close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1439.Современные проблемы математики и информатики Вып 11

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ
МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
Сборник научных трудов
молодых ученых, аспирантов и студентов
ВЫПУСК 11
Ярославль 2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.9 + 512.54 + 519.6
ББК В1+Ч23
С 56
Рекомендовано
редакционно-издательским советом ЯрГУ
в качестве научного издания. План 2010/11 учебного года
С 56
Современные проблемы математики и информатики:
Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов / Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. — Ярославль, 2010. —
Вып. 11. — 88 с.
В сборнике представлены работы молодых ученых, аспирантов
и студентов.
В статьях рассматриваются различные проблемы алгебры, динамики нейронных сетей, аналитического и численного моделирования сложных систем.
Сборник подготовлен с использованием издательской системы
LATEX.
Редакционная коллегия:
канд. физ.-мат. наук П. Н. Нестеров (отв. редактор)
д-р физ.-мат. наук С. Д. Глызин
д-р физ.-мат. наук А. Л. Онищик
c
Ярославский
государственный
университет
им. П. Г. Демидова, 2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
Алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Кулакова Е. С. Классификация комплексных супералгебр Ли
размерности 3|1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Поляков С. В. О неразрешимых SM2 -группах . . . . . . . . .
4
14
Математическое моделирование . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Кащенко А. А. Исследование устойчивости линейной
импульсной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Кузнецова Е. М., Филатов А. А. Исследование системы
дифференциальных уравнений с импульсным
воздействием с использованием технологии CUDA . . .
Серебрякова А. В., Тараканова Е. В. К вопросу о потере
устойчивости цикла в системах типа «реакция —
диффузия» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Динамика нейронных сетей . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Алешин С. В. Модель AW3-нейрона . . . . . . . . . . . . . . .
Дунаева О. А. Построение многослойного перцептрона
на основе импульсных нейронов . . . . . . . . . . . . . .
Колотухин И. О. Модель взаимодействия нейронных
клеточных автоматов с переменными синаптическими
весами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Мац А. С. Cальтаторное проведение нервных импульсов
по волокнам с разветвлениями . . . . . . . . . . . . . . .
53
3
24
32
61
73
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
АЛГЕБРА
УДК 512.554
Е. С. Кулакова
Классификация комплексных супералгебр Ли
размерности 3|1
Дается классификация с точностью до изоморфизма комплексных
супералгебр Ли размерности 3|1.
Введение
Настоящая работа является продолжением работы [2], в которой
была дана классификация всех комплексных супералгебр Ли размерностей ≤ 3. Здесь мы начинаем рассмотрение случая размерности 4.
Мы используем терминологию и обозначения работы [2], а также полученные в ней общие результаты о классификации супералгебр Ли
размерности n|1. Заметим, что классификация комплексных супералгебр Ли размерности 1|3 легко выводится из общих результатов о супералгебрах размерностей 1|m, также содержащихся в [2]; результат
аналогичен полученному там результату для размерности 1|2. Случай
размерности 2|2 требует особого рассмотрения. Все алгебры и супералгебры Ли предполагаются определенными над полем C комплексных
чисел.
Рассматриваются комплексные супералгебры Ли L = L0̄ ⊕ L1̄, где
L0̄ — трехмерная алгебра Ли, а dim L1̄ = 1. Фиксируем базисный вектор f ∈ L1̄, f 6= 0. Тогда L1̄ =< f > и [f, f ] = e ∈ L0̄. Очевидно,
[x, f ] = λ(x)f, x ∈ L0̄, где λ ∈ L∗0̄ — линейная функция на L0̄. Согласно
теореме 2.1.1 работы [2], имеем
λ(e) = 0;
λ([x, y]) = 0 ∀x, y ∈ L0̄;
[x, e] = 2λ(x)e ∀x ∈ L0̄,
(1)
(2)
(3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
5
причем любые e ∈ L0̄ и λ ∈ L∗0̄, удовлетворяющие этим условиям,
определяются некоторой супералгеброй Ли L(e, λ) размерности 3|1 с
четной частью L0̄. Далее, в силу теоремы 2.1.3 той же работы две
супералгебры Ли L(e, λ) и L(e0, λ0 ) с четной частью L0̄ изоморфны
тогда и только тогда, когда существует такой автоморфизм α алгебры
Ли L0̄, что α∗(λ0 ) = λ и α(e) = ce0 , где c ∈ C, c 6= 0.
Классификация трехмерных комплексных алгебр Ли хорошо известна [1]. Любая такая алгебра изоморфна одной из алгебр Ли, содержащихся в следующем списке, где приведены ненулевые коммутационные соотношения между элементами некоторого базиса (e1 , e2, e3 )
алгебры Ли. Через C3 обозначена коммутативная алгебра Ли размерности 3.
1. C3 .
2. sl2(C) : [e1 , e2] = 2e2 , [e1, e3 ] = −2e3, [e2 , e3] = e1 .
3. n3 (C) : [e1, e2 ] = e3 .
4. r3(C) : [e1, e2] = e2 , [e1, e3] = e2 + e3 .
5. r3,λ (C) : [e1, e2 ] = e2 , [e1, e3 ] = λe3 , где λ ∈ C, |λ| ≤ 1.
6. r2(C) ⊕ C.
В следующих далее разделах будут рассмотрены случаи, когда L0̄
является соответствующей супералгеброй Ли из этого списка. При
этом будут использоваться базис (e1, e2, e3 ) и коммутационные соотношения, указанные выше. Заметим, что последняя в этом списке алгебра Ли r2(C) ⊕ C изоморфна алгебре r3,0(C), и поэтому мы не будем
рассматривать ее как отдельный случай.
1. L0̄ = C3
В этом случае можно применить следствие теоремы 2.1.3 работы
[2], в котором классифицированы супералгебры Ли размерности n|1
с коммутативной четной частью. Сформулируем его частный случай
n = 3 в виде следующей теоремы.
Теорема 1.1. Пусть dim L = 3|1 и алгебра Ли L0̄ коммутативна. Тогда
для супералгебры Ли L = L0̄⊕ < f > имеет место один из следующих
трех случаев:
1. λ = 0, [f, f ] = 0, т.е. L коммутативна.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е. С. Кулакова
6
2. [x, y] = 0, [f, f ] = e 6= 0, [x, f ] = 0 ∀x, y ∈ L0̄.
3. [x, y] = 0, [f, f ] = 0, [x, f ] = λ(x)f ∀x, y ∈ L0̄, где λ 6= 0.
При этом в случаях 2 и 3 супералгебры Ли, отвечающие всем ненулевым e и λ, изоморфны между собой, так что с точностью до изоморфизма существуют ровно три супералгебры Ли рассматриваемого
типа.
2. L0̄ = sl2(C)
Теорема 1.2. Пусть L = L0̄ ⊕ < f >, где L0̄ = sl2 (C). Тогда
λ = 0, [f, f ] = 0, т.е. L является прямой суммой алгебры Ли sl2 (C)
и коммутативной супералгебры Ли < f > размерности 0|1.
Доказательство. Поскольку [L0̄, L0̄] = L0̄, из (2) следует, что λ = 0,
т.е. [x, f ] = 0 для всех x ∈ L0̄. Тогда из (3) видно, что e = [f, f ] лежит
в центре алгебры Ли L0̄, который тривиален, так что e = 0.
3. L0̄ = n3(C)
Запишем вектор e = [f, f ] в виде
(4)
f = c1 e1 + c2 e2 + c3 e3 ,
где c1 , c2, c3 ∈ C. Легко видеть, что равенства (1), (2), (3) равносильны
следующим соотношениям:
(5)
(6)
(7)
(8)
c1 λ(e1 ) + c2 λ(e2 ) + c3 λ(e3 ) = 0;
λ(e3 ) = 0;
2λ(e1 )(c1e1 + c2 e2 + c3 e3 ) = c2 e3 ;
2λ(e2 )(c1e1 + c2 e2 + c3 e3 ) = −c1 e3 .
Последние два соотношения можно переписать в следующем виде:
c1 λ(e1 ) = c2 λ(e1 ) = 0;
2λ(e1)c3 = c2 ;
λ(e2 )c1 = λ(e2 )c2 = 0;
2λ(e2)c3 = −c1 .
(9)
(10)
(11)
(12)
Для проведения классификации нам нужно изучить действие группы автоморфизмов AutL0̄ алгебры Ли L0̄ в пространстве L∗0̄. Запишем
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
7
произвольный автоморфизм α этой алгебры Ли матрицей α = (aij ) в
базисе (e1 , e2, e3). Применяя α к соотношению [e1, e2] = e3 , видим, что
a13 = a23 = 0, a33 = a11a22 −a12 a21 6= 0. Соотношения [e1, e3 ] = [e2, e3 ] = 0
не дают дополнительных условий на элементы матрицы. Действие
группы AutL0̄ в пространстве L∗0̄ записывается в сопряженном базисе (e∗1 , e∗2, e∗3) этого пространства транспонированными матрицами αT .
Отсюда видно, что это действие имеет следующие три орбиты:
L∗0̄\ < e∗1, e∗2 >, e∗1 , e∗2 \ 0, 0.
Элементы λ первой орбиты не обладают свойством λ(e3) = 0 и поэтому
не соответствуют никаким супералгебрам Ли рассматриваемого вида.
Элемент λ второй орбиты имеет вид λ = a1 e∗1 + a2 e∗2 >, где a1 , a2 ∈ C
одновременно не равны 0. Координаты ci вектора e должны удовлетворять выписанным выше уравнениям. Из них легко выводится, что
c1 = c2 = c3 = 0, т.е. e = 0. Поэтому этой орбите соответствует единственная с точностью до изоморфизма супералгебра Ли. Наконец, рассмотрим орбиту, состоящую из одного элемента λ = 0. В этом случае
уравнения для координат вектора e показывают, что c1 = c2 = 0, а
число c3 может быть произвольным. Имеем e = c3 e3 . Если c3 6= 0, то с
помощью подходящего автоморфизма можно перевести e в вектор e3 .
Поэтому последней орбите отвечают две не изоморфные между собой
супералгебры Ли, отвечающие случаям e = e3 и e = 0. Тем самым
доказана
Теорема 1.3. Пусть L = L0̄⊕ < f >, где L0̄ = n3 (C). Тогда L изоморфна
одной из супералгебр Ли, заданных следующими коммутационными
соотношениями:
1. [e1 , e2] = e3 , [f, f ] = 0, [e1, f ] = f, [e2, f ] = [e3, f ] = 0.
2. [e1 , e2] = e3 , [f, f ] = e3 , [e1, f ] = [e2 , f ] = [e3, f ] = 0.
3. [e1 , e2] = e3 , [f, f ] = 0, [e1, f ] = [e2, f ] = [e3 , f ] = 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е. С. Кулакова
8
4. L0̄ = r3(C)
Запишем вектор e = [f, f ] в виде (4), где c1 , c2 , c3 ∈ C. Легко видеть,
что равенства (1), (2), (3) равносильны следующим соотношениям:
c1 λ(e1 ) + c2 λ(e2) + c3 λ(e3 ) = 0;
λ(e2 ) = λ(e3 ) = 0;
2λ(e1)(c1e1 + c2 e2 + c3 e3 ) = (c2 + c3 )e2 + c3 e3 ;
2λ(e2)(c1e1 + c2 e2 + c3 e3 ) = −c1 e2 ;
2λ(e2)(c1e1 + c2 e2 + c3 e3 ) = −c1 (e2 + e3 ).
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
Последние три соотношения можно переписать в следующем виде:
c1 λ(e1) = 0, c2(2λ(e1) − 1) = c3 , c3 (2λ(e1) − 1) = 0;
c1 λ(e2) = 0, 2λ(e2)c2 = −c1 , λ(e2)c3 = 0;
λ(e2)c1 = 0, 2λ(e2)c2 = −c1 , 2λ(e3)c3 = −c1 .
(18)
(19)
(20)
Отсюда следует, что c1 = 0, причем при этом условии последние два соотношения выполняются тождественно. Остальные позволяют заключить, что если λ(e1 ) 6= 12 , то c2 = c3 = 0, так что e = 0. Если же
λ(e1) = 12 , то c3 = 0, так что e = c2 e2 .
Изучим теперь действие группы автоморфизмов AutL0̄ в пространстве L∗0̄. Запишем произвольный автоморфизм α матрицей α = (aij ) в
базисе (e1, e2 , e3). Поскольку α переводит в себя коммутант [L0̄, L0̄] =
< e2 , e3 >, имеем a12 = a13 = 0. Применяя α к коммутационным соотношениям, получаем следующие условия на aij :
a11 a22e2 + a11 a32 (e2 + e3 ) = a22 e2 + a32e3 ;
a11 a23e2 + a11 a33 (e2 + e3 ) = (a22 + a23 )e2 + (a32 + a33 )e3.
(21)
(22)
Приравнивая коэффициенты, получаем
a11 a22 + a11 a32 = a22 , a11a32 = a32 ;
a11 a32 = a22, a11a32 = a32 ;
a11 a23 + a11 a33 = a22 + a23 , a11a33 = a32 + a33.
(23)
(24)
(25)
Отсюда вытекает, что a11 = 1. Действительно, в противном случае
имеем a32 = 0, так что a11 a33 = a33 , откуда a33 = 0, и мы получаем
неверное равенство det α = 0. Но тогда a22 + a32 = a22 , так что a32 = 0.
Поэтому det α = a22a33 , откуда a22 6= 0, a33 6= 0. Легко видеть также,
что элементы a21 , a31, a23 могут принимать произвольные значения.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
9
В пространстве L∗0̄ группа AutL0̄ действует линейными преобразованиями, матрицы которых в базисе (e∗1 , e∗2, e∗3) имеют вид αT . В частности, она оставляет на месте каждую точку прямой < e∗1 >. Как мы
видели выше, только линейные функции λ = ae∗1 , a ∈ C могут соответствовать искомым супералгебрам Ли, и поэтому точки, лежащие
вне этой прямой, мы рассматривать не будем. Напомним также, что
если a 6= 12 , то e = 0, и мы получаем единственную с точностью до
изоморфизма супералгебру Ли. Если же a = 21 , то e = c2 e2 , где c2 ∈ C.
В случае c2 6= 0 можно подобрать автоморфизм, переводящий e в e2 .
Поэтому орбите { 12 e∗1 } отвечают две не изоморфные супералгебры Ли,
у которых e = 0 и e = e2 . Тем самым доказана
Теорема 1.4. Пусть L = L0̄⊕ < f >, где L0̄ = r3 (C). Тогда L изоморфна
одной из супералгебр Ли, заданных следующими коммутационными
соотношениями:
1. [e1 , e2] = e2 , [e1, e3] = e2 + e3 , [f, f ] = 0, [e1, f ] = af (a ∈ C), [e2, f ] =
[e3 , f ] = 0.
2. [e1 , e2] = e2 , [e1, e3] = e2 + e3 , [f, f ] = e3 , [e1, f ] =
[e3 , f ] = 0.
1
2 f, [e2, f ]
=
5. L0̄ = r3,µ(C)
Запишем вектор e = [f, f ] в виде (4), где c1 , c2 , c3 ∈ C. Легко видеть,
что равенства (1), (2), (3) равносильны следующим соотношениям:
λ(e1)c1 + λ(e2 )c2 + λ(e3)c3 = 0;
λ(e2) = µλ(e3 ) = 0;
λ(e1)c1 = 0, λ(e2)c1 = 0, λ(e3)c1 = 0;
2λ(e1)c2 = c2 , 2λ(e2)c2 = −c1 , λ(e3)c2 = 0;
2λ(e1)c3 = µc3 , λ(e2)c3 = 0, 2λ(e3) = −µc1 .
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
Из них вытекают следующие утверждения: c1 = 0, λ(e2) = 0. Если
µ 6= 0, то λ(e3 ) = 0. Если c2 6= 0, то λ(e1 ) = 12 , λ(e2) = λ(e3 ) = 0. Если
c3 6= 0, то λ(e1) = 21 µ, λ(e2) = λ(e3 ) = 0.
Изучим теперь действие группы автоморфизмов AutL0̄ в пространстве L∗0̄. Запишем произвольный автоморфизм α матрицей α = (aij ) в
базисе (e1 , e2, e3).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е. С. Кулакова
10
Предположим сначала, что µ 6= 0. Тогда коммутант алгебры Ли [L0̄
имеет вид [L0̄, L0̄] =< e2 , e3 >. Поскольку α переводит в себя коммутант, имеем a12 = a13 = 0. Применяя α к коммутационным соотношениям, получаем также следующие условия на aij :
a11 a22 = a22 , µa11a32 = a32 ;
a11 a23 − a13a21 = µa23 ;
µ(a11 a33 − a13a31 = µa33 .
(31)
(32)
(33)
Из них следует, что (a11 − µ)a23 = 0 и (a11 − 1)a33 = 0. Значит, если a11 6= 1, то a22 = a33 = 0. Поскольку в этом случае
det α = −a11a23 a32 6= 0, имеем a23 , a32 6= 0. Поэтому a11 = µ и a11µ = 1,
откуда a211 = µ2 = 1. Значит, µ = a11 = −1, и мы пришли к противоречию.
Итак, мы доказали, что если µ 6= 0, −1, то a11 = 1, a12 = a13 = 0.
Значит, в этом случае группа AutL0̄ действует в пространстве L∗0̄
линейными преобразованиями с матрицами вида


1 a21 a31
αT =  0 a22 a32  , a22 a33 6= a23 a32.
0 a23 a33
Значит, любая точка прямой < e∗1 > переходит в себя, а орбитой
точки < e∗2 > является дополнение к этой прямой. При тех же условиях
на µ имеем λ(e2 ) = λ(e3) = 0, т.е. λ = a < e∗1 >, где a ∈ C. Как
показано в [2], супералгебры Ли L, которым соответствуют функции
λ с различными a, не могут быть изоморфными.
Проведем теперь классификацию супералгебр Ли с фиксированной
функцией λ = a < e∗1 >, предполагая, как и выше, что µ 6= 0, −1. Из
соотношений () вытекают равенства c1 = (2a − 1)c2 = (2a − µ)c3 = 0.
Значит, если a 6= 21 , 21 µ, то e = 0, и мы имеем полупрямую сумму
супералгебр Ли L = L0̄⊕ < f, f >, где [f, f ] = 0. Все они изоморфны
между собой. В случае, когда a 6= 21 , a = 21 µ, µ 6= 1 имеем e = c3 e3 , где
c3 ∈ C — любое число. Из описания группы автоморфизмов следует,
что каждому такому a соответствуют две не изоморфные между собой
супералгебры Ли, у которых e = 0 и e = e3 . Если же µ = 1, a = 12 ,
то e = c2 e2 + c3 e3, где c2 , c3 ∈ C — произвольные числа. Из описания
группы автоморфизмов следует, что в этом случае имеются две не
изоморфные между собой супералгебры Ли, у которых e = 0 и e = e2 .
Остается разобрать случаи µ = 0 и µ = −1.
Пусть µ = 0. В этом случае коммутант алгебры Ли [L0̄ совпадает
с прямой < e2 >, а ее центр — с прямой < e3 >. Поскольку любой
α ∈ AutL0̄ переводит эти идеалы в себя, элементы его матрицы удо-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
11
влетворяют условиям a12 = a13 = a23 = a32 = 0, причем a11, a22 , a33 6= 0.
Применяя α к равенству [e1, e2] = e2 , видим, что a11 a22 = a22 , откуда
a11 = 1. Таким образом, группа AutL0̄ действует в пространстве L∗0̄
линейными преобразованиями с матрицами вида


1 a21 a31
αT =  0 a22 0  ,
0 0 a33
причем a22 , a33 6= 0, а a21 , a31 — произвольные числа. В частности, прямая < e∗1 > разбивается на одноточечные орбиты {< ae∗1 >}, a ∈ C.
Подпространства < e∗1 >, < e∗1 , e∗2 >, < e∗1 , e∗3 > инвариантны при этом
действии. Отсюда видно, что орбиты действия имеют следующий вид:
дополнения к этой прямой в плоскостях < e∗1 , e∗2 > и < e∗1 , e∗3 > совпадают с орбитами точек e∗2 и e∗3 соответственно, а дополнение к объединению этих плоскостей в L∗0̄ — с орбитой точки e∗2 + e∗3 .
В случае µ = 0 из полученных выше условий на координаты ci
вектора e следует, что e = c2 e2 + c3 e3 , причем если λ(e1 ) 6= 12 , то c2 = 0,
если λ(e1 ) 6= 0, то c3 = 0, а если λ(e3 ) 6= 0, то c2 = c3 = 0. Это позволяет
провести классификацию супералгебр Ли в этом случае.
Пусть сначала λ = ae∗1 . Тогда все автоморфизмы переводят λ в
себя. Если a = 0, то e = c3 e3 . Если c3 6= 0, то подходящий автоморфизм
переводит e в e3 , и мы имеем две неизоморфные супералгебры Ли, у
которых e = 0 и e = e3. Если же a 6= 0, то e = c2 e2, и аналогично
предыдущему случаю получаем две неизоморфные супералгебры Ли,
у которых e = 0 и e = e2 .
Как мы видели выше, λ(e2 ) = 0, так что функция λ = e∗2 не соответствует никакой супералгебре Ли рассматриваемого типа. Случай λ = e∗2 + e∗3 также невозможен. Если λ = e∗3 , то мы имеем
c1 = c2 = c3 = 0, т.е. e = 0, и мы получаем единственную с точностью до изоморфизма супералгебру Ли.
Пусть, наконец, µ = −1. Изучим действие группы автоморфизмов
AutL0̄ в пространстве L∗0̄. В нашем случае из предшествующих рассуждений следует, что a12 = a13 = 0 и что a11 = ±1. Кроме того,
имеем
a11 a22 = a22, −a11a32 = a32 ;
a11 a23 = −a23;
− a11 a33 = −a33.
(34)
(35)
(36)
Отсюда следует, что если a11 = 1, то a23 = a32 = 0 и a22 , a33 6= 0. Если же a11 = −1, то a22 = a33 = 0 и a23, a32 6= 0. Поэтому прямая < e∗1 >
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12
Е. С. Кулакова
инвариантна относительно всех автоморфизмов и разбивается на бесконечное множество орбит: одноточечная орбита {0} и двухточечные
орбиты {±ae∗1 }, a ∈ C, a 6= 0. Как было показано в начале этого раздела, только этим орбитам соответствуют супералгебры Ли рассматриваемого типа. Из найденных там же условий на координаты ci вектора e
следует, что если λ = ae∗1 , где a ∈ C, то ac1 = 0, (a1)c2 = 0, (a+1)c3 = 0.
Значит, если a 6= 0, 1, −1, то e = 0, причем различным орбитам соответствуют неизоморфные супералгебры Ли. Если a = 1, то e = c3 e3 ,
причем получаются две неизоморфные супералгебры Ли, отвечающие
случаям c3 = 0 и c3 6= 0, а случай a = −1, соответствующий той же орбите, новых супералгебр Ли не дает. Наконец, в случае a = 0 мы имеем
e = c1 e1 , и получается бесконечное семейство попарно не изоморфных
супералгебр Ли, отвечающих случаю e = 0 и парам ±c1 , c1 6= 0.
Сформулируем теперь теорему, следующую из проделанной классификации.
Теорема 1.5. Пусть L = L0̄ ⊕ < f >, где L0̄ = r3,µ(C). Тогда L изоморфна одной из супералгебр Ли, заданных следующими коммутационными
соотношениями:
1. [e1 , e2] = e2 , [e1, e3] = µe3 , [f, f ] = 0, [e1, f ] = af (a 6= 12 , 21 µ), [e2, f ] =
[e3 , f ] = 0(µ 6= 0, −1).
2. [e1 , e2] = e2 , [e1, e3 ] = µe3 , [f, f ] = 0, [e1, f ] = 21 µf, [e2, f ] = [e3, f ] =
0(µ 6= 1).
3. [e1 , e2] = e2 , [e1, e3] = µe3 , [f, f ] = e3 , [e1, f ] = 21 µf, [e2 , f ] = [e3 , f ] =
0(µ 6= 1).
4. [e1 , e2] = e2 , [e1, e3] = µe3 , [f, f ] = 0, [e1, f ] = 12 f, [e2, f ] = [e3 , f ] =
0(µ 6= 1).
5. [e1 , e2] = e2 , [e1, e3] = µe3 , [f, f ] = e2 , [e1, f ] = 21 f, [e2, f ] = [e3 , f ] =
0.(µ 6= 1).
6. [e1 , e2] = e2 , [e1, e3] = e3 , [f, f ] = 0, [e1, f ] = 12 f, [e2, f ] = [e3, f ] =
0.(µ = 1).
7. [e1 , e2] = e2, [e1, e3 ] = e3 , [f, f ] = e2 , [e1, f ] = 12 f, [e2, f ] = [e3, f ] =
0.(µ = 1).
8. [e1 , e2] = e2 , [e1, e3] = 0, [f, f ] = 0, [e1, f ] = [e2, f ] = [e3, f ] = 0(µ =
0).
9. [e1 , e2] = e2 , [e1, e3] = 0, [f, f ] = e2 , [e1, f ] = [e2, f ] = [e3 , f ] = 0(µ =
0).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
13
10. [e1 , e2] = e2 , [e1, e3 ] = 0, [f, f ] = 0, [e1, f ] = af (a 6= 0), [e2, f ] =
[e3 , f ] = 0(µ = 0).
11. [e1 , e2] = e2 , [e1, e3] = 0, [f, f ] = e2 , [e1, f ] = af (a 6= 0), [e2, f ] =
[e3 , f ] = 0(µ = 0).
12. [e1 , e2] = e2 , [e1, e3] = 0, [f, f ] = 0, [e1, f ] = [e2, f ] = 0, [e3, f ] =
f (µ = 0).
13. [e1 , e2] = e2 , [e1, e3 ] = −e3 , [f, f ] = 0, [e1, f ] = f, [e2, f ] = [e3, f ] =
0(µ = −1).
14. [e1 , e2] = e2 , [e1, e3] = −e3 , [f, f ] = e3 , [e1, f ] = e3 , [e1, f ] = f, [e2, f ] =
[e3 , f ] = 0(µ = −1).
15. [e1 , e2] = e2 , [e1, e3] = −e3 , [f, f ] = ce1 , [e1, f ] = [e2 , f ] = [e3, f ] =
0(µ = −1).
Литература
1. Винберг, Э.Б. Строение групп Ли и алгебр Ли / Э.Б. Винберг,
В.В. Горбацевич, А.Л. Онищик // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.
— Т.41. — М: ВИНИТИ, 1990.
2. Кулакова, Е.С. Классификация комплексных супералгебр Ли малых размерностей / Е.С. Кулакова // Современные проблемы математики и информатики. — Вып. 10. — Ярославль: Изд-во ЯрГУ,
2009. — С. 36–50.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 512.554
С. В. Поляков
О неразрешимых SM2-группах
Конечная группа G называется SMm -группой, если тензорный квадрат любого неприводимого представления разлагается в сумму неприводимых представлений группы G
с кратностями, не превосходящими m. В работе доказаны
теоремы, описывающие строении неразрешимых SM2 -групп
N 6 G 6 Aut(N ), где N — характеристически простая
группа.
Вспомогательные результаты
Предложение 1.
Пусть G — конечная SMm -группа. Тогда
2
3
|G| 6 m k(G) , и для любого неприводимого характера χ группы G,
χ(1) 6 mk(G), где k(G) — классовое число группы G.
Доказательство. Cм. [8].
Предложение 2. Пусть G — группа и H — ее подгруппа. Тогда
k(H)/|G : H| 6 k(G) 6 |G : H|k(H).
И если H — нормальная подгруппа G, то k(G) 6 k(H)k(G/H).
Доказательство. Cм. [2].
Предложение 3. Пусть G — простая неабелева группа. Тогда существует такой неприводимый характер χ группы G, что χ(1)3 > |G|.
Доказательство. Cм. [7].
Предложение 4. Пусть G 6 Sn и n > 2. Тогда k(G) 6
√
3(n−1).
Доказательство. Cм. [4].
Предложение 5. Для n > 12 верно неравенство k(Sn) < (2 ·
(3/2)n.
√ −1/2
3)
·
Доказательство. Cм. [5].
Лемма 1. Пусть G ∼
= G1 × G2 × · · ·× Gn , где Gi — SMmi -группа. Тогда
G— SMm -группа, где m = m1 m2 . . . mn .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
15
Доказательство. В каждой из групп Gi выберем
два характера
χi ,
Qn
Qn
2
2
2
ψi, для которых [χi , ψi] = mi . Тогда [χ , ψ] = i=1[χi , ψi] = i=1 mi =
m. В силу того, что [χ2i , ψi ] = mi — максимальное значение, можно
сделать вывод, что и значение скалярного произведения [χ2, ψ] будет
максимальным. Следовательно, G — SMm -группа.
В следующих утверждениях рассматривается неразрешимая группа G : N 6 G 6 Aut(N ) где N ∼
= L1 × · · · × Ln — характеристиче∼
ски проcтая группа, L = Li — простая неабелева группа. При этом,
Aut(N ) ∼
= A o S, где A= Aut(L), а S — подгруппа симметрической
группы Sn . За χ0 будем обозначать неприводимый характер группы L,
имеющий наибольшую степень.
Лемма 2. Пусть G — SMr -группа. Тогда
χ0 (1) < c · |Out(L)| · k(L),
(1)
1/n
где c = (r · p(n))
, а p(n)
√ — количество разбиений числа n. Если
√
3
n > 2, то c 6 3r и c = 2r, если n = 2.
Доказательство. Пусть n > 2. Тогда, используя предложение 2, получаем
k(G) 6 k(Sn)(|Out(L)|k(L))n = p(n)(|Out(L)|k(L))n.
Так как χ0 — неприводимый характер группы L, имеющий наибольшую степень, то Θ0 = χn0 является неприводимым характером группы
N = L1 × × · · · × Ln , где Li ∼
= L. При этом по теореме взаимности
Фробениуса
G
G
Θ0 |N , Θ0 N = ΘG
,
Θ
0
0 G > 0.
Поэтому существует такой неприводимый характер Φ0 группы G,
что ограничение Φ0|N содержит Θ0. В частности, Φ0(1) > χ0 (1)n.
Используя предложение 1, получаем χ0 (1)n 6 Φ0(1) 6 r · k(G) 6
r · p(n)(|Out(L)|k(L))n. Извлекая корень n-ой степени из обеих частей
неравенства, находим, что
χ0 (1) 6 (r · p(n))1/n|Out(L)| · k(L).
Если n = 2, то p(n) = 2, и неравенство запишется как
√
χ0 (1) 6 2r · |Out(L)| · k(L).
Пусть n > 2. Тогда, по предложению 4,
√
√
√
√
√
3
c = (r · p(n))1/n 6 (r · 3(n−1)/2)1/n = 3(r/ 3)1/n 6 3(r/ 3)1/3 = 3r.
Лемма доказана.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С. В. Поляков
16
Теорема 1. Пусть G — SM2-группа, n 6 2. Тогда L изоморфна одной
из следующих групп: A7, L2(q), L3(3), L3(4), L3(8), U3(3), U3 (4), U3 (5),
U3(8), U3(16).
Доказательство. Если n = 1, то G — почти простая группа для
L. Как было доказано в [8], если G почти простая SM2 -группа, то
G 6 Aut(L2(q)). Отсюда следует, что L ∼
= L2 (q).
Пусть теперь n = 2. Неравенство (1) примет вид
√
(2)
χ0 (1) 6 4 · |Out(L)| · k(L) = 2 · |Out(L)| · k(L).
Если L — простая неабелева группа, то L — это простая группа
лиева типа, знакопеременная группа An , n > 5 или одна из 26 спорадических простых групп. Рассмотрим каждый из случаев отдельно.
Знакопеременные группы
Если n > 6, то |Out(L)| = 2, поэтому неравенство (2) можно записать так:
χ0 (1) 6 4 · k(L).
(3)
n
Пусть
· (2 ·
√ −1/2n > 12. Тогда, по предложению 5, k(L) 6 k(Snn) < (3/2)
√ −1/2
3)
и неравенство (3) примет вид χ0 (1) < 4 · (3/2) · (2 · 3)
.
1/3
1/3
Согласно предложению 3, χ0 (1) > |L|
= (n!/2) , поэтому
мы
√ −1/2
1/3
n
получаем следующее неравенство: (n!/2)
< 4 · (3/2) · (2 · 3)
3n
3
5
или n! < 19, 9 · (3/2) , а поскольку 3 < 2 , то n! < 19, 9 · (3/2)3n <
19, 9 · 22n < 25 · 22n = 22n+5. Пусть n = 13. Тогда 13! = 210 · 35 · 52 · 7 ·
11 · 13 > 219 · 3 · 52 · 11 · 13 > 225 · 3 · 5 · 11 > 232, откуда получаем, что
232 < 13! < 22·13+5 = 231, противоречие, следовательно, случай n = 13
не подходит. Несложно увидеть, что при n > 13 неравенство n! < 22n+5
также неверно.
Пусть 7 6 n 6 12. Выполним проверку неравенства
χ0 (1) < 4, 365 · k(L).
С помощью функции NrConjugacyClasses в GAP вычислим классовое число группы An при 7 6 n 6 12: [9, 14, 18, 24, 31, 43]. Функция CharacterDegrees возвращает список степеней неприводимых характеров группы. Для групп An , при 7 6 n 6 12, получаем: [35, 70, 216, 567, 2310, 5775]. Непосредственная проверка показывает,
что неравенство χ0 (1) < 4 · k(L) не выполняется при n > 8.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
17
Спорадические простые группы
Запишем
(2) в виде χ0 (1)2 < 4 · |Out(L)| · k(L), а поскольку
P неравенство
|L| = χ∈Irr(L) χ(1)2 6 k(L)χ0(1)2, то окончательно получаем условие
|L| 6 4 · |Out(L)|2k(L)3.
(4)
По имеющейся информации о значениях |L|, |Out(L)| и k(L) для спорадических групп (см. [3]) можно сделать вывод, что ни одна из них не
удовлетворяет неравенству 4. Таким образом, спорадические группы
исключаются.
В дальнейшем в качестве характера χ0 мы будем рассматривать
характер Стейнберга. Значения St(1), оценки k(L) и значения |Out(L)|
взяты из [1] и [3]. Значения степеней характеров групп L3 (q) и U3(q)
получены из [10]. Информация о SMr -группах взята из [8].
Исключительные простые группы лиева типа
Пусть L ∼
= E6 (pt), тогда |Out(L)| = 2(3, pt − 1)t 6 6t, k(L) 6 66 · p6t ,
а StL(1) = p36t. Неравенство (2) примет вид: p36t 6 2 · 6t · 66 · p6t или
p30t 6 559872 · t. Ясно, что неравенство не справедливо ни при каких p
и t.
Если L ∼
= 2 E6(pt), то |Out(L)| = 2(3, pt + 1)t 6 6t, k(L) 6 66 · p6t , а
StL (1) = p36t. Этот случай аналогичен предыдущему.
Если L ∼
= E7 (pt), то |Out(L)| = (2, pt − 1)t 6 2t, StL(1) = p63t,
k(L)6 67 · p7t. Тогда p63t 6 2 · 2t · 67 · p7t или p56t 6 1119744 · t, что
неверно.
Пусть L ∼
= E8(pt ). Поскольку |Out(L)| = t, StL (1) = p120t, a k(L) 6
68 · p8t, то неравенство (2) примет вид: p120t 6 2 · t · 68 · p8t или p112t 6
3359232 · t. Это неравенство также не выполняется ни для каких p и t.
Пусть L ∼
= G2 (pt ). Тогда StL (1) = p6t, |Out(L)| = (3, p) · t 6 3t,
k(L)6 36p2t. Неравенство примет вид: p6t 6 2 · 3t · 36p2t или p4t 6
216 · t. Несложно убедиться, что неравенство справедливо при p = 2,
если t = 1 или 2, и при p = 3, если t = 1. Таким образом, для
дальнейшего изучения остаются группы G2 (2), G2 (3), G2 (4). Группа
G2 (2) не является простой. Ее коммутант G2 (2)0 ∼
= U3(3) рассмотрим
∼
позднее. Если L = G2 (3), то k(L) = 23, и в этом случае получаем 36 6
2 · 3 · 23 = 138, что, очевидно, неверно. Если L ∼
= G2 (4), то k(L) = 32,
12
и наше неравенство будет записываться так: 2 6 2 · 2 · 32 = 128, что
тоже неверно. То есть группы G2 (3) и G2 (4) исключаются.
Пусть L ∼
= 2 B2 (22n+1). Тогда |Out(L)| = 2n + 1, StL (1)=24n+2, и
k(L)=22n+1+3. Неравенство (2) будет таким: 24n+262·(2n+1)·(22n+1+3)
или 22n+1 6 2 · (2n + 1) · (1 + 3/22n+1). Последнее верно только при n = 0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18
С. В. Поляков
и 1. Группа 2 B2 (2) разрешима, поэтому она исключается. Остается
группа 2 B2 (8). Еще раз используем неравенство (2), учитывая, что у
группы 2 B2 (8) имеется характер степени 91: 91 6 2 · 3 · 11. Видно, что
и этот случай исключается.
Пусть L ∼
= F4 (pt). Для нее |Out(L)| = (2, p)t 6 2t, StL (1) = p24t,
k(L)6 64 · p4t. Мы получаем неравенство p24t 6 2 · 2t · 64 · p4t или p20t 6
5184t, которое неверно ни при каких p и t. Таким образом, группы
F4(pt) исключаются.
Пусть L ∼
= 3 D4 (pt). Тогда |Out(G)| = 3t, StL(1) = p12t, и если pt = 2,
то k(L) = 35, а если q = pt > 2, то k(L) = q 4 + q 3 + q 2 + q + 6 =
q 2(q 2 + q + 1) + q + 6 6 6 q 2(q 2 + 2q) + 4q = 2q 4 + 4q < 3q 4 . Пусть pt = 2,
тогда 212 6 2 · 3 · 35 или 212 6 210, что неверно. Пусть pt > 2, тогда
p12t 6 2 · 3t · 3 · p4t или p8t 6 18t, что также неверно. Группы 3D4 (pt )
исключаются.
Пусть L ∼
= 2 G2 (32n+1), n > 1. Тогда |Out(L)| = 2n + 1, StL (1) =
33(2n+1), а k(L) = 32n+1 + 8 < 32n+1 + 9 6 4 · 32n. Неравенство (2) примет
вид: 36n+3 < < 2 · (2n + 1) · 4 · 32n или 34n+3 < 8 · (2n + 1), что не выполняется ни при каких n > 0. Группы 2 G2 (32n+1) также исключаются.
Пусть L ∼
= 2 F4 (22n+1). Тогда |Out(L)| = 2n + 1, StL (1) = 212(2n+1), а
k(L) = 22(2n+1) + 4 · 22n+1 + 17. Если n = 0, то StL (1) = 212, k(L) = 22, а
|Out(L)| = 2. Если n > 1, то k(L) = 24n+2 + 22n+3 + 17 < 24n · 5 + 22n · 9 <
24n+3. Несложно убедиться, что неравенство (2) не выполняется ни при
каких n.
Классические простые группы лиева типа
Пусть L ∼
= Ln (pt), n > 3, тогда |Out(L)| = 2(pt − 1, n)t, k(L) 6
(6pt)n−1, а StL(1) = ptn(n−1)/2. Также существует другая оценка для
числа классов группы Ln (q): если 3 6 n 6 6, то k(L) 6 2pt(n−1).
Если n = 3, то неравенство (2) примет вид p3t 6 2 · 6t · 2 · p2t. После
преобразования получим pt 6 24t. Подходящие значения p и t для этого
неравенства будут такими: при t = 1, p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, при
t = 2, p = 2, 3, 5, при t = 3, 4, p = 2, 3, и при t = 5, 6, 7, p = 2.
Если n = 4, то неравенство (2) примет вид p6t 6 2 · 8t · 2 · p3t. После
преобразования получим p3t 6 32t. Подходящие значения p и t для
этого неравенства будут такими: при t = 1, p = 2, 3, а при t = 2, p = 2.
Если n = 5, 6, то, как несложно убедиться, подходящих p и t нет.
Пусть n > 7. Выпишем неравенство в этом случае:
tn(n−1)/2
p
6 2·2(pt −1, n)t·(6pt)n−1 или pt(n−1)(n−2)/2 6 2·2(pt −1, n)t·6n−1.
Если n = 7, то получаем p21t 6 2 · 2 · 7t · 66 = 1306368t. Это неравенство не выполняется ни при каких p и t, то же верно и для n > 7.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
19
Чтобы отсеять лишние группы из полученного списка, вычислим
значения |Out(L)| для каждого из n, p, t и подставим в неравенство
(2).
В результате получается, что для последующей проверки останутся
группы L3(q), для q = 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 13, 16, 19, 25, 32, 64 и группа
L4(2). Далее, используя функцию GAP NrConjugacyClassesPSL,
вычислим классовое число для каждой из представленных групп
L
L3 (2) L3(3) L3 (4) L3(5) L3(7) L3(8) L3(9)
k(L)
6
12
10
30
22
72
90
|Out(L)|
2
4
12
2
6
6
4
L
L3(13) L3(16) L3(19) L3 (25) L3(32) L3 (64) L4(2)
k(L)
64
94
130
220
1056
1390
14
|Out(L)|
6
24
6
12
10
36
2
Проверим выполнение неравенства StL(1) 6 2 · |Out(L)| · k(L).
Очевидно, неравенство будет верным, если L — одна из групп:
L3(2), L3(3), L3(4), L3(8), L3 (16).
Для оставшихся групп будем использовать дополнительную информацию о степени характера χ0 (1): для L3(3) χ0 (1) = 39, для L3 (4)
χ0 (1) = 64, для L3 (8) χ0 (1) = 657, для L3 (16) χ0 (1) = 4641. Подставив
эти значения в неравенство (2), окончательно получаем такой список
групп: L3 (2) ∼
= L2 (7), L3(3), L3(4), L3(8).
Пусть L ∼
= Un(pt ), n > 3, тогда |Out(L)| = 2(pt + 1, n)t, k(L) 6
(6pt)n−1, а StL (1) = ptn(n−1)/2.
Если 3 6 n 6 6, то за исключением U4 (2) и U5(2) классовое число
можно оценить так: k(G) 6 2q n−1.
При n = 3 неравенство (2) примет вид p3t 6 2 · 6t · 2 · p2t или pt 6 24t.
Так же, как и для групп Ln(q), мы получаем следующие значения p
и t: при t = 1, p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, при t = 2, p = 2, 3, 5, при
t = 3, 4, p = 2, 3, и при t = 5, 6, 7, p = 2.
Если n = 4, то неравенство (2) примет вид p6t 6 2 · 8t · 2 · p3t. После
преобразования получим p3t 6 32t. Подходящие значения p и t для
этого неравенства будут такими: при t = 1, p = 2, 3, а при t = 2, p = 2.
По аналогии с группами Ln (q) мы получаем, что при n > 5, 6 подходящих p и t не существует. Нам остается рассмотреть только группу
U5(2).
Вычислим значения |Out(L)| для каждого из полученных чисел n, p,
t и подставим в неравенство (2). В результате получается, что для
последующей проверки останутся группы U3(q), для q = 3, 4, 5, 7,
8, 9, 11, 16, 17, 23, 32, 128, и группы L4 (2) и L5(2). Группа U3 (2)
разрешимая, поэтому она исключается.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20
С. В. Поляков
Далее, используя функцию GAP NrConjugacyClassesPSU, вычислим классовое число для каждой из этих групп
L
U3(3) U3(4) U3(5) U3(7) U3(8) U3 (9) U3(11)
k(L)
14
22
14
58
28
92
48
|Out(L)|
2
4
6
2
18
4
6
L
U3 (16) U3(17) U3(23) U3(32) U3(128) U4 (2) U5 (2)
k(L)
274
106
188
356
5508
20
47
|Out(L)|
8
6
6
30
42
2
2
Проверим выполнения неравенства StL (1) 6 2 · |Out(L)| · k(L).
Очевидно, неравенство будет верным, если L — одна из групп:
U3(3), U3(4), U3(5), U3(8), U3(9), U3(16), U4 (2).
Воспользуемся информацией о степени характера χ0 для полученных групп: для U3(3) χ0 (1) = 32, для U3(4) χ0 (1) = 75, для U3 (5)
χ0 (1) = 144, для U3 (8) χ0 (1) = 576, для U3(9) χ0 (1) = 800, для U3(16)
χ0 (1) = 4335 и для U4(2) χ0 (1) = 81. Подставив эти значения в неравенство (2), убедимся, что список сократился до групп: U3(3), U3(4),
U3(5), U3(8), U3(16).
Пусть L ∼
= Bn (q) или Cn (q), q = pt . За исключением B2 (2), эти группы простые. Кроме того, B2 (q) ∼
= C2(q) и Bn (2m) ∼
= Cn(2m ). Степень
2
характера Стейнберга St(1) = q n , классовое число можно оценить как
k(L) 6 (6q)n, а |Out(L)| = 2t, если q = 2t, и |Out(L)| = (2, q − 1)t 6 2t
в противном случае.
2
Неравенство (2) будет иметь вид q n 6 2·2t·(6q)n или q n(n−1)√6 4t·6n .
Пусть n > 4. Запишем неравенство как: q (n−1) = pt(n−1) 6 n 4t · 6 <
8, 49t. Видно, что при n = 4, это неравенство выполняется только если
p = 2, t = 1, а при бо́льших значениях n подходящих p > 1 и t > 0 не
существует. Далее, k(B4(2)) = 81, поэтому, подставив это значение в
неравенство (2), убеждаемся, что и эта группа исключается.
Пусть n = 3. Тогда q 9 6 2 · 2t · 63 · q 3 , т.е. q 6 6 864 · t, откуда q 6 3.
Для группы L ∼
= B3(2) классовое число k(L) = 30, а |Out(L)| = 1.
Из противоречия 29 6 2 · 1 · 30 = 60 делаем вывод, что группа B3 (2)
исключается.
Если L ∼
= B3 (3) или C3(3), то k(L) = 98. В этом случае неравенство
(2) примет вид: 39 < 2 · 2 · 98 = 392, что, очевидно, неверно, поэтому и
указанные группы исключаются.
Пусть n = 2. Тогда неравенство запишется так: q 4 6 2 · 2t · (6q)2
или p2t 6 144 · t. Если t = 1, то p2 6 144, то есть p может принимать
значения 3, 5, 7, 11. Таким же образом получаем, что если t = 2, то
p = 2, 3, а при t > 3 единственное подходящее значение p = 2 будет
при t = 3, 4. Нам остается проверить группы B2(3), B2 (4), B2(5), B2 (7),
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
21
B2(8), B2 (9), B2(11), B2 (16). Вычислим в GAP классовое число для
этих групп и значение |Out(L)|.
L
B2(3) B2(4) B2 (5) B2 (7) B2 (8) B2(9) B2(11) B2 (13) B2 (16)
k(L)
20
27
34
52
83
74
100
130
291
|Out(L)|
2
4
2
2
6
4
2
2
8
Затем проверим выполнение неравенства q 4 6 2 · Out(L) · k(L) для
этих групп. Как несложно убедиться, неравенство не выполняется ни
в одном из случаев, поэтому и эти группы исключаются.
Пусть L ∼
= Dn (q) или 2 Dn (q), q = pt . Тогда St(1) = q n(n−1) ,
k(L) 6 (6q)n−1. В обоих случаях n > 4 ввиду изоморфности групп
меньшего лиева ранга уже рассмотренным выше группам.
Пусть n > 5. Тогда |Out(L)| 6 2 · 4t. Выпишем неравенство:
q n(n−1) 6 2 · 4 · 2t · (6q)n−1 = 16t · (6q)n−1 < 16t · (8q)n−1 6 16t · q 4(n−1) ,
откуда q (n−1)(n−4) < 16t, что неверно при n > 6.
Пусть n = 5. Тогда q 20 6 16t(6q)5 < 16t · q 18, так как 6 < 213/5.
Отсюда q 2 6 16t. Возможные значения q следующие: 2, 3, 4. Вычислив
|Out(L)| для этих случаев, убеждаемся, что при q = 2, 3, 4 неравенство
(2) не выполняется.
Осталось рассмотреть случай n = 4. Проверим выполнение неравенства 2 отдельно для каждой из групп Dn (q) и 2 Dn (q). Пусть
L∼
= D4(q). Тогда |Out(L)| = 6(q 4 −1, 4)t, и неравенство q 12 6 2·6·4t·(6q)3
можно записать так: q 9 6 10368 · t. Это неравенство не имеет решений для q > 3. Поэтому q = 2. Известно, что k(D4 (2)) = 53, а
|Out(D4 (2))| = 6. Тогда получаем 212 6 2 · 6 · 53 = 636, что неверно.
Если L ∼
= 2D4 (q), то |Out(L)| = 2(q 4 + 1, 4)t. Поэтому имеем следующее неравенство q 12 6 2·2·4t·(6q)3, откуда q 9 6 3456t. Единственным
решением этого неравенства будет q = 2. Поскольку k(2D4 (2)) = 39,
а |Out(2 D4(2))| = 2, то получаем 212 6 2 · 2 · 39 = 156, что, очевидно,
неверно.
Мы получили, что если n = 2, то группой L могут быть: A7, L2(q),
L3(3), L3 (4), L3 (8), U3(3), U3(4), U3 (5), U3(8), U3(16). Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть G — SM2-группа, n > 3. Тогда L — одна из
следующих групп: L2(q), L3 (3), L3(4), L3(8), U3 (3), U3(4), U3(5), U3(8).
Доказательство. Нам требуется выяснить, для каких из простых неабелевых групп L будет выполняться неравенство (1) при n > 3:
√
3
χ0 (1) < 6 · |Out(L)| · k(L) < 1, 82 · |Out(L)|k(L).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С. В. Поляков
22
Согласно теореме 1, группами, удовлетворяющими менее строгому
неравенству χ0 (1) 6 2 · |Out(L)| · k(L), будут: A7 , L2 (q), L3 (3), L3(4),
L3(8), U3 (3), U3(4), U3(5), U3 (8), U3(16). Поэтому нам остается рассмотреть только их.
Воспользуемся информацией об этих группах, полученной в доказательстве теоремы 1, и проверим, для каких из этих групп выполнено
условие χ0 (1) < 1, 82 · |Out(L)|k(L).
Несложно увидеть, что список групп сократится до L2(q), L3(3),
L3(4), L3(8), U3(3), U3(4), U3(5), U3(8). Теорема доказана.
Литература
1. Gorenstein, D. Finite groups / D. Gorenstein. — N.Y.: Harper and
Row, 1968.
2. Gallagher, P.X. The number of conjugacy classes in a finite group
/ P.X. Gallagher // Math. Z. — 1970. — Vol. 118. — P. 175–179.
3. Conway, J.H. Atlas of Finite Groups / J.H. Conway, R.T. Curtis,
S.P. Norton, R.A. Parker, R.A. Wilson. — Oxford: Clarendon Press,
1985.
4. Maróti, A. Bounding the number of conjugacy classes of a
permutation group / A. Maróti // Journal of Group Theory. —
2005. — Vol. 8, №3. — P. 273–289.
5. Maróti, A. On elementary lower bounds for the partition function /
A. Maróti // Integers: Electronic Journal of Combinatorial Number
Theory. — 2003. — Vol. 3.
6. Казарин, Л.С. О конечных просто приводимых группах / Л.С. Казарин, В.В. Янишевский // Алгебра и анализ. — 2007. — Т. 19,
№ 6. — С. 86–116.
7. Kazarin, L.S. On the degrees of irreducible characters of finite
simple groups / L.S. Kazarin, I.A. Sagirov // Proc. of the Steklov
Inst. Math. Suppl. — 2001. — Vol. 2. — P. 71–81.
8. Поляков, С.В. О тензорных квадратах неприводимых представлений конечных почти простых групп / С.В. Поляков // Моделирование и анализ информационных систем. — 2011. — T. 18, №1
(в печати).
9. Isaacs, I.M. Character theory of finite groups / I.M. Isaacs. — N.Y.:
Academic Press, 1976.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
23
10. Simpson, W.A. The character tables for SL(3, q), SU (3, q),
P SL(3, q), P SU (3, q) / W.A. Simpson, J.S. Frame // Can. J. Math.
— 1973. — Vol. XXV, №3. — P. 486–494.
11. The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms and Programming,
Version 4.4.10, Aachen, St. Andrews, 2008. — URL:
http://www.gap-system.org.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 517.9
А. А. Кащенко
Исследование устойчивости
линейной импульсной системы1
Исследована динамика линейной системы дифференциальных уравнений с периодическим импульсным воздействием. Построена матрица
монодромии и оценены ее собственные значения.
Введение
Для описания взаимодействия цепочки или кольца импульсных
нейронов выбирается обычно [1] система связанных осцилляторов вида
u˙j = λ[−1 + fK (uj (t − 1)) − fN a (uj )]uj + d(uj−1 − 2uj + uj+1).
(1)
В зависимости от того, какая ассоциация нейронов рассматривается,
выбирается условие на границе: в случае цепочки
u0 = u1 ,
uN = uN +1
(2)
u0 = uN ,
u1 = uN +1.
(3)
и в случае кольца
В статье [2] рассмотрен алгоритм изучения взаимодействия осцилляторов типа (1),(2) или (1),(3), опирающийся на условия, что
λ — большой положительный параметр, а функции fK (u(t − 1)) =
αf1(u(t − 1)) и fN a (u) = βf2(u) обладают свойствами
fj (0) = 1,
fj (u) =
∞
X
ajk
k=1
uk
,
u → +∞ (j = 1, 2).
Для того чтобы осциллятор мог генерировать колебания, будем считать
выполненным условие α − β − 1 > 0.
1
Работа выполнена при финансовой поддержке целевой программы «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» (государственный контракт № 02.740.11.0197).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
25
Для исследования системы (1) в статье [2] выполняется замена
вида
uj+1
,
j = 1, . . . , N − 1
yj = ln
uj
В [2] доказано, что локальная (в окрестности синхронного режима)
динамика системы (1),(2) или (1),(3) описывается следующим дифференциальным уравнением
y˙j = d[exp(yj+1) + exp(−yj ) − exp(yj ) − exp(−yj−1)],
j = 1, . . . , N − 1.
с импульсным воздействием (k = 0, 1, . . .)
yj (kT0 + 0)
yj (kT0 + 1 + 0)
yj (kT0 + α + 0)
yj (kT0 + α + 1 + 0)
α−1
= α−β−1
yj (kT0 − 0),
α
= yj (kT0 + 1 − 0) − α−1
yj (kT0 + 0),
= (1 + β)yj (kT0 + α − 0),
= yj (kT0 + α + 1 − 0) − αyj (kT0 + α − 0),
(4)
β+1
. Цепочке осцилляторов соответствуют
с периодом T0 = α + 1 + α−β−1
граничные условия y0 = yN = 0, а в случае кольца имеем y0 = yN =
P −1
− N
i=1 yi .
1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу устойчивости однородного режима системы
(1),(2) или (1),(3). В нашем случае она сводится к анализу следующего импульсного соотношения:
y˙j = d(yj−1 − 2yj + yj+1),
j = 1, . . . , N − 1
с периодическим импульсным воздействием (4).
Для системы (1),(2) граничные условия y0 = yN = 0, а для системы
P −1
(1),(3) y0 = yN = − N
i=1 yi . На параметры накладываются следующие
ограничения: d > 0, β > 0, β + 1 < α < 2(β + 1). Нас интересует
устойчивость нулевого решения данной системы.
2. Переход к матричной форме
Обозначим y = (y1, . . . , yN −1)T , тогда из системы (1),(2) получим
соотношение
ẏ = dAy,
(5)
а из системы (1),(3) — соотношение
ẏ = dBy,
(6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А. А. Кащенко
26
с импульсными воздействиями
y(kT0 + 0)
y(kT0 + 1 + 0)
y(kT0 + α + 0)
y(kT0 + α + 1 + 0)
α−1
y(kT0 − 0),
= α−β−1
α
= y(kT0 + 1 − 0) − α−1
y(kT0 + 0),
= (1 + β)y(kT0 + α − 0),
= y(kT0 + α + 1 − 0) − αy(kT0 + α − 0),
где квадратные матрицы A и B размерности N
вид

−2 1 0 . . . 0 0
 1 −2 1 . . . 0 0

 0 1 −2 . . . 0 0

A=
 ... ... ... ... ... ...
 0 0 0 . . . −2 1

 0 0 0 . . . 1 −2
0 0 0 ... 0 1

−3 0 −1 . . . −1 −1
 1 −2 1 . . . 0 0

 0 1 −2 . . . 0 0

B=
 ... ... ... ... ... ...
 0 0 0 . . . −2 1

 0 0 0 . . . 1 −2
−1 −1 −1 . . . −1 0
(7)
− 1 имеют следующий
0
0
0
...
0
1
−2

−1
0
0
...
0
1
−3





,








.




3. Нахождение матрицы монодромии
Мы рассматриваем линейные системы с периодическим воздействием, поэтому устойчивость их решений зависит от расположения мультипликаторов матриц монодромии для данных систем [3]. Найдем матрицу монодромии для системы (5),(7). Пусть σ0 — некоторое положительное число, z — произвольное ненулевое число, тогда возьмем
начальное условие y(−σ0) = z, и последовательно получаем:
α − 1 dAσ0
z,
e
α−β−1
α−1
α
y(1 + 0) =
(edA −
I)edAσ0 z,
α−β−1
α−1
α
(1 + β)(α − 1) dA(α−1) dA
e
(e −
I)edAσ0 z,
y(α + 0) =
α−β−1
α−1
y(+0) =
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
27
α−1
((1 + β)edA − αI)edA(α−1) ×
α−β−1
α
× (ed A −
I)edAσ0 z,
α−1
β+1
α − 1 dA(α−1+ α−β−1
β+1
)
((1 + β)edA − αI) ×
− σ0 ) =
e
y(α + 1 +
α−β−1
α−β−1
α
× (edA −
I)z.
α−1
y(α + 1 + 0) =
Таким образом, матрица монодромии M1 для системы (5),(7) равна
M1 =
β+1
α
α − 1 dA(α−1+ α−β−1
)
((1 + β)edA − αI)(edA −
e
I).
α−β−1
α−1
Матрицу монодромии M2 для системы (6),(7) можно получить аналогичным путем. После вычислений находим
M2 =
β+1
α − 1 dB(α−1+ α−β−1
α
)
e
I).
((1 + β)edB − αI)(edB −
α−β−1
α−1
4. Нахождение собственных значений матриц A и B
Для того чтобы оценить собственные значения M1 и M2 , найдем
собственные значения матриц A и B.
πn
Лемма 1. Собственные значения матрицы A равны −4 sin2 2N
,
n = 1, . . . , N − 1.
Доказательство.
, sin 2πn
, . . . , sin (N −2)πn
, sin (N −1)πn
)T ,
Рассмотрим вектор pn = (sin πn
N
N
N
N
где n ∈ {1, 2, . . . , N − 1}. Применим матрицу A к вектору pn. Пусть
k ∈ {2, . . . , N − 2}. Найдем k-ую компоненту получившегося вектора:
sin
(k − 1)πn
kπn
(k + 1)πn
πn
(2k − 1)πn
− 2 sin
+ sin
= −2 sin
cos
+
N
N
N
2N
2N
πn
πn
(2k + 1)πn
kπn
cos
= −4 sin2
sin
2N
2N
2N
N
N πn
0πn
Заметим, что sin N = sin N = 0 для любого n ∈ {1, 2, . . . , N − 1},
поэтому приведенные выше вычисления применимы и для k = 1,
k = N − 1. Т.к. для каждого n ∈ {1, 2, . . . , N − 1} вектор pn ненулевой,
получаем, что это собственный вектор матрицы A, соответствующий
πn
. Для всех n = 1, . . . , N − 1 значения
собственному значению −4 sin2 2N
+2 sin
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А. А. Кащенко
28
πn
−4 sin2 2N
различны, всего их N − 1, значит, найдены все собственные
значения матрицы A.
Лемма 2. Для любого натурального N и для любого
PN −1
2πnk
= 0,
n ∈ {1, 2, . . . , N − 1} верны равенства
k=1 sin N
PN −1
2πnk
k=1 cos N = −1.
Доказательство.
Верна формула:
N
−1
X
exp( i2πnN
i2πnk
N )−1
exp(
1+
= 0.
)=
i2πn
N
exp(
)
−
1
N
k=1
Выделив действительную и мнимую части данного выражения получим требуемые соотношения.
Лемма 3. Собственные значения матрицы B равны −4 sin2 πn
N,
n = 1, . . . , N − 1.
Доказательство.
1) Рассмотрим вектор
4πn
2(N − 2)πn
2(N − 1)πn T
2πn
, sin
, . . . , sin
, sin
) ,
N
N
N
N
где n натуральное и n < N2 , (где [x] — целая часть числа x). Применим матрицу B к вектору qn.
Пусть k ∈ {2, . . . , N − 2}. Найдем k-ую компоненту получившегося
вектора:
qn = (sin
sin
2(k − 1)πn
2kπn
2(k + 1)πn
πn
(2k − 1)πn
− 2 sin
+ sin
= −2 sin
cos
+
N
N
N
N
N
πn
(2k + 1)πn
πn
2kπn
cos
= −4 sin2
sin
.
N
N
N
N
P −1
0πn
2N πn
2πnk
Из леммы 2 получаем, что − N
k=1 sin N = 0 = sin N = sin N , поэтому проведенные выше вычисления справедливы для всех компонент
вектора qn . 2) Пусть N2 ≤ n < N , где n — натуральное число. Тогда определим
вектор qn как (cos 2πn
, cos 4πn
, . . . , cos 2(N −2)πn
, cos 2(N −1)πn
)T . Применим
N
N
N
N
матрицу B к вектору qn . Пусть k ∈ {2, . . . , N − 2}. Найдем k-ую компоненту получившегося вектора:
+2 sin
cos
2kπn
2(k + 1)πn
πn
(2k − 1)πn
2(k − 1)πn
− 2 cos
+ cos
= 2 sin
sin
−
N
N
N
N
N
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
29
πn
(2k + 1)πn
πn
2kπn
sin
= −4 sin2
cos
.
N
N
N
N
Если
k = 1 или k = N − 1, то, пользуясь леммой 2, видим, что
PN −1
0πn
2N πn
− k=1 cos 2πnk
N = 1 = cos N = cos N , поэтому k-я координата вектора вычисляется по общей формуле.
Первая координата вектора qn при любом n ∈ {1, 2, . . . , N −1} ненулевая, поэтому сам вектор ненулевой. Собственные векторы, соответ2 π(N −n)
ствующие равным собственным значениям (−4 sin2 πn
),
N = −4 sin
N
не пропорциональны друг другу. Таким образом, мы нашли все (N − 1)
собственные числа матрицы B и доказали, что каждому из них соответствует свой собственный вектор.
−2 sin
5. Исследование расположения собственных чисел
матриц M1 и M2
В предыдущем пункте доказано, что все собственные числа матрицы A отрицательны и не меньше минус четырех, а также, что каждому
собственному числу матрицы A соответствует свой собственный вектор. Эти же утверждения верны и для матрицы B. Матрицы M1 и
M2 совпадают с точностью до названия фигурирующих в них матриц.
Проведем дальнейшие рассуждения для системы (6),(7), а после этого
покажем, как они переносятся на систему (5),(7).
Каждому собственному значению матрицы B соответствует свой
собственный вектор, поэтому матрица B диагонализируема, значит,
без ограничения общности, считаем ее диагональной. Если матрица B
диагональная, то матрица edBt (где t — некоторый момент времени)
α
тоже диагональная. Матрицы ((1 + β)edB − αI), (edB − α−1
I) также являются диагональными. Таким образом, M2 представима в виде произведения диагональных матриц и если λ — собственное число матрицы
B, то модуль соответствующего ему собственного числа матрицы M2 ,
который мы обозначим как S(λ, d), равен
S(λ, d) =
β+1
α
α − 1 dλ(α−1+ α−β−1
)
((1 + β)edλ − α)(edλ −
e
).
α−β−1
α−1
(8)
Зафиксируем значения параметров α, β (из условия задачи
max{0, α/2 − 1} < β < α − 1), зафиксируем собственное значение
λ матрицы B и рассмотрим выражение (8) как функцию от параметра
d.
Заметим, что S(λ, 0) = 1. Докажем, что при всех положительных d
это выражение будет по модулю меньше единицы, что будет означать
устойчивость нулевого решения системы (6),(7).
Теорема. Нулевое решение системы (6),(7) устойчиво.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А. А. Кащенко
30
Доказательство.
Докажем положительность S(λ, d) :
β+1
α−1 dλ(α−1+ α−β−1 )
e
положительно. В силу
Очевидно, выражение α−β−1
dλ
условия задачи и того, что 0 < e < 1, получаем, что произведение
α
((1 + β)edλ − α)(edλ − α−1
) положительно.
Найдем производную по d функции S(λ, d) :
Sd0 (λ, d) = −2α + 2α2 − α3 + β(α2 − 2α) − edλ (α − 1)(α − β)(1 + β) ×
β+1
αλedλ(α−1+ α−β−1 ) (edλ − 1)
.
×
(α − β − 1)2
dλ(α−1+
αλ(edλ −1)e
(α−β−1)2
β+1
)
α−β−1
Дробь
положительна при всех значениях параметров α, β, d, удовлетворяющих условию задачи, поэтому знак производной зависит от знака выражения −2α + 2α2 − α3 + β(α2 − 2α) −
edλ (α−1)(α−β)(1+β). Докажем, что это выражение отрицательно при
всех допустимых значениях параметров α, β, d и любом отрицательном
λ. Из условия задачи видим, что выражение edλ (α − 1)(α − β)(1 + β)
положительно. Докажем неравенство
−2α + 2α2 − α3 + β(α2 − 2α) < 0.
Сократим это выражение на положительное число α и рассмотрим как
функцию от переменной β.
c(β) = −2 + 2α − α2 + β(α − 2).
По условию задачи max{0, α/2 − 1} < β < α − 1. Пусть α < 2, тогда
функция c(β) является убывающей и своего максимума достигает в
точке 0. Поскольку c(0) = −2 + 2α − α2 = −1 − (α − 1)2 < 0, то на
всем интервале функция отрицательна. Если же α ≥ 2, то функция
c(β) возрастающая, максимума она достигает в точке α − 1. Значение
функции c(β) в точке α − 1 равно −α, что меньше нуля. Следовательно, при любых допустимых значениях параметров α и β, для любого
собственного числа λ матрицы B неравенство
−2α + 2α2 − α3 + β(α2 − 2α) − edλ (α − 1)(α − β)(1 + β) < 0
верно. Отсюда следует, что функция Sd0 (λ, d) отрицательна при любом
положительном d. В силу того, что S(λ, 0) = 1 и S(λ, d) положительна
при любом положительном d, то верны неравенства 0 < S(λ, d) < 1 для
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
31
любого отрицательного числа λ. Так как S(λ, d) при каждом фиксированном собственном числе матрицы B находится внутри единичного
круга, получаем, что все собственные значения матрицы монодромии
находятся внутри единичного круга, откуда следует устойчивость нулевого решения системы (6),(7).
Формулировка и доказательство данной теоремы целиком переносятся на систему (5),(7).
Вывод
Итак, мы доказали, что нулевое решение импульсных систем (5),(7)
и (6),(7) устойчиво при любом положительном d во всей области изменения параметров α и β. Это говорит о том, что однородный цикл в
системах (1),(3) и (2),(3) устойчив.
Литература
1. Кащенко, C.A. Модели волновой памяти / C.A. Кащенко,
В.В. Майоров. — М.: УРСС, 2008.
2. Глызин, С.Д. Релаксационные колебания электрически связанных нейроподобных осцилляторов с запаздыванием / С.Д. Глызин
// Моделирование и анализ информационных систем. — 2010. —
Т. 17, №2. — С. 28–47
3. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости
/ Б.П. Демидович. — М.: Наука, 1967.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.9
Е. М. Кузнецова, А. А. Филатов
Исследование системы дифференциальных
уравнений с импульсным воздействием
с использованием технологии CUDA
С помощью технологии параллельного вычисления CUDA выполнен
численный анализ устойчивых режимов одной системы с импульсным
воздействием, возникающей как предельный объект для системы связанных релаксационных осцилляторов.
1. Постановка задачи. При асимптотическом интегрировании системы релаксационных осцилляторов из нейродинамики вида:
u̇j = λ[1 − f (uj (t − 1))]uj + D[uj−1 − 2uj − uj+1],
j = 1, . . . , N
(1)
в качестве предельной системы с импульсным воздействием в статьях
[1, 2] была предложена следующая модель:
ḣj = N 2 d(ehj+1 + e−hj − ehj − e−hj−1 ),
j = 1, . . . , N − 1
(2)
с краевыми условиями
h0 = 0, hN = 0.
(3)
Система (2), (3) решается при периодических с периодом 2 + a10 + a0
импульсных воздействиях, которые можно представить в форме:
hj (t2k−1 + 0) = hj (t2k−1 − 0) − (1 + a0 )hj (t2k−1 − 1), k = 1, 2, . . .
(4)
1
hj (t2k + 0) = hj (t2k − 0) − 1 +
hj (t2k − 1), k = 1, 2, . . . ,
a0
где моменты времени tk определяются формулами
1
1
t2k = k 2 + + a0 , t2k−1 = (k − 1) 2 + + a0 + 1 + a0 ,
a0
a0
k = 1, 2, . . . .
В [1] показано, что нулевое решение системы (2), (3) асимптотически устойчиво для любых a0 и d. Наша задача состоит в том, чтобы,
с одной стороны, проиллюстрировать этот факт численно, с другой
стороны, найти по возможности большое число ненулевых устойчивых
режимов системы.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
33
Для численного эксперимента выбрано значение N = 100, а в качестве начальных условий принимались выражения вида:
2πnj N
1
0
1 + sin
, j = 1, . . . , N − 1, n = 1, 2, 3, . . . , .
hj =
2
N
2
2. Численные методы. В ходе решения системы (2), (3) с воздействием (4) использовался классический метод Рунге–Кутта четвертого
порядка.
Данный метод для задачи Коши
ḣ = f (t, h)
h(0) = h0 ,
где h = (h1 , . . . , hN −1), h0 = (h01, . . . , h0N −1), а f (t, h) определяется нелинейностью (2), состоит в нахождении приближенных значений решения по итерационной формуле:
h(n+1) = h(n) +
τ (k1 + 3k2 + 3k3 + k4 )
,
8
tn+1 = tn + τ,
где τ — величина шага по t, а вычисление нового значения проходит
в четыре этапа:
k1 = f (tn, h(n) ),
τ (n) τ k2 = f tn + , h + k1 ,
2
2
τ (n) τ k3 = f tn + , h + k2 ,
2
2 k4 = f tn + τ, h(n) + τ k3 .
Этот метод, как уже отмечалось, имеет четвертый порядок точности,
т.е. суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет
порядок O(h4 ) (ошибка на каждом шаге порядка O(h5 )).
В ходе применения описанного численного метода в каждый момент
(n)
времени получаем вектор h(n) с компонентами hj . По ним строится
график зависимости вектора решения от номера j, при этом отрезок
[0,1] делится на 100 частей, и абсциссой точки графика является порядковый номер j, деленный на 100, а ординатой — полученное зна(n)
чение hj . Получившиеся графики последовательно объединяются с
помощью программы gnuplot в .gif файл, с помощью которого можно
визуализировать поведение решения системы (2)–(3).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е. М. Кузнецова, А. А. Филатов
34
Расчеты выполнялись на промежутках времени порядка 105 циклов
системы (один цикл — это 2 всплеска в моменты времени t2k и t2k−1),
и для прироста производительности вычислений использовалась технология CUDA компании nVidia. Эта технология позволяет использовать процессоры видеокарт для параллельных вычислений. За счет ее
применения время расчетов удалось уменьшить более чем в 30 раз.
Основной код программы был выполнен на языке C.
Рис. 1. Локальная устойчивость нуля
3. Устойчивость нуля. Один из этапов работы, связанный с тестированием работы алгоритмов их программной реализации, состоял в
проверке локальной устойчивости нуля системы (2), (3), (4). Для этого в окрестности нулевого решения случайным образом выбиралась
начальная точка и из нее выпускалось решение. Учитывая, что устойчивость нуля в [1, 2] доказана аналитически, остается выбрать достаточно малую окрестность и убедиться в том, что решение стремится к
нулевому.
В ходе вычислений через промежутки времени, равные периоду
2 + a0 + a10 , вычислялись нормы
N1 = max |hi |,
0≤i≤100
N2 =
100
X
i=0
h2i
1/2
.
Стремление к нулю N1, N2 показывает, что вычислительный процесс
в данной ситуации соответствует теоретическим результатам.
В качестве примера приведем начальные условия, не сильно отличающиеся от нуля (N1 = 0.1) и запустим вычислительный алгоритм.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
35
По прошествии примерно 200 периодов величина N1 становится меньше 10−4, что показывает стремление решения к нулю (рис. 1).
4. Циклы и их устойчивость. Второй этап численного эксперимента состоял в нахождении области значений параметров a0 и d, при
которых существует ненулевой периодический режим. Методика нахождения этой области заключалась в следующем.
Рис. 2. Периодическое решение задачи (2), (3)
При фиксированном a0 отыскивалось какое-либо значение d, при
котором имеются периодические решения. Затем значение d увеличивалось с некоторым достаточно малым шагом, при этом для нового значения d в качестве начальных условий выбирались значения решения,
принадлежащие периодическому решению на предыдущем шаге. Процесс повторялся до тех пор, пока решение не начинало стремиться к
нулю. В этой ситуации значения d на двух последних шагах определяют границу области существования периодического режима, которую
можно уточнить делением промежутка пополам. Изменение параметра
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е. М. Кузнецова, А. А. Филатов
36
a0 и повторение описанного процесса на каждом шаге позволяет построить границу области существования и устойчивости предельных
циклов.
На рисунке 2 приведены последовательные моменты изменения зависимости величины h(n) от j. Область существования периодического
решения приведена на рисунке 3.
Рис. 3. Область существования периодического решения
Ниже приведены примеры начальных условий, для которых система
(2)–(4) имеет периодические колебательные режимы.
• a0 = 1.3, d = 0.001, hj = −1, j ∈ {34, . . . , 66},
S
hj = 0.5, j ∈ {1, . . . , 33} {67, . . . , 99}
• a0 = 1.3, d = 0.003, hj = 1, j ∈ {1, . . . , 49}, hj = −2, j ∈
{50, . . . , 99}
• a0 = 1.3, d = 0.01, hj =
j
,
100
j ∈ {1, . . . , 99}
• a0 = 1.3, d = 0.01, hj = 21 (1 + sin 20πj
), j ∈ {1, . . . , 99}.
100
5. Технология CUDA. CUDA (англ. Compute Unified Device
Architecture) — технология, позволяющая программистам реализовывать на упрощенном языке программирования C алгоритмы, выполнимые на графических процессорах ускорителей GeForce восьмого поколения и старше (GeForce 8 Series, GeForce 9 Series, GeForce 200
Series), Nvidia Quadro и Tesla компании Nvidia. Технология CUDA разработана компанией nVidia. Фактически, CUDA позволяет включать в
текст программы на C специальные функции. Эти функции пишутся
на особом диалекте С и выполняются на графическом процессоре.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
37
Преимущества
По сравнению с традиционным подходом к организации вычислений общего назначения посредством возможностей графических API,
у архитектуры CUDA отмечают такое преимущество: интерфейс программирования приложений CUDA (CUDA API) основан на стандартном языке программирования C с некоторыми ограничениями. По мнению разработчиков, это должно упростить и сгладить процесс изучения архитектуры CUDA.
Разделяемая между потоками память (shared memory) размером в
16 Кб может быть использована под организованный пользователем
кэш с более широкой полосой пропускания, чем при выборке из обычных текстур. Также в перечень преимуществ входят: более эффективные транзакции между памятью центрального процессора и видеопамятью и полная аппаратная поддержка целочисленных и побитовых
операций.
Ограничения
Все функции, выполнимые на устройстве, не поддерживают рекурсии и имеют некоторые другие ограничения; кроме того, архитектуру
CUDA поддерживает и развивает только производитель NVidia.
6. Использование технологии CUDA для поставленной задачи.
Для вычислений использовалась видеокарта, поддерживающая технологию CUDA. В терминологии CUDA одними из основных понятий
являются
• _device_
• _host_
• _global_,
каждая из которых отвечает за видимость функции, где (GPU или
CPU) она будет выполняться. В начале работы выделяется память под
данные функцией cudaMalloc. Количество потоков (thread) составило
99, что на 1 меньше, чем количество уравнений. Каждый поток вычислял коэффициенты метода Рунге–Кутта для своей текущей функции.
Вызов функции, параллельно считающей коэффициенты на 99 потоках, выглядит следующим образом:
calculate <<< 1, 99 >>> (parameters).
Пример функции, написанной на языке С с применением технологии CUDA, вычисляющей коэффициенты метода Рунге–Кутта:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Е. М. Кузнецова, А. А. Филатов
38
void calculate(f loat ∗ K, f loat ∗ znach, f loat d)
{
int id = threadIdx.x + 1;
f loat h = 0.0001;
K[id] = h ∗ F unction(znach[id − 1], znach[id], znach[id + 1], d);
__syncthreads();
K[100+1+id] = h∗F unction(znach[id−1]+K[id−1]/2, znach[id]+
K[id]/2, znach[id + 1] + K[id + 1]/2, d);
__syncthreads();
K[2 ∗ (100 + 1) + id] = h ∗ F unction(znach[id − 1] + K[100 + 1 + id−
1]/2, znach[id] + K[100 + 1 + id]/2, znach[id + 1] + K[100 + 1+
id + 1]/2, d);
__syncthreads();
K[3 ∗ (100 + 1) + id] = h ∗ F unction(znach[id − 1] + K[2 ∗ (100 + 1)+
id − 1], znach[id] + K[2 ∗ (100 + 1) + id], znach[id + 1] + K[2∗
(100 + 1) + id + 1], d);
__syncthreads();
znach[id]+ = (K[id] + 3 ∗ K[100 + 1 + id] + 3 ∗ K[2 ∗ (100 + 1) + id]+
K[3 ∗ (100 + 1) + id])/8;
}
Литература
1. Глызин, С.Д. Релаксационные колебания электрически связанных нейроподобных осцилляторов с запаздыванием / С. Д. Глызин // Моделирование и анализ информационных систем. —
2010. — Т.17, №2. — С. 28–47.
2. Колесов, А.Ю. Теория релаксационных колебаний для уравнения
Хатчинсона / А.Ю. Колесов, Н. Х. Розов // Математический
сборник (в печати).
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.9
А. В. Серебрякова, Е. В. Тараканова
К вопросу о потере устойчивости цикла
в системах типа «реакция — диффузия»1
В данной работе рассматривается задача типа «реакция — диффузия» в двумерной области специального вида с граничным условием
Неймана. Основным результатом является обоснование возможности
потери устойчивости пространственно однородного цикла за счет изменения геометрии области при заданной общей площади области и
фиксированном значении коэффициента диффузии.
Введение
Вопрос о свойствах нелинейных сред, где формируются устойчивые самоподдерживающиеся структуры, и об общих закономерностях
их возникновения является одним из фундаментальных в современном естествознании. При изучении этой проблемы широко используются параболические системы типа «реакция — диффузия». В частности, указанные параболические системы, рассматриваемые в некоторой
ограниченной области пространства и дополненные условиями Неймана на ее границе, используются при моделировании процесса формирования пространственно неоднородных структур в однородных средах.
Для описания данного феномена применяется, как правило, бифуркационная теорема Тьюринга — Пригожина, в основе которой лежит
открытое А. Тьюрингом явление диффузионной неустойчивости пространственно однородного решения. Теорема Тьюринга — Пригожина
описывает ситуацию, когда при определенном изменении диффузионного параметра системы пространственно однородный режим теряет
устойчивость, а в его окрестности появляются устойчивые пространственно неоднородные режимы.
В данной работе изучается краевая задача типа «реакция — диффузия». В качестве области определения пространственной переменной
рассматривается область специального вида, представляющая собой
два круга, соединенных относительно узкой перемычкой.
1
Работа выполнена при финансовой поддержке целевой программы «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» (государственный контракт № 02.740.11.0197).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А. В. Серебрякова, Е. В. Тараканова
40
Основным результатом, полученным в работе, является обоснование возможности при фиксированном коэффициенте диффузии добиться потери устойчивости однородного цикла только за счет изменения
геометрии области.
Фактор области в задаче устойчивости пространственно однородного решения уравнения «реакция — диффузия»
Будем рассматривать уравнение типа «реакция — диффузия»
(1)
u̇ = νD∆u + F (u)
с условием Неймана на границе
где
∂u = 0,
∂~n ∂Ω
u = u(t, x) : R × Rk → RN ,
Диагональная матрица D имеет вид
D = diag{d1, . . . , dN },
dj > 0,
(2)
1 ≤ k ≤ 3.
j = 1, . . . , N.
Параметр ν > 0 отвечает за пропорциональное уменьшение коэффициентов диффузии. Наконец, ~n — внешняя нормаль к кусочно-гладкой
границе ∂Ω ограниченной области Ω ⊂ Rk .
Предположим, что у краевой задачи (1), (2) имеется пространственно однородный цикл u = u0 (t) (u0(t + T ) ≡ u0(T )). Исследуем его на
устойчивость.
Линеаризуем (1) на цикле u0(t)
∂ξ
= νD∆ξ + F 0 (u)|u=u0(t) ξ,
∂t
∂ξ = 0.
∂~n ∂Ω
(3)
(4)
Для применения к получившейся системе метода Фурье введем в рассмотрение собственные значения и собственные функции оператора
Лапласа в области Ω так, что
∆wk = λk wk ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
41
∂wk = 0.
∂~n ∂Ω
Разложим функцию ξ(t, x) в ряд по собственным функциям wk (x)
ξ(t, x) =
∞
X
ak (t)wk (x)
k=1
и подставим в линеаризованную систему (3). Получим новую задачу
a˙k = (A0(t) − zD)ak .
(5)
Здесь
A0 (t) = F 0 (u)|u=u0(t) ,
z = −νλk ,
0 = λ0 ≤ −λ1 ≤ −λ2 . . . ,
где λk — занумерованные в порядке возрастания модуля собственные
значения оператора ∆ с граничным условием Неймана.
Пусть
s = 1, N — мультипликаторы задачи (5),
n1
o
α(z) = max
Re(ln µs (z)) .
1≤s≤N
T
Если найдутся такие 0 ≤ z1 < z2 , что α(z) > 0 при z1 < z < z2 , то при
достаточно малых ν цикл u = u0(t) неустойчив и происходит явление
тьюринговой неустойчивости [4].
Хорошо известно, что уравнение типа «реакция — диффузия» методом квазинормальных форм может быть приведено к уравнению Гинзбурга — Ландау [2]
µs = µs (z),
∂w
= ν(1 − ic1 )∆w + w − (1 + ic2 )|w|2 w,
∂t
∂w = 0.
∂~n (6)
(7)
∂Ω
Уравнение (6) имеет однородный цикл
w = e−ic2 t+iα,
α = const.
(8)
В отсутствие диффузии (ν = 0) однородный цикл является устойчивым. Устойчивость этого цикла при ν 6= 0 исследуется следующим
образом. Дополним уравнение (6) комплексно-сопряженным
∂w
= ν(1 + ic1 )∆w + w − (1 − ic2 )|w|2 w,
∂t
(9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А. В. Серебрякова, Е. В. Тараканова
42
выполним замены
w = e−ic2 t (1 + h1 ), w = eic2 t (1 + h2 )
и отбросим нелинейные слагаемые.
В результате придем к системе уравнений

∂h1



 ∂t = ν(1 − ic1 )∆h1 − (1 + ic2 )(h1 + h2 ),


∂h2


= ν(1 + ic1 )∆h2 − (1 − ic2 )(h1 + h2 )
∂t
(10)
(11)
с граничными условиями
∂hj = 0,
∂~n ∂Ω
j = 1, 2.
Далее представим функции hj (t, x) в следующем виде:
hj =
∞
X
eµt wk (x)vj,k ,
j = 1, 2.
k=1
Система (11) преобразуется тогда к виду
µ wk (x)v1,k = ν(1 − ic1 )∆wk v1,k − (1 + ic2 )(v1,k + v2,k )wk ,
µ wk (x)v2,k = ν(1 + ic1 )∆wk v2,k − (1 − ic2 )(v1,k + v2,k )wk ,
(12)
где
∆wk = λk wk .
Эта система имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен
нулю:
λk ν(1 − ic1 ) − (1 + ic2 ) − µ
−(1 + ic2 )
det
= 0.
−(1 − ic2 )
λk ν(1 + ic1 ) − (1 − ic2 ) − µ
Выполнив необходимые преобразования, получим квадратное уравнение:
µ2 + 2µ(1 − λk ν) + λ2k ν 2(1 + c21 ) − 2λk ν(1 − c1 c2 ) − (1 + c22 ) = 0.
(13)
Однородный цикл (8) становится неустойчивым, когда у этого уравнения появляются положительные корни. Следовательно,
λ2k ν 2(1 + c21 ) − 2λk ν(1 − c1 c2 ) − (1 + c22 ) < 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
43
Отсюда заключаем, что
0<ν<
(1 − c1 c2 ) −
p
(1 − c1 c2 )2 + (1 + c21 )(1 + c22 )
.
λk (1 + c21 )
В предположении, что 0 < −λ1 ≤ −λ2 . . ., последнее условие можно
представить следующим образом:
p
(1 − c1 c2 ) − (1 − c1 c2 )2 + (1 + c21 )(1 + c22 )
.
(14)
0<ν<
λ1 (1 + c21 )
Следовательно, потеря устойчивости однородного цикла (8) происходит при значении диффузионного параметра, равном
p
(1 − c1 c2 ) − (1 − c1 c2 )2 + (1 + c21 )(1 + c22 )
.
ν = νкр =
λ1 (1 + c21 )
Задача может быть поставлена и несколько иным образом. Предположим, что коэффициент ν, определяющий диффузию, фиксирован
некоторым образом, а меняется собственное значение λ1 . Тогда легко
кр
видеть, что можно найти такое критическое значение λ1 , для которого
также будет происходить потеря устойчивости однородного цикла:
p
(1
−
c
c
)
−
(1 − c1 c2 )2 + (1 + c21 )(1 + c22 )
1 2
кр
λ1 > λ1 =
.
(15)
ν(1 + c21 )
Для реализации данного случая потери устойчивости пространственно однородного решения воспользуемся результатами, полученными нами в работе [3].
Собственные значения оператора Лапласа
в «гантелеобразной» области
Рассмотрим краевую задачу на собственные значения
∆U = λU
(16)
с граничным условием Неймана
∂U = 0,
∂~n ∂Ω
(17)
где U = U (x, y), ∂Ω — граница области Ω, а ~n — направление внешней
нормали.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А. В. Серебрякова, Е. В. Тараканова
44
Рис. 1. Область Ω
Уточним выбор области Ω. Будем считать, что она состоит из двух
кругов, связанных перемычкой (см. рис. 1).
Ниже считаем, что R — радиусы окружностей, w = k · R — ширина
соединительной части (0 < w ≤ 2R), где 0 < k ≤ 2 — относительная ширина, d — расстояние
между центрами окружностей (d ≥ 2R),
w
наконец, α = arcsin 2R .
Будем изменять размер перемычки так, чтобы площадь области Ω
оставалась постоянной. Площадь области Ω может быть вычислена по
формуле:
SΩ = 2πR2 + S,
где
S = d · w − R2 (sin(2α) + 2α) — площадь средней части.
Отсюда получаем, что при известном значении S
d=
S + R2 (sin(2α) + 2α)
.
w
Будем находить собственные значения оператора Лапласа в области
Ω при заданной площади перемычки S = 1, радиусе R = 1 и разных
значениях параметра k. Нетрудно видеть, что для других значений площади собственные числа будут теми же с точностью до нормирующего
множителя.
Рассмотрим изменение значений первых четырех собственных чисел задачи (16), (17) при увеличении k в пределах от 0.1 до 2.0
(см. рис. 2). Нетрудно заметить, что значения параметра λ1 меняется относительно мало: от −0.0059196 при k = 0.1 до −0.732336 при
k = 2.0, а второе, третье и четвертое собственные числа меняются
существенно.
Ниже приведены графики нормированных собственных функций
для данных собственных чисел при k = 0.8. Приведены первые четыре
собственные функции. Начало координатной плоскости XY находится
в центре левой окружности (см. рис. 3,4).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
Λ
0.5
1
1.5
2 Λ1
k
-1
-2
Λ2
Λ3
-3
-4
-5
Λ4
-6
Рис. 2. Зависимость λ от k
Рис. 3. Графики первой и второй собственных функций
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
46
А. В. Серебрякова, Е. В. Тараканова
Рис. 4. Графики третьей и четвертой собственных функций
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
47
Далее будем рассматривать ту же спектральную задачу (16), (17),
но пусть теперь область Ω будет иметь вид, изображенный на рис. 5.
На рис. 5 A и B — длины сторон прямоугольников; w = kA — ширина
Рис. 5. Область Ω
соединительной части (0 < w ≤ A). Для новой области также были
найдены собственные значения оператора Лапласа и построены их зависимости от параметра k. Полученные результаты приведены на рис.
6 — 8. Нетрудно заметить, что при замене «гантелеобразной» области
на «прямоугольную» характер поведения старших собственных чисел
изменился несущественно.
Рис. 6. Зависимость λ от k для «прямоугольной» области
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А. В. Серебрякова, Е. В. Тараканова
48
II
I
Рис. 7. Графики первой и второй собственных функций для
«прямоугольной» области
III
IV
Рис. 8. Графики третьей и четвертой собственных функций для
«прямоугольной» области
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
49
Текст программы определения собственных значений и собственных функций оператора Лапласа можно найти в работе [3].
Программная реализация
Задача вычисления собственных чисел оператора Лапласа (16), (17)
решалась в специализированной среде FlexPDE [5]. FlexPDE — программный пакет, предназначенный для построения решения дифференциальных уравнений в частных производных методом конечных элементов. Этот метод состоит из трех этапов:
1. Физическая область задачи делится на подобласти — конечные
элементы.
2. Зависимая переменная аппроксимируется функцией специального вида на каждом конечном элементе.
3. Подстановка аппроксимаций в исходное уравнение дает линейную систему уравнений с неизвестными параметрами. Решение
этой системы позволяет получить приближенное решение задачи.
Разбиение исходной области на конечные элементы является важным этапом метода. Мелкость разбиения определяется требуемым порядком точности результата. Чем более точное решение необходимо
получить, тем меньше будут элементы разбиения. Чаще всего для деления плоских областей используют треугольные элементы, так как
ими проще аппроксимировать области произвольной формы. На сложных частях границы для достижения заданной точности вычислений
достаточно увеличить число элементов, не затрагивая другие участки
области.
Ниже (см. рис. 9) приводятся примеры разбиения области Ω в зависимости от требуемой точности. Для рассматриваемой области сложными частями границы являются стыки окружностей и прямых. Видно,
что в этих местах мелкость разбиения увеличивается.
Полученная на третьем этапе матрица системы используется для
определения заданного числа наименьших по модулю собственных значений и собственных векторов решаемой задачи методом итераций в
подпространстве [1].
Собственные значения и собственные векторы удовлетворяют соотношению
KΦ = ΦΛ,
(18)
где K — матрица системы, Λ = diag(λ1 , . . . , λp ) и Φ = [ϕ1, ..., ϕp]— матрица, составленная из собственных векторов. Кроме того, собственные
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А. В. Серебрякова, Е. В. Тараканова
50
точность 0.0001
точность 0.01
точность 0.0001
точность 0.01
Рис. 9. Примеры разбиения области Ω при различных заданных
точностях вычислений
векторы должны удовлетворять условиям ортогональности
ΦT KΦ = Λ,
ΦT Φ = I,
(19)
где I — единичная матрица порядка p, так как Φ состоит только из p
собственных векторов.
Основная идея метода использует тот факт, что собственные векторы в (18) составляют ортогональный базис p-мерного подпространства, принадлежащего наименьшим собственным значениям оператора
K, которое обозначим как E∞ .
Первый шаг метода итераций в подпространстве заключается в назначении начальных векторов. Если эти векторы представляют собой
пространство, соответствующее наименьшим искомым собственным
значениям, то итерация сходится за один шаг. Известно множество
стратегий выбора начальных значений для различных типов задач в
зависимости от вида матрицы K.
Пусть начальные векторы образуют подпространство и итерации
продолжаются до тех пор, пока с достаточной точностью не будет получено подпространство E∞. Общее число требуемых операций зависит от «близости» E1 к E∞ .
Вычислительная процедура строится следующим образом. Первый
шаг состоит в выборе p начальных векторов X1 , образующих подпро-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
51
странство E1 . Далее для k = 1, 2, . . . выполняется преобразование Ek
для получения Ek+1 по формуле
KX k+1 = Xk .
(20)
Затем определяют проекцию оператора K на Ek+1:
T
Kk+1 = X k+1 KX k+1.
(21)
Для оператора Kk+1 на каждом (k + 1)-м шаге решается вспомогательная задача на собственные значения
Kk+1Qk+1 = Qk+1Λk+1.
(22)
Улучшенные приближения к собственным векторам находят из соотношения
Xk+1 = X k+1Qk+1.
(23)
Далее, предполагая, что векторы из X1 не ортогональны ни к одному из искомых собственных векторов, в пределе получаем Λk+1 → Λ
и Xk+1 → Φ при k → ∞. При этом предполагается, что нумерация
итерируемых векторов в Xk+1 по столбцам соответствует нумерации
собственных векторов ϕ1 , ϕ2, . . . , ϕp.
При итерациях в подпространстве необходимо на каждом шаге контролировать сходимость полученных приближений. Пусть на (k − 1)-м
и k-м шаге итераций вычислены приближенные собственные значения
λk−1
и λki , i = 1, p. Сходимость достигается при
i
|λki − λk−1
|
i
≤ l,
λki
где l = 10−2s. При этом собственные значения будут вычислены с
точностью 10−2s, а собственные векторы — с точностью 10−s.
Заключение
В работе было изучено явление потери устойчивости пространственно однородного режима краевой задачи типа «реакция — диффузия». Нами получено условие, связывающее диффузионный параметр
и собственные значения оператора Лапласа, при котором однородный
цикл уравнения Гинзбурга — Ландау теряет устойчивость. Кроме того,
нами показана и обоснована возможность появления неустойчивости
только за счет изменения геометрии области.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А. В. Серебрякова, Е. В. Тараканова
52
Литература
1. Бате, К. Численные методы анализа и метод конечных элементов
/ К. Бате, Е. Уилсон. — М.: Стройиздат, 1982. — 447 с.
2. Васильева, А.Б. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией / А.Б. Васильева,
С.А. Кащенко, Ю.С. Колесов, Н.Х. Розов // Математический
сборник. — 1986. — Т.130(172), №4(8). — С. 488–499.
3. Серебрякова, А.В. Вычисление собственных значений и собственных функций оператора Лапласа в «гантелеобразной» области / А.В. Серебрякова, Е.В. Тараканова // Современные
проблемы математики и информатики. — Ярославль, 2009. —
Вып. 10. — С. 65–70.
4. Turing, A. The chemical basis of morphogenesis / A. Turing //
Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. — 1952. — V. 237, №641. — P. 37–72.
5. FlexPDE 6 Version 6.09 9/12/2009.
URL: http://www.pdesolutions.com/download/flexpde609.pdf.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ДИНАМИКА НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ
УДК 519.673
С. В. Алешин
Модель AW3-нейрона
Рассмотрена новая модель нейронного элемента с альтернативными
синапсами — AW3-нейрон. Предложена сеть, составленная из модулей
AW3-нейронов, для реализации ассоциативной памяти. Проведено исследование возможностей сети при различных значениях параметров
модели.
Описание AW3-нейрона. По данным нейрофизиологии [1], в нервной системе существуют пары согласованно функционирующих нейронов, один из которых тормозящий, а другой — возбуждающий. Они
функционируют в альтернативном режиме: в возбужденное состояние
(генерация спайка) переходит первый или второй нейрон, но не оба
одновременно. Эти данные составляют основу моделей нейроподобных элементов с альтернативными синапсами. В нашей работе альтернативная пара нейронов была объединена в один, названный AW3нейроном.
AW3-нейроны функционируют в дискретном времени. По своим
свойствам они сходны с биологическими нейронами-детекторами, которые генерируют импульсы в ответ на достаточно сильное воздействие.
В любой дискретный момент времени t AW3-нейрон находится в одном из четырех состояний: ожидание, характеризуемое тем, что в этом
состоянии нейрон способен воспринимать направленное на него внешнее воздействие; генерация возбуждающего сигнала; генерация тормозного сигнала; рефрактерность — невосприимчивость к внешнему
воздействию. Понятия о состояниях и их смена роднит AW3-нейрон с
автоматом Винера [2], а также с другими подобными конструкциями.
Состояние возбуждения длится один такт. Если в момент времени
t AW3-нейрон возбужден, то в следующие r0 ≥ 1 тактов он находится
в рефрактерном состоянии. В момент времени t + r0 + 1 он обязательно
переходит в состояние ожидания.
В каждый момент времени AW3-нейрон формирует выходной сигнал y(t): y(t) = 0, если нейрон находится в состоянии ожидания или
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С. В. Алешин
54
рефрактерности; y(t) = 1, если нейрон находится в состоянии генерации возбуждающего сигнала; y(t) = −1, если нейрон находится в
состоянии генерации тормозного сигнала.
AW3-нейрон имеет синаптические входы двух типов: суммирующие
и безусловно тормозящие. Если на один из безусловно тормозящих синапсов приходит сигнал xвн = −r0, а нейрон находится в состоянии
ожидания, то в следующие r0 тактов он находится в состоянии рефрактерности.
Пусть x = (x1, . . . , xN ) — вектор входов, причем xi ∈ {−1, 0, 1},
w = {w+, w−} — вектор синаптических весов W-нейрона, где
−
+
), и при этом устройство ней), w− = (w1−, . . . , wN
w+ = (w1+, . . . , wN
+
ронного сумматора таково, что x компоненты входных сигналов взвешиваются с весовыми компонентами из w+ , а x− компоненты — из w− .
Имеем
−1, если xi = −1,
1,
если
x
=
1,
i
(1)
x−
=
x+
i
i =
0, если xi ≥ 0.
0, если xi ≤ 0,
Определим для AW3-нейрона величину u(t), которую назовем мембранным потенциалом. Мембранный потенциал нейрона, находящегося
в состоянии рефрактерности, равен 0. Мембранный потенциал нейрона, вышедшего из состояния рефрактерности, выглядит следующим
образом:
!
N
X
− −
u(t) = qu(t − 1) +
(wi+x+
(2)
i (t) + wi xi (t)) ,
i=1
где 0 ≤ q < 1.
−
+
−
Введем пару чисел u+
0 > 0 и u0 < 0, (u0 = −u0 ) и назовем их
соответственно верхним и нижним порогами мембранного потенциала.
Если в момент времени t значение u(t) ≥ u+
0 , то в следующий момент
времени состояние нейрона меняется с «ожидание» на «генерация возбуждающего сигнала» и выходной сигнал его равен y(t+1) = 1. Если в
момент времени t значение u(t) ≤ u−
0 , то в следующий момент времени
состояние нейрона меняется с «ожидание» на «генерация тормозного
сигнала» и выходной сигнал его равен y(t + 1) = −1. В последующий момент времени t + 2 мембранный потенциал нейрона и выходной
сигнал устанавливаются в 0, состояние меняется на «рефрактерность».
Процедура обучения AW3-нейрона. Рассмотрим описание процедуры обучения AW3-нейрона. Пусть имеется набор их M эталонов,
(k)
(k)
т.е. набор (x(1), . . . , x(M )), где x(k) = (x1 , . . . , xN ), а его компоненты
(k)
xi ∈ {−1, 0, 1}. Пусть y (1) , . . . , y (M ) — требуемые выходы нейрона для
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
55
каждого входного эталона соответственно, y (i) ∈ {−1, 0, 1}. Тогда алгоритм обучения AW3-нейрона заключается в следующем:
1. Организуем из данных эталонов бесконечную последовательность
x(1) , . . . , x(M ), x(1), . . . , x(M ), x(1), . . ., полученную из исходного множества эталонов путем циклического повторения элементов множества. Период обучения, в течение которого на вход сети были
поданы x(1), . . . , x(M ) , будем называть макроитерацией обучения.
Начальные (в момент времени t = 0) значения компонент векторов wi+ (0) и wi− (0) выбираем произвольно.
2. Макроитерация, т.е. выполнение для каждого синапса на исходном множестве эталонов следующей процедуры модификации весовых коэффициентов:
(j)
(3)
(j)
(4)
wi+ (t + 1) = wi+ (t) + γ(t), если xi = 1,
wi− (t + 1) = wi− (t) + γ(t), если xi = −1,
где γ вычисляется следующим образом:
h
i
(j)
(j)
γ(t) = xi y − µ ,
(5)
и
PN
+
− −
+ +
1, если
i xi (t) + wi xi (t)) ≥ u0 ,
i=1 (w
P
−
− −
+ +
µ=
0, если u+
> N
0
i=1 (wi xi (t) + wi xi (t)) > u0 ,
PN

+ +
− −
−
−1, если
i=1 (wi xi (t) + wi xi (t)) ≤ u0 .


(6)
3. Если в результате макроитерации не выполнено условие останова, то переходим к пункту 2. Условием останова может служить
отсутствие изменений весовых векторов наряду с ограничением
общего числа макроитераций.
Аналогично [3] может быть сформулировано и доказано утверждение
о достаточном условии обучения AW3-нейрона.
Утверждение. Для того чтобы AW3-нейрон был способен обучиться на
исходном множестве эталонов, достаточно потребовать, чтобы те эталоны, которым соответствует
нулевой выходной сигнал нейрона,
удоPN
PN
+
− −
+ +
+ +
влетворяли бы условиям i=1(wi xi + wi xi ) − u0 < 0 и i=1(wi xi +
−
эталонов, на которых выходной
wi−x−
i ) − u0 > 0, а та часть множества
PN
− −
+
сигнал нейрона равен 1, условию i=1(wi+x+
i + wi xi ) − u0 > 0, а -1,
PN
−
− −
соответственно, условию i=1(wi+x+
i + wi xi ) − u0 < 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С. В. Алешин
56
Универсальность модели. AW3-нейрон в зависимости от выбранных параметров может вести себя как AW-нейрон [3], а следовательно,
и как W-нейрон [4].
−
Действительно, если положить u+
0 = u0 , то нейрон будет иметь
всего три состояния: ожидание, возбуждение (генерация сигнала), рефрактерность. Следовательно, пропадает дополнительное деление состояния «генерация сигнала» на «генерация тормозного сигнала» и
«генерация возбуждающего сигнала», что составляло главную отличительную особенность модели.
Так как AW-нейрон работает с бинарными образами, то вектор входа x = (x1, . . . , xN ), где xi ∈ {−1; 1}, а вектор синаптических весов со+
−
ответственно w = {w+, w−}, где w+ = (w1+, . . . , wN
), w− = (w1− , . . . , wN
).
Положительные компоненты входных сигналов взвешиваются с соответствующими весовыми компонентами из w+ , а отрицательные — из
w−. Таким образом мембранный потенциал элемента
!
N
X
− −
u(t) = qu(t − 1) +
(wi+x+
i (t) + wi xi (t))
i=1
может быть больше, меньше или равен пороговому значению u0. Если
значение мембранного потенциала больше или равно пороговому значению, то нейрон переходит в возбужденное состояние и генерирует
единичный выходной сигнал. В противном случае сигнал равен −1 (в
случае W-нейрона на выходе наблюдается 0). Поэтому модель будет
соответствовать AW-нейрону, описанному в работе [3]. Естественно,
что убирая из описания AW3-нейрона суммирование сигнала в зависимости от знака с разными коэффициентами, мы получим модель
W-нейрона [4].
Исследование сети из модулей AW3-нейронов. Для проверки влияния значений параметров модели на качество работы AW3нейрона были созданы программные модели кольцевых структур из 3
модулей размером 30 × 30 элементов на базе AW3-нейронов. Сеть была
обучена на наборе из 15 черно-серо-белых образов (по 5 эталонов на
модуль). Цвета ассоциированы со значениями: белый — (−1), серый
— 0, черный — 1. В качестве образов использовались буквы латинского алфавита A, B, C, D, F, J, H, K, L, N, P, S, T, V, Z, выбранные
произвольно.
Инициализация режимов производилась в соответствии с процедурой организации пачечной волновой активности [2]. При этом на
активную пару вносился случайный шум, а именно, с вероятностью
0,05 элемент модуля менял цвет c серого равновероятно либо на белый, либо на черный (с 0 либо на −1, либо на 1).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
57
После прохождения первой волны на первом модуле измерялось
расстояние Хемминга (количество отличий) между состоянием модуля
и планируемым эталонным значением. Обозначим планируемое значение одного элемента первого модуля после прохождения первой волны через yip , а реальное состояние этого же элемента через yir , где
i = 1, .P
. . , 900. Для j-го испытания вычислялось расстояние Хемминга
Dhj = 900
i=1 yi , где
1, если yip 6= yir ,
yi =
0, если yip = yir .
Для различных значений порогов проводилась серия из 100 испытаний,
в результате этих испытаний вычислялось среднее значение расстояний Хемминга
P100
j=1 Dhj
Dh =
100
и их среднеквадратичное отклонение
v
u 100
uX
σ = t (Dh − Dhj )2.
j=1
В качестве значения положительного порога u+
0 бралось количество
элементов в модуле N , т.е. 900. В таблице 1 приведены полученные в
результате экспериментов данные.
Модель Параметр N
N/1,5 N/2 N/3 N/4 N/5 N/6
AW3
Dh
28,39 9,4
7,51 4,86 3,76 2,57 5,1
AW3
σ
24,62 11,36 8,29 5,62 4,14 2,99 5,8
Таблица 1. Результаты экспериментов с пороговыми значениями
Сравнение характеристик сетей на AW и AW3-нейронах. Для
экспериментального изучения и сравнения описанных выше моделей
нейронов были созданы программные модели кольцевых структур из 3
модулей размером 30×30 элементов на базе AW и AW3-нейронов. Каждая сеть была обучена на наборе из 15 черно-белых (для AW-нейронов)
или черно-серо-белых (для AW3-нейронов) образов (по 5 эталонов на
модуль). В качестве образов использовались буквы латинского алфавита A, B, C, D, F, J, H, K, L, N, P, S, T, V, Z, выбранные произвольно.
Инициализация режимов производилась в соответствии с процедурой организации пачечной волновой активности [2]. При этом на
активную пару вносился случайный шум: для AW-нейрона с вероятностью p элемент модуля менял цвет с белого на черный (с −1 на 1),
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С. В. Алешин
58
а для AW3-нейрона с вероятностью p элемент модуля менял цвет c
серого равновероятно либо на белый, либо на черный (с 0 либо на −1,
либо на 1).
После прохождения первой волны на первом модуле измерялось
расстояние Хемминга (количество отличий) между состоянием модуля
и планируемым эталонным значением. Для различных уровней шума
проводилась серия из 100 испытаний. В результате этих испытаний
вычислялось среднее значение расстояний Хемминга (Dh ) и их среднеквадратичное отклонение σ.
В таблице 2 приведены полученные в результате экспериментов
данные.
Модель Параметр 5%
10% 15% 20% 25%
AW
Dh
4,24 11,96 14,73 29,86 43,61
AW
σ
13,34 26,03 25,71 44,51 42,16
AW3
Dh
3,04 7,73 10,83 15,52 20,88
AW3
σ
3,26 7,07 10,2 12,54 12,82
30%
61,61
51,85
26,58
16,69
Таблица 2. Результаты эксперимента
Более надежную оценку сравнительных характеристик AW3нейрона дает критерий Вилкоксона. Сравним две выборки из случайных величин: X = {X1 , . . . , Xn} и Y = {Y1 , . . . , Yn }. Здесь Xi —
экспериментальные значения величины Dh для AW-нейрона, Yi — экспериментальные значения Dh для AW3-нейрона. Выборки X и Y независимы между собой.
Значения величины Dh по сути своей являются дискретными, но
при достаточно большом N величину Dh можно приблизительно считать непрерывной. В экспериментах N равно 900. Это позволяет приближенно считать распределения выборок X и Y непрерывными.
Нуль-гипотеза: обе выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, т.е. отсутствует эффект от применения AW3нейрона вместо AW-нейрона.
Рассмотрим совокупность выборок X и Y : Z = {Z1, . . . , Z2n} и
Z1 < Z2 < . . . < Z2n . В экспериментах наблюдается небольшое количество совпадений элементов выборок, т.е. Xi = Yj , для некоторых i,j.
В этом случае ранги совпадающим элементам назначались случайным
образом из диапазона, соответствующего
данной связке наблюдений.
P
Статистика Вилкоксона: S = i:Zi∈X i.
Так как в экспериментах n было достаточно большое (n = 60), то
можно применить нормальную аппроксимацию распределения S. Тогда
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
59
математическое ожидание и дисперсия при нуль-гипотезе вычисляется
1 2
n (2n + 1).
так: MS = 12 n(2n + 1) DS = 12
Почти достоверно (с вероятностью 0,95) можно утверждать, что
все значения случайной величины S с нормальным законом распределения отклоняются от ее математического ожидания MS на величину,
не большую двух средних квадратических отклонений 2σ. Т.е. по правилу 2σ для нормального закона распределения нуль-гипотеза будет
отклонена в случае, если |S − MS| > 2σ.
n(2n + 1)
В таблице 3 приведены значения величины |
− S|, вычис2
ленной на основании серии из 60 испытаний. Критическое значение
при n = 60 примерно 381,05.
Уровни шума 5% 10% 15% 20% 25% 30%
| n(2n+1)
− S| 676 526 455 420 501 888
2
Таблица 3. Отклонение S от своего математического ожидания при
нуль-гипотезе. Критическое значение — 381,05
Заключение. В настоящей работе была предложена модель нейронного элемента, названная AW3-нейроном, с альтернативными синапсами. Был разработан алгоритм обучения такого нейроэлемента и
показано, что сеть, состоящая из AW3-нейронов, может быть использована при решении задач ассоциативной памяти.
Из результатов компьютерного моделирования видно, что при
уменьшении порогового значения до определенного уровня возрастает качество работы сети. Однако стоит отметить, что при сильном
уменьшении пороговых значений вероятность того, что сеть обучится
неправильно, возрастает, поскольку обучение нейрона прервется из-за
превышения количества тактов обучения. Это стоит учитывать, применяя данную сеть. При организации пачечной волновой активности,
сеть, собранная из AW3-нейронов, на тринарных образах показала результат лучше, чем сеть из AW-нейронов на бинарных образах. Учитывая, что образы представляли собой одни и те же буквы латинского алфавита, то можно сделать вывод об оправданности применения
AW3-нейронов вместо AW.
Дальнейший путь развития нейронных сетей может представлять
собой тесный синтез биологии и математики. Успехи в построении математических моделей нейронных сетей будут обеспечиваться за счет
привлечения новых знаний человека о биологических аспектах функционирования нейронов.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С. В. Алешин
60
Литература
1. Кропотов, Ю.Д. Мозговая организация восприятия и памяти:
гипотеза о программировании действий / Ю.Д. Кропотов // Физиология человека. — 1989. — Т. 15, №3. — С. 19–27.
2. Винер, Н. Проведение импульсов в сердечной мышце / Н. Винер,
А. Розенблют // Кибернетический сборник. Вып. 3. — М.: Издво иностранной литературы, 1961. — C. 7–56.
3. Овечкин, А.С. О модификации W-нейрона и алгоритме его обучения / A.С. Овечкин // Современные проблемы математики и
информатики. — Ярославль, 2002. — Вып. 5. — С.95–99.
4. Майоров, В.В. Сети W-нейронов в задаче ассоциативной памяти
/ В.В. Майоров, Г.В. Шабаршина // ЖВМиМФ. — 2001. —
Т. 41, №8. — C. 1289–1298.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 004.032.26
О. А. Дунаева
Построение многослойного перцептрона
на основе импульсных нейронов
Демонстрируется возможность построения многослойного перцептрона на основе нейронной сети, составленной из биологически правдоподобных модельных нейронов с импульсным кодированием информации.
Введение
Вопрос о кодировании информации нервными импульсами — основополагающий для моделирования процессов обработки информации
в биологических нейронных сетях. Фактическое отсутствие адекватных модельных представлений относительно способа кодирования информации в нервной системе является серьезной проблемой на пути
построения реалистичных моделей биологических нейронных сетей.
Нервные импульсы сами по себе не несут информации о кодируемом
сигнале, поскольку их форма и амплитуда определяются только внутренними свойствами нейрона и практически неизменны. Таким образом, кодируемая информация содержится не в отдельном нервном импульсе, а в их последовательности, но сам способ кодирования остается предметом обсуждения. Имеется несколько равноправных гипотез
относительно способа кодирования информации последовательностью
нервных импульсов, причем в зависимости от принятой гипотезы при
моделировании биологических нейронных сетей используются те или
иные формальные нейронные модели.
Наиболее существенные успехи в построении искусственных сетей, моделирующих те или иные аспекты функционирования нервной
системы (классификация, запоминание), были достигнуты при использовании в качестве структурных элементов нейронной сети бинарных и
аналоговых нейронов МакКаллока-Питца (многослойный перцептрон,
сеть Хопфилда). Нейрон МакКаллока-Питца соответствует гипотезе о
частотном кодировании, при котором носителем информации является
плотность потока нервных импульсов. Гипотеза о частотном кодировании обладает существенным недостатком, связанным со свойственным
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
62
О. А. Дунаева
для нее ограничением на максимальную скорость обработки информации. Так, характерное время генерации спайка для биологического
нейрона составляет 20 мсек, а необходимость оценивать интенсивность
нейронной активности дает оценку характерного времени отклика системы, входящую в противоречие с экспериментальными данными о
типичном времени отклика нервной системы [2].
Согласно альтернативной гипотезе об импульсном кодировании, информация в нервной системе представляется индивидуальными длинами (продолжительностями) межспайковых интервалов либо индивидуальными моментами спайков отдельных нейронов, т.е. локальными
временны́ми характеристиками потока нервных импульсов. Типичная
нейронная сеть, основанная на импульсном кодировании информации,
представляет собой систему взаимосвязанных импульсных нейронов,
для каждого из которых момент генерации спайка определяется воздействием со стороны остальных нейронов [1]. В рамках этого подхода
были реализованы нейронные сети с импульсным кодированием информации, моделирующие многослойный перцептрон [2] и сеть Хопфилда [3]. В данной работе демонстрируется возможность построения многослойного перцептрона с импульсным кодированием информации на
основе биологически правдоподобной модели нейрона, предложенной в
работах [4, 5], тогда как в работах [2, 3] в качестве структурных элементов сети были использованы простейшие интегративно-пороговые
элементы.
Модель нейрона-автогенератора с химическими BS-синапсами
В работе [4] была предложена биологически правдоподобная модель импульсного нейрона-автогенератора, основанная на уравнении
с запаздыванием, а в работе [5] эта модель была дополнена моделью
химического синапса. В работах [5, 7] рассмотрена задача вычисления латентного периода (интервала времени между началом внешнего
воздействия и началом индуцированного спайка) для случая синаптического взаимодействия нейронов-автогенераторов.
Будем рассматривать импульсный нейрон с модифицированной моделью химических синапсов, для которого динамика мембранного потенциала u(t) > 0 описывается следующим уравнением:
u̇ = λ [−1 − fNa(u) + fK (u(t − 1)) + αw(t)Θ(u(t − TS ) − 1)] u.
(1)
Здесь λ > 0 — большой параметр, определяющий скорость процессов поляризации-деполяризации мембраны нейрона; fNa (u) и fK (u) —
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
63
гладкие положительные функции, монотонно стремящиеся к нулю при
u → ∞; w(t) — суммарное внешнее синаптическое воздействие; TS —
начало интервала чувствительности к внешнему воздействию. Будем
считать выполненным условие
α = fK (0) − fNa(0) − 1 > 0,
(2)
гарантирующее неустойчивость нулевого состояния равновесия изолированного нейрона (т.е. при w(t) ≡ 0).
Решение уравнения для изолированного нейрона оказывается периодическим и имеющим импульсную структуру. Моменты начала и
конца импульса (спайка) свяжем с моментами, когда мембранный потенциал u(t) пересекает единичное значение с положительной и отрицательной скоростью соответственно. Будем говорить, что нейрон,
генерирующий спайк, находится в активном состоянии. Для длительности импульса T1 и периода T2 имеют место следующие формулы [6]:
T1 = 1 + α1 ,
T2 = T1 + 1 + α2 /α,
где
α1 = fK (0) − 1,
α2 = fNa(0) + 1.
Множитель Θ(u(t − TS ) − 1) гарантирует, что чувствительность к
внешнему воздействию имеет место только на промежутке [TS , TS +T1],
причем на величину TS накладывается естественное ограничение
T1 + 1 < TS < T2 − T1. Ограниченность интервала восприимчивости
к внешнему синаптическому воздействию является важной особенностью предлагаемой модели, отличающей ее от модели синаптического
взаимодействия, предложенной в [5]. Такие синапсы мы будем называть BS-синапсами (Bounded Sensitivity).
Пусть на постсинаптический нейрон с мембранным потенциалом
u(t) воздействует N пресинаптических нейронов с мембранными потенциалами vj (t), где 1 ≤ j ≤ N . Для суммарного синаптического
воздействия w(t) будем использовать следующую формулу:
w(t) =
N
X
j=1
gj Θ(vj (t − ∆j ) − 1).
(3)
Параметр gj имеет смысл синаптического веса, определяющего эффективность синапса, передающего воздействие с j-го пресинаптического
нейрона на рассматриваемый постсинаптический нейрон, а параметр
∆j соответствует задержке на синапсе. Множитель Θ(vj (t − ∆j ) − 1)
определяет условие наличия воздействия со стороны пресинаптического нейрона. Этот множитель выписан в предположении, что время
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О. А. Дунаева
64
воздействия медиатора совпадает с продолжительностью спайка пресинаптического нейрона.
Асимптотический анализ модели
Для изолированного нейрона (т.е. при w(t) ≡ 0) динамика мембранного потенциала u(t) в нулевом приближении при λ → ∞ определяется
следующими асимптотическими формулами [6]:

exp[λα1(t + o(1))],
t ∈ [o(1), 1 − o(1)],



exp(λα ) exp[−λ(t − 1 + o(1))],
t ∈ [1 + o(1), T1 − o(1)],
1
u(t)=

exp[−λα2(t − T1 + o(1))],
t ∈ [T1 + o(1), T1 + 1 − o(1)],



exp(−λα2) exp[λα(t−T1−1+o(1))], t ∈ [T1 + 1 + o(1), T2 − o(1)].
(4)
В качестве начальной функции здесь выбирается произвольная функция из множества
S = {φ ∈ C[−1, 0] : φ(s) ≤ 1, φ(0) = 1} .
(5)
Символом o(1) обозначены слагаемые, стремящиеся при λ → ∞ к нулю
равномерно относительно выбора начальной функции φ ∈ S.
Перейдем к асимптотическому исследованию процесса синаптического взаимодействия импульсных нейронов. Будем считать, что мембранный потенциал vj (t) каждого пресинаптического нейрона удовлетворяет уравнению (1). Из вида асимптотических формул (4) и формулы (3) ясно, что при этом функция w(t) оказывается кусочно постоянной. Свяжем нулевой момент времени с моментом начала спайка
текущего нейрона. Пусть tj — такие моменты времени, что на каждом
интервале (tj , tj+1) функция w(t) остается постоянной и принимает
значение wj . Пусть Aj — множество индексов пресинаптических нейронов, находящихся на интервале (tj , tj+1) в активном состоянии, т.е.
таких нейронов, для которых выполнено неравенство vj (t) > 1 для всех
t ∈ (tj , tj+1). Тогда


t < tj ,
0,
X
X
gk . (6)
wj (t),
wj (t) = wj , t ∈ [tj , tj+1],
wj =
w(t) =


k∈Aj
j∈Z
0,
t > tj+1 ,
Точки tj естественно делятся на два класса, образующие множества
Tstart и Tend. К множеству Tstart отнесем моменты времени tj , каждый
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
65
из которых соответствует началу спайка одного из пресинаптических
нейронов, а к множеству Tend — моменты окончания спайков. Введем
также множество
[
Ai ,
(7)
A=
ti ∈[TS ,TS +T1 ]
которое состоит из номеров тех нейронов, которые вошли в активное
состояние на промежутке времени [TS , TS + T1].
Теорема 1. Пусть нейрон с мембранным потенциалом u(t) описывается уравнением (1), в котором fNa(u) и fK (u) — гладкие положительные функции, монотонно стремящиеся к нулю при u → ∞
и удовлетворяющие условию (2), а начальная функция выбирается из множества (5). Пусть также для параметра TS выполнено
условие T1 + 1 < TS < T2 − T1, где T2 — период изолированного нейрона. Если функция w(t) задается формулой (3), выполнено условие
Tend ∩ [TS , TS + T1] = ∅ и на промежутке [TS , TS + T1 ] нейрон не переходит в активное состояние, то переход нейрона в активное
состояние произойдет в момент времени tsp = T2 − ∆t, где
X
∆t =
gi (TS + T1 − ti ).
i∈A
Доказательство. Не нарушая общности, будем считать, что пресинаптические нейроны пронумерованы в порядке возрастания тех моментов tj начала их спайков, которые лежат на интервале [TS , TS + T1].
Поскольку Tend ∩ [TS , TS + T1] = ∅, то на интервале восприимчивости будут находиться только те моменты времени tj , которые соответствуют началам спайков пресинаптических нейронов. Поэтому на
интервале [tj , tj+1] на рассматриваемый нейрон воздействуют нейроны
P
v1, v2, . . . , vj , и суммарное воздействие составляет wj = ji=1 gi .
Ввиду ограничения TS > T1 + 1, до начала взаимодействия (на интервале (TS , t1)) решение уравнения имеет вид
u(t) = u(TS ) exp[λα(t − TS )], откуда
u(t1) = u(TS ) exp[λα(t1 − TS )].
Учитывая (6), рассмотрим влияние функции wj (t) на потенциал
u(t). В момент времени tj начинается взаимодействие, и уравнение
принимает вид:
!
j
X
u̇(t) = λα 1 +
gi u(t).
i=1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О. А. Дунаева
66
Получаем следующее решение:
"
u(t) = u(tj ) exp λα 1 +
j
X
i=1
!
#
gi (t − tj ) =
"
= u(tj ) exp[λα(t − tj )] exp λα
j
X
i=1
#
gi (t − tj ) .
В момент времени tj+1 функция wj (t) обратится в ноль и воздействие
прекратится. Для конца интервала воздействия имеем:
"
#
j
X
u(tj+1) = u(tj ) exp[λα(tj+1 − tj )] exp λα
gi(tj+1 − tj ) .
i=1
Это значение используется в качестве начального на следующем интервале [tj+1, tj+2]. Аналогичные выкладки последовательно проводятся
для всех интервалов, включая последний интервал [tn , TS + T1]. Окончательно получаем:
u(TS + T1 ) = u(t1)
n
Y
j=1
"
exp[λα(tj+1 − tj )] exp λα
"
= u(TS ) exp[λαT1] exp λα
j
X
i=1
#
gi(tj+1 − tj ) =
j
n X
X
j=1 i=1
#
gi (tj+1 − tj ) .
При t > TS + T1 функция w(t) перестает оказывать влияние и решение будет следующим:
u(t) = u(TS + T1) exp[λα(t − TS − T1)] =
"
= u(TS ) exp[λα(t − TS )] exp λα
j
n X
X
j=1 i=1
#
gi(tj+1 − tj )
Момент начала спайка определяется из уравнения u(tsp ) = 1:
tsp = TS − ln u(TS )/λα −
j
n X
X
j=1 i=1
gi (tj+1 − tj ).
При отсутствии воздействия решение на всем рассматриваемом отрезке имеет вид u(t) = u(TS ) exp[λα(t − TS )], а момент спайка определяется следующим выражением: tsp = TS − ln u(TS )/λα. Таким образом,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
67
внешнее воздействие приблизило спайк на время
∆t =
j
n X
X
j=1 i=1
gi (tj+1 − tj ) =
n
X
gj
j=1
n
X
i=j
(ti+1 − ti ) =
n
X
j=1
gj (TS + T1 − tj ).
Ограничения на веса
Существенным условием в формулировке теоремы 1 был запрет на
генерацию спайка на интервале [TS , TS + T1]. Ниже получено ограничение на веса синаптических связей, гарантирующее отсутствие спайка
на этом интервале.
Теорема 2. В предположениях теоремы 1 неравенство
max{gi} <
T2 − TS − T1
N T1
гарантирует, что спайк не произойдет на промежутке [TS , TS +T1].
Доказательство. Нам необходимо показать, что ни на одном из интервалов [tk , tk+1] мембранный потенциал не достигнет значения, необходимого для генерации спайка. Вычисления, аналогичные проведенным
при доказательстве теоремы 1, позволяют получить следующую формулу:
"
u(tk ) = u(t1) exp[λα(tk − t1 )] exp λα
k−1 X
i
X
i=1 j=1
#
gj (ti+1 − ti ) =
"
= exp(−λα2 ) exp[λα(tk − T1 − 1)] exp λα
i
k−1 X
X
i=1 j=1
gj (ti+1 − ti ) .
На интервале [tk , tk+1] уравнение принимает вид
!
k
X
u̇(t) = λα 1 +
gj u(t).
j=1
Для t > tk получаем:
"
u(t) = u(tk ) exp λα 1 +
k
X
j=1
gj
!
#
#
(t − tk ) .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О. А. Дунаева
68
Момент возможного спайка найдем из уравнения u(tsp ) = 1:
tsp +
k−1 X
i
X
i=1 j=1
gj (ti+1 − ti ) +
k
X
j=1
gj (tsp − tk ) = T2.
Преобразуя как ранее сумму, имеем:
!
k
k
X
X
gi ti .
gi = T 2 +
tsp 1 +
i=1
i=1
Чтобы гарантировать невозможность спайка на интервале
[TS , TS + T1], достаточно для всех k = 1, ..., n потребовать выполнения
следующего неравенства:
P
T2 + ki=1 giti
> TS + T1 .
P
1 + ki=1 gi
P
Если ki=1 gi < −1, то u̇(t) < 0 и решение будет убывать, так что на
веса не приходится накладывать дополнительных ограничений. Если
Pk
же
i=1 gi > −1, то последнее неравенство может быть переписано
следующим образом:
k
X
i=1
gi(TS + T1 − ti ) < T2 − (TS + T1 ).
Если gmin и gmax — минимальное и максимальное значения весов gi, то
для всех i имеет место оценка
min(gmin , 0)T1 < gi(TS + T1 − ti ) < gmax T1.
(8)
С учетом этой оценки предыдущее неравенство может быть заменено
на следующее более сильное ограничение:
kgmax <
T2 − TS − T1
,
T1
которое должно выполняться при всех 1 ≤ k ≤ N . Заменяя в последнем неравенстве k на N , получаем утверждение теоремы.
Перцептрон с импульсным кодированием
информации
Классический многослойный перцептрон представляет собой слоистую нейронную сеть, в которой нейроны расположены в нескольких
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
69
упорядоченных слоях, причем внутри слоя связи между нейронами отсутствуют, а каждый нейрон k-го слоя оказывает воздействие на все
нейроны (k + 1)-го слоя [8]. Элементом перцептрона является обобщенный нейрон МакКаллока-Питца, который вычисляет взвешенную
сумму N своих входов sk и затем применяет к результату функцию
активации f :
N
X
gk sk ,
sout = f (S).
S=
k=1
Здесь sout — выход нейрона, S — результат вычисления взвешенной
суммы, а gk — веса синаптических связей. В качестве функции активации обычно выбирается сигмоидальная функция, но часто используется также 3-звенная кусочно-линейная аппроксимация сигмоиды.
Ниже мы будем предполагать, что входы и выходы каждого нейрона МакКаллока-Питца представлены числами из промежутка [−γ, γ] и
для всех допустимых входов выполнено равенство f (S) = S, т.е. все
нейроны работают на участке линейности функции активации.
Опишем конструкцию, позволяющую воспроизвести поведение многослойного перцептрона на сети, составленной из импульсных нейронов. Пусть задан многослойный перцептрон P, т.е. зафиксировано число слоев, количество нейронов в каждом слое и для каждого нейрона
заданы фиксированные значения всех весов его синаптических связей. Образуем импульсную нейронную сеть P 0 путем замены каждого
нейрона, образующего перцептрон P, на импульсный нейрон, описываемый уравнениями (1), (3). Отметим, что здесь каждая синаптическая
связь нейрона МакКаллока-Питца, реализующая умножение входного
значения на синаптический вес, заменяется на динамическую синаптическую связь, реализующую передачу и умножение на синаптический
вес изменяющегося во времени импульсного входного сигнала. При
этом динамическим выходом нейрона с мембранным потенциалом u(t)
является функция Θ(u(t) − 1).
Значения sk и sout входов и выхода нейрона МакКаллока-Питца в
нашей модели будут представлены моментами возникновения спайков
пресинаптических нейронов и рассматриваемого постсинаптического
нейрона. Оказывается, что можно установить такое соответствие между моментами возникновения спайков и числами sk , sout , что динамика
построенной импульсной нейронной сети P 0 будет воспроизводить поведение исходного перцептрона P.
Значению sk каждого из входов нейрона МакКаллока-Питца поставим в соответствие момент времени tk = Tin + βsk , где Tin — некоторое фиксированное число. Будем считать, что спайк пресинаптического нейрона, происходящий в момент времени tk , кодирует значение
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О. А. Дунаева
70
sk = (tk − Tin )/β, поступающее на вход нейрона МакКаллока-Питца.
Аналогично значению sout выхода нейрона МакКаллока-Питца поставим в соответствие момент времени tsp = Tout + βsout , где Tout — некоторое фиксированное число. Будем считать, что спайк рассматриваемого нейрона, происходящий в момент времени tsp , кодирует значение
sout = (tsp − Tout)/β, наблюдающееся на выходе нейрона МакКаллокаПитца.
Положим Tin = TS + T1/2 и β = T1 /(2γ), т.е. будем считать, что
tk = TS + T1 /2 + T1sk /(2γ). Если sk ∈ [−γ, γ], то момент начала каждого
синаптического воздействия попадает на интервал восприимчивости
рассматриваемого нейрона и на этом интервале ни один пресинаптический нейрон не выйдет из активного состояния. Таким образом,
справедлива теорема 1, откуда получаем:
X
T1 X
T1 X
gk (TS + T1 − tk ) = T2 −
tsp = T2 −
gk +
gk sk .
2
2γ
k
k
k
P
P
Полагая Tout = T2 − T21 k gk , приходим к соотношению sout = k gk sk ,
что соответствует формуле для нейрона МакКаллока-Питца.
Для того чтобы импульсный выход одного нейрона мог быть использован в качестве входа другого нейрона, достаточно наложить на
веса синаптических связей следующее ограничение:
|gk | ≤
1
.
N
(9)
P
N Действительно, в этом случае получаем k gk < 1 и оказывается
выполненным включение |Tout − T2|P
< T1/2. Для величины sout с учетом
(9) получаем ограничение |sout | = | k gk sk | ≤ γ.
Поскольку сумма весов синаптических связей для разных нейронов
может оказаться различной, то в этом случае различной оказывается и величина параметра Tout . Для корректной работы многослойного
перцептрона необходимо, чтобы было выполнено следующее условие
передачи возбуждения: импульсы, генерируемые нейронами каждого слоя, должны приходиться на интервал восприимчивости нейронов
следующего слоя. Если все нейроны одного слоя синхронизированы
(т.е. при отсутствии синаптического воздействия генерируют импульс
одновременно), то условие передачи возбуждения оказывается выполненным в случае, когда временно́е рассогласование импульсов, генерируемых нейронами соседних слоев при отсутствии воздействия, равно
T2 − TS − T1/2, а задержка ∆j в формуле (3) равна T2 − Tout .
Если наложить дополнительное ограничение T2 − T1 − TS > T1, то
условие (9) гарантирует выполнение условий теоремы 2. Отметим, что
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
71
смысл этого дополнительного ограничения состоит в следующем: левая граница участка, на котором расположен генерируемый импульс,
лежит правее правой границы участка восприимчивости нейрона. Таким образом, перцептрон, в котором все нейроны работают на участке
линейности функции активации, а все веса удовлетворяют неравенству (9), может быть смоделирован нейронной сетью, состоящей из
импульсных нейронов и использующей импульсное кодирование информации.
Отметим, что после однократной передачи воздействия следующему
слою нейронов, нейроны каждого слоя остаются в десинхронизированном состоянии, т.е. при отсутствии внешнего воздействия сгенерируют
импульс в различные моменты времени. Таким образом, для нейронов,
уже участвовавших в передаче возбуждения, интервал чувствительности будет начинаться в разное время, и вся построенная нейронная
сеть корректно работает только в течение одного такта передачи возбуждения.
Литература
1. Gerstner, W. What’s different with spiking neurons? / W. Gerstner
// Plausible Neural Networks for Biological Modelling, Henk
Mastebroek and Hans Vos (Eds.) — Kluwer Academic Publishers,
2001. — P. 23–48.
2. Maass, W. Fast sigmoidal networks via spiking neurons / W. Maass
// Neural Computation. — 1997. — Vol. 9. — P. 279–304.
3. Maass, W. Networks of spiking neurons can emulate arbitrary
Hopfield nets in temporal coding / W. Maass, T. Natschläger
// Network: Computation in Neural Systems. — 1997. — Vol. 9(4).
— P. 355–372.
4. Майоров, В.В. Математическое моделирование нейронной сети на основе уравнений с запаздыванием / В.В. Майоров,
И.Ю. Мышкин // Математическое моделирование. — 1990. —
Т. 2, № 11. — С. 64–76.
5. Кащенко, С.А. Модель адаптации кольцевых нейронных ансамблей / С.А. Кащенко, В.В. Майоров // Радиотехника и Электроника. — 1998. — Т. 43, № 11. — С. 1–7.
6. Кащенко, С.А. Модели волновой памяти / С.А. Кащенко,
В.В. Майоров. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. —
288 с.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
72
О. А. Дунаева
7. Дунаева, О.А. Уточнение оценки латентного периода для нейронов с синаптическим взаимодействием / О.А. Дунаева // Моделирование и анализ информационных систем. — 2009. — Т. 16,
№ 4. — С. 46–55.
8. Уоссермен, Ф. Нейрокомпьютерная техника: Теория и практика
/ Ф. Уоссермен — М.: Мир, 1992. — 184 с.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 004.032.26
И. О. Колотухин
Модель взаимодействия нейронных клеточных
автоматов с переменными синаптическими
весами
Предложена и исследована модель взаимодействия нейронных клеточных автоматов, основанная на предположении о том, что синаптический вес связи между элементами сети есть величина переменная.
Предполагается, что вес зависит от внутреннего состояния нейронного
клеточного автомата. Построена модель нейронной сети с переменным
синаптическим взаимодействием, которая способна хранить заранее заданную периодическую последовательность импульсов.
Основной интерес при исследовании осцилляторных нейронных сетей сосредоточен на динамических колебательных аспектах их функционирования. В соответствии с этим выбирается такая конструкция
отдельного элемента и такая архитектура сети, при которых наблюдаются регулярные, квазипериодические или стохастические колебания.
При этом исследуются условия возникновения колебаний и условия
их синхронизации. Изучение нейронных сетей стимулируется результатами нейрофизиологических экспериментов, указывающих на существенную, а возможно и центральную, роль колебательных процессов
в работе нервной системы. Одна из основных гипотез состоит в том,
что процесс обработки информации в нервной системе может описываться в терминах синхронизации активности различных нейронных
структур.
В работе [2] на основе анализа биологических данных предложена
модель нейронного клеточного автомата (НКА), периодически генерирующего импульсы. Каждый такой автомат описывается параметром, названным мембранным потенциалом u(t) > 0. В момент времени, когда мембранный потенциал пересекает пороговое значение
p(t) (p0 ≥ p(t) > 0), клеточный автомат генерирует импульс, который может оказывать влияние на изменение мембранных потенциалов
других автоматов. Если для всех s ∈ [t, t + τ ], (τ > 0) выполнено
неравенство u(s) < p(s), то для мембранного потенциала и его порогового значения справедливы соотношения: u(t + τ ) = u(t) exp(Θτ ),
p(t + τ ) = p(t) exp(−kΘτ ), где Θ > 0, k > 0. После генерации импульса автомат некоторое время находится в состоянии рефрактерности —
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
74
И. О. Колотухин
невосприимчивости к воздействию. После выхода автомата из рефрактерного состояния его мембранный потенциал монотонно растет даже
без внешнего воздействия. Одновременно монотонно уменьшается пороговое значение мембранного потенциала. Тем самым, даже при отсутствии воздействия автоматы периодически генерируют импульсы.
Поступающее на автомат воздействие ускоряет (замедляет) рост
мембранного потенциала и приближает (отдаляет) момент генерации
импульса. Эффективность воздействия одного автомата на другой описывается синаптическим весом. С биологической точки зрения синаптический вес соответствует определенному количеству медиаторов, повлиявших на нейрон. В работе [2] считалось, что количество подействовавших медиаторов неизменно.
В данной работе будем считать, что синаптический вес зависит
от времени, прошедшего с момента выхода автомата из состояния рефрактерности. Другими словами, автомат-приемник слабо реагирует
на приходящий сигнал сразу после выхода из рефрактерного состояния. И напротив, для данного автомата-приемника входной сигнал
сильнодействующий, если до генерации собственного спайка остается
относительно небольшой промежуток времени.
Построим такую модель взаимодействия, в которой для каждых
двух НКА синаптический вес их связи, вообще говоря, разный для
разных тактов прохождения волны возбуждения по сети.
На рисунке показан график зависимости во времени синаптического веса от количества медиаторов, а также графики изменения мембранного потенциала в зависимости от синаптического веса. Здесь
t1sp — момент генерации спайка автоматом-приемником, t2sp и t3sp —
моменты генерации спайков автоматом-приемником через время T2 и
2T2 соответственно, T2 — промежуток времени, через который изолированный НКА периодически генерирует спайки, TR — промежуток
времени рефрактерности. На рисунке показано, как может измениться
мембранный потенциал в зависимости от времени поступления импульса либо в t1 , либо в t2 .
Пусть ξ10 , ξ20 , ξ30 такие числа, что выполнены следующие неравенства:
ξ10 + ξ20 + ξ30 < T2, ξ10 + ξ20 > TR , ξ10 + ξ30 > TR , ξ20 + ξ30 > TR , ξ10, ξ20, ξ30 < T1,
где T1 — время воздействия автоматов друг на друга.
Рассмотрим сеть из трех НКА, объединенных в кольцо. В такой
сети каждый автомат может оказывать воздействие на два оставшихся.
Для каждого автомата вычислены синаптические коэффициенты по
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
75
Рис. Зависимость во времени синаптического воздействия
от количества медиаторов и соответствующее изменение
мембранного потенциала
формулам:
q3,1 =
(1 + k)(T2 −
ξ10
q2,3 =
3
P
i=1
ξi0)
, q1,2 =
(1 + k)(T2 −
ξ30
(1 + k)(T2 −
3
P
ξ20
3
P
ξi0 )
i=1
,
ξi0 )
i=1
.
Тогда в такой сети временные промежутки между спайками НКА
стабилизируются и становятся равными ξ10 , ξ20, ξ30. Другими словами,
при определенных условиях данная система из нейронных клеточных
автоматов с различными синаптическими весами самоорганизуется.
Можно рассмотреть обобщение задачи для кольца из N автоматов
и доказать, что существует стабильный режим работы кольца, при
котором спайки автоматов следуют в порядке возрастания номеров и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
И. О. Колотухин
76
временные рассогласования между моментами спайков i-го и i + 1-го
автоматов (i = 1, 2, . . . , N ) принимают заранее выбранные значения ξi0 .
Вернемся к рассмотрению сети-кольца из трех автоматов с переменным взаимодействием, описанным выше. Модель взаимодействия
автоматов реализуем следующим образом. Пусть синаптическое воздействие зависит от времени поступления спайка на автомат-приемник
при условии, что он не находится в состоянии рефрактерности. Будем
считать, что:
1. Сразу после выхода автомата из состояния рефрактерности, он
слабо реагирует на приходящие спайки;
2. В конце состояния восприимчивости (т.е. когда до генерации собственного спайка остается относительно малый промежуток времени) поступивший на автомат спайк действует с большей силой.
Будем считать, что функция, определяющая синаптический вес,
имеет вид:
q(t) = α + β(p0(e−kΘ(t−tsp−TR ) − e−kΘ(t−tsp) ) + u0 eΘ(t−tsp −TR ) − u0),
0
0
tsp > t > tsp + TR , где tsp , tsp — два соседних момента времени спайков.
Обозначим через t11 , t12 , t13 моменты спайков автоматов кольца на
первом такте прохождения волны возбуждения. Пусть выполнены
условия
t11 < t12 , t12 < t13 , t12 < t11 + TR , t13 < t12 + T1 , t13 > t11 + TR , t13 < t12 + TR .
Введем временные рассогласования ξ21 = t12 − t11, ξ31 = t13 − t12 между
спайками первого и второго, второго и третьего НКА. Пусть t21 —
момент спайка первого автомата на втором такте прохождения волны
возбуждения. Обозначим ξ12 = t21 − t13 — временное отставание момента
t21 нового спайка первого автомата от спайка третьего автомата и ξ22
и ξ32 — рассогласования моментов спайков первого и второго, второго
и третьего автоматов соответственно на втором этапе прохождения
волны. Рассмотрим следующий итерационный процесс, отражающий
временные соотношения между спайками на последовательных тактах
прохождения волны по кольцу:
 2
 ξ1 (1 + k + q(t13)) = (1 + k)(T2 − ξ21 − ξ31)
ξ22(1 + k + q(t21)) = (1 + k)(T2 − ξ12 − ξ31) ,
 2
ξ3 (1 + k + q(t22)) = (1 + k)(T2 − ξ22 − ξ12)
где q(∗) есть значения функции q(t). Таким образом величины синаптических весов зависят от времени поступления импульсов на автоматприемник.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
77
В общем виде итерационный процесс будет иметь вид:
ξ1n+1(1 + k + α +
n
n
n
n
n
n
+ β(p0(e−kΘ(ξ2 +ξ3 −TR) − e−kΘ(ξ2 +ξ3 ) ) + u0eΘ(ξ2 +ξ3 −TR ) − u0 )) =
= (1 + k)(T2 − ξ2n − ξ3n )
ξ2n+1(1 + k + α +
n+1
+ β(p0(e−kΘ(ξ1
ξ3n+1(1 + k + α +
n+1
+ β(p0(e−kΘ(ξ2
n+1
+ξ3n −TR )
n+1
n
− e−kΘ(ξ1 +ξ3 ) ) + u0eΘ(ξ1
= (1 + k)(T2 − ξ1n+1 − ξ3n )
+ξ1n+1 −TR )
n+1
− e−kΘ(ξ2
+ξ1n+1 )
+ξ3n −TR )
n+1
− u0 )) =
n+1
) + u0eΘ(ξ2 +ξ1 −TR ) − u0)) =
= (1 + k)(T2 − ξ2n+1 − ξ1n+1).
Заметим, что аналитическое исследование данной системы затруднительно. Поэтому система исследовалась нами численно. Результаты
этих исследований представлены ниже.
Рассмотрим задачу при некоторых условиях, которые позволят провести теоретическое обсуждение. Колебательный процесс в сети с синаптическими весами q3,1 6= q1,2 6= q2,3 и заранее заданными начальными условиями выравнивается и входит в стабильное состояние. Будем
считать, что мы наблюдаем за процессом последовательной генерации
импульсов автоматами кольца в случае, когда каждый автомат на каждом такте воздействует на соседние с новым синаптическим весом, но
условия генерации подобраны так, что на каждом такте веса слегка
отклоняются от предельных значений q3,1, q1,2, q2,3. Обозначим эти отклонения для каждого автомата в виде последовательности значений
на каждом такте: {εs1 }{εs2}{εs3}, s = 1, 2, 3, . . .
Итак, новые веса на каждом такте имеют вид:
q3,1 ± εs1, 0 ≤ εs1 < q3,1
q1,2 ± εs2, 0 ≤ εs2 < q1,2
q2,3 ± εs3, 0 ≤ εs3 < q2,3 ,
(1)
где s — номер такта.
Выше представлены формулы для синаптических коэффициентов,
при которых колебательный процесс в кольце из автоматов стабилизируется и промежутки между спайками становятся равными заранее
заданным величинам ξ10 , ξ20 , ξ30. Аналогично исследуем итерационный
процесс, отражающий изменения промежутков времени между спайками в сети-кольце, где автоматы действуют на соседние с отклоняю-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
И. О. Колотухин
78
щимися синаптическими коэффициентами:
 2
 ξ1 (1 + k + q3,1 ± ε11 ) = (1 + k)(T2 − ξ21 − ξ31 )
ξ22 (1 + k + q1,2 ± ε12 ) = (1 + k)(T2 − ξ12 − ξ31 ) .
 2
ξ3 (1 + k + q2,3 ± ε13 ) = (1 + k)(T2 − ξ22 − ξ12 )
Данный итерационный процесс является разновидностью итерационного процесса Зейделя. Матрица


1 + k + q3,1 ± ε11
1+k
1+k

1+k
1 + k + q1,2 ± ε12
1+k
A=
1+k
1+k
1 + k + q2,3 ± ε13
симметричная, положительно определенная, с ненулевыми диагональными элементами, что является достаточным условием для сходимости
[1].
Из общей теории разностных уравнений [1] следует, что сходимость процесса не нарушается при достаточно малых изменениях параметров, т.е. можно указать такое εi , что при |εsi | < εi итерационный
процесс имеет предельную точку η 0 с координатами, мало отличающимися от координат (ξ10, ξ20 , ξ30 ) точки ξ 0.
Проведены численные исследования для сети из трех НКА. Были
выбраны следующие значения необходимых параметров u0 = 1, k = 1,
TR = 2, p0 = 4,75, Θ = 0,25, T1 = 1,5. Шаг вычислений 0,01, а первый
автомат «включается» в нулевой момент времени.
Номер такта
1
ξ1
1,53
ξ2
1,05
ξ3
1,37
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1,53 1,53 1,52 1,51 1,49 1,47 1,46 1,45 1,44
1,1 1,14 1,17 1,2 1,23 1,25 1,26 1,27 1,28
1,31 1,26 1,23 1,21 1,2 1,19 1,19 1,19 1,19
11
12
13 14 . . .
1,43 1,42 1,41 1,4 . . .
1,29 1,3 1,3 1,3 . . .
1,19 1,19 1,19 1,2 . . .
30
1,4
1,3
1,2
Таблица 1. Временные рассогласования для неоднородной сети
Для промежутков между спайками ξ1 = 1,4, ξ2 = 1,3, ξ3 = 1,2 вычислены соответствующие им синаптические коэффициенты q1,2 = 0,3,
q2,3 = 0,323, q3,1 = 0,35. В таблице 1 приведены значения временных
рассогласований в результате работы программы с заданными параметрами.
После 14 такта режим в сети стабилизируется, и временные рассогласования устанавливаются в заранее заданные значения.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
79
Для моделирования режима с переменным взаимодействием между
НКА рассмотрена система из НКА с синаптической функцией
q(t) = α + β(p0(e−kΘ(t−tsp−TR ) − e−kΘ(t−tsp) ) + u0 eΘ(t−tsp −TR ) − u0),
где α = 0,149 и β = 0,0948. В таблице 2 приведены значения временных рассогласований и синаптических весов в результате работы
программы. При других значениях параметров модели в эксперименте
наблюдались режимы, которые сложно получить аналитически.
Номер такта
ξ1
ξ2
ξ3
1
1,53
1,04
1,39
2
1,51
1,05
1,37
3
1,5
1,08
1,35
0,278 0,278 0,278
0,324 0,320 0,318
0,292 0,294 0,294
q1,2
q2,3
q3,1
10
1,43
1,25
1,24
11
1,42
1,26
1,24
0,285 0,286
0,303 0,302
0,304 0,305
12
1,41
1,27
1,24
0,287
0,300
0,306
13
1,40
1,28
1,23
4
1,49
1,12
1,33
5
1,48
1,15
1,31
0,279 0,281
0,315 0,313
0,296 0,298
14
1,39
1,29
1,23
0,287 0,288
0,299 0,299
0,308 0,310
15
1,39
1,3
1,23
6
1,47
1,17
1,29
7
1,46
1,19
1,27
0,282 0,282
0,309 0,308
0,299 0,300
16
1,38
1,31
1,23
0,288 0,288
0,298 0,297
0,310 0,310
8
1,45
1,21
1,26
9
1,44
1,23
1,25
0,283
0,306
0,301
0,284
0,305
0,302
...
...
...
...
30
1,38
1,31
1,23
...
...
...
0,288
0,297
0,310
Таблица 2. Временные рассогласования для сети с переменными синаптическим весами.
Литература
1. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. — М.: Изд-во БИНОМ. Лаб. знаний, 2006.
— 636 с.
2. Шабаршина, Г.В. Проведение возбуждения по кольцевой структуре нейронных клеточных автоматов / Г.В. Шабаршина // Моделирование и анализ информационных систем. — 1994. — №2. —
С. 116–121.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 541.1+612.82
А. С. Мац
Cальтаторное проведение нервных импульсов
по волокнам с разветвлениями
Предложена модель, описывающая процесс распространения волны
возбуждения по разветвляющемуся миелинизированному аксону.
Понятие о сальтаторном проведении
Нервные волокна бывают миелинизированными и немиелинизированными. Миелинизированное волокно покрыто липидным слоем,
называемым миелиновой оболочкой. Эта оболочка не сплошная: на
расстоянии 1.5–2 мм друг от друга по всей длине аксона находятся
так называемые перехваты Ранвье. В области перехватов миелиновая
оболочка отсутствует, длина каждого перехвата равна 0.5–2.5 мкм [1].
Схематичное изображение нервного волокна приведено на рисунке 1.
Перехват Ранвье
@ Миелинизированный участок
I
@
Рис. 1. Нервное волокно
Миелиновая оболочка обладает высоким электрическим сопротивлением, поэтому по аксону импульсы распространяются скачкообразно — от перехвата к перехвату. Отсюда и название — сальтаторное
(saltare — прыгать). Роль миелиновой оболочки и ее разрывов (перехватов Ранвье) в электрическом возбуждении нервного волокна продемонстрирована экспериментально. Опыты показали, что миелиновая
оболочка является хорошим изолятором и что при воздействии раздражающего тока ответ возникает только в перехватах Ранвье. Если
через перехват пропустить направленный наружу ток, превосходящий
пороговое значение (примерно 4 · 1010А), то потенциал мембраны перехвата (мембранный потенциал) изменяется почти по закону ”все
или ничего”. В результате возникает ток действия, который примерно
в 5 раз превышает пороговый. Он течет наружу через соседний перехват и возбуждает его. Многократное повторение этого процесса и
обеспечивает распространение нервного импульса вдоль волокна [2].
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
81
Сальтаторное проведение способствует значительному увеличению
скорости проведения импульса, поскольку для его проведения необходима деполяризация только в области перехватов. Скорость проведения по миелинизированным волокнам в 20–25 раз выше, чем по
немиелинизированным волокнам такого же диаметра [1].
В [3] предложена математическая модель процесса сальтаторного
проведения нервного импульса по неразветвляющемуся нервному волокну. Особый интерес представляет случай сальтаторного проведения
возбуждения по ветвящемуся аксону. Предполагается, что разветвление аксона происходит в районе перехватов Ранвье, таким образом, миелинизированные участки соседних ответвлений не могут влиять друг
на друга. Влияние на миелинизированный участок оказывают лишь
перехваты Ранвье, ограничивающие данный участок. Также следует
отметить, что в общем случае число ответвлений в районе перехватов
Ранвье может быть произвольным, в вырожденном случае возможно
всего лишь одно ответвление (рис. 1).
Описание модели
Рассмотрим участок нервного волокна, имеющий в районе перехвата Ранвье два ответвления, как показано на рисунке 2.
u1
Перехват Ранвье
v1 2
2 @
R
@
X
XX
u0
v1
uX
1 XXX
XX
XXX
X
X
v 2XX
Миелинизированный участок
2 u2
2
Рис. 2. Участок нервного волокна в месте ветвления
Участок аксона содержит четыре перехвата Ранвье и три миелинизированных участка. Мембранный потенциал крайнего левого перехвата на рисунке 2 обозначим через u10 (t), центрального перехвата
— через u11(t), правого верхнего — через u12(t) и правого нижнего —
через u22(t). Мембранные потенциалы левого, правого верхнего и правого нижнего миелинизированных участков обозначим соответственно
через v11 (t), v21(t) и v22 (t). Также для удобства проведения последующих выкладок переобозначим u0(t) = u10(t), v1(t) = v11 (t) и u1 (t) = u11 (t)
(рис. 2).
Мембранные потенциалы перехватов Ранвье и миелинизированных
участков будем отсчитывать от уровня максимальной гиперполяризации, поэтому
uji (t) ≥ 0, 0 ≤ i ≤ 2;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А. С. Мац
82
vij (t) ≥ 0,
1 ≤ i ≤ 2.
(Здесь и далее j = 1 при 0 ≤ i ≤ 1, 1 ≤ j ≤ 2 при i = 2.)
Процесс распространения нервного импульса по разветвляющемуся
аксону описывает следующая система дифференциальных уравнений:
u̇0 = λ[−1 − fN a (u0) + fK (u0(t − 1))]u0 + ε + e−λσ (v1 − u0 );
(1)
u̇1 = λ[−1 − fN a(u1) + fK (u1(t − 1))]u1 + ε + e−λσ (v1 − 3u1 + v21 + v22 ); (2)
u̇12 = λ[−1 − fN a(u12) + fK (u12(t − 1))]u12 + ε + e−λσ (v21 − u12);
(3)
v̇1 = λ(u0 − 2v1 + u1);
(5)
u̇22 = λ[−1 − fN a(u22) + fK (u22(t − 1))]u22 + ε + e−λσ (v22 − u22);
(4)
v̇21 = λ(u1 − 2v21 + u12);
(6)
v̇22 = λ(u1 − 2v22 + u22).
(7)
Здесь параметр λ 1 отражает высокую скорость протекания электрических процессов, параметр 0 < ε 1 учитывает токи утечки, проходящие через мембраны перехватов. Положительные достаточно гладкие функции fN a(u) и fK (u) монотонно убывают к нулю при u → ∞
быстрее, чем O(u−1). Они описывают состояние натриевых и калиевых
каналов мембран перехватов.
Смысл параметра σ (0 < σ < α1 ) заключается в следующем: множитель e−λσ подавляет слабые сигналы. Другими словами, перехват
может сгенерировать спайк только в случае, когда сумма значений
мембранных потенциалов миелинизированных участков, окружающих
перехват, значительно превосходит значение мембранного потенциала
перехвата.
Параметры
α = 1 + fN a (0) − fK (0) > 0,
α1 = fK (0) − 1 > 1,
α1 > α,
0 < σ < α1 ,
α2 = fN a (0) + 1 > α1 .
Число fK (0) − fN a(1) − 1 > 0 связано с пороговым значением: будем
считать, что спайк ji -го перехвата начинается в момент времени ts ,
такой что
uji (ts ) = 1, uji (t) < 1 при ts − 1 < t < ts .
Токи утечки через миелиновые оболочки не учитываются.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
83
Отметим, что система уравнений (1)–(7) имеет состояние равновесия
uji = u∗,
vij
0 ≤ i ≤ 2;
1 ≤ i ≤ 2;
ε
.
u∗ ≈
λα
= u∗ ,
Рассмотрим систему (1)–(7) с начальными условиями
u0(s) = ϕ0 (s) при s ∈ [−1, 0],
uji (s) = u∗ при s ∈ [−1, 0],
vij (0)
= u∗ ,
ϕ0(s) ∈ S;
1 ≤ i ≤ 2;
1 ≤ i ≤ 2.
Класс начальных функций S состоит из непрерывных на отрезке s ∈
[−1, 0] функций ϕ(s), удовлетворяющих условиям:
λαs/2 1
ϕ(0) = 1, 0 ≤ ϕ(s) ≤ max e
,
.
λ
Проанализируем систему (1)–(7) при λ → ∞.
Формулы, описывающие динамику мембранного потенциала нулевого
перехвата, имеют следующий вид [3]:
 λα1 (t+o(1))
e
при t ∈ [δ, 1 − δ],



λ(α
−(t−1)+o(1))
1

при t ∈ [1 + δ, 1 + α1 − δ],

e
ε + o(1)
u0 (t) =
при t ∈ [1 + α1 + δ, 2 + α1 − δ],

λα2




 ε + o(1)
при t > 2 + α1 + δ.
λα
Параметр δ (0 < δ 1) — это произвольно малое фиксированное
число. Выражение o(1) подразумевает под собой некую очень малую
величину.
Очень быстрое возрастание мембранного потенциала, начавшееся в
момент времени t = 0, в момент времени t = 1 + o(1) сменяется почти
таким же быстрым убыванием, причем, поскольку α1 > 1, длительность нисходящего участка больше, чем восходящего, что соответствует биологическим данным. После генерации спайка мембранный потенциал ”проваливается” (говорят, что мембрана находится в состоянии
гиперполяризации), а затем начинает приближаться к равновесному
значению u∗ , причем приближенное равенство u ≈ u∗ выполняется до
тех пор, пока нейрон не сгенерирует новый спайк, который может быть
вызван только внешним сигналом.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
А. С. Мац
84
Формулы, задающие мембранный потенциал первого миелинизированного участка, имеют вид [3]:
 λα (t+o(1))
e 1
при t ∈ [δ, 1 − δ],



λ(α
−(t−1)+o(1))

e 1
при t ∈ [1 + δ, t∗ − δ],



λα1 (t−τ +o(1))

при t ∈ [t∗ + δ, 1 + τ − δ],

e
λ(α1 −(t−τ −1)+o(1))
e
при t ∈ [1 + τ + δ, 1 + α1 + τ − δ],
v1(t) =
ε+o(1)


при t ∈ [1 + α1 + τ + δ, 2 + α1 − δ],

λα2


ε(α+α2 )+o(1)


при t ∈ [2 + α1 + δ, 2 + α1 + τ − δ],

2λαα2

 ε+o(1)
при t > 2 + α1 + τ + δ.
λα
Параметры τ и t∗ равны:
τ=
σ
+ o(1),
α1
α1 τ
.
α1 + 1
Отметим, что 0 < τ < 1, а 1 < t∗ < 1 + τ .
Мембранный потенциал первого миелинизированного участка имеет на рассматриваемых промежутках две точки максимума и находящуюся между ними точку локального минимума, а при достаточно
больших t приближается к равновесному значению u∗.
Применяя метод пошагового асимптотического интегрирования, получим для мембранного потенциала первого перехвата Ранвье:
t∗ = 1 +
u1(t) ≈ u0(t − τ ) при t > τ,
то есть спайк первого перехвата начинается в момент времени t =
τ + o(1), а значение мембранного потенциала первого перехвата получается временным сдвигом значений потенциала нулевого перехвата
на величину τ .
Аналогично для остальных перехватов и миелинизированных
участков получаем:
u12(t) ≈ u0(t − 2τ ) при t > 2τ ;
u22(t) ≈ u0(t − 2τ ) при t > 2τ ;
v21 (t) ≈ v1(t − τ ) при t > τ ;
v22(t) ≈ v1(t − τ ) при t > τ.
Взглянув на выражение для мембранного потенциала первого миелинизированного участка, легко заметить, что его потенциал до и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
85
после момента времени t = t∗ + o(1) с точностью до o(1) повторяет
значение мембранного потенциала соответственно нулевого и первого
перехватов, между которыми он находится. Аналогичные утверждения
верны и в отношении остальных миелинизированных участков.
Таким образом, при возбуждении нулевого перехвата Ранвье в направлении первого перехвата побежит волна импульсов (спайков), которая в первом перехвате разделится на две волны, бегущие к перехватам с номерами 12 и 22. Если возбуждается центральный (первый)
перехват, то волна распространяется в трех направлениях: к нулевому, 12-му и 22 -му перехватам. Возбуждение 12 -го или 22-го перехватов
порождает волну импульсов, распространяющуюся в сторону убывания нижних индексов перехватов и возбуждающую в центральном перехвате волну, бегущую соответственно к 22 -му или 12 -му перехватам.
При одновременном возбуждении нулевого и одного из перехватов с
номерами 12 и 22 возникнут две волны, бегущие навстречу друг другу,
возбуждающие в центральном перехвате волну, распространяющуюся
по направлению соответственно к 22 -му или 12 -му перехватам, и взаимно
погашающие друг друга при столкновении.
Сразу же после генерации спайка, когда мембрана гиперполяризована, перехват Ранвье находится в состоянии абсолютной рефрактерности. В это время никакое внешнее воздействие не может вызвать
генерацию нового спайка. Постепенно абсолютная рефрактерность
сменяется относительной. В таком состоянии только очень сильное
воздействие может вызвать спайк, при этом необходимая сила воздействия со временем уменьшается. Понятие рефрактерности является
очень важным при моделировании процессов распространения нервных импульсов, в частности именно к нему сводится обоснование отсутствия явления отражения и интерференции волн возбуждения при
их распространении по нервному волокну.
В заключение следует отметить, что полученные результаты хорошо согласуются с биологическими данными. Поэтому, на наш взгляд,
предложенная модель вполне может быть использована для описания
процесса распространения нервных импульсов по волокнам с разветвлениями.
Литература
1. Шаде, Дж. Основы неврологии / Дж. Шаде, Д. Форд. — М.:
Мир, 1976.
2. Тасаки, И. Нервное возбуждение / И. Тасаки. — М.: Мир, 1971.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
86
А. С. Мац
3. Майоров, В.В. Анализ системы сингулярно возмущенных уравнений, описывающих проведение возбуждения по нервному волокну: труды третьих колмогоровских чтений / В.В. Майоров,
С.Е. Ануфриенко. — Ярославль, 2005. — С. 175–182.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сборник научных трудов молодых ученых . . . . Вып. 11 (2010)
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Научное издание
СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ
МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
Сборник научных трудов
молодых ученых, аспирантов и студентов
Выпуск 11
Редактор, корректор М. В. Никулина
Компьютерный набор, верстка П. Н. Нестеров
Подписано в печать 01.12.2010. Формат 60×84/16.
Бум. офсетная. Гарнитура «Antiqua».
Усл. печ. л. 5.11. Уч.-изд. л. 5.0.
Тираж 70 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе
Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова.
Отпечатано на ризографе.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова.
150000, Ярославль, ул. Советская, 14.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
14
Размер файла
2 012 Кб
Теги
информатика, современные, вып, 1439, математика, проблемы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа