close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1485.Избранные труды Левин А Ю

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
А. Ю. Левин
ИЗБРАННЫЕ
ТРУДЫ
Ярославль, Рыбинск
2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.925.56, 517.926.4, 517.948.3, 519.658
ББК В 1
Л 36
Л 36
Л е в и н А. Ю. Избранные труды / Ответственный редактор
С. Д. Глызин — Ярославль; Рыбинск: Рыбинский Дом печати,
2010. — 320 с.
ISBN 5-8397-????-1
Настоящее издание представляет собой сборник трудов из­
вестного математика, профессора Анатолия Юрьевича Левина
(1936 – 2007).
Представлены работы по основным направлениям научной де­
ятельности А.Ю. Левина: теория обыкновенных дифференциаль­
ных уравнений, функциональный анализ, методы оптимизации,
эвристические алгоритмы, теория вероятностей и математическая
статистика.
Для широкого круга специалистов, аспирантов, студентов, ин­
тересующихся качественной теорией обыкновенных дифференци­
альных уравнений и методами оптимизации
Ил. 1.
РЕДКОЛЛЕГИЯ
В. Ш. Бурд, С. Д. Глызин (ответственный редактор),
В. С. Рублев, Е. А. Тимофеев.
УДК 517.925.56, 517.926.4,
517.948.3, 519.658
ББК В 1
ISBN 5-8397-1234-1
c
○
Ярославский
государственный университет
им. П.Г. Демидова,
2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
Предисловие
5
Краткая биографическая справка
17
1. К вопросу о нулевой зоне устойчивости
19
2. Оценка для функции
с монотонно расположенными нулями
последовательных производных
23
3. Уравнение Фредгольма с гладким ядром
и краевые задачи для линейного
дифференциального уравнения
39
4. Об одном алгоритме минимизации
выпуклых функций
45
5. Поведение решений уравнения

¨ + ()˙ + () = 0 в неколебательном случае
§ 1. Классификация неколебательных случаев для знакопостоян­
ной () (формулировки и обсуждение) . . . . . . . . . . . . .
§ 2. Теоремы о возмущении. Доказательства утверждений, изло­
женных в § 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3. Дополнения и приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Неосцилляция решений уравнения
() + 1 ()(−1) + · · · +  () = 0
§ 1. Обсуждение проблематики, связанной
с неосцилляцией . . . . . . . . . . . . . .
§ 2. Иерархия решений . . . . . . . . . . . . .
§ 3. Некоторые вопросы распределения нулей
§ 4. Критерий неосцилляции . . . . . . . . . .
§ 5. Приложение к асимптотическим оценкам
51
51
58
69
80
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
решений
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7. Повторение игр двух лиц на больших интервалах времени
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 80
. 97
. 108
. 120
. 134
145
8. Вопросы теории обыкновенного линейного
дифференциального уравнения. I
148
§ 1. Разрешимость задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
§ 2. Непрерывная зависимость решений от параметра . . . . . . . 155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. Вопросы теории обыкновенного линейного
дифференциального уравнения. II
174
§ 3. Обобщенные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10. Линейное оптимальное быстродействие
и центрированные сечения
201
11. Некоторые вопросы асимптотики
для обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений
207
12. Одномерные краевые задачи с операторами, не понижающими
числа перемен знака. I
214
13. Одномерные краевые задачи с операторами, не понижающими
числа перемен знака. II
242
14. О реализуемости стохастического
многопродуктового потока
265
15. Абсолютная неосцилляционная устойчивость
и смежные вопросы
269
16. Теорема Харитонова для слабонестационарных систем
287
17. О состоятельном многомерном непараметрическом
критерии однородности
§ 1. Введение. Основной результат . . . . . . . . . . . . .
§ 2. E в случае однородности . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3. Асимптотика E в общем случае . . . . . . . . . . .
§ 4. Оценка D при гипотезе 0 . . . . . . . . . . . . . .
§ 5. Асимптотическая оценка сверху D в общем случае
§ 6. Доказательство основного результата . . . . . . . . .
§ 7. О количественных уточнениях . . . . . . . . . . . . .
§ 8. О возможных обобщениях . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
290
290
292
292
298
301
305
305
307
Список работ А. Ю. Левина
311
Список работ А. Ю. Левина, переведенных на английский язык
317
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предисловие
Анатолий Юрьевич Левин — разносторонний математик. В область его
интересов входили теория обыкновенных дифференциальных уравнений,
функциональный анализ, методы оптимизации, теория вероятностей и ма­
тематическая статистика, эвристические алгоритмы и многое другое. Во
всех этих областях он получил яркие результаты.
По мнению редколлегии, на основании данного тома читатель может
составить представление о вкладе А. Ю. Левина в математику. Отметим,
что при этом остались незатронутыми многие темы его исследований —
функциональный анализ, теория графов, методы решения сложных экстре­
мальных задач. Работы расположены в хронологическом порядке. Ссылки
в этом предисловии на статьи данного тома выделяются жирным шрифтом
(например, 1) в отличие от ссылок на статьи из списка литературы в конце
предисловия, которые приводятся в квадратных скобках.
К задаче о поведении решений дифференциальных уравнений второго
порядка А. Ю. Левин обращался неоднократно. В первой работе этого цик­
ла (см. [1]) был получен интегральный принцип сравнения решений двух
дифференциальных уравнений второго порядка
′′1 + 1 ()1 = 0,
′′2 + 1 ()2 = 0,
который для неотрицательных функций 1 (), 2 () является далеко иду­
щим обобщением классической теоремы сравнения Штурма. Этот принцип
стал новым аппаратным средством для исследования качественных свойств
решений уравнений второго порядка. В работе, с которой начинается этот
том избранных трудов, интегральный принцип сравнения был использован
для исследования устойчивости решений уравнений второго порядка с пе­
риодическими коэффициентами.
А. М. Ляпунов (cм. [2]) провел глубокое исследование задачи об устой­
чивости решений уравнения второго порядка
′′ + () = 0,
(1)
где () — периодическая функция c некоторым периодом . Отметим, что
для уравнения (1) устойчивость решений следует из ограниченности реше­
ний при  > 0. Ляпунов рассмотрел уравнение
′′ + () = 0,
(2)
где  > 0 — параметр, () > 0, () ̸≡ 0. Он показал, что положительная
полуось разбивается на интервалы
0 < ′1 6 ′′1 < ′2 6 ′′2 < ′3 6 ′′3 < . . . ,
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где 0, ′2 , ′′2 , ′4 , ′′4 , . . . — корни уравнения () = −1, а ′1 , ′′1 , ′3 , ′′3 —
корни уравнения () = 1. Здесь () — целая аналитическая функция
(ее значения — постоянные Ляпунова для соответствующих уравнений),
которая определяется уравнением
() =
1 () + 2′ ()
,
2
где 1 (), 2 () — решения уравнения (2) с начальными условиями
1 (0) = 1, 1′ (0) = 0,
2 (0) = 0, 2′ (0) = 1.
Интервалы (0, ′1 ), (′′1 , ′2 ), (′′2 , ′3 ), . . . являются интервалами ограничен­
ности решений. Остальные интервалы, включая (−∞, 0), являются интер­
валами неограниченности решений. Интервал (0, ′1 ) называется нулевой
зоной устойчивости.
Отметим, что В. И. Арнольд [3] привлек внимание к вопросу о крите­
риях (необходимых и достаточных условиях) устойчивости по Ляпунову
особых точек автономных систем дифференциальных уравнений с коэффи­
циентами, зависящими от параметров. Он построил пример системы трех
дифференциальных уравнений c четырьмя параметрами, для которой кри­
терий устойчивости нулевого решения не является алгебраическим (одна
из компонент границы области устойчивости определяется аналитической
функцией). Линейное неавтономное дифференциальное уравнение второго
порядка (2) доставляет пример уравнения с одним параметром, для которого
критерий устойчивости является трансцендентным (() — аналитическая
функция).
Первые достаточные условия устойчивости для уравнения (1) были уста­
новлены Ляпуновым. Сформулируем его результат.
Решения уравнения (1) ограничены, если
∫︁
() ̸≡ 0,
() > 0,
() 6
4
.

0
М.Г. Крейн [4] показал, что для устойчивости решений уравнения (1)
достаточны следующие менее ограничительные условия:
∫︁
∫︁
() > 0,
() ̸≡ 0,
0
[()]+  6
0
где
{︂
[()]+ =
если
если
(),
0,
6
() > 0
() < 0.
4
,

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Условия устойчивости другого типа были получены Н. Е. Жуковским,
В. А. Якубовичем, З. Опялем (см. литературу к статье 2).
А. Ю. Левин в статье 2 получил новое неравенство, дающее оценку
снизу для расстояния между нулями нетривиальных решений уравнения
(1). Доказательство опирается не только на интегральный принцип срав­
нения, но и на изучение «предельного» уравнения c коэффициентом (),
представляющим собой сумму непрерывной функции и некоторого числа
дельта-функций. Из этого неравенства, в частности, следует условие огра­
ниченности решений уравнения (1)
+/
∫︁
+ () 6

,

(︁
 )︁
 = 2 1 − cos
.

(3)

При  = 2 получим, что неравенство из условия устойчивости Ляпу­
нова—Крейна
∫︁
4
[()]+  6

0
можно заменить неравенством
+/2
∫︁
[()]+  6
4
.

(4)

Этот результат неулучшаем. При других значениях  получаются многие
другие условия устойчивости — Жуковского, Якубовича, Опяля. Теорема
Левина об оценке расстояния между нулями может быть применена также
для получения достаточных условий устойчивости для других зон устойчи­
вости. К сожалению, полные доказательства теорем из краткой заметки 2
содержатся только в докторской диссертации А. Ю. Левина и, следователь­
но, недоступны широкой математической общественности.
В 2005 году Ю. С. Колесов [5] опубликовал доказательство того, что
неравенство (4) влечет устойчивость решений уравнения (1), опирающееся
на идеи теории оптимального управления.
Первые работы А. Ю. Левина в области дифференциальных уравнений
были посвящены многоточечной краевой задаче. Эта задача состоит в сле­
дующем. Найти решение уравнения
() ≡ () + 1 ()(−1) + · · · +  () =  (),
 6  6 ,
удовлетворяющее начальным условиям (1 ) = 1 , (2 ) = 2 , . . . , ( ) =
=  , где 1 , 2 , . . . ,  — различные точки интервала [, ]. Функции 1 (),
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 (), . . . ,  (),  () непрерывны на [, ]. Промежуток [, ] называется про­
межутком неосцилляции оператора , если каждое нетривиальное решение
уравнения  = 0 имеет на [, ] не более  − 1 нулей. Оказывается,что
многоточечная краевая задача имеет единственное решение в том и только
в том случае, когда промежуток [, ] является промежутком неосцилля­
ции для оператора . Первый эффективный критерий неосцилляции был
установлен Валле-Пуссеном. В краткой работе в Докладах АН СССР Ле­
вин анонсировал, а в работе 2, приведенной в этом томе, изложил полное
доказательство оценки дифференцируемой функции с монотонно располо­
женными нулями последовательных производных (теорема 1). Эта оценка
неулучшаема. С помощью этой оценки Левин получил критерий неосцил­
ляции существенно более общий, чем критерий Валле-Пуссена. Отметим,
что метод доказательства оценки дифференцируемой функции представля­
ет определенный интерес. Для доказательства исследуются крайние точки
конечномерных функциональных множеств определенного типа. Этот ме­
тод, по-видимому, может быть использован для получения оценок такого
рода.
А. Ю. Левин в 2 получил также оценку дифференцируемой функции без
предположения о монотонности расположения нулей последовательных про­
изводных. Естественно, эта оценка является более грубой, так как наклады­
вает меньше ограничений на рассматриваемую функцию. Позднее выясни­
лось, что эта оценка появилась в работе С. Н. Бернштейна, опубликованной
в 1950 году. Другая оценка дифференцируемой функции получена в сов­
местной работе Г. А. Бессмертных и А. Ю. Левина [6]. Авторы предложили
два различных доказательства этой оценки. Доказательство А. Ю. Левина
основывается на исследовании крайних точек функциональных множеств,
доказательство Г. А. Бессмертных основано на интегральном представлении
функции ().
В следующей работе 3 рассматривается классическая задача об оценке
поведения собственных значений интегрального уравнения Фредгольма в
зависимости от свойств гладкости ядра. Первые указания об оценках соб­
ственных чисел содержатся еще в фундаментальной работе И. Фредгольма
[7]. Эта задача исследовалась в работах Э. Хилле и Я. Тамаркина [8] и
А. О. Гельфонда [9]. А. Ю. Левин, используя некоторые приемы, предложен­
ные А. О. Гельфондом, и новые соображения, получил значительно более
точные оценки собственных значений интегрального уравнения Фредголь­
ма
∫︁
() =  (, )()().

На основе этого результата получены оценки собственных значений ли­
нейных краевых задач Штурма—Лиувилля для уравнений -го порядка.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценкам снизу сингулярных чисел (и, следовательно, оценкам сверху соб­
ственных значений) интегральных операторов посвящена большая работа
М. Ш. Бирмана и М. З. Соломяка [10]. В этой работе разработаны новые
методы получения оценок собственных значений широкого класса инте­
гральных операторов. Остается неясным, следуют ли оценки, полученные
в работе 3, из оценок статьи [10].
Следующая работа Анатолия Юрьевича 4 является самой знаменитой
его работой. К сожалению, признание выдающейся роли этой работы в ли­
нейном и выпуклом программировании сильно запоздало. Об этом подробно
написал В. М. Тихомиров [11] (см. также [12]). В этой работе предложен
алгоритм центрированных сечений для нахождения минимума выпуклой
функции на ограниченном выпуклом множестве в конечномерном простран­
стве. Через 17 лет после выхода статьи 4 было доказано, что алгоритм,
предложенный А. Ю. Левиным, имеет полиномиальную скорость в задаче
линейного программирования (см. [13]).
В работе 5 рассматривается поведение решений уравнения
′′ + ()′ + () = 0,
(−∞ <  6  <  6 ∞)
(5)
в неколебательном случае (т.е. в случае, когда каждое нетривиальное ре­
шение уравнения (5) имеет на интервале [, ) конечное число нулей) при
 → . Проведена полная классификация всех возможных ситуаций и со­
ставлена таблица, описывающая все случаи поведения решений. Таким об­
разом, задача решена с исчерпывающей полнотой. Тема закрыта. Работа
подводит итог большому числу исследований в этой области.
Следующая работа А. Ю. Левина 6 является фундаментальным вкладом
в теорию неосцилляции решений для уравнения
 ≡ () + 1 ()(−1) + · · · +  () = 0,
(−∞ 6  <  <  6 ∞)
(6)
с вещественными коэффициентами.
Как отмечает А. Ю. Левин, целый комплекс внешне разнообразных во­
просов — дифференциальные неравенства, представление оператора  в
виде произведения  вещественных дифференциальных операторов первого
порядка, разрешимость интерполяционных краевых задач, вопросы пере­
межаемости нулей, ляпуновские зоны устойчивости для уравнения Хилла,
свойства чебышевских и декартовых систем функций, осцилляционность
(по Гантмахеру—Крейну) функций Грина краевых задач, теоремы о сред­
нем значении и т.п. — все это самым тесным образом связано с вопросом
о неосцилляции решений уравнения (6). Поэтому вопрос о неосцилляции
решений является одним из центральных в качественной теории уравнения
(6).
В этой статье установлен общий критерий неосцилляции для уравнения
(6) в терминах существования  функций с определенными свойствами.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При  = 2 этот критерий переходит в классический критерий Валле-Пуссе­
на. Различные конкретизации соответствующих функций приводят к улуч­
шению и обобщению известных ранее признаков неосцилляции. Получен и
новый эффективный признак неосцилляции. Сформулируем его.
Если корни  () уравнения
 + 1 ()−1 + · · · + −1 () +  () = 0
при всех  ∈ (−∞, ∞) вещественны и разделены постоянными, то
(−∞, ∞) — промежуток неосцилляции для оператора .
Отметим, что в 1968 году появилась небольшая заметка американско­
го математика Ф. Хартмана [14] (автора фундаментальной монографии по
теории обыкновенных дифференциальных уравнений), в которой для урав­
нений -го порядка был анонсирован результат, описанный выше. Одна­
ко формулировка признака неосцилляции в заметке Ф. Хартмана была не
вполне корректна. Статьи А. Ю. Левина и Ф. Хартмана поступили в со­
ответствующие журналы почти одновременно. Статья с доказательствами
анонсированных Ф. Хартманом утверждений появилась в 1969 году.
Книга известного математика В. А. Коппеля [15] в большой степени
посвящена изложению результатов А. Ю. Левина в теории неосцилляции.
Должным образом оценивается и приведенный выше признак неосцилляции
решений уравнений -го порядка.
Работа 7 посвящена теории игр. По-видимому, это одна из первых работ,
в которой обращается внимание на роль фактора времени в игре двух лиц.
В дальнейшем идея учета времени в теории игр получила широкое разви­
тие и вылилась в новую математическую дисциплину — динамическую (или
эволюционную) теорию игр, в которой частоты стратегий зависят от вре­
мени. В последние 10 лет по динамической теории игр написано огромное
число работ и более 10 монографий.
Статьи 8 и 9 посвящены общей теории линейных обыкновенных диф­
ференциальных уравнений. В первой части первой из них речь идет о раз­
решимости начальной задачи для уравнения
() + 1 ()(−1) + · · · +  ()() + +1 () = 0,
( 6  6 ),
(7)
где −∞ <  <  < ∞. Предполагается, что коэффициенты уравнения (7)
могут иметь несуммируемые особенности в точке . Получены необходимые
и достаточные условия разрешимости начальной задачи для уравнения (7)
с начальными данными, заданными в точке . Из этого критерия непосред­
ственно вытекает результат, существенно усиливающий результаты Э. Хил­
ле по асимптотике решений уравнения второго порядка. Во второй части
работы 8 исследуется следующая классическая задача. Рассматривается по­
следовательность матричных уравнений
˙  =  () +  ,
 () = ,
10
 = 1, 2, . . .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При каких условиях на матрицы  (),  () последовательность матриц­
решений  () равномерно сходится на конечном промежутке [, ] к матри­
це 0 ()? Установленная в статье общая теорема для скалярного уравнения
-го порядка дает необходимые и достаточные условия сходимости.
В статье 8 предполагалось, что коэффициенты рассматриваемых урав­
нений являются суммируемыми. В статье 9 рассматриваются уравнения с
обобщенными (разрывными) коэффициентами. В основу кладется следу­
ющий подход к понятию решения уравнения с обобщенными коэффици­
ентами (коэффициенты — производные функций ограниченной вариации).
Матрица коэффициентов аппроксимируется последовательностью матриц с
непрерывными элементами (поточечная сходимость). Рассматривается по­
следовательность аппроксимирующих уравнений. Устанавливаются необхо­
димые и достаточные условия на матрицу обобщенных коэффициентов, при
которых решения аппроксимирующей последовательности уравнений схо­
дятся к некоторому пределу, который и принимается за решение уравнения
с обобщенными коэффициентами.
Отметим, что различные способы определения решений уравнений с
обобщенными коэффициентами предлагались В. Феллером, И. Курцвейлем,
Ф. Аткинсоном и другими математиками. В частности, большое внимание
этому вопросу уделяется в монографии Ф. Аткинсона [16]. А. Ю. Левин
показал (на примере), что подход Аткинсона может приводить к непра­
вильному результату, в то время как его подход дает верный ответ.
В работе 10 рассматривается задача линейного быстродействия. Один из
методов решения этой задачи сводит задачу к решению уравнения Л. Ней­
штадта. Численные методы решения уравнения Л. Нейштадта разрабатыва­
лись на основе градиентного спуска. А. Ю. Левин предлагает использовать
для численного решения уравнения Нейштадта алгоритм центрированных
сечений, предложенный им ранее для решения задачи выпуклого програм­
мирования. Метод обладает существенными преимуществами перед мето­
дами, примененными ранее В. Г. Болтянским и др.
Идеи, изложенные в этой работе, развивались в дальнейшем в совмест­
ных работах А. Ю. Левина и его ученицы Т. И. Енчевой и в диссертации
А. А. Бузинова — ученика А. Ю. Левина.
Работа 11 примыкает к работам 8, 9. Здесь рассматриваются матричные
и скалярные уравнения с суммируемыми коэффициентами, зависящими от
скалярного параметра . Исследуется вопрос о сходимости на конечном
промежутке [, ] решений (, ) при  → 0 к решению (, 0) предель­
ного уравнения. Для скалярного уравнения -го порядка указаны необхо­
димые и достаточные коэффициентные условия для сходимости решений
в пространстве −1 ,  > 2. Обсуждается также подобный вопрос для
скалярных уравнений с коэффициентами, которые являются производными
функций из 2 .
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Работы 12-13, написанные совместно с Г. Д. Степановым, представля­
ют собой одну большую работу, которая по требованию журнала разбита
на две части. Это исследование — дальнейший шаг в развитии комплекса
вопросов, связанных с теорией неосцилляции решений линейных диффе­
ренциальных уравнений.
Исследованию спектральных свойств краевых задач для линейных диф­
ференциальных уравнений -го порядка посвящено значительное число ра­
бот. Уже в классических работах по интегральным уравнениям прослежива­
ется связь между спектральными свойствами краевых задач и спектральны­
ми свойствами интегральных уравнений, ядрами которых являются функ­
ции Грина этих краевых задач. О. Келлог выделил класс ядер, содержащих
функции Грина задачи Штурма—Лиувилля, для которых спектр задачи
∫︁
() = 
(, )()()

обладает такими же осцилляционными свойствами, как и спектр краевой
задачи Штурма—Лиувилля.
Ядром Келлога называется вещественное симметричное ядро (, ) при
условии, что символы Фредгольма удовлетворяют неравенствам
(︂
)︂
(︂
)︂
1 , 2 , . . . , 
1 , 2 , . . . , 

> 0, 
> 0.
1 , 2 , . . . , 
1 , 2 , . . . , 
Исследования интегральных операторов с ядрами типа ядер Келлога бы­
ли существенно продвинуты в работах Ф. Р. Гантмахера и М. Г. Крейна,
которые рассмотрели также случай несимметричных ядер. Отметим, что
результаты для несимметричных ядер в основном изложены в кратких за­
метках в Докладах АН СССР (см. список литературы в 12-13). Важным
следствием этих работ о ядрах Келлога является возможность выявить ши­
рокие классы краевых задач, обладающих осцилляционными свойствами.
В первой части работы (см. статью 12) исследуются общие спектральные
свойства интегральных операторов, не повышающих числа перемен знака,
вида
∫︁
K = (K)() = (, )()(),

а именно вещественность и простота собственных значений, число и пере­
межаемость нулей собственных функций, интерполяционные свойства соб­
ственных функций и т.д. Симметричность ядра не предполагается. Рассмат­
ривается класс ядер, включающих функции Грина двухточечных краевых
задач.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Во второй части работы (см. статью 13) рассматриваются краевые за­
дачи с распадающимися (с точностью до линейного комбинирования) крае­
выми условиями для обыкновенных дифференциальных уравнений -го по­
рядка ( > 2). Для такого класса краевых задач получен эффективный «ко­
эффициентный» признак того, что интегральный оператор, обратный диф­
ференциальному, обладает свойством не повышения числа перемен знака.
Это приводит в свою очередь к эффективным коэффициентным условиям,
обеспечивающим наличие у двухточечной краевой задачи с распадающи­
мися условиями комплекса свойств, характерных для классической задачи
Штурма—Лиувилля. Полученные условия открывают возможность эффек­
тивного использования численных методов для подтверждения того, что
данная задача является задачей со штурм-лиувиллевскими свойствами.
Результаты работы 12-13 получили развитие в статье Г. Д. Степанова
[17].
В работе 14 в стохастической постановке рассматривается задача о ре­
ализуемости многопродуктового потока (реализуемость плана перевозок на
данной сети). В этой постановке дается асимптотический критерий реали­
зуемости плана.
Работа 15 — последняя работа А. Ю. Левина, посвященная теории неос­
цилляции решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
-го порядка. Рассматривается класс уравнений
 ≡ () + 1 ()(−1) + · · · +  () = 0,
 > 0 > −∞,
определяемый неравенствами 0 <  6  () 6  ,  = 1, 2, . . . , . Класс соот­
ветствующих операторов  обозначается через Ω(, ). Ставится следующая
задача. При каких условиях решения любого уравнения из рассматриваемо­
го класса не колеблются (имеют конечное число нулей) и стремятся к нулю
при  → ∞? Это свойство решений названо абсолютной неосцилляционной
устойчивостью по аналогии с понятием абсолютной устойчивости решений
дифференциальных уравнений. В теории неосцилляции такая постановка
задачи является новой.
Отметим, что постановка задачи перекликается с постановкой задач в
робастной теории управления, когда исследуются свойства устойчивости
относительно не индивидуальной системы, а некоторого класса систем.
В статье получены эффективные необходимые и достаточные условия
абсолютной неосцилляционной устойчивости в терминах требования веще­
ственности корней двух многочленов с коэффициентами из чисел  ,  .
Класс операторов  из Ω(, ), удовлетворяющих этим условиям, обознача­
ется через Ω (, ).
При  ∈ Ω (, ) имеет место более сильное свойство, чем абсолютная
неосцилляционная устойчивость. Промежуток [0 , ∞] является промежут­
ком неосцилляции для оператора , в частности, каждое решение уравне­
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ния  = 0 имеет менее  нулей на [0 , ∞). Устойчивость решений носит
экспоненциальный характер.
Аналогичные результаты получены для уравнений класса Ω(, ), если
вместо условия () → 0 выполняется условие |()| → ∞.
Исследуются некоторые другие свойства операторов  ∈ Ω(, ): поведе­
ние решений на всей числовой оси, разрешимость неоднородных уравнений
 =  (), спектральные свойства двухточечной краевой задачи с опера­
тором . В конце статьи намечается программа дальнейших исследований,
связанных с применением операторов из Ω к теории чебышевских систем,
теоремам сравнения, оптимальному управлению, нелинейным краевым за­
дачам. Эта программа пока не реализована.
Работа 16 — это обобщение теоремы В. Л. Харитонова [18] на некоторый
класс нестационарных систем. Не учитывая некоторые предварительные ре­
зультаты, началом теории робастной устойчивости является теорема Хари­
тонова [18]. Для класса линейных систем с постоянными коэффициентами,
где коэффициенты принадлежат некоторым интервалам [ ,  ], получены
необходимые и достаточные условия устойчивости в терминах гурвицево­
сти восьми многочленов, коэффициентами которых являются числа  ,  . В
статье 16 теорема Харитонова распространяется на класс нестационарных
систем с медленно меняющимися в определенном смысле коэффициентами.
А. Ю. Левин в течение многих лет размышлял над многими вопросами
математической статистики. Итогом этих размышлений явилась статья 17
(краткое изложение результатов содержится в заметке [19]).
Существует много критериев проверки однородности выборки, например
критерий Н. В. Смирнова проверки однородности двух независимых выбо­
рок, который излагается во многих книгах по математической статистике.
Проверка однородности состоит в проверке того, что две независимые вы­
борки являются выборками из одной генеральной совокупности. Все извест­
ные критерии относятся к одномерным выборкам. В работе А. Ю. Левина
впервые был предложен критерий однородности для многомерных выборок.
Именно, рассматривается  > 2 независимых выборок в -мерном про­
странстве. Формулируется и доказывается состоятельный непараметриче­
ский критерий гипотезы о равенстве почти всюду плотностей вероятностей
соответствующих выборок.
Литература
1. Левин, А. Ю. Об одном принципе сравнения для дифференциальных
уравнений второго порядка / А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1960. —
Т. 135, № 4. — С. 783—786.
2. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ля­
пунов. — М.: ГИТТЛ, 1950. — 473 с.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Арнольд, В. И. Алгебраическая неразрешимость проблемы устойчиво­
сти по Ляпунову и проблемы топологической классификации особых
точек аналитической системы дифференциальных уравнений / В. И. Ар­
нольд // Функц. анализ и его прил. — 1970. — Т. 4:3. — С. 1—9.
4. Крейн, M. Г. О некоторых задачах на максимум и минимум для
характеристических чисел и о ляпуновских зонах устойчивости /
M. Г. Крейн // ПММ. — 1951. — Т. 15, вып. 3. — С. 323—348.
5. Колесов, Ю. С. О доказательстве теоремы Левина о полупериоде /
Ю. С. Колесов // Дифференциальные уравнения. — 2005. — Т. 41,
№ 8. — С. 1181—1184.
6. Бессмертных, Г. А. О некоторых оценках дифференцируемых функций
одной переменной / Г. А. Бессмертных, А. Ю. Левин // ДАН СССР. —
1962. — Т. 144, № 3. — С. 471—474.
7. Fredholm, E. I. Sur une classe d’equations fonctionnelles / E. I. Fred­
holm // Acta Math. — 1903. — Vol. 27. — P. 365—390.
8. Hille, E. On the characteristic values of linear integral equations / E. Hille,
J. D. Tamarkin // Acta Math. — 1931. — Vol. 57. — P. 1—76.
9. Гельфонд, А. О. О росте собственных значений однородных интеграль­
ных уравнений / А. О. Гельфонд // Ловитт, У. В. Линейные интеграль­
ные уравнения / У. В. Ловитт. — М.: Гостехиздат, 1957. — С. 233—263.
10. Бирман, М. Ш. Оценки сингулярных чисел интегральных операторов /
М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк // УМН. — 1977. — Т. 32, № 1(193). —
С. 17—84.
11. Тихомиров, В. М. Об А. Ю. Левине и его творчестве / В. М. Тихоми­
ров // Математика, кибернетика, информатика : тр. междунар. научн.
конф. памяти А. Ю. Левина / Под ред. С. А. Кащенко, В. А. Соколо­
ва. — Ярославль: Яросл. гос. ун-т, 2008. — С. 5—13.
12. Tikhomirov, V. M. The evolution of methods of convex optimization /
V. M. Tikhomirov // Am. Math. Mon. — 1996. — Vol. 103, no. 1. —
P. 65—71.
13. Yamnitsky, B. An old linear programming problem runs in polynomial
time / B. Yamnitsky, L. A. Levin // 23rd Annual Symposium on Founda­
tions of Computer Science, 3-5 November 1982, Chicago, Illinois, USA. —
IEEE, 1982. — P. 327—328.
14. Hartman, P. Disconjugate n-th order differential equations and principal
solutions / P. Hartman // Bull. Am. Math. Soc. — 1968. — Vol. 74. —
P. 125—129.
15. Coppel, W. A. Disconjugacy. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 220 /
W. A. Coppel. — Berlin-Heidelberg-New York: Springer Verlag, 1971. —
147 p.
16. Аткинсон, Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Ат­
кинсон. — М.: Мир, 1968. — 748 с.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17. Степанов, Г. Д. Эффективные критерии знакорегулярности и осцилля­
ционности функций Грина двухточечных краевых задач / Г. Д. Степа­
нов // Матем. сб. — 1997. — Т. 188, № 11. — С. 121—159.
18. Харитонов, В. Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем ли­
нейных дифференциальных уравнений / В. Л. Харитонов // Диффе­
ренц. уравнения. — 1978. — Т. 14, № 11. — С. 2086—2088.
19. Левин, А. Ю. О состоятельном многомерном непараметрическом кри­
терии однородности / А. Ю. Левин // УМН. — 1993. — Т. 48, № 6. —
С. 155—156.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Краткая биографическая справка1
Левин Анатолий Юрьевич (07.04.1936 – 12.08.2007)
Анатолий Юрьевич Левин — многогранно одаренный математик, яркая
личность и человек нелегкой профессиональной судьбы.
Он принадлежал к поколению людей, чье детство совпало с Великой
Отечественной войной и тяжелыми годами послевоенной разрухи. Ленин­
градец по рождению, он находился со своей семьей в эвакуации в Сара­
товской области. Затем, по возвращении в родной город, получил среднее
образование, закончив школу в 1953 году, и в том же году поступил в Во­
ронежский государственный университет на специальность «математика».
Зарекомендовав себя талантливым, вдумчивым студентом, А. Ю. Левин
по окончании университета был принят — не без сопротивления людей из
руководства математико-механического факультета из-за его общественно­
политической позиции — в аспирантуру на кафедру функционального ана­
лиза родного вуза и вступил на путь серьезных научных изысканий. Эта
стезя оказалась для него далеко не простой, принесла ему немало житей­
ских разочарований, но одновременно и позволила реализовать незауряд­
ные способности в исследовательском и преподавательском труде. Науч­
ным руководителем Анатолия Юрьевича стал профессор Марк Алексан­
дрович Красносельский, создавший многочисленную воронежскую матема­
тическую школу. Под его руководством Анатолий Юрьевич защитил в 1962
г. кандидатскую диссертацию. Еще раньше, в 1961 г., А. Ю. Левин начал
работать в должности инженера на своем факультете, а став кандидатом
наук, перешел с 1963 г. на преподавательскую ставку, сначала ассистента,
затем недолго — старшего преподавателя, и с 1964 по 1966 г. — доцента
кафедры функционального анализа. В декабре 1966 г. Анатолий Юрьевич
становится старшим научным сотрудником Института автоматики и теле­
механики (технической кибернетики) АН СССР, но, спустя менее двух лет,
в 1968 г. возвращается на кафедру функционального анализа, на которой
он проработал до 1971 г.
В 1970 году Анатолий Юрьевич защитил в Воронежском университете
докторскую диссертацию, посвященную неосцилляции решений уравнения
() + 1 ()(−1) + · · · +  () = 0. Диссертация представляла собой ори­
гинальный и интересный научный труд, но не была утверждена ВАК по
причинам, не имеющим отношения к математике.
С осени 1971 г. Анатолий Юрьевич начал преподавательскую деятель­
ность в воссозданном незадолго перед тем Ярославском государственном
университете. 25 августа 1971 г. он был принят на должность доцента и
1
Использован архивный источник: Личные дела сотрудников университета, имеющих
ученую степень или звание. Левин Анатолий Юрьевич // Государственный архив Ярослав­
ской области (ГАЯО). — Ф. Р-1010. — Оп. 2. — Д. 186. — Л. 1—79.
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
заведующего кафедрой теоретической кибернетики, на которой трудился
более десяти лет. В 1986 году — в связи с организацией факультета ин­
форматики и вычислительной техники (ИВТ) и кафедры системного про­
граммирования на нем — был переведен на должность доцента этой ка­
федры. В 1989 году на факультете ИВТ была создана кафедра дискретного
анализа, на которую Анатолий Юрьевич перешел работать, и в том же
году в возрасте 53-х лет он был единогласно избран советом факультета
на должность профессора. Список читавшихся им курсов выглядит внуши­
тельно: «Теория вероятностей и математическая статистика», «Дискретная
математика», «Методы оптимизации», «Теория массового обслуживания»,
«Математические модели», «Математические методы в биологии». В июле
2003 г. Анатолий Юрьевич закончил преподавание в университете, выйдя
на пенсию.
Как математик А. Ю. Левин занимался теорией обыкновенных диффе­
ренциальных уравнений, он внес существенный вклад в изучение проблемы
неосцилляции решений уравнения () + 1 ()(−1) + · · · +  () = 0, по­
ставленной Дьёрдем Пойа в начале XX века. Широту научных интересов
Анатолия Юрьевича характеризует тот факт, что еще одной областью ис­
следований, в которой он добился значительных достижений, является ми­
нимизация выпуклых функций. А. Ю. Левин является автором известного
алгоритма минимизации — метода центрированных сечений.
Среди учеников Анатолия Юрьевича немало тех, кто добился значи­
мых результатов в науке и продолжил дело вузовского преподавания мате­
матических дисциплин. Можно назвать имена Ольги Федоровны Усковой,
Вадима Сергеевича Рублева, Татьяны Енчевой, Глеба Дмитриевича Степа­
нова, Юрия Викторовича Русина, Георгия Николаевича Копылова, Евгения
Александровича Тимофеева.
Умер Анатолий Юрьевич Левин в августе 2007 г. в г. Зеленограде Мос­
ковской области.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. К вопросу о нулевой зоне устойчивости2
1. Рассматривается уравнение

¨ + () = 0.
(1)
Функция () для простоты предполагается непрерывной; с обычными
оговорками все дальнейшее сохраняет силу для любой интегрируемой ().
Нам понадобится следующее предложение, являющееся по существу
оценкой снизу для расстояния между нулями нетривиальных решений урав­
нения (1). Здесь и в дальнейшем используется обозначение
+ () = max{0, ()}.
Теорема 1. Если для некоторого , 0 6  < /, и некоторого нату­
рального  выполняется неравенство
+/
∫︁
( − 2 )+  6 2
cos(/) − cos(/)
sin(/)
(2)

при всех  из промежутка 0 6  6 (1 − 1/), то каждое нетривиальное
решение уравнения (1) имеет не более одного нуля в промежутке [0, ].
При доказательстве этой теоремы используется, в частности, интеграль­
ный принцип сравнения [1]. Весьма полезным оказывается здесь также
рассмотрение уравнений вида 
¨ + () = 0 с «обобщенным» коэффициен­
том (), представляющим собой сумму непрерывной (или интегрируемой)
функции и некоторого числа дельта-функций.
2. Перейдем теперь к вопросу об устойчивости решений уравнения (1).
В дальнейшем предполагается, что () -периодична и удовлетворяет усло­
вию
∫︁
(2 − ˙ 2 ) > 0,
(3)
0
где () — некоторая абсолютно непрерывная функция такая, что |(0)| =
= |()|; если () не меняет знака на [0, ] и (0)
˙
= (),
˙
то дополни­
тельно требуется, чтобы () не была решением уравнения (1). Условие (3)
выполняется, в частности (при () ≡ 1), если () (̸≡ 0) неотрицательна в
среднем.
С помощью теоремы 1 легко устанавливается следующее предложение.
2
Левин А. Ю. К вопросу о нулевой зоне устойчивости // ДАН СССР. — 1962. — Т. 145,
№ 6. — С. 1221–1223. (Представлено академиком И. Г. Петровским 29 III 1962.)
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 2. Если для некоторого , 0 6  6 /, и некоторого нату­
рального  выполняется неравенство (2) при каждом , 0 6  < , то
все решения уравнения (1) вместе со своими производными ограничены
на (−∞, ∞).
Сформулированный критерий устойчивости тривиального решения соот­
ветствует нулевой зоне устойчивости по Ляпунову. Теорема 1 может быть
очевидным образом использована также для получения критериев, соот­
ветствующих другим зонам устойчивости. Мы не останавливаемся на этом
подробнее, поскольку основная трудность заключается именно в теореме 1.
3. В предельном случае  = 0 условие (2) приобретает вид
+/
∫︁
+ () 6

,

(︁
 )︁
.
 = 2 1 − cos

(4)

Находим
√
1 = 4, 2 = 4, 3 = 3, 4 = 8 − 4 2, . . .
При  → ∞ константы  асимптотически убывают как  2 /, так что в пре­
деле условие (4) (как и общее условие (2)) переходит в известный критерий
Н. Е. Жуковского [2] для нулевой зоны устойчивости: () 6  2 / 2 .
Совпадение 1 и 2 влечет за собой интересное следствие: оказывается,
вместо классического условия А. М. Ляпунова [3] — М. Г. Крейна [4]
∫︁
+ () 6
4

0
достаточно потребовать выполнения менее жесткого условия
+/2
∫︁
+ () 6
4

(0 6  < ).
(5)

Аналогичная ситуация имеет место и в общем случае: при  = 1 теорема
2 переходит в критерий устойчивости, содержащийся в работах В. А. Яку­
бовича [5] и М. Г. Крейна [4]:
∫︁
( − 2 )+  6 2 ctg

;
2
0
полагая, однако,  = 2, убеждаемся, что и в этом критерии интеграл по
периоду может быть заменен интегралом по каждому полупериоду.
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, случай  = 1, когда теорема 2 переходит в известные ре­
зультаты, оказывается подчиненным случаю  = 2; случаи же  = 2, 3, 4, . . .
независимы.
При  = 4 теорема 2 усиливает результат Опяля [6], получившего сле­
дующий критерий устойчивости (0 6  6 /):
+/4
∫︁


( −  )+  6
ctg
2
4
2
√︂
(︂
)︂

2
3 − 4 tg
+5
4
(0 6  < ).
(6)

Легко видеть, что для любого допустимого значения  правая часть нера­
венства (2) при  = 4 не менее чем в 4/3 раза превосходит правую часть
√
неравенства (6). В частности, для
√ 4 в [6] указывается значение 6 − 2 5
вместо точного значения 8 − 4 2. Утверждение Опяля о неулучшаемости
приводимых им результатов является, таким образом, ошибочным.
4. Для тех случаев, когда проверка выполнения условия (2) или более
частных условий того же типа затруднительна, полезно заметить, что в
действительности проверки требуют лишь некоторые значения  из [0, ).
Если, например, нужно проверить выполнение условия (5) для некоторой
неотрицательной дифференцируемой (), то достаточно ограничиться теми
, при которых ( + /2) = (), (
˙ + /2) 6 ().
˙
Действительно, нас инте­
+/2
∫︀
ресуют только точки максимумов периодической функции () =
 ,

˙
но ()
= ( + /2) − (). Можно, таким образом, ожидать, что в боль­
шинстве практически встречающихся случаев потребуется проверка лишь
для одного или нескольких значений .
В условиях теорем 1 и 2 фигурируют интегралы по отрезкам длины /.
Аналогичные предложения могут быть указаны для отрезков произвольной
длины  (интерес представляет лишь случай  6 /2), однако формулировки
при этом становятся более громоздкими.
5. В заключение приведем результат несколько иного характера. Опре­
делим константу 0 (0 ≈ 7, 85) соотношениями
(︁ 
)︁
0 =  2 −  tg , 2 = tg 2
<< .
2
Теорема 3. Если + () непрерывна и монотонна на [0, ] и
∫︁
+ () 6
0
21
0
,

(7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
то каждое нетривиальное решение уравнения 
¨ + () = 0 имеет не
более одного нуля в промежутке [0, ].
Это предложение доказывается с помощью интегрального принципа срав­
нения ([1], теорема 2). Как известно [2], аналогичное утверждение справед­
ливо без предположения о монотонности + (), если в неравенстве (7) 0
заменить константой 4.
Теорема 3 может быть очевидным образом переформулирована как оцен­
ка снизу первого положительного собственного числа краевой задачи

¨ + () = 0,
(0) = () = 0
(8)
в случае монотонной + (). На этом пути могут быть установлены оценки
и для других собственных чисел задачи (8), оказывающиеся полезными
для получения критериев устойчивости решений уравнения (1) в случае
периодической кусочно-монотонной ().
6. Все приведенные результаты являются точными, т. е. не могут быть
улучшены без дополнительных предположений.
Автор выражает глубокую признательность М. А. Красносельскому за
внимание к работе.
Литература
1. Левин, А. Ю. Об одном принципе сравнения для дифференциальных
уравнений второго порядка / А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1960. —
Т. 135, № 4. — С. 783—786.
2 
2. Жуковский, Н. Е. Условия конечности интегралов уравнения
+  =
2
= 0 / Н. Е. Жуковский // Матем. сб. — 1892. — Т. 16, вып. 3. —
С. 582—591.
3. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ля­
пунов. — Харьков: Изд. Харьковского матем. об-ва, 1892.
4. Крейн, M. Г. О некоторых задачах на максимум и минимум для характе­
ристических чисел и о ляпуновских зонах устойчивости / M. Г. Крейн //
ПММ. — 1951. — Т. 15, вып. 3. — С. 323—348.
5. Якубович, В. А. Об ограниченности решений уравнения  ′′ + () = 0,
( + ) = () / В. А. Якубович // ДАН СССР. — 1950. — Т. 74, № 5. —
С. 901—903.
6. Opial, Z. Sur l’equation diférentielle ′′ + () = 0 / Z. Opial // Ann.
Polon. Math. — 1958. — Vol. 5, no. 2. — P. 77—93.
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Оценка для функции
с монотонно расположенными нулями
последовательных производных3
1. Основной целью настоящей работы является доказательство следу­
ющего предложения.
Теорема 1. Пусть -кратно дифференцируемая функция () удовлетво­
ряет условиям
(1 ) = ′ (2 ) = . . . = (−1) ( ) = 0
|() ()| 6 
( 6 1 6 2 6 . . . 6  6 ),
( 6  6 ).
(1)
(2)
Тогда имеет место неравенство
1
|()| 6  [︀ −1 ]︀ [︀  ]︀ ( − )
 2 ! 2 !
( 6  6 ).
(3)
Оценка (3) является неулучшаемой, так как достигается для соответ­
ствующих многочленов.
В дальнейшем этот результат используется для усиления известного
критерия Валле-Пуссена [1] (см. также [2]) разрешимости многоточечной
краевой задачи.
Для доказательства теоремы 1 исследуются крайние точки конечномер­
ных функциональных множеств определенного типа. Такой подход пред­
ставляется весьма естественным и может, по-видимому, быть использован
для получения целого ряда аналогичных оценок.
Результаты настоящей статьи были ранее опубликованы без доказатель­
ства в заметке [3].
2. Приведем некоторые геометрические сведения, причем для простоты
ограничимся конечномерным случаем. Пусть  — конечномерное норми­
рованное пространство и  ⊂  — некоторое замкнутое выпуклое огра­
ниченное множество. Точка  ∈  называется промежуточной точкой
множества  , если она является внутренней точкой некоторого отрезка,
принадлежащего  ; точка  ∈  , не являющаяся промежуточной точ­
кой множества  , называется крайней точкой множества  . В силу
известной теоремы М. Г. Крейна—Д. П. Мильмана (см. [4]), множество 
3
Левин А. Ю. Оценка для функции с монотонно расположенными нулями последо­
вательных производных // Математический сборник. — 1964. — Т. 64(106), № 3. —
С. 396—409.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
совпадает с выпуклой оболочкой своих крайних точек (для конечномерного
случая может быть дано также прямое доказательство этого утверждения).
Пусть 1 ⊂  — произвольное замкнутое ограниченное множество.
Будем говорить, что множество 2 ⊂ 1 является характеристическим
подмножеством множества 1 , если max  () = max  () для любого
∈1
∈2
выпуклого* функционала  (); для этого необходимо и достаточно, чтобы
2 содержало все крайние точки  1 (через  обозначается выпуклое
замыкание множества  ).
Из теоремы М. Г. Крейна—Д. П. Мильмана как следствие вытекает сле­
дующее утверждение: для того чтобы 2 было характеристическим под­
множеством множества 1 , необходимо и достаточно, чтобы 2 содержало
все крайние точки множества  1 . Таким образом, если разность 1 ∖ 2
содержит только промежуточные точки множества  1 , то задача об отыс­
кании максимума функционала  () на множестве  1 сводится к задаче
об отыскании максимума  () на 2 .
3. Доказательство теоремы 1 будет состоять из нескольких этапов. Пер­
вые три леммы почти очевидны.
Лемма 1. Пусть (), () ∈   [, ] имеют в некоторой внутренней
точке  отрезка [, ] нули кратности  и  − 1 (1 6  6 ) соответ­
ственно. Тогда найдется такое  > 0, что каждая из функций
1 () = () − (),
2 () = () + ()
имеет не менее  нулей на отрезке [, ].
Доказательство элементарно, поэтому мы его опускаем.
Лемма 2. Если () ∈   [, ] имеет на [, ] не менее  + 1 нулей, то
найдутся точки 1 , 2 , . . . , 2+1 , такие, что
 6 1 6 2 6 . . . 6 2 6 2+1 6 ,
(1 ) = ′ (2 ) = . . . = (−1) ( ) = () (+1 ) =
= (−1) (+2 ) = . . . = ′ (2 ) = (2+1 ) = 0.
Для доказательства достаточно провести обычное построение «пирами­
(0) (0)
ды» нулей последовательных производных. В самом деле, пусть 1 , 2 , . . .
*
Непрерывный функционал  () называется выпуклым, если для любых 1 , 2 ∈ 
(︁  +  )︁ 1
1
2
выполняется неравенство 
6 [ (1 ) +  (2 )]; отсюда следует так называемое
2
2
неравенство Иенсена (см. [5])  [1 + (1 − )2 ] 6  (1 ) + (1 − ) (2 ) при любых
1 , 2 ∈ , 0 6  6 1.
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(0)
. . . , +1 — занумерованные в неубывающем порядке нули функции ().
По теореме Ролля найдутся  нулей функции ′ (), которые мы обозначим
(1) (1)
(1)
(0)
(1)
(0)
через 1 , 2 , . . . ,  такие, что  6  6 +1 ( = 1, 2, . . . , ). Продол­
(−1)
(−1)
жая этот процесс далее, находим два нуля 1
, 2
функции (−1) ()
()
и, наконец, расположенный между ними нуль 1 функции () (). Сово­
купность точек
(0)
(1)
(−1)
1 , 1 , . . . , 1
()
(−1)
, 1 , 2
(0)
, . . . , (1)
 , +1 ,
очевидно, удовлетворяет требованиям леммы.
Лемма 3. Если () имеет в точке 0 ( 6 0 6 ) нуль кратности не

меньшей, чем , и |() ()| 6  ( 6  6 ), то |()| 6 !
|−0 | ( 6  6 ).
Эта оценка хорошо известна (см. [6]).
Нам понадобится еще следующее предложение.
Лемма 4. Пусть  — конечномерная гиперплоскость банахова простран­
ства , состоящая из элементов вида  = 0 + , где 0 ∈  — фик­
сированный элемент, а  пробегает некоторое конечномерное подпро­
странство  ′ ⊂ . Пусть, далее,  ⊂  — замкнутое множество,
содержащее вместе с каждым элементом  все элементы вида . Ес­
ли пересечение  ′ ∩  состоит из одного нуля, то пересечение  ∩ 
является замкнутым ограниченным множеством.
Доказательство. Так как пересечение замкнутых множеств замкнуто,
то осталось доказать лишь его ограниченность. Предположим противное:
пусть последовательность элементов  = 0 +  ,  = 1, 2, . . ., из  ∩ 
такова, что ‖  ‖→ ∞ при  → ∞. Рассмотрим нормированную последова­
тельность

0

* =
=
+
,  = 1, 2, . . .
(4)
‖  ‖
‖  ‖ ‖  ‖
Последовательность {* } принадлежит единичной сфере конечномерного
пространства элементов вида  = 0 +  ( ∈  ′ ). В силу компактности,
без ограничения общности можно считать, что последовательность {* }
сходится к некоторому элементу 0 , ‖ 0 ‖= 1. Так как все  принадлежат
 , то все * также принадлежат  ; отсюда и из замкнутости  следует,
0
что 0 ∈  . С другой стороны, если учесть, что
стремится к нулю
‖  ‖
{︂
}︂

при возрастании , то из (4) вытекает, что последовательность
‖  ‖
элементов  ′ также сходится к 0 . Поэтому 0 ∈  ′ . Мы доказали, таким
образом, что 0 ∈  ′ ∩ ; так как ‖ 0 ‖= 1, то это противоречит исходному
предположению о том, что  ′ ∩  не содержит ненулевых элементов.
Лемма доказана.
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Пусть  () — произвольная непрерывная на [, ] функция. Через 
обозначим множество функций (), удовлетворяющих условиям вида (1) и
таких, что () () =  (). Другими словами,  — множество функций
вида
∫︁−1
∫︁ ∫︁1
 ( )  −1 . . . 1 ,
(5)
() =
...
1 2

где совокупность 1 , 2 , . . . ,  пробегает -мерную область
 6 1 6 . . . 6  6 .
(6)
Если рассматривать  как множество элементов пространства   [, ]
-кратно непрерывно дифференцируемых на [, ] функций с нормой
‖  ‖= max max | () ()|,
066 66
то, в силу леммы 4,  является замкнутым ограниченным множеством.
Действительно,  является пересечением -мерной гиперплоскости  ,
состоящей из функций (), таких что () () =  () (роль  ′ здесь играет
подпространство многочленов степени не выше  − 1), и множества 
функций из пространства   [, ], удовлетворяющих условиям вида (1). Все
условия леммы 4 здесь выполнены: множество  замкнуто, из соотношения
 ∈  вытекает соотношение  ∈  , и ни один нетривиальный многочлен
степени не выше  − 1 не может удовлетворять условиям вида (1).
5. Будем говорить, что () ∈  обладает системой параметров
(1 , 2 , . . . ,  ), если () удовлетворяет условиям (1) или, что то же самое,
допускает запись в виде (5) (предполагается, что параметры 1 , 2 , . . . , 
удовлетворяют неравенствам (6)). Каждая функция из  обладает, таким
образом, по крайней мере одной системой параметров. Пусть Ω — под­
множество отрезка [, ], состоящее из точки  и всех нулей функции  ()
на интервале (, ). Через 0 мы будем обозначать множество функций из
 , обладающих системой параметров вида
(, , . . . , , , , . . . , )
⏟
⏞
⏟
⏞

( ∈ Ω , 0 6  6 ).
−
Следующее предложение является основным звеном доказательства.
Лемма 5. Множество 0 является характеристическим подмножеством
множества  .
Пусть () — произвольная функция из  ∖ 0 . В силу вышеизло­
женного, достаточно показать, что () является промежуточной точкой
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
множества   . Пусть (1 , 2 , . . . ,  ) — система параметров функции ().
Так как () ̸∈ 0 , то среди чисел 1 , 2 , . . . ,  есть отличные от ; пусть
 — первое из них: 1 = . . . = −1 = ,  >  (1 6  6 ). Точка
 является внутренней точкой отрезка [, ], ибо в случае  =  име­
ли бы +1 = . . . =  = , т. е. () обладала бы системой параметров
(, . . . , , , . . . , ), что невозможно, так как () ̸∈ 0 . Далее, среди чисел
⏟ ⏞
⏟ ⏞
−1
−+1
()
(+1)
 ( ), 
( ), . . . ,  () ( )
есть отличные от нуля; в противном случае
() обладала бы системой параметров (, . . . , ,  , . . . ,  ), причем, так как
⏟
⏞
⏟ ⏞
−1
−+1
 ( ) =  () ( ) = 0, то  ∈ Ω и, следовательно, снова оказалось бы, что
() ∈ 0 .
Пусть  () ( ) есть первое из этих чисел, т. е.
 (−1) ( ) = . . . =  (−1) ( ) = 0,
(7)
 () ( ) ̸= 0 ( 6  6 ).
(8)
Без ограничения общности можно считать, что +1 , +2 , . . . ,  совпадают
с  (в противном случае нужно переобозначение). Для удобства записи
положим +1 = . Из (8) вытекает, что
(9)
 <  < +1 .
Пусть
∫︁−2 ∫︁−1
∫︁
...
 () =
⏟
...

⏞
−1
−2
∫︁


⏟
−1 −2 . . . 1 .
⏞
−
Ясно, что  () — многочлен ( − 1)-й степени, удовлетворяющий условиям
 (−1) ( ) = 0,  = 1, 2, . . . ,  − 1,  + 1,  + 2, . . . , ,
(10)
 (−1) () ≡ 1.
Так как  (−1) () имеет в точке  нуль кратности  − , a  (−1) () —
нуль кратности  −  + 1 и обе эти функции ( −  + 1)-кратно непрерывно
дифференцируемы, то, в силу леммы 1, найдется такое  > 0, что каждая
из функций
1 () =  (−1) () +  (−1) (), 2 () =  (−1) () −  (−1) ()
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
имеет на [, +1 ] не менее −+1 нулей. Отсюда, воспользовавшись леммой
2, заключаем, что в [, +1 ] найдутся точки
()
()
()
( 6) 6 +1 6 . . . 6  (6 +1 ),  = 1, 2,
(11)
такие, что
()
()
(−)
 ( ) = ′ (+1 ) = . . . = 
()
( ) = 0,  = 1, 2.
(12)
Если положить 1 () = () +  (), 2 () = () −  (), то условие (12)
перепишется в виде
(−1)

()
( ) = 0,  = ,  + 1, . . . , ;  = 1, 2.
(13)
С другой стороны, из (10) следует, что
(−1)

( ) = 0,  = 1, 2, . . . ,  − 1,  + 1,  + 2, . . . , ;  = 1, 2.
(14)
Соотношения (13) и (14) показывают, что каждая из функций  (),  =
= 1, 2, обладает соответственно системой параметров
() ()
()
(, . . . , ,  , +1 , . . . ,  , +1 , +2 , . . . ,  ). Монотонность расположения па­
⏟ ⏞
−1
()
раметров обеспечивается неравенствами (9), (11). Так как  () =  () () =
=  () ( = 1, 2), то функции 1 () и 2 () принадлежат множеству  .
Очевидно, далее, что обе эти функции отличны от (). Воспользовавшись
1
соотношением () = (1 () + 2 ()), заключаем, что () есть внутренняя
2
точка отрезка, концы которого принадлежат  , и, следовательно, является
промежуточной точкой множества   .
Лемма доказана.
Из леммы 5 следует, между прочим, что если  () имеет не более  нулей
на интервале (, ), то число крайних точек множества   не превосходит
1 + ( + 1). Множество   является, следовательно, -гранником, причем
 6 1 + ( + 1).
Пример. Пусть  = 2,  () = −6. Относительно отрезка [, ] предпо­
ложим, что  < 0,  +  > 0. Множество Ω состоит в этом случае из двух
точек:  = 0 и  = . Множество 0 состоит, таким образом, из пяти функ­
ций, обладающих соответственно системами параметров (, ), (, 0), (, ),
(0, 0), (, ) (фактически могло бы оказаться, что несколько из этих систем
параметров соответствуют одной функции; в нашем случае этого нет).
Множество  для рассматриваемого случая изображено на рисунке.
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заштрихованная фигура ли­
b
нейно изоморфна  : каждой
2 3
2
A3(3b ,a -3ab )
ее точке (, ) взаимно одно­
значно соответствует функция
2
3
A1(3a ,-2a )
() = −3 +  +  из множе­
ства  .
a
A4(0,0)
Точки 2 , 6 , 1 , 3 лежат
на прямой  +  = 3 , точ­
3
2
3
ки 3 , 5 — на прямой  = A2(0,a ) A6(3a /4,a /4)
= 32 . Криволинейные куски
границы 1 4 и 5 6 являют­
ся частями полукубической
па­
2
3
√
A5(3b ,-2b )
2 3 3/2
раболы  = ±
 . Харак­
9
терна «вогнутость» (для  >
> 3 — «невыпуклость») криво­
линейной части границы, означающая,что   — многоугольник (для  > 3
— многогранник).
Функциям с системами параметров (, ), (, 0), (, ), (0, 0), (, ) отве­
чают соответственно точки 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .
Очевидно, что множеству   соответствует трапеция 2 4 3 5 . Таким
образом, множество   имеет в нашем случае четыре крайних точки, ко­
торым соответствуют функции с системами параметров (, 0), (, ), (0, 0),
(, ). Характеристическое подмножество 0 множества  , о котором идет
речь в лемме 5, оказалось здесь «завышенным» на одну точку по сравнению
с минимальным характеристическим подмножеством — совокупностью всех
крайних точек множества   (это объясняется тем, что соответствующая
точке 1 функция, кроме системы параметров (, ), имеет также систему
параметров (, −)).
6. Перейдем, наконец, непосредственно к доказательству теоремы 1.
Учитывая однородность по , можно ограничиться случаем  = 1. Докажем
теорему для отрезка [0, 1] (произвольный отрезок [, ] приводится к отрезку
[0, 1] очевидной заменой переменной  =  + ( − )1 ).
Для доказательства теоремы нужно показать, что для любой непрерыв­
ной функции  (), такой, что
| ()| 6 1
(0 6  6 1),
справедливо неравенство
max max |()| 6
∈ 0661
29
1
[︀ −1 ]︀ [︀  ]︀ .
 2 ! 2 !
(15)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поскольку функционал  () = max |()| является выпуклым, то, в силу
0661
леммы 5, достаточно доказать, что для любой функции () ∈ 0
max |()| 6
0661
1
[︀ −1 ]︀ [︀  ]︀ .
 2 ! 2 !
(16)
Итак, пусть () ∈ 0 . Это значит, что () обладает системой парамет­
ров вида (0, . . . , 0, , . . . , ) (0 6  6 , 0 6  6 1) (условие  ∈ Ω нам не
⏟ ⏞
⏟ ⏞

−
понадобится). Можно считать, что 1 6  6  − 1, так как в случае  = 0
1
или  =  с помощью леммы 3 получаем |()| 6
(0 6  6 1) и нам
!
остается сослаться на неравенство
[ 2 ]
−1
1
( − 1)!
1
[︀ −1 ]︀ [︀  ]︀ = [︀ −1 ]︀ [︀  ]︀ =
> .
!
!
 2 ! 2 !
! 2 ! 2 !
(17)
При  > 1 применима известная формула Коши:
∫︁−1
∫︁
() =
...
⏟0

()
1
( ) . . . 1 =
( − 1)!
0
∫︁
( − )−1 () ().
(18)
0
⏞

Функция () () имеет в точке  нуль кратности не меньше −. В силу
(15), ( − )-я производная этой функции не превосходит по абсолютной
величине единицы; поэтому на основании леммы 3
|() ()| 6
1
| − |−
( − )!
(0 6  6 1).
(19)
Соотношения (18), (19) дают
1
|()| 6  (, ) =
( − 1)!( − )!
∫︁
( − )−1 | − |− 
(0 6  6 1).
0
Ввиду положительности направления интегрирования мажоранта  (, )
при любом  (1 6  6  − 1) обладает следующими свойствами:
а)  (, ) является неубывающей функцией от , так как подынтегральная
функция неотрицательна и не убывает по ;
б)  (, ) является выпуклой функцией от , так как подынтегральная
функция выпукла по .
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отсюда следует, что максимум  (, ) в квадрате 0 6 ,  6 1 равен
наибольшему из чисел  (1, 0),  (1, 1). Находим
1
 (1, 0) =
( − 1)!( − )!
∫︁1
(1 − )−1 −  =
1
,
!
0
 (1, 1) =
1
( − 1)!( − )!
∫︁1
(1 − )−1  =
 −1
1
= −1 .
( − 1)!( − )!
!
0
1 −1
(0 6 ,  6 1).
> 1, то max  (, ) =  (1, 1) =

Так как
! −1
Выберем оптимальное значение . Так как наибольший из биномиальных
−1
−2
0
1
2
, . . . −1
находится, как известно, в
коэффициентов −1
, −1
, −1
, −1

[2]
середине этого ряда и равен −1 , то получаем:
−1
−1
 (, ) 6
1
1 [ 2 ]
−1 = [︀ −1 ]︀ [︀  ]︀
!
 2 ! 2 !
( = 1, 2, . . . ,  − 1; 0 6 ,  6 1).
Неравенство (16), а вместе с ним и теорема 1, доказаны.
7. Полученная оценка является точной, так как достигается для соот­
ветствующих многочленов. Это видно из доказательства теоремы. Можно
показать это и другим путем. Многочлен
 () =  − 1 −1 + 2 −2 − . . . + (−1)− −  ,
получающийся «усечением» многочлена () = (−1) , удовлетворяет усло­
(−1)
()
(−1)
виям  (0) = . . . = 
(0) = 0,  (1) = . . . = 
(1) = 0. Выпол­
нение первого условия очевидно; второе же вытекает из того факта, что
разность () −  () есть многочлен ( − 1)-й степени и, следовательно, у
 () и () совпадают производные всех порядков, начиная с -го.
Воспользовавшись известным соотношением
−
1 − 1 + 2 − . . . + (−1)− − = (−1)− −1
,
()
−
находим, что | (1)| = −1
. Так как  () ≡ !, то для многочлена
[  ]+1 () в оценке (3) действительно имеет место знак равенства.
2
8. Остановимся еще на двух замечаниях по поводу формулировки тео­
ремы 1, первое из которых понадобится нам в дальнейшем.
Замечание 1. Оценка (3) остается справедливой, если вместо неубыва­
ния чисел 1 , 2 . . . ,  потребовать невозрастание этих чисел. В этом
легко убедиться с помощью замены переменной  =  +  − 1 .
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Замечание 2. Параметр 1 можно не включать в условие монотонности
и требовать, таким образом, только выполнения одного из неравенств
2 6 3 6 . . . 6  или 2 > 3 > . . . >  . Подробнее мы здесь на этом
не останавливаемся.
9. С. Н. Бернштейну (см. [7]) принадлежит оценка, аналогичная оценке
(3), но без предположения о монотонном расположении точек
1 , 2 . . . ,  .
Теорема 2 (С. Н. Бернштейн). Если функция (), удовлетворяющая
условию (2), и все ее производные до ( − 1)-го порядка включитель­
но имеют нули на отрезке [, ], то справедливо неравенство
|()| 6 ′ ( − )
( 6  6 ),
где константы ′ определяются из разложения
tg  + sec  = 1 +
∞
∑︁
=1
′ 
(︁
|| <
 )︁
.
2
Значения констант ′ неулучшаемы. Отметим, что, в отличие от теоре­
мы 1, доказательство теоремы С. Н. Бернштейна не требует исследования
крайних точек, так как в этом случае приводит к цели обычный способ
«возмущений». Дополнительное предположение о монотонности нулей ли­
шает эффективности этот естественный прием доказательства, тем самым
существенно усложняя задачу.
Использованные выше геометрические соображения и, в частности, лем­
ма 5 могут быть применены для получения ряда аналогичных оценок, свя­
занных с выпуклыми функционалами (оценка значения функции () в
заданной точке, оценка нормы () в  [, ] и т. д.).
10. Теорема С. Н. Бернштейна и теорема 1 непосредственно связаны с
вопросами интерполяции последовательными производными (интерполяции
Гончарова; см. [8]). Эта интерполяция заключается в следующем: функция
() (достаточно гладкая) аппроксимируется многочленом  () (−1)-й сте­
пени, таким, что  (1 ) = (1 ),  ′ (2 ) = (2 ), . . . ,  (−1) ( ) =  (−1) ( ),
где 1 , 2 , . . . ,  — узлы интерполяции. Так как 1 , 2 , . . . ,  являются
нулями соответствующих последовательных производных разности  () −
− (), то теорема С. Н. Бернштейна дает оценку (через длину этого проме­
жутка и max | () ()|) абсолютной величины погрешности на промежутке
интерполяции, а теорема 1 — аналогичную оценку для случая монотонного
расположения узлов.
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В приводимой ниже таблице даны для сравнения константы
1
 = [︀ −1 ]︀ [︀  ]︀ из теоремы 1 и ′ из теоремы С. Н. Бернштейна.
 2 ! 2 !

1
2
3
4
5
6
7
8
′
1
1
2
1
3
5
24
2
15
61
720
17
315
277
8064

1
1
2
1
3
1
8
1
20
1
72
1
252
1
1052
Совпадение  и ′ при  6 3 становится понятным, если учесть вы­
шеприведенные замечания. Для  = 3, например, при любом расположении
узлов выполняется одно из неравенств 2 6 3 , 2 > 3 . При  > 3 имеет
место неравенство  < ′ , т. е. теорема 1 дает лучшие значения констант,
чем теорема С. Н. Бернштейна. Это тоже понятно, поскольку обе оценки
являются точными, а теорема С. Н. Бернштейна накладывает меньше огра­
ничений на оцениваемую функцию. Любопытно, однако, что константы 
и ′ имеют также существенно различные асимптотики: константы ′
2
убывают как геометрическая прогрессия со знаменателем , а константы

 , очевидно, стремятся к нулю быстрее любой геометрической прогрес­
(︁
)︁

сии ниже будет дано асимптотическое выражение для  . Это различие
2
в асимптотике, возможно, представляет интерес для теории интерполяции
Гончарова.
11. Остановимся на применении полученной оценки, связанном с мно­
готочечной краевой задачей. Задача, о которой идет речь, заключается в
отыскании для уравнения
() ≡ () + 1 ()(−1) + . . . +  () =  ()
( 6  6 )
(20)
(функции 1 (), . . . ,  (),  () непрерывны на отрезке [, ]) решения (),
удовлетворяющего условиям (1 ) = 1 , (2 ) = 2 , . . . , ( ) =  , где
1 , 2 , . . . ,  — различные точки отрезка [, ]. Мы будем рассматривать
несколько более общие краевые условия
( ) = ,1 , ′ ( ) = ,2 , . . . , ( −1) ( ) = , ,
 = 1, 2, . . . , , (2 6  6 , 1 + 2 + . . . +  = ).
33
(21)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Говорят, что отрезок [, ] является промежутком неосцилляции для
оператора , если каждое нетривиальное решение уравнения  = 0 имеет
на [, ] не более  − 1 нулей (нули считаются в соответствии с их кратно­
стью). Как легко видеть (см. [2]), задача (20)—(21) разрешима при любых
, , любых 1 , 2 , . . . ,  из [, ] и любой непрерывной функции  () в
том и только том случае, когда [, ] является промежутком неосцилляции
для ; при этом имеет место также единственность решения. Помимо раз­
решимости многоточечной краевой задачи, вопрос о неосцилляции имеет
существенное значение для характеристики различных свойств оператора
 (представление оператора  в виде произведения  дифференциальных
операторов первого порядка, теоремы о дифференциальных неравенствах,
интерполяционные вопросы и др.). Значительный интерес представляют по­
этому эффективные критерии неосцилляции. Первый критерий такого рода
был получен Валле-Пуссеном; он может быть сформулирован следующим
образом.
Теорема 3 (Валле-Пуссен [1] (см. также [2])). Пусть
| ()| 6  ,  = 1, 2, . . . ,  ( 6  6 ).
(22)

∑︁

( − ) 6 1, то отрезок
!
=1
[, ] является промежутком неосцилляции для оператора
Если выполнено неравенство  ( − ) ≡
() ≡ () + 1 (−1) + . . . +  .
12. Докажем следующее предложение.
Теорема 4. Пусть выполнены соотношения (22). Если имеет место нера­
венство

∑︁

[︀ −1 ]︀ [︀  ]︀ ( − ) 6 1,
1 ( − ) ≡
(23)

2  2 ! 2 !
=1
то отрезок [, ] является промежутком неосцилляции для оператора
 ≡ () + 1 (−1) + . . . +  .
Доказательство. Предположим противное: пусть справедливо неравен­
ство (23) и в то же время некоторое нетривиальное решение () уравнения
 = 0 имеет на отрезке [, ] не менее  нулей. В силу леммы 2, на [, ]
найдется точка  , такая, что функция () обладает неубывающей систе­
мой параметров на [,  ] и невозрастающей системой параметров на [, ].
Как отмечалось выше, для оценки (3) существенна лишь монотонность
параметров; поэтому оба эти отрезка равноправны. Выберем из них тот,
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
−
длина которого не превосходит
(простой, но весьма существенный
2
момент, объясняющий смысл перехода от нулей функции к нулям ее по­
следовательных производных). Пусть, например, это будет отрезок [,  ].
Очевидно,  ̸=  , так как в противном случае () имела бы в точке  нуль,
кратность которого не меньше , что невозможно. Пусть
max |() ()| = |() (0 )| =  ( 6 0 6  ),
66
причем в случае () () ≡ const в качестве 0 выберем какую-либо внут­
+
реннюю точку отрезка [,  ], например, точку
. Очевидно,  > 0, так
2
как иначе функция () должна была бы совпадать на [,  ] с некоторым
многочленом степени  6  − 1 и, следовательно, производная () () не
имела бы нулей на [,  ].
Используя уравнение  = 0 и оценки (22), получаем:
 = |() (0 )| = |1 (0 )(−1) (0 ) + · · · +  (0 )(0 )| 6

∑︁
 |(−) (0 )|. (24)
6
=1
Каждая из функций (−) (),  = 1, 2, . . . , , удовлетворяет условиям тео­
ремы 1, если в этих условиях заменить  и  на  и  . Поэтому
|
(−)
( − )
( − )
]︀ [︀  ]︀
[︀
(0 )| 6  [︀ −1 ]︀ [︀  ]︀ 6 
 2 ! 2 !
2  −1
2 ! 2 !
(25)
( = 1, 2, . . . , ).
Подставляя неравенства (25) в (24), находим:
1 ( − ) > 1.
(26)
Для того чтобы получить противоречие с неравенством (23), достаточно
доказать, что в действительности в формуле (26) должен стоять знак >.
Среди чисел 1 , 2 , . . . ,  есть числа, отличные от нуля, поскольку, как
уже отмечалось, () не может быть многочленом, степень которого ниже .
Поэтому, для того чтобы формула (26) выполнялась со знаком равенства,
необходимо, чтобы формулы (25) выполнялись со знаком равенства хотя
бы при одном значении  (1 6  6 ). Но из доказательства теоремы 1
нетрудно усмотреть, что в (3) знак равенства может иметь место только
при выполнении следующих условий (предполагается, что  > 0):
1) () является многочленом -й степени;
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2)  совпадает с одним из концов отрезка [, ].
Наложенное выше ограничение на выбор 0 позволяет утверждать, что в
нашем случае оба таких условия одновременно выполняться не могут.
Теорема доказана.
13. В приводимой ниже таблице даны для сравнения множители  =

=  коэффициентов многочлена 1 (ℎ) и соответствующие множители
2
1
′ =
коэффициентов многочлена  (ℎ) из теоремы Валле-Пуссена.
!

1
2
3
4
5
6
′
1
1
2
1
6
1
24
1
120
1
720

1
2
1
8
1
24
1
128
1
640
1
4608
Теорема 4, таким образом, действительно является усилением теоремы
Валле-Пуссена, поскольку коэффициенты многочлена 1 (ℎ) меньше соот­
ветствующих коэффициентов многочлена  (ℎ) (см. [3]). При этом значе­
ние коэффициента при первой степени ℎ улучшается в два раза, а значения
остальных коэффициентов — не менее чем в четыре раза.
Исследуем еще асимптотику чисел  . Если  — четное ( = 2), то
[︂
]︂
1
 − 1 [︁  ]︁

=2 
!
! = 22 2( − 1)!! = 22+1 (!)2 ∼

2
2
(︂
(︂
)︂ (︂
)︂
)︂
(︁ )︁2
1
2 2
1
2+1 
(27)
∼2
2 1 +
=
4 1 +
=

6

6
(︂
)︂
)︂
(︂
(︁  )︁
√
1
1
2 1 +
=
∼ ! 2 1 +
.

3
4
Знак ∼ означает
и в дальнейшем, что относительная погрешность
(︂ здесь
)︂
1
имеет порядок 
. Для нечетного  ( = 2+1) аналогично находим:
2
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
)︂
(︂
(︁  )︁2
1
1
= 22+1 (2 + 1)(!)2 ∼ 22+1 (2 + 1)
=
2 1 +


6
)︂
)︂
(︂
(︂
2 2
1
∼
= (2 + 1)
4 1 +

6
(︂
)︂
(︂
)︂
√︀
√
1
1
∼ ( − 1)! 2( − 1) 1 +
∼ ! 2 1 −
. (28)
4
4
Соотношения (27), (28) могут быть объединены следующим образом:
[︂
]︂
1
(−1)
 ∼ √
1−
.
(29)
4
! 2
Формула (29) справедлива не только асимптотически, но дает также
хорошее приближение величин  при любом натуральном  (при этом от­
носительная погрешность не превосходит 1, 3%). Эта формула показывает, в
′
частности, что отношение  соответствующих коэффициентов многочле­

√
нов  (ℎ) и 1 (ℎ) асимптотически ведет себя как 2 и, следовательно,
при возрастании  стремится к бесконечности.
14. В работе [9], исходя из другой оценки для дифференцируемых
функций, было получено следующее условие неосцилляции:
2 ( − ) ≡

∑︁
,  ( − ) < 1.
=1
Здесь положено
,
1
=
!
(︂
)︂

1 ( − 1)−1
1−
,  = 1, 2, . . . ,  − 1; , =
.

!

Сформулированный критерий, очевидно, также является усилением тео­
ремы Валле-Пуссена; сравнивая его с теоремой 4, легко убедиться, что оба
эти предложения являются взаимно независимыми.
Вопросы неосцилляции в различных планах изучались также в работах
[10–14], [15].
В заключение автор выражает благодарность М. А. Красносельскому за
внимание к работе.
Литература
1. de la Vallée Poussin, C. Sur l’équation différentielle linéaire du second
ordre. Détermination d’une intégrale par deux valeurs assignées. Extension
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
aux équations d’ordre  / C. de la Vallée Poussin // J. Math. Pures et Appl.
(9). — 1929. — Vol. 8. — P. 125—144.
Сансоне, Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Д. Сан­
соне. — М.: ИЛ, 1953. — Т. 1. — 346 с.
Левин, А. Ю. О некоторых оценках дифференцируемой функции /
А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1961. — Т. 138, № 1. — С. 37—38.
Крейн, М. Г. On extreme points of regularly convex sets / М. Г. Крейн,
Д. П. Мильман // Studia math. — 1940. — Vol. 9. — P. 133—138.
Красносельский, М. А. Выпуклые функции и пространства Орлича /
М. А. Красносельский, Я. Б. Рутицкий. — М.: Гостехиздат, 1958. —
270 с.
Гельфонд, А. О. Исчисление конечных разностей / А. О. Гельфонд. —
М.; Л.: Гостехиздат, 1952. — 480 с.
Бернштейн, С. Н. О некоторых свойствах циклически монотонных
функций / С. Н. Бернштейн // Изв. АН СССР, серия матем. — 1950. —
Т. 14. — С. 381—404.
Евграфов, М. А. Интерполяционная задача Абеля—Гончарова /
М. А. Евграфов. — M.; Л.: Гостехиздат, 1954. — 126 с.
Бессмертных, Г. А. О некоторых оценках дифференцируемых функций
одной переменной / Г. А. Бессмертных, А. Ю. Левин // ДАН СССР. —
1962. — Т. 144, № 3. — С. 471—474.
Азбелев, Н. В. К вопросу о распределении нулей решений линейно­
го дифференциального уравнения третьего порядка / Н. В. Азбелев,
З. Б. Цалюк // Матем. сб. — 1960. — Т. 51(93), № 4. — С. 475—486.
Чичкин, Е. С. Об одной неосцилляционной теореме для линейного са­
мосопряженного дифференциального уравнения четвертого порядка /
Е. С. Чичкин // Изв. ВУЗов. — 1960. — Т. 4. — С. 206—209.
Aramă, O. Cercetări asupra distribuţiei rădămacinilor reale ale inte­
gralelor ecua ţiilor diferenţiale, in legătură cu unele probleme polilocale /
O. Aramă // Studii şi cercet. de mat. (Cluj). — 1960. — Vol. 11, no. 2. —
P. 241—259.
Lasоta, A. Sur un problème d’interpolation pour l’équation différentielle
ordinaire d’ordre  / A. Lasоta, Z. Оpial // Bull. Acad. polon sci., Sér.
sci. math., astron. et phys. — 1961. — Vol. 9, no. 9. — P. 667—671.
Кондратьев, В. А. О колеблемости решений уравнения  () + () =
= 0 / В. А. Кондратьев // Труды Моск. матем. о-ва. — 1961. — № 10. —
С. 419—436.
Левин, А. Ю. Некоторые вопросы осцилляции решений линейных диф­
ференциальных уравнений / А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1963. —
Т. 148, № 3. — С. 512—515.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Уравнение Фредгольма с гладким ядром
и краевые задачи для линейного
дифференциального уравнения 4
1. Сформулируем вначале результат, относящийся к уравнению Фред­
гольма
∫︁
() =  (, )() () ( 6  6 ).
(1)

Здесь () — функция ограниченной вариации:  () 6 1 (до п. 6 все
функции предполагаются комплекснозначными), а (, ) измерима и почти
при любом  на [, ] удовлетворяет условиям
  () (, ) 6 3
|(, )| 6 2 ,
(2)
( > 0; дифференцирование и вариация здесь и в дальнейшем — по пер­
вому аргументу). Второе из неравенств (2) понимается в том смысле, что
 () (, ) почти всюду на промежутке  6  6  совпадает с функцией,
вариация которой на этом промежутке 6 3 . Непрерывность  () (, ) не
требуется, предполагается лишь, что  (−1) (, ) абсолютно непрерывна по
 почти при всех .
Теорема 1. При допущенных предположениях числитель (, , ) (по­
чти при всех ) и знаменатель () резольвенты Фредгольма для (1)
1
являются целыми функциями  порядка не выше
, так что, в
+1
частности,
)︂
∏︁ (︂

() =
1−
,
(3)


где  (0 < |1 | 6 |2 | 6 . . . ) — собственные значения (с.з.) уравнения (1),
занумерованные с учетом кратности. Кроме того, все с.з. удовлетворя­
ют неравенству
| | >  +1 ,
 = (1 , 2 , 3 , ,  − ) > 0.
(4)
Разумеется, (4) содержательно лишь в случае существования с.з. Для 
может быть указано явное выражение через 1 , 2 , 3 , ,  − . При дока­
зательстве теоремы 1 используются некоторые приемы, изложенные в [1], в
сочетании с известными результатами о скорости убывания коэффициентов
Фурье гладких функций.
4
Левин А. Ю. Уравнение Фредгольма с гладким ядром и краевые задачи для линей­
ного дифференциального уравнения // ДАН СССР. — 1964. — Т. 159, № 1. — С. 13—16.
(Представлено академиком И. Г. Петровским 15 V 1964.)
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Рассмотрим общую несингулярную краевую задачу для уравнения
-го порядка:
 ≡ () + 1 ()(−1) + · · · +  () =  ()
 [] ≡
−2
∑︁
 () () +
=0
∫︁
(−1) ()  () =  ,
( 6  6 ),
(5)
 = 1, 2, . . . , .
(6)

Здесь 1 (), . . . ,  (),  () суммируемы на [, ]; 1 (), . . . ,  () имеют огра­
ниченную вариацию и непрерывны справа внутри (, );  и  — ком­
плекснозначные постоянные. Функционалы  [] записаны в «приведенном»
виде, который является удобным и в то же время общим, так как () ()  =
= 0, 1, . . . ,  − 2 линейно выражаются через () () и (−1) (). Линейно
комбинируя  можно также упростить матрицу || ||.
Если соответствующая однородная задача не имеет нетривиальных ре­
шений, то, как известно, существует функция Грина (, ), определенная
в квадрате :  6 ,  6  и позволяющая записать решение (5) – (6) в
виде
∫︁

∑︁
() = (, ) () +
  (),
=1

где 1 (), . . . ,  () — фундаментальная система решений  = 0 такая, что
 [ ] =  (,  = 1, 2, . . . , ). Пусть  (, ) как функция  есть решение
 = 0 такое, что при  =   () (, ) = ,−1 ,  = 0, 1, . . . ,  − 1. Пусть,
далее, (, ) — функция Коши для , т.е. (, ) = 0 при  6 , (, ) =
=  (, ) при  > . Удобной является формула
(, ) = (, ) −

∑︁
 () [(, )] =
=1
= (, ) −

∑︁
=1
∫︁
 ()
 (−1) (, )  (). (7)

Она позволяет, в частности, исследовать свойства (, ) как функции .
Легко видеть, например, что
(, 0 + 0) − (, 0 − 0) =

∑︁
 ()[ (0 + 0) −  (0 − 0)]
( < 0 < )
=1
при  = 1,  = 0 из правой части следует вычесть 1. Следовательно, (, )
непрерывна по  на прямой  = 0 ( < 0 < ,  > 1) тогда и только
тогда, когда все  () непрерывны в точке  = 0 . Так как (, ), (, )
можно доопределить по непрерывности, то задача (5) – (6) при  > 1
обладает непрерывной в  функцией Грина в том и только том случае,
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
если 1 (), . . . ,  () непрерывны внутри (, ). При некоторых требовани­
ях на гладкость  () можно охарактеризовать и гладкость (, ) по ,
которая, как оказывается, также определяется гладкостью  (). Для
дальнейшего, однако, существенна не зависящая от краевых условий глад­
кость (, ) по , характеризующаяся тем, что вариация (−1) (, ) на
промежутке  6  6  ограничена равномерно по .
Лемма 1. При всех ,  6  6 , справедливо неравенство
⎧
⎫

∫︁

⎨∑︁
⎬
−1 ∫︁
(
−
)
| () (, )|  6  − 1, где  = exp
| ()|  .
⎩
⎭
( − 1)!
=1


Отсюда следует, что | (−1) (, )| 6 , что в сочетании c (7) дает рав­
номерную по  оценку для  (−1) (, ). Попутно получаем также оценку

| (, )| 6
| − |−1 .
( − 1)!
3. Рассмотрим теперь задачу
 = (),
 [] = 0,
 = 1, 2, . . . , ,
(8)
где () суммируема на [, ]. Эта задача эквивалентна уравнению
∫︁
() = 
(, )()() .
(9)

которое, в силу сказанного, при  > 1 удовлетворяет условиям теоремы 1
для  =  − 1, () = (). Поэтому (, , ), () являются функция­
ми порядка не выше 1/ (это верно и при  = 1), при  > 1 имеет место
разложение (3) и все с.з.  удовлетворяют неравенству | | >   ( >
> 0). Если фундаментальная система для  = 0 известна, то  может быть
указано эффективно. Отметим, что использование теоремы 1 из [1] привело
бы здесь к существенно менее точным результатам. Приравнивая в разло­
жении (3) для (9) коэффициенты при , получаем формулу следов (для
 > 1)
∫︁
∑︁ 1
= (, )() .
(10)



4. Дальнейшее связано с задачами Штурма—Лиувилля следующего ви­
да (() ̸≡ 0 суммируема):
() + () = 0
41
( 6  6 ),
(11)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
() = ′ () = · · · = (−−1) () =
= () = ′ () = · · · = (−1) () = 0
(1 6  6  − 1). (12)
Через (, ) ниже обозначается функция Грина оператора () при услови­
ях (12). Определяя вид (, ) (что не является тривиальной задачей ввиду
произвольности , ) и используя (10), приходим к предложению:
Теорема 2. С.з. задачи (11) – (12) удовлетворяют соотношению
∫︁
∑︁ 1
(−1)(+1)
(−)−1 (−)−1 () .
=

(−1)(−1)!(−−1)!(−)−1

(13)

5. Формула (13) может быть использована, в частности, для оценки
снизу наименьшего по модулю с.з. задачи (11) – (12), которое мы обозначим
через 1 [].
Лемма 2. Справедливо неравенство |1 []| > 1 [(−1) +1 ||].
Это вытекает из того факта, что (−1) (, ) > 0 и известного нера­
венства между спектральными радиусами ядра и его модуля. Ниже для
краткости положено
1
[] =
( − 1)( − )−1
∫︁
( − )−1 ( − )−1 ().

Теорема 3. Справедлива оценка
|1 []| >
( − 1)!( −  − 1)!
.
[||]
(14)
В силу леммы 2 достаточно ограничиться случаем вещественной ()
такой, что (−1)+1 () > 0. Но для этого случая удается воспользоваться
весьма глубокими результатами М. Г. Крейна [2], которые, в частности, по­
казывают, что рассматриваемая задача обладает бесконечным числом с.з.
1 , 2 , . . . , причем все они — простые,
∑︀ −1 вещественные и положительные.
Последнее показывает, что −1
<
 , что, ввиду (13), и завершает до­
1
казательство.

6. В дальнейшем все функции предполагаются вещественными. Ча­
сто нужны оценки только для вещественных с.з.; при этом представля­
ется правдоподобным, что для оценки снизу положительных (или сверху
отрицательных) с.з. () в (14) может быть заменена функциями + () =
= max{0, ()} или − () = max{0, −()} в зависимости от соображений
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
четности. Для ряда случаев это предположение подтверждается. Именно,
пусть выполнено хотя бы одно из соотношений | − 2| 6 2,  = 1,  =
=  − 1. Если  нечетно (четно), то для наименьшего положительного
с.з. задачи (11)—(12) справедливо (14) с заменой в правой части || на
+ (− ). Для отрицательных с.з. + и − , очевидно, следует поменять места­
ми. Это предложение охватывает, в частности, все задачи рассматриваемого
вида для  < 7. Остальные случаи требуют дополнительного исследования.
Ниже используются обозначения и терминология статьи [3]. Если поло­
жительные с.з. (11)—(12) больше 1, то () +() = 0 не имеет нетривиаль­
ных решений с (,  − ; , ) — нулями. Далее, легко проверить, что если
[1 , 1 ] ⊂ [, ] и () > 0, то 1 [] 6 [], где 1 [] определяется аналогично
[], но с заменой ,  на 1 , 1 . Поэтому (14) можно переписать в виде
[||] > ( − 1)!( −  − 1)! → () + () ∈ −, ,
(15)
причем для отмеченных выше случаев || в левой части (15) может быть
заменена на + для нечетных  и на − для четных .
Следствие 1. Если [+ ] 6 ( − 2)! , то для оператора () + () на [, ]
справедлива теорема Чаплыгина.
Это немедленно вытекает из предыдущего, поскольку −1,1 ⊂  . Ска­
занное позволяет также получить эффективное и в то же время достаточно
точное условие включения () + () ∈ 0 . Напомним, что неосцилляци­
онность  влечет ряд сильных следствий (разложимость на «множители»,
различные теоремы сравнения, применимость к +() = 0 упомянутых
теорем М. Г. Крейна и т.д.).
Определим числа  ,  равенствами ( > 2, 2 = ∞)
2+1 = 2+1 = ( − 1)!! , 4+2 = [(2)!]2 , 4 = (2 − 2)!(2)! ,
4+2 = (2 − 1)!(2 + 1)! , 4 = [(2 − 1)!]2 .
Теорема 4. Если одновременно [+ ] 6  , [− ] 6  , то оператор () +
+ () является неосцилляционным на [, ].
Здесь, как и в предшествующих оценках, константы и весовая функция
неулучшаемы для каждого . Это можно пояснить следующим образом:
если () = ( − 0 ), то все с.з. (11)—(12), кроме одного, «уходят в беско­
нечность», так что для этого предельного случая в (14) имеет место знак
равенства.
Последние результаты для некоторых частных случаев были получены
автором ранее [3, 4] другими средствами; при этом оценки формулиро­
вались в менее точной форме, а именно в терминах малости интегралов
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
от + (), − (), которые связаны с [+ ], [− ] очевидными неравенствами.
Изложенный выше способ оценки наименьшего с.з., основными звеньями
которого являются формула (10), нахождение (, ), лемма 2 и теорема
М. Г. Крейна, может быть применен и для более широкого класса краевых
задач.
7. При доказательстве следующего предложения используются, в част­
ности, некоторые факты теории положительных операторов [5] (cм. также
[6]).
Теорема 5. Пусть 0 ∈ 0 , () > 0.  ≡ 0  + (−1)+1 () ∈ −, в
том и только том случае, если существует () с (,  − ; , )-нулями
такая, что () > 0, (−1)  > 0,  ̸≡ 0 ( <  < ).
Следствие 2. Пусть 0 ∈ 0 , () > 0(6 0).  ≡ 0  + () ∈ 0 в том
и только том случае, если для каждого нечетного (четного) , 1 6  6
6  − 1 существует  () c (,  − ; , )-нулями такая, что в интервале
(, )  () > 0,  6 0 (> 0),  ̸≡ 0.
Если 0 — самосопряженный (например, 0 ≡(() )() −((−1) )(−1) ,
() > 0), то достаточно рассматривать лишь  6 /2. Поэтому, напри­
мер, критерий неосцилляционности оператора (8) + () со знакопосто­
янной () формулируется в терминах существования всего двух функций
(1 (), 3 () для случая () > 0, 2 (), 4 () для () 6 0).
Литература
1. Гельфонд, А. О. О росте собственных значений однородных интеграль­
ных уравнений / А. О. Гельфонд // Ловитт, У. В. Линейные интеграль­
ные уравнения / У. В. Ловитт. — М.: Гостехиздат, 1957. — С. 233—263.
2. Кpeйн, М. Г. Осцилляционные теоремы для обыкновенных линейных
дифференциальных операторов произвольного порядка / М. Г. Кpeйн //
ДАН СССР. — 1939. — Т. 25, № 9. — С. 717—720.
3. Левин, А. Ю. О распределении нулей решений линейного дифферен­
циального уравнения / А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1964. — Т. 156,
№ 6. — С. 1281—1284.
4. Левин, А. Ю. Некоторые вопросы осцилляции решений линейных диф­
ференциальных уравнений / А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1963. —
Т. 148, № 3. — С. 512—515.
5. Красносельский, М. А. Положительные решения операторных уравне­
ний / М. А. Красносельский. — М.: Физматгиз, 1962. — 394 с.
6. Азбелев, Н. В. К вопросу о единственности решения интегрального урав­
нения / Н. В. Азбелев, З. Б. Цалюк // ДАН СССР. — 1964. — Т. 156,
№ 2. — С. 239—242.
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Об одном алгоритме минимизации
выпуклых функций 5
Ниже предлагается способ приближенной минимизации выпуклой функ­
ции нескольких переменных, основанный на одной элементарной геометри­
ческой идее. Предлагаемый алгоритм центрированных сечений (а.ц.с.)
находит применение также в выпуклом программировании. А.ц.c. требует
более сложной программы, чем градиентные методы, но эффективнее их в
смысле оценки числа операций.
1. Рассматривается задача об -минимизации выпуклой функции 
переменных  (),  = (1 , . . . ,  ) на выпуклом многограннике 0 эв­
клидова пространства  , т. е. задача нахождения точки  0 ∈ 0 такой,
что  ( 0 ) − 2 6 min  () на 0 (погрешность формулы min  () на
0 ≈  ( 0 ) −  не превосходит ). Предполагается, что  удовлетворяет
условию Липшица: | ( 1 ) −  ( 2 )| 6 ( 1 ,  2 ) для  1 ,  2 ∈ 0 (посто­
янная  часто может быть указана из априорных соображений). Предпола­
гается также, что выполнима следующая основная операция (о.о.) нашего
алгоритма: для заданного  * ∈ 0 определяется направление grad  ( * )
(случай недифференцируемости  в точке  * можно не рассматривать, так
как, в силу выпуклости,  дифференцируема почти всюду). Желательно,
естественно, чтобы число о.о., выполняемых в процессе -минимизации,
было по возможности мало.
Для  = 1 (0 = [, ], о.о. состоит в определении sign  ′ ( * )) -минимизация осуществляется с помощью очевидного «половинения»: вычисление
sign  ′ (( + )/2) позволяет перейти от [, ] к одному из отрезков [, ( +
+)/2], [(+)/2, ] и т. д. Число о.о., необходимых для -минимизации, как
легко подсчитать, удовлетворяет неравенству  6 max{0, log2 [( − )/2]}.
Покажем, что идея этого алгоритма, являющаяся при  = 1 тривиальной,
может быть определенным образом реализована и в многомерном случае.
Мы подробно рассмотрим случай  = 2, полностью выявляющий существо
дела.
2. Осуществление о.о. для внутренней точки  * многоугольника 0
позволяет рассечь 0 на две части прямой, проходящей через  * , и отбро­
сить одну из них, как не содержащую точки минимума  ; действитель­
но, если grad  ( * ) ̸= 0, то, ввиду выпуклости  ,
( −  * , grad  ( * )) < 0
(если grad  ( * ) = 0, то  * =  ). Оставшаяся часть, которую обо­
значим через 1 , снова является выпуклым многоугольником; выполняя
5
Левин А. Ю. Об одном алгоритме минимизации выпуклых функций // ДАН СССР. —
1965. — Т. 160, № 6. С. 1244—1247. (Представлено академиком А. Н. Колмогоровым 20 XI
1964.)
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
о.о. для внутренней точки 1 , по тому же принципу рассекаем 1 на две
части, одна из которых отбрасывается, и т.д.
Точки сечения (т. е. точки, для которых выполняются о.о.) желатель­
но, разумеется, выбирать таким образом, чтобы ведущие многоугольники
(в.м.) 0 , 1 , 2 , . . . , достаточно быстро «стягивались». Весьма целесооб­
разным является выбор в качестве точки сечения в.м.  его центра тяже­
сти ( = 0, 1, . . . ). Эта рекомендация основана на известном геометрическом
факте [1]: прямая, проходящая через центр тяжести выпуклого многоуголь­
ника площади , делит его на части, площадь каждой из которых > 4/9.
Таким образом, при нашем алгоритме независимо от направления сечений,
площадь  в.м.  не превзойдет (5/9) 0 ( = 1, 2, . . . ).
Можно ожидать, что, наряду с площадями, диаметры  в.м.  обычно
также будут убывать с геометрической* скоростью, но, вообще говоря, это
необязательно, поскольку в.м. могут принимать сильно вытянутую форму;
последнее, например, заведомо имеет место, если множество точек мини­
мума  образует отрезок. Это осложнение можно преодолеть, используя тот
факт, что выпуклая фигура малой площади хорошо «аппроксимируется» от­
резком. Именно, определим алгоритм -минимизации следующим образом.
Продолжаем центрированные сечения в.м. до тех пор, пока ширина в.м. не
станет 6 2/; пусть для этого потребуется 1 о.о. Затем заменяем 1
«аппроксимирующим» отрезком Δ, расстояние от которого до любой точки
1 6 /; очевидно, что можно выбрать Δ длины ′1 6 1 . Теперь реша­
ем одномерную задачу /2-минимизации  на Δ. Для этой цели может быть
использована та же о.о., так как направление grad  определяет знак произ­
водной по любому направлению; пусть затраченное на этом этапе число о.о.
равно 2 . Середина  0 последнего ведущего отрезка (длины 6 2/) дает
решение задачи. В самом деле, так как  ∈ 1 , то найдется 1 ∈ Δ
такая, что ( ,  1 ) 6 /, откуда  ( ) >  ( 1 ) −  > min  () −
−  >  ( 0 ) − 2.
Оценим теперь общее число  = 1 + 2 затраченных о.о. Пусть 1 2 ̸=
̸= 0. Обозначая ширину  через ℎ и учитывая известное неравенство
ℎ 6 2 (см. [1]), получаем систему неравенств ℎ1 −1 > 2/, ′1 −1 /22 −1 >
> 2/, ′1 6 1 6 1 −1 , ℎ1 −1 1 −1 6 21 −1 6 20 (5/9)1 −1 , откуда
 = 1 + 2 < 1 + log1,8 (0 2 −2 ). Если 1 ̸= 0, 2 = 0, то, учитывая
√
неравенства ℎ2 6  3 (см.
√ [1]), ℎ1 −1 > 2/, приходим к лучшей оценке
 = 1 6 1 + log1,8 (1/4 30 2 −2 ). Возможен также случай 1 = 0 (если
ширина 0 настолько мала, что задача фактически одномерна); при этом
*
Термины «геометрический», «геометричность» здесь и ниже указывают на аналогию со
скоростью убывания геометрической прогрессии.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 6 max{0, log2 (′0 −1 )}. Окончательно получаем
{︀
}︀
 6 max 0, log2 (′0 −1 ), 1 + log1,8 (0 2 −2 ) .
Итак, для числа о.о., как и при  = 1, получена геометрическая оценка
вида  6  + | ln |; здесь  зависит только от размеров М0 и константы
Липшица, а  — постоянная.
3. Случай  > 2 не вносит принципиально новых моментов. Точно
так же осуществление о.о. для внутренней точки  * в.м. позволяет, в со­
ответствии с неравенством ( −  * , grad  ( * )) < 0 (grad  ( * ) ̸= 0),
рассечь в.м. на две части ( − 1)-мерной гиперплоскостью, проходящей че­
рез  * , и отбросить одну из этих частей. Выбор в качестве точек сечения
центров тяжести в.м. опять-таки приводит к геометрической оценке числа
о.о., поскольку соответствующая теорема об объемах имеет место и при
 > 2: ( − 1)-мерная гиперплоскость, проходящая через центр тяжести
выпуклого -мерного многогранника объема , делит его на части, объем
каждой из которых > [1 − (1/( + 1))] . Доказательство этого предложе­
ния, принадлежащее в основной своей части Б. С. Митягину, использует,
в частности, принцип симметризации Бруна—Минковского [2]. Для объе­
мов  в.м.  можно дать, таким образом, не зависящую от размерности
оценку  < (1 − е−1 ) 0 (к = 1, 2, . . . ). Осложнения, возникающие ввиду
возможности «сплющивания» в.м., преодолеваются тем же приемом пони­
жения размерности.
4. Геометрическая оценка числа о.о. еще не означает, что аналогичная
оценка имеет место для общего числа действий. В самом деле, на каж­
дом шаге а.ц.с. выполняется работа двоякого характера: во-первых, о.о. и,
во-вторых, работа, которую назовем вспомогательной, — нахождение и за­
поминание элементов нового в.м. (вершины, грани, центр тяжести). Пусть
на -м шаге эти этапы требуют соответственно  и ′ действий. Если числа
 естественно считать равномерно ограниченными, то для ′ дело обстоит
иначе, поскольку число  ( − 1)-мерных граней в.м.  может неогра­
ниченно возрастать с ростом  (по крайней мере теоретически). Чтобы
избежать этого неприятного во многих отношениях возрастания  , можно
модифицировать а.ц.с. следующим образом.
Для каждого  существует  такое, что в  всякий выпуклый мно­
гогранник объема  можно заключить в -мерный симплекс объема 6  
(для  = 2 известно неулучшаемое значение 2 = 2, см. [3]). Выберем
целое  > − ln  / ln(1 − е−1 ) ≈ 2, 18 ln  и дополним а.ц.с. следующим
правилом: как только  становится равным  + ,  заключается в со­
ответствующий -мерный симплекс, который далее используется как в.м.
Так как +1 6  + 1, то заключение будет осуществляться не чаще, чем
через  шагов, что, в силу выбора  и приведенных выше оценок, обеспе­
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чивает геометрическое убывание объемов в.м. Поскольку число действий,
необходимых для заключения, зависит только от  и , приходим к гео­
метрической оценке числа действий при -минимизации.
Для  = 2 более целесообразный способ избежать возрастания  со­
стоит в следующем. Из теоремы Хелли вытекает, что в выпуклом 7-уголь­
нике существует точка такая, что любая проходящая через нее прямая рас­
секает 7-угольник на части с числом сторон 6 6 у каждой. Если при  = 7
выбирать в качестве точки сечения не центр тяжести  , а «точку Хелли»
 (способ нахождения таких точек очевиден), то тем самым исключается
возможность  > 7 и одновременно сохраняется геометричность метода.
Еще одна модификация для  = 2: если в качестве точек сечения вы­
бирать центры тяжести вершин в.м. (нахождение их почти не требует вы­
числений), то площади в.м. опять-таки будут убывать с геометрической
скоростью. (Доказательство основано на том, что  в процессе сечений
возрастает «не менее интенсивно», чем убывает.)
Часто о.о. позволяет определять не только направление grad  ( * ), но и
его величину, а также значение  ( * ). Можно модифицировать а.ц.с. так,
чтобы использовать эту дополнительную информацию для более быстрого
сокращения в.м. Подробнее здесь на этом не останавливаемся.
Если 0 априори не задан, то можно применить способ проб. Пусть,
например, требуется минимизировать функцию на плоскости. Двумя о.о.
точка  (если она существует), вообще говоря, заключается в некоторый
угол (< ), а еще несколькими о.о. для более или менее удачно выбранных
точек угла — в ограниченный выпуклый многоугольник.
5. Практическая применимость а.ц.с. представляется целесообразной
лишь при малых  (скажем, при  = 2, 3), так как объем вспомогатель­
ной работы, по-видимому, быстро возрастает с ростом . Вместе с тем
следует отметить, что вспомогательная работа по существу не связана с
видом минимизируемой функции, и поэтому соответствующие стандартные
подпрограммы могут использоваться для широкого класса задач.
Существенным является вопрос о поведении  , требующий эксперимен­
тальной проверки. Для  = 2 было проведено несколько экспериментов; 
при этом не возрастало, а колебалось в пределах 3—5. Что касается гра­
диентных методов — основных «конкурентов» а.ц.с. — то, по-видимому,
ни один из них не обеспечивает геометрической оценки числа итераций;
отметим также, что использование а.ц.с. естественным образом снимает
проблему величины шага, возникающую в градиентных методах. Имеют
значение и такие факторы, как вид  (); приблизительно говоря, чем «ху­
же»  (), тем эффективнее а.ц.с. по сравнению с градиентными методами.
Действительно, эффективность последних, как известно, в большой степе­
ни зависит от свойств минимизируемой функции, тогда как а.ц.с. в этом
отношении мало чувствителен. Кроме того, с увеличением трудоемкости
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
о.о. уменьшается удельный вес вспомогательной работы.
6. Рассмотрим вкратце одно из основных приложений а.ц.с. Задача вы­
пуклого программирования состоит, как известно, в минимизации  () при
условиях  () 6 0,  = 1, 2, . . . , , где , 1 , . . . ,  — выпуклые функции 
переменных ( будем считать достаточно большим). Для широкого класса
встречающихся на практике задач условия таковы, что
 () =

∑︁


(1 , . . . ,  ),
 () =
=1


{1 , 2 , . . . ,  },

∑︁
 (1 , . . . ,  ),  = 1, . . . , ,
=1
где
 = 1, 2, . . . ,  (1 + 2 + · · · +  = ), — сравнительно
небольшие группы переменных, и каждая из +1 (), . . . ,  () зависит
только от переменных какой-либо одной группы. Примерами такого ро­
да могут служить: задача блочного линейного программирования, задача,
рассмотренная в [4], и многие другие. Трудность рассматриваемой задачи
обусловлена «существенными» ограничениями  () 6 0,  = 1, 2, . . . , ,
так как при  = 0 задача расщепилась бы на ряд малоформатных задач,
которые по сравнению с исходной можно считать элементарными. Пока­
жем, что и при наличии небольшого числа  «существенных» ограничений
вопрос может быть сведен к решению серии малоформатных задач.
Множество  в  , определенное условиями  () 6 0,  =  +
+ 1, . . . , , очевидно, выпукло. Мы должны минимизировать  () на 
при условиях  () 6 0,  = 1, . . . , . Как показывает обобщение теоремы
Куна—Таккера (см. [5]), при небольших и естественных дополнительных
′
предположениях эта задача эквивалентна задаче об отыскании в  × 
′ — неотрицательный октант  ) седловой точки функции (, Λ) =
(

=  () + (Λ, ()), где Λ = (1 , . . . ,  ), () = (1 (), . . . ,  ()).
′ , где ℎ(Λ) = min (, Λ),  ∈  , яв­
Итак, требуется найти max ℎ(Λ) на 
ляется, очевидно, вогнутой функцией. Для фиксированного Λ = Λ* задача
минимизации (, Λ* ) на  расщепляется на малоформатные задачи и по­
этому несложна; если (Λ* ) — точка минимума и ℎ(Λ) дифференцируемая
в точке Λ* , то grad ℎ(Λ* ) = [(Λ* )]. Мы пришли, таким образом, к зада­
′ выпуклой функции  переменных ℎ (Λ) = −ℎ(Λ),
че минимизации на 
1
причем для заданного Λ* умеем находить grad ℎ1 (Λ* ), т. е. находимся в
условиях применимости а.ц.с. (при небольших ). Ввиду неограниченно­
′ следует прибегнуть (если не удается оценить  , . . . , 
сти 
1
 сверху из
априорных соображений) к способу проб. Отметим еще, что ℎ1 (Λ* ) может
оказаться не определенной (из-за неограниченности снизу (, Λ* ) на  ).
Это затруднение, однако, несущественно, если для некоторой последова­
тельности  1 ,  2 , . . . такой, что (  , Λ* ) → −∞, можно эффективно ука­
зать вектор * , к которому сходится по направлению какая-либо подпосле­
довательность векторов (  ). Нетрудно показать, что (Λ −Λ* , * ) > 0,
так что −* можно формально использовать как grad ℎ1 (Λ* ). Аналогичное
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
замечание относится и к случаю, когда inf (, * ) конечен, но не достига­
ется на  .
Тот же метод пригоден и для задач, содержащих в числе ограничений
линейные равенства, с той разницей, что для соответствующих множителей
Лагранжа снимается условие неотрицательности (см. [5]).
7. Схема случайного поиска, являющаяся в некотором смысле вероят­
ностным аналогом а.ц.с., рассматривалась в [6].
Литература
1. Яглом, А. М. Выпуклые фигуры / А. М. Яглом, В. Г. Болтянский. Серия
Библиотека математического кружка, Вып. 4. — М.; Л.: ГТТИ, 1951. —
343 с.
2. Минковский, Г. Общие теоремы о выпуклых многогранниках / Г. Мин­
ковский // УМН. — 1936. — № 2. — С. 55—71.
3. Яглом, А. М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении /
А. М. Яглом, И. М. Яглом. Серия Библиотека математического круж­
ка, Вып. 5. — М.: ГТТИ, 1954. — 554 с.
4. Бахтин, И. А. Об отыскании экстремума одной функции на многогран­
нике / И. А. Бахтин, М. А. Красносельский, А. Ю. Левин // Журн. выч.
матем. и мат. физики. — 1963. — Т. 3, № 2. — С. 400—409.
5. Эрроу, К. Д. Исследования по линейному и нелинейному программиро­
ванию / К. Д. Эрроу, Л. Гурвиц, Х. Удзава. — Перев. с англ. изд. — М.:
ИЛ, 1962. — 334 с.
6. Левин, А. Ю. Об одной схеме случайного поиска / А. Ю. Левин,
А. С. Шварц // Труды семинара по функц. анализу. — Воронеж, 1963. —
Вып. 7. — С. 67—69.
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Поведение решений уравнения
¨ + ()˙ + () = 0 в неколебательном случае6
§ 1. Классификация неколебательных случаев для знакопосто­
янной () (формулировки и обсуждение)
1.1. В настоящей работе исследуются вопросы неколебательного поведе­
ния решений уравнения

¨ + ()˙ + () = 0
(−∞ <  6  <  6 ∞)
(1.1)
при  → . Коэффициенты (), () предполагаются вещественными (ес­
ли не оговорено противное); кроме того, на протяжении большей части
работы () будет предполагаться знакопостоянной. Для простоты можно
считать (), () кусочно-непрерывными в полуинтервале [, ); в действи­
тельности существенно лишь, чтобы они были локально суммируемы на
[, ). Как обычно, при этом предполагается, что соотношение (1.1) вы­
полняется почти при всех  из [, ) и ()
˙
абсолютно непрерывна. Мы
будем несколько пренебрегать этой малосущественной и стандартной сто­
роной дела, употребляя, например, выражения «() > 0» вместо «() > 0
почти всюду», опуская требования абсолютной непрерывности первых про­
изводных и т. п. Поскольку изучаться будет лишь поведение решений при
 → , очевидно, что такие требования, как, скажем, знакопостоянство (),
должны выполняться лишь в некоторой левой полуокрестности точки ;
подобные оговорки также обычно будут опускаться.
Говорят, что для уравнения (1.1) имеет место неколебательность на [, ),
если нетривиальные решения уравнения (1.1) имеют конечное число нулей
на [, ) (это, в частности, заведомо имеет место, если () 6 0); проти­
воположный случай, естественно, называется колебательным. Что касается
проверки колебательности или неколебательности заданного уравнения, то
по этому поводу можно заметить следующее. Известно весьма большое
количество признаков колебательности и неколебательности, образующих
в совокупности самостоятельный раздел качественной теории (см. [1–8]).
Все известные необходимые и достаточные признаки являются неэффектив­
ными и формулируются обычно в терминах существования функций, удо­
влетворяющих определенным условиям; та или иная конкретизация этих
функций приводит к эффективным достаточным (но уже не необходимым)
признакам. Весьма вероятно, что эффективное необходимое и достаточное
условие колебательности вообще не может быть указано, даже для уравне­
ния 
¨ + () = 0 на [0, ∞) с (), положительной и аналитической в [0, ∞).
Под «эффективным условием» мы понимаем алгоритм, требующий конечно­
6
Левин А. Ю. Поведение решений уравнения 
¨ + ()˙ + () = 0 в неколебательном
случае // Математический сборник. — 1968. — Т. 75(117), № 1. — С. 39—63.
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
го числа таких «простых» операций над коэффициентами, как элементар­
ные операции, квадратуры, сравнение функций и т. п. Было бы интересно
изучить этот вопрос в той или иной точной постановке.
Вместе с тем следует отметить, что большинство практически встреча­
ющихся уравнений с неотрицательной () попадает в сферу действия ка­
кого-либо из употребительных эффективных признаков, так что проверка
на колебательность конкретных уравнений со знакопостоянной () обычно
не вызывает трудностей. В настоящей работе мы часто будем соприкасаться
с неколебательностью; некоторые из установленных ниже фактов сами мо­
гут трактоваться как признаки колебательности или неколебательности, в
других случаях неколебательность выступает как предпосылка (для провер­
ки которой, в соответствии со сказанным, могут привлекаться результаты,
изложенные в работах [1–8]).
Ниже для случая знакопостоянной () будет получена полная класси­
фикация возможных типов неколебательных фундаментальных систем ре­
шений (1.1), учитывающая следующие свойства решений при  → : стрем­
ление к нулю, к бесконечности, к ненулевому пределу, монотонное возрас­
тание или убывание вблизи точки  (при сделанных предположениях, как
будет видно из дальнейшего, каждое решение монотонно вблизи ). Для
уравнения 
¨ + () = 0 при  = ∞ такая классификация была дана в
работах Э. Хилле [2] и И. М. Соболя [3], [9]; в этом случае имеются два
типа неколебательных фундаментальных систем при () > 0 и два типа
— при () ∫︀6 0; определяющую роль при этом играет сходимость или рас­
∞
(). В общем случае многообразие возможных типов за­
ходимость
метно возрастает, так как добавляется ряд существенно новых асимптотик;
в частности, появляются случаи, соответствующие устойчивости и асимп­
тотической устойчивости тривиального решения, тогда как при () ≡ 0,
 = ∞ в неколебательном случае всегда есть неограниченные решения и,
следовательно, имеет место неустойчивость.
В этом параграфе формулируются и обсуждаются «классификационные»
утверждения. В § 2 устанавливаются теоремы о возмущении (представляю­
щие и самостоятельный интерес), с помощью которых доказываются утвер­
ждения из § 1. В § 3 рассматриваются некоторые дополнения и приложе­
ния полученных результатов: в частности, исследуется влияние изменения
«коэффициента трения» () на колебательность решений. Большая часть
результатов настоящей работы была ранее кратко изложена в [8, 10, 11].
1.2. В качестве фундаментальной системы 1 (), 2 () в дальнейшем вы­
бирается пара линейно независимых решений уравнения (1.1), положитель­
ных вблизи точки , причем в качестве 2 () выбирается минимальное ре­
шение, т. е. единственное с точностью до постоянного множителя решение,
удовлетворяющее условию (точка  выбирается правее нулей 2 ())
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∫︁
∫︁
(︂
exp
−
)︂
()  −2
2 ()  = ∞.

Существование такого решения в неколебательном случае вытекает из
известных формул, связывающих линейно независимые решения (1.1); те
2 () ⎮
⌄ 0 ( → ) для любого положитель­
же формулы показывают, что
1 ()
ного решения 1 () (̸≡ 2 ()), чем и объясняется название «минимальное
решение» (по поводу минимальных решений для случая  = ∞ см., напри­
мер, [9, 12]). Особые свойства минимального решения делают весьма целе­
сообразным включение его в фундаментальную систему, поскольку такие
системы наиболее рельефно характеризуют поведение решений при  → .
Выбор 1 (), в отличие от 2 (), не является однозначным с точностью
до множителя. В соответствии с этим, встречающееся ниже обозначение
1 ↑ ↓ 1 означает, что среди неминимальных решений есть и монотонно воз­
растающие, и монотонно убывающие к единице (а следовательно, и к любой
ненулевой постоянной). Соответственно, запись 1 ↑ 1 означает, что любое
положительное неминимальное решение возрастает к конечному пределу;
аналогичный смысл имеют записи 1 ↓ 1, 1 ↑ ∞, 1 ↓ 0. Все утверждения,
относящиеся к монотонности, выполняются, разумеется, лишь для , доста­
точно близких к ; монотонность можно всюду понимать в строгом смысле,
если () ̸≡ 0 вблизи .
Определяющую роль для поведения решений уравнения (1.1) при  → 
играет сходимость или расходимость следующих интегралов:
∫︁
J1 () =
(︂
exp
∫︁
−

∫︁
)︂
( ) 
,
∫︁
J2 (, ) =
exp
J4 (, ) =
() 

)︂
( ) 
,
)︂
( ) 
,


(︂ ∫︁
∫︁
∫︁
() exp
(︂ ∫︁
∫︁
() 
J3 (, ) =
(︂ ∫︁
exp
)︂
( ) 
.

Интеграл J3 рассматривается лишь при J1 < ∞, a J4 — лишь при J1 = ∞.
Непроставленные пределы интегрирования выбираются в [, ) произволь­
ным образом, так как их выбор не влияет на сходимость.
1.3.
Переходим теперь непосредственно к классификации.
Теорема 1.1 (см. [11]). Неколебательное поведение при  →  решений
уравнения (1.1) со знакопостоянной () характеризуется таблицей 1
(см. стр. 54).
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нетрудно видеть, что таблица исчерпывает все возможные случаи (ясно,
что |J3 | < ∞ в случае 1 и |J2 | = ∞ в случае 3). В случаях 3А и 5А,
отмеченных звездочкой, неколебательность решений является необходимым
требованием; в остальных случаях она является следствием других условий
и поэтому может специально не оговариваться.
Поскольку поведение решений в случаях 3В и 5В аналогично, имеем
5 различных типов неколебательного поведения решений при () > 0 и 4
различных типа при () 6 0; в целом же при знакопостоянной () оказы­
вается 8 различных типов неколебательного поведения решений (так как
случаи 1А, 1В аналогичны). Этот подсчет, разумеется, связан с теми пе­
речисленными выше характеристиками поведения решений, которые были
положены в основу классификации. Если, например, игнорировать разли­
чия, связанные с возрастанием или убыванием, то цифры 5, 4, 8, как легко
проверить, сократятся соответственно до 4, 3, 5; если же, наоборот, до­
полнительно учитывать такие факторы, как скорость убывания и роста
решений, количество различных случаев станет, очевидно, бесконечным.
Таблица 1.
J1
|J2 |
|J3 |
|J4 |
1
<∞
<∞
2
<∞
∞
3
<∞
4
∞
<∞
5
∞
∞
A () > 0
B () 6 0
1 ↑↓ 1,
<∞
∞
1 ↓ 1, 2 ↓ 0
1 ↑ 1, 2 ↓ 0
1 ↓ 0, 2 ↓ 0
1 ↑ ∞, 2 ↓ 0
1 ↑ ∞, 2 ↑ 1
1 ↑ ∞, 2 ↓ 1
1 ↑ ∞, 2 ↑ ∞
1 ↑ ∞, 2 ↓ 0
*
*
2 ↓ 0
Вместо J3 , J4 можно было бы использовать встречающиеся в [8, 10, 13,
14], интегралы
J*3 (, )
∫︁

=
(︂ ∫︁
∫︁
() exp
)︂
( ) 
,

J*4 (, )
∫︁
=
∫︁

(︂ ∫︁
() exp

)︂
( ) 
,

Учитывая знакопостоянство (), можно убедиться элементарными сред­
ствами (см. § 2) в том, что при J1 < ∞ сходимость J3 эквивалентна схо­
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
димости J*3 , а при J1 = ∞ сходимость J4 эквивалентна сходимости J2 и
J*4 . Если составить таблицу не для J1 , J2 , J3 , J4 , а для J1 , J2 , J*3 , J*4 то
строки 1—4 останутся без изменений, а 5-я строка (для случая () > 0)
распадется на две, и конец таблицы будет выглядеть следующим образом:
Таблица 2.
J1
|J2 |
...
...
5
∞
<∞
6
∞
∞
|J*3 |
|J*4 |
...
...
A
() > 0
......
∞
*
B
() 6 0
......
1 ↑ ∞, 2 ↑ ∞
1 ↑ ∞, 2 ↓ 0
—
1 ↑ ∞, 2 ↓ 0
Случай 6А для неколебательного уравнения невозможен: соотношения
J1 = J2 = ∞ влекут за собой колебательность решений (это верно и для
знакопеременной ()). Таким образом, в этом варианте таблица за счет
небольшого усложнения дает некоторую дополнительную информацию. В
целом же, использование J3 , J4 или J*3 , J*4 приводит (в случае знакопосто­
янной ()) к сходным формулировкам; мы подробно остановились на этом
параллелизме главным образом для удобства при сопоставлении результа­
тов различных работ.
Что касается скорости роста или убывания решений, то в случаях 1, 2,
4, когда одно из решений 1 (), 2 () стремится к ненулевой постоянной,
асимптотический вид второго легко определяется из формул
∫︁
1 () = 1 2 ()
∫︁
(︂
exp
−
∫︁
( )  −2
2 ()  + 2 2 () (1 > 0),
∫︁
(︂
exp
2 () = 1 ()
)︂
−
)︂
( )  −2
1 ()  ( > 0).

Для случаев 3, 5 могут быть использованы оценки, приводимые в § 3
(теорема 3.1).
1.4. Общая систематизация неколебательных случаев до работы [11], по­
видимому, не проводилась; однако ряд отдельных результатов, относящихся
к тем или иным случаям, был получен ранее различными авторами. Так,
важный случай () ≡ 0,  = ∞, как уже отмечалось, изучен в работах
Э. Хилле [2] и (︁
И. М. Соболя [3, 9]; этот случай покрывается строками
4, 5 таблицы 1 при () ≡ 0,  = ∞ имеем, очевидно, J1 = ∞, J4 =
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
)︁
∫︀∞
= ()  . Результаты работ [2, 3, 9] будут использоваться нами ниже
при общих рассмотрениях. Ряд частных результатов для  = ∞, относя­
щихся к различению случаев 1—2, с одной стороны, и случая 3 — с другой,
приводился в работах З. Опяля [13], автора [10] и Н. Георгиу [14]. В част­
ности З. Опяль, накладывая на коэффициенты ограничения () >  > 0,
0 <  6 () 6 2 /4 (эти требования, как легко видеть, обеспечивают ко­
нечность J1 () и неколебательность), показал, что решения уравнения (1.1)
монотонно стремятся к нулю или к различным конечным пределам в зави­
симости от расходимости или сходимости J*3 (, 1). В работах [10, 14] кон­
стантные ограничения на коэффициенты были заменены более общими, чем
в [13], интегральными условиями J1 () < ∞, |J*3 (, )| < ∞, J*3 (, ) = ∞;
отметим, что формулировки работы [14] содержат ряд лишних требований.
Специфика случая 1А (в отличие от 2А) использовалась в [8], где, в част­
ности, изучалось, как влияет изменение () на колебательность; в этом
вопросе основное значение имеет наличие возрастающих или убывающих
положительных решений (см. § 3).
Как нам кажется, вышеприведенные таблицы вносят в эти вопросы пол­
ную ясность. Идентичность формулировок для случаев  = ∞ и  < ∞
(последний случай, по-видимому, ранее мало исследовался) свидетельству­
ет о естественности применяемых интегральных условий.
1.5. Утверждения, относящиеся к случаям 3A, 5A, в приложениях есте­
ственно сочетать с какими-либо признаками неколебательности (исключая,
разумеется, такие признаки, как () 6 0 или J1 , J3 < ∞ или J1 = ∞,
J4 < ∞). Возможны, однако, и другие схемы применения, не связанные
с привлечением условий неколебательности. Примером такого рода может
служить теорема 7 из [10]: если () >  > 0, 0 6 () 6 3, 0452 и J*3 (, ) =
= ∞ (здесь  = ∞), то все решения (1.1) вместе со своими первыми
производными стремятся к нулю при  → ∞ (т. е. тривиальное решение
(1.1) асимптотически устойчиво по Ляпунову).
Асимптотическая устойчивость в колебательном случае обеспечивается
здесь количественным значением верхней границы для (), а неколеба­
тельный случай «обслуживается» условием J*3 = ∞: так как  = ∞ и
() >  > 0, то J1 () < ∞, так что при неколебательности здесь имеет
место случай 3А. Вообще говоря, в случае 3А нельзя гарантировать, что
˙ 1 () → 0, ˙ 2 () → 0 при  →  = ∞, но это становится справедливым,
если дополнительно предположить, что () ограничена сверху или что ()
ограничена снизу, а () — сверху (как в нашем случае); по этому пово­
ду см. теорему 2.3 в § 2. Отметим, что условие J*3 = ∞ (эквивалентное,
разумеется, условию J3 = ∞) в формулировке приведенной теоремы носит
необходимый характер, так как при J*3 < ∞ имел бы место один из случаев
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1А, 2А, и поэтому нашлись бы решения уравнения (1.1), не стремящиеся к
нулю при  → ∞. Условие J*3 (, ) = ∞ представляет собой, приблизительно
говоря, некоторое интегральное ограничение на совместную скорость роста
() и убывания (); как отмечалось в [8], оно выполняется, в частности,
если () 6 1  , () > 2 −1 для некоторых 1 > 0, 2 > 0, 0 6  6 1
(это легко устанавливается с помощью общеизвестных асимптотических
формул).
1.6. Некоторые из приведенных выше утверждений допускают обобще­
ние на случай произвольной (вообще говоря, комплекснозначной) функции
(), однако при этом теряется та окончательность, которая характерна для
вещественной знакопостоянной (). Пример: для того чтобы уравнение
(1.1) обладало фундаментальной системой решений вида 1 () = 1+(1),
2 () = (1) при  → , достаточно (а в случае знакопостоянной функции
() и необходимо), чтобы выполнялись условия J1 () < ∞, J*3 (, ||) < ∞.
Это утверждение для  = ∞ было сформулировано в [10] (J*3 опять-таки
может быть заменено на J3 ); впрочем, достаточность (при  = ∞) получена
еще А. Винтнером [15].
Еще один результат такого же характера: для того чтобы существо­
вали решения (1.1), стремящиеся при  →  к ненулевым постоянным,
достаточно (а в случае знакопостоянной () и необходимо), чтобы вы­
полнялось одно из следующих двух условий:
1) J1 () < ∞, J3 (, ||) < ∞;
2) J1 () = ∞, J4 (, ||) < ∞.
Необходимый и достаточный характер этих утверждений при знакопо­
стоянной () непосредственно усматривается из таблиц.
1.7.
Теорема 1.1 естественным образом распространяется на уравнение
[︂
]︂


()
+  () = 0 ( 6  <  6 ∞) ,
(1.2)


где () > 0 (можно требовать несколько меньшего,
§ 2);)︂для перехода
(︂ см.
∫︀
от (1.1) к (1.2) достаточно умножить (1.1) на exp
( )  . При таком
переходе, очевидно,
(︂ ∫︁
() = exp
)︂
( )  ,
(︂ ∫︁
 () = () exp
)︂
( ) 
(так что, в частности, sign  () ≡ sign ()). Поэтому J1 (), J2 (, ), J3 (, ),
J4 (, ), J*3 (, ), J*4 (, ) для уравнения (1.2) заменяются соответственно
следующими (кстати, более компактными) выражениями:
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∫︁
1 () =

,
()
∫︁
2 ( ) =
∫︁
 () ,
3 (,  ) =
∫︁
 () 

,
()

∫︁
4 (,  ) =
∫︁
∫︁


, 3* (,  ) =
()
()


∫︁
∫︁

4* (,  ) =
 () .
()
 () 
∫︁
 () ,

Таблицы 1, 2 остаются в силе и для уравнения (1.2), надо лишь за­
менить J , J* на  , * . Минимальное решение 2 () в новых терминах
определяется, очевидно, соотношением
∫︁

= ∞.
()22 ()
§ 2. Теоремы о возмущении. Доказательства утверждений, из­
ложенных в § 1
2.1. В дальнейшем мы часто пользуемся записью уравнения (1.1) в форме
(1.2), что, как отмечалось, приводит к более компактным формулам. При
1
этом предполагается, что () > 0, функции ()
и  () локально суммируе­
мы на [, ), а функции () и ()
˙
абсолютно непрерывны в [, ) (впрочем,
для многих вопросов существенна лишь абсолютная непрерывность произ­
ведения ).
˙ Выясним, как связано поведение решений уравнения
[︂
]︂


()
+ ℎ() = 0 ( 6  <  6 ∞) ,
(2.1)


где ℎ() вещественна, с поведением решений «возмущенного» уравнения
[︂
]︂


()
+ [ℎ() +  ()] = 0 ( 6  < )
(2.2)


при  → . Предполагается, что решения (2.1) не колеблются на [, ] (для
доказательства теоремы 1.1 нам понадобится лишь случай ℎ() ≡ 0). Фунда­
ментальные системы для всех вещественных уравнений неколебательного
типа выбираются, как и прежде, из решений, положительных вблизи точки
, причем второе из решений — минимальное при  → .
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 2.1. Пусть комплекснозначная функция  () удовлетворяет
условию
∫︁
1 ()2 ()| ()|  < ∞.
(2.3)
Тогда (2.2) обладает фундаментальной системой 1 (), 2 () такой,
что при  → 
1 () = 1 ()[1 + (1)],
(︂
)︂
1
˙ 1 () = ˙ 1 ()[1 + (1)] + 
,
2
(2.4)
2 () = 2 ()[1 + (1)],
(︂
)︂
1
˙ 2 () = ˙ 2 ()[1 + (1)] + 
. (2.5)
1
Из (2.4), очевидно, следует, что для любого решения () уравнения
(2.2) найдется решение () ∼ () ( → ) уравнения (2.1).
Следующий результат относится к случаю вещественной знакопостоян­
ной  () и показывает, в частности, что при знакопостоянных возмущениях
условие (2.3) является не только достаточным, но и необходимым для лю­
бого из соотношений (2.4).
Теорема 2.2. Пусть  () знакопостоянна и
∫︁
1 ()2 ()| ()|  = ∞.
(2.6)
Тогда:
а) если  () > 0 и решения (2.2) не колеблются, то
1 () ⎮
⌄ 0,
1 ()
2 () ⌃
⎮ ∞ ( → );
2 ()
(2.7)
б) если  () 6 0, то
1 () ⌃
⎮ ∞,
1 ()
2 () ⎮
⌄0
2 ()
( → ).
(2.8)
Для () ≡ 1,  = ∞ теорема 2.1 была доказана А. Халанаем [16], кото­
рый установил также необходимость условия (2.3) для выполнения соотно­
шений (2.4) в случае знакопостоянной  () при некоторых дополнительных
предположениях (как показывает теорема 2.2, они излишни). А. Халанай
пользовался методом последовательных приближений; мы здесь применим
другой прием, который можно назвать «редукцией окрестностей». Суть его
состоит в следующем: с помощью соответствующих замен переменной и
функции вопрос о возмущении уравнения общего вида (2.1) сводится к во­
просу о возмущении некоторого простейшего уравнения (в нашем случае
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
это ¨ = 0); здесь используются известные результаты, после чего возвра­
щаемся к исходному уравнению. Отметим, что этот прием, несмотря на
свой элементарный характер, имеет весьма много приложений (также и
для уравнений колебательного типа). Здесь мы на этом не будем останав­
ливаться.
Нам понадобятся следующие известные факты.
Лемма 2.1. (см. [17], а также [2, 3, 18, 19]). Если комплекснозначная
функция () удовлетворяет условию
∫︁∞
|()|  < ∞,
(2.9)
то уравнение
2 
+ () = 0 (0 6  < ∞)
(2.10)
2
обладает фундаментальной системой 1 (), 2 () такой, что при
→∞
1 = [1 + (1)], 2 → 1,
(2.11)
1
→ 1,

(︂ )︂
2
1
=
.


(2.12)
Лемма 2.2. (см. [2, 3, 9]). Пусть () знакопостоянна и
∫︁∞
|()|  = ∞.
(2.13)
Тогда: а) если () > 0 и решения уравнения (2.10) не колеблются, то
⌃
1 ⎮
⌄ 0, 2 ⎮ ∞ ( → ∞);
(2.14)

б) если () 6 0, то
1 ⌃
⎮ ∞,

⎮
2 ⌄ 0
( → ∞).
(2.15)
Из вогнутости 1 (), 2 () в случае а) и выпуклости их в случае б)
вытекает также, что ˙ 1 ↓ 0, ˙ 2 ↓ 0 в условиях а) и ˙ 1 ↑ ∞, ˙ 2 ↑ 0 в
условиях б).
Переходим к доказательству теорем 2.1 и 2.2. Без ограничения общно­
сти можно считать, что 2 () > 0 на [, ) и
1 ()
() =
=
2 ()
∫︁
60


( )22 ( )
(2.16)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(ясно, что выбор функции 1 () не имеет значения). Очевидно, () ↑ ∞ при
 → . Положим
() = 2 ()()
(2.17)
и введем новую переменную  = (), определенную соотношением (2.16).
Тогда, как показывает подсчет, (2.2) перейдет в следующее уравнение:
2 ˜
+ ˜˜24 ˜˜ = 0
2
(0 6  < ∞).
(2.18)
Здесь ˜() = [()] и такой же смысл имеют ˜(), ˜2 (), ˜(). Мы по­
лучили, таким образом, уравнение вида (2.10) с () = ˜()˜
24 ()˜(); для
применимости лемм 2.1 и 2.2 основное значение имеет поэтому сходимость
или расходимость интеграла
∫︁∞
∫︁∞
|()|  =
∫︁
=
˜
()˜
24 ()|˜()|  =
1 ()

()24 ()| ()|
=
2 ()
()22 ()
∫︁
1 ()2 ()| ()| . (2.19)
Теоремы 2.1 и 2.2 получаются теперь как следствия лемм 2.1 и 2.2,
отнесенных к уравнению (2.18). В самом деле, пусть уравнение (2.2) удо­
влетворяет условиям теоремы 2.1; тогда, в силу (2.19), уравнение (2.18)
удовлетворяет условиям леммы 2.1 и обладает поэтому фундаментальной
системой ˜1 (), ˜2 (), для которой выполнены соотношения (2.11), (2.12).
В соответствии с (2.17) определим решения 1 (), 2 () уравнения (2.2)
формулами
 () = 2 () (),  = 1, 2.
(2.20)
В силу (2.11), имеем:
1 () = 2 ()1 () ∼ 2 ()() = 1 (),
2 () = 2 ()2 () ∼ 2 ()
( → ).
Соотношения (2.4), таким образом, доказаны.
Для доказательства соотношений (2.5) следует переписать (2.12), воз­
вращаясь к переменной :
(︂ )︂
(︂ )︂
(︂ )︂
1
2
2
2 
2 
2
→ 1, 2
=
( → ).
 2
 2
1
1 (︁
1 )︁
Раскрывая скобки и заменяя ˙ 2 на
˙ 1 2 − , а  на  [1+(1)],  = 1, 2,
1

получаем (2.5). Теорема 2.1 доказана.
Пусть теперь для уравнения (2.2) выполнены условия теоремы 2.2а
(2.2б). Неколебательность решений (2.2) на [, ) эквивалентна неколеба­
тельности решений (2.18) на [0, ∞), и знак коэффициента при ˜() в (2.18)
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
совпадает со знаком  (). Учитывая (2.19), убеждаемся, что для (2.18) вы­
полнены условия леммы 2.2а (2.2б), и фундаментальная система ˜1 (), ˜2 ()
должна поэтому удовлетворять соотношениям (2.14), (2.15), откуда
⌃
1 ()
1 () ⎮
⌄0 (⎮∞),
=
1 ()
()
⎮
⌃
2 ()
= 2 () ⎮∞ (⌄0)
2 ()
( → ),
что и требовалось доказать.
Отметим еще (хотя нам это и не потребуется), что в условиях теоремы
2.1 для отыскания 1 , 2 применим метод последовательных приближений
(если известны 1 , 2 ). Это делается по тем же схемам, что и в работах
А. Халаная, У. Ришарда и М. Раба (см. [16, 20, 21]), где подробно изучался
вопрос о последовательных приближениях в условиях типа (2.3) (при  =
= ∞). В связи с этим нельзя не упомянуть также работу Ю. Б. Гермейера
и Д. С. Иргера [22].
2.2.
Переходим к доказательству теоремы 1.1. Для этого применим тео­
ремы 2.1 и 2.2 к уравнению (1.2), рассматривая последнее как возмущение
уравнения
[︂
]︂


()
= 0, ( 6  < ).
(2.21)


Решая уравнение (2.21), получаем, в соответствии с вышепринятым пра­
вилом нумерации, два возможных варианта для фундаментальной системы:
∫︁
1) 1 () =
∫︁

< ∞;
()
1 () = 1,

;
( )
(2.22)
2 () = 1.
(2.23)
2 () =

∫︁
2) 1 () =
∫︁

= ∞;
()
1 () =

,
( )
Пусть 1 () < ∞ (так как 1 () = J1 (), то этому соответствуют случаи
1—3 таблиц). В силу (2.22), имеем
∫︁
∫︁
1 ()2 ()| ()|  =
∫︁
| ()| 

= 3 (, | |).
( )
(2.24)

Поэтому, если 3 (, | |) < ∞, то, в силу теоремы 2.1, уравнение (1.2) обла­
дает фундаментальной системой 1 (), 2 () такой, что
∫︁
1 () → 1,
2 () ∼

62

( )
( → ),
(2.25)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∫︁
˙ 1 ()()

→ 0,
( )
˙ 2 () ∼ −
1
()
( → ).
(2.26)

Это верно для произвольной (вообще говоря, комплекснозначной) функ­
ции  (); если  () знакопостоянна, то 3 (, | |), очевидно, можно заменить
на |3 (,  )|.
Для случая, когда  () знакопостоянна и |3 | = ∞, в силу теоремы 2.2,
получаем:
а) если  () > 0, 1 < ∞, 3 = ∞ и решения (1.2) не колеблются, то
1 () ↓ 0,
(︂ ∫︁
)︂
 −1
2 ()
↑ ∞ ( → );
( )

б) если  () 6 0, 1 < ∞, 3 = −∞, то
(︂ ∫︁
)︂
 −1
1 () ↑ ∞, 2 ()
↓ 0 ( → ).
( )

)︀
(︀
2 ⎮
⌄0 .
В обоих случаях, очевидно, 2 () ↓ 0 для а) это следует из
1
Для того чтобы закончить рассмотрение случаев 1—3, осталось выяс­
нить вопрос о возрастании или убывании 1 (), определяющий различие
между случаями 1 и 2. Пусть имеет место случай 2А (2В):  () > 0 (6 0),
1 < ∞, |2 | = ∞, |3 | < ∞. Из (1.2) легко находим
(︂
)︂
∫︁
1
˙ 1 () =
 −  ( )1 ( )  .
()
(2.27)

Так как, по доказанному, 1 () → 1 при  → , то из условия 2 ( ) =
∫︁
=  ( )  = ∞(−∞) и знакопостоянства  () следует, что
∫︁
 ( )1 ( )  = ∞ (−∞).
Отсюда и из (2.27) вытекает отрицательность (положительность) функции
˙ 1 () вблизи точки .
Поведение 1 () (с точки зрения монотонности) в случае 1 (1 < ∞,
|2 | < ∞) можно выяснить, произведя в уравнении (1.2) замену переменной
∫︁
=

,
( )

63
(2.28)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
которая является полезной и в других отношениях; уравнение (1.2) после
умножения на  примет вид
)︂
(︂
∫︁

*
.
06< =
( )
2 
˜
+ ˜˜
˜=0
2
(2.29)

Здесь 
˜() = [()], и таков же смысл ˜(), ˜(). Так как 1 < ∞, то
промежуток [0, * ) является ограниченным; далее,
∫︁*
⃒ ∫︁
⃒
⃒
⃒
˜
⃒
|˜
() ()|  = ⃒  () ⃒⃒ = |2 ( )| < ∞.

0
*
Таким образом, точка  =
при сделанных предположениях не яв­
ляется сингулярной для уравнения (2.29), так что любой паре чисел , 
соответствует (взаимно однозначно) решение 
˜() уравнения (2.29), удо­
*
′
*
влетворяющее условиям 
˜( ) = , 
˜ ( ) =  (имеется в виду левая про­
изводная). Полагая, например,  = 1,  = 1 (−1), получим решение 
˜()
уравнения (2.29) такое, что 
˜() ↑ 1 (↓ 1) при  → * ; для уравнения (1.2)
получаем, следовательно, решение () (очевидно, неминимальное) такое,
что () ↑ 1 (↓ 1) при  → . Тем самым доказано, что в случае 1 1 ↑↓ 1.
Отметим еще, что каждое нетривиальное решение (1.2) является строго
монотонным вблизи точки , исключая случай
 () ≡ 0 почти всюду на (0 , ) для некоторого 0 < .
(2.30)
Это утверждение вытекает из знакопостоянства  () и неколебательно­
сти решений. В самом деле, строгая монотонность () вблизи  эквива­
лентна строгой монотонности 
˜() вблизи * ; предполагая, без ограничения
общности, что 
˜() > 0 на (0 , * ), и учитывая уравнение (2.29), убежда­
емся в вогнутости (выпуклости) 
˜() на (0 , * ) при  > 0 (6 0). Отсюда
строгая монотонность 
˜() вблизи точки  вытекает очевидным образом, так
как возможность 
˜() ≡ const (̸= 0) вблизи  исключена вместе с (2.30).
Переходим теперь к случаю 1 () = ∞ (соответствующему случаям 4 и
5 таблицы 1), который несколько проще. Имеем
∫︁
∫︁
1 ()2 ()| ()|  =
∫︁
| ()| 

= 4 (, | |).
( )
(2.31)
Поэтому, если функция  () (вообще говоря, комплекснозначная) удовле­
творяет условию 4 (, | |) < ∞, то, в силу теоремы 2.1,
∫︁

1 () ∼
, 2 () → 1 ( → ),
(2.32)
( )
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
˙ 1 () ∼
,
()
∫︁
˙ 2 ()()

→0
( )
( → ).
(2.33)
В случае, когда  () знакопостоянна и |4 (,  )| = ∞, теорема 2.2 дает:
а) если  () > 0, 1 = ∞, 4 = ∞ и решения (1.2) не колеблются, то
(︂ ∫︁
)︂
 −1
1 ()
↓ 0, 2 () ↑ ∞ ( → );
(2.34)
( )
б) если  () 6 0, 1 = ∞, 4 = −∞, то
(︂ ∫︁
)︂
 −1
1 ()
↑ ∞, 2 () ↓ 0
( )
( → ).
(2.35)
Ясно, что в обоих случаях 1 () ↑ ∞. Соотношения (2.32)— (2.35) мож­
но было бы получить и непосредственным применением лемм 2.1 и 2.2 к
уравнению (2.29), получающемуся после замены переменной (2.28), так как
в рассматриваемых случаях * = ∞. Такой способ позволяет также выяс­
нить вопрос о монотонности 2 () в случае 4 (1 = ∞, |4 | < ∞): 2 ↑ 1,
если  > 0, и 2 ↓ 1, если  6 0, причем монотонность является строгой,
за исключением случая (2.30). Это немедленно вытекает из того, что при
 > 0 (6 0) функция 
˜2 () стремится к единице (при  → ∞), будучи
вогнутой (выпуклой) функцией .
Итак, теорема 1.1 доказана. Попутно обоснованы также оба утвержде­
ния, сформулированные в п. 1.6 предыдущего параграфа, поскольку соот­
ношения (2.25), (2.32) получены без предположения о вещественности  ().
2.3.
Рассмотрим теперь хотя и элементарный, но не слишком очевидный
вопрос о связи между сходимостью интегралов J и J* ,  = 3, 4. Здесь
также целесообразно перейти к более компактным обозначениям  , * .
Нам понадобится следующая
Лемма 2.3. Пусть абсолютно непрерывные и знакопостоянные на полу­
∫︀
˙
интервале  6  <  6 ∞ функции (), () таковы, что ()()

∫︀
сходится. Тогда ()()
˙
также сходится, если только выполнено
одно из следующих условий:
1) |()| не возрастает;
2) |()| не убывает и |()| ↓ 0 при  → .
Доказательство. Интегрируя по частям, получаем
∫︁
∫︁
(
˙ )( )  = ()() − ()() −


65
˙ ) .
( )(
(2.36)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как (
˙ )( ) не меняет знака, то достаточно доказать ограничен­
ность стоящего в левой части формулы (2.36) интеграла, а для этого, в
свою очередь, в силу (2.36), достаточно доказать ограниченность ()()
на [, ). Очевидно, без ограничения общности можно считать, что () ̸= 0
1
на [, ). Функция
в случае 1) не убывает, а в случае 2) не возраста­
|()|
ет. Поэтому ограниченность ()() в обоих случаях вытекает из второй
теоремы о среднем:
[︂
]︂
∫︁
∫︁
1
˙ ) =
˙
1) ()() = () ()+ ( ) = ()()+()
( )(
( )

∫︁
= ()() +
˙ )
( )(

∫︁
2) ()() = −()

( 6  6  < );
˙ )  = −()
(
∫︁

∫︁
=−
˙ )
( )(
1
˙ ) =
( )(
( )

( 6  <  6 ).

Лемма доказана.
Теперь легко находим (функция  знакопостоянна):
(︂
)︂
∫︁ 
∫︁

*
{1 < ∞, |3 | < ∞} → |3 | < ∞  =
,  =   , случай 1) ;



(︂
∫︁
∫︁
*
{1 < ∞, |3 | < ∞} → |3 | < ∞  =  ,  =


{1 = ∞, |2 | < ∞, |4* | < ∞} → |4 | < ∞
(︂
∫︁
 =  ,
∫︁
=


{1 = ∞, |4 | < ∞} → {|2 | < ∞, |4* | < ∞}
(︂
∫︁ 

=
,
 



, случай 2)


,

)︂
случай 1) ;
 ,
)︂
случай 2) .
∫︁
=
)︂
;

В последнем случае сходимость 2 непосредственно вытекает из усло­
вий |4 | < ∞, () ↑ ∞. Установленные связи между сходимостью  , *
допускают очевидные переформулировки в терминах расходимости, напри­
мер, если 1 = |4 | = ∞, то либо |2 | = ∞, либо |2 | < ∞, |4* | = ∞ и т.д.
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, таблица 2 идентична таблице 1, за исключением случая
6А. Чтобы доказать колебательность решений в этом случае, достаточно
доказать колебательность решений (1.2) в случае 1 = 2 = ∞, а это, в
свою очередь, эквивалентно колебательности решений (2.29) на [0, ∞) при
условии
∫︁∞
∫︁
˜()˜() =  () = 2 = ∞.
Но колебательность решений уравнения  ′′ + () = 0 на [0, ∞) в слу­
∫︀∞
чае ()  = ∞ (даже при знакопеременной ()) хорошо известна (см.,
например, [5]).
Итак, содержание таблиц 1 и 2 полностью обосновано.
2.4. Из утверждений предыдущего параграфа, за исключением «колеба­
тельной» части теоремы 7 из [10] (доказанной в этой же работе), осталось
проверить лишь одно (см. п. 1.5): о том, что в случае 3А,  = ∞ функции
˙ 1 (), ˙ 2 () стремятся к нулю при  → ∞, если () ограничена сверху, ли­
бо если () ограничена снизу, a () — сверху. Установим несколько более
общее предложение.
Теорема 2.3. Пусть  = ∞ и выполнены условия 3А ( решения (1.1) не
колеблются, () > 0, J1 < ∞, J3 = ∞). Пусть, кроме того, имеет место
по крайней мере одно из условий:
∫︁2
1)
()  6  < ∞ для всех 1 , 2 таких, что  6 1 < 2 6 1 + 1;
1
∫︁2
()  > 1 > −∞ ( 6 1 < 2 6 1 + 1) и
2)
1
∫︁+1
()  6 2 < ∞ ( > ).

Тогда не только решения уравнения (1.1), но и их первые производные
стремятся к нулю при  → ∞.
Доказательство. Пусть () — произвольное решение уравнения (1.1);
покажем, что ()
˙
→ 0 при  → ∞. Не ограничивая общности, можно
считать, что () > 0 при больших значениях , и, следовательно, в со­
ответствии с теоремой 1.1, () ↓ 0 при  → ∞. Функция () = −()
˙
является поэтому неотрицательной (при больших ) и суммируемой на по­
луоси [, ∞):
∫︁∞
() > 0 ( > 0 ),
()  < ∞.
(2.37)
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Будем доказывать теорему от противного: пусть () не стремится к ну­
лю при  → ∞. Тогда найдутся  > 0 и последовательность { },  → ∞,
такие, что ( ) = ,  = 1, 2, . . . (напомним, что () непрерывна и, в силу
(2.37), lim inf () = 0 при  → ∞). Без ограничения общности можно счи­
тать, что +1 −  > 1,  = 1, 2, . . . . Мы получим противоречие с (2.37),
если укажем на (0 , ∞) бесконечную последовательность неналегающих ин­
тервалов единичной длины, на которых () равномерно ограничена снизу
положительной постоянной; в случае 1) это будут интервалы ( ,  + 1), в
случае 2) — интервалы ( − 1,  ) при достаточно больших .
Действительно, уравнение (1.1) можно переписать в виде
˙ = −() + ().
(2.38)
Если выполнено условие 1), то вытекающее из (2.38) неравенство
˙ > −(), в сочетании с соотношением ( ) =  и известной теоремой
сравнения С. А. Чаплыгина [23] (см. также [7]), приводит к оценке
∫︁
(︂
() >  exp
−
)︂
()  > −
( 6  6  + 1).

Случай 2) немногим сложнее. Решая (2.38) как линейное уравнение
относительно () и учитывая, что ( ) = , получаем
[︂
∫︁
() =  −
∫︁
(︂
( )( ) exp
−
)︂
(︂ ∫︁
]︂
()   exp


)︂
()  .
(2.39)

Первое из соотношений 2) показывает, что
(︂ ∫︁
exp
)︂
() 
1
> ,
(︂ ∫︁
)︂
exp − ()  6 −1 ( −1 6  6  ). (2.40)


Пусть  столь велико, что
() 6
 1

22
( >  − 1).
Тогда, учитывая вторые из неравенств (2.40), находим
∫︁
( )( ) exp

∫︁
(︂
−
)︂
()   6


6
22
∫︁
( )  6
 −1
68

2
( − 1 6  6  ). (2.41)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Соотношения (2.39), (2.41) вместе с первым неравенством (2.40) приво­
дят (для достаточно больших ) к оценке
(︂
)︂

 1
() >  −
 = 1 ( − 1 6  6  ).
2
2
Теорема доказана.
§ 3. Дополнения и приложения
В этом параграфе будут получены некоторые асимптотические оценки
решений и рассмотрены приложения полученных результатов к вопросам
колебательности; мы коснемся также вопроса о переходе от уравнений вида

¨ + ˙ +  = 0 к уравнениям ¨ +   = 0.
3.1.
Выше было показано, что в случаях 1, 2, 4 асимптотическое поведе­
ние 1 (), 2 () при  →  вполне определяется (с точностью до множителя
1 + (1)) с помощью нескольких квадратур. В остальных случаях мы не
располагаем столь эффективными средствами; однако оценки для скоро­
сти роста или убывания решений могут быть получены без особого труда.
Приведем здесь две оценки такого рода: оценку сверху |()| в случае 3 и
оценку снизу |()| в случае 5 таблицы 2 (ясно, что первая оценка относится
по существу к 1 , а вторая — к 2 ).
По–прежнему пользуемся записью уравнения в форме (1.2):
[︂
]︂


()
+  () = 0 ( 6  <  6 ∞) .


Функцию  () предполагаем теперь вещественной (вообще говоря, зна­
копеременной); в остальном предположения о коэффициентах прежние.
Теорема 3.1. Пусть решения (1.2) не колеблются на [, ). Тогда
а) если 1 () < ∞, то для каждого решения () уравнения (1.2)
справедлива оценка
∫︁
(︂
|()| 6  exp
−

( )
∫︁
)︂
 () 
( 6  < );
(3.1)
б) если 1 () = ∞ и 2 ( ) сходится (вообще говоря, неабсолютно),
то для каждого нетривиального решения () уравнения (1.2) при , до­
статочно близких к , справедлива оценка
(︂ ∫︁
|()| >  exp

( )
∫︁
)︂
 () 

69
(0 6  < ;  > 0).
(3.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Без ограничения общности можно считать, что
˙
() > 0 при 0 6  < . Положим  =
или, что то же самое,

Доказательство.
(︂ ∫︁
() = (0 ) exp
( )

( )
)︂
(0 6  < ).
(3.3)
0
Легко проверить, что функция () абсолютно непрерывна при 0 6  < 
и удовлетворяет уравнению
˙ = −
1 2
 −  ()
()
(0 6  < ),
(3.4)
откуда следует, что
˙ 6 − ()
(0 6  < ).
(3.5)
Интегрируя это неравенство от 0 до , получаем
∫︁
() 6 1 −
 () 
(0 6  < ).
(3.6)
0
Теперь утверждение а) вытекает из сопоставления формул (3.3) и (3.6);
в силу условия 1 < ∞ наличие постоянной 1 в (3.6) влияет лишь на
значение мультипликативной постоянной  в (3.1).
Для доказательства утверждения б) следует проинтегрировать неравен­
ство (3.5) от 0 до , воспользовавшись сходимостью 2 и соотношением
() → 0 при  → ,
(3.7)
которое будет доказано ниже. После интегрирования получаем неравенство
∫︁
 () 
() >
(0 6  < ),

сопоставление которого с (3.3) приводит к оценке (3.2).
Докажем теперь (3.7). Интегрируя уравнение (3.4) от 1 (> 0 ) до ,
получим
∫︁
() = (1 ) −  ()  − () (1 6  < ),
(3.8)
1
где
∫︁
() =
 2 ()
.
()
1
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Будучи неубывающей функцией, () при  →  стремится к конечному
пределу или к бесконечности; поэтому, в силу (3.8) и сходимости 2 ,
() →  при  →  (−∞ 6  < ∞).
(3.9)
Соотношение (3.7) будет доказано, если убедимся, что случаи  =
= const ̸= 0 и  = −∞ невозможны.
Пусть  — число, отличное от нуля. Тогда, в силу (3.8), () имеет
конечный предел при  → ; с другой стороны, учитывая (3.9) и условие
1 = ∞, получаем
∫︁

2
() ∼ 
→ ∞ ( → ).
()
Пусть теперь  = −∞. Если 1 достаточно близко к , то, в силу (3.8),
() 6 −(), т.е.  2 () >  2 ()
(1 6  < ).
(3.10)
Так как () → −∞, то, ввиду (3.8), получим, что () → ∞ при  → ;
поэтому
1
→ 0 ( → ).
()
С другой стороны, учитывая (3.10) и условие 1 = ∞, находим
1
=−
()
∫︁
()
˙
 =  −
 2 ()
∫︁
 2 ()
6−
 2 ()()
∫︁

→ −∞ ( → ).
()
Полученное противоречие завершает доказательство теоремы 3.1.
Оценки (3.1), (3.2) показывают, что некоторые из утверждений таблицы
2 частично переносятся на случай знакопеременной функции  () (в записи
(1.1) — функции ()). Так, если решения уравнения (1.2) не колеблются,
1 () < ∞ и
∫︁
∫︁

 ()  > 0 > −∞ ( 6  < ),
(3.11)
( )
то решения (1.2) ограничены на [, ); условие (3.11), в частности, выполня­
ется, если сходится 3* (,  ). Отметим, что в отличие от случая  > 0 сходи­
мость 3* (,  ) сама по себе не обеспечивает неколебательности (используя
результат работы [24], можно показать, что неколебательность обеспечива­
ется сходимостью 3 (,  ), но для знакопеременной  условия сходимости
3 и 3* не совпадают). Далее, если решения не колеблются, 2 ( ) сходится
и 1 () = 4* (,  ) = ∞, то 1 () → ∞, 2 () → ∞ ( → ). Эти обобщения,
разумеется, отличаются от тех, которые встречались в предыдущих пара­
графах, так как здесь речь идет лишь об условной сходимости интегралов
(и в предположении вещественности функции  ()).
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оценка (3.2) для () ≡ 1,  = ∞ неявно содержится в работе И. М. Со­
боля [9], который заметил также, что она может быть использована для
получения признака колебательности. Докажем следующее, более общее
предложение.
Следствие 3.1. Решения уравнения (1.2) колеблются на [, ) в любом из
следующих случаев:
а) 1 () < ∞ и
∫︁
(︂ ∫︁
)︂
∫︁
1

exp 2
 ()   = ∞;
()
( )
(3.12)
б) 1 () = ∞, 2 ( ) сходится и
∫︁
1
exp
()
∫︁
(︂
−2

( )
∫︁
)︂
 ()   < ∞.
(3.13)

Доказательство легко получается от противного, если заметить, что
оценка (3.1) должна выполняться, в частности, для неминимального реше­
ния 1 (), а оценка (3.2) — для минимального решения 2 (). В самом деле,
пусть решения (1.2) не колеблются. Если выполнены условия а), то имеет
место оценка (3.1), которую для краткости запишем в виде 1 () 6 ().
Отсюда
∫︁
∫︁


<∞
6
2

21
(так как 1 неминимально), что противоречит условию (3.12). Аналогично,
если выполнены условия б), то для х2 имеем оценку (3.2): 2 () > ()
( > 0 ). Отсюда
∫︁
∫︁


=∞
>
 2
22
(так как 2 минимально), что противоречит условию (3.13).
Итак, утверждения а) и б) доказаны. Второе из них было получено в
[9] (для () ≡ 1,  = ∞ ; впрочем, здесь это не влияет на доказательство).
3.2.
Рассмотрим вопрос о том, как влияет на неколебательность решений
увеличение или уменьшение () (соответствующие формулировки для  =
= ∞ приводились в [8]). Пусть, наряду с (1.1),
 ≡ 
¨ + ()˙ + () = 0
72
( 6  <  6 ∞),
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дано еще одно уравнение:
1  ≡ ¨ + 1 ()˙ + 1 () = 0
( 6  < ).
(3.14)
Как показывает теорема Штурма, колебательность решений «монотон­
но возрастает» с ростом «коэффициента упругости» (): если 1 () ≡ (),
1 () 6 () и решения (1.1) не колеблются, то и решения (3.14) не колеб­
лются. Влияние изменения «коэффициента трения» () не столь просто и
заведомо не «монотонно», как показывают простейшие уравнения с посто­
янными коэффициентами. Докажем следующее предложение.
Теорема 3.2. Пусть () > 0, 1 () 6 (). Для неколебательности ре­
шений уравнения (3.14) достаточно выполнения одного из следующих
условий (0 6  < ):
а) решения (1.1) не колеблются, 1 () < ∞ и 1 () > ();
б) решения (1.1) не колеблются, 1 () = ∞ и 1 () 6 ();
в) 1 () < ∞, 2 (, ) < ∞ и 1 () сравнимо с () (т. е. либо 1 > ,
либо 1 6 ).
Доказательство основано на тех сведениях о монотонности решений,
которые доставляет теорема 1.1, в сочетании с известным критерием неко­
лебательности Валле-Пуссена [1] (см. также [7]): решения уравнения (3.14)
не колеблются на [, ) в том и только в том случае, если существует () >
> 0 такая, что 1  6 0 (0 6  < ; ()
˙
абсолютно непрерывна при  < ).
Действительно, в условиях а) для уравнения (1.1) имеет место один из слу­
чаев 1А, 2А, 3А; следовательно, существует решение () этого уравнения,
положительное и убывающее вблизи точки . Отсюда
1  = 1  −  = [1 () − ()]˙ + [1 () − ()] 6 0
(0 6  < ), (3.15)
поскольку 1 > , 1 6 . Тем самым условие а) доказано. Аналогично, в
условиях б) для (1.1) имеет место один из случаев 4А, 5А и, следователь­
но, существует решение (), положительное и возрастающее вблизи . Это
опять приводит к неравенству (3.15), так как теперь 1 6 . Наконец, усло­
вия в) показывают, что в этом случае мы имеем дело с 1А, т. е. уравнение
(1.1) обладает и положительными возрастающими, и положительными убы­
вающими (вблизи точки ) решениями. При 1 6  (1 > ) в качестве ()
выбираем решение уравнения (1.1), положительное и возрастающее (убы­
вающее) вблизи точки , после чего снова приходим к неравенству (3.15).
Теорема доказана.
Ясно, что эти же утверждения могут быть сформулированы и как при­
знаки колебательности. Например: решения (1.1) колеблются, если колеб­
лются решения (3.14) и при этом 1 () < ∞, () > 0, () 6 1 (),
() > 1 () (что, очевидно, эквивалентно а)) и т. п.
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отметим, что утверждение в) сохраняется и для знакопеременной (),
если условие 2 (, ) < ∞ заменить условием 2 (, ||) < ∞. Действитель­
но, из доказательства, проведенного в § 2, нетрудно усмотреть, что и при
этих предположениях уравнение (1.1) обладает возрастающими и убываю­
щими положительными решениями; единственное изменение заключается
в том, что некоторые решения (1.1) в этом случае могут быть немонотон­
ными (именно, те, для которых  = 
˜′ (* ), см. § 2), но здесь это не имеет
значения.
Следует подчеркнуть, что в отличие от теорем штурмовского типа по­
лученные выше теоремы сравнения носят чисто асимптотический характер.
Например, утверждение «если 1 () = ∞, () > 1 (), () > 1 (), () > 0,
то между двумя нулями нетривиального решения (3.14) лежит по крайней
мере один нуль любого решения (1.1)» было бы заведомо неверным: можно
лишь утверждать, что при этих условиях колебательность решений урав­
нения (3.14) влечет за собой колебательность решений (1.1). Отметим, что
теоремы штурмовского типа можно легко получить с помощью подстановки
(︂
() = () exp
1
−
2
∫︁
)︂
( )  ,
(︂
() = () exp
1
−
2
∫︁
)︂
1 ( )  ,
если в качестве предпосылок использовать неравенства, связывающие не
только (), 1 (), но и (),
˙
˙1 (); в настоящей работе мы избегаем требо­
ваний, связанных с гладкостью коэффициентов.
Приведем два результата, иллюстрирующих применение теоремы 3.2.
Следствие 3.2. Пусть 1 () > (), 0 6 1 () 6 (). Если решения (1.1)
не колеблются и ограничены на [, ), то это же верно и для решений
(3.14).
Сформулированное предложение, само по себе отнюдь не очевидное,
легко получается «сцеплением» вышеизложенных фактов. В самом деле,
теорема 1.1 показывает, что для уравнения (1.1) имеет место один из случаев
1А, 2А, 3А, т. е. 1 () < ∞. В силу утверждения а) теоремы 3.2 заключаем,
что решения (3.14) не колеблются. Далее, из неравенств 1 () < ∞, 1 () >
> () вытекает, что 1 (1 ) < ∞; для уравнения (3.14), следовательно, так­
же имеет место один из случаев 1А, 2А, 3А, что доказывает ограниченность
решений.
Второй из упомянутых результатов относится к семейству веществен­
ных уравнений, зависящих от параметра,

¨ + (, )˙ + () = 0
( 6  <  6 ∞, −∞ <  < ∞).
(3.16)
Пусть () > 0 и (, ) не убывает по  (например, (, ) = 1 () +
+ 2 (), 1 () > 0). Через Ω обозначим множество тех значений , при
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
которых решения уравнения (3.16) колеблются на [, ). Если, например,
(, ) ≡ , () ≡ const > 0, то Ω, очевидно, представляет собой интер­
√ √
вал (−2 , 2 ). Оказывается, что примерно аналогичная ситуация имеет
место и в общем случае.
Обозначим через 0 infimum значений , для которых 1 [(, )] < ∞
(если таких значений нет, полагаем 0 = ∞, если же 1 [(, )] < ∞ при
всех , то, естественно, полагаем 0 = −∞).
Следствие 3.3. При сделанных предположениях множество Ω связно.
Кроме того, если Ω непусто и 0 конечно, то 0 ∈ Ω̄.
Доказательство. Возможны четыре случая:
0 = −∞,
(3.17)
0 = ∞,
(3.18)
0
конечно, 1 [(, 0 )] < ∞,
(3.19)
0
конечно, 1 [(, 0 )] = ∞.
(3.20)
Из соображений монотонности ясно, что 1 [(, )] = ∞ при всех  <
< 0 и 1 [(, )] < ∞ при всех  > 0 . Отсюда, учитывая утверждения
а), б) теоремы 3.2, легко получить следующие свойства характеристической
функции () множества Ω:
в случае (3.17) () не возрастает на (−∞, ∞);
в случае (3.18) () не убывает на (−∞, ∞);
в случае (3.19) () не убывает на (−∞, 0 ) и не возрастает на [0 , ∞);
в случае (3.20) () не убывает на (−∞, 0 ] и не возрастает на (0 , ∞).
Покажем, например, что в случае (3.20) функция () не убывает на
(−∞, 0 ], т. е. что соотношения 1 < 2 6 0 , (2 ) = 0 влекут за со­
бой (при условии (3.20)) соотношение (1 ) = 0. Действительно, так как
1 [(, 2 )] = ∞, (, 1 ) 6 (, 2 ), то неколебательность решений (3.16)
при  = 1 вытекает (в силу утверждения б) теоремы 3.2) из неколеба­
тельности при  = 2 . Аналогично проверяются и остальные утверждения
о монотонности (). Следствие 3.3 вытекает из этих утверждений.
Итак, Ω представляет собой промежуток в широком смысле слова (этот
промежуток может быть пустым, может представлять собой одну точку или
всю числовую прямую, может быть конечным, полубесконечным, открытым,
замкнутым, полуоткрытым). В случаях (3.17), (3.18) Ω либо пусто, либо
полубесконечно, либо заполняет всю прямую (−∞, ∞); в случаях же (3.19),
(3.20), по-видимому, возможны все перечисленные выше возможности.
Некоторые из возможностей иллюстрируются следующим простым при­
мером. Пусть (, ) ≡ , () =  ,  > 0,  = ∞. Очевидно, 0 = 0.
Множество Ω пусто при  < −2, состоит из единственной точки  = 0 при
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
−2 6  < 0, представляет собой интервал (−2, 2) при  = 0 и, наконец,
заполняет всю числовую прямую при  > 0. Все это легко усмотреть с
помощью замены () = ()−/2 .
Следствие 3.3 показывает, что неколебательность при 1 , 2 таких, что
1 < 0 < 2 , влечет за собой неколебательность при всех , лежащих вне
интервала (1 , 2 ). Окрестность точки 0 является, таким образом, «ме­
стом наибольшей колебательности» (в логическом смысле): если решения
уравнения (3.16) не колеблются при всех , лежащих в некоторой окрест­
ности 0 , то они не колеблются при любом  из (−∞, ∞). Отметим, что
значение 0 не зависит от () и нахождение его обычно не представляет
труда. Было бы интересно выяснить, не является ли сама точка 0 (если
0 конечно) «точкой наибольшей колебательности», т. е. не вытекает ли из
неколебательности (3.16) при  = 0 неколебательность этого уравнения
при всех . Иначе говоря, нельзя ли в формулировке следствия 3.3 заме­
нить Ω̄ на Ω? Ряд конкретных примеров подтверждает это предположение,
но в общем случае вопрос остается открытым.
3.3. В заключение мы обсудим методический вопрос о переходе от урав­
нения 
¨ + ˙ +  = 0 к уравнению ¨ +   = 0. Такой переход может
быть осуществлен элементарными аналитическими преобразованиями, из
которых следующие два хорошо известны (см., например, [18, 19]):
(︁ 1 ∫︁
)︁
1) замена функции () = () exp −
( )  переводит уравне­
2
(︁
1
1 2 )︁
ние 
¨ + ˙ +  = 0 в уравнение ¨ +  − ˙ −   = 0;
2
4
∫︁
(︁ ∫︁
)︁
2) замена переменной  = exp − ( )  переводит уравнение
(︁ ∫︁
)︁)︁

¨ + ()˙ + () = 0 после умножения на exp 2 ( ) 
в уравнение
(︁
)︁
(︁ ∫︁
2 
˜
+

()˜

=
0,
где

˜
()
=
[()],

()
=
()
exp
2
(
)

,  = ().
1
1
2
Ввиду возможности исключения члена, содержащего ,
˙ часто высказы­
вается мысль о том, что «полное» уравнение 
¨ + ˙ +  = 0 вообще не
нуждается в изучении (см., например, [25], стр. 158—159). С этим трудно
согласиться, поскольку известен ряд предложений, существенно использу­
ющих наличие диссипативного члена ()˙ и не имеющих прямых аналогов
для случая () ≡ 0; попытки доказать эти утверждения с помощью пе­
рехода к «укороченному» уравнению ¨ +   = 0 не упрощают, а лишь
усложняют задачу. Примерами могут служить теоремы 4—7 работы [10],
последняя из которых упоминалась выше. Все же обычно переход к уко­
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
роченному уравнению целесообразен; при этом возникает вопрос о выборе
наиболее удачного преобразования. Недостатком преобразования 1) явля­
ется требование абсолютной непрерывности функции (), не отвечающее
существу дела. От этого недостатка свободно преобразование 2), которое,
тем не менее, применяется значительно реже, чем преобразование 1) (так,
в [25, 26] упоминается лишь 1)). Это объясняется следующим. Во-пер­
вых, если 1 () < ∞, то при 2) полуось  > 0 отображается не на по­
луось, а на конечный полуинтервал; во-вторых, в весьма важном случае
-периодических коэффициентов ,  преобразование 2), в отличие от 1),
не обеспечивает периодичности нового коэффициента 1 .
В связи со сказанным, для периодического случая предлагается следующее комбинированное преобразование. Пусть (), () — –периодические суммируемые функции, причем () вещественна. Положим
∫︁
1
()  = .
2
0
3) Замена функции () =  () и замена переменной  = () =
(︂
)︂
∫︁
∫︁
=
exp 2 −
( )   переводят уравнение 
¨ + ()˙ + () = 0
0
0
2 ˜
 = 0, где ˜() = [()],
в уравнение 2 + 1 ()˜

(︁ ∫︁
)︁
2
1 () = [() − () +  ] exp 2 ( )  − 4 ,  = ().
0
Очевидно, 1 () 1 –периодична, причем
∫︁
∫︁
(︂
exp 2 −
1 =
0
)︂
( ) 
.
0
Преобразование 3) (ранее, по-видимому, не отмечавшееся) свободно от
недостатков преобразований 1) и 2): оно переводит полуось в полуось, со­
храняет периодичность коэффициентов и не требует никакой гладкости
функции (). Поэтому при общих рассмотрениях, связанных с веществен­
ным периодическим случаем, оно является более предпочтительным. В свя­
зи с этим можно упомянуть, например, работу В. А. Якубовича [27], где
устанавливаются тонкие оценки характеристических показателей для урав­
нения 
¨ +   = 0,  ( + ) ≡  (); с помощью преобразования 1) эти
результаты распространяются затем на уравнение 
¨ + ˙ +  = 0, ( +
+ ) ≡ (), ( + ) ≡ () в предположении абсолютной непрерывности
(). Применение здесь преобразования 3) вместо преобразования 1) позво­
ляет избавиться от этого ограничения.
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
1. de la Vallée Poussin, C. Sur l’équation différentielle linéaire du second
ordre. Détermination d’une intégrale par deux valeurs assignées. Extension
aux équations d’ordre  / C. de la Vallée Poussin // J. Math. Pures et Appl.
(9). — 1929. — Vol. 8. — P. 125—144.
2. Hille, E. Non-oscillation theorems / E. Hille // Trans. Amer. Math. Soc. —
1948. — Vol. 64, no. 2. — P. 234—258.
3. Соболь, И. М. Об уравнениях Риккати и приводимых к ним линейных
уравнениях второго порядка / И. М. Соболь // ДАН СССР. — 1949. —
Т. 65, № 3. — С. 275—278.
4. Кондратьев, В. А. Достаточные условия неколеблемости и колеблемо­
сти решений уравнения  ′′ + () = 0 / В. А. Кондратьев // ДАН
СССР. — 1957. — Т. 113, № 4. — С. 742—745.
5. Ráb, М. Kriterien für die Oszillation der Losungen der Differentialgle­
ichung [() ′ ]′ + () = 0 / М. Ráb // Časop. pro pěst, matem. —
1959. — Vol. 84. — P. 335—370.
6. Ельшин, M. И. Об одном решении классической проблемы колебаний /
M. И. Ельшин // ДАН СССР. — 1962. — Т. 147, № 5. — С. 1013—1016.
7. Векторные поля на плоскости / М. А. Красносельский, А. И. Перов,
А. И. Поволоцкий, П. П. 3абрейко. — М.: Физматгиз, 1963. — 248 с.
8. Левин, А. Ю. О линейных дифференциальных уравнениях второго
порядка / А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1963. — Т. 153, № 6. —
С. 1257—1260.
9. Соболь, И. М. Граничное решение уравнения Риккати и его примене­
ние к исследованию решений линейного дифференциального уравнения
второго порядка / И. М. Соболь // Уч. записки Моск. гос. ун-та.
(Математика. Том V.) — 1952. — Вып. 155. — С. 195—205.
10. Левин, А. Ю. Об устойчивости решений уравнений второго порядка /
А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1961. — Т. 141, № 6. — С. 1298—1301.
11. Левин, А. Ю. Классификация неколебательных случаев для уравнения

¨ + ()˙ + () = 0 со знакопостоянной () / А. Ю. Левин // ДАН
СССР. — 1966. — Т. 171, № 5. — С. 1037—1040.
12. Mařik, I. Nichtoszillatorische lineare Differentialgleichungen 2 Ordnung /
I. Mařik, M. Ráb // Чех. матем. журн. — 1963. — Vol. 13. — P. 209—225.
13. Оpial, Z. Sur l’allure asymptotique des solutions de l’équation differentielle
′′ + ()′ + () = 0 / Z. Оpial // Ann. polon. math. — 1959. — Vol. 6,
no. 2. — P. 181—200.
14. Gheorghiu, N. Sur le comportement asymptotique des solutions des
équations différentielles ordinaires linéaires du second ordre / N. Gheo­
rghiu // Anal. Univ. Cuza, Iaşi. — 1961. — Vol. 7, no. 1. — P. 77—84.
15. Wintner, A. Asymptotic integrations of the adiabatic oscillator in its hy­
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
perbolic range / A. Wintner // Duke Math. J. — 1948. — Vol. 15, no. 1. —
P. 55—67.
Halanay, A. Comportarea asimptotică a soluţiilor ecuaţiilor de ordinul al
doilea de tip neoscilator / A. Halanay // Comunicările Acad. Rep. pop.
Romı̂ne. — 1959. — Vol. 9, no. 11. — P. 1121—1128.
Haupt, O. Über das asymptotische Verhalten der Lösungen gewisser lincar­
er gewöhnlicher Differentialgleichungen / O. Haupt // Math. Z. — 1942. —
Vol. 48. — P. 289—292.
Беллман, Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравне­
ний / Р. Беллман. — М.: ИЛ, 1954. — 215 с.
Коддингтон, Э. А. Теория обыкновенных дифференциальных уравне­
ний / Э. А. Коддингтон, Н. Левинсон. — М.: ИЛ, 1958. — 475 с.
Richard, U. Serie asintotiche per una classe di equazioni differenziali lin­
eari non oscillanti del 2∘ ordine / U. Richard // Rend. Sem. mat. Univ. e
Politecn. Torino. — 1963/1964. — Vol. 23. — P. 171—217.
Ráb, М. Les développements asymptotiques des solutions de l’équation
( ′ )′ +  = 0 / М. Ráb // Arch. math. (Brno). — 1966. — Vol. 2. —
P. 1—17.
Гермейер, Ю. Б. О приближенных представлениях решений линей­
ных дифференциальных уравнений второго порядка / Ю. Б. Гермейер,
Д. С. Иргер // ДАН СССР. — 1953. — Т. 93, № 6. — С. 961—964.
Чаплыгин, С. А. Новый метод приближенного интегрирования диф­
ференциальных уравнений / С. А. Чаплыгин. — М.; Л.: Гостехиздат,
1950. — 102 с.
Левин, А. Ю. Интегральный критерий неосцилляционности для урав­
нения 
¨ + () = 0 / А. Ю. Левин // УМН. — 1965. — Т. 20, № 2
(122). — С. 244—246.
Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнени­
ям / Э. Камке. — М.: Физматгиз, 1961. — 589 с.
Чезари, Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обык­
новенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. — М.: Мир,
1964. — 477 с.
Якубович, В. А. Оценка характеристических показателей и критерии
устойчивости для линейного дифференциального уравнения второго по­
рядка с периодическими коэффициентами / В. А. Якубович // ДАН
СССР. — 1952. — Т. 87, № 3. — С. 345—348.
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Неосцилляция решений уравнения
() + 1 ()(−1) + · · · +  () = 0
7
В статье дается обзор связей неосцилляции с другими свой­
ствами решений и характеризуются известные признаки неосцил­
ляции. Устанавливаются новые результаты в этом направлении.
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Обсуждение проблематики, связанной с неосцилляцией
80
§ 2. Иерархия решений
97
§ 3. Некоторые вопросы распределения нулей
108
§ 4. Критерий неосцилляции
120
§ 5. Приложение к асимптотическим оценкам решений
134
Литература
140
§ 1. Обсуждение проблематики, связанной
с неосцилляцией
1.1. В настоящей работе изучается поведение решений уравнения
 ≡ () + 1 ()(−1) + · · · +  () = 0
(−∞ 6  <  <  6 ∞)
(1.1)
c вещественными коэффициентами, локально суммируемыми внутри (, ).
В первую очередь нас будет интересовать неосцилляция, а также смежные
вопросы распределения нулей и роста решений. Как известно, промежуток
 ⊂ (, ) называется промежутком неосцилляции для оператора , если
каждое нетривиальное решение уравнения (1.1) имеет в  не более  −
− 1 нуля (с учетом кратности). Здесь возникают две основные проблемы:
1) изучение следствий неосцилляции и 2) отыскание эффективных способов
проверки неосцилляции. Разработка этого круга вопросов восходит к клас­
сическим работам Штурма и была продолжена в весьма многочисленных
позднейших исследованиях. В разное время (и в разной степени) интере­
сующей нас проблематике уделяли внимание П. Л. Чебышёв, H. E. Жуковский, Г. Пойа, Г. Маммана, Ш. Валле-Пуссен, С. А. Чаплыгин, С. Н. Берн­
штейн, М. Г. Крейн, Я. Микусинский, Ф. Хартман, А. Винтнер, Н. В. Азбе­
лев, О. Арамэ, В. А. Кондратьев, Р. Беллман, а также многие другие. Неко­
торые из относящихся сюда работ на первый взгляд не имеют между собой
7
Левин А. Ю. Неосцилляция решений уравнения () + 1 ()(−1) + · · · +  () = 0
// УМН. — 1969. — Т. 24, № 2(146). — С. 43—96.
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
почти ничего общего, однако при более близком рассмотрении выясняется,
что целый комплекс внешне разнообразных вопросов — дифференциаль­
ные неравенства, представление  в виде произведения  вещественных
операторов первого порядка, разрешимость интерполяционных краевых за­
дач, вопросы перемежаемости нулей, ляпуновские зоны устойчивости для
уравнения Хилла, свойства чебышёвских и декартовых систем функций,
осцилляционность (по Гантмахеру—Крейну) функций Грина краевых за­
дач, теоремы о среднем значении и т. п., — все это самым тесным образом
связано с вопросом о неосцилляции, который в силу этого занимает од­
но из центральных мест в качественной теории вещественного уравнения
(1.1). Мы постараемся пояснить это в пункте 1.2 настоящего параграфа, где
дается обзор основных следствий неосцилляции, обнаруженных различны­
ми авторами. Далее, в 1.3 характеризуются предложенные до настоящего
времени способы проверки неосцилляции. Дальнейшие литературные ука­
зания содержатся в § 2—§ 5, которые в значительной части посвящены
новым результатам. Остановимся вкратце на этой стороне работы.
В § 2, предполагая, что (, ) есть промежуток неосцилляции для ,
мы изучаем поведение решений уравнения (1.1) вблизи концов , . Пока­
зывается, что решения можно упорядочить по скорости роста при  ↑ 
(или  ↓ ), причем эта «иерархия» распространяется и на всевозможные
вронскианы, составленные из решений (теорема 2.1). Здесь же вводятся так
называемые обобщенные нули, т. е. каждому решению () уравнения (1.1)
приписываются в точках ,  нули соответствующей кратности, в зависи­
мости от того, какова скорость роста () при  ↓  и  ↑  по сравнению со
скоростью роста других решений. Этот полезный прием позволяет включить
ряд вопросов, связанных с асимптотикой решений, в теорию распределения
нулей, причем последняя заметно упрощается (см. теорему 3.1), как это
обычно бывает при корректном введении «несобственных» элементов.
Вопросам распределения нулей посвящены лемма 2.3 и § 3. Основной
упор сделан здесь на обобщенные нули, хотя и для обычных нулей соот­
ветствующие факты ранее, по-видимому, обстоятельно не излагались (от­
дельные из них, впрочем, в этом случае тривиальны).
В § 4 дается следующий критерий неосцилляции (теорема 4.1): отре­
зок [, ] является промежутком неосцилляции для  в том и только
том случае, если существует такая система функций 1 (), 2 (), . . . ,
−1 (), что: 1) на [, ) положительны вронскианы всех подсистем ви­
да  , +1 , . . . , −1 (1 6  6  − 1) или  , +1 , . . . , −1 , +1 , . . . , −1
(1 6  <  6  − 1); 2) (−1)−  > 0 в (, ) ( = 1, 2, . . . ,  − 1).
Для  = 2 соответствующий простой результат был получен еще Валле­
Пуссеном (см. 4.3). Различные конкретизации системы { } приводят как к
улучшениям и обобщениям ранее известных признаков неосцилляции, так
и к признакам нового типа, из которых упомянем здесь один: если корни
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 () уравнения
 + 1 ()−1 + · · · + −1 () +  () = 0
(1.2)
при всех  ∈ (−∞, ∞) вещественны и разделены постоянными, то
(−∞, ∞) есть промежуток неосцилляции для .
§ 5 посвящен применению установленных в § 2—§ 4 результатов для
получения асимптотических оценок решений. Приведем здесь следствие
теоремы 5.1, также связанное с корнями уравнения (1.2): если при всех
достаточно больших 
0 6 1 () 6 1 6 · · · 6 −1 6  () 6  ,
где  — некоторые постоянные (1 < 2 < · · · <  ), то уравнение (1.1)
обладает фундаментальной системой решений { } такой, что
 −1  6  () 6    ( = 1, 2, . . . , ) ( ,  > 0;  > 0 ).
Этот результат близок так называемым «теоремам о замораживании», но
отличается от последних своим точным характером.
Как будет видно из дальнейшего, при исследовании очерченного кру­
га вопросов особую роль играет специфическая «вронскианная» техника
(существенным элементом которой является, в частности, лемма 2.6).
Основные результаты § 2—§ 5 посвящены операторам  общего вида:
мы не уделяем особого внимания двучленным уравнениям () + () =
= 0, а также избегаем каких-либо иных специальных предположений — о
знаках коэффициентов  () и т. п. (это не относится к частным следствиям
основных теорем). В то время как § 1 занимает несколько обособленное
положение, § 2—§ 5 тесно связаны: каждый из последующих параграфов
опирается на предшествующие.
Автор признателен М. А. Красносельскому и В. А. Кондратьеву, кото­
рые прочли статью в рукописи и своими замечаниями способствовали ее
улучшению.
1.2. Рассмотрим основные следствия неосцилляции и ее связи с различны­
ми аспектами качественной теории уравнения (1.1). Через 0  ниже обозна­
чается класс операторов , для которых  есть промежуток неосцилляции,
а через   — число нулей с учетом кратности функции () на промежут­
ке  (подробный список терминов и обозначений будет дан в конце этого
параграфа).
Соотношение  ∈ 0 (, ) необходимо и достаточно для возможно­
сти разложения Пойа—Маммана
 = ℎ



ℎ−1 . . . ℎ1 ℎ0 ( <  < )



82
(1.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(операции производятся справа налево), где вещественные функции ℎ ()
отличны от нуля и обладают достаточной гладкостью в (, ). Это
утверждение (в несколько меньшей общности, см. пункт 2.4) установил
Г. Пойа в основополагающей заметке [1], которая будет часто упоминаться
в дальнейшем (см. также Г. Маммана [2]). Отметим, что если допускать
комплекснозначные ℎ (), то разложение (1.3), как известно, осуществимо
всегда, вне зависимости от неосцилляции или каких-либо иных условий;
однако такая комплексная факторизация представляет значительно мень­
ший интерес для приложений, чем вещественная.
Разложение Пойа—Маммана позволяет, в частности, получить обобщен­
ную теорему Ролля для промежутка неосцилляции  ⊂ (, )
{ ∈ 0 ,   >  + 1,  =  ∈ } →   > 1
(1.4)
и вытекающую отсюда теорему о среднем значении (Г. Пойа [1], см. также
[3], [4]).
Непосредственно ясна связь между неосцилляцией и интерполяционны­
ми вопросами. В частности, соотношение  ∈ 0  эквивалентно, очевидно,
утверждению «фундаментальная система решений (1.1) является строго че­
бышёвской на » (см. 1.4, 26∘ ), причем, если  — интервал или полуинтер­
вал, то слово «строго» может быть опущено. Относительно связи с декар­
товыми системами см. 2.7, а также 4.2, где будет идти речь о модификации
одного результата С. Н. Бернштейна [5, 6], относящегося к так называемым
базам чебышёвских систем. М. Г. Крейн [7] применил соображения, связан­
ные с неосцилляцией (для операторов с постоянными коэффициентами), в
теории наилучшего приближения периодических функций.
Рассмотрим, далее, интерполяционную краевую задачу
 =  (); () ( ) = 
}︂
( = 0, 1, . . . ,  − 1;  = 1, 2, . . . , ),
( 6 1 < 2 < · · · <  6 ,
1 + 2 + · · · +  = ).
(1.5)
Ее часто называют также задачей Валле-Пуссена (что не совсем оправда­
но, поскольку до Валле-Пуссена подобные задачи рассматривались многими
математиками). В важном частном случае простых узлов —  =  — ин­
терполяционная задача сводится к отысканию решения, принимающего в 
заданных точках заданные значения. Общий случай является в определен­
ном смысле предельным для задач с простыми узлами при неограниченном
сближении последних.
Условие  ∈ 0 [, ], очевидно, необходимо и достаточно для разреши­
мости всех задач вида (1.5). Более того, при этом условии, помимо самого
факта существования функции Грина (, ) любой (однородной) интер­
поляционной задачи, можно утверждать также, что (, ) совпадает по
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
знаку с произведением
( − 1 )1 ( − 2 )2 . . . ( −  )
в квадрате ,  ∈ (, ). Это обстоятельство, отмечавшееся Е. С. Чички­
ным [8] и автором [9] (см. также [10]) и являющееся довольно непосред­
ственным следствием результатов Пойа (см. ниже лемму 4.2), может быть
очевидным образом переформулировано в виде теоремы о дифференциаль­
ных неравенствах для интерполяционных краевых задач. В частности, для
задачи с начальными условиями, в которую переходит (1.5) при  = 1,
неосцилляция обеспечивает справедливость теоремы сравнения Чаплы­
гина: при  ∈ 0 (, )
{︂ ()
}︂
 () =  () (),  = 0, 1, . . . ,  − 1;
→ () > () в [, ].
(1.6)
 >  в [, ]
Это очевидно и непосредственно, ввиду неотрицательности функции Ко­
ши (, ) при  6  6  6 . Отметим, что неосцилляция не является
необходимым условием для (1.6) (этот вопрос, кстати, упоминается Э. Бек­
кенбахом и Р. Беллманом в [4] как нерешенный), о чем свидетельствует
3

простой пример:  = 3 + ,  −  > 2.


Пусть  [, ] — класс операторов , для которых справедлива теорема Чаплы­
гина (1.6). Соотношением 0 (, ) ⊂  [, ] отнюдь не исчерпывается связь между
классами , 0 ; в частности, легко показать, что
{ ∈ 0 (, ), () 6 0 в [, ]} →  +  ∈  [, ].
Более интересен случай () > 0; в этом направлении может быть показано
следующее. Пусть  ∈ 0 (, ) и выполнено одно из условий: 1) () > 0; 2) 
четно и () имеет на (, ) одну, и притом убывающую, перемену знака. Тогда
для соотношения + ∈  [, ] необходимо и достаточно, чтобы существовала
() такая, что   >  − 2,  > 0,  6 0 ( <  < ). Это предложение было
сформулировано в [11] (требование четности  в [11] по недосмотру пропущено).

Для  =  случай 1) был ранее рассмотрен Я. Микусинским [12], рассуждения

которого после некоторой модификации переносятся на произвольные  ∈ 0 (, );
случай 2) требует более тонких рассмотрений.
Неосцилляция полезна при получении теорем о дифференциальных нера­
венствах также для других типов краевых условий и, в частности, для пе­
риодической краевой задачи (по этому поводу см. [13–16]). Относительно
отличных от интерполяционных краевых задач, которые всегда разрешимы
на промежутке неосцилляции, см. Р. Беллман [17] (интегральные краевые
условия), В. А. Чуриков [18] (двухточечные условия).
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Будучи составной частью общей теории распределения нулей решений
(1.1), вопрос о неосцилляции, естественно, связан с другими аспектами
этой теории, из которых здесь коснемся двух: условий принадлежности 
классам ,  и вопросов перемежаемости нулей. По определению,  ∈
∈ ,  ( +  > ), если ни для каких 1 , 2 (1 < 2 ) из промежутка  не су­
ществует нетривиальных решений () уравнения (1.1) таких, что  1 > ,
−1
⋂︀
 2 > . Как известно, при любом фиксированном  0  =
,− 
=1
(более содержательное утверждение дается ниже теоремой 3.3), −1,1  ⊂
⊂  . Некоторые достаточные условия включения  +  ∈ , , где  ∈
∈ 0 , можно найти, например, в [11]. Отметим, что условие  ∈ ,  для
формально самосопряженных операторов порядка  = 2 И. М. Глазман
называет неосцилляторностью на ; он исследовал (см. [19]) связь между
неосцилляторностью на (0 , ∞) и спектром  в соответствующем гильбер­
товом пространстве функций, а также получил ряд эффективных признаков
осцилляторности и неосцилляторности на полуоси. Ясно, что неосцилляция
(для формально самосопряженных операторов) влечет за собой неосцилля­
торность по И. М. Глазману, но не обратно; помимо(︂случая
)︂  = 2, эти
4


понятия совпадают, в частности, для  = 4 +

+ , где (),



() 6 0. Некоторые свойства самосопряженных операторов из класса , 
изучались также в более ранней статье М. Г. Крейна [20].
В связи с перемежаемостью нулей остановимся на интересной работе

В. А. Кондратьева [21], установившего, в частности, для  =  + , где

 = 3, 4 и () строго знакопостоянна, теоремы типа: между соседними
нулями решения уравнения  = 0 лежит не более m нулей любого
нетривиального решения этого же уравнения. Здесь  = 2 при  = 3;
 = 3 при  = 4, () < 0;  = 4 при  = 4, () > 0. В части, относящейся
к  = 3, этот результат был распространен А. М. Ахундовым и А. Тораевым
3

[22] на операторы вида  =
+  + , где () < 0 и () строго
3


знакопостоянна. Однако естественная граница применимости приведенных
теорем В. А. Кондратьева лежит дальше: они справедливы на промежутке
 для всех операторов (третьего или четвертого порядка) вида  =
= 0 + , где 0 ∈ 0  и () знакопостоянна в . Здесь содержится, в
частности, результат [22], поскольку при 2 () 6 0 на 
(︂ 2
)︂
3
2




+ 1 2 + 2 =
+ 1 + 2
∈ 0 
3
2






в силу полугруппового свойства класса 0 , которое вытекает из разложе­
ния Пойа—Маммана. Точно так же при  = 4 убеждаемся, например, что
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4
эти теоремы о перемежаемости нулей остаются в силе для операторов 4 +

(︂
)︂


+

+ , где () 6 0 и () знакопостоянна ( ∈ ); действительно,


из () 6 0 на  следует, что
(︂
)︂
(︂
)︂
4


 2

+

=
+

∈ 0 .
4 

 2

Обоснование приведенного обобщения в основном следует схеме доказа­
тельства В. А. Кондратьева [21] с привлечением соотношения
{ ∈ 0 , () > 0 в } →  + (−1)  ∈ −, .
Упомянем также работы румынских математиков (Е. Молдован [23],
О. Арамэ [24] и др.) выяснивших роль неосцилляции в круге вопросов,
связанных с известной теоремой В. А. Маркова [25] о сохранении переме­
жаемости нулей многочленов при дифференцировании.
Много дает неосцилляция при изучении асимптотики решений. Так, в
[26] показано, что для уравнения 
¨ + ()˙ + () = 0 c (), знакопостоян­
ной вблизи , вопросы об ограниченности решений в (0 , ), о стремлении
решений к нулю при  ↑  и некоторые другие вопросы того же типа сво­
дятся при  ∈ 0 (0 , ) к нескольким квадратурам над , ; в случае осцил­
ляции о таком сведе́нии говорить не приходится. Далее, хорошо известно,
что вопрос о ляпуновских зонах устойчивости для уравнения х̈ + () = 0
с -периодической () тесно связан с расстояниями между нулями реше­
ний (см. Н. Е. Жуковский [27], М. Г. Крейн [28], В. А. Якубович [29]* );
в частности, все решения ограничены на (−∞, ∞), если ()(̸≡ 0) неот­
2
рицательна в среднем и 2 +  ∈ 0 [,  + ] при любом  ∈ [0, ) (в

этом случае мы имеем дело с нулевой зоной устойчивости). Что касается
уравнений произвольного порядка, то некоторые применения соображений,
основанных на неосцилляции, к асимптотическим оценкам решений, как
уже говорилось, будут продемонстрированы в § 5.
Существенная информация об асимптотике содержится, конечно, и в са­
мом факте отсутствия колеблющихся при  ↑  решений, непосредственно
вытекающем из  ∈ 0 (0 , ). Здесь уместно отметить, что неосцилляцион­
ность конца  (т.е. существование 0 ∈ [, ) такого, что  ∈ 0 (0 , ))
является при  > 3 более сильным требованием, нежели отсутствие 
(1.1) колеблющихся при  ↑  решений. Поясним это следующим приме­
)︁
(︁
3
ром. Пусть оператор  = 3 + . . . отвечает фундаментальной системе

*
По этому поводу см. также обзорную статью В. М. Старжинского (ППМ 18 (1954)).
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
решений
1 = 1,
2 = 1/2 + sin ,
3 =  − 2 cos .
Поскольку вронскиан этой системы
1
2 + sin  + −1/2 cos  + −3/2 (1 + 2 sin ) > 0 (0 <  < ∞),
4
то коэффициенты  непрерывны в (0, ∞). Уравнение  = 0 не имеет
колеблющихся при  → ∞ решений, так как каждое отличное от константы
решение ведет себя при больших  либо как  1/2 , либо как   ( ̸= 0). В то
же время правый конец интервала (0, ∞) не является неосцилляционным;
более того, для сколь угодно больших 0 ,  найдется нетривиальное решение
() уравнения  = 0 такое, что  (0 , ∞) > . Чтобы убедиться в этом,
достаточно взглянуть на решения вида 1/2 − 1/2 + sin  с большим .
Очень интересна связь между неосцилляцией и теорией осцилляционных ядер, ведущей свое начало от работ О. Келлога (рассматривавше­
го лишь симметричные ядра) и получившей весьма значительное разви­
тие в работах Ф. Р. Гантмахера и М. Г. Крейна (см. [30–33]). Упомяну­
тая выше связь обнаружена М. Г. Крейном (строго говоря, у М. Г. Крей­
на вместо неосцилляции фигурирует возможность разложения (1.3), но,
как отмечалось, одно сводится к другому) и иллюстрируется утверждением
[31], которое можно сформулировать следующим образом. Пусть  (, )
( 6 ,  6 ) — функция Грина оператора L при краевых условиях
  >  − ,
  > .
(1.7)
Каждое из ядер (−1)  (, ) ( = 1, 2, . . . ,  − 1) является осцилляцион­
ным в том и только том случае, если  ∈ 0 [, ]. Обращаем внимание
на различие в терминологии: неосцилляция решений эквивалентна осцил­
ляционности функций Грина, взятых с соответствующими знаками. Как
известно, осцилляционность ядра влечет за собой ряд сильных следствий;
в частности, из приведенного результата М. Г. Крейна вытекает, что зада­
ча  = ()  ( ∈ 0 [, ], () > 0) при краевых условиях (1.7) имеет
только вещественные собственные значения, совпадающие по знаку с
(−1) , причем -я собственная функция имеет в (, ) ровно  − 1 нуль
(см. [30, 31]). Итак, хотя доказательства признаков неосцилляции часто
напоминают по характеру оценку первого собственного значения, фактиче­
ски неосцилляция связана с существенно более «глубинными» свойствами
оператора .
Остановимся в этой связи еще на одном идейном моменте. Ф. Р. Гант­
махер и М. Г. Крейн в монографии [33] (стр. 13) высказывают мнение,
что при изучении колебаний (в плане теории осцилляционных ядер) аппа­
рат интегральных уравнений является, сравнительно с дифференциальны­
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ми уравнениями, «наиболее естественным со всех точек зрения». С этим
авторитетным мнением нельзя не согласиться, если иметь в виду изучение
следствий осцилляционности функций Грина; однако с точки зрения про­
верки самого факта осцилляционности дело обстоит иначе — здесь диф­
ференциальные уравнения играют решающую роль, о чем свидетельствуют
в первую очередь собственные исследования этих же авторов. Напомним,
что осцилляционное ядро (, ) ( 6 ,  6 ) характеризуется следующи­
ми неравенствами: (, ) > 0 ( < ,  < ) и
(︂
)︂
1 < 2 < · · · < 

det |( ,  )|1 > 0  <
<  ( = 1, 2, . . . ), (1.8)
1 < 2 < · · · < 
причем при  =  ( = 1, 2, . . . , ) неравенства (1.8) должны быть стро­
гими. Прямая проверка выполнения счетного числа неравенств (1.8) для
конкретных ядер представляется, за исключением некоторых тривиальных
случаев, практически недоступной и, если бы не существовало косвенных
способов такой проверки, теория осцилляционных ядер представляла бы,
пожалуй, лишь академический интерес. Существенно, что такие способы
имеются, если (, ) — функция Грина (с точностью до знака) оператора
 ∈ 0 (, ) при подходящих краевых условиях. Именно, в [33] показано
(гл. III, § 6), что неравенства (1.8) эквивалентны, приблизительно говоря,
следующему: интегральный оператор, порожденный ядром (, )(> 0), не
повышает числа перемен знака. Эта переформулировка все еще выглядит
неэффективной. Однако, переходя далее к обратному дифференциальному
оператору , получаем следующее: оператор , примененный к гладким
функциям, удовлетворяющим краевым условиям, не понижает числа пере­
мен знака. А это утверждение при подходящих краевых условиях, скажем,
при условиях (1.7), проверяется уже без особого труда с помощью разложе­
ния (1.3) и соображений типа теоремы Ролля. Как видим, дифференциаль­
ное уравнение выступает здесь на первый план. (Аргументация П. Д. Ка­
лафати [34] также существенно использует специфику дифференциальных
уравнений, хотя и в более завуалированном виде.) Важна и следующая
сторона дела, которая до сих пор, по-видимому, не подчеркивалась. Полу­
чение «явного» выражения для функции Грина или для разложения (1.3)
возможно, очевидно, в том и только том случае, когда известна фунда­
ментальная система решений (1.1). В то же время в приведенной схеме
имеет значение лишь существование разложения (1.3), т. е. сам факт неос­
цилляции, для проверки которого известен ряд эффективных признаков,
например, теоремы валле-пуссеновского типа (см. ниже), требующие лишь
некоторых оценок для коэффициентов  () и отнюдь не предполагающие
знания фундаментальной системы. Таким образом, в данном случае при­
знаки неосцилляции не только дают возможность проверять осцилля­
ционность функции Грина (, ) (взятой с соответствующим знаком),
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
минуя неравенства (1.8), но, более того, позволяют осуществлять та­
кую проверку, когда даже получение явного аналитического выражения
для (, ) заведомо невозможно. Конечно, приведенная схема проверки
осцилляционности применима в чистом виде лишь при некоторых краевых
условиях; для более широкого класса краевых задач неосцилляция явля­
ется, вообще говоря, лишь необходимым, но не достаточным условием ос­
цилляционности (с точностью до знака) функции Грина. Однако и в этих
случаях, несомненно, могут быть указаны эффективные признаки осцилля­
ционности, не опирающиеся, в отличие от известных, на явное представ­
ление  в виде (1.3) (т. е. на знание решений уравнения  = 0). Эта
проблематика представляется весьма перспективной.
1.3. Сделанный выше обзор, как нам кажется, убедительно подтверждает
актуальность вопроса об эффективных способах проверки неосцилляции.
Известные в этом направлении результаты можно подразделить на несколь­
ко типов.
Если оставить в стороне результаты, относящиеся к классическому во­
просу о неколебательности при  ↑  решений уравнений второго порядка,
то наиболее многочисленными являются признаки неосцилляции валле-пус­
сеновского типа [9, 35–38], отражающие тот факт, что «в малом» неосцил­
ляция всегда имеет место, и формулируемые обычно в виде
 ( − , ‖1 ‖, ‖2 ‖, . . . , ‖ ‖) 6 0 →  ∈ 0 [, ],
(1.9)
зачастую с теми или иными модификациями (строгий знак неравенства,
заключение в виде  ∈ 0 (, ) и т. п.). Здесь  (0 , 1 , . . . ,  ) — функция,
возрастающая по всем аргументам, причем обычно
 (0, 1 , 2 , . . . ,  ) < 0,
 (0 , 0, 0, . . . , 0) < 0.
Нормы для коэффициентов могут выбираться по-разному, например,
‖ ‖ = sup | ()|, ‖ ‖ =
66
{︁∫︁

}︁1/
| ()| 

(1 6  < ∞) и т.п.
(1.10)

Условие  6 0 в (1.9) означает, приблизительно говоря, достаточную

близость  к оператору  на [, ]. Первый результат такого рода был

получен Валле-Пуссеном [35] (см. также [39]); позднее были найдены раз­
личные улучшения и обобщения теоремы Валле-Пуссена; см. ниже пункт
4.5. Как в [35], так и в ряде других работ, наряду с линейными рассмат­
ривались также квазилинейные уравнения, которых мы здесь не касаемся.
Специфическое достоинство валле-пуссеновских признаков состоит в том,
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
что их условия всегда выполняются на достаточно малом промежутке; точ­
нее, при любых фиксированных  и  ∈ (, ) посылка импликации (1.9)
имеет место, если  (> ) достаточно близко к  (предполагается, конечно,
что коэффициенты  принадлежат соответствующему функциональному
пространству; если, например, норма введена первым из равенств (1.10),
то  должны быть локально ограничены в (, )). Некоторые из извест­
ных признаков неосцилляции этого типа, главным образом для операторов

младших порядков и для двучленных операторов  + , имеют относи­

тельно используемых характеристик коэффициентов неулучшаемый харак­
тер. Они представляют интерес не только сами по себе, но отчасти и как
своеобразный полигон для применения и отшлифовки различных средств
оптимизации, среди которых наиболее употребительны: теоремы сравне­
ния чаплыгинского типа, тесно связанные с абстрактной теорией положи­
тельных операторов; классическое вариационное исчисление (вместе с ва­
риационными свойствами собственных значений самосопряженных задач);
принципы оптимального управления, разработанные школой Л. С. Понтря­
гина. Укажем некоторые работы, где можно найти признаки неосцилляции
2
неулучшаемого характера: для 2 +  — [27–29, 40–42] (здесь превалирует

терминология, связанная с устойчивостью или с оценкой собственных зна­
чений краевых задач; вместо нормы , ввиду теоремы Штурма, оценивается
норма функции + = max{0, ()} или, более общо, функции ( + )+ =
2
2

= max{0, () + },  = const <
);
для
+  +  — [43–46];
2
2
( − )


для операторов третьего порядка [47] (здесь идет речь о разрешимости за­
дач, краевые условия которых в линейном однородном случае имеют вид
 1 >  − 1,  2 > 1; как известно, при  = 3 невырожденность таких
задач при любых несовпадающих 1 , 2 из  эквивалентна неосцилляции на

); для  +  [48, 49]. В частности, в [48] доказана теорема сравнения

{︁ 
}︁

+

∈

,

=
1,
2;

()
6
()
6

()
в

→
+  ∈ 0 , (1.11)

0
1
2


благодаря которой вопрос о неулучшаемом в терминах ,  достаточном

условии для  + ∈ 0 [, ] при  6 () 6  (и, в частности, при |()| 6 )

сводится к решению несложных трансцендентных уравнений; в [49] с помо­
щью формулы следов и упоминавшегося выше результата М. Г. Крейна [31]

получен довольно тонкий интегральный признак неосцилляции для  +

+ . Вопрос о неулучшаемом признаке неосцилляции валле-пуссеновского
типа для операторов общего вида рассмотрен в [50], однако полученный
здесь результат носит малоэффективный характер. Позднее, в 4.5 мы еще
вернемся к обсуждению отдельных эффективных признаков неосцилляции.
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Специфическим недостатком валле-пуссеновских теорем является то,
что они пригодны лишь для конечных промежутков. Разумеется, доставляе­
мые этими теоремами условия неосцилляции являются лишь достаточными
и, вообще говоря, далеки от необходимых.
С другой стороны, известен [1] критерий неосцилляции, носящий со­
вершенно иной характер и основанный на условии, которое Пойа называет
«cвойством  » оператора  на данном промежутке. Приведем на этот счет
две близкие формулировки. Через [1 , 2 , . . . ,  ]() обозначается вронскиан
функций 1 (), 2 (), . . . ,  ().
1∘ . Пусть [, ] ⊂ (, ). Для соотношения  ∈ 0 [, ] необходимо
и достаточно, чтобы нашлись решения 1 , 2 , . . . , −1 уравнения (1.1)
такие, что
[1 , 2 , . . . ,  ]() ̸= 0
( = 1, 2, . . . ,  − 1) ( 6  6 ).
(1.12)
2∘ . Пусть   — некоторое -мерное пространство функций из
 −1 [, ]. Для того чтобы каждая функция () ∈   ( ̸≡ 0) удовле­
творяла условию  [, ] 6  − 1, необходимо и достаточно, чтобы в  
нашелся базис { } такой, что
[1 , 2 , . . . ,  ]() ̸= 0 ( = 1, 2, . . . , ) ( 6  6 ).
(1.13)
Строгое знакопостоянство вронскианов существенно: наличие хотя бы изоли­
рованных нулей четной кратности может коренным образом изменить ситуацию.
Пример: фундаментальной системе 1 = 2 , 2 = −, 3 = 4 − 52 + 4 отвечает
оператор с непрерывными в (−∞, ∞) коэффициентами, так как [1 , 2 , 3 ] = 64 +
+ 8 > 0; здесь 1 = [1 , 2 ] = 2 , но 3 имеет на (−∞, ∞) 4 перемены знака.
Формулировка 1∘ несколько уступает в общности формулировке 2∘ ввиду боль­
ших требований гладкости (абсолютная непрерывность ( − 1)-х производных).
Более существенным, однако, является следующее неформальное различие. Пред­
ложение 2∘ доставляет, с точки зрения теории функций, эффективный критерий
«строгой чебышёвости» (алгоритм для отыскания соответствующего базиса может
быть указан). Критерий 1∘ естественно рассматривать в плане качественной тео­
рии дифференциальных уравнений; поскольку он опирается на знание решений
(1.1), то должен квалифицироваться как неэффективный.
Итак, известны эффективные признаки неосцилляции, с одной стороны,
и неэффективный критерий, — с другой; оптимальный вариант — «эффек­
тивный критерий» — здесь заведомо недостижим. Имеется, однако, еще
один важный класс теорем, типичным представителем которых является
следующий общеизвестный критерий неосцилляции при  = 2, также при­
надлежащий Валле-Пуссену [35]. Пусть  = 2, [, ] ⊂ (, ). Соотношение
 ∈ 0 [, ] имеет место в том и только том случае, если существует
() ∈ *1 [, ] такая, что  > 0,  6 0 ( <  6 ). Здесь и далее *  —
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
множество функций с абсолютно непрерывной в  m-й производной. Этот
простой факт, почти непосредственно вытекающий из теоремы Штурма,
весьма удобен в приложениях. Подобные теоремы, дающие необходимые
и достаточные условия тех или иных свойств решений в терминах суще­
ствования одной или нескольких «пробных» функций  (), удовлетворяю­
щих определенным неравенствам (и, может быть, равенствам типа краевых
условий), характерны для многих исследований последнего времени; это
связано с общим проникновением дифференциальных и интегральных нера­
венств в качественную теорию, которое стало особенно интенсивным после
известных работ С. А. Чаплыгина (см. [51], а также [52, 53]). Критерии
подобной структуры мы будем кратко называть полуэффективными, исхо­
дя из следующего: они не являются эффективными критериями, поскольку
отсутствует правило выбора «наилучших» пробных функций для каждого
конкретного случая; в то же время называть эти критерии неэффективны­
ми также неуместно, поскольку они позволяют посредством конкретизации
пробных функций генерировать серию и, в определенном смысле, исчерпы­
вающую серию, эффективных признаков. Приблизительно говоря, полуэф­
фективный критерий эффективен как достаточное условие и неэффективен
как необходимое. Отсюда, кстати, существенное различие между полуэф­
фективными критериями для A и для не-A: хотя в обоих случаях речь идет
в конечном счете об одном и том же, такие критерии часто далеки друг от
друга по формулировкам (ср., например, теорему 4.1 и лемму 5.1) и знание
одного из них обычно мало помогает при получении другого.
Полуэффективные критерии (приведенное описание их не претендует, конечно,
на формальную четкость) могут относиться к разнообразным свойствам решений.
Так, выше приводился полуэффективный критерий применимости теоремы Чаплы­
гина на промежутке  для операторов типа  + , где  ∈ 0 , () > 0; в [54]
отмечался полуэффективный критерий осцилляции (см. ниже лемму 5.1). С. А. Пак
получил [14] полуэффективные критерии знакопостоянства функции Грина крае­
вой задачи Штурма—Лиувилля при  = 2. Известные теоремы об устойчивости
решений уравнения ˙ =  (, ) ( — -мерный вектор), основанные на суще­
ствовании функции Ляпунова и допускающие обращение, также могут рассмат­
риваться как полуэффективные критерии устойчивости. Правда, в этом случае
пробные функции зависят от  + 1 переменных, тогда как специфика линейных
уравнений позволяет в ряде случаев ограничиться функциями одной переменной; в
линейной теории именно такие формулировки представляют, по-видимому, основ­
ной интерес. Отметим, что подобный критерий применимости теоремы Чаплыгина
для операторов общего вида до сих пор не найден.
Вернемся к неосцилляции. Вопрос о полуэффективном критерии неос­
цилляции для уравнений порядка  > 2 стоял довольно давно и в этом на­
правлении были получены некоторые результаты. Н. В. Азбелев [55] пред­
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ложил полуэффективный критерий неосцилляции для уравнений третьего
порядка; в формулировке, усовершенствованной В. А. Кондратьевым (см.
Н. В. Азбелев и 3. Б. Цалюк [56]), этот критерий выглядит следующим об­
разом. Пусть  = 3,  () ∈ *2− [, ) ( = 1, 2). Соотношение  ∈ 0 [, )
имеет место в том и только том случае, если существуют 1 , 2 ∈
∈ *2 [, ) такие, что  () = 0,  () > 0 в (, ) ( = 1, 2), 1 6 0,
(︁
)︁
3
* 2 > 0 в (, ). Здесь * = − 3 + . . . — формально сопряженный к

 оператор. Идея, на которой основан этот законченный результат, суще­
ственно связана со спецификой случая  = 3 и не допускает распростране­
ния на уравнения произвольного порядка.
Простой полуэффективный критерий неосцилляции для операторов ви­
(︁
)︁

да  + , где  ∈ 0  в частности, для  +  , a () знакопостоянна,

был предложен автором в [49]. Однако в общем случае полуэффективный
критерий неосцилляции не был известен. Этот пробел восполняет уже при­
водившаяся выше теорема 4.1.
Возможно, не лишено интереса следующее обстоятельство. Сопоставляя при­
веденные выше критерии Валле-Пуссена (для  = 2) и Пойа, естественно пред­
положить, что требуемый критерий может заключаться в существовании 1 (),
2 (), . . . , −1 (), для которых 2 − 2 функций
[1 , 2 , . . . ,  ],

( = 1, 2, . . . ,  − 1)
имеют некоторые заданные знаки. Более внимательный анализ, однако, показыва­
ет, что это не так: уже при  = 3 никакая комбинация знаков четырех функций 1 ,
[1 , 2 ], 1 , 2 на промежутке [, ] не обеспечивает (без дополнительных пред­
положений) неосцилляции в [, ] или хотя бы в (, ). Для получения корректной
формулировки систему знакоопределенных вронскианов оказалось необходимым
расширить.
1.4. Приведем список систематически применяемых ниже обозначений и
терминов. Некоторые из них будет удобнее вводить по ходу изложения. Во
избежание недоразумений мы уточняем смысл ряда употребительных тер­
минов с неустановившимся значением. Все величины, как правило, предпо­
лагаются вещественными; в дальнейшем это не оговаривается.
1∘ . Под промежутком понимается любое связное непустое подмноже­
ство вещественной прямой — конечной или расширенной. Промежутки вида
[, ], т. е. с включенными концами, именуются отрезками, промежутки ви­
да (, ), т. е. без концов, — интервалами; [, ), (, ], как и обычно, —
полуинтервалы,
2∘ . ∅ — пустое множество.
В 3∘ –5∘  — произвольный промежуток,  ⊂ (−∞, ∞).
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3∘ .    — совокупность функций (), -кратно непрерывно диффе­
ренцируемых в . [, ],   [, ] рассматриваются также как пространства
с естественной нормой.
4∘ . *  — совокупность функций () таких, что  () абсолютно
непрерывна в  (т. е. в любом отрезке [, ] ⊂ ).
5∘ . Выражение «() знакопостоянна в » («() строго знакопостоянна
в ») означает, что либо () > 0 (> 0) при всех  ∈ , либо () 6 0
(< 0) при всех  ∈ . Ниже будут неоднократно встречаться соотношения
типа () > 0, () < 0, () ̸≡ 0 ( ∈ ) и т.п., в ситуации, когда на ()
наложено лишь требование локальной суммируемости в ; в таких случаях
следует понимать эти соотношения как выполняющиеся почти всюду в 
(подобные оговорки в дальнейшем часто опускаются).
6∘ .   — кратность нуля функции () в точке  =  (0 6   6 ∞).
Точнее, неравенство   >  означает, что
() = ()
˙
= · · · = (−1) () = 0,
(1.14)
а равенство   =  означает, что при выполнении (1.14) () () либо
отлична от нуля, либо не существует (с последней возможностью, впро­
чем, мы редко будем сталкиваться). То же обозначение используется для
обобщенной кратности — см. пункт 2.2.
7∘ .   — число нулей функции () на промежутке  с учетом крат­
ности.
8∘ .   — число геометрически различных нулей () на промежутке 
(ясно, что 0 6   6   6 ∞).
9∘ .   — -й нуль () в  при нумерации в порядке возрастания с
учетом кратности (1  6 2  6 · · · 6  ,  =  ).
10∘ .   — -й нуль () в  при нумерации в порядке возрастания без
учета кратности (1  < 2  < · · · <  ,  =  ).
Обозначения  ,   будут встречаться лишь в случаях, когда
 6   < ∞,  6   < ∞ соответственно, т. е. когда они вполне опреде­
лены.
(︁   . . .  )︁

— минор матрицы , образованный строками
11∘ .  1 2
1 2 . . . 
с номерами 1 , 2 , . . . ,  и столбцами с номерами 1 , 2 , . . . ,  .
12∘ . [1 , 2 , . . . ,  ] = [1 , 2 , . . . ,  ]() — вронскиан функций 1 (),
2 (), . . . ,  (). Часто для вронскианов будут использоваться также следу­
ющие записи:
[;  . . . ] = [ , +1 , . . . ,  ] ( 6 ),
[;  . . . ∖] = [ , +1 , . . . , −1 , +1 , . . . ,  ]( 6 ).
Добавка «. . . ∖» указывает, таким образом, на исключение  . Неравен­
ство  6  6  здесь, вообще говоря, не предполагается: если  <  или
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 > , то [;  . . . ∖] = [;  . . . ]. Для удобства полагается, по определе­
нию, [; ∖]() ≡ 1.
13∘ .  = (, ) — фиксированный интервал (−∞ 6  <  6 ∞);  =
= [, ].
−1


14∘ .  =  + 1 () −1 + · · · + −1 () +  () — фиксированный



обыкновенный линейный дифференциальный оператор -го порядка с ве­
щественными и локально суммируемыми на  (т. е. на каждом отрезке
[, ] ⊂ ) коэффициентами 1 (), . . . ,  (). (Единичный оператор при  ()
для простоты опускается; это не поведет к недоразумениям, поскольку бу­
дут рассматриваться только однородные операторы.) Решениями уравнений
(1.1), как обычно, называются функции  ∈ *−1  такие, что ()() = 0
почти при всех  ∈ . Для большинства рассматриваемых ниже вопросов нет
существенной разницы между случаями непрерывных и локально суммиру­
емых коэффициентов По этой причине мы не делаем специальных оговорок
при ссылках на работы (различных авторов), где требование непрерывности
коэффициентов формально присутствует, но не влияет по существу ни на
формулировки, ни на доказательства результатов.
Отметим, что содержание настоящей работы с очевидными изменения­
ми переносится на операторы несколько более общего вида

 ()
0 ()  + · · · +  (), где 0 () > 0 в  и отношения
( = 1, 2, . . . , )

0 ()
локально суммируемы в . Игнорируя возможность этого (в сущности, фик­
тивного) обобщения, ограничимся случаем 0 () ≡ 1. Напомним, что в этом
случае оператор  однозначно восстанавливается по фундаментальной си­
стеме { } решений уравнения (1.1) формулой
 ≡
[1 , 2 , . . . ,  , ]
.
[1 , 2 , . . . ,  ]
Будем говорить, что оператор  отвечает фундаментальной системе
{ }. Ясно, что системе определенных в  функций 1 (), . . . ,  () в том и
только в том случае отвечает некоторый оператор  с локально суммируе­
мыми в  коэффициентами, если выполнены два условия:
1)  ∈ *−1  ( = 1, 2, . . . , );
2) [1 , 2 , . . . ,  ]() ̸= 0 в .
15∘ . Точка  () называется несингулярным концом интервала , если
 > −∞ ( < ∞) и коэффициенты 1 (), . . . ,  () суммируемы на некото­
ром, а следовательно, и на любом, отрезке вида [, 0 ] ([0 , ]), где 0 ∈ ; в
противном случае конец  () называется сингулярным.
16∘ .   — окрестность точки  ∈ , содержащаяся в , т. е. произволь­
ный интервал вида (1 , 2 ), где  < 1 <  < 2 < .
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17∘ . +  — правая (открытая) полуокрестность точки  ∈ [, ), содер­
жащаяся в , т. е. произвольный интервал вида (, 1 ), где  6  < 1 < .
Аналогично, левая полуокрестность −  есть интервал вида (1 , ), где  <
< 1 <  6 .
18∘ . Выражения «вблизи », «вблизи » будут часто употребляться вза­
мен выражений «в некоторой + », «в некоторой − » соответственно.
19∘ . Функция (), непрерывная вблизи (), называется колеблющейся
при  ↓  ( ↑ ), если в любой +  (− ) () не является ни строго
знакопостоянной функцией, ни тождественным нулем.
20∘ . Запись « () ≺≺ () ( ↑ 0 )» или, что то же самое, «() ≻≻  ()
( ↑ 0 )» означает, что  () и () положительны в некоторой − 0 и  =
 ()
= () при  ↑ 0 (т. е.
→ 0 при  ↑ 0 ). Аналогичен смысл соотношений
()
« ≺≺ ( ↓ 0 )», « ≻≻  ( ↓ 0 )» (разумеется, − 0 при этом заменяется на
+ 0 ).
21∘ . M — -мерное пространство решений уравнения (1.1), снабженное
какой-либо нормой. M′ — подмножество M, состоящее из нетривиальных
решений (1.1).
22∘ . N — совокупность  ∈ M′ таких, что   > .
В обозначениях M, M′ , N (и еще некоторых других, которые встре­
тятся позднее) не подчеркнута зависимость от ; это не приведет к недора­
зумениям, так как пара (, ) рассматривается как произвольная, но фик­
сированная.
23∘ . 0  — класс операторов , для которых N = ∅, т. е.  является
промежутком неосцилляции. Таким образом,  ∈ 0  ↔ N = ∅. Будет
удобно также считать, что  ∈ 0 ∅.
Обозначения N, 0  определены пока для  ⊂ ; по поводу случаев
 ⊂  см. пункт 2.2.
24∘ .  () называется неосцилляционным концом  и пишется  ̸=
̸=  ( ̸= ), если  ∈ 0 +  ( ∈ 0 − ) для некоторой +  (− );
в противном случае пишем  =  ( = ). Эти записи до 3.3 можно по­
нимать чисто формально. Несингулярный конец, очевидно, всегда является
неосцилляционным, но не обратно.
25∘ . () — сопряженная к  справа (слева) точка, см. пункт 3.3.
26∘ . Система функций  () ∈  −1  ( = 1, 2, . . . , ) называется стро­
го чебышёвской на , если всякая нетривиальная (т. е. имеющая хотя бы
один ненулевой коэффициент) линейная комбинация  = 1 1 + · · · +  
удовлетворяет условию   6  − 1. (Отличие от обычного определения
чебышёвской системы состоит в том, что здесь фигурируют  −1 ,  
вместо ,   соответственно.) Разумеется, всякая строго чебышёвская
система является чебышёвской.
27∘ . Декартова система, (+)-декартова система – см. 2.7.
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28∘ . ИФС — см. 2.2; ДИФС — см. 4.2.
29∘ . Согласованная система — см. 4.1.
30∘ . Критериями мы называем лишь необходимые и достаточные усло­
вия (оставляя для достаточных термин «признак»). О полуэффективных
критериях см. 1.3.
§ 2. Иерархия решений
В настоящем параграфе исследуется в основном поведение решений в
окрестности неосцилляционного конца интервала . Мы сосредоточим вни­
мание на поведении решений в − , отмечая попутно необходимые изме­
нения в переформулировках для + .
2.1.
Лемма 2.1. Пусть   — некоторое -мерное пространство непрерывных
в  функций. Следующие два утверждения эквивалентны:
1) каждая  ∈   ( ̸≡ 0) строго знакопостоянна вблизи ;
2) в   существует базис { } такой, что
1 ≺≺ 2 ≺≺ . . . ≺≺  ( ↑ ).
(2.1)
Импликация 2)→ 1) и линейная независимость функций  (), удовле­
творяющих условию (2.1), очевидны; в доказательстве нуждается лишь тот
факт, что 1) влечет за собой существование в Е функций 1 (), . . . ,  (),
для которых выполняется (2.1).
1 ()
Пусть 1) имеет место. Рассмотрим отношение  () =
любых ли­
2 ()
нейно независимых 1 , 2 ∈   ; в силу 1) и непрерывности 1 , 2 функция
 () непрерывна вблизи . Кроме того, для любого числа   () ̸=  вблизи
; это следует из условия 1), отнесенного к  = 1 − 2 (̸≡ 0). Тем самым
обеспечено существование предела (конечного или бесконечного)  () при
 ↑ . Таким образом, для любых 1 , 2 ∈   , положительных вблизи ,
при  ↑  имеет место лишь одна из трех возможностей: 1 ≺≺ 2 , 1 ≻≻ 2 ,
1 ∼ 2 (0 <  < ∞).
Пусть 1 , 2 , . . . ,  — линейно независимые и положительные вблизи
 функции из   . Положим 11 = 1 . Пусть уже построена состоящая из
линейных комбинаций 1 , 2 , . . . ,  система { } «длины » (1 6  6  −
− 1): 1 ≺≺ 2 ≺≺ . . . ≺≺  ( ↑ ). Тогда система «длины  + 1» строится
так. Сравним +1 с  при  ↑ . Возможны два случая: а) при каждом ,
1 6  6  выполняется какое-либо из соотношений +1 ≺≺  , +1 ≻≻  ;
б) для некоторого  (1 6  6 ) +1 ∼   (0 <  < ∞). В первом случае,
дополняя систему { } функцией +1 , получаем после соответствующей
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
перенумерации систему «длины  + 1». Во втором случае полагаем +1
=

1
= ±(+1 −  ), выбирая знак так, чтобы +1 была положительной вблизи
1 . Воз­
, после чего повторяем то же рассуждение с заменой +1 на +1
1
1

можно, и для +1 осуществится случай б): +1 ∼ 1 1 ; однако при этом
1
заведомо 1 <  (поскольку +1
≺≺  ), так что не позднее, чем через 
шагов, случай б) уступит место а) и мы получим систему «длины  + 1».
Увеличивая таким образом число функций, придем к требуемой системе
«длины ».
2.2. Если  ̸= , то условие 1) леммы, очевидно, выполняется. Итак, если 
является неосцилляционным концом, уравнение  = 0 обладает фундамен­
тальной системой решений { ()} — мы ее будем называть иерархической
фундаментальной системой (ИФС) при  ↑ , для которой выполнены со­
отношения (2.1). Ясно, что ИФС при  ↑  не единственна; если { } —
ИФС при  ↑ , то остальные ИФС { } при  ↑  можно получить тре­

∑︀
угольными линейными преобразованиями  =
  ( = 1, 2, . . . , ) с
=1
положительными 11 , 22 , . . . ,  . «Минимальное» при  ↑  решение 1 ()
определено однозначно с точностью до положительного множителя.
Аналогично, если  ̸= , то существует ИФС { } при  ↓ , т. е.
фундаментальная система решений 1 (), . . . ,  () уравнения  = 0 такая,
что 1 ≻≻ 2 ≻≻ . . . ≻≻  ( ↓ ). Различие в нумерации для случаев  ↓ 
и  ↑  удобно по соображениям, которые станут ясны ниже.
Поскольку вместо интервала  можно было рассматривать любой его
подынтервал, то для любого 0 ∈  существуют ИФС как при  ↑ 0 , так и
при  ↓ 0 . Однако в этом случае, а также в случае несингулярных концов,
ИФС могут быть тривиально получены заданием соответствующих началь­
ных условий для  (). Например, для получения ИФС { } при  ↑ 0 ∈ 
следует выбрать начальные условия для  () в точке 0 так, чтобы
()
 (0 ) = 0 при всех  <  − ,
(−1)− −
(0 ) > 0

( = 1, 2, . . . , ),
т. е. так, чтобы  0 =  − ,  (0 − 0) > 0 ( = 1, 2, . . . , ). О начальных
условиях в сингулярном конце интервала говорить не приходится; однако
эта аналогия с несингулярным случаем подсказывает введение полезного
понятия обобщенного нуля.
Именно, пусть  ̸= , { } — ИФС при  ↑ . Условимся каждому  ∈
∈ M′ вида  = ( ) ( ↑ ) приписывать в точке  нуль кратности (> 1),
где
 есть максимальное из  таких, что  = (−+1 ) ( ↑ ).
Для остальных  ∈ M′ полагаем   = 0.
98
(2.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Эквивалентное определение   можно дать и несколько иначе:
−
{︁
}︁
∑︁
  =  ←→  =
  , − =
̸ 0 .
=1
Определенное потенциальное преимущество формы (2.2) состоит в том, что
такое определение допускает распространение на произвольные функции; это ока­
зывается полезным при исследовании краевых задач для неоднородного уравне­
ния  =  с сингулярными краевыми условиями, состоящими в ограничении
на порядок роста () при  ↑ . Если  ̸= , то такие условия по ряду причин
целесообразно трактовать как условия вида   >  с соответствующим значени­
ем ; при этом связь между сингулярными и несингулярными краевыми задачами
становится чрезвычайно рельефной. В настоящей работе мы не сможем сколько­
нибудь подробно остановиться на задачах с обобщенными кратностями в краевых
условиях.
Аналогично, если  ̸= , { } — ИФС при  ↓ , то приписываем в точке

∑︀
 нуль кратности  каждому решению вида
  , +1 ̸= 0. Решению
=+1
 ≡ 0 в  и  (как и в остальных точках), естественно, приписывается
нуль кратности ∞. Ясно, что для несингулярных концов обобщенная крат­
ность совпадает с обычной. Всюду в дальнейшем кратности  ,  
понимаются исключительно как обобщенные.
Таким образом, если  ̸= ,  ̸= , то, присоединив к  «несобствен­
ные» элементы , , мы получаем возможность производить подсчет нулей
решений на расширенном промежутке  = [, ]; такие обозначения, как
 ,  , 0  и т. п., распространяются на  ⊂  естественным образом.
То же относится к полуинтервалам [, ) или (, ], если неосцилляцион­
ным является лишь один из концов.
Обобщенная кратность имеет много общего с обычной: 0 6   6  − 1
для всех  ∈ ,  ∈ M′ ; при любом  ∈  совокупность  ∈ M таких, что
  >  (0 6  6  − 1), образует в M ( − )-мерное подпространство. В
обоих случаях величина   характеризует скорость убывания (или роста)
()
решения () при  →  :
→ 0 при  →  (,  ∈ M′ ,  ∈ ) в
()
том и только том случае, если   >  . Однако здесь имеется одно
существенное различие: в несингулярном случае связь между кратностью
и ростом является стандартной, в сингулярном же определяется оператором
2
2

. Так, если  = 2 − 1, то  ∞ = 0, тогда как при  = 2 − 3 +



+ 2  ∞ = 1.
Вот еще несколько примеров. Для фундаментальной системы { }, по
которой определялся оператор  третьего порядка в 1.2, имеем: 1 0 =
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2

+ 2 ∈ 0 [0, ∞], если  < 1/4; однако
2

2
2
1
√ 0 = √ ∞ = 1. Точно так же
+
∈
̸

[0,
∞],
так
как

̸∈
0


2
42
2
̸∈ 0 [−∞, ∞] поскольку 1 [−∞, ∞] = 2. Вообще, если  — оператор с
постоянными коэффициентами, то  ∈ 0 [−∞, ∞] в том и только том
случае, если все корни характеристического уравнения вещественны и
различны (для  ∈ 0 [−∞, ∞] нужна, конечно, лишь вещественность кор­
ней). Доказательство этого факта несложно и предоставляется читателю.
= 3 0 = 0, 2 0 = 1. Далее,
2.3.
Лемма 2.2. Если (), () ∈    ( ∈ ),   = ,   >  − 1, то при
достаточной малости || имеем +   > .
На этом очевидном замечании основан специфический прием доказа­
тельства, который можно было бы назвать «возмущением нулей» и которым
мы дважды воспользуемся ниже (см. также [57]).
Лемма 2.3.
0 (, ) = 0 (, ] = 0 [, ).
Из соображений симметрии достаточно проверить, что 0 (, ) ⊂ 0 (, ].
Итак, пусть  ∈ 0  и { } — ИФС при  ↑ .
Обозначим через Mi множество  ∈ M′ таких, что   > ,   >  −
−  ( = 1, 2, . . . , ); мы должны доказать, что Mi = ∅ ( = 1, 2, . . . , ).
Для  =  это верно, так как  ∈ 0 . Пусть уже установлено, что M =
= M−1 = · · · = M+1 = ∅ (1 6  6  − 1); покажем, что тогда и M = ∅.
Предположим противное: M ̸= ∅. Пусть  ∈ M — решение, максими­
зирующее   по  ∈ M :

 =   >   для всех  ∈ M .
(2.3)
Поскольку M+1 = ∅, то   = , поэтому 1 6  6 . Пусть  =  ,  =
=   ( = 1, 2, . . . , ) (1 +· · ·+ = ). Введем в рассмотрение решение  ∈
∈ M′ следующим образом. Пусть вначале  < ; подчиним () требованиям
  >  − 1 ( = 1, 2, . . . , ),
(2.4)
  >  −  − 1,
(2.5)
(1 ) = (2 ) = · · · = ( ) = 0,
(2.6)
где  — какие-либо точки , отличные от 1 , . . . ,  и друг от друга. Усло­
вия (2.4) — (2.6) определяют в M подпространство, размерность которого
не превышает  − 1; поэтому выбор соответствующей () ̸≡ 0 возможен.
Заметим, что (2.5) допускает следующее уточнение:
  =  −  − 1.
100
(2.7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В самом деле, так как  < , то хотя бы одно из чисел 1 , . . . ,  больше
1 и, следовательно, в силу (2.4), (2.6)   >  + 1. С другой стороны, те
же соотношения (2.4), (2.6) показывают, что   > ; поэтому неравенство
  >  − , означающее, что  ∈ M , невозможно из-за (2.3).
Мы определили () для случая  < ; если же  =  (т. е. если все
нули () в  простые), положим  = +1 . Соотношения (2.4), (2.7), а
нам только они и понадобятся, выполняются в этом случае тривиальным
образом.
Выберем  1 , . . . ,   , −  так, чтобы они попарно не пересекались и
() не имела нулей в − . Положим
()
() ( ∈ − ).
()
()
→ 0 ( ↑ ). Поэтому если 
В силу (2.7)   >  −  >  , так что
()
достаточно близко к , то в соответствии с леммой 2.2 и (2.4)
() = (, ) = () −
   >  ( = 1, 2, . . . , ).
Кроме того,очевидно, что () = 0, откуда   >  + 1. Поскольку
  =   =  −  − 1, то  ∈ M+1 = ∅. Мы пришли к противоречию.
Ввиду произвольности  лемму 2.3 можно, конечно, сформулировать и
так: 0 (1 , 1 ) = 0 (1 , 1 ] = 0 [1 , 1 ) для любых 1 , 1 ∈ (1 < 1 ). Нa
подобных очевидных переформулировках (не содержащих ничего нового,
кроме букв) впредь не останавливаемся.
2.4.
Следствие 2.1. Если  ∈ 0  и { } — ИФС при  ↑ , тo [; 1 . . . ]() ̸= 0
в  ( = 1, 2, . . . ,  − 1).
Действительно, если [; 1 . . . ](0 ) = 0 для некоторых (1 6  6  − 1) и
0 ∈ , то система уравнений

∑︁
()
  (0 ) = 0
( = 0, 1, . . . ,  − 1),
=1
имела бы нетривиальное решение 1 , 2 , . . . ,  ; тогда для  = 1 1 + · · · +
+   (̸≡ 0) оказалось бы, что  0 > , и, поскольку   >  − , что
 (, ] >  [0 , ] > , вопреки лемме 2.3.
Аналогично, если  ∈ 0  и { } — ИФС при  ↓ , то [;  . . . ] ̸= 0 в
 ( = 2, 3, . . . , ).
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следствие 2.2. Условие  ∈ 0  необходимо и достаточно для того,
чтобы оператор  допускал на  разложение (1.3).
Необходимость доказана в мемуаре Г. Пойа [1] и, независимо, в более
поздней работе Г. Маммана [2], частично пересекающейся с [1]. Конкрет­
ный вид множителей ℎ () в (1.3) определяется формулами [1] (см. также
[58])
ℎ0 =
1
2
, ℎ =
1
−1 +1
( = 1, 2, . . . ,  − 1),
ℎ =

,
−1
где 0 () = 1,  () = [; 1 . . . ] ( = 1, 2, . . . , ), { } — фундаментальная
система решений уравнения  = 0, удовлетворяющая условиям
[; 1 . . . ]() ̸= 0 в 
( = 1, 2, . . . ,  − 1).
(2.8)
Существование такой фундаментальной системы («свойство  ») эквива­
лентно, таким образом, возможности разложения (1.3). Отметим, что Г. Мам­
мана записывает разложение  в несколько иной форме,
)︁(︁ 
)︁
(︁ 
)︁
(︁ 
− 
− −1 . . .
− 1
=



˙  ˙ −1
−
( = 1, 2, . . . , ),
 () =
 −1
где  () имеют прежний смысл; переход от одной формы к другой не
составляет труда.
В части, относящейся к достаточности, следствие 2.2 доказано в [1, 2]
лишь частично; именно, установлено, что  обладает на  «свойством  »
и, следовательно, допускает разложение (1.3), если  ∈ 0 [, ). Доказы­
вается это в обеих работах одинаково: начальные условия в точке  для
1 , 2 , . . . , −1 выбираются так, чтобы
(−−1)
 () = ˙ () = · · · = 
() = 0,
(−)

() ̸= 0
( = 1, 2, . . . ,  − 1);
отсюда и из  ∈ 0 [, ) легко следует (2.8). Этот простой прием приме­
ним, очевидно, лишь в случае несингулярности  (или , поскольку  и
 можно поменять ролями). Если же, например,  = (−∞, ∞), то мето­
дика Пойа—Маммана позволяет установить возможность разложения (1.3)
на любом полубесконечном промежутке, но не на всей прямой. Поскольку
следствие 2.1 не опиралось на несингулярность концов , то тем самым
импликация « ∈ 0  → разложение (1.3)» доказана в общем случае.
В связи с этим должна быть упомянута недавняя работа А. И. Перова,
где предложен интересный способ доказательства той же импликации, ос­
нованный на совершенно иных соображениях, связанных с выпуклостью,
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и, в частности, на теореме о разделяющей гиперплоскости. Наш способ
уступает методу Перова в геометрической наглядности, но зато позволяет
попутно установить, что условие (2.8) выполняется, в частности, для ИФС
при  ↑  (или  ↓ , при соответствующей перенумерации); для дальней­
шего это весьма существенно.
По поводу факторизации конечноразностных операторов см. [59].
2.5. Хотя следствие 2.1 оказалось достаточным для выяснения возможно­
сти разложения Пойа—Маммана, в других отношениях бывает важно знать
знаки [; 1 . . . ] и прочих вронскианов, связанных с ИФС. Прежде чем пе­
рейти к этому вопросу, напомним два известных факта.
Лемма 2.4 (см., например, [58]). Справедлива формула
 [; 1 . . .  + 1∖]
[; 1 . . .  − 1][; 1 . . .  + 1]
=

[; 1 . . . ]
[; 1 . . . ]2
(2.9)
при всех , где правая часть определена (т. е. где 1 , . . . , +1 -кратно
дифференцируемы  [; 1 . . . ]() ̸= 0).
Лемма 2.5 (М. Фекете [60]). Если положительны все миноры вида
)︂
(︂
1
2
...
−1


  + 1 ...  +  − 2  +  − 1
( = 1, 2, . . . , ;  = 1, 2, . . . ,  −  + 1)
некоторой  × -матрицы  ( 6 ), то положительны и все миноры
вида
(︂
)︂
1 2 ...  − 1 

 2 . . . −1 
(1 6 1 < 2 < · · · <  6 ,
1 6  6 ).
Строки и столбцы можно, конечно, поменять ролями. Доказательство
леммы Фекете можно найти также в монографии [33] (стр. 306-307).
2.6. Следующее предложение послужит весьма полезным инструментом в
дальнейших рассмотрениях.
Лемма 2.6. Пусть функции  () ∈ *−2  ( = 1, 2, . . . , ) ( > 2) тако­
вы, что
1 ≺≺ 2 ≺≺ . . . ≺≺  ( ↑ ),
[; 1 . . . ] () знакопостоянна в 
103
(2.10)
(2.11)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и для некоторого  (1 6  6 )
∀ (1 6  6 ) [; 1 . . . ∖]() ̸= 0 на .
(2.12)
[; 1 . . . ]() > 0 на ,
(2.13)
∀ (1 6  6  − 1) [; 1 . . . ]() > 0 на 
(2.14)
Тогда
и для любого возрастающего набора индексов (1 6 ) 1 < 2 < · · · <
<  ( 6 ), где  6  − 1,
(2.15)
[1 , 2 , . . . ,  ]() > 0 вблизи .
Будем доказывать лемму индукцией по . Так как при  = 2 она
тривиальна, считаем ее уже доказанной для систем, содержащих  − 1
функций.
Отметим вначале, что
[; 1 . . . ] ̸≡ 0 в любой − .
(2.16)
Действительно, в противном случае оказалось бы   ≡ 0 вблизи ,
где  — оператор, отвечающий фундаментальной системе 1 , . . . , −1 ,
+1 , . . . ,  . Но вытекающая отсюда линейная зависимость 1 , . . . ,  вбли­
зи , очевидно, несовместима с (2.10).
Нашей ближайшей целью является доказательство соотношения:

если  < , то () =
[; 1 . . .  − 1]
→0
[; 1 . . . ∖]
( ↑ ).
(2.17)
Так как [; 1 . . . ∖] ̸= 0 в , то () абсолютно непрерывна в  и, в
соответствии с (2.9),
˙ = −
[; 1 . . .  − 1∖][; 1 . . . ]
[; 1 . . . ∖]2
( < ).
(2.18)
Ввиду (2.11) и (2.12) правая часть знакопостоянна на , так что () (нестро­
го) монотонна в . Предположим, что (2.17) не выполнено; тогда при  ↑ 
() стремится к ненулевому пределу (конечному или бесконечному). Пусть
постоянная  совпадает по знаку с числителем () вблизи  и достаточно
велика по абсолютной величине; тогда
[; 1 . . . ∖] − [; 1 . . .  − 1] < 0 в некоторой − .
(2.19)
Определим систему функций {′ } следующим образом:
′ 1 = 1 , . . . , ′ −1 = −1 ; ′  = +1 , . . . , ′ −2 = −1 ,
′ −1 =  + (−1)−  . (2.20)
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Неравенство (2.19) перепишется теперь в виде
[′ ; 1 . . .  − 1] < 0 в некоторой − .
(2.21)
Очевидно, ′ 1 ≺≺ ′ 2 ≺≺ . . . ≺≺ ′ −1 ( ↑ ); сопоставляя это с (2.12),
(2.21), видим, что система (2.20) удовлетворяет на интервале  ′ = − 
всем условиям леммы (с заменой  и  на  − 1). Отсюда согласно пред­
положению индукции вытекает, что [′ ; 1 . . .  − 1] > 0 в − . Полученное
противоречие с (2.21) доказывает (2.17).
В силу (2.16) и (2.18)  ̸≡ 0 в любой − . Учитывая (2.17) и (нестрогую)
монотонность  на , заключаем, что  строго знакопостоянна в , т. е.
[; 1 . . .  − 1] ̸= 0 в .
(2.22)
Мы доказали (2.22) для случая  < ; если же  = , то (2.22), конечно,
не нуждается в доказательстве, так как содержится в предпосылке (2.12).
Соотношения (2.12) и (2.22) показывают, что система 1 , 2 , . . . , −1
попадает в сферу действия индуктивного предположения (с тем же , если
 < ; при  =  в качестве нового  здесь можно выбрать −1). Поэтому
справедливы неравенства (2.14) (строгое знакопостоянство [; 1 . . .  − 1]
вытекает из (2.22)) и
∀,  (1 6  6  6  − 1) [;  . . . ] > 0 вблизи .
(2.23)
∀ (2 6  6  − 1) [; 2 . . . ] > 0 вблизи .
(2.24)
В частности,
Следующим этапом будет проверка неравенства
[; 2 . . . ] ̸= 0 вблизи .
(2.25)
Если  = 1, оно не нуждается в доказательстве ввиду (2.12). Пусть
 > 1; по той же формуле (2.9)
 [; 2 . . . ]
[; 2 . . .  − 1][; 1 . . . ]
=
.
 [; 1 . . .  − 1]
[; 1 . . .  − 1]2
(2.26)
Правая часть знакопостоянна вблизи  в силу (2.11), (2.24) и притом, со­
гласно (2.16), не обращается в тождественный нуль ни в какой − . От­
сюда вытекает, что дифференцируемое отношение, будучи в соответствии
с (2.22) абсолютно непрерывной в  функцией, (нестрого) монотонно, а
следовательно, строго знакопостоянно вблизи . Итак, (2.25) доказано.
Соотношения (2.24) и (2.25) показывают, что система {′′ }, которую
определим равенствами ′′ = +1  = 1, 2, . . . ,  − 1, удовлетворяет услови­
ям леммы (с заменой  и  на  − 1) на некотором интервале  ′′ = − .
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отсюда, в соответствии с предположением индукции и неравенством (2.25),
∀,  (2 6  6  6 ) [;  . . . ] > 0 вблизи .
(2.27)
Сопоставление (2.23) и (2.27) дает
∀,  (0 6  −  6  − 2) [;  . . . ] > 0 вблизи .
(2.28)
()
Лемма Фекете, отнесенная к ( − 1) × -матрице ‖ ‖ ( = 0, 1, . . . ,  − 2;
 = 1, 2, . . . , ), показывает, что из (2.28) вытекают неравенства (2.15).
Наши несколько утомительные манипуляции приближаются к концу:
осталось доказать лишь (2.13). В случае  <  (2.13) непосредственно
усматривается из (2.15), (2.17) и (2.18): из (2.15) следует, что  > 0 в
, поэтому ˙ 6 0 вблизи  в силу (2.17) и монотонности  вблизи . В
случае же  =  заметим следующее обстоятельство: в силу (2.24) най­
дется такая − , что условия леммы остаются выполненными для системы
1 , 2 , . . . ,  , если заменить  на  ′ = −  и  =  на ′ = 1. Поэтому со­
гласно сказанному выше (2.13) справедливо вблизи ; но отсюда, учитывая
(2.11) и (2.16), заключаем, что оно справедливо и на всем .
При переформулировке леммы на случай  ↓  следует заменить  на
, (2.10) — на условие «1 ≻≻ . . . ≻≻  ( ↓ )», [; 1 . . . ∖] в (2.12) — на
[;  . . . ∖] и, наконец, (2.14) — на неравенство
∀ (2 6  6 ) [;  . . . ]() > 0 на .
2.7. Следующее предложение частично носит итоговый характер.
Теорема 2.1 (об иерархии). Пусть  ∈ 0 . Тогда уравнение  = 0 об­
ладает иерархическими фундаментальными системами решений { }
при  ↑ , т. е. системами решений { }, удовлетворяющими соотноше­
нию (2.1). Каждая ИФС при  ↑  обладает следующими свойствами:
а) [; 1 . . . ]() > 0 в  ( = 1, 2, . . . , );
б) для любого возрастающего набора индексов (1 6 ) 1 < 2 < · · · <
<  ( 6 )
[1 , 2 , . . . ,  ]() > 0 вблизи  (1 6  6 );
в) если { } и { } ( = 1, 2, . . . , ; 1 6  6  − 1) — два различных
возрастающих набора индексов, причем  6  ( = 1, 2, . . . , ), то
[1 , 2 , . . . ,  ]() ≺≺ [1 , 2 , . . . ,  ]() ( ↑ ).
(2.29)
Для случая  ↓   заменяется на , (2.1) — на «1 ≻≻ . . . ≻≻ 
( ↓ )» и [; 1 . . . ] в а) — на [;  . . . ].
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание теоремы, за исключением утверждения в), обосновано вы­
ше; в частности, для получения б) достаточно сопоставить следствие 2.1 и
лемму 2.6 (при  =  = ).
Докажем в). Заметим прежде всего, что от { } к { } можно перейти,
увеличивая на каждом шаге лишь один из индексов, причем все промежу­
точные наборы индексов также будут возрастающими ( заменяется на  ,
затем −1 на −1 и т.д.). Это позволяет ввиду транзитивности отношения
«≺≺» ограничиться случаем
{︀
}︀
∃  (1 6  6 )  <  ;  =  при всех  ̸=  .
(2.30)
Теперь появляется возможность воспользоваться эффективным приемом,
подобный которому уже применялся при доказательстве леммы 2.6. Имен­
но, так как  <  , то, каково бы ни было число , система
1 , . . . ,  −1 , ′ ,  +1 , . . . ,  , где ′ =  −  ,
является ИФС при  ↑ . Поэтому согласно б)
[1 , . . . ,  −1 , ′ ,  +1 , . . . ,  ] = [1 , . . . ,  ]−[1 , . . . ,  ] > 0 вблизи 
Поскольку  произвольно велико, это доказывает (2.29).
Теорема 2.1 достаточно полно описывает поведение решений в окрестно­
сти неосцилляционного конца. Она показывает, в частности, что «иерархия»
распространяется не только на решения, но и на их производные, правда,
лишь в специфической форме (2.29), связанной с вронскианами; утвержде­
()
()
ние «| | ≺≺ | | при  <  ( ↑  ̸= )» было бы некорректным при  > 0
()
уже по той причине, что, как показывают простые примеры,  () могут
колебаться при  ↑ (̸= ).
Как уже отмечалось, для существования системы решений { }, удовле­
творяющей условию (2.1), достаточно лишь того, чтобы решения не колеба­
лись при  ↑ ; в то же время для а), б), в) предположения о неосцилляции
—  ∈ 0  для а),  ̸=  для б) и в), являются, конечно, необходимыми. Так,
возвращаясь к уравнению третьего порядка, рассмотренному в 1.2, имеем
1 ≺≺ 2 ≺≺ 3 при  → ∞ (= ∞), причем вронскиан [1 , 2 ] = −1/2 /2+cos 
колеблется при  → ∞.
Нетрудно видеть, что неравенства типа (2.29) имеют место и в условиях
леммы 2.6; доказательство вполне аналогично. Отметим еще, что для тео­
ремы об иерархии был использован лишь частный случай  =  леммы 2.6;
при этом условие (2.11) и требование гладкости выполнялись, так сказать,
«с запасом». Однако позднее, в § 5, лемма 2.6 понадобится нам в большей
общности.
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В заключение остановимся на одной переформулировке утверждения б).
Говорят (см. [58]), что система функций  () ∈ *−1  ( = 1, 2, . . . , ) удо­
влетворяет правилу Декарта на , или, короче, является декартовой на ,
если для любой нетривиальной линейной комбинации  = 1 1 + · · · +  
величина   не превосходит числа перемен знака в последовательности
1 , 2 , . . . ,  . Как показано в [58], для этого необходимо и достаточно, что­
бы при любом  (1 6  6 ) все вронскианы вида
[1 , 2 , . . . ,  ]
(1 6 1 < 2 < · · · <  6 )
(2.31)
имели на  один и тот же строгий знак, зависящий лишь от  (в [58] пред­
полагается, что  — интервал, но это несущественно). Если при всех 
вронскианы (2.31) положительны на , естественно называть систему { }
(+)-декартовой на ; таким образом, (+)-декартовы системы образуют
подкласс декартовых. Утверждение б) теоремы 2.1 можно теперь сформули­
ровать так: любая ИФС при  ↑ ( ↓ ) является (+)-декартовой вблизи
().
§ 3. Некоторые вопросы распределения нулей
Здесь, опираясь на изложенное в части § 2, мы установим некоторые
закономерности распределения нулей решений уравнения () = 0 в рас­
ширенном промежутке ¯ = [, ], который, если  = −∞ или  = ∞,
снабжается топологией расширенной числовой прямой. Обычно не будет
предполагаться, что  ∈ 0 ; поэтому рассмотрения настоящего параграфа,
по сравнению с предыдущим, носят несколько более «глобальный» харак­
тер.
3.1.
Лемма 3.1. Пусть при  → ∞  () → () в M ( ,  ∈ M′ ),  ,  → 
( 6  6  6 ).
Если  ∈  или  — неосцилляционный конец , то
(3.1)
  > lim  [ ,  ].
→∞
Без ограничения общности можно считать, что

 [ ,  ] >  = min{, lim  [ ,  ]}
→∞
( = 1, 2, . . .).
(3.2)
Мы покажем, что   > ; поскольку  ̸≡ 0, отсюда будет следовать,
что  < , т.е. что  совпадает с правой частью (3.1).
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В случае  ∈  это достигается стандартным рассуждением, основанным
на теореме Ролля. Именно, в силу (3.2) найдутся точки  ∈ [ ,  ] такие,
что
()
∀ (0 6  6  − 1) ( ) = 0
( = 1, 2, . . .)
(3.3)
(гладкость  достаточна для применимости теоремы Ролля, так как 6).
Поскольку  ,  →  , то
 → 
( = 0, 1, . . . ,  − 1)
( → ∞).
(3.4)
Хорошо известно, что сходимость решений в -мерном пространстве M вле­
чет за собой их сходимость в  −1  для любого отрезка  ⊂ . Заключая
точку  внутрь такого отрезка  и учитывая равномерную на  сходимость
()
 () к () (), переходим в (3.3), (3.4) к пределу: ( ) = . . . = (−1) ( ) =
= 0.
Пусть теперь  совпадает с одним из неосцилляционных концов , для
определенности, скажем, с  (̸= ). В случае сингулярности  (представля­
ющем, конечно, основной интерес) приведенное рассуждение неприменимо;
основным инструментом теперь будет служить теорема 2.1.
Положим  = lim  . Без ограничения общности можно считать, что
→∞
∀    = ,
066−1
(3.5)
(случай  =  тривиален ввиду замкнутости соответствующего ( − )мерного подпространства). Ясно, что   > . Таким образом, если { } —
ИФС при  ↑ , то
 =
−
∑︁
 
( = 1, 2 . . .),
=
=1
 → 
−
∑︁
  ,
(3.6)
=1
( = 1, 2, . . . ,  − )
( → ∞).
(3.7)
Требуемое утверждение   >  эквивалентно обращению в нуль ко­
эффициентов −+1 , −+2 , . . . , − ; иначе это можно записать в виде
 6  − ,
(3.8)
где  — наибольший из индексов ненулевых  ( = 1, 2, . . . ,  − )
(1 6  6  − ). Согласно (3.7)
 →  ̸= 0,
 → 0,
при
>
( → ∞).
(3.9)
Для произвольного , учитывая (3.6), находим
[ , +1 , +2 , . . . , − ] =  [; , . . . ,  − ]+
+
−1
∑︁
=1
109
 [ , +1 , +2 , . . . , − ]. (3.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По теореме об иерархии
[ , +1 , +2 , . . . , − ] ≺≺ [; , . . . ,  − ]
( ↑ )
( = 1, 2, . . . ,  − 1).
Это вместе с (3.9) позволяет сделать из (3.10) следующий вывод: существу­
ет  _ такая, что для всех достаточно больших 
 [ , +1 , +2 , . . . , − ] > 0
в
 _
( > 0 ).
(3.11)
Согласно той же теореме 2.1
[;  . . .  − ] > 0
вблизи 
( =  + 1,  + 2, . . . ,  − ).
(3.12)
Пусть (0 , ) — интервал, в котором неравенства (3.11), (3.12) выполня­
ются одновременно. Это означает, что система функций  , +1 , +2 , . . . ,
− является строго чебышёвской на (0 , ), поэтому
 (0 , ) 6  −  − 
( > 0 ).
(3.13)
С другой стороны, так как  →  ( → ∞), то [ ,  ] ⊂ (0 , ] при
достаточно больших , откуда с учетом (3.2) и (3.5) следует
 (0 , ) >  [ ,  ] −   >  −  ( > 1 ).
(3.14)
Сопоставление (3.13) и (3.14) дает (3.8).
Итак, можно сказать, что при приближении к неосцилляционному концу
обычные нули переходят в пределе в обобщенные нули соответствующей
кратности; введение последних тем самым вполне оправдано.
3.2. Доказанное утверждение нетрудно теперь обобщить следующим обра­
зом.
Теорема 3.1 (о неисчезновении нулей). Пусть при  → ∞  () → ()
в M( ,  ∈ M′ ),  → ,  →  ( 6  6  6 ). Если каждая из точек
,  принадлежит  либо является неосцилляционным концом , то
 [, ] > lim  [ ,  ].
→∞
(3.15)
Обозначим правую часть (3.15), если она конечна, через ; в противном
случае пусть  — произвольно большое натуральное число. Теорема будет
доказана, если мы убедимся, что
 [, ] > ;
110
(3.16)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в самом деле, это исключает вторую из упомянутых возможностей (так как
 [, ] < ∞), поэтому  должно совпадать с правой частью (3.15).
Не ограничивая общности, можно считать, что  [ ,  ] >  при всех
, и ввиду компактности -мерного куба, что при  → ∞
 [ ,  ] → 
( = 1, 2, . . . , )
( 6 1 6 2 6 . . . 6  6 ).
Среди точек  могут быть совпадающие; разобьем их на соответствующие
группы: 1 = 2 = . . . = 1 < 1 +1 = 1 +2 = . . . = 2 < . . . <  +1 =
=  +2 = . . . =  (1 6 1 < 2 < . . . <  < ). В силу леммы 3.1
  >  − −1
( = 1, 2, . . . ,  + 1) (0 = 0, +1 = ),
что после суммирования по  дает (3.16).
Попутно проверен следующий (впрочем, почти очевидный) факт: если
 ̸= ,  ̸= , то величины   равномерно ограничены по всем  ∈ M′ .
Действительно, в противном случае нашлись бы  ∈ M′ ( = 1, 2, . . .)
такие, что   → ∞ ( → ∞). Так как  могут быть нормированы в M,
то ввиду конечномерности M можно считать, что  →  ∈ M′ при  → ∞;
тем самым мы оказались в условиях теоремы 3.1 (с  = ,  =  при всех
), причем правая часть (3.15) бесконечна, что невозможно.
Условие неосцилляционности в формулировке теоремы 3.1, разумеется,
не может быть отброшено, так как без него «исчезновение» нулей вполне
возможно. Пример:
=
4
− 1,
4
 = (−∞, ∞),
 = − +
1
sin  → − ( → ∞).

3.3. Рассмотрения этого пункта содержательны лишь при  ̸∈ 0 , что
здесь и предполагается. Сейчас мы введем в рассмотрение сопряженные к
 справа и слева точки , . Предпошлем этому соглашение, относящееся
к обозначению 0  (= 0 [, ]). Поскольку обобщенные кратности, как и
обычные, не превосходят  − 1 (для  ∈ M′ ), то соотношение  ∈ 0 
( ∈ 0 ) имеет место, если  () является неосцилляционным концом; в
противном случае будет удобно считать, что  ̸∈ 0  ( ̸∈ 0 ); это чисто
формальное соглашение, поскольку смысл выражений 0 , 0  определен
лишь для неосцилляционных случаев.
Точка (∈ ) определяется для любого  ∈ , при котором  ̸∈ 0 [, ]
соотношением
 = infimum  ∈ [, ]
таких, что  ̸∈ 0 [, ].
Аналогично, для любого  ∈ , при котором  ̸∈ 0 [, ], полагаем
 = supremum  ∈ [, ] таких, что  ̸∈ 0 [, ].
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, в случае  ∈ 0 [, ]  не определена; это же относится
и к , если  ∈ 0 [, ]. Тот факт, что  определена (не определена), будем
записывать в виде  ∈  ( ̸∈ ); аналогичный смысл вкладывается в соот­
ношения  ∈ ,  ̸∈  (точки вне  для нас, так сказать, «не существуют»).
Ясно, что введенные ранее записи  = ,  ̸= ,  = ,  ̸=  со­
гласуются с данными определениями , ; следует лишь отметить, что ука­
зывающие на неосцилляционность записи  ̸= ,  ̸=  не предполагают,
что ,  определены, и понимаются, таким образом, лишь как отрицания
соотношений  = ,  =  соответственно.
Покончив с необходимыми формальностями, приступим к изучению
свойств ,  как функций . Начнем с простейшего.
Лемма 3.2. Если  ∈ ,  ∈ , то  < ; аналогично, если  ∈ ,  ∈ , то
 < .
Это замечание почти очевидно; поскольку  ∈ 0  для любого  ∈ , оно
вытекает, например, из следующего, более содержательного предложения
Лемма 3.3. Если ,  ∈ , то  ̸∈ 0 [, ]; точно так же  ̸∈ 0 [, ] для
любых ,  ∈ .
Из соображений симметрии достаточно доказать первое из утвержде­
ний леммы 3.3. Оно сводится к тавтологии, если  =  =  или  =  = 
(ввиду соглашения выше), а также при  <  =  (в силу определения );
эти тривиальные случаи можно, таким образом, исключить из рассмотре­
ния. Согласно определению  найдутся  ( = 1, 2, . . .) такие, что  ↓  при
 → ∞ и  ̸∈ 0 [,  ] ( = 1, 2, . . .). Пусть  ∈ N[,  ] ( = 1, 2, . . .). Без
ограничения общности можно считать последовательность { } нормиро­
ванной в M и, ввиду компактности единичной сферы в M, — сходящейся
к некоторому  ∈ M′ . В силу теоремы 3.1  ∈ N[, ]. Лемма доказана.
Теперь легко найти области определения ,  в «явном» виде:
 ∈ [, ] ↔  ∈ ,
 ∈ [, ] ↔  ∈ .
(3.17)
Первое из этих соотношений немедленно вытекает из  ̸∈ 0 [, ],  ∈
∈ 0 (, ], а второе — из  ̸∈ 0 [, ],  ∈ 0 [, ).
Лемма 3.4. ,  как функции  строго возрастают.
Покажем, что  строго возрастает в своей области определения [, ] (для 
рассуждение аналогично). Пусть  6 1 < 2 6 ; тогда, очевидно, 1 6 2 .
Менее тривиальное строгое неравенство 1 < 2 доказывается от противного
с помощью леммы 2.3. Предположим, что 1 = 2 ; к противоречию ведет
следующая цепочка соотношений, основанных на леммах 2.3 и 3.3:
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 ∈ 0 [1 , 1 ) = 0 (1 , 1 ] = 0 (1 , 2 ] ⊂ 0 [2 , 2 ] ̸∋ 
(это рассуждение корректно, очевидно, и при 2 =  = ).
Лемма 3.5.  и  как функции  являются обратными:  =  ↔  =  для
любых ,  ∈ .
Проверим, например, импликацию  =  →  = . Пусть  = ; тогда
согласно лемме 3.3  ̸∈ 0 [, ] и, следовательно,  6  ∈ . Но неравен­
ство  <  невозможно, ибо в силу леммы 2.3 оно повлекло бы за собой
соотношения  ̸∈ 0 (, ] = 0 [, ) ∋ .
Итак, показано, что « ≡ »; эта запись леммы 3.5 является лаконич­
ной, но несколько условной (так как не содержит указаний на допустимый
промежуток для  и порядок «сопряжений»).
Леммы 3.4 и 3.5 вместе с (3.17) показывают, что  →  есть взаим­
но однозначное, монотонное, а следовательно, и непрерывное отображение
отрезка [, ] на отрезок [, ]; обратное отображение  →  обладает, ко­
нечно, аналогичными свойствами. Итак, установлена следующая
Теорема 3.2. Отображение  →  есть возрастающий гомеоморфизм
[, ] на [, ], обратный к которому дается отображением  → .
Отрезки [, ], [, ] непусты ввиду сделанного выше предположения
 ̸∈ 0 ; если усилить его до  ̸∈ 0 , то тем самым будет исключена
также возможность вырождения каждого из этих отрезков в точку( и 
соответственно).
3.4. Естественным является вопрос об эффективном отыскании  или 
для заданной точки  ∈ , если известны решения уравнения  = 0. В
несингулярном случае это делается с помощью хорошо известного способа,
непосредственно вытекающего из результатов работ [1, 2]. Покажем, как
следует модифицировать соответствующую процедуру, чтобы распростра­
нить ее на расширенный промежуток  с, вообще говоря, сингулярными
концами.
Итак, пусть известна фундаментальная система решений 1 , 2 , . . . , 
уравнения  = 0. Естественно считать, что над каждой «известной» функ­
цией () мы в состоянии производить, наряду с элементарными, такие
операции, как например: выяснить, существует ли, и если существует, вы­
числить предел (конечный или бесконечный) () при  →  ( ∈ ); вы­
яснить, строго знакопостоянна ли () на 1 , 2 (1 , 2 ∈ ), колеблется ли
() при  ↓ 1 и если ни то, ни другое, — определить 1 (1 , 2 ). Покажем,
что задача сводится к конечному числу подобных операций. Для опреде­
ленности опишем схему нахождения  (это не ограничивает общности; см.
ниже). Алгоритм состоит из нескольких этапов.
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1∘ . Выясняем, существует ли у  = 0 фундаментальная система реше­
ний { } такая, что
1 ≻≻ 2 ≻≻ . . . ≻≻ 
( ↓ ),
(3.18)
и находим ее, если она существует. Для этой цели, исходя из системы
{ }, будем строить систему { } с помощью процесса «иерархизации», на
котором основывалось доказательство леммы 2.1. Легко видеть, что этот
алгоритм состоит из конечного числа выполнимых операций. Возможны
два случая:
а) процесс оборвется, не достигнув цели, из-за того, что мы натолкнем­
ся на решение  ∈ M′ , колеблющееся при  ↓ , либо на пару решений
 ′ ,  ′′ ∈ M′ , отношение которых не имеет (конечного или бесконечного)
предела при  ↓ . В том и другом случае уравнение  = 0 обладает
колеблющимися при  ↓  решениями, поэтому  = ;
б) построение системы (3.18) будет беспрепятственно доведено до конца;
см. 2∘ .
2∘ . Образуем из найденных функций  вронскианы
 () = [,  . . . ]()
( = 2, 3, . . . , ).
(3.19)
Ясно, что  ̸≡ 0 ( = 2, 3, . . . , ). Снова имеются две возможности:
а) хотя бы одна из функций 2 , 3 , . . . ,  колеблется при  ↓ ; в этом
случае опять-таки  = ;
б)  ̸= 0 вблизи  ( = 2, 3, . . . , ); см. 3∘ .
3∘ . В случае 2∘ , б) согласно результатам части § 2  ̸=  и  > 0
вблизи  (=2, 3, . . . , ). Пусть  — совокупность индексов  (266),
для которых   > 1. Очередное разветвление таково:
а)  ̸= ∅. Тогда
 = min 1 ;
(3.20)
∈
б)  = ∅, т. е. все  положительны в ; см. 4∘ .
4∘ . Поскольку в случае 3∘ б), очевидно,  ∈ 0 , то осталось лишь
выбрать между двумя возможностями:  =  и  ̸∈ . С помощью «иерар­
хизации» построим ИФС { } при  ↑ ; это заведомо осуществимо, так как
 ̸= . Положим

̃︀ () = [,  . . . ]()
( = 2, 3, . . . , ).
(3.21)
Если хотя бы для одного (2 6  6 )
 ≺≺ 
̃︀
то  = ; в противном случае  ̸∈ .
114
 ↑ ,
(3.22)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В обосновании нуждаются лишь этапы 3∘ и 4∘ , особенно последний.
Начнем с 3∘ . Обозначим правую часть (3.20) через  ; так как все  поло­
жительны в (,  ), то  ∈ 0 (,  ). Для доказательства равенства  =  до­
статочно поэтому убедиться, что  ̸∈ 0 (,  ). Пусть  — минимизирующий
индекс в (3.20):  = 1 . Найдется нетривиальная линейная комбинация
 =   + . . . +   такая, что   >  −  + 1, поскольку определитель
соответствующей однородной системы уравнений для  , . . . ,  есть  ( ) =
= 0. С другой стороны,   >  − 1, поэтому  [,  ] >  и, следовательно,
 ̸∈ 0 [,  ].
Переходя к 4∘ , разложим 1 , 2 , . . . ,  по базису { }:
 =

∑︁
 
( = 1, 2, . . . , ).
=1
Обозначая через  матрицу ‖ ‖1 , находим для произвольного 
(2 6  6 ) по формуле Бине—Коши
)︂
∑︁ (︂   + 1 . . .

[1 , 2 , . . . , −+1 ],
 =

1
2
. . . −+1
где суммирование производится по всевозможным возрастающим наборам
индексов (1 6 ) 1 < 2 < . . . < −+1 ( 6 ). Отсюда согласно теореме об
иерархии
)︂
(︂
  + 1 ... 

̃︀ + (
̃︀ )
( ↑ ).
 = 
  + 1 ... 
Соотношение (3.22) эквивалентно, таким образом, равенству
(︂
)︂
  + 1 ... 

= 0.
  + 1 ... 
(3.23)
В свою очередь (3.23) равнозначно существованию линейной комбинации
 =   + . . . +   (̸≡ 0) такой, что   >  −  + 1 (в левой части (3.23)
стоит определитель соответствующей однородной системы уравнений для
 , . . . ,  .) Итак, (3.22) эквивалентно следующему утверждению:
∃,  (2 6  6 ,  ∈ M′ ) {  >  − 1,   >  −  + 1}.
(3.24)
Теперь ясно, что если для некоторого , 2 6  6  имеет место (3.22), то
 ̸∈ 0 , т. е.  =  (напомним, что  ∈ 0 ). Для завершения обоснования
алгоритма осталось доказать обратное:  =  влечет за собой выполнение
(3.22), или, что то же самое, (3.24), для некоторого  (2 6  6 ). Другими
словами, осталось проверить следующее:
 =  → ∃  ( ∈ M′ )   +   > .
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Эту импликацию пока оставим без доказательства; она является следствием
теоремы 3.3, к которой мы вскоре перейдем.
Отыскание  для любого  ∈  осуществляется по сходной, но более
простой схеме. Этапы 1∘ , 2∘ отпадают за ненадобностью, поскольку заве­
домо  ̸= , и система { }, удовлетворяющая условию (3.18) при  ↓ ,
теперь тривиально определяется начальными условиями в точке . Этапы
3∘ , 4∘ сохраняются без изменений (разумеется, с заменой  на ). Что ка­
сается нахождения , то оно, в соответствии с определением, сводится к
нахождению : если  = , то и  = ; в противном случае  ̸∈ .
Если и , и  несингулярны, то решение задачи еще более упрощается
и сводится, по существу, к формуле (3.20), являющейся в этом случае
очевидным следствием работ [1, 2].
Отыскание ( ∈ ) проводится аналогично, с очевидной переменой ори­
ентации. Концы  и  меняются ролями; наборы вронскианов (3.19) и (3.21)
заменяются наборами [; 1 . . . ], [; 1 . . . ] ( = 1, 2, . . . ,  − 1) (при нумера­
ции, принятой для ИФС); наконец, в формуле, аналогичной (3.20), должен,
естественно, фигурировать не минимальный в (, ), а максимальный в
(, ) из нулей соответствующих вронскианов.
Отметим еще следующую подробность: «явная» формула (3.20) не делает непо­
средственно очевидными непрерывность и возрастание  как функции , установ­
ленные выше из общих соображений. В самом деле, если рассматривать левый
конец  как переменный, то каждая отдельно взятая величина 1  может и убы­
вать при возрастании , и испытывать разрывы по  в своей области определения.
Тот факт, что для минимума из 1  и то и другое исключено, объясняется, ко­
нечно, наличием специфической связи между 2 , 3 , . . . ,  .
3.5. Часто бывает важно выделить из множества N, если оно непусто,
решения с «наиболее удобным» расположением нулей; смысл этого выра­
жения колеблется в зависимости от обстоятельств. Так, ввиду устойчиво­
сти простых нулей при малых возмущениях в некоторых вопросах могут
особый интерес представлять решения, имеющие в  не менее  простых
нулей; они всегда существуют, если  ̸∈ 0  (см. [9]; близкое утвержде­
ние « ̸∈ 0  → ∃ ( ∈ M′ )   > » ранее установили Ф. Хартман [3] и
О. Арамэ [61]). Чаще, однако, полезнее не «рассредоточивать», а, наоборот,
максимально «сосредоточивать» нули, выделяя решения  ∈ N, удовлетво­
ряющие условию  1 +  2 >  для каких-либо 1 , 2 ∈ ; в несингуляр­
ном случае наличие подобных решений хорошо известно. Ниже для общего
случая будет установлено существование решений, обладающих, наряду с
упомянутым, также и некоторыми другими полезными свойствами, в част­
ности, строгим знакопостоянством в интервале (1 , 2 ).
Пусть  ̸∈ 0 ,  ̸= ,  ̸= . Поставим в соответствие каждому  ∈ N
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
два следующих -мерных «вектора нулей»:
1
 = ( , −1
 , . . . ,  ),
, −+2
, . . . , 
* = (−+1

 ),

где  =  
(координаты  , таким образом, не возрастают с номером, а координаты *
не убывают). Введем, далее, для -мерных векторов лексикографическую
упорядоченность, записывая ее, как обычно, с помощью знаков ≺, ⪯ .
Рассмотрим теперь две сходные экстремальные задачи: найти в N ре­
шение, минимизирующее  по  ∈ N (его мы будем называть решением
с «минимальными нулями»); найти в N решение, максимизирующее *
по  ∈ N (решение с «максимальными нулями»). Таким образом, скажем,
(∈ N) есть решение с минимальными нулями, если
 ⪯ 
для всех
 ∈ N.
(3.25)
Сразу отметим, что требуемые решения с экстремальными нулями, ес­
ли они существуют, определены однозначно с точностью до множителя.
В самом деле, предположим, например, что условию (3.25), наряду с 
удовлетворяет также некоторое решение ′ ̸≡ ,  = ′ . Пусть () =
= ′ ()() − ()′ (), где  — любая точка интервала (1 ,  ), отличная
от   ( = 2, 3, . . . ,  − 1). Очевидно,  ∈ N и  ≺  что противоречит
(3.25).
Теорема 3.3. о решениях с экстремальными нулями Если, как предпо­
лагалось,  ̸∈ 0 ,  ̸= ,  ̸= , то в N существуют решения (), * ()
с минимальными и максимальными нулями соответственно, причем
 = (, . . . , , , . . . , ),
⏟ ⏞
⏟ ⏞

−
** = (, . . . ,  , , . . . ,  ),
⏟ ⏞
⏟ ⏞
*
−*
где ,  * — некоторые числа (1 6 ,  * 6  − 1).
Из соображений симметрии достаточно доказать теорему в части, от­
носящейся к решению с минимальными нулями. Начнем, естественно, с
существования . Соотношения  ̸∈ 0 ,  ̸=  означают, что  <  6 . В
силу леммы 3.3 N[, ] ̸= ∅; с другой стороны, N[, ) = N(, ] = ∅. По­
этому для любой  ∈ N[, ] первая координата у  = (, . . . , ) является
минимальной из возможных; таким образом, минимизация  в N сво­
дится к минимизации  в N[, ] или, что то же самое, в пересечении N1
множества N[, ] с единичной сферой пространства M. Дальнейшее рас­
суждение целиком опирается на теорему 3.1. Она показывает, что N1 есть
компакт; с другой стороны, из нее легко следует, что  [, ]( = 2, 3, . . . , −
−1) полунепрерывны снизу по  в N[, ]. Поэтому множество N2 решений
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 ∈ N1 , на которых достигается inf −1
[, ] по всем  ∈ N1 , есть непустой

компакт. Продолжая так и далее, обозначим через N+1 ( = 2, 3, . . . ,  − 2)
множество решений из N , на которых достигается inf −
 [, ] по всем
 ∈ N ; в силу той же теоремы 3.1 все N являются непустыми компак­
тами. Ясно, что любое  ∈ N−1 есть решение с минимальными нулями
(фактически N−1 состоит лишь из двух решений, отличающихся знаком).
Итак, выяснено, что  существует и  = (, . . . , ). Теперь нужно
показать, что и каждая из остальных  − 2 координат  совпадает либо с
 либо с , т. е. что () ̸= 0 в (, ). Предположим противное: пусть
 = ( , . . . ,  , −1 , . . . , −1 , . . . , 1 , . . . , 1 ),
⏟ ⏞
⏟ ⏞
⏟
⏞

1
−1
 [, ]
где  =  [, ] > 3,  =
( = 1, 2, . . . , ). Ясно, что  = 1 <
< −1 <  = ,   =  ( = 1, 2, . . . ,  − 1),   >  , 1 + . . . +  = .
Мы установим сейчас с помощью «возмущения нулей» существование ре­
шения  ∈ N[, ] такого, что  ≺  ; это противоречие с (3.25) докажет
теорему.
Пусть  ∈ M′ — линейно независимое с  решение, удовлетворяющее
условиям
  > 
( = 1, 2, . . . ,  − 2),
  >  − 1
( =  − 1, ).
(3.26)
Так как каждым условием вида   >  в M выделяется ( − )-мерное
подпространство, то совокупность условий (3.26) определяет в M подпро­
странство размерности не меньше, чем  − 1 − . . . −  + 2 = 2, так что
требуемое  ̸≡  заведомо существует. Возможны два случая.
а)   =  − 1. Выберем непересекающиеся  −1 и  _ так, чтобы
−2 ̸∈  −1 , () ̸= 0 в  _. Подобно тому как это делалось при доказа­
тельстве леммы 2.3, определим  ∈ M′ формулой
() = (, ) = () −
где
точка  ∈  _
()
(),
()
достаточно близка к
(3.27)
.
(3.28)
Посмотрим, что можно сказать о нулях (). Во-первых, очевидно, что
  > 
( = 1, 2, . . . ,  − 2),
  =  − 1,
() = 0.
(3.29)
Кроме того,
  −1 > −1 .
(3.30)
Действительно, так как   >  >  , то
()
→0
()
118
( ↑ )
(3.31)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и (3.30) вытекает из (3.28), (3.31) и леммы 2.2. Соотношения (3.29), (3.30)
показывают, что, с одной стороны,  [, ] > , т.е.  ∈ N[, ], а с другой,
что
 ⪯ (, . . . , , , . . .) ≺ (, . . . , , . . .) =  .
⏟ ⏞
⏟ ⏞
 −1

б)   >  . В этом более простом случае () можно определить фор­
мулой (3.27), выбрав в качестве  любую точку интервала (−2 , −1 ). Оче­
видно,  ∈ N[, ] и
 ⪯ (, . . . , , −1 , . . . , −1 , , . . .) ≺ (, . . . , , −1 , . . . , −1 , . . .) =  .
⏟ ⏞
⏟ ⏞
⏟
⏟
⏞
⏞

−1 −1

−1
Легко видеть, что в той части теоремы, которая относится к  (* ),
существенно лишь первое (второе) из условий  ̸= ,  ̸= .
3.6. Если  = , то  и * , разумеется, могут совпадать. Этот случай
заслуживает того, чтобы ему было уделено некоторое внимание. В опреде­
ленном смысле типичной является следующая ситуация: N[, ] представ­
ляет собой «прямую» в M, т. е. состоит из решений вида  ()( ̸= 0),
где  строго знакопостоянна в (, ) и   +   = . В этом случае,
очевидно,  = * = , а векторы  и * отличаются лишь противополож­
ным порядком координат. Рассматриваемый вопрос непосредственно связан
с описанным выше алгоритмом нахождения ; именно, нетрудно показать,
что «типичная» ситуация обусловлена единственностью критического ин­
декса  (т. е. минимизирующего индекса в (3.20) или, если  определяется
этапом 4∘ , индекса, при котором выполняется (3.22)). В случае неединствен­
ности  возникают разнообразные «нетипичные», но тем не менее важные
в некоторых вопросах ситуации. Вот несколько примеров на эту тему (ра­
ди удобства мы позволим себе не оговаривать каждый раз, что в N[, ]
входят лишь нетривиальные решения).
3

1∘ .  = 3 + ,  = 0,  = 0 = 2. Здесь N[0, 2] — двумерная


плоскость, натянутая на решения 1 = sin , 2 = 1 − cos ;  = * = 2 ,
 = (2, 0, 0), ** = (0, 2, 2).
4
2∘ .  = 4 + 4,  = 0,  = 0 (≈ 3.93) — наименьший положительный

корень уравнения tg  = th . N[0, ] состоит из двух прямых  = 1 и
 = 2 , где 1 = ch  sin  − sh  cos , 2 () = 1 ( − ),  = 1 , * = 2 ,
 = (, 0, 0, 0), ** = (0, , , ).
3
6 2
6

3∘ .  = 3 − 2
+ 2
,  = −1,  = −1 = 1. Здесь N[−1, 1]
2

3 + 1 
3 + 1 
состоит из функций вида 1 1 + 2 2 , 1 2 6 0 (т. е. представляет собой
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
два «квадранта»), где 1 = ( + 1)2 ( − 1), 2 = ( + 1)( − 1)2 . Очевидно,
 = 1 , * = 2 ,  = (1, −1, −1), ** = (−1, 1, 1) (между прочим, этот
пример свидетельствует о некорректности теоремы 3 из [56]).

4∘ .  =  ,  = −∞,  = −∞ = ∞. Этот пример показывает, насколь­

ко сложным может быть строение N[, ]. Здесь N[−∞, ∞] содержит все
многочлены степени  ( = 0, 1, . . . ,  − 2), имеющие не менее 2 −  +
+ 2 вещественных корней. Очевидно,  = * = 1,  = (∞, −∞, . . . , −∞),
** = (−∞, ∞, . . . , ∞).
Последний пример поучителен и в другом отношении: 1 [−∞, ∞] =
= 2 − 2 — максимально возможное значение  [, ] ( ∈ M′ ), поскольку
 [, ] =  [, ) +   и  ∈ 0 [, ).
§ 4. Критерий неосцилляции
4.1. Настоящий параграф посвящен следующему предложению.
Теорема 4.1. Пусть [, ) ⊂ . Для соотношения  ∈ 0 [, ] необходи­
мо и достаточно, чтобы существовали функции  () ∈ *−1 [, ) ( =
= 1, 2, . . . ,  − 1), удовлетворяющие условиям
∀,  (1 6  <  6 ) [;  . . .  − 1 ∖ ]() > 0
(−1)−  > 0
( = 1, 2, . . . ,  − 1)
( 6  < ),
(4.1)
( <  < ).
(4.2)
Концы  и  можно, разумеется, поменять ролями, заменив всюду [, )
полуинтервалом (, ].
Сформулированное утверждение является, очевидно, полуэффективным
критерием неосцилляции. При  = 2 теорема 4.1 переходит (в случае несин­
гулярности ) в критерий Валле-Пуссена (см. § 1). При  = 3 неравенства
(4.1) и (4.2) принимают вид
1 > 0,
2 > 0,
[1 , 2 ] > 0,
1 > 0,
2 6 0
( 6  < ).
(4.3)
Легко видеть, что эти условия существенно отличаются от условий приве­
денного в § 1 полуэффективного критерия Азбелева—Кондратьева—Цалю­
ка, хотя и имеется некоторое внешнее сходство. В частности, ограничения
на коэффициенты  () оператора , генерируемые неравенствами 1 > 0,
2 6 0, при той или иной конкретизации 1 , 2 , не связаны с гладкостью
 (которая вообще не предполагается). Далее, в (4.3) отсутствуют краевые
условия для 1 , 2 , но имеется связывающее 1 и 2 требование [1 , 2 ] >
> 0. Определенное отличие состоит, конечно, и в том, что теорема Азбе­
лева—Кондратьева—Цалюка дает критерий неосцилляции не на отрезке, а
на полуинтервале (с несингулярным концом).
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Систему функций  ∈ *−1  ( = 1, 2, . . . ,  − 1) будем называть со­
гласованной на промежутке , если на  положительны все вронскианы,
входящие в левую часть (4.1). Содержащее ( − 1)/2 неравенств условие
(4.1) согласованности 1 , 2 , . . . , −1 на [, ) может показаться затрудни­
тельным для практического применения теоремы 4.1; подчеркнем, однако,
что оно не связано с оператором , поэтому набор достаточно удобных
стандартных согласованных систем может быть заготовлен заранее. Мы
вернемся к этому вопросу несколько позже, когда будет идти речь о кон­
кретизациях { }.
Теорема 4.1 доставляет критерий неосцилляции на отрезке, по крайней
мере один из концов которого несингулярен. Непосредственно распростра­
нить этот результат на отрезок с обоими сингулярными концами не удает­
ся, однако из теоремы 4.1 вытекает достаточное условие неосцилляции на
интервалах или полуинтервалах, оба конца которых могут быть сингуляр­
ными.
Следствие 4.1. Если существует система 1 , 2 , . . . , −1 , согласованная
на интервале (, ) ⊂  и удовлетворяющая условию (4.2), то  ∈
∈ 0 [, ).
В самом деле, каково бы ни было  ∈ (, ), здесь, очевидно, выпол­
нены условия теоремы 4.1 для отрезка [, ] и поэтому  ∈ 0 [, ]. Ввиду
произвольности  это означает, что  ∈ 0 (, ) = 0 [, ) = 0 (, ] (см.
лемму 2.3). Как видим, здесь оказывается кстати то обстоятельство, что
требование согласованности { } на промежутке  не связывает  какими­
либо краевыми условиями с концами .
Отметим, что условие неосцилляции, содержащееся в следствии 4.1, не
необходимо, хотя и весьма близко к необходимому. Например,
3
2
 = 3 −  2 ( = const) при любом  принадлежит 0 (−∞, ∞) (но,


разумеется, не 0 [−∞, ∞]); в то же время соответствующая согласованная
на (−∞, ∞) система существует здесь лишь при  ̸= 0 (1 = 1, 2 =  при
 > 0; 1 =  , 2 = 1 при  < 0).
4.2. Переходим к доказательству теоремы 4.1. Начнем с необходимости.
Введенные в § 2 ИФС характеризуются поведением решений вблизи
одного из концов промежутка. Можно пойти дальше в этом направлении,
выделяя фундаментальные системы с определенным поведением решений
вблизи обоих концов. Именно, будем говорить, что 1 , 2 , . . . ,  образуют
дважды иерархическую фундаментальную систему (ДИФС) на , если
они образуют ИФС как при  ↓ , так и при  ↑ .
Лемма 4.1. Если  ∈ 0 , то ДИФС на
(+)-декартовой на  системой.
121

существует и является
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Убедимся вначале в существовании ДИФС на . При любом ,
1 6  6 , условия   >  − 1,   >  −  выделяют в M подпро­
странство размерности не меньшей, чем  − ( − 1) − ( − ) = 1; поэтому
соответствующее  ∈ M′ найдется при любом (1 6  6 ). При этом
имеют место точные равенства
  =  − 1,
  =  − 
( = 1, 2, . . . , ),
(4.4)
так как   6  − 1 ( = 1, 2, . . . , ) согласно предпосылке  ∈ 0 .
Отсюда же следует, что 1 , . . . ,  не имеют нулей в , поэтому их можно
выбрать положительными в . Существование ДИФС на , таким образом,
доказано. Отметим также, что каждая из функций, входящих в ДИФС на ,
определяется однозначно с точностью до положительного множителя: если
бы для некоторого  в M′ нашлись  и ′ (̸≡  ), удовлетворяющие усло­
виям (4.4), то, выбирая произвольное  ∈  и полагая () =  ()′ () −
− ′ () () ∈ M′ , мы получили бы   > , что невозможно.
Покажем теперь, что ДИФС на  является (+)-декартовой на ; для
этого согласно лемме 2.5 достаточно проверить, что
∀,  (1 6  6  6 )[;  . . . ] > 0
на .
(4.5)
Предположим, что (4.5) не выполняется. Поскольку вблизи  и  все тре­
буемые неравенства обеспечиваются теоремой 2.1, это значит, что для неко­
торых ,  (1 6  6  6 ) и некоторого  ∈ 
[;  . . . ]() = 0.
(4.6)
Отсюда вытекает существование нетривиальной линейной комбинации  =
=   + +1 +1 . . . +   такой, что   >  −  + 1 (в левой части (4.6)
стоит определитель соответствующей однородной системы). Так как, кроме
того,   >  − 1,   >  − , то   > , что невозможно.
Впервые подобная связь между строго чебышёвскими (или чебышёвскими) и декартовыми системами была обнаружена С. Н. Бернштейном в
связи с построением так называемой базы чебышёвских систем [5, 6];
лемма 4.1 может рассматриваться как модификация этого построения (наши
предположения и методика отличны от применявшихся в [5, 6]).
Вернемся к необходимости в теореме 4.1. Построение ДИФС на (, )
еще не достаточно для этой цели, так как нужна согласованность не на
(, ), а на [, ). Заметим, однако, что  ∈ 0 [1 , ] для всех 1 , доста­
точно близких к ; действительно, соотношение  ∈ 0 [, ] означает, что
 <  либо  ̸∈ , так что остается сослаться на теорему 3.2. Поэтому,
если выбрать 1 из достаточно малой  _, ДИФС { } на (1 , ) будет
согласно лемме 4.1 (+)-декартовой, а следовательно, и согласованной си­
стемой на [, ). В качестве 1 , 2 , . . . , −1 , фигурирующих в теореме 4.1,
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
можно выбрать, например, 1 , 2 , . . . , −1 соответственно. Между прочим,
аналогичные соображения показывают, что если [, ] ⊂  и  ∈ 0 [, ],
то найдется фундаментальная система, являющаяся (+)-декартовой
на [, ].
Итак, необходимость в теореме 4.1 доказана и притом в усиленной форме,
поскольку всякая (+)-декартова на  система является согласованной на , но не
обратно (если число функций в системе больше двух). Пример: при любом  > 2
система
1 = 2 −  + 1, 2 = 1, 3 =  + 1
является согласованной на [0, 1], не будучи (+)-декартовой на (0, 1). Причина,
по которой в формулировке теоремы 4.1 сделан упор именно на согласованность,
состоит, разумеется, в том, что наиболее «рабочей» является часть теоремы, отно­
сящаяся к достаточности, и с этой точки зрения естественно предъявлять к { }
возможно меньшие требования. Можно ожидать, впрочем, что здесь это не име­
ет особого значения, так как, по-видимому, все наиболее естественные «пробные»
согласованные системы являются одновременно (+)-декартовыми. Отметим, что
во избежание излишней громоздкости формулировки мы не пошли по пути ми­
нимизации ограничений на { } так далеко, как можно было бы. В частности, из
доказательства будет видно, что для всех вронскианов, входящих в условие согла­
сованности и имеющих порядок не выше  − 3 (таковые имеются лишь при  > 4),
требование положительности можно заменить строгим знакопостоянством. Кроме
того, можно видоизменить доказательство таким образом, чтобы допустить обра­
щение в нуль при  =  некоторых (но не всех) вронскианов, входящих в условие
согласованности; например, при  = 3 достаточно, чтобы неравенство 1 () > 0 в
(4.3) выполнялось лишь при  <  < .
4.3. Прежде чем перейти к достаточности, напомним несколько известных
фактов. Первые два из них относятся к функции Грина (, ) оператора 
при интерполяционных краевых условиях
  > 
(1 + . . . +  = ,
( = 1, 2, . . . , )
 6 1 < 2 < . . . <  6 ,
[, ] ⊂ .)
(4.7)
Лемма 4.2 (см. [8, 9]). Если  ∈ 0 [, ], то в квадрате  :  6 ,  6 
справедливо неравенство
(, )( − 1 )1 ( − 2 )2 . . . ( −  ) > 0
(4.8)
Приводим для удобства читателя краткое доказательство. Существование
(, ) очевидно. Покажем, что, каково бы ни было отличное от 1 , . . . , 
фиксированное 0 ∈ [, ], функция () = (0 , ) знакопостоянна и от­
лична от тождественного нуля в [, ]. Действительно, в противном случае,
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
очевидно, нашлась бы непрерывная  () > 0 ( 6  6 ), ортогональная
к () на [, ]; поэтому решение () краевой задачи (4.7) для уравнения
 =  , помимо  нулей, определяемых условиями (4.7), имело бы еще нуль
в точке 0 , что противоречит обобщенной теореме Ролля (1.4) для  = [, ].
По этой же причине
  (, ) ⃒⃒
̸≡ 0
=

( 6  6 )
( = 1, 2, . . . , ).
Из сказанного уже следует, что левая часть (4.8) знакопостоянна в ;
неотрицательность ее усматривается хотя бы из того, что при ,  ∈ [ , ]
(, ), очевидно, совпадает с функцией Коши оператора  (предположение
 >  не ограничивает общности).
Формулировка леммы 4.2 допускает уточнения и обобщения в различ­
ных направлениях. Можно показать, например, что (, ) не имеет нулей в
полосах { <  < +1 , 1 <  <  },  = 1, 2, . . . ,  − 1; более содержатель­
ные оценки функции Грина, хорошо приспособленные для исследования
задач с нелинейностями, указаны Ю. В. Покорным [62]. Отметим также,
что лемма (4.2) допускает распространение на краевые условия с обоб­
щенными кратностями; подробнее здесь на этом мы не останавливаемся.
Лемма 4.3. (, ), рассматриваемая как функция узлов 1 , 2 , . . . , 
(при фиксированных , , , 1 , . . . ,  ), непрерывна в каждой точке (1 ,
2 , . . . ,  ), где она определена, т. е. где краевая задача (4.7) невырож­
дена.
Этот факт достаточно очевиден. Аналогичное утверждение справедливо,
разумеется, и для задач с многоточечными краевыми условиями общего
вида, что легко усмотреть из какой-либо «явной» формулы для (, ) (см.,
например, [49]).
Лемма 4.4. Пусть 1 (), 2 (), . . . ,  () образует строго чебышёвскую
систему на [, ], причем [; 1 . . . ]() > 0 ( 6  6 ). Тогда для любого
(1 6  6  − 1) и любых 1 , 2 таких, что  6 1 < 2 6 ,

 (1 , . . . ,  ; 1 , 2 ) =
⃒
⃒ 1 (1 )
2 (1 )
⃒
⃒ ˙ 1 (1 )
˙ 2 (1 )
⃒
⃒
.
.
.
...
⃒
⃒ (−1)
(−1)
(1 )
2
(1 )
⃒ 1
⃒
2 (2 )
⃒ 1 (2 )
⃒
⃒
...
...
⃒ (−−1)
(−−1)
⃒
(2 ) 2
(2 )
1
124
⃒
...
 (1 ) ⃒⃒
...
˙  (1 ) ⃒⃒
⃒
...
...
⃒
⃒
(−1)
...
 (1 ) ⃒ > 0 (4.9)
⃒
...
 (2 ) ⃒
⃒
⃒
...
...
⃒
(−−1)
. . . 
(2 )⃒
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Эта лемма является частным случаем теоремы, сформулированной
Г. Пойа в [1] (при несколько иных, но эквивалентных предположениях).
Так как доказательство в [1] отсутствует, приведем необходимые поясне­
ния. Заметим, во-первых, что рассматриваемый определитель ни при каких
1 , 2 ( 6 1 < 2 6 ) не обращается в нуль: в противном случае нашлась
бы нетривиальная линейная комбинация  = 1 1 + . . . +   , удовле­
творяющая условиям  1 > ,  2 >  − , что невозможно, так как
{ } — строго чебышёвская система. Ввиду непрерывности по 1 , 2 отсю­
да вытекает строгое знакопостоянство  (1 , . . . ,  ; 1 , 2 ) в треугольнике
 6 1 < 2 6 ; достаточно поэтому доказать (4.9) для какой-либо одной
точки этого треугольника. Предположим для удобства записи, что  6 0 < 
(этого всегда можно добиться очевидной заменой переменной), и покажем,
что
при достаточно малом  > 0.
 (1 , . . . ,  ; 0,  ) > 0
Поскольку  ∈  −1 [, ]
()
()
 ( ) =  (0) +
(4.10)
( = 1, 2, . . . , ), имеем
 (+1)

(0) + . . .
1! 
 −−1
(−1)
+

(0) + ( −−1 )
( −  − 1)! 
( → 0). (4.11)
Соотношения (4.11) показывают, что  (1 , . . . ,  ; 0,  ) представляет собой
произведение двух определителей:
 (1 , . . . ,  ; 0,  ) =  ( ) · [; 1 . . . ](0),
(4.12)
где
 ( ) =
⃒
⃒1
0
0
⃒
⃒0
1
0
⃒
⃒. . . . . . . . .
⃒
⃒0
0
0
⃒
⃒

...
⃒1
1!
⃒
⃒0
1 ...
⃒
⃒
.
.
.
.
.. ...
⃒
⃒
⃒ 0 ... ...
...
...
...
...
...
...
...
0
...
...
...
0
...
...
...
1
...
...
...
0
 −2
(−2)!
 −3
(−3)!
 −1
(−1)!
 −2
(−2)!

!
 −1
(−1)!
...
1
...
...

1!
2
2!
...
...
...
...
...
...
...
...
0
0
...
0
 −2
(−2)!
 −3
(−3)!
...
 −1
(−1)!
⃒
⃒
0
⃒
⃒
0
⃒
⃒
...
⃒
⃒
0
⃒
−1

−1 )⃒ .
+
(
⃒
(−1)!
⃒
 −2
−2 )⃒
⃒
(−2)! + (
⃒
...
⃒
⃒


)
⃒
+
(
!
Несложный подсчет с применением известной формулы
[ 1 ,  2 , . . . ,   ] =   [1 , 2 , . . . ,  ]
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дает
 ( ) =
1!2! . . . ( −  − 1)! (−)

+ ( (−) )
!( + 1)! . . . ( − 1)!
( → 0).
Итак,  ( ) > 0 при малых  > 0; таким образом, (4.10) вытекает из
(4.12), поскольку по условию леммы [; 1 . . . ](0) > 0.
4.4. Переходим к доказательству достаточности в теореме 4.1, которое бу­
дет проводиться от противного.
Пусть существует система { }, удовлетворяющая условиям (4.1),(4.2),
и в то же время  ̸∈ 0 [, ], т. е.  6 . Возможны два случая:  <  и
 = . Рассмотрим вначале первый из них
(4.13)
 < .
По теореме 3.3 в N[, ] существует решение () с минимальными нулями
(см. 3.5). Пусть   = (1 6  6  − 1). Так как () строго знакопостоянно
в (, ) и определено с точностью до постоянного множителя, можно без
ограничения общности считать выполненными соотношения
() = ()
˙
= . . . = (−1) () = 0,
(4.14)
() () = 1,
(4.15)
() > 0
(4.16)
( <  < ),
() = ()
˙
= . . . = (−−1) () = 0.
(4.17)
Минимальность нулей () обеспечивает импликацию
{ ∈ M′ ,   >  + 1} →   6  −  − 2.
(4.18)
Введем теперь наряду с  другое решение, 0 ∈ M′ , которое подчиним
требованиям
(−2)
0 () = ˙ 0 () = . . . = 0
() = 0,
(−−2)
0 () = ˙ 0 () = . . . = 0
(−1)
0
() = 0,
(4.19)
(4.20)
(4.21)
() = 1,
(при  = 1 условие (4.19), естественно, отбрасывается, а при  =  − 1 это
относится к (4.20)). Покажем, что такое 0 существует. Действительно, ра­
венства (4.19) и (4.20) определяют в M подпространство размерности > 2,
поэтому найдется 0 ∈ M′ , удовлетворяющее условиям (4.19), (4.20), линей­
но независимое с  и определенное с точностью до постоянного множителя;
последним можно распорядиться так, чтобы удовлетворить условию (4.21),
(−1)
(−1)
если только 0
̸= 0. Но равенство 0
= 0 невозможно, ибо в этом
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
()
случае решение () = 0 () − 0 ()() (̸≡ 0, так как  и 0 линейно
независимы) удовлетворяло бы условиям   >  + 1,   >  −  − 1, что
противоречит (4.18). Итак, требуемое 0 () существует.
Следующим этапом будет доказательство неравенства
(−−1)
(−1)− 0
(4.22)
() > 0.
(−−1)
Допустим, что это не так, т. е. (−1)− 0
() < 0. Тогда 0 ( −
− 0) > 0 и, более того, 0 ≻≻ ( ↑ ) в силу (4.17). С другой стороны,
из (4.14), (4.15), (4.19), (4.21) вытекает, что 0 ≻≻  и при  ↓ . Таким
0 ()
образом, отношение
стремится к ∞ как при  ↓ , так и при  ↑ ; бу­
()
дучи, в соответствии с (4.16), непрерывной функцией в (, ), оно достигает
минимума в некоторой точке  ∈ (, ). Очевидно,
(4.23)
[, 0 ]( ) = 0.
Положим
() = 0 ( )() − ( )0 ();
в силу (4.16) и линейной независимости , 0 , () ̸≡ 0. Согласно (4.23)
  > 2. Соотношения (4.14), (4.17), (4.19), (4.20) показывают, что
  >  − 1,   >  −  − 1; поэтому  ∈ N[, ] и
 4 (, . . . , , , , , . . . , ) ≺ (, . . . , , , . . . , ) = 
⏟ ⏞
⏟ ⏞
⏟ ⏞
⏟ ⏞
−−1
−1
−

(по поводу обозначений см. 3.5), что противоречит определению . Нера­
венство (4.22) доказано.
До сих пор мы еще не прибегали к услугам системы { }; теперь сделаем
это, введя в рассмотрение функцию
⃒
⃒
⃒ 1 ()
2 ()
...
−1 () ⃒⃒
⃒
⃒ ˙1 ()
˙2 ()
...
˙−1 () ⃒⃒
⃒
⃒
⃒
...
...
...
...
⃒
⃒
⃒ (−2)
⃒
(−2)
(−2)

()

()
.
.
.

()
⃒
⃒
2
−1
(4.24)
() = ⃒ 1
⃒.
2 ()
...
−1 () ⃒
⃒ 1 ()
⃒
⃒
⃒
⃒
...
...
...
...
⃒ (−−2)
⃒
(−−2)
(−−2)
⃒
() 2
() . . . −1
()⃒⃒
⃒ 1
⃒ 1 ()
2 ()
...
−1 () ⃒
Непосредственно очевидны соотношения
() = ()
˙
= . . . =  (−2) () = 0,
(4.25)
() = ()
˙
= . . . =  (−−2) () = 0.
(4.26)
В силу (4.1) и (4.13)
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
[;  . . .  − 1]() > 0
( = 1, 2, . . . ,  − 1)
( 6  6 ),
так что система 1 , 2 , . . . , −1 является строго чебышёвской на [, ]. По­
этому согласно лемме 4.4, из формулировки которой мы заимствуем обо­
значения,
(−1)−−1  (−1) () =  (1 , . . . , −1 ; , ) > 0,

(−−1)
() = −1 (1 , . . . , −1 ; , ) > 0.
(4.27)
(4.28)
Раскроем определитель (4.24) по последней строке:
() =
−1
∑︁
(−1)−1− −1 (1 , . . . , −1 , +1 , . . . , −1 ; , ) ().
(4.29)
=1
Учитывая неравенства (4.1), (4.13), имеем при любом , 1 6  6  − 1,
[;  . . .  − 1 ∖ ]() > 0
( = 1, 2, . . . ,  − 1)
( 6  6 ).
Поэтому при каждом  (1 6  6  − 1) система
1 , 2 , . . . , −1 , +1 , . . . , −1
является строго чебышёвской на [, ] и удовлетворяет на этом отрезке
условиям леммы 4.4. Отсюда
∀ (1 6  6  − 1)−1 (1 , . . . , −1 , +1 , . . . , −1 ; , ) > 0.
(4.30)
Сопоставление (4.2), (4.29) и (4.30) дает
 6 0
(4.31)
( <  < ).
Введем, наконец, в рассмотрение функцию
()
() = () −  (−1) ()0 () − [ () () −  (−1) ()0 ()]().
Находим:
() = ()
˙
= . . . =  () () = 0,
() = ()
˙
= ... = 
(−−2)
(4.32)
(4.33)
() = 0,
(−−1)
 (−−1) () =  (−−1) () −  (−1) ()0
 =  6 0
() > 0,
(4.34)
(4.35)
( <  < ).
Эти соотношения вытекают из предыдущих: (4.32) — из (4.14), (4.15),
(4.19), (4.21), (4.25); (4.33) — из (4.17), (4.20), (4.26); (4.34) — из (4.17),
(4.22), (4.27), (4.28); (4.35) — из (4.31).
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть  (, ) — функция Грина оператора  при краевых условиях
  >  + 1,
  >  −  − 1
(4.36)
(если  =  − 1, то  (, ) есть не зависящая от  функция Коши). Так
как  ∈ 0 [,  ] при любом  ∈ (, ), то, в соответствии с леммой 4.2
(−1)−−1  (, ) > 0
при любом  ∈ (, )
( 6 ,  6  ).
(4.37)
Согласно (4.18) краевая задача (4.36) является невырожденной и при
 = ; поэтому ¯ (, ) существует и удовлетворяет неравенству
(−1)−−1 ¯ (, ) > 0
( 6 ,  6 ),
(4.38)
которое получается из (4.37) предельным переходом при  ↑  в соответ­
ствии с леммой 4.3. Функция () согласно (4.32), (4.33) удовлетворяет
краевым условиям (4.36) при  = . Отсюда, учитывая неравенства (4.35)
и (4.38) получаем
∫︁ ¯
−
−
(−1)
() = (−1)
¯ (, )()()  > 0 ( 6  6 ).
(4.39)

Однако, с другой стороны, из (4.33) и (4.34) следует, что
(−1)− ( − 0) < 0.
(4.40)
Противоречие между (4.39) и (4.40) показывает, что случай (4.13) невоз­
можен.
Если  = , это доказательство не проходит. Прежде всего, многие из
фигурирующих выше соотношений могут вообще потерять смысл, если  =
=  =  есть сингулярный конец ; но и при  ∈  условия теоремы 4.1 в
этом случае уже не обеспечивают положительности связанных с { } врон­
скианов при  =  (= ), которая существенно использовалась выше. Тем
не менее, случай  =  удается свести к случаю  < . Именно, продолжим
функции 1 , 2 , . . . , −1 на интервал (, ) следующим образом:
{︁  () при  6  < ,

̃︀ () =
 () при  <  < ,
()
()
где  ∈ M′ ,  () =  ()( = 1, 2, . . . ,  − 1;  = 0, 1, . . . ,  − 1). Ясно, что
̃︀ ∈ *−1 (, )
−
(−1)
̃︀
 > 0
( = 1, 2, . . . ,  − 1),
( = 1, 2, . . . ,  − 1)
( <  < ).
(4.41)
(4.42)
Если 1 <  выбрано достаточно близким к , то в силу (4.1), (4.41) система
{̃︀
 } согласована на [1 , ). Предположение  =  влечет за собой согласно
теореме 3.2 неравенство 1 <  и ввиду (4.42) мы оказываемся в условиях
уже рассмотренного случая теоремы 4.1 (с заменой  на 1 , и { } на {̃︀
 }).
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.5. Проиллюстрируем теперь некоторые возможности конкретизации { }
для получения эффективных признаков неосцилляции. Начнем с рассмот­
рения на интервале (, ) системы
 = ( − ) ( − )−
( = 1, 2, . . . ,  − 1)
( <  <  <  < ), (4.43)
которая является (+)-декартовой на (, ). Это можно проверить непосред­
ственными вычислениями; проще, однако, заметить, что ДИФС на (, )
+1
оператора +1

 = ( − )−1 ( − )+1− ( = 1, 2, . . . ,  + 1)
является (+)-декартовой на (, ) в силу леммы 4.1; то же самое справед­
ливо поэтому и для ее подсистемы (4.43). Итак, согласно следствию 4.1
 ∈ 0 [, ), если определенные формулой (4.43) функции 1 , . . . , −1 удо­
влетворяют неравенствам (4.2), которые в данном случае можно переписать
в виде

(−1)−−1 ∑︁ (−)

() () 6 1
!
( = 1, 2, . . . ,  − 1)
( <  < ). (4.44)
=1
Сравним полученное условие с признаком неосцилляции, содержащимся
в работе [36] Г. А. Бессмертных и автора и имеющим вид (в интересующем
нас линейном случае)

∑︁
 ( − ) ‖ ‖ < 1 →  ∈ 0 [, ],
(4.45)
=1
где
‖ ‖ = sup | ()|,  =
66
−
!
(=1, 2, . . . , −1),  =
(−1)−1
. (4.46)
!
Предложение (4.45) явилось количественным улучшением известной
теоремы Валле-Пуссена [35], в формулировке которой фигурировали дру­
1
гие коэффициенты: !
(>  ) вместо  . Основным моментом работы [36]
была оценка младших производных -кратно дифференцируемых функций,
имеющая, в обозначениях (4.46), вид
{() = () = 0,  [, ] > } → ‖− ‖ 6  ( − ) ‖() ‖
( = 1, 2, . . . , ).
(4.47)
Здесь постоянные  неулучшаемы при любых ,  (это, разумеется, не
относится к условию (4.45)). Доказательство дискретного аналога оценки
130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(4.47) можно найти в недавней работе А. Л. Тептина [63]. Непосредствен­
ная связь между (4.44) и (4.45) характеризуется соотношением
(︁
1
1 (−) )︁
(−)

max ‖
‖ = ‖1
‖ ,
(4.48)
 ( − ) =
! 166−1 
!
свидетельствующим, что совокупность линейных неравенств (4.44) являет­
ся менее ограничительным условием, нежели (4.45) («зазор» между 0 [, )
и 0 [, ] компенсируется уже строгим знаком неравенства (4.45)). Проверка
(4.48) несложна и предоставляется читателю; впрочем, для вышесказанного
существенно лишь неравенство
1
(−)
 ( − ) >
max ‖
‖,
! 166−1
являющееся очевидным следствием оценки (4.47). Отметив предпочтитель­
ность условия (4.44) перед (4.45), следует добавить, однако, что методика
работы [36] обладает, сравнительно с теоремой 4.1, определенным «запасом
прочности», который позволяет теми же средствами исследовать некоторые
нелинейные задачи (именно они фактически и фигурируют в [36]), а также
комплекснозначный случай. Справедливость оценки (4.47) для комплексно­
значных () легко вытекает из ее справедливости в вещественном случае

и из вещественности функции Грина оператора  при любых интерполя­

ционных краевых условиях.
В работе [57] автор получил оценку, родственную (4.47), но основанную
на иных предположениях относительно (); она также применялась для
улучшения теоремы Валле-Пуссена. Дальнейшее развитие такое примене­
ние получило в недавней работе Г. С. Зайцевой [38], где установлена теоре­
ма валле-пуссеновского типа, усовершенствованная по сравнению с [57] (и
независимая по отношению к (4.45)). Как отмечалось в [38], формулировки,
данные в этой работе, отличаются от ранее известных валле-пуссеновских
признаков неосцилляции тем, что допускают при фиксированной длине про­
межутка сколь угодно большие значения ‖1 ‖, если только ‖2 ‖, . . . , ‖ ‖
достаточно малы. Мы хотим сейчас отметить в связи с этим, что теорема
4.1 позволяет здесь продвинуться, в определенном смысле, еще дальше и
получить признаки неосцилляции (правда, не валле-пуссеновского типа),
в которых коэффициент 1 вообще не участвует. Для этого достаточ­
но, очевидно, выбрать согласованную систему { } из многочленов не выше
( − 2)-й степени. Множество таких систем непусто; простейшим примером
является система
 = ( − 0 )−1 ( = 1, 2, . . . ,  − 1),
которая, будучи (+)-декартовой на (0 , ∞) доставляет соответствующий
признак неосцилляции на полуоси. При фиксации того или иного кон­
кретного промежутка возникает типичная задача о выборе «оптимальной»
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
системы { } (из функций определенного семейства), приводящей к ми­
нимальным ограничениям. Разумеется, такая постановка задачи далеко не
всегда корректна, поскольку жесткость ограничений, вообще говоря, нель­
зя охарактеризовать одним параметром; но в ряде случаев подобные «оп­
тимальные» пробные системы все же существуют. Пусть, например,  = 3,
и нас интересует признак неосцилляции на [1 , 2 ](⊂ ), не содержащий
ограничений относительно 1 () (так что 1 и 2 должны быть линейны­
ми функциями ). Несложные выкладки показывают, что согласованная на
(1 , 2 ) система 1 = 2 −, 2 = −1 приводит к наименьшим ограничениям
2 () + ( −  )3 () 6 0
( = 1, 2)
(1 <  < 2 ).
(4.49)
Согласно следствию 4.1 (4.49)→  ∈ 0 [1 , 2 ); в действительности заклю­
чение может быть усилено до  ∈ 0 [1 , 2 ] в соответствии со сказанным в
конце 4.2.
Между прочим, легко показать, что признаки неосцилляции, не со­
держащие ограничений относительно какого-либо другого коэффициента
 ()(2 6  6 ), принципиально невозможны.
В связи с системами { } степенного типа коснемся еще работ В. А. Кон­
дратьева [21, 48], где основательно изучено двучленное уравнение () +
+ () = 0 и, в частности, установлен признак неосцилляции вида
{︁ 


6 () 6
}︁


при
0
<

<
∞
→
+  ∈ 0 (0, ∞)


(4.50)
с неулучшаемыми при всех  значениями  ,  . Основную роль в доказа­
тельстве (4.50) играет установленная в [48] теорема сравнения (1.11); она

позволяет сравнить уравнение () + () = 0 с уравнением () +   = 0,

после чего точные значения  ,  легко определяются:
√
√
2 3
9
2 3
, 3 =
, 4 = − , 4 = 1 и т.д.
3 = −
9
9
16
В общем случае значение  есть наибольший из локальных миниму­
мов, а  — наименьший из локальных максимумов функции  () =
= − ( − 1) . . . ( −  + 1). Следствие 4.1 позволяет обобщить этот ре­
зультат В. А. Кондратьева на уравнения общего вида; для этого следует
взять пробную систему
 = 
( = 1, 2, . . . ,  − 1)
(1 < 2 < . . . < −1 )
(4.51)
с подходящими показателями  . Известно (и без труда проверяется), что
система (4.51) является (+)-декартовой на (0, ∞). Задавшись целью по­
лучить ограничения, которые были бы минимальными в частном случае
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 () ≡ 0 ( = 1, 2, . . . ,  − 1), легко усмотреть надлежащие значения 
непосредственно
из графика  (). В частности,
√
√ при  = 3 следует взять
1,2 = (3 ∓ 3)/3, а при  = 4 — 1,3 = (3 ∓ 5)/2, 2 = 3/2 (при  > 5
появляется некоторая свобода выбора). Выпишем здесь соответствующие
условия неосцилляции на (0, ∞) для  = 3, 4. В случае  = 3 это условие
имеет вид
√
√
√
2 3
3∓1
3∓ 3
−
1 −
2 ± 3 > 0 (0 <  < ∞).
93
32
3
Здесь записаны два неравенства, в одном из которых следует брать верхние
знаки, а в другом — нижние. При  = 4 приходим к следующему условию:
√
√
√
1
3± 5
2± 5
3± 5
− 4+
1 +
2 +
3 + 4 6 0,

23
2
2
3
3
3
9
−
1 + 2 2 + 3 + 4 > 0, (0 <  < ∞).
164 83
4
2
В случае  () ≡ ( = 1, 2, . . . ,  − 1) полученные таким образом признаки
неосцилляции переходят в (4.50). Отметим, что методика работы [48] не
приспособлена для получения подобных обобщений (предложенная автором
[54] более общая редакция теоремы (1.11) также недостаточна для этой
цели), тогда как результаты настоящего параграфа приводят к ним самым
естественным образом.
Последняя (по месту, но не по значению) конкретизация { }, на которой
мы здесь остановимся, — это набор экспонент:
 =  
( = 1, 2, . . . ,  − 1)
(1 < 2 < . . . < −1 ).
(4.52)
Общеизвестно, что система (4.52) является (+)-декартовой на (−∞, ∞).
Если ввести в рассмотрение «характеристический многочлен» оператора 
(, ) =  + 1 ()−1 + . . . + −1 () +  (),
(4.53)
то неравенства (4.2) для системы (4.52) примут вид
(−1)− ( , ) > 0
( = 1, 2, . . . ,  − 1).
(4.54)
Итак, выполнение (4.54) при всех  ∈  влечет за собой  ∈ 0 . Нера­
венства (4.54) можно записать несколько иначе, если связать их с корнями
 () многочлена (, ).
Следствие 4.2. Пусть при всех  ∈  корни  (), . . . ,  () многочлена
(4.53) являются вещественными и разделенными в том смысле, что
1 () 6 1 6 2 () 6 2 6 . . . 6 −1 6  ()
( ∈ ),
(4.55)
где  (1 < 2 < . . . < −1 ) — фиксированные постоянные. Тогда  ∈
∈ 0 .
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для приложений особый интерес представляет случай  = (−∞, ∞).
Эквивалентность обеих формулировок проверяется без труда. Неравенства
(4.55) больше проясняют существо дела, тогда как формулировка в виде
(4.54) подчеркивает, что за счет удачного выбора 1 , . . . , −1 можно изба­
виться от необходимости решения уравнения (, ) = 0. Ввиду полугруп­
пового свойства класса 0  следствие 4.2 сохраняет силу и при нестрогих
неравенствах 1 6 . . . 6 −1 .
Итак, возможности, доставляемые теоремой 4.1, довольно велики. В то
же время необходимо подчеркнуть, что результаты настоящего параграфа
отнюдь не исчерпывают этой проблематики. В частности, теоремы валле­
пуссеновского типа, содержащие интегральные ограничения на величины
коэффициентов  () (см., например, [9, 38, 49]) не могут быть непосред­
ственно получены с помощью теоремы 4.1 — по крайней мере, если огра­
ничиться не зависящими от  пробными системами. Получение полуэф­
фективного критерия неосцилляции, позволяющего охватить интегральные
признаки, было бы дальнейшим продвижением в этом круге вопросов.
§ 5. Приложение к асимптотическим оценкам решений
Результаты § 4 в сочетании с некоторыми фактами, установленными в
§ 2, могут применяться для получения оценок роста решений уравнения
 = 0 при  ↑  (или  ↓ ), где  (или ) — сингулярный конец интер­
вала . Этим мы и займемся в настоящем параграфе, причем ограничимся
случаем  ↑ . Прежде чем перейти к самим оценкам, остановимся еще на
одном факте из теории осцилляции.
5.1.
Лемма 5.1. Отрезок [, ] ⊂  является промежутком осцилляции для
 (т.е.  6 ) в том и только том случае, если существует () ∈
∈ *−1 [, ], удовлетворяющая относительно некоторых точек 1 , 2 , . . . ,
 (2 6  6 ,  6 1 . . . 6  6 ) следующим условиям:
  > 
( = 1, 2, . . . , ),
(5.1)
где  > 0 таковы, что 1 + . . . +  = ;
( ) ( ) 6 0,
 > 0
() ̸≡ 0
(1 6  6  );
(1 6  6  ).
(5.2)
(5.3)
Эта лемма, формулировка которой приводилась в [54], представляет
собой, очевидно, полуэффективный критерий осцилляции на отрезке (с
несингулярными концами). В одну сторону лемма 5.1 тривиальна: если
 ̸∈ 0 [, ], то в качестве () может быть выбрана любая функция из
134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
N[, ], взятая с подходящим знаком. Обратную импликацию «существо­
вание () → осцилляция» докажем от противного. Пусть  ∈ 0 [, ],
несмотря на наличие (), удовлетворяющей условиям (5.1)—(5.3) для неко­
торых точек 1 , . . . ,  отрезка [, ]. Имеются два случая: ( ) ( ) < 0 и
( ) ( ) = 0; покажем, что каждый из них невозможен. Чтобы исключить
первый, заметим, что в этом случае
(−1) ( − 0) < 0.
(5.4)
Пусть  =  () и (, ) есть функция Грина оператора  при интерполя­
ционных краевых условиях (5.1); тогда
∫︁ 
(, ) () (1 6  6  ).
(5.5)
() =
1
Так как  > 0 в [1 ,  ] и (−1) ( − 0, ) > 0 согласно предположению
 ∈ 0 [, ] и лемме 4.2, то из (5.5) получаем (−1) ( − 0) > 0, что
̃︁  обо­
противоречит (5.4). Переходим к случаю ( ) ( ) = 0. Пусть 
значает число компонент связности в множестве нулей функции () ∈ 
̃︁  6 ∞). Непосредственно очевидна следующая
на промежутке (0 6 
модификация теоремы Ролля:
̃︁  > 2} → {˙  >  − 1, 
̃︁˙  > 2}.
{ ∈  −2 ,   >  > 3, 
(5.6)
Из предположения  ∈ 0 [, ] вытекает, что  ∈ 0 (1 , 1 ) для некоторого
интервала (1 , 1 ) ⊃ [, ]; поэтому  допускает на (1 , 1 ) разложение (1.3).
Рассмотрим функции
  = ℎ


. . . ℎ1 ℎ0  ( = 0, 1, . . . ,  − 1).


В силу соотношений ( ) ( ) = 0 и (5.1), 0 [1 ,  ] =  [1 ,  ] >  +
+ 1; очевидно также, что ̃︀0 [1 ,  ] > 2. Исходя отсюда и применяя (5.6)
последовательно к функциям 0 (), 1 (), . . ., находим
 [1 ,  ] >  + 1 − ,
̃︀ [1 ,  ] > 2
( = 1, 2, . . . ,  − 1)
(5.7)
(множители ℎ (), будучи гладкими и строго знакопостоянными в [, ]
̃︀ С другой сто­
функциями, не влияют на подсчет величин типа  и ).
роны, из условия  = ℎ ˙ −1 > 0 (1 6  6  ) вытекает нестрогая
монотонность −1 () на [1 ,  ], которая в свою очередь влечет за собой
неравенство ̃︀−1 [1 ,  ] 6 1, противоречащее (5.7) при  =  − 1.
Отметим, что лемму 5.1 можно было доказать несколько иначе, устано­
вив неравенство
  (, ) ⃒⃒
> 0 (1 <  <  ),
⃒

=
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
после чего дело сводится к  -кратному дифференцированию равенства
(5.5). Это потребовало бы сходных, но несколько более пространных рас­
(︀
 −1  )︀
суждений в связи с разрывностью
.
−1
Следствие 5.1. Пусть  ̸= . Если функция  ∈ *−1  _ такова, что
() ̸≡ 0 вблизи  и  знакопостоянна вблизи , то () ̸= 0 вблизи .
В самом деле, предположим, что это не так и () колеблется при  ↑ .
Не ограничивая общности, можно считать, что  > 0 вблизи  (иначе за­
меним  на −). Ясно, что в любой  _ найдутся точки 1 , 2 , . . . ,  , для
которых выполняются условия (5.1) и (5.2). Поэтому согласно лемме 5.1 лю­
бая  _ есть промежуток осцилляции для , т. е.  ̸= , что противоречит
условию.
Теперь достаточно прибегнуть к тому элементарному рассуждению, с
которого начиналось доказательство леммы 2.1, чтобы установить
()
,
()
Следствие 5.2. В условиях следствия 5.1 любое отношение вида
где  ∈ M′ , имеет (конечный или бесконечный) предел при  ↑ .
5.2. Переходим к основной цели настоящего параграфа.
Теорема 5.1. Пусть функции  () ∈ *−1  _ ( = 0, 1, . . . , ) удовлетво­
ряют условиям:
[; 1 . . . ]() ̸= 0 вблизи 
0 ≺≺ 1 ≺≺ . . . ≺≺ 
(−1)−  > 0
( = 2, 3, . . . ,  − 1);
(5.8)
( ↑ );
вблизи 
(5.9)
( = 0, 1, . . . , ).
(5.10)
Тогда  ̸=  и для всякой ИФС при  ↑ { } уравнения  = 0
справедливы оценки
 −1 () 6  () 6   () вблизи 
( = 1, 2, . . . , ),
(5.11)
где  ,  ( = 1, 2, . . . , ) — некоторые положительные постоянные.
Соотношение  ̸=  немедленно следует из леммы 2.6, согласно которой
система 1 , 2 , . . . , −1 является (+)-декартовой вблизи , и из следствия
4.1. При доказательстве оценок (5.11) мы также будем опираться на лемму
2.6, возможность применения которой подготовлена следствием 5.2.
Итак, пусть 1 , 2 , . . . ,  – некоторая ИФС при  ↑ . Перепишем (5.10)
в виде
(−1)− [1 , 2 , . . . ,  ,  ] > 0
вблизи 
136
( = 0, 1, . . . , ),
(5.12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а (5.11) — в виде двух семейств оценок
 = ( )
( = 1, 2, . . . , )
( ↑ ),
(5.13)
−1 = ( )
( = 1, 2, . . . , )
( ↑ ).
(5.14)
Ниже постоянная оговорка « ↑ » при асимптотических соотношениях
для простоты опускается. Начнем с оценки
(5.15)
1 = (1 ).
Чтобы убедиться в ее справедливости, предположим, что (5.15) не имеет
места; согласно следствию 5.2 единственной альтернативой является соот­
ношение
1 ≺≺ 1 .
(5.16)
Но в этом случае, как показывают теорема об иерархии и неравенство
(5.12) при  = 1, система функций 1 , 1 , 2 , . . .,  в некоторой  _
удовлетворяет условиям леммы 2.6 (при  =  + 1,  = 1) и поэтому
[1 , 1 , 2 , . . . ,  ] > 0
вблизи .
(5.17)
Сопоставляя (5.12) и (5.17), заключаем, что вблизи  левая часть (5.17),
тождественно равна нулю, т. е. 1 удовлетворяет уравнению 1 = 0, что
явно несовместимо с (5.16).
Установим теперь следующую импликацию:
 = ( ) → +1 = (+1 )
( = 1, 2, . . . ,  − 1).
(5.18)
Опять-таки предположим противное: пусть при некотором  (1 6  6  − 1)
 = ( ), +1 ̸= (+1 ). Последнее соотношение согласно следствию 5.2
означает, что +1 ≻≻ +1 ; так как, с другой стороны, +1 ≻≻  , то
 ≺≺ +1 ≺≺ +1 .
(5.19)
Теорема 2.1 и соотношения (5.12), (5.19) показывают, что система функций
1 , 2 , . . .,  , +1 , +1 , . . .,  в некоторой  _ удовлетворяет условиям
леммы 2.6 ( =  + 1,  =  + 1), откуда
[1 , . . . ,  , +1 , +1 , . . . ,  ] > 0
вблизи .
Сопоставляя это с неравенством (5.12) при  = +1, заключаем, что вблизи
 +1 является решением уравнения  = 0; тем самым получено про­
тиворечие с (5.19). Доказанная импликация (5.18) в сочетании с (5.15),
очевидно, обеспечивает справедливость оценок (5.13).
Соотношения (5.14) доказываются с помощью аналогичного рассужде­
ния, только осуществляемого в противоположном направлении — от боль­
ших индексов к меньшим. Исходной теперь является оценка
−1 = ( )
137
(5.20)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
после чего (5.14) устанавливается с помощью импликации
 = (+1 ) → −1 = ( )
( = 1, 2, . . . ,  − 1).
(5.21)
Соотношения (5.20) и (5.21) докажем от противного по уже знакомой
схеме. Если (5.20) не выполняется, т. е. −1 ≻≻  , то система функций
1 , 2 , . . . ,  , −1 удовлетворяет вблизи  всем условиям леммы 2.6 (при
 =  =  + 1), так что ее вронскиан вблизи  неотрицателен и, следо­
вательно, тождественно равен нулю в силу (5.12). С другой стороны, −1
не может быть в  _ решением уравнения  = 0, так как −1 ≻≻  .
Заметим, что (5.20) можно доказать и иначе, с помощью теоремы сравне­
ния Чаплыгина. Далее, предполагая, что (5.21) не имеет места, и учитывая
(5.9), получаем для некоторого (1 6  6  − 1)
 ≺≺ −1 ≺≺ +1 .
(5.22)
Применение леммы 2.6 (при  =  + 1,  =  + 1) к системе 1 , 2 , . . . ,  ,
−1 , +1 , . . . ,  дает [1 , . . . ,  , −1 , +1 , . . . ,  ] > 0 вблизи . Ввиду
(5.12) отсюда следует, что −1 = 0 в некоторой  _, но это невозможно
из-за (5.22).
Отметим, что оценки  = ( ), 0 = (1 ), будучи заключительными
в процессе доказательства (5.13) и (5.14) соответственно, не использовались
для получения остальных оценок; проверка соотношения  ̸=  также не
требует привлечения функций 0 ,  . Поэтому, если любую из этих функ­
ций или обе сразу изъять из формулировки теоремы 5.1, те из оценок (5.11),
в которых не фигурируют изъятые функции, останутся в силе.
5.3. В заключение остановимся на одном частном случае теоремы 5.1,
представляющем, пожалуй, наибольший интерес для приложений:
 = ∞,  =  
( = 0, 1, . . . , ) (0 < 1 < . . . <  ).
Как и в формулировке следствия 4.2, здесь условие (5.10) может быть
заменено адекватной характеристикой поведения корней уравнения
 + 1 ()−1 + . . . + −1 () +  () = 0.
(5.23)
Следствие 5.3. Пусть при всех достаточно больших  корни 1 (), . . . ,
 () уравнения (5.23) вещественны и удовлетворяют неравенствам
0 6 1 () 6 1 6 2 () 6 . . . 6 −1 6  () 6  ,
(5.24)
где  — некоторые постоянные (0 < 1 < . . . <  ). Тогда для ИФС при
 ↑  уравнения  = 0 имеют место оценки
 −1  6  () 6   
( = 1, 2, . . . , )
где  ,  — некоторые положительные постоянные.
138
( > 0 ),
(5.25)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Это предложение отчасти сходно с так называемыми теоремами о «замо­
раживании» (см. [64]), которые также позволяют оценивать рост решений
(часто в форме неравенств для показателей Ляпунова) уравнения  = 0
или, в более общем случае, системы уравнений ˙ = (), исходя из
равномерных по  в некоторой  _∞ ограничений на коэффициенты. Вот
типичная форма теоремы о замораживании (для уравнения  = 0): если
при всех  (1 6  6 ) Re  () 6 , | ()| 6 , | (1 ) −  (2 )| 6 |1 − 2 |,
то для любого  ∈ M′ справедлива оценка
lim
→∞
ln |()|
6  +  (, ).

(5.26)
Вид функции  (, ) варьируется у различных авторов, но, как правило,
 (, 0) ≡ 0,  (, ) > 0 при  > 0. Эта функция представляет собой, так
сказать, «надбавку на переменность коэффициентов».
Метод замораживания имеет значительно более широкую область при­
менимости, нежели следствие 5.3 (если ограничиться уравнениями с ко­
эффициентами, удовлетворяющими условию Липшица). С другой сторо­
ны, традиционная методика замораживания, по-видимому, не позволяет из
(5.24) извлечь оценки (5.25) или хотя бы оценку сверху для показателей
Ляпунова
ln |()|
lim
6  ( ∈ M′ ),
(5.27)
→∞

которая, в отличие от (5.26) не содержит никаких «надбавок». Напомним
также, что следствие 5.3 получено без каких-либо предположений о глад­
кости или непрерывности коэффициентов. То обстоятельство, что метод
замораживания обеспечивает оценку (5.26) не только для , но одновре­
менно и для ,
˙ 
¨, . . . , (−1) , не играет здесь особой роли, поскольку и
(5.27) сохраняет силу при замене  на () (1 6  6 ). Чтобы убедиться в
этом, достаточно заметить, что из (5.24) вытекает ограниченность в  _∞
коэффициентов 1 , 2 ,. . .,  и воспользоваться следующим результатом.
Теорема 5.2 (Теорема Эсклангона). Если коэффициенты оператора 
ограничены в  _∞ и некоторое  ∈ M имеет вид  = ( ) при  → ∞,
то
() = ( ) ( = 1, 2, . . . , ) ( → ∞).
(5.28)
Сам Эсклангон рассматривал в [65] случай  = 0, к которому, однако,
беспрепятственно сводится случай произвольного . Действительно, урав­
нение  = 0 после подстановки  =   и умножения на − перейдет в
уравнение 1  = 0; легко видеть, что поскольку коэффициенты оператора 
ограничены при  > 0 , это же верно и для оператора 1 . Так как  = (1)
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
при  → ∞, то согласно [65]

()
−
=

∑︁
 (−) (−) = (1)
( = 1, 2, . . . , ) ( → ∞).
=0
Отсюда легко получаем (5.28) с помощью линейного комбинирования, по­
скольку соответствующая треугольная матрица, очевидно, невырождена.
Теорема Эсклангона вместе с (5.25) показывает, что в условиях след­
()
ствия 5.3 при любом , 1 6  6 ,  () = (  ) ( = 0, 1, . . . , )
( → ∞).
Литература
1. Polia, G. On the mean-value theorem corresponding to a given linear
homogeneous differential equation / G. Polia // Trans. Amer. Math. Soc. —
1924. — Vol. 24. — P. 312—324.
2. Mammana, G. Decomposizione delle espressioni differenziali lineari omo­
genee in prodotto di fattori simbolici e applicazione relativa allo studio
delle equazioni differenzi ali lineari / G. Mammana // Math. Z. — 1931. —
Vol. 33. — P. 186—231.
3. Hartman, P. Unrestricted -parameter families / P. Hartman // Rendiconti
del Circolo Matematico di Palermo. — 1958. — Vol. 7(2). — P. 123—142.
4. Беккенбах, Э. Неравенства / Э. Беккенбах, Р. Беллман. — М.: Мир,
1965. — 276 с.
5. Бернштейн, С. Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее
приближение непрерывных функций одной вещественной переменной.
Часть первая / С. Н. Бернштейн. — М.; Л.: ОНТИ, 1937. — 203 с.
6. Бернштейн, С. Н. О базе системы Чебышёва / С. Н. Бернштейн //
Изв. АН, сер. матем. — 1938. — Т. 2:2, № 5-6. — С. 499—504.
7. Крейн, М. Г. К теории наилучшего приближения периодических функ­
ций / М. Г. Крейн // ДАН СССР. — 1938. — Т. 18, № 4–5. — С. 245—249.
8. Чичкин, Е. С. Теорема о дифференциальном неравенстве для многото­
чечных краевых задач / Е. С. Чичкин // Изв. вузов, Матем. — 1962. —
Т. 2. — С. 170—179.
9. Левин, А. Ю. О многоточечной краевой задаче: Дис. . . канд. физ.-мат.
наук. — Воронеж, 1962. — 112 с.
10. Некоторые краевые задачи для нелинейных дифференциальных уравне­
ний / А. В. Кибенко, М. А. Красносельский, А. Ю. Левин, А. И. Пе­
ров // Труды IV Всесоюз. матем. съезда. — Л., 1964. — Т. 2. —
С. 437—444.
11. Левин, А. Ю. О распределении нулей решений линейного дифферен­
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
циального уравнения / А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1964. — Т. 156,
№ 6. — С. 1281—1284.
Mikusinski, I. Sur léquation () + () = 0 / I. Mikusinski // Ann.
Polon. Math. — 1955. — Vol. 1, no. 2. — P. 207—221.
Хохряков, А. Я. К вопросу о периодической краевой задаче для диффе­
ренциального уравнения третьего порядка / А. Я. Хохряков // Матем.
сб. — 1964. — Т. 63, № 4. — С. 639—645.
Пак, С. А. К вопросу о дифференциальных неравенствах для краевых
задач: Дис. . . канд. физ.-мат. наук. — Воронеж, 1964.
Юберев, Н. Н. О линейной периодической краевой задаче для уравнений
в конечных разностях / Н. Н. Юберев // Дифф. уравнения. — 1966. —
Т. 2, № 6. — С. 784—790.
Колесов, Ю. С. О знаке функции Грина некоторых периодических кра­
евых задач / Ю. С. Колесов, А. Ю. Левин // Проблемы матем. анализа
сложных систем. — Воронеж, 1967. — Вып. 1. — С. 40—43.
Bellman, R. A note on the identification of linear systems / R. Bellman //
Proc. Amer. Math. Soc. — 1966. — Vol. 17, no. 1. — P. 68—71.
Чуриков, В. А. Об условиях существования функции Грина краевой
задачи / В. А. Чуриков // Дифф. уравнения. — 1966. — Т. 2, № 9. —
С. 1184—1192.
Глазман, И. М. Прямые методы качественного спектрального анализа
сингулярных дифференциальных операторов / И. М. Глазман. — М.:
Физматгиз., 1963. — 339 с.
Крейн, М. Г. Sur les opérateurs différentiels autoadjoints et leurs fonctions
de Green symétriques / М. Г. Крейн // Матем. сб. — 1937 . — Vol.
2(44), no. 6. — P. 1023—1072.
Кондратьев, В. А. О колеблемости решений линейных уравнений тре­
тьего и четвертого порядка / В. А. Кондратьев // Труды Моск. матем.
о-ва. — 1959. — № 8. — С. 259—281.
Ахундов, А. М. О решениях дифференциального уравнения /
А. М. Ахундов, А. Тораев // Изв. АН Туркм. ССР, сер. физ.-техн.,
хим. и геол. наук. — 1964. — № 1. — С. 21—23.
Moldovan, E. Asupra notiunii de functie convexă fată de о multime inter­
polatoare / E. Moldovan // Studii si cercet. de matem. (Cluj). — 1958. —
Vol. 9. — P. 161—224.
Aramă, O. Sur un théorème de W. A. Markov / O. Aramă // Math.
(RPR). — 1961. — Vol. 3, no. 2. — P. 197—216.
Marкоv, W. A. Über Polinome, die in einem gegebenen Intervalle
möglichst wenig von Null abweichen / W. A. Marкоv // Math. Ann. —
1916. — Vol. 77. — P. 213—258.
Левин, А. Ю. Поведение решений уравнения 
¨ + ()˙ + () = 0 в
неколебательном случае / А. Ю. Левин // Матем. сб. — 1968. — Т. 75
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(117), № 1. — С. 39—63.
2 
+
2
+  = 0 / Н. Е. Жуковский // Матем. сб. — 1892. — Т. 16, вып. 3. —
С. 582—591.
Крейн, M. Г. О некоторых задачах на максимум и минимум для
характеристических чисел и о ляпуновских зонах устойчивости /
M. Г. Крейн // ПММ. — 1951. — Т. 15, вып. 3. — С. 323—348.
Якубович, В. А. Об ограниченности решений уравнения  ′′ + () = 0,
( + ) = () / В. А. Якубович // ДАН СССР. — 1950. — Т. 74, № 5. —
С. 901—903.
Гантмахер, Ф. Р. О несимметрических ядрах Келлога / Ф. Р. Гантма­
хер // ДАН СССР. — 1936. — Т. 1, № 1. — С. 3—5.
Кpeйн, М. Г. О несимметрических осцилляционных функциях Грина
обыкновенных дифференциальных операторов / М. Г. Кpeйн // ДАН
СССР. — 1939. — Т. 25, № 8. — С. 643—646.
Кpeйн, М. Г. Осцилляционные теоремы для обыкновенных линейных
дифференциальных операторов произвольного порядка / М. Г. Кpeйн //
ДАН СССР. — 1939. — Т. 25, № 9. — С. 717—720.
Гантмахер, Ф. Р. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колеба­
ния механических систем / Ф. Р. Гантмахер, M. Г. Крейн. — М.; Л.:
Гостехиздат, 1950. — 360 с.
Калафати, П. Д. О функциях Грина обыкновенных дифференциальных
уравнений / П. Д. Калафати // ДАН СССР. — 1940. — Т. 26, № 6. —
С. 535—539.
de la Vallée Poussin, C. Sur l’équation différentielle linéaire du second
ordre. Détermination d’une intégrale par deux valeurs assignées. Extension
aux équations d’ordre  / C. de la Vallée Poussin // J. Math. Pures et Appl.
(9). — 1929. — Vol. 8. — P. 125—144.
Бессмертных, Г. А. О некоторых оценках дифференцируемых функций
одной переменной / Г. А. Бессмертных, А. Ю. Левин // ДАН СССР. —
1962. — Т. 144, № 3. — С. 471—474.
Bobrowski, D. О odleglośki miȩdzy zerami pewnych rozwis̆zań równania
rózniczkowego liniowego czwartego rzȩdu / D. Bobrowski // Zesz. nauk.
Politechn. poznańsk. — 1965. — Vol. 29. — P. 55—60.
Зайцева, Г. С. О многоточечной краевой задаче / Г. С. Зайцева // ДАН
СССР. — 1967. — Т. 176, № 4. — С. 763—765.
Сансоне, Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Д. Сан­
соне. — М.: ИЛ, 1953. — Т. 1. — 346 с.
Borg, G. Über die Stabilität gewisser Klassen von linearen
Differentialgleichungen / G. Borg // Ark. Mat. Astron. Fys. A. — 1944. —
Vol. 31, no. 1. — P. 460—482.
27. Жуковский, Н. Е. Условия конечности интегралов уравнения
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
41. Левин, А. Ю. Об одном критерии устойчивости / А. Ю. Левин //
УМН. — 1962. — Т. 17, № 3(105). — С. 211—212.
42. Левин, А. Ю. К вопросу о нулевой зоне устойчивости / А. Ю. Левин //
ДАН СССР. — 1962. — Т. 145, № 6. — С. 1221—1223.
43. Epheser, H. Über die Existenz der Lösungen von Randwertaufgaben mit
gewöhnlichen, nichtlinearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung /
H. Epheser // Math. Z. — 1955. — Vol. 61. — P. 435—454.
44. Левин, А. Ю. О линейных дифференциальных уравнениях второго
порядка / А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1963. — Т. 153, № 6. —
С. 1257—1260.
45. Болтянский, В. Г. Математические методы оптимального управления /
В. Г. Болтянский. — М.: Наука, 1969. — 408 с.
46. Комленко, Ю. В. Условия разрешимости некоторых краевых задач для
обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго по­
рядка / Ю. В. Комленко // ДАН СССР. — 1967. — Т. 174, № 5. —
С. 1018—1020.
47. Lasota, A. L’application du principe de Pontriagin a revaluation de
l’intervalle d’existence et d’unicite des solutions d’un probleme aux lim­
ites / A. Lasota, Z. Opial // Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math.,
Astr. et Phys. — 1963. — Vol. 11, no. 2. — P. 41—46.
48. Кондратьев, В. А. О колеблемости решений уравнения  () + () =
= 0 / В. А. Кондратьев // Труды Моск. матем. о-ва. — 1961. — № 10. —
С. 419—436.
49. Левин, А. Ю. Уравнение Фредгольма с гладким ядром и краевые задачи
для линейного дифференциального уравнения / А. Ю. Левин // ДАН
СССР. — 1964. — Т. 159, № 1. — С. 13—16.
50. Мираков, В. Е. Об условиях разрешимости задачи Чаплыгина /
В. Е. Мираков // ДАН СССР. — 1966. — Т. 170, № 4. — С. 776—779.
51. Чаплыгин, С. А. Новый метод приближенного интегрирования диф­
ференциальных уравнений / С. А. Чаплыгин. — М.; Л.: Гостехиздат,
1950. — 102 с.
52. Векторные поля на плоскости / М. А. Красносельский, А. И. Перов,
А. И. Поволоцкий, П. П. 3абрейко. — М.: Физматгиз, 1963. — 248 с.
53. Schröder, J. Ungleichunden und Fehlerabschätzungen / J. Schröder //
Труды Международного конгресса математиков. — М.: Мир, 1968. —
С. 101—129.
54. Левин, А. Ю. Некоторые вопросы осцилляции решений линейных диф­
ференциальных уравнений / А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1963. —
Т. 148, № 3. — С. 512—515.
55. Азбелев, Н. В. К вопросу об оценке числа нулей решений уравнения
 ′′′ +() ′ +() = 0 / Н. В. Азбелев // НДВШ, физ.-матем. науки. —
1958. — № 3. — С. 5—7.
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
56. Азбелев, Н. В. К вопросу о распределении нулей решений линейно­
го дифференциального уравнения третьего порядка / Н. В. Азбелев,
З. Б. Цалюк // Матем. сб. — 1960. — Т. 51(93), № 4. — С. 475—486.
57. Левин, А. Ю. Оценка для функции с монотонно расположенными ну­
лями последовательных производных / А. Ю. Левин // Матем. сб. —
1964. — Т. 64(106), № 3. — С. 396—409.
58. Полиа, Г. Задачи и теоремы из анализа / Г. Полиа, Г. Сёге. — М.:
Гостехиздат, 1956. — Т. 2. — 432 с.
59. Тептин, А. Л. Теоремы о разностных неравенствах для -точечных
разностных краевых задач / А. Л. Тептин // Матем. сб. — 1963. —
Т. 62, № 3. — С. 345—370.
60. Feckete, M. Über ein Problem von Laguerre / M. Feckete // Rend. Circ.
Matem. di Palermo. — 1912. — Vol. 34. — P. 89—100.
61. Aramă, O. Rezultate comparative asupra unor probleme la limită polilocale
pentru ecuatii diferentiale liniare / O. Aramă // Studii si cercet. de matem.
(Cluj). — 1959. — Vol. 10. — P. 207—257.
62. Покорный, Ю. В. О некоторых оценках функции Грина многоточечной
краевой задачи / Ю. В. Покорный // Матем. заметки. — 1968. — Т. 4,
№ 5. — С. 533—540.
63. Тептин, А. Л. Об оценке промежутка неосцилляции разностного урав­
нения и разностных краевых задач / А. Л. Тептин // Дифф. уравне­
ния. — 1966. — Т. 2, № 11. — С. 1449—1468.
64. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчиво­
сти / В. Ф. Былов, Р. Э. Виноград, Д. М. Гробман, В. В. Немыцкий. —
М.: Наука, 1966. — 576 с.
65. Esclangon, E. Nouvelles Recherches sur les Fonctions Quasiperiodiques /
E. Esclangon // Anne Observatoire de Bordeaux. — 1917. — Vol. 16. —
P. 51—226.
66. Hartman, P. Mean value theorems and linear operators / P. Hartman,
A. Wintner // Amer. Math. Monthly. — 1955. — Vol. 62. — P. 217—222.
67. Чезари, Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обык­
новенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. — М.: Мир,
1964. — 477 с.
Примечание при корректуре. Автор недавно узнал о весьма инте­
ресной (хотя и не свободной от неточностей) заметке Ф. Хартмана (Bull.
Amer. Math. Soc. Vol. 74, № 1. (1968)). Результаты, анонсированные в этой
заметке, и некоторые из установленных выше фактов тесно соприкасаются.
144
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Повторение игр двух лиц на больших интервалах
времени8
Теория антагонистических игр двух лиц после Бореля и фон Неймана
развивалась и обобщалась в различных направлениях; по этому поводу см.,
например, [1]. Предлагаемый ниже подход, по-видимому, не обсуждался,
хотя представляется весьма естественным. Суть его, кратко говоря, состоит
в учете фактора времени.
Рассмотрим встречу двух игроков, на протяжении которой они проводят
между собой ряд партий в одну и ту же матричную игру с нулевой суммой.
Каждая партия продолжается положительное время; наряду с платежной
матрицей  = || || задана также матрица  = || ||, где  — средняя
продолжительность партии при выборе I и II игроками соответственно -й
и -й чистых стратегий. Будем предполагать (хотя это, возможно, и не
2 продол­
очень существенно), что конечны соответствующие дисперсии 
жительностей партий. Общее время встречи либо фиксировано заранее,
либо, более общо, есть случайная величина, независимая по отношению к
ходу игры. (Таким образом число партий во встрече также есть случайная
величина, которая, однако, зависит от хода игры). Нас будет интересо­
вать случай, когда математическое ожидание  времени встречи велико по
сравнению со всеми   . Это позволит игнорировать «краевой эффект»
последней партии, которая — если она не окончилась в момент окончания
встречи — может в зависимости от регламента либо аннулироваться, либо
доигрываться, либо приводить к некоторому частичному платежу. Краевой
эффект сильно осложняет нахождение точных оптимальных стратегий; од­
нако, если считать  большим и подходить к делу с асимптотической точки
зрения, вкладом единичной партии можно пренебречь.
Предполагается, что оба игрока, как и обычно, стремятся максимизиро­
вать гарантированное значение математического ожидания своего выигры­
ша за встречу. Какие стратегии они должны применять?
Ясно, что стандартные оптимальные по Нейману стратегии для игры с
матрицей  здесь, вообще говоря, непригодны, поскольку они не учитыва­
ют фактора времени: небольшие частые выигрыши могут оказаться выгод­
нее крупных, но редких. Имеются два основных случая, когда стратегии,
оптимальные в игре с матрицей , остаются оптимальными (точнее асимп­
тотически оптимальными, см. ниже) и здесь: а) когда игра с матрицей 
безобидна; б) когда все  равны. Это важные, но все же частные случаи;
во многих реальных игровых ситуациях продолжительность партий сильно
колеблется в зависимости от избираемых игроками стратегий.
8
Левин А. Ю. Повторение игр двух лиц на больших интервалах времени // ДАН СССР.
— 1970. — Т. 192, № 1. — C. 23—25.
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Может показаться, что задача сводится к решению игры с матрицей
 = ||ℎ ||, где ℎ =  / суть платежи «на единицу времени». Это верно
лишь отчасти. Легко видеть, что если у матрицы  есть седловая точка ℎ ,
то -я и -я чистые стратегии игроков I и II соответственно асимптотически
оптимальны; при этом I выигрывает за одну встречу в среднем ∼ ℎ . Но
в наиболее интересном случае, когда  не обладает седловой точкой, оп­
тимальные смешанные стратегии игры с матрицей  не являются, вообще
говоря, асимптотически оптимальными для рассматриваемой игры.
Способ определения асимптотически оптимальных стратегий в общем
случае основан на решении следующего скалярного уравнения:
(цена игры с матрицей  −  ) = 0.
(1)
Так как все  > 0, то левая часть (1) строго убывает по  и уравнение
(1), очевидно, имеет единственный корень 0 . Стратегии, оптимальные
по Нейману для игры с матрицей  − 0  , являются асимптотически
оптимальными для игры, описанной выше; при этом средний выигрыш
I игрока за встречу равен 0  + (1), где (1) мажорируется величиной,
не зависящей от .
Термин асимптотически оптимальный означает, что применение этих
стратегий приводит к среднему выигрышу за встречу, не более чем на (1)
отклоняющемуся от среднего выигрыша при строго оптимальных стратеги­
ях; здесь (1) опять-таки не зависит лишь от . Также и в отдельно взятой
встрече вероятность выполнения неравенства
⃒
⃒
⃒ выигрыш 
⃒
⃒
− 0 ⃒⃒ >  ( > 0 произвольно)
⃒

при оптимальном поведении игроков стремится к нулю с ростом  (при
фиксированных распределениях платежей и продолжительностей партий).
Отметим, что строго оптимальные стратегии не являются, вообще говоря,
однородными по времени; для их отыскания (которое, видимо, представ­
ляет собой трудоемкую задачу) необходимо знать функции распределения
времени встречи и отдельных партий, а также регламент последней партии.
Наметим вкратце схему доказательства. Так как игра с матрицей  −
− 0  безобидна, то, согласно сделанному выше замечанию, оптимальные
стратегии этой игры асимптотически оптимальны во встрече с платежной
матрицей  − 0  и матрицей продолжительностей  . При этом средний
выигрыш I в такой встрече, есть, очевидно, (1) для сколь угодно больших
. Сравним теперь встречу с матрицами ,  и встречу с матрицами  −
− 0  ,  . При любом конкретном выборе игроками своих смешанных стра­
тегий в первом случае I получит за встречу в среднем на 0  (с точностью
до (1)) больше, чем во втором. Действительно, после каждой отдельной
146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
партии, кроме незакончившейся, I получает в среднем дополнительно 0  ,
где ,  — номера реализованных чистых стратегий; но математическое
ожидание суммы  по всем сыгранным за встречу партиям с точностью
до (1) совпадает с . Сопоставляя эти соображения (которые допускают
аккуратное обоснование), приходим к требуемому.
Уравнение (1) ввиду монотонности левой части можно приближенно ре­
шить с помощью «половинения». Начальный отрезок определяется по мат­
рице  согласно легко проверяемому неравенству
max min ℎ 6 0 6 min max ℎ .




Если оптимальные стратегии в игре с матрицей  − 0  единствен­
ны, то после некоторого числа шагов удастся «нащупать» активные чистые
стратегии игроков. Обозначим соответствующие подматрицы  и  через
0 , 0 (в случае единственности они квадратны), можно после этого найти
0 как корень алгебраического уравнения det ‖ −  ‖ = 0, лежащий в
полученном интервале.
За исключением последнего замечания сказанное распространяется и на
бесконечные игры. При этом в общем случае следует, естественно, говорить
не об (асимптотически) оптимальных, а об (асимптотически) -оптимальных
стратегиях.
В заключение приведем численный пример. Пусть
)︂
)︂
(︂
(︂
1 2 3
1 −2 4
,
,  =
=
4 5 6
0 3 −2
Если I применит во встрече стратегию (1/2, 1/2), оптимальную для него
в обычном смысле, т.е. без учета времени, то при лучшем ответе II (2-я
стратегия) I выиграет за одну встречу в среднем ∼ /7 ( ≫ 1). В игре с
матрицей
⃒⃒ ⃒⃒
(︂
)︂
⃒⃒  ⃒⃒
1
15
−15
20
 = ⃒⃒⃒⃒ ⃒⃒⃒⃒ =
0
9
−5

15
оптимальной по Нейману для I является стратегия (2/7, 5/7); однако при
ее применении I будет даже проигрывать — в среднем ∼ /18 за встре­
чу (если
√ II изберет 3-ю стратегию). Решая уравнение (1), находим 0 =
= (45− 1929)/6 ≈ 0, 18. Таким образом, при асимптотически оптимальных
стратегиях I и II, которые приближенно равны (0, 47; 0, 53) и (0; 0, 59; 0, 41),
математическое ожидание выигрыша I за встречу ≈ 0, 18.
Автор признателен В. М. Гранину и Б. Н. Садовскому за обсуждение.
Литература
1. Льюс, Р. Игры и решения. Введение и критический обзор / Р. Льюс,
Х. Райфа. — М.: ИЛ, 1961. — 642 с.
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. Вопросы теории обыкновенного линейного
дифференциального уравнения9 . I
§ 1. Разрешимость задачи Коши
1.1. Классическому вопросу о существовании и единственности решения
обыкновенного дифференциального уравнения с заданными начальными
условиями посвящена весьма обширная литература, где изучался, в ос­
новном, нелинейный случай. Ниже этот вопрос исследуется для линейного
уравнения
() + 1 ()(−1) + · · · +  () + +1 () = 0
( 6  6 ),
(1.1)
где −∞ <  <  < ∞. Комплекснозначные функции  (),  = 1, . . . ,  + 1,
предполагаются локально суммируемыми в полуинтервале (, ], но могут
иметь несуммируемые особенности в точке  = . Под решением уравнения
(1.1), естественно, понимается функция () ∈  −1 [, ] такая, что:
1) −1 () абсолютно непрерывна в каждом отрезке [1 , ] при 1 ∈ (, );
2) равенство (1.1) имеет место почти при всех  из [, ].
Выясним, каковы должны быть  (), чтобы для уравнения (1.1) была
разрешима любая задача Коши в точке  = , т.е. чтобы при любых числах
1 , 2 , . . . ,  существовало решение (1.1) такое, что
(−1) () =  ,
 = 1, 2, . . . , .
(1.2)
Ответ на поставленный вопрос дает
Теорема 1.1. Для того, чтобы задача Коши (1.1)—(1.2) имела решение
при любых 1 , 2 , . . . ,  , необходимо и достаточно, чтобы сходились ин­
тегралы
∫︁
1 () ,

∫︁ (︁
∫︁
exp
)︁
1 ()   () ,
 = 2, 3, . . . ,  + 1.
(1.3)

Это же условие эквивалентно единственности решения задачи (1.1)—(1.2)
при любых 1 , 2 , . . . ,  .
Конечно, имеется в виду неабсолютная сходимость интегралов. Непро­
ставленные пределы интегрирования могут быть выбраны в (, ] произволь­
но, так как не влияют на сходимость. От других результатов на эту тему
сформулированная теорема отличается своей окончательностью. В нелиней­
ном случае подобный эффективный критерий, по-видимому, не может быть
9
Левин А.Ю. Вопросы теории обыкновенного линейного дифференциального уравнения.
I // Вестник Ярославского университета. — 1973. — Вып. 5. — С. 105—132.
148
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
указан даже для уравнения ˙ =  (, ), где  — скаляр. Как будет видно,
помимо линейности, существенную роль играет также то обстоятельство,
что мы имеем дело именно с уравнением -го порядка (а не с линейной
системой общего вида).
1.2. Переходим к доказательству, которое основано на сочетании несколь­
ких простых соображений.
Заметим, прежде всего, что в силу линейности уравнения (1.1) утвер­
ждения «при любых  задача (1.1)—(1.2) имеет не менее одного решения»
и «при любых  задача (1.1)—(1.2) имеет не более одного решения» эквива­
лентны. Поэтому будем говорить лишь о разрешимости задачи Коши, имея
в виду, что эта разрешимость автоматически является однозначной.
Избавимся от неоднородности в уравнении (1.1) с помощью следующего
приема. Введем фиктивную переменную 0 и рассмотрим систему из  + 1
уравнений
˙ 0 = 0,
˙  = +1 ,
 = 1, 2, . . . ,  − 1,
(1.4)
˙  = −+1 0 −  1 − · · · − 1  ,
для решения которой также задаются начальные условия при  = :
 () =  ,
 = 0, 1, . . . , .
(1.5)
Разрешимость задачи (1.1)—(1.2) при любых  эквивалентна разреши­
мости задачи (1.4)—(1.5) при любых  . В самом деле, ввиду очевидной
связи между уравнениями (1.1) и системой (1.4) мы должны лишь убе­
диться, что задача (1.4)—(1.5) разрешима при любых 0 , 1 , . . . ,  , если она
разрешима при 0 = 1 и любых 1 , . . . ,  . Если обозначить решение задачи
(1.4)—(1.5) через (; 0 , 1 , . . . ,  ), то сказанное непосредственно вытекает
из очевидных соотношений
1

, . . . , ) при 0 ̸= 0,
0
0
(; 0, 1 , . . . ,  ) = (; 1, 1 , . . . ,  ) − (; 1, 0, . . . , 0).
(; 0 , 1 , . . . ,  ) = (; 1,
(1.6)
Итак, от неоднородности мы избавились. Следующий шаг состоит в
переходе к матричному уравнению:
˙ =  ()
( 6  6 ),
где через  () обозначена матрица коэффициентов системы (1.4):
149
(1.7)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
⎛
⎜
⎜
 () = ⎜
⎜
⎝
0
0
0 ...
0
0
0
1 0
0
..........................
0
0
0
1
−+1 − . . . . . . −1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
По аналогии с предыдущим матрица  + 1-го порядка  () в (1.7) пред­
полагается непрерывной в точке  =  и абсолютно непрерывной в (, ]
(т.е. в любом отрезке вида [1 , ],  < 1 < ).
Разрешимость задачи (1.4)—(1.5), очевидно, эквивалентна существова­
нию у (1.7) решения, удовлетворяющего условию
(1.8)
 () = .
Таким образом, установлена
Лемма 1.1. Задача (1.1)—(1.2) разрешима при любых 1 , . . . ,  в том и
только том случае, если разрешима задача (1.7)—(1.8).
Рассмотрим теперь пару задач для матриц одного порядка
˙ = (),
 () = ,
˙ = [() + ()],
 () = .
(1.9)
(1.10)
Лемма 1.2. Если () суммируема в [, ] , то задачи (1.9) и (1.10) разре­
шимы или неразрешимы одновременно.
Из соображений симметрии достаточно показать, что существование
решения  () задачи (1.9) влечет за собой существование решения  ()
задачи (1.10). Положим
 () =  () (),
(1.11)
тогда
˙ = ( + ) .
˙ =   +  
Отсюда
˙ = (),

(1.12)
где () =  −1 ()() (). Так как  (),  −1 () непрерывны в [, ], то из
суммируемости () в [, ] вытекает суммируемость () в [, ]. Уравнение
(1.11) для  является поэтому несингулярным и, следовательно, обладает
150
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
решением, удовлетворяющим условию  () = . Как известно,  () может
быть представлено сходящимся рядом
∫︁
 () =  +
∫︁1
∫︁
(1 ) 1 +

(2 ) 2 + . . .
(1 ) 1

( 6  6 ). (1.13)

Требуемое решение задачи (1.10) дается формулой (1.11). Лемма 1.2 до­
казана.
Возвращаясь к уравнению (1.7), представим матрицу  () в виде  () =
= () + , где
⎛
⎞
⎛
⎞
0
...
0
0 0 0
0
⎜
⎜ 0 0 1
0
...
0 ⎟
0 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
() = ⎜ . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎟ ,  = ⎜ . . . . . . . . . . . . ⎟
(1.14)
⎟
⎝
⎝ 0 0
0
...
0 ⎠
0 1 ⎠
−+1 . . . −1
0 0
0 0
Так как () суммируема на [, ], то, согласно лемме 1.2, разрешимость за­
дачи (1.7)—(1.8) эквивалентна разрешимости задачи (1.9). Смысл всех этих
переходов заключается в том, что мы пришли к уравнению ˙ =  , кото­
рое интегрируется в квадратурах. Решая его, находим, что матрица  () =
, удовлетворяющая условию  () = , если она существует,
= ‖ ()‖+1
1
должна иметь следующий вид: все ее строки, кроме последней, совпада­
ют с соответствующими строками единичной матрицы (порядка  + 1), а
элементы ( + 1)-й строки определяются равенствами:
∫︁
+1, () = −
exp

(︁ ∫︁
)︁
1 ( )  +2− () ,
 = 1, 2, . . . , ,
(1.15)

(︁
∫︁
+1,+1 () = exp −
)︁
1 ( )  .
(1.16)

Эти функции определены и удовлетворяют необходимому соотношению
+1, () = +1, ,  = 1, 2, . . . ,  + 1, если интегралы (1.3) сходятся.
Обратная зависимость также имеет место, в чем проще всего убедиться,
начиная с +1,+1 (). Теорема доказана.
1.3. Сделаем несколько замечаний по поводу доказанного предложения.
Отметим, во-первых, что, наряду с самим фактом существования реше­
ния задачи Коши, получена также возможность приближенного нахожде­
ния этого решения с помощью ряда (1.13). При этом существенно, что в
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нашем случае (), а следовательно, и (), не только суммируемы, но и
непрерывны. Отсюда следует, что если ограничиться  первыми членами
ряда (1.13), то при  → 0 погрешность имеет порядок ( ); это относит­
ся, конечно, не только к (1.13), но и к (1.11), поскольку  () непрерывна.
Подчеркнем, что сами интегралы (1.3) могут сходиться сколь угодно мед­
ленно; все «неприятности», связанные с плохим поведением  (), как бы
впитывает в себя матрица  ().
Естественным является вопрос о том, насколько существенно, что в
уравнении (1.1)  — скаляр. Последнее обстоятельство по существу ис­
пользовалось лишь в самом конце доказательства, при решении матричного
уравнения ˙ =  ; именно, мы записали решение уравнения
˙ +1,+1 = −1 ()+1,+1
в виде (1.16). Если 1 , +1,+1 , в свою очередь, являются матрицами по­
рядка выше первого, то такая запись законна, например, при 1 = const. В
частности, при 1 () ≡ 0, когда условия (1.3) приобретают особенно простой
вид и сводятся к сходимости интегралов
∫︁
 () ,  = 2, 3, . . . ,  + 1,

теорема 1.1 сохраняет силу для матричного (или векторного) уравнения лю­
бой размерности. Можно также считать () и  () функциями скалярного
аргумента со значениями в некоторой банаховой алгебре с единицей; инте­
грирование при этом понимается по Бохнеру. При таких обобщениях следу­
ет несколько видоизменить соотношения (1.6), основываясь на том факте,
что всякий элемент 0 алгебры может быть представлен как разность двух
обратимых элементов.
Другое возможное обобщение теоремы 1.1 заключается в том, что пере­
менная  может пробегать многообразия, отличные от отрезка веществен­
ной прямой. В частности,  может меняться в ограниченной односвязной
области  комплексной плоскости, если 1 (), . . . , +1 () аналитичны в 
(тем самим обеспечена однозначность первообразных от  ). Относительно
лежащей на границе области  точки  =  предполагается, что она может
быть соединена с какой-либо (а следовательно, и с любой) точкой  спрям­
ляемой кривой, целиком лежащей в . Под решением задачи (1.1)—(1.2)
понимается функция (), аналитическая и удовлетворяющая уравнению
(1.1) при  ∈  и такая, что
(−1) () →  ,
 = 1, 2, . . . , ,
при
 → ,
 ∈ .
Теорема 1.1 дает характеристику особенностей  () в точке  = , кото­
рые не влияют на разрешимость задачи Коши.
152
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проиллюстрируем это на примере. Пусть  = 0 и область состоит из
таких  =  +  ∈ , что
|| <  ,
0 <  < 1,
где  — некоторое число. Рассмотрим уравнение
() +  (ln ) sin
1
=0

( ∈ );
для определенности пусть имеется в виду главное значение ln ; ,  —
некоторые целые числа. Используя теорему 1.1 и несложные выкладки, по­
лучаем, что для разрешимости задачи Коши с любыми начальными дан­
ными при  = 0 необходимо и достаточно следующее (не зависящее от )
условие:
 > 2 и либо  > −2, либо  = 2,  < 0.
Следует подчеркнуть, что конечность точки  =  является в теореме
1.1 весьма важным условием, которое не может быть отброшено. Оно не
имело, правда, значения для лемм 1.1 и 1.2 (если понимать решение задачи
Коши асимптотически), но существенно использовалось, когда понадоби­
лась суммируемость постоянной матрицы .
1.4. Несмотря на последнее замечание, теорема 1.1 имеет довольно любо­
пытные приложения к изучению асимптотики решений при  → ∞. Проде­
монстрируем одно из таких приложений, причем ограничимся уравнением

¨ + () = 0
(0 6  < ∞).
(1.17)
Известно следующее предложение.
Теорема 1.2 (Э. Хилле [1], см. также А. Халанай [2]). Для того, что­
бы уравнение (1.17) обладало системой решений вида
(︁ 1 )︁
1 () =  + (1),
˙ 1 () = 1 + 
,
( → ∞).
(1.18)
(︁ 1 )︁
(︁ 1 )︁ 
2 () = 1 + 
,
˙ 2 () =  2 ,


достаточно, а в случае знакопостоянной () и необходимо, чтобы
∫︁∞
2 |()|  < ∞.
Из теоремы 1.1 вытекает, что при любой — знакопеременной, комплекс­
нозначной или даже абстрактной () имеет место
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следствие 1.1. Уравнение (1.17) обладает системой решений вида (1.18)
в том и только том случае, если
∫︁∞
2 () 
(1.19)
сходится.
Очевидно, это обобщает результат Хилле и притом существенно, по­
скольку методика работ [1], [2] не приспособлена для условно сходящихся
интегралов.
Докажем следствие 1.1. Произведем замену переменной и функции, по­
ложив
(︁ 1 )︁
1
 = , () = 
.


Тогда, как нетрудно подсчитать, уравнение (1.17) примет вид
2 
1 (︁ 1 )︁
+

 = 0 (0 <  6 0 ).
(1.20)
2
4 
Применяя теорему 1.1, заключаем, что в том и только том случае, если
сходится интеграл
∫︁
1 (︁ 1 )︁

,
(1.21)
4 
0
уравнение (1.20) обладает системой решений вида
1
= (1),

( ↓ 0).
(1.22)
2
2 () =  + (),
= 1 + (1),

Возвращаясь к переменной , видим, что сходимость интеграла (1.21)
есть не что иное, как (1.19). Далее, из (1.22) находим
1 () = 1 + (),
1 ()
1
= + (1) =  + (1),


(︁  )︁
(︁ 1 )︁

1
1
=1+
˙ 1 () = −2
= 1 − 
.
 


Для 2 () таким путем, правда,
(︀ )︀получаются менее точные, чем (1.18) со­
отношения: 2 = 1 + (1), ˙ 2 =  1 . Необходимость (1.19), таким образом,
доказана.
Что касается уточнения оценок для 2 , ˙ 2 , то в скалярном случае проще
всего воспользоваться формулой
1 () =
∫︁∞
2 () = 1 ()

154

21 ( )
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и полученными уже соотношениями для 1 , ˙ 1 . Это завершает доказатель­
ство для скалярного случая. Однако, если нас интересует распространение
результата на тот случай, когда в (1.17)  и  — матрицы или, более об­
що, элементы банаховой алгебры (при этом правые части в (1.18) и подоб­
ных соотношениях понимаются, конечно, как коэффициенты при единице
алгебры), то следует прибегнуть к разложению (1.13), где роль  сейчас
выполняет переменная . Ввиду однородности уравнения (1.17) можно во
всех матрицах для простоты опустить строку и столбец, отвечающие 0 (в
однородном случае эти строка и столбец состоят из одних нулей), и иметь
дело, как обычно, с матрицами, порядок которых равен порядку уравнения.
В нашем случае находим последовательно ( ↓ 0):
⎛
⎞
1
0
)︂
(︂
(︂ )︂
⎜ ∫︁
⎟
1
0
⎜
⎟
1
1
 () = ⎝
,
=
−

 1 ⎠
(1) 1
4

(︂ 0
)︂(︂
)︂(︂
)︂ (︂
)︂
1
0
0 1
1
0
(1)
1
−1
() =  () () =
=
,
(1) 1
0 0
(1) 1
(1) (1)
)︂
(︂
∫︁
∫︁
()

, () ( )  = (),
( )  =
() ()
0
)︂
)︂
(︂
(︂ 0
1 + ()  + (2 )
1 + ()  + (2 )
.
,  ()= () ()=
 ()=
()
1 + ()
()
1 + ()
Итак, соотношения (1.22) для 2 уточняются следующим образом:
2 () =  + (2 ),
2
= 1 + ()

( ↓ 0).
Возвращаясь от , 2 к , 2 получаем требуемые соотношения.
Из доказательства ясно, что результат аналогичного характера может
быть тем же способом получен для уравнения любого порядка и общего
вида (в матричном или абстрактном случае — без члена c (−1) ). Так как
это связано с довольно громоздкими выкладками, то мы здесь не будем
этим заниматься.
§ 2. Непрерывная зависимость решений от параметра
2.1. Настоящий параграф посвящен вопросу о непрерывной зависимости от
параметра решений линейной системы уравнений. Вопросы предельного пе­
рехода исследовали многие авторы, в том числе И. И. Гихман [3], Г. П. Де­
мидович [4], М. А. Красносельский и С. Г. Крейн [5], Я. Курцвейль [6, 7],
Я. Курцвейль и З. Ворел [8], В. Рейд [9], Р. В. Гамкрелидзе и Г. Л. Хара­
тишвили [10]. Большинство этих работ связано с обоснованием принципа
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
усреднения Боголюбова—Крылова (см., например, [11]) в нелинейной меха­
нике и характеризуется общей точкой зрения на линейный и нелинейный
случай.
Ниже получаются только линейные уравнения, причем основной упор
будет сделан на случай конечного промежутка, Вопрос, подлежащий изу­
чению, состоит в следующем. Рассмотрим уравнения
˙  =  () +  (),  () = ,  = 0, 1, . . . ( 6  6 ).
(2.1)
Здесь  ,  ,  ,  — матрицы -го порядка, причем  (),  () сум­
мируемы на конечном промежутке [, ] (возможны и менее ограничитель­
ные предположения, которые будут обсуждаться позднее). Каковы условия,
обеспечивающие равномерную на [, ] сходимость  () к 0 () при любой
?
Данный вопрос о «равномерной сходимости» уравнений (2.1) является
весьма естественным. К нему можно подойти и несколько иначе, если в
дифференциальных уравнениях (2.1) считать  ,  ,  не матрицами, а
векторами размерности . В таком случае вектор-решения  () равномер­
но на [, ] сходятся к 0 () при любом начальном векторе ?
Легко видеть, что оба вопроса эквивалентны. Мы в дальнейшем при­
держиваемся матричной интерпретации, которая значительно более удобна
с аналитической точки зрения.
Ответим сразу, что эффективный ответ на сформулированный вопрос в
полном объеме нам неизвестен. Ниже будет установлен ряд фактов в этом
направлении, которые, в частности, позволят полностью решить данный
вопрос для систем, соответствующих скалярным уравнениям -го порядка.
Характер параметризации семейства уравнений, разумеется, не имеет
значения. Можно было бы, например (как это обычно делается), считать
параметр непрерывным и устремлять его к нулю. Дискретный вариант, как
нам кажется, яснее подчеркивает отсутствие априорных предположений о
непрерывности  (),  () по параметру .
Некоторые из излагаемых ниже результатов приводились в краткой и
менее общей форме в [12, 13].
2.2. Ниже используются следующие обозначения:
‖ · ‖ — некоторая «операторная» норма для матриц, т.е. такая, что
‖‖ 6 ‖‖‖‖, ‖‖ = 1;
[, ] — пространство суммируемых на [, ] матриц-функций (порядок
которых в каждом случае будет ясен из контекста; иногда будет идти речь
о скалярных функциях) с естественной нормой;
156
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∫︁

 () =
() ;


— вариация на [, ];
Знак “⇒” означает сходимость, равномерную на [, ] .
Итак, нас интересуют условия, при которых для решений уравнений
(2.1) имеет место соотношение
 () ⇒ 0 () ( → ∞)
при любом .
(2.2)
Простейшее условие такого рода доставляет сходимость в [, ]:
∫︁
∫︁
‖ () − 0 ()‖  → 0,

‖ () − 0 ()‖  → 0,
( → ∞)

во многих отношениях, однако, оно является слишком грубым. Результаты
работ [5, 8] дают для интересующего нас линейного случая требование,
которое часто оказывается менее ограничительным:
 () ⇒ 0 ()  () ⇒ 0 ()
‖ ()‖ 6 ℎ() ∈ [, ]
( 6  6 ),
( → ∞)
(2.3)
 = 1, 2, . . .
Усовершенствование доказательств позволяет ослабить последнее неравен­
ство до
∫︁
‖ ()‖  6  < ∞  = 1, 2, . . .
(2.4)

Как будет видно из дальнейшего, при выполнении (2.4) соотношения
(2.3) не только достаточны, но и необходимы для (2.2), так что в слу­
чае (2.4) вопрос можно считать исчерпанным. По этому поводу коснемся
работы [9], где также изучаются условия, при которых имеет место (2.2)
(для классических и обобщенных дифференциальных уравнений). Основ­
ным среди требований, накладываемых в [9] для классического случая,
является слабая сходимость в [, ]  () к 0 () и  () к 0 (). Посколь­
ку это требование влечет за собой выполнение (2.3) и (2.4), вместе взятых,
то данные результаты В. Рейда не представляются существенно новыми.
На эту оценку не влияет то обстоятельство, что вместо условий  () = 
в [9] фигурируют условия  ( ) =  , где  → 0 ,  → 0 ( → ∞). Мы
в дальнейшем пренебрегаем возможностью подобных обобщений, носящих
по существу фиктивный характер.
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если отказаться от ограничения (2.4), проблема существенно усложня­
ется. Хотя в некоторых случаях — например, для однородного уравнения
первого порядка — соотношение (2.4) заведомо излишне, в целом это не
так, поскольку условие (2.3) само по себе ни необходимо, ни достаточно
для (2.2).
Чтобы пояснить последнее замечание, воспользуемся примером, заим­
ствованным из работы Я. Курцвейля [6]. Рассмотрим на промежутке [, ]
последовательность скалярных уравнений
˙  =  () +  (), где  () =  1− cos ,  () =  1− sin 
(2.5)
( = 1, 2, . . . ), которую будем сравнивать с уравнением ˙ = 0. Пусть  (, 0 )
— решение уравнения (2.5), удовлетворяющее условию  () = 0 . Как
показывает непосредственный подсчет, соотношение
 (, 0 ) ⇒ 0
( → ∞)
при любом 0
(2.6)
имеет место в том и только том случае, если
(2.7)
 > 0,  > 0,  +  > 1.
Для данного конкретного примера требование сходимости в [, ] коэффи­
циентов и правых частей сводится к неравенствам  > 1,  > 1, а условие
(2.3) — к неравенствам  > 0,  > 0. Отсюда видно, что соотношения
(2.3) не являются достаточными для сходимости решений. В то же время
они не являются и необходимыми. Чтобы удостовериться в этом, положим
 =  = 0, 5. Тогда, как нетрудно подсчитать,
 (, ) =  − 0, 5( − ) + ( −0,5 )
( → ∞),
т.е. при любом   (, ) равномерно сходятся к соответствующему решению
уравнения ˙ = −0.5, хотя соотношение  () ⇒ −0, 5 не имеет места.
Пример (2.5), согласно Я. Курцвейлю, послужил отправной точкой для
работ [6, 7], результаты которых, в частности, дают — с общих позиций,
разумеется, — достаточное для (2.6) условие в виде  > 0, 5,  > 0,  +  >
> 1. Как отмечалось в [6], пример, таким образом, объяснен не полностью,
ввиду требования  > 0, 5 вместо  > 0 (заметим также, что вопрос о
необходимости тех или иных условий в [6] не затрагивается). Мы не оста­
навливаемся здесь на работах [6, 7] подробнее. Они имеют довольно мало
общего с дальнейшими рассмотрениями данного параграфа. Мы пользуем­
ся в дальнейшем специфически линейными средствами, что позволит нам
получить для линейного случая более тонкие результаты (в частности бу­
дет полностью объяснен — хотя и с менее общих «линейных» позиций
приведенный выше пример Я. Курцвейля).
158
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.3. Переходим к существу дела. Прежде всего, как и в § 1, избавимся от
неоднородности за счет повышения размерности. Именно, вместо уравнений
(2.1) рассмотрим уравнения для матриц порядка 2
˙  =  () ,
 () = 2 ,
 = 0, 1, . . .
( 6  6 ).
(2.8)
Здесь через 2 обозначена (во избежание путаницы) единичная матрица
порядка 2, а  имеют в блочной записи вид
(︂
)︂
 ()  ()
 () =
,  = 0, 1, . . .
(2.9)
0
0
Лемма 2.1. Для того, чтобы при любом  решения уравнений (2.1) удо­
влетворяли условию (2.2), необходимо и достаточно, чтобы для реше­
ний уравнений (2.8) имело место соотношение
 () ⇒ 0 ()
( → ∞).
Это непосредственно вытекает из формул, связывающих решения урав­
нений (2.1) и (2.8). Пусть решение задачи (2.8) имеет вид
)︃
(︃ 11
 () 12 ()
,  = 0, 1, . . .
 () =
21 () 22 ()
где все блоки порядка . Из (2.9) вытекает, что 21 () ≡ 0, 22 () ≡ .
Легко видеть, что решение (2.1) имеет вид
 () = 11 () + 12 ()
( = 0, 1, . . . ).
Наоборот, решение задачи (2.8) выражается через решение  () =  (, )
уравнения (2.1) формулой
(︂
)︂
 (, ) −  (, 0)  (, 0)
 () =
.
0

Лемма доказана.
Если уравнения (2.1) являются векторными, то нет надобности повы­
шать порядок до 2, можно, очевидно, ввести вопрос к однородной задаче
для матриц порядка  + 1.
Итак, без потери общности вместо (2.1) можно изучать однородные за­
дачи
˙  =  () ,  () = ,  = 0, 1, . . . ( 6  6 ),
(2.10)
которые и будут в дальнейшем основным объектом исследования. Нас ин­
тересуют условия, при которых
 () ⇒ 0 ()
159
( → ∞).
(2.11)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2.4. Рассмотрим наряду с (2.10) уравнения
˙  = [ () +  ()] ,  () = ,
 = 0, 1, . . . ( 6  6 ),
(2.12)
На последовательность { ()} наложим следующие ограничения:
∫︁
‖ ()‖  6  < ∞ ( = 1, 2, . . . ),
(2.13)

 () ⇒ 0 ()  → ∞.
(2.14)
Теорема 2.1. В предположениях (2.13), (2.14) соотношение
 () ⇒ 0 ()
( → ∞).
(2.15)
эквивалентно соотношению (2.11).
Для доказательства нам понадобится несколько простых вспомогатель­
ных фактов.
Лемма 2.2. Если  () абсолютно непрерывна на [, ] и
‖˙ ()‖ 6 ()‖ ()‖
почти всюду на [, ], то
∫︁
(︁
)︁
‖ () −  ()‖ 6 ‖ ()‖ exp ()  − 1
( 6  6 ).

В самом деле,

‖ ()‖ 6 () = ‖ ()‖ + ‖ () −  ()‖ 6
∫︁
∫︁
6 ‖ ()‖ + ()‖ ()‖  6 ‖ ()‖ + ()() .


Оценивая () по Гронуоллу—Беллману, находим
∫︁
() 6 ‖ ()‖ exp
() ,

что эквивалентно требуемому неравенству. Лемма доказана.
160
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ниже через Ψ обозначается класс последовательностей { ()} матриц­
функций на [, ], удовлетворяющих условиям
∫︁
‖ ()‖  6 const < ∞ ( = 1, 2, . . . ),
 () ⇒ 0 ( → ∞).
(2.16)

В частности, Ψ содержит все последовательности, сходящиеся к нулю в
[, ].
Лемма 2.3. Если { ()} ∈ Ψ, то решения (2.10) удовлетворяют усло­
вию  () ⇒  ( → ∞).
Действительно, полагая  = ( +  ) , находим
˙  = ( +  )−1    ,
 () = .
Теперь достаточно оценить  () по лемме 2.2, чтобы убедиться в рав­
номерной сходимости  (а следовательно, и  ) к .
Лемма 2.4. Пусть { ()} ∈ Ψ и последовательность { ()} удовле­
творяет условию
 () < ∞.
 () ⇒ () ( → ∞),
Тогда
{ () ()} ∈ Ψ,
{ () ()} ∈ Ψ.
Так как  = ( − ) +  и многообразие Ψ линейно, то достаточ­
но показать, что класс Ψ инвариантен относительно почленного умножения
(справа и слева) на { ()} в любом из следующих случаев: 1)  () ⇒ 0; 2)
 () равномерно ограничены вместе со своими вариациями на [, ] (фак­
тически нам понадобится 2) лишь для совпадающих  ). Случай 1) совер­
шенно очевиден: здесь соответствующие последовательности даже сходятся
к нулю в [, ]. Проверка 2) сводится к интегрированию по частям, напри­
мер, для {  } имеем
∫︁
⃦ ∫︁
⃦ ⃦
⃦
⃦
⃦ ⃦ 
⃦
⃦  () () ⃦ = ⃦ () () −  ()  ()⃦ 6


6 max
66
‖ ()‖
[︂
max ‖ ()‖ +
66
 
]︂
,
откуда и вытекает требуемое.
Переходим к теореме 2.1. Поскольку уравнения (2.10) и (2.12) входят в
формулировку равноправно с точностью до переобозначений, то достаточно
161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
проверить импликацию (2.11)→(2.15). Пусть (2.11) выполнено. Покажем,
что тогда имеет место соотношение

 () = 0−1 ()0 ()−1 () () ⇒ 
( → ∞),
(2.17)
очевидно, эквивалентное (2.15).
Непосредственный подсчет показывает, что  () удовлетворяют урав­
нениям
˙  =  () ,  () = ,  = 1, 2, . . . ,

где
(︀
)︀
 = 0−1 0 −1   − 0−1 0 0 0−1 0 .
Согласно лемме 2.3 соотношение (2.17) будет доказано, если мы убе­
димся, что
{ } ∈ Ψ.
(2.18)
Из уравнений, которым удовлетворяют 0 (), 0−1 (), 0 (), 0−1 (), яв­
ствует, что эти матрицы-функции имеют ограниченную вариацию на [, ].
Поэтому в силу леммы 2.4 вместо (2.18) достаточно проверить, что
{−1   − 0−1 0 0 } ∈ Ψ.
(2.19)
По условию теоремы { − 0 } ∈ Ψ, откуда, согласно (2.11) и лемме 2.4
{−1 ( − 0 ) } ∈ Ψ.
(2.20)
{−1 0  − 0−1 0 0 } ∈ Ψ,
(2.21)
В то же время
так как стоящая в левой части последовательность сходится к нулю в
[, ]. Складывая (2.20) и (2.21) получаем (2.19). Теорема доказана.
В частности, полагая  () = −0 () ( = 1, 2, . . . ), получаем простое,
но важное для дальнейшего
Следствие 2.1. Соотношение (2.11) имеет место в том и только том
случае, если  () ⇒  ( → ∞), где
˙  = [ () − 0 ()] ,
 () = ,
( = 1, 2, . . . ).
(2.22)
2.5. Во многих случаях системы (2.22) оказываются более удобными для
исследования, чем (2.10), а иногда допускают и непосредственное интегри­
рование. Именно так, в частности, обстоит дело с системами, соответству­
ющими скалярным уравнениям -го порядка.
162
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В самом деле, пусть даны уравнения
() + 1 ()(−1) + · · · +  () + +1 () = 0
()
(−1)
 + 1, ()
( 6  6 ),
(2.23)
+ · · · + , () + +1, () = 0
( 6  6 ),
 = 1, 2, . . . (2.24)
с суммируемыми на [, ] коэффициентами и рассматривается вопрос о схо­
димости в  −1 [, ] решений (2.24) к решениям (2.23). Перепишем по зна­
комой схеме (см. § 1) (2.23), (2.24) в виде однородных матричных уравнений
˙  =  () ,
( = 0, 1, . . . )
( 6  6 ),
где все матрицы имеют порядок  + 1, причем
⎛
0
0
...
0
⎜
0
0
.
.
.
0
⎜
⎜
0 () = ⎜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
⎝
0
0
...
1
−+1 () − () . . . −1 ()
(2.25)
⎞
⎟
⎟
⎟,
⎟
⎠
 () ( = 1, 2, . . . ) имеют аналогичный вид с заменой  на , . Соглас­
но лемме 2.1, сходимость в  −1 [, ] решений (2.24) к соответствующему
решению (2.23) (при любых согласованных начальных условиях) эквива­
лентна соотношению (2.11), где  — решения (2.25) такие, что  () = .
Поскольку  () суммируемы на [, ] — здесь, кстати, мы первый раз суще­
ственно используем конечность [, ] — то применимо следствие 2.1. Итак,
вопрос свелся к интегрированию системы (2.22), где у матрицы  − 0
элементы всех строк, кроме последней, равны нулю. Мы уже сталкива­
 ()‖, кроме
лись с подобной системой в § 1: все строки матриц  () = ‖
последней, совпадают с соответствующими строками единичной матрицы,
а элементы последней строки даются формулами, аналогичными (1.15) и
(1.16), с заменой  на , −  . В частности,

+1,+1
()
∫︁
= exp
[1 ( ) − 1, ( )] ,


так что требование +1,+1 ⇒ 1 эквивалентно

реходя к другим функциям +1,
, получаем в
соотношению 1, ⇒ 1 . Пе­
итоге следующий критерий.
Теорема 2.2. Для того, чтобы при  → ∞ решения уравнений (2.24) с
любыми фиксированными начальными условиями сходились в  −1 [, ]
163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
к соответствующему решению уравнения (2.23), необходимо и доста­
точно, чтобы при  → ∞
∫︁
[1, ( ) − 1 ( )]  ⇒ 0,
(2.26)

∫︁
[, () −  ()] exp

(︁ ∫︁
)︁
[1, ( ) − 1 ( )]   ⇒ 0,

 = 2, 3, . . . ,  + 1. (2.27)
Тем самым для уравнений -го порядка вопрос, поставленный в начале
параграфа, полностью решен.
Подчеркнем, что (2.26), (2.27) не могут быть заменены условием
∫︁
[, () −  ()]  ⇒ 0,
 = 1, 2, . . . ,  + 1 ( → ∞),

которое, как показывают примеры, ни при каком  > 1 не обеспечивает
сходимости решений даже в [, ].
Доказанный результат допускает различные модификации. Как и в тео­
реме 1.1, можно считать, что  пробегает в комплексной плоскости некото­
рую спрямляемую кривую или ограниченную односвязную область, внутри
которой все  () и , () аналитичны; если возмущение коэффициента 1
отсутствует, можно считать  элементом банаховой алгебры. В другом на­
правлении можно ослабить требования за счет самой теоремы 1.1. Именно,
если допустить у  , , наличие в концах отрезка [, ] или даже в конеч­
ном числе точек этого отрезка несуммируемых особенностей, удовлетворя­
ющих условиям теоремы 1.1, то решения матричных уравнений (2.25) будут
по-прежнему определены и непрерывны в [, ], вместе с обратными матри­
цами −1 (); можно показать (на чем подробнее не останавливаемся), что
для применения следствия 2.1 ничего большего и не требуется.
С другой стороны, теорему 1.1 можно было бы получить с помощью
теоремы 2.2, применив последнюю к уравнениям с коэффициентами
{︂
 (),  −1 6  6 
, () =
,  = 1, 2, . . . ,  + 1
0,
 6  6  −1
(использованный в § 1 способ является, конечно, более прямым и простым).
Все это свидетельствует о тесной связи между теоремами 1.1 и 2.2, на что
указывает также некоторое сходство формулировок и общие моменты в
164
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
доказательствах. Чтобы полностью выявить эту связь, следует встать на
точку зрения обобщенных дифференциальных уравнений.
Возвращаемся к матричным уравнениям (2.10). Напрашивается мысль
ввести специальную «сходимость» коэффициентов матриц, положив, по
определению,  ()
0 () ( → ∞), если выполнено (2.11). Теорема 2.1
показывает, что при выполнении (2.13), (2.14) не только 
0 , но,
более того, соотношение 
0 влечет за собой  + 
0 + 0
для любой последовательности { } (в частности, к обеим частям соот­
ношения 
0 можно добавить суммируемую 0 ). Все же эту идею
нельзя считать удачной, поскольку подобная «сходимость» не обеспечивает
в целом непрерывности линейных операций. Чтобы убедиться в этом, при­
бегнем снова к примеру (2.5) при  =  = 0, 5, переписав его в однородной
матричной форме. Именно, легко проверить, что при  → ∞
√
(︂ √
)︂
(︂
)︂
)︂
(︂
)︂
(︂
0 0
0 0
0
 cos  0
 sin 
,
0 0
0 0
0
0
0
0
хотя, как уже отмечалось,
√
(︂ √
)︂
 cos 
 sin 
0
0
(︂
0 −0, 5
0
0
)︂
.
2.6. Оставим абстрактные соображения, которые здесь, видимо, малопо­
лезны, и перейдем к более конкретным вопросам. Положим
 () =  () − 0 (),
 = 1, 2, . . . ,
и исследуем различные дополнительные условия, которые обеспечивают
эквивалентность (2.11) и соотношения
 () ⇒ 0
( → ∞).
(2.28)
Теорема 2.3. Пусть выполняется по крайней мере одно из соотношений
∫︁
‖ ()‖  6  < ∞
1)
( = 1, 2, . . . );

∫︁
2)
‖ () ()‖  → 0
( → ∞);
‖ () ()‖  → 0
( → ∞);

∫︁
3)

165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∫︁
4)
‖ () () −  () ()‖  → 0
( → ∞).

Тогда условие (2.28) необходимо и достаточно для (2.11).
В части, относящейся к достаточности, условие 1) более ограничитель­
но, чем каждое из трех других, и поэтому не представляет интереса; в
остальном 1)—4) попарно независимы. Каждое из условий 2)—4) выпол­
няется, в частности, для систем, соответствующих матричным уравнени­
ям -го порядка (2.23), (2.24), если возмущение коэффициента при (−1)
отсутствует (т.е. 1, ≡ 1 ,  = 1, 2, . . . ); действительно, в этом случае,
  ≡   ≡ 0 при всех . Тем самым, ещё раз подтверждается спра­
ведливость теоремы 2.2 для подобных уравнений.
Другим простым следствием теоремы 2.3 является упоминавшаяся выше
эквивалентность соотношений (2.2) и (2.3) в случае (2.4); для проверки
достаточно переписать уравнения (2.1) в однородной форме, согласно (2.8),
(2.9) и сослаться на 2).
Не исключено, что 1)—4) являются частными случаями какого-то обще­
го и достаточно просто формулируемого соотношения. Этот вопрос нужда­
ется в дополнительном исследовании.
Переходим к доказательству. Согласно следствию 2.1 вместо (2.10) мож­
но рассматривать уравнения
˙  =  () ,  () = ,
 = 1, 2, . . . ( 6  6 ),
(2.29)
причем роль (2.11) переходит к соотношению
 () ⇒ 
( → ∞).
(2.30)
Начнем со случая 1). Здесь должна быть установлена лишь необходи­
мость (2.28). С помощью умножения слева на  −1 и дифференцирования
легко проверить соотношение (индекс  для простоты записи будем опус­
кать)
∫︁

 () =  () −  −  ()  −1 ()() () .
(2.31)

Пусть  > 0 произвольно и  столь велико, что для  () =  () выпол­
нены неравенства
‖ () − ‖ 6 ,
‖ −1 () − ‖ 6 ,
166
( 6  6 ).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тогда в силу (2.31)
‖ ()‖ 6  + (1 + )2
∫︁
‖()‖‖ ()‖ ,

откуда, оценивая
‖ ()‖
по Гронуоллу—Беллману с учетом 1), получаем
2
‖ ()‖ 6 (1+)
( 6  6 ).
Требуемое соотношение {1) + (2.30)} → (2.28) доказано. Импликация {2) +
+ (2.30)} → (2.28) вытекает из (2.31) очевидным образом. Что касается
импликации {3) + (2.30)} → (2.28), то для нее вместо (2.31) достаточно
принять несколько иное соотношение,

 () =  − 
−1
() +
(︁ ∫︁
)︁
() () ()   −1 ().


которое получается из (2.29) интегрированием по частям.
В части, относящейся к необходимости, случаи 1)—3), таким образом,
рассмотрены. Чтобы установить достаточность (2.28) для (2.30) в условиях
2) или 3) произведем соответственно замены (первая из них аналогична
той, которая применялась при доказательстве леммы 2.3)
[︀
]︀−1
[︀
]︀−1
 () =  +  ()
 (),  () =  −  ()
 ()
нетрудно проверить, что  и  удовлетворяют уравнениям
˙ = ( +  )−1  ,
˙ = − ( −  )−1 ,

 () = ,
 () = .
Теперь достаточно оценить  () и  () по лемме 2.2, чтобы получить тре­
буемые соотношения {2) + (2.28)} → (2.30), {3) + (2.28)} → (2.30)
Случаи 1)—3) рассмотрены. Переходим к случаю 4), который, безуслов­
но, наиболее интересен. Здесь нам понадобится следующая оценка.
2.7.
Лемма 2.5. В любой точке дифференцируемости матрицы-функции  ()
справедливы неравенства
⃦ ⎫
⃦
⃦
 ()
 () ⃦ ⎪
˙

−

()
⃦ ⎬ 1 ‖ ()‖
⃦
⃦ 
⃦
‖˙ () () −  ()˙ ()‖.
(2.32)
6 
⃦   ()
⃦ ⎪
2
 () ˙
−
 ()⃦ ⎭
⃦ 

167
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ограничимся доказательством верхнего из неравенств (2.32), поскольку
нижнее доказывается аналогично. Введем обозначения
() = ˙ () () −  ()˙ (),
, () =  −1 ()˙ () − ()
(1 6  6 ).
Имеем:
‖+1, − , ‖ = ‖ −1 (˙  −  ˙ ) −−1 ‖ =
= ‖ −1  −−1 ‖ 6 ‖‖‖ ‖−2
(1 6  < ),
откуда
‖, − 1, ‖ 6 ‖, − −1, ‖ + ‖−1, − −2, − −3, ‖ + · · · +
+ ‖2, − 1, ‖ 6 ( − 1)‖‖‖ ‖−2
(1 6  6 ).
В силу последнего неравенства

⃦
⃦ ⃦ ∑︁
⃦
⃦
⃦
⃦

−1 ⃦
˙
, − 1, ⃦ 6
⃦  −  
⃦=⃦

=1
6

∑︁
=2
1
‖, − 1, ‖ 6 ( − 1)‖‖‖ ‖−2 .
2
Наконец, находим
∞
⃦ ∑︁
⃦
⃦
1⃦
⃦ 
⃦
⃦

⃦
˙
⃦  − ˙  −1 ⃦ 6
⃦  −  ⃦ 6

! 
=2
∞
∑︁ ( − 1)
1
1
6 ‖‖
‖ ‖−2 = ‖‖‖ ‖ .
2
!
2
=2
Лемма доказана. Тот же прием «переброски» позволяет, очевидно, оце­
нивать (в круге сходимости степенного ряда)
⃦
⃦ ⃦
⃦
⃦
⃦ ⃦
⃦
⃦ ( ) − ˙ ′ ⃦, ⃦ ( ) − ′ ˙ ⃦


через ‖()‖, ‖ ()‖ для любой аналитической ( ).
Покажем теперь, что в случае 4) теоремы 2.3 (2.28) влечет за собой
(2.30). Дифференцируя матрицу () =  −1 () exp  () (индекс  по­
прежнему опускается), находим
(︁  
)︁


˙ = −
 −  ,
(2.33)

168
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
откуда, согласно лемме 2.5
˙ 6 1 ‖− ‖‖ ‖ ‖ −  ‖‖‖.
‖‖
2
Так как () = , мы можем теперь оценить () по лемме 2.2. Эта оценка
показывает, что в случае 4)  =  ⇒ ; то же самое, следовательно,
относится и к  =  .
Для завершения доказательства теоремы осталось установить соотно­
шение {4) + (2.30)} → (2.28). Пусть 4) и (2.30) выполнены и пусть  столь
велико, что величина  =  , определенная формулой
∫︁
 = max ‖ () − ‖ + max ‖ ()‖
66
66
‖ −1 ()‖‖() () −  ()()‖ ,

удовлетворяет неравенству
1
< ;
2
(2.34)
покажем, что тогда
‖ ()‖ 6 − ln(1 − )
( 6  6 ),
(2.35)
откуда непосредственно вытекает требуемое утверждение. Предположим
противное: пусть (2.35) не имеет места. Тогда в силу (2.34), непрерывности
‖ ()‖ по  и равенства ‖ ()‖ = 0 найдется 0 из интервала (, ) такое,
что
‖ (0 )‖ > − ln(1 − ),
(2.36)
‖ ()‖ 6 ln 2
( 6  6 0 ).
(2.37)
Интегрируя (2.33), находим

 ()
∫︁
−  =  () −  +  ()
[︁  
]︁

 −1 ()
 () − () () ,


откуда, согласно лемме 2.5 и неравенству (2.37),
‖

()
− ‖ 6 ‖ () − ‖+
∫︁
1

+ ‖ ()‖ ‖ ‖ ‖ −1 ‖‖ −  ‖  6  ( 6  6 0 ). (2.38)
2

169
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из (2.37) ясно, что при  ∈ [, 0 ]  () есть главное значение логарифма
exp  (). Поэтому на основании (2.34), (2.38) находим
∞
∞
⃦ ∑︁
⃦
)︁ ⃦ ∑︁
1 (︁
1⃦

⃦
⃦  ()
⃦
⃦
‖ ()‖ = ⃦
 −  () ⃦ 6
− ⃦ 6
⃦


=1
=1
∞
∑︁
6
=1

= − ln(1 − )

( 6  6 0 ).
Полученное противоречие с (2.38) завершает доказательство теоремы 2.3.
2.8. Помимо знакомых уже вариантов обобщений добавим, что в теоре­
ме 2.3 конечность промежутка [, ] фактически не использовалась; при
бесконечном промежутке теряет силу лишь сделанное выше замечание о
применимости теоремы 2.2 к матричным уравнениям -го порядка. Попут­
но заметим, что конечность промежутка не использовалась и при доказа­
тельстве теоремы 2.1, тогда как теорема 2.2 на бесконечные промежутки не
распространяется. Последнее обстоятельство иллюстрируется примером:

¨ +
1
 = 0,
2
 = 1, 2, . . .
(1 6  < ∞).
Вернемся к примеру Я. Курцвейля (2.5). Ясно, что теорема 2.2, охваты­
вающая скалярные уравнения любого порядка, полностью «объясняет» этот
пример. В то же время теорема 2.3 позволяет объяснить основную имплика­
цию (2.7) → (2.6) и с более общей матричной точки зрения. Действительно,
переходя к однородной матричной записи, получаем коэффициентные мат­
рицы  () вида
(︂ 1−
)︂
(︂ −
)︂

cos   1− sin 
 sin   − (1− cos )

 ()=
;  ()=
.
0
0
0
0
Случаи 1)—3) теоремы 2.3 здесь оказываются недостаточными, так как по­
мимо (2.7) требуют дополнительных ограничений; однако, 4) ведет к цели,
поскольку
(︂
)︂
0  1−− (cos  − 1)


 () () −  () () =
.
0
0
2.9. Некоторые из установленных выше фактов находят приложения в
смежных вопросах. Остановимся на одном таком приложении леммы 2.5.
Общеизвестно, что матричное уравнение
˙ = ()
( 6  <  6 ∞)
170
(2.39)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
с локально суммируемой внутри [, ) матрицей () имеет решение вида
( ↑ ),
0 () =  + (1)
(2.40)
если () абсолютно суммируема на [, ). А. Винтнер [14] заметил, что
последнее ограничение можно ослабить следующим образом (мы приводим
результат Винтнера в обобщенной формулировке, т.к. в [14] рассматривался
лишь случай  = ∞).
Теорема 2.4 (А. Винтнер [14]). Пусть () интегрируема на [, ) (во­
обще говоря, неабсолютно), т.е. существует
∫︁
0
 () =
() .
(2.41)

Если выполнено хотя бы одно из условий
∫︁
∫︁
0
‖ ()()‖  < ∞,
‖()0 ()‖  < ∞,
то уравнение (2.39) обладает решением вида (2.40).
Из леммы 2.5 вытекает дополняющее этот результат
Следствие 2.2. Если первообразная (2.41) существует и удовлетворяет
условию
∫︁
‖0 ()() − ()0 ()‖  < ∞,
то уравнение (2.39) обладает решением вида (2.40).
Для доказательства произведем замену
 () = 
0 ()
().
Тогда (2.39) перейдет в уравнение
˙ = (),
где  =
(︁ 

)︁
0
0
0
 +   − .
Так как ˙ 0 = −, то по лемме 2.5
1
0
‖()‖ 6 2‖ ()‖ ‖0 ()() − ()0 ()‖ ( 6  < ).
2
171
(2.42)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Согласно предположению это влечет за собой суммируемость () на [, ).
Таким образом, уравнение (2.42) обладает решением вида (2.40); следова­
тельно, это верно и для уравнения (2.39), так как 0 () = (1) при  ↑ .
Следствие доказано.
Наличие у (2.39) решения вида (2.40), очевидно, эквивалентно следую­
щему утверждению: каждое нетривиальное решение () уравнения (2.39)
имеет при  ↑  конечный ненулевой предел (). Этот предел дается фор­
мулой () = ()0−1 ().
Всюду выше уравнения вида ˙ =  можно было бы, разумеется, за­
менить уравнениями ˙ = , что соответствует переходу к сопряженным
уравнениям.
Литература
1. Hille, E. Non-oscillation theorems / E. Hille // Trans. Amer. Math. Soc. —
1948. — Vol. 64, no. 2. — P. 234—258.
2. Halanay, A. Comportarea asimptotică a soluţiilor ecuaţiilor de ordinul al
doilea de tip neoscilator / A. Halanay // Comunicările Acad. Rep. pop.
Romı̂ne. — 1959. — Vol. 9, no. 11. — P. 1121—1128.
3. Гихман, И. И. По поводу одной теоремы Н.Н. Боголюбова / И. И. Гих­
ман // Укр. мат. журн. — 1952. — Т. 4, № 2. — С. 215—219.
4. Демидович, Б. П. О некоторых теоремах осреднения для обыкновен­
ных дифференциальных уравнений / Б. П. Демидович // Матем. сб. —
1954. — Т. 35(77), № 1. — С. 73—92.
5. Красносельский, М. А. О принципе усреднения в нелинейной механи­
ке / М. А. Красносельский, С. Г. Крейн // УМН. — 1955. — Т. 10,
№ 3. — С. 147—153.
6. Kurzweil, J. Generalized Ordinary Differential Equations and Continuous
Dependence on a Parameter / J. Kurzweil // Czech. Math. J. — 1957. —
Vol. 7 (82), no. 3. — P. 418—449.
7. Kurzweil, J. Addition to my paper “Generalized ordinary differential equa­
tions and continuos dependence on a parameters” / J. Kurzweil // Czech.
Math. J. — 1959. — Vol. 9(83), no. 4. — P. 564—573.
8. Курцвейль, Я. О непрерывной зависимости решений дифференциальных
уравнений от параметра / Я. Курцвейль, З. Ворел // Чехосл. мат.
журн. — 1957. — Т. 7, № 4. — С. 568—583.
9. Reid, W. T. Some limit theorems for ordinary differential systems /
W. T. Reid // J. Differ. Equations. — 1967. — Vol. 3, no. 3. — P. 423—439.
10. Гамкрелидзе, Р. В. Экстремальные задачи в линейных топологических
пространствах / Р. В. Гамкрелидзе, Г. Л. Харатишвили // Изв. АН
СССР. Сер. матем. — 1969. — Т. 33, № 4. — С. 781—839.
11. Боголюбов, Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных ко­
172
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. — М.: Физматгиз,
1955. — 447 с.
12. Левин, А. Ю. «Сходящиеся» системы линейных уравнений / А. Ю. Ле­
вин // Тезисы докладов Московского математического конгресса. —
Секция 6. — 1966. — С. 32—33.
13. Левин, А. Ю. Предельный переход для несингулярных систем ˙ =
=  () / А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1967. — Т. 176, № 4. —
С. 774—777.
14. Wintner, A. On a theorem of Bôcher in the theory of ordinary linear
differential equations / A. Wintner // Amer. J. Math. — 1954. — Vol. 76. —
P. 183—190.
173
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. Вопросы теории обыкновенного линейного
дифференциального уравнения10 . II *
§ 3. Обобщенные уравнения
3.1. Рамки уравнения с суммируемыми коэффициентами часто оказывают­
ся стеснительными в некоторых отношениях, и возникает необходимость
в более широких классах уравнений, которые именуются «обобщенными»,
«квазидифференциальными» и т. п. Здесь имеется несколько существенно
различных подходов, в зависимости от желаемого характера обобщения.
В настоящем параграфе рассматриваются некоторые возникающие в этой
связи принципиальные моменты.
В основу того или иного построения обобщенных уравнений обычно
кладется одна из следующих концепций.
1∘ . Дифференциальное уравнение заменяется интегральным, в котором
интеграл трактуется в расширенном смысле. Собственно говоря, уже урав­
нения с суммируемыми коэффициентами получены из уравнений с непре­
рывными коэффициентами подобным приемом — заменой риманова инте­
грала лебеговым. Дальнейшее продвижение возможно в направлении ин­
тегралов Данжуа—Перрона либо Стильтьеса (либо в обоих направлениях
сразу). К интегрированию по Данжуа—Перрону мы фактически уже под­
ведены теоремой 1.1, где характеризуются несуммируемые особенности ко­
эффициентов  () в точке 0 = , не влияющие на определенность () (0 ),
 = 0, 1, . . . ,  − 1. В каком смысле должны пониматься интегралы, фигури­
рующие в (1.3), и те, что появляются при почленном однократном интегри­
ровании по  равенства (1.1)? Если, как в теореме 1.1, 0 есть концевая точка
[, ], то можно, очевидно, их считать просто несобственными интегралами
Лебега (почему данный вопрос и не обсуждался в 1.1). В то же время тео­
рема 1.1 показывает, что подобные особенности коэффициентов допустимы
и внутри основного промежутка [, ], так как продолжение решений через
каждую такую точку  = 0 не вызывает трудностей. В этом случае (осо­
бенно, если число таких точек внутри [, ] бесконечно) интегрирование
по Лебегу уже не годится и должно быть заменено интегрированием по
Данжуа—Перрону. Мы не углубляемся далее в этом направлении, уводя­
щем от дифференциальных уравнений в теорию интегрирования функций
вещественной переменной. Что касается обобщений стильтьесовского типа,
с которыми мы пока не сталкивались и которые представляют больший ин­
терес для приложений, то они в дальнейшем будут подробно обсуждаться.
10
Левин А. Ю. Вопросы теории обыкновенного линейного дифференциального уравнения.
II // Вестник Ярославского университета. — Ярославль. — 1974. — Вып. 8. — С. 122—144.
*
Настоящая работа является продолжением статьи [1]; впрочем, ее можно читать неза­
висимо.
174
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2∘ . Обобщенное уравнение трактуется как последовательность класси­
ческих уравнений, коэффициенты которых «неограниченно сближаются».
В последний термин может вкладываться различный смысл, однако всегда
важно, чтобы «сближение» коэффициентов обеспечивало сходимость реше­
ний (с фиксированными начальными условиями) — либо точечную, либо в
некотором функциональном пространстве. Соответствующий предел и объ­
является решением обобщенного уравнения.
Разумеется, обе концепции 1∘ и 2∘ часто соприкасаются. Вторая из них,
более аналитическая по духу, вполне может применяться и самостоятельно.
По отношению к 1∘ дело обстоит несколько иначе: конструкции, основан­
ные на формальном переходе к интегральному уравнению (с тем или иным
способом интегрирования) и не подкрепленные соображениями непрерыв­
ности, могут оказаться недостаточно оправданными, как будет видно из
дальнейшего.
3.2. Сказанное выше относится как к линейным, так и нелинейным урав­
нениям. Здесь уместно упомянуть серию работ Я. Курцвейля [2–4], где
развивалось одно из возможных обобщений обыкновенных (вообще говоря,
нелинейных) уравнений. Формулировки результатов этих работ довольно
громоздки, но заметно упрощаются в интересующем нас случае линейного
уравнения, которое Я. Курцвейль записывает в виде
˙ = [() + ()]
(3.1)
( 6  6 )
и трактует как интегральное уравнение
∫︁ 
() = () +
[( )( ) + ( )]
( 6  6 )

с интегрированием по Перрону, но в несколько обобщенном смысле. Для
нас сейчас существенно, что основные ограничения, накладываемые при
этом на (), () имеют, приблизительно говоря, вид
‖( + ℎ) − ()‖ 6 1 ℎ ,
‖( + ℎ) − ()‖ 6 2 ℎ ,
( 6  6 ), (3.2)
где
 > 0, 5,
 +  > 1.
(3.3)
В этих условиях Курцвейль устанавливает для (3.1) теоремы о суще­
ствовании, единственности и предельном переходе (в части, относящейся к
линейным уравнениям, работа [2] содержит ошибку, исправленную в [4]).
Обобщенные уравнения, рассматриваемые Курцвейлем, несколько откло­
няются от очерченной выше схемы, поскольку они не включают в себя
175
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
класс уравнений с суммируемыми коэффициентами: очевидно, из абсолют­
ной непрерывности (), () не вытекают соотношения (3.2)—(3.3). Вме­
сте с тем в класс, изучаемый Курцвейлем, попадают некоторые уравнения
с несуммируемыми коэффициентами, поскольку ограниченность вариации
(), () при подходе Курцвейля не требуется. Ниже, говоря о матрич­
ных обобщенных уравнениях, мы обычно будем требовать ограниченность
вариации «первообразных от коэффициентов», но не будем накладывать
никаких ограничений на модули непрерывности в [, ]; более того, наи­
большее внимание ниже уделяется разрывному случаю. Результаты насто­
ящего параграфа являются, таким образом, независимыми по отношению к
работам Курцвейля (а в части, относящейся к скалярным уравнениям -го
порядка, — существенно более сильными).
3.3. Как видно из предыдущих параграфов, можно, не ограничивая общно­
сти, рассматривать только однородные матричные уравнения с единичным
начальным условием (это в той же степени относится к обобщенным урав­
нениям). Запишем такое уравнение в виде
 =  (),
() = 
( 6  6 ),
(3.4)
 () = ‖ ()‖1 , или, переходя к интегральному уравнению,
∫︁
() =  +

 ()()
( 6  6 ).
(3.5)

Вопрос о том, как интерпретировать эти равенства, является основным.
Пусть вначале  () не только имеет ограниченную вариацию, но и
непрерывна в [, ]. Тогда все просто: интеграл в (3.5) есть обычный инте­
грал Римана—Стильтьеса. Нетрудно видеть (см., например, [5]), что урав­
нение (3.5) — а следовательно, и (3.4), которое по определению эквива­
лентно (3.5), — имеет единственное решение (). Это решение, очевидно,
также непрерывно и имеет ограниченную вариацию на [, ]. Оно может
быть найдено методом последовательных приближений, т. е. вычислением
последовательных частичных сумм сходящегося ряда
∫︁ 
∫︁ 
∫︁ 1
() =  + ()+
 (1 ) (1 )+
 (1 )
 (2 ) (2 )+. . . (3.6)



Здесь и далее без ограничения общности предполагается, что
 () = 0.
Сходимость ряда (3.6) сразу следует из условия   < ∞.
176
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ясно, что уравнения вида (3.4) или, что то же самое, (3.5) охватывают
классические дифференциальные уравнения ˙ = () с суммируемыми
по Лебегу (), так как достаточно положить
∫︁ 
()  ( 6  6 )
 () =

с интегрированием по Лебегу. Классический случай соответствует, таким
образом, абсолютно непрерывным на [, ]  ().
Данное обобщение подкрепляется предложением о предельном переходе
для уравнений
∫︁ 
 () =  +
 () (),  = 0, 1, . . . ( 6  6 ).
(3.7)

Именно, если непрерывные  () удовлетворяют условиям
  6  < ∞,
 () ⇒ 0 ()
 = 1, 2, . . . ,
(3.8)
( → ∞)* ,
(3.9)
то  () ⇒ 0 () ( → ∞). Этот факт (см., например, [6]) непосредственно
усматривается из сравнения рядов вида (3.6) для  (),  = 0, 1, . . . ; по
существу он содержится также в более общих результатах § 2. Правда,
формально § 2 относится к абсолютно непрерывным  (), но это требова­
ние фактически влияет лишь на форму записи, и все результаты § 2 легко
распространяются на уравнения вида (3.4) с непрерывными  () при со­
ответствующих требованиях на вариации  (). Остановимся в этой связи
лишь на аналоге теоремы 2.2, который интересен тем, что не содержит
ограничений, связанных с вариацией. Поэтому здесь представляется есте­
ственной другая трактовка, не связанная непосредственно с интегральным
уравнением стильтьесовского типа (3.5) и примыкающая к концепции 2∘ .
3.4. Именно, рассмотрим уравнение, формально записанное следующим
образом:
 0 () (−1)
[

] + ˙1 ()(−2) + · · · + ˙−1 () + ˙ () = 0

( 6  6 ). (3.10)
Пусть вначале все  () абсолютно непрерывны на [, ], т. е. (3.10) есть
классическое уравнение (2.23) с суммируемыми на [, ] коэффициентами
1 () = ˙0 (),
*
 () = −0 () ˙−1 (),
Символ ⇒ означает равномерную сходимость.
177
 = 2, 3, . . . ,  + 1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С точностью до несущественных постоянных последние равенства можно
переписать в знакомом виде
∫︁ 
∫︁  (︁
∫︁ 
)︁
0 () =
1 ( )  ,  () =
exp
1 ( )  +1 (),  = 1, 2, . . . , .



Обозначим через [, ]+1 пространство +1-мерных непрерывных на [, ]
вектор-функций, а через * [, ]+1 — подмножество этого пространства,
состоящее из вектор-функций, абсолютно непрерывных на [, ]. Пусть, да­
лее  () есть решение уравнения (3.10), удовлетворяющее начальным усло­
виям ( — символ Кронекера)
()
 () =  ,
 = 0, 1, . . . ,  − 1
( = 0, 1, . . . , ).
(3.11)
(), . . . , (−1)
()},

(3.12)
Отображение , определенное формулой
(−1)
{0 (), 1 (), . . . ,  ()} → {0
(−1)
(), 1
преобразует * [, ]+1 в себя и притом, как показывает теорема 2.2, непре­
рывно. Более того, просматривая оценки, на которых основывалось доказа­
тельство этой теоремы, нетрудно проверить, что  равномерно непрерывно
(и даже удовлетворяет условию Липшица) во всякой ограниченной части
* [, ]+1 . Поскольку * [, ]+1 всюду плотно в [, ]+1 ,  допускает
непрерывное продолжение на все пространство. Полученное таким образом
отображение
 : [, ]+1 → [, ]+1
(также удовлетворяющее условию Липшица в каждом шаре) определяет
естественным образом решения уравнения (3.10) при любых непрерывных
0 , 1 , . . . ,  . Итак, если непрерывным коэффициентам соответствуют реше­
ния класса   [, ], а суммируемым — класса *−1 [, ] (т. е. с абсолютно
непрерывной (−1) ), то теперь мы пришли к решениям класса  −1 [, ].
Описанная схема в определенном смысле является исчерпывающей для по­
лучения решений данного, так сказать «уровня обобщенности» (который,
как будет видно из дальнейшего, не является пределом).
Подчеркнем, что, хотя решения уравнения (3.10) определены через ап­
проксимацию, для практического их отыскания нет необходимости прибли­
жать  () гладкими функциями и решать полученную таким образом после­
довательность аппроксимирующих уравнений. Решения (3.10) могут быть и
непосредственно записаны в виде сходящегося ряда, одинаково пригодного
для гладкого и негладкого случаев, так как в его члены входят значения
лишь  (), но не их производных.
178
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.5. До сих пор рассматривались уравнения с коэффициентами, которые
являются — в обобщенном смысле — производными непрерывных функций.
Такие уравнения представляют определенный теоретический интерес; одна­
ко с точки зрения приложений значительно более важен класс уравнений с
«импульсными» коэффициентами, являющимися производными разрывных
функций. К уравнениям этого типа мы и переходим.
Наиболее известный пример такого рода дает уравнение собственных
колебаний струны

¨ + () = 0
(3.13)
(при тех или иных краевых условиях), масса которой сосредоточена в виде
отдельных «бусинок», т. е.
() =

∑︁
 ( −  )
( > 0, 1 6  6 ∞).
(3.14)
=1
Через () здесь и далее обозначается -функция. В первую очередь следует
упомянуть известную работу М. Г. Крейна [7], где, в частности, на основе
уравнения (3.13)—(3.14) была предложена наглядная «механическая» интер­
претация классических исследований Стильтьеса по цепным дробям. В этой
и последующих работах (по поводу которых см. монографию Ф. Аткинсона
[5] с дополнениями И. С. Каца и М. Г. Крейна) развивалась спектральная
теория уравнения (3.13) с (), представляющей собой производную возрас­
тающей и, вообще говоря, разрывной функции. На вопросах, связанных со
спектральными разложениями симметричных операторов, при всей их важ­
ности, мы здесь не останавливаемся. Что касается самого понятия решения,
то для уравнений данного вида — оно может быть определено несколь­
кими эквивалентными способами — либо как решение соответствующего
интегрального уравнения (М. Г. Крейн [7], И. С. Кац [8]), либо через «ква­
зипроизводные» (В. Феллер [9]). Различные аспекты качественной теории
также приводят к уравнениям с коэффициентами типа дельта-функций —
зачастую в связи с экстремальными свойствами таких уравнений. Приведем
пример, к которому неоднократно будем возвращаться в дальнейшем.
Пусть для уравнения

¨ + () = 0
(3.15)
с вещественным коэффициентом () таким, что
∫︁ 
( + ) ≡ (), () ̸≡ 0,
() > 0.
(3.16)
0
исследуется вопрос об устойчивости решений при  → ∞. Общеизвестным
достаточным условием устойчивости является неравенство
∫︁ 
)︀
4 (︀
+ () 6
+ () = max{0, ()} ,
(3.17)

0
179
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
которое для () > 0 было указано еще Ляпуновым [10]; обобщение в фор­
ме (3.17) принадлежит М. Г. Крейну [11]. Интерес представляет не только
достаточность этого условия, но и тот хорошо известный факт, что постоян­
ная 4 не может быть заменена никакой большей. Как кратчайшим образом
доказать последнее утверждение? Совсем простой подсчет показывает, что
уравнение (3.15) с коэффициентом
() =
4 +  (︁
 )︁
 −
(0 6  6 ), ( + ) ≡ (),

2
(3.18)
имеет неограниченные решения, если  > 0; однако такая аргументация са­
ма по себе не может быть признана исчерпывающей. Ведь в первую очередь
интересна неулучшаемость условия (3.17) в классе «хороших» — например,
непрерывных — коэффициентов; на коэффициенты типа дельта-функций
признак (3.17), строго говоря, даже не рассчитан, как показывает случай
 = 0 (на самом деле (3.17) распространяется и на такие коэффициенты,
если заменить знак неравенства на строгий). Чтобы полноправно пользо­
ваться примерами типа (3.18), необходимо опираться на возможность со­
ответствующего предельного перехода. В данном случае это означает, что
при «дельтаобразной» аппроксимации коэффициента (3.18) непрерывными
коэффициентами будет иметь место сходимость на [0, ] соответствующих
решений вместе с производными (при  ̸= /2). При этом удобнее взять
в (3.18) не  = 0, а произвольно малое  > 0, что обеспечивает грубый
характер неустойчивости (мультипликаторы вне единичной окружности).
Практически, чтобы избежать хлопот, обычно выбирают (см., например,
Б. П. Демидович [12]) иной путь, а именно, не рассматривая уравнения
(3.18), строят в явном виде последовательность уравнений с кусочно-посто­
янными коэффициентами «дельтаобразного» типа и непосредственно прово­
дят необходимые вычисления (которые в данном случае не очень велики).
Однако ясно, что включение в общую теорию уравнений с коэффициента­
ми типа дельта-функций — если оно подкреплено теоремами о предельном
переходе — значительно упрощает рассмотрение подобных вопросов.
Идея изучения уравнений вида (3.4) с разрывной  () сама по себе не
нова. В частности, попытка изложения такого общего подхода имеется в
упоминавшейся уже монографии [5] Ф. Аткинсона (с. 412—417), где мож­
но найти также дальнейшие ссылки. Однако при подходе, изложенном в
[5], по существу игнорируются некоторые принципиальные моменты, ко­
торые отсутствуют в случае систем, соответствующих уравнению (3.15),
но неизбежно возникают при построении общей теории уравнения (3.4) с
разрывной  ().
3.6. Предположим пока, как и в [5], что матрица-функция  () ограни­
ченной вариации непрерывна справа на [, ]. Что следует понимать под
180
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
решением обобщенного дифференциального уравнения (3.4)?
Переход от (3.4) к (3.5) не дает полного ответа, поскольку здесь в
свою очередь возникает вопрос (которого не было в непрерывном случае)
о том, как понимать интеграл в правой части (3.5). Трактовка в смысле
Римана—Стильтьеса (Р.-С.) возможна, если, например, () непрерывна во
всех точках разрыва  (); само уравнение (3.5) показывает, однако, что
на это рассчитывать не приходится. Тем не менее, интегрирование по Р.-С.
не обесценивается последним обстоятельством, свидетельствующим лишь
о том, что здесь целесообразно перейти от общих матричных рассмотрений
к более подробным поэлементным.
Обозначим через Ω множество точек разрыва  () на [, ]. Легко ви­
деть, что интеграл в (3.5) можно трактовать по Р.-С. в том и только том
случае, если элементы матрицы  () = ‖ ()‖1 удовлетворяют следую­
щему условию:
⋂︁
Ω
Ω = ∅ , ,  ∈ [1, ].
(3.19)
В самом деле, при этом условии интегральный оператор
∫︁ 
 =
 () () ( 6  6 )

переводит в себя многообразие матриц-функций  () = ‖ ()‖1 , имею­
щих ограниченную вариацию в [, ], непрерывных справа и удовлетворяю­
щих условию:
⋂︁
Ω
Ω = ∅ , ,  ∈ [1, ].
Так как  () принадлежит этому многообразию, то определены все итера­
ции   ,  = 1, 2, . . . , т. е. все члены ряда (3.6). Этот ряд и доставляет
решение уравнения (3.5). Сходимость ряда и единственность решения про­
веряются обычным способом.
Отметим, что (3.19) содержит, в частности, требование непрерывности
всех диагональных элементов  (). Для матричного уравнения, соответ­
ствующего скалярному уравнению (3.15), условие (3.19) выполняется оче­
видным образом. В случае скалярного уравнения общего вида
() + 1 ()(−1) + · · · +  () + +1 () = 0
(3.20)
(3.19) сводится к непрерывности первообразной* 1 () от 1 ().
Описанное решение устойчиво относительно предельного перехода
(должным образом определенного, см. ниже), так что случай (3.19) являет­
ся во всех отношениях «хорошим» и по существу аналогичен рассмотрен­
ному ранее случаю непрерывной  (); в обоих вариантах решение дается
*
Здесь и ниже через  () обозначается первообразная функции (), обращающаяся в
нуль при  = .
181
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рядом (3.6) с интегрированием по Р.-С. Возникает естественный вопрос,
насколько условие (3.19) отвечает существу дела и нельзя ли корректным
способом определить решение для более широкого класса уравнений (3.4).
Общеизвестно, конечно, что интегрирование по Дарбу—Стильтьесу
(Д.-С.) или Лебегу—Стильтьесу (Л.-С.) носит более общий характер.
Здесь, однако, имеется один существенный момент, связанный со значе­
ниями решения в точках разрыва. Если при интегрировании по Р.-С. эти
значения не влияют на поведение решения в других точках, то при ин­
тегрировании по Д.-С. или Л.-С. они приобретают решающее значение и
произвольное доопределение () здесь уже не является оправданным.
3.7. Именно на таком доопределении основан фактически подход Ф. Ат­
кинсона [5]. Внешне он выглядит иначе. Здесь не выделяется случай (3.19),
а также не упоминаются интегралы Л.-С. или Д.-С. Вместо этого вводится
следующая модификация интеграла Р.-С:
∫︁

 ()() = lim

−1
∑︁
[ (+1 )− ( )]( ) ( = 0 < . . . < = ) (3.21)
=0
при неограниченном измельчении разбиений { }. Как отмечается в [5], ес­
ли  () и () непрерывны справа и имеют ограниченную вариацию на
[, ], то такой интеграл (т. е. предел, не зависящий от последовательно­
сти разбиений) существует. Решением уравнения (3.5) Аткинсон называет
непрерывную справа матрицу-функцию (), удовлетворяющую при всех 
равенству (3.5) с интегралом в смысле (3.21) (в [5] используется не мат­
ричная, а векторная запись решений, что для рассматриваемого вопроса не
имеет значения). Устанавливается, что подобное решение существует, един­
ственно и может быть получено методом последовательных приближений.
Последнее эквивалентно представлению решения сходящимся рядом (3.6),
где интегралы понимаются в смысле (3.21).
Далее в [5] отмечается, что вместо (3.21) могло быть использовано и
несколько иное определение интеграла с помощью равенства
∫︁

 ()() = lim

−1
∑︁
[ (+1 ) −  ( )](+1 ).
(3.22)
=0
Это приводит, вообще говоря, к другому решению уравнения (3.5); такое
решение может иногда и не существовать, что обеспечивает предпочтитель­
ность определения (3.21). Аткинсон выясняет, что оба определения совпа­
дают, если скачки  () удовлетворяют условию
[ () −  ( − 0)]2 ≡ 0.
182
(3.23)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Случай (3.23) оказывается здесь, таким образом, «хорошим», что подкреп­
ляется далее (см. [5] с. 417, 418) соображениями инвариантности лагран­
жиана для решений самосопряженых уравнений.
Легко видеть, что интегралы, понимаемые в смысле (3.21), (3.22) не
отличаются по существу от интегралов Л.-С. (для рассматриваемых классов
матриц-функций). Следует лишь в варианте (3.21) переопределить значения
 (), () в точках разрыва по непрерывности слева.
Условие (3.23) имеет определенное сходство с (3.19), но является ме­
нее ограничительным. К поставленному выше вопросу о том, насколько
существенно (3.19), добавляется, таким образом, аналогичный вопрос от­
носительно (3.23).
В [5] неоднократно подчеркивается, что основной целью монографии
является вскрытие тесных связей между краевыми задачами для непре­
рывного случая (т. е. для классических уравнений) и дискретного случая
(т. е. для уравнений с коэффициентами типа дельта-функций и аналогич­
ных им конечноразностных уравнений). Естественно ожидать поэтому, что
понятие решения должно быть в каком-то смысле корректно относительно
«дельтаобразной» аппроксимации.
Рассмотрим с этой точки зрения один простой, но показательный пример
— скалярное уравнение
˙ + () = 0,
(−1) = 1
(−1 6  6 1),
(3.24)
которое можно формально переписать также в виде интегрального уравне­
ния
{︂
∫︁ 
0
(−1 6  < 0)
() = 1 +
() (), где () =
1
(0 6  6 1).
−1
Очевидно () ≡ 1 при  < 0. Чему равно () при  > 0?
Рассмотрим различные интерпретации. Так как условие (3.19) здесь не
выполняется, то подход с точки зрения интегрирования по Р.-С. неприме­
ним. Решение по Аткинсону (в основном варианте) имеет вид
() ≡ 0
( > 0)
довольно-таки странный, поскольку речь идет о нетривиальном решении.
Так как (3.23) не имеет места, вариант (3.22) дает другой ответ
() ≡ 0, 5
( > 0).
В то же время очевидно, что при аппроксимации () непрерывными «дель­
таобразными» коэффициентами с последующим предельным переходом мы
183
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
получим
() ≡ −1
( > 0),
что и является, с нашей точки зрения, наиболее разумным вариантом, со­
ответствующим, так сказать, «физическому смыслу» дельта-функции.
3.8. Переходим к точным формулировкам. Для этого следует прежде все­
го определить, что такое «дельтаобразная аппроксимация». Вопрос этот не
столь прост, как может показаться на первый взгляд; стандартные схемы
здесь не годятся. Как и ранее, будет удобнее говорить не о матрице коэф­
фициентов, а о первообразной матрице  () = ‖ ()‖1 , фигурирующей в
(3.4), (3.5) (собственно, в аппроксимации  () уже нет ничего «дельтаоб­
разного»; этот термин относится, конечно, к аппроксимации  ()).
Пусть  () — произвольная матрица-функция ограниченной вариации
на [, ] (вообще говоря, разрывная) и { ()} — последовательность непре­
рывных матриц-функций ограниченной вариации. Нас интересует вопрос,
когда из той или иной сходимости  () к  () вытекает та или иная
сходимость решений уравнений
∫︁ 
 () =  +
 ()(),  = 1, 2, . . . ( 6  6 )
(3.25)

к некоторой матрице-функции (). Последнюю в этом случае было бы
целесообразно принять за решение уравнения (3.4).
Поскольку  () разрывна, a  () непрерывны, то равномерная сходи­
мость  к  заведомо не годится. Таким образом, теоремы о предельном
переходе, полученные в § 2, не могут быть непосредственно использованы
в данном случае. Дело здесь не в том, что рассмотрения § 2 охватывают
лишь абсолютно непрерывные матрицы-функции («стильтьесование» фор­
мулировок § 2 представляет собой несложную техническую задачу), а в
том, что основной упор в § 2 был сделан именно на равномерную сходи­
мость первообразных.
Потребуем, чтобы  сходилась к  точечно:
 () →  ()
( 6  6 )
( → ∞).
(3.26)
Другим возможным вариантом является менее жесткое требование на
 () = ‖ ()‖1 : при всех ,  (1 6 ,  6 )
 () →  ()
( ∈ [, ] ∖ Ω )
( → ∞).
(3.27)
Оба варианта имеют свои преимущества. Мы в дальнейшем сосредоточим­
ся, в основном, на (3.26).
184
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Само по себе (3.26) не обеспечивает какого-либо сближения решений
(за исключением скалярного случая  = 1). Любопытно, что стандартное
дополнительное условие (3.8) равномерной ограниченности вариаций  в
данном случае также не обеспечивает сходимости решений. Для иллюстра­
ции положим
(︂
)︂
(1 − | − 3|)+ 0
 () =
 = 1, 2, . . . (0 6  6 1)
(1 − | − 2|)+ 0
здесь, как и в (3.17), + () = max{0, ()}. Уравнения (3.25) эквивалентны
в данном случае легко решаемым системам
˙  =  () ,
˙ =  () ,
 = 1, 2, . . .
(0 6  6 1)
(3.28)
с кусочно-постоянными  ,  . Фундаментальная матрица  (), соответ­
ствующая системе (3.28) при начальном условии  (0) =  имеет на [4 −1 , 1]
вид
)︂ (︂
(︂
)︂
4
1
0
 () =
6  6 1 ,  = 1, 2, . . .
2− 1

Итак, несмотря на то, что при всех  ∈ [0, 1]  () стремятся к нулю
(кстати, в данном примере это относится и к самим коэффициентам, а
не только к первообразным от них), и на равномерную ограниченность
вариаций  (), решения уравнений (3.25) ни в каком смысле (точечная
сходимость, интегральная, по мере и т. п.) не приближаются к решению
уравнения
˙ = 0, (0) = .
(3.29)
В данном конкретном случае  () имеют точечный предел, но рассмат­
ривать его в качестве обобщенного решения (3.29) было бы, конечно, аб­
сурдом; видоизменяя пример, нетрудно добиться, чтобы  () при тех же
условиях на  () сходились к другому пределу или вообще не сходились.
Итак, присоединение к (3.26) дополнительного условия (3.8) ничего не да­
ет. Для того, чтобы исправить положение, заменим (3.8) более сильным
требованием
  →   ,
,  = 1, 2, . . . , 
( → ∞).
(3.30)
Это существенно новое условие, в котором до сих пор не было необходи­
мости; вместо (3.30) можно было бы довольствоваться ограничением
lim   6   ,
→∞
,  = 1, 2, . . . , ,
(3.31)
которое ввиду (3.26) эквивалентно (3.30).
Аппроксимация  () (  < ∞) непрерывными  () с выполнением
условий (3.26) и (3.30) всегда возможна. Покажем это.
185
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из вида соотношений (3.26), (3.30) явствует, что достаточно аппрокси­
мировать каждый элемент  () = () в отдельности. Далее предполага­
ется, что () продолжен за промежуток [, ] следующим образом:
() ≡ ()
( < );
() ≡ ()
( > ).
Кроме того, будет удобнее изменить параметризацию и говорить не о
 → ∞, а об  ↓ 0. Итак, требуется функцию () ограниченной вариа­
ции на [, ] аппроксимировать непрерывными  (), так, чтобы
 () → ()
( 6  6 )
( ↓ 0),
  →   ( ↓ 0).
(3.32)
(3.33)
Пусть вначале () непрерывна справа. Положим
1
 () =

+
∫︁
()
( 6  6 ;
 > 0).

Выполнение (3.32) очевидно. Так как  () абсолютно непрерывны, то
∫︁
∫︁
1 
1  +
=
|
˙  ()|  =
|( + ) − ()|  6

  =
 
  

∫︁
∫︁
∫︁
∫︁
1  
1 + 
1 + 
1  +
=
   −
   =
   −
   =
 
 
 
 
∫︁
1 + 

=   −
   6  .
 
 
∫︁

Ввиду (3.32) отсюда следует (3.33).
Если () непрерывна слева, аналогично ведут себя функции
1
 () =

∫︁

() 
( 6  6 ;
 > 0).
−
Переходим к общему случаю. Произвольную функцию ограниченной вари­
ации на [, ] можно представить в виде
() = * () + ** ()
( 6  6 ),
где * () непрерывна справа, ** () — слева и, кроме того,
  =  * +  ** .
186
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В самом деле, достаточно, например, положить
∑︁
[( ) − ( − 0)], ** () = () − * (),
* () =
< 6
где { } — совокупность точек разрыва ().
Аппроксимируя отдельно * и ** , как это делалось выше, приходим
к функциям
∫︁
∫︁ 
]︁
1 [︁ + *
 () =
 () +
** () ( 6  6 ;  > 0).
(3.34)
 
−
Условие (3.32), очевидно, выполняется. Далее,
lim
→0
 
6 lim
→0
(︁ 1 ∫︁
+
)︁
* ()  +
 
(︁ 1 ∫︁ 
)︁
+ lim 
** ()  =  * +  ** =  .
→0
 −

Отсюда, согласно (3.32), вытекает и второе условие (3.33).
Итак, в топологии, порожденной сходимостью (3.26), (3.30), множество
непрерывных матриц-функций всюду плотно в множестве матриц-функций
ограниченной вариации. Вместо непрерывных здесь можно было бы гово­
рить и о гладких матрицах-функциях. Подчеркнем, что речь идет о сходи­
мости, не согласованной с линейными операциями (из сходимости  к 
не вытекает сходимость  −  к нулю).
3.9. Описав «дельтаобразную» аппроксимацию коэффициентов, поясним,
как она используется.
Назовем уравнение (3.4) -корректным, если для любой последова­
тельности непрерывных  (), удовлетворяющей условиям (3.26)—(3.30),
решения  () уравнений (3.25) имеют предел при всех  ∈ [, ].
Ясно, что для -корректного уравнения этот предел не зависит от выбо­
ра конкретной последовательности { }. Этот предел и возьмем за опре­
деление решения -корректного уравнения (3.4). Очевидно, что для непре­
рывной  () такой предел — если он существует — не может отличаться
от обычного решения, доставляемого рядом (3.6). Поэтому существенное
значение имеет вопрос, насколько широк класс -корректных уравнений.
Как и ранее, через Ω обозначается множество точек разрыва  () в
[, ]. Пусть, далее, Ω+  , Ω−  суть множества точек разрыва  () в [, ]
справа и слева соответственно.
Имеет место следующий критерий -корректности.
187
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 3.1. Уравнение (3.4) -корректно в том и только том случае,
если элементы матрицы  () = ‖ ()‖1 удовлетворяют условию
⋂︁
⋂︁
Ω+ 
Ω+  = Ω− 
Ω−  = ∅
(3.35)
для любых трех индексов , ,  из [1, ], среди которых хотя бы два
различны.
В частности, для непрерывных справа  (), о которых шла речь в п. 3.6,
3.7, условие -корректности имеет вид
⋂︁
Ω
Ω = ∅ (1 6 , ,  6 ; | − | + | − | > 0).
(3.36)
Разумеется, это же условие относится и к  (), непрерывным слева. В це­
лом же (3.36), будучи более жестким, чем (3.35), является достаточным,
но не необходимым условием -корректности. В случае выполнения (3.36)
будем говорить о прочной -корректности; уравнения с  (), удовлетворя­
ющей условию (3.36), остаются -корректными при любом переопределении
 () в точках разрыва. Уравнения с непрерывными  () заведомо явля­
ются прочно -корректными. Это же относится и к уравнениям с  (),
удовлетворяющими условию (3.19); также и в этом случае оба определения
решения (через интегрирование по Р.-С. и через -корректность) совпадают.
Проверка сводится к несложной технической работе с рядами вида (3.6).
Итак, введенное с помощью предельного перехода понятие решения
обобщает решения в смысле Р.-С, поскольку даже для непрерывных спра­
ва  () условие -корректности выполняется для более широкого класса
матриц-функций, чем условие (3.19). Ясно, что в этом случае (т. е. для
непрерывных справа  ) обобщение относится по существу к диагональным
элементам  (), которые теперь могут быть разрывными. Возвратимся, в
частности, к уравнению (3.20). Тогда как требование (3.19) заключалось
в непрерывности 1 (), условие прочной -корректности (3.36) сводится к
тому, чтобы 1 () не имела общих точек разрыва ни с одной из функций
2 (), . . . , +1 ().
Итак, (3.19) достаточно, но не необходимо для -корректности (и даже
для прочной -корректности). В то же время менее ограничительное усло­
вие Ф. Аткинсона (3.23) не является ни необходимым, ни достаточным. Об
отсутствии необходимости свидетельствует уравнение (3.24), которое (как
и всякое скалярное уравнение +()
˙
= 0) прочно -корректно, хотя (3.23)
здесь не выполнено. С другой стороны, рассмотрим матрицу-функцию вто­
рого порядка
(︂
)︂
1 −1
 () = 0 (−1 6  < 0),  () =
(0 6  6 1),
(3.37)
1 −1
188
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
которой соответствует система уравнений
˙ = ˙ = () − ()
(−1 6  6 1);
(3.38)
здесь выполнено (3.23), но -корректность отсутствует. Отметим, что для
области применимости условий -корректности (3.35) и (3.36) имеет зна­
чение форма, в которой задано уравнение. Если уравнение имеет вид (3.5)
с определенной всюду  (), то естественно применять условие (3.35). Это
же относится к «коэффициентной» форме, если только входящие в состав
коэффициентов компоненты типа дельта-функций имеют вид  ( −  + 0)
или  ( −  − 0), поскольку в этом случае  () однозначно восстанав­
ливается. Однако при обычно встречающихся компонентах вида  ( −  )
доопределение первообразных в точках разрыва  является актом произ­
вола, так что для таких уравнений следует пользоваться условием (3.36).
Например, по уравнениям (3.38) нельзя восстановить  (0); поэтому точ­
нее было бы сказать выше, что матрице  (), определенной равенствами
(3.37), соответствует не система (3.38), а система
˙ = ˙ = ( + 0) − ( + 0)
(−1 6  6 1)
(здесь -корректность отсутствует независимо от значения  (0)). Вооб­
ще, для коэффициентов с компонентами вида  ( −  ) более целесообраз­
но определение дельтаобразной аппроксимации коэффициентов формулой
(3.27) вместо (3.26), поскольку у нас нет значений  () в точках разрыва;
что касается условия (3.30), то здесь при вычислении   коэффициент
 () доопределяется для  ∈ Ω по непрерывности справа или слева.
Разумеется, при этом следует говорить о сходимости решений не всюду на
[, ], а лишь в точках непрерывности  (); точнее, область сходимости
для элемента  матрицы () имеет вид
[, ]∖

⋃︁
Ω .
=1
3.10. Прежде, чем перейти к доказательству теоремы 3.1, напомним поня­
тие интеграла Дарбу—Стильтьеса (мы придерживаемся терминологии
И. Н. Песина [13]; в монографии Э. X. Гохмана [14] этот интеграл име­
нуется просто интегралом Стильтьеса). Одно из нескольких эквивалентных
определений интеграла
∫︁ 
(Д.-С.)
 () () (  < ∞)
(3.39)

состоит в том, что к определению интеграла Р.-С. добавляется требова­
ние включения каждой точки разрыва () во все разбиения [, ], начиная
189
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
с некоторого. Интеграл Д.-С. шире, чем интеграл Р.-С. и, в отличие от
∫︁  ∫︁ 
,
последнего, аддитивен в следующем смысле: если существуют


∫︁ 
∫︁ 
∫︁ 
. Если обе функции , 
+
=
( <  < ), то существует и



имеют ограниченную вариацию в [, ] — а мы будем иметь дело только
с этим случаем — то для существования интеграла (3.39) необходимо и
достаточно, чтобы
⋂︁
⋂︁
Ω+ 
Ω+  = Ω− 
Ω−  = ∅.
(3.40)
Для непрерывных справа функций интегралы Д.-С. и Р.-С. совпадают
(почему в п. 3.6 мы говорили лишь об интегрировании по Р.-С). Поскольку
теперь  () не предполагается непрерывной справа, естественно распро­
странить сказанное там на уравнения (3.5) с интегралом в смысле Д.-С.
Именно, такое уравнение имеет решение в том и только том случае, если
⋂︁
⋂︁
Ω+ 
Ω+  = Ω− 
Ω−  = ∅ при любых , , .
(3.41)
Это решение единственно и дается рядом (3.6) (с интегралами по Д.-С.,
разумеется). Сказанное вытекает из тех же соображений, которые относи­
лись к интегрированию по Р.-С.
Условие (3.41) относится к (3.35) примерно так же, как (3.19) к (3.36):
оно накладывает дополнительное требование непрерывности диагональных
элементов  ().
3.11. Введем краткую запись ” ∘→  ” для сходимости
 () →  ()
( 6  6 ),
  →  
( → ∞).
Нам понадобятся некоторые факты, относящиеся к такой сходимости (ко­
торая ввиду своего нелинейного характера, видимо, мало изучена).
1∘ . Если  ∘→  , то   ∘→   .
2∘ . Пусть  ∘→  и | (0 + 0) −  (0 )| <  для некоторого 0 ∈ [, ).
Тогда найдется 1 ∈ (0 , ] такое, что
| () −  ()| <  при  > 0 ()
(0 6  6 1 ).
Точно так же, если | (0 ) −  (0 − 0)| <  ( < 0 6 ), то найдется отрезок
[1 , 0 ], удовлетворяющий аналогичному
⋂︀ условию.
⋂︀
∘
+
3 . Пусть  ∘→ ,  ∘→ , Ω  Ω+  = Ω−  Ω−  = ∅. При любом
 > 0 существует разложение [, ] в виде
⋃︁
[, ] = Δ1 Δ2
(3.42)
190
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
такое, что: a) Δ1 , Δ2 суть конечные системы отрезков, никакие два из
которых не имеют общих внутренних точек (так что любой интеграл Д.-С.
по [, ] есть сумма интегралов по Δ1 и Δ2 ); б) вариация каждой  () на
Δ1 меньше  при  > 0 (); в) | () − ()| <  при  ∈ Δ2 ,  > 0 ().
Доказательства утверждений 1∘ —3∘ достаточно очевидны; в частности,
∘
3 вытекает из 1∘ , 2∘ и леммы о конечном покрытии.
4∘ . Пусть функция () удовлетворяет условию Липшица в каждом кру­
ге. Пусть, далее,  (),  (), непрерывны,  ∘→ ,  ∘→ , и выполнено
(3.40). Тогда
∫︁

∫︁

[ ()]  () → (Д.-С.)

[ ()] ()
( → ∞).
(3.43)

В дальнейшем указание на интегрирование по Д.-С. обычно опускается.
В силу предположений  [ ()] < ∞; кроме того, (3.40), очевидно, сохра­
няется при замене  () на [ ()]; поэтому интеграл в правой части (3.43)
существует. Имеем
∫︁

∫︁

[ ] −

∫︁
[ ]  =



[︀
]︀⃒⃒
([ ] − [ ])  + [ ()]  () − () ⃒ +

∫︁ 
+
( −  ) [ ] =  +  + .

Нужно показать, что  и  стремятся к 0 при  → ∞ (для  это очевид­
но). Ясно, что  ,  равномерно ограничены вместе с вариациями:  (),
 (),   ,   6  < ∞ ( 6  6 ;  = 1, 2, . . . ).
Обозначим через  и  соответственно максимум модуля и константу
Липшица функции () в круге || 6 . Пусть  > 0 произвольно. Пусть
Δ1 , Δ2 определяют фигурирующее в 3∘ разложение (3.42) для  =  ,
 =  (и, разумеется,  = ,  =  ). Тогда при  > 0 ()
∫︁
∫︁
⃒
⃒
⃒
⃒
|| 6 ⃒[ ] − [ ]⃒ | | + ⃒[ ] − [ ]⃒ | | 6 2 + .
Δ1
Δ2
Для оценки III возьмем разложение (3.42) для  =  ,  =  . Так как
 [ ] 6   , то при больших 
∫︁
∫︁
⃒
⃒
⃒
⃒
|| 6 ⃒ −  ⃒|[ ]| + ⃒ −  ⃒|[ ]| 6 2 + .
Δ2
Δ1
4∘
Ввиду произвольности 
доказано. Отметим, между прочим, что из пред­
посылок 4∘ не вытекает соотношение [ ()]∘→ [ ()].
Предшествующее имело своей целью следующий факт.
191
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5∘ . В условиях 4∘
∫︁ 
∫︁ 
[ ()] ().
[ ()]  ()∘→ (Д.-С.)


Точечная сходимость вытекает из 4∘ , поскольку [, ] можно без ограни­
чения общности (ввиду 1∘ ) заменить на [, ]. Итак, нужно проверить лишь
сходимость вариаций
∫︁
⃒
⃒
⃒[ ()]⃒ | ()| →
∫︁
⃒
⃒
⃒[ ()]⃒ |()|,


4∘
но и это соотношение выводится из
с помощью переобозначений:
˜() = |()|, ˜ () =   , ˜() =  
(˜
 ∘→ ˜ в силу 1∘ ).
3.12. Переходим непосредственно к доказательству теоремы 3.1. Пусть вы­
полнено (3.35) и непрерывные  ()∘→ 0 () =  (), т. е. имеют место
соотношения (3.26), (3.30). Покажем, что тогда решения  () уравнений
(3.25) сходятся при любом  ∈ [, ].
Не ограничивая общности, можно считать, что  (а следовательно, и
 непрерывно дифференцируемы в [, ] ( = 1, 2, . . . )). Действительно,
при любом  > 1

 () =
1

∫︁

 ()  ∈  1 [, ]
( () ≡ 0 при  6 ),
−
 ⇒  ,  ∘→ 
( ↓ 0);
поэтому (см. п. 3.3) для решений соответствующих уравнений имеем  ⇒
 ( ↓ 0). Таким образом, если последовательность { ()} не сходится
при  → ∞ в какой-либо точке из [, ], то это же будет иметь место и для
{ ()} при достаточно быстро убывающих  .
Итак, уравнения (3.25) можно записать в виде
˙  = ˙  () ,
 () = ,
 = 1, 2, . . .
( 6  6 )
с обычными производными. Введем диагональные матрицы-функции
⎛

11 ()
0

22 ()
⎜
 () = ⎝
0
..
. 
192
 ()
⎞
⎟
⎠,
 = 0, 1, . . . ,
(3.44)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и произведем в (3.44) замену
 =  () ,
(3.45)
 = 1, 2, . . .
Тогда уравнения (3.44) перейдут в уравнения
˙  = ˙  () ,
 () = ,
 = 1, 2, . . .
( 6  6 ),
(3.46)
 ()‖ как легко подсчитать, имеют вид:
где элементы матриц  () = ‖
1
 ()
≡ 0,


()=

∫︁


 ( )− ( )  ( ) при  ̸=  (1 6 ,  6 ).
(3.47)

0 ()‖ теми же соотношениями (3.47) c  = 0.
Определим 0 () = ‖
1

0
Поскольку  ∘→  , то
(3.48)
 ()∘→ 0 ().
Это вытекает из предложения 5∘ предыдущего пункта. Правда, соотноше­
ние  −  ∘→ 0 − 0 , вообще говоря, не выполняется, но, так как


() =

∫︁

[︁ ∫︁

 ( ) 

]︁

− ()  ()
( ̸= ),

то дело сводится к двукратному применению 5∘ (с () = ± ).
Решения уравнений (3.46) имеют вид
∫︁
 () =  +  () +


 (1 ) (1 )+
∫︁ 
∫︁ 
+
 (1 )
 (2 ) (2 ) + . . . . (3.49)


Мы пишем  вместо ˙  , так как намереваемся рассмотреть и 0 (),
определенную той же формулой (3.49). Последняя сохраняет смысл и при
0 при  ̸=  имеют
 = 0. Действительно, ввиду (3.47) 0 непрерывны, a 
0
те же точки разрывов справа и слева, что и  ( =  ); отсюда, в силу
(3.35), вытекает выполнение для 0 условия вида (3.41) (с заменой 
0 ). Поэтому, согласно п. 3.10, все интегралы, входящие в ряд (3.49)
на 
при  = 0, существуют в смысле Д.-С, а сам ряд представляет решение
уравнения
∫︁

0 () =  + (Д.-С.)
0 ()0 (),

что, впрочем, для нас сейчас несущественно.
193
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Покажем теперь, что
 () → 0 ()
( 6  6 )
при
 → ∞.
(3.50)
Ввиду (3.48) вариации  () ограничены в совокупности некоторой кон­
стантой , поэтому члены ряда (3.49) равномерно по  мажорируются со­
ответствующими членами ряда  = 1 +  + 2 /2 + . . . (напомним, что
 (0) = 0). Таким образом, чтобы установить (3.50), достаточно проверить
почленную сходимость рядов. Соотношение
∫︁ 
∫︁ 
 (1 ) (1 )∘→
0 (1 )0 (1 )
(3.51)


получается из (3.48) применением замечания 5∘ предыдущего пункта к
элементам входящих в (3.51) матриц-функций; повторное применение 5∘
приводит к аналогичным соотношениям для последующих членов рядов
(3.49). Это доказывает (3.50).
Так как, очевидно,  () → 0 () ( 6  6 ), то из (3.45), (3.50)
заключаем, что
 () → 0 ()0 () при всех  ∈ [, ]
( → ∞),
что и требовалось. Таким образом, мы не только установили существование
предела, но и записали его в «явном» виде — как произведение 0 () на
ряд (3.49) при  = 0 (с интегралами Д.-С).
Для завершения доказательства теоремы 3.1 осталось проверить необ­
ходимость условия (3.35), что сводится к очевидной «перестановке порядка
импульсов». Небольшая тонкость имеется лишь в связи с тем, что скачки
 () могут оказаться равными 2, где  ̸= 0 — целое; в этом случае они
должны быть предварительно представлены в виде 2′ + 2′′ , где ′ , ′′ —
нецелые положительные числа, ′ + ′′ = .
3.13. Мы рассмотрели вопрос об аппроксимации разрывных  () непре­
рывными. В общей теории предельного перехода для обобщенных урав­
нений это один из частных случаев, важный в теоретическом отношении
ввиду своей связи с определением решения. Другим интересным случа­
ем является, наоборот, аппроксимация непрерывных  () разрывными и,
в первую очередь, кусочно-постоянными. Такая аппроксимация важна для
вычислительных аспектов. Изучение ее в определенном смысле проще, по­
скольку здесь легко обеспечить равномерную сходимость первообразных.
Выбор того или иного определения решения здесь теряет актуальность, так
как в пределе все скачки аннулируются. Подробнее на этом не останавли­
ваемся.
194
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Итак, для -корректных уравнений решение можно определить на осно­
ве предельного перехода. Что касается -некорректных уравнений, то здесь
каждая точка разрыва, нарушающая условие -корректности (3.35), порож­
дает «воронку» решений, предельных при том или ином способе аппрок­
симации (3.26)—(3.30). Тем не менее, можно дать общее определение ре­
шения, не связанное с какими-либо специальными свойствами  (), кроме
ограниченности вариации; для этого следует выделить из воронки решения,
естественные с какой-то точки зрения. Примем, что скачки  () действуют
на () следующим образом:
() ≡  ()− (−0) ( − 0),
( + 0) ≡  (+0)− () ().
(3.52)
Смысл этого предположения состоит, приблизительно говоря, в том, что им­
пульсные компоненты коэффициентов, расположенные в бесконечно-малой
полуокрестности какой-либо точки, рассматриваются как «порожденные од­
ним и тем же импульсом». В частности, именно к таким решениям приводит
в пределе аппроксимация элементов  () = () no формуле (3.34), если
брать общее  для всех коэффициентов. К решениям типа (3.52) можно
прийти с помощью замены переменной
 =  () =

∑︁
  ,
(3.53)
,=1
если на всех отрезках [ ( − 0),  ( )], [ ( ),  ( + 0)], в которые «растяги­
ваются» точки  разрыва  (), считать функции  ( ) линейными (т. е.
соответствующие коэффициенты — постоянными).
Аналитически решения, удовлетворяющие условию (3.52), можно запи­
сать в виде мультипликативного интеграла Д.-С.
∫︁
() =



 () = lim
−1
∏︁
 (+1 )− ( )
( = 0 < · · · <  = )
(3.54)
=0
(порядок сомножителей — естественный), где предел берется по неогра­
ниченно измельчающимся разбиениям { }, подчиненным дополнительному
условию: каждая точка разрыва  () входит во все разбиения, начиная с
некоторого. Это условие не нужно, если  () непрерывна справа (или сле­
ва); для таких  () решение (3.54) приобретает особенно простой вид (см.
также работу А. Д. Мышкиса и А. М. Самойленко [15]).
Близкое понятие мультипликативного интеграла Стильтьеса было введе­
но ранее В. П. Потаповым [16], хотя и не вполне корректно. Без каких-либо
оговорок о точках разрыва в [16] утверждается, что предел (3.54) существу­
ет при произвольных измельчающихся разбиениях (и не зависит от них)
для любой матрицы-функции  () ограниченной вариации (в определении
195
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В. П. Потапова фигурирует еще непрерывный множитель  (), который в
нашем случае равен 1). Что это не так, показывает пример
 () = 0 (0 6  < 1),
 (1) = 1 ,  () = 1 + 2 (1 <  6 2).
Если 1 входит в разбиение { }, произведение равно 1 2 , в противном
случае оно равно 1 +2 . Таким образом, если не довольствоваться скаляр­
ным случаем, определение, данное в [16], нуждается в уточнении (можно,
например, потребовать, чтобы все точки разрыва были односторонними).
Отметим, что данная погрешность не влияет на остальные результаты фун­
даментальной монографии В. П. Потапова, относящиеся к случаю непре­
рывной  ().
Для -корректных уравнений решение (3.54) совпадает с тем, кото­
рое определенно выше через предельный переход; это является серьез­
ным преимуществом по сравнению с обоими вариантами решения по Ат­
кинсону (для непрерывных справа  (), см. п. 3.7). Если же уравнение
-некорректно, то решение (3.54), как уже говорилось, заведомо является
одной из предельных матриц-функций при аппроксимации (3.26)— (3.30) —
опять-таки в отличие от решений, введенных в [5]. Далее, решение (3.54)
всегда существует, в отличие от решения в смысле (3.22) и, кроме того,
является невырожденной при всех  ∈ [, ] матрицей-функцией, в отличие
от решений в смысле (3.21). Наконец, существенная для тематики [5] инва­
риантность лагранжиана в самосопряженном случае заведомо имеет место
для решений (3.54), независимо от выполнения (3.23). Кстати, подлинный
смысл последнего условия состоит как раз в том, что в случае (3.23) ре­
шения по Аткинсону совпадают с решением (3.54). Поэтому, если с самого
начала вместо определений Аткинсона пользоваться определением (3.54),
то дополнительное ограничение (3.23) становится совершенно излишним
(для -корректности, как уже говорилось, оно не является ни необходи­
мым, ни достаточным).
Существование предела (3.54), равно как и упомянутые свойства такого
решения проверяются, например, при помощи замены (3.53) с указанным
способом доопределения  ( ).
3.14. Можно было бы предположить, что все возникающие в приложениях
обобщенные уравнения являются -корректными; к сожалению, это не так.
Рассмотрим один иллюстрирующий пример.
Во многих вопросах интересны условия, при которых каждое нетриви­
альное решение уравнения с вещественными коэффициентами
 ≡ 
¨ + ()˙ + () = 0
(− 6  6 )
(3.55)
имеет не более одного нуля в [−, ]. В этом случае говорят о неосцил­
ляции решений (3.55) в [−, ], которую будем кратко записывать в виде
196
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 ∈ 0 [−, ]. Для приложений удобны признаки неосцилляции, состоя­
щие в ограничениях на нормы (), () в тех или иных функциональных
пространствах; ввиду теоремы Штурма можно применять оценки для + ()
вместо (). Для норм в [−, ] соответствующий точный результат был
получен Г. Эфезером [17] и впоследствии передоказывался многими авто­
рами (в частности, он послужил темой одного из сообщений на Конгрессе
1966 г.). Смысл этого результата состоит в том, что при условиях |()| 6 ,
() 6  критическими являются коэффициенты () = − sign , () ≡ 
(соответствующее явное условие неосцилляции в терминах ,  легко вы­
писать). Не меньший интерес представляют нормы в 1 [−, ], для которых
точный результат [18] таков: необходимым и достаточным условием импли­
кации
∫︁ 
{︁ ∫︁ 
}︁
|()| 6 ,
+ () 6  →  ∈ 0 [−, ]
−
−
является неравенство /2  6 2/. Для нас сейчас интересна лишь необхо­
димость этого условия. Критическое уравнение здесь оказывается -некорректным: соответствующие первообразные имеют вид
 () =

(1 − | sign |),
2
  () =

(1 + | sign |).
2
(3.56)
Критическое решение определяется условием (0)
˙
= 0 ((0) ̸= 0), но выра­
жения (3.56) еще не позволяют определить поведение этого решения (как
и других) ввиду -некорректности. В данном случае ясность может быть
внесена следующей записью, устанавливающей «очередность» импульсов:
() =


( + 0 + 0) − ( − 0 − 0),
2
2
() =


( + 0) + ( − 0).
2
2
Если поменять порядок импульсов или рассматривать их как «одно­
временные», понимая решение в смысле (3.54), расстояния между нулями
решений окажутся совсем иными и не будут доставлять искомого миниму­
ма.
3.15. В заключение вернемся ненадолго к уравнениям -го порядка, при­
чем ограничимся уравнениями без члена с (−1) :
() + ˙1 ()(−2) + · · · + ˙−1 () + ˙ () = 0
( 6  6 ).
(3.57)
В п. 3.4 был рассмотрен (для уравнения более общего вида) случай
непрерывных  (), a развитая выше теория матричных обобщенных урав­
нений охватывает  () ограниченной вариации; оба эти варианта являются
независимыми расширениями класса абсолютно непрерывных  (). Спе­
цифика уравнения (3.57) позволяет, однако, пойти существенно дальше,
197
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ограничившись лишь предположением
 () ∈ 2 [, ],
(3.58)
 = 1, 2, . . . , .
В точке  =  функции  будем считать определенными, т. е. по существу
рассматривается пополнение [, ] по норме
)︁1/2
(︁ ∫︁ 
.
| ()|2 
‖ ‖ = | ()| +

Рассмотрим наряду с (3.57) произвольную последовательность уравнений
()
(−2)
 + ˙1, ()
+ · · · + ˙−1, () + ˙, () = 0
 = 1, 2, . . .
( 6  6 ). (3.59)
с абсолютно непрерывными , () такими, что
, () →  () в 2 [, ], , (0 ) →  (0 )  = 1, 2, . . . ,  ( → ∞). (3.60)
(предполагается, что функции 1 , . . . ,  определены и конечны в точке 0 ).
Зададимся какими-либо начальными условиями
()
 (0 ) =  ,
 = 0, 1, . . . ,  − 1
( = 1, 2, . . . ).
Оказывается, из (3.60) вытекает сходимость  () в 2−1 [, ], причем пре­
дельная функция () не зависит от выбора последовательности (3.59). Эта
функция () (∈ 2−1 [, ]) и принимается за решение (3.57) при началь­
ных условиях () (0 ) =  ,  = 0, 1, . . . ,  − 1. В случаях  ∈ [, ] или
  < ∞ ( = 1, . . . , ) (), разумеется, совпадает с решениями в прежнем
смысле.
Доказательство сходимости  () может быть проведено с общих мат­
ричных позиций, на основе примерно тех же преобразований, которые при­
менялись в § 2. Существенное значение при этом приобретает неисполь­
зованный в § 2 «резерв», состоящий в том, что постоянная матрица ,
определенная, как в (1.14), не только суммируема, но и ограничена на [, ].
Более специфический путь таков: уравнения (3.59) почленно интегриру­
()
(−1)
ются по частям;  (),  = 0, 1, . . . ,  − 2, выражаются через 
() и
(−2)
(−1)
 (0 ), . . . , 
(0 ); затем исследуются полученные для  = 
урав­
нения в 2 [, ].
Сказанное выше остается в силе, если 2 , 2−1 заменить на  , −1
с  > 2. Интересно, что значение  = 2 является критическим: как пока­
зывают примеры, сходимость первообразных в  при любом  < 2 может
иметь место без того, чтобы решения сходились в −1 [, ] (или хотя бы
в [, ]).
198
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Еще дальше можно пойти, если отсутствует и член с (−2) . Вообще,
в связи с обобщенными уравнениями возникает ряд интересных вопросов
(строение «воронки» в -некорректном случае и т. п.), обстоятельное рас­
смотрение которых потребовало бы, пожалуй, отдельной монографии.
Литература
1. Левин, А. Ю. Вопросы теории обыкновенного линейного дифференци­
ального уравнения. I / А. Ю. Левин // Вестник Ярославского универ­
ситета. — Ярославль, 1973. — Вып. 5. — С. 105—132.
2. Kurzweil, J. Generalized Ordinary Differential Equations and Continuous
Dependence on a Parameter / J. Kurzweil // Czech. Math. J. — 1957. —
Vol. 7 (82), no. 3. — P. 418—449.
3. Kurzweil, J. Unicity of solutions of generalized differential equations /
J. Kurzweil // Czech. Math. J. — 1958. — Vol. 8, no. 4. — P. 502—509.
4. Kurzweil, J. Addition to my paper “Generalized ordinary differential equa­
tions and continuos dependence on a parameters” / J. Kurzweil // Czech.
Math. J. — 1959. — Vol. 9(83), no. 4. — P. 564—573.
5. Аткинсон, Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Ат­
кинсон. — М.: Мир, 1968. — 748 с.
6. Reid, W. T. Some limit theorems for ordinary differential systems /
W. T. Reid // J. Differ. Equations. — 1967. — Vol. 3, no. 3. — P. 423—439.
7. Крейн, М. Г. Об одном обобщении исследований Стилтьеса /
М. Г. Крейн // ДАН СССР. — 1952. — Т. 87, № 6. — С. 881—884.
8. Кац, И. С. О поведении спектральных функций дифференциальных си­
стем второго порядка / И. С. Кац // ДАН СССР. — 1956. — Т. 106,
№ 2. — С. 183—186.
9. Feller, W. Generalized second order differential operators and their lateral
conditions / W. Feller // Illinois J. Math. — 1957. — Vol. 1, no. 4. —
P. 459—504.
10. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ля­
пунов. — Харьков: Изд. Харьковского матем. об-ва, 1892.
11. Крейн, M. Г. О некоторых задачах на максимум и минимум для
характеристических чисел и о ляпуновских зонах устойчивости /
M. Г. Крейн // ПММ. — 1951. — Т. 15, вып. 3. — С. 323—348.
12. Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости /
Б. П. Демидович. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
13. Песин, И. Н. Развитие понятия интеграла / И. Н. Песин. — М.: Наука,
1966. — 207 с.
14. Гохман, Э. Х. Интеграл Стильтьеса и его приложения / Э. Х. Гохман. —
М.: Физматгиз, 1958. — 191 с.
15. Мышкис, А. Д. Системы с толчками в заданные моменты времени /
199
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16.
17.
18.
19.
А. Д. Мышкис, А. М. Самойленко // Матем. сб. — 1967. — Т. 74(116),
№ 2. — С. 202–208.
Потапов, В. П. Мультипликативная структура -нерастягивающих
матриц-функций / В. П. Потапов // Тр. Моск. матем. общ-ва. —
1955. — Т. 4. — С. 125—236.
Epheser, H. Über die Existenz der Lösungen von Randwertaufgaben mit
gewöhnlichen, nichtlinearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung /
H. Epheser // Math. Z. — 1955. — Vol. 61. — P. 435—454.
Левин, А. Ю. О линейных дифференциальных уравнениях второго
порядка / А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1963. — Т. 153, № 6. —
С. 1257—1260.
Левин, А. Ю. Предельный переход для несингулярных систем ˙ =
=  () / А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1967. — Т. 176, № 4. —
С. 774—777.
200
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. Линейное оптимальное быстродействие
и центрированные сечения 11
1. Для простоты изложения ограничимся автономной задачей о линейном
быстродействии в следующей простейшей форме: найти управление  =
= () такое, что () ∈  при всех , переводящее за минимальное время
1 решение уравнения
˙ =  + ,
(0) = 0 (̸= 0)
(1)
в начало координат: (1 ) = 0. Здесь  — выпуклый многогранник в   ,
содержащий внутри себя нуль   ;  и  — матрицы порядков  ×  и  ×
×  соответственно; () — -мерная вектор-функция. Предполагается, что
0 принадлежит области управляемости и что выполнено условие общности
положения [1]. Как известно, это обеспечивает существование и единствен­
ность (с точностью до множества меры нуль) оптимального управления,
которое в этих условиях однозначно определяется принципом максимума
Л. С. Понтрягина.
Рассматриваемая задача относится к наиболее изучавшимся вопросам
общей теории оптимального управления [1–4]; качественное исследование
ее впервые провел Р. В. Гамкрелидзе [5]. Нас будет интересовать вычис­
лительный аспект. Как известно, он связан с существенными трудностями,
поскольку для сопряженной задачи
˙ = −* 
(2)
априори неизвестно соответствующее начальное значение 0 = (0). Для
преодоления этой трудности предложены различные методы. Так, Н. Н. Кра­
совский рекомендует (см. [3]) путем изменения целевой функции сводить
задачу быстродействия к серии задач с фиксированным временем, варьи­
рующимся от задачи к задаче. Такой подход имеет серьезные достоинства
(минимальность требований к памяти, простота реализации); однако при
этом на каждом этапе приходится решать задачу выпуклого программи­
рования (к которой сводится соответствующая проблема моментов), т.е.
каждый отдельный этап является многошаговым процессом — например,
реализацией наискорейшего спуска. Как отмечается в [6], сведение к се­
рии задач с фиксированным временем наиболее эффектно при невысоких
требованиях к точности. Последнее в той или иной степени характерно для
всех методов, основанных на использовании штрафных функций.
Конструкция, восходящая к Л. Нейштадту [7] (см. также [4]), связана,
в частности, с многократным вычислением некоторого нелинейного опера­
тора  (). Область определения  есть полупространство  ∈   таких
11
Левин А. Ю. Линейное оптимальное быстродействие и центрированные сечения //
Вестник Ярославского университета. — 1975. — Вып. 12. — С. 87—93.
201
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
векторов , что (, 0 ) < 0. (Так как  () =  () при всех  > О, можно
говорить лишь о полусфере). Для произвольного  ∈   () определяется
следующим образом. Пусть (, ) = exp(−* ) — решение уравнения (2)
с начальным условием (0) = , a  = (, ) — управление, отвечающее
(, ) согласно принципу максимума Понтрягина. Уравнение
∫︁
(︁
)︁
0 + − (, ) ,  = 0
(3)
0
относительно  имеет единственный корень  = (). Оператор  () дается
формулой
∫︁()
 () = −0 −
− (, ).
(4)
0
Решение уравнения (3) с заданной точностью упрощается возрастанием
левой части по . Ясно, что  () фактически находится одновременно с
(). Искомое начальное условие 0 удовлетворяет уравнению  (0 ) = 0 и
максимизирует () в .

Л. Нейштадт рассматривает далее дифференциальное уравнение
=

=  () ((0) ∈ ) и показывает, что предел (или предельная точка) при
 → ∞ решения ( ) этого уравнения дает искомое значение 0 . (Здесь
и далее мы говорим о 0 как о векторе, единственном с точностью до по­
ложительного множителя, поскольку случай неединственности не связан
с существенными дополнительными трудностями.) Численные методы ре­
шения уравнения Нейштадта исследованы Дж. Итоном и В. Г. Болтянским
(см. [4]). Эта методика также основана на градиентном спуске (минимизи­
рующем −()).
2. Мы изложим другой метод, также связанный с вычислениями  (), но
основанный не на градиентном спуске, а на алгоритме центрированных се­
чений (АЦС). Последний был предложен [8] (см. также [9–11]) для задач
выпуклого программирования небольшой размерности и для задач выпук­
лого блочного программирования большой размерности с малым числом
сквозных ограничений. АЦС основан на использовании следующего гео­
метрического факта: если  ⊂   — выпуклое тело объема , то любая
 − 1-мерная гиперплоскость,
(︂ проходящая
)︂ через центр тяжести  , рассе­
1
кает  на части объема > 1 −
. Для  = 2 это общеизвестно
+1
(см., например, [12]); по поводу общего случая см. [12, 13]. На каждом
шаге АЦС многогранник, содержащий искомую точку экстремума, рассе­
кается на две части гиперплоскостью, проходящей через центр тяжести,
и одна из этих частей отбрасывается как заведомо не содержащая иско­
мой точки. Характерной чертой АЦС является «геометрическая» скорость
202
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сходимости: решение задачи с точностью до  требует (| ln()|) операций.
На это основное обстоятельство не влияет ни возможность «сплющивания»
многогранников (когда стремятся к нулю объемы, но не диаметры), ни воз­
можность нарастания числа граней; по поводу нейтрализации обеих этих
трудностей см. [8].
Возвращаясь к задаче быстродействия, заметим, что
( (), ) = 0,
( (), 0 ) > 0 ( ∈ ).
(5)
Первое из этих соотношений сразу следует из определения  (), а второе
вытекает из выпуклости множеств достижимости.
Соотношения (5) можно, очевидно, истолковать следующим образом:
нахождение  () для какой-либо точки  ∈  позволяет провести через
  − 1-мерную гиперплоскость и определить, в каком из двух полупро­
странств лежит 0 . Это и указывает на применимость АЦС. Поскольку
нас интересует лишь направление 0 , истинная размерность задачи равна
 − 1. Для того, чтобы оказаться в условиях применимости АЦС (в част­
ности, для получения исходного  − 1-мерного многогранника) естественно
действовать следующим образом.
Найдем  линейно независимых векторов 1 , . . . ,  , образующих с 0
острый угол. Положим, например,
1 = −0 ,
 =  (−1 ),
 = 2, . . . , ,
(6)
где 1 , . . . , −1 — какие-либо попарно неколлинеарные векторы на  (в том
особом случае, когда векторы (6) линейно зависимы, нужны дополнитель­
ные вычисления). Определим векторы 1 , . . . ,  из условия ( ,  ) = 
(,  = 1, . . . , ). Поскольку существенно лишь направление 0 , можно без
ограничения общности положить
0 = 1 + 1 (2 − 1 ) + · · · + −1 ( − 1 )
( > 0,
 = 1, . . . ,  − 1;
1 + 2 + · · · + −1 6 1).
(7)
Поиск 0 сводится тем самым к поиску точки  = (1 , . . . , −1 ) соот­
ветствующего симплекса 0 пространства  −1 .
Далее применяется АЦС по следующей схеме. Пусть после -го шага
точка  уже заключена в выпуклый многогранник  ⊂  −1 ( > 0).
Определим центр тяжести  = ( 1 , . . . ,  −1 ) этого многогранника и нахо­
дим  ( * ), где
 * = 1 +  1 (2 − 1 ) + · · · +  −1 ( − 1 ).
Полагая в (5)  =  * , получаем
1 1 + 2 2 + · · · + −1 −1 >  ,
203
(8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где
 = ( ( * ), +1 −  ),
 = 1, . . . ,  − 1;
 = −( ( * ), 1 ).
Так как гиперплоскость 1 1 + 2 2 + · · · + −1 −1 =  проходит через
, то многогранник +1 (⊂  ), определяемый неравенством (8) вместе
с неравенствами, определяющими  , получается из  центрированным
сечением. Поэтому
vol  6 (1 − −1 ) vol 0 ,
 = 1, 2, . . .
(9)
Правая часть (9)) завышена по минимаксным соображениям: фактическая
скорость убывания объемов ближе к (0, 5) vol 0 . Также и линейные разме­
ры  убывают обычно со скоростью геометрической прогрессии, так что
при небольшой размерности задачи для получения нормированного 0 с
точностью, скажем, до 10−4 достаточно нескольких десятков шагов. Отме­
тим, что для достижения подобной точности в методах градиентного спуска
зачастую требуются тысячи итераций (см., например, [14]).
3. Основным недостатком АЦС является необходимость работать с мно­
гогранниками (нахождение и запоминание вершин и граней, нахождение
центра тяжести), что при больших размерностях влечет за собой трудно­
сти. Эта работа носит, однако, стандартный характер; например, в задаче
блочного выпуклого программирования с  − 1 сквозными ограничениями
и задаче линейного быстродействия для системы -го порядка может при­
меняться одна и та же стандартная программа центрированных сечений
(блоки, определяющие направление секущей плоскости, естественно, раз­
личны). Если же размерность невелика — например, при  < 5, — работа
с многогранниками практически не ощутима.
Отметим также следующее. Как уже говорилось, при переходе к зада­
чам с фиксированным временем требуется решать серию задач выпукло­
го программирования, каждую из них можно было бы также решать не
градиентным спуском, а с помощью АЦС. Подчеркнем, что работа с мно­
гогранниками в предложенной выше схеме отвечает по трудоемкости не
серии, а лишь одной задаче выпуклого программирования. Фактически в
этой схеме АЦС применяется для минимизации функции −(), которая,
как можно показать, является квазивыпуклой (различие между выпуклыми
и квазивыпуклыми функциями для АЦС несущественно).
Строго говоря, отыскание  () для заданного  является многошаговой
задачей, так как требует решения с заданной точностью скалярного урав­
нения (3) с монотонной левой частью; для этой цели может применяться,
например, «половинение». Таким образом, при предложенной схеме, как и
в схеме Нейштадта—Итона—Болтянского, решается одна многомерная за­
дача, причем каждый шаг решения требует отыскания корня скалярного
204
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
уравнения. При сведении проблемы быстродействия к серии задач с фик­
сированным временем, наоборот, имеется лишь одна одномерная задача
отыскания корня; зато на каждом шаге ее решения возникает многомер­
ная экстремальная задача. С точки зрения трудоемкости первый вариант
представляется более привлекательным, хотя однозначные рецепты здесь
вряд ли возможны.
4. Отметим в заключение, что существуют модификации АЦС, позволя­
ющие не иметь дела с вершинами многогранников  . Эти модификации
связаны с тем, что точки, через которые проводятся сечения, могут быть не
слишком близкими к центрам тяжести. Например, если ( − 1)-е сечение
проводится через точку, выбранную наудачу равномерно по объему в  ,
то, как показано в [15] (для несколько упрощенной вероятностной моде­
ли), объемы  с вероятностью 1 убывают как −0,5 , т.е. опять-таки со
скоростью геометрической прогрессии.
Идея одной из возможных модификаций АЦС такова. Пусть на неко­
тором шаге получен многогранник  , содержащий искомую точку. Гене­
рируем точки 1 , 2 , . . . , распределенные в  равномерно по объему, по­
ка число их не достигнет заданного . Центр тяжести 1 системы точек
1 , . . . ,  (т.е. точка с усредненными координатами) близок в вероятност­
ном смысле к центру тяжести  . Очередное сечение проводим через 1 ;
пусть это сечение дает линейное неравенство . Далее вместо того, чтобы
искать вершины, а затем и центр тяжести нового многогранника +1 , от­
бираем среди точек 1 , . . . ,  те, которые удовлетворяют неравенству , и
1
отобранных точек.
проводим очередное сечение через центр тяжести +1
Так поступаем до тех пор, пока запас точек  не истощится; затем возоб­
новляем его и т.д. При такой схеме единственным нетривиальным местом
является генерирование псевдослучайных точек (ввиду быстрого убывания
объемов  ). Существуют различные приемы такого генерирования, на чем
здесь подробнее не останавливаемся.
Литература
1. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин,
В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. — М.: Физматгиз,
1961. — 391 с.
2. Беллман, Р. Некоторые вопросы математической теории процессов
управления / Р. Беллман, И. Гликсберг, О. Гросс. — М.: ИЛ, 1962. —
336 с.
3. Красовский, Н. Н. Теория управления движением / Н. Н. Красовский. —
М.: Наука, 1968. — 476 с.
205
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Болтянский, В. Г. Математические методы оптимального управления /
В. Г. Болтянский. — М.: Наука, 1969. — 408 с.
5. Гамкрелидзе, Р. В. Теория оптимальных по быстродействию процес­
сов в линейных системах / Р. В. Гамкрелидзе // Изв. АН СССР, Сер.
матем. — 1958. — Т. 22, № 4. — С. 449—474.
6. Моисеев, Н. Н. Элементы теории оптимальных систем / Н. Н. Моисе­
ев. — М.: Наука, 1975. — 528 с.
7. Neustadt, L. W. A synthesis method for optimal controls /
L. W. Neustadt // Рroc. of Optimum System Synthesis Conf. — Wright­
Patterson AFB, Ohio, 11—13 September 1962. — P. 373—382.
8. Левин, А. Ю. Об одном алгоритме минимизации выпуклых функций /
А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1965. — Т. 160, № 6. — С. 1244—1247.
9. Newman, D. J. Location of the maximum on unimodal surfaces /
D. J. Newman // J. Assoc. Comput. Mach. — 1965. — Vol. 12, no. 3. —
P. 395—398.
10. Уайльд, Д. Д. Методы поиска экстремума / Д. Д. Уайльд. — М.: Наука,
1967. — 268 с.
11. Кузовкин, А. И. О количестве вычислений для нахождения минимума
выпуклой функции / А. И. Кузовкин, В. М. Тихомиров // Экономика
и математические методы. — 1967. — Т. 3, вып. 1. — С. 95—103.
12. Яглом, А. М. Выпуклые фигуры / А. М. Яглом, В. Г. Болтянский. Серия
Библиотека математического кружка, Вып. 4. — М.; Л.: ГТТИ, 1951. —
343 с.
13. Митягин, Б. С. Два неравенства для объемов выпуклых тел / Б. С. Ми­
тягин // Матем. заметки. — 1969. — Т. 5, № 1. — С. 99—106.
14. Эрроу, К. Д. Исследования по линейному и нелинейному программиро­
ванию / К. Д. Эрроу, Л. Гурвиц, Х. Удзава. — Перев. с англ. изд. — М.:
ИЛ, 1962. — 334 с.
15. Левин, А. Ю. Об одной схеме случайного поиска / А. Ю. Левин,
А. С. Шварц // Труды семинара по функц. анализу. — Воронеж, 1963. —
Вып. 7. — С. 67—69.
16. Grünbaum, В. Partitions of mass-distributions and of convex bodies by
hyperplanes / В. Grünbaum // Pacific J. Math. — 1960. — Vol. 10. —
P. 1257—1261.
206
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. Некоторые вопросы асимптотики
для обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений12
1. Рассмотрим на конечном промежутке [, ] системы с параметром (0 6
6  6 0 )
˙ = [(, ) + (, )],
˙ = (, ),
(, ) = ,
 (, ) = ,
 6  6 ;
(1)
(2)
 6  6 ;
здесь , , ,  — квадратные матрицы-функции, причем (, ), (, ) ∈
∈ 1 при всех  ∈ [0, 0 ]. Обозначение  =  [, ] часто будем исполь­
зовать для случаев скалярных и матричных функций , что не вызовет
недоразумений. Через  ( ) обозначаются  (, ) такие, что норма их в
 стремится к 0 (равномерно ограничена) при  → 0.
Теорема 1 (редукции). Пусть для некоторого , 2 6  6 ∞,
(, ) → (, 0) в /−2 ,
 → 0.
(3)
Тогда пара соотношений
(, ) → (, 0),
 −1 (, ) →  −1 (, 0) в
 ,
 → 0,
(4)
эквивалентна паре соотношений
 (, ) →  (, 0),
 −1 (, ) →  −1 (, 0) в  ,
 → 0.
(5)
Ввиду равноправности систем (1), (2) достаточно проверить импликацию
(5) → (4). Пусть (5) выполнено. Полагая для краткости  =  (, ) и
проводя замену
 = 0−1 0 −1  ,
(6)
получим после несложных выкладок для  = (, ) уравнение
˙  =   ,
где
(, ) = ,
 = 0−1 (0 −1   0−1 − 0 )0 .
(7)
(8)
Покажем, что в наших условиях (3), (5)
  = 1 .
(9)
12
Левин А. Ю. Некоторые вопросы асимптотики для обыкновенных линейных дифферен­
циальных уравнений // ДАН СССР. — 1975. — Т. 225, № 3. — С. 503—506. (Представлено
академиком С.Л. Соболевым 30 VI 1975)
207
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Действительно,
0 −1   0−1 − 0 = 0 (0−1 +  ) (0 +  )0−1 − 0 =
= ( +  ) ( +  ) − 0 = ( +  )(0 + /−2 )( +  ) − 0 =
= /−1 + /−2 + 1 = 1 . (10)
Мы воспользовались неравенством Гёльдера и конечностью промежутка.
Из (10) вытекает (9). Далее, из (7) и (9), как известно, следует, что
 =  + ∞ ,
−1 =  + ∞ .
(11)
Наконец,
 =  0−1 0  = ( +  )0 ( + ∞ ) = 0 +  ,
−1 = −1 0−1 0 −1 = ( + ∞ )0−1 ( +  ) = 0−1 +  .
Теорема доказана. Для  = ∞ (когда речь фактически идет о сходи­
мости решений в [, ] и , не зависящей от , аналогичный результат
получен в [1] (некоторое расширение его на нелинейные задачи дано в [2]).
Этот случай проще в том смысле, что не требуется привлекать  −1 ,  −1 ,
так как при  = ∞ вторые соотношения в (4),(5) вытекают из первых.
Остановимся на некоторых модификациях теоремы 1, при которых до­
казательство по существу не меняется. Во-первых, (3) можно заменить
несколько более слабым (при  < ∞) требованием
(, ) = /−2 ,
(, ) → (, 0) в 1 .
Далее, можно рассматривать другие типы сходимости (промежуточные меж­
ду сходимостью в 2 и ∞ ). Приведем один из вариантов. Пусть Ω ⊂ (, ]
— некоторое множество нулевой меры (возможно, пустое). Если (, ) →
→ (, 0) в 1 , то выполнение соотношений
 ±1 (, ) = ∞ ,
(, ) → (, 0) при всех  ∈ [, ] ∖ Ω
(12)
эквивалентно выполнению соотношений
 ±1 (, ) = ∞ ,
 (, ) →  (, 0) при всех  ∈ [, ] ∖ Ω
(13)
Точечную сходимость в (12), (13) можно также заменить сходимостью в
1 , или, что в данном случае то же самое, сходимостью по мере.
Легко распостранить теорему 1 на неоднородные уравнения, вводя фик­
тивные переменные. Наконец, так как конечномерность не использована,
можно рассматривать (1), (2) как уравнения в банаховой алгебре с едини­
цей.
208
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Рассмотрим скалярное уравнение с параметром (0 6  6 0 )
() + 1 (, )(−1) + · · · + −1 (, ) +  (, ) = 0,
 6  6 ,
(14)
и коэффициентами из 1 . Пусть заданы некоторые начальные условия
() = 1 , ()
˙
= 2 , . . . , (−1) () =  .
(15)
Решение задачи (14), (15) обозначим через  (). Для применения тео­
ремы 1 перейдем к матричной форме; при этом, кроме  = (−1) (),  =
= 1, 2, . . . , , ввиду неоднородности введем еще фиктивную переменную
0 ≡ const. Соответствующее уравнение имеет вид (1), где
⎛
⎞
0
0
...
0
0
(, ) = ⎝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎠ ,
(16)
− (, ) −−1 (, ) . . . −1 (, ) 0
— нули, за исключением 23 = 34 = · · · = −1, =
а элементы  = ‖ ‖+1
1
= 1. Решение уравнений (1), (2) с такими ,  обозначим, как и ранее,
через (, ),  (, ). Теперь  (, ),  −1 (, ) легко находятся:
⎛
⎞
......................................................
⎠ , (17)
∫︀
∫︀
 ±1 (, )=⎝ ∫︀
±  (, )  ∓ −1 (, )  . . . ∓ 1 (, )  1



где первые  строк  ±1 совпадают с соответствующими строками 1. Тео­
рема редукции позволяет получить для  > 2 критерий того, что
(, ) → (, 0) в
−1 [, ],
 → 0,
(18)
при любых начальных условиях (15).
Лемма 1. При любом , 1 6  6 ∞, (18) эквивалентно сходимости (, )
к (, 0) в  .
(Фиктивная переменная не вызывает, таким образом, осложнений.)
Лемма 2. Для рассматриваемых (, ) оба соотношения (4) эквива­
лентны при любом , 1 6  6 ∞.
Пусть, например,  → 0 в  . В данном случае это значит, что элементы
матриц  = ‖ ‖0 имеют вид
 () = 0 ()+∞ ,
 () = 0 ()+ ,
209
0 6  6 −1,
0 6  6 . (19)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 ‖ — матрицы, присоединенные к  .
Так как tr ( + ) ≡ 0, то −1 = ‖

 −  0 при всех ,  есть сумма
Отсюда и из (19) вытекает, что разность 

произведений типа
 ∞ . . . ∞
или  ∞ ∞ . . . ∞ ,
т.е. представляет собой  .
Теорема 2. При любом , 2 6  6 ∞, для (18) необходимо и достаточно,
чтобы
∫︁
∫︁
 (, ) →

 (, 0) в
 ,
 → 0.
 = 1, 2, . . . , 
(20)

Это утверждение не имеет места ни при каком  < 2.
Действительно, (18) эквивалентно соотношению  −0 =  (лемма 1), т.е.
(4) (лемма 2), т.е. (5) (теорема редукции), т.е. (20), согласно (17). Последнее
утверждение теоремы иллюстрируется примером:
1 (, ) = −3/2 sign  при
 (, ) = 0 при
|| 6  ̸= 0;
|| >  или  > 1 или
 = 0.
Здесь при любом  < 2 на [, ] = [−1, 1] выполнено (20), но не (18): (, )
не сходятся к (, 0) даже в [, ]. Легко видеть, что в части, относящейся
к достаточности, доказательство без изменения переносится на матричные
(или абстрактные) уравнения вида (14). Отметим также, что можно обоб­
щить теорему 2 на полные уравнения (с (−1) ), однако естественность
формулировки при этом утрачивается.
3. Сказанное в п. 2 о классических уравнениях с суммируемыми коэффи­
циентами, мотивирует переход к обобщенным уравнениям вида
() + ˙1 ()(−2) + · · · + ˙−1 () + ˙ () = 0,
 6  6 ,
(21)
где 1 , . . . ,  — произвольные функции из 2 . Действительно, пусть  ⊂
⊂ (2 ) — подмножество абсолютно непрерывных вектор-функций () =
= (1 (), . . . ,  ()), аннулирующихся при  =  (точнее, элементами  яв­
ляются соответствующие классы эквивалентности). Для каждого () ∈
∈  определена вектор-функция () = (1 (), . . . ,  ()) ∈ (2−1 )+1 , где
 () — решение соответствующего уравнения (21) с начальными услови­
()
ями  () = −1, . Теорема 2 показывает, что отображение  →  есть
210
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
гомеоморфизм  на некоторое множество  ⊂ (2−1 )+1 . Нетрудно про­
верить, что непрерывность здесь равномерна на каждом шаре. Так как 
плотно в (2 ) , этот гомеоморфизм однозначно продолжается (︀на все (2)︀) .
Тем самым при любых 1 , . . . ,  из 2 определены 0 , . . . ,  ∈ 2−1 , а
следовательно, и решение задачи (21)—(15).
Так как (−1) — обобщенная производная от (−2) , то последнее из
условий (15) не следует, вообще говоря, понимать буквально ((−1) () мо­
жет отличаться от  или не существовать). Однако если  — точка Лебега
для 1 , . . . ,  , отвечающая значению 1 () = · · · =  () = 0, то все условия
(15) выполняются. В общем случае можно интерпретировать (−1) () как
(−1) ( − 0), если продлить  , положив 1 () = · · · =  () ≡ 0 при  <
< . Отметим еще, что добавление к  ненулевых констант меняет, вообще
говоря, решение задачи (21), (15). (Уравнение (21) определяется заданием
1 , . . . ,  , а не ˙1 , . . . , ˙ ).
Из сказанного ясно, что корректным был бы и следующий (на самом
деле эквивалентный) способ определения решения задачи (21), (15), не свя­
занный непосредственно с аппроксимацией классическими уравнениями.
Припишем каждой  нулевое значение при  =  и назовем решением зада­
чи (21), (15), удовлетворяющее условиям () = 1 , . . . , (−2) () = −1 ре­
шение интегродифференциального уравнения, получающегося из (21) фор­
мальным почленным интегрированием по частям (с учетом (15) и равенств
 () = 0). Заменим, далее, , . . . , (−2) их выражениями через (−1) и
начальные условия, получим в конечном счете для (−1) интегральное
уравнение Вольтерра второго рода с ядром из 2 ([, ]2 ); поэтому решение
этого уравнения в 2 существует и единственно. Отметим, кстати, что с
подобными преобразованиями (и дальнейшим предельным переходом для
интегральных уравнений) связан другой способ доказательства достаточ­
ности в теореме 2; помимо общности матричного подхода редукция имеет
то достоинство, что дает сразу необходимость и достаточность.
Различные формы обобщенных обыкновенных уравнений рассматрива­
лись многими авторами (см. например, [3–9]). С точки зрения «уровня
обобщенности» эти трактовки соответствуют для уравнения (21) случаю,
когда  () имеют ограниченную вариацию либо непрерывны (с определен­
ными ограничениями на модуль непрерывности). Есть основания полагать,
что суммируемость с квадратом является здесь в определенном смысле пре­
делом, т.е. что сходимость в соболевском пространстве 2−1 — наиболее
широкий тип сходимости решений рассматриваемых уравнений, допускаю­
щий полную и эффективную «коэффициентную» характеристику.
211
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. В заключение приведем результат иного характера, относящийся к по­
ведению при  → ∞ решений возмущенного гармонического уравнения

¨ + [1 + ()] = 0,
(22)
 > 0.
Теорема 3. Пусть
∫︁∞
()±2  ∈ 2 [0, ∞),
(23)

∫︁
() , 0 <  <  < ∞ полуограничены либо свер­
причем величины Im

ху, либо снизу.
Тогда уравнение (22) обладает решениями 1 (), 2 () вида

1,2 () ∼ ∓˙ 1,2 () ∼ exp ±  ±
2
[︁
∫︁
]︁
()  ,
 → ∞.
(24)
0
Основным объектом теоремы являются «быстро осциллирующие» воз­
мущения () (не исключается, в частности, случай |()| → ∞). Теорема
развивает результаты работ [4, 10]. В частности, У. Барбути [11] (см. так­
же [12]) доказал устойчивость решений уравнения (22) при условии (23),
предполагая (неявно) () вещественным. Из (24) непосредственно усмат­
ривается как сам этот факт, так и то, что он не сохраняется для ком­
плекснозначных (). Кстати, случай неограниченных решений доставляет
наибольшие трудности при доказательстве.
Литература
1. Левин, А. Ю. Предельный переход для несингулярных систем ˙ =
=  () / А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1967. — Т. 176, № 4. —
С. 774—777.
2. Strauss, A. Linear perturbations of ordinary differential equations /
A. Strauss, J. A. Yorke // Proc. Amer. Math. Soc. — 1970. — Vol. 26. —
P. 255—260.
3. Крейн, М. Г. Определение плотности неоднородной симметричной стру­
ны по спектру / М. Г. Крейн // ДАН СССР. — 1951. — Т. 76, № 3. —
С. 345—348.
4. Feller, W. On second order differential operators / W. Feller // Ann. of
Math. — 1955. — Vol. 61, no. 1. — P. 90—-105.
212
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Kurzweil, J. Generalized Ordinary Differential Equations and Continuous
Dependence on a Parameter / J. Kurzweil // Czech. Math. J. — 1957. —
Vol. 7 (82), no. 3. — P. 418—449.
6. Kurzweil, J. Addition to my paper “Generalized ordinary differential equa­
tions and continuos dependence on a parameters” / J. Kurzweil // Czech.
Math. J. — 1959. — Vol. 9(83), no. 4. — P. 564—573.
7. Мышкис, А. Д. Системы с толчками в заданные моменты времени /
А. Д. Мышкис, А. М. Самойленко // Матем. сб. — 1967. — Т. 74(116),
№ 2. — С. 202–208.
8. Reid, W. T. Some limit theorems for ordinary differential systems /
W. T. Reid // J. Differ. Equations. — 1967. — Vol. 3, no. 3. — P. 423—439.
9. Аткинсон, Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Ат­
кинсон. — М.: Мир, 1968. — 748 с.
10. Левин, А. Ю. К теории уравнения 
¨ + (1 + ()) = 0 (Заседания Мос­
ковского математического общества) / А. Ю. Левин // УМН. — 1967. —
Т. 22, № 5(137). — С. 176—177.
11. Barbuti, U. Sulla stabilità delle soluzioni per la equazione: ′′ + () =
= 0 / U. Barbuti // Atti Accad. Naz. Lincei, VIII. Ser., Rend., Cl. Sci.
Fis. Mat. Nat. — 1952. — Vol. 12. — P. 170—175.
12. Чезари, Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обык­
новенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. — М.: Мир,
1964. — 477 с.
213
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. Одномерные краевые задачи с операторами, не
понижающими числа перемен знака13 . I
1. В первой части настоящей работы исследуются некоторые общие
свойства интегральных операторов, не повышающих числа перемен зна­
ка. Эта проблематика восходит к известным исследованиям П. Л. Чебыше­
ва, А. А. Маркова, Д. Пойа, О. Келлога, Ф. Р. Гантмахера, М. Г. Крейна,
И. Шенберга. По поводу ее связей с вопросами механики и физики, с гео­
метрическими задачами, марковскими процессами, сплайн-аппроксимацией
и т. д. см. [1, 2]. Мы дадим лишь краткую характеристику круга вопросов,
непосредственно затрагиваемых в работе.
Будем говорить лишь об интегральных операторах
∫︁
K = (K)() =
(, )() ()
( 6  6 ),
(1.1)

оставляя в стороне соответствующие конечномерные аналоги. Ядро в (1.1)
будем предполагать вещественным и непрерывным (последнее не очень су­
щественно), функцию () — неубывающей, −∞ < () < () < ∞.
Оператор (1.1), таким образом, действует в [, ].
Можно выделить три важных аспекта, взаимосвязи между которыми
представляют основной интерес.
A. Неповышение числа перемен знака оператором (1.1) (к этому свойству
часто добавляется связь между порядком чередования знаков () и K(),
если число перемен знака у обеих этих функций совпадает).
B. Знакопостоянство определителей (так называемых миноров ядра)
(︂

1 . . .  
1 . . .  
)︂
= det ‖( ,  )‖1
(︁
<
)︁
1 < . . . < 
<
1 < . . . < 
(1.2)
C. Комплекс соответствующих спектральных свойств оператора K: ве­
щественность и простота собственных значений, число и перемежаемость
нулей собственных функций, интерполяционные свойства собственных функ­
ций и т. д.
Возможны соотношения типа A → B, B → A, A → C, B → C при тех
или иных предположениях. Наиболее подробно исследован случай симмет­
ричного положительно определенного ядра, который изучался O. Келлогом
[3, 4], Ф. Р. Гантмахером и М. Г. Крейном [1] (матричная теория дана в
13
Левин А. Ю., Степанов Г. Д. Одномерные краевые задачи с операторами, не понижаю­
щими числа перемен знака // Сибирский математический журнал. — 1976. — Т. 17, № 3.
— С. 606—625.
214
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
[1] и для несимметричного случая). В то же время интересные результаты
Ф. Р. Гантмахера [5] и М. Г. Крейна [6, 7], относящиеся к несамосопряжен­
ному случаю, насколько нам известно, подробно не излагались. С. Карлин
в монографии [2] рассматривает связи между A и B и для несимметричных
ядер, но там, где речь идет о приложениях к краевым задачам, ограни­
чивается опять-таки самосопряженным случаем. В то же время ясно, что
такое свойство, как вещественность спектра, представляет основной инте­
рес именно в несамосопряженном случае.
Ряд исследований был посвящен не увеличивающим числа перемен зна­
ка преобразованиям типа свертки, т. е. операторам (1.1) с (, ) = ( −
− ),  = −∞,  = ∞, () = . Некоторые результаты окончательного
характера получены здесь И. Шенбергом [8, 9]; см. также монографию
И. И. Хиршмана и Д. В. Уиддера [10]. Мы далее всюду говорим лишь о
конечном промежутке (хотя иногда это не имеет значения). Отметим, что
применяемая для сверток методика широко использует преобразование Ла­
пласа и неприменима для ядер общего вида.
Разнообразие формулировок существенно увеличивается за счет раз­
личных модификаций пунктов А, В, С. Так, в В знак миноров (1.2) может
быть общим для всех  либо зависеть от . Далее, можно говорить о
строгом либо о нестрогом знакопостоянстве миноров (1.2); для приложе­
ний особый интерес представляют «компромиссные» варианты. Так, класс
осцилляционных по Гантмахеру – Крейну ядер определяется следующим
образом: (, ) > 0 ( < ,  < ), миноры (1.2) неотрицательны при всех
 и строго положительны на «диагонали»  =  ,  = 1, . . . , . О классах
знакорегулярных и сильно знакорегулярных ядер будет идти речь ниже.
Наконец, можно изучать следствия знакопостоянства миноров (1.2) не при
всех , а лишь при некоторых, скажем, при  6 0 (хотя такое расщеп­
ление В часто логически оправдано, мы ниже не будем этим заниматься).
Что касается А, то здесь, например, может варьироваться запас функций;
далее, вместо числа перемен знака можно говорить о числе нулей функции
(с тем или иным правилом подсчета) и т. п.
Из сказанного ясна множественность формулировок, характерная для
этого круга вопросов. Изучение всех имеющихся здесь взаимосвязей не
входит в нашу задачу. Основной целью первой части статьи является подго­
товка аппарата, реализующего импликацию A → C для класса ядер, вклю­
чающего функции Грина двухточечных краевых задач.
Подобная ориентация оправдывается во второй части статьи, где для
достаточно широкого класса краевых задач будет получен эффективный
«коэффициентный» признак того, что интегральный оператор, обратный к
данному дифференциальному, обладает свойством А. Подобные признаки,
по-видимому, ранее известны не были.
Сочетание упомянутых фактов приводит в конечном счете к эффектив­
215
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ным коэффициентным условиям, обеспечивающим наличие у двухточечной
краевой задачи с распадающимися условиями (вообще говоря, несамосопря­
женной) комплекса спектральных свойств, характерных для классической
задачи Штурма – Лиувилля.
С чисто качественной точки зрения эти результаты иллюстрируют телесность в 1 -норме множества коэффициентных вектор-функций (1 , . . . ,  ),
обеспечивающих штурм-лиувиллевский комплекс свойств у краевой задачи
с оператором
 ≡ () + 1 ()(−1) + . . . +  ()
и соответствующими краевыми условиями. Отметим, что множество ядер
интегральных уравнений с аналогичным комплексом свойств не является
телесным в естественных нормах. Таким образом, имеется принципиальная
возможность эффективного использования численных методов для подтвер­
ждения штурм-лиувиллевского комплекса свойств тех или иных краевых
задач (в отличие от уравнений Фредгольма общего вида). Этот важный
вопрос заслуживает самостоятельного изучения.
На протяжении первой части работы мы неоднократно пользуемся фак­
тами и конструкциями, содержащимися в классической монографии
Ф. Р. Гантмахера и М. Г. Крейна [1]. Нам обычно нужны будут обобщения
этих фактов (в связи с расширением изучаемого класса ядер в нескольких
направлениях); в тех случаях, когда эти обобщения по существу не связаны
с изменением аргументации, читатель отсылается к [1].
2. Введем некоторые определения и обозначения. Все векторы, функ­
ции и ядра ниже предполагаются вещественными. Число перемен знака
(вектора или функции) обозначается далее через .
Подробнее, для вектора  = (1 , . . . ,  ) число перемен знака
[] = [1 , 2 , . . . ,  ]
определяется следующим образом. Пусть  ̸= 0. Если все  6 0 или все
 > 0, то [] = 0, в противном случае за [] принимается максимальное
из , для которого существуют индексы (1 6) 0 < . . . <  (6 ) такие, что
 +1 < 0 ( = 0, 1, . . . , −1). Для  = 0 будет удобней считать, следуя
С. Карлину [2], что [] = −1. Если  — первая ненулевая координата из
1 , . . . ,  , то положим sign1  = sign  (при  = 0 sign1  не определяется).
Отрезок [, ] считается далее фиксированным. Число перемен знака
( ) измеримой функции  () на [, ] определяется следующим образом.
Если  () эквивалентна нулю, то ( ) = −1. В противном случае положим
( ) =  < ∞, если существуют точки  ( = 0 < . . . < +1 = ,
216
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 > 0) такие, что на каждом промежутке [ , +1 ],  = 0, . . . , ,  () не
эквивалентна нулю и для некоторого  ̸= 0 (−1)  () > 0 почти всюду
на [ , +1 ],  = 0, . . . , . В случае отсутствия подобных конечных наборов
{ } полагаем ( ) = ∞. Через sign1  обозначается величина sign . (Она
определена, если 0 6 ( ) < ∞.)
Очевидно, что для  ∈ [, ]
( ) = sup [ (0 ),  (1 ), . . . ,  ( )]
(2.1)
по всем возрастающим наборам ( 6) 0 < . . . <  (6 ),  = 0, 1, . . . Че­
рез (, ) при непрерывной  будем обозначать правую часть (2.1), где
возрастающие наборы { } выбираются лишь из точек множества  ⊂ [, ].
Нулевым местом функции  () ∈ [, ] называется компонента связ­
ности множества нулей  (). Нулевое место [, ] ⊂ (, ) функции  ()
называется узловым (пучным), если при малых  > 0  ( − ) ( + ) <
< 0 (> 0).
Наряду с обозначениями (1.2) для ядер будет употребляться аналогич­
ное обозначение для системы функций
(︂
)︂
1 2 . . . 

= det ‖ ( )‖1 .
1 2 . . . 
Для произвольного множества  ⊂ [, ] через Δ  обозначается мно­
жество -мерных точек (1 , . . . ,  ) таких, что
 ∈ ,
 = 1, 2, . . . , , 1 < 2 < . . . <  .
Далее используется обозначение Δ = Δ (, ).
Пусть множество  ⊂ [, ], |  |> ; здесь и далее |  | (6 ∞) —
количество элементов множества . Следуя [1], будем говорить, что непре­
рывные 1 (), . . . ,  () образуют систему Чебышева в [, ] относительно
, если всякая нетривиальная линейная комбинация этих функций имеет
не более  − 1 перемен знака в [, ] и обращается в нуль не более чем в
 − 1 точках из . (При  = [, ] получаем обычную систему Чебышева.)
Нам потребуется также другое, эквивалентное определение: 1 (), . . . ,  ()
образуют систему Чебышева в [, ] относительно , если определитель
(︂
)︂
1 2 . . . 

1 2 ... 
не меняет знака в Δ [, ] и отличен от нуля в Δ . По поводу эквивалент­
ности этих двух определений см. [1], с. 229. (Отметим, что формулировка
соответствующей леммы 5 в [1] неточна: неравенства 1 6 . . . 6  в
определении  должны быть заменены строгими и следует дополнительно
оговорить линейную независимость  либо неравенство |  |> .)
217
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Последовательность (конечная или бесконечная) функций 1 (), 2 (), . . .
называется [1] рядом Маркова в [, ] относительно , если при каждом
 = 1, 2, . . . функции 1 , . . . ,  образуют систему Чебышева в [, ] относи­
тельно .
Будем называть ( × )-матрицу знакорегулярной класса 
( 6 min{, }), если при каждом  6  все миноры -го порядка име­
ют один и тот же (нестрогий) знак, зависящий лишь от . В случае  =
= min{, } такая матрица называется знакорегулярной. Каждой такой
матрице  сопоставляются числа  =  (),  = 0, . . . ,  по следующему
правилу: 0 = 1;  = 0 для  > rang ; при 0 <  6 rang   = 1(−1),
если миноры -го порядка неотрицательны (неположительны).
Ядро (, ), непрерывное в квадрате  6 ,  6  (в дальнейшем непре­
рывность ядра обычно не оговаривается), называется знакорегулярным, ес­
ли все отличные от нуля определители (1.2) имеют при каждом  один и
тот же знак, зависящий лишь от . Следуя общепринятой терминологии,
миноры ядра (1.2), рассматриваемые как функции, будем называть ассоци­
ированными ядрами; они далее обозначаются через
(︀
)︀
 () =  () (, )  = (1 , . . . ,  ),  = (1 , . . . ,  ); ,  ∈ Δ [, ] .
Знакорегулярному ядру  = (, ) сопоставим последовательность чи­
сел  =  (),  = 0, 1, . . . , по следующему правилу: 0 = 1;  = 0, если
все миноры -го порядка равны нулю;  = 1 ( = −1), если среди миноров
-го порядка есть положительные (отрицательные). Если  не вырожде­
но, то все  () очевидно отличны от нуля. В любом случае справедливы
неравенства
  () (, ) > 0 (,  ∈ Δ ).
(2.2)
Ядро (, ) называется строго знакорегулярным, если неравенства (2.2)
при всех  являются строгими.
Для дальнейшего особый интерес представляет некоторый класс, про­
межуточный между классами знакорегулярных и строго знакорегулярных
ядер. Пусть 1 , 2 — какие-либо из промежутков [, ], [, ), (, ], (, ).
Знакорегулярное ядро (, ) назовем сильно знакорегулярным в 1 × 2 ,
если выполнены следующие два условия.
1∘ . (, ) ̸= 0 в 1 × 2 за исключением, может быть, вершин квадрата
[, ]2 .
2∘ .  () (,  ) ̸= 0 при всех  ∈ Δ ,  = 2, 3, . . .
Класс сильно знакорегулярных ядер можно рассматривать как обоб­
щение класса осцилляционных ядер, исследованного Ф. Р. Гантмахером и
М. Г. Крейном [1]. (Осцилляционным ядрам соответствует случай, когда
все  () равны 1 и 1 = 2 .)
218
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. В этом пункте излагаются необходимые для дальнейшего матричные
факты.
Лемма 1. Пусть в знакорегулярной ( × )-матрице  = ‖ ‖ линейнозависимы строки с номерами 1 = 1 < 2 < . . . <  = . Если при
этом линейно-независимы как строки с номерами 1 , 2 , . . . , −1 , так и
строки с номерами  , +1 , . . . ,  для некоторого  (2 6  6 ), то при
любом  > −1 -я строка есть линейная комбинация строк с номерами
1 , . . . , −1 .
Доказательство. Требует рассмотрения лишь случай  6 ,  ̸=  ,
+1 , . . . ,  . Из условий леммы вытекает, что  -я строка есть линейная
комбинация 1 -й, . . . , −1 -й строк
(3.1)
  = 1 1  + 2 2  + . . . + −1 −1  .
При этом среди 1 , . . . , −1 имеется хотя бы один ненулевой коэффи­
циент  ̸= 0, так как иначе из (3.1) вытекала бы линейная зависимость
строк с номерами  , +1 , . . . ,  .
Пусть 1 < 2 < . . . <  — произвольная система индексов, а индексы
0
0
1 < 20 < . . . < −1
выбраны так, чтобы
(︂
)︂
1 2 . . . −1

̸= 0.
(3.2)
0
10 20 . . . −1
Учитывая (3.1) и неравенство  > −1 >  , находим
(︂
)︂
1 . . . −1 +1 . . . 

=
0
10 . . . . . . . . . . . . −1
(︂
)︂
1 . . . −1  +1 . . . −1
−−1
=  (−1)

, (3.3)
0
10 . . . . . . . . . . . . . . . −1
(︂

1 . . . −1 +1 . . .  . . . 
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
)︂
=
−
=  (−1)
(︂

1 . . . −1  +1 . . .  . . . −1
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
)︂
. (3.4)
(B (3.4) подразумевалось, что +1 <  < −1 ; если  < +1 или  > −1 ,
то запись меняется очевидным образом.) Соотношения (3.2), (3.3) с учетом
знакорегулярности  дают  (−1)− < 0. Сопоставляя это неравенство с
(3.4), заключаем, что при любых 1 < 2 < . . . < 
(︂
)︂
1 . . .  . . . −1

= 0,
1 . . . . . . . . . 
откуда следует утверждение леммы.
219
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следствие 1. Если строки с номерами 1 = 1 < . . . <  =  знакорегу­
лярной ( × )-матрицы  линейно-зависимы, в то время как первые
 − 1 и последние  − 1 из них линейно-независимы, то ранг  равен  − 1.
Это непосредственно вытекает из леммы 1 при  = 2.
Лемма 2. Пусть некоторый минор
(︂
)︂ (︂
)︂
1 2 . . . 
1 = 1 < 2 < . . . <  = 

1 2 . . . 
1 = 1 < 2 < . . . <  = 
знакорегулярной ( × )-матрицы  равен нулю. Если при этом
)︂
)︂ (︂
(︂
2 3 . . . 
1 2 . . . −1
̸= 0,


2 3 . . . < 
1 2 . . . −1
то ранг  равен  − 1.
Доказательство сводится к двукратному применению следствия — снача­
ла к ( × )-матрице, составленной из столбцов матрицы  с номерами
1 , . . . ,  , а затем к транспонированной матрице * .
Для вполне неотрицательных матриц (т. е. для матриц с неотрица­
тельными минорами) утверждения, аналогичные следствию 1 и лемме 2,
доказаны в [1].
Теорема 1 (Моцкин). Для того чтобы линейное преобразование,  →
→  с матрицей  = ‖ ‖ ( = 1, . . . , ;  = 1, . . . , ) ранга  обладало
свойством
[] 6 [] для всех  ∈  ,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия:
1) матрица  является знакорегулярной класса  − 1;
2) для любых возрастающих наборов индексов
16
1 < . . . < 
6 ,
′1 < . . . < ′
1 6 1 < . . . <  6 
справедливо неравенство
(︂
)︂ (︂ ′ ′
)︂
1 2 . . . 
1 2 . . . ′


> 0.
1 2 . . . 
1 2 . . . 
Доказательство этой теоремы можно найти в монографии [10]. В слу­
чае  =  формулировка очевидно упрощается и переходит в теорему Шен­
берга ([11], см. также [1]).
220
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Лемма 3. Пусть  — знакорегулярная матрица и
[] = [] =  (> 0)
для некоторого . Тогда
sign1  sign1  =  ()+1 ().
Для случая, когда все  = 1, аналогичное утверждение доказано
Ф. Р. Гантмахером и М. Г. Крейном [1], с. 300—302; их доказательство
распространено на произвольные  C. Карлином [2], с. 223. Отметим, что
соответствующие теоремы в [1, 2] содержат дополнительные требования на
ранг и размеры ; эти требования можно опустить [12].
4. Переходим к интегральным операторам, не повышающим числа пе­
ремен знака. Остановимся вначале на возможности варьирования запаса
функций, рассматриваемого в качестве области действия оператора. Наря­
ду с классами [, ], 1 [, ] могут рассматриваться также классы гладких
функций, например класс [, ] аналитических на [, ] функций. Суще­
ственным для дальнейшего является класс [, ] линейныx комбинаций
дельта-функций, т. е. обобщенных функций вида
() =

∑︁
 ( −  )
( < 1 < . . . <  < ,
 = 1, 2, . . .),
(4.1)
=1
при этом, конечно, полагаем () = [1 , . . . ,  ], sign1  = sign1 (1 , . . . ,  ).
Все перечисленные функции являются производными (в обобщенном смыс­
ле) от функций ограниченной вариации на [, ]; легко видеть, что оператор
∫︁
(K)() =
(, )() 
(4.2)

преобразует их в функции из [, ].
В действительности свойство неповышения числа перемен знака не за­
висит от выбора какого-либо из упомянутых классов, т. е. является внут­
ренним свойством ядра (, ). Это видно из следующих соображений.
Пусть 1 , 2 — любые два из упомянутых классов функций. Всякую
функцию  ∈ 2 можно аппроксимировать функциями  ∈ 1 , чтобы
выполнялось условие
(K )() → (K)() при всех  ∈ [, ]
( → ∞),
(4.3)
( ) = ()
( > 0 ),
(4.4)
(0 6 () < ∞,  > 0 ).
(4.5)
sign1  = sign1 
221
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Возможность такой аппроксимации (к чему мы вернемся ниже) показы­
вает, в частности, что соотношение
(K) 6 () для всех  ∈ 1
влечет за собой аналогичное соотношение для всех  ∈ 2 . В самом деле,
пусть  ∈ 2 и { } — последовательность функций из 1 , удовлетворяю­
щая условиям (4.3), (4.4). Учитывая полунепрерывность снизу функционала
() относительно точечной сходимости, имеем
(Kх) 6 lim (K ) 6 lim ( ) = (),
→∞
→∞
что и требовалось доказать.
Чтобы убедиться в несущественности выбора класса, достаточно прове­
рить аппроксимации «1 → 2 » типа (4.3) – (4.5) по кругу
1 [, ] → [, ] → [, ] → [, ] → 1 [, ].
Аппроксимации 1 →  и  →  тривиальны. Переходя к  → , будем
аппроксимировать произвольную функцию  ∈ [, ] вида (4.1) целыми
функциями

∑︁

2
2
√ − (− ) ( = 1, 2, . . .).
 () =

=1
Так как отвечающие  линейные функционалы в [, ] при  → ∞ слабо
сходятся к функционалу, отвечающему , то условие (4.3) выполняется.
2
Далее, ℎ () = (− ) (1 < 2 < . . .), как известно, образуют декартовскую
систему функций [13, 14], поэтому число нулей  () на всей прямой, а тем
более ( ), не превосходит () при каждом . Тот факт, что ( ) > ()
при больших , как и соотношение (4.5), вполне очевидны.
Наконец, при аппроксимации  → 1 функцию () ∈ 1 [, ] можно
приближать функциями
 () =
 (︂
∑︁
=1
+ℎ
∫︁
)︂ (︂
)︂
2 − 1
ℎ
()    −  −
2
(︂
)︂
−
ℎ=
.

+(−1)ℎ
Выполнение условий (4.3) –(4.5) проверяется без труда.
Таким образом, доказана
Лемма 4. Если оператор (4.2) не повышает числа перемен знака на
каком-либо из классов [, ], [, ], 1 [, ], [, ], то это же верно и
для трех других классов.
Число классов здесь можно было бы увеличить, на чем подробнее не
останавливаемся.
222
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. В данном пункте рассматривается связь между знакорегулярностью
ядра (, ) и «знаковыми» свойствами интегрального оператора, т.е. в тер­
минологии п. 1, между аспектами  и . Ядро, как и обычно, предполага­
ется непрерывным.
Теорема 2. Пусть  – какой-либо из классов [, ], [, ], 1 [, ], [, ].
а) Для того, чтобы преобразование (4.2) с невырожденным ядром
(, ) обладало свойством
(K) 6 () для всех  ∈ ,
(5.1)
необходимо и достаточно, чтобы (, ) было знакорегулярным ядром.
б) Если (, ) знакорегулярно и
(0 6  < ∞)
(5.2)
sign1  sign1 K =  ()+1 ().
(5.3)
(K) = () = 
для некоторого  ∈  , то
Утверждения a) и б) являются очевидно бесконечномерными аналога­
ми теоремы Шенберга и леммы 3 соответственно. Родственные теореме 2
факты (при других предположениях) имеются в монографиях ([1, 2]).
В силу леммы 4 можно ограничиться случаем  = [, ]. Пусть (, )
знакорегулярно и  ∈ [, ] имеет вид (4.1). Тогда
() = (K)() =

∑︁
 (,  )
(5.4)
=1
и для любого возможного набора ( 6) 1 < . . . <  (6 ) в силу теоремы
Моцкина имеет место неравенство
[(1 ), . . . , ( )] = [] 6 [] = (),
где  = ‖( ,  )‖ — знакорегулярная ( × )-матрица,  = (1 , . . . ,  ) .
Ввиду произвольности { } получаем () 6 (), что дает достаточность.
Отметим, что невырожденность ядра здесь не использовалась.
Для доказательства необходимости рассмотрим матрицу вида
 = ‖( ,  )‖
(︁
<
)︁
1 < . . . < 
< ,
1 < . . . < 
(5.5)
ранг которой обозначим через  (6 ). Так как (K) 6 (), в част­
ности, для всех функций вида (4.1) (при фиксированных 1 , . . . ,  ), то
223
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
[] 6 [] для любого  = (1 , . . . ,  ) . Поэтому, согласно теореме Моц­
кина,  является матрицей знакорегулярной класса  − 1. Пусть даны два
произвольных минора ядра порядка . Ввиду невырожденности ядра, оче­
видно, можно построить матрицу (5.5) ранга не меньше +1 и содержащую
среди своих миноров оба данных минора ядра. Поскольку А знакорегулярна
класса  − 1, то эти миноры должны иметь один и тот же (нестрогий) знак.
Так как миноры выбирались произвольно, то знакорегулярность (, ) до­
казана.
Переходим к б). Рассмотрим вначале случай  = [, ]. Пусть () ∈
∈ [, ] имеет вид (4.1) и удовлетворяет (5.2). Тогда для функции  = K,
имеющей вид (5.4), можно выбрать 1 < 2 < . . . < +1 в [, ] так, чтобы
() = [( ), . . . , (+1 )] =  = () = (1 , . . . ,  ).
(5.6)
Поскольку [( + 1) × ]-матрица  = ‖( ,  )‖ знакорегулярна и
((1 ), . . . , (+1 )) = ,  = (1 , . . . ,  ) ,
то из (5.6) в силу леммы 3 следует, что
sign1  · sign (1 ) =  ()+1 ().
Так как оба сомножителя в правой части отличны от нуля и sign1  =
= sign1 , sign (1 ) = sign1 K, то последнее равенство эквивалентно (5.3).
Пусть теперь класс  отличен от [, ] (самостоятельный интерес здесь
представляет лишь  = 1 ). Функцию  ∈  , для которой выполнено
(5.2), аппроксимируем функциями  ∈ [, ] так, чтобы выполнялись со­
отношения (4.3) – (4.5). Учитывая утверждение а) и полунепрерывность
снизу (), имеем при больших 
 = (K) 6 (K ) 6 ( ) = () =  ( > 0 ),
т. е.
(K ) = ( ) = 
(5.7)
( > 0 ).
Отсюда и из (4.3) следует, что sign1 K = sign1 K ( > 0 ). Так как
 ∈ [, ], то по доказанному выше с учетом (4.5), (5.7)
 ()+1 () = sign1  sign1 K = sign1  sign1 K
( > 0 ).
Теорема доказана.
Замечание 1. При  = [, ] достаточность в а) сохраняется и для
операторов более общего вида (1.1). Подробнее, если (, ) знакорегу­
лярно и  — множество точек роста () в [, ], то
(K) 6 (,  ) для всех () ∈ [, ].
224
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как поведение () вне  не влияет на К, то это утверждение легко
получить из теоремы 2 а), если аппроксимировать () гладкими неубыва­
ющими функциями и воспользоваться тем, что множество линейных опе­
раторов, действующих в [, ] и не повышающих числа перемен знака,
замкнуто в слабой операторной топологии. Другой способ доказательства
дан в [1], с. 236.
6. Выше изучались связи между аспектами A и B (см. п. 1). Прежде чем
переходить к соотношениям типа B → C, мы должны будем остановиться
на некоторых известных фактах. Данный пункт посвящается классическому
результату И. Шура [15].
Рассмотрим интегральные уравнения
∫︁
() = 
(, )() ()
( 6  6 ),
(6.1)

(︂
∫︁
(1 , . . . ,  ) = 

1 . . . 
1 . . . 
)︂
(1 , . . . ,  ) (1 ) . . . ( )
△ [,]
( 6 1 6 2 6 . . . 6  6 ).
(6.2)
Здесь () — функция ограниченной вариации на [, ]. Интеграл в пра­
вой части (6.2) можно понимать как интеграл Лебега – Стилтьеса по мере в
 , индуцированной функцией (), либо как повторный интеграл Римана
– Стилтьеса (существование которого и независимость от порядка инте­
грирования обеспечиваются обращением в нуль подынтегральной функции
при совпадении каких-либо из величин 1 , . . . ,  ).
Пусть 1 , 2 , . . . — характеристические значения уравнения (6.1), зану­
мерованные с учетом кратностей (как корней знаменателя Фредгольма).
Теорема 3 (И. Шур). Совокупность характеристических значений урав­
нения (6.2) совпадает с совокупностью произведений
1 2 . . . 
(1 < 2 < . . .  ).
(6.3)
При этом кратность характеристического значения  совпадает с
числом различных произведений (6.3), равных .
Если 1 , 2 , . . . ,  — линейно-независимые собственные функции
уравнения (6.1), отвечающие характеристическим значениям 1 , 2 , . . . ,
 соответственно, то
(︂
)︂
1 2 . . . 

(6.4)
1 2 . . . 
225
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
есть собственная функция уравнения (6.2), отвечающая характеристи­
ческому значению  = 1 2 . . .  .
Фактически в [15] рассматривался случай () =  и интегрирование
велось не по симплексу, а по кубу. Переход к мере () не влияет на
доказательство. Интуитивно почти очевиден и тот факт, что уравнение

(1 , . . . ,  ) =
!
∫︁
∫︁
...

(︂

1 . . . 
1 . . . 
)︂
(1 , . . . ,  ) (1 ) . . . ( )

( 6 1 , . . . ,  6 ) (6.5)
имеет те же и той же кратности характеристические значения, что и (6.2).
Для проверки можно, например, убедиться, в равенстве соответствующих
знаменателей Фредгольма или, что то же, в равенстве их логарифмических
производных. Последние, как известно, даются (при малых ||) рядами,
коэффициентами которых служат следы соответствующих итерированных
ядер. Достаточно поэтому проверить, что интеграл
)︂
)︂
(︂ 
)︂ (︂ 2
(︂ 1
∫︁
∫︁
1 . . . 
1 . . . 2
1 . . . 1

(11 ) . . . (
...

... 
 ),
11 . . . 1
31 . . . 3
21 . . . 2
взятый по [, ] × . . . × [, ] , равен умноженному на (!) интегралу от
той же функции по Δ [, ] × . . . × Δ [, ]. Это сразу следует из того, что
подынтегральная функция симметрична как функция  , . . . ,  при любом
 и, кроме того, аннулируется на поверхностях вида  =  .
С абстрактной точки зрения теорема Шура характеризует спектр внеш­
ней степени линейного вполне непрерывного (в данном случае интеграль­
ного) оператора. Отметим, что операторы в правых частях (6.2) и (6.5)
рассматриваются не на внешней и тензорной -й степенях [, ], а на сово­
купности любых непрерывных функций  переменных. Теорема показывает,
в частности, что подобное расширение области определения не порождает
новых характеристических значений (как известно, этому расширению со­
ответствует пополнение по некоторой кросс-норме [16]).
7. Данный пункт посвящен некоторой модификации одного известного
факта «конусного» характера.
Рассмотрим интегральное уравнение
∫︁
( ) =  (, )() () ( ∈ Ω),
(7.1)
Ω
где Ω — ограниченное множество в   , (, ) ограничено и непрерывно в
Ω × Ω,  — неотрицательная мера Лебега – Стилтьеса, причем 0 < (Ω) <
< ∞.
226
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть Ω — множество точек  ∈ Ω таких, что пересечение Ω со вся­
кой окрестностью  имеет положительную -меру. Обозначим далее через
Ω1 (Ω2 ) совокупность всех  () из Ω таких, что (, ) > 0 для неко­
торого  ∈ Ω (для некоторого ⋂︀∈ Ω). Положим, наконец, Ω* = Ω Ω1 Ω2
(здесь и далее знак пересечения
опускается).
Лемма 5. Пусть (Ω* ) > 0, (, ) > 0 в Ω × Ω, (, ) > 0 в Ω* × Ω* .
Тогда уравнение (7.1) обладает положительным простым характери­
стическим значением 1 , меньшим модуля любого другого характери­
стического значения. Отвечающая 1 собственная функция 1 ( ) неот­
рицательна в Ω (с точностью до постоянного множителя); 1 ( ) > 0
при тех и только тех  , для которых существует  ∈ Ω* такое, что
(, ) > 0 (в частности, 1 ( ) > 0 в Ω* ).
Для случая, когда (, ) > 0 в Ω × Ω, это эквивалентно известной
теореме Ентча [17] (см. также ([18], [19])). Случай Ω* ̸= Ω также уда­
ется свести к этой теореме. Действительно, для любой непрерывной в Ω
функции  такой, что
( ) = 0 при всех  ∈ Ω ∖ Ω1 ,
как легко видеть, имеет место равенство
∫︁
∫︁
(, )() () = (, )() ()
(7.2)
( ∈ Ω).
(7.3)
Ω*
Ω
Условие (7.2) выполнено, в частности, для всех собственных и присо­
единенных функций уравнения (7.1), поскольку они принадлежат области
значения интегрального оператора с ядром (, ). Поэтому сужение на
Ω* всякой такой функции будет соответственно собственной или присоеди­
ненной функцией уравнения
∫︁
( ) =  (, )() () ( ∈ Ω* ),
(7.4)
Ω*
отвечающей тому же . Обратно, если ( ) является, например, собствен­
ной функцией для (7.4), то продолжение ее с Ω* на Ω равенством
∫︁
( ) =  (, )() () ( ∈ Ω)
(7.5)
Ω*
дает собственную функцию для (7.1) с тем же . Согласно теореме Ентча,
(7.4), а следовательно, и (7.1) обладают строго наименьшим по модулю ха­
рактеристическим значением 1 > 0, которому отвечает собственная функ­
ция 1 ( ), положительная в Ω* . Поведение 1 как собственной функции
227
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
для (7.1) в Ω ∖ Ω1 определяется соотношением (7.5) (при  = 1 ,  = 1 ).
Это соотношение (с учетом очевидных соображений непрерывности) пока­
зывает, что ( ) = 0 или ( ) > 0 в зависимости от того, выполняется
или нет для данного  тождество (, ) ≡ 0, когда  пробегает * .
Замечание 2. Соотношение (7.3), справедливое для всех собственных
функций (7.1), не зависит от того, выполнены ли условия леммы 5.
Поэтому, какова бы ни была собственная функция  любого непрерыв­
ного ядра (, ), (0 ) = 0 при всяком 0 ∈ Ω таком, что К(0 , ) ≡ 0
в Ω* .
8. В этом пункте распространим некоторые результаты Гантмахера –
Крейна, относящиеся к осцилляционным ядрам, на сильно знакорегулярные
ядра.
Лемма 6. Если ядро (, ) сильно знакорегулярно в 1 × 2 , то
(︂
)︂
1 2 . . . 
 
>0
1 2 . . . 
для любого  > 2 и любых  ,  таких, что
 ∈ 1 ,  ∈ 2
( = 1, . . . , );
1
2

<
< ··· < .
1
2

(8.1)
Доказательство. Предположим противное: пусть при некотором  > 2
существуют { }, { }, удовлетворяющие условию (8.1), для которых
(︂
)︂
1 2 . . . 

= 0.
(8.2)
1 2 . . . 
Покажем, что тогда
(︂
)︂ (︂
)︂
1 2 . . . −1
2 3 . . . 


= 0.
1 2 . . . −1
2 3 . . . 
Выберем 1 , 2 , . . . ,  такие, что
max{1 , 1 } < 1 < 2 < . . . <  < min{2 , 2 },
и положим для удобства записи
′1 = 1 , ′2 = 1 , . . . , ′+1 =  , ′+2 = 2 , . . . , ′2 =  ,
′1 = 1 , ′2 = 1 , . . . , ′+1 =  , ′+2 = 2 , . . . , ′2 =  .
228
(8.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим (2×2)-матрицу  = ‖(′ , ′ )‖2
1 , знакорегулярную ввиду
знакорегулярности (, ). Равенство (8.2) означает, что
(︂
)︂
1  + 2  + 3 . . . 2

= 0.
(8.4)
1  + 2  + 3 . . . 2
Далее, так как  — внутренние точки (а, ) и (, ) сильно знакорегуляр­
но, то
(︂
)︂
(︂
)︂
2 3 ...  + 1
1 . . . 

=
̸= 0.
(8.5)
2 3 ...  + 1
1 . . . 
Невыполнение (8.3) было бы равносильно неравенству
)︂
)︂ (︂
(︂
 + 2  + 3 . . . 2
1  + 2  + 3 . . . 2 − 1
> 0,


 + 2  + 3 . . . 2
1  + 2  + 3 . . . 2 − 1
что в силу (8.4), (8.5) противоречит лемме 2. Итак, из (8.2) вытекает (8.3),
т. е. существование нулевого минора -го порядка влечет за собой суще­
ствование нулевого минора ( − 1)-го порядка (с соответствующими  ,  ).
Продолжая этот процесс понижения порядка, придем к 01 , 02 , 01 , 02 , удовле­
творяющим условию (8.1) (при  = 2) и таким, что
(︂ 0 0 )︂
1 2
= 0,
(8.6)

01 02
(01 , 01 )(02 , 02 ) = 0.
(8.7)
(01 , 02 )(02 , 01 ) = 0.
(8.8)
Отсюда сразу следует, что
Но соотношения (8.7) и (8.8) несовместны, так как из (8.7) следует, что
2 = −1, а из (8.8), что 2 = 1. В самом деле, рассмотрим, например, равен­
ство (8.7). Пусть для определенности (01 , 01 ) = 0. Ввиду (8.1) и сильной
знакорегулярности (, ) в 1 × 2 это возможно лишь в случае 01 = 01 =
= . Отсюда, в частности,  ∈ 1 2 и, следовательно, (, )(, ) > 0
при  <  < . Так как (, ) = 0, то
(︂
)︂
 

< 0,
 
т. е. 2 = −1. Аналогично из (8.8) следует, что 2 = 1. Полученное проти­
воречие доказывает лемму.
229
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В связи с интегральным оператором (1.1) нам далее понадобится ядро
-й итерации ассоциированного ядра
 {} (, ) =
∫︁
∫︁
...
Δ
 {} (, 1 ) . . .
Δ
. . .  {} (−1 , )  (1 ) . . .   (−1 ),
где   () — мера, индуцированная в [, ] неубывающей на [, ] функцией
(). Множество точек роста () в [, ] обозначим через  .
Лемма 7. Если (, ) сильно знакорегулярно в 1 × 2 и |1 2  | > , то
при  >  > 2
{}

(, ) > 0 в Δ (1 2  ) × Δ (1 2  ).

Здесь, как и обычно, || — число точек множества .
Доказательство леммы 7 использует лемму 6 и (в отличие от доказа­
тельства самой леммы 6) не требует изменений по сравнению со случаем
 = 1 ([1], с. 231).
Замечание 3. Если () имеет по крайней мере одну точку роста внут­
ри (, ), то лемма 7 остается в силе и при  = 1 < . Более того, в
этом случае -я итерация ядра очевидно не имеет нулей в 1 × 2 .
9. Переходим к рассмотрению интегрального уравнения
∫︁
() = 
(, )() ()
( 6  6 )
(9.1)

с ядром, сильно знакорегулярным в 1 × 2 . Нам будет удобно предполагать
дополнительно, что ядро аннулируется вне 1 ×2 (т. е. на сторонах квадрата
[, ]2 , дополняющих 1 × 2 до [, ]2 ). Это требование не является ограни­
чительным и, как будет видно из дальнейшего, для сильно знакорегулярных
функций Грина при надлежащем выборе 1 , 2 выполняется автоматически.
Как и раньше, функция () далее — конечная и неубывающая на [, ]; 
— множество ее точек роста в [, ].
В ближайших двух пунктах будет доказано следующее предложение,
характеризующее связи типа В → С для интегральных уравнений.
Теорема 4. Пусть непрерывное ядро (, ) сильно знакорегулярно в 1 ×
× 2 и равно нулю вне 1 × 2 , а () имеет по крайней мере одну точку
роста внутри (, ). Тогда:
230
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1∘ . Уравнение (9.1) имеет бесконечное (счетное) множество характе­
ристических значений, если () имеет бесконечное число точек роста
в [, ]; в противном случае уравнение (9.1) имеет |1 2  | характеристи­
ческих значений.
2∘ . Все характеристические значения являются вещественными, про­
стыми и (при соответствующей нумерации) удовлетворяют неравен­
ствам
0 < 0 1 1 < 1 2 2 < . . . ( =  ()).
(9.2)
3∘ . Соответствующие собственные функции 1 (), 2 (), . . . образу­
ют ряд Маркова в [, ] относительно 1  .
4∘ . Собственная функция  () имеет ровно  − 1 узлов в (, ), обра­
щается в нуль в концах [, ], не принадлежащих 1 , и никаких других
нулей в [, ] не имеет ( = 1, 2, . . .).
5∘ . Всякая нетривиальная линейная комбинация
  () + +1 +1 () + . . . +   ()
(︁
1 6  6 ,

∑︁
| | > 0
)︁

имеет в 1 не менее  − 1 узловых мест и не более  − 1 нулевых мест;
последнее остается в силе, если каждое пучное место считать за два
нулевых.
6∘ . Нули  () и +1 () в (, ) перемежаются ( = 2, 3, . . .).
Данное предложение обобщает центральные теоремы монографии [1]
Ф. Р. Гантмахера и М. Г. Крейна (теоремы 4 и 5 §4 главы IV), относящиеся
к случаю, когда (, ) симметрично и 1 = 1 = 2 = . . ..
Доказательство 1∘ – 3∘ будет дано в этом пункте, а 4∘ , 5∘ — в следу­
ющем; на доказательстве 6∘ мы не будем останавливаться, так как оно не
требует изменений по сравнению с [1].
Заметим сразу, что без ограничения общности можно далее считать
() непрерывной в концах [, ], не принадлежащих 1 2 . Действительно,
пусть для определенности ( + 0) ̸= (),  ∈
/ 1 2 . Переопределим () по
непрерывности справа. Если  ∈
/ 2 , это не меняет интегрального оператора
в правой части (9.1), так как (, ) ≡ 0. Если же  ∈
/ 1 , то оператор,
изменяясь в целом, не меняется на своей области значений, содержащей
лишь функции, аннулирующиеся при  = ; следовательно, переопределе­
ние не отражается на собственных и присоединенных функциях (отвечаю­
щих конечным ). После указанного переопределения () в концах [, ],
естественно,
|1 2  | = | |.
231
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим наряду с (9.1) уравнения
∫︁
( ) = 
 {} (, )()   ()
( ∈ Δ [, ]),
(9.3)
( ∈ Δ [, ]),
(9.4)
Δ [,]
∫︁
{}

(, )()   ()

( ) = 
Δ [,]
Покажем, что при  6 | |,  <  уравнение (9.4) удовлетворяет усло­
виям леммы 5.
Действительно, нетрудно видеть, что для уравнения (9.4) в обозначени­
ях п. 7
Ω = Δ [, ], Ω = Δ ( ), Ω1 ⊂ Δ (1 ), Ω2 ⊂ Δ (2 ).
(9.5)
С другой стороны, из леммы 7 вытекает, что
Δ (1 2  ) ⊂ Ω1 Ω2 .
(9.6)
Сопоставляя (9.5) и (9.6), получаем
Ω* = Ω1 Ω2 Ω = Δ (1 2  ).
Так как ядро уравнения (9.4) очевидно неотрицательно, отсюда, ввиду лем­
мы 7 и замечания к ней, следует, что уравнение (9.4) удовлетворяет усло­
виям леммы 5.
Таким образом, уравнение (9.4) при  6 | | имеет простое характе­
ристическое значение  > 0, меньшее модулей остальных характеристи­
ческих значений. Следовательно, и уравнение (9.3) при каждом  6 | |
также имеет простое характеристическое значение  , которое является
строго наименьшим по модулю, и


  =  > 0
( 6 | |,  > ).
(9.7)
Полагая  = 1, 2, . . .(вплоть до | |, если | | конечно) и применяя тео­
рему Шура, получаем, что уравнение (9.1) имеет не менее | | характери­
стических значений; в частности, при | | = ∞ множество характеристиче­
ских значений бесконечно (а следовательно, счетно). Для доказательства
1∘ осталось заметить, что при | | < ∞ характеристических значений не
более | |. Действительно, в этом случае область значений интегрального
оператора в правой части (9.1) не более чем | |-мерна.
Переходим к 2∘ . Так как (9.7) имеет место, в частности, при  = +1 и
 = +2, то  вещественно и   > 0. Учитывая строгую минимальность
232
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
по модулю  и возвращаясь к уравнению (9.1), имеем, согласно теореме
Шура,
0 <  · 1 2 . . .  < |1 . . . −1 +1 | 6 . . .
(1 6  6 | |).
Полагая последовательно  = 1, 2, . . ., получаем вещественность всех ха­
рактеристических значений уравнения (9.1) и соотношение (9.2).
Докажем 3∘ . Пусть
1 (), 2 (), . . .
(9.8)
суть собственные функции уравнения (9.1), отвечающие соответственно
1 , 2 , . . . (ввиду простоты спектра присоединенные функции отсутствуют).
Согласно теореме 3,
)︂
(︂
1 . . .  
( = (1 , . . . ,  ) ∈ Δ [, ],  6 | |) (9.9)
 ( ) = 
1 . . .  
есть собственная функция (9.3), отвечающая  = 1 . . .  , а значит, и

собственная функция уравнения (9.4), отвечающая  = 
  . Применяя
опять-таки лемму 5 к (9.4), имеем
 ( ) > 0 на Δ [, ],
(9.10)
 ( ) > 0 на Δ (1 2  ).
(9.11)
Соотношения (9.10), (9.11) имеют место, разумеется, при подходящем
выборе  ( ) из соответствующего одномерного пространства. Равенство
(9.9) очевидно остается в силе, если и функции (9.8) выбирать соответ­
ствующим образом. Далее всюду предполагается, что  () выбраны так,
чтобы для (9.9) выполнялись соотношения (9.10), (9.11) (в частности, все
 () вещественны).
Здесь и далее полезен следующий простой факт, который для удобства
ссылок выделим как лемму.
Лемма 8. Если выполнены условия теоремы 4, то  ( ) ̸= 0 при тех и
только тех  ∈ Δ [, ], для которых существует  ∈ Δ (1 2  ) такое,
что  {} (, ) ̸= 0.
Доказательство. Пусть для некоторого 0 ∈ Δ [, ] нашлось требу­
емое 0 . В силу (9.11)  (0 ) > 0. Так как   {} > 0, то неравенство
 (0 ) ̸= 0 вытекает из (9.3), (9.10).
Обратное сразу вытекает из замечания в конце п. 7 (так как здесь Ω* =
= Δ (1 2  )).
Для завершения доказательства 3∘ нужно усилить (9.11) до
 ( ) > 0 на Δ (1  )
233
( 6 | |).
(9.12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проверим (9.12) для произвольного  = (1 , . . . ,  ) из Δ (1  ). Поло­
жим  =  для всех  таких, что  ∈ 2 . Далее, если, например, 1 =  ∈
/ 2 ,
то в качестве 1 выберем какую-либо точку роста () в (, 2 ); таковая су­
ществует, так как  ∈  ,  ∈
/ 2 , и по нашему предположению () не
имеет изолированных точек роста вне 1 2 . Аналогично, если  =  ∈
/ 2 ,
выбираем в качестве  точку роста () в (−1 , ). Построенная точка
 = (1 , . . . ,  ) ∈ Δ (1 2  ) такова, что для пары  = { },  = { } вы­
полнены условия «разделения» леммы 6 и, следовательно,  {} (, ) ̸= 0.
По лемме 8  (Т) > 0.
В силу (9.10), (9.12) функции (9.8) образуют, согласно определению,
ряд Маркова в [, ] относительно 1  , что и доказывает 3∘ .
10. Доказательство 4∘ . Отметим сразу, что так как (, ) = 0 при
∈
/ 1 , то все собственные функции очевидно, равны нулю вне 1 .
При  = 1 утверждение 4∘ вытекает из леммы 8. В самом деле, ()
имеет в (, ) точку роста 0 (∈ 1 2  ), при любом 0 ∈ 1 (0 , 0 ) ̸= 0
ввиду сильной знакорегулярности в 1 × 2 . Итак, 1 () > 0 в 1 .
Переходим к доказательству 4∘ для  > 2. Положим  = ( ,  ). Со­
гласно замечанию к теореме 2, из равенства
∫︁
 () = 
(, ) ()()
( 6  6 )
(10.1)

вытекает, что ( ) 6 . Обратное неравенство очевидно, т.е.
( ) =  = ( ,  ).
(10.2)
Поскольку 1 (), . . . ,  () образуют чебышевскую систему в [, ] отно­
сительно 1  , то
 6  − 1.
(10.3)
Нашей ближайшей целью является доказательство противоположного нера­
венства  >  − 1. Заметим сразу, что  > 0, так как при  () ≡ 0 на 
оказалось бы в силу (10.1), что  () ≡ 0 на [, ].
Введем в рассмотрение сопряженное уравнение
∫︁
() = 
(, )() ()
( 6  6 ).
(10.4)

Поскольку ядро (, ) сильно знакорегулярно в 1 × 2 , ядро 1 (, ) =
= (, ) сильно знакорегулярно в 2 × 1 . Поэтому для собственных функ­
ций 1 (), 2 (), . . . уравнения (10.4) сохраняются все факты, установленные
234
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
выше для уравнения (9.1), с тем лишь отличием, что 1 и 2 меняются ро­
лями. Будем считать 1 (), 2 (), . . . выбранными так, что для них выполня­
ются соотношения, аналогичные (9.10), (9.11).
Поскольку системы { ()} и { ()} биортогональны, то
∫︁
 () () () = 0 при  ̸= .
(10.5)

Отсюда вытекает, что  > 1, так как 1 () > 0 в 2 ⊃ (, ). Выберем в
1 2  точки 1 < 2 < . . . < +1 такие, что
 ( ) (+1 ) < 0,  = 1, 2, . . . , .
(Это можно сделать ввиду (10.2) и сказанного выше о поведении () в
концах [, ].)
В каждом из интервалов ( , +1 ) имеется ровно одно узловое место
функции  (); какую-либо точку на этом узловом месте обозначим через
 ( = 1, . . . , )
1 < 1 < 2 < . . . <  <  < +1 .
(10.6)
Покажем, что определитель
(︂

1 2 . . . 

1 2 ...   + 1
)︂
=
+1
∑︁
  ()
(10.7)
=1
при любом  ∈ 2 , отличном от 1 , . . . ,  , удовлетворяет соотношению
(︂
)︂
1 . . .  

( − 1 ) . . . ( −  )
> 0.
(10.8)
1 ...   + 1
Пусть ′1 , ′2 , . . . , ′+1 — числа 1 , 2 , . . . ,  , , занумерованные в порядке воз­
растания. Ввиду (10.6)
′1
′
′
< 2 < · · · < +1
1
2
+1
откуда в силу леммы 6 и соотношений ′1 , . . . , ′+1 ∈ 2 , 1 , . . . , +1 ∈ 1
(︂ ′
)︂
1
′2 . . . ′+1
1
̸= 0.
1
2 . . . +1
Применяя лемму 8 к уравнению (10.4), имеем
(︂ ′
)︂
1
′2 . . . ′+1
> 0,

1
2 ...  + 1
235
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
что очевидно эквивалентно (10.8).
Из самого построения точек 1 , . . . ,  , a также из соотношения ( ) =
=  и (10.8) явствует, что функция (10.7) и  не ортогональны, но это
возможно лишь при  >  − 1. Учитывая (10.3), получим  =  − 1.
Покажем теперь, что никаких нулей помимо 1 , . . . , −1 функция  в 1
не имеет. Для этого заметим, что при любом  ∈ 1 , отличном от 1 , . . . , −1 ,
(︂
)︂
1 . . . −1 
( − 1 ) . . . ( − −1 )
> 0;
1 ...  − 1 
это доказывается точно так же, как (10.8). Поскольку  (1 ) = . . . =
=  (−1 ) = 0, имеем
(︂
)︂
(︂
)︂
1 . . . −1 
1 . . . −1
=

 (),
1 ...  − 1 
1 ...  − 1
откуда  () ̸= 0 ( ∈ 1 ,  ̸= 1 , . . . ,  ). Утверждение 4∘ доказано.
Доказательству 5∘ предпошлем лемму.
Лемма 9. Пусть выполнены условия теоремы 4. Если точки 1 < 2 <
< . . . <  принадлежат различным нулевым местам в 1 некоторой
линейной комбинации () = 1 1 () + . . . +   () собственных функций
уравнения (9.1), то
)︂
(︂
1 2 . . . 
̸= 0.
(10.9)

1 2 ... 
Доказательство. Предположим противное: пусть определитель в левой
части (10.9) равен нулю. Так как, согласно 4∘ , 1 (1 ) > 0 при 1 ∈ 1 , то
найдется  (2 6  6 ) такое, что
(︂
)︂
1 2 . . . −1

> 0.
(10.10)
1 2 ...  − 1
(︂

1 2 . . . 
1 2 ... 
)︂
= 0.
(10.11)
Чтобы получить противоречие, достаточно показать, что −1 и  при­
надлежат одному нулевому месту функции . Для этого зафиксируем про­
извольное * ∈ (−1 ,  ) и покажем, что (* ) = 0.
Соотношение (10.11) означает в силу леммы 8, что
(︂
)︂
1 . . . 

= 0 при всех 1 < . . . <  из 1 2  .
(10.12)
1 . . . 
Пусть 1 < . . . <  из 1 2  произвольны. Рассмотрим знакорегуляр­
ную матрицу
236
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
(1 , 1 )
(1 , 2 )
. . . (1 ,  )
.........................................
(−1 , 1 ) (−1 , 2 ) . . . (−1 ,  )
(* , 1 )
(* , 2 )
. . . (* ,  )
( , 1 )
( , 2 )
. . . ( ,  )
⎞
⎟
⎟
⎟.
⎟
⎠
Так как (, ) сильно знакорегулярно в 1 × 2 , то в последней стро­
ке есть ненулевые элементы (это верно и при  = 2, так как равенство
(2 , 1 ) = (2 , 2 ) при 2 ∈ 1 , 1 , 2 ∈ 2 очевидно невозможно). Отсюда
(︂
)︂
1 . . . −1 *

= 0 (1 < . . . <  из 1 2  ).
(10.13)
1 . . . −1 
Действительно, если первые  − 1 строк линейно-независимы, то согласно
лемме 1 -я строка должна быть их линейной комбинацией.
Учитывая (10.13) и замечание в конце п. 7, получаем
)︂
(︂
1 . . . −1 *
= 0 ( = 1, 2, . . .),
(10.14)

1 ...  − 1 
поскольку левая часть по теореме Шура есть собственная функция уравне­
ния (9.3) (для которого Ω* = Δ (1 2  )).
Соотношения (10.10), (10.14) показывают, что последняя строка любого
определителя в левой части (10.14) есть линейная комбинация остальных
строк с коэффициентами, не зависящими от ,
 (* ) = 1  (1 ) + . . . + −1  (−1 )
( = 1, 2, . . .).
Отсюда
*
( ) =

∑︁
=
*
  ( ) =

∑︁
=

−1
∑︁
  ( ) =
=1
−1
∑︁
 ( ) = 0,
=1
что и требовалось доказать.
Переходим к 5∘ . Рассмотрим функцию
() = 1 1 () + . . . +   ()

(︁ ∑︁
)︁
| | > 0 .
(10.15)
=1
Покажем вначале, что при 1 = . . . = −1 = 0 () имеет в 1 не менее
 − 1 узловых мест, т. е. () >  − 1. Без ограничения общности можно
считать, что  ̸= 0.
237
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В силу замечания к теореме 2 оператор
∫︁
K =
(, )()()

не повышает числа перемен знака. Поэтому
() > (K) > (K2 ) > . . . .
С другой стороны, поскольку |1 | < |2 | < . . .,
(︂
)︂





 (K )() = 
 () + . . . +   () →   ()


(10.16)
( → ∞).
Так как в силу 4∘ (  ) =  − 1, то при достаточно большом 
(K ) >  − 1.
Отсюда, согласно (10.16), () >  − 1.
Тот факт, что число нулевых мест в 1 функции (10.15) не превышает
 − 1, непосредственно следует из леммы 9. Действительно, если бы на­
шлись точки 1 , . . . ,  , принадлежащие различным нулевым местам в 1
функции , то по лемме 9
(︂
)︂
1 2 . . . 

̸= 0,
1 2 ... 
но это противоречит тому, что нетривиальная линейная комбинация функ­
ций 1 , . . . ,  аннулируется в точках 1 , . . . ,  .
Докажем теперь, что эта оценка остается в силе, если каждое пучное
место считать дважды. Пусть 1 , . . . ,  — нулевые места в 1 функции
(10.15), причем 1 , . . . ,  –пучные ( 6 ). Мы построим линейную ком­
бинацию функций 1 , . . . ,  , имеющую не менее  +  нулевых мест в 1 ;
отсюда, согласно предыдущему, будет следовать  +  6  − 1.
Каждому пучному месту  = [ ,  ] сопоставим число  = sign  ×
× ( − ) при малых  > 0. Выберем далее каким-либо образом точки  ∈
∈ 1 ,  = 1, . . . , , и рассмотрим систему уравнений относительно 1 , . . . , 
1 1 (1 ) + 2 2 (1 ) + . . . +   (1 ) = 1 ,
...............................................
1 1 ( ) + 2 2 ( ) + . . . +   ( ) =  ,
1 1 (+1 ) + 2 2 (+1 ) + . . . +   (+1 ) = 0,
...............................................
1 1 ( ) + 2 2 ( ) + . . . +   ( ) = 0.
238
(10.17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Согласно лемме 9, det ‖ ( )‖1 ̸= 0, так что ранг матрицы коэффи­
циентов равен  и система совместна. Зафиксируем какое-либо решение
1 , . . . ,  , и положим
 () = () − [1 1 () + . . . +   ()].
(10.18)
Покажем, что при достаточно малом  > 0 функция  () имеет в 1 не
менее  +  нулевых мест.
Выберем в интервале (, ) точки 1 < . . . < −1 так, чтобы ( ) ̸= 0,
 = 1, . . . ,  − 1, и каждый из промежутков
[, 1 ), (1 , 2 ), . . . , (−2 , −1 ), (−1 , ]
(10.19)
содержал нулевое место () в 1 . Если  > 0 достаточно мало, то наряду с
неравенством ( ) ̸= 0, будут выполнены также неравенства
 ( ) ̸= 0,
 = 1, 2, . . . ,  − 1,
показывающие, что каждое нулевое место  () целиком лежит в одном из
промежутков (10.19).
Так как  (+1 ) = . . . =  ( ) = 0, то каждый из промежутков (10.19),
содержащий какое-либо из нулевых мест +1 , . . . ,  функции , содержит
по крайней мере одно нулевое место функции  . Рассмотрим теперь один
из промежутков (10.19), содержащий пучное место  (1 6  6 ) функции
, и покажем, что при малом  он будет содержать не менее двух нулевых
мест  . Пусть, например,  ⊂ ( , +1 ). Так как () ̸= 0 в ( , +1 )∖ ,
то  ( ) > 0,  (+1 ) > 0. Отсюда при достаточно малом  > 0
  ( ) > 0,   (+1 ) > 0.
(10.20)
В то же время, согласно (10.17), (10.18),
 ( ) = ( ) −  = − .
(10.21)
Так как  <  < +1 , и  > 0, то из (10.20), (10.21) вытекает, что  ()
имеет в ( , +1 ) не менее двух нулевых мест.
Случай, когда пучное место  принадлежит одному из крайних проме­
жутков [, 1 ), (−1 , ], рассматривается аналогично. Пусть, например,  =
= [, ] ⊂ [, 1 ). Тогда достаточно взять любое 0 ∈ (, ) (если  ∈ 1
то можно взять и 0 = ); так как (0 ) ̸= 0, то при малом  > 0 будут
выполняться как (10.20) (при  = 0), так и (10.21).
Итак, если  > 0 достаточно мало, то  () имеет в 1 не менее  + 
нулевых мест. Утверждение 5∘ доказано.
Из 5∘ , в частности, вытекает, что если функция (10.15) имеет  −
− 1 нулевых мест, целиком содержащихся в (, ), то все они являются
239
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
узловыми (ср. [1]). Отметим также, что в силу 3∘ всякая функция вида
(10.15) имеет в 1  не более  − 1 нулей; поэтому в случае (), всюду
растущей в [, ] (в частности, при () = ), все нулевые места этих
функций являются изолированными нулями.
Как уже говорилось, 6∘ доказывается так же, как соответствующее
утверждение в [1] (гл. IV, теорема 5, 5∘ ). Итак, теорема 4 доказана.
Литература
1. Гантмахер, Ф. Р. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колеба­
ния механических систем / Ф. Р. Гантмахер, M. Г. Крейн. — М.; Л.:
Гостехиздат, 1950. — 360 с.
2. Karlin, S. Total positivity / S. Karlin. — Stanford univ. press edition. —
1968. — Vol. 1. — 576 p.
3. Kellogg, O. D. The oscillation of functions of an orthogonal set / O. D. Kel­
logg // Amer. J. Math. — 1916. — Vol. 38. — P. 1—5.
4. Kellogg, O. D. Orthogonal function sets arising from integral equations /
O. D. Kellogg // Amer. J. Math. — 1918. — Vol. 40. — P. 145—154.
5. Гантмахер, Ф. Р. О несимметрических ядрах Келлога / Ф. Р. Гантма­
хер // ДАН СССР. — 1936. — Т. 1, № 1. — С. 3—5.
6. Кpeйн, М. Г. О несимметрических осцилляционных функциях Грина
обыкновенных дифференциальных операторов / М. Г. Кpeйн // ДАН
СССР. — 1939. — Т. 25, № 8. — С. 643—646.
7. Кpeйн, М. Г. Осцилляционные теоремы для обыкновенных линейных
дифференциальных операторов произвольного порядка / М. Г. Кpeйн //
ДАН СССР. — 1939. — Т. 25, № 9. — С. 717—720.
8. Schoenberg, I. J. On totally positive functions, Laplace integrals and entire
functions of the Laguerre — Polya — Schur type / I. J. Schoenberg // Proc.
Nat. Akad. Sci. USA. — 1947. — Vol. 33. — P. 11—17.
9. Schoenberg, I. J. On smoothing operations and their generating func­
tions / I. J. Schoenberg // Bull. Amer. Math. Soc. — 1953. — Vol. 59. —
P. 199—230.
10. Хиршман, И. И. Преобразования типа свертки / И. И. Хиршман,
Д. В. Уиддер. — М.: Изд-во иностр. лит., 1968. — 316 с.
11. Schoenberg, I. J. Über variationsvermindernde lineare Transformationen /
I. J. Schoenberg // Math. Z. — 1930. — Vol. 32. — P. 321—328.
12. Степанов, Г. Д. О знакопостоянных класса  матрицах и ядрах /
Г. Д. Степанов // Вестник Ярославского университета. — Ярославль,
1973. — Вып. 5. — С. 138—151.
13. Полиа, Г. Задачи и теоремы из анализа / Г. Полиа, Г. Сёге. — М.:
Гостехиздат, 1956. — Т. 2. — 432 с.
14. Coppel, W. A. Disconjugacy. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 220 /
240
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15.
16.
17.
18.
19.
W. A. Coppel. — Berlin-Heidelberg-New York: Springer Verlag, 1971. —
147 p.
Schur, I. Zur Theorie der linearen homogenen Integralgleichungen /
I. Schur // Math. Ann. — 1909. — Vol. 67, no. 3. — P. 306—339.
Schatten, R. A theory of cross-spaces / R. Schatten. — Princeton, Univ.
press, 1950. — 186 p.
Jentzsch, R. Über Integralgleichungen mit positiven Kern / R. Jentzsch //
Journ. für reine und angew. Math. — 1912. — Vol. 141. — P. 235—244.
Крейн, M. Г. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус
в пространстве Банаха / M. Г. Крейн, M. A. Рутман // УМН. — 1948. —
Т. 3, № 1 (23). — С. 8—95.
Красносельский, М. А. Положительные решения операторных уравне­
ний / М. А. Красносельский. — М.: Физматгиз, 1962. — 394 с.
241
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. Одномерные краевые задачи с операторами, не
понижающими числа перемен знака14 . II
Настоящая статья является продолжением работы [1]. Нумерация
пунктов и предложений продолжает нумерацию [1]; сохранены
также обозначения [1].
11. Ниже будут рассматриваться краевые задачи для обыкновенного
дифференциального уравнения -го порядка ( > 2).
Пусть (, ) — функция Грина оператора
 ≡ () + 1 ()(−1) + . . . +  ()
( 6  6 )
(11.1)
с вещественными суммируемыми в [, ] коэффициентами, отвечающая ка­
ким-либо двухточечным краевым условиям, заданным в концах , .
Как известно, (, ) является непрерывным невырожденным ядром ви­
да
⎧ 
∑︀
⎪
⎪
1 ()1 () ( 6  6  6 ),
⎨
=1
(, ) =
(11.2)

∑︀
⎪
⎪
⎩
2 ()2 () ( 6  6  6 ).
=1
Здесь { }, { },  = 1, 2, — системы функций, линейно-независимых на
каждом подынтервале промежутка [, ]; среди функций 11 , . . . , 1 ,
12 , . . . , 2 имеется  линейно-независимых на [, ]. Функции  () удо­
влетворяют уравнению  = 0, а функции  () — сопряженному уравне­
нию (которое в отсутствие гладкости коэффициентов оператора (11.1) яв­
ляется квазидифференциальным). Оба числа ,  в (11.2) положительны,
естественно, если речь идет не о задаче Коши; далее это подразумевается.
Теорема 5 (Крейн—Финкельштейн). Если функция Грина (11.2) знако­
регулярна, то при любом  > 1 неравенство
(︂
)︂
(︁
)︁
1 2 . . . 
 < . . . < 
 
>0
< 1
<
(11.3)
1 2 . . . 
1 < . . . < 
имеет место тогда и только тогда, когда выполнены условия
 < + ,  = 1, 2, . . . ,  − ;
 < + ,  = 1, . . . ,  − .
(11.4)
14
Левин А. Ю., Степанов Г. Д. Одномерные краевые задачи с операторами, не понижа­
ющими числа перемен знака. II // Сибирский математический журнал. — 1976. — Т. 17,
№ 4. — С. 813—830.
242
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В частности, знакорегулярная функция Грина сильно знакорегулярна в
(, )2 (если она не является функцией Коши).
Приведенный результат обобщает доказанную в [2] теорему, где речь
идет не о знакорегулярных, а о вполне неотрицательных функциях Грина.
Так как доказательство в целом проходит по той же схеме, что и в [2],
ограничимся здесь несколькими пояснениями. При доказательстве импли­
кации (11.4)→ (11.3) вначале устанавливается, что в квадрате  < ,  < 
имеет место одно из неравенств (, ) > 0, (, ) < 0 (в зависимости от
1 ); в случае 2 = 1 рассуждения фактически не отличаются от [2], а при
2 = −1 требуются некоторые достаточно очевидные изменения. Для  > 1
доказательство проводится индукцией по , причем вместо леммы 2 из [2]
следует воспользоваться более общей леммой 2 настоящей работы. (Лемма
1 из [2] специфична для вполне неотрицательных матриц, но для доказа­
тельства фактически не нужна.) Импликация (11.3)→ (11.4) доказывается
в точности так же, как в [2]. Отметим, что результат, родственный тео­
реме Крейна—Финкельштейна (для осцилляционного случая), был позднее
независимо получен С. Карлином [3] другим способом.
С помощью теоремы 5 нетрудно показать, что функция Грина двух­
точечной задачи может быть знакорегулярной лишь в случае распадаю­
щихся (с точностью до линейного комбинирования) краевых условий. Для
осцилляционного случая это установили П. Д. Калафати [4] и М. Г. Крейн
[5]. Простое доказательство М. Г. Крейна легко распространяется на об­
щий случай. В связи с этим далее рассматриваются лишь распадающи­
еся условия. Отметим, впрочем, что существуют многоточечные краевые
задачи со знакорегулярными функциями Грина; для таких задач теорема
Крейна—Финкельштейна, строго говоря, несправедлива. Подробнее на этом
не останавливаемся.
12. Итак, рассмотрим краевую задачу
 ≡ () + 1 ()(−1) + . . . +  () = ()
  = ( ) () +
∑︁
 () () = 0,
( 6  6 ),
 = 1, . . . , ,
<
  = ( ) () +
∑︁
 () () = 0,
(12.1)
(12.2)
 =  + 1, . . . , ,
<
где числа  вещественны; 1 , . . . ,  ,  вещественны и суммируемы на
[, ], () > 0 не эквивалентна нулю на [, ], 1 6  6  − 1, 0 6 1 <
< . . . <  6  − 1, 0 6 +1 < . . . <  6  − 1. Как известно, рас­
падающиеся краевые условия всегда можно привести к нормированному
243
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
виду (12.2) (вместе с  = 0,  из рассмотрения исключена задача Коши).
Множество функций, обладающих абсолютно непрерывной ( − 1)-й про­
изводной на [, ] и удовлетворяющих условиям (12.2), обозначается далее
через . Очевидно, оператор  действует из  в 1 [, ]. Как обычно, зада­
ча (12.1)—(12.2) называется неособой, если  = 0 не является собственным
значением.
Промежутки 1 , 2 определим по краевым условиям (12.2) следующим
образом. 1 есть отрезок [, ], из которого исключены точка , если 1 = 0,
и точка , если +1 = 0. 2 есть отрезок [, ], из которого исключены
точка , если  <  − 1, и точка , если  <  − 1.
Через  обозначим множество точек роста в [, ] функции
∫︁
() =
() .

Теорема 6. Следующие три условия эквивалентны:
1) L не понижает числа перемен знака на функциях из ;
2) при краевых условиях (12.2)  обладает знакорегулярной функцией
Грина;
3) при краевых условиях (12.2)  обладает функцией Грина, сильно
знакорегулярной в 1 × 2 и равной нулю в [, ]2 ∖ 1 × 2 .
Любое из этих условий влечет за собой следующие факты.
1∘ . Все собственные значения  задачи (12.1)—(12.2) (таковых счет­
ное число) являются вещественными и простыми, причем 0 < |1 | <
< |2 | < . . ..
2∘ . Собственная функция  () ( = 1, 2, . . .), отвечающая собственно­
му значению  , имеет ровно —1 нулей в (, ). Все эти нули простые.
В концах [, ]  имеет нули точно той кратности, которая задана
краевыми условиями (подробнее, кратность нуля  в точке  равна 0
при 1 > 0 и max{ :  =  − 1} при 1 = 0; кратность в точке  равна 0
при +1 > 0 и max{ : + =  − 1} при +1 = 0).
3∘ . 1 , 2 , . . . образуют ряд Маркова в [, ] относительно 1  . Нули
 и +1 перемежаются ( = 2, 3, . . .). Всякая нетривиальная линейная
комбинация   + . . . +   ( 6 ) имеет в 1 не менее  − 1 уз­
ловых и не более —1 нулевых мест; при этом пучные места можно
засчитывать дважды.
В значительной мере это предложение является следствием ранее уста­
новленных фактов. Начнем с первой части. Заметим сразу, что выполнение
1) влечет за собой существование функции Грина. Действительно, если бы
задача (12.1)—(12.2) была особой, то в  нашлась бы функция () ̸≡ 0
244
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
такая, что  = 0, т. е. () = −1 < () вопреки 1). Так как непони­
жение числа перемен знака на функциях из  оператором  соответствует
неповышению числа перемен знака на функциях из 1 [, ] оператором −1
и так как функция Грина является непрерывным невырожденным ядром, то
эквивалентность 1) и 2) вытекает из теоремы 2 (при  = 1 [, ]).
Ясно, что 3) → 2); в доказательстве нуждается поэтому лишь имплика­
ция 2) → 3). Итак, пусть функция Грина (, ) знакорегулярна в [, ]2 . В
силу теоремы 5 (, ) сильно знакорегулярна в (, )2 ; в частности,
1 (, ) > 0
( < ,  < ).
(12.3)
Итак, надлежит выяснить поведение  на границе квадрата. Начнем,
например, со стороны  = . Так как  ∈
/ 1 в том и только в том случае,
когда имеется условие вида () = 0, то
∈
/ 1 ↔ (, ) ≡ 0
( <  < )
(12.4)
(это не связано со знакорегулярностью ). Для знакорегулярной , кроме
того,
 ∈ 1 → (, ) ̸= 0 ( <  < ).
(12.5)
Будем доказывать (12.5) от противного. Пусть  ∈ 1 и (, * ) = 0 для
некоторого * ∈ (, ). Тогда
(, ) ≡ 0 на одном из интервалов (, * ), (* , ).
В самом деле, ввиду знакорегулярности 
(︂
)︂
 *
2 
> 0 ( 6 1 < 2 6 ).
1 2
(12.6)
(12.7)
Если 2 = 1, положим 1 = * ; тогда при всех 2 > * (= 1 ) (12.7) дает
(︂
)︂
 1
06
= −(, 2 )(1 , 1 ) 6 0.
1 2
Так как в силу (12.3) (1 , 1 ) ̸= 0, то (, 2 ) ≡ 0 (* < 2 < ). Если 2 =
= −1, то, полагая 2 = * , получаем аналогично (, 1 ) ≡ 0 ( < 1 < * ).
В силу (11.2) и линейной независимости 11 , . . . , 1 на любом подынтервале
каждый из случаев (12.6) возможен лишь при 11 () = . . . = 1 () = 0,
т. е. (, ) ≡ 0 ( <  < ). Полученное противоречие с (12.4) (так как
 ∈ 1 ) доказывает (12.5).
Совершенно аналогично доказывается, что (, ) (≡ 0 при  ∈
/ 1 ) не
имеет нулей в интервале  <  < , если  ∈ 1 .
Переходим к рассмотрению  на сторонах  = ,  = . Для опреде­
ленности исследуем функцию (, ). Аналогично предыдущему, используя
245
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
знакорегулярность , доказывается, что если (* , ) = 0 для некоторого
* ∈ (, ), то (, ) ≡ 0 на одном из интервалов (, * ), (* , ). Так как
(, ) есть решение уравнения  = 0, то отсюда (, ) ≡ 0 в [, ]. Итак,
заведомо либо (, ) ≡ 0, либо (, ) ̸= 0 ( <  < ).
Пусть (, ) — функция Коши оператора  и 1 (), . . . ,  () — система
решений уравнения  = 0 такая, что   =  (такая система существует,
так как задача неособая). Нетрудно проверить формулу
(, ) = (, ) −

∑︁
 () ()
( 6  6 ,  <  < ),
(12.8)
=+1
где  () =  (, ),  =  + 1, . . . ,  ( здесь понимается как параметр).
При  = , , (, ), естественно, доопределяется по непрерывности. Так
как
⃒
  (, ) ⃒⃒
→ −1 ( → ),
 ⃒=
то  ( − 0) = 0 при  < , а  ( − 0) равно 1(0), если  =  − 1 (<  − 1).
Поскольку  () ̸≡ 0, то
(, ) = (,  − 0) = −

∑︁
 () ( − 0) = − () ( − 0)
=+1
обращается в тождественный нуль в том и только том случае, когда
∈
/ 2 . Случай  =  рассматривается аналогично. Требуемая импликация
доказана.
Переходим ко второй части теоремы. Так как 1)–3), эквивалентны, мож­
но считать, что выполнено 3). Утверждения 1∘ и 3∘ получаются теперь как
непосредственные следствия теоремы 4, отнесенные к интегральному урав­
нению
∫︁
() =  (, )()(),
(12.9)

равносильному (12.1)—(12.2); для 1∘ надо лишь заметить, что в нашей си­
туации | | = ∞. В доказательстве нуждается только часть 2∘ , которая
является новой по сравнению с теоремой 4 — утверждением о кратности
нулей собственных функций.
Начнем с нулей  () на концах [, ]. Ввиду аналогии достаточно рас­
смотреть  = . Пусть  ∈
/ 1 и 0 — наибольшее из , при которых  =
= —1 (1 6 0 6 ). Очевидно, все  () имеют в точке  =  нуль кратно­
сти > 0 . Требуется доказать, что эта кратность равна 0 .
  (, )
Далее через  (, ) обозначается
. Ясно, что

 (, ) ≡ 0 ( <  < ),  = 0, 1, . . . , 0 − 1,
(12.10)
246
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0 (, ) ̸≡ 0
(12.11)
( <  < ).
Покажем, что на самом деле
1 0 (, ) > 0
(12.12)
( <  < ).
Из знакорегулярности (, ) и соотношений (12.10) вытекает, что
1 0 (, ) > 0
⃒
⃒  (, 1 ) 0 (, 2 )
2 ⃒⃒ 0
(, 1 )
(, 2 )
⃒
⃒
⃒>0
⃒
(12.13)
( <  < ),
( <  < ,  < 1 < 2 < ).
(12.14)
Пусть (12.12) не имеет места, т. е. 0 (, * ) = 0 для некоторого * ∈
∈ (, ). Тогда, если 2 = 1, положим в (12.14) 1 = * и получим с уче­
том (12.13) 0 (, 2 )(, * ) ≡ 0 при всех  ∈ (, ), 2 ∈ (* , ); так как
(, * ) ̸= 0 при  ∈ (, ), то должно быть 0 (, ) ≡ 0 при  ∈ (* , ).
Аналогично, полагая в случае 2 = −1, 2 = * , получаем 0 ≡ 0 при
 ∈ (, * ). Поскольку функции 1 в представлении (11.2) линейно-незави­
симы на каждом подынтервале, в любом из этих двух случаев 0 (, ) ≡ 0
в (, ), что противоречит (12.11). Неравенство (12.12) доказано.
Учитывая (12.12) и положительность 1 в (, ), имеем
( )
1 0 ()
∫︁
0 (, )1 () () ̸= 0.
= 1

Доказанный для 1 факт распространим теперь на остальные собствен­
( )
ные функции. Допустим, что  0 () = 0 при некотором  > 1. Функция 
имеет ровно  −1 нулей 1 , . . . , −1 в (, ), причем каждый из них является
узлом. Рассмотрим функцию
 () =  ()—1 () ( + )/1 ( + )
( > 0).
Согласно предположению
 ( + )/1 ( + ) → 0
( → 0),
так что при малых  > 0  имеет нуль * вблизи каждой из точек  ,  =
= 1, . . . , −1; кроме того,  (+) = 0. Очевидно, что при достаточно малом
 > 0 нули  + , *1 , . . . , *—1 принадлежат различным нулевым местам, т. е.
 имеет не менее  нулевых мест в (, ). Полученное противоречие с 3∘
доказывает, что кратность нуля  () при  =  в точности равна 0 .
247
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Переходим к доказательству простоты нулей  () внутри (, ). Устано­
вим вначале неравенство
⃒
⃒
⃒ (, 1 ) (, 2 ) ⃒
⃒ > 0 ( < 1 <  < 2 < ).
2 ⃒⃒
(12.15)
1 (, 1 ) 1 (, 2 ) ⃒
Нестрогое неравенство легко вытекает из знакорегулярности  (пре­
′
′
дельным переходом). Допустим, что (12.15) не имеет места, т. е. 1 ( ,  ) =
′
′
′
′
′
′
′
′
= ( ,  ),  = 1, 2, для некоторых ,  , 1 , 2 ( < 1 <  < 2 < ). Тогда
′
′
при любом  ∈ (1 , 2 ) имеем
⃒
⃒
⃒⃒
⃒ (′ , ′1 ) (′ , ) ⃒ ⃒ (′ , ) (′ , ′2 ) ⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
06⃒
′
′
′
′
′
′
1 ( , 1 ) 1 ( , ) ⃒ ⃒ 1 ( , ) 1 ( , 2 ) ⃒
⃒
⃒⃒
⃒
′
′
′
′
⃒⃒
⃒ (′ , ′1 )
( , )
( , 2 ) ⃒⃒
( , )
⃒
⃒
⃒
=⃒
′
′
′
′
⃒=
0
0
1 ( , ) − ( , ) ⃒ ⃒ 1 ( , ) − ( , )
]︀2
′
′
′
′ [︀
′
′
= −( , 1 )( , 2 ) 1 ( , ) − ( , ) = 0.
Поскольку 1 (, ) > 0 при ,  ∈ (, ), отсюда следует, что
′
′
1 ( , )—( , ) ≡ 0
′
′
(1 <  < 2 ).
(12.16)
Нетрудно видеть, что (12.16) невозможно. В случае гладких коэффи­
 −2
′
циентов уравнения достаточно заметить, что
1 ( , ) в отличие от
−2

 −2
′
′
( , ) разрывна по  при  =  . В общем случае можно, напри­
−2
мер, воспользоваться представлением  в виде (11.2) (где  =  − ,  =
′
′
= ). В силу линейной независимости системы {1 } в ( , 2 ) и системы
′
′
{2 } в (1 ,  ) из (12.16) следовало бы, что  линейно-независимых решений
11 , . . . , −1 , 12 , . . . , 2 уравнения  = 0 удовлетворяют соотношению
′
′
(
˙ )—( ) = 0. Полученное противоречие доказывает (12.15).
Займемся теперь вронскианом функций 1 , 2 . Соотношение
⃒
⃒
⃒ 1 () 2 () ⃒
⃒
⃒
⃒ 1 ( ) 2 ( ) ⃒ =
⃒
⃒
⃒⃒
∫︁ ∫︁
⃒ (, 1 ) (, 2 ) ⃒ ⃒ 1 (1 ) 1 (2 ) ⃒
⃒⃒
⃒
⃒
= 1 2
⃒ (, 1 ) (, 2 ) ⃒ ⃒ 2 (1 ) 2 (2 ) ⃒ (1 )(2 )
61 <2 <
дает после деления на  −  и предельного перехода при  → 
⃒
⃒
⃒
⃒
∫︁ ∫︁
⃒ 1 () 2 () ⃒
⃒ (, 1 ) (, 2 ) ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ ˙ 1 () ˙ 2 () ⃒ = 1 2
⃒ 1 (, 1 ) 1 (, 2 ) ⃒ ×
<1 <2 <
248
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
⃒
⃒  ( ) 1 (2 )
× ⃒⃒ 1 1
2 (1 ) 2 (2 )
⃒
⃒
⃒ (1 )(2 )
⃒
(12.17)
(законность предельного перехода очевидна). Подынтегральное выражение
не меняет знака; кроме того, ввиду (12.15) оно отлично от нуля при  <
< 1 <  < 2 < , 1 , 2 ∈  . Отсюда следует, что
⃒
⃒
⃒ 1 () 2 () ⃒
⃒
⃒
(12.18)
⃒ ˙ 1 () ˙ 2 () ⃒ > 0
при любом , справа и слева от которого есть точки роста .
Последнему условию удовлетворяет, в частности, любой нуль  () в
(, ). Действительно, как уже отмечалось, в п. 10 (см. (10.2)), ( ,  ) =
= ( ), так что  не имеет узлов справа или слева от  ; нулей же,
отличных от узлов, у  в (, ) нет.
При  = 2 простота нуля 2 () в (, ) сразу вытекает поэтому из (12.18).
Для  > 2 будем рассуждать от противного. Пусть  имеет кратный нуль
′
′
′
 ∈ (, ), т. е.  ( ) = ˙  ( ) = 0. Рассмотрим функцию
⃒
⃒
⃒ 1 () 2 () ⃒
⃒
⃒.
(, ) =  () − (), где () = ⃒
′
′
1 ( ) 2 ( ) ⃒
′
Нуль () в точке  является в силу (12.18) простым, так что  ()/() → 0
′
′
при  →  . Пусть знак  таков, что  ()() > 0 при  (̸=  ), близких
′
к  . Если к тому же || достаточно мало, то, как легко видеть, (, )
имеет в (, ) не менее  + 1 перемен знака. Полученное противоречие с 3∘
доказывает простоту нулей  в (, ). Теорема 6 доказана.
13. Данный пункт посвящен замечаниям и дополнениям к теореме 6.
Замечание 4. Наряду с соображениями общего характера в доказатель­
стве очевидно использовалась и специфика интегральных операторов,
обратных к дифференциальным. Так, установленная для них имплика­
ция «неповышение числа перемен знака → простота спектра (ненулево­
го)» не имеет места для произвольных вполне непрерывных операторов.
Тривиальным примером служит единичный оператор в конечномерном
пространстве; аналогичные примеры интегральных операторов также
строятся без труда.
Замечание 5. В теореме предполагалось, что () суммируема. Для при­
ложений интересен и случай, когда () есть обобщенная функция им­
пульсного типа (например, если речь идет о колебании струны с сосре­
доточенными массами). К первой части теоремы 6 вид () не имеет
отношения. Влияние же на вторую часть сводится к тому, что при
249
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
, являющейся линейной комбинацией конечного числа дельта-функций,
спектр задачи становится конечным (теорема 4, 1∘ ); напомним, что
теорема 4 не предполагала абсолютной непрерывности или непрерыв­
ности ().
Замечание 6. Свойство 3) (т. е. сильная знакорегулярность  в 1 × 2 )
послужило основой для характеристики спектральных свойств, однако
оно, конечно, не исчерпывает всех свойств , вытекающих из знакоре­
гулярности . Фактически уже теорема 5 дает некоторую информа­
цию, не содержащуюся в 3). Далее, наряду с минорами функции Грина
можно рассматривать определители из частных производных (, ),
возникающие в результате предельного перехода при слиянии несколь­
ких  или  . Одно неравенство подобного вида, а именно (12.15), при­
менялось при доказательстве теоремы 6. Не останавливаясь на этом
подробнее, отметим, что при общем рассмотрении вопроса здесь необ­
ходимо считаться с ограниченным запасом гладкости ; соответству­
ющие рассмотрения для некоторых классов задач имеются у С. Карлина
[3], [6].
Замечание 7. В теореме 6 ничего не говорилось о знаках собственных
значений, поскольку здесь возможны различные случаи. Однако в асимп­
тотическом плане вопрос решается определенно: все  , начиная с неко­
торого, совпадают по знаку с (−1)− . Хотя вопросы асимптотики не
являются предметом данной работы, остановимся на этом несколь­
ко подробнее, причем для удобства ссылок на известные результаты
(М. В. Келдыш [7], А. П. Хромов [8]) ограничимся случаем достаточно
гладких коэффициентов:  () ∈  − [, ],  = 1, . . . , . Тогда для () ≡ 1,
как известно,
 ∼ (−1)−   ( > 0;  → ∞),
(13.1)
где  зависит лишь от краевых условий. Соотношение (13.1) распро­
страняется на случай гладкой () > 0 с помощью стандартной замены
переменной [9] (в этом случае  в (13.1) зависит и от .) Однако нули
(), как известно, сильно осложняют исследование асимптотики, так
что наши предположения  > 0,  ∈ 1 являются слишком общими для
получения аналога (13.1). Эта трудность преодолевается с помощью
следующего простого соображения: при условии 3) применима теорема
4; поэтому, согласно теореме 4, 1∘ , знаки  однозначно определяются
числами  , которые, как и сама функция Грина, очевидно не зависят
от . Итак, в условиях теоремы 6 (т. е. при выполнении любого из
соотношений 1)—3)) знаки всех собственных значений не зависят от
() (> 0). Полагая () ≡ 1 и учитывая (13.1), получаем, что может
существовать лишь конечное число  , отличных по знаку от (−1)− .
250
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Удовлетворительную оценку числа таких  на этом пути получить,
по-видимому, трудно.
Как будет видно из дальнейшего, более точная информация о таких 
часто может быть получена на основе совершенно иных соображений — с
помощью теоремы 2, б).
′
Замечание 8. В силу сказанного переход к оператору   = +
+(−1)−  при достаточно большом  обеспечивает одинаковый знак
′
у всех собственных значений краевой задачи   = () при услови­
ях (12.2). Возникает естественный вопрос: не обеспечивает ли такая
«сдвижка параметра» осцилляционность с точностью до множителя
′
(−1)− соответствующей функции Грина  (, )? Положительный от­
вет на этот вопрос для уравнений второго порядка дан Ф. Р. Гантма­
хером и М. Г. Крейном [10]. Таким образом, при  = 2 «зазор» между
классами знакорегулярных и осцилляционных функций Грина не слиш­
ком велик: знакорегулярность (, ) = (, , 0) ( — резольвентное
ядро оператора  при заданных краевых условиях) влечет за собой ос­
цилляционность —(, , ) при достаточно больших . В общем случае
ответ отрицателен: при  > 2 и достаточно больших по модулю 
(любого знака) (, , ) заведомо не может быть даже знакорегуляр­
ной. На обосновании этого «негативного» факта подробнее не останав­
ливаемся; отметим лишь, что он свидетельствует о неправомерности
импликаций типа C → A, C → B (см. п. 1).
14. В теореме 6 дана характеристика связей между различными свой­
ствами краевой задачи, однако не указаны пути проверки выполнения ка­
кого-либо из этих свойств. Дальнейшая часть работы посвящена способам
такой проверки.
Наименьшие сложности возникают, если оператор и краевые условия
заданы в следующей специфической форме:
(=  ) ≡ 0

∑︀
 

1 . . . −1  ,
 

 (−1 )() = 0,
=1

∑︀
(14.1)
 = 1, 2, . . . , ,
(14.2)
 (−1 )() = 0,
 = 1, 2, . . . ,  − .
=1
Здесь 0 (), . . . ,  () — положительные и достаточно гладкие функции.
Операции в (14.1) производятся справа налево; операторы  определяются
251
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
соотношениями
0  = ,   =

(−+1 −1 )

( = 1, 2, . . . , ).
Если краевые условия являются неособыми для , то функцию Грина,
как и ранее, будем обозначать через (, ).
Известные до последнего времени достаточные условия знакорегуляр­
ности функции Грина (для уравнений произвольного порядка) относились
к задаче в форме (14.1)—(14.2). Эти условия даются двумя предложениями.
Первое относится к более частным, чем (14.2), краевым условиям
() = ()
˙
= . . . = (−1) () = () = ()
˙ = . . . = (−−1) () = 0.
(14.3)
Теорема 7 (Крейн). Пусть факторизация (14.1) имеет место внутри
интервала (, ), причем  -кратно непрерывно дифференцируемы внутри (, ). Если при некотором  (1 6  6 —1) краевые условия (14.3)
являются неособыми для , то (−1)− (, ) — осцилляционное ядро.
Данный результат сформулирован М. Г. Крейном в [5]; подробное обос­
нование его, видимо, не излагалось. Поскольку мы располагаем теоремами
2 и 6, это обоснование не представляет трудностей. Пусть вначале (14.1)
выполнено в замкнутом промежутке [, ] и  ∈   [, ]. Очевидные со­
ображения типа теоремы Ролля показывают, что для оператора (14.1) при
условиях (14.3) () > () для всех  ∈  и равенство здесь возможно
лишь при sign1  = (−1)− sign1  ( ̸≡ 0). Непонижение числа перемен
знака влечет за собой, согласно теореме 6, сильную знакорегулярность  в
(, )2 , а связь между sign1 , sign1  показывает, согласно теореме 2, что
(−1)−  ()+1 () > 0,
 = 0, 1, . . . ,
т. е. ядро (−1)−  осцилляционно. Отметим, кстати, что в этом случае
условия (14.3) заведомо являются неособыми [11].
Пусть теперь (14.1) выполнено лишь внутри (, ); докажем требуемое
утверждение от противного. Допустим, что ядро  = (−1)−  не яв­
ляется осцилляционным; это значит, что для некоторого натурального 
найдутся 1 , . . . ,  , 1 , . . . ,  такие, что  < 1 < . . . <  < ,  < 1 <
< . . . <  <  и
det ‖( ,  )‖1 < 0.
(14.4)
Пусть  (, ) — функция Грина для оператора  при краевых условиях
( + ) = . . . = (−1) ( + ) = ( − ) = . . . = (−−1) ( − ) = 0
252
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и  (, ) = (−1)−  (, ). Так как исходная задача по предположению
неособая, то  (, ) определена и непрерывна по  при достаточно малых
||. Отсюда и из неравенства (14.4), вытекает, что при достаточно малом ||
det ‖ ( ,  )‖1 < 0.
(14.5)
С другой стороны, при достаточно малом  > 0 факторизация (14.1) име­
ет место на замкнутом промежутке [ + , —], содержащем все точки
 ,  ( = 1, . . . , ). На основании сказанного выше ядро  должно быть
осцилляционным, что противоречит (14.5) и завершает доказательство.
Отметим, что случай, когда факторизация (14.1) может быть осуществ­
лена внутри (, ), но не на замкнутом промежутке [, ], означает сопря­
женность точек  и  в смысле теории неосцилляции [12], [13]. Отсюда,
в частности, вытекает, что хотя бы при одном  условия (14.3) заведомо
являются особыми; в то же время при других  задача, разумеется, может
быть неособой (если  > 2).
Теорема 8 (Калафати—Гантмахер—Крейн). Пусть факторизация (14.1)
имеет место в [, ] с  () ∈   [, ] ( = 0, . . . , ) и условия (14.2) явля­
ются неособыми для оператора . Если все отличные от нуля миноры
-го порядка матрицы
 = ‖(−1)  ‖
( = 1, . . . , ;  = 1, . . . , )
имеют одинаковые знаки и то же справедливо для миноров ( − )-го
порядка матрицы
 = ‖ ‖
( = 1, . . . ,  − ;  = 1, . . . , ),
то (−1)− (, ) является осцилляционным ядром.
Это утверждение (в несколько усложненной формулировке) доказал
П. Д. Калафати [4], отметивший, что одновременно к тому же результа­
ту пришли Ф. Р. Гантмахер и М. Г. Крейн. Позднее аналогичный результат
был получен также Дж. Кароном [14] (частично) и С. Карлином [6] (в
полном виде). Методы работ [4], [6] близки и связаны с довольно громозд­
кими выкладками. Применение общих теорем 2 и 6 позволяет значительно
упростить доказательство; подробнее на этом не останавливаемся.
Отметим, что получение факторизации (14.1) в явном виде предполага­
ет знание решений уравнения  = 0. Необходимое и достаточное усло­
вие осцилляционности ядра (—1)− (, ) в терминах поведения решений
уравнения  = 0 найдено недавно одним из авторов [15].
253
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. Если краевая задача задана в обычной форме (12.1)—(12.2), то ре­
зультаты предыдущего пункта не могут быть непосредственно применены.
Вопрос об условиях, при которых задачу из обычной формы можно преоб­
разовать к форме (14.1)—(14.2), сам по себе весьма нетривиален (за исклю­
чением некоторых простейших случаев).
Ниже будет развит иной подход, не связанный с факторизацией операто­
ра и краевых условий и не требующий знания решений уравнения  = 0.
Для довольно широкого класса задач на этом пути будут получены эф­
фективные «коэффициентные» условия знакорегулярности функции Грина
с вытекающими отсюда, согласно теореме 6, следствиями.
Обозначим через  количество краевых условий (12.2), в которых поря­
док старшей из производных не превосходит . Положим также ℎ = 2(−).
Следующее предложение послужит основным инструментом.
Лемма 10. Пусть для задачи (12.1)—(12.2) выполнены условия

∑︁
−1
| ()| < 1/2,
ℎ
=1
∑︁
∫︁
(15.1)

| |ℎ − < 1/2
( = 1, . . . , ).
(15.2)
<
Тогда для каждой функции () ∈ , удовлетворяющей условию
() >
max { −  },
066−2
(15.3)
имеет место неравенство
() > ().
(15.4)
Если же сверх того в (15.4) имеет место равенство (при 0 6 () < ∞),
то
sign1  = (−1)− sign1 .
(15.5)
Для доказательства (15.4) при () = ∞ отметим, что для любого  >
> 0 найдется промежуток  ⊂ [, ] длины <  такой, что (, ) = ∞.
С другой стороны, при малых  промежуток  должен быть промежутком
неосцилляции для  (т. е. нетривиальные решения уравнения  = 0 имеют
в  менее  нулей [13], [16]). Тогда, согласно теореме Пойа [11],  допускает
в  представление (14.1), откуда, ввиду (, ) = ∞ и соображений типа
теоремы Ролля, получаем (15.4).
Переходим к основному случаю () < ∞. Без ограничения общности
можно очевидно считать, что () ̸≡ 0. Итак, пусть () — произвольная
254
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
функция из  такая, что 0 6 () < ∞, и выполнено условие (15.3). Далее
для () при  = 0, . . . ,  − 1 мы определим числа () и построим наборы
точек
(15.6)
0 , 1 , . . . , () ( 6 0 < . . . < () 6 )
так, что из свойств этих наборов и условий теоремы будет следовать (15.4).
Через (), () будем обозначать количество краевых условий (14.2)
со старшей производной () (), () () соответственно. Очевидно
0 = (0) + (0),
 = −1 + () + ().
(15.7)
Построение чисел () и наборов (15.6) будет проводиться по индукции.
Положим (0) = (). Если (0) = 0, обозначим через 00 точку максиму­
ма |()| на [, ]. (Здесь и далее имеются в виду глобальные максимумы;
если точек, в которых достигается максимум, несколько, выбирается лю­
бая из них.) Если (0) > 0, то в [, ] найдутся точки 0 < . . . < (0)
такие, что ( )(+1 ) < 0,  = 0, . . . , (0) − 1. В качестве 0 выберем точ­
ку максимума () sign ( ) на промежутке [−1 , +1 ] ( = 0, . . . , (0)), где
−1 = , (0)+1 = .
Нетрудно видеть, что ( 6)00 < 01 < . . . < 0(0) (6 ) и при  = 0 имеют
место следующие соотношения:
Ik )
() ( )() (−1 ) < 0
при () > 0,  = 1, 2, . . . , ();
IIk )
|() ()|
при  6  6 0 , 0 6  6 ,
IIIk )
6 ℎ− |() (0 )|
|() ()| 6 ℎ− |() (() )|
() = 1 → |() ()| < |() (0 )|/2,
() = 1 → |() ()| < |() (() )|/2;
при () 6  6 , 0 6  6 ;
IVk ) () + () + () > () +  − .
(Соотношение IV0 следует из определения (0) и (15.7)).
Перейдем к определению () и наборов (15.6) при  > 0.
Предположим, что при  = 0, 1, . . . , —1 уже определены () и наборы
0 , . . . , () ( 6 0 < . . . < () 6 ), удовлетворяющие условиям Ii – VIi .
Ввиду IVk−1 и (15.3),
( − 1) + ( − 1) + ( − 1) > 1.
(15.8)
Определение () и набора (15.6) находится в зависимости от того, имеет
ли в (15.8) место равенство или нет. Рассмотрим эти случаи отдельно друг
от друга.
А. Рассмотрим сначала случай строгого неравенства в (15.8).
В этом случае 1—(—1) 6 (—1)—1 + ( − 1), а значит, ( =)
−1
1−(−1)
6 −1
(−1)−1+(−1) (=  ). Обозначим через  точку максимума
255
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
функции () () sign (−1) ( ) на [,  ], а через  — точку максимума
−() () sign (−1) ( ) на [ , ]. (Отметим, что эти максимумы, ввиду IIIk−1
и Ik−1 , отличны от нуля.)
Если теперь выполнены равенства
max |() ()| = |() ( )|,
(15.9)
max |() ()| = |() ( )|,
(15.10)
66
 66
то положим () = (—1) + (—1) + (—1)—1; если выполнено только
одно из них, то положим () = ( − 1) + ( − 1) + ( − 1); если же ни
одно из равенств (15.9), (15.10) не выполнено, то положим () = ( − 1) +
+ ( − 1) + ( − 1) + 1.
Далее, если выполнено (15.9), то положим 0 =  , в противном же слу­
чае положим 1 =  , а через 0 обозначим точку максимума |() ()| на
[,  ], Если 1—(—1) < ( − 1)—1 + ( − 1), то при каждом  = 1 −
− ( − 1), 2 − ( − 1), . . . , ( − 1) − 2 + ( − 1) какую-либо точку мак­

симума () () sign (−1) (−1
[−1
, −1
+1 ) на

+1 ] обозначим через +(−1) ,
когда (15.9) выполнено, и через +(−1)+1 когда (15.9) не выполнено. На­
конец, если выполнено (15.10), то положим () =  , в противном случае
положим ()−1 =  , а через () обозначим точку максимума |() ()| на
[ , ].
Легко видеть, что построенный набор точек удовлетворяет неравенствам
()
( 6)0 < 1 < . . . < () (6 ). Проверим справедливость условий Ik –IVk ,
обеспечивающих саму возможность построения подобных наборов.
Условие Ik вытекает непосредственно из построений, поэтому начнем с
IIk . Прежде всего отметим, что по определению точек 0 , () имеем
|() ()| 6 |() (0 )| ( 6  6 0 ),
|() ()| 6 |() (() )| (() 6  6 ).
(15.11)
Докажем неравенство
|(−1) ()| < ℎ|() ( )|
( 6  6 −1
1−(−1) ),
(15.12)
которое понадобится нам не только для проверки IIk , но и для других целей.
В случае ( − 1) = 0 из очевидного, ввиду Ik−1 , неравенства
max
−1
66−1

+1
|(−1) ()| 6
−1
6 (−1
)
+1 − 
max
−1
66−1

+1
256
−1
[() () sign (−1) (+1
)] (15.13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и определения  следует, что |(−1) ()| < ℎ|() ( )| (−1
6  6 −1
0
1 ).
Отсюда и из IIk−1 следует (15.12) при (—1) = 0.
В случае (—1) = 1 (15.12) следует из легко проверяемого неравенства
(−1)
|(−1) (−1
()| +
0 )| 6 |
ℎ
max [() () sign (−1) (−1
0 )]
2 660−1
с учетом IIIk−1 , IIk−1 и определения  .
Аналогичным образом устанавливается неравенство
|(−1) ()| < ℎ|() ( )|
(−1
(−1)−1+(−1) 6  6 ).
(15.14)
Из (15.12), (15.14) и определения 0 , () следует, что |(−1) ()| 6
(−1) ()| 6 ℎ|() ( )| (−1
6 ℎ|() (0 )| ( 6  6 −1
0 ), |
()
(−1) 6  6 ),
откуда с учетом (15.11) и IIk−1 получаем IIk .
Для доказательства IIIk отметим, что равенство () = 1 означает су­
ществование среди краевых условий (12.2) условия вида
∑︁
() () +
 () () = 0.
<
Отсюда, используя IIk , получаем
|() ()| 6 |() (0 )|
∑︁
| |ℎ− .
<
Из этого неравенства, ввиду (15.2), следует первая из импликаций IIIk .
Аналогично устанавливается и вторая из импликаций IIIk .
Из определения () следует, что
() > ( − 1) + ( − 1) + ( − 1) − 1.
(15.15)
Из (15.15), IVk−1 и (15.7) очевидным образом вытекает IVk .
Проверка условий Ik –IVk в случае А завершена.
В. Рассмотрим теперь случай равенства в (15.8).
В этом случае одно из чисел (—1), (—1), (—1) равно 1, а два
других равны нулю. Обозначим через  точку из [, ], в которой
(—1)(−1)+1 () () sign (−1) (0−1 ) принимает максимальное значение (вви­
ду Ik−1 , IIIk−1 оно отлично от нуля). Если справедливы равенства
max |() ()| = |() ( )|,
(15.16)
max |() ()| = |() ( )|,
(15.17)
66
 66
то положим () = 0, если справедливо только одно из них, то положим
() = 1, если же ни одно из равенств (15.16), (15.17) не выполнено, то
положим () = 2.
257
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Далее, если выполнено (15.16), то полагаем 0 =  , в противном же
случае положим 1 =  , а через 0 обозначим точку максимума |() ()| на
[,  ]. Наконец, если выполнено (15.17), то полагаем () =  , в противном
случае полагаем ()−1 =  , а в качестве () возьмем точку максимума
|() ()| на [ , ].
Очевидно, что ( 6)0 < . . . < () (6 ) (при () > 0).
Условия Ik –IVk устанавливаются в случае В почти так же, как и в
случае А. Небольшое отличие имеется лишь при проверке IIk : в случае В
вместо (15.12), (15.14) используется неравенство
|(−1) ()| 6 ℎ|() ( )|
( 6  6 ).
(15.18)
Если () = 1, то ( − 1) = ( − 1) = 0 и (15.18) доказывается так же,
как доказывалось (15.12) при (—1) = 0 (естественно, с заменой  на  ).
Если () = 0, то либо ( − 1), либо ( − 1) равно 1 и (15.18) доказы­
вается так же, как доказывалось (15.12) при ( − 1) = 1.
Проверка условий Ik , IIIk , IVk в случае В ничем не отличается от случая
А.
Итак, построенный набор (15.16) и в случае А, и в случае В удовле­
творяет условиям Ik –IVk . Таким образом, наши построения корректны при
всех  = 0, 1, . . . ,  − 1.
Будем при  = 0, 1, . . . ,  − 1 полагать −1 = , ()+1 = . Покажем,
−1
что если при некотором  (1 6  6  − 1) два отрезка [−1
, +1
] и



[ , +1 ] (−1 6  6 ( − 1), −1 6  6 ()) имеют общие точки, то
max
−1
66−1

+1
{|(−1) ()|} 6 ℎ max{|() ( )|, |() (+1 )|}.
(15.19)
В случае В это вытекает из (15.18) и определения точек 0 , . . . , () .
Пусть имеет место случай А. Если −1 6  6 −( − 1), то по опре­
делению наборов (15.16) одна из точек  , +1 совпадает либо с  , либо
с 0 . Тогда (15.19) следует из (15.12) и определения 0 . Аналогично (15.19)
проверяется при ( − 1) − 1 + ( − 1) 6  6 ( − 1). Если −( − 1) <
<  < ( − 1) − 1 − ( − 1), то либо  , либо +1 принадлежит [−1
, −1

+1 ]
и тогда (15.19) вытекает из (15.13).
Из доказанного соотношения (15.19) следует, в частности, что при  =
= 0, . . . ,  − 2
max
66−1
−1

+1
−1
{|() ()|} 6 ℎ−1− max{|(−1) (−1 )|, |(−1) (+1
)|}. (15.20)
Докажем теперь, что
() > (—1) + (—1) + (—1) − 1
258
(15.21)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и равенство возможно лишь при
(−1)(−1) (−1) (−1
) sign1  < 0.
0
(15.22)
Очевидно, для этого достаточно показать, что
(−1) () sign (−1) (0−1 ) > 0
(15.23)
−1
на некотором множестве ненулевой меры в [−1
] при каждом  =
−1 , 
= 1, . . . , ( − 1), а также при  = 0, если ( − 1) = 1, и при  = ( − 1) + 1,
если ( − 1) = 1.
Доказательство последнего будем вести методом «от противного». Пусть
−1 −1
вначале для некоторого  (1 6  6 ( − 1)) почти всюду на [−1
,  ]
(−1) () sign (−1) (0−1 ) 6 0.
(15.24)
−1
Тогда почти всюду на [−1
]
−1 , 

()
() sign 
(−1)
(−1
)

6

∑︁
| ()||− ()|.
(15.25)
=1
′
′′
−1
Пусть  — первый нуль (−1) () справа от −1
,  — первый нуль (−1) ()
−1
−1 −1
слева от  . Из определения точек 0 , 1 , . . . , −1
(−1) ясно, что
′
−1
|(−1) ()| 6 |(−1) (−1
−1 )| при  ∈ [−1 ,  ],
′′
|(−1) ()| 6 |(−1) (−1
)| при  ∈ [ , −1 ].

′
′′
−1
Отсюда и из (15.20), (15.25) следует, что при  ∈ [−1
]
−1 ,  ] ∪ [ , 

()
() sign 
(−1)
(−1
)

{︀
6 max |
(−1)

}︀ ∑︁
(−1) −1
(−1
( )|
−1 )|, |
ℎ−1 | ()|.
=1
Интегрируя левую часть по
получим неравенство
′
[−1
−1 ,  ]
′′
∪ [
, −1 ],
а правую часть по [, ],
{︀ (−1) −1
}︀
|(−1) (−1
)| + |(−1) (−1
(−1 )|, |(−1) (−1
)| ×

−1 )| 6 max |

×

∑︁
=1
−1
∫︁
| ()|,
ℎ

которое противоречит (15.1). Таким образом, при  = 1, . . . , (—1) (15.24)
−1
не может выполняться почти всюду на [−1
].
−1 , 
259
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предположим теперь, что ( − 1) = 1 и (15.24) (а значит, и (15.25)) вы­
полнено почти всюду на [, −1
]. Тогда из IIn−1 , (15.20) и (15.25) получаем,
0
что почти всюду на [, −1
]
0
()

() sign 
(−1)
(−1
)
0
6 |
(−1)
(0−1 )(0−1 )|

∑︁
ℎ−1 | ()|.
=1
Отсюда
)| − |(−1) ()| 6 |(−1) (0−1 )|
|(−1) (−1
0

∑︁
ℎ−1
=1
∫︁
| ()|

и, ввиду IIIn−1 ,

∑︁
1 (−1) −1
)|
ℎ−1
|
(0 )| < |(−1) (−1
0
2
=1
∫︁
| ()|

что опять-таки противоречит (15.1).
Аналогично рассматривается случай (−1) = 1. Таким образом, (15.23)
−1 −1
имеет место на некоторых множествах ненулевой меры в [−1
,  ] при
каждом  = 1, 2, . . . , ( − 1), а также при  = 0, если ( − 1) = 1, и при
 = ( − 1) + 1, если ( − 1) = 1. Следовательно, имеет место (15.21),
причем равенство в (15.21) возможно лишь при выполнении (15.22).
Из соотношения IVn−1 и определения  следует, что
( − 1) > () − ( − 1) − ( − 1) + 1.
(15.26)
Само неравенство IVn−1 выводилось как следствие (15.15), так что равен­
ство в (15.26) возможно лишь в случае равенства в (15.15) при всех  =
= 1, 2, . . . ,  − 1. С другой стороны, из определения () и 0 следует, что
() 
равенство в (15.15) возможно лишь при (−1)(−1) (−1) (−1
0 ) (0 ) < 0.
Отсюда нетрудно заключить, что равенство в (15.26) возможно лишь при
(−1)−−(−1) (00 )(−1) (0−1 ) < 0.
(15.27)
Из неравенств (15.21) и (15.26) следует (15.4), а так как равенство в
(15.21) возможно лишь при (15.22), а в (15.26) лишь при (15.27), то равен­
ство в (15.4) возможно лишь при (15.5). Лемма 10 доказана.
16. Теперь нетрудно установить следующее предложение.
Теорема 9. Пусть для задачи (12.1)—(12.2) выполнены неравенства (15.1),
(15.2). Если условия (12.2) таковы, что
 > 
( 6  − 2),
260
(16.1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
то все собственные значения  задачи (12.1)—(12.2) вещественны,
0 6 |1 | < (−1)− 2 < (−1)− 3 < (−1)− 4 < . . . ,
(16.2)
и для собственных функций справедливы утверждения 2∘ , 3∘ теоремы 6.
Если вдобавок (16.1) выполняется в усиленной форме
 > 
( = 0, . . . ,  − 2),
(16.3)
то (−1)− 1 > 0 и оператор  при краевых условиях (12.2) обладает
функцией Грина (, ) такой, что (−1)−  — осцилляционное ядро.
Отметим сразу, что при  = 2, 3 условие (16.1) выполняется автомати­
чески. Таким образом, теорема показывает, в частности, что для уравнений
второго и третьего порядков «в малом» (т. е. при достаточной близости  к
) всегда имеет место соответствующий комплекс свойств. Для уравнений
четвертого порядка это, вообще говоря, уже не так. Например, задача
(4) + ˙ = ,
...
...

¨() + () =  () + ()
˙
=
¨() + () =  () + ()
˙
=0
при любой близости  к  заведомо имеет два невещественных собственных
значения 1 ±  (условие (16.1) здесь не выполнено, так как 1 = 0 < 1).
Доказательство теоремы. Пусть выполнены условия (15.1), (15.2) и
(16.1). Предположим сначала, что задача (12.1)—(12.2) является неособой.
Тогда оператор  не понижает числа перемен знака на любой функции
 ∈ : при () > 0 это вытекает из леммы 10, а при () = 0 — из
того, что задача неособая и, следовательно, () > 0. Таким образом, вы­
полнены условия теоремы 6. Отсюда следуют сильная знакорегулярность
функции Грина, вещественность и простота собственных значений, требуе­
мые свойства собственных функций. Что касается знаков 2 , 3 , . . . , то для
получения (16.2) достаточно сопоставить лемму 10 с теоремами 2 б) и 4.2∘ .
Пусть теперь 1 = 0 есть собственное значение задачи (12.1)—(12.2).
Так как спектр ее состоит из изолированных точек, то при достаточно
малых  > 0 краевая задача, порожденная условиями (12.2) и возмущенным
уравнением
  ≡  + () = ()
(16.4)
будет неособой. Эта задача имеет те же собственные функции, что и исход­
′
ная, и собственные значения  =  + . Условия (15.2), (16.1) для новой
задачи, конечно, не нарушаются, а при достаточно малом  сохраняется и
(15.1). Таким образом, по доказанному выше собственные функции задачи
261
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(16.4)—(12.2), а следовательно, и задачи (12.1)—(12.2) обладают требуемыми
свойствами; кроме того,
0 < |1 + | < (−1)− (2 + ) < (−1)− (3 + ) < . . . .
Ввиду произвольной малости  отсюда следует (16.2).
Пусть теперь выполнены соотношения (15.1), (15.2), (16.3). Тогда в силу
леммы 10 оператор  не понижает числа перемен знака в  и при () =
= () > 0 выполняется (15.5). В силу теоремы 6 задача (12.1)—(12.2)
обладает в этом случае сильно знакорегулярной в I1 × I2 функцией Грина
(, ); осцилляционность (−1)− (, ) опять-таки обеспечивается тео­
ремами 2 б) и 4.2∘ . Теорема 9 доказана.
17. Завершим работу несколькими замечаниями. Примененный выше
способ перехода от неповышения числа перемен знака к спектральным
свойствам проходил, в терминах п. 1, по схеме A → B → C или, подроб­
нее, A → B1 → B2 → C, где B1 , B2 — соответственно знакорегулярность
и сильная знакорегулярность функции Грина. Отдельные переходы здесь, в
свою очередь, получаются комбинированием различных соображений, так
что вся схема не отличается простотой. Было бы интересно выяснить, нет
ли более простых путей от A к C, не связанных с интегральным представле­
нием оператора. При этом для получения, скажем, простоты собственных
значений должна как-то учитываться специфика операторов, обратных к
дифференциальным, тогда как для вещественности спектра, видимо, важ­
на лишь полная непрерывность. Отметим, что одной непрерывности здесь
недостаточно. Действительно, непрерывный в [0, 1] вещественный опера­
тор (K)() = (/2) (0 6  6 1) очевидно не повышает числа перемен
знака; в то же время спектр его не является вещественным (этот спектр
совпадает с единичным кругом).
Результаты типа теоремы 9 могут быть полезны, в частности, при изуче­
нии асимптотического поведения решений  = (, ) уравнения в частных
производных
2
= () ( > 0,  6  6 ),
(17.1)
 2
где  — знакопостоянна, 1/ ∈ 1 [, ],  — дифференциальный оператор
по  вида (11.1). При  = ,  =  на  накладываются краевые условия
вида (12.2). При исследовании вопроса об устойчивости, т. е. об ограни­
ченности решений (17.1) при  → ∞, в приложениях обычно довольству­
ются (см., например, [17]) проверкой ограниченности всех решений вида
(,  ) = ()( ) (а следовательно, и их линейных комбинаций). При та­
ком несколько упрощенном определении устойчивость, очевидно, сводится
262
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
к отрицательности собственных значений задачи
 =  −1 ()
(17.2)
с краевыми условиями (12.2) и отсутствию присоединенных функций. Ес­
ли уравнение (17.1) описывает колебания упругой консервативной системы,
то задача (17.2)—(12.2) самосопряжена и проверке подлежит лишь положи­
тельная определенность оператора −. В неконсервативном случае задача
существенно усложняется ввиду несамосопряженности. В силу теоремы 9
выполнение условий (15.1), (15.2), (16.3) и неравенства (−1)−  < 0 обес­
печивает устойчивость независимо от того, консервативна система или нет.
Требование малости промежутка, содержащееся в теореме 9, отражает (для
одномерного случая) тот факт, что малые размеры объекта обычно препят­
ствуют возникновению в нем нарастающих колебаний.
Литература
1. Левин, А. Ю. Одномерные краевые задачи с операторами, не понижа­
ющими числа перемен знака. I / А. Ю. Левин, Г. Д. Степанов // Сиб.
матем. журн. — 1976. — Т. 17, № 3. — С. 606—626.
2. Крейн, M. Г. О вполне неотрицательных функциях Грина обыкновенных
дифференциальных операторов / M. Г. Крейн, Г. М. Финкельштейн //
ДАН СССР. — 1939. — Т. 24, № 3. — С. 220—223.
3. Karlin, S. Total positivity / S. Karlin. — Stanford univ. press edition. —
1968. — Vol. 1. — 576 p.
4. Калафати, П. Д. О функциях Грина обыкновенных дифференциальных
уравнений / П. Д. Калафати // ДАН СССР. — 1940. — Т. 26, № 6. —
С. 535—539.
5. Кpeйн, М. Г. О несимметрических осцилляционных функциях Грина
обыкновенных дифференциальных операторов / М. Г. Кpeйн // ДАН
СССР. — 1939. — Т. 25, № 8. — С. 643—646.
6. Karlin, S. Total positivity, interpolation by splines, and Green’s functions
of differential operators / S. Karlin // J. Approximation Theory. — 1971. —
Vol. 4. — P. 91—112.
7. Келдыш, М. В. О собственных значениях и собственных функциях
некоторых классов несамосопряженных уравнений / М. В. Келдыш //
ДАН СССР. — 1951. — Т. 77, № 1. — С. 11—14.
8. Хромов, А. П. Разложение по собственным функциям обыкновенных
линейных дифференциальных операторов с нерегулярными распадаю­
щимися краевыми условиями / А. П. Хромов // Матем. сб. — 1966. —
Т. 70(112), № 3. — С. 310—329.
9. Наймарк, М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Най­
марк. — 2-е изд. — М.: Наука, 1969. — 528 с.
263
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. Гантмахер, Ф. Р. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колеба­
ния механических систем / Ф. Р. Гантмахер, M. Г. Крейн. — М.; Л.:
Гостехиздат, 1950. — 360 с.
11. Polia, G. On the mean-value theorem corresponding to a given linear
homogeneous differential equation / G. Polia // Trans. Amer. Math. Soc. —
1924. — Vol. 24. — P. 312—324.
12. Coppel, W. A. Disconjugacy. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 220 /
W. A. Coppel. — Berlin-Heidelberg-New York: Springer Verlag, 1971. —
147 p.
13. Левин, А. Ю. Неосцилляция решений уравнения () + 1 ()(−1) +
+ · · · +  () = 0 / А. Ю. Левин // УМН. — 1969. — Т. 24, № 2(146). —
С. 43—96.
14. Karon, J. M. The sign-regularity properties of a class of Green’s functions
for ordinary differential equations / J. M. Karon // J. Differ. Equations. —
1969. — Vol. 6. — P. 484—502.
15. Степанов, Г. Д. Критерий осцилляционности функции Грина двухто­
чечной краевой задачи / Г. Д. Степанов // ДАН СССР. — 1973. — Т. 213,
№ 4. — С. 793—794.
16. Hartman, P. On disconjugacy criteria / P. Hartman // Proc. Am. Math.
Soc. — 1970. — Vol. 24. — P. 374—381.
17. Болотин, В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчиво­
сти / В. В. Болотин. — М.: Физматгиз, 1961. — 339 с.
264
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14. О реализуемости стохастического
многопродуктового потока15
1. Под задачей о реализуемости многопродуктового потока ниже понима­
ется следующее. Дана сеть — ориентированная или неориентированная с
узлами 1 , 2 , . . . ,  и заданной пропускной способностью  каждого
канала ( ,  ). Из  в  должно быть перевезено  единиц продукта
 , 1 6 ,  6 ;  ̸= . Требуется проверить возможность реализации этого
плана перевозок по данной сети.
Все ( − 1) продуктов  предполагаются различными (впрочем, не
меняя существа дела, число их можно снизить до , если отождествить
продукты 1 , 2 , . . . ,  , исходящие из одного узла  ). Подобная ситуа­
ция достаточно характерна, например, для информационных потоков в се­
тях связи. Приведенная задача, будучи типичной проблемой допустимости,
тесно связана, конечно, с различными вариантами оптимизационных задач
для многопродуктовых потоков.
Решение задачи о реализуемости в общем виде представляет значитель­
ные трудности. В частности, использование аппарата линейного программи­
рования малоэффективно, так как возникает задача размерности 3 . Тех­
ника, развитая для одно- и двухпродуктовых потоков (см., например, [1, 2]),
при большем числе продуктов, как известно, неприменима. Эффективные
алгоритмы для ряда частных случаев, когда накладываются специальные
ограничения либо на структуру сети, либо на структуру требований, пред­
ложены в работах [3, 4]. Общей чертой рассмотренных в [1–4] классов
задач является в терминологии [4] их «разрезность», т.е. справедливость
аналога теоремы Форда—Фалкерсона о максимальном потоке и минималь­
ном разрезе. Как известно (см., например, [2]), в общем случае разрезность
не имеет места.
2. В настоящей работе рассматривается рандомизация приведенной выше
задачи. Именно, будем считать, что пропускные способности  (> 0)
— одинаково распределенные случайные величины, объемы перевозок 
(> 0) — также одинаково распределенные случайные величины и все вели­
чины  ,  независимы в совокупности. Конкретный вид распределений
величин  =  и  =  не имеет значения для дальнейшего; потребуем
лишь, чтобы  6 < ∞,   6 < ∞.
В такой стохастической постановке удается дать легко проверяемый
асимптотический критерий реализуемости многопродуктового потока, а так­
же указать (для случая реализуемости) эффективный метод распределения
15
Копылов Г. Н., Левин А. Ю. О реализуемости стохастического многопродуктового по­
тока // ДАН СССР. — 1984. — Т. 276, № 5. — С. 1053—1055. (Представлено академиком
Л. В. Канторовичем 13 IV 1983.)
265
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
потоков отдельных продуктов, обеспечивающий выполнение плана.
Для ориентированных сетей, т.е. для таких сетей, где каналы ( ,  ) и
( ,  ) различны, критерий удобно формулировать в терминах распределения величины =− (т.е.  распределена как  − при любых , ).
Теорема. Если
 || < 3 ,
(1)
то с вероятностью, стремящейся к 1 ( → ∞), стохастический много­
продуктовый поток реализуем.
Если же
 || > 3 ,
(2)
то с вероятностью, стремящейся к 1 ( → ∞), стохастический много­
продуктовый поток не реализуем.
Таким образом, теорема дает полный ответ на вопрос об асимптотиче­
ской реализуемости, за исключением случая  || = 3 , когда асимпто­
тическая реализуемость может иметь (сюда относится случай постоянных
 ,  ) или не иметь места. Здесь и далее термин «асимптотическая» озна­
чает, что соответствующая вероятность стремится к 1 при  → ∞.
Аналогичный критерий справедлив и для неориентированных сетей, в
которых канал, соединяющий произвольную пару вершин ( ,  ), един­
ствен (и его пропускная способность  является верхней границей для
суммарного объема перевозок по каналу в обоих направлениях). Именно,
теорема остается в силе для неориентированных сетей, если в качестве 
взять случайную величину, распределенную как  −  −  .
В частности, для  и , распределенных по показательному закону с
параметрами  и  соответственно,
√ поток в ориентированной сети асимп­
тотически√реализуем при  / > 2 и асимптотически не реализуем при
 / < 2. Для √
неориентированной сети поток асимптотически реализуем
√
при  / > 1 + 3 и асимптотически√не реализуем при  / < 1 + 3.
Отметим, что в случае √
1 <  / < 2 для ориентированной сети (и в
случае 2 <  / < 1 + 3 для неориентированной сети) поток асимптоти­
чески не реализуем, хотя имеет место асимптотическая допустимость всей
совокупности разрезов.
3. Наметим вкратце доказательство теоремы. Для определенности огра­
ничимся ориентированным случаем. Пусть выполнено (1). В этом случае
доказательство асимптотической реализуемости потока будет носить кон­
структивный характер: мы явно укажем алгоритм распределения перевозок,
обеспечивающий асимптотическую реализацию потока.
На первой стадии алгоритма все, что возможно, перевозится по пу­
тям длины 1. Именно, при всех , , 1 6 ,  6 ;  ̸= , находим  =
= min{ ,  } и отправляем  единиц продукта  по каналу ( ,  ).
266
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
′ =  − 
После этого найдем остаточную пропускную способность 


′ =  − 
канала ( ,  ) и остаточный объем 

 продукта  . Таким
образом от исходной (, )-задачи мы перейдем к (′ ,  ′ )-задаче, в которой
′  ′ = 0). Отме­
ничего нельзя перевезти по путям длины 1 (так как ∀,  

тим, что обе эти задачи разрешимы или неразрешимы одновременно и этот
этап целесообразен независимо от каких-либо предположений о величинах
, . На второй стадии алгоритма оставшиеся перевозки будем реализовать
по путям длины 2. Оказывается, это можно сделать (с вероятностью, близ­
кой к 1 при  ≫ 1), распределяя их между этими путями пропорционально
произведению остаточных пропускных способностей каналов путей.
В терминах ′ ,  ′ неравенство (1) приобретает вид  ′ > 2  ′ , по­
скольку
3 − || = 2(′ − 2 ′ ).
(3)
В случае   ′ = 0 все перевозки уже выполнены. Предполагая   ′ > 0,
выберем произвольное  > 0 такое, что  ′ /2  ′ > 1 + .
При любых , , 1 6 ,  6 ;  ̸= , существует  − 2 путей
 →  →  , 1 6  6 ;  ̸= , , длины 2 из  в  . На каждом канале
( ,  ), ( ,  ) каждого такого пути будем резервировать для продукта
 пропускную способность


=
′
1 +  
′ ′ .
 − 2 ( ′ )2  
Можно показать, что такой способ действий обеспечит асимптотическое
решение, а именно, с вероятностью, стремящейся к 1 при  → ∞:
а) резервированной пропускной способности будет достаточно для пере­
возки каждого продукта, т.е.
∑︁

′
∀, 

> 
;
̸=,
б) не произойдет перегрузки ни одного канала, т.е.
∑︁ 

′
∀, 
( + 
) 6 
;
̸=,
При доказательстве используется следующая несложная
Лемма. Пусть 1 , 2 , . . . — одинаково распределенные центрированные
независимые случайные величины, причем   6 < ∞. Тогда
(︃
)︃

1 ⃒⃒ ∑︁ ⃒⃒
∀ > 0 
 ⃒ >  = (−3 ),  → ∞.
⃒

=1
267
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Переходя ко второй части теоремы, покажем, что при выполнении (2)
задача асимптотически неразрешима.
′  ′ = 0 для всех , , то для перевозки каждого продукта
Так как 

требуется не менее двух каналов. Отсюда следует, что для реализуемости
потока необходимо выполнение неравенства
∑︁
∑︁
′
′

>2

.
(4)


Пусть выполнено (2), что в силу (3) эквивалентно неравенству
 ′ < 2  ′ .
(5)
∑︁
′
′
(
− 2
) > 0,
(6)
Переписывая (4) в виде

получим в левой части сумму (−1) независимых одинаково распределен­
ных слагаемых, причем математическое ожидание каждого из них отрица­
тельно в силу (5). Согласно закону больших чисел вероятность выполнения
(6) стремится к 0 при  → ∞.
4. Изложенный выше принцип — перевозить продукты по путям возможно
меньшей длины, распределяя их между путями одной длины пропорцио­
нально произведению пропускных способностей — находит применение и
за рамками выбранной модели сети. Так, результаты, аналогичные при­
веденной выше теореме, могут быть получены для стохастических сетей
другой структуры (в частности, двудольных). Кроме того, для достаточ­
но широкого класса сетей (не обязательно стохастических) этот принцип
можно использовать в качестве полезной эвристики.
Авторы выражают благодарность В. И. Абдулаеву, обратившему их вни­
мание на затронутые выше вопросы.
Литература
1. Форд, Л. Р. Потоки в сетях / Л. Р. Форд, Д. Р. Фалкерсон. — М.: Мир,
1966. — 276 с.
2. Xy, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях / Т. Xy. —
М.: Мир, 1974. — 520 с.
3. Гайнуллин, В. Р. Распределение многопродуктовых потоков в цикле /
В. Р. Гайнуллин // Межвузов. темат. сб.: Эвристические алгоритмы оп­
тимизации. — Ярославль: ЯрГУ, 1981. — С. 20—25.
4. Комбинаторные методы в потоковых задачах: Сб. трудов / Под ред.
А. В. Карзанова. — М.: ВНИИ системных исследований, 1979. —
Вып. 3. — С. 6—70.
268
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. Абсолютная неосцилляционная устойчивость
и смежные вопросы16
Рассматриваются классы уравнений
 ≡ () + 1 ()(−1) + · · · +  () = 0,
определяемые неравенствами (0 <) 6  () 6  ,  = 1, . . . , . До­
казано следующее: для того чтобы все решения любого уравнения из
этого класса не колебались и стремились к 0 при  → ∞, необходимо
и достаточно, чтобы многочлены
 + 1 −1 + 2 −2 + 3 −3 + . . . ,
 + 1 −1 + 2 −2 + 3 −3 + . . .
имели только вещественные корни. Аналогичный критерий получен
для того, чтобы все нетривиальные решения удовлетворяли условию
|()| → ∞ при  → ∞. Исследуется оператор −1 , действующий в про­
странстве ограниченных на (−∞, ∞) функций. Большинство результа­
тов существенно связано с теорией неосцилляции.
Ниже подробно излагается результат, приведенный в [1], и рассматрива­
ются дополнительные свойства введенных в [1] классов дифференциальных
операторов -го порядка.
1. Пусть
 = (1 , . . . ,  ),  = (1 , . . . ,  ), 0 <  6  ,  = 1, . . . , .
(1)
Обозначим через Ω(, ) класс операторов
 ≡ () + 1 ()(−1) + · · · +  ()
(2)
с коэффициентами, удовлетворяющими неравенствам
 6  () 6  ,
 = 1, . . . ,  ( > 0 )
(3)
при некотором 0 (> −∞). Для простоты  () можно считать непрерывны­
ми, но фактически достаточно измеримости при обычных оговорках ((−1)
абсолютно непрерывна, неравенства (3) и дифференциальные уравнения
выполняются почти всюду на (0 , ∞) ).
Рассмотрим уравнение
 = 0 ( > 0 ).
16
(4)
Левин А. Ю. Абсолютная неосцилляционная устойчивость и смежные вопросы // Ал­
гебра и анализ. — 1992. — Т. 4, № 1. — С. 154—166.
269
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема 1. Для того, чтобы при любом  ∈ Ω(, ) все решения уравне­
ния (4) не колебались и стремились к нулю при  → ∞, необходимо и
достаточно, чтобы многочлены
1 () =  + 1 −1 + 2 −2 + 3 −3 + . . . ,
2 () =  + 1 −1 + 2 −2 + 3 −3 + . . .
имели только вещественные корни.
Последнее условие проверяется без труда с помощью классического крите­
рия Штурма. Наряду с обычной алгоритмической формой этого критерия
иногда удобна иная, связывающая вещественность корней многочлена со
знаками определителей, составленных из его коэффициентов (см., напри­
мер, [2, 3]).
Все вещественные корни 1 , 2 , разумеется, отрицательны в силу по­
ложительности  ,  ,  = 1, . . . , . Последнее требование не ограничивает
общности: если  6 0 для некоторого , класс Ω(, ) не может обладать
требуемыми свойствами (так как можно положить  () ≡  ,  = 1, . . . , ).
Тот факт, что  ∈ Ω(, ), причем 1 и 2 имеют лишь вещественные
корни, далее кратко записывается в виде  ∈ Ω (, ) или просто  ∈ Ω .
Неколебательность в формулировке теоремы 1 можно понимать как ко­
нечность числа нулей на [0 , ∞) у каждого нетривиального решения. Фак­
тически при  ∈ Ω имеет место более сильное утверждение.
Теорема 2. Если  ∈ Ω , то расширенная полуось [0 , ∞] есть промежу­
ток неосцилляции для ; в частности, каждое нетривиальное решение
уравнения (4) имеет менее  нулей (с учетом кратности) на [0 , ∞).
Нули решений при  = ∞ понимаются как обобщенные [4] (см. также
[5, 6]). Напомним вкратце суть дела. Пусть (, ) (−∞ 6  <  6 ∞)
— интервал неосцилляции для , т.е. нетривиальные решения уравнения
 = 0 имеют менее  нулей на (, ). Тогда существуют иерархические
фундаментальные системы (ИФС) при  → , т.е. такие системы решений
1 (), . . . ,  () уравнения  = 0, что 1 , . . . ,  положительны вблизи  и
 = (+1 ),
 = 1, . . . ,  − 1 ( → )
(5)
(см.[4, 7]). Решению  = ( ) ( → ) приписывается в точке  = 
нуль кратности , где  — наибольшее целое, при котором  = (+1− )
( → ). Аналогично определяются обобщенные нули для  = , a также
для решений неоднородного уравнения  = . (В случае несингулярных
концов ,  обобщенные нули совпадают с обычными).
В частности, в условиях теоремы 2 любое нетривиальное решение, име­
ющее  − 1 нулей на [0 , ∞), обладает минимальной (по порядку) скоростью
270
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стремления к нулю при  → ∞, тогда как, скажем, решение с максималь­
ной (для  ̸≡ 0) скоростью стремления к нулю при  → ∞ вообще не имеет
нулей на [0 , ∞).
Теоремы 1 и 2 (в основной части) сохраняют силу для квазилинейных
уравнений, включая уравнения с запаздыванием и т.п. В самом деле, при
выполнении (3) возможная зависимость коэффициентов  , помимо  и от
других аргументов, например от , . . . , (−1) , не влияет, очевидно, на ре­
зультат. При желании подчеркнуть эту сторону дела можно говорить не об
уравнениях, а о дифференциальных включениях или неравенствах.
Теорема 1 близка по характеру к теории абсолютной устойчивости (см.,
например, [8]). Естественно называть классы Ω (, ) — или соответству­
ющие параллелепипеды в R — областями абсолютной неосцилляционной
(неколебательной, апериодической) устойчивости. Из дальнейшего будет
видно, что устойчивость эта носит экспоненциальный характер: как реше­
ния, так и их производные до -го порядка при  ̸=  имеют вид (  ),
где  (< 0) — наибольший из корней 1 , 2 .
Связь между неосцилляцией и абсолютной устойчивостью затрагива­
лась в [9].
2. Для доказательства теорем нам помимо известных результатов теории
неосцилляции потребуется один факт, относящийся к взаимному располо­
жению корней двух многочленов
() =   + 1  −1 + · · · + −1  +  ,
* () =   + 1  −1 + · · · + −1  +  .
Лемма 1. Пусть многочлены  и * (̸≡ ) имеют только положитель­
ные корни 1 , . . . ,  и *1 , . . . , * соответственно (0 < 1 6 · · · 6  ,
0 6 *1 6 · · · 6 * ). Если
 6  ,
(6)
 = 1, . . . , ,
то эти корни попарно перемежаются:
 >
*
>
*−1
> −1 > −2
{︃
*1 > 1
> ··· >
1 > *1
( четно),
( нечетно).
(7)
Следствие 1. При  > 2, 1 6  6  − 2, в каждом интервале (* , *+2 )
лежат ровно два корня  (с учетом кратности).
271
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Хотя лемма носит элементарный характер (и, возможно, не нова), при­
ведем ее доказательство. Так как  ̸≡ * , то в силу (6)
() < * ()
( > 0)
(8)
Отсюда следует утверждение леммы при  = 1, 2. Для  > 3 воспользуемся
индукцией. Пусть лемма доказана для многочленов степени  − 1.
Вначале рассмотрим случай четного . Все  корней * лежат в объ­
единении /2 интервалов
(1 , 2 ), (3 , 4 ), . . . , (−1 ,  )
(9)
так как вне этого объединения * >  > 0 в силу (8). По той же причине
в каждом из интервалов (9) лежит четное число корней * . Покажем, что
это число равно двум.
Предположим противное. Тогда найдется интервал (−1 ,  ), содержа­
щий не менее 4 корней многочлена * , а значит, не менее 3 корней его
производной * ′ . По теореме Ролля в том же интервале содержится ров­
но один корень ′ (так как корни  вещественны). Отсюда, в частности,
′ ̸≡ * ′ . Многочлены ′ /, * ′ / удовлетворяют условиям леммы (при
′ =  − 1): корни их положительны и выполнены требуемые неравенства
между коэффициентами согласно (6). В силу предположения индукции и
следствия 1 в интервале (−1 ,  ), содержащем не менее 3 корней * ′ ,
лежит не менее 2 корней ′ . Это противоречит сказанному выше.
Пусть теперь  нечетно. Все  корней * лежат в объединении интер­
валов
(0, 1 ), (2 , 3 ), . . . , (−1 ,  ),
(10)
так как вне этих интервалов * () > 0() >  ( > 0). Ясно, что в (0, 1 )
лежит нечетное число корней * , a в остальных интервалах (10) — чет­
ное. Покажем, что в (0, 1 ) лежит один корень * , а во всех остальных
интервалах — по 2.
Предположим противное. Тогда либо в (0, 1 ) лежит не менее 3 корней
*
 , либо в одном из остальных ( − 1)/2 интервалов — не менее 4. Послед­
нее невозможно, как показано выше. Первый вариант также исключается
— он означал бы, что в интервале (0, 1 ), т.е. левее всех корней ′ , лежит
не менее двух корней * ′ . Это противоречит предположению индукции,
отнесенному к ′ /, * ′ /. Лемма доказана.
Для справедливости леммы существенно, что система функций  () =
=   ,  = 0, . . . , , является (+)-декартовой на (0, ∞), т.е. вронскиан любой
подсистемы 1 , . . . ,  (0 6 1 < · · · <  6 ) положителен на (0, ∞).
Поэтому лемму можно обобщить на (+)-декартовы системы. Здесь нам это
не понадобится.
272
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Возвращаемся к теоремам 1, 2. Часть теоремы 1, относящаяся к необ­
ходимости, не нуждается в доказательстве. Тривиален также случай  = 
(когда класс Ω(, ) сводится к единственному оператору с постоянными
коэффициентами). Итак, при доказательстве достаточности можно считать,
что 1 ̸≡ 2 .
Пусть все корни 1 , 2 отрицательны. Положим
() = (−1) 1 (−) =   − 1  −1 + 2  −2 − . . . ,
* () = (−1) 2 (−) =   − 1  −1 + 2  −2 − . . .
Многочлены  и * (̸≡ ) удовлетворяют условиям леммы — все кор­
ни их положительны и выполнены неравенства (6) для коэффициентов в
силу (1). Таким образом, корни многочленов , * попарно перемежаются
согласно (7). Это означает попарную перемежаемость корней
 = +1− , * = *+1− ,
 = 1, . . . ,
многочленов 1 , 2 соответственно:
{︃
* < 
1 < 1* 6 2* < 2 6 3 < · · · 6
 < *
( четно),
( нечетно).
(11)
Выберем постоянные 0 , 1 , . . . ,  так, чтобы
0 = 1 , 1 ∈ [1* , 2* ], 2 ∈ [2 , 3 ], . . .
(12)
и так далее, вплоть до
*
−1 ∈ [−1
, * ],  = 
−1 ∈ [−1 ,  ],  =
*
( чётно),
( нечётно).
(13)
Очевидно,  — наибольший из корней 1 , 2 . Как следует из (11), при
таком выборе  имеют место неравенства
0 < 1 < · · · <  (< 0),
(−1)−  ( ) > 0,
 = 1, 2,
 = 0, . . . , .
(14)
(15)
Положим
 (, ) =  + 1 ()−1 + · · · + −1 () +  ().
В силу (3) справедливы неравенства
(−1) 1 () 6 (−1)  (, ) 6 (−1) 2 (), ( < 0,  > 0 ),
273
(16)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
т.е. значение  (, ) заключено между значениями 1 (), 2 () при любых
 < 0,  > 0 (и любом ). С учетом (15) получаем
(−1)−  ( , ) > 0,
 = 0, . . . , 
( > 0 ).
(17)
Неравенства (14), (17) означают, что корни  () уравнения
 (, ) = 0
( > 0 )
вещественны и разделены константами:
0 6 1 () 6 1 6 2 () 6 · · · 6  () 6 
( > 0 ).
(18)
Как известно [4, 7], отсюда вытекает, что [0 , ∞) — промежуток неос­
цилляции для  (неравенства, связанные с 0 ,  , здесь несущественны).
Далее, из (18) следует [4], что любая ИФС при  → ∞ 1 ,. . . , удо­
влетворяет при больших  неравенствам
 −1  6  () 6 ′  
 = 1, . . . , 
( > 1 )
(19)
( , ′ — положительные постоянные), причем экспоненциально убывают
также и производные решений:
()
 () = (  )
( → ∞),
 = 1, . . . , ,
 = 0, . . . , .
(20)
Итак, для любого решения уравнения  = 0
() () = (  ) ( → ∞),
 = 0, . . . , .
(21)
Поскольку  < 0, это означает экспоненциальную устойчивость реше­
ний системы, отвечающей уравнению  = 0.
Отметим, что в случае  =  (исключенном выше) (21) может нарушать­
ся, если  — кратный корень многочлена 1 (≡ 2 ). Сам факт экспоненци­
альной устойчивости, конечно, остается в силе.
Приведенные рассуждения доказывают теорему 1. Что касается теоре­
мы 2, то здесь пока установлена неосцилляционность  на [0 , ∞), но не на
[0 , ∞]. Этот пробел легко восполнить, если воспользоваться простейшими
свойствами сопряженных точек.
Напомним, что сопряженная к  точка  — это точная нижняя грань
 ∈ (, ∞] таких, что [,  ] не является промежутком неосцилляции для 
(если такие  отсутствуют, то величина  не определена). Как известно,
 как функция  строго возрастает в своей области определения ([10–13],
относительно нужного нам сейчас сингулярного случая см. [4], лемма 3.4).
Рассуждая от противного, допустим, что [0 , ∞] не является промежут­
ком неосцилляции для ; тогда 0 = ∞. Продолжим коэффициенты  (),
274
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
полагая, например,  () ≡  , при  < 0 , и выберем произвольное 1 6 0 .
Из сказанного выше следует, что [1 , ∞), как и [0 , ∞), есть промежуток
неосцилляции для , тогда как [1 , ∞] таковым не является. Следовательно,
1 = ∞. Но равенство 0 = 1 = ∞ противоречит строгой монотонности .
Теоремы 1, 2 полностью доказаны.
4. Аналогично может быть рассмотрен случай решений, растущих при
 → ∞ — менее важный, по-видимому, для приложений, но не лишенный
интереса. В следующей формулировке снимается предположение о положи­
тельности  ,  .
Теорема 3. Для того чтобы при любом  ∈ Ω(, ) все нетривиальные
решения уравнения  = 0 удовлетворяли условию
| () |→ ∞ ( → ∞),
необходимо и достаточно, чтобы многочлены
1 () =  + 1 −1 + 2 −2 + . . . , 2 () =  + 1 −1 + 2 −2 + . . .
имели только положительные корни. При выполнении последнего усло­
вия [0 , ∞] есть промежуток неосцилляции для .
Доказательство аналогично доказательству теорем 1, 2, отличаясь лишь
некоторыми упрощениями. Многочлены  = 1 , * = 2 удовлетворяют
условиям леммы 1 (при  ̸= ), поэтому для их корней 1 , . . . ,  и *1 , . . . , *
выполняется (7). Выбираем
 =  , −1 ∈ [*−1 , * ], −2 ∈ [−2 , −1 ], . . .
и пользуемся неравенством
1 () 6  (, ) 6 2 (), ( > 0,  > 0 )
Отсюда следует (17), и далее применима прежняя аргументация с очевид­
ными изменениями.
5. В этом пункте перейдем от скалярного уравнения к матричному
˙ () = () (),  (0 ) = 
(0 6  < ∞),
(22)
(︀
(−1)  )︀
где матрицы-функции (),  () =‖ 
‖1 -го порядка определяют­
ся обычным образом. Назовем допустимыми (), отвечающие скалярным
операторам из Ω (, ) (,  фиксированы,  ̸= ).
275
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Как следует из (21), при любой допустимой ()
‖  () −1 () ‖ 6  (−)
(0 6  <  < ∞),
(23)
где  может зависеть и от , и от (). Сам характер ограничений на ()
подсказывает, однако, что здесь должна иметь место равномерная оценка.
Следствие 2. При любой допустимой () справедлива оценка (23), где
 зависит лишь от , .
Для доказательства предположим противное. Тогда для любых чисел
 ( = 1, 2, . . . ) найдутся  (> 0 ), ℎ (> 0) и допустимые  () такие, что
‖  ( + ℎ )−1 ( ) ‖>   ℎ
( = 1, 2, . . . ),
(24)
где  () — невырожденное решение уравнения ˙  =  () . Выбирая ка­
ким-либо образом 1 , 2 , . . . (способ выбора будет указан ниже), рассмотрим
уравнение вида (22), где
() =  ( − −1 +  ) при
−1 6  <  ,
 = 0 + ℎ1 + · · · + ℎ
( = 1, 2, . . . ).
По самому построению () при  = 1, 2, . . .
 ( − −1 +  )−1 ( ) =  () −1 (−1 )
(−1 6  6  ).
(25)
Последовательно определим  формулами
 =‖  −1 (−1 ) ‖  −1 + ,
 = 1, 2, . . .
(26)
Сопоставляя равенство (25) при  =  с (24), (26), имеем
−1
‖  ( ) ‖ > ‖  ( ) −1 (−1 ) ‖ ‖  −1 (−1 ) ‖
=
−1
=‖  (ℎ +  )−1 ( ) ‖ ‖  −1 (−1 ) ‖
>   ℎ ‖  −1 (−1 ) ‖
−1
>
=  ℎ + −1 + =   + .
Но это противоречит (23) (при  =  ,  = 0 ), поскольку (), будучи
«склейкой» допустимых матриц-функций, сама, очевидно, допустима. След­
ствие 2 доказано.
276
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. До сих пор мы интересовались помимо неосцилляции поведением реше­
ний и их производных при  → ∞, представляющим основной интерес для
устойчивости. Примем теперь, что
0 <  6  () 6  ,
 = 1, . . . ,  (−∞ <  < ∞)
(27)
и рассмотрим некоторые вопросы, связанные с поведением решений на всей
числовой прямой. Обозначения Ω(, ), Ω (, ) далее понимаются в соот­
ветствии с (27) (т.е. при 0 = −∞).
Часто знакопостоянные решения достаточно полно характеризуются оцен­
ками их логарифмических производных. Нам понадобится следующий ре­
зультат Ф. Хартмана.
Теорема 4 (см. [7, 13–15]). Пусть при некоторых 0 , . . . ,  (0 < · · · <
<  ) и при всех (−∞ <  < ∞) выполнены неравенства (18). Тогда
существуют положительные на (−∞, ∞) решения 1 , . . . ,  уравнения
 = 0 такие, что
0 6
˙ 1 ()
˙ 2 ()
˙  ()
6 1 6
6 · · · 6 −1 6
6  (−∞ <  < ∞).
1 ()
2 ()
 ()
(28)
Здесь 1 , . . . ,  могут, вообще говоря, быть линейно зависимыми (во­
преки [7]; данный дефект устранен Ф. Хартманом и В. Коппелем в [13–15].
Аналогичный дефект, между прочим, допущен С. Н. Бернштейном в ос­
новной теореме его известной работы [16] о чебышевских системах; см.,
например, [17, 18]. Суть дела сводится к тому, что оператор, неосцилляци­
онный на (, ), может не быть таковым на [, ].
Чтобы исключить линейную зависимость 1 , . . . ,  , несколько усилим
требования к 1 , 2 .
Теорема 5. Пусть  ∈ Ω (, ), причем все корни многочленов 1 , 2 яв­
ляются простыми. Тогда [−∞, ∞] есть промежуток неосцилляции для
 и уравнение  = 0 обладает фундаментальной системой решений
1 , . . . ,  таких, что
˙  ()
6 *
 ()
˙  ()
* 6
6 
 ()
 6
для нечетных ,
(29)
для четных 
(−∞ <  < ∞;  = 1, . . . , ). Здесь  , * — корни многочленов 1 ,2
соответственно (1 < · · · <  , 1* < · · · < * ).
Покажем вначале, что для любого фиксированного  найдется реше­
ние  , удовлетворяющее соответствующему из двойных неравенств (29).
277
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Воспользуемся определенным произволом в выборе постоянных 0 , . . . ,  .
Именно, положим
−1 =  ,  = * ,
−1 =
* ,
 =  ,
если  нечетно,
если  четно;
(30)
остальные  выбираются в соответствии с (12)–(13). Так как требования
(12)–(13) не нарушены, при таком выборе выполнены неравенства (18). По
теореме Хартмана существует решение  > 0, удовлетворяющее соответ­
ствующему из неравенств (28) или, что то же в силу (30), из неравенств
(29). Варьируя  от 1 до , получаем положительные решения 1 , . . . , 
уравнения  = 0, удовлетворяющие неравенствам (29).
Эти решения линейно независимы. Действительно, ввиду простоты кор­
ней 1 , 2 все неравенства (11) являются строгими. Следовательно, проме­
жутки локализации
[1 , 1* ], [2* , 2 ], . . .
(31)
˙ 1 ˙ 2
для
, , . . . строго разделены. Поэтому
1 2
 = (+1 )
( → ∞),
 = 1, . . . ,  − 1,
(32)
т.е. 1 , . . . ,  — ИФС при  → ∞ (неосцилляционность  на (−∞, ∞) ясна
из предыдущего). В силу той же строгой разделенности промежутков (31)
 = (−1 )
( → −∞),
 = 2, . . . , .
(33)
Ввиду (32), (33) 1 , . . . ,  образуют, в терминологии [4], дважды иерар­
хическую фундаментальную систему на (−∞, ∞), а значит, (+)-декартову
систему на (−∞, ∞).
Осталось доказать неосцилляционность  на [−∞, ∞]. Допустим про­
тивное, тогда −∞ = ∞. Как известно, для любого промежутка вида [, ˜]
( ̸= ˜) существует положительное при  <  < ˜ решение () уравнения
 = 0, суммарная кратность нулей которого в точках  и ˜ не менее 
([10, 11], по поводу интересующего нас сейчас сингулярного случая см. [4],
теорема 3.3). Но любое нетривиальное решение
 =   + +1 +1 + · · · +  
( 6 ,   ̸= 0)
имеет согласно (32), (33) в −∞ и ∞ нули кратностей  − 1 и  −  соот­
ветственно, что в сумме не превосходит  − 1. Полученное противоречие
завершает доказательство теоремы 5.
Теорема 5 допускает переформулировку для случая растущих решений,
подобную теореме 3; основным требованием является опять-таки положи­
тельность (и простота) корней многочленов 1 , 2 . Так как по существу
все сводится к замене ′ = −, можно на этом не останавливаться.
278
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В данном пункте не затрагивалось поведение старших производных. По
этому поводу отметим лишь, что следствие 2 сохраняет силу и для всей
числовой прямой (−∞, ∞). Доказательство остается тем же с очевидными
изменениями (0 выбирается произвольно, исключается требование  > 0
и т.п.).
7. Рассмотрим теперь на (−∞, ∞) неоднородное уравнение
 =  () (−∞ <  < ∞)
(34)
с  ∈ Ω (, ). Нас будут интересовать, в частности, решения, ограничен­
ные на (−∞, ∞). Обозначим через  банахово пространство измеримых
ограниченных в существенном функций  () (−∞ <  < ∞) с нормой
‖  ‖= vrai
max
−∞<<∞
| ()|.
Для определенности будем говорить о вещественных функциях, хотя
все утверждения, сохраняющие смысл для комплекснозначных  (не ка­
сающиеся знаков и т.п.) тривиально переносятся на комплекснозначный
случай.
Число перемен знака (,)  измеримой  () в интервале  <  < 
понимается как наименьшее из целых  > 0 таких, что почти всюду в
(, ) при  = 0 или 1
(−1) ( − 1 )( − 2 ) . . . ( −  ) () > 0
для некоторых 1 , . . . ,  ; при отсутствии таких  (,)  = ∞.
Теорема 6. Пусть  ∈ Ω (, ). При любой  ∈  уравнение (34) имеет
единственное ограниченное на (−∞, ∞) решение  = −1  , определяемое
формулой
∫︁
() =
(, ) ()  (−∞ <  < ∞),
(35)
−∞
где (, ) — функция Коши оператора . Действующий в  линейный
оператор −1 является монотонным и не повышает числа перемен зна­
ка. Для его нормы ‖−1 ‖ и спектрального радиуса (−1 ) справедливы
оценки
−1
−1
−1
−1
(36)
 6 ( ) 6 ‖ ‖ 6  ,
неулучшаемые в классе Ω (, ).
279
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Некоторые из этих утверждений непосредственно вытекают из предыдуще­
го. Так, единственность обусловлена отсутствием нетривиальных ограни­
ченных решений уравнения  = 0 — все его решения (̸≡ 0) неограничено
растут по модулю при  → −∞. При простых корнях 1 , 2 это сразу следу­
ет из теоремы 5. В общем случае достаточно положить ′ = − и сослаться
на теорему 3.
Лемма 2. При  ∈ Ω (, ) ( ̸= ) функция Коши оператора  удовле­
творяет неравенствам
0 < (, ) <  (−)
(−∞ <  <  < ∞),
(37)
где  — некоторая постоянная.
Положительность (, ) при  >  следует из неосцилляционности , по­
скольку  как функция  имеет ( − 1)-кратный нуль в точке  = . Второе
из неравенств (37) вытекает из следствия 2 (сохраняющего силу, как отме­
чалось, и для уравнений на (−∞, ∞)), так как (, ) совпадает с одним
из элементов матрицы-функции  () −1 ().
Лемма 3. Если  ∈ Ω (, ) ( ̸= ) и
∫︁0
−  | ()|  < ∞
(38)
−∞
то интеграл в (35) абсолютно сходится и удовлетворяет уравнению (34).
Сходимость интеграла легко следует из леммы 2, так как
∫︁
|(, ) ()|  6 
 
−∞
∫︁
−  | ()| ;
−∞
отсюда же следует ограниченность () в случае ограниченной  ().
Равенство  =  для (), определенной в (35), проверяется стандарт­
ным образом. Леммы 2 и 3 доказаны.
Итак, (35) есть решение уравнения (34) при любой (локально сумми­
руемой)  (), удовлетворяющей требованию (38) — менее жесткому, чем
ограниченность в существенном (так как  < 0, не исключается экспонен­
циальный рост | ()| при  → −∞, поведение  () при  → ∞ может быть
любым и т.п.). Далее считаем, что  ∈ ; в этом случае (35) выделяет сре­
ди всех решений уравнения (34) единственное ограниченное на (−∞, ∞).
Его производные до -го порядка в соответствии с теоремой Эсклангона
также ограничены на (−∞, ∞).
280
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Продолжим доказательство теоремы 6. Положительность (, ) при
 >  влечет за собой следующее:
(−∞ <  < ∞), то −1 1 6 −1 2
если 1 6 2
(−∞ <  < ∞),
т.е. оператор −1 является монотонным.
Докажем теперь неравенства (36); при этом монотонность −1 будет
играть существенную роль. Так как 1 =  () ∈ , то −1  = 1. Отсюда
с учетом (27)
 −1 1 = −1  6 −1  = 1 6 −1  =  −1 1,
−1
−1
−1
 6  1 6 
(−∞ <  < ∞). (39)
Если заданы двусторонние границы для 
(−∞ <  < ∞),
1 6  () 6 2
то
1 −1 1 = −1 1 6 −1  =  6 −1 2 = 2 −1 1,
откуда с учетом (39) получаем границы для :
−1
−1
 1 6 () 6  2
при 0 6 1 6 2 ,
(40)
−1
−1
 1 6 () 6  2
при 1 < 0, 2 > 0,
(41)
−1
−1
 1 6 () 6  2
при 1 6 2 < 0
(42)
(−∞ <  < ∞). Точный характер этих оценок в классе Ω (, ) очевиден
(так, первое из неравенств (40) обращается в равенство при  () ≡  ,
 () ≡ 1 и т.д.). Вид оценок (40)–(42) таков, как если бы оператор 
содержал лишь член  () (это связано с критичностью случая  ≡ const).
Из (41) непосредственно следует, что ‖ −1 ‖6 −1
 . Равенство, очевид­
но, достигается при  () ≡  .
Из сказанного, между прочим, вытекает, что −1 является сжатием в
 для каждого  ∈ Ω (, ) в том и только том случае, если  > 1.
Для доказательства первого из неравенств (36) заметим, что монотон­
ность −1 позволяет итерировать (39):
−
6 − 1 6 −

 ,
 = 1, 2, . . . (−∞ <  < ∞).
Отсюда, так как ‖1‖ = 1,
(−1 ) = lim ‖− ‖
→∞
1/
> lim ‖− 1‖
→∞
1/
1/
> lim (−
= −1 .
 )
→∞
Доказанное неравенство (−1 ) > −1
обращается в равенство при

 () ≡  , когда −1
есть
собственное
значение
оператора −1 .

281
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для завершения доказательства осталось проверить, что
(43)
(−∞,∞)  6 (−∞,∞) .
Суть дела состоит в том, что () как решение уравнения  =  имеет
обобщенный -кратный нуль при  = −∞, после чего можно сослаться на
факторизуемость  и теорему Ролля (модифицированную). Приведем более
подробное пояснение.
Достаточно доказать, что для любого  (1 6  < ∞) неравенство
(−∞,∞)  > 
(44)
(−∞,∞)  > .
(45)
влечет за собой неравенство
Чтобы перейти от обобщенных нулей к обычным, положим
∫︁
 () =
(, ) ().

Очевидно,  () есть решение уравнения  =  такое, что
⃒
⃒
 () ⃒⃒
−1  () ⃒⃒
 ( ) =
=
= 0.
 ⃒=
−1 ⃒=
(46)
Кроме того,
 () → () при любом  ( → −∞).
(47)
Действительно, поскольку  < 0, то в силу леммы 2
⃒
⃒ ∫︁
⃒
⃒
⃒
(, ) ()  ⃒⃒ 6
|() −  ()| = ⃒
−∞
∫︁
6 ‖ ‖
(, )  6 1  (− ) → 0
( → −∞).
−∞
Пусть выполнено (44). Тогда согласно (47) для некоторого 
(,∞)  > .
Поскольку  () имеет -кратный нуль при  =  ввиду (46), то из фактори­
зуемости  и теоремы Ролля стандартным образом следует, что
(,∞)  > . Это доказывает (45), а следовательно, и (43).
282
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отметим, что (43) справедливо и в усиленной форме
(−∞,)  6 (−∞,) 
(−∞ <  < ∞).
Это сразу следует из (43) и «эволюционности» оператора −1 в том смысле,
что значения ( ) при  6  не зависят от поведения  ( ) при  > .
Аналогичное замечание относится, естественно, и к свойству монотонности
оператора −1 .
Теорема 6 доказана.
8. В п. 7 в центре внимания были ограниченные решения. Если при со­
хранении предположения  ∈ Ω наложить дополнительное требование
-периодичности или почти периодичности коэффициентов 1 (), . . . ,  ()
и правой части  (), то ограниченное решение  = −1  будет вдобавок
-периодическим (что очевидно) или соответственно почти периодическим,
что вытекает из сказанного выше и хорошо известных фактов. Необхо­
димые сведения можно найти, например, в [19, 20], где, кстати, в ряде
разделов затрагиваются неосцилляционные операторы.
Для периодического и почти периодического случаев число перемен зна­
ка на (−∞, ∞) не является содержательной характеристикой, так как при­
нимает лишь значения 0 или ∞. В -периодическом случае информативной
характеристикой может служить число [0,)  перемен знака на периоде
(очевидно, четное в случае конечности). При этом выполняется неравен­
ство (для  ∈ Ω )
[0,)  6 [0,) ,
(48)
где  — -периодическое решение уравнения  =  . Другими словами, для
 ∈ Ω осцилляция на выходе «не сильнее» осцилляции на входе. Чтобы
пояснить (48), напомним, что  ∈ Ω заведомо является неосцилляционным
на числовой прямой и поэтому, будучи оператором с -периодическими
коэффициентами, факторизуем на окружности (см. [21]):
(︁ 
)︁(︁ 
)︁ (︁ 
)︁
=
+ 1
+ 2 . . .
+  ,



где 1 (), . . . ,  () — вещественные -периодические и достаточно гладкие
функции. Отсюда и из соображений четности  легко следует (48).
Существуют и совершенно иные по характеру приложения, не связан­
ные с периодичностью или почти периодичностью. Приведем один пример,
относящийся к краевой задаче
 = ()
() (1 ) = () (2 ) = 0,
(−∞ < 1 < 2 < ∞),
 = 0, . . . ,  − 1,  = 0, . . . ,  −  − 1,
где () > 0 в (1 , 2 ) ( суммируема и не эквивалентна нулю).
283
(49)
(50)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следствие 3. Если  ∈ Ω , то при любых 1 , 2 и любом  (1 6  6
6  − 1) спектр краевой задачи (49)–(50) состоит из счетного числа
простых вещественных собственных значений, совпадающих по знаку
с (−1)− .
Собственные функции в условиях следствия 3 обладают «штурм-лиувил­
левскими» свойствами, за исключением ортогональности. Следствие 3 вы­
текает из теоремы 2 и результата, сформулированного М. Г. Крейном [22]
(по поводу доказательства см. [23, 24]). Подробнее о результатах этого
типа, восходящих к О. Келлогу – Ф. Р. Гантмахеру – М. Г. Крейну, см.
[25–28].
Можно было бы привести дальнейшие примеры применения операторов
из Ω , относящиеся к теории чебышевских систем, теоремам сравнения, оп­
тимальному управлению, нелинейным краевым задачам и т.д. (см., напри­
мер, [4, 13, 29–35]. Таким образом, классы Ω (, ) представляют интерес
не только для теории устойчивости.
Литература
1. Левин, А. Ю. Критерий абсолютной неосцилляционной устойчивости
для уравнений -го порядка / А. Ю. Левин // УМН. — 1988. — Т. 43,
№ 5(263). — С. 203—204.
2. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — М.: Наука,
1966. — 576 с.
3. Джури, Э. Инноры и устойчивость динамических систем / Э. Джури. —
М.: Наука, 1979. — 299 с.
4. Левин, А. Ю. Неосцилляция решений уравнения () + 1 ()(−1) +
+ · · · +  () = 0 / А. Ю. Левин // УМН. — 1969. — Т. 24, № 2(146). —
С. 43—96.
5. Willett, D. Disconjugacy tests for singular linear differential equations /
D. Willett // SIAM J. Math. Anal. — 1971. — Vol. 2, no. 4. — P. 536—545.
6. Willett, D. A generalization of C̆Čaplygin’s inequality with applications to
singular boundary value problems / D. Willett // Can. J. Math. — 1973. —
Vol. 25, no. 5. — P. 1024—1039.
7. Hartman, P. Principal solutions of diconjugate n-th order linear differential
equations / P. Hartman // Am. J. Math. — 1969. — Vol. 91. — P. 306—362.
8. Якубович, В. А. Методы теории абсолютной устойчивости / В. А. Яку­
бович // Методы исследования нелинейных систем автоматического
управления / Под ред. Р. А. Нелепина. — М.: Наука, 1975. — С. 74—180.
9. Либерзон, М. Р. Признак абсолютной устойчивости нестационарных
систем / М. Р. Либерзон // Автоматика и телемеханика. — 1986. —
№ 2. — С. 39—46.
284
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. Левин, А. Ю. Некоторые вопросы осцилляции решений линейных диф­
ференциальных уравнений / А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1963. —
Т. 148, № 3. — С. 512—515.
11. Sherman, T. L. Properties of solutions of Nth order linear differential
equations / T. L. Sherman // Pac. J. Math. — 1965. — Vol. 15, no. 3. —
P. 1045—1060.
12. Hinton, D. B. Disconjugate properties of a system of differential equations /
D. B. Hinton // J. Differ. Equations. — 1966. — Vol. 2. — P. 420—437.
13. Coppel, W. A. Disconjugacy. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 220 /
W. A. Coppel. — Berlin-Heidelberg-New York: Springer Verlag, 1971. —
147 p.
14. Hartman, P. Corrigendum and addendum: Principal solutions of discon­
jugate -th order linear differential equations / P. Hartman // Am. J.
Math. — 1971. — Vol. 93. — P. 439—451.
15. Hartman, P. Disconjugacy and Wronskians / P. Hartman // Japan-U.S.
Seminar on Ordinary Differential Equations and Functional Equations
(M. Urabe, Ed.). Lecture Notes in Mathematics, Vol. 243. — Berlin and
New York: Springer-Verlag, 1971. — P. 208—218.
16. Бернштейн, С. Н. О базе системы Чебышева / С. Н. Бернштейн //
Бернштейн, С. Н. Собр. соч. — М.: Изд. АН СССР, 1954. — Т. 2. —
С. 287—291.
17. Крейн, М. Г. Проблемы моментов Маркова и экстремальные задачи /
М. Г. Крейн, А. А. Нудельман. — М.: Наука, 1973. — 551 с.
18. Покорный, Ю. В. Об одной осцилляционной теореме С. Н. Бернштей­
на / Ю. В. Покорный // Матем. заметки. — 1988. — Т. 43, № 5. —
С. 615—623.
19. Красносельский, М. А. Нелинейные почти периодические колебания /
М. А. Красносельский, В. Ш. Бурд, Ю. С. Колесов. — М.: Наука,
1970. — 351 с.
20. Бурд, В. Ш. О существовании и знакопостоянстве функции Грина ска­
лярных уравнений высших порядков с почти периодическими коэффи­
циентами / В. Ш. Бурд, Ю. С. Колесов, М. А. Красносельский // Изв.
АН СССР. Сер. матем. — 1969. — Т. 33, № 6. — С. 1399—1415.
21. Левин, А. Ю. Факторизация и непонижение осцилляции на
окружности / А. Ю. Левин // Ргос. Conf. “Equadiff 5”. — Vol. 47. —
Leipzig: Teubner-Texte Math., 1982. — P. 226—227.
22. Кpeйн, М. Г. О несимметрических осцилляционных функциях Грина
обыкновенных дифференциальных операторов / М. Г. Кpeйн // ДАН
СССР. — 1939. — Т. 25, № 8. — С. 643—646.
23. Левин, А. Ю. Одномерные краевые задачи с операторами, не понижа­
ющими числа перемен знака. I / А. Ю. Левин, Г. Д. Степанов // Сиб.
матем. журн. — 1976. — Т. 17, № 3. — С. 606—626.
285
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24. Левин, А. Ю. Одномерные краевые задачи с операторами, не понижа­
ющими числа перемен знака. II / А. Ю. Левин, Г. Д. Степанов // Сиб.
матем. журн. — 1976. — Т. 17, № 4. — С. 813—830.
25. Гантмахер, Ф. Р. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колеба­
ния механических систем / Ф. Р. Гантмахер, M. Г. Крейн. — М.; Л.:
Гостехиздат, 1950. — 360 с.
26. Karlin, S. Total positivity / S. Karlin. — Stanford univ. press edition. —
1968. — Vol. 1. — 576 p.
27. Степанов, Г. Д. Критерий осцилляционности функции Грина двухто­
чечной краевой задачи / Г. Д. Степанов // ДАН СССР. — 1973. — Т. 213,
№ 4. — С. 793—794.
28. Барковский, Ю. С. Спектральные свойства одного класса краевых за­
дач / Ю. С. Барковский, В. И. Юдович // Матем. сб. — 1981. — Т. 114
(156), № 3. — С. 438—450.
29. Карлин, С. Чебышёвские системы и их применение в анализе и стати­
стике / С. Карлин, В. Стадден. — М.: Наука, 1976. — 568 с.
30. Swanson, C. A. Comparison and oscillation theory of linear differential
equations / C. A. Swanson. — New York - London: Academic Press,
1968. — 234 p.
31. Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иоффе, В. M. Тихо­
миров. — М.: Наука, 1974. — 479 с.
32. Тонков, Е. Л. Неосцилляция и число переключений в линейной неста­
ционарной системе, оптимальной по быстродействию / Е. Л. Тонков //
Диф. уравнения. — 1973. — Т. 9, № 12. — С. 2180—2185.
33. Muldowney, J. S. Comparison criteria for disconjugacy / J. S. Muldowney // Optimal control and differential equations, Proc. Conf., Norman/
Okla. 1977. — 1978. — P. 317–329.
34. Кигурадзе, И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкно­
венных дифференциальных уравнений / И. Т. Кигурадзе. — Тбилиси:
Изд-во ТГУ, 1975.
35. Trench, W. F. Oscillation properties of perturbed disconjugate equations /
W. F. Trench // Proc. Am. Math. Soc. — 1975. — Vol. 52. — P. 147—155.
286
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16. Теорема Харитонова для слабонестационарных си­
стем17
1. Пусть (×)-матрица  принимает всевозможные значения из компакта
C. Совокупность соответствующих характеристических полиномов (с точ­
ностью до знака)  + (1 + 1 )−1 + · · · + ( +  ) можно вложить в
семейство вида
 6  6 ′ ,
 6  6 ′
( = 1, )
(1)
Согласно [1], [2] для устойчивости всех полиномов этого семейства необхо­
дима и достаточна устойчивость явно указываемых восьми (в вещественном
случае — четырех) полиномов семейства. То же условие, следовательно, до­
статочно для асимптотической устойчивости всех систем ˙ =  ( ∈ C).
Пусть теперь () — переменная матрица, причем () ∈ C при любом .
Характеристические полиномы таких матриц при фиксированных значени­
ях  принадлежат, очевидно, тому же семейству (1). Однако из устойчивости
всех полиномов семейства, как известно, не следует устойчивость системы
˙ = (). В этом смысле теорема Харитонова не распространяется на
нестационарный случай.
Недавно Б. Т. Поляк высказал гипотезу о том, что теорема Харитонова
сохраняется для нестационарных систем с медленно меняющимися коэффи­
циентами, и подкрепил свое предположение естественными эвристическими
соображениями. Данная гипотеза подтвердилась, причем понятие «медлен­
ного изменения» можно трактовать достаточно широко.
2. Положим ℎ = max |||| ( ∈ C),  = − max Re , где максимум берется
по всем собственным значениям матриц  ∈ C. Введем (при  > 0) сле­
дующее условие медленного изменения (): существует () такая, что
||( + ) − ()|| 6 ()
∫︁∞
0
−
(︁ −1
∑︁ (2ℎ) )︁
=0
!
( > 0 ,  > 0),
()  < 1.
(2)
(3)
Теорема 7. Пусть для семейства (1), отвечающего компакту C, все мно­
гочлены Харитонова устойчивы и, следовательно,  > 0. Тогда любая
система ˙ = () с медленно меняющейся в смысле (2), (3) матрицей
() ∈ C ( > 0 ) экспоненциально устойчива.
17
Левин А.Ю. Теорема Харитонова для слабонестационарных систем (в Московском ма­
тематическом обществе) // УМН. — 1995. — Т. 50, № 6(306). — С. 189–190.
287
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Доказательство существенно связано с результатами В. М. Алексеева
(см. [3], [4]).
Случай постоянных матриц тривиален ( ≡ 0). Рассмотрим несколько
более содержательных примеров.
Если () равномерно непрерывна на [0 , ∞) (например, почти пери­
одична), то при достаточно малом  > 0 матрица () будет медленно
меняющейся в смысле (2), (3). Действительно пусть () — модуль непре­
рывности для (), т.е. () — модуль непрерывности для (). Очевидно,
() → 0 ( → 0) равномерно на каждом конечном промежутке, т.е. при
() = () левая часть (3) стремится к 0 ( → 0). Отметим что требование
равномерности непрерывности здесь не может быть отброшено.
К медленно меняющимся (в нашем смысле) относятся (), удовлетво­
ряющие условию Липшица с константой
<
(2ℎ − )2
.
(2ℎ −1 )+1 − ( + 1)(2ℎ −1 ) + 1
(4)
Действительно, (4) эквивалентно (3) при () = . Разумеется, в (4)
˙
 можно заменить на ||()||,
но само условие (2), (3) не предполагает
гладкости (или непрерывности) ().
В этой связи упомянем случай, когда () (вообще говоря, разрывная)
обладает достаточно малым колебанием на бесконечности:
||(1 ) − (2 )|| 6  <
2ℎ − 
(2ℎ −1 ) − 1
(1 , 2 > 0 )
(5)
(при () ≡  условие (3) выполняется). Качественная сторона данного
результата хорошо известна: речь идет об (), принадлежащих при лю­
бом  > 0 достаточно малой окрестности постоянной матрицы со спек­
тром в полуплоскости Re  < 0. Экспоненциальная устойчивость систем
˙ = () в подобных ситуациях была установлена еще Ляпуновым.
Рассмотренные примеры (число их можно увеличить) иллюстрируют
применение идей робастной устойчивости за пределами класса стационар­
ных задач.
Литература
1. Харитонов, В. Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем ли­
нейных дифференциальных уравнений / В. Л. Харитонов // Дифференц.
уравнения. — 1978. — Т. 14, № 11. — С. 2086—2088.
2. Харитонов, В. Л. Проблема Рауса—Гурвица для семейства полиномов
и квазиполиномов / В. Л. Харитонов // Математическая физика. —
1979. — № 26. — С. 69—79.
288
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Алексеев, В. М. Об асимптотическом поведении решений слабо нелиней­
ных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / В. М. Алек­
сеев // ДАН СССР. — 1960. — Т. 134, № 2. — С. 247—250.
4. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчиво­
сти / В. Ф. Былов, Р. Э. Виноград, Д. М. Гробман, В. В. Немыцкий. —
М.: Наука, 1966. — 576 с.
289
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17. О состоятельном многомерном непараметрическом
критерии однородности18
Изучается многомерный непараметрический критерий однородно­
сти, проверяющий гипотезу о том, что несколько выборок в R со­
ответствуют одной и той же генеральной совокупности. Статистика 
критерия связана с понятием близости выборочных элементов. Распре­
деление  зависит от неизвестных плотностей, т.е. -критерий не сво­
боден от распределения. Но он непараметричен в том смысле, что не
требует априорных предположений о плотностях. Исследование пове­
дения E и D (асимптотика, равномерные оценки) показывает, что
критерий состоятелен против любых альтернатив. Критерий применим
и в бесконечномерном случае.
Так как для  = 1 известен ряд классических критериев однородно­
сти, основная сфера применимости критерия связана с многомерностью
и отсутствием информации о распределениях.
§ 1. Введение. Основной результат
1.1. Статья посвящена классической проблеме однородности для многомер­
ного случая. На распределения не накладывается ограничений (кроме аб­
солютной непрерывности), так что проблема рассматривается в непарамет­
рической постановке.
Подробнее, рассматриваются (> 2) независимых выборок в R
 = {1 , 2 , . . . ,  },
 = 1, 2, . . . , ,
с интегрируемыми по Лебегу плотностями  , . . . ,  соответственно. Про­
верке подлежит гипотеза однородности
0 : 1 () = 2 () = · · · =  () почти всюду в R .
(1.1)
Обозначим через  объединенную выборку объема  = 1 + · · · +  .
Как обычно, предполагается, что с ростом  величины 1 −1 , . . . ,  −1
стремятся к каким-либо ненулевым пределам:
 −1 →  (̸= 0),
 = 1, . . . , 
( → ∞).
(1.2)
Пусть  (0 6  6  ) — число элементов выборки  , ближайший к
которым среди остальных  − 1 элементов  принадлежит той же выбор­
ке  ( = 1, . . . , ). Непрерывность распределений обеспечивает почти
наверное единственность этих ближайших элементов.
18
Левин А. Ю. О состоятельном многомерном непараметрическом критерии однородности
// Моделирование и анализ информационных систем. — 2002. — Т. 9, № 2. — С. 32—44.
290
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Основной результат. Критерий, отклоняющий гипотезу 0 при боль­
ших значениях статистики
(︃ 
)︃
∑︁ 
√
 = 
−1 ,
(1.3)

1
состоятелен против любых альтернатив.
Подробнее, имеют место два утверждения:
а) если гипотеза 0 верна, то для любого  > 0 можно указать посто­
янную (, ), зависящую лишь от  и , такую что при всех 
P( < (, )) > 1 − ;
(1.4)
б) если 0 не верна (т.е. хотя бы две из плотностей 1 , . . . ,  различны
на множестве положительной меры), то при любом 
P( < ) → 0
( → ∞).
(1.5)
Критерий, основанный на этих фактах, будем называть -критерием.
Полной однозначности здесь, правда, нет, так как имеются различные мо­
дификации в связи с пороговыми значениями (по поводу конкретизации
(, ) и возможных уточнений см. § 6, § 7).
Ради простоты обозначений ниже обычно будем применять краткие за­
писи типа « » (иногда опуская и сам индекс ), « → ∞», игнорируя век­
торный характер аргумента 
¯ = (1 , . . . ,  ). Так, запись  → ∞ означает,
что речь идет о любой последовательности векторов 
¯ =
¯ (), таких что
сумма компонент вектора 
¯ () равна  ( = 1, 2, . . . ) и выполнено (1.2).
Критерии, состоятельные против всех альтернатив, будем часто называть
полностью состоятельными или просто ПС-критериями.
Будучи непараметрическим, -критерий не свободен от распределения:
при выполнении 0 статистика  имеет распределение, зависящее (помимо
1 , . . . ,  ) также и от размерности  и от общей плотности 0 . Равно­
мерный характер соотношения (1.4) показывает, что эту принципиальную
трудность (связанную с многомерностью) удается преодолеть.
1.2. Так как 0 6  6  ( = 1, . . . , ), то выполняются очевидные нера­
√
√
венства −  6  6 ( − 1) . Ниже (§ 2—§ 5) устанавливаются неко­
торые факты, относящиеся к E , D — как при выполнении, так и при
нарушении 0 . Как следствие будут получены (§ 6) явные значения (, ),
позволяющие отклонить 0 (с уровнем доверия не ниже требуемого). Спо­
соб повышения количественной точности указан в § 7.
В заключительной части (§ 8) обсуждаются возможности обобщений
критерия — использование различных метрик, возможность отказа от ко­
нечномерности, независимости и др.
291
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.3. Достоинства -критерия — полная состоятельность (и, следовательно,
асимптотическая несмещенность), непараметричность, многомерный харак­
тер, робастность — ни в коей мере не означают, что применение его всегда
целесообразно. Так, при  = 1 оно вряд ли оправдано, поскольку здесь
имеются классические ПС-критерии однородности (Колмогорова — Смир­
нова, Крамера — Мизеса — Смирнова, Вальда — Волфовица, Реньи и др.,
см., напр., [1–7]) — также непараметрические и притом эффективно исполь­
зующие специфику скалярного случая. Далее, по сравнению с многомер­
ными критериями, состоятельными против конкретных типов альтернатив
(например, с классическим критерием 2 или с критериями, предполагаю­
щими нормальность распределений), -критерий при таких альтернативах
проявляет повышенную «осторожность» при отклонении 0 . Меньшая мощ­
ность его в подобных ситуациях (понятие мощности приобретает смысл при
конкретизации частных случаев) есть, так сказать, плата за общность.
Применение -критерия представляется целесообразным, когда в мно­
гомерной задаче при отсутствии надежной информации о распределениях
и альтернативах требуется выяснить, имеются ли какие-либо нарушения
однородности. Естественно, слабо выраженная неоднородность выявляет­
ся лишь при выборках большого объема; с другой стороны, значительное
различие распределений обнаруживается, как правило, уже при небольших
выборках.
Статистика , по-видимому, впервые рассматривалась в [8]. Там же бы­
ли приведены формулировки большинства результатов настоящей работы.
§ 2. E в случае однородности
При выполнении гипотезы 0 E легко вычисляется. Ближайшим к
элементу  выборки  может равновероятно оказаться любой из  − 1
остальных элементов . Поэтому вероятность того, что этот ближайший
элемент окажется из  , равна ( − 1)( − 1)−1 . Поскольку  есть сумма
 индикаторов таких событий, то при всех 
(︃ 
)︃
∑︁  − 1
√
√ −1
 − 1
E = 
, E = 
−1 =− 
.
−1
−1
−1
=1
Итак, величина E отрицательна и стремится к 0 при  → ∞.
§ 3. Асимптотика E в общем случае
√
3.1. Ниже будет показано, что в случае неоднородности предел E / 
( → ∞), по контрасту с однородным случаем, положителен.
Через R
+ здесь и далее обозначается множество таких точек Лебега
(см., напр. [9]) для функций 1 , . . . ,  , в которых по крайней мере одна
292
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
из этих функций отлична от 0. Пусть, далее,  () =  (, 
¯ ) — собы­

тие, состоящее в том, что ближайший к (∈ R ) элемент  принадлежит
выборке  (1 6  6 ).
Теорема 3.1. Для любой точки  ∈ R
+ и любого  ( = 1, . . . , )
(︁
)︁
  ()
P  () →  () =
, ( → ∞).
(3.1)
1 1 () + · · · +   ()
Доказательство теоремы 3.1 начнем с частного случая.
3.2.
Лемма 3.1. Пусть 1 , . . . ,  постоянны в некоторой окрестности  =
=  () точки . Тогда имеет место соотношение (3.1).
Обозначим через  ( ) число элементов выборки  ( ), которые
попадут в  ( = 1, . . . , ). Ясно, что  = 1 + · · · +  .
Пусть  > 0. Все  элементов, которые попадут в  , имеют одинако­
вое условное распределение — а именно, равномерное в  , в силу условия
леммы. Так как они, очевидно, независимы, то любой из них равновероятно
с остальными может оказаться ближайшим к . Поэтому
(︁
)︁
P  ()|1 , . . . ,  =  −1 ( > 0);
(3.2)
(︀
)︀
при  = 0 правая часть заменяется величиной P  ()| = 0 ( =
= 1, . . . , ), несущественной для дальнейшего.
Пусть | | — объем  . В силу (1.2) и закона (усиленного) больших чисел
при любых ,  (1 6 ,  6 )
 п.н.
−−−→ | | (),
( → ∞),

  (︁  )︁−1   (︁ 1 1
  )︁−1 п.н.

=
·
·
·
+ ··· +
·
−−−→
=

  
   1


(︁
)︁−1
п.н.
−−−→  | | () 1 | |1 () + · · · +  | | ()
=  () ( → ∞).
Поскольку  ∈ R
+ , то P( = 0) → 0 при  → ∞, так что случаем
 = 0 можно пренебречь; итак,
(︀
)︀ п.н.
P  ()|1 , . . . ,  −−−→  () ( → ∞),  = 1, . . . , .
Случайные величины в левой части равномерно ограничены, поэтому
тот же предел должны иметь их математические ожидания:
(︁
)︁
(︀
)︀
P  () = EP  ()|1 , . . . ,  →  () ( → ∞),  = 1, . . . , .
Лемма 3.1 доказана.
293
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.3. В общем случае воспользуемся леммой 3.1 в сочетании с мажориро­
ванием и последующим предельным переходом.
Пусть  — объем единичного шара в R (явное выражение здесь не
требуется), т.е.   — объем шара радиуса . Зафиксируем произвольную
точку  ∈ R
+ . Поскольку она является точкой Лебега любой из плотностей
 , для шаров  радиуса  с центром в 
∫︁
1
 () →  (),  = 1, . . . ,  ( → 0).
(3.3)
  

Если  обладает плотностью распределения  , то для функции рас­
пределения  скалярной величины ‖  −  ‖ имеем поэтому (при  > 0)
∫︁
(3.4)
 () =  () =  ()  + ( ) ( → 0).

Выберем произвольное  (0 <  < 1) и положим
1 = (1 − ) (),
2 =  () + ,
 = 1, . . . , .
(3.5)
Ясно, что 0 6 1 6  () < 2 , причем среднее неравенство является
строгим при  () ̸= 0. Поэтому, с учетом (3.4), на некотором промежутке
[0, ],  = () > 0, справедливы неравенства
1   6  () 6 2   6 1,
 = 1, . . . , 
(0 6  6 ).
(3.6)
Для  = 1, . . . ,  введем функции 1 , 2 , полагая
1 () = 1   ,
2 () = 2   ,
 = 1, . . . , 
(0 6  6 )
(3.7)
и продолжая их на всю числовую прямую с сохранением неравенств
1 () 6  () 6 2 (),
 = 1, . . . , 
(−∞ <  < ∞)
(3.8)
и свойств функций распределения (абсолютно непрерывных); это, очевид­
но, возможно. Функции распределения 1 , 2 соответствуют (в том же
смысле, в каком  соответствуют  ), в частности,  -мерным плотностям
 () =
′ (‖  −  ‖)
  ‖  −  ‖ −1
,
 = 1, . . . , ,
 = 1, 2
( ∈ R ).
(3.9)
Если  ∈  , то 0 6 ‖  −  ‖ 6 ; поэтому из (3.7), (3.9) следует, что
 () ≡  ,
 = 1, . . . , ,
294
 = 1, 2
( ∈  ).
(3.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.4. Пусть (︁ (1 6 )︁ 6 ) фиксировано. Наряду с задачей о предельном
значении P  () , рассмотрим две вспомогательные задачи о предель­
(︁
)︁ (︁
)︁
ных значениях P ′ () , P ′′ () . Здесь оба события ′ (), ′′ (),
как и  (), означают, что ближайшим к  элементом  будет элемент вы­
борки  ; разница лишь в исходных распределениях. Именно, для события
′ () (′′ ()) плотности 1 , . . . ,  заменяются соответственно вспомога­
тельными плотностями
11 , . . . , −11 , 2 , +11 , . . . , 1
(3.11)
(12 , . . . , −12 , 1 , +12 , . . . , 2 ).
(3.12)
Так как 2 () = 2 > 0 ( = 1, . . . , ), не все функции (3.11) равны 0
в точке ; то же относится и к функциям (3.12). В силу (3.10) применима
лемма 3.1, откуда
(︁
)︁
(︁
)︁
  () + 
(︁
)︁
P ′ () →
( → ∞),
(3.13)
∑︀
(1 − )
  () +   () + 
̸=
(︁
)︁
P ′′ () → ∑︀
(1 − )  ()
)︁
  () +  + (1 − )  ()
( → ∞).
(3.14)
Лемма 3.2. При любых ,  справедлива двусторонняя оценка
(︁
)︁
(︁
)︁
(︁
)︁
P ′′  6 P  6 P ′  .
(3.15)
(︁
̸=
3.5.
Ввиду аналогии ограничимся доказательством второго неравенства. Пусть
1 , . . . ,  — расстояния от  до соответствующих элементов выборки  .
Эти  случайных величин имеют введенную выше функцию распределения
 и независимы. Положим еще
 = min{1 , . . . ,  },  = 1, . . . , ;
 = min{1 , . . . , −1 , +1 , . . . ,  },
′ , . . . ,  ′ ,  ′ ,  ′ имеют аналогичный смысл, но при плотностях (3.11)
а 1
 
(вместо 1 , . . . ,  ).
′ , . . . , ′
Любая из величин 1
имеет функцию распределения

2 () >  () (−∞ <  < ∞) и поэтому ′ стохастически не больше 
(что сразу следует из выражения для функции распределения минимума).
295
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Повторяя то же соображение, заключаем, что при  ̸=  ′ стохастиче­
ски не меньше  (с учетом неравенства  > 1 ) и, следовательно,  ′
стохастически не меньше . Величины, входящие в неравенство
P( < ) 6 P(′ <  ′ )
(3.16)
независимы, причем ′ () стохастически не больше  ( ′ ). Итак, (3.16), т.е.
второе из неравенств (3.15), справедливо. Лемма 3.2 доказана.
Осталось заметить, что при  → 0 правые части (3.15) и (3.16) стремятся
к правой части (3.1). Переход к пределу при  → ∞,  → 0 с учетом леммы
3.2, завершает доказательство теоремы 3.1.
Она допускает прозрачную интерпретацию: для выборок  предельные
вероятности содержат ближайший (среди всех выборочных) элемент к фик­
сированной «хорошей» точке , пропорциональны ожидаемым количествам
элементов  в малой окрестности  ( = 1, . . . , ).
3.6. Пусть  — событие, состоящее в том, что ближайший к  среди
 − 1 остальных элементов  окажется в выборке  .
Следствие 3.1. При любых ,  и любом  ∈ R
+
(︁
)︁
P  / =  →  () ( → ∞).
(3.17)
В самом деле, единственное различие по сравнению с теоремой 3.1 со­
стоит в том, что здесь из выборки  исключается элемент  , так что
объем  этой выборки должен быть теперь заменен на  − 1. Эта деталь
несущественна для асимптотики левой части (3.17) при  → ∞.
3.7. Откажемся теперь от фиксации  и вернемся к априорной интерпре­
тации  как случайной величины.
Следствие 3.2. При любых ,  ( — элемент объема в R )
∫︁
(︁
)︁
P  →
 () () 
( → ∞).
(3.18)
R
+
Действительно, по формуле полной вероятности:
(︁
)︁ ∫︁ (︁
)︁
P  =
P  / =   () ,  = 1, . . . ,  .
(3.19)
R
+
 оправдано: можно ограничиться ин­
Интегрирование по R
+ вместо R
тегрированием лишь по тем , где  () > 0, и, кроме того, почти все точки
296
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
R являются точками Лебега суммируемых функций 1 , . . . ,  (см. [9]).
Далее, подынтегральные функции в (3.19) имеют общую суммируемую в
R
+ мажоранту  (). Поэтому возможен предельный переход под знаком
интеграла, и (3.19) с учетом (3.17) дает (3.18).
3.8. Вернемся к статистике  . Пусть  — индикатор события  =  .
Тогда при  → ∞
E = E

(︁ ∑︁
∫︁

)︁ ∑︁
 =
P( ) =  P(1 ) → 
 () (),
=1
=1
R
+
∫︁

(︁  )︁ ∑︁
E
1 21 () + · · · +  2 ()

E √
=
−1→
 − 1.

1 1 () + · · · +   ()

=1
(3.20)
R
+
3.9.
Следствие 3.3. При невыполнении гипотезы 0
(︁  )︁

> 0.
lim E √
→∞

(3.21)
Для доказательства воспользуемся неравенством Коши:

(︁ ∑︁
 
)︁2
=
=1

(︁ ∑︁
√

√︁
)︁2 ∑︁
2
 ·   6
 2 ,
(3.22)
=1
=1
поскольку сумма всех  равна 1. При этом на множестве положительной
меры знак неравенства в (3.22) должен быть строгим. Иначе оказалось бы,
что почти всюду пропорциональны векторы
(︂√︁
)︂
√︀
√
√
2
2
1 1 (), . . . ,   () ,
( 1 , . . . ,  ),
т.е. 1 () = · · · =  (), что противоречит предположению.
С учетом (3.20), (3.22) получаем требуемое неравенство:
(︁
)︁2
(︁  )︁ ∫︁ 1 1 () + · · · +   ()

>
 − 1 =
lim E √
→∞
1 1 () + · · · +   ()

R
+
=
∫︁ (︁
)︁
1 1 () + · · · +   ()  − 1 = 1 + · · · +  − 1 = 0.
R
297
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 4. Оценка D при гипотезе 0
4.1. В § 3 изучались вопросы асимптотики (при  → ∞), тогда как ниже
рассматриваются значения D при произвольных .
Теорема 4.1. Если справедлива гипотеза 0 , то при любом (> 4)
D 6
2( − )( − 1)
−3
( > 4).
(4.1)
Правая часть здесь не превосходит 4( − 1) и с ростом  сходится к
2( − 1). Неравенство (4.1) будет получено как следствие более точной (но
и более громоздкой) оценки, куда входят 1 , . . . ,  .
Из определения  непосредственно следует, что

∑︁ 1
∑︁ 1
1
D +
D =
cov( ,  ).
2

 

=1
(4.2)
̸=
Переход от (4.2) к (4.1) требует достаточно точных оценок для слагае­
мых в правой части (4.2). Этому посвящены последующие пункты.
4.2. Итак, пусть выполнена гипотеза 0 , т.е. все  элементов различных
выборок  имеют одну и ту же плотность (). Введем ряд обозначений.
Прежде всего удобно избавиться от двойной индексации элементов  и
обозначать их просто как 1 , 2 , . . . ,  . При этом множество индексов 1 =
= {1, . . . , 1 } отвечает элементам выборки 1 и т.д., вплоть до множества
 = {− +1, . . . , }, отвечающего выборке  . Ближайший к  среди
остальных  − 1 элементов  обозначим через  ( ), а индикатор события
 ( ) =  — через  . (Отметим, что эти индикаторы, вообще говоря,
зависимы).
Очевидно,  = 0, E = ( − 1)−1 при  ̸=  (1 6 ,  6 ).
Положим также
(︁
)︁
(︁
)︁
(︁
)︁
(︁
)︁
 = E 12 34 ,  = E 12 23 ,  = E 12 32 ,  = E 12 21 .
(4.3)
Поскольку все  одинаково распределены и независимы, их(︀совместное
)︀
распределение перестановочно (т.е. симметрично).
Поэтому
E


= 


(︀
)︀
при любых различных индексах , , , , E   =  при любых различных
индексах , ,  и т.д.
4.3. Величины (4.3) зависят от плотности ; число их можно сократить до
двух, поскольку
( − 2) +  = ( − 3) +  +  = ( − 1)−1 .
298
(4.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В самом деле, индикаторы 12 , 13 , . . . , 1 отвечают событиям, образу­
ющим разбиение. Следовательно (так как E(23 12 ) = ),
( − 1)−1 = E21 = E(21 12 ) + · · · + E(21 1 ) =  + ( − 2),
( − 1)−1 = E23 = E(23 12 ) + E(23 13 ) + · · · + E(23 1 ) =  +  + ( − 3).
4.4. Как уже отмечалось в § 2, при любом 
∑︁
∑︁
 ( − 1)
 =
 , E =
E =
−1
,∈
(4.5)
,∈
Переходя к ковариациям величин  , заметим, что, в силу (4.5)
∑︁
∑︁
E(  ).
E(  ) =
,∈
(4.6)
,∈
При  ̸=  множества  и  не пересекаются, так что все ненулевые
слагаемые (отвечающие неравенствам  ̸= ,  ̸= ) равны . Число их,
очевидно, есть  ( − 1) ( − 1). С учетом (4.5) имеем при  ̸= 
(︁
)︁
 ( − 1) ( − 1)
cov  ,  =  ( − 1) ( − 1) −
=
( − 1)2
(︁
)︁
1
=   ( − 1)( − 1)  −
(1 6 ,  6 ,  ̸= ).
( − 1)2
Отсюда находим второе слагаемое в (4.2):
∑︁
̸=
(︁
)︁ (︁
)︁ ∑︁
1
1
cov  ,  =  −
( − 1)( − 1) =
 
( − 1)2
̸=

)︁(︁ ∑︁
)︁
1
(
−
1)(
−

)
−
(
−
1)(
−
)
. (4.7)
= −


( − 1)2
(︁
=1
4.5. Переходим к первому слагаемому. При  =  (4.6) принимает вид
∑︁
E2 =
E(  ).
(4.8)
,,,∈
Здесь счет усложняется, т.к. ненулевые слагаемые уже не совпадают.
Отбросим нулевые слагаемые, возникающие, если  =  или  =  или
 = ,  ̸= . Слагаемые с  = ,  =  дают вклад
)︁
∑︁
∑︁
 ( − 1) (︁
E2 =
E =
= E .
−1
,∈
,∈
299
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Остальные слагаемые имеют один из типов , , ,  и количества их
равны соответственно
 ( − 1)( − 2)( − 3); 2 ( − 1)( − 2);  ( − 1)( − 2);  ( − 1).
Суммируя, находим E2 , откуда с учетом (4.5)
(︁
D =  ( −1)
)︁ 2 ( − 1)2
1

+( −2)( −3)+( −2)(2+)+ − 
.
−1
( − 1)2
Ввиду (4.4) можно выразить D ( = 1, . . . , ) лишь через  и :
(︂
(︁
1 )︁
D =  ( −1) ( −2)( −3)+( −2) −(−3)+
−(−2)+
−1
+
2
 ( − 1)
−
−1
( − 1)2
)︂
(︂
=  ( − 1)( −  )
)︂

−
(
−
2)
−

. (4.9)

( − 1)2
4.6. Объединяя (4.2), (4.7) и (4.9), находим
(︂
)︂

∑︁
1
( − 1)( −  )

D =
− ( − 2) −  +


( − 1)2
=1
)︂(︂ ∑︁
)︂
(︂

1
( − 1)( −  ) − ( − 1)( − ) =
+ −
( − 1)2
=1
=
( − 1)( − )
+ 1  − 2  (4.10)
( − 1)2
с положительными коэффициентами
1 =  −  + 2 +  − 2

∑︁
1
,

=1
2 =

∑︁
( − 1)( −  )
=1

.
Положительность 1 усматривается из неравенства

∑︁
(︀ 1
1
1 )︀
1


= (1 + · · · +  )
+ ··· +
=1+
+ ··· +
+16

1

2
−1
=1
1

1
61+
+ ··· +
+ 1 =  + ( − 1).
2
2
2
300
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.7. В (4.10) D выражена через величины ,  (как правило, неизвест­
ные). Избавимся от них, переходя к неравенству. В силу (4.4)  6 ( − 1)−1 ×
× ( − 3)−1 . Поскольку 1 , 2 ,  > 0, имеем оценку

(︁
∑︁ 1 )︁
1
( − 1)( − )
1
2
D 6
+

−

+

+

−
2
.

( − 1)2
( − 1)( − 3)

=1
Так как 1 + · · · +  =  и все  положительны, сумма величин, обрат­
ных к 1 , . . . ,  , не меньше, чем 2 −1 . Отсюда непосредственно следует
теорема 4.1:
)︂
(︂
2( − 1)( − )
( − 1)( − ) ( − 1)( − )
+
6
.
D 6 
2
( − 1)
( − 1)( − 3)
−3
§ 5. Асимптотическая оценка сверху D в общем случае
5.1. Рассмотрим теперь поведение D без предположения об однородно­
сти. Ограничимся следующим предложением.
Теорема 5.1. Имеет место оценка
D = ()
( → ∞).
(5.1)
В связи с перенумерацией элементов в п. 4.2 сейчас удобно ввести
дополнительную индексацию также для выборок и их объемов. Положим
для любого  (1 6  6 )   =  ,  =  , если  ∈  (например,
 1 = · · · =  1 = 1 , 1 = · · · = 1 = 1 и т.д.). Пусть  есть индикатор
события  ( ) ∈   , где, как и ранее,  ( ) — ближайший к  среди  − 1
остальных элементов  ( = 1, · · · , ). В этих обозначениях
 =
√

(︂ ∑︁

=1
)︂
1
 − 1 .

5.2. Теорема 5.1 будет доказана, если мы проверим, что

∑︁ 1
∑︁ 1
1
D =
D +
cov( ,  ) = Σ1 + Σ2 = (1)
2

 
( )
=1
( → ∞).
̸=
Можно ограничиться слагаемым Σ2 , так как Σ1 = (−1 ) ( → ∞).
Пусть  = cov( ,  ) при всех ,  таких, что  ̸= ,  ∈  ,  ∈  .
Каждой неупорядоченной паре выборок  ,  при  ̸=  в сумме Σ2 отвечает
301
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
−1
2  одинаковых слагаемых, равных −1
   , а при  =  −  ( − 1)
одинаковых слагаемых, равных −2
  . Отсюда

∑︁
|Σ2 | 6
| |.
,=1
При любом  в правую часть в качестве слагаемых входит фиксированное
число (а именно, 2 ) ковариаций. Поэтому бесконечная малость Σ2 при
 → ∞ вытекает из следующего факта.
Лемма 5.1. При всех ,  имеет место соотношение
 → 0
( → ∞;
1 6 ,  6 ).
Данное утверждение достаточно прозрачно: вряд ли может вызвать со­
мнение тот факт, что с ростом  зависимость между различными индика­
торами сходит на нет. Итак, на «интуитивном» уровне теорему 5.1 можно
считать подтвержденной.
5.3. Для полноты приведем подробное доказательство леммы 5.1.
Зафиксируем индексы , , а также точки  ′ ,  ′′ ∈ R такие, что
 ′ ̸=  ′′ ,
 ′ ,  ′′ ∈ R
+,
 ( ′ ) > 0,  ( ′′ ) > 0.
(5.2)
Выберем разбиение R на непересекающиеся борелевские множества
такие, что  ′ ( ′′ ) — внутренняя точка  ′ ( ′′ ) и
∫︁
∫︁
′
′′
′
 =  () ̸= 0,  =
 ()(= 1 −  ) ̸= 0,  = 1, · · · , 
 ′ ,  ′′
′
 ′′
(что, очевидно, возможно). Положим далее,
′
′
′′
′ = 1 1 + · · · +   ,
′
′
′
−1
 =   ( )
,
′′
′′ = 1 1 + · · · +   (= 1 − ′ ),
′′
′′
′′
 =   ( )
−1
,
 = 1, · · · , .
(5.3)
R ,
В соответствии с разбиением
каждая из выборок 1 , · · · ,  ,  так­
′
′′
′
′′
же разбивается на две «подвыборки» 1 и 1 , · · · ,  и  ,  ′ и  ′′ из
элементов, которые попадут в  ′ и  ′′ соответственно. Объемы этих под­
′
′′
′
′′
выборок обозначим через 1 и 1 , · · · ,  и  , ′ и ′′ . Эти объемы —
случайные величины и связаны очевидными соотношениями
′
′′
 +  = 
( = 1, · · · , ),
302
′ + ′′ = .
(5.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При этом, согласно закону больших чисел, почти наверное
′

′
→  ,

′′
′
→ ′ ,


′′
→  ,

′′
→ ′′

( → ∞).
(5.5)
′′
′
Элементы выборок  ,  обладают сосредоточенными в  ′ ,  ′′ соот­
ветственно плотностями ( = 1, . . . , )
′
−1
′
 () = ( )
 ()
( ∈  ′ ),
′
′′
′′
−1
 () = ( )
′
′′
 ()
( ∈  ′′ ).
(5.6)
′′
Далее, элементы выборок 1 , . . . ,  (1 , . . . ,  ), очевидно, независимы.
′
′′
Роль величин  играют здесь определенные в (5.3) величины  ( ). В
′′
самом деле, в силу (5.5) (для  выкладка аналогична)
′
′

  
=
′

  ′
п.н.
−−−→
′
 
′
= 
′

( → ∞),
′
′
 = 1, · · · , .
′′
(5.7)
′′
Итак, к «просеянным» выборкам 1 , · · · ,  (1 , · · · ,  ) применимы
′
′
′
′′
′′
′′
результаты § 3 с заменой  , ,  ,  на  , ′ ,  ,  ( , ′′ ,  ,  ). Раз­
личие состоит в том, что объемы выборок теперь случайны и обычная схо­
димость  −1 к  заменена п.-н.-сходимостью в (5.7). Это, однако, не
играет роли: для соответствующих разделов § 3 имели значение лишь коли­
чества — заведомо случайные — элементов различных выборок 1 , · · · ,  ,
попавших в окрестность (︀некоторой
точки .
)︀
′
′′
Пусть событие  ()  () состоит в том, что ближайший к  элемент
′
′′
 ′ ( ′′ ) принадлежит  ( ). Теорема 3.1 с учетом (5.3), (5.6) дает
(︁ ′ ′
)︁−1
(︀ ′
)︀
′ ′
′
′
P  ( ′ ) →   ( ′ ) 1 1 ( ′ ) + · · · +   ( ′ )
=  ( ′ ),
(5.8)
(︁ ′′ ′′
)︁−1
(︀ ′′
)︀
′′ ′′
′′
′′
=  ( ′′ )
P  ( ′′ ) →   ( ′′ ) 1 1 ( ′′ ) + · · · +   ( ′′ )
(5.9)
′
′′
(при  → ∞). События  ( ′ ),  ( ′′ ) зависимы (хотя области  ′ ,  ′′ , как
и выборки  ′ ,  ′′ , не пересекаются); причиной зависимости является лишь
′
′′
′
′′
связь (5.4) между величинами  и  ,  = 1, · · · , . Поэтому  ( ′ ),  ( ′′ )
′
′
′
условно независимы при данном ⃗ = (1 , · · · ,  ) :
(︀ ′
(︀ ′
′′
′ )︀
′ )︀ (︀ ′′
′ )︀
P  ( ′ ) ( ′′ )|⃗ = P  ( ′ )|⃗ P  ( ′′ )|⃗ .
(5.10)
′
′
В силу (5.7) для почти любой последовательности ⃗1 , ⃗2 , · · · применима
теорема 3.1, так что с учетом (5.10)
(︀ ′
′ )︀ п.н.
P  ( ′ )|⃗ →  ( ′ ),
(︀ ′′
′ )︀ п.н.
P  ( ′′ )|⃗ −−−→  ( ′′ )
303
( → ∞),
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(︀ ′
′′
′ )︀ п.н.
P  ( ′ ) ( ′′ )|⃗ −−−→  ( ′ ) ( ′′ )
( → ∞).
Из п.-н.-сходимости к константе равномерно ограниченных случайных
величин следует сходимость к той же константе их средних:
(︀ ′
)︀
(︀ ′
′′
′′
′ )︀
P  ( ′ ) ( ′′ ) = EP  ( ′ ) ( ′′ )|⃗ →  ( ′ ) ( ′′ )
(5.11)
при  → ∞. Далее, пусть  () — событие  () ∈  ( = 1, · · · , ), где
 () есть ближайший к  элемент выборки . В случае  ∈ R
+
п.н.
 () =  () −−−→ 
( → ∞).
(5.12)
Если, скажем,  () > 0, то в любой окрестности точки  почти наверное
найдутся элементы из  , так как они независимы и имеют одну и ту же
ненулевую вероятность попадания в окрестность. Отсюда следует (5.12).
′
Так как  ′ ( ′′ ) — внутренняя точка  ′ ( ′′ ), то почти наверное  ( ′ ) =
′′
=  ( ′ ),  ( ′′ ) =  ( ′′ ) для всех достаточно больших .
Итак, предельные вероятности при  → ∞ для событий  ( ′ ),  ( ′′ ),
 ( ′ ) ( ′′ ) совпадают с найденными предельными вероятностями для
′
′′
′
′′
 ( ′ ),  ( ′ ),  ( ′ ) ( ′ ) соответственно (п.-н.-сходимость индикаторов
влечет сходимость их математических ожиданий). С учетом (5.8), (5.9),
(5.11) имеем поэтому при  → ∞
(︀
)︀
(︀
)︀ (︀
)︀
P  ( ′ ) ( ′′ ) − P  ( ′ ) P  ( ′′ ) → 0.
(5.13)
Пусть  ∈  ,  ∈  . Величина  = cov( ,  ), равная
(︀
)︀
(︀
)︀ (︀
)︀
P  ( ) ∈  ,  ( ) ∈  − P  ( ) ∈  P  ( ) ∈  ,
представляется интегралом  по R × R от функции
(︁ (︀
)︀
(︀
)︀ (︀
)︀)︁
P  ( ′ ) ( ′′ ) − P  ( ′ ) P  ( ′′ )  ( ′ ) ( ′′ ).
(5.14)
(5.15)
В (5.15) по сравнению с (5.14)  ,  , если  ̸= , уменьшаются на 1 в
связи с исключением «текущих» значений  =  ′ ,  =  ′′ (при  =  
уменьшается на 2). Это не влияет на предел (5.14) при  → ∞. Итак,
достаточно убедиться, что  → 0 при  → ∞.
Подынтегральная функция ( ′ ,  ′′ ) =  ( ′ ,  ′′ ) имеет суммируемую в

R × R мажоранту  ( ′ ) ( ′′ ). Остается показать, что  ( ′ ,  ′′ ) → 0 по­
чти всюду в R × R при  → ∞. Для пар ( ′ ,  ′′ ) таких, что  ( ′ ) ( ′′ ) =
= 0, это тривиально. «Диагональ»  ′ =  ′′ имеет нулевую меру; то же
относится к множеству пар ( ′ ,  ′′ ) таких, что  ′ или  ′′ не является лебего­
вой точкой для одной из плотностей 1 , · · · ,  . Остальные пары ( ′ ,  ′′ ) ∈
∈ R × R удовлетворяют условиям (5.2) и для них нужное соотношение
получено в (5.13).
Лемма 5.1 доказана. Это завершает и обоснование теоремы 5.1.
304
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§ 6. Доказательство основного результата
6.1. Начнем с утверждения а), относящегося к случаю однородности. Со­
гласно результатам § 2 и § 4 (теорема 4.1) в этом случае
√ −1
(< 0),
E = − 
−1
D 6
2( − )( − 1)
6 4( − 1).
−3
Утверждение а) следует√︀из неравенства Чебышева; в качестве (, )
можно выбрать величины 2 ( − 1)−1 (они могут быть уменьшены).
В случае неоднородности, согласно (3.21) и (5.1), имеем
(︁  )︁
(︁  )︁


E √
→ , D √
→ 0 ( → ∞),


√
где  — некоторая положительная постоянная. Итак,  /  п.н. сходится
к (> 0). Отсюда сразу следует утверждение б).
Результат, названный выше основным, полностью доказан.
§ 7. О количественных уточнениях
7.1. С качественной точки зрения основной результат устанавливает неко­
торое — теоретически достаточно важное — свойство статистики ; доказа­
тельство носит конструктивный характер, т.к. подходящие значения (, )
явно указываются. Однако существует и количественная сторона дела, осо­
бенно важная в приложениях. С этой точки зрения полученная
простая
√︀
формула для возможных пороговых значений (а именно, 2 ( − 1)−1 )
является не лучшим вариантом. Она, как отмечалось, дает завышенные по­
роговые значения, т.е. вероятности ошибок первого рода фактически оказы­
ваются меньше — и обычно существенно меньше — чем . Это, естественно,
ведет к увеличению ошибок второго рода (при тех или иных альтернати­
вах), т.е. к понижению чувствительности критерия при отклонениях от
однородности.
Некоторые напрашивающиеся способы уточнения, будучи небесполез­
ными в отдельных ситуациях, не позволяют, однако, снять данную труд­
ность. Так, возвращение к более точным (и более громоздким) оценкам для
 не дает значительного эффекта. Попытка использовать вместо неравен­
ства Чебышева асимптотическую нормальность  (еще нуждающуюся в
строгом обосновании) бесполезна для небольших выборок, да и для боль­
ших менее эффективна, чем обычно, — ведь для  известна лишь оценка
сверху. Что касается употребительных на практике правил типа «3», то
их дефектом является, как известно, отсутствие четкого представления о
размере критерия.
305
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7.2. Радикального решения вопроса можно добиться на другом пути. Он не
приводит к какой-либо простой и «оптимальной» во всех случаях формуле
для пороговых значений, поскольку носит алгоритмический характер. Речь
идет о перестановочном методе, восходящем еще к Фишеру (подробнее, см.,
например, [3, 5]). Перестановочный подход применялся, главным образом,
в скалярном случае, но здесь многомерность не создает принципиальных
трудностей. Для удобства читателей напомним этот подход в общих чертах.
Обозначим через {}, { } множества элементов выборок ,  ( =
= 1, . . . , ). Пусть, далее,  0 — наблюдаемая реализация выборки ; со­
ответствующее  0 значение критической статистики обозначим через  0 .
Для нахождения в данной ситуации вероятности ошибки первого рода (при
отклонении 0 ) будем рассуждать следующим образом. Пусть гипотеза 0
выполняется. Генерирование выборки  можно представить как два после­
довательных этапа: на первом этапе генерируется множество {}, на втором
равновероятно выбирается одно из разбиений {} на  множеств
{} = {1 } ∪ · · · ∪ { }
(| | =  ,
 = 1, . . . , ).
(7.1)
Равновероятность является следствием 0 : все выборочные элементы рав­
ноправны, поэтому каждое из разбиений (7.1) имеет одну и ту же вероят­
ность 1 ! · · ·  !(!)−1 . Каждому разбиению и соответствующим «виртуаль­
ным» подвыборкам 1 , · · · ,  отвечает свое значение .
Представим себе, что в нашем случае первый этап уже выполнен, а вто­
рой еще нет, т.е. { 0 } фиксировано, а  пока является случайной величи­
ной, распределение которой (фактически условное) однозначно определено
и не зависит от 0 . Основную роль далее играет условная вероятность
 =  ( >  0 |{ 0 }).
Если отклонять гипотезу 0 в случае  >  0 , то  становится, таким об­
разом, условным размером критерия (условие {} = { 0 } имеет нулевую
вероятность, что здесь несущественно).
При реализациях малых выборок значение  зачастую удается вычис­
лить точно, используя комбинаторные соображения или полный перебор.
Однако высокая точность здесь обычно не требуется, так что естественным
общим способом приближенного вычисления  является метод Монте-Кар­
ло.
Величина  является адекватной мерой степени достоверности 0 ; если
0 отклоняется при  6 1 (где 1 — заданный пороговый размер), то
и безусловный размер критерия при любой 0 также не превосходит 1 .
(Ввиду произвольности 1 значение , очевидно, более информативно, чем
сам факт отклонения или неотклонения 0 ).
Если требуется получить критерий точно (или почти точно) заданно­
го размера, то следует преодолеть еще некоторые технические трудности.
306
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дело в том, что перестановочное распределение дискретно (так же как и
выборочное распределение, возникающее при применении метода Монте­
Карло). Поэтому, если критическая область имеет вид  > , то размер
критерия может принимать лишь конечное число значений (расположенных
обычно достаточно «густо»). Эта трудность, естественно, преодолевается с
помощью рандомизации.
Преимущества перестановочного метода очевидны — это его точность
и общность. В частности, не требуется никаких ограничений на объем вы­
борок; отметим также, что данный подход не связан с конкретным видом
критической статистики. Алгоритмический характер не может считаться
принципиальным недостатком, тем более, что трудоемкость перестановоч­
ного метода вполне приемлема.
§ 8. О возможных обобщениях
8.1. В заключение остановимся на ряде обобщений, представляющих опре­
деленный интерес.
Естественно считать, что близость элементов определяется стандартной
евклидовой нормой в R . Однако фактически все остается справедливым
и для других норм — скажем, для максимума модулей компонент и т.п.
Линейность пространства также несущественна; векторные операции
встречались лишь в выражении ‖  −  ‖, т.е. для обозначения расстояния.
Правда, на произвольные метрические пространства основной результат не
распространяется (легко указать контрпримеры для несепарабельного слу­
чая).
Основной результат сохраняет силу для вырожденных распределений,
сосредоточенных на некоторых 1 -мерных многообразиях в R с 1 -мерными плотностями (1 6 1 <  ). (Интересны, в частности, распределения
на сфере). Априорной информации об этих многообразиях, как и о самом
факте вырожденности, не требуется.
8.2. Что касается распределений общего типа, то уже для формальной
применимости -критерия нужна единственность (почти наверное) ближай­
шего элемента. Если таковая отсутствует (скажем, в дискретном случае),
то возможна рандомизация, т.е. равновероятный выбор одного из претен­
дентов. Поскольку для этой цели применимы малые непрерывные, незави­
симые и одинаково распределенные возмущения — что возвращает нас к
непрерывному случаю — значение E и оценка (4.1) для D (при 0 )
сохраняются.
Отсюда нетрудно перейти к более удобной — и уже не рандомизиро­
ванной — модификации -критерия. Именно, пусть для любых ,  элемент
307
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 имеет  ближайших среди  − 1 остальных элементов  (при совпаде­
′ принадлежат
ниях подсчет ведется с учетом «кратности»), из которых 
′
выборке  . Определим статистику  той же формулой (1.3), где теперь
 =
′
′

1

+ ··· +
1

( = 1, . . . , ).
Это — обобщение  на случай неединственности ближайших (для непре­
рывных распределений  и ′ совпадают почти наверное). Рассмотрим со­
бытия, определяющие для всех элементов выборки  совокупности ближай­
ших к ним элементов . Данные (2−1 −1) событий индуцируют разбиение
пространства выборок, причем ′ есть условное математическое ожидание
 относительно этого разбиения. Следовательно (см., напр., [10]), E′ =
= E , D′ 6 D (так что теорема 4.1 остается в силе).
8.3. Сфера применимости -критерия (или  ′ -критерия) радикально расши­
ряется, если отказаться от жесткого требования полной состоятельности.
Из утверждений а), б) (см. § 1) важно теперь лишь первое, основанное на
теореме 4.1, доказанной без существенных ограничений. Теперь критерий
может применяться в произвольном метрическом пространстве (с оговор­
ками по поводу измеримости). Элементами выборок могут быть, например,
фрагменты выборочных случайных полей; близость определяется по метри­
ке в адекватном функциональном пространстве (для выборочных элементов
или функций от них). Пусть, например, сравниваются выборочные траек­
тории стационарных эргодических гауссовских процессов на некотором ин­
тервале времени; гипотеза 0 состоит в том, что эти процессы идентичны.
Здесь естественно применять метрику, учитывающую разность выбороч­
ных средних и расстояние (в какой-либо из функциональных норм) между
выборочными автоковариациями.
8.4. Отпадает необходимость и в аксиомах метрики. От интерпретации
 () как ближайшего к  элемента можно перейти к произвольному отобра­
жению  :  →  без неподвижных точек (ради краткости считаем, что все
элементы  различны). Формально требуется лишь, чтобы  определялось
значениями элементов  и не зависело от их индексации. В то же время с
точки зрения чувствительности к альтернативам целесообразно определять
 () как «наиболее сходный» с  среди остальных элементов выборки  в
некотором естественном смысле (связанном с конкретикой задачи).
8.5. Для приложений существенно, что формализация  не обязательна и
 может определяться экспертной оценкой. Сравним два варианта экспер­
тизы. При первом эксперту предъявляются выборки 1 , . . . ,  и задается
308
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вопрос о наличии или отсутствии однородности. Каков бы ни был ответ,
надежность его основывается лишь на вере в качественность экспертизы.
Второй вариант таков. Эксперту предъявляется выборка  в целом (без
указания 1 , . . . ,  ) и предлагается для каждого элемента выборки  ука­
зать «наиболее сходный» с ним среди  − 1 остальных; затем применяется
-критерий. Здесь при отклонении 0 , т.е. при  > (, ), вывод делается
с уровнем риска, не превосходящим  — притом без априорных сведений
о качестве экспертизы. (Cам факт больших значений  свидетельствует —
в вероятностном смысле — как о нарушении 0 , так и о качественности
экспертной оценки).
8.6. Независимость элементов выборки  также не является необходимым
требованием. Именно, будем трактовать теперь гипотезу однородности 0
как перестановочность совместного распределения всех элементов . Как
известно, это менее ограничительное требование содержательно отвечает
понятию однородности; в то же время оно достаточно для справедливости
утверждения а) § 1. Сама форма -критерия показывает, что он ориентиро­
ван на альтернативы, допускающие перестановочность не в целом, а лишь
внутри выборок 1 , . . . ,  .
Сказанное выше показывает, что формально -критерий применим по­
чти без ограничений — не требуется конечномерности и линейности про­
странства, независимости выборочных элементов, предположений, связан­
ных с метрикой (да, собственно, и числового характера данных). В части,
касающейся ошибок первого рода, при этом ничего не меняется. Правда,
при столь «неограниченной» общности уже не гарантируется состоятель­
ность против всех альтернатив.
8.7. Рассмотренный -критерий связан с тем соображением, что при неод­
нородности близкие элементы каждой выборки  как бы «тяготеют» друг к
другу. Эта идея, конечно, не нова; упомянем, например, классический кри­
терий серий [11] для скалярных выборок, где применяется сходное сообра­
жение. Можно предложить другие многомерные статистики родственного
характера. Так, естественным выглядит «расширение кругозора», когда учи­
тывается не только ближайший к  ∈  элемент 1 =  () среди остальных
элементов , но и последующие — в порядке возрастания расстояний до
 — элементы 2 , 3 , . . . . При этом вклад в статистику элемента  ∈  мо­
жет определяться числом  таким, что 1 , . . . ,  ∈  , +1 ̸∈  . В другом
варианте  определяется как минимальное , при котором  ∈  . Пока
неизвестно, распространяется ли на соответствующие статистики основной
результат; с этой точки зрения применение статистики  представляется в
настоящее время наиболее оправданным.
309
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8.8. В заключение отметим, что проводились достаточно обширные чис­
ленные эксперименты, которые свидетельствуют о практической эффектив­
ности -критерия. Так, приемлемый уровень достоверности при выявлении
сильно выраженной неоднородности весьма часто обеспечивался уже при
малых выборках 1 , . . . ,  , содержащих не более 5—10 элементов (что
вполне естественно). Более подробные данные здесь не приводятся, по­
скольку полный произвол в выборе плотностей неизбежно придает любым
экспериментам весьма частный характер.
Литература
1. Кендалл, М. Д. Многомерный статистический анализ и временные ря­
ды / М. Д. Кендалл, А. Стьюарт. — М.: Наука, 1976. — 736 с.
2. Большев, Л. Н. Таблицы математической статистики / Л. Н. Большев,
Н. В. Смирнов. — М.: Наука, 1965. — 464 с.
3. Леман, Э. Проверка статистических гипотез / Э. Леман. — М.: Наука,
1979. — 408 с.
4. Айвазян, С. А. Прикладная статистика. Основы моделирования и пер­
вичной обработки данных / С. А. Айвазян, И. С. Енюков, Л. Д. Ме­
шалкин. — М.: Финансы и статистика, 1983. — 472 с.
5. Кокс, Д. Теоретическая статистика / Д. Кокс, Д. Хинкли. — М.: Мир,
1978. — 560 с.
6. Гаек, Я. Теория ранговых критериев / Я. Гаек, З. Шидак. — М.: Наука,
1971. — 376 с.
7. Боровков, А. А. Математическая статистика. Дополнительные главы /
А. А. Боровков. — М.: Наука, 1984. — 144 с.
8. Левин, А. Ю. О состоятельном многомерном непараметрическом кри­
терии однородности / А. Ю. Левин // УМН. — 1993. — Т. 48, № 6. —
С. 155—156.
9. Шилов, Г. Е. Интеграл, мера и производная / Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуре­
вич. — М.: Наука, 1964. — 212 с.
10. Ширяев, А. Н. Вероятность / А. Н. Ширяев. — М.: Наука, 1980. —
576 с.
11. Wald, А. On a test whether two samples are from the same popula­
tion / А. Wald, J. Wolfowitz // Ann. Math. Statist. — 1940. — Vol. 11. —
P. 147—162.
310
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список работ А. Ю. Левина
1. Левин, А. К задаче о существовании ортогонального элемента к под­
пространству / А. Левин // Труды семинара по функцион. анализу. —
Воронеж, 1958. — 6. — С. 91—92.
2. Левин, А. Ю. О многоточечной краевой задаче / А. Ю. Левин // Науч­
ные доклады высшей школы. — 1958. — № 5. — С. 34—37.
3. Левин, А. Ю. Об одном принципе сравнения для дифференциальных
уравнений второго порядка / А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1960. —
Т. 135, № 4. — С. 783—786.
4. Левин, А. Ю. О дифференциальных свойствах функции Грина многото­
чечной краевой задачи / А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1961. — Т. 136,
№ 5. — С. 1022—1025.
5. Левин, А. Ю. О некоторых оценках дифференцируемой функции /
А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1961. — Т. 138, № 1. — С. 37—38.
6. Левин, А. Ю. Об устойчивости решений уравнений второго порядка /
А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1961. — Т. 141, № 6. — С. 1298—1301.
7. Левин, А. Ю. О многоточечной краевой задаче: Дис. . . канд. физ.-мат.
наук. — Воронеж, 1962. — 112 с.
8. Бессмертных, Г. А. О некоторых оценках дифференцируемых функций
одной переменной / Г. А. Бессмертных, А. Ю. Левин // ДАН СССР. —
1962. — Т. 144, № 3. — С. 471—474.
9. Левин, А. Ю. О быстроте сходимости метода Ньютона-Канторови­
ча / А. Ю. Левин, В. В. Стрыгин // УМН. — 1962. — Т. 17, № 3. —
С. 185—187.
10. Левин, А. Ю. Об одном критерии устойчивости / А. Ю. Левин //
УМН. — 1962. — Т. 17, № 3(105). — С. 211—212.
11. Красносельский, М. А. О стабилизации решений оптимальных задач /
М. А. Красносельский, А. Ю. Левин // Выч. матем. и мат. физика. —
1962. — № 5. — С. 915—921.
12. Левин, А. Ю. К вопросу о нулевой зоне устойчивости / А. Ю. Левин //
ДАН СССР. — 1962. — Т. 145, № 6. — С. 1221—1223.
13. Левин, А. Ю. Некоторые вопросы осцилляции решений линейных диф­
ференциальных уравнений / А. Ю. Левин // ДАН СССР. — 1963. —
Т. 148, № 3. — С. 512—515.
14. Бахтин, И. А. Об отыскании экстремума одной функции на многогран­
нике / И. А. Бахтин, М. А. Красносельский, А. Ю. Левин // Журн. выч.
матем. и мат. физики. — 1963. — Т. 3, № 2. — С. 400—409.
15. Левин, А. Ю. Некоторые вопросы, связанные с понятием ортогонально­
сти в пространстве Банаха / А. Ю. Левин, Ю. И. Петунин // УМН. —
1963. — Т. 18, № 3(111). — С. 167—170.
16. Левин, А. Ю. Об одной схеме случайного поиска / А. Ю. Левин,
311
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
А. С. Шварц // Труды семинара по функц. анализу. — Ворон