close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1429.Метод усреднения на бесконечном промежутке и некоторые задачи теории колебаний Бурд В Ш

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
В.Ш. Бурд
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ НА БЕСКОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ
И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
Ярославль, 2013
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.928
ББК В 161.6
Б 91
Рецензенты:
кафедра «Прикладная математика и вычислительная техника» ЯГТУ;
кандидат физико-математических наук, доцент ЯГПУ П.А. Корнилов
Б 91
Бурд В.Ш. Метод усреднения на бесконечном промежутке и некоторые задачи теории колебаний / Научный редактор П.Н. Нестеров. —
Ярославль: ЯрГУ, 2013 — 420 с.
ISBN 978-5-8397-0934-8
Одним из наиболее важных асимптотических методов в теории
дифференциальных уравнений с малым параметром является так называемый метод усреднения. Эта книга посвящена изложению теории метода усреднения на бесконечном интервале и приложениям
метода к задачам теории колебаний.
Книга адресована широкой аудитории математиков, физиков и
инженеров, которые интересуются асимптотическими методами теории нелинейных колебаний. Она доступна студентам старших курсов
по физико-математическим направлениям подготовки.
Издание финансируется в рамках государственного задания высшим учебным заведениям на 2013 год (регистрационный номер:
8.7843.2013).
Рис. 11. Библиогр.: 188 назв.
РЕДКОЛЛЕГИЯ
С.Д. Глызин, П.Н. Нестеров (научный редактор)
ISBN 978-5-8397-0934-8
УДК 517.928
ББК В 161.6
Б 91
c Ярославский государственный
⃝
университет им. П.Г. Демидова,
2013
c Бурд В.Ш., 2013
⃝
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
Предисловие
9
Часть I. Усреднение линейных уравнений
13
Глава 1. Периодические и почти периодические
Краткое введение
1.1. Периодические функции . . . . . . . . . .
1.2. Почти периодические функции . . . . . .
1.3. Векторно-матричные обозначения . . . .
14
14
17
22
функции.
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Глава 2. Ограниченные решения
2.1. Однородная система уравнений с постоянными
коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Ограниченные решения неоднородных систем . . .
2.3. Лемма Боголюбова . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
26
32
Глава 3. Леммы о регулярности и устойчивости
3.1. Регулярные операторы . . . . . . . . . . .
3.2. Лемма о регулярности . . . . . . . . . . .
3.3. Регулярность периодических операторов
3.4. Лемма об устойчивости . . . . . . . . . .
36
36
37
42
44
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Глава 4. Параметрический резонанс в линейных системах
4.1. Системы с одной степенью свободы.
Случай гладкого параметрического возмущения .
4.2. Параметрический резонанс в линейных системах
с одной степенью свободы. Системы с ударами . .
4.3. Параметрический резонанс в линейных
системах с двумя степенями свободы.
Простой и комбинационный резонансы . . . . . . .
4.4. Параметрические колебания струны . . . . . . . . .
25
51
51
55
59
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4
Оглавление
Глава 5. Высшие приближения метода усреднения
для линейных уравнений. Задача устойчивости.
Метод И.З. Штокало
5.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Преобразование основной системы . . . . . . . . . .
5.3. Замечание о периодическом случае . . . . . . . . .
5.4. Устойчивость решений системы
линейных дифференциальных уравнений
с пп коэффициентами, близкими к постоянным . .
5.5. Пример. Обобщенное уравнение Хилла . . . . . . .
5.6. Экспоненциальная дихотомия . . . . . . . . . . . . .
5.7. Устойчивость решений систем с малым
параметром и экспоненциальная дихотомия . . . .
5.8. Оценка обратного оператора . . . . . . . . . . . . . .
Глава 6. Линейные дифференциальные уравнения
с быстрым и медленным временем
6.1. Обобщенные леммы о регулярности и устойчивости
6.2. Пример. Параметрический резонанс в уравнении
Матье с медленно меняющимся коэффициентом .
6.3. Высшие приближения и задача устойчивости . . .
66
66
67
70
73
76
80
83
85
87
87
92
94
Глава 7. Асимптотическое интегрирование
и метод усреднения
98
7.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2. Преобразование основной системы . . . . . . . . . . 99
7.3. Асимптотическое интегрирование
адиабатического осциллятора . . . . . . . . . . . . . 104
Глава 8. Линейные сингулярно возмущенные уравнения
c почти периодическими коэффициентами
110
Часть II. Усреднение нелинейных уравнений 117
Глава 9. Системы в стандартной форме
c почти периодическими коэффициентами.
Первое приближение
118
9.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.2. Теорема существования. Почти периодический
случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
9.3. Теорема существования. Периодический случай . .
9.4. Исследование устойчивости почти периодического
решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5. Более общая зависимость от параметра . . . . . . .
9.6. Почти периодические решения квазилинейных
систем со многими степенями свободы . . . . . . .
9.7. Системы с быстрым и медленным временем . . . .
9.8. Принцип усреднения для одного класса
сингулярно возмущенных систем . . . . . . . . . .
Глава 10. Системы в стандартной форме.
Первые примеры
10.1. Динамика отбора генетической популяции
в изменяющейся среде . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2. Периодические колебания квазилинейных
автономных систем с одной степенью свободы
и осциллятор Ван дер Поля . . . . . . . . . . . . .
10.3. Резонансные периодические колебания
квазилинейных систем с одной степенью свободы
10.4. Субгармонические решения . . . . . . . . . . . . .
10.5. Cлабонелинейное уравнение Дуффинга.
Резонансные колебания . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6. Уравнение Дуффинга.
Вынужденные субгармонические колебания . . .
10.7. Почти периодические решения вынужденного
уравнения Дуффинга без демпфирования . . . . .
10.8. Почти периодические решения
возмущенного осциллятора Ван дер Поля.
Нерезонансный случай . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9. Вынужденные колебания осциллятора
Ван дер Поля под действием почти периодической
силы с медленно изменяющейся амплитудой . . .
10.10. Резонансные колебания
осциллятора Ван дер Поля . . . . . . . . . . . . .
10.11. Два слабо связанных осциллятора Ван дер Поля
10.12. Возбуждение параметрических колебаний
ударами в нелинейных системах . . . . . . . . . .
10.13. Вынужденные колебания уравнения Дуффинга.
Двухчастотное воздействие . . . . . . . . . . . . .
5
123
126
132
134
142
148
154
154
156
164
168
171
179
184
186
191
193
195
199
207
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6
Оглавление
Глава 11. Маятниковые системы
с колеблющимся подвесом
11.1. История и физические применения . . . . . . . . .
11.2. Уравнение движения простого маятника
с вибрирующим подвесом . . . . . . . . . . . . . . .
11.3. Введение малого параметра и приведение
уравнений к стандартной форме . . . . . . . . . .
11.4. Исследование устойчивости состояний равновесия
11.5. Устойчивость верхнего состояния равновесия
стержня с распределенной массой . . . . . . . . .
11.6. Плоские вибрации точки подвеса . . . . . . . . . .
11.7. Маятник с исчезающей во времени
амплитудой колебаний точки подвеса . . . . . . .
11.8. Многочастотные колебания подвеса маятника . .
11.9. Система маятник-шайба с вибрирующим
основанием (маятник Челомея) . . . . . . . . . . .
Глава 12. Высшие приближения метода усреднения
12.1. Формализм метода усреднения для систем
в стандартной форме . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2. Основная теорема о высших приближениях
в периодическом случае . . . . . . . . . . . . . .
12.3. Теорема о высших приближениях
в почти периодическом случае . . . . . . . . . . .
12.4. Общая теорема о высших приближениях
в почти периодическом случае . . . . . . . . . . .
12.5. Высшие приближения для систем
с быстрым и медленным временем . . . . . . . .
12.6. Поддержание вращательных режимов маятника
с колеблющейся точкой подвеса . . . . . . . . . .
12.7. Устойчивость в критическом случае
пары чисто мнимых корней
для двумерной автономной системы . . . . . . .
12.8. Бифуркация рождения цикла
(бифуркация Андронова–Хопфа) . . . . . . . . .
210
210
213
215
217
220
222
225
229
234
242
. 242
. 246
. 250
. 254
. 257
. 259
. 266
. 271
Глава 13. Устойчивость при постоянно действующих
возмущениях и усреднение
на неограниченном интервале
278
13.1. Основные обозначения и вспомогательные
утверждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
13.2. Теоремы об устойчивости при постоянно
действующих возмущениях . . . . . . . . . . .
13.3. Интегральная сходимость и близость решений
на неограниченном интервале . . . . . . . . . .
13.4. Теоремы об усреднении . . . . . . . . . . . . . .
13.5. Системы с быстрым и медленным временем .
13.6. Близость медленных переменных
на бесконечном интервале в системах
с быстро вращающейся фазой . . . . . . . . . .
7
. . 281
. . 287
. . 289
. . 293
. . 296
Глава 14. Системы с быстро вращающейся фазой
14.1. Системы с одной степенью свободы, близкие
к консервативным. Переменные действие–угол . .
14.2. Переменные действие–угол для гамильтоновой
системы с одной степенью свободы . . . . . . . . .
14.3. Автономные возмущения гамильтоновой системы
с одной степенью свободы . . . . . . . . . . . . . .
14.4. Переменные действие–угол для математического
маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5. Квазиконсервативный виброударный осциллятор
14.6. Формальная схема усреднения для систем
с быстрой фазой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 15. Резонансные периодические колебания
в неавтономных системах
с быстро вращающейся фазой
15.1. Преобразование основной системы в окрестности
невырожденного резонансного уровня . . . . . . .
15.2. Поведение решений основной системы
в окрестности невырожденного
резонансного уровня . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3. Вынужденные резонансные колебания
и вращения математического маятника . . . . . .
15.4. Резонансные колебания в системах с ударами . .
301
301
305
307
310
314
318
325
327
329
331
338
Глава 16. Резонансные пп колебания
в нелинейных двумерных системах
с медленно меняющимися параметрами
346
16.1. Постановка задачи и преобразование
основной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
16.2. Существование и устойчивость пп решений . . . 349
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8
Оглавление
16.3. Вынужденные колебания и вращения
математического маятника под действием
двухчастотного возмущения
с близкими частотами . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
Часть III. Приложения
Приложение А. Почти периодические функции
Приложение Б. Устойчивость решений
дифференциальных уравнений
Б.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . .
Б.2. Теоремы об устойчивости
по первому приближению . . . . . . . . . . . . . . .
Б.3. Функции Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
365
366
377
377
381
385
Приложение В. Некоторые сведения
из функционального анализа
389
В.1. Банаховы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 389
В.2. Линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
В.3. Принцип сжатых отображений . . . . . . . . . . . . 398
Литература
401
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предисловие
В обзоре книг о методе усреднения Дж. Мардок [158, p. 337] написал: “Предмет усреднения обширен и возможно прочитать четыре
или пять книг, целиком посвященных усреднению, и найти очень
небольшое пересечение в материале, который они покрывают”.
Еще одна книга по усреднению предлагается читателю. Она имеет не много общего с другими книгами, посвященными этому предмету.
Небольшая книга Н.Н. Боголюбова [17] заложила основы теории
усреднения на бесконечном интервале. Дальнейшее развитие теории
содержится в книгах Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Митропольского [19]
и И.Г. Малкина [58].
В последующие годы было получено много новых результатов,
упрощены доказательства известных теорем и найдены новые применения метода усреднения.
В этой книге автор попытался изложить строго теорию метода усреднения на бесконечном интервале в современной форме и
обеспечить лучшее понимание некоторых результатов в приложениях теории.
Книга состоит из двух частей. Каждая часть состоит из глав.
Главы разбиты на параграфы (пункты).
Первая часть посвящена теории усреднения линейных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами.
Излагается теория устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, близкими к постоянным.
Описывается метод Штокало в более точной и модернизированной
форме. Рассматривается применение теории к задаче параметрического резонанса. Отдельная глава посвящена применению идей метода усреднения к построению асимптотик для линейных дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами.
В последней главе первой части рассматриваются некоторые свойства решений линейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10
Предисловие
В то же время в первой части заложены основы для построения
нелинейной теории.
Вторая часть посвящена нелинейным уравнениям.
В первых четырех главах второй части рассматриваются системы
в стандартной форме. Этот термин был введен Боголюбовым и относится к системам, правая часть которых пропорциональна малому
параметру. Первая глава посвящена построению теории усреднения
на бесконечном интервале в первом порядке усреднения. В частности, излагаются некоторые результаты, полученные в последние
годы. Во второй главе мы описываем первые применения теорем об
усреднении на бесконечном интервале. Большинство рассмотренных
здесь прикладных задач традиционно. Использование метода усреднения позволяет дать строгое обоснование всех результатов о существовании и устойчивости периодических и почти периодических
решений. В третьей главе второй части метод усреднения применяется для исследования устойчивости состояний равновесия различных
маятниковых систем с колеблющимся подвесом. Излагается история исследований, относящихся к проблеме стабилизации верхнего
состояния равновесия маятника с колеблющимся подвесом. Затем
исследуется устойчивость состояний равновесия маятника с почти
периодически колеблющимся подвесом. Излагаются некоторые результаты, полученные в последние годы. Например, рассматриваются
проблемы стабилизации в верхнем положении маятника Челомея и
маятника с медленно убывающими осцилляциями подвеса. В четвертой главе строятся высшие приближения метода усреднения и устанавливаются условия их справедливости на бесконечном интервале
в периодическом и почти периодическом случае. Изучается вопрос
о существовании и устойчивости вращательных режимов маятника
с колеблющимся подвесом. Здесь же рассматривается критический
случай устойчивости в случае пары чисто мнимых корней для автономной системы и его связь с бифуркацией Андронова – Хопфа.
В пятой главе доказываются теоремы, которые аналогичны теореме
Банфи (равномерная асимптотическая устойчивость решений усредненного уравнения влечет близость решений точных и усредненных
уравнений с близкими начальными условиями на бесконечном интервале). Развивается подход к этим проблемам, предложенный автором. Этот подход основывается на специальных теоремах об устойчивости при постоянно действующих возмущениях.
Последние три главы посвящены системам с быстро вращающейся фазой. Здесь рассматриваются проблемы близости решений точных и усредненных уравнений на бесконечном интервале, существо-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предисловие
11
вание и устойчивость резонансных периодических решений в двумерных системах с быстро вращающейся фазой, существование и
устойчивость почти периодических решений в двумерных системах
с быстро вращающейся фазой и медленно меняющимися коэффициентами.
Книга содержит некоторое количество упражнений. Упражнения
расположены в главах, посвященных применению метода усреднения
на бесконечном интервале к задачам теории колебаний. Эти упражнения должны помочь развить технику применения метода усреднения для исследования прикладных задач.
Книга содержит три приложения. Первое приложение посвящено
почти периодическим функциям. Этот класс функций является основным в книге. Во втором приложении излагаются некоторые факты
теории устойчивости движений в той форме, в которой они используются в книге. Третье приложение содержит описание некоторых
фактов функционального анализа.
Книга адресована широкой аудитории математиков, физиков и
инженеров, которые интересуются асимптотическими методами теории нелинейных колебаний. Она доступна студентам старших курсов.
П.Н. Нестеров выполнил рисунки к книге и провел научное редактирование, способствующее значительному улучшению текста.
Выражаю П.Н. Нестерову глубокую благодарность.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Часть I
Усреднение
линейных уравнений
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 1
Периодические и почти
периодические функции.
Краткое введение
В этой главе описываются основные классы функций, которые
мы в дальнейшем используем. Функции из этих классов определены
при всех t ∈ (−∞, ∞) (будем писать t ∈ R).
1.1. Периодические функции
Мы будем каждой периодической функции f (t) с периодом T (не
обязательно непрерывной) сопоставлять ряд Фурье
f (t) ∼ a0 +
∞
∑
ak cos
k=1
2π
2π
kt + bk sin kt,
T
T
который часто удобно записывать в комплексной форме. Представляя
2π
1
cos 2π
T kt и sin T kt в комплексной форме и полагая ck = 2 (ak − ibk ),
c−k = 12 (ak + ibk ), получим
f (t) ∼
∞
∑
2π
ck ei T kt ,
k=−∞
где c0 = a0 . Число a0 определяется формулой
a0 =
1
T
∫T
f (t)dt
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.1. Периодические функции
15
и называется средним значением периодической функции. Для нас в
дальнейшем понятие среднего значения играет первостепенную роль.
Отметим следующее свойство периодической функции. Неопределенный интеграл от периодической функции f (t) представим в виде
(с точностью до постоянной)
∫
f (t)dt = a0 t + g(t),
где g(t) — периодическая функция. Ряд Фурье функции g(t) получается почленным интегрированием ряда Фурье функции f (t).
Непрерывные периодические функции образуют полное линейное
нормированное пространство (банахово пространство), если ввести
норму
∥f (t)∥ = max |f (t)|.
t∈[0,T ]
Мы обозначим его через PT .
Наряду с непрерывными периодическими функциями мы будем
также рассматривать периодические функции, которые имеют конечное число точек разрыва первого рода (конечных скачков) на периоде. Нас будут интересовать ряды Фурье произведения таких функций (см., например, [89]). Если f (t) и g(t) — две периодические
функции, которые интегрируемы с квадратом на периоде с рядами
Фурье
+∞
+∞
∑
∑
int
f (t) ∼
cn e , g(t) ∼
dn eint ,
n=−∞
n=−∞
то ряд Фурье произведения таких функций имеет вид
f (t)g(t) ∼
+∞
∑
γn eint ,
n=−∞
∑
где γn = +∞
k=−∞ ck dn−k . Отметим, что формула для коэффициентов
Фурье произведения функций получается путем формального перемножения рядов Фурье функций f (t) и g(t) и объединением подобных членов. В частности, можно вычислить ряд Фурье функции
f 2 (t). В качестве примера рассмотрим ряд Фурье
∞
∑
sin(2k − 1)
k=1
2k − 1
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16
ГЛАВА 1. Периодические и пп функции. . . .
Он является рядом Фурье функции, получающейся в результате периодического продолжения функции, определяемой на периоде 2π
соотношениями
π
 ,
0 < t < π,
f (0) = f (π) = f (2π) = 0, f (t) = 4 π
− , π < t < 2π.
4
Ряд Фурье функции f 2 (t) сходится абсолютно, и среднее значение
этой функции равно
1
2π
∫2π
∞
1∑
1
π2
f (t)dt =
.
=
2
(2k − 1)2
16
2
0
k=1
Будем рассматривать также обобщенные периодические функции
(см., например, [2, 102]), которые являются обобщенными производными периодических функций с конечным числом скачков на периоде. Такие функции называются обобщенными функциями первого
порядка, и их можно выразить через комбинации δ-функций Дирака
сдвинутого аргумента и обычные периодические функции. Для обобщенной периодической функции с периодом 2π существует интеграл
∫π
f (t)dt. Поэтому обобщенной периодической функции можно сопо−π
ставить тригонометрический ряд
∞
a0 ∑
f (t) =
+
(an cos nt + bn sin nt),
2
n=1
где
1
an =
π
∫π
f (t) cos nt dt,
−π
1
bn =
π
∫π
f (t) sin nt dt,
n = 0, 1, . . . ,
−π
который сходится в обобщенном смысле к f (t). В качестве примера
рассмотрим обобщенную периодическую функцию
δ2π (t) =
∞
∑
δ(t − 2nπ),
n=−∞
где δ(t) — δ-функция Дирака. Коэффициенты Фурье функции δ2π (t)
определяются формулами
∫π
∫π
1
1
1
1
an =
δ2π (t) cos nt dt =
δ(t) cos nt dt = cos 0 =
π
π
π
π
−π
−π
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.2. Почти периодические функции
17
и, аналогично,
1
bn = sin 0 = 0,
π
Следовательно,
δ2π (t) =
1
a0 =
π
(
1
π
∞
∑
1
+
2
∫π
δ(t)dt =
−π
1
.
π
)
cos kt .
k=1
Для обобщенной периодической функции
∞
∑
f (t) =
δ(t − 2kl)
k=−∞
с периодом 2l ряд Фурье в комплексной форме имеет вид
∞
1 ∑ ikπt
f (t) =
e l ,
2l
k=−∞
а в вещественной форме имеет вид
∞
1
1∑
nπt
f (t) = +
cos
.
2l l n=1
l
Над обобщенными рядами Фурье можно выполнять различные операции анализа.
1.2. Почти периодические функции
Тригонометрическим многочленом будем называть выражение
Tn (t) =
n
∑
ak cos ωk t + bk sin ωk t,
(1.1)
k=1
где ak , bk , ωk — вещественные числа. Выражение (1.1) удобно записывать в комплексной форме
Tn (t) =
n
∑
k=1
где λk — вещественные числа.
ck eiλk t ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18
ГЛАВА 1. Периодические и пп функции. . . .
Существуют тригонометрические многочлены, которые не являются периодическими функциями. Действительно, возьмем многочлен f (t) = eit + eiπt . Предположим, что f (t) — периодическая функция с некоторым периодом ω. Тождество f (t + ω) = f (t) имеет вид
(eiω − 1)eit + (eiπω − 1)eiπt ≡ 0.
Так как функции eit и eiπt линейно независимы, то
eiω − 1 = 0,
eiπω − 1 = 0.
Следовательно, ω = 2kπ и πω = 2hπ, где k и h — целые числа.
Одновременное выполнение этих равенств невозможно.
Определение 1.1. Функцию f (t), определенную при t ∈ R, будем
называть почти периодической, если она является пределом в смысле равномерной сходимости на всей вещественной оси последовательности Tn (t) тригонометрических многочленов вида (1.1), т.е. для
любого ε > 0 найдется такое натуральное число N , что при n > N
sup
−∞<t<∞
|f (t) − Tn (t)| < ε.
Очевидно, любая непрерывная периодическая функция будет почти периодической в смысле определения 1.1. Опишем свойства почти периодических функций (сокращенно пп функций), которые необходимы в дальнейшем.
1) Каждая пп функция равномерно непрерывна и ограничена на
всей вещественной оси.
2) Если f (t) — пп функция и c — постоянная, то cf (t), f (t + c),
f (ct) — пп функции.
3) Если f (t) и g(t) — пп функции, то f (t) ± g(t) и f (t) · g(t) — пп
функции.
Из свойства 3) вытекает, что, если P (z1 , z2 , . . . , zk ) — многочлен
от переменных z1 , z2 , . . . , zk , и f1 (t), f2 (t), . . . , fk (t) — пп функции, то
функция F (t) = P (f1 , f2 , . . . , fk ) будет пп функцией.
4) Если f (t) и g(t) — пп функции и sup−∞<t<∞ |g(t)| > 0, то
f (t)
— пп функция.
g(t)
5) Предел равномерно сходящейся последовательности, составленной из пп функций, является пп функцией.
Пусть Φ(z1 , z2 , . . . , zn ) — функция равномерно непрерывная на замкнутом ограниченном множестве Π n-мерного пространства. Пусть
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.2. Почти периодические функции
19
f1 (t), . . . , fn (t) — пп функции и (f1 (t), . . . , fn (t)) ∈ Π при t ∈ R. Тогда
из свойства 5) следует, что F (t) = Φ(f1 (t), . . . , fn (t)) — пп функция.
Следующее свойство пп функции для нас особенно важно.
6) Для пп функции f (t) существует предел
1
lim
T →∞ T
a+T
∫
f (t)dt = ⟨f (t)⟩
a
равномерно по a. Число ⟨f (t)⟩ не зависит от выбора a и называется
средним значение пп функции f (t).
Пусть f (t) — периодическая функция с периодом ω. Представим
вещественное число T в виде T = nω + αn , где n — целое, а αn
удовлетворяет неравенству
0 ≤ αn ≤ ω.
Когда T → ∞, то n → ∞. Вычислим среднее значение функции f (t):
nω+α
∫ n
1
f (t)dt =
f (t)dt = lim
n→∞ nω + αn
0
0


(i+1)ω
nω+α
n


∫
n−1 ∫
∑

1
= lim
f (t)dt +
f (t)dt =
n→∞ nω + αn 

 i=0

nω
iω
 ω

∫
∫αn

 1 ∫ω
1
n f (t)dt + f (t)dt =
f (t)dt.
= lim
n→∞ nω + αn 
 ω
1
⟨f (t)⟩ = lim
T →∞ T
∫T
0
0
0
Таким образом, для периодических функций введенное среднее значение совпадает с обычным средним значением периодической функции.
Существование среднего значения позволяет построить для пп
функции ряд Фурье. Пусть f (t) — пп функция. Так как при любом
действительном λ функция eiλt — периодическая, то произведение
f (t)eiλt — пп функция. Поэтому существует среднее значение
a(λ) = ⟨f (t)eiλt ⟩.
Фундаментальное значение имеет тот факт, что функция a(λ) может
отличаться от нуля самое большее только для счетного множества
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20
ГЛАВА 1. Периодические и пп функции. . . .
значений λ. Числа λ1 , . . . , λn , . . . называются показателями Фурье, а
числа a1 , . . . , an , . . . — коэффициентами Фурье функции f (t).
Итак, каждой пп функции f (t) сопоставляется ряд Фурье:
∑
f (t) ∼
an eiλn t .
n
Над рядами Фурье можно производить формальные операции. Пусть
f (t) и g(t) — пп функции и
∑
∑
iλn t
f (t) ∼
an e
=
a(λ)eiλt ,
n
g(t) ∼
∑
bn eiµn t =
n
λ
∑
b(λ)eiλt .
λ
Тогда:
∑
iλn t
1) kf (t) ∼ ∑
(k — const),
n kan e
iλt
i(λn +λ)t
2) e f (t) ∼ ∑n an e
,
iλn α iλn t
3) f (t + α)
∼ n an e
e
(α ∈ R),
∑
−iλ
t
4) f¯(t) ∼ n ān e∑ n ,
5) f (t) + g(t) ∼∑ λ (a(λ) + b(λ))eiλt ,
6) f (t) · g(t) ∼ n cn eiνn t , где
∑
cn =
ap bq .
λp +µq =νn
Если производная пп функции f (t) является пп функцией, то ее ряд
Фурье получается из ряда Фурье f (t) почленным дифференцированием. Если неопределенный интеграл пп функции f (t) является пп
функцией, то
∫t
f (t)dt ∼ c +
F (t) =
0
∑ an
eiλn t
iλn
n
(λn ̸= 0).
Остановимся подробнее на интегрировании пп функций. Если f (t) —
периодическая функция с ненулевым средним значением, то для нее
справедливо равенство
∫t
f (t)dt = ⟨f ⟩t + g(t),
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.2. Почти периодические функции
21
где g(t) — периодическая функция. Для пп функций последнее равенство, вообще говоря, не имеет места. Существуют пп функции
с нулевым средним значением, интеграл от которых неограничен и,
следовательно, не является пп функцией. Например, функция
∞
∑
1 i 12 t
f (t) =
ek .
k2
k=1
Мы будем называть пп функцию f (t) правильной, если справедливо
равенство
∫t
f (t)dt = ⟨f ⟩t + g(t),
0
где g(t) — пп функция. Функция f (t) будет правильной, если она
является тригонометрическим многочленом. Если показатели Фурье
пп функции отделены от нуля λn ≥ δ > 0, то такая функция также
будет правильной.
Если существует конечное множество чисел ω1 , ω2 , . . . , ωm такое,
что каждый показатель Фурье пп функции является линейной комбинацией этих чисел
λn = n1 ω1 + . . . + nm ωm ,
где n1 , . . . , nm — целые числа, то эта пп функция называется квазипериодической. Квазипериодические функции можно получать из периодических функций многих переменных. Например, пусть F (x, y) —
функция периодическая по каждой из переменных с периодом 2π.
Тогда F (ω1 t, ω2 t) — квазипериодическая функция, если числа ω1 , ω2
несоизмеримы.
Из изложенных свойств пп функций следует, что они образуют
линейное пространство. Если в этом пространстве ввести норму
∥f (t)∥ =
sup
−∞<t<∞
|f (t)|,
то оно превращается в банахово пространство (полное линейное нормированное пространство). Это пространство обозначается через B.
Легко видеть, что среднее значение — линейный непрерывный функционал на этом пространстве, т.е. среднее значение обладает следующими свойствами:
1) ⟨cf (t)⟩ = c⟨f (t)⟩ (c = const),
2) ⟨(f (t) + g(t))⟩ = ⟨f (t)⟩ + ⟨g(t)⟩,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22
ГЛАВА 1. Периодические и пп функции. . . .
3) Если последовательность пп функций f1 (t), . . . , fn (t), . . . сходится равномерно при t ∈ R к пп функции f (t), то
lim ⟨fn (t)⟩ = ⟨f (t)⟩.
n→∞
Мы определили почти периодическую функцию как равномерный
предел на бесконечном промежутке последовательности тригонометрических многочленов. Такое определение принято за основу в книге
Кордуняну (Сorduneanu [124]). Исторически первым было определение Г. Бора, которое мы не будем здесь приводить. Часто удобным
является определение С. Бохнера. Введем это определение.
Определение 1.2. Непрерывная на вещественной оси функция f (t)
называется почти периодической, если из каждой бесконечной последовательности функций
f (t + h1 ), f (t + h2 ), . . . , f (t + hk ), . . .
можно выбрать равномерно сходящуюся на всей вещественной оси
подпоследовательность.
1.3. Векторно-матричные обозначения
В дальнейшем будем пользоваться векторно-матричными обозначениями. Через y = (y1 , . . . , yn ) будем обозначать вектор, y1 , . . . , yn —
компоненты вектора. Если компоненты — функции от переменной t,
то получим вектор-функцию y(t), которую часто будем называть просто функцией (функцией со значениями в n-мерном пространстве),
если это не будет вызывать недоумений. Естественным образом определяются вектор-функции
(
) ∫
(∫
)
∫
dy1
dyn
dy
=
,...,
, y(t)dt =
y1 (t)dt, . . . , yn (t)dt .
dt
dt
dt
В множестве n-мерных векторов введем норму формулой
∥y∥ =
n
∑
|yi |
i=1
или формулой
v
u n
u∑
∥y∥ = t
y2.
i
i=1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.3. Векторно-матричные обозначения
23
Норма обладает следующими свойствами:
∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥,
∥cy∥ = |c|∥y∥
(c = const).
Отметим еще часто используемое неравенство
∫b
∫b
y(t)dt ≤ ∥y(t)∥dt.
a
a
В дальнейшем будем обозначать векторную норму через | · |. Пусть A
— квадратная матрица порядка n с элементами aij . Норму матрицы
введем формулой
n
∑
∥A∥ =
|aij |.
i.j=1
Легко видеть, что
∥A + B∥ ≤ ∥A∥ + ∥B∥,
∥cA∥ = |c| · ∥A∥ (c = const),
∥Ax∥ ≤ ∥A∥ · ∥x∥
(x — вектор),
∥AB∥ ≤ ∥A∥ · ∥B∥.
∫
dA
и A(t)dt. Справедливо нераЕстественным образом вводятся
dt
венство
∫b
∫b
A(t)dt ≤ ∥A(t)∥dt.
a
a
В дальнейшем норму матрицы будем обозначать через | · |.
Вектор-функцию f (t) = (f1 (t), . . . , fn (t)) будем называть почти периодической, если ее компоненты fi (t) — пп функции. Легко видеть,
что почти периодические вектор-функции обладают всеми свойствами скалярных пп функций, описанными в предыдущем пункте. Почти периодические вектор-функции образуют банахово пространство,
если норму ввести по формуле
∥f (t)∥ =
sup
−∞<t<∞
|f (t)|,
где |f (t)| — норма вектора f (t). Это пространство будем обозначать
через Bn .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24
ГЛАВА 1. Периодические и пп функции. . . .
Периодические вектор-функции с периодом T образуют банахово
пространство с нормой
∥f (t)∥ = max |f (t)|.
0≤t≤T
Это пространство обозначим через PT .
Матрицу-функцию будем называть почти периодической, если ее
элементы — пп функции. Наконец, вектор-функцию T (t) будем называть тригонометрическим многочленом, если ее компоненты — тригонометрические многочлены.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 2
Ограниченные решения
2.1. Однородная система уравнений
с постоянными коэффициентами
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dx
= Ax,
dt
(2.1)
где A — постоянная квадратная матрица порядка n. Напомним некоторые свойства системы (2.1), необходимые для дальнейшего. Общее
решение системы (2.1) записывается в виде
x(t) = etA x(0),
где x(0) — вектор начальных условий, матричная экспонента etA
определяется матричным рядом
tA
e
=
∞ m m
∑
t A
m=0
m!
.
Поведение решений системы (2.1) при t → ±∞ целиком определяется расположением собственных значений матрицы A. Если все
собственные значения матрицы A имеют ненулевые вещественные
части, то система (2.1) не имеет ограниченных при всех t ∈ R решений, кроме нулевого. Если все собственные значения матрицы A
имеют отрицательные вещественные части, то существуют постоянные M > 0, γ > 0 такие, что справедливо неравенство
|etA | ≤ M e−γt ,
t ≥ 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26
ГЛАВА 2. Ограниченные решения
Если все собственные значения матрицы A имеют положительные
вещественные части, то существуют постоянные M, γ > 0 такие, что
справедливо неравенство
|etA | ≤ M eγt ,
t ≤ 0.
2.2. Ограниченные решения неоднородных
систем
Рассмотрим систему линейных неоднородных дифференциальных
уравнений
dx
= Ax + f (t),
(2.2)
dt
где A — постоянная квадратная матрица порядка n, f (t) — ограниченная при всех t вектор-функция, т.е.
sup
−∞<t<∞
|f (t)| ≤ K < ∞.
Нас будет интересовать вопрос, когда система (2.2) имеет единственное ограниченное при t ∈ R решение x(t). Очевидно, если система (2.2) имеет два ограниченных решения, то их разность является
ограниченным решением однородного уравнения (2.1). Следовательно, необходимое условие существования единственного ограниченного решения системы (2.2) при ограниченной функции f (t) состоит
в том, что система (2.1) не имеет ограниченных решений, кроме
тривиального. Поэтому будем предполагать, что матрица A не имеет собственных значений с нулевой вещественной частью. Покажем,
что при этом предположении система (2.2) имеет единственное ограниченное решение.
С помощью линейного преобразования
x = P y,
где P — постоянная обратимая матрица, система (2.2) преобразуется
к виду
dy
= P −1 AP y + P −1 f (t).
(2.3)
dt
Матрицу P можно выбрать таким образом, что матрица P −1 AP имеет блочно-диагональный вид
(
)
A
0
1
P −1 AP =
,
0 A2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.2. Ограниченные решения неоднородных систем
27
где A1 — матрица порядка k, у которой все собственные значения
имеют отрицательные вещественные части, а A2 — матрица порядка
n − k, у которой все собственные значения имеют положительные
вещественные части. Очевидно, функция P −1 f (t) ограничена. Задача об ограниченных решениях системы (2.2) эквивалентна задаче об
ограниченных решениях системы (2.3). Поэтому сразу будем предполагать, что матрица A имеет вид
(
)
A1 0
A=
.
0 A2
Тогда систему (2.2) можно записать в виде
dx1
= A1 x1 + f1 (t),
dt
dx2
= A2 x1 + f2 (t),
dt
(2.4)
где x = (x1 , x2 ), x1 и x2 — k-мерный и n − k-мерный векторы соответственно, f1 (t) — первые k компонент вектора f (t), f2 (t) — последние
n − k компонент вектора f (t). Общее решение системы (2.4) записывается в виде
tA1
x1 (t) = e
x1 (0) +
∫t
e(t−s)A1 f1 (s)ds,
0
x2 (t) = etA2 x2 (0) +
∫t
(2.5)
e(t−s)A2 f2 (s)ds.
0
Так как собственные значения матрицы A1 имеют отрицательные
вещественные части, то существуют постоянные M1 , γ1 > 0 такие,
что справедливо неравенство
|etA1 | ≤ M1 e−γ1 t ,
t ≥ 0.
(2.6)
Обе части первого равенства системы (2.5) умножим на матрицу
e−tA1 . Тогда получим
e−tA1 x1 (t) = x1 (0) +
∫t
e−sA1 f1 (s)ds.
(2.7)
0
Предположим, что x1 (t) — ограниченная функция. Тогда, переходя
к пределу в равенстве (2.7) при t → −∞ и учитывая оценку (2.6),
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28
ГЛАВА 2. Ограниченные решения
получим
∫−∞
0 = x1 (0) +
e−sA1 f1 (s)ds.
0
Следовательно, если x1 (t) — ограниченная функция, то
∫0
x1 (0) =
e−sA1 f1 (s)ds.
−∞
Таким образом, если x1 (t) — ограниченная функция, то она определяется формулой
∫t
x1 (t) = etA1 x1 (0) +
e(t−s)A1 f1 (s)ds =
0
∫0
∫t
e(t−s)A1 f1 (s)ds +
=
−∞
∫t
e(t−s)A1 f1 (s)ds =
e(t−s)A1 f1 (s)ds.
−∞
0
Так как все собственные значения матрицы A2 имеют положительные вещественные части, то существуют постоянные M2 , γ2 > 0 такие, что справедливо неравенство
|etA2 | ≤ M2 eγ2 t ,
t ≤ 0.
(2.8)
Умножая обе части второго равенства системы (2.5) на e−tA2 , получаем
∫t
e−tA2 x2 (t) = x2 (0) + e−sA2 f2 (s)ds.
0
Предполагая, что x2 (t) — ограниченная функция, и переходя к пределу при t → ∞, с учетом оценки (2.8), имеем
∫∞
x2 (0) = −
e−sA2 f2 (s)ds.
0
Таким образом, если x2 (t) — ограниченная функция, то
∫∞
x2 (t) = −
∫t
e(t−s)A2 f2 (s)ds = −
e(t−s)A2 f2 (s)ds +
0
∫∞
0
e(t−s)A2 f2 (s)ds.
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.2. Ограниченные решения неоднородных систем
29
Следовательно, если система (2.2) имеет ограниченное решение, то
оно представляется формулами
x1 (t) =
∫t
e(t−s)A1 f1 (s)ds,
−∞
∫∞
x2 (t) = −
(2.9)
(t−s)A2
e
f2 (s)ds.
t
Покажем, что формулы (2.9) действительно определяют ограниченные функции. Из оценок (2.6) и (2.8) вытекает, что
∫t
|x1 (t)| ≤
∫t
|e(t−s)A1 ||f1 (s)|ds ≤ M1
−∞
e−γ1 (t−s) ds
−∞
M1
sup |f1 (t)|,
γ1 −∞<t<∞
∫∞
∫∞
|x2 (t)| ≤ |e(t−s)A2 ||f2 (s)|ds ≤ M2 eγ2 (t−s) ds
sup
−∞<t<∞
|f1 (t)| =
=
t
t
=
sup
−∞<t<∞
|f2 (t)| =
M2
sup |f2 (t)|.
γ2 −∞<t<∞
Таким образом, система (2.2) имеет единственное ограниченное решение
( ∫t
x(t) = (x1 (t), x2 (t)) =
∫∞
(t−s)A1
e
f1 (s)ds, −
−∞
∫∞
(t−s)A2
e
)
f2 (s)ds =
t
G(t − s)f (s)ds,
=
−∞
где матрица-функция G(t) определяется формулой
(
)
tA1

e
0


,
t ≥ 0,


0 0
(
)
G(t) =

0 0


−
, t < 0.


0 etA2
Это решение удовлетворяет оценке
|x(t)| ≤ M3
sup
−∞<t<∞
|f (t)|,
(2.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30
ГЛАВА 2. Ограниченные решения
(
M1 M2
γ1 , γ2
)
где M3 = max
.
Отметим, что матрица-функция G(t) непрерывна всюду, кроме
точки t = 0, в которой она терпит разрыв первого рода (скачок)
G(t + 0) − G(t − 0) = I,
где I — единичная матрица. Для G(t) справедлива оценка
|G(t)| ≤ M e−γ|t| ,
t ∈ R,
(2.11)
где M и γ > 0 — некоторые постоянные. G(t) — дифференцируема
dG
при всех t ̸= 0, а для матрицы
справедлива оценка вида (2.10).
dt
Функцию G(t) называют функцией Грина для задачи об ограниченных решениях или функцией Грина ограниченной краевой задачи.
Сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема 2.1. Пусть у матрицы A все собственные значения имеют ненулевые вещественные части. Тогда для каждой ограниченной функции f (t) существует единственное ограниченное решение системы (2.2), которое определяется формулой
∫∞
G(t − s)f (s)ds.
x(t) =
(2.12)
−∞
Следствие 2.1. Пусть f (t) — пп функция. Тогда решение, определяемое формулой (2.12), является почти периодическим. Если
f (t) — периодическая функция, то соответствующее решение —
периодическое.
Доказательство. Если f (t) — тригонометрический многочлен, то
легко проверить, что x(t) — тригонометрический многочлен. Пусть
теперь fn (t) — последовательность тригонометрических многочленов,
которая сходится равномерно при всех t ∈ R к пп функции f (t).
Тогда последовательность xn (t) равномерно сходится при t ∈ R к
функции x(t). Это следует из неравенства
∫∞
|x(t) − xn (t)| ≤
∫∞
≤M
−∞
|G(t − s)||f (s) − fn (s)|ds ≤
−∞
e−γ|t−s| ds
sup
−∞<t<∞
|f (t) − fn (t)|.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.2. Ограниченные решения неоднородных систем
31
Таким образом, x(t) — пп функция. Если f (t) — периодическая
функция с периодом T , то легко видеть, что x(t) — периодическая
функция с периодом T .
Замечание 2.1. Если f (t) — T -периодическая функция, то требование теоремы 2.1 об отсутствии собственных значений матрицы A
с нулевой вещественной частью является излишним. Единственное
T -периодическое решение системы (2.2) существует, если выполнено
следующее условие.
Условие Π: у матрицы A нет нулевого собственного значения и
нет чисто мнимых собственных значений вида i 2π
T k, где k — целое
число.
В этом случае однородная система
dx
= Ax
dt
не имеет T -периодических решений, кроме нулевого. Легко выписать
функцию Грина T -периодической краевой задачи
dx
= Ax + f (t),
dt
x(0) = x(T ).
Очевидно, если x(t) — решение вышеуказанной неоднородной системы, то и функция x(t + T ) является ее решением. Поэтому условие периодичности решения x(t + T ) = x(t) вытекает из условия
x(0) = x(T ) (решения x(t) и x(t + T ) совпадают в начальный момент t = 0 и, следовательно, совпадают при всех t). Из формулы для
общего решения неоднородной системы
∫t
x(t) = etA x(0) +
e(t−s)A f (s)ds
0
получаем
∫T
x(T ) = eT A x(0) +
e(T −s)A f (s)ds = x(0).
0
Следовательно, начальное условие периодического решения имеет
вид
(
)−1
x(0) = I − eT A
∫T
0
(
e(T −s)A f (s)ds = e−T A − I
)−1
∫T
0
e−sA f (s)ds,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
32
ГЛАВА 2. Ограниченные решения
(
)
где I — единичная матрица. Обратимость матрицы e−T A − I вытекает из условия Π. Подставляя значение x(0) в формулу общего решения, получаем, что единственное T -периодическое решение
определяется формулой
∫T
G(t − s)f (s)ds,
x(t) =
(2.13)
0
где периодическая функция Грина имеет вид
)
{ ((
)−1
−T A
e
−I
+ I e(t−s)A ,
G(t − s) = (
)−1 (t−s)A
e−T A − I
e
,
если s < t,
если s > t.
Иногда вместо представления T -периодического решения в виде (2.13)
удобно записывать это представление в виде
[
]
x(t)=etA e−T A −I
∫t+T
e−sA f (s)ds =
∫t+T
t
{
[
]
}−1
euA e−T A −I e−tA
f (u)du.
t
Из последней формулы вытекает, что для единственного периодического решения x(t) системы (2.2) справедливо неравенство
∫T
|x(t)| ≤ K
|f (u)|du,
0
где
sup |{eτ A [e−T A − I]e−tA }−1 |
K = sup
0≤t≤T t≤τ ≤t+T
— постоянная, не зависящая от f (t) и зависящая только от T и etA .
Наконец, отметим еще одно представление T -периодического решения неоднородной системы
∫T
x(t) =
(
e−T A − I
)−1
e−uA f (t + u)du.
(2.14)
0
2.3. Лемма Боголюбова
Рассмотрим неоднородную систему
(t)
dx
= Ax + f
,
dt
ε
(2.15)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.3. Лемма Боголюбова
33
где f (t) — пп функция, ε > 0 — скалярный малый параметр. Пусть у
матрицы A все собственные значения имеют ненулевые вещественные части. Тогда система (2.15) при каждом ε в силу следствия 2.1
имеет единственное пп решение x(t, ε). Нас будут интересовать условия, при которых |x(t, ε)| при ε → 0 стремится к нулю равномерно
по t ∈ R. Такие условия дает следующая лемма, принадлежащая
Н.Н. Боголюбову. Нам удобно сформулировать лемму в форме, которая отличается от формулировки в книгах Боголюбова [17], Боголюбова и Митропольского [19].
Лемма Боголюбова. Пусть среднее значение функции f (t) равно
нулю, т.е.
∫T
1
⟨f ⟩ = lim
f (s)ds = 0.
(2.16)
T →∞ T
0
Тогда
lim
sup
ε→0 −∞<t<∞
|x(t, ε)| = 0.
Доказательство. Согласно теореме 2.1 решение x(t, ε) системы (2.15)
имеет вид
∫∞
G(t − s)f
x(t, ε) =
(s)
ε
−∞
∫t
G(t − s)f
ds =
(s)
−∞
ε
∫∞
G(t − s)f
ds +
(s)
ε
ds.
t
Сделаем замену переменных s = t + u. Тогда получим
(
)
(
)
∫∞
t+u
t+u
x(t, ε) =
G(−u)f
du + G(−u)f
du =
ε
ε
−∞
0
 t+u

 t+u

0
∞
∫
∫ ( )
∫
∫ ( )
d
σ 
d
σ 
=
G(−u)  f
dσ + G(−u)  f
dσ.
du
ε
du
ε
∫0
−∞
t
t
0
Интегрируя по частям каждое слагаемое в правой части, получим


 t+u
 t+u
∫∞
∫0
∫ ( )
∫ ( )
dG(−u) 
dG(−u) 
σ
σ
dσ  du−
dσ  du
x(t, ε)=−
f
f
du
ε
du
ε
−∞
t
0
При u ̸= 0 из неравенства (2.11) следует оценка
dG(−u) −γ1 |u|
,
du ≤ M1 e
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
34
ГЛАВА 2. Ограниченные решения
где M1 , γ1 — положительные постоянные. Положим
sup
−∞<t<∞
|f (t)| = M2 .
Тогда при произвольном T > 0 получаем неравенство
∫−T
|x(t, ε)| ≤ M1 M2
−∞
∫T
e−γ1 |u| |u|du + M1 M2
e
+M1
−T
e−γ1 |u| |u|du+
T
∫t+u
−γ1 |u| ∫∞
f
(σ )
ε
dσ du.
t
Пусть η > 0. Из последнего неравенства, учитывая сходимость первых двух интегралов в правой части неравенства, вытекает существование такого T > 0, что
∫τ ( ) η 2M1
σ
|x(t, ε)| < +
sup f
dσ .
2
γ1 |τ −s|≤T
ε
s
Но
∫τ ( ) σ
dσ = 0.
lim sup f
ε→0
ε
|τ −s|≤T
s
Действительно,
∫τ ( ) ∫ε
τ − s
σ
f (u)du ≤
dσ = sup τ −s
sup f
ε
τ
|τ −s|≤T
|τ −s|≤T
s
ε
s
ε
∫ε
1
≤ T sup τ −s
f (u)du.
τ
|τ −s|≤T
ε
(2.17)
s
ε
При ε → 0 правая часть неравенства (2.17) стремится к нулю в силу
того, что выполнено условие (2.16) и у пп функции существует равномерное среднее значение. Следовательно, при достаточно малых
ε
∫τ ( ) η
σ
2M1
sup f
dσ <
γ1 |τ −s|≤T
ε
2
s
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.3. Лемма Боголюбова
35
и
|x(t, ε)| < η,
t ∈ R.
Лемма доказана.
Замечание 2.2. Сделаем в системе (2.15) замену времени τ = εt.
Тогда получим систему
dx
= εAx + εf (τ ).
dτ
Лемму Боголюбова можно было сформулировать для этой системы.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 3
Леммы о регулярности
и устойчивости
3.1. Регулярные операторы
Введем в рассмотрение дифференциальный оператор
Lx =
dx
+ A(t)x,
dt
где A(t) — квадратная матрица порядка n, составленная из пп функций. Оператор L определен на множестве дифференцируемых пп
вектор-функций пространства Bn .
Определение 3.1. Оператор L будем называть регулярным, если для
любой пп функции f (t) система дифференциальных уравнений
Lx = f (t)
имеет единственное пп решение x(t).
Из регулярности оператора L вытекает в силу теоремы Банаха об
обратном операторе (см., напр. [95]), что оператор L имеет в пространстве пп вектор-функций Bn непрерывный обратный оператор
L−1 :
x(t) = L−1 f (t).
Теорема 2.1 утверждает, что система
dx
= Ax + f (t)
dt
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.2. Лемма о регулярности
37
имеет единственное решение x(t) ∈ Bn при любой f (t) ∈ Bn , если у
матрицы A все собственные значения имеют ненулевые вещественные части. Таким образом, при этом условии на матрицу A оператор
Lx =
dx
− Ax
dt
является регулярным. Оператор L−1 определяется формулой
x(t) = L−1 f (t) =
∫∞
G(t − s)f (s)ds.
−∞
Аналогично, можно определить регулярный оператор
Lx =
dx
+ A(t)x,
dt
где A(t) — матрица, элементы которой — T -периодические функции.
В этом случае нужно потребовать, чтобы для любой T -периодической
вектор-функции f (t) система
Lx = f (t)
имела единственное T -периодическое решение x(t). Из замечания
2.1 следует, что оператор
Lx =
dx
− Ax
dt
будет регулярным, если выполняется условие Π — матрица A не
имеет нулевого и чисто мнимых собственных значений вида i 2π
T k,
где k — целое число.
3.2. Лемма о регулярности
Будем рассматривать семейство дифференциальных операторов
Lε вида
dx
Lε x =
− A(t, ε)x,
dt
зависящее от параметра ε.
Определение 3.2. Назовем оператор Lε равномерно регулярным, если для всех ε ∈ (0, ε0 ) он регулярен и существует такая постоянная
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
38
ГЛАВА 3. Леммы о регулярности и устойчивости
K > 0, что при всех ε ∈ (0, ε0 ) норма оператора L−1
ε как оператора,
действующего в Bn , ограничена постоянной K, т.е.
∥L−1
ε ∥ ≤ K.
Рассмотрим теперь семейство операторов
(t)
dx
Lε x =
x,
−A
dt
ε
(3.1)
зависящее от параметра ε ∈ (0, ε0 ). Укажем признак равномерной
регулярности оператора (3.1) при малых ε.
Лемма о регулярности. Пусть оператор
L0 x =
dx
− A0 x,
dt
где
1
T →∞ T
(3.2)
∫T
A(t)dt,
A0 = lim
0
регулярен. Тогда при достаточно малых ε оператор (3.1) равномерно регулярен.
Доказательство. Необходимо доказать, что для любой функции
f (t) ∈ Bn система
(t)
dx
−A
x = f (t)
(3.3)
dt
ε
имеет единственное решение x(t) ∈ Bn при достаточно малых ε.
Введем в рассмотрение матрицу
∫∞
H(t, ε) =
−∞
[ (t)
]
G0 (t − s) A
− A0 ds,
ε
где G0 (t − s) — функция Грина ограниченной краевой задачи для
оператора L0 , т.е. матрица-функция в формуле
∫∞
G0 (t − s)f (s)ds,
x(t) =
−∞
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.2. Лемма о регулярности
39
где x(t) — ограниченное при t ∈ R решение системы
dx
− A0 x = f (t).
dt
Матрица H(t, ε) — ограниченное при t ∈ R решение неоднородной
системы
[ (t)
]
dH
= A0 H + A
− A0 .
(3.4)
dt
ε
(t)
Так как пп матрица A
− A0 имеет нулевое среднее значение, то
ε
из леммы Боголюбова следует, что
|H(t, ε)| = 0.
(3.5)
x(t) = y(t) + H(t, ε)y(t).
(3.6)
lim
sup
ε→0 −∞<t<∞
В системе (3.3) сделаем замену
Очевидно, при малых ε замена (3.6) обратима и при y(t) ∈ Bn функция x(t) ∈ Bn . Простой подсчет с учетом (3.4) показывает, что y(t)
нужно определять как пп решение системы
dy
− A0 y + D(t, ε)y = [I + H(t, ε)]−1 f (t),
dt
(3.7)
где
D(t, ε) = −[I + H(t, ε)]−1
{
}
[ (t)
]
−H(t, ε)A0 + A
−A0 H(t, ε) . (3.8)
ε
Из предельного равенства (3.5) следует, что
lim
sup
ε→0 −∞<t<∞
|D(t, ε)| = 0.
(3.9)
Задача о существовании единственного пп решения системы (3.3)
при достаточно малых ε эквивалентна задаче о существовании единственного пп решения системы (3.7). Последняя задача, в свою очередь, эквивалентна задаче существования единственного решения в
пространстве Bn системы интегральных уравнений
∫∞
y(t) =
−∞
G0 (t − s)[−D(s, ε)y(s) + (I + H(t, ε))−1 f (s)]ds.
(3.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
40
ГЛАВА 3. Леммы о регулярности и устойчивости
Оценим в пространстве Bn норму оператора S(ε), определяемого
формулой
∫∞
S(ε)y = −
G0 (t − s)D(s, ε)y(s)ds.
−∞
При этом напомним, что из свойств функции Грина G0 (t) следует
существование таких постоянных M, γ > 0, что
|G0 (t − s)| ≤ M e−γ|t−s| ,
−∞ < t, s < ∞.
Получим
∫∞
∥S(ε)∥ ≤
∫∞
≤M
sup
−∞<t<∞
−∞
e−γ|t−s| ds
sup
−∞<t<∞
−∞
|G0 (t − s)| |D(s, ε)| |y(s)|ds ≤
|D(t, ε)|∥y∥ ≤
M
γ
sup
−∞<t<∞
|D(t, ε)|∥y∥.
Из (3.9) следует, что
∥S(ε)y∥ ≤ α(ε)∥y∥,
где
lim α(ε) = 0.
ε→0
Отсюда вытекает, что при достаточно малых ε оператор I −S(ε) (I —
единичный оператор) имеет непрерывный обратный в Bn , представимый в виде ряда Неймана (см. Приложение 3)
−1
(I − S(ε))
=
∞
∑
S k (ε).
k=0
Систему (3.10) можно записать в виде неоднородного операторного
уравнения в пространстве Bn :
[I − S(ε)]y = g(t),
где пп функция g(t) определяется следующим выражением:
∫∞
g(t) =
−∞
G0 (t − s)[I + H(s, ε)]−1 f (s)ds.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.2. Лемма о регулярности
41
Следовательно, система (3.10) имеет при достаточно малых ε единственное решение y(t) ∈ Bn . Таким образом, при достаточно малых
ε операторы Lε регулярны. Для завершения доказательства леммы
осталось показать, что нормы операторов L−1
ε равномерно ограничены при малых ε, т.е. существуют постоянные K и ε1 , такие, что
∥L−1
ε ∥ ≤ K,
0 < ε < ε1 .
(3.11)
Действительно,
−1
−1
−1
L−1
= L−1
ε = [Lε − L0 + L0 ]
0 [(Lε − L0 )L0 + I] .
Оператор Lε − L0 имеет вид
Lε − L0 = A
(t)
ε
− A0 .
Поэтому операторы Dε = (Lε − L0 )L−1
равномерно ограничены, а,
0
следовательно, справедливо неравенство (3.11).
Замечание 3.1. В процессе доказательства леммы нам необходимо
было установить, что система дифференциальных уравнений
(t)
dx
−A
x = f (t)
(3.12)
dt
ε
имеет при достаточно малых ε единственное пп решение x(t) для
t
любой пп функции f (t). В (3.12) введем новое время τ = . Получим
ε
систему
dx
− εA(τ )x = εf (ετ ).
(3.13)
dτ
Таким образом, лемма о регулярности следует из утверждения о том,
что система (3.13) для любой пп функции f (τ ) имеет единственное
пп решение.
Воспользуемся этим замечанием, чтобы доказать лемму о регулярности, предполагая, что элементы матрицы A(τ ) — правильные
пп функции. В этом случае нам не понадобится лемма Боголюбова.
В системе (3.13) сделаем замену
x = y + εY (τ )y,
(3.14)
где пп матрицу Y (τ ) определим позднее. Подставляя (3.14) в (3.13),
получим
(I + εY (τ ))
dy
dY
+ε
y = εA(τ )y + ε2 A(τ )Y (τ )y + εf (ετ ).
dτ
dτ
(3.15)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
42
ГЛАВА 3. Леммы о регулярности и устойчивости
Выберем пп матрицу Y (τ ) с нулевым средним значением из равенства
dY
= A(τ ) − A0 ,
dτ
где постоянная матрица A0 составлена из средних значений элементов матрицы A(τ ). Тогда матрица I + εY (τ ) обратима при достаточно
малых ε и систему (3.15) можно записать в виде
dy
=εA0 y+ε2 (I +εY (τ ))−1 [−Y (τ )A0 +A(τ )Y (τ )]y+(I +εY (τ ))−1 εf (ετ ).
dτ
Дальнейшее доказательство разрешимости системы (3.13) в пространстве Bn почти дословно повторяет доказательство леммы о регулярности.
3.3. Регулярность периодических
операторов
Остановимся отдельно на вопросе о регулярности операторов с
периодическими коэффициентами. Именно рассмотрим семейство операторов
dx
Lε x =
− εA(t)x,
(3.16)
dt
где элементы матрицы A(t) — T -периодические функции t, а ε > 0 —
малый параметр. Изучим вопрос о существовании единственного T периодического решения системы
dx
= εA(t)x + f (t)
dt
(3.17)
для произвольной T -периодической вектор-функции f (t).
Лемма о регулярности (периодический случай). Если матрица
A0 :
∫T
1
A0 =
A(s)ds
T
0
не имеет нулевого собственного значения, то оператор (3.16) регулярен при достаточно малых ε.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.3. Регулярность периодических операторов
43
Доказательство. В системе (3.17) сделаем замену
x = y + εY (t)y,
где Y (t) — T -периодическая матрица с нулевым средним значением,
определяемая из уравнения
dY
= A(t) − A0 .
dt
После замены система (3.17) примет вид
dy
= εA0 y + ε2 F (τ, ε)y + (I + εY (t))−1 f (t),
dτ
где
(3.18)
F (t, ε) = A(t)Y (t) − Y (t)(I + εY (t))−1 A0 .
Если у матрицы A0 нет нулевого собственного значения, то при достаточно малых ε у матрицы εA0 нет нулевого и чисто мнимых собственных значений вида i 2π
T k, где k — целое число. Следовательно,
оператор
dx
L0 x =
− εA0 x
dt
регулярен в пространстве T -периодических вектор-функций PT . Дальнейшее доказательство проходит так же, как и доказательство леммы о регулярности.
Отметим еще, что
K
∥f ∥,
ε
где K — постоянная, а нормы вычисляются в пространстве PT . Это
следует из представления
∥L−1
0 f (t)∥ ≤
L−1
0 f =
∫T
1
ε[e−εA0 T − I]−1 e−εA0 s f (t + s)ds
ε
0
и предельного равенства
1
lim ε[e−εA0 T − I]−1 = − A−1
.
ε→0
T 0
Последнее замечание касается T -периодических функций, которые имеют конечное число разрывов первого рода (скачков) на периоде. Пусть A0 удовлетворяет условиям леммы о регулярности. Тогда система (3.17) имеет единственное T -периодическое решение
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
44
ГЛАВА 3. Леммы о регулярности и устойчивости
при достаточно малых ε, если элементы матрицы A(t) и компоненты вектор-функции f (t) являются T -периодическими функциями с
конечным числом разрывов первого рода на периоде.
3.4. Лемма об устойчивости
В предыдущем пункте было показано, что при достаточно малых ε регулярность оператора Lε следует из регулярности оператора
L0 . Оказывается, что имеется связь между устойчивостью решений
системы
(t)
dx
−A
x=0
(3.19)
dt
ε
и системы
dx
− A0 x = 0,
(3.20)
dt
где (напомним) постоянная матрица A0 составлена из средних значений элементов матрицы A(t).
Нам понадобится хорошо известная лемма об интегральных неравенствах — лемма Гронуолла–Беллмана.
Лемма Гронуолла–Беллмана. Пусть неотрицательная непрерывная скалярная функция u(t) удовлетворяет интегральному неравенству
∫t
u(t) ≤ c + α u(τ )dτ,
0
где c, α ≥ 0. Тогда
u(t) ≤ ceαt
(t ≥ 0).
Лемма об устойчивости. Пусть собственные значения матрицы
A0 имеют ненулевые вещественные части. Тогда при достаточно
малых ε нулевое решение системы (3.19) асимптотически устойчиво, если у матрицы A0 все собственные значения имеют отрицательные вещественные части. Нулевое решение системы (3.19)
неустойчиво при достаточно малых ε, если у матрицы A0 есть,
по крайней мере, одно собственное значение с положительной вещественной частью.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.4. Лемма об устойчивости
45
Доказательство. В системе (3.19) сделаем замену (3.6). Тогда получим систему
dy
− A0 y + D(t, ε)y = 0,
(3.21)
dt
где матрица D(t, ε) определяется формулой (3.8). При достаточно
малых ε вопросы об устойчивости нулевого решения систем (3.19) и
(3.21) эквивалентны. Пусть сначала у матрицы A0 все собственные
значения имеют отрицательные вещественные части. Тогда существуют постоянные M1 ,γ1 > 0 такие, что
|etA0 | ≤ M1 e−γ1 t ,
t ≥ 0.
(3.22)
Решение системы (3.21) удовлетворяет системе интегральных уравнений
∫t
y(t) = etA0 y(0) − e(t−s)A0 D(s, ε)y(s)ds.
0
Учитывая неравенство (3.22), находим
|y(t)| ≤ M1 e−γ1 t |y(0)| + M1 p(ε)
∫t
e−γ1 (t−s) |y(s)|ds,
(3.23)
0
где
p(ε) =
sup
−∞<t<∞
|D(t, ε)|.
Полагая u(t) = eγ1 t |y(t)|, получаем из (3.23) следующее неравенство
∫t
u(t) ≤ M1 |y(0)| + M1 p(ε)
u(s)ds.
0
Из леммы Гронуолла–Беллмана следует неравенство
|y(t)| ≤ M1 |y(0)|e(−γ1 +M1 p(ε))t .
В силу (3.9)
lim p(ε) = 0.
ε→0
Выберем ε настолько малым, что M1 p(ε) ≤
γ1
|y(t)| ≤ M1 |y(0)|e− 2 t ,
γ1
2.
Тогда
t ≥ 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
46
ГЛАВА 3. Леммы о регулярности и устойчивости
Последнее неравенство показывает, что при достаточно малых ε нулевое решение системы (3.19) асимптотически устойчиво.
Пусть теперь у матрицы A0 есть по крайней мере одно собственное значение с положительной вещественной частью. Для определенности будем считать, что матрица A0 имеет k собственных значений
с отрицательной вещественной частью и n − k собственных значений
с положительной вещественной частью. Без ограничения общности
можно предполагать, что матрица A0 имеет блочно-диагональный
вид
(
)
A1 0
A0 =
,
(3.24)
0 A2
где A1 — матрица порядка k, у которой все собственные значения
имеют отрицательные вещественные части, A2 — матрица порядка
n − k, у которой все собственные значения имеют положительные
вещественные части. Снова в системе (3.19) сделаем замену (3.6) и
получим систему
dy
− A0 y + D(t, ε)y = 0.
(3.25)
dt
Для системы (3.25) рассмотрим задачу о существовании решений,
ограниченных на полуоси [0, ∞). Ввиду представления (3.24) эта задача эквивалентна задаче об ограниченных на полуоси решениях
систем
dy1
− A1 y1 + (D(t, ε)y)1 = 0,
(3.26)
dt
dy2
− A2 y2 + (D(t, ε)y)2 = 0,
(3.27)
dt
где y1 — k-мерный вектор, y2 — (n − k)-мерный вектор, (D(t, ε)y)1 —
первые k компонент вектора D(t, ε)y, (D(t, ε)y)2 — последние n − k
компонент вектора D(t, ε)y. Из свойств матриц A1 и A2 следует существование постоянных M1 , γ1 > 0, M2 , γ2 > 0 таких, что справедливы неравенства
|etA1 | ≤ M1 e−γ1 t ,
t ≥ 0,
(3.28)
|etA2 | ≤ M2 eγ2 t ,
t ≤ 0.
(3.29)
Рассмотрим сначала задачу об ограниченных на [0, ∞) решениях
неоднородных систем
dy1
= A1 y1 + f1 (t),
dt
dy2
= A2 y2 + f2 (t),
dt
(3.30)
(3.31)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.4. Лемма об устойчивости
47
где f1 (t), f2 (t) — ограниченные на [0, ∞) функции. Из оценки (3.28)
легко следует, что все решения системы (3.30) ограничены на [0, ∞)
и определяются формулой
∫t
y1 (t) = etA1 y1 (0) +
e(t−s)A1 f1 (s)ds.
0
Система (3.31) может иметь не более одного ограниченного на [0, ∞)
решения, так как однородная система
dy2
= A2 y2
dt
в силу оценки (3.29) не имеет ограниченных на [0, ∞) решений,
кроме нулевого. Общее решение системы (3.31) имеет вид
∫t
y2 (t) = etA2 y2 (0) +
e(t−s)A2 f2 (s)ds.
(3.32)
0
Умножая (3.32) на матрицу e−tA2 и переходя к пределу при t → ∞,
получаем, что начальное условие ограниченного на [0, ∞) решения
должно иметь вид
∫∞
y2 (0) = e−sA2 f2 (s)ds.
(3.33)
0
Поэтому ограниченное на [0, ∞) решение должно иметь представление
∫∞
y2 (t) = − e(t−s)A2 f2 (s)ds.
(3.34)
t
Оценка (3.29) показывает, что формула (3.34) действительно дает
единственное ограниченное на полуоси решение системы (3.31).
Возвратимся к задаче об ограниченных на положительной полуоси решениях систем (3.26),(3.27). Получим, что ограниченные при
t ≥ 0 решения систем (3.26), (3.27) — это решения системы инте-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
48
ГЛАВА 3. Леммы о регулярности и устойчивости
гральных уравнений
∫t
y1 (t) = etA1 y1 (0) −
∫∞
e(t−s)A1 (D(s, ε)y(s))1 ds,
0
e(t−s)A2 (D(s, ε)y(s))2 ds.
y2 (t) =
t
Таким образом, ограниченные на положительной полуоси решения
системы (3.25) совпадают с решениями системы интегральных уравнений
( tA
)
)
∫ t ( (t−s)A
1
e 1 0
e
0
y(t) =
y(0) −
D(s, ε)y(s)ds+
0 0
0
0
∫∞ (
+
0
0
0
(t−s)A2
0 e
)
D(s, ε)y(s)ds.
t
Пусть y 1 (t) и y 2 (t) — два таких решения системы (3.25), что y11 (0) =
y12 (0), |y 1 (t)|, |y 2 (t)| ≤ r0 при t ≥ 0. Тогда, учитывая оценки (3.28),
(3.29), получим
∫t
|y 1 (t) − y 2 (t)| ≤ M1
e−γ1 (t−s) |y 1 (s) − y 2 (s)|ds sup |D(t, ε)|+
0≤t<∞
0
∫∞
eγ2 (t−s) |y 1 (s) − y 2 (s)|ds sup |D(t, ε)|.
+M2
0≤t<∞
t
Следовательно,
[
]
M
M
1
2
|y 1 (t) − y 2 (t)| ≤
+
p(ε) sup |y 1 (t) − y 2 (t)|,
γ1
γ2
0≤t<∞
(3.35)
где p(ε) = sup0≤t<∞ |D(t, ε)| стремится к нулю при ε → 0. Поэтому ε
можно выбрать так, чтобы выполнялось неравенство
[
]
M1 M2
1
+
p(ε) < .
γ1
γ2
2
Тогда при этих ε из неравенства (3.35) следует, что
y 1 (t) ≡ y 2 (t).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.4. Лемма об устойчивости
49
Это означает, что среди решений системы (3.35) с фиксированным
y1 (0) (т.е. с фиксированными первыми k компонентами вектора начальных условий) нет более одного ограниченного на [0, ∞) с нормой, не превышающей r0 , решения. Таким образом, существует бесконечно много начальных значений из любой окрестности начала
координат, которым отвечают решения системы (3.35), выходящие
при некоторых t > 0 из шара |y| ≤ r0 . Значит, нулевое решение
системы (3.35) неустойчиво.
Лемма доказана.
Замечание 3.2. Отметим, что лемма об устойчивости часто применяется к системе (3.19), записанной в другом виде. Именно, перейдем в (3.19) к новому времени t = ετ . Тогда получим систему
dx
− εA(τ )x = 0.
dτ
(3.36)
Усредненная система во времени τ имеет вид
dx
− εA0 x = 0.
dτ
Очевидно, для системы (3.36) формулировка леммы об устойчивости не меняется. Если элементы матрицы A(τ ) — правильные пп
функции, то для доказательства леммы об устойчивости можно не
использовать лемму Боголюбова. В системе (3.36) нужно сделать
замену
x = y + εY (τ )y,
где выберем пп матрицу Y (τ ) с нулевым средним значением из равенства
dY
= A(τ ) − A0 .
dτ
Здесь постоянная матрица A0 составлена из средних значений элементов матрицы A(τ ).
Замечание 3.3. Отметим еще, что лемму об устойчивости можно
теми же рассуждениями получить для более общей системы
dx
− εA(t, ε)x = 0,
dt
где A(t, ε) — непрерывна по ε равномерно относительно t ∈ R и почти периодична по t равномерно относительно ε. Матрица A0 опре-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
50
ГЛАВА 3. Леммы о регулярности и устойчивости
деляется формулой
1
T →∞ T
∫T
A0 = lim
A(s, 0)ds.
0
Замечание 3.4. Легко видеть, что лемма об устойчивости имеет место для системы
dx
= εA(t)x,
dt
если элементы матрицы A(t) — T -периодические функции, которые
имеют конечное число точек разрыва первого рода (скачков) на периоде.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 4
Параметрический
резонанс в линейных
системах
4.1. Системы с одной степенью свободы.
Случай гладкого параметрического
возмущения
В качестве примера к лемме об устойчивости рассмотрим задачу
о параметрическом резонансе для уравнения
d2 x
+ ω 2 [1 + εf (t)]x = 0,
2
dt
(4.1)
где ω — вещественный параметр, ε > 0 — малый параметр, f (t) — почти периодическая или периодическая функция. При тех значениях
параметра ω, при которых нулевое решение уравнения (4.1) неустойчиво, это уравнение имеет неограниченные решения. Чтобы найти
эти значения параметра ω, воспользуемся леммой об устойчивости.
Будем предполагать, что f (t) = A cos λt, т.е. рассмотрим уравнение
Матье
d2 x
+ ω 2 [1 + εA cos λt]x = 0,
(4.2)
2
dt
где λ — вещественное число. Запишем уравнение (4.2) в виде
d2 x
+ ω 2 x = F (t),
2
dt
(4.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
52
ГЛАВА 4. Параметрический резонанс . . .
где F (t) = −εω 2 Ax cos λt. От уравнения (4.3) перейдем к системе с
помощью замены
x = a cos νt + b sin νt,
dx
= −aν sin νt + bν cos νt,
dt
(4.4)
где a, b — новые переменные. Частоту ν выберем позднее. Выполняя
замену, получим систему
db
da
cos νt + sin νt = 0,
dt
dt
da
db
− ν sin νt + ν cos νt − ν 2 (a cos νt + b sin νt) =
dt
dt
2
= −ω (a cos νt + b sin νt) − εω 2 A cos λt(a cos νt + b sin νt).
da db
Разрешая последнюю систему относительно производных
, , поdt
dt
лучим
da ( ω 2 − ν 2 )
=
(a cos νt sin νt + b sin2 νt)+
dt
ν
εω 2
+
A cos λt(a cos νt sin νt + b sin2 νt),
ν
(
db
ω2 − ν 2 )
=−
(a cos2 νt + b cos νt sin νt)−
dt
ν
2
εω
−
A cos λt(a cos2 νt + b cos νt sin νt).
ν
(4.5)
Будем предполагать, что ν 2 − ω 2 = εh, где h — некоторое число, называемое расстройкой. Тогда система (4.5) имеет вид системы (3.36),
и к ней применима лемма об устойчивости. Положим ν = λ2 и усредним по t правую часть системы (4.5). Получим усредненную систему
с постоянными коэффициентами
(
)
h
Aω 2
dā
=ε − −
b̄,
dt
2ν
4ν
(
)
(4.6)
db̄
h
Aω 2
=ε
−
ā.
dt
2ν
4ν
Собственные значения матрицы системы (4.6) определяются из уравнения
)
( 2
2 4
A
ω
h
−
s2 + ε2
= 0.
4ν 2
16ν 2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.1. Системы с одной степенью свободы. . . .
53
Если выполняется неравенство
h2
A2 ω 4
−
< 0,
(4.7)
4ν 2
16ν 2
то собственные значения матрицы усредненной системы будут вещественными разных знаков. Поэтому нулевое решение системы (4.6)
будет неустойчиво. В силу леммы об устойчивости при достаточно
малых ε нулевое решение системы (4.5) также неустойчиво. Следовательно, при достаточно малых ε неустойчиво и нулевое решение
уравнения (4.2). Подставляя значение h в неравенство (4.7), получим
A2 ω 4
(ν 2 − ω 2 )2
>
,
4
ε2
или
ε|A|ω 2
> |ν 2 − ω 2 |.
2
Последнее неравенство запишем в виде
(
)
(
)
|A|ε
|A|ε
ω2 1 −
< ν 2 < ω2 1 +
.
2
2
Учитывая, что 2ν = λ, c точностью до членов порядка ε получим
неравенство
(
)
(
)
|A|ε
|A|ε
2ω 1 −
< λ < 2ω 1 +
.
(4.8)
4
4
Таким образом, если частота возбуждения λ находится в интервале
(4.8), то в системе возникает главный резонанс, при котором амплитуда колебаний возрастает по экспоненциальному закону. Отметим,
что значение λ = 2ω лежит в интервале (4.8). Ввиду того, что этот
резонанс возникает в результате периодического изменения одного
из параметров колебательной системы, его называют параметрическим резонансом. Неравенство (4.8) определяет собой зону неустойчивости, внутри которой положение равновесия x = 0 уравнения
(4.2) неустойчиво.
Рассмотрим теперь уравнение с затуханием
d2 x
dx
+
εδ
+ ω 2 [1 + εA cos λt]x = 0,
(4.9)
2
dt
dt
где δ > 0. От уравнения (4.9) перейдем к системе с помощью замены
x = a cos νt + b sin νt,
dx
= −aν sin νt + bν cos νt.
dt
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
54
ГЛАВА 4. Параметрический резонанс . . .
где a, b — новые переменные. Частоту ν выберем позднее. Выполняя
эту замену, полагая ν = λ2 и усредняя по t, получим усредненную
систему
(
)
dā
h
Aω 2
εδ
=ε − −
b̄ − ā,
dt
2ν
4ν
2
(
)
(4.10)
db̄
h
Aω 2
εδ
=ε
−
ā − b̄.
dt
2ν
4ν
2
Собственные значения матрицы системы (4.10) определяются из уравнения
( 2
)
h2
A2 ω 4
2
2 δ
s + εδs + ε
+ 2−
= 0.
4
4ν
16ν 2
Нулевое решение системы (4.10) неустойчиво, если выполняется неравенство
A2 ω 4 δ 2
h2
−
> 2.
16ν 2
4
4ν
2
2
Учитывая, что εh = ν − ω , приходим к неравенству
(
)2
ε2 A2 ω 4
− ε2 δ 2 ν 2 > ν 2 − ω 2 .
4
Последнее неравенство с точностью до членов порядка ε можно записать в виде
√
√
( )2
A2
λ
A2
δ2
δ2
<1+ε
1−ε
− 2<
− 2.
(4.11)
4
ω
2ω
4
ω
Это неравенство в силу леммы об устойчивости и определяет зону
неустойчивости нулевого решения x = 0 уравнения (4.9).
Отметим, что для существования зоны неустойчивости должно
выполняться дополнительное неравенство
|A| >
2δ
.
|ω|
Таким образом, при наличии затухания зона неустойчивости появляется при более интенсивном параметрическом возбуждении.
В случае уравнения (4.9) из леммы об устойчивости следует, что
зона асимптотической устойчивости в первом приближении определяется неравенством
A2 ω 4 δ 2
h2
−
<
,
16ν 2
4
4ν 2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.2. Параметрический резонанс . . . . Системы с ударами
55
ÈAÈ
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
Λ2
0.0
1
4 Ω2
Рис. 4.1
так как при выполнении этого неравенства нулевое решение усредненного уравнения (4.10) асимптотически устойчиво.
На рисунке 4.1 приведены зоны неустойчивости, построенные согласно неравенствам (4.8) (темная и светлая области) и (4.11) (светлая область).
Упражнение 4.1. Найти зоны неустойчивости для уравнения (4.1),
если
a) f (t) = A1 sin t + A2 sin 3t,
√
b) f (t) = A1 cos t + A2 cos 2t.
4.2. Параметрический резонанс
в линейных системах с одной
степенью свободы. Системы с ударами
Рассмотрим задачу о параметрическом резонансе для уравнения
d2 x
+ ω 2 [1 + εf (t)]x = 0,
(4.12)
2
dt
где ω — вещественный параметр, ε > 0 — малый параметр, f (t) —
обобщенная периодическая функция с нулевым средним значением,
которая является обобщенной производной кусочно-непрерывной периодической функции с конечным числом точек разрыва на периоде.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
56
ГЛАВА 4. Параметрический резонанс . . .
Такое параметрическое воздействие выражается линейной комбинацией δ-функций Дирака. Линейная колебательная система подвергается параметрическому воздействию, сопровождающемуся ударами.
Обозначим через g(t) периодическую функцию, для которой
′
g (t) = f (t). От уравнения (4.12) перейдем к системе двух уравнений следующим образом. Введем переменную y по формуле
dx
= y − εω 2 g(t)x.
dt
С учетом уравнения (4.12) получаем
(4.13)
dy
= −ω 2 x + εω 2 g(t)y − ε2 ω 4 g 2 (t)x.
(4.14)
dt
Система уравнений (4.13), (4.14) эквивалентна исходному уравнению
(4.12).
Отметим, что правые части системы (4.13), (4.14) — периодические функции переменной t, которые имеют только конечное число
разрывов первого рода (конечных скачков) на периоде.
Переход от уравнения (4.12) к системе (4.13), (4.14) является
переходом от записи системы в форме уравнения Лагранжа к форме
записи в виде системы уравнений Гамильтона. Гамильтониан имеет
вид
]2
1
1[
H = ω 2 x2 + y − εω 2 g(t)x .
2
2
Легко видеть, что система
dx ∂H
=
,
dt
∂y
dy
∂H
=−
dt
∂x
совпадает с системой (4.13), (4.14). Коэффициенты в системе Гамильтона оказываются более гладкими, чем в уравнении Лагранжа.
Введем новые переменные a, b следующим образом:
x = a cos νt + b sin νt,
y = −aν sin νt + bν cos νt,
(4.15)
где частоту ν выберем позднее. Подставляя формулы замены (4.15)
в систему (4.13), (4.14), получим систему уравнений
da
db
cos νt + sin νt = −εω 2 g(t)(a cos νt + b sin νt),
dt
dt
da
db
− ν sin νt + ν cos νt − ν 2 [a cos νt + b sin νt] =
dt
dt
2
= −ω [a cos νt + b sin νt] + εω 2 g(t)(−aν sin νt + bν cos νt) + O(ε2 ).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.2. Параметрический резонанс . . . . Системы с ударами
57
da db
Разрешая последнюю систему относительно
,
по правилу Краdt dt
мера, получим систему уравнений
]
ν 2 − ω2 [ a
da
2
=−
sin 2νt + b sin νt − εω 2 g(t)×
dt
[ ν 2 2
]
× a(cos νt − sin2 νt) + b sin 2νt + O(ε2 ),
(4.16)
]
b
db ν 2 − ω 2 [
2
2
=
a cos νt + sin 2νt − εω g(t)×
dt
2
[ν
]
× a sin 2νt + b(− cos2 νt + sin2 νt) + O(ε2 ).
Будем предполагать, что ν 2 −ω 2 = εh, где h — некоторое число. Тогда
система (4.16) имеет вид системы (3.36). Если частота ν соизмерима с основной частотой ряда Фурье функции g(t), то правая часть
системы (4.16) представляет собой периодическую вектор-функцию
с конечным числом точек разрыва первого рода на периоде. Как отмечалось в предыдущей главе (замечание 3.4), к такой системе применима лемма об устойчивости.
Теперь, усредняя правые части полученной системы по t, получим
систему с постоянными коэффициентами, по которой сможем судить
об устойчивости решений системы (4.16) при достаточно малых ε.
Возьмем, например, в качестве обобщенной функции δ-периодическую функцию, которой соответствует ряд Фурье
f (t) ∼
∞
∑
cos(2k − 1)t.
k=1
Тогда функции g(t) соответствует ряд Фурье
g(t) ∼
∞
∑
sin(2k − 1)
k=1
2k − 1
.
Положим ν = 2k−1
2 . Усредним правую часть системы (4.16) по t.
Усредненные уравнения имеют вид
[(
) ]
h
ω2
dā
= −ε
+
b̄ ,
dt
2ν 2(2k − 1)
[(
) ]
(4.17)
db̄
h
ω2
=ε
−
ā .
dt
2ν 2(2k − 1)
Из неравенства
h2
ω4
−
<0
4ν 2 4(2k − 1)2
(4.18)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
58
ГЛАВА 4. Параметрический резонанс . . .
следует, что собственные значения матрицы системы (4.17) будут
вещественными разных знаков. Следовательно, нулевое решение системы (4.17) неустойчиво. В силу леммы об устойчивости при достаточно малых ε нулевое решение системы (4.16) также неустойчиво.
Поэтому при достаточно малых ε неустойчиво и нулевое решение
уравнения (4.11). Подставляя значение h в неравенство (4.18), получим
εω 2
2
2
|ν − ω | <
.
2
С точностью до членов порядка ε получим неравенство
(
(
ε)
ε)
2ω 1 −
< 2k − 1 < 2ω 1 +
.
(4.19)
4
4
Таким образом, если частота возбуждения 2k − 1 находится в интервале (4.19), то в системе возникает резонанс, при котором амплитуда колебаний возрастает по экспоненциальному закону. Неравенство
(4.19) определяет собой зону неустойчивости, внутри которой положение равновесия x = 0 уравнения (4.12) неустойчиво.
Если в качестве возбуждения взять кусочно-непрерывную функцию f (t) с рядом Фурье
f (t) ∼
∞
∑
sin(2k − 1)
k=1
2k − 1
,
то зона неустойчивости уменьшается для значений k > 1. Она имеет
вид
(
(
)
)
ε
ε
< 2k − 1 < 2ω 1 +
.
2ω 1 −
4(2k − 1)
4(2k − 1)
Еще меньше эта зона для дифференцируемой функции
f (t) =
∞
∑
sin(2k − 1)
k=1
(2k − 1)2
.
Однако для зоны главного резонанса (k = 1) все неравенства совпадают.
Аналогично исследуется возникновение параметрических колебаний в системе с затуханием под воздействием δ-периодического возбуждения.
Упражнение 4.2. Определить зоны неустойчивости для уравнения
(4.12) с учетом затухания, если функции g(t) соответствует ряд Фу-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.3. . . . . Простой и комбинационный резонансы
рье
∞
∑
sin kt
k=1
k
59
.
Отметим, что параметрические колебания в системах с ударами
исследовались во многих работах (см., например, Бабицкий, Крупенин [6, 7], Крупенин [50, 51], Нагаев, Ходжаев [70], Федорюк [93]).
Например, для уравнения вида
[
]
∞
2
∑
dx
+ k2 + A
δ(t − nω) x = 0,
2
dt
n=−∞
где δ(t) — функция Дирака, зоны устойчивости и неустойчивости
определяются точными, а не приближенными формулами.
4.3. Параметрический резонанс
в линейных системах с двумя
степенями свободы. Простой
и комбинационный резонансы
Рассмотрим теперь задачу о параметрическом резонансе в системе с двумя степенями свободы следующего специального вида:
d2 x1
+ λ2 ω12 x1 + ελ2 Ax2 cos 2t = 0,
2
dt
d2 x2
+ λ2 ω22 x2 + ελ2 Bx1 cos 2t = 0,
2
dt
(4.20)
где ε > 0 — малый параметр, λ, ω1 , ω2 , A, B — вещественные параметры. Система (4.20) демонстрирует все особенности параметрического резонанса в общих системах со многими степенями свободы.
Отметим только, что линейная гамильтонова система с двумя степенями свободы, соответствующая системе (4.20), имеет вид
dxi
∂H
=
,
dt
∂yi
dyi
∂H
=−
,
dt
∂xi
i = 1, 2
c гамильтонианом
1
1
H = (y12 + y22 ) + [λ2 (ω12 x21 + ω22 )x22 ] + ελ2 A(cos 2t)x1 x2 .
2
2
(4.21)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
60
ГЛАВА 4. Параметрический резонанс . . .
Система (4.21) отличается от системы (4.20) тем, что в ней A = B.
В системе (4.20) следует различать два случая — простой резонанс и комбинационный резонанс.
Простой резонанс
Простой резонанс соответствует близости частот собственных колебаний λω1 и λω2 .
От системы (4.20) перейдем к системе четырех уравнений первого
порядка с помощью замены
x1
ẋ1
x2
ẋ2
= a1 cos ν1 t + b1 sin ν1 t,
= −a1 ν1 sin ν1 t + b1 ν1 cos ν1 t,
= a2 cos ν2 t + b2 sin ν2 t,
= −a2 ν2 sin ν2 t + b2 ν2 cos ν2 t,
(4.22)
где a1 , b1 , a2 , b2 — новые переменные, а частоты ν1 , ν2 выберем
позднее. Выполняем замену (4.22) и разрешаем полученную систему
по правилу Крамера относительно ȧ1 , ḃ1 , ȧ2 , ḃ2 . Получим систему
)
(a
1
2
2 2
2
sin 2ν1 t + b1 sin ν1 t +
ȧ1 = (λ ω1 − ν1 )
2
+ ελ2 A cos 2t(a2 cos ν2 t + b2 sin ν2 t) sin ν1 t,
(
)
b1
2
2 2
2
ḃ1 = (ν1 − λ ω1 ) a1 cos ν1 t + sin 2ν1 t −
2
2
− ελ A cos 2t(a2 cos ν2 t + b2 sin ν2 t) cos ν1 t,
(a
)
(4.23)
2
2 2
2
2
ȧ2 = (λ ω2 − ν2 )
sin 2ν2 t + b2 sin ν2 t +
2
+ ελ2 B cos 2t(a1 cos ν1 t + b1 sin ν1 ) sin ν2 t,
(
)
b2
2
2 2
2
ḃ2 = (ν2 − λ ω2 ) a2 cos ν2 t + sin 2ν2 t −
2
2
− ελ B cos 2t(a1 cos ν1 t + b1 sin ν1 ) cos ν2 t.
Полагаем ν1 = ν2 = 1. Тогда система (4.23) принимает вид
(a
)
1
2 2
2
ȧ1 = (λ ω1 − 1)
sin 2t + b1 sin t +
2(
)
a2
2
2
sin 2t + b2 sin t ,
+ ελ A cos 2t
2
)
(
b1
2 2
2
ḃ1 = (1 − λ ω1 ) a1 cos t + sin 2t −
2
(
)
b2
2
2
− ελ A cos 2t a2 cos t + sin 2t ,
2
(4.24)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.3. . . . . Простой и комбинационный резонансы
61
(a
)
2
2
ȧ2 =
− 1)
sin 2t + b2 sin t +
2(
)
a1
2
2
+ ελ B cos 2t
sin 2t + b1 sin t ,
2
(
)
b2
2 2
2
ḃ2 = (1 − λ ω2 ) a2 cos t + sin 2t −
2
(
)
b1
2
2
− ελ B cos 2t a1 cos t + sin 2t .
2
(λ2 ω22
Положим
1 − λ2 ω12 = εh1 ,
1 − λ2 ω22 = εh2 ,
где h1 , h2 — постоянные. Тогда к системе (4.24) применима лемма об устойчивости. Усредняя систему (4.24), получим усредненную
систему
[ h
A ]
1
2
ā˙ 1 = ε − b̄1 − λ b̄2 ,
2
4
[h
]
A
˙b̄ = ε 1 ā − λ2 ā ,
1
1
2
2
4
(4.25)
[ h
B ]
2
2
ā˙ 2 = ε − b̄2 − λ b̄1 ,
2
4
[h
]
˙b̄ = ε 2 ā − λ2 B ā .
2
2
1
2
4
Собственные значения матрицы системы (4.25) определяются из уравнения
(
)
(
)2
h21 + h22 2
h1 h2
4
2
4 AB
4
4 AB
= 0.
(4.26)
s −ε λ
−
s +ε λ
−
8
4
16
4
Уравнение (4.26) имеет корни, лежащие в правой полуплоскости комплексной плоскости, если выполнено неравенство
λ4
AB h21 + h22
−
> 0.
8
4
(4.27)
Учитывая формулы для “расстроек” h1 , h2 , получаем неравенство
(1 − λ2 ω12 )2 (1 − λ2 ω22 )2
λ
>
.
2
ε4
4 AB
(4.28)
При выполнении неравенства (4.28) нулевое решение усредненной
системы (4.25) неустойчиво. В силу леммы об устойчивости при
достаточно малых ε будет неустойчиво нулевое решение системы
(4.23), а, следовательно, при достаточно малых ε будет неустойчиво
нулевое решение системы (4.20).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
62
ГЛАВА 4. Параметрический резонанс . . .
Отметим, что неравенство (4.28) выполнено, если только числа A
и B одного знака. В частности, оно выполняется для гамильтоновой
системы (4.21). Следовательно, для этой системы существует область неустойчивости, определяемая резонансными соотношениями
λω1 = λω2 = 1.
Комбинационный резонанс
Вернемся к системе (4.20) и снова сделаем замену (4.22). Комбинационные резонансы задаются соотношениями
λω1 = ±λω2 + 2.
(4.29)
Будем предполагать для определенности, что выполнено резонансное
соотношение
λ(ω1 + ω2 ) = 2.
(4.30)
В системе (4.23) положим ν1 = 2 − λω2 , ν2 = 2 − λω1 и введем
расстройки
εh1 = (2 − λω2 )2 − λ2 ω12 ,
εh2 = (2 − λω1 )2 − λ2 ω22 .
Теперь к системе (4.24) можно применить лемму об устойчивости.
Усредним систему (4.24), учитывая при этом, что
ν1 + ν2 = 4 − λ(ω1 + ω2 ) = 2.
Мы получим в точности систему (4.25). Поэтому нулевое решение
системы (4.20) при достаточно малых ε будет неустойчиво, если выполняется неравенство (4.27), которое в случае резонанса (4.30) имеет вид
λ4
[(2 − λω2 )2 − λ2 ω12 ]2 [(2 − λω1 )2 − λ2 ω22 ]2
AB
>
.
2
ε4
(4.31)
Из неравенства (4.31) следует, как и в случае простого резонанса,
что числа A и B должны иметь одинаковые знаки.
Упражнение 4.3. Пусть выполняется резонансное соотношение
λ(ω1 − ω2 ) = 2.
Показать, что в этом случае параметрический резонанс имеет место,
если знаки чисел A и B различны. Выписать неравенство, определяющее область неустойчивости.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.4. Параметрические колебания струны
63
4.4. Параметрические колебания струны
Мельде в 1860 году (см. [56], [86, cтатья 68b]) описал эксперимент, в котором можно получить параметрические колебания натянутой струны. Если струна натянута между неподвижной точкой и
камертоном, то удар по камертону приводит к тому, что натяжение
струны, зависящее от колебаний камертона, будет меняться периодически. Если при этом собственная частота камертона вдвое больше
основной частоты колебаний струны, то амплитуда основных колебаний струны может сильно возрастать. Приведем математическое
описание этого явления.
Предположим, что натяжение струны является периодической
функцией времени. Тогда уравнение струны с учетом сопротивления
можно записать в виде
utt (t, x) + mut (t, x) = c(t)uxx (t, x),
(4.32)
где m > 0, c(t) — положительная периодическая функция с периодом
T . Мы будем предполагать, что
c(t) = c20 (1 + b cos λt),
где
T0
.
ρ0
Здесь T0 — напряжение при отсутствии периодического возмущения,
ρ0 — плотность струны. Струна закреплена в точках x = 0 и x = l.
Ищем решение уравнения (4.32) в виде u(t, x) = T (t)X(x). Тогда
мы получим
c20 =
T ′′ (t)X(x) + mT ′ (t)X(x) = c(t)T (t)X ′′ (x).
Разделяя переменные, придем к уравнениям
T ′′ (t) + mT ′ (t) + k 2 c20 (1 + b cos λt)T (t) = 0,
X ′′ (x) + k 2 X(x) = 0.
Так как X(0) = X(l) = 0 (концы струны закреплены), то
Xk (x) = sin
kπ
x
l
и, следовательно, значения параметра k определяются формулами
k=
nπ
,
l
n = 1, 2, . . . .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
64
ГЛАВА 4. Параметрический резонанс . . .
Таким образом, уравнение для T (t) принимает вид
T ′′ (t) + mT ′ (t) + ω 2 (1 + b cos λt)T (t) = 0,
(4.33)
где ω = nπ
l c0 . При отсутствии затухания (m = 0) уравнение (4.33)
представляет собой известное уравнение Матье. Рассмотрим этот
случай.
Исследуем поведение решений уравнения (4.33), предполагая, что
b = εA, где ε > 0 — малый параметр. Положим T (t) = x(t). Приходим
к уравнению
d2 x
+ ω 2 (1 + εA cos λt)x(t) = 0.
(4.34)
2
dx
Это уравнение совпадает с уравнением (4.2). Следовательно, зона
параметрического резонанса для уравнения (4.34) определяется формулой (4.8)
)
(
)
(
|A|ε
|A|ε
< λ < 2ω 1 +
.
2ω 1 −
4
4
В исходных переменных это неравенство выглядит следующим образом:
(
)
(
)
2nπ
|b|
2nπ
|b|
c0 1 −
<λ<
c0 1 +
.
(4.35)
l
4
l
4
Возвращаясь к волновому уравнению (4.32), получим, что при частоте λ, удовлетворяющей неравенству (4.35), и достаточно малом ε
амплитуда соответствующей стоячей волны
T (t) sin
kπ
x,
l
экспоненциально возрастает при t → ∞.
В присутствии затухания m = εδ мы приходим к исследованию
уравнения (4.9), и зона параметрического резонанса определяется
неравенством
√
√
(
)2 (
)2
(
)2
2
ml
λl
ml
b
b2
1−
−
<
<1+
−
.
4
πnc0
2πnc0
4
πnc0
Можно также указать зону, в которой решение T (t) асимптотически устойчиво. При значении параметров из этой зоны амплитуда
стоячей волны
kπ
T (t) sin x
l
будет стремиться к нулю при t → ∞.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.4. Параметрические колебания струны
65
Упражнение 4.4. Найти условия, при которых амплитуда стоячей
волны стремится к нулю при t → ∞.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 5
Высшие приближения
метода усреднения
для линейных уравнений.
Задача устойчивости.
Метод И.З. Штокало
5.1. Постановка задачи
Лемма об устойчивости дает ответ, если у матрицы усредненной
системы все собственные значения имеют ненулевые вещественные
части. Допустим, что у матрицы A0 , составленной из средних значений элементов матрицы A(t), нет собственных значений с положительной вещественной частью, но есть собственные значения с
нулевой вещественной частью. В этом случае исследование устойчивости нулевого решения системы
dx
= εA(t)x
dt
становится более сложной задачей.
В этой главе будет изложен метод И.З. Штокало (см. [103, 104])
исследования устойчивости систем с пп коэффициентами, близкими
к постоянным.
Мы рассмотрим вопрос об исследовании устойчивости нулевого
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.2. Преобразование основной системы
67
решения системы
m
)
∑
dx (
k
m+1
= A+
ε Ak (t) + ε
F (t, ε) x,
dt
(5.1)
k=1
где ε > 0 — малый параметр, A — постоянная квадратная матрица
порядка n, Ak (t), k = 1, . . . , m — квадратные матрицы порядка n,
которые представимы в виде
Ak (t) =
r
∑
Ckl eiλl t .
l=1
Здесь Ckl — постоянные матрицы, λl — вещественные числа. Иначе
говоря, элементы матриц Ak (t) — тригонометрические многочлены с
произвольным набором частот λl , l = 1, . . . , r.
Будем в дальнейшем говорить, что матрицы Ak (t) принадлежат
классу Σ. Элементы матрицы F (t, ε) — функции, которые почти периодичны по t равномерно относительно ε и непрерывны по ε равномерно относительно t ∈ R.
Будем предполагать, что все собственные значения матрицы A
имеют неположительные вещественные части и у матрицы A есть
собственные значения с нулевой вещественной частью.
5.2. Преобразование основной системы
Изложим алгоритм исследования устойчивости нулевого решения системы (5.1), принадлежащий И.З. Штокало. Для исследования
устойчивости естественно искать такую замену переменных, после
которой система (5.1) запишется в виде
m
)
∑
dy (
k
m+1
= A+
ε Bk + ε
G(t, ε) y,
dt
(5.2)
k=1
где Bk — постоянные матрицы, а матрица G(t, ε) обладает теми же
свойствами, что и матрица F (t, ε).
Будем предполагать, что матрица A имеет каноническую форму
Жордана. Тогда без ограничения общности можно считать, что все
собственные значения матрицы A вещественны. Действительно, если
у матрицы A есть комплексные собственные значения, то произведем
в системе (5.1) замену переменных
x = eiRt z,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
68
ГЛАВА 5. Высшие приближения . . . . Метод И.З. Штокало
где R — диагональная матрица, составленная из мнимых частей собственных значений матрицы A. Эта замена с ограниченными по t
коэффициентами переводит матрицу A в матрицу A − iR, у которой все собственные значения вещественны. Замена не влияет на
устойчивость решений рассматриваемой системы, и матрицы Ak (t)
по-прежнему будут принадлежать классу Σ.
Следуя Боголюбову–Штокало, замену, переводящую (5.1) в (5.2),
будем искать в виде
(
x= I+
m
∑
)
ε Yk (t) y,
k
(5.3)
k=1
где I — единичная матрица, Yk (t) (k = 1, 2, . . . , m) — квадратные
матрицы порядка n, принадлежащие классу Σ. Подставляя формулу
dy
замены (5.3) в (5.1) и заменяя
на правую часть системы (5.2),
dt
получим
m
m
m
(
)(
)
(
)
∑
∑
∑
k
k
m+1
k
I+
ε Yk (t) A +
ε Bk y + ε
I+
ε Yk (t) F (t, ε)y+
+
m
(∑
k=1
где
k=1
k dYk (t)
ε
dt
k=1
m
∑
) (
y= A +
)(
ε Ak (t) I +
k
k=1
m
∑
k=1
)
ε Yk (t) y+εm+1 U (t, ε)y,
k
k=1
m
(
)
∑
k
U (t, ε) = F (t, ε) I +
ε Yk (t) .
k=1
Приравнивая слагаемые слева и справа при одинаковых степенях
ε, находим матричные уравнения для одновременного определения
матриц Bi , Yi (t) (i = 1, 2, . . . m)
dY1
+ Y1 A − AY1 = A1 (t) − B1 ,
dt
dY2
+ Y2 A − AY2 = A2 (t) − Y1 (t)B1 + A1 (t)Y1 (t) − B2 ,
dt
...
m−1
∑
dYm
+ Ym A − AYm = Am (t) −
Ym−k (t)Bk +
dt
k=1
+
m−1
∑
k=1
Ak (t)Ym−k (t) − Bm .
(5.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.2. Преобразование основной системы
69
Рассмотрим вопрос о разрешимости первого из матричных уравнений. В качестве матрицы B1 выбираем матрицу, составленную из
средних значений элементов матрицы A1 (t). Тогда матрица Y1 (t) однозначно определится как матрица класса Σ c нулевым средним значением. Действительно, ищем матрицу Y1 (t) в виде
Y1 (t) =
r
∑
Dl eiλl t ,
l=1
а матрицы Dl подлежат определению. Подставляя эту формулу в
матричное уравнение, получаем уравнение для определения матрицы
Dl :
(iλl I − A)Dl + Dl A = C1l .
(5.5)
Так как матрица A имеет только вещественные собственные значения, то спектр матриц (iλl I − A) и (−A) не пересекается. Поэтому
матричное уравнение (5.5) (см., например, [34,37]) имеет единственное решение. Все последующие матричные уравнения имеют ту же
структуру. Матрицы Bi (i = 2, . . . , m) определяются как средние
значения правых частей соответствующих матричных уравнений, а
для определения элементов матриц Yi (t), принадлежащих классу Σ
и имеющих нулевое среднее значение, получаются матричные уравнения вида (5.5). Итак, матрицы Bi , Yi (t) (i = 1, 2, . . . , m) однозначно
определяются. Теперь уже нетрудно показать, что замена (5.3) переводит систему (5.1) в систему (5.2). Подставив (5.3) в (5.1), получим
m
m
(
) dy (∑
)
∑
k
k dYk
I+
ε Yk (t)
+
ε
y=
dt
dt
k=1
k=1
m
m
(
)(
)
∑
∑
k
k
= A+
ε Ak (t) I +
ε Yk (t) y + εm+1 U (t, ε)y.
k=1
k=1
Последнее равенство может быть представлено в виде
m
)( dy (
∑
) )
k
− A+
ε Bk y =
I+
ε Yk (t)
dt
k=1
k=1
m
m
m
)
(
)(
) (∑
∑
∑
k
k
k dYk
y+
= A+
ε Ak (t) I +
ε Yk (t) y−
ε
dt
k=1
k=1
k=1
m
m
)
)(
(
∑
∑
k
k
m+1
ε Yk (t) A +
ε Bk y.
+ε
U (t, ε)y − I +
(
m
∑
k
k=1
k=1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
70
ГЛАВА 5. Высшие приближения . . . . Метод И.З. Штокало
Приняв во внимание матричные равенства (5.4), получаем
(
I+
m
∑
k=1
m
)( dy (
∑
) )
k
ε Yk (t)
− A+
ε Bk y = εm+1 S(t, ε)y,
dt
k
k=1
где S(t, ε) обладает теми же свойствами, что и F (t, ε) Следовательно, система (5.1) при достаточно малых ε с помощью замены (5.3)
переходит в систему
m
)
∑
dy (
k
m+1
= A+
ε Bk + ε
G(t, ε) y,
dt
(5.6)
k=1
где
m
(
)−1
∑
k
G(t, ε) = I +
ε Yk (t)
S(t, ε)y.
k=1
5.3. Замечание о периодическом случае
Обозначим через ΣT класс квадратных матриц порядка n, элементами которых являются непрерывные периодические функции с
периодом T . Совокупность матриц из этого класса, имеющих нулевое среднее значение, обозначим через Σ0T .
Если исходная система (5.1) имеет вид
m
)
∑
dx (
k
m+1
= A+
ε Ak (t) + ε
F (t, ε) x,
dt
k=1
где A — постоянная матрица, матрицы Ak (t), k = 1, 2, . . . , m принадлежат классу ΣT , элементы матрицы F (t, ε) периодичны по t с
периодом T и непрерывны по совокупности переменных. Тогда систему (5.1) можно преобразовать к виду (5.2) c помощью замены
(5.3), где матрицы Yk (t), k = 1, 2, . . . , m принадлежат классу ΣT и
имеют нулевое среднее значение.
В этом случае на постоянную матрицу A нужно наложить менее
ограничительное условие. Именно будем предполагать, что выполнено условие.
Условие Γ: Все собственные числа матрицы A таковы, что
λj − λk ̸=
2πil
,
T
l = ±1, ±2, . . . .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.3. Замечание о периодическом случае
71
Изложенное далее доказательство принадлежит П.Н. Нестерову
[72].
Утверждение будет установлено, если мы покажем, что матричное
дифференциальное уравнение
dY
+ Y A − AY = G(t),
dt
(5.7)
где A — некоторая постоянная матрица, удовлетворяющая условию
Γ, G(t) ∈ Σ0T — заданная матрица, имеет единственное решение
Y (t) ∈ Σ0T .
Можно считать, что матрица A имеет каноническую форму. В
самом деле, предположим сначала, что матрица A — диагональная.
Система (5.7) распадается на n2 скалярных уравнений вида
(5.8)
ẏkk = gkk (t)
и
ẏkl + (λl − λk )ykl = gkl (t),
k ̸= l,
(5.9)
где λk , λl — собственные значения матрицы A. Очевидно, уравнение (5.8) имеет единственное T -периодическое решение с нулевым
средним значением. Неоднородное уравнение (5.9) имеет единственное T -периодическое решение, если однородное уравнение не имеет
нетривиальных T -периодических решений. Легко видеть, что однородное уравнение обладает этим свойством, если
λk − λl ̸=
2πm
i,
T
m = ±1, ±2, . . . .
Рассмотрим теперь случай, когда матрица A содержит клетки
Жордана. Пусть собственному значению λk соответствует клетка
Жордана порядка 2:
(
)
λk 1
Jk =
.
0 λk
Обозначим через Yk (t) квадратную матрицу порядка 2 с элементами
yk1 , yk2 , yk+1,1 , yk+1,2 , т.е.
)
(
yk1
yk2
.
Yk (t) =
yk+1,1 yk+1,2
Тогда система
dYk
+ Yk Jk − Jk Yk = Gk (t),
dt
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
72
ГЛАВА 5. Высшие приближения . . . . Метод И.З. Штокало
где Gk ∈ Σ0t (t) — квадратная матрица порядка 2, распадается на
четыре скалярных уравнения
ẏk1 − yk+1,1 = gk1 ,
ẏk+1,1 = gk+1,1 ,
ẏk2 + yk1 − yk+1,2 = gk2 ,
ẏk+1,2 + yk+1,1 = gk+1,2 .
Из третьего уравнения функция yk+1,1 однозначно определяется как
функция, принадлежащая Σ0T . Это позволяет найти функции yk1 и
yk+1,2 из первого и четвертого уравнений соответственно с теми же
свойствами, что и функция yk+1,1 . Затем из второго уравнения определяется функция yk2 ∈ Σ0T .
Рассмотренный случай моделирует общую ситуацию.
Пусть матрица A состоит из жордановых блоков Jλ1 , Jλ2 , . . . , Jλk
размеров n1 × n1 , n2 × n2 , . . . , nk × nk соответственно. Разобьем теперь
матрицу Y (t) на блоки размером ni × nj , т.е.
 n1

n2
nk
z}|{ z}|{
z}|{
 Y11 Y12 . . . Y1k }n1 


Y21 Y22 . . . Y2k }n2  .
Y (t) = 
 .

..
..
...
 ..

.
.
Yk1 Yk2 . . . Ykk }nk
Таким образом блочная матрица Yij имеет размеры ni × nj , где
i, j = 1, . . . , k. Аналогичное разбиение осуществим и для матрицы
G(t). Пользуясь правилами оперирования с блочными матрицами
(см., например, [34]), приходим к выводу, что система (5.7) распадается на k 2 независимых подсистем, из которых определяются
матрицы Yij . Именно,
Ẏij + Yij Jλj − Jλi Yij = Gij (t).
(5.10)
Эта система состоит из ni nj скалярных уравнений, из которых опре(ij)
деляются элементы yps матрицы Yij , где p = 1, . . . , ni и s = 1, . . . , nj .
Для сокращения записи мы не будем указывать зависимость элемента yps от индексов i и j. Итак, yps — это элемент, стоящий на
пересечении p-ой строки и s-ого столбца в матрице Yij . Заметим,
что
Jλl = λl Inl + Enl ,
l = 1, . . . , k,
где Inl — единичная матрица размера nl × nl , а Enl — матрица такого
же размера, у которой отличны от нуля (равны 1) только элементы, стоящие на диагонали, находящейся над главной диагональю. С
учетом этого система (5.10) запишется следующим образом:
Ẏij + (λj − λi )Yij + Uij = Gij (t),
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.4. Устойчивость решений . . .
73
где
Uij = Yij Enj − Eni Yij .
Простой подсчет показывает, что

−y21
y11 − y22
 −y31
y21 − y32
 .
..
.
Uij = 
.
 .
−yn 1 y(n −1)1 − yn 2
i
i
i
0
y ni 1

...
y1(nj −1) − y2nj
...
y2(nj −1) − y3nj 

..
.
...
.

. . . y(ni −1)(nj −1) − yni nj 
...
yni (nj −1)
Так как uni 1 = 0, то для определения yni 1 мы получаем скалярное
уравнение
ẏni 1 + (λj − λi )yni 1 = fni 1 (t),
которое имеет решение, принадлежащее Σ0T , в силу условия Γ. Далее, для yni 2 имеем уравнение
ẏni 2 + (λj − λi )yni 2 = gni 2 (t) − yni 1 .
Поскольку yni 1 нами уже найдена, и она принадлежит классу Σ0T , то
функция gni 2 (t)−yni 1 также принадлежит классу Σ0T . Продолжая аналогично, находим последовательно все элементы последней строки
матрицы Yij . Переходим теперь к предпоследней строке. Все составляющие элементов (ni − 1)-ой строки матрицы Uij со знаком минус
нами определены на предыдущем шаге. Теперь, если мы будем двигаться слева направо, то мы последовательно найдем все элементы
(ni − 1)-ой строки матрицы Yij . Поднимаясь каждый раз на строчку
выше, мы постепенно находим все элементы матрицы Yij .
5.4. Устойчивость решений системы
линейных дифференциальных
уравнений с пп коэффициентами,
близкими к постоянным
Очевидно, вопросы об устойчивости нулевого решения систем
(5.1) и (5.6) эквивалентны.
Кажется естественным считать, что асимптотическая устойчивость или неустойчивость нулевого решения системы
0
)
∑
dy (
k
= A+
ε Bk y,
dt
m
k=1
m0 < m
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
74
ГЛАВА 5. Высшие приближения . . . . Метод И.З. Штокало
влечет асимптотическую устойчивость или неустойчивость нулевого
решения системы (5.6). Опасности, которые здесь могут подстерегать, демонстрирует следующий пример (см. [47]).
Рассмотрим двумерную систему дифференциальных уравнений
dx
+ εA(ε)x = 0,
dt
где
(
A(ε) =
0 1
0 0
)
(
+ε
Пусть
(
A1 (ε) =
)
1 0
0 1
0 1
0 0
+
∞
∑
(5.11)
(
εj
j=2
)
(
+ε
1 0
0 1
−(−1)j 0
(−1)j 0
)
.
)
(5.12)
,
а при k ≥ 2
Ak (ε) = A1 (ε) +
k
∑
j=2
(
εj
−(−1)j 0
(−1)j 0
)
.
(5.13)
Обозначим, далее, через λ1k и λ2k , (k = 1, 2, . . .) собственные значения матриц (5.12) и (5.13). Легко проверить, что
λ11 = λ21 = ε,
а при k ≥ 2
λ1k (ε) = 2ε + o(ε),
(−1)k k
λ2k (ε) = −
ε + o(εk ).
2
Тем самым решения дифференциального уравнения (5.11) асимптотически устойчивы при нечетных k и неустойчивы при четных k,
если ε достаточно мало.
Рассмотренный пример показывает, что необходимо ввести дополнительные ограничения при исследовании устойчивости системы
где Am (ε) =
∑m
k
k=1 ε Ak
dx
= Am (ε)x,
dt
(5.14)
и Ak (k = 1, 2, . . . , m) — постоянные матрицы.
Определение 5.1. Назовем систему уравнений (5.14) сильно устойчивой (неустойчивой), если по каждому R > 0 можно указать такое
ε(R) > 0, что при любом 0 < ε ≤ ε(R) решения каждой из систем
dx
= Am (ε)x + εm+1 Dx
dt
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.4. Устойчивость решений . . .
75
устойчивы (неустойчивы), какова бы ни была матрица D, норма которой не превосходит R. Будем говорить, что алгоритм исследования
устойчивости завершается, если существует такое m0 , для которого
система дифференциальных уравнений
dx
= Am0 (ε)x
dt
(5.15)
была бы либо сильно устойчива, либо сильно неустойчива.
Отметим, что каждое из этих свойств инвариантно относительно выбора m0 . Это непосредственно следует из определений. Теперь
можно сформулировать основную теорему.
Теорема 5.1. Пусть алгоритм может быть завершен. Тогда найдется такое ε0 > 0, что при 0 < ε < ε0 решения системы дифференциальных уравнений (5.1) асимптотически устойчивы или
неустойчивы в зависимости от аналогичных свойств решений системы дифференциальных уравнений (5.15).
В заключение отметим, что о свойстве сильной устойчивости или
сильной неустойчивости системы (5.14) можно судить, применяя любой критерий устойчивости системы дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами. Дополнительно только нужно следить, чтобы на факт устойчивости не влияли добавки (m+1)-порядка
малости относительно ε.
В случае периодических коэффициентов, как мы видели, требование на спектр матрицы A системы (5.2) можно ослабить. Именно, не надо предполагать, что все собственные значения матрицы A
вещественны. Должно только выполняться условие Γ предыдущего
параграфа. Подробное изложение алгоритма исследования устойчивости нулевого решения системы (5.1) в случае, когда матрицы Ak (t)
являются T -периодическими, содержится в книге Розо [80, глава 14].
Недостатком метода И.З. Штокало является необходимость замены, которая переводит исходную невозмущенную матрицу A в
матрицу с вещественными собственными значениями. Это затрудняет распространение вышеуказанного метода на дифференциальные
уравнения с распределенными параметрами.
В работе Колесова и Майорова [46] предложен новый эффективный алгоритм исследования устойчивости системы (5.1), который не
требует преобразования исходной матрицы A в матрицу с вещественными собственными значениями. Этот алгоритм мы не будем здесь
излагать.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
76
ГЛАВА 5. Высшие приближения . . . . Метод И.З. Штокало
5.5. Пример. Обобщенное уравнение Хилла
В качестве примера рассмотрим уравнение
d2 x
dx
+
εc
+ εf (t, ε)x = 0,
dt2
dt
(5.16)
где ε — малый положительный параметр, c∑— положительная постоянная, f (t, ε) = q(t) − ερ2 . Функция q(t) = rk=1 ak cos ωk t — тригонометрический многочлен с нулевым средним значением, ak — вещественные числа, ρ2 — положительная постоянная. Исследуем вопрос
об устойчивости нулевого решения
√ уравнения (5.16) при достаточно
малых ε. Введем параметр µ = ε и запишем уравнение (5.16) в
виде системы
dx
= µy
dt
dy
= −µq(t)x − µ2 cy + µ3 ρ2 x.
dt
(5.17)
Система (5.17) — это система типа системы (5.1) с нулевой матрицей
A. Усредненная система первого приближения такова
dz
= µB1 z,
dt
где матрица B1 имеет вид
(
B1 =
0 1
0 0
(5.18)
)
(5.19)
.
Матрица B1 имеет нулевое собственное значение, и лемма об устойчивости неприменима. Используем алгоритм И.З. Штокало. Для матрицы Y1 (t) из системы (5.4) получаем уравнение
dY1
= A1 (t) − B1 ,
dt
(
где
A1 (t) =
0
1
−q(t) 0
)
.
Отсюда, как мы уже видели, матрица B1 имеет вид (5.19). Тогда
матрица Y1 (t) имеет вид
(
)
0
0
Y1 (t) =
,
−q̃(t) 0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.5. Пример. Обобщенное уравнение Хилла
где
q̃(t) =
r
∑
ak sin ωk t
k=1
ωk
77
.
Из системы (5.4) получаем, что матрица B2 определяется как среднее значение матрицы
A1 (t)Y1 (t) − Y1 (t)B1 + A2 (t),
(
где
A2 (t) =
0 0
0 −c
)
является постоянной матрицей. Легко видеть, что B2 ≡ A2 (t), так
как среднее значение функции q̃(t) равно нулю, и матрица B1 + µB2
равна
(
)
0 1
B1 + µB2 =
.
0 −µc
Эта матрица также имеет нулевое собственное значение. Поэтому
нужно найти матрицу B3 . Вычислим сначала матрицу Y2 (t). Так как
(
)
−q̃(t) 0
A1 (t)Y1 (t) =
0
0
и
то
dY2 (t)
= A1 (t)Y1 (t) + A2 (t) − Y1 (t)B1 − B2 ,
dt
(
)
q̄(t)
0
Y2 (t) =
,
0 −q̄(t)
где
q̄(t) =
ak cos ωk t
.
ωk2
Из (5.4) получаем, что B3 определяется как среднее значение матрицы
A3 (t) − Y2 (t)B1 − Y1 (t)B2 + A1 (t)Y2 (t) + A2 (t)Y1 (t).
(5.20)
Легко видеть, что матрица A2 (t)Y1 (t) имеет нулевое среднее значение. Средние значения второго и третьего слагаемых также равны
нулю. Матрица B3 выглядит следующим образом:
)
(
r
∑
a2k
0
0
,
q0 =
B3 =
.
ρ2 − q0 0
2ωk2
k=1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
78
ГЛАВА 5. Высшие приближения . . . . Метод И.З. Штокало
Матрица B1 + µB2 + µ2 B3 имеет вид
(
)
0
1
.
µ2 (ρ2 − q0 ) −µc
След этой матрицы отрицательный. Собственные значения матрицы
B1 +µB2 +µ2 B3 будут иметь отрицательные вещественные части, если
определитель этой матрицы положительный, т.е. если выполняется
неравенство
r
∑
a2k
2
> 0.
(5.21)
−ρ +
2ωk2
k=1
Поэтому нулевое решение системы
dz
= (µB1 + µ2 B2 + µ3 B3 )z
dt
асимптотически устойчиво, если выполнено неравенство (5.21). Вычислив B4 , увидим, что дополнительное слагаемое более высокого
порядка малости появится во второй строке матрицы
B1 + µB2 + µ2 B3 + µ3 B4 .
Поэтому возмущение не окажет влияния на свойство асимптотической устойчивости. На каждом следующем шаге могут добавиться слагаемые только во второй строке матрицы, что не повлияет
на устойчивость. Следовательно, нулевое решение уравнения (5.16)
асимптотически устойчиво при достаточно малых ε, если выполнено
неравенство (5.21), и неустойчиво, если выполняется неравенство
r
∑
a2k
−ρ +
< 0.
2ωk2
2
k=1
От уравнения (5.16) можно перейти к системе более естественным образом, не вводя параметр µ. Получим систему
dx
= y,
dt
dy
= −εq(t)x − εcy + ε2 ρ2 x,
dt
т.е. систему вида
dz
= (A + εA1 (t) + ε2 A2 (t))z.
dt
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.5. Пример. Обобщенное уравнение Хилла
Матрица A имеет вид
(
A=
0 1
0 0
79
)
и лемма об устойчивости неприменима. Для отыскания матриц B1 и
Y1 (t) получаем матричную систему
dY1
+ Y1 A − AY1 = A1 (t) − B1 .
dt
Матрица B1 определяется как среднее значение матрицы A1 (t) и
имеет вид
(
)
0 0
B1 =
.
0 −c
Для отыскания элементов yij (t) матрицы Y1 (t) получаем дифференциальные уравнения
′
y11
−y21 = 0,
′
y12
+y11 −y22 = 0,
′
y21
+q(t) = 0,
′
y22
+y21 = 0. (5.22)
Решая их и выбирая в качестве решений пп многочлены с нулевым
средним значением, получаем
(
∫
)
q̄(t) −2 q̄(t)dt
Y1 (t) =
,
−q̃(t)
−q̄(t)
∫
где символом обозначена первообразная с нулевым средним значением. Теперь легко видеть, что матрица B2 определяется как среднее
значение матрицы A2 (t) + A1 (t)Y1 (t) (остальные слагаемые имеют нулевые средние значения). Для матрицы B2 получаем выражение
)
(
0
0
.
B2 =
ρ2 − q0 0
Условия асимптотической устойчивости нулевого решения системы
dy
= (A + εB1 + ε2 B2 )y
dt
совпадают с неравенством (5.21).
Отметим, что в последнем случае нам достаточно было найти
второе приближение. Однако необходимо было решать дифференциальные уравнения (5.22).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
80
ГЛАВА 5. Высшие приближения . . . . Метод И.З. Штокало
Упражнение 5.1. Исследовать устойчивость нулевого решения уравнения
d2 x
dx
+
εc
+ ε(q(t) + εr(t))x = 0,
dt2
dt
∑
где c > 0, q(t) = lk=1 ak cos ωk t, r(t) = b sin ωt, ak , b — вещественные
постоянные, ε > 0 — малый параметр.
5.6. Экспоненциальная дихотомия
Для дальнейшего нам нужно ввести понятие, связанное с поведением решений системы линейных однородных дифференциальных
уравнений при t → ∞.
Рассмотрим сначала систему с постоянными коэффициентами
dx
= Ax.
(5.23)
dt
Пусть у матрицы A нет собственных значений с нулевой вещественной частью. Предположим, что матрица A имеет блочно-диагональный вид
(
)
A1 0
A=
,
(5.24)
0 A2
где A1 — квадратная матрица порядка k, у которой все собственные значения имеют отрицательные вещественные части, а A2 —
квадратная матрица порядка n − k, у которой все собственные значения имеют положительные вещественные части. Тогда n-мерное
пространство Rn начальных условий решений системы (5.23) разбивается в прямую сумму подпространств
Rn = E+ + E−
(E+ — k-мерное пространство, состоящее из n-мерных векторов, у
которых первые k координат отличны от нуля, E− — (n − k)-мерное
пространство, состоящее из n-мерных векторов, у которых последние
n − k координат отличны от нуля). Соответствующее пространство
решений X представляется в виде прямой суммы подпространств
X = X+ + X− ,
причем существуют такие положительные постоянные M+ , M− , γ+ ,
γ− , что справедливы неравенства
|x(t)| ≤ M+ e−γ+ (t−s) |x(s)|,
−∞ < s ≤ t < ∞
(x(t) ∈ X+ ), (5.25)
|x(t)| ≤ M− eγ− (t−s) |x(s)|,
−∞ < t ≤ s < ∞
(x(t) ∈ X− ). (5.26)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.6. Экспоненциальная дихотомия
81
Нормы решений из подпространства X+ стремятся к нулю при
t → ∞, а из подпространства X− — при t → −∞. Говорят, что
для решений системы (5.23) имеет место экспоненциальная дихотомия решений на всей вещественной оси. В определении экспоненциальной дихотомии неравенство (5.26) можно заменить на неравенство
∗
|x(t)| ≥ M−∗ eγ− (t−s) |x(s)|,
−∞ < s ≤ t < ∞ (x(t) ∈ X− )
для некоторых положительных постоянных M−∗ , γ−∗ . Часто дихотомию определяют не в виде неравенств для решений, а в виде неравенств на норму фундаментальной матрицы системы:
|e(t−s)A1 | ≤ M+ e−γ+ (t−s) ,
−∞ < s ≤ t < ∞,
(5.27)
|e(t−s)A2 | ≤ M− eγ− (t−s) ,
−∞ < t ≤ s < ∞.
(5.28)
Если матрица A не представима в блочно-диагональной форме (5.24),
но у нее нет собственных значений с нулевой вещественной частью,
то, очевидно, для системы (5.23) также имеет место экспоненциальная дихотомия решений. Только пространства начальных условий
E+ , E− и пространства решений X+ , X− будут другими. Если обозначить через P+ , P− (P+ + P− = I) операторы, которые проектируют
все пространство Rn на подпространства, в которых у матрицы A
все собственные значения имеют отрицательные вещественные части
или все собственные значения имеют положительные вещественные
части соответственно, то неравенства (5.27), (5.28) экспоненциальной дихотомии запишутся следующим образом:
|etA P+ e−sA | ≤ M+ e−γ+ (t−s) ,
−∞ < s ≤ t < ∞,
(5.29)
|etA P− e−sA | ≤ M− eγ− (t−s) ,
−∞ < t ≤ s < ∞.
(5.30)
Отметим еще тот факт, что в случае экспоненциальной дихотомии
dx
решений оператор Lx =
− Ax регулярен.
dt
Теперь определим экспоненциальную дихотомию решений на всей
оси R системы дифференциальных уравнений
dx
= A(t)x,
dt
(5.31)
где элементы матрицы A(t) — пп функции.
Более подробное изложение соответствующей теории содержится
в книгах [48, 123].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
82
ГЛАВА 5. Высшие приближения . . . . Метод И.З. Штокало
Если пространство начальных условий Rn системы (5.31) разбивается в прямую сумму подпространств E+ , E− и пространство решений X разбивается в прямую сумму подпространств X+ , X− так, что
начальные значения решений системы (5.31) принадлежат соответственно E+ и E− и справедливы неравенства (5.25), (5.26), то для
системы (5.31) имеет место экспоненциальная дихотомия решений
на всей вещественной оси.
Из этого определения немедленно вытекает, что, если пространство X− нулевое, то нулевое решение системы (5.31) асимптотически
устойчиво. Если же X− не является нулевым, то нулевое решение
системы (5.31) неустойчиво.
Оказывается, что экспоненциальная дихотомия решений системы
dx
(5.31) эквивалентна регулярности оператора Lx =
− A(t)x, приdt
чем постоянные M+ , M− , γ+ , γ− зависят только от норм обратного
оператора L−1 в пространстве периодических (пп) вектор-функций и
нормы матрицы A(t).
Если сформулировать определение дихотомии в терминах оценок нормы фундаментальной матрицы U (t), то в неравенствах (5.29),
(5.30) будут оцениваться нормы |U (t)P+ U −1 (s)| и |U (t)P− U −1 (s)|.
Таким образом, если для системы (5.31) имеет место экспоненциальная дихотомия, то неоднородная система
dx
= A(t)x + f (t)
dt
для любой пп вектор-функции f (t) имеет единственное пп решение
и это решение определяется формулой
∫+∞
x(t) =
G(t, s)f (s)ds,
−∞
где матричная функция G(t, s) имеет вид
{
U (t)P+ U −1 (s),
t ≥ s,
G(t, s) =
−U (t)P− U −1 (s), t < s.
Матричная функция G(t, s) называется функцией Грина для почти
периодической краевой задачи. Она удовлетворяет оценке
|G(t, s)| ≤ me−γ|t−s| ,
−∞ < t, s < ∞,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.7. Устойчивость . . . и экспоненциальная дихотомия
83
где m, γ — положительные постоянные.
Если интересоваться только вопросами устойчивости решений,
то экспоненциальную дихотомию решений достаточно рассматривать
только на положительной полуоси R+ . Будем говорить, что система
(5.31) имеет экспоненциальную дихотомию на R+ , если существуют
проекторы P+ , P− и положительные постоянные M, γ такие, что
|U (t)P+ U −1 (s)| ≤ M e−γ(t−s) ,
t ≥ s ≥ 0,
|U (t)P− U −1 (s)| ≤ M e−γ(s−t) ,
s ≥ t ≥ 0.
5.7. Устойчивость решений систем с малым
параметром и экспоненциальная
дихотомия
Пусть U (t, ε) — фундаментальная матрица линейной системы
dx
= A(t, ε)x,
dt
(5.32)
где матрица A(t, ε) периодична (почти периодична) по t ∈ R равномерно относительно вещественного параметра ε ∈ (0, ε0 ) и достаточно гладкая функция ε.
Следующее определение для положительной полуоси R+ содержится в статье [136] (мы сформулируем его для R).
Определение 5.2. Для системы (5.32) имеет место экспоненциальная дихотомия порядка k, если существуют проектор Pε , который
непрерывен при ε ∈ (0, ε0 ), положительные постоянные K+ , K− и
функции α1 (ε) = c1 εk , α2 (ε) = c2 εk , c1 , c2 > 0, такие, что
|U (t, ε)Pε U −1 (s, ε)| ≤ K+ e−α1 (ε)(t−s) ,
−∞ < s ≤ t < ∞,
|U (t, ε)(I − Pε )U −1 (s, ε)| ≤ K− eα2 (ε)(t−s) ,
−∞ < t ≤ s < ∞.
Свойство экспоненциальной дихотомии порядка k эквивалентно
следующей оценке нормы оператора обратного к оператору
Lε x =
dx
− A(t, ε)x
dt
в пространстве периодических (пп) вектор-функций:
−k
∥L−1
ε ∥ ≤ Cε ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
84
ГЛАВА 5. Высшие приближения . . . . Метод И.З. Штокало
где C — некоторая положительная постоянная. Очевидно, если система (5.32) обладает свойством экспоненциальной дихотомии порядка k и проектор Pε = I, то нулевое решение системы (5.32)
асимптотически устойчиво, если же Pε ̸= I, то нулевое решение этой
системы неустойчиво. Теперь можно переформулировать теорему 5.1
в других терминах.
Теорема 5.2. Пусть линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, зависящими от параметра ε,
dx
= A(ε)x
(5.33)
dt
имеет экспоненциальную дихотомию порядка k. Пусть матрица
B(t, ε) почти периодична по t равномерно относительно ε ∈ (0, ε0 ).
Если supt∈R ∥B(t, ε)∥ = O(εN ) для N ≥ k + 1, то нулевое решение
возмущенной системы
dx
= A(ε)x + B(t, ε)x
dt
(5.34)
асимптотически устойчиво при Pε = I и неустойчиво при Pε ̸= I.
Доказательство этой теоремы почти дословно повторяет доказательство леммы об устойчивости. Только оценки матричной экспоненты заменяются соответствующими оценками фундаментальной
матрицы системы (5.33), которые следуют из свойств экспоненциальной дихотомии порядка k. Можно показать, что система (5.34)
также обладает свойством экспоненциальной дихотомии порядка k.
Проверка выполнения условий теоремы 5.2 в конкретных примерах обычно не вызывает затруднений. К системе дифференциальных
уравнений
dx
= (A + εB1 + . . . + εk Bk )x
dt
можно применять критерии устойчивости для систем с постоянными
коэффициентами. Нужно только следить, чтобы члены более высокого порядка малости по ε не оказывали влияния на устойчивость.
Если у матрицы A есть простое нулевое собственное значение,
а все остальные собственные значения имеют отрицательные вещественные части, то у матрицы A(ε) = A + εB1 + . . . + εk Bk при
достаточно малых ε существует простое вещественное собственное
значение λ(ε) = a1 ε + a2 ε2 + . . .. Свойства устойчивости системы дифференциальных уравнений (5.1) зависят только от знака первого не
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.8. Оценка обратного оператора
85
обращающегося в нуль коэффициента aj0 в разложении собственного
значения λ(ε) по степеням ε при условии, что j0 ≤ k (см. [48]).
Отметим без доказательства достаточные условия для экспоненциальной дихотомии порядка k ≤ N (см. [136]). Эти условия эквивалентны условиям сильной k-гиперболичности, которые были даны
в статье Мардока и Робинсона [160] (cм. также [159]).
Если у матрицы A все собственные значения различны и если
собственные значения λi (ε) (i = 1, 2, . . . , n) матрицы
A + εB1 + . . . + εN BN
при подходящей нумерации удовлетворяют неравенствам
Re λi (ε) < −cεk ,
Re λi (ε) > cεk ,
i = 1, 2, . . . , r,
i = r + 1, . . . , n
для некоторого k ≤ N и некоторой положительной постоянной c, то
система уравнений
)
dx (
= A + εB1 + . . . + εN BN x
dt
имеет экспоненциальную дихотомию порядка k ≤ N .
5.8. Оценка обратного оператора
В предыдущих рассмотрениях играет важную роль оценка обратного в пространстве Bn оператора для оператора
L(ε)x =
dx
− A(ε)x,
dt
где матрица A(ε) — аналитическая функция ε. Остановимся подробнее на этом вопросе.
Пусть у матрицы A(0) есть собственные значения с нулевой вещественной частью. Пусть при достаточно малых ε > 0 все собственные
значения матрицы A(ε) имеют ненулевые вещественные части. Тогда
оператор L(ε) имеет непрерывный обратный в Bn . Мы изложим соответствующий результат из книги [74].
Рассмотрим выражения
sup [A(ε) + iωI]−1 (5.35)
−∞<ω<∞
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
86
ГЛАВА 5. Высшие приближения . . . . Метод И.З. Штокало
и ∥L−1 (ε)∥ как скалярные функции от ε. Здесь i — мнимая единица, I — единичная матрица. Так как оператор L(0) необратим, то
точка ε = 0 является особой точкой для функции ∥L−1 (ε)∥. В вышеупомянутой книге доказано, что функции (5.35) и ∥L−1 (ε)∥ имеют в
точке ε = 0 полюс одного и того же порядка. Из этого утверждения
следует, что при ε > 0 имеет место оценка
∥L−1 (ε)∥ ≤
M
,
εα
где M , α — положительные постоянные. Для определения порядка
полюса в оценке ∥L−1 (ε)∥ нужно рассмотреть определитель
[
]
det A(ε) + iωI
и подобрать ω так, чтобы этот определитель имел максимальный
порядок по ε. Представляем определитель в виде
n
[
] ∏
(
)
det A(ε) + iωI =
λj (ε) + iω ,
j=1
где λj (ε) — собственные значения матрицы A(ε). Достаточно рассмотреть только те собственные значения матрицы A(ε), у которых
вещественные части при ε = 0 обращаются в нуль.
В качестве примера рассмотрим оператор
L(µ)x =
dx
− A(µ)x
dt
из пункта 5.5. Здесь
(
A(µ) =
0
1
2 2
µ (ρ − q0 ) −µc
)
,
где c > 0, q0 , ρ — вещественные числа, µ — малый параметр. Легко
подсчитать, что в данном случае α = 2, если выполняется условие
ρ2 − q0 ̸= 0.
Таким образом, получаем оценку
∥L−1 (µ)∥ ≤
M
.
µ2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 6
Линейные
дифференциальные
уравнения с быстрым
и медленным временем
Результаты этой главы содержатся в [22].
6.1. Обобщенные леммы о регулярности и
устойчивости
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(t )
dx
= A , t x,
dt
ε
(6.1)
где ε > 0 — малый параметр, A(t/ε, t) — квадратная матрица порядка n. Система (6.1) содержит два масштаба времени — быстрый и
медленный. После замены времени t = ετ система (6.1) примет вид
системы в стандартной форме
dx
= εA(τ, ετ )x.
dτ
(6.2)
Будем предполагать, что элементы aij (t, s) матрицы A(t, s) определены при −∞ < t, s < ∞, почти периодичны по переменной t равномерно относительно s и почти периодичны по s равномерно относительно t. Тогда существует среднее значение матрицы A(t, s) по
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
88
ГЛАВА 6. Линейные ДУ с быстрым и медленным временем
первой переменной
1
lim
T →∞ T
∫T
A(t, s)dt = Ā(s).
0
Усредняя систему (6.2) по быстрому времени, получим систему
dx
= εĀ(ετ )x,
dτ
которая в исходном времени имеет вид
dx
= Ā(t)x.
dt
(6.3)
Мы исследуем вопросы о связи регулярности оператора
Lx =
dx
− Ā(t)x
dt
и регулярности
(t )
dx
Lε x =
− A ,t x
dt
ε
при достаточно малых ε и о связи свойств устойчивости решений
однородных уравнений
(t )
dx
= A ,t x
dt
ε
и
dx
= Ā(t)x.
dt
Система (6.3) — это система с переменными коэффициентами. Однако она проще исходной системы (6.1).
Во-первых, приведем обобщенную лемму Боголюбова. Пусть оператор
dx
Lx =
− A(t)x,
dt
где A(t) — пп матрица, регулярен. Пусть вектор-функция f (t, ε)
определена при −∞ < t < ∞ и 0 < ε < ε0 . Пусть f (t, ε) почти
периодична по t при каждом фиксированном ε. Тогда система
Lx = f (t, ε)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.1. Обобщенные леммы о регулярности и устойчивости
89
будет иметь единственное пп решение x(t, ε). Обобщенная лемма
Боголюбова дает условия того, что это решение стремится к нулю
при ε → 0 равномерно по t.
Будем говорить, что f (t, ε) при ε → 0 правильно сходится к нулю,
если при каждом T > 0
∫ t
lim sup f (τ, ε)dτ = 0
ε→0
|t−s|≤T
s
и ∥f (t, ε)∥B n < m < ∞ при 0 < ε < ε0 .
Лемма 6.1. Если f (t, ε) сходится к нулю правильно, то пп решение
x(t, ε) системы
dx
= A(t)x + f (t, ε)
dt
удовлетворяет предельному равенству
lim
sup
ε→0 −∞<t<∞
|x(t, ε)| = 0.
Доказательство. Как мы отметили в пункте 5.6. предыдущей главы, решение x(t, ε) определяется формулой
∫∞
x(t, ε) =
(6.4)
G(t, s)f (s, ε)ds.
−∞
Производя в (6.4) замену s = t + τ , получим
∫∞
x(t, ε) =
G(t, t + τ )f (t + τ, ε)dτ.
−∞
Последнее равенство запишем следующим образом:
[ ∫t+τ
∫0
x(t, ε)=
−∞
G(t, t + τ )dτ
]
f (σ, ε)dσ +
t
[ ∫t+τ
∫∞
G(t, t + τ )dτ
0
]
f (σ, ε)dσ .
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
90
ГЛАВА 6. Линейные ДУ с быстрым и медленным временем
Интегрируя по частям каждое слагаемое в правой части, получим
∫0
x(t, ε) = −
∫∞
−
−∞
∂G(t, t + τ )
∂τ
]
f (σ, ε)dσ dτ −
t
∂G(t, t + τ )
∂τ
[ ∫t+τ
]
f (σ, ε)dσ dτ.
t
0
Так как
[ ∫t+τ
{
U (t)P+ U −1 (s),
t ≥ s,
G(t, s) =
−U (t)P− U −1 (s), t < s,
то при τ ̸= 0 справедлива оценка
∂G(t, t + τ ) ≤ m1 e−γ|τ | ,
∂τ
−∞ < t < ∞,
(6.5)
где m1 , γ1 — положительные постоянные. Из (6.5) и условий, наложенных на f (t, ε), следует, что при произвольном T > 0
∫−T
|x(t, ε)| ≤ mm1
e−γ|τ | |τ |dτ + m1
−∞
∫∞
+mm1
∫T
∫t+τ
e−γ|τ | f (σ, ε)dσ dτ +
−T
t
e−γ|τ | τ dτ.
T
Пусть задано η > 0. Из последнего неравенства вытекает существование такого T > 0, что
∫ t
η 2m1
sup f (σ, ε)dσ .
|x(t, ε)| < +
2
γ1 |t−s|≤T
(6.6)
s
Из (6.6) в силу правильной сходимости f (t, ε) следует, что
|x(t, ε)| < η,
−∞ < t < ∞,
при малых ε ∈ (0, ε0 ). Лемма доказана.
Лемма 6.2. Пусть вектор-функция f (t, s) определена при
−∞ < t, s < ∞, почти периодична по t равномерно относительно
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.1. Обобщенные леммы о регулярности и устойчивости
91
s и почти периодична по s равномерно относительно t. Пусть
1
T →∞ T
∫T
lim
f (t, s)dt = 0.
0
Тогда вектор-функция
(t )
φ(t, ε) = f , t
ε
правильно сходится к нулю при ε → 0.
Доказательство. Если вторая переменная вектор-функции f (t/ε, t)
фиксирована, то утверждение леммы уже было установлено в процессе доказательства леммы Боголюбова. Отсюда следует, что утверждение леммы справедливо для вектор-функции f (t/ε, ∆(t)), где
∆(t) — кусочно-постоянная функция на промежутке длины T . Так
как f (t/ε, t) непрерывна по второй переменной равномерно относительно первой переменной и равномерно непрерывна по второй переменной, то эту вектор-функцию можно с любой степенью точности аппроксимировать вектор-функцией вида f (t/ε, ∆(t)), где ∆(t) —
кусочно-постоянная функция на любом промежутке длины T .
Другое доказательство леммы можно получить следующим образом. Вектор-функцию f (t, s) аппроксимируем вектор-функцией ϕ(t, s),
которая по каждой переменной является тригонометрическим многочленом. Для вектор-функции ϕ(t/ε, t) утверждение непосредственно
устанавливается с помощью вычисления соответствующего интеграла.
Теперь приведем аналоги лемм о регулярности и устойчивости
для систем с быстрым и медленным временем. Мы сформулируем
оба утверждения в виде одной теоремы.
Теорема 6.1. Пусть оператор
dx
− Ā(t)x
dt
регулярен. Тогда при достаточно малых ε регулярен оператор
(t )
dx
Lε x =
− A , t x.
dt
ε
Если нулевое решение системы
Lx =
dx
= Ā(t)x
dt
(6.7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
92
ГЛАВА 6. Линейные ДУ с быстрым и медленным временем
асимптотически устойчиво, то при достаточно малых ε нулевое решение системы (6.1) асимптотически устойчиво. Если же
нулевое решение системы (6.7) неустойчиво, то нулевое решение
системы (6.1) при достаточно малых ε неустойчиво.
Доказательство. Определим матричную функцию
∫∞
H(t, ε) =
−∞
[ (s )
]
G(t, s) A , s − Ā(s) ds.
ε
В силу лемм 6.1 и 6.2 норма матрицы H(t, ε) при ε → 0 равномерно
по t ∈ (−∞, ∞) стремится к нулю. После замены
x = y + H(t, ε)y
система (6.1) перейдет в систему
dy
= Ā(t)y + F (t, ε)y,
dt
где
]
}
[ (t )
(
)−1 {
F (t, ε) = I + H(t, ε)
−H(t, ε)Ā(t) + A , t − Ā(t) H(t, ε) .
ε
Очевидно,
lim
sup
ε→0 −∞<t<∞
|F (t, ε)| = 0.
Дальнейшее доказательство полностью аналогично доказательству
лемм о регулярности и устойчивости.
6.2. Пример. Параметрический резонанс
в уравнении Матье с медленно
меняющимся коэффициентом
В качестве примера к теореме 6.1 рассмотрим вопрос о параметрическом резонансе в уравнении Матье с медленно изменяющимися
коэффициентами
d2 x
+ ω 2 (1 + εφ(εt) cos λt)x = 0,
2
dx
(6.8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.2. Пример. . . .
93
где φ(t) — периодическая или пп функция с отличным от нуля средним значением, ε > 0 — малый параметр, ω, λ — вещественные
параметры. От уравнения (6.8) перейдем к системе с помощью замены
x′ = −aω sin ωt + bω cos ωt.
x = a cos ωt + b sin ωt,
Выполняя замену и разрешая полученную систему относительно проda db
изводных
и , получим
dt
dt
(a
)
da
= εωφ(εt) cos λt sin 2ωt + b sin2 ωt ,
dt
2
(
)
db
b
= −εωφ(εt) cos λt a cos2 ωt + sin 2ωt .
dt
2
Полагаем λ = 2ω. Затем усредняем по быстрому времени t. Получим
систему
dā
φ(εt)
b̄,
= −εω
dt
4
db̄
φ(εt)
= −εω
ā.
dt
4
(6.9)
Переходим в системе (6.9) к медленному времени τ = εt, получим
систему без малого параметра с пп коэффициентами. Эта система
интегрируема. Общее решение имеет вид
{ ∫τ
}
{ ∫τ
}
ω
ω
ā = a0 ch
φ(s)ds − b0 sh
φ(s)ds ,
4
4
τ0
{
ω
b̄ = −a0 sh
4
∫τ
τ0
}
τ0
{ ∫τ
}
ω
φ(s)ds + b0 ch
φ(s)ds ,
4
(6.10)
τ0
где ā(τ0 ) = a0 , b̄(τ0 ) = b0 . Так как среднее значение функции φ(τ )
отлично от нуля, то среди решений (6.10) существуют решения,
неограниченные при t → ∞. Таким образом, при λ = 2ω в уравнении (6.8) происходит параметрический резонанс.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
94
ГЛАВА 6. Линейные ДУ с быстрым и медленным временем
6.3. Высшие приближения и задача
устойчивости
Рассмотрим вопрос об устойчивости нулевого решения следующей системы дифференциальных уравнений
N
)
∑
dx (
j
= B0 +
ε Bj (t, τ ) x.
dt
j=1
(6.11)
Здесь ε > 0 — малый параметр, τ = εt — медленное время, B0 —
постоянная квадратная матрица порядка n. Будем говорить, что матричная функция A(t, τ ) принадлежит классу Σ1 , если ее элементы —
тригонометрические многочлены по переменной t и тригонометрические многочлены по переменной τ . Именно, A(t, τ ) имеет вид
∑
A(t, τ ) =
aλ,µ e(λt+µτ ) ,
λ,µ
где aλ,µ — постоянные квадратные матрицы порядка n, а λ, µ пробегают конечное множество вещественных значений.
В дальнейшем будем предполагать, что матрицы Bj (t, τ ),
j = 1, 2, . . . , N принадлежат классу Σ1 .
Очевидно, если все собственные значения матрицы B0 имеют отрицательные вещественные части или у матрицы B0 есть, по крайней
мере, одно собственное значение с положительной вещественной частью, то нулевое решение системы (6.11) устойчиво или неустойчиво соответственно при достаточно малых ε. Поэтому исследования
заслуживает только критический случай, когда у матрицы B0 все
собственные значения имеют неположительные вещественные части
и есть собственные значения с нулевой вещественной частью. Этот
случай и будем рассматривать.
Будем предполагать, что у матрицы B0 все собственные значения
вещественны. Как мы знаем (см. п. 5.2.), это предположение не ограничивает общности. Существует замена, не влияющая на устойчивость, после которой матрица B0 будет иметь вещественный спектр.
Как и в главе 5, будем искать замену переменных, которая преобразует систему (6.11) в систему вида
)
∑
dy (
j
= B0 +
ε Aj (τ ) y + O(εN +1 ),
dt
j=1
N
(6.12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.3. Высшие приближения и задача устойчивости
95
не содержащую в правой части быстрое время t в членах до порядка
εN включительно. Эту замену ищем в виде
x=y+
N
∑
εk Yk (t, τ )y,
(6.13)
k=1
где матрицы Ai (τ ), Yi (t, τ ), (i = 1, 2, . . . , N ) подлежат определению.
Причем будем искать матрицы Yi (t, τ ) принадлежащими классу Σ1 и
имеющими нулевое среднее значение по t. Подставляя (6.13) в (6.11)
и учитывая (6.12), получаем
(
B0 +
N
∑
k
ε Ak (τ ) +
k=1
+
N
∑
k=1
k ∂Yk
ε
∂t
+
N
∑
k
ε Yk (t, τ )B0 +
k=1
N
∑
k+1 ∂Yk
ε
∂τ
k=1
+
N
∑
εm+k Yk (t, τ )Am (τ )+
k,m=1
N
N
) (
∑
∑
k
y= B0 +
ε B0 Yk (t, τ ) +
εk Bk (t, τ )+
N
∑
k=1
m+k
ε
k=1
)
Bk (t, τ )Ym (t, τ ) y.
k,m=1
Сравнивая коэффициенты при ε в правой и левой частях последнего
равенства, находим
∂Y1
− B0 Y1 (t, τ ) + Y1 (t, τ )B0 = B1 (t, τ ) − A1 (τ ).
∂t
(6.14)
Матрицу Y1 (t, τ ) класса Σ1 ищем в виде
∑
Y1 (t, τ ) =
bλ (τ )eiλt ,
λ
где λ пробегает конечное множество значений. Как уже отмечалось,
среднее значение по t матрицы Y1 (t, τ ) предполагается равным нулевой матрице. Положим
∑
B1 (t, τ ) =
aλ (τ )eiλt
λ
и выберем матрицу A1 (τ ) равной свободному члену этой системы,
т.е.
∫T
1
A1 (τ ) = lim
B1 (t, τ )dt.
T →∞ T
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
96
ГЛАВА 6. Линейные ДУ с быстрым и медленным временем
Тогда для отыскания матрицы bλ (τ ) получим уравнение
iλbλ (τ ) − B0 bλ (τ ) + bλ (τ )B0 = aλ (τ ).
Теперь матрицу bλ (τ ) ищем в виде
∑
bλ (τ ) =
bλµ eµλ τ ,
µ
где µ пробегает конечное множество значений и bλµ — постоянные
квадратные матрицы порядка n. Матрицу aλ (τ ) представим в виде
∑
aλ (τ ) =
aλµ eiµt .
µ
Для отыскания матриц bλµ получим матричное уравнение
(iλI − B0 )bλµ + bλµ B0 = aλµ .
Это уравнение имеет единственное решение, так как спектры матриц
iλI − B0 и B0 не пересекаются.
Аналогично, сравнивая коэффициенты при εj , j = 2, . . . , N , получаем матричное уравнение
∂Yj
− B0 Yj (t, τ ) + Yj (t, τ )B0 = F (t, τ ) − Aj (τ ),
∂t
(6.15)
где матрица F (t, τ ) определяется через матрицы Bk (t, τ ), Yk (t, τ ),
k = 1, . . . , j − 1. Уравнение (6.15) имеет такой же вид, что и уравнение (6.14). Поэтому вопрос о выборе матрицы Aj (τ ) и существовании
матрицы Yj (t, τ ) класса Σ1 решается аналогично.
Очевидно, замена (6.13) — это замена с ограниченными при всех
t, τ коэффициентами. Следовательно, задача об устойчивости решений системы (6.11) сводится при достаточно малых ε к вопросу об
устойчивости решений системы (6.12) c медленно меняющимися коэффициентами, близкими к постоянным. Если ввести дифференциальный оператор
∑
dy
L(ε)y =
− B0 y −
εk Ak (τ )y,
dt
N
k=1
определенный на пространстве Bn , то можно сформулировать теорему об устойчивости решений системы (6.12). Напомним, что регулярность оператора L(ε) эквивалентна экспоненциальной дихотомии
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.3. Высшие приближения и задача устойчивости
97
решений соответствующего однородного уравнения. Назовем оператор L(ε) устойчивым, если решение соответствующего однородного
уравнения устойчиво, и неустойчивым, если решение соответствующего однородного уравнения неустойчиво.
Теорема 6.2. Пусть оператор L(ε) регулярен при 0 < ε < ε0 и
выполняется неравенство
∥L−1 (ε)∥ ≤
C
,
εN
(6.14)
где C — постоянная, не зависящая от ε. Тогда, если оператор
L(ε) устойчив при 0 < ε < ε0 , то нулевое решение системы (6.12)
асимптотически устойчиво при достаточно малых ε. Если оператор L(ε) неустойчив при 0 < ε < ε0 , то нулевое решение системы
(6.12) неустойчиво при достаточно малых ε.
Доказательство проходит по той же схеме, что и доказательство
леммы об устойчивости. Отметим только, что неравенство (6.14) эквивалентно экспоненциальной дихотомии порядка k ≤ N (cм. п. 5.7.)
решений системы
L(ε)y = 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 7
Асимптотическое
интегрирование
и метод усреднения
В этом параграфе излагаются результаты работы [30].
7.1. Постановка задачи
Устойчивость и асимптотическое поведение решений линейных
систем дифференциальных уравнений
dx
= Ax + B(t)x,
dt
где A — постоянная матрица, а матрица B(t) мала в некотором
смысле, когда t → ∞, изучалась многими авторами (см. статьи
[82, 83, 92, 137–139, 149] и монографии [9, 45, 71, 79, 99, 128].
В главе 5 мы описали результаты Штокало по исследованию
устойчивости решений системы дифференциальных уравнений
dx
= Ax + εB(t)x,
dt
(7.1)
где ε > 0 — малый параметр, A — постоянная квадратная матрица,
B(t) — квадратная матрица, элементами которой являются тригонометрические многочлены bkl (t) (k, l = 1, . . . , m) вида
bkl (t) =
m
∑
j=1
iλj t
bkl
.
j e
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.2. Преобразование основной системы
99
Здесь λj , j = 1, . . . , m могут быть произвольными вещественными
числами. Мы обозначили через Σ класс матриц, элементами которых являются тригонометрические многочлены. Среднее значение
матрицы класса Σ — это постоянная матрица, которая состоит из
свободных членов (λj = 0) элементов этой матрицы.
Как мы видели, c помощью замен типа замен Боголюбова в методе усреднения систему (7.1) можно преобразовать в систему с постоянными коэффициентами, зависящими от параметра ε с точностью
до членов любого порядка малости по ε.
Заметим также, что метод усреднения в первом приближении был
использован в работах Самохина и Фомина (см. [82, 83]) для изучения асимптотического поведения решений одного частного класса
систем уравнений с колебательно убывающими коэффициентами.
В этой главе метод Штокало распространяется на задачу асимптотического интегрирования системы линейных дифференциальных
уравнений с колебательно убывающими коэффициентами.
Мы рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений в n-мерном пространстве Rn
{
}
k
∑
dx
1
1
= A0 +
A
(t)
F (t)x.
(7.2)
x
+
j
jα
(1+δ)
dt
t
t
j=1
Здесь A0 — постоянная квадратная матрица порядка n и A1 (t), A2 (t),
. . . , Ak (t) — квадратные матрицы порядка n, принадлежащие классу Σ. Предполагается, что матрица A0 имеет каноническую форму
Жордана. Вещественное число α и целое положительное число k
удовлетворяют неравенству 0 < kα ≤ 1 < (k + 1)α, δ > 0. Квадратная
матрица F (t) при t0 ≤ t < ∞ удовлетворяет неравенству
∥F (t)∥ ≤ C < ∞,
где ∥ · ∥ — некоторая матричная норма в Rn .
Мы исследуем поведение решений системы (7.2) при t → ∞.
7.2. Преобразование основной системы
Будем строить обратимую (для достаточно больших t, t ≥ t∗ ≥ t0 )
замену переменных, которая преобразует систему (7.2) в систему
{∑
}
k
dy
1
1
=
A
y
+
G(t)y,
ε > 0, t ≥ t∗ .
(7.3)
j
jα
(1+ε)
dt
t
t
j=0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
100
ГЛАВА 7. Асимптотическое интегрирование . . .
Здесь A0 , A1 , . . . , Ak — постоянные квадратные матрицы (кроме того, A0 есть та же матрица, что и в системе (7.2)) и матрица G(t)
обладает теми же свойствами, что и матрица F (t) в системе (7.2).
Без потери общности мы можем считать, что все собственные
значения матрицы A0 являются вещественными. В самом деле, если
у матрицы A0 есть комплексные собственные значения, то в системе
(7.2) мы сделаем замену переменных
y = eiRt z,
где R — диагональная матрица, составленная из мнимых частей собственных значений матрицы A0 . Эта замена с ограниченными по
t, t ∈ (−∞, ∞) коэффициентами переводит матрицу A0 в матрицу
A0 − iR, у которой все собственные значения вещественны.
Мы попытаемся определить обратимую (для достаточно больших t) замену переменных в виде
{∑
}
k
1
x=
Y (t) y,
(7.4)
jα j
t
j=0
преобразующую систему (7.2) в систему (7.3), где Y0 (t) = I — единичная матрица и Y1 (t), Y2 (t), . . . , Yk (t) — квадратные матрицы порядка n, принадлежащие классу Σ и имеющие нулевое среднее знаdy
чение. Подставляя (7.4) в (7.2) и заменяя
правой частью системы
dt
(7.3), мы получим
{∑
}{∑
}
{∑
}
k
k
k
1
1
1
1
Y (t)
A y + (1+ε)
Y (t) G(t)y+
jα j
jα j
jα j
t
t
t
t
j=0
j=0
j=0
{∑
}
k
1 dYj (t)
1
y=
(7.5)
+ (1+α) W (t)y +
jα
t
dt
t
j=1
{
}{∑
}
k
k
∑
1
1
1
= A0 +
A
(t)
Y
(t)
y
+
U (t)y,
j
j
jα
jα
(1+δ)
t
t
t
j=0
j=1
где
{ ∑
}
k
jα
W (t) = −
Y (t) ,
(j−1)α j
t
j=1
{∑
}
k
1
U (t) = F (t)
Y (t) .
jα j
t
j=0
(7.6)
(7.7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.2. Преобразование основной системы
101
Приравнивая слагаемые t−jα (j = 1, . . . , k), содержащиеся в левой
и правой частях (7.5), мы получим систему k линейных матричных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
dYj (t)
− A0 Yj (t) + Yj (t)A0 =
dt
j−1
j−1
∑
∑
=
Aj−l (t)Yl (t) −
Yl (t)Aj−l , j = 1, . . . , k.
l=0
(7.8)
l=0
Разрешимость системы (7.8) была исследована Штокало (см. [103,
104]). Представляя Yj (t) как конечную сумму
Yj (t) =
∑
yλj eiλt ,
λ̸=0
где yλj — постоянные квадратные матрицы порядка n, мы получим
матричные уравнения
iλyλj − A0 yλj + yλj A0 = bjλ .
Так как все собственные значения матрицы A0 вещественные, то эти
матричные уравнения имеют единственное решение при λ ̸= 0 (см.,
например, [34, 37]). На каждом шаге j = 1, . . . , k, матрица Aj определяется из условия, что правая часть системы (7.8) имеет нулевое
среднее значение. В частности, при j = 1
dY1 (t)
− A0 Y1 (t) + Y1 (t)A0 = A1 (t) − A1 ,
dt
где A1 — среднее значение матрицы A1 (t). Из соотношения (7.5)
вытекает следующий результат.
Теорема 7.1. Система (7.2) для достаточно больших t может
быть преобразована с помощью замены переменных (7.4) в систему
{∑
}
k
1
1
dy
=
A
y
+
G(t)y,
j
jα
(1+ε)
dt
t
t
j=0
где ε > 0, и ∥G(t)∥ ≤ C1 < ∞.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
102
ГЛАВА 7. Асимптотическое интегрирование . . .
Доказательство. Подставляя формулу замены (7.4) в систему (7.2),
получим
{∑
}
{
}{∑
}
k
k
k
∑
1
dy
1
1
Y (t)
= A0 +
A (t)
Y (t) y−
jα j
jα j
jα j
t
dt
t
t
j=0
j=1
j=0
{∑
}
k
1 dYj (t)
1
1
−
y
−
W
(t)y
+
U (t)y,
jα
(1+α)
(1+δ)
t
dt
t
t
j=1
где W (t) и U (t) определяются формулами (7.6) и (7.7) соответственно. Последнее соотношение может быть записано как
{∑
}{
{∑
} }
k
k
1
dy
1
−
Y (t)
A y =
jα j
jα j
t
dt
t
j=0
j=0
}
{
}{∑
}
{∑
k
k
k
∑
1
1 dYj (t)
1
A (t)
Y (t) y −
y−
= A0 +
jα j
jα j
jα
t
t
t
dt
j=0
j=1
j=1
{∑
}{
}
k
k
∑
1
1
1
1
−
Y
(t)
A
W
(t)y
+
U (t)y.
y
−
j
j
jα
jα
(1+α)
(1+δ)
t
t
t
t
j=0
j=0
В силу равенств (7.8) получим
}{
{∑
} }
{∑
k
k
dy
1
1
Y (t)
−
A y =
jα j
jα j
t
dt
t
j=0
j=0
=
1
S(t)y −
(1+k)α
1
W (t)y +
(1+α)
(7.9)
1
U (t)y,
t
t
t(1+δ)
где элементы матрицы S(t) могут быть представлены в виде суммы слагаемых t−jα aj (t) (j = 0, . . . , k), а aj (t) — тригонометрические
многочлены. Следовательно,
1
1
1
1
S(t)
−
W
(t)
+
U
(t)
=
R(t),
(7.10)
t(1+k)α
t(1+α)
t(1+δ)
t(1+ε)
где ε > 0 и R(t) удовлетворяет неравенству
∥R(t)∥ ≤ C2 < ∞.
Равенство (7.9) для достаточно больших t может быть переписано в
виде
{∑
}
}−1
{∑
k
k
1
1
1
dy
=
A y + (1+ε)
Y (t)
R(t)y.
jα j
jα j
dt
t
t
t
j=0
j=0
Из этого равенства и (7.10) следует утверждение теоремы.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.2. Преобразование основной системы
103
Система (7.3) в главной части
dy
=
dt
{∑
k
j=0
}
1
Aj y
tjα
не содержит осциллирующих коэффициентов и в этом смысле проще, чем исходная система (7.2). В частности, фундаментальную теорему Левинсона об асимптотическом поведении решений линейных
систем дифференциальных уравнений (см. [45,71,79,128]) можно использовать для построения асимптотики фундаментальной матрицы
системы (7.3). Приведем формулировку теоремы Левинсона, которую
удобно использовать в нашем случае.
Теорема Левинсона. Рассмотрим систему
dx
= (A + V (t) + R(t))x,
dt
(7.11)
где A — постоянная матрица с различными собственными значениями, матрица V (t) стремится к нулевой матрице при t → ∞
и
∫∞
∫∞
∥V ′ (t)∥dt < ∞,
∥R(t)∥dt < ∞.
t0
t0
Обозначим через λj (t) собственные значения матрицы
∆(t) = A + V (t).
Пусть ни одна из разностей Re λk (t) − Re λj (t) не меняет знак,
начиная с некоторого достаточно большого значения t. Тогда
фундаментальная матрица системы (7.11) имеет следующий вид:
{∫ t
}
X(t) = P + o(1) exp
∆(s)ds ,
(
)
t ≥ t∗ ,
t → ∞,
t∗
где P — матрица, составленная из собственных векторов матрицы A, а ∆(t) — диагональная матрица, элементами которой
являются собственные значения матрицы A + V (t).
Из этой теоремы непосредственно вытекает следующая теорема
для системы (7.3).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
104
ГЛАВА 7. Асимптотическое интегрирование . . .
Теорема 7.2. Пусть среди матриц Aj , j = 0, . . . , k первой ненулевой будет матрица Al . Пусть у матрицы Al все собственные
значения различны. Тогда фундаментальная матрица системы
(7.3) имеет следующий вид:
(
{∫ t
)
X(t) = P + o(1) exp
}
Λ(s)ds ,
t ≥ t∗ ,
t → ∞,
t∗
где P — матрица, составленная из собственных векторов матрицы Al , а Λ(t) — диагональная матрица, элементами которой
∑
являются собственные значения матрицы kj=l t−jα Aj .
Для доказательства теоремы следует только заметить, что система дифференциальных уравнений
∑ 1 ]
dx [ 1
= l Al +
Aj x
dt
t
tj
j=l+1
c помощью замены τ = t1−l приводится к виду
]
∑ 1
dx
1 [
=
Al +
Aj x,
t = t(τ ).
dτ
1−l
tj−l
j=l+1
7.3. Асимптотическое интегрирование
адиабатического осциллятора
В качестве примера рассмотрим уравнение
)
d2 y (
1
+ 1 + α sin λt y = 0,
(7.12)
dt2
t
где λ, α — вещественные числа и 0 < α ≤ 1. Задача асимптотического интегрирования уравнения (7.12) (“адиабатический осциллятор”)
исследовалась в работах [137–139,185,186]. Была получена асимпто1
тика решений для ≤ α ≤ 1. Метод, предложенный в этом парагра2
фе, может быть использован, чтобы получить (простейшим путем)
все известные результаты об асимптотике решений уравнения (7.12)
и установить новые результаты.
От уравнения (7.12) перейдем к системе уравнений (x = (x1 , x2 ))
с помощью замены переменных
y = x1 cos t + x2 sin t,
y ′ = −x1 sin t + x2 cos t.
(7.13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.3. . . . интегрирование адиабатического осциллятора
105
Мы получим систему
dx
1
= α A(t)x.
dt
t
Нам удобно записать матрицу A(t) в комплексной форме
(7.14)
A(t) = a1 ei(λ+2)t + ā1 e−i(λ+2)t + a2 ei(λ−2)t + ā2 e−i(λ−2)t + a3 eiλt + ā3 e−iλt ,
где
1
a1 =
8
(
−1 i
i 1
)
,
1
a2 =
8
(
1 i
i −1
)
1
a3 =
8
,
(
0 −2i
2i 0
)
,
и матрицы ā1 , ā2 , ā3 являются комплексно сопряженными к матрицам
a1 , a2 , a3 соответственно.
Величины α и λ оказывают существенное влияние на поведение решений системы (7.14). В последующем R(t) будет обозначать
квадратную матрицу порядка 2, которая удовлетворяет неравенству
∥R(t)∥ ≤ C3 < ∞
для всех t.
1
Пусть сначала
< α ≤ 1. Для λ ̸= ±2 система (7.3) в нашем
2
случае принимает форму
dy
1
= 1+ε R(t)y,
dt
t
ε > 0.
Следовательно, легко видеть (с учетом замены (7.13)), что фундамен1
тальная система решений уравнения (7.12) для < α ≤ 1, λ ̸= ±2
2
при t → ∞ имеет вид
x1 = cos t + o(1),
x′1 = − sin t + o(1),
x2 = sin t + o(1),
x′2 = cos t + o(1).
В дальнейшем фундаментальную систему решений уравнения (7.12)
будем представлять в виде матрицы со строками x1 , x2 и x′1 , x′2 .
Пусть теперь λ = ±2. Для определенности предположим, что
λ = 2. Тогда система (7.3) принимает форму
1
1
dy
= α A1 y + 1+ε R(t)y,
dt
t
t
Здесь
1
a2 + ā2 = A1 =
4
(
ε > 0.
1 0
0 −1
)
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
106
ГЛАВА 7. Асимптотическое интегрирование . . .
Из теоремы 7.2 следует, что при t → ∞ фундаментальная матрица
системы (7.14) выглядит следующим образом:
 {t

∫ 1 −α }
0
[
] exp
4 s ds

∗
t
.
Y (t) = I + o(1) 
{
}


∫t 1 −α
0
exp − 4 s ds
t∗
Следовательно, для α = 1, λ = 2 мы получим фундаментальную
систему решений уравнения (7.12) в виде
)
1
[
] ( 41
t cos t t− 4 sin t
I + o(1)
,
1
1
−t 4 sin t t− 4 cos t
а для
1
< α < 1, λ = 2 при t → ∞ получим
2

{
}
{
}

[
] exp t1−α cos t exp − t1−α sin t
{4(1−α)
}
{ 4(1−α)
}
.
I + o(1) 
1−α
t
t1−α
− exp 4(1−α) sin t exp − 4(1−α) cos t
1
Заметим, что для λ = ±2,
< α ≤ 1 уравнение (7.12) имеет
2
неограниченные решения, причем для α = 1 мы получим степенной
рост решений, а для α ̸= 1 — экспоненциальный рост решений.
1
1
Пусть теперь < α ≤ . В этом случае замена переменных (7.4)
3
2
преобразует систему (7.14) в систему
dy
1
1
1
= α A1 y + 2α A2 y + 1+ε R(t)y,
dt
t
t
t
ε > 0.
Если λ ̸= ±2, ±1, то матрица A1 — нулевая, а матрица A2 имеет вид
[ 1
]
1
1
A2 = i
(a1 ā1 −ā1 a1 )+
(a2 ā2 −ā2 a2 )+ (a3 ā3 −ā3 a3 ) . (7.15)
λ+2
λ−2
λ
Вычислив матрицу A2 , получим
1
A2 =
4(λ2 − 4)
Система
(
0 1
−1 0
dy
1
= 2α A2 y
dt
t
)
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.3. . . . интегрирование адиабатического осциллятора
107
является интегрируемой. Отсюда получим, что при t → ∞ фундамен1
тальная система решений уравнения (7.12) для α = , λ ̸= ±2, ±1,
2
имеет вид
)
[
](
cos(t + γ ln t) sin(t + γ ln t)
I + o(1)
,
− sin(t + γ ln t) cos(t + γ ln t)
1
1
1
.
Для
<
α
<
, λ ̸= ±2, ±1 фундаментальная
4(λ2 − 4)
3
2
система решений уравнения (7.12) имеет вид
(
(
)
(
) )
t1−2α
t1−2α
[
]
cos t + γ (1−2α)
sin t + γ (1−2α)
(
)
(
) ,
I + o(1)
t → ∞.
t1−2α
t1−2α
− sin t + γ (1−2α) cos t + γ (1−2α)
где γ =
1
Пусть теперь α = , λ = 1. В этом случае A1 — нулевая матрица,
2
а матрица A2 определяется формулой
1
1
iA2 = − a1 ā1 + ā1 a1 −ā2 a2 +a2 ā2 −a3 ā3 +ā3 a3 +a2 a3 +a3 a2 −ā2 ā3 +ā3 ā2 .
3
3
Простое вычисление дает
1
A2 =
24
(
0 −5
−1 0
)
.
Соответствующая система (7.3) имеет форму
dy
1
1
= A2 y + 1+ε R(t)y,
dt
t
t
ε > 0.
Интегрируя систему
dy
1
= A2 y,
dt
t
мы получим фундаментальную матрицу этой системы
( √ ρ √ −ρ )
− 5t
5t
,
Y (t) =
ρ
t
t−ρ
√
5
где ρ =
. Тогда фундаментальная система решений уравнения
24
1
(7.12) для α = , λ = 1 и t → ∞ имеет вид
2
)
[
]( ρ
t sin(t − β) t−ρ sin(t + β)
I + o(1)
,
tρ cos(t − β) t−ρ cos(t + β)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
108
ГЛАВА 7. Асимптотическое интегрирование . . .
где
√
ρ=
Если
5
,
24
β = arctg
√
5,
0<β<
π
.
2
(7.16)
1
1
< α < и λ = 1, то приходим к системе
3
2
dy
1
1
= 2α A2 y + 1+ε R(t)y,
dt
t
t
ε > 0.
C помощью теоремы 7.2 мы получим асимптотику фундаментальной
матрицы этой системы, а затем с учетом замены (7.13) и асимптотику фундаментальной системы решений уравнения (7.12) при
1
1
< α < , λ = 1 и t → ∞:
3
2
(
)
[
] exp{ρ t1−2α } sin(t − β) exp{−ρ t1−2α } sin(t + β)
{ t1−2α
{ t1−2α
I + o(1)
,
1−2α }
1−2α }
exp ρ 1−2α cos(t − β) exp −ρ 1−2α cos(t + β)
1
где ρ и β определяются формулами (7.16). Таким образом, при α = ,
2
1
1
λ = 1 мы получим степенной рост решений, а при
< α < ,
3
2
λ = 1 — экспоненциальный рост.
1
Положим α = , λ = 2. Тогда простые вычисления показывают,
2
что матрицы A1 , A2 выглядят следующим образом:
(
)
(
)
1 1 0
1
0 −1
A1 =
, A2 =
.
4 0 −1
64 1 0
Следовательно, приходим к системе
dy
1
1
1
= 1 A1 y + A2 y + 1+ε R(t)y,
dt
t
t
t2
ε > 0.
(7.17)
Вычисляем собственные значения матрицы
1
A1 + A2
t
t
1
1
2
и с помощью теоремы 7.2 получаем асимптотику фундаментальной
матрицы системы (7.17). Затем находим фундаментальную систему
1
решений уравнения (7.12) при α = , λ = 2 и t → ∞:
2
)
(
[
]
exp{ϕ(t)} cos t exp{−ϕ(t)} sin t
I + o(1)
,
− exp{ϕ(t)} sin t exp{−(ϕ(t)} cos t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.3. . . . интегрирование адиабатического осциллятора
109
1√
где ϕ(t) =
t.
2
1
1
При < α < , λ = 2 вместо системы (7.17) получим систему
3
2
dy
1
1
1
= α A1 y + 2α A2 y + 1+ε R(t)y, ε > 0
dt
t
t
t
с теми же матрицами A1 , A2 . Поэтому нетрудно выписать асимптотику фундаментальной системы решений уравнения (7.12) и для
1
1
< α < , λ = 2 и t → ∞.
3
2
1
Пусть, наконец, α = , λ ̸= ±2, ±1. Тогда оказывается, что мат3
рица A1 — нулевая матрица, а матрица A2 определяется формулой
2
(7.15). Матрица A3 отличается от нулевой только при λ = ± . Пусть
3
2
λ = . Система (7.3) принимает форму
3
dy
1
1
1
= 2 A2 y + A3 y + 1+ε R(t)y, ε > 0,
dt
t
t
t3
где матрицы A2 , A3 определяются формулами
(
)
(
)
9
27
0 −1
−1 0
A2 =
, A3 =
.
0 1
128 1 0
1024
Вычисляем собственные значения матрицы t− 3 A2 + t−1 A3 . Эти собственные значения чисто мнимые при достаточно больших t. Далее, по уже неоднократно используемой схеме находим асимптотику
фундаментальной системы решений уравнения (7.12). Отметим толь1
ко, что решения уравнения (7.12) будут ограниченными при α = ,
3
2
λ = ± и t → ∞.
3
Метод построения асимптотики решений линейных дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами,
излагаемый в этом параграфе, получил существенное развитие в работах П.Н. Нестерова (см., например [73, 161]).
2
Упражнение 7.1. Рассмотрим систему уравнений
d2 y
d2 x
a cos 2t
b cos 2t
2
2
+
ω
y,
+
ω
x.
x
=
y
=
1
2
dt2
t
dt2
t
Построить асимптотику решений этой системы при t → ∞, если
a) ω1 + ω2 = 2,
b) ω1 − ω2 = 2.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 8
Линейные сингулярно
возмущенные уравнения
c почти периодическими
коэффициентами
Рассмотрим сингулярно возмущенный дифференциальный оператор
dx
− Ax,
dt
где ε > 0 — малый параметр, A — постоянная квадратная матрица
порядка n. Если все собственные значения матрицы A имеют ненулевые вещественные части, то вышеуказанный оператор регулярен в
пространстве Bn и для решений однородной системы уравнений
L(ε)x = ε
dx
− Ax = 0
dt
имеет место экспоненциальная дихотомия решений. Отсюда непосредственно следует, что пространство решений U (ε) этой системы
представимо в виде
ε
U (ε) = U+ (ε) + U− (ε).
Для решений x+ (t, ε) ∈ U+ (ε) выполнено неравенство
|x+ (t, ε)| ≤ M+ e−γ+
(t−s)
ε
|x+ (s, ε)|,
−∞ < s ≤ t < ∞,
а для решений x− (t, ε) ∈ U− (ε) — неравенство
|x− (t, ε)| ≤ M− e−γ−
(t−s)
ε
|x+ (s, ε)|,
−∞ < t ≤ s < ∞.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 8. . . . сингулярно возмущенные уравнения . . .
111
Здесь M+ , M− , γ+ , γ− — положительные постоянные.
Покажем, что для сингулярно возмущенных дифференциальных
операторов с периодическими или пп коэффициентами при достаточно малых значениях параметра ε справедливы аналогичные результаты.
Рассмотрим сингулярно возмущенный дифференциальный оператор
dx
L(ε)x = ε − A(t)x,
(8.1)
dt
где ε > 0 — малый параметр, A(t) — квадратная матрица порядка n,
элементы которой — пп функции.
Исследуем вопрос о регулярности оператора L(ε). Для этого нам
понадобится критерий регулярности оператора с пп коэффициентами, принадлежащий Э.М. Мухамадиеву (cм. [48]).
Пусть hj (j = 1, 2, . . .) — произвольная последовательность вещественных чисел. Если f (t) — пп функция, то из последовательности
пп функций
f (t + hj ), j = 1, 2, . . .
(8.2)
можно выделить подпоследовательность, которая равномерно сходится на всей вещественной оси. Совокупность пп функций, которая
состоит из всех функций f (t + h), −∞ < h < ∞ и пределов последовательностей (8.2), обозначим через H[f (t)]. Очевидным образом
определяется множество пп матриц H[A(t)].
Теорема 8.1 (Мухамадиев). Оператор
Lx =
dx
+ A(t)x
dt
с пп матрицей A(t) регулярен в том и только в том случае, когда
у всех однородных уравнений
dx
+ A∗ (t)x = 0
dt
(A∗ (t) ∈ H[A(t)])
нет отличных от нулевого решений, ограниченных на всей вещественной оси.
Будем говорить, что спектр пп матрицы A(t) отделен от мнимой
оси, если при всех t ∈ R ее собственные значения лежат в части
комплексной плоскости, задаваемой неравенством
| Re λ| ≥ ν0 > 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
112
ГЛАВА 8. . . . сингулярно возмущенные уравнения . . .
Теорема 8.2. Если спектр матрицы A(t) отделен от мнимой оси,
то оператор (8.1) равномерно регулярен при достаточно малых ε.
Доказательство. Предположим, что оператор L(ε) не является регулярным при достаточно малых ε. Тогда в силу теоремы 8.1 найдутся такие последовательности чисел εj → 0 и почти периодических
матриц Aj (t) ∈ H[A(t)], что каждое из уравнений
εj
dx
− Aj (t)x = 0
dt
(8.3)
имеет нормированное единицей (∥xj (t)∥Bn = 1) ограниченное при
всех t ∈ R решение. Считаем, что в некоторой точке tj выполнено
неравенство |xj (tj )| ≥ 1/2. Произведем замену времени t = εj τ + tj ,
которая приведет уравнение (8.3) к виду
dy
− Aj (εj τ + tj )y = 0.
dτ
(8.4)
Решением уравнения (8.4) является функция yj (τ ) = xj (εj τ + tj ),
норма которой равна единице и производная которой ограничена на
всей оси некоторой постоянной, не зависящей от j. Поэтому в силу
теоремы Арцела последовательность yj (τ ) компактна на каждом конечном промежутке. Не умаляя общности, можно считать, что равномерно на каждом конечном промежутке изменения τ последовательность матриц Aj (εj τ + tj ) сходится к некоторой постоянной матрице A0 , которая входит в множество H[A(t)], а последовательность
yj (τ ) сходится к некоторой функции y0 (τ ). Очевидно, ∥y0 (τ )∥Bn = 1
и |y0 (0)| ≥ 1/2. Вектор-функция y0 (τ ) является решением уравнения
dy
− A0 y = 0,
dτ
которое не может иметь ограниченных на всей оси решений, отличных от тривиального, так как у матрицы A0 нет собственных
значений, лежащих на мнимой оси.
Приведенное доказательство принадлежит В.Ф. Чаплыгину
(см. [97, 98]). Из регулярности оператора L(ε) следует экспоненциальная дихотомия решений однородного уравнения
ε
dx
− A(t)x = 0.
dt
(8.5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 8. . . . сингулярно возмущенные уравнения . . .
113
Остановимся на этом вопросе подробнее и опишем другую схему доказательства теоремы 8.2, принадлежащую В.А. Коппелю [121,
122] и К.В. Чангу [118]. Это доказательство теоремы 8.2 основывается на следующих двух леммах.
Лемма 8.1. Пусть A(t) — непрерывно дифференцируемая n × n
матричная функция, которая ограничена по норме при всех t
(|A(t)| ≤ M ) и A(t) имеет k собственных значений с вещественной частью Re λ ≤ −µ/2 и n − k собственных значений с вещественной частью Re λ ≥ µ/2. Тогда существует положительная
постоянная β = β(M, µ) такая, что, если для всех t выполняется
неравенство
|A′ (t)| ≤ β,
то система дифференциальных уравнений
dx
= A(t)x
dt
(8.6)
имеет фундаментальную матрицу U (t), удовлетворяющую неравенствам
|U (t)P U −1 (s)| ≤Ke
−µ(t−s)
4
−1
−µ(s−t)
4
|U (t)(I − P )U
(s)| ≤Ke
,
t ≥ s,
,
s ≥ t,
(8.7)
где K — положительная постоянная, зависящая только от M и
µ, и
(
)
Ik 0
P =
.
0 0
Лемма 8.2. Пусть система (8.6) имеет фундаментальную матрицу, удовлетворяющую неравенствам (8.7). Тогда существует
положительная постоянная γ = γ(K, µ) такая, что, если B(t) —
непрерывная матрица и |B(t) − A(t)| ≤ γ при всех t, то система
уравнений
dy
= B(t)y
dt
имеет фундаментальную матрицу Y (t), удовлетворяющую условиям экспоненциальной дихотомии
|Y (t)P Y −1 (s)| ≤Le
−µ(t−s)
8
|Y (t)(I − P )Y −1 (s)| ≤Le
−µ(s−t)
8
,
t ≥ s,
,
s ≥ t,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
114
ГЛАВА 8. . . . сингулярно возмущенные уравнения . . .
где L — положительная постоянная, зависящая только от K и
µ.
Опираясь на эти две леммы, легко получить доказательство теоремы 8.2. В системе (8.5) сделаем замену времени t = ετ . Получим
систему
dx
= A(ετ )x.
(8.8)
dτ
Если бы матрица A(t) была дифференцируемой, то доказательство
теоремы 8.2 непосредственно следовало бы из леммы 8.1. Так как
эта матрица не предполагается дифференцируемой, то необходимо
сначала ввести вспомогательную матрицу
∫τ +1
Dε (τ ) =
A(εs)ds
τ
и получить теорему 8.2 сначала для системы с матрицей Dε (τ ), a
затем уже и для системы (8.8). Отметим еще раз тот важный факт,
что для решений системы (8.5) при достаточно малых ε имеет место
экспоненциальная дихотомия решений. Пространство решений U (ε)
представимо в виде
U (ε) = U+ (ε) + U− (ε).
Для решений x+ (t, ε) ∈ U+ (ε) выполнено неравенство
|x+ (t, ε)| ≤ M+ e−γ+
(t−s)
ε
|x+ (s, ε)|,
−∞ < s ≤ t < ∞,
а для решений x− (t, ε) ∈ U− (ε) — неравенство
|x− (t, ε)| ≤ M− e−γ−
(t−s)
ε
|x+ (s, ε)|,
−∞ < t ≤ s < ∞.
Здесь M+ , M− , γ+ , γ− — положительные постоянные.
Таким образом, если спектр матрицы A(t) отделен от нуля, то при
достаточно малых ε нулевое решение системы (8.5) асимптотически
устойчиво, если все собственные значения матрицы A(t) имеют отрицательные вещественные части, и неустойчиво, если у этой матрицы
есть собственные значения с положительной вещественной частью.
Рассмотрим два дифференциальных выражения
dx
− A(t)y − B(t)y,
dt
dy
ε − C(t)x − D(t)y,
dt
(8.9)
(8.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 8. . . . сингулярно возмущенные уравнения . . .
115
где A(t), D(t) — квадратные матрицы, а B(t), C(t) — прямоугольные матрицы, ε > 0 — малый параметр. Элементы всех матриц — пп
функции. Дифференциальные выражения определяют в пространстве Bn оператор K(ε). Введем еще в рассмотрение оператор
K0 x =
]
dx [
− A(t) − B(t)D−1 (t)C(t) x.
dt
Оказывается, что оператор K(ε) равномерно регулярен, если оператор K0 регулярен и спектр матрицы D(t) отделен от нуля. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 8.2
(см. [98]).
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dx
= A(t)x + B(t)y,
dt
dy
ε = C(t)x + D(t)y.
dt
(8.11)
Теорема 8.3. Пусть нулевое решение системы
]
dx [
− A(t) − B(t)D−1 (t)C(t) x = 0
dt
асимптотически устойчиво. Пусть спектр матрицы D(t) лежит
в левой полуплоскости. Тогда нулевое решение системы (8.11)
асимптотически устойчиво при достаточно малых ε.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Часть II
Усреднение
нелинейных уравнений
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 9
Системы в стандартной
форме c почти
периодическими
коэффициентами.
Первое приближение
9.1. Постановка задачи
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений следующего
вида:
dx
= εX(t, x),
(9.1)
dt
где x − n-мерный вектор, ε > 0 — малый параметр, изменяющийся
в промежутке (0, ε0 ), вектор-функция X(t, x) определена при t ∈ R,
x ∈ D, где D — ограниченное множество в n-мерном пространстве
(|x| ≤ a). Правые части системы (9.1) пропорциональны малому параметру. Согласно терминологии, введенной Н.Н. Боголюбовым, такие системы называются системами в стандартной форме. К исследованию систем в стандартной форме приводят многие прикладные
задачи.
Если существует среднее значение
1
T →∞ T
∫T
lim
X(t, ξ)dt = X0 (ξ),
0
ξ ∈ D,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.2. Теорема существования. Пп случай
119
то системе (9.1) можно сопоставить усредненную систему
dξ
= εX0 (ξ).
dt
Пусть алгебраическая система уравнений
(9.2)
X0 (ξ) = 0
имеет решение ξ = ξ0 , которое, очевидно, будет стационарным решением системы (9.2).
При каких условиях система (9.1) имеет решение x(t, ε), близкое
к решению ξ = ξ0 усредненной системы (9.2)? Ответ на этот вопрос
дает следующая теорема (Боголюбов [17]).
9.2. Теорема существования.
Почти периодический случай
Для упрощения формулировки предположим, что ξ0 — нулевой
вектор.
Теорема 9.1. Пусть
1) X(t, x) пп по t равномерно относительно x ∈ D;
2) существует производная A(t) = Xx (t, 0), причем при t ∈ R,
|x1 |, |x2 | ≤ r ≤ a выполняется неравенство
|X(t, x1 ) − X(t, x2 ) − A(t)(x1 − x2 )| ≤ ω(r)|x1 − x2 |,
где ω(r) → 0 при r → 0;
3) матрица
1
A = lim
T →∞ T
∫T
A(s)ds
0
не имеет собственных значений с нулевой вещественной частью;
4)
∫T
1
lim X(σ, 0)dσ = 0.
T →∞ T
0
Тогда существуют такие a0 , ε1 > 0, что при 0 < ε < ε1 система (9.1) имеет единственное, лежащее в шаре |x| ≤ a0 при всех t,
пп решение x(t, ε) и
lim
sup
ε→0 −∞<t<∞
|x(t, ε)| = 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
120
ГЛАВА 9. Системы в стандартной форме . . .
Сделаем некоторые замечания к формулировке теоремы. Условие
2) теоремы 9.1 заведомо выполняется, если вектор-функция X(t, x)
имеет непрерывные частные производные Xxi (t, x), (i = 1, . . . , n) в
некоторой окрестности точки x = 0 и эти производные непрерывны
по x равномерно относительно t ∈ R. Условие 4) просто означает,
что усредненная система (9.2) имеет стационарное решение ξ = 0.
Наиболее существенным является условие 3). Матрица линейной системы, которая получается при линеаризации усредненной системы
на стационарном решении, не имеет собственных значений с нулевой
вещественной частью. Из этого предположения и леммы о регулярности (см. п. 3.2.) следует, что при достаточно малых ε оператор
(t)
dx
Lε x =
−A
x
dt
ε
является регулярным.
Теперь перейдем к доказательству теоремы.
Доказательство. Отметим сначала, что в силу условия 1) теоремы
оператор
F x = X(t, x)
определен и непрерывен на шаре ∥x∥ ≤ a пространства Bn пп векторфункций и его значения принадлежат Bn . В силу условий 1) и 2)
A(t) — пп матрица.
Систему (9.1) запишем в виде
[
]
[
]
dx
= εAx + ε A(t) − A x + ε X(t, x) − A(t)x
dt
и перейдем к новому времени τ = εt. Получим систему
[ (τ )
]
[ (τ )
(τ ) ]
dx
= Ax + A
− A x + X ,x − A
x .
dτ
ε
ε
ε
(9.3)
Задача о пп решениях системы (9.3) эквивалентна вопросу о разрешимости в пространстве Bn операторного уравнения
∫∞
x(τ ) =
∫∞
+
−∞
−∞
[ (σ )
]
G(τ − σ) A
− A x(σ)dσ+
ε
)
(σ )
]
[ (σ
x(σ) dσ,
G(τ − σ) X , x(σ) − A
ε
ε
(9.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.2. Теорема существования. Пп случай
121
где G(τ ) — функция Грина задачи об ограниченных решениях системы
dx
= Ax + f (τ ).
dτ
Покажем, что линейный оператор
∫∞
Γ(ε)h(τ ) = h(τ ) −
−∞
[ (σ )
]
G(τ − σ) A
− A h(σ)dσ
ε
непрерывно обратим в Bn при достаточно малых ε. Действительно,
из равенства
Γ(ε)h(τ ) = g(τ ),
где g(τ ) ∈ Bn , вытекает, что функция z(τ ) = h(τ ) − g(τ ) является пп
решением системы
(τ )
[ (τ )
]
dz
=A
z+ A
− A g(τ ).
dτ
ε
ε
Как мы уже отмечали, в силу условия 3) теоремы и леммы о регулярности следует, что при достаточно малых ε оператор
(τ )
dz
Lε z =
−A
z
dτ
ε
регулярен. Поэтому
]
[ (τ )
−1
∥z∥ = ∥h − g∥ = Lε A
− A g(τ ) ≤ K∥L−1
ε ∥∥g∥,
ε
(9.5)
(τ )
sup A
− A ≤ K.
ε
−∞<τ <∞
где
Из неравенства (9.5) вытекает, что
∥h∥ = ∥Γ−1 (ε)g∥ ≤ c∥g∥,
где c — некоторая постоянная. Таким образом, при достаточно малых
ε все операторы Γ(ε) имеют равномерно ограниченные обратные операторы Γ−1 (ε), (∥Γ−1 (ε)∥ ≤ c). Поэтому от операторного уравнения
(9.4) можно перейти к следующему эквивалентному уравнению
−1
∫∞
x(τ ) = Γ (ε)
−∞
[ (σ
)
(σ )
]
G(τ − σ) X , x(σ) − A
x(σ) dσ.
ε
ε
(9.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
122
ГЛАВА 9. Системы в стандартной форме . . .
Оператор
−1
∫∞
Π(x, ε) = Γ (ε)
−∞
)
(σ )
[ (σ
]
x(σ) dσ
G(τ − σ) X , x(σ) − A
ε
ε
(9.7)
в силу условия 2) теоремы удовлетворяет условию Липшица
∥Π(x, ε) − Π(y, ε)∥ ≤ cM ω(r)∥x − y∥
(∥x∥, ∥y∥ ≤ r),
где M — некоторая постоянная. Отсюда, в частности, вытекает неравенство
∥Π(x, ε)∥ ≤ cM ω(r)∥x∥ + ∥Π(0, ε)∥
(∥x∥ ≤ r).
Оценим норму элемента Π(0, ε):
∫∞
(σ ) −1
∥Π(0, ε)∥ = Γ (ε)
G(τ − σ)X , 0 dσ ≤ cp(ε),
ε
−∞
где
∫∞
(σ ) p(ε) = sup G(τ − σ)X , 0 dσ .
ε
−∞<τ <∞
−∞
Из условия 4) теоремы и леммы Боголюбова (см. п. 2.3.) следует,
что
lim p(ε) = 0.
ε→0
Теперь выберем числа ε1 и a0 так, чтобы при 0 < ε < ε1 выполнялись
неравенства
cM ω(a0 ) = q < 1,
∥Π(0, ε)∥ ≤ (1 − q)a0 .
Отметим, что при εn → 0 последовательность a0 (εn ) можно выбрать
так, чтобы a0 (εn ) → 0.
Оператор (9.7) при 0 < ε < ε1 на шаре ||x|| ≤ a0 пространства
Bn удовлетворяет условиям принципа сжатых отображений. Поэтому операторное уравнение (9.6) имеет в этом шаре единственное
решение x(t, ε).
Теорема доказана.
Если X(t, x) по переменной t является правильной пп функцией, то при доказательстве теоремы можно не использовать лемму
Боголюбова (замечание 3.1).
Отметим еще, что изложенное доказательство теоремы 9.1 близко
к намеченному в статье [38] доказательству.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.3. Теорема существования. Периодический случай
123
9.3. Теорема существования.
Периодический случай
Для системы с периодическими коэффициентами условие 3) теоремы 9.1 можно ослабить. Регулярность соответствующего оператора
следует из отсутствия у матрицы A нулевого собственного значения.
Сформулируем ради удобства аналог теоремы 9.1 для периодического
случая.
Теорема 9.2. Пусть
1) X(t, x) — T -периодическая и непрерывная по t функция;
2) вектор-функция X(t, x) имеет непрерывные частные производные Xxi (t, x), (i = 1, . . . , n) в некоторой окрестности точки x = 0,
и эти производные непрерывны по x равномерно относительно t;
3) A(t) = Xx (t, 0), и матрица
1
A=
T
∫T
A(s)ds
0
не имеет нулевого собственного значения;
4)
∫T
1
= 0.
X(σ,
0)dσ
T
0
Тогда существуют такие a0 , ε1 > 0, что при 0 < ε < ε1 система (9.1) имеет единственное, лежащее в шаре |x| ≤ a0 при
всех t, периодическое c периодом T решение x(t, ε) и норма этого
решения стремится к 0 при ε → 0 равномерно по t ∈ [0, T ].
Доказательство теоремы 9.2 почти полностью повторяет доказательство теоремы 9.1. Только вместо леммы о регулярности нужно
использовать вариант этой леммы для периодического случая (см.
п. 3.3.). Отметим еще, что в периодическом случае можно не использовать лемму Боголюбова (см. замечание 3.1).
В периодическом случае можно оценить порядок относительно ε
разности между периодическим решением точной системы и стационарным решением усредненной системы.
Мы изложим другой метод доказательства теоремы 9.2, использующий обычную в методе усреднения замену переменных. Такие
замены необходимы при построении высших приближений метода
усреднения и будут подробно изложены в дальнейшем.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
124
ГЛАВА 9. Системы в стандартной форме . . .
Рассмотрим в Rn систему
dx
= εX1 (t, x) + ε2 X2 (t, x, ε),
dt
(9.8)
где ε > 0 — малый параметр, вектор-функция X1 (t, x) определена
при t ∈ R, x ∈ D ⊂ Rn и периодическая по t с периодом T и
вектор-функция X2 (t, x, ε) определена при t ∈ R, x ∈ D ⊂ Rn и
малых ε и периодическая по t с периодом T . Вектор-функции X1 , X2
непрерывны по t и достаточно гладкие по x в области D.
В системе (9.8) сделаем замену переменных
x = y + εu(t, y),
(9.9)
где периодическая по t с периодом T вектор-функция u(t, y) определяется как периодическое решение с нулевым средним значением
системы
∂u
= X1 (t, y) − Σ(y),
(9.10)
∂t
где
∫T
1
X1 (t, y)dt.
Σ(y) =
T
0
Очевидно, u(t, y) из системы (9.10) определяется однозначно.
Выполним замену (9.9). Получим систему
dy
∂u
∂u dy
+ε
+ε
= εX1 (t, y + εu) + ε2 X2 (t, y + εu, ε).
dt
∂t
∂y dt
Учитывая равенство (9.10), получаем
[
]
[
]
∂u dy
I +ε
= ε X1 (t, y + εu) − X1 (t, y) + Σ(y) + ε2 X2 (t, y + εu, ε).
∂y dt
Отсюда находим, что при достаточно малых ε
}
] 2
dy [
∂u ]−1 { [
= I +ε
ε Σ(y)+X1 (t, y +εu)−X1 (t, y) +ε X2 (t, y +εu, ε) .
dt
∂y
Разлагая по степеням ε выражение в квадратных скобках, приходим
к системе
[
]
( )
dy
∂u
2
= εΣ(y) + ε X1y (t, y)u(t, y) −
Σ(y) + O ε3 ,
dt
∂y
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.3. Теорема существования. Периодический случай
125
которую запишем в виде
dy
= εΣ(y) + ε2 f (t, y, ε).
dt
(9.11)
Теорема 9.2’. Пусть правые части системы (9.11) удовлетворяют
вышеперечисленным условиям. Пусть усредненная система
dx̄
= εΣ(x̄)
dt
(9.12)
имеет стационарное решение x0 ∈ D, т.е. Σ(x0 ) = 0. Пусть матрица A = Σ′ (x0 ) не имеет нулевого собственного значения. Тогда
при достаточно малых ε существует единственное периодическое по t с периодом T решение y ∗ (t, ε) системы (9.11) и
y ∗ (t, ε) − x0 = O(ε).
Доказательство. В системе (9.11) сделаем замену
y = x0 + z.
Получим систему
dz
= εΣ(x0 + z) + ε2 f (t, x0 + z, ε) =
dt
[
]
= εAz + ε Σ(x0 + z) − Az + ε2 f (t, x0 + z, ε).
(9.13)
От системы (9.13) перейдем к эквивалентному интегральному уравнению
z = Π(z, ε),
(9.14)
где
∫∞
Π(z, ε) = ε
[
]
Gε (t − s) Σ(x0 + z) − Az + εf (s, x0 + z, ε) ds,
−∞
dz
− εAz для задачи
dt
об ограниченных решениях. Оператор εL−1
ограничен в пространz
стве периодических вектор-функций PT (cм. п. 3.3.). Вектор-функция
а Gε (t) — функция Грина оператора Lz =
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
126
ГЛАВА 9. Системы в стандартной форме . . .
Σ(x0 + z) − Az удовлетворяет условию Липшица с некоторой постоянной, зависящей от нормы z и стремящейся к нулю вместе с этой
нормой. Поэтому оператор Π(z, ε) удовлетворяет условиям принципа сжатых отображений в пространстве PT при достаточно малых ε
и, следовательно, существует единственное периодическое решение
z ∗ (t, ε). Используем последовательные приближения при вычислении
решения z ∗ (t, ε) операторного уравнения (9.14). Выбирая z0 = 0, получаем |z ∗ (t, ε)| = O(ε).
Отсюда следует, что при указанных выше условиях система (9.11)
имеет единственное T -периодическое решение y ∗ (t, ε) и
y ∗ (t, ε) = x0 + O(ε).
Можно было предполагать, что вектор-функции X1 (t, x), X2 (t, x, ε)
имеют по t конечное число точек разрыва (скачков) на периоде. После первого шага метода последовательных приближений, примененного к операторному уравнению (9.14), получим уже непрерывную
по t вектор-функцию.
9.4. Исследование устойчивости
почти периодического решения
Пусть выполнены условия теоремы 9.1. Обозначим существующее в силу этой теоремы пп решение системы (9.1) через x0 (t, ε).
Изучим устойчивость решения x0 (t, ε) в зависимости от устойчивости нулевого решения системы (9.2).
Теорема 9.3. Пусть выполнены условия теоремы 9.1, причем вектор-функция X(t, x) имеет непрерывные частные производные
Xxi (t, x) (i = 1, . . . , n) в некоторой окрестности точки x = 0 и эти
производные непрерывны по x равномерно относительно t ∈ R.
Тогда
1) Если все собственные значения матрицы A имеют отрицательные вещественные части, то при достаточно малых ε решение x0 (t, ε) системы (9.1) асимптотически устойчиво.
2) Если же у матрицы A есть по крайней мере одно собственное значение с положительной вещественной частью, то решение
x0 (t, ε) при достаточно малых ε неустойчиво.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.4. Исследование устойчивости пп решения
127
3) Если в случае 1) ψ(t, t0 , x0 ), (ψ(t0 , t0 , x0 ) = x0 ) — решение усредненной системы (9.2), лежащее в области притяжения решения
x = 0 вместе с его некоторой ρ-окрестностью (ρ > 0), то для
любого α (0 < α < ρ) существуют числа ε1 (α) (0 < ε1 < ε0 ) и β(α)
такие, что для всех 0 < ε < ε1 решение φ(t, t0 , ξ0 ) системы (9.1),
лежащее в области притяжения решения x0 (t, ε), для которого
|x0 − ξ0 | < β, удовлетворяет неравенству
|φ(t, t0 , ξ0 ) − ψ(t, t0 , x0 )| < α,
t ≥ t0 .
Доказательство. В системе (9.1) сделаем замену
x = x0 (t, ε) + y.
Получим систему
dy
= εX(t, x0 + y) − εX(t, x0 ).
dt
(9.15)
Вопрос об устойчивости решения x0 (t, ε) системы (9.1) сводится к
вопросу об устойчивости нулевого решения системы (9.15). Запишем
систему (9.15) в виде
dy
= εA1 (t, ε)y + εω(t, y),
dt
(9.16)
где A1 (t, ε) = Xx (t, x0 (t, ε)) и
ω(t, y) = X(x, x0 (t, ε) + y) − X(t, x0 (t, ε)) − A1 (t, ε)y.
Очевидно, ω(t, 0) ≡ 0. Из условий теоремы следует, что матрица
A1 (t, ε) почти периодична по t равномерно относительно ε и
lim
sup
ε→0 −∞<t<∞
|A1 (t, ε) − A(t)| = 0,
(9.17)
вектор-функция ω(t, y) удовлетворяет неравенству
|ω(t, y1 ) − ω(t, y2 )| ≤ p(r)|y1 − y2 |,
(|y1 |, |y2 | ≤ r),
(9.18)
где lim p(r) = 0. Сделаем замену времени τ = εt в системе (9.16).
r→0
Получим систему
(τ )
(τ )
dy
= A1 , ε y + ω , y ,
dτ
ε
ε
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
128
ГЛАВА 9. Системы в стандартной форме . . .
которую запишем в виде
(τ ) [ (τ )
( τ )]
(τ )
dy
=A
y+ A1 , ε − A
y + ω ,y .
dτ
ε
ε
ε
ε
(9.19)
В системе (9.19) сделаем замену
y(τ ) = z(τ ) + H(τ, ε)z(τ ),
где
∫∞
H(τ, ε) =
−∞
]
[ (s)
G0 (τ − s) A
− A ds,
ε
а G0 (τ ) — функция Грина задачи об ограниченных решениях для
системы
dx
= Ax + f (τ ).
dτ
После этой замены система (9.19) принимает вид
(τ )
dz
= Az + D(τ, ε)z + g , z ,
dτ
ε
(9.20)
где
(
)−1 [
D(τ, ε) = I + H(τ, ε)
−H(τ, ε)A − AH(τ, ε)+
( τ )]
(τ )
(τ )
+A1 , ε H(τ, ε) + A1 , ε − A
,
ε
ε
ε
и
(τ
)
)−1 ( τ (
) )
g , z = I + H(τ, ε) ω , I + H(τ, ε) z .
ε
ε
(
Так как
lim
sup
ε→0 −∞<τ <∞
|H(τ, ε)| = 0
(в силу леммы Боголюбова) и выполнено предельное равенство (9.17),
то
lim sup |D(τ, ε)| = 0.
ε→0 −∞<τ <∞
(τ
)
, z удовлетворяет неравенству (9.18) с
ε
некоторой функцией q(r), для которой справедливо предельное равенство
lim q(r) = 0.
Далее, вектор-функция g
r→0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.4. Исследование устойчивости пп решения
129
Очевидно, исследование вопроса об устойчивости нулевого решения
для системы (9.19) и (9.20) при достаточно малых ε эквивалентны.
Дальнейшее доказательство теоремы по существу совпадает с доказательством теорем об устойчивости по первому приближению.
Пусть сначала у матрицы A все собственные значения имеют
отрицательные вещественные части. Каждое решение z(τ ) системы
(9.20) является решением системы интегральных уравнений
∫τ
τA
z(τ ) = e z(0) +
(τ −s)A
e
∫τ
D(s, ε)z(s)ds +
0
(τ −s)A
e
g
(s
ε
)
, z(s) ds.
0
Для матрицы eτ A справедлива оценка
|eτ A | ≤ M1 e−γ1 τ ,
τ ≥ 0,
где M1 , γ1 — положительные постоянные. Поэтому при τ ≥ 0
|z(τ )| ≤ M1 e−γ1 τ |z(0)| + p(ε)
∫τ
+
∫τ
M1 e−γ1 (τ −s) |z(s)|ds+
0
(s
)
−γ1 (τ −s) M1 e
g , z(s) ds,
ε
(9.21)
0
где
p(ε) =
sup
−∞<τ <∞
|D(τ, ε)|,
lim p(ε) = 0.
ε→0
Пусть задано η > 0. Число η можно считать настолько малым, что
γ1
β = M1 p(η) + M1 q(η) ≤ .
2
Положим δ = η/(1 + M1 ). Покажем вначале, что из |z(0)| < δ
вытекает неравенство |z(τ )| < η при τ > 0. Действительно, если
τ0 — первый момент времени, при котором |z(τ )| = η, то из (9.21)
вытекает с учетом неравенства
(s
)
g , z(s) ≤ q(η)|z(s)| (|z(s)| ≤ η),
ε
что при 0 ≤ τ ≤ τ0
|z(τ )| ≤ M1 e−γ1 τ |z(0)| + β
∫τ
0
e−γ1 (τ −s) |z(s)|ds.
(9.22)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
130
ГЛАВА 9. Системы в стандартной форме . . .
В силу леммы Гронуолла – Беллмана
η ≤ M1 e−(γ1 +β)τ0 |z(0)|,
откуда
γ1
η < M1 e− 2 τ0
η
< η.
1 + M1
Мы пришли к противоречию.
Следовательно, неравенство (9.22) верно при всех τ > 0. Из той
же леммы Гронуолла – Беллмана вытекает, что
γ1
|z(τ )| ≤ M1 e− 2 τ |z(0)| (τ ≥ 0, |z(0)| < δ).
Первая часть утверждения теоремы доказана.
Пусть теперь у матрицы A есть собственные значения с положительной вещественной частью. Без ограничения общности можно
предполагать, что матрица A представима в блочно-диагональном
виде
(
)
A1 0
A=
,
0 A2
где у матрицы A1 порядка k все собственные значения имеют отрицательные вещественные части, а у матрицы A2 порядка n − k все
собственные значения имеют положительные вещественные части.
Для матриц eτ A1 и eτ A2 справедливы оценки
τA e 1 ≤ M1 e−γ1 τ , τ ≥ 0,
τA e 2 ≤ M2 eγ2 τ , τ ≤ 0,
где M1 , M2 , γ1 , γ2 — положительные постоянные.
Для доказательства неустойчивости достаточно установить существование такого r0 > 0, что в любой окрестности начала координат
есть начальное значение z(0) некоторого решения z(τ ), (0 ≤ τ < ∞)
системы (9.13), не лежащего полностью в шаре |z| ≤ r0 при достаточно малых ε. Как следует из результатов раздела 3.3., ограниченные на [0, ∞) решения z(τ ) системы (9.20) совпадают с решениями
системы нелинейных интегральных уравнений
z(τ ) = T z(τ ),
(9.23)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.4. Исследование устойчивости пп решения
131
где
(
)(
)
z1 (0)
eτ A1 0
T z(τ ) =
+
z2 (0)
0 0
)(
∫τ ( (τ −s)A
(s
))
1
e
0
+
D(s, ε)z(s) + g , z(s) ds−
0
0
ε
0
∫∞ (
−
0
0
(τ −s)A2
0 e
)(
D(s, ε)z(s) + g
(s
ε
))
, z(s)
ds.
τ
Пусть z 1 (τ ) и z 2 (τ ) — два таких ограниченных на [0, ∞) решения
системы (9.23), что z11 (0) = z12 (0), т.е. совпадают первые k компонент
вектора начальных условий, и |z 1 (τ )|, |z 2 (τ )| ≤ r0 при τ ≥ 0. Тогда
|z 1 (τ ) − z 2 (τ )| = |T z 1 (τ ) − T z 2 (τ )| ≤
∫τ
[
]
p(ε) + q(r0 ) e−γ1 (τ −s) |z 1 (s) − z 2 (s)|ds+
≤ M1
0
[
+M2 p(ε) + q(r0 )
]
∫∞
eγ2 (τ −s) |z 1 (s) − z 2 (s)|ds.
τ
Следовательно,
](
)
M1 [
p(ε) + q(r0 ) 1 − e−γτ sup |z 1 (s) − z 2 (s)|+
γ1
0≤s<∞
]
M2 [
+
p(ε) + q(r0 ) sup |z 1 (s) − z 2 (s)| ≤
γ2
0≤s<∞
(
)
]
M1 M2 [
≤
+
p(ε) + q(r0 ) sup |z 1 (s) − z 2 (s)|.
γ1
γ2
0≤s<∞
|z 1 (τ ) − z 2 (τ )| ≤
Выбираем ε и r0 так, чтобы
(
)
] 1
M1 M2 [
+
p(ε) + q(r0 ) < .
γ1
γ2
2
Тогда
|z 1 (τ ) − z 2 (τ )| <
Следовательно, z 1 (τ ) ≡ z 2 (τ ).
1
sup |z 1 (s) − z 2 (s)|.
2 0≤s<∞
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
132
ГЛАВА 9. Системы в стандартной форме . . .
Таким образом, на пересечении шара |z(0)| ≤ r0 с каждой гиперплоскостью z = z1 (0) + v, где v — вектор, у которого первые
k компонент равны нулю, а последние n − k произвольны, есть не
более одной точки, из которой вытекают решения, лежащие в этом
шаре. Иначе говоря, “почти всем” начальным значениям из любой
окрестности начала координат отвечают решения, выходящие при
некотором τ > 0 из шара |z| ≤ r0 . Значит, нулевое решение системы
(9.20) при достаточно малых ε неустойчиво.
Утверждение 3) следует из теоремы 13.5 главы 13 (см. Замечание 13.5).
Теорема доказана.
9.5. Более общая зависимость
от параметра
Рассмотрим более общую, чем (9.1), систему
dx
= εX(t, x, ε).
dt
(9.24)
Системе (9.24) сопоставим усредненную систему
dξ
= εX0 (ξ),
dt
(9.25)
где теперь
1
T →∞ T
∫T
X(s, ξ, 0)ds.
X0 (ξ) = lim
0
Если предположить, что вектор-функция X(t, x, ε) непрерывна по ε
равномерно относительно t ∈ R, x ∈ D (D — некоторая ограниченная область в Rn ) и почти периодична по t равномерно относительно
x, ε, то на системы (9.24), (9.25) распространяются результаты теорем 9.1, 9.3. В частности, к этому классу систем относится система
вида
dx
= εX(t, x) + ε2 X1 (t, x, ε),
(9.26)
dt
где X(t, x) удовлетворяет условиям теорем 9.1, 9.3, а X1 (t, x, ε) почти периодична по t равномерно относительно x, ε и непрерывна по
совокупности переменных.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.5. Более общая зависимость от параметра
133
Доказательства соответствующих теорем для системы (9.24) проходят по той же схеме, что и доказательства теорем 9.1, 9.3. Нам
удобно сформулировать соответствующий результат в виде теоремы.
Теорема 9.4. Пусть
1) X(t, x, ε) почти периодична по t равномерно относительно x, ε и
X(t, x, ε) непрерывна по ε равномерно относительно t ∈ R, x ∈ D;
2) вектор-функция X(t, x, ε) имеет непрерывные частные производные Xxi (t, x, ε), (i = 1, . . . , n) в некоторой окрестности точки
x = 0 и эти производные непрерывны по x равномерно относительно t ∈ R, ε. Пусть A(t) = Xx (t, 0, 0);
3) матрица
∫T
1
A(s)ds
A = lim
T →∞ T
0
не имеет собственных значений с нулевой вещественной частью;
4)
∫T
1
lim X(σ, 0, 0)dσ = 0.
T →∞ T
0
Тогда существуют такие a0 , ε1 > 0, что при 0 < ε < ε1 система (9.24) имеет единственное, лежащее в шаре |x| ≤ a0 при всех
t, пп решение x(t, ε) и
lim
sup
ε→0 −∞<t<∞
|x(t, ε)| = 0.
а) Если все собственные значения матрицы A имеют отрицательные вещественные части, то при достаточно малых ε решение x(t, ε) системы (9.24) асимптотически устойчиво.
б) Если у матрицы A есть по крайней мере одно собственное значение с положительной вещественной частью, то решение x(t, ε)
при достаточно малых ε неустойчиво.
в) Если в случае a) ψ(t, t0 , x0 ), (ψ(t0 , t0 , x0 ) = x0 ) — решение усредненной системы (9.25), лежащее в области притяжения решения
x = 0 вместе с его некоторой ρ-окрестностью, то для любого
α (0 < α < ρ) существуют числа ε1 (α), (0 < ε1 < ε0 ) и β(α) такие, что для всех 0 < ε < ε1 решение φ(t, t0 , ξ0 ) системы (9.24),
лежащее в области притяжения решения x(t, ε), для которого
|x0 − ξ0 | < β, удовлетворяет неравенству
|φ(t, t0 , ξ0 ) − ψ(t, t0 , x0 )| < α,
t ≥ t0 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
134
ГЛАВА 9. Системы в стандартной форме . . .
9.6. Почти периодические решения
квазилинейных систем со многими
степенями свободы
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dx
= Ax + εf (t, x, ε),
dt
x ∈ Rn ,
(9.27)
где ε > 0 — малый параметр, A — постоянная квадратная матрица
порядка n, вектор-функция f (t, x, ε) почти периодическая по t равномерно относительно x ∈ D, ε и достаточно гладкая по переменным x,
ε. Здесь D — некоторое ограниченное множество пространства Rn .
Система (9.27) называется квазилинейной системой. При ε = 0 она
превращается в линейную систему с постоянными коэффициентами.
Если у матрицы A нет собственных значений с нулевой вещественной частью, то система (9.27) (см. [10]) имеет при достаточно
малых ε единственное пп решение. Доказательство этого результата
легко проводится по следующей схеме. От системы (9.27) перейдем
к системе интегральных уравнений
∫∞
x(t) = ε
G(t − s)f (s, x(s), ε)ds = Π(x, ε),
(9.28)
−∞
где G(t) — функция Грина почти периодической краевой задачи для
системы
dx
= Ax.
(9.29)
dt
Оператор Π(x, ε) действует в пространстве Bn пп вектор-функций.
Если f (t, x, ε) удовлетворяет условию Липшица по переменной x,
то при достаточно малых ε оператор Π(x, ε) будет сжимающим и
будет инвариантным на некотором шаре пространства Bn . Поэтому
из принципа сжимающих отображений следует существование единственного пп решения в этом шаре.
Рассмотрим теперь случай, когда все собственные значения матрицы A — чисто мнимые. Будем предполагать, что всем собственным
значениям отвечают только собственные векторы. Иначе говоря, линейно независимые решения системы (9.29) можно выбрать таким
образом, чтобы они являлись периодическими вектор-функциями.
Тогда общее решение системы (9.29) будет пп вектор-функцией и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.6. Пп решения квазилинейных систем . . .
135
имеет вид
x(t) = etA c,
где c — постоянный вектор. Вышеуказанное предположение означает, что каноническая форма матрицы A представляет собой диагональную матрицу, на диагонали которой стоят собственные значения
матрицы A. Такую матрицу A будем называть полупростой. В системе (9.27) сделаем замену переменных
x(t) = etA y(t).
(9.30)
dy
= εe−tA f (t, etA y, ε).
dt
(9.31)
Тогда получим систему
Система (9.31) является системой в стандартной форме с пп коэффициентами. Ее можно усреднить. К системе (9.31) применима
теорема 9.4. Стационарному решению усредненной системы при выполнении условий теоремы 9.4 будет соответствовать при достаточно
малых ε пп решение y(t, ε) системы (9.31). Тогда пп решение системы (9.27) будет определяться формулой (9.30).
Пусть теперь матрица A имеет k < n чисто мнимых собственных
значений и n − k собственных значений с вещественными частями
отличными от нуля. Будем снова предполагать, что чисто мнимым
собственным значениям отвечают только собственные векторы.
В системе (9.27) сделаем замену
x = P y,
(9.32)
где P — такая постоянная матрица, что матрица P −1 AP имеет блочно-диагональный вид
(
)
A1 0
.
0 A2
Здесь A1 — квадратная матрица порядка k, у которой все собственные значения чисто мнимые, A2 — квадратная матрица порядка n−k,
все собственные значения которой имеют ненулевые вещественные
части. Обозначим через y1 — первые k компонент вектора y, а через
y2 — последние n − k компонент этого вектора. Тогда после замены
(9.32) система (9.27) примет вид
dy1
= A1 y1 + εf1 (t, P y1 , P y2 , ε),
dt
dy2
= A2 y2 + εf2 (t, P y1 , P y2 , ε),
dt
(9.33)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
136
ГЛАВА 9. Системы в стандартной форме . . .
где f1 — первые k компонент вектора f , а f2 — последние n − k
компонент этого вектора.
Теперь сделаем замену
y1 = etA1 z1 .
(9.34)
dz1
= εg1 (t, z1 , y2 , ε),
dt
dy2
= A2 y2 + εg2 (t, z1 , y2 , ε),
dt
(9.35)
Получим систему
где
g1 (t, z1 , y2 , ε) = e−tA1 f1 (t, P etA1 z1 , P y2 , ε),
g2 (t, z1 , y2 , ε) = f2 (t, P etA1 z1 , P y2 , ε).
Системе (9.35) сопоставим усредненную систему
dξ
= εΣ(ξ),
dt
где
1
Σ(ξ) = lim
T →∞ T
(9.36)
∫T
g1 (t, ξ, 0, 0)dt.
0
Очевидно, система (9.36) является k-мерной.
Пусть система (9.36) имеет стационарное решение ξ = ξ0 , т.е.
ξ0 — решение системы алгебраических уравнений
Σ(ξ) = 0.
Выясним, при каких условиях этому стационарному решению соответствует пп решение системы (9.35). Эта задача рассматривалась
Малкиным (cм. [57]). Здесь будет приведен более общий результат.
Будем для простоты предполагать, что ξ0 — нулевой вектор. Тогда
вектор-функция g1 (t, 0, 0, 0) будет иметь нулевое среднее значение,
т.е.
∫T
1
lim
g1 (t, 0, 0, 0)dt = 0.
T →∞ T
0
Введем еще матрицу
A0 (t) =
∂g1 (t, u, 0, 0)
|u=0
∂u
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.6. Пп решения квазилинейных систем . . .
137
и матрицу A0 , составленную из ее средних значений, т.е.
1
A0 = lim
T →∞ T
∫T
A0 (s)ds = Σξ (0).
0
Теорема 9.5. Пусть матрица A1 — полупростая и все ее собственные значения — чисто мнимые. Пусть у матрицы A2 все
собственные значения имеют ненулевые вещественные части.
Пусть g1 (t, 0, 0, 0) является правильной пп вектор-функцией, а у
матрицы A0 все собственные значения имеют ненулевые вещественные части.
Тогда при достаточно малых ε система (9.27) имеет пп решение x0 (t, ε), которое при ε = 0 превращается в пп решение
линейной системы
dx
= Ax.
dt
Если все собственные значения матриц A2 и A0 имеют отрицательные вещественные части, то решение x0 (t, ε) при достаточно малых ε асимптотически устойчиво. Если у одной из матриц
A2 , A0 есть по крайней мере одно собственное значение с положительной вещественной частью, то при достаточно малых ε
решение x0 (t, ε) неустойчиво.
Доказательство. В системе (9.35) произведем замену переменных
z1 = u + εa(t),
y2 = εv,
(9.37)
где a(t) — пп вектор-функция c нулевым средним значением, удовлетворяющая уравнению
da
= g1 (t, 0, 0, 0).
dt
Почти периодичность a(t) следует из того, что g1 (t, 0, 0, 0) — правильная пп вектор-функция. Учтем, что f (t, x, ε) достаточно гладкая
по переменным x, ε. Выполняя замену (9.37) и разлагая правые части
системы по степеням ε, получим систему
[
]
du
= ε g1 (t, u, 0, 0) − g1 (t, 0, 0, 0) + εU (t, u, v, ε) ,
dt
[
]
dv
= A2 v + g2 (t, u, 0, 0) + εV (t, u, v, ε) .
dt
(9.38)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
138
ГЛАВА 9. Системы в стандартной форме . . .
От системы (9.38) перейдем к системе операторных уравнений в пространстве Bn . Запишем систему (9.38) в следующем виде:
[
(
du
= ε A0 u + A0 (t) − A0 )u + g1 (t, u, 0, 0)−
dt
)
]
− g1 (t, 0, 0, 0) − A0 (t)u + εU (t, u, v, ε) ,
[
dv
= A2 v + g2 (t, 0, 0, 0) + g2 (t, u, 0, 0) − g2 (t, 0, 0, 0)+
dt
]
+ εV (t, u, v, ε) .
(9.39)
В силу условий теоремы оператор
L1 u =
du
− εA0 u
dt
имеет непрерывный обратный в пространстве Bk , а оператор
L2 v =
dv
− A2 v
dt
имеет непрерывный обратный в пространстве Bn−k .
Оценим норму оператора L−1
1 . Из равенства
∫∞
L−1
1 f =
G1 (ε(t − s))f (s)ds
−∞
получим
∥L−1
1 f∥ =
∫∞
≤
sup
−∞<t<∞
−∞
∫∞ (
)
sup G1 ε(t − s) f (s)ds ≤
−∞<t<∞
−∞
(
)
G1 ε(t − s) ds ∥f ∥ ≤
∫∞
M1 e−γ1 ε|t−s| ds ∥f ∥ ≤
−∞
2M1
∥f ∥.
εγ1
Следовательно,
∥L−1
1 ∥≤
2M1
,
εγ1
M1 , γ1 > 0.
Задача о существовании пп решений системы (9.39) эквивалентна
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.6. Пп решения квазилинейных систем . . .
139
задаче о существовании решений системы операторных уравнений
∫∞
u=
(
) [(
)
(
G1 ε(t − s) ε A0 (s) − A0 u + g1 (s, u, 0, 0)−
−∞
)
]
− g1 (s, 0, 0, 0) − A0 (s)u + εU (s, u, v, ε) ds,
∫∞
[
v=
G2 (t − s) g2 (s, 0, 0, 0) + g2 (s, u, 0, 0)−
(9.40)
−∞
]
− g2 (s, 0, 0, 0) + εV (s, u, v, ε) ds,
где G1 (t), G2 (t) — функции Грина ограниченной краевой задачи для
операторов L1 , L2 соответственно. Покажем, что линейный оператор
∫∞
Γ(ε)h = h −
(
) [
]
G1 ε(t − s) ε A0 (s) − A0 h(s)ds
−∞
непрерывно обратим в Bk при достаточно малых ε. Рассмотрим в Bk
операторное уравнение
Γ(ε)h = g,
g ∈ Bk .
Из этого уравнения следует, что вектор-функция z(t) = h(t) − g(t)
является пп решением системы дифференциальных уравнений
[
]
dz
= εA0 (t)z + ε A0 (t) − A0 g(t).
dt
(9.41)
В системе (9.41) перейдем к новому времени τ = εt. Приходим к
системе
(τ )
] (τ )
[ (τ )
dz
= A0
z + A0
− A0 g
.
dτ
ε
ε
ε
Поскольку у матрицы A0 все собственные числа имеют ненулевые
вещественные части, то из леммы о регулярности следует, что при
достаточно малых ε оператор
(τ )
dz
Lε z =
− A0
z
dτ
ε
равномерно регулярен. Поэтому
] ( τ )
[ (τ )
−1
∥z∥ = ∥h − g∥ = Lε A0
− A0 g
≤ KN ∥g∥,
ε
ε
(9.42)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
140
где
ГЛАВА 9. Системы в стандартной форме . . .
(τ )
sup A
− A ≤ K,
ε
−∞<τ <∞
∥L−1
ε ∥ ≤ N.
Из неравенства (9.41) вытекает, что
∥h∥ = ∥Γ−1 (ε)g∥ ≤ c∥g∥,
где c = 1 + KN . Таким образом, операторы Γ(ε) при достаточно малых ε имеют равномерно ограниченные обратные операторы
(∥Γ−1 (ε)∥ ≤ c).
Систему (9.40) запишем в виде
u = εΓ−1 (ε)
∫∞
(
)[(
G1 ε(t − s) g1 (s, u, 0, 0)−
−∞
)
]
− g1 (s, 0, 0, 0) − A0 (s)u + εU (s, u, v, ε) ds,
∫∞
[
v=
G2 (t − s) g2 (s, 0, 0, 0) + g2 (s, u, 0, 0)−
(9.43)
−∞
]
− g2 (s, 0, 0, 0) + εV (s, u, v, ε) ds,
Гладкость вектор-функции f (t, x, ε) влечет следующее. Вектор-функция
ω(t, u) = g1 (t, u, 0, 0) − g1 (t, 0, 0, 0) − A0 (t)u
удовлетворяет неравенству
|ω(t, u1 ) − ω(t, u2 )| ≤ p(r)|u1 − u2 |,
|u1 |, |u2 | ≤ r,
где p(r) → 0 при r → 0. Вектор-функции U (t, u, v, ε), V (t, u, v, ε)
ограничены по норме, когда (u, v) принадлежит некоторому ограниченному множеству в Rn ,
|U (t, u, v, ε)| ≤ M2 ,
|V (t, u, v, ε)| ≤ M3
и удовлетворяют условию Липшица по переменным u, v:
[
]
|U (t, u1 , v1 , ε) − U (t, u2 , v2 , ε)| ≤ K1 |u1 − u2 | + |v1 − v2 | ,
[
]
|V (t, u1 , v1 , ε) − V (t, u2 , v2 , ε)| ≤ K2 |u1 − u2 | + |v1 − v2 | .
Вектор-функция ζ(t, u) = g2 (t, u, 0, 0)−g2 (t, 0, 0, 0) удовлетворяет условию Липшица
|ζ(t, u1 ) − ζ(t, u2 )| ≤ K3 |u1 − u2 |.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.6. Пп решения квазилинейных систем . . .
141
Положим еще ∥L−1
2 ∥ = M0 . С помощью метода последовательных
приближений построим последовательность up , vp , которая сходится
к решению системы (9.43). В качестве нулевых приближений выберем u0 = 0, v0 = L−1
2 g2 (t, 0, 0, 0). Далее, для p ≥ 1 положим
[(
)
up = εΓ−1 (ε)L−1
g
(t,
u
,
0,
0)
−
g
(t,
0,
0,
0)
−
A
(t)u
(9.44)
1
p
1
0
p +
1
]
+ εU (t, up−1 , vp−1 , ε) ,
[
vp = L−1
(9.45)
2 g2 (t, 0, 0, 0) + g2 (t, up , 0, 0) − g2 (t, 0, 0, 0)+
]
+ εV (t, up−1 , vp−1 , ε) .
Покажем, что up , vp при всех p остаются в множестве ∥u∥ ≤ a(ε),
∥v − v0 ∥ ≤ b(ε), где a(ε), b(ε) некоторые функции от ε, которые
стремятся к нулю при ε → 0. Оценим нормы up и vp . Получим
]
2M1 c [
p(r)∥up ∥ + εM2 ,
γ1
[
]
∥vp − v0 ∥ ≤ M0 K3 ∥up ∥ + εM3 .
∥up ∥ ≤
Выберем r таким, чтобы
1
qp(r) < ,
2
Тогда
∥up ∥ ≤
и
q=
2M1 c
.
γ1
εqM2
< 2εqM2
1 − qp(r)
[
]
∥vp − v0 ∥ < εM0 2qK3 M2 + M3 .
Из этих оценок следует существование a(ε) и b(ε). Заметим теперь,
что из уравнения (9.44) однозначно определяется функция up , лежащая в некотором шаре ∥up ∥ ≤ R. Действительно, несложно показать,
что оператор S(up ), определяемый правой частью (9.44), является
сжимающим в некотором шаре ∥up ∥ ≤ R пространства Bn . Перейдем
к оценке норм ∥up+1 − up ∥ и ∥vp+1 − vp ∥. Получим
[
]
∥up+1 − up ∥ ≤ q p(r)∥up+1 − up ∥ + εK1 (∥up − up−1 ∥ + ∥vp − vp−1 ∥) ,
[
]
∥vp+1 − vp ∥ ≤ M0 K3 ∥up+1 − up ∥ + εK2 (∥up − up−1 ∥ + ∥vp − vp−1 ∥) .
Если ∥up − up−1 ∥ ≤ ap и ∥vp − vp−1 ∥ ≤ bp , то
∥up+1 − up ∥ ≤
qεK1 (ap + bp )
< 2qεK1 (ap + bp )
1 − qp(r)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
142
ГЛАВА 9. Системы в стандартной форме . . .
и
∥vp+1 − vp ∥ < εM0 (2qK1 K3 + K2 )(ap + bp ).
Отсюда следует, что последовательности up , vp сходятся по норме
пространства Bn к пп решению системы (9.43). Следовательно, существование пп решения системы (9.27) доказано.
Доказательство второй части утверждения теоремы (исследование устойчивости пп решения) вполне аналогично доказательству
теорем об устойчивости по первому приближению (см. Приложение Б).
9.7. Системы с быстрым и медленным
временем
Рассмотрим систему
dx
= εX(t, τ, x),
dt
(9.46)
где x ∈ Rn , ε > 0 — малый параметр, τ = εt — медленное время.
Будем предполагать, что вектор-функция X(t, τ, x) почти периодична
по быстрому времени t равномерно относительно τ , x, периодична по
медленному времени τ с постоянным периодом T , непрерывна по x
равномерно относительно t, τ . Системе (9.46) сопоставим усредненную по быстрому времени t систему
dy
= εY (τ, y),
dt
где
1
Y (τ, y) = lim
T →∞ T
(9.47)
∫T
X(t, τ, y)dt.
0
Система (9.47) после перехода к медленному времени τ запишется в
виде нелинейной системы с периодическими коэффициентами
dy
= Y (τ, y),
dτ
(9.48)
Пусть система (9.48) имеет периодическое решение y0 (τ ).
Для системы (9.46) справедливы теоремы, аналогичные теоремам 9.1 и 9.3. Основное предположение касается линейной системы
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.7. Системы с быстрым и медленным временем
143
с периодическими коэффициентами
dy
= A(τ )y,
dτ
(9.49)
где A(τ ) = Yy′ (τ, y0 (τ )). Если оператор
Ly =
dy
− A(τ )y
dτ
регулярен в пространстве PT или, в иных терминах (см., например, [80]), характеристические показатели системы (9.49) имеют
ненулевые вещественные части, то система (9.46) при достаточно
малых ε имеет единственное пп решение x(t, ε), причем
lim ∥x(t, ε) − y0 (τ )∥ = 0.
ε→0
Свойства устойчивости этого решения совпадают со свойствами устойчивости нулевого решения системы (9.49).
Перейдем к точным формулировкам.
Вектор-функция X(t, τ, x) определена при t, τ ∈ R, x ∈ D, где
D — ограниченное множество в n-мерном пространстве (|x| ≤ a). В
системе (9.46) перейдем к медленному времени τ . Получим систему
(τ
)
dx
= X , τ, x .
(9.50)
dτ
ε
В системе (9.50) сделаем замену x(τ ) = z(τ ) + y0 (τ ). Получим систему
(τ
)
(τ
)
(
)
dz
= X , τ, z + y0 (τ ) − Y τ, y0 (τ ) = Z , τ, z .
dτ
ε
ε
Теперь усредненная по быстрому времени периодическая система
имеет нулевое решение. Нам удобнее сформулировать теорему существования пп решения, близкого к нулевому решению усредненной системы, т.е. предположим, что система (9.47) имеет нулевое
решение.
Теорема 9.6. Пусть
1) X(t, τ, x) почти периодична по t равномерно относительно τ ∈ R,
x ∈ D, периодична по τ с постоянным периодом T ;
2) система (9.47) имеет нулевое решение;
3) существует производная A(t, τ ) = Xx (t, τ, 0);
4) при t, τ ∈ R, |x1 |, |x2 | ≤ r ≤ a выполняется неравенство
|X(t, τ, x1 ) − X(t, τ, x2 ) − A(t, τ )(x1 − x2 )| ≤ ω(r)|x1 − x2 |,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
144
ГЛАВА 9. Системы в стандартной форме . . .
где ω(r) → 0 при r → 0;
5) линейная система с периодическими коэффициентами
dy
= A(τ )y,
dτ
где
1
A(τ ) = lim
T →∞ T
∫T
A(t, τ )dt
0
не имеет характеристических показателей c нулевой вещественной частью.
Тогда существуют такие a0 , ε1 > 0, что при 0 < ε < ε1 система (9.46) имеет единственное, лежащее в шаре |x| ≤ a0 при всех
t, пп решение x(t, ε) и
lim
sup
ε→0 −∞<t<∞
|x(t, ε)| = 0.
Доказательство. Мы изложим только схему доказательства, так
как оно аналогично доказательству теоремы 9.1.
Отметим, что в силу условия 1) теоремы оператор
F x = X(x, τ, x)
определен и непрерывен на шаре ∥x∥ ≤ a пространства Bn пп векторфункций и его значения принадлежат Bn . В силу условий 1) и 2)
матрица A(t, τ ) почти периодична по t и периодическая по τ c периодом T .
Систему (9.50) запишем в виде
[ (τ )
]
[ (τ
)
(τ ) ]
dx
= A(τ )x + A , τ − A(τ ) x + X , τ, x − A , τ x .
dτ
ε
ε
ε
Задача о пп решениях полученной системы эквивалентна вопросу о
разрешимости в пространстве Bn операторного уравнения
∫∞
x(τ ) =
−∞
∫∞
+
−∞
[ (σ )
]
G(τ, σ) A , σ − A(σ) x(σ)dσ+
ε
)
(σ )
]
[ (σ
G(τ, σ) X , σ, x(σ) − A , σ x(σ) dσ,
ε
ε
(9.51)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.7. Системы с быстрым и медленным временем
145
где G(τ, s) — функция Грина задачи о T -периодических решениях
системы
dx
= A(τ )x + f (τ ).
(9.52)
dτ
Здесь f (τ ) — T -периодическая вектор-функция. В силу условия 4)
теоремы система (9.52) имеет единственное периодическое решение,
которое представимо в виде
∫∞
x(τ ) =
G(τ, s)f (s)ds.
−∞
Для функции Грина G(τ, s) справедлива оценка
|G(τ, s)| ≤ M e−γ|τ −s| ,
где M, γ — положительные постоянные.
Точно так же, как и при доказательстве теоремы 9.1, показывается, что линейный оператор
∫∞
Γ(ε)h(τ ) = h(τ ) −
−∞
[ (σ )
]
G(τ, σ) A , σ − A(σ) h(σ)dσ
ε
непрерывно обратим в Bn при достаточно малых ε. При доказательстве этого утверждения вместо леммы о регулярности нужно использовать обобщенную лемму о регулярности (п. 6.1.).
Следовательно, от операторного уравнения (9.51) можно перейти
к следующему эквивалентному уравнению
−1
∫∞
x(τ ) = Π(x, ε) ≡ Γ (ε)
−∞
[ (σ
)
(σ )
]
G(τ, σ) X , σ, z(σ) − A , σ z(σ) dσ.
ε
ε
(9.53)
Последний шаг доказательства теоремы состоит в следующем. Устанавливается, что оператор Π(x, ε) при 0 < ε < ε1 на шаре ∥x∥ ≤ a0
пространства Bn удовлетворяет условиям принципа сжатых отображений. То, что оператор Π(x, ε) сжимающий, следует из условия 3)
теоремы. Из оценки нормы элемента Π(0, ε) вытекает, что оператор
Π(x, ε) оставляет инвариантным шар достаточно малого радиуса в
пространстве Bn .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
146
ГЛАВА 9. Системы в стандартной форме . . .
Исследование устойчивости почти периодического
решения
Пусть выполнены условия теоремы 9.6. Обозначим существующее в силу этой теоремы пп решение системы (9.46) через x0 (t, ε).
Изучим устойчивость решения x0 (t, ε) в зависимости от устойчивости нулевого решения системы (9.47).
Теорема 9.7. Пусть выполнены условия теоремы 9.6, причем вектор-функция X(t, τ, x) имеет непрерывные частные производные
Xxi (t, τ, x), (i = 1, . . . , n) в некоторой окрестности точки x = 0
и эти производные непрерывны по x равномерно относительно
t, τ ∈ R. Тогда,
1) Если все характеристические показатели системы (9.49) имеют отрицательные вещественные части, то при достаточно малых ε решение x0 (t, ε) системы (9.46) асимптотически устойчиво.
2) Если у системы (9.49) есть по крайней мере один характеристический показатель с положительной вещественной частью,
то решение x0 (t, ε) при достаточно малых ε неустойчиво.
3) Если в случае 1) ψ(t, t0 , x0 , ε) — решение усредненной системы (9.47), лежащее в области притяжения решения y = 0 вместе с его некоторой ρ-окрестностью (ρ > 0), то для любого α
(0 < α < ρ) существуют числа ε1 (α) (0 < ε1 < ε0 ) и β(α) такие, что для всех 0 < ε < ε1 решение φ(t, t0 , ξ0 , ε) системы (9.46),
лежащее в области притяжения решения x0 (t, ε), для которого
|x0 − ξ0 | < β, удовлетворяет неравенству
|φ(t, t0 , ξ0 , ε) − ψ(t, t0 , x0 , ε)| < α,
t ≥ t0 .
Доказательство. В системе (9.46) сделаем замену
x = x0 (t, ε) + y.
Получим систему
dy
= εX(t, τ, x0 + y) − εX(t, τ, x0 ).
dt
(9.54)
Вопрос об устойчивости решения x0 (t, ε) системы (9.46) сводится к
вопросу об устойчивости нулевого решения системы (9.54). Запишем
систему (9.54) в виде
dy
= εA1 (t, τ, ε)y + εω(t, τ, y),
dt
(9.55)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.7. Системы с быстрым и медленным временем
147
где A1 (t, τ, ε) = Xx (t, τ, x0 (t, τ, ε)) и
ω(t, τ, , y) = X(x, x0 (t, τ, ε) + y) − X(t, τ, x0 (t, ε)) − A1 (t, τ, ε)y.
Очевидно, ω(t, 0) ≡ 0. Из условий теоремы следует, что матрица
A1 (t, τ, ε) пп по t равномерно относительно τ, ε и
lim
sup
ε→0 −∞<t<∞
|A1 (t, τ, ε) − A(t, τ )| = 0.
Дальнейшее доказательство утверждений 1) и 2) теоремы полностью
аналогично доказательству теоремы 9.3 и по существу является доказательством теорем об устойчивости по первому приближению.
При этом необходимо использовать обобщенную лемму Боголюбова и обобщенную лемму устойчивости. Утверждение 3) следует из
теоремы 9.5.
Отметим, что более частные результаты получены в [167] и [172]
(cм. также [135]). В этих работах рассматривались системы вида
dx
= εf (t, x, ε) + εg(εt, x, ε),
dt
где f (t, x, τ, ε) — пп по t, а g(εt, x, ε) — периодическая по εt c периодом T .
Некоторые обобщения
Рассмотрим более общую, чем (9.46), систему
dx
= εX(t, τ, x, ε),
dt
τ = εt.
(9.56)
Системе (9.56) сопоставим усредненную систему
dξ
= εX0 (τ, ξ),
dt
где теперь
1
X0 (τ, ξ) = lim
T →∞ T
(9.57)
∫T
X(τ, s, ξ, 0)ds.
0
Если предположить, что вектор-функция X(t, τ, x, ε) непрерывна по
ε равномерно относительно t, τ ∈ R, x ∈ D, почти периодична по t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
148
ГЛАВА 9. Системы в стандартной форме . . .
равномерно относительно τ, x, ε, периодична по τ c постоянным периодом, то на систему (9.56) распространяются результаты теорем 9.6,
9.7. Доказательства проходят по той же схеме.
Наконец, отметим, что рассмотренную схему исследования можно использовать для изучения системы
dx
= εX(t, τ, x),
dt
τ = εt,
где X(t, τ, x) — пп по t равномерно относительно τ, x и пп по τ равномерно относительно t, x. В этом случае усредненная по быстрому
времени система
dy
= Y (τ, y)
dτ
будет системой с пп коэффициентами. Пусть система имеет пп решение y0 (τ ). Тогда основное предположение будет состоять в том, что
оператор
dy
− A(τ )y,
Ly =
dτ
(
)
где A(τ ) = Yy′ τ, y0 (τ ) , регулярен.
9.8. Принцип усреднения для одного
класса сингулярно возмущенных
систем
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dx
= εX(t, τ, x, ε),
dt
x ∈ Rn ,
(9.58)
где ε > 0 — малый параметр, τ = ε2 t — медленное время. Система (9.58) во времени τ является сингулярно возмущенной системой.
Будем предполагать, что X(t, τ, x, ε) почти периодическая по t и τ
равномерно относительно остальных переменных, имеет непрерывные частные производные по xi , i = 1, 2, . . . , n в некоторой ограниченной области D ⊂ Rn и непрерывна по ε равномерно относительно
остальных переменных. Системе (9.58) сопоставим усредненную по
быстрому времени t систему
dx̄
= εX̄(τ, x̄),
dt
(9.59)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.8. Принцип усреднения для одного класса . . . систем
где
1
X̄(τ, x̄) = lim
T →∞ T
149
∫T
X(t, τ, x̄, 0)dt.
0
Усредненная система (9.59) является сингулярно возмущенной системой во времени τ c пп коэффициентами:
ε
dx̄
= X̄(τ, x̄).
dτ
Справедлива следующая теорема (cм. [90]).
Теорема 9.8. Пусть
1) существует такая дифференцируемая пп функция x0 (τ ), что
X̄(τ, x0 (τ )) ≡ 0 при τ ∈ R;
2) спектр матрицы
A(τ ) = X̄x (τ, x0 (τ ))
строго отделен от нуля, т.е. все ее собственные значения удовлетворяют неравенству
| Re λ(τ )| ≥ γ0 > 0,
τ ∈ R.
Тогда можно указать такие a0 и ε0 , что при 0 < ε < ε0 система (9.58) имеет в шаре ∥x − x0 (τ )∥ ≤ a0 пространства Bn
единственное пп решение x0 (t, ε) и
lim ∥x0 (t, ε) − x0 (τ )∥ = 0.
ε→0
Решение x(t, ε) будет асимптотически устойчивым, если все собственные значения матрицы A(τ ) имеют отрицательные вещественные части, и неустойчивым, если у матрицы A(τ ) есть хотя бы одно собственное значение с положительной вещественной
частью.
Доказательство. Доказательство проводится по той же схеме, что
и доказательство теорем 9.1 и 9.3. Поэтому изложим только основные моменты доказательства.
Очевидно, доказательство существования и устойчивости пп решения системы (9.58) достаточно провести для случая x0 (τ ) ≡ 0.
К этому случаю всегда можно перейти, сделав замену x = x0 (τ ) + z
в системе (9.58). Итак, будем предполагать, что x0 (τ ) ≡ 0. Тогда
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
150
ГЛАВА 9. Системы в стандартной форме . . .
X̄(τ, 0) ≡ 0. Так как X(t, τ, x, ε) непрерывно дифференцируема по x
в некотором шаре, то существует такая матрица
A(t, τ, ε) = Xx (t, τ, 0, ε),
что при t ∈ R, ε ∈ (0, ε∗ ), |x1 |, |x2 | ≤ r выполняется неравенство
|X(t, τ, x1 , ε)−X(t, τ, x2 , ε)−A(t, τ, ε)(x1 −x2 )| ≤ ω(r, ε)|x1 −x2 |, (9.60)
где ω(r, ε) → 0 при r → 0 для любого ε ∈ (0, ε∗ ). Положим
A(t, τ ) = A(t, τ, 0) и
1
A(τ ) = lim
T →∞ T
∫T
A(t, τ )dt
(
)
A(τ ) = X̄x (τ, 0) .
0
Вначале проведем доказательство существования пп решения. Запишем систему (9.58) в виде (сделав предварительно замену времени
τ = ε2 t)
[ (τ )
]
[ (τ
)
(τ ) ]
dx
ε
= A(τ )x + A 2 , τ − A(τ ) x + X 2 , τ, x, 0 − A 2 , τ x +
dτ
ε
[ε ( τ
)
(τ ε
)]
+ X 2 , τ, x, ε − X 2 , τ, x, 0 .
(9.61)
ε
ε
В силу условий теоремы 9.8 и теоремы 8.2 оператор
Lε x = ε
dx
− A(τ )x
dτ
равномерно регулярен в Bn при достаточно малых ε. Следовательно,
существует обратный оператор L−1
и ∥L−1
ε
ε ∥ ≤ N для 0 < ε < ε1 .
Задача о существовании пп решений системы (9.61) эквивалентна
задаче о разрешимости в Bn операторного уравнения
]
[ (τ
)
(τ ) ]
{[ ( τ )
−1
x = Lε
A 2 , τ − A(τ ) x + X 2 , τ, x, 0 − A 2 , τ x +
ε[ (
ε
)
( ετ
)]}
τ
.
+ X 2 , τ, x, ε − X 2 , τ, x, 0
ε
ε
Далее, показывается, что оператор
[ (τ )
]
−1
Γε h(τ ) = h(τ ) − Lε A 2 , τ − A(τ ) h(τ )
ε
непрерывно обратим в Bn при достаточно малых ε. Вопрос сводится к однозначной разрешимости в Bn операторного уравнения
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.8. Принцип усреднения для одного класса . . . систем
151
Γε h(τ ) = g(τ ), где g(τ ) ∈ Bn . Этот вопрос, в свою очередь, сводится
к вопросу о регулярности оператора
(τ )
dy
Kε y = ε − A 2 , τ y.
dτ
ε
Доказательство регулярности оператора Kε проходит по той же схеме, что и доказательство леммы о регулярности (п. 3.2.). При этом
используется аналог леммы Боголюбова. Именно, утверждение, что
для системы уравнений
(τ )
dy
ε = A(τ )y + f 2 , τ ,
dτ
ε
где A(τ ) — пп матрица, спектр которой строго отделен от мнимой
оси, а f (s, τ ) — функция почти периодическая по s равномерно относительно τ и почти периодическая по τ равномерно относительно
sи
∫T
1
f (s, τ )ds = 0,
lim
T →∞ T
0
единственное пп решение y(t, ε) удовлетворяет предельному равенству
lim ∥y(τ, ε)∥ = 0.
ε→0
Доказательство этого утверждения вполне аналогично доказательству леммы Боголюбова. После доказательства непрерывной обратимости оператора Γε мы приходим к операторному уравнению
(9.62)
x(τ ) = Π(x, ε),
где
) ]
Π(x, ε) =
X 2 , τ, x, 0 − A 2 , τ x +
ε
)ε
(τ
)]}
[ (τ
.
+ X 2 , τ, x, ε − X 2 , τ, x, 0
ε
ε
−1
Γ−1
ε Lε
{[
(τ
)
(τ
Используя условия теоремы (следовательно, и неравенство (9.60)),
точно так же, как при доказательстве теоремы 9.1, устанавливается,
что оператор Π(x, ε) является сжимающим при достаточно малых ε и
переводит в себя достаточно малый шар (∥x∥ ≤ a(ε)) в Bn . Поэтому
операторное уравнение (9.62) имеет единственное решение в этом
шаре. Это решение является пп решением системы (9.58). Первая
часть теоремы доказана.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
152
ГЛАВА 9. Системы в стандартной форме . . .
Перейдем к вопросу об устойчивости решения x0 (t, ε). Сделаем в
системе (9.58) замену
x = x0 (t, ε) + y.
Получим систему
[
]
dy
= ε X(t, τ, x0 + y, ε) − X(t, τ, x0 , ε) .
dt
(9.63)
Вопрос об устойчивости пп решения x0 (t, ε) сводится к вопросу об
устойчивости нулевого решения системы (9.63). Запишем систему
(9.63) в виде
dy
= εA1 (t, τ, ε)y + εP (t, τ, y, ε),
(9.64)
dt
где
A1 (t, τ, ε) = Xx (t, τ, x0 (t, ε), ε),
P (t, τ, y, ε) = X(t, τ, x0 + y, ε) − X(t, τ, x0 , ε) − A1 (t, τ, ε)y.
Очевидно, P (t, τ, 0, ε) ≡ 0. Из условий теоремы следует, что матрица
A1 (t, τ, ε) почти периодическая по t равномерно относительно τ, ε и
почти периодическая по τ равномерно относительно t, ε. Кроме того,
lim
sup
ε→0 −∞<t,τ <∞
|A1 (t, τ, ε) − A(t, τ )| = 0.
Систему (9.64) запишем в виде
[
]
dy
= εA(t, τ )y + ε A1 (t, τ, ε) − A(t, τ ) y + εP (t, τ, y, ε).
dt
(9.65)
Перейдем в системе (9.65) к медленному времени s = εt. Получим
систему
(s )
[ (s
)
( s )]
(s
)
dy
= A , εs y + A1 , εs, ε − A , εs y + P , εs, y, ε . (9.66)
ds
ε
ε
ε
ε
Сделаем в (9.66) замену
[
]
y = I + H(s, ε) z,
где H(s, ε) — пп матрица, которая является пп решением матричной
системы
(s )
dH
= A(εs)H + A , εs − A(εs).
ds
ε
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9.8. Принцип усреднения для одного класса . . . систем
153
После этой замены получим систему
dz
= A(εs)z + D(s, ε)z + g(s, z, ε),
ds
(9.67)
где матрицы D(s, ε) и функция g(s, z, ε) удовлетворяют следующим
условиям:
lim ∥D(s, ε)∥ = 0, g(s, 0, ε) ≡ 0.
ε→0
Кроме того, функция g(s, z, ε) удовлетворяет условию Липшица по
переменной z c постоянной b(r), которая стремится к нулю, когда
r → 0. Доказательство устойчивости и неустойчивости нулевого решения системы (9.67) почти дословно совпадает с доказательством
теорем об устойчивости по первому приближению.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 10
Системы в стандартной
форме. Первые примеры
10.1. Динамика отбора генетической
популяции в изменяющейся среде
В качестве примера рассмотрим динамику отбора в Менделевской популяции, содержащей только два аллеля одного гена. Эти
аллели обозначим через A и a. Далее, приспособленности генотипов
AA, Aa, aa в момент t будут обозначаться через
1 − εα(t),
1,
1 − εβ(t)
соответственно. Здесь ε > 0 — малый параметр, α(t), β(t) — периодические функции с периодом ω и положительными средними значениями α0 , β0 соответственно. Пусть pn (t), qn (t) — частоты аллелей
A и a в поколении n соответственно. Уравнение эволюции генных
частот имеет вид
(
)
β(t) − α(t) + β(t) pn
dpn
[(
)
].
= εpn (1 − pn )
(10.1)
dt
1 − ε α(t) + β(t) p2n + 2β(t)pn − β(t)
Уравнение (10.1) — это уравнение в стандартной форме с периодическими коэффициентами.
Усредненное уравнение
dp̄n
= εp̄n (1 − p̄n )(β0 − (α0 + β0 )p̄n )
dt
имеет три состояния равновесия:
p¯1 = 0,
p¯2 = 1,
p¯3 =
β0
.
α0 + β0
(10.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.1. Динамика отбора генетической популяции . . .
155
Решения p¯1 , p¯2 неустойчивы. Решение p¯3 асимптотически устойчиво.
Его область притяжения — это интервал (0, 1).
Из теоремы 9.4 следует, что уравнение (10.1) при достаточно малых ε имеет два стационарных решения p = 0, 1, которые неустойчивы, и асимптотически устойчивое периодическое решение с периодом
ω, которое расположено в окрестности решения усредненного уравнения p̄3 .
Пусть pn (t, 0, x0 ) — решение уравнения (10.1). Пусть p̄n (t, 0, ξ0 ) —
β0
решение уравнения (10.2), где ξ0 > 0, ξ0 ̸=
. Из утверждения
α0 + β0
c) теоремы 9.4 следует, что для любого δ > 0 существует число η(δ)
такое, что для решения pn (t, 0, x0 ) уравнения (10.1) с начальным
условием, удовлетворяющим неравенству
|x0 − ξ0 | < η(δ),
справедливо неравенство
|pn (t, 0, x0 ) − p̄n (t, 0, ξ0 )| < δ,
t ≥ 0.
Отметим, что усредненное уравнение интегрируемо (это уравнение с разделяющимися переменными).
Пусть теперь средние значения α0 , β0 отрицательны. Тогда стационарное решение p¯3 усредненного уравнения неустойчиво. Уравнение (10.1) при достаточно малых ε имеет единственное неустойчивое
периодическое решение. Стационарные решения p̄ = 0, 1 уравнения
(10.2) асимптотически устойчивы. Их области притяжения — это
(
)
β0 ) ( β0
интервалы 0,
,
, 1 соответственно.
α0 + β0
α0 + β0
При достаточно малых ε стационарные решения pn = 0, 1 уравнения (10.1) асимптотически устойчивы. Если p̄n (t, 0, ξ0 ) — решение
β0
уравнения (10.2) и 0 < ξ0 <
, то для любого δ > 0 существует
α0 + β0
число η(δ) такое, что справедливо неравенство
|pn (t, 0, x0 ) − p̄n (t, 0, ξ0 )| < δ,
t ≥ 0.
Здесь pn (t, 0, x0 ) — решение уравнения (10.1) с начальным условием,
удовлетворяющим неравенству
|x0 − ξ0 | < η(δ).
Аналогичное утверждение имеет место, когда
β0
< ξ0 < 1.
α0 + β0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
156
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
10.2. Периодические колебания
квазилинейных автономных систем
с одной степенью свободы
и осциллятор Ван дер Поля
Рассмотрим автономное квазилинейное уравнение
ẍ + k 2 x = εf (x, ẋ, ε),
(10.3)
где ε>0 — малый параметр, k — вещественная постоянная, f (x, ẋ, ε) —
достаточно гладкая функция по x, ẋ, ε, которая ограничена в некоторой ограниченной области переменных x, ẋ, ε. Запишем уравнение
(10.3) в виде системы двух уравнений
ẋ = y,
ẏ = −k 2 x + εf (x, ẋ, ε)
(10.4)
и перейдем в системе (10.4) к полярным координатам:
x = ρ cos kθ,
y = −kρ sin kθ.
(10.5)
Получим систему
dρ
ε
= − f (ρ cos kθ, −kρ sin kθ, ε) sin kθ = εH1 (ρ, θ, ε),
dt
k
dθ
f (ρ cos kθ, −kρ sin kθ, ε) cos kθ
=1−ε
= 1 + εH2 (ρ, θ, ε).
dt
k2ρ
(10.6)
В правых частях системы (10.6) мы сокращаем на ρ при ρ ̸= 0 и
затем доопределяем по непрерывности при ρ = 0.
Разделим первое уравнение системы (10.6) на второе. Получим
дифференциальное уравнение первого порядка
H1 (ρ, θ, ε)
dρ
=ε
= εH1 (ρ, θ, 0) + o(ε) = εH(ρ, θ, ε).
dθ
1 + εH2 (ρ, θ, ε)
(10.7)
Уравнение (10.7) — это уравнение в стандартной форме. Кроме того,
правая часть уравнения (10.7) периодична по θ с периодом 2π/k.
Уравнению (10.7) сопоставим усредненное по θ уравнение
dρ̄
= εH0 (ρ̄),
dθ
(10.8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.2. Периодические колебания . . .
157
где
2π
H0 (ρ̄)=
k
2π
2π
∫k
H1 (ρ̄, θ, 0)dθ= −
1
2π
∫k
0
f (ρ̄ cos kθ, −k ρ̄ sin kθ, 0) sin kθdθ=
0
1
=−
2πk
∫2π
f (ρ̄ cos u, −k ρ̄ sin u, 0) sin u du.
0
В силу теоремы 9.4 каждому стационарному решению ρ̄ = ρ0 уравнения
H0 (ρ̄) = 0, H0ρ̄ (ρ0 ) ̸= 0,
(10.9)
соответствует (2π/k)-периодическое решение уравнения (10.7), которое асимптотически устойчиво, если
H0ρ̄ (ρ0 ) < 0,
(10.10)
H0ρ̄ (ρ0 ) > 0.
(10.11)
и неустойчиво, если
Пусть ρ∗ (θ, ε) — (2π/k)-периодическое решение уравнения (10.7),
соответствующее стационарному решению ρ0 усредненного уравнения. Перейдем снова к переменной t и рассмотрим функции
x∗ (t, ε) = ρ∗ (θ, ε) cos kθ,
ẋ∗ (t, ε) = −kρ∗ (θ, ε) sin kθ.
Покажем, что полученные таким образом функции будут тоже периодическими, но периоды будут зависеть от параметра ε и начальных
условий. С этой целью обратимся ко второму уравнению системы
(10.6), определяющему θ как функцию t. Предположим, что t и θ
одновременно обращаются в нуль. Тогда
∫θ
t(θ) =
0
dθ̃
.
1 + εH2 (ρ, θ̃, ε)
Отсюда получаем, что
θ+2π/k
∫
t(θ + 2π/k) − t(θ) =
θ
dθ̃
.
1 + εH2 (ρ, θ̃, ε)
(10.12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
158
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
Так как ρ∗ (θ̃, ε) — (2π/k)-периодическая функция, то производная
интеграла (10.12) равна нулю. Поэтому
t(θ + 2π/k) − t(θ) = T (ε),
(10.13)
где T (ε) зависит только от ε и начального условия. Соотношение
(10.13) показывает, что при изменении t на величину T (ε) величина
θ изменяется на 2π/k, и, следовательно, величины x∗ (t, ε) и ẋ∗ (t, ε)
не изменяются. Поэтому x∗ (t, ε) и ẋ∗ (t, ε) — периодические функции
с периодом T (ε). Мы выбрали θ(0) = 0. Отсюда заключаем, что
x∗ (0, ε) = ρ∗ (0, ε), ẋ∗ (0, ε) = 0.
Следовательно, система (10.3) при выполнении условия (10.9)
имеет при достаточно малых ε периодическое решение x∗ (t, ε) с периодом T (ε). При ε = 0 это решение превращается в периодическое
решение φ(t) = ρ0 cos kt уравнения ẍ + k 2 x = 0. Периодическое решение x∗ (t, ε) можно искать в виде ряда по степеням ε, причем
x∗ (t, ε) = φ(t) + O(ε).
(10.14)
Период T (ε) решения x∗ (t, ε) также можно искать в виде ряда
T (ε) =
)
2π (
1 + O(ε) .
k
Заметим, что функция x∗ (t + h, ε) при любом вещественном h
также является решением уравнения (10.3). Следовательно, в силу
автономности уравнения (10.3) существует однопараметрическое семейство периодических решений.
Исследуем теперь вопрос об устойчивости решения x∗ (t, ε). Линеаризуя уравнение (10.3) на периодическом решении x∗ (t, ε), получим
линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами
[
]
∗ ∗
∂f
(x
,
ẋ
,
ε)
∂f (x∗ , ẋ∗ , ε)
2
ÿ + k − ε
ẏ = 0.
(10.15)
y−ε
∂x∗
∂ ẋ∗
Покажем, что уравнение (10.15) имеет периодическое решение. Так
как x∗ (t, ε) — периодическое решение уравнения (10.3), то имеет
место тождество
ẍ∗ + k 2 x∗ ≡ εf (x∗ , ẋ∗ , ε).
Дифференцируя это тождество по t, получим
) [
( ∗)
(
] ∗
∗ ∗
∗ ∗
d2 dx∗
∂f
(x
,
ẋ
,
ε)
∂f
(x
,
ẋ
,
ε)
dx
dx
d
2
+
k
−
ε
−
ε
≡ 0.
dt2 dt
∂x∗
dt
∂ ẋ∗
dt dt
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.2. Периодические колебания . . .
159
Сравнивая последнее тождество с уравнением (10.15), находим, что
уравнение (10.15) имеет периодическое решение ẋ∗ .
Теперь, чтобы исследовать вопрос об устойчивости нулевого решения уравнения (10.15), обратимся к теории уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами (см., например, Коддингтон и Левинсон [45], Федорюк [93]).
Рассмотрим уравнение
ÿ + p(t)ẏ + q(t)y = 0,
(10.16)
где p(t), q(t) — периодические функции с периодом ω. Согласно теории Флоке устойчивость нулевого решения уравнения (10.16) определяется собственными значениями матрицы монодромии. Вычислим матрицу монодромии. Возьмем линейно независимые решения
y1 (t), y2 (t) уравнения (10.16) c начальными условиями
y1 (0) = 1, ẏ1 (0) = 0, y2 (0) = 0, ẏ2 (0) = 1.
Вместе с функциями y1 (t), y2 (t) функции y1 (t+ω), y2 (t+ω) также являются решениями уравнения (10.16). Последние функции являются
линейными комбинациями функций y1 (t), y2 (t):
y1 (t + ω) = a1 y1 (t) + a2 y2 (t),
y2 (t + ω) = b1 y1 (t) + b2 y2 (t).
Матрица
(
A=
a1 b1
a2 b2
(10.17)
)
и есть матрица монодромии. Дифференцируя равенства (10.17) и
полагая в равенствах (10.17) и в равенствах из производных t = 0,
получим
a1 = y1 (ω),
a2 = ẏ1 (ω),
b1 = y2 (ω),
b2 = ẏ2 (ω).
Собственные значения матрицы монодромии (они называются мультипликаторами) определяются из уравнения
λ2 − 2Aλ + B = 0,
где
A=
]
1[
y1 (ω) + ẏ2 (ω) ,
2
B = y1 (ω)ẏ2 (ω) − y2 (ω)ẏ1 (ω).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
160
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
Так как коэффициент B равен определителю Вронского решений
y1 (t), y2 (t), вычисленному при t = ω, то из формулы Лиувилля для
определителя Вронского следует, что
∫ω
− p(t)dt
B=e
0
.
Пусть собственные значения матрицы монодромии различны. Если собственные значения матрицы монодромии по модулю меньше единицы, то нулевое решение уравнения (10.16) асимптотически устойчиво. Если же по крайней мере одно собственное значение
по модулю больше единицы, то нулевое решение уравнения (10.16)
неустойчиво. Нас интересует случай, когда уравнение (10.16) имеет ω-периодическое решение. Пусть y1 (t) — периодическое решение.
Тогда a1 = y1 (ω) = 1, a2 = ẏ1 (ω) = 0. Легко видеть, что в этом
случае λ1 = 1, λ2 = B. Теперь из теории Флоке следует, что в качестве линейно независимых решений можно выбрать функцию y1 (t)
t
и функцию η(t) = e ω ln |B| ψ(t), где ψ(t) — это ω-периодическая функция. Поэтому, если |B| < 1, то нулевое решение уравнения (10.16)
устойчиво по Ляпунову. Если |B| > 1, то нулевое решение неустойчиво.
Вернемся к уравнению (10.15). Мы знаем, что это уравнение имеет периодическое решение. Следовательно, один мультипликатор равен 1. Сравнивая уравнение (10.15) и (10.16), получаем, что для
уравнения (10.16)
{
2π
k (1+O(ε))
∫
B = exp
∂f (x∗ , ẋ∗ , ε) }
ε
dt .
∂ ẋ∗
0
Поэтому условие
2π
∫k
∂f (x∗ , ẋ∗ , ε)
dt < 0
∂ ẋ
(10.18)
0
обеспечивает устойчивость по Ляпунову нулевого решения уравнения (10.15). Как показали Андронов и Витт (см. [1]), условие
(10.18) гарантирует устойчивость по Ляпунову периодического решения x∗ (t, ε) уравнения (10.3). Более того, можно утверждать, что
каждое решение уравнения (10.3), достаточно близкое к периодическому решению, стремится при t → ∞ к одному из решений семейства x∗ (t + h, ε). В [45] показано, что существует δ > 0 такое, что
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.2. Периодические колебания . . .
161
если решение z(t, ε) уравнения (10.3) удовлетворяет неравенству
|z(t1 , ε) − x∗ (t0 , ε)| < δ
для некоторых t0 и t1 , тогда существует постоянная c > 0 такая, что
lim |z(t, ε) − x∗ (t + c, ε)| = 0.
t→∞
Число c называется асимптотической фазой.
Из условия (10.18) и представления (10.14) вытекает следующее
достаточное условие устойчивости периодического решения x∗ (t, ε)
(при малых ε):
2π
∫k
∂f (ρ0 cos kt, −kρ0 sin kt, 0)
dt =
∂ ẋ
0
=
∫2π
1
k
(10.19)
∂f (ρ0 cos u, −kρ0 sin u, 0)
du = ∆ < 0.
∂ ẋ
0
Вопрос о неустойчивости периодического решения x∗ (t, ε) решается
проще. Если выполнено неравенство
2π
∫k
∂f (x∗ , ẋ∗ , ε)
dt > 0,
∂ ẋ
0
то у матрицы монодромии уравнения (10.16) один мультипликатор
по модулю больше единицы. Из теоремы о неустойчивости по первому приближению следует, что при достаточно малых ε решение
x∗ (t, ε) неустойчиво. Достаточное условие неустойчивости (при малых ε) имеет вид
2π
∫k
∂f (ρ0 cos kt, −kρ0 sin kt, 0)
dt =
∂ ẋ
0
=
1
k
∫2π
(10.20)
∂f (ρ0 cos u, −kρ0 sin u, 0)
du = ∆ > 0.
∂ ẋ
0
Полученному условию устойчивости (10.19) (неустойчивости
(10.20)) можно придать другой вид. С этой целью преобразуем левую часть уравнения H0 (ρ) = 0, определяющего ρ0 . Интегрируя по
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
162
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
частям и выполняя элементарные преобразования, получим
1
H0 (ρ0 ) = −
2πk
∫2π
f (ρ0 cos u, −kρ0 sin u, 0) sin u du =
0
∫2π[
∂f (ρ0 cos u, −kρ0 sin u, 0)
sin u cos u du+
∂x
0
]
∂f (ρ0 cos u, −kρ0 sin u, 0)
2
+kρ0
cos u du =
∂ ẋ
∫2π
1
∂f (ρ0 cos u, −kρ0 sin u, 0)
=
kρ0
du+
2πk
∂ ẋ
1
=
2πk
ρ0
0
∫2π
[ ∂f (ρ cos u, −kρ sin u, 0)
0
0
ρ0
cos u−
∂x
0
]
∂f (ρ0 cos u, −kρ0 sin u, 0)
−kρ0
sin u sin u du =
∂ ẋ
kρ0 ∆
=
− ρ0 H0ρ0 (ρ0 ) = 0.
2π
1
+
2πk
Отсюда следует, что условие устойчивости периодического решения
уравнения (10.3) имеет вид
H0ρ (ρ0 ) < 0,
т.е. совпадает с условием (10.10). Условие неустойчивости этого периодического решения совпадает с условием (10.11).
Отметим, что в том случае, когда правая часть уравнения (10.3)
не содержит ẋ, то
H0 (ρ̄) ≡ 0.
Такой случай Малкин (см. [58]) называет особым. Для уравнения
ẍ + x = εf (x, ε)
характерно существование семейства периодических решений.
Особый случай может возникнуть и при исследовании некоторых
уравнений вида (10.3), содержащих ẋ.
Проверьте, что для уравнения
(
)
ẍ + x = ε ax2 + γx3 + δxẋ ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.3. Резонансные периодические колебания . . .
163
где a, γ, δ — вещественные числа, имеет место особый случай.
В особом случае следует привлечь для исследования усредненные
уравнения высших приближений.
Квазилинейный осциллятор Ван дер Поля
В качестве примера рассмотрим известное уравнение Ван дер Поля (см. [182]):
ẍ + x = ε(1 − x2 )ẋ.
(10.21)
Здесь мы предполагаем, что ε > 0 — малый параметр. После перехода к системе и замены (10.5) получим систему
[
]
dρ
= ερ sin2 θ − ρ2 sin2 θ cos2 θ ,
dt
[ (
]
dθ
1
ρ2 )
ρ2
=1+ε
1−
sin 2θ − sin 4θ .
dt
2
2
8
Усредненное уравнение имеет вид
( 1 ρ̄2 )
dρ̄
= ερ̄ −
.
dθ
2
8
Следовательно, стационарные решения определяются из уравнения
( 1 ρ̄2 )
H0 (ρ̄) = ρ̄ −
= 0.
2
8
Получаем два стационарных решения ρ1 = 0, ρ2 = 2, причем
H0ρ̄ (ρ1 ) > 0, а H0ρ̄ (ρ2 ) < 0. Следовательно, при достаточно малых
ε нулевое решение уравнения Ван дер Поля (10.21) неустойчиво.
Кроме того, уравнение (10.21) имеет устойчивое периодическое решение, амплитуда которого близка к 2, а период близок к 2π.
Упражнение 10.1. Исследовать вопрос о существовании и устойчивости периодических решений уравнения
ẍ + x = ε(a1 + a2 x + a3 x2 + a4 x3 + a5 x5 )ẋ,
где ε ≪ 1, a1 > 0, a5 < 0.
Упражнение 10.2. Исследовать вопрос о существовании и устойчивости периодических решений системы
d2 x
+ Ax = εF (x, ẋ, ε),
dt2
где x — n-мерный вектор, A — квадратная матрица порядка n, ε —
малый параметр.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
164
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
10.3. Резонансные периодические
колебания квазилинейных систем
с одной степенью свободы
Рассмотрим дифференциальное уравнение
ẍ + k 2 x = εf (t, x, ẋ, ε),
(10.22)
где ε > 0 — малый параметр, k — некоторое число, f (t, x, ẋ) —
функция периодическая по t c периодом 2π и достаточно гладкая по
переменным x, ẋ, ε. Уравнение (10.22) называется квазилинейным
или слабонелинейным. Оно описывает некоторую систему с одной
степенью свободы. Это название связано с тем, что при ε = 0 уравнение (10.22) превращается в линейное дифференциальное уравнение
ẍ + k 2 x = 0.
(10.23)
Все решения уравнения (10.23) являются периодическими с периодом 2π/k. Эти решения называются собственными колебаниями системы, описываемой уравнением (10.22).
Иной подход к изложенной далее теории описан в книге Малкина
[58] (см. также [19,135]). Эта книга оказала влияние на содержание
этого и следующих пунктов этого раздела.
Допустим, что k или равно целому числу n, или мало от него
отличается. Будем предполагать, что “расстройка” n2 − k 2 имеет
порядок малости ε, и положим
n2 − k 2 = εm,
где m — конечная величина. Тогда уравнение (10.22) примет вид
ẍ + n2 x = εF (t, x, ẋ, ε),
(10.24)
F (t, x, ẋ, ε) = mx + f (t, x, ẋ, ε).
(10.25)
где
При ε = 0 уравнение (10.24) превращается в уравнение
ẍ + n2 x = 0.
Общее решение уравнения (10.26) имеет вид
x(t) = a cos nt + b sin nt,
(10.26)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.3. Резонансные периодические колебания . . .
165
(a и b — произвольные постоянные). Это решение является периодическим с периодом 2π/n и, следовательно, периодическим с периодом
2π.
Найдем условия существования 2π-периодического решения уравнения (10.24).
От уравнения (10.24) можно с помощью замены переменных перейти к системе двух дифференциальных уравнений в стандартной
форме. Соответствующая замена называется заменой Ван дер Поля,
а соответствующие переменные — переменными Ван дер Поля. Эта
замена уже использовалась для линейных уравнений в п. 4.1. Мы
рассмотрим два способа перехода от уравнения (10.24) к системе в
стандартной форме.
Используем замену переменных
x(t) = a cos nt + b sin nt,
ẋ = −an sin nt + bn cos nt,
(10.27)
где a(t), b(t) — новые переменные. Мы считаем, что решение уравнения (10.24) и его производная имеют то же представление, что и
решение и производная решения линейного уравнения
ẍ + n2 x = 0,
но теперь a(t), b(t) — функции. Таким образом, замена Ван дер Поля
является по существу методом вариации произвольных постоянных.
Выполним замену (10.27). Получим систему
ȧ cos nt + ḃ sin nt = 0,
−nȧ sin nt + nḃ cos nt = εF (t, a cos nt+b sin nt, −an sin nt+bn cos nt, ε).
Разрешаем последнюю систему относительно a(t), b(t) по правилу
Крамера. Получим систему
ε
ȧ = − F (t, a cos nt + b sin nt, −an sin nt + bn cos nt, ε) sin nt,
n
(10.28)
ε
ḃ = F (t, a cos nt + b sin nt, −an sin nt + bn cos nt, ε) cos nt.
n
Система (10.28) имеет стандартную форму. Правая часть системы
(10.28) — 2π-периодическая функция t. Поэтому к системе (10.28)
можно применить теоремы 9.2, 9.4 (см. п. 9.3., 9.5.).
Усредненная система имеет вид
dā
= εP (ā, b̄),
dt
db̄
= εQ(ā, b̄),
dt
(10.29)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
166
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
где
(−1)
P (ā, b̄)=
2πn
Q(ā, b̄)=
1
2πn
∫2π
F (s, a cos ns+b sin ns, −an sin ns+bn cos ns, 0) sin ns ds,
0
2π
∫
F (s, a cos ns+b sin ns, −an sin ns+bn cos ns, 0) cos ns ds,
0
Стационарные решения усредненной системы (10.29) — это решения
системы уравнений
P (ā, b̄) = 0,
Q(ā, b̄) = 0.
(10.30)
Из теоремы 9.2 получим следующий результат.
Теорема 10.1. Пусть a0 , b0 — решение системы (10.30). Пусть
определитель матрицы


∂P ∂P
 ∂ā ∂ b̄ 


∆(a, b) = 
(10.31)

 ∂Q ∂Q 
∂ā ∂ b̄
при ā = a0 , b̄ = b0 отличен от нуля.
Тогда при достаточно малых ε система (10.28) имеет единственное 2π-периодическое решение a(t, ε), b(t, ε), для которого
a(t, 0) = a0 , b(t, 0) = b0 .
Отличие от нуля определителя матрицы (10.31) означает, что у
матрицы усредненной системы, линеаризованной на стационарном
решении (a0 , b0 ), нет нулевого собственного значения.
Будем говорить, что решение системы (10.30) является простым,
если определитель матрицы (10.31) отличен от нуля.
Очевидно, если условия теоремы 10.1 выполнены, то уравнение
(10.24) при достаточно малых ε имеет периодическое решение
x(t, ε) = a(t, ε) cos nt + b(t, ε) sin nt
(10.32)
с периодом 2π. Это решение при ε = 0 превращается в периодическое
решение
a0 cos nt + b0 sin nt
(10.33)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.3. Резонансные периодические колебания . . .
167
уравнения (10.26).
Отметим, что утверждение теоремы 10.1 можно интерпретировать
следующим образом. Общее решение уравнения (10.26) представляет собой семейство периодических решений, зависящее от двух параметров. Утверждение теоремы 10.1 выделяет из этого семейства решение (10.33), которому соответствует периодическое решение уравнения (10.26). Решение (10.33) называется порождающим.
Вопрос об устойчивости периодического решения системы (10.28)
решается с помощью теоремы 9.4. Именно, получим следующую теорему.
Теорема 10.2. Пусть выполнены условия теоремы 10.1 и у матрицы (10.31) при a = a0 , b = b0 собственные значения имеют
отрицательные вещественные части. Тогда решение a(t, ε), b(t, ε)
при достаточно малых ε асимптотически устойчиво. Если же по
крайней мере одно собственное значение матрицы (10.31) имеет
положительную вещественную часть, то это решение неустойчиво.
Очевидно, этими же свойствами устойчивости обладает решение
(10.32) уравнения (10.24).
Отметим, что собственные значения матрицы ∆(a, b) имеют отрицательные вещественные части, если след матрицы отрицателен, а
определитель положителен.
Приведем другую замену переменных, которая преобразует уравнение (10.24) в систему в стандартной форме. Эта замена эквивалентна замене (10.27), но в некоторых задачах более удобна.
Решение уравнения (10.26) можно записать в виде
x(t) = a cos(nt + ψ),
где a — амплитуда колебаний, а ψ — фаза колебаний. Будем теперь
считать, что a и ψ являются функциями переменной t. От уравнения
(10.24) перейдем к системе уравнений с помощью замены
x = a(t) cos(nt + ψ(t)),
ẋ = −na(t) sin(nt + ψ(t)).
(10.34)
Выполним замену (10.34). Получим систему
ȧ cos(nt+ψ)−aψ̇ sin(nt+ψ) = 0,
−nȧ sin(nt+ψ)−naψ̇ cos(nt+ψ) = εF (t, a cos(nt+ψ), −na sin(nt+ψ), ε).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
168
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
Разрешаем полученную систему относительно ȧ, ψ̇. Получим систему
)
ε (
ȧ = − F t, a cos(nt + ψ), −an sin(nt + ψ), ε sin(nt + ψ),
n
)
ε (
ψ̇ = − F t, a cos(nt + ψ), −an sin(nt + ψ), ε cos(nt + ψ),
an
(10.35)
Сформулируем утверждение, аналогичное теореме 10.1, для системы
(10.35). Введем функции
(−1)
R(ā, ψ̄) =
2πn
S(ā, ψ̄) =
(−1)
2πan
∫2π
0
∫2π
(
)
F s, a cos(ns + ψ), −an sin(ns + ψ), 0 sin(ns + ψ)ds,
(
)
F s, a cos(ns + ψ), −an sin(ns + ψ), 0 cos(ns + ψ)ds.
0
Если ā = a0 , ψ̄ = ψ0 — решение системы уравнений
R(ā, ψ̄) = 0,
S(ā, ψ̄) = 0
(10.36)
и определитель матрицы

∂R
 ∂ā
∆(a, ψ) = 
 ∂S
∂ā

∂R
∂ ψ̄ 

∂S 
∂ ψ̄
(10.37)
отличен от нуля для ā = a0 , ψ̄ = ψ0 , то при достаточно малых
ε система (10.35) имеет единственное 2π-периодическое решение
a(t, ε), ψ(t, ε), обращающееся при ε = 0 в периодическую функцию
a0 cos(nt + ψ0 ). Это периодическое решение асимптотически устойчиво, если все собственные значения матрицы (10.37) имеют отрицательные вещественные части, и неустойчиво, если по крайней
мере одно собственное значение матрицы имеет положительную вещественную часть.
10.4. Субгармонические решения
В нелинейных системах под действием периодической возмущающей силы могут возникнуть периодические колебания не только
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.4. Субгармонические решения
169
тогда, когда период возмущающей силы T близок к периоду собственных колебаний ω0 , но и тогда, когда он близок к ω0 /n, где n —
целое число. В этом случае период вынужденных колебаний будет
равен nT .
Рассмотрим сначала линейную систему, которая описывается уравнением
ẍ + 2δx + k 2 x = a cos ωt.
(10.38)
Это уравнение имеет единственное периодическое решение, определяемое формулой
x(t) = √
a
(k 2 − ω 2 )2 + 4δ 2 ω 2
cos(ωt + ψ),
tan ψ = −
2δω
.
k2 − ω2
Это решение имеет тот же период, что и возмущающая сила. Все
остальные решения уравнения (10.38) приближаются к периодическому решению при t → ∞. Таким образом, уравнение (10.38) не
может иметь решений с периодом кратным периоду возмущения. Но,
если затухание равно нулю, то при k = ω/n общее решение уравнения (10.38)
(ω
)
n2 a
x(t) = A cos t + ψ +
cos ωt
n
(1 − n2 )ω 2
будет периодическим с периодом 2πn/ω. В реальных системах, описываемых линейными дифференциальными уравнениями вида (10.38),
ввиду неизбежного присутствия затухания, наблюдаются только периодические решения с периодом возмущающей силы.
Иначе обстоит дело в случае нелинейных систем. Здесь наблюдаются периодические колебания с периодом кратным периоду возмущения, если период собственных колебаний равен 2πn/ω или близок к этому числу. Это явление называется субгармоническим резонансом, а соответствующее решение называется субгармоническим.
Точная теория субгармонического резонанса для слабонелинейных
систем с одной степенью свободы была построена в работе Мандельштама и Папалекси [60].
Рассмотрим уравнение
ẍ + k 2 x = f (t) + εF (t, x, ẋ, ε),
(10.39)
где ε > 0 — малый параметр, f (t) и F (t, x, ẋ, ε) — периодическая по
t c периодом 2π, F (t, x, ẋ, ε) достаточно гладкая по переменным x,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
170
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
ẋ, ε. Предположим, что k или равно числу 1/n, где n — целое, или
мало от него отличается. Будем предполагать, что “расстройка”
1
− k2
2
n
имеет порядок малости ε, и положим
1
− k 2 = εm,
2
n
где m — конечная величина. Тогда уравнение (10.39) примет вид
ẍ +
1
x = f (t) + εg(t, x, ẋ, ε),
n2
(10.40)
где g(t, x, ẋ, ε) определяется формулой
g(t, x, ẋ, ε) = mx + F (t, x, ẋ, ε).
При ε = 0 уравнение (10.39) превращается в уравнение
ẍ +
1
x = f (t).
n2
Общее решение этого уравнения имеет вид
1
1
x(t) = a cos t + b sin t + φ(t),
n
n
где φ(t) — решение неоднородного уравнения, соответствующее возмущению f (t). Это решение является периодическим с периодом 2π
и, следовательно, с периодом 2πn.
В уравнении (10.40) сделаем замену
x(t) = y(t) + φ(t).
Получим уравнение
ÿ +
1
y = εh(t, y, ẏ, ε),
n2
где
h(t, y, ẏ, ε) = g(t, y + φ(t), ẏ + φ̇(t), ε).
Используя замену переменных
1
1
x(t) = a cos t + b sin t,
n
n
a
1
b
1
ẋ = − sin t + cos t,
n
n
n
n
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.5. Cлабонелинейное уравнение Дуффинга. . . .
или замену
(1
171
)
t + ψ(t) ,
)
a(t) ( 1
x = a(t) cos
ẋ = −
sin t + ψ(t) ,
n
n
n
получим систему в стандартной форме, правая часть которой является периодической с периодом 2πn. Для исследования вопроса о существовании 2πn-периодического решения используем теорему 10.2.
Усредняя полученную систему, придем к вопросу о разрешимости
систем уравнений
P ∗ (ā, b̄) = 0,
Q∗ (ā, b̄) = 0,
(10.41)
где
(−1)
P ∗ (ā, b̄) =
2π
1
Q (ā, b̄) =
2π
∗
∫2πn (
s
s a
s b
s )
s
h s, a cos +b sin , − sin + cos , 0 sin ds,
n
n n
n n
n
n
0
2πn
∫
(
s
s a
s
b
s )
s
h s, a cos + b sin , − sin + cos , 0 cos ds,
n
n n
n n
n
n
0
или
S ∗ (ā, ψ̄) = 0,
R∗ (ā, ψ̄) = 0,
(10.42)
где
(−1)
R∗ (ā, ψ̄) =
2π
(−1)
S (ā, ψ̄) =
2πa
∗
∫2πn (
(s
) a (s
) ) (s
)
h s, a cos +ψ , − sin +ψ , 0 sin +ψ ds,
n
n
n
n
0
2πn
∫
(
(s
) a (s
) ) (s
)
h s, a cos +ψ , − sin +ψ , 0 cos +ψ ds.
n
n
n
n
0
Если система (10.41) имеет простое решение (a0 , b0 ), то при достаточно малых ε уравнение (10.40) имеет периодическое решение с
периодом 2πn. Такое решение называется субгармоническим. Аналогичное утверждение справедливо, когда задача сводится к рассмотрению системы (10.42).
10.5. Cлабонелинейное уравнение
Дуффинга. Резонансные колебания
Уравнение Дуффинга (cм. Duffing [127]) имеет вид
ẍ + k 2 x + αx3 = 0,
(10.43)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
172
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
где k и α — вещественные числа, причем α может быть как положительным, так и отрицательным. Уравнение Дуффинга можно
интерпретировать как уравнение, описывающее колебания нелинейной пружины. Если α > 0, то пружина называется жесткой, если
α < 0, то пружина называется мягкой. Иногда говорят о жесткой и
мягкой упругой силе, имея в виду нелинейный член αx3 в уравнении
Дуффинга.
Мы рассмотрим слабо нелинейное уравнение Дуффинга, предполагая, что α = εγ, где γ — конечная величина. Мы изучим вопрос
о резонансных колебаниях слабонелинейного уравнения Дуффинга
при воздействии периодического возмущения с малой амплитудой.
Рассмотрим уравнение
[
]
ẍ + k 2 x = ε A cos t − δ ẋ − γx3 ,
(10.44)
где A, δ > 0 — вещественные числа. Кроме возмущающей силы, мы
ввели малое затухание εδ ẋ. Допустим, что
1 − k 2 = εm,
где m — конечная величина. Тогда уравнение (10.44) запишется в
виде
[
]
ẍ + x = ε mx + A cos t − δ ẋ − γx3 .
(10.45)
От уравнения (10.45) перейдем к системе с помощью замены (10.34),
которая в данном случае принимает вид
x = a cos(t + ψ),
ẋ = −a sin(t + ψ).
Получим систему
[ ma
ȧ = −ε
sin 2(t + ψ) + A cos t sin(t + ψ) + aδ sin2 (t + ψ)−
2
]
3
3
− γa cos (t + ψ) sin(t + ψ) ,
(10.46)
[
δ
A
2
ψ̇ = −ε m cos (t + ψ) + cos t cos(t + ψ) + sin 2(t + ψ)−
2
] a
− γa2 cos4 (t + ψ) .
Усредняя систему (10.46) по времени t, получим усредненную систему
[ A
āδ ]
˙ā = ε − sin ψ̄ −
,
2
2
(10.47)
[ m
A
3 2]
˙
ψ̄ = ε − −
cos ψ̄ + γā .
2
2ā
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.5. Cлабонелинейное уравнение Дуффинга. . . .
173
Предположим вначале, что δ = 0. Тогда стационарные решения усредненной системы определяются из системы уравнений
A
sin ψ̄ = 0,
2
m
A
3
+
cos ψ̄ − γā2 = 0.
2
2ā
8
Из первого уравнения этой системы получим ψ̄ = 0. Тогда второе
уравнение превращается в уравнение
F (ā) =
mā A 3 3
+ − γā = 0,
2
2
8
или
4m
4A
ā −
= 0.
(10.48)
3γ
3γ
Будем предполагать, что A > 0. Положим A = λ/ε и возвратимся к
старым обозначениям. Получим уравнение
ā3 −
ā3 −
4(1 − k 2 )
4λ
ā −
= 0.
3α
3α
(10.49)
Как хорошо известно (см., например, Курош [52]), число вещественных корней кубического уравнения
x3 + px + q = 0
(10.50)
определяется знаком дискриминанта этого уравнения
p3 q 2
D=
+ .
27
4
Если D > 0, то уравнение (10.50) имеет один вещественный корень,
если же D < 0, то уравнение (10.50) имеет три вещественных корня.
Возвращаясь к уравнению (10.49), получим
[
]
4 16(1 − k 2 )3 λ2
D= −
+ 2 .
9
81α3
α
Пусть α > 0. Если расстройка отрицательна или если она положительна, но не превосходит некоторой величины h, определяемой
неравенством
λ2
16(1 − k 2 )3
< 2,
81α3
α
то уравнение (10.49) имеет один вещественный корень. Но если
1 − k 2 > h, то уравнение (10.49) имеет три вещественных корня.
Аналогично рассматривается случай, когда α < 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
174
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
Пусть ā = a0 решение уравнения (10.49). Матрица ∆(ā, ψ̄) при
ā = a0 , ψ = 0 имеет вид


A
0
−ε
 (
2
)
∆(a0 , 0) =  A
(10.51)
.
3
ε
+
γa
0
0
2a20 4
Определитель этой матрицы отличен от нуля, если корень ā = a0
уравнения (10.48) простой, так как тогда
(m
A
3 2 )′
3
A
+
− γa0
= − 2 − γa0 ̸= 0.
a0
2
2a0 8
2a0 4
Последнее выражение можно записать в виде (F (a0 ) = 0)
F ′ (a0 )
m
9
=
− γa0 .
a0
2a0 8
Таким образом, из теоремы 10.1 следует, что при достаточно малых
ε уравнение (10.45) имеет одно или три периодических решения с
периодом 2π. Легко видеть, что при выполнении неравенства
ε
9
m
− ε γa0 > 0
2a0
8
(10.52)
собственные значения матрицы (10.51) вещественные разных знаков,
а при
9
m
− ε γa0 < 0
ε
(10.53)
2a0
8
собственные значения матрицы (10.51) чисто мнимые.
Следовательно, если выполнено неравенство (10.52), то при достаточно малых ε периодическое решение уравнения (10.45) неустойчиво. Если выполнено неравенство (10.53), то теорема 10.2 не применима.
Напомним, что εm = 1 − k 2 , εγ = α. Поэтому в исходных переменных неравенства (10.52) и (10.53) запишутся соответственно в
виде
1 − k2 9
1 − k2 9
− αa0 > 0,
− αa0 < 0.
2a0
8
2a0
8
Если у уравнения (10.48) три вещественных корня, то для наибольшего и наименьшего из корней выполнено неравенство (10.53), а для
корня, лежащего между ними, выполнено неравенство (10.52). Следовательно, в случае, когда существует три периодических решения,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.5. Cлабонелинейное уравнение Дуффинга. . . .
175
одно из них неустойчиво, а устойчивость остальных двух не определяется с помощью теоремы 10.2. Если уравнение (10.48) имеет один
вещественный корень, то устойчивость соответствующего периодического решения не определяется c помощью теоремы 10.2.
Теперь учтем затухание, т.е. будем считать, что δ > 0. Стационарные решения усредненной системы определяются из системы
уравнений (мы опускаем черту над переменными)
A
aδ
sin ψ −
= 0,
2
2
A
3
m
cos ψ + γa2 = 0.
Ψ(a, ψ) = − −
2
2a
8
R(a, ψ) = −
(10.54)
Из первого уравнения получим
sin ψ = −
aδ
.
A
(10.55)
Это уравнение имеет решение, если правая часть по модулю меньше 1, причем решений два. Допустим, что это условие выполнено
(оно выполнено, если, например, a и A фиксированы и δ мало, или
оно выполняется для малых a при фиксированных A и δ). Тогда,
подставляя (10.55) во второе уравнение системы (10.54), получим
уравнение для нахождения a
√
A2
3 2
− δ 2 = 0.
(10.56)
m − γa ∓
4
a2
При определенных условиях уравнение (10.56) (например, при малом δ) имеет одно или три решения. Полагая a2 = z, получаем относительно z кубическое уравнение, которое можно проанализировать
так же, как это было сделано для уравнения (10.49).
Матрица линеаризованной на состоянии равновесии a0 , ψ0 усредненной системы имеет вид
)
(
Ra (a0 , ψ0 ) Rψ (a0 , ψ0 )
.
(10.57)
∆(a0 , ψ0 ) =
Ψa (a0 , ψ0 ) Ψψ (a0 , ψ0 )
След этой матрицы отрицателен, так как
Ra (a, ψ) + Ψψ (a, ψ) = −δ.
Поэтому, если определитель
Ra (a, ψ)Ψψ (a, ψ) − Rψ (a, ψ)Ψa (a, ψ)
(10.58)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
176
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
матрицы (10.57) положителен, то при достаточно малых ε уравнение
(10.45) имеет асимптотически устойчивое периодическое решение с
периодом 2π, которое соответствует стационарному решению усредненной системы. Если определитель матрицы (10.57) отрицателен, то
соответствующее периодическое решение уравнения (10.45) неустойчиво.
Выведем условия асимптотической устойчивости (см. [19]) состояния равновесия усредненной системы. Будем считать, что переменные a и ψ являются функциями расстройки m. Дифференцируя
(10.54) по m, получим
dψ
da
+ Rψ
+ Rm = 0,
dm
dm
откуда находим
Ψa
Ra
(Ra Ψψ − Ψa Rψ )
da
dψ
+ Ψψ
+ Ψm = 0,
dm
dm
da
= Ψm Rψ − Rm Ψψ .
dm
(10.59)
С другой стороны,
Rψ = −
A
cos ψ,
2
Rm = 0,
δ
Ψψ = − ,
2
1
Ψm = − .
2
Поэтому правую часть равенства (10.59) можно записать следующим
образом (если еще учесть второе из уравнений (10.54)):
)
1( A
ma
3
− − cos ψ = −
+ γa3 .
(10.60)
2
2
4
16
Таким образом, из (10.59) и (10.60) вытекает, что
(Ra Ψψ − Ψa Rψ )
da
ma
3
=−
+ γa3 .
dm
4
16
После этого очевидно, что условие асимптотической устойчивости
состояния равновесия усредненного уравнения может быть представлено в виде
da
> 0,
dm
da
< 0,
dm
если
если
ma
3
+ γa3 > 0,
4
16
ma
3
−
+ γa3 < 0.
4
16
−
(10.61)
Полученные условия устойчивости (10.61) удобны при графическом представлении зависимости амплитуды a от частоты k (амплитудная или резонансная кривая). Воспользовавшись соотношением
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.5. Cлабонелинейное уравнение Дуффинга. . . .
177
a
C1
B1
1
F1
0.8
0.6
0.4
0.2
A1
0.25
D
E1 1
0.5
0.75
1
1.25
1.5
k2
1.75
Рис. 10.1
(10.56), построим кривую (10.56), которая в исходных переменных
имеет вид
√
ε2 A2
3
1 − k 2 − αa2 ∓
− ε2 δ 2 = 0
(10.62)
2
4
a
а также построим кривую (так называемую скелетную кривую)
−
ma
3
+ γa3 = 0,
4
16
которая в исходных переменных выглядит следующим образом:
3
k 2 = 1 − αa2 .
4
(10.63)
Тогда на ветви кривой (10.62), лежащей левее кривой (10.63),
устойчивыми (т.е. соответствующими устойчивым амплитудам) будут те участки, на которых a возрастает вместе с k; на ветви, лежащей правее кривой (10.63), наоборот, устойчивыми будут те участки,
на которых a убывает с возрастанием k.
В случае, когда существует три периодических решения, два из
них асимптотически устойчивы, а одно неустойчиво. Если существует только одно периодическое решение, то оно асимптотически
устойчиво.
На рисунке 10.1 при a > 0 изображены амплитудные кривые
(правый график соответствует случаю α < 0, левый график — α > 0)
зависимости амплитуды колебаний a от k 2 при ε = 0.1, A = δ = 1,
α = ±1. Эти кривые позволяют проанализировать характер колебаний в рассматриваемой системе при изменении частоты собственных
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
178
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
a
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Ν
0.25 0.5 0.75
1
1.25 1.5 1.75
Рис. 10.2
колебаний. Рассмотрим, например, правый график. Так, при увеличении частоты собственных колебаний от малых значений, амплитуда
вынужденных колебаний сначала возрастает по кривой A1 C1 . В точке C1 происходит срыв амплитуды — значение амплитуды скачком
переходит в точку E1 на кривой C1 D1 и при дальнейшем увеличении
частоты изменяется по кривой C1 D1 в направлении точки D1 . Если теперь уменьшать частоту собственных колебаний, то амплитуда
вынужденных колебаний будет изменяться по кривой D1 C1 до точки
перегиба этой кривой и затем перейдет скачком в точку F1 кривой
C1 A1 . Затем она будет изменяться вдоль кривой C1 A1 .
Заметим, что, говоря об изменении частоты собственных колебаний, мы подразумеваем очень медленное ее изменение, такое, что
практически в каждый момент систему можно рассматривать как
стационарную.
Исходную задачу можно записать в виде уравнения
[
]
ẍ + x = ε A cos νt − δ ẋ − γx3 .
Если ввести расстройку
1 = ν 2 + εm
и перейти к системе уравнений с помощью замены
x = a cos(νt + φ),
ẋ = −aν sin(νt + φ),
то аналогично предыдущему можно получить амплитудные кривые
зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней силы. Эти кривые имеют вид, изображенный на рисунке 10.2,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.6. . . . Вынужденные субгармонические колебания
179
где теперь левый график соответствует значению α < 0, а правый —
значению α > 0.
Упражнение 10.3. Рассмотреть задачу о вынужденных колебаниях
уравнения Дуффинга в случае, когда вынужденная сила f (t) является полигармонической:
f (t) = a1 cos t + a2 cos 2t.
Играет ли роль отношение амплитуд a1 , a2 ?
Упражнение 10.4. Исследовать задачу о существовании и устойчивости резонансных вынужденных колебаний уравнения
ẍ + x = ε(1 − x2 )ẋ + εA cos ωt,
где ε ≪ 1 и 1 − ω 2 = εk = O(ε).
10.6. Уравнение Дуффинга. Вынужденные
субгармонические колебания
Рассмотрим снова уравнение Дуффинга
ẍ + εδ ẋ + k 2 x − εγx3 = A cos t,
(10.64)
где ε > 0 — малый параметр, δ > 0, γ > 0, A > 0 — постоянные.
Мы исследуем вопрос о существовании у уравнения (10.64) субгармонических решений порядка 1/3, т.е. периодических решений с
наименьшим периодом 6π.
Допустим, что k мало отличается от 1/3 и положим
k2 =
1
m
−ε .
9
9
Нам удобно сделать замену времени: t = 3τ и положить 3δ = δ1 ,
9γ = γ1 , 9A = A1 . Получим уравнение во времени τ :
[
]
ẍ + x = A1 cos 3τ + ε mx − δ1 ẋ + γ1 x3 .
(10.65)
Периодическое решение уравнения
ẍ + x = A1 cos 3τ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
180
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
имеет вид
A1
cos 3τ.
8
В уравнении (10.65) сделаем замену
φ(τ ) = −
x(τ ) = y(τ ) + φ(τ ).
Получим уравнение
[
]
ÿ + y = ε m(y + φ) − δ1 (ẏ + φ̇) + γ1 (y + φ)3 .
От этого уравнения перейдем к системе в стандартной форме с помощью замены (10.34):
y = a cos(τ + ψ),
ẏ = −a sin(τ + ψ).
Получим систему
[ (
)
A1
ȧ = −ε m a cos(τ + ψ) −
cos 3τ −
8
)
(
3A1
sin 3τ +
− δ1 −a sin(τ + ψ) +
8
(
)3 ]
A1
+ γ1 a cos(τ + ψ) −
cos 3τ
sin(τ + ψ),
8
)
ε[ (
A1
ψ̇ = − m a cos(τ + ψ) −
cos 3τ −
a
8
)
(
3A1
sin 3τ +
− δ1 −a sin(τ + ψ) +
8
(
)3 ]
A1
+ γ1 a cos(τ + ψ) −
cos 3τ
cos(τ + ψ).
8
(10.66)
Усредним систему (10.66) по времени τ . При этом учтем тождество
cos3 α = 3/4 cos α + 1/4 cos 3α. Получим усредненную систему
[ 3A γ ā2
āδ1 ]
1 1
ā˙ = −ε −
sin 3ψ̄ +
,
64
2
(10.67)
[ m 3γ ā2 3A γ ā
2 ]
3A
γ
1
1
1
1
1
ψ̄˙ = −ε
+
−
cos 3ψ̄ +
.
2
8
64
256
Стационарные решения усредненной системы определяются из системы уравнений
[ 3A γ ā2
āδ1 ]
1 1
R(ā, ψ) = − −
sin 3ψ̄ +
= 0,
64
2
(10.68)
[ m 3γ ā2 3A γ ā
3A21 γ1 ]
1
1 1
Ψ(ā, ψ) = −
+
−
cos 3ψ̄ +
= 0.
2
8
64
256
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.6. . . . Вынужденные субгармонические колебания
181
Рассмотрим сначала случай, когда δ1 = 0. Тогда первое уравнение
системы (10.68) примет вид
3A1 γ1 ā2
sin 3ψ̄ = 0.
64
Возьмем в качестве решения этого уравнения ψ̄1 = π/3. Тогда второе
уравнение принимает вид
3γ1 ā2 3A1 γ1 ā 3γ1 A21
F (ā) = m +
+
+
= 0.
4
32
128
(10.69)
Решения этого уравнения будут вещественными, если выполняется
неравенство
21γ12 A21
−
− mγ1 ≥ 0.
(10.70)
1024
Следовательно, необходимо, чтобы m и γ1 были разных знаков. Если
это условие выполняется, то неравенство (10.70) имеет место при
выполнении неравенства (в первоначальных обозначениях)
(
1)
2 1 21 · 81 2
2
k
−
≥
A
|γ|ε,
k
−
γ > 0.
(10.71)
9
1024
9
Это неравенство было получено Малкиным [58] c помощью методов
теории возмущений. Стокер [85] пришел к неравенству
21
2 1
A2 |γ|ε.
k − ≥
2
9
1024k
менее строгими методами.
Если неравенство (10.71) удовлетворяется, то уравнение (10.69)
имеет два решения:
√
2γ2
3A1 γ1
1 1
− 16 ± 2 − 63A
1024 − 3mγ1
a1,2 =
.
3γ1
Матрица линеаризованной на стационарном решении усредненной
системы имеет вид
)
(
9A1 γ1 (a∗ )2
( π)
0
−ε
64
)
(
,
(10.72)
∆ a∗ ,
=
3A1 γ1
3
∗
3
0
ε − 4 γ1 a − 64
где a∗ — решение уравнения (10.69). Легко видеть, что определитель этой матрицы отличен от нуля, если неравенство (10.71) является строгим. В этом случае уравнение (10.65), а следовательно, и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
182
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
уравнение (10.64) при достаточно малых ε имеет два субгармонических решения с периодом 6π. Учитывая формулы для корней a1,2 ,
получаем следующий результат.
Если a∗ = a1 , то определитель матрицы (10.72) отрицателен, если
a∗ = a2 , то определитель матрицы (10.72) положителен.
Поэтому стационарное решение (a1 , π/3) усредненной системы
неустойчиво. Следовательно, при достаточно малых ε одно субгармоническое решение неустойчиво. Вопрос об устойчивости субгармонического решения, соответствующего стационарному решению
(a2 , π/3), не решается c помощью теоремы 10.2.
Стационарное решение усредненной системы при ψ2 = 2π/3 дает
те же субгармонические решения уравнения (10.64), что и стационарные решения (a1,2 ,π/3).
Вернемся к случаю δ1 ̸= 0. Из первого уравнения системы (10.68)
получаем
32δ1
.
sin 3ψ̄ =
3A1 γ1 ā
Это уравнение имеет решения, если правая часть по модулю меньше 1. Подставляя это решение во второе уравнение, получим уравнение для определения ā:
√
2
3γ1 ā
3A1 γ1 ā
1024δ12
3A21 γ1
m+
∓
1−
= 0.
+
4
32
9A21 γ12 ā2
128
Укажем условия устойчивости стационарного решения усредненной системы. Выполняя выкладки, как в предыдущем пункте, получим (опускаем стрелки над переменными a, ψ)
(Ra Ψψ − Ψa Rψ )
3
9
9 2
da
= − ma − γ1 a3 −
A γ1 a.
dm
4
16
512 1
Поэтому условие асимптотической устойчивости состояния равновесия усредненного уравнения может быть представлено в виде
da
> 0,
dm
da
< 0,
dm
если
если
3
ma +
4
3
ma +
4
9
γ1 a3 +
16
9
γ1 a3 +
16
9 2
A γ1 a < 0,
512 1
9 2
A γ1 a > 0.
512 1
На рисунке 10.3 представлена амплитудная кривая зависимости амплитуды a от квадрата собственной частоты k 2 системы (10.64),
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.6. . . . Вынужденные субгармонические колебания
183
a
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
k2
Рис. 10.3
определяемая уравнением
(3
1
2
k − = ε a2 γ ±
9
4
√
729A2 a2 δ 2 243A2 γ )
− +
,
1024
9
128
где A = 1, γ = 0.2, ε = δ = 0.1.
Упражнение 10.5. Исследовать вопрос о существовании и устойчивости субгармоники порядка 1/2 у уравнения
ẍ + εδ ẋ + εγx2 = A cos t,
где ε > 0 — малый параметр, δ > 0, γ, A — постоянные.
Упражнение 10.6. Вернемся к уравнению (10.65). Пусть A1 = εA2 =
O(ε). Будут ли существовать субгармонические решения c периодом
6π у уравнения (10.64)?
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
184
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
10.7. Почти периодические решения
вынужденного уравнения Дуффинга
без демпфирования
Рассмотрим уравнение Дуффинга
ẍ + x − ενx + ε3 x3 = f (t),
(10.73)
где ε > 0 — малый параметр, ν > 0 — некоторая постоянная, f (t) —
пп функция.
Нас будет интересовать вопрос о существовании пп решения
уравнения (10.73). Положим y = εx. Тогда уравнение (10.73) запишется в виде
[
]
ÿ + y = ε νy − y 3 + f (t) .
(10.74)
От уравнения (10.74) перейдем к системе с помощью замены (10.27):
y = a cos t + b sin t,
ẏ = −a sin t + b cos t.
Получим систему в стандартной форме
da
= −ε[ν(a cos t + b sin t) − (a cos t + b sin t)3 + f (t)] sin t,
dt
db
= ε[ν(a cos t + b sin t) − (a cos t + b sin t)3 + f (t)] cos t.
dt
(10.75)
Усредняя правую часть системы (10.75), получим усредненную систему
[
]
dā
ν b̄ 3 2
3 3
= −ε
− ā b̄ − b̄ − f0 ,
dt
2
8
8
[
]
(10.76)
νā 3 3 3 2
db̄
=ε
− ā − āb̄ + f1 ,
dt
2
8
8
где
f0 = ⟨f (t) sin t⟩,
f1 = ⟨f (t) cos t⟩.
Стационарные решения усредненной системы находятся из системы
уравнений
ν b̄ 3 2
3
− ā b̄ − b̄3 − f0 = 0,
2
8
8
νā 3 3 3 2
− ā − āb̄ + f1 = 0.
2
8
8
(10.77)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.7. Пп решения вынужденного уравнения Дуффинга . . .
185
Предположим, что b̄ = 0, f0 = 0, f1 > 0. Тогда из системы (10.77)
получим уравнение
3ā3 − 4νā − 8f1 = 0.
(10.78)
Вычислим дискриминант кубического уравнения (10.78). Получим,
что уравнение (10.78) имеет три вещественных корня, если выполнено неравенство
(
)2
9f1 3
ν>
.
(10.79)
2
4ν
4ν
Один из корней, например, ā = a1 < 0 и, кроме того,
< a21 <
.
9
3
Линеаризуя правую часть усредненной системы (10.76) на стационарном решении (a1 , 0), получим матрицу


ν 3 2
0
− + a1 

2 8 .
A= ν 9
2
− a
0
2 8 1
Легко видеть, что собственные значения матрицы вещественные разных знаков. Поэтому из теорем 9.1 и 9.3 следует, что при достаточно
малых ε система (10.75) имеет неустойчивое пп решение. Ясно, что
в случаях f0 < 0, f1 = 0 и f0 = 0, |f1 | ̸= 0 мы получим аналогичные
результаты. Сформулируем полученный результат применительно к
уравнению Дуффинга (10.73).
Теорема 10.3. Пусть f0 f1 = 0, |f0 + f1 | = µ > 0 и ν — любое фик(
)2/3
.
сированное число, удовлетворяющее неравенству ν > 9µ/2
Тогда существует ε0 = ε0 (ν) > 0 такое, что для 0 < ε < ε0 уравнение (10.73) имеет неустойчивое пп решение x(t, ε), для которого
εx(t, ε) − (a cos t + b sin t) → 0 при ε → 0, где a ̸= 0 и b = 0, если
f1 ̸= 0, f0 = 0, или b ̸= 0, a = 0, если f0 ̸= 0, f1 = 0.
Эту теорему получил Сейферт [171] (cм. также [133, 170]). Проблему существования пп решения вынужденного уравнения Дуффинга без демпфирования исследовал Мозер [154] c помощью методов КАМ теории (по поводу теории Колмогорова – Арнольда –
Мозера cм., например, [155]). Он рассмотрел уравнение
ẍ + a2 (µ)x + bx3 = µf (t, x, ẋ),
(10.80)
где f (t, x, ẋ) квазипериодическая по t c базисными частотами ω1 , . . . ,
ωm , удовлетворяющими обычным в КАМ теории условиям. Предпо-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
186
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
лагается, что f (t, x, ẋ) вещественная аналитическая по x, ẋ в некоторой окрестности x = ẋ = 0 и f (−t, x, −ẋ) = f (t, x, ẋ). При этих условиях существует вещественная аналитическая функция a(µ) и пп решение x = φ(t, µ) уравнения (10.80) такое, что a(0) = 1, φ(t, 0) ≡ 0.
10.8. Почти периодические решения
возмущенного осциллятора
Ван дер Поля. Нерезонансный случай
Рассмотрим дифференциальное уравнение
ẍ + x = ε(1 − x2 )ẋ + A sin ω1 t + B sin ω2 t.
(10.81)
Здесь ε > 0 — малый параметр, A и B — постоянные, отношение
ω1 /ω2 иррационально. При A = B = 0 получим известное уравнение Ван дер Поля, которое при всех значениях параметра ε имеет
устойчивое периодическое решение (предельный цикл). При малых ε
период этого решения близок к периоду собственных колебаний, т.е.
к 2π.
Как и в задаче о периодическом возмущении, нам придется различать резонансный и нерезонансный случаи. Будем говорить, что имеет место нерезонансный случай, когда ни одна из величин
m + m1 ω1 + m2 ω2 не является величиной порядка ε. Здесь m, m1 ,
m2 — какие-нибудь целые числа, для которых |m| + |m1 | + |m2 | ≤ 4
и m ̸= 0.
Исследуем сначала нерезонансный случай. При ε = 0 уравнение
(10.81) превращается в линейное неоднородное уравнение
ẍ + x = A sin ω1 t + B sin ω2 t,
общее решение которого имеет вид
A
B
sin ω1 t +
sin ω2 t,
2
1 − ω1
1 − ω22
Aω1
Bω2
ẋ(t) = −a sin t + b cos t +
cos
ω
t
+
cos ω2 t,
1
1 − ω12
1 − ω22
x(t) = a cos t + b sin t +
(10.82)
где a, b — произвольные постоянные. Будем смотреть на формулы
(10.82) как на замену переменных. Примем в качестве новых пере-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.8. Пп решения возмущенного осциллятора Ван дер Поля
187
менных a, b вместо x, ẋ. Тогда получим систему уравнений
da
db
cos t + sin t = 0,
dt
dt
da
db
dx
− sin t + cos t = ε(1 − x2 ) .
dt
dt
dt
Откуда получаем систему в стандартной форме
da
dx
= −ε(1 − x2 ) sin t,
dt
dt
db
dx
= ε(1 − x2 ) cos t,
dt
dt
(10.83)
где вместо x, ẋ нужно подставить их выражения из формул (10.82).
Среднее значение правой части системы (10.83) зависит от того, резонансны или нерезонансны частоты 1, ω1 , ω2 . Предполагая, что рассматриваемые частоты нерезонансны, получим усредненную систему
dā
= εP (ā, b̄),
dt
db̄
= εQ(ā, b̄),
dt
где
(10.84)
]
1 1 2
A2
B2
2
− (ā + b̄ ) −
−
P (ā, b̄) = ā
2 8
4(1 − ω12 )2 4(1 − ω22 )2
[
]
2
2
1 1 2
A
B
Q(ā, b̄) = b̄
− (ā + b̄2 ) −
−
.
2 8
4(1 − ω12 )2 4(1 − ω22 )2
[
Стационарные решения усредненной системы (10.84) определяются
из системы уравнений
P (ā, b̄) = 0,
Q(ā, b̄) = 0.
(10.85)
Система уравнений (10.85) имеет решение ā = b̄ = 0. Если существуют ненулевые стационарные решения, то они удовлетворяют уравнению
2A2
2B 2
2
2
4 − (ā + b̄ ) −
−
= 0.
(10.86)
(1 − ω12 )2 (1 − ω22 )2
Матрица линеаризованной на стационарном решении усредненной
системы имеет вид
(
)
C − 14 a20 − 14 a0 b0
∆(a0 , b0 ) =
,
(10.87)
− 41 a0 b0 C − 14 b20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
188
где
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
[
]
2
2
1 1 2
B
A
C=
− (ā0 + b̄20 ) −
−
.
2 8
4(1 − ω12 )2 4(1 − ω22 )2
Для стационарного решения a0 = b0 = 0 определитель матрицы
(10.87) отличен от нуля, и это стационарное решение асимптотически устойчиво, если выполняется неравенство
A2
B2
+
> 2,
(1 − ω12 )2 (1 − ω22 )2
(10.88)
и неустойчиво, если выполнено неравенство
A2
B2
+
< 2.
(1 − ω12 )2 (1 − ω22 )2
(10.89)
Следовательно, если неравенство (10.88) удовлетворяется, то при достаточно малых ε уравнение (10.81) имеет асимптотически устойчивое пп решение, которое при ε = 0 превращается в пп функцию
B
A
cos
ω
t
+
cos ω2 t,
1
1 − ω12
1 − ω22
(10.90)
содержащую только частоты ω1 и ω2 . Неравенство (10.88) вероятно не будет выполняться, если 1 достаточно сильно отличается от
частот ω1 и ω2 .
Если же выполнено неравенство (10.89), то уравнение (10.81)
при достаточно малых ε имеет неустойчивое почти периодическое
решение, обращающееся при ε = 0 в функцию (10.90).
При выполнении неравенства (10.89) система уравнений (10.85)
имеет бесконечное множество решений, лежащих на окружности
2A2
2B 2
a +b =4−
−
.
(1 − ω12 ) (1 − ω22 )
2
2
(10.91)
Для стационарных решений усредненной системы, удовлетворяющих уравнению (10.91), определитель матрицы (10.87) равен нулю
и теорема 9.1 неприменима. В этом случае в окрестности семейства решений (10.91) существует устойчивое интегральное многообразие решений уравнения (10.81) (см. [135]). Здесь мы не будем
рассматривать задачу о существовании интегральных многообразий
и приведем некоторые более элементарные соображения, связанные
с семейством решений (10.91).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.8. Пп решения возмущенного осциллятора Ван дер Поля
189
Вернемся к системе (10.83), которую запишем в виде
da
= εA(t, a, b),
dt
db
= εB(t, a, b).
dt
(10.92)
В этой системе сделаем стандартную замену метода усреднения
a = p + εu(t, p, q),
b = q + εv(t, p, q),
(10.93)
где функции u(t, p, q), v(t, p, q) определяются из уравнений
∂u
= A(t, p, q) − P (p, q),
∂t
∂v
= B(t, p, q) − Q(p, q),
∂t
как функции с нулевым средним значением по t. Здесь P (p, q),
Q(p, q) определяются формулами (10.84), в которых ā, b̄ заменяются
на p, q соответственно. После замены (10.93) система (10.92) принимает вид
dp
= εP (p, q) + ε2 R1 (t, p, q, ε),
dt
dq
= εQ(p, q) + ε2 R2 (t, p, q, ε).
dt
(10.94)
Теперь в системе (10.94) перейдем к полярным координатам
p = M cos α,
q = M sin α
и положим α = t − θ. Получим систему
dM
= εR(M ) + ε2 Q1 (t, θ, M, ε),
dt
dθ
= 1 + ε2 Q2 (t, θ, M, ε),
dt
(10.95)
где
(
)
2
2
M
2A
2B
R(M ) =
4 − M2 −
−
.
8
(1 − ω12 )2 (1 − ω22 )2
Если выполнено неравенство (10.89), то уравнение R(M ) = 0 имеет
решение M = M0 , где
M02 = 4 −
2B 2
2A2
−
.
(1 − ω12 )2 (1 − ω22 )2
(10.96)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
190
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
M02
Легко видеть, что R (M0 ) = −
< 0. Поэтому стационарное реше4
ние M = M0 уравнения
′
dM
= εR(M )
dt
(10.97)
асимптотически устойчиво. Система первого приближения
dM
= εR(M ),
dt
dθ
=1
dt
для системы (10.95) имеет периодическое решение (предельный
цикл), которое устойчиво по Ляпунову. Итак, в первом приближении
имеем семейство решений M = M0 , θ = t + c, где c — произвольная
постоянная. Это решение для уравнения (10.81) принимает вид
x(t) = M0 cos(t + c) +
A
B
sin ω1 t +
sin ω2 t.
2
1 − ω1
1 − ω22
(10.98)
Следовательно, уравнение (10.81) в первом приближении допускает
семейство пп решений, для которого M0 определяется равенством
(10.96).
Вернемся к системе (10.95). Функции Q1 (t, θ, M, ε), Q2 (t, θ, M, ε) —
почти периодические по t, периодические по θ и гладкие по M . Поэтому эти функции ограничены при t ≥ 0, если переменная M изменяется в некоторой ограниченной окрестности точки M0 . Так как
решение M = M0 уравнения (10.97) асимптотически устойчиво, то
оно равномерно асимптотически устойчиво. К первому уравнению
системы (10.95) применима теорема Малкина об устойчивости при
постоянно действующих возмущениях (cм. Приложение Б). Поэтому по любому η > 0 можно найти такое δ > 0, что при достаточно
малых ε справедливо неравенство
|M (t, ε) − M0 | < η,
t > 0,
если
|M (0, ε) − M0 | < δ,
где M (t, ε) — решение первого уравнения системы (10.95). Из второго уравнения системы (10.95) получим, что
(
)
θ(t, ε) = θ(0, ε) + 1 + ε2 φ(t, ε) t,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.9. Вынужденные колебания осциллятора Ван дер Поля . . .
191
где функция φ(t, ε) ограничена на [0, ∞). Решение уравнения (10.81),
соответствующее решению M (t, ε), θ(t, ε) системы (10.95), имеет вид
((
)
)
x(t, ε) = M (t, ε) cos t 1 + ε2 φ(t, ε) + θ(0, ε) +
+
A
sin ω1 t+
1 − ω12
B
sin ω2 t + εx1 (t, ε),
1 − ω22
(10.99)
где функция x1 (t, ε) ограничена на [0, ∞). Это следует из формул,
определяющих функции u(t, p, q), v(t, p, q). Формула (10.99) показывает, что первое приближение (10.98) при достаточно малых ε достаточно хорошо характеризует точное решение как с количественной,
так и с качественной стороны.
10.9. Вынужденные колебания
осциллятора Ван дер Поля
под действием почти периодической
силы с медленно изменяющейся
амплитудой
Рассмотрим дифференциальное уравнение
ẍ + x = ε(1 − x2 )ẋ + A(τ ) sin ω1 t + B(τ ) sin ω2 t,
(10.100)
где τ = εt — медленное время, A(τ ), B(τ ) — дифференцируемые
периодические функции переменной τ c некоторым периодом T . Таким образом мы предполагаем, что на осциллятор Ван дер Поля
воздействует почти периодическая сила с медленно изменяющейся
амплитудой. Частоты ω1 , ω2 удовлетворяют условиям нерезонансности, описанным в п. 10.8.
От уравнения (10.100) перейдем к системе дифференциальных
уравнений с помощью замены
A(τ )
B(τ )
sin
ω
t
+
sin ω2 t,
1
1 − ω12
1 − ω22
A(τ )ω1
B(τ )ω2
ẋ = −a sin t + b cos t +
cos
ω
t
+
cos ω2 t.
1
1 − ω12
1 − ω22
x = a cos t + b sin t +
(10.101)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
192
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
Выполнив замену, получим
da
db
εA′ (τ )
εB ′ (τ )
cos t + sin t = −
sin
ω
t
+
sin ω2 t,
1
dt
dt
1 − ω12
1 − ω22
da
db
εA′ (τ )ω1
εB ′ (τ )ω2
2 dx
− sin t + cos t = ε(1 − x ) −
cos ω1 t −
cos ω2 t.
dt
dt
dt
1 − ω12
1 − ω22
da db
Разрешая полученную систему относительно
, , приходим к сиdt dt
стеме в стандартной форме
[ ′
]
′
da
dx
εA
(τ
)
εB
(τ
)
= −ε(1 − x2 ) sin t −
sin ω1 t +
sin ω2 t cos t+
dt
dt
1 − ω12
1 − ω22
[ ′
]
εB ′ (τ )ω2
εA (τ )ω1
+
cos ω1 t +
cos ω2 t sin t,
1 − ω12
1 − ω22
]
[ ′
′
db
εA
(τ
)
εB
(τ
)
dx
sin ω1 t +
sin ω2 t sin t−
= ε(1 − x2 ) cos t −
dt
dt
1 − ω12
1 − ω22
[ ′
]
εA (τ )ω1
εB ′ (τ )ω2
−
cos ω1 t +
cos ω2 t cos t.
1 − ω12
1 − ω22
(10.102)
Правые части системы зависят от быстрого времени t и медленного
dx
представляются
времени τ . Отметим еще, что в правых частях x,
dt
формулами (10.101). Усредняем правые части системы (10.102) по
быстрому времени t, учитывая при этом, что частоты 1, ω1 , ω2 удовлетворяют условиям нерезонансности. Получим усредненную систему
dā
= εP (τ, ā, b̄),
dt
db̄
= εQ(τ, ā, b̄),
dt
где
(10.103)
[
]
1 1 2
A2 (τ )
B 2 (τ )
2
P (ā, b̄) = ā
− (ā + b̄ ) −
−
2 8
4(1 − ω12 )2 4(1 − ω22 )2
[
]
2
2
1 1 2
A
(τ
)
B
(τ
)
Q(ā, b̄) = b̄
− (ā + b̄2 ) −
−
.
2 8
4(1 − ω12 )2 4(1 − ω22 )2
Следовательно, усредненная система является системой с T -периодическими коэффициентами. Стационарное (периодическое) решение
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.10. Резонансные колебания осциллятора Ван дер Поля
193
усредненной системы — это ā = b̄ = 0. Линеаризуя усредненное
уравнение на решении ā = b̄ = 0, получим систему не связанных
между собой уравнений, которую запишем во времени τ
(
)
dā
1
A2 (τ )
B 2 (τ )
=
−
−
ā,
dτ
2 4(1 − ω12 )2 4(1 − ω22 )2
(
)
(10.104)
db̄
1
A2 (τ )
B 2 (τ )
=
−
b̄.
−
dτ
2 4(1 − ω12 )2 4(1 − ω22 )2
Если удовлетворяется неравенство
⟨A2 (τ )⟩
⟨B 2 (τ )⟩
+
> 2,
(1 − ω12 )2 (1 − ω22 )2
(10.105)
где ⟨A2 (τ )⟩, ⟨B 2 (τ )⟩ — средние значения периодических функций
A2 (τ ), B 2 (τ ) соответственно, то нулевое решение системы (10.104)
асимптотически устойчиво, если же
⟨A2 (τ )⟩
⟨B 2 (τ )⟩
+
< 2,
(1 − ω12 )2 (1 − ω22 )2
(10.106)
то нулевое решение системы (10.104) неустойчиво. Тогда из теорем 9.6 и 9.7 следует, что при достаточно малых ε система (10.102)
имеет в достаточно малой окрестности нуля пп решение, которое
асимптотически устойчиво, если выполнено неравенство (10.105), и
неустойчиво, если удовлетворяется неравенство (10.106). Соответственно уравнение (10.100) имеет пп решение
x(t, ε) = a(t, ε) cos t + b(t, ε) sin t +
B(τ )
A(τ )
sin ω1 t +
sin ω2 t.
2
1 − ω1
1 − ω22
10.10. Резонансные колебания
осциллятора Ван дер Поля
Рассмотрим теперь резонансный случай, когда 1 отличается от ω1
на величину порядка ε.
Положим
1 = ω12 − εm, A = ελ.
Тогда вместо уравнения (10.81) получим уравнение
ẍ + ω12 x = ε(1 − x2 )ẋ + εmx + ελ sin ω1 t + B sin ω2 t.
(10.107)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
194
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
Если теперь с помощью замены
B
sin ω2 t,
ω12 − ω22
Bω2
ẋ(t) = −aω1 sin ω1 t + bω1 cos ω1 t + 2
cos ω2 t,
ω1 − ω22
x(t) = a cos ω1 t + b sin ω1 t +
перейти к системе в переменных a, b, то получим
]
da
ε[
2 dx1
=−
+ mx1 + λ sin ω1 t sin ω1 t,
(1 − x1 )
dt
ω1
dt
]
db
ε[
2 dx1
=
(1 − x1 )
+ mx1 + λ sin ω1 t cos ω1 t.
dt
ω1
dt
(10.108)
Здесь
B
sin ω2 t,
− ω22
dx1
Bω2
= −aω1 sin ω1 t + bω1 cos ω1 t + 2
cos ω2 t.
dt
ω1 − ω22
x1 = a cos ω1 t + b sin ω1 t +
ω12
Усредняя систему (10.108), получим
[
(
)]
dā
mb̄ ā
λ
B2
ā2 + b̄2
−
+
=ε −
1−
−
,
dt
2ω1 2ω1 2
2(ω12 − ω22 )
4
[
(
)]
mā b̄
db̄
B2
ā2 + b̄2
=ε
+
1−
−
.
dt
2ω1 2
2(ω12 − ω22 )
4
(10.109)
Мы для простоты ограничимся рассмотрением только случая точного резонанса, т.е. положим m = 0. В этом случае для определения
стационарных решений получаем систему уравнений
(
)
ā
B2
ā2 + b̄2
λ
+
1−
−
= 0,
−
2ω1 2
2(ω12 − ω22 )
4
(
)
(10.110)
B2
ā2 + b̄2
b̄
1−
−
= 0.
2
2(ω12 − ω22 )
4
Система (10.110) имеет решение b̄ = 0, ā = a0 , где a0 — корень
кубического уравнения
(
)
a30
1
B2
λ
f (a0 ) = − +
−
= 0.
(10.111)
a
−
0
8
2 4(ω12 − ω 2 )2
2ω1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.11. Два слабо связанных осциллятора Ван дер Поля
195
Матрица линеаризованной на стационарном решении (a0 , 0) усредненной системы имеет вид
( ′
)
f (a0 )
0
2
∆(a0 , 0) =
,
(10.112)
0
f ′ (a0 ) + a40
где f ′ (a0 ) — производная левой части уравнения (10.111) и
f ′ (a0 ) +
λ
a20
=
.
4
2ω1 a0
(10.113)
Если уравнение (10.111) имеет одно или три вещественных решения,
то определитель матрицы (10.112) отличен от нуля. В этом случае
уравнение (10.107) при достаточно малых ε будет иметь одно или
три почти периодических решения, которые при ε = 0 превращаются
в почти периодическую функцию
a0 cos ω1 t +
B
sin ω2 t.
ω12 − ω22
Так как уравнение (10.111) не может иметь тройного корня, то по
крайней мере одно пп решение всегда существует. Условия асимптотической устойчивости полученных пп решений имеют вид
a0 < 0,
f ′ (a0 ) < 0.
Следовательно, устойчивы могут быть пп решения, которые соответствуют отрицательным корням уравнения (10.111). Так как свободный член уравнения (10.111) отрицателен (λ > 0), то уравнение
(10.111) всегда имеет по крайней мере один отрицательный корень.
Кроме того, из формул Виета также следует, что уравнение (10.111)
не может иметь более одного отрицательного корня. Из (10.113) следует, что если a0 < 0, то f ′ (a0 ) < 0, и соответствующее пп решение
будет асимптотически устойчиво при достаточно малых ε.
10.11. Два слабо связанных осциллятора
Ван дер Поля
Исследованию динамики двух слабо связанных осцилляторов Ван
дер Поля посвящена значительная литература (см., например,
[109, 115, 116, 165, 166]).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
196
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
Здесь мы рассмотрим два осциллятора Ван дер Поля, связанных
слабой гироскопической связью:
[
d2 x 1
dx2 ]
2
2 dx1
+ λ1 x1 = ε (1 − x1 )
+n
,
dt2
dt
dt
(10.114)
[
]
dx
dx
d2 x 2
2
1
+ λ22 x2 = ε (1 − x22 )
−n
,
2
dt
dt
dt
где ε > 0 — малый параметр, λ1 , λ2 , n — положительные постоянные. Система (10.114) была исследована в работе Митропольского
и Самойленко [66]. В этой работе, а также в работе [67] метод
усреднения применяется к многостороннему анализу слабонелинейных многомерных систем первого и второго порядков. При условии
нерезонансности частот λ1 , λ2 показано, что система (10.114) имеет двумерный устойчивый инвариантный тор и два неустойчивых
периодических решения. Получены приближенные формулы для решений.
Здесь мы ограничимся более элементарным анализом задачи.
Будем предполагать, что числа λ1 и λ2 несоизмеримы. В системе
(10.114) сделаем замену переменных
x1 = a1 cos λ1 t + b1 sin λ1 t,
x2 = a2 cos λ2 t + b2 sin λ2 t,
ẋ1 = −a1 λ1 sin λ1 t + b1 λ1 cos λ1 t,
ẋ2 = −a2 λ2 sin λ2 t + b2 λ2 cos λ2 t.
Получим систему в стандартной форме
da1
dt
db1
dt
da2
dt
db2
dt
=−
ε
F1 sin λ1 t,
λ1
ε
F1 cos λ1 t,
λ1
ε
= − F2 sin λ2 t,
λ2
ε
= F2 cos λ2 t,
λ2
=
(10.115)
где
dx2
dx1
dx1
dx2
+n
, F2 = (1 − x22 )
−n
.
dt
dt
dt
dt
Усредняя систему (10.115), получим усредненную систему
F1 = (1 − x21 )
dā1
= εP (ā1 , b̄1 ),
dt
dā2
= εP (ā2 , b̄2 ),
dt
db̄1
= εQ(ā1 , b̄1 ),
dt
db̄2
= εQ(ā2 , b̄2 ),
dt
(10.116)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.11. Два слабо связанных осциллятора Ван дер Поля
197
где
]
āi [
1 2
2
P (āi , b̄i ) =
1 − (āi + b̄i ) ,
2
4
]
b̄i [
1 2
2
Q(āi , b̄i ) =
1 − (āi + b̄i ) ,
2
4
и i = 1, 2. Система (10.116) имеет нулевое состояние равновесия
1) ai = bi = 0,
i = 1, 2
и бесконечное множество состояний равновесия, лежащих на окружностях
2) a21 + b21 = 4,
a22 + b22 = 4, 3) a1 = b1 = 0, a22 + b22 = 4,
4) a21 + b21 = 4, a2 = b2 = 0.
В системе (10.115) сделаем замену переменных, позволяющую выделить усредненную часть. Запишем систему (10.115) в виде
dai
= εAi (t, a1 , a2 , b1 , b2 ),
dt
dbi
= εBi (t, a1 , a2 , b1 , b2 ),
dt
i = 1, 2.
Перейдем к новым переменным по формулам
ai = yi + εui (t, y1 , y2 , z1 , z2 ),
bi = zi + εvi (t, y1 , y2 , z1 , z2 ),
i = 1, 2,
где
∂u1
∂t
∂u2
∂t
∂v1
∂t
∂v2
∂t
= A1 (t, y1 , y2 , z1 , z2 ) − P (y1 , y2 ),
= A2 (t, y1 , y2 , z1 , z2 ) − P (z1 , z2 ),
= B1 (t, y1 , y2 , z1 , z2 ) − Q(y1 , y2 ),
= B2 (t, y1 , y2 , z1 , z2 ) − Q(z1 , z2 ).
Тогда получим систему
dy1
dt
dy2
dt
dz1
dt
dz2
dt
= εP (y1 , y2 ) + ε2 Y1 (t, y1 , y2 , z1 , z2 ),
= εP (z1 , z2 ) + ε2 Y2 (t, y1 , y2 , z1 , z2 ),
(10.117)
2
= εQ(y1 , y2 ) + ε Z1 (t, y1 , y2 , z1 , z2 ),
= εQ(z1 , z2 ) + ε2 Z2 (t, y1 , y2 , z1 , z2 ).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
198
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
Введем новые переменные по формулам
yi = Mi cos αi ,
zi = Mi sin α1 ,
i = 1, 2
и положим αi = λi t − θi . Получим систему
dMi
= εRi (Mi ) + ε2 Q1i (t, θ1 , θ2 , M1 , M2 , ε), i = 1, 2
dt
dθi
= λi + ε2 Q2i (t, θ1 , θ2 , M1 , M2 , ε), i = 1, 2,
dt
(10.118)
где
Mi
(4 − Mi2 ), i = 1, 2.
8
Легко видеть, что стационарное решение M1 = M2 = 2 системы
Ri (Mi ) =
dM1
= R1 (M1 ),
dt
dM2
= R2 (M2 )
dt
(10.119)
асимптотически устойчиво и, следовательно, равномерно асимптотически устойчиво. Стационарные решения M1 = 0, M2 = 2 и M1 = 2,
M2 = 0 неустойчивы. Система первого приближения для системы
(10.118) имеет вид
dM1
= εR1 (M1 ),
dt
dθ1
= λ1 ,
dt
dM2
= εR2 (M2 ),
dt
dθ2
= λ2 .
dt
Решение M1 = M2 = 2, θ1 = λ1 t + θ10 , θ2 = λ2 t + θ20 , где θ10 , θ20 —
произвольные постоянные, в исходных переменных принимает вид
x1 (t) = 2 cos(λ1 t + θ10 ),
x2 (t) = 2 cos(λ2 t + θ20 ).
(10.120)
Следовательно, система (10.114) в первом приближении имеет семейство пп решений (10.120).
Вернемся к системе (10.118). Функции Q1i (t, θ1 , θ2 , M1 , M2 , ε)
(i = 1, 2) — почти периодические по t, периодические по θ1 , θ2 и гладкие по M1 , M2 . Поэтому эти функции ограничены при t ≥ 0, если
переменные M1 , M2 изменяются в некоторой ограниченной окрестности точки (2, 2). Так как решение M1 = M2 = 2 системы (10.119)
равномерно асимптотически устойчиво, то к первым двум уравнениям системы (10.118) применима теорема Малкина об устойчивости
при постоянно действующих возмущениях (cм. Приложение Б). Поэтому по любому η > 0 можно найти такое δ > 0, что при достаточно
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.12. Возбуждение параметрических колебаний ударами . . .
199
малых ε для решений Mi (t, ε), (i = 1, 2) системы (10.118) справедливы неравенства
|Mi (t, ε) − 2| < η,
i = 1, 2,
t > 0,
если
|Mi (0, ε) − 2| < δ,
i = 1, 2.
Из третьего и четвертого уравнений системы (10.118) получим, что
(
)
θi (t, ε) = θi (0, ε) + λi + ε2 φi (t, ε) t, i = 1, 2,
где функции φi (t, ε), i = 1, 2 ограничены на [0, ∞). Решение системы
(10.114) соответствующее решению Mi (t, ε), θi (t, ε), i = 1, 2 системы
(10.118) имеет вид
( (
)
)
xi (t, ε) = Mi (t, ε) cos λi t 1 + ε2 φi (t, ε) + θi (0, ε) + εx1i (t, ε), (10.121)
где функции x1i (t, ε), i = 1, 2 ограничены на [0, ∞). Это следует из формул, определяющих функции ui (t, p, q), vi (t, p, q). Формула
(10.121) показывает, что первое приближение (10.120) при достаточно малых ε достаточно хорошо характеризует точное решение.
Упражнение 10.7. Исследовать вопрос о существовании и устойчивости периодических решений двух слабо связанных осцилляторов
(
)
d2 x 1
2
2 dx1
+
x
=
ε
1
−
x
−
ax
,
1
1
2
dt2
dt
(
)
d2 x2
2
2 dx2
+
x
=
ε
1
−
bx
−
x
,
2
1
2
dt2
dt
где ε > 0 — малый параметр, a, b — вещественные числа.
10.12. Возбуждение параметрических
колебаний ударами в нелинейных
системах
Как мы видели в первой части, параметрический резонанс в линейной колебательной системе приводит к неустойчивости состояния
равновесия системы.
Иначе обстоит дело в нелинейных системах. В таких системах
параметрический резонанс может привести к возникновению устойчивых стационарных колебаний.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
200
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
Рассмотрим задачу о параметрических колебаниях для уравнения
[
]
d2 x
dx
2
1
+
εf
(t)
x + εγx3 = 0,
+
εδ
+
ω
dt2
dt
(10.122)
где ε > 0 — малый параметр, f (t) — обобщенная периодическая
функция, являющаяся производной периодической функции, имеющей конечное число точек разрыва (скачков) на периоде, ω, δ, γ —
положительные числа. Введем переменную y(t) с помощью соотношения
dx
= y − εω 2 g(t)x,
dt
где g(t) — периодическая функция, которая удовлетворяет равенству
g ′ (t) = f (t)
и, следовательно, имеет конечное число точек разрыва первого рода (скачков) на периоде. Тогда вместо уравнения (10.122) получим
эквивалентную систему двух дифференциальных уравнений первого
порядка
dx
= y − εω 2 g(t)x,
dt
dy
= −ω 2 x + εω 2 g(t)y − εδy − εγx3 + O(ε2 ).
dt
(10.123)
В правой части системы (10.123) нет обобщенных периодических
функций, а есть только периодические функции с конечным числом
точек разрыва первого рода на периоде. Теперь перейдем к новым
переменным с помощью замены
x = a cos νt + b sin νt,
y = −aν sin νt + bν cos νt,
(10.124)
где частоту ν выберем позднее. Выполняя замену, получим
[
]
da
db
cos νt + sin νt = −εω 2 g(t) a cos νt + b sin νt ,
dt
dt
(
)[
]
da
db
− ν sin νt + ν cos νt = ν 2 − ω 2 a cos νt + b sin νt +
dt
( 2 dt
)[
]
[
]3
+ εω g(t) − εδ −aν sin νt + bν cos νt − εγ a cos νt + b sin νt +O(ε2 ).
Разрешая последнюю систему относительно
da db
, , приходим к сиdt dt
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.12. Возбуждение параметрических колебаний ударами . . .
201
стеме
]
da
ν 2 − ω2 [ a
2
=−
sin 2νt + b sin νt − εω 2 g(t)×
dt
ν
2
[
]
[ ( 2
)
]
b
2
2
× a cos νt − sin νt + b sin 2νt + εδ −a sin νt + sin 2νt +
2
]3
εγ [
+
a cos νt + b sin νt sin νt + O(ε2 ),
ν
]
2
db ν − ω 2 [
b
2
=
a cos νt + sin 2νt + εω 2 g(t)×
dt
ν
2
]
[ a
[
( 2
)]
2
2
× −a sin 2νt + b cos νt − sin νt − εδ − sin 2νt + b cos νt −
2
[
]
3
εγ
−
a cos νt + b sin νt cos νt + O(ε2 ).
ν
(10.125)
Будем предполагать, что расстройка ν 2 − ω 2 = εh, где h — некоторое
число. Тогда система (10.125) имеет стандартную форму и можно
использовать теоремы 9.2 и 9.3 для исследования существования и
устойчивости периодических решений системы (10.125). Возьмем в
качестве функции f (t) обобщенную периодическую функцию, которой соответствует ряд Фурье
f (t) ∼
∞
∑
cos(2k − 1)t.
k=1
Функция g(t) представляется следующим рядом:
g(t) ∼
∞
∑
sin(2k − 1)t
k=1
2k − 1
.
2k − 1
Положим ν =
, (k = 1, 2 . . .). Зафиксируем k и усредним по t
2
правую часть системы (10.125). Усредненная система имеет вид
[( h
]
da
ω2 )
δ
3γ 2
2
=ε − −
b − a + b(a + b ) ,
dt
2ν 4ν
2
8ν
[(
]
2)
ω
δ
3γ
h
db
2
2
=ε
−
a − b − a(a + b ) ,
dt
2ν 4ν
2
8ν
(10.126)
2k − 1
где напомним, что ν =
. В системе (10.126) перейдем к поляр2
ным координатам a = ρ cos φ, b = ρ sin φ. После разрешения преобра-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
202
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
dρ dφ
,
получим
dt dt
[ ω2
δ ]
= ε − ρ sin 2φ − ρ ,
4ν
2
[h
2
ω
3γ 2 ]
=ε
−
cos 2φ − ρ .
2ν 4ν
8ν
зованной системы относительно
dρ
dt
dφ
dt
(10.127)
Состояния равновесия (ρ0 , φ0 ) системы (10.127) определяются из системы уравнений
ω2
δ
− ρ sin 2φ − ρ = 0,
4ν
2
(10.128)
2
h
ω
3γ 2
−
cos 2φ − ρ = 0.
2ν 4ν
8ν
Исследуем устойчивость состояний равновесия, определяемых системой (10.128). Линеаризуя усредненную систему (10.127) на состоянии равновесия (ρ0 , φ0 ), получим линейную систему c матрицей


ω2
−ε ρ0 cos 2φ0 
 0
2ν2
A=

3γ
ω
−ε ρ0
ε sin 2φ0
4ν
2ν
Как хорошо известно, собственные значения матрицы второго порядка имеют отрицательные вещественные части, если след матрицы отрицательный, а определитель положительный. В нашем случае
след матрицы A всегда отрицательный (справедливость неравенства
sin 2φ0 < 0 следует из первого из равенств (10.128)). Положительность определителя матрицы A и, следовательно, устойчивость состояния равновесия определяется неравенством cos 2φ0 < 0, из которого, с учетом второго уравнения системы (10.128), получим неравенство
3γ
h − ρ20 < 0.
(10.129)
4
Итак, из неравенства (10.129) следует асимптотическая устойчивость соответствующего состояния равновесия усредненной системы.
В силу теоремы 9.2 и 9.3 получаем, что исходная система уравнений (10.123), а следовательно, и уравнение (10.122) при достаточно
малых ε имеет асимптотически устойчивое периодическое решение с
4π
. Аналогично, если выполняется неравенство
периодом T =
2k − 1
3γ
h − ρ20 > 0,
(10.130)
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.12. Возбуждение параметрических колебаний ударами . . .
203
1
0.8
0.6
B
0.4
0.2
A
0
-0.4
-0.2
C
0
0.2
0.4
Рис. 10.4
то при достаточно малых ε уравнение (10.122) имеет неустойчивое
периодическое решение.
Исключим из системы (10.128) переменную φ. Получим следующее соотношение между амплитудой ρ и частотой модуляции ν
]
4 [ 2
1 √ 4
2
2
2
2
ρ =
ν − ω ∓ ε ω − 4ν δ .
(10.131)
3γε
2
Рассмотрим сначала случай, когда γ > 0. Амплитудная кривая состоит из двух ветвей. Знак плюс соответствует ветви асимптотически
устойчивых состояний равновесия, а знак минус — ветви неустойчивых состояний равновесия. При изменении расстройки ν 2 − ω 2 от
больших отрицательных значений до положительных колебания будут отсутствовать, пока расстройка не достигнет некоторого значения. Затем в системе возникнут асимптотически устойчивые периодические колебания и будут нарастать по амплитуде, а затем они
сорвутся — перейдут в неустойчивые колебания. Когда расстройка
будет уменьшаться от больших положительных значений, устойчивые колебания возбудятся скачком (жесткое возбуждение колебаний) и затем при уменьшении расстройки плавно будут уменьшаться по амплитуде. При γ < 0 получим аналогичную картину, только
возбуждение устойчивых колебаний скачком будет происходить при
увеличении расстройки.
На рисунках 10.4 и 10.5 амплитудная кривая построена при значениях ε = 0.1, δ = 0.2, γ = 1, ν = 0.5 и при значениях ε = 0.1,
δ = 0.2, γ = −1, ν = 0.5 соответственно. По оси абсцисс откладывается расстройка ν 2 − ω 2 , а по оси ординат амплитуда ρ. На рис. 10.4
АВ — ветвь устойчивых неподвижных точек, а ВС — ветвь неустойчивых неподвижных точек. На рис. 10.5 ВС — ветвь устойчивых
неподвижных точек, а АВ — ветвь неустойчивых неподвижных точек. Аналогичный вид имеют графики, изображенные на рисунках
10.6 и 10.7, где изменено только значение частоты — вместо ν = 0.5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
204
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
1
0.8
0.6
B
0.4
0.2
A
0
-0.4
C
-0.2
0
0.2
0.4
Рис. 10.5
14
12
10
8
6
4
2
0
-10
B
-5
A
0
C
5
10
Рис. 10.6
взято ν = 1.5.
Для определения границ зоны синхронизации нужно приравнять
нулю правую часть равенства (10.131). Зона резонанса в первом приближении будет
1 √ 4
1 √ 4
2
2
2
2
ω − ε ω − 4ω δ < ν < ω + ε ω − 4ω 2 δ 2 .
2
2
2
Следовательно, ширина резонансной зоны
1 √
∆ = εω ω 2 − 4δ 2 .
2
14
12 B
10
8
6
4
2
0
-10
-5
A
0
Рис. 10.7
C
5
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.12. Возбуждение параметрических колебаний ударами . . .
205
Наличие затухания уменьшает интервал, внутри которого возникает
параметрический резонанс.
Если f (t) не обобщенная, а обычная периодическая функция,
то зона резонанса, вообще говоря, уменьшается. Пусть, например,
функции f (t) соответствует ряд Фурье
∞
∑
cos(2k − 1)t
k=1
2k − 1
.
Тогда ширина резонансной зоны
√
1
∆ = εω 2 1 − 16δ 2 .
4
Рассмотрим теперь вопрос о возникновении параметрических колебаний под действием малого периодического возмущения в автоколебательной системе. Соответствующее уравнение имеет вид
[(
) ] 2[
]
d2 x
2 dx
+
ε
δ
+
γx
+ω
1
+
εf
(t)
x = 0,
dt2
dt
(10.132)
где ε > 0 — малый параметр, f (t) — обобщенная периодическая
функция, которая является производной периодической функции с
конечным числом точек разрыва (скачков) на периоде, ω, δ, γ —
положительные числа. Положительность δ означает, что в автоколебательной системе при отсутствии параметрического возбуждения
асимптотически устойчиво нулевое состояние равновесия и нет колебательного режима. Введем переменную y(t) с помощью соотношения
dx
= y − εω 2 g(t)x,
dt
где g(t) — периодическая функция, которая удовлетворяет равенству
g ′ (t) = f (t).
Далее, переходим к системе дифференциальных уравнений относительно переменных x, y, аналогичной системе (10.123). Затем вводим
новые переменные по формулам (10.124), полагаем ν 2 − ω 2 = εh. В
качестве функции g(t) выберем функцию с рядом Фурье
∞
∑
sin(2k − 1)t
k=1
2k − 1
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
206
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
Рис. 10.8
2k − 1
Положим ν =
, (k = 1, 2 . . .). Зафиксируем k и усредним по t
2
соответствующую систему в стандартной форме. Получим систему
[h
]
da
ω2
δ
γ
2
2
= −ε
b + b + a + a(a + b ) ,
dt
2ν
4ν
2
8
[h
]
db
ω2
δ
γ 2
2
=ε
b − a + b − b(a + b ) .
dt
2ν
4ν
2
8
Переходим к полярным координатам. Усредненная система принимает вид
[δ
dρ
ω2
γρ3 ]
= −ε ρ + ρ sin 2φ +
,
dt
2
4ν
8
[h
]
dφ
ω2
=ε
−
cos 2φ .
dt
2ν 4ν
Находим состояния равновесия системы, приравнивая правые части
последней системы нулю. Легко видеть, что все состояния равновесия усредненной системы асимптотически устойчивы. Поэтому при
достаточно малых ε уравнение (10.132) имеет асимптотически устойчивые периодические решения, возникающие в результате параметрического возбуждения. Исключая из этой системы переменную φ,
получаем соотношение между амплитудой ρ и частотой модуляции
ν:
2 √ 2 4
δ
2
ρ =
ε ω − 4(ν 2 − ω 2 )2 − 4 .
εγν
γ
На рис. 10.8 представлен график амплитудной кривой при значениях параметров ε = 0.1, δ = 0.2, γ = 1, ν = 0.5 (по оси абсцисс
откладывается расстройка, а по оси ординат амплитуда ρ).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.13. Вынужденные колебания уравнения Дуффинга. . . .
207
10.13. Вынужденные колебания
уравнения Дуффинга.
Двухчастотное воздействие
В работах [14, 15, 108, 143] на физическом уровне строгости проведено теоретическое и экспериментальное исследование эффектов
действия на нелинейные системы двухчастотного возбуждения с существенно различающимися частотами. В частности, в [14, 108] исследовалось возмущенное уравнение Дуффинга с отрицательной линейной жесткостью, а в [15] рассматривался маятник с вибрирующей
осью подвеса. Исследование выполнено с помощью прямого метода
разделения движений [13]. Этот метод пока не получил строгого
математического обоснования.
В этом пункте для исследования указанной выше задачи применяется точный асимптотический метод. Именно, метод усреднения
на бесконечном промежутке для систем с быстрыми и медленными
возбуждениями (см. [25]). В случае уравнения Дуффинга полученные усредненные уравнения совпадают с уравнениями в [14, 108], к
которым приводит метод прямого разделения движений.
Рассмотрим вынужденное уравнение Дуффинга с отрицательной
линейной жесткостью следующего вида:
x′′ + 2δx′ − x + x3 = A cos ωt + B cos(Ωt + θ).
(10.133)
Здесь A cos ωt — низкочастотное возбуждение, а B cos(Ωt + θ) — высокочастотное возбуждение, δ > 0 — коэффициент затухания. Именно это уравнение было изучено в работах [14] и [108].
Введем малый положительный параметр ε. Положим
ν
Ω= ,
ε
B=
C
.
ε2
Уравнение (10.133) запишется в виде
(ν
)
C
x + 2δx − x + x = A cos ωt + 2 cos t + θ .
ε
ε
′′
′
3
(10.134)
Таким образом, мы предполагаем, что на систему Дуффинга действует сумма двух сил — медленно осциллирующая сила и быстроосциллирующая сила с большой амплитудой.
Рассмотрим уравнение
(ν
)
C
′′
′
x0 + 2δx0 − x0 = 2 cos t + θ .
ε
ε
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
208
ГЛАВА 10. . . . Первые примеры
Легко видеть, что это уравнение имеет единственное периодическое
решение, которое можно записать в виде
(ν
)
C
x0 (t) = − 2 cos t + θ + O(ε).
ν
ε
В уравнении (10.134) произведем замену
x = x0 + y.
Тогда получим уравнение
y ′′ + 2δy ′ − y + y 3 + 3x20 y + 3x0 y 2 + x30 = A cos ωt.
(10.135)
От уравнения (10.135) перейдем к системе двух уравнений, положив
y ′ = z. Получим систему
y ′ = z,
z ′ = −2δz + y − y 3 − 3x20 y − 3x0 y 2 − x30 + A cos ωt.
(10.136)
В системе (10.136) перейдем к быстрому времени τ , сделав замену
t
τ= .
ε
Приходим к системе в стандартной форме (производную по τ обозначим точкой)
ẏ = εz,
[
]
ż = ε −2δz + y − y 3 − 3x20 y − 3x0 y 2 − x30 + A cos εωτ ,
(10.137)
где
C
cos ντ + O(ε).
ν2
Усредним систему (10.137) по быстрому времени τ . Усредненная система первого приближения имеет вид
x0 (τ ) = −
ẏ = εz,
]
[
3C 2
3
ż = ε −2δz + y − y − 4 y + A cos εωτ .
2ν
(10.138)
Систему (10.138) можно записать в виде уравнения второго порядка.
Сделаем это и вернемся к исходному времени t. Тогда усредненная
система (10.138) примет вид
( 2
)
3C
y ′′ + 2δy ′ +
− 1 y + y 3 = A cos ωt.
4
2ν
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10.13. Вынужденные колебания уравнения Дуффинга. . . .
Возвращаясь к первоначальным обозначениям, получим
( 2
)
3B
′′
′
y + 2δy +
− 1 y + y 3 = A cos ωt.
4
2Ω
209
(10.139)
Уравнение (10.139) совпадает с усредненным уравнением, полученным в [14] и [108]. Отметим, что кроме приближенного анализа
уравнения (10.139), проведенного в [14] и [108], можно получить и
точные результаты для системы (10.137). Например, если уравнение
(10.139) имеет асимптотически устойчивое периодическое решение
с периодом 2π/ω, то система (10.137) при достаточно малых ε имеет асимптотически устойчивое почти периодическое (двухчастотное)
решение.
Аналогично исследуется и система, описываемая обычным уравнением Дуффинга
(ν
)
C
x + 2δx + x + αx = A cos ωt + 2 cos t + θ ,
ε
ε
′′
′
3
возмущенная двухчастотной силой с существенно различающимися
частотами.
Упражнение 10.8. Уравнение движения математического маятника
с вертикально вибрирующим с малой амплитудой подвесом и периодической возмущающей силой имеет вид
(
)
d2 x
dx
d2 h(νt)
+c + 1+ε
sin x − F cos ωt = 0,
dt2
dt
dt2
где x — угловая координата маятника, измеримая от нижнего положения равновесия, h(τ + 2π) = h(τ ), ν = ε−1 , 0 < ε ≪ 1, c, F, ω —
положительные постоянные. Исходное уравнение запишем в гамильтоновой форме, сделав замену
dh
dx
= y − ε sin x.
dt
dt
В полученной системе перейти к быстрому времени τ = tε−1 . Вычислить усредненную систему и записать ее в виде эквивалентного
уравнения второго порядка.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 11
Маятниковые системы
с колеблющимся
подвесом
В этой главе мы применим теоремы об усреднении на бесконечном интервале, доказанные в главе 9, к исследованию устойчивости
состояний равновесия маятниковых систем с колеблющимся подвесом. Схема применения теорем 9.1, 9.3 и 9.4 главы 9 состоит в следующем. Уравнения движения исследуемой системы записываются
в форме Лагранжа. Затем мы переходим к гамильтоновой форме
записи уравнений движения. Вводится малый параметр и делается переход к быстрому времени. Получаем систему в стандартной
форме. Вопрос об устойчивости состояний равновесия решается по
усредненным уравнениям первого приближения.
11.1. История и физические применения
Стабилизирующий эффект вибрации подвеса маятника стал известен уже в 1908 году. Стефенсон [173] показал, что можно стабилизировать верхнее состояние равновесия маятника с вертикально
осциллирующим подвесом. Он исследовал случай маятника, у которого подвес получает ряд импульсов, поддерживающих его движение
с постоянной скоростью вдоль линии, составляющей малый угол со
стержнем маятника. Стефенсон определил “среднее” движение, которое устойчиво. Он также получил условия устойчивости верхнего
состояния равновесия маятника, точка подвеса которого совершает
быстрые вертикальные простые гармонические колебания. Аналогич-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.1. История и физические применения
211
ным методом Стефенсон [174] определил условия устойчивости двух
и трех стержней, которые связаны вместе в концах, если точка подвеса совершает быстрые вертикальные колебания.
Теория уравнения Матье в этой задаче была использована в статьях Ван дер Поля [181], Стретта [175]. Ван дер Поль и Стретт [183]
(см. также Айнс [143]) рассмотрели проблему устойчивости решений
уравнения Матье и получили диаграмму устойчивости решений в
плоскости двух параметров (см. также монографию [176]). Они также обсудили условия, при которых колебательное воздействие может
сделать устойчивой систему, которая вначале была неустойчива.
Гирш [141] рассмотрел задачу о движении маятника, точка подвеса которого совершает малые колебания высокой частоты в плоскости маятника. Эрдейи в 1934 году (см. [129]) провел полное исследование малых колебаний маятника с периодически колеблющимся
подвесом. Он учел затухание и использовал теорию Флоке и теорию
уравнения Хилла.
Ловенстерн [150] в 1932 году изучил эффект высокочастотных
движений с малой амплитудой, наложенных на один класс динамических систем и получил впервые результаты некоторой общности.
Он нашел уравнения движения для общих Лагранжевых систем,
которые подвергаются быстрым колебаниям, и уравнения для малых колебаний около состояний равновесия. Ловенстерн рассмотрел
только периодические возбуждения.
Анализ задачи об устойчивости верхнего состояния равновесия
маятника с колеблющимся подвесом в линейном приближении был
изложен в книге [144] в издании 1950 года.
Капица [42,43] исследовал проблему движения маятника с колеблющейся точкой подвеса в нелинейной постановке. Капица изучил
устойчивость обращенного маятника с помощью введенного им понятия эффективного потенциала (см. также Ландау и Лифшиц [53],
c. 93–95). Он также выдвинул идею применить вибрационную стабилизацию к другим механическим объектам, которые отличаются
от маятника, таким, например, как большие молекулы.
Боголюбов [18] получил строгое математическое доказательство
устойчивости верхнего состояния равновесия маятника с вертикально осциллирующим подвесом. Он предположил, что амплитуда вибраций мала, а частота вибраций велика. Доказательство основывается на очень интересном преобразовании, которое позволяет получить
ответ в первом приближении метода усреднения.
Богданов (Bogdanoff [110]) обобщил результаты Ловенстерна на
случай малых, быстрых квазипериодических параметрических воз-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
212
ГЛАВА 11. Маятниковые системы . . .
буждений, но его анализ ограничивается линейными уравнениями.
Богданов и Ситрон [111] продемонстрировали на эксперименте различные эффекты в поведении маятника с осциллирующим подвесом
(см. также [151]).
Хемп и Сетна в [140] рассмотрели нелинейные динамические системы с параметрическими возбуждениями. Проведен анализ влияния быстрых параметрических возбуждений, а также исследован эффект одновременного воздействия медленных и быстрых параметрических возбуждений. Рассмотрен случай, когда некоторые из частот
быстрых параметрических возбуждений близки друг другу.
Ачесон [107] исследовал вопрос о стабилизации верхнего состояния равновесия N -звенного маятника c помощью малых вертикальных колебаний подвеса.
Бурд, Забрейко, Красносельский, Колесов в [77] (см. также [48])
изучили проблему бифуркации почти периодических колебаний из
верхнего состояния равновесия маятника с вертикально осциллирующим подвесом. Бурд [25] исследовал проблему бифуркации почти
периодических колебаний из верхнего и нижнего состояний равновесия маятника, когда закон движения подвеса является пп функцией
с двумя частотами, близкими друг другу.
Леви [145] нашел топологическое доказательство стабилизации
верхнего состояния равновесия маятника с вертикально осциллирующим подвесом (cм. также [148]). Он (cм. [146, 147]) дал также
очень простое физическое объяснение стабилизации верхнего состояния равновесия маятника вибрациями подвеса. Основной момент
его статей — это наблюдение, что за стандартной процедурой усреднения лежат некоторые простые геометрические факты. Открытие
устойчивых π-кинков в уравнении синус-Гордон под действием быстро осциллирующей силы (см. [187, 188]) основывается на той же
идее.
Идея поднятия заряженных частиц в осциллирующем электрическом поле (“ловушка Пола”) восходит к 1958 году (см. [163, 164]).
За эту работу Пол (Paul) получил Нобелевскую премию в 1989. Открытию ловушки Пола предшествовала идея сильной фокусировки в
синхротронах (см. [126, 162]).
Недавно (cм. [168]) было представлено новое применение таких стабилизационных механизмов к производству ярких солитонов
в двумерном конденсате Бозе–Эйнштейна (под “ярким” солитоном
подразумевается устойчивая уединенная волна, плотность которой
больше, чем плотность конденсата).
Отметим еще работы Зеньковской, Симоненко, Шлейкеля, в ко-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.2. Уравнение . . . маятника с вибрирующим подвесом
213
торых исследуется влияние высокочастотных вибраций на возникновение конвекции в жидкости (см. [39–41]).
Описанию удивительных явлений, происходящих при действии
вибраций на нелинейные механические системы, посвящена книга
Блехмана “Вибрационная механика” [13]. К ним автор относит изменение состояния системы под воздействием быстрых вибраций, изменение физико-механических свойств и характеристик под действием
вибрации по отношению к медленным воздействиям, трансформацию
положений равновесия, в частности их стабилизацию и дестабилизацию под действием вибрации, изменение вследствие вибрации частот свободных колебаний системы, вибрационное поддержание вращения и самосинхронизацию неуравновешенных роторов. Блехман
предложил общий подход к описанному кругу явлений, который он
назвал “вибрационной механикой”.
Недавно возобновился интерес к использованию высокочастотных вибраций для управления низкочастотными свойствами структур, т.е. их равновесными состояниями, устойчивостью, эффективными натуральными частотами и амплитудами вибраций [117, 130–
132, 177–180].
Отметим еще работы Юдовича [105, 106], посвященные вибродинамике систем со связями, и книгу Стрижак [87], посвященную
методам исследования маятниковых систем.
11.2. Уравнение движения простого
маятника с вибрирующим подвесом
Речь идет об одной из простейших колебательных систем (см.
рис. 11.1): материальная точка массы m, связанная невесомым твердым стержнем длины l (называемой длиной маятника) с неподвижной точкой (точкой подвеса). Очевидно, траектория движения материальной точки будет дугой окружности. Можно также говорить
о физическом маятнике, представляющем собой твердое тело, которое может вращаться в определенной вертикальной плоскости вокруг
своей точки подвеса.
Предполагается, что среда, в которой движется маятник, создает
сопротивление, пропорциональное скорости, а точка подвеса периодически или почти периодически колеблется.
Мы сначала предположим, что точка подвеса маятника может
двигаться только вдоль вертикальной оси. Уравнения движения маятника удобно записать в гамильтоновой форме. Введем следующие
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
214
ГЛАВА 11. Маятниковые системы . . .
q
®
mg
Рис. 11.1
обозначения: m — масса маятника, l — длина маятника, c — коэффициент демпфирования, g — ускорение силы тяжести, q — угловое
отклонение маятника от вертикали, функция f (t) задает закон движения точки подвеса. Декартовы координаты маятника x = l sin q,
y = −l cos q + f (t). Кинетическая энергия маятника определяется
формулой
]
1
1 [
T = m(ẋ2 + ẏ 2 ) = m l2 q̇ 2 + 2lq̇ f˙ sin q + f˙2 ,
2
2
где ẋ, ẏ, q̇, f˙ — производные функций x(t), y(t), q(t), f (t) соответственно, потенциальная энергия
V (q) = −mgl cos q,
диссипативная функция
R(q̇) = cl2 q̇ 2 .
Уравнение движения в форме Лагранжа имеет вид
d ∂L ∂L
−
= 0,
dt ∂ q̇
∂q
L = T − V.
Поэтому уравнение движения маятника выглядит следующим образом:
[
]
2c
g f¨
q̈ + q̇ +
+
sin q = 0.
(11.1)
m
l
l
Это уравнение и преобразуем к гамильтоновой форме. Обобщенный
кинетический момент равен
p=
∂T
= m(l2 q̇ + lf˙ sin q).
∂ q̇
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.3. . . . приведение уравнений к стандартной форме
215
Обращая последнее равенство, получим
q̇ =
1
f˙
p
−
sin q.
ml2
l
(11.2)
Дифференцируем (11.2) и используем уравнение (11.1). Тогда приходим к равенству
[
]
2c
g
f˙
2c ˙
f˙2
2
ṗ = ml − 2 2 p +
f sin q − sin q + 3 p cos q − 2 sin q cos q .
ml
ml
l
ml
l
Окончательно получим искомую систему уравнений
dq
1
f˙
=
sin q,
p
−
dt
ml2
l
[
]
2c
p
m
dp
= − p + 2cl sin q + cos q f˙ − mgl sin q − f˙2 sin 2q.
dt
m
l
2
(11.3)
11.3. Введение малого параметра
и приведение уравнений
к стандартной форме
Мы будем рассматривать вынужденные перемещения f (t) точки
подвеса, которые задаются тремя различными законами. Во-первых,
определяемые почти периодическим многочленом с помощью формулы
N
∑
f (t) =
αk cos νk t + βk sin νk t,
(11.4)
k=1
где αk , βk , νk , (k = 1, 2, . . . , N ) — вещественные числа. Будем предполагать, что амплитуды αk , βk достаточно малы, а частоты νk достаточно велики в следующем смысле. Существует такой малый положительный параметр ε, что
αk = εak , βk = εbk , νk =
ωk
,
ε
где ak , bk , ωk , (k = 1, 2, . . . , N ) — величины порядка O(1) относительно ε. Тогда f (t) можно записать в виде
f (t) = ε
N
∑
k=1
( t)
( t)
(t)
ak cos ωk
+ bk sin ωk
= εϕ
.
ε
ε
ε
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
216
ГЛАВА 11. Маятниковые системы . . .
Во-вторых, закон, определяемый периодической функцией
f (t) =
∞
∑
k=1
(
)
α
sin
(2k
−
1)νt
.
(2k − 1)2
(11.5)
ω
Вводим малый параметр ε, полагая α = εa, ν = . Тогда f (t) запиε
шется в виде
f (t) = ε
∞
∑
k=1
(
(t)
a
t)
sin (2k − 1)ω
= εϕ
(2k − 1)2
ε
ε
В-третьих, синусоидальный закон вибраций подвеса
f (t) = α sin νt.
Полагая α = εa, ν =
(11.6)
ω
, получим
ε
( t)
(t)
f (t) = εa sin ω
= εϕ
ε
ε
Отметим, что в случае, когда f (t) определяется формулой (11.5),
ускорение вынужденного перемещения — обобщенная периодическая
функция f¨(t). Поэтому в уравнение (11.1) входит обобщенная периодическая функция в качестве коэффициента. Но в систему (11.3)
входит только функция f˙(t), которая является кусочно-непрерывной
периодической функцией.
Перейдем в системе (11.3) к быстрому времени τ по формуле
ετ = t и обозначим дифференцирование по τ точкой. Получим
]
[
1
1
p − ϕ̇(τ ) sin q ,
q̇ = ε
ml2
l
[
]
(
)
2c
p
m 2
ṗ = ε −mgl sin q − p + 2cl sin q + cos q ϕ̇(τ ) − ϕ̇ (τ ) sin 2q .
m
l
2
(11.7)
Таким образом, в описанных выше предположениях система уравнений движения маятника имеет стандартную форму.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.4. Исследование устойчивости состояний равновесия
217
11.4. Исследование устойчивости
состояний равновесия
Усредненная система имеет вид
1
ξ˙ = ε 2 η,
[ml
]
2c
m 2
η̇ = ε −mgl sin ξ − η − ⟨ϕ̇ (τ )⟩ sin 2ξ ,
m
2
где
1
T →∞ T
(11.8)
∫T
⟨ϕ̇2 (τ )⟩ = lim
ϕ̇2 (τ )dτ.
0
У системы (11.8) три стационарных решения
(
I. (0, 0), II. (π, 0), III. (arccos −
)
gl
, 0).
⟨ϕ̇2 (τ )⟩
Последнее стационарное решение существует только при выполнении неравенства
gl ≤ ⟨ϕ̇2 (τ )⟩.
(11.9)
Система (11.8) также имеет стационарные решения I и II — нижнее
и верхнее состояния равновесия маятника.
Исследуем устойчивость стационарных решений системы (11.8).
Для решения I линеаризованная система имеет вид
1
ψ̇ = ε 2 φ,
[ml
]
2c
2
φ̇ = ε −mglψ − φ − m⟨ϕ̇ (τ )⟩ψ ,
m
(11.10)
а для решения II (полагаем σ = ξ − π)
σ̇ = ε
1
δ
2
ml
[
]
2c
2
δ̇ = ε mglσ − δ − m⟨ϕ̇ (τ )⟩σ .
m
(11.11)
Легко видеть, что у матрицы системы (11.10) след отрицательный,
а определитель — положительный. Поэтому нулевое состояние равновесия усредненной системы асимптотически устойчиво. Из теоремы 9.3 вытекает, что при достаточно малых ε нижнее состояние
равновесия маятника асимптотически устойчиво.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
218
ГЛАВА 11. Маятниковые системы . . .
У матрицы системы (11.11) след отрицательный, а определитель
положительный, если выполняется неравенство
gl < ⟨ϕ̇′2 (τ )⟩.
Следовательно, при выполнении этого неравенства состояние равновесия (0, π) усредненной системы асимптотически устойчиво. Из
теоремы 9.3 следует, что при достаточно малых ε асимптотически
устойчиво верхнее состояние равновесия маятника.
Отметим, что неравенство, определяющее устойчивость верхнего
состояния равновесия, в исходном времени t имеет вид
gl < ⟨f˙2 ⟩.
Для почти периодического закона движения точки подвеса (11.4)
получаем
1∑ 2
1∑ 2
2
2
⟨ϕ̇ (τ )⟩ =
(ak + bk )ωk =
(αk + βk2 )νk2 .
2
2
N
N
k=1
k=1
2
Для периодической функции (11.5) имеем
∞
2
1
1∑ 2 2
2 2π
⟨ϕ̇ (τ )⟩ =
aω
=
a
ω
,
2
(2k − 1)2
16
2
k=1
а для функции (11.6) получаем
a2 ω 2
⟨ϕ̇ (τ )⟩ =
.
2
2
Поэтому верхнее состояние равновесия маятника асимптотически
устойчиво при выполнении неравенства
N
∑
(αk2 + βk2 )νk2 > 2gl
(11.12)
k=1
для функции (11.4), при выполнении неравенства
2 2π
aω
2
8
> 2gl
(11.13)
для функции (11.5) и при выполнении неравенства
a2 ω 2 > 2gl
(11.14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.4. Исследование устойчивости состояний равновесия
219
для функции (11.6).
Сравнение неравенств (11.13) и (11.14) показывает, что область
устойчивости верхнего состояния равновесия маятника при законе
вибрации точки подвеса, определяемом формулой (11.5), шире, чем
при синусоидальном законе вибрации точки подвеса.
Неравенство (11.14) в исходных переменных имеет вид
α2 ν 2 > 2gl.
(11.15)
Именно неравенство (11.15) как условие стабилизации верхнего состояния равновесия маятника было получено различными методами (см. Стефенсон [173], Эрдейи [129], Капица [42, 43], Боголюбов [18]). При отсутствии вибраций точки подвеса, как известно,
нижнее состояние равновесия маятника устойчиво, а верхнее состояние равновесия неустойчиво. Предыдущий анализ привел нас к следующему результату: если точка подвеса вибрирует по синусоидальному закону и частота вибраций точки подвеса маятника достаточно
велика, а амплитуда вибраций достаточно мала, то верхнее состояние равновесия маятника может стать устойчивым. Этот результат
многократно проверен экспериментально.
Напомним, что этот результат был установлен Стеффенсоном еще
в 1908 году, и его строгое обоснование с помощью метода усреднения было получено Н.Н. Боголюбовым. Здесь мы рассмотрели более
общие законы движения точки подвеса и получили аналогичные результаты.
Для стационарного решения III усредненной системы, которое существует при выполнении неравенства (11.9), линеаризованная система имеет вид
1
φ̇ = ε 2 ψ,
[ml
(
)
2c ]
2
ψ̇ = ε −mgl cos ξ0 − m⟨ϕ̇ (τ )⟩ cos 2ξ0 φ − ψ ,
m
где
gl
.
⟨ϕ′2 (τ )⟩
Легко видеть, что нулевое решение этой системы при выполнении
неравенства (11.9) неустойчиво. Из теорем 9.1 и 9.3 следует, что
стационарному решению III усредненной системы при достаточно
малых ε соответствует неустойчивое почти периодическое или периодическое решение (в зависимости от выбора закона вибрации точки
подвеса) системы (11.7).
cos ξ0 = −
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
220
ГЛАВА 11. Маятниковые системы . . .
Сделаем еще некоторые замечания к рассмотренной задаче. Усредненную систему (11.8) можно записать в виде одного дифференциального уравнения второго порядка. Это уравнение в исходном
времени t имеет вид (для синусоидального закона вибраций точки
подвеса)
[
]
2 2
2c
g
α
ν
ξ¨ + ξ˙ +
+ 2 cos ξ sin ξ = 0.
(11.16)
m
l
2l
Как отметили Боголюбов и Митропольский [19], уравнение (11.16)
определяет колебательную систему, которая подобна маятнику с неподвижной точкой подвеса, но восстанавливающая сила пропорциональна не sin ξ, а
[ g α2 ν 2
]
+ 2 cos ξ sin ξ.
l
2l
g α2 ν 2
Частота малых колебаний без учета затухания будет равна + 2 .
l
2l
Упражнение 11.1. Пусть закон движения точки подвеса определяется формулой
(ω )
f (t) = εa sin t ,
ε
где ε ≪ 1. В уравнении движения маятника (11.1) сделаем замену
времени τ = t/ε. Получим уравнение (во времени τ )
[
]
2c
aω 2
2g
q̈ + ε q̇ + ε − ε
sin ωτ sin q = 0.
m
l
l
Линеаризовать это уравнение на состоянии равновесия q = π и исследовать устойчивость нулевого решения линеаризованного уравнения. (Указание: использовать метод Штокало (см. п. 5.4.)).
11.5. Устойчивость верхнего
состояния равновесия стержня
с распределенной массой
Рассмотрим теперь маятник, масса которого распределена вдоль
всего стержня. Обозначим длину стержня через L, а плотность через
ρ(y), 0 ≤ y ≤ L. Произведение массы m на расстояние до центра
тяжести стержня равно
∫L
ml =
ρydy,
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.5. Устойчивость . . . стержня с распределенной массой
221
а момент инерции равен
∫L
ρy 2 dy.
J=
0
Кинетическая энергия маятника c точностью до членов, не содержащих q, q̇, определяется формулой
q̇ 2
T =
2
∫L
∫L
ρy 2 dy + q̇ f˙ sin q
0
ρydy,
0
а потенциальная энергия равна
∫L
V = −g cos q
ρydy.
0
С учетом диссипации получаем уравнение маятника в форме Лагранжа
(
)
q̈ + cq̇ + γ g + f¨ sin q = 0,
где
∫L
γ=
0
∫L
ρydy
.
ρy 2 dy
0
Это уравнение отличается от уравнения (11.1) тем, что оба слагаемых в последнем члене уравнения умножены на множитель γ. Поэтому, если функция f (t) определяет закон вынужденного перемещения точки подвеса, то условие устойчивости верхнего состояния
равновесия стержня принимает вид неравенства
g
< ⟨f˙2 ⟩.
γ
Будем предполагать, что взят сплошной однородный стержень длины
L. Линейная плотность равна ρ = mL−1 . В этом случае
∫L
γ=
0
L
∫
0
ρydy
=
ρy 2 dy
3
.
2L
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
222
ГЛАВА 11. Маятниковые системы . . .
Условие устойчивости верхнего состояния равновесия стержня принимает вид
2
gL < ⟨f˙2 ⟩.
3
Из этого неравенства следует, что однородный стержень длины L
легче удержать около верхнего положения равновесия, чем маятник
длины L c массой, расположенной на конце маятника.
Упражнение 11.2. Пусть стержень имеет форму конуса. Рассмотрите два случая: а) стержень закреплен в вершине конуса; б) точка
подвеса находится в основании конуса. Найти условия устойчивости верхнего состояния равновесия, если закон вибрации подвеса
ω
f (t) = εa sin t, ε ≪ 1. Какой из стержней легче стабилизировать?
ε
11.6. Плоские вибрации точки подвеса
Рассмотрим теперь маятник с колеблющимся подвесом при более общих предположениях о движении точки подвеса. Пусть точка
подвеса совершает колебания одновременно в горизонтальном и вертикальном направлениях по закону
x = s(t),
y = r(t).
Рассмотрим случай, когда она совершает синусоидальные гармонические колебания с амплитудой α и частотой ν вдоль прямой, составляющей угол θ с осью y. Тогда
s(t) = α sin νt sin θ,
r(t) = α sin νt cos θ.
Декартовы координаты маятника x = l sin q + s(t), y = −l cos q + r(t).
Кинетическая энергия определяется формулой
]
m[ 2 2
1
l q̇ + 2lq̇(ṡ cos q + ṙ sin q) + ṡ2 + ṙ2 ,
T = m(ẋ2 + ẏ 2 ) =
2
2
потенциальная энергия имеет вид V (q) = −mgl sin q, а диссипативная функция — R(q̇) = cl2 q̇ 2 ; уравнение движения в форме Лагранжа
[
]
2c
g r̈
s̈
q̈ + q̇ +
+
sin q + cos q = 0.
m
l
l
l
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.6. Плоские вибрации точки подвеса
223
Переходим, как в п. 11.2., к системе в гамильтоновой форме
dq
1
ṡ
ṙ
=
p − cos q − sin q
2
dt
ml
l
l
(
)
(
)
dp
2c
p
p
= − p + 2cl cos q − sin q ṡ + 2cl sin q + cos q ṙ+
dt
m
l
l
)
m( 2
2
+
ṡ − ṙ sin 2q − mṡṙ cos 2q − mgl sin q.
2
(11.17)
Предполагаем, что существует такой малый положительный параω
метр ε, для которого α = εa, ν = . Тогда
ε
(ω )
(ω )
s(t) = εa sin t sin θ, r(t) = εa sin t cos θ.
ε
ε
Переходя к быстрому времени ετ = t и обозначая дифференцирование по τ точкой, получим
[
]
1
ṡ(τ )
ṙ(τ )
q̇ = ε
p−
cos q −
sin q ,
ml2
l
l
[
(
)
(
)
p
p
2c
ṗ = ε − p + ṡ(τ ) 2cl cos q − sin q + ṙ(τ ) 2cl sin q + cos q +
m
l
l
]
)
m( 2
2
+
ṡ (τ ) − ṙ (τ ) sin 2q − mṡ(τ )ṙ(τ ) cos 2q − mgl sin q ,
2
(11.18)
где
s(τ ) = a sin ωτ sin θ,
r(τ ) = a sin ωτ cos θ.
Усредненная система имеет вид
1
ξ˙ = ε 2 η,
[ml
)
m( 2
2c
⟨ṡ (τ )⟩ − ⟨ṙ2 (τ )⟩ sin 2ξ−
η̇ = ε − η − mgl sin ξ +
m
2
]
− m⟨(ṡ(τ )ṙ(τ )⟩ cos 2ξ .
(11.19)
Очевидно,
α2 ν 2 2
α2 ν 2
a2 ω 2 2
2
sin θ =
sin θ, ⟨ṙ (τ )⟩ =
cos2 θ,
⟨ṡ (τ )⟩ =
2
2
2
2 2
αν
⟨ṡ(τ )ṙ(τ )⟩ =
sin 2θ.
4
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
224
ГЛАВА 11. Маятниковые системы . . .
Система (11.19) может иметь много стационарных
решений. На(π )
пример, она имеет стационарное решение
, 0 , если
2
α2 ν 2
sin 2θ = gl.
4
(11.20)
Линеаризованная на этом состоянии равновесия система имеет вид
1
ξ˙ = ε 2 η,
ml
( α2 ν 2
2c )
η̇ = ε
mξ cos 2θ − η .
2
m
(π )
Следовательно, состояние равновесия
, 0 асимптотически устой2
чиво при выполнении неравенства
(11.21)
cos 2θ < 0.
Из теорем 9.1 и 9.3 следует, что при достаточно малых ε и выполнении условий (11.20), (11.21) система (11.18) имеет асимптотически устойчивое периодическое
решение, которое находится в малой
(π )
окрестности точки
, 0 , т.е. маятник будет совершать устойчивые
2
периодические колебания в окрестности горизонтального положения
маятника.
Если закон движения точки подвеса определяется формулами
s(t) = g(t) sin θ,
r(t) = g(t) cos θ,
где
g(t) = εa
∞
∑
k=1
ω
1
sin(2k
−
1)
t,
(2k − 1)2
ε
то усредненное уравнение имеет стационарное решение
выполнении равенства
(π
2
)
, 0 при
a2 ω 2 π 2 sin 2θ = 32gl.
Это решение асимптотически устойчиво, если выполняется неравенство (11.21).
Упражнение 11.3. Исследовать условия существования и устойчивости состояний равновесия (π/4, 0) и (π/3, 0) системы (11.19) и соответствующих периодических решений системы (11.18).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.7. Маятник с исчезающей во времени . . .
225
11.7. Маятник с исчезающей во времени
амплитудой колебаний точки подвеса
Напомним еще раз основной результат, относящийся к устойчивости верхнего состояния равновесия маятника с вибрирующим подвесом. Пусть точка подвеса математического маятника может свободно
двигаться вдоль вертикальной оси и закон движения точки подвеса
определяется формулой
f (t) = a sin ωt.
Если амплитуда колебаний точки подвеса a достаточно мала, а частота ω достаточно велика, то верхнее состояние равновесия маятника будет устойчивым, если выполняется неравенство
a2 ω 2 > 2gl,
(11.22)
где l — длина маятника, g — ускорение свободного падения.
В этом пункте будет рассмотрен (см. [29,32,33]) вопрос об устойчивости верхнего состояния равновесия маятника в случае, когда
закон движения точки подвеса задается формулой
f (t) =
a
tα−1
sin ωtα ,
(11.23)
где a, ω, α — постоянные и α > 1, т.е. амплитуда движения точки
подвеса стремится к нулю при t → ∞.
Как мы видели, уравнение движения маятника с движущимся
вдоль вертикальной оси подвесом имеет вид
(
)
g 1¨
2c
+ f sin q = 0,
(11.24)
q̈ + q̇ +
m
l
l
где m — масса маятника, c — коэффициент демпфирования, q(t) —
угловое отклонение маятника от вертикали, f (t) — закон движения
подвеса.
Нам снова удобно записать уравнение движения в гамильтоновой
форме. Соответствующая система уравнений имеет вид
1
1 ˙
p
−
f sin q,
ml2
l[
]
2c
p
m
ṗ = − p + 2cl sin q + cos q f˙ − mgl sin q − f˙2 sin 2q.
m
l
2
q̇ =
(11.25)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
226
ГЛАВА 11. Маятниковые системы . . .
Система (11.25) имеет два стационарных решения (0, 0) и (π, 0) —
нижнее и верхнее состояния равновесия маятника соответственно.
Исследуем устойчивость верхнего состояния равновесия маятника. Линеаризуя систему (11.25) на состоянии равновесия (π, 0), получаем линейную систему
1
1 ˙
x
+
f x1 ,
2
ml2
l[
2c
1 ]˙
ẋ2 = − x2 + −2clx1 − x2 f + mglx1 − mf˙2 x1 .
m
l
ẋ1 =
(11.26)
Изучим поведение решений этой системы при t → ∞. Введем новое
время τ по формуле
τ = tα
и учтем, что во времени τ
df
(1 − α)a
= αaω cos ωτ +
sin ωτ.
dt
τ
В результате получим систему (z = (x1 , x2 ))
1
dz
1
= 1−β A1 (τ )z + 2−β F (τ )z,
dτ
τ
τ
(11.27)
1
< 1,
α

где β =

β
aω
cos ωτ


l
ml2
A1 (τ )= 
2 2
2
ma ω cos ωτ
2cβ aω cos ωτ  ,
−
−
−2aωcl cos ωτ + mglβ −
β
m
l
а вид матрицы F (τ ) для дальнейшего несущественен. Следует только отметить, что элементы матрицы F (τ ) являются ограниченными
функциями при 0 < τ0 ≤ τ < ∞.
1
Предположим сначала, что α > 2. Тогда 1 − β > . В системе
2
(11.27) выполним замену переменных
z=y+
1
τ 1−β
Y1 (τ )y,
(11.28)
где матрица Y1 (τ ) определяется как матрица, элементы которой —
периодические функции с нулевым средним значением, из уравнения
dY1
= A1 (τ ) − B1 ,
dτ
(11.29)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.7. Маятник с исчезающей во времени . . .
227
а постоянная матрица B1 также подлежит определению. Очевидно,
матрица B1 должна быть составлена из средних значений элементов
матрицы A1 (τ ), т.е. B1 имеет вид


β
0

ml2 
B1 = 
2 2
ma ω
2cβ  .
mglβ −
−
2β
m
После замены (11.28) система (11.27) переходит при достаточно больших τ в систему
dy
1
1
= 1−β B1 y + 2−2β G(τ )y,
dτ
τ
τ
(11.30)
где элементы матрицы G(τ ) — ограниченные при 0 < τ0 ≤ τ < ∞
функции. В исходном времени t система (11.30) принимает вид
dy
α
= αB1 y + α−1 G(tα )y.
dt
t
(11.31)
В силу известной теоремы Левинсона [149] (см. также главу 7) линейно независимые решения системы (11.31) при t → ∞ представимы в виде
(
)
(
)
y1 (t) = eλ1 t p1 + o(1) , y2 (t) = eλ2 t p2 + o(1) ,
(11.32)
где λ1 и λ2 — собственные значения матрицы αB1 , а p1 , p2 — собственные векторы, отвечающие этим собственным значениям. Легко
видеть, что при выполнении неравенства
2gl < α2 a2 ω 2
(11.33)
собственные значения матрицы αB1 имеют отрицательные вещественные части. Поэтому, если выполнено неравенство (11.33), то нулевое решение системы (11.31) в силу формул (11.32) асимптотически
устойчиво, а следовательно, нулевое решение системы (11.27) асимптотически устойчиво. Отсюда следует, что при выполнении неравенства (11.33) нулевое решение системы (11.26) асимптотически устойчиво. В силу теоремы об устойчивости по первому приближению
верхнее состояние равновесия маятника при α > 2 и выполнении
неравенства (11.33) асимптотически устойчиво.
3
1
1
Если < α ≤ 2, то < 1 − β ≤ . В этом случае, чтобы привести
2
3
2
систему к форме, к которой применима теорема Левинсона, нужно
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
228
ГЛАВА 11. Маятниковые системы . . .
вместо замены (11.28) сделать замену
z=y+
1
τ
Y (τ )y +
1−β 1
1
τ 2−2β
Y2 (τ )y,
(11.34)
где матрица Y1 (τ ) определяется тем же уравнением (11.29), а матрица Y2 (τ ) и постоянная матрица B2 определяются из уравнения
dY2
= A1 (τ )Y1 (τ ) − B2 ,
dτ
причем элементы матрицы Y2 (τ ) — периодические функции с нулевым средним значением. Замена (11.34) переводит систему (11.27) в
систему
dy
1
1
1
= 1−β B1 y + 2−2β B2 y + 3−3β L(τ )y,
(11.35)
dτ
τ
τ
τ
где элементы матрицы L(τ ) ограниченные при τ0 ≤ τ < ∞ функции.
Простой подсчет показывает, что B2 = 0 и поэтому для линейно
независимых решений системы (11.35) во времени t справедливы
3
асимптотические формулы (11.32). Следовательно, при
< α ≤ 2
2
и выполнении неравенства (11.33) нулевое решение системы (11.26)
3
асимптотически устойчиво. При 1 < α ≤ асимптотические форму2
лы (11.32) могут измениться, но главный член асимптотики будет
иметь тот же вид, что и в (11.32). Показатель α влияет на скорость
сходимости решений к состоянию равновесия.
Таким образом, при движении точки подвеса математического маятника вдоль вертикальной оси по закону (11.23) и при выполнении
неравенства (11.33) верхнее состояние равновесия маятника будет
асимптотически устойчивым.
Упражнение 11.4. Линеаризовать уравнение (11.24) на состоянии
равновесия q = π. Исследовать устойчивость нулевого решения линеаризованной системы с помощью метода, изложенного в главе 7.
Упражнение 11.5. Исследовать устойчивость верхнего состояния
равновесия маятника, если закон движения точки подвеса имеет вид
f (t) = ae−t sin et .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.8. Многочастотные колебания подвеса маятника
229
11.8. Многочастотные колебания
подвеса маятника
В этом пункте предполагается, что закон движения подвеса маятника — это почти периодический многочлен, и некоторые частоты
этого многочлена близки друг к другу. Хемп и Сетна [140] рассмотрели случай двух частот.
Удобно уравнения движения маятника записать в гамильтоновой
форме. Мы получим систему (см. п. 11.3.)
dq
1
f˙
=
sin q,
p
−
dt
ml2
l
(11.36)
[
]
dp
2c
p
m
2
= − p + 2cl sin q + cos q f˙ − mgl sin q − f˙ sin 2q.
dt
m
l
2
Вынужденное движение подвеса определяется формулой
f (t) =
N
∑
αk cos νk t + βk sin νk t,
k=1
где αk , βk , νk , (k = 1, 2, . . . , N ) — вещественные числа. Будем предполагать, что амплитуды αk , βk являются достаточно малыми, а частоты νk являются достаточно большими в следующем смысле. Существует малый параметр ε такой, что
αk = εak ,
βk = εbk ,
νk =
ωk
,
ε
где ak , bk , ωk , (k = 1, . . . , N ) имеют порядок O(1) по отношению к ε.
Тогда f (t) может быть записана в виде
f (t) = ε
N
∑
k=1
( t)
(t)
t)
+ bk sin ωk
= εζ
.
ak cos ωk
ε
ε
ε
(
Мы будем говорить, что закон движения подвеса одночастотный,
если все разности ωk − ωj , j ̸= k имеют порядок O(1) по отношению
к ε. Если же некоторые из этих разностей имеют порядок O(ε) по
отношению к ε, то мы будем говорить, что закон движения подвеса
многочастотный.
В этом параграфе мы рассмотрим случай, когда закон движения
подвеса маятника является многочастотным.
В одночастотном случае (см. п. 11.3.) метод усреднения дает возможность получить хорошо известные результаты об устойчивости
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
230
ГЛАВА 11. Маятниковые системы . . .
состояний равновесия q = 0 и q = π системы (11.36) при достаточно малых ε. Нижнее состояние равновесия q = 0 всегда устойчиво,
верхнее состояние равновесия q = π будет устойчивым, если
(
)
1
M ζ̇ 2 (τ ) = lim
T →∞ T
∫T
ζ̇ 2 (τ )dτ > gl.
0
Это следует из анализа усредненных уравнений и соответствующих
теорем об усреднении.
Усредненные уравнения имеют форму
1
q̇ = ε 2 p,
[ml
]
2c
m ( 2 )
ṗ = ε − mgl sin q − p − M ζ̇ (τ ) sin 2q .
m
2
В многочастотном случае усредненные уравнения будут в общем
уравнениями с почти периодическими коэффициентами.
Мы ограничимся рассмотрением случая, когда две частоты ω1 и
ω2 связаны соотношением
ω2 − ω1 = ε∆,
∆ > 0, ∆ = O(1).
(11.37)
Пусть для простоты
[
( )
( t)
( t )]
t
f (t) = ε a1 cos ω1 + a2 cos ω2
= εζ
.
ε
ε
ε
Из (11.37) получим
[
]
(t)
( t)
((
)t)
εζ
= ε a1 cos ω1 + a2 cos ω1 + ε∆
.
ε
ε
ε
(11.38)
Введем быстрое время τ с помощью формулы t = ετ и обозначим
штрихом дифференцирование по отношению к τ . Тогда из системы
(11.36) мы получим следующую систему в стандартной форме
]
[
1
1
p − ζ ′ (τ ) sin q
q′ = ε
2
ml
l
[
]
(p
)
2c
m ′2
′
′
p = ε −mgl sin q − p +
cos q + 2cl sin q ζ (τ ) − ζ (τ ) sin 2q .
m
l
2
(11.39)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.8. Многочастотные колебания подвеса маятника
231
Учитывая выражение (11.38), мы получим в правой части системы
(11.39) члены, содержащие быстрое время τ и медленное время ετ .
Усредним систему (11.39) по быстрому времени τ . Получим усредненную систему
q′ = ε
1
p,
2
ml
[
(11.40)
]
2c
m
p = ε −mgl sin q − p − p(τ ) sin 2q ,
m
4
)
(
где p(τ ) = ω12 a21 + a22 + 2a1 a2 cos(ε∆τ ) . Усредненная система (11.40)
может быть записана в виде уравнения второго порядка по отношению к переменной q. Это уравнение во времени t имеет форму
′
q̈ +
2c
g
p(t)
q̇ + sin q + 2 sin 2q = 0,
m
l
4l
(11.41)
где p(t) = ν12 (α12 + α22 + 2α1 α2 cos ∆t). Из теорем 9.6 и 9.7 следует,
что вопрос об устойчивости нижнего состояния равновесия маятника при достаточно малых ε сводится к исследованию устойчивости
нулевого решения уравнения
q̈ +
)
1 (
2c
q̇ + 2 2gl + p(t) q = 0.
m
2l
(11.42)
Для верхнего состояния равновесия маятника получим уравнение
q̈ +
)
2c
1 (
q̇ + 2 −2gl + p(t) q = 0.
m
2l
(11.43)
Из анализа уравнения (11.43) следует, что движение подвеса маятника по закону, определяемому формулой (11.38), может привести
к дестабилизации верхнего состояния равновесия маятника, которое
было бы устойчиво, если бы частоты не были близки. Богданов и
Ситрон [111] показали экспериментально, что такие дестабилизационные эффекты быстрых параметрических возбуждений, у которых
частоты близки друг к другу, имеют место.
Отметим также, что анализ уравнения (11.42) показывает, что
близость двух частот может дестабилизировать нижнее состояние
равновесия маятника.
Следовательно, колебания подвеса маятника под действием двух
периодических сил с близкими частотами могут привести к новым
эффектам в поведении маятника.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
232
ГЛАВА 11. Маятниковые системы . . .
Пусть теперь вместо соотношения (11.37) удовлетворяется соотношение
ω2 − 2ω1 = ε∆.
(11.44)
Соотношение (11.44) не оказывает влияния на уравнения первого
приближения. Следовательно, оно может оказать влияние на устойчивость состояний равновесия маятника, если проблема устойчивости не решается в первом приближении.
Пусть закон движения подвеса во времени τ определяется формулой
ζ(τ ) = a1 cos ω1 τ + a2 cos ω2 τ + a3 cos ω3 τ
и
ω2 − ω1 = ε∆1 ,
ω3 − ω1 = ε∆2 .
Тогда вопрос об устойчивости нижнего и верхнего состояний равновесия маятника при достаточно малых ε сводится к исследованию
устойчивости нулевого решения для уравнений (11.42) и (11.43) соответственно. Но теперь p(t) будет пп функцией.
Предположим теперь, что
ω2 − ω1 = ε2 ∆ (∆ = const, ∆ > 0)
(11.45)
и
[
( t)
((
(t)
) t )]
2
f (t) = ε a1 cos ω1 + a2 cos ω1 + ε ∆
= εζ
.
ε
ε
ε
(11.46)
Снова перейдем к быстрому времени τ = t/ε в системе (11.36). Мы
получим систему в стандартной форме, которая во времени τ1 = ε2 τ
будет сингулярно возмущенной системой. Такие системы были рассмотрены в п. 9.8. Усредняя систему (11.36) по быстрому времени τ ,
получим усредненную сингулярно возмущенную систему во времени
τ1 :
εq ′ =
1
p,
2
ml
[
]
2c
m
εp = −mgl sin q − p − b(τ1 ) sin 2q ,
m
2
′
где
b(τ1 ) =
)
ω12 ( 2
a1 + a22 + 2a1 a2 cos ∆τ1 .
2
(11.47)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.8. Многочастотные колебания подвеса маятника
233
Вырожденная система (мы полагаем ε = 0 в (11.47))
1
p = 0,
ml2
m
2c
−mgl sin q − p − b(τ1 ) sin 2q = 0
m
2
имеет четыре решения:
1) q1 ≡ 0, p1 ≡ 0,
3, 4) q3,4
2) q2 ≡ π, p2 ≡ 0,
(
)
gl
= ± arccos −
, p3,4 ≡ 0.
b(τ1 )
Два последних решения существуют, если только удовлетворяется
неравенство
inf b(τ1 ) > gl.
(11.48)
−∞<τ1 <∞
Легко вычислить, что
{
inf
−∞<τ1 <∞
sup
−∞<τ1 <∞
b(τ1 ) =
{
b(τ1 ) =
1 2
2 ω1 (a1
1 2
2 ω1 (a1
1 2
2 ω1 (a1
1 2
2 ω1 (a1
− a2 )2 ,
+ a2 )2 ,
+ a2 )2 ,
− a2 )2 ,
a1 a2
a1 a 2
a1 a 2
a1 a2
> 0,
< 0,
> 0,
< 0,
Линеаризуем усредненную систему на состояниях равновесия 1), 2)
вырожденной системы. Получим системы
εq1′ =
εp′1
1
p,
2 1
ml
[
]
2c
= −mglq1 − p1 − mb(τ1 )q1 ,
m
и
εq2′ =
εp′2
1
p,
2 2
ml
[
]
2c
= mglq2 − p2 − mb(τ1 )q2
m
соответственно. Из анализа этих систем и теоремы 9.8 следует, что
при достаточно малых ε нижнее состояние равновесия маятника
асимптотически устойчиво. Верхнее состояния равновесия асимптотически устойчиво, если
inf
−∞<τ1 <∞
b(τ1 ) > gl,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
234
ГЛАВА 11. Маятниковые системы . . .
и неустойчиво, если
sup
−∞<τ1 <∞
b(τ1 ) < gl.
Этот результат получен Ухаловым (см. [90]).
Упражнение 11.6. Показать, что при достаточно малых ε существует два неустойчивых пп решения системы (11.36), которые стремятся к решениям 3,4) вырожденной системы, если выполнено условие
(11.48).
11.9. Система маятник-шайба
с вибрирующим основанием
(маятник Челомея)
Под маятником Челомея (см. [100]) понимается система, состоящая из стержня, который может поворачиваться вокруг определенной оси (“оси подвеса”), и твердого тела (“шайбы”), которое может
перемещаться вдоль стержня.
Θ
Рис. 11.2 Маятник Челомея
В.Н. Челомеем [100] было экспериментально обнаружено, что
вследствие вертикальной вибрации оси подвеса устойчивым при определенных условиях оказывается верхнее положение стержня. При
этом шайба занимает на стержне некоторое фиксированное положение. Статья Челомея привлекла внимание. И появилось несколько статей, в которых исследовалась эта система. Меняйлов и Мовчан [64] изучили поведение маятника Челомея с помощью метода
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.9. Система маятник-шайба с вибрирующим основанием
235
усреднения. Они предполагали, что ось подвеса совершает как горизонтальные, так и вертикальные вибрации. Блехман и Малахова [16]
при тех же предположениях рассмотрели поведение шайбы на абсолютно жестком стержне, а также на упругом стержне, вибрирующем
заданным образом в режиме стоячей волны. Рагульскис и Нагинявичюс [78] также изучали поведение шайбы на вибрирующем упругом стержне. Киргетов [44] получил условия устойчивости шайбы
в верхнем положении стержня другим аналитическим методом. Во
всех перечисленных работах было показано, что стабилизация верхнего состояния равновесия маятника достигается за счет горизонтальной составляющей вибраций точки подвеса. В работе Томсена и
Черняка [180] предпринята новая попытка объяснить эксперименты
Челомея. Они показали, что небольшой дефект нарушения симметрии, такой как небольшое отклонение от точного вертикального возбуждения, может обеспечить механизм для появления стационарных
вибраций гибкого стержня. В работе В.К. Асташева, В.И. Бабицкого,
А.М. Веприка и В.Л. Крупенина [35] рассмотрено поведение шайбы
на струне и упругом стержне при возбуждении их колебаний заданной распределенной нагрузкой. Показано, что подвижную шайбу
можно использовать в качестве гасителя колебаний. Это утверждение было также проверено экспериментально.
Для исследования маятника Челомея мы применим тот же метод,
который использовался при изучении простого маятника.
Рассмотрим физический маятник в виде шарнирно закрепленного за один конец неоднородного стержня массы M , совершающего
движения в вертикальной плоскости вокруг точки подвеса. Пусть
на стержень надета шайба массы m, внутренний диаметр которой
равен толщине стержня и которая может свободно перемещаться
вдоль него (см. рис. 11.2). Точка подвеса маятника совершает периодические колебания с высокой частотой, имеющей вертикальную
и горизонтальную составляющие. Уравнения движения описываемой
системы имеют вид (см. Меняйлов, Мовчан [64])
(I0 + I1 + mx2 )φ̈ + 2mxẋφ̇ + k1 φ̇ − (M L + mx)×
(
)
× g + f¨1 (t) sin φ + (M L + mx)f¨2 (t) cos φ = 0,
(
)
ẍ − xφ̇2 + k2 ẋ + g + f¨1 (t) cos φ + f¨2 (t) sin φ = 0.
(11.49)
Здесь точка обозначает дифференцирование по отношению ко времени t, I0 — момент инерции стержня без шайбы относительно оси
вращения, I1 + mx2 — момент инерции шайбы, I1 — собственный
момент инерции шайбы, x — текущая координата шайбы, отсчи-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
236
ГЛАВА 11. Маятниковые системы . . .
тываемая вдоль стержня, φ — текущий угол поворота стержня при
колебаниях, отсчитываемый от вертикали, L — расстояние от центра
массы стержня до точки подвеса, g — ускорение свободного падения,
k1 φ̇ — момент трения, создаваемый движением всей системы, k2 ẋ —
сила трения шайбы о стержень, f1 (t) — вертикальная составляющая
колебаний точки подвеса, f2 (t) — горизонтальная составляющая колебаний точки подвеса. Пока не будем уточнять вид функций f1 (t),
f2 (t). Положим p(x) = I0 + I1 + mx2 , r(x) = M L + mx и перейдем
от системы (11.49) к системе четырех уравнений первого порядка.
Сделаем замену
]
ψ
r(x) [ ˙
˙
φ̇ =
+
f1 (t) sin φ − f2 (t) cos φ ,
p(x) p(x)
ẋ = ξ − f˙1 (t) cos φ − f˙2 sin φ.
(11.50)
Замена (11.50) вводит две новые переменные ψ и ξ и является по существу заменой, которая дает возможность записать систему (11.49)
в гамильтоновой форме. В силу первой из формул (11.50)
)
)
d(
d(
p(x)φ̇ = p(x)φ̈ + 2mxẋφ̇ =
ψ + r(x)f˙1 (t) sin φ − r(x)f˙2 (t) cos φ .
dt
dt
Подставляя последнее выражение в первое уравнение системы (11.49)
и учитывая вторую формулу замены (11.50), получим
[(
)
]
k1 ψ
k1 r(x)
r(x)ψ
ψ̇ = −
− mξ +
sin φ +
cos φ f˙1 (t)−
p(x)
p(x)
p(x)
(
[(
)
]
)
2
r
(x)
k1 r(x)
r(x)ψ
− −mξ +
cos φ +
sin φ f˙2 (t) + m −
×
p(x)
p(x)
p(x)
[
]
2
2
˙
˙
˙
˙
× f1 (t) sin φ cos φ − f2 (t) sin φ cos φ − f1 (t)f2 (t) cos 2φ + r(x)g sin φ.
Подставляя вторую формулу замены (11.50) во второе уравнение системы (11.49), получим
(
)
]
[
2xr(x)
ψ
1−
sin φ − k2 cos φ f˙1 (t)−
ξ˙ = −k2 ξ −
p(x)
p(x)
[
(
)
]
(
)
ψ
r(x)
2xr(x)
xr(x)
− −
1−
cos φ − k2 sin φ f˙2 (t) −
1−
×
p(x)
p(x)
p(x)
p(x)
[
]
ψ2
2
2
2
2
˙
˙
˙
× f1 (t) sin φ + f2 (t) cos φ − f1 (t)f2 (t) sin 2φ − g cos φ + x 2 .
p (x)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.9. Система маятник-шайба с вибрирующим основанием
237
Следовательно, получаем систему четырех уравнений
]
ψ
r(x) [ ˙
˙
φ̇ =
+
f1 (t) sin φ − f2 (t) cos φ ,
p(x) p(x)
[(
)
]
k1 ψ
k1 r(x)
r(x)ψ
ψ̇ = −
− mξ +
sin φ +
cos φ f˙1 (t)−
p(x)
p(x)
p(x)
[(
]
(
)
)
2
r
(x)
k1 r(x)
r(x)ψ
− −mξ +
cos φ +
sin φ f˙2 (t) + m −
×
p(x)
p(x)
p(x)
[
]
2
2
˙
˙
˙
˙
× f1 (t) sin φ cos φ − f2 (t) sin φ cos φ − f1 (t)f2 (t) cos 2φ + r(x)g sin φ,
ẋ = ξ − f˙1 (t) cos φ − f˙2 sin φ,
[
(
)
]
2xr(x)
ψ
ξ˙ = −k2 ξ −
1−
sin φ − k2 cos φ f˙1 (t)−
p(x)
p(x)
(
)
(
)
[
]
ψ
2xr(x)
r(x)
xr(x)
− −
1−
cos φ̇ − k2 sin φ f˙2 (t) −
1−
×
p(x)
p(x)
p(x)
p(x)
[
]
ψ2
2
2
2
2
˙
˙
˙
× f1 (t) sin φ + f2 (t) cos φ − f1 (t)f2 (t) sin 2φ − g cos φ + x 2 .
p (x)
(11.51)
Будем предполагать, что функции f1 (t), f2 (t) определяются формулами
f1 (t) =
N
∑
αk cos νk t + βk sin νk t,
k=1
f2 (t) =
N
∑
γk cos νk t + δk sin νk t,
k=1
где αk , βk , γk , δk , νk (k = 1, . . . , N ) — вещественные постоянные.
Далее, будем предполагать, что амплитуды αk , βk , γk , δk достаточно
малы, а частоты νk достаточно велики в следующем смысле. Существует такой малый положительный параметр ε, что
αk = εak , βk = εbk , γk = εck , δk = εdk , νk =
ωk
,
ε
где ak , bk , ck , dk , ωk (k = 1, . . . , N ) — величины порядка O(1) относительно ε. Тогда функции f1 (t), f2 (t) можно записать в виде
f1 (t) = ε
f2 (t) = ε
N
∑
k=1
N
∑
k=1
(t)
( t)
( t)
ak cos ωk
+ bk sin ωk
= εg1
,
ε
ε
ε
(
(t)
( t)
t)
dk cos ωk
+ dk sin ωk
= εg2
.
ε
ε
ε
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
238
ГЛАВА 11. Маятниковые системы . . .
Перейдем в системе (11.51) к быстрому времени τ по формуле ετ = t
и обозначим дифференцирование по τ штрихом. Получим систему
[
)]
ψ
r(x) ( ′
′
′
φ =ε
+
g (τ ) sin φ − g2 (τ ) cos φ ,
p(x) p(x) 1
{
[(
]
)
k
ψ
k
r(x)
r(x)ψ
1
1
ψ′ = ε −
− mξ +
sin φ +
cos φ g1′ (τ )−
p(x)
p(x)
p(x)
[(
)
]
(
)
2
k1 r(x)
r(x)ψ
r
(x)
− −mξ +
cos φ +
sin φ g2′ (τ ) + m −
×
p(x)
p(x)
p(x)
[
]
′2
′2
′
′
× g1 (τ ) sin φ cos φ − g2 (τ ) sin φ cos φ − g1 (τ )g2 (τ ) cos 2φ +
}
+ r(x)g sin φ ,
x′ = ε[ξ − g1′ (τ ) cos φ − g2′ (τ ) sin φ],
{
[
(
)
]
ψ
2xr(x)
ξ ′ = ε −k2 ξ −
1−
sin φ − k2 cos φ g1′ (τ )−
p(x)
p(x)
[
(
)
]
ψ
2xr(x)
− −
1−
cos φ − k2 sin φ g2′ (τ )−
p(x)
p(x)
(
)
]
r(x)
xr(x) [ ′2
2
′2
2
′
′
−
1−
g1 (τ ) sin φ + g2 (τ ) cos φ − g1 (τ )g2 (τ ) sin 2φ −
p(x)
p(x)
}
ψ2
−g cos φ + x 2
.
p (x)
(11.52)
Система (11.52) имеет стандартную форму. Усредним ее и сохраним
те же обозначения для переменных. Получим систему
ψ
,
p(x)
{ kψ
}
1
′
ψ =ε −
+ P (x, φ) ,
p(x)
x′ = εξ,
{
}
ψ2
′
ξ = ε −k2 ξ + x 2
− Q(x, φ) ,
p (x)
φ′ = ε
где
(11.53)
)
(
)
r2 (x) [( ′2
⟨g1 (τ )⟩ − ⟨g2′2 (τ )⟩ sin φ cos φ−
P (x, φ) = m −
p(x)
]
′
′
− ⟨g1 (τ )g2 (τ )⟩ cos 2φ + r(x)g sin φ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.9. Система маятник-шайба с вибрирующим основанием
239
(
)
r(x)
xr(x) [ ′2
Q(x, φ) =
1−
⟨g1 (τ )⟩ sin2 φ + ⟨g2′2 (τ )⟩ cos2 φ−
p(x)
p(x)
]
′
′
− ⟨g1 (τ )g2 (τ )⟩ sin 2φ + g cos φ,
а ⟨g(τ )⟩ — среднее значение функции g(τ ). Отметим, что усредненную систему (11.53) можно записать в виде системы двух уравнений
второго порядка
p(x)φ′′ + 2mxx′ φ′ + εk1 φ′ − ε2 P (x, φ) = 0,
x′′ − xφ′2 + εk2 x′ + ε2 Q(x, φ) = 0.
(11.54)
Состояния равновесия усредненной системы (11.54) определяются из
системы уравнений
P (x, φ) = 0,
Q(x, φ) = 0.
(11.55)
Система (11.55) имеет много решений. Исследуем, когда существует и устойчиво решение φ = 0, т.е. устойчиво верхнее состояние
равновесия маятника. Из первого уравнения системы (11.55) следует, что для существования решения φ = 0 необходимо выполнение
равенства
⟨g1′ (τ )g2′ (τ )⟩ = 0.
Из второго уравнения системы (11.55) следует, что для существования решения φ = 0 необходимо
⟨g2′2 (τ )⟩ ̸= 0.
Последнее неравенство означает, что усредненная система имеет состояние равновесия φ = 0, если отлична от нуля горизонтальная
составляющая вибраций подвеса маятника.
Найдем теперь такое состояние равновесия x = x0 усредненной
системы, что x = x0 , φ = 0 устойчивое равновесие системы (11.55).
Отметим, что
Px (x0 , 0) = Qφ (x0 , 0) = 0.
Характеристическое уравнение линеаризованной на состоянии равновесия (x0 , 0) системы (11.55) имеет вид
(
)
k
P
(x
,
0)
1
φ 0
λ2 +
λ−
(λ2 + k2 λ − Qx (x0 , 0)) = 0.
p(x0 )
p(x0 )
Поэтому условия устойчивости состояния равновесия (x0 , 0) имеют
вид
Pφ (x0 , 0) < 0, Qx (x0 , 0) < 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
240
ГЛАВА 11. Маятниковые системы . . .
Выпишем уравнение для отыскания состояния равновесия x = x0 при
φ = 0. Это уравнение
(
)
r(x)
xr(x)
−
1−
⟨g2′2 (τ )⟩ = g.
(11.56)
p(x)
p(x)
Уравнение (11.56) можно записать следующим образом:
(M L + mx)(M Lx − I) ′2
⟨g2 (τ )⟩ = g,
(I + mx2 )2
(11.57)
где I = I0 + I1 . Наконец, если положить
M Lx
,
ζ=
I
mI
µ = 2 2,
M L
M L⟨g2′2 (τ )⟩
,
σ=
gI
то уравнение (11.57) можно записать в виде
Φ(ζ) =
(1 + µζ)(ζ − 1)
1
=
.
(1 + µζ 2 )2
σ
(11.58)
В зависимости от величины σ (следовательно, величины ⟨g2′2 (τ )⟩)
уравнение (11.58) может иметь одно решение, два решения или вовсе
не иметь решений. Заметим еще, что из (11.58) следует, что должно
выполняться неравенство
ζ > 1.
(11.59)
Точка экстремума ζ = ζ ∗ функции Φ(ζ) при фиксированном µ определяется из уравнения
µ2 ζ 2 (3 − 2ζ) − µ(3ζ 2 − 6ζ + 1) + 1 = 0,
(11.60)
причем следует учесть (11.59). Уравнение (11.60) относительно µ не
имеет решений, если ζ < 3/2, и имеет единственное положительное
относительно µ решение, если ζ > 3/2. Если выполняется неравенство
1
< ζ ∗,
σ
то уравнение (11.58) имеет два решения ζ1 , ζ2 . При этом
Φ′ (ζ1 ) > 0,
Учитывая, что
Φ′ (ζ2 ) < 0.
1
Q(ζ, 0) = Φ(ζ) − ,
σ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11.9. Система маятник-шайба с вибрирующим основанием
241
получаем
Qζ (ζ1 , 0) > 0,
Qζ (ζ2 , 0) < 0.
Iζ1
Отсюда следует, что состояние равновесия (x01 , 0), где x01 =
ML
Iζ2
неустойчиво. Состояние равновесия (x02 , 0)), где x02 =
, устойM
L
чиво, если выполняется неравенство
)
M 2 L2 + 2M Lx02 − mI ( ′2
′2
Pφ (x02 , 0) = −
⟨g
(τ
)⟩
−
⟨g
(τ
)⟩
+
1
2
I + mx202
+(M L + mx02 )g < 0.
Для выполнения последнего неравенства необходимо, чтобы при колебании подвеса амплитуда колебаний вертикальной составляющей
превышала амплитуду колебаний горизонтальной составляющей.
Таким образом, при существенных дополнительных условиях (следует еще заметить, что для стержня конечной длины L должно быть
выполнено неравенство 0 ≤ x ≤ L) можно добиться стабилизации
вертикального положения стержня с шайбой.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 12
Высшие приближения
метода усреднения
12.1. Формализм метода усреднения
для систем в стандартной форме
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в стандартной форме
dx
= εX(t, x, ε),
(12.1)
dt
где x — n-мерный вектор, ε > 0 — малый параметр, вектор-функция
X(t, x, ε) определена при t ∈ R, x ∈ D и малых ε, где D — ограниченное множество в Rn .
Будем предполагать, что в (12.1) правые части εX(t, x, ε) могут
быть разложены по степеням малого параметра ε:
εX(t, x, ε) = εX1 (t, x) + ε2 X2 (t, x) + ε3 X3 (t, x) + . . . .
Далее, предполагаем, что вектор-функции Xj (t, x), j = 1, 2, . . . почти периодические по t равномерно относительно x ∈ D. Однако
на характер почти периодичности этих вектор-функций необходимо наложить существенные ограничения. Дело в том, что для построения высших приближений метода усреднения мы используем
нелинейное, близкое к тождественному, преобразование. Затем нам
необходимо будет находить пп решения системы дифференциальных
уравнений, правые части которых почти периодически зависят от t.
Эти решения удается найти, если правые части системы являются
правильными пп функциями. Напомним, что пп функция f (t) c ря-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.1. Формализм метода усреднения . . .
дом Фурье
f (t) ∼
∑
243
aν eiνt
ν
называется правильной, если справедлива формула
∫
f (t)dt = a0 t + g(t),
где a0 — среднее значение функции f (t), а g(t) — пп функция с
рядом Фурье
∑ aν
eiνt .
iν
ν̸=0
Очевидно, любая периодическая функция, любой тригонометрический многочлен с произвольным набором частот, сумма периодической функции и тригонометрического многочлена — это примеры
правильных пп функций. Отметим еще, что при построении высших
приближений необходимо над соответствующими функциями производить алгебраические действия. Поэтому нужно следить, чтобы эти
действия не выводили из рассматриваемого класса. В дальнейшем
будем считать, что мы имеем дело с одним из вышеперечисленных
классов правильных пп функций.
Функции Xj (t, x) допускают разложение в ряд Фурье
∑
Xj (t, x) ∼ Xj0 (x) +
Xjν (x)eiνt , j = 1, 2, . . . .
ν̸=0
Так как рассматриваются лишь вещественные вектор-функции
Xj (t, x), то приведенное выше разложение в комплексный ряд Фурье
эквивалентно разложению в вещественный ряд Фурье
a0 ∑
+
(ajν cos νt + bjν sin νt).
2
ν̸=0
При этом коэффициенты Фурье будут комплексно сопряжены, т.е.
Xj(−ν) = X̄jν ,
a0
= Xj0 ,
2
ajν = Xjν + Xj(−ν) ,
bjν = i(Xjν − Xj(−ν) ).
)
≈ ε и быстСистема (12.1) содержит медленную переменную x
dt
рую переменную t. Н.Н. Боголюбов показал, что существует замена
переменных, которая позволяет исключить быструю переменную t
( dx
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
244
ГЛАВА 12. Высшие приближения метода усреднения
из правых частей системы (12.1) с любой степенью точности по ε.
Опишем этот метод.
Будем искать замену переменных
x = ξ + εu1 (t, ξ) + ε2 u2 (t, ξ) + ε3 . . . ,
(12.2)
где ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) — новая неизвестная вектор-функция, которая
удовлетворяет усредненной системе вида
dξ
= εΣ1 (ξ) + ε2 Σ2 (ξ) + ε3 . . . ,
dt
(12.3)
не содержащей явно времени t, а ui (t, ξ) — некоторые почти периодические по t вектор-функции. Нам необходимо определить неизвестные вектор-функции ui (t, ξ), i = 1, 2, . . ., которые являются коэффициентами преобразования (12.2), а также вектор-функции Σi (ξ),
i = 1, 2, . . ., входящие в правые части усредненной системы (12.3).
Подставим формулу замены (12.2) в систему (12.1). Получим
dξ
∂u1 (t, ξ) dξ
∂u1 (t, ξ)
∂u2 (t, ξ) dξ
∂u2 (t, ξ)
+ε
+ε
+ ε2
+ ε2
+ ε3 . . . =
dt
∂ξ
dt
∂t
∂ξ
dt
∂t
(
)
(
= εX1 t, ξ + εu1 (t, ξ) + ε2 u2 (t, ξ) + ε3 . . . + ε2 X2 t, ξ + εu1 (t, ξ)+
)
+ε2 u2 (t, ξ) + ε3 . . . + ε3 . . .
∂ui
понимаются как матрицы. Заме∂ξ
dξ
няя в последнем равенстве производную
на правую часть системы
dt
(12.3), получаем
Отметим, что производные типа
∂u1 (t, ξ)
∂u2 (t, ξ)
∂u1 (t, ξ)
Σ1 (ξ) + ε
+ ε2
+ ε3 . . . =
∂ξ
∂t
∂t
∂X1 (t, ξ)
u1 (t, ξ) + ε2 X2 (t, ξ) + ε3 . . .
= εX1 (t, ξ) + ε2
∂ξ
εΣ1 (ξ) + ε2 Σ2 (ξ) + ε2
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ε в левой и
правой частях последнего равенства, получим бесконечную систему
соотношений. Выпишем первые два из них.
∂u1 (t, ξ)
= X1 (t, ξ),
(12.4)
∂t
∂u1 (t, ξ)
∂u2 (t, ξ) ∂X1 (t, ξ)
Σ2 (ξ) +
Σ1 (ξ) +
=
u1 (t, ξ) + X2 (t, ξ).
∂ξ
∂t
∂ξ
(12.5)
Σ1 (ξ) +
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.1. Формализм метода усреднения . . .
245
Из тождеств (12.4) и (12.5) определяются последовательно векторфункции Σ1 (ξ), Σ2 (ξ) и u1 (t, ξ), u2 (t, ξ). Запишем (12.4) в виде
∂u1 (t, ξ)
= X1 (t, ξ) − Σ1 (ξ).
(12.6)
∂t
Вектор-функцию u1 (t, ξ) можно определить как почти периодическую
по t, если среднее значение пп вектор-функции, стоящей в правой
части системы (12.6), равно нулю (естественно предполагается, что
X1 (t, ξ) — правильная пп вектор-функция переменной t). Отсюда однозначно определяется вектор-функция Σ1 (ξ) как среднее значение
пп функции X1 (t, ξ):
1
Σ1 (ξ) = lim
T →∞ T
∫T
X1 (t, ξ)dt.
0
Теперь, интегрируя систему дифференциальных уравнений (12.6),
находим с точностью до произвольной вектор-функции от переменной ξ вектор-функцию u1 (t, ξ):
∫t
u1 (t, ξ) =
[
]
X1 (t, ξ) − Σ1 (ξ) dt + u10 (ξ).
0
Отметим, что вектор-функции u1 (t, ξ) соответствует следующий ряд
Фурье:
∑
eiνt
X1ν (ξ)
+ u10 (ξ).
iν
ν̸=0
Подставляем вектор-функции Σ1 (ξ), u1 (t, ξ) в тождество (12.5) и записываем его в виде
∂u2 (t, ξ) ∂X1 (t, ξ)
∂u1 (t, ξ)
=
u1 (t, ξ) + X2 (t, ξ) −
Σ1 (ξ) − Σ2 (ξ). (12.7)
∂t
∂ξ
∂ξ
Далее, чтобы определить u2 (t, ξ) как пп вектор-функцию t, нужно выбрать Σ2 (ξ) так, чтобы среднее значение правой части системы (12.7) обратилось в нуль (опять предполагается, что правая
часть системы (12.7) — правильная пп вектор-функция t). Отметим, что Σ2 (ξ) уже не определяется однозначно. Затем находится
вектор-функция u2 (t, ξ). Продолжая процесс определения функций
Σi (ξ), ui (t, ξ), на k-ом шаге придем к системе вида
(
)
∂uk (t, ξ)
= F t, ξ, u1 (t, ξ), . . . , uk−1 (t, ξ) − Σk (ξ),
∂t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
246
ГЛАВА 12. Высшие приближения метода усреднения
(
)
где F t, ξ, u1 (t, ξ), . . . , uk−1 (t, ξ) — уже известная (правильная!) почти периодическая по t вектор-функция. Вектор-функция Σk (ξ) определяется из условия, что среднее значение правой части последнего
равенства должно быть равно нулю. Затем определяется почти периодическая по t вектор-функция uk (t, ξ).
Таким образом, мы показали что существует замена переменных вида (12.2) с пп коэффициентами, которая преобразует систему
(12.1) в систему (12.3). Укороченная замена
x = ξ + εu1 (t, ξ) + ε2 u2 (t, ξ) + . . . + εk uk (t, ξ)
(12.8)
преобразует систему (12.1) в систему
dξ
= εΣ1 (ξ) + εΣ2 (ξ) + . . . + εk Σk (ξ) + εk+1 Σk+1 (t, ξ, ε),
dt
где вектор-функция Σk+1 (t, ξ, ε) почти периодическая по t.
12.2. Основная теорема
о высших приближениях
в периодическом случае
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в пространстве Rn
dx
= εf (t, x, ε),
(12.9)
dt
где ε > 0 — малый параметр, вектор-функция f (t, x, ε) определена
при t ∈ R, x ∈ Rn , малых ε, периодическая по t c периодом T , не
зависящим от (x, ε), и достаточно гладкая по x и ε. Предположим,
что система (12.9) представима в виде
dx
= εf1 (t, x) + ε2 f2 (t, x) + . . . + εN fN (t, x) + εN +1 fN +1 (t, x, ε), (12.10)
dt
где каждая вектор-функция fi (t, x), i = 1, . . . , N , fN +1 (t, x, ε) периодическая по t c периодом T .
Используя замену вида (12.8) с T -периодическими коэффициентами, исключим переменную t из первых N членов в правой части
системы (12.10). Получим систему
dy
= εf¯1 (y) + . . . + εN f¯N (y) + εN +1 f˜(t, y, ε),
dt
(12.11)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.2. Основная теорема . . . в периодическом случае
247
где f˜(t, y, ε) имеет те же свойства, что и fN +1 (t, x, ε). Если существует такой постоянный вектор y0 , что f¯1 (y0 ) = 0 и матрица
A=
∂ f¯1
(y0 )
∂y
(12.12)
не имеет собственных значений с нулевой вещественной частью, то,
как следует из теорем 9.2, 9.3, у системы (12.11) существует при
достаточно малых ε единственное T -периодическое решение x∗ (t, ε)
и его свойства устойчивости совпадают со свойствами устойчивости
стационарного решения y = y0 усредненной системы первого приближения
dy
= εf¯1 (y).
dt
Сейчас мы рассмотрим более общую ситуацию (см. [136, 157, 160]).
Будем предполагать, что матрица A имеет собственные значения
с нулевой вещественной частью, но не имеет нулевого собственного
значения. Тогда T -периодическое решение у системы (12.11) существует при достаточно малых ε, но вопрос об устойчивости этого
решения не решается в первом приближении. Рассмотрим систему
dy
= εF (y, ε),
dt
(12.13)
где F (y, ε) = f¯1 (y) + . . . + εN −1 f¯N (y) и запишем исходную систему
(12.11) в виде
dy
(12.14)
= εF (y, ε) + εN +1 f˜(t, y, ε).
dt
Теорема 12.1. Пусть существует y0 такое, что F (y0 , 0) = 0 и
матрица A, которая определена формулой (12.12), не имеет нулевого собственного значения. Тогда при достаточно малых ε > 0
существуют вектор-функции yN (ε) и y ∗ (t, ε) такие, что yN (ε) —
состояние равновесия системы (12.13), y ∗ (t, ε) — T -периодическое
решение системы (12.14), yN (0) = y ∗ (t, 0) = y0 и
∗
y (t, ε) − yN (ε) = O(εN ).
Кроме того, свойства устойчивости решений yN (ε) и y ∗ (t, ε) одинаковы (из асимптотической устойчивости состояния равновесия yN (ε) системы (12.13) следует при достаточно малых ε асимптотическая устойчивость периодического решения y ∗ (t, ε) системы (12.14), а из неустойчивости yN (ε) — неустойчивость y ∗ (t, ε)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
248
ГЛАВА 12. Высшие приближения метода усреднения
при достаточно малых ε). Более точно, если линеаризованные
на состоянии равновесия yN (ε) системы (12.13) уравнения имеют
экспоненциальную дихотомию порядка k ≤ N , то линеаризованные на решении y ∗ (t, ε) системы (12.14) уравнения имеют экспоненциальную дихотомию того же порядка.
Доказательство. Если существует y0 такое, что F (y0 , 0) = 0 и матрица A = (∂F/∂y)(y0 , 0) — невырожденная, то по теореме о неявной
функции для достаточно малых ε существует единственная векторфункция yN (ε) такая, что yN (0) = y0 и F (yN (ε), ε) ≡ 0. Следовательно, yN (ε) — состояние равновесия автономной системы (12.13). В
системе (12.14) сделаем замену
y = yN (ε) + z.
Тогда получим систему
dz
= εF (yN (ε) + z, ε) + εN +1 f˜(t, yN (ε) + z, ε) =
dt
)
∂F (
=ε
yN (ε), ε z + εG(z, ε) + εN +1 f˜(t, yN (ε) + z, ε),
∂y
(12.15)
где G(0, ε) = 0, (∂G/∂z)(0, ε) = 0. Система (12.15) может быть записана в виде
[
]
dz
= εA(ε)z + ε G(z, ε) + εN f˜(t, yN (ε) + z, ε) ,
dt
где
A(ε) =
(12.16)
) ∂F
∂F (
yN (ε), ε =
(y0 , ε) + εF̃ (ε) = A + εF̃ (ε).
∂y
∂y
Вопрос о существовании периодического решения системы (12.16)
сводится к вопросу о существовании решения операторного уравнения
z = Π(z, ε) =
∫t+T [
]−1
[
]
−εA(ε)T
=
ε e
−I
eεA(ε)(t−s) G(z, ε) + εN f˜(s, yN (ε) + z, ε) ds.
t
(12.17)
Оператор, стоящий в правой части системы (12.17), действует в пространстве PT непрерывных T -периодических вектор-функций. Ли-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.2. Основная теорема . . . в периодическом случае
249
нейный оператор
∫t+T [
]−1
−εA(ε)T
K(ε)f =
ε e
−I
eεA(ε)(t−s) f (s)ds
t
является ограниченным оператором в пространстве PT . Поэтому почти дословно, как при доказательстве теоремы 9.1, показывается,
что оператор Π(z, ε) является сжимающим при достаточно малых ε
на некотором шаре пространства PT . Следовательно, при достаточно малых ε существует единственное периодическое решение z ∗ (t, ε)
с периодом T . Используя метод последовательных приближений с
начальным приближением z0 = 0, получим |z ∗ (t, ε)| ≤ K̃εN , где
K̃ — некоторая постоянная. Учитывая формулу замены, получаем,
что существует T -периодическое решение y ∗ (t, ε) системы (12.14),
y ∗ (t, 0) = yN (0)+z ∗ (t, 0) = y0 , для которого ∥y ∗ (t, ε)−yN (ε)∥ = O(εN ).
Линеаризованные на решении y ∗ (t, ε) системы (12.14) уравнения
имеют вид
)
)
du
∂F ( ∗
∂ f˜( ∗
=ε
y (t, ε), ε u + εN +1
t, y (t, ε), ε u =
dt
∂y
∂y
(
)
)
)
∂F (
∂ f˜( ∗
=ε
yN (ε), ε + O(εN ) u + εN +1
t, y (t, ε), ε u =
∂y
∂y
)
∂F (
=ε
yN (ε), ε u + O(εN +1 ).
∂y
Таким образом, линеаризованные на решении yN (ε) системы (12.13)
уравнения и линеаризованные на решении y ∗ (t, ε) системы (12.14)
уравнения совпадают до порядка N . Отсюда следует последнее утверждение теоремы.
Отметим, что в случае, когда матрица A имеет нулевое собственное значение, ситуация с вопросом существования и устойчивости
периодических решений более сложная, как показывает пример в
разделе 5.4. (cм. также [160]). Здесь мы не будем этот случай рассматривать.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
250
ГЛАВА 12. Высшие приближения метода усреднения
12.3. Теорема о высших приближениях
в почти периодическом случае
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dx
= εX(t, x, ε),
dt
(12.18)
где x ∈ Rn , ε > 0 — малый параметр, X(t, x, ε) — вектор-функция,
определенная при t ∈ R, x ∈ D (D — ограниченная область в Rn )
и достаточно гладкая по x и ε. Компоненты X(t, x, ε) — тригонометрические многочлены по t с частотами, не зависящими от x, ε.
Можно предположить и более общую зависимость правой части системы (12.18) от t. Единственное требование — возможность построить уравнения высших приближений.
Сопоставим системе (12.18) усредненную систему
dy
= εY1 (y),
dt
где
1
Y1 (y) = lim
T →∞ T
(12.19)
∫T
X(t, y, 0)dt.
0
Пусть система (12.19) имеет стационарное решение y = y0 и у матри∂Y1
цы A0 =
(y0 ) есть собственные значения с нулевой вещественной
∂y
частью, но нет нулевого собственного значения.
Построим для системы (12.18) усредненную систему N -го приближения. Сделаем стандартную замену метода усреднения
x=y+
N
∑
εi ui (t, y),
(12.20)
i=1
которая преобразует (12.18) к виду
dy ∑ i
=
ε Yi (y) + εN +1 G(t, y, ε).
dt
i=1
N
(12.21)
Системой N -го приближения называется укороченная система
dy ∑ i
=
ε Yi (y).
dt
i=1
N
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.3. Теорема . . . в почти периодическом случае
Положим
H(y, ε) =
N
∑
251
εi−1 Yi (y).
i=1
В силу предположения об обратимости матрицы A0 и теоремы о
неявной функции существует ε0 > 0 и гладкая вектор-функция yN (ε),
определенная при 0 < ε < ε0 , yN (0) = y0 , которая является равновесным решением системы N -го приближения:
H(yN (ε), ε) = 0.
Введем матрицу A(ε) = Hy (yN (ε), ε) и оператор
L(ε) =
dy
− A(ε)y,
dt
действующий в пространстве Bn .
Теорема 12.2. Пусть при 0 < ε < ε0 существует оператор L−1 (ε),
обратный к оператору L(ε), и норма этого оператора удовлетворяет неравенству
M
∥L−1 (ε)∥ ≤ k ,
(12.22)
ε
где k удовлетворяет неравенству 2k < N .
Тогда при достаточно малых ε система (12.21) имеет в шаре ∥y − yN (ε)∥ ≤ r(ε) пространства Bn единственное пп решение y0 (t, ε) (y0 (t, 0) = y0 ). Это решение будет асимптотически
устойчиво при достаточно малых ε, если все собственные значения матрицы A(ε) имеют отрицательные вещественные части,
и неустойчиво при достаточно малых ε, если у матрицы A(ε)
есть хотя бы одно собственное значение с положительной вещественной частью.
Доказательство. В системе (12.21) произведем замену
y = yN (ε) + z.
Получим систему
(
)
dz
= εH yN (ε) + z, ε + εN +1 G1 (t, z, ε),
dt
(12.23)
где G1 (t, z, ε) = G(t, yN (ε) + z, ε). Исходная задача сводится к задаче
существования пп решения z(t, ε) системы (12.23), для которого
lim ∥z(t, ε)∥ = 0.
ε→0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
252
ГЛАВА 12. Высшие приближения метода усреднения
Систему (12.23) запишем в виде
dz
= εA(ε)z + εF (z, ε) + εN +1 G1 (t, z, ε),
dt
(12.24)
где F (z, ε) = H(yN + z, ε) − A(ε)z. В системе (12.24) перейдем к
медленному времени τ = εt. Получим систему
(τ
)
dz
N
= A(ε)z + F (z, ε) + ε G1 , z, ε .
dτ
ε
(12.25)
В системе (12.25) перейдем к новой переменной по формуле z = εk u.
Система (12.25) принимает вид
(τ
)
du
−k
k
N −k
k
= A(ε)u + ε F (ε u, ε) + ε
G1 , ε u, ε .
dτ
ε
(12.26)
Задача о существовании пп решения системы (12.26) эквивалентна
вопросу о разрешимости в пространстве Bn операторного уравнения
)]
[
(τ
k
−1
−k
k
N −k
u = L (ε) ε F (ε u, ε) + ε
G1 , ε u, ε .
ε
Так как разложение компонент вектор-функции F (z, ε) начинается с
членов не ниже второго порядка по переменной z, то
ε−k F (εk u, ε) = εk Φ(u, ε),
причем Φi (0, ε) = (Φi )′u (0, ε) = 0, i = 1, . . . , n.
Покажем, что оператор
[
(τ
)]
−1
k
N −k
k
Π(u, ε) = L (ε) ε Φ(u, ε) + ε
G1 , ε u, ε
ε
удовлетворяет условиям принципа сжатых отображений на некотором шаре достаточно малого радиуса в пространстве Bn . Очевидно,
вектор-функция Φ(u, ε) удовлетворяет неравенству
|Φ(u1 , ε) − Φ(u2 , ε)| ≤ ω(r, ε)|u1 − u2 |,
|u1 |, |u2 | ≤ r,
где ω(r, ε) → 0 при r → 0. Вектор-функция G1 (τ /ε, u, ε) удовлетворяет условию Липшица по переменной u с некоторой постоянной K.
Учитывая неравенство (12.22), получим
[
]
∥Π(u1 , ε) − Π(u2 , ε)∥ ≤ M ω(r, ε) + KεN −k ∥u1 − u2 ∥.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.3. Теорема . . . в почти периодическом случае
Далее,
253
(τ
)
∥Π(0, ε)∥ = L−1 (ε)εN −k G1 , 0, ε ≤ M K1 εN −2k ,
ε
где ∥G1 ( τε , 0, ε)∥ ≤ K1 . Из последних двух неравенств легко выводится, что оператор Π(u, ε) удовлетворяет условиям принципа сжатых отображений на некотором шаре в Bn . Следовательно, система
(12.26) имеет в этом шаре при достаточно малых ε единственное пп
решение u0 (t, ε). Поэтому система (12.21) при достаточно малых ε
имеет единственное пп решение y0 (t, ε) = yN (ε) + εk u0 (t, ε).
Для доказательства утверждений об устойчивости решения y0 (t, ε)
достаточно доказать аналогичные утверждения об устойчивости решения z0 (τ, ε) системы (12.25). Сделаем в системе (12.25) замену
переменной
z = z0 (τ, ε) + w.
Получим
[
]
dw
= A(ε)w + H(yN + z0 + w, ε) − H(yN + z0 , ε) − A(ε)w +
dτ
[
]
+εN G(τ /ε, z0 + w, ε) − G1 (τ /ε, z0 , ε) .
Рассмотрим линейную систему
dw
= A(ε)w.
dτ
(12.27)
При достаточно малых ε матрица A(ε) не имеет собственных значений с нулевой вещественной частью. Из оценки оператора L−1 (ε)
следует, что система (12.27) имеет экспоненциальную дихотомию
порядка k. Пространство решений U (ε) системы (12.27) представимо
в виде
U (ε) = U+ (ε) + U− (ε).
Для решений z+ (τ, ε) ∈ U+ (ε) выполнено неравенство
|z+ (τ, ε)| ≤ |z+ (s, ε)|M+ exp[−γ+ (ε)(τ − s)],
−∞ < s < τ < ∞,
а для решений z− (τ, ε) ∈ U− (ε) выполнено неравенство
|z− (τ, ε)| ≤ |z− (s, ε)|M− exp[−γ− (ε)(τ − s)],
−∞ < τ < s < ∞,
где γ+ (ε) = c1 εk , γ− (ε) = c2 εk , c1 , c2 > 0.
Окончание доказательства теоремы почти дословно совпадает с
доказательством теорем об устойчивости и неустойчивости по первому приближению (см. Приложение Б).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
254
ГЛАВА 12. Высшие приближения метода усреднения
12.4. Общая теорема
о высших приближениях
в почти периодическом случае
Если матрица A0 имеет нулевое собственное значение, то задача о
существовании пп решений системы (12.18) является более сложной.
В книге [48] рассмотрен случай, когда матрица A0 имеет простое нулевое собственное значение, а все остальные собственные значения
имеют ненулевые вещественные части. Дополнительно предполагалось, что система (12.18) имеет стационарное решение x(t) ≡ y0 . Был
исследован вопрос о существовании и устойчивости нестационарных
пп решений.
В диссертации Ухалова [90] исследовался случай, когда матрица A0 имеет нулевое собственное значение произвольной кратности.
При дополнительных предположениях устанавливаются условия существования и устойчивости пп решений.
Обратимся снова к системе (12.18). Рассмотрим ее при тех же
предположениях, что и в предыдущем пункте.
Сопоставим системе (12.18) усредненную систему (12.19). Пусть
система (12.19) имеет стационарное решение y = y0 и у матрицы
∂Y1
A0 =
(y0 ) есть собственные значения с нулевой вещественной
∂y
частью. После замены (12.20) система (12.18) перейдет в систему
dy ∑ i
=
ε Yi (y) + εm+1 G(t, y, ε).
dt
i=1
m
Снова положим
H(y, ε) =
m
∑
(12.28)
εi−1 Yi (y).
i=1
Пусть уравнение
H(y, ε) = 0
(12.29)
имеет при 0 < ε < ε0 ограниченное решение y0 (ε) и матрица
A(ε) = Hy′ (y0 (ε), ε)
при ε = 0 имеет собственные значения с нулевой вещественной частью. Введем в рассмотрение дифференциальный оператор
L(ε)y =
dy
− A(ε)y,
dt
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.4. Общая теорема . . . в почти периодическом случае
255
определенный на множестве непрерывно дифференцируемых пп вектор-функций.
Теорема 12.3 (Ухалов [90]). Пусть
1) при 0 < ε < ε1 существует оператор L−1 (ε), обратный к
оператору L(ε), и норма этого оператора удовлетворяет неравенству
M
∥L−1 (ε)∥ ≤ α , α > 0;
ε
2) при 0 < ε < ε1 , |y1 − y0 (ε)| ≤ r(ε), |y2 − y0 (ε)| ≤ r(ε) выполняются неравенства
|H(y1 , ε) − H(y2 , ε) − A(ε)(y1 − y2 )| ≤ K0 r(ε)|y1 − y2 |,
где r(ε) = c0 εη , c0 = const, K0 = const, η > α;
|G(t, y1 , ε) − G(t, y2 , ε)| ≤ K1 |y1 − y2 |,
K1 = const;
3) m > α + η.
Тогда при достаточно малых ε система (12.21) имеет в шаре U (y0 (ε), r(ε)) (∥y − y0 (ε)∥ ≤ r(ε)) единственное почти периодическое решение y0 (t, ε). Это решение будет асимптотически
устойчиво при достаточно малых ε, если все собственные значения матрицы A(ε) имеют отрицательные вещественные части,
и неустойчиво при достаточно малых ε, если у матрицы A(ε) при
достаточно малых ε есть хотя бы одно собственное значение с
положительной вещественной частью.
Доказательство. В системе (12.28) перейдем к медленному времени
τ = εt. Получим систему
dy
= H(y, ε) + εm G(τ /ε, y, ε).
dτ
(12.30)
Запишем (12.30) в виде
[
]
dy
= A(ε)y + H(y, ε) − A(ε)y + εm G(τ /ε, y, ε).
dτ
(12.31)
Задача о существовании пп решения системы (12.31) эквивалентна
задаче о разрешимости в Bn операторного уравнения
y = Π(y, ε),
(12.32)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
256
ГЛАВА 12. Высшие приближения метода усреднения
где
[
]
Π(y, ε) = L−1 (ε) H(y, ε) − A(ε)y + εm L−1 (ε)G(τ /ε, y, ε).
Оценим норму ∥Π(y1 , ε) − Π(y2 , ε)∥, где y1 , y2 ∈ U (y0 (ε), r(ε)). Получим
∥Π(y1 , ε) − Π(y2 , ε)∥ ≤
≤ ∥L−1 (ε)∥∥H(y1 , ε) − H(y2 , ε) − A(ε)(y1 − y2 )∥+
+εm ∥L−1 (ε)∥∥G(τ /ε, y1 , ε) − G(τ /ε, y2 , ε)∥ ≤
M K0
M K1
≤ α r(ε)∥y1 − y2 ∥ + α εm ∥y1 − y2 ∥.
ε
ε
Окончательно имеем
(
)
∥Π(y1 , ε) − Π(y2 , ε)∥ ≤ ∆1 (ε) + ∆2 (ε) ∥y1 − y2 ∥,
(12.33)
где ∆1 (ε) = O(εη−α ), ∆2 (ε) = O(εm−α ), при ε → 0, η−α > 0, m−α > 0.
Пусть y ∈ U (y0 (ε), r(ε)). Тогда
[
]
Π(y, ε) = L−1 (ε) H(y, ε) − A(ε)y + εm L−1 (ε)G(τ /ε, y, ε) =
[
(
)]
= −L−1 (ε)A(ε)y0 (ε) + L−1 (ε) H(y, ε) − A(ε) y − y0 (ε) +
+εm L−1 (ε)G(τ /ε, y, ε).
Из определения оператора L−1 (ε) вытекает, что
L−1 (ε)A(ε)y0 (ε) = −y0 (ε).
Следовательно,
Π(y, ε) − y0 (ε) =
[
]
= L−1 (ε) H(y, ε) − H(y0 , ε) − A(ε)(y − y0 ) + εm L−1 (ε)G(τ /ε, y, ε).
Из условия 2) теоремы следует справедливость оценки
∥Π(y, ε) − y0 (ε)∥ ≤ ∆3 (ε) + ∆4 (ε),
где ∆3 (ε) = O(ε2η−α ), ∆4 (ε) = O(εm−α ), при ε → 0; 2η − α > η и
m − α > η. Так как r(ε) = c0 εη , то при достаточно малых ε из
y ∈ U (y0 (ε), r(ε)) следует, что Π(y, ε) ∈ U (y0 (ε), r(ε)). Это означает, что при достаточно малых ε оператор Π(y, ε) отображает шар
U (y0 (ε), r(ε)) в себя. Отсюда и из оценки (12.33) следует, что оператор Π(y, ε) при достаточно малых ε сжимающий на шаре U (y0 (ε), r(ε)).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.5. Высшие приближения для систем . . .
257
Поэтому в силу принципа сжимающих отображений операторное
уравнение (12.32) при достаточно малых ε в шаре U (y0 (ε), r(ε)) имеет единственное пп решение y = z0 (τ, ε).
Итак, существование пп решения y0 (t, ε) для системы (12.21) доказано.
Доказательство утверждений об устойчивости аналогично соответствующему доказательству в теореме 12.2.
Замечание 12.1. Во всех доказанных выше теоремах предполагалось, что стационарное решение x(ε) усредненной системы ограничено по ε при ε → 0. В работе C. Холмса, П. Холмса [142] исследовалось поведение решений периодически возмущенного уравнения
Дуффинга с отрицательной линейной жесткостью
ẍ − x + x3 = γ cos ωt − δ ẋ
в окрестности периодического решения. Применение метода возмущений привело к вопросу о существовании и устойчивости субгармонических решений нелинейного уравнения Матье с квадратичными
и кубическими нелинейностями. Первое приближение метода усреднения приводит к линейной системе уравнений. Во втором приближении получается нелинейная система, √
которая имеет стационарное
решение x(ε) с асимптотикой x(ε) ∼ 1/ ε при ε → 0. В этой ситуации результаты этого раздела неприменимы.
12.5. Высшие приближения для систем
с быстрым и медленным временем
Опишем кратко результаты по обоснованию справедливости высших приближений для систем с быстрым и медленным временем.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dx
= εX(t, τ, x, ε),
dt
τ = εt,
(12.34)
где x ∈ Rn , ε > 0 — малый параметр, вектор-функция X(t, τ, x, ε) почти периодическая по t равномерно относительно τ, ε, периодическая
по τ c периодом T и достаточно гладкая по τ, x, ε.
Системе (12.34) сопоставим усредненную по быстрому времени t
систему
dy
= εY1 (τ, y),
(12.35)
dt
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
258
ГЛАВА 12. Высшие приближения метода усреднения
где
∫T
Y1 (τ, y) = lim
X(t, τ, y, 0)dt.
T →∞
0
Пусть система (12.35) имеет T -периодическое решение y0 (τ ). Случай, когда линейная периодическая система
dy
= A(τ )y,
dτ
(12.36)
где A(τ ) = Y1y (τ, y0 (τ )), не имеет характеристических показателей
с нулевой вещественной частью, был рассмотрен в п. 9.7. (теорема 9.6).
Предположим теперь, что система (12.36) имеет характеристические показатели с нулевой вещественной частью. Систему (12.34) с
помощью замены
m
∑
x=z+
εk uk (t, τ, z),
k=1
где вектор-функции uk (t, τ, z) почти периодические по t и T -периодические по τ можно преобразовать к виду
dz ∑ k
=
ε Yk (τ, y) + εm+1 G(t, τ, z, ε),
dt
m
(12.37)
k=1
т.е. исключить из правой части системы быструю переменную t с
точностью до членов порядка εm . Системой k-го приближения назовем систему
m
∑
dz
=ε
εk−1 Yk (τ, y),
dt
k=1
которая во времени τ принимает вид
dz ∑ k−1
=
ε Yk (τ, y).
dτ
m
(12.38)
k=1
Это система с T -периодическими коэффициентами. Пусть система
(12.38) имеет T -периодическое решение y ∗ (τ, ε) и y ∗ (τ, 0) = y0 (τ ).
Введем в рассмотрение линейную систему
dy
= A(τ, ε)y,
dτ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.6. Поддержание вращательных режимов маятника . . .
где
A(τ, ε) =
m
∑
259
εk−1 (Yk )′y (τ, y ∗ (τ, ε)).
k=1
Если оператор
dy
− A(τ, ε)y
dτ
обратим в пространстве Bn пп вектор-функций и обратный оператор
удовлетворяет оценке
Ly =
M
, M, α > 0,
εα
то при некоторых дополнительных предположениях можно доказать
аналог теоремы 12.3 для системы (12.37) (см. Ухалов [90, 91]).
∥L−1 ∥ ≤
12.6. Поддержание вращательных режимов
маятника с колеблющейся точкой
подвеса
В качестве применения теоремы 12.2 рассмотрим задачу о стационарных вращениях физического маятника, точка подвеса которого колеблется вдоль вертикальной оси. Оказывается, что маятник
может синхронно вращаться с угловой скоростью ω (ω — частота гармонических вибраций точки подвеса), затрачивая работу на
преодоление сопротивлений, если только последние не превзойдут
определенной величины.
Эта задача рассматривалась в работах [11, 12, 18–20, 125].
Мы рассматриваем эту задачу в предположении, что точка подвеса движется под действием квазипериодической силы.
Приведение задачи к стандартной форме
Как уже известно, уравнение движения маятника в среде с затуханием, пропорциональным скорости, точка подвеса которого движется вдоль вертикальной оси, имеет вид
dθ
d2 θ
ζ(t)
2
+
λ
+
ω
sin θ = 0,
sin
θ
+
0
dt2
dt
l
(12.39)
где θ — угол отклонения маятника от вертикали, λ — коэффициg
ент затухания, l — длина маятника, ω02 = , g — ускорение силы
l
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
260
ГЛАВА 12. Высшие приближения метода усреднения
d2 ξ
тяжести, ζ(t) = 2 , а ξ(t) — закон движения точки подвеса. Мы
dt
рассмотрим случай, когда закон движения точки подвеса — сумма
двух гармонических функций:
ξ(t) = α1 cos ν1 t + α2 cos ν2 t.
Введем в уравнение движения маятника малый параметр. Будем считать, что амплитуды α1 , α2 достаточно малы, а частоты ν1 , ν2 достаточно велики в следующем смысле. Существует малый положительный параметр ε такой, что
ν1 =
ω1
,
ε
ν2 =
ω2
,
ε
α1 = εa1 ,
α2 = εa2 ,
а ω1 , ω2 , a1 , a2 являются величинами порядка O(1) относительно ε.
Нас будет интересовать вопрос о существовании режимов, близ1
ких к быстрому равномерному вращению θ = ωt + c, где ω = ,
ε
c = const. В уравнении (12.39) сделаем замены θ = ωt + ψ, τ = ωt.
Приходим к уравнению
d2 ψ λ dψ λ ω02
ζ(τ )
+
+
+
sin(τ
+
ψ)
+
sin(τ + ψ) = 0.
dτ 2 ω dτ
ω ω2
lω 2
Учитывая формулы, выражающие α1 , α2 , ν1 , ν2 через a1 , a2 , ω1 , ω2 ,
ε, получаем
d2 ψ
dψ
+
ελ
+ ελ + ε2 ω02 sin(τ + ψ) + εg(τ ) sin(τ + ψ) = 0, (12.40)
2
dτ
dτ
где
]
1[
2
2
g(τ ) = − a1 ω1 cos ω1 τ + a2 ω2 cos ω2 τ .
l
От скалярного уравнения (12.40) перейдем к системе, введя новую
переменную φ по формуле
dψ √
= εφ.
dτ
√
Ради удобства положим µ = ε. Тогда получим систему
dψ
= µφ,
dτ
dφ
= −µλ − µg(τ ) sin(τ + ψ) − µ2 λφ − µ3 ω02 sin(τ + ψ).
dτ
(12.41)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.6. Поддержание вращательных режимов маятника . . .
261
Исследование системы (12.41)
Согласно методу Боголюбова делаем замену переменных
ψ = ξ + µu1 (τ, ξ, η) + µ2 u2 (τ, ξ, η),
φ = η + µv1 (τ, ξ, η) + µ2 v2 (τ, ξ, η),
которая преобразует систему (12.41) в систему
dξ
= µA1 (ξ, η) + µ2 A2 (ξ, η) + µ3 A3 (τ, ξ, η, ε)
dτ
dη
= µB1 (ξ, η) + µ2 B2 (ξ, η) + µ3 B3 (τ, ξ, η, ε).
dτ
Для отыскания функций Ai (ξ, η), Bi (ξ, η), ui (τ, ξ, η), vi (τ, ξ, η) (i = 1, 2)
получим следующую систему уравнений:
∂u1
= η, B1 +
∂τ
∂v1
∂v1
B2 +
A1 +
B1 +
∂ξ
∂η
A1 +
∂v1
∂u2
= −λ − g(τ ) sin(τ + ξ), A2 +
= v1 ,
∂τ
∂τ
∂v2
= −λη − g(τ )u1 (τ, ξ, η) cos(τ + ξ).
∂τ
(12.42)
Из системы (12.42) получаем
A1 = η, u1 = 0, A2 = 0,
B1 = −λ − ⟨g(τ ) sin(τ + ξ)⟩,
B2 = −λη.
(12.43)
Напомним, что ⟨g(τ ) sin(τ + ξ)⟩ — среднее значение пп функции
g(τ ) sin(τ + ξ). При ω1 = 1 усредненные уравнения первого приближения имеют вид
dξ
= µη,
dτ
dη
a1
= −µλ + µ sin ξ.
dτ
2l
(12.44)
При ω2 = 1 они выглядят так:
dξ
= µη,
dτ
dη
a2
= −µλ + µ sin ξ.
dτ
2l
(12.45)
Стационарные решения определяются из уравнений
η0i = 0,
sin ξ0i =
2λl
,
ai
i = 1, 2.
(12.46)
Решение второго из уравнений существует при выполнении неравенства
2λl
< 1, i = 1, 2.
(12.47)
ai
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
262
ГЛАВА 12. Высшие приближения метода усреднения
При условии (12.47) получаем два решения
π
π
1
2
0 < ξ0i
< ,
< ξ0i
< π.
2
2
1
Линеаризованная на стационарном решении (ξ0i
) (i = 1, 2) матрица
имеет вид
(
)
0
1
ai
A0 =
.
1
cos ξ0i
0
2l
1
Для ξ0i одно собственное значение матрицы A0 положительно, а другое — отрицательно. Из теорем 9.1 и 9.3 вытекает, что при достаточно малых ε уравнение (12.40) имеет решение
√
1
ψi (τ ) = ξ01
+ εfi (τ, ε),
(12.48)
где fi (τ, ε) — пп функция τ , причем это решение неустойчиво. Для
2
стационарного решения ξ0i
собственные значения матрицы A0 — чисто мнимые. Поэтому в этом случае необходимо исследовать уравнения высших приближений. Из формул (12.43) следует, что уравнения
второго приближения при ωi = 1 (i = 1, 2) имеют вид
dξ
dη
ai
= µη,
= −µλ + µ sin ξ − µ2 λη, i = 1, 2.
(12.49)
dτ
dτ
2l
У уравнения (12.49) те же стационарные решения, что и у (12.44),
2
(12.45). У линеаризованной на ξ0i
матрицы
)
(
0
1
ai
A0 + µA1 =
2
cos ξ0i
−µλ
2l
оба собственных значения имеют отрицательные вещественные части. Легко видеть, что условия теоремы 12.2 выполнены. Чтобы
сформулировать полученный результат, заметим, что неравенство
(12.47) можно записать в виде
αi νi
, i = 1, 2.
(12.50)
λ<
2l
При выполнении неравенства (12.50) усредненные уравнения имеют
1
2
1
стационарные решения ξ0i
, ξ0i
, причем режим ξ0i
— неустойчивый, а
2
режим ξ0i — асимптотически устойчивый.
Теорема 12.4. Пусть справедливы неравенства (12.50). Тогда уравнение (12.40) при достаточно малых ε имеет четыре решения
вида
√
j
ψij = ξ0i
+ εfij (τ, ε), i = 1, 2; j = 1, 2,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.6. Поддержание вращательных режимов маятника . . .
263
где fij (τ, ε) — пп функции. Решения ψi1 , (i = 1, 2) — неустойчивы,
а решения ψi2 (i = 1, 2) — асимптотически устойчивы.
Следовательно, уравнение (12.41) имеет четыре решения
θij
= νi t +
j
ξ0i
+
√
εfij
(t
ε
)
,ε
i = 1, 2, j = 1, 2.
(12.51)
Решения вида (12.51) назовем квазистационарными вращательными
режимами. Будем говорить, что квазистационарный вращательный
режим устойчив (неустойчив), если соответствующим свойством обладает решение ψij .
Аналогично предыдущему можно показать, что существуют четыре квазистационарных вращательных режима при вращении маятника в противоположную сторону (в формулах (12.51) νi нужно
заменить на −νi ).
Напомним еще (см. [19]), что механическая интерпретация неравенства (12.50) — мощность, расходуемая на преодоление сил сопротивления вращению маятника с угловой скоростью νi , не должна
ai
достигать предельного значения I νi2 , где I — момент инерции ма2l
ятника.
Перейдем к исследованию вопроса о существовании субротационных квазистационарных вращательных режимов, т.е. режимов с
mν1 + sν2
, где m, s, r — целые
частотой равномерного вращения ω =
r
числа. Будем дополнительно предполагать, что коэффициент затухания λ имеет порядок O(ε), именно
λ = εγ,
γ = O(1).
(12.52)
Для нахождения субротационных режимов нужно построить усредненные уравнения четвертого приближения. Теперь мы должны сделать замену
ψ = ξ + µu1 (τ, ξ, η) + µ2 u2 (τ, ξ, η) + µ3 u3 (τ, ξ, η) + µ4 u4 (τ, ξ, η),
φ = η + µv1 (τ, ξ, η) + µ2 v2 (τ, ξ, η) + µ3 v3 (τ, ξ, η) + µ4 v4 2(τ, ξ, η),
чтобы получить усредненные уравнения
dξ
= µA1 (ξ, η) + µ2 A2 (ξ, η) + µ3 A3 (ξ, η) + µ4 A4 (ξ, η),
dτ
dη
= µB1 (ξ, η) + µ2 B2 (ξ, η) + µ3 B3 (ξ, η) + µ4 B4 (ξ, η).
dτ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
264
ГЛАВА 12. Высшие приближения метода усреднения
Для этого случая формулы, определяющие коэффициенты Ai , Bi
(i = 1, 2, 3, 4), имеют вид
A1 = η, Ai = 0 (i = 2, 3, 4), B1 = −⟨g(τ ) sin(τ + ξ)⟩, B2 = 0,
B3 = −⟨g(τ )u2 (τ, ξ, η) cos(τ + ξ)⟩ − ω02 ⟨sin(τ + ξ)⟩ − γ,
B4 = −γη − ⟨g(τ )u3 (τ, ξ, η) cos(τ + ξ)⟩.
Отметим сначала, что из равенства (12.52) следует выполнение неравенства (12.47) при малых ε. Поэтому существует четыре квазистационарных вращательных режима с частотами ν1 , ν2 , причем все режимы неустойчивы, так как соответствующие стационарные режимы
удовлетворяют неравенствам
π
j
0 < ξ0i
<
(i, j = 1, 2).
2
̸ 1 (i = 1, 2). Тогда B1 = 0. Если выполняется одно
Пусть теперь ωi =
из соотношений ω1 − ω2 = 2 или ω1 + ω2 = 2, то
a1 a2 ω12 ω22
B3 = −γ + 2
sin 2ξ,
4l (1 − ω1 )2
B4 = −γη.
Усредненные уравнения четвертого приближения имеют вид
(
)
2 2
a
a
ω
ω
1
2
1 2
ξ ′ = µη, η ′ = −µ3 γ − 2
sin 2ξ − µ4 γη.
(12.53)
2
4l (1 − ω1 )
Положим η = µz. Тогда систему (12.53) можно записать в виде
(
)
2 2
a
a
ω
ω
1
2
1
2
ξ ′ = εz, z ′ = ε γ − 2
sin 2ξ − ε2 γz,
(12.54)
4l (1 − ω1 )2
т.е. имеет такой же вид, как и система (12.49). Таким образом, полная система будет отличаться от системы (12.49) членами порядка
o(ε). Можно воспользоваться теоремой 12.2. Получаем условия суν1 − ν2
(учитывая
ществования стационарных режимов с частотой
2
формулы, определяющие a1 , a2 , ω1 , ω2 , λ через α1 , α2 , ν1 , ν2 , γ,
ω = ε−1 ) в виде неравенства
λl2 (ν1 − ν2 )(ν1 + ν2 )2
<1
2α1 α2 ν12 ν22
и с частотой
(12.55)
ν1 + ν2
в виде неравенства
2
λl2 (ν1 − ν2 )2 (ν1 + ν2 )
< 1.
2α1 α2 ν12 ν22
(12.56)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.6. Поддержание вращательных режимов маятника . . .
265
При выполнении неравенств (12.55), (12.56) усредненные уравнения
имеют четыре стационарных решения
0 < ξ1j <
π π
π
5π 5π
3π
, < ξ2j < , π < ξ3j <
,
< ξ4j <
,
4 4
2
4 4
2
j = 1, 2,
из которых первое и третье неустойчивы, а второе и четвертое асимптотически устойчивы.
Применяя теорему 12.2, получим, что у уравнения (12.40) при выполнении неравенства (12.55) (легко видеть, что неравенство (12.56)
следует из неравенства (12.55)) для достаточно малых ε существует
ν1 − ν2
четыре квазистационарных вращательных режима с частотой
2
и четыре квазистационарных вращательных режима с частотой
ν1 + ν2
. Из этих восьми режимов четыре асимптотически устойчивы
2
и четыре неустойчивы. При вращении маятника в противоположную
сторону существует еще восемь режимов того же типа.
Для существования квазистационарных вращательных режимов
других типов необходимы дополнительные предположения о малости
коэффициента затухания относительно ε. Опишем кратко случай,
когда
λ = ε2 γ, γ = O(1).
При этом условии строим усредненные уравнения шестого приближения и получаем условия существования квазистационарных враν1
ν2
щательных режимов с частотами
и , благодаря наличию силы
2
2
тяжести. Именно, при ωi = 2 (i = 1, 2) усредненные уравнения имеют
вид
(
)
g
5
2
ξ˙ = µη, η̇ = µ −γ + 2 ai ωi sin 2ξ − µ6 γη.
4l
Задача существования субротационных режимов в случае гармонических вибраций подвеса исследовалась в работе [20]. Однако в
этой работе была допущена ошибка в вычислениях.
Рассматриваемая задача более детально исследовалась в статьях
[24, 27].
Упражнение 12.1. Исследовать вопрос о существовании субротациν1 ν2
и
у уравнения
онных квазивращательных режимов с частотами
2
2
(12.39).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
266
ГЛАВА 12. Высшие приближения метода усреднения
12.7. Устойчивость в критическом случае
пары чисто мнимых корней
для двумерной автономной системы
Рассмотрим двумерную автономную систему
dx
= P (x, y) = −by + φ(x, y),
dt
dy
= Q(x, y) = bx + ψ(x, y).
dt
(12.57)
Здесь b — вещественное число, а φ(x, y) и ψ(x, y) — ряды по x и y,
сходящиеся в некоторой окрестности начала координат, начинающиеся с членов не ниже второй степени. Поэтому мы можем написать
φ(x, y) = P2 (x, y) + P3 (x, y) + . . . ,
ψ(x, y) = Q2 (x, y) + Q3 (x, y) + . . . ,
где Pi (x, y), Qi (x, y) (i = 2, 3, . . .) — однородные многочлены относительно x, y степени i. Система (12.57) имеет нулевое решение.
Для исследования вопроса об устойчивости этого решения нельзя
использовать теоремы об устойчивости по первому приближению,
так как матрица линейной системы
dx
= −by,
dt
dy
= bx
dt
имеет чисто мнимые собственные значения ±ib.
Такой случай называется критическим случаем устойчивости. Задача, которую мы рассматриваем, была решена Ляпуновым (см. Ляпунов [55]).
Мы используем метод усреднения для изучения этой задачи.
В системе (12.57) сделаем замену x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, т.е.
перейдем к полярным координатам. Получим систему
dρ
= φ(ρ cos θ, ρ sin θ) cos θ + ψ(ρ cos θ, ρ sin θ) sin θ,
dt
dθ
φ(ρ cos θ, ρ sin θ)ρ sin θ − ψ(ρ cos θ, ρ sin θ)ρ cos θ
=b−
.
dt
ρ2
(12.58)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.7. Устойчивость в критическом случае . . .
267
В правых частях полученной системы мы сокращаем на ρ при ρ ̸= 0,
а затем доопределяем по непрерывности при ρ = 0. Правая часть
первого уравнения будет иметь вид
φ(ρ cos θ, ρ sin θ) cos θ + ψ(ρ cos θ, ρ sin θ) sin θ =
= ρ2 R2 (θ) + ρ3 R3 (θ) + . . . + ρk Rk (θ) + . . . ,
где
[
]
Rk (θ) = Pk (cos θ, sin θ) cos θ + Qk (cos θ, sin θ) sin θ ,
k = 2, 3, . . . .
Отметим, что Rk (θ) — полином относительно sin θ, cos θ. Каждый
одночлен этого полинома имеет вид
cpq sinp (θ) cosq (θ),
(12.59)
где cpq — вещественное число, p + q = k + 1.
Правая часть второго уравнения выглядит следующим образом:
b−
φ(ρ cos θ, ρ sin θ)ρ sin θ − ψ(ρ cos θ, ρ sin θ)ρ cos θ
=
ρ2
= b − ρS2 (θ) − ρ2 S3 (θ) − . . . − ρk Sk (θ) − . . . ,
где
[
]
Sk (θ) = Pk (cos θ, sin θ) sin θ − Qk (cos θ, sin θ) cos θ ,
k = 2, 3, . . .
Очевидно, Sk (θ) является полиномом относительно sin θ, cos θ, одночлены которого имеют вид (12.59).
Так как нас интересует поведение решений системы (12.57) в
окрестности нулевого состояния равновесия, то введем малый параметр ε > 0, полагая ρ = εr. Тогда получим систему
dr
= εr2 R2 (θ) + ε2 r3 R3 (θ) + . . . + εk−1 rk Rk (θ) + . . . ,
dt
dθ
= b − εrS2 (θ) − ε2 r2 S3 (θ) − . . . − εk−1 rk−1 Sk (θ) − . . .
dt
(12.60)
Разделим первое уравнение системы (12.60) на второе и разложим
правую часть по степеням ε. Получим уравнение первого порядка в
стандартной форме
dr
= εr2 A1 (θ) + ε2 r3 A2 (θ) + O(ε3 ),
dθ
(12.61)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
268
ГЛАВА 12. Высшие приближения метода усреднения
где
1
A1 (θ) = R2 (θ),
b
1
1
A2 (θ) = R3 (θ) + 2 R2 (θ)S2 (θ).
b
b
(12.62)
Правая часть уравнения (12.61) — 2π-периодическая функция переменной θ.
Прежде, чем использовать метод усреднения, отметим следующее простое утверждение, доказательство которого предоставляем
читателю.
Лемма 12.1. Среднее значение периодической функции sinp θ cosq θ
равно нулю, если p + q — нечетное число.
Найдем усредненное уравнение первого приближения для уравнения (12.61). Для этого нужно усреднить A1 (θ). В силу формулы, определяющей A1 (θ), и леммы 12.1 следует, что среднее значение A1 (θ) равно нулю. Следовательно, нужно построить усредненное
уравнение второго приближения.
Обозначим через L1 среднее значение функции A2 (θ), т.е.
1
L1 =
2π
∫2π
A2 (θ)dθ.
0
Число L1 называется первой ляпуновской величиной.
Сделаем в уравнении (12.61) стандартную замену метода усреднения
r = y + εu1 (θ)y 2 + ε2 u2 (θ)y 3 .
Тогда получим уравнение
(
)
du1 2
du2 3
2
2 dy
1 + 2εu1 (θ)y + 3ε u2 (θ)y
+ε
y + ε2
y =
dθ
dθ
dθ
(
)
= εA1 (θ)y 2 + ε2 2u1 (θ)A1 (θ) + A2 (θ) y 3 + O(ε3 ).
Положим
du1
= A1 (θ),
dθ
du2
= A2 (θ) + 2A1 (θ)u1 (θ) − L1 .
dθ
После этой замены уравнение (12.61) принимает вид (нужно учесть,
что среднее значение функции A1 (θ)u1 (θ) равно нулю, так как она
является производной периодической функции)
dy
= ε2 L1 y 3 + O(ε3 ).
dθ
(12.63)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.7. Устойчивость в критическом случае . . .
269
Следовательно, усредненное уравнение второго приближения имеет
вид
dr̄
= ε2 L1 r̄3 .
(12.64)
dθ
Исследовать устойчивость нулевого решения уравнения (12.64) можно, исходя непосредственно из того факта, что уравнение интегрируемо. Нам удобно получить этот результат, используя функцию Ляпунова (cм. Приложение Б или Малкин [59], Красовский [49]). В
1
качестве функции Ляпунова возьмем функцию V (r̄) = L1 r̄2 . Про2
изводная V (r̄) в силу уравнения (12.64) имеет вид
V̇ =
dV
= ε2 L21 r̄4 .
dθ
Обе функции V и V̇ знакоопределенны. Если L1 > 0, то функции V
и V̇ будут одного знака и, следовательно, в силу теоремы Четаева
решение r = 0 неустойчиво. При L1 < 0 функции V и V̇ имеют
противоположные знаки и, следовательно, в силу теоремы Ляпунова
нулевое решение уравнения (12.59) асимптотически устойчиво.
Обращаясь к уравнению (12.63), получаем, что, если для этого
уравнения взять в качестве функции Ляпунова функцию
1
V (r) = L1 r2 , то при достаточно малых ε функции V и V̇ имеют
2
одинаковые знаки при L1 > 0 и разные знаки при L1 < 0 . Следовательно, нулевое решение уравнения (12.63) при достаточно малых ε
асимптотически устойчиво, если L1 < 0, и неустойчиво, если L1 > 0.
Это утверждение будет справедливо и для уравнения (12.61) и, следовательно, для системы (12.57). Сформулируем этот результат в
виде теоремы.
Теорема 12.5. Если первая ляпуновская величина L1 < 0, то нулевое решение системы (12.57) асимптотически устойчиво. Если
L1 > 0, то нулевое решение системы (12.57) неустойчиво.
Если L1 = 0, то нужно вычислить вторую ляпуновскую величину L2 . Мы не будем останавливаться на вычислении L2 . Отметим
только, что усредненное уравнение в этом случае будет иметь вид
dr̄
= ε4 L2 r̄5 .
dθ
(12.65)
Как и в случае L1 ̸= 0, получаем, что при L2 < 0 нулевое решение
уравнения (12.65) асимптотически устойчиво, а при L2 > 0 неустойчиво. Это же утверждение справедливо и для системы (12.57), так
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
270
ГЛАВА 12. Высшие приближения метода усреднения
как исходная система после усредняющей замены примет вид
dy
= ε4 L2 y 5 + O(ε5 ).
dθ
Если L2 = 0, то нужно вычислить третью ляпуновскую величину L3 .
В общем случае, если
L1 = L2 = . . . = Lk−1 = 0,
то усредненное уравнение имеет вид
dr̄
= ε2k Lk r̄2k+1 .
dθ
Этот факт в несколько иной форме был отмечен Ляпуновым (Ляпунов [55]). В качестве примера рассмотрим уравнение
ẍ + x = βx2 + γ ẋ3 + δxẋ2 ,
(12.66)
где β, γ, δ — некоторые постоянные. Выполняя замену
x = r cos θ,
ẋ = −r sin θ,
получим систему
dr
= −F (r, θ) sin θ,
dt
dθ
= 1 − r−1 F (r, θ) cos θ,
dt
где
F (r, θ) = βr2 cos2 θ − γr3 sin3 θ + δr3 cos θ sin2 θ.
Найдем A2 (θ). В силу формулы (12.62) функция A2 (θ) имеет вид
A2 (θ) = γ sin4 θ − δ cos θ sin3 θ − β 2 cos5 θ sin θ + βδ cos4 θ sin2 θ−
−βδ cos4 θ sin2 θ − δ 2 sin3 θ cos3 θ.
3
Вычисляя среднее значение A2 (θ), получим L1 = γ. Следовательно,
8
если γ < 0, то нулевое решение уравнения (12.66) асимптотически
устойчиво, если же γ > 0, то нулевое решение уравнения (12.66)
неустойчиво.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.8. Бифуркация рождения цикла . . .
271
12.8. Бифуркация рождения цикла
(бифуркация Андронова–Хопфа)
Отметим сразу, что имена Андронова и Хопфа связаны с бифуркацией рождения цикла следующим образом. В двумерном случае
эта бифуркация была обнаружена Андроновым в 1931 году. Хопф
исследовал многомерный случай в 1942 году (см. Марсден, МакКракен [63] по поводу истории вопроса).
Рассмотрим двумерную автономную систему следующего вида:
dz
= A(α)z + F (z, α),
dt
z ∈ R2 ,
(12.67)
где α ∈ (−α0 , α0 ) — вещественный параметр, A(α) — квадратная матрица порядка 2, z = (x, y), F (0, α) = 0 и компоненты вектор-функции
F (z, α) представляют собой ряды по степеням x, y, сходящиеся в
некоторой окрестности начала координат, начинающиеся с членов не
ниже второй степени. Будем также предполагать, что правые части
системы (12.67) гладко зависят от параметра α.
Собственные значения матрицы A(α) имеют вид
λ1,2 (α) = α ± iω(α),
ω(0) ̸= 0.
(12.68)
При α = 0 собственные значения матрицы A(α) являются чисто мнимыми. Будем предполагать, что матрица A(α) имеет канонический
вид, т.е.
(
)
α −ω(α)
A(α) =
.
ω(α)
α
Тогда система (12.67) принимает вид
ẋ = αx − ω(α)y +
ẏ = ω(α)x + αy +
∞
∑
j=2
∞
∑
Aj (x, y, α),
(12.69)
Bj (x, y, α).
j=2
Здесь Aj (x, y, α), Bj (x, y, α) — однородные многочлены порядка j по
переменным x, y.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
272
ГЛАВА 12. Высшие приближения метода усреднения
При α = 0 система (12.69) превращается в систему
ẋ = −ω(0)y +
ẏ = ω(0)x +
∞
∑
Aj (x, y, 0),
j=2
∞
∑
(12.70)
Bj (x, y, 0).
j=2
В п. 12.7. для системы (12.70) исследовался вопрос об устойчивости нулевого решения. Определяющую роль при этом представляют
ляпуновские величины Li , i = 1, 2, . . . В частности, если L1 < 0, то
нулевое решение системы (12.70) асимптотически устойчиво. Если
же L1 > 0, то нулевое решение системы (12.70) неустойчиво.
Оказывается, что ляпуновские величины играют и решающую
роль в изучении бифуркации Андронова – Хопфа.
Сделаем в системе (12.69) замену переменных x = r cos θ,
y = r sin θ, т.е. перейдем к полярным координатам. Получим
ṙ = αr + r2 C3 (θ, α) + r3 C4 (θ, α) + . . . ,
θ̇ = ω(α) + rD3 (θ, α) + r2 D4 (θ, α) + . . . ,
(12.71)
где
Cj (θ, α) = Aj−1 (cos θ, sin θ, α) cos θ + Bj−1 (cos θ, sin θ, α) sin θ,
Dj (θ, α) = Bj−1 (cos θ, sin θ, α) cos θ − Aj−1 (cos θ, sin θ, α) sin θ.
Заметим, что Cj и Dj — однородные полиномы степени j по cos θ,
sin θ.
Наша задача найти при α → 0 периодические решения системы
(12.71), для которых r → 0. Введем малый параметр ε > 0, положив
r = εr1 ,
α = εα1 ,
где новая переменная r1 рассматривается в окрестности некоторого
числа r0 . Это число будет выбрано позднее. Также позднее будет
выбрано α1 как функция ε. Система (12.71) запишется в виде
[
]
[
]
ṙ1 = ε α1 r1 + r12 C3 (θ) + ε2 r13 C4 (θ) + α1 r12 C31 (θ) + O(ε3 ),
[
]
(12.72)
θ̇ = ω(0) + ε α1 ω ′ (0) + r1 D3 (θ) + O(ε2 ),
где Ci (θ) = Ci (θ, 0), i = 3, 4, C31 (θ) = (∂/∂α)C3 (θ, 0), D3 (θ) = D3 (θ, 0).
Разделим первое уравнение системы (12.72) на второе. Получим
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.8. Бифуркация рождения цикла . . .
273
уравнение первого порядка в стандартной форме с 2π-периодическими коэффициентами:
[
]
[
]
ε α1 r1 + r12 C3 (θ) + ε2 r13 C4 (θ) + α1 r12 C31 (θ) + O(ε3 )
dr1
[
]
=
. (12.73)
dθ
ω(0) + ε α1 ω ′ (0) + r1 D3 (θ) + O(ε2 )
Чтобы найти периодическое решение уравнения (12.73), положим
α1 = ε. Тогда уравнение (12.73) примет вид
[
]
εr12 C3 (θ) + ε2 r1 + r13 C4 (θ) + O(ε3 )
dr1
=
.
(12.74)
dθ
ω(0) + O(ε)
Числитель правой части уравнения (12.74) отличается от правой части уравнения (12.61) п. 12.7. только дополнительным слагаемым
ε2 r1 . Поэтому, проводя вычисления, как в п. 12.7., после замены
r1 = y + εu1 (θ)y 2 + ε2 u2 (θ)y 3
получим уравнение
[
]
dy
= ε2 ω(0)−1 y + y 3 L1 + O(ε3 ),
dθ
где L1 — первая ляпуновская величина, определяемая формулой
1
L1 =
2π
∫2π
[
]
C4 (θ, 0) − ω −1 (0)C3 (θ, 0)D3 (θ, 0) dθ.
(12.75)
0
Таким образом, усредненное уравнение второго приближения имеет
вид
[
]
dȳ
= ε2 ω(0)−1 ȳ + ȳ 3 L1 .
(12.76)
dθ
Если L1 < 0, то уравнение (12.76) имеет два неотрицательных стационарных решения ȳ1 = 0 и ȳ2 = (−L1 )−1/2 . Решение ȳ1 неустойчиво,
а решение ȳ2 асимптотически устойчиво. Следовательно, в силу теоремы 12.1 состоянию равновесия ȳ2 соответствует 2π-периодическое
решение r(θ, ε) уравнения (12.74), которое асимптотически устойчиво. Перейдем снова к переменной t и найдем x(t, ε) и y(t, ε) соответствующие 2π-периодической функции r(θ, ε). Полученные таким
образом функции будут тоже периодическими, но период будет зависеть от параметра ε и начальных условий. Покажем это. С этой
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
274
ГЛАВА 12. Высшие приближения метода усреднения
целью обратимся ко второму уравнению системы (12.72), определяющему θ как функцию t. Предположим, что t и θ одновременно
обращаются в нуль. Тогда
[
]
ω(0) t(θ + 2π) − t(θ) =
θ+2π
∫
dθ
.
1 + O(ε)
θ
Так как r(θ, ε) — 2π-периодическая функция, то производная интеграла равна нулю. Поэтому
ω(0)[t(θ + 2π) − t(θ)] = T (ε).
(12.77)
Величина T (ε) зависит только от ε и начального условия. Соотношение (12.77) показывает, что при изменении t на величину T (ε)
величина θ изменяется на 2π, и, следовательно, функции x(t, ε) и
y(t, ε) не изменяются. Поэтому x(t, ε) и y(t, ε) периодические функции с периодом T (ε), (T (0) = 2π/ω(0)). Мы выбрали θ(0) = 0. Отсюда
следует, что x(0, ε) = r(0, ε), y(0) = 0.
Таким образом, доказано существование предельного цикла в малой окрестности нулевого состояния равновесия системы (12.67), если L1 < 0.
Если L1 > 0, мы получим существование цикла, положив α = −ε.
В этом случае усредненное уравнение второго приближения имеет
вид
[
]
dȳ
= ε2 ω(0)−1 −ȳ + ȳ 3 L1 .
dθ
Стационарное решение ȳ1 = 0 асимптотически устойчиво, а стационарное решение ȳ2 = L−1/2 неустойчиво.
Осталось показать, что в достаточно малой окрестности нулевого состояния равновесия нет других периодических решений, кроме
тех, которые получаются указанным выше способом. Это доказательство содержится в статье Chow и Mallet-Paret [120], где рассмотрен
также многомерный случай. Исследование устойчивости предельного
цикла можно провести различными методами (см. Хэссард, Kaзаринов, Вэн [96]). В частности, можно использовать метод, рассмотренный в п. 10.2. Отметим только, что при L1 < 0 цикл устойчив, а при
L1 > 0 неустойчив.
Говорят, что в системе (12.67) при изменении параметра α происходит бифуркация цикла. Если первая ляпуновская величина L1
отрицательна, то при изменении параметра α от отрицательных значений к положительным нулевое состояние равновесия теряет устой-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.8. Бифуркация рождения цикла . . .
275
чивость и рождается устойчивый предельный цикл. Если первая ляпуновская величина L1 положительна, то при изменении параметра
α от положительных значений к отрицательным нулевое состояние
равновесия становится устойчивым и рождается неустойчивый предельный цикл.
Остановимся на вычислении амплитуды
√ предельного цикла. Пусть
L1 < 0. В силу выбора параметров ε = α. Усредненное уравнение
(12.76) запишем в виде
[
]
dȳ
= αω(0)−1 ȳ + ȳ 3 L1 .
dθ
Тогда из теоремы 9.2’ следует, что
y = (−L1 )−1/2 + O(α).
Следовательно,
(
r=
Постоянную
α
−L1
) 12
3
+ O(α 2 ).
) 21
α
A=
−L1
называют амплитудой предельного цикла. Период колебаний определяется формулой
]
1
2π [
2
T (α) =
1 + O(α ) .
ω(0)
Мы предположили, ради простоты, что собственные значения
матрицы A(α) представимы в виде (12.68). В общем случае собственные значения матрицы A(α) имеют вид
(
λ1,2 (α) = f (α) ± iω(α),
где f (0) = 0 и f ′ (0) = ν ̸= 0. Усредненное уравнение (12.76) тогда
принимает вид
]
dȳ [
= f (εα1 )ȳ + ε2 ȳ 3 L1 ω(0)−1 =
[
]dθ −1
[
]
2 3
= εα1 ν ȳ + ε ȳ L1 ω(0) = ε2 ω(0)−1 ±ν ȳ + ȳ 3 L1 , ± = − sgn (νL1 ),
где α1 = − sgn(νL1 )ε. Амплитуда цикла определяется формулой
(
)1
να 2
A= −
.
L1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
276
ГЛАВА 12. Высшие приближения метода усреднения
В качестве примера рассмотрим уравнение
[
]
ẍ − 2αẋ + x = (1 − α) βx2 + γ ẋ3 + δxẋ2 ,
(12.78)
где α — вещественный параметр, а β, γ, δ — некоторые постоянные. При α = 0 мы получаем уравнение (12.66) из предыдущего
параграфа. Как было там, показано первая ляпуновская величина L1
отрицательна, если γ < 0, и положительна, если γ > 0. Поэтому при
изменении параметра α от отрицательных значений к положительным при γ < 0 в рассматриваемом уравнении происходит бифуркация
устойчивого предельного цикла. Если же γ > 0, то при изменении
параметра α от положительных значений к отрицательным рождается неустойчивый предельный цикл.
В качестве второго примера рассмотрим автономное уравнение
Джозефсона (Sanders [169]).
β ψ̈ + (1 + γ cos ψ)ψ̇ + sin ψ = α,
(12.79)
где β > 0, γ, α — вещественные параметры. Будем предполагать,
что 0 < α < 1. Уравнение (12.79) имеет два стационарных решения
sin ψ1,2 = α, причем 0 < ψ1 < π/2, π/2 < ψ2 < π. Линеаризуя уравнение (12.79) на состояниях равновесия, получаем линейное уравнение
β ẅ + (1 + γ cos ψ1,2 )ẇ + w cos ψ1,2 = 0.
Очевидно, стационарное решение ψ2 всегда неустойчиво. Устойчивость стационарного решения ψ1 зависит от знака выражения
(1 + γ cos ψ1 ). При
1
γ∗ = −
(12.80)
cos ψ1
получим критический случай устойчивости (пара чисто мнимых корней).
Рассмотрим вопрос о бифуркации периодического решения при
прохождении параметра γ через критическое значение (12.80).
Вычислим первую ляпуновскую величину. Перейдем от уравнения (12.79) к системе уравнений
ψ̇ = −y,
ẏ =
]
1[
sin ψ − α + (1 + γ cos ψ)y .
β
(12.81)
Положим ψ = ψ1 + x и разложим правую часть системы (12.81)
по степеням x до членов третьего порядка и отбросим члены более
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.8. Бифуркация рождения цикла . . .
277
высокого порядка. Положим еще γ = γ ∗ . Получим систему
ẋ = −y,
] (12.82)
1[
1 2
1 3
x2 y
∗
ẏ =
x cos ψ1 − x sin ψ1 − x cos ψ1 −
− γ xy sin ψ1 .
β
2
6
2
Введем обозначение
cos ψ1
β
и сделаем замену y = ωz. Тогда вместо системы (12.82) получим
систему
ω2 =
ẋ = −ωz,
x2 sin ψ1 x3 ω γ ∗ xz sin ψ1 x2 z
ż = ωx −
−
−
+
.
2βω
6
β
2β
(12.83)
В системе (12.83) перейдем к полярным координатам, положив
x = r cos θ, z = r sin θ. Получим систему
dr
r2 cos2 θ sin θ sin ψ1 γ ∗ r2 cos θ sin2 θ sin ψ1
=−
−
−
dt
2βω
β
r3 ω cos3 θ r3 cos2 θ sin2 θ
−
−
6
2β
3
dθ
r cos θ sin ψ1 γ ∗ r cos2 θ sin θ sin ψ1
=ω−
−
+ O(r2 ).
dt
2βω
β
Вычисляя L1 по формуле (12.75) получим
(γ ∗ )2
L1 = −
< 0.
16β
Следовательно, при переходе параметра γ через критическое значение γ ∗ состояние равновесия теряет устойчивость и рождается устойчивое периодическое решение.
Так как f ′ (γ ∗ ) = ν = cos ψ1 /2β, то амплитуда цикла равна
√
A = 2 2(1 + γ cos ψ1 ) cos3/2 ψ1 .
С помощью метода усреднения можно изучить достаточно широкий круг бифуркационных задач. Например, рассмотреть систему
уравнений
dz
= A(α)z + g(t, z, α),
dt
где матрица A(α) имеет такой же вид, что и в системе (12.67), а
g(t, z, α) почти периодическая по t равномерно относительно z, α и
g = O(|z|2 ).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 13
Устойчивость при
постоянно действующих
возмущениях
и усреднение на
неограниченном
интервале
В этой главе исследуется вопрос о близости нестационарных решений точных и усредненных уравнений на неограниченном временном интервале. По-видимому, первые теоремы такого типа были
доказаны в работах Banfi [108] и Cетна [84]. Здесь соответствующие
утверждения выводятся из специальных теорем об устойчивости при
постоянно действующих возмущениях (см. Бурд [21, 23, 26]).
13.1. Основные обозначения
и вспомогательные утверждения
Будем использовать следующие обозначения: |x| — норма элемента x ∈ Rn , I — интервал [0, ∞), Bx (K) = {x : x ∈ Rn , |x| ≤ K},
G = I × Bx (K). Рассмотрим вектор-функцию f (t, x), которая определена на G со значениями в Rn , ограничена по норме, непрерывна
по x равномерно относительно t и имеет не более конечного числа
разрывов первого рода по t на каждом конечном промежутке. Для
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13.1. Основные обозначения и вспомогательные утверждения
279
такой функции введем обозначение
∫t2
Sx (f ) = sup f (s, x)ds,
|t2 −t1 |≤1
x ∈ Bx (K).
t1
Лемма 13.1. Для f (t, x), определенной на G, справедливо неравенство
∫ t
∫t2
f (s, x(s))ds ≤ (T +1) sup f (s, x(s))ds, t, t1 , t2 ∈ [t0 , t0 +T ],
|t2 −t1 |≤1
t0
t1
где x(t) — определенная на [t0 , t0 + T ] функция со значениями в
Bx (K), а вектор-функция f (t, x(t)) интегрируема на [t0 , t0 + T ].
Доказательство. Лемма следует из очевидного неравенства
∫ t
t∫0 +1
t∫0 +2
f (s, x(s))ds + f (s, x(s))ds + . . . +
f (s, x(s))ds ≤ t0
∫t
+
t0 +[t−t0 ]
t0
t0 +1
∫t2
f (s, x(s))ds ≤ ([t − t0 ] + 1) sup f (s, x(s))ds,
|t2 −t1 |≤1
t1
где [t − t0 ] — целая часть t − t0 .
Лемма 13.2. Пусть вектор-функция f (t, x) определена на G и
непрерывна по x равномерно относительно t ∈ I. Пусть векторфункция x(t) непрерывна и ее значения принадлежат Bx (K). Тогда по любому η > 0 можно указать такое ε, что
∫t2
sup f (s, x(s))ds < η,
|t2 −t1 |≤1
(t1 , t2 ) ∈ [0, T ],
0 < t < ∞,
t1
если Sx (f ) < ε.
Доказательство. В силу условий леммы по каждому η > 0 можно
указать такое δ > 0, что |f (t, x1 ) − f (t, x2 )| < η/2 при |x1 − x2 | < δ.
Через x0 (t) обозначим кусочно-постоянную вектор-функцию со значениями в Bx (K), для которой |x(t) − x0 (t)| < δ, t ∈ [0, T ], причем в
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
280
ГЛАВА 13. Устойчивость . . . и усреднение . . .
каждом промежутке, длина которого не превышает единицы, функция x0 (t) принимает не более k различных значений, где число k
зависит только от δ. Пусть xj (j = 1, . . . , k) — значения x0 (t) в промежутке |t1 − t2 | ≤ 1. Положим ε = η/2k. Тогда
∫t2
∫t2
0
f (s, x(s))ds ≤ [f (s, x(s)) − f (s, x (s))]ds+
t1
t1
∫t2
∫τ2
k
η ∑
η
η
0
+ f (s, x (s))ds ≤ +
sup f (s, xj )ds ≤ + k = η.
2
2 2k
j=1 |τ2 −τ1 |≤1
t1
τ1
Последнее неравенство справедливо для любых t1 , t2 , удовлетворяющих неравенству |t2 − t1 | ≤ 1, что и доказывает лемму.
Введем еще вектор-функцию
∫∞
w(t, x) = −
e(t−s) f (s, x)ds,
t
где f (t, x) ∈ G и |f (t, x)| < M < ∞.
Лемма 13.3. По любому η > 0 можно указать такое ε, что
|w(t, x)| < η,
если Sx (f ) < ε.
Доказательство. В выражении
∫∞
w(t, x) = −
e(t−s) f (s, x)ds,
t
произведем замену s = t + τ . Получим
∫∞
w(t, x) = −
e−τ f (t + τ, x)dτ.
0
Последнее равенство можно записать в виде
 t+τ

∫∞
∫
d
w(t, x) = − e−τ  f (σ, x)dσ  .
dτ
0
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13.2. Теоремы об устойчивости . . .
281
Интегрируя по частям, получим
∫∞
w(t, x) = −
 t+τ

∫
e−τ  f (σ, x)dσ  dτ.
0
t
Теперь утверждение леммы следует из равенства

 t+τ
k+1
∫
∞ ∫
∑
w(t, x) = −
e−τ  f (σ, x)dσ  dτ.
k=0 k
t
13.2. Теоремы об устойчивости
при постоянно действующих
возмущениях
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в Rn
dx
= X(t, x) + R(t, x),
dt
(13.1)
где вектор-функции X(t, x) и R(t, x) определены на G и непрерывны
по t.
Наряду c уравнением (13.1) рассмотрим невозмущенную систему
дифференциальных уравнений
dy
= X(t, y).
dt
(13.2)
Предполагаем, что система (13.2) имеет решение ψ(t, t0 , ξ0 ), определенное при всех t ≥ t0 ≥ 0 (ψ(t0 , t0 , ξ0 ) = ξ0 ), которое вместе с его
некоторой ρ-окрестностью (ρ > 0) содержится в множестве G.
Сейчас мы будем использовать такие понятия, как равномерная асимптотическая устойчивость и равномерная асимптотическая
устойчивость по части переменных (см. Приложение Б, определения Б.4 и Б.6). Сделаем только следующее замечание.
Замечание 13.1. Отметим, что в дальнейшем фактически используется отличное от классического определение асимптотической устойчивости по части переменных. Именно, достаточно предполагать в
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
282
ГЛАВА 13. Устойчивость . . . и усреднение . . .
определении асимптотической устойчивости по части переменных
близость начальных условий не по всем координатам, а только по
части координат i = 1, . . . , k < n.
Теорема 13.1. Пусть вектор-функция X(t, x) ограничена на множестве G и удовлетворяет условию Липшица с некоторой постоянной L:
|X(t, x1 ) − X(t, x2 )| ≤ L|x1 − x2 |,
x1 , x2 ∈ Bx (K)
(13.3)
Пусть R(t, x) непрерывна по x равномерно относительно t ∈ I и
ограничена на множестве G. Пусть решение ψ(t, t0 , ξ0 ) системы
(13.2) равномерно асимптотически устойчиво. Тогда для любого
ε > 0 (0 < ε < ρ) можно указать такие числа η1 (ε), η2 (ε), что для
всех решений x(t, t0 , x0 ) ∈ Bx (K) (x(t0 , t0 , x0 ) = x0 ) системы (13.1),
определенных при t ≥ t0 , с начальными данными, удовлетворяющими неравенству
|x0 − ξ0 | < η1 (ε)
и для всех R(t, x), удовлетворяющих неравенству
S(R) < η2 (ε),
справедливо при всех t > t0 неравенство
|x(t, t0 , x0 ) − ψ(t, t0 , ξ0 )| < ε.
(13.4)
Доказательство. Пусть y(t, t0 , x0 ) — решение системы (13.2) с тем
же начальным условием, что и решение x(t, t0 , x0 ) системы (13.1).
Эти решения удовлетворяют интегральным уравнениям
∫t
y(t, t0 , x0 ) = x0 +
X(s, y(s, t0 , x0 ))ds,
t0
∫t [
]
x(t, t0 , x0 ) = x0 +
X(s, x(s, t0 , x0 )) + R(s, x(s, t0 , x0 )) ds.
t0
Отсюда получим неравенство
x(t, t0 , x0 ) − y(t, t0 , x0 ) ≤
∫t
t0
X(s, x(s, t0 , x0 )) − X(s, y(s, t0 , x0 ))ds+
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13.2. Теоремы об устойчивости . . .
283
∫ t
+ R(s, x(s, t0 , x0 ))ds.
t0
Используя условие (13.3) теоремы, приходим к неравенству
x(t, t0 , x0 ) − y(t, t0 , x0 ) ≤ L
∫t
x(s, t0 , x0 ) − y(s, t0 , x0 )ds + f (t),
t0
где
∫ t
f (t) = R(s, x(s, t0 , x0 ))ds.
t0
Из известного интегрального неравенства (см., например, [8]) получаем
∫t
|x(t, t0 , x0 ) − y(t, t0 , x0 )| ≤ f (t) + L eL(t−s) f (s)ds.
t0
Из леммы 13.1 следует, что при t0 ≤ t ≤ t0 + T
|x(t, t0 , x0 ) − y(t, t0 , x0 )| ≤
∫t2
(
)
LT
≤ (T + 1) 1 + LT e
sup R(s, x(s, t0 , x0 ))ds.
|t2 −t1 |≤1
(13.5)
t1
В силу равномерной асимптотической устойчивости решения
ψ(t, t0 , ξ0 ) уравнения (13.2) существуют числа δ < ε и T0 > 0 такие, что из неравенства |x0 − ξ0 | < δ следует
ε
|y(t, t0 , x0 ) − ψ(t, t0 , ξ0 )| < ,
2
t ≥ t0 ,
δ
|y(t0 + T0 , t0 , x0 ) − ψ(t0 + T0 , t0 , ξ0 )| < .
2
(13.6)
Из леммы 13.2 вытекает, что число η2 (ε) можно выбрать таким образом, чтобы выполнялось неравенство
δ
|x(t, t0 , x0 ) − y(t, t0 , x0 )| < ,
2
t0 ≤ t ≤ t0 + T.
Тогда
|x(t, t0 , x0 ) − ψ(t, t0 , ξ0 )| <
ε δ
+ < ε,
2 2
t0 ≤ t ≤ t0 + T.
(13.7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
284
ГЛАВА 13. Устойчивость . . . и усреднение . . .
Далее, из (13.6) и (13.7) (при T ≤ T0 ) получаем
|x(t0 + T, t0 , x0 ) − ψ(t0 + T, t0 , ξ0 )| < δ.
Таким образом, за промежуток времени [t0 , t0 + T ] решение x(t, t0 , x0 )
не выйдет за пределы ε-окрестности решения ψ(t, t0 , ξ0 ) и в момент
времени t = t0 + T будет лежать в δ-окрестности ψ(t, t0 , ξ0 ). Возьмем теперь момент времени t = t0 + T за начальный и проведем
аналогичные рассуждения. Убедимся, что решение x(t, t0 , x0 ) не выйдет за пределы ε-окрестности решения ψ(t, t0 , ξ0 ) при t0 + T ≤ t ≤
t0 +2T и, кроме того, x(t0 +2T, t0 , x0 ) лежит в δ-окрестности решения
ψ(t, t0 , ξ0 ). Продолжая далее аналогичные рассуждения, получим, что
|x(t, t0 , x0 ) − ψ(t, t0 , ξ0 )| < ε при t0 + (n − 1)T ≤ t ≤ t0 + nT и, кроме того, |x(t0 + nT, t0 , x0 ) − ψ(t0 + nT, t0 , ξ0 )| < δ, что и доказывает
теорему.
Отметим, что последняя часть доказательства теоремы повторяет
рассуждения леммы 6.3 из книги Е. Барбашина [8].
Замечание 13.2. При доказательстве теоремы 13.1 мы предполагали, что решение x(t, t0 , ξ0 ) определено при всех t ≥ t0 . Однако, если
выполнены условия локальной теоремы существования решений для
уравнения (13.1) и Sx (R) достаточно мало при x ∈ Bx (K), то решение x(t, t0 , x0 ) с начальным условием достаточно близким по норме к
начальному условию решения ψ(t, t0 , ξ0 ) уравнения (13.2) будет определено при всех t ≥ t0 . Это легко выводится из неравенства (13.5).
Замечание 13.3. Теорема 13.1 остается справедливой, если предположить, что вектор-функции X(t, x) и R(t, x) имеют по t не более
конечного числа разрывов первого рода по t на каждом конечном
промежутке.
Замечание 13.4. Если решение ψ(t, t0 , ξ0 ) системы (13.2) равномерно
асимптотически устойчиво только по части переменных ψ1 , . . . , ψk ,
k < n, то проводя рассуждения, как в теореме 13.1, получим теорему,
утверждение которой выглядит следующим образом:
для любого ε > 0 (0 < ε < ρ) можно указать такие числа η1 (ε),
η2 (ε), что для всех решений x(t, t0 , x0 ) ∈ Bx (K) (x(t0 , t0 , x0 ) = x0 )
уравнения (13.1), определенных при t ≥ t0 , с начальными данными,
удовлетворяющими неравенству
|xi0 − ξ0i | < η1 (ε)
i = 1, 2, . . . , k < n
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13.2. Теоремы об устойчивости . . .
285
и для всех R(t, x), удовлетворяющих неравенству
S(R) < η2 (ε),
справедливо при всех t > t0 неравенство
|xi (t, t0 , x0 ) − ψi (t, t0 , ξ0 )| < ε,
i = 1, . . . , k < n.
Теорема 13.1 — это теорема об устойчивости при постоянно действующих возмущениях. От теорем Малкина и Красовского–Гермаидзе (см. Приложение Б, определения Б.4, Б.5 и теорема Б.6)
она отличается более общим предположением о «малости» возмущения R(t, x). Именно из условий малости возмущения R(t, x) в смысле Малкина или в смысле Красовского–Гермаидзе следует малость
S(R). Функция sin(t/ε) доставляет пример возмущения, для которого S(sin(t/ε)) мало при малых ε, но для этой функции величины
∫ t t sin ,
sin dt
ε
ε
не являются малыми.
Теорема 13.1 позволяет включать в постоянно действующие возмущения быстро осциллирующие функции.
В теореме 13.1 предполагается, что решение системы (13.1) принадлежит множеству Bx (K). Мы приведем еще одну теорему об
устойчивости при постоянно действующих возмущениях, которая
свободна от этого предположения.
Для вектор-функции f (t, x) определенной на G и ограниченной
по норме постоянной:
|f (t, x)| ≤ M
будем писать f (t, x) ∈ M (G).
Теорема 13.2. Пусть X(t, x) ∈ M (G) и удовлетворяет по пространственной переменной x условию Липшица с некоторой постоянной. Пусть R(t, x) ∈ M1 (G) и Rxi (t, x) ∈ M2 (G), i = 1, 2, . . . , n.
Пусть система (13.2) имеет решение ψ(t, t0 , ξ0 ) (ψ(t0 , t0 , ξ0 ) = ξ0 ),
определенное при всех t ≥ t0 ≥ 0, которое вместе с его некоторой ρ-окрестностью (ρ > 0) содержится в множестве G. Пусть
это решение равномерно асимптотически устойчиво. Тогда для
любого ε > 0 (0 < ε < ρ) можно указать такие числа η1 (ε), η2 (ε),
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
286
ГЛАВА 13. Устойчивость . . . и усреднение . . .
η3 (ε), что решение x(t, t0 , x0 ) (x(t0 , t0 , x0 ) = x0 ) системы (13.1) с
начальными данными, удовлетворяющими неравенству
|x0 − ξ0 | ≤ η1 (ε)
и для R(t, x), удовлетворяющей неравенствам
S(R) < η2 (ε),
S(Rxi ) < η3 (ε),
i = 1, . . . , n
при |x| < ε, удовлетворяет при всех t ≥ t0 неравенству
|x(t, t0 , x0 ) − ψ(t, t0 , ξ0 )| < ε.
(13.8)
Доказательство. В системе (13.1) сделаем замену
x = z + w(t, z),
где
∫∞
w(t, z) = −
e(t−s) R(s, z)ds.
t
Получим
(
)
∂w dz ∂w
I+
+
= X(t, z + w(t, z)) + R(t, z + w(t, z)).
∂z dt
∂t
(13.9)
∂w
Выберем η3 (ε) так, чтобы матрица I +
была обратима (в силу
∂z
∂w леммы 13.3 < η3 (ε), i = 1, . . . , n). Тогда (13.9) можно записать
∂zi
∂w
в виде (учтем, что
= w + R(t, z))
∂t
[
]−1 [
(
)
∂w
∂w
dz
= I+
−w + I +
X(t, z)−
dt
∂z
∂z
]
(
) (
)
∂w
− X(t, z) + X(t, z + w) − X(t, z) + R(t, z + w) − R(t, z) ,
∂z
или
[
]−1 [
]
∂w
∂w
dz
= X(t, z) + I +
H(t, z, w) −
X(t, z) ,
dt
∂z
∂z
(13.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13.3. Интегральная сходимость и близость решений . . .
287
где
(
) (
)
H(t, z, w) = −w + X(t, z + w) − X(t, z) + R(t, z + w) − R(t, z) .
Для завершения доказательства теоремы достаточно к системе (13.10)
применить теорему Малкина об устойчивости при постоянно действующих возмущениях (см. Приложение Б, теорема Б.6), так как
H(t, z, w) можно сделать сколь угодно малым вместе с w.
Замечание 13.5. В случае, если решение уравнения (13.2) равномерно асимптотически устойчиво по части переменных, можно
получить аналог теоремы 13.2, в котором неравенство (13.8) заменится на неравенство
|xi (t, t0 , x0 ) − ψi (t, t0 , ξ0 )| < ε,
i = 1, . . . , k < n.
13.3. Интегральная сходимость
и близость решений
на неограниченном интервале
Применим теоремы 13.1 и 13.2 к задаче об усреднении на неограниченном интервале. Введем предварительно понятие интегральной
сходимости правых частей дифференциальных уравнений и установим ее связь с близостью решений на бесконечном интервале.
Рассмотрим систему уравнений
dx
= X(t, x, ε),
dt
(13.11)
где ε > 0 — малый параметр, а (t, x) ∈ G. Положим Gε = (0, ε0 ] × G.
Будем говорить, что X(t, x, ε) интегрально сходится к X(t, x), если
∫t2
lim sup [X(s, x, ε) − X(s, x)] ds = 0
ε→0 |t −t |≤1
2
1
t1
при каждом x ∈ Bx (K). Из теоремы 13.1 непосредственно вытекает
следующий результат.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
288
ГЛАВА 13. Устойчивость . . . и усреднение . . .
Теорема 13.3. Пусть
1) вектор-функция X(t, x, ε) определена при (t, x, ε) ∈ Gε , имеет по
t не более конечного числа точек разрыва первого рода в каждом
конечном интервале и непрерывна по x равномерно относительно
t, ε;
2) |X(t, x, ε)| ≤ M1 , (t, x, ε) ∈ Gε ;
3) вектор-функция X(t, x, ε) интегрально сходится к вектор-функции X(t, x), которая непрерывна по совокупности переменных и
ограничена по норме некоторой постоянной M на множестве G;
4) X(t, x) удовлетворяет условию Липшица с некоторой постоянной L:
|X(t, x1 ) − X(t, x2 )| ≤ L|x1 − x2 |,
x1 , x2 ∈ Bx (K),
t ∈ I;
5) система
dy
= X(t, y)
(13.12)
dt
имеет равномерно асимптотически устойчивое решение
y = ψ(t, t0 , ξ0 ) (равномерно асимптотически устойчивое по части
переменных y1 , . . . , yk , k < n), которое вместе с его некоторой
ρ-окрестностью (ρ > 0) содержится в множестве G.
Тогда для любого α (0 < α < ρ) существуют ε1 (α) (0 < ε1 < ε0 )
и β(α) такие, что для всех 0 < ε < ε1 решение x(t, t0 , x0 ) ∈ Bx (K)
системы (13.11), определенное при t ≥ t0 , для которого |x0 − ξ0 | <
β(α) (|x0i − ξ0i | < β(α), i = 1, . . . , k), удовлетворяет неравенству
|ψ(t, t0 , ξ0 ) − x(t, t0 , x0 )| < α, t ≥ t0
(|ψi (t, t0 , ξ0 ) − xi (t, t0 , x0 )| < α, i = 1, . . . , k, t ≥ t0 ).
Теорема 13.3 непосредственно следует из теоремы 13.1 и замечаний 13.3 и 13.4, если систему (13.11) записать в виде
dx
= X(t, x) + R(t, x, ε),
dt
где R(t, x, ε) = X(t, x, ε) − X(t, x).
Из теоремы13.3 вытекает следующий результат.
Теорема 13.4. Пусть
1) при каждом ε вектор-функции X(t, x, ε), Xxi (t, x, ε), i = 1, . . . , n
определены на G и непрерывны по совокупности переменных,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13.4. Теоремы об усреднении
289
Xxi (t, x, ε) непрерывны по x равномерно относительно t, ε;
2) |X(t, x, ε)| ≤ M1 , |Xxi (t, x, ε)| ≤ M2 , i = 1, . . . , n на Gε ;
3) вектор-функции X(t, x, ε), Xxi (t, x, ε) интегрально сходятся к
функциям X(t, x), Xxi (t, x) соответственно;
4) система
dx
= X(t, x)
dt
имеет равномерно асимптотически устойчивое решение
y = ψ(t, t0 , ξ0 ) (равномерно асимптотически устойчивое по части
переменных y1 , . . . , yk , k < n), которое вместе с его некоторой
ρ-окрестностью (ρ > 0) содержится в множестве G.
Тогда для любого α (0 < α < ρ) существуют ε1 (α) (0 < ε1 < ε0 )
и β(α) такие, что для всех 0 < ε < ε1 решение x(t, t0 , x0 ) ∈ Bx (K)
системы (13.11), определенное при t ≥ t0 , для которого |x0 − ξ0 | <
β(α) (|x0i − ξ0i | < β(α), i = 1, . . . , k), удовлетворяет неравенству
|ψ(t, t0 , ξ0 ) − x(t, t0 , x0 )| < α, t ≥ t0
(|ψi (t, t0 , ξ0 ) − xi (t, t0 , x0 )| < α, i = 1, . . . , k, t ≥ t0 ).
13.4. Теоремы об усреднении
В теоремах 13.3 и 13.4 содержатся некоторые результаты об усреднении на бесконечном интервале для дифференциальных уравнений
в стандартной форме. Обратимся к системе дифференциальных уравнений
dx
= εX(t, x, ε), x ∈ Rn ,
(13.13)
dt
где X(t, x, ε) определена при (t, x, ε) ∈ Gε .
Теорема 13.5. Пусть
1) по каждой из переменных x, ε вектор-функция X(t, , x, ε) непрерывна равномерно относительно остальных переменных;
2) |X(t, x, ε)| ≤ M1 , (t, x, ε) ∈ Gε ;
3) равномерно по t ∈ I существует предел
1
lim
T →∞ T
∫t+T
X(s, x, 0)ds = X̄(x)
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
290
ГЛАВА 13. Устойчивость . . . и усреднение . . .
при каждых (t, x, ε) ∈ Gε и X̄(x) ограничена по норме некоторой
постоянной M2 на Bx (K);
4) X̄(x) удовлетворяет условию Липшица с некоторой постоянной L:
X̄(x1 ) − X̄(x2 ) ≤ L|x1 − x2 |, x1 , x2 ∈ Bx (K);
5) система
dx
= X̄(x)
(13.14)
dt
имеет равномерно асимптотически устойчивое решение ψ(t, t0 , ξ0 )
(равномерно асимптотически устойчивое по части переменных
x1 , . . . , xk , k < n), которое вместе с его некоторой ρ-окрестностью
(ρ > 0) содержится в множестве G.
Тогда для любого α (0 < α < ρ) существуют ε1 (α) (0 < ε1 < ε0 )
и β(α) такие, что для всех 0 < ε < ε1 решение φ(t, t0 , x0 ) ∈ Bx (K)
системы (13.13), для которого |x0 − ξ0 | < β(α) (|x0i − ξ0i | < β(α),
i = 1, . . . , k), удовлетворяет неравенству
|ψ(t, t0 , ξ0 ) − φ(t, t0 , x0 )| < α, t ≥ t0
(|ψi (t, t0 , ξ0 ) − φi (t, t0 , x0 )| < α, i = 1, . . . , k, t ≥ t0 ).
Чтобы показать, что теорема 13.5 следует из теоремы 13.3, нужно
только проверить, что условие 3) теоремы 13.5 влечет выполнение
условия 3) теоремы 13.3. Интегральная сходимость здесь означает,
что (если в системе (13.13) перейти к медленному времени τ = εt)
∫t2
[ (τ
)
] lim sup X , x, ε − X̄(x) dτ = lim Π(ε) = 0,
ε→0 |t −t |≤1
ε→0
ε
2
1
x ∈ Bx (K).
t1
Покажем, что для любого δ > 0 при достаточно малых ε
Π(ε) < δ.
(13.15)
)
(
Очевидно, в силу непрерывности X τε , x, ε по третьей переменной
равномерно относительно остальных переменных при достаточно малых ε
∫t2
[ (τ
)
] δ
Π(ε) ≤ sup X , x, 0 − X̄(x) dτ + .
2
ε
|t2 −t1 |≤1
t1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13.4. Теоремы об усреднении
291
Возьмем произвольные числа t1 , t2 , удовлетворяющие условию
|t1 − t2 | ≤ 1. Докажем, что при достаточно малых ε
∫t2
[ (τ
)
] δ
X , x, 0 − X̄(x) dτ < .
2
ε
t1
Отсюда и будет следовать неравенство (13.15). Имеем
∫t2
t2
[ (τ
)
] ∫ε [
]
X(u, x, 0) − X̄(x) du =
X , x, 0 − X̄(x) dτ = ε
ε
t1
t1
ε
t2
t∫ε1 +T
t − t ∫ε [
1
]
[
]
2
1
= t2 −t1
X(u, x, 0) − X̄(x) du ≤ X(u, , x, 0) − X̄(x) du,
ε
T
t1
ε
t1
ε
t2 − t1
где T =
→ ∞ при ε → 0.
ε
Отсюда и из условия 3) следует теорема.
Замечание 13.6. Из теоремы 13.5 следует утверждение 3) теоремы 9.3. В самом деле, пусть x0 (t, ε) — пп решение системы
dx
= εX(t, x),
dt
близкое к стационарному решению y = y0 усредненной системы
dy
= εY (y).
dt
Стационарное решение y0 асимптотически устойчиво и, следовательно, равномерно асимптотически устойчиво. Решения усредненной системы, лежащие в области притяжения стационарного решения y0 ,
также равномерно асимптотически устойчивы. Поэтому решения исходной системы с начальными условиями, достаточно близкими к
начальному условию решения усредненной системы, лежащему в области притяжения решения y0 , будут близки на бесконечном интервале в силу теоремы 13.5.
Из теоремы 13.4 вытекает следующая теорема об усреднении для
системы
dx
= εX(t, x, ε).
(13.16)
dt
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
292
ГЛАВА 13. Устойчивость . . . и усреднение . . .
Теорема 13.6. Пусть
1) X(t, x, ε), Xxi (t, x, ε) определены на G, непрерывны по совокупности переменных и ограничены;
2) по каждой из переменных x, ε функции X(t, x, ε), Xxi (t, x, ε)
непрерывны равномерно относительно остальных переменных;
3) равномерно по t существует предел
1
lim
T →∞ T
∫t+T
X(s, x, 0)ds = X̄(x).
t
в рассматриваемой области изменения переменных;
4) система
dx
= X̄(x, 0)
dt
имеет равномерно асимптотически устойчивое решение ψ(t, t0 , ξ0 )
(равномерно асимптотически устойчивое по части переменных
x1 , . . . , xk , k < n), которое вместе с его ρ-окрестностью содержится в множестве G.
Тогда для любого α (0 < α < ρ) существуют ε1 (α) (0 < ε1 < ε0 )
и β(α) такие, что для всех 0 < ε < ε1 решение φ(t, t0 , x0 ) ∈ Bx (K)
системы (13.16), для которого |x0 − ξ0 | < β(α) (|x0i − ξ0i | < β(α),
i = 1, . . . , k) удовлетворяет неравенству
|ψ(t, t0 , ξ0 ) − φ(t, t0 , x0 )| < α, t ≥ t0
(|ψi (t, t0 , ξ0 ) − φi (t, t0 , x0 )| < α, i = 1, . . . , k, t ≥ t0 ).
Доказательство теоремы 13.6 аналогично доказательству теоремы 13.5.
Теорема, аналогичная теоремам 13.5 и 13.6, доказана в работе
Банфи [108] (cм. также [68, 94]).
Замечание 13.7. Если требование равномерной асимптотической
устойчивости решения усредненной системы заменить на требование асимптотической устойчивости, то теорема 13.6, вообще говоря,
неверна. Это показывает следующий пример. Рассмотрим скалярное
дифференциальное уравнение
dx
= εx2 + εf (t),
dt
(13.17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13.5. Системы с быстрым и медленным временем
293
где ε > 0 — малый параметр, а f (t) — периодическая функция с
нулевым средним значением. Усредненное уравнение
dx
= εx2
dt
имеет асимптотически устойчивое решение x(t) с начальным условием x(0) = −1, которое не является равномерно асимптотически
устойчивым (решение x(t) стремится к нулю при t → ∞ вместе со
всеми решениями с отрицательными начальными условиями, в то
время как решения с положительными начальными условиями стремятся к бесконечности при t → ∞). Если бы в этом случае была
верна теорема 13.6, то уравнение (13.17) должно было бы иметь
при достаточно малых ε ограниченное решение с начальным условием, близким к начальному условию решения x(t). Тогда из теоремы
Массера (см. Плисс [75]) следует, что уравнение (13.17) имеет периодическое решение. Но уравнение (13.17) не может иметь периодических решений. Подставляя периодическое решение в уравнение
(13.17), получим, что среднее значение левой части равно нулю, а
правой части — положительно. Следовательно, уравнение (13.17) не
имеет ограниченных решений, хотя усредненное уравнение имеет
асимптотически устойчивое ограниченное решение.
13.5. Системы с быстрым и медленным
временем
Теоремы 13.5 и 13.6 обобщаются на системы дифференциальных
уравнений, содержащих быстрое и медленное время. Опишем кратко
соответствующие результаты.
Рассмотрим систему с быстрым и медленным временем
dx
= εX(t, τ, x, ε),
dt
τ = εt,
x ∈ Rn ,
(13.18)
где X(t, τ, x, ε) определена при (t, x, ε) ∈ Gε .
Теорема 13.7. Пусть
1) по каждой из переменных τ, x, ε функция X(t, τ, x, ε) непрерывна
равномерно относительно остальных переменных;
2) |X(t, τ, x, ε)| ≤ M1 , (t, x, ε) ∈ Gε ;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
294
ГЛАВА 13. Устойчивость . . . и усреднение . . .
3) равномерно по t ∈ I существует предел
1
T →∞ T
∫t+T
lim
X(s, τ, x, 0)ds = X̄(τ, x)
t
при каждых (t, x) ∈ G и X̄(τ, x) ограничена по норме некоторой
постоянной M2 на G;
4) функция X̄(τ, x) удовлетворяет условию Липшица с некоторой
постоянной L:
X̄(τ, x1 ) − X̄(τ, x2 ) ≤ L|x1 − x2 |, x1 , x2 ∈ Bx (K), τ ∈ I
и непрерывна по τ равномерно относительно x;
5) система
dx
= X̄(τ, x)
dτ
имеет равномерно асимптотически устойчивое решение ψ(t, t0 , ξ0 )
(равномерно асимптотически устойчивое по части переменных
x1 , . . . , xk , k < n), которое вместе с его некоторой ρ-окрестностью
(ρ > 0) содержится в множестве G.
Тогда для любого α (0 < α < ρ) существуют ε1 (α) (0 < ε1 < ε0 )
и β(α) такие, что для всех 0 < ε < ε1 решение φ(t, t0 , x0 ) ∈ Bx (K)
системы (13.18), для которого |x0 − ξ0 | < β(α) (|x0i − ξ0i | < β(α),
i = 1, . . . , k), удовлетворяет неравенству
|ψ(t, t0 , ξ0 ) − φ(t, t0 , x0 )| < α, t ≥ t0
(|ψi (t, t0 , ξ0 ) − φi (t, t0 , x0 )| < α, i = 1, . . . , k, t ≥ t0 ).
Как и в доказательстве теоремы 13.5, нужно только проверить,
что условие 3) теоремы 13.7 влечет выполнение условия 3) теоремы 13.3. Интегральная сходимость здесь означает, что (если в уравнении (13.18) перейти к медленному времени τ = εt)
∫t2
[ (τ
)
] lim sup X , τ, x, ε − X̄(τ, x) dτ = lim Π(ε) = 0, x ∈ Bx (K).
ε→0 |t −t |≤1
ε→0
ε
2
1
t1
Покажем, что Π(ε)( мало при
) малых ε. Очевидно, в силу непрерывτ
ности функции X , τ, x, ε по четвертой переменной равномерно
ε
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13.5. Системы с быстрым и медленным временем
295
относительно остальных переменных достаточно показать, что
∫t2
[ (τ
)
] X , τ, x, 0 − X̄(τ, x) dτ Π1 (ε) = sup ε
|t2 −t1 |≤1
t1
стремится к нулю при ε → 0. Это утверждение имеет место,
если
)
(τ
зафиксировать вторую переменную τ в вектор-функции X , τ, x, 0
ε
и соответственно переменную τ в вектор-функции X̄(τ, x), т.е. положить τ = τ0 = const. Отсюда следует, что(Π1 (ε) → )0, при ε → 0, если
τ
по этой переменной вектор-функции X , τ, x, 0 и X(τ, x) являε
ются кусочно-постоянными
в
промежутке
[t1 , t2 ]. Из непрерывности
(τ
)
вектор-функций X , τ, x, 0 и X̄(τ, x) по переменной τ равномерно
ε
относительно остальных
переменных и следует предельное равенство
lim Π1 (ε) = 0.
ε→0
Теорема 13.7 обобщает результат работы Сетна [84].
Замечание 13.8. Из теоремы 13.7 следует утверждение 3) теоремы 9.7. В самом деле, пусть x0 (t, ε) — пп решение системы
dx
= εX(t, τ, x),
dt
близкое к периодическому решению y0 (t, ε) усредненной системы
dy
= εY (τ, y).
dt
Периодическое решение y0 (t, ε) асимптотически устойчиво и, следовательно, равномерно асимптотически устойчиво. Решения усредненной системы, лежащие в области притяжения периодического решения y0 (t, ε), также равномерно асимптотически устойчивы. Поэтому решения исходной системы с начальными условиями, достаточно
близкими к начальному условию решения усредненной системы, лежащему в области притяжения решения y0 (t, ε), будут близки на
бесконечном интервале.
Можно также получить обобщение теоремы 13.6 на случай системы (13.18).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
296
ГЛАВА 13. Устойчивость . . . и усреднение . . .
Теорема 13.8. Пусть
1) X(t, τ, x, ε), Xxi (t, τ, x, ε) определены на Gε , непрерывны по совокупности переменных и ограничены;
2) по каждой из переменных τ, x, ε функции X(t, τ, x, ε), Xxi (t, τ, x, ε)
непрерывны равномерно относительно остальных переменных;
3) равномерно по t существует предел
1
lim
T →∞ T
∫T
X(t, τ, x, 0)dt = X̄(τ, x)
0
в рассматриваемой области изменения переменных;
4) система
dx
= X̄(τ, x)
dτ
имеет равномерно асимптотически устойчивое решение ψ(t, t0 , ξ0 )
(равномерно асимптотически устойчивое по части переменных
x1 , . . . , xk , k < n), которое вместе с его ρ-окрестностью содержится в множестве G.
Тогда для любого α (0 < α < ρ) существуют ε1 (α) (0 < ε1 < ε0 )
и β(α) такие, что для всех 0 < ε < ε1 решение φ(t, t0 , x0 ) ∈ Bx (K)
системы (13.18), для которого |x0 − ξ0 | < β(α) (|x0i − ξ0i | < β(α),
i = 1, . . . , k), удовлетворяет неравенству
|ψ(t, t0 , ξ0 ) − φ(t, t0 , x0 )| < α, t ≥ t0
(|ψi (t, t0 , ξ0 ) − φi (t, t0 , x0 )| < α, i = 1, . . . , k, t ≥ t0 ).
Доказательство теоремы 13.8 аналогично доказательству теоремы 13.7.
13.6. Близость медленных переменных
на бесконечном интервале в системах
с быстро вращающейся фазой
Изложенный метод позволяет исследовать вопрос о близости точных и усредненных уравнений на бесконечном промежутке для уравнений с так называемой быстро вращающейся фазой. Уравнения такого типа будут подробно исследоваться в следующих главах.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13.6. Близость медленных переменных . . .
297
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dx
= εX(x, y, ε),
dt
dy
= ω(x) + εY (x, y, ε),
dt
(13.19)
где x — n-мерный вектор, y — скалярная переменная, ε > 0 — малый
параметр. Система содержит медленные переменные x1 , x2 , . . . , xn и
быструю переменную y.
Будем предполагать, что функции X(x, y, ε) и Y (x, y, ε) периодичны по быстрой переменной y с периодом 2π. Мы только приведем
теорему, которая следует из теоремы 13.5.
Теорема 13.9. Пусть
1) функции X(x, y, ε), Y (x, y, ε) определены при x ∈ Bx (K),
y ∈ (−∞, ∞), ε ∈ (0, ε0 ], непрерывны по переменным x, ε равномерно относительно y, а по y имеют не более конечного числа
точек разрыва первого рода в каждом конечном промежутке;
2) функция ω(x) удовлетворяет условию Липшица с некоторой
постоянной L при x ∈ Bx (K) и выполняется неравенство
ω(x) > c > 0,
где c — некоторая постоянная;
3) существует такая постоянная M , что
|X(x, y, ε)| ≤ M, |Y (x, y, ε)| ≤ M,
x ∈ Bx (K), y ∈ (−∞, ∞), ε ∈ [0, ε0 ];
4) вектор-функция
1
X̄(x) =
2π
∫2π
X(x, y, 0)dy
0
удовлетворяет условию Липшица с некоторой постоянной L1 ;
5) система
dx
= X̄(x), τ = εt,
(13.20)
dτ
имеет равномерно асимптотически устойчивое решение ψ(τ, τ0 , ξ0 ),
которое принадлежит области Bx (K) вместе с его некоторой ρокрестностью (ρ > 0).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
298
ГЛАВА 13. Устойчивость . . . и усреднение . . .
Тогда для медленных переменных x решения системы (13.19)
справедливо заключение теоремы 13.5. Именно, для любого α
(0 < α < ρ) существуют ε1 (α) (0 < ε1 < ε0 ) и β(α) такие, что
для всех 0 < ε < ε1 решение x(t, t0 , x0 ) ∈ Bx (K) системы (13.19),
для которого |x0 − ξ0 | < β(α), удовлетворяет неравенству
|ψ(t, t0 , ξ0 ) − x(t, t0 , x0 )| < α,
t ≥ t0 .
Доказательство. В системе (13.19) сделаем замену τ = εt, α = εy.
Получим систему
( α )
dx
= X x, , ε ,
dτ
ε
( α )
dα
= ω(x) + εY x, , ε .
dτ
ε
(13.21)
Из условия 2) и 3) теоремы следует, что при достаточно малых ε
функция α(τ ) монотонна и, следовательно, за независимое переменное можно вместо τ принять α. Система (13.21) запишется в виде
( α )
dx
1
=
X x, , ε + εX1 (x, α, ε),
dα ω(x)
ε
dτ
1
=
+ εY1 (x, α, ε),
dα ω(x)
(13.22)
где( X1 (x,)α, ε),
( Yα1 (x,)α, ε) обладают теми же свойствами, что и
α
X x, , ε , Y x, , ε соответственно. Легко видеть, что правые чаε
ε
сти системы (13.22) интегрально сходятся при ε → 0 к правым частям системы
1
dx
=
X̄(x),
dα ω(x)
dτ
1
=
,
dα ω(x)
(13.23)
которая в исходном времени τ имеет вид
dx
= X̄(x),
dτ
dα
= ω(x).
dτ
(13.24)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13.6. Близость медленных переменных . . .
299
Решение системы (13.23), которое соответствует решению ψ(τ, τ0 , ξ0 )
системы (13.24), очевидно, равномерно асимптотически устойчиво
по переменной x и этим же свойством обладает соответствующее решение системы (13.23). Применяя теорему 13.5 к системе (13.22) и
учитывая, что переход от времени τ к времени α является дифференцируемым в обе стороны взаимнооднозначным отображением некоторой окрестности решения системы (13.23) на некоторую окрестность
решения системы (13.24) при достаточно малых ε, получаем утверждение теоремы.
Рассмотрим теперь следующую систему дифференциальных уравнений:
dx
= εX(τ, x, y, ε),
dt
(13.25)
dy
= ω(x) + εY (τ, x, y, ε),
dt
где x — n-мерный вектор, y — скалярная переменная, ε — малый
параметр, изменяющийся в промежутке (0, ε0 ], τ = εt — медленное
время. Будем предполагать, что функции X(τ, x, y, ε) и Y (τ, x, y, ε)
периодичны по переменной y с периодом 2π. Тогда точно так же, как
и теорема 13.9, доказывается следующая теорема.
Теорема 13.10. Пусть
1) вектор-функции X(τ, x, y, ε), Y (τ, x, y, ε) определены при
x ∈ Bx (K), y ∈ (−∞, ∞), ε ∈ (0, ε0 ], τ ∈ I, непрерывны по переменным τ , x, ε равномерно относительно y, а по y имеют не более
конечного числа точек разрыва первого рода в каждом конечном
промежутке;
2) функция ω(x) удовлетворяет условию Липшица с некоторой
постоянной L при x ∈ Bx (K) и выполняется неравенство
ω(x) > c > 0,
где c — некоторая постоянная;
3) существует такая постоянная M , что
|X(τ, x, y, ε)| ≤ M, |Y (τ, x, y, ε)| ≤ M,
x ∈ Bx (K), y ∈ (−∞, ∞), ε ∈ [0, ε0 ], τ ∈ I;
4) вектор-функция
X̄(τ, x) =
1
2π
∫2π
X(τ, x, y, 0)dy
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
300
ГЛАВА 13. Устойчивость . . . и усреднение . . .
удовлетворяет условию Липшица с некоторой постоянной L1 по
переменной x и непрерывна по τ равномерно относительно x;
5) система
dx
= X̄(τ, x)
dτ
имеет равномерно асимптотически устойчивое решение ψ(τ, τ0 , ξ0 ),
которое принадлежит области Bx (K) вместе с его некоторой ρокрестностью (ρ > 0).
Тогда для медленных переменных x решения системы (13.25)
справедливо заключение теоремы 13.9.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 14
Системы с быстро
вращающейся фазой
Когда в систему обыкновенных дифференциальных уравнений
входит малый параметр, то это может привести к разделению переменных на быстрые и медленные. Принцип усреднения позволяет
исключить быстрые переменные и написать уравнения, содержащие
только медленные переменные. Основную роль во всех вопросах,
связанных с принципом усреднения, играют замены переменных,
позволяющие с заданной точностью исключить из уравнений движения быстрые переменные и таким образом отделить медленное
движение от быстрого.
Будем рассматривать уравнения, которые называются уравнениями с быстро вращающейся фазой. Такие уравнения возникают, например, при описании движения консервативных систем с одной степенью свободы, подверженных малым возмущениям.
14.1. Системы с одной степенью
свободы, близкие к консервативным.
Переменные действие–угол
Рассмотрим дифференциальное уравнение, близкое к консервативному
z̈ + f (z) = εG(z, ż),
(14.1)
где ε — малый параметр. Будем предполагать, что для невозмущенного уравнения
z̈ + f (z) = 0
(14.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
302
ГЛАВА 14. Системы с быстро вращающейся фазой
известно общее решение (общий интеграл) и оно может быть записано в виде
z = q0 (x, t + t0 ),
(14.3)
где x и t0 — произвольные постоянные. Кроме того, мы будем предполагать, что f (0) = 0 и рассматривать ту область в фазовой плоскости
переменных (z, ż), в которой все решения невозмущенного уравнения
(14.2) — периодические функции времени. Следовательно, функция
q0 (x, t+t0 ) будет периодической функцией t c периодом T , зависящим
от x (в общем случае). Теперь вместо переменной t введем новую переменную таким образом, чтобы получить периодическое решение с
постоянным периодом. Положим
y = ω(x)(t + t0 ).
Здесь множитель ω(x) выбран так, что функция
q(x, y) = q0 (x, t + t0 )
будет периодической с периодом 2π. Этим условием величина ω(x)
определяется однозначно. Она является нормирующим множителем.
По аналогии с линейным случаем будем называть x амплитудой,
ω(x) — частотой, а переменную y — фазой.
Отметим, что функция q(x, y) тождественно удовлетворяет уравнению (14.2), т.е.
z̈ + f (z) = ω 2 (x)qyy (x, y) + f (q(x, y)) ≡ 0.
(14.4)
Теперь от уравнения (14.1) перейдем к системе дифференциальных
уравнений, используя метод вариации произвольных постоянных.
Этот переход к системе аналогичен переходу к системе в стандартной
форме от уравнения второго порядка. Такой метод в теории колебаний называют методом Ван-дер-Поля.
Мы перейдем к переменным I и y, где переменная I является
функцией переменной x. Вид этой зависимости мы укажем позднее.
Итак, делаем замену
z = q(I, y),
ż = ω(x)qy (I, y),
(14.5)
(14.6)
где I, y — новые переменные. Дифференцируем (14.5) и приравниваем полученное выражение (14.6). Находим первое соотношение
qI I˙ + qy ẏ = ωqy .
(14.7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14.1. Системы с одной степенью свободы . . .
303
Это уравнение представляет условие совместности формул замены
(14.5), (14.6). Второе уравнение получим, подставляя (14.6) в уравнение (14.1):
(ω ′ (x)qy + ω(x)qIy )I˙ + ω(x)qyy ẏ = −f (q) + εG(q, ω(x)qy ),
где ω ′ (x) =
dω
dx .
(14.8)
Нам удобно записать уравнение (14.8) в виде
−(ω ′ (x)qy + ω(x)qIy )I˙ − ω(x)qyy ẏ = f (q) − εG(q, ω(x)qy ),
(14.9)
Система (14.7), (14.9) представляет собой систему двух дифференциальных уравнений относительно I, y. Относительно производ˙ ẏ эта система является линейной алгебраической системой
ных I,
уравнений. Определитель этой системы
q
q
I
y
.
∆(I) = −(ω ′ (x)qy + ω(x)qIy ) −ω(x)qyy Выберем I из условия
∆(I) = 1.
Раскрывая определитель, получаем уравнение
−ω(x)qI qyy + (ω ′ (x)qy + ω(x)qIy )qy = 1.
(14.10)
Левая часть уравнения (14.10) является периодической функцией
переменной y периода 2π. Вычислим среднее значение обеих частей
(14.10). Получим
1
2π
∫2π
[
]
−ω(x)qI qyy + ω ′ (x)qy2 + ω(x)qIy qy dy = 1.
(14.11)
0
Выпишем интеграл, соответствующий первому слагаемому левой части
∫2π
− ω(x)qI qyy dy.
0
Проинтегрировав последний интеграл по частям, получим
−ω(x)qI qy 2π
0 +
∫2π
ω(x)qIy qy dy.
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
304
ГЛАВА 14. Системы с быстро вращающейся фазой
Внеинтегральный член равен нулю, так как qI qy — 2π-периодическая
функция. Уравнение (14.11) запишется в виде
1
2π
∫2π
[
]
2ω(x)qIy qy + ω ′ (x)qy2 dy = 1.
(14.12)
0
Левую часть (14.12) можно представить в виде
1
2π
∫2π

d
d 1
(ω(x)qy2 )dy =
dI
dI 2π
0
∫2π

ω(x)qy2 dy  .
0
Поэтому (14.12) будет справедливо, если положить
1
I=
2π
∫2π
ω(x)qy2 dy.
(14.13)
0
Переменная I называется переменной действия.
Отметим, что переменную действия можно вычислять по формуле
1
I=
2π
∫2π
żdz.
(14.14)
0
˙ ẏ по правилу
Разрешим систему (14.7),(14.9) относительно I,
Крамера. Вычисляем два определителя. Для первого получаем:
ωq
q
y
y
= −ω 2 qy qyy − f (q)qy + εGqy = εGqy ,
∆1 = f (q) − εG −ω(x)qyy так как
f (q) = −ω 2 qyy .
Для второго:
q
ωq
I
y
= qI f (q) − εGqy +
∆2 = −(ω ′ (x)qy + ω(x)qIy ) f (q) − εG [
]
+ωω ′ qy2 + ω 2 qIy qy = ω −ωqI qyy + ω ′ qy2 + ωqIy qy − εGqI =
= ω∆(I) − εGqI = ω − εGqI .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14.2. Переменные действие–угол . . .
305
Таким образом, получим искомую систему уравнений
dI
= εG(q, ωqy )qy ,
dt
dy
= ω(I) − εG(q, ωqy )qI ,
dt
(14.15)
где ω(I) = ω(x(I)). Говорят, что исходная система в окрестности
периодического решения записана в переменных действие-угол. Система (14.15) называется системой с быстрой фазой или системой
с быстро вращающейся фазой. Переменная действия является медdI
ленно меняющейся переменной, так как
≈ ε, a переменная угол
dt
(
)
dy
(фаза) меняется быстро (т.к.
≈ ω(I) = ω x(I) ).
dt
Периодическое решение невозмущенного уравнения (14.2) в переменных действие-угол имеет вид
dI
= 0,
dt
dy
= ω(I).
dt
Следовательно, на периодической орбите I = I0 = const, q = ω(I0 )t.
14.2. Переменные действие–угол
для гамильтоновой системы
с одной степенью свободы
Невозмущенное уравнение (14.2) можно записать в виде гамильтоновой системы с одной степенью свободы
dq
∂H
=
,
dt
∂p
dp
∂H
=−
dt
∂q
(14.16)
с гамильтонианом
p2
H(q, p) =
−
2
∫q
f (z)dz,
где z = q, ż = p.
Переменные действие–угол можно ввести для гамильтоновой системы с одной степенью свободы. Наше изложение этого вопроса
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
306
ГЛАВА 14. Системы с быстро вращающейся фазой
следует книге Маркеева [61]. Фазовое пространство этой системы
— это плоскость переменных q, p. Существуют периодические решения двух типов. В движениях первого типа функции p(t), q(t)
периодические с одним и тем же периодом. Движения такого типа называются колебательными. В движениях второго типа q(t) не
является периодической, но когда она увеличивается или уменьшается на некоторую величину q0 , конфигурация системы не меняется.
Такие движения называются вращательными.
Переменные действие–угол вводятся следующим образом. Из уравнения H(q, p) = h находим функцию p = p(q, h). Затем вычисляем
переменную действия как функцию h по формуле:
I
1
I=
p(q, h)dq,
2π
где интеграл берется по полному циклу изменения q (цикла колебаний или вращений в зависимости от того, какое движение определяет уравнение H(q, p) = h). Обращение функции I = I(h) дает
h = h(I). Производящая функция, задающая каноническую замену
переменных q, p → I, y, имеет вид
∫
V (q, I) = p(q, h(I))dq.
Неявно замена q, p → I, y задается формулами
p=
∂V
,
∂q
y=
∂V
.
∂I
Новая функция Гамильтона
H = h(I).
В переменных действие–угол уравнения движения имеют вид
dI
= 0,
dt
dy
= ω(I).
dt
Отметим, что когда переменная q проходит полный цикл изменения,
угловая переменная y возрастает на 2π. Обозначая через ∆y приращение угловой переменной за полный цикл изменения q, получим
I
I 2
I
∂
∂V
∂y
∂ V
∂V
∆y =
dq =
dq =
dq =
(2πI) = 2π.
∂q
∂I∂q
∂I
∂q
∂I
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14.3. Автономные возмущения гамильтоновой системы . . .
307
14.3. Автономные возмущения
гамильтоновой системы
с одной степенью свободы
Рассмотрим возмущенную гамильтонову систему
dx ∂H
=
+ εf (x, y),
dt
∂y
∂H
dy
=−
+ εg(x, y),
dt
∂x
(14.17)
где гамильтонова функция H и функции f (x, y), g(x, y) достаточно
гладкие по переменным x, y в некоторой области G ⊂ R2 . Будем
считать, что невозмущенная система имеет область D0 ⊂ G, заполненную колебательными или вращательными движениями.
В системе (14.17) перейдем от переменных x, y к переменным
действие–угол I, θ c помощью канонического преобразования
x = U (I, θ),
y = V (I, θ),
где U (I, θ), V (I, θ) — периодические функции по θ c периодом 2π.
После преобразования получим систему
[
dI
∂V
∂U ]
= ε f (U, V )
+ g(U, V )
,
dt
∂θ
∂θ
(14.18)
[
dθ
∂V
∂U ]
= ω(I) + ε f (U, V )
− g(U, V )
.
dt
∂I
∂I
Введем обозначения
[
∂U ]
∂V
+ g(U, V )
,
X(I, θ) = f (U, V )
∂θ
∂θ
[
∂V
∂U ]
Y (I, θ) = f (U, V )
− g(U, V )
.
∂I
∂I
Тогда система (14.18) запишется в виде
dI
= εX(I, θ),
dt
dθ
= ω(I) + εY (I, θ).
dt
(14.19)
Правые части системы (14.19) являются периодическими функциями
фазы θ. Будем предполагать, что функции X(I, θ), Y (I, θ) ограничены по модулю в некоторой ограниченной области плоскости R2 .
Тогда при достаточно малых ε знак правой части второго уравнения
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
308
ГЛАВА 14. Системы с быстро вращающейся фазой
системы (14.19) совпадает со знаком функции ω(I), которая отлична от нуля, будучи частотой периодического решения невозмущенной системы. Следовательно, переменная θ при достаточно малых ε
является монотонной функцией переменной t и ее можно взять в
качестве новой независимой переменной. Поделив первое уравнение
системы (14.19) на второе, получим дифференциальное уравнение
первого порядка
dI
X(I, θ)
=ε
.
(14.20)
dθ
ω(I) + εY (I, θ)
Усредним правые части уравнения (14.20) по θ. Получим усредненное уравнение первого приближения
¯
dI¯
X̄(I)
=ε ¯ ,
dθ
ω(I)
где
¯ = 1
X̄(I)
2π
(14.21)
∫2π
X(I, θ)dθ.
(14.22)
0
Если алгебраическое уравнение
X̄(I) = 0
(14.23)
имеет решение I = I0 , то это решение является стационарным решением усредненного уравнения. Если, кроме того, выполняется неравенство
X̄I (I0 ) ̸= 0
(14.24)
(т.е. корень I = I0 уравнения (14.23) — простой), то в силу теоремы 9.2 уравнение (14.21) при достаточно малых ε имеет периодическое решение I(θ, ε) с периодом 2π и I(θ, 0) = I0 . Из теоремы 9.3 следует, что полученное периодическое решение асимптотически устойчиво, если
X̄I (I0 ) < 0,
(14.25)
и неустойчиво, если
X̄I (I0 ) > 0.
(14.26)
Решению I(θ, ε) соответствует предельный цикл (изолированная замкнутая фазовая кривая) x(t, ε), y(t, ε) системы (14.17). Далее проводим рассуждение, как в параграфе 10.2. Чтобы получить из I(θ, ε)
решение I(t, ε), θ(t, ε) системы (14.19), нам необходимо знать θ как
функцию t. Для этого нужно решить уравнение
(
)
(
)
θ̇ = ω I(θ, ε) + εY I(θ, ε), θ .
(14.27)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14.3. Автономные возмущения гамильтоновой системы . . .
309
Период функции I(t, ε) также определяется из этого уравнения. Нужно найти решение θ(t, ε) уравнения (14.27) c начальным условием
θ(0, ε) = 0 и выбрать T = T (ε) так, чтобы θ(T, ε) = 2π. Тогда T (ε) и
есть период по t функции I(t, ε) и соответствующего решения системы (14.17), так как
(
)
θ t + T (ε), ε = θ(t, ε) + 2π.
Предельный цикл x(t, ε), y(t, ε) устойчив, если выполняется неравенство (14.25), и неустойчив, если выполнено неравенство (14.26).
Этот результат удобно сформулировать в виде теоремы применительно к системе (14.17).
Теорема 14.1. Пусть возмущенная консервативная система в пе¯
ременных действие-угол имеет вид (14.19). Пусть функция X(I)
определяется формулой (14.22) и уравнение (14.23) имеет решение
I0 , удовлетворяющее неравенству (14.24). Тогда система (14.17)
имеет при достаточно малых ε в некоторой окрестности U (L0 )
периодического или вращательного решения L0 невозмущенной
системы единственный предельный цикл (замкнутую орбиту) Lε ,
и Lε → L0 при ε → 0. Предельный цикл Lε устойчив, если выполняется неравенство (14.25), и неустойчив, если справедливо
неравенство (14.26).
Теорема 14.1 в других терминах получена Понтрягиным [76] (cм.
также Андронов, Леонтович, Гордон, Майер [88]). Приведем соответствующую формулировку.
Теорема 14.2. Пусть L0 — замкнутая орбита невозмущенной гамильтоновой системы (14.16) и q = φ(t), p = ψ(t) — движение
соответствующее ей. Пусть τ — период функций φ(t) и ψ(t). Если
∫τ
[
]
g(φ(s), ψ(s))φ′ (s) − f (φ(s), ψ(s))ψ ′ (s) ds = 0,
0
∫τ
l=
[
]
gy′ (φ(s), ψ(s)) + fx′ (φ(s), ψ(s)) ds ̸= 0,
0
то существуют такие числа µ > 0 и δ > 0, что
a) для любого ε, |ε| < δ система (14.17) имеет в µ-окрестности
L0 одну и только одну замкнутую орбиту Lε и Lε → L0 при ε → 0;
b) эта орбита устойчива, если εl < 0, и неустойчива, если εl > 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
310
ГЛАВА 14. Системы с быстро вращающейся фазой
Фазовое пространство системы (14.19) представляет собой прямое произведение интервала ∆ = (I1 , I2 ) ∈ R1 и окружности S 1 .
Предположим, что в этой области у системы нет состояний равновесия. Тогда имеет место следующая теорема.
Теорема 14.3. Пусть уравнение
X̄(I) = 0
на интервале ∆ имеет только простые корни. Тогда при достаточно малых ε каждому такому корню соответствует предельный цикл системы (14.17). Устойчивые и неустойчивые циклы
чередуются.
Детальное исследование автономно возмущенных гамильтоновых
систем с одной степенью свободы проведено в книгах Морозова [69,
152].
14.4. Переменные действие–угол
для математического маятника
В качестве примера найдем переменные действие–угол для уравнения маятника
ẍ + Ω2 sin x = 0,
(14.28)
g
где Ω2 = (g — ускорение свободного падения, l — длина маятника).
l
Решение уравнения (14.28) выражается через эллиптические функции Якоби. Далее мы следуем Аппелю [3]. Необходимые для нас
сведения об эллиптических функциях Якоби изложены в справочнике Градштейна и Рыжика [36]. Приведем некоторые стандартные
обозначения и формулы, которые будем использовать в дальнейшем.
Через k (0 ≤ k ≤ 1) будем обозначать модуль эллиптической функции, K(k), E(k) — полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно:
∫π/2
√
K(k) =
0
∫π/2
E(k) =
0
dφ
1 − k 2 sin2 φ
∫1
=
0
dx
√
,
(1 − x2 )(1 − k 2 x2 )
∫1 √
√
1 − k2
√
1 − k 2 sin2 φdφ =
dx.
1 − x2
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14.4. Переменные действие–угол для . . . маятника
311
√
Обозначим k ′ = 1 − k 2 — дополнительный модуль, K ′ (k) — дополнительный эллиптический интеграл первого рода, определяемый
формулой K ′ (k) = K(k ′ ). Для трех эллиптических функций Якоби будем пользоваться стандартными обозначениями sn u, cn u, dn u.
Напомним еще известные соотношения
k 2 sn2 u + dn2 u = 1,
sn2 u + cn2 u = 1,
d
(cn u) = − sn u dn u,
du
d
(sn u) = cn u dn u,
du
d
(dn u) = −k 2 sn u dn u.
du
Вернемся к уравнению (14.28). Интеграл энергии для уравнения
(14.28) можно записать в виде
ẋ2
− cos x = h,
2Ω2
h = const,
или
ẋ2
ẋ2 (0)
∗
2 x
2 x(0)
=
h
=
.
+
sin
+
sin
4Ω2
2
4Ω2
2
В зависимости от величины h∗ , т.е. выбора начальных условий, получим колебательные или вращательные движения маятника. Рассмотрим вначале случай колебательных движений. Этому случаю
отвечает значение h∗ , удовлетворяющее неравенству 0 < h∗ < 1.
Если x(0) = 0, то это неравенство означает, что ẋ2 (0) < 4Ω2 . Учитывая, что скорость движения маятника v = lẋ, получаем неравенство
v 2 (0) < 4l2 Ω2 , или v(0) < 4lg. Положим h∗ = sin2 α2 . Тогда α —
максимальный угол, на который отклонится от вертикали маятник:
|x| ≤ α. Имеем
(
)
2
2
2 α
2 x
ẋ = 4Ω sin
− sin
.
2
2
Если маятник подымается, то
dx
√
= Ωdt.
2 x
2 α
2 sin 2 − sin 2
Интегрируя, получаем
∫x
0
du
√
= Ω(t + t0 ).
2 α
2 u
2 sin 2 − sin 2
Отсюда общее решение уравнения (14.28)
x(t) = 2 arcsin k sn Ω(t + t0 ).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
312
ГЛАВА 14. Системы с быстро вращающейся фазой
Если считать, что x(0) = 0, то получим решение в виде
(14.29)
x(t) = 2 arcsin k sn Ωt.
Формула (14.29) дает выражение для колебательных движений маятника, причем k = sin α2 . Период и частота колебаний маятника
определяются формулами
T =
4K(k)
,
Ω
ω=
πΩ
.
2K(k)
Перейдем теперь в уравнении (14.28) к переменным действие–угол
(I, θ) по формулам
( 2K(k) )
x = 2 arcsin k sn
θ = X1 (I, θ),
π
( 2K(k) )
ẋ = 2kΩ cn
θ = Y1 (I, θ),
π
где θ =
1
I=
2π
(14.30)
(14.31)
π
Ωt. Переменная действия определяется формулой
2K(k)
∫2π
1
ẋdx =
2π
0
∫2π √
∫2π √
x
x
Ω
4Ω2 h∗ − 4Ω2 sin2 dx =
k 2 − sin2 dx.
2
π
2
0
0
Так как за полное колебание x дважды пробегает промежуток [−α, α],
то
2Ω
I=
π
∫α √
−α
α
x
4Ω
sin2 − sin2 dx =
2
2
π
∫α √
sin2
0
Выполняя замену sin x2 = u sin α2 , получим
∫1 √
8Ωk
1 − u2
√
I=
du.
π
1 − k 2 u2
2
0
Последний интеграл легко представляется в виде
]
8Ω [
′2
I=
E(k) − k K(k) .
π
α
x
− sin2 dx.
2
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14.4. Переменные действие–угол для . . . маятника
313
Вычислим производную I по k. Учитывая формулы дифференцирования эллиптических интегралов по модулю
dE
E(k) − K(k)
=
,
dk
k
dK
E(k) − k ′2 K(k)
=
,
dk
k
получим
dI
8Ω
=
kK(k).
dk
π
Так как I является монотонной функцией k, то I(k) имеет обратную
функцию k(I), причем
dk
π
=
.
dI
8ΩkK(k)
Выполняя преобразование по формулам (14.30), (14.31), получим систему
dI
dθ
πΩ
= 0,
=
.
dt
dt
2K(k)
Переходим к рассмотрению вращательных движений маятника. Будем считать, что в интеграле энергии h∗ > 1. Если x(0) = 0, то это
означает, что выполнено неравенство ẋ2 (0) > 4Ω2 , или v(0) > 4lg.
Запишем интеграл энергии в виде
(
)
x
1
x
ẋ2 = 4Ω2 h∗ − 4Ω2 sin2 = 4Ω2 h∗ 1 − ∗ sin2
2
h
2
и положим k 2 = 1/h∗ . Получим
(
dx
dt
)2
x
= 4Ω2 h∗ (1 − k 2 sin2 ).
2
Отсюда
√
d
(x)
2
1 − k 2 sin2 x2
=
Ω
dt.
k
Общее решение уравнения (14.28) имеет вид
x(t) = ±2 arcsin sn
Ω
(t + t0 ),
k
или
x(t) = ±2 arcsin sn
Ω
t,
k
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
314
ГЛАВА 14. Системы с быстро вращающейся фазой
если x(0) = 0. Очевидно,
Ω
Ω
dn t.
k
k
Знак плюс отвечает вращению маятника против часовой стрелки, а
знак минус — вращению по часовой стрелке. Переменная действия
определяется формулой
ẋ(t) = ±2
1
I=
2π
∫2π
0
Ω
ẋdx =
kπ
∫2π √
x
4Ω
1 − k 2 sin2 dx =
E(k).
2
kπ
0
Далее,
dI
4K(k)Ω
=−
.
dk
k2π
Следовательно, существует обратная функция
dk
k2π
=−
.
dI
4K(k)Ω
Переходя к переменным действие–угол (I, θ) по формулам
( K(k) )
x(t) = ±2 arcsin sn
θ = X2 (I, θ),
π
2Ω ( K(k) )
dn
θ = Y2 (I, θ),
ẋ(t) =
k
π
получим систему
dI
dθ
πΩ
= 0,
=
.
dt
dt
kK(k)
14.5. Квазиконсервативный виброударный
осциллятор
Здесь мы следуем работе Бабицкого, Ковалевой, Крупенина [5] и
книге Бабицкого, Крупенина [7] (cм. также [4]).
Рассмотрим линейную колебательную систему с уравнением движения
ẍ + Ω2 x = 0,
описывающую гармонические колебания тела единичной массы, укрепленного на пружине с жесткостью Ω2 . Фазовый портрет системы —
эллипсы
)
1(
H(x, ẋ) = ẋ2 + Ω2 x2 = E = const.
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14.5. Квазиконсервативный виброударный осциллятор
315
Установим в точке x = ∆ неподвижный ограничитель и будем предполагать, что по достижении координатой x значения ∆ в системе
происходит мгновенный упругий удар, так что если x = ∆ в момент
времени tα , то выполняется соотношение
ẋ(tα − 0) = −ẋ(tα + 0).
(14.32)
При наличии зазора, когда ∆ > 0, эллипсы, соответствующие
линейной системе, «разрезаются» вертикальной прямой x = ∆ и их
истинным траекториям соответствуют их левые части. Если уровень
энергии в линейной системе недостаточен для выхода на уровень
x = ∆, происходят линейные колебания с частотой Ω. При наличии соударений частота колебаний ω > Ω и с увеличением энергии
возрастает, но не может быть больше значения 2Ω, так что
Ω < ω < 2Ω,
∆ > 0.
(14.33)
При натяге ∆ < 0 частота колебаний ω удовлетворяет неравенству
2Ω < ω < ∞, ∆ < 0.
(14.34)
При ∆ = 0 получаем эллипс, «разрезанный» точно пополам. Поэтому для всех значений энергии изображающая точка проходит любую фазовую траекторию за одно и то же время с удвоенной скоростью 2Ω, так что
ω = 2Ω, ∆ = 0.
(14.35)
Аналогично рассматривается случай, когда в системе установлены два симметричных ограничителя (см. [7]).
Условие (14.32) говорит о том, что изменение импульса Φ0 в
окрестности момента удара tα имеет вид
J = ẋ− − ẋ+ = 2ẋ− ,
ẋ− > 0,
где ẋ∓ = ẋ(tα ∓ 0).
Результирующая сила оказывается локализованной при t = tα .
Поэтому
Φ0 |t=tα = Jδ(t − tα ),
(14.36)
причем
t∫
α +0
Φ0 dt = J.
tα −0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
316
ГЛАВА 14. Системы с быстро вращающейся фазой
Удары происходят периодически, когда tα = t0 + αT , где α — целое
число, а T — период между ударами, вычисляемый при помощи равенства T = 2πω −1 и (14.33)–(14.34). Поэтому при −∞ < t < ∞
получаем T -периодическое продолжение (14.36)
Φ0 = JδT (t − t0 ),
где δT (t) — T -периодическая δ-функция.
Под решением уравнения
ẍ + Ω2 x + Φ0 (x, ẋ) = 0
(14.37)
можно понимать T -периодическую функцию x(t), которая, будучи
подставленной в это уравнение, обращает его в верное (в смысле
теории обобщенных функций) равенство вида
ẍ + Ω2 x + JδT (t − t0 ) = 0,
где t0 — произвольная постоянная, и для всех α = 0, ±1, . . .
x(t0 + αT ) = ∆,
J = 2ẋ− (t0 + αT ).
При этом выполняются ограничения
x(t) ≤ ∆,
ẋ− > 0,
(14.38)
а периоды колебаний в зависимости от знака ∆ соответствуют частотным диапазонам (14.33)–(14.35).
Для аналитического описания решения положим t0 = 0. Тогда
при 0 ≤ t < T0 решение уравнения (14.37) имеет вид
(
)
x(t) = −Jκ ω0 (J)(t − t0 ), ω0 (J) ,
[
]
1 cos Ω(t − T0 /2)
ΩT0
κ(t, ω0 ) =
, J(ω0 ) = −2Ω∆ tan
, J ≥ 0,
2Ω sin(ΩT0 /2)
2
причем третье соотношение определяет здесь при ∆ ̸= 0 гладкую
зависимость ω0 (J), а при ∆ = 0 получаем ω0 = 2Ω.
Найденное представление следует продолжить по периодичности.
Получим
∞
ω0
ω0 ∑ cos kω0 t
κ(t, ω0 ) =
+
.
2πΩ2
π
Ω2 − k 2 ω02
k=1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14.5. Квазиконсервативный виброударный осциллятор
317
Геометрические условия удара приводят к частотным интервалам
(14.33)–(14.35). Отметим, что в случае ∆ = 0, решение x(t) при
0 ≤ t < π/Ω имеет вид
x(t) = −
J
sin Ωt,
2Ω
причем J — произвольная постоянная, не зависящая от частоты.
Рассмотрим теперь возмущенный виброударный осциллятор
ẍ + Ω2 x + Φ0 (x, ẋ) = εg(t, x, ẋ),
(14.39)
где ε — малый параметр. Назовем такой осциллятор квазиконсервативным. Положим ψ = ω0 t и от уравнения (14.39) перейдем к системе
в переменных J, ψ (импульс–фаза) с помощью замены
x = −Jκ(ψ, ω0 J),
ẋ = −Jω0 (J)κψ (ψ, ω0 J),
(14.40)
где
[
κ(ψ, ω0 J) = ω0−1
]
∞
∑
1
cos kψ
1
+
,
2
2πΩ0 π
Ω20 − k 2
Ω0 = Ω[ω0 (J)]−1 .
k=1
Замена (14.40) — негладкая; при ψ = 2lπ, где l — целое число,
функция κψ имеет конечные разрывы, поэтому в новых переменных
удары происходят, когда ψ = 2lπ. Производя замену (14.40), придем
к системе (см. [7])
dJ
= −4εω0 g(t, −Jκ, −Jω0 κψ )κψ ,
dt
dψ
= ω0 (J) − 4εω0 J −1 g(t, −Jκ, −Jω0 κψ )(−Jκ)J .
dt
(14.41)
Получили систему с быстро вращающейся фазой, где правые части
периодичны по ψ и имеют конечные разрывы (κψ ) в точках ψ = 2lπ.
Зависимости ω0 (J) имеют вид
πΩ
,
π − arctan[J/(2Ω∆)]
πΩ
ω0 (J) = −
,
arctan[J/(2Ω∆)]
ω0 = 2Ω = const,
ω0 (J) =
∆ > 0,
Ω < ω0 < 2Ω,
∆ < 0,
2Ω < ω0 < ∞,
∆ = 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
318
ГЛАВА 14. Системы с быстро вращающейся фазой
Пусть теперь возмущение не зависит от t, т.е. является автономным.
Предположим, что
g(x, ẋ) = (α − βx2 )ẋ.
Колебательная система
ẍ + Ω2 x + Φ0 (x, ẋ) = ε(α − βx2 )ẋ
называется авторезонансной. Переходя к переменным импульс-фаза
и усредняя первое уравнение по быстрой переменной, получаем
[ (
)
]
J
sin ΩT
βJ 2 (1 − sin 2ΩT /2ΩT )
X̄(J) =
α 1−
−
.
ΩT
2 sin2 (1/2ωT )
16Ω2 sin2 (1/2ωT )
Здесь нужно учесть, что J = −2Ω∆ tan(1/2ΩT ) и π/Ω < T < 2π/Ω
при ∆ > 0. Для отыскания стационарных решений усредненного
уравнения получаем трансцендентное уравнение
X̄(J) = 0.
Из теоремы 14.1 следует, что каждому простому корню J0 этого уравнения соответствует периодическое решение авторезонансной
системы. Устойчивость этого периодического решения определяется
знаком числа XJ (J0 ).
14.6. Формальная схема усреднения
для систем с быстрой фазой
Рассмотрим систему
dx
= εX(x, ψ, ε),
dt
dψ
= ω(x) + εΨ(x, ψ, ε).
dt
(14.42)
Здесь x — n-мерный вектор; ψ — скаляр; ε > 0 — малый параметр, скалярная функция ω(x) в области изменения переменных xi
удовлетворяет неравенству
|ω(x)| > c > 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14.6. Формальная схема усреднения . . .
319
Предполагаем, что правые части системы (14.42) разложимы по параметру ε
dx
= εX1 (x, ψ) + ε2 X2 (x, ψ) + O(ε3 ),
dt
dψ
= ω(x) + εΨ1 (x, ψ) + ε2 Ψ2 (x, ψ) + O(ε3 ),
dt
(14.43)
где O(ε3 ) — члены порядка ε3 при ε → 0. Далее, будем предполагать,
что все функции Xi (x, ψ), Ψi (x, ψ) периодичны по ψ с периодом 2π.
В системе (14.43) переменные xi изменяются медленно (скорость их
изменения пропорциональна малому параметру ε), а фаза ψ изменяdψ
ется относительно быстро, так как, вообще говоря,
∼ 1. Опишем
dt
формальную схему усреднения системы (14.43). Будем рассматривать решение системы (14.43), удовлетворяющее начальным условиям x(t0 ) = x0 , ψ(t0 ) = ψ0 на асимптотически большом промежутке
времени t порядка 1/ε. Медленные переменные xi за время ∆t ∼ 1/ε
получат некоторые ограниченные приращения, быстрая фаза ψ может за это время получить, вообще говоря, большое приращение.
Задача об усреднении системы (14.43) заключается в получении более простой усредненной системы, в которой медленные переменные
xi и быстрая фаза ψ будут разделены. Кроме того, быстрая фаза ψ
должна быть исключена из правых частей усредненной системы.
Для получения усредненной системы и разделения быстрых и
медленных переменных выполним замену переменных
x = ξ + εu1 (ξ, η) + ε2 u2 (ξ, η) + O(ε3 ),
ψ = η + εv1 (ξ, η) + ε2 v2 (ξ, η) + O(ε3 ).
(14.44)
Естественно предполагается, что при ε = 0 старые переменные x,
ψ и новые переменные ξ, η соответственно совпадают. Поскольку в
усредненной системе переменные ξ и η должны быть разделены, то
усредненную систему ищем в виде
dξ
= εΣ1 (ξ) + ε2 Σ2 (ξ) + O(ε3 ),
dt
dη
= ω(ξ) + εΦ1 (ξ) + ε2 Φ2 (ξ) + O(ε3 ),
dt
(14.45)
где Σi (ξ), Φi (ξ) подлежат определению.
Усредненная система (14.45) существенно проще исходной системы (14.42), так как в (14.45) система медленных движений интегрируется независимо от быстрой переменной η, а после определения
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
320
ГЛАВА 14. Системы с быстро вращающейся фазой
медленных переменных ξi быстрая переменная η находится квадратурой.
Продифференцируем формулы замены переменных (14.44) в силу
системы (14.45). Получим
dξ
∂u1 (ξ, η) dξ
∂u1 (ξ, η) dη
∂u2 (ξ, η) dξ
∂u2 (ξ, η) dη
+ε
+ε
+ ε2
+ ε2
+
dt
∂ξ
dt
∂η
dt
∂ξ
dt
∂η
dt
(
+ O(ε3 ) = εX1 ξ + εu1 (ξ, η) + ε2 u2 (ξ, η) + O(ε3 ), η + εv1 (ξ, η)+
)
(
+ ε2 v2 (ξ, η) + O(ε3 ) + ε2 X2 ξ + εu1 (ξ, η) + ε2 u2 (ξ, η) + O(ε3 ), η+
)
+ εv1 (ξ, η) + ε2 v2 (ξ, η) + O(ε3 ) + O(ε3 ),
∂v1 (ξ, η) dξ
∂v1 (ξ, η) dη
∂v2 (ξ, η) dξ
∂v2 (ξ, η) dη
dη
+ε
+ε
+ ε2
+ ε2
+
dt
∂ξ
dt
∂η
dt
∂ξ
dt
∂η
dt
(
)
(
+ O(ε3 ) = ω ξ + εu1 (ξ, η) + ε2 u2 (ξ, η) + O(ε3 ) + εΨ1 ξ+
)
+ εu1 (ξ, η) + ε2 u2 (ξ, η) + O(ε3 ), η + εv1 (ξ, η) + ε2 v2 (ξ, η) + O(ε3 ) +
(
+ ε2 Ψ2 ξ + εu1 (ξ, η) + ε2 u2 (ξ, η) + O(ε3 ), η + εv1 (ξ, η)+
)
+ ε2 v2 (ξ, η) + O(ε3 ) + O(ε3 ),
(14.46)
{ ∂ui (ξ, η) }
∂u1 (ξ, η)
1
=
и аналогичные им (согде выражения вида
∂ξ
∂ξj
держащие первые производные) нужно понимать как матрицы. Заме˙ η̇ правыми частями усредненной систеним в (14.46) производные ξ,
мы (14.45) и разложим все функции в ряд по степеням ε. Приравнивая в левой и правой частях полученного равенства коэффициенты
при одинаковых степенях ε, находим рекуррентную систему уравнений для определения неизвестных функций ui (ξ, η), vi (ξ, η), Σi (ξ),
Φi (ξ), i = 1, 2, . . . . Выпишем первые два уравнения, полученные приравниванием коэффициентов при первой степени ε:
∂u1 (ξ, η)
ω(ξ) = X1 (ξ, η),
∂η
∂v1 (ξ, η)
∂ω(ξ)
Φ1 (ξ) +
ω(ξ) =
u1 (ξ, η) + Ψ1 (ξ, η).
∂η
dξ
Σ1 (ξ) +
(14.47)
(14.48)
Отметим, что (14.47) — это уравнение в n-мерном пространстве, а
(14.48) — скалярное уравнение. Определим вектор-функции Σ1 (ξ) и
u1 (ξ, η). Напомним, что вектор-функция X1 (ξ, η) периодична по η c
периодом 2π. Для 2π-периодической функции f (ξ) будем писать ее
разложение в ряд Фурье в виде
f (η) ∼
∞
∑
n=−∞
fn einη .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14.6. Формальная схема усреднения . . .
321
Рассмотрим дифференциальное уравнение
dx
= f (η).
dη
Очевидно, это уравнение имеет периодические решения только в
случае, если среднее значение периодической функции f (η),
1
f0 =
2π
∫2π
f (η)dη,
0
равно нулю, причем периодическое решение определяется с точностью до произвольной постоянной и имеет вид
x(η) ∼
∑ fn
n̸=0
in
einη + const.
Обратимся к уравнению (14.47). Попытаемся определить векторфункцию u1 (ξ, η) как 2π-периодическую вектор-функцию переменной
η. Перепишем равенство (14.47) в виде
∂u1 (ξ, η)
ω(ξ) = X1 (ξ, η) − Σ1 (ξ).
∂η
Если положить
1
Σ1 (ξ) =
2π
(14.49)
∫2π
X1 (ξ, η)dη,
(14.50)
0
то среднее значение, стоящей в правой части системы (14.49) периодической вектор-функции, будет равно нулю. Поэтому, если справедливо равенство (14.50), то вектор-функция u1 (ξ, η) определяется
как 2π-периодическая вектор-функция переменной η. Отметим, что
определяется она с точностью до произвольной вектор-функции переменной ξ:
∑ fn (ξ) einη
u1 (ξ, η) =
+ u10 (ξ).
(14.51)
in ω(ξ)
n̸=0
Таким образом, формула (14.50) однозначно определяет вектор-функцию Σ1 (ξ), а формула (14.51) — вектор-функцию u1 (ξ, η) (неоднозначно).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
322
ГЛАВА 14. Системы с быстро вращающейся фазой
Перейдем теперь к уравнению (14.48). Перепишем его в следующем виде:
∂v1 (ξ, η)
∂ω(ξ)
ω(ξ) =
u1 (ξ, η) + Ψ1 (ξ, η) − Φ1 (ξ).
∂η
dξ
(14.52)
Уравнение (14.52) имеет такую же форму, как и уравнение (14.49).
Правая часть системы — это известная 2π-периодическая функция
переменной η, так как вектор-функция u1 (ξ, η) уже определена. Поэтому, если мы положим
1
Φ1 (ξ) =
2π
∫2π [
]
∂ω(ξ)
u1 (ξ, η) + Ψ1 (ξ, η) dη,
dξ
0
то определится функция v1 (ξ, η) как 2π-периодическая функция η.
Отметим, что функции Φ1 (ξ) и v1 (ξ, η) определяются неоднозначно.
Для вычисления Σi (ξ), Φi (ξ), ui (ξ, η), vi (ξ, η), i ≥ 2 получаются уравнения аналогичные системам (14.49) и (14.52):
∂ui (ξ, η)
ω(ξ) = Fi (ξ, η) − Σi (ξ),
∂η
∂vi (ξ, η)
ω(ξ) = Gi (ξ, η) − Φi (ξ),
∂η
где вектор-функции Fi (ξ, η) и функции Gi (ξ, η) зависят от функций
Σk (ξ), Φk (ξ) и uk (ξ, η), vk (ξ, η), где k = 1, 2, . . . , i − 1. Вектор-функции
Σi (ξ) и функции Φi (ξ) определяются как средние значения Fi (ξ, η) и
Gi (ξ, η) соответственно. Таким образом, последовательно определяются коэффициенты в формуле замены переменных (14.44) и коэффициенты усредненной системы c любой степенью точности относительно малого параметра ε.
Отметим, что на практике обычно удается вычислить только коэффициенты при первой и второй степенях ε.
Рассмотрим теперь усредненную систему (14.45). Назовем системой k-го приближения следующую систему для медленных переменных
k
dξk ∑ l
=
ε Σl (ξk ),
(14.53)
dt
l=1
полученную отбрасыванием в усредненной системе для медленных
переменных членов порядка εk+1 и выше. Поскольку мы интегрируем
систему (14.53) на промежутке времени t ∼ 1/ε, то, вообще говоря,
ξ − ξk ∼ εk . Следовательно, решение ξk (t, ε) системы (14.53) дает k-е
приближение для решения ξ усредненной системы (14.45). Если мы
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14.6. Формальная схема усреднения . . .
323
найдем приближенные значения медленных переменных ξk (t, ε), то
можно приближенно определить быструю переменную η из второго
уравнения усредненной системы. Получаем
∫t
η = η0 +
[
]
ω(ξk ) + εΦ1 (ξk ) + ε2 Φ2 (ξk ) + ε3 . . . dt.
(14.54)
t0
Поскольку ξ − ξk ∼ εk , то ω(ξ) − ω(ξk ) ∼ εk . Интегрирование проводится на интервале t ∼ 1/ε. Поэтому быстрая фаза определяется из
уравнения (14.54) с погрешностью ∼ εk−1 , когда медленные переменные ξk (t, ε) определяются с погрешностью εk . Точность вычисления
быстрой переменной на один порядок ниже, чем точность вычисления медленных переменных. Однако в частных случаях, например,
если ω(ξ) ≡ const, быстрая и медленная переменная вычисляются с
одинаковой точностью.
Поэтому естественно считать усредненной системой k-го приближения систему, состоящую из системы (14.53) и уравнения
∑
dηk−1
= ω(ξk ) +
εl Φl (ξk ).
dt
k−1
(14.55)
l=1
Выпишем, ввиду их важности, систему первого приближения
dξ1
= εΣ1 (ξ1 )
dt
(14.56)
и систему второго приближения
dξ2
= εΣ1 (ξ2 ) + ε2 Σ2 (ξ2 ),
dt
dη1
= ω(ξ2 ) + εΦ1 (ξ2 ).
dt
(14.57)
Знание усредненных значений ξk и ηk−1 позволяет найти соответствующие приближения для исходных переменных xk и ψk−1
xk = ξk +
k−1
∑
εl ul (ξk , ηk−1 ),
l=1
k−2
∑
ψk−1 = ηk−1 +
l=1
εl vl (ξk , ηk−1 ).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
324
ГЛАВА 14. Системы с быстро вращающейся фазой
С сохранением нужной точности эти уравнения можно записать в
виде
x k = ξk +
k−1
∑
εl ul (ξk−l , ηk−l ),
l=1
k−2
∑
ψk−1 = ηk−1 +
εl vl (ξk−l−1 , ηk−l−1 ).
l=1
Рассмотрим вопрос о задании начальных условий для решений усредненных уравнений. Предположим, что начальные условия разложимы в ряд по степеням параметра ε, т.е.
x(t0 , ε) = x00 + εx10 + ε2 x20 + O(ε3 ),
ψ(t0 , ε) = ψ00 + εψ01 + ε2 ψ02 + O(ε3 ).
(14.58)
С помощью разложений (14.58) можно найти уравнения для определения начальных значений для усредненной системы k-го приближения, подставляя формулы замены переменных (14.44) при t = t0
в левые части выражения (14.58) и приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях ε. В частности, уравнение первого приближения нужно решать с начальными условиями ξ1 (t0 , ε) = x00 .
Вводя медленное время τ = εt, уравнение первого приближения
(14.56) запишем в виде
dξ1
= Σ1 (ξ1 ).
(14.59)
dτ
Это уравнение нужно решать на интервале ∆τ ∼ 1. Параметр ε, таким образом, фактически исключается из уравнений первого приближения, и интегрирование (14.59) на конечном интервале ∆τ ∼ 1 является более простой задачей, чем интегрирование уравнения (14.56)
на интервале ∆t ∼ 1/ε. Решение уравнений k-го приближения можно
искать в виде
k−1
∑
ξk = ξ1 +
εl δξl .
l=1
Тогда для определения поправок δξl получим линейные неоднородные
системы уравнений.
Более детальное изложение формальной схемы усреднения можно
найти в книге Волосова и Моргунова [31].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 15
Резонансные
периодические колебания
в неавтономных системах
с быстро вращающейся
фазой
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dx
= εX(t, x, ψ, ε),
dt
dψ
= ω(x) + εΨ(t, x, ψ, ε),
dt
(15.1)
где x — скалярная переменная, ψ — быстро вращающаяся фаза,
ε > 0 — малый параметр, t ∈ R.
Будем предполагать, что функции X(t, x, ψ, ε) и Ψ(t, x, ψ, ε) периодичны по фазе ψ с периодом 2π и периодичны по переменной t с
периодом T = 2π/ν. Система (15.1) содержит одну медленную переменную x и две быстрые переменные ψ и t. Наличие двух быстрых
переменных приводит к существенному усложнению исследования
системы (15.1) (см. [69, 152]), так как возможна соизмеримость частот ω и ν.
Определение резонанса. Будем говорить, что в системе (15.1)
имеет место резонанс, если
q
ω(x) = ν,
p
(15.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
326
ГЛАВА 15. Резонансные периодические колебания . . .
где p, q — взаимно простые целые числа.
Для системы (15.1) условие резонанса (15.2) влечет соизмеримость периода τ собственных колебаний (период невозмущенного
движения) с периодом возмущения:
τ=
p 2π
.
q ν
Условие (15.2) с фиксированными p и q может быть рассмотрено
как уравнение по отношению к x. Обозначим его решение через
xpq . Назовем решение x = xpq резонансным уровнем. Тогда условие
(15.2) выделяет резонансные кривые среди замкнутых фазовых кривых невозмущенной системы. Резонансный уровень x = xpq назовем
dω
невырожденным, если
(xpq ) ̸= 0.
dx
Поведение решений системы (15.1) в окрестности резонансных
уровней описывается в книгах Морозова [69, 152]. Рассматриваются
невырожденные проходимые, частично проходимые и непроходимые
резонансные уровни, вырожденные резонансные уровни. Исследуются топология резонансных зон, существование периодических решений, нетривиальных гиперболических множеств, переход от точного
резонанса к нерезонансному уровню. Основное внимание уделяется
глобальному поведению решений.
Отметим также работу Мардока [156]. В этой работе рассматривалось дифференциальное уравнение
θ̈ = εf (t, θ, θ̇),
где ε ≪ 1 и f (t, θ, θ̇) — периодическая по t и θ с периодом 2π. Это
уравнение записывается в виде системы
θ̇ = ω,
ω̇ = εf (t, θ, ω).
Введена классификация чисел ω, соответствующая различным типам резонансных уровней, и исследовано локальное и глобальное
поведение решений.
Здесь мы рассмотрим только вопрос о существовании и устойчивости периодических решений в окрестности невырожденного резонансного уровня. Существенным моментом является тот факт, что
для анализа задачи нужно построить усредненные уравнения второго приближения.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15.1. Преобразование основной системы . . .
327
15.1. Преобразование основной системы
в окрестности невырожденного
резонансного уровня
Для того чтобы √
изучить качественное поведение решений системы (15.1) в µ = ε-окрестности индивидуального резонансного
уровня x = xpq :
{
}
Uµ = (x, φ) : xpq − cµ < x < xpq + cµ, 0 ≤ φ < 2π, c = const > 0 ,
преобразуем уравнение (15.1) к более удобной форме. Сделаем замену
q
ψ = φ + νt.
p
Тогда получим систему
dx
q
= εX(t, x, φ + νt, ε),
dt
p
dφ
q
q
= ω(x) − ν + εΨ(t, x, φ + νt, ε).
dt
p
p
Затем сделаем замену
x = xpq + µz
и разложим правую часть преобразованной системы в ряд по степеням параметра µ:
dz
q
q
= µX(t, xpq , φ + νt, 0) + µ2 Xx (t, xpq , φ + νt, 0)z + O(µ3 ),
dt
p
p
dφ
1
q
= µωx (xpq )z + µ2 ωxx (xpq )z 2 + µ2 Ψ(t, xpq , φ + νt, 0) + O(µ3 ).
dt
2
p
(15.3)
Система (15.3) является системой в стандартной форме и содержит
только одну быструю переменную t. Правые части системы (15.3)
2πp
. Сделаем теперь станпериодичны по t с наименьшим периодом
ν
дартное преобразование метода усреднения, которое позволит исключить из правых частей системы (15.3) быструю переменную t с
точностью до членов порядка µ2 . Мы будем искать это преобразование в следующем виде:
z = ξ + µu1 (t, η) + µ2 u2 (t, η)ξ,
φ = η + µ2 v2 (t, η),
(15.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
328
ГЛАВА 15. Резонансные периодические колебания . . .
где u1 (t, η), u2 (t, η), v2 (t, η) определяются как периодические функ2πp
ции переменной t с периодом
и нулевым средним значением из
ν
уравнений
∂u1
q
= X(t, xpq , η + νt, 0) − X0 (η),
∂t
p
∂u2
q
∂u1
= Xx (t, xpq , η + νt, 0) −
ωx (xpq ) − X1 (η),
∂t
p
∂η
∂v2
q
∂u1
= Ψ(t, xpq , η + νt, 0) −
ωx (xpq ) − Ψ0 (η).
∂t
p
∂η
Функции X0 (η), X1 (η) и Ψ0 (η) определяются формулами
2πp
X0 (η) =
ν
2πp
∫ν
q
X(t, xpq , η + νt, 0)dt,
p
0
2πp
X1 (η) =
ν
2πp
∫ν
q
Xx (t, xpq , η + νt, 0)dt,
p
(15.5)
0
2πp
Ψ0 (η) =
ν
2πp
∫ν
q
Ψ(t, xpq , η + νt, 0)dt.
p
0
Отметим, что функции X0 (η), X1 (η) и Ψ0 (η) периодичны по η с наи2π
меньшим периодом
. Покажем это для определенности на примере
p
X0 (η). Вычисление интеграла в формуле (15.5) сведется к вычислению интегралов следующего вида:
2πp
∫ν
2πp
q
∫ν
eim(η+ p νt) eikνt dt = eimη
αmk =
0
q
ei(m p +k)νt dt.
0
q
Очевидно, αmk ̸= 0, если m + k = 0. Так как m и k — целые числа,
p
то последнее равенство может иметь место только в случае, когда
m = rp, где r — целое число. Поэтому eimη = eirpη и, следовательно,
2π
наименьший период функции X0 (η) по η равен
. Замена (15.4)
p
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15.2. Поведение решений основной системы . . .
329
приводит к системе
dξ
= µX0 (η) + µ2 X1 (η)ξ + O(µ3 ),
dt
dη
1
= µωx (xpq )ξ + µ2 Ψ0 (η) + µ2 ωxx (xpq )ξ 2 + O(µ3 ).
dt
2
(15.6)
15.2. Поведение решений основной
системы в окрестности
невырожденного резонансного
уровня
2π
Будем предполагать, что существует такое число η0 (0 < η0 <
),
p
что
X0 (η0 ) = 0
(15.7)
и число η0 — простой корень уравнения (15.7), т.е.
X0η (η0 ) ̸= 0.
Тогда усредненная система первого приближения
dξ
= µX0 (η),
dt
dη
= µωx (xpq )ξ
dt
(15.8)
η = η0 .
(15.9)
имеет решение
ξ = 0,
Линеаризуя правую часть системы (15.8) на решении (15.9), получим
матрицу
(
)
0
µX0η (η0 )
A0 (µ) =
.
µωx (xpq )
0
Если выполняется неравенство
X0η (η0 ) · ωx (xpq ) > 0,
(15.10)
то матрица A0 (µ) имеет вещественные собственные значения разных
знаков. Тогда из теоремы 9.4 вытекает следующий результат.
Теорема 15.1. Пусть существует число η0 , удовлетворяющее
ра√
венству (15.7) и неравенству (15.10). Тогда в ε-окрестности резонансной точки xpq при достаточно малых ε существует един2πp
ственное периодическое решение системы (15.1) с периодом
,
ν
которое неустойчиво.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
330
ГЛАВА 15. Резонансные периодические колебания . . .
Предположим теперь, что вместо неравенства (15.10) выполняется противоположное неравенство
X0η (η0 ) · ωx (xpq ) < 0.
(15.11)
В этом случае собственные значения матрицы A0 (µ) — чисто мнимые. Для исследования вопроса о существовании и устойчивости
периодических решений системы (15.1) в окрестности резонансной
точки xpq необходимо привлечь к рассмотрению уравнения второго
приближения. Эти уравнения имеют следующую форму:
dξ
= µX0 (η) + µ2 X1 (η)ξ,
dt
(15.12)
dη
1 2
2
2
= µωx (xpq )ξ + µ Ψ0 (η) + µ ωxx (xpq )ξ .
dt
2
Из условий (15.7), (15.11) и теоремы о неявной функции следует, что при достаточно малых µ существует единственная функция
h(µ) = (ξ(µ), η(µ)) такая, что ξ(0) = 0, η(0) = η0 и h(µ) — состояние
равновесия системы (15.12). Главная часть матрицы линеаризованной на этом состоянии равновесия системы будет иметь вид
( 2
)
µ X1 (η0 ) µX0η (η0 )
A1 (µ) =
.
µωx (xpq ) µ2 Ψ0η (η0 )
Легко видеть, что собственные значения матрицы A1 (µ) при достаточно малых µ имеют отрицательные вещественные части, если выполняется неравенство
X1 (η0 ) + Ψ0η (η0 ) < 0,
(15.13)
и положительные вещественные части, если выполняется неравенство
X1 (η0 ) + Ψ0η (η0 ) > 0.
(15.14)
Из теоремы 12.1 вытекает, что существует при достаточно малых µ
единственное периодическое решение h(t, µ) = (ξ(t, µ), η(t, µ)) систе2πp
, которое асимптотически устойчиво, если
мы (15.6) с периодом
ν
выполняется неравенство (15.13), и неустойчиво, если выполняется
неравенство (15.14), причем ∥h(t, µ) − h(µ)∥ = O(µ3 ). Сформулируем
полученный результат применительно к системе (15.1).
Теорема 15.2. Пусть число η0 удовлетворяет равенству (15.7) и
неравенству (15.11). Пусть справедливо неравенство
X1 (η0 ) + Ψ0η (η0 ) ̸= 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15.3. Вынужденные резонансные колебания . . .
331
Тогда при достаточно малых ε система (15.1) имеет единствен2πp
ное периодическое решение с периодом
в ε-окрестности реν
зонансной точки xpq . Это решение асимптотически устойчиво,
если выполняется неравенство (15.13), и неустойчиво, если выполняется неравенство (15.14).
15.3. Вынужденные резонансные
колебания и вращения
математического маятника
Вынужденные колебания и вращения математического маятника
описываются уравнением
ẍ + εγ ẋ + Ω2 sin x = εa cos νt,
(15.15)
где ε > 0 — малый параметр. Здесь Ω2 = g/l (cм. п. 14.4.), γ > 0 —
коэффициент затухания, a, ν — вещественные числа. Напомним (см.
п. 14.4.), что невозмущенное уравнение маятника
ẍ + Ω2 sin x = 0
имеет решение
x(t) = 2 arcsin k sn Ωt,
x(0) = 0
и в переменных действие–угол (I, θ) принимает вид
dI
= 0,
dt
dθ
πΩ
=
.
dt
2K(k)
Вернемся теперь к возмущенному уравнению (15.15). Перейдем от
этого уравнения к системе уравнений, сделав переход к переменным
действие–угол по формулам
]
[
]
[
2K(k)
2K(k)
θ = X(I, θ), ẋ = 2kΩ cn
θ = Y (I, θ),
x = 2 arcsin k sn
π
π
π
где θ =
Ωt. Получим систему
2K(k)
{
[
]}
dI
2K(k)
∂X
= ε a sin νt − 2γkΩ cn
θ
,
dt
π
∂θ
{
[
]}
(15.16)
πΩ
2K(k)
∂X
dθ
=
− ε a sin νt − 2γkΩ cn
θ
.
dt
2K(k)
π
∂I
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
332
ГЛАВА 15. Резонансные периодические колебания . . .
Будем говорить, что в системе (15.16) имеет место резонанс, если
выполняется равенство
πΩ
r
= ν,
2K(k(I)) s
(15.17)
где r, s — взаимно простые целые числа. Соответствующее значение
I, при котором выполняется равенство (15.17), обозначим через Irs .
Сделаем в системе (15.16) замену
r
θ = φ + νt.
s
Получим систему
{
[
]}
dI
2K(k)
r
r
= ε a sin νt − 2γkΩ cn
(φ + νt) Xθ (I, φ + νt),
dt
π
s
s
{
[
]}
dφ
2K(k)
r
r
= ω(I) − ε a sin νt − 2γkΩ cn
(φ + νt) XI (I, φ + νt),
dt
π
s
s
(15.18)
где
ω(I) =
r
πΩ
− ν.
2K(k) s
Затем сделаем замену
I = Irs + µz
и разложим правую часть преобразованной системы в ряд по степеням параметра µ:
{
[
]}
dz
2K(k)
r
= µ a sin νt − 2γkΩ cn
(φ + νt) ×
dt
π
s
]
[
r
r
× Xθ (Irs , φ + νt) + µXθI (Irs , φ + νt)z + O(µ3 ),
s
{ s
(15.19)
dφ
1 2
2
2
= µωI (Irs )z + µ ωII (Irs )z + µ a sin νt − 2γkΩ×
dt
2
[
]}
2K(k)
r
r
× cn
(φ + νt) XI (Irs , φ + νt) + O(µ3 ).
π
s
s
Правая часть системы (15.19) периодическая по t c периодом
2πs
T =
. Усредненная система второго приближения имеет вид
rν
dξ
= µX0 (η) + µ2 X1 (η)ξ + O(µ3 ),
dt
(15.20)
dη
1 2
2
2
3
= µωx (xpq )ξ + µ Ψ0 (η) + µ ωxx (xpq )ξ + O(µ ),
dt
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15.3. Вынужденные резонансные колебания . . .
333
где X0 (η) — среднее значение по t первого слагаемого первого уравнения правой части системы (15.19), X1 (η)ξ — среднее значение по t
второго слагаемого первого уравнения правой части системы (15.19),
Ψ0 (η) — среднее значение по t третьего слагаемого второго уравнения правой части системы (15.19).
Теперь для исследования системы (15.19) в окрестности резонансной точки Irs воспользуемся теоремами 15.1 и 15.2.
Вычислим производную функции ω(I) в резонансной точке Irs .
Получим
(
)
[
]
d
πΩ
π2
′
′2
d = ω (Irs ) =
=
−
E(k)
−
k
K(k)
.
dI 2K(k(I)) I=Irs
16k 2 k ′2 K 3 (k)
Отсюда следует, что d < 0, так как E(k) − k ′2 K(k) > 0 при 0 < k < 1.
Теперь перейдем к вычислению среднего значения по t правой части
первого слагаемого первого уравнения системы (15.19). Разложение
в ряд Фурье функции X(I, θ) в случае колебательного движения
маятника имеет вид (см. [36])
∞
∑
an (q)
X(I, θ) = 8
sin(2n + 1)θ,
2n
+
1
n=0
где
(
)
K ′ (k)
q = exp −π
,
K(k)
q n+1/2
an (q) =
.
1 + q 2n+1
∂X
получаем разложение в ряд Фурье
∂θ
[
]
∞
∑
∂X
4kK(k)
2K(k)
=8
an (q) cos(2n + 1)θ =
cn
θ .
∂θ
π
π
n=0
Для функции
Для функции
∂X
соответствующее разложение имеет вид
∂I
∞
∑ q n+1/2 (1 − q 2n+1 )
∂X
∂X dk
π3
=
= 3 ′2 3
sin(2n + 1)θ.
∂I
∂k dI
4k k K (k)Ω n=0 (1 + q 2n+1 )2
Отметим, что при вычислении использовалась формула
d K ′ (k)
π
= − 2 ′2 2 .
dk K(k)
2k k K (k)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
334
ГЛАВА 15. Резонансные периодические колебания . . .
Далее,
]
[
]
γ 2
2K(k)
2 2K(k)
−2γkΩ cn
θ Xθ (I, θ) = − 8k K(k)Ω cn
θ
π
π
π
[
и
1
2π
[
∫2π
cn2
]
2K(k)
1
θ dθ =
π
4K(k)
0
4K(k)
∫
cn2 u du =
]
1 [
′2
E(k)−k
K(k)
.
k 2 K(k)
0
Вернемся теперь к вычислению среднего значения правой части первого уравнения системы (15.19). Очевидно, это среднее значение может быть отлично от нуля только тогда, когда r = 1, s = 2n + 1
(n = 0, 1, . . . ). Если r = 1, s = 2n + 1, то среднее значение равно
[
]
1
f (φ) = − aan (q) sin (2n + 1)φ − γIrs .
2
При вычислении среднего значения учитывалась формула
I=
]
8Ωk 2 [
E(k) − k ′2 K(k) .
π
Следовательно, уравнение (15.7) принимает вид
[
]
2γIrs
sin (2n + 1)φ = −
= A.
aan (q)
Откуда получаем 4n + 2 различных значения числа φ0 (в обозначениях (15.7) η0 )
l
(−1)l arccos A
φ0l =
π−
,
2n + 1
2n + 1
l = 1, . . . , 4n + 2.
(15.21)
Решение уравнения (15.21) существует, если
|A| < 1.
(15.22)
Если n велико, то неравенство (15.22) не выполняется, так как
lim an (q) = 0.
n→∞
Возможность выполнения (15.22) зависит также от величины γ.
Производная функции f (φ) в точке φ0l равна
√
2n + 1
b = fφ (φ0l ) = −(−1)l
an (q)a 1 − A2 .
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15.3. Вынужденные резонансные колебания . . .
335
Если l четно, то
bd = ωI (Irs )fφ (φ0l ) > 0.
√
Выполнены условия теоремы 15.1. Поэтому в ε-окрестности резонансной точки I1,2n+1 у системы (15.15) при достаточно малых ε су2π
ществует неустойчивое периодическое по t с периодом
решение.
ν
Если же l нечетно, то
bd < 0.
В этом случае нужно рассмотреть уравнения второго приближения.
Вычислим функции X1 (η) и Ψ0 (η). Легко подсчитать, что среднее
значение
[
]
2K(k)
1
1
⟨2kγ cn
(φ +
νt) XI (Irs , φ +
νt)⟩ = 0.
π
2n + 1
2n + 1
Поэтому
1
νt)⟩ − γ,
2n + 1
1
Ψ0 (η) = −⟨a sin νtXIθ (Irs , η +
νt)⟩.
2n + 1
X1 (η) = ⟨a sin νtXθI (Irs , η +
Следовательно,
X1 (φ0l ) + Ψ0 (φ0l ) = −γ.
Нам удобно сформулировать результат, вытекающий из теорем 15.1
и 15.2, в виде теоремы.
Теорема 15.3. Пусть I1,2n+1 — резонансная точка, т.е.
π
1
=
.
2K(k(I1,2n+1 )) 2n + 1
Пусть выполнено неравенство (15.22). Тогда при достаточно малых ε уравнение (15.15) имеет
√ 2n + 1 неустойчивых резонансных
периодических решений в ε-окрестности резонансной точки и
2n + 1 асимптотически устойчивых резонансных периодических
решений в ε-окрестности резонансной точки. При ε = 0 эти
периодические решения превращаются в периодические решения
невозмущенного уравнения.
Заметим еще, что ввиду неравенства
(
)
πΩ
π
<Ω
K(k) > , k > 0 ,
2K(k)
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
336
ГЛАВА 15. Резонансные периодические колебания . . .
не все резонансные точки существуют. Например, основная резонансная точка I1,1 существует, если ν < Ω, и не существует, если
ν > Ω.
Перейдем теперь к случаю вращательных движений невозмущенного маятника. Выберем то же возмущение
f (t) = a sin νt
и перейдем к переменным действие–угол. Получим систему уравнений
[
]
dI
= ε f (t) − γY (I, θ) Xθ (I, θ),
dt
[
]
dθ
πΩ
=
− ε f (t) − γY (I, θ) XI (I, θ),
dt
kK(k)
где
[
]
K(k)
x = X(I, θ) = 2 arcsin sn
θ ,
π
[
]
K(k)
2Ω
ẋ = Y (I, θ) =
dn
θ .
k
π
Точки резонанса определяются уравнением
πΩ
r
= ν.
kK(k) s
r
После замены θ = φ + νt получим систему
s
[
dI
r ]
r
= ε f (t) − γY (I, φ + νt) Xθ (I, φ + νt),
dt
s
s
(15.23)
[
dφ
πΩ
r ]
r
= ω(I)
− ε f (t) − γY (I, φ + νt) XI (I, φ + νt),
dt
kK(k)
s
s
где ω(I) =
r
πΩ
− ν. Производная ω(I) в точке резонанса равна
kK(k) s
ω ′ (Irs ) =
π 2 E(k)
> 0.
4k ′2 K 3 (k)
Чтобы провести дальнейшие вычисления, отметим, что имеют место
следующие разложения в ряд Фурье:
X(I, θ) = θ + 4
∞
∑
l=1
ql
sin lθ,
l(1 + q 2l )
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15.3. Вынужденные резонансные колебания . . .
Xθ (I, θ) = 1 + 4
∞
∑
l=1
337
[
]
ql
2K(k)
K(k)
cos lθ =
dn
θ ,
(1 + q 2l )
π
π
∞
∑ q l (1 − q 2l )
4π 3
XI (I, θ) = − ′2 3
sin lθ.
k K (k)Ω
(1 + q 2l )2
l=1
Среднее значение первого слагаемого первого уравнения системы
(15.23) отлично от нуля только при r = 1, s = n. Уравнение для
определения числа φ0 имеет вид
sin nφ = −
γI1,n
= B,
2abn (q)
(15.24)
qn
где bn (q) =
. При |B| < 1 уравнение (15.24) имеет 2n решений
1 + q 2n
φ0l =
lπ (−1)l arcsin B
−
,
n
n
l = 0, . . . , 2n − 1.
Производная X0η (η0 ) (в обозначениях теоремы 15.1) равна
√
X0η (η0 ) = −(−1)l 2anbn (q) 1 − B 2
и, следовательно, число X0η (η0 ) положительно при l нечетном и отрицательно при l четном. Дальнейшие вычисления аналогичны тем,
которые мы провели в случае колебательных движений невозмущенного маятника. Приходим к следующей теореме.
Теорема 15.4. Пусть I1,n — резонансная точка, т.е.
π
1
= .
k(I1,n )K(k(I1,n )) n
Пусть выполнено неравенство |B| < 1. Тогда при достаточно
малых ε уравнение (15.15)√имеет n неустойчивых резонансных
периодических решений в ε-окрестности резонансной точки и
n асимптотически устойчивых резонансных периодических решений в ε-окрестности резонансной точки. При ε = 0 эти периодические решения превращаются во вращательные движения невозмущенного уравнения.
Введем в правую часть уравнения маятника дополнительное слагаемое (момент)
ẍ + εγ ẋ + Ω2 sin x = εa sin νt + εM,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
338
ГЛАВА 15. Резонансные периодические колебания . . .
где M — постоянная. В случае колебательных движений невозмущенного маятника постоянная M не оказывает влияние на существование резонансных периодических решений. Если невозмущенный маятник совершает вращательное движение, то при вычислении числа φ0 появляется новое слагаемое. Число φ0 определяется из
уравнения
γI1,n − M
sin nφ = −
.
(15.25)
2abn (q)
Из уравнения (15.25) следует, что в случае, когда M > 0, небольшое
по величине M способствует появлению резонансных решений. Если
же M велико по величине, то резонансные режимы отсутствуют.
Эта особенность вращательных движений была отмечена Черноусько
[101].
Вынужденные колебания и вращения маятника исследовались
также в работе Маркеева и Чуркиной [62] c других позиций (cм.
также [119]).
15.4. Резонансные колебания в системах
с ударами
Полученные результаты применимы к квазиконсервативной системе с ударами вида
x′′ + Ω2 x + Φ(x, x′ ) = εg(t, x, x′ ),
где Φ(x, x′ ) — оператор ударного взаимодействия, функция g(t, x, x′ )
2π
.
периодическая по t с периодом
ν
Вводя переменные импульс–фаза J, ψ с помощью формул
x = −Jκ(ψ),
x′ = −Jω0 (J)κψ (ψ),
(15.26)
где функции κ(ψ), ω0 (J) определены ранее в п. 14.5. Напомним их
выражения:
[
]
∞
∑
1
1
cos kψ
κ(ψ, ω0 J) = ω0−1
+
, Ω0 = Ω[ω0 (J)]−1 .
2
2
2
2πΩ0 π
Ω0 − k
k=1
Зависимость ω0 (J) при ∆ > 0 имеет вид
ω0 (J) =
πΩ
,
π − arctg[J/(2Ω∆)]
∆ > 0,
Ω < ω0 < 2Ω.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15.4. Резонансные колебания в системах с ударами
339
Функция κψ (ψ), определяемая рядом Фурье
[
]
∞
∑
1
1
k sin kψ
ω0−1
+
,
2
2πΩ0 π
k 2 − Ω20
k=1
имеет разрывы первого рода в точках 2πl, где l — целое число. Она
непрерывна и дифференцируема во внутренних точках интервалов
[2πl, 2π(l + 1)]. Это следует из соотношения
sin kψ k sin kψ
Ω20 sin kψ
− 2
=
−
k
k − Ω20
k(k 2 − Ω20 )
и свойств ряда Фурье
∞
∑
sin kψ
k=1
k
.
Следовательно, замена (15.26) не является гладкой. После этой замены получим систему
(
)
dJ
= −4εω0 (J)g t, −Jκ(ψ), −Jω0 (J)κψ (ψ) κψ (ψ),
dt
(
)
dψ
= ω0 (J) − 4εω0 (J)J −1 g t, −Jκ(ψ), −Jω0 (J)κψ (ψ) (−Jκ(ψ))J ,
dt
(15.27)
которая имеет форму системы (15.1). Но правые части системы (15.27)
имеют разрывы по ψ в точках 2πl, где l — целое число.
Для исследования резонансных режимов используем схему, которая была применена при доказательстве теорем 15.1 и 15.2. Соответствующие вычисления проделаны в работах Бурда и Крупенина [113, 114].
Будем предполагать, что
[
]
g(t, x, x′ ) = f (t, x, x′ ) = a sin(νt + β) − γx′ ,
(15.28)
где γ > 0, Ω, a, ν, β — вещественные постоянные. Следовательно,
после преобразования (15.26) получим систему
[
]
dJ
= −4εω0 (J) f (t) + γJω0 (J)κψ (ψ, J) κψ (ψ, J),
dt
[
]
dψ
= ω0 (J) − 4εω0 (J)J −1 f (t) + Jω0 (J)κψ (ψ, J) (−Jκ(ψ, J))J .
dt
(15.29)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
340
ГЛАВА 15. Резонансные периодические колебания . . .
Пусть Jpq является решением уравнения
q
ω0 (Jpq ) = ν,
p
q
где p, q — взаимно простые целые числа. Сделав замену ψ = φ+ νt,
p
мы преобразуем систему (15.29) в систему
[
]
dJ
q
q
= −4εω0 (J) f (t) + γJω0 (J)κψ (φ + νt, J) κψ (φ + νt, J),
dt
p
p
]
[
dφ
q
q
= ω0 (J) − ν − 4εω0 (J)J −1 f (t) + γJω0 (J)κψ (φ + νt, J) ×
dt
p
p
q
× (−Jκ(φ + νt, J))J .
p
(15.30)
Точка J = Jpq является резонансной точкой в системе (15.30). Предположим, что резонанс невырожденный, т.е.
dω0 = ω0′ (Jpq ) ̸= 0.
(15.31)
dJ J=Jpq
√
Исследуем поведение решений системы (15.30) в µ = ε-окрестности
резонансной точки Jpq . Выполним замену
J = Jpq + µz
и разложим правую часть системы (15.30) по степеням параметра µ.
В результате получим систему
dz
= µF0 (t, φ, Jpq ) + µ2 F1 (t, φ, Jpq )z + O(µ3 ),
dt
dφ
1
= µω0′ (Jpq )z + µ2 ω0′′ (Jpq )z 2 + µ2 G0 (t, φ, Jpq ) + O(µ3 ),
dt
2
(15.32)
где
]
[
q
F0 (t, φ, Jpq ) = −4ω0 (Jpq ) f (t) + γJpq ω0 (Jpq )κψ (φ + νt, J + pq) ×
p
q
× κψ (φ + νt, Jpq ),
p
{
[
]
d
q
F1 (t, φ, Jpq ) = −4
ω0 (J) f (t) + γJω0 (J)κψ (φ + νt, J) ×
dJ
p
}
q
× κψ (φ + νt, J) J=Jpq
p
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15.4. Резонансные колебания в системах с ударами
и
341
[
]
q
−1
G0 (t, φ, Jpq ) = −4ω0 (Jpq )Jpq
f (t) + γJpq ω0 (Jpq )κψ (φ + νt, Jpq ) ×
p
(
)
q
q
× −κ(φ + νt, Jpq ) − Jpq κJ (φ + νt, Jpq ) .
p
p
Система (15.32) содержит только одну быструю переменную t. Теперь сделаем стандартную замену метода усреднения, для того чтобы исключить быструю переменную из правой части системы (15.32)
с точностью до членов порядка µ2 . Эта замена ищется в виде
z = ξ + µu1 (η, t) + µ2 u2 (η, t)ξ,
φ = η + µ2 v2 (η, t),
где функции ui (η, t) (i = 1, 2), v2 (η, t) — периодические по t с периодом 2π/ν.
Выполнив замену, получим систему
dξ
= µf0 (η) + µ2 f1 (η)ξ + O(µ3 ),
dt
(15.33)
dη
1
= µω0′ (Jpq )ξ + µ2 ω0′′ (Jpq ))ξ 2 + µ2 g0 (η) + O(µ3 ),
dt
2
где f0 (η), f1 (η), g0 (η) определяются как средние значения по t функций F0 (t, η, Jpq ), F1 (t, η, Jpq ), G0 (t, η, Jpq ) соответственно:
ν
f0 (η) =
2π
f1 (η) =
g0 (η) =
ν
2π
ν
2π
2π/ν
∫
F0 (t, η, Jpq )dt,
0
2π/ν
∫
F1 (t, η, Jpq )dt,
0
2π/ν
∫
G0 (t, η, Jpq )dt.
0
Функции ui (η, t), (i = 1, 2), v2 (η, t) определяются как периодические
решения по t с нулевым средним значением из уравнений
∂u1
= F0 (t, η, Jpq ) − f0 (η),
∂t
∂u2
= F1 (t, η, Jpq ) − u1η (η, t)ω0′ (Jpq ) − f1 (η),
∂t
∂v2
= G0 (t, η, Jpq ) − u1 (η, t)ω0′ (Jpq ) − g0 (η).
∂t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
342
ГЛАВА 15. Резонансные периодические колебания . . .
Пусть существует такая постоянная η0 , что
f0 (η0 ) = 0,
0 < η0 < 2π,
(15.34)
и η0 — простой корень уравнения (15.34), т.е.
f0η (η0 ) ̸= 0.
(15.35)
В этом случае усредненная система первого приближения
dξ
= µf0 (η),
dt
dη
= µω0′ (Jpq )ξ
dt
(15.36)
η = η0 .
(15.37)
имеет решение
ξ = 0,
Линеаризуя правую часть системы (15.36) на решении (15.37), получим матрицу
(
)
0
µf0η (η0 )
A0 (µ) =
.
µω0′ (Jpq )
0
Если
ω0′ (Jpq )f0η (η0 ) > 0,
(15.38)
то матрица A0 (µ) имеет вещественные собственные значения различных знаков. Теперь естественно для доказательства существования периодических решений у системы (15.33) использовать теорему 15.1. Здесь нужно учесть следующее обстоятельство. Функции f0 (η), f1 (η), g0 (η) для данного возмущения, как мы увидим в
дальнейшем, являются гладкими. Слагаемые порядка O(µ3 ) имеют
конечные разрывы в точках 2πl, l = 0, ±1, . . . Число η0 лежит внутри интервала [0, 2π], и в малой окрестности η0 правые части системы
(15.33) являются гладкими. Поэтому можно применить теорему 15.1.
Получим следующий результат.
Теорема 15.5. Пусть существует такое число η0 , что√имеет место равенство (15.34) и неравенство (15.38). Тогда в ε-окрестности резонансной точки Jpq для достаточно малых ε существует единственное неустойчивое периодическое решение системы
(15.30) с периодом 2πp
ν .
Предположим теперь, что вместо неравенства (15.38) справедливо неравенство
ω0 (Jpq )f0η (η0 ) < 0.
(15.39)
В этом случае собственные значения матрицы A0 (µ) будут чисто
мнимыми. Чтобы исследовать задачу существования и устойчивости
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15.4. Резонансные колебания в системах с ударами
343
периодических решений системы (15.33) в окрестности резонансной
точки Jpq , мы должны использовать усредненные уравнения второго
приближения
dξ
= µf0 (η) + µ2 f1 (η)ξ,
dt
dη
1
= µω0′ (Jpq )ξ + µ2 ω0′′ (Jpq )ξ 2 + µ2 g0 (η).
dt
2
(15.40)
Из условий (15.34), (15.39) и теоремы о неявной функции следует,
что для достаточно малых µ существует такая единственная функция
h(µ) = (ξ(µ), η(µ)),
что ξ(0) = 0, η(0) = η0 и h(µ) — состояние равновесия системы
(15.40). Линеаризуя систему (15.40) на этом состоянии равновесия,
получим матрицу, главная часть которой имеет вид
( 2
)
µ f1 (η0 ) µf0η (η0 )
A1 (µ) =
.
µω0′ (Jpq ) µ2 g0η (η0 )
Легко видеть, что собственные значения матрицы A1 (µ) для достаточно малых µ имеют отрицательные вещественные части, если выполняется неравенство
f1 (η0 ) + g0η (η0 ) < 0,
(15.41)
и положительные вещественные части, если выполняется неравенство
f1 (η0 ) + g0η (η0 ) > 0.
(15.42)
Из теоремы 12.1 о высших приближениях в периодическом случае
следует, что для достаточно малых µ существует единственное периодическое решение h(t, µ) = (ξ(t, µ), η(t, µ)) системы (15.33) с перио2πp
. Это решение асимптотически устойчиво, если выполняется
дом
ν
неравенство (15.41), и неустойчиво, если выполняется неравенство
(15.42), причем ∥h(t, µ) − h(µ)∥ = O(µ3 ). Сформулируем полученный
результат применительно к системе (15.30).
Теорема 15.6. Пусть η0 удовлетворяет равенству (15.34) и неравенству (15.38). Пусть справедливо неравенство
f1 (η0 ) + g0η (η0 ) ̸= 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
344
ГЛАВА 15. Резонансные периодические колебания . . .
Тогда для достаточно малых ε система (15.30) имеет единствен2πp
ное периодическое решение с периодом
в ε-окрестности резоν
нансной точки Jpq . Это решение асимптотически устойчиво, если
выполняется неравенство (15.41), и неустойчиво, если выполняется неравенство (15.42).
Используя теоремы 15.5 и 15.6, проведем вычисления, вспоминая,
что
f (t, x, x′ ) = a sin(νt + β) − γx′ .
При ∆ > 0 резонансная точка определяется из уравнения
ω0 (Jpq ) = −
πΩ
J
pq
π − arctg 2Ω∆
q
= ν.
p
(15.43)
Из уравнения (15.43) следует, что
ω0′ (Jpq ) > 0.
Чтобы вычислить f0η (η0 ), нужно усреднить F0 (t, η, Jpq ). Первое слагаемое этой функции имеет вид
q
−4ω0 (Jpq )a sin(νt + β)κψ (η + νt).
p
(15.44)
Так как
∞
∑ k sin k(η + p νt)
q
−1 1
κψ (η + νt) = −ω0 (Jpq )
,
p
π
Ω20 − k 2
q
Ω0 = Ω[ω0 (Jpq )]−1 ,
k=1
то мы должны усреднить слагаемые вида
q
a sin(νt + β) sin k(η + νt),
p
k = 1, 2, . . .
Легко видеть, что среднее значение функции (15.44) будет ненулевым тогда и только тогда, когда q = 1, p = n (n = 1, 2, . . . ). Для
q = 1, p = n оно равно
2aν 2
cos(nη − β).
πn(Ω2 − ν 2 )
Среднее значение второго слагаемого
q
q
−4γJpq ω02 (Jpq )κψ (η + νt)κψ (η + νt)
p
p
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15.4. Резонансные колебания в системах с ударами
равно
γJpq
−
2
345
(
)
4Ω2 ∆2
1+
.
2
Jpq
При вычислении среднего значения использовано следующее равенство:
sin−2 πΩ0 = 1 + 4J −2 Ω2 ∆2 .
Следовательно, постоянная η0 определяется как решение уравнения
)
(
γJpq πn 2
4Ω2 ∆2
2
cos(nη − β) =
= An .
(15.45)
(Ω − ν ) 1 +
2
4aν 2
Jpq
Так как An → ∞ при n → ∞, то уравнение (15.45) может иметь
решения только для конечного числа значений n. Если уравнение
(15.45) имеет решения для данного значения n (|An | < 1), то эти
решения определяются следующими формулами:
η0l =
β arccos An 2lπ
±
+
,
n
n
n
l = 0, . . . , n − 1.
Вычисляя производную функции f0 (η) в точках η0l , получим
2aν 2 √
1 − A2n ,
f0η (η0l ) = ±
2
2
π(Ω − ν )
(15.46)
и, следовательно, (15.46) имеет положительный знак в n точках и
отрицательный знак в n точках. Простые вычисления, аналогичные
предыдущим, показывают, что
f1 (η0 ) + g0η (η0 ) < 0.
Теоремы 15.5 и 15.6 приводят к следующему результату.
Если резонансная точка Jn1 является решением уравнения
ω(Jn1 ) =
ν
,
n
тогда для достаточно малых ε уравнение (15.30) имеет n неустой2πn √
чивых резонансных решений с периодом
в ε-окрестности реν
зонансной точки Jn1 и n асимптотически устойчивых резонансных
2πn
в ε-окрестности резонанспериодических решений с периодом
ν
ной точки Jn1 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глава 16
Резонансные пп
колебания в нелинейных
двумерных системах
с медленно меняющимися
параметрами
16.1. Постановка задачи и преобразование
основной системы
Формализм метода усреднения для исследования резонансных режимов в системах с медленно меняющимися коэффициентами был
развит Митропольским [65]. Периодические возмущения двумерных
систем с быстро вращающейся фазой и медленно изменяющимися коэффициентами рассматривались Моррисоном [153]. Он вывел
уравнения второго приближения, получил условия близости решений точных и усредненных уравнений на конечном асимптотически
большом временном интервале.
В этом разделе (см. [28, 112]) мы рассмотрим почти периодически возмущенные двумерные системы с быстро вращающейся фазой
и медленно меняющимися коэффициентами. Исследуются условия
существования и устойчивости стационарных резонансных пп решений.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dx
= εf (x, φ, ψ, ε),
dt
dφ
= ω(x, τ ) + εg(x, φ, ψ, τ, ε).
dt
(16.1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16.1. Постановка задачи . . .
347
Здесь ε > 0 — малый параметр, τ = εt — медленное время, x(t), φ(t),
ψ(t) — скалярные функции и
dψ
= Ω(τ ).
dt
Будем предполагать, что функции f (x, φ, ψ, ε), g(x, φ, ψ, τ, ε) достаточно гладкие по x, φ, ε, функция ω(x, τ ) достаточно гладкая по
x. Кроме того, функции
f (x, φ, ψ, ε),
g(x, φ, ψ, τ, ε),
ω(x, τ )
почти периодические по переменным ψ, τ равномерно относительно остальных переменных. Функция Ω(τ ) является правильной пп
функцией τ и отделена от нуля при всех τ :
inf
−∞<τ <∞
|Ω(τ )| ̸= 0.
Напомним, что пп функция f (t) называется правильной, если интеграл от этой функции представим в виде
∫t
f (s)ds = ⟨f ⟩t + f1 (t),
0
где f1 (t) — пп функция.
Система (16.1) — это система с двумя медленными переменными x, τ и с двумя быстрыми переменными φ, ψ. Исследуем случай
резонанса: существует такая пп функция x0 (τ ), что
ω(x0 (τ ), τ ) ≡ 0.
Будем предполагать, что резонанс невырожденный, т.е.
inf
−∞<τ <∞
|ωx (x0 (τ ), τ )| ̸= 0.
Изучим поведение решений системы (16.1) в µ =
резонансной точки x0 (τ ). Сделаем замену
x = x0 (τ ) + µz
√
ε-окрестности
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
348
ГЛАВА 16. Резонансные пп колебания . . .
и разложим правую часть системы (16.1) по степеням µ. В результате
получим систему
[
]
dz
dx0
= µ f (x0 (τ ), φ, ψ, τ, 0) −
+ µ2 fx (x0 (τ ), φ, ψ, τ, 0)z+
dt
dτ
3
+ µ F (z, φ, ψ, τ, µ),
dφ
1
= µωx (x0 (τ ), τ )z + µ2 ωxx (x0 (τ ), τ )z 2 + µ2 g(x0 (τ ), φ, ψ, τ, 0)+
dt
2
3
+ µ G(z, φ, ψ, τ, µ).
(16.2)
Система (16.2) содержит только одну быструю переменную ψ. Сделаем теперь стандартную замену метода усреднения, которая позволит
избавиться от быстрой переменной в правой части системы (16.2) с
точностью до членов порядка µ2 . Эта замена ищется в виде
z = ξ + µu1 (η, ψ, τ ) + µ2 u2 (η, ψ, τ )ξ,
φ = η + µ2 v2 (η, ψ, τ ),
где функции ui (η, ψ, τ ), (i = 1, 2), v2 (η, ψ, τ ) являются пп функциями
по ψ, τ . Замена приводит к системе
[
]
dξ
dx0
= µ f0 (η, τ ) −
+ µ2 f1 (η, τ )ξ + µ3 F1 (ξ, η, ψ, τ, µ),
dt
dτ
dη
1
= µωx (x0 , τ )ξ + µ2 ωxx (x0 , τ )ξ 2 + µ2 g0 (η, τ ) + µ3 G1 (ξ, η, ψ, τ, µ),
dt
2
(16.3)
где f0 , f1 , g0 определяются как средние значения по ψ:
f0 (η, τ ) = ⟨f (x0 (τ ), η, ψ, τ, 0)⟩, f2 (η, τ ) = ⟨fx (x0 (τ ), η, ψ, τ, 0)⟩,
g0 (η, τ ) = ⟨g(x0 (τ ), η, ψ, τ, 0)⟩.
Функции ui (η, ψ, τ ), (i = 1, 2), v2 (η, ψ, τ ) определяются как пп решения по ψ с нулевым средним значением из уравнений
∂u1
= f (x0 (τ ), φ, ψ, τ, 0) − f0 (η, τ ),
∂ψ
∂u2
Ω(τ )
= fx (x0 (τ ), φ, ψ, τ, 0) − u1η (η, ψ, τ )ωx (x0 , τ ) − f1 (η, τ ),
∂ψ
∂v2
Ω(τ )
= g(x0 (τ ), φ, ψ, τ, 0) − ωx (x0 , τ )u1 (η, ψ, τ ) − g0 (η, τ ).
∂ψ
Ω(τ )
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16.2. Существование и устойчивость пп решений
349
При этом предполагается, что функции
f (x0 (τ ), φ, ψ, τ, 0), fx (x0 (τ ), φ, ψ, τ, 0), g(x0 (τ ), φ, ψ, τ, 0), u1 (η, ψ, τ )
являются правильными пп функциями ψ. Система (16.3) во времени
τ является сингулярно возмущенной системой следующего вида:
[
]
dξ
dx0
µ = f0 (η, τ ) −
+ µf1 (η, τ )ξ + µ2 F1 (ξ, η, ψ, τ, µ),
dτ
dτ
1
dη
µ = ωx (x0 , τ )ξ + µωxx (x0 , τ )ξ 2 + µg0 (η, τ ) + µ2 G1 (ξ, η, ψ, τ, µ).
dt
2
(16.4)
16.2. Существование и устойчивость
пп решений
Пусть существует такая пп функция η0 (τ ), что
f0 (η, τ ) =
dx0
.
dτ
(16.5)
Тогда вырожденная система, которая получается из (16.4) при µ = 0,
имеет решение
ξ = 0, η = η0 (τ ).
(16.6)
Линеаризуя правую часть системы (16.4) при µ = 0 на решении
(16.6), получим матрицу
(
)
0
f0η (η0 , τ )
A0 (τ ) =
.
ωx (x0 , τ )
0
Если
ωx (x0 , τ )f0η (η0 , τ ) > σ0 > 0,
τ ∈ (−∞, ∞),
(16.7)
где σ0 — постоянная, то собственные значения матрицы A0 (τ ) вещественные разных знаков. Тогда из результатов главы 8 следует, что
оператор
1
dz
− A0 (τ )z (z = (ξ, η))
L(µ)z =
dτ
µ
при достаточно малых µ равномерно регулярен в пространстве двумерных пп функций B2 . Следовательно, неоднородная система
µ
dz
= A0 (τ )z + f (τ ),
dτ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
350
ГЛАВА 16. Резонансные пп колебания . . .
где f (τ ) ∈ B2 имеет единственное пп решение z(τ, µ), которое определяется формулой
1
z(τ, µ) = L−1 (µ)f =
µ
Здесь
∫∞
K(τ, s, µ)f (s)ds.
−∞
)
( γ
(−∞ < τ, s < ∞),
|K(τ, s, µ)| ≤ M exp − |τ − s|
µ
(16.8)
а M , γ — положительные постоянные.
Отметим еще, что нулевое решение системы
µ
dz
= A0 (τ )z
dτ
(16.9)
неустойчиво, так как собственные значения матрицы A0 (τ ) имеют
разные знаки.
В системе (16.4) сделаем замену
u = η − η0 (τ )
и запишем полученную систему в векторной форме (z = (ξ, u)), выделив матрицу A0 (τ ):
µ
dz
= A0 (τ )z + H(z, ψ, τ, µ).
dτ
(16.10)
Компоненты вектор-функции H(z, ψ, τ, µ) имеют вид
dx0
− f0η (η0 , τ )u + µf1 (u + η0 , τ )ξ+
dτ
+µ2 F1 (ξ, u + η0 , ψ, τ, µ),
f0 (u + η0 , τ ) −
−µ
dη0 1
+ µωxx (x0 , τ )ξ 2 + µg0 (u + η0 , τ ) + µ2 G1 (ξ, u + η0 , ψ, τ, µ).
dτ
2
Очевидно, выполняется неравенство
|H(0, ψ, τ, µ)| ≤ p(µ),
(16.11)
где p(µ) → 0 при µ → 0. Далее, в силу гладкости H(z, ψ, τ, µ) по z
при |z1 |, |z2 | ≤ r справедливо неравенство
|H(z1 , ψ, τ, µ) − H(z2 , ψ, τ, µ)| ≤ p1 (r, µ)|z1 − z2 |,
(16.12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16.2. Существование и устойчивость пп решений
351
где p1 (r, µ) → 0 при r → 0.
Задача о пп решениях системы (16.10) эквивалентна вопросу о
разрешимости в пространстве B2 операторного уравнения
1
z(τ, µ) =
µ
∫∞
K(τ, s, µ)H(z, ψ, s, µ)ds = Π(z, µ).
(16.13)
−∞
Покажем, что оператор Π(z, µ) удовлетворяет условиям принципа
сжатых отображений на некотором шаре ∥z∥ ≤ a0 (µ) пространства
B2 . В силу неравенств (16.8) и (16.12)
∥Π(z1 , µ) − Π(z2 , µ)∥ ≤
2M
p1 (r, µ)∥z1 − z2 ∥,
γ
∥z1 ∥, ∥z2 ∥ ≤ r.
Отсюда, в частности, с учетом неравенства (16.11) следует
∥Π(z, µ)∥ ≤
2M
2M
2M
p1 (r, µ) + ∥Π(0, µ)∥ ≤
p1 (r, µ) + p(µ)
.
γ
γ
γ
Теперь выберем числа a0 (µ) и µ1 так, чтобы при 0 < µ < µ1 выполнялись неравенства
2M
p1 (a0 , µ) = q < 1,
γ
∥Π(0, µ)∥ < (1 − q)a0 .
Итак, оператор Π(z, µ) при 0 < µ < µ1 на шаре ∥z∥ ≤ a0 пространства B2 удовлетворяет условиям принципа сжатых отображений. Отметим, что при µ → 0 последовательность a0 (µ) можно выбрать так,
чтобы a0 (µ) → 0.
Таким образом, операторное уравнение (16.13) в шаре ∥z∥ ≤ a0 (µ)
имеет единственное решение z∗ (τ, µ), которое при µ → 0 стремится
к (0, 0) равномерно по τ . Следовательно, система (16.10) имеет при
достаточно малых µ единственное пп решение z∗ (τ, µ). В свою очередь, система (16.4) имеет при достаточно малых µ единственное пп
решение, которое при µ → 0 равномерно по τ стремится к (0, η0 (τ )).
Соответственно, система (16.3) имеет при достаточно малых µ единственное пп решение.
Чтобы исследовать устойчивость пп решения z∗ (τ, µ) системы
(16.10), сделаем замену z = z∗ (τ, µ) + y(τ, µ). Получаем систему
µ
dy
= A0 (τ )y + H1 (y, ψ, τ, µ),
dτ
(16.14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
352
ГЛАВА 16. Резонансные пп колебания . . .
где
(
)
(
)
H1 (y, ψ, τ, µ) = H z∗ (τ, µ) + y(τ, µ), ψ, τ, µ − H z∗ (τ, µ), ψ, τ, µ .
Вопрос об устойчивости пп решения z∗ (τ, µ) сводится к вопросу об
устойчивости нулевого решения системы (16.14). Учитывая экспоненциальные оценки на решения линейной системы (16.9) (см. главу 8), из теоремы об устойчивости по первому приближению получаем, что при достаточно малых µ нулевое решение системы (16.14)
неустойчиво. Следовательно, пп решение z∗ (τ, µ) системы (16.10)
неустойчиво.
Сформулируем полученный результат в виде теоремы применительно к системе (16.2).
Теорема 16.1. Пусть x0 (τ ) такая пп функция, что
ω(x0 (τ ), τ ) ≡ 0,
inf
−∞<τ <∞
|ωx (x0 (τ ), τ )| ̸= 0.
Пусть f (x0 (τ ), φ, ψ, τ, 0) — правильная пп функция ψ, а Ω(τ ) —
правильная пп функция τ и
inf
−∞<τ <∞
|Ω(τ )| ̸= 0.
Пусть существует такая пп функция η0 (τ ), что
f0 (η(τ ), τ ) =
dx0
dτ
и выполнено неравенство (16.7):
ωx (x0 , τ )f0η (η0 , τ ) > σ0 > 0,
τ ∈ (−∞, ∞),
σ0 = const.
Тогда система (16.2) при достаточно малых µ имеет единственное пп решение, которое неустойчиво.
Следовательно, при выполнении условий теоремы 16.1 в µ-окрестности резонансной точки x0 (τ ) существует единственное неустойчивое пп решение.
Пусть теперь вместо неравенства (16.7) выполнено противоположное неравенство
ωx (x0 , τ )f0η (η0 , τ ) < σ1 < 0,
−∞ < τ < ∞,
σ1 = const.
(16.15)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16.2. Существование и устойчивость пп решений
353
При выполнении неравенства (16.15) собственные значения матрицы
A0 (τ ) при всех τ являются чисто мнимыми. Теперь нам необходимо рассмотреть усредненные уравнения более высоких приближений (только первое приближение было использовано при выполнении неравенства (16.7)). Выпишем вначале более детально систему
(16.2) (с точностью до членов порядка µ3 )
[
]
dx0
dz
= µ f (x0 (τ ), φ, ψ, τ, 0) −
+ µ2 fx (x0 (τ ), φ, ψ, τ, 0)z+
dt
dτ
1
+ µ3 fε (x0 (τ ), φ, ψ, τ, 0) + µ3 fxx (x0 , φ, ψ, τ, 0)z 2 + O(µ4 ),
2
dφ
1
= µωx (x0 (τ ), τ )z + µ2 ωxx (x0 (τ ), τ )z 2 + µ2 g(x0 (τ ), φ, ψ, τ, 0)+
dt
2
1
+ µ3 gx (x0 (τ ), φ, ψ, τ, 0) + µ3 ωxxx (x0 (τ ), τ )z 3 + O(µ4 ).
6
(16.16)
Теперь будем вести рассмотрение в более узкой окрестности резонансной точки x0 (τ ). Положим
z = µy.
Сделаем в системе (16.16) замену
φ = η0 (τ ) + µβ.
Получим систему
dy
dx0
= f (x0 , η0 , ψ, τ, 0) −
+ µfφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0)β+
dt
dτ
1
+ µ2 fφφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0)β 2 + µ2 fε (x0 , η0 , ψ, τ, 0)+
2
+ µ2 fx (x0 , η0 , ψ, τ, 0) + O(µ3 ),
[
]
dβ
dη0
= µωx (x0 , τ ) + µ g(x0 , η0 , ψ, τ, 0) −
+
dt
dτ
+ µ2 fφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0) + O(µ3 ).
(16.17)
Выполним замену метода усреднения в следующей форме:
y = ξ + ξ0 (τ ) + z0 (ψ, τ ) + µu1 (ψ, τ )η + µ2 u2 (ψ, τ, ξ, η),
β = η + µv1 (ψ, τ ) + µ2 v2 (ψ, τ )η,
(16.18)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
354
ГЛАВА 16. Резонансные пп колебания . . .
где функции ξ0 (τ ), z0 (ψ, τ ) выберем позднее. Подставляя (16.18) в
(16.17), получим
dξ0 ∂z0
∂z0
dξ
∂u1
dη
+ µ2
+
Ω(τ ) + µ2
+µ
Ω(τ )η + µu1 (ψ, τ ) +
dt
dτ
∂ψ
∂τ
∂ψ
dt
∂u2
∂u2 dξ
∂u2 dη
+µ2
Ω(τ ) + µ2
+ µ2
+ O(µ3 ) =
∂ψ
∂ξ dt
∂η dt
dx0
1
= f (x0 , η0 , ψ, τ, 0) −
+ µfφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0)η + µ2 fφφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0)η 2 +
dτ
2
2
2
+µ fφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0)v1 (ψ, τ ) + µ fx (x0 , η0 , ψ, τ, 0)(ξ + ξ0 (τ ) + z0 (ψ, τ ))+
+µ2 fε (x0 , η0 , ψ, τ, 0) + O(µ3 ),
dη
∂v1
∂v2
dη
+µ
Ω(τ ) + µ2
Ω(τ )η + µv2 (ψ, τ ) =
dt
∂ψ
∂ψ
dt
= µωx (x0 , τ )(ξ + ξ0 (τ ) + z0 (ψ, τ )) + µg(x0 , η0 , ψ, τ, 0)+
dη0
+µ2 gφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0)η − µ
+ µ2 ωx (x0 , τ )u1 (ψ, τ )η + O(µ3 ).
dτ
Отсюда получаем уравнения для определения функций z0 (ψ, τ ),
u1 (ψ, τ ), v1 (ψ, τ ):
∂z0
dx0
Ω(τ ) = f (x0 , η0 , ψ, τ, 0) −
,
∂ψ
dτ
∂u1
Ω(τ ) = fφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0) − ⟨fφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0)⟩,
∂ψ
∂v1
dη0
Ω(τ ) = ωx (x0 , τ )z0 (ψ, τ ) + g(x0 , η0 , ψ, τ, 0) + ωx (x0 , τ )ξ0 −
.
∂ψ
dτ
Здесь z0 (ψ, τ ) определяется как пп функция ψ с нулевым средним
dx0
значением (⟨f (x0 , η0 , ψ, τ, 0)⟩=
). Напомним, что f (x0 , η0 , ψ, τ, 0) —
dτ
правильная пп функция ψ. Функция u1 (ψ, τ ) также определяется как
пп функция по ψ с нулевым средним значением (fφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0) —
правильная пп функция ψ). Для вычисления v1 (ψ, τ ) сначала определим пп функцию ξ0 (τ ) равенством
ωx (x0 , τ )ξ0 −
dη0
= −⟨g(x0 , η0 , ψ, τ, 0)⟩.
dτ
Тогда для v1 (ψ, τ ) получаем уравнение
∂v1
Ω(τ ) = ωx (x0 , τ )z0 (ψ, τ ) + g(x0 , η0 , ψ, τ, 0) − ⟨g(x0 , η0 , ψ, τ, 0)⟩.
∂ψ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16.2. Существование и устойчивость пп решений
355
Нам удобно определить v1 (ψ, τ ) формулой
v1 (ψ, τ ) = v(ψ, τ ) + w(τ ),
где v(ψ, τ ) — пп функция ψ с нулевым средним значением, а w(τ )
— пп функция τ , которая будет выбрана позднее. Для отыскания
функции u2 (ξ, η, ψ, τ ) получаем уравнение
∂v2
dξ0 ∂z0
Ω(τ ) +
+
+ u1 (ψ, τ )ωx (x0 , τ )ξ0 (τ )=fφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0)v(ψ, τ )+
∂ψ
dτ
∂ψ
1
+fφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0)w(τ ) + fφφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0)η 2 +
2
+fx (x0 , η0 , ψ, τ, 0)(ξ + ξ0 (τ ) + z0 (ψ)) + fε (x0 , η0 , ψ, τ, 0).
Выберем w(τ ) из равенства
dξ0
− ⟨fφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0)v(ψ, τ )⟩−
dτ
−⟨fx (x0 , η0 , ψ, τ, 0)⟩(ξ0 + z0 (ψ, τ )) + ⟨fε (x0 , η0 , ψ, τ, 0)⟩.
w(τ )⟨fφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0)⟩ =
Это можно сделать, так как в силу условия (16.15)
⟨fφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0)⟩ = f0η (η0 , τ ) ̸= 0.
Если u2 (ξ, η, ψ, τ ) представить в виде
u2 (ξ, η, ψ, τ ) = p2 (ψ, τ )ξ + q2 (ψ, τ )η 2 + r2 (ψ, τ ),
то для определения функций p2 (ψ, τ ), q2 (ψ, τ ), r2 (ψ, τ ) получаем уравнения
∂p2
Ω(τ ) = −ωx (x0 , τ )v(ψ, τ ) + fx (x0 , η0 , ψ, τ, 0) − ⟨fx (x0 , η0 , ψ, τ, 0)⟩,
∂ψ
∂q2
1
1
Ω(τ ) = fφφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0) − ⟨fφφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0)⟩,
∂ψ
2
2
[
]
dξ0 ∂z0
∂r2
Ω(τ ) = ξ0 + z0 (τ, τ ) fx (x0 , η0 , ψ, τ, 0) −
−
+
∂ψ
dτ
∂τ
[
]
+ v(ψ, τ ) + w(τ ) fφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0) + fε (x0 , η0 , ψ, τ, 0).
В силу выбора функции w(τ ) среднее значение по ψ правой части последнего уравнения равно нулю. Поэтому r2 (ψ, τ ) определяется как
пп функция ψ с нулевым средним значением (естественно предполагается, что функции
fx (x0 , η0 , ψ, τ, 0)z0 (ψ, τ ), fφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0)v(ψ, τ ), fε (x0 , η0 , ψ, τ, 0)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
356
ГЛАВА 16. Резонансные пп колебания . . .
являются правильными пп функциями ψ). Из первого и второго
уравнений функции p2 (ψ, τ ), q2 (ψ, τ ) определяются как пп функции
ψ c нулевым средним значением (v(ψ, τ ), fφφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0) — правильные пп функции ψ). Для отыскания функции v2 (ψ, τ ) получаем
уравнение
∂v2
Ω(τ ) = −ωx (x0 , τ )v(ψ, τ ) + gφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0) − ⟨gφ (x0 , η0 , τ, 0)⟩.
∂ψ
Если gφ (x0 , η0 , ψ, τ, 0) — правильная пп функция ψ, то v2 (ψ, τ ) определяется как пп функция ψ с нулевым средним значением. Таким
образом, найдены все функции, входящие в формулы замены.
После проведения замены система принимает вид
[
]
dξ
= µa(τ )η + µ2 b(τ )ξ + c(τ )η 2 + µ3 F2 (ξ, η, ψ, τ, µ),
dt
dη
= µd(τ )ξ + µ2 e(τ )η + µ3 G2 (ξ, η, ψ, τ, µ),
dt
(16.19)
a(τ ) = ⟨fφ (x0 , η0 , τ, 0)⟩,
1
c(τ ) = ⟨fφφ (x0 , η0 , τ, 0)⟩,
2
e(τ ) = ⟨fφ (x0 , η0 , τ, 0)⟩.
(16.20)
где
b(τ ) = ⟨fx (x0 , η0 , τ, 0)⟩,
d(τ ) = ωx (x0 , τ ),
Условие (16.16) в новых обозначениях имеет вид
a(τ )d(τ ) < σ1 < 0.
Из этого условия, как уже отмечалось, следует, что собственные
значения матрицы первого приближения чисто мнимые при всех τ .
Приведем систему (16.19) к «стандартной форме», т.е. к форме, где
матрица первого приближения нулевая. Положим
[
]1/2
d(τ )
δ(τ ) = −
a(τ )
и введем функцию
χ(τ ) =
1
µ
∫τ
0
(
)1/2
−a(s)d(s)
ds.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16.2. Существование и устойчивость пп решений
357
Будем предполагать, что a(τ )δ(τ ) — правильная пп функция. Перейдем к новым переменным по формулам
ξ = (A cos χ + B sin χ) + µR(A, B, τ, χ),
η = δ(τ )(B cos χ − A sin χ) + µR(A, B, τ, χ),
(16.21)
где функции R(A, B, τ, χ), S(A, B, τ, χ) будем искать периодическими
по χ c периодом 2π, а уравнения для переменных A, B будут иметь
вид
dA
= µ2 P (A, B, τ ) + O(µ3 ),
dt
dB
= µ2 Q(A, B, τ ) + O(µ3 ).
dt
(16.22)
Подставляя (16.21) в (16.19) и учитывая (16.22), получим уравнения
[
]
∂R
a(τ ) δ(τ )
− S + (P cos χ + Q sin χ) = b(τ )(A cos χ + B sin χ),
∂χ
[
] [
]
∂S
δ ′ (τ )
a(τ )
+ δ(τ )R = e(τ ) −
(B cos χ − A sin χ)+
∂χ
δ(τ )
+ P cos χ − Q sin χ.
(16.23)
Исключая R(A, B, τ, χ) из уравнений (16.23), получаем
[
]
∂ 2S
a(τ )
+ S − 2(P cos χ + Q sin χ) =
∂χ2
[
]
δ ′ (τ )
= − b(τ ) + e(τ ) −
(A cos χ + B sin χ). (16.24)
δ(τ )
Для того чтобы S(A, B, τ, χ) была периодической, необходимо, чтобы
в уравнении (16.24) отсутствовали слагаемые с cos χ и sin χ. Отсюда
получаем
[
]
1
δ ′ (τ )
P (A, B, τ, χ) = A b(τ ) + e(τ ) −
,
2
δ(τ )
[
]
1
δ ′ (τ )
Q(A, B, τ, χ) = B b(τ ) + e(τ ) −
.
2
δ(τ )
Тогда решение уравнения (16.24) имеет вид
S(A, B, τ, χ) = C1 (A, B, τ ) cos χ + C2 (A, B, τ ) sin χ.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
358
ГЛАВА 16. Резонансные пп колебания . . .
Теперь из первого уравнения системы (16.23) получим
[
]
δ(τ )
δ ′ (τ )
R(A, B, τ, χ) =
b(τ ) + e(τ ) −
(B cos χ − A sin χ)+
2d(τ )
δ(τ )
)
1(
+ C1 (A, B, τ ) sin χ − C2 (A, B, τ ) sin χ .
8
Очевидно, можно положить C1 (A, B, τ ) = C2 (A, B, τ ) ≡ 0. Таким
образом, замена
[
]
δ ′ (τ )
δ(τ )
ξ = (A cos χ + B sin χ) + µ
b(τ )+e(τ )−
(B cos χ − A sin χ),
2d(τ )
δ(τ )
η = δ(τ )(B cos χ − A sin χ)
переводит систему (16.19) в систему
[
]
dA
δ ′ (τ )
2A
=µ
b(τ ) + e(τ ) −
+ µ2 f1 (A, B, χ, τ ) + O(µ3 ),
dt
2
δ(τ )
[
]
(16.25)
′
dB
B
δ
(τ
)
2
2
3
=µ
b(τ ) + e(τ ) −
+ µ f2 (A, B, χ, τ ) + O(µ ),
dt
2
δ(τ )
где функции f1 (A, B, χ, τ ), f2 (A, B, χ, τ ) содержат по A, B члены не
ниже квадратичных. После перехода ко времени τ из системы (16.25)
получим систему
[
]
dA 1
δ ′ (τ )
=
b(τ ) + e(τ ) −
A + f1 (A, B, χ, τ ) + O(µ),
dτ
2
δ(τ )
[
]
(16.26)
dB
1
δ ′ (τ )
=
b(τ ) + e(τ ) −
B + f2 (A, B, χ, τ ) + O(µ).
dt
2
δ(τ )
Обозначим через M (τ ) диагональную матрицу
]
[
δ ′ (τ )
I,
M (τ ) = b(τ ) + e(τ ) −
δ(τ )
где I — единичная матрица.
Система
dz
= M (τ )z,
dτ
(
)
z = (A, B)
dz
− M (τ )z в проdτ
δ ′ (τ )
странстве B2 , если среднее значение пп функции b(τ ) + e(τ ) −
,
δ(τ )
определяет непрерывно обратимый оператор Lz =
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16.2. Существование и устойчивость пп решений
359
а, следовательно, среднее значение пп функции b(τ ) + e(τ ) отлично
от нуля (среднее значение пп функции δ ′ (τ )/δ(τ ) равно нулю). Итак,
если ⟨b(τ ) + e(τ )⟩ ̸= 0, то
L−1 f =
∫∞
G(τ, s)f (s)ds,
−∞
где
|G(τ, s)| ≤ M exp(−γ|τ − s|),
−∞ < τ, s < ∞,
M, γ > 0.
Запишем систему (16.26) в векторной форме
dz
= M (τ )z + F1 (z, χ, τ ) + µF2 (z, χ, τ ).
dτ
(16.27)
Задача о пп решениях системы (16.27) эквивалентна вопросу о разрешимости в пространстве B2 операторного уравнения
∫∞
z(τ ) = Π(z, µ) =
[
]
G(τ, s) F1 (z, χ, s) + µF2 (z, χ, s, µ) ds.
(16.28)
−∞
Очевидно, выполнены неравенства
|F1 (0, χ, τ ) + µF2 (0, χ, τ, µ)| ≤ ω1 (µ),
|F1 (z1 , χ, τ ) − F1 (z2 , χ, τ )| ≤ ω2 (r)|z1 − z2 |, |z1 |, |z2 | ≤ r,
где ω1 (µ) → 0 при µ → 0, а ω2 (r) → 0 при r → 0. Из этих неравенств точно так же, как и в доказательстве теоремы 16.1, следует,
что оператор Π(z, µ) при достаточно малых µ удовлетворяет условиям принципа сжатых отображений на некотором шаре радиуса a(µ)
пространства B2 . Поэтому операторное уравнение (16.28) в этом шаре имеет единственное пп решение z∗ (τ, µ). Вопрос об устойчивости этого решения исследуется с помощью теорем об устойчивости по первому приближению. Если ⟨b(τ ) + e(τ )⟩ < 0, то решение
z∗ (τ, µ) при достаточно малых µ асимптотически устойчиво, если же
⟨b(τ ) + e(τ )⟩ > 0, то решение z∗ (τ, µ) неустойчиво. Сформулируем
полученный результат в виде теоремы.
Теорема 16.2. Пусть резонансная функция x0 (τ ) удовлетворяет
условиям теоремы 16.1. Пусть выполняется неравенство
a(τ )d(τ ) < σ1 < 0,
τ ∈ (−∞, ∞).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
360
ГЛАВА 16. Резонансные пп колебания . . .
Пусть функции f (x0 , η0 , ψ, τ, 0), fx (x0 , η0 , ψ, τ, 0), fε (x0 , η0 , ψ, τ, 0),
g(x0 , η0 , ψ, τ, 0) — правильные пп функции ψ. Кроме того, являются правильными пп функциями ψ некоторые другие функции,
возникающие при проведении замен (16.18). Пусть функция Ω(τ )
удовлетворяет условиям теоремы 16.1. Пусть a(τ )δ(τ ) — правильная пп функция. Наконец, пусть выполнено неравенство
⟨b(τ ) + e(τ )⟩ ̸= 0.
Тогда система (16.2) имеет в ε-окрестности резонансной точки при достаточно малых ε единственное пп решение, которое
асимптотически устойчиво, если
⟨b(τ ) + e(τ )⟩ < 0,
и неустойчиво, если
⟨b(τ ) + e(τ )⟩ > 0.
16.3. Вынужденные колебания и вращения
математического маятника
под действием двухчастотного
возмущения с близкими частотами
В качестве примера рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях и вращениях математического маятника под действием двухчастотного возмущения, причем частоты отличаются друг от друга на
члены порядка ε. Соответствующее уравнение имеет вид
ẍ + γ ẋ + Ω2 sin x = a1 sin ωt + a2 sin(ωt + ε∆t),
(16.29)
где Ω, γ, a1 , a2 , ω, ∆ — вещественные положительные числа. Функцию возмущения f (t) = a1 sin ωt + a2 sin(ωt + ε∆t) можно представить
в виде
f (t, τ ) = E(τ ) sin(ωt + δ(τ )), τ = εt,
(16.30)
где
√
E(τ ) =
a21 − 2a1 a2 cos ∆τ + a22 ,
sin δ(τ ) =
cos δ(τ ) =
a2 sin ∆τ
.
E(τ )
a1 + a2 cos ∆τ
,
E(τ )
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16.3. Вынужденные колебания и вращения . . .
361
Функция (16.30) периодическая по t c периодом 2π/ω и по τ c периодом 2π/∆, причем E(τ ) является строго положительной, если
a1 ̸= a2 , что и будет предполагаться.
Как показано в п. 15.3., в случае колебательных движений невозмущенного маятника с помощью замены
]
[
2K(k)
x = 2 arcsin k sn
θ = X(I, θ),
π
[
]
(16.31)
2K(k)
ẋ = 2kΩ cn
θ = Y (I, θ),
π
π
где θ =
Ωt, от уравнения (16.29) можно перейти к системе с
2K(k)
быстрой фазой
{
[
]}
dI
2K(k)
∂X
= ε f (t, τ ) − 2γkΩ cn
θ
,
dt
π
∂θ
{
[
]}
(16.32)
dθ
2K(k)
∂X
πΩ
=
− ε f (t, τ ) − 2γkΩ cn
θ
.
dt
2K(k)
π
∂I
Здесь функция X(I, θ) определена в п. 15.3., а K(k) — полный эллиптический интеграл первого рода.
Будем говорить, что в системе (16.32) имеет место резонанс, если
выполняется равенство
πΩ
r
= ν,
2K(k(I)) s
(16.33)
где r, s — взаимно простые целые числа. Соответствующее значение
I, при котором выполняется равенство (16.33), обозначим через Irs .
Сделаем в системе (16.32) замену
r
θ = φ + νt.
s
Получим систему
{
[
]}
dI
2K(k)
r
r
= ε f (t, τ ) − 2γkΩ cn
(φ + νt) Xθ (I, φ + νt),
dt
π
s
s
{
[
]}
2K(k)
r
r
dφ
= ω(I) − ε f (t, τ ) − 2γkΩ cn
(φ + νt) XI (I, φ + νt),
dt
π
s
s
(16.34)
где
ω(I) =
πΩ
r
− ν.
2K(k) s
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
362
ГЛАВА 16. Резонансные пп колебания . . .
Отметим, что Irs не зависит от τ . Поэтому d(τ ) = d не зависит от τ
и, как и в п. 15.3., получим d < 0. Вычислим среднее значение по t
правой части первого уравнения системы (16.34). Соответствующее
среднее значение может быть отлично от нуля только тогда, когда
r = 1, s = 2n + 1 (n = 0, 1, . . . ). Если r = 1, s = 2n + 1, то это среднее
равно
[
]
1
f (φ, τ ) = E(τ )an (q) sin δ(τ ) − (2n + 1)φ − γIrs .
2
Напомним (см. п. 15.3.), что
(
)
K ′ (k)
q n+1/2
q = exp −π
, an (q) =
.
K(k)
1 + q 2n+1
Функция φ0 (τ ) определяется из уравнения
[
]
sin δ(τ ) − (2n + 1)φ =
2γIrs
= An (τ ).
E(τ )an (q)
Решение существует, если
|An (τ )| < 1.
(16.35)
Если n велико, то неравенство не выполняется, так как
lim an (q) = 0.
n→∞
Возможность выполнения неравенства (16.35) зависит также от величины γ. Если же неравенство (16.35) выполняется, то получаем
4n + 2 различных значения функции φ0 (τ ) (в обозначении (16.5)
функции η0 (τ ))
φ0l (τ ) =
)
1 (
δ(τ ) − lπ − (−1)l arcsin An (τ ) ,
2n + 1
l = 0, . . . , 4n + 1.
Производная функции f (φ, τ ) по φ в точке φ0l (τ ) равна
a(τ ) = fφ (φ0l (τ ), τ ) = −(−1)l
√
2n + 1
an (q)E(τ ) 1 − A2n (τ ).
2
Если l четно, то
τ ∈ (−∞, ∞).
√
Выполнены условия теоремы 16.1. Поэтому в ε-окрестности резонансной точки I1,2n+1 у системы (16.34) существует при достаточно
малых ε неустойчивое пп решение.
a(τ )d(τ ) > 0,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16.3. Вынужденные колебания и вращения . . .
363
Если же l нечетно, то
a(τ )d(τ ) < 0,
τ ∈ (−∞, ∞).
Теперь нам нужно вычислить среднее значение функции b(τ ) + e(τ ).
Легко подсчитать, что
]
[
2K(k)
1
⟨2kγ cn
θ XI (I, θ)⟩ = 0 (θ = φ +
ωt).
π
2n + 1
Поэтому
b(τ ) = ⟨f (t, τ )XθI (I, θ)⟩ − γ,
e(τ ) = −⟨f (t, τ )XIθ (I, θ)⟩.
Следовательно,
b(τ ) + e(τ ) = −γ.
Выполнены условия теоремы 16.2. Поэтому в ε-окрестности резонансной точки I1,2n+1 у системы (16.34) существует при достаточно
малых ε асимптотически устойчивое пп решение.
Отметим, что можно было предполагать, что γ не постоянная,
а пп функция γ(τ ) c положительным средним значением. Можно
также предполагать, что E(τ ) и δ(τ ) являются пп функциями.
Аналогично исследуется случай вращательных движений невозмущенного маятника. В этом случае может существовать 2n резонансных точек.
Таким же образом исследуется более общее маятниковое уравнение
[
]
ẍ + Ω2 (τ ) sin x = ε γ(τ )ẋ + E(τ ) sin(ν + δ(τ )) .
(16.36)
Здесь Ω(τ ) — правильная пп функция, удовлетворяющая условиям,
dν
которые описаны в начале главы,
= ω(τ ), ω(τ ) — правильная пп
dt
функция, которая отделена от нуля, γ(τ ) — правильная пп функция
с положительным средним значением.
Рассматриваются решения уравнения
ẍ + Ω2 (τ ) sin x = 0
внутри некоторой подобласти области колебательных движений при
всех τ , причем граница этой подобласти не зависит от τ . От уравнения (16.36) перейдем к системе с помощью замены (16.31). Резонансные точки Irs определяются из уравнения
r
πΩ(τ )
= ω(τ ),
2K(k(Irs )) s
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
364
ГЛАВА 16. Резонансные пп колебания . . .
где r, s — взаимно простые целые числа. Сделав замену θ = φ+(r/s)ν
в соответствующей системе и вычислив средние значения правых
частей по ν, получим, что функция f0 (φ, τ ) может быть отлична от
нуля только при r = 1, s = 2n + 1. Уравнение для определения φ0 (τ )
принимает вид
2 dIdτrs + 2γ(τ )Irs (τ )
sin(δ(τ ) − (2n + 1)φ) =
.
E(τ )an (q)
Вычисление коэффициентов a(τ ), b(τ ), c(τ ) и d(τ ) дает те же результаты, что и в предыдущем случае. Поэтому для уравнения (16.36)
имеют место утверждения, аналогичные полученным для уравнения
(16.34).
Приведенная выше схема применима и к исследованию резонансных решений маятника, точка подвеса которого колеблется вдоль
вертикальной или горизонтальной оси по закону
ξ = εE(τ ) sin(ν + δ(τ )),
dν
= ω(τ ),
dt
где E(τ ), δ(τ ), ω(τ ) — периодические или пп функции.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Часть III
Приложения
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение А
Почти периодические
функции
В этом приложении более подробно, чем в параграфе 1.2., описываются основные свойства почти периодических функций (пп функций), которые мы используем в этой книге. Подробное изложение
теории почти периодических функций можно найти в книгах (Левитан [54], Corduneanu [124], Fink [133]).
Функции из этого класса определены при всех t ∈ (−∞, ∞) (будем писать t ∈ R).
Тригонометрическим многочленом будем называть выражение
Tn (t) =
n
∑
ak cos ωk t + bk sin ωk t,
(А.1)
k=1
где ak , bk , ωk — вещественные числа. Выражение (А.1) удобно записывать в комплексной форме
Tn (t) =
n
∑
ck eiλk t ,
k=1
где λk — вещественные числа.
Существуют тригонометрические многочлены, отличные от периодической функции. Действительно, рассмотрим многочлен
f (t) = eit + eiπt . Предположим, что f (t) — периодическая функция с
некоторым периодом ω. Тождество f (t + ω) = f (t) имеет вид
(eiω − 1)eit + (eiπω − 1)eiπt ≡ 0.
Так как функции eit и eiπt линейно независимы, то
eiω − 1 = 0, eiπω − 1 = 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Почти периодические функции
367
Следовательно, ω = 2kπ и πω = 2hπ, где k и h — целые числа.
Одновременное выполнение этих равенств невозможно.
Определение А.1. Функцию f (t), определенную при t ∈ R, будем
называть почти периодической, если она является пределом в
смысле равномерной сходимости на всей вещественной оси последовательности Tn (t) тригонометрических многочленов вида
(А.1), т.е. для любого ε > 0 найдется такое натуральное число N , что при n > N
sup
−∞<t<∞
|f (t) − Tn (t)| < ε.
Очевидно, любая непрерывная периодическая функция будет почти периодической в смысле определения А.1. Перейдем к описанию
свойств почти периодических функций.
Теорема А.1. Каждая пп функция непрерывна и ограничена при
t ∈ R.
Доказательство. Так как многочлены Tn (t), n = 1, 2, . . . непрерывны, то их равномерный предел на R является непрерывной функцией. Покажем, что пп функция f (t) ограничена. Пусть T1 (t) такой
тригонометрический многочлен, что
sup
−∞<t<∞
Пусть
sup
−∞<t<∞
|f (t) − T1 (t)| < 1.
|T1 (t)| = M . Тогда
|f (t)| ≤ |f (t) − T1 (t)| + |T1 (t)| ≤ M + 1
и, следовательно,
sup
−∞<t<∞
|f (t)| ≤ M + 1.
Теорема А.2. Каждая пп функция f (t) равномерно непрерывна.
Доказательство. Очевидно, для любых t1 , t2 ∈ R и тригонометрического многочлена Tn (t) справедливо неравенство
|f (t1 )−f (t2 )| ≤ |f (t1 )−Tn (t1 )|+|Tn (t1 )−Tn (t2 )|+|Tn (t2 )−f (t2 )|. (А.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
368
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Почти периодические функции
Пусть ε > 0. Выберем n таким, чтобы выполнялись неравенства
ε
ε
|f (t1 ) − Tn (t1 )| < , |f (t2 ) − Tn (t2 )| < .
3
3
Так как Tn (t) равномерно непрерывна, то существует δ > 0, что при
|t1 − t2 | < δ выполняется неравенство
ε
|Tn (t1 ) − Tn (t2 )| < .
3
Из (А.2) вытекает, что при |t1 − t2 | < δ выполняется неравенство
|f (t1 ) − f (t2 )| < ε.
Теорема А.3. Если f (t) — пп функция и c — постоянная, то cf (t),
f (t + c), f (ct) — пп функции.
Доказательство очевидно.
Теорема А.4. Если f (t) и g(t) — пп функции, то f (t) ± g(t) и
f (t)g(t) — пп функции.
Доказательство. Покажем, что f (t) + g(t) — пп функция. Пусть
ε > 0 и Tε (t), Rε (t) — такие тригонометрические многочлены, что
ε
ε
|f (t) − Tε (t)| < , |g(t) − Rε (t)| < .
2
2
Тогда
[
]
f (t) + g(t) − Tε (t) + Rε (t) ≤ |f (t) − Tε (t)| + |g(t) − Rε (t)|. (А.3)
Из (А.3) следует требуемое утверждение.
Пусть теперь Tε (t) и Rε (t) — такие тригонометрические многочлены, что
{
}
{
}
ε
ε
|f (t)−Tε (t)| < min 1,
, |g(t)−Rε (t)| < min 1,
,
2(M + 1)
2(M + 1)
где M — постоянная, для которой справедливы неравенства
|f (t)| ≤ M,
|g(t)| ≤ M.
Тогда
|Tε (t)| ≤ |Tε (t) − f (t)| + |f (t)| < M + 1.
Получаем
|f (t)g(t) − Tε (t)Rε (t)| ≤ |g(t)||f (t) − Tε (t)| + |Tε (t)||g(t) − Rε (t)| < ε.
Из последнего неравенства следует почти периодичность f (t)g(t). Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Почти периодические функции
369
Следствие А.1. Пусть P (z1 , z2 , . . . , zk ) — многочлен от переменных z1 , z2 , . . . , zk и f1 (t), f2 (t), . . . , fk (t) — пп функции, тогда
F (t) = P (f1 , f2 , . . . , fk ) — пп функция.
Теорема А.5. Предел равномерно сходящейся последовательности
пп функций есть пп функция.
Доказательство. Пусть fk (t), k = 1, 2, . . . — последовательность пп
функций, которая равномерно сходится к функции g(t). Покажем,
что g(t) — пп функция. По заданному числу ε > 0 можно указать
такое число K, что при k > K (в силу равномерной сходимости)
ε
|g(t) − fk (t)| < ,
2
t ∈ R.
Для пп функции fk (t) можно определить тригонометрический многочлен Tk (t) такой, что
ε
|fk (t) − Tk (t)| < ,
2
t ∈ R.
Тогда при всех t справедливо неравенство
|g(t) − Tk (t)| ≤ |g(t) − fk (t)| + |fk (t) − Tk (t)| < ε.
Следовательно, функцию g(t) можно равномерно аппроксимировать
тригонометрическими многочленами.
Теорема А.6. Пусть функция Φ(z1 , z2 , . . . , zk ) равномерно непрерывна на замкнутом ограниченном множестве M k-мерного про(странства. Пусть )f1 (t), f2 (t),. . . , fk (t) — пп функции и точка
f1 (t), f2 (t),
( . . . , fk (t) ∈ M ) при всех t ∈ R. Тогда функция
F (t) = Φ f1 (t), f2 (t), . . . , fk (t) является пп функцией.
Доказательство. В силу теоремы Вейерштрасса об аппроксимации
непрерывных функций многочленами для любого ε > 0 существует
такой многочлен Pε (z1 , z2 , . . . , zk ) от переменных z1 , z2 , . . . , zk , что
|Φ(z1 , z2 , . . . .zk ) − Pε (z1 , z2 , . . . , zk )| < ε.
(А.4)
Функция Pε (f1 (t), . . . , fk (t)) почти периодическая в силу следствия к
теореме A1.4. Из неравенства (А.4) и теоремы А.5 вытекает утверждение теоремы.
Следствие А.2. Пусть f (t), g(t) — пп функции и
тогда f (t)/g(t) — пп функция.
inf
−∞<t<∞
|g(t)| > 0,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
370
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Почти периодические функции
Доказательство. Достаточно показать, что 1/g(t) — пп функция.
Из условий следствия и ограниченности функции g(t) вытекает, что
0 < m ≤ |g(t)| ≤ M . Очевидно, функция Φ(z) = 1/z равномерно
непрерывна на множестве 0 < m ≤ |z| ≤ M . Поэтому из теоремы А.6
следует, что 1/g(t) — пп функция.
Рассмотрим функцию f (t, x1 , x2 , . . . , xk ), зависящую от векторного
параметра x = (x1 , . . . , xk ), изменяющегося в ограниченном множестве M ∈ Rk .
Определение А.2. Функцию f (t, x) назовем почти периодической
по t равномерно относительно x ∈ M , если для любого ε > 0
можно указать такое натуральное число N , что при n > N
sup
−∞<t<∞
|f (t, x) −
n
∑
cl (x)eiλl t | < ε,
l=1
причем функции cl (x) непрерывны на M .
Можно показать, что функция f (t, x) почти периодична по t равномерно относительно x, если она почти периодична по t при каждом
фиксированном x и непрерывна по x ∈ M равномерно относительно
t ∈ R.
Теорема А.7. Если функция f (t, x) почти периодична по t равномерно относительно x ∈ M и xi (t) (i = 1, . . . , k) — пп функции,
причем
(
)
x1 (t), x2 (t), . . . , xk (t) ∈ M
(
)
при t ∈ R, то f t, x1 (t), . . . , xk (t) — пп функция.
Доказательство. Можно без ограничения общности предполагать,
что множество M замкнуто. Тогда функции ci (x), i = 1, . . . , k равномерно непрерывны на M . В силу теоремы А.6 и теоремы А.4 функция
n
∑
(
)
cl x1 (t), . . . , xk (t) eiλl t
l=1
почти(периодическая. Поэтому
из теоремы А.5 вытекает, что функ)
ция f t, x1 (t), . . . , xk (t) — пп функция.
Непрерывную функцию f (t) назовем нормальной функцией, если
семейство функций {f (t + h)}(−∞ < h < ∞) обладает следующим
свойством: из любой бесконечной последовательности функций
f (t + h1 ), f (t + h2 ), . . .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Почти периодические функции
371
можно выбрать равномерно сходящуюся при всех t подпоследовательность.
Теорема А.8. Пп функция f (t) является нормальной функцией.
Доказательство этой теоремы проводится по следующей схеме
(см. [124]). Легко видеть, что функция eiλt — нормальная. Далее
доказывается, что тригонометрический многочлен является нормальной функцией, затем, используя определение А.1, устанавливается
свойство нормальности произвольной пп функции.
C. Бохнер показал, что свойство нормальности функции является
необходимым и достаточным условием почти периодичности функции.
Теорема А.9. Пусть f (t) — пп функция и ее производная f ′ (t)
равномерно непрерывна на всей вещественной оси. Тогда f ′ (t) —
пп функция.
Доказательство. Рассмотрим функции
[ (
]
1)
φk (t) = k f t +
− f (t) ,
k
k = 1, 2, . . .
Применяя теорему о среднем значении, получим
φk (t) = f ′ (t +
θk
),
k
0 < θk < 1.
При k → ∞ последовательность пп функций φk (t) равномерно сходится при t ∈ R к функции f ′ (t). Следовательно, f ′ (t) — пп функция.
Вопрос об интегрируемости пп функции рассмотрим позднее.
Следующее свойство пп функции для нас особенно важно.
Теорема А.10. Для пп функции f (t) существует предел
1
lim
T →∞ T
a+T
∫
f (t)dt = ⟨f (t)⟩
a
равномерно по a. Число ⟨f (t)⟩ не зависит от выбора a и называется средним значением пп функции f (t).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
372
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Почти периодические функции
Доказательство. Пусть сначала f (t) = P (t) — тригонометрический
многочлен
n
∑
P (t) = c0 +
cl eiλl t ,
l=1
где λl — ненулевые вещественные числа. Тогда
1
T
a+T
∫
n
∑
eiλl (a+T ) − eiλl a
P (t)dt = c0 +
.
cl
iλl T
l=1
a
Отсюда получаем неравенство
∫
n 1 a+T
2 ∑ cl P (t)dt − c0 ≤
λl ,
T
T
l=1
a
из которого следует, что
1
lim
T →∞ T
a+T
∫
P (t)dt = c0 .
a
Для произвольной почти периодической функции f (t) возьмем такой
тригонометрический многочлен P (t), что
ε
|f (t) − P (t)| < ,
3
t ∈ R,
где ε > 0. Так как для P (t) существует среднее значение, то можно
указать такое число T (ε), что при T1 , T2 ≥ T (ε)
a+T
∫ 1
∫ 2
1 a+T
ε
1
P (t)dt −
P (t)dt < .
T1
3
T2
a
a
Тогда
a+T
a+T
∫ 1
∫ 2
∫ 1
1 a+T
1
1
f (t)dt −
f (t)dt ≤
|f (t) − P (t)|dt+
T1
T1
T2
a
a
a
a
a
a+T
a+T
∫ 1
∫ 2
∫ 2
1 a+T
1
1
P (t)dt −
P (t)dt +
|f (t) − P (t)|dt < ε
+
T2
T1
T2
a
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Почти периодические функции
373
при T1 , T2 ≥ T (ε). Последнее неравенство показывает, что равномерно по a существует предел
1
lim
T →∞ T
a+T
∫
f (t)dt = ⟨f (t)⟩.
a
Покажем, что этот предел не зависит от a, т.е.
a+T
∫
1
lim
T →∞ T
1
f (t)dt = lim
T →∞ T
a
∫T
f (t)dt.
0
Так как |f (t)| ≤ M < ∞, то при a > 0, T > 0 имеем
∫
∫
a+T
a+T
∫T
∫a
2aM
1
1
f (t)dt − f (t)dt = f (t)dt − f (t)dt ≤
.
T
T
T
a
0
0
T
Отсюда вытекает требуемое равенство.
Пусть f (t) — периодическая функция с периодом ω. Представим
вещественное число T в виде T = nω + αn , где n — целое, а αn
удовлетворяет неравенству
0 ≤ αn ≤ ω.
Когда T → ∞, то n → ∞. Вычислим среднее значение функции f (t):
1
T →∞ T
∫T
⟨f (t)⟩ = lim
1
n→∞ nω + αn
nω+α
∫ n
f (t)dt = lim
f (t)dt =
0
0
{ n−1 (i+1)ω
}
nω+α
∫ n
∑ ∫
1
= lim
f (t)dt +
f (t)dt =
n→∞ nω + αn
i=0 iω
nω
{ ∫ω
}
α
n
∫ω
∫
1
1
n f (t)dt + f (t)dt =
= lim
f (t)dt.
n→∞ nω + αn
ω
0
0
0
Таким образом, для периодических функций введенное среднее значение совпадает с обычным средним значением периодической функции.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
374
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Почти периодические функции
Существование среднего значения позволяет построить для пп
функции ряд Фурье. Пусть f (t) — пп функция. Так как при любом
действительном λ функция eiλt — периодическая, то произведение
f (t)eiλt — пп функция. Поэтому существует среднее значение
a(λ) = ⟨f (t)eiλt ⟩.
Фундаментальное значение имеет тот факт, что функция a(λ) может
отличаться от нуля самое большее только для счетного множества
значений λ. Числа λ1 , . . . , λn , . . . называются показателями Фурье, а
числа a1 , . . . , an , . . . — коэффициентами Фурье функции f (t).
Итак, каждой пп функции f (t) сопоставляется ряд Фурье:
∑
f (t) ∼
an eiλn t .
n
Над рядами Фурье можно производить формальные операции. Пусть
f (t) и g(t) — пп функции и
∑
∑
f (t) ∼
an eiλn t =
a(λ)eiλt ,
n
g(t) ∼
∑
bn eiµn t =
n
λ
∑
b(λ)eiλt .
λ
Тогда:
∑
1) kf (t) ∼
kan eiλn t (k = const),
n∑
2) eiλt f (t) ∼
an ei(λn +λ)t ,
n∑
3) f (t + α) ∼
an eiλα eiλn t (α ∈ R),
∑ n −iλn t
¯
4) f (t) ∼
ān e
,
n
)
∑(
5) f (t) + g(t) ∼
a(λ) + b(λ) eiλt ,
∑ λ iνn t
∑
6) f (t)g(t) ∼
cn e , где cn =
n
ap bq .
λp +µq =νn
Если производная пп функции f (t) является пп функцией, то ее ряд
Фурье получается из ряда Фурье f (t) почленным дифференцированием. Если неопределенный интеграл пп функции f (t) является пп
функцией, то
∫t
f (t)dt ∼ c +
F (t) =
0
∑ an
eiλn t
iλn
n
(λn ̸= 0).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Почти периодические функции
375
Остановимся подробнее на интегрировании пп функций. Если f (t) —
периодическая функция с ненулевым средним значением, то для нее
справедливо равенство
∫t
f (t)dt = ⟨f ⟩t + g(t),
0
где g(t) — периодическая функция. Для пп функций последнее равенство, вообще говоря, не имеет места. Существуют пп функции
с нулевым средним значением, интеграл от которых неограничен и,
следовательно, не является пп функцией. Примером такой функции
является функция
∞
∑
1 i 12 t
f (t) =
ek .
k2
k=1
Мы будем называть пп функцию f (t) правильной, если справедливо
равенство
∫t
f (t)dt = ⟨f ⟩t + g(t),
0
где g(t) — пп функция. Функция f (t) будет правильной, если она
является тригонометрическим многочленом. Если показатели Фурье
пп функции отделены от нуля λn ≥ δ > 0, то такая функция также
будет правильной.
Если существует конечное множество чисел ω1 , ω2 , . . . , ωm такое,
что каждый показатель Фурье пп функции является линейной комбинацией этих чисел
λn = n1 ω1 + · · · + nm ωm ,
где n1 , . . . , nm — целые числа, то эта пп функция называется квазипериодической. Квазипериодические функции можно получать из периодических функций многих переменных. Например, пусть F (x, y) —
функция периодическая по каждой из переменных с периодом 2π.
Тогда F (ω1 t, ω2 t) — квазипериодическая функция, если числа ω1 , ω2
несоизмеримы.
Из изложенных свойств пп функций следует, что они образуют
линейное пространство. Если в этом пространстве ввести норму
∥f (t)∥ =
sup
−∞<t<∞
|f (t)|,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
376
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Почти периодические функции
то оно превращается в банахово пространство (полное линейное нормированное пространство). Это пространство обозначается через B.
Легко видеть, что среднее значение — линейный непрерывный функционал на этом пространстве, т.е. среднее значение обладает следующими свойствами:
1) ⟨cf (t)⟩ = c⟨f (t)⟩ (c=const),
2) ⟨(f (t) + g(t))⟩ = ⟨f (t)⟩ + ⟨g(t)⟩,
3) Если последовательность пп функций f1 (t), . . . , fn (t), . . . сходится равномерно по t ∈ R к пп функции f (t), то
lim ⟨fn (t)⟩ = ⟨f (t)⟩.
n→∞
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение Б
Устойчивость решений
дифференциальных
уравнений
В этой книге много внимания уделяется применению метода усреднения на бесконечном интервале к исследованию устойчивости
решений дифференциальных уравнений. Поэтому мы здесь изложим
некоторые определения и результаты ляпуновской теории устойчивости, которые используются в книге. Более подробно с теорией
устойчивости можно ознакомиться по книгам: Красовский [49], Малкин [59], Hahn [134], Румянцев, Озиранер [81], Воротников [184].
Б.1. Основные определения
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dx
= X(t, x),
dt
(Б.1)
где вектор-функция X(t, x) определена при t ∈ [0, ∞), x ∈ D, а
D — некоторая область n-мерного евклидова пространства Rn . Будем
предполагать, что для системы (Б.1) выполнены условия локальной
теоремы существования и единственности решений начальной задачи. Пусть φ(t, t0 , x0 ) (φ(t0 , t0 , x0 ) = x0 ) — решение системы (Б.1),
определенное при t ≥ t0 ≥ 0.
Определение Б.1. Решение φ(t, t0 , x0 ) устойчиво по Ляпунову, если
для любого числа ε > 0 можно указать число δ > 0 такое, что для
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
378
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Устойчивость решений ДУ
решения ψ(t, t0 , ξ) системы (Б.1) выполняется неравенство
|ψ(t, t0 , ξ) − φ(t, t0 , x0 )| < ε
при t ≥ t0 , если только
|ξ − x0 | < δ.
Если условия определения не выполнены, то решение φ(t, t0 , x0 )
неустойчиво.
Определение Б.2. Решение φ(t, t0 , x0 ) системы (Б.1) асимптотически устойчиво, если оно устойчиво по Ляпунову и существует такое
σ > 0, что
lim |ψ(t, t0 , ξ) − φ(t, t0 , x0 )| = 0,
(Б.2)
t→∞
если
|ξ − x0 | < σ.
Область Gσ ⊂ Rn в пространстве начальных условий называется
областью притяжения решения φ(t, t0 , x0 ), если для решений системы
(Б.1), начинающихся в Gσ , выполнено предельное равенство (Б.2).
Определение Б.3. Решение φ(t, t0 , x0 ) системы (Б.1) равномерно
асимптотически устойчиво, если оно асимптотически устойчиво и
если для любого числа η > 0 можно указать число T (η) такое, что
выполняется неравенство
|ψ(t, t0 , ξ) − φ(t, t0 , x0 )| < η
при t ≥ t0 + T (η), каков бы ни был начальный момент времени t0 и
координата начальных возмущений ξ из области притяжения решения φ(t, t0 , x0 ).
Приведем пример асимптотически устойчивого, но не равномерно
асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим уравнение
ẋ = x2 .
(Б.3)
Решение x = 0 этого уравнения неустойчиво, так как решения с
положительными начальными данными монотонно возрастают. Решения с отрицательными начальными данными также возрастают
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Б.1. Основные определения
379
и стремятся к нулю при t → ∞. Поэтому каждое решение с отрицательным начальным условием асимптотически устойчиво. Но каждое такое решение не будет равномерно асимптотически устойчивым.
При достаточно больших t в малой окрестности этого решения будут
лежать точки c положительными x-координатами.
Отметим следующие факты. Если состояние равновесия x = a
автономной системы асимптотически устойчиво, то оно равномерно асимптотически устойчиво. Если периодическое решение системы
дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
асимптотически устойчиво, то это периодическое решение равномерно асимптотически устойчиво.
Наряду с системой (Б.1) рассмотрим возмущенную систему
dx
= X(t, x) + R(t, x),
dt
(Б.4)
где вектор-функция R(t, x) характеризует постоянно действующие
возмущения. Будем предполагать, что для системы (Б.4) выполнены
условия локальной теоремы существования и единственности.
Определение Б.4. Решение φ(t, t0 , x0 ) невозмущенной системы (Б.1)
называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях,
если для любого ε > 0 существуют два других числа η1 (ε) > 0
и η2 (ε) > 0 таких, что каждое решение x(t, t0 , ξ) системы (Б.4) с
начальным условием ξ, удовлетворяющим неравенству
|ξ − x0 | < η1 (ε),
при произвольном возмущении R(t, x), удовлетворяющем в области
t ≥ t0 , |x − φ(t, t0 , x0 )| ≤ ε неравенству
|R(t, x)| < η2 (ε),
удовлетворяет при всех t > t0 неравенству
|x(t, t0 , ξ) − φ(t, t0 , x0 | < ε.
Это определение принадлежит Малкину (см. [59]). Отметим, что
устойчивость при постоянно действующих возмущениях называют
также тотальной устойчивостью (см. [134]).
В приведенном выше определении предполагается, что постоянно действующие возмущения малы при всех значениях времени t.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
380
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Устойчивость решений ДУ
Красовский и Гермаидзе (см. Красовский [49]) рассмотрели случай,
когда возмущения могут быть велики в отдельные моменты времени,
но малы в среднем. Они ввели следующее определение.
Определение Б.5. Решение φ(t, t0 , x0 ) невозмущенной системы (Б.1)
называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях,
ограниченных в среднем, если для любой пары чисел ε > 0 и T > 0
можно указать два таких числа δ > 0 и η > 0, что при выполнении
неравенства
∫t+T
ψ(s)ds < η,
t
где ψ(t) — какая-нибудь непрерывная функция, удовлетворяющая
условию
|R(t, x)| ≤ ψ(t)
при t ≥ t0 , |x − φ(t, t0 , x0 )| ≤ ε, каждое решение x(t, t0 , ξ) системы
(Б.4) c начальным условием, удовлетворяющим неравенству
|ξ − x0 | < δ,
удовлетворяет при всех t > t0 неравенству
|x(t, t0 , ξ) − φ(t, t0 , x0 | < ε.
Приведем еще определения, связанные с понятием устойчивости
по части переменных (см. [81, 184].
Определение Б.6. Решение φ(t, t0 , x0 ) системы (Б.1) называется:
а) устойчивым относительно части переменных x1 , x2 , . . . , xk , k < n,
если для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что для решения
ψ(t, t0 , ξ) системы (Б.1) выполняется неравенство
|ψi (t, t0 , ξ) − φi (t, t0 , x0 )| < ε,
при t ≥ t0 , если только
i = 1, 2, . . . , k
|ξ0 − x0 | < δ;
б) асимптотически устойчиво относительно части переменных x1 ,
x2 ,. . . , xk , k < n, если оно устойчиво относительно части переменных x1 , x2 , . . . , xk , k < n и существует такое число σ > 0, что при
|ξ − x0 | < σ справедливо предельное равенство
lim |ψi (t, t0 , ξ) − φi (t, t0 , x0 )| = 0,
t→∞
i = 1, 2, . . . , k,
k < n;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Б.2. Теоремы об устойчивости по первому приближению
381
в) равномерно асимптотически устойчиво относительно части переменных x1 , x2 , . . . , xk , k < n, если оно асимптотически устойчиво относительно части переменных и если для любого числа η > 0 можно
указать число T (η) такое, что выполняется неравенство
|ψi (t, t0 , ξ) − φi (t, t0 , x0 )| < η,
i = 1, 2, . . . , k,
k<n
при t ≥ t0 + T (η), каков бы ни был начальный момент времени t0 и
координата начальных возмущений ξ из области |ξ − x0 | < σ.
Б.2. Теоремы об устойчивости по первому
приближению
Будем предполагать, что f (t, x) непрерывно дифференцируема по
пространственной переменной x в некоторой окрестности решения
φ(t), устойчивость которого исследуется. Вопрос об устойчивости
решения φ(t) системы (Б.1) можно свести к вопросу об устойчивости
нулевого решения, если сделать замену
x = y + φ(t).
После замены получим систему
dy
= f (t, y + φ) − f (t, φ),
dt
которую можно записать в виде
dy
= A(t)y + ω(t, y),
dt
(Б.5)
где ω(t, y) = f (t, y + φ) − f (t, φ) − A(t)y и A(t) = fx′ (t, φ). Очевидно,
ω(t, 0) ≡ 0. Следовательно, задача сводится к задаче устойчивости
нулевого решения системы (Б.5). Функция ω(t, y) содержит лишь
члены высшего, чем первый, порядка малости по пространственной
переменной y в окрестности нуля. Это условие можно записать в
следующем виде:
|ω(t, x)| ≤ q(r)|x| (|x| ≤ r),
где q(r) монотонна и
lim q(r) = 0.
r→0
(Б.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
382
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Устойчивость решений ДУ
Линейная система уравнений
dx
= A(t)x
(Б.7)
dt
называется системой первого приближения для системы (Б.5). Естественно искать условия, при которых из устойчивости нулевого решения системы (Б.7) следует устойчивость нулевого решения системы (Б.5). Соответствующие теоремы называются теоремами об
устойчивости по первому приближению. Эти теоремы справедливы
при довольно общих предположениях об элементах матрицы A(t) и
экспоненциальной дихотомии решений системы (Б.6).
Мы предположим, что матрица A(t) = A — постоянная, и докажем две теоремы об устойчивости по первому приближению. Схема
доказательства этих теорем неоднократно используется в книге в
различных ситуациях.
Мы будем рассматривать следующую систему уравнений:
dx
= Ax + ω(t, x),
(Б.8)
dt
где A — постоянная матрица, вектор-функция ω(t, x), ω(t, 0) ≡ 0
определена и непрерывна по совокупности переменных при 0 ≤ t < ∞
и x из некоторого шара |x| < r0 . Кроме того, предполагаем, что ω(t, x)
удовлетворяет неравенству (Б.6).
Теорема Б.1. Пусть все собственные значения матрицы A имеют отрицательные вещественные части. Тогда нулевое решение
системы (Б.8) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Каждое решение x(t) системы (Б.8) является одновременно решением системы интегральных уравнений
∫t
x(t) = etA x(0) +
e(t−s)A ω(s, x(s))ds.
(Б.9)
0
Из условий теоремы следует оценка
|etA | ≤ M e−γt
(t ≥ 0),
где M , γ — положительные постоянные. Поэтому при t ≥ 0 справедливо неравенство
|x(t)| ≤ M e−γt |x(0)| +
∫t
0
M e−γ(t−s) |ω(s, x(s))|ds.
(Б.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Б.2. Теоремы об устойчивости по первому приближению
383
Пусть ε — такое достаточно малое число, что β = M q(ε) ≤ γ2 . Положим δ = ε/(1 + M ). Покажем вначале, что из неравенства |x(0)| < δ
вытекает неравенство |x(t)| < ε при t > 0. В самом деле, если t0 —
первый момент времени, при котором |x(t0 )| = ε, то из (Б.10) следует, что при 0 ≤ t ≤ t0
|x(t)| ≤ M e−γt |x(0)| + β
∫t
M e−γ(t−s) |x(s)|ds.
(Б.11)
0
В силу леммы Гронуолла – Беллмана (см. п. 3.4.)
|x(t0 )| = ε ≤ M e−(γ−β)t0 |x(0)|,
откуда
ε < M e−
γt0
2
·
ε
< ε.
M
Мы пришли к противоречию.
Следовательно, неравенство (Б.11) верно при всех t ≥ 0. Из леммы Гронуолла – Беллмана вытекает, что
|x(t)| ≤ M e−
γt0
2
|x(0)|,
t ≥ 0,
|x(0)| ≤ δ.
Теорема доказана.
Теперь перейдем к теореме о неустойчивости по первому приближению. Будем предполагать, что ω(t, x) удовлетворяет условию
Липшица в следующей форме:
|ω(t, x) − ω(t, y)| ≤ p(r)|x − y|,
|x|, |y| ≤ r,
где p(r) → 0 при r → 0.
Теорема Б.2. Пусть у матрицы A есть по крайней мере одно собственное значение с положительной вещественной частью. Тогда
нулевое решение системы (Б.8) неустойчиво.
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно установить существование такого r0 > 0, что в любой окрестности начала координат есть начальное значение x(0) некоторого решения
x(t) (0 ≤ t < ∞) системы (Б.8), не лежащего полностью в шаре
|x| ≤ r0 .
Без ограничения общности можно предполагать, что у матрицы
A нет собственных значений с нулевой вещественной частью. Если такие собственные значения есть, то замена x = eλt y, где λ > 0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
384
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Устойчивость решений ДУ
выбирается таким малым, чтобы у матрицы A − λI оставались собственные значения с положительной вещественной частью, приводит
к рассмотрению системы, у которой матрица линейной части не имеет собственных значений, лежащих на мнимой оси.
Для определенности будем считать, что матрица A имеет k собственных значений с отрицательной вещественной частью и n − k
собственных значений с положительной вещественной частью. Без
ограничения общности можно предполагать, что матрица A имеет
блочно-диагональный вид
(
A=
A1 0
0 A2
)
,
где A1 — матрица порядка k, у которой все собственные значения
имеют отрицательные вещественные части, A2 — матрица порядка
n − k, у которой все собственные значения имеют положительные
вещественные части. Для системы (Б.8) рассмотрим задачу о существовании решений, ограниченных на полуоси [0, ∞). Как было
показано в п. 3.4., эта задача эквивалентна задаче о существовании
решений системы интегральных уравнений
(
x(t) =
tA1
e
0
0
0
)
∫t (
x(0) +
∫∞ (
−
e(t−s)A1 0
0
0
0
0
0
0 e(t−s)A2
)
ω(s, x(s))ds−
)
ω(s, x(s))ds.
t
Пусть x1 (t) и x2 (t) — два таких решения системы (Б.8), что
x11 (0) = x21 (0), |x1 (t)|, |x2 (t)| ≤ r0 при t ≥ 0. Здесь через x11 (0), x21 (0)
обозначены первые k координат вектора начальных условий. Тогда
∫t (
x (t) − x (t) =
1
2
∫∞ (
−
t
e(t−s)A1 0
0
0
0
0
0
(t−s)A2
0 e
)
[ω(s, x1 (s)) − ω(s, x2 (s))]ds−
)
[ω(s, x1 (s)) − ω(s, x2 (s))]ds
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Б.3. Функции Ляпунова
385
и
∫t
|x1 (t) − x2 (t)| ≤ M p(r0 )
∫∞
e−γ(t−s) |x1 (s) − x2 (s)|ds+
0
eγ(t−s) |x1 (s) − x2 (s)|ds.
+M p(r0 )
t
Следовательно,
|x1 (t) − x2 (t)| ≤
2M p(r0 )
sup |x1 (s) − x2 (s)|.
γ
0≤s<∞
(Б.12)
Выберем r0 так, чтобы выполнялись неравенство 2M p(r0 ) < γ. Тогда
из неравенства (Б.12) следует,что x1 (t) ≡ x2 (t).
Это означает, что среди решений системы (Б.8) с фиксированным x1 (0) (т.е. с фиксированными первыми k компонентами вектора начальных условий) нет более одного ограниченного на [0, ∞) с
нормой, не превышающей r0 , решения. Таким образом, существует
бесконечно много начальных значений из любой окрестности начала координат, которым отвечают решения системы (Б.8), выходящие
при некоторых t > 0 из шара |x| ≤ r0 . Значит, нулевое решение
системы (Б.8) неустойчиво.
Теорема доказана.
Б.3. Функции Ляпунова
В том случае, когда теоремы об устойчивости по первому приближению не работают, Ляпунов предложил использовать метод, который называется методом функций Ляпунова.
Рассмотрим скалярную функцию v(x1 , x2 , . . . , xn ), определенную
в некоторой области D ⊂ Rn , включающей в себя начало координат
0 = (0, 0, . . . , 0). Будем предполагать, что функция v(x) непрерывна
в области D и имеет в этой области непрерывные частные произ∂v
(i = 1, 2, . . . , n) и v(0) = 0. В дальнейшем функции
водные
∂xi
v(x), удовлетворяющие вышеперечисленным условиям, будем называть функциями Ляпунова.
Функцию v(x) назовем знакоположительной в области D, если
v(x) ≥ 0 во всех точках этой области, и знакоотрицательной, если
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
386
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Устойчивость решений ДУ
v(x) ≤ 0 при x ∈ D. Если выполняется одно из этих неравенств,
то функцию v(x) назовем знакопостоянной. Функцию v(x) назовем
определенно-положительной в области D, если v(x) > 0 при x ̸= 0, и
определенно-отрицательной, если v(x) < 0 при x ̸= 0. В том и другом случае функция v(x) называется знакоопределенной. Наконец,
функция v(x) знакопеременная в области D, если в этой области
она принимает значения разных знаков.
Приведем примеры. Функция v(x) = x21 + x22 + x23 — определенно
положительная в R3 , функция v(x) = x21 + x22 — знакоположительная
в R3 , а функция v(x) = x21 + x22 − x23 — знакопеременная в R3 .
До сих пор мы рассматривали функции Ляпунова вне связи с
дифференциальными уравнениями. Пусть теперь задана автономная
система дифференциальных уравнений
dx
= f (x),
dt
x ∈ Rn .
(Б.13)
Производной функции v(x) в силу системы (Б.13) назовем производd
ную v(φ(t)), где x = φ(t) — решение системы (Б.13). Очевидно,
dt
∑ ∂v dφi ∑ ∂v
d
v(φ(t)) =
=
fi (φ(t)).
dt
∂x
dt
∂x
i
i
i=1
i=1
n
n
(Б.14)
Обозначим эту производную через v̇. Введем вектор
)
(
∂v
∂v
grad v =
,...,
.
∂x1
∂xn
Тогда v̇ — это скалярное произведение векторов grad v и f
v̇(φ(t)) = ⟨grad v, f (φ(t)⟩.
Из формулы (Б.14) следует, что для вычисления производной v̇ в
точке t = t0 не нужно знать решение φ(t) системы (Б.13), а только
его значение φ(t0 ) = a. Тогда
n
∑
∂v
v̇(t0 ) =
|x=a · fi (a) = ⟨grad v(a), f (φ(a)⟩.
∂x
i
i=1
Таким образом, знак правой части последнего равенства во всех
точках некоторой области гарантирует знак v̇(t) на всех решениях
системы (Б.13), лежащих в этой области. На этом факте и основаны теоремы, позволяющие изучить свойства устойчивости решений
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Б.3. Функции Ляпунова
387
системы (Б.13) по свойствам функций Ляпунова и их производных
в силу системы.
Будем предполагать, что система (Б.13) имеет нулевое решение.
Теорема Б.3 (Теорема Ляпунова об устойчивости). Если для системы (Б.13) существует в области D знакоопределенная функция v(x), производная которой в силу системы (Б.13) является знакопостоянной функцией, и ее знак противоположен знаку
функции v(x), то решение x = 0 устойчиво по Ляпунову.
Теорема Б.4 (Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Если в области D существует знакоопределенная функция
v(x), производная которой в силу системы (Б.13) является также знакоопределенной, знака противоположного знаку v(x), то
решение x = 0 будет асимптотически устойчивым.
Переходим к вопросу об условиях неустойчивости нулевого решения системы (Б.13). Чтобы обнаружить неустойчивость решения,
достаточно найти в сколь угодно малой окрестности точки x = 0 хотя
бы одно решение, которое покидает шар Tε радиуса ε при некотором
ε > 0. Изложим утверждение о неустойчивости, принадлежащее Четаеву.
Пусть функция Ляпунова v(x) определена в шаре Tµ , µ > 0.
Назовем областью положительности функции v(x) множество точек
x ∈ Tµ , для которых
v(x) > 0.
Поверхность v(x) = 0 — граница области положительности (v(0)=0).
Например, для функции v(x1 , x2 ) = x1 −x22 границей области положительности будет парабола x1 = x22 . Если функция v(x) определенно
положительная, то ее область положительности совпадает со всей
окрестностью точки x = 0.
Теорема Б.5. Если для системы (Б.13) можно найти функцию
v(x), для которой в сколь угодно малой окрестности точки x = 0
существует область положительности и если ее производная
v̇(x) в силу системы (Б.13) положительна во всех точках области
положительности функции V (x), то решение x = 0 неустойчиво.
В качестве примера рассмотрим скалярное дифференциальное
уравнение
ẋ = F (x) = gxm + gm+1 xm+1 + . . . ,
(Б.15)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
388
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Устойчивость решений ДУ
где m ≥ 2, а g, gm+1 , . . . — некоторые постоянные и ряд F (x) сходится
при достаточно малых x. Исследуем устойчивость нулевого решения
уравнения (Б.15) c помощью функций Ляпунова.
Если m нечетное число, то положим
g
v(x) = x2 .
2
Для v̇(x) имеем
v̇ = g 2 xm+1 + g · gm+1 xm+2 + . . .
Обе функции v(x) и v̇(x) знакоопределенны при достаточно малых
x. Если g > 0, то функции v(x) и v̇(x) будут одного знака и, следовательно, в силу теоремы Четаева решение x = 0 неустойчиво. Если
g < 0, то функции v(x) и v̇(x) будут иметь противоположные знаки
при достаточно малых x и, следовательно, в силу теоремы Ляпунова
нулевое решение будет асимптотически устойчиво.
При m четном полагаем
v(x) = x.
Тогда функция v̇(x) будет знакоопределенной, а сама функция v(x),
каков бы ни был знак g, может принимать значения того же знака,
что и v̇(x). Следовательно, как при g > 0, так и при g < 0 выполнены
условия теоремы Четаева и решение x = 0 неустойчиво.
Функции Ляпунова также используются при доказательстве теорем об устойчивости при постоянно действующих возмущениях.
Сформулируем следующую теорему.
Теорема Б.6. Если решение x(t, t0 , x0 ) системы (Б.1) равномерно
асимптотически устойчиво, то
1) x(t, t0 , x0 ) устойчиво при постоянно действующих возмущениях;
2) x(t, t0 , x0 ) устойчиво при постоянно действующих возмущениях, ограниченных в среднем.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Приложение В
Некоторые сведения
из функционального
анализа
В.1. Банаховы пространства
Линейное пространство определяется как непустое множество
L, каждой паре элементов f , g которого сопоставляется элемент
f + g ∈ L, называемый суммой элементов f , g. Сложение обладает
следующими свойствами:
(i) f + g = g + f ,
(ii) f + (g + h) = (f + g) + h, f, g, h ∈ L
(iii) существует единственный элемент 0 (называемый нулем в L),
такой что f + 0 = f для всех f ∈ L,
(iv) для каждого f ∈ L существует единственный элемент
(−f ) ∈ L, такой что f + (−f ) = 0.
Элементы линейного пространства можно умножать на скаляры.
В качестве скаляров выбираются вещественные или комплексные
числа. Каждый скаляр α и каждый элемент f ∈ L образуют новый
элемент αf ∈ L, причем для любых двух скаляров α, β справедливы
следующие соотношения:
(v) α(f + g) = αf + αg,
(vi) (α + β)f = αf + βf ,
(vii) (αβ)f = α(β)f ,
(viii) 1 · f = f .
L называется вещественным линейным пространством, если скалярами являются вещественные числа, или комплексным линейным
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
390
ПРИЛОЖЕНИЕ В. . . . сведения из функционального анализа
пространством, если скалярами являются комплексные числа. Элементы f , g, h, . . . пространства L называются точками или векторами. Для нас наиболее интересными являются линейные пространства, элементами которых являются функции. Обычно на класс функций, образующих линейное пространство, накладываются некоторые
ограничения. Например, линейное пространство образуют непрерывные периодические функции с некоторым фиксированным периодом
T > 0. Непрерывные периодические вектор-функции с периодом T
также образуют линейное пространство.
Подмножество L1 пространства L, которое является линейным
пространством с теми же правилами действий, что и в L, называется подпространством. Например, совокупность всех непрерывных периодических функций периода T c нулевым средним значением является подпространством пространства всех непрерывных T периодических функций.
Линейное пространство — чисто алгебраическое понятие. Чтобы
в этом пространстве заниматься анализом, нужно ввести понятие
расстояния между элементами. Расстояние можно ввести для элементов произвольного множества X следующим образом. Для любых
двух элементов f, g ∈ X вводим число d(f, g), обладающее следующими свойствами:
(i) d(f, g) = 0 → f = g и наоборот, если f = g, то d(f, g) = 0,
(ii) d(f, g) = d(g, f ),
(iii) d(f, g) = d(f, h) + d(h, g) (неравенство треугольника).
Функция d(f, g) называется метрикой, а множество X с этой метрикой — метрическим пространством.
Нас будут интересовать только метрические пространства, которые одновременно являются линейными пространствами. В линейном пространстве метрику можно ввести с помощью понятия нормы.
Норма в линейном пространстве L вводится следующим образом.
Каждому элементу f ∈ L сопоставляется число ∥f ∥ (норма элемента), обладающее следующими свойствами:
(i) ∥f ∥ ≥ 0 и ∥f ∥ = 0 тогда и только тогда, когда f = 0,
(ii) ∥αf ∥ = |α|∥f ∥ для любого числа α,
(iii) ∥f + g∥ ≤ ∥f ∥ + ∥g∥ (неравенство треугольника).
Линейное пространство, в котором введена норма, называется линейным нормированным пространством. Это пространство является
метрическим. Легко видеть, что метрику можно определить формулой
d(f, g) = ∥f − g∥.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.2. Линейные операторы
391
В линейном нормированном пространстве L вводится сходимость.
Пусть fn (n = 1, 2, . . . ) — последовательность элементов из L. Эта
последовательность называется сходящейся к элементу f ∈ L, если
∥fn − f ∥ → 0 при n → ∞. Из неравенства треугольника следует, что
последовательность имеет единственный предел.
Последовательность fj (j = 1, 2, . . . ) называется фундаментальной, если по любому ε > 0 можно указать натуральное число N (ε),
что для m, n > N (ε) справедливо неравенство
∥fn − fm ∥ < ε.
Принцип Коши утверждает, что фундаментальная последовательность вещественных чисел сходится к вещественному числу. В произвольном линейном нормированном пространстве принцип Коши не
имеет места.
Приведем примеры. В множестве рациональных чисел в качестве
нормы возьмем модуль рационального числа. Тогда множество рациональных чисел с этой нормой образует линейное нормированное
пространство r. Фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится, но ее пределом может быть не рациональное
число, а вещественное, которое не является элементом пространства r. В качестве второго примера возьмем совокупность полиномов, определенных на промежутке [0, 1]. Норму введем следующим
образом:
∥Pk (t)∥ = max |Pk (t)|,
t∈[0,1]
где |Pk (t)| — модуль полинома Pk (t). Получим линейное нормированное пространство. Свойства нормы следуют из свойств модуля.
Сходимость в этом пространстве совпадает с равномерной сходимостью на промежутке [0, 1] последовательности полиномов. Но последовательность полиномов может равномерно сходиться на [0, 1] к
произвольной непрерывной функции, а не полиному.
Линейное нормированное пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства, называется полным линейным нормированным пространством
или банаховым пространством.
В.2. Линейные операторы
Пусть заданы два линейных нормированных пространства Ex и
Ey . Если каждому элементу x ∈ Ex ставится по некоторому правилу
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
392
ПРИЛОЖЕНИЕ В. . . . сведения из функционального анализа
в соответствие некоторый элемент y ∈ Ey , то говорят, что задан оператор A. Пространство Ex называется областью определения оператора A, а Ey — областью значений оператора A. Мы пишем Ax = y.
Оператор может действовать и в одном пространстве. Тогда его область определения и область значений лежат в одном пространстве
и могут не совпадать со всем пространством. Оператор A называется
линейным, если выполняются следующие два условия:
(i) A(x + y) = Ax + Ay,
(ii) A(αx) = αAx для любого скаляра α из совокупности скаляров
данного пространства Ex .
Приведем пример линейного оператора. Рассмотрим одно из наиболее используемых банаховых пространств. Через C[0, 1] обозначается линейное пространство непрерывных функций, определенных
на промежутке [0, 1] c нормой
∥x(t)∥ = max |x(t)|.
t∈[01]
Покажем, что это пространство является банаховым.
xn (t) ∈ C[0, 1], n = 1, 2, . . . последовательность, для которой
Пусть
∥xn (t) − xm (t)∥ → 0
при m, n → ∞. Это означает, что для последовательности xn (t) выполняется условие Коши равномерной сходимости на [0, 1]. Пусть
x0 (t) — предел последовательности xn (t). Как предел равномерно
сходящейся последовательности функция x0 (t) непрерывна. Следовательно, x0 (t) ∈ C[0, 1] и ∥xn (t) − x0 (t)∥ → 0. Итак, пространство
C[0, 1] банахово. Оператор в пространстве C[0, 1] определим формулой
∫1
y = Ax = K(t, s)x(s)ds,
(В.1)
0
где функция K(t, s) непрерывна по совокупности переменных в квадрате 0 ≤ t ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1. Очевидно, если x(t) ∈ C[0, 1], то
y(t) ∈ C[0, 1]. Оператор A отображает пространство C[0, 1] в себя.
Легко проверяется, что оператор A является линейным.
В качестве второго примера рассмотрим в пространстве C[0, 1]
оператор
∫t
y = Bx = x(s)ds.
(В.2)
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.2. Линейные операторы
393
Область определения оператора B — все пространство. Область значений состоит из непрерывно дифференцируемых функций y(t), которые удовлетворяют условию y(0) = 0, так как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции непрерывно дифференцируем. Линейность оператора B проверяется непосредственно.
Линейный оператор A непрерывен, если ∥Axn − Ax∥ → 0 при
∥xn − x∥ → 0. Без труда проверяется, что операторы (В.1), (В.2)
непрерывны.
Оператор A называется ограниченным, если существует такая
постоянная M > 0, что ∥Ax∥ ≤ M ∥x∥ для x ∈ Ex .
Оказывается, что оператор A непрерывен тогда и только тогда,
когда он ограничен.
Норма оператора
Пусть A — линейный ограниченный оператор. Наименьшая из
постоянных M , удовлетворяющая неравенству
∥Ax∥ ≤ M ∥x∥,
называется нормой оператора A и обозначается через ∥A∥.
Следовательно, по определению число ∥A∥ обладает следующими
свойствами:
а) для любого x ∈ Ex справедливо неравенство
∥Ax∥ ≤ ∥A∥∥x∥,
б) для любого ε > 0 найдется такой элемент xε , что
∥Axε ∥ > (∥A∥ − ε)∥xε ∥.
Норма оператора A определяется формулой
∥A∥ = sup ∥Ax∥.
∥x∥≤1
(В.3)
Покажем справедливость этой формулы. Если ∥x∥ ≤ 1, то
∥Ax∥ ≤ ∥A∥∥x∥ ≤ ∥A∥.
Следовательно,
sup ∥Ax∥ ≤ ∥A∥.
∥x∥≤1
(В.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
394
ПРИЛОЖЕНИЕ В. . . . сведения из функционального анализа
Возьмем элемент xε , фигурирующий в свойстве б) нормы оператора.
Положим
xε
zε =
.
∥xε ∥
Тогда
∥Azε ∥ =
1
1
∥Axε ∥ >
(∥A∥ − ε)∥xε ∥ = ∥A∥ − ε.
∥xε ∥
∥xε ∥
Так как ∥zε ∥=1, то
sup ∥Ax∥ ≥ ∥Azε ∥ > ∥A∥ − ε.
∥x∥≤1
Следовательно,
sup ∥Ax∥ ≥ ∥A∥.
(В.5)
∥x∥≤1
Из неравенств (В.4) и (В.5) следует справедливость формулы (В.3).
Для оператора A, определяемого формулой (В.1), легко оценить
норму сверху. В самом деле,
∫1
∥Ax∥ = max K(t, s)x(s)ds ≤
t∈[0,1]
0
∫1
≤ max
∫1
|K(t, s)|ds max |x(t)| = max
t∈[0,1]
t∈[0,1]
|K(t, s)|ds∥x(t)∥.
t∈[0,1]
0
0
Отсюда следует, что
∫1
∥A∥ ≤ max
|K(t, s)|ds.
t∈[0,1]
(В.6)
0
Более сложное рассуждение показывает, что в неравенстве (В.6)
можно поставить знак равенства.
В приложениях часто достаточно только оценить норму оператора
сверху.
Обратные операторы
Для линейного оператора A, действующего в пространстве E,
обратным оператором называется такой оператор B, что
AB = BA = I,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.2. Линейные операторы
395
где I — единичный оператор. Мы полагаем B = A−1 . C понятием
обратного оператора связаны вопросы о существовании и единственности решений операторного уравнения
(В.7)
Ax = y,
где y — заданный элемент пространства E, а x — искомый элемент пространства E. К уравнениям вида (В.7) относятся линейные
алгебраические уравнения, линейные дифференциальные уравнения,
линейные интегральные уравнения и т.д. Если существует оператор
A−1 , то операторное уравнение (В.7) имеет решение
x = A−1 y,
что устанавливается непосредственной подстановкой последнего выражения в (В.7). Допустим x1 — другое решение уравнения (В.7),
т.е.
Ax1 = y.
Тогда, применяя к обеим частям последнего равенства оператор A−1 ,
получим
A−1 Ax1 = x1 = A−1 y = x.
Следовательно, решение x = A−1 y единственно.
Легко проверяется, что оператор A−1 линеен, если A — линейный
оператор. В то же время из непрерывности оператора A не следует в
общем случае непрерывность обратного оператора. Может случиться, что оператор A неограничен, а обратный оператор ограничен.
Приведем несколько теорем, дающих условия существования обратного линейного ограниченного оператора. Оператор A отображает
область своего определения на область значений. Если это отображение взаимно однозначно, то существует обратный оператор A−1 и
этот оператор будет линейным.
Теорема В.1. Пусть оператор A, определенный на пространстве
E, удовлетворяет для любого x ∈ E условию
∥Ax∥ ≥ m∥x∥,
m > 0,
(В.8)
где m — некоторая постоянная. Тогда существует обратный линейный ограниченный оператор A−1 .
Доказательство. Из условия (В.8) следует, что оператор A взаимно
однозначный. Если Ax1 = y и Ax2 = y, то A(x2 − x1 ) = 0 и согласно
(В.8)
m∥x1 − x2 ∥ ≤ ∥A(x1 − x1 )∥ = 0,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
396
ПРИЛОЖЕНИЕ В. . . . сведения из функционального анализа
откуда x1 = x2 . Поэтому существует обратный линейный оператор
A−1 . Ограниченность оператора A−1 следует из неравенства (В.8):
∥A−1 y∥ ≤
1
1
∥AA−1 y∥ = ∥y∥.
m
m
Из последнего неравенства следует также, что ∥A−1 ∥ ≤
1
.
m
Теорема В.2. Пусть A — линейный ограниченный оператор, действующий в банаховом пространстве E. Если
∥A∥ ≤ q < 1,
то оператор I − A имеет ограниченный обратный, причем
∥(I − A)−1 ∥ ≤
1
.
1−q
Доказательство. Рассмотрим операторный ряд
I + A + A2 + . . . + An + . . .
Этот ряд мажорируется сходящимся числовым рядом (учитываем,
что ∥An ∥ ≤ ∥A∥n )
1 + ∥A∥ + ∥A∥2 + . . . + ∥A∥n + . . . ≤ 1 + q + q 2 + . . . + q n + . . . =
1
.
1−q
Поэтому сам ряд сходится к некоторому оператору, который мы обозначим через B. Имеем
B(I − A) = (I + A + A2 + . . . + An + . . .)(I − A) =
= (I + A + A2 + . . . + An + . . .) − (A + A2 + . . . + An+1 + . . .) = I
и, аналогично, (I − A)B = I. Отсюда следует, что B = (I − A)−1 и
1
∥(I − A)−1 ∥ ≤
.
1−q
Следующая теорема — это так называемая теорема Банаха об
обратном операторе, которую мы приведем не в полной общности.
Неограниченный линейный оператор A не является непрерывным.
Из того, что последовательность xn → x0 сходится по норме, вообще говоря, не следует, что последовательность Axn стремится к
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.2. Линейные операторы
397
какому-нибудь пределу. Однако некоторые неограниченные линейные операторы обладают более слабым свойством, отчасти заменяющим непрерывность.
Пусть A — линейный оператор с областью определения D(A). Если из условий xn ∈ D(A), xn → x0 , Axn → y0 следует, что x0 ∈ D(A)
и Ax0 = y0 , то оператор A называется замкнутым.
Теорема В.3. Пусть A — линейный замкнутый оператор, область
значений которого совпадает со всем пространством. Если он
взаимно однозначный, то существующий обратный оператор A−1
ограничен.
Итак, если для линейного замкнутого оператора A, действующего
в банаховом пространстве E, операторное уравнение
Ax = y
для любого y ∈ E имеет единственное решение x ∈ D(A), то существует непрерывный обратный оператор A−1 .
В качестве примера к теореме Банаха рассмотрим в пространстве
dx
C[0, 1] оператор дифференцирования Ax =
, который определен на
dt
функциях, удовлетворяющих условию
x(0) = 0.
(В.9)
Следовательно, область определения D(A) оператора A в пространстве C[0, 1] состоит из непрерывно дифференцируемых функций, которые удовлетворяют условию (В.9).
Оператор A неограничен. Покажем это. Возьмем последовательность функций
1
xn (t) = √ sin nt,
n
n = 1, 2, . . .
Все функции этой последовательности лежат в области определения
оператора A, и последовательность по норме равномерно√сходится к
x0 (t) ≡ 0, в то время как последовательность Axn = n cos nt не
ограничена по норме.
Оператор A замкнут. Если xn → x0 и Axn → y, то на языке анализа это означает, что последовательность непрерывных функций xn (t)
равномерно сходится к функции x0 (t) и последовательность производных x′n (t) равномерно сходится к функции y(t). В силу известной
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
398
ПРИЛОЖЕНИЕ В. . . . сведения из функционального анализа
теоремы анализа x′n (t) сходится к функции x′0 (t). Это и означает
замкнутость оператора.
Область значений оператора совпадает со всем пространством.
Это следует из того факта, что задача
dx
= z(t),
dt
x(0) = 0
для любого z ∈ C[0, 1] имеет единственное решение
∫t
x(t) =
z(s)ds.
(В.10)
0
Следовательно, из теоремы В.3 вытекает, что оператор A имеет непрерывный обратный оператор и этот оператор определяется формулой
(В.10).
В.3. Принцип сжатых отображений
Хорошо известен метод последовательных приближений, широко
применяющийся для доказательства существования решений алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений и построения приближенных решений. В рамках функционального анализа
он укладывается в общую схему и приводит к принципу сжатых
отображений.
Теорема В.4. Пусть в банаховом пространстве E задан оператор A, переводящий точки E снова в точки этого пространства.
Пусть, кроме того, для всех x, y ∈ E
∥A(x) − A(y)∥ ≤ q∥x − y∥,
(В.11)
где q < 1 и не зависит от x и y, Тогда существует одна и только
одна точка x0 ∈ E такая, что A(x0 ) = x0 .
Точка x0 называется неподвижной точкой оператора A. Если оператор A удовлетворяет неравенству (В.11), то он называется сжимающим в пространстве E.
Доказательство. Возьмем произвольный элемент x ∈ E и построим
последовательность
x1 = A(x), x2 = A(x1 ), . . . , xn = A(xn−1 ), . . .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В.3. Принцип сжатых отображений
399
Покажем, что последовательность xn фундаментальна. Для этого заметим, что
∥x1 − x2 ∥ = ∥A(x) − A(x1 )∥ ≤ q∥x − x1 ∥ = q∥x − A(x)∥,
∥x2 − x3 ∥ = ∥A(x1 ) − A(x2 )∥ ≤ q∥x1 − x2 ∥ ≤ q 2 ∥x − A(x)∥,
....................................,
∥xn − xn+1 ∥ ≤ q n ∥x − A(x)∥,
.......................................
Далее,
∥xn − xn+m ∥ ≤ ∥xn − xn+1 ∥ + ∥xn+1 − xn+2 ∥ + · · · +
+∥xn+m−1 − xn+m ∥ ≤ (q n + q n+1 + · · · + q n+m−1 )∥x − A(x)∥ =
q n − q n+m
=
∥x − A(x)∥.
(В.12)
1−q
Так как q < 1, то
qn
∥xn − xn+m ∥ ≤
∥x − A(x)∥.
1−q
Отсюда следует, что ∥xn − xn+m ∥ → 0 при n → ∞, m > 0. Следовательно, последовательность xn сходится к некоторому элементу
x0 ∈ E. Докажем, что A(x0 ) = x0 . Имеем неравенство
∥x0 − A(x0 )∥ ≤ ∥x0 − xn ∥ + ∥xn − A(x0 )∥ =
= ∥x0 − xn ∥ + ∥A(xn−1 ) − A(x0 )∥ ≤
≤ ∥x0 − xn ∥ + q∥xn−1 − x0 ∥.
При любом ε > 0 и достаточно большом n выполнены неравенства
ε
ε
∥x0 − xn ∥ < , ∥xn−1 − x0 ∥ < .
2
2
Следовательно,
∥x0 − A(x0 )∥ < ε.
Так как ε > 0 произвольно, то ∥x0 − A(x0 )∥ = 0, т.е. A(x0 ) = x0 .
Осталось показать, что у оператора A(x) единственная неподвижная
точка. Предположим, что таких точек две:
A(x0 ) = x0 ,
A(y0 ) = y0 .
Тогда
∥x0 − y0 ∥ = ∥A(x0 ) − A(y0 )∥ ≤ q∥x0 − y0 ∥.
Так как q < 1, то x0 = y0 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
400
ПРИЛОЖЕНИЕ В. . . . сведения из функционального анализа
Замечание В.1. Если перейти в формуле (В.12) к пределу при m → ∞,
то придем к оценке n-го приближения
∥xn − x0 ∥ ≤
qn
∥x − A(x)∥.
(1 − q)
Замечание В.2. Построение последовательных приближений xn можно производить, исходя из любого элемента x ∈ E. Выбор элемента
скажется только на быстроте сходимости xn к неподвижной точке
x0 .
Замечание В.3. Замкнутым шаром в банаховом пространстве E c
центром в точке a ∈ E и радиусом r > 0 называется множество
S(a, r), состоящее из точек x ∈ E, удовлетворяющих неравенству
∥x − a∥ ≤ r. Часто приходится рассматривать оператор A такой, что
он является сжимающим на некотором шаре S(a, r). Тогда принцип
сжатых отображений можно применять при дополнительном условии, что оператор A переводит этот шар в себя и последовательные
приближения не выходят из этого шара. Пусть, например, в дополнение к неравенству (В.9) выполняется неравенство
∥a − A(a)∥ ≤ (1 − q)r.
Тогда, если x ∈ S(a, r), то и A(x) ∈ S(a, r). Действительно,
∥a − A(x)∥ ≤ ∥A(x) − A(a)∥ + ∥A(a) − a∥ ≤
≤ q∥x − a∥ + (1 − q)r ≤ qr + (1 − q)r = r.
В шаре S(a, r) оператор A будет иметь единственную неподвижную
точку.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
[1] Андронов А.А., Витт А.А. Об устойчивости по Ляпунову //
ЖЭТФ. — 1933. — Т. 3. — С. 373–374.
[2] Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. — М.: Мир, 1976.
[3] Аппель П. Теоретическая механика. — М.: Физматлит, 1960. —
Т. 1. — 516 с.
[4] Бабицкий В.И. Теория виброударных систем. — М.: Наука,
1978. — 352 с.
[5] Бабицкий В.И., Ковалева А.С., Крупенин В.Л. Исследование
квазиконсервативных виброударных систем методом усреднения // Известия АН СССР. МТТ. — 1982. — № 1. — С. 41–50.
[6] Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. К теории параметрических резонансов виброударных систем // Известия АН СССР. МТТ. —
1978. — № 4. — С. 13–21.
[7] Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах. — М.: Наука, 1985. — 320 с.
[8] Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука,
1967. — 222 с.
[9] Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных
уравнений. — М.: ИЛ, 1954. — 215 с.
[10] Бирюк Г.И. Об одной теореме существования почти периодических решений некоторых систем нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром // ДАН СССР. —
1954. — Т. 96, № 1. — С. 5–7.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
402
Литература
[11] Блехман И.И. Вращение неуравновешенного ротора, обусловленное гармоническими колебаниями его оси // Изв. АН
СССР. Отд. техн. наук. — 1954. — № 8. — С. 79–94.
[12] Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. — М.:
Наука, 1971. — 806 с.
[13] Блехман И.И. Вибрационная механика. — М.: Физматлит,
1994. — 400 с.
[14] Блехман И.И., Ланда П.С. Эффект сопряженности резонансов // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. —
2002. — № 1-2. — С. 44–51.
[15] Блехман И.И., Ланда П.С. Эффект сопряженности резонансов
и бифуркаций при двухчастотном воздействии на маятник с
вибрирующей осью подвеса // ДАН СССР. — 2004. — Т. 395,
№ 2. — С. 192–195.
[16] Блехман И.И., Малахова О.З. О квазиравновесных положениях маятника Челомея // ДАН СССР. — 1986. — Т. 287, № 2. —
С. 290–294.
[17] Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике. — Киев: Изд-во АН УССР, 1945. — 140 с.
[18] Боголюбов Н.Н. Теория возмущений в нелинейной механике // Сборник трудов ин-та строительной механики АН
УССР. — 1950. — Т. 14. — С. 9–34.
[19] Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974. —
504 с.
[20] Боголюбов Н.Н. (мл.), Садовников Б.И. Об одном варианте
метода усреднения // Вестник МГУ. Cер. физика, астрономия. — 1961. — № 3. — С. 24–34.
[21] Бурд В.Ш. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях и принцип усреднения на бесконечном промежутке //
III Всесоюзная Четаевская конференция по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением: Тезисы докладов. — Иркутск, 1977. — С. 38–39.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
403
[22] Бурд В.Ш. Асимптотическое представление и устойчивость
решений некоторых классов линейных дифференциальных
уравнений с осциллирующими коэффициентами / Деп. в
ВИНИТИ. — 1979. — № 4178-79. — 39 с.
[23] Бурд В.Ш. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях и принцип усреднения // Теория устойчивости и ее
приложения. — Новосибирск: Наука, СО АН СССР, 1979. —
С. 9–14.
[24] Бурд В.Ш. О квазипериодическом поддержании вращения маятника / Деп. в ВИНИТИ. — 1983. — № 175-83. — 25 с.
[25] Бурд В.Ш. Малые почти периодические колебания в системах с быстрыми и медленными параметрическими возбуждениями // Труды IX Межд. конф. по нелинейным колебаниям.
Т. I. Аналитические методы теории колебаний. — Киев: Наукова думка, 1984. — С. 96–98.
[26] Бурд В.Ш. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях и усреднение на неограниченном интервале в системах
с импульсами // ПММ. — 1986. — Т. 50, № 1. — С. 50–56.
[27] Бурд В.Ш. Вращение неуравновешенного ротора под действием квазипериодических колебаний его оси // Динамика роторных систем: Сборник трудов международной конференции. —
Хмельницкий, 1996. — С. 72–73.
[28] Бурд В.Ш. Резонансные почти периодические колебания в
нелинейных двумерных системах с медленно меняющимися
параметрами // ПММ. — 1996. — Т. 60, № 3. — С. 397–404.
[29] Бурд В.Ш. К задаче об устойчивости верхнего состояния равновесия маятника с вертикально вибрирующим подвесом //
Математическое моделирование систем: методы, приложения и
средства: Сборник научных трудов. — Воронеж: ВГУ, 1999. —
С. 64–67.
[30] Бурд В.Ш., Каракулин В.А. Асимптотическое интегрирование
системы линейных дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами и метод усреднения //
Матем. заметки. — 1998. — Т. 64, № 5. — С. 658–666.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
404
Литература
[31] Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. — М.: Изд-во МГУ,
1971. — 508 с.
[32] Ганина В.В. Об устойчивости верхнего положения равновесия
маятника // Матем. моделирование. — 1998. — Т. 10, № 2. —
С. 110–114.
[33] Ганина В.В., Колесов Ю.С. Условия устойчивости верхнего положения равновесия маятника при одном способе исчезающей
по времени вибрации точки подвеса // Дифф. уравнения. —
2000. — Т. 36, № 2. — С. 152–167.
[34] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 576 с.
[35] Гашение вынужденных колебаний струн и стержней подвижной нагрузкой / В.К. Асташев, В.И. Бабицкий, А.М. Веприк,
В.Л. Крупенин // ДАН СССР. — 1989. — Т. 304, № 1. — С. 50–
54.
[36] Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Наука, 1971. — 1108 с.
[37] Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1970. — 536 с.
[38] Забрейко П.П., Колесов Ю.С., Красносельский М.А. Неявные
функции и принцип усреднения Н.Н. Боголюбова – Н.М. Крылова // ДАН СССР. — 1969. — Т. 184, № 3. — С. 526–529.
[39] Зеньковская С.М., Симоненко И.Б. О влиянии вибраций высокой частоты на возникновение конвекции // Известия АН
СССР. Механика жидкости и газа. — 1966. — № 5. — С. 51–
55.
[40] Зеньковская С.М., Шлейкель А.Л. Влияние высокочастотной
вибрации на возникновение конвекции в горизонтальном слое
жидкости // ДАН. — 2002. — Т. 382, № 5. — С. 632–636.
[41] Зеньковская С.М., Шлейкель А.Л. Влияние высокочастотной
вибрации на возникновение конвекции Марангони в горизонтальном слое жидкости // ПММ. — 2002. — Т. 66, № 4. —
С. 573–583.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
405
[42] Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // ЖЭТФ. — 1951. — Т. 21, № 5. —
С. 588–597.
[43] Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // УФН. —
1951. — Т. 44, № 1. — С. 7–20.
[44] Киргетов А.В. К вопросу об устойчивости квазиравновесных
движений маятника В.Н. Челомея // Изв. АН СССР. МТТ. —
1986. — № 6. — С. 57–62.
[45] Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ, 1958. — 475 с.
[46] Колесов Ю.С., Майоров В.В. Новый метод исследования
устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами // Дифф. уравнения. — 1974. — Т. 10, № 10. —
С. 1778–1788.
[47] Колесов Ю.С., Майоров В.В. Обоснование алгоритма исследования устойчивости решений линейных почти периодических
уравнений с последействием, коэффициенты которых близки
к постоянным // Вестник Ярославского ун-та. — Ярославль:
ЯрГУ, 1974. — № 10. — С. 70–105.
[48] Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные
почти периодические колебания. — М.: Наука, 1970. — 352 с.
[49] Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959. — 211 с.
[50] Крупенин В.Л. Возбуждение параметрических колебаний ударами // Машиноведение. — 1979. — № 1. — С. 27–35.
[51] Крупенин В.Л. Метод расчета параметрических виброударных систем с одной степенью свободы // Машиноведение. —
1981. — № 1. — С. 27–34.
[52] Курош А.Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1968. — 432 с.
[53] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая механика. — М.:
Наука, 1988. — 216 с.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
406
Литература
[54] Левитан Б.М. Почти-периодические функции. — М.: Гостехиздат, 1953. — 396 с.
[55] Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. —
М.: ГИТТЛ, 1950. — 473 с.
[56] Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. — М.: Мир, 1982. — 304 с.
[57] Малкин И.Г. О почти периодических колебаниях нелинейных
неавтономных систем // ПММ. — 1954. — Т. 18. — С. 681–704.
[58] Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. — М.: Гостехиздат, 1956. — 492 с.
[59] Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука,
1966. — 532 с.
[60] Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д. О явлениях резонанса
n-го рода // Журнал технической физики. — 1932. — Т. 2, №
7-8. — С. 775–811.
[61] Маркеев А.П. Теоретическая механика. — М.: ЧеРо, 1999. —
569 с.
[62] Маркеев А.П., Чуркина Н.И. О вынужденных колебаниях и
вращениях математического маятника / Деп. в ВИНИТИ. —
1985. — № 6140-85. — 29 с.
[63] Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и
ее приложения. — М.: Мир, 1980. — 368 с.
[64] Меняйлов А.И., Мовчан А.В. О стабилизации системы
маятник–кольцо в условиях вибрации основания // Изв. РАН.
МТТ. — 1984. — № 6. — С. 35–40.
[65] Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории
нестационарных колебаний. — М.: Наука, 1964. — 431 с.
[66] Митропольский Ю.А., Самойленко А.М. Асимптотическое исследование слабо нелинейных колебательных систем / Препринт Института математики АН УССР № ИМ-76-5. — Киев,
1976. — 55 с.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
407
[67] Митропольский Ю.А., Самойленко А.М. Исследование колебательных систем второго порядка / Препринт Института математики АН УССР № ИМ-76-6. — Киев, 1976. — 51 с.
[68] Митропольский Ю.А., Хома Г.П. Математическое обоснование асимптотических методов нелинейной механики. — Киев:
Наукова Думка, 1983. — 216 с.
[69] Морозов А.Д. Глобальный анализ в теории нелинейных колебаний. — Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 1995. — 292 с.
[70] Нагаев Р.Ф., Ходжаев К.Ш. Колебания механических систем
с периодической структурой. — Ташкент: Фан, 1973. — 272 с.
[71] Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. —
2-е изд. — М.: Наука, 1969. — 528 с.
[72] Нестеров П.Н. Усреднение систем с колебательно убывающими коэффициентами в случае периодичности осциллирующей
составляющей // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов
и студентов. — Ярославль: ЯрГУ, 2006. — № 8. — С. 98–108.
[73] Нестеров П.Н. Метод усреднения в задаче асимптотического
интегрирования систем с колебательно убывающими коэффициентами // Дифф. уравнения. — 2007. — Т. 43, № 6. — С. 731–
742.
[74] Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах / Е.Ф. Мищенко, Ю.С. Колесов, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. — М.: Физматлит, 1995. —
336 с.
[75] Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. — М.:
Наука, 1964. — 369 с.
[76] Понтрягин Л.С. О динамических системах близких к гамильтоновым // ЖЭТФ. — 1934. — Т. 4, № 9. — С. 883–885.
[77] Принцип усреднения и бифуркация почти периодических решений / В.Ш. Бурд, П.П. Забрейко, Ю.С. Колесов, М.А. Красносельский // ДАН СССР. — 1969. — Т. 187, № 6. — С. 1219–
1221.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
408
Литература
[78] Рагульскис К.М., Нагинявичюс В.В. Трубообразный виброклапан, управляемый колебаниями трубы как упругого тела /
Деп. в Лит. НИИНТИ. Вильнюс. — 1986. — № 1644.
[79] Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. — Киев: Изд-во АН УССР,
1954. — 290 с.
[80] Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. — М.:
Наука, 1971. — 288 с.
[81] Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация
движения по отношению к части переменных. — М.: Наука,
1987. — 253 с.
[82] Самохин Ю.А., Фомин В.Н. Метод исследования устойчивости решений линейных систем, подверженных действию параметрических нагрузок с непрерывным спектром // Сиб. матем.
журн. — 1976. — Т. 17, № 4. — С. 926–931.
[83] Самохин Ю.А., Фомин В.Н. Асимптотическое интегрирование
систем дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами // Проблемы современной теории периодических движений. — Ижевск, 1981. — № 5. — С. 45–50.
[84] Сетна П.Р. Системы с быстрым и медленным временем // Труды 5-й Междунар. конф. по нелинейным колебаниям. — Т. 1. —
Киев: Изд-во АН УССР, 1970. — С. 505–521.
[85] Стокер Д. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. — М.: ИЛ, 1952. — 264 с.
[86] Стретт Дж.В. (лорд Рэлей). Теория звука. — М.: Гостехиздат,
1955. — Т. 1. — 504 с.
[87] Стрижак Т.Г. Методы исследования динамических систем типа “маятник”. — Алма-Ата: «Наука» Казахской ССР, 1981. —
253 с.
[88] Теория бифуркаций динамических систем на плоскости /
А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. —
М.: Наука, 1967. — 488 с.
[89] Толстов Г.П. Ряды Фурье. — М.: Физматлит, 1960.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
409
[90] Ухалов А.Ю. Исследование задачи о существовании и устойчивости почти периодических колебаний в нелинейных системах с малым параметром: Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. —
Ярославль, 1997. — 80 с.
[91] Ухалов А.Ю. Почти периодические решения систем дифференциальных уравнений с быстрым и медленным временем в случае вырождения // Матем. заметки. — 1998. — Т. 63, № 3. —
С. 451–456.
[92] Федорюк М.В. Асимптотические методы в теории одномерных
сингулярных дифференциальных операторов // Труды Моск.
матем. общества. — 1966. — Т. 15. — С. 296–345.
[93] Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1985. — 448 с.
[94] Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. — Ташкент:
Фан, 1974. — 216 с.
[95] Хилле Э., Филипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: ИЛ, 1962. — 832 с.
[96] Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. — М.: Мир, 1985. — 280 с.
[97] Чаплыгин В.Ф. Общие свойства равномерно регулярных ппоператоров с малым множителем при производных // Вестник Ярославского ун-та. — Ярославль: ЯрГУ, 1973. — № 5. —
С. 152–163.
[98] Чаплыгин В.Ф. Общие свойства равномерно регулярных ппоператоров с малым множителем при части производных //
Вестник Ярославского ун-та. — Ярославль: ЯрГУ, 1973. —
№ 5. — С. 164–172.
[99] Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир,
1964. — 477 с.
[100] Челомей В.Н. Парадоксы в механике, вызываемые вибрациями // ДАН СССР. — 1983. — Т. 270. — С. 62–67.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
410
Литература
[101] Черноусько Ф.Л. О резонансе в существенно нелинейной системе // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1963. — Т. 3,
№ 1. — С. 131–144.
[102] Шварц Л. Математические методы для физических наук. —
М.: Мир, 1963.
[103] Штокало И.З. Критерии устойчивости и неустойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами // Матем. сб. — 1946. —
Т. 19(61), № 2. — С. 263–286.
[104] Штокало И.З. Линейные дифференциальные уравнения с
переменными коэффициентами. — Киев: Изд-во АН УССР,
1960. — 76 с.
[105] Юдович В.И. Вибродинамика систем со связями // ДАН. —
1997. — Т. 354, № 5. — С. 622–624.
[106] Юдович В.И. Динамика материальной частицы на вибрирующей гладкой поверхности // ПММ. — 1998. — Т. 62, № 6. —
С. 968–976.
[107] Acheson D.J. A pendulum theorem // Proc. R. Soc. Lond. Ser.
A Math. Phys. Eng. Sci. — 1993. — Vol. 443. — P. 239–245.
[108] Banfi C. Sull’approssimazione di processi non stazionari in
mecanica non lineare // Bull. Unione mat. Ital. — 1967. — Vol. 22,
no. 4. — P. 442–450.
[109] Bi Q. Dynamical analysis of two coupled parametrically excited
van der Pol oscillators // International Journal of Non-Linear
Mechanics. — 2004. — Vol. 39. — P. 33–54.
[110] Bogdanoff J.L. Influence on the behavior of a linear dynamical
system of some imposed rapid motion of small amplitude // J.
Acoust. Soc. Am. — 1962. — Vol. 34. — P. 1055–1062.
[111] Bogdanoff J.L., Citron S.J. Experiments with an inverted pendulum subject to random parametric exitation // J. Acoust. Soc.
Am. — 1965. — Vol. 38. — P. 447–452.
[112] Burd V.Sh. Resonant almost periodic oscillations in systems with
slow varying parameters // International Journal of Non-Linear
Mechanics. — 1997. — Vol. 32, no. 6. — P. 1143–1152.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
411
[113] Burd V.Sh., Krupenin V.L. Resonance oscillations of systems
with impacts // Proceedings of the Second International Conference «Asymptotics in Mechanics». — Saint Petersburg: Saint
Petersburg State Marine Technical University, 1997. — P. 67–72.
[114] Burd V.Sh., Krupenin V.L. On the calculation of resonance oscillations of the vibro-impact systems by the averaging technique // Dynamics of Vibro-Impact Systems, Proceedings of
the Euromech Colloquium 15–18 September 1998. — Springer,
1999. — P. 127–135.
[115] Camacho E., Rand R.H., Howland H. Dynamics of two van der
Pol oscillators coupled via a bath // International Journal of
Solids and Structures. — 2004. — Vol. 41. — P. 2133–2141.
[116] Chakraborty K., Rand R.H. The transition from phase locking
to drift in a system of two weakly coupled van der Pol oscillators // International Journal of Non-Linear Mechanics. —
1988. — Vol. 23. — P. 369–376.
[117] Champneys A.R., Fraser W.B. The “Indian rope trick” for a parametrically excited flexible rod: linearized analysis // Proc. R.
Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. — 2000. — Vol. 456. —
P. 553–570.
[118] Chang K.W. Almost periodic solutions of singularly perturbed
systems of differential equations // J. Differential Equations. —
1968. — Vol. 4, no. 2. — P. 300–307.
[119] Chester W. The forced oscillations of a simple pendulum // J.
Inst. Math. Appl. — 1975. — Vol. 15. — P. 289–306.
[120] Chow S-N., Mallet-Paret J. Integral averaging and bifurcation //
J. Differential Equations. — 1977. — Vol. 26. — P. 112–159.
[121] Coppel W.A. Dichotomies and reducibility // J. Differential Equations. — 1967. — Vol. 3, no. 4. — P. 500–521.
[122] Coppel W.A. Dichotomies and reducibility (II) // J. Differential
Equations. — 1968. — Vol. 4, no. 3. — P. 386–398.
[123] Coppel W.A. Dichotomies in stability theory. — Berlin: SpringerVerlag, 1978. — Vol. 629 of Lecture Notes in Math. — 97 p.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
412
Литература
[124] Corduneanu C. Almost periodic functions. — New York, N.Y.:
AMS Chelsea Publishing, 1989. — 257 p.
[125] Coughey T.K. Hula-hoop: an example of heteroparametric excitation // Amer. J. Phys. — 1960. — Vol. 28, no. 2. — P. 104–108.
[126] Cristofilos N. US Patents. No. 2,531,028 and 2,567,904. — 1950
and 1951.
[127] Duffing G. Erzwungene Schwingungen bei Veränderlicher Eigenfrequenz. — Braunschweig: Vieweg, 1918.
[128] Eastham M.S.P. The asymptotic solution of linear differential
systems. London Math. Soc. Monographs. — Oxford: Clarendon
Press, 1989. — 240 p.
[129] Erdélyi A. Über die kleinen Schwingungen eines Pendels mit
oszillierendem Aufhängepunkt // ZAMM. Z. Angew. Math.
Mech. — 1934. — Vol. 14, no. 4. — P. 235–247.
[130] Feeny B.F., Moon F.C. Quenching stick–slip chaos with dither //
J. Sound Vibr. — 2000. — Vol. 237. — P. 173–180.
[131] Fidlin A. On asymptotic properties of systems with strong
and very strong high-frequency excitation // J. Sound Vibr. —
2000. — Vol. 235. — P. 219–233.
[132] Fidlin A., Thomsen J.J. Predicting vibration-induced diplacement
for a resonant friction slider // Eur. J. Mech. A Solids. — 2001. —
Vol. 20. — P. 155–166.
[133] Fink A.M. Almost periodic differential equations. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1974. — Vol. 377 of Lecture
Notes in Math. — 336 p.
[134] Hahn W. Theory and applications on Liapunov’s direct method. —
Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1963. — 182 p.
[135] Hale J.K. Ordinary differential equations. — New York: Wiley,
1969. — 332 p.
[136] Hale J.K., Pavlu L.C. Dynamic behavior from asymptotic expansions // Quart. Appl. Math. — 1983. — Vol. 41, no. 1. — P. 161–
168.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
413
[137] Harris W.A. Jr., Lutz D.A. On the asymptotic integration of
linear differential systems // J. Math. Anal. Appl. — 1974. —
Vol. 48, no. 1. — P. 1–16.
[138] Harris W.A. Jr., Lutz D.A. Asymptotic integration of adiabatic
oscillators // J. Math. Anal. Appl. — 1975. — Vol. 51, no. 1. —
P. 76–93.
[139] Harris W.A. Jr., Lutz D.A. A unified theory of asymptotic integration // J. Math. Anal. Appl. — 1977. — Vol. 57, no. 3. —
P. 571–586.
[140] Hemp G.W., Sethna P.R. On dynamical systems with high frequency parametric excitation // International Journal of NonLinear Mechanics. — 1968. — Vol. 3, no. 3. — P. 351–365.
[141] Hirsch P. Das Pendel mit Oszillierendem Aufhängepunkt //
ZAMM. Z. Angew. Math. Mech. — 1930. — Vol. 10. — P. 41–
52.
[142] Holmes C., Holmes P. Second order averaging and bifurcations to
subharmonics in Duffing’s equation // J. Sound Vibr. — 1981. —
Vol. 78, no. 2. — P. 161–174.
[143] Ince E.L. Mathieu functions of stable type // Philosophical Magazine. — 1928. — Vol. 6. — P. 547–558.
[144] Jeffreys H., Swirles B. Methods of mathematical physics. — Third
edition. — Cambridge: Cambridge University Press, 1956. —
714 p.
[145] Levi M. Stability of the inverted pendulum — a topological explanation // SIAM Rev. — 1988. — Vol. 30, no. 4. — P. 639–644.
[146] Levi M. Geometry of Kapitsa’s potentials // Nonlinearity. —
1998. — Vol. 11. — P. 1365–1368.
[147] Levi M. Geometry and physics of averaging with applications //
Phys. D. — 1999. — Vol. 132. — P. 150–164.
[148] Levi M., Weckesser W. Stabilization of the inverted linearized
pendulum by high frequency vibrations // SIAM Rev. — 1995. —
Vol. 37, no. 2. — P. 219–223.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
414
Литература
[149] Levinson N. The asymptotic nature of solution of linear systems
of differential equations // Duke Math. J. — 1948. — Vol. 15,
no. 1. — P. 111–126.
[150] Lowenstern E.R. The stabilizing effect of imposed oscillations of
high frequency on a dynamical system // London, Edinburgh and
Dublin Phil. Mag. — 1932. — Vol. 13. — P. 458–486.
[151] Mitchell R. Stability of the inverted pendulum subjected to almost periodic and stochastic base motion — An application of
the method of averaging // International Journal of Non-Linear
Mechanics. — 1972. — Vol. 7, no. 1. — P. 101–123.
[152] Morozov A.D. Quasi-conservative systems: cycles, resonances
and chaos. — Singapore, River Edge, N.J.: World Scientific,
1998. — 325 p.
[153] Morrison J.A. Resonance behavior of a perturbed system depending on a slow-time parameter // J. Math. Anal. Appl. — 1968. —
Vol. 21, no. 1. — P. 79–98.
[154] Moser J. Combinations tones for Duffing’s equation // Comm.
Pure Appl. Math. — 1965. — Vol. 18, no. 1. — P. 167–181.
[155] Moser J. Stable and random motions in dynamical systems. —
Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1973. — 200 p.
[156] Murdock J.A. Resonance capture in certain nearly hamiltonian
systems // J. Differential Equations. — 1975. — Vol. 17. — P. 361–
374.
[157] Murdock J.A. Qualitative theory of nonlinear resonance by averaging and dynamical systems methods / Ed. by U. Kirchgraber,
H.O. Walther. — New York: Wiley, 1988. — Vol. 1 of Dynamics
Reported. — P. 91–172.
[158] Murdock J.A. Perturbations. Theory and methods. — Philadelphia: SIAM, 1999. — 509 p.
[159] Murdock J.A., Robinson C. A note on the asymptotic expansions
of eigenvalues // SIAM J. Math. Anal. — 1980. — Vol. 11. —
P. 458–459.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
415
[160] Murdock J.A., Robinson C. Qualitative dynamics from asymptotic expansions: Local theory // J. Differential Equations. —
1980. — Vol. 36, no. 3. — P. 425–441.
[161] Nesterov P. Method of averaging for systems with main part
vanishing at infinity // Math. Nachr. — 2011. — Vol. 284, no.
11-12. — P. 1496–1514.
[162] Origin of the “Strong-Focusing” Principle / E.D. Courant,
M.S. Livingston, H.S. Snyder, J.P. Blewett // Phys. Rev. —
1953. — Vol. 91. — P. 202–203.
[163] Osberghaus O., Paul W., Fischer E. Forschungsberichte des
Wirtschafts- und Verkehrsministeriums Nordhein-Westfalen. —
Köln und Opladen: Westdeutscher Verlag, 1958. — Vol. 415.
[164] Paul W. Electromagnetic traps for charged and neutral particles // Rev. Modern Phys. — 1990. — Vol. 62. — P. 531–540.
[165] Rand R.H. Lecture Notes on Nonlinear Vibrations. — Ithaca, NY:
Cornell University, 2005. — 152 p. — A free on-line book.
[166] Rand R.H., Holmes P.J. Bifurcation fn periodic solutions in two
weakly coupled van der Pol oscillators // International Journal
of Non-Linear Mechanics. — 1980. — Vol. 15. — P. 387–399.
[167] Roseau M. Sur une classe de systèmes dinamiques soumis à
des excitations périodiques de longue période // C.R. Acad. Sc.,
Paris, ser. A. — 1969. — Vol. 268, no. 7. — P. 409–412.
[168] Saito H., Ueda M. Dynamically stabilized bright solitons in a
two-dimensinal Bose–Einstein condensate // Phys. Rev. Lett. —
2003. — Vol. 90, no. 040403.
[169] Sanders J.A. The (Driven) Josephson equation: An exercise in
asymptotics. — Berlin, Heidelberg: Springer, 1983. — Vol. 985 of
Lecture Notes in Math. — P. 288–318.
[170] Seifert G. Almost periodic solutions by the method of averaging // Japan – United States seminar on ordinary differential and
functional equations. — 1971. — Vol. 243. — P. 123–133.
[171] Seifert G. On almost periodic solutions for undamped systems with almost periodic forcing // Proc. Amer. Math. Soc. —
1972. — Vol. 31. — P. 104–108.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
416
Литература
[172] Sethna P.R. An extension of the method of averaging // Quart.
Appl. Math. — 1967. — Vol. 25. — P. 205–211.
[173] Stephenson A. On a new type of dynamical stability // Memoirs
and Proceedings of the Manchester Literary and Philosophical
Society. — 1908. — Vol. 52, no. 8. — P. 1–10.
[174] Stephenson A. On induced stability // Philosophical Magazine. —
1909. — Vol. 17. — P. 765–766.
[175] Strutt M.J.O. Stabiliseering en labiliseering door trillingen //
Physica. — 1927. — Vol. 7. — P. 265–271.
[176] Strutt M.J.O. Lamesche- Mathieusche- und verwandte funktionen in physik und technik. — New York: Chelsea Pub. Co.,
1932. — 116 p.
[177] Tcherniak D. The influence of fast excitation on a continuous
system // J. Sound Vibr. — 1999. — Vol. 227, no. 2. — P. 343–
360.
[178] Thomsen J.J. Slow high-frequency effects in mechanics: problems, solutions, potentials // Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci.
Engrg. — 2005. — Vol. 15, no. 9. — P. 2799–2818.
[179] Thomsen J.J., Tcherniak D. Slow effects of harmonic excitation
for elastic structures // Nonlinear Dynam. — 1998. — Vol. 17. —
P. 227–246.
[180] Thomsen J.J., Tcherniak D. Chelomei’s pendulum explained //
Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. — 2001. — Vol.
457. — P. 1889–1913.
[181] Van der Pol B. Stabiliseering door kleine trillingen // Physica. —
1925. — Vol. 5. — P. 157–162.
[182] Van der Pol B. Forced oscillations in a circuit with nonlinear
resistance (receptance with reactive triod) // London, Edinburgh
and Dublin Phil. Mag. — 1927. — Vol. 3. — P. 65–80.
[183] Van der Pol B., Strutt M.J.O. On the stability of solutions
of Mathieu’s equation // Philosophical Magazine. — 1928. —
Vol. 5. — P. 18–38.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
[184] Vorotnikov V.I. Partial stability and control. —
Birkhäuser, 1997. — 427 p.
417
Boston:
[185] Wintner A. The adiabatic linear oscillator // Amer. J. Math. —
1946. — Vol. 68, no. 3. — P. 385–397.
[186] Wintner A. Asymptotic integrations of the adiabatic oscillator //
Amer. J. Math. — 1947. — Vol. 69, no. 2. — P. 251–272.
[187] Zharnitsky V., Mitkov I. π-kinks in the parametrically driven
sine-Gordon equation and applications // Phys. D. — 1998. —
Vol. 123. — P. 301–307.
[188] Zharnitsky V., Mitkov I., Levi M. Parametrically forced sineGordon equation and domain wall dynamics in ferromagnets //
Phys. Rev. B. — 1998. — Vol. 57, no. 9. — P. 56–58.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
418
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
419
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Научное издание
Бурд Владимир Шепселевич
Метод усреднения на бесконечном промежутке
и некоторые задачи теории колебаний
Монография
Корректор А.А. Аладьева
Компьютерный набор В.Ш. Бурд
Компьютерная верстка П.Н. Нестеров
Подписано в печать 25.03.2013. Формат 60 × 84/16.
Бумага тип. Усл. печ. л. 24,4. Уч.-изд. л. 22,4.
Тираж 500 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен
в Управлении научных исследований и инноваций ЯрГУ
150000, Ярославль, ул. Советская, 14.
Отпечатано в ИПК «Индиго».
150049, г. Ярославль, ул. Свободы, 97.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
31
Размер файла
1 957 Кб
Теги
усреднения, метод, промежут, бесконечный, некоторые, колебания, 1429, бурд, задачи, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа