close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1470.Электромагнитные поля и волны Тимофеев В А

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
В.А. Тимофеев
Электромагнитные
поля и волны
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по направлению Телекоммуникации
и специальности Радиотехника
Ярославль 2008
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 537.86/.87:530.182
ББК З840я73+В336я73
Т 41
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2008 года
Рецензенты:
кафедра физики Ярославского государственного
технического университета; ведущий научный сотрудник
Ярославского филиала физико-технологического института РАН,
доктор физико-математических наук А.В. Проказников
Т 41
Тимофеев, В.А. Электромагнитные поля и волны : учеб.
пособие / В.А. Тимофеев; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль : ЯрГУ,
2008. –180 с.
ISBN 978-5-8397-0618-7
В учебном пособии с позиций классической электродинамики
излагаются физические закономерности электромагнитных полей
и волн. Рассмотрено поведение электромагнитных волн в однородных и неоднородных, изотропных и анизотропных средах.
Приведены основные закономерности взаимодействия электромагнитных волн с плоской границей раздела сред, а также подходы к решению задач дифракции. Большое внимание уделено анализу поведения поля в направляющих системах, резонаторах и вопросу излучения электромагнитных волн.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению 210400 Телекоммуникации и специальности 210302
Радиотехника (дисциплины "Электромагнитные поля и волны",
"Электродинамика и распространение радиоволн", блок ЕН,
ОПД), очной формы обучения.
Библиогр.: 11 назв.
УДК 537.86/.87:530.182
ББК З840я73+В336я73
© Ярославский
государственный
университет, 2008
ISBN 978-5-8397-0618-7
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В окружающем нас мире множество явлений и объектов с
точки зрения физики может быть описано на основе двух категорий: вещество и поле. В основе принципа, по которому проводится подобное деление, лежит тот факт, что вещество в отличие от
поля обладает инертной массой в обычном механическом смысле
этого понятия. Движение макроскопических объектов, состоящих
из вещества, описывается известными законами механики.
Изучением свойств электромагнитного поля, проявляющего
себя посредством сил, действующих на частицы вещества, обладающие электрическим зарядом, занимается электродинамика.
Классическая (макроскопическая) электродинамика приписывает электромагнитному полю только волновые свойства, а
элементарным частицам – только корпускулярные. Поля могут
накладываться друг на друга и существовать в одном и том же
пространстве, а частицы вещества не обладают этим свойством.
Электромагнитные поля и частицы взаимно проницаемы и существуют в одном и том же объеме, взаимодействуя друг с другом.
Квантовая электродинамика изучает законы микромира. При
этом свойствами материи являются единство волновой и корпускулярной природы всех микрообъектов и взаимопревращаемость
различных видов материи. Электромагнитное поле трактуется состоящим из обладающих корпускулярно-волновой природой дискретных фотонов. Фотоны не имеют массы покоя, распространяются со скоростью света в вакууме и целиком поглощаются или
излучаются атомами.
Классическая, или максвелловская, теория электромагнитного поля учитывает только макроскопические свойства вещества:
предполагается, что размеры рассматриваемой области пространства и расстояние от источников поля до рассматриваемой точки
велики по сравнению с размерами молекул, а характерное для
изменения электромагнитного поля время (например, период колебаний) велико по сравнению со временем, характерным для
внутримолекулярных колебательных процессов. На основе классической теории электромагнитного поля может быть изучен ши3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рокий круг вопросов, встречающихся в радиотехнике. Классическая теория поля не охватывает, однако, всех его свойств. За ее
пределами остаются такие явления, как излучение и поглощение
веществом электромагнитных волн очень высокой частоты (например, световых), фотоэффект и др. Строгий анализ подобных
явлений должен учитывать микроструктуру вещества и, следовательно, должен базироваться на квантовой теории поля. В пределах данного курса изучаются свойства электромагнитных полей и
волн с позиций классической теории электродинамики.
1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
1.1. Векторы электромагнитного поля
Поскольку электромагнитное поле характеризуется силами,
действующими на заряды, находящиеся в области существования
поля, а силы, в свою очередь, представляются векторами, имеется
возможность описать электромагнитное поле с помощью абстрактных математических моделей – векторных полей.
1.1.1. Векторы электрического поля
Сила взаимодействия покоящихся точечных зарядов определяется экспериментальным законом Кулона. Это позволяет ввести понятие
поля, задаваемого вектором напря электрического

женности E . Вектор E равен силе, с которой электрическое поле
действует в данный момент времени в точке наблюдения на единичный положительный заряд. Заряд q должен быть достаточно
малым, чтобы можно было пренебречь изменением распределения зарядов, создающих исследуемое поле. Более строго данное
соотношение можно представить
ввиде

E = lim F q .
(1.1)
q →0
Запись q → 0 означает, что уменьшается не только величина
заряда, но и размеры объекта, на котором распределен заряд.
Следует, однако, отметить, что размеры этого объекта должны
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
оставаться достаточно большими по сравнению с размерами атомов и молекул вещества, чтобы оставаться в рамках справедливости классической электродинамики.
Единицей измерения напряженности электрического поля в
системе СИ является вольт/м ([ E ] = В м ).
Сила взаимодействия зарядов, а следовательно, и напряженность электрического поля в различных средах различны. Физически это объясняется следующим образом. Под действием электрического поля вещество поляризуется. В результате появляется
дополнительное электрическое поле, которое налагается на первичное. При этом суммарное электрическое поле оказывается отличным от того, каким они было бы в вакууме.
Поляризация – сложный физический процесс, непосредственно связанный с атомной структурой вещества. В рамках классической электродинамики различают электронную и ориентационную поляризацию. Воздействие поля сводится к образованию
и упорядочению элементарных диполей, каждый из которых ха
рактеризуют дипольным моментом p . Дипольный момент – вектор, численно равный произведению величины заряда на расстояние между зарядами и направленный вдоль оси диполя от отрицательного заряда к положительному
 ̂
(1.2)
p = l ql .
̂
Здесь l – единичный вектор вдоль оси диполя. Размерность
дипольного момента кулон на метр ([ p ] = Кл ⋅ м ).
Внешнее электрическое поле оказывает силовое воздействие
на диполь, стремясь повернуть его таким образом, чтобы он был
ориентирован по полю. Момент сил действующих на диполь
можно представить с помощью следующего векторного соотношения

 
K = p×E .
(1.3)
Количественно поляризацию
принято описывать с помощью

вектора поляризованности P , численно равного суммарному дипольному моменту элементарного объема вещества. Математически его можно представить следующим выражением:
[
5
]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


P = lim  pi ΔV .
i
ΔV →0
(1.4)
Здесь запись ΔV → 0 означает, что элементарный объем
стремится к бесконечно малому значению, однако его размер всегда предполагается большим по сравнению с отдельной молекулой, т.е. остаются в силе законы макроскопической электродинамики.

Вектор P измеряется в кулонах на квадратный метр
([ P] = Кл м 2 ).
При не очень сильном внешнем поле величину индуцированного дипольного момента для большинства сред можно считать
пропорциональной напряженности
электрического
поля


P = ε 0 χE .
(1.5)
Входящий в формулу безразмерный параметр χ характеризует среду и называется диэлектрической восприимчивостью
среды. Постоянный коэффициент ε 0 называется электрической
постоянной. Его величина зависит от выбора системы единиц. В
системе СИ
107
ε0 =
= 8,854 ⋅ 10 −12 Ф м .
(1.6)
2
4πс
процессов удобно ввести вектор
 При рассмотрении многих

D , связанный с вектором P соотношением
 
D = ε0E + P .
(1.7)

Вектор D называется вектором электрической индукции
(электрического смещения). Он измеряется в кулонах разделить
на квадратный метр ([ D] = Кл м 2 ).
С учетом (1.5) формулу (1.7) можно представить в следующем виде


D = εaE ,
(1.8)
где величина ε a = ε 0 (1 + χ ) и называется абсолютной диэлектрической проницаемостью среды. Поскольку для вакуума χ = 0
электрическую постоянную ε 0 можно рассматривать как абсолютную диэлектрическую проницаемость вакуума. Удобно ха6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рактеризовать свойства среды с помощью относительной диэлектрической проницаемости
ε = εa ε0 .
(1.9)
При выполнении равенства (1.5) она может быть представлена через диэлектрическую восприимчивость
ε = (1 + χ ) .
(1.10)
Под действием электрического поля в среде возникает электрический ток, называемый током проводимости. Для
 его описания вводят вектор плотности тока проводимости j , определяемый как ток, протекающий через единичную элементарную площадку, расположенную перпендикулярно направлению этому току. Математически это можно записать
 в следующем виде:

j = lim ΔI ΔS ,
(1.11)
ΔS →0

где ΔI – вектор, показывающий направление тока (направление
движения положительных зарядов) и равный по величине току

проводимости, протекающему через площадку ΔS . Вектор j
часто называют также вектором объемной плотности тока проводимости. Он измеряется в амперах разделить на квадратный метр
( [ j ] = А м 2 ).
Ток проводимости связан с напряженностью электрического
поля соотношением


j = σE ,
(1.12)
которое представляет собой закон Ома в дифференциальной
форме. Коэффициент пропорциональности σ называют удельной
проводимостью среды и измеряют в сименсах разделить на метр
([σ ] = См м ).
1.1.2. Векторы магнитного поля
В отличие от электрического поля магнитное поле действует
только на движущиеся заряды. Эта сила известна под названием
силы Лоренца и математически компонента, связанная с магнитным полем, может быть
как
 представлена
 
FL = q[υ × B ] .
(1.13)
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Здесь q – элементарный точечный заряд, υ – скорость его

движения. Вектор B количественно описывает способность магнитного поля вызывать появление этой силы и называется магнитной индукцией.
Выражение
(1.13) можно рассматривать как определение век
тора B . Таким образом, магнитная индукция численно равна силе, с которой магнитное поле действует на единичный точечный
положительный заряд, движущийся
с единичной скоростью пер
пендикулярно линиям вектора B .
Магнитная индукция измеряется в теслах или, что то же самое, в веберах разделить на квадратный метр ([ B ] = Вб м 2 = Тл ).


Векторы E и B описывают проявления механических сил в
электромагнитном поле, их называют силовыми и основными
векторами электромагнитного
поля.

Величина вектора B зависит от свойств среды. Физически
это объясняется следующим образом. Под действием магнитного
поля вещество намагничивается. В результате появляется дополнительное магнитное поле, которое налагается на первичное. При
этом суммарное магнитное поле оказывается отличным от того,
каким оно было бы в вакууме.
Явление намагничивания – сложный физический процесс,
непосредственно связанный с атомной структурой вещества, и
поэтому его полное описание можно выполнить только в рамках
квантовой электродинамики. В приближении классической электродинамики упрощенно его можно представить следующим образом. Атомы и молекулы многих веществ обладают магнитным
моментом и могут быть уподоблены маленьким рамкам ΔS с током I . Каждая рамка с током, как известно, создает собственное
магнитное поле, пропорциональное магнитному моменту

̂
pm = I ⋅ S ⋅ n ,
(1.14)

размерность вектора pm – ампер, умноженный на квадратный

метр ( [ pm ] = A ⋅ м 2 ).
Под действием внешнего магнитного поля происходит ориентация магнитных моментов отдельных молекул, и суммарный
магнитный момент оказывается отличным от нуля. Образующее-
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ся в результате намагничивания дополнительное магнитное поле
может как ослаблять, так и усиливать первичное поле.
Намагниченность
среды характеризуется вектором намагни
ченности M , который определяют как суммарный магнитного
момента единичного объема
вещества


M = lim  pmi ΔV .
(1.15)
i

M
ΔV → 0
измеряется в амперах разделить на метр
Вектор
( [ M ] = А м ).
многих процессов
удобно вместо вектора
 При рассмотрении


M ввести вектор H , связанный
 с M соотношением

H = B μ0 − M ,
(1.16)
где μ 0 – постоянная величина, называемая магнитной постоянной, значение и размерность которой зависят от выбора системы
единиц. В системе СИ ее значение определяется как
(1.17)
μ 0 = 4π 10 − 7 = 1,256 ⋅ 10 − 6 ( Гн м) .

Вектор H принято называть вектором напряженности магнитного поля. Он, как и вектор M , измеряется в амперах разделить на метр ([ H ] = А м ).
При не очень сильном
внешнем магнитном поле можно счи
тать, что вектор M пропорционален вектору B . В этом случае
можно также считать пропорциональными
векторы M и H :


M = χmH ,
(1.18)
где безразмерный коэффициент χ m называют магнитной восприимчивостью среды. Для диамагнитных сред χ m < 0 , для парамагнитных и ферромагнитных – χ m > 0 . У диамагнитных и парамагнитных сред χ m << 1, у ферромагнитных – χ m >> 1.
При выполнении формулы (1.18) из выражения (1.16) получается следующая связь между векторами напряженности и индукции магнитного поля



B = μ 0 (1 + χ m ) H = μ a H ,
(1.19)


где коэффициент пропорциональности μ a между B и H называют абсолютной магнитной проницаемостью среды. В сис9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
теме СИ она измеряется в генри разделить на метр (Гн/м). Поскольку магнитная восприимчивость вакуума считается равной
нулю, поэтому магнитную постоянную μ 0 можно рассматривать
как абсолютную магнитную проницаемость вакуума.
Удобно характеризовать свойства среды с помощью относительной магнитной проницаемости
(1.20)
μ = μ a μ0 = 1 + χ m .
Необходимо
отметить важное свойство вектора напряженно
сти H . В однородных и изотропных средах вектор H не зависит
от μ . Поэтому при одинаковых источниках магнитного поля значения вектора напряженности в разных однородных изотропных
средах будут одинаковы.
1.2. Уравнения Максвелла
Для описания электромагнитных явлений в макроскопических масштабах Дж. К. Максвеллом были сформулированы уравнения, носящие его имя. Уравнения Максвелла в теории электромагнетизма играют такую же роль, как законы Ньютона в механике.
В качестве величин, характеризующих
по    электромагнитное


ле, было введено шесть векторов E , P, D, B, M и H . Так как векторы электрического поля связаны соотношением (1.7), а векторы
магнитного поля – соотношением (1.19), то для определения
электромагнитного поля можно ограничиться нахождением четырех векторов.
в качестве таких векторов используют
   Обычно

векторы E , D, B, H . В линейных изотропных средах, для которых
справедливы соотношения (1.8) и (1.19), электромагнитное поле

быть
полностью
определено
двумя
векторами
(обычно
E
может

и H ).
Первое уравнение Максвелла является обобщением закона
полного тока (закона Ампера). Оно формулируется
следующим

образом: циркуляция вектора напряженности H магнитного поля
по замкнутому контуру Γ равна полному току, пронизывающему
данный контур:
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

 
 ∂D   
H
d
l
(1.21)
=

  ∂t + j dS ,

Γ
S
 ̂
где dl = τ ⋅ dl – элемент контура, направленный по касательной к
̂
Γ , τ – орт этой касательной,
поверхность,
 S̂ – произвольная

опирающаяся на контур
 Γ , dS = n dS , n̂ – орт нормали к поверхности S , слагаемое j представляет собой плотность тока прово
димости, а ∂D ∂t – введенная Максвеллом плотность тока смещения.
Ток смещения принципиально отличается от тока проводимости. Ток проводимости – это упорядоченное движение свободных электрических зарядов. В вакууме он не существует. Ток
смещения в вакууме соответствует только изменению электрического поля и не сопровождается каким-либо движением электрических зарядов и выделением тепла.
Выражение (1.21) сформулировано применительно к контуру
конечных размеров и представляет собой первое уравнение Максвелла в интегральной форме.
В дифференциальной форме первое уравнение Максвелла
можно представить, если воспользоватьсятеоремой Стокса
 

 rotNdS =  Ndl .
Γ
S

H
интеграЗаменяя
в
уравнении
(1.21)
циркуляцию
вектора

лом от rotH по поверхности S , получаем

 
 ∂D   
(1.22)
rot
H
d
S
=

  ∂t + j dS .

S
S
Так как S – произвольная поверхность, то равенство (1.22) имеет
место только в том случае, если

 ∂D 
+ j.
(1.23)
rotH =
∂t
Это и есть первое уравнение Максвелла в дифференциальной
форме.
Второе уравнение Максвелла является обобщением закона
индукции Фарадея. Согласно этому эмпирическому закону в
замкнутом контуре, который пронизывается переменным маг-
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нитным потоком Ф, возникает ЭДС, равная скорости изменения
этого потока. Максвелл предположил, что это уравнение будет
справедливо и в том случае, когда рассматриваемый контур представляет собой замкнутую линию, проведенную в непроводящей
среде.
Поскольку электродвижущая сила, наводимая в этом контуре, определяется циркуляцией вектора
  E
ЭДС =  Edl ,
(1.24)
Γ

B
соотношением
а магнитный поток Ф связан с вектором
 
Φ =  BdS ,
(1.25)
S
второе уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид
 
d  
(1.26)
 Edl = − dt  BdS .
Γ
S
В дифференциальной форме второе уравнение Максвелла получается аналогично, как и при выводе формулы (1.23), и в принятых обозначениях имеет следующий
 вид:

∂B
rotE = − .
(1.27)
∂t
Третье уравнение Максвелла является обобщением закона
Гаусса на случай переменных процессов. Закон Гаусса связывает
поток вектора электрического смещения через произвольную
замкнутую поверхность S с зарядом Q , сосредоточенным внутри
этой поверхности:
 
D
(1.28)
 dS = Q ,
S
 ̂

где dS = n dS , а n̂ – орт внешней нормали к поверхности.
До Максвелла уравнение (1.28) рассматривалось только в
применении к постоянным полям. Максвелл предположил, что
оно справедливо и в случае переменных полей.
Заряд Q может быть произвольно распределен внутри поверхности S . Введем понятие объемной плотности свободных
зарядов
ρ = lim ΔQ ΔV ,
(1.29)
ΔV → 0
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где ΔQ – заряд, сосредоточенный в объеме ΔV . Размерность ρ –
кулон разделить на кубический метр ( [ρ ] = Кл м 3 ). В общем случае полный заряд Q , сосредоточенный в объеме V , ограниченным поверхностью S , может быть определен как
Q =  ρdV ,
(1.30)
V
и выражение (1.28) может быть представлено
в следующем виде

(1.31)
 DdS =  ρdV .
S
V
Уравнение (1.31) обычно называют третьим уравнением
Максвелла в интегральной форме. Для перехода к дифференциальной форме преобразуем левую часть этого уравнения в соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса

 
 divNdV =  NdS .
V
S
Тогда, подставляя результат в (1.31), получим равенство, которое должно выполняться при произвольном объеме V , что возможно только в том случае, если 
divD = ρ .
(1.32)
Соотношение (1.32) принято называть третьим уравнением
Максвелла в дифференциальной форме.

Из равенства (1.32) следует, что дивергенция вектора D отлична от нуля в тех точках пространства, где имеются свободные
D имеют начало (исток)
заряды. В этих точках линии вектора

или конец (сток). Линии вектора D начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных.
Четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме совпадает с законом Гаусса для магнитного поля, который можно
сформулировать
следующим образом. Поток вектора магнитной

индукции B через любую замкнутую поверхность S равен нулю,
т.е.
 
B
(1.33)
 dS = 0 .
S

Это означает, что не существует линий вектора B , которые
только входят в замкнутую поверхность S (или, наоборот, только
выходят из поверхности S ), они всегда пронизывают ее.
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнение (1.33) называют четвертым уравнением Максвелла в интегральной форме. К дифференциальной форме уравнения
можно перейти с помощью теоремы Остроградского-Гаусса так
же, как это было сделано в случае третьего уравнения Максвелла.
В результате получим четвертое уравнение Максвелла в дифференциальной форме

divB = 0 .
(1.34)
Оно показывает, что в природе отсутствуют уединенные магнитные заряды одного
 знака. Из этого уравнения также следует,
что линии вектора B (силовые линии магнитного поля) являются
непрерывными.
Из первого и третьего уравнений Максвелла вытекает важное
соотношение, называемое уравнением непрерывности. Возьмем
дивергенцию от обеих частей равенства (1.23). Учитывая, что дивергенция ротора любого вектора равна нулю, и используя уравнение (1.32), получаем

∂ρ
(1.35)
+ divj = 0 .
∂t
Данная формула выражает тот факт, что ток проводимости
обусловлен движением свободных зарядов.
Необходимо отметить, что поскольку правая часть уравнения
(1.23) представляет собой сумму плотностей тока проводимости
и тока смещения, то уравнение (1.35) эквивалентно условию равенства нулю дивергенции полного тока. Последнее означает непрерывность линий плотности полного тока, в то время как линии плотностей токов проводимости и смещения могут иметь начало и конец. Например, линии плотности тока проводимости начинаются в тех точках пространства, где плотность зарядов
уменьшается, и оканчиваются там, где плотность зарядов возрастает. Уравнение (1.35) тесно связано с законом сохранения заряда
и по существу является его дифференциальной формой.
1.3. Классификация сред.
Материальные уравнения
Выше были рассмотрены основные уравнения электродинамики. Каждое из них описывает те или иные свойства электро-
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
магнитного поля. Анализ электромагнитных процессов возможен
только на основе системы уравнений электродинамики. Такой
системой являются уравнения Максвелла. Она включает в себя
четыре вышеприведенных уравнения Максвелла (в интегральной
или дифференциальной форме). Однако в таком виде система является неполной, т.к. содержит 2 векторных и 2 скалярных уравнения. Поэтому ее необходимо дополнить системой материальных уравнений, в которых учитывается влияние среды на протекающие явления. В общем виде
 их
 можно представить так:
D = D (E ),
  
(1.36)
B = B (H ),
  
j = j (E ).
Уравнения (1.36) часто называют уравнениями состояния, а
также материальными уравнениями. По виду зависимостей можно ввести классификацию сред. Среды по макроскопическим параметрам делят на изотропные и анизотропные, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные.
Изотропной называют среду, физические свойства которой
одинаковы по всем направлениям в каждой точке среды. В среде,
изотропной по отношению к электрическому полю, элементарные электрические моменты диполей ориентированы преимущественно параллельно
   напряженности электрического поля. При
этом векторы E , P, D параллельны друг другу. Аналогичное поведение наблюдается и в среде изотропной по отношению к магнитному полю.
Линейной называют среду, физические свойства которой не
зависят от величины векторов поля. В линейной и изотропной
среде формулы (1.36) имеют следующий
вид:

D = ε a E,


(1.37)
B = μa H ,


j = σE.
Нелинейной называют среду, физические свойства которой
зависят от величины векторов поля. В нелинейной изотропной
среде параметры ε a , μ a , σ (или хотя бы один из них) зависят от
величины электрического или магнитного поля. Все реальные
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
среды, по существу, являются нелинейными средами. Однако при
не очень сильных

 полях во многих случаях зависимостью их
свойств от E и H можно пренебречь.
Однородной называют среду, физические свойства которой
одинаковы во всех ее точках. В однородной изотропной линейной
среде параметры ε a , μ a , σ не зависят от координат. Среды, у которых хотя бы один из параметров является функцией координат,
называются неоднородными.
Анизотропной называют среду, физические свойства которой
в произвольной точке различны
 по различным направлениям. В
анизотропной среде векторы E , P, D не параллельны и поэтому в

общем случае каждая составляющая
вектора
D
зависит от трех

составляющих вектора E . В декартовой системе координат это
можно представить как:
Dx = ε axx E x + ε axy E y + ε axz E z ,
D y = ε ayx E x + ε ayy E y + ε ayz E z ,
(1.38)
Dz = ε azx E z + ε azy E y + ε azz E z .
Аналогичные
выражения могут быть записаны и для векто

ров B и j . В тензорных обозначениях материальные уравнения
(1.38) можно переписать в следующем
   виде:
D = ε a E,
  
(1.39)
B = μa H ,
 
j = σE.
Обычно свойства анизотропии проявляются по какому-то одному параметру.
1.4. Классификация электромагнитных явлений.
Гармоническое поле
В общем случае система уравнений Максвелла в дифференциальной и интегральной формах имеет следующий вид:
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


 
  
D
∂

d
S
H
d
l
=
+

 j dS ,

  ∂D 
Γ
S ∂t
S
rotH = ∂t + j , 
 
∂B 



rot
E
d
l
=
−

 dS ,
∂B
 

(1.40)
S ∂t
 rotE = − ,
 Γ
∂
t
 



D
 dS =  ρdV ,

 divD = ρ ,
S
 V
 divB = 0,


 BdS = 0.

S
С учетом материальных уравнений (например, (1.37)) она охватывает всю совокупность электромагнитных явлений, относящихся к макроскопической электродинамике.
В ряде частных случаев уравнения Максвелла существенно
упрощаются. Рассмотрим их. Самым простым является случай,
когда поле не зависит от времени
 и, кроме того, отсутствует перемещение заряженных частиц ( j = 0 ). При этих условиях система (1.40) распадается на две независимые системы:

rotE = 0,
 
(1.41)
divD = ρ ,


D
E
=
ε
a ,


rotH = 0,
 
(1.42)
divB = 0,


B
=
H
μ
a .

Это означает, что в данном случае электрические и магнитные явления независимы.
Явления, описываемые системой уравнений (1.41), принято
называть электростатическими. Электростатические поля – это
поля, созданные неподвижными, неизменными по величине зарядами. Система уравнений (1.41) является полной системой дифференциальных уравнений электростатики.
Уравнения (1.42) характеризуют поля, создаваемые постоянными магнитами. Они также могут быть использованы для анализа свойств магнитного поля, созданного постоянными токами в
области, в которой плотность тока проводимости равна нулю. Яв17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ления, описываемые системой (1.42), называют магнитостатическими, а соотношения (1.42) – уравнениями
магнитостатики.

При наличии постоянного тока ( j ≠ 0 ) электрическое и магнитное поля уже нельзя считать независимыми. Электромагнитное поле, созданное постоянными токами, называют стационарным электромагнитным полем. Система уравнений Максвелла в
этом случае принимает вид:
 

rotH = j , rotE = 0,

 
(1.43)
div
D
div
B
,
=
= 0,
ρ

 
 


D
E
B
H
j
E
,
,
.
=
=
=
ε
μ
σ
a
a

В дальнейшем мы не будем рассматривать поля, описываемые формулами (1.41) – (1.43).
В общем случае используют полную систему уравнений
Максвелла (1.40). На основе ее анализа можно сделать ряд выводов относительно свойств электромагнитного поля. Электрическое и магнитное поля тесно связаны между собой. Всякое изменение одного из них вызывает изменение другого. Независимое
существование одного поля без другого возможно только в статическом случае. Источниками электромагнитного поля являются
заряды и токи. Магнитное поле всегда вихревое, электрическое
поле может быть и вихревым, и потенциальным и в общем случае
представляет собой суперпозицию таких полей. Чисто потенциальным электрическое поле может быть только в статическом
случае. Векторные линии электрического поля могут иметь истоки и стоки. Векторные линии магнитного поля (и линии вихревого электрического поля) всегда непрерывны. Уравнения, входящие в полную систему уравнений Максвелла (1.40), являются линейными уравнениями. Поэтому можно утверждать, что электромагнитные поля удовлетворяют принципу суперпозиции: поле,
созданное несколькими источниками, можно рассматривать как
сумму полей, созданных каждым источником.
Рассмотрим случай, когда зависимость поля от времени носит гармонический характер. Все реальные электромагнитные
процессы можно представить в виде непрерывного спектра гармонических колебаний. Поэтому изучение гармонических во
времени электромагнитных полей представляет большой практи18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ческий и теоретический интерес. Такие поля часто называют
также монохроматическими. В этой ситуации удобно ввести понятие комплексной амплитуды, что позволяет существенно упростить систему уравнений Максвелла.
Любая действительная часть комплексного числа может быть
представлена как
 
 
1  
(1.44)
E (r , t ) = E (r , t ) + E ∗ (r , t ) .
2
Здесь ∗ означает знак комплексного сопряжения. Очевидно,
что в случае гармонического поля имеет место формула:

 
E (r , t ) = E m (r ) ⋅ exp(− iωt ) ,
(1.45)
 
 
где комплексная величина E (r ) = E (r ) exp(iϕ ) называется ком-
[
]
m
m
плексной амплитудой.
Если подставить выражения типа (1.44) в уравнения Максвелла, то они принимают следующий вид:

 


rotH = −iωD + j , rotE = iωB ,
 

divD = ρ ,
divB = 0,
(1.46)





D = ε a E,
B = μa H ,



j = σE .

Для комплексных амплитуд получается аналогичная система





rotH m = −iωD m + jm , rotE m = iωB m ,
 

divD m = ρ m ,
divB m = 0,
(1.47)




 D m = ε a E m ,
B m = μ a H m ,



=
j
σ
E

m
m.
1.5. Волновой характер
электромагнитного поля
Проанализируем теперь зависимость характеристик электромагнитного поля от пространственных переменных. Пусть для
простоты среда будет однородной и изотропной. Рассмотрим область, в которой отсутствуют свободные заряды, т.е. ρ = 0 , а
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
также будем интересоваться установившимися процессами. В
этом случае система уравнений Максвелла принимает вид:


 
∂E
ε
σ
=
+
,
rot
H
E
a

∂
t



∂H

,
(1.48)
 rotE = − μ a
∂
t


divE = 0,



divH = 0.

Исключим из (1.48), например, вектор H , для чего второе уравнение векторно умножим на ∇ . В результате после векторных

преобразований получим следующее уравнение для вектора E :



∂E
∂2E
= 0.
(1.49)
ΔE − μ aε a 2 − μ a σ
∂t
∂t
Пусть σ = 0 (среда – чистый диэлектрик), тогда получим так
называемое волновое уравнение или однородное уравнение Даламбера:



 1 ∂2E
∂2E
(1.50)
ΔE − μ aε a 2 = ΔE − 2 2 = 0 ,
υ ∂t
∂t
где Δ – оператор Лапласа, υ = 1 μ aε a = c εμ – так называемая
фазовая скорость волны.

Такому же волновому уравнению удовлетворяет

 и вектор H .
Отметим, что решения этих уравнений для E и H не являются
независимыми.
Волновой характер изменения параметров поля в пространстве присущ не только электромагнитному полю, но и характерен
для акустических процессов в жидкости, газе, твердых телах и
ряда других. Базовым уравнением для их описания является волновое уравнение типа (1.50). В случае гармонических полей из
(1.50) можно получить следующее уравнение:


ΔE + k 2 E = 0 ,
(1.51)
2
2
2
где k = ω υ . Уравнение (1.59) называется уравнением Гельмгольца или приведенным волновым уравнением, которое описывает распространение гармонической волны. Очевидно, что для
комплексной амплитуды имеет место аналогичное выражение.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.5.1. Плоские электромагнитные волны
В общем случае электромагнитное поле может иметь различные виды и зависимость от временной и пространственных переменных. Далее будем для простоты
анализировать скалярную за
дачу, т.е. проекцию вектора E на какую-либо ось.
Рассмотрим сначала частный случай одномерной волны, т.е.
волны, у которой все характеристики зависят от времени t и одной координаты z (декартова система координат):
E = E (z, t ) .
(1.52)
Эта форма записи свидетельствует о том, что величина E в
любой момент времени t принимает одинаковые значения на
системе параллельных плоскостей ( z = const ), причем значения
E на разных плоскостях будут, вообще говоря, различны и с течением времени они изменяются. Если зависимость E от z представляет собой функцию с периодически изменяющимися максимумами и минимумами, расположение которых различно в различные моменты времени, то процесс (1.52) является волновым, а
функция E называется плоской волной.
Рассмотрим частный случай плоской волны, когда переменные входят через линейную комбинацию
E = E (kz − ωt ) ,
(1.53)
где k , ω – некоторые произвольные константы.
Рассмотрим пространственный профиль волны. Пусть t = t0 ,
тогда
(1.54)
E = E (kz − ωt0 ) = E (k ( z − υt0 )) ,
где υ = ω k . Если же t = t0 + Δt , то
E = E (k ( z − υt0 − υΔt )) .
(1.55)
На рис. 1.1 представлены зависимости (1.54) и (1.55). Они
отличаются друг от друга лишь смещением вправо на Δz = υΔt .
Очевидно, что параметр υ характеризует скорость волны. Таким
образом, формула (1.53) соответствует волне, распространяющейся вдоль оси z в сторону положительных значений со скоростью υ .
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1.1. Пространственный профиль волны
Рассмотрим временной профиль. Пусть z = z0 , тогда
E = E (kz0 − ωt ) = E (− ω (t − z0 υ )) .
(1.56)
Если же z = z0 + Δz , то
E = E (− ω (t − z0 υ − Δz υ )).
(1.57)
Полученные две зависимости приведены на рис. 1.2. График
(1.56) точно воспроизводит (1.57) с опозданием на время
Δt = Δz υ .
Рис. 1.2. Временной профиль волны
Аналогичным образом можно убедиться, что выражение
E = E (− kz − ωt )
(1.58)
описывает плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси z в
отрицательном направлении со скоростью υ . Волны (1.53) и
(1.58) называются бегущими плоскими волнами.
В электродинамике особую роль играют гармонические волны, т.е. с периодическим видом зависимости типа:
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
E = ACos (kz − ωt ) .
(1.59)
Рассмотрим основные параметры гармонических волн. Величина A , которая соответствует максимальному значению E , называется амплитудой волны. Расстояние между двумя соседними
максимумами или минимумами E (пространственный профиль)
называется длиной волны λ . Расстояние между двумя соседними
максимумами или минимумами E (временной профиль) называется периодом волны T . Очевидно, что
T =λ υ.
(1.60)
Часто вместо периода волну характеризуют частотой f , которая однозначно связана с другими параметрами:
f = 1 T = ω 2π .
(1.61)
Постоянная k в (1.59) называется волновым числом. Она может быть определена исходя из периодичности волны. Рассмотрим пространственный профиль при t = 0 . Тогда
E ( z ) = E ( z + λ ) = ACos (kz ) = ACos (k ( z + λ )) .
Откуда следует, что
k = 2π λ .
(1.62)
Аргумент косинуса в (1.59) называется фазой волны. Она зависит от начала отсчета и определена с точностью до 2π .
Если зафиксировать фазу в момент времени t на расстоянии
z от начала координат, то за время Δt точка с этой фазой переместится на расстояние Δz . Тогда из равенства фаз
kz − ωt = k ( z + Δz ) − ω (t + Δt )
следует, что
υ = Δz Δt = ω k .
(1.63)
Таким образом, скорость волны υ , которая входит в волновое
уравнение, характеризует скорость распространения поверхности
равных фаз и поэтому называется фазовой скоростью.
Рассмотрим трехмерный случай. Пусть волна распространяется в направлении, которое характеризуется единичным векто
ром m̂ (см. рис. 1.3). Тогда по аналогии с формулой (1.52) плоская волна может быть представлена следующим выражением:
E = E (ξ , t ) ,
(1.64)
 ̂
где ξ = r m = mx x + m y y + mz z .
( )
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В этом случае волновое уравнение (1.50) для скалярной величины принимает вид:
∂2E 1 ∂2E
−
= 0.
∂ξ 2 υ 2 ∂t 2
(1.65)
Рис. 1.3. Однородная плоская волна
Выражение (1.65) является одной из двух канонических форм
волнового уравнения для плоской волны. Если от переменных ξ
и t перейти к новым переменным
ζ = ξ − υt , ς = ξ + υt ,
(1.66)
то вторая каноническая форма волнового уравнения для плоской
волны принимает вид:
∂2E
= 0.
(1.67)
∂ζ∂ς
Решение последнего уравнения (и соответственно (1.65))
можно записать как:
E (ξ , t ) = E1 (ζ ) + E2 (ς ) = E1 (t − ξ υ ) + E2 (t + ξ υ ).
(1.68)
Здесь E1 и E2 произвольные функции. В любой фиксированный
момент времени они принимают постоянные значения в плоскости, которая определяется соотношением:
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(r m̂ ) = ξ = const .
(1.69)
Эта поверхность (равных фаз) перемещается в направлении, оп
ределяемом единичным вектором m̂ , со скоростью ± υ , то есть
выражение (1.68) описывает распространение двух плоских волн
со скоростью υ , но в противоположном направлении.
В случае гармонического поля комплексные амплитуды E m1
и E m 2 подчиняются уравнению Гельмгольца
d 2 E m1, 2 (ξ ) ω 2
+ 2 E m1, 2 (ξ ) = 0 .
(1.70),
2
υ
dξ
Решение последнего уравнения можно представить в виде
E m1, 2 = A1, 2e ± ikξ ,
(1.71)
где k = ω υ . В декартовой системе координат фаза гармонической плоской волны может быть представлена
в виде:

kξ = k r ,
(1.72)


̂
где k = km . Для действительного
волнового вектора k уравнение

поверхности равных фаз k r = const совпадает с поверхностью
равных амплитуд. Такая волна называется плоской однородной
волной. Однако можно показать, что при определенных условиях
поверхности равных фаз могут не совпадать с поверхностями
равных амплитуд. Такие волны называют плоскими неоднородными волнами.
Покажем принципиальную возможность существования плоских неоднородных волн. Пусть среда не обладает поглощением,
а функции E1, 2 удовлетворяют уравнению (1.70), в том числе и в
случае, когда волновой векторкомплексен,
т.е.


k = k ′ + ik ′′ ,
(1.73)
но по-прежнему его квадрат определяется соотношением между
частотой и фазовой скоростью.
2  2  2

k = k ′ − k ′′ + 2ik ′k ′′ = ω 2 υ 2 .
Тогда
2  2

2
2
′
′
′
k − k = ω υ и k ′k ′′ = 0 .
(1.74)
Решение волнового уравнения имеет вид:
( )
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

 
E1, 2 = A1, 2ei (± k ′r −ωt )e − k ′′r .
(1.75)
Уравнение поверхности равных фаз в фиксированный момент
времени имеет вид:
 
k ′ r = const ,
а поверхности равных амплитуд:

k ′′r = const .
То есть поверхность равных амплитуд не совпадает с поверхностью равных фаз. С учетом соотношений (1.74) они перпендикулярны друг другу. Волна, определяемая выражением
(1.75), описывает плоскую неоднородную волну.
1.5.2. Сферические волны
Волновому уравнению могут удовлетворять волны различных типов. Для целого ряда задач целесообразно использовать
так называемые сферические волны (классическая задача – точечный источник).
При описании таких задач удобно использовать сферическую систему координат. В этом случае выражение для оператора
Лапласа имеет вид:
∂2
∂ 
∂ 
1 ∂ 2 ∂
1
1
Δ = 2 r
.
+ 2
 Sinθ
+ 2 2
2
θ
θ
∂
∂
∂
∂
r
r
r

 r Sinθ

 r Sin θ ∂ϕ
Рассмотрим частный случай, когда исследуемая величина не
зависит от угловых координат (сферическая симметрия). Сделаем
замену переменных


E ( r , t ) = U (r , t ) r .
(1.76)
Тогда получим уравнение для U :
∂ 2U 1 ∂ 2U
−
= 0.
(1.77)
∂r 2 υ 2 ∂t 2
Сравнение его с выражением (1.65) позволяет представить
частное решение в виде:
U = U (t − r υ ) .
Поэтому решение для E в соответствии с (1.68) запишется
как:
E = U (t − r υ ) r .
(1.78)
Уравнение поверхности равных фаз
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1.79)
t − r υ = const  r = υ (t − t0 ) ,
что соответствует сфере, которая расширяется с течением времени со скоростью υ . Амплитуда волны убывает как 1 r . Поэтому
поверхность равных амплитуд совпадает с поверхностью равных
фаз.
Простейшая гармоническая сферическая волна по аналогии с
плоской волной может быть представлена выражением:
E = Ae i (k r − ωt ) r .
(1.80)
Общее выражение для гармонической сферической волны
можно получить из волнового уравнения методом разделяющихся переменных. Представим его решение в виде:
E = E (r , θ , ϕ , t ) = R(r )Θ(θ )Φ(ϕ )e − iω t .
(1.81)
Тогда из волнового уравнения можно получить уравнение
Гельмгольца вида:
∂ 
∂Θ 
∂ 2Φ
1 ∂  2 ∂R 
1
1
2
+
r
Sin
+
+
k
= 0.
θ




∂θ  Φr 2 Sin 2θ ∂ϕ 2
Rr 2 ∂r  ∂r  Θr 2 Sinθ ∂θ 
(1.82)
Оно должно выполняться при всех значениях переменных.
Поэтому его можно разделить на два уравнения, предварительно
умножив на r 2 :
∂ 
∂Θ 
∂ 2Φ
1
1
= n(n + 1) ,
(1.83)
 Sinθ
+
ΘSinθ ∂θ 
∂θ  ΦSin 2θ ∂ϕ 2
1 ∂  2 ∂R  2 2
(1.84)
 + k r = −n(n + 1),
r
R ∂r  ∂r 
где n – некоторая произвольная (целая, как оказывается в дальнейшем) константа.
Рассмотрим первое из них. Поскольку, как и в выражении
(1.82), переменные и функции, зависящие от них, разделяются,
(1.83) можно представить двумя уравнениями:
1 ∂ 2Φ
2
=
−
m
,
(1.85)
Φ ∂ϕ 2
∂Θ 
Sinθ ∂ 
2
2
(1.86)
 Sinθ
 − n(n + 1)Sin θ = m ,
Θ ∂θ 
∂θ 
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где m – произвольная константа.
Частное решение уравнения (1.85) есть
Φ m = amCos (mϕ ) + bm Sin(mϕ ) .
(1.87)
Так как Φ m (ϕ ) = Φ m (ϕ + 2π ) , то m – целое число.
Частное решение уравнения (1.86) можно представить через
присоединенные функции Лежандра:
Θ mn (μ ) =
m
2 2
1− μ
(
)
d m Pn (μ )
,
m
dμ
(1.88)
где μ = Cosθ , а Pn ( μ ) – многочлен Лежандра целой степени n .
Решение уравнения (1.84) можно выразить через функции
Бесселя:
(1.89)
Rn = cn jn (kr ) + d n nn (kr ) ,
где jn (x) и nn (x) – сферические функции Бесселя и Неймана.
Общее решение тогда имеет вид:
E =  Cmn Rn (kr )Θ mn (θ )Φ m (ϕ )e − iωt .
(1.90)
n
m
Входящие в него константы Cmn определяются из соответствующих граничных условий.
1.5.3. Цилиндрические волны
Для ряда задач полезно использовать цилиндрические волны
(например, линейный источник). При их описании целесообразно
перейти к цилиндрической системе координат. В этом случае
оператор Лапласа принимает вид:
1 ∂  ∂  1 ∂2
∂2
Δ=
+
.
ρ
+
ρ ∂ρ  ∂ρ  ρ 2 ∂ϕ 2 ∂z 2
Тогда решение волнового уравнения в случае гармонической
волны можно найти также методом разделяющихся переменных.
Представим его в виде:
E = R(ρ )Φ(ϕ )e − iωt .
(1.91)
Уравнение Гельмгольца в этом случае можно записать как:
1 ∂  ∂ ( RΦ )  1 ∂ 2 ( RΦ )
2
+
(1.92)
k
RΦ = 0 .
 ρ
 + 2
2
ρ ∂ρ 
∂ρ  ρ
∂ϕ
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Как и при рассмотрении сферических волн, выражение (1.92)
допускает разделение его на два уравнения:
1 ∂ 2Φ
(1.93)
= −m 2 ,
2
Φ ∂ϕ
∂  ∂R 
ρ  ρ  + k 2 ρ 2 − m 2 R = 0 ,
(1.94)
∂ρ  ∂ρ 
где m – произвольная константа.
Частные решения (1.93) и (1.94) имеют вид:
Φ m = amCos (mϕ ) + bm Sin(mϕ ) ,
(1.95)
(
)
Rm = cm H m(1) (kρ ) + d m H m(2 ) (kρ ) ,
(1.96)
где H m(1) ( x) и H m( 2) ( x) – функции Ганкеля первого и второго рода.
Асимптотическое поведение функций Ганкеля таково, что
при больших значениях аргумента фазовый множитель имеет вид
e ± ikρ , а амплитуда пропорциональна 2 πkρ . Общее решение
представляет собой сумму частных.
Очень часто простейшую цилиндрическую волну представляют в виде:
(1.97)
E (ρ , t ) = Ae i (kρ − ω t ) ρ .
Она удовлетворяет волновому уравнению при ρ >> 1. Поверхности равных фаз и равных амплитуд совпадают и имеют
вид концентрических цилиндров с осью z , причем величина амплитуды убывает с расстоянием как 1 ρ .
1.6. Сторонние источники.
Полная система уравнений Максвелла
Все реальные среды имеют отличающуюся от нуля проводимость. Поэтому всякое электромагнитное явление в среде сопровождается релаксацией – энергия электромагнитного поля переходит в тепло, происходит ее диссипация (рассеяние). Таким образом, для возбуждения электромагнитного поля и компенсации
потерь энергии на нагревание среды необходимы сторонние источники.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для упрощения реальной электродинамической задачи удобно исключить из рассмотрения реальные источники электромагнитного поля. Для учета их влияния во многих случаях реальные
источники заменяют введением некоторых токов и зарядов, которые и рассматриваются как первопричина возникновения электромагнитного поля и считаются заданными. Эти токи и заряды
принято называть сторонними. Они участвуют в возбуждении
поля, однако создаются они другими причинами или иным электромагнитным полем и считаются известными. Если этого не делать и каждую проблему рассматривать во всей ее полноте, то
любая конкретная задача становится трудноразрешимой.
Для учета сторонних токов следует первое уравнение Максвелла представить в виде

 ∂D  
+ j + jст ,
(1.98)
rotH =
t
∂

где jст – плотность сторонних токов в рассматриваемой точке

пространства, a j , как и прежде, плотность тока проводимости.
Аналогично сторонним токам вводится понятие сторонних
зарядов. Они учитываются в третьем
уравнении Максвелла:

divD = ρ + ρ ст ,
(1.99)
где ρ ст – объемная плотность сторонних зарядов.

В случае переменных полей функции jст и ρ ст связаны
уравнением непрерывности

∂ρ ст
+ divjст = 0 .
(1.100)
∂t
При введении сторонних электрических токов и зарядов подвергаются изменениям правые части первого и третьего уравнений Максвелла. Подобные рассуждения могут быть приведены
также в отношении второго и четвертого уравнений
Максвелла.

Например, правую часть второго уравнения ∂B ∂t можно рассматривать как плотность магнитного тока смещения в среде. Тогда по аналогии со сторонним электрическим током можно форМ
мально ввести понятие стороннего магнитного тока jст
и второе уравнение Максвелла примет вид
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


∂B  М
− jст .
(1.101)
rotE = −
∂t
Из приведенного равенства следует, что сторонние магнитные
токи так же, как и переменное магнитное поле, создают вихревое
электрическое поле, силовые линии которого охватывают линии

М
вектора ∂B ∂t + jст
.
Аналогично для четвертого уравнения Максвелла можно ввести понятие сторонних магнитных зарядов:

М
,
(1.102)
divВ = ρ ст
М
где ρ ст
– объемная плотность сторонних магнитных зарядов.
Очевидно, что введенные магнитные величины связаны
уравнением непрерывности, т.е. имеет место равенство
М
М
∂ρ ст
+ divjст = 0 .
(1.103)
∂t
Следует отметить, при введении фиктивных магнитных зарядов и токов необходимо иметь в виду, что в природе нет свободных магнитных зарядов подобно электрическим, а соответственМ
но, нет и магнитных токов. Однако использование понятий jст
и
М
оказывается полезным и плодотворным при решении многих
ρ ст
электродинамических задач. Например, для исследования щелевых и рамочных излучателей, для анализа возбуждения электромагнитных волн в волноводах, резонаторах и ряде других приложений.
Таким образом, полная система уравнений Максвелла, учитывающая сторонние электрические и магнитные источники,
имеет вид



  ∂D  
∂B  М
− jст ,
+ j + jст , rotE = −
rotH =
(1.104)
∂
t
∂
t
 

М
divD = ρ + ρ ,
.
divB = ρ ст
ст

31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.7. Баланс мощности электромагнитного
поля. Вектор Пойнтинга
Поскольку электромагнитное поле – одна из форм существования материи, оно должно обладать энергией. Эта энергия может распространяться в пространстве и преобразовываться в другие формы энергии.
Рассмотрим некоторый объем V , ограниченный поверхностью S и заполненный однородной средой. Предположим, что
внутри его находятся сторонние источники. Из общих физических представлений следует, что мощность, выделяемая сторонними источниками, может расходоваться на нагревание (джоулевы потери), на изменение энергии электромагнитного поля внутри V , а также может частично рассеиваться, уходя в окружающее
пространство через поверхность S . Поэтому уравнение баланса
можно записать в следующем виде:
(1.105)
Pст = PТ + PЭМ + PΣ ,
где Pст – мощность сторонних источников, PT – мощность джоулевых потерь внутри объема V , PЭМ = dW dt – мощность, расходуемая на изменение энергии в объеме V , W – энергия электромагнитного поля, сосредоточенного в объеме V , PΣ – мощность, проходящая через поверхность S .
Для того чтобы определить величины, входящие в (1.105),
рассмотрим систему уравнений Максвелла
(1.104). Если первое


уравнение умножить скалярно на E , а второе уравнение – на H и
вычесть их друг из друга и использовать
 равенство

 

div A × B = B ⋅ rotA − A ⋅ rotB ,
то получим следующее равенство:


    ∂D  ∂B   
 
М 
 + ( j E ) + jст E + jст
H .
− div E × H =  E
+H
t
t
∂
∂


После переноса слагаемых,
со сторонними источ связанных

никами, в левую часть, а div[E × H ] – в правую, получим


 
 
М 
    ∂D  ∂B 
 + div[ E × H ] . (1.106)
− jст E + jст H = ( j E ) +  E
+H
∂t 
 ∂t
[
((
[
]
) (
))
]
(
32
) (
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выражение (1.106) называют теоремой Пойнтинга о балансе
мощности электромагнитного поля в дифференциальной форме.
Проинтегрируем полученное соотношение по объему V , содержащему все источники сторонних токов, которые учитывались в уравнениях Максвелла. При нахождении интегралов воспользуемся теоремой Остроградского – Гаусса. В результате получим следующее соотношение:


  
 
M 

  ∂D  ∂B 
dV +  [ E × H ]dS
−  jст E + jст H dV =  ( j E )dV +   E
+H
∂t
∂t 
V
V
V
S
(1.107)
Полученное выражение называют теоремой Пойтинга о балансе мощности электромагнитного поля в интегральной форме.
Рассмотрим члены, входящие в выражение (1.107), и сопоставим их с членами выражения (1.105). Первый интеграл в правой части можно трактовать как мощность джоулевых потерь.
Это явно следует, если среда является однородной и изотропной.
В этом случае
2

(1.108)
PT =  ( j E )dV =  σ E dV .
((
) (
))
V
V
Подынтегральное выражение в этой формуле представляет
собой известный закон Джоуля – Ленца, определяющий мощность тепловых потерь в единице объема. Для среды без проводимости PT = 0 . Поэтому соотношение (1.108) можно рассматривать как обобщенный закон Джоуля – Ленца, справедливый для
проводящего объема V произвольной формы.
Члены, стоящие в левой части выражения (1.107), отличаются от первого слагаемого в правой части только тем, что в подын
тегральное выражение вместо плотности тока проводимости j

M
. Поэтому их можно
входят плотности сторонних токов jст и jст
трактовать как мощность, которая отдается источниками в объеме V
 
М 
(1.109)
Pст = −  ( jст E ) + jст
E dV .
V
(
(
))
Наличие знака минус в (1.109) вызвано тем, что для отдачи

сторонними токами энергии электромагнитному полю векторы E
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

и H должны быть направлены противоположно векторам плот
M
ности сторонних токов jст и jст
. Поэтому левая часть равенства
(1.107) будет положительной величиной.
Второй член правой части равенства (1.107) представляет собой мощность, расходуемую на изменение энергии электромагнитного поля в объеме V ,


  ∂D  ∂B 
dV .
PЭМ =   E
(1.110)
+H
t
t
∂
∂

V
Физический смысл приведенного соотношения легко понять, если рассмотреть случай однородной изотропной среды. Тогда подынтегральные выражения можно записать как:
2



 ∂D  ∂ (ε a E ) ∂  εε 0 E  ∂wE ( r , t )
=E
= 
=
E
,
∂t  2 
∂t
∂t
∂t


(1.111)

2


 ∂B  ∂ ( μa H ) ∂  μμ0 B  ∂wH ( r , t )
H
=H
= 
=
,
∂t
∂t
∂t  2 
∂t


где wE и wH – объемные плотности энергии электрического и
магнитного полей. Мгновенное значение энергии поля, сосредоточенного в рассматриваемом объеме, определяется так:
2
2 

W (t ) =   ε a E 2 + μ a H 2 dV =  (wE + wH )dV =  wdV .


V
V
V
(1.112)
Таким образом, второй член правой части равенства (1.107)
представляет собой скорость изменения энергии и соответствует
второму слагаемому в (1.105).
Рассмотрим третий член правой части уравнения баланса
мощности. Введем вектор 
 
П = [E × H ] .
(1.113)
Данный вектор называется вектором Пойнтинга или вектором Умова – Пойнтинга. Для определения физического смысла
поверхностного интеграла в уравнении (1.107) предположим, что
в объеме V отсутствуют потери и, кроме того, величина электро34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
магнитной энергии остается постоянной (W = const ). Тогда уравнение баланса мощностей принимает
  следующий вид:
(1.114)
Pст =  ПdS .
S
Из физических представлений следует, что в данном случае
вся мощность сторонних источников должна уходить в окружающее пространство ( Pст = PΣ ). Следовательно, правая часть
уравнения (1.114) равна потоку мощности через поверхность S
(пределу отношения количества энергии, проходящей через S за
время Δt при Δt → 0 ), т.е.
 
(1.115)
PΣ =  ПdS .
S


Действительно, исходя из размерности векторов E и H , вектор Пойнтинга измеряется в ватах разделить на квадратный метр
( [П ] = В ⋅ А м 2 = Вт м ). В соответствии с определением он пер

пендикулярен векторам E и H и направлен в сторону распространения энергии.
Поскольку при анализе электродинамических задач используют комплексное представление величин, рассмотрим уравнение
баланса мощности в комплексном виде.
Для гармонических величин комплексный вектор Пойнтинга
может быть определен как:
 1  
(1.116)
П = E × H ∗ ,
2
при этом среднее (по времени) значение определяется через дей
ствительную часть П , т.е.


П = Re П .
(1.117)
[
]
Для того чтобы получить уравнение баланса мощностей в
комплексном виде, воспользуемся уравнениями Максвелла для
гармонического поля с учетом сторонних токов. Если уравнение,
комплексно сопряженное
первому уравнению Максвелла, ска
лярно умножить
 на E , а второе уравнение Максвелла скалярно
умножить на H и вычесть полученные результаты друг из друга,
получим следующее соотношение:





 

 ∗
 M
E ⋅ rotH ∗ − H ∗ ⋅ rotE = iω E D ∗ − H ∗ B + Ej ∗ + Ejст
− H ∗ jст
.
(( ) ( )) ( ) ( ) (
35
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Применяя выражение для дивергенции векторного произведения векторов и учитывая формулу (1.116), получим уравнение
баланса мощностей в дифференциальной форме
 1
  1 

1  ∗
1  M
. (1.118)
− divП = iω E D ∗ − H ∗ B + Ej ∗ + Ejст
− H ∗ jст
2
2
2
2
Проинтегрировав полученное выражение по объему V и воспользовавшись формулой Остроградского – Гаусса, найдем уравнение баланса мощностей в интегральной форме
 ∗
  M
1
−  Ejст
− H ∗ jст
dV =
2V

 
 
1 
1
=  Ej ∗ dV + iω  E D ∗ − H ∗ B dV +  П dS . (1.119)
2V
2 V
S
В случае однородной изотропной среды это выражение можно переписать как:
 

(1.120)
Pст = PТ +  ПdS + i 2ω (WE − WH ) ,
(( ) ( )) ( ) ( ) (
(( ) (
( )
(( ) ( ))
)
))
S
где по аналогии
комплексная
 ∗
1
Pст =  Ejст
−
2V
с комплексным вектором Пойнтинга введена
мощность
сторонних
источников
  M
H ∗ jст
dV и действительные величины –
))
(( ) (
( )
 2
1  ∗
1
джоулевы потери PT =  Ej dV =  σ E dV и энергия элек2V
2V
2
2
1
1
тромагнитного поля WE − WH =  ε a E dV −  μa H dV .
4V
4V
Выделим в (1.101) действительную и мнимую части.
 
 



Re Pст = Pст = PТ +  ПdS , Im Pст =  Im ПdS + 2ω (WE − WH ).
S
S
(1.121)
Первое из этих уравнений показывает, что средняя мощность источника тратится на джоулевы потери и на создание электромагнитного поля за пределами объема V . Второе из уравнений показывает, что сторонний источник реактивную мощность расходует
на создание запасов мощности в объеме V и создание потока реактивной мощности через границу этого объема. Если потока
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мощности через поверхность S и потерь в V нет, то даже при
Pст = 0 возможны колебания энергии в объеме, так как энергия
электрического поля переходит в энергию магнитного поля при
WE = WH и наоборот.
Вопросы для самоконтроля
1. Какими параметрами характеризуется электромагнитное
поле?
2. Какими параметрами характеризуются среды? Приведите
классификацию сред.
3. Запишите систему уравнений Максвелла в дифференциальной и интегральной формах. Раскройте физический смысл каждого из уравнений.
   
 4. Что можно сказать о направлении векторов E , H , D , B ,
j в однородной среде?
5. Что характеризует комплексная амплитуда для векторов
электромагнитного поля?
6. Приведите систему уравнений Максвелла для гармонического поля.
7. Дайте определение плоской, сферической и цилиндрической волн. Приведите простейшие выражения для этих волн.

M M
8. Что такое ρ ст , jст ? Существуют ли ρ ст
, jст в диэлектрике?
9. Приведите систему уравнений Максвелла с учетом сторонних источников.
10. Запишите теорему Умова – Пойнтинга в дифференциальной, интегральной формах и в терминах плотностей энергии и
мощностей.
11. Что характеризует вектор Пойнтинга? Запишите его определение в вещественной и комплексной формах. Изобразите
вектор Пойнтинга для волны в свободном пространстве.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
В ОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
Рассмотрим основные особенности электромагнитных волн в
однородных изотропных средах. Данная задача предполагает, что
свойства среды характеризуются скалярными величинами
ε , μ , σ . Предполагается, что эти электродинамические характеристики не изменяются во времени и пространстве.
2.1. Плоские электромагнитные волны
в однородных изотропных средах
Выполним анализ поля в области пространства, свободной от
источников электромагнитного поля. Уравнения Максвелла для
рассматриваемого случая имеют следующий вид:




∂E
ε
σ
=
+
,
rot
H
E
a

∂
t



∂H

,
(2.1)
 rotE = − μ a
∂
t


divE = 0,



divH = 0.
Рассмотрим распространение плоской волны, направление
которой задается единичным вектором нормали к фазовому

фронту m̂ . Поскольку в этом случае
  ξ 
E = E  t − ,
(2.2)
υ


̂ 
где ξ = m r , то
ˆ 
  ∂m
E
divE = (∇E ) =
,
∂ξ
(2.3)
ˆ 
   ∂m
×E
rotE = ∇ × E =
.
∂ξ
Аналогично могут быть представлены выражения для магнитной составляющей поля. Тогда система уравнений Максвелла
( )
( )
] [
[
38
]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(2.1) в новых обозначениях для среды без проводимости ( σ = 0 )
принимает вид:

 ∂ ˆ 
∂E
 ∂ξ m × H = ε a ∂t ,



∂
∂
H


,
mˆ × E = − μa
 ∂ξ
∂t
(2.4)


∂


mˆ E = 0,
∂ξ


∂ ˆ 
m H = 0.

∂
ξ

Из двух последних уравнений следует, что для проекций векторов
∂Eξ ∂H ξ
=
= 0.
∂ξ
∂ξ
Это означает, что проекции если и не равны нулю, то могут
зависеть только от времени. Но если умножить два первых урав
нения системы (2.4) скалярно на m̂ , то получим:
∂Eξ ∂H ξ
=
= 0.
∂t
∂t

 ̂
̂
Последнее означает, что составляющие поля H ⊥ m и E ⊥ m ,
т.е. волна носит поперечный характер. Векторы E и H лежат в
плоскости фронта волны.
Найдем связь между векторами электрического и магнитного
полей. Введем координату τ = t − ξ υ , связанную с волной. Тогда
∂
∂ ∂
1 ∂
=
,
.
=−
υ ∂τ
∂t ∂τ ∂ξ
Поэтому первое уравнение в (2.4) принимает вид:

∂  1 ˆ 
 m × H + εaE  = 0 .
∂τ υ

Для волнового процесса из последнего уравнения следует, что
[
[
]
]
( )
( )
[
]
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

 
1  ˆ
E=
H × m = Z B H × mˆ ,
ε aυ
[
]
[
]
(2.5)



1 ˆ

H = ε aυ mˆ × E =
m×E ,
ZB
где Z B = μ a ε a – импеданс или волновое сопротивление среды.
Введенная характеристика Z B определяет количественную
связь между напряженностями полей в электромагнитной волне.
Для вакуума
Z B = Z 0 = μ 0 ε 0 = 120π Ом .
(2.6)
Для плоской электромагнитной волны в однородной изотропной среде с проводимостью σ = 0 выражение для вектора
Пойнтинга с учетом формул (2.5) имеет следующий вид:

  1  
 


Ï = [E × H ] = ([E × H ] + [E × H ]) = mˆ υw = υ w .
2
Рассмотрим теперь распространение плоской волны в среде с
проводимостью (σ ≠ 0 ). В этом случае система уравнений Максвелла (2.1) имеет вид:



 ∂ ˆ
∂E
m
H
E
,
×
=
+
ε
σ
a
 ∂ξ
∂t 

∂H
ˆ 
 ∂ m
,
× E = − μa
 ∂ξ
∂t
(2.7)


∂


mˆ E = 0,
∂ξ


∂ ˆ 
mH = 0.

∂
ξ


m̂
:
Умножим 1-е уравнение скалярно
на
 
∂ E mˆ
ˆ 
εa
+ σ mE = 0 .
∂t
Решение последнего уравнения имеет вид:
Eξ = Eξ (0) exp(− (σ ε a )t ),
т.е. с течением времени значение проекции электрического поля
на направление распространения волны уменьшается. Для среды
с проводимостью составляющие Eξ и H ξ со временем становятся
[
[
]
[
]
[
]
( )
( )
( ) ( )
40
]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
равны нулю, поэтому, как и для случая σ = 0 , волна носит поперечный характер.
При распространении электромагнитных волн в проводящих
средах без изменения формы могут распространяться только гармонические волны. Рассмотрим плоскую гармоническую волну:
 1 

E = E m (ξ ) exp( −iωt ) + E m∗ (ξ ) exp(iωt ) .
2
Уравнение Гельмгольца для комплексной амплитуды для однородной изотропной среды имеет вид:


ΔE m + ε a μaω 2 + iωμaσ E m = 0 .
(2.8)
Если бы среда была непроводящей, то уравнение Гельмгольца имело бы вид:


ΔE m + ε a μaω 2 E m = 0 ,
решение которого можно представить как

Em = A1, 2e ± ikξ ,
(2.9)
)
(
(
)
ω ω
=
εμ .
υ c
Поэтому для случая σ ≠ 0 по аналогии решение (2.8) имеет
где k = ε a μ aω 2 =
вид (2.9), но при этом волновое число комплексно
и введена ε ka
k = ε a μ aω 2 + iωμ aσ = ε ka μ aω 2 ,
(2.10)
– комплексная диэлектрическая проницаемость
ε ka = ε a + i
σ
= ε a′ + i ⋅ ε a′′ = ε a (1 + i ⋅ tgδ ) ,
ω
(2.11)
где tgδ = ε a′′ ε a′ = σ ωε a – тангенс угла потерь.
Можно ввести относительную комплексную диэлектрическую проницаемость ε k .
Если волновое число (2.10) определить как
ω
(n + iκ ) ,
(2.12)
c
где n и κ – некоторые положительные величины, тогда решение
волнового уравнения в виде двух бегущих плоских гармонических волн в поглощающей среде можно записать

n 
 ω 

E (ξ , t ) = A1 exp − κξ  exp − iω (t − ξ )  +
c 
 c


41
k=
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n 
ω 

+ A2 exp κξ  exp − iω (t + ξ )  .
(2.13)
c 
c


То есть в виде двух волн, у которых амплитуды убывают по мере
распространения. Величина κ называется показателем поглощения и характеризует скорость убывания амплитуды. Величина n
называется показателем преломления и определяет фазовую скорость волны в среде.
Из выражений (2.10) и (2.12) нетрудно определить, что показатели преломления и поглощения связаны с параметрами среды
следующими зависимостями:
n=
κ=
( 1 + tg δ + 1),
2
με
(
1 + tg δ − 1).
2
με
2
(2.14)
2
(2.15)
Исходя из приведенных соотношений, можно определить характеристики электромагнитной волны в однородной изотропной
среде. Фазовая скорость:
с
c
υ= =
,
(2.16)
n
με
2
1 + tg δ + 1
2
длина волны:
1
υ c
λ= =
,
(2.17)
f
f με
1 + tg 2δ + 1
2
волновое сопротивление:
)
(
(
)
δ
−i
μa
1
μ
− iϕ B
= ZB e
= Z0
ZB =
e 2.
(2.18)
2
ε ka
ε 4 1 + tg δ
Отметим, что волновое сопротивление в случае среды с проводимостью комплексно. Это означает, что между векторами
электрического и магнитного полей существует фазовый сдвиг.
На рис. 2.1. представлен вид пространственного расположения
векторов для плоской волны, распространяющейся вдоль оси z .
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2.1. Пространственный профиль векторов
электромагнитного поля в среде с проводимостью
Очевидно, что среднее значение вектора Пойнтинга может
быть определено как:
 1 1  2
 2
1
П =
Em Cos (ϕ B ) = Z B H m Cos (ϕ B )
2 ZB
2
Рассмотрим частные случаи:
1. Диэлектрик: tgδ << 1 .
В этом случае
tg 2δ
2
1 + tg δ ≈ 1 +
2
и поэтому
με  tg 2δ 
1+
+ 1 ≈ με ,
(2.19)
n≈
2 
2

με 

 σ 
tg 2δ
tgδ
1 +
 = με

 .
(2.20)
κ≈
με
1
−
=

2 
2
2
ωε
 a

То есть показатель преломления не зависит от частоты, а показатель поглощения является явной функцией частоты.
Фазовая скорость, длина волны и волновое сопротивление
имеют вид:
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
υ≈
c
με
, λ≈
c
f με
μ  tg 2δ 
μ
1
≈
120
π
, ϕB ≈ 0
−


ε
2 
ε
. (2.21)
, Z B ≈ Z0
2. Проводник: tgδ >> 1.
Для проводника, поскольку


1 
1
1 + tg 2δ = tgδ  1 + 2  ≈ tgδ 1 +
2
tg δ 
 2 tg δ

получим

με 
1
με
 tgδ +
n≈
(tgδ + 1) ≈ με tgδ ,
+ 1 ≈
2 
2 tgδ
2
2


,


(2.22)

1
με
− 1 ≈
(tgδ − 1) ≈ με tgδ ,
(2.23)
 tgδ +
2 
2tgδ
2
2

т.е. показатели преломления и поглощения зависят явно от частоты.
κ≈
με 
με σ
.
2 ωε a
n ≈κ =
Фазовая скорость и длина волны:
с
c
υ=
.
(2.24)
, λ=
με
με
tgδ
f
tgδ
2
2
Если значение tgδ очень большое, то волна быстро затухает,
т.е. электромагнитное поле проникает только в тонкий слой проводника. Поскольку затухание пропорционально exp(− (ω c)κξ ) ,
то, определив глубину проникновения, например, по спаду в e
раз, можно оценить ее численно. Так, для меди на частоте
f = 100 кГц она составляет 0,2 мм, а для f = 10 ГГц – 0,66 мкм.
Волновое сопротивление для случая проводника можно
представить как:
Z B ≈ 120π
μ
ε tgδ
44
, ϕB ≈
π
4
.
(2.25)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.2. Групповая и фазовая скорость
электромагнитных волн
Реально строго монохроматических сигналов в природе не
существует. Для того чтобы передать информацию посредством
электромагнитного излучения, надо каким-либо образом промодулировать волну. В линейном приближении такой сигнал может
быть представлен в виде суперпозиции гармонических плоских
волн. В среде без проводимости скорости различных составляющих немонохроматического сигнала будут одинаковы, и поэтому
он не изменит своей формы.
В случае отличия от нуля проводимости среды скорости различных составляющих не одинаковы, и поэтому может иметь место искажение сигнала. Понятие скорости сигнала в этом случае
должно быть уточнено, т.к. оно отличается от фазовой скорости
различных компонент.
Рассмотрим распространение в среде вдоль оси z плоской
немонохроматической волны. Для простоты будем анализировать
скалярную задачу. Пусть в плоскости z ≥ 0
E (t , z = 0) = E 0 (t ).
(2.26)
Поскольку в выражении (2.26) функция конечная, то имеет
место разложение по гармоническим составляющим
E0 (t ) =
где
∞
 E (ω )e
− iωt
dω ,
(2.27)
−∞
∞
1
E (ω ) =
E 0 (t )e iωt dt .
(2.28)

2π − ∞
Каждая частотная составляющая в среде распространяется
как плоская волна, поэтому для линейной среды справедлива суперпозиция:
∞
∞ ∞
1
(
)
−
i
ω
t
ik
ω
z
E ( z, t ) =  E (ω )e e
dω =
E 0 (t )e −iω (t − t ′)+ ik (ω )z dωdt ′ ,


2π − ∞ − ∞
−∞
(2.29)
где k = k (ω ) , т.к. каждая компонента имеет свое волновое число.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Наибольший практический интерес представляют квазимонохроматические сигналы с узким частотным спектром, так называемые волновые пакеты
E0 (t ) = A0 (t )e −iω0t ,
где ω 0 – несущая частота, а A0 (t ) – огибающая, которая характеризует модуляцию. A0 (t ) – медленно меняющаяся (по сравнению
с экспонентой) функция.
Тогда
1 ∞ ∞
′
(2.30)
E (z, t ) =
A0 (t ′)e −i (ω −ω0 )(t − t )e ik (ω )z e −iω0t dωdt ′ .


2π − ∞ − ∞
Так как сигнал узкополосный, разложим k (ω ) в ряд около несущей ω 0 :
k ′′(ω 0 )
(ω − ω 0 )2 + ... (2.31)
k (ω ) = k (ω 0 ) + k ′(ω 0 )(ω − ω 0 ) +
2
Поэтому (2.30) можно представить в виде:
E ( z, t ) = A( z, t )e i (k (ω0 )z −ω0t ) ,
(2.32)
где

1
2 +...
iz  k ′(ω )(ω −ω 0 )+ k ′′(ω 0 )(ω −ω 0 )
1 ∞ ∞
−i (ω −ω 0 )(t −t ′ )
2
A(t , z ) =
e 
  A0 (t ′)e
2π −∞ −∞

dωdt ′ .
(2.33)
Точность полученного решения определяется количеством
членов в разложении k (ω ) . Рассмотрим линейное приближение. В
этом случае решение имеет вид:
1 ∞ ∞
− i [(t − t ′ )+ zk ′(ω 0 )](ω −ω 0 )
A(t , z ) =
dωdt ′ =
  A0 (t ′)e
2π − ∞ − ∞
= A0 (t − zk ′(ω0 )) = A0 (t − z υ ãð ),
(2.34)
1 ∞ iω x
т.к.
 e dω = δ ( x ) .
2π − ∞
Подстановка (4.46) в (4.44) показывает, что в этом случае
волновой пакет распространяется без искажений формы, причем
его огибающая распространяется со скоростью
υ ãð = (dk dω )ω =ω0 −1 ,
(2.35)
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
которая называется групповой скоростью. Она имеет смысл только для действительных величин, т.е. там, где можно пренебречь
поглощением.
Нетрудно показать, что в рассматриваемом приближении амплитуда удовлетворяет уравнению:
∂A 1 ∂A
+
= 0.
(2.36)
∂z υ ãð ∂t
Если умножить его на A∗ и сложить с комплексно сопряженным уравнением, получим
2
2
∂A
1 ∂A
+
= 0.
∂z
υ ãð ∂t
2
Поскольку A характеризует энергию, то υ ãð характеризует
скорость переноса энергии волны.
Рассмотрим для примера случай, когда спектр огибающей
волнового пакета A0 (t ) представляет собой постоянную величину
в пределах узкой полосы 2Δω << ω0 (см. рис. 2.2), т.е.
 E , ω0 − Δω ≤ ω ≤ ω0 + Δω
.
E (ω ) =  0
0
,
ω
<
ω
−
Δ
ω
,
ω
>
ω
+
Δ
ω

0
0
Тогда из (2.30) нетрудно получить, что в линейном приближении дисперсии
Sin (( k ′(ω0 ) z − t ) Δω )
.
E ( z, t ) = 2 E0 Δωei (k (ω0 )z −ω0t )
( k ′(ω0 ) z − t ) Δω
Чтобы понять характер распространения волнового пакета,
обратимся к пространственному профилю (см. рис. 2.2.). Находящаяся внутри огибающей модулированная волна перемещается
вдоль оси z с обычной фазовой скоростью υ = ω 0 / k (ω 0 ) . Что касается огибающей, то условием локализации ее максимума является равенство нулю аргумента у синуса. Очевидно, что для разных моментов времени условие выполняется для различных z ,
т.е. огибающая смещается со скоростью υ ãð = (dk dω )ω = ω0 −1 .
Нетрудно получить связь между групповой и фазовой скоростями:
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2.2. Пространственный профиль волнового пакета
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
υ ãð =
[
d (kυ )
dυ
dυ
=υ + k
=υ − λ
= c n(ω0 ) + ω (dn dω ) ω =ω
0
dk
dk
dλ
]
−1
.
(2.37)
Отметим, что при dn dω < 0 получается, что k комплексно и
групповая скорость формально может быть больше скорости света. Но при разложении мы принимали, что k вещественно и поглощением пренебрегали. Диапазон, где dn dω < 0 , называется
областью аномальной дисперсии. Понятие введенной групповой
скорости справедливо лишь для среды, где диссипацию можно не
учитывать. В этом случае производная dn dω > 0 и поэтому
υ ГР < c .
Рассмотрим, что изменится, если в разложении (2.30) будет
учтен второй член (так называемое квадратичное приближение
дисперсии). В этом случае выражение (4.45) имеет вид:

1
2
iz  k ′(ω )(ω −ω 0 )+ k ′′(ω 0 )(ω −ω 0 ) 
1 ∞ ∞
−i (ω −ω 0 )(t −t ′ )
2
 dωdt ′ .
A(t , z ) =
e 
  A0 (t ′)e
2π −∞ −∞
Его решение можно получить на основе интеграла Пуассона:
∞
2
−y
 e dy = π .
−∞
Можно показать подстановкой, что в этом случае амплитуда
удовлетворяет следующему уравнению параболического типа:
∂A D ∂ 2 A
−
= 0,
(2.39)
∂z 2 ∂t 2
d  1 
– коэффициент диффузии, который
где D = −ik ′′ = −i
dω  υ ãð 
характеризует изменение групповой скорости с частотой. Вследствие мнимости D , кроме изменения A( z , t ) , имеет место появление паразитной фазовой модуляции, т.е. наблюдается искажение первоначального сигнала.
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.3. Поляризация электромагнитных волн
Электромагнитные волны имеют векторный характер. Кроме
частоты и фазы надо знать направление векторов
 амплитуды,

E и H.
Предположим, что имеет место распространение плоской
монохроматической волны. Для того чтобы охарактеризовать поляризацию волны, вводят понятие плоскости поляризации, т.е.



плоскости, в которой лежат векторы E (или H ) и m̂ . Выберем
ось z в направлении распространения волны. Тогда разложив
плоскую гармоническую (поперечную) волну на две ортогональные составляющие, получим:
Ex = Emx Cos ( ωt − kz + ϕ x ) = Re ( E x exp(−i(ωτ)) ) ,
(2.40)

E y = Emy Cos ( ωt − kz + ϕ y ) = Re ( E y exp(−i(ωτ)) ) ,
где τ = t − (k ω ) z = t − z υ , E x = Emx exp( −iϕ x ) , E y = Emy exp( −iϕ y ) ,
а Emx , Emy , ϕ x , ϕ y – постоянные действительные амплитуды и фа
зы ортогональных составляющих вектора E . Исключив из (2.40)
временной множитель, получим уравнение, которое описывает
состояние поляризации волны:
2
 Ex 


E
 mx 
где Δ = ϕ y − ϕ x .
2
 Ey 

Ey 
 − 2 E x
CosΔ = Sin 2 Δ ,
+
E 
E E 
 my 
 mx my 
(2.41)
Уравнение (2.41) – уравнение эллипса. То есть в общем случае при распространении волны конец вектора E движется по
эллиптической траектории (см. рис. 2.3.)
При Δ = π 2 ± πn оси эллипса совпадают с осями координат,
а при Emx = Emy эллипс вырождается в окружность. В этих случаях говорят об эллиптической и круговой поляризации. В случае
правой поляризации вектор вращается по часовой стрелке, если
смотреть в направлении распространения волны, а в случае левой – против часовой стрелки. На рис. 2.4 представлено пространственное изменение вектора E при распространении волны
с круговой поляризацией.
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2.3. Эллипс поляризации векторной волны
Рис. 2.4. Положение вектора при круговой поляризации

При Δ = ±πn из (2.41) следует, что вектор E колеблется в
плоскости, имеющей угол наклона ϑ1, 2 относительно оси x
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
tgϑ1,2 = ± E my E mx .
В этом случае поляризация называется линейной. Плоскость поляризации сохраняет свое положение в пространстве при распространении волны.
Состояние поляризации можно характеризовать с помощью
множителя поляризации (фазора):
E x Emx iΔ
Ρ=
=
e .
(2.42)
E y Emy
При комплексном Ρ поляризация электромагнитной волны
эллиптическая; если Ρ – чисто мнимое, то оси эллипса совпадают
с осями координат. Круговой поляризации соответствует значение Ρ = ±i (положительный знак для правой, а отрицательный –
для левой поляризации). Линейной поляризации соответствуют
действительные значения Ρ .
Приведенное в (2.40) разложение представляет собой разло 
жение в линейном поляризационном базисе eˆ|| , eˆ⊥ . В некоторых
(
)
приложениях удобнее представлять состояние поляризации поля
в виде суперпозиции волн с правой и левой круговой поляриза 
цией (разложение в круговом поляризационном базисе eˆR , eˆL ).
(
)
Связь между круговым и линейным ортонормированными базисами определяется формулами:




 
eˆ R = eˆ|| + ieˆ⊥
2 , eˆ L = eˆ|| − ieˆ⊥
2
,
(2.43а)
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
e R ⋅ e R = 1, e L ⋅ e L = 1, e R ⋅ e L = 0

 

 
eˆ|| = eˆR + eˆL
2 , eˆ⊥ = i eˆL − eˆR
2.
(2.43б)
В этом случае поле с произвольной поляризацией можно
представить в виде





E = E||eˆ|| + E⊥ eˆ⊥ = E R eˆR + E L eˆL ,
(2.44)
а связь между компонентами разложения определяется с помощью следующих соотношений:
E R = (E|| − iE⊥ ) 2 , E L = (E|| + iE⊥ ) 2 .
(2.45)
Рассмотрим негармонические электромагнитные волны. В
этом случае параметры Emx , Emy , ϕ x , ϕ y в выражении (2.40) не бу-
(
(
(
)
)
(
)
)
52
(
(
(
)
)
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

дут постоянными во времени и поведение вектора E в поперечной направлению распространения волны плоскости будет иметь
сложный характер. Состояние поляризации для немонохроматической волны (так же, как и гармонической) можно характеризовать различным образом. Например, с помощью матрицы когерентности:
 ______∗ ______∗ 
 E x E x E x E y 
[J ] =  ______ ______  ,
(2.46)
  ∗  ∗ 
 E y Ex E y E y 
где черта сверху означает усреднение по времени.
Очевидно, что диагональные элементы матрицы когерентности представляют собой средние интенсивности для соответствующей (линейной) поляризации, а другие – взаимную корреляцию ортогональных компонент. След матрицы равен полной интенсивности волны I :
______ _______
E x E x∗ + E y E ∗y
SpJ =
=I.
Для полностью поляризованной (гармонической) волны
_______
∗
Eα Eβ = Eα Eβ∗
и поэтому
det J = 0 .
Для полностью неполяризованной волны
_______
E x E ∗y
= 0 , E x
2
= E y
2
= I 2.
Поэтому
det J = I 2 4 .
Для частично поляризованной волны:
0 ≤ det J ≤ I 2 4 .
Очевидно, что в рамках принятых обозначений
53
(2.47)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
___
_________


2

Emx
Emx Emy exp(iΔ ) 
[J ] =  __________
(2.48)
.
___


2
E
E
exp(
−
i
Δ
)
E
mx
my
my


Очень часто вместо матрицы когерентности используют параметры Стокса, которые в принятых обозначениях имеют вид:
I = E x E x* + E y E *y = Emx 2 + Emy 2 ,
Q = E x E x* − E y E *y = Emx 2 − Emy 2 ,
U = E x E *y + E y E x* = 2 Emx Emy CosΔ,
V = i E x E *y − E y E x* = 2 Emx Emy SinΔ.
(
(2.49)
)
Физический смысл компонент: I – полная интенсивность волны,
Q – разность между интенсивностями волн с двумя линейными
ортогональными поляризациями, U – разность между интенсивностями поля при повороте системы координат на 45° и 135°, V –
разность между интенсивностями составляющих с правой и левой поляризацией.
Очевидно, что
I + Q U + iV 
.
2 U − iV I − Q 
Для полностью неполяризованной волны
[J ] = 1 
(2.50)
Q2 = U 2 = V 2 = 0 ,
а для полностью поляризованной
I 2 = Q2 +U 2 +V 2.
Степень поляризации волны можно характеризовать как:
pw = Q 2 + U 2 + V 2 I ;
степень линейной поляризации:
(2.51а)
pl = Q 2 + U 2 I ;
степень круговой поляризации:
(2.51б)
pc = V I .
54
(2.51с)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда интенсивность поляризованной части волны можно
представить как:
I п = pw I ,
(2.52)
а неполяризованной
I нп = (1 − pw ) I .
(2.53)
С помощью параметров Стокса или матрицы когерентности
можно определить поляризацию любой волны, в том числе и при
суперпозиции нескольких волн. Параметры Стокса результирующей волны будут определяться как сумма параметров Стокса
отдельных волн. Аналогичное имеет место и для матрицы когерентности.
Вопросы для самоконтроля
1. Записать комплексные амплитуды векторов поля плоской
однородной волны, распространяющейся а) по оси х, б) по оси у.
2. Напишите уравнения для среднего значения плотности потока мощности гармонической волны в среде без проводимости и
с проводимостью.
3. Определите предельный сдвиг фаз между векторами электрического и магнитного полей плоской волны для линейной однородной изотропной среды.
4. Может ли групповая скорость быть больше скорости света?
5. Какой поляризации соответствует волна, приведенная на
рис. 2.1?
6. Изобразите временное распределение напряженности электрического и магнитного полей плоской волны, распространяющейся в поглощающей среде для круговой поляризации. Сравните со случаем идеального диэлектрика.
7. Получите соотношения между единичными векторами в
линейном и круговом поляризационном базисе.
8. Напишите, как связаны параметры Стокса для двух плоских волн единичной интенсивности, одна из которых является
полностью поляризованной, а вторая – полностью неполяризованной.
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА СРЕД
Рассмотренные в предыдущем разделе характеристики электромагнитных волн относятся к случаю сред с постоянными параметрами. Однако на практике приходится иметь дело с неоднородными средами. Простейшая задача – взаимодействие излучения с границей раздела двух сред. Такая ситуация на практике
встречается достаточно часто, вследствие чего изучение закономерностей, которые имеют место в подобных случаях, представляет большой интерес.
3.1. Граничные условия для векторов
электромагнитного поля
При анализе электромагнитных явлений в средах, параметры которых являются непрерывными функциями координат,
удобно использовать уравнения Максвелла в дифференциальной
форме. На практике часто встречаются ситуации, когда электродинамические параметры меняются скачкообразно, т.е. рассматриваемая область пространства состоит из двух или более разнородных сред. Там, где нарушается непрерывность параметров,
уравнения Максвелла в дифференциальной форме теряют смысл
и поэтому должны быть дополнены условиями, определяющими
поведение векторов поля в точках скачка параметров сред. Эти
условия называются граничными условиями. Они определяются
из уравнений Максвелла в интегральной форме.
Установим условия, определяющие поведение векторов поля на границе раздела двух сред. Для нормальных (относительно
границы раздела) составляющих рассмотрим объем ΔV цилиндрической формы (см. рис. 3.1). Обозначим через ΔS поверхность,
образованную пересечением ΔV с границей раздела сред S , а че 
рез n̂1 , n̂2 – единичные векторы нормалей к торцам цилиндра ΔS1
и ΔS 2 . Воспользуемся третьим уравнением Максвелла в интегральной форме для рассматриваемого объема:
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 
D
 dS =
Sц
 ρdV .
ΔV
Рис. 3.1. К определению граничных условий
для нормальных составляющих поля
Очевидно, что его можно представить в следующем виде:
 
 
 

ˆ
ˆ
D
d
S
=
D
n
dS
+
D
n
dS
+
D

 11
 22
 nˆáîê dS =  ρdV .
S
ΔS1
ΔS 2
ΔS áîê
V
Так как при уменьшении высоты цилиндра Δh → 0 интеграл
по боковой поверхности ΔSбок стремится к нулю, а



ΔS1 = ΔS 2 = ΔS , nˆ1 = − nˆ 2 = nˆ , то, применяя теорему о среднем,
 
можно вынести D1 , D2 из-под знака интеграла. Таким образом,
получаем при Δh → 0
 
 
D1nˆ − D2 nˆ ΔS = lim  ρdV .
(3.1)
(( ) (
))
Δh → 0
ΔV
Если заряд не сосредоточен на поверхности раздела, т.е. не
является поверхностным, то при любой конечной величине объемной плотности заряда правая часть равна нулю. Это позволяет
сделать вывод о том, что нормальная компонента вектора электрической индукции D непрерывна при переходе границы раздела сред, т.е.
 
 
ˆ
D1n = D2 nˆ .
(3.2)
Очевидно, что для линейных изотропных сред в этом случае
нормальные составляющие напряженности электрического поля
( ) ( )
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
претерпевают скачок, величина которого определяется значениями диэлектрической проницаемости сред:

 
ε1 E1nˆ = ε 2 E2 nˆ .
(3.3)
Рассмотрим случай, когда заряды распределены вдоль границы раздела в виде бесконечно тонкого слоя. Такие заряды называются поверхностными и характеризуются плотностью поверхностных зарядов ρ S , определяемой соотношением
ΔQ
ρ S = lim
,
(3.4)
ΔS
( )
( )
ΔS → 0
где ΔQ – заряд на элементе поверхности ΔS . В этом случае правая часть равенства (3.1) уже не обращается в нуль. Разделив обе
части на ΔS , получим, что
 нормальная составляющая вектора
электрической индукции D при переходе границы раздела сред
будет претерпевать скачок, равный поверхностной плотности заряда:
 
 
D1nˆ − D2 nˆ = ρ S .
(3.5)
В этом случае выражение для нормальных компонент вектора напряженности электрического поля (3.3) приобретает следующий вид:
 
 
ε a1 E1nˆ − ε a 2 E 2 nˆ = ρ S .
(3.6)
Граничные условия для нормальных составляющих векторов магнитного поля получаются аналогично с помощью анализа
четвертого уравнения Максвелла и могут быть представлены как:

 
B1nˆ = B2 nˆ ,
(3.7)
Для линейных изотропных сред нормальные составляющие
напряженности магнитного поля претерпевают скачок, величина
которого определяется значениями магнитной проницаемости
сред
 
 
ˆ
μ1 H1n = μ 2 H 2 nˆ .
(3.8)
Найдем граничные условия для касательных составляющих
векторов электрического и магнитного полей. Для этого применим первое уравнение Максвелла в интегральной форме к прямоугольному замкнутому контуру ΔL (см. рис. 3.2):
( ) (
( )
)
( )
( ) ( )
( )
58
(
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 
H
 dl =
ΔL

 ∂D
  ∂t +
ΔS 
 
j dS .

Рис. 3.2. К определению граничных условий
для касательных составляющих поля
Считаем, что на контур натянута поверхность ΔS = Δl ⋅ Δh .

̂
Пусть n̂ и τ – единичные векторы нормали и касательной к границе раздела сред. Тогда, как и при рассмотрении граничных условий для нормальных составляющих поля, при уменьшении высоты прямоугольника Δh → 0 интеграл в левой части приведенного равенства будет определяться только тангенциальными составляющими поля. Учитывая
направление обхода контура и тот

факт, что функции H и ∂D ∂t являются конечными, получим
 
 
 
(3.9)
H 1τˆ − H 2τˆ Δl = lim  j dS .
((
) (
))
ΔS
Δh → 0
Если на границе раздела двух сред отсутствуют поверхностные токи, то интеграл в правой части обращается в нуль и из выражения (3.9) следует непрерывность касательной составляющей
вектора напряженности магнитного поля при переходе из одной

среды в другую. Это можно записать через вектор нормали n̂ к
границе раздела как:
 


H 1 × nˆ = H 2 × nˆ .
(3.10)
Очевидно, что в этом случае касательная составляющая вектора магнитной индукции для линейных изотропных сред претерпевает разрыв, величина которого определяется отношением
магнитных проницаемостей
59
[
] [
]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


μ2 [B1 × nˆ ] = μ1 [B2 × nˆ ].


(3.11)
В случае, если на границе раздела сред имеются токи, распределенные в виде бесконечно тонкого слоя, выражения (3.10) и
(3.11) видоизменяются. Для характеристики таких поверхност
ных токов вводят величину плотности поверхностных токов jS


ΔI
jS = lim
,
(3.12)
Δl
Δl → 0

где ΔI – ток, протекающий через Δl . В данной ситуации интеграл в (3.9) не равняется нулю. Поэтому в пределе при Δh → 0 из
формулы (3.9) в силу произвольности выбора направления касательной к границе разделаследует, что

 
H 1 × nˆ − H 2 × nˆ = jS .
(3.13)
Соотношение (3.11) в этом случае принимает следующий
вид:
 
  
μa 2 B1 × nˆ − μa1 B2 × nˆ = jS μa1μa 2 .
(3.14)
Граничные условия для касательных составляющих векторов электрического поля получаются аналогичным образом на
основе второго уравнения Максвелла в интегральной форме и
могут быть представлены как:
 
 
ˆ
E1 × n = E 2 × nˆ .
(3.15)
Для линейных изотропных сред касательные составляющие
вектора электрического смещения, как и касательные составляющие вектора магнитной индукции, претерпевают скачок, величина которого определяется диэлектрической проницаемостью
сред
 


ε 2 D1 × nˆ = ε1 D2 × nˆ .
(3.16)
Обычно, граничные условия записываются в виде следующей системы
 
 
 D1nˆ − D2 nˆ = ρ S ,
  
 
ˆ
ˆ
E
×
n
=
E
 1
2 ×n ,
(3.17)
 
 
ˆ
ˆ
 B1n = B2 n ,
  
  ˆ
ˆ
H
×
n
−
H
 1
2 × n = jS .
[
[
]
] [
[
]
]
[
] [
[
]
]
[
( ) ( )
[ ] [ ]
( ) ( )
[ ] [ ]
60
]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Не включенные в систему равенства (3.3), (3.8), (3.14), (3.16)
являются следствиями соотношений (3.17).
Приведем граничные условия, когда одна из сред является
идеально проводящей. В этом случае выражения (3.17) упрощаются. Пусть это будет вторая среда. Поскольку для идеального
проводника поле в среде с проводимостью σ = ∞ отсутствует,
плотность тока проводимости должна быть ограниченной величиной, а напряженность электрического поля по закону Ома
должна быть равна нулю. Тогда из второго уравнения Максвелла
следует, что для переменного поля вектор магнитной индукции
тоже должен обращаться
 в нуль.

Поэтому

E2 = D2 = B2 = H 2 = 0
и граничные условия, когда одна из сред является идеальным
проводником, принимают следующий вид:
 
 D1nˆ = ρ S ,
  
 E1 × nˆ = 0,
(3.18)
 
ˆ
 B1n = 0,
  ˆ 
 H1 × n = j S .
( )
[ ]
( )
[ ]
3.2. Общие закономерности взаимодействия
плоской электромагнитной волны
с плоской границей раздела
Рассмотрим простую задачу падения плоской монохроматической волны на плоскую границу раздела двух сред. Как известно, при этом возникают преломленная (прошедшая) и отраженная
волны. Считаем, что обе среды – линейные однородные изотропные.
Пусть граница раздела двух сред с постоянными параметрами совпадает с плоскостью z = 0 . Обозначим направление падающей плоской гармонической электромагнитной волны еди


ничным вектором m̂0 , а отраженной и преломленной – m̂1 и m̂2

соответственно. Плоскость падения, содержащую m̂0 и ось z , со61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вместим с плоскостью xz . Геометрия задачи представлена ниже
на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Геометрия задачи взаимодействия излучения
с плоской границей раздела двух сред
Задача будет решаться в линейном приближении, т.е. частоты падающей, отраженной и прошедшей волн одинаковы. Такое
предположение справедливо для линейных сред. Тогда соотношения для волновыхвекторов можно представить в виде:


k0 = k1mˆ 0 = ε ka1μ a1ω ⋅ mˆ 0 ,



(3.19)
k1 = k1mˆ 1 = ε ka1μ a1ω ⋅ mˆ 1 ,



k 2 = k 2 mˆ 2 = ε ka 2 μ a 2 ω ⋅ mˆ 2 ,
где ε ka1 = ε a1 + i σ 1 ω , μ a1 , ε ka 2 = ε a 2 + i σ 2 ω , μ a2 – параметры
сред.
Запишем выражения для напряженности полей в виде:
для падающей волны

ˆ
 

 i (k r −ω t ) 
×
m
E
(
i
k
0
0
, Hi =
Ei = E0e 0
e 0 r −ω t ) ,
(3.20)
Z B1
для отраженной волны
[
62
]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
[
]
ˆ 

 i (k r −ω t ) 
m1 × E1 i (k1 r −ω t )
1
Es = E1e
, Hs =
e
,
Z B1
для преломленной волны
[
(3.21)
]

ˆ

 i (k r −ω t ) 
m2 × E2 i (k2 r −ω t )
2
, Ht =
Et = E2e
e
,
(3.22)
Z B2
μ a1
μa2
где Z B1 =
, Z B2 =
– волновые сопротивления сред.
ε ka1
ε ka 2
На границе раздела должны выполняться граничные условия – непрерывность касательных составляющих суммарного
волнового поля. Для электрической и магнитной компонент:
[
[
] [
] [
] [
] [
]
]
ˆ 
ˆ 
ˆ 
ez × Ei + ez × Es = ez × Et



ˆ
ˆ
ˆ
ez × H i + ez × H s = ez × H t
z =0 ,
(3.23)
z =0 .
Поскольку равенства (3.23) должны выполняться для любых
точек в плоскости z = 0 , то из этого следует условие равенства
фаз на границе раздела:
 

 
k 0 r z =0 = k1r z =0 = k 2 r z =0 .
(3.24)
В силу очевидного равенства
  




eˆz × eˆz × r z = 0 = eˆz (eˆz r ) z = 0 − r eˆz eˆz z = 0 = −r
из (3.24) следует, что
 
 
 
k1 mˆ 0 × eˆz z = 0 = k1 mˆ 1 × eˆz z = 0 = k 2 mˆ 2 × eˆz z = 0 .
(3.25)
Из полученного выражения видно, что падающий, отраженный и преломленный лучи лежат в одной плоскости. Из первого
равенства следует, что
Sinθ 0 = Sinθ1 ,
(3.26)
а из второго – закон Снеллиуса:
k1Sinθ 0 = k 2 Sinθ 2 .
(3.27)
Отметим, что формулы (3.26) и (3.27) справедливы для любых сред, в том числе и для случая, когда диэлектрическая и (в
общем случае) магнитная проницаемости комплексны.
Поскольку любая поляризация может быть представлена в
виде разложения по ортогональным составляющим, далее рассмотрим случаи перпендикулярной и параллельной относительно
плоскости падения ориентации поляризации падающей волны.
63
( )
[ [
[
( )
( )
]]
]
( )
[
]
[
]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Перпендикулярная поляризация.
Для рассматриваемого случая вектор напряженности поля
перпендикулярен плоскости падения и имеет только одну составляющую


Ei = E0eˆ y , Eix = Eiz = 0 .
Это позволяет записать граничные условия (3.23) с учетом
(3.24) в следующем виде:
E0 + E1 = E2 ,
Z B 2 (E0Cosθ 0 − E1Cosθ1 ) = Z B1E2Cosθ 2 .
Решая их совместно, найдем так называемые коэффициенты
Френеля, связывающие амплитуды отраженной и преломленной
волн с амплитудой падающей волны:
E1 Z B 2 Cosθ 0 − Z B1Cosθ 2
iϕ
=
= R⊥ e R⊥ ,
E0 Z B 2 Cosθ 0 + Z B1 cosθ 2
2Z B 2 Cosθ 0
E
iϕ
T⊥ = 2 =
= T⊥ e T⊥ .
E0 Z B 2 Cosθ1 + Z B1Cosθ 2
R⊥ =
(3.28)
(3.29)
Параллельная поляризация.
В этом случае удобней проводить анализ для магнитной составляющей поля, т.к. она перпендикулярна плоскости падения и
имеет одну не равную нулю компоненту


H = H eˆ .
i
0 y
Граничные условия (3.23) тогда приобретают вид:
Z B1 (H 0Cosθ 0 − H1Cosθ1 ) = Z B 2 H 2Cosθ 2 ,
H 0 + H1 = H 2 .
Коэффициенты отражения и преломления Френеля могут
быть определены как:
iϕ R
H1 Z B1Cosθ 0 − Z B 2Cosθ 2
=
= R|| e | | ,
H 0 Z B1Cosθ 0 + Z B 2Cosθ 2
i ϕT
2Z B1Cosθ 0
H
T|| = 2 =
= T|| e | | .
H 0 Z B1Cosθ 0 + Z B 2Cosθ 2
R|| =
64
(3.30)
(3.31)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отметим, что коэффициенты Френеля (3.28 – 3.31) получены при произвольных значениях параметров сред. При нормальном падении (θ 0 = 0 ) имеют место следующие соотношения:
R⊥ = − R|| , T⊥ ≠ T|| .
3.3. Особенности взаимодействия волны
с границей "диэлектрик – диэлектрик"
Рассмотрим случай, когда обе среды являются диэлектриками, т.е. σ 1 = σ 2 = 0 . Пусть для простоты μ1 = μ 2 = μ , тогда электродинамические характеристики сред будут иметь вид:
ε ka1 = ε a1 , ε ka 2 = ε a 2 ,
Z B1 = Z 0 μ ε1 , Z B 2 = Z 0 μ ε 2 .
В этом случае для коэффициентов отражения Френеля имеем:
R⊥ =
R|| =
ε1 Cosθ 0 − ε 2 Cosθ 2
Sin(θ 0 − θ 2 )
=−
,
(
)
Sin
θ
+
θ
ε1 Cosθ 0 + ε 2 Cosθ 2
0
2
(3.32)
ε 2 Cosθ 0 − ε1 Cosθ 2 tg (θ 0 − θ 2 )
=
.
ε 2 Cosθ 0 + ε1 Cosθ 2 tg (θ 0 + θ 2 )
(3.33)
То есть коэффициенты отражения действительны, и поэтому
сдвиг фаз между падающей и отраженной волнами либо 0, либо
π.
Рассмотрим частные случаи. Пусть вторая среда будет "оптически" более плотной, т.е. ε 2 > ε1 . В этом случае из закона
Снеллиуса следует, что θ 2 < θ 0 и θ 0 − θ 2 ≤ π 2 , θ 0 + θ 2 ≤ π . Тогда
из (3.14) следует, что для перпендикулярной поляризации
ϕ R⊥ = π и поведение модуля носит монотонно возрастающий характер.
Для параллельной поляризации поведение коэффициента
отражения более сложное. При θ 0 + θ 2 = π 2 он обращается в
нуль. Угол, при котором наблюдается этот эффект, называется
углом Брюстера θ Б , или углом полной поляризации. Последнее
связано с тем, что при падении волны с эллиптической поляриза65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
цией под углом θ 0 = θ Б в отраженной волне не будет вертикальной составляющей. Из закона Снеллиуса (3.9) следует, что
Sinθ Б =
ε2
ε
Sinθ 2 = 2 Cosθ Б
ε1
ε1
и поэтому получаем:
θ Б = arctg
ε2
.
ε1
(3.34)
То есть угол Брюстера определяется только параметрами сред. В
случае 0 ≤ θ 0 ≤ θ Б модуль коэффициента отражения R|| убывает
до 0, при этом ϕ R|| = 0 . При θ 0 > θ Б модуль монотонно возрастает
до 1, а фаза скачком при θ 0 = θ Б изменяется до π . Соответствующие кривые для модуля и фазы коэффициентов отражения
приведены на рис. 3.4 и рис. 3.5.
Рис. 3.4. Модуль коэффициента отражения для параллельной
и перпендикулярной поляризации
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 3.5. Фаза коэффициента отражения для параллельной
и перпендикулярной поляризации
Рассмотрим случай ε1 > ε 2 . Тогда из закона Снеллиуса следует, что θ 2 > θ 0 и возможна ситуация, когда преломленная волна
будет распространяться параллельно границе раздела. Явление
получило название полного внутреннего отражения, а соответствующий угол падения – угол полного внутреннего отражения θ B .
Отметим, что оно не зависит от поляризации излучения. Выясним
структуру поля при углах падения θ ≥ θ B .
Из закона Снеллиуса (3.27) следует, что
ε2
.
ε1
Sinθ B =
(3.35)
Коэффициенты отражения из выражений (3.32) и (3.33)
можно представить как:
R⊥ =
ε1 Cosθ 0 − ε 2 1 − Sin 2θ 2
2
ε1 Cosθ 0 + ε 2 1 − Sin θ 2
67
=
ε1 Cosθ 0 − i ε1Sin 2θ 0 − ε 2
2
,
ε1 Cosθ 0 + i ε1Sin θ 0 − ε 2
(3.36)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
R|| =
ε 2 Cosθ 0 − ε1 1 − Sin2θ 2
2
ε 2 Cosθ 0 + ε1 1 − Sin θ 2
=
ε 2Cosθ 0 − i ε1 ε1Sin2θ 0 − ε 2
2
ε 2Cosθ 0 + i ε1 ε1Sin θ 0 − ε 2
.
(3.37)
Поэтому модуль и фаза коэффициентов отражения при
θ ≥ θ B имеют вид:
ε1Sin 2θ 0 − ε 2
,
= −2arctg
ε1Cosθ 0
(3.38)
ε1 ε1Sin 2θ 0 − ε 2
.
= −2arctg
ε 2Cosθ 0
(3.39)
R⊥ = 1, ϕ R⊥
R|| = 1, ϕ R||
Рассмотрим преломленную волну. Поскольку
 
k 2 r = k 2 Sinθ 2 x + k 2 Cosθ 2 z = k1 xSinθ 0 + ik 2 z
то получаем:
(



Et = E2 exp i (k 2 r − ωt ) =
(
)
(ε 1 ε 2 )Sin 2θ 0 − 1 ,
)

= E2 exp − k 2 z (ε1 ε 2 )Sin 2θ 0 − 1 + i (k1 xSinθ 0 − ωt ) .
Видно, что поверхности равных амплитуд и равных фаз не
совпадают. Это означает, что волна является неоднородной. Отметим, что во второй среде волна быстро затухает при удалении
от границы раздела. Затухание происходит не только в среде с
потерями, но и в среде без потерь. Кроме того, фазовая скорость
преломленной волны меньше, чем у плоской волны, распространяющейся в свободном пространстве. Такие волны получили название медленных волн.
3.4. Особенности взаимодействия волны
с границей "диэлектрик – проводник"
Рассмотрим падение волны из диэлектрика на проводник.
Особый интерес в этом случае представляет поведение прошедшей
волны. Будем считать для простоты, что μ1 = μ 2 = μ , σ 1 = 0 и
ε ka 2 = ε a 2 + i σ 2 ω . В этом случае, используя закон Снеллиуса,
преобразуем скалярное произведение в показателе экспоненты как
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

k 2 r = k 2 x x + k 2 z z = k1 xSinθ 0 + k 2 z 1 − Sin 2θ 2 =
εk2
− Sin 2θ 0 .
ε1
= k1 xSinθ 0 + k1 z
Тогда, если ввести обозначения
2
2
ε
  σ 
φ
α = 4  2 − Sin 2θ 0  +  2  Cos ,
2
 ε1
  ε a1ω 
(3.40)
2
2
  σ 
ε
φ
β = 4  2 − Sin 2θ 0  +  2  Sin ,
2
  ε a1ω 
 ε1
(3.41)
σ2
,
ε 0ω ε 2 − ε1Sin 2θ 0
(3.42)
tgφ =
(
)
получим следующую формулу для преломленной волны




Et = E2 exp ik 2 r − ωt = E2 exp(− k1 z β )×
× exp(i (k1 xSinθ 0 + k1 z α − ωt )).
(
)
(3.43)
Рис. 3.6. Взаимодействие электромагнитного излучения
с границей раздела "диэлектрик – проводник"
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из приведенного выражения следует, что волна является неоднородной плоской волной. Поверхность равных фаз описывается уравнением Sinθ 0 ⋅ x + αz = const , а поверхность равных амплитуд – βz = const . Если ввести нормаль к поверхности равных
фаз, то угол ψ между нею и осью z определяется как:
Sinψ =
Sinθ 0
2
Sin θ 0 + α
2
, Cosψ =
α
2
Sin θ 0 + α
2
.
(3.44)
Отметим, что для металла ε ka >> 1 и tgδ >> 1 . Поэтому независимо от угла падения, как следует из формул (3.44), волна в
металле распространяется нормально к его поверхности, а амплитуда ее убывает очень быстро по мере проникновения в слой,
причем скорость этого убывания очень большая.
Вопросы для самоконтроля
1. Поясните, зачем нужны граничные условия?
2. Физический смысл граничных условий.
3. Нарисуйте взаимное расположение векторов электрических и магнитных полей падающей, отраженной и преломленной
волн для случая взаимодействия с границей раздела типа "диэлектрик – диэлектрик".
4. Объясните, почему в случае нормального падения коэффициенты отражения для волн с параллельной и перпендикулярной
плоскости падения поляризации отличаются знаком, а коэффициенты преломления (пропускания) – не равны друг другу.
5. Получите выражения для коэффициентов отражения для
границы раздела типа "диэлектрик – металл".
6. Напишите выражение для угла Брюстера для двух сред,
отличающихся магнитными свойствами, если их проводимости
равны нулю.
7. Определите, как связаны модули векторов Умова – Пойнтинга волн при нормальном падении на плоскую границу раздела.
Рассмотрите различные ситуации электродинамических параметров сред.
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Во многих практически важных задачах приходится иметь
дело с ситуацией, когда на пути электромагнитного излучения
встречается какой-либо объект (препятствие), электрофизические
параметры которого отличаются от свойств окружающего пространства. В этом случае волна как бы «огибает» данное препятствие. Это явление получило название дифракции (от латинского
слова diffractus – изломанный). В широком смысле дифракцией
называется поведение поля в некоторой области, имеющей границу с теми или иными свойствами.
При решении задач дифракции считается, что
на векторы

пряженностей первичного (или падающего) поля Ei , H i , возбуждаемого сторонним источником в отсутствие объекта, известны.
Векторы напряженностей
 вторичного (рассеянного объектом) поля обозначим через Es , H s . Полное (дифракционное) поле определяется векторными
 суммами:

 


E d = Ei + E s , H d = H i + H s .
(4.1)
При изучении дифракции определяют амплитуды, фазы и поляризации векторов рассеянного или полного поля как функции
формы и электродинамических параметров объекта.
Нахождение рассеянного поля может быть выполнено на основе строгих (точных), приближенных и численных методов. С
математической точки зрения теория дифракции, состоящая в
решении линейных дифференциальных уравнений в частных
производных с линейными краевыми условиями, настолько
сложна, что до настоящего времени строгое решение имеется
лишь для небольшого числа задач.
4.1. Рассеяние электромагнитного поля
цилиндром
Проанализируем задачу дифракции электромагнитной волны
на бесконечном идеально проводящем круговом цилиндре. Ось
цилиндра совпадает с осью z , вектор напряженности электрического поля падающей волны Ei параллелен этой оси. Случай ор71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

тогональной поляризации, когда вектор напряженности Ei перпендикулярен оси, может быть рассмотрен аналогично исходя из
принципа двойственности
уравнений Максвелла заменой в реше
нии на вектор H i , который в этой ситуации будет параллелен
оси. Радиус цилиндра – a .
В цилиндрической системе координат напряженность падающей волны будет иметь только z -ю составляющую
 

Ei = eˆz Ei 0 exp(ikx ) = eˆz Ei 0 exp(ikρCosϕ ) .
(4.2)
Рассматриваемая задача является двумерной (отсутствует зависимость от переменной z ), поэтому уравнение Гельмгольца
для напряженности рассеянного
 поля, которое также будет иметь
лишь z -ю составляющую ( Es = eˆz Es ( ρ , ϕ ) , принимает вид:
1 ∂  ∂Es  1 ∂ 2 Es
+ k 2 Es = 0, ρ ≥ a, 0 ≤ ϕ ≤ 2π .
ρ
+ 2
2
ρ ∂ρ  ∂ρ  ρ ∂ϕ
(4.3)
На поверхности цилиндра касательная составляющая полного (дифракционного) поля должна обращаться в нуль, поэтому
граничное условие можно записать в следующем виде:
Es ( a, ϕ ) = − Ei 0 exp(ikaCosϕ ) .
(4.4)
При ρ → ∞ рассеянное поле должно иметь вид расходящейся
волны.
Решение уравнения (4.3) может быть получено методом разделения переменных (метод Фурье) (см. раздел 1.5.3). Представим его в виде:
Es ( ρ , ϕ ) = R( ρ )Φ (ϕ ) ,
(4.5)
где частные решения имеют вид:
Φ m = AmCos( mϕ ) + Bm Sin( mϕ ) ,
Rm = Cm H m(1) (kρ ) + Dm H m(2 ) (kρ ) .
(4.6)
(4.7)
Напряженность поля (4.4) падающей волны – четная функция
относительно угла ϕ . Поэтому можно предположить, что поле
рассеянной волны, а следовательно, и функции Φ m (ϕ ) также
должны быть четными относительно ϕ . Таким образом постоян72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ные Bm в (4.6) должны быть равны нулю. Асимптотическое поведение функций Ганкеля таково, что при больших значениях аргумента фазовый множитель имеет вид e ±ikρ , а амплитуда пропорциональна 2 πkρ . С учетом характера поведения рассеянного поля при ρ → ∞ решение для рассеянного поля можно представить в виде:
Es ( ρ , ϕ ) =
∞
 Сm′ H m(1) (kρ )Cos(mϕ ) .
(4.8)
m=0
Неизвестные константы Сm′ могут быть найдены из граничного условия. Из теории бесселевых функций известно, что
∞
exp(ixCosϕ ) = J 0 ( x ) + 2  (i ) m J m ( x )Cos( mϕ ) .
(4.9)
m =1
Подставив это выражение в правую часть выражения (4.4), а в
левую – полученное решение (4.8) при ρ = a , нетрудно получить
С0′ = − Ei 0 J 0 (ka) H 0(1) (ka) , Сm′ = −2(i ) m Ei 0 J m (ka) H m(1) (ka) .
(4.10)
Это позволяет записать решение для рассеянного поля в виде:
∞


 J 0 ( ka ) (1)
J ( ka ) (1)
ˆ
H m ( kρ )Cos( mϕ )
H 0 ( kρ ) + 2  (i ) m (m1)
E s = − e z Ei 0  (1)
H m ( ka )
m =1

 H 0 ( ka )
(4.11)
На рис. 4.1 представлены результаты расчетов угловой зависимости модуля рассеянного поля в дальней зоне
( ρ >> a , ρ >> λ ) при различных значениях дифракционного параметра ka .
В зависимости от его величины рассеянное поле приобретает
различный характер. С увеличением ka возрастает вытянутость в
направлении назад (ϕ = 180 ). В предельном случае, когда радиус
цилиндра стремится к бесконечности, приходим к задаче отражения от проводящей плоскости.
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4.1. Угловая зависимость рассеянного поля
4.2. Метод Гюйгенса – Кирхгофа
Как уже отмечалось выше, решения задач дифракции электромагнитного излучения точными методами возможно только
для объектов простой конфигурации. Поэтому для решения практических задач используют, как правило, приближенные или
численные методы анализа.
В случае, когда размеры тела значительно превышают длину
волны, для определения поля вторичного излучения (рассеянной
волны) очень часто используют метод Гюйгенса–Кирхгофа (или
просто метод Кирхгофа). Метод Гюйгенса – Кирхгофа также называют методом физической оптики. Он состоит в использовании
интегральной теоремы, согласно которой значение функции, являющейся решением приведенного волнового уравнения (Гельмгольца), в произвольной точке, находящейся внутри замкнутого
объема, выражается через ее значения и значения первой производной на поверхности, ограничивающей данный объем.
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим его применение для скалярной задачи. Обобщение для случая векторных волн называется методом Кирхгофа –
Котлера. Для простоты будем считать, что среда распростране
ния – вакуум. Рассмотрим гармоническую волну E m ( r ) exp( −iωt ) .
Очевидно, что ее комплексная амплитуда удовлетворяет уравнению Гельмгольца:
(4.12)
ΔE m + k 2 E m = 0 .
Согласно теореме Грина для комплексных функций E m и Ψ ,
имеющих непрерывные первые и вторые частные производные
как внутри некоторой области V , так и на поверхности S , ограничивающей этот объем, имеет место равенство:
 ∂E m  ∂Ψ 


(
)
(4.13)
 ΨΔEm − Em ΔΨ dV =   Ψ ∂n − Em ∂n dS ,
V
S

где n̂ – внешняя нормаль к поверхности.
Выберем в качестве функции Ψ функцию, которая удовлетворяет уравнению следующего вида:
 
(4.14)
ΔΨ + k 2 Ψ = −4πδ R − R1 ,


где R – радиус-вектор точки наблюдения, а R1 – радиус-вектор
текущей точки объема V . Важным решением (4.14) является
функция
(
)
e ikr
Ψ=
,
r
(4.15)
 
где r = R − R1 . Уравнение (4.15) описывает сферическую волну
единичной амплитуды. Она называется функцией точечного источника или функцией Грина свободного пространства.
Используя выражения (4.12) и (4.14), для левой части (4.13)
получим
 

Ψ − k 2 E m − E m − 4πδ R − R1 − k 2 Ψ dV = 4πE m ( R ) .
(
V
(
)
(
(
)
Поэтому из выражения (4.13) следует
75
))
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

1  ∂E m  ∂Ψ 
E m (R ) =
− Em
Ψ
dS .
4π S 
∂n
∂n 
(4.16)
Формула (4.16) называется интегральной теоремой Кирхгофа – Гельмгольца. Пользуясь ею, можно найти функции E m в
любой точке объема по заданному распределению функции E m и
ее производной по поверхности, ограничивающей этот объем.
Она является строгим математическим обобщением принципа
Гюйгенса – Френеля.
Рассмотрим в качестве примера использования формулы
(4.16) определение поля волны, когда препятствием является непрозрачный экран с отверстием. Геометрия задачи приведена на
рис. 4.2. Волна падает на препятствие слева. Требуется определить поле в произвольной точке за экраном. Необходимо выбрать
поверхность интегрирования в (4.16). Представим ее в виде плоской поверхности S1 , совпадающей с плоскостью экрана, и сферической поверхности S 2 с центром в точке наблюдения, опирающейся на плоскость S1 .
Рис. 4.2. Выбор поверхностей интегрирования
при дифракции на отверстии в экране
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим интеграл для поверхности S 2 . Поскольку в этом


случае направление нормали n совпадает с направлением r , то
∂
∂
=
∂n ∂r
и поэтому с учетом (4.15) получаем
∂Ψ 
1  e ikr
.
=  ik − 
r r
∂n 
При kr >> 1 в полученном выражении второе слагаемое будет
мало. Поэтому
 ∂E m  ∂Ψ 
  Ψ ∂n − Em ∂n dS =
S2
ikr
e
e ikr  ∂E m

 ∂E m

 m  r 2 dΩ,
−
−
ik
E
dS
=
ik
E



m
 r  ∂r
 r  ∂r


S2
S2
где Ω – телесный угол с центром в точке наблюдения. Из физических соображений следует, что если радиус сферы S 2 взять
достаточно большим, то интеграл для этой поверхности будет давать малый вклад в поле в точке наблюдения. Однако для гармонических полей обращение интеграла по S 2 в нуль будет выполняться лишь в случае, если на функцию E m наложить определенные условия, определяющие ее поведение при r → ∞ . Это выполняется, если
 ∂E m

lim r 
− ikE m  = 0 .
(4.17)
r → ∞  ∂r

Полученное условие называется условием излучения Зоммерфельда. Ему удовлетворяет функция E m = exp(ikr ) r , которая определяет расходящуюся сферическую волну. Обычно условие
(4.17) выполняется, т.к. возмущение, идущее от отверстия в экране, представляет собой комбинацию сферических волн, поэтому в
выражении (4.16) остается лишь интеграл по поверхности S1 .
Однако для нахождения поля в точке наблюдения необходимо
знать поведение функции E m и ее производной на внутренней
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стороне экрана, включая и поведение в пределах отверстия. Поэтому без дополнительной информации задача может быть решена лишь приближенно при определенных предположениях о значениях E m и производной. Кирхгоф принял следующие предположения, называемые граничными условиями Кирхгофа:
1) в отверстии распределение поля и его производной имеют
точно такие же значения, какие они имели бы в отсутствии экрана;
2) на внутренней стороне поверхности экрана распределение
поля и его производной тождественно равны нулю.
Практика показала, что чем больше размер отверстия по
сравнению с длиной волны, тем эти условия выполняются более
строго.
Рассмотрим падение квазиплоской волны на экран. Геометрия задачи представлена на рис. 4.3. Представим поле падающей
волны в виде: 

i (k x + k y + k z )
E mi = U 0 ( x, y, z )eik r = U 0 ( x, y, z )e x y z = U 0 ( x, y, z )ei ( Sinβ ⋅kx +Cosβ ⋅kz ) ,
где β – угол между направлением распространения падающей на
экран волны и осью z . Из геометрии задачи следует:
∂
∂
=− ,r=
∂z
∂n
( x − ξ )2 + ( y − η )2 + z 2 , ∂r = − z = −Cosα ,
∂z
r
∂Ψ
∂Ψ
1  e ikr z

= − ik − 
,
=−
r r r
∂z
∂n


∂E mi
ik r
= −U 0 ( x, y,0 )ike Cosβ = − E mi ( x, y,0)ikCosβ ,
∂n
где ξ ,η – текущие координаты в плоскости отверстия.
В волновой зоне ( kr >> 1 )
e ikr
∂Ψ
= −ik
Cosα
r
∂n
и поэтому выражение (4.16) с учетом граничных условий принимает вид:
ikr
ik
e
E m =
E mi (ξ ,η ,0)(Cosα − Cosβ )dξdη .

4π Σ r
78
(4.18)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полученная формула позволяет определить поле за экраном,
исходя из информации о падающей плоской волне в области отверстия.
Рис. 4.3. Дифракция плоской волны
на непрозрачном плоском экране с отверстием
Математическую нестрогость метода Кирхгофа можно устранить, иначе определив функцию Грина. Этот метод предложил
Зоммерфельд. Идея заключается в выборе вспомогательной
функции Ψ . Выберем функцию Грина следующим образом, чтобы она по-прежнему являлась решением уравнения (4.14), удовлетворяла условию излучения, а на границе
Ψ1 S = 0 .
1
(4.19)
В этом случае в интеграле (4.16) остается одно слагаемое и
для его решения необходимо задавать лишь граничное условие
для распределения поля по плоскости S1 . В этом случае функция
Ψ1 называется функцией Грина.
Так, в случае плоского экрана в качестве функции Грина
можно взять разность полей двух точечных источников: реального источника и источника, являющегося зеркальным отображением реального источника в плоскости экрана.
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
e ikr e ikr1
Ψ1 =
−
,
r
r1
где r = ( x − ξ )2 + ( y − η )2 + ( z − ζ )2 , r1 = ( x − ξ )2 + ( y − η )2 + (z + ζ )2 ,
ζ характеризует смещение относительно экрана.
Очевидно, что для заданной геометрии задачи при ζ = 0 имеем
∂Ψ1
∂ e ikr
1  e ikr z

Ψ1 = 0 ,
.
= −2
= 2 ik − 
r
r
r
∂n
∂ζ r


Тогда в волновой зоне из уравнения (4.16) следует:
ikr
z
e
k
dξdη .
(4.20)
E mi (ξ ,η ,0)
E m =

2πi Σ
r r
Можно предложить другое граничное условие для вспомогательной функции Ψ . А именно:
∂Ψ2
∂n
= 0.
(4.21)
S1
В этом случае для нахождения поля, как следует из (4.16), необходима информация только о распределении производной по
нормали ∂E m ∂n в плоскости экрана. Функция Ψ2 , определенная
таким образом, называется характеристической функцией Неймана. Для случая плоского экрана ее выражение имеет следующий вид:
e ikr e ikr1
Ψ2 =
+
.
r
r1
При ζ = 0
∂Ψ2
e ikr
= 0 , Ψ2 = 2
∂n
r
и поле в точке наблюдения волны определяется как
 m (ξ ,η ,0) eikr
∂
E
1
E m =
dξdη .
∂n
r
2π Σ
(4.22)
Отметим основное отличие формул (4.20) и (4.22) от выражения (4.18). Первые две получены при произвольных характери80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стиках волнового фронта падающей волны, а (4.18) – для частного случая, падения плоской волны.
Построение функций Грина, удовлетворяющих граничным
условиям (4.19) и (4.21), известно лишь для задач с достаточно
простой геометрией (полупространство, сфера и т.п.). Вид функции определяется видом поверхности и свойствами среды и не
зависит от положения источника излучения и от поля, создаваемого им на экране.
4.3. Дифракция на плоском отверстии.
Дифракция Френеля и Фраунгофера
Рассмотрим приближенные методы расчета дифрагированного поля с помощью метода Кирхгофа. Пусть плоскость экрана
совпадает с плоскостью z = 0 . Геометрия задачи приведена на
рис. 4.4. Воспользуемся интегралом (4.20) для определения поля
волны, прошедшей непрозрачный экран с отверстием произвольной формы.
Рис. 4.4. Геометрия задачи для расчета дифрагированного поля
с помощью метода Кирхгофа
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
z eikr
k


dξdη ,
Emi (ξ ,η ,0)
Em ( x , y , z ) =
2πi Σ
r r
где r = ( x − ξ )2 + ( y − η )2 + z 2 и точка наблюдения расположена
в волновой зоне, т.е. kr >> 1 .
Пусть в пределах отверстия поле меняется достаточно мало,
тогда в подынтегральном уравнении можно выделить сомножители, которые изменяются медленно при небольшом перемещении точки в плоскости экрана и которые испытывают быстрые
осцилляции. Поэтому для оценки интеграла может быть использован метод стационарной фазы.
Идея метода стационарной фазы заключается в следующем:
быстрые осцилляции приводят к тому, что основной вклад в интеграл вносит область, где показатель экспоненты имеет стационарное значение, т.е. не изменяется в первом порядке изменения
своего аргумента. Медленно меняющаяся функция выносится за
интеграл при значении аргумента, которое соответствует этой
точке стационарности. Оставшийся интеграл сводится к интегралам Френеля.
Найдем точку, где фаза φ = kr стационарна. Очевидно, что в
точке стационарности
∂φ
∂φ
= 0;
= 0,
η
∂
∂ξ
Для рассматриваемой геометрии задачи
(x − ξ )
( y −η )
∂φ
∂φ
= −k
= 0,
= −k
=0
∂ξ
r
∂η
r
и координаты точки стационарности определяются как: x = ξ ;
y = η . Разложим в ряд фазу в окрестности этой точки:

(
x − ξ )2 ( y − η )2 
.
φ ≈ k  z +
+
2z
2 z 

(4.23)
Подставим это выражение в исходный интеграл и вынесем
из-под интеграла медленно меняющуюся функцию. В результате
получим
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
k E mi ( x, y ,0) ikz
E m ( x, y , z ) =
e 
2πi
z
Σ
 ( x −ξ )2 ( y −η )2 

ik 
+

 2z
2
z
 dξdη
e 
. (4.24)
Найдем в плоскости z = 0 границы областей, где фаза в показателе экспоненты подынтегрального выражения (4.24) изменяется на π . Очевидно, что их можно представить как:
π ( x − ξ )2 π ( y − η )2
+
= πq ,
λz
λz
где q = 1, 2, 3, ... . Последнее равенство определяет семейство
концентрических окружностей с центром в точке ξ = x, η = y и
радиусами Rq = qλz . Таким образом, плоскость отверстия разбивается окружностями на концентрические кольца, которые называются зонами Френеля. При переходе от одной зоны к другой
фаза меняется на противоположную, поэтому интеграл можно
представить в виде знакопеременного ряда, q-ый член которого
определяет вклад q-ой зоны Френеля. Ряд быстро сходится. Физически это означает, что можно выделить область на поверхности экрана, которая вносит наиболее существенный вклад в формирование поля в точке приема. Эта область примерно совпадает
с первой зоной Френеля.
Действие экрана можно характеризовать так называемым
волновым параметром WP . Максимальное значение переменных
интегрирования ξ max , ηmax , которые определяются размерами
отверстия, есть величина порядка а. Под волновым параметром
понимают безразмерную величину, которая характеризуется отношением площади первой зоны Френеля к величине апертуры
отверстия
λz
WP = 2 .
(4.25)
πa
Если точка стационарности лежит в области отверстия (точка
наблюдения находит вблизи оси z ) и несколько первых зон Френеля также находятся в пределах отверстия, то
ξ max ~ a >> λz ,ηmax ~ a >> λz
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и поэтому WP << 1. В этом случае интеграл (4.24) с конечными
пределами можно заменить интегралом с бесконечными пределами
k E mi ( x, y ,0)

E m ( x, y , z ) =
2πi
z
 ( x −ξ )2 ( y −η )2 

+
∞ ik 

2
2
z
z
ikz
 dξdη .

e
e

−∞
Последний интеграл можно свести к одному из интегралов
Френеля с бесконечными пределами интегрирования
∞ ±i π x 2
e 2 dx

−∞
= (1 ± i ) .
Сделав замену переменных
( x − ξ ) = λz u, ( y − η ) = λz v
2
получим
2
∞
(u
1
ikz
2


Em ( x , y , z ) =
Emi ( x, y ,0)e  e
iλz
−∞
iπ
2
+v2
) λz
2
,
dudv = E mi ( x, y ,0)eikz .
(4.26)
Таким образом, если проекция точки наблюдения на плоскость экрана лежит внутри отверстия и существенная область
формирования дифракционного поля, совпадающая с первой зоной Френеля, не пересекает края отверстия, то поле в точке наблюдения оказывается невозмущенным. Таким образом, при
WP << 1 экран не влияет на величину поля. Однако при увеличении x или y , точка стационарности начинает перемещаться к
краю отверстия, и существенная область будет пересекать его
край. В этом случае замена пределов интегрирования на бесконечные становится неправомерной и необходимо использовать
интегралы Френеля с конечными пределами.
Понятие области, играющей существенную роль в формировании волнового процесса, имеет большое значение не только в
задачах дифракции, но и в вопросах распространения волн, излучаемых источниками конечной апертуры. Пусть, например, источником электромагнитных волн является элементарный ди84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
поль, излучающий сферическую волну exp(ikr) r , и расстояние
до точки приема d (см. рис. 4.5). Тогда в произвольной плоскости, расположенной перпендикулярно линии, соединяющей точки приема и передачи, можно построить зоны Френеля, радиусы
которых определяются как
qλd1 (d − d1 )
.
d
Rq =
d1
R1
d
Рис. 4.5. К определению зон Френеля
при распространении в свободном пространстве
Перемещение плоскости позволяет построить в пространстве
для каждой из зон огибающую, которая будет иметь вид эллипсоида вращения с фокусами в точках приема и передачи. Эллипсоиды, соответствующие наименьшим номерам зон Френеля, определяют область пространства, играющую наиболее существенную роль в формировании поля в точке приема. Поэтому, если
препятствие, которое может находиться недалеко от этой области, не пересекает эту существенную область, то его влиянием
можно пренебречь и считать, что распространение происходит в
свободном пространстве.
Рассмотрим процесс формирования поля отверстием при
удалении точки наблюдения от плоскости экрана. В этом случае
размер первой зоны Френеля становится соизмерим с размером
отверстия. В этом случае метод стационарной фазы становится
неприменим, т.к. WP ~ 1 предположение о медленности изменения функции E mi (ξ ,η ,0) не выполняется. На краю отверстия, согласно граничным условиям Кирхгофа, она резко падает от ко85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нечного значения до нуля. Рассмотрим поведение поля в случае,
если точка наблюдения находится вблизи оси z , т.е.
x −ξ
y −η
<< 1 ,
<< 1 .
z
z
Разложим модуль радиуса-вектора в ряд
r = z 1+
( x − ξ )2 ( y − η )2
+
z2
z2
1 ( x − ξ )2 1 ( y − η )2
≈z+
+
.
2
z
2
z
Тогда выражение для поля в точке приема принимает вид:
ikz
e
E m ( x, y , z ) =
E mi (ξ ,η ,0)e

iλz Σ
ik
(( x −ξ )2 + ( y −η )2 )
2z
dξdη .
Если вынести из полученного равенства члены, не зависящие
от переменных интегрирования, то
ikz
e
E m ( x, y , z ) =
e
iλz
ik
(x 2 + y 2 )
2z
 E mi (ξ ,η ,0)e
ik
(ξ 2 +η 2 )
2z
 ξx +ηy 
− ik 

e  z dξdη .
Σ
(4.27)
На расстояниях, для которых значения волнового параметра
WP ~ 1 , поле определяется интегралом (4.27). Эта область называется областью дифракции Френеля.
Если дальше отодвигать точку наблюдения, то при WP >> 1
показатель первого экспоненциального множителя в (4.27) будет
принимать малые значения
kξ 2
1 kη 2
1
~
,
~
2 z WP 2 z WP
и поэтому
exp ik (ξ 2 + η 2 ) 2 z ≈ 1.
(
)
В этом случае выражение (4.27) принимает вид:
ikz ik
e
E m ( x, y , z ) =
e
iλz
или
(x 2 + y 2 )
2z
 ξx +ηy 
−ik 

z 

e
dξdη
 E mi (ξ ,η ,0)
Σ
86
(4.28)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
e ikz ik

E m ( x, y , z ) =
e
iλz
где f x = x λz , f y = y λz ,
(x 2 + y 2 )
2z
( 2π ) 2 E 0 ( 2πf x ,2πf y ) ,
∞
 mi ( x, y ,0)e − i 2π ( f x x + f y y )dxdy .
E

E 0 ( f x , f y ) =
(4.29)
(4.30)
−∞
Функция E 0 ( f x , f y ) называется угловым (пространственным)
спектром функции E mi ( x, y ,0) в плоскости z = 0 , а f x , f y – пространственными частотами. Очевидно, что
E mi ( x, y ,0) =
∞
 E 0 ( f x , f y )e
(
i 2π f x x + f y y
)
df x df y .
(4.31)
−∞
Если ввести новые переменные
k x = 2πf x = 2πx λz = kCosα , k y = 2πf y = 2πy λz = kCosβ ,
то
E mi ( x, y ,0) =
∞
 0 (k x , k y )e i (k x x + k y y )dk x dk y ,
E

−∞
E 0 (k x , k y ) =
1
∞
E ( x, y ,0)e
2  mi
(2π ) − ∞
(
−i k x x + k y y
)
dxdy .
(4.32)
(4.33)
Подынтегральное выражение в преобразовании (4.32) представляет собой комплексную амплитуду плоской гармонической волны с компонентами волнового вектора k x , k y и k z = k 2 − k x2 − k y2
и амплитудой E 0 ( k x , k y ) , зависящей от направления распространения, направляющие косинусы которого определяются как
Cosα = k x k , Cosβ = k y k , Cosγ = k y k .
Это объясняет название функции E 0 ( f x , f y ) .
Нетрудно показать, что выражение (4.28) совпадает с представлением
углового
спектра
функции
2
2
E mi (ξ ,η ,0) exp ik ξ + η 2 z для пространственных частот f x , f y .
( (
) )
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Область значений WP >> 1 называется областью дифракции
Фраунгофера. Распределение интенсивности поля волны в этой
зоне определяется квадратом модуля углового спектра излучения
в плоскости экрана
2
I = E m
2
2
 2π 
 2πx 2πy 
=   E 0 
,
 .
 λz 
 λz λz 
(4.34)
Для некоторых простейших видов отверстий угловой спектр
может быть найден аналитически. Например, для отверстия прямоугольной формы с размерами a и b :
1
 2πx 2πy 
E 0 
,
=
 λz λz  (2π )2
=
a2 b2
yη 
xξ 


exp
−
ik
exp
−
ik



dξdη =
 
z
z




−a 2 −b 2
ab Sin(πxa λz ) Sin(πyb λz )
.
2
π
xa
λ
z
π
yb
λ
z
(2π )
Интенсивность поля при этом
 ab 
I = 
 λz 
2
 Sin(πxa λz ) 


π
λ
xa
z


2
2
 Sin(πyb λz ) 

 .
π
λ
yb
z


Для круглого отверстия радиуса a выражение для углового
спектра можно получить, перейдя к полярным координатам
ξ = ρCosϕ k x = qCosφ
,
, 

k
=
qSin
φ
η
=
ρ
Sin
ϕ

 y
 ρ = ξ 2 + η 2
,

ϕ = arctg (η ξ )
 q = k 2 + k 2
x
y
.

(
)
φ
=
arctg
k
k

y
x
Поэтому
2π a
1 a
ρe
dρdϕ =
ρJ 0 (ρq )dρ

2 
π
2
(2π ) 0 0
0
и выражение для углового спектра можно записать как:
a
E 0 (q ) =
J 1 ( aq) ,
2πq
E 0 (q, φ ) =
1
− iρqCos (ϕ − φ )
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где J 0 ( x ), J1 ( x ) – цилиндрические функции Бесселя нулевого и
первого порядка.
Тогда выражения для углового спектра и распределения интенсивности поля при дифракции на круглом отверстии принимают вид:
 2πa 2 
a 2 J 1 ( 2πρa λz )


E0 =
, I = 

z
2π 2πρa λz
λ


2
2
 J 1 ( 2πρa λz ) 

 .
a
z
2
πρ
λ


Ранее мы определяли дифракционное поле, которое возникает
в результате взаимодействия волны с отверстием в непрозрачном
экране. В теории дифракции большое значение имеет принцип Бабине, который устанавливает связь между амплитудами и фазами
волн, дифрагировавших на дополнительных экранах. Дополнительными называются экраны, у которых отверстия одного точно
совпадают с непрозрачными частями другого. Если E m1 и E m 2 –
комплексные функции, характеризующие поле волны при прохождении через один из экранов, то для дополнительных экранов



E m1 ( r ) + E m 2 ( r ) = E m ( r ) ,
(4.35)
где E m – невозмущенное поле. Из (4.35) можно найти дифракционное поле при взаимодействии на непрозрачном экране конечных размеров через дифракционное поле для непрозрачного экрана с отверстием, размеры которого точно совпадают с размерами первого экрана.
Вопросы для самоконтроля
1. Объясните, почему необходимо вводить ограничения на
угол падения плоской волны на экран, чтобы воспользоваться
при анализе дифракции методом Кирхгофа?
2. Проведите аналогию между угловым спектром пространственно-ограниченного волнового возмущения и частотным
спектром временного импульса конечной длительности.
3. Определите интенсивность в зоне дифракции Фраунгофера
для случая непрозрачного кольца при нормальном падении волны.
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Определите угловое положение, соответствующее первым
нулям интенсивности волны в зоне дифракции Фраунгофера, для
прямоугольного и круглого отверстий.
5. Графически изобразите в поперечной плоскости распределение интенсивности (нормированной) волны, дифрагировавшей
на отверстии в непрозрачном экране, при значениях волнового
параметра WP << 1 , WP ≈ 1, WP >> 1 .
5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И ВОЛНЫ
В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
Анизотропные среды – это среды, физические свойства которых в каждой точке зависят от направления. Это означает, что
направление приложенного поля не совпадает с направлением
отклика среды. Если зависимость свойств от направления в различных точках среды одинакова, то такая анизотропия называется однородной. При распространении в такой среде, например,
изначально сферической волны, форма фазового фронта искажается. Анизотропия может быть связана со структурой среды (так
называемые естественно-активные среды) или может создаваться наложением внешних полей – электрического, магнитного, поля упругих деформаций и т.п. (так называемые естественнонеактивные среды).
5.1. Общие закономерности переменных полей
в анизотропных средах
Особенности взаимодействия электромагнитного поля с такими средами определяются специфической формой материальных уравнений. Рассмотрим среду без потерь. Материальные
уравнения в общем случае имеют вид:
  
D = ε a E,
(5.1)
  
B = μa H .


Здесь ε a и μ a – тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей.
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


Обычно либо ε a , либо μ a являются скалярными величинами,
т.е. анизотропия имеет место только по электрическим или магнитным свойствам, но не одновременно. Рассмотрим случай, ко
гда среда анизотропна по электрическим свойствам, т.е. μa –
скаляр.
Уравнения Максвелла для плоской гармонической волны в
этой ситуации можно записать как:

[k × H ] = −ωD ,
 

k × E = ωμa H ,
[
]
(5.2)

(k ⋅ D ) = 0,

(k ⋅ H ) = 0.
Материальные уравнения имеют следующий вид:
  
D
 = ε a E,
(5.3)
B = μa H .
  
Из системы (5.2) следует, что векторы k , D, H взаимно пер  
 
пендикулярны. Кроме того, H⊥E . Поэтому векторы k , D, E ле

жат в одной плоскости, но D не коллинеарен E вследствие материального
уравнения (5.3). В плоскости волнового фронта
 
k ⋅ r = const лежат векторы D, H , но не E . Поскольку вектор
Умова – Пойнтинга

 
П = [E × H ],
( )
то направление переноса энергии не совпадает
  с направлением

перемещения волнового фронта. Векторы k , D, E , П – компланарны. Поэтому фазовая и групповая скорости не совпадают по
направлению.
Рассмотрим анизотропию среды по магнитным свойствам.
Уравнения Максвелла в этом случае имеют вид:
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 

k × H = −ωε a E ,
[
]

[k × E ] = ωB ,
(5.4)

(k ⋅ E ) = 0,
 
k ⋅ B = 0,
(
)
а материальные уравнения записываются
как:


D = ε a E,
(5.5)
  
B = μa H .
   

В этом случае векторы k , H , B, П компланарны, а вектор E
перпендикулярен им. Как и для предыдущего случая, групповая и
фазовая скорости не совпадают по направлению. Это одна из основных особенностей распространения волн в анизотропной среде.
Рис. 5.1. Взаимное расположение векторов электромагнитной
волны в анизотропной по диэлектрическим свойствам среде
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 5.2. Взаимное расположение векторов электромагнитной
волны в анизотропной по магнитным свойствам среде
Другая особенность волн в анизотропных средах – зависимость скорости распространения от направления и поляризации.
В анизотропной среде нет смысла разделять волны на продольные и поперечные, т.к. показатель преломления зависит от выбранного направления. Кроме того, оказывается, что каждому направлению распространения соответствует две волны. Эти две
волны имеют ортогональную поляризацию.
5.2. Волны в кристаллах. Уравнение Френеля.
Обыкновенные и необыкновенные волны
В кристаллах имеет место анизотропия по электрическим

свойствам, причем тензор ε a симметричен, т.е.
ε ij = ε ji .
(5.6)
Если можно пренебречь поглощением (среда прозрачна), то
все компоненты ε ij вещественны. Как известно, симметричный
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вещественный тензор поворотом осей можно свести к диагональному виду, т.е.:
 ε xx

εa = ε0  0
 0


0
ε yy
0
0 

0 .
ε zz 
(5.7)
В зависимости от структуры кристаллических сред и симметрии тензора диэлектрической проницаемости их можно разделить
на три группы:
1. Кубические кристаллы: ε xx = ε yy = ε zz . Направление главных осей произвольно и кристаллы оптически изотропны.
2. Одноосные кристаллы: ε xx = ε yy ≠ ε zz . Одна из главных
осей совпадает с осью симметрии кристалла – оптической осью,
две другие компоненты равны между собой.
3. Двуосные кристаллы: ε xx ≠ ε yy ≠ ε zz . Все три компоненты
различны.
Рассмотрим распространение
в кристалле плоской гармони 
ческой волны. Пусть m̂ = k k – единичный вектор нормали к фазовому фронту волны. Тогда первые два уравнения Максвелла
принимают вид:

 
m̂
× H = −υ D ,
(5.8)



ˆ  
m
×
E
=
υμ
H
.
(5.9)
a


Очевидно, что


  
 
mˆ mˆ ⋅ E − E = υμa  mˆ × H  = − μaυ 2 D .
(5.10)
  
Поскольку D = ε a E , то в декартовой системе координат, оси

которой совпадают с главными осями тензора ε a , уравнение
(5.10) можно представить как:
ˆ 
mi mE − 1 − υ 2 μ0 με 0ε ii Ei = 0,i = 1 ÷ 3 .
(5.11)



Пусть вектор E направлен по оси x , т.е. E = Ex eˆx . Тогда
(5.11) принимает вид:
(
)
( ) (
)
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1 − υ
2
)
μ 0 με 0ε xx E x = 0 .
(5.12)
Поэтому
1
2
υ =
μ 0 με 0ε xx
=
c2
με xx
= υ x2 ,
(5.13)
т.е. равна фазовой скорости волны в изотропной среде с диэлектрической проницаемостью ε xx . Аналогичные результаты полу
чаются, если вектор E направлен вдоль других осей. Таким образом, получаемые фазовые скорости
есть скорости распростране
ния при ориентации вектора E вдоль главных осей тензора. Они
называются главными скоростями.
υ x = c με xx ,
(5.14)
υ y = c με yy ,
υ z = c με zz .
Рассмотрим распространение волны в произвольном направлении. Очевидно, что уравнения (5.11) можно записать как:
ˆ   υ 2 
mi m ⋅ E − 1 − 2  Ei = 0 .
(5.15)
 υ 
i 

После умножения на mi 1 − υ 2 υi2 и сложения всех трех равенств получим:
 2
 2
 2
2 
2 
2 
ˆ
ˆ
ˆ
mx m ⋅ E υ x m y m ⋅ E υ y mz m ⋅ E υ z
ˆ 
+
+
−
m
⋅ E = 0.
υ x2 − υ 2
υ y2 − υ 2
υ z2 − υ 2
(
)
(
(
)
(
)
)
(
)
(
)
Последнее соотношение очевидным образом сводится к
уравнению Френеля:
m 2y
m x2
mz2
(5.16)
+
+
= 0.
υ x2 − υ 2 υ y2 − υ 2 υ z2 − υ 2
Оно позволяет определить фазовую скорость υ в произволь
ном направлении, задаваемом вектором m̂ . Очевидно, что оно
квадратично относительно υ 2 . Это значит, что каждому направ
лению m̂ соответствуют две фазовые скорости, т.е. две волны.
Можно показать, что они линейно поляризованы в двух перпендикулярных плоскостях. В отличие от изотропных сред, в кото95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рых могут распространяться волны произвольной поляризации, в
кристаллах волн с круговой и эллиптической поляризацией не
существует. Любая волна расщепляется на две волны с линейными поляризациями, распространяющимися с разными фазовыми
скоростями.
Рассмотрим распространение в одноосном кристалле. Введем
обозначения:
ε xx = ε yy = ε ⊥ ,
(5.17)
ε zz = ε || ,
υ x = υ y = c με ⊥ = υ ⊥ ,
υ z = c με || = υ|| .
(5.18)
Тогда уравнение Френеля (5.16) приобретает вид:
(υ
)[ (
2
)
(
)
(
)]
− υ ⊥2 m x2 υ 2 − υ||2 + m 2y υ 2 − υ||2 + mz2 υ 2 − υ ⊥2 = 0 .

Пусть вектор m̂ составляет с осью z угол θ . Тогда
(υ
2
)([
mz2 = Cos 2θ , m x2 + m 2y = Sin 2θ ,
)
(
)
]
− υ ⊥2 υ 2 − υ||2 Sin 2θ + υ 2 − υ ⊥2 Cos 2θ = 0 .
(5.19)
Корни последнего уравнения:
υ12 = υ ⊥2 , υ 22 = υ||2 Sin 2θ + υ ⊥2 Cos 2θ .
(5.20)
Таким образом, фазовая поверхность распадается на две:
сферу с радиусом υ ⊥ и эллипсоид вращения. Следовательно, в
любом направлении распространяются две волны: обыкновенная
с постоянной фазовой скоростью υ1 , не зависящей от направления, и необыкновенная с фазовой скоростью υ 2 , которая зависит
от направления распространения. Из (5.20) видно, что скорости
этих волн одинаковы, если волна распространяется вдоль оптической оси.
При υ ⊥ > υ|| эллипсоид лежит внутри сферы. В этом случае
обыкновенная волна распространяется быстрее необыкновенной
(см. рис. 5.3). Кристаллы с такими свойствами называются положительными одноосными кристаллами. Пример такой среды –
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кварц. При υ ⊥ < υ|| , наоборот, необыкновенная волна распространяется быстрее обыкновенной (см. рис. 5.4). Кристаллы называются отрицательными одноосными кристаллами. Пример такой
среды – исландский шпат.
Рис. 5.3. Вид фазовой поверхности
для положительного одноосного кристалла
Рис. 5.4. Вид фазовой поверхности
для отрицательного одноосного кристалла
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Аналогично фазовой скорости в кристаллах каждому направлению соответствуют две групповые скорости, причем для обыкновенной волны направления фазовой и групповой скоростей
совпадают, а для необыкновенной – не совпадают. Рассмотрим

это подробнее. Положим для простоты, что вектор m̂ лежит в
плоскости z0 y , т.е. mx = 0 . Тогда выражение для фазовой скорости необыкновенной волны преобразуется к виду:
υ 22 = ω 2 k 2 =υ||2 Sin 2θ + υ ⊥2 Cos 2θ .
Поэтому
ω 2 = c 2 k y2 με || + c 2 k z2 με ⊥ .
(5.21)
′
 Угол θ между направлением групповой скорости (вектором
П ) и осью кристалла (осью z ) можно определить как:
tgθ ′ =
υ ãð2 y ∂ω ∂k y
.
=
υ ãð2 z ∂ω ∂k z
(5.22)
Из (5.21) следует, что
c 2 k y c 2 kSinθ
c 2k z
c 2 kCosθ
υ ãð2 y =
=
, υ ãð2 z =
=
.
ωε ||μ
ωε ⊥ μ
ωε ||μ
ωε ⊥ μ
С учетом последних выражений (5.22) принимает вид:
tgθ ′ = tgθ ⋅ ε ⊥ ε || .
(5.23)
Последнее выражение показывает, что отличие направлений
групповой и фазовой скоростей волны определяется отношением
диэлектрических проницаемостей среды.
При падении электромагнитной волны на границу раздела
"вакуум – одноосный кристалл" образуются две преломленные
волны, т.к. показатель преломления для обыкновенной и необыкновенной волн, как следует из (5.20), различен. Явление называется двойным лучепреломлением.
Рассмотрим двуосные кристаллы. Пусть ε xx < ε yy < ε zz , поэтому υ x > υ y > υ z . Уравнение Френеля (5.18) можно записать в
следующем виде:
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
m x2 υ 2 − υ y2 υ 2 − υ z2 + m 2y υ 2 − υ x2 υ 2 − υ z2 + mz2 υ 2 − υ x2 υ 2 − υ y2 = 0
(5.24)
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Чтобы получить вид фазовой поверхности, целесообразно
рассмотреть ее сечения тремя плоскостями x = 0, y = 0, z = 0 , т.е.
mx = 0 , m y = 0 , m z = 0 . В этом случае получаются соответствующие кривые, которые приведены на рис.5.5.
Рис. 5.5. Вид фазовых поверхностей
для двуосного кристалла в различных плоскостях
Объемный вид фазовой поверхности для x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
представлен на рис. 5.6. Кривые пересечения имеют четыре общие точки. Две линии, соединяющие противоположные общие
точки и начало координат, называются оптическими осями или
бинормалями кристалла.
Рис. 5.6. Объемный вид фазовых поверхностей
в двуосном кристалле
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.3. Электромагнитные волны
в магнитоактивных средах. Тензор
диэлектрической проницаемости плазмы
Плазма – система электронов, ионов и нейтральных молекул, находящихся во внешнем магнитном поле (например, ионосфера Земли, солнечная корона). Она относится к естественно неактивным средам, т.к. свою анизотропию относительно диэлектрической проницаемости проявляет только при наличии магнитного поля. Среды, которые принимают анизотропные свойства
под действием внешнего магнитного поля, называются магнитоактивными. Если анизотропия проявляется по электрическим
свойствам, то такие среды называются гироэлектрическими.
Рассмотрим приближенный метод решения, т.к. общее решение достаточно сложное. Наличие постоянного магнитного
поля H С приводит к вращательному движению заряженных частиц. Это можно характеризовать так называемыми гироскопическими частотами:
ω H = (μ0e m )H С ,
Ω H = (μ0 e mИ )H С ,
(5.25)
где e – заряд электрона, m – его масса, mИ – масса иона.
Рассмотрим практически важный случай, когда частота
внешнего электромагнитного поля ω >> Ω H . В этом случае можно считать, что ионы неподвижны и плазма – это электронный газ
с концентрацией N электронов в единице объема. Кроме того,
будем полагать, что поле волны достаточно слабое по сравнению
с постоянным магнитным полем, т.е. H С >> H . В этом случае
уравнение движения свободного электрона можно представить в
виде:




d 2r
dr
 dr  
m 2 + mν
= eE + μ0 e  × H С  ,
(5.26)
dt
dt
dt


где ν – эффективная частота соударений электронов, а слагаемое
в правой части – сила Лоренца.
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

̂
Выберем систему координат так, что H = H C ez . Тогда после


умножения (5.26) на eN и учета, что P = er N , получим:



2


d P
dP
ˆ dP 
2
+
ν
+
ω
×
=
ω
ε
(5.27)
e
E

H  z
N 0 ,
2
dt
dt
dt


e2 N
2
.
где ω N =
mε 0
Предполагая гармонический характер волны, после дифференцирования имеем:



ˆ  
2 
2

−ω P − iων P − iωωH ez × P = ω N ε 0 E
(5.28)


или в декартовой системе координат
− ω 2 Px − iνωPx + iωωH Py = ωN2 ε 0 E x
 2
2
− ω Py − iνωPy − iωωH Px = ωN ε 0 E y .
 2
2
−
−
=
ω
P
i
νω
P
ω
ε 0 Ez
z
z
N

(5.29)
Решение системы (5.29) позволяет получить в явном виде
связь компонент вектора поляризации с полем волны. Поскольку
  
 
D = εa E = ε0E + P ,
то выражение для тензора диэлектрической проницаемости плазмы во внешнем магнитном поле имеет вид:
 ε xx

ε a = ε 0  ε yx
 0


где
ε xy
ε yy
0


,
ε zz 
0
0
(5.30)
(ω + iν )ω N2
ω N2
ε xx = ε yy = 1 −
, ε zz = 1 − 2
,
ω + iων
ω ((ω + iν )2 − ω H2 )
ε xy = −ε yx
ω H ω N2
= −i
.
2
2
ω (ω + iν ) − ω H
(
)
(5.31)
Среды с таким кососимметричным тензором (5.30) называются гиротропными. Они обладают рядом специфических
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
свойств. Если пренебречь соударениями (диссипацией энергии),

то из (5.33) следует, что в этом случае все равно тензор ε комплексен, т.е. поглощение энергии все равно существует. Кроме
того, при ω → ω H имеет место явление гиромагнитного резонанса, когда поглощение становится очень большим.
Необходимо отметить еще одну особенность

 магнитоактивной среды. В направлении оси z векторы D и E параллельны. В
плоскости x 0 y Dx ± iD y = (ε xx  iε xy )( E x ± iE y ) . Так как выраже
ние ε xx  iε xy , как следует из (5.33), вещественно, то векторы D и

E параллельны только для волн, имеющих круговую поляризацию. Поэтому в плазме любая волна расщепляется на две волны с
круговой поляризацией, которые распространяются с разной фазовой скоростью.
5.4. Электромагнитные волны
в гиромагнитных средах
Ферриты – это электромагнитные полупроводники и диэлектрики, образованные спеканием окисей железа и соединений
двухвалентного металла. Обычная химическая формула
MeOFe2O3 , где Me – двухвалентный металл (марганец, цинк, барий и т.д.). Анизотропия создается, как и в плазме,
постоянным

или медленно меняющимся магнитным полем H C . При отсутствии магнитного поля феррит не обладает анизотропией (за исключением незначительной кристаллической анизотропии). Среды, которые обладают анизотропией по магнитным свойствам,
называются гиромагнитными.
Квантовая теория ферромагнетизма основана на том факте,
что последний электрон в оболочке иона двухвалентного металла
обладает собственным магнитным и механическим моментом.
Совокупность этих двух свойств находит выражение в квантово –
механическом понятии спина электрона. Спин – такое же неотъемлемое свойство электрона, как заряд, масса. Однако спин – это
не вращающийся электрон, как предполагали в начале. И все же,
чисто качественно рассматривая движение электрона в атоме и
его спин как круговой ток, который проявляется как магнитный
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
диполь, можно в общих чертах правильно описать экспериментальные данные.
Поскольку элементарному замкнутому току соответствует

магнитный момент pm , то при воздействии внешнего магнитного

поля H C этот виток стремится повернуться так, чтобы векторы
поля и момента были параллельны и энергия была минимальной.
Момент силы, действующий на систему с магнитным моментом

pm , равен:



K = μ0 [pm × H C ].
(5.32)
С другой стороны, момент силы для движущейся
 частицы


связан с изменением момента количества движения Le = [r × mυ ]
зависимостью:

 dLe
K=
.
(5.33)
dt
Если рассматривать движение электрона по орбите с позиций классической механики, то
pm
e
.
=−
Le
2m
В квантовой механике это отношение равно:
pm
e
= − = −γ ,
Le
m
где γ = 1,76 ⋅ 1010 Кл кг – гиромагнитное отношение.
С учетом последнего уравнение движения магнитного момента электрона в магнитном поле имеет вид:


dpm

= − μ0γ [pm × H C ].
(5.34)
dt

̂
Выберем систему координат так, что H = H C e z . Тогда (5.34)
можно представить покоординатно как:
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 dpmx
 dt + μ0γH C pmy = 0,

 dpmy
− μ0γH C pmx = 0,

dt

 dpmz
 dt = 0.

(5.35)
Из системы (5.35) несложно получить, что
d 2 pmx
2
(
)
+
μ
γ
H
pmx = 0 ,
0
C
2
dt
решение которого имеет вид:
pmx = ACos(Ωt + ϕ ) ,
где Ω = μ0γH C – частота ферромагнитного резонанса.
Аналогично можно получить решение для второй компоненты
pmy = ASin (Ωt + ϕ ).

Приведенные решения показывают, что вектор pm прецес
сирует вокруг H C с частотой Ω .
Структура феррита такова, что отдельные магнитные моменты молекул остаются не скомпенсированы и единица объема
обладает
некоторым не равным нулю магнитным моментом


М e ~ pm N . Если умножить (5.34) на концентрацию частиц, то
получим уравнение Ландау – Лифшица:



dM e
+ γμ0 [M e × Í C ] = 0 .
(5.36)
dt
Рассмотрим распространение электромагнитной волны в такой среде. Геометрия задачи приведена на рис. 5.7. Представим
векторы в уравнении Ландау – Лифшица в виде:



He = HC + H ,



Me = MC + M ,
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


где M Ñ – постоянная намагниченность, которая совпадает с H С .
В этом случае (5.36) принимает вид:






[
d MÑ + M ]
+ γμ0 [(M Ñ + M ) × (H Ñ + H )] = 0 .
dt
Рис. 5.7. Расположение векторов
в задаче распространения волны в феррите
Будем считать, что H << H Ñ , M << M Ñ . Тогда



 
dM
+ γμ0 {[M Ñ × H ] + [M × H Ñ ]} = 0 .
dt
Пусть волна гармоническая, в этом случае из последнего равенства имеем:
− iωM x + γμ0 (− M Ñ H y + M y H Ñ ) = 0,
− iωM y + γμ0 (M Ñ H x − M x H Ñ ) = 0,
(5.37)
− iωM z = 0.
Решение
последней системы позволяет получить явный вид

вектора M . Поскольку из материальных уравнений
  


B = μ a H = μ0 (H + M ),
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
то тензор магнитной проницаемости феррита имеет вид:
 μ xx

μ a = μ0  μ yx
 0


μ xy
μ yy
0
0 

0 ,
μ zz 
(5.38)
где
iωγμ0 M С
Ωγμ0 M С
,
μ
=
= − μ yx , μ zz = 1. (5.39)
xy
ω 2 − Ω2
ω 2 − Ω2
То есть тензор магнитной проницаемости имеет такой же
вид, как и тензор диэлектрической проницаемости плазмы. Поэтому при распространении в феррите электромагнитных волн
имеют место аналогичные эффекты, что и для плазмы.
μ xx = μ yy = 1 −
5.4. Распространение электромагнитных волн
в гиротропных средах
Рассмотрим распространение электромагнитных волн в гиротропных средах. Очевидно, что уравнения Максвелла для свободного гармонического поля при отсутствии свободных зарядов
и токов в области пространства, не содержащей источники поля,
в таких средах имеют вид: 
 
rotH = −iωε a E ,


rotE = iωμa H ,
(5.40)
 
divε a E = 0,

divH = 0
для плазмы и


rotH = −iωε a E ,

 
rotE = iωμa H ,
(5.41)

divE = 0,
 
divμa H = 0
для феррита.
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Пусть внешнее магнитное поле H С ориентировано по оси z .
Тогда в декартовой системе координат с учетом свойств тензоров
для плазмы и феррита уравнения (5.42) и (5.43) переходят друг в


друга при соответствующей замене компонент ε a и μa , скаляров


ε a и μ a , также векторов E и H . Это отражает принцип перестановочной двойственности уравнений Максвелла для однородных
гиротропных сред. Он является расширением обычного принципа
двойственности для изотропных сред и позволяет рассматривать
задачи в гироэлектрических и гиромагнитных средах как взаимозаменяемые. Поэтому в таких средах имеют место одинаковые
эффекты.
Рассмотрим случай распространения гармонической
плоской

электромагнитной волны в направлении вектора H С . Для примера считаем, что среда распространения – намагниченный феррит.
Решение ищем в виде




E m = E 0 exp(ikz ), H m = H 0 exp(ikz ),
(5.42)


где амплитуды (вообще говоря, комплексные числа) E и H не
0
0
зависят от координат x и y .
Для рассматриваемого случая из (5.41) имеем
− ikH 0 y = −iωε 0εE 0 x , − ikE 0 y = iωμ0 (μ xx H 0 x + μ xy H 0 y ),
ikH 0 x = −iωε 0εE 0 y ,
ikE 0 x = −iωμ0 (μ xy H 0 x − μ xx H 0 y ),
(5.43)
0 = −iωε 0εE 0 z ,
0 = iωμ0 μH 0 z .
Из двух нижних равенств полученной системы следует, что
волны не имеют проекции на направление распространения, т.е.
являются чисто поперечными. Выражая компоненты магнитного
вектора через значения электрической компоненты поля
ωε ε
ωε ε
H 0 y = 0 E 0 x , H 0 x = − 0 E 0 y ,
k
k
получим систему для компонент электрического вектора следующего вида:
(
)
)
k02εμ xy E 0 x + k 2 − k02εμ xx E 0 y = 0
,
 2
2
2


 k − k0 εμ xx E0 x + k0 εμ xy E0 y = 0
(
107
(5.44)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где k0 = ω ε 0 μ0 – волновое число в вакууме. Для совместности
системы необходимо, чтобы ее определитель был равен нулю.
Поэтому имеем биквадратное уравнение для неизвестного волнового числа
(
)
2
2
k 4 − 2k 2k02εμ xx + k04ε 2 μ xx
+ μ xy
= 0.
Решение данного уравнения относительно постоянной распространения k имеет вид:
k12,2 = k02ε (μ xx ± iμ xy ) ,
или
k1±,2 = ± k 0 ε (μ xx ± iμ xy ) ,
(5.45)
где знак + перед корнем соответствует двум волнам, бегущим в
положительном направлении оси z , а отрицательный знак – в
противоположном направлении.
Рассмотрим волну, бегущую в положительном направлении.
В соответствии с формулой (5.45) имеем две поперечные электрические волны с разными фазовыми скоростями
υ1,2 =
k0
ω
c
=
,
ε (μ xx ± iμ xy ) n1,2
(5.46)
где показатели преломления определяются как:
n1,2 = ε (μ xx ± iμ xy ) .
(5.47)
Из (5.47) в явном виде следует, что при падении электромагнитной волны из изотропной среды на феррит (плазму) имеет
место явление двойного лучепреломления.
Определим поляризацию этих волн. Так множитель поляризации Ρ = E 0 x E 0 y , то из системы (5.44) получим:
(
)
)
 k02εμ xy Ρ = − k 2 − k02εμ xx ,

 2
1
2
2
−
=
−
.
k
k
εμ
k
εμ
0
xx
0
xy

Ρ
(
Откуда следует, что Ρ 2 = −1 , т.е. Ρ = ±i , что соответствует круговой поляризации волн.
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Исходя из вышеприведенных формул, можно написать явные выражения для векторов электромагнитного поля волны в
гиромагнитной среде при продольном распространении. Для волны, бегущей в положительном направлении оси z , они имеют
вид:


E 



E m = E0 eˆx ± ieˆ y exp(ik1,2 z ), H m = 0 eˆ y ± ieˆx exp(ik1,2 z ) , (5.48)
Z Â1,2
где волновое сопротивление определяется следующим выражением:
μ ± iμ xy
k
Z Â1,2 = 1,2 = Z 0 xx
.
(5.49)
(
)
(
ωε 0ε
)
ε
Формулы для напряженностей поля волн, распространяющихся в направлении, обратном направлению оси z , имеют такой
же вид за исключением знака в показателе экспоненты.
Аналогичные выражения могут быть получены для гироэлектрической среды путем соответствующей замены в соответствии с принципом перестановочной двойственности уравнений
Максвелла.
Так как любая линейно поляризованная волна может быть
представлена в виде суперпозиции двух волн с круговой поляризацией, то в гиротропной среде при продольном распространении
исходная линейно поляризованная волна расщепляется на две поляризованные по кругу волны, скорости распространения которых по причине разных показателей преломления отличаются.
Вследствие этого при прохождении некоторого расстояния между этими волнами возникает фазовый сдвиг, что соответствует
появлению ортогональной (линейной) составляющей на выходе
из среды. В результате этого плоскость поляризации исходной
волны поворачивается на угол, который пропорционален пройденному расстоянию. Это явление называется эффектом Фарадея. Отметим, что угол поворота не зависит от направления распространения, поскольку в решении (5.45) есть две бегущие в
противоположных направлениях волны. Данная особенность используется для построения различных невзаимных СВЧ устройств.
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим другую ситуацию, когда плоская гармоническая
волна распространяется в направлении,
перпендикулярном на
правлению внешнего поля Н С . Выберем декартовую систему координат так, чтобы одна из осей совпадала с направлением распространения, например это ось x . Рассмотрим этот процесс на
примере плазмы.
Решение ищем в виде




E m = E 0 exp(ikx ), H m = H 0 exp(ikx ) ,
(5.50)
где амплитуды не зависят уже от y и z .
В этом случае из общей системы Максвелла (5.40) имеем
следующие соотношения:
0 = −iωε 0 (ε xx E 0 x + ε xy E 0 y ),
0 = iωμ0 μH 0 x ,
− ikH 0 z = iωε 0 (ε xy E 0 x − ε xx E 0 y ), − ikE 0 z = iωμ0 μH 0 y , (5.51)
ikE 0 y = iωμ0 μH 0 z .
ikH 0 y = −iωε 0ε zz E 0 z ,
Эти шесть уравнений образуют две независимые системы.
Очевидно, что первая из них определяется двумя равенствами
kH 0 y = −ωε 0ε zz E 0 z ,
− kE 0 z = ωμ0 μH 0 y .
(5.52)
Подставляя из первого компоненту напряженности магнитного поля, получаем уравнение для компоненты электрического
поля
(5.53)
k 2 − k02ε zz μ E 0 z = 0 .
(
)
Нетривиальное решение (5.53) возможно лишь при следующем условии:
k = ± k0 ε zz μ .
(5.54)
Знаки в правой части полученного выражения соответствуют
двум волнам, бегущим в противоположных направлениях относительно оси x . Эти волны называются обыкновенными, так как
их характеристики не зависят от внешнего магнитного поля H С .
Очевидно, что выражения для напряженностей полей обыкновенной волны могут быть представлены как:
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 îá
 îá
E0îá ˆ
îá 
ˆ
E m = E0 e z exp ± ik 0 ε zz μ , H m = − îá e y exp ± ik0 ε zz μ , (5.55)
ZÂ
(
)
(
)
где волновое сопротивление определяется следующим равенством:
k
μ
Z Воб =
= Z0
.
(5.56)
ωε 0ε zz
ε zz
Вторая система имеет вид:
0 = −iωε 0 (ε xx E 0 x + ε xy E 0 y ),
0 = iωμ0 μH 0 x ,
(5.57)





ik
E
=
i
ωμ
μ
H
.
− ikH 0 z = iωε 0 (ε xy E0 x − ε xx E0 y ),
0y
0
0z
Вследствие того, что Н 0 x = 0 , из приведенных соотношений
следует, что рассматриваемая волна не имеет проекции магнитного поля на направление распространения, в то время как проекция электрического поля на ось х не равна нулю. Таким образом, данная волна не является чисто поперечной. В соответствии
с классификацией она называется электрической волной (см. раздел 7). Найдем ее характеристики.
Выразим из системы (5.57) компоненты Н 0 z и E 0 x через E 0 y .
Тогда нетрудно получить следующее уравнение:
2
2
k 2 − k02 μ ε xy
+ ε xx
ε xx E 0 z = 0 .
(5.58)
(
(
) )
Как и для (5.53), нетривиальное решение возможно лишь при
следующем условии:
k = ±k 0
(
)
μ 2
2
ε xy + ε xx
.
ε xx
(5.59)
Эти две волны, бегущие в противоположные направления,
называются необыкновенными, так как их характеристики зависят от внешнего магнитного поля. Выражения для векторов поля
необыкновенных волн имеют вид:
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 íåîá

μ 2
ˆ ε xy 
2 
íåîá  
ˆ
,
 exp ± ik 0
E m = E0  e ó − e x
ε xy + ε xx

ε xx  
ε xx


(5.60)
íåîá


E
μ 2

2 
,
H míåîá = 0íåîá eˆ z exp ± ik 0
ε xy + ε xx

ε
ZÂ
xx


а волновое сопротивление определяется следующим равенством:
(
(
Z Внеоб =
ωμμ0
k
= Z0
)
)
με xx
.
2
2
ε xy
+ ε xx
(5.61)
Очевидно, что для случая поперечного распространения в
феррите также образуются две волны – обыкновенная и необыкновенная, причем последняя будет магнитной волной, т.е. не будет иметь составляющей электрического поля на направление
распространения.
Рассмотрим поляризацию результирующего поля. Распространяющееся в поперечном направлении электромагнитное поле
может существовать только в виде наложения полей обыкновенной и необыкновенной волн. Так как отношение составляющих
магнитной волны для плазмы


 
 ε2 +ε2
H mоб
E0об Z внеоб
xy
xx


− ε zz  x  , (5.62)
 необ = необ об ⋅ exp ± ik0 μ 
 
ε xx
E0 Z в
Hm
 


то значение разности фаз в зависимости от точки пространства будет постоянно изменяться. Это свидетельствует о том, что
поляризация результирующего поля будет периодически зависеть
от пространственных координат. Преобразование линейной поляризации в эллиптическую в поперечно намагниченной среде
называют эффектом Коттона – Мутона.
Вопросы для самоконтроля
1. Приведите основные особенности распространения волн в
анизотропных средах.
2. Дайте физическую интерпретацию формулы Френеля для
волн в кристаллах.
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Напишите закон Снеллиуса для обыкновенной и необыкновенной волн при падении волны из вакуума на анизотропный
кристалл.
4. Определите затухание волн при гиромагнитном резонансе.
Объясните это явление с физической точки зрения.
5. Получите выражение, связывающее угол поворота плоскости поляризации волны и пройденное расстояние, если известны
фазовые скорости для волн с круговой поляризацией υ R и υ L .
6. Нарисуйте картину прецессии вектора магнитного момента
при наличии поглощения в феррите. Как при этом изменится вид
тензора магнитной проницаемости?
6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
Однородные среды являются частным случаем, поскольку их
свойства должны оставаться неизменными в пространстве и времени. При решении многих практически важных проблем приходится иметь дело с ситуациями, когда свойства среды распространения изменяются от точки к точке и во времени. К таким задачам относятся, например, распространение электромагнитных
волн через тропосферу и ионосферу Земли, солнечную корону и
атмосферы планет, распространение акустических волн в океане
и земной коре и т.д. Неоднородные среды могут быть регулярными и случайными.
6.1. Приближение геометрической оптики
Рассмотрим для простоты скалярную задачу распространения
электромагнитной волны в неоднородной среде. Предполагается,
что поле носит гармонический характер. В случае отсутствия зависимости свойств среды от временной переменной, она сводится, как правило, к решению уравнения Гельмгольца вида:
ΔЕ + k 2 Е = 0 ,
(6.1)

где волновое число является функцией координат k = k (r ) . В такой общей постановке задача определения поля в неоднородной
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
среде является достаточно сложной и не имеет общего решения.
Однако для некоторых частных случаев разработан простой математический аппарат, позволяющий получить приближенное, а
иногда и точное решение. Одно из таких приближений – метод
геометрической оптики.
Полную информацию о волне можно получить, зная ее волновую поверхность. Метод геометрической оптики предусматривает возможность вместо построения волновых поверхностей определять семейство линий, называемых лучами, вдоль которых
направлен средний по времени поток энергии. Это возможно в
том случае, когда заметные изменения амплитуды волны происходят на расстояниях L много больших длины волны λ . В таких
ситуациях волну можно разделить на участки l < L , в пределах
которых ее можно считать плоской, а направление распространения определить нормалью к волновому фронту.
Рассмотрим скалярную задачу. Будем искать решение уравнения Гельмгольца (6.1) в виде:



E (r ) = A(r ) exp(ik0ϕ (r ) ),
(6.2)



где A(r ) и ϕ (r ) – действительные функции текущей точки r ,
k0 – волновое число в свободном пространстве. Будем предполагать, что свойства среды мало меняются на расстояниях порядка


длины волны, поэтому величины A(r ) и ϕ ( r ) существенно меняются на расстояниях L >> λ , т.е.
∇A = gradA << k0 A
.
(6.3)

∇ϕ = gradϕ << k0ϕ
Подставим (6.2) в (6.1), тогда получим
 


ΔA + 2ik0∇ϕ∇A + ik0 AΔϕ + k02 A k 2 ( r ) k02 − (∇ϕ )2 = 0 .
(
)
Для оценки этого уравнения представим его в следующем
виде:
 

ΔA
∇ϕ∇A Δϕ   2 k 2 ( r ) 
+ 2i
+i
−  (∇ϕ ) − 2  = 0 .
(6.4)
2
k
A
k
k0 A
k0 
0
0

Из (6.3) следует, что
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

∇A
A
~
1 
1
A
A 
, ∇A ~ , ∇2 A = ΔA ~ ∇A ~ 2 .
L
L
L
L
Поэтому первый член уравнения (6.4) имеет порядок λ2 L2 ,
второй и третий – λ L , последний член от λ L не зависит. Следовательно, первым слагаемым можно пренебречь. Тогда, приравняв к нулю отдельно действительную и мнимую части (6.4),
получим
 2

(6.5)
(∇ϕ ) = k 2 ( r ) k02 = n 2 ( x, y , z ) ,
 
AΔϕ + 2∇ϕ∇A = 0 ,
(6.6)
где n ( x, y , z ) – показатель преломления неоднородной среды.
Уравнение (6.5), определяющее фазу (эйконал), называется
уравнением эйконала, а уравнение (6.6), определяющее амплитуду, – уравнением переноса. Очевидно, что полученные уравнения
справедливы при выполнении следующих неравенств:
 
ΔA << 2k0 ∇ϕ∇A , ΔA << k0 AΔϕ .
(6.7)
Уравнения переноса и эйконала можно получить более корректно. Будем искать решение уравнения Гельмгольца в виде
разложения по степеням 1 k0 :

1
1
 




E (r ) =  A0 (r ) + A1 (r ) + 2 A2 (r ) +  exp(ik0ϕ (r ) ) . (6.8)
k0
k0


Тогда, подставляя (6.8) в (6.1) и приравнивая к нулю коэффициенты при различных степенях 1 k0 , получим систему уравнений:

  2 k 2 (r ) 
A0  (∇ϕ ) − 2  = 0,
k0 

 
(6.9)
A0 Δϕ + 2∇A0∇ϕ = 0,
 
A1Δϕ + 2∇A1∇ϕ = iΔA0 .
Первое и второе уравнения системы (6.9) совпадают с уравнениями эйконала и переноса. Решая их, можно найти ϕ и A0 , а
затем определить A1 и т.д. Заметим, что если ϕ и A0 – действи115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тельные величины, то A1 – мнимая величина. Отметим, что A в
уравнении переноса является амплитудой волны с точностью до
членов порядка 1 k 0 . Аналогично, k0ϕ является фазой волны
(6.5) с точностью до членов порядка 1 k 0 .
Построим вместо волновых поверхностей ϕ ( x, y , z ) = const
семейство линий, нормальных к ним, так называемых лучей,
вдоль которых происходит распространение
волны. Умножив

уравнение эйконала на единичный вектор l0 (по возрастанию ϕ ),
получим


l0n = l0 gradϕ = gradϕ .
(6.10)
Возьмем производную по l от обеих частей выражения
(6.10). Тогда, используя известное равенство

∂a   
= (l0∇)a ,
∂l
получим
 2
 

 
1   
1  (∇ϕ )
∂
− ∇ϕ × ∇ × ∇ϕ =
( gradϕ ) = (l0∇)∇ϕ = ((∇ϕ )∇ )∇ϕ = ∇
n
n
2
∂l
1  n2 
= ∇ = ∇n = grad ( n ) .
n 2
Откуда следует уравнение луча:
∂ 
(6.11)
(l0n ) = grad ( n ) .
∂l

При известной зависимости n(r ) можно получить решение
(6.11), т.е. найти траекторию луча в неоднородной среде.
Рассмотрим, как преобразуется амплитуда поля при распространении вдоль луча из точки P1 в точку P2 . Для этого преобразуем уравнение переноса (6.6), умножив его на A . В результате
получим
 


A2 Δϕ + 2 A∇ϕ∇A = ∇( A2∇ϕ ) = 0 .
[
Тогда, используя (6.10), имеем



∇( A2l0n ) = 0 или div ( A2l0n ) = 0 .
116
[
]]
(6.12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим поверхность ϕ1 = const и выделим на ней малую
площадь dσ 1 , ограниченную пучком лучей, в пределах которой
A = A1 . Проведем лучи до другой поверхности ϕ 2 = const , на которой пучок ограничит другую площадь dσ 2 . Геометрия задачи
приведена на рис 6.1.
Рис. 6.1. К определению потока энергии в лучевой трубке
Согласно теореме Остроградского – Гаусса, поток вектора
через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции
этого вектора по объему, ограниченному этой поверхностью. Поэтому


2
2 
div A l n dV = nA l mˆ dS = 0 ,

V
(
0
)

0
S

где m̂ – единичный вектор внешней
нормали к поверхности S .

ˆ
Так как на боковой поверхности l0 ⊥ m , то
n1 A12dσ 1 = n2 A22dσ 2 = nA2dσ = const .
Так как величина nA2 пропорциональна плотности потока энергии, то nA2 dσ соответствует энергии, переносимой вдоль лучевой трубки. Изменение dσ вдоль луча определяется уравнением
луча. Интенсивность определяется из уравнения
n dσ
(6.13)
A2 = A12 1 1 .
ndσ
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полученное выражение позволяет определить амплитуду
(интенсивность) в произвольной точке луча, если известно значе
ние в точке P1 . Решение его при произвольной зависимости n(r )
возможно лишь численными методами.
Для однородной среды амплитуда поля в точке P2 определяется соотношением
A2 = A1 dσ 1 dσ 2 .
Выразим dσ 1 dσ 2 через радиусы кривизны ρ1 и ρ 2 фронта
волны в точке P1 . Как следует из рис. 6.2,
dσ 1 = ρ1dαρ 2 dβ , dσ 2 = ( ρ1 + s )dα ( ρ 2 + s )dβ ,
где s – расстояние между точками P1 и P2 , dα и dβ – углы в ортогональных плоскостях. Тогда амплитуду поля в точке P2 однородной среды можно представить как:
A2 = A1
ρ1 ρ 2
.
( ρ1 + s )( ρ 2 + s )
Рис. 6.2. Элементы волновой поверхности
Из полученного равенства следует, что при увеличении s и
конечных ρ1 и ρ 2 поле уменьшается пропорционально s −1 , как у
сферической волны. Если один из радиусов бесконечен, поле
уменьшается пропорционально s −1 2 , как у цилиндрической волны. При ρ1 → ∞ и ρ 2 → ∞ амплитуда поля остается постоянной,
что свидетельствует о наличии плоской волны. В случае, когда
ρ1 = ρ 2 = 0 , т. е. в центрах кривизны волновых поверхностей, амплитуда обращается в бесконечность. Такие поверхности назы118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ваются каустиками. Из рис. 6.2. видно, что центры кривизны
волновой поверхности расположены на линиях 1 – 2 и 3 – 4. Обращение амплитуды в бесконечность свидетельствует о том, что
метод геометрической оптики не дает возможности определить
поле на каустике, а также вблизи ее и поэтому необходимо пользоваться точным решением волнового уравнения для неоднородной среды.
6.2. Уравнение эйконала для векторов
электромагнитного поля
Для электромагнитных волн уравнение эйконала может быть
получено также непосредственно из уравнений Максвелла. При
гармонической зависимости поля первые два уравнения имеют
вид:


rotH m = −iωε a E m ,
(6.14)


rotE = iωμ H .
m
a
m
Решение будем искать в виде ряда по степени 1 k0 :






 

1 
1 
E m =  E0 + E1 + eik0ϕ ( r ) , H m =  H 0 + H1 + eik0ϕ ( r ) . (6.15)
k0
k0




Подставляя эти выражения в (6.14) и приравнивая к нулю
члены с соответствующими степенями 1 k0 , получим систему
уравнений. Так, для нулевого приближения имеем:



μω  
εω 
∇ ϕ × E 0 = a H 0 , ∇ ϕ × H 0 = − a E0 .
(6.16)
k0
k0
 

Из последних равенств следует, что векторы E0 , H 0 и ∇ϕ
взаимно перпендикулярны, т.е.
 
 
(∇ϕE0 ) = 0, (∇ϕH 0 ) = 0 .

Исключим из полученных равенств H 0 . Очевидно, что
[
]
[
]




μ aω 
ε a μ aω 2 
∇ ϕ × ∇ ϕ × E0 =
∇ϕ × H 0 = −
E0 .
2
k0
k0
[
[
]]
[
119
]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из последнего равенства нетрудно получить
 2

(∇ϕ ) E0 = εμE0
и поэтому

(∇ϕ )2 = εμ = k 2 k02 = n 2 .
Последнее равенство точно соответствует уравнению
эйко
нала (6.5). Если ввести единичный вектор нормали l0
 


l0 = ∇ϕ ∇ϕ = ∇ϕ n ,
то из уравнений (6.16) получим
 
μω 
μ c 
μa   
ε 
l 0 × E0 = a H 0 = a H 0 =
H 0 , l 0 × H 0 = − a E0 .
εa
μa
k0 n
εμ
[
]
[
]
Из последних двух равенств следует, что
 

1   
H0 =
l 0 × E0 , E0 = − Z B l 0 × H 0 .
ZB
Полученные равенства аналогичны уравнениям
для плоских
 
волн, где вместо единичного вектора m̂ = k0 k0 используется век
тор l0 . Таким образом, в приближении геометрической оптики
получается решение
в виде локально плоских однородных волн.

Векторы E0 и H 0 лежат в плоскости, касательной к поверхности
фронта волны.
[
]
[
]
6.3. Приближение геометрической оптики
для плоскослоистых сред
Решение уравнений эйконала и переноса может быть получено только при известной зависимости показателя преломления от
координат. Рассмотрим применение метода геометрической оптики на примере плоскослоистой среды.
Пусть оси системы координат направлены так, что показатель преломления изменяется вдоль одной из них, например,
вдоль оси z , т.е. n = n(z ) . Геометрия задачи приведена на
рис. 6.3. Среда занимает полупространство z > 0 .
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 6.3. К определению траектории луча в плоскослоистой среде
Рассмотрим уравнение луча (6.11). Из трех скалярных уравнений траектории достаточно рассмотреть одно
∂l x n ∂n
=0
=
∂x
∂l
и поэтому
nl x = n( z ) Sinθ ( z ) = n0 Sinθ 0 = const .
(6.17)
Полученное соотношение отражает закон Снеллиуса для
плоскослоистой среды.
Очевидно, что траектория луча определяется из уравнения
n0 Sinθ 0
dx dlSinθ
.
(6.18)
=
= tgθ =
2
2
2
dz dlCosθ
n ( z ) − n0 Sin θ 0
Часто удобнее описывать траекторию луча другим уравнением. Поскольку
n 2 ( z ) − n02 Sin 2θ 0
dz
,
=
dx
n0 Sinθ 0
то, дифференцируя по x , получим:
dn 2 dz
1
d 2z
n
dn
dz dx
=
=
.
dx 2 n0 Sinθ 0 2 n 2 ( z ) − n02 Sin 2θ 0 n02 Sin 2θ 0 dz
121
(6.19)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из полученного равенства следует, что угол наклона луча к
вертикали (оси z ) по мере распространения волны изменяется,
т.е. лучи искривляются. Это явление называется рефракцией.
Рассмотрим поведение луча при некоторых частных случаях
изменения показателя преломления.
1. Пусть показатель преломления монотонно растет с высотой z , т.е. grad (n) > 0 . Рассмотрим распространение луча из точки M , расположенной на высоте z M над поверхностью (см.
рис. 6.4).
Поскольку показатель преломления увеличивается с высотой,
то при начальном угле θ 0 < π 2 тангенс текущего угла, как следует из формулы (6.18), уменьшается и луч, искривляясь от первоначального направления, приближается к вертикали (кривая 1
на рис. 6.4). При θ 0 > π 2 луч будет направлен к границе раздела
и может достичь точки поворота θ = π 2 при n( z ) = Sinθ 0 n0
(кривые 3 и 4) или отразиться от поверхности (кривая 2). Тангенс
текущего угла при этом сначала увеличивается, а затем начинает
уменьшаться, и луч снова стремится к вертикали. Очевидно, что в
область, расположенную правее кривой 4, луч попасть никогда не
может.
Рис. 6.4. Траектории лучей в плоскослоистой среде
при положительном градиенте показателя преломления
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Рассмотрим ситуацию, когда показатель преломления
уменьшается с высотой, т.е. grad (n) < 0 . В этом случае тангенс
текущего угла будет увеличиваться с высотой, и поэтому луч будет отклоняться к горизонтали и θ > θ 0 . На некоторой высоте z0
текущий угол станет равным π 2 , и луч начнет изгибаться в направлении к поверхности. Траектория его приведена на рис. 6.5.
Поворот луча происходит при условии, когда n( z ) = Sinθ 0 n0 . Вне
зависимости от высоты, откуда исходит первоначальная электромагнитная волна, характер траектории луча будет аналогичный
приведенному на рис. 6.5.
Рис. 6.5. Траектории лучей в плоскослоистой среде
при отрицательном градиенте показателя преломления
Рассмотрим, как изменяется амплитуда и фаза лучей при распространении в плоскослоистой среде. Будем считать, что первоначальная волна распространяется под углом θ 0 = 0 к слою. Тогда уравнения эйконала и переноса принимают вид:
d 2ϕ
dϕ dA
dϕ
= 0.
= n(z ) , A 2 + 2
dz
dz dz
dz
Поэтому
dn( z )
dA
+ 2n( z )
=0
A
dz
dz
и решение для амплитуды можно записать как:
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 1 z 1 dn  A0
.
A = A0 exp − 
dz  =
 2 z n dz 
n


0
Эйконал в этом случае определяется выражением
z
ϕ = ±  n( z )dz .
z0
Тогда решение для поля волны, распространяющейся в плоскослоистой среде при θ 0 = 0 , в приближении геометрической оптики имеет вид:
z


A0
E=
exp ± ik0  n( z )dz  .
(6.20)
n


z0
Данное решение одномерного волнового уравнения называется ВКБ приближением, по начальным буквам фамилий авторов,
получивших его (Вентцель, Крамерс, Бриллюен). Отметим, что
знаки в показателе экспоненты соответствуют двум волнам, бегущим в сторону возрастания (вверх) и убывания (вниз) координаты z .
В случае наклонного падения формула ВКБ приближения
(6.20) получается просто заменой n на n 2 − n02 Sin 2θ 0 и имеет
следующий вид:
z


A0
2
2
2
E=
exp ik0 xSinθ 0 ± ik0  n − n0 Sin θ 0 dz  . (6.21)
4 n 2 − n 2 Sin 2θ


z0
0
0
Вопросы для самоконтроля
1. Поясните физический смысл эйконала. Приведите его размерность.
2. Волновой вектор плоской однородной волны составляет
одинаковые углы со всеми осями декартовой системы координат.
Запишите выражение для эйконала.
3. Напишите волновое уравнение для неоднородной среды.
4. Объясните физический смысл условий применения метода
геометрической оптики.
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Определите расстояние по оси x , с которого начинается
область тени, при линейном возрастании показателя преломления
с высотой, как приведено на рис. 6.4.
6. Проведите качественное исследование поведения луча в
плоскослоистой среде в случае, когда показатель преломления
сначала уменьшается с высотой, а затем с некоторой высоты начинает расти.
7. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И ВОЛНЫ
В НАПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ
Электромагнитные волны, рассмотренные в предыдущих разделах, могут распространяться без каких-либо направляющих искусственных элементов. На практике очень часто встречаются ситуации, когда энергию электромагнитного поля необходимо передать, например, от излучателя к нагрузке так, чтобы она была локализована в определенном канале. В качестве таких каналов используют направляющие системы. К направляющим системам относятся двухпроводная и коаксиальная линии, симметричная и несимметричная микрополосковые линии, волноводы, световоды и
ряд других. Вдоль этих систем, называемых также линиями передачи, распространяются направляемые электромагнитные волны.
7.1. Электродинамические потенциалы
При анализе электродинамических задач часто вводят дополнительные вспомогательные функции, позволяющие существенно облегчить нахождение решения. Эти функции называются потенциалы. Как правило, их применяют для решения задач двух
типов. Во-первых, с помощью потенциалов находится решение
задач о возбуждении полей заданными источниками. Во-вторых,
потенциалы позволяют эффективно решать граничные задачи, в
которых рассматриваются электромагнитные поля при наличии
границ.
Рассмотрим систему уравнений Максвелла при наличии источников электромагнитной энергии. Пусть для простоты среда
является однородной и изотропной и σ = 0 .
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

  ∂D 
rotH = ∂t + jст ,



∂B

(7.1)
 rotE = − ,
∂
t


= ρ,
div
D



divB = 0.
Так как дивергенция ротора любого вектора равна нулю, то

из последнего уравнения системы (7.1) следует, что вектор B
можно представить в виде


B = rotA
(7.2)
и выражение для вектора напряженности магнитного поля можно
записать как


H = rotA μa .
(7.3)

Однако необходимо отметить, что вектор A определен неоднозначно. Поскольку
rot ( gradψ ) = 0 ,
где ψ – произвольная скалярная функция, то вектор


A1 = A + gradψ
(7.4)

также определяет H .
Из второго уравнения системы (7.1) получим

  ∂À1 
rot  E +
 = 0 .
∂
t


Поэтому выражение для вектора напряженности электрического поля можно записать как 

∂A
E=−
− grad (φ ) .
(7.5)
∂t 
Таким образом, зная вектор A , который называется векторным потенциалом, и функцию φ , которая называется скалярным
потенциалом, можно определить все векторы электромагнитного
поля.
Из системы (7.1) нетрудно получить следующее уравнение:

2


∂ A
∂φ 
 
(7.6)
ΔA − ε a μ a 2 = − μ a jcт + grad  divA + ε a μ a
.
∂
t
∂t


126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поскольку векторный потенциал определялся неоднозначно,
можно потребовать, чтобы он удовлетворял добавочному условию. Целесообразно положить, что

∂φ
(7.7)
divA + ε a μa
= 0.
∂t
Соотношение (7.7) принято называть условием калибровки
Лоренца.
Тогда уравнение (7.6) приобретает следующий вид:



∂2 A
(7.8)
ΔA − ε a μ a 2 = − μ a jcт .
∂
t

Аналогично подставляя E в третье уравнение Максвелла и
используя (7.8), получим
ρ
∂ 2φ
Δφ − ε a μ a 2 = − ст .
(7.9)
εa
∂t
Таким образом, введенные векторный и скалярный потенциалы удовлетворяют неоднородным волновым уравнениям, или
неоднородным уравнениям Даламбера, при этом правые части
уравнений для потенциалов имеют простой вид.
Найдем частные решения уравнений (7.8) и (7.9), считая известными сторонние источники. Рассмотрим решение для скалярного потенциала. Предположим, что электрическое поле создается точечным неподвижным зарядом постоянной величины q ,
расположенным в начале координат. Среда однородная и изотропная. Тогда в любой точке пространства, кроме начала координат, из выражения (7.9) получаем обычное однородное волновое уравнение. Из сферической симметрии задачи следует, что
решение зависит лишь от расстояния до точки наблюдения r .
Общее решение есть суперпозиция сходящейся и расходящейся
сферических волн (см. раздел 1)
U (t + r υ ) U 2 (t − r υ )
+
φ= 1
.
r
r
Поскольку источник поля сосредоточен в ограниченной области, то сходящаяся сферическая волна может возникнуть только
в результате отражения расходящейся сферической волны. Так как
пространство считается однородным, то отраженной волны не
может быть, и функцию U1 (t + r υ ) можно считать равной нулю.
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Очевидно, что значения потенциала должны определяться
интенсивностью источников поля, а выражение для φ должно
быть справедливым при любом законе изменения интенсивности
этих источников.
Для статического случая (закон Кулона)
 
q
ˆ ∂φ
E = eˆr
e
=
−
r
∂r
4πε a r 2
и поэтому
q
φ=
.
4πε a r
В случае если заряд изменяется от времени q = q(t ) , естественно
предположить, что
q(t − r υ )
.
(7.10)
φ ( r, t ) =
4πε a r
То есть решение представляет собой запаздывающий потенциал.
Если заряд сосредоточен в объеме V с плотностью

ρ cò = ρ cò ( r , t ) , то скалярный потенциал, обусловленный произвольным распределением сторонних зарядов в этом объеме, может быть найден с помощью следующей формулы:

 
ρ cт (r ′, t − r − r ′ v )
1

dV ′ .
(7.11)
φ (r , t ) =
 
r − r′
4πε a V
Аналогично можно получить (частное) решение уравнения
(7.8) для векторного потенциала.
имеем
 В результате


 
μ j (r ′, t − r − r ′ v )
A(r , t ) = a  cт
dV ′ .
(7.12)
 
r − r′
4π V
Кроме векторного и скалярного потенциалов часто для облегчения решения используют такую дополнительную функцию,
как вектор Герца. Это дает возможность свести уравнения Максвелла к одному векторному уравнению.
Поскольку векторный и скалярный потенциалы
связаны со
отношением (7.7), то можно ввести функцию G , которая обращает (7.7) в тождество. Очевидно, что

 
∂G
φ = −divG , A = μaε a
.
(7.13)
∂t
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В этом случае напряженности полей могут быть представлены
через вектор Герца следующим образом:

 


∂ 2G
∂
E = − μaε a 2 + grad (divG ), H = ε a rotG .
(7.14)
∂t
∂t
Путем подстановки этих выражений в первое уравнение Максвелла системы (7.1) нетрудно показать, что вектор Герца удовлетворяет следующему неоднородному волновому уравнению:

t 

j
∂ 2G
(7.15)
ΔG − ε a μ a 2 = −  cт dt ′ .
ε
∂t
0 a
Полученное соотношение несколько сложнее формул (7.8), (7.9),
так как содержит в правой части интеграл. Однако в ряде случаев
оказывается удобнее при анализе использовать вектор Герца, в
частности, это относится к анализу поля в волноводах.
Рассмотрим случай гармонического поля, которое создается
гармоническими сторонними токами и зарядами. Представляя величины через комплексные амплитуды, получим условие калибровки

divAm − iωε a μ aφm = 0 .
(7.16)
Тогда для векторов поля получим следующие выражения:





grad divAm 
E m = iωAm − grad (φm ) = iωAm + i
, H m = rotA m μa .
(
ωε a μ a
)
(7.18)
Для вектора Герца получаются следующие соотношения:




φm = −divGm , Am = −iωμa ε a Gm .
(7.19)





Em = ω 2 μaε a G m + grad divG m , H m = −iωε a rotG m .
(7.20)
)
(
Если рассматривать область, свободную от источников, то первое
уравнение из (7.20) преобразуется к простому виду


E = rot rotG .
(7.21)
m
(
m
)
Определенные ранее сторонние магнитные токи и заряды позволяют ввести магнитные потенциалы. Выражения, описывающие их связь с источниками поля аналогичны полученным выражениям для электрических токов и зарядов с соответствующей
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
заменой параметров, исходя из принципа двойственности уравнений Максвелла. Приведем явный вид зависимостей для комплексных амплитуд напряженностей поля


 M

rotA mM 
grad divA mM
, H m = iωAm + i
, (7.22)
Em = −
)
(
εa
ωε a μ a

где A mM – комплексная амплитуда магнитного векторного потенциала.
Магнитный вектор Герца вводится аналогично. Выражения,
определяющие напряженности поля, имеют следующий вид:





E = iωμ rotG M , H = ω 2 μ ε G M + grad divG M .
(7.23)
m
a
m
m
a a
(
m
m
)
Если электромагнитное поле создается электрическими и
магнитными сторонними источниками, то




grad divA m rotA mM
E m = iωAm + i
−
,
(

H m =

rotA m
μa
ωε a μa

+ iωA mM + i
)
(
εa

grad divA mM
ωε a μa
).
(7.24)
7.2. Направляемые электромагнитные волны.
Типы волн
Электромагнитные волны в направляющих структурах существенно отличаются от свободных волн. По структуре поля направляемые волны делятся на поперечные, электрические, магнитные и гибридные.
Поперечными волнами (TEM-волнами) называют волны, у которых векторы напряженности электрического и магнитного полей находятся в плоскости, перпендикулярной направлению распространения, и поэтому не имеют продольных составляющих.
Электрическими волнами (Е-волнами) называют волны, у которых вектор напряженности магнитного поля лежит в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, а
вектор напряженности электрического поля имеет как попереч130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ные, так и продольные составляющие. Часто такие волны называют поперечными магнитными или ТМ-волнами.
Магнитными волнами (Н-волнами) называют волны, у которых вектор напряженности электрического поля лежит в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, а
вектор напряженности магнитного поля имеет как поперечные,
так и продольные составляющие. Такие волны также называют
поперечными электрическими или ТЕ-волнами.
Гибридными волнами называют волны, у которых и вектор
напряженности электрического поля, и вектор напряженности
магнитного поля имеют как поперечные, так и продольные составляющие.
Рассмотрим общие свойства и характеристики электрических, магнитных и гибридных волн. Будем считать, что однородная направляющая система ориентирована вдоль оси z . Система
является идеальной и не вносит потерь. Пусть поле носит гармонический характер.
Решение будем искать в виде




E m = E 0 exp(ihz ), H m = H 0 exp(ihz ) ,
(7.25)
где h имеет смысл продольного волнового числа.
Подстановка (7.25) в уравнение Гельмгольца позволяет получить уравнения для комплексных амплитуд




2 
2 
Δ ⊥ E m + g E m = 0, Δ ⊥ H m + g H m = 0 ,
(7.26)
где g = ± k 2 − h 2 = ± ω 2ε a μ a − h 2 носит смысл поперечного
волнового числа, а Δ ⊥ = Δ − ∂ 2 ∂z 2 – поперечный оператор Лапласа.
Вследствие того что продольное волновое число определяется формулой
h = ± k 2 − g 2 = ± ω 2ε a μ a − g 2 ,
(7.27)
то в зависимости от частоты подкоренное выражение может принимать как положительные, так и отрицательные значения. При
k > g параметр h является действительным числом, и эта ситуация соответствует режиму распространения электромагнитной
волны с фазовой скоростью υ = ω h , т.е. осуществляется перенос
электромагнитной энергии. При k < g подкоренное выражение
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
будет отрицательным и h принимает чисто мнимое значение. В
соответствии с формулами (7.25) амплитуды составляющих будут экспоненциально убывать вдоль оси z и процесса переноса
энергии в идеальной направляющей системе не будет.
Случай k = g соответствует критическому режиму. Этому
условию соответствует критическая частота
ωкр =
g
ε a μa
=
cg
εμ
.
(7.28)
Соответствующая этой частоте длина волны называется критической длиной волны
λкр = 2π g .
(7.29)
Величина ωкр ( λкр ) зависит лишь от формы, размеров и типа
волны. Очевидно, что в идеальной направляющей системе волны
могут распространяться только при выполнении условия
ω > ωкр
(7.30)
или
λ < λкр .
(7.31)
Приведенные неравенства часто называют условием распространения волны в линии передачи.
Продольное волновое число можно представить через введенные критические величины как
2
2
 λ 
 ωкр 
 .
 = k 1 − 
h = k 1 − 
(7.32)


ω
λ


 кр 
Длина направляемой волны определяется следующим выражением:
2π
Λ=
=λ
h
2
 λ 
 .
1− 
λ 
 кр 
(7.33)
Формула для фазовой скорости волны в направляющей системе имеет вид:
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
υ=
ω
h
=
c
 λ 

εμ 1 − 

 λкр 
2
=
c
ω 
εμ 1 −  кр 
 ω 
2
.
(7.34)
Отметим, что υ зависит от частоты, т.е. наблюдается дисперсия.
График нормированной зависимости υ∗ = υ с εμ представлен
на рис. 7.1.
(
)
Рис. 7.1. Фазовая и групповая скорости в направляющей системе
Длина волны, фазовая скорость в направляющей системе для
электрических, магнитных и гибридных волн больше соответствующих значений для волн, распространяющихся в однородной
изотропной среде с параметрами ε и μ .
Групповая скорость электромагнитной волны в направляющей системе определяется следующим выражением:
2
υ гр
 ωкр 
c
 dh 
 .
=1 
1 − 
=
ω
εμ
 dω 


133
(7.35)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
График нормированной зависимости групповой
υ гр ∗ = υ гр с εμ приведен на рис. 7.1.
Очевидно, что имеет место равенство
(
)
υ ⋅υ гр = c 2 εμ .
скорости
(7.36)
7.3. Электромагнитное поле в волноводах
Рассмотрим в качестве примера направляющей системы волновод. Волноводом называется полый металлический цилиндр,
имеющий поперечное сечение произвольной формы. Электромагнитное поле в волноводе заключено внутри его оболочки и не
является чисто поперечным, а имеет также продольные составляющие. Анализ особенностей структуры поля выполним в предположении, что стенки волновода обладают идеальной проводимостью.
Будем искать частные решения уравнений электромагнитного поля внутри волноводов с произвольным поперечным сечением. При этом рассмотрим бегущие волны, точнее предположим,
что зависимость всех комплексных амплитуд электромагнитного
поля определяется формулами (7.25).
Легко показать, что целый класс таких решений может быть

получен с помощью электрического вектора Герца G mE с составляющими
E
E
E
G mx
= G my
= 0, G mz
(7.37)
= G E ( x, y ) exp(ihz ) .
В отсутствии источников электрический вектор Герца удовлетворяет волновому уравнению Гельмгольца, поэтому для
функции G E из (7.37) получим
∂ 2G E ∂ 2G E
+
+ g E2 G E = 0 ,
(7.38)
2
2
∂x
∂y
где g E = k 2 − h 2 – поперечное волновое число электрической


волны. Компоненты векторов E m и H m могут быть представлены
с помощью формул (7.20) как:
134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
E mx
E my
∂G E
∂G E

exp(ihz ),
= ih
exp(ihz ), H mx = −iε aω
∂
y
∂x
E
∂G E
∂
G
= ih
exp(ihz ), H my = iε aω
exp(ihz ),
∂y
∂x

= g 2 G E exp(ihz ), H mz = 0.
(7.39)
E mz
E
Чтобы найти решение уравнения (7.38), необходимо определить
граничные условия для функции G E . Поскольку граничное условие для случая идеально проводящих стенок волновода заключается в равенстве нулю касательной составляющей электрического
поля, определим касательную к контуру Γ , который получается
при пересечении внутренней поверхности стенок волновода с
плоскостью z = const . Очевидно, что она может быть представлена как
E
dx
dy
∂
G
E Γ = E mx
+ E my
= ih
exp(ihz ) .
(7.40)
dl
dl
∂l
Здесь l – длина дуги вдоль контура Γ . Кроме того, на стенке
волновода необходимо, чтобы E mz = 0 . Ясно, для того чтобы это
выполнялось, необходимо соблюдение следующего граничного
условия:
GE = 0.
(7.41)
Γ
Действительно, согласно этому условию, на стенке будем иметь
E mz = 0 . Кроме того, составляющие электрического поля E mx и
E my отличаются от двухмерного градиента функции G E , т. е. от
вектора с составляющими ∂G E ∂x и ∂G E ∂y только постоянным
множителем. Поэтому силовые линии электрического поля в
плоскости поперечного сечения ортогональны семейству линий
уровня G E = const (см. рис. 7.2) и подходят к стенке, являющейся
одной из линий уровня, под прямым углом.
Двухмерное волновое уравнение (7.38) имеет внутри замкнутого контура Γ отличное от нуля решение G E , удовлетворяющее
граничному условию (7.41), не при любом g E2 , а лишь при некоторых значениях g E2 1 , g E2 2 , g E2 3 …, образующих спектр собствен135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ных значений данной граничной задачи. Величины g E2 j образуют
возрастающую (или, по крайней мере, неубывающую) последовательность положительных вещественных чисел. Каждому собственному значению g E2 j поперечного волнового числа соответствуют два значения продольного волнового числа ± k 2 − g E2 j и
некоторая собственная функция G Ej . Эта функция по формулам
(7.39) дает распределение электромагнитного поля некоторой
электрической волны, а продольное волновое число – зависимость этого поля от координаты z .
Рис. 7.2. Силовые линии электромагнитного поля
электрической волны
Для волноводов произвольного поперечного сечения можно
найти еще один класс частных решений. Эти решения выражают
ся через магнитный вектор Герца G mM с составляющими
M
M
M
G mx
= G my
= 0, G mz
(7.42)
= G M ( x, y ) exp(ihz ),
подобными составляющим (7.37).
Для магнитного вектора Герца G M из уравнения Гельмгольца получаем следующее уравнение:
∂ 2G M ∂ 2G M
2
+
+ gM
GM = 0,
(7.43)
2
2
∂x
∂y
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где g M = k 2 − h 2 – поперечное волновое число магнитной волны.
С помощью формул (7.23) легко можно вычислить компоненты электромагнитного поля, соответствующие вектору (7.42),
а именно
∂G M
∂G M


exp(ihz ),
E mx = iμ aω
exp(ihz ),
H mx = ih
∂y
∂x
M
M
∂
∂
G
G
exp(ihz ), (7.44)
exp(ihz ), H my = ih
E my = −iμ aω
∂x
∂y
2
E mz = 0,
H mz = g M
G M exp(ihz ).
Определим граничные условия для магнитного вектора Герца. Так как в магнитной волне E mz = 0 , то на стенке волновода
должна обращаться в нуль лишь касательная к контуру Γ составляющая электрического поля, которая согласно (7.44) определяется следующим образом:
M
M

∂
∂
dx
dy
G
dx
G
dy 
 exp(ihz ) . (7.45)
E Γ = E mx
+ E my
= ih
−
dl
dl
∂x dl 
 ∂y dl

Так как единичная нормаль n̂ к контуру Γ имеет составляющие
n x = − ∂y ∂l , n y = ∂x ∂l ,
то
M
M
M


G
G
∂
G
∂
∂
E Γ = iμ aω 
nx +
n y  exp(ihz ) = iμ aω
exp(ihz ) . (7.46)
x
y
∂
n
∂
∂


Поэтому граничное условие для магнитной волны можно записать как
∂G M
= 0.
(7.47)
∂n Γ
Силовые линии поля магнитной волны приведены на рис. 7.3.
Линии уровня G M = const совпадают с силовыми линиями электрического поля и подходят к контуру Γ под прямым углом.
Электрические силовые линии, которые являются плоскими кривыми, целиком лежат в плоскости поперечного сечения.
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 7.3. Силовые линии электромагнитного поля
магнитной волны
Приведенная выше граничная задача для функции G M имеет
нетривиальное решение лишь при некоторых собственных значе2
2
2
ниях g M
1 , g M 2 , g M 3 …, образующих ее спектр (вообще говоря,
отличный от спектра задачи, рассмотренной для электрической
2
волны). Каждому собственному значению g M
j соответствует некоторая собственная функция G M , дающая распределение поля
данной магнитной волны в поперечной плоскости, и продольное
2
волновое число ± k 2 − g M
j , определяющее распределение поля
в продольном направлении.
7.3. Прямоугольный волновод
Рассмотрим более подробно распределение поля электромагнитной волны в прямоугольном волноводе. В прямоугольном
волноводе существуют только электрические и магнитные волны,
ТЕМ-волн нет. Выберем начало координат в одной из вершин
прямоугольного поперечного сечения и направим ось х вдоль
большей стороны а, а ось у – вдоль меньшей стороны b прямоугольника.
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Будем искать решение двухмерного волнового уравнения
(7.38) для электрических волн методом разделения переменных, а
именно напишем для функции G E выражение
G E = X ( x )Y ( y ) .
(7.48)
Подставим его в (7.38). После деления обеих частей уравнения на
произведение XY получим
1 d 2 X 1 d 2Y
+
+ g E2 = 0 .
(7.49)
2
2
X dx
Y dy
Из последнего соотношения следует, что как d 2 X dx 2 X , так и
d 2Y dy 2 Y должны быть постоянными величинами. Обозначим
эти постоянные соответственно через − g x2 и − g 2y . Таким образом,
2
1 d2X
2 1 d Y
= −gx ,
= − g 2y ,
(7.50)
2
2
X dx
Y dy
где в силу соотношения (7.49) должно выполняться равенство
g x2 + g 2y = g E2 .
(7.51)
Общие решения уравнений (7.50) имеют вид
(
)
(
)
X = A1Cos( g x x ) + A2 Sin ( g x x ), Y = B1Cos (g y y ) + B2 Sin (g y y ), (7.52)
где A1 , A2 , B1 и B2 – произвольные постоянные. Функция G E
должна удовлетворять граничному условию (7.41), поэтому
G E = 0 при x = 0 , x = a , y = 0 , y = b .
(7.53)
Граничные условия позволяют определить константы в
(7.52). В результате имеем:
X ( x = 0) = 0  A1 = 0, X ( x = a ) = 0  A2 Sin ( g x a ) = 0,
(7.54)
Y ( y = 0) = 0  B1 = 0, Y ( y = b) = 0  B2 Sin (g y b ) = 0.
Для того чтобы получить нетривиальное решение граничной задачи, необходимо выбрать числа g x и g y так, чтобы они удовлетворяли уравнениям
Sin ( g x a ) = 0, Sin (g y b ) = 0 ,
(7.55)
т. е. взять
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
gx = mπ a , g y = nπ b ,
(7.56)
где m и n целые числа 1, 2, 3, ...
Таким образом, получаем собственные функции данной граничной задачи в виде
 mπx   nπy 
E
= C E Sin
(7.57)
Gmn
 Sin
,
 a   b 
где C E – произвольная постоянная. Собственная функция (7.57)
соответствует по формулам (7.51) и (7.56) собственному значению
g Emn =
(m π a )2 + (n π b )2 .
(7.58)
Заметим, что ни одно из чисел m или n не может принимать нулевого значения, так как это приводит к функции (7.57), тождественно равной нулю.
Критическая длина волны в соответствии с формулой (7.29)
определяется следующим соотношением:
λкр
mn =
2ab
(mb )
2
+ (na )
2
.
(7.59)
Собственные функции (7.57) и собственные значения (7.58)
исчерпывают все возможные решения граничной задачи и определяют электрическую волну, которая называется волной E mn в
прямоугольном волноводе.
С помощью формул (7.44) легко можно вычислить электромагнитное поле, соответствующее решению (7.57), а именно
ε aω 
mπ E
 mπx   nπy 

(
)
E mx = ih
C Cos
Sin
ihz
H
E my ,
exp
,
=
−

 
mx
a
h
 a   b 
ε aω 
nπ E  mπx 
 nπy 
E my = ih
C Sin
E mx ,
 exp(ihz ), H my =
Cos
b
h
 b 
 a 
(
)
 mπx   nπy 
E mz = (m π a )2 + (n π b )2 C E Sin
 exp(ihz ), H mz = 0.
 Sin
 a   b 
(7.60)
Граничная задача для магнитных волн решается аналогичным образом: ищем функцию G m , которая должна удовлетворять
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
двухмерному волновому уравнению (7.43) в виде произведения
(7.48). Получаем аналогичные, как и выше для электрического
вектора Герца, уравнения для функций X и Y (7.50) и общие решения вида (7.51). Однако граничные условия в этом случае будут иные, так как в силу формулы (7.47) и геометрии задачи
должно быть
∂G M ∂x = 0 при x = 0 , x = a ,
∂G M ∂y = 0 при y = 0 , y = b .
(7.61)
Вследствие этого
∂X ∂x = 0 при x = 0  A2 g x = 0,
∂X ∂x = 0 при x = a  g x A1Sin( g x a ) = 0,
∂Y ∂y = 0 при y = 0  B2 g y = 0,
(7.62)
∂Y ∂y = 0 при y = b  g y B1Sin(g y a ) = 0.
Таким образом, для получения нетривиального решения граничной задачи необходимо выбрать числа g x и g y , удовлетворяющие тем же самым уравнениям (7.56), которые были получены для электрических волн. Поэтому возможные значения g x и
g y по-прежнему определяются формулами (7.58) с тем лишь отличием, что индексы m и n могут быть также равными нулю, но
не одновременно.
Окончательно получаем собственные функции
 mπx 
 nπy 
M
Gmn
= C M Cos
Cos
,
 a 
 b 
(7.63)
где C M – произвольная постоянная. Собственные значения при
этом определяются как
g Mmn =
(m π a )2 + (n π b)2 .
(7.64)
Критическая длина волны в соответствии с формулой (7.29) определяется следующим соотношением:
λкр
mn =
2ab
(mb )
2
141
+ (na )
2
.
(7.65)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В формулах (7.63) – (7.65) m, n = 0, 1, 2,....
Приведенные выражения определяют магнитную волну, которая называется волной H mn в прямоугольном волноводе.
Приведем явный вид выражений для проекций комплексных


амплитуд векторов электромагнитного поля E m и H m , соответствующих магнитной волне в прямоугольном волноводе.
μω
mπ M  mπ x 
 nπy 
E mx = a H my , H mx = −ih
C Sin
Cos
 exp(ihz ),
a
a
b
h




μω
nπ M
 mπx   nπy 
C Cos
E my = − a H mx , H my = −ih
 Sin
 exp(ihz ),
b
h
 a   b 
 mπx 
 nπy 
E mz = 0, H mz = (m π a )2 + (n π b )2 C M Cos
Cos
 exp(ihz ).
b
a




(7.66)
Рассмотрим структуру электромагнитных полей в прямоугольном волноводе. Простейшая электрическая волна в прямоугольном волноводе есть волна E11 , у которой
(
)
 πx   πy 
E
G11
= C E Sin  Sin  .
a  b
(7.67)
Проекции действительных значений напряженностей поля в
этом случае имеют вид:
εω
 πx   πy 
C E Cos  Sin  Sin (hz ), H mx = − a Emy ,
h
a
a b
π
εω
 πx 
 πy 
= −h C E Sin Cos  Sin (hz ), H my = a Emx ,
(7.68)
b
h
a
b
 πx   πy 
= (π a )2 + (π b )2 C E Sin  Sin Cos(hz ), H mz = 0.
a b
Emx = −h
Emy
Emz
(
π
)
E
Изображенные на рис. 7.4а штриховые линии G11
= const дают силовые линии магнитного поля, а перпендикулярные к ним
сплошные кривые дают электрические силовые линии.
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 7.4. Волна E11 в прямоугольном волноводе
Силовые линии электрического поля распространяющейся
волны E11 в продольном сечении у, z изображены на рис. 7.4б.
Картина силовых линий в плоскости продольного сечения обладает периодом, равным длине волны в волноводе Λ .
Структура электромагнитного поля волны Emn в прямоугольном волноводе может быть получена следующим образом: если
разбить сторону прямоугольника а на т равных частей, а сторону b
на п равных частей и через соответствующие точки провести прямые, параллельные осям х и у, то прямоугольное поперечное сечение волновода разобьется на mn одинаковых прямоугольников.
Легко показать, что в каждом малом прямоугольнике электромагнитное поле волны E mn имеет ту же структуру, которую имеет в
волноводе с таким поперечным сечением рассмотренная выше
волна E11 . Поэтому электромагнитное поле волны Emn в прямоугольном волноводе является лишь многократным повторением
поля волны E11 , но в более мелком масштабе.
Перейдем к рассмотрению магнитных волн. С практической
точки зрения наиболее важна волна H 10 , для которой
Emx
 πx 
M
G10
= C M Cos  ,
a
π
 πx 
= 0, H mx = h C M Sin  Sin (hz ),
a
a
Emy = −
μ aω
h
H mx , H my = 0,
 πx 
Emz = 0, H mz = (π a )2 C M Cos Cos(hz ).
a
143
(7.69)
(7.70)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из этих формул видно, что электрическое поле волны направлено по оси у, причем наибольшая густота силовых линий достигается при x = a 2 . Магнитные силовые линии лежат в горизонтальных плоскостях, их проекции на плоскости поперечного сечения
являются горизонтальными прямыми, изображенными на рис. 7.5а
штриховыми линиями. Если рассматривать силовые линии магнитного поля распространяющейся волны H 10 в плоскости продольного сечения x, z , то это будут замкнутые кривые (рис. 7.5б).
а
б
Рис. 7.5. Волна H 10 в прямоугольном волноводе
Структура поля волны H m 0 является m-кратным повторением структуры волны H 10 по оси х. Структура поля волны H 01 та
же, что и у волны H 10 , но с заменой оси x на ось y и наоборот.
Поле волны H 0n является n-кратным повторением поля волны
H 01 по оси y в уменьшенном масштабе.
Сравним между собой критические длины волн, которые определяются поперечным волновым числом g соответствующей
волны в волноводе. Волна H 10 имеет наименьшее значение g
(при a > b ). Ему соответствует критическая длина волны
λêð = 2a . Таким образом, на большей стороне прямоугольного
волновода укладывается как раз половина критической длины
волны. Все другие волны в прямоугольном волноводе имеют
меньшие критические длины волн. Так, например, для волны H 01
имеем λêð = 2b . Очевидно, что при выполнении условий
λ 2 < a < λ, b < λ 2
(7.71)
144
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в волноводе распространяется только волна H 10 (так называемый
одномодовый режим).
7.4. Круглый волновод
Рассмотрим электрические и магнитные волны в волноводе с
круговым поперечным сечением радиуса а. В круглом волноводе
существуют только волны этих типов, ТЕМ-волн нет.
Для решения двухмерного волнового уравнения (7.38) внутри
круглого волновода введем полярную систему координат ρ , ϕ с
центром на оси волновода, после чего оно примет вид
1 ∂  ∂G  1 ∂ 2 G
2
+
(7.72)
g
G = 0.
ρ
+ 2
ρ ∂ρ  ∂ρ  ρ ∂ϕ 2
Решение ищем методом разделяющихся переменных
G ( ρ , ϕ ) = R ( ρ )Φ (ϕ ) .
(7.73)
Частные решения (7.72) удобно представить в следующем
виде (см. раздел 1):
(7.74а)
Φ m = Am Cos( mϕ ) + Bm Sin(mϕ ) ,
Rm = Cm N m ( gρ ) + Dm J m ( gρ ) ,
(7.74б)
где J m и N m – цилиндрические функции Бесселя и Неймана. Так
как при ρ → ∞ N m → ∞ , чтобы решение было конечно, необходимо положить значение константы Ñm = 0 . Поэтому общее решение уравнения (7.68) имеет вид:
G( ρ , ϕ ) =
∞
 ( Am′ Cos(mϕ ) + Bm′ Sin(mϕ ))J m ( gρ ) .
(7.75)
m =0
Рассмотрим электрическую волну. Так как функция G E
должна удовлетворять граничному условию (7.41) при ρ = a , то
для поперечного волнового числа электрических волн в круглом
волноводе получаем уравнение
J m ( ga ) = 0 .
(7.76)
Обозначим n-й положительный корень уравнения J m (ν ) = 0
через ν mn , тогда для электрических волн возможны значения
g E = ν mn a . Электрическая волна с таким g , функция G E кото-
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рой определяется формулой (7.75), называется волной Emn в
круглом волноводе.
Очевидно, что критическая длина электрической волны в
волноводе определяется формулой
λкр = 2πa ν mn .
(7.77)
В таблице 7.1 приведены значения корней функций Бесселя и
соответствующие им отношения критической длины волн к радиусу круглого волновода.
Таблица 7.1
Тип волны
E01
E 21
E02
E31
ν mn
λкр a
E11
E12
2,405
3,832
5,135
5,52
6,379
7,016
2,613
1,640
1,223
1,138
0,985
0,895
Функция G E для магнитных волн в круглом волноводе
должна удовлетворять уравнению (7.72) и поэтому представляется с помощью формулы (7.75). Граничное условие для нее определяется соотношением (7.47) и для случая круглого волновода
имеет вид:
J m′ ( ga ) = 0 .
(7.78)
Если через γ mn обозначить n-й положительный корень уравнения (7.78), то возможные значения g для магнитных волн в
круглом волноводе имеют вид g M = γ mn a . Такое волновое число
по определению соответствует волне Нтп в круглом волноводе.
В таблице 7.2 приведены значения корней уравнения (7.78) и
соответствующие им отношения критической длины волн к радиусу круглого волновода.
Таблица 7.2
Тип волны
Н11
Н 21
Н 01
Н 31
Н 41
Н12
γ mn
λкр a
1.84
3,05
3,83
4,2
5,32
5,33
3,41
2,06
1,64
1,50
1,182
1,178
146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Как следует из таблиц 7.1 и 7.2, наибольшее значение критической длины волны соответствует магнитной волне Í 11 . Для нее
λкр равна 3,41 радиуса волновода. Функция G11M этой волны определяется следующей формулой:
M
G11
= С M ( J1 ( gρ )Cosϕ + J1 ( gρ ) Sinϕ ) .
(7.79)
Как следует из приведенной формулы, угловая зависимость
M
G11
определяется суперпозицией косинуса и синуса, т.е. суммой
двух собственных функций. Если рассмотреть лишь одну из них,
например, с косинусом, то распределение электрических силовых
линий волны в круглом волноводе (см. рис. 7.6) весьма похоже на
ту же картину для волны Н10 в прямоугольном волноводе (см.
M
(без синуса) достигает максирис. 7.5). Поэтому функция G11
мального и минимального значения на концах горизонтального
диаметра при ρ = a , ϕ = 0 и ϕ = π .
Магнитные силовые линии в плоскости поперечного сечения
изображены на рис. 7.6 штриховыми линиями. Ход магнитных
силовых линий волны Н11 в круглом волноводе также напоминает волну Н10 в прямоугольном волноводе. В пространстве эти
силовые линии образуют замкнутые петли, проекции которых на
продольное сечение x, z подобны изображенным на рис. 7.5.
Рис. 7.6. Волна Í
11
в круглом волноводе
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Картина силовых линий, получаемая для второго слагаемого
из функции (7.79), отличается от картины на рис. 7.6 лишь поворотом на 90°. Принято считать, что собственное значение
g M = γ 11 a является двухкратно вырожденным, так как ему соответствуют две собственные функции. Можно вообще сказать,
что любое собственное значение g, соответствующее несимметричной электрической или магнитной волне, т. е. имеющее индекс m = 1, 2, 3, ... является вырожденным, так как ему соответствуют, по крайней мере, две собственные функции. Это вырождение называется поляризационным и является следствием того,
что круглый волновод обладает симметрией вращения.
Следующей по величине критической длиной волны обладает электрическая волна E01 . Для этой волны
E
G01
= С E J1 ( gρ ) .
(7.80)
Собственное значение g E = ν 01 a является невырожденным,
так как ему соответствует только одна собственная функция
(7.80). Нетрудно показать, что собственные значения всех симметричных электрических волн E0n являются невырожденными.
E
Линии уровня G01
= const для волны E01 изображены на
рис. 7.7. Магнитные силовые линии есть окружности, а электрические силовые линии в плоскости поперечного сечения идут в
радиальном направлении и как бы сходятся в центре. Электрические силовые линии волны E01 расположены вне плоскости поперечного сечения и в плоскости продольного сечения ведут себя
качественно так же, как и электрические силовые линии волны
E11 в прямоугольном волноводе (см. рис. 7.4).
Очевидно, что одномодовый режим в круглом волноводе наблюдается при выполнении следующего условия:
λ
3,41
<a<
148
λ
2,61
.
(7.81)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис.7.7. Волна E01 в круглом волноводе
Вопросы для самоконтроля
1. Приведите уравнения для векторов поля и векторных потенциалов.
2. Поясните, зачем вводятся потенциалы?
3. Приведите уравнения Гельмгольца для векторного и скалярного потенциалов, а также для вектора Герца.
4. Дайте классификацию волн в направляющих системах.
5. Приведите основные особенности распространения электромагнитных не поперечных волн в направляющих системах.
6. Объясните, почему фазовая скорость волны в направляющих системах больше скорости света?
7. Приведите граничные условия для вектора Герца в волноводе.
8. От каких параметров волновода зависит значение критической частоты и длины волны?
9. Приведите характеристики основных типов волн для прямоугольного и круглого волноводов.
10. Как организовать одномодовый, двумодовый режим работы прямоугольного и круглого волноводов? Какие типы волн
этому режиму соответствуют?
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
В ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРАХ
Рассмотрение гармонических полей существенно упрощает
анализ электромагнитных явлений. На низких частотах близкие к
гармоническим колебания могут быть созданы с помощью колебательных контуров (например, параллельное соединение емкости и индуктивности). В таких системах колебательный процесс
возникает в результате обмена электромагнитной энергией между
электрическим полем в емкости и магнитным полем в индуктивности. Для более высоких частот, например в СВЧ диапазоне и
выше, создать контур из сосредоточенных элементов с малыми
потерями и соответственно высокой добротностью практически
невозможно. Поэтому в этих диапазонах применяют колебательные системы с распределенными параметрами. Возможность построения подобных систем вытекает из уравнений Максвелла, согласно которым переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле, а переменное магнитное поле в свою
очередь порождает переменное электрическое поле и т.д. Таким
образом, происходит непрерывный обмен энергией между электрическим и магнитным полями. Если добиться того, чтобы не
происходило излучение электромагнитных волн из всего рассматриваемого объема пространства и свести тепловые потери к
нулю, то такой обмен энергией может происходить сколь угодно
долго. Это означает, что в этой области пространства, как и в
обычном колебательном контуре, будет существовать колебательный процесс. Подобные резонансные системы получили название объемных резонаторов.
8.1. Общие характеристики
Рассмотрим уравнение баланса мощности в некотором объеме V . Если тепловые потери равны нулю и отсутствует обмен
энергией между внешним пространством и рассматриваемым
объемом V , то уравнение баланса принимает вид:
(8.1)
Pст = dW dt .
150
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Под влиянием источника в объеме V возникнут электромагнитные колебания. Пусть через некоторое время сторонний источник отключается. При этом за счет запасенной в резонаторе
энергии колебательный процесс будет продолжаться сколь угодно долго и при отсутствии источников. То есть в резонаторе возникнут свободные колебания, которые не связаны со сторонним
источником. При Рст = 0 из (8.1) имеем
dW
= 0 , т.е. W = const .
(8.2)
dt
Энергия остается постоянной, однако соотношение величин
электрической и магнитной энергии непрерывно меняется вследствие обмена энергией между электрическим и магнитным
поля
ми. В общем случае изменение во времени E и H в резонаторе
носит негармонический характер. Электромагнитное поле состоит из наложения электромагнитных полей бесконечного числа
типов колебаний, каждый из которых имеет собственную длину
волны (частоту), добротность и картину силовых линий поля.
Пусть, например, свободные колебания являются гармоническими, т.е.
 
 
E ( r , t ) = E m ( r )Cos (ω0 t ).
(8.3)
Поскольку W = const , то в момент времени t = 0 вся энергия сосредоточена в электрической компоненте. Очевидно, что в моменты времени t = (π 2 + πq ) ω0 ( q – произвольное целое число)
 
E ( r , t ) = 0 и вся энергия сосредоточена в магнитной компоненте.
Это означает, что при гармонических колебаниях между электрическим и магнитным полями имеет место сдвиг на π 2 . Поэтому
для магнитного поля можно записать
 
 
H ( r , t ) = H ( r ) Sin (ω0 t ) .
(8.4)
В случае однородной изотропной среды энергия поля определяется уравнением (1.112), поэтому после его дифференцирования получаем
ε a  2
μa  2 
dW
(
)
= −ω0 Sin 2ω0t   Em dV −
 H m dV  = 0 . (8.5)
dt
2
2
 V

V
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поскольку полученное равенство должно быть справедливым
при любом t , то
εa  2
μa  2
E m dV =
H m dV .
(8.6)
2 V
2 V
Из уравнений Максвелла для (8.3) и (8.4) следует, что




rotH m = −ε aω0 E m , rotE m = − μ aω0 H m .
(8.7)
Это позволяет из (8.6) получить выражения для резонансной
частоты
 2
 2
 rotEm dV
 rotH m dV
1
1
V
V
ω02 =
=
.
(8.8)
 2
 2
ε a μa
ε
μ
a a
 Em dV
 H m dV
V
V
Как следует из полученных соотношений, резонансная частота
зависит от формы и размеров объема V , а также от характера подынтегральных функций, т.е. структуры полей. Структура поля в
резонаторе определяется из решений уравнений Максвелла при
определенных граничных условиях на поверхности, окружающей
объем V .
В любом резонаторе вследствие потерь поле затухает. Незатухающие колебания возможны только при подкачке электромагнитной энергии. Поэтому все незатухающие колебания в реальных
резонаторах – вынужденные колебания. Если частота подкачки
совпадает с резонансной частотой, то имеет место резонанс.
Рассмотрим частные случаи объемных резонаторов.
8.2. Прямоугольный резонатор
Под прямоугольным резонатором понимается отрезок прямоугольного волновода, замкнутого на концах проводящими пластинами. Для определения структуры поля в резонаторе будем
для простоты считать, что потери в нем отсутствуют, т.е. проводимость стенок σ = ∞ . Пусть резонатор имеет размеры
0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ l .
152
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим уравнение Гельмгольца
компоненты вектора электрического поля


ΔE m + k 2 E m = 0 .
для пространственной

Em
(8.9)

В декартовой системе координат составляющие вектора E m
удовлетворяют скалярным волновым уравнениям, решение которых ищется методом разделяющихся переменных, т.е. для каждой из компонент
d 2 E mq
+ k 2 E mq = 0
(8.10)
2
dq
решение имеет вид
E mq = X q ( x )Yq ( y ) Z q ( z ) .
(8.11)
В формулах (8.10), (8.11) q = x, y , z .
Очевидно, что граничные условия для случая идеально проводящих стенок могут быть представлены как
E mx = E my = 0, при z = 0, z = l ,
E mx = E mz = 0, при y = 0, y = b ,
(8.12)
E mz = E my = 0, при x = 0, x = a .
Рассмотрим решение для случая одной из проекций, например x . Если представить k 2 = k x2 + k y2 + k z2 , то уравнение (8.10)
распадается на три, решение каждого из них имеет вид
U x = Aq Cos (k q q ) + Bq Sin (k q q ) ,
(8.13)
где U = X , Y , Z . Нетрудно получить из (8.12), что компоненты

вектора E выражаются как
m
 mπx   nπy   pπz 
E mx = ACos
 Sin
 Sin
,
a
b
l

 
 

 mπx 
 nπy   pπz 
E my = BSin
Cos
 Sin
,
 a 
 b   l 
 mπx   nπy 
 pπz 
E mz = CSin
 Sin
Cos
,
a
b
l

 



153
(8.14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где A, B, C – константы, m, n, p – целые числа.
Собственное значение волнового числа
2
2
2
m n  p
k =π   +  +  .
 a  b  l 
(8.15)
С помощью второго уравнения Максвелла для гармонического колебания получаем выражения для компонент магнитного поля
iπ  n
p   mπ x 
 nπy 
 pπz 
H mx = −  C − B  Sin
Cos
Cos




,
k b
l   a 
 b 
 l 
iπ  p
m 
 mπx   nπy 
 pπz 
H my = −  A − C Cos
 Sin
Cos
,
k l
a 
 a   b 
 l 
iπ  m
n 
 mπ x 
 nπy   pπz 
H mz = −  B − A Cos
Cos
 Sin
.
a
b
l
k a
b 



 

(8.16)
Таким образом, для каждой тройки чисел m, n, p получено
решение уравнений поля, определяемое формулами (8.14) и (8.16)
и имеющее волновое число (8.15). Это значит, что каждой тройке
чисел соответствует собственное колебание, имеющее собственную частоту f рез и собственную длину волны λ рез :
2
f рез
2
2
ω
c m n  p
= 0 =
  +  +  ,
2π 2  a   b   l 
2
λ рез = 2
2
8.17)
2
m n  p
  +  +  .
 a  b  l 
(8.18)
Поскольку согласно третьему уравнению Максвелла

divEm = 0 , то после подстановки в него решения (8.14) получаем
уравнение для подбора констант
m
n
p
+ B + C = 0.
(8.19)
a
b
l
Если среди чисел m, n, p нет нулей, то такой тройке чисел
соответствуют два собственных колебания с одной и той же частотой, но с различной структурой поля. Действительно, в формулах для полей имеются две произвольные постоянные, скажем А
154
A
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и В, поскольку третья постоянная выражается через них в силу
соотношения (8.19). Полагая A = 1, B = 0 , получаем одно электромагнитное колебание, а при A = 0, B = 1 – другое колебание с
той же самой частотой, но иным распределением поля.
Если собственной частоте соответствует два или больше собственных колебания, то говорят о наличии вырождения, а данная
собственная частота называется вырожденной или кратной. Таким
образом, если индексы m, n, p все отличны от нуля, то соответствующая им собственная частота (8.17) оказывается, по крайней
мере, двукратно вырожденной. Если размеры полости a, b, l являются соизмеримыми, т. е. их отношения являются рациональными
числами, то возможно вырождение более высокой кратности. Так,
например, при a = b и m ≠ n частота (8.17) имеет не менее чем четырехкратное вырождение, поскольку тройкам чисел m, n, p и
n, m, p соответствует одна частота, но разные поля.
Если в формулах (8.14) представить синусы и косинусы через
формулы Эйлера, то получим комбинацию слагаемых вида
nπ
pπ  

 mπ
x+
y+
z  .
exp ± ik 
bk
lk  
 ak

(8.20)
Очевидно, что выражение (8.20) соответствует плоским волнам, распространяющимся в пустоте. То есть имеет место их суперпозиция. Характерная особенность этих плоских волн заключается в том, что на каждом ребре параллелепипеда каждая из
них приобретает дополнительную фазу, кратную π ; например,
при переходе от x = 0 до x = a появляется фазовый множитель
exp( ±imx ) и т.д. В результате сложения этих бегущих плоских
волн возникают стоячие плоские волны (8.14) с узлами тангенциального электрического поля на стенках.
Индексы m, n, p определяют направления распространения
плоских волн, на которые разлагается поле собственных колебаний полости. Двукратное вырождение собственных частот физически связано с тем, что при данном направлении распространения плоской волны ее поляризация может быть произвольной.
При сложении плоских волн с одной поляризацией получается
первое собственное колебание, при сложении волн с другой, пер155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пендикулярной поляризацией приходим ко второму собственному колебанию, имеющему ту же частоту.
Основное колебание имеет наинизшую резонансную частоту.
В прямоугольном резонаторе, имеющем наименьший размер b
( b < a и b < l ), основным колебанием является H 101 . Структура
электромагнитного поля этого колебания в некоторый момент
времени 0 < t < T 4 приведена на рис. 8.1.
Рис. 8.1. Распределения поля колебания H 101
в прямоугольном резонаторе
8.2. Цилиндрический резонатор
Теоретическое исследование структуры электромагнитных
полей и других свойств объемных резонаторов, ограниченных
сложной по форме оболочкой, встречает весьма значительные
математические трудности, связанные с необходимостью нахождения решений трехмерного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющих граничному условию. Задача существенно упрощается,
если резонатор образован из отрезка линии передачи с известной
структурой электромагнитного поля. Решение получается на основе выполнения граничных условий на боковых стенках и
156
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
z = 0, z = l . Эти условия нужно брать для стоячих волн, а не для
бегущих.
Рассмотрим цилиндрический резонатор, который образован
конечным отрезком круглого волновода, заключенным между
двумя поперечными перегородками – основаниями кругового цилиндра. Стоячие электрические волны в цилиндрических резонаторах получаются с помощью электрического вектора Герца с
единственной составляющей G zE = G E ( ρ , ϕ )Cos(hz ) , как для цилиндрического волновода.
Очевидно, что электромагнитное поле таких волн определяется формулами
E mx
E my
E mz
∂G E
∂G E

Cos(hz ),
= −h
Sin (hz ), H mx = −iε aω
∂
y
∂x
∂G E
∂G E

= −h
Sin (hz ), H my = iε aω
Cos(hz ),
∂y
∂x
H mz = 0.
= g 2 G E Cos (hz ),
(8.21)
E
В выражении для G zE был взят Cos(hz ) , а не Sin (hz ) , чтобы
удовлетворить граничным условиям. Поэтому из равенства
E mx = E my = 0 при z = 0, z = l находим
h = pπ l , p = 0, 1, 2, ...
(8.22)
При выполнении этих условий формулы (8.21) дают электромагнитное поле собственного колебания, имеющее в пустоте
волновое число
2
k = g E2 + ( pπ l ) ,
(8.23)
где g E – поперечное волновое число соответствующей электрической волны в волноводе.
Стоячие магнитные волны в цилиндрических резонаторах
можно рассчитать с помощью магнитного вектора Герца, имеющего одну составляющую G zE = G E ( ρ , ϕ ) Sin (hz ) . В этом случае
поле стоячей волны имеет следующий вид:
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
M
∂G
E mx = iμaω
Sin (hz ),
∂y
E my
E mz
M
∂G
Cos(hz ),
H mx = h
∂x
M
∂G M
∂
G
= −iμaω
Sin (hz ), H my = h
Cos(hz ),
∂x
∂y
2
= 0,
H mz = g M
G M Sin (hz ).
(8.24)
Из граничных условий следует, что продольное волновое число
для магнитных волн в цилиндрическом резонаторе определяется
формулой
h = pπ l , p = 1, 2, 3 ...
(8.25)
Значение p = 0 в данном случае недопустимо.
Полученные формулы определяют колебание с волновым
числом
2
k = gM
+ ( pπ l )2 ,
(8.26)
где g M – поперечное волновое число соответствующей магнитной волны в волноводе.
С помощью формул (8.23) и (8.26) для волновых чисел можно определить соответствующие резонансные частоты и длины
волн
с
g E2 , M + ( pπ l )2 , λкр = 2π g E2 , M + ( pπ l )2 . (8.27)
2π
Отметим, колебания E mn 0 существуют, а колебания H mn 0 отсутствуют. Собственная частота колебания E mn 0 совпадает с критической частотой волны Emn в волноводе. Собственные частоты
всех других колебаний E mnp и H mnp выше критических частот
соответствующих волн в волноводе E mn и H mn .
Поскольку основным колебанием резонатора называется колебание с наинизшей собственной частотой, из формул (8.23),
(8.26) и (8.27) следует, что для длинных резонаторов ( l велико)
основным колебанием будет магнитная стоячая волна с индексом
p = 1. Для коротких резонаторов ( l мало) основным колебанием
будет электрическая стоячая волна с индексом p = 0 , поскольку
при p ≠ 0 второе слагаемое под корнем в формуле (8.27) будет
f рез =
158
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
велико. Так, для кругового цилиндра основным колебанием при
больших отношениях l 2a является колебание H 111 с волновым
числом
k = (1,841 a )2 + (π l )2 .
(8.28)
Причем его частота является двукратно вырожденной. На
рис. 8.2 изображено распределение электрических (сплошных) и
магнитных (штриховых) силовых линий в цилиндрическом резонаторе для колебаний H 111 .
Рис. 8.2. Распределения поля колебания H 111
в цилиндрическом резонаторе
При меньших отношениях l 2a основным будет колебание
E010 , частоту которого нетрудно вычислить по формуле
k = 2,405 a . Эта частота не зависит от длины резонатора l и является невырожденной. Обычно в цилиндрических резонаторах
применяется колебание E010 , причем l 2a < 1. На рис. 8.3 изображено распределение электрических (сплошных) и магнитных
(штриховых) силовых линий в цилиндрическом резонаторе для
колебаний E010 .
159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 8.3. Распределения поля колебания E010
в цилиндрическом резонаторе
Вопросы для самоконтроля
1. Какие типы колебаний существуют в резонаторах?
2. От чего зависит резонансная частота (длина волны) резонатора?
3. Объясните причину затухания собственных колебаний в
резонаторе.
4. Дайте с физической точки зрения трактовку формирования
распределения поля в прямоугольном резонаторе.
5. Поясните, что означает вырожденность собственных частот резонатора?
6. Приведите основные типы колебаний в зависимости от соотношения сторон прямоугольного резонатора.
7. Определите собственные частоты основных колебаний в
цилиндрическом резонаторе для электрического и магнитного
вектора Герца.
160
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Возможность излучения электромагнитных волн в пространство непосредственно следует из уравнений Максвелла. Под излучением понимается перенос электромагнитной волной энергии
из области, включающей источники, в окружающее пространство. В уравнении баланса мощностей мощность излучения определяется средним за период значением вектора Пойнтинга.
В качестве излучателей электромагнитных волн (энергии)
используются системы (антенны), удовлетворяющие определенным требованиям. Основное требование – минимум реактивной
мощности, которая непосредственно связана с антенной и не излучается в пространство. Поле излучателя создается подводимым
к нему током. В этом случае для нахождения поля можно использовать потенциалы.
Пусть закон изменения стороннего тока носит гармонический
характер. В этом случае задача сводится к определению только
векторного потенциала, который удовлетворяет уравнению
Гельмгольца (см. раздел 7.1) для комплексных амплитуд



ΔA + ω 2ε μ A = − μ j
.
(9.1)
m
a
a m
a cт m
Решение этого уравнения может быть получено из решения в
виде запаздывающего потенциала, которое в случае гармонического тока имеет вид:


 
  μ a jcтm (r ′) exp(ik r − r ′ )
(9.2)
Am (r ) =
dV ′ ,
 
r − r′
4π V
где V – объем, по которому распределен ток.
9.1. Элементарный электрический вибратор
Рассмотрим процесс излучения электромагнитных волн на
примере элементарного электрического вибратора. Под элементарным электрическим вибратором понимается короткий по
сравнению с длиной волны провод, по которому протекает элек161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
трический ток, амплитуда и фаза которого не изменяются вдоль
провода. Провод является бесконечно тонким. Ток проводимости,
протекающий в проводнике, переходит в пространстве в ток
смещения, и таким образом линии тока оказываются непрерывными.
Элементарный электрический вибратор является по существу
идеализированной, удобной для анализа излучающей системой,
так как практически создание вибратора с неизменными по всей
длине амплитудой и фазой тока невозможно.
Введем систему координат с началом в центре вибратора и
осью z , совпадающей с его осью. Комплексную амплитуду плотности тока можно считать постоянной в пределах проводника.
Малая по сравнению с длиной излучаемой волны длина вибратора l позволяет на больших расстояниях рассматривать его как
точечный. Разобьем в (9.2) интегрирование по объему излучателя
на интегрирование по площади его поперечного сечения ΔS и по

длине вибратора l . Поскольку jстm = const , то выражение (9.2)
приобретает следующий вид:

  μ a Icтm l 2 exp(ik r − r′ )
Am (r ) =
dl ′ ,
(9.3)
 

4π − l 2
r − r′


̂
где Iñò m = jñò m ΔS = jñò m ΔSez . Если рассматривать поле на расстояниях существенно превышающих длину вибратора, то (9.3)
можно представить как

  μa I cò m l exp(ikr )
Am ( r ) =
.
(9.4)
4π
r
Отметим, что сделанное предположение о малости диаметра вибратора d по сравнению с его длиной не является необходимым.
Достаточно считать, что d << r .
Поскольку в сферической системе координат
  1 ∂
∂N θ 
(
)
⋅
−
θ
+
rotN = eˆr
Sin
N
ϕ
∂ϕ 
rSinθ  ∂θ
 1  1 ∂N r ∂ (rN ϕ ) ˆ 1  ∂ (rN θ ) ∂N r 
,
+ eˆθ 
−
+ eϕ 
−


r  Sinθ ∂ϕ
r  ∂r
∂r 
∂θ 
162
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

а вектор A m направлен по оси z и не имеет в сферической системе координат азимутальной составляющей A mϕ = 0 , то вектор



̂
H = rotA μ имеет только одну компоненту H = H e .
m
m
a
m
mϕ ϕ
1  ∂ (rA mθ ) ∂A mr 
H mϕ =
−
.
(9.5)


μ a r  ∂r
∂θ 
Это отражает тот факт, что прямолинейный ток может создать только кольцевые магнитные силовые линии, лежащие в
плоскостях, перпендикулярных оси вибратора.
После дифференцирования имеем следующее выражение для
азимутальной компоненты вектора напряженности магнитного
поля:
− iIстm lk 2  1  1  2 
H mϕ =
(9.6)
 + i   Sinθ ⋅ exp(ikr ) .
4π
kr
kr







̂
Поскольку вектор E m = irot H m (ωε a ) и H m = H mϕ eϕ , несложно
( )
получить выражение для комплексной амплитуды электрического поля
Iñò m lk 3  1 2  1 3 
E mr =
  + i   Cosθ ⋅ exp(ikr ),
2πωε a  kr 
 kr  
(9.7)
3
2
3

− iI ñò m lk  1  1   1  
E mθ =
 − i   −    Sinθ ⋅ exp(ikr ).
4πωε a  kr  kr   kr  
Из полученных формул следует, что вектор напряженности
электрического поля имеет две составляющие, а вектор напряженности магнитного поля – одну. Таким образом, в любой точке
пространства вектор E лежит в меридианальной плоскости, т.е. в
плоскости, проходящей
через ось вибратора и рассматриваемую

точку, а вектор H – в азимутальной плоскости, т.е. в плоскости,
перпендикулярной оси вибратора.
Выполним анализ свойств электромагнитного поля элементарного электрического вибратора в зависимости от расстояния.
Из выражений (9.6) и (9.7) видно, что поведение амплитуд определяется величиной kr . В зависимости от значения этой величи163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ны выделяют три зоны: дальнюю ( kr >> 1), ближнюю ( kr << 1) и
промежуточную ( kr ≅ 1 ).
В ближней зоне kr << 1 или 2πr << λ . Однако формулы для
поля элементарного вибратора были выведены в предположении,
что расстояние до точки наблюдения значительно больше линейных размеров вибратора. Поэтому более точное условие ближней зоны имеет следующий вид
l << r << λ (2π ).
(9.8)
В этом случае в выражениях в квадратных скобках формул
(9.6) и (9.7) можно пренебречь слагаемыми с большей степенью.
Кроме того, при kr << 1 exp(ikr ) ≅ 1 . В результате выражения для
компонент комплексных амплитуд поля приобретают вид:
− iIñò m lSinθ
Iñò m lSinθ
iIñò m lCosθ



H mϕ =
, Emr =
, E mθ =
. (9.9)
4πr 2
2πωε a r 3
4πωε a r 3
В ближней зоне отличны от нуля все три составляющие поля:
H mϕ , E mr , E mθ . Они быстро убывают с расстоянием пропорционально квадрату и кубу расстояния. Составляющие напряженности электрического и магнитного полей сдвинуты по фазе на 90°.
Поэтому комплексный вектор Пойнтинга оказывается чисто
мнимой величиной, а его среднее значение – равным нулю. Это
не означает, конечно, что в ближней зоне отсутствует излучение.
Как и в дальней зоне, здесь в выражениях для поля имеются слагаемые, пропорциональные 1 (kr ) , которые определяют излучаемую энергию. Однако их абсолютные величины малы по сравнению с абсолютными значениями составляющих, определяемых
формулами (9.9). Таким образом, в ближней зоне имеется относительно большое реактивное поле. Необходимо отметить, что в
случае среды без потерь, полные потоки энергии в ближней и
дальней зонах одинаковы, а плотность потока энергии в ближней
зоне значительно больше, чем в дальней.
Рассмотрим поведение поля в дальней зоне. Из сравнения
формул (9.7) следует, что в этом случае можно пренебречь составляющей E mr по сравнению с E mθ . Кроме того, в выражениях
для E mθ и H mϕ в квадратных скобках можно пренебречь слагае164
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мыми 1 (kr )2 и 1 (kr )3 по сравнению с 1 (kr ) . В результате получаем следующие формулы:
− iIñò m l
− iIñò m l μa


H mϕ =
Sinθ ⋅ exp(ikr ), Emθ =
Sinθ ⋅ exp(ikr ) .
2λ r
2λ r
εa
(9.10)
Как следует из полученных формул, составляющие поля колеблются синфазно, а поле имеет характер расходящейся от вибратора сферической волны. Компоненты E mθ и H mϕ взаимно ортогональны и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению излучения, т.е. имеют характер поперечной волны. Между
собой E mθ и H mϕ связаны по величине через волновое сопротивление Z B = μ a ε a , которое характерно для плоской волны. Таким образом, в дальней зоне на локальных участках фронт волны
можно считать плоским.
На рис. 9.1 представлено распределение поля по мере удаления от вибратора. Силовые линии электрического поля расположены в плоскости чертежа. Вблизи от вибратора они повторяют
силовые линии системы двух положительного и отрицательного
зарядов. По мере удаления от вибратора кривизна волнового
фронта уменьшается, и чем дальше от вибратора, тем волновой
фронт все больше походит на плоский. Магнитные силовые линии представляют собой окружности в плоскости, перпендикулярной рисунку с центром на полярной оси.
Рассмотрим более подробно напряженность электрического
поля в дальней зоне. При заданных амплитуде тока и длине вибратора амплитуда напряженности его электрического поля зависит от двух переменных: расстояния r и угла θ . При одном и том
же расстоянии от вибратора поле будет различным в зависимости
от угла. Амплитуда напряженности поля максимальна в плоскости, проходящей через середину вибратора, перпендикулярно его
оси (θ = π 2 ), и равна нулю в направлении этой оси, т.е. при
θ =0 и θ =π .
165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис.9.1. Распределение поля элементарного
электрического вибратора
Для более наглядного представления о характере излучения
(направленных свойствах) антенны строят графики зависимости
амплитуды напряженности поля или амплитуд ее составляющих
от направления в точку наблюдения при r = const . Такие кривые
называют амплитудными диаграммами направленности или просто диаграммами направленности. Если необходимо дать представление о фазовой структуре излученного поля, строят так называемые фазовые диаграммы направленности – графики зависимости фазы напряженности поля от направления в точку наблюдения.
Как следует из формулы для напряженности поля, диаграмма
направленности элементарного электрического вибратора совпадает с поверхностью тора, образованного вращением круга, радиус которого равен расстоянию от центра круга до оси вращения
(рис. 9.2). Нормированная диаграмма направленности в меридианальной плоскости, построенная в полярной системе координат,
представляет собой две соприкасающиеся окружности единичного диаметра, построенные по обе стороны от вибратора (см.
рис. 9.3). Поскольку поле не зависит от угла ϕ , то нормированная
диаграмма направленности в экваториальной плоскости имеет
вид окружности единичного радиуса.
166
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 9.2. Диаграмма направленности элементарного
электрического вибратора
Рис. 9.3. Диаграмма направленности элементарного
электрического вибратора в меридианальной плоскости
Рассмотрим вектор Пойнтинга, который определяет перенос
электромагнитной энергии. Очевидно, что комплексный вектор
Пойнтинга в рассматриваемом случае является чисто вещественной величиной. Средняя за период плотность потока энергии
равна
167
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2

 Z B  Icò m l 2  2 
Π = Re Π =
Sin θ ⋅ eˆr .
2 

2  4(λr ) 


(9.11)
Из этого выражения следует, что излучение электромагнитной энергии максимально в направлениях, перпендикулярных
оси вибратора (θ = π 2 ), и не зависит от угла ϕ . Вдоль своей оси
(θ = 0 и θ = π ) вибратор не излучает.
Определим среднюю мощность, излучаемую в пространство
элементарным электрическим вибратором, находящимся в среде
без потерь. Поскольку она определяется средним потоком мощности через любую замкнутую поверхность S , окружающую
вибратор, то, полагая в качестве S сферу с центром в начале координат и достаточно большим радиусом, имеем следующее выражение:
  Z B
PΣ =  Π
dS =
2
S
 I 2 l 2 
 cò m
 3
  4λ2  Sin θ ⋅ dθ .
S


Вычисления интеграла позволяют получить формулу:
 Icт
m
PΣ = 
 λ

2
l  πZ B

.
 3

(9.12)
По аналогии с обычным выражением для мощности, расходуемой в среднем за период в электрической схеме на активном
сопротивлении (закон Джоуля – Ленца), полученную формулу
можно представить в виде
PΣ =
2
1 
I cтm RΣ ,
2
(9.13)
где
2π
RΣ =
3
2
l
  ZB .
λ 
(9.14)
Величина RΣ измеряется в омах и называется сопротивлением излучения. В свободном пространстве
168
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
l
RΣ = 80π   .
λ 
2
(9.15)
9.2. Элементарный магнитный вибратор
В разделе 1 наряду со сторонними токами были введены и
магнитные сторонние токи. Это позволило учесть источники поля, которые удобнее описывать в такой трактовке. В предыдущем
разделе был проанализирован элементарный электрический вибратор. Рассмотрим элементарный магнитный вибратор.
В качестве варианта магнитного вибратора можно рассматривать рамочный излучатель. Так называют круглый виток из
проводника, по которому протекает электрический ток. Радиус
этого витка много меньше длины излучаемой волны. Электрический ток вызывает магнитное поле, которое будет перпендикулярно плоскости рамки. Из-за малости размеров рамки фаза тока
во всех ее точках будет одинаковой. Поэтому такую рамку с током можно рассматривать как элементарный магнитный вибратор, ориентированный перпендикулярно ее плоскости, а середина
вибратора совпадает с центром рамки. Элементарным магнитным
вибратором можно считать также любой достаточно малый элемент длинного стержня, выполненного из соответствующего материала и возбужденного таким образом, что на его поверхности
имеется отличная от нуля перпендикулярная оси стержня касательная составляющая напряженности электрического поля Eϕ , а
другие составляющие вектора напряженности электрического
поля отсутствуют.
Выражения для комплексных амплитуд составляющих векторов поля, создаваемого элементарным магнитным вибратором,
могут быть получены из формул (9.6) и (9.7) для поля элементарного электрического вибратора, в которых нужно только в соответствии с принципом двойственности сделать соответствующие
замены. В результате получим следующие выражения:
169
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
M
iIñò
lk 2  1  1 2 
m
E mϕ =
 + i    Sinθ ⋅ exp(ikr ),
4π  kr  kr  
3
M
2
3


Iñò
lk
1
1




m
H mr =
i
+
  Cosθ ⋅ exp(ikr ),
 
2πωμa  kr 
 kr  
3
M
2
3


iIñò
lk
1
1
1




m
H mθ =
i
−
−
     Sinθ ⋅ exp(ikr ).

4πωμa  kr  kr   kr  
(9.16)
M
l может быть определена через ток I pm ,
Здесь величина Icт
m
M
протекающий через рамку площадью S , как Icт
l = iωμ a I рm S .
m
Из формул для
следует, что вектор
одну составляющую
поля элементарного магнитного вибратора
напряженности электрического поля имеет
E mϕ , а вектор магнитного поля – две состав
ляющие H mr , H mθ , т.е. вектор E в этом случае лежит в азиму
тальных плоскостях, а вектор H – в меридианальных. Как и в
случае элементарного электрического вибратора в выражениях
для поля элементарного магнитного вибратора имеются слагаемые, пропорциональные 1 (kr ) в первой, второй и третьей степенях. Поэтому при анализе структуры поля элементарного магнитного вибратора окружающее его пространство также удобно
разделить на три зоны: ближнюю ( kr << 1), дальнюю ( kr >> 1) и
промежуточную, где kr соизмеримо с единицей.
Рассмотрим поле в дальней зоне. Поступая так же, как и в
случае элементарного электрического вибратора, получаем
M
iIст
l
m
E mϕ =
Sinθ ⋅ exp(ikr ),
2λ r
(9.17)
M
iIст
l
m
H mθ =
Sinθ ⋅ exp(ikr ).
2λrZ B
Из формул (9.17) следует, что поле, создаваемое элементарным магнитным вибратором в дальней зоне, представляет собой
поперечную сферическую волну, распространяющуюся от вибра

тора. Векторы E и H изменяются синфазно. Распространение
170
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
электромагнитной волны сопровождается переносом энергии.
Энергия распространяется перпендикулярно поверхностям равных фаз.
Как и элементарный электрический вибратор, элементарный
магнитный вибратор обладает направленными свойствами. Его
излучение максимально в экваториальной плоскости θ = π 2 .
Вдоль своей оси (оси z ) элементарный магнитный вибратор не
излучает. Диаграммы направленности элементарного магнитного
вибратора совпадают с диаграммами направленности элементарного электрического вибратора.
Мощность излучения рамки находится так же, как мощность
излучения элементарного электрического вибратора, и определяется формулой
2
1
(9.18)
PΣ = I рm R pΣ ,
2
2
2π  kS 
где R pΣ =
  Z B – сопротивление излучения рамки.
3 λ 
9.3. Элемент Гюйгенса
Существенный интерес для практики имеют случаи, когда
поле задается на некоторой поверхности, например, на некоторой
поверхности равных фаз. Согласно принципу Гюйгенса – Френеля каждый элемент поверхности как вторичный источник излучает электромагнитную волну. Поле в точке наблюдения есть результат суммирования этих элементарных электромагнитных
волн. Математическая формулировка этого принципа впервые
была дана Кирхгофом. Поэтому указанный принцип обычно называют принципом Гюйгенса – Кирхгофа (более подробно см.
раздел 4).
Принцип Гюйгенса – Кирхгофа позволяет находить поле и в
том случае, когда поверхность, окружающая источники, не совпадает с поверхностью равных фаз. При этом, конечно, необходимо учитывать распределение фаз эквивалентных источников.
Найдем поле, которое создается каждым элементом поверхности. При этом будем полагать, что волны поперечные, элемент
поверхности ΔS перпендикулярен к направлению распростране171
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ния, т.е. представляет собой элемент фронта волны, называемый
элементом Гюйгенса. Магнитное поле, действующее на этом
элементе, можно заменить эквивалентным электрическим током,
а электрическое поле – эквивалентным магнитным током. Таким
образом, элемент Гюйгенса можно рассматривать как элементарный излучатель, обтекаемый электрическими и магнитными токами. Определим его направленные свойства.
Очевидно, что комплексные амплитуды эквивалентных поверхностных электрического и магнитного токов могут быть определены как




M
jSm
= − E m × nˆ
= − Eτ , jSm = H m × nˆ
= H τ . (9.19)
ΔS
ΔS


Так как векторы E и H свободно распространяющейся волны взаимно перпендикулярны, то эквивалентные им электрические и магнитные токи также будут взаимно перпендикулярны.
Расположим прямоугольный элемент Гюйгенса (плоскую прямоугольную площадку) в плоскости xy так, чтобы начало координат совпадало с его центром. Если направление осей x и y выбрать совпадающими с направлением
ориентации касательных


составляющих векторов E и H на площадке ΔS , то соответствующая ориентация поверхностных электрических и магнитных
токов, эквивалентных этим составляющим, определяется из
(9.19). Тогда электрический и магнитный потенциалы на расстояниях, значительно превышающих размеры площадки, запишутся
в соответствии с формулой (9.3) в следующем виде:

μa 
exp(ikr ) ˆ  M ε a  M
exp(ikr ) ˆ
e y . (9.20)
Am =
jSm ΔS
e x , Am =
jSm ΔS
4π
4π
r
r
В сферической системе координат составляющие векторов
потенциалов для источников электрического и магнитного типов
определяются соотношениями
M
M
A = A SinθCosϕ , A mr = A my SinθSinϕ ,
[
mr
]
[
]
mx
A mθ = A mx CosθCosϕ ,
A mϕ = − A mx Sinϕ ,
M
A mMθ = A my
CosθSinϕ ,
M
A mMϕ = A my
Cosϕ .
172
(9.21)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда, пренебрегая членами, убывающими быстрее чем 1 (kr ) ,
найдем после сложения обоих полей следующие выражения для
составляющих напряженности электрического поля:
E mϕ
E mθ
M
jSm ΔSZ B
jSm


Sinϕ 1 +
Cosθ  exp(ikr ),
= −i
jSm
2λ r


M
jSm
j


ΔSZ B
 exp(ikr ).
=i
Cosϕ 1 + Sm
Cos
θ
M


2λr
jSm


(9.22)
Здесь Z B = E mθ H mϕ = − E mϕ H mθ .
Из приведенных формул (9.22) следует, что в дальней зоне
векторы напряженности электрического и магнитного полей
имеют по две ортогональные составляющие, которые находятся в
плоскости перпендикулярной направлению распространения излучения.
Из выражения (9.22) видно, что диаграмма направленности
элемента Гюйгенса в плоскости θ определяется функцией
f (θ ) = 1 + bCosθ .
(9.23)
Формула (9.23) представляет собой улитку Паскаля, которая при
M
jSm = jSm
переходит в кардиоиду (см. рис. 9.4). В отличие от диаграмм направленности элементарных электрического и магнитного вибраторов она носит несимметричный характер. Излучение
в основном направлено вперед. В любой плоскости, проходящей
через вертикальную ось, сечение диаграммы одинаково.
173
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 9.4. Диаграмма направленности элемента Гюйгенса
Вопросы для самоконтроля
1. Поясните, в чем заключается идеализации понятия элементарный электрический (магнитный) вибратор?
2. Приведите и объясните классификацию зон электромагнитного поля, возбужденного источниками.
3. Чем принципиально отличается поведение полей в ближней и дальней зонах?
4. В какой зоне, дальней или ближней, больше плотность потока мощности и почему?
5. Нарисуйте диаграмму направленности для магнитной составляющей поля для элементарного электрического (магнитного) вибратора.
6. Можно ли ввести понятие диаграммы направленности для
вектора Пойнтинга?
7. Чем определяется мощность, излучаемая элементарным
вибратором? Что показывает сопротивление излучения?
8. Изобразите на векторной диаграмме напряженности поля и
вектор Пойнтинга излучения элемента Гюйгенса.
174
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Бабенко, А.Н. Электромагнитные поля и волны: учеб. пособие / А.Н. Бабенко, А.Н. Громыко. – Йошкар-Ола: МарГТУ,
2003.
2. Баскаков, С.И. Электродинамика и распространение радиоволн / С.И. Баскаков. – М.: Наука, 1992.
3. Вайнштейн, Л.А. Электромагнитные волны / Л.А. Вайнштейн. – М.: Радио и связь, 1988.
4. Виноградова, М.Б. Теория волн / М.Б. Виноградова,
О.В. Руденко, А.П. Сухоруков. – М.: Наука, 1990.
5. Гольдштейн, Л.Д. Электромагнитные поля и волны
/ Л.Д. Гольдштейн, Н.В. Зернов. – М.: Сов. Радио, 1971.
6. Неганов, В.А. Электродинамика и распространение радиоволн / В.А. Неганов, О.В. Осипов, С.В. Раевский, Г.П. Яровой. –
М.: Радио и связь, 2005.
7. Никольский, В.В. Электродинамика и распространение радиоволн / В.В. Никольский, Т.И. Никольская. – М.: Наука, 1989.
8. Петров, Б.М. Электродинамика и распространение радиоволн / Б.М. Петров. – М.: Радио и связь, 2000.
9. Пименов, Ю.М. Техническая электродинамика / Ю.М. Пименов, В.И. Вольман, А.Д. Муравцов. – М.: Радио и связь, 2000.
10. Татур, Т.А. Основы теории электромагнитного поля
/ Т.А. Татур. – М.: Высш. шк., 1989.
11. Тимофеев, В.А. Физика волновых процессов: учебное пособие / В.А. Тимофеев. – Ярославль: Яросл. гос. ун-т, 2003.
175
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО
ПОЛЯ ............................................................................................. 4
1.1. Векторы электромагнитного поля ...................................... 4
1.2. Уравнения Максвелла .......................................................... 10
1.3. Классификация сред. Материальные уравнения .............. 14
1.4. Классификация электромагнитных явлений.
Гармоническое поле ............................................................. 16
1.5. Волновой характер электромагнитного поля .................. 19
1.6. Сторонние источники. Полная система уравнений
Максвелла ............................................................................. 29
1.7. Баланс мощности электромагнитного поля.
Вектор Пойнтинга .............................................................. 32
Вопросы для самоконтроля ....................................................... 37
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
ОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ ......................... 38
2.1. Плоские электромагнитные волны в однородных
изотропных средах .............................................................. 38
2.2. Групповая и фазовая скорость электромагнитных волн 45
2.3. Поляризация электромагнитных волн ............................... 50
Вопросы для самоконтроля ....................................................... 55
3. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ГРАНИЦЕ
РАЗДЕЛА СРЕД......................................................................... 56
3.1. Граничные условия для векторов
электромагнитного поля .................................................... 56
3.2. Общие закономерности взаимодействия плоской
электромагнитной волны с плоской границей раздела ... 61
176
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.3. Особенности взаимодействия волны с границей
"диэлектрик – диэлектрик" ................................................ 65
3.4. Особенности взаимодействия волны с границей
"диэлектрик – проводник" .................................................. 68
Вопросы для самоконтроля ....................................................... 70
4. ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ................ 71
4.1. Рассеяние электромагнитного поля цилиндром ............... 71
4.2. Метод Гюйгенса – Кирхгофа ............................................. 74
4.3. Дифракция на плоском отверстии. Дифракция
Френеля и Фраунгофера ...................................................... 81
Вопросы для самоконтроля ....................................................... 89
5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И ВОЛНЫ
В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ .............................................. 90
5.1. Общие закономерности переменных полей
в анизотропных средах ....................................................... 90
5.2. Волны в кристаллах. Уравнение Френеля.
Обыкновенные и необыкновенные волны........................... 93
5.3. Электромагнитные волны в магнитоактивных средах.
Тензор диэлектрической проницаемости плазмы .......... 100
5.4. Электромагнитные волны в гиромагнитных средах ..... 102
5.4. Распространение электромагнитных волн
в гиротропных средах ....................................................... 106
Вопросы для самоконтроля ..................................................... 112
6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ ............................................ 113
6.1. Приближение геометрической оптики ........................... 113
6.2. Уравнение эйконала для векторов
электромагнитного поля .................................................. 119
6.3. Приближение геометрической оптики для
плоскослоистых сред ......................................................... 120
177
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вопросы для самоконтроля ..................................................... 124
7. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И ВОЛНЫ
В НАПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ ................................... 125
7.1. Электродинамические потенциалы ................................. 125
7.2. Направляемые электромагнитные волны. Типы волн.... 130
7.3. Электромагнитное поле в волноводах ............................. 134
7.3. Прямоугольный волновод .................................................. 138
7.4. Круглый волновод ............................................................... 145
Вопросы для самоконтроля ..................................................... 149
8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
В ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРАХ ......................................... 150
8.1. Общие характеристики .................................................... 150
8.2. Прямоугольный резонатор ............................................... 152
8.2. Цилиндрический резонатор .............................................. 156
Вопросы для самоконтроля ..................................................... 160
9. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ............... 161
9.1. Элементарный электрический вибратор........................ 161
9.2. Элементарный магнитный вибратор ............................. 169
9.3. Элемент Гюйгенса ............................................................. 171
Вопросы для самоконтроля ..................................................... 174
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ....................................... 175
178
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учебное издание
Тимофеев Владимир Авенирович
Электромагнитные
поля и волны
Учебное пособие
Редактор, корректор М.В. Никулина
Компьютерный набор В.А.Тимофеев
Компьютерная верстка И.Н. Ивановой
Подписано в печать 16.06.2008 г. Формат 60х84/16.
Бумага тип. Усл. печ. л. 10,46. Уч.-изд. л. 9,2.
Тираж 100 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе ЯрГУ.
Ярославский государственный университет.
150000 Ярославль, ул. Советская, 14.
Отпечатано
ООО «Ремдер» ЛР ИД № 06151 от 26.10.2001.
г. Ярославль, пр. Октября, 94, оф. 37
тел. (4852) 73-35-03, 58-03-48, факс 58-03-49.
179
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
180
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
55
Размер файла
2 243 Кб
Теги
волна, 1470, тимофеева, электромагнитная, поля
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа