close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1416.Вещественный анализ на многообразиях Краснов В А

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
В. А. Краснов
ВЕЩЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ НА МНОГООБРАЗИЯХ
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по специальности Математика
Ярославль 2011
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517
ББК В15я73
K78
Рекомедовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2010/2011 учебного года
Рецензенты:
Тихомиров А. С., доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой алгебры ЯГПУ ;
кафедра высшей математики ЯГТУ
Краснов, В. А. Вещественный анализ на многообразиях:
К 78 учебное пособие/ В. А. Краснов; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. −
Ярославль: ЯрГУ, 2011.−164 с.
ISBN 978-5-8397-0817-4
В пособии излагаются дифференциальное и интегральное исчисления на многообразиях. В частности, доказывается формула Стокса для
дифференциальных форм на многообразии, а также рассматриваются
дифференциальные операторы в сечениях векторных расслоений.
Предназначено для студентов университетов, обучающихся по специальности 010101.65 Математика (дисциплина «Анализ на многообразиях», блок ДС), очной формы обучения. Большая часть пособия может
быть полезной и для студентов педагогических университетов, обучающихся по специальности Математика.
УДК 517
ББК В15я73
ISBN 978-5-8397-0817-4
c Ярославский государственный
°
университет им. П. Г. Демидова, 2011
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
1 Введение
5
2 Математический анализ на области в Rn
2.1 Определение дифференциала функции . . . . . . . . .
2.2 Теоремы об обратном отображении и неявной функции
2.3 Внешние дифференциальные формы . . . . . . . . . . .
2.4 Мера Жордана и интеграл Римана . . . . . . . . . . . .
2.5 Сведение кратного интеграла к повторному . . . . . . .
2.6 Замена переменных в кратном интеграле . . . . . . . .
2.7 Интеграл от дифференциальной формы
по ориентированному телу . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Связь интегрирования с дифференцированием . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . 17
. . . . . . . 18
3 Вложенные дифференцируемые многообразия
3.1 Криволинейные координаты и многообразия . . . . . . . . . .
3.2 Первая квадратичная форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Внешние дифференциальные формы на многообразии в Rn . .
3.3.1 Форма ориентированного объема . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Дифференциальные формы, полученные ограничением
3.4 Интеграл от дифференциальной формы
по сингулярным цепям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Интеграл по ориентированному телу на многообразии . . . . .
3.6 Группы линейных преобразований как многообразия . . . . .
3.6.1 Экспонента от матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Группы GL(n, R), SL(n, R), O(n, R), SO(n, R) . . . . .
4 Абстрактные дифференцируемые многообразия
4.1 Топологические пространства . . . . . . . . . . . .
4.2 Топологические многообразия . . . . . . . . . . . .
4.3 Карты и атласы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Дифференцируемые отображения . . . . . . . . .
4.5 Сигма-процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Особенности отображений и функций . . . . . . .
4.6.1 Функции на плоских кривых . . . . . . . .
4.6.2 Функции на пространственных кривых . .
4.6.3 Функции на поверхности . . . . . . . . . .
4.6.4 Огибающая семейства плоских прямых . .
.
.
.
.
.
.
6
6
8
10
12
15
16
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
21
25
31
32
34
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
36
40
40
41
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
43
43
53
56
59
61
69
77
82
86
106
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.6.5 Теория Клейна . . . . . . . . . . . . .
4.7 Векторные поля на многообразии . . . . . .
4.8 Дифференциальные формы на многообразии
4.8.1 Полилинейные отображения . . . . . .
4.8.2 Тензорные поля на многообразии . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Интегрирование на абстрактном многообразии
5.1 Введение меры с помощью римановой метрики . . . . .
5.2 Введение меры с помощью дифференциальной формы
5.3 Интеграл по цепям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Интеграл по многообразию с краем . . . . . . . . . . .
6 Векторные расслоения
и дифференциальные операторы
6.1 Векторные расслоения на многообразии
6.2 Касательное расслоение . . . . . . . . .
6.3 Сечения векторного расслоения . . . . .
6.4 Расслоение струй . . . . . . . . . . . . .
6.5 Дифференциальные операторы . . . . .
6.6 Символ дифференциального оператора
6.7 Ковариантная производная и связность
7 Задачи к зачетам и экзаменам
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
107
109
118
118
130
.
.
.
.
137
. 138
. 139
. 142
. 143
.
.
.
.
.
.
.
146
. 146
. 149
. 150
. 151
. 153
. 155
. 156
159
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
Введение
Данное учебное пособие написано на основе конспектов лекций, которые я читал для студентов пятого курса и магистрантов первого года обучения. Основные
темы, которые рассматриваются, − это дифференцирование и интегрирование.
Сначала мы повторяем соответствующие темы из анализа на области в Rn , причем изложение тем ведется так, чтобы подготовить к анализу на многообразиях.
Затем вводится понятие многообразия в Rn , то есть вложенного многообразия, и
строится анализ на таких многообразиях. Наконец, вводятся абстрактные многообразия, на которых по аналогии с вложенными многообразиями определяются
и изучаются основные конструкции. Чтобы было понятно и удобно студентам
и магистрантам, приходится излагать дополнительно необходимые разделы полилинейной алгебры и топологии. Все это темы одного семестра, когда лекции
слушали студенты и магистранты.
Математический анализ изучает функции, причем в классическом анализе
эти функции определены на числовом множестве (функции одного действительного переменного) или на области в n-мерном арифметическом пространстве
(функции от нескольких действительных переменных). С другой стороны, при
изучении криволинейных и поверхностных интегралов приходится рассматривать функции на кривых и поверхностях, которые дают примеры одномерных
и двумерных многообразий. Также при изучении задач на условный экстремум
приходится рассматривать функции на многомерных вложенных многообразиях.
Тем самым классический анализ вынужден затрагивать анализ на многообразиях. Основная наша цель при изложении вещественного анализа на многообразиях − это сформулировать и доказать современную версию теоремы Стокса (см.,
например, [13]). Эта теорема связывает дифференцирование с интегрированием. Более подробно с дифференциальным исчислением на многообразиях можно
познакомиться по книге [12].
Математический анализ применяется в разных науках (дифференциальной
геометрии, дифференциальных обыкновенных и частных уравнениях, классической механике,. . . ). Современное изложение этих наук требует знаний анализа на
многообразиях. Данное пособие призвано помочь в получении таких знаний. В
связи с этим, кроме основных тем: современная версия теоремы Стокса и теория
многомерных вычетов, мы кратко излагали следующие темы: некоторые примеры дифференцируемых отображений и их особенности, векторные расслоения и
дифференциальные операторы.
В тексте пособия содержится большое число задач. Эти задачи предлагаются
с разными целями. Задачи в темах, которые уже изучались (анализ на области
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в Rn , геометрия, топология), предложенные задачи должны помочь повторить
пройденный материал. Полилинейная алгебра изучается недостаточно, изложить
ее полностью в данной монографии нецелесообразно, поэтому предложенные задачи по полилинейной алгебре должны восполнить пробелы образования (см.
подробности в [8]). Для решения задач по геометрии и топологии можно использовать книги [4], [6], [15], [9], [14]. Задачи, которые предлагаются по новым темам
(по анализу на многообразиях), нужно обязательно решать, так как сформулированные в них результаты могут быть использованы при дальнейшем изложении.
Кроме этого, предложен специальный список задач для зачетов и экзаменов.
Математический анализ на области в Rn
2
Здесь мы даем основные определения и приводим без доказательства основные теоремы. Соответствующий материал является классическим, он излагался
в основном курсе математического анализа (см., например, [3]). Можно сравнить
наше изложение с материалом в книге [13], заметим, что в этой книге изложены
доказательства теорем. Мы не приводим доказательств, исключение составляет
вариант теоремы Стокса для симплекса.
2.1
Определение дифференциала функции
Пусть
f (x) = f (x1 , . . . , xn )
− функция от n-действительных переменных, определенная в окрестности точки
x0 ∈ Rn , ∆x = x − x0 − приращение аргумента,
∆f (x0 ) = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 )
− приращение функции. Заметим, что ∆f (x0 ) является функцией от ∆x и приращение функции имеет следующее полное обозначение ∆f (x0 )(∆x).
Определение 2.1 Линейная функция от ∆x L(∆x) называется дифференциалом функции f (x) в точке x0 , если выполняется соотношение
∆f (x0 ) = L(∆x) + o(∆x)
при ∆x → 0.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заметим, что соотношение α(∆x) = o(∆x) при ∆x → 0 означает по определению, что
α(∆x)
→0
|∆x|
при ∆x → 0. Дифференциал функции f (x) в точке x0 обозначается через df (x0 ),
и если он существует, то выполняется соотношение
∆f (x0 )(∆x) = df (x0 )(∆x) + o(∆x)
при ∆x → 0.
Задача 2.2 Доказать единственность дифференциала.
Дифференциал функции f (x) в точке x0 является линейной функцией от приращения ∆x, поэтому существует разложение
∆f (x0 ) = a1 · ∆x1 + · · · + an · ∆xn ,
где a1 , . . . , an − числа. Эти числа равны частным производным
a1 =
∂f (x0 )
∂f (x0 )
, . . . , an =
.
∂x1
∂xn
Таким образом, имеем разложение
∆f (x0 ) =
∂f (x0 )
∂f (x0 )
· ∆x1 + · · · +
· ∆xn .
∂x1
∂xn
Обозначим через Tx0 Rn множество векторов в Rn с началом в точке x0 , тогда получим векторное пространство, оно называется касательным пространством к Rn в точке x0 . Приращение ∆x является элементом этого пространства,
поэтому дифференциал функции является линейной функцией на касательном
пространстве. Фактически мы рассматриваем на Rn каноническую структуру
аффинного пространства.
Заметим, что из существования дифференциала следует существование частных производных, а обратное утверждение несправедливо. Но если частные производные существуют в окрестности точки x0 и непрерывны в этой точки, то
дифференциал функции в точке x0 также существует. Далее мы рассматриваем
только функции класса C ∞ , то есть функции, которые имеют частные производные любого порядка, такие функции будем называть бесконечно дифференцируемыми или просто дифференцируемыми.
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аналогично определяется дифференциал от векторной функции от n-действительных переменных
f(x) = (f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fm (x1 . . . , xn )).
Для него выполняется равенство
df(x0 ) = (df1 (x0 ), . . . , dfm (x0 )).
Будем записывать векторы в столбец, тогда

  ∂f1 (x0 )
df1 (x0 )
∂x1

.
..


.
df(x0 ) =
=
.
.
∂f
m (x0 )
dfm (x0 )
∂x1
получим матричное равенство
 

1 (x0 )
. . . ∂f∂x
∆x1
n
  .. 
..
...
.
·
.
.
∂fm (x0 )
∆xn
. . . ∂xn
Введем обозначение для матрицы Якоби
 ∂f (x )

∂f1 (x0 )
1 0
.
.
.
∂x1
∂xn

 ∂f(x0 )
..
..
.
.
,
.

=
.
.
∂x
∂fm (x0 )
∂fm (x0 )
. . . ∂xn
∂x1
тогда последнее матричное равенство примет вид
df(x0 ) =
2.2
∂f(x0 )
· ∆x.
∂x
Теоремы об обратном отображении и неявной функции
Определение 2.3 Пусть U, V − открытые множества в Rn . Тогда отображение f : U → V называется диффеоморфизмом, если f − биекция и отображения f, f−1 дифференцируемые.
Теорема 2.4 Пусть f(x) − функция от n-действительных переменных со значениями в Rn , дифференцируемая в окрестности точки x0 , y0 = f(x0 ) и якобиан
∂f(x0 )
Df(x0 )
= det
Dx
∂x
не равен нулю. Тогда существуют открытые окрестности U, V точек x0 , y0
такие, что функция f(x) задает диффеоморфизм этих окрестностей
f : U → V.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим задачу, которая состоит из уравнения
f(x, y) = 0
(2.1)
y(x0 ) = y0 ,
(2.2)
и условия
где x ∈ Rn , y ∈ Rm , f(x, y) ∈ Rm , а требуется найти функцию y = y(x), удовлетворяющую уравнению 2.1 и условию 2.2.
Теорема 2.5 Предположим, что функция f(x, y) дифференцируемая (класса C ∞ )
в окрестности точки (x0 , y0 ), причем определитель матрицы Якоби
∂f(x, y)
∂y
не равен нулю в точке (x0 , y0 ). Тогда в некоторой окрестности точки x0 существует и единственная дифференцируемая функция y(x), которая является
решением задачи 2.1-2.2, то есть выполняется тождество f(x, y(x)) ≡ 0 и
начальное условие y(x0 ) = y0 .
Задача 2.6 Вывести из теоремы 2.5 теорему 2.4, и наоборот.
Следствие 2.7 Пусть U (x0 ) − окрестность точки x0 ∈ Rn и
y = f(x) : U (x0 ) → Rm
− дифференцируемое отображение такое, что ранг матрицы Якоби
∂f(x)
∂x
максимален в точке x0 . Тогда справедливы утверждения:
1) Если n 6 m, то можно так уменьшить окрестность U (x0 ), что существуют открытая окрестность V (y0 ) точки y0 = f(x0 ) в Rm , открытое
множество W ⊂ Rm и диффеоморфизм F : V (y0 ) → W такой, что композиция F ◦ f является стандартным вложением Rn в Rm , то есть
F(f(x1 , . . . , xn )) = (x1 , . . . , xn , . . . , xm ).
2) Если n > m, то можно так уменьшить окрестность U (x0 ), что существуют открытое множество W ⊂ Rn и диффеоморфизм F : U (x0 ) → W
такой, что композиция f ◦ F−1 является стандартной проекцией Rn в Rm , то
есть
f(F−1 (x1 , . . . , xm , . . . , xn )) = (x1 , . . . , xm ).
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.3
Внешние дифференциальные формы
Пусть U − область в Rn . Тогда внешней дифференциальной k-формой в области U называется выражение
X
ai1 ...ik (x) · dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ,
i1 <...<ik
где ai1 ...ik (x) − дифференцируемые функции на U , а выражение dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
является функцией от k векторов v1 , . . . , vk ∈ Tx Rn , определяемой равенством
 i1

v1 . . . v1ik
dxi1 ∧ . . . ∧ dxik (v1 , . . . , vk ) = det  ... . . . ...  .
vki1 . . . vkik
Таким образом, внешняя дифференциальная k-форма
X
ωk =
ai1 ...ik (x) · dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
i1 <...<ik
в каждой точке x ∈ U является функцией от k векторов
v1 , . . . , vk ∈ Tx Rn ,
определяемая равенством
i1
ik 
v
.
.
.
v
1
1
X
.
.
k
.

.
.
.
ω (v1 , . . . , vk ) =
ai1 ...ik (x) · det .
. . .
i1 <...<ik
vki1 . . . vkik

Заметим, что определитель


v1i1 . . . v1ik
det  ... . . . ... 
vki1 . . . vkik
имеет следующий геометрический смысл. Он равен ориентированному объему
параллелепипеда в координатном подпространстве Rk с координатами xi1 , . . . , xik ,
полученного из проекций векторов
v1 , . . . , vk ∈ Tx Rn
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
на это подпространство. Функция ω k (v1 , . . . , vk ) от k векторов
v1 , . . . , vk ∈ Tx Rn
линейно зависит от каждого вектора, то есть является полилинейной функцией,
но кроме этого, она кососимметрическая, то есть выполняется равенство
ω k (vσ(1) , . . . , vσ(k) ) = sgn(σ) · ω k (v1 , . . . , vk ),
где σ − перестановка чисел 1, . . . , k.
В первоначальном определении дифференциальной формы последовательность индексов i1 , . . . , ik возрастающая, если этого не требовать, то можно полагать, что
1 X
k
ai ...i (x) · dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ,
ω =
k! i ,...,i 1 k
1
k
где коэффициенты ai1 ...ik (x) удовлетворяют условию
aiσ(1) ...iσ(k) (x) = sgn(σ) · ai1 ...ik (x).
Символ "∧" называется знаком внешнего умножения. Мы можем определить
внешнее произведение внешних форм
ωk =
1 X
ai ...i (x) · dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ,
k! i ,...,i 1 k
1
k
1 X
ϕ =
bj ...j (x) · dxj1 ∧ . . . ∧ dxj l ,
l! j ,...,j 1 l
l
1
l
если положим
(dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ) ∧ (dxj1 ∧ . . . ∧ dxj l ) = dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxj l
в случае, когда все индексы i1 , . . . , ik , j1 , . . . , j l различные, в противном случае
это произведение равно нулю.
Заметим, что дифференциал функции
df (x) =
X ∂f (x)
i
11
∂xi
dxi
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
является внешней дифференциальной 1-формой, поэтому можем считать, что
внешний дифференциал от k-формы
X
ωk =
ai1 ...ik (x) · dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
i1 <...<ik
будет (k + 1)-форма dω k , определенная равенством
X
k
dω =
dai1 ...ik (x) ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
i1 <...<ik
Задача 2.8 Доказать равенство d(dω k ) = 0.
2.4
Мера Жордана и интеграл Римана
Пусть v0 , . . . , vn − точки в Rn , которые не лежат ни в одной гиперплоскости.
Тогда множество ∆ = ∆(v0 , . . . , vn ) точек
v=
n
X
αi vi ,
i=0
где αi > 0, i = 0, . . . , n, α0 + · · · + αn = 1, образует n-мерный симплекс с
вершинами v0 , . . . , vn (см. рис. 2.1).
Рис. 2.1
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Другими словами, симплекс ∆(v0 , . . . , vn ) является выпуклой оболочкой множества точек {v0 , . . . , vn }. Граница этого симплекса состоит из (n − 1)-мерных
симплексов ∆i = ∆(v0 , . . . , vi−1 , vi+1 , . . . , vn ). Граница каждого симплекса ∆i
состоит из (n − 2)-мерных симплексов ∆ij и т.д. Все симплексы ∆i , ∆ij , . . . называются гранями симплекса ∆. Точки v0 , . . . , vn являются 0-мерными гранями,
они называются вершинами.
Пусть v0 = (v01 , . . . , v0n ), . . . , vn = (vn1 , . . . , vnn ), тогда число, равное
 1

v0 . . . v0n 1
1
· | det  ... . . . ... ...  |
n!
vn1 . . . vnn 1
называется n-мерным объемом симплекса ∆ = ∆(v0 , . . . , vn ) (почему?) и обозначается через Vn (∆).
Задача 2.9 Показать, что при n = 1, 2, 3 формула объема симплекса Vn (∆) соответственно определяет длину отрезка, площадь треугольника, объем тетраэдра.
Назовем множество K многогранником, если его можно представить в виде
конечного объединения симплексов K = ∆1 ∪ . . . ∪ ∆k , которые пересекаются
только по целой грани. Заметим, что такое представление в виде объединения
симплексов не единственное, если такое представление выбрано, то будем называть K триангулированным многогранником. По определению объем такого
многогранника Vn (K) равен
k
X
V (∆i ).
i=1
Задача 2.10 Доказать корректность определения объема многогранника, то
есть независимость от триангуляции.
Определение 2.11 Множество Ω ⊂ Rn имеет нулевой объем, если для каждого числа ε > 0 существует многогранник K с объемом меньше ε, содержащий
Ω, то есть
Ω ⊂ K, Vn (K) < ε.
В этом случае пишем Vn (Ω) = 0.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 2.12 Доказать утверждения:
1) Если Ω1 ⊂ Ω2 и V (Ω2 ) = 0, то также V (Ω1 ) = 0.
2) Если V (Ω1 ) = 0, V (Ω2 ) = 0, то также V (Ω1 ∪ Ω2 ) = 0.
3) Если K − многогранник и ∂K его граница, то V (∂K) = 0.
4) Если Γf − график непрерывной функции f : K → R на компактном
множестве K ⊂ Rn−1 , то V (Γf ) = 0.
5) Если Ω ⊂ Rn − компактное множество с нулевым объемом и множество A(Ω) получено из Ω с помощью дифференцируемого отображения
A : U (Ω) → Rn ,
где U (Ω) − окрестность Ω, то также V (A(Ω)) = 0.
Компактное множество Ω ⊂ Rn называется жордановым, если объем его
границы равен нулю.
Задача 2.13 Доказать утверждения:
1) Каждый многогранник является жордановым множеством.
2) Если Ω ⊂ Rn − компактное множество с нулевым объемом, то Ω −
жорданово множество.
3) Если Ω1 , Ω2 − жордановы множества, то также их объединение Ω1 ∪Ω2
− жорданово множество.
4) Если Ω ⊂ Rn − жорданово множество и множество A(Ω) получено из
Ω с помощью диффеоморфизма A : U (Ω) → U 0 ⊂ Rn , где U (Ω) − окрестность
Ω, то также A(Ω) − жорданово множество.
Если Ω ⊂ Rn − жорданово множество, то его мера Жордана (объем) определяется равенством
m(Ω) = sup Vn (K),
K⊂Ω
где supremum берется по многогранникам K, содержащимся в Ω.
Задача 2.14 Доказать утверждения:
1) Если Ω ⊂ Rn является многогранником, то m(Ω) = Vn (Ω).
2) Доказать аддитивность меры Жордана, то есть если Ω = Ω1 ∪ Ω2 , где
Ω1 , Ω2 − жордановы множества, пересекающиеся только по границе, то
m(Ω) = m(Ω1 ) + m(Ω2 ).
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть
Ω ⊂ Rn
− жорданово множество, жорданово разбиение этого множества − это представление его в виде объединения Ω = Ω1 ∪ . . . ∪ Ωk , где Ω1 , . . . , Ωk − жордановы
множества, пересекающиеся только по границе. Отметим в каждом множестве Ωi
этого жорданового разбиения по точке ξi , тогда получим жорданово разбиение с
отмеченными точками, обозначим его через R. Число, равное
max diam(Ωi ),
i
будем обозначать через δ(R) и называть мелкостью разбиения R. Пусть f (x)
− ограниченная действительная функция на жордановом множестве Ω ⊂ Rn ,
множество точек разрыва которой имеет нулевой объем. Сумму
k
X
f (ξi ) · Vn (Ωi )
i=1
будем обозначать через SR (f ) и называть интегральной суммой Римана функции f , составленной по разбиению с отмеченными точками R. Интеграл Римана функции f (x) по множеству Ω по определению равен пределу интегральных сумм
k
X
lim SR (f ) = lim
f (ξi ) · Vn (Ωi ).
δ(R)→0
δ(R)→0
i=1
Он обозначается через
Z
Z
Z
f (x) dx = · · · f (x1 , . . . , xn ) dx1 · · · dxn .
Ω
2.5
Ω
Сведение кратного интеграла к повторному
Пусть жорданово множество Ω ⊂ Rn определяется неравенствами:
ϕ(x0 ) 6 xn 6 ψ(x0 ),
где
ϕ(x0 ) = ϕ(x1 , . . . , xn−1 ), ψ(x0 ) = ψ(x1 , . . . , xn−1 )
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
− непрерывные функции на жордановом множестве Ω0 ⊂ Rn−1 . Тогда для функции f (x) = f (x, xn ), множество точек разрыва которой на множестве Ω имеет
нулевой объем, выполняется равенство
Z
Z
···
Z
f (x) dx =
0
ψ(x
Z )
Z
···
dx0
Ω0
Ω
f (x0 , xn ) dxn .
ϕ(x0 )
Пусть теперь жорданово множество Ω ⊂ Rn определяется системой неравенств с непрерывными функциями:
 0
x1 6 x1 6 x001



x0 (x ) 6 x 6 x00 (x )
2
2 1
2 1
.
..



 0
xn (x1 , . . . , xn−1 ) 6 xn 6 x00n (x1 , · · · , xn−1 ).
Тогда выполняется равенство
Z
Z
· · · f (x1 , . . . , xn ) dx1 · · · dxn =
Ω
x01
2.6
f (x1 , . . . , xn ) dxn .
dx2 . . .
dx1
=
x00n (x1Z,...,xn−1 )
00
xZ
2 (x1 )
00
Zx1
x02 (x1 )
x0n (x1 ,...,xn−1 )
Замена переменных в кратном интеграле
Пусть набор функций


x1 = x1 (t1 , . . . , tn )
..
.


xn = xn (t1 , . . . , tn )
определяют диффеоморфизм областей Ut → Ux , Ωt − жорданово множество в
Ut , а Ωx − его образ в области Ux , f (x1 , . . . , xn ) − ограниченная функция на
Ωx , множество точек разрыва которой имеет нулевой объем. Тогда выполняется
равенство
Z
Z
· · · f (x1 , . . . , xn ) dx1 · · · dxn =
Ωx
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Z
=
Z
···
Ωt
2.7
¯
¯
¯ D(x1 , . . . , xn ) ¯
¯ dt1 · · · dtn .
f (x1 (t1 , . . . , tn ), . . . , xn (t1 , . . . , tn )) ¯¯
D(t1 , . . . , tn ) ¯
Интеграл от дифференциальной формы
по ориентированному телу
Прежде всего мы рассмотрим дифференциальные формы на аффинном пространстве. Заметим, что здесь дается только предварительное изложение данной
темы. Подробно мы рассмотрим дифференциальные формы позднее.
Напомним, что n-мерное аффинное пространство состоит из множества точек M и n-мерного векторного пространства V , причем каждой паре точек A, B
сопоставляется вектор AB ∈ V , это сопоставление удовлетворяет естественным
требованиям, которые мы не формулируем (см. подробности в [8]). Выберем точку O ∈ M и базис e1 , . . . , en ∈ V , то есть аффинную систему координат, тогда
каждая точка p ∈ M приобретает координаты x1 , . . . , xn , а именно, координаты
вектора Op, благодаря чему множество точек M отождествляется с Rn . Следовательно, можно говорить об открытых множествах, то есть топологии, на M .
Предлагается проверить, что эта топология не зависит от выбора аффинной системы координат. Пусть p ∈ M , тогда через Tp M обозначим множество векторов
с началом в точке p (формально, это множество пар (p, v), v ∈ V ), оно является
векторным пространством, канонически изоморфным V . Векторное пространство Tp M называется касательным пространством в точке p. Пусть U ⊂ M −
область и для каждой точки p ∈ U определена кососимметрическая полилинейная форма ωpk , тогда по определению получаем дифференциальную k-форму на
U , которая в координатах x1 , . . . , xn имеет представление
X
ai1 ...ik (p) · dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
i1 <...<ik
Будем предполагать, что аффинное пространство ориентированно, то есть V −
ориентированное векторное пространство. Напомним, что ориентация на V задается базисом, причем два базиса задают одинаковую ориентацию, если положителен определитель матрицы перехода от одного базиса к другому. Выберем
начальную точку O ∈ M и базис на V . Мы предполагаем, что выбранный базис
задает ориентацию V , которая имелась там ранее. Тогда можно отождествить
M с Rn . Благодаря отождествлению M = Rn мы можем определить компактные жордановы множества в M . Предлагается проверить, что определение компактного жорданова множества в M не зависит от выбора аффинной системы
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
координат. Пусть Ω ⊂ M − компактное жорданово множество, ω n − n-мерная
дифференциальная форма, определенная и дифференцируемая в окрестности K.
Тогда определен интеграл
Z
ωn.
Ω
Действительно, выбранная система координат определяет координаты x1 , . . . , xn
на M , поэтому форма ω n имеет представление
ω n = f (x1 , . . . , xn )dx1 ∧ . . . ∧ dxn ,
и по определению полагаем
Z
Z
Z
ω n = · · · f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn ,
Ω
Ω
где справа стоит обычный кратный интеграл. Предлагается проверить, что определение интеграла от дифференциальной формы не зависит от выбора системы
координат, но при изменении ориентации он умножается на −1. Эти факты проверяются с помощью формулы замены переменных в кратном интеграле. Заметим также, что канонической меры Жордана на ориентированном аффинном
пространстве нет, поэтому интеграл от функции не определен, мы определили
только интеграл от дифференциальной формы.
2.8
Связь интегрирования с дифференцированием
Пусть p0 , . . . , pn − точки в n-мерном аффинном пространстве (M, V ), которые
не лежат в гиперплоскости. Тогда выпуклая оболочка этих точек называется
симплексом и обозначается через ∆ = ∆(p0 , . . . , pn ). Если выбрать аффинную
систему координат
O = p0 , e1 = p0 p1 , . . . , en = p0 pn ,
то симплекс ∆(p0 , . . . , pn ) определяется системой неравенств

x1 > 0



..
.

xn > 0



x1 + · · · + xn 6 1.
Каноническая ориентация на симплексе ∆(p0 , . . . , pn ) задается базисом
p0 p1 , . . . , p0 pn .
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Грани симплекса ∆ − это (n − 1)-мерные симплексы
∆i = ∆(p0 , . . . , pi−1 , pi+1 , . . . , pn ), i = 0, . . . , n.
Каждый такой симплекс лежит в аффинной гиперплоскости, проходящей через точки p0 , . . . , pi−1 , pi+1 , . . . , pn , объединение их дает границу первоначального
симплекса ∆. Если i-четное, то на грани ∆i выбираем каноническую ориентацию,
в противном случае берем противоположную ориентацию. Тогда получаем ориентированную границу ∂∆ симплекса ∆.
Задача 2.15 Показать, что выбор ориентации на гранях симплекса согласуется с правилами выбора ориентации на границе плоской фигуры и с правилом
выбора ориентации на границе тела в трехмерном пространстве.
Пусть ω n−1 − (n-1)-мерная внешняя дифференциальная форма, определенная и дифференцируемая в окрестности симплекса ∆. Мы можем ограничить
ее на грань ∆i и проинтегрировать, так как на ней выбрана ориентация. Сумму
интегралов по граням будем называть интегралом по границе и обозначать через
Z
ω n−1 .
∂∆
С помощью выражения формы ω n−1 в координатах
ω
n−1
=
n
X
ai (x1 , . . . , xn ) · dx1 ∧ . . . ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ . . . ∧ dxn
i=0
определен внешний дифференциал
à n
!
X
∂ai (x1 , . . . , xn )
(−1)i−1
dω n−1 =
· dx1 ∧ . . . ∧ dxn ,
∂x
i
i=0
который является внешней дифференциальной n-формой, определенной и дифференцируемой в окрестности симплекса ∆. Предлагается, что он не зависит от
выбора аффинной системы координат. Следовательно, определен интеграл от
этой формы по ориентированному симплексу ∆, который обозначается через
Z
dω n−1 .
∆
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 2.16 Выполняется равенство
Z
Z
ω n−1 = dω n−1 .
∆
∂∆
Доказательство. Достаточно проверить это равенство для форм вида
ω n−1 = b(x1 , . . . , xn ) · dx1 ∧ . . . ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ . . . ∧ dxn , i = 1, . . . , n.
Тогда ограничение такой формы на грани ∆j будет нулевой формой при
j = 1, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n. Поэтому
Z
Z
Z
ω n−1 = ω n−1 + ω n−1 =
∂∆
Z
= (−1)i−1
b(x1 , . . . , xi−1 , 1 −
∆0
X
∆i
xj , xi+1 , . . . , xn ) · dx1 . . . dxi−1 dxi+1 . . . dxn +
j6=i
∆i
Z
+(−1)i
b(x1 , . . . , xi−1 , 0, xi+1 , . . . , xn ) · dx1 . . . dxi−1 dxi+1 . . . dxn .
∆i
С другой стороны, имеем
Z
Z
∂b(x1 , . . . , xn )
· dx1 . . . dxn =
dω n−1 = (−1)i−1
∂xi
∆
∆
1−
Zj6=i
Z
= (−1)i−1
= (−1)i−1
b(x1 , . . . , xi−1 , 1 −
∆i
xj
b(x1 , . . . , xn )dxi =
dx1 . . . dxi−1 dxi+1 . . . dxn
0
∆i
Z
P
X
xj , xi+1 , . . . , xn ) · dx1 . . . dxi−1 dxi+1 . . . dxn +
j6=i
Z
+(−1)i
b(x1 , . . . , xi−1 , 0, xi+1 , . . . , xn ) · dx1 . . . dxi−1 dxi+1 . . . dxn .
∆i
Теорема доказана.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 2.17 Показать, что на плоскости теорема дает формулу Грина для
треугольника, а в пространстве теорема дает формулу Остроградского для
тетраэдра.
Чтобы сформулировать и доказать аналог формулы Стокса о поверхностных
интегралах, нам потребуется рассмотреть вложенные дифференцируемые многообразия.
3
Вложенные дифференцируемые многообразия
В этой части мы будем изучать математический анализ на многообразиях,
вложенных в Rn . Вложенные многообразия обладают канонической римановой
метрикой (первой квадратичной формой). Поэтому мы строим математический
анализ на специальных римановых пространствах.
Заметим, что наше определение вложенного многообразия отличается от стандартных определений через систему уравнений (см., например, [11]). Мы определяем вложенные многообразия через криволинейные координаты в Rn .
3.1
Криволинейные координаты и многообразия
Система координат в области U ⊂ Rn − это набор дифференцируемых
функций (класса C ∞ )
y1 = y1 (x), . . . , yn = yn (x),
удовлетворяющих условиям:
D(y1 ,...,yn )
1) Якобиан J = D(x
не обращается в нуль на U ;
1 ,...,xn )
2) Отображение y = y(x) : U → Rn , заданное набором функций
y1 = y1 (x), . . . , yn = yn (x),
является биекцией на область V ⊂ Rn .
Пример. Аффинные координаты y1 , . . . , yn на Rn определяются равенствами
y1 = a11 x1 + · · · a1n xn + b1
..
.
yn = an1 x1 + · · · ann xn + bn ,
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где квадратная матрица коэффициентов


a11 · · · a1n
 ... . . . ... 
an1 · · · ann
имеет ненулевой определитель. Рассмотрим множество M в Rn , заданное системой уравнений
yk+1 = 0, . . . , yn = 0,
где y1 , . . . , yn − аффинные координаты. Тогда множество M является аффинным
k-мерным подпространством (многообразием) в Rn .
Пример. Сферические координаты r, ϕ1 , . . . , ϕn−1 в Rn вводятся по формулам:
x1 = r cos ϕ1 ,
x2 = r sin ϕ1 cos ϕ2 ,
x3 = r sin ϕ1 sin ϕ2 cos ϕ3 ,
..
.
xn−1 = r sin ϕ1 sin ϕ2 . . . sin ϕn−2 cos ϕn−1 ,
xn = r sin ϕ1 sin ϕ2 . . . sin ϕn−2 sin ϕn−1 .
Эти формулы определяют однозначные функции
r = r(x), ϕ1 = ϕ1 (x), . . . , ϕn−1 = ϕn−1 (x),
если потребовать выполнения условий:
0 < r < +∞, 0 < ϕ1 < π, . . . , 0 < ϕn−2 < π, 0 < ϕn−1 < 2π.
Заметим, что якобиан
D(x1 , . . . , xn )
= rn−1 sinn−2 ϕ1 sinn−3 ϕ2 · · · sin ϕn−2
D(r, ϕ1 , . . . , ϕn−1 )
не равен нулю при выполнении верхних условий.
Задача 3.1 Дать геометрическое описание сферических координат в Rn .
Рис. 3.1
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим уравнение yn (x) = c, оно определяет координатную гиперповерхность в U (см. рис. 3.1). Функции y1 (x), . . . , yn−1 (x) задают систему координат
на этой гиперповерхности. Рассмотрим систему уравнений
yk+1 (x) = ck+1 , . . . , yn (x) = cn ,
она определяет координатную k-мерную поверхность в U . Функции
y1 (x), . . . , yk (x)
задают систему координат на этой поверхности. Если мы ограничимся случаем
n = 2, то каждое из уравнений y1 = c1 , y2 = c2 определяет координатную линию.
Рис. 3.2
Через каждую точку области U проходят две координатные линии (см. рис.
3.2). С помощью криволинейных координат мы дадим определение дифференцируемого многообразия в Rn . Это понятие обобщает понятие кривой и поверхности
в R3 .
Множество M ⊂ Rn называется дифференцируемым k-мерным многообразием, если для каждой точки x0 ∈ M существует окрестность U (x0 ) с криволинейными координатами y1 , . . . , yn такими, что уравнения yk+1 = 0, . . . , yn = 0
определяют множество M ∩ U (x0 ) (см. рис. 3.3).
Рис. 3.3
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим, например, сферу S n−1 , заданную уравнением
x21 + · · · + x2n = 1.
Покажем, что она является (n − 1)-мерным многообразием. Пусть
y1 = x21 + · · · + x2n − 1,
тогда
∂y1
∂xi
= 2xi . Если теперь x0 ∈ S n−1 и x0i 6= 0, то набор функций


y1 = x21 + · · · + x2n − 1





y 2 = x1



..


.
yi = xi−1



yi+1 = xi+1



..


.



y = x
n
n
образует криволинейную систему координат в окрестности U (x0 ). Это следует
из того, что
D(y1 , . . . , yn )
6= 0
D(x1 , . . . , xn )
в окрестности точки x0 .
Пусть U − область в Rn и M ⊂ U − множество, заданное системой уравнений
Fk+1 (x) = 0, . . . , Fn (x) = 0,
где Fk+1 (x), . . . , Fn (x) − дифференцируемые функции (класса C ∞ ) на U , причем
ранг матрицы
 ∂F

∂Fk+1
k+1
. . . ∂xn
 ∂x.. 1 . .
.. 
.
 .
. 
∂Fn
∂Fn
. . . ∂xn
∂x1
в каждой точке x ∈ M максимален, то есть равен n − k. Тогда множество M
является k-мерным многообразием. Действительно, если x0 ∈ M и, например,
определитель
¯ ∂F
¯
¯ k+1 . . . ∂Fk+1 ¯
¯ ∂xk+1
∂xn ¯
¯ ..
.. ¯¯
.
..
¯ .
.
¯ ∂Fn
¯
∂F
¯ ∂x
. . . ∂xn ¯
k+1
n
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
не равен нулю в точке x0 , то система функций

y1 = x1




..

.



y = x
k
k

yk+1 = Fk+1 (x)



.

..




yn = Fn (x)
задает систему криволинейных координат в окрестности U (x0 ), причем пересечение M ∩ U (x0 ) определяется системой уравнений
yk+1 = 0, . . . , yn = 0.
Таким образом, множество M является k-мерным многообразием.
Заметим, что аналогичный результат имеет место, если M задается системой
уравнений
Fk+1 (y) = 0, . . . , Fn (y) = 0,
где y = (y1 , . . . , yn ) − криволинейная система координат в области U . Доказательство то же самое.
Задача 3.2 Пусть M ⊂ Rn − k-мерное дифференцируемое многообразие. Показать, для каждой точки x0 ∈ M существует окрестность U (x0 ) ⊂ Rn такая,
что множество M ∩ U (x0 ) задается системой уравнений
Fk+1 (x) = 0, . . . , Fn (x) = 0,
где Fk+1 (x), . . . , Fn (x) − дифференцируемые функции (класса C ∞ ) на U (x0 ), причем ранг матрицы
 ∂F

∂Fk+1
k+1
.
.
.
∂xn
 ∂x.. 1 . .
.. 
.
 .
. 
∂Fn
∂Fn
. . . ∂xn
∂x1
в каждой точке x ∈ M ∩ U (x0 ) максимален, то есть равен n − k.
3.2
Первая квадратичная форма
Функции u1 , . . . uk в области U ⊂ M k-мерного многообразия M называются
локальными координатами, если их можно продолжить до дифференцируемых
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
функций в окрестности множества U ⊂ Rn и дополнить их там дифференцируемыми функциями uk+1 , . . . un так, чтобы функции
u1 , . . . uk , uk+1 , . . . un
давали криволинейную систему координат. Иными словами, функции u1 , . . . , uk
получаются из некоторой криволинейной системы координат, участвующей в
определении M как k-мерного дифференцируемого многообразия. Отображение
включения M в Rn определяет n дифференцируемых функций
x1 (u1 , . . . uk ), . . . , xn (u1 , . . . uk ).
Эти функции будут коротко обозначаться через x(u1 , . . . uk ), где x = (x1 , . . . , xn ).
Они задают локальную параметризацию многообразия M . Каждый из векторов
x0u1 (u), . . . , x0uk (u)
по определению считается касательным вектором к многообразию M в точке u.
Линейная оболочка этих касательных векторов называется касательным пространством и обозначается через Tu M . Следующие задачи комментируют это
определение (см. рис. 3.4).
Рис. 3.4
Задача 3.3 1). Показать, что определение касательного пространства Tu M
корректно, то есть не зависит от выбора локальной параметризации
x = x(u1 , . . . uk ).
2). Показать, что вектор скорости x0t (0) дифференцируемой параметрической кривой
x = x(t) : (ε, ε) → M, x(0) = x0
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
принадлежит касательному пространству Tx0 M .
3). Показать, что каждый касательный вектор v ∈ Tx0 M можно представить как вектор скорости дифференцируемой параметрической кривой.
4). Рассмотрим множество пар
{(x, v) | x ∈ M, v ∈ Tx M } ⊂ R2n .
Оно называется касательным расслоением к многообразию M и обозначается
через T M . Показать, что T M является дифференцируемым многообразием в
R2n .
Скалярное произведение векторов определяет на касательном пространстве
первую квадратичную форму. В базисе x0u1 (u), . . . , x0uk (u) она задается симметрической матрицей (gij (u)) = (x0ui (u), x0uj (u)). Таким образом, первая квадратичная
форма имеет вид
X
ds2 =
gij (u)dui duj .
i,j
Заметим, что дифференциалы dui , i = 1, . . . , k, являются функциями на касательных векторах: если v = v1 x0u1 + · · · + vk x0uk , то dui (v) = vi . Тогда ds2 функция
на касательных векторах такая, что ds2 (v) = v2 .
С помощью первой квадратичной формы можно вычислять длину кривой на
многообразии M . Если кривая лежит целиком в области определения параметров
u1 , . . . , uk , то есть имеет параметрические уравнения u = u(t) = (u1 (t), . . . , uk (t)),
то имеем формулу
Z b³X
´1/2
i
j
dt.
s(Γ) =
gij (u(t)) u̇ (t)u̇ (t)
a
i,j
Предполагается, что параметризация u = u(t) класса C 1 .
Докажем эту формулу. Кривая Γ также находится в объемлющем пространстве Rn и координатах этого пространства имеет параметризацию x = x(u(t)).
Длина кривой в пространстве Rn вычисляется по формуле
Z b
s(Γ) =
|x0 (t)| dt.
a
С другой стороны, имеем
0
2
0
0
|x (t)| = (x (t), x (t)) =
³X
x0ui (u(t)) u̇i (t),
i
X
j
27
´
x0uj (u(t)) u̇j (t)
=
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
=
X¡
X
¢
gij (u(t)) u̇i (t)u̇j (t).
x0ui (u(t)), x0uj (u(t)) u̇i (t)u̇j (t) =
i,j
i,j
Далее U − область на дифференцируемом k-мерном многообразии M ⊂ Rn ,
на которой определены параметры u1 , . . . , uk . Пусть L(u, v) − функция класса
C ∞ точки u = (u1 , . . . , uk ) ∈ U и касательного вектора v = (v 1 , . . . , v k ) ∈ Tu U в
этой точке. Рассмотрим фиксированную пару точек u0 , u1 ∈ U и всевозможные
кривые класса C ∞ α(t), t0 6 t 6 t1 (с фиксированными t0 , t1 ) в области U ,
соединяющие эти точки: α(t0 ) = u0 , α(t1 ) = u1 . Рассмотрим теперь величину
Z t1
S[α] =
L(α(t), α̇(t)) dt,
t0
она называется действием. На какой кривой α(t) действие S[α] будет минимальным?
Лемма 3.4 Если S[α] минимально, то для любой вектор-функции β(t) класса
C ∞ , обращающейся в нуль на концах t0 , t1 выполняется тождество
¯
d
S[α + εβ]¯ε=0 = 0.
dε
Доказательство получается из того, что функция S[α + εβ] в точке ε = 0 принимает минимальное значение.
Теорема 3.5 Если величина
Z
t1
S[α] =
L(α(t), α̇(t)) dt
t0
достигает минимума на некоторой кривой α(t) = x(t), то вдоль кривой x(t)
выполнены уравнения
µ
¶
∂L
d ∂L
−
= 0, i = 1, . . . , n,
(3.1)
dt ∂ ẋi
∂xi
где
∂L
∂L(x, v) ¯¯
=
,
v=ẋ
∂ ẋi
∂v i
¶ ³X
µ
n
n
´¯
X
∂ 2L
∂ 2L
d ∂L
¯
=
ẍj +
ẋj ¯ .
i
j
i
j
v=ẋ
dt ∂ ẋi
∂v ∂v
∂v ∂x
j=1
j=1
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Доказательство. Развернем выражение
¯
d
S[α + εβ]¯ε=0 ,
dε
тогда имеем
¯
d
S[α + εβ]¯ε=0 =
dε
Z
t1
Ã
X µ ∂L
t0
∂xi
i
βi +
∂L
β̇i
∂v i
¶!
dt = 0,
(3.2)
где интеграл вычислен вдоль кривой α(t) = x(t). Это равенство верно для любой вектор-функции β(t) класса C ∞ такой, что β(t0 ) = β(t1 ) = 0. С помощью
интегрирования по частям получаем равенства
µ
¶ ¯¯t1 Z t1 µ
¶
¶
Z t1
Z t1 µ
∂L
∂L
d ∂L
d ∂L
¯
β̇ dt =
βi ¯ −
βi dt = −
βi dt.
i i
¯
∂v i
∂v i
∂v i
t0 ∂v
t0 dt
t0 dt
t0
Тогда равенство 3.2 можно записать следующим образом
¸ !
Z t1 ÃX ·
¯
d
d
∂L
∂L
−
βi dt = 0.
S[α + εβ]¯ε=0 =
dε
∂x
dt
∂
ẋ
i
i
t0
i
(3.3)
Так как функции β1 (t), . . . , βn (t) могут быть любыми функциями C ∞ , обращающимися в нуль в точках t0 , t1 , то равенство 3.3 равносильно системе равенств 3.1.
Теорема доказана.
Заметим, что решения системы уравнений 3.1 называются экстремалями
функционала действия S[α]. Они дают необходимые условия для того, чтобы
значение S[α] на заданной кривой α(t) = u(t) было экстремальным. Имеются
достаточные условия для этого, про них рассказывалось в курсе "Методы оптимизации".
На области U определена первая квадратичная форма
X
2
ds =
gij (x)dxi dxj .
i,j
Рассмотрим функционал
Z t1
Z
2
S[α] =
|α̇(t)| dt =
t0
t1
³X
t0
i,j
29
´
gij (α(t))α̇i (t)α̇j (t) dt.
(3.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 3.6 Экстремали функционала 3.4 называются геодезическими.
Выведем дифференциальные уравнения геодезических. Так как
X
L(u, v) =
gkl (u)v m v l ,
m,l
то
∂L X ∂gjl j l
=
v v.
∂xi
∂ui
X
∂L
=2
gil v l ,
i
∂v
j,l
l
Поэтому уравнение 3.1 имеет вид
2
X
gil ül + 2
X ∂gil
l
j,l
Так как
∂u
X
u̇j u̇l −
j
X ∂gjl
j,l
∂ui
u̇j u̇l = 0.
gil g im = δlm ,
i
то получаем
m
ü +
X ³ X ³ ∂gil
i
jl
Коэффициенты
1 ∂gjl ´ ik ´ j l
−
g u̇ u̇ = 0.
∂uj 2 ∂ui
1 ∂gjl ´ im
g
−
∂uj 2 ∂xi
X ³ ∂gil
i
Γm
jl
обозначают через
и называют символами Кристоффеля. Таким образом, получаем, что предыдущее уравнение имеет вид
X
m
ü +
Γkjl u̇j u̇l = 0,
j,l
где
Γm
jl
=
X ³ ∂gil
i
1 ∂gjl ´ im
−
g .
∂uj 2 ∂ui
Это искомые уравнения геодезических.
Задача 3.7 Доказать равенство
X 1 ³ ∂gil ∂gjl ∂gij ´
m
−
+
g im .
Γjl =
j
i
l
2 ∂u
∂u
∂u
i
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 3.8 Показать, что экстремали функционала
Z t1
Z t1 ³ X
´1/2
S=
|α̇(t)| dt =
gij (α(t))α̇i (t)α̇j (t)
dt
t0
t0
i,j
будут также совпадать с геодезическими, если рассматривать параметрические кривые с параметром, пропорциональным натуральному параметру.
Определим расстояние %(A, B) между точками A, B ∈ M как
inf s(Γ),
Γ
где infimum берется по всем кривым, соединяющим точку A с точкой B. Из
последней задачи следует, что если существует кривая Γ такая, что
%(A, B) = s(Γ),
то эта кривая должна быть геодезической.
3.3
Внешние дифференциальные формы на многообразии
в Rn
Пусть U ⊂ M − область и для каждой точки p ∈ U определена кососимметрическая полилинейная форма ωpq на касательном пространстве Tp M , тогда
по определению получаем дифференциальную q-форму на U . Если на области
U определены параметры u1 , . . . , uk , то они продолжаются до дифференцируемых функций на окрестность множества U в Rn , поэтому на этой окрестности
определена дифференциальная форма dui1 ∧ . . . ∧ duiq . Будем применять эту
форму только к векторам из касательных пространств Tp M, p ∈ U , тогда получим дифференциальную форму на U . Предлагается проверить, что полученная
дифференциальная форма на U не зависит от продолжения параметров. Полученную дифференциальную форму будем обозначать через dui1 ∧ . . . ∧ duiq . Если
на области U определены параметры u1 , . . . , uk , то каждая форма ωpq имеет на U
представление
X
q
ωp =
ai1 ...iq (p)dui1 ∧ . . . ∧ duiq .
i1 <...<iq
Рассмотрим примеры дифференциальных форм на многообразии M в Rn .
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.3.1
Форма ориентированного объема
С помощью первой квадратичной формы можно вычислять объем тела на
многообразии M . Для этого рассмотрим определитель
¯
¯
¯ g11 (u) . . . g1k (u) ¯
¯
¯
..
..
...
¯,
G = ¯¯
.
.
¯
¯ gk1 (u) . . . gkk (u) ¯
он называется определителем Грама системы векторов
x0u1 (u), . . . , x0uk (u)
и равен квадрату объема к-мерного параллелепипеда, построенного на этих векторах. Пусть Ω − компактное множество на M , которое целиком лежит в области определения параметров u1 , . . . , uk , тогда можно считать, что Ω лежит
в Rk с координатами u1 , . . . , uk . Следовательно, можно говорить о жордановом
множестве Ω. В этом случае определен интеграл
Z
Z √
···
G du1 . . . duk .
Ω
Покажем, что он дает объем множества Ω. Таким образом, получаем равенство
Z
Z √
Vk (Ω) = · · ·
G du1 . . . duk .
Ω
Прежде чем доказать это равенство, мы должны дать определение объема тела Ω. Мы приведем такое определение, из которого равенство получится в силу
определения интеграла. Заметим сначала, что множество Ω является образом
некоторого жорданова множества Ω0 ⊂ Rk при отображении x = x(u). Рассмотрим разбиение с отмеченными точками этого множества
0
Ω =
m
[
Ω0i , ξi ∈ Ω0i .
i=1
В окрестности точки ξi имеем равенство
x(u) = x(ξi ) +
∂x(ξi )
· (u − ξi ) + o(u − ξi ).
∂u
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При каждом i применим линейное отображение
x = x(ξi ) +
∂x(ξi )
· (u − ξi )
∂u
к множеству Ω0i . Тогда получим "черепичное покрытие" множествами Ω00i первоначального множества Ω (см. рис. 3.5).
Рис. 3.5
Множество Ω00i лежит в касательном
к M в точке ξi , поэтому
p пространстве
для него определен объем и он равен G(ξi ) · Vk (Ω0i ) (почему?). По определению
положим, что объем множества Ω равен пределу объема "черепичного покрытия", когда мелкость разбиения множества Ω0 стремится к нулю, то есть пределу
интегральных сумм
Xp
G(ξi ) · Vk (Ω0i ).
i
Осталось заметить, что этот предел по определению равен интегралу
Z
Z √
···
G du1 . . . duk .
Ω
Рассмотрим дифференциальную форму
√
dV = G du1 ∧ . . . ∧ duk .
Она определена в области действия параметров u1 , . . . , uk . Если заменить эти параметры на новые u01 , . . . , u0k , то новый определитель Грама G0 будет равняться
произведению (проверить!)
µ
¶2
D(u1 , . . . , uk )
· G.
D(u01 , . . . , u0k )
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С другой стороны, выполняется равенство
D(u01 , . . . , u0k )
du ∧ . . . ∧ du =
· du1 ∧ . . . ∧ duk .
1
k
D(u , . . . , u )
01
Следовательно, если
0k
dV 0 =
√
G du01 ∧ . . . ∧ du0k ,
то выполняется равенство dV 0 = ±dV, где знак зависит от знака якобиана
D(u01 , . . . , u0k )
.
D(u1 , . . . , uk )
Заметим, что дифференциальная форма dV называется формой ориентированного объема, потому что ее значение на системе касательных векторов
dV (v1 , . . . , vk )
равняется с точностью до знака объему параллелепипеда, построенного на этих
векторах, причем знак определяется ориентацией, которую задают эти векторы
в касательном пространстве: если она совпадает с ориентацией, заданной базисом x0u1 , . . . , x0uk , то знак равен "+". Таким образом, дифференциальная форма
ориентированного объема dV определена неоднозначно, а с точностью до множителя ±1. Если удастся покрыть многообразие M областями Ui с параметрами
u1i , . . . , uki так, чтобы на каждом пересечении Ui ∩ Uj якобиан
D(u1j , . . . , ukj )
D(u1i , . . . , uki )
был положительным, то на всем многообразии M будет определена однозначная
форма ориентированного объема.
Задача 3.9 Показать, что на листе Мебиуса не определена однозначная форма
ориентированной площади.
3.3.2
Дифференциальные формы, полученные ограничением
Пусть ω q − дифференциальная форма на области
U ⊂ Rn . Тогда с помо¯
щью операции ограничения получается форма ω q ¯M на U ∩ M , где M ⊂ Rn −
многообразие. А именно, если v1 , . . . , vq ∈ Tp M, то полагаем
¯
q¯
ω M (v1 , . . . , vq ) = ω q (v1 , . . . , vq ).
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вычислим ограничения базисных форм dxi1 ∧ . . . ∧ dxiq на область в M с параметрами u1 , . . . , uk . Так как
dxi =
k
X
∂xi
j=1
то
∂uj
duj ,
k
k
³X
´
³X
¯
∂xiq jq ´
∂x
i
1
j
1
¯
dxi1 ∧ . . . ∧ dxxq M =
du ∧ . . . ∧
du
=
jq
j1
∂u
∂u
j =1
j =1
1
=
X
j1 <...<jq
q
D(xi1 , . . . , xiq ) j1
du ∧ . . . ∧ dujq .
j
j
q
1
D(u , . . . , u )
¯
Задача 3.10 Выразить форму dxi1 ∧. . .∧dxxk ¯M через форму ориентированного
объема dV .
3.4
Интеграл от дифференциальной формы
по сингулярным цепям
Через ∆q обозначим стандартный q-мерный симплекс в Rq , то есть ∆q задается
системой неравенств

t1 > 0



..
.

tq > 0



t1 + · · · + tq 6 1.
Дифференцируемое отображение симплекса σ q : ∆q → M ⊂ Rn будем называть q-мерным сингулярным симплексом. Заметим, что отображение замкнутого
множества называется дифференцируемым, если оно продолжается до дифференцируемого отображения окрестности этого множества. Если σ : ∆q → M −
q-мерный сингулярный симплекс, а ω q − дифференциальная q-форма на многообразии M , то определена дифференциальная q-форма σ ∗ (ω q ) на стандартном
симплексе ∆q . Эта форма определяется следующим образом. Если t0 ∈ ∆q и
v ∈ Tt0 Rq , то определен вектор σ∗ (v) ∈ Tσ(t0 ) M . Этот вектор по определению равен вектору скорости параметрической кривой x = x(τ ) = σ(t0 + v · τ ) в момент
τ = 0, то есть
d σ(t0 + v · τ ) ¯¯
σ∗ (v) =
¯ .
τ =0
dτ
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если теперь v1 , . . . , vq ∈ Tt0 Rq , то полагаем
σ ∗ (ω q )(v1 , . . . , vq ) = ω q (σ∗ (v1 ), . . . , σ∗ (vq )).
Задача 3.11 Пусть образ отображения σ : ∆q → M попадает в область действия параметров u1 , . . . , uk . Требуются вычислить форму σ ∗ (dui1 ∧ . . . ∧ duiq ).
После того как мы определили форму σ ∗ (ω q ) мы можем определить интеграл от
ω q по сингулярному симплексу σ с помощью равенства
Z
Z
ω q = σ ∗ (ω q ).
σ
Пусть
∆
q
σ1q , . . . , σm
− это сингулярные симплексы размерности q, их формальные линейные комбинации с вещественными коэффициентами
q
a1 σ1q + . . . + am σm
будем называть q-мерными сингулярными цепями. Определим интегрирование
дифференциальных форм по сингулярным цепям по линейности. Если
q
cq = a1 σ1q + . . . + am σm
− сингулярная цепь, то
Z
q
ω =
cq
3.5
X
i
Z
ωq .
ai
σiq
Интеграл по ориентированному телу на многообразии
В классическом анализе рассматривают поверхностные интегралы по поверхностям с кусочно гладкой границей. Чтобы обобщить такие поверхностные интегралы, нужно ввести понятие замкнутой области на многообразии с кусочно
гладкой границей. Мы сделаем это с помощью гладкой триангуляции.
Множество S k на многообразии M называется криволинейным симплексом,
если найдется система координат u1 , . . . , uk на M такая, что в этой системе координат множество S k определяется так же, как стандартный симплекс в Rk .
Компактная область Ω ⊂ M имеет кусочно гладкую границу, если существует
представление Ω в виде объединения конечного числа криволинейных k-мерных
симплексов, причем любые два симплекса могут пересекаться только по целой
грани какой-либо размерности (см. рис. 3.6).
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 3.6
Итак, пусть
Ω=
m
[
Sik .
i=1
Выберем, если возможно, на каждом криволинейном симплексе Sik ориентацию
так, что если два симплекса пересекаются по (k − 1)-мерной грани, то на этой
грани соседние симплексы индуцируют противоположную ориентацию. После
этого область Ω считается ориентированной и можем определить интеграл по
ней с помощью равенства
Z
m Z
X
ωk .
ωk =
Ω
i=1
Sik
Формула Стокса
Сначала мы сформулируем и докажем формулу Стокса для интегралов по
сингулярным цепям. Прежде чем ее сформулировать введем дополнительные
обозначения.
Если ∆q − стандартный симплекс в Rq , а ∆q−1
− одна из его (q − 1)-мерных
i
q−1
q−1
граней, то обозначим через si : ∆
→ ∆i − аффинный изоморфизм станq−1
дартного симплекса в R
с гранью ∆q−1
i , переводящий, сохраняя порядок, вершины первого симплекса в вершины второго. Если σ q : ∆q → M − сингулярный
q-мерный симплекс, то через σiq−1 обозначим отображение σ q ◦ si : ∆q−1 → M и
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
назовем (q − 1)-мерной гранью сингулярного симплекса σ q . Через ∂σ q обозначим
(q − 1)-мерную цепь, равную
q
X
(−1)i σiq−1 ,
i=0
и назовем границей сингулярного симплекса σ q . Если
q
cq = a1 σ1q + . . . + am σm
− сингулярная цепь, то положим
q
∂cq = a1 ∂σ1q + . . . + am ∂σm
.
Формула Стокса для сингулярных цепей имеет вид
Z
Z
q−1
ω
= dω q−1 ,
cq
∂cq
где ω q−1 − (q-1)-мерная дифференциальная форма на многообразии M . Так как
формула Стокса для интеграла по стандартному симплексу уже доказана, то
формула Стокса для сингулярного симплекса выводится с помощью цепочки
равенств
Z
Z
q
q
X
X
(σiq−1 )∗ (ω q−1 ) =
ω q−1 =
(−1)i
=
(−1)i
Z
ω q−1
i=0
∂σ q
=
q
X
i=0
Z
(−1)i
i=0
σiq−1
∆q−1
Z
(σ q )∗ (ω q−1 ) =
Z
(σ q )∗ (ω q−1 ) =
∆q
∂∆q
∆q−1
i
Z
?
Z
(σ q )∗ (dω q−1 ) =
=
d((σ q )∗ (ω q−1 )) =
dω q−1 .
σq
∆q
Здесь знак вопроса стоит над равенством, которое еще нужно проверять. Фактически, нужно проверить равенство
d((σ q )∗ (ω q−1 )) = (σ q )∗ (dω q−1 ).
Предлагается проверить его самостоятельно.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перейдем к формуле Стокса для интеграла по ориентированному телу. Она
имеет вид
Z
Z
k−1
ω
= dω k−1 ,
Ω
∂Ω
где Ω − компактное ориентированное тело с кусочно гладкой границей на многообразии M размерности k, ∂Ω − его ориентированная граница, ω k−1 − дифференциальная (k − 1)-мерная дифференциальная форма, определенная и дифференцируемая в окрестности множества Ω. Ориентированная граница ∂Ω определяется следующим образом. Если
Ω=
m
[
Sik
i=1
− триангуляция Ω, то ориентированная граница ∂Ω состоит из ориентированных (k − 1)-мерных граней симплексов Sik , которые принадлежат только одному
симплексу (см. рис. 3.7).
Рис. 3.7
Остальные грани называются смежными, каждая из них принадлежит двум
симплексам и, соответственно, получает противоположные ориентации, интегралы по этим граням также противоположны. Следовательно, имеем равенства
Z
Z
m Z
m Z
X
X
k−1
k−1
k−1
ω
=
ω
=
dω
= dω k−1 .
∂Ω
i=1
∂Sik
i=1
39
Sik
Ω
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 3.12 Показать, что из формулы Стокса для ориентированного тела
на многообразии следуют классические формулы Грина, Стокса, Остроградского.
3.6
Группы линейных преобразований как многообразия
Далее мы хотим рассмотреть группы преобразований как многообразия в RN .
Для этого нам потребуется изучить экспоненту от матриц.
3.6.1
Экспонента от матрицы
Пусть M (n, R) − множество матриц размера n × n с вещественными элементами. Если X = (xij ) ∈ M (n, R), то ее элементы можно рассматривать как
2
2
координаты точки в Rn . Поэтому M (n, R) отождествляется с Rn . Определим
норму матрицы X = (xij ) равенством
kXk = max
|Xv|
,
|v|
0 6= v ∈ Rn ,
тогда M (n, R) становится нормированным векторным пространством. По индукции доказывается неравенство kX k k 6 kXkk . Поэтому ряд
∞
X
Xk
k=0
k!
нормально сходится. Таким образом, определено отображение
exp : M (n, R) → M (n, R)
с помощью равенства
exp X =
∞
X
Xk
k=0
k!
.
Задача 3.13 Доказать утверждения:
1) выполняются равенства
exp X t = (exp X)t , exp (Y XY −1 ) = Y (exp X)Y −1 , det(exp X) = exp (tr X);
2) если A и B коммутируют, то
exp (A + B) = (exp A) · (exp B);
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3)
4)
ность
5)
exp − отображение класса C ∞ ;
exp отображает диффеоморфно окрестность O ∈ M (n, R) на окрестE ∈ M (n, R);
отображение
Y = ln X = (X − E) −
(X − E)2
+ ···
2
определено в окрестности E ∈ M (n, R) и является обратным к отображению
exp.
Заметим теперь, что отображение Y = ln X определяет криволинейную систему координат yij , 1 6 i, j 6 n, в окрестности единичной матрицы.
3.6.2
Группы GL(n, R), SL(n, R), O(n, R), SO(n, R)
Множество обратимых матриц в M (n, R) обозначается через GL(n, R) и
называется общей линейной группой. Это действительно группа относительно
операции умножения. С другой стороны, GL(n.R) − это открытое множество
2
в M (n, R) = Rn , заданное неравенством det X 6= 0, так как функция det :
M (n, R) → R непрерывная. Заметим, что операция умножения
Z = X · Y : GL(n, R) × GL(n, R) → GL(n, R)
является дифференцируемым отображением. Аналогично, операция взятия обратной матрицы
Y = X −1 : GL(n, R) → GL(n, R)
также дифференцируемая.
Подгруппа GL(n, R), заданная уравнением det X = 1, обозначатся через
SL(n, R) и называется специальной линейной группой. Покажем, что она яв2
ляется дифференцируемым многообразием в Rn размерности n2 − 1. Для этого
достаточно проверить, что система уравнений
(
det X = 1
(3.5)
∂ det X
=
0,
1
6
i,
j
6
n,
∂ xij
не имеет решений. Обозначим через ∆ij алгебраическое дополнение элемента xij ,
тогда
∂ det X
= ∆ij .
∂ xij
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поэтому из равенств
∂ det X
=0
∂ xij
следует равенство нулю всех алгебраических дополнений ∆ij , следовательно,
det X = 0. Итак, система уравнений 3.5 не имеет решений, поэтому группа
2
SL(n, R) является дифференцируемым многообразием в GL(n, R) ⊂ Rn .
Подгруппа GL(n, R), заданная уравнением X · X t = E, обозначается через O(n, R) и называется ортогональной группой. Обозначим через e1 , . . . , en
строки матрицы X, тогда равенство X · X t = E равносильно системе равенств
(ei , ej ) = δij , то есть условиям ортогональности системы векторов. Так как
(ei , ej ) = (ej , ei ), то множество O(n, R) задается системой из n(n+1)
уравнений:
2
(ei , ej ) = δij ,
1 6 i 6 j 6 n.
Вполне возможно, что они задают многообразие размерности
n2 −
n(n + 1) n(n − 1)
=
.
2
2
Чтобы доказать это утверждение, мы будем использовать криволинейную систему координат Y = ln X, определенную в окрестности точки E ∈ GL(n, R). Тогда
условие X · X t = E равносильно условию Y + Y t = O, то есть в окрестности
точки E множество O(n, R) задается системой уравнений:
yij + yj i = 0,
1 6 i 6 j 6 n.
(3.6)
Система уравнений 3.6 линейно независимая, поэтому она определяет многообразие размерности n(n−1)
2 . Пусть теперь X0 − произвольная матрица из O(n, R),
тогда система функций Y = ln (X · X0−1 ) определяет криволинейную систему
координат в окрестности точки X0 . С помощью этой системы координат множество O(n, R) в окрестности точки X0 задается системой уравнений 3.6, а поэтому
в окрестности точки X0 .
является многообразием размерности n(n−1)
2
Если X ∈ O(n, R), то det X = ±1. Открытое множество в O(n, R), заданное
условием det X = 1, является подгруппой, которая обозначается через SO(n, R)
и называется специальной ортогональной группой. Она является многообразием
размерности n(n−1)
2 .
Задача 3.14 Показать, что многообразия SL(n, R), SO(n, R) связные, а многообразия GL(n, R), O(n, R) состоят из двух компонент связности.
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4
Абстрактные дифференцируемые многообразия
Сначала мы изложим необходимые понятия из топологии.
4.1
Топологические пространства
Топологическое пространство состоит из множества и топологии на нем. Топология на множестве − это набор подмножеств данного множества, называемых открытыми множествами, который удовлетворяет аксиомам:
1) Пустое множество и всё данное множество являются открытыми множествами.
2) Объединение любого числа открытых множеств является открытым множеством.
3) Пересечение конечного числа открытых множеств является открытым
множеством.
Полное обозначение топологического пространства − это пара (X, τ ), где X −
множество, а τ − топология на нем. Топологическое пространство (X, τ ) обычно
обозначают кратко через X.
Пусть X − топологическое пространство, а x0 − точка на нем. Окрестность
точки x0 − это открытое множество, содержащее точку x0 . Окрестность точки
x0 будем обозначать через U (x0 ). Топологическое пространство X называется
хаусдорфовым, если для произвольных двух точек x, y на нем найдутся непересекающиеся окрестности U (x), U (y) этих точек (см. рис. 4.1).
Рис. 4.1
Пусть X − топологическое пространство и M ⊂ X − множество в нем. Множество M называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. В силу предыдущей теоремы множество будет замкнутым, если оно содержит
все свои граничные точки.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 4.1 Пусть X − топологическое пространство и M ⊂ X − множество в нем. Множество M будет замкнутым тогда и только тогда, когда его
дополнение X \ M − открытое множество.
Доказательство. Пусть сначала M − замкнутое множество, покажем, что
его дополнение X \ M − открытое множество. Если x0 ∈ X \ M , то точка x0 не
является точкой прикосновения множества M . Поэтому существует окрестность
U (x0 ) точки x0 , которая не пересекается с M . Следовательно, для каждой точки
x0 ∈ X \M существует окрестность U (x0 ), которая целиком входит во множество
X \ M . Это означает, что множество X \ M − открытое. Перейдем к доказательству обратного утверждения. Пусть множество X \ M − открытое, покажем, что
тогда множество M − замкнутое. Если x0 − точка прикосновения множества M ,
то нужно показать, что она принадлежит M . Предположим противное, то есть
x0 ∈ X \ M . Так как множество X \ M − открытое, то оно является окрестностью точки x0 . Итак, существует окрестность точки x0 , которая не пересекается
со множеством M . Следовательно, точка x0 не является точкой прикосновения
множества M . Получили противоречие.
Теорема доказана.
Следствие 4.2 Замкнутые множества в топологическом пространстве X
удовлетворяют свойствам:
З1. Множества ∅, X − замкнутые.
З2. Пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутым
множеством.
З3. Объединение конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.
Рис. 4.2
Приведем примеры топологических пространств.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример. Возьмем произвольное множество X и будем считать открытым
любое подмножество множества X. Предлагается проверить, что аксиомы топологии выполняются. Полученное топологическое пространство называется дискретным, оно всегда будет хаусдорфовым.
Пример. Если в качестве открытых множеств на X будем считать только
пустое множество и всё X, то получим топологическое пространство, которое
называется антидискретным. Такое пространство нехаусдорфово.
Пример. Пусть на множестве X задана метрика ρ(x, y), тогда на X канонически возникает топология τρ . Эта топология строится следующим образом.
Обозначим через Uε (x0 ) открытый шар радиуса ε с центром в точке x0 . Тогда
множество U ⊂ X считается открытым, если для каждой точки x0 ∈ U найдется
шар Uε (x0 ), содержащийся в множестве U (см. рис. 4.2). Нужно проверить, что
получается топология. Эта топология называется метрической.
Задача 4.3 Показать, что пространство с метрической топологией − хаусдорфово.
Пример. Рассмотрим на арифметическом пространстве Rn евклидову метрику ρ(x, y) = |x − y|. Тогда метрическая топология τρ называется евклидовой.
Пример. Пусть даны два топологических пространства X, Y , тогда на декартовом произведении X × Y можно ввести топологию следующим образом.
Если U ⊂ X − открытое множество в X, а V ⊂ Y − открытое множество
в Y , то произведение U × V объявим открытым множеством в X × Y , но такие множества не образуют топологию. Чтобы получить требуемую топологию
на X × Y , нужно считать открытыми множествами всевозможные объединения
множеств вида Ui ×Vi , i ∈ I, где Ui − открытые множества в X, а Vi − открытые
множества в Y .
Определение 4.4 Отображение топологических пространств f : X → Y
непрерывно в точке x0 , если для каждой окрестности U (y0 ) точки y0 = f (x0 )
найдется окрестность U (x0 ) точки x0 такая, что f (U (x0 )) ⊂ U (y0 ) (см. рис.
4.3.)
Определение 4.5 Отображение топологических пространств f : X → Y
непрерывное, если оно непрерывно в каждой точке x ∈ X.
Задача 4.6 Доказать, что отображение пространств f : X → Y непрерывное, если для каждого открытого множества V ⊂ Y его прообраз f −1 (V ) является открытым множеством в Y (см. рис. 4.4).
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 4.7 Пусть X, Y − топологические пространства, показать, что проекция p : X × Y → Y , заданная правилом p(x, y) = y, является непрерывным
отображением.
Рис. 4.3
Пусть X − топологическое пространство с топологией τ , Y − подмножество X. Тогда на множестве Y возникает индуцированная топология τY . А именно, множество в Y считается открытым, если оно является пересечением с Y
открытого множества в X (см. рис. 4.5). В этом случае отображение вложения
Y → X будет непрерывным.
Далее нам потребуется понятие фактортопологии и факторпространства.
Пусть X − топологическое пространство с топологией τ . Если на множестве
X задано отношение эквивалентности ∼, то определено фактормножество X/∼
как множество факторклассов. Напомним, что факторкласс [x] элемента x состоит из элементов, эквивалентных x. Определено каноническое отображение
p : X → X/∼,
которое называется проекцией. Оно задается равенством p(x) = [x] (см. рис. 4.6).
Рис. 4.4
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.5
Фактортопология τ /∼ на фактормножестве определяется требованием,
чтобы проекция была непрерывной, то есть множество V ⊂ X/∼ называется
открытым, если его прообраз p−1 (V ) является открытым множеством в X.
Рис. 4.6
Пример. Через K будем обозначать одно из полей R или C. Проективное
пространство KP n по определению равно множеству прямых, то есть одномерных подпространств, в K n+1 . Построим каноническую топологию на KP n . На
K n+1 имеется евклидова топология, она индуцирует топологию на K n+1 \ {0}.
Рассмотрим на множестве K n+1 \{0} отношение эквивалентности: v ∼ λv, где λ −
произвольный ненулевой элемент K. Тогда факторпространство (K n+1 \ {0})/∼
равно KP n , поэтому на KP n определена фактортопология.
Определение 4.8 Отображение топологических пространств f : X → Y называется гомеоморфизмом, если оно является биекцией, а отображения f, f −1
непрерывны. Топологические пространства, между которыми существует гомеоморфизм называются гомеоморфными.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 4.9 Доказать утверждения (топология евклидова):
1) Прямая R гомеоморфна интервалу (0, 1).
2) Пространство Rn гомеоморфно открытому n-мерному шару B n .
3) Интервал (0, 1) не гомеоморфен отрезку [0, 1].
4) Плоскость R2 не гомеоморфна прямой R.
Определение 4.10 Топологическое пространство называется связным, если
его нельзя представить в виде объединения двух непустых, непересекающихся,
открытых множеств.
Задача 4.11 Доказать утверждения (топология евклидова):
1) Прямая R − связное пространство.
2) Подпространство рациональных чисел Q ⊂ R − несвязное пространство.
Далее нам потребуется понятие несвязного объединения топологических пространств. Сначала определим несвязное объединение множеств. Начнем с объединения двух множеств.
` Если X, Y − множества, то несвязное объединение их
обозначается через X Y и определяется следующим образом. Отождествим
множество X с множеством X, состоящим из пар (x, 1), где x ∈ X. Аналогично, отождествим множество Y с множеством Y , состоящим из пар (y, 2), где
y ∈ Y . Тогда
S по определению несвязное объединение равно обычному объединению X Y . Смысл этой конструкции заключается в следующем. Множества
X, Y могут иметь непустое пересечение, поэтому мы заменяем их на копии X, Y ,
пересечение которых уже пусто, и рассматриваем объединение этих непересекающихся копий. Рассмотрим теперь семейство множеств Xi , i ∈ I. Заменим Xi на
копию X i , которая состоит из пар (x, i), где x ∈ Xi . Семейство копий X i , i ∈ I,
состоит
`уже из попарно непересекающихся множеств. Тогда несвязное объединение i∈I Xi по определению равно обычному объединению непересекающихся
S
копий i∈I X i .
`
Заметим, что каждое подмножество Y ⊂ i∈I Xi равно несвязному объеди`
T
`
нению i∈I Yi , i ∈ I, где Yi = Y X i . По определению множество Y ⊂ i∈I Xi
считается открытым, если каждое подмножество Yi ⊂ X i `
= Xi − открытое.
Предлагается проверить, что тогда получаем топологию на i∈I Xi .
Определение 4.12 Топологическое пространство компактное, если из каждого покрытия его открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие.
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример. Покажем что прямая R − некомпактное пространство. Для этого
рассмотрим покрытие прямой интервалами (см. рис. 4.7)
[
R = (n, n + 2),
n
тогда из него нельзя выделить конечное подпокрытие, так как конечное объединение таких интервалов дает ограниченное множество.
Рис. 4.7
Задача 4.13 Доказать утверждения (топология евклидова):
1) Отрезок [0, 1] − компактное пространство.
2) Подпространство пространства Rn будет тогда и только тогда компактным, когда оно ограниченное и замкнутое.
3) Проективное пространство KP n компактное (K равно R или C).
Пусть (X, τ ) − топологическое пространство. Базой топологии τ называется
набор открытых множеств β ⊂ τ , если каждое открытое множество U ∈ τ можно
представить в виде объединения открытых множеств из β.
Задача 4.14 Показать, что открытые шары на метрическом пространстве
образуют базу метрической топологии.
Задача 4.15 Показать, что на Rn существует счетная база евклидовой топологии.
Задача 4.16 Каким условиям должен удовлетворять набор β подмножеств
множества X, чтобы быть базой некоторой топологии τ на X.
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Расслоения
Произвольное непрерывное отображение топологических пространств π : E →
B "расслаивает" пространство E на слои Ex = π −1 (x), где x – произвольная точка пространства B (см. рис. 4.8).
Рис. 4.8
В таком расслоении слои Ex1 , Ex2 над разными точками могут быть не гомеоморфными. Настоящим расслоением называется набор (E, B, F, π), где E, B, F –
топологические пространства, а π : E → B – непрерывное отображение, причем
произвольный слой Ex гомеоморфен эталонному слою F . Два таких расслоения
π : E → B, π 0 : E 0 → B над одним пространством B будем называть изоморфными, если существует такой гомеоморфизм пространств ϕ : E → E 0 , что
следующая диаграмма коммутативна
E AA
ϕ
AA
A
π AAAÃ
B.
/ 0
E
|
|
|
|
|| 0
}|| π
Коммутативность означает, что выполняется равенство π 0 ◦ ϕ = π, которое показывает, что каждый слой π −1 (x) первого расслоения отображается в слой
(π 0 )−1 (x) второго расслоения. Мы будем изучать, так называемые локально тривиальные расслоения. Они являются обобщением следующего примера. Пусть B
и F − произвольные топологические пространства, положим E = B × F и рассмотрим проекцию π : E → B. Тогда получим набор (E, B, F, π), где E, B, F
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
− топологические пространства, а π : E → B − непрерывное отображение.
Данный набор называется тривиальным расслоением, где E, B, F соответственно пространство, база и слой этого расслоения, а π − проекция. Произвольное локально тривиальное расслоение состоит из набора (E, B, F, p), где E, B, F
− топологические пространства − это пространство, база и слой расслоения,
а p : E → B − непрерывное отображение − это проекция расслоения, причем над "малой" окрестностью U (x) произвольной точки x из базы B проекция p : p−1 (U (x)) → U (x) должна быть устроена как проекция тривиального расслоения π : U (x) × F → U (x). Последняя фраза означает следующее:
для каждой точки x ∈ B существует окрестность U (x) такая, что расслоение
p : p−1 (U (x)) → U (x) изоморфно тривиальному расслоению π : U (x)×F → U (x),
то есть существует гомеоморфизм ϕ : p−1 (U (x)) → U (x) × F такой, что коммутативна диаграмма
p−1 (U (x))
M
MMM
MM
p MMMM&
ϕ
U (x).
/
U (x) × F
r
rrr
r
r
r
rx rr π
Пример 1. Возьмем в качестве базы дифференцируемое k-мерное многообразие M в Rn , а в качестве пространства расслоения возьмем многообразие касательных векторов T M . Напомним, что T M состоит из пар (x, v), где x − точка
на M , а v − касательный вектор к M в точке x. Проекция p : T M → M определяется равенством p(x, v) = x. Покажем, что получается локально тривиальное
расслоение со слоем Rk . Для каждой точки x0 ∈ M существует окрестность U с
параметрами u1 , . . . , uk . Векторы x0u1 (x), . . . , x0uk (x) образуют базис касательного
пространства Tx M для каждой точки x ∈ U . Если (v 1 , . . . , v k ) − координаты
касательного вектора v в точке x, то отображение ϕ : p−1 (U ) → U × Rk , определенное равенством ϕ(x, v) = (x, (v 1 , . . . , v k )), является требуемым гомеоморфизмом.
Пример 2. В качестве базы расслоения возьмем проективное пространство
KP n , в качестве пространства расслоения рассмотрим подмножество декартова
произведения KP n × K n+1 , состоящее из множества пар (l, x) ∈ KP n × K n+1
(прямая, точка), удовлетворяющих условию x ∈ l. Обозначим это множество
через KT n+1 , оно является топологическим пространством в индуцированной
топологии декартова произведения топологических пространств. Проекцию p :
KT n+1 → KP n определим равенством p(l, x) = l. Тогда получим локально тривиальное расслоение со слоем K (почему?). Это расслоение называется тавтологическим.
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример 3. Этот пример получается из предыдущего примера. В качестве
базы расслоения возьмем проективное пространство KP n , в качестве пространства расслоения рассмотрим подмножество декартова произведения KP n ×K n+1 ,
состоящее из множества пар (l, x) ∈ KP n × K n+1 (прямая, точка), удовлетворяющих условиям x ∈ l, |x| = 1. Каждый элемент этого множества (l, x) определяется точкой x, поэтому это множество можно отождествить со сферой в K n+1 ,
заданной уравнением |x| = 1. Если K = R, то получим сферу размерности n, а
если K = R, то получим сферу размерности 2n + 1. Обозначим это множество,
то есть сферу, через KS n+1 . Проекцию p : KS n+1 → KP n определим равенством
p(l, x) = l. Тогда получим локально тривиальное расслоение со слоем две точки,
если K = R, а при K = C слой будет окружностью (почему?). Это расслоение
называется расслоением Хопфа.
В первом и втором примерах слои расслоений являются векторными пространствами, причем алгебраические операции над элементам пространства расслоения непрерывны (операция сложения производится только над элементами
из одного и того же слоя). В этом случае расслоение называется векторным.
Локально тривиальные расслоения можно строить из тривиальных расслоений с помощью функций склейки. Далее нам потребуются только векторные
расслоения, поэтому соответствующую процедуру мы изложим для векторных
расслоений. Пусть V − n-мерное фиксированное векторное пространство над полем K. Определим на нем топологию с помощью изоморфизма V = K n . Через
GL(V ) обозначим группу линейных преобразований пространства V , ее можно
отождествить с группой обратимых матриц GL(n, K), которая является подпро2
странством пространства квадратных матриц M (n, K) = K n , а поэтому имеет
топологию.
Пусть кроме векторного пространства V имеем следующие данные:
1) Топологическое пространство B (оно будет базой расслоения).
2) Открытое покрытие {Ui , i ∈ I} пространства B.
3) Если пересечение Ui ∩ Uj , i 6= j, не пусто, то для каждого такого пересечения задана непрерывная функция
hji (x) : Ui ∩ Uj → GL(V ),
причем выполняются следующие условия:
a) hji (x) = h−1
ij (x);
b) Если пересечение Ui ∩ Uj ∩ Uk не пусто, то выполняется равенство hik · hkj ·
hji = 1.
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда можно построить векторное расслоение p : E → B со слоем V следующим образом. На несвязном объединении
a
[
e=
E
Ui × V = (Ui , i) × V
i
i
рассмотрим отношение эквивалентности "∼": пара (xi , vi ) ∈ Ui ×V эквивалентна
паре (xj , vj ) ∈ Uj × V ((xi , vi ) ∼ (xj , vj )), если xi = xj и hji (xi )(vi ) = vj . Условия a), b) на функции hji (x) показывают, что действительно получаем отношение эквивалентности. Факторпространство по этому отношению эквивалентности обозначим через E, оно будет пространством искомого расслоения. Проекция
p : E → B определяется следующим образом. Если точка e ∈ E равна факторклассу пары (xi , vi ) ∈ Ui × V , то p(e) = xi . Предлагается убедиться, что тогда
получим локально тривиальное расслоение со слоем V .
4.2
Топологические многообразия
Далее через B n обозначается открытый шар в Rn . Топологическое многообразие локально устроено как B n . Точнее, хаусдорфово топологическое пространство M называется n-мерным топологическим многообразием, если для каждой
точки p ∈ M существует окрестность U (p) гомеоморфная открытому шару B n .
Заметим, что в этом определении шар можно заменить на произвольное открытое
множество V (p) ⊂ Rn . Хаусдорфовость M нужна из технических соображений
(также иногда приходится требовать, чтобы M обладало счетной базой).
Задача 4.17 Показать, что RP n является n-мерным топологическим многообразием, а CP n − 2n-мерным многообразием.
Топологические многообразия можно получать из открытых множеств в Rn
с помощью операции склейки. Рассмотрим сначала случай, когда имеем два открытых множества U1 , U2 . Пусть U12 ⊂ U1 , U21 ⊂ U2 − открытые подмножества, ϕ12 : U12 →
˜ U21 − гомеоморфизм (см. рис. 4.9). Тогда отождествим точки
x ∈ U12 с точками ϕ12 (x) ∈ U21 , то есть рассмотрим отношение эквивалентности x ∼ ϕ12 (x). В результате из несвязного объединения U1 t U2 получается
топологическое пространство M = U1 t U2 /∼, каждая точка которого обладает
окрестностью, гомеоморфной открытому шару. Но топологическое пространство
M = U1 t U2 /∼ может быть нехаусдорфовым.
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.9
Задача 4.18 Пространство M = U1 t U2 / ∼ хаусдорфово тогда и только тогда, когда график отображения Γϕ12 ⊂ U1 × U2 − замкнутое множество.
Задача 4.19 Пусть
U1 = U2 = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 | −1 < x1 < 1, −1 < x2 < 1}
− открытый квадрат, U12 = U21 = {x1 6= 0} и
(
(x1 + 1, x2 ), x1 < 0,
ϕ12 (x) =
(x1 − 1, x2 ), x1 > 0.
Показать, что тогда многообразие M = U1 t U2 /∼ гомеоморфно открытому
листу Мебиуса (см. рис. 4.10).
Рис. 4.10
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предыдущую конструкцию склейки можно обобщить следующим образом.
Пусть имеем:
1) Последовательность (конечную или счетную) открытых множеств Ui ⊂ Rn .
2) При каждых i 6= j открытые множества (может быть пустые) Uij ⊂ Ui .
3) При каждых i 6= j гомеоморфизмы ϕij : Uij → Uji , удовлетворяющие
условиям
ϕji = ϕ−1
ϕij ◦ ϕjk ◦ ϕki = id.
ij ,
Тогда на несвязном объединении
a
Ui =
[
(Ui , i)
i
i
определено отношение эквивалентности x ∼ ϕij (x), где x ∈ Ui . А факторпространство
a
M = ( Ui )/∼
i
удовлетворяет условию, что для каждой точки x ∈ M существует окрестность,
гомеоморфная открытому шару в Rn .
Задача 4.20 Пусть
a
a
R = {(x, y) ∈ ( Ui ) × ( Ui )|x ∼ y},
i
i
`
тогда факторпространство ( i Ui )/∼ хаусдорфово, если и только если множество R замкнутое.
Задача 4.21 Доказать утверждения:
1) Произведение топологических многообразий является топологическим
многообразием.
2) Сфера S n является n-мерным топологическим многообразием.
3) Сфера S 2 не гомеоморфна тору S 1 × S 1 .
4) На квадрате [0, 1] × [0, 1] отождествим противоположные стороны,
тогда получим поверхность, гомеоморфную тору S 1 × S 1 .
5) Рассмотрим 2g-угольник, разобьем его стороны на пары, которые затем отождествим согласно выбранным на них направлениям, тогда получим
2-мерное многообразие (поверхность).
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.3
Карты и атласы
Далее M − n-мерное топологическое многообразие. Карта на M − это
гомеоморфизм ϕ : U → V , где U ⊂ M, V ⊂ Rn – открытые множества (см. рис.
4.11).
Гомеоморфизм ϕ : U → V задается набором функций
x1 = x1 (p), . . . , xn = xn (p),
то есть ϕ(p) = (x1 (p), . . . , xn (p)), где p − переменная точка из U . Эти функции
называются координатными функциями или координатами. Далее про карту
ϕ : U → V мы будем говорить, что дана карта U с координатами x1 , . . . , xn .
Рис. 4.11
Пусть даны две карты на топологическом многообразии M
ϕ : U → V, ϕ0 : U 0 → V 0 .
причем пересечение U ∩ U 0 непустое (см. рис. 4.12). Тогда отображение
ϕ0 ◦ ϕ−1 : ϕ(U ∩ U 0 ) → ϕ0 (U ∩ U 0 )
называется отображением перехода от первой карты ко второй. Оно задается
набором функций от n-переменных

0
0

x1 = x1 (x1 , . . . , xn ),
..
(4.1)
.

 0
xn = x0n (x1 , . . . , xn ),
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где x1 , . . . , xn − координаты в первой карте, а x01 , . . . , x0n − координаты во второй
карте. Эти функции называются функциями перехода от карты с координатами
x1 , . . . , xn к карте с координатами x01 , . . . , x0n . Карты ϕ : U → V, ϕ0 : U 0 → V 0
дифференцируемо согласованы, если функции перехода 4.1, а также функции
обратного перехода, принадлежат классу C ∞ . Набор карт ϕi : Ui → Vi , i ∈ I, на
топологическом многообразии M называется атласом, если множества Ui , i ∈ I,
покрывают M , то есть ∪i Ui = M . Атлас называется дифференцируемым, если
каждые две его карты дифференцируемо согласованы. Два дифференцируемых
атласа эквивалентны, если их объединение дает дифференцируемый атлас. Это
означает, что функции перехода от координат в первом атласе к координатам во
втором атласе принадлежат классу C ∞ .
Рис. 4.12
Класс эквивалентности дифференцируемых атласов на топологическом многообразии называется дифференцируемой структурой на этом многообразии.
Таким образом, дифференцируемый атлас задает дифференцируемую структуру. Топологическое многообразие с фиксированной дифференцируемой структурой называется (абстрактным) дифференцируемым многообразием.
Задача 4.22 Построить на дифференцируемом многообразии в Rn каноническую дифференцируемую структуру.
Задача 4.23 Пусть M = R и рассмотрим два атласа на M . Первый атлас
состоит из одной карты ϕ(x) = x, а второй атлас состоит из одной карты
ϕ0 (x) = x3 . Показать, что эти атласы не эквивалентны.
Предыдущую конструкцию склейки для получения топологического многообразия можно следующим образом переделать для дифференцируемых многообразий. Пусть имеем:
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1) Последовательность открытых множеств Ui ⊂ Rn .
2) При каждых i 6= j открытые множества (может быть пустые) Uij ⊂ Ui .
3) При каждых i 6= j диффеоморфизмы ϕij : Uij → Uji , удовлетворяющие
условиям
ϕji = ϕ−1
ϕij ◦ ϕjk ◦ ϕki = id.
ij ,
Тогда на несвязном объединении
a
Ui =
[
(Ui , i)
i
i
определено отношение эквивалентности x ∼ ϕij (x), где x ∈ Ui . А на факторпространстве
a
M = ( Ui )/∼
i
возникает дифференцируемая структура (почему?). Чтобы получилось дифференцируемое многообразие, нужно еще потребовать, чтобы множество
a
a
R = {(x, y) ∈ ( Ui ) × ( Ui )|x ∼ y}
i
i
было замкнутое.
Если множество M ⊂ Rn является k-мерным дифференцируемым многообразием, то индуцированная топология превращает его в k-мерное топологическое
многообразие, а локальные параметры в окрестности каждой точки задают дифференцируемую структуру, поэтому M является абстрактным k-мерным дифференцируемым многообразием.
Покажем, что на проективном пространстве KP n определена каноническая
дифференцируемая структура. Точками KP n являются прямые в K n+1 , проходящие через O. Каждая такая прямая l определяется ненулевым направляющим
вектором v ∈ K n+1 . Координаты этого вектора (v0 , . . . , vn ) называются однородными координатами точки l ∈ KP n . Они определяются с точностью до умножения на ненулевой скаляр: вектор λv = (λv0 , . . . , λvn ) лежит на той же прямой l
и все ненулевые векторы на l получаются таким образом. Поэтому вектор однородных координат точки l ∈ KP n по традиции обозначается через (v0 : . . . : vn ).
Пользуясь однородными координатами, можно построить аффинное покрытие
KP n . Положим
Ui = {(v0 : . . . : vn ) | vi 6= 0}, i = 0, . . . , n,
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и определим биекцию ϕi : Ui → K n правилом
µ
¶
v0
vn
ϕi (v0 : . . . : vi : . . . : vn ) =
, . . . , 1, . . . ,
.
vi
vi
(На самом деле 1 нужно выкинуть, но мы оставляем ее для напоминания о том,
как возникла эта строка.) Эта биекция является гомеоморфизмом и определяется
набором координатных функций
(i)
x0 =
v0
vi+1
vn
(i)
(i)
, . . . , xi = 1, xi+1 =
, . . . , x(i)
.
n =
vi
vi
vi
(i)
(На самом деле функцию x0 = 1 нужно выкинуть.) Множество Ui с этими
координатными функциями называется аффинной картой на KP n . Функции перехода от координат в i-й карте к координатам в j-ой находятся из равенства
vk
vk vi
=
· .
vj
vi vj
(j)
(i)
(i)
Таким образом, xk = xk /xj . Заметим, что функции перехода принадлежат
классу C ∞ , поэтому аффинный атлас задает дифференцируемую структуру.
4.4
Дифференцируемые отображения
Пусть дано отображение дифференцируемых многообразий f : X → Y ,
x0 ∈ X, x1 , . . . , xn − координаты в карте, содержащей точку x0 , а y1 , . . . , ym
− координаты в карте, содержащей точку y0 = f (x0 ) ∈ Y . В окрестности точки
x0 отображение f : X → Y задается системой функций


y1 = y1 (x1 , . . . , xm )
..
.


yn = yn (x1 , . . . , xm ).
Отображение f : X → Y дифференцируемо в точке x0 , если эта система функций имеет частные производные любого порядка в точке x0 . Если отображение
f : X → Y дифференцируемо в любой точке из X, то оно называется дифференцируемым.
Задача 4.24 Показать, что определение дифференцируемости корректно, то
есть не зависит от выбора координат.
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Действительнозначная функция f (x) на дифференцируемом многообразии
M называется дифференцируемой, если соответствующее отображение дифференцируемых многообразий f : M → R будет дифференцируемым.
Отображение дифференцируемых многообразий f : X → Y называется диффеоморфизмом, если оно является биекцией, а отображения f : X → Y, f −1 :
Y → X дифференцируемые.
Задача 4.25 Пусть отображение f : X → Y является диффеоморфизмом.
Показать, что тогда размерности многообразий X, Y совпадают.
Задача 4.26 Пусть отображение f : X → Y является диффеоморфизмом и в
окрестности точки x0 оно задается системой функций


y1 = y1 (x1 , . . . , xn )
..
.


yn = yn (x1 , . . . , xn ).
Показать, что матрица Якоби
 ∂y
 .. 1
 .
∂x
...
...
∂y1
∂xn
∂yn
∂x1
...
∂yn
∂xn
1

.. 
. 
не вырождена.
Многообразия между которыми существует диффеоморфизм называются диффеоморфными.
Задача 4.27 Показать, что следующие многообразия диффеоморфны
1) R, (a, b).
2) Rn , {x ∈ Rn | |x| < 1}.
Отображение дифференцируемых многообразий f : X → Y называется погружением, если m = dim X < n = dim Y и ранг матрицы Якоби
 ∂y

∂y1
1
.
.
.
∂x
∂xm
 .. 1 . .

. ... 
 .
∂yn
∂yn
∂x1 . . . ∂xm
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
максимален в каждой точке, то есть равен m. Если в дополнение к этому условию
потребовать, чтобы отображение было инъективным, то по определению получим вложение. Отличие вложения от погружения состоит в том, что при погружении образ имеет точки самопересечения. Если имеем вложение f : M → Rn ,
то образ является многообразием в Rn .
Задача 4.28 Привести пример погружения, которое не является вложением.
Мы рассмотрим преобразование, которое широко применяют в алгебраической геометрии. Но для дифференциальной геометрии оно тоже полезно, а также
его можно применять в теории особых точек систем дифференциальных уравнений. Мы попытаемся излагать теорию наглядно, поэтому ограничимся двумерным случаем, а именно будем применять это преобразование для дифференцируемых поверхностей. Рассмотрим следующий пример. Известны два классических расширения аффинной плоскости R2 : сфера S 2 и проективная плоскость P2 .
Сфера получается из R2 добавлением одной бесконечной точки, а проективная
плоскость получается добавлением по одной бесконечной точке по каждому направлению, в результате добавляется бесконечная проективная прямая. Таким
образом, сфера и проективная плоскость имеют общую часть, а именно, аффинную плоскость R2 . Следовательно, сфера получается из проективной плоскости
стягиванием бесконечной проективной прямой в точку. Это преобразование называется антисигма-процессом. А проективная плоскость получается из сферы
с помощью обратного преобразования − раздутия точки в проективную прямую.
Это преобразование называется сигма-процессом.
4.5
Сигма-процесс
Сначала приведем небольшой отрывок из книги В. И. Арнольда [1], в котором характеризуется преобразование плоскости, называемое σ-процессом.: «Для
исследования мелких деталей всевозможных математических объектов вблизи
особых точек разработан специальный аппарат, имеющий, подобно микроскопу,
большую разрешающую силу − т.н. разрешение особенностей. С аналитической
точки зрения речь идет о выборе таких систем координат вблизи особой точки, в которых малым перемещениям вблизи особенности соответствуют большие
изменения координат».
На самом деле удобнее сначала определить обратное преобразование.
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Антисигма-процесс
Рассмотрим плоскость R2 с координатами x, y и проективную прямую P1 с
однородными координатами (t0 : t1 ). В произведении R2 ×P1 рассмотрим поверхность S ⊂ R2 × P1 , заданную уравнением t0 y = t1 x.
Рис. 4.13
Если рассматривать проективную прямую как множество прямых l в R2 , проходящих через начало координат, то уравнение t0 y = t1 x задает множество пар
(p, l) ∈ R2 × P1 таких, что p ∈ l. На проективной прямой P1 рассмотрим две
аффинные карты U, V с аффинными координатами u = t1 /t0 , v = t0 /t1 . Тогда на
произведении R2 ×U = R3 определены аффинные координаты x, y, u, а на произведении R2 × V = R3 определены аффинные координаты x, y, v. В пространстве
R2 × U поверхность S задается уравнением y = ux и является гиперболическим
параболоидом. На рис. 4.13 изображен кусок этого параболоида. На нем видны
прямые y = ui x при разных значениях ui .
Аналогично, в пространстве R2 ×V поверхность S задается уравнением x = vy
и является гиперболическим параболоидом. Эти параболоиды будем обозначать
через Su , Sv соответственно. На параболоиде Su можно взять в качестве координат переменные x, u, а на параболоиде Sv − y, v. Таким образом, на поверхности
S имеем атлас, состоящий из двух карт (Su ; x, u), (Sv ; y, v), причем функции перехода от первой карты ко второй имеют вид y = ux, v = 1/u.
Рассмотрим проекцию π : R2 × P1 → R2 , заданную правилом π(p, l) = p.
Она задает отображение π : S → R2 , которое называется антисигма-процессом.
Заметим, что прообраз точки p ∈ R2 при этом отображении устроен следующим
образом. Если p 6= O, то прообраз π −1 (p) состоит из одной точки (p, Op), где
Op − прямая, проходящая через начало координат O и точку p. А если p = O,
то прообраз π −1 (p) состоит из множества точек {(O, l)}, где l − произвольная
точка проективной прямой, поэтому π −1 (O) является проективной прямой.
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 4.29 Доказать, что поверхность S является листом Мебиуса (без
края), а отображение π : S → R2 стягивает среднюю линию листа Мебиуса в
точку.
Решение. Рассмотрим на плоскости R2 расширенную полярную систему координат ρ, ϕ, где −∞ < ρ < +∞, 0 6 ϕ 6 π. В этой системе координат для
точки на оси Ox полярные координаты определены неоднозначно. Для точки O
подходят все координаты ρ = 0, 0 6 ϕ 6 π. Для точек с x > 0 подходят полярные координаты ρ = x, ϕ = 0 и координаты ρ = −x, ϕ = π. Если поднять
полярную систему координат на поверхность S, то ситуация улучшается, так
как начало координат O заменяется на проективную прямую π −1 (O). А именно,
только для прямой y = 0, u = 0 полярные координаты определены неоднозначно:
для точек (x, 1 : 0) подходят полярные координаты ρ = x, ϕ = 0 и координаты
ρ = −x, ϕ = π. А это означает, что поверхность S получается из полосы R×[0, π]
отождествлением точек (ρ, 0) с точками (−ρ, π). А после такого отождествления
сторон полосы R×[0, π] получается лист Мебиуса. Если считать, что средняя линия задается уравнением ρ = 0, то при отображении π она переходит в точку O.
Что и требовалось доказать.
Замечание. Лист Мебиуса и поверхность S являются линейными расслоениями над окружностью. Так как над окружностью существует лишь два не
изоморфных линейных расслоения: тривиальное и нетривиальное, то достаточно
установить нетривиальность расслоений, которые дает лист Мебиуса и поверхность S.
Действие σ-процесса на особые точки кривых
Рассмотрим теперь обратное отображение σ = π −1 : R2 → S, это отображение называется σ-процессом. Заметим, что σ-процесс не является однозначным
отображением, образ начала координат σ(O) равен π −1 (O), а поэтому является
проективной прямой. Для точек, отличных от начала координат, образ состоит
из одной точки. Наглядно σ-процесс можно представлять как операцию, которая
разводит прямые, проходящие через начало координат, и они на поверхности S
уже не пересекаются. Например, каждая прямая y = ux на плоскости Oxy поднимается на высоту u, а тогда она попадает на поверхность Su (см. рис. 4.14).
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.14
Σ-процесс применяется для разрешения различных особенностей, например,
особых точек кривых. Для кривых процедура следующая. Пусть дана кривая Γ
на плоскости Oxy с особой точкой в начале координат O. Точный образ σ(Γ) этой
кривой при σ-процессе равен замыканию кривой σ(Γ∗ ), где Γ∗ = Γ \ {O}.
Рассмотрим конкретный пример. Пусть Γ − кривая, которая задается уравнением x2 − y 2 + x4 + y 4 = 0. Начало координат является особой точкой для нее
(см. рис. 4.15). Применим σ-процесс и найдем точный образ. В карте Su имеем
равенство y = ux, поэтому в координатах x, u получаем уравнение x2 − x2 u2 +
x4 − x4 u4 = 0.
Рис. 4.15
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.16
Оно задает полный образ. Чтобы получить точный образ, нужно разделить на x2
(заметим, что уравнение x = 0 определяет на карте Su прямую π −1 (O) без одной
точки). Тогда получим уравнение 1 − u2 + x2 + x2 u4 = 0. Это неособая кривая
(см. рис. 4.16), но она уже незамкнутая, а кривая Γ замкнутая. Это означает,
что точный образ кривой Γ при σ-процессе не умещается на карте Su , в действительности на бесконечности имеются еще две точки (почему?). Аналогично
в карте Sv точный образ кривой Γ задается уравнением v 2 − 1 + v 4 y 2 + y 2 = 0.
Это неособая замкнутая кривая, она изображена на рис. 4.17.
Рис. 4.17
Заметим, что точный образ кривой Γ полностью помещается на карте Sv , а
на карте Su содержится σ(Γ) без двух точек (0, ±1; 0 : 1) ∈ S.
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.18
В рассмотренном примере особая точка называется двойной точкой, или узлом. Рассмотрим теперь пример кривой с особой точкой, которая называется
точкой возврата первого рода, или острием (ветви кривой лежат по разные стороны от общей полукасательной). Пусть кривая задана уравнением x3 − y 2 = 0,
она изображена на рис. 4.18. Точка O для нее особая, она является точкой возврата первого рода. Применим σ-процесс в точке O и найдем точный образ этой
кривой. В карте Su ее полный образ задается уравнением x3 −u2 x2 = 0. Разделим
его на x2 , тогда получим уравнение параболы x = u2 (см. рис. 4.19).
Рис. 4.19
В карте Sv полный образ данной кривой задается уравнением v 3 y 3 − y 2 = 0.
Разделим его на y 2 , тогда получим уравнение y = 1/v 3 , оно задает кривую, похожую на гиперболу (см. рис. 3.20). Получилась несвязная кривая, а Γ была
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
связной кривой. Это означает, что точный образ кривой Γ не помещается полностью в карте Sv , в действительности на бесконечности добавляется еще одна
точка (почему?).
Рис. 4.20
Рассмотрим теперь пример кривой с особой точкой, которая называется точкой возврата второго рода, или клювом (ветви кривой лежат по одну сторону
от общей полукасательной). Пусть кривая Γ задана параметрическими уравнениями x = t2 , y = t4 + t5 , она изображена на рис. 4.21.
Рис. 4.21
Точка O является на этой кривой точкой возврата второго рода. Сделаем
σ-процесс в этой точке и найдем точный образ кривой Γ. В карте Su он задается параметрическим уравнениями x = t2 , u = t2 + t3 , соответствующая кривая
изображена на рис. 4.22.
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.22
Она имеет особую точку возврата первого рода. Если еще раз сделать σ-процесс,
то получим неособую кривую. В карте Sv точный образ кривой Γ задается параметрическими уравнениями y = t4 + t5 , v = 1/(t2 + t3 ), соответствующая кривая
особых точек не имеет.
Сигма-процесс для произвольной поверхности
Пусть теперь имеем произвольную дифференцируемую поверхность, то есть
двумерное дифференцируемое многообразие M . Зафиксируем на ней какуюнибудь точку p ∈ M . В окрестности этой точки Up можно выбрать координаты
x, y, значения которых в точке p равны нулю. Эти координаты отождествляют
окрестность Up точки p с окрестностью V точки O на плоскости R2 . Можно
считать, что окрестность V является единичным кругом x2 + y 2 < 1. Прежний
σ-процесс преобразует круг V в лист Мебиуса Ve , причем он отождествляет проколотую окрестность Up0 = Up \ {p} точки p с дополнением до средней линии на
листе Мебиуса Ve \ P1 . Следовательно, координаты x, y позволяют отождествить
проколотую окрестность Up0 с дополнением до средней линии на листе Мебиуса
Ve \ P1 . Заменим на поверхности M полную окрестность Up на полный лист Меf. Причем определено отображение
биуса Ve , тогда получим новую поверхность M
f → M , оно называется антисигма-процессом, а обратное отображение
π : M
f называется σ-процессом с центром в точке p.
σ:M →M
Задача 4.30 Какая получится поверхность, если на сфере зафиксировать n
точек p1 , . . . , pn и сделать σ-процессы с центрами в этих точках.
Задача 4.31 Пусть на поверхности M имеется замкнутая простая кривая Γ,
обладающая следующим свойством. При малой деформации получаем кривую Γ0 ,
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
которая пересекается с кривой Γ по единственной точке. Тогда существует
стягивание кривой Γ в неособую точку. То есть существует дифференцируемое отображение поверхностей π : M → M 0 , при котором кривая Γ отображается в точку p0 , а отображение дополнений π : M \ Γ → M 0 \ {p0 } является диффеоморфизмом. Показать, что отображение π : M → M 0 является
антисигма-процессом.
Обобщения
Пусть V − конечномерное пространство над полем K, которое равно R или
C. Через P (V ) обозначим множество прямых (одномерных подпространств) в V .
Это множество называется проективным пространством, оно пока является
только множеством, но на нем определена каноническая топология (какая?), которая возникает из топологии на V , причем тогда это пространство становится
топологическим многообразием.
Задача 4.32 Показать, что проективное пространство P (V ) является дифференцируемым многообразием размерности dim V − 1, если K = R, и размерности 2 dim V − 1, если K = C.
В произведении V × P (V ) рассмотрим множество M , состоящее из пар (v, l)
(v − точка в V , а l − точка в P (V ), то есть прямая в V ) таких, что v ∈ l.
Задача 4.33 Показать, что M является дифференцируемым многообразием
размерности dim V , если K = R, и размерности 2 dim V , если K = C.
Проекции π : V × P (V ) → V, p : V × P (V ) → P (V ) определяют отображения π : M → V, p : M → P (V ), первое из которых называется антисигмапроцессом, а второе − тавтологическим расслоением.
Задача 4.34 Показать, что отображения π : M → V, p : M → P (V ) дифференцируемые.
4.6
Особенности отображений и функций
Теория особенностей дифференцируемых отображений далеко и глубоко обобщает теорию исследования функций одного переменного на наличие точек экстремума. Возникает вопрос, о каких особенностях идет речь.
Рассмотрим для примера отображение f : U → R, где U − интервал и отображение бесконечное число раз дифференцируемое, то есть принадлежит классу
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
C ∞ (такие отображения будем называть дифференцируемыми). Тогда не может
быть разговора о точках разрыва, так как функция f (x) непрерывная. Особыми
точками для дифференцируемого отображения f : U → R называются точки, в
которых равна нулю производная f 0 (x). То есть для дифференцируемого отображения f : U → R особые точки − это критические точки. Как устроена функция
в окрестности точки x0 ? Если x0 − неособая точка, то можно в окрестностях точек x0 , f (x0 ) найти новые координатные функции x
e, ye такие, что отображение
f будет задаваться равенством ye = x
e (почему?). Если не различать дифференцируемые функции, которые получаются одна из другой с помощью изменения
координатных функций, то мы должны сказать, что в окрестности неособой точки все функции устроены одинаково. Если x0 − особая точка для отображения
f и все производные до k-го порядка функции f (x) в этой точке равны нулю, а
производная k-го порядка f (k) (x0 ) не равна нулю, то существуют координатные
функции x
e, ye такие, что отображение f в окрестности точки x0 приобретет вид
k
ye = x
e (почему?). Таким образом, в окрестности особой точки функции могут
быть устроены по-разному. Рассмотрим функции, которые с помощью изменения координат, можно привести к виду ye = x
e2 , это функции у которых вторая
производная f 00 (x0 ) не равна нулю. В этом случае особая точка x0 называется невырожденной. Особенность таких функций устойчива относительно малых
изменений, то есть при замене ее на близкую (с первыми двумя производными)
функцию новая функция будет иметь вблизи точки x0 критическую точку того
же типа. Рассмотрим теперь функции, которые с помощью изменения координат можно привести к виду ye = x
ek , где k > 2. Особенность таких функций
не устойчива относительно малых изменений. Рассмотрим, например, семейство
функций y = x3 − t, где t − малый параметр (см. рис. 4.23).
Рис. 4.23
При малых t функции этого семейства можно рассматривать как малое изменение (шевеление) функции y = x3 . Эта функция имеет вырожденную особую
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
точку x = 0. Мы видим, что при t < 0 вырожденная особая точка исчезает,
а
p
при t > 0 она распадается на две невырожденные особые точки x = ± t/3.
Рассмотрим теперь дифференцируемые отображения y = f (x) : U → R, где
U − область на плоскости R2 , x = (x1 , x2 ). Точка x0 = (x01 , x02 ) ∈ U называется
∂f
∂f
особой для отображения f , если частные производные ∂x
,
обращаются в
∂x
1
2
точке x0 в нуль, то есть точка x0 является критической для функции y = f (x).
Особая точка x0 = (x01 , x02 ) ∈ U называется невырожденной, если матрица
вторых частных производных
³ ∂ 2f ´
∂xi ∂xj
имеет в точке x0 ненулевой определитель.
Предлагается показать, что если x0 = (x01 , x02 ) ∈ U невырожденная особая
точка для отображения y = f (x) : U → R, то в окрестности точки x0 = (x01 , x02 )
существуют координаты x
e1 , x
e2 , а в окрестности точки f (x0 ) ∈ R существует
координата ye, такие, что функция y = f (x) приобретает одну из следующих
трех форм: ye = x
e21 + x
e22 , ye = x
e21 − x
e22 , ye = −e
x21 − x
e22 .
Рассмотрим теперь дифференцируемые отображения y = f (t) : U → R2 , где
U − интервал на прямой R, y = (y1 , y2 ). Точка t0 ∈ U называется особой для
отображения f , если обе производные
dy1 dy2
,
dt dt
обращаются в точке t0 в нуль. Заметим, что отображение y = f (t) : U → R2
называется параметрической кривой, а вектор
³ dy dy ´
df
1
2
=
,
dt
dt dt
называется вектором скорости этой кривой. Эти названия обусловлены следующими причинами. Образ отображения y = f (t) : U → R2 является кривой
(при некоторых предположениях), а если интерпретировать это отображение как
движение точки на плоскости, то вектор df
dt является вектором скорости этого
движения, он является касательным вектором к кривой (см. рис. 4.24), которая
называется также траекторией этого движения.
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рисунок 4.24
Таким образом, точка t0 является особой точкой параметрической кривой
y = f (t), если вектор скорости df
dt в этой точке обращается в нуль. Как отражается на траектории тот факт, что точка t0 является особой? Если вектор скорости df
dt при переходе точки t0 не меняет направление на противоположное, то по
траектории нельзя определить, что имеем особую точку. Например, для кривой
y = (t3 , t6 ) точка t = 0 особая, но траектория этой кривой совпадает с траекторией кривой y = (t, t2 ), а поэтому траектория не имеет особых точек. Если
вектор скорости df
dt при переходе точки t0 меняет направление на противоположное, то на траектории появляется особая точка M0 = f (t0 ) (см. рис. 4.25). Такая
ситуация возникает, например, для кривой y = (t2 , t3 ).
Рис. 4.25
Рассмотрим теперь отображение y = f (x) : U → Rn , где U − область в Rm .
Точка x0 ∈ U называется критической точкой для отображения f : U → Rn ,
если ранг матрицы Якоби в этой точке
³ ∂y ´
i
∂xj
меньше максимально возможного значения, то есть rk < min(m, n).
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.26
Рассмотрим, например, отображение f : R2 → R2 , задаваемое формулами:
y1 = x21 , y2 = x2 . Тогда прямая x1 = 0 состоит из критических точек этого
отображения. Чтобы наглядно представить это отображение, реализуем его как
проекцию поверхности из трехмерного пространства на горизонтальную плоскость. Для этого рассмотрим график функции y1 = x21 в трехмерном пространстве с координатами x1 , x2 , y1 (см. рис. 4.26). Рассмотрим теперь отображение
f : R2 → R2 , задаваемое формулами: y1 = x31 + x1 x2 , y2 = x2 . Тогда парабола
3x21 + x2 = 0 состоит из критических точек этого отображения. Чтобы наглядно представить это отображение, реализуем его как проекцию поверхности из
трехмерного пространства на горизонтальную плоскость. Для этого рассмотрим
график функции y1 = x31 + x1 x2 в трехмерном пространстве с координатами
x1 , x2 , y1 (см. рис. 4.27). Рассмотрим теперь отображение f : R2 → R3 , задаваемое формулами: y1 = x1 x2 , y2 = x2 , y3 = x21 . Это отображение имеет только
одну критическую точку O(0, 0). Образ плоскости при этом отображении называется зонтиком Уитни. Он определяется уравнением y12 = y3 y22 и изображен на
рис. 4.28.
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.27
Рис. 4.28
В общем случае нужно рассматривать дифференцируемые отображения дифференцируемых многообразий f : M m → N n . Понятие критической точки такого
отображения определяется с помощью отображения касательных пространств,
так как производная отображения f в точке x0 является линейным отображением касательных пространств f∗ : Tx0 → Ty0 , где y0 = f (x0 ).
Определение 4.35 Точка x0 ∈ M m называется критической точкой для отображения f : M m → N n , если ранг производной в этой точке f∗ : Tx0 → Ty0
меньше максимально возможного значения, то есть rk f∗ < min(m, n).
Обозначим через C ∞ (M, N ) множество дифференцируемых отображений многообразия M в многообразие N . А через Dif f (M ), Dif f (N ) обозначим множества диффеоморфизмов этих многообразий (взаимно однозначных отображений,
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дифференцируемых вместе с обратными). Отображения f, g ∈ C ∞ (M, N ) называются эквивалентными, если существуют диффеоморфизмы
h ∈ Dif f (M ),
k ∈ Dif f (N )
такие, что коммутативна диаграмма
f
M −−→


hy
N


yk
g
M −−→ N.
Заметим, что эта эквивалентность для функций действительного переменного
означает, что мы не различаем функции, которые получаются одна из другой с
помощью дифференцируемой замены координатных функций.
Функции на окружности и сфере
Окружность S на плоскости R2 = C определяется уравнением x2 + y 2 = 1
или в комплексной форме |z| = 1. Для нее имеется каноническая параметризация
R → S, которая задается системой уравнений
(
x = cos ϕ
y = sin ϕ.
Комплексная запись этой параметризации имеет вид z = eiϕ . Эта параметризация задает отображение Φ : R → S по правилу Φ(ϕ) = eiϕ . Каждая функция
f : S → R определяет функцию f ◦ Φ : R → R. Эту функцию мы будем обозначать через fe. Мы будем называть функцию f дифференцируемой (или класса
C ∞ ), если функция fe класса C ∞ . Далее предполагается, что f − дифференцируемая функция. Пусть s0 ∈ S и Φ(ϕ0 ) = s0 , будем называть точку s0 критической, если fe0 (ϕ0 ) = 0. Значение функции в критической точке называется
критическим значением, а не критические значения называются регулярными
значениями функции.
Задача 4.36 . 1) Пусть y ∈ f (S) − регулярное значение, тогда ее прообраз
f −1 (y) является конечным множеством и состоит из четного числа точек.
2) Пусть y ∈ f (S) − регулярное значение, тогда через n+ (y) обозначим
число точек в прообразе f −1 (y), в которых fe0 (ϕ) > 0, а через n− (y) обозначим
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
число точек в прообразе f −1 (y), в которых fe0 (ϕ) < 0. Показать, что тогда
n+ (y) = n− (y).
3) Если f −1 (y) содержит 2k точек, то у f имеется по крайней мере 2k
критических точек.
4) Пусть f (ϕ) − функция на окружности, которая получается ограничением на окружность однородного многочлена F (x, y) степени d. Найти оценку
числа критических точек функции f (ϕ) через степень d.
Рассмотрим теперь векторнозначные функции на окружности, а именно отображения S → R2 . Каждая такая функция представляет собой пару действительнозначных функций x(ϕ), y(ϕ). Будем называть отображение S → R2 дифференцируемым, если функции x(ϕ), y(ϕ) дифференцируемые. Запишем такое
отображение как r = r(ϕ) и рассмотрим производную r0 (ϕ), она называется
вектором скорости. Заменим параметр ϕ на t, чтобы рассматривать его как
время, тогда отображение S → R2 задает движение, вектор скорости r0 (t) дает
мгновенную скорость. Образ отображения S → R2 является плоской замкнутой
кривой, которая называется траекторией соответствующего движения. Точка
t0 ∈ S называется критической для отображения r = r(t) : S → R2 , если
r0 (t0 ) = 0. С механической точки зрения равенство r0 (t0 ) = 0 означает равенство
нулю мгновенной скорости в момент времени t = t0 . Тогда возможны два случая: или после остановки движение продолжается в прежнем направлении, или
оно меняется на противоположное. Во втором случае получается особая точка
на траектории (см. точку M0 на рис. 4.25). Если r(t1 ) = r(t2 ), то на траектории возникает точка самопересечения (см. точку M1 на рис. 4.25). Отображение
S → R2 можно задать одной функцией r = r(ϕ) в полярных координатах (r, ϕ),
тогда x = r(ϕ) · cos(ϕ), y = r(ϕ) · sin(ϕ).
Задача 4.37 1) Нарисовать кривые r = sin(nϕ) при n = 1, 2, 3.
2) Нарисовать кривые z = R2 e2iϕ + 2Re−ϕ при R = 12 , 1, 23 , 2, 3.
Рассмотрим теперь функции на сфере S 2 , заданной уравнением
x2 + y 2 + z 2 = 1.
Чтобы изучать их, нужно ввести на сфере параметры u, v, но нельзя это сделать так, чтобы параметры были определены на всей сфере (почему?). Но можно это делать на части сферы, например, на верхней полусфере можно взять
в качестве параметров координатные функции x, y. Если зафиксировать точку
M0 ∈ S 2 , то в окрестности этой точки можно выбрать в качестве параметров
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
две координатные функции из функций x, y, z. Итак, пусть параметры выбираются таким способом, тогда каждую функцию на сфере f : S 2 → R в окрестности точки M0 можно рассматривать как функцию от двух переменных, то есть
f (M ) = f (u, v). Будем называть функцию f (M ) дифференцируемой в окрестности точки M0 (u0 , v0 ), если функция f (u, v) класса C ∞ в окрестности точки
(u0 , v0 ). Точка M0 будет называться критической для функции f (M ), если частные производные fu0 (u0 , v0 ), fv0 (u0 , v0 ) равны нулю. Теперь можно определить критические и регулярные значения функции на сфере.
Задача 4.38 1) Пусть f : S 2 → R − дифференцируемая функция и y ∈ R ее
регулярное значение. Показать, что если линия уровня f −1 (y) представляет
собой объединение k связных компонент, то на сфере имеется не менее k + 1
критических точек.
2) Пусть f (M ) − функция на сфере, которая получается ограничением на
окружность однородного многочлена F (x, y, z) степени d. Найти оценку числа
критических точек функции f (M ) через степень d.
4.6.1
Функции на плоских кривых
Уточним сначала понятие кривой на плоскости. Множество Γ ⊂ R2 называется кривой без самопересечений или элементарной кривой , если существует
гомеоморфизм (взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение) интервала на Γ. Чтобы изучать самопересекающиеся кривые дадим следующее
Определение 4.39 Множество Γ ⊂ R2 называется кривой, если его можно покрыть конечным или счетным числом элементарных кривых, причем в
достаточно малой окрестности каждой точки кривая состоит из конечного
числа элементарных кривых.
Если нужно рассматривать кривые с концами, то в определении элементарной кривой нужно брать отображения промежутка, который может быть интервалом, полуинтервалом и отрезком.
Далее мы рассматриваем кривые без самопересечений. Для такой кривой Γ
существует гомеоморфизм γ : I → Γ, он называется параметризацией данной
кривой. Параметризация позволяет ввести отношение порядка на кривой (точка
A = γ(a) предшествует точке B = γ(b), если a < b). Это отношение порядка
называется направлением или ориентацией на кривой. Возможны только два направления на кривой. Множество точек кривой, лежащих между точками A, B,
d Длина дуги определяется
называется дугой кривой Γ и обозначается через AB.
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
как предел длин вписанных ломанных. Кривая называется спрямляемой, если
каждая ее дуга имеет конечную длину. Если на спрямляемой кривой зафиксировать точку A0 , то можно ввести на кривой натуральную параметризацию
γ(s) = (x(s), y(s)), где γ(s) − такая точка As на кривой, для которой длина дуги
[
A
0 As равна |s|.
Пусть Γ ⊂ R2 − спрямляемая плоская кривая и
(
x = x(s)
y = y(s)
ее натуральная параметризация. Ее можно записать в векторной форме r = r(s).
Мы будем предполагать, что функция r(s) класса C ∞ и r0 (s) 6= 0. В этом случае
r0 (s) − единичный касательный вектор, он обозначается через t(s). Мы будем
рассматривать две функции на Γ, которые имеют геометрическое происхождение. Первая функция называется функцией высоты, а вторая функция − функцией квадрата расстояния.
Функция высоты
Пусть e ∈ R2 − единичный вектор, тогда рассмотрим функцию h(s) = r(s) · e
на кривой Γ. Ее геометрический смысл ясен из рис. 4.29. Найдем критические
точки функции h(s) и выясним, когда они являются точками экстремума. Так
как
h0 (s) = r0 (s) · e = t(s) · e,
то равенство h0 (s) = 0 означает, что касательный вектор t(s) ортогонален вектору e. Следовательно, точка r(s0 ) на кривой Γ будет критической точкой
для функции h(s), если при отложении вектора e от точки r(s0 ) получается
нормальный вектор к кривой Γ.
Выясним теперь, когда критическая точка r(s0 ) является точкой экстремума.
Прежде всего вспомним, что r00 (s) = k(s) · n(s), где k(s) − кривизна кривой Γ в
точке r(s), а n(s) − единичный нормальный вектор к Γ в этой точке. Поэтому
h00 (s) = k(s) · n(s) · e. Мы будем рассматривать случай, когда в критической точке r(s0 ) кривизна k(s0 ) не равна нулю, тогда она больше нуля. В критической
точке r(s0 ) векторы n(s0 ), e коллинеарны, поэтому h00 (s0 ) > 0 тогда и только
тогда, когда векторы n(s0 ), e равны. Следовательно, критическая точка r(s0 )
будет точкой минимума, если векторы n(s0 ), e совпадают, а если они противоположны, то r(s0 ) − точка максимума функции h(s) (см. рис. 4.30).
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.29
Рис. 4.30
Задача 4.40 1) Пусть критическая точка функции высоты является точкой
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
перегиба кривой Γ. Показать, что в этом случае критическая точка не является точкой экстремума.
2) Пусть Γ является эллипсом
x2 +
иe=(
√
√
2
2
;
2
2 ).
y2
=1
4
Найти точки экстремума функции высоты на этом эллипсе.
Функция квадрата расстояния
Пусть r0 − фиксированная точка на плоскости R2 , тогда рассмотрим функцию
d(s) = (r(s) − r0 )2
на кривой Γ. Она называется функцией квадрата расстояния. Ее геометрический
смысл ясен из рис. 4.31. Найдем критические точки функции d(s) и выясним,
когда они являются точками экстремума. Так как
d0 (s) = 2r0 (s) · (r(s) − r0 ),
то равенство d0 (s) = 0 означает, что касательный вектор t(s) ортогонален вектору r(s) − r0 , то есть вектор r(s) − r0 ортогонален кривой Γ (см. рис. 4.32).
Рис. 4.31
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вычислим вторую производную функции d(s)
d00 (s) = 2r00 (s) · (r(s) − r0 ) + 2(r0 (s))2 =
2k(s) · n(s) · (r(s) − r0 ) + 2.
Рис. 4.32
Мы будем рассматривать случай, когда в критической точке r(s0 ) кривизна
k(s0 ) не равна нулю, тогда она больше нуля. В критической точке r(s0 ) векторы
n(s0 ), r(s0 ) − r0 коллинеарны, то есть r(s0 ) − r0 = λ · n(s0 ). Следовательно,
d00 (s0 )
= k(s0 ) · λ + 1.
2
Таким образом, если
λ>−
1
,
k(s0 )
то критическая точка r(s0 ) является точкой минимума функции d(s), а если
λ<−
1
,
k(s0 )
то критическая точка является точкой максимума. Заметим, что если
λ=−
1
,
k(s0 )
то точка r0 является центром кривизны кривой Γ. Обозначим центр кривизны
через C, тогда точка C разделит нормальную прямую n к кривой Γ в точке n(s0 )
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
на два луча n± (см. рис. 4.33) так, что если r0 ∈ n+ , то точка r(s0 ) является
точкой максимума функции d(s), а если r0 ∈ n− , то точка r(s0 ) является точкой
минимума.
Рис. 4.33
Задача 4.41 Пусть Γ − эллипс, а r0 − полюс этого эллипса. Найти точки
экстремума функции высоты.
4.6.2
Функции на пространственных кривых
Пусть Γ ⊂ R3 спрямляемая пространственная кривая и


x = x(s)
y = y(s)

z = z(s)
ее натуральная параметризация. Ее можно записать в векторной форме r = r(s).
Мы будем предполагать, что функция r(s) класса C ∞ и r0 (s) 6= 0. В этом случае
r0 (s) − единичный касательный вектор, он обозначается через t(s). Мы будем
рассматривать две функции на Γ, которые имеют геометрическое происхождение. Первая функция называется функцией высоты, а вторая функция − функцией квадрата расстояния.
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функция высоты
Пусть e ∈ R3 − единичный вектор, тогда рассмотрим функцию h(s) = r(s) · e
на кривой Γ. Найдем критические точки функции h(s) и выясним, когда они
являются точками экстремума. Так как
h0 (s) = r0 (s) · e = t(s) · e,
то равенство h0 (s) = 0 означает, что касательный вектор t(s) ортогонален вектору e.
Рис. 4.34
Рис. 4.35
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следовательно, точка r(s0 ) на кривой Γ будет критической точкой для функции h(s), если при отложении вектора e от точки r(s0 ) получается нормальный вектор к кривой Γ (см. рис. 4.34). Выясним теперь, когда критическая точка
r(s0 ) является точкой экстремума. Прежде всего вспомним, что r00 (s) = k(s)·n(s),
где k(s) − кривизна кривой Γ в точке r(s), а n(s) − единичный нормальный вектор к Γ в этой точке. Поэтому h00 (s) = k(s) · n(s) · e. Мы будем рассматривать
случай, когда в критической точке r(s0 ) кривизна k(s0 ) не равна нулю, тогда она
больше нуля. В критической точке r(s0 ) векторы n(s0 ), e лежат в нормальной
плоскости, поэтому h00 (s0 ) > 0 тогда и только тогда, когда угол между векторами n(s0 ), e меньше 90◦ . Поэтому получаем результат: критическая точка r(s0 )
является точкой минимума(максимума), если угол между векторами n(s0 ), e
острый(тупой) (см. рис. 4.35).
Функция квадрата расстояния
Пусть r0 − фиксированная точка в пространстве R3 , тогда рассмотрим функцию
d(s) = (r(s) − r0 )2
на кривой Γ. Она называется функцией квадрата расстояния.
Рис. 4.36
Так как
d0 (s) = 2r0 (s) · (r(s) − r0 ),
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
то равенство d0 (s) = 0 означает, что касательный вектор t(s) ортогонален вектору r(s) − r0 , то есть вектор r(s) − r0 лежит в нормальной плоскости к кривой Γ
(см. рис. 4.36).
Вычислим вторую производную функции d(s)
d00 (s) = 2r00 (s) · (r(s) − r0 ) + 2(r0 (s))2 =
2k(s) · n(s) · (r(s) − r0 ) + 2.
Мы будем рассматривать случай, когда в критической точке r(s0 ) кривизна k(s0 )
не равна нулю, тогда она больше нуля. Равенство d00 (s0 ) = 0 определяет уравнение
1
n(s0 ) · (r(s0 ) − r0 ) = −
k(s0 )
на точку r0 . В нормальной плоскости ν это уравнение задает прямую, проходящую через центр кривизны перпендикулярно вектору n(s0 ). Эта прямая разбивает плоскость на две полуплоскости ν± так, что справедливо утверждение.
Если r0 ∈ ν+ , то точка r(s0 ) является точкой максимума функции d(s), а
если r0 ∈ ν− , то точка r(s0 ) является точкой минимума (см. рис. 4.37).
Рис. 4.37
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.6.3
Функции на поверхности
Пусть S ⊂ R3 − поверхность и


x = x(u, v)
y = y(u, v)

z = z(u, v)
ее параметризация. Ее можно записать в векторной форме r = r(u, v). Мы будем
предполагать, что функция r(u, v) класса C ∞ и векторы r0u (u, v), r0v (u, v) линейно
независимы. В этом случае векторы r0u (u, v), r0v (u, v) образуют базис касательной
плоскости к поверхности S в точке r(u, v). Мы будем рассматривать две функции
на S, которые имеют геометрическое происхождение. Первая функция называется функцией высоты, а вторая функция − функцией квадрата расстояния.
Функция высоты
Пусть e ∈ R3 − единичный вектор, тогда рассмотрим функцию h(u, v) =
r(u, v) · e на поверхности S. Найдем критические точки функции h(u, v) и выясним, когда они являются точками экстремума. Так как
h0u (u, v) = r0u (u, v) · e,
h0v (u, v) = r0v (u, v) · e,
то равенства h0u (u, v) = 0, h0v (u, v) = 0 означают, что вектор e ортогонален векторам r0u (u, v), r0v (u, v). Следовательно, точка r(u0 , v0 ) на поверхности S будет
критической точкой для функции h(u, v), если при отложении вектора e от
точки r(u0 , v0 ) получается нормальный вектор к поверхности S. Чтобы выяснить, когда критическая точка будет точкой экстремума, нам потребуется вспомнить некоторые факты дифференциальной геометрии поверхностей.
Рассмотрим точку M на поверхности S, проведем через нее нормальную прямую n. Будем считать, что поверхность S ориентированная, тогда на нормальной
прямой n имеется направление. Единичный вектор, задающий ее направление,
обозначим через n (см. рис. 4.37).
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.38
Будем поводить через нормальную прямую n плоскости. Эти плоскости высекают на поверхности кривые, они называются нормальными сечениями. Для
кривизны нормального сечения в точке M определен знак по следующему правилу. Пусть C центр кривизны данного нормального сечения. Если векторы M C, n
имеют одинаковые направления, то кривизна нормального сечения считается
положительной, в противном случае она считается отрицательной (см. рис.
4.37).
Существуют два нормальных сечения, обладающие следующим свойством.
Для одного нормального сечения кривизна будет принимать минимальное значение, обозначим ее через k1 , а для другого сечения кривизна будет максимальной,
обозначим ее через k2 . На рис. 4.38 кривизна k1 отрицательная, а кривизна k2 положительная. Заметим, что нормальные сечения можно определять следующим
образом. Выберем в касательной плоскости к поверхности S в точке M прямую,
проходящую через точку M , и проведем через эту прямую и нормальную прямую плоскость, тогда она пересечет поверхность S по нормальной кривой (см.
рис. 4.39).
Прямые в касательной плоскости, для которых получаются нормальные сечения с главными кривизнами, сами называются главными направлениями. Если главные кривизны различные, то главные направления ортогональны. Если
главные кривизны совпадают, то любое направление в касательной плоскости
является главным, в этом случае можно зафиксировать две ортогональных прямых. На главных направлениях мы выбираем по единичному вектору e1 , e2 так,
чтобы базис e1 , e2 задавал ориентацию касательной плоскости, совпадающую с
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ориентацией поверхности. Нормальный вектор n обозначим через e3 , тогда векторы e1 , e2 , e3 образуют правый базис пространства. В этом случае базис e1 , e2 ,
e3 задает декартову систему координат Ox1 x2 x3 , в которой уравнение поверхности S в окрестности точки M имеет вид x3 = f (x1 , x2 ) (см. рис. 4.40).
Рис. 4.39
Рис. 4.40
Заметим, что ряд Тейлора функции f (x1 , x2 ) в начале координат имеет вид
k1 2 k2 2
x + x2 + . . . .
2 1
2
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если точка M является критической точкой функции высоты h(r), то вектор
e ортогонален поверхности S, поэтому выполняется равенство e = ±e3 . Если
e = e3 , то выполняется равенство h(r) = f (x1 , x2 , x3 ). Тогда
h(r) =
k1 2 k2 2
x + x2 + . . . ,
2 1
2
в противном случае
k1 2 k2 2
x − x2 + . . . .
2 1
2
Далее мы будем предполагать, что главные кривизны k1 , k2 не равны нулю. Тогда из разложения в ряд Тейлора функции высоты через координаты x1 , x2 , x3
получаем следующие утверждения.
Если e = n(−n) и k1 > 0, k2 > 0, то критическая точка M является точкой
минимума (максимума). Если e = n(−n) и k1 < 0, k2 < 0, то критическая
точка M является точкой максимума (минимума). Если главные кривизны
имеют разные знаки, то критическая точка не является точкой экстремума.
h(r) = −
Функция квадрата расстояния
Пусть r0 ∈ R3 − фиксированная точка, тогда рассмотрим функцию
d(r) = (r(u, v) − r0 )2 .
Найдем критические точки этой функции и выясним, когда они являются точками экстремума. Так как
d0u (r) = 2(r(u, v) − r0 ) · r0u (u, v),
d0v (r) = 2(r(u, v) − r0 ) · r0v (u, v),
то точка r(u, v) ∈ S будет критической точкой функции d(r), если вектор
r(u, v) − r0
ортогонален поверхности S. Итак, пусть M ∈ S − критическая точка функции
d(r), тогда выберем систему координат Ox1 x2 x3 так, как сказано в предыдущем
пункте. Тогда точка r0 имеет координаты (0, 0, x30 ), а функция d(r) имеет вид
((x1 , x2 ,
k1 2 k2 2
x1 + x2 + . . .) − (0, 0, x30 ))2 =
2
2
(1 − k1 x30 )x21 + (1 − k2 x30 )x22 + . . . ,
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где многоточием обозначены члены более высокой степени. Из этого разложения
вытекают утверждения. Если
1 − k1 x30 > 0, 1 − k2 x30 > 0,
то критическая точка M является точкой минимума. Если
1 − k1 x30 < 0, 1 − k2 x30 < 0,
то критическая точка M является точкой максимума. Если числа
1 − k1 x30 , 1 − k2 x30
имеют разные знаки, то точка M не является точкой экстремума. Далее мы
хотим дать геометрическую интерпретацию этих утверждений. Для этого обозначим точку r0 через M0 , а точки
(0, 0,
1
1
), (0, 0, )
k1
k2
через C1 , C2 . Заметим, что точки C1 , C2 являются центрами кривизны соответствующих нормальных сечений. Все точки M, M0 , C1 , C2 находятся на нормальной прямой Ox3 (см. рис. 4.41) Условие 1 − ki x30 > 0 при ki > 0 означает,
что точка M0 ниже (с точки зрения направления на оси Ox3 , как на рис. 4.42)
точки Ci . Поэтому при k1 > 0, k2 > 0 справедливы утверждения. Если точка
M0 находится ниже точек C1 , C2 , то критическая точка M является точкой минимума. Если точка M0 находится выше точек C1 , C2 , то критическая
точка M является точкой максимума. Если точка M0 находится между точек C1 , C2 , то критическая точка M не является точкой экстремума. При
k1 < 0, k2 < 0 справедливы утверждения. Если точка M0 находится выше точек C1 , C2 , то критическая точка M является точкой минимума. Если точка
M0 находится ниже точек C1 , C2 , то критическая точка M является точкой
максимума. Если точка M0 находится между точек C1 , C2 , то критическая
точка M не является точкой экстремума (см. рис. 4.42, он получен из рис. 4.41
изменением направления оси Ox3 ). Рассмотрим случай, когда k1 > 0, k2 < 0, он
изображен на рисунке 4.42. В этом случае справедливо утверждение. Если точка
M0 находится между точек C1 , C2 , то критическая точка M является точкой минимума. Если точка M0 находится выше (ниже) обеих точек C1 , C2 ,
то критическая точка M не является точкой экстремума.
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.41
Рис. 4.42
Проекция поверхности
Пусть S ⊂ R3 − поверхность и


x = x(u, v)
y = y(u, v)

z = z(u, v)
ее параметризация. Мы рассмотрим векторную функцию на S, которая получается из проекции S на координатную плоскость Oxy. Итак, пусть отображение
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
p : S → R2 задается формулой p(u, v) = (x(u, v), y(u, v)), тогда рассмотрим якобиан этого отображения D(x,y)
D(u,v) , по определению он равен определителю матрицы
Якоби
µ
¶
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
.
Точка M (u0 , v0 ) ∈ S называется критической для отображения p, если якобиан в ней равен нулю. Геометрически это означает, что касательная плоскость
TM S при проекции p проектируется в прямую, то есть она вертикальна. Образ
критической точки при отображении p называется критическим значением, а
множество критических значений называется дискриминантным множеством.
Это название будет понятно из дальнейших примеров, но сначала рассмотрим
случай, когда поверхность S задается неявным уравнением F (x, y, z) = 0, где
функция F (x, y, z) класса C ∞ , и предполагается, что в точках на S хотя бы одна из частных производных Fx0 , Fy0 , Fz0 не равна нулю. Последнее условие нужно
для того, чтобы можно было параметризовать поверхность S в окрестности каждой ее точки. Действительно, если, например, Fx0 6= 0, то по теореме о неявной
функции из уравнения F (x, y, z) = 0 в окрестности данной точки однозначно
выражается x через y, z, а поэтому координаты y, z можно взять за параметры.
Покажем теперь, что справедливо утверждение: Дискриминантное множество
поверхности S, заданной уравнением F (x, y, z) = 0, определяется системой
уравнений
(4.2)
F (x, y, z) = 0, Fz0 (x, y, z) = 0.
Действительно, градиент функции
grad F (x, y, z) = (Fx0 (x, y, z), Fy0 (x, y, z), Fz0 (x, y, z))
является нормальным вектором касательной плоскости, поэтому условие
Fz0 (x, y, z) = 0
означает, что касательная плоскость вертикальна. Заметим, что система уравнений 4.2 определяет дискриминантное множество следующим образом. Точка
(x0 , y0 ) на плоскости Oxy принадлежит дискриминантному множеству, если существует число z0 такое, что точка (x0 , y0 , z0 ) удовлетворяет системе
уравнений 4.2. На геометрическом языке это означает следующее. Каждое из
уравнений системы 4.2 задает в пространстве поверхность, пересечение этих поверхностей будет кривой, а проекция этой кривой на плоскость дает дискриминантное множество.
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.43
Пример 1. Рассмотрим в пространстве с системой координат Opqx поверхность, заданную уравнением x2 + px + q = 0. Эта поверхность является гиперболическим параболоидом, она изображена на рис. 3.43. При проекции на плоскость Opq получаем множество критических точек, которое задается системой
уравнений
x2 + px + q = 0, 2x + p = 0.
(4.3)
Система уравнений 4.3 задает в пространстве кривую, которая является пересечением гиперболического параболоида x2 +px+q = 0 и плоскости 2x+p = 0.
Она является параболой, расположенной на плоскости 2x + p = 0, поэтому при
ее проекции на плоскость Opq также получается парабола. Ее уравнение получается из системы уравнений 4.3 исключением переменной x. Таким образом,
дискриминантное множество имеет уравнение p2 − 4q = 0.
Пример 2. Рассмотрим в пространстве с системой координат Opqx кубическую поверхность (кубику), заданную уравнением x3 + px + q = 0. Эта поверхность изображена на рисунке 4.44. Чтобы объяснить, почему она так выглядит,
рассмотрим ее сечение плоскостью p = p0 . Тогда получим кривую, которая называется кубической параболой. Ее уравнение можно записать следующим образом
q = −x(x2 + p0 ). Если p0 < 0, то эта кривая пересекает ось Ox в трех точках
√
0, ± p0 и она имеет вид, изображенный на рис. 4.45.
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.44
Рис. 4.45
Если p0 > 0, то эта кривая пересекает ось Ox только в точке 0 и она имеет
вид, изображенный на рисунке 4.46.
После этого описания сечений становится понятно, что поверхность имеет
вид, изображенный на рис. 4.44. При проекции на плоскость Opq получаем множество критических точек, которое задается системой уравнений
x3 + px + q = 0, 3x2 + p = 0.
94
(4.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.46
Система уравнений 4.4 задает в пространстве кривую, которая является пересечением кубической поверхности x3 + px + q = 0 и цилиндра 3x2 + p = 0. При
проекции этой кривой на плоскость Opq получается дискриминантная кривая.
Ее уравнение получается из системы уравнений 4.4 исключением переменной x.
После вычислений получается уравнение 4p3 + 27q 2 = 0. Эта кривая изображена
на рис. 4.47, она называется полукубической параболой.
Рис. 4.47
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнения с двумя параметрами
Применим предыдущую теорию к геометрическому исследованию уравнений
с параметрами. Рассмотрим уравнение
F (x, p, q) = 0,
(4.5)
где F (x, p, q) − функция класса C ∞ от трех переменных, причем x называется неизвестной переменной, а p, q − параметрами. Поставим следующую задачу.
Определить при каждых значениях параметров, сколько решений имеет уравнение 4.5. Сначала напомним определение кратного корня уравнения F (x) = 0.
Пусть x0 корень уравнения F (x) = 0, где F (x) функция класса C ∞ . Его кратность − это натуральное число k такое, что существует разложение
F (x) = (x − x0 )k G(x),
где G(x) − функция класса C ∞ , но не существует разложения
F (x) = (x − x0 )k+1 G(x).
Задача 4.42 Доказать утверждение: x0 корень кратности k уравнения
F (x) = 0
тогда и только тогда, когда
F (x0 ) = F 0 (x0 ) = F 00 (x0 ) = . . . = F (k) (x0 ) = 0, F (k+1) (x0 ) 6= 0.
Таким образом, система уравнений
F (x) = 0, F 0 (x) = 0, F 00 (x) = 0, . . . , F (k) (x) = 0
определяет множество корней, кратность которых не меньше k. Корень, кратность которого больше 1, называется кратным, следовательно, множество кратных корней задается системой двух уравнений
F (x) = 0, F 0 (x) = 0.
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вернемся к уравнению с параметрами 4.5. Найдем сначала множество значений
параметров p, q, при которых это уравнение имеет кратные корни. Из предыдущего видно, что точка (p0 , q0 ) принадлежит этому множеству, если найдется
число x0 такое, что выполняются равенства
F (x0 , p0 , q0 ) = 0, F 0 (x0 , p0 , q0 ) = 0.
То есть множество значений параметров p, q, для которых уравнение имеет кратные корни, является дискриминантным множеством для проекции поверхности
F (x, p, q) = 0 на плоскость Opq. Как правило, это множество является кривой или набором кривых на плоскости параметров Opq, назовем его дискриминантной кривой. Дискриминантная кривая разбивает плоскость параметров на
области. Если теперь взять две точки (p1 , q1 ), (p2 , q2 ) из одной области, то соответствующие уравнения
F (x, p1 , q1 ) = 0, F (x, p2 , q2 )
будут иметь одинаковое число решений. Рассмотрим наши примеры.
Для квадратного уравнения x2 +px+q = 0 дискриминантной кривой является
парабола q = p2 /4, она разбивает плоскость параметров Opq на две области:
верхнюю и нижнюю (см. рис. 4.48). Если точка (p0 , q0 ) принадлежит верхней
области, то уравнение x2 + p0 x + q0 = 0 не имеет решений, а если точка (p0 , q0 )
принадлежит нижней области, то уравнение x2 +p0 x+q0 = 0 имеет два решения.
Рис. 4.48
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для кубического уравнения x3 +px+q = 0 дискриминантной кривой является
полукубическая парабола
³ 27 ´1/3
p=−
q2
,
4
она разбивает плоскость параметров Opq на две области: правую и левую (см.
рис. 4.49). Если точка (p0 , q0 ) принадлежит правой области, то уравнение x2 +
p0 x+q0 = 0 имеет одно решение, а если точка (p0 , q0 ) принадлежит левой области,
то уравнение x2 + p0 x + q0 = 0 имеет три решения. В этом можно убедиться с
помощью пробных точек (±1, 0).
Рис. 4.49
Теория особенностей Уитни
Проекция поверхности может быть рассмотрена как отображение плоскости
в плоскость. Если на поверхности введены параметры u, v, то отображение проекции на плоскость Oxy задается парой функций x = x(u, v), y = y(u, v), поэтому получаем отображение плоскости в плоскость. Хасслер Уитни в 1955 году
опубликовал работу "Об отображениях плоскости на плоскость". В ней указано, как устроено "почти каждое" дифференцируемое отображение плоскости на
плоскость. Прежде чем сформулировать теорему Уитни, мы приведем несколько
определений. Множество дифференцируемых отображений R2 → R2 обозначим
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
через C ∞ (R2 , R2 ). Это множество является векторным пространством, мы введем на нем топологию, то есть определим окрестности точек этого функционального пространства. Достаточно определить окрестности нулевого отображения.
Для каждого n ∈ N и каждой непрерывной строго положительной функции
ε : R2 → R определим окрестность нулевого отображения U (ε, n) как множество
отображений f = (f1 , f2 ) : R2 → R2 , удовлетворяющих неравенствам
¯
¯
¯ ∂ i+j f (x) ¯
¯
¯
k
¯
¯ < ε(x),
¯ ∂xi1 ∂xj2 ¯
где i + j 6 n, k = 1, 2. Окрестность U (g; ε, n) произвольного отображения
g ∈ C ∞ (R2 , R2 ) определяется как множество отображений f ∈ C ∞ (R2 , R2 ) таких, что f − g ∈ U (ε, n). Множество T ⊂ C ∞ (R2 , R2 ) называется открытым,
если каждая точка входит в него вместе с некоторой окрестностью. Множество
T ⊂ C ∞ (R2 , R2 ) называется плотным, если для каждой точки g ∈ C ∞ (R2 , R2 ) и
каждой ее окрестности U (g; ε, n) найдется точка f ∈ T из этой окрестности. Слова "для почти всех отображений" означают, что рассматриваются отображения,
принадлежащие открытому плотному множеству T . А теперь введем понятие
локальной эквивалентности дифференцируемых отображений. Пусть даны два
отображения f, fe ∈ C ∞ (R2 , R2 ), причем f (x0 ) = y0 , fe(e
x0 ) = ye0 . Отображение f
в окрестности точки x0 эквивалентно отображению fe в окрестности точки x
e0 ,
если существуют окрестности U (x0 ), U (y0 ), U (e
x0 ), U (e
y0 ) точек x0 , y0 , x
e0 , ye0 и диффеоморфизмы (взаимно обратимые и в обе стороны дифференцируемые отображения)
F : U (x0 ) → U (e
x0 ), G : U (y0 ) → U (e
y0 )
такие, что коммутативна диаграмма
f
U (x0 ) −−→ U (y0 )




Fy
Gy
fe
U (e
x0 ) −−→ U (e
y0 ).
Это определение означает, что можно так изменить координаты в окрестности
точки x0 и в окрестности точки y0 , что отображение f будет иметь тот же вид,
что и отображение fe.
Теорема 4.43 Существует открытое и плотное подмножество
T ⊂ C ∞ (R2 , R2 )
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
такое, что каждое отображение f ∈ T в окрестности каждой точки x0 ∈ R2
эквивалентно одному из следующих трех отображений в окрестности точки 0:
(x1 , x2 ) 7→ (y1 , y2 ) = (x1 , x2 ) − регулярная точка,
(x1 , x2 ) 7→ (y1 , y2 ) = (x1 , x22 ) − складка,
(x1 , x2 ) 7→ (y1 , y2 ) = (x1 , x32 + x1 x2 ) − сборка.
Доказательство этой теоремы мы не приводим, его можно найти в книгах [2], [5].
Огибающая семейства плоских кривых
Огибающей семейства кривых Γt , заданного уравнением F (x, y, t) = 0, где t
− параметр, называется параметрическая кривая Γ : r = r(t), которая в каждой
своей точке r(t0 ) касается кривой Γt0 (см. рис. 4.50).
Рис. 4.50
Уравнение F (x, y, t) = 0 определяет в пространстве с системой координат
Oxyt поверхность S. Рассмотрим ее проекцию на плоскость Oxy, тогда определено дискриминантное множество D этой поверхности. Покажем, что выполняется
включение Γ ⊂ D. Огибающая Γ : r = r(t) = (x(t), y(t)) в своей точке r(t0 ) =
(x(t0 , y(t0 ))) должна касаться кривой Γt0 , заданной уравнением F (x, y, t0 ) = 0.
Это означает, что касательный вектор огибающей Γ
r0 (t0 ) = (x0 (t0 ), y 0 (t0 ))
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лежит на касательной прямой
Fx0 (x(t0 ), y(t0 ), t0 )dx + Fy0 (x(t0 ), y(t0 ), t0 )dy = 0
к кривой Γt0 в точке r(t0 ) = (x(t0 ), y(t0 )). Таким образом, выполняется система
равенств:
F (x(t0 ), y(t0 ), t0 ) = 0,
Fx0 (x(t0 ), y(t0 ), t0 ) · x0 (t0 ) + Fy0 (x(t0 ), y(t0 ), t0 ) · y 0 (t0 ) = 0.
Второе равенство можно переписать следующим образом
Ft0 (x(t0 ), y(t0 ), t0 ) = 0.
Следовательно, параметрические уравнения огибающей удовлетворяют системе
уравнений
F (x, y, t) = 0, Ft0 (x, y, t) = 0,
то есть точки огибающей Γ принадлежат дискриминантному множеству D. Заметим, что в нашем определении огибающая обязана быть связной кривой, поэтому
у одного семейства кривых может быть несколько огибающих (см. рис. 4.51).
Рис. 4.51
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Далее мы объединяем все такие огибающие и будем называть огибающей полученное объединение. Тогда огибающая может состоять из нескольких несвязных кусков, но все эти куски содержатся в дискриминантном множестве.
Примеры. 1) Рассмотрим семейство окружностей, заданное уравнением
(x − t)2 + y 2 = 1,
оно изображено на рисунке 4.51. Огибающая этого семейства кривых состоит из
двух прямых r = (t, ±1), и она совпадает с дискриминантным множеством.
2) Рассмотрим семейство окружностей, заданное уравнением
(x − t3 )2 + y 2 = 1,
оно также изображено на рис. 4.51. Огибающая этого семейства кривых состоит
из двух прямых r = (t3 , ±1) и она уже не совпадает с дискриминантным множеством, так как в этом случае дискриминантное множество состоит из этих
прямых и окружности x2 + y 2 = 1 (проверить!).
Задача 4.44 Показать, что траектории точки (снаряда), выбрасываемой из
начала координат (пушки) со скоростью v под разными углами t (0 < t < π) к
оси Ox (горизонту) имеют свой огибающей параболу.
Возникает вопрос о том, когда дискриминантное множество D совпадает с
огибающей? Предлагается решить следующую задачу.
Задача 4.45 Пусть Σ ⊂ S − критическое множество проекции π поверхности S на плоскость Oxy и (x0 , y0 , t0 ) ∈ Σ такая точка, что
∂ 2 F (x0 , y0 , t0 )
6= 0.
∂t2
Тогда существует окрестность U точки (x0 , y0 , t0 ) ∈ R3 такая, что проекция
π(Σ ∩ U ) содержится в огибающей семейства кривых Γt , заданных уравнением
F (x, y, t) = 0.
Эволюты
Пусть дана плоская кривая Γ : r = r(s), где s − натуральный параметр. Рассмотрим множество нормальных прямых Ns к этой кривой (см. рис. 4.52). Огибающая этого семейства называется эволютой кривой Γ. Покажем, что эволюта
− это в точности геометрическое множество центров кривизны кривой Γ.
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнение нормали, отвечающее значению параметра s = s0 , имеет вид
(r − r(s0 )) · t(s0 ) = 0.
То есть функция F (r, s) равна (r − r(s)) · t(s). Поэтому система уравнений
F (r, s) = 0, Fs0 (r, s) = 0
в данном случае приобретает вид
(r − r(s)) · t(s) = 0, k(s) · (r − r(s)) · n(s) = 1.
А эти уравнения задают множество центров кривизны кривой Γ.
Рис. 4.52
Эволюта имеет следующий физический смысл. Представим, что из каждой
точки кривой Γ исходят световые лучи, которые распространяются по нормали.
Множество точек, в которых свет концентрируется, называется каустикой. Из
этого определения следует, что каустика − это в точности геометрическое множество центров кривизны кривой Γ. Поэтому предыдущее утверждение показывает,
что каустика совпадает с эволютой.
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Параллели
Пусть дана плоская кривая Γ : r = r(s), где s − натуральный параметр. Рассмотрим семейство окружностей Γs фиксированного радиуса R > 0 с центрами
на этой кривой (см. рис. 4.53). Это семейство окружностей задается уравнением
F (r, s) = 0, где
F (r, s) = (r − r(s)) · (r − r(s)) − R2 .
Система уравнений F (r, s) = 0, Fs0 (r, s) = 0 в этом случае определяет две кривые, которые имеют параметрические уравнения r = r(s) ± R · n(s) (проверить!).
Эти кривые получаются сдвигом точек кривой Γ вдоль нормалей на расстояние R в ту и другую сторону. Такие кривые называются параллелями. Таким
образом, огибающая данного семейства кривых является параллелью.
Рис. 4.53
Параллели имеют следующий физический смысл. Представим, что из каждой точки кривой Γ распространяется некоторое возмущение (например, ударная волна или свет). Пусть скорость распространения его равна единице, тогда
через время R оно будет находиться на кривой, которая называется волновым
фронтом. Чтобы его получить, нужно отложить по каждой нормали к кривой Γ
отрезок длины R. Таким образом, волновые фронты совпадают с параллелями.
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ортотомики
Пусть дана плоская кривая Γ : r = r(s), где s − натуральный параметр.
Рассмотрим семейство окружностей Γs с центрами на этой кривой и проходящими через начало координат (см. рис. 4.54). Это семейство задается уравнением
F (r, s) = 0, где
F (r, s) = (r − r(s)) · (r − r(s)) − r(s) · r(s).
Мы предполагаем, что начало координат не принадлежит кривой Γ. Система
уравнений
F (r, s) = 0, Fs0 (r, s) = 0
в этом случае определяет объединение точки 0 и кривой
r = 2 · (r(s) · n(s)) · n(s),
точки которой состоят из отражений начала координат относительно касательных прямых к кривой Γ (см. рис. 4.55).
Рис. 4.54
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.55
4.6.4
Огибающая семейства плоских прямых
Пусть на плоскости Oxy задано семейство прямых
a(t)x + b(t)y + c(t) = 0,
(4.6)
где коэффициенты a(t), b(t), c(t) − дифференцируемые функции на интервале T ,
которые одновременно не обращаются в нуль. Огибающую этого семейства обозначим через Γ. Каждая прямая из этого семейства определяет точку на проективной плоскости P2 с однородными координатами (a(t) : b(t) : c(t)). Таким
образом, уравнение 4.6 определяет дифференцируемое отображение T → P2 ,
которое задает параметрическую кривую C. С другой стороны, уравнение 4.6
определяет в пространстве R3 с координатами x, y, t поверхность S. Рассмотрим
проекцию этой поверхности на плоскость Oxy. Тогда дискриминантная кривая D
определяется системой уравнений
(
a(t)x + b(t)y + c(t) = 0
a0 (t)x + b0 (t)y + c0 (t) = 0.
Возникает вопрос о том, как связаны между собой кривые Γ, C, D? Выше было
доказано, что Γ ⊂ D. Каждая касательная прямая к кривой Γ принадлежит
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
семейству заданных прямых. Поэтому она определяет точку на кривой C. Множество таких точек называется двойственной кривой и обозначается через Γ∗ ,
заметим, что Γ∗ ⊂ C.
Задача 4.46 Привести достаточные условия для того, чтобы выполнялось равенство Γ∗ = C.
Выше мы рассматривали примеры огибающих семейств прямых. Рассмотрим
еще пример из теории дифференциальных уравнений. Пусть дано обыкновенное
дифференциальное уравнение
y = y 0 · x + f (y 0 ),
где f − дифференцируемая функция. Это уравнение называется уравнением
Клеро. Каждая прямая из семейства y = ax + f (a) является решением этого
уравнения. Рассмотрим огибающую этого семейства. Так как касательная к огибающей совпадает с касательной к одной из интегральных кривых из семейства
y = ax + f (a), то она также является интегральной кривой уравнения Клеро.
4.6.5
Теория Клейна
В книге Ф. Клейна [7] изложено два геометрических метода решения уравнений вида
a(x) + pb(x) + qc(x) = 0,
(4.7)
где x − неизвестная, a(x), b(x), c(x) − многочлены, p, q − параметры. Мы остановимся на втором методе, который является более интересным (с нашей точки
зрения). Изложим сначала этот метод в общих чертах. Прежде всего заметим,
что если в уравнении 4.7 зафиксировать x, то есть положить x = x0 , то получим линейное относительно p, q уравнение. Это уравнение определяет прямую lx0
на координатной плоскости с координатами p, q (см. рис. 4.56, нужно предполагать, что многочлены b(x), c(x) не обращаются одновременно в нуль). Мы будем
предполагать, что при разных значениях x0 получаются разные прямые. Если
фиксированное x менять, то получим семейство прямых {lx }, −∞ < x < +∞,
на плоскости Opq. Ф. Клейн утверждает, что существует кривая Γ на плоскости
Opq, обладающая следующими свойствами:
1) каждая прямая lx0 семейства {lx } является касательной к кривой Γ в
некоторой единственной точке Mx0 ∈ Γ;
2) каждая касательная прямая к кривой Γ принадлежит семейству прямых
{lx }.
Эту кривую Γ Ф. Клейн называет определяющей кривой для уравнения 4.7.
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.56
Сопоставим точке Mx0 ∈ Γ число x0 , тогда получим криволинейную координатную шкалу на кривой Γ. Эта криволинейная координатная шкала позволяет
приближенно решать уравнение 4.7 при фиксированных значениях параметров
p, q. А именно, пусть p = p0 , q = q0 , тогда получаем точку M (p0 , q0 ) на плоскости
Opq.
Рис. 4.57
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проведем через точку M (p0 , q0 ) все касательные к определяющей кривой Γ.
Пусть, например, будет две касательных к Γ, проходящих через точку M (p0 , q0 ),
и Mx1 , Mx2 ∈ Γ − их точки касания (см. рис. 4.57). Тогда числа x1 , x2 являются
решениями уравнения
a(x) + p0 b(x) + q0 c(x) = 0.
Заметим, что x1 , x2 − криволинейные координаты точек касания на кривой Γ.
К сожалению, не для каждого уравнения вида 4.7 существует определяющая
кривая. Например, уравнение
x+p+q =0
не обладает определяющей кривой, так как оно задает семейство параллельных
прямых на плоскости Opq. Таким образом, Ф. Клейн ошибается, когда говорит, что для каждого уравнения вида 4.7 существует определяющая кривая. Но
фактически, он рассматривает только два примера, для которых определяющие кривые действительно существуют. Это приведенное квадратное уравнение
x2 + px + q = 0 и приведенное кубическое уравнение вида x3 + px + q = 0.
Так как определяющая кривая для уравнения вида 4.7 может не существовать, то возникает вопрос о достаточных условиях ее существования. Заметим
прежде всего, что уравнение 4.7 задает семейство прямых на плоскости параметров, а определяющая кривая является огибающей этого семейства.
Задача 4.47 Доказать, что определяющая кривая Γ для уравнения 4.7 существует тогда и только тогда, когда соответствующая кривая C ⊂ P2 удовлетворяет свойству: каждая касательная к C касается ее в одной точке.
4.7
Векторные поля на многообразии
Сначала мы рассмотрим векторные поля в области Rn . Итак, далее U −
область в Rn . Пусть x0 ∈ U − фиксированная точка, тогда через Tx0 U будем
обозначать множество векторов в Rn с началом в точке x0 (см. рис. 4.58).
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.58
Это множество является на самом деле векторным пространством, оно называется касательным пространством к U в точке x0 . Пусть далее f (x) − функция,
определенная в окрестности точки x0 . Будем предполагать, что она класса C ∞
в этой окрестности. Тогда определен дифференциал этой функции df (x0 ) и он
является линейной формой на касательном пространстве Tx0 U . Действительно,
дифференциал df (x0 ) является линейной функцией от приращения ∆x, но ∆x −
это вектор с началом в точке x0 . Таким образом, дифференциал df (x0 ) является
элементом двойственного пространства (Tx0 U )∗ , оно обозначается через Tx∗0 U и
называется кокасательным пространством к U в точке x0 .
Элементы пространства Tx∗0 U называются касательными ковекторами. Итак,
дифференциал df (x0 ) является касательным ковектором. Рассмотрим дифференциалы координатных функций dx1 , . . . , dxn . Равенство dxi = ∆xi означает,
что значение дифференциала dxi на векторе v = ∆x равно i-й координате вектора v в стандартном базисе e1 , . . . , en . Таким образом, дифференциалы координатных функций dx1 , . . . , dxn в точке x0 являются элементами двойственного
базиса e∗1 , . . . , e∗n , а разложение дифференциала функции f (x)
df (x0 ) =
n
X
∂f (x0 )
i=1
∂xi
dxi ,
является разложением ковектора df (x0 ) по базису ковекторов e∗1 , . . . , e∗n .
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если функции f1 , f2 совпадают при ограничении их на маленькую окрестность точки x0 , то дифференциалы df1 (x0 ), df2 (x0 ) равны. Отсюда следует, что
удобно рассматривать дифференциал от ростка функции. Будем говорить, что
функции f1 , f2 имеют одинаковые ростки в точке x0 , если при ограничении
их на достаточно маленькую окрестность точки x0 получаем равные функции. Заметим, что мы рассматриваем только функции класса C ∞ . Можно дать
определение ростка более формально следующим образом. Пусть функции f1 , f2
определены в окрестностях U1 , U2 точки x0 соответственно. Будем считать функции f1 , f2 эквивалентными (f1 ∼ f2 ), если существует окрестность U3 ⊂ U1 ∩ U2
точки x0 такая, что f1 |U3 = f2 |U3 . Тогда росток функции f − это класс эквивалентности данной функции. Множество ростков функций в точке x0 обозначим
через Ox0 . Росток функции f будем обозначать через [f ], а если не приводит к
путанице, то просто через f . Формулы
c[f ] = [cf ],
[f ] + [g] = [f + g],
[f ] · [g] = [f · g]
определяют операцию умножения ростка на число, операцию сложения ростков
и операцию умножения ростков. Благодаря этим операциям множество Ox0 становится алгеброй над полем R. Дифференциал определяет отображение
d : Ox0 → Tx∗0 U,
которое линейно над R и удовлетворяет правилу Лейбница
d([f ] · [g]) = g(x0 ) · d[f ] + f (x0 ) · d[g].
Если f ∈ Ox0 и v ∈ Tx0 , то число df (x0 )(v) будем обозначать через ∂v (f )
и называть производной f по направлению вектора v. В результате получаем
отображение
∂v : Ox0 → R,
которое линейно над R и удовлетворяет правилу Лейбница
∂v (f · g) = g(x0 ) · ∂v (f ) + f (x0 ) · ∂v (g).
Определение 4.48 Отображение ∂ : Ox0 → R называется дифференцированием алгебры Ox0 , если оно линейно над R и удовлетворяет правилу Лейбница
∂(f · g) = g(x0 ) · ∂f + f (x0 ) · ∂g.
Задача 4.49 Показать, что ∂(C) = 0, где C = const.
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, каждый касательный вектор v ∈ Tx0 U определяет дифференцирование алгебры Ox0 . В частности, базисные векторы e1 , . . . , en определяют
дифференцирования ∂x∂ 1 , . . . , ∂x∂ n , то есть
∂ei =
∂
,
∂xi
i = 1, . . . , n.
Обозначим через Dx0 множество дифференцирований алгебры Ox0 , тогда формулы
(c∂)(f ) = c∂(f ), (∂1 + ∂2 )(f ) = ∂1 (f ) + ∂2 (f )
определяют операцию умножения на число и операцию сложения во множестве
Dx0 , благодаря которым Dx0 становится векторным пространством.
Теорема 4.50 Дифференцирования
дифференцирований Dx0 .
∂
∂
∂x1 , . . . , ∂xn
образуют базис пространства
Сначала будет доказана
Лемма 4.51 Пусть f (x) − функция класса C ∞ в сферической окрестности U
точки 0 ∈ Rn , тогда существуют функции класса C ∞ g1 (x), . . . , gn (x) в области U такие, что
f (x) = f (0) + g1 (x) · x1 + · · · + gn (x) · xn ,
g1 (0) =
∂f (0)
∂f (0)
, . . . , gn (0) =
.
∂x1
∂xn
Доказательство. Рассмотрим равенства
Z 1
df (tx)
f (x) − f (0) =
dt =
dt
0
Z 1³X
n
n ³Z 1
´
X
∂f (tx)
∂f (tx) ´
· xi dt =
dt · xi .
∂x
∂x
i
i
0
0
1
1
Осталось положить
Z
1
gi (x) =
0
∂f (tx)
dt,
∂xi
Лемма доказана.
112
i = 1, . . . , n.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Доказательство теоремы. Покажем сначала, что дифференцирования
линейно независимы. Если имеем соотношение
∂
∂
∂x1 , . . . , ∂xn
a1
∂
∂
+ · · · + an
= 0,
∂x1
∂xn
то, применяя его к координатной функции xi , получим равенство ai = 0. Итак,
линейная независимость дифференцирований
∂
∂
,...,
∂x1
∂xn
доказана. Пусть теперь ∂ − произвольное дифференцирование, покажем, что
существуют такие числа a1 , . . . , an , что
∂ = a1
∂
∂
+ · · · + an
.
∂x1
∂xn
Для этого положим ai = ∂(xi ), i = 1, . . . , n, (что необходимо) и проверим, что
дифференцирование
X ∂
0
∂ =
ai
∂xi
i
совпадает с дифференцированием ∂. Для сокращения записи мы можем рассматривать только случай x0 = 0, в противном случае можно совершить замену
координат x → x − x0 . Пусть f ∈ O0 , докажем равенство ∂(f ) = ∂ 0 (f ). По
лемме 4.4 имеем разложение
f (x) = f (0) +
X
g(x) · xi ,
gi (0) =
i
∂f (0)
.
∂xi
Применим лемму 4.4 к функциям g1 (x), . . . , gn (x), тогда получим, что существуют функции hij (x), i = 1, . . . , n, такие, что
X
gi (x) = gi (0) +
hij (x) · xj .
j
Следовательно, имеем разложение
f (x) = f (0) +
X ∂f (0)
i
∂xi
· xi +
113
X
i,j
hij (x) · xi xj .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Применим теперь дифференцирования ∂, ∂ 0 к этому разложению, тогда получим
равенства
X ∂f (0)
X ∂f (0)
∂(f ) =
ai
ai
, ∂ 0 (f ) =
.
∂x
∂x
i
i
i
i
Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает, что отображение Tx∗0 → Dx0 , заданное правилом
v → ∂v , является изоморфизмом векторных пространств.
Пусть для каждой точки x ∈ U задан вектор v(x) ∈ Tx U, тогда говорят,
что задано векторное поле v(x) на U . Векторное поле v(x) можно разложить по
базису e1 , . . . , en :
v(x) = a1 (x)e1 + · · · + an (x)en ,
где a1 (x), . . . , an − функции на U . Если все эти функции принадлежат классу
C ∞ , то векторное поле v(x) называется дифференцируемым (бесконечное число
раз). Множество дифференцируемых векторных полей на U обозначим через
T (U ). На этом множестве определена операция умножения на число и операция
сложения, они превращают его в векторное пространство.
Обозначим через O(U ) множество функций класса C ∞ на U . На этом множестве определена операция сложения и операция умножения, которые превращают его в коммутативное кольцо. Если v(x) − векторное поле, a(x) − функция,
то определено векторное поле a(x)v(x). Благодаря этой операции умножения
на функции множество T (U ) становится модулем над кольцом O(U ). Мы хотим
определить еще одну операцию на множестве дифференцируемых векторных полей, она обозначается через [v1 , v2 ] и называется коммутатором векторных полей
v1 , v2 .
Теорема 4.52 Пусть v1 , v2 − дифференцируемые векторные поля на U , тогда
существует и единственное дифференцируемое векторное поле w на U такое,
что для каждой функции f ∈ O(U ) выполняется равенство
∂w (f ) = ∂v2 (∂v1 (f )) − ∂v1 (∂v2 (f )).
Доказательство. Пусть
v1 =
X
ai1 ei ,
v2 =
i
X
ai2 ei .
i
Вычислим правую часть равенства в формулировке теоремы
∂v2 (∂v1 (f )) − ∂v1 (∂v2 (f )) =
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
³X
j
aj2
´ ³X
´³³ X
´ ´
∂ ´³³ X i ∂
j ∂
i ∂
a1
)(f ) −
a1
a2
(f ) =
∂xj
∂x
∂x
∂x
i
j
i
i
j
i
³X
j
aj2
∂ ´³ X i ∂f ´ ³ X j ∂ ´³ X i ∂f ´
a1
a1
a1
−
=
∂xj
∂x
∂x
∂x
i
j
i
i
j
i
X
i,j
aj2
X j ∂ai ∂f
∂ai1 ∂f
a1 · 2 ·
·
·
−
=
∂xj ∂xi
∂x
∂x
j
i
i,j
³ X ³ X ³ ∂ai
i ´´
∂ ´
j ∂a2
j
1
− a1
(f ).
a2
∂x
∂x
∂x
j
j
i
i
j
Из этих вычислений следует, что векторное поле
i ´´
X ³ X ³ j ∂ai
j ∂a2
1
a2
− a1
ei
w=
∂x
∂x
j
j
i
j
является искомым векторным полем, причем других векторных полей, удовлетворяющих равенству 4.1, нет. Теорема доказана.
Векторное поле w из теоремы 4.5 обозначается через [v1 , v2 ] и называется
коммутатором векторных полей v1 , v2 .
Задача 4.53 Пусть v1 , v2 , v3 − дифференцируемые векторные поля на U . Показать, что выполняются следующие равенства:
1) [v2 , v1 ] = −[v1 , v2 ],
2) [a1 v1 + a2 v2 , v3 ] = a1 [v1 , v3 ] + a2 [v2 , v3 ] a1 , a2 , a3 ∈ R,
3) [v1 , [v2 , v3 ]] + [v2 , [v3 , v1 ]] + [v3 , [v1 , v2 ]] = 0,
4) [f v1 , v2 ] = f [v1 , v2 ] − (∂v2 f )v1 , f ∈ O(U ).
Перейдем к векторным полям на многообразии. Дифференцируемое многообразие − это топологическое многообразие с фиксированной на нем дифференцируемой структурой. Дифференцируемая структура задается дифференцируемым атласом. Главное значение дифференцируемой структуры состоит в том,
что она позволяет определить дифференцируемые функции на многообразии.
Это делается следующим образом.
Пусть M − n-мерное дифференцируемое многообразие. Если p0 ∈ M − фиксированная точка, то она вместе с некоторой окрестностью U (p0 ) попадает в одну
из карт U c координатами x1 , . . . , xn . Поэтому функцию f : U (p0 ) → R можно
рассматривать как функцию от n-переменных f (p) = f (x1 , . . . , xn ). Функция
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f (p) является функцией класса C ∞ в точке p0 , если функция от n-переменных
f (x1 , . . . , xn ) имеет производные любого порядка в точке p0 = (x01 , . . . , x0n ).
Если U − открытое множество в M , то через O(U ) будем обозначать множество функций класса C ∞ на U . Множество O(U ) является алгеброй над R
относительно сложения и умножения. Через Op0 мы будем обозначать алгебру
ростков дифференцируемых функций в точке p0 . Тогда векторное пространство
дифференцирований Dp0 алгебры Op0 называется касательным пространством
к M в точке p0 и обозначается через Tp0 M . Двойственное векторное пространство
(пространство линейных функций на Tp0 M ) обозначается через Tp∗0 M и называется кокасательным пространством к M в точке p0 . Если f ∈ Op0 росток
функции, то ее дифференциал в точке p0 принадлежит кокасательному пространству. Он по определению равен линейной функции от касательных векторов
df (p0 )(v) = v(f ), где v ∈ Dp0 . Если точка p0 попадает в карту с координатами
x1 , . . . , xn , то дифференцирования ∂x∂ 1 , . . . , ∂x∂ n образуют базис касательного пространства, а дифференциалы dx1 , . . . , dxn − двойственный базис кокасательного
пространства. Заметим, что элементы кокасательного пространства называют
ковекторами. Теперь без труда переносится на многообразие определение векторного поля.
Если для каждой точки p ∈ M задан вектор vp ∈ Tp M , то говорят, что на
многообразии M определено векторное поле. В карте U с координатами x1 , . . . , xn
имеем разложение
∂
∂
vp = v 1 (p)
+ . . . + v n (p)
.
∂x1
∂xn
Векторное поле vp называется дифференцируемым, если для каждой карты коэффициенты v 1 (p), . . . , v n (p) являются дифференцируемыми функциями. Теория векторных полей на многообразии копируется с теории векторных полей в
области Rn , в частности, определен коммутатор, мы ее повторять не будем.
Пусть F : M → N − дифференцируемое отображение дифференцируемых
многообразий и v = vp − векторное поле на многообразии M . Тогда определено
векторное поле F∗ (v) на многообразии N по следующему правилу. Если q = F (p)
и g ∈ Oq , то F∗ (v)q (g) = vp (g ◦F ). Если отображение F в локальных координатах
задается набором функций


y1 = y1 (x1 , . . . , xm )
..
.


yn = yn (x1 , . . . , xm ),
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
то выполняются равенства
n
X ∂yj ∂
∂
F∗ (
)=
.
∂xi
∂x
∂y
i
j
j=0
Замечание. Касательный вектор к многообразию нельзя определить как
направленный отрезок с началом в данной точке, так как на абстрактном многообразии нет отрезков в отличие от Rn . Наше определение касательного вектора
как дифференцирования обосновывается тем фактом, что в случае Rn вектор как
направленный отрезок можно отождествить с дифференцированием по направлению этого вектора. С другой стороны, были придуманы и другие определения
касательного вектора к абстрактному многообразию. Приведем два таких определения. Первое определение вводится через параметрические кривые. Параметрической кривой или путем на дифференцируемом многообразии называется
дифференцируемое отображение интервала в это многообразие α : (a, b) → M .
Будем рассматривать отображения интервала (−ε, ε) и считать, что α(0) = p0 −
фиксированная точка на многообразии. Такой путь определяет дифференцирование
d f (α(t)) ¯¯
∂(f ) =
¯ .
t=0
dt
Предлагается проверить, что два пути α(t), β(t) определяют одинаковые дифференцирования тогда и только тогда, когда
α(t) − β(t) = o(t2 ) при t → 0,
где разность берется в некоторых координатах в окрестности точки p0 . Если
теперь определить отношение эквивалентности на множестве параметрических
кривых с началом в точке p0 с помощью верхнего соотношения, то есть считать, что кривые α(t), β(t) эквивалентны в случае выполнения соотношения
α(t) − β(t) = o(t2 ), то касательный вектор можно определить как класс эквивалентности кривых. Прежде чем дать второе определение касательного вектора,
заметим следующее: если в окрестности точки p0 определены две системы координат, например, x1 , . . . , xn − старая система координат, y1 , . . . , yn − новая
система координат, то один касательный вектор v имеет два разложения
v=
n
X
1
∂
v
,
∂xi
i
v=
117
n
X
1
wi
∂
,
∂yi
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
причем выполняется соотношение
n
X
∂yi j
w =
v.
∂x
j
j
i
(4.8)
Таким образом, касательный вектор в каждой системе координат задается
набором из n чисел, причем при переходе в новую систему координат новый
набор чисел выражается по формуле 4.8. Такое определение касательного вектора давали в начале XX века. Мы можем переформулировать это определение с
помощью векторного расслоения. Рассмотрим дифференцируемый атлас на многообразии M , который состоит из открытого покрытия {Ui , i ∈ I} и систем коор(i)
(i)
динат (x1 , . . . , xn ) на каждом открытом множестве Ui . На пересечении Ui ∩ Uj
рассмотрим матричнозначную функцию

 (j)
(j)
∂x1
∂x1
...
(i)
 ∂x(i)
∂xn 
 ..1 . .

 .
. ...  ,
 (j)
(j) 
∂xn
∂xn
.
.
.
(i)
(i)
∂x1
∂xn
в каждой точке пересечения Ui ∩ Uj она определяет элемент группы GL(n, R),
поэтому с помощью этих функций можно построить расслоение p : T M → M
со слоем Rn . Элементы слоя Tx M = p−1 (x) будут касательными векторами к
многообразию M в точке x.
4.8
4.8.1
Дифференциальные формы на многообразии
Полилинейные отображения
Далее V, W, V1 , V2 , . . . , W1 , W2 , . . . − векторные пространства над полем K,
причем K равно R или C.
Определение 4.54 Отображение f : V → W линейное, если для всех векторов v, v1 , v2 ∈ V и любого числа a ∈ K выполняются равенства
f (av) = af (v), f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + (v2 ).
Задача 4.55 Показать, что для линейного отображения f : V → W выполняется равенство
n
n
X
X
f(
ai vi ) =
ai f (vi ),
i=1
i=1
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где ai ∈ K, vi ∈ V .
Задача 4.56 Пусть v1 , . . . , vn − базис V , w1 . . . , wm − базис W . Показать, что
существует и единственное линейное отображение fkl : V → W,
1 6 k 6 n, 1 6 l 6 m, такое, что
(
wl , если i = k;
fkl (vi ) =
0, если i 6= k.
Написать матрицу отображения fkl .
Задача 4.57 Обозначим через L(V, W ) множество линейных отображений из
V в W . Ввести на этом множестве операцию сложения и операцию умножения на скаляры из K; показать, что получается векторное пространство;
показать, что отображения fkl , 1 6 k 6 n, 1 6 l 6 m, из задачи 1.3 образуют
базис векторного пространства L(V, W ); доказать равенство
dim L(V, W ) = dim V · dim W
Векторное пространство L(V, K) обозначается через V ∗ и называется двойственным к V пространством. Его элементы называются линейными функциями или линейными формами. Как правило, линейные формы будут обозначаться
греческими буквами: α : V → K, α(v).
Задача 4.58 Пусть v1 , . . . , vn − базис V . Показать, что существует и единственная линейная форма vi∗ , 1 6 i 6 n, такая, что
(
1, i = j;
vi∗ (vj ) = δij =
0, i 6= j.
Задача 4.59 Показать, что построенные формы v1∗ , . . . , vn∗ образуют базис пространства V ∗ .
Задача 4.60 Показать, что если вектор v ∈ V имеет в базисе v1 , . . . , vn координаты a1 , . . . , an , то vi∗ (v) = ai .
Заметим, что базис v1∗ , . . . vn∗ пространства V ∗ называют двойственным базисом к базису v1 , . . . , vn пространства V . Линейная форма
α = a1 v1∗ + · · · + vn∗
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
обычно записывается следующим образом (почему?)
α = a1 x1 + · · · + an xn ,
где x1 , . . . , xn − переменные координаты вектора v ∈ V . В частности, vi∗ = xi .
Задача 4.61 Рассмотрим "дважды двойственное к V пространство"
V ∗∗ = (V ∗ )∗ . Показать, что отображение ε : V → V ∗∗ , определенное равенством ε(v)(α) = α(v), является линейным отображением. Показать, что для
конечномерного пространства V отображение ε : V → V ∗∗ является изоморфизмом.
Определение 4.62 Отображение f : V1 × V2 → W билинейное, если для всех
v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 , a ∈ K, v10 , v100 ∈ V1 , v20 , v200 ∈ V2 выполняются равенства
f (av1 , v2 ) = af (v1 , v2 ),
f (v1 , av2 ) = af (v1 , v2 ),
f (v10 + v100 , v2 ) = f (v10 , v2 ) + f (v100 , v2 ),
f (v1 , v20 + v200 ) = f (v1 , v20 ) + f (v1 , v200 ).
Другими словами, функция f (v1 , v2 ) от двух векторных переменных v1 , v2 линейна по v1 и v2 .
Задача 4.63 Показать, что следующие отображения билинейны:
K × V → V, (a, v) 7→ av,
V ∗ × V → K, (α, v) 7→ α(v).
2
− базис V2 , w1 , . . . , wl −
Задача 4.64 Пусть v11 , . . . , vn1 − базис V1 , v12 , . . . , vm
базис W . Показать, что существует и единственное билинейное отображение
r
fpq
: V1 × V2 → W,
такое, что
1 6 p 6 n,
(
r
fpq
(vi1 , vj2 ) =
1 6 q 6 m,
wr , если i = p, j = q;
0 в противном случае.
120
16r6l
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 4.65 Обозначим через L(V1 , V2 ; W ) множество билинейных отображений V1 × V2 в W . Ввести на этом множестве операцию сложения и операцию
умножения на скаляры из K; показать, что получается векторное пространr
, 1 6 p 6 n, 1 6 q 6 m, 1 6 r 6 l, из
ство; показать, что отображения fpq
задачи 3.64 образуют базис пространства L(V1 , V2 ; W ); доказать равенство
dim L(V1 , V2 ; W ) = dim V1 · dim V2 · dim W.
Элементы пространства L(V, V ; K) называются билинейными формами на V .
Как правило, билинейные формы будут обозначаться греческими буквами:
β : V × V → K,
β(v, v 0 ).
Задача 4.66 Пусть v1 , . . . , vn − базис V . Показать, что существует и единственная билинейная форма βpq на V , 1 6 p 6 n, 1 6 q 6 n, такая, что
(
1, если i = p, j = q;
βpq (vi , vj ) =
0 в противном случае.
Задача 4.67 Показать, что билинейные формы βpq , 1 6 p 6 n, 1 6 q 6 n, из
задачи 3.66 образуют базис пространства билинейных форм на V .
Билинейная форма
n
X
β=
aij βij
i,j=1
обычно записывается следующим образом
β=
n
X
aij xi x0j ,
i,j=1
где x1 , · · · , xn − переменные координаты вектора v ∈ V , а x01 , · · · , x0n − координаты вектора v 0 ∈ V .
Задача 4.68 Доказать равенство
βij (v, v 0 ) = vi∗ (v) · vj∗ (v 0 ),
где v1∗ , . . . , vn , − двойственный базис.
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 4.69 Сформулировать определение полилинейного отображения
f : V1 × . . . × Vk → W.
Найти базис пространства полилинейных отображений
L(V1 , . . . , Vk ; W ).
Задача 4.70 Рассмотрим отображение
det : |K n × .{z
. . × K n} → K,
n раз
где det(v1 , . . . , vn ) − определитель матрицы, которая получается из векторов
(v1 , . . . , vn ), если их записать в столбец. Показать, что отображение det полилинейно.
Тензорное произведение
Здесь мы будем рассматривать только конечномерные векторные пространства над K. Сначала определим тензорное произведение линейных форм.
Определение 4.71 Пусть α1 ∈ V1∗ , α2 ∈ V2∗ , тогда тензорное произведение
этих форм α1 ⊗ α2 принадлежит пространству L(V1 , V2 ; K) и по определению
равно
(α1 ⊗ α2 )(v1 , v2 ) = α1 (v1 ) · α2 (v2 ).
(4.9)
Задача 4.72 Показать, что α1 ⊗ α2 действительно принадлежит пространству L(V1 , V2 ; K).
Задача 4.73 Показать, что отображение
⊗ : V1∗ × V2∗ → L(V1 , V2 ; K),
заданное равенством 4.9, билинейно.
2
− базис V2∗ ,
Задача 4.74 Показать, что если α11 , . . . , αn1 − базис V1∗ , α12 , . . . , αm
то αi1 ⊗ αj2 , 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 m, − базис пространства L(V1 , V2 ; K).
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 4.75 Тензорное произведение векторов из V1 на векторы из V2
− это билинейное отображение
⊗ : V1 × V2 → W,
где W − некоторое векторное пространство, причем это отображение должно
2
удовлетворять требованию: если v11 , . . . , vn1 − базис пространства V1 , v12 , . . . , vm
− базис V2 , то произведения vi1 ⊗ vj2 , 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 m, образуют базис
пространства W .
Теорема 4.76 Тензорное произведение существует, и оно единственное (с точностью до изоморфизма).
Доказательство. Так как канонические отображения
ε : V1 → V1∗∗ ,
ε : V2 → V2∗∗
являются изоморфизмами, то достаточно построить тензорное произведение для
пространств V1∗∗ = (V1∗ )∗ , V2∗∗ = (V2∗ )∗ . Но для них годится конструкция из определения 4.9, а задача 4.74 показывает, что это произведение удовлетворяет требованию в определении 4.75. Существование доказано, перейдем к доказательству
единственности (с точностью до изоморфизма). Пусть имеется два таких произведения, то есть два билинейных отображения
⊗ : V1 × V2 → W, ⊗0 : V1 × V2 → W 0 .
2
Если v11 , . . . , vn1 − базис V1 , v12 , . . . , vm
− базис V2 , то произведения vi1 ⊗ vj2 образуют базис W , а произведения vi1 ⊗0 vj2 − базис W 0 . Существует и единственный
изоморфизм f : W → W 0 такой, что f (vi1 ⊗ vj2 ) = vi1 ⊗0 vj2 , 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 m.
Осталось заметить, что f ◦ ⊗ = ⊗0 , так как это равенство означает, что произведения ⊗, ⊗0 совпадают с точностью до изоморфизма. Теорема доказана.
Заметим, что векторное пространство W в определении 4.75 называется тензорным произведением пространств V1 , V2 и обозначается через V1 ⊗ V2 . Итак,
тензорное произведение векторов задает отображение
⊗ : V1 × V2 → V1 ⊗ V2 .
Задача 4.77 Определить тензорное произведение векторов v1 ⊗. . .⊗vk из пространств V1 , . . . , Vk . Построить канонические изоморфизмы
(V1 ⊗ V2 ) ⊗ V3 = V1 ⊗ (V2 ⊗ V3 ) = V1 ⊗ V2 ⊗ V3 .
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пример. Комплексификация вещественного векторного пространства.
Рассмотрим C как векторное пространство над R. Пусть V − векторное пространство над R, тогда тензорное произведение C ⊗ V является векторным пространством над R, но его можно рассматривать как векторное пространство над
C, если положить a·(b⊗v) = (ab)⊗v, где a, b ∈ C, v ∈ V . Тензорное произведение
C⊗V , рассматриваемое как векторное пространство над C, называется комплексификацией V и обозначается через VC . Если элемент 1 ⊗ v + i ⊗ w, v, w ∈ V ,
обозначить через v + iw, то получим, что комплексификация VC состоит из выражений v + iw.
Задача 4.78 Пусть f : V1 × V2 → W − билинейное отображение. Показать,
что существует и единственное линейное отображение g : V1 ⊗V2 → W такое,
что выполняется равенство g ◦ ⊗ = f .
Задача 4.79 Показать, что существует канонический изоморфизм
(V1 ⊗ V2 )∗ = V1∗ ⊗ V2∗ .
Тензорная алгебра векторного пространства
Далее, V − конечномерное векторное пространство над полем K. Через T q (V )
обозначим тензорное произведение
V
· · ⊗ V},
| ⊗ ·{z
q раз
а его элементы будем называть тензорами ранга q. Если v1 , . . . , vn − базис V , то
тензоры vi1 ⊗ · · · ⊗ viq , 1 6 i1 6 n, . . . , 1 6 iq 6 n, образуют базис пространства
T q (V ). Таким образом, для t ∈ T q (V ) имеем разложение
X
t=
ti1 ...iq vi1 ⊗ · · · ⊗ viq .
Тензор t ∈ T q (V ) называется разложимым, если существуют векторы
v1 , . . . , vq ∈ V такие, что t = v1 ⊗ · · · ⊗ vq .
Задача 4.80 Пусть σ − перестановка чисел {1, . . . , q}. Показать, что существует и единственное линейное отображение
fσ : T q (V ) → T q (V ),
которое действует на разложимых тензорах по правилу
fσ (v1 ⊗ · · · ⊗ vq ) = vσ(1) ⊗ . . . ⊗ vσ(q) .
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определение 4.81 Тензор t ∈ T q (V ) называется симметрическим (кососимметрическим), если fσ (t) = t (fσ (t) = ε(σ)t) для каждой перестановки σ, где
ε(σ) − знак перестановки σ.
Множество симметрических тензоров в T q (V ) обозначается через S q (V ), а
множество кососимметрических − через Λq (V ).
Задача 4.82 Показать, что множества S q (V ), Λq (V ) являются векторными
подпространствами T q (V ).
Далее предполагается, что поле K имеет нулевую характеристику. Рассмотрим линейное отображение
S : T q (V ) → T q (V ),
которое определяется равенством
S(t) =
1X
fσ (t).
q! σ
Это отображение называется симметризацией.
Задача 4.83 Показать, что S 2 = S, Im S = S q (V ).
Рассмотрим линейное отображение
A : T q (V ) → T q (V ),
которое определяется равенством
A(t) =
1X
ε(σ)fσ (t).
q! σ
Оно называется антисимметризацией или альтернированием.
Задача 4.84 Показать, что A2 = A, Im A = Λq (V ).
Введем следующее обозначение: если v1 , . . . , vn − базис V , то
S(vi1 ⊗ · · · ⊗ viq )
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
обозначим через vi1 · · · viq . Формальное произведение vi1 · · · viq не меняется при
перестановке индексов, поэтому можно условиться выбирать в качестве канонической записи таких симметрических тензоров следующую запись
v1a1 · · · vnan ,
ai > 0, a1 + · · · + an = q,
где число ai показывает, сколько раз вектор vi фигурирует в vi1 · · · viq .
Задача 4.85 Доказать, что тензоры v1a1 · · · vnan ∈ S q (V ), ai ≥ 0,
a1 + · · · + an = q, образуют базис пространства S q (V ). Показать, что
µ
¶
n+q−1
q
dim S (v) =
.
q
Введем обозначение
A(vi1 ⊗ · · · ⊗ viq ) = vi1 ∧ . . . ∧ viq
(значок ∧ называется символом внешнего умножения). Заметим теперь, что перестановка любых двух векторов в vi1 ∧ . . . ∧ viq ) меняет знак этого произведения.
Задача 4.86 Показать, что:
1) vi1 ∧ . . . ∧ viq = 0, если ia = ib для некоторых a, b;
2) тензоры вида vi1 ∧ . . . ∧ viq , где 1 6 i1 < i2 < . . . < iq 6 n, образуют
базис пространства Λq (V ) при 1 6 q 6 n;
3) Λq (V ) = 0 при
¡n¢ q > n;
q
4) dim Λ (V ) = q
при 1 6 q 6 n.
Положим
0
T (V ) = K,
T (V ) =
∞
M
T q (V ).
q=0
Бесконечномерное пространство T (V ) с операцией тензорного умножения называется тензорной алгеброй пространства V .
Положим
∞
M
0
S (V ) = K, S(V ) =
S q (V ).
q=0
Введем на пространстве S(V ) билинейное умножение по формуле
t1 t2 = S(t1 ⊗ t2 ), t1 ∈ S p (V ), t2 ∈ S q (V ).
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 4.87 Показать, что S(V ) с введенным умножением является коммутативной ассоциативной алгеброй над полем K.
Положим
0
Λ (V ) = K,
Λ(V ) =
n
M
Λq (V ).
q=0
Введем на пространстве Λ(V ) билинейное умножение по формуле
t1 ∧ t2 = A(t1 ⊗ t2 ) t1 ∈ Λp (V ), t2 ∈ Λq (V ).
Задача 4.88 Показать, что Λ(V ) с введенным умножением является ассоциативной алгеброй над полем K, удовлетворяющей свойству
t2 ∧ t1 = (−1)pq t1 ∧ t2 ,
t1 ∈ Λp (V ), t2 ∈ Λq (V ).
Алгебра Λ(V ) называется внешней алгеброй или алгеброй Грассмана пространства V .
Задача 4.89 Показать, что:
1) T q (V ∗ ) − пространство полилинейных функций
f :V
· · × V} → K;
| × ·{z
q раз
2) S q (V ∗ ) − пространство симметрических полилинейных функций, т.е.
f (vσ(1) , . . . , vσ(q) ) = f (v1 , . . . , vq );
3) Λq (V ∗ ) − пространство кососимметрических полилинейных функций,
т.е.
f (vσ(1) , . . . , vσ(q) ) = ε(σ)f (v1 , . . . , vq );
4) если t1 ∈ T p (V ∗ ), t2 ∈ T q (V ∗ ), то
(t1 ⊗ t2 )(v1 , . . . , vp+q ) = t1 (v1 , . . . , vp ) · t2 (vp+1 , . . . , vp+q );
5) если t1 ∈ S p (V ∗ ), t2 ∈ S q (V ∗ ), то
(t1 · t2 )(v1 , . . . , vp+q ) =
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
=
X
1
t1 (vσ(1) , . . . , vσ(p) ) · t2 (vσ(p+1) , . . . , vσ(p+q) );
(p + q)! σ
6) если t1 ∈ Λp (V ∗ ), t2 ∈ Λq (V ∗ ), то
(t1 ∧ t2 )(v1 , . . . , vp+q ) =
X
1
ε(σ)t1 (vσ(1) , . . . , vσ(p) ) · t2 (vσ(p+1) , . . . , vσ(p+q) ).
(p + q)! σ
Заметим, наконец, что элемент тензорного произведения
∗
Tpq (V ) = V
. . ⊗ V}
. . ⊗ V }∗ ⊗ |V ⊗ .{z
| ⊗ .{z
p
q
называется тензором на V типа (p, q) и валентности p + q. Говорят также, что
он является смешанным тензором, p раз ковариантным и q раз контравариантным. Пусть e1 , . . . , en − базис пространства V , а e1 , . . . , en − двойственный базис
пространства V ∗ , тогда тензорные произведения
ei1 ⊗ . . . ⊗ eip ⊗ ej1 ⊗ . . . ⊗ ejq
образуют базис пространства TPq (V ). Поэтому для элемента T ∈ Tpq (V ) имеем
разложение
X j ...j
T =
Ti11...ipq ei1 ⊗ . . . ⊗ eip ⊗ ej1 ⊗ . . . ⊗ ejq .
Определим сначала ориентацию на вещественном векторном пространстве.
Пусть далее ¡V −
¢ n-мерное вещественное векторное пространство. Тогда проn
∗
странство Λ V изоморфно R, но на нем нет¡ фиксированного
направления.
¢
Ориентация V − это направление на Λn V ∗ (см. рис. 4.59). Так как возможны два направления, то на V возможны две ориентации.
Если мы выберем
¡ ∗¢
n
n
ненулевую форму ω , то получим направление на Λ V от 0 к ω n . Таким образом, форма ω n задает ориентацию на V . Заметим, что формы ω1n , ω2n определяют
одинаковую ориентацию, если ω2n = a · ω1n , где a > 0. Пусть ориентация задана
формой ω n , назовем базис e1 , . . . , en положительным, если ω n (e1 , . . . , en ) > 0, в
противном случае базис называется отрицательным.
Таким образом, ориентация разбивает множество базисов на два класса эквивалентности. Если базис e01 , . . . , e0n получается из базиса e1 , . . . , en с помощью
матрицы перехода A, то
ω n (e01 , . . . , e0n ) = det A · ω n (e1 , . . . , en ).
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поэтому базисы e1 , . . . , en , e01 , . . . , e0n эквивалентны, если определитель матрицы перехода положительный, тем самым приходим к старому определению ориентации. Заметим, что, выбрав один из классов эквивалентности базисов, мы
определим ориентацию на V требованием, чтобы задающая ориентацию форма
ω n принимала на базисах выбранного класса положительные значения.
Рис. 4.59
Пусть на V задано скалярное произведение, тогда оно определяет изоморфизм V →
˜ V ∗ , заданный правилом: вектору v ∈ V сопоставляется линейная
функция ṽ(w) = (v, w). Заметим, что если e1 , . . . , en − ортонормированный базис V , то линейные функции ẽ1 , . . . , ẽn образуют двойственный базис, то есть для
ортонормированного базиса выполняется равенство ẽi = e∗i , i = 1, . . . , n. Положим (ṽ, w̃) = (v, w), тогда получим скалярное произведение на V ∗ , в частности,
если e1 , . . . , en − ортонормированный базис в V , то e∗1 , . . . , e∗n − ортонормированный базис в V ∗ . Если положить
X
(α1 ∧ . . . ∧ αq , β1 ∧ . . . ∧ βq ) =
ε(σ) (α1 , βσ(1) ) · . . . · (αq , βσ(q) ),
σ
то это умножение
до скалярного умножения в пространстве внеш¢
¡ ∗продолжается
q
них q-форм Λ V . В частности, если e1 , . . . , en − ортонормированный базис V ,
то q-формы
e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗iq , i1 < . . . < iq ,
¡ ¢
образуют ортонормированный базис Λq V ∗ .
Пусть на V задано скалярное произведение,
¡ ∗ ¢ тогда получим скалярное проn
изведение на одномерном пространстве Λ V , благодаря этому определяются
две n-формы единичной длины, которые определяют противоположные ориентации. Если на V фиксирована ориентация, то существует единственная n-форма
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
единичной длины, определяющая данную
ориентацию.
Обозначим ее через Ωn и
¡
¢
назовем формой объема. Пусть
β q ∈ Λq V ∗ и ∗β q − такая (n − q)-форма, что
¡
¢
для любой формы αq ∈ Λq V ∗ выполняется равенство
αq ∧ ∗β q = (αq , β q ) Ωn .
Тогда проверяется, что форма ∗β q существует и она единственная, причем отображение
¡ ¢
¡ ¢
∗ : Λq V ∗ → Λn−q V ∗
является линейным изоморфизмом. Это отображение называется оператором
Ходжа.
Задача 4.90 Доказать утверждения:
1) если e1 , . . . , en − ортонормированный базис, то
∗(e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗iq ) = ±e∗j1 ∧ . . . ∧ e∗jn−q ,
где {j1 , . . . , jn−q } = {1, . . . , n} \ {i1 , . . . , iq };
2) если v1 , . . . , vn − произвольный базис V, gij = (vi , vj ), то (vi∗ , vj∗ ) = g ij ,
где (g ij ) − обратная¡ матрица
к (gij );
¢
q
q
∗
3) если ω ∈ Λ V , то ∗ ∗ ω q = (−1)q(n−q) ω q ;
4) |ω q | = | ∗ ω q |.
4.8.2
Тензорные поля на многообразии
Пусть M − n-мерное дифференцируемое многообразие и для каждой точки x ∈ M определен тензор tx типа (p, q) на касательном пространстве Tx M ,
тогда говорят, что на M задано тензорное поле типа (p, q). Если U − карта с
координатами x1 , . . . , xn , то на ней имеем разложение
tx =
X
j ...j
ti11...ipq (x) dxi1 ⊗ . . . ⊗ dxip ⊗
j ...j
∂
∂
⊗ ... ⊗
,
∂xj1
∂xjq
где ti11...ipq (x) − функции на U . Если эти функции в каждой карте будут дифференцируемыми, то тензорное поле tx называется дифференцируемым. Множество
дифференцируемых тензорных полей типа (p, q) на M будем обозначать через
Tpq (M ). Заметим, что векторные поля являются тензорными полями типа (0, 1).
Далее мы рассмотрим два примера тензорных полей, играющих особенно важную роль в геометрии.
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Риманова метрика на многообразии
Пусть на каждом касательном векторном пространстве Tx M, x ∈ M , определено скалярное умножение (v, w)x , v, w ∈ Tx M ; тогда говорят, что на M задана
риманова метрика. Таким образом, риманова метрика − это поле скалярных
умножений. Из определения римановой метрики видно, что она является тензорным полем типа (2, 0). Опишем риманову метрику в координатах. Если U −
карта с координатами x1 , . . . , xn , то положим
³ ∂
∂ ´
,
, 1 6 i, j 6 n.
gij (x) =
∂xi ∂xj x
Тогда для векторов
v = v1
∂
∂
∂
∂
+ · · · + vn
, w = w1
+ · · · + wn
∂x1
∂xn
∂x1
∂xn
имеем равенство
(v, w)x =
n
X
gij (x)v i wj .
(4.10)
i,j=1
Данная риманова метрика называется дифференцируемой, если все построенные
функции gij (x), 1 6 i, j 6 n, являются функциями класса C ∞ для каждой
карты U . Далее мы предполагаем, что риманова метрика дифференцируемая.
Так как
v i = dxi (v), wj = dxj (w),
то равенство 4.10 можно записать следующим образом
(v, w)x =
n
X
gij (x) dxi (v) · dxj (w),
i,j=1
что равносильно равенству
(v, w)x =
n
X
gij (x) dxi ⊗ dxj (v, w).
i,j=1
Так как скалярное умножение является симметрической билинейной формой, то
последнее равенство можно переписать следующим образом
(v, w)x =
n
X
gij (x) (dxi · dxj )(v, w).
i,j=1
131
(4.11)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С помощью римановой метрики можно определить длину вектора v ∈ Tx M
по формуле
p
¢1/2
¡X
gij (x) v i v j
|v| = (v, v)x =
,
i,j
а также угол между векторами v, w ∈ Tx M − по формуле
\
cos (v,
w) =
(v, w)x
=
|v| · |w|
P
i j
i,j gij (x)v w
P
P
.
( i,j gij (x)v i v j )1/2 · ( i,j gij (x)wi wj )1/2
Кроме этого, определяется длина кривой Γ ⊂ M , заданной параметрически:
x = α(t), a 6 t 6 b, по формуле
Z b
|α̇(t)| dt,
(4.12)
s(Γ) =
a
где α̇(t) − вектор скорости параметрической кривой α(t) (см. рис. 4.60).
Рис. 4.60
Он определяется следующим образом. Это дифференцирование кольца ростков
функций Oα(t) , заданное равенством
α̇(t)(f ) =
d
f (α(t)).
dt
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если кривая лежит целиком в карте с координатами x1 , . . . , xn , то есть x = x(t) =
(x1 (t), . . . , xn (t)), то имеем формулу
Z b X
s(Γ) =
(
gij (x(t)) ẋi (t)ẋj (t))1/2 dt.
(4.13)
a
i,j
Предполагается, что параметризация x = x(t) класса C 1 .
Произведение |α̇(t)| dt можно рассматривать как "бесконечно малый" путь,
пройденный за "бесконечно малое" время dt, поэтому интеграл в формуле 4.12
можно рассматривать как путь, пройденный от момента t = a до момента t = b,
что оправдывает определение длины кривой по формуле 4.13. Благодаря формуле 4.13 риманову метрику обычно обозначают следующим образом
X
2
ds =
gij (x) dxi dxj ,
i,j
где ds − дифференциал длины параметрической кривой.
Перейдем к конкретным примерам римановой метрики. Рассмотрим в Rn риманову метрику
ds2 = dx21 + . . . + dx2n ,
она называется евклидовой метрикой. Если M − многообразие в Rn , то из евклидовой метрики в Rn получается риманова метрика на M с помощью операции ограничения. Действительно, векторы из Tx M можно рассматривать как
векторы из Tx Rn , поэтому определено скалярное произведение (v, w)x векторов v, w ∈ Tx M . Если многообразие M задано параметрическими уравнениями
x = x(u), где x = (x1 , . . . , xn ), u = (u1 , . . . , uk ), то соответствующая риманова
метрика на M имеет вид
2
ds =
k
X
gij (u) dui duj ,
i,j=1
где gij (u) = (x0ui (u), x0uj (u)). Действительно,
³X
´³ X
´
2
2
2
2
0
0
ds = dx1 + . . . + dxn = dx =
xui (u)dui
xuj (u)duj =
i
X
(x0ui (u), x0uj (u))dui duj .
ij
133
j
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 4.91 Показать, что если многообразие M является графиком функции
y = f (x1 , . . . , xn ) в Rn+1 , то соответствующая риманова метрика на M имеет
вид
X
X
2
2
02
ds =
(1 + fxi (x))dxi +
fx0 i (x)fx0 j (x)dxi dxj .
i
i<j
Внешние дифференциальные формы на многообразии
Перейдем к определению внешних дифференциальных форм на многообразии
M . Если для каждой точки x ∈ M определена внешняя форма
¡
¢
ωxq ∈ Λq Tx∗ M ,
то говорят, что определена внешняя дифференциальная q-форма ωxq на M . Таким образом, внешняя дифференциальная q-форма на M − это поле внешних
q-форм, которое является тензорным полем типа (q, 0). Например, дифференциал функции df (x) является внешней дифференциальной 1-формой. А сама
функция является внешней дифференциальной 0-формой. Пусть даны функции f1 (x), . . . , fq (x), g(x), тогда из них получается внешняя дифференциальная
q-форма
ωxq = g(x) df1 (x) ∧ . . . ∧ dfq (x).
Так как дифференциалы координатных функций dx1 , . . . , dxn дают базис кокасательного пространства Tx∗ M , где x принадлежит карте U , то внешние произведения
dxi1 ∧ . . . ∧ dxiq , i1 < . . . < iq ,
¡
¢
дают базис пространства внешних q-форм Λq Tx∗ U при каждом x ∈ U . Отсюда
следует, что каждая внешняя дифференциальная q-форма ωxq на U имеет единственное представление
X
ωxq =
ai1 ...iq (x) dxi1 ∧ . . . ∧ dxiq ,
(6.2.1)
i1 <...<iq
где ai1 ...iq (x) − функции на U . Эта форма принадлежит классу C ∞ , если все
коэффициенты ai1 ...iq (x) − функции класса C ∞ . Далее мы рассматриваем только формы класса C ∞ . Множество дифференциальных q-форм на M обозначим
через Aq (M ). Относительно операций сложения и умножения на число Aq (M )
− векторное пространство. Умножение дифференциальных q-форм на функции
134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
превращает Aq (M ) в модуль над кольцом OM ). Заметим, что A0 (M ) = O(M ).
Положим
n
M
∗
A (M ) =
Aq (M ),
q=0
тогда на A∗ (M ) определена операция внешнего умножения: если
αp ∈ Ap (M ) , β q ∈ Aq (M ),
то
αp ∧ β q ∈ Ap+q (M ).
Благодаря этой операции умножения O(M )-модуль A∗ (M ) становится O(M )алгеброй. Операция взятия дифференциала функции определяет отображение
d : A0 (M ) → A1 (M ). Следующая теорема показывает, что это отображение однозначно продолжается до отображения d : A∗ (M ) → A∗ (M ), если потребовать
от продолжения выполнения естественных условий.
Теорема 4.92 Существует и единственное отображение
d : A∗ (M ) → A∗ (M ),
удовлетворяющее следующим условиям:
1) d является R-линейным отображением;
2) если ω q ∈ Aq (M ), то dω q ∈ Aq+1 (M );
3) если αp ∈ Ap (M ), β q ∈ Aq (M ), то
d(αp ∧ β q ) = dαp ∧ β q + (−1)p αp ∧ dβ q ;
4) выполняется равенство d ◦ d = 0;
5) если ω 0 ∈ A0 (M ), то dω 0 − дифференциал функции.
Доказательство. Достаточно доказать эту теорему в случае, когда многообразие M совпадает с картой U . Пусть ω q ∈ Aq (U ) имеет разложение
X
q
ω =
ai1 ...iq (x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxiq ,
i1 <...<iq
тогда из условий 1)−5) вытекает равенство
X
dω q =
dai1 ...iq (x) ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxiq .
i1 <...<iq
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С другой стороны, это равенство определяет отображение
d : A∗ (U ) → A∗ (U ),
удовлетворяющее условиям 1)-5). Соответствующие вычисления мы опускаем.
Теорема доказана.
Задача 4.93 Провести все вычисления, опущенные в доказательстве теоремы 4.92.
Пусть F : M → N − дифференцируемое отображение дифференцируемых
многообразий и ω q − внешняя дифференциальная форма на многообразии N .
Тогда определена внешняя дифференциальная форма F : ∗(ω q ) на многообразии
M по следующему правилу. Если y = F (x) и v1 , . . . , vq ∈ Tx M , то
F ∗ (ω q )(v1 , . . . , vq ) = ωyq (F∗ (v1 ), . . . , F∗ (vq )
Если отображение F в локальных координатах задается набором функций


y1 = y1 (x1 , . . . , xm )
..
.


yn = yn (x1 , . . . , xm ),
то выполняются равенства
F ∗ (dyi1 ∧ . . . ∧ dyiq ) = dyi1 (x1 , . . . , xm ) ∧ . . . ∧ dyiq (x1 , . . . , xm ).
Форма ω q называется замкнутой, если она удовлетворяет уравнению dω q = 0.
Если для формы ω q существует форма αq−1 такая, что ω q = dαq−1 , то форма ω q
называется точной. Пространство замкнутых q-форм обозначим через Âq (M ), а
пространство точных q-форм обозначим через dAq−1 (M ), тогда имеем вложение
векторных пространств
dAq−1 (M ) ⊂ Âq (M ).
Это вложение вытекает из равенства d2 = 0. Факторпространство
Âq (M )/dAq−1 (M )
q
обозначается через HDR
(M ) и называется q-мерной группой когомологий де Рама многообразия M . Оказывается, это векторное пространство имеет конечную
размерность, она обозначается через bq (M ) и называется q-м числом Бетти
многообразия M .
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 4.94 Рассмотрим дифференциальную форму
ω=
xdy − ydx
.
x2 + y 2
Показать, что эта форма замкнутая, но не является точной на R2 \ {(0, 0)}.
Задача 4.95 Найти пространства
q
HDR
(S 1 ).
Задача 4.96 Доказать равенство
Hq (X × Y ) =
X
Hr (X) ⊗ Hs (Y ).
r+s=q
Обозначим через Hq (M ) пространство q-форм, удовлетворяющих системе
уравнений:
dω q = 0, d ∗ ω q = 0,
где ∗ − оператор Ходжа на ориентированном римановом многообразии M . Это
пространство называется пространством гармонических q-форм. Так как каждая
гармоническая форма является замкнутой, то определен гомоморфизм
q
Hq (M ) → HDR
(M ).
Оказывается, что для компактных многообразий он является изоморфизмом.
5
Интегрирование на абстрактном многообразии
На абстрактном дифференцируемом многообразии M определены компактные жордановы множества. Если множество целиком попадает в карту, то с
помощью координат проходит старое определение жорданова множества в Rn .
Произвольное компактное множество Ω ⊂ M называется жордановым, если его
можно представить в виде объединения
Ω=
m
[
i=1
137
Ωi ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где каждое множество Ωi целиком попадает в какую-нибудь карту и является
жордановым множеством, причем множества Ωi , Ωj при разных i, j могут пересекаться только по границе. Чтобы определить интеграл как предел интегральных
сумм
Z
X
f (x) = lim
f (ξi )m(Ωi ),
Ω
нужно задать каким-либо способом меру жордановых множеств. На абстрактном
многообразии нет канонической меры Жордана, поэтому меру нужно вводить
внешним образом. Мы рассмотрим два способа для этого: с помощью римановой метрики и дифференциальной формы. Прежде чем это делать, заметим еще
следующее обстоятельство. В определении интеграла участвует мелкость разбиения. Но если множество Ω попадает целиком в одну карту, то с помощью
координат можно определить мелкость любого разбиения множества Ω. Конечно, эта мелкость зависит от выбора координат, но предел интегральных сумм
уже не зависит (почему?). Если множество Ω не попадает целиком в одну карту,
то его можно разбить на части Ωi так, чтобы каждая часть Ωi целиком содержалась в одной карте, а интеграл от функции определить как сумму интегралов по
множествам Ωi . Предлагается проверить, что определение интеграла корректно,
то есть не зависит от выбора разбиения множества Ω на части.
5.1
Введение меры с помощью римановой метрики
Пусть на многообразии M определена риманова метрика ds2 , которая в карте
U с координатами x1 , . . . , xn имеет представление
X
2
ds =
gij (x)dxi dxj ,
i,j
где
³ ∂
∂ ´
,
.
gij (x) =
∂xi ∂xj
Тогда для компактных жордановых множеств в этой карте можем определить
меру с помощью следующей формулы
Z p
m(Ω) =
G(x) dx1 . . . dxn ,
Ω
где G(x) − определитель матрицы коэффициентов (gij ). Так как матрица (gij )
положительно определена, то G(x) > 0. Для многообразия в Rn мы доказывали
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
эту формулу, но на абстрактном многообразии нет меры, поэтому эта формула
становится определением меры. Проверим корректность данного определения,
то есть независимость интеграла справа от выбора координат.
Если x01 , . . . , x0n − новые координаты, то
X
2
ds =
gij0 (x)dx0i dx0j ,
i,j
где
³ ∂
∂ ´ ³ X ∂xk ∂ X ∂xl ∂ ´
=
,
=
,
=
∂x0i ∂x0j
∂x0i ∂xk
∂x0j ∂xl
l
k
´
X ∂xk ∂xl ³ ∂
X
∂xk ∂xl
∂
=
,
=
gkl .
∂x0i ∂x0j ∂xk ∂xl
∂x0i ∂x0j
gij0 (x)
k,l
k,l
Следовательно,
0
G =
det(gij0 )
= det
³ ∂x ´
k
∂x0i
³ D(x , . . . , x ) ´2
1
n
· det(gkl ),
=
0
0
D(x1 , . . . , xn )
· det
√
G0
³ ∂x ´
l
0
∂xj
· det(gkl ) =
¯ D(x , . . . , x ) ¯ √
¯
1
n ¯
=¯
¯ · G.
D(x01 , . . . , x0n )
Поэтому
Z p
G 0 (x0 ) dx01 . . . dx0n =
Ω
=
Z p
Ω
¯ D(x , . . . , x ) ¯ ¯ D(x0 , . . . , x0 ) ¯
¯
1
n ¯ ¯
1
n ¯
G(x) · ¯
·
¯
¯
¯ dx1 . . . dxn =
D(x01 , . . . , x0n )
D(x1 , . . . , xn )
Z p
=
G(x) dx1 . . . dxn .
Ω
Итак, корректность определения меры жорданова множества с помощью римановой метрики доказана.
5.2
Введение меры с помощью дифференциальной формы
Пусть на n-мерном многообразии M задана внешняя дифференциальная форма старшей степени ω n , которая в карте U с координатами x1 , . . . , xn имеет представление
ω n = g(x) dx1 ∧ . . . ∧ dxn .
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Будем предполагать, что эта форма не обращается в нуль, то есть g(x) 6= 0.
Изменим координаты так, чтобы выполнялось неравенство g(x) > 0. Это условие
далее предполагается всегда выполненным. Тогда для компактного жорданова
множества Ω ⊂ U по определению положим
Z
m(Ω) = g(x) dx1 . . . dxn .
Ω
Проверим корректность этого определения. Пусть x01 , . . . , x0n − новые координаты
в U , тогда
ω n = g 0 (x0 ) dx01 ∧ . . . ∧ dx0n ,
причем g 0 (x0 ) > 0 согласно нашему предположению. Следовательно,
g 0 (x0 ) =
D(x1 , . . . , xn )
· g(x).
D(x01 , . . . , x0n )
Так как g(x) > 0, g 0 (x0 ) > 0, то
D(x1 , . . . , xn )
> 0.
D(x01 , . . . , x0n )
Поэтому
Z
g 0 (x0 ) dx01 . . . dx0n =
Ω
Z
D(x1 , . . . , xn ) 0
dx1 . . . dx0n =
0
0
D(x1 , . . . , xn )
Ω
¯
¯
Z
¯ D(x1 , . . . , xn ) ¯ 0
¯ dx1 . . . dx0n =
= g(x) · ¯¯
0
0
D(x1 , . . . , xn ) ¯
=
g(x) ·
Ω
Z
=
g(x) dx1 . . . dxn .
Ω
Приведем пример многообразия, на котором существует каноническая вешняя дифференциальная форма старшей степени. Пусть X − n-мерное дифференцируемое многообразие и рассмотрим в качестве многообразия M кокасательное
расслоение T ∗ X. Тогда на M определена каноническая 2n-форма ω 2n . Мы построим ее сначала в координатах, а затем докажем, что она не зависит от выбора
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
координат. Если U − карта на X с координатами x1 , . . . , xn , то dx1 , . . . , dxn −
базис пространства Tx∗ X, x ∈ U . Пусть p : M = T ∗ X − проекция, тогда каждая
точка α ∈ p−1 (U ) имеет представление α = y1 dx1 + · · · + yn dxn . Поэтому если
(x1 , . . . , xn ) − координаты точки x, то набор чисел
(x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn )
дает координаты точки α. Таким образом, на p−1 (U ) получаем систему координат
(x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ), рассмотрим там дифференциальную форму
ω 2n = dx1 ∧ . . . ∧ dxn ∧ dy1 ∧ . . . ∧ dyn
и покажем, что она не зависит от выбора координат x1 , . . . , xn . Если x01 , . . . , x0n −
координаты на карте U 0 ⊂ X, то на пересечении U ∩ U 0 действуют обе системы
координат и пусть
x0i = x0i (x1 , . . . , xn ), xi = xi (x01 , . . . , x0n ), i = 1, . . . , n
− функции перехода от старых координат к новым и наоборот. Тогда на прообразе p−1 (U 0 ) имеем систему координат
(x01 , . . . , x0n , y10 , . . . , yn0 ),
выразим (y10 , . . . , yn0 ) через (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ). Выполняются равенства
α = y1 dx1 + · · · + yn dxn =
= y1 dx1 (x01 , . . . , x0n ) + · · · + yn dxn (x01 , . . . , x0n ) =
n
n
X
X
∂x1 0
∂xn 0
= y1
dxi + · · · + yn
0
0 dxi =
∂x
∂x
i
i
à n i=1 !
à i=1
!
n
X ∂xj
X ∂xj
=
yj 0 dx01 + · · · +
yj 0 dx0n =
∂x1
∂xn
j=1
j=1
= y10 dx01 + · · · + yn0 dx0n .
Следовательно, выполняются равенства
yi0
=
n
X
j=1
yj
∂xj
, i = 1, . . . , n.
∂x0i
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда получаем разложения дифференциалов
dyi0
=
n
X
∂xj
j=1
∂x0i
dyj + слагаемые с dx1 , . . . , dxn .
Поэтому получаем равенства
dx01 ∧ . . . ∧ dx0n ∧ dy10 ∧ . . . ∧ dyn0 =
D(x01 , . . . , x0n )
D(x1 , . . . , xn )
=
dx1 ∧ . . . ∧ dxn ∧
dy1 ∧ . . . ∧ dyn =
D(x1 , . . . , xn )
D(x01 , . . . , x0n )
= dx1 ∧ . . . ∧ dxn ∧ dy1 ∧ . . . ∧ dyn .
5.3
Интеграл по цепям
Так же, как для многообразия в Rn , для произвольного многообразия вводятся понятия сингулярного симплекса, сингулярной цепи и интеграла от дифференциальной формы по сингулярной цепи, а затем доказывается формула Стокса.
Мы не будем повторять соответствующие рассуждения, так как ничего нового здесь нет, а хотим привести геометрическое определение групп когомологий
де Рама дифференцируемого многообразия.
Пространство m-мерных цепей обозначим через Cm (M ). Эти пространства
определены для каждого целого m > 0, полагаем, что Cm (M ) = 0 при m < 0.
При каждом m определен линейный гомоморфизм границы
∂ : Cm (M ) → Cm−1 (M ).
Предлагается проверить, что ∂ 2 = 0. Если c − цепь и ∂c = 0, то цепь c называется
циклом. Пространство q-мерных циклов обозначим через Ĉm (M ). Из равенства
∂ 2 = 0 вытекает вложение
∂Cm+1 (M ) ⊂ Ĉm (M ).
Факторпространство
Ĉm (M )/∂Cm+1 (M )
обозначается через Hm (M ) и называется пространством сингулярных m-мерных
гомологий многообразия M . Формула Стокса показывает, что интегрирование
дифференциальных форм по цепям
Z
ω
c
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
определяет спаривание между пространствами гомологий и когомологий
Z
(ω, c) = ω.
c
Оказывается, что оно невырожденное.
Сингулярных симплексов и цепей слишком много, удобнее рассматривать
только цепи, которые получаются из какой-нибудь триангуляции многообразия.
Если M − компактное многообразие, то оказывается его можно представить
в виде объединения конечного числа криволинейных симплексов
M = S1 ∪ . . . ∪ Sm
так, что два симплекса могут пересекаться только по одной грани какой-то размерности. Это утверждение является теоремой дифференциальной топологии,
мы его доказывать не будем. Такое представление многообразия в виде объединения криволинейных симплексов называется триангуляцией многообразия.
Если многообразие некомпактное, то существует триангуляция на счетное число
симплексов. Оказывается, что при вычислении групп гомологий можно ограничиться цепями, которые получаются из триангуляции.
5.4
Интеграл по многообразию с краем
Так же, как для многообразия в Rn , для произвольного многообразия вводится интеграл от дифференциальной формы по компактному ориентированному
телу с кусочно гладкой границей и доказывается формула Стокса. Мы не будем
повторять соответствующие рассуждения, а рассмотрим аналогичный интеграл
по многообразию с краем. Но сначала придется дать несколько определений.
Через B−n мы будем обозначать полушар {x ∈ B n |x1 6 0} (см. рис. 5.1). Топологическое многообразие с краем − это хаусдорфово топологическое пространство,
каждая точка которого обладает окрестностью, гомеоморфной шару B n или полушару B−n (см. рис. 5.1). Если M − топологическое многообразие с краем, то
множество точек из M , которые обладают окрестностью гомеоморфной полушару, обозначается через Ṁ и называется краем многообразия M . Заметим, что
обычное многообразие является многообразием с краем, у которого край пустой.
На топологическом многообразии с краем мы можем рассматривать карты и
атласы, а также вводить дифференцируемую структуру (если она существует),
поэтому определены дифференцируемые многообразия с краем как обобщения
обычных дифференцируемых многообразий. Край дифференцируемого многообразия с краем является дифференцируемым многообразием без края размерности на 1 меньше.
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 5.1
На дифференцируемые многообразия с краем переносятся все понятия, которые раньше вводились для многообразий без края, например, аналогично вводится понятие ориентации. Если многообразие с краем M ориентированное, то
на крае Ṁ канонически определяется ориентация по правилу внешней нормали.
А именно, в окрестности точки p ∈ Ṁ выбираются такие координаты x1 , . . . , xn ,
задающие ориентацию M , чтобы край определялся уравнением x1 = 0, а окрестность точки p в M задавалась неравенством x1 6 0 (см. рис. 5.2).
Рис. 5.2
144
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда координаты x2 , . . . , xn определяют ориентацию края в окрестности точки p. Канонически ориентированный край будет обозначатся через ∂M .
Если M − компактное многообразие с краем, то оказывается, его можно
представить в виде объединения конечного числа криволинейных симплексов
M = S1 ∪ . . . ∪ Sm
так, что два симплекса могут пересекаться только по одной грани какой-то размерности.
Рис. 5.3
Это утверждение является теоремой дифференциальной топологии, мы его
доказывать не будем. Такое представление многообразия в виде объединения
криволинейных симплексов называется триангуляцией многообразия. Так же,
как для компактного тела с кусочно гладкой границей, доказывается
Теорема 5.1 Пусть M − n-мерное компактное ориентированное дифференцируемое многообразие с краем, ω n−1 − дифференциальная форма на M , тогда
выполняется формула
Z
Z
ω n−1 =
∂M
dω n−1 .
M
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6
6.1
Векторные расслоения
и дифференциальные операторы
Векторные расслоения на многообразии
Понятие векторного расслоения на топологическом пространстве уже рассматривалось. Если теперь топологические пространства заменить на дифференцируемые многообразия, непрерывные отображения − на дифференцируемые, то
из определений векторных расслоений на топологическом пространстве получим
определения векторных расслоений на многообразии. Сейчас мы сделаем соответствующие переформулировки.
Пусть дано дифференцируемое отображение дифференцируемых многообразий p : E → X, тогда для каждой точки x ∈ X прообраз p−1 (x) будем обозначать
через Ex и называть слоем. Если все слои диффеоморфны эталонному многообразию F , то отображение p : E → X будем называть расслоением со слоем F
(см. рис. 6.1).
Рис. 6.1
Если каждый слой Ex является векторным пространством, диффеоморфизм
Ex = F является изоморфизмом векторных пространств, а операции сложения и
умножения на число дифференцируемы, то это расслоение называется векторным. Уточним понятие дифференцируемости операций сложения и умножения.
Рассмотрим подмножество E ×X E декартова квадрата E × E, которое состоит
из пар (e1 , e2 ) таких, что p(e1 ) = p(e2 ), точки e1 , e2 должны находиться в одном
146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
слое. Это множество называется расслоенным произведением E на себя. Операция сложения задает отображение E ×X E → E, ((e1 , e2 ) 7→ e1 +e2 ), дифференцируемость операции сложения означает, что это отображение дифференцируемо.
Операция умножения на число задает отображение K × E → E, дифференцируемость операции умножения означает, что это отображение дифференцируемо.
Пример 1. Пусть V − векторное пространство, тогда рассмотрим произведение E = X × V и проекцию π : E → X, π(x, v) = x. Мы получим векторное
расслоение, которое называется тривиальным.
Далее мы будем рассматривать только локально тривиальные векторные расслоения. Это такие расслоения, которые над маленькими окрестностями устроены как тривиальные векторные расслоения, но глобально не обязаны быть тривиальными. Прежде чем дать точное определение, введем вспомогательное обозначение. Пусть p : E → X − векторное расслоение, U ⊂ X − открытое множество, прообраз p−1 U обозначим через EU , тогда получаем векторное расслоение
p : EU → U , оно называется ограничением первоначального расслоения на множество U .
Определение 6.1 Гомоморфизмом векторного расслоения π : E → X в векторное расслоение p : F → X называется дифференцируемое отображение
ϕ : E → F , удовлетворяющее условиям:
1) Коммутативна следующая диаграмма
E BB
ϕ
BB
B
p BBBÃ
X.
/F
|
|
||
|| π
|
|~
2) Отображение слоёв ϕx : Ex → Fx линейное.
Этот гомоморфизм будет изоморфизмом, если ϕ диффеоморфизм. Изоморфизм
раcслоений ϕ называется тривиализацией, если второе расслоение p : F → X
тривиальное.
Определение 6.2 Векторное расслоение p : E → X локально тривиальное,
если для каждой точки x0 ∈ X существует окрестность U ⊂ X такая, что
расслоение p : EU → U изоморфно тривиальному расслоению π : U × V → U .
Пример 2. Пусть H − подмногообразие в произведении RPn × Rn+1 , заданное условием x ∈ l, где l ∈ RPn − прямая в Rn+1 , x − точка в Rn+1 . Тогда
проекция π : H → RPn задается правилом (l, x) → l. Предлагается проверить,
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
что получается локально тривиальное векторное расслоение, слой которого прямая, причем оно не будет тривиальным. Это расслоение называется расслоением
Хопфа.
Локально тривиальное расслоение можно задавать функциями перехода. Это
делается следующим образом. Пусть
[
X=
Ui
i
открытое покрытие дифференцируемого многообразия X. И на каждом пересечении Ui ∩ Uj определена дифференцируемая функция gij (x) со значениями в
группе GL(m, R), причем должны выполняться условия:
1) gji (x) = gij−1 (x),
2) gij (x)gjk (x)gki (x) = 1.
Тогда из тривиального расслоения на несвязном объединении
G
G
π : (Ui × Rm ) →
Ui
i
i
получается локально тривиальное расслоение на X, если на
G
(Ui × Rm )
i
ввести следующее отношение эквивалентности. Если
x ∈ Ui ∩ Uj ,
то точка
эквивалентна точке
Таким образом,
(x, v) ∈ Ui × Rm
(x, gij (x)v) ∈ Uj × Rm ,
G
E = (Ui × Rm )/ ∼ .
i
Задача 6.3 Показать, что каждое локально тривиальное векторное расслоение можно получить с помощью некоторых функций склейки gij (x).
148
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 6.4 Перенести операции над векторными пространствами (образование двойственного пространства, пространства гомоморфизмов Hom(V, W ) =
L(V ; W ), пространства эндоморфизмов End(V ) = L(V ; V ), прямой суммы,
тензорного произведения, ...) на векторные расслоения.
Задача 6.5 Показать, что если E − локально тривиальное расслоение, то
расслоенное произведение E ×X E является дифференцируемым многообразием.
6.2
Касательное расслоение
Для дифференцируемого многообразия M существует каноническое векторное расслоение, которое обозначается через π : T M → M и называется касательным расслоением на M . Как множество T M является несвязным объединением
касательных пространств
G
TM =
Tp M.
p∈M
Проекция π : T M → M отображает касательное пространство Tp M в точку p.
Построим дифференцируемый атлас на множестве T M . Пусть U ⊂ M − карта
на M с координатами x1 , . . . , xn и вектор vx ∈ Tx M имеет в базисе ∂x∂ 1 , . . . , ∂x∂ n
разложение
∂
∂
+ . . . + v n (x)
.
vx = v 1 (x)
∂x1
∂xn
Тогда вектору vx сопоставим набор чисел (x1 , . . . , xn , v 1 (x), . . . , v n (x)), благодаря
этому правилу мы получим биекцию T MU → U × Rn . Эта биекция определяет
топологию на множестве T MU и карту на нём. Остается проверить, что существует и единственная топология на всем множестве T M , которая для каждой
карты U ⊂ M индуцирует построенную топологию на множестве T MU . Также
нужно проверить, что из дифференцируемого атласа Ui , i ∈ I, на M получается
дифференцируемый атлас на T M .
Задача 6.6 Закончить построение дифференцируемого атласа на T M , найти
функции перехода от одной карты к другой, убедиться, что построенная проекция π : T M → M будет дифференцируемым отображением.
Задача 6.7 Показать, что касательное расслоение к сфере π : T S 2 → S 2 не
тривиальное.
Задача 6.8 Показать, что касательное расслоение к тору S 1 × S 1 тривиальное.
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 6.9 Доказать, что многообразие M ориентируемое тогда и только
тогда, когда расслоение Λn T M тривиальное, где n = dim M .
Рассмотрим векторное поле vp на многообразии M , из него получается отображение M → T M , заданное правилом p → vp .
Задача 6.10 Показать, что векторное поле vp тогда и только тогда дифференцируемое, когда соответствующее отображение M → T M дифференцируемое.
6.3
Сечения векторного расслоения
Далее p : E → X − локально тривиальное векторное расслоение, многообразие X обычно называют базой расслоения, а E − пространством расслоения,
причем через E обозначают всё расслоение. Пусть U ⊂ X − открытое множество и для каждой точки x ∈ U задан вектор sx ∈ Ex , тогда говорят, что на U
задано сечение расслоения E. Это сечение определяет отображение s : U → E
по правилу x → sx . Заметим, что выполняется равенство p ◦ s = id (см. рис. 6.2)
Рис. 6.2
Сечение s(x), x ∈ U, называется дифференцируемым, если соответствующее
отображение s : U → E дифференцируемое. Множество дифференцируемых
сечений расслоения E на U обозначим через Γ(U, E) или E(U ). Это множество
является модулем над кольцом O(U ).
150
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если для расслоения π : EU → U задана тривиализация, то есть коммутативная диаграмма
ϕ
/U ×V
EU B
w
BB
BB
p BBBÃ
U,
ww
ww
w
π
w
w{ w
где ϕ − диффеоморфизм, то определяются базисные сечения
s1 (x), . . . , sm (x).
Эти сечения определяются равенствами
ϕ(si (x)) = (x, vi ), i = 1, . . . , m,
где v1 , . . . , vm − фиксированный базис пространства V . Тогда для каждой точки
x ∈ U векторы s1 (x), . . . , sm (x) образуют базис пространства Ex . Следовательно,
произвольное сечение s(x) раскладывается в линейную комбинацию
s(x) = a1 (x)s1 (x) + . . . + am (x)sm (x),
где a1 (x), . . . , am (x) − функции на U , поэтому его можно отождествить с набором
числовых функций (a1 (x), . . . , am (x)).
Задача 6.11 Показать, что сечение s(x) дифференцируемое тогда и только
тогда, когда функции a1 (x), . . . , am (x) дифференцируемые.
Задача 6.12 Показать, что сечение тривиального расслоения со слоем V является функцией со значениями в V .
Через Ex0 мы будем обозначать множество ростков дифференцируемых сечений в точке x0 расслоения E. Это множество является модулем над кольцом Ox0 .
6.4
Расслоение струй
Пусть X − n-мерное дифференцируемое многообразие, x ∈ X, Ox − кольцо ростков дифференцируемых функций. Через mx обозначим идеал кольца Ox ,
состоящий из ростков функций, обращающихся в нуль в точке x, он будет максимальным идеалом. Далее p : E → X − локально тривиальное векторное расслоение со слоем V на дифференцируемом многообразии X, x ∈ X. Положим
J k (E)x = Ex /mk+1
· Ex ,
x
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где mx ⊂ Ox − максимальный идеал. Тогда полученное векторное пространство называется пространством k-струй расслоения E. Проекция Ex → J k (E)x
обозначается через jxk , а образ jxk (s) называется k-струей ростка s.
Задача 6.13 Пусть расслоение E тривиальное, то есть E = X × V , тогда
сечение s(x) является функцией со значениями в V . Показать, что k-струю
ростка s можно отождествить с многочленом Тейлора степени k функции
s(x).
Построим теперь векторное расслоение k-струй π : J k (E) → X. Как множество J k (E) является несвязным объединением пространств k-струй J k (E)x
G
J k (E) =
J k (E)x .
x∈X
Проекция π : J k (E) → X отображает пространство J k (E)x в точку x. Построим дифференцируемый атлас на множестве J k (E). Пусть U ⊂ X карта на M с
координатами x1 , . . . , xn , содержащая точку x0 ∈ M , и будем предполагать, что
расслоение p : EU → U тривиально, уменьшив в противном случае окрестность U
точки x0 . Тогда каждое сечение s(x) расслоения E, определенное в окрестности
точки y ∈ U , можно рассматривать как векторнозначную функцию со значениями в векторном пространстве V , а k-струя этого сечения jyk (s) представляет
собой многочлен степени k с коэффициентами в векторном пространстве V
X
k
jy (s) =
vi1 ···ik (x1 − y1 )i1 · · · (xn − yn )in .
i1 +···+in 6k
Таким образом, k-струя jyk (s) определяется набором векторов
vi1 ···ik , i1 + · · · + in 6 k.
Если размерность пространства V равна m, выбрав базис в нем, получим, что
каждый вектор vi1 ···ik задается набором из m чисел
vi11 ···ik , . . . , vim1 ···ik .
Тогда k-струе jyk (s) сопоставим набор чисел
vi11 ···ik , . . . , vim1 ···ik , i1 + · · · + in 6 k,
благодаря этому правилу мы получим биекцию
J k (E)U → U × RN (n,k,m) ,
152
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где N (n, k, m) равно произведению размерности пространства многочленов от
n-переменных степени 6 k на число m. Эта биекция определяет топологию на
множестве J k (E)U и карту на нём. Остается проверить, что существует и единственная топология на всем множестве J k (E), которая для каждой карты U ⊂ X,
на которой расслоение E тривиально, индуцирует построенную топологию на
множестве J k (E)U . Также нужно проверить, что из дифференцируемого атласа
Ui , i ∈ I, на X такого, что на каждом Ui расслоение E тривиально, получается
дифференцируемый атлас на J k (E).
Задача 6.14 Закончить построение дифференцируемого атласа на J k (E), найти функции перехода от одной карты к другой, убедиться, что проекция
π : J k (E) → X
будет дифференцируемым отображением.
Задача 6.15 Показать, что если касательное расслоение к X тривиальное, а
также расслоение E тривиальное, то расслоение струй J k (E) также тривиальное.
Задача 6.16 Пусть s(x) − дифференцируемое сечение расслоения E на многообразии X. Обозначим через j k (s)(x) сечение расслоения струй J k (E), значение
которого в точке x ∈ X равно jxk (s). Показать, что сечение j k (s)(x) будет дифференцируемым.
С помощью расслоения струй мы определим дифференциальные операторы
на многообразии.
6.5
Дифференциальные операторы
Определение 6.17 Пусть на многообразии M заданы два векторных расслоения E, F . Дифференциальным оператором порядка k на M , действующим из
расслоения E в расслоение F , называется такое линейное отображение
D : Γ(M, E) → Γ(M, F ),
что для каждой точки p ∈ M и сечения s ∈ Γ(M, E), удовлетворяющего условию jpk (s) = 0, следует равенство Ds(p) = 0.
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обозначим множество дифференциальных операторов порядка k, действующих из E в F через Diff k (E, F ). Из этого определения вытекают следствия.
1) Каждый дифференциальный оператор D удовлетворяет свойству локальности: если сечения s1 , s2 совпадают на открытом множестве, то Ds1 , Ds2 также
совпадают на этом множестве.
2) Каждый дифференциальный оператор порядка k − 1 является дифференциальным оператором порядка k, то есть
Diff k−1 (E, F ) ⊂ Diff k (E, F ).
3) Если D ∈ Diff k (E, F ) и A ∈ Hom(F, G), то композиция A◦D ∈ Diff k (E, F ).
Рассмотрим отображение j k : Γ(M, E) → Γ(M, J k (E)), которое сечению s(x)
расслоения E сопоставляет сечение расслоения J k (E), значение которого в точке x ∈ M равно jxk (s). Это отображение является дифференциальным оператором порядка k, который обладает следующим свойством универсальности: если
D ∈ Diff k (E, F ) − произвольный дифференциальный оператор, то существует
и единственный элемент A ∈ Hom(J k (E), F ), такой что выполняется равенство D = A ◦ j k .
Пример. Пусть M − произвольное дифференцируемое многообразие и
E = Λq T ∗ M, F = Λq+1 T ∗ M.
Тогда
Γ(M, E) = Aq (M ), Γ(M, F ) = Aq+1 (M )
и внешний дифференциал d : Aq (M ) → Aq+1 (M ) определяет дифференциальный оператор первого порядка D : Γ(M, E) → Γ(M, F ).
Пример. Пусть M − область в Rn и x1 , . . . , xn − декартовы координаты,
E, F − тривиальные векторные расслоения на M со слоем V, W соответственно,
где V, W − конечномерные векторные пространства. Тогда Γ(M, E), Γ(M, F ) −
пространства векторнозначных функций на M со значениями в V, W соответственно. Пусть задан набор операторнозначных дифференцируемых функций
Ai1 ...in (x) ∈ Hom(V, W ), i1 + · · · + in 6 k.
Тогда определен дифференциальный оператор порядка k
X
∂ i1 +···+in
D=
Ai1 ...in (x) i1
: Γ(M, E) → Γ(M, F ).
in
∂x
.
.
.
∂x
n
1
i +···+i 6k
1
n
Задача 6.18 Показать, что в случае тривиальных расслоений на области в
Rn каждый дифференциальный оператор порядка k имеет представление как
в предыдущем примере.
154
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.6
Символ дифференциального оператора
Через T 0 M обозначим кокасательное расслоение T ∗ M с удаленным нулевым
сечением. Таким образом, слой этого расслоения Tx0 M состоит из ненулевых линейных форм на Tx M .
Определение 6.19 Если D ∈ Diff k (E, F ), то определим функцию σ(D) на
T 0 M , называемую символом оператора D, которая ставит в соответствие
ненулевой линейной форме α ∈ Tx0 M линейное отображение
σxα : Ex → Fx ,
определяемое равенством
µ
σxα (v)
=D
¶
¢k
1¡
g − g(x) s (x),
k!
(6.1)
где g ∈ Ox , s ∈ Ex − ростки, удовлетворяющие условиям:
dg = α, s(x) = v.
Задача 6.20 Доказать корректность определения символа σ(D), то есть независимость правой части равенства 6.1 от выбора ростков g ∈ Ox , s ∈ Ex .
Задача 6.21 Пусть дифференциальный оператор D на карте с координатами
x1 , . . . , xn , на которой расслоения E, F тривиальны, имеет вид
D=
X
i1 +···+in 6k
Ai1 ...in (x)
∂ i1 +···+in
: Γ(M, E) → Γ(M, F ).
∂xi11 . . . ∂xinn
Показать, что если α = y1 dx1 + · · · + yn dxn , то
X
α
σx =
Ai1 ...in (x)y1i1 · · · ynin .
i1 +···+in =k
Пример. Рассмотрим оператор Лапласа
∂2
∂2
∆ = 2 + ··· + 2.
∂x1
∂xn
Он определен на дифференцируемых функциях, то есть здесь
E = Rn × R, F = Rn × R.
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда отображение
σxα = (y12 + · · · + yn2 ) · I : R → R
является изоморфизмом для каждой ненулевой формы
α = y1 dx1 + · · · + yn dxn .
Определение 6.22 Дифференциальный оператор D будем называть эллиптическим, если его символ σxα : Ex → Fx является изоморфизмом для каждых
x ∈ X, α ∈ Tx0 X.
Замечание. Эллиптический дифференциальный D оператор на компактном многообразии обладает следующим замечательным свойством: пространства ker D, coker D имеют конечные размерности. Поэтому определено число
i(D) = dim ker D − dim coker D, которое называется индексом дифференциального оператора D. Имеется теорема об индексе, которая выражает индекс эллиптического оператора в топологических терминах.
6.7
Ковариантная производная и связность
Касательный вектор определялся у нас как дифференцирование функций.
Функция − это сечение тривиального расслоения со слоем R. Можно дифференцировать по направлению вектора сечение произвольного тривиального расслоения, но для сечений локально тривиального расслоения не существует канонического дифференцирования по направлению вектора, поэтому приходится
вводить
Определение 6.23 Ковариантное дифференцирование сечений расслоения E в
точке x0 − это билинейное отображение
∇ : Tx0 × Ex0 → Ex0 ,
(v, s) → ∇v s,
удовлетворяющее правилу Лейбница
∇v (f s) = ∂v f · s(x0 ) + f (x0 ) · ∇v s,
где f ∈ Ox0 .
156
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть точка x0 находится в карте U с координатами x1 , . . . , xn , причем имеется
тривиализация расслоения E с базисными сечениями s1 (x), . . . , sm (x), тогда можем определить символы Кристоффеля для данного ковариантного дифференцирования. Для этого обозначим через Γkij k-ю координату вектора ∇ei sj ∈ Ex0
в базисе s1 , . . . , sm , то есть
m
X
∇e i s j =
Γkij sk .
k=1
Задача 6.24 Пусть s(x) имеет разложение
s(x) =
m
X
aj (x)sj (x),
j=1
тогда положим
∂v s(x0 ) =
m
X
(∂v aj (x0 ))sj (x0 ).
j=1
Доказать, что выполняется равенство
X
∇v s(x0 ) = ∂v s(x0 ) +
Γkij v i aj (x0 )sk (x0 ),
(6.2)
i,j,k
где v 1 , . . . , v n − координаты v, a1 , . . . , am − координаты s.
Пусть в каждой точке x ∈ X задано ковариантное дифференцирование сечений расслоения E, то есть билинейное отображение
∇ : Tx × E x → E x ,
удовлетворяющее правилу Лейбница. Тогда говорят, что на расслоении E определена связность. Таким образом, связность на расслоении E является "полем"
ковариантных дифференцирований. Если v(x) − дифференцируемое векторное
поле, а s(x) − дифференцируемое сечение, то ковариантная производная в переменной точке ∇v(x) s(x) является сечением расслоения E. Мы будем предполагать, что сечение ∇v(x) s(x) является дифференцируемым для каждого дифференцируемого векторного поля v(x) и дифференцируемого сечения s(x), в этом
случае связность называется дифференцируемой. Заметим, что для дифференцируемости связности достаточно потребовать, чтобы символы Кристоффеля были
функциями класса C ∞ .
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приведем другое, но эквивалентное определение связности на векторном расслоении. Обозначим через Aq (X, E) множество сечений векторного расслоения
Λq T ∗ X ⊗ E. Эти сечения называются дифференциальными q-формами на X со
значениями в векторном расслоении E. Значение этой формы в точке x ∈ X
− это кососимметрическая функция ω q (v1 , . . . , vq ) от q касательных векторов со
значениями в векторном пространстве Ex . Связность ∇ определяет дифференциал
D : E(X) → A1 (X, E)
(6.3)
следующим правилом:
Ds(x)(vx ) = ∇vx s(x).
(6.4)
Задача 6.25 Показать, что дифференциал 6.3 удовлетворяет правилу Лейбница.
Задача 6.26 Показать, что дифференциал 6.3 является дифференциальным
оператором первого порядка.
Задача 6.27 Показать, что отображение вида 6.3, удовлетворяющее правилу
Лейбница, определяет связность с помощью правила 6.4.
Задача 6.28 Показать, что с помощью правила Лейбница ковариантный дифференциал 6.3 однозначно распространяется до последовательности дифференциалов
D : Aq (X) → Aq+1 (X, E).
Задача 6.29 Показать, что существует и единственная внешняя дифференциальная форма
R∇ ∈ A2 (X, End(E))
такая, что отображение
D2 : Aq (X, E) → Aq+2 (X, E)
совпадает с внешним умножением на форму R∇ .
Замечание. Форма R∇ называется тензором кривизны связности ∇. В физике связности на векторных расслоениях называют калибровочными полями,
они описывают "поля взаимодействия". Эти связности, как правило, рассматриваются на комплексных векторных расслоениях. Для изучения этой темы полезна книга [10].
158
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7
Задачи к зачетам и экзаменам
1. Вычислить объем n-мерной сферы.
2. Показать, что если M ⊂ Rm , N ⊂ Rn − вложенные дифференцируемые
многообразия, то произведение M × N ⊂ Rm+n также является дифференцируемым многообразием.
3. Показать, что если M, N − абстрактные дифференцируемые многообразия,
то M × N также является абстрактным дифференцируемым многообразием.
4. Показать, что проекция π : S n → RP n является дифференцируемым отображением.
5. Показать, что поверхность в RP 3 , заданная уравнением x20 −x21 +x22 −x23 = 0
диффеоморфна тору T 2 = S 1 × S 1 .
6. Показать, что отображение
RP 1 × RP 1 → RP 3 ,
заданное соотношением
((x0 : x1 ), (y0 : y1 )) 7→ (x0 y0 : x0 y1 : x1 y0 : x1 y1 )
является дифференцируемым вложением.
7. Показать, что многообразие SO(3) диффеоморфно проективному пространству RP 3 .
8. Показать, что множество ортогональных матриц O(n) является компактным дифференцируемым многообразием.
q
q
9. Найти пространства HDR
(R), HDR
(S 1 ).
10. Показать, что если E → X − линейное расслоение, то двойственное расслоение E ∗ → X изоморфно E → X.
11. Показать, что T S n ⊕ R − тривиальное расслоение.
12. Показать, что T RP n ⊕ H(1) − тривиальное расслоение, где H(1) − расслоение Хопфа.
13. Показать, что расслоения H(p), H(q) на RP n изоморфны тогда и только
тогда, когда p − q ≡ 0 mod 2, где H(p) = H(1)⊗p .
14. Показать, что расслоение H(1) не является тривиальным.
15. Показать, что n-мерное многообразие X ориентируемое тогда и только
тогда, когда линейное расслоение Λn T ∗ X тривиальное.
16. Рассмотрим в произведении Rn × Pn−1 множество M , состоящее из пар
(x, l) таких, что x ∈ l, где x − точка в Rn , l − прямая в Rn , проходящая через
нуль. Показать, что M является дифференцируемым n-мерным многообразием.
159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17. Пусть y0 = f0 (x0 , . . . , xn ), . . . , ym = f0 (x0 , . . . , xn ) − однородные многочлены степени d. Показать, что если эти многочлены обращаются одновременно
в нуль только в точке (0, . . . , 0), то они задают дифференцируемое отображение
Pn → Pm .
18. Пусть M − n-мерное дифференцируемое многообразие в RN , а T M −
касательное расслоение, то есть множество пар (x, v), где x − точка в M , а v −
касательный вектор к M в этой точке. Показать, что отображение T M → RN ,
заданное правилом (x, v) 7→ x + v, является дифференцируемым отображением.
19. Пусть X − n-мерное дифференцируемое многообразие в Rk , а N X −
нормальное расслоение, то есть множество пар (x, v), где x − точка в M X, а v
− нормальный вектор к X в этой точке. Показать, что отображение N X → Rk ,
заданное правилом (x, v) 7→ x + v, является дифференцируемым отображением.
20. Пусть E(k) − расслоение на Pn , дифференцируемыми сечениями которого
являются однородные многочлены степени k. Причем s − дифференцируемое
сечение расслоения E(2m) на Pn , определенное однородным многочленом x2m
0 +
2m
. . . + xn , а y − переменная точка расслоения E(m). Показать, что уравнение
y ⊗ y = s задает дифференцируемое многообразие.
21. Показать, что расслоение O(k) на Pn изоморфно H(k).
22. Рассмотрим в единичном круге x2 + y 2 < 1 риманову метрику
dx2 + dy 2
ds =
.
1 − x2 − y 2
2
Найти символы Кристоффеля.
23. Рассмотрим в верхней полуплоскости y > 0 риманову метрику
ds2 =
dx2 + dy 2
.
y
Найти символы Кристоффеля.
24. На торе T 2 = S 1 × S 1 рассмотрим риманову метрику ds2 = dϕ2 + dψ 2 .
Найти геодезические.
25. Показать, что связности на векторном расслоении образуют аффинное
пространство.
26. Является ли отображение: x(t) 7→ x0 (t) + x2 (t) дифференциальным оператором?
27. Рассмотрим дифференциальный оператор:
(u(x, y); v(x, y)) 7→ (a(x, y)u0 (x, y) + b(x, y)v 0 (x, y); c(x, y)u0 (x, y) + d(x, y)v 0 (x, y)).
160
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При каких функциях a(x, y), b(x, y), c(x, y), d(x, y) он является эллиптическим?
28. Рассмотрим дифференциальный оператор:
00
00
(u(x, y); v(x, y)) 7→ (u0x (x, y) + u00xx (x, y) + vyy
(x, y); u0y (x, y) + u00xy (x, y) + vxy
(x, y)).
Является ли он эллиптическим?
29. Показать, что отображение: s(x) 7→ (j k s)(x) является дифференциальным
оператором k-го порядка.
30. Пусть X − компактное дифференцируемое многообразие, C ∞ (X) − кольцо дифференцируемых функций на X, m ⊂ C ∞ (X) − произвольный максимальный идеал. Показать, что существует точка x0 ∈ X такая, что идеал m состоит
из всех функций, обращающихся в нуль в точке x0 .
161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
[1] Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск, 2000.
[2] Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Т.1. М.:Наука, 1982.
[3] Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.:Высшая школа, 1999.
[4] Борисович Ю.Г. и др. Введение в топологию. М.:Высшая школа, 1980.
[5] Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности. М.:Мир, 1988.
[6] Дубровин Б.А. и др. Современная геометрния. М.:Наука, 1979.
[7] Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.:Наука,
1987.
[8] Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.:МГУ, 1980.
[9] Краснов В.А. Современная дифференциальная геометрия. Ярославль, 2000.
[10] Манин Ю.И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. М.:Наука, 1984.
[11] Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. М.:Мир, 1972.
[12] Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях.
М.:Мир, 1971.
[13] Спивак М. Математический анализ на многообразиях. М.:Мир, 1968.
[14] Шварц Дж. Дифференциальная геометрия и топология. М.:Мир, 1970.
[15] Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Ижевск, 1999.
162
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Краснов Вячеслав Алексеевич
Вещественный анализ на многообразиях
Учебное пособие
Редактор, корректор М. В. Никулина
Компьютерный набор, верстка В. А. Краснов
Подписано в печать 20.10.11. Формат 60 × 84 81
Бумага офсетная. Гарнитура "Times New Roman".
Усл. печ. л. 19,06. Уч.-изд. л. 7,0.
Тираж 50 экз. Заказ
.
Оргинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе
Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова.
Отпечатано на ризографе.
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова.
150000, Ярославль, ул. Советская, 14.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
28
Размер файла
1 840 Кб
Теги
анализа, красной, 1416, многообразие, вещественным
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа