close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1533.Научные исследования факультета ИВТ

код для вставкиСкачать
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Научные исследования
факультета ИВТ
Сборник статей
к 25-летию факультета
Ярославль 2011
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
УДК 002
ББК Ч 214(2) 73я 43
Н 34
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве научного издания. План 2011 года
Н 34
Научные
исследования
факультета
информатики
и
вычисли-
тельной техники: сб. статей к 25-летию факультета / отв. ред. В. А. Соколов; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. Ярославль: ЯрГУ, 2011. 108 с.
ISBN 97858397
В сборник включены научные статьи и обзоры некоторых исследований в области математики и информатики, выполненных на факультете
информатики и вычислительной техники Ярославского государственного
университета имени Павла Григорьевича Демидова. Достаточное разнообразие тем обзоров дает определенное представление о широте тематики
научных исследований, которые ведутся на факультете.
Редакционная коллегия:
В. А. Соколов (ответственный редактор), А. Н. Максименко (ответственный за выпуск), В. А. Бондаренко, В. В. Васильчиков, С. Д. Глызин,
А. В. Зафиевский, А. Н. Морозов, П. Г. Парфенов.
УДК
ББК
ISBN 97858397
002
Ч 214(2) 73я 43
Компьютерный набор сборника сделан с использованием
издательской системы
c
LATEX 2?
TEX.
пакета Mik
Ярославский государственный университет
им. П. Г. Демидова, 2011
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Содержание
Предисловие
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Ануфриенко С. Е.
О моделях сальтаторного проведения возбуждения
. . . . . . . . . .
5
. . . . . . . .
17
. . . . . .
22
Бондаренко В. А., Николаев А. В.
О подобии разных релаксаций разрезного многогранника
Бродский Г. М., Наханов З. В.
О телефонном центре вершинно-взвешенного связного графа
Глызин С. Д.
Уравнения с несколькими запаздываниями в задачах нейронной динамики
30
Дунаева О. А.
Модифицированная модель химического взаимодействия
импульсных нейронов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
. . . . .
49
. . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Калинин В. Б.
Представимость графов пересечениями различных множеств
Короткин А. А., Антонычев А. А.
Игровая автоматная модель локального управления в системах,
использующих нерасходуемый ресурс
Лагутина Н. С., Ларина Ю. А.
Шаблон проектирования приложений ѕМодель-Вид-Контроллерї
в библиотеке Qt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Максименко А. Н.
Аффинная сводимость
Морозов А. Н.
О методе локальных приближений
Мячин М. Л.
Построение асимптотики нулевого порядка
. . . . . . . . . . . . .
78
. . . . . . . . . . . . . .
86
. . . . . . . . . . . . . . .
92
для решения уравнения импульсного нейрона
Николаев А. В.
О минорах матрицы линейных ограничений
корневого полуметрического многогранника
Рублев В. С.
Нужна ли математика информатику?
Соколов В. А.
О направлениях современных научных исследований
кафедры теоретической информатики
. . . . . . . . . . . . . . . . 104
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Предисловие
Факультет информатики и вычислительной техники был открыт в Ярославском
государственном университете им. П. Г. Демидова в рамках создания в Ярославле Академического центра по фундаментальным проблемам микроэлектроники и
вычислительной техники. Важнейшую роль в создании факультета сыграл членкорреспондент Академии наук СССР Ю. А. Маматов.
Настоящее издание посвящается двадцатипятилетию факультета. За эти двадцать пять лет на факультете сложились научные школы, выросли новые научные
кадры. Работы ряда преподавателей получили достаточно широкую известность в
нашей стране и за рубежом. Особенно плодотворно развиваются научные направления по нейроинформатике, теории верификации систем, теории сложности дискретных задач. По этим направлениям защищены докторские диссертации и регулярно
защищаются кандидатские.
Задача полного описания всех научных исследований и их направлений, представленных на факультете, не ставилась перед авторами сборника. В него вошли
работы по упоминавшимся уже направлениям нейроинформатики, теории верификации систем, теории сложности дискретных задач, а также по прикладной статистике, теории приближения функций, теории графов и другим разделам математики
и информатики, выполненные как ѕветеранамиї факультета, так и молодыми преподавателями.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Научные исследования факультета ИВТ
Сборник статей к 25-летию факультета. 2011. С. 516
О моделях сальтаторного
проведения возбуждения
С. Е. Ануфриенко
sanufrienko@rambler.ru
В статье представлены разные модели проведения возбуждения по миелинизированному нервному волокну: точечная, распределенная, модель проведения
пачек импульсов и модель проведения импульсов по разветвляющемуся аксону. Все они основаны на дифференциальном уравнении с запаздыванием, кроме
этого, распределенная модель содержит дифференциальные уравнения в частных производных, а все остальные обыкновенные дифференциальные уравнения. Для всех моделей найдены формулы, описывающие динамику мембранных потенциалов перехватов Ранвье и миелинизированных участков, рассчитаны временные
рассогласования между спайками соседних перехватов. Хочется
отметить, что задача о сальтаторном проведении возбуждения была поставлена В. В. Майоровым. Все результаты получены под его руководством и при
его непосредственном участии. Результаты 4-го раздела получены совместно с
О. Ю. Завьяловой, а 5-го совместно с А. С. Мацем.
1.
Понятие о сальтаторном проведении
Нервные волокна бывают миелинизированными и немиелинизированными. Ми-
елинизированное волокно покрыто липидным слоем, называемым миелиновой оболочкой. Эта оболочка не сплошная: на расстоянии 1.52 мм друг от друга по всей
длине аксона находятся так называемые перехваты Ранвье. В области перехватов
миелиновая оболочка отсутствует, длина каждого перехвата равна 0.52.5 мкм [1].
Схематичное изображение нервного волокна приведено на рисунке 1.
Перехват Ранвье
I
@
@
Миелинизированный участок
Рис. 1. Миелинизированное нервное волокно
Миелиновая оболочка обладает высоким электрическим сопротивлением, поэтому по аксону импульсы распространяются скачкообразно от перехвата к перехвату.
Роль миелиновой оболочки и ее разрывов (перехватов Ранвье) в электрическом возбуждении нервного волокна продемонстрирована экспериментально. Опыты показали, что миелиновая оболочка является хорошим изолятором и что при воздействии
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
6
С. Е. Ануфриенко
раздражающего тока ответ возникает только в перехватах Ранвье. Если через перехват пропустить направленный наружу ток, превосходящий пороговое значение
?10
(примерно 4 · 10
a), то потенциал мембраны перехвата изменяется почти по закону
все или ничего. В результате возникает ток действия, который примерно в 5 раз
превышает пороговый. Он течет наружу через соседний перехват и возбуждает его.
Многократное повторение этого процесса и обеспечивает распространение нервного
импульса вдоль волокна [2].
Сальтаторное проведение способствует значительному увеличению скорости проведения импульса, поскольку для его проведения необходима деполяризация только
в области перехватов. Скорость проведения по миелинизированным волкнам в 2025
раз выше, чем по немиелинизированным волокнам такого же диаметра [1].
2.
Модель порогового нейрона
Нейроны делятся на две основные группы. Некоторые из них способны генери-
ровать спайк только за счет внутренних процессов. Это нейроны-автогенераторы.
У других после выхода из состояния гиперполяризации мембранный потенциал достигает некоторого значения (потенциала покоя), меньшего, чем пороговое. Для того
чтобы нейрон сгенерировал новый спайк, требуется внешнее воздействие. Такие нейроны называются пороговыми. Амплитуда спайка не зависит от силы воздействия,
если сигнал достаточен для возбуждения нейрона. Это и другие свойства пороговых
нейронов позволяют использовать их для описания динамики потенциала мембран
перехватов Ранвье при моделировании процесса распространения нервного импульса
по миелинизированному аксону.
Величину мембранного потенциала, которую обозначим через
u(t),
будем отсчи-
тывать от уровня максимальной гиперполяризации. Уравнение, описывающее динамику
u(t) ? 0,
имеет вид [3]:
u? = ?[?1 ? fN a (u) + fK (u(t ? 1))]u + ?.
(1)
? 1 отражает высокую скорость протекания электрических
0 < ? 1 учитывает токи утечки, проходящие через мембрану порогового нейрона. Положительные достаточно гладкие функции fN a (u) и
fK (u) монотонно убывают к нулю при u ? ? быстрее, чем O(u?1 ). Они описывают
Здесь параметр
процессов, параметр
состояние натриевых и калиевых каналов. Введем параметры:
? = 1 + fN a (0) ? fK (0) > 0,
?1 = fK (0) ? 1 > 1,
?2 = fN a (0) + 1 > ?1 .
Число
fK (0) ? fN a (1) ? 1 > 0
связано с пороговым значением: будем считать, что
спайк нейрона начинается в момент времени
u(ts ) = 1
и
u(t) < 1
ts ,
при
такой что
ts ? 1 < t < ts .
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
7
О моделях сальтаторного проведения возбуждения
Правая часть уравнения (1) при
u=0
положительна, а при достаточно больших
u
отрицательна, значит, у уравнения (1) есть положение равновесия
u = u? ?
?
1,
??
которое является экспоненциально устойчивым [4].
Проанализируем уравнение (1) при
? ? ?. Моделировать воздействие на нейрон
будем с помощью задания для него специальных начальных условий:
u(s) = ?(s)
при
s ? [?1, 0].
Класс начальных функций состоит из непрерывных на отрезке
?(s),
s ? [?1, 0]
функций
удовлетворяющих условиям:
?(0) = 1,
??s/2 1
0 ? ?(s) ? max e
,
.
?
Обозначим этот класс функций S. Начало и окончание спайка условно свяжем с
моментами времени, когда
u(t)
пересекает единичное значение соответственно с по-
ложительной и отрицательной скоростью.
Применяя метод пошагового асимптотического интегрирования, получим формулы, описывающие динамику мембранного потенциала порогового нейрона [3]:
? ??1 (t+o(1))
e
?
?
?
?(?1 ?(t?1)+o(1))
?
?
? e
? + o(1)
u(t) =
?
?
??2
?
?
?
?
+
o(1)
?
??
Здесь
0 < ? 1
при
t ? [?, 1 ? ?],
t ? [1 + ?, 1 + ?1 ? ?],
при
t ? [1 + ?1 + ?, 2 + ?1 ? ?],
при
t > 2 + ?1 + ?.
при
(2)
произвольно малое фиксированное число. Из приведенных
формул следует, что при
t ? ?1 + 2 + ?
приближенное равенство
u ? u?
выполняется
до тех пор, пока нейрон не сгенерирует новый спайк, который может быть вызван
только внешним сигналом.
3.
Точечная модель сальтаторного проведения
возбуждения
1.
Описание модели
N + 1 перехват Ранвье. Присвоим перехватам номера от 0 до N и обозначим через ui (t) их мембранные потенциРассмотрим участок нервного волокна, содержащий
алы. Потенциал миелинизированного участка, находящегося между перехватами с
номерами
i?1 и i, обозначим vi (t)(i = 1, . . . , N ). Мембранные потенциалы перехватов
Ранвье и миелинизированных участков будем отсчитывать от уровня максимальной
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
8
С. Е. Ануфриенко
гиперполяризации, поэтому
ui (t) ? 0
и
vi (t) ? 0.
Ток, протекающий через миелини-
зированный участок, определяется формулой [2]:
I=C
Здесь
R
dvi vi
+ .
dt
R
сопротивление мембраны, покрытой миелином,
C
эффективная ем-
кость. Сопротивление миелиновой оболочки очень велико, к тому же при прохождении импульса мембранный потенциал меняется очень быстро, поэтому омической
составляющей можно пренебречь [2]. По закону Кирхгофа ток, протекающий через
миелинизированный участок с номером
I=
i,
равен:
ui?1 ? vi ui ? vi
+
.
R
R
Окочательно получаем уравнение:
dvi
1
=
(ui?1 ? 2vi + ui ).
dt
RC
Ток, протекающий через перехват Ранвье, определяется формулой:
Lu = e??? (vi ? 2ui + vi+1 ),
(3)
где
Lu = u?i ? ?[?1 ? fN a (ui ) + fK (ui (t ? 1))]ui + ? .
Смысл параметра
? (0 < ? < ?1 )
заключается в следующем: множитель
e???
по-
давляет слабые сигналы. Другими словами, перехват может сгенерировать спайк
только в случае, когда
vi (t) + vi+1 (t)
значительно превосходит
ui (t).
Таким образом, для описания процесса распространения импульса по аксону получаем следующую систему дифференциальных уравнений:
u?0 = ?[?1 ? fN a (u0 ) + fK (u0 (t ? 1))]u0 + ? + e??? (v1 ? u0 ),
(4)
u?i = ?[?1 ? fN a (ui ) + fK (ui (t ? 1))]ui + ? + e??? (vi ? 2ui + vi+1 ),
(5)
i = 1, . . . , N ? 1;
u?N = ?[?1 ? fN a (uN ) + fK (uN (t ? 1))]uN + ? + e??? (vN ? uN ),
v?i = ?(ui?1 ? 2vi + ui ),
i = 1, . . . , N.
(6)
(7)
? 1 отражает высокую скорость протекания электрических
процессов, параметр 0 < ? 1 учитывает токи утечки, проходящие через мембраны
Здесь параметр
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
О моделях сальтаторного проведения возбуждения
9
перехватов. Положительные достаточно гладкие функции fN a (ui ) и fK (ui ) монотон?1
но убывают к нулю при u ? ? быстрее, чем O(ui ). Они описывают состояние
натриевых и калиевых каналов мембран перехватов. Параметры
? = 1 + fN a (0) ? fK (0) > 0,
?1 = fK (0) ? 1 > 1,
0 < ? < ?1 ,
?2 = fN a (0) + 1 > ?1 .
Число
спайк
fK (0) ? fN a (1) ? 1 > 0 связано с пороговым значением. Будем
i-го перехвата начинается в момент времени ts такой, что
ui (ts ) = 1, ui (t) < 1
при
считать, что
ts ? 1 < t < ts .
Токи утечки через миелиновые оболочки не учитываются.
Система (4)(7) описывает последовательность перехватов Ранвье, связанных
между собой посредством миелинизированных участков. Отметим, что система уравнений имеет экспоненциально устойчивое состояние равновесия [4]
ui = vi = u? ?
2.
?
.
??
Исследование системы уравнений, описыващей точечную
модель сальтаторного проведения возбуждения
Проанализируем систему (4)(7) при
? ? ?.
Стимулировать возбуждение нуле-
вого перехвата будем с помощью задания для него специальных начальных условий
u0 (s) = ?0 (s)
при
s ? [?1, 0].
Класс начальных функций для нулевого перехвата состоит из непрерывных на отрезке
s ? [?1, 0]
функций
?0 (0) = 1,
?0 (s),
удовлетворяющих условиям:
??s/2 1
0 ? ?0 (s) ? max e
,
?
(класс S).
Для остальных перехватов будем считать, что
ui (s) = u?
при
s ? [?1, 0].
Для всех миелинизированных участков считаем, что
vi (0) = u? .
Из начальных условий следует, что при
t = 0 начинается спайк нулевого перехваu? , т. к. для их активации
та. Мембранный потенциал других перехватов близок к
нужно достаточно сильное воздействие извне.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
10
С. Е. Ануфриенко
Мембранный потенциал нулевого перехвата при отсутствии воздействия на него
со стороны первого миелинизированного участка определяется формулами
(2). Фор-
мулы, задающие мембранный потенциал первого миелинизированного участка, имеют вид:
v1 (t) =
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Здесь
e??1 (t+o(1))
e?(?1 ?(t?1)+o(1))
e??1 (t?? +o(1))
e?(?1 ?(t?? ?1)+o(1))
? + o(1)
??2
?(? + ?2 ) + o(1)
2???2
? + o(1)
??
при
t ? [?, 1 ? ?],
t ? [1 + ?, t? ? ?],
t ? [t? + ?, 1 + ? ? ?],
t ? [1 + ? + ?, 1 + ?1 + ? ? ?],
при
t ? [1 + ?1 + ? + ?, 2 + ?1 ? ?],
при
t ? [2 + ?1 + ?, 2 + ?1 + ? + ?],
при
t > 2 + ?1 + ? + ?.
при
при
при
(8)
? = ??1 , t? = 1 + ??1+? 1 .
1
Результаты исследования показывают, что на нулевой перехват воздействие не
оказывается при
t > 0,
а на остальные при
t > i? (i
номер перехвата). По-
этому миелинизированные участки не могут повлиять на перехват Ранвье, когда
тот генерирует спайк, и в течение некоторого времени после спайка, пока перехват
не достигнет состояния равновесия (ui (t)
= u? + o(1)).
Этот промежуток времени
называется периодом рефрактерности, его продолжительность:
TR = ?1 + 2 + o(1).
В указанный период уравнения (4)(6) могут быть проинтегрированы независимо
от других. Описанное явление имеет простой биологический смысл. Известно [2],
что миелинизированное волокно не может проводить импульсный сигнал большой
частоты, потому что перехваты должны восстановиться.
Из приведенных формул следует, что
v1 (t) ? u0 (t)
при
v1 (t) ? u1 (t)
0 < t < t? ,
при
t > t? .
Тем самым, мембранный потенциал миелинизированного участка имеет две точки
максимума
t1max = 1 + o(1),
t2max = 1 + ? + o(1)
и находящуюся между ними точку локального минимума
tmin = t? + o(1).
Это согласуется с биологическими данными [2].
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
11
О моделях сальтаторного проведения возбуждения
Анализ системы (4)(7) показывает [5], что спайк
нается в момент времени
t = i? + o(1),
i-го
перехвата Ранвье начи-
при этом мембранный потенциал перехвата
опеделяется формулой:
ui (t) ? u0 (t ? i? )
Мембранный потенциал
i-го
при
t > i?, i = 1, . . . , N.
миелинизированного участка получается временным
сдвигом потенциала первого участка
vi (t) ? v1 (t ? (i ? 1)? )
при
t > (i ? 1)?.
Таким образом, при возбуждении нулевого перехвата Ранвье по цепочке перехватов будет распространяться волна импульсов (спайков) в направлении возрастания
номеров перехватов. Если возбуждается перехват в середине цепочки, то волна распространяется в двух направлениях. Возбуждение последнего перехвата порождает
волну импульсов, распространяющуюся в сторону убывания номеров перехватов.
При одновременном возбуждении двух крайних перехватов возникнут две волны,
бегущие навстречу друг другу, которые взаимно погашаются при столкновении.
Полученные результаты полностью соответствуют биологическим данным.
4.
Распределенная модель сальтаторного
проведения возбуждения
Известно [1], что расстояния между перехватами Ранвье намного превосходят
размеры самих перехватов, поэтому представляется логичным, что миелинизированные участки надо считать не точечными, а протяженными объектами. Участок
нервного волокна будем рассматривать как отрезок
[0, N ],
в целочисленных точках
которого расположены перехваты Ранвье. В этом случае для описания мембранных
потенциалов миелинизированных участков следует использовать уравнения в частных производных параболического типа с краевыми условиями третьего рода.
Система уравнений, описывающая динамику модели, имеет вид [6]:
u?i = ?[?1 ? fN a (ui ) + fK (ui (t ? 1))]ui + ? +
+ e??? (vi (i, t) ? 2ui (t) + vi+1 (i, t)),
(9)
i = 0, . . . , N ; v0 (0, t) ? u0 (t), vN +1 (N, t) ? uN (t);
? 2 vi
?vi
=? 2;
?t
?x
?vi
(i ? 1, t) = h(vi (i ? 1, t) ? ui?1 (t)),
?x
?vi
(i, t) = ?h(vi (i, t) ? ui (t)),
?x
i = 1, . . . , N.
(10)
(11)
(12)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
12
С. Е. Ануфриенко
Начальные условия имеют вид:
u0 (s) = ?0 (s) при s ? [?1, 0], ?0 (s) ? S;
ui (s) = u? при s ? [?1, 0], i = 1, . . . , N ;
vi (x, 0) = u? , i ? 1 < x < i, i = 1, . . . , N.
Все параметры описаны в разделе 3.
Исследование системы (9)(12) методом асимптотического интегрирования показывает, что мембранный потенциал нулевого перехвата определяется формулами
(2).
Формулы, задающие мембранный потенциал первого миелинизированного участка
при
x ? [0, 1],
имеют вид [6]:
v1 (x, t) =
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Здесь
A1 (x)e??1 (t+o(1)) при t ? [?, 1 ? ?],
A2 (x)e?(?1 ?(t?1)+o(1)) при t ? [1 + ?, t? ? ?],
A3 (x)e??1 (t?? +o(1)) при t ? [t? + ?, 1 + ? ? ?],
A4 (x)e?(?1 ?(t?? ?1)+o(1)) при t ? [1 + ? + ?, 1 + ?1 + ? ? ?],
? + o(1)
при t ? [1 + ?1 + ? + ?, 2 + ?1 ? ?],
??2
?(h(? ? ?2 )x + ? + (h + 1)?2 ) + o(1)
(h + 2)???2
при t ? [2 + ?1 + ?, 2 + ?1 + ? + ?],
? + o(1)
при t > 2 + ?1 + ? + ?.
??
?
?
?
h ?1 ch( ?1 (1 ? x)) + h2 sh( ?1 (1 ? x))
;
A1 (x) =
?
?
?
(?1 + h2 ) sh ?1 + 2h ?1 ch ?1
h cos(1 ? x) + h2 sin(1 ? x)
;
(h2 ? 1) sin 1 + 2h cos 1
?
?
?
h ?1 ch( ?1 x) + h2 sh( ?1 x)
A3 (x) =
?
?
? ;
(?1 + h2 ) sh ?1 + 2h ?1 ch ?1
A2 (x) =
h cos x + h2 sin x
A4 (x) = 2
.
(h ? 1) sin 1 + 2h cos 1
Мембранные потенциалы других перехватов равны (с точностью до
ui (t) ? u0 (t ? i? )
при
o(1)):
t > i?, i = 1, . . . , N.
Мембранные потенциалы остальных миелинизированных участков равны (с точностью до
o(1)):
vi (x, t) ? v1 (x ? (i ? 1), t ? (i ? 1)? )
при
i ? 1 < x < i, t > (i ? 1)?, i = 2, . . . , N.
Результаты исследования точечной и распределенной моделей сальтаторного проведения возбуждения показывают, что решения обеих систем при указанных начальных условиях соответствуют распространению волны импульсов по цепочке перехватов в направлении возрастания номеров перехватов. В обоих случаях время между
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
13
О моделях сальтаторного проведения возбуждения
спайками соседних перехватов равно
?
(с точностью до слагаемых
o(1)). Эти резуль-
таты полностью соответствуют биологическим данным. Это значит, что обе модели
адекватно описывают процесс проведения импульса по миелинизированному аксону.
5.
Сальтаторное проведение пачек импульсов
Выше исследованы модели сальтаторного проведения одиночного импульса по
миелинизировааному волокну. В реальных биологических экспериментах наблюдался и другой вид нейронной активности, который называется пачечным: на постоянное электрическое деполяризующее воздействие нейрон отвечает залпом (пачкой)
импульсов [7]. Рассмотрим систему уравнений:
u?0 = ?[?1 ? fN0 a (u0 ) + fK0 (u0 (t ? 1))]u0 + g(t);
(13)
u?i = ?[?1 ? fN a (ui ) + fK (ui (t ? 1))]ui + ? + e??? (vi ? 2ui + vi+1 ),
(14)
i = 1, . . . , N ;
vN +1 (t) ? uN (t);
v?i = ?(ui?1 ? 2vi + ui ),
i = 1, . . . , N.
(15)
fN0 a (u0 ), fK0 (u0 ), fN a (ui ) и fK (ui ) моно?1
чем O(ui ). Они описывают состояние
Положительные достаточно гладкие функции
тонно убывают к нулю при
ui ? ?
быстрее,
натриевых и калиевых каналов. Введем параметры:
?0 = fK0 (0) ? fN0 a (0) ? 1 > 0,
?10 = fK0 (0) ? 1 > 1,
?20 = fN0 a (0) + 1 > ?10 .
Все остальные параметры определяются так же, как и раньше. Функция
g(t) в урав-
нении (13) имеет вид:
g(t) =
T
Здесь
e???0
0
достаточно большое число,
при
при
t ? [0, T ],
t > T.
0 < ?0 < ?20 .
Система (13)(15) существенно отличается от системы (4)(7). Уравнение (13)
описывает динамику нейрона-автогенератора, который в течение промежутка времени
t ? [0, T ]
генерирует пачку импульсов. Уравнения (14)(15) описывают по-
следовательность перехватов Ранвье, разделенных миелинизированными участками.
Зададим начальные условия:
u0 (s) = ?0 (s) при s ? [?1, 0], ?0 (s) ? S?;
ui (s) = u? при s ? [?1, 0], i = 1, . . . , N ;
vi (0) = u? , i = 1, . . . , N.
Класс
S?
состоит из непрерывных на отрезке
s ? [?1, 0]
функций
ющих условиям:
?(0) = 1,
0 ? ?(s) ? exp(??0 s/2) .
?(s),
удовлетворя-
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
14
С. Е. Ануфриенко
?1
?10
различны, но принципи0
ального значения это не имеет. Для простоты будем считать, что ?1 = ?1 . Динамика
u0 (t) определяется формулами [8]:
Сделаем замечание. Вообще говоря, параметры
? ?? (t+o(1))
e 1
?
?
? ?(?1 ?(t?1)+o(1))
e
u0 (t) =
e
? ??(?0 +o(1))
?
? ?(?0 (t?2??1 )??0 +o(1))
e
при
при
при
при
и
t ? [?, 1 ? ?],
t ? [1 + ?, 1 + ?1 ? ?],
t ? [1 + ?1 + ?, 2 + ?1 ? ?],
t ? [2 + ?1 + ?, 2 + ?1 + ??00 ? ?].
(16)
Спайк нулевого нейрона породит волну импульсов, которая будет распространяться по цепочке перехватов Ранвье в направлении возрастания их номеров. При
этом мембранный потенциал первого перехвата определяется формулами:
? ??1 (t?? +o(1))
e
?
?
?
?(?1 ?(t?1?? )+o(1))
?
?
? e
? + o(1)
u1 (t) =
?
??2
?
?
?
?
? ? + o(1)
??
при
t ? [? + ?, 1 + ? ? ?],
t ? [1 + ? + ?, 1 + ?1 + ? ? ?],
при
t ? [1 + ?1 + ? + ?, 2 + ?1 + ? ? ?],
при
t > 2 + ?1 + ? + ?.
при
(17)
Мембранный потенциал первого миелинизированного участка определяется формулами (8). Формулы для мембранных потенциалов других перехватов и миелинизированных участков имеют вид [8]:
ui (t) = u1 (t ? (i ? 1)? ),
vi (t) = v1 (t ? (i ? 1)? )
(с точностью до слагаемых
o(1)).
при
t > (i ? 1)?, i = 2, . . . , N
(18)
Эти формулы справедливы до прихода нового
сигнала.
В момент t2
= 2 + ?1 + ?0 /?0 + o(1) начинается второй спайк нулевого нейрона. К
этому моменту первый миелинизированный участок и первый перехват успеют вос0
становиться, поскольку, согласно биологическим данным [7], параметр ? > 0 мал
по величине. По цепочке перехватов будет распространяться вторая волна нейронной активности. Формулы, определяющие динамику мембранных потенциалов перехватов Ранвье и миелинизированных участков, получаются из формул (16)(18)
0
сдвигом по времени на величину t2 = 2 + ?1 + ?0 /? (с точностью до слагаемых o(1)).
Описанный процесс будет периодически повторяться. Каждый последующий спайк
нулевого нейрона вызовет новую волну, бегущую по цепочке перехватов Ранвье в
направлении возрастания их номеров.
6.
Проведение импульса по разветвляющемуся
нервному волокну
Нейронная сеть популяция нейронов, функционально связанных друг с дру-
гом. Выяснить структуру связей в нервной системе живого организма чрезвычайно
сложно, поскольку каждый нейрон образует синапсы на тысячах других нейронов.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
О моделях сальтаторного проведения возбуждения
15
Генерируемый нейроном импульс передается по нервному волокну, имеющему сложную структуру. Сигнал проходит через узлы, в которых аксон ветвится. Рассмотрим
участок нервного волокна, имеющий в районе перехвата Ранвье два ответвления
(рис. 2).
Перехваты Ранвье u12
1
u0 v1
R @
v2
X
X
v22
u1XXX
XX
XX
u22
XX
XX
XX
X
Миелинизированные участки
Рис. 2. Участок нервного волокна в месте ветвления
j
Мембранные потенциалы перехватов Ранвье обозначим u0 (t), u1 (t), u2 (t), j = 1, 2,
j
а потенциалы миелинизированных участков v1 (t), v2 (t), j = 1, 2. Мембранные
потенциалы перехватов Ранвье и миелинизированных участков будем отсчитывать
от уровня максимальной гиперполяризации, поэтому они неотрицательны.
Система уравнений, описывающая динамику модели, имеет вид:
u?0
u?1
u?j2
v?1
v?2j
=
=
=
=
=
?[?1 ? fN a (u0 ) + fK (u0 (t ? 1))]u0 + ? + e??? (v1 ? u0 );
?[?1 ? fN a (u1 ) + fK (u1 (t ? 1))]u1 + ? + e??? (v1 ? 3u1 + v21 + v22 );
?[?1 ? fN a (uj2 ) + fK (uj2 (t ? 1))]uj2 + ? + e??? (v2j ? uj2 ), j = 1, 2;
?(u0 ? 2v1 + u1 );
?(u1 ? 2v2j + uj2 ), j = 1, 2.
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
Отметим, что система (19)(23) уравнений имеет экспоненциально устойчивое
состояние равновесия
u0 = u1 = u12 = u22 = v1 = v21 = v22 = u? ?
?
.
??
Начальные условия имеют вид:
u0 (s)
u1 (s)
uj2 (s)
v1 (0)
v2j (0)
=
=
=
=
=
?0 (s) при s ? [?1, 0], ?0 (s) ? S;
u? при s ? [?1, 0];
u? при s ? [?1, 0], j = 1, 2;
u? ;
u? , j = 1, 2.
Все параметры описаны в разделе 3.
Исследование системы (19)(23) методом асимптотического интегрирования показывает [9], что мембранный потенциал нулевого перехвата определяется формулами
(2), мембранный потенциал первого миелинизированного участка по формулам
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
16
С. Е. Ануфриенко
(8).
Продолжая рассуждения, получим:
u1 (t) ? u0 (t ? ? ) при t > ? ;
uj2 (t) ? u0 (t ? 2? ) при t > 2?, j = 1, 2;
v2j (t) ? v1 (t ? ? ) при t > ?, j = 1, 2;
Таким образом, импульс передается по обеим ветвям аксона практически без изменения. Повторяя те же рассуждения, данный результат можно обобщить на случай,
когда аксон образует более сложную структуру [10].
Рассмотренные в статье модели адекватно описывают процесс распространения
импульса по миелинизированному нервному волокну. Все результаты полностью соответствуют биологическим данным.
Список литературы
[1] Шаде Дж., Форд Л. Основы неврологии. М.: Мир, 1976. 350 с.
[2] Тасаки И. Нервное возбуждение. М.: Мир, 1971. 222 с.
[3] Кащенко С. А., Майоров В. В. Исследование дифференциально-разностных уравнений, моделирующих импульсную активность нейрона // Математическое
моделирование. 1993. T. 5, ќ 12. C. 1325.
[4] Майоров В. В., Ануфриенко С. Е. Импульсные нейросети. Ярославль: ЯрГУ,
2006. 98 с.
[5] Майоров В. В., Ануфриенко С. Е. Анализ системы сингулярно возмущенных
уравнений, описывающей проведение возбуждения по нервному волокну // Тру-
ды Третьих Колмогоровских чтений. Ярославль, 2005. С. 175178.
[6] Ануфриенко С. Е., Новиков А. М. Анализ распределенной модели сальтаторного
проведения возбуждения // Современные проблемы математики и информати-
ки. Ярославль, 2004. С. 7480.
[7] Экклс Дж. Физиология синапсов. М.: Мир, 1966. 395 с.
[8] Завьялова О. Ю. Сальтаторное проведение пачечного воздействия // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. Т. 14, ќ 2. С. 4446.
[9] Ануфриенко С. Е., Мац А. С. Модель сальтаторного проведения возбуждения
по разветвляющемуся нервному волокну // Моделирование и анализ информа-
ционных систем. 2007. Т. 14, ќ 2. С. 2426.
[10] Ануфриенко С. Е., Мац А. С. Сальтаторное проведение возбуждения по аксону
произвольной структуры // Нейроинформатика-2009: сборник научных трудов.
Ч. 1. М.: МИФИ, 2009. С. 288294.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Научные исследования факультета ИВТ
Сборник статей к 25-летию факультета.
2011. С. 1721
О подобии разных релаксаций
разрезного многогранника
В. А. Бондаренко, А. В. Николаев
bond@bond.edu.yar.ru, werdan.nik@gmail.com
Устанавливается схожая структура линейных ограничений, описывающих
две релаксации разрезного многогранника.
2
Рассматривается класс многогранников Mn ? R4n , n ? N, известных в литературе как корневые полуметрические многогранники [1, 2]. Задающие Mn линейные
ограничения имеют вид:
xi,j + yi,j + zi,j + ti,j = 1,
xi,j + yi,j = xk,j + yk,j ,
xi,j + zi,j = xi,l + zi,l ,
xi,j = xj,i , ti,j = tj,i , yi,j = zj,i ,
yi,i = zi,i = 0,
xi,j ? 0, yi,j ? 0, zi,j ? 0, ti,j ? 0,
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
где i, j, k, l независимо пробегают значения 1, ..., n.
Многогранник MnZ , порождаемый целыми вершинами из Mn , называется разрезным многогранником (CU T (n)), так как известная NP-полная задача о максимальном разрезе (как, впрочем, и ряд других) сводится к оптимизации линейной
функции на MnZ . Поэтому Mn является релаксационным многогранником задачи о
разрезе, или релаксацией разрезного многогранника.
Определим, следуя [2], релаксации более высоких уровней. С этой целью выберем
натуральное k (k < n) и рассмотрим систему неравенств S , задающую многогранник
MkZ ; обозначим через ? число этих неравенств. Далее для каждого k -элементного
подмножества ? = {?1 , ..., ?k } множества Nn рассмотрим систему S? , получающуюся из системы неравенств S заменой переменных xi,j , yi,j , zi,j и ti,j соответственно
на x?i ,?j , y?i ,?j , z?i ,?j и t?i ,?j . Дополним систему (1)-(6) совокупностью всех ? · Cnk
указанных неравенств, а многогранник, который задается расширенной системой
ограничений, обозначим через Mn,k . Таким образом, релаксации Mn,k представляют
собой последовательность вложенных друг в друга матрешкой многогранников:
CU T (n) = MnZ = Mn,n ? Mn,n?1 ? . . . ? Mn,k ? . . . ? Mm,3 ? Mn,2 = Mn,1 = Mn .
Нетрудно проверить, что многогранники M1 и M2 не имеют нецелочисленных
вершин и совпадают с M1Z и M2Z соответственно, а, значит, релаксации Mn,1 и Mn,2
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
18
В. А. Бондаренко, А. В. Николаев
равны и совпадают с многогранником Mn . Таким образом, Mn,3 первая, отличная
от Mn , релаксация разрезного многогранника.
Известно [1, 3], что многогранник Mn,3 задается системой (1)-(6) и дополнительными ограничениями:
(7)
(8)
(9)
(10)
xi,j + ti,j + xi,k + ti,k + yj,k + zj,k ? 2,
xi,j + ti,j + yi,k + zi,k + xj,k + tj,k ? 2,
yi,j + zi,j + xi,k + ti,k + xj,k + tj,k ? 2,
yi,j + zi,j + yi,k + zi,k + yj,k + zj,k ? 2,
для каждой тройки i, j, k ? Nn , где i < j < k .
Выберем одно из дополнительных ограничений Mn,3 и преобразуем его следующим образом:
yi,j + zi,j + yi,k + zi,k + yj,k + zj,k ? 2,
yi,j + zi,j + yi,k + zi,k + yj,k + zj,k + 2(ti,j + ti,k + tj,k ) ? 2 + 2(ti,j + ti,k + tj,k ),
yi,j + zi,j + 2ti,j = ti,i + tj,j ,
2(ti,i + tj,j + tk,k ) ? 2 + 2(ti,j + ti,k + tj,k ),
ti,i + tj,j + tk,k ? ti,j ? ti,k ? tj,k ? 1.
Введя новые обозначения для координат:
1,2
2,1
2,2
xi,j = x1,1
i,j , yi,j = xi,j , zi,j = xi,j , ti,j = xi,j ,
можно получить альтернативное описание многогранника Mn,3 .
Теорема 1.
Многогранник
Mn,3
задается системой неравенств (1)-(6) и дополни-
тельными ограничениями вида:
a ,aj
xai,ii ,ai + xj,jj
для каждой тройки индексов
a ,ai
k ,ak
+ xak,k
? xi,jj
a ,aj
? xai,kk ,ai ? xj,kk
? 1,
(11)
i, j, k , где 1 ? i < j < k ? n, и всех векторов a ? [1, 2]n .
Интересным представляется тот факт, что многогранник Mn,3 в некотором роде подобен корневому полуметрическому многограннику. Рассмотрим многогранник
2
3
Mn? ? R4n +4Cn , определяемый системой (1)-(6) и дополнительными ограничениями:
?i, j, k, p, q, r (1 ? i ? p < j ? q < k ? r ? n) :
yi,j + zi,k + yj,k + xi,j,k = 1,
xi,j + yi,k + tj,k + yi,j,k = 1,
zi,j + ti,k + xj,k + zi,j,k = 1,
ti,j + xi,k + zj,k + ti,j,k = 1,
xi,j,k + yi,j,k + zi,j,k + ti,j,k = 1,
xi,j,k + yi,j,k = xi,q,k + yi,q,k ,
xi,j,k + zi,j,k = xi,j,r + zi,j,r ,
xi,j,k + ti,j,k = xp,j,k + tp,j,k ,
xi,j,k ? 0, yi,j,k ? 0, zi,j,k ? 0, ti,j,k ? 0,
Тогда имеет место
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
О подобии разных релаксаций разрезного многогранника
Теорема 2.
Многогранники
Mn?
и
Mn,3
19
равны.
Доказательство. Покажем, что системы дополнительных ограничений (7)-(10) и
(12)-(20) равносильны. Прежде всего, отметим, что уравнения (12)-(15) и неравенства (20) прямо вытекают из дополнительных ограничений многогранника Mn,3 в
форме (11). Действительно:
ti,i + tj,j + tk,k ? ti,j ? ti,k ? tj,k ? 1,
(ti,i ? ti,j ) + (tj,j ? tj,k ) + (tk,k ? ti,k ) ? 1,
ti,i = yi,j + ti,j , tj,j = yj,k + tj,k , tk,k = zi,k + ti,k ,
yi,j + zi,k + yj,k ? 1.
Введем новую переменную
xi,j,k = 1 ? yi,j ? zi,k ? yj,k .
По построению получаем также выполнение неравенства (20): xi,j,k ? 0.
Аналогично вводятся дополнительные переменные yi,j,k , zi,j,k и ti,j,k .
Для получения равенства (16) достаточно сложить уравнения (12)-(15):
yi,j + zi,k + yj,k + xi,j,k + xi,j + yi,k + tj,k + yi,j,k +
+zi,j + ti,k + xj,k + zi,j,k + ti,j + xi,k + zj,k + ti,j,k = 4,
(xi,j + yi,j + zi,j + ti,j ) + (xi,k + yi,k + zi,k + ti,k )+
(xj,k + yj,k + zj,k + tj,k ) + xi,j,k + yi,j,k + zi,j,k + ti,j,k = 4,
?i, j ? Nn : xi,j + yi,j + zi,j + ti,j = 1,
3 + xi,j,k + yi,j,k + zi,j,k + ti,j,k = 4,
xi,j,k + yi,j,k + zi,j,k + ti,j,k = 1.
Покажем выполнение ограничения (17), для этого сложим равенства (12) и (13):
yi,j + zi,k + yj,k + xi,j,k + xi,j + yi,k + tj,k + yi,j,k = 2,
(xi,j + yi,j ) + (yi,k + zi,k ) + (yj,k + tj,k ) + xi,j,k + yi,j,k = 2,
xi,j + yi,j = xj,j , yj,k + tj,k = tj,j , xj,j + tj,j = 1,
xi,j,k + yi,j,k = 1 ? (yi,k + zi,k ),
xi,k + yi,k + zi,k + ti,k = 1,
xi,j,k + yi,j,k = xi,k + ti,k .
Таким образом, сумма дополнительных координат xi,j,k и yi,j,k не зависит от выбора
j и имеет место равенство (17):
xi,j,k + yi,j,k = xi,k + ti,k = xi,q,k + yi,q,k .
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
20
В. А. Бондаренко, А. В. Николаев
Теперь сложим вместе уравнения (12) и (14):
yi,j + zi,k + yj,k + xi,j,k + zi,j + ti,k + xj,k + zi,j,k = 2,
(yi,j + zi,j ) + (zi,k + ti,k ) + (xj,k + yj,k ) + xi,j,k + zi,j,k = 2,
zi,k + ti,k = tk,k , xj,k + yj,k = xk,k , xk,k + tk,k = 1,
xi,j,k + zi,j,k = 1 ? (yi,j + zi,j ),
xi,j,k + zi,j,k = xi,j + ti,j .
Сумма дополнительных координат xi,j,k и zi,j,k не зависит от выбора k , и имеет место
равенство (18):
xi,j,k + zi,j,k = xi,j + ti,j = xi,j,r + yi,j,r .
Проведя аналогичные рассуждения, нетрудно показать выполнение ограничений
(19):
xi,j,k + ti,j,k = xj,k + tj,k = xp,j,k + tp,j,k .
Таким образом, многогранники Mn и Mn,3 имеют схожую структуру.
Учитывая вид системы (1)-(6), координаты точек корневого полуметрического
многогранника, как правило, представляют в виде ступенчатой блочной матрицы
(табл. 1).
xi,i
0
Таблица 1.
0
ti,i
xi,j
zi,j
xj,j
0
yi,j
ti,j
0
tj,j
xi,k
zi,k
xj,k
zj,k
xk,k
0
yi,k
ti,k
yj,k
tj,k
0
tk,k
Ступенчатая блочная матрица координат Mn
Соответственно, дополнительные координаты xi,j,k , yi,j,k , zi,j,k и ti,j,k можно представить в виде трехмерной ступенчатой блочной матрицы, фрагмент i-го слоя которой приведен в табл. 2.
xi,j,k
zi,j,k
Таблица 2.
yi,j,k
ti,j,k
xi,k,r
zi,k,r
xi,q,r
zi,q,r
yi,k,r
ti,k,r
yi,q,r
ti,q,r
Слой i блочной матрицы дополнительных координат Mn,3
Также следует отметить, что между дополнительными координатами Mn,3 установятся новые взаимосвязи, подобные неравенствам (7)-(10) для основных координат. В частности:
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
О подобии разных релаксаций разрезного многогранника
21
yi,j,k + zi,j,k = 1 ? (xi,j,k + ti,j,k ),
yi,j,k + zi,j,k = 1 ? (xj,k + tj,k ),
yi,j,k + zi,j,k = yj,k + zj,k ,
yi,j,k + zi,j,k + yi,j,r + zi,j,r + yi,k,r + zi,k,r = yj,k + zj,k + yj,r + zj,r + yk,r + zk,r ,
?i, j, k, r : yi,j,k + zi,j,k + yi,j,r + zi,j,r + yi,k,r + zi,k,r ? 2.
Список литературы
[1] Бондаренко В. А., Максименко А. Н. Геометрические конструкции и сложность в комбинаторной оптимизации. M.: ЛКИ, 2008. 184 с.
[2] Деза М. М., Лоран М. Геометрия разрезов и метрик. М.: МЦНМО, 2001. 736 с.
[3] Бондаренко В. А., Урываев Б. В. Об одной задаче целочисленной оптимизации
// Автоматика и телемеханика. 2007. ќ 6. С. 1823.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Научные исследования факультета ИВТ
Сборник статей к 25-летию факультета. 2011. С. 2229
О телефонном центре вершинно-взвешенного
связного графа
?
Г. М. Бродский, З. В. Наханов
brodskii@gmail.com, zaha_zwerg@mail.ru
Исследуются свойства телефонного центра вершинно-взвешенного связного
графа, включая связь телефонного центра с псевдоцентроидом и представимость произвольного графа в качестве телефонного центра.
Введение
Рассматриваются конечные неориентированные графы без кратных ребер и петель, используется терминология книги [13].
Восходящее к Жордану [14] понятие центроида дерева принадлежит к числу
самых известных в теории графов. Оно исследовалось и обобщалось на случай связного (или даже любого) графа многими авторами. Результаты статьи [2] связаны
с одним из таких обобщений, первоначально введенным для растений [10, 11] (т. е.
связных графов, в которых любое ребро принадлежит не более чем одному простому
циклу [9]). В работе [15] для произвольного дерева определяется телефонный центр
и доказывается теорема о его совпадении с центроидом (ошибка в приведенном там
доказательстве обнаружена и исправлена в [12]). Дальнейшее исследование центроида растения, включающее обобщение этой теоремы, осуществлено в [1]. Следующим
шагом стало изучение телефонного центра и центроида связного графа, начатое в [8]
и продолженное в [35, 7].
Результаты статьи [2] были получены при попытке распространить теоремы о телефонном центре, центроидных элементах и центроиде на случай вершинно-взвешенного связного графа. Вместо телефонного центра, первоначально показавшегося ее
автору неудобным для такого обобщения, в [2] вводится и изучается обменный центр,
связанный с одной оптимизационной задачей, допускающей прикладную интерпретацию. Там приводится полное описание в терминах весов ветвей центроида взвешенного связного графа и родственных ему объектов, а относительно обменного центра
взвешенного связного графа установлено, что он всегда лежит в псевдоцентроиде,
в случае единичных весов вершин совпадает с антицентроидом, а для дерева с
центроидом.
В настоящей работе телефонный центр определяется для произвольного вершинно-взвешенного связного графа. Это понятие также оказывается связанным с некоторыми оптимизационными задачами. Основными результатами являются анонсированные в [6] теорема 1 о вычислении коммутаторного числа вершины, теорема 2
?
ООО ЕМТ Групп.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
О телефонном центре вершинно-взвешенного связного графа
23
о связи телефонного центра с псевдоцентроидом и теорема 3 об изоморфизме произвольного графа телефонному центру некоторого вершинно-взвешенного связного
графа.
1.
Формулировки основных результатов
Условимся употреблять обозначения: bac целая часть числа a ? R; |A| и A? число элементов и булеан конечного множества A; V(G), E(G) и Bl(G) множества
вершин, ребер и блоков графа G; |G| = | V(G)| мощность графа G; E(G, u) множество ребер графа G, инцидентных вершине u.
Под
будем понимать пару (G, p) (соответственно (G, q)), где G граф, а p : V(G) ? R (соответственно q : E(G) ? R) функция, называемая
; при этом всегда будет предполагаться, что p принимает только положительные
значения, а q только неотрицательные. Функции p и q стандартным способом
продолжим до (так
функций p : V(G) ? R и q : E(G) ? R,
P же обозначенных) P
положив p(X) =
u?X p(u) и q(Y ) =
e?Y q(e) (при X = ? и Y = ? соответствующие суммы считаются равными 0). Это дает возможность, строя по (G, p)
новый граф, вершинами которого являются некоторые непустые подмножества в
V(G), считать его вершинно-взвешенным. Вершина u графа (G, q) называется q
(q
), если q(E(G, u)) = 0 (соответственно q(E(G, u)) > 0). Кроме
того, для произвольных подграфа H графа (G, p) и подграфа K графа (G, q) положим p(H) = p(V(H)) и q(K) = q(E(K)).
Напомним некоторые определения из [2, 8].
(G, p) называются его вершины и блоки (при этом каждая вершина графа отождествляется с
порожденным ею подграфом). Множество всех элементов графа (G, p) обозначим
через El(G, p). Два элемента называются
, если один из них является
подграфом другого. Если два элемента сравнимы и не равны, то они называются
.
x называются компоненты связности графа,
получающегося из G удалением всех ребер элемента x, если они есть, и вершины x
x
}) в противном случае. Всюду ниже ?(x) (соответственно Br(x) = {B1x , . . . , B?(x)
x
количество ветвей (соответственно множество всех ветвей) элемента x и bi = p(Bix )
(1 6 i 6 ?(x)). Для элемента x и числа i ? {1, . . . , ?(x)} определим элемент ai (x)
следующим образом. Если x вершина, то ai (x) блок, инцидентный вершине x
и смежным с ней вершинам ветви Bix . Если x блок, то ai (x) вершина ветви
Bix , инцидентная блоку x. Подграф H графа (G, p) называется
a (v)
v ? V(G), если v ?
/ V(H) и H = Bj i для некоторых i ? {1, . . . , ?(v)}
v
и j ? {1, . . . , ?(ai (v))}. Пусть µ(v) (соответственно Mb(v) = {M1v , . . . , Mµ(v)
}) количество миниветвей (соответственно множество всех миниветвей) вершины v и
mvj = p(Mjv ) (1 6 j 6 µ(v)). Ветви элемента x и миниветви вершины v будем всегда
занумеровывать так, что bx1 > bx2 > . . . > bx?(x) и mv1 > mv2 > . . . > mvµ(v) . Если |G| > 2,
то для элемента x и вершины v графа (G, p) положим b(x) = bx1 и m(v) = mv1 . Если
же |G| = 1, так что El(G, p) = {x}, где x вершина и ?(x) = µ(x) = 0, то полагаем b(x) = m(x) = 0. Ветвь Bix элемента x (миниветвь Mjv вершины v ) называется
ем
вершинно-взвешенным (реберно-взвешенным) графом
вершинным (реберным) взвешивани-
-
свободной -занятой
Элементами графа
сравнимыми
инцидентными Ветвями элемента
шины
миниветвью вер-
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
24
Г. М. Бродский, З. В. Наханов
тяжелой (минитяжелой ), если bxi
= b(x) (соответственно mvj = m(v)). Определим отображение El(G, p) ? El(G, p), сопоставив каждому элементу x элемент x? ,
определяемый условием: x? = a1 (x), если x имеет единственную тяжелую ветвь, и
x? = x в противном случае. Легко проверяется, что оно оказывается антитонным
отображением частично упорядоченного по включению множества El(G, p) в себя.
Для любого E ? El(G, p) положим E ? = {x? | x ? E}. Элемент x ? El(G, p) называется
, если b(x) 6 b(y) для всех y ? El(G, p). Центроидный элемент x называется
, если x ? V(G) и существует центроидный элемент y ? V(G) \ {x},
и
в противном случае. Центроидный элемент x называется
, если x является единственным центроидным элементом графа (G, p).
Уницентроидный элемент x называется
, если x имеет единственную тяжелую ветвь, и
в противном случае. Центроидный элемент x называется
(G, p)
и обозначается через Z(G, p), если p(x) > p(y) для всякого центроидного элемента y ? El(G, p). Неособенный центроидный элемент x называется
e
(G, p) и обозначается через Z(G,
p), если
p(x) 6 p(y) для всякого неособенного центроидного элемента y ? El(G, p). Элемент
x ? El(G, p) называется
, если x?? = x. Псевдоцентроидный элемент x называется
(G, p)
и обозначается через P(G, p), если p(x) > p(y) для всякого псевдоцентроидного элемента y ? El(G, p). В [2] показано, что центроид, антицентроид и псевдоцентроид
графа (G, p) определены однозначно.
В предположении, что E(G) 6= ?, реберное взвешивание q : E(G) ? R называется
p : V(G) ? R, если q(E(G, u)) 6 p(u) для всех u ? V(G).
Множество всех реберных взвешиваний графа (G, p), согласованных с p, обозначим
через Q(G, p). Если q ? Q(G, p), то вершина u называется
q
,
?
если q(E(G, u)) = p(u). Реберное взвешивание q ? Q(G, p) называется
, если q ? (G) > q(G) для всех q ? Q(G, p). Число q ? (G), не зависящее от выбора
наибольшего реберного взвешивания q ? ? Q(G, p), обозначим через [G, p]. С каждой вершиной v вершинно-взвешенного связного графа (G, p), имеющей µ(v) > 2
миниветвей, свяжем граф (Gv , p), определяемый условиями V(Gv ) = V(G) \ {v} и
E(Gv ) = {{x, y} | x, y ? V(Gv ) и в графе G существует простая (x-y )-цепь, проходящая через v}. Число [Gv , p] называется
v вершинновзвешенного связного графа (G, p) и обозначается через t(v). В случае µ(v) 6 1
полагаем t(v) = 0. Подграф T(G, p) графа (G, p), порожденный множеством всех
вершин v ? V(G), для которых t(v) максимально, называется
(G, p).
Переходя к новым определениям, условимся далее рассматривать только такие
вершинно-взвешенные графы (G, p) (реберно-взвешенные графы (G, q)), у которых
p принимает только целые положительные значения (q принимает только целые
неотрицательные значения). В этой ситуации множество всех реберных взвешиваний графа (G, p), согласованных с p, обозначим через S(G, p). Реберное взвешивание
q 0 ? S(G, p) назовем
, если q 0 (G) > q(G) для всех q ? S(G, p). Чис0
ло q (G), не зависящее от выбора наибольшего реберного взвешивания q 0 ? S(G, p),
обозначим через hG, pi. Число hGv , pi назовем
центроидным
особенным
неособенным
троидным
уницен-
моноуницентроидным
полиуницентроидным
центроидом вершинно-взвешенного связного графа
антицентроидом вершинно-взвешенного связного графа
псевдоцентроидным
псевдоцентроидом вершинно-взвешенного связного графа
согласованным с
полностью -занятой
наиболь-
шим
обменным числом вершины
вершинно-взвешенного связного графа
обменным центром
наибольшим
коммутаторным числом вершины
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
О телефонном центре вершинно-взвешенного связного графа
25
v вершинно-взвешенного связного графа (G, p) и обозначим через sb(v). В случае
µ(v) 6 1 полагаем sb(v) = 0. Подграф Tel(G, p) графа (G, p), порожденный множеством всех вершин v ? V(G), для которых sb(v) максимально, назовем
(G, p).
Из данных выше определений можно получить определения
e
и
Z(G)
G, а также
Z(G)
,
,
P(G),
T(G) и
Tel(G)
G, снабжая G тривиальным вершинным
взвешиванием p, все значения которого равны 1.
телефонным
центроидного элеантицентроида
псевобменного центра
те-
центром вершинно-взвешенного связного графа
мента центроида
связного графа
доцентроидного элемента псевдоцентроида
лефонного центра
связного графа
Если (G, p) вершинно-взвешенный связный граф и v ? V(G), то
sb(v) = min(b(p(G) ? p(v))/2c, p(G) ? p(v) ? m(v)).
Если (G, p) вершинно-взвешенный связный граф, то его телефонный
центр Tel(G, p) подграф псевдоцентроида P(G, p).
((Г. М. Бродский, М. Г. Хоменко [8])) Если G связный граф, то
1) его телефонный центр Tel(G) совпадает с центроидом Z(G);
2) V(Tel(G)) = {v ? V(G) | sb(v) = b(|G| ? 1)/2c}.
В любом вершинно-взвешенном связном графе (G, p) существует
блок, содержащий телефонный центр Tel(G, p), обменный центр T(G, p), центроид
e
Z(G, p), антицентроид Z(G,
p) и псевдоцентроид P(G, p).
Для любого графа G существует вершинно-взвешенный связный граф
(H, p), телефонный центр которого изоморфен G и является подграфом, порожденным множеством всех вершин веса 1.
Теорема 1.
Теорема 2.
Следствие 1
.
Следствие 2.
Теорема 3.
2.
Доказательства
В доказательстве теоремы 1 ключевую роль играет
Пусть (G, p) является вершинно-взвешенным полным графом мощности
|G| = n > 2 и V(G) = {v1 , . . . , vn }, причем p1 > p2 > . . . > pn , где pi = p(vi )
(1 6 i 6 n). Тогда hG, pi = min(bp(G)/2c, p(G) ? p1 ).
Доказательство. Прежде всего заметим, что q(E(G, v1)) 6 p2 + . . . + pn для любого
Лемма 1.
q ? S(G, p). Положив p0 (v1 ) = min(p1 , p2 + . . . + pn ) и p0 (vi ) = pi (2 6 i 6 n), приходим к вершинно-взвешенному полному графу (G, p0 ), для которого hG, p0 i = hG, pi.
Поэтому остается доказать, что для вершинно-взвешенного полного графа (G, p),
удовлетворяющего условию леммы и такого, что p2 + . . . + pn > p1 , справедливо равенство hG, pi = bp(G)/2c. С этой целью выберем наименьшее натуральное m, для
которого p1 + . . . + pm > pm+1 + . . . + pn . Отметим, что если n = 2, то m = 1.
Если m = 1, то p1 = p2 + . . . + pn . Рассмотрим вершинно-взвешенный полный
граф (H, p) с множеством вершин V(H) = {u1 , u2 }, где u1 = {v1 } и u2 = {v2 , . . . , vn }.
Поскольку hH, pi = p(H)/2 = p(G)/2, то и hG, pi = p(G)/2 = bp(G)/2c.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
26
Г. М. Бродский, З. В. Наханов
Если m > 2 (и, следовательно, n > 3), то строим вершинно-взвешенный полный граф (K, p) с V(K) = {w1 , w2 , w3 }, где w1 = {v1 , . . . , vm?1 }, w2 = {vm } и
w3 = {vm+1 , . . . , vn }. Определим s ? S(K, p), положив s(w1 , w2 ) = b(a + b ? c)/2c,
s(w1 , w3 ) = b(a ? b + c)/2c, s(w2 , w3 ) = b(b + c ? a + 1)/2c, где a = p(w1 ), b = p(w2 )
и c = p(w3 ). Определение s корректно, так как, во-первых, ввиду условия леммы и
выбора m, имеем, что s(w1 , w2 ), s(w1 , w3 ), s(w2 , w3 ) > 0. Во-вторых, рассматривая отдельно случаи, когда a+b+c четное (тогда a+b?c, a?b+c, b+c?a также четные) и когда a+b+c нечетное (тогда a+b?c, a?b+c, b+c?a также нечетные), легко убеждаемся
в том, что s(w1 , w2 ) + s(w1 , w3 ) 6 a, s(w1 , w2 ) + s(w2 , w3 ) 6 b, s(w1 , w3 ) + s(w2 , w3 ) 6 c.
Поскольку s(K) = bp(K)/2c = bp(G)/2c, то hK, pi = bp(G)/2c = hG, pi.
Доказательство теоремы 1. При µ(v) 6 1 доказываемое утверждение очевидно. В
случае µ(v) > 2 рассмотрим вершинно-взвешенный полный граф (H, p), где V(H) =
v
}. Если x, y ? V(Gv ), то {x, y} ? E(Gv ) тогда и только тогда, когда
{M1v , . . . , Mµ(v)
x и y принадлежат различным миниветвям вершины v . Поэтому hGv , pi = hH, pi и
доказательство завершается применением леммы 1 к графу (H, p).
Доказательство теоремы 2. Согласно теореме 1 из [2], Z(G, p) ? P(G, p), и доста-
точно для произвольной вершины v ? V(Tel(G, p)) \ V(Z(G, p)) убедиться в том, что
v ? V(P(G, p)). Как известно [2, теорема 3], b(v) > p(G)/2 и b(x) > p(G)/2, где x = v ? .
Рассмотрим два случая.
1. Пусть |x| = 2. Тогда V(x) = {v, w}, где w = x? . Пусть c = p(V(G)\(V(B1v )?{v}))
и d = p(V(B1v ) \ {w}). Если q ? S(Gv , p) наибольшее реберное взвешивание, то
всякое ребро e ? E(Gv ) с q(e) > 0 соединяет вершину из V(G) \ (V(B1v ) ? {v}) с
вершиной из V(B1v ). Имеющийся произвол в выборе q позволяет, конструируя q , в
первую очередь стараться сделать полностью q -занятыми вершины из V(B1v ) \ {w}.
При этом может возникнуть лишь одна из следующих двух ситуаций.
1.1. Вершина w оказалась q -свободной и не все вершины из V(B1v ) \ {w} полностью q -заняты (т. е. c < d). Тогда, выбрав вершину u ? V(B1v ) \ {w}, для которой q(E(Gv , u)) < p(u), рассмотрим ? = min(p(v), p(u) ? q(E(Gv , u))) > 0. Полагая
q 0 (v, u) = ?, получаем возможность так модифицировать q ? S(Gv , p) до наибольшего реберного взвешивания q 0 ? S(Gw , p), что q 0 (Gw ) > q(Gv ). Тем самым установлено,
что sb(w) > sb(v), что противоречит условию v ? V(Tel(G, p)). Следовательно, ситуация 1.1 невозможна.
1.2. Все вершины из V(B1v ) \ {w} оказались полностью q -занятыми (т. е. c > d).
Тогда ветвь вершины w, содержащая v , является единственной тяжелой ветвью, так
как ее p-вес равен c+p(v) > c, а p-вес любой другой ветви вершины w (если она есть)
не превосходит d. Поэтому w? = x, b(v) + b(w) = p(G) и b(w) < p(G)/2. Применяя
теоремы 3 и 2 из [2], заключаем, что w моноуницентроидный элемент графа (G, p),
P(G, p) = x и, следовательно, v ? V(P(G, p)).
2. Пусть |x| > 3. Тогда единственная тяжелая ветвь элемента x не содержит v (в
противном случае p(G) < b(v) + b(x) = p(G), что невозможно) и w 6= v , где w = x? .
Положим h = p(V(G) \ (V(B1x ) ? {v})) и k = p(V(B1x ) \ {w}). Если q ? S(Gv , p) наибольшее реберное взвешивание, то всякое ребро e ? E(Gv ) с q(e) > 0 соединяет
вершину из V(G) \ (V(B1x ) ? {v}) с вершиной из V(B1x ). Имеющийся произвол в
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
О телефонном центре вершинно-взвешенного связного графа
27
выборе q позволяет, конструируя q , в первую очередь стараться сделать полностью
q -занятыми вершины из V(B1x ) \ {w}. При этом может возникнуть лишь одна из
следующих двух ситуаций.
2.1. Вершина w оказалась q -свободной и не все вершины из V(B1x ) \ {w} полностью q -заняты (т. е. h < k ). Тогда, выбрав вершину u ? V(B1x ) \ {w}, для которой q(E(Gv , u)) < p(u), рассмотрим ? = min(p(v), p(u) ? q(E(Gv , u))) > 0. Полагая
q 0 (v, u) = ? , получаем возможность так модифицировать q ? S(Gv , p) до наибольшего реберного взвешивания q 0 ? S(Gw , p), что q 0 (Gw ) > q(Gv ). Тем самым установлено,
что sb(w) > sb(v), что противоречит условию v ? V(Tel(G, p)). Следовательно, ситуация 2.1 невозможна.
2.2. Все вершины из V(B1x ) \ {w} оказались полностью q -занятыми (т. е. h > k ).
Тогда ветвь вершины w, содержащая v , является единственной тяжелой ветвью, так
как ее p-вес равен h+p(v) > h, а p-вес любой другой ветви вершины w (если она есть)
не превосходит k . Поэтому w? = x, b(x) + b(w) = p(G) и b(w) < p(G)/2. Применяя
теоремы 3 и 2 из [2], заключаем, что w моноуницентроидный элемент графа (G, p),
P(G, p) = x и, следовательно, v ? V(P(G, p)).
Доказательство следствия 1. Сначала установим, что Tel(G) ? z, где z
= Z(G).
С этой целью, сохраняя обозначения из доказательства теоремы 2, покажем, что
ситуации 1.2 и 2.2 в случае единичных весов вершин невозможны.
1.2. Поскольку b(v) > p(G)/2, то d > c, что противоречит условию c > d.
2.2. Поскольку b(x) > p(G)/2, то k > h, что противоречит условию h > k .
Итак, Tel(G) ? z . Остается показать, что sb(y) = b(n ? 1)/2c для всех y ? V(z),
где n = |G|. В силу теоремы 1 достаточно проверить, что m(y) 6 n ? 1 ? b(n ? 1)/2c,
т. е. m(y) 6 bn/2c. Рассмотрим четыре возможных случая.
1. Пусть |z| = 1. Тогда, ввиду теоремы 3 из [2], b(z) < n/2 и, следовательно,
m(z) 6 b(z) 6 bn/2c.
2. Пусть |z| = 2. Тогда по теореме 3 из [2] V(z) = {y, w}, причем b(y) = b(w) =
b(z) = n/2. Поэтому m(y) = b(y) = n/2 = bn/2c.
3. Пусть |z| > 3 и G имеет ровно два центроидных элемента. Тогда по теореме 3
из [2] существует вершина v ? V(z), для которой b(v) = b(z) = n/2. Если y = v , то
m(y) < b(y) = n/2 = bn/2c. Если же y ? V(z) \ {v}, то m(y) = b(z) = n/2 = bn/2c.
4. Пусть |z| > 3 и z является единственным центроидным элементом графа G.
Тогда по теореме 3 из [2] b(z) < n/2. Поэтому m(y) 6 b(z) < n/2 и, следовательно,
m(y) 6 bn/2c для всех y ? V(z).
Следствие 2 непосредственно вытекает из теоремы 2 и [2, теорема 1].
Доказательство теоремы 3. Построим надграф H графа G и снабдим его вершинным взвешиванием p так, чтобы Tel(H, p) = G и V(G) = {v ? H | p(v) = 1}. Если
|G| = 1, то достаточно положить H = G. Пусть теперь |G| = n > 2 и V(G) =
{v1 , . . . , vn }. Определим V(H) и E(H) как результаты добавления к V(G) и E(G)
соответственно n новых вершин u1 , . . . , un и 2n новых ребер {vi , ui }, {ui , vi (mod n)+1 }
(1 6 i 6 n). Кроме того, положим p(vi ) = 1 и p(ui ) = 3 для всех i (1 6 i 6 n). Ясно,
что V(G) = {v ? V(H) | p(v) = 1}. Остается убедиться в том, что Tel(H, p) = G.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
28
Г. М. Бродский, З. В. Наханов
Действительно, H блок по теореме 3.3 из [13]. Поскольку для всех i (1 6 i 6 n)
m(vi ) = 3 6 2n = b(p(H) ? p(vi ) + 1)/2c,
то по теореме 1
sb(vi ) = b(p(H) ? p(vi ))/2c = 2n ? 1 > 2n ? 2 = b(p(H) ? p(ui ))/2c > sb(ui ),
что завершает доказательство.
Список литературы
О телефонном центре и центроиде растения // Вопр. теории
[1] Борисова Л. Н.
групп и гомол. алгебры. Ярославль: ЯрГУ, 1985. С. 152153.
Об обменном центре, центроиде и псевдоцентроиде графа
[2] Бродский Г. М.
// Актуальные проблемы математики и информатики: сб. статей к 20-летию
факультета ИВТ / отв. ред. П. Г. Парфенов. Ярославль: ЯрГУ, 2007. С. 2025.
О центроиде связного графа
[3] Бродский Г. М., Бондарчук Л. М.
// Моделирование и анализ вычислительных систем. Ярославль: ЯрГУ, 1987. С. 148.
О центроиде и медиане связного графа
[4] Бродский Г. М., Иванова Я. В.
// Параллельные вычислительные системы и процессы. Ярославль: ЯрГУ, 1991. С. 4349.
О центроиде графа // Вопр. теории групп и гомол.
[5] Бродский Г. М., Китаева О. Р.
алгебры. Ярославль: ЯрГУ, 1991. С. 99103.
О телефонном центре, центроиде и псевдоцентроиде вершинно-взвешенного связного графа // Студенческие заметки по ин-
[6] Бродский Г. М., Наханов З. В.
форматике и математике: материалы науч. конф. студентов и аспирантов ф-та
ИВТ. Вып. 2 / отв. ред. А. Н. Морозов. Ярославль: ЯрГУ, 2008. С. 8285.
О центроиде графа
[7] Бродский Г. М., Файницкая И. В.
// Вычислительные системы и их модели. Ярославль: ЯрГУ, 1990. С. 119122.
О телефонном центре и центроиде связного
[8] Бродский Г. М., Хоменко М. Г.
// VII Всесоюз. конф. ѕПроблемы теоретической кибернетикиї: тез. докл.
Ч. 1. Иркутск, 1985. С. 3334.
графа
О структуре системы мини-
[9] Диниц Е. А., Карзанов А. В., Ломоносов М. В.
// Исследования по дискретной оптимизации.
М.: Наука, 1976. С. 290306.
мальных реберных разрезов графа
О каноническом виде и линейном упорядочении некоторых древовидных графов // Кибернетика. 1978. ќ 2. С. 120124.
[11] Зайцев М. А. Теорема о центроиде растения // Науч. тр. Моск. ин-та стали и
[10] Зайцев М. А.
сплавов. 1980. ќ 126. С. 8689.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
О телефонном центре вершинно-взвешенного связного графа
29
О телефонном центре дерева
[12] Пономаренко Т. Ю.
// Вопр. теории групп и гомол. алгебры. Ярославль: ЯрГУ, 1982. С. 142143.
Теория графов. М.: Мир, 1973. 300 с.
[14] Jordan C. Sur les assemblages de lignes // J. Reine Angew. Math. 1869. V. 70.
[13] Харари Ф.
P. 185190.
Another characterization of the centroid of a tree // Discrete Math.
[15] Mitchell S. L.
1978. V. 24, ќ 3. P. 277280.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Научные исследования факультета ИВТ
Сборник статей к 25-летию факультета.
2011. С. 3040
Уравнения с несколькими запаздываниями
в задачах нейронной динамики
С. Д. Глызин
glyzin@uniyar.ac.ru
Рассматривается скалярное нелинейное дифференциально-разностное уравнение с двумя запаздываниями, представляющее собой обобщение известного
уравнения нейронной динамики, предложенное Майоровым и Мышкиным [1].
Обсуждаются наиболее важные постановки задач для данного уравнения. Рассматриваются асимптотические методы исследования цепочек и колец связанных осцилляторов при условии, что параметр, отвечающий за скорость протекания процессов в системе, велик. Изучается вопрос о бифуркации автоколебаний этого уравнения из нулевого состояния равновесия в сингулярно возмущенном случае.
Введение
Моделирование электрической активности нервных клеток связано обычно с тем
или иным способом учета транспорта ионов через клеточную мембрану. В статье [1]
(см. также статью [2] и книгу [3]) предложена феноменологическая модель
u? = ? ? 1 ? fNa (u) + fK (u(t ? 1)) u,
(1)
u(t) нормированный
? пропорционален скорости протекания процессов
учитывающая калиевые и натриевые ионные насосы. Здесь
мембранный потенциал, параметр
в клетке, единица измерения времени выбрана равной запаздыванию в калиевом канале. Функции fK (u) = ?f (u), fNa (u) = ?g(u), характеризующие прохождение ионов
Na+ и K+ через мембрану, предполагаются достаточно гладкими и удовлетворяющими условиям
f (0) = g(0) = 1, 0 < ? g(u) + 1 < ? ? u ? R+ ;
f (u), g(u), uf 0 (u), ug 0 (u) = O(1/u) при u ? +?.
В статьях [1, 2, 4] функции
f
и
g
выбраны равными
(2)
f (u) = g(u) = exp(?u2 ).
Уравнение (1) достаточно удачно описывает импульсную активность нейронной
клетки и допускает качественное аналитическое исследование методами большого
параметра (см. анализ в статьях [2, 4]), однако для одиночного уравнения (1) не удается найти значений параметров, при которых его устойчивыми решениями были
бы импульсные пакеты (bursting), а не единичные импульсы. Исключение составляет задача о диффузионном взаимодействии осцилляторов вида (1), изученная в [5].
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Уравнения с несколькими запаздываниями в задачах нейронной динамики
31
Вместе с тем большинство феноменологических моделей нейродинамики демонстрируют при подходящих значениях параметров явление, называемое в англоязычной
литературе bursting. В российской литературе данное явление часто называют пакетами или пачками импульсов. Впервые данное явление изучалось, по-видимому, в
статьях [6, 7], отметим также обзорную статью [8] и книгу [9], в которых приведен
обширный список литературы.
Учитывая сказанное, представляется целесообразным модифицировать (1) так,
чтобы соответствующая модель обладала решениями типа импульсных пакетов. Простейшим способом модификации (1) является введение запаздывания не только в
+
выражение, отвечающее за транспорт ионов K , но и в выражение, моделирующее
+
прохождение клеточной мембраны ионами Na . На этом пути получаем модельное
уравнение вида
u? = ? ? 1 + ?f (u(t ? 1)) ? ?g(u(t ? h)) u,
где
h > 0,
а функции
f (u), g(u)
(3)
удовлетворяют свойствам (2).
Следует отметить, что электрическая активность нейронных клеток не ограни+
+
чивается транспортом ионов Na
и K . Учет двух ионных потоков, переносящих
заряд в одном направлении с различными запаздываниями, приводит к уравнению
вида
u? = ? ? 1 + ?f (u(t ? 1)) + ?g(u(t ? h)) u,
где
f (u)
и
g(u)
по-прежнему удовлетворяют (2), а
(4)
0 < h < 1.
В статье [10] выполнен локальный анализ (3), (4) при значениях параметров близких к критическим при потере устойчивости ненулевого состояния равновесия. Приведенные в [10] результаты численного счета показывают, что в этих задачах могут
появляться импульсные пакеты.
Представляет интерес решение следующих задач, касающихся динамики уравнений (3), (4):
1. Необходимо выполнить анализ (3), (4) методами большого параметра и доказать наличие у этих моделей при
?1
импульсных пакетов.
2. В связи с решением предыдущей задачи приобретает значение задача о коллективной динамике ассоциаций нейроподобных осцилляторов вида (3), (4) с
различными типами связей.
3. В случае, если запаздывания в уравнении (3) имеют различные порядки малости, может быть рассмотрена задача с бесконечномерным вырождением. Построение квазинормальной формы позволит найти асимптотики устойчивых
режимов в этой ситуации.
4. В [10] параметры уравнений (3), (4) выбирались так, чтобы потеря устойчивости ненулевым состоянием равновесия происходила при условии выхода на
мнимую ось двух пар корней квазимногочлена устойчивости. В свою очередь
импульсные пакеты были получены численно при увеличении параметра
?
и
сохранении значений остальных параметров прежними. Остается не изученной
задача о характере фазовых перестроек, приводящих к устойчивым решениям
типа импульсных пакетов.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
32
С. Д. Глызин
Первые две задачи могут быть рассмотрены совместно, при этом можно использовать результаты и технические приемы исследования, изложенные в статьях [11, 12]
для задачи (1). Рассмотрим данную задачу в случае учета второго запаздывания.
1.
Цепочки и кольца релаксационных осцилляторов
с двумя запаздываниями
Перейдем к развернутой постановке задачи и формулировке способов достиже-
ния результата. В системе
u?j = ? ? 1 + ?f (uj (t ? 1)) ? ?g(uj (t ? h)) uj + d(uj?1 ? 2uj + uj+1 ),
коэффициент
d>0
j = 1, . . . , N,
(5)
порядка единицы характеризует связь нейронов между собой,
? 1 большой параметр, кроме того, в случае цепочки осцилляторов выполнены
краевые условия
u0 = u1 ,
uN +1 = uN ,
(6)
u0 = uN ,
uN +1 = u1 ,
(7)
а в случае кольца Очевидно, что системы (5), (6) и (5), (7) имеют синхронный цикл
u1 ? · · · ? uN = u? (t, ?),
(8)
Основной результат, который здесь может быть получен с использованием техники
работ [11, 12], состоит в том, что при подходящем выборе параметров
достаточно больших
?
?, ?
и
d и всех
системы (5), (6) и (5), (7) наряду с устойчивым синхронным
циклом обладают еще, как минимум,
N ? 1 орбитально асимптотически устойчивым
неоднородным циклом. Перейдем к краткому описанию схемы получения таких результатов, предложенной в [11, 12]. В соответствии с ней в первую очередь выполняется асимптотический анализ уединенного осциллятора (3) или (4) при
этого выполняется экспоненциальная замена
? 1.
Для
u = exp(x/?) , где ? малый параметр,
приводящая к более простому для асимптотического анализа уравнению
x? = ?1 + ?f
x(t ? 1)
?
± ?g
x(t ? h)
?
.
(9)
В третьем слагаемом уравнения (9) берется минус, если рассматривается уравнение
(3), и плюс, если изучается уравнение (4). С учетом свойств (2) в качестве предельного при
??0
для (9) получается следующее релейное уравнение:
x? = ?1 + ?R(x(t ? 1)) ± ?R(x(t ? h)).
где
R(x) =
0,
1,
при
при
x>0
.
x<0
(10)
Далее для полученного релейного уравнения в про-
странстве непрерывных функций
C[?1, 0]
строится множество начальных условий,
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Уравнения с несколькими запаздываниями в задачах нейронной динамики
33
которое переводится вдоль траекторий уравнения (10) в себя, доказывается существование, а на основе сжимаемости соответствующего оператора Пуанкаре и устойчивость периодического решения
?
?t
?
?
?
?
? (? ? 1)t ± ?h
0
? ? t ± ?h
x? (t) =
?
?
?h ? (1 ? ?)(t ? ? ? h(1 ± ?))
?
?
?
?1 ± ?(1 ? h) + ?(t ? ? ? ?h))
с периодом
T0 = ? + 1 ± ?h + (1 ? ?(1 ? h))/? ,
при
при
при
при
при
где
t ? [0, h],
t ? [h, 1],
t ? [1, t0 + h],
t ? [t0 + h, t0 + 1],
t ? [t0 + 1, T0 ],
t0 = ? ± ?h, ? = ? ? 1 ± ? .
Затем
строится асимптотическое представление периодического решения уравнения (9) и
доказывается близость решений (9) и (10) при достаточно малых
?.
Следующий этап исследования системы (5) состоит в построении предельной си-
? 1.
!
стемы уравнений, отвечающих за динамику (5) при
u1 = exp(?x),
uj+1 = exp ?x +
X
jyk
,
Выполняя в (5) замену
j = 1, . . . , N ? 1,
(11)
k=1
для новых переменных получаем релаксационную систему
x? = ?d exp y1 + exp(?y0 ) ? 2 + F (x(t ? 1), x(t ?h), ?),
y?j = d exp yj+1 + exp(?yj ) ? exp yj ? exp(?yj?1 ) +
+ Gj (x(t ? 1), x(t ? h), y1 (t ? 1), . . . , yj (t ? 1), y1 (t ? h), . . . , yj (t ? h), ?),
j = 1, . . . , N ? 1,
y0 = yN ?1 = 0
где
(7),
?,
для граничных условий (6) и
??1 ,
y0 = yN ?1 = ?
NP
?1
yk
(12)
для условий
k=1
и Gj имеют вид
F
F (u, v, ?)) = ?1 + ?f exp(u/?) ± ?g exp(v/?) ,
как и ранее, обозначено
а функции
"
!
!#
j
j?1
X
X
u
u
?
f
+ exp
wk ? f
+ exp
wk
±
Gj (u, v, w1 , . . . , wj , z1 , . . . zj , ?) =
?
?
?
k=1
k=1
"
!
!#
j
j?1
X
X
?
v
v
±
g
+ exp
zk ? g
+ exp
zk
, j = 1, . . . , N ? 1.
?
?
?
k=1
k=1
Предельным объектом для полученных релаксационных уравнений (12), как и
в [11, 12], служит система
y?j = d exp yj+1 + exp(?yj ) ? exp yj ? exp(?yj?1 ) ,
j = 1, . . . , N ? 1,
с импульсным воздействием в каждой из точек излома решения
(13)
x0? (t) и начальными
условиями
(y1 . . . yN ?1 )|t=0 = (z1 , . . . , zN ?1 ).
(14)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
34
С. Д. Глызин
Задача построения уравнений импульсного воздействия является в данном случае
наиболее технически трудной.
Рассмотрим теперь отображение
0
z ? ?(z) ? y10 (t, z), . . . , yN
?1 t=T0 ,
0
y10 (t, z), . . . , yN
?1
0
период решения x? (t).
где
(15)
решение системы (13) с начальным условием (14), а T0 N ?1
N ?1
Отображение ?(z) действует, очевидно, из R
в R
. Ба-
зируясь на общих идеях [11, 12], можно доказать следующее основное утверждение.
Любой неподвижной точке отображения (15), экспоненциально устойчивой или дихотомичной, в системе (13) при всех достаточно
малых ? > 0 соответствует релаксационный цикл x(t, ?), y1 (t, ?), . . . , yN ?1 (t, ?) , x(0, ?) = 0, периода
T (?) с теми же свойствами устойчивости. Кроме того, справедливы предельные
соотношения
lim T (?) = T0 , lim max x(t, ?) ? x0? (t) = 0,
??0
??0 0?t?T0
(16)
lim max yj (t, ?) ? yj0 (t, z? ) = 0, j = 1, . . . , N ? 1,
Теорема 1.
??0 t??(?)
где множество ?(?) представляет собой отрезок [0, T (?)] с выброшенными окрестностями точек переключения.
Следующей важной задачей, подлежащей исследованию, является получение
устойчивых неподвижных точек отображения (15).
После их нахождения сформулированная выше теорема позволяет обосновать наличие у исходной системы (5) орбитально асимптотически устойчивых неоднородных
циклов.
Данная задача при малых
же
2.
d
d
может решаться асимптотическими методами, если
не мало, то следует привлекать численные методы.
Экстремальная динамика обобщенного уравнения
импульсного нейрона
В этой части работы рассмотрим третью из предложенных выше задач и дадим
для нее развернутую постановку.
1.
Постановка задачи и линейный анализ
Для обобщенного уравнения импульсного нейрона (4) в статье [10] достаточно
подробно разобрана бифуркационная проблема, связанная с потерей устойчивости
ненулевого состояния равновесия данного уравнения в предположении, что все параметры имеют порядок единицы. В данной же части работы будем интересоваться
проблемой в сингулярно возмущенном случае, когда второе из запаздываний мало, а параметр
?
велик. Предположим, что
u?
ненулевое состояние равновесия
изучаемой задачи такое, что
?1 + ?f (u? ) + ?g(u? ) = 0.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Уравнения с несколькими запаздываниями в задачах нейронной динамики
Разложим функции
f
g
и
в ряды в точке
u?
35
вплоть до кубических членов и будем
предполагать, что
? = ??1 , h = ??, ?f 0 (u? ) =
1
1
+ µ, ?g 0 (u? ) = ? µ, ? = const > 0, 0 < ?, µ 1.
2
2
(17)
В этой ситуации уравнение (4) может быть переписано в виде
?u? = ?
1
+ µ u(t ? 1) + a12 u2 (t ? 1) + a13 u3 (t ? 1)+
2
1
2
3
+
? µ u(t ? ??) + a22 u (t ? ??) + a23 u (t ? ??) + . . . (1 + u),
2
(18)
ajk , j, k = 2, 3 пропорциональны коэффициентам разложения функций
Тейлора в точке u? , а точками обозначены остатки соответствующих раз-
где величины
f, g
в ряд
ложений, которые не будут давать вклад в получаемые асимптотические формулы.
Поставим теперь вопрос о существовании и устойчивости автоколебаний уравнения (18), бифурцирующих из нуля при увеличении
µ.
Первым этапом в решении указанной бифуркационной проблемы является, как
обычно, анализ расположения корней соответствующего нулевому состоянию равновесия характеристического уравнения
?? +
1
1
+ µ exp(??) +
? µ exp(????) = 0.
2
2
(19)
Результаты этого анализа позволят в дальнейшем согласовать надлежащим образом
порядки малости параметров
?
и
µ,
а также уточнить выбор параметра
?.
Нетрудно заметить, что все корни уравнения (19) распадаются на две группы.
К первой группе отнесем так называемые некритические корни данного уравнения,
которые находятся в левой комплексной полуплоскости
жаются к мнимой оси при
?, µ ? 0.
{? : Re ? < 0}
и не прибли-
Во вторую группу объединим все оставшиеся
его корни
?n (?, µ), ?n (?, µ), ?n (0, 0) = i?n , ?n = ?(2n ? 1),
n ? N,
(20)
? = µ = 0 обращающиеся в соответствующие
exp(??) = ?1. Ясно, что именно эти корни и отвечают
являющиеся комплексными и при
корни предельного уравнения
за устойчивость нулевого состояния равновесия. Поэтому наша ближайшая задача
заключается в построении для них равномерной по
n
асимптотики.
? = i?n + ?, ??n = z и будем считать, что параметр z
полуоси z ? 0. В результате приходим к вспомогательному
Подставим в (19) равенства
непрерывно меняется на
уравнению для
?,
имеющему вид
iz + ?? ?
1
1
+ µ exp(??) +
? µ exp(?i?z ? ???) = 0.
2
2
Справедливо следующее утверждение (см. [13]).
(21)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
36
С. Д. Глызин
Лемма 1.
Предположим, что параметр ? фиксирован и удовлетворяет условиям
? 6= ?(4n ? 3) ?n ? N.
(22)
Тогда найдутся такие достаточно малые ?0 , µ0 > 0, что при всех ? ? [0, ?0 ], µ ?
[0, µ0 ], z ? [0, +?) уравнение (21) допускает единственное решение ? = ?(z, ?, µ),
?(0, 0, 0) = 0, для которого справедливо представление вида
? = ?0 (z, µ) + ??1 (z, ?, µ), ?0 = ln(1 + 2µ) ? ln 2iz + (1 ? 2µ) exp(?i?z) .
(23)
Здесь бесконечно дифференцируемая по совокупности переменных z , ?, µ комплекснозначная функция ?1 (z, ?, µ) обладает свойствами
?1 (z, 0, µ) =
?0 (z, µ) ? ((1 ? 2µ)? exp(?i?z) ? 2)
,
2iz + (1 ? 2µ) exp(?i?z)
?1 (0, ?, 0) ? 0,
(24)
lim |?1 (z, ?, µ)| = 0 равномерно по (?, µ) ? [0, ?0 ] Ч [0, µ0 ],
z?+?
а комплексный логарифм в
(23)
определен равенствами
1
ln (2iz + (1 ? 2µ) exp(?i?z)) = ln ?1 + i arcsin
2
2
?1
?
?1
,
(25)
2
?1 = (1 ? 2µ) ? 4z(1 ? 2µ) sin(?z) + 4z , ?2 = 2z ? (1 ? 2µ) sin(?z).
Из приведенного утверждения следует, что интересующие нас корни (20) уравнения (19) допускают равномерное по
n
асимптотическое представление
?n (?, µ) = i?n + ?0 (z, µ) + ??1 (z, ?, µ) ,
n ? 1.
(26)
z=??n
Добавим еще, что при условии
? < 1,
(27)
которое всюду ниже считаем выполненным, справедливы неравенства
Re ?0 (z, 0) < 0 при ?z > 0,
d2
Re ?0 (z, 0)
= ?4(1 ? ?) < 0.
2
dz
z=0
(28)
Свойства (28) оказываются существенными для наших целей, поскольку они гарантируют, что при
?, µ ? 0
и
n ? ?
корни (20) заведомо не могут иметь поло-
жительных действительных частей порядка единицы. Если же, напротив,
у функции
Re ?0 (z, 0)
? > 1,
то
появляется участок положительности, примыкающий к точке
z = 0,
а, значит, у уравнения (19) с необходимостью существуют корни в полуплос-
кости
Re ? ? c,
где
c > 0
некоторая независящая от
?, µ
постоянная. В этом
случае бифуркационная проблема очевидным образом теряет смысл, так как все
ответвляющиеся от нуля автоколебания уравнения (18) будут неустойчивыми.
Для получения информации о поведении корней (20) при увеличении параметра
µ
воспользуемся вытекающими из (23) (25) и (26) более детальными асимптотиче-
скими равенствами
?n (?, µ) = i?n 1 + ?(? ? 2) + ?2 (? ? 2)2 ? 2?2 ?n2 (1 ? ?) + 4µ + O(?3 + ?µ),
которые, однако, уже не являются равномерно пригодными по
становится актуальным следующее утверждение из [13].
n.
(29)
В связи с этим
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
37
Уравнения с несколькими запаздываниями в задачах нейронной динамики
Предположим, что параметр ? фиксирован и удовлетворяет условию
(27). Тогда по любому натуральному N можно указать такое ?0 = ?0 (?, N ) > 0,
что при ? ? [0, ?0 ], во-первых, каждое из уравнений
Лемма 2.
Re ?n (?, µ) = 0,
n = 1, . . . , N
(30)
допускает единственное решение
µ = µn (?),
µn (?) =
?2 2
? (1 ? ?) + O(?3 ),
2 n
(31)
во-вторых, при 0 ? µ ? µ1 (?) все корни уравнения (19) имеют отрицательные
действительные части, а в случае µk (?) < µ < µk+1 (?) при некотором 1 ? k ? N ?1
выполняются неравенства
Re ?n (?, µ) > 0, 1 ? n ? k;
Re ?n (?, µ) < 0 ?n > k.
(32)
Для доказательства существования критических значений (31) параметра
статочно применить к каждому уравнению (30) в точке
? = 0, µ = 0
µ
до-
теорему о
неявной функции, условия которой заведомо выполняются в силу тейлоровских разложений (29). Из этих разложений вытекает также справедливость первой группы
неравенств (32) и оценок
Re ?n (?, µ) < 0
при
n > k, n ? 1.
В случае же
n 1
требуемые оценки получаются из (26) с учетом нелокальных свойств (28) функции
Re ?0 (z, 0)
2.
и свойств (24) остатка
?1 (z, ?, µ).
Метод квазинормальных форм
Проделанный линейный анализ свидетельствует о том, что поставленная нами
бифуркационная проблема близка к бесконечномерной: при
?, µ ? 0
к мнимой оси
стремится счетное число корней (20) характеристического уравнения (19). В подобной ситуации не удается напрямую воспользоваться известными конечномерными методами исследования динамики, базирующимися на аппарате интегральных
многообразий и нормальных форм [14, 15]. В связи с этим в начале 80-х для случая, близкого к бесконечномерному вырождению, Ю. С. Колесовым был предложен
специальный асимптотический метод, названный впоследствии методом квазинормальных форм. Не останавливаясь подробно на истории вопроса, напомним, что к
настоящему времени этот метод обоснован в ряде модельных ситуаций как для параболических [16, 17], так и для гиперболических [18, 19] краевых задач. В случае
дифференциально-разностных уравнений второго порядка с большим запаздыванием алгоритмические аспекты метода квазинормальных форм разработаны в статьях [20, 21]. Однако для того чтобы применить результаты данных работ к уравнению (18), предварительно необходимо согласовать порядки малости параметров
µ.
?
и
Сделать это можно следующими двумя способами.
1) Предположим сначала, что параметр
?
фиксирован и удовлетворяет неравен-
ству (27). Тогда в соответствии с асимптотическими формулами (31) для критических значений
µ
уместно положить
µ = ??2 ,
? = const > ? 2 (1 ? ?)/2
(33)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
38
С. Д. Глызин
(условие на
?
обеспечивает неустойчивость нулевого решения уравнения (18)).
2) Пусть теперь параметр
?,
величину порядка
?
отличается от своего порогового значения
? =1
на
т. е.
? = 1 ? ?0 ?,
?0 = const > 0.
(34)
В этом случае (по тем же причинам, что и выше) считаем выполненным соотношение
µ = ?0 ?3 ,
?0 = const > ? 2 ?0 /2.
(35)
В первой из описанных ситуаций алгоритмическая часть метода квазинормальных
форм состоит в следующем. Подставим в уравнение (18) равенство (33) и выполним
в нем замену времени
? = (1 + ??1 + ?2 ?2 )t, ?1 = ? ? 2, ?2 = (? ? 2)2 ,
(36)
к собственным частотам ?n заимствованы из формул (29). После
3
этого приближенные (с точностью до ? по невязке) автоколебательные режимы
где поправки
?1 , ?2
получившегося уравнения
1
du
=?
+ ?2 ? u(? ? 1 ? ??1 ? ?2 ?2 ) + a12 u2 (? ? 1 ? ??1 ? ?2 ?2 )+
?(1 + ??1 + ? ?2 )
d?
2
1
? ?2 ? u(? ? ?? ? ?2 ??1 ? ?3 ??2 )+
+ a13 u3 (? ? 1 ? ??1 ? ?2 ?2 ) +
2
2
+ a22 u2 (? ? ?? ? ?2 ??1 ? ?3 ??2 ) + a23 u3 (? ? ?? ? ?2 ??1 ? ?3 ??2 ) + . . . (1 + u)
(37)
будем искать в виде
u=
Здесь
?
?u0 (s, ? ) + ?u1 (s, ? ) + ?3/2 u2 (s, ? ) + ?2 u3 (s, ? ) + ?5/2 u4 (s, ? ).
s = ?2 ? , uk (s, ? + 2) ? uk (s, ? ), 1 ? k ? 4,
а начальное приближение
(38)
u0 (s, ? )
задается равенством
u0 (s, ? ) = ?(s, ? ),
в котором амплитуда
?
?(s, ? + 1) ? ??(s, ? ),
(39)
также пока произвольна.
Обращаем внимание, что фигурирующая в (39) функция
?(s, ? )
допускает раз-
ложение Фурье вида
?(s, ? ) =
?
X
?n (s) exp(i?n ? ) + ?n (s) exp(?i?n ? ),
(40)
n=1
в котором присутствуют все критические частотные компоненты, отвечающие корням
? = ±i?n , n ? 1
уравнения (19) при
нятными способ выбора
слагаемых суммы (38).
u0 (s, ? )
? = µ = 0.
Таким образом, делаются по-
и требование 2-периодичности по
?
всех остальных
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Уравнения с несколькими запаздываниями в задачах нейронной динамики
39
После подстановки формулы (38) в (37) и приравнивания коэффициентов при
одинаковых степенях
k ?1
? в левой и правой частях получившегося равенства, для uk (s, ? ),
приходим к рекуррентной последовательности линейных неоднородных раз-
ностных уравнений, из которых и получается искомая квазинормальная форма.
Случай 2) может быть разобран аналогично.
Для квазинормальных форм уравнения (18) выполнена теорема о соответствии,
когда решениям типа бегущих волн квазинормальной формы соответствуют периодические режимы исходной системы той же устойчивости. Указанное обстоятельство
приводит к задаче численного интегрирования соответствующих уравнений в частных производных. Следует отметить, что данные краевые задачи решаются численно гораздо лучше, чем сингулярно возмущенные уравнения с запаздыванием,
поскольку их коэффициенты имеют порядок единицы.
В заключение заметим, что перечисленные выше задачи представляют собой
естественное расширение на новый класс задач хорошо разработанных методов большого параметра и квазинормальных форм.
Список литературы
Математическое моделирование нейронов сети
на основе уравнений с запаздыванием // Математическое моделирование. 1990.
[1] Майоров В. В., Мышкин И. Ю.
Т. 2, ќ 11. С. 6476.
Об одном дифференциально-разностном уравнении, моделирующем импульсную активность нейрона // Математическое
[2] Кащенко С. А., Майоров В. В.
моделирование. 1993. Т. 5, ќ 12. С. 1325.
[3] Кащенко С. А., Майоров В. В.
Модели волновой памяти.
М.: Книжный дом
ѕЛИБРОКОМї, 2009. 288 с.
Волновые структуры в клеточной сети из формальных нейронов Хатчинсона // Математическое моделирование. 1993. Т. 5,
[4] Кащенко С. А., Майоров В. В.
ќ 12. С. 1325.
[5] Глызин С. Д., Киселева Е. О.
нейронного типа
Динамика взаимодействия пары осцилляторов
// Моделирование и анализ информационных систем. 2008.
Т. 15, ќ 2. С. 7588.
[6] Rinzel J.
Bursting oscillations in an excitable membrane model
// Ordinary and
Partial Dierential Equations, Lecture Notes in Mathematics, V. 1151. B. D.
Sleeman and R. J. Jarvis (eds). Berlin: Springer, 1985. P. 304316.
[7] Chay T. R., Rinzel J.
Bursting, beating, and chaos in an excitable membrane model
// Biophys. J. 1985. V. 47, ќ 3. P. 357366.
[8] Izhikevich E.
Neural excitability, spiking and bursting
// International Journal of
Bifurcation and Chaos. 2000. V. 10, ќ 6. P. 11711266.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
40
С. Д. Глызин
[9] Coombes S., Bresslo P. C. (eds)
system.
Bursting: the genesis of rhythm in the nervous
World Scientic Publishing Company, 2005. 420 p.
Двухчастотные колебания обобщенного уравнения импульсного нейрона с двумя запаздываниями // Моделирование и ана-
[10] Глызин С. Д., Овсянникова Е. О.
лиз информационных систем. 2011. Т. 18, ќ 1. С. 8298.
Релаксационные колебания электрически связанных нейроподобных осцилляторов с запаздыванием // Моделирование и анализ информаци-
[11] Глызин С. Д.
онных систем. 2010. Т. 17, ќ 2. С. 2847.
[12] Глызин С. Д., Колесов А. Ю., Розов Н. Х.
ронных системах
Релаксационные автоколебания в ней-
// Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47, ќ 7. С. 919
932.
[13] Глызин С. Д., Колесов А. Ю., Розов Н. Х.
ного уравнения Хатчинсона
Экстремальная динамика обобщен-
// Журнал вычислительной математики и мате-
матической физики. 2009. Т. 49, ќ 1. С. 7689.
[14] Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И.
цикла.
Теория и приложения бифуркации рождения
М.: Мир, 1985. 280 c.
[15] Ван Д., Ли Ч., Чоу Ш. Н.
на плоскости.
Нормальные формы и бифуркации векторных полей
М.: МЦНМО, 2005. 416 c.
Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.:
[16] Мищенко Е. Ф., Колесов Ю. C., Колесов А. Ю., Розов Н. Х.
Физматлит, 1995. 336 c.
[17] Мищенко Е. Ф., Садовничий В. А., Колесов А. Ю., Розов Н. Х.
процессы в нелинейных средах с диффузией.
Автоволновые
М.: Физматлит, 2005. 400 c.
Асимптотические методы исследования периодических решений нелинейных гиперболических уравнений.
[18] Колесов А. Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х.
// Труды Математического института им. В. А. Стеклова РАН. М., 1998. Т. 222.
С. 3191.
[19] Колесов А. Ю., Розов Н. Х.
нений.
Инвариантные торы нелинейных волновых урав-
М.: Физматлит, 2004. 406 c.
Применение метода нормализации к изучению динамики
дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 25, ќ 8. С. 14481451.
[20] Кащенко
С. А.
Уравнение ГинзбургаЛандау нормальная форма для
дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием // Журнал вычислительной математики и математической физики.
[21] Кащенко
С. А.
1998. Т. 38, ќ 3. С. 457465.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Научные исследования акультета ИВТ
Сборник статей к 25-летию акультета.
2011. С. 4148
Модиицированная модель химического
взаимодействия импульсных нейронов
О. А. Дунаева
Olaydygmail.om
В работе предложена модиикация модели химического взаимодействия
импульсных нейронов с запаздыванием. Показано, что при использовании импульсного кодирования инормации предложенная модель взаимодействия нейронов позволяет реализовать ункцию активации с насыщением.
1.
Введение
В работе [1? была предложена биологически правдоподобная модель импульсного
нейрона-автогенератора, основанная на уравнении с запаздыванием, а в работе [3?
эта модель была дополнена моделью химического синапса. В статье [4? была предложена модель химического BS-синапса с ограниченной чувствительностью (Bounded
Sensitivity). Для нейрона с BS-синапсами в [4? была доказана теорема о реакции постсинаптического нейрона на воздействие со стороны N пресинаптических нейронов
и была продемонстрирована возможность построения многослойного перцептрона с
импульсным кодированием инормации. Однако рассмотренный в [4? импульсный
нейрон с BS-синапсами не реализует такое важное свойство нейрона, как наличие насыщения на краях области определения ункции активации. В данной работе предложена модель нейрона с модиицированным BS-синапсом, реализующая ункцию
активации с насыщением.
2.
Нейрон с модиицированным BS-синапсом
ассмотренный в [4? нейрон с BS-синапсами не реализует насыщения. Тем не
менее явление насыщения может быть смоделировано путем незначительной модиикации модели синаптического взаимодействия нейронов. Предлагаемая модиикация основана на том, что результат воздействия определяется протяженностью
во времени пересечения интервала чувствительности постсинаптического нейрона и
интервала активности пресинаптического нейрона, т. е., изменяя интервал чувствительности постсинаптического нейрона, можно добиться появления насыщения на
краях интервала чувствительности.
ассмотрим импульсный нейрон, описываемый следующим уравнением:
u? = ? [?1 ? fNa (u(t)) + fK (u(t ? 1)) + ??ab [u, v](t)] u(t),
(1)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
42
О. А. Дунаева
Здесь ? > 0 большой параметр, определяющий скорость процессов поляризациидеполяризации мембраны нейрона; fNa (u) и fK (u) гладкие положительные ункции, монотонно стремящиеся к нулю при u ? ?; ??ab [u, v] ункционал, определяющий влияние синаптического воздействия пресинаптического нейрона с потенциалом
v(t) на динамику мембранного потенциала u(t). Будем считать выполненным условие ? = fK (0) ? fNa (0) ? 1 > 0, гарантирующее неустойчивость нулевого состояния
равновесия изолированного нейрона (при ??ab [u, v](t) ? 0).
ешение уравнения для изолированного нейрона оказывается периодическим и
имеющим импульсную структуру [2?. Моменты начала и конца импульса (спайка)
удобно связать с моментами, когда мембранный потенциал u(t) пересекает значение
??1 с положительной и отрицательной скоростью соответственно. Для длительности
импульса T1 и периода T2 имеют место следующие асимптотические оценки нулевого
порядка точности [2?: T1 = 1+?1 , T2 = T1 +1+?2 /?, где ?1 = fK (0)?1 и ?2 = fNa (0)+1.
Для моделирования явления насыщения увеличим уровень, на котором происходит переключение постсинаптического нейрона между состояниями рерактерности и чувствительности. Поскольку для изолированного нейрона во время спайка
скорость возрастания потенциала и скорость убывания u(t) различны, то удобно
выбрать два уровня для переключения между состояниями. Функционал ??ab [u, v]
определим следующей ормулой:
??ab [u, v](t) = ?g?(v(t) ? ??1 )??ab (u(t ? TS ), u?(t ? TS ))
(2)
где
?
?
?1, u > exp(?a), u? > 0
?
?ab (u, u?) = 1, u > exp(?b), u? 6 0
?
?
0, иначе
(3)
Здесь TS параметр нейрона, определяющий момент начала интервала чувствительности к внешнему воздействию. Параметр g имеет смысл синаптического веса,
определяющего эективность синапса, передающего воздействие с пресинаптического нейрона с потенциалом v(t). Множитель ?(v(t)???1 ) определяет условие наличия воздействия со стороны пресинаптического нейрона. Этот множитель выписан в
предположении, что время воздействия медиатора совпадает с продолжительностью
спайка пресинаптического нейрона. На величину TS наложим следующее ограничение:
T1 + 1 + ?? < TS < T2 ? T1 ? ?? ,
(4)
где ?? > 0 некоторое иксированное число, не зависящее от большого параметра ?.
Синапс, описываемый ункционалом (2), мы будем называть модиицированным BS-синапсом или MBS-синапсом (Modied synapse with Bounded Sensitivity), а
нейрон с MBS-синапсами будем кратко именовать MBS-нейроном.
Поясним выбор ункционала (3), который определяет чувствительность нейрона.
Нейрон переходит в состояние чувствительности, когда его потенциал пересекает
уровень exp(?a) с положительной скоростью, и выходит из этого состояния в момент
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Модиицированная модель химического взаимодействия импульсных нейронов
43
времени, когда потенциал пересекает уровень exp(?b) с отрицательной скоростью.
Выбор ункционала ??ab [u, v] приводит к изменению интервала чувствительности
нейрона по сравнению с нейроном с BS-синапсом.
Лемма 1.
Пусть для
a и b при некотором положительном ? < 1 выполнены нера-
венства
(5)
? < a, b < ?1 (1 ? ?).
Тогда при достаточно больших значениях параметра
? MBS-нейрон будет чув-
ствителен к внешнему синаптическому воздействию на интервале времени
[TS + X, TS + T1 ? Y ], где X = a/?1 + o(1) и Y = b + o(1).
Доказательство. раницы интервала чувствительности совпадают с моментами
времени, когда потенциал u(t ? TS ) пересекает уровень exp(?a) с положительной
скоростью и уровень exp(?b) отрицательной скоростью.
ассмотрим сначала участок возрастания мембранного потенциала. Пусть значение ?1 (?) выбрано таким образом, что при ? > ?1 (?) выполнено неравенство
ln ?/? < ?. Тогда при ? > ?1 (?) из неравенства ? < a следует, что exp(?a) > ?.
Потенциал u(t) изолированного нейрона на интервале o(1) 6 t 6 1 возрастает от
значения ? до значения umax = exp(??1 (1 + ?)), где ? = o(1) (см. [2?). Пусть значение
?2 (?) выбрано таким образом, что при ? > ?2 (?) выполнено неравенство |?| < ?.
Тогда при ? > ?1 (?) из неравенства a < ?1 (1 ? ?) следует, что exp(?a) < umax . Окончательно, при ? > max{?1 (?), ?2 (?)} выполнено неравенство ? < exp(?a) < umax и
уравнение u(t ? TS ) = exp(?a) имеет единственное решение, лежащее на интервале
o(1) 6 t 6 1. ешение u(t) на этом интервале имеет вид u(t) = exp[??1 (t + o(1))]
(см. [2?), и момент ts начала интервала чувствительности легко находится путем
логаримирования равенства u(ts ? TS ) = exp(?a), откуда получаем:
X = ts ? TS = a/?1 + o(1).
Аналогично проводится исследование участка убывания мембранного потенциала. Мембранный потенциал убывает от величины umax до величины ? на интервале 1 + o(1) 6 t 6 1 + ?1 + o(1), а решение на этом интервале имеет вид u(t) =
exp[?(?1 ? (t ? 1) + o(1))]. Момент te окончания интервала чувствительности определяется из равенства u(ts ? TS ) = exp(?b), откуда аналогично предыдущему случаю
получаем:
Y = TS + T1 ? te = b + o(1).
Окончательно получаем следующий интервал чувствительности MBS-нейрона:
[TS + X, TS + T1 ? Y ], чем и завершается доказательство.
Следующее утверждение показывает, что интервал чувствительности MBS-нейрона может быть выбран симметричным относительно точки TS + T1 /2.
Если в (2) для параметров a и b выполнено соотношение
то имеет место асимптотическое равенство X = Y + o(1).
Следствие 1.
a = ?1 b,
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
44
3.
О. А. Дунаева
Функция активации MBS-нейрона
ассмотрим MBS-нейрон, на который действует один пресинаптический нейрон
с весом g = T 1/(T 1 ? X ? Y ). Воздействие входного нейрона определяется протяженностью во времени пересечения суженного интервала чувствительности нейрона
и интервала воздействия входного нейрона. Максимальное воздействие будет тогда,
когда пресинаптический нейрон воздействует на всем интервале чувствительности
(T1 ? X ? Y ). Благодаря умножению на вес g получится упреждение спайка на T1 .
Воздействие входного нейрона будет максимальным при tin ? [TS , TS + X]. После
этого при увеличении tin влияние пресинаптического нейрона будет линейно убывать до нуля, при tin > TS + T1 ? Y воздействие уже полностью исчезает. Таким
образом, зависимость tsp от tin будет линейной на интервале [TS + X, TS + T1 ? Y ],
а на интервалах [TS , TS + X] и [TS + T1 ? Y, TS + T1 ] имеют место горизонтальные
ѕполочкиї, реализующие насыщение.
Сормулируем и докажем теорему о воздействии на MBS-нейрон.
Теорема 1.
Пусть на MBS-нейрон воздействует один пресинаптический нейрон с
весом
g<
T2 ? (TS + T1 ? Y )
,
T1 ? X ? Y
(6)
MBS-нейрон генерирует импульс в нулевой момент времени, а пресинаптический
нейрон генерирует импульс в момент времени tin ? [TS , TS + T1 ]. Если параметр
TS удовлетворяет условию (4), то при достаточно большом значении параметра
? MBS-нейрон сгенерирует следующий импульс в момент времени tsp = T2 ? ?t,
где
?
?
?g(T1 ? X ? Y ),
?t = g(TS + T1 ? Y ? tin ),
?
?
0,
tin ? [TS , TS + X],
tin ? [TS + X, TS + T1 ? Y ],
tin ? [TS + T1 ? Y, TS + T1 ].
(7)
ассмотрим MBS-нейрон, на который воздействует один пресинаптический нейрон с весом g . Согласно лемме 1, MBS-нейрон будет чувствителен
к внешнему воздействию на интервале [TS + X, TS + T1 ? Y ]. Прежде чем перейти
к доказательству, сделаем несколько замечаний. При tin ? [TS , TS + X] актическое
воздействие постсинаптического нейрона на MBS-нейрон начнется только в момент
TS + X и будет продолжаться до конца интервала чувствительности, так что этот
случай равносилен случаю tin = TS + T1 . Случай tin ? [TS + T1 ? Y, TS + T1 ] не представляет интереса, т. к. пресинаптический нейрон не окажет никакого воздействия
на MBS-нейрон и упреждение спайка ?t будет равно нулю.
ассмотрим случай tin ? [TS + X, TS + T1 ? Y ]. До момента начала воздействия tin
динамика MBS-нейрона повторяет динамику изолированного нейрона-автогенератора (см. [2?), а на отрезке [T1 + ?, T2 ? ?] решение принимает вид:
Доказательство.
u(t) = exp(TS ) exp[??(t ? TS )],
(8)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
45
Модиицированная модель химического взаимодействия импульсных нейронов
причем ? = ?(?) = o(1). ассмотрим отрезок [T1 + ?? , T2 ? ?? ] и выберем такое
?1 = ?1 (?? ), что при ? > ?1 выполнено неравенство ?(?) < ?? . Тогда при ? > ?1
для t ? [TS , tin ] решение имеет вид (8). Для tin > TS получаем u(tin ) = exp(TS +
X) exp[??(tin ? TS ? X)].
При t > tin на нейрон воздействует пресинаптический нейрон с весом g и уравнение нейрона примет вид: u?(t) = ??(1 + g)u(t). Поскольку интервал чувствительности
короче интервала воздействия, то до момента TS + T1 ? Y окончания интервала чувствительности решение сохраняет вид u(t) = exp(tin ) exp[??(1 + g)(t ? tin)]. Получаем
u(TS + T1 ? Y ) = exp(TS + X) exp[??(T1 ? X ? Y )] exp[??g(TS + T1 ? Y ? tin )].
Если нейрон не сгенерирует импульс до окончания интервала чувствительности, т. е.
если выполнено условие
u(TS + T1 ? Y ) 6 ??1 ,
(9)
то при t > TS +T1 ?Y уравнение нейрона примет вид u(t) = exp(TS +T1 ?Y )) exp[??(t?
(TS + T1 ? Y ))]. Момент спайка tsp найдем из уравнения u(tsp ) = ??1 :
tsp =
ln(??1 )
+ TS + X ? g(TS + T1 ? Y ? tin ).
u(TS + X)??
Без внешнего воздействия MBS-нейрон сгенерирует импульс в момент времени
T2 =
ln(??1 )
+ TS + X,
u(TS + X)??
откуда получаем ?t = g(TS + T1 ? Y ? tin ).
Поскольку все рассуждения выше проводились в предположении (9), покажем,
что это условие выполнено. После логаримирования неравенства (9) и подстановки
значения T2 получаем:
T2 ? TS ? X ? (T1 ? X ? Y ) > g(TS + T1 ? Y ? Tin ).
Принимая во внимание условие tin ? [TS + X, TS + T1 ? Y ], получаем ограничение
(6), что и завершает доказательство.
Опишем используемую схему импульсного кодирования инормации [4?. Поставим в соответствие импульсам, приходящим на входы импульсного нейрона в моменты времени ti , и импульсу, возникающему на его выходе в момент времени tsp ,
числовые значения pi и q , которые мы будем называть числовыми входами и числовым выходом импульсного нейрона. Поскольку мы рассматриваем импульсный
нейрон-автогенераторатор, то процесс его ункционирования естественным образом распадается на отдельные такты, на каждом из которых нейрон генерирует в
точности один импульс. На каждом такте работы импульсного нейрона заиксируем реерентные моменты времени P и Q, которые привяжем к моменту t? начала
очередного импульса, и определим величины pi и q следующими ормулами:
pi = (ti ? (t? + P ))/?,
q = (tsp ? (t? + Q))/?.
(10)
(11)
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
46
О. А. Дунаева
Параметр ? позволяет отмасштабировать временные
сдвиги импульсов на заданный
интервал [??, ?], поэтому в дальнейшем предполагаем, что pi , q ? [??, ?].
Описанное выше взаимно однозначное соответствие между моментами времени
ti и tsp (моменты входных и выходного спайков импульсного нейрона) и значениями
pi и q (значения числовых входов и выхода импульсного нейрона) будем называть
импульсным (P, Q, ?)-кодированием.
Пусть MBS-нейрон связан с другими импульсными нейронами, т. е. выходной
импульс MBS-нейрона будет являться входным для его постсинаптических нейронов. Для корректной передачи инормации длина интервала возможной генерации
импульса MBS-нейрона должна быть равна интервалам чувствительности всех его
постсинаптических нейронов, которые, соответственно, должны быть одинаковыми.
Если длина интервала возможной генерации импульса MBS-нейрона будет больше
интервала чувствительности постсинаптических нейронов, то спайк MBS-нейрона
может произойти вне интервала чувствительности и инормация, которую он нес,
будет утрачена. Если же длина интервала возможной генерации импульса MBS-нейрона будет меньше интервала чувствительности постсинаптического нейрона, то при
передаче инормации на постсинаптический нейрон произойдет уменьшение динамического диапазона числового значения выхода. Оказывается, что равенства длин
интервалов можно добиться за счет специического выбора веса связи g .
Теорема 2.
Если на MBS-нейрон воздействует пресинаптический нейрон с весом
(12)
g = T1 /(T1 ? X ? Y ),
параметры MBS-нейрона удовлетворяют условию
(13)
T2 ? (TS + T1 ? Y ) > T1 ,
а на его вход подается значение
p ? [??, ?], то при использовании (P, Q, ?)-кодиро-
вания, где
P = TS + T1 /2,
Q = T2 ? T1 /2,
? = T1 /2?,
(14)
MBS-нейрон будет реализовывать ункцию активации с насыщением, имеющую
вид трехзвенной ломаной (см. рис. 1), а его выход
q будет лежать на интервале
[??, ?].
Отметим, что условие (13) означает, что окончание интервала чувствительности
MBS-нейрона должно опережать момент времени T2 не менее чем на T1 .
ассмотрим MBS-нейрон, на который воздействует один пресинаптический нейрон с весом (12). Легко убедиться, что если выполнено условие (13),
то будет выполнено и ограничение (6) теоремы 1. ис. 2 иллюстрирует приведенную
в теореме 1 зависимость момента tsp ответного спайка MBS-нейрона. Из теоремы 1
получаем, что в ответ на пришедшее воздействие tin ? [TS , TS + T1 ] MBS-нейрон
сгенерирует импульс в момент времени tsp ? [T2 ? T1 , T2 ]. Используя соотношения
(10) и выражения (14), перейдем от моментов времени tin и tsp к координатам p и
Доказательство.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Модиицированная модель химического взаимодействия импульсных нейронов
q
Y
?
??
?
p
??
X
ис. 1.
Функция активации MBS-нейрона
tsp
T2
Q?
T2 ? T1
TS
ис. 2.
TS + X
P?
TS + T1 ? Y TS + T1
tin
Зависимость момента спайка от момента начала воздействия
47
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
48
О. А. Дунаева
q . Легко убедиться, что при этом мы получаем ункцию активации с насыщением,
вид которой показан на рис. 1.
Подавая на вход значения p ? [??, ?], мы гарантируем, что пришедшее воздействие tin попадет на интервал чувствительности и MBS-нейрон сгенерирует импульс
в момент времени tsp ? [T2 ? T1 , T2 ], что при использовании (P, Q, ?)-кодирования
эквивалентно включению q ? [??, ?].
С учетом следствия 1 ясно, что ункция активации MBS-нейрона при соответствующем выборе параметров может быть сделана симметричной.
Динамика нейрона с модиицированным BS-синапсом была смоделирована численно. Уже при ? = 3.0 результаты численного счета демонстрируют хорошее соответствие асимптотическим ормулам.
Список литературы
[1? Майоров В. В., Мышкин И. Ю. Математическое моделирование нейронной сети на основе уравнений с запаздыванием // Математическое моделирование.
1990. Т. 2, ќ 11. С. 6476.
[2? Кащенко С. А., Майоров В. В. Модели волновой памяти. М.: Книжный дом
ѕЛИБОКОМї, 2009. 288 с.
[3? Кащенко С. А., Майоров В. В. Модель адаптации кольцевых нейронных ансамблей // адиотехника и Электроника. 1998. Т. 43, ќ 11. С. 17.
[4? Дунаева О. А. Принципы построения слоистых нейронных сетей на основе импульсных нейронов // Моделирование и анализ инормационных систем. 2011.
Т. 18, ќ 2. С. 6576.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Научные исследования факультета ИВТ
Сборник статей к 25-летию факультета. 2011. С. 4951
Представимость графов пересечениями
различных множеств
В. Б. Калинин
vkalinin@uniyar.ac.ru
Представимость графов пересечениями различных множеств интересна не только
в теоретическом плане как еще один способ представления графов, обладающий
своими достоинствами, но и с практической точки зрения: приложения возникают в
столь различных областях, как генетика [1], микроэлектроника [2] , археология [3],
организация вычислительного процесса в ЭВМ.
Автора настоящей статьи интересовали соотношения между классами графов
пересечений различных множеств, необходимые и достаточные условия представимости графа в виде пересечений тех или иных множеств, иногда позволявшие построить алгоритм.
Несколько слов об основных результатах исследований. Важное место в них занимает
Всякий граф есть граф пересечений выпуклых множеств размерности
m в R ?? m > 2, n > 3 (m 6 n).
Теорема 1.
n
В частности, при m = 3, n = 3 это дает положительный ответ на вопрос, поставленный Бержем [4], а также алгоритм построения данного графа пересечений [5]
даже в случае m = 2, n = 3. Эта работа была замечена (в частности, на нее неоднократно ссылался Г. Перельман).
Пусть X(G?) 6 4. Тогда G есть граф пересечений связных кривых на
плоскости [6].
Теорема 2.
Если учесть доказанность гипотезы 4-х красок получаем: если G или G? планарен,
то G есть граф пересечений кривых в R2 . Т. е. получается, что если граф планарен
или в каком-то смысле близок к полному (дополнение G планарно), то граф реализуем кривыми на плоскости. Формулировка достаточна проста. О важности данной
задачи говорил Грэхэм (речь шла о чипах в ЭВМ). К сожалению, она NP-полна.
В работах Синдена [2] и Тарьяна [7] рассматривались соотношения между отрезками, кривыми с одним пересечением и произвольными кривыми.
В [8] автору удалось доказать недостающие вложения классов и в [9] получить
достаточно полную картину соотношений между графами пересечений важных классов (прямые, отрезки, ломаные, кривые с не более чем одним пересечением, произвольные кривые).
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
50
В. Б. Калинин
В [10] приводится оценка количества необходимых звеньев для реализации графа
и алгоритм реализации (в [8] показано, что не все графы реализуемы отрезками в
R3 ).
В [11] доказано, что любой граф, содержащий не более 5 вершин, есть граф пересечений прямых в R3 , а для 6 вершин построен контрпример. Поясняется идейная
трудность создания алгоритма в общем случае.
В [12] приводится минимальный контрпример графа, не реализуемого шарами в
3
R . В [13] дается статистическая оценка хроматического числа графа пересечений
случайных отрезков в R2 , а также предложен эвристический алгоритм нахождения
хроматического числа (расслоения на минимальное число слоев, внутри которых
отрезки не пересекаются).
Кроме этого, теорема 2 дает возможность описать достаточно широкий класс
графов, являющихся графами пересечений связных кривых в R2 . Это планарные
графы, в которых каждая вершина (назовем ее супервершиной) заменяется на полный граф, и если первая супервершина смежна со второй супервершиной, то любая
вершина первой супервершины может быть смежна с любой вершиной второй суперевершины. При этом важно, чтоб изначальный граф был планарен. А когда мы
заменяем супервершины графами, он может не быть планарным за счет большого числа ребер, соединяющих вершины одной супервершины с вершинами другой
супервершины.
Подчеркнем, что это условие не является необходимым: так граф K5 легко реализуется даже отрезками в R2 .
Список литературы
[1] Миркин Б. Г., Родин С. Н. Графы и гены. М.: Наука, 1977. 240 c.
[2] Sinden F. W. Topology of thin lm RC-circuits // Bell System Tech. J. 1966. V. 45.
P. 16391662.
[3] Kendall D. Incidence matrices, interval graphs and seriation in archeology // Pacif.
J. Math. 1969. V. 28. P. 565570.
[4] Tutte W. T. Recent Progress in Combinatorics. N.Y.: Academic Press, 1969. 347 p.
[5] Калинин В. Б. Об одной задаче Бержа // Мат. заметки. 1983. Т. 34, вып. 1.
С. 131133.
[6] Калинин В. Б. Достаточное условие представимости графа графом пересечений кривых в R2 // Моделирование и оптимизация вычислительных систем и
процессов. Ярославль, 1988. С. 3740.
[7] Erlich G., Even S., Tarjan R. E. Intersection graphs of curves in the plane
// J. Combin. Theory (B). 1976. V. 21, ќ 1. P. 820.
[8] Калинин В. Б. Графы пересечений кривых и отрезков // Кибернетика. 1982.
ќ 3. С. 122123.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Представимость графов пересечениями различных множеств
51
[9] Калинин В. Б. Соотношения между графами пересечений различных кривых
и отрезков // Моделирование и анализ информационных систем: сб. Вып. 1.
Ярославль, 1993.
[10] Калинин В. Б. Графы пересечений k -звенных ломаных в R3 // Моделирование
и анализ вычислительных систем. Ярославль, 1987. C. 150152.
[11] Калинин В. Б. Графы пересечений прямых в Rn // Деп. в ВИНИТИ 24.05.01.
ќ 1081-В2001. 4 с.
[12] Калинин В. Б. Графы пересечений шаров и сфер // Деп. в ВИНИТИ 19.12.95.
ќ 3394-В95. 4 с.
[13] Калинин В.Б. О хроматическом числе графа пересечений отрезков на плоскости // Деп. в ВИНИТИ 20.12.2005. ќ 1716-В2005. 3 с.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Научные исследования акультета ИВТ
Сборник статей к 25-летию акультета.
2011. С. 5256
Игровая автоматная модель локального управления
в системах, использующих нерасходуемый ресурс
А. А. Короткин, А. А. Антонычев
alakoryandex.ru, alekseya88gmail.om
ассматривается игра автоматов, ункционирующих в непрерывной шкале
времени, как способ управления локально организованной системой, компоненты которой используют общий ограниченный ресурс. Доказывается устойчивость соответствующей динамической системы.
Введение
В настоящее время активно развивается теория управления в локально организованных сложных системах. Под локально организованной системой понимается
система S = {S1 , S2 , . . . , Sn }, компоненты Si которой ункционируют в некоторой
общей среде, при этом действие ai каждой компоненты Si связано с достижением
локальной цели Gi независимо от действий других компонент и Si доступна лишь
локальная инормация Ii о действиях других компонент [1?. Важной особенностью
локально организованной системы является отсутствие для нее глобальной целевой
ункции, характеризующей качество работы всей системы S . Примерами систем подобного типа могут служить сети передачи данных, группировки радиоэлектронных
средств, работающих в общем диапазоне рабочих частот, интеллектуальные операционные системы и ряд других. В таких системах, как правило, возникают конликтные ситуации, связанные с использованием некоторого ограниченного нерасходуемого ресурса, например общего радиочастотного диапазона, модулей памяти
компьютера и т. п.
Управление в локально организованной системе естественно рассматривать как
игру автоматов непрерывным или дискретным множеством действий, каждый из
которых ассоциирован с сответствующей компонентой Si . Основные положения теории игр автоматов для ряда моделей локально организованных систем изложены в
монограиях [1? [4?. В рамках этой теории в данной работе исследуется коллективное поведение системы автоматов с полным граом взаимодействия и аддитивными
локальными целевыми ункциями.
1.
Модель взаимного влияния
Пусть имеется совокупность n автоматов S1 , . . . , Sn , взаимодействующих между
собой в непрерывной шкале времени. Это взаимодействие связано с использованием
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Игровая автоматная модель локального управления
53
автоматами некоторого нерасходуемого ресурса, например, радиочастотного спектра. В момент времени t автомат Sj выбирает величину aj (t) ? R, состояние системы
характеризуется вектором a(t) = (a1 (t), . . . , an (t)) ? Rn .
Взаимодействие автоматов происходит следующим образом. В зависимости от
выбранных действий автомат Si создает нежелательное воздействие (ѕпомехуї) для
автомата Sj , которое оценивается величиной gij (ai , aj ) > 0. Будем считать, что результирующее воздействие всех Si , i = 1, . . . , j ? 1, j + 1, . . . , n на Sj аддитивно, т. е.
суммарная помеха для Sj есть
Gj (a) =
n
X
gij (ai , aj ) .
i=1
i6=j
На рисунке приведена схема взаимодействия автоматов в рассматриваемой модели.
i =1
gi1(ai , a1)
i =2
gi2(ai , a2)
S1
i =n
gin(ai , an)
S2
Sn
a1
a2
an
ис.
Взаимодействие автоматов
Далее будем предполагать, что взаимное помеховое влияние в ѕдуэльнойї ситуации Si ? Sj симметрично, т. е. gij (ai , aj ) = gji (aj , ai ) для всех пар (i, j). Кроме того,
будем предполагать, что все ункции gij (ai , aj ) ограничены и непрерывно диерецируемы по обоим аргументам.
Очевидно, что целью каждого автомата является снижение суммарного уровня помех от других автоматов: Gj (a1 , . . . , aj , . . . , an ) ? min, j = 1, 2, . . . , n. В этом
aj
случае изменение действия aj (t) каждого автомата Sj во времени естественно определить как движение по антиградиенту его целевой ункции. Таким образом, динамика состояния всей совокупности автоматов описывется следующей системой:
a?j = ?
2.
?Gj (a)
,
?aj
j = 1, ..., n..
(1)
Устойчивость локального управления
ассмотрим вопрос о предельном характере траектории a(t) системы автоматов. Стандартным способом исследования динамических систем является построе-
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
54
А. А. Короткин, А. А. Антонычев
ние ункции Ляпунова. Определим ункцию1
n
V (a) =
1X
Gj (a).
2 j=1
Очевидно, что V (a) ограничена снизу нулем. ассмотрим поведение V (a) на
d V (a(t))
, где a (t) траекториях системы (1). Для этого определим производную
dt
произвольное решение системы (1).
n
n
n
n
n
n
d
1 X X ?Gk
?Gj
1 X ?Gj X ?Gk
1 X X ?Gk
a?j =
· ?
=?
=
V (a (t)) =
dt
2 j=1 k=1 ?aj
2 j=1 k=1 ?aj
?aj
2 j=1 ?aj k=1 ?aj
?
?
?
?
n
n
n
n
2
X ?Gj X ?Gk ?
1 ?X ?Gj
1 X ?Gj ? ?Gj X ?Gk ?
(2)
?
+
·
+
?
?=? ?
?
2 j=1 ?aj ?aj
?aj
2 j=1 ?aj
?aj
?aj
j=1
k=1
k6=j
k=1
k6=j
Далее заметим, что для любого j ? {1, 2, . . . , n}
n
X
?Gk
k=1
k6=j
?aj
=
?Gj
.
?aj
(3)
Действительно,
n
X
?Gk
k=1
k6=j
?aj
=
n X
n
X
?gik (ai , ak )
k=1 i=1
k6=j
?aj
=
n
X
?gjk (aj , ak )
k=1
k6=j
?aj
=
n
X
?gkj (ak , aj )
k=1
k6=j
?aj
=
?Gj
.
?aj
Предпоследнее равенство в этой цепочке справедливо в силу симметрии взаимного
влияния (gjk = gkj ).
X
?Gk
Подставляя значение для
из (3) в (2), окончательно получим
k6=j ?aj
( n 2 X
2 )
2
n n X
?Gj
?Gj
d
1 X ?Gj
=?
+
6 0.
V (a (t)) = ?
dt
2 j=1 ?aj
?aj
?aj
j=1
j=1
Таким образом, ункция V (a) является ункцией Ляпунова и, следовательно,
рассматриваемая модель устойчива. Другими словами, эволюция во времени коллектива автоматов, описываемая системой (1), представляет собой некоторую траекторию в пространстве состояний, обеспечивающую нахождение минимума (в общем
случае локального) ункции энергии и приходящую к некоторой иксированной
точке a? .
1
Для динамических систем типа нейронных сетей Хопилда ункции такого типа называются
ункциями энергии.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Игровая автоматная модель локального управления
55
В [1? для градиентной ситемы более общего вида доказателство
устойчивости было проведено в предположении, что структура взаимодействия автоматов описывается ориентированным корневым деревом (иерархическая система).
В рассматриваемой нами модели взаимодействие задается полным ориентированным граом, однако при доказательстве устойчивости существенно использовалось
условие симметрии взаимного влияния автоматов.
?
Замечание 2. Можно показать, что стационарное состояние a динамической системы (1) является равновесием Нэша. Другими словами, изменение автоматом Sj
(j = 1, . . . , n) действия a?j на любое aj при условии, что остальные автоматы не меняют свои действия a?i , (i = 1, . . . , j ? 1, j + 1, . . . , n), не приводит к уменьшению
суммарной ѕпомехиї Gj (a? ).
Замечание 3. В реальных локально организованных системах действия автоматов ограничены некоторым диапазоном, т. е. aj (t) ? [w? , w+ ], и допустимым множеn
ством состояний системы является гиперкуб K = [w? , w+ ] . В этом случае будем
рассматривать следующую модиикацию системы (1):
?
?? ?Gj (a) , если w < a < w ;
?
j
+
?aj
a?j =
(4)
j = 1, ..., n.
?
0,
если aj = w? ? aj = w+ ,
Замечание 1.
При такой модиикации системы несложно показать, что траектория a(t) остается
внутри гиперкуба K (при условии, что a(0) ? K ) и устойчивость ее сохраняется.
Отметим, что задача управления в системах, компоненты которой использовали
общий дискретный ресурс, рассматривались в работе [5?. При этом в качестве механизма управления использовалась полносвязная нейронная сеть типа сети Хопилда.
Можно рассматривать поведение автоматов с динамикой (1) или (4) как некоторую бескоалиционную игру n игроков, стремящихся достигнуть равновесия по Нэшу. Специика этой игры в том, что в реальных ситуациях ункции ѕпроигрышаї
G1 (a), G2 (a), . . . , Gn (a) автоматам неизвестны. Автомат Sj располагает лишь локальной инормацией о собственной целевой ункции, зная поведение Gj (a) в некоторой
малой окрестности точки, в которой находится система. Точнее, Sj в состоянии оценивать лишь направление убывания Gj (a) по собственной переменной aj .
ассмотрим эту ситуациию в случае дискретного времени. По-видимому, адекватной реализацией динамической системы (1) будет следующая итерационная процедура, реализующая т. н. индикаторное поведение:
?Gj (at )
t+1
t
t
,
aj = aj ? ?j · sign
(5)
?aj
где ?jt > 0 означает длину шага. Вопрос о выборе параметра ?jt , гарантирующего
сходимость процесса (5), требует отдельного изучения.
Список литературы
[1? Стеанюк В. Л. Локальная
МАТЛИТ, 2004. 328 с.
организация интеллектуальных систем.
М.: ФИЗ-
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
56
[2? Варшавский В. И.
А. А. Короткин, А. А. Антонычев
Коллективное поведение автоматов.
[3? Опойцев В. И. авновесие
М.: Наука, 1977. 245 с.
М.: Наука, 1973. 408 с.
и устойчивость в моделях коллективного поведения.
[4? Варшавский В. И., Поспелов Д. А.
1984. 207 .
Оркестр играет без дирижера.
М.: Наука,
[5? Короткин А. А., Майоров В. В. Нейросетевой подход к одной задаче децентрализованного управления захватом ресурсов // Моделирование и анализ инормационных систем. 2001. Т. 8, ќ 2. C. 1416.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Научные исследования факультета ИВТ
Сборник статей к 25-летию факультета. 2011. С. 5763
Шаблон проектирования приложений
ѕМодель-Вид-Контроллерї в библиотеке Qt
Н. С. Лагутина, Ю. А. Ларина
lagutinans@rambler.ru, lar_u_a@mail.ru
Шаблон проектирования ѕМодель-Вид-Контроллерї один из наиболее
удобных способов решения задач. В данной статье авторы рассматривают различные варианты реализации такой архитектуры для создания программ с использованием библиотеки Qt.
Одним из часто применяемых шаблонов проектирования программ является шаблон ѕМодель-Вид-Контроллерї, так как в нем модель данных приложения, пользовательский интерфейс и управляющая логика разделены на три отдельных компонента
и модификация одного из них оказывает минимальное воздействие на другие [1].
Модель это данные, с которыми оперирует программное приложение. Это может быть любая структура данных, описывающая объекты системы, их состояние.
Модель не зависит от вида и контроллера, но должна реагировать на запросы, изменяя свое состояние.
Вид отвечает за отображение состояния модели в понятном человеку представлении.
Контроллер выполняет исключительно функцию связующего звена между отдельными компонентами системы и не должен включать в себя логику обработки
данных. Он оповещает модель о необходимости измененить состояние. Кроме того,
контроллер может являться средством взаимодействия пользователей с системой.
В общем виде это можно представить так, как на рис. 1.
После выбора наиболее подходящего средства программирования для создания
приложения возникает вопрос о конкретной реализации этой схемы. Некоторые детали могут зависеть от постановки задачи, но основная проблема заключается в
исследовании возможностей инструментов разработки.
В объектно ориентированных языках программирования, таких как С++, каждый из трех компонентов архитектуры реализуется с помощью отдельного класса
или группы классов. Эти классы могут быть независимыми, но чаще всего они являются наследниками уже существующих базовых классов. Например, при разработке графических приложений обязательно используется уже имеющаяся библиотека,
поэтому структура программы неизбежно должна учитывать детали функционирования существующих элементов.
Рассмотрим несколько вариантов построения графических приложений на языке
С++ с использованием библиотеки Qt.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
58
Н. С. Лагутина, Ю. А. Ларина
Модель
]
JJ J
J JJ
J J
J ^
J
Вид
Контроллер
Рис. 1.
Модель-Вид-Контроллер
Функционирование приложения осуществляется через создание объектов классов, а их взаимодействие, позволяющее реализовать связь между отдельными компонентами шаблона ѕМодель-Вид-Контроллерї, через вызов методов. При этом
надо решить несколько вопросов: во-первых, где в приложении будет создан объект класса ѕМодельї, во-вторых, где будет осуществляться проверка правильности
данных, вводимых пользователем, в-третьих, как будет реализована связь модели с
видом.
Данные хранятся в полях объектов класса ѕМодельї, поэтому иногда алгоритмы,
связанные с проверкой данных, можно разместить в методах этого класса, но чаще
бывает удобно проверять ввод данных в тех классах, которые осуществляют взаимодействие с пользователем (обычно это наследники класса QDialog), в этом случае
методы класса ѕМодельї реализуются с учетом того, что им передаются корректные
данные.
Объекты класса ѕМодельї обычно создаются внутри класса-контроллера, как и
объекты класса ѕВидї, в этом случае связь модели с видом осуществляется с помощью указателя на модель, который создается как отдельное поле класса ѕВидї и
инициализируется соответств??ющим образом при определении объекта. Реже данные модели, необходимые виду для отображения информации, передаются через
аргументы методов, осуществляющих связь между этими объектами.
Чтобы вид отображал актуальную информацию, он должен получить сигнал о
том, что произошли изменения, либо непосредственно от модели (в этом случае модель называется активной), либо от контроллера (тогда модель сигнал не генерирует
и называется пассивной). В любом случае контроллер посылает сигнал модели, например, когда пользователь изменил данные в процессе работы. Соответственно,
в классах должны быть методы, с одной стороны, оповещающие о произошедших
изменениях, с другой стороны, обрабатывающие эти изменения в соответствии с
поставленной задачей.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
ѕМодель-Вид-Контроллерї в библиотеке Qt
Рис. 2.
59
Диаграмма классов приложения с пассивной моделью
Создание модели на базе независимого класса
Если модель пассивная, то класс ѕМодельї не является чьим-либо наследником.
Он должен содержать поля для хранения необходимых данных и методы, позволяющие эти данные изменить.
Один из самых простых способов создания вида отображение значений полей
модели в текстовом виде. Для визуального представления информации в библиотеке
Qt используются объекты графического интерфейса, называемые виджетами. Можно создавать объекты уже имеющихся классов и реализовывать свои виджеты как
наследники наиболее подходящих классов.
Диаграмма классов будет выглядеть так, как на рис. 2.
В этом примере модель (класс Organization) изменяет свое состояние с помощью метода increaseDrinkVolume(). Вызов этого метода осуществляется в контроллере (Controller) после того, как поступает сигнал clicked() стандартного
класса QPushButton библиотеки Qt, тот же самый сигнал Controller посылает объекту класса InformView (виду), который обрабатывает его вызовом метода-слота
change(). Таким образом, практически весь код, обеспечивающий взаимодействие
классов, сосредоточен в контроллере.
Создание модели на базе класса QObject
Чтобы модель могла реагировать на внешние запросы, применяют механизм сигналов и слотов. Этот механизм используется в библиотеке Qt для связывания событий, происходящий с объектами, и функций, предназначенных для обработки этих
событий. Сигнал это сообщение о том, что произошло какое-либо событие. У сигнала есть источник объект, генерирующий сигнал, и пријмник объект, слот
которого будет обрабатывать это событие. Сигналы и слоты являются специальны-
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
60
Рис.
Н. С. Лагутина, Ю. А. Ларина
3.
QObject
Диаграмма классов приложения с пассивной моделью на базе класса
ми методами классов. Связывание сигналов и слотов осуществляется с помощью
функции класса QObject.
Каждый класс, в котором используются сигналы и слоты, должен быть наследником класса QObject (необязательно прямым).
Чтобы модель могла реагировать на сигнал об изменении, создается слот. В свою
очередь, активная модель при изменении будет генерировать сигнал, который сможет обработать вид так, чтобы отобразить новое состояние модели. Логика взаимодействия модели и вида включается в отдельный метод.
Следует отметить, что слоты синтаксически являются обычными методами класса, а сигналы определяются как методы без реализации. Все ключевые слова, связанные с механизмом сигналов и слотов, преобразуются специальным метаобъектным
компилятором в последовательность инструкций на языке С++.
В простейшем случае роль контроллера может играть главная функция приложения. В ней создаются объект класса QApplication для управления приложением
и объекты классов ѕMодельї и ѕBидї.
На рис. 3 приведена схема классов ѕМодельї и ѕВидї. В отличие от первого
примера, метод модели, изменяющий ее состояние, становится слотом, что позволяет контроллеру отправить сигнал об изменении данных прямо в модель. Способ
взаимодействия класса ѕВидї с двумя остальными элементами приложения не изменяется.
Активная модель представлена на рис. 4. В классе Organization появляется сигнал, который модель может посылать другим компонентам приложения, например
виду. Это позволяет построить схему взаимодействия элементов иначе: теперь контроллер высылает сигнал об изменении только модели, которая его обрабатывает, и,
в свою очередь, направляет сигнал виду, в соответствии с которым меняется внешнее
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
ѕМодель-Вид-Контроллерї в библиотеке Qt
Рис. 4.
61
Диаграмма классов приложения с активной моделью на базе класса QObject
представление данных.
Все описанные варианты реализации шаблона ѕМодель-Вид-Контроллерї могут
быть использованы и в других объектно ориентированных языках приграммирования.
Технические детали создания приложений на С++ более подробно рассматриваются в [2].
Создание модели на базе класса QAbstractItemModel
В рассмотренных выше случаях архитектура ѕМодель-Вид-Контроллерї была
реализована ѕвручнуюї: все классы и соответствующие связи между ними определялись в программе явно. Но в Qt есть ряд классов, уже применяющих этот подход.
Использование их для решения задачи, в том числе и в качестве базовых классов,
позволяет более удобно создавать сложные приложения [3], [4].
Интерфейс любой Qt-модели базируется на классе QAbstractItemModel. Для того
чтобы создать свою собственную модель, необходимо унаследовать либо этот класс,
либо унаследованный от него. Например, его наследниками являются класс QAbstractListModel, представляющий собой одномерный список, и класс QAbstractTableModel двумерная таблица. Все классы представлений базируются на классе
QAbstractItemView. Для представления данных используются в основном три класса: QListView (отображает данные в виде одномерного списка), QTableView (отображает данные в виде таблицы) и QTreeView (отображает данные в виде иерархического списка). Отображение одной модели во множестве представлений просто
вопрос установки одной и той же модели для каждого представления.
Часто приложение работает не с одним, а с несколькими однотипными объектами. В этом случае удобно использовать контейнерный класс, например, QList. Это
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
62
Н. С. Лагутина, Ю. А. Ларина
класс-шаблон, параметром которого является тип хранимых объектов.
В окне приложения размещается информация обо всех объектах так, чтобы пользователю было удобно ее просматривать и изменять, например в виде двумерной
таблицы. Такой способ представления информации реализован в классе QTableView.
Информация, которая будет размещена в таблице, должна храниться в соответствующей модели данных. Моделью может служить объект класса QAbstractTableModel
или его наследника. В данном случае можно создать собственный класс-потомок
QAbstractTableModel, полем которого будет указатель на QList<Organization>.
Каждый элемент модели имеет собственный индекс (объект класса QModelIndex)
и набор атрибутов, называемых ролями. В табличной модели компонентами индекса являются номер строки и номер столбца элемента. Индекс позволяет получить доступ к соответствующему элементу. Роль - это значение из набора констант, которое определяет, как элемент будет отображен на экране. Например, роль
Qt::DisplayRole используется для отображения информации, которую надо представить в виде текста.
Для реализации модели на базе класса QAbstractTableModel необходимо переопределить методы rowCount(), columnCount(), возвращающие количество строк и
столбцов, и метод data(), ответственный за определение данных, которые соответствуют в модели конкретному индексу и роли. Метод data() должен возвращать
объект класса QVariant. Этот класс имеет большое количество конструкторов, параметрами которых являются объекты и переменные разных типов. Таким образом
из различных данных можно создать объекты класса QVariant, используя подходящий конструктор. Переопределения этих трех методов достаточно, если необходимо
только отображать данные.
Если модель допускает изменение данных, то необходимо переопределить метод
flags(), в котором устанавливаются значения флага, определяющие набор действий
с моделью. Кроме того, если изменение данных должно происходить непосредственно в таблице QTableView, то переопределяется метод setData(), где описывается
изменение соответствующих параметров модели.
Переопределение ряда других методов класса QAbstractTableModel позволяет
изменить его функциональность в соответствии с поставленной задачей. Например,
с помощью метода headerData() можно задать заголовки строк и столбцов таблицы,
отображающей данные.
Подробное описание приложения, использующего описанную технологию, можно
найти в [5].
На рис. 5 приведен внешний вид приложения.
Таким образом, разделение содержимого и представления достигается с помощью
использования стандартного модельного интерфейса, предоставляемого QAbstractItemModel, стандартного интерфейса представления, предоставляемого QAbstractItemView, и использования модельных индексов, единообразно представляющих элементы данных.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
ѕМодель-Вид-Контроллерї в библиотеке Qt
Рис. 5.
63
Главное окно приложения
Список литературы
[1] Макконнелл С. Совершенный код. М.: Издательско-торговый дом ѕРусская Редакцияї; СПб.: Питер, 2005. 896 с.
[2] Лагутина Н. С. Архитектура ѕМодель-Вид-Контроллерї
ресурс FRUCT, qt.e-werest.
URL: http://qt.e-werest.org/blog/tutorial/2892.html
[3] Бланшет Ж., Саммерфилд М.
КУДИЦ-ПРЕСС, 2007. 648 с.
в Qt. Начало.
QT4: программирование GUI на С++.
[4] Шлее М. Qt4. Профессиональное
Петербург, 2007. 896 с.
программирование на С++.
Веб-
М.:
СПб.: БХВ-
Архитектура ѕМодель-Вид-Контроллерї в Qt. Использование классов Qt основанных на архитектуре модель/представление. Веб-ресурс
[5] Лагутина Н. С.
FRUCT, qt.e-werest. URL: http://qt.e-werest.org/blog/tutorial/2938.html
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Научные исследования факультета ИВТ
Сборник статей к 25-летию факультета.
2011. С. 6471
Аффинная сводимость
А. Н. Максименко
maksimenko_a_n@mail.ru
Представлен обзор результатов, связанных с понятием аффинной сводимости (аналог классического понятия полиномиальной сводимости для комбинаторных многогранников). Обсуждаются перспективы развития этого направления.
Немного истории
Широкий интерес к задачам комбинаторной оптимизации возник с формированием направления ѕИсследование операцийї во время 2-й мировой войны (появление
этого названия непосредственно связано с рядом успешно проведенных военных операций). Многие из этих задач естественным образом формулируются в виде задач
линейного программирования, основы которого заложил Л. В. Канторович еще в
1939 году. К сожалению, в СССР в то время его идеи подверглись идеологической
травле и получили известность лишь в конце 50-х, уже после того, как Д. Данцигом
в 1947 году был разработан симплекс-метод. Появление симплекс-метода открыло
новые возможности для построения эффективных алгоритмов решения комбинаторных задач. Возникло понятие многогранника задачи выпуклой оболочки множества характеристических векторов всех допустимых решений. И первым наиболее
заметным достижением в этом направлении оказалась работа Д. Данцига, Д. Фалкерсона и С. Джонсона (1954), в которой, опираясь на глубокий анализ свойств
многогранника задачи коммивояжера, был описан метод решения задачи для 49 городов, что по тем временам было впечатляющим результатом. С тех пор, благодаря
широкой области приложений комбинаторных задач и развитию вычислительной
техники, полиэдральный подход к их решению значительно обогатился. Преследуя
узкоспециальные интересы настоящей работы, остановимся лишь на некоторых достижениях этого направления.
Наиболее значительным достижением в теории сложности комбинаторных задач за последние полвека, несомненно, является теория полиномиальной сводимости
С. Кука, Р. Карпа и Л. А. Левина (19711973). Основу ее составляет понятие полиномиальной сводимости задач. Упрощенно оно означает следующее: если задача X
без потери общности может быть трансформирована в задачу Y и при этом объем
входных данных последней полиномиально зависит от объема входных данных первой, то говорят, что X полиномиально сводится к Y. Использование этого понятия
оказалось весьма плодотворным. В частности, был выделен класс так называемых
труднорешаемых задач, в который входит подавляющее большинство известных в
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Аффинная сводимость
65
настоящее время задач комбинаторной оптимизации. Отличительной особенностью
этих задач является то, что, согласно широко распространенной гипотезе, для них не
возможно построить алгоритмы с полиномиальной трудоемкостью. Разумеется, этот
запрет носит теоретический характер. На практике, учитывая специфику задачи и
используя современные достижения теории алгоритмов, почти всегда можно найти
способ значительного повышения эффективности известных ранее алгоритмов. Так,
например, в настоящее время решение задачи коммивояжера для тысячи городов
требует лишь нескольких минут (см. сайт http://www.tsp.gatech.edu/) и скорость
современных вычислительных машин играет здесь отнюдь не главную роль. Для
сравнения, число возможных решений задачи для 49 городов (решенной в 1954 году
Д. Данцигом, Д. Фалкерсоном и С. Джонсоном) составляет порядка 1061 , а для 1000
городов порядка 2·102564 , тогда как быстродействие вычислительных машин за все
это время выросло, в лучшем случае, в 1010 раз. Столь значительных успехов в этом
направлении удалось добиться, в перую очередь, благодаря развитию полиэдрального подхода. Этот подход связывает с каждой комбинаторной задачей некоторый
многогранник, преобразуя тем самым часто замысловатую формулировку задачи во
вполне определенную конструкцию. Такая унификация позволяет исследовать естественные структурные особенности задач. Так, например, в качестве естественных
характеристик сложности задачи могут служить число вершин или число фасет1
многогранника. Более глубокий подход был предложен в 1980-х годах В. А. Бондаренко [1]. Им было введено понятие алгоритма прямого типа, отличительной особенностью которого является то, что его трудоемкость ограничена снизу кликовым
числом2 графа многогранника решаемой задачи. Было показано, что этому условию удовлетворяют многие классические комбинаторные алгоритмы. Кроме того,
оказалось, что известные в настоящее время примеры многогранников, ассоциированных с труднорешаемыми задачами, обладают суперполиномиальным3 кликовым
числом. Это наблюдение послужило стимулом для поиска закономерности, связывающей многогранники труднорешаемых задач. Оказалось, что результаты теории
полиномиальной сводимости задач с некоторыми изменениями и дополнениями могут быть перенесены на ассоциированные с этими задачами многогранники. Говоря
упрощенно, оказалось, что алгоритм сведения одной задачи к другой, по существу,
определяет аффинное (или линейное) отображение, связывающее многогранники
этих задач.
1.
Аффинная сводимость
Введем на множестве всех выпуклых многогранников отношение частичного порядка.
Фасеты грани наибольшей размерности.
Кликовое число графа максимальное число его вершин, любые две из которых соединены
ребром графа.
3 Функция называется суперполиномиальной, если ее нельзя ограничить сверху никаким полиномом.
1
2
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
66
А. Н. Максименко
В случаях, когда многогранник p аффинно эквивалентен4 либо
самому многограннику q , либо некоторой его грани (не обязательно фасете), будем
говорить, что p не сложнее q . Обозначение: p 6 q .
Определение 1.
Это отношение оказывается полезным, в первую очередь, при оценке комбинаторных характеристик многогранников. Так, например, если многогранник p не сложнее
q , то, очевидно, число вершин, фасет, а также всех граней других размерностей для
p будет меньше либо равно аналогичной характеристики многогранника q . В частности, граф многогранника p в таком случае является подграфом графа многогранника
q , что, в свою очередь, позволяет сравнивать кликовые числа этих графов.
Примеры взаимосвязей такого рода между некоторыми комбинаторными многогранниками известны давно, но их немного. Автору, изрядно потрудившись, удалось
обнаружить три таких примера. Хронологически первый и наиболее простой пример ковариантное отображение (см., например, [2]), устанавливающее аффинную
эквивалентность разрезных многогранников и булевых квадратичных многогранников. Второй пример работа Биллера и Сарангараджан [3], где показано, что все
0/1-многогранники5 оказываются гранями многогранника коммивояжера. При этом
размерность последнего, как правило, является экспонентой от размерности выбранного 0/1-многогранника. (В [4] предлагается иное доказательство этого результата,
на основе которого приводится пара более практичных следствий.) И наконец, третий, более свежий, пример имеется в работе Фиорини [5]. Там показано, что многогранники задачи 3-выполнимость появляются в качестве граней многогранников
задачи о частичном упорядочении, и наоборот, многогранники последней, в свою
очередь, оказываются гранями многогранников задачи 3-выполнимость. (При этом
размерность многогранника линейна относительно размерности соответствующих
его граней.)
Отметим то, что случаи применения этого способа сравнения единичны и направлены на решение отдельных узких задач. Кроме того, результат Биллера и
Сарангараджана является примером того, что некоторые из таких сравнений могут, в силу экспоненциального роста размерности, оказаться безполезны для оценки
характеристик сложности многогранника. Следовательно, сформулированное выше
определение требует доработки. Для уточнения деталей этой доработки обратимся
к конкретным примерам комбинаторных многогранников.
Булев квадратичный многогранник порядка n представляет собой выпуклую оболочку множества
o
n
n(n+1)
BQPn = x ? {0, 1} 2 : xij = xii xjj , 1 6 i < j 6 n ,
одновременно являющегося множеством вершин многогранника.
Для удобства изложения здесь и далее сам комбинаторный многогранник будем
отождествлять с множеством его вершин.
Многогранники аффинно эквивалентны, если они связаны невырожденным аффинным (линейным) отображением.
5 Множество вершин 0/1-многогранника является подмножеством вершин единичного куба.
4
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Аффинная сводимость
67
есть выпуклая оболочка множества вершин единичного куба, лежащих с одной стороны от заданной гиперплоскости aT x = b:
KNd = x ? {0, 1}d : aT x 6 b .
Многогранник задачи о рюкзаке
Обратим внимание на следующее принципиальное различие двух приведенных
примеров. При фиксированном n многогранник BQPn определяется однозначно. Тогда как при фиксированном d произвольный выбор гиперплоскости aT x = b порождает целое семейство многогранников KNd . Причем в это семейство входят такие
тривиальные с точки зрения полиэдральной комбинаторики объекты, как d-мерные
куб и симплекс. Классическая теория сложности в таких случаях предписывает рассматривать наиболее сложный объект. Это предполагает следующее обобщение определения 1.
Пусть P и Q семейства многогранников. Тогда запись P 6 Q
означает: для каждого p ? P найдется q ? Q такой, что p 6 q .
Определение 2.
В рамках этого определения нетрудно убедиться в справедливости неравенств
BQPn 6 BQPn+1
и
KNd 6 KNd+1 ,
естественных с точки зрения классической теории сложности. Более того, эти соотношения являются правилом для комбинаторных многогранников.
Так как сложность рассматривается как функция от длины входа задачи, а длина входа непосредственно связана с размерностью ассоциированного многогранника,
то под задачей следует понимать последовательность (семейств) многогранников.
Например, задача булева квадратичного программирования ассоциируется с последовательностью BQPn , n ? N, а задача о рюкзаке с последовательностью KNd ,
d ? N. Учитывая, что в классическом варианте при сведении одной задачи к другой
на рост размера задачи накладывается полиномиальное ограничение, получаем следующую модификацию понятия сводимости для комбинаторных многогранников.
Определение 3. Семейство многогранников P аффинно сводится к семейству многогранников Q, если при некотором n ? N для каждого многогранника p ? P найдется q ? Q такой, что p 6 q , причем dim q = O ((dim p)n ).
Например, семейство BQP = {BQPn : n ? N} булевых квадратичных многогранников аффинно сводится к семейству KN = {KNd : d ? N} многогранников
задачи о рюкзаке [6].
Перечислим некоторые свойства нового понятия. Пусть P аффинно сводится к
Q, тогда семейство Q наследует от P :
1) суперполиномиальное число вершин и фасет;
2) NP-полноту проверки несмежности6 вершин;
3) суперполиномиальное кликовое число графа.
Введение такого типа сводимости оказалось весьма продуктивным, и за последний год на его основе были получены следующие результаты [6, 7].
Вершины многогранника называются несмежными, если они не соединены никаким ребром
многогранника.
6
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
68
А. Н. Максименко
Теорема 1. Многогранники двойных покрытий аффинно сводятся к многогранникам следующих задач: коммивояжер, рюкзак, покрытие множества, 3-выполнимость, кубический подграф.
В частности, учитывая, что задача распознавания несмежности двух произвольных вершин многогранника двойных покрытий NP-полна [8], из этой теоремы и
свойств аффинной сводимости следует, что этим же свойством обладают многогранники остальных задач, указанных в формулировке теоремы.
Теорема 2. Булевы квадратичные многогранники
BQP
аффинно сводятся к много-
гранникам следующих задач: двойное покрытие, разбиение и упаковка множества,
вершинное покрытие графа, 3-сочетание, раскраска вершин графа, дерево Штейнера.
То есть оказалось, что среди известных примеров комбинаторных многогранников наиболее простыми (в смысле аффинной сводимости) являются булевы квадратичные, а вместе с ними и (аффинно эквивалентные им) разрезные многогранники.
И для такого положения вещей имеется простое объяснение: граф булева квадратичного многогранника полон [1, 2]. Такие многогранники обычно называются 2-смежностными. Ясно, что гранью 2-смежностного многогранника может являться только
2-смежностный многогранник. И поэтому ни одно из указанных в двух сформулированных выше теоремах семейств многогранников (кроме, разумеется, булевых квадратичных) не может аффинно сводиться к семейству BQP . Учитывая, что число
вершин многогранника BQPn равно 2n , а также пользуясь свойствами аффинной
сводимости, получаем следующее утверждение.
Следствие 1. Графы многогранников перечисленных далее задач обладают суперполиномиальным кликовым числом: коммивояжер, рюкзак, 3-выполнимость, кубический подграф, покрытие, разбиение и упаковка множества, вершинное покрытие
графа, 3-сочетание, раскраска вершин графа, двойное покрытие, дерево Штейнера.
Напомним, что это число является нижней оценкой сложности в классе алгоритмов прямого типа [1].
Разумеется, из двух сформулированных теорем могут быть получены и другие,
возможно более интересные, следствия. В частности, так как число фасет булева
квадратичного многогранника экспоненциально, то этим же свойством обладают и
остальные из названных семейств многогранников.
Завершая раздел, сформулируем несколько вопросов, направленных на развитие
этой темы.
Существуют ли многогранники, ассоциированные с некоторыми труднорешаемыми задачами, более простые, чем булевы квадратичные многогранники? Несомненно
то, что эти многогранники обязаны быть 2-смежностными. И было бы естественным обнаружить такие примеры среди k -смежностных многогранников, где k > 2.
Ожидается, что такими окажутся многогранники Юнга, которые, в зависимости от
выбора параметров, могут иметь произвольную степень смежности [9].
Заметим, что классическая теория сводимости делит задачи на два класса: полиномиально разрешимые и труднорешаемые. Так как аффинная сводимость является
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Аффинная сводимость
69
более точным иструментом, следует ожидать, что на ее основе семейства комбинаторных многогранников удастся разбить на (счетное) множество классов эквивалентности.
2.
Слабая аффинная сводимость
С практической точки зрения более полезным является следующий способ сравнения многогранников.
Запись p q ниже будет означать, что многогранник p является
аффинным образом многогранника q либо некоторой его грани. В англоязычной
литературе многогранник q часто называют расширенной формулировкой (extended
formulation) [10] многогранника p.
Определение 4.
Это определение отличается от определения 1 лишь тем, что в нем снято требование невырожденности аффинного отображения, связывающего многогранники p и
q . Интерес к раширенным формулировкам комбинаторных многогранников обусловлен в первую очередь тем, что они могут иметь существенно меньшее число фасет
по сравнению с исходными многогранниками. Это позволяет увеличивать эффективность алгоритмов, решающих ассоциированные с этими многогранниками задачи.
Обратимся к примерам.
Известно, что ѕперестановочный многогранник есть образ многогранника назначений при вырожденном аффинном преобразованииї [11]. При этом перестановочный многогранник ?n располагается в n-мерном пространстве, имеет n! вершин и
2n ? 2 фасет. Тогда как многогранник назначений Bn располагается в n2 -мерном
пространстве, имеет то же число вершин и всего лишь n2 фасет. То есть ѕфасетноеї
описание для ?n имеет экспоненциальную сложность, а для Bn полиномиальную.
Имеются и более простые примеры. Хорошо известно, что любой выпуклый многогранник на n вершинах является аффинным образом n-вершинного симплекса7 .
Приведем один пример использования этого простого утверждения. Так, в работе [12] рассматривается многогранник 3-циклов в полном графе на n вершинах. Размерность пространства, в котором строится многогранник, равна n(n ? 1)/2, число
его вершин равно n(n ? 1)(n ? 2)/6. В этой же работе ставится задача явного описания этого многогранника и приводятся некоторые семейства линейных неравенств.
Тем не менее получение полного описания оказывается трудной задачей.
С другой
n(n?1)(n?2)
8
стороны, этот же многогранник может быть представлен как образ
6
вершинного симплекса, описание которого нельзя назвать сложным.
Аналогично обстоят дела и с многими другими многогранниками полиномиально
разрешимых задач [10]. И здесь напрашивается весьма интригующий вопрос: можно
ли проделать то же самое с многогранником какой-нибудь NP-трудной задачи? На
этот счет в 1991 году М. Яннакакисом [13] была высказана следующая
7
8
Число фасет симплекса совпадает с числом его вершин.
Т.е. не явно.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
70
А. Н. Максименко
Гипотеза 1. Для многогранника NP-трудной задачи
9
не существует расширенной
формулировки полиномиальной длины.
В той же работе доказано, что эта гипотеза справедлива по отношению к многогранникам коммивояжера при условии симметричности (в определенном смысле)
расширенной формулировки. В общем виде гипотеза до сих пор остается открытой.
На основе изложенных выше (в разделе ѕАффинная сводимостьї) результатов
возможен следующий путь доказательства этой гипотезы. Отправная точка этого
пути утверждение о том, что 2-смежностные многогранники являются неотьемлемым элементом конструкции многогранников, ассоциированных с NP-трудными
задачами. Фактически, это утверждение доказано в теоремах 1 и 2 для нескольких,
наиболее известных семейств комбинаторных многогранников. Следующий шаг доказательство того, что при ѕрасширении формулировкиї этот конструктивный
элемент сохраняется. Заметим, что если число вершин многогранника совпадает с
числом вершин его расширенной формулировки, то доказательство тривиально10 .
Поэтому можно надеяться, что и доказательство для общего случая окажется не
трудным. Более трудным на этом пути оказывается последний шаг: показать, что
число фасет 2-смежностного многогранника не может быть существенно меньше
числа его вершин. Например, вполне достаточно соотношения v = O(f k ), где v число вершин многогранника, f число его фасет, k фиксированное натуральное
число.
Некоторые результаты, связанные с последним шагом, получены в [14]. Показано, что если размерность 2-смежностного многогранника не превышает 6, то число
его вершин не превосходит числа его фасет. Аналогичное утверждение справедливо
и для многогранника произвольной размерности, число вершин которого не превышает d + 5, где d размерность многогранника. В общем виде остается открытой
Гипотеза 2. Число вершин 2-смежностного многогранника не превосходит числа
его фасет.
Возможно, успеха в решении этой задачи удастся достичь при сужении еј на
класс 2-смежностных 0/1-многогранников.
Список литературы
[1] Бондаренко В. А., Максименко А. Н.
Геометрические конструкции и слож-
ность в комбинаторной оптимизации.
M.: ЛКИ, 2008. 184 с.
В работе Яннакакиса речь шла о конкретном примере многограннике коммивояжера.
Предположим, что каждой вершине многогранника p соответствует ровно одна вершина расширенной формулировки q. Для произвольного ребра многогранника p рассмотрим его опорную
гиперплоскость, которой принадлежат вершины на концах ребра, но не принадлежат остальные
вершины многогранника. Еј прообразом в протранстве расширенной формулировки также окажется некоторая опорная гиперплоскость для q, которой принадлежат соответствующие две вершины многогранника q. Так как другие вершины многогранника q не принадлежат этой плоскости
и, кроме того, она является опорной, то указанные вершины смежны. Следовательно, если p 2-смежностен, то q тоже 2-смежностен.
9
10
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Аффинная сводимость
[2] Деза М. М., Лоран М.
Геометрия разрезов и метрик.
[3] Billera L. J., Sarangarajan A. All 0-1 polytopes
// Combinatorica. 1996. V. 16. P. 175188.
[4] Максименко А. Н.
71
М.: МЦНМО, 2001. 736 с.
are travelling salesman polytopes
Многогранники задачи о выполнимости являются гранями
многогранника задачи коммивояжера
операций. 2011. Т. 18, ќ 3. C. 7683.
// Дискретный анализ и исследование
[5] Fiorini S. A combinatorial study of partial order
Combinatorics. 2003. V. 24 (2). P. 149159.
polytopes
// European Journal of
[6] Максименко А. Н. Об универсальных свойствах многогранника разрезов // Проблемы теоретической кибернетики: материалы XVI Межд. конф. Нижний Новгород: ННГУ, 2011. С. 294296.
[7] Максименко А. Н. О комбинаторных свойствах многогранника двойных покрытий // Информационный бюллетень Ассоциации математического программирования. ќ 12. (Тезисы докладов XIV Всероссийской конф. ѕМатематическое
программирование и приложенияї.) Екатеринбург: УрО РАН, 2011. С. 197198.
[8] Matsui T. NP-completeness of non-adjacency relations on some
// Lecture Notes in Operations Research. 1995. V. 1. P. 249258.
[9] Onn S. Geometry, Complexity, and Combinatorics of
// J. Comb. Theory, Series A. 1993. V. 64, ќ 1. P. 3149.
0-1-polytopes
Permutation
Polytopes
[10] Kaibel V. Extended Formulations in Combinatorial Optimization // Eprint
arXiv:1104.1023. URL: http://arxiv.org/abs/1104.1023. 14 p. [date: 04/2011]
[11] Емеличев В. А., Ковалев М. М., Кравцов М. К. Многогранники,
зация. М.: Наука, 1981. 344 с.
графы, оптими-
[12] Kovalev M., Maurras J.-F., Vaxes Y. On the convex hull of 3-cycles
graph // Pesquisa Operacional. 2003. V. 23, ќ 1. P. 99109.
of the complete
[13] Yannakakis M. Expressing combinatorial optimization problems by linear programs
// Journal of Computer and System Sciences. 1991. V. 43, ќ 3. P. 441466.
[14] Максименко А. Н. О числе фасет 2-смежностного многогранника // Моделирование и анализ информационных систем. Ярославль: ЯрГУ, 2010. Т. 17, ќ 1.
С. 7682.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Научные исследования факультета ИВТ
Сборник статей к 25-летию факультета.
2011. С. 7277
О методе локальных приближений
А. Н. Морозов
moroz@uniyar.ac.ru
Обсуждаются вопросы кусочно-полиномиальных и локальных приближений
функций. Рассмотрены соотношения между этими конструкциями, а также соотношения с основными характеристиками функций.
Введение и основные обозначения
Одной из классических задач теории приближения функций является вопрос о
соотношении гладкости функций и величин их наилучших приближений обобщјнными полиномами
n
X
min kf ?
ak gk k,
k=1
где g1 , · · · , gn - некоторое семейство линейно независимых функций, а минимум берјтся по всевозможным наборам чисел a1 , · · · , an в некотором (квази-) нормированном функциональном пространстве.
Исследования в этом направлении берут начало с работ П. Л. Чебышева, рассматривавшего равномерные приближения алгебраическими многочленами. Позже
многочисленными российскими и зарубежными учјными стали изучаться наилучшие приближения тригонометрическими многочленами, семействами рациональных
и других функций в метриках пространств Lp (1 6 p 6 ?). С 60-х годов ХХ века
значительное развитие получило приближение кусочно-полиномиальными функциями (в частности, сплайнами). Заметный вклад в качественные и количественные
аспекты кусочно-полиномиального приближения сделан профессором Ю. А. Брудным. В этом же направлении работают многие его ученики, к которым относится и
автор данной статьи.
В 7080-е годы прошлого века произошјл всплеск интереса к пространствам, построенным на основе Lp , 0 < p < 1, и рассмотрению в них основных характеристик
функций и соотношений. Был получен ряд фундаментальных результатов, показывающих важную роль этих случаев. С тех пор основное внимание в исследованиях
уделяется тем методам и конструкциям, которые плодотворны во всех пространствах
Lp (0 < p 6 ?).
Как обычно, Lp [I] обозначает пространство действительных функций, интегрируемых в степени p (0 < p < ?) по Лебегу на замкнутом слева полуинтервале
I = [a; b) (равносильно интервале или отрезке), с величиной элементов
Z
p1
kf kLp [I] =
|f (t)|p dt .
I
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
О методе локальных приближений
73
Предельным случаем данного семейства пространств является
n
o
L? [I] = f : ess sup |f (x)| < ? ,
x?I
kf kL? [I] = ess sup |f (x)|.
x?I
Этот функционал задајт норму и на пространстве C[I] непрерывных на отрезке I
функций, их величину обозначаем также: kf kL? [I] .
Когда неясность исключена, сокращаем обозначения до Lp и kf kp или соответственно до C и kf k? .
Для f ? Lp [I], 0 < p < ?, и J ? I определяется
n
o
Ek (f ; J)p = inf kf ? ?k kp : ?k ? Pk
наилучшее приближение алгебраическими многочленами степени не выше k ? 1
(порядка k ) в Lp [J]. Если J не совпадает с I , то такое приближение называют локальным.
Аналогично, для f ? C[I] и J ? I определяется Ek (f ; J)? .
Через |I| обозначим длину полуинтервала I .
Начиная с П. Л. Чебышева, исследуют также величины
Ek (f ; J)p
1
|J|µ+ p
,
µ ? R+ .
Рассмотрим a = to < t1 < · · · < tm = b, m ? N . Набор ?m полуинтервалов
{[tj?1 , tj )}m
j=1 назовјм разбиением полуинтервала I = [a, b). Через um будем обозначать разбиение полуинтервала I на m равных по длине полуинтервалов. Этот
случай имеет особое значение во многих вопросах.
Положим
X
p1
k
Um
(f ; I)p =
Ek (f ; J)pp
J?um
наилучшее приближение f кусочно-полиномиальными функциями степени не выше k ? 1, подчиненными равномерному разбиению um полуинтервала I , т. е. на каждом полуинтервале J из um приближающая функция многочлен порядка k .
Как правило, кусочно-полиномиальные и ѕразделјнные локальные приближенияї изучаются совместно. Асимптотическое поведение первых связано с дифференциальными свойствами функции на всјм отрезке, а вторых с поточечными.
Важнейшими характеристиками функции являются модули непрерывности.
?k (f, t)p = sup ?k f 0<h<t
h
Lp [a,b?kh]
k -й модуль непрерывности в Lp ; здесь
?kh f (x)
=
k
X
i=0
(?1)k?i Cki f (x + ih).
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
74
А. Н. Морозов
Ключевые оценки кусочно-полиномиальных приближений на фиксированных
разбиениях даются в терминах модулей непрерывности, а предельное поведение локальных приближений описывается на языке классических производных и их обобщений. При работе с пространствами дифференцируемых функций оба вопроса тесно переплетаются. Эта ситуация очень хорошо объяснима соотношениями между
модулями непрерывности и производными.
Об одном описании функциональных пространств
Ярчайшими представителями функциональных пространств являются C k [I]
(далее обозначаем просто C k ) пространство k раз непрерывно дифференцируемых
на отрезке I функций и ( 1 6 p < ?)
o
n
Wpk [I] = Wpk = f : f (k?1) абсолютно непрерывна на отрезке I, f (k) ? Lp [I]
c нормами kf kp + kf (k) kp при p = ? и 1 6 p < ? соответственно.
П. Л. Чебышев [1, с. 23] показал, что если f ? C[I] и в точке x0 ? I существует
k -я производная функции f , то
lim
h?0
1
Ek (f ; [x0 ? h; x0 + h])?
=
|f (k) (x0 )|.
k
(2h)
k!22k?1
С. Н. Бернштейн [2, с. 306] выразил ѕглобальныеї дифференциальные свойства
функции при помощи ѕразделјнных наилучших локальных приближенийї. Его формулировка такова.
Теорема 1.
функция
f
Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы непрерывная
имела непрерывную производную порядка
k
во всех точках отрезка
[a; b],
заключается в том, что
Ek (f ; [?; ?])?
(? ? ?)k
равномерно по
x
при
? ?(x), a 6 ? < x < ? 6 b,
? ? x, ? ? x,
где непрерывная функция
?
определяется
равенством
k! 22k?1 ?(x) = f (k) (x).
Отметим, что из существования
lim
h?0
Ek (f ; [x0 ? h; x0 + h])?
(2h)k
не следует существование k -й производной в точке x0 . Таким образом, теорема Бернштейна является не просто обра??ением результата Чебышева, а дајт некоторое качественное свойство, связанное с поведением локальных приближений сразу на всјм
отрезке.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
О методе локальных приближений
75
В работе Ю. А. Брудного [3, гл. 2] дан подробный обзор результатов в этом направлении на 80-е годы прошлого века, получены свойства локальных приближений
функций многих переменных на множествах очень общего вида, а также приведены новые прямые и обратные теоремы, связанные с локальными приближениями.
Однако результат Бернштейна не получил развития.
Перед формулировкой обобщений отметим уточнение теоремы Чебышева. Пусть
в точке x0 существует k -я производная функции f , тогда для каждого 0 < p 6 ?
(при условии f ? Lp )
Ek (f ; J)p
= ck,p |f (k) (x0 )|,
(1)
lim
k+ p1
|J|?0
|J|
где каждый отрезок J имеет середину в точке x0 , а константа в правой части определяется формулой
tk
ck,p = Ek
; [0, 1] .
k!
p
Этот факт для p > 1 достигается методом Чебышева, а случай 0 < p < 1 разобран
в статье автора [4]. Отметим, что предложенное там доказательство применимо для
всего диапазона значений p.
Для заданного разбиения ?m полуинтервала I = [a, b) определим ступенчатую
функцию ?k (f, ?m )p соотношениями: на каждом интервале J ? ?m
Ek (f ; J)p
?k (f, ?m )p = c?1
k+ 1 .
k,p
J
J p
Пусть
?(?m ) = max {|J| : J ? ?m }.
Условие теоремы С. Н. Бернштейна может быть
как равномер сформулировано
ная сходимость последовательности
функций ?k (f, ?m )? для любой последова тельности разбиений ?m такой, что ?(?m ) ? 0 при m ? ?.
В статьях автора [5] и [6] показано, что наряду с пространством C k в эту схему
описания могут быть включены и Wpk . Причјм можно обойтись рассмотрением лишь
одной последовательности равномерных разбиений um . Общий результат таков.
Теорема 2.
Для того чтобы функция
надлежала пространству
Wpk
точно, чтобы последовательность
Lp .
Lp , 1 6 p < ?, (f из C при p = ?) приC k при p = ?), необходимо и доста
функций ?k (f )m,p сходилась в пространстве
(k) совпадает с f (находится в классе эквиваf
из
(пространству
При этом предельная функция
лентных функций).
Здесь ?k (f )m,p = ?k (f, um )p .
Рассмотрение последовательностей ?k (f )m,q с переменным индексом q открывает интересную возможность перехода к пространствам с другой нормой, поскольку
характер сходимости этих последовательностей является одновременно и инвариантом относительно q , и условием принадлежности функции f к соответствующему
пространству: при сходимости в Lp ( 1 6 p < ?) к Wpk , при равномерной сходимости к C k .
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
76
А. Н. Морозов
f из Lq , 1 6 q
k
надлежала пространству Wp (пространству C k при
Теорема 3.
Для того чтобы функция
точно, чтобы последовательность функций
Lp .
При этом предельная функция
< ?, (из C при q = ?) приp = ?), необходимо и доста
?k(f )m,q
сходилась в пространстве
(k) совпадает с f
(находится в классе эквива-
лентных функций).
О скорости приближения кусочно-полиномиальными
функциями
Выше уже отмечалось, что величина кусочно-полиномиального приближения
на равномерных разбиениях теснейшим образом связана с поведением k -го модуля непрерывности в Lp .
С одной стороны, как показано в работах Ю. А. Брудного [7] (p > 1) и Э. А. Стороженко с П. Освальдом [8] (p < 1),
k
Um
(f ; I)p 6 ?1 ?k (f,
|I|
)p
m
с постоянной ?1 , зависящей только от k, p, I.
С другой стороны, И. П. Иродовой в [9] доказано, что если
k
Um
(f ; I)p 6 ?(
1
),
m
где ?(t) степенная (и даже более общего вида) функция, то
?k (f, t)p 6 ?2 ?(t)
с постоянной ?2 , описываемой аналогично ?1 .
Учитывая результаты Ю. А. Брудного [7] (1 < p < ?) о соотношениях модулей непрерывности функций с их дифференцируемостью, а также его более ранние
результаты и результаты других авторов, получаем, что
k
Um
(f ; I)1 = O m1 ??
f ? W1k?1 BV [I],
k
Um
(f ; I)p = O m1 ?? f ? Wpk [I].
Здесь BV обозначает пространство функций ограниченной вариации.
Между кусочно-полиномиальными приближениями на равномерных разбиениях
и ѕразделјнными локальными приближениямиї можно увидеть простую связь:
m k
X
1 X E (f ; J) p
1
1
k
p
k
p p
k p
Um (f ; [a; b])p =
Ek (f ; J)p =
|J|
1
b?a
(?(um ))k J?u
|J|k+ p
J?u
m
= ck,p k?k (f )m,p kp .
m
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
О методе локальных приближений
77
Таким образом, из теоремы 2 следует, что для f ? Wpk [I] (f ? C k [I] при p = ?)
выполняется:
k
lim mk Um
(f ; I)p = ck,p |I|k kf (k) kLp [I] .
m??
Подобные же рассуждения и равенство (1) приводят к тому, что (см. [4]) для
f ? W1k [I] при всех 0 < q < 1 справедливо:
k
lim mk Um
(f, I)q = ck,q |I|k kf (k) kLq [I] .
m??
(2)
Формула (2) показывает, что оператор k -кратного дифференцирования может быть
распространјн с пространства W1k на более обширные пространства, метрики в которых построены на основе метрик пространств Lp (0 < p < 1). Для функций из них
будет выполняться аналогичное предельное соотношение (см. [10]).
Список литературы
[1] Чебышев П. Л. Собрание сочинений. Т. 2. М.; Л.: Изд. АН СССР, 1947. 520 с.
[2] Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. Т. 2. М.; Л.: Изд. АН СССР, 1954. 627 с.
[3] Брудный Ю. А. Исследование свойств функций многих переменных методами
теории локальных приближений: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Л., 1977. 270 с.
[4] Морозов А. Н. Асимптотическое поведение наилучших кусочнополиномиальных приближений в пространствах Lp (0 < p < 1) // Моделирование и анализ
информационных систем. 2004. Т. 11, ќ 1. С. 2427.
[5] Морозов А. Н. Аналог теоремы Бернштейна в пространстве L1 // Мат. заметки. 1995. Т. 57, ќ 5. C. 699703.
[6] Морозов А. Н. Об одном описании пространств дифференцируемых функций
// Мат. заметки. 2001. Т. 70, ќ 5. C. 758768.
[7] Брудный Ю. А. Пространства, определяемые с помощью локальных приближений // Тр. ММО. 1971. Т. 24. С. 69132.
[8] Стороженко Э. А., Освальд П. Теорема Джексона в пространствах Lp (Rn ),
0 < p < 1 // Сиб. мат. журнал. 1978. Т. 19, ќ 1. С. 630639.
[9] Иродова И. П. Свойства функций, заданных скоростью убывания кусочнополиномиальной аппроксимации // Исследования по теории функций многих
вещественных переменных: сб. науч. тр. Ярославль, 1980. С. 92117.
[10] Морозов А. Н. Кусочно-полиномиальные приближения и дифференцируемость
в пространствах Lp (0 < p < 1) // Моделирование и анализ информационных
систем. 2005. Т. 12, ќ 1. С. 1821.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Научные исследования акультета ИВТ
Сборник статей к 25-летию акультета.
2011. С. 7885
Построение асимптотики нулевого порядка для
решения уравнения импульсного нейрона
М. Л. Мячин
Ltwoodgmail.om
В работе проведено построение асимптотики нулевого порядка для решения
уравнения с запаздыванием, моделирующего биологический нейрон. Доказана
теорема об асимптотике нулевого порядка и теорема о существовании периодического решения рассматриваемого уравнения. Хотя ормулировки данных
теорем были неоднократно опубликованы, полное доказательство публикуется
впервые.
Основная сложность аналитического построения асимптотики решения рассматриваемого уравнения заключается в исследовании его поведения вблизи
точек переключения. В настоящей работе предложена техника построения оценок решения вблизи точек переключения, позволяющая строить асимптотику
нулевого порядка без использования метода пограничных ункций.
1.
Введение
В работе [1? для моделирования динамики мембранного потенциала биологического нейрона-автогенератора было предложено следующее уравнение с запаздыванием:
u?(t) = ? [fK (u(t ? 1)) ? fNa (u(t)) ? 1] u(t).
(1)
Здесь u(t) > 0 мембранный потенциал нейрона, ? большой параметр, fNa (u) и
fK (u) гладкие положительные ункции, стремящиеся к нулю при u ? ?.
Введем оператор
L[u](t) = fK (u(t ? 1)) ? fNa (u(t)) ? 1
и перепишем уравнение (1) следующим образом:
u? = ?L[u]u.
(2)
Начальная задача для уравнения (2) определяется заданием ункции u(t) на
произвольном отрезке единичной длины, в качестве которого будем использовать
отрезок [?1, 0]:
u(t) = ?(t),
t ? [?1, 0].
(3)
Функцию ?(s) будем называть начальной ункцией уравнения (2), а решение такой
начальной задачи (3) будем обозначать символом u? (t).
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Асимптотика нулевого порядка для решения уравнения импульсного нейрона
2.
79
Построение асимптотики решения
Определим множество S допустимых начальных ункций ?(s):
S = ? ? C[?1, 0] : ?(s) 6 ??1 , ?(0) = ??1
(4)
Введем обозначения
?1 = fK (0) ? 1,
?2 = fNa (0) + 1,
? = fK (0) ? fNa (0) ? 1
(5)
(6)
(7)
и построим асимптотику u(t) для решения u? (t) уравнения (2). Будем считать выполненным условие ? > 0, гарантирующее неустойчивость нулевого состояния равновесия исходного уравнения. Символом o(1) будем обозначать слагаемые, стремящиеся
при ? ? ? к нулю равномерно относительно выбора начальной ункции ? ? S .
Для отрезка 0 6 t 6 1 имеем ?1 6 t?1 6 0 и выполнено неравенство u(t?1) 6 ??1 ,
следовательно, fK (u(t?1)) = fK (0)+o(1). С другой стороны, если выполнено условие
u(t) > 0, то fNa (u(t)) < fNa (0) и получаем неравенство
1.
L[u](t) > fK (0) ? fNa (0) ? 1 = ?.
ешение уравнения u?1 = ??u1 при начальном условии u1 (0) = ??1 ограничивает
решение уравнения (2) снизу: u1 (t) < u(t). ешение
u1 (t) = ??1 exp(??t)
принимает значение ? в точке
t1 = 2 ln ?/(??) = o(1).
Отметим, что на отрезке [0, t1 ] условие u(t) = u1 (t) > 0 оказывается выполненным,
что гарантирует законность преобразований.
Для отрезка t1 6 t 6 1 имеем ?1 + t1 6 t ? 1 6 0 и выполнено неравенство
u(t ? 1) 6 ??1 , следовательно, fK (u(t ? 1)) = fK (0) + o(1). Если выполнено условие
u(t) > ?, то fNa (u(t)) = o(1) и получаем
2.
L[u](t) = fK (0) ? 1 + o(1) = ?1 + o(1).
Уравнение (2) принимает вид u?2 = ?(?1 + o(1))u2 при начальном условии u2 (t1 ) = ?.
Его решение
u2 (t) = ? exp[?(?1 + o(1))(t ? t1 )]
в точке t2 = 1 принимает значение
u? = u2 (t2 ) = ? exp[?(?1 + o(1))(1 ? t1 )] = ? exp[??1 (1 + o(1))].
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
80
М. Л. Мячин
Отметим, что на отрезке [t1 , t2 ] условие u(t) = u2 (t) > ? оказывается выполненным,
что гарантирует законность преобразований.
При t2 6 t 6 t2 + t1 выполнено неравенство 0 6 t ? 1 6 t1 , откуда следует,
что ??1 6 u(t ? 1) 6 ?. С другой стороны, если выполнено условие u(t) > ?, то
fNa (u(t)) = o(1) и для величины L[u](t) = fK (u(t?1))?1+o(1) получаем неравенство
3.
?1 + o(1) 6 L[u](t) 6 ?1 + o(1).
Таким образом, решение уравнения (2) на отрезке [t2 , t2 + t1 ] ограничено снизу и
сверху решениями ua3 (t) и ub3 (t) уравнений u?a3 = ??(1 + o(1))ua3 и u?b3 = ?(?1 + o(1))ub3
соответственно. Эти решения соответствуют начальным условиям ua3 (t2 ) = u? и
ub3 (t2 ) = u? . ешения ua3 (t) и ub3 (t) вычисляются непосредственно:
ua3 (t) = u? exp[??(1 + o(1))(t ? t2 )],
ub3 (t) = u? exp[??1 (1 + o(1))(t ? t2 )].
Для момента времени t3 = t2 + t1 получаем неравенство
ua3 (t2 + t1 ) 6 u(t3 ) 6 ub3 (t2 + t1 ),
которое после непосредственной подстановки может быть переписано следующим
образом:
? exp[??1 (1 + o(1) ? t1 /?1 )] 6 u(t3 ) 6 ? exp[??1 (1 + o(1) + t1 )].
Следовательно, имеем
u(t3 ) = ? exp[??1 (1 + o(1))] = u? .
Отметим, что на отрезке [t2 , t3 ] условие u(t) > ? оказывается выполненным, что
гарантирует законность преобразований.
При t > t3 = 1+t1 выполнено неравенство t?1 > t1 , откуда следует, что u(t?1) > ?
и u(t) > ? вплоть до момента времени t4 , когда окажется выполненным равенство
u(t4 ) = ?. Поэтому fK (u(t ? 1)) = o(1), fNa (u(t)) = o(1) и выполнено равенство
4.
L[u](t) = ?1 + o(1).
Уравнение (2) принимает вид u?4 = ??(1+o(1))u4 при начальном условии u4 (t3 ) = u? .
Его решение
u4 (t) = u? exp[??(1 + o(1))(t ? t3 )] = ? exp[??(t ? t3 ? ?1 + o(1))]
принимает значение ? в точке
t4 = t3 + ?1 + o(1) = t2 + ?1 + o(1) = 1 + ?1 + o(1).
Отметим, что для всего отрезка [t3 , t4 ] выполнены условия u(t ? 1) > ? и u(t) > ?,
что гарантирует законность преобразований.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Асимптотика нулевого порядка для решения уравнения импульсного нейрона
81
При t4 6 t 6 t4 + 1 выполнено неравенство ?1 + o(1) 6 t ? 1 6 t4 , следовательно,
u(t ? 1) > ? и fK (u(t ? 1)) = o(1), откуда
5.
L[u](t) = ?fNa (u(t)) ? 1 + o(1) 6 ?1 + o(1).
ешение уравнения u?5 = ??(1 + o(1))u5 при начальном условии u5 (t4 ) = ? ограничивает решение уравнения (2) сверху: u(t) < u5 (t). ешение
u5(t) = ? exp[??(1 + o(1))(t ? t4 )] = ? exp[??(t ? t4 + o(1))]
принимает значение ??1 в точке
t5 = t4 + 2 ln ?/? + o(1) = t4 + o(1) = 1 + ?1 + o(1).
При t5 6 t 6 t4 + 1 выполнено неравенство t ? 1 6 t4 , откуда u(t ? 1) > ?
и fK (u(t ? 1)) = o(1). С другой стороны, если выполнено условие u(t) 6 ??1 , то
fNa (u(t)) = fNa (0) + o(1) и
6.
L[u](t) = ?fNa (0) ? 1 + o(1) = ??2 + o(1).
Уравнение (2) принимает вид
u?6 = ??(?2 + o(1))u6
при начальном условии u6 (t5 ) = ??1 . Его решение
u6 (t) = ??1 exp[??(?2 + o(1))(t ? t5 )] = ??1 exp[???2 (t ? t5 + o(1))]
принимает в точке
t6 = t4 + 1 = 2 + ?1 + o(1)
значение
u? = u6 (t6 ) = ??1 exp[???2 (1 + o(1))].
Отметим, что для всего отрезка [t5 , t6 ] выполнено условие u(t) 6 ??1 , что гарантирует законность преобразований.
При t6 6 t 6 t5 + 1 выполнено неравенство t4 6 t ? 1 6 t5 , откуда следует,
что ??1 6 u(t ? 1) 6 ?. С другой стороны, если выполнено условие u(t) 6 ??1 , то
fNa (u(t)) = fNa (0) + o(1) и для величины L[u](t) = fK (u(t ? 1)) ? fNa (0) ? 1 + o(1)
получаем неравенство
7.
??2 + o(1) 6 L[u](t) 6 ? + o(1).
Таким образом, решение уравнения (2) на отрезке [t6 , t5 + 1] ограничено снизу и
сверху решениями ua7 (t) и ub7 (t) уравнений u?a7 = ??(?2 + o(1))ua7 и u?b7 = ?(? + o(1))ub7
соответственно. Эти решения соответствуют начальным условиям ua7 (t6 ) = u? и
ub7 (t6 ) = u? . ешения ua7 (t) и ub7 (t) вычисляются непосредственно:
ua7 (t) = u? exp[???2 (1 + o(1))(t ? t6 )],
ub7 (t) = u? exp[??(1 + o(1))(t ? t6 )].
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
82
М. Л. Мячин
ќ
1
2
3
4
5
6
7
8
Таблица.
[ta , tb ]
[0, t1 ]
[t1 , t2 ]
[t2 , t3 ]
[t3 , t4 ]
[t4 , t5 ]
[t5 , t6 ]
[t6 , t7 ]
[t7 , t8 ]
tb ? ta
o(1)
1
o(1)
?1
o(1)
1
o(1)
?2 /?
u(ta ) u(tb )
??1
?
?
u?
u?
u?
u?
?
?
??1
?1
?
u?
u?
u?
u?
??1
L[u](t)
?1 + o(1)
?1 + o(1)
??2 + o(1)
? + o(1)
Сводка результатов асимптотического анализа уравнения нейрона
Для момента времени t7 = t5 + 1 получаем неравенство
ua7 (t5 + 1) 6 u(t7 ) 6 ub7 (t5 + 1).
Замечая, что t7 ? t6 = 2 ln ?/? + o(1), и вводя обозначение ? = 2 ln ?/?, перепишем
последнее неравенство следующим образом:
??1 exp[???2 (1 + o(1) + ?)] 6 u(t7 ) 6 ??1 exp[???2 (1 + o(1) ? ??/?2 )].
Следовательно, имеем
u(t7 ) = ??1 exp[???2 (1 + o(1))] = u? .
Отметим, что на отрезке [t6 , t7 ] условие u(t) 6 ??1 оказывается выполненным, что
гарантирует законность преобразований.
При t > t7 выполнено неравенство t ? 1 > t5 , откуда u(t ? 1) < ??1 и fK (u(t ? 1)) =
fK (0) + o(1). С другой стороны, если выполнено условие u(t) < ??1 , то fNa (u(t)) =
fNa (0) + o(1), что дает
8.
L[u](t) = fK (0) ? fNa (0) ? 1 + o(1) = ? + o(1).
Уравнение (2) принимает вид u?8 = ??(1+o(1))u8 при начальном условии u8 (t7 ) = u? .
Его решение
u8 (t) = ??1 exp[???2 (1 + o(1))] exp[??(t ? t7 )]
принимает значение ??1 в точке
t8 = t7 + ?2 /? + o(1) = 2 + ?1 + ?2 /? + o(1).
Отметим, что на отрезке [t7 , t8 ] условие u(t) 6 ??1 оказывается выполненным, что
гарантирует законность преобразований.
В таблице приведена сводка результатов асимптотического анализа уравнения
нейрона, а на рисунке показан схематический граик решения уравнения нейрона.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Асимптотика нулевого порядка для решения уравнения импульсного нейрона
83
?
??1
?(s)
t1
?1
ис.
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
Схематический граик решения уравнения нейрона
Если начальная ункция
?(s) выбирается из множества S , определенного ормулой (4), а гладкие положительные ункции fNa (u) и fK (u) монотонно
стремятся к нулю при u ? ?, то для решения u(t) уравнения (1) при ? ? ?
Теорема 1.
имеют место следующие асимптотические равенства:
где
?
?
?exp[??1 (t ? t1 + o(1))],
?
?exp[??(t ? t ? ? + o(1))],
3
1
u(t) =
?
exp[???2 (t ? t5 + o(1))],
?
?
?
exp[??(t ? t7 ? ?2 /? + o(1))],
t1
t3
t5
t7
= o(1),
= t2 + o(1),
= t4 + o(1),
= t6 + o(1),
t2
t4
t6
t8
t ? [t1 , t2 ],
t ? [t3 , t4 ],
t ? [t5 , t6 ],
t ? [t7 , t8 ],
= 1,
= t3 + ?1 ,
= t5 + 1,
= t7 + ?2 /?,
?1 , ?2 и ? определены ормулами (5), (6) и (7). Символом o(1) обозначены слагаемые, стремящиеся при ? ? ? к нулю равномерно относительно выбора
начальной ункции ? ? S .
а величины
Утверждение теоремы непосредственно следует из асимптотических ормул, полученных на шагах 18 с учетом следующего очевидного равенства:
Доказательство.
?? exp[?p(t ? t0 + o(1))] = exp[?p(t ? t0 + o(1))].
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
84
3.
М. Л. Мячин
Существование периодического решения
Для того чтобы продолжить построение асимптотики для моментов времени t >
t8 , заметим, что в этом случае ункцию u8 (t) следует рассматривать как новую
начальную ункцию ?? (s) уравнения (2):
?? (s) = u(t8 + s) = ??1 exp(??s),
s ? [?1, 0].
Эта ункция входит в множество S допустимых начальных ункций, и, построив для нее асимптотическое решение на промежутке [t8 , 2t8 ], мы убедимся, что для
очередной начальной ункции ??? (s) = u(2t8 + s) имеет место асимптотическое равенство ??? (s) = ?? (s). Таким образом, для произвольной начальной ункции ? ? S
построенная асимптотика оказывается периодической ункцией с периодом, равным
t8 = T2 + o(1), где
T2 = 2 + ?1 + ?2 /?.
(8)
Построенная выше асимптотика u(t) решения u? (t) не зависит от начальной
ункции ? ? S . Соответственно, момент времени t8 , в который асимптотика с положительной скоростью пересекает уровень u = ??1 также не зависит от выбора
начальной ункции. Точное решение u? (t) уравнения (1), полученное для начальной ункции ?(s), будет с положительной скоростью пересекать уровень u = ??1 в
момент времени t8 (?), зависящий, вообще говоря, от начальной ункции ?.
Введем в рассмотрение оператор последования ?, действующий по следующему
правилу:
?[?](s) = u? (t8 (?) + s),
где s ? [?1, 0] и ? ? S . Непрерывность оператора ? очевидна. Введем более узкое
множество S ? ? S начальных ункций ?(s):
S ? = ? ? C 1 [?1, 0] : ??1 exp(2??s) 6 ?(s) 6 ??1 exp(??s/2) .
(9)
Из леммы Арцела следует компактность множества S ? . Из выписанных выше асимптотических равенств вытекает, что ?[S ? ] ? S ? , откуда в силу теоремы ШаудераТихонова о существовании неподвижной точки непрерывного оператора, действующего на выпуклом компактном множестве [3?, следует существование такой начальной ункции ? ? S ? , для которой ?[?] = ? . В этом случае ункция u? (t) будет
являться периодическим решением уравнения (1) с периодом t8 (?) = T2 + o(1).
ешения уравнения (1) с начальными условиями из ?[S ? ] образуют аттрактор, которому принадлежит и периодическое решение u? (t). Все элементы ? ? ?[S ? ] имеют
при ? ? ? одинаковую асимптотику ?(s) = exp[??s + o(1)], т. е. аттрактор является
очень ѕузкимї. Одновременно этот аттрактор имеет широкую область притяжения,
поскольку имеет место включение ?[S] ? ?[S ? ], т. е. включение ?[?] ? ?[S ? ] соблюдается при весьма слабых условиях на начальную ункцию ?. Вопрос о единственности
и устойчивости периодического решения требует дальнейшего изучения.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Асимптотика нулевого порядка для решения уравнения импульсного нейрона
85
Если гладкие положительные ункции fNa (u) и fK (u) монотонно стремятся к нулю при u ? ?, то при ? ? ? решения уравнения (1) с начальными
Теорема 2.
?[S ? ] (множество S ? определено ормулой (9)) образуют аттрактор,
область притяжения которого включает множество S . Все элементы аттрактоусловиями из
ра имеют общую асимптотику, описываемую теоремой 1. Аттрактор включает
периодическое решение
ормулой
(8).
u? (t) уравнения (1) с периодом T2 + o(1), где T2 определено
Уравнение (1), кроме импульсного решения, имеет также состояния равновесия
u(t) = const. Одно из таких решений неустойчивое при ? > 0 нулевое состояние
равновесия u(t) = 0. Поскольку L[0] = ? > 0 и L[?] = ?1, то имеется также
положительное состояние равновесия u(t) = u0 , где значение u0 может быть найдено
из условия
fK (u0 ) ? fNa (u0 ) ? 1 = 0.
Устойчивость этого состояния равновесия при иксированном значении параметра
? зависит от вида ункций fK (u) и fNa (u). Подробно этот вопрос исследован в [2?.
Для монотонно убывающих ункций fK (u) и fNa (u) основной результат состоит в
следующем: для заданных ункций fK (u) и fNa (u) существует такое значение ?0 ,
что при всех ? > ?0 положительное состояние равновесия неустойчиво.
Список литературы
[1? Майоров В. В., Мышкин И. Ю. Математическое моделирование нейронной сети на основе уравнений с запаздыванием // Математическое моделирование.
1990. Т. 2, ќ 11. С. 6476.
[2? Майоров В. В., Ануриенко С. Е. Импульсные нейросети. Ярославль, 2006. 98 с.
[3? Эдвардс . Функциональный анализ. М.: Мир, 1963. 1071 с.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Научные исследования факультета ИВТ
Сборник статей к 25-летию факультета.
2011. С. 8691
О минорах матрицы линейных ограничений
корневого полуметрического многогранника
А. В. Николаев
werdan.nik@gmail.com
В подтверждение гипотезы о связи полиномиальной разрешимости частных случаев задачи целочисленного линейного программирования с некоторыми характеристиками матрицы ограничений устанавливается экспоненциальный рост значений миноров матрицы, определяющей корневой полуметрический многогранник, с увеличением размерности пространства.
Задача целочисленного линейного программирования является одной из основных оптимизационных задач прикладной математики. В общем случае она принадлежит классу NP-трудных задач, а специальная формулировка булева линейного
программирования включена Карпом в список 21 основных NP-полных задач [1].
Напомним постановку задачи целочисленного программирования:
maxn f (x) = (c, x) : Ax ? b,
x?Z
где b ? Zm , c ? Zn , матрица A ? ZmЧn .
Известно [24], что некоторые характеристики матрицы A линейных ограничений
определяют трудоемкость задачи.
Рассмотрим функцию ?(A) : ZmЧn ? Z, равную максимуму абсолютных величин
всех миноров матрицы A:
?(A) = max |B|,
B?A
где B - произвольная квадратная подматрица матрицы A.
Если ?(A) = 1, то матрица называется вполне унимодулярной (все миноры принимают значения из множества {?1, 0, 1}). Широко известно [5, 6]
Утверждение 1.
На классе вполне унимодулярных матриц задача целочисленного
программирования полиномиально разрешима.
В работе [7] приводится основанный на некоторых допущениях полиномиальный
алгоритм решения задачи целочисленного программирования для класса бимодулярных матриц (?(A) = 2).
Общая гипотеза сформулирована в монографии В. Н. Шевченко [2]. Для натурального d обозначим через A(d) множество матриц A ? ZmЧn , для которых величина ?(A) ? d.
Гипотеза 1.
Если матрица
A принадлежит классу A(d), то задача целочисленного
программирования на ней полиномиально разрешима.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
О минорах матрицы корневого полуметрического многогранника
87
В данной статье проверяется выполнение Гипотезы 1 для конкретного много2
гранника. Для этого рассмотрим класс многогранников Mn ? R4n , n ? N известных
в литературе как корневые полуметрические многогранники [8, 9]. Задающие Mn
линейные ограничения имеют вид:
xi,j + yi,j + zi,j + ti,j = 1,
xi,j + yi,j = xk,j + yk,j ,
xi,j + zi,j = xi,l + zi,l ,
xi,j = xj,i , ti,j = tj,i , yi,j = zj,i ,
yi,i = zi,i = 0,
xi,j ? 0, yi,j ? 0, zi,j ? 0, ti,j ? 0,
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
где i, j, k, l независимо пробегают значения 1, ..., n.
Отметим, что координаты точек многогранника Mn удобно представлять в виде
блочной матрицы (таблица 1).
xi,j
zi,j
Таблица 1.
yi,j
ti,j
Блок координат
Нетрудно заметить, что число линейных ограничений, определяющих многогранник Mn , линейно по размерности пространства и систему (1)(6) можно представить
2
2
в виде An x ? b, где матрица An ? Z 9n Ч4n .
Для корневого полуметрического многогранника известно, что задача целочисленного программирования на нем NP-трудна, так как к ней сводится известная
NP-полная задача о максимальном разрезе графа [8, 9].
Таким образом, значительный интерес представляет вычисление величины
?n = ?(An ), по результату которого можно сделать различные выводы.
1. Если величина ?n не ограничена сверху, то данный результат будет косвенным
подтверждением Гипотезы 1. Максимум по значениям всех миноров матрицы
An не ограничен, и задача целочисленного программирования NP-трудна.
2. Если ?n ? k , где k > 2, то Гипотеза будет опровергнута для всех d ? k .
3. В наиболее радикальном варианте, если ?n ? 2, речь фактически идет о ситуации равенства классов сложности P и NP.
Из вышесказанного следует, что любой результат для ?n является положительным и будет представлять интерес.
Рассмотрим подсистему системы уравнений (1)(5) из k уравнений с k неизвестными и соответствующую ей квадратную подматрицу B матрицы An (B ? Z kЧk ).
Тогда если решение системы
Bx = c
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
88
А. В. Николаев
единственно (матрица B не вырождена), то его можно найти методом Крамера:
xi =
|Ci |
.
|B|
Матрица An и соответственно ее подматрица B целочисленны, как и матрицы
Ci , получающиеся заменой i-го столбца матрицы B столбцом свободных членов c.
Известно, что координаты всех вершин корневого полуметрического многогранника
Mn (решения системы Bx = c) являются полуцелыми и принимают свои значения
из множества {0, 12 , 1} [8,9]. Таким образом, если предположить, что |Ci | ? {?1, 0, 1},
то для любой квадратной подматрицы B матрицы An , |B| ? {?2, ?1, 0, 1, 2}, ?n ? 2,
и матрица An оказывается бимодулярной, что потенциально приводит к варианту 3.
В действительности это не так и имеет место
Теорема 1.
Для корневых полуметрических многогранников
Mn
значение макси-
мума по минорам матрицы линейных ограничений растет экспоненциально по
n:
n
?n ? 2[ 3 ] .
Доказательство.
Выберем произвольным образом значения
i, j, k : 1 ? i < j < k ? n,
и рассмотрим соответствующие им координатные блоки в матрице координат (таблица 2).
xi,j
zi,j
Таблица 2.
yi,j
ti,j
xi,k
zi,k
xj,k
zj,k
yi,k
ti,k
yj,k
tj,k
Координатные блоки i, j, k
Обратимся к системе ограничений (1)(6). Временно отбросим неравенства (6).
Рассматриваемые координаты не подпадают под уравнения (5), а равенства (4) задают симметрию матрицы, которая также не распространяется на координаты i, j, k .
Соответственно, для 12 рассматриваемых координат (переменных) имеет место система (1)(3):
?
xi,j + yi,j + zi,j + ti,j = 1,
?
?
?
?
xi,k + yi,k + zi,k + ti,k = 1,
?
?
?
xj,k + yj,k + zj,k + tj,k = 1,
x
?
i,j + zi,j = xi,k + zi,k ,
?
?
?
x + yi,j = xj,k + zj,k ,
?
?
? i,j
xi,k + yi,k = xj,k + yj,k .
Ее можно переписать в матричном виде:
Dx = c,
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
89
О минорах матрицы корневого полуметрического многогранника
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1 0 0 0 0 0
0
0 0
0 1 1 1 1 0
0
0 0
0 0 0 0 0 1
1
1 1
0 ?1 0 ?1 0 0
0
0 0
0 0 0 0 0 ?1 0 ?1 0
0 1 1 0 0 ?1 ?1 0 0
?
?
?
??
?
?
??
??
??
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
xi,j
yi,j
zi,j
ti,j
xi,k
yi,k
zi,k
ti,k
xj,k
yj,k
zj,k
tj,k
?
?
?
?
? ?
?
?
? ?
? ?
? ?
?=?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
0
0
0
?
?
?
?
?
?
?
?
Вычислим величину ?(D). Нетрудно проверить, что все миноры матрицы D при2,3,6,7,10,11
нимают значения из множества {?1, 0, 1}, кроме минора M1,2,3,4,5,6
(минора по переменным y и z каждого блока), равного:
2,3,6,7,10,11
M1,2,3,4,5,6
5+1 +(?1) 1
0
0
1
0
= 1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0 0
0
1 1
0
0 0
1
0 ?1 0
1 0 ?1
0 0
0
0 1 1
0
0 0 0
1
1 1+1 =
(?1)
0 ?1 0
0 0 0
0 ?1 1 0 ?1 0 0
0
1
0
0
3+1
= (?1) 1 1 0
3+4
= (?1) (?1) 0 0 1
1 0 ?1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1 1
0
0 0 0
1
1 0 ?1 0
0 +
0 0
0 ?1 1 0 ?1 0 1 0
0 0 1
1 1+1 +(?1) 0 0 ?1 0 ?1 0 1 1
0
0 0
1
0 ?1 0
1 0 ?1
0
1
0
0
=
1 0 0 + (?1)3+2 (?1) 0 1 1 = 1 ? (?1) = 2.
1 ?1 0 Таким образом, имеем ?n ? 2.
Выберем произвольным образом значения p, q, r ? Nn \{i, j, k} : p < q < r и
рассмотрим уравнения (1)(5), включающие все переменные (координаты) блоков
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
90
А. В. Николаев
i, j, k и p, q, r:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xi,j + yi,j + zi,j + ti,j = 1,
xi,k + yi,k + zi,k + ti,k = 1,
xj,k + yj,k + zj,k + tj,k = 1,
xi,j + zi,j = xi,k + zi,k ,
xi,j + yi,j = xj,k + zj,k ,
xi,k + yi,k = xj,k + yj,k ,
xp,q + yp,q + zp,q + tp,q = 1,
xp,r + yp,r + zp,r + tp,r = 1,
xq,r + yq,r + zq,r + tq,r = 1,
xp,q + zp,q = xp,r + zp,r ,
xp,q + yp,q = xq,r + zq,r ,
xp,r + yp,r = xq,r + yq,r .
Аналогично, переписав систему в матричном виде и выбрав столбцы, соответствующие переменным y и z в каждом блоке, получим квадратную матрицу:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0 0 0 0 0
0
0
1 1
0
0 0 0 0 0
0
0
0 0
1
1 0 0 0 0
0
0
0 ?1 0
0 0 0 0 0
0
0
0 0
0 ?1 0 0 0 0
0
0
1 0 ?1 0 0 0 0 0
0
0
0 0
0
0 1 1 0 0
0
0
0 0
0
0 0 0 1 1
0
0
0 0
0
0 0 0 0 0
1
1
0 0
0
0 0 1 0 ?1 0
0
0 0
0
0 1 0 0 0
0 ?1
0 0
0
0 0 0 1 0 ?1 0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Это блочно-диагональная матрица, и ее определитель, очевидно, равен 4.
Выбрав значения s, t, v ? Nn \{i, j, k, p, q, r}, можно построить квадратную подматрицу матрицы An с тремя блоками на главной диагонали и значением определителя, равным 23 = 8. Соответственно, для величины ?n имеет место оценка из
условия теоремы:
n
?n ? 2[ 3 ] .
Таким образом, несмотря на то что координаты вершин корневого полуметрического многогранника являются полуцелыми и все миноры матрицы An менее 6-го
порядка не превосходят по абсолютной величине единицы (этот факт нетрудно доказать), величина ?n максимума по минорам не ограничена сверху и растет экспоненциально по n. Учитывая, что задача целочисленного программирования на многограннике Mn NP-трудна, Теорема 1 может служить косвенным подтверждением
Гипотезы 1.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
О минорах матрицы корневого полуметрического многогранника
91
Список литературы
[1] Карп Р. М. Сводимость комбинаторных проблем // Киб. сборник. Новая серия.
М.: Мир, 1975. С. 1638.
[2] Шевченко В. Н. Качественные вопросы целочисленного программирования. М.:
Физматлит, 1995. 192 с.
[3] Шевченко В. Н., Ильичев А. П. О минорах и перманентах некоторых (0,1)матриц // Дискретная математика. 1991. Т. 3, ќ 2. С. 96102.
[4] Веселов С. И., Чирков А. Ю. О задаче целочисленного программирования с бимодулярной матрицей // Комбинаторно-алгебраические и вероятностные методы и их применение. Горький, 1990. С. 107110.
[5] Емеличев В. А., Ковалев М. М., Кравцов М. К. Многогранники, графы, оптимизация. М.: Наука, 1981. 344 с.
[6] Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и
сложность. М.: Мир, 1985. 512 с.
[7] Veselov S I., Chirkov A. J. Integer program with bimodular matrix // Discrete
Optimization. 2009. V. 6. P. 220222.
[8] Бондаренко В. А., Максименко А. Н. Геометрические конструкции и сложность в комбинаторной оптимизации. М.: ЛКИ, 2008. 184 с.
[9] Деза М. М., Лоран М. Геометрия разрезов и метрик. М.: МЦНМО, 2001. 736 c.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Научные исследования факультета ИВТ
Сборник статей к 25-летию факультета.
2011. С. 92103
Нужна ли математика информатику?
В. С. Рублев
roublev@mail.ru
Рассматривается проблема повышения заинтересованности студентов факультета в математической составляющей образования. На примере организации в этом направлении курсов, им читаемых, автор надеется подвигнуть
других преподавателей факультета на этот путь.
Памяти моего Учителя Анатолия Юрьевича Левина посвящается
Введение
Вопрос, вынесенный в заголовок статьи, конечно же, риторический. На протяжении 40 лет преподавания в Ярославском государственном университете автор часто слышит вопрос от студентов, получающих образование в области информатики
(программирования): ѕЗачем нам нужна математика?ї. Размышления, почему он
продолжает задаваться, привели автора к следующему очевидному выводу: между
образованием в информатике и в математике все еще слабая связь. Ответы студентам о важности для информатика-программиста математической культуры, о том,
что строгое логическое мышление для программиста не менее важно, чем для математика, не могут убедить многих студентов.
Автор искал и продолжает искать любые приемы в преподавании, которые могли
бы помочь в усилении полезности математической составляющей образования. Их
введение в курсы всегда делало их сложными для усвоения, так как математическая подготовка выпускников школ чаще всего всегда оставляла желать лучшего, а
в современный период особенно. Но трудными они становятся и для преподавания,
которое требует больших временных затрат. Единственной, но великолепной компенсацией за это становятся благодарности выпускников самых разных лет, несмотря
на то, что они нередко получали неудовлетворительные оценки и должны были каждый раз принимать большие усилия для преодоления трудностей. Они никогда не
жалели об этом. Знаменательно то, что к окончанию университета усилиями многих
преподавателей большинство выпускников имеет уже другой характер мышления,
чем у первокурсников.
Приемы, о которых говорилось, это, конечно, новые задачи и методы их решения.
Вряд ли такие задачи для одних дисциплин годятся для других (автор не верит в
величие методологической науки). Но разнообразие таких приемов может оказаться
полезным, и потому в статье излагается опыт автора в дисциплинах, связанных с информатикой. В математических дисциплинах (например, в дискретной математике)
они и так понятны, поэтому автор не касается их.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Нужна ли математика информатику?
1.
1.
93
Анализ вычислительной сложности алгоритма
Определения
При анализе вычислительной сложности алгоритмов [15] в основном используются асимптотические ?-обозначения, которые дают двусторонние оценки роста
функции трудоемкости. Например, для f (n) > 0 запись T (n) = ?(f (n)) означает:
существуют такие n0 ? N, c1 , c2 ? R, что для всех n > n0 выполняются неравенства :
c1 f (n) 6 T (n) 6 c2 f (n).
Реже используются односторонние оценки при помощи O- и ?-обозначений. Например, запись T (n) = O(f (n)) означает:
существуют такие n0 ? N, c ? R, что для всех n > n0 выполняются неравенства :
T (n) 6 c f (n),
а запись запись T (n) = ?(f (n)) означает:
существуют такие n0 ? N, c ? R, что для
всех
n > n0
выполняются неравенства :
c f (n) 6 T (n).
Многие студенты плохо понимают эти обозначения (путают их с функциями), не
умеют получать оценки роста функций, для чего нужно уметь проводить анализ алгоритма, оценивать преобразование вещественных (вернее, двоично-рациональных)
значений в целые, суммировать последовательности (за исключением арифметической и геометрической прогрессии, которые они в основном знают). А ведь это благодатный материал для того, чтобы заинтересовать студентов в курсе математического анализа необходимостью получения знаний для умения делать анализ программ.
Покажем это на примерах.
2.
Пример оценки трудоемкости программы
Оценить трудоемкость следующей процедуры на С++ при m > 0:
int f (int m)
{ int j, k, i = 0;
for (k = 0; m > 2 ? k + 1; k = (m + k)/3.0, k + +)
for (j = m; k < j; j ? ?) i + +;
return i;
}
Анализ программы показывает, что алгоритм содержит 2 вложенных цикла. Они
не являются независимыми, так как во втором цикле используется параметр k первого цикла. Переменная i определяет общее выполнение циклов. Так как циклы
зависимы, для анализа их совместной работы составим таблицу прокрутки в общем
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
94
В. С. Рублев
виде.
Nц
1
2
k
k(1) = 0
1
2
k(2)
1
2
k(3)
усл.ц.
m>1
0<j
0<0
m > 2k(2) + 1
k<j
k<k
m > 2k(3) + 1
k<j
j
i
0
1
2
...
m
m
m?1
...
1
0
m
m?1
...
k(2) + 1
k
m+1
m+2
...
2m ? k(2)
m
m?1
...
2m ? k(2) + 1
2m ? k(2) + 2
...
3
P
3m ?
k(n)
k(3) + 1
n=1
.
1
2
...
k(p)
k<k
...
m > 2k(p) + 1
k
...
k(p) < j
m
...
(p ? 1)m ?
p?1
P
k(n) + 1
n=1
...
k(p) + 1
pm ?
...
p
P
k(n)
n=1
1
k<k
k(p + 1) m 6 2k(p + 1) + 1
k
В таблице прокрутки k(n) значение параметра
k для 1-го
цикла при n-м его выm
m+[ m
+1
]
3
полнении: k(1) = 0, k(2) = 3 + 1 , k(3) =
+ 1 , . . . . Внешний цикл вы3
полняется p раз и при проверке условия (p + 1)-го его выполнения оно нарушается.
При таком виде параметров k(n) оценить скорость изменения значения параметра
i при выходе из процедуры в зависимости от значения m затруднительно. Оценим
значения k(p) по возможности точнее снизу и сверху. Для этого заметим, что если a иb натуральные числа, то из разложения ab на сумму целой и дробной части
a
= ab + cb , где 0 6 c 6 b ? 1, следуют неравенства:
b
a ? (b ? 1) h a i a
6
6 .
b
b
b
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
95
Нужна ли математика информатику?
Оценим k(n) (n = 2, 3, . . . ) сверху:
m
m+3
3?1
+16
+1=
=
(m + 3)
3
2·3
3
3
m + m3 + 1
m + k(2)
4m + 12
m+3
32 ? 1
k(3) =
+16
+1=
=
4
=
(m + 3)
3
3
32
32
2 · 32
k(2) =
hmi
Для вывода общей формулы неравенства по индукции предположим, что k(n) 6
3n?1 ?1
(m + 3) для всех натуральных n < p (для n = 1, 2, 3 неравенство справедливо),
2·3n?1
и выведем неравенство для k(p):
m+
m + k(p ? 1)
+16
k(p) =
3
3p?2 ?1
(m
2·3p?2
+ 3)
3
+1=
3p?1 ? 1
(m + 3),
2 · 3p?1
что и требовалось.
Теперь оценим k(p) снизу:
m?2
m+1
+1>
+1=
,
3
3
3
m + m+1
4m + 2
m + k(2)
4m + 1
4m + 1 ? 8
3
+1=
.
k(3) =
+1>
+1=
+1>
2
3
3
3
9
9
k(2) =
hmi
Для вывода общей формулы неравенства по индукции предположим, что k(n) >
3n?1 ?1
m+ 3n?1
n?1 для всех натуральных n < p (для n = 1, 2, 3 неравенство справедливо),
2·3n?1
и выведем неравенство для k(p):
#
"
p?2 ?1
m + 3p?2
m + 32·3p?2
m + k(p ? 1)
p?2
+1>
k(p) =
+1>
3
3
>
m+
3p?2 ?1
m
2·3p?2
3
+
p?2
3p?2
?
3p?1 ? 1
3p?1 ? 1
p?1
+
1
=
m + p?1 ,
p?1
p?1
3
2·3
3
что и требовалось. Таким образом, окончательно получаем оценки:
3p?1 ? 1
p?1
3p?1 ? 1
m
+
6
k(p)
6
(m + 3).
2 · 3p?1
3p?1
2 · 3p?1
Разность между верхней и нижней оценками для k(p)
3p?1 ? 1
p?1
1
p?1
3 ? p?1 = 1.5 1 ? p?1 ? p?1 < 1.5
p?1
2·3
3
3
3
оценивается числом 1.5. Учитывая, что k(p) целое число и что верхнюю оценку
можно заменить на целую часть снизу, а нижнюю на целую часть сверху
p?1
p?1
3
?1
p?1
3
?1
m + p?1 6 k(p) 6
(m + 3) ,
2 · 3p?1
3
2 · 3p?1
эти оценки либо совпадают, либо разнятся не более чем на 1.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
96
В. С. Рублев
Перейдем к оценке количества выполнения первого цикла. Из условия прекраp
щения этого цикла m 6 2k(p + 1) + 1 следует неравенство m ? 1 6 2 32·3?1
p (m + 3) =
3p ?1
p
p+1
p+1
(m+3), из которого получаем ?3 6 ?m+3 ?3, и далее m 6 3 +3p ?3 < 4·3p ,
3p
что дает неравенство
p > log3 m ? log3 4.
p?1
?1
Из условия выполнения цикла следует неравенство m ? 1 > 2k(p) > 2 32·3p?1
m + 3p?1
p?1 ,
p?1
p?1
из которого следует m > 3
+ p ? 1 > 3 , что дает неравенство
p < log3 m + 1.
Таким образом, мы получили, что число p шагов выполнения цикла 1 находится в
интервале (log3 m ? log3 4, log3 m + 1), а потому трудоемкость 1-го цикла
T1 (m) = ?(log m).
Теперь попытаемся получить оценку общей трудоемкости алгоритма, определяемую как значение параметра i при завершении внешнего цикла:
T (m) = i = p · m ?
p
X
k(n) 6 blog3 m + 1c · m ?
m
dlog
3 4 e
X
k(n) 6
n=1
n=1
6 blog3 m + 1c · m ?
m
dlog
3 4 e
X
n=1
3n?1 ? 1
n?1
m + n?1
n?1
2·3
3
.
Оценить трудоемкость по полученному выражению трудно.
Поступим иначе: оценим трудоемкость второго цикла. Для этого заметим, что
при каждом выполнении второго цикла параметр k(p) 6 (m ? 1)/2 (из условия
выполнения первого цикла), а параметр j второго цикла уменьшается от значения
m до k(p) + 1, т. е. выполняется не менее чем m/2 раз (но не более чем m раз).
Поэтому трудоемкость второго цикла T2 (m) = ?(m), а трудоемкость алгоритма грубо
можно определить как произведение трудоемкостей циклов T (m) = ?(log m) · ?(m) =
?(m log m), что дает окончательный результат:
T (m) = ?(m log m).
Более точные нижняя и верхняя оценки на трудоемкость алгоритма получаются как произведение соответствующих нижних и верхних оценок на трудоемкости
циклов
m
m
log3
< T (m) < m(log3 m + 1),
2
4
что дает такую ??е оценку трудоемкости.
3.
Рекомендации
При проведении оценки сумм в тех случаях, когда недостаточно формул для
арифметической или геометрической прогрессии, можно иногда использовать вид,
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Нужна ли математика информатику?
97
полученный интегрированием сходной непрерывной функции, а затем найти коэффициенты для такого вида методом неопределенных коэффициентов и, наконец,
обосновать полученную формулу для суммы методом математической индукции.
n
P
i2 . Обратим внимание, что
Пример. Пусть необходимо найти формулу для
Rn
аналогию представляет собой
i=1
x2 dx =
0
1 3
n.
3
Поэтому для суммы выбираем вид по-
линома третьей степени с неопределенными коэффициентами:
n
X
i2 = a1 n3 + a2 n2 + a3 n + a4 .
i=1
Для нахождения четырех неопределенных коэффициентов a1 , a2 , a3 , a4 выбираем четыре значения параметра n = 1, 2, 3, 4 и, подставляя его значение в полученную
формулу, получаем линейную систему из четырех уравнений:
?
a1
?
?
?
8a1
27a1
?
?
?
64a1
+ a2
+ 4a2
+ 9a2
+ 16a2
+ a3
+ 2a3
+ 3a3
+ 4a3
+
+
+
+
a4
a4
a4
a4
= 1
= 5
= 14
= 30
Решая эту систему, получаем a1 = 31 , a2 = 12 , a3 = 16 , a4 = 0 и, следовательно,
n
X
i=1
i2 =
2n3 + 3n2 + n
.
6
Теперь обоснуем методом математической индукции полученную формулу. Основание индукции уже имеется. Для шага индукции предположим, что формула верна
для всех n 6 k и покажем ее справедливость для n = k + 1.
k+1
X
i=1
2
i =
k
X
i2 + (k + 1)2 =
i=1
2k 3 + 3k 2 + k
+ k 2 + 2k + 1 =
6
2k 3 + 9k 2 + 13k + 6
=
6
2(k 3 + 3k 2 + 3k + 1) + 3(k 2 + 2k + 1) + k + 1
=
=
6
2(k + 1)3 + 3(k + 1)2 + (k + 1)
=
,
6
=
что и требовалось показать. Формула обоснована.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
98
В. С. Рублев
2.
Прогнозирование времени выполнения
программы
1.
Проблема прогнозирования времени
и подходы к ее решению
В практической деятельности выпускников специальностей ѕИнформационные
технологииї, ѕФундаментальная информатика и информационные технологииї,
ѕПрикладная математика и информатикаї весьма важным является умение снабдить разрабатываемую программу выводом для пользователя информации о времени ее выполнения или о доле уже выполненной работы. Это особенно нужно делать
в тех случаях, когда программа может долго выполняться. Существуют 2 подхода
к достижению этой цели:
1. В первом случае программа содержит циклы в явном виде, ее можно разбить
на непересекающиеся циклы и при этом выделить главный цикл основной
по трудоемкости алгоритма. Это особенно легко сделать в тех случаях, когда
такой внешний цикл единственный, и потому можно оценить лишь его трудоемкость. Вставим перед этим главным циклом программный код, оценивающий
число повторений цикла, скажем, в переменной All, а внутрь главного цикла, но не в его подциклы вставим увеличение счетчика Count главного цикла
и вывод процентного отношения Count/All*100 всей работы в текстовом или
графическом виде при помощи шкалы прогресса. Если при этом программный код внутри этого цикла выполняется долго (например, более секунды),
то в этом коде также найдем вложенный цикл, являющийся главным по трудоемкости, вставим перед его выполнением программный код, оценивающий
его число повторений, скажем, в переменной All_1, а внутрь его вставим код
увеличения счетчика Count, обнуленного перед главным циклом, и вывод процентного отношения Count/(All*All_1)*100 или связанного с этим значением
шкалы прогресса. Если циклы зависимы, то, оценив число повторений внутреннего цикла совместно с внешним и записав это число в переменную All, мы
также вставим код увеличения счетчика Count во внутреннем цикле и вывод
процентного отношения Count/All*100 (или связанного с этим значением шкалы прогресса). Поступая также дальше при долгом выполнении кода внутри
второго цикла, мы, в конце концов, найдем приемлемое решение. Преимущество такого подхода в его простоте. Однако ряд недостатков затрудняет его
использование или делает совсем невозможным:
1) внешний цикл программы может быть не единственным, и в этом случае
не всегда является простой оценка трудоемкости каждого внешнего цикла;
2) при одинаковой трудоемкости нескольких внешних циклов нужно уметь
оценить долю времени выполнения каждого из этих циклов, что уже требует более тонкого анализа алгоритма и определения характеристик временной сложности;
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Нужна ли математика информатику?
99
3) наконец, циклов в явном виде может не быть: например, при выполнении
SQL-операторов реляционной базы данных циклы скрыты в его конструкциях, которые не позволяют вставлять код (да и если бы такое было возможно, мы бы узнали о его результате только после полного выполнения
SQL-оператора).
2. Во втором случае программа не содержит циклы в явном виде (см. выше). В
этом случае необходимо уметь разработать программный код, который перед
выполнением программы или ее части оценивает время выполнения и информирует при этом пользователя. Для этого выполняется следующая последовательность действий:
1) оценивается трудоемкость алгоритма программы (максимальная, минимальная и средняя);
2) на основе этих оценок строится вид функций временной сложности программы (максимального, минимального и среднего времени в зависимости от
параметров программы);
3) разрабатываются тесты с различными параметрами программы для определения неизвестных коэффициентов характеристик временной сложности программы;
4) проводится тестирование программы с целью определения времени ее выполнения в зависимости от набора параметров программы;
5) выполняется численный расчет коэффициентов характеристик временной
сложности с целью приближенного определения этих характеристик;
6) проводится тест производительности компьютера, на котором определены
характеристики временной сложности, с целью их коррекции на компьютере
использования;
7) строится код определения временных характеристик в зависимости от параметров программы и код теста производительности для определения коэффициента коррекции, и этот код встраивается для выполнения перед вызовом
программы (или ее части) с целью вычисления и выдачи пользователю ожидаемого временного интервала выполнения программы и среднего времени этого
ожидания.
2.
Характеристики временной сложности программы
Оценка трудоемкости еще не позволяет ничего сказать о времени выполнения
программы, реализующей алгоритм, для тех или иных данных. Мы можем судить
только о быстроте роста этого времени. Скажем, если трудоемкость оценивается как
?(n2 ), то с увеличением параметра n в 2 раза требующееся время будет увеличиваться примерно в 4 раза. Такая качественная оценка не всегда удовлетворяет нас.
Допустим, что мы запустили программу и она уже выполняется 10 минут. Может,
программа зациклилась и ее следует снять? А если нет, то сколько она еще будет
выполняться? Таким образом, оценка времени выполнения программы может стать
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
100
В. С. Рублев
актуальной. Если программа в начале своей работы выдает, что интервал времени ожидания ее выполнения такой-то и в среднем придется ждать столько-то, то
на такие данные можно опираться при принятии решения, следует ли продолжить
счет.
Введем 3 статистические функции tmin (n), tmax (n), tcp (n), оценивающие время
работы программы в зависимости от значения параметра n (при большем числе
параметров задачи эти функции имеют большее число аргументов). Их вид зависит
от оценки соответствующей трудоемкости.
Рассмотрим вначале общий случай оценки трудоемкости полиномом T (n) =
?(nk ). В этом случае выбирается соответствующий вид функции t(n) = ck nk +
ck?1 nk?1 + · · · + c1 n + c0 . Здесь ci (i ? 1, k) неизвестные коэффициенты, и мы
рассматриваем не только коэффициент ck , который определяет время при довольно больших значениях параметра n, но и коэффициенты при меньших степенях n,
которые могут влиять на время при малых значениях параметра n. Для получения
значения коэффициентов ci (i ? 1, k) следует выбрать ряд различных значений параметра n = n1 , n2 , . . . , np , где p > k , и для каждого значения параметра nj выбрать
данные, соответствующие этому параметру, и провести вычислительный эксперимент с программой, замерив время ее выполнения ?j . Затем по методу наименьших
квадратов можно найти коэффициенты ci , которые минимизируют
сумму квадраPp
2
тов отклонений полинома в точках nj от значений ?j :
j=1 (t(nj ) ? ?j ) . Для более
грубой оценки можно взять p = k + 1 и решить систему уравнений
k
X
ci nij = ?j
(j ? 1, k + 1)
i=0
относительно неизвестных ci , но рекомендуется провести большее число вычислительных экспериментов. Например, можно взять p = 2k .
При оценке трудоемкости логарифмической функцией или произведением полинома на логарифмическую функцию следует и функцию времени t(n) строить
в подобном виде. Так, при оценке трудоемкости T (n) = ?(n · log2 n) следует выбрать вид t(n) = c1 n log2 n + c2 n + c3 log2 n + c4 , а при T (n) = ?(n2 log2 n) t(n) = c1 n2 log2 n + c2 n2 + c3 n log2 n + c4 n + c5 log2 n + c6 . Проведя достаточное количество вычислительных экспериментов, построив и решив соответствующую систему
уравнений, можно найти коэффициенты?функции времени t(n).
?
При оценке трудоемкости T (n) = ?( n) следует выбрать вид t(n) = c1 n + c2 , а
затем провести вычислительные эксперименты и найти неизвестные коэффициенты,
решив соответствующую систему уравнений.
При экспоненциальной оценке трудоемкости T (n) = ?(2n ) можно взять соответствующий вид функции t(n) = c1 · cn2 и, проведя 2 вычислительных эксперимента
1
для n1 , n2 , найти ?1 , ?2 . Так как ??21 = c2n1 ?n2 , то c2 = ( ??12 ) n1 ?n2 и c1 = ?1 c2?n1 = ?2 c2?n2 .
Аналогичным образом можно поступать при другом виде экспоненциальной оценки
трудоемкости.
В тех случаях, когда оценка трудоемкости алгоритма включает в себя несколько
параметров задачи, вид функций времени следует выбирать соответствующим такому виду оценки трудоемкости. Например, при T (m) = ?(nm2 ) следует функцию
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Нужна ли математика информатику?
101
времени искать в виде t(m) = c1 nm2 + c2 nm + c3 n + c4 m + c5 . И в других случаях
следует поступать подобным образом.
Покажем в общем случае применение метода наименьших квадратов. Пусть
функция временной сложности t(n, m), зависящая от двух параметров, имеет k
неопределенных коэффициентов c1 , . . . , ck и проведено p вычислительных экспериментов, которые для параметров (n1 , m1 ), . . . , (np , mp ) дали значения времени выполнения процедуры ?1 , . . . , ?p соответственно. Метод наименьших квадратов связан
с поиском таких коэффициентов, которые доставляют минимум сумме квадратов
отклонений значений функции от полученных в эксперименте значений:
p
X
(t(nj , mj ) ? ?j )2 ? min .
F (c1 , . . . , ck ) =
j=1
Приравнивая нулю частные производные функции F по переменным ci (i ? 1, k),
получаем систему уравнений:
p
X
(t(nj , mj ) ? ?j )
j=1
?t(nj , mj )
= 0 (i ? 1, k).
?ci
Если неопределенные коэффициенты ci входили в функцию t(n, m) линейным образом, то получается система линейных уравнений для нахождения этих коэффициентов.
Пусть, например, функция t(n, m) имеет вид:
t(n, m) = c1 n log2 m + c2 n + c3 log2 m + c4 .
Тогда система уравнений для нахождения коэффициентов ci (i = 1, 2, 3, 4) будет
иметь вид:
? P
p
?
?
(t(nj , mj ) ? ?j )nj log2 mj = 0
?
?
?
j=1
?
?
p
P
?
?
?
(t(nj , mj ) ? ?j )nj
= 0
?
j=1
p
P
?
?
(t(nj , mj ) ? ?j ) log2 mj
?
?
?
j=1
?
?
p
?
P
?
?
(t(nj , mj ) ? ?j )nj
?
= 0
= 0,
j=1
и после преобразований получит вид линейной системы относительно вектора коэффициентов c = {c1 , c2 , c3 , c4 }):
A · c = b,
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
102
В. С. Рублев
где A следующая матрица системы:
? P
p
n2 log22 mj
? j=1 j
? p
? P 2
?
? j=1 nj log2 mj
A=?
p
? P
2
?
? j=1 nj log2 mj
? p
? P
nj log2 mj
j=1
а b вектор столбец:
p
P
j=1
p
P
j=1
p
P
j=1
p
P
n2j log2 mj
p
P
j=1
p
P
n2j
nj log2 mj
j=1
p
P
j=1
p
P
nj
j=1
nj log22 mj
nj log2 mj
log22 mj
p
P
j=1
p
P
j=1
p
P
j=1
log2 mj
1
nj log2 mj
nj
log2 mj
?
?
?
?
?
?
?,
?
?
?
?
?
j=1
? P
p
? n log2 mj
? j=1 j j
? p
? P
?
? j=1 ?j nj
b=?
p
? P
?
? j=1 ?j log2 mj
? p
? P
?j
?
?
?
?
?
?
?.
?
?
?
?
?
j=1
3.
Заключение
Описанный математический материал (асимптотические оценки роста функций,
суммирование последовательностей с использованием интегралов и обоснования по
методу математической индукции, приближение функций по методу наименьших
квадратов) использован автором в двух программистских дисциплинах ѕАлгоритмы
и анализ сложностиї и ѕОценка (метрология) качества программного обеспеченияї.
Автор призывает коллектив преподавателей факультета обращать внимание на возможности использования математических подходов везде, где это может повысить
квалификацию наших выпускников. Плохо то, что строгие обоснования алгоритмов
с их анализом и оценками качества редко, когда услышишь на защите выпускной
квалификационной работы. А в то же время отличные оценки на защитах ставятся направо и налево, исходя чаще всего из заслуг руководителя этой работы, а не
студента.
Конечно, математический материал всегда труден, но он поднимает уровень наших студентов. Эти предложения можно отвергнуть на том основании, что большинство студентов не выдержат этот материал, особенно в создающихся в последнее время условиях резкого снижения качества поступающих абитуриентов. Но, во-первых,
преподаватель может дозировать выносимый на контроль материал в зависимости от
уровня студента. Во-вторых, при намечающейся реорганизации образования выдержат факультеты, умеющие бороться за качество образования (это трудно не только
для студентов, но и для преподавателей также). А в-третьих, мы не имеем права
снижать уровень образования для наиболее талантливой части студентов, которые
придут нам на смену.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Нужна ли математика информатику?
103
Поэтому автор предлагает всем преподавателям искать в своих курсах математический материал, сообщать о нем преподавателям, ведущим основные математические курсы: математический анализ, алгебру и геометрию, дискретную математику, дифференциальные уравнения, численные методы. В этом случае потенциал
факультета вполне позволит ему выйти на первые места в нашей прекрасной России.
Список литературы
[1] Кнут Д. Искусство программирования
М.: Мир, 1977. 720 с.
для ЭВМ. Т. 1: Основные алгоритмы.
[2] Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж.
алгоритмов. М.: Мир, 1979. 536 с.
Построение и анализ вычислительных
[3] Кормен Т., Лейзерсон Л., Ривест Р.
МЦНМО, 2001. 1296 с.
Алгоритмы: построение и анализ.
М.:
[4] Рублев В. С. Основы теории алгоритмов. 2-е изд. М.: Научный мир, 2008. 128 с.
[5] Рублев В. С.
Алгоритмы и анализ сложности.
Ярославль: ЯрГУ, 2010. 58 с.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Научные исследования факультета ИВТ
Сборник статей к 25-летию факультета.
2011. С. 104106
О направлениях современных научных
исследований кафедры теоретической информатики
В. А. Соколов
valery-sokolov@yandex.ru
Основным направлением научной работы кафедры теоретической информатики на современном этапе является разработка, исследование и реализация новых
фундаментальных методов моделирования и анализа информационных систем. Результаты этих исследований нацелены на решение проблемы создания надежных,
эффективных и корректных систем, таких как программные комплексы, системы
управления, коммуникационные протоколы, веб-сервисы, базы данных и др.
В последние годы эта работа проводилась в основном в рамках следующих проектов:
ѕРазработка формальных моделей распределенных систем и исследование их семантических свойствї (поддержан грантом РФФИ, 20072009 гг.);
ѕРазработка, моделирование и анализ новых коммуникационных протоколовї
(поддержан грантом РФФИ, 20112013 гг.);
ѕРазработка фундаментальных принципов и инновационных прикладных методов для моделирования, анализа и верификации информационных системї (проект в
рамках Федеральной целевой программы ѕНаучные и научно-педагогические кадры
инновационной Россииї на 20092013 гг.).
В процессе выполнения этих проектов был получен ряд новых фундаментальных
результатов. Была создана целостная теория структурированных систем переходов
автоматного типа. Доказано, что этот класс систем переходов совпадает с классом
вполне структурированных систем переходов с сильной совместимостью по возрастанию и убыванию. Разработаны методы анализа основных семантических свойств
таких систем, методы верификации структурированных систем переходов автоматного типа, основанные на использовании метода проверки на модели. Было проведено исследование класса формальных языков, которые допускаются автоматными
счетчиковыми машинами. Доказано, что этот класс замкнут относительно операций объединения, регулярного пересечения, конкатенации, бесконечной итерации,
гомоморфизма и обратного гомоморфизма. Отсюда следует, что этот класс языков
является полным абстрактным семейством языков. Для исследованного класса языков оказались разрешимыми проблемы пустоты и распознавания слова языка, но
неразрешимыми проблемы включения и равенства языков.
В исследованиях, проводимых на кафедре, большое внимание уделяется проблемам, связанным с моделированием и анализом корректности параллельных и распределенных систем, каковыми являются вычислительные машины и комплексы с
параллельной и распределенной архитектурой, параллельные программы, протоколы передачи данных, модели технологических и бизнес-процессов. Под корректно-
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Направления научных исследований кафедры теоретической информатики
105
стью понимается полное соответствие системы задачам, для которых она создается.
Корректность определяется абстрактным образом в соответствии с формальной спецификацией, описывающей желаемое поведение системы.
Естественным приложением полученных теоретических результатов является автоматное программирование. Предложена и исследована иерархическая модель построения автоматных программ. Для спецификации и верификации программ, построенных по этой модели, предложена технология применения метода проверки
модели (метода Model Checking). Исследована возможность спецификации структурных и семантических свойств автоматных программ с помощью темпоральной
логики. Важным результатом является разработанная методология построения и
верификации автоматных моделей систем реального времени. Предложена методология построения формальных моделей синхронно-автоматных программ. Описана
конструктивная поведенческая семантика синхронно-автоматной модели. Приведен
критерий синтаксической корректности синхронно-автоматной программы.
Предложен новый формализм сетей активных ресурсов (АР-сети), предназначенный для моделирования иерархических и динамических распределенных систем.
Разработаны модификации и расширения этого формализма для более удобного и
адекватного моделирования реальных систем. Исследованы методы анализа и верификации моделей, построенных при помощи АР-сетей. Разработаны новые методы
анализа распределенных систем с динамической структурой при помощи однопериодических полулинейных базисов: построение символьного дерева достижимости,
верификация формул темпоральной логики EF, аппроксимация бисимуляции состояний в односчетчиковых сетях Петри, композиционный анализ свойств вложенных
сетей Петри со свободным выбором. Важным с точки зрения приложений является
применение разработанных методов к моделированию и верификации систем с одним
типом неограниченного ресурса, распределенных систем с динамической структурой
и веб-сервисов.
Изучены некоторые алгебраические свойства распределенных систем. Показано,
что с помощью понятия фактор-модели произвольные модели Крипке могут быть
представлены в виде композиции моделей с простыми группами автоморфизмов.
Доказано, что любая конечная группа изоморфна группе автоморфизмов некоторой
подходящей модели Крипке.
Разработана и обоснована новая модель объектных баз данных динамическая
информационная модель (DIM). Ключевой особенностью этой модели является определение типа данных объекта как совокупности атрибутов данных и связей класса,
которому принадлежит объект, и всех классов, являющихся родительскими для данного класса. Обоснована полнота описания: любая объектно-динамическая модель
может быть описана с помощью DIM. СУБД DIM является сложной в описании данных объектов, а потому для создания функций хранения и манипулирования данными этой системы требуется достаточно простой язык запросов, который в то же
время точно описывает требуемые данные. С этой целью создано 2 уровня объектнодинамического языка запросов: ODQL и SODQL. Доказаны теоремы, которые показывают запросную полноту введенных языков. На основе введенной организации
был построен алгоритм выполнения запросов минимальной сложности выполнения.
Ожидается, что универсальность применения новой технологии динамической моде-
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
106
В. А. Соколов
ли данных позволит более широко использовать ее в качестве основного инструмента
построения баз данных и при этом она не будет уступать в эффективности существующим системам.
Проводились фундаментальные исследования математических моделей информационных систем. Были рассмотрены два основных подхода к построению оценок
энтропии динамической системы: построение эмпирической функции распределения
и непараметрические оценки. Разработан алгоритм построения оценок энтропии с
предложенными метриками.
Исследована задача целочисленного сбалансирования трехмерной матрицы, возникающая (в том числе) в распределенных системах с ресурсами. Доказана еј NPполнота, предложен алгоритм нахождения максимального кратного потока для решения задачи сбалансирования, соответствующий классическим результатам в области задач дискретной оптимизации. Полученные здесь результаты могут быть использованы для решения оптимизационных задач в распределенных системах.
Были получены новые результаты в области методов распознавания и анализа изображений (в том числе динамических). Разработаны методы распознавания
изображений по существующей базе данных шаблонов, а также методы распознавания динамических изображений, соответствующие мировому уровню в области распознавания изображений, что позволит использовать полученные результаты для
построения распределенных систем, распознающих изображения.
Разработаны методы моделирования и анализа основных базовых элементов и
процессов протокола: межуровневого взаимодействия, сообщения, состояния протокола, процедурного правила. Исследована проблема верификации коммуникационных протоколов. Предложен ряд способов формализации семантических свойств
протокола и методов их решения. Был верифицирован протокол SIP (Session Initiation Protocol), а также проведен сравнительный анализ производительности нескольких классических и перспективных транспортных протоколов, в том числе асимметричных транспортных протоколов. Были получены новые результаты в области
методологии реализации транспортных протоколов в современных операционных
системах.
Таким образом, областями применения результатов научных исследований кафедры являются: методы программной инженерии, основанные на формальных математических принципах проектирования систем, а также разработка компиляторов,
в частности, верифицирующих трансляторов; производство ответственных систем
управления; разработка веб-сервисов и веб-приложений; распределенные системы;
телекоммуникации. Эти результаты могут служить основой инновационных решений для создания новых, надежных и более эффективных информационных систем.
Хочется отметить большой вклад молодых исследователей кафедры в перечисленные выше научные результаты: докторантов кафедры доцентов В. А. Башкина
и Е. В. Кузьмина, доцента Д. Ю. Чалого, аспирантов А. В. Смирнова, И. А. Михайлова, А. А. Сивова, М. А. Никитинского, С. В. Кубасова, Д. С. Писаренко, студентов
Е. А. Дашковой, М. М. Алексеевой, А. М. Васильева, А. А. Головченко и других.
Итогом научной работы кафедры теоретической информатики за последние пять
лет стали защиты двух докторских и пяти кандидатских диссертаций, а также ряд
побед на областных и всероссийских конкурсах.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Научное издание
Научные исследования
факультета ИВТ
Сборник статей
к 25-летию факультета ИВТ
Редактор, корректор М. В. Никулина
Компьютерный набор авторы
Компьютерная верстка А. Н. Максименко
Оформление обложки: М. Кирьянов
Подписано в печать 11.11.2011. Формат 60 Ч 84 81 .
Бумага тип. Усл. печ. л. 12,55. Уч.-изд. л. 7,0.
Тираж 60 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе ЯрГУ
Отпечатано на ризографе
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
150000 Ярославль, ул. Советская, 14
Отпечатано на ризографе
yj,k + zj,k + tj,k = 1,
x
?
i,j + zi,j = xi,k + zi,k ,
?
?
?
x + yi,j = xj,k + zj,k ,
?
?
? i,j
xi,k + yi,k = xj,k + yj,k .
Ее можно переписать в матричном виде:
Dx = c,
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
89
О минорах матрицы корневого полуметрического многогранника
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1 0 0 0 0 0
0
0 0
0 1 1 1 1 0
0
0 0
0 0 0 0 0 1
1
1 1
0 ?1 0 ?1 0 0
0
0 0
0 0 0 0 0 ?1 0 ?1 0
0 1 1 0 0 ?1 ?1 0 0
?
?
?
??
?
?
??
??
??
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
xi,j
yi,j
zi,j
ti,j
xi,k
yi,k
zi,k
ti,k
xj,k
yj,k
zj,k
tj,k
?
?
?
?
? ?
?
?
? ?
? ?
? ?
?=?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
0
0
0
?
?
?
?
?
?
?
?
Вычислим величину ?(D). Нетрудно проверить, что все миноры матрицы D при2,3,6,7,10,11
нимают значения из множества {?1, 0, 1}, кроме минора M1,2,3,4,5,6
(минора по переменным y и z каждого блока), равного:
2,3,6,7,10,11
M1,2,3,4,5,6
5+1 +(?1) 1
0
0
1
0
= 1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0 0
0
1 1
0
0 0
1
0 ?1 0
1 0 ?1
0 0
0
0 1 1
0
0 0 0
1
1 1+1 =
(?1)
0 ?1 0
0 0 0
0 ?1 1 0 ?1 0 0
0
1
0
0
3+1
= (?1) 1 1 0
3+4
= (?1) (?1) 0 0 1
1 0 ?1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1 1
0
0 0 0
1
1 0 ?1 0
0 +
0 0
0 ?1 1 0 ?1 0 1 0
0 0 1
1 1+1 +(?1) 0 0 ?1 0 ?1 0 1 1
0
0 0
1
0 ?1 0
1 0 ?1
0
1
0
0
=
1 0 0 + (?1)3+2 (?1) 0 1 1 = 1 ? (?1) = 2.
1 ?1 0 Таким образом, имеем ?n ? 2.
Выберем произвольным образом значения p, q, r ? Nn \{i, j, k} : p < q < r и
рассмотрим уравнения (1)(5), включающие все переменные (координаты) блоков
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
90
А. В. Николаев
i, j, k и p, q, r:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xi,j + yi,j + zi,j + ti,j = 1,
xi,k + yi,k + zi,k + ti,k = 1,
xj,k + yj,k + zj,k + tj,k = 1,
xi,j + zi,j = xi,k + zi,k ,
xi,j + yi,j = xj,k + zj,k ,
xi,k + yi,k = xj,k + yj,k ,
xp,q + yp,q + zp,q + tp,q = 1,
xp,r + yp,r + zp,r + tp,r = 1,
xq,r + yq,r + zq,r + tq,r = 1,
xp,q + zp,q = xp,r + zp,r ,
xp,q + yp,q = xq,r + zq,r ,
xp,r + yp,r = xq,r + yq,r .
Аналогично, переписав систему в матричном виде и выбрав столбцы, соответствующие переменным y и z в каждом блоке, получим квадратную матрицу:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0 0 0 0 0
0
0
1 1
0
0 0 0 0 0
0
0
0 0
1
1 0 0 0 0
0
0
0 ?1 0
0 0 0 0 0
0
0
0 0
0 ?1 0 0 0 0
0
0
1 0 ?1 0 0 0 0 0
0
0
0 0
0
0 1 1 0 0
0
0
0 0
0
0 0 0 1 1
0
0
0 0
0
0 0 0 0 0
1
1
0 0
0
0 0 1 0 ?1 0
0
0 0
0
0 1 0 0 0
0 ?1
0 0
0
0 0 0 1 0 ?1 0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Это блочно-диагональная матрица, и ее определитель, очевидно, равен 4.
Выбрав значения s, t, v ? Nn \{i, j, k, p, q, r}, можно построить квадратную подматрицу матрицы An с тремя блоками на главной диагонали и значением определителя, равным 23 = 8. Соответственно, для величины ?n имеет место оценка из
условия теоремы:
n
?n ? 2[ 3 ] .
Таким образом, несмотря на то что координаты вершин корневого полуметрического многогранника являются полуцелыми и все миноры матрицы An менее 6-го
порядка не превосходят по абсолютной величине единицы (этот факт нетрудно доказать), величина ?n максимума по минорам не ограничена сверху и растет экспоненциально по n. Учитывая, что задача целочисленного программирования на многограннике Mn NP-трудна, Теорема 1 может служить косвенным подтверждением
Гипотезы 1.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
О минорах матрицы корневого полуметрического многогранника
91
Список литературы
[1] Карп Р. М. Сводимость комбинаторных проблем // Киб. сборник. Новая серия.
М.: Мир, 1975. С. 1638.
[2] Шевченко В. Н. Качественные вопросы целочисленного программирования. М.:
Физматлит, 1995. 192 с.
[3] Шевченко В. Н., Ильичев А. П. О минорах и перманентах некоторых (0,1)матриц // Дискретная математика. 1991. Т. 3, ќ 2. С. 96102.
[4] Веселов С. И., Чирков А. Ю. О задаче целочисленного программирования с бимодулярной матрицей // Комбинаторно-алгебраические и вероятностные методы и их применение. Горький, 1990. С. 107110.
[5] Емеличев В. А., Ковалев М. М., Кравцов М. К. Многогранники, графы, оптимизация. М.: Наука, 1981. 344 с.
[6] Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и
сложность. М.: Мир, 1985. 512 с.
[7] Veselov S I., Chirkov A. J. Integer program with bimodular matrix // Discrete
Optimization. 2009. V. 6. P. 220222.
[8] Бондаренко В. А., Максименко А. Н. Геометрические конструкции и сложность в комбинаторной оптимизации. М.: ЛКИ, 2008. 184 с.
[9] Деза М. М., Лоран М. Геометрия разрезов и метрик. М.: МЦНМО, 2001. 736 c.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Научные исследования факультета ИВТ
Сборник статей к 25-летию факультета.
2011. С. 92103
Нужна ли математика информатику?
В. С. Рублев
roublev@mail.ru
Рассматривается проблема повышения заинтересованности студентов факультета в математической составляющей образования. На примере организации в этом направлении курсов, им читаемых, автор надеется подвигнуть
других преподавателей факультета на этот путь.
Памяти моего Учителя Анатолия Юрьевича Левина посвящается
Введение
Вопрос, вынесенный в заголовок статьи, конечно же, риторический. На протяжении 40 лет преподавания в Ярославском государственном университете автор часто слышит вопрос от студентов, получающих образование в области информатики
(программирования): ѕЗачем нам нужна математика?ї. Размышления, почему он
продолжает задаваться, привели автора к следующему очевидному выводу: между
образованием в информатике и в математике все еще слабая связь. Ответы студентам о важности для информатика-программиста математической культуры, о том,
что строгое логическое мышление для программиста не менее важно, чем для математика, не могут убедить многих студентов.
Автор искал и продолжает искать любые приемы в преподавании, которые могли
бы помочь в усилении полезности математической составляющей образования. Их
введение в курсы всегда делало их сложными для усвоения, так как математическая подготовка выпускников школ чаще всего всегда оставляла желать лучшего, а
в современный период особенно. Но трудными они становятся и для преподавания,
которое требует больших временных затрат. Единственной, но великолепной компенсацией за это становятся благодарности выпускников самых разных лет, несмотря
на то, что они нередко получали неудовлетворительные оценки и должны были каждый раз принимать большие усилия для преодоления трудностей. Они никогда не
жалели об этом. Знаменательно то, что к окончанию университета усилиями многих
преподавателей большинство выпускников имеет уже другой характер мышления,
чем у первокурсников.
Приемы, о которых говорилось, это, конечно, новые задачи и методы их решения.
Вряд ли такие задачи для одних дисциплин годятся для других (автор не верит в
величие методологической науки). Но разнообразие таких приемов может оказаться
полезным, и потому в статье излагается опыт автора в дисциплинах, связанных с информатикой. В математических дисциплинах (например, в дискретной математике)
они и так понятны, поэтому автор не касается их.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
Нужна ли математика информатику?
1.
1.
93
Анализ вычислительной сложности алгоритма
Определения
При анализе вычислительной сложности алгоритмов [15] в основном используются асимптотические ?-обозначения, которые дают двусторонние оценки роста
функции трудоемкости. Например, для f (n) > 0 запись T (n) = ?(f (n)) означает:
существуют такие n0 ? N, c1 , c2 ? R, что для всех n > n0 выполняются неравенства :
c1 f (n) 6 T (n) 6 c2 f (n).
Реже используются односторонние оценки при помощи O- и ?-обозначений. Например, запись T (n) = O(f (n)) означает:
существуют такие n0 ? N, c ? R, что для всех n > n0 выполняются неравенства :
T (n) 6 c f (n),
а запись запись T (n) = ?(f (n)) означает:
существуют такие n0 ? N, c ? R, что для
всех
n > n0
выполняются неравенства :
c f (n) 6 T (n).
Многие студенты плохо понимают эти обозначения (путают их с функциями), не
умеют получать оценки роста функций, для чего нужно уметь проводить анализ алгоритма, оценивать преобразование вещественных (вернее, двоично-рациональных)
значений в целые, суммировать последовательности (за исключением арифметической и геометрической прогрессии, которые они в основном знают). А ведь это благодатный материал для того, чтобы заинтересовать студентов в курсе математического анализа необходимостью получения знаний для умения делать анализ программ.
Покажем это на примерах.
2.
Пример оценки трудоемкости программы
Оценить трудоемкость следующей процедуры на С++ при m > 0:
int f (int m)
{ int j, k, i = 0;
for (k = 0; m > 2 ? k + 1; k = (m + k)/3.0, k + +)
for (j = m; k < j; j ? ?) i + +;
return i;
}
Анализ программы показывает, что алгоритм содержит 2 вложенных цикла. Они
не являются независимыми, так как во втором цикле используется параметр k первого цикла. Переменная i определяет общее выполнение циклов. Так как циклы
зависимы, для анализа их совместной работы составим таблицу прокрутки в общем
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
94
В. С. Рублев
виде.
Nц
1
2
k
k(1) = 0
1
2
k(2)
1
2
k(3)
усл.ц.
m>1
0<j
0<0
m > 2k(2) + 1
k<j
k<k
m > 2k(3) + 1
k<j
j
i
0
1
2
...
m
m
m?1
...
1
0
m
m?1
...
k(2) + 1
k
m+1
m+2
...
2m ? k(2)
m
m?1
...
2m ? k(2) + 1
2m ? k(2) + 2
...
3
P
3m ?
k(n)
k(3) + 1
n=1
.
1
2
...
k(p)
k<k
...
m > 2k(p) + 1
k
...
k(p) < j
m
...
(p ? 1)m ?
p?1
P
k(n) + 1
n=1
...
k(p) + 1
pm ?
...
p
P
k(n)
n=1
1
k<k
k(p + 1) m 6 2k(p + 1) + 1
k
В таблице прокрутки k(n) значение параметра
k для 1-го
цикла при n-м его выm
m+[ m
+1
]
3
полнении: k(1) = 0, k(2) = 3 + 1 , k(3) =
+ 1 , . . . . Внешний цикл вы3
полняется p раз и при проверке условия (p + 1)-го его выполнения оно нарушается.
При таком виде параметров k(n) оценить скорость изменения значения параметра
i при выходе из процедуры в зависимости от значения m затруднительно. Оценим
значения k(p) по возможности точнее снизу и сверху. Для этого заметим, что если a иb натуральные числа, то из разложения ab на сумму целой и дробной части
a
= ab + cb , где 0 6 c 6 b ? 1, следуют неравенства:
b
a ? (b ? 1) h a i a
6
6 .
b
b
b
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
95
Нужна ли математика информатику?
Оценим k(n) (n = 2, 3, . . . ) сверху:
m
m+3
3?1
+16
+1=
=
(m + 3)
3
2·3
3
3
m + m3 + 1
m + k(2)
4m + 12
m+3
32 ? 1
k(3) =
+16
+1=
=
4
=
(m + 3)
3
3
32
32
2 · 32
k(2) =
hmi
Для вывода общей формулы неравенства по индукции предположим, что k(n) 6
3n?1 ?1
(m + 3) для всех натуральных n < p (для n = 1, 2, 3 неравенство справедливо),
2·3n?1
и выведем неравенство для k(p):
m+
m + k(p ? 1)
+16
k(p) =
3
3p?2 ?1
(m
2·3p?2
+ 3)
3
+1=
3p?1 ? 1
(m + 3),
2 · 3p?1
что и требовалось.
Теперь оценим k(p) снизу:
m?2
m+1
+1>
+1=
,
3
3
3
m + m+1
4m + 2
m + k(2)
4m + 1
4m + 1 ? 8
3
+1=
.
k(3) =
+1>
+1=
+1>
2
3
3
3
9
9
k(2) =
hmi
Для вывода общей формулы неравенства по индукции предположим, что k(n) >
3n?1 ?1
m+ 3n?1
n?1 для всех натуральных n < p (для n = 1, 2, 3 неравенство справедливо),
2·3n?1
и выведем неравенство для k(p):
#
"
p?2 ?1
m + 3p?2
m + 32·3p?2
m + k(p ? 1)
p?2
+1>
k(p) =
+1>
3
3
>
m+
3p?2 ?1
m
2·3p?2
3
+
p?2
3p?2
?
3p?1 ? 1
3p?1 ? 1
p?1
+
1
=
m + p?1 ,
p?1
p?1
3
2·3
3
что и требовалось. Таким образом, окончательно получаем оценки:
3p?1 ? 1
p?1
3p?1 ? 1
m
+
6
k(p)
6
(m + 3).
2 · 3p?1
3p?1
2 · 3p?1
Разность между верхней и нижней оценками для k(p)
3p?1 ? 1
p?1
1
p?1
3 ? p?1 = 1.5 1 ? p?1 ? p?1 < 1.5
p?1
2·3
3
3
3
оценивается числом 1.5. Учитывая, что k(p) целое число и что верхнюю оценку
можно заменить на целую часть снизу, а нижнюю на целую часть сверху
p?1
p?1
3
?1
p?1
3
?1
m + p?1 6 k(p) 6
(m + 3) ,
2 · 3p?1
3
2 · 3p?1
эти оценки либо совпадают, либо разнятся не более чем на 1.
Copyright ??? «??? «??????» & ??? «A???????? K????-C?????»
96
В. С. Рублев
Перейдем к оценке количества выполнения первого цикла. Из условия прекраp
щения этого цикла m 6 2k(p + 1) + 1 следует неравенство m ? 1 6 2 32·3?1
p (m + 3) =
3p ?1
p
p+1
p+1
(m+3), из которого получаем ?3 6 ?m+3 ?3, и далее m 6 3 +3p ?3 < 4·3p ,
3p
что дает неравенство
p > log3 m ? log3 4.
p?1
?1
Из условия выполнения цикла следует неравенство m ? 1 > 2k(p) > 2 32·3p?1
m + 3p?1
p?1 ,
p?1
p?1
из которого следует m > 3
+ p ? 1 > 3 , что дает неравенство
p < log3 m + 1.
Таким образом, мы получили, что число p шагов выполнения цикла 1 находится в
интервале (log3 m ? log3 4, log3 m + 1), а потому трудоемкость 1-го цикла
T1 (m) = ?(log m).
Теперь попытаемся получить оценку общей трудоемкости алгоритма, определяемую как значение параметра i при завершении внешнего цикла:
T (m) = i = p · m ?
p
X
k(n) 6 blog3 m + 1c · m ?
m
dlog
3 4 e
X
k(n) 6
n=1
n=1
6 blog3 m + 1c · m ?
m
dlog
3 4 e
X
n=1
3n?1 ? 1
n?1
m + n?1
n?1
2·3
3
.
Оценить трудоемкость по полученному выражению трудно.
Поступим иначе: оценим трудоемкость второго цикла. Для этого заметим, что
при каждом выполнении второго цикла параметр k(p) 6 (m ? 1)/2 (из условия
выполнения первого цикла), а параметр j второго цикла уменьшается от значения
m до k(p) + 1, т. е. выполняется не менее чем m/2 раз (но не более чем m раз).
Поэтому трудоемкость второго цикла T2 (m) = ?(m), а трудоемкость алгоритма грубо
можно определить как произведение трудоемкостей циклов T (m) = ?(log m) · ?(m) =
?(m log m), что дает окончательный результат:
T (m) = ?(m log m).
Более точные нижняя и верхняя оценки на трудоемкость алгоритма получаются как произведение соответствующих нижних и верхних оценок на трудоемкости
циклов
m
m
log3
< T (m) < m(log3 m + 1),
2
4
что дает такую ?
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
42
Размер файла
3 192 Кб
Теги
факультета, 1533, научный, ивт, исследование
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа