( Ed ) 
1
exp   Ed / k BT  ,
Z
(П5)
где Z – нормировочный множитель, выбираемый из условия
равенства единице суммы по всем состояниям демона.
Введите ненулевое магнитное поле h и вычислите <Ed>, <М>
и <М2> как функции от h для заданной полной энергии E.
Являются ли возможные значения E произвольными? Определите
связь <Еd> с температурой для h  0. Больше или меньше
равновесная температура при той же полной энергии?
Задание П2. Двумерная модель Изинга
а. Обобщите программу Ising_demon на случай двумерной модели Изинга на квадратной решетке с динамикой опрокидывания
спинов. Возьмите решетку со стороной, равной L. Полное число
спинов N равняется N = L2. Используйте периодические краевые
условия, как показано на рис. П2, так чтобы спины в левом стобце
взаимодействовали со спинами в правом столбце и т. д.
б. В отличие от одномерного случая в многомерных решетках спины можно выбирать как последовательно, так и случайно.
Вычислите среднюю энергию демона и <М2> как функции от Е.
Начальные параметры удобно выбрать равными L = 5 и h = 0.
С помощью формулы (П4) определите зависимость температуры
от энергии системы.
в. Модифицируйте свою программу, чтобы сделать несколько
«снимков» конфигураций спинов. Опишите качественно вид этих
конфигураций при различных энергиях и температурах. Упорядочены они или нет? Имеются ли домены спинов, ориентированных
только вверх или вниз?
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
k, 2е!=23!=
rчеK…, *,
1. Ансельм, А. И. Введение в теорию полупроводников
/ А. И. Ансельм. – М. : ГРФМЛ, Наука, 1978. – 615 с.
2. Ашкрофт, Н. Физика твердого тела: в 2 т. Т. 1, 2 / Н. Ашкрофт, Н. Мермин. – М. : Мир, 1979.
3. Биттенкорт, Ж. А. Основы физики плазмы / Ж. А. Биттенкорт. – М. : Физматлит, 2009. – 584 с.
4. Бонч-Бруевич, В. Л. Физика полупроводников // В. Л. БончБруевич, С. Г. Калашников. – М. : ГРФМЛ, Наука, 1977. – 672 с.
5. Гулд, Х. Компьютерное моделирование в физике / Х. Гулд,
Я. Тобочник. – М. : Мир, 1990. – Т. 2. – 399 с.
6. Давыдов, А. С. Теория твердого тела / А. С. Давыдов. –
М. : ГРФМЛ, Наука, 1976. – 639 с.
7. Киттель, Ч. Квантовая теория твердых тел; пер. с англ.
/ Ч. Киттель. – М. : Мир, 1967. – 789 с.
8. Кравченко, А. Ф. Электронные процессы в твердотельных
системах пониженной размерности / А. Ф. Кравченко, В. Н. Овсюк. – Новосибирск, 2000. – 448 с.
9. Левитов, Л. С. Функции Грина. Задачи с решениями
/ Л. С. Левитов, А. В. Шитов. – М. : Физматлит, 2002. – 352 с.
10. Павлов, П. В. Физика твердого тела / П. В. Павлов,
А. Ф. Хохлов. – М. : Высшая школа, 2000. – 494 с.
11. Харрисон, У. Теория твердого тела / У. Харрисон. – М. :
Мир, 1972. – 616 с.
12. Шалимова, К. В. Физика полупроводников / К. В. Шалимова. – М. : Энергоатомиздат, 1985. – 390 с.
l%…%г!=-, ,
1. Абрикосов, А. А. Методы квантовой теории поля в статистической физике / А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялошинский. – М. : Добросвет, Изд. «КДУ», 2006. – 512 с.
2. Агранович, В. М. Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии экситонов / В. М. Агранович, В. Л. Гинзбург. –
М. : Наука, 1979.
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Агранович, В. М. Теория экситонов / В. М. Агранович. –
М. : Наука, 1968.
4. Андо, Т. Электронные свойства двумерных систем
/ Т. Андо, А. Фаулер, Ф. Стерн. – М. : Мир, 1985.
5. Аппель, Дж. Поляроны / Дж. Аппель, Ю. А. Фирсов. – М. :
Наука, 1975.
6. Ахиезер, А. И. Спиновые волны / А. И. Ахиезер,
В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминский. – М. : Наука, 1987. 368 c.
7. Борн, М. Динамическая теория кристаллических решеток
/ М. Борн, Хуан Кунь. – М. : Мир, 1958.
8. Вонсовский, С. В. Магнетизм / С. В. Вонсовский. – М. :
Наука, 1971.
9. Гинзбург, В. Л. Волны в магнитоактивной плазме
/ В. Л. Гинзбург, А. А. Рухадзе. – М. : Наука, 1975.
10. Львов, В. С. Нелинейные спиновые волны / В. С. Львов. –
М. : Наука, 1987.
11. Нокс, Р. Теория экситонов / Р. Нокс. – М. : Мир, 1966.
12. Поверхностные поляритоны / под ред. В. М. Аграновича,
Д. Л. Миллса. – М. : Мир, 1985.
13. Рашба, Э. И. Автолокализация экситонов / Э. И. Рашба
// Экситоны; под ред. Э. И. Рашба, М. Д. Стреджа. – М. : Наука,
1985.
14. Садовский, М. В. Лекции по квантовой теории поля
/ М. В. Садовский. – Екатеринбург, 2002. – Ч. 1, 2.
15. Сейсян, Р. П. Спектроскопия диамагнитных экситонов
/ Р. П. Сейсян – М. : Наука, 1984.
16. Стикс, Т. Теория плазменных волн / Т. Стикс. – М. : Мир,
1965.
17. Уайт, Р. Квантовая теория магнетизма / Р. Уайт. – М. :
Мир, 1985.
18. Фейнман, Р. Статистическая механика / Р. Фейнман. –
М. : Мир, 1978.
19. Шкловский, Б. И. Электронные свойства легированных
полупроводников / Б. И. Шкловский, А. Л. Эфрос. – М. : Наука,
1979.
20. Экситоны / под ред. Э. И. Рашба, М. Д. Стреджа. – М. :
Наука, 1985.
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
21. Spin physics in semiconductors / ed. M. I. Dyakonov. –
Springer-Verlag. – Berlin; Heidelberg, 2008. – 439 p.
22. Joannopoulos, J. D. Photonic Crystals: Molding the Flow of
Light / J. D. Joannopoulos, Y. D. Johnson, J. N. Winn, R. D. Meade. –
Princeton University Press. Princeton and Oxford, 2008. – 286 p.
134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Проказников Александр Владимирович
Šе%!, *"=ƒ, ч=“2, ц
" *%…де…“, !%"=……/. “!ед=.
Учебное пособие
Редактор, корректор М. Э. Левакова
Верстка И. Н. Иванова
Подписано в печать 7.03.2012. Формат 6084 1/16.
Бум. офсетная. Гарнитура "Times New Roman".
Усл. печ. л. 7,90. Уч.-изд. л. 5,93.
Тираж 40 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе
Ярославского государственного университета
им. П. Г. Демидова.
Отпечатано на ризографе.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова.
150000, Ярославль, ул. Советская, 14.
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
136
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
50
Размер файла
1 835 Кб
Теги
1415, проказник, среда, конденсированных, квазичастиц, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа