close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1565.Спонтанный капиллярный распад заряженных струй Ширяева С О

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, М.В. Волкова
Спонтанный
капиллярный распад
заряженных струй
Ярославль 2007
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 532.5:537.1:541.037:621.319.7:66.069.83
ББК 253.313
Г 83
Рекомендовано
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2007 года
Рецензенты:
кафедра прикладной математики и вычислительной техники
Ярославского государственного технического университета;
д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Коромыслов
Г 83
Ширяева, С.О. Спонтанный капиллярный распад заряженных
струй: моногр. / С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, М.В. Волкова; Яросл.
гос. ун-т. – Ярославль: ЯрГУ, 2007. – 320 с.
ISBN
В монографии в рамках аналитического асимптотического
подхода исследуются общефизические закономерности линейного и
нелинейного волнового движения на поверхности заряженных струй
как идеальной, так и вязкой жидкости и условия дробления струй на
отдельные капли. Рассмотрены особенности спонтанного электростатического полидиспергирования жидкости, имеющего место при
распаде на капли заряженных струй жидкости, выбрасываемых при
реализации неустойчивости заряженной как плоской, так и
криволинейной свободной поверхностью жидкости. Проведено
теоретическое
обоснование
предлагаемой
классификации
экспериментально наблюдающихся режимов электростатического
полидиспергирования жидкости.
Предназначена для специалистов в области электрогидродинамики,
докторантов, аспирантов и студентов старших курсов университетов.
При написании книги авторы пользовались поддержкой грантов
РФФИ № 05-08-01147-а и №06-01-00066-а.
УДК 532.5:537.1:541.037:621.319.7:66.069.83
ББК 253.313
© Ярославский государственный
университет, 2007
© С.О. Ширяева, А.И. Григорьев,
М.В. Волкова.О. Ширяева, 2007
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Используемые обозначения
Перечисленные ниже обозначения используются «как правило», но в некоторых разделах возможны отклонения от них.
α ≡ γ ρ g – капиллярная постоянная жидкости.
χ – постоянная поверхностная плотность электрического
заряда на невозмущенной цилиндрической поверхности струи
электропроводной жидкости.
δ kn – символ Кронекера.
kn
Dlm
= 1 − δ lm δ kn .
  
er , ez , eϕ – орты осей цилиндрической системы координат.
 

E ( r , t ) = − grad (Φ ( r , t )) – напряженность электростатического
поля в окрестности струи.
ε – малый параметр.
ε d – диэлектрическая проницаемость жидкости.
hm – коэффициенты, определяющие парциальный вклад m-й
моды в начальную деформацию струи:  hm = 1 .
m
η –
постоянная объемная плотность «вмороженного»
электрического заряда в диэлектрической жидкости.
g – ускорение поля сил тяжести.
γ – коэффициент поверхностного натяжения.
i – мнимая единица.
il ( s ν ) – модифицированная сферическая функция Бесселя
первого рода.
I n ( x ) – модифицированная функция Бесселя первого рода порядка n , убывающая при x → 0 .
k – волновое число.
к.с. – аббревиатура, обозначающая слагаемые, комплексно сопряжённые к выписанным.
K n ( x ) – модифицированная функция Бесселя второго рода порядка n , убывающая при x → ∞ .
к – постоянная Больцмана.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

M – массовый расход жидкости через капилляр.
μ – коэффициент динамической вязкости.
μ – электрический заряд, приходящийся на единицу длины l
струи жидкости: μ ≡ 2πRl χ ≡ πR 2l η.


n – орт нормали к поверхности струи; div ( n ) – средняя кривизна поверхности струи.
ν – коэффициент кинематической вязкости.
Ο(ε m ) и ο (ε m ) – символы порядков малости.

P(r , t ) – гидродинамическое давление в жидкости.
Pq (ϕ , z , t ) – давление электрического поля собственного заряда
на поверхность струи.
Pγ (ϕ , z , t ) – давление капиллярных сил на поверхность струи
(Лапласовское давление).
Pаtт – атмосферное давление.

r – радиус вектор.
r , ϕ , z – цилиндрические координаты.
r , ϑ ,ϕ – сферические координаты.
R – радиус капилляра, струи, капли.
ρ – массовая плотность.
s или S – комплексная частота.
σ – проводимость.
t – время.
T0 ≡ t – быстрое время; T j ≡ ε j ⋅ t – медленные времена
T1  T2  T3 .... .

τ - орт касательной к поверхности струи.
U – разность потенциалов, прикладываемых к разрядному
промежутку.
 
U (r , t ) – поле скоростей течения жидкости.

 
U 0 – скорость движения струи; U 0 nz .

V – объёмный расход жидкости через капилляр.

Φ ( r , t ) – потенциал электростатического поля в окрестности
струи.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Φ S = Φ S (t ) – электрический потенциал поверхности капли иде-
ально проводящей жидкости, постоянный вдоль поверхности жидкости в любой момент времени.
Yl m (ϑ ,ϕ ) - сферическая функция.
Ξ – множество номеров мод, виртуально возбужденных в начальный момент времени и определяющих форму начальной деформации.

ξ (r , t ) – возмущение равновесной поверхности жидкости.

ψ j ( r , t ) – скалярные функции, чрез которые определяется поле
скоростей течения жидкости в струе.
2
 (1 − e 2 )

1+ e
− 2e] - эффективный параметр
W ≡ ε срU 16πγ R ⋅ 
[ln(
3
1− e
 2e

2
Рэлея, характеризующий устойчивость по отношению к электрическому заряду полусферического мениска радиуса R и на торце ка2
пилляра длины L ; e ≡ 1 − ( R L + R ) . В задачах об устойчивости
плоского мениска W – параметр Тонкса-Френкеля, характеризующий устойчивость по отношению к электрическому заряду плоской
поверхности жидкости: W ≡ E02 4π ρ gγ (мениск теряет устойчивость при W ≥ 2 ).
w ≡ μ 2 π aγ – безразмерный параметр, характеризующий устойчивость струи по отношению к собственному заряду; в безразмерных переменных, в которых R = ρ = γ = 1 , он записывается в виде
w ≡ μ 2 π ≡ 4πχ2 ≡ πη2 .
ω – частота; ωn – частота собственных осцилляций n-ой моды.
ωn ≡ (γ / ρ R 3 ) n ( n − 1)( n + 2 ) – размерная частота n-й моды ка-
пиллярных колебаний незаряженной капли в вакууме.
ωn ≡ ( n − 1) n( n + 2) – безразмерная частота осцилляций незаряженной капли.
ωn = ( n − 1)n (n + 2 − W ) – безразмерная частота осцилляций заряженной капли, где W ≡ Q 2 16πγ R 3 – параметр Релея, характеризующий устойчивость заряженной зарядом Q сферической капли
радиуса R (капля теряет устойчивость при W ≥ 1).
Обезразмеривание в задачах о струях, которое часто будет
встречаться в книге, проводится на основе соотношений
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
R = ρ = γ = 1 . В задачах об устойчивости плоского мениска обезразмеривание проводится на основе соотношений g = ρ = γ = 1 .
Введение
Явлению неустойчивости заряженной поверхности жидкости,
приводящему к выбросу на нелинейной стадии реализации феномена неустойчивой поверхностью сильно заряженных струй, распадающихся полидисперсным образом на отдельные капли, посвящено весьма большое количество экспериментальных и теоретических
исследований
в
связи
с
многочисленными
академическими, техническими и технологическими приложениями (см., например, обзоры и монографии [1-12]), в которых проанализировано состояние исследований в различных сферах использования обсуждаемого явления). Следует обратить внимание
на широкое практическое использование феномена при получении
порошков тугоплавких металлов, в химической технологии при
распылении ядохимикатов и лакокрасочных материалов, горючего
в реактивных двигателях в реактивной космической технике, электрокаплеструйной печати. Этот феномен также связан с разработкой новых средств масс-спектрометрического анализа нелетучих и
термически нестабильных жидкостей.
Несмотря на обилие теоретических и экспериментальных работ по изучению неустойчивости движущейся струи жидкости и
феномена дробления ее на отдельные капли, многое в физике происходящих процессов остается до сих пор не выясненным и попрежнему привлекает внимание исследователей. Сказанное, в частности, относится к анализу физических закономерностей: полидисперсного электростатического распада струи, имеющей конечную длину, свободный конец которой может совершать «хлыстообразное» движение [13 – 18]. Тем не менее, феномен
полидисперсного распада на капли неосесимметричных струй, выбрасываемых с вершин свободно падающих капель [10] и менисков
жидкости на торцах капилляров [13 – 17], при реализации их неустойчивости по отношению к поверхностному заряду известен давно [10, 23 – 26]. Он широко используется в самых разнообразных
направлениях техники и технологии [1 – 12], но в основе практиче6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ского использования явления электростатического диспергирования жидкости лежат лишь феноменологически осмысленные результаты чисто экспериментальных исследований и малая трудоемкость его воспроизводства.
В экспериментальных исследованиях конца предыдущего столетия было обнаружено около десятка различных режимов электродиспергирования жидкости [17], сведенных на основе наблюдаемой феноменологии в систему в работах [27 – 29], а позднее на
том же полуфеноменологическом уровне в [30 – 31]. Но для проводимого рассмотрения важно, что во всех экспериментальных работах имел место выброс с заряженной поверхности жидкости заряженных же струй, распадающихся на отдельные капли. Следует
отметить, что в последние двадцать лет регулярно проводятся международные симпозиумы по электродиспергированию жидкости,
собирающие сотни докладов, посвященных этому феномену. И хотя подавляющее большинство работ носят экспериментальный характер и посвящены в основном особенностям электродиспергирования конкретных жидкостей в конкретных установках и устройствах, тем не менее общее количество публикаций по обсуждаемой
теме исчисляется тысячами и насущной проблемой является построение общей теории электродиспергирования (дробления заряженной струи с формой, отличной от цилиндрической, на капли) с
учетом реальных физико-химических характеристик жидкостей и
многообразия релаксационных эффектов.
Уже в текущем столетии было выполнено несколько теоретических аналитических работ по исследованию устойчивости заряженных струй относительно произвольных неосесимметричных
возмущений [32 – 34]. Но наиболее интересные на момент издания
данной книги работы, выполненные в последние несколько десятилетий, ориентированы на исследование нелинейных эффектов,
связанных с осцилляциями струй и дроблением их на капли (см.,
например, [35 – 50] и указанную там литературу). Однако лишь
пять последних из перечисленных работ относятся к нелинейным
осцилляциям заряженной струи, остальные рассматривают нелинейные проблемы осцилляций и дробления незаряженных струй,
что, безусловно важно, поскольку многие проблемы нелинейной
устойчивости заряженных и незаряженных струй одинаковы и пока
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в этом вопросе исследователи находятся на стадии накопления
экспериментальных и теоретических данных.
В настоящей книге делается попытка теоретического обоснования полуфеноменологической классификации наблюдаемых режимов спонтанного полидиспергирования заряженных струй жидкости, предложенной в [27 – 29].
1. Классификация режимов спонтанного
электродиспергирования жидкости
1.1. Ретроспектива исследований
по классификации режимов
электродиспергирования
Повышенный интерес со стороны исследователей к явлению
элек-трогидродинамического распыливания жидкости (электродиспергированию жидкости), не угасающий уже в течение нескольких десятилетий (см., например, обзоры [1-12] и указанную
там литературу), обусловлен, прежде всего, возможностью многочисленных технических использований этого процесса, а также
возможностью более точного регулирования параметров получаемого аэрозоля и компактностью необходимого оборудования в
сравнении с имеющимися механическими и пневматическими способами распыления. Большая часть исследований, посвященных
электродиспергированию, является экспериментальной. Одним из
наиболее очевидных выводов, к которому приводит даже поверхностное знакомство с проведенными экспериментами, является
вывод о высокой чувствительности обсуждаемого феномена к физическим свойствам рабочей жидкости, особенностям экспериментальной установки и таким характеристикам процесса, как давление жидкости в капилляре и потенциал. В зависимости от величины и соотношения этих параметров можно выделить несколько
режимов процесса распыления, сильно различающихся как внешним видом, так и характеристиками формирующегося капельного
аэрозоля (спектрами размеров, зарядов и удельных зарядов капель).
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Несмотря на значительное число экспериментальных работ,
для большинства из них характерны отсутствие системности в исследовании влияния физико-химических характеристик жидкости
на процесс распыления, а также случайность в выборе оборудования и объекта изучения – рабочей жидкости (как правило, используется та жидкость, которая имеется под руками, либо то вещество
и те параметры установки, с которыми связан конкретный практический интерес). Естественно, выделяются два направления экспериментальных работ [3, 17, 51 – 61]:
1. Изучение физических закономерностей распыления какойлибо одной жидкости в зависимости от внешних характеристик
процесса: потенциала, подаваемого на капилляр, объемного расхода жидкости (или гидростатического давления жидкости в капилляре), вида электродов (металлический или стеклянный капилляр,
со смачиваемыми или несмачиваемыми стенками; различной конфигурации противоэлектроды, располагающиеся на различных
расстояниях от капилляра и т.п.). При этом авторы обычно ограничиваются сообщением названия используемой жидкости (или смеси жидкостей), не затрудняя себя измерением основных физикохимических характеристик [17, 51 – 61].
2. Исследование влияния на процесс распыления какого-либо
одного из свойств рабочей жидкости (обычно проводимости) [3,
52 – 53]. В этих случаях эксперимент проводится с целым набором
жидкостей, подобранных таким образом, чтобы интересующее
свойство изменялось в достаточно широком диапазоне значений.
Основным недостатком работ такого типа является отсутствие контроля над изменением других физико-химических свойств используемых жидкостей. Хотя интуитивно ясно, что авторы должны бы
стремиться к тому, чтобы все неконтролируемые в данном эксперименте свойства жидкостей изменялись бы очень слабо, однако,
это, как правило, не оговаривается и не приводятся даже приблизительных значений основных физических характеристик жидкостей
(по видимому, малоинтересных с точки зрения авторов).
Перечисленные выше недостатки экспериментальных работ
препятствуют формированию единого взгляда на явление электрогидродинамического распыления и созданию единой классификации его разнообразных режимов. Практически каждый из авторов
заново выделяет наблюдающиеся в данном эксперименте режимы
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
распыления, приводя описательную их характеристику и пользуясь
собственной терминологией для их обозначения. Сопоставить же
результаты различных работ, как указывалось выше, невозможно
из-за недостатка информации об условиях эксперимента.
По-видимому, наиболее удачная попытка теоретического подхода к проблеме создания единой классификации различных режимов электрогидродинамического распыливания жидкости изложена в [61]. В этой работе довольно схематическая классификация
проводится на основе учета таких физических параметров рабочей
жидкости, как электропроводность σ , диэлектрическая проницаемость ε , коэффициент кинематической вязкости ν и массовая
плотность ρ . Кроме того, принимаются во внимание следующие
характеристики процесса распыливания: массовый расход M , радиус капилляра R , радиус капельки r и масса капельки m . Основным принципом предложенной в [61] классификации является
сравнение характерных времен процесса распыливания: электрической релаксации ( ε σ – в обозначениях системы Гаусса), вязкой
релаксации ( R 2 ν и r 2 ν ) и характерных времен течения (или натекания m M и 2π R 3 ρ 3M ). На основе такого подхода в [61] выделено три основных режима распыливания, для которых приводятся следующие характеристики.
Режим 1. ε σ << R 2 ν .
Очень тонкое распыление имеет место для хорошо проводящих жидкостей. Эмиссия вещества происходят из одного или нескольких четко очерченных мест на вершине капилляра. Распыление может принимать множество форм в зависимости от массового
расхода, прикладываемого к разрядному промежутку напряжения,
и других параметров. При ε σ << 2π R 3 ρ 3M – процесс электродиспергирования лимитируется скоростью подачи жидкости, мениск жидкости на торце капилляра не образуется, распыление происходит с цилиндрической кромки капилляра, в нескольких точках,
где неровности поверхности капилляра вызывают локальное усиление электрического поля. По мере увеличения массового расхода
M на вершине капилляра формируется полусферический мениск и
эмиссия капель происходит уже с вершины мениска. При дальнейшем увеличении массового расхода жидкость эмитируется в
виде все более и более вытянутых капелек, пока, наконец, не обра10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
зуется струя. При этом могут существовать различные пульсационные режимы. Эксперименты показывают, что распыление с отрывом отдельных капель происходит при m M ~ r 2 ν и ε σ > r 2 ν .
Режим 2. ε σ ~ R 2 ν .
Способ формирования капель полностью определяется характерным временем течения. При ε σ << 2π R 3 ρ 3M распыление
происходит как в первом режиме, т.е. формируются маленькие капельки с относительно большим отношением заряда к массе
m M ~ r 2 ν и ε σ > r 2 ν . По мере увеличения массового расхода
размер капель увеличивается до тех пор, пока не выполнится соотношение R 2 v  2π R 3 ρ 3M . В этих условиях образование капель
определяется действием гравитации и поверхностного натяжения.
Может иметь место асимметричное образование и деление капель.
Режим 3. ε σ  R 2 ν .
Для очень плохо проводящих жидкостей распыление на отдельные капельки затруднено. Для некоторых очень чистых беспримесных веществ распыление за счет электропроводного механизма вообще невозможно. В основном, явление распыления определится действием гравитации и поверхностного натяжения.
Несмотря па очевидную прогрессивность и перспективность
идеи выделении основных режимов электродиспергирования жидкостей путём сопоставления характерных времен процесса, изложенная классификация имеет два существенных недостатка: 1) никак не учитывается одна из определяющих физических характеристик процесса распыления – разность потенциалов, прикладываемая к разрядному промежутку; 2) используются характерные
времена r 2 ν и m M , зависящие от размера образующихся капель.
Это неудобно, т.к. величину капель можно определить, лишь реализовав конкретный режим распыления. Основной же целью создания единой классификации режимов является возможность предсказания формы реализации феномена распыления в той или иной
конкретной ситуации до осуществления этого процесса на практике. Из этой основной задачи с очевидностью вытекает, что при выработке единых критериев для классификации разнообразных режимов распыления следует учитывать только те определяющие па11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
раметры процесса, которые являются причиной конкретного режима, а не его следствием.
В работах [27 – 29] авторы, взяв за основу главную идею работы [61], усовершенствовали приведенную там классификацию,
расширив ее и устранив отмеченные выше недостатки. С этой целью, помимо упомянутых в [61], физических свойств рабочей жидкости и характеристик процесса, были учтены поверхностное натяжение жидкости с коэффициентом γ , скорость распространения
звука в жидкости c (т.е. модуль объемной упругости жидкости) и
величина разности потенциалов, подаваемой на капилляр и противоэлектрод U . Характерные времена, на основе которых в [27 – 29]
была проведена классификация режимов распыления, делятся на
две группы.
1). К первой группе относятся характерные времена, определяющиеся главным образом физическими свойствами рабочей
жидкости:
τ ε = (ε σ ) – время максвелловской релаксации электрического
заряда или время выравнивания электрического потенциала в жидкости (характерное время перераспределения электрического заряда);
τν = ( R 2 ν ) – время вязкой релаксации или характерное время
выравнивания импульса в объеме жидкости (время выравнивания
профиля поля скоростей);
τ c = ( R c ) – время гидродинамической релаксации (время выравнивания давления в объеме жидкости).
Последние два характерных времени зависят от радиуса капилляра R . Но поскольку обычно эксперименты проводятся с одним капилляром, то при распылении конкретной рабочей жидкости
эти времена остаются неизменными при смене одного режима распыления на другой.
2). Ко второй группе относятся характерные времена, зависящие от внешних параметров, определяющих режимы распыления
конкретной жидкости, а именно: от объемного расхода жидкости
V и разности потенциалов U, подаваемых на капилляр и противоэлектрод. В нижеследующем изложении величину разности потен-
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
циалов, приложенной к разрядной системе, будем характеризовать
с помощью безразмерного параметра W = ε срU 2 16γ R .
τ V ≈ ( m M ) ≈ ( 2π R 3 ρ 3M ) = ( 2π R 3 3V ) – характерное вре-
мя натекания полусферического мениска с радиусом R, равным радиусу капилляра;
τγ ≈
(
)
ρ R 3 γ (1 − W ) – характерный период капиллярных ко-
лебаний заряженного мениска жидкости на торце капилляра при
0 ≤ W ≤ 1;
(ν )
τγ ≈
(
γ (W − 1) ρ R −ν R
3
2
)
−1
– характерное время развития
капиллярной неустойчивости свободной поверхности заряженного
мениска при W > 1 ;
(
τν ≈ (ν R ) − γ (1 − W ) ρ R
(γ )
2
3
)
−1
– характерное время затуха-
ния мелкомасштабного ( l  1 ) возмущения свободной поверхности
заряженного мениска при Wν < W < 1, где Wν ≡ 1 −
(l − 1)(2l + 1) 2 ρν 2
⋅
–
2l (l + 2)
γR
такое значение параметра W, при котором согласно дисперсионному уравнению при заданной вязкости исчезают периодические
движения l-й моды мениска.
Отметим, что времена τ γ , τ γ(ν ) , τν(γ ) являются характерными
временами различных режимов процесса распыления в зависимости от величины разности потенциалов U (от величины параметра
W). Так? характерное время τ γ имеет смысл лишь при малых значениях потенциала U < 16πγ R ε cp (это эквивалентно неравенству
W < 1. Время τ γ(ν ) характеризует процесс распыления маловязких
жидкостей при больших разностях потенциалов U > 16πγ R ε cp
или W > 1 . И, наконец, для вязких жидкостей ν > γ R(W − 1) ρ при
больших разностях потенциалов U > 16πγ R ε cp одним из характерных времен процесса распыления является время τν(γ ) (более
подробно об этих временах см. [27], «Приложение 1»). Итак, основной особенностью характерных времен, отнесенных ко второй
группе, является то, что их величина изменяется при изменении
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
параметров V и U, определяющих смену режимов распыления любой конкретной жидкости.
Таким образом, характерные времена из первой группы определяют тип жидкости. Для жидкостей различных типов можно выделить наборы функциональных режимов, т.е. тех форм, в которых
возможно протекание распыления жидкостей данного типа. Смена
же режимов диспергирования для жидкости любого типа в основном определяется величиной и соотношением характерных времен
из второй группы.
Элементы подобного подхода к классификации заложены и в
работе [61]. В качестве критерия разделения режимов в [61] выбрано соотношение времен диэлектрической и вязкой релаксации τ ε и
τν . В пределах же каждого из режимов форма распыления зависит
от величины массового (или объемного) расхода, т.е. от времени
τν .
Следует отметить, что терминология, использованная в [61], не
совсем удачна. Так, жидкости при τ ε  τν называются хорошо
проводящими, а при τ ε  τν – плохо проводящими. Представляется, что при сравнении времен τ ε и τν определяющим фактором является величина вязкости жидкости: если величина коэффициента
кинематической вязкости ν мала (т.е. время вязкой релаксации велико τ ε  τν ), то жидкость распыляется легко; если же величина
коэффициента кинематической вязкости ν очень велика (маленькое время вязкой релаксации τ ε  τν , то жидкость практически невозможно диспергировать электростатическим путем. Подтверждением такой точки зрения могут служить и мнения некоторых
авторов экспериментальных работ [3, 25], которые отмечают качественные различия в формах распыливания маловязких и сильновязких жидкостей.
Очевидно, что проводимость жидкости для процесса распыления тоже крайне важна и во многом определяет форму его реализации. Однако понятия плохой и хорошей проводимости жидкостей
несколько условны, поскольку время электрической релаксации τ ε ,
характеризующее скорость установления равновесного распределения зарядов на поверхности жидкости, логичнее сравнивать с
временами, характеризующими скорость деформации этой поверх14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ности: τ γ , τ γ(ν ) , τν(γ ) . Величины же этих времен, как отмечалось
выше, зависят от величины разности потенциалов U , прикладываемой к разрядной системе. Поэтому вполне реальна следующая
ситуация. Пусть при малых величинах разности потенциалов выполнялось, к примеру, неравенство τ ε < τ γ(ν ) и равновесное распределение зарядов устанавливалось быстрее, чем деформировалась
поверхность жидкости. Это характерно для хорошо проводящих
жидкостей, т.к. в любой момент времени электрическое поле внутри объема жидкости близко к нулю. При увеличении разности потенциалов U характерное время τ γ(ν ) уменьшается, и при достаточно больших значениях U может стать справедливым противоположное соотношение τ ε > τ γ(ν ) , т.е. при деформации поверхности
жидкости равновесное распределение зарядов уже не будет успевать устанавливаться. В результате внутри объема жидкости всегда
будет существовать отличное от нуля электрическое поле, а это
уже характерно для не слишком хорошо проводящих жидкостей.
Таким образом, с увеличением разности потенциалов U проводимость жидкости как бы "ухудшилась" (более подробно об этих явлениях речь пойдет ниже, при обсуждении переходов от одних режимов распыливания к другим, см. также [27]).
Принимая во внимание все перечисленные аргументы, выделим три основных типа жидкостей на основе сравнений времен τ ε
и τν следующим образом: τ ε  τν – маловязкие жидкости; τ ε ~ τν –
вязкие жидкости; τ ε  τν – сильновязкие жидкости. Отметим сразу, что сильновязкие жидкости рассматривать в дальнейшем не будем, т.к. они практически не поддаются электрогидродинамическому распыливанию. Для двух других типов жидкостей (маловязких и вязких) при выделении основных функциональных режимов
распыления будем опираться на наиболее полную и подробную, на
наш взгляд, экспериментальную работу [17], используя её терминологию и её описательные характеристики различных режимов.
В заключение приведем систему обозначений и соответствующих этим обозначениям оценок для соотношений характерных
времен, которыми будем придерживаться в нижеследующих рассуждениях:
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0.5 ≤ τ 1 τ 2 < 1

τ1 ≈ τ 2 ;
0.3 ≤ τ 1 τ 2 < 0 / 5

τ1 ≤ τ 2 ;
0.03 ≤ τ 1 τ 2 < 0.3

τ1 < τ 2 ;
τ 1 τ 2 < 0.03

τ1  τ 2 .
1.2. Феноменологическое описание
основных характерных режимов
электростатического
распыливания жидкости
1.2.1. Капельный режим (dripping mode)
[17], с.167 – 169, рис. 3 – 5
В отсутствие электрического поля капля с торца капилляра отрывается под действием силы тяжести (см. рис. 1). При хорошей
смачиваемости капилляра рабочей жидкостью и его малом радиусе
жидкость после образования на торце капилляра капельки начинает подниматься вдоль внешней стенки капилляра, собираясь вокруг
его торца. Размер капли на торце при этом растет и ее радиус перед
отрывом капельки превышает радиус капилляра. Если подать теперь на капилляр и противоэлектрод небольшую разность потенциалов и постепенно её увеличивать, то высота смачиваемой
внешней стенки капилляра и характерный линейный размер капельки на его торце уменьшаются, и в конце концов жидкость перестает подниматься по внешней стенке капилляра, а капелька на
нем держится только за счет смачивания его торца. Размер отрывающихся капель с увеличением разности потенциалов уменьшается, а частота эмиссии постепенно увеличивается до ≈ 500 Гц.
В капельном режиме (см. рис. 2) эмиссия капелек может происходить через ровные временные интервалы без возникновения
сателлитов. При этом большая часть капелек имеет одинаковые
размеры ([17], рис. 3). Диаметр капелек, как правило, остается
больше диаметра капилляра. Таким образом, осуществляется эмиссия относительно крупных капелек с низкой частотой.
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1. Схематическое
обобщенное изображение
установки
по электродиспергированию
жидкости
Рис. 3. Капельный режим
с образованием сателлитов
для маловязких жидкостей
Рис. 2.
Капельный режим
Рис. 4. Капельный режим с образованием
сателлитов
для вязких жидкостей
Однако в некоторых случаях эмиссия крупных капель может
сопровождаться образованием капелек-сателлитов; их число и размер сильно зависят от условий эмиссии. Для маловязких жидкостей (рис. 3) перетяжка, соединяющая капельку с мениском, толстая и короткая, и при ее разрыве образуется капля-сателлит, диаметр которой равен почти половине диаметра основной капельки
(см. также рис. 4 в [17]). Для более вязких жидкостей перетяжка,
связывающая отрывающуюся каплю с торцом капилляра, длинная
и тонкая (рис. 4). Она разрывается на большее количество весьма
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
маленьких капелек-сателлитов (см. также рис. 5 в [17] и работу
[62]).
1.2.2. Струйно-капельный режим (jet-dripping mode)
[17], с. 170, рис. 6.
Этот режим распыления (см. рис. 5) является разновидностью
капельного режима (dripping mode).
Более того, в работе [17] эти режимы
не разделяются, и тем не менее, по
мнению авторов, режим, проиллюстрированный на рис. 5, целесообразно
выделить в самостоятельный. Основной отличительной чертой предлагаемого струйно-капельного режима является сравнительно большие значения разности потенциалов U, приклаРис. 5. Режим
дываемой к разрядной системе. В
струйно-капельный
итоге величина напряженности электрического поля в окрестности вершины мениска столь велика, что еще до сформирования большой
капли и отрыва всего мениска с его вершины выстреливается тонкая струя жидкости, распадающаяся на множество весьма мелких
капелек. Отрыв же основной капли внешне мало отличается от отрыва капель в простом капельном режиме. Точно так же, как и в
капельном режиме, в струйно-капельном отрыв основных капель
от торца капилляра может проходить как с образованием сателлитов из перетяжки, так и без оного.
1.2.3. Веретенообразный режим (spindle mode)
[17], с. 176 – 177, рис.13 – 14
Это переходный режим от струйно-капельного (jet-dripping
mode) к микрокапельному (microdripping mode) или конусноструйному (cone-jet mode) режимам. Он проиллюстрирован на
рис. 6 и выглядит следующим образом (см. также рис. 13 в [17]):
закругленный мениск (1) вытягивается (2) и из его вершины выстреливается тонкая струйка, распадающаяся на весьма мелкие капельки (3). Удлинение мениска усиливается (4) – (5), у основания
заостренной части мениска и у основания струйки жидкости воз-
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
никают перетяжки (6). Наконец, веретенообразный объём жидкости отделяется от мениска (7) и от струйки и сжимается, образуя
основную каплю (8), в то время как отделившаяся нить продолжает
распадаться на меленькие капельки (9) – (10). Размер и число капелек, образующихся при распаде струи, изменяется от цикла к циклу.
Рис. 6. Режим веретенообразный
В зависимости от условий эксперимента мениск может принимать сильно различающиеся формы, однако для всех них характерна вытянутость и заостренность. На рис. 7 (рис. 14 в [17]) показан
другой пример веретенообразного режима, приводящий к образованию основной капли большего диаметра по сравнению с рис. 6.
Отрывающийся объем жидкости может образовывать одну основную каплю, а может распадаться на несколько капель. Следует заметить, что реальная струя существенно более тонкая, чем изображено на рис. 6 – 7, где поперечный размер струи преувеличен, чтобы обеспечить наглядность.
Во время проведения экспериментов в работе [17] веретенообразный режим наблюдался для жидкостей с проводимостью боль19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
шей 10–7 См/м (S/m). Значения частоты формирования основных
капель изменялись от 50 Гц до 10 кГц, а диаметров от 450 мкм
( μ m ) до ≈ 30 мкм ( μ m ).
Рис. 7. Еще один пример
веретенообразного режима
Рис. 8. Режим микрокапельный
1.2.4. Микрокапельный режим (microdripping mode)
[17], с. 170, рис. 7.
При высоких значениях используемой разности потенциалов
или при низких массовых (объемных) расходах жидкости может
осуществляться микрокапельный режим диспергирования, при котором образуются капельки с диаметром, меньшим диаметра капилляра (рис. 8). Максимальное значение частоты эмиссии на
один – два порядка выше, чем в случае обычного капельного режима (dripping mode). В микрокапельном режиме на вершине мениска появляетсяотносительно длинная струйка, на конце которой
скапливается в виде небольшой капельки жидкость (рис. 8). После
отделения этой капельки зарождающаяся струйка втягивается в капилляр, а затем все повторяется снова. Высота и форма мениска
сильно зависят от условий эксперимента. Мениск может даже совсем исчезнуть, оставив одну или несколько зарождающихся
струй, расположенных по периферии среза капилляра. Интересной
характеристикой микрокапельного режима является то, что при
определенных условиях эмиссия капелек происходит через равные
интервалы времени, причем размер образующихся капель остается
постоянным.
Внешний вид микрокапельного режима распыления зависит
даже в большей степени, чем другие режимы, от таких деталей
эксперимента, как форма и степень смачиваемости торца капилля-
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ра. В работе [17] микрокапельный режим наблюдался для жидкостей с проводимостью, меньшей чем 10–8 См/м (S/m). Частота
эмиссии менялась в пределах от нескольких десятков до нескольких десятков тысяч капель в секунду, диаметры капель лежали в
пределах от сотен до единиц мкм ( μ m ).
1.2.5. Конусно-струйный режим (cone-jet mode)
[17], с. 171 – 175, рис. 8 – 12
Одним из наиболее интересных функциональных режимов
распыления жидкости является конусно-струйный режим (рис. 9),
при котором мениск имеет форму, близкую к конической, а из его
вершины выбрасывается струя жидкости, спонтанный распад которой приводит к образованию капелек (в [17] рис. 8). Для жидкостей
с относительно высокой проводимостью струи, выбрасываемые из
вершины мениска конической формы, имеют диаметр много
меньший диаметра капилляра, как и капельки, образующиеся при
распаде струи.
Рис. 9. Режим конусно-струйный
Рис. 10. Конусно-струйный режим
Эксперименты показывают, что существуют определенные области значений гидростатического давления и прикладываемого
потенциала, в пределах которых существует стабильные конические фермы мениска с различными значениями угла раствора конуса и различными видами образующей – вогнутой либо выпуклой
(рис. 10 (в [17] рис. 9)).
Согласно [58] для образования устойчивой струи электрическое поле должно проникать внутрь жидкости (т.е. жидкость должна иметь конечную проводимость). В этом случае появляется компонента электрического поля, тангенциальная к поверхности мени21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ска, которая, действуя на поверхностный заряд, создаёт силу, разгоняющую жидкость вниз по течению, формируя струю.
Для жидкостей с относительно высокой проводимостью зона
формирования струи ограничивается вершиной мениска. Остальная часть поверхности мениска практически эквипотенциальна, и в
каждой ее точке имеет место почти статическое равновесие сил. По
мере уменьшения проводимости зона ускорения жидкости распространяется дальше по направлению к основанию мениска. В пределе она начинается непосредственно у среза капилляра.
В работе [17] конусно-струйный режим был получен при значениях проводимости от 10–1 до 10–9 См/м (S/m) при соответствующем выборе других параметров.
До тех пор, пока заряд, приходящийся на единицу длины
струи, не слишком большой, её разрыв на капли происходит точно
так же, как и для незаряженной струи.
Наиболее вероятное расстояние x* между двумя последовательными ее разрывами в k* раз превышает диаметр струи, измеренный у конца ее непрерывной части (см. рис. 9): k* ≈ 4.5 для маловязкой жидкости и величина этого коэффициента возрастает с
увеличением вязкости. Расстояние x* каждый раз изменяется, кроме того, в момент разрыва могут образовываться капельки сателлиты. В результате получаемый аэрозоль часто бывает существенно полидисперсным. В исключительных случаях он может оказаться монодисперсным (это означает, что отношение стандартного
отклонения диаметров частиц к среднему значению меньше 0.2.
Однако однородность размеров капелек никогда не бывает настолько хорошей, как в капельном и микрокапельном режимах. В
зависимости от условий значение среднего (главного) диаметра капелек может лежать в диапазоне от сотен до единиц мкм. Соответственно частота эмиссии может изменяться в пределах от нескольких тысяч до нескольких десятков миллионов капелек в секунду.
Отметим, что средний размер капелек уменьшается, а частота их
эмиссии растет, если 1) скорость течения уменьшается; 2) проводимость жидкости растет.
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.2.6. Прерывистый конусно-струйный режим
(intermittent cone-jet mode) [17], с. 174, 179
Конусно-струйный режим распыления наблюдается в пределах
определенного диапазона значений прикладываемых напряжений,
причем этот диапазон зависит и от других физических параметров
феномена. При значениях разности потенциалов ниже этого диапазона струя образуется нерегулярно (спонтанно), вершина принимает попеременно то заостренную, то закругленную форму. В таком
прерывистом конусно-струйном режиме распыливания фаза эмиссии может появляться через совершенно одинаковые промежутки
времени. Однако диаметр струи изменяется во время фазы эмиссии, так что функция распределения капелек по размерам довольно
широкая. В работе [17] высказывается мнение, что прерывистый
конусно-струйный режим распыливания – это разновидность веретенобразного режима для более вязкой жидкости. Отличаются же
эти режимы тем, что приводят к очень различающимся функциям
распределения капель по размерам: в веретенообразном режиме
существенная часть эмиттируемой жидкости расходуется на формирование основных капель относительно большого размера, а в
прерывистом конусно-струйном режиме вся жидкость распадается
на множество мелких полидисперсных капелек.
1.3. Описание экспериментально
наблюдаемых режимов на основе введенной
системы характерных времен
1.3.1. Маловязкие жидкости (τ ε  τν )
1.3.1.1. Капельный режим (dripping mode)
1) W < 1.
Колебания поверхности мениска определяются временами τ ε и
τν . При W ~ 0 для данного режима устанавливается следующее соотношение характерных времен:
τ ε < τ γ < τ V < τν .
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По мере увеличения параметра W характерное время τ γ растет
и влияние вязкости становится более существенным (т.е. хотя затухание происходит за то же характерное время τν , но каждая мода
успевает сделать меньшее число колебаний, пока ее амплитуда существенно уменьшится; таким образом, поверхность меньше "дрожит" (см. [27], «Приложение 1»). Соотношение характерных времен при увеличении разности потенциалов U, подаваемой на капилляр и противоэлектрод, изменяется в сторону усиления
неравенства между τ ε и τ γ , ослабления неравенства между τ γ и τν
и смены направления неравенства между τ γ и τ V :
τ ε < τ γ < τ V < τν
 τ ε < τ V ≤ τ γ < τν .
2) =Wν < W < 1.
В этом диапазоне значений разности потенциалов колебания
поверхности мениска прекращаются, характерное время τ γ теряет
смысл, а любое возмущение поверхности мениска апериодически
затухает с характерным временем τν(γ ) (при малой вязкости это означает, что затухание происходит очень медленно).
Характерное для этого режима соотношение времён:
τ ε < τ V < τν(γ ) .
При увеличении разности потенциалов
U увеличивается и
(γ )
τν .
В режиме Wν < W < 1 имеющейся величины напряженности
электрического поля у поверхности жидкого мениска недостаточно, чтобы возбудить высокие моды капиллярных колебаний поверхности (поскольку, чем больше напряженность поля, тем лучше
"гасятся" соответствующие волны, т.к. меняется соотношение τ γ к
τν ). Роль поля сводится к увеличению силы, отрывающей каплю от
торца капилляра, а частота каплеобразования определяется главным образом скоростью движения жидкости по капилляру, т.е.
временем τ V .
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.3.1.2. Струйно-капельный режим (jet-dripping mode)
W >1
Когда разность потенциалов превышает критическое значение
(
)
U > 16πγ R 1 + ( ρν 2 γ R ) ε cp ≡ U cr ,
поверхность жидкого мениска на срезе капилляра становится неустойчивой и любое мелкомасштабное её возмущение нарастает со
временем. Характерное время развития неустойчивости определяется выражением
τ γ(ν ) ≈
(
γ (W − 1) ρ R3 − ν R 2
)
−1
.
Отметим, что амплитуды высоких мод капиллярных колебаний
нарастают быстрее, чем низких. В результате их суперпозиции на
вершине мениска формируется эмиссионный выступ (т.к. именно
на вершине амплитуды всех мод максимальны). Напряженность
электрического поля в окрестности выступа увеличивается, что в
свою очередь приводит к увеличению локальной скорости нарастания выступа. В конце концов, когда сумма электрического и гравитационного давлений на вершину выступа превысят давление
капиллярных сил на нее, из вершины эмиссионного выступа выбрасывается тонкая струйка жидкости, нижний конец которой распадается на мелкие капельки.
Этот режим характеризуется довольно значительным объемным расходом жидкости V (т.е. малым временем τν ). Причем скорость натекания жидкости по капилляру в мениск значительно
превышает скорость ее уноса за счет отрыва маленьких капелек с
вершины выступа. Поэтому объем мениска на срезе капилляра увеличивается, постепенно формируя крупную каплю, которая, в конечном итоге отрывается под действием собственного веса.
Таким образом, струйно-капельный режим (jet-dripping) – это
некий смешанный режим распыления, сочетающий в себе конусноструйный (cone-jet) или микрокапельный (microdripping) и капельный (dripping) режимы. Чтобы отделить этот режим от чисто капельного и конусно-струйного режимов, назовем его струйно-
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
капельным (jet-dripping). (В работе [17] этот режим рассматривается как просто капельный (dripping) и не выделяется в особый режим). В результате спектр распыления получающихся капель по
размерам и удельным зарядам очень широк: от крупных, сравнимых с радиусом капилляра, слабо заряженных капель, до мелких,
на один-два порядка меньших радиуса капилляра, сильно заряженных капелек. Промежуточное положение могут занимать капли,
формирующиеся из перетяжки, соединяющей крупную каплю с
мениском. Для маловязких жидкостей эта перетяжка толстая к короткая и приводит к образованию сателлитов, диаметр которых равен почти половине диаметра основной крупной капли (см. рис. 3
предыдущей главы), а заряд незначителен. Для более вязких жидкостей перетяжка длинная и тонкая, она разрывается на большое
количество мелких капелек (см, рис. 4 предыдущей главы).
Струйно-капельный режим (jet-dripping mode) характеризуется
следующим соотношением времен:
τ ε ~ τ γ(ν ) < τ V < τν .
Здесь существенным является то, что характерное время нарастания капиллярной неустойчивости τ γ(ν ) меньше, но сравнимо с
временем формирования крупной капли τ V . Если бы τ γ(ν ) существенно превышало τ V , то струйка ещё не успела бы возникнуть, как
уже произошел бы отрыв основной крупной капли, т.е. имел бы
место обычный капельный режим (dripping mode). Таким образом,
для возникновения струйно-капельного режима (jet-dripping mode)
недостаточно, чтобы разность потенциалов просто превышала критическую для реализации капиллярной неустойчивости значение
U > U cr . Необходимо также, чтобы степень этого превышения
обеспечивала выполнение неравенства τ γ(ν ) < τ V (напомним, что τ γ(ν )
имеет смысл лишь при U > U cr и что τ γ(ν ) уменьшается с ростом
разности потенциалов U ).
Оценим величину разности потенциалов, необходимой для
реализации неравенства τ γ(ν ) < τ V :
τ γ(ν ) < τV

(
γ (W − 1) ρ R 3 − ν R 2
26
)
−1

< 2π R 3 ρ 3 M .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отсюда получаем

ρ R  ν
3 M 
W > 1+
+
γ  R 2 2πρ R 3 


2
3
или
12
2





3 
16
γ
R
ρ
R
ν
3
M

1 +
  
 2+
U >
3

γ  R 2πρ R   
 ε ср 

  


≡ U*.
Из этих выражений несложно видеть, что всегда справедливо
соотношение U * > U cr .
Оценки величин U cr и U * для анализируемых нами экспериментов и сравнение их с рабочими значениями разностей потенциалов U , при которых выполнялись эти эксперименты (см. приложение 2 в [27]), показали, что в большинстве случаев если известно значение рабочей разности потенциалов U , справедливо
следующее соотношение между U , U * , U cr : U ≥ U * ≥ U cr . Среди
них:
1) рис. 5 предыдущей главы – струйно-капельный режим (jetdripping mode) (в [17] рис. 6);
2) в [17] рис. 15, 17; в [55] рис. 3 – 4 – веретенообразный режим
(spindle mode);
3) в [56] рис. 4а – 4б – микрокапельный режим (microdripping
mode);
4) в [59] рис. 2 – конусно-струйный режим (cone-jet mode). Для
двух экспериментальных работ – в [54] – рис. 4 и в [57] рис. 7, в
которых распылялся глицерин, соотношение разностей потенциалов было следующим: U < U cr ≤ U * , хотя в работе [54] один из использовавшихся режимов является прерывистым конусноструйным (intermittent cone-jet mode). Это несоответствие возникает из-за того, что глицерин – сильно вязкая жидкость, поэтому
приведенные выше рассуждения к ней не применимы (т.к. время
τ γ(ν ) вообще не имеет смысла для этого режима).
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отметим еще раз, что, по-видимому, одной из отличительных
черт струйно-капельного режима (jet-dripping mode) является сравнимость по величине характерного времени нарастания неустойчивости основной моды капиллярных колебаний τ γ(ν ) и характерного
времени натекания полусферического мениска τ V . Именно это, повидимому, является причиной того, что характерный размер основных (крупных) капель сравним с диаметром капилляра, т.к.
крупные капли отрываются, скорее всего, в результате развития
неустойчивости именно основной моды капиллярных колебаний.
Еще одним признаком этого режима является то, что характерное время релаксации электрического заряда τ ε меньше (либо
сравнимо, но все-таки меньше) характерного времени нарастания
основой моды капиллярных колебаний: τ ε < τ γ(ν ) либо τ ε  τ γ(ν ) . Это
означает, что за время формирования основной капли на поверхности жидкости успевает установиться практически равновесное распределение заряда. Поле внутри объема мениска близко к нулю, а
снаружи (у поверхности) – почти перпендикулярно этой поверхности. Таким образом, развитие неустойчивости основной моды капиллярных колебаний мениска по форме должно напоминать аналогичную неустойчивость капли идеально проводящей жидкости.
Как известно, неустойчивость сильно заряженной проводящей
капли начинается с ее вытягивания в фигуру, близкую к сфероиду.
Распад капли при неограниченном нарастании амплитуды основной моды привел бы к ее разрыву пополам. Однако для капель хорошо проводящих маловязких жидкостей распад кайли вследствие
капиллярной неустойчивости происходит иным путём: в результате более быстрого (чем для основной моды) развития неустойчивости высоких мод на вершинах вытянутой капли формируются
эмиссионные выступы, с концов которых осуществляется сброс
излишнего заряда в виде струек маленьких сильно заряженных капелек. Разрыв исходной капли пополам может произойти: 1) либо
для капель достаточно вязких жидкостей, для которых неустойчивость всех мод капиллярных колебаний, выше основной, подавляется вязкостью; 2) либо в результате крупномасштабной деформации исходной капли (если угловая зависимость формы деформации
капли может быть приближенно описана полиномом Лежандра
второго порядка P2 (cosϑ ) ). Для полусферического мениска жидко28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сти на срезе капилляра крупномасштабная деформация его поверхности, по-видимому, происходит под влиянием постоянного притока жидкости в мениск за счет подачи по капилляру (когда он не
компенсируется расходом жидкости в мениске на счет эмиссию
маленьких капелек). Поэтому отрыв основных капель в струйнокапельном режиме (jet-dripping mode) диспергирования напоминает разрыв сфероида пополам (точнее, отрыв одной из его половин).
1.3.1.3. Веретенообразный режим (spindlemode)
Соотношение характерных времен, типичное для веретенообразного режима (spindle mode), следующее:
τ γ(ν ) ≤ τ ε < τ V < τν .
Этот режим возникает из струйно-капельного режима (jetdripping mode) при дальнейшем увеличении разности потенциалов.
Рост разности потенциалов ведет к уменьшению характерного времени развития капиллярной неустойчивости τ γ(ν ) . Основным признаком смены режима распыления со струйно-капельного режима
(jet-dripping mode) на веретенообразный режим (spindle mode), повидимому, можно считать смену знака неравенства в соотношении
между временами τ ε и τ γ(ν ) . Таким образом, для веретенообразного
режима (spindle mode) характерно то, что время релаксации электрического заряда незначительно, но превышает время нарастания
капиллярной неустойчивости: τ ε > τ γ(ν ) . Следовательно, в отличие
от струйно-капельного режима (jet-dripping mode) в данном случае
равновесное распределение зарядов на поверхности жидкости немного не успевает установиться за время, равное периоду эмиссии
основных капель. Поэтому внутри объема жидкости существует
слабое электрическое поле, а значит, отлична от нуля касательная
компонента электрического поля у поверхности жидкого мениска.
Это приводит к искажению формы поверхности мениска в сторону
его большего вытягивания и заострения. Теперь форма мениска
скорей напоминает конус, чем сфероид (см. струйно-капельный
режим (jet-dripping mode)), и развитие неустойчивости капиллярных колебаний происходит на фоне конической поверхности мениска.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кроме того, рост величины разности потенциалов U, подаваемой на разрядный промежуток, увеличивает частоту эмиссии маленьких, неосновных, капелек с вершины конуса (т.к. с ростом U
уменьшаются характерные времена развития неустойчивости всех
мод капиллярных осцилляций). Таким образом, разница между
притоком массы жидкости через капилляр, а заряда за счет проводимости и расходом массы и заряда вследствие эмиссии мелких
сильно заряженных капелек с вершины эмиссионного выступа на
вершине конуса уменьшается, но тем не менее существует. Этот
дисбаланс уравновешивается периодическим отрывом "основных"
капель, размеры которых заметно меньше, чем в струйно-капельном режиме (jet-dripping mode) (т.е. значительно меньше размеров капилляра), а заряды выше.
Такая картина, возможно, объясняется тем, что скорость уноса
заряда "неосновными" капельками настолько высока, что условие
неустойчивости выполняется не для всей поверхности конуса, а
лишь для верхней ее части, которая и отрывается, в конце концов, в
виде "основной" капли. Чем больше потенциал, тем выше скорость
уноса заряда "неосновными" каплями, тем для меньшей части поверхности конуса реализуется неустойчивость и, следовательно,
тем меньше размеры "основных" капель.
Конечно, все это лишь предположения, в которых масса сомнительных моментов. Например, то обстоятельство, что сама коническая поверхность является неравновесной поверхностью, не
означает, что часть ее будет устойчивой, а часть – нет. Скорее всего, речь нужно вести о минимальной неустойчивой моде капиллярных колебаний конической поверхности, причем с ростом разности
потенциалов U номер минимальной неустойчивой моды растет. В
результате по мере увеличения U отрыв "основных" капель происходит вследствие развития неустойчивости все более высокой моды, поэтому размер капель уменьшается, а их заряд увеличивается.
Собственно, как раз это и необходимо объяснить: почему с ростом
разности потенциалов U растет номер минимальной неустойчивой
моды? По-видимому, это происходит потому, что скорость уноса
заряда "неосновными" каплями слишком велика, чтобы могла реализоваться неустойчивость более низких мод.
Свое название обсуждаемый режим диспергирования жидкости получил из-за сильно вытянутой формы "основных" капель,
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
напоминающей веретено. Такая форма, по всей вероятности, объясняется тем, что время релаксации электрического заряда τ ε превышает характерное время капиллярной неустойчивости τ γ(ν ) , т.е.
именно электрическое поле внутри объема жидкости и касательные компоненты этого поля у поверхности мениска придают отрывающейся капле характерный вытянутый вид.
1.3.1.4. Микрокапельный режим (microdripping mode)
Основное отличие этого режима распыления от веретенообразного (spindle mode) в том, что при микрокапельном режиме выполняется баланс между притоком массы жидкости через капилляр
и ее расходом за счет эмиссии мелких капелек с кончика струйки
не вершине конического мениска. В результате не возникает необходимости в периодическом отрыве более крупных слабо заряженных капель, им просто не из чего образовываться. Очевидно, что
необходимый баланс притока и расхода жидкости может быть достигнут двумя путями (если исходным пунктом считать веретенообразный режим распыления): 1) уменьшением объемного расхода
жидкости V , т.е. уменьшением притока жидкости через капилляр
(это означает увеличение характерного времени τ V ); 2) увеличением разности потенциалов U, подаваемой на разрядную систему (это
означает уменьшение характерного времени τ γ(ν ) , а также увеличение частоты эмиссии маленьких капелек, а следовательно и расхода жидкости). Таким образом, две указанные возможности и являют собой два основных пути перехода от веретенообразного режима (spindle mode) к микрокапельному режиму распыления
(microdripping mode). Возможно, конечно, и сочетание обоих этих
способов. Не исключено, что, уменьшая поток жидкости через капилляр и увеличивая потенциал, можно получить микрокапельный
режим (microdripping mode) непосредственно из струйнокапельного (jet-dripping mode).
Соотношение характерных времен, типичное для микрокапельного режима (microdripping mode), следующее:
τ γ(ν ) < τ ε < τ V ~ τν .
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оно отличается от аналогичного соотношения для веретенообразного режима (spindle mode) во-первых, более строгим неравенством между временами τ α(ν ) и τ ε : τ γ(ν ) < τ ε (вместо τ γ(ν ) ≤ τ ε ) и, вовторых, менее строгим неравенством либо сменой отношения между τ V и τν : τ V ~ τν вместо τ V < τν .
Итак, основными каплями в микрокапельном режиме (microdripping mode) становятся маленькие (с размерами, много меньшими размера капилляра) сильно заряженные капельки. Поэтому
спектр распределения образующихся в этом режиме капель по радиусам и зарядам гораздо более узкий в сравнении со спектрами,
возникающими при распылении жидкости в струйно-капельном
либо в веретенообразном режимах (jet-dripping mode или spindle
mode).
1.3.1. 5. Конусно-струйный режим (cone-jet mode)
[конусно-короткоструйный режим (cone-short jet mode)]
Дальнейшее увеличение разности потенциалов U на разрядном
промежутке приводит к тому, что характерное время развития капиллярной неустойчивости τ γ(ν ) становится много меньше характерного времени электрической релаксации τ ε : τ γ(ν )  τ ε . Это приводит к тому, что процесс распыления все больше напоминает распыление плохо проводящих жидкостей: электрический заряд не
успевает перераспределиться и поэтому в объеме жидкости постоянно существует значительное электрическое поле (за счет которого электрические заряды движутся из объема к поверхности мениска), а у поверхности жидкости существенное влияние на формирование рельефа этой поверхности оказывает тангенциальная
компонента напряженности электрического поля. Согласно работе
[51] эти два условия способствуют установлению внутри конического жидкого мениска вихревого движения, причем у боковой поверхности мениска жидкость движется вниз (в направлении поля
силы тяжести), а вблизи оси симметрии конуса – вверх. Установление такого профиля скоростей приводит к тому, что жидкость у
поверхности конуса как бы "сдергивается" электрическим полем
вниз и формирует струю на вершине конуса, которая, распадаясь
на некотором расстоянии от этой вершины, образует отдельные капли. Длина нераспавшейся части струи сильно зависит от вязкости
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жидкости. Для маловязких жидкостей (τ ε  τν ) струя очень короткая и практически нет разницы между микрокапельным (microdripping mode) и конусно-короткоструйным (cone-short jet mode)
режимами. Таким образом, выделение конусно-струйного режима
в особый режим распыления имеет смысл лишь для средневязких
жидкостей (τ ε < τν ), для которых нераспавшаяся часть струи имеет
заметную длину.
Соотношение характерных времен для этого режима имеет вид
τ γ(ν )  τ ε < τν ~ τ V .
При дальнейшем увеличении потенциала исходная струя может расщепляться (см. [63]) либо может наступить многоструйный
режим распыления: по периметру капилляра возникает несколько
эмиссионных выступов, количество которых зависит от величины
потенциала.
1.3.2. Вязкие жидкости (τν ≤ τ ε )
Отличительной чертой эволюции поверхности мениска жидкости с вязкостью, которая не может считаться малой, является определяющее влияние вязкого затухания капиллярных колебаний. В
результате при не очень высоких потенциалах любое малое возмущение поверхности мениска затухает с характерным временем
τν(γ ) ':
(
τν(γ ) ≈ (ν R 2 ) − γ (1 − W ) ρ R 3
)
−1
.
Это обстоятельство определяет и некоторые особенности различных режимов распыления вязких жидкостей.
Одной из главных характерных черт всего процесса распыления вязких жидкостей является значительно меньшее разнообразие
режимов по сравнению с распылением маловязких жидкостей.
Точнее говоря, можно выделить два основных режима: капельный,
с длинной перетяжкой капельный режим (dripping long-neck mode)
и конусно-длинноструйный (cone-long jet mode). Промежуточное
положение между ними занимает (согласно работе [17]) прерывистый конусно-струйный режим (intermittent cone-jet mode). Переход от одного режима к другому осуществляется при увеличении
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
значения разности потенциалов U , подаваемой на разрядный промежуток.
1.3.2.1. Капельный режим (dripping long-neck mode)
Можно выделить два основных диапазона значений разности
потенциалов. 1) W < 1 – выведенная из равновесия поверхность
жидкости совершает затухающие колебания. Колебания свободной
поверхности мениска, как и для случая маловязких жидкостей, определяются временами τ γ и τν . Однако характерное время вязкого
затухания τν , как правило, больше характерного периода капиллярных колебаний τ α . Поэтому почти полное затухание любой моды колебаний происходит за время, меньшее одного периода (см.
[27], «Приложение 1»). Для данного диапазона значений разности
потенциалов U, подаваемой на разрядную систему, т.е. величины
параметра W , по-видимому, характерно следующее соотношение
времен:
τν ≤ τ ε < τ γ  τ V .
С увеличением потенциала U (в пределах диапазона, соответствующего изменению параметра W от нуля до ≈ 1 , характерное
время τ γ растет и, следовательно, практически полное затухание
любого колебания поверхности происходит все за меньшую долю
периода этого колебания;
2) W < Wν < 1 – величина разности потенциалов U на капилляре превышает некое фиксированное значение, поверхность жидкости перестает колебаться, а любое малое ее возмущение затухает
апериодически с характерным временем τν(γ ) . Соотношение времен
для капельного режима в данном случае следующее:
τν(γ ) ≤ τ ε  τ V .
Итак, в капельном режим отрыв капель происходит за счет
действия гравитационной и гидродинамической сил, а не вследствие развития капиллярной неустойчивости. Кроме того, на стадии
отрыва капли перетяжка, соединяющая каплю с остатком мениска,
также является более устойчивой к капиллярным колебаниям поверхности, чем в случае маловязких жидкостей, вследствие чего
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
она достигает значительных длин и малых толщин (long-neck). Когда перетяжка разрывается (т.е. происходит отрыв крупной капли),
на капилляре остается мениск с частью бывшей перетяжки на вершине (см. рис. 4 предыдущей главы) – зародышем струи. Однако в
капельном режиме величина потенциала U, по-видимому, недостаточно велика (режим характеризуется соотношением времён
τν(γ ) ≤ τ ε ), и выступ на вершине мениска исчезает за счет вязкости
быстрее, чем на его поверхности успеет скопиться заряд, достаточный, чтобы вызвать стабильное существование или рост этого выступа. Возможно, от конца струйки на вершине мениска успеет
оторваться несколько капелек, но каждая из них будет уносить
значительно больший заряд, чем тот, что успевает "подтечь" к поверхности за характерное время эмиссии этой капельки. Другими
словами, отток заряда вследствие отрыва маленьких капелек превышает его приток за счет проводимости. Таким образом в результате разрыва перетяжки генерируется несколько мелких капелексателлитов, размеры которых много меньше размеров основной
капли. В итоге разница в размерах между основными каплями и
каплями-спутниками очень существенна, и в этом одна из особенностей капельного режима для вязких жидкостей.
1.3.2.2. Конусно-длинноструйный режим
(cone-long jet mode)
Переход к этому режиму от капельного режима (dripping
mode) происходит по мере увеличения разности потенциалов, прикладываемой к разрядному промежутку. Этот режим характеризуется следующим соотношением времен:
τ ε ≤ τν(γ ) < τ V .
При увеличении параметра W характерное время вязкого затухания τν(γ ) увеличивается, т.е. затухание замедляется. Замедление
вязкой релаксации (смена знака отношения времен: τν(γ ) ≤ τ ε на
τν(γ ) ≥ τ ε ) приводит к тому, что на поверхности успевает накопиться
большой заряд. В результате скорость притока заряда становится
достаточной, чтобы скомпенсировать заряд, уносимый маленькими
капельками, отрывающимися с конца струйки на вершине мениска.
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Это, видимо, и обеспечивает стабильное существование струйки на
вершине мениска. Если быть более корректными, то речь нужно
вести не о характерном времени вязкого затухания основной моды
капиллярных колебаний, а о времени затухания нескольких высоких мод, формирующих струю.
Длина струи определяется вязкостью жидкости: чем больше
вязкость (т.е. чем меньше τν(γ ) ), тем более устойчива поверхность
струи и тем длиннее нераспавшаяся часть струи.
Кроме того, для разделения капельного (dripping mode) и конусно-длинно струйного (cone-long jet mode) режимов распыления
вязких жидкостей можно привести такие же соображения, касающиеся скорости притока и расхода массы жидкости, что использовались в случае маловязких жидкостей, а именно в капельном режиме по капилляру поступает больше жидкости, чем ее расходуется вследствие отрыва маленьких капелек с конца струйки
жидкости – остатка перетяжки на вершине мениска. Поэтому на
срезе капилляра постепенно формируется крупная основная капля.
При увеличении разности потенциалов в конусно-струйном режиме распыления скорость отрыва маленьких капелек значительно
возрастает и теперь соблюдается баланс между количеством жидкости, поступающей по капилляру, и количеством жидкости, уносимой капельками, отрывающимися с конца струйки.
1.3.2.3. Прерывистый конусно-струйный режим
(intermittent cone-jet mode)
Промежуточное положение между капельным режимом (dripping mode) и конусно-длинноструйным (cone-long jet mode) занимает, выделяемый в работе [17] прерывистый конусно-струйный
режим (intermittent cone-jet mode): при значениях разности потенциалов ниже того диапазона, в пределах которого наблюдается устойчивая струя (cone-jet), струя образуется нерегулярно (спонтанно), вершина мениска попеременно принимает то заостренную, то
закругленную формы. В прерывистом конусно-струйном режиме
(intermittent cone-jet mode) фаза эмиссии может появляться через
совершенно одинаковые промежутки времени. Однако диаметр
струи изменяется во время эмиссии, так что распределение капелек
по размерам не очень узкое. Авторы [17] полагают, что прерывистый конусно-струйный режим (intermittent cone-jet mode) является
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
аналогом веретенообразного режима (spindle mode), но для случая
вязких жидкостей, т.е. при больших вязкостях "основная" капля,
которая в веретенообразном режиме напоминает по форме веретено, в прерывистом конусно-струйном режиме (intermittent cone-jet
mode) имеет гораздо более вытянутую форму, практически похожую на струю. В работе [17, с. 179], дается пояснение, по какому
признаку авторы разделили веретенообразный (spindle mode) и
прерывистый конусно-струйный (intermittent cone-jet mode) режимы: "…эти режимы обычно приводят к весьма различающимся
распределениям капель по размерам: в веретенообразном режиме
существенная часть вытекающей жидкости расходуется на формирование основных капель, относительно крупного размера, в прерывистом конусно-струйном режима весь выходящий поток распадается на множество мелких капелек."
Отношение характерных времен имеет вид
τν(γ ) ~ τ ε  τ V .
Попытаемся дать объяснение существованию веретенообразного и прерывистого конусно-струйного режимов (spindle mode и
intermittent cone-jet mode) на основе данных работы [60]. В ней говорится, что "…для подавляющего числа жидкостей и растворов
при значительных величинах напряженности электрического поля
распыление жидкости идет через промежуточную стадию образования жидкой нити". Видимо, речь идет о конусно-струйном режиме распыления (cone-jet mode). Затем в [60] (со ссылкой на [64])
приводятся выражения для конечного радиуса нити rc и критической напряженности поля Ecr , необходимой для формирования
этой нити. В принятых выше обозначениях эти формулы выглядят
следующим образом:

rc = 2.16 V0 (U − U 0 ) εμ σ (ε − 1)(ε + 2) ;

Ecr = 2.45
μσ
,
ε (ε − 1)(ε + 2)
где V0 – объемный расход жидкости через струйку радиуса rc при
заданной разности потенциалов U; U0 – потенциал пространственного заряда в разрядном промежутке.
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
От напряженности электрического поля можно перейти к величине потенциала, подаваемого на капилляр (по используемой
нами
формуле –
см. [27],
«Приложение 3»):
E ~ U 2 R  U cr ~ 2 Ecr R . Таким образом при заданном значении
разности потенциалов U (при условии, что U > U cr ) на вершине
мениска может сформироваться струйка радиуса rc , расход жидкости через которую будет равен V0 . Если этот расход меньше, чем
количество притекающей по капилляру жидкости, то время от времени с конца капилляра будет срываться большая часть растущего
мениска в виде "основной" капли, имеющей либо веретенообразную форму (веретенообразный режим), либо сильно вытянутую
нитеобразную форму (прерывистый конусно-струйный режим). С
ростом разности потенциалов видимо, растет и объемный расход
жидкости V0 через струйку радиуса rc , поскольку V0 ~ U ⋅ rc3 , и, когда будет достигнут баланс между стоком жидкости через капилляр и расходом ее через струю, это будет соответствовать конусноструйному режиму распыления (cone-jet mode).
Оценки величины потенциала U cr , критического для формирования струйки жидкости, в анализируемых экспериментах показали (см. [27], «Приложение 4»), что U cr много меньше рабочих значений разности потенциалов U для всех экспериментов, для которых известна рабочая разность потенциалов.
Кроме того, был оценен радиус струйки rc для трех режимов
распыления этилового спирта с использованием значений объемного расхода V0 . и потенциала U из соответствующих экспериментов (U 0 везде принималось равным нулю (см. [27], «Приложение
4»). Как следует из оценок, радиус струи всегда много меньше радиуса капилляра ( rc  R ). Кроме того, обращает на себя внимание
тот факт, что микрокапельный режим распыления (microdripping
mode)) осуществляется при значительно меньшем значении объёмного расхода через капилляр V0 , чем струйно-капельный и веретенообразный режимы (jet-dripping mode и spindle mode). По видимому, именно это значение наилучшим образом соответствует значению расхода жидкости через струйку радиуса rc .
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.4. Диаграммы смены режимов,
реализующихся по мере увеличения
рабочей разности потенциалов
при электростатическом
диспергировании жидкости
В приведенной ниже диаграмме, кроме характерных времен для
классификации режимов электродиспергирования, использованы и
силы, отрывающие каплю от капилляра: Fg – сила тяжести, отрывающая каплю от капилляра; FU – сила, действующая на каплю со
стороны электрического поля, отрывающая каплю от капилляра;
FV – гидродинамическая сила, отрывающая каплю от капилляра.
Маловязкие жидкости (τ ε  τν )
Капельный режим
(dripping mode)
FV < FU  Fg
τ ε < τ γ < τ V < τν
W  0:
τ ε < τ V ≤ τ γ < τν
0 < W < 1:
τ ε < τ V < τν(γ )
Wν ≤ W < 1:

Струйно-капельный режим
(jet-dripping mode)
FV < FU ≤ Fg
W > 1:
τ ε ~ τ γ(ν ) < τ V < τν

Веретенообразный режим
(spindle mode)
FV < Fg  FU
W > 1:
τ γ(ν ) ≤ τ ε < τ V < τν

39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Микрокапельный режим
(microdripping mode)
FV ≤ Fg  FU
W > 1:
τ γ(ν ) < τ ε < τ V ~ τν

Конусно-короткоструйный режим
(cone-short jet mode)
FV ~ Fg  FU
W > 1:
τ γ(ν )  τ ε < τν ~ τ V
Вязкие жидкости (τ ε ≤ τν )
Капельный режим с длинной перетяжкой
(dripping long-neck mode)
FV  FU  Fg
W < 1 : τν(γ ) ≤ τ ε  τ V

Прерывистый конусно-струйный режим
(intermittent cone-jet mode)
FV ~ Fg < FU
W > 1: τν(γ ) ~ τ ε  τ V

Конусно-длинноструйный режим
(cone-long jet mode)
FV ~ Fg  FU
W > 1: τ ε ≤ τν(γ ) < τ V
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.5. Модификация предложенной
классификации в [30-31]
В [30 – 31] польские исследователи А. Яворек и А. Крупа
предложили несколько иной по сравнению с [27 – 29] вариант полуфеноменологической классификации наблюдаемых режимов
электродиспергирования жидкости, включающей большее количество (10 режимов) иначе феноменологически определенных режимов, чем приведено выше. В [27 – 29] в основу классификации положены физические закономерности эмиссии капель и струй неустойчивой по отношению к поверхностному заряду свободной
поверхностью жидкости, тогда как в [30 – 31] в основу классификации положено визуальное различие наблюдающегося разнообразия режимов. Так, в [30 – 31] в отдельные режимы выделены многоменисковые (многоструйные) каналы полидиспергирования
жидкости (см. рис. 1 – 4), хотя чисто физически закономерности
эмиссии с вершин нескольких эмиссионных выступов и с одной
вершины не различаются и появление многоструйных режимов
связано лишь с особенностями формирования эмиссионных выступов, а не с закономерностями выброса последними капель и струй
жидкости (см. также [17, 81]). Вместе с тем в [30 – 31] обращено
внимание на маятникоподобные движения мениска на торце капилляра (рис. 5), а также на вращательное движение мениска вокруг оси симметрии капилляра при эмиссии мениском капель и
струй (рис. 6). Возникновение таких режимов, по всей видимости,
связано с обратным электростатическим влиянием заряженных капель и струй, а также объемного электрического заряда в межэлектродном пространстве, на сам мениск. Выделение режимов, связанных с периодическими маятникоподобным и вращательным
движениями мениска в отдельные режимы полидиспергирования,
представляется оправданным физически с точки зрения различия
закономерностей эмиссии капель и струй в таких ситуациях по
сравнению с неподвижными менисками.
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1. Многоверетенный режим.
Мениск на торце капилляра плоский,
разделенный на несколько
эмитирующих конусов
Рис. 2. Режим с нерегулярно
ветвящимся мениском. Мениск
состоит из нескольких хаотически
ориентированных коротких струй
Рис. 3. Многоструйный режим.
Мениск плоский с несколькими
эмиссионными выступами на краях
капилляра, из вершин которых
выбрасываются струи. Характерный
поперечный размер эмиссионного
выступа примерно равен толщине
стенки капилляра
Рис. 4. Режим ветвящихся струй.
Мениск конический устойчивый,
а с боковой поверхности струи,
выбрасываемой из его вершины,
хаотическим образом
эмиттируются дочерние струйки,
распадающиеся на капли. Ранее об
этом режиме сообщалось в [81]
Кроме режимов, проиллюстрированных на рис. 1 – 6, в [30]
выделяются капельный, микрокапельный, веретенообразный и конусно струйный режимы, описанные выше. Причем капельный режим включает в себя два режима из классификации [27 – 29] – собственно капельный и струйно-капельный (капельный с сателлитами – dripping+sibbling по [30]), – хотя эти два режима существенно
различаются даже по данным, приведенным в [30]. Следует отметить, что в отличие от классификации [27 – 29], разработанной на
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
основе экспериментальных исследований, проведенных другими
авторами, где каждый режим подтверждался ссылками на эксперименты, в которых его наблюдали, в [30-31] таких ссылок нет, и
создается впечатление, что предлагаемая классификация основана
лишь на экспериментах самих авторов.
Рис. 5. Режим осциллирующей
струи. Мениск искаженный,
осциллирующий в плоскости
перпендикулярно направлению
электрического поля.
Распадающаяся на капли струя
осциллирует в плоскости
Рис. 6. Режим прецессирующей
струи. Мениск искаженный,
вращается вокруг оси капилляра
(направления внешнего
электрического поля). Струя
спиралевидная, вращающаяся вокруг
оси капилляра
В [30 – 31] не проводится глобального разделения режимов
электродиспергирования жидкостей на мало- и сильновязкие, как
это проделано выше (см. [27 – 29]), но в основу классификации положено сравнение, как и в [27 – 29, 61], характерных времен различных стадий процесса электродиспергирования, в качестве которых в Гауссовой системе единиц выбраны следующие:
τ e = ( ε σ ) – характерное время максвелловской релаксации
электрического заряда или время выравнивания электрического
потенциала в жидкости;
τ j = ρ l ⋅ν l ⋅ D0 γ – характерное время формирования струи, где
D0 – внутренний диаметр капилляра, ν l – коэффициент кинематической вязкости жидкости; ρ l – массовая плотность жидкости;
τ ρ = ρ l ⋅ D03 γ – характерное время инерционной деформации
мениска или струи;
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
τ q = ρ g ⋅ν g ⋅ Rk ⋅ h 2 Qk ⋅ U – характерное время удаления заряжен-
ной капли из разрядного промежутка; где ν g – коэффициент кинематической вязкости газа; ρ g – массовая плотность газа; h – расстояние от торца капилляра до противоэлектрода; Rk – радиус k-й
капли; Qk – заряд k-й капли; U – разность потенциалов, приложенных к разрядной системе;

τ l = π ⋅ D03 4V – характерное время подачи жидкости к мениску
по капилляру, где V – объемный расход жидкости.
Тем не менее в [30] главным основанием для разделения на
режимы является визуальное различие, а ссылки на характерные
времена приводятся posteriori. Отметим также, что τ q зависит от
размеров капли и не может быть задано a priori. Во временах же τ ρ
и τ l следует использовать не внутренний диаметр капилляра, на
торце которого образуется мениск жидкости, а внешний диаметр,
т.к. именно он определяет характерный линейный размер мениска.
Приведенный набор характерных времен, предложенных в
[30], можно пополнить характерным временем периодического
движения мениска под влиянием силового воздействия флуктуаций
объемного заряда в межэлектродном пространстве, действующего
на мениск перпендикулярно оси симметрии системы, на основе
анализа уравнения движения мениска на торце капилляра (см.
рис.5- рис.6):
d 2ξ
m 2 = Fq ;
dt
3
где m ≈ 2π R ρ 3 – масса мениска (для оценки по порядку величины принимаем его полусферическим); ξ – смещение мениска от
положения равновесия; Fq – сила, действующая на заряженный мениск со стороны объемного заряда в межэлектродном пространстве. Для оценки Fq по порядку величины примем, что флуктуации

напряженности электрического поля ΔE , создаваемого объемным
зарядом в окрестности
мениска, перпендикулярные оси симметрии
 
системы ΔE ⊥ E , собственно говоря, и приводящие к появлению
осцилляций или прецессионного движения мениска, как минимум
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
на порядок меньше напряженности электрического поля E ≈ U h ,
создаваемого в окрестности мениска системой электродов


ΔE  E . При нарушении этого условия напряженность полного
поля в окрестности мениска может упасть ниже критической
для


начала эмиссии капель и струй. Перепишем условие ΔE  E ина

че, как ΔE = δ ⋅ E , где δ – постоянный безразмерный множитель,
много меньший единицы. Тогда электростатическая сила, действующая на мениск со стороны объемного заряда, по порядку величины будет, как минимум, на порядок меньше силы, действующей
на мениск со стороны разности потенциалов, приложенной к разрядному промежутку. Заряд на мениске Q оценим, умножая поверхностную плотность заряда на мениске χ ≈ U 4π R на площадь
поверхности мениска 2π R 2 : Q ≈ RU 2 . Тогда сила Fq определится
соотношением Fq = Q ⋅ δ ⋅ E
ξ
R
≈−
δ ⋅U 2 ⋅ ξ
2h
, и получим уравнение дви-
жения мениска
2π R 3 ρ d 2ξ
δ ⋅U 2
≈−
ξ; 
3
dt 2
2h
d 2ξ
+ ω 2ξ ≈ 0;
2
dt
3δ U 2
ω ≡
.
4π ρ R 3h
2
Знак «минус» в силе Fq появляется, поскольку речь идет о силе отталкивания заряда мениска от одноименного объемного заряда.
Отсюда очевидно, что характерное время периодического процесса – период – определится соотношением
T ≈ 4π R ρ hR U δ .
Таким образом, характерное время периодического движения
мениска τ ω примет вид:
τ ω ≡ T ≈ 4π R ρ hR U δ ~ 4π R ρ hR U .
Можно отметить, что точно такое же выражение для τ ω с точностью до множителя 4π можно получить на основе метода размерностей. Для режимов осциллирующих и прецессирующих
струй (см. рис. 5 – 6) время τ ω должно быть малым, поскольку вна45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чале возникают осцилляции или прецессия струи, а уже потом
формируется соответствующий режим полидиспергирования.
Бросающимся в глаза существенным недостатком системы характерных времен, положенных в основу классификации [30], является то, что электрическая характеристика феномена – разность
потенциалов U – входит только в одно время τ q , которое в реальности к самому процессу отрыва капли от мениска или к распаду
струи на капли отношения не имеет но играет роль второго плана.
Характерное время инерционной деформации мениска или струи
τ ρ оказывается не зависящим ни от вязкости жидкости v, ни от
приложенной разности потенциалов U. Из пяти характерных времен, предложенных в [30], три совпадают по смыслу с характерными временами, предложенными ранее в [27 – 29]: это τ e и после
устранения упомянутых выше очевидных недостатков τ ρ и τ l . Характерное время τ q имеет отношение лишь к режимам осциллирующих и прецессирующих струй и содержит в своем определении
физическую величину (радиус капли), относящуюся не к установке, но к капле. А физический смысл характерного времени τ j и его
отношение к феномену электродиспергирования жидкости вообще
непонятны (неясно, о формировании какой струи идет речь, поскольку радиусы струй выбрасываемых неустойчивым мениском,
как минимум, на порядок меньше радиуса капилляра). Характерное
время, определенное таким образом, может иметь отношение к
процессу стягивания в каплю под действием силы поверхностного
натяжения куска струи неправильной формы с характерным линейным размером D0 .
Тем не менее в целом классификация [30 – 31] дополняет вариант классификации [27 – 29] до более полной картины полуфеноменологического разделения режимов электродиспергирования
жидкости. Но, выбирая между двумя относительно подробными
классификациями [27 – 29] и [30 – 31], авторы настоящей книги сосредоточат далее свои усилия на усовершенствовании классификации, предложенной в [27 – 29], поскольку она является более полной и строгой и оставляет простор для уточнения на основе углубленного понимания физических закономерностей осцилляций,
неустойчивости и спонтанного распада заряженных струй.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Физические закономерности
реализации неустойчивости
по отношению к поверхностному заряду
мениска жидкости на торце капилляра
2.1. Линейный анализ
устойчивости мениска
В настоящей работе в рамках наиболее простой модели будут
рассмотрены общие закономерности потери устойчивости мениском жидкости на торце капилляра, по которому жидкость подается в разрядную систему. В качестве исходного положения принимается, что неустойчивая поверхность жидкости выбрасывает
струю, когда отрицательное давление на поверхность, обусловленное влиянием внешних силовых полей, превысит суперпозицию
положительного давления сил поверхностного натяжения под виртуально искривленной поверхностью жидкости и давления поля
сил тяжести.
1. Постановка задачи. Примем, что вертикально ориентированная открытая с обоих концов трубка с внутренним радиусом R,
ось симметрии которой совпадает с осью OZ цилиндрической сис 


темы координат – nz  g , где nz – орт оси OZ; g – ускорение поля
сил тяжести, – заполнена вязкой несжимаемой идеально проводящей жидкостью с массовой плотностью ρ, кинематической вязкостью ν и коэффициентом поверхностного натяжения γ . Нижний
срез трубки совпадает с плоскостью z = 0 в системе плоских электродов, нижний из которых удален на бесконечность, так что между электродами существует
однородное электростатическое поле

напряженностью E0 (см. рис.1). Зададимся целью исследовать на
устойчивость мениск жидкости на торце капилляра по отношению
к действию электрического поля и поля силы тяжести, имея в виду,
что на торце капилляра могут реализоваться две апериодические
неустойчивости.
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис.1. Схематическое изображение установки
для электродиспергирования жидкости,
на основе которой производится анализ
устойчивости мениска
Уравнение поверхности мениска, возмущенной капиллярным
волновым движением тепловой природы весьма малой амплитуды, –  κ T γ ( κ – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура), – запишется в виде
z = ξ ( r ,ϕ , t ) ;
ξ << R ,
(1)
где ξ ( r ,ϕ , t ) – возмущение поверхности мениска.
Математическая формулировка задачи состоит из уравнений
гидродинамики вязкой жидкости и электростатики (в предположении, что скорость движения поверхности мениска много меньше
релятивистской):




∂U
1
+ U ∇ U = − ∇P + ν ⋅ ΔU + ∇( g ⋅ z ) ;
ρ
∂t
(
)
z = ξ ( r ,ϕ , t ) :
Φ ≡ const ;
dF
= 0;
dt

divU = 0;
F ( r ,ϕ , t ) = z − ξ ( r ,ϕ , t ) = 0 ;
  

 
τ ( n ∇ )U + n (τ ∇ )U = 0 ;
2

 
 ( ∇Φ )
− ( P − P* ) + 2ν n ( n ∇ )U + γ ⋅ divn −
= 0;
8π
z = 0, r = R :
ξ (r ,ϕ , t ) = 0;
48
ΔΦ = 0 ;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

−∇Φ → E0 ;
z →∞:


U < ∞,
r → 0:

где τ и n – орты касательной и нормали к поверхности
  мениска

(1); P* – постоянное давление в окружающей среде; U ( r , t ) , P ( r , t )

и Φ ( r , t ) – поля скоростей и давлений в жидкости и поле электростатического потенциала в окружающей среде.
В нулевом приближении по малой амплитуде возмущения
ξ ( r ,ϕ , t ) равновесную поверхность мениска, пренебрегая эффектом
смачивания на торце трубки, будем считать совпадающей с плоскостью z = 0 ; гидродинамическое давление определится высотой
столба жидкости; поле скоростей течения жидкости будет тождественно равно нулю, а потенциал электростатического поля будет
иметь вид Φ 0 = − E0 z.
Для упрощения записи и последующих вычислений перейдем к
безразмерным переменным, в которых g = ρ = γ = 1 , и, оставляя за
всеми переменными прежние обозначения, перепишем математическую формулировку задачи в линейном по безразмерной амплитуде возмущения свободной поверхности мениска приближении
(отметим, что при принятом обезразмеривании характерным линейным пространственным масштабом, на который обезразмеривается амплитуда возмущения, является капиллярная постоянная
жидкости α ≡ γ ρ g ). При линеаризации задачи учтем, что поля
 

скоростей и давлений в жидкости U ( r , t ) , P1 ( r , t ) , а также поправка

к электростатическому полю Φ1 (r , t ) , связанные с волновым возмущением поверхности (1), имеют первый порядок малости. В итоге получим


∂U
= −∇P1 + ν ⋅ ΔU + ∇z ;
∂t
z = 0:
Φ1 = −
z = 0, r = R :

divU = 0;
ΔΦ1 = 0 ;
∂ξ
∂U r ∂U z
+
=Uz;
= 0;
∂t
∂z
∂r
∂U z ∧
1  ∂Φ 0 ∂Φ1 
− P1 − 2ν
+ Lξ +

=0
4π  ∂z ∂z 
∂z
;
∂Φ 0
ξ;
∂z
ξ (r ,ϕ , t ) = 0;
49
∂U ϕ
∂z
(2)
+
∂U z
= 0;
r ⋅ ∂ϕ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Φ1 → 0 ;
z →∞:
r → 0:
∧
L≡

U < ∞;
1 ∂ ∂ 1 ∂2
r +
.
r ∂r ∂r r 2 ∂ϕ 2
2. Скаляризация задачи. Для упрощения нижеследующих
рассуждений проведем скаляризацию задачи по методике, описанной в [64].
Из общих соображений очевидно, что произвольное векторное

поле U (r , t ) может быть разложено на сумму трех ортогональных
векторных полей. Это, в частности, можно сделать при помощи

∧
векторных дифференциальных операторов N j :
∧
3 
 

U ( r , t ) =  N j ⋅ψ j ( r , t ) ,
(3)
j =1
∧

где ψ j (r , t ) – скалярные функции, а операторы N j , где j = 1;2;3, в
цилиндрической системе координат удобно выбрать в виде
∧
N1 ≡ ∇ ;
В
∧

N 3 ≡ ∇ × ( ∇ × ez ) .
∧

N 2 ≡ ∇ × ez ;
цилиндрической
системе
координат
векторные
(4)
поля
∧

N j ⋅ψ j ( r , t ) в соотношении (3) будут иметь следующие компоненты:
∧

 ∂ψ 1  1 ∂ψ 1  ∂ψ 1
+ eϕ
+ ez
N1ψ 1 ( r , t ) = er
;
∂r
∂z
r ∂ϕ
∧


 1 ∂ψ 2  ∂ψ 2
− eϕ
N 2ψ 2 ( r , t ) = ∇ × ezψ 2 = er
;
∂r
r ∂ϕ
∧


 ∂ 2ψ 3  1 ∂ 2ψ 3   1 ∂  ∂ψ 3  1 ∂ 2ψ 3 
.
N3ψ 3 ( r , t ) = ∇ × ( ∇ × ez )ψ 3 = er
r
+e
−e
−
∂r∂z ϕ r ∂ϕ∂z z  r ∂r  ∂r  r 2 ∂ϕ 2 
Несложно убедиться, что операторы (4) удовлетворяют условиям ортогональности:
∧ 2
∧ + ∧
N j N i = δ ij ⋅ N j
50
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и условиям коммутативности с оператором Лапласа:
∧
∧
Δ ⋅ N j = N j⋅ Δ ,
∧ +
∧
где N j – операторы, эрмитовосопряженные к операторам N j .
Подставим разложение (3) в линеаризованное уравнение Навье – Стокса (2) и, пользуясь свойствами коммутативности опера∧
торов N j с оператором Лапласа, запишем (2) в виде
∧  ∂ψ j

+ ( P1 − z ) ⋅ δ1 j − ν ⋅ Δψ j  = 0 .
Nj 

j =1
 ∂t

3
Последовательно умножая слева полученное равенство ска-
∧ +
лярным образом на операторы N j где j = 1;2;3 , и пользуясь их ор-
тогональностью (см. (4)), вместо одного векторного линеаризованного уравнения Навье-Стокса (2) получим систему
∧ + ∧  ∂ψ j

+ ( P1 − z ) ⋅ δ1 j − ν ⋅ Δψ j  = 0 ;
N j N j 
 ∂t

j = 1;2;3 .
(6)
∧
Поскольку операторы N j коммутируют с оператором Лапласа
∧ +
(см.(6)), то, в силу самосопряженности последнего, операторы N j
также будут с ним коммутировать. Но сказанное означает, что и
∧
∧
операторы N +j N j будут коммутировать с оператором Лапласа и,
следовательно, иметь общую систему собственных функций {φ j } :
∧ ∧
N +j N j φk = μkφk ;
Δφk = λkφk .
Разложим по бесконечному набору собственных функций {φ j }


функции ψ j (r , t ), P1 (r , t ) − z , входящие в выражение, стоящее в (6) в
фигурных скобках:


P1 (r , t ) − z =  H k ⋅φk .
ψ j (r , t ) =  Gk( j ) ⋅φk ;
k
k
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теперь подставим эти разложения в (6) и после несложных
преобразований получим
∧ +
 ∂ ( j)
 
( j)
k  ∂t Gk + Dk ⋅ δ1 j −ν ⋅ Gk λk  N j N j φk = 0 ,
∧
или
∂

k  ∂t Gk( j ) + Dk ⋅ δ1 j −ν ⋅ Gk( j )λk  μ φk = 0 .
k
Поскольку система собственных функций {φ j } в общем случае
не нулевая, то полученное равенство может выполниться в двух случаях: либо равны нулю все собственные значения {μk } , что в общем
случае неверно, либо выражения в фигурных скобках примут вид
∂ ( j)
Gk + Dk ⋅ δ1 j − ν ⋅ Gk( j )λk = 0.
∂t
Умножим теперь каждую скобку на собственную функцию φk с
тем же номером и, суммируя по k , получим три скалярных уравнения для отыскания неизвестных функций ψ j :
∂ψ j
∂t
+ ( P1 − z )δ1 j − ν ⋅ Δψ j = 0 ,
( j = 1;2;3 ).
(7)
Уравнение неразрывности (2) после подстановки в него разложения (3) и учета свойств ортогональности (4) приводится к виду
Δψ 1 = 0 .
(8)
Первое уравнение системы (7) при учете (8) позволяет получить выражение гидродинамического давления внутри жидкости,
связанного с волновым движением:
P1 = −
∂ψ 1
+ z.
∂t
(9)
Тогда (7) – (8) можно переписать в виде
(1 − δ1 j )
∂ψ j
∂t
− ν ⋅ Δψ j = 0 ;
52
j = 1;2;3
(10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 
Проекции поля скоростей U (r , t ) на орты цилиндрической сис
темы координат, выраженные через скалярные функции ψ j ( r , t ) ,
имеют вид

∂ψ 1 1 ∂ψ 2 ∂ 2ψ 3
;
+
+
U r (r , t ) =
∂r r ∂ϕ ∂z∂r

1 ∂ψ 1 ∂ψ 2 1 ∂ 2ψ 3
Uϕ (r , t ) =
;
−
+
r ∂ϕ
∂r r ∂z∂ϕ

∂ψ 1  1 ∂  ∂ψ 3  1 ∂ 2ψ 3 
.
−
+
U z (r , t ) =
r
∂z  r ∂r  ∂r  r 2 ∂ϕ 2 
(11)
Используя выписанные выражения, переформулируем кинематическое и динамические граничные условия задачи первого по
рядка малости через неизвестные функции ψ j (r , t ) :
∂ξ ∂ψ 1 ∧
− Lψ 3 ;
=
∂z
∂t
z = 0:
∂
1 ∂
f1 +
f 2 = 0;
∂r
r ∂ϕ
1 ∂
∂
f1 −
f 2 = 0;
∂r
r ∂ϕ

∂ψ 1 ∂ 2ψ 3 ∧
+ 2 − Lψ 3 ;
f1 (r , t ) ≡ 2
∂z
∂z

∂ψ 2
f 2 (r , t ) ≡
;
∂z
∧ ∂ψ 
∧
 ∂ 2ψ
∂ψ 1
1
− ξ + 2ν  21 − L 3  + Lξ +
4π
∂t
∂z 
 ∂z
 ∂Φ 0 ∂Φ1 

 = 0.
z
z
∂
∂


(12)
(13)
(14)
3. Преобразования динамических граничных условий для
касательных компонент тензора напряжений (13). Умножим
первое граничное условие (13) на координату r и продифференцируем один раз по r , затем сложим со вторым граничным условием
(13), продифференцированным по углу ϕ , а результат разделим на
r и в итоге найдем соотношение
∧

L f1 (r , t ) = 0.
(15)
Умножим теперь второе граничное условие (13) на координату
r и продифференцируем один раз по r, затем сложим с первым граничным условием (13), продифференцированным по углу ϕ , а результат разделим на r , и в итоге найдем соотношение
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∧

(16)
L f 2 (r , t ) = 0.
Рассмотрим
детальнее
выражение
(16),
учитывая,
что
∧

f 2 (r , t ) ≡ ∂ψ 2 ∂z , а также то обстоятельство, что операторы L и ∂ ∂z
коммутируют друг с другом. Тогда (16) можно переписать в виде
∧
L⋅
∂
∂ ∧
ψ 2 ≡ ⋅ Lψ 2 ≡ 0.
∂z
∂z
∧
Из (17) следует, что либо Lψ 2 = 0 , либо
(17)
∂ψ 2
= 0 . Первое из вы∂z
писанных соотношений в общем случае не может выполниться в
силу соотношения (7) для ψ 2 , значит, верно второе:

∂ψ 2
f 2 (r , t ) ≡
= 0.
∂z
(18)
Несложно убедиться в том, что
∧ + ∧
L ≡ N j N j .
∧
Покажем это, учитывая, что
В итоге
∧

N 2 ≡ ∇ × ez
∧
∧
и N 2+ ≡ ez × ∇ ≡ −∇ × ez ≡ − N 2 .
∧ ∧





 
N +j N j ≡ − ( ∇ × ez )( ∇ × ez ) ≡ − ( ∇ × ez × ∇ )ez ≡ − ( ez Δ − ∇(∇ez ) )ez ≡
∧


∂2
≡ −Δ + ( ez ∇ )( ez ∇ ) ≡ −Δ + 2 ≡ − L .
∂z
Преобразуем теперь (15), учитывая, что согласно принятому
выше
∧ + ∧
N j N j φk = μkφk ;

ψ j (r , t ) =  Gk( j ) ⋅φk .
k
В итоге получим:
∧ + ∧  ∂ψ 1 ∂ 2ψ 3 ∧ 

+ 2 − Lψ 3  ≡
L f1 (r , t ) ≡ − N j N j 2
z
∂
∂z


∧
54
(19)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
 (1) ∂

(3) ∂
≡ − 2Gk ⋅ + Gk ⋅ 2 + Gk(3) ⋅ μk  μkφk = 0.
∂z
∂z
k 

Последнее равенство при {μk } ≠ 0 выполняется только при условии равенства нулю выражений, стоящих в фигурных скобках:
2Gk(1) ⋅
∂
∂2
+ Gk(3) ⋅ 2 + Gk(3) ⋅ μk = 0.
∂z
∂z
Умножим теперь каждую скобку на собственную функцию φk с
тем же номером и, суммируя по k, найдем

∂ψ 1 ∂ 2ψ 3 ∧
f1 (r , t ) ≡ 2
+
− Lψ 3 = 0 .
∂z
∂z 2
(19)
В итоге соотношения (18) и (19) заменяют собой пару динамических граничных условий для касательных компонент тензора напряжений (13).
Из системы гидродинамических граничных условий (12), (14) и

(19) видно, что функция ψ 2 (r , t ) , не зависящая согласно (18) от координаты z и характеризующая согласно общей идеологии метода
скаляризации плоские вихревые движения в жидкости перпендикулярные оси симметрии системы, при исследовании устойчивости
мениска может быть опущена, т.к. она не входит ни в одно из граничных условий (12), (14), (19).
4. Вывод и анализ дисперсионного уравнения. Решения
уравнений (7) – (8) в цилиндрической системе координат, ограниченные на оси симметрии, будем искать в виде следующих разложений:

ψ 1 (r , t ) =
∞

Anj ⋅ J n (k j r ) ⋅ exp ( inϕ ) ⋅ exp ( k j ⋅ z ) ⋅ exp ( − s j t ) ;
∞
Bnj ⋅ J n (k j r ) ⋅ exp ( inϕ ) ⋅ exp ( q j ⋅ z ) ⋅ exp ( − s j t ) ,
n =0, j =1

ψ 3 (r , t ) =

n =0, j =1
(20)
где q 2j ≡ k 2j + s j /ν ; s j – комплексная частота; k j – волновое число;
n и j – целые числа; J n ( k j r ) функция Бесселя первого рода.
Решение уравнения Лапласа (2) для отыскания потенциала


электростатического поля Φ1 (r , t ) , так же как и функцию ψ 1 (r , t ) ,
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
имеющую смысл гидродинамического потенциала и являющуюся
решением уравнения Лапласа (8)? будем искать в виде

Φ1 (r , t ) =
∞

n =0, j =1
Cnj ⋅ J n (k j r ) ⋅ exp ( inϕ ) ⋅ exp ( k j ⋅ z ) ⋅ exp ( − s jt ).
(21)
Так же? как и выражение для волнового возмущения мениска
ξ ( r ,ϕ , t ) =
∞
Dnj ⋅ J n (k j r ) ⋅ exp ( inϕ ) ⋅ exp ( − s j t ).

n =0, j =1
(22)
Из граничного условия задачи (2) для электростатического потен
циала Φ1 (r , t ) легко найти связь между коэффициентами Cnj и Dnj в
виде
Cnj = E0 ⋅ Dnj .
Теперь, подставляя в граничные условия (12), (14), (19) проекты
решений (20) – (22), получим систему трех однородных алгебраических уравнений для отыскания неизвестных коэффициентов разложений Anj , Bnj , Dnj , которая имеет решения только при условии
обращения в нуль определителя, составленного из множителей при
искомых коэффициентах Anj , Bnj , Dnj . Это требование и даст нам
дисперсионное уравнение задачи:
(s
2
2 4
2
j + 2ν k j ) + ω j = 4ν k j 1 +
2
ω 2j ≡ k 3j − k j − W ⋅ k 2j ;
s
;
ν k 2j
(23)
W ≡ E02 4π .
Несложно видеть, что дисперсионное уравнение формально имеет
такой же вид, как и для плоских капиллярно-гравитационных волн
на заряженной поверхности вязкой жидкости [65 – 66] отличие в
том, что теперь иначе определена частота ω j , поскольку ускорение
поля сил тяжести в рассматриваемой задаче играет дестабилизирующую роль и входит со знаком, обратным по сравнению с классической задачей о волнах на свободной поверхности жидкости
[65 – 66], и, кроме того, величина волнового числа изменяется не
непрерывно, как было в [65 – 66], но должна удовлетворять усло56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
виям закрепления мениска на торце трубки: z = 0, r = R :
ξ (r ,ϕ , t ) = 0 . Подставляя сюда (22), несложно найти, что спектр допустимых волновых чисел определяется корнями функций Бесселя:
J n ( μnj ) = 0;
μnj ≡ knj R.
(24)
Несколько первых корней системы (24) имеют величины [67]:
n = 0 : μ01 = 2.405, μ02 = 5.520, μ03 = 8.654, μ04 = 11.792;
n = 1: μ11 = 3.832, μ12 = 7.016, μ13 = 10.174, μ14 = 13.324;
n = 2 : μ21 = 5.136, μ22 = 8.417, μ23 = 11.620, μ24 = 14.796;
n = 3: μ31 = 6.380, μ32 = 9.761, μ33 = 13.015, μ34 = 16.223.
В асимптотике малой вязкости, когда безразмерный коэффициент кинематической вязкости много меньше единицы ν  1 (в
размерном виде ν  4 γ 3 ρ 3 g ), дисперсионное уравнение (23) можно записать в линейном приближении по безразмерной вязкости и
оно существенно упростится:
snj2 + 4ν knj2 snj + ωnj2 = 0,
(25)
а его решения в том же приближении легко выписываются в виде
snj (1;2) = −γ nj ± iω0 ≡ −2ν knj2 ± (2ν knj2 )2 − ωnj2 ≅ −2ν knj2 ± −ωnj2 ≡
≡ −2ν knj2 ± −(knj3 − knj − W ⋅ knj2 ) .
(26)
Следует сразу отметить, что условие малости вязкости жидкости ν  1 , оставляет весьма широкий простор для использования
упрощенного и наглядного соотношения (26). В самом деле, величина характерного масштаба измерения кинематической вязкости
жидкости при принятом обезразмеривании на 4 γ 3 ρ 3 g для большинства используемых в технических приложениях жидкостей измеряется единицами стоксов ( cm 2 s −1 ) [27]. Так, например, для воды
характерный масштаб измерения кинематической вязкости равен
≈ 4.4 cm 2 s −1 , тогда как величина размерной кинематической вязкости для воды равна 0.01 cm2 s −1 . Таким образом, область применимо57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сти соотношений (26) в технических и технологических приложениях достаточно велика.
5. Анализ устойчивости мениска жидкости на торце капилляра
5а. Дестабилизирующее влияние поля сил тяжести. В (26)
γ nj характеризует декремент затухания осцилляций мениска, а ωnj –
их частоту. Из (26) видно, что условием нарушения устойчивости
мениска является условие прохождения через нуль в область отрицательных значений квадрата частоты ωnj . При этом частота snj
становится вещественной положительной, что согласно общему
виду решений (20)-(22) соответствует их экспоненциальному росту
со временем. Условие нарушения устойчивости мениска по отношению к возмущениям бесконечно малой амплитуды имеет вид:
knj3 − knj − W ⋅ knj2 = 0 ;
W = knj − knj−1.
или
(27)
Соответствующая зависимость проиллюстрирована кривой 1 на
рис. 2 (отрицательные значения W физического смысла не имеют).
Рис. 2. Зависимость критического для проявления неустойчивости мениска
значения параметра W от безразмерного волнового числа k:
1 – поле сил тяжести играет дестабилизирующую роль;
2 – поле сил тяжести играет стабилизирующую роль;
3 – поле сил тяжести отсутствует
Учтем теперь, что волновое число при фиксированном радиусе
трубки может принимать только дискретно изменяющиеся значения согласно (24) и (27) можно переписать в виде
W=
μnj
R
−
R
μnj
58
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Видно, что при фиксированных n и j непрерывно могут меняться радиус трубки R и параметр W. Если теперь сформулировать проблему отыскания значений радиусов трубки R и соответствующих им величин параметра W, при которых жидкость под
влиянием поля сил тяжести и давления электрического поля начнет
вытекать из трубки, то выписанное соотношение определит связь
между критическим значением радиуса R = Rc и параметра W = Wc .
При W = Wc жидкость будет вытекать из трубки с радиусом R ≥ Rc :
Rc =
μnj
0.5 ⋅ Wc + 0.25 ⋅ Wc2 + 1
.
(28)
Из (28) ясно, что с увеличением W величина Rc снижается, как
это видно из рис. 3, где анализируемая зависимость нанесена кривой 1. Неустойчивые состояния мениска соответствуют геометрическому месту точек, расположенному выше кривой 1, а устойчивые – геометрическому месту точек, расположенному ниже ее. Несложно видеть, что для трубок достаточно больших радиусов
мениск неустойчив даже при W = 0 , т.е. в отсутствии внешнего
электрического поля, а причиной неустойчивости будет влияние
поля сил тяжести. С другой стороны для трубок малых радиусов
(для капилляров) реализация неустойчивости имеет место только
при больших значениях параметра W (при больших величинах напряженности электростатического поля).
Рис. 3. Зависимость критического для начала вытекания жидкости
значения безразмерного радиуса трубки R от величины параметра W:
1 – поле сил тяжести играет дестабилизирующую роль;
2 – поле сил тяжести играет стабилизирующую роль;
3 – поле сил тяжести отсутствует
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5б. Стабилизирующее влияние поля сил тяжести. Сформулируем теперь задачу, аналогичную рассматриваемой, с той лишь
разницей, что станем рассматривать устойчивость во внешнем электростатическом поле плоского мениска жидкости на верхнем конце
трубки в установке, подобной изображенной на рис. 1, но повернутой на 1800 относительно горизонтальной плоскости. В новых условиях поле сил тяжести играет стабилизирующую роль, а орт внешней нормали к невозмущенной поверхности плоского мениска жидкости направлен противоположно ускорению поля сил тяжести:
 
n  − g . Математическая постановка задачи и приведенные выше математические построения остаются в силе с тем отличием, что в
уравнении Навье-Стокса и динамическом граничном условии изме
нится на противоположный знак при g . Дисперсионное уравнение
по-прежнему будет иметь вид (23), а в приближении ν  1 – вид
(25), но в нем изменится выражение для ωnj2 , которое примет вид
ωnj2 ≡ knj3 + knj − W ⋅ knj2 ,
т.е. изменится знак при слагаемом, соответствующем влиянию поля сил тяжести. Вместо (27) появится зависимость
W = knj + knj−1;
(29)
а вместо (28)
R1 =
μnj
0.5 ⋅ W + 0.25 ⋅ W 2 − 1
;
и
R2 =
μnj
0.5 ⋅ W − 0.25 ⋅ W 2 − 1
.
(30)
На рис. 2 зависимость (29) нанесена кривой 2 . Зависимости (30) на
рис. 3 нанесены кривыми 2( + ) (для R1 ) и 2( − ) (для R2 ) соответственно. Мениск неустойчив на геометрическом месте точек, расположенном на рис. 3 внутри области, ограниченной сверху, снизу и
слева кривыми 2( + ) и 2( − ) . Точка слияния кривых 2( + ) и 2( − ) на
рис. 3 имеет координаты W = 2, R = μ j и соответствует критическим
условиям реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля – неустойчивости плоской однородно заряженной свободной поверхности
идеально проводящей жидкости в поле силы тяжести и противоположно ей направленном электростатическом поле. Кривая 2( + ) со60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ответствует ветви капиллярных волн на мениске, а ветвь 2( − ) –
ветви гравитационных волн.
Таким образом, мы рассмотрели устойчивость мениска жидкости в коллинеарных электростатическом и гравитационном полях,
когда ось симметрии капилляра параллельна внешним силовым
полям, действующим в одном и том же или в противоположных
направлениях. В технических устройствах, использующих феномен
электродиспергирования жидкости, ориентация капилляров, по которым жидкость подается в разрядную систему, произвольна по
отношению к направлению поля сил тяжести [27].
5в. Отсутствие поля сил тяжести. В связи со сказанным
выше рассмотрим вопрос об устойчивости плоского мениска, когда
капилляр ориентирован перпендикулярно направлению поля сил
тяжести, но параллельно внешнему электростатическому полю.
Примем для простоты, что радиус трубки мал: R < 1, она может
считаться капилляром, и влиянием изменения гидростатического
давления в жидкость вдоль радиуса капилляра можно пренебрегать. В таких условиях ускорение поля сил тяжести не будет влиять
на динамическое граничное условие. Дисперсионное уравнение попрежнему будет иметь вид (23), а в приближении ν  1 – вид (25),
но в нем изменится выражение для ωnj2 , которое упростится:
ωnj2 ≡ knj3 − W ⋅ knj2 ;
т.е. исчезнет слагаемое, соответствующее влиянию поля сил тяжести. Вместо (27) появится зависимость W = knj ; а вместо (28) –
R = μnj W . Расчетные зависимости обозначены на рис. 2 и 3 номером 3 . Из приведенных рисунков несложно видеть, что ситуация с
отсутствием влияния поля сил тяжести на устойчивость мениска
занимает промежуточное значение между рассмотренными в п. 5 и
п. 6а ситуациями, дестабилизирующего и стабилизирующего его
влияния. Причем при достаточно больших значениях параметра W,
характеризующего давление внешнего электростатического поля,
при W ≥ 6 разница между рассмотренными ситуациями с различным вкладом поля сил тяжести в реализацию неустойчивости мениска исчезает и критические зависимости, проиллюстрированные
кривыми 1, 2( + ) , 3 , сливаются в одну. Такая ситуация соответствует
малым радиусам капилляров и определяющему влиянию отрица61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тельного давления внешнего электростатического поля на устойчивость мениска. Если учесть, что в технических устройствах, использующих феномен электродиспергирования жидкости, диаметры капилляров, по которым жидкость подается в разрядную систему, не превышают десятых долей от капиллярной постоянной
диспергируемой жидкости [27], то условие W ≥ 6 , как правило,
удовлетворяется.
5г. Произвольная взаимная ориентация поля сил тяжести
и внешнего электростатического поля. Для общности в приближении R <1 рассмотрим ситуацию, когда ось капилляра и коллинеарная ей напряженность внешнего электростатического поля ориентированы под углом ϑ по отношению к направлению ускорения

поля сил тяжести (угол ϑ отсчитывается от направления g ). Разложим силу тяжести на две перпендикулярные компоненты: параллельную оси симметрии g ≡ g ⋅ cosϑ (и коллинеарную направлению напряженности внешнего электростатического поля) и перпендикулярную ей g⊥ ≡ g ⋅ sin ϑ . Тогда, согласно сказанному выше,
компонента давления поля сил тяжести, пропорциональная g , бу-
дет оказывать влияние на устойчивость мениска на торце капилляра, а компонента, пропорциональная g⊥ , не будет. Математическая
формулировка задачи об исследовании устойчивости мениска останется прежней, равно как и дисперсионное уравнение, которое
по-прежнему будет иметь вид (23), а в приближении ν  1 – вид
(25), но в нем изменится выражение для ωnj2 , которое примет вид
ω 2j ≡ k 3j − k j ⋅ cosϑ − W ⋅ k 2j .
(31)
Вместо (29) появится выражение
W = knj −
cosϑ
knj
,
а вместо (30)
R1 =
μnj
0.5 ⋅ W + 0.25 ⋅ W 2 + cosϑ
; и R2 =
62
μnj
0.5 ⋅ W − 0.25 ⋅ W 2 + cosϑ
,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где выражение для R2 определено только при cosϑ ≤ 0 , а при
cosϑ > 0 теряет смысл, поскольку приводит к отрицательным значениям радиуса. На рис. 2 и 3 соответствующие зависимости при
R <1 расположатся между кривыми 1 и 2( + ) .
Сказанное в этом разделе в приближении R <1 о закономерностях нарушения устойчивости заряженной поверхности жидкости
остается справедливым и в приложении к капле, находящейся в
скрещенных гравитационном и электростатическом полях (т.е. в
ситуации грозового облака) [10].
Интересно отметить, что в ситуации, рассмотренной в п. 6а,
когда поле сил тяжести играет стабилизирующую роль (при
cosϑ > 0 ), критическому для реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости значению параметра W соответствует
конкретная волна с волновым числом k, обладающая максимальным инкрементом неустойчивости, также как и в задаче о неустойчивости Тонкса-Френкеля [65 – 66] (когда cosϑ = 1 ). Отличие лишь
в дополнительном условии (24), накладывающем ограничение на
спектр волновых чисел. Иными словами, при cosϑ > 0 система
уравнений
d (ωnj2 )
ω = 0;
2
nj
dk
=0
(32)
имеет решение:
W = 2 cosϑ ;
k = cosϑ .
(33)
Для всех остальных рассмотренных ситуаций система (32) несовместна, а решения (33) при cosϑ ≤ 0 теряют физический смысл.
В подобной ситуации критическому значению параметра W соответствует волновое число, инкремент неустойчивости которого не
экстремален.
Неустойчивость мениска реализуется, когда проходит через
нуль и становится отрицательным ωnj2 , или согласно (31), когда
ωnj2 ≡ knj3 + knj ⋅ cosϑ − W ⋅ knj2 ≤ 0.
При фиксированных W, k и cosϑ величина инкремента неустойчивости волны с волновым числом k определится выражением
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
γ nj ≡ W ⋅ knj2 − knj3 + knj ⋅ cosϑ .
Зависимость γ j = γ j (k ) приведена на рис. 4. Несложно видеть, что максимальное значение инкремента достигается при значении
волнового
числа,
определенном
соотношением
(
)
1
W + W 2 − 3cosϑ , которое совпадает с экстремальным (33)
3
только при cosϑ > 0 .
k=
Рис. 4. Зависимость величины γ –
безразмерного инкремента
неустойчивости мениска от
безразмерного волнового числа k ,
рассчитанная при W = 20 для первой
неустойчивой осесимметричной моды
Рис. 5. Схематическое
изображение реальной
установки для
электродиспергирования
жидкости
6. Сравнение полученных результатов с опытными данными. Проведенные выше рассуждения выполнены для идеализированной системы электродов, изображенной на рис. 1, которая
была выбрана для удобства проведения аналитических расчетов. В
реальных устройствах для электродиспергирования жидкости используется система электродов, отличающаяся от приведенной на
рис. 1 выступающим капилляром, (см. рис. 5). В такой системе
электродов напряженность внешнего электростатического поля в
окрестности торца капилляра существенно (в несколько раз) превышает
 при прочих равных условиях напряженность однородного
поля E0 между электродами, изображенными на рис. 1. Если длину
выступающей части капилляра обозначить L, эксцентриситет e вытянутого сфероида, которым мы моделируем капилляр для оценки
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
напряженности электрического поля у его вершины, определится с
учетом электростатического отражения капилляра в плоском электроде известным выражением e ≡ 1 − R 2 L2 . Согласно [68] величина напряженности электростатического поля у вершины сфероида
превышает величину напряженности
внешнего однородного элек
тростатического поля E0 в χ раз:
(1 − e 2 )
1+ e
[ln(
− 2e]}−1.
χ ≡{
3
1− e
2e
Зависимость χ = χ (e) приведена на рис. 6. В реальных установках для электродиспергирования жидкости радиусы капилляров R
измеряются сотнями микрометров и при длине капилляра порядка
L = 10 ⋅ R (т.е. порядка единиц миллиметров) получим e ≈ 0.995 , а
χ ≈ 30 . Давление же электростатического поля на мениск (величина
параметра W) увеличится на три порядка по сравнению с его значением в установке, схематически изображенной на рис. 1. Сказанное означает, что в реальных установках электродиспергирование
жидкости происходит при определяющем влиянии электрического
поля (в области, где кривые 1, 2(+) и 3 на рис.3 сливаются), а влияние поля сил тяжести несущественно.
Рис. 6. Зависимость коэффициента усиления внешнего электростатического
поля на вершине сфероида χ от величины его эксцентриситета
Согласно [27 – 29] все экспериментально реализующиеся режимы электродиспергирования жидкости начинаются с выброса
струи вдоль оси симметрии капилляра. Сказанное означает, что
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
форма мениска после потери им устойчивости определяется суперпозицией функций Бесселя нулевого порядка:
ξ (r , t ) =  D0 j ⋅ J 0 (k0 j r ) ⋅ exp ( γ 0 jt ).
(34)
j
Значительное количество экспериментально наблюдаемых режимов электродиспергирования обусловлено не столько геометрическими параметрами установки, сколько разнообразием физикохимических свойств жидкостей (в первую очередь вязкостью, электропроводностью и величиной коэффициента диэлектрической
проницаемости) и варьированием массового расхода жидкости.
Так, например, при нулевом массовом расходе через капилляр (при
отсутствии течения жидкости в капилляре) на форму поверхности
мениска (34) должно быть наложено условие неизменности объема
жидкости под мениском:
R
R
0
0
 ξ (r , t ) ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ =  j D0 j ⋅ J 0 (k0 j r ) ⋅ exp (γ t ) ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ = 0,
0j
которое ограничит спектр волн, формирующих форму мениска
(отметим, что выписанные интегралы от нечетных функций Бесселя нулевого порядка положительны, а от четных отрицательны).
При большом массовом расходе жидкости и при наличии течения
жидкости вдоль капилляра при анализе устойчивости мениска необходимо принимать во внимание гидродинамическое давление
жидкости, которое в силу зависимости скорости течения от расстояния до оси капилляра не одинаковым образом скажется на устойчивости различных мод.
Необходимо также принимать во внимание то обстоятельство,
что при формировании рельефа мениска основной вклад в этот
процесс внесут моды с максимальными значениями инкрементов
неустойчивости, а рост остальных мод будет подавляться условиями ограниченности подвода жидкости в увеличивающий свою амплитуду мениск.
В соответствии с экспериментальными данными по электродиспергированию жидкостей (см., например, [27] и указанную там
литературу) радиус струи, выбрасываемой вдоль оси симметрии
капилляра, в десять – двадцать раз меньше радиуса капилляра. На
66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рис.7 приведены графики цилиндрических функций нулевого порядка, соответствующих нескольким первым корням уравнения
(24). Несложно видеть, что характерный поперечный размер центрального выступа, который и определит радиус выбрасываемой
струи, много больше того, что регистрируется в экспериментах.
Это обстоятельство можно объяснить двумя факторами. Во-первых, вполне возможно, что при больших значениях параметра Тонкса-Френкеля могут возбудиться моды с существенно большими
номерами j, чем приведенные на рисунке. Во-вторых, можно предположить, что по мере роста амплитуды центрального выступа на
мениске с радиусом кривизны, много меньшим радиуса капилляра,
и соответствующего роста напряженности поля у вершины выступа, а с ним и величины параметра W, выполнятся условия реализации неустойчивости поверхности жидкости в малой окрестности
вершины выступа и из вершины выступа будет выброшена струя
существенно меньшего радиуса.
Сказанное выше приводит к выводу, что во внешних электростатических полях достаточно большой интенсивности физическая
картина реализации неустойчивости мениска не зависит от наличия
поля сил тяжести (от ориентации капилляра) и целиком определяется электростатическим полем.
2.2. Временная эволюция
заряженного мениска жидкости
на торце капилляра
1. Формулировка задачи. В задаче, разобранной в предыдущем разделе, мы ограничились исследованием дисперсионного
уравнения, тогда как, добавив в математическую формулировку
начальные условия, можно исследовать закономерности временной
эволюции мениска в рассматриваемой системе. Этой проблеме и
посвящен данный раздел.
В качестве первого начального условия зададим профиль мениска в начальный момент времени в виде суперпозиции кольцевых волн:
N
t = 0:
L
ξ ( r, t ) = a  hnj ⋅ J n ( k j r ) ;
n = 0 j =1
67
N
L
 h
nj
n = 0 j =1
= 1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Здесь a – амплитуда; hnj – парциальный вклад кольцевой волны,
описываемой функцией Бесселя первого рода порядка n , соответствующей j -му корню этой функции Бесселя. Второе начальное
условие выберем на финальной стадии расчета таким образом,
чтобы получаемое решение имело наиболее простой вид.
Для упрощения записи и нижеследующих вычислений перейдем к безразмерным переменным, в которых g = ρ = γ = 1 и, оставляя за всеми переменными прежние обозначения, перепишем математическую формулировку задачи в линейном по безразмерной
амплитуде возмущения свободной поверхности мениска приближении (отметим, что при принятом обезразмеривании характерным
линейным пространственным масштабом, на который обезразмеривается амплитуда возмущения, является капиллярная постоянная
жидкости α ≡ γ / ρg ).
В итоге для искомых величин получим решения:
N
L
n=0
j =1
ξ(r , ϕ, t ) = a ⋅  hnj ⋅ J n ( knj r ) ⋅ exp(inϕ + snj t );
N
L
n=0
j =1
ψ1 (r , ϕ, z , t ) = − a ⋅ ν ⋅ 
hnj  2 snj 
2knj +  ⋅ J n ( knj r ) ⋅ exp(inϕ + snj t ) ⋅ exp( knj z );
knj 
ν
N
L
n=0
j =1
ψ3 (r , ϕ, z , t ) = 2aν ⋅  hnj ⋅ J n ( knj r ) ⋅ exp(inϕ + snj t ) ⋅ exp( knj z );
N
L
n= 0
j =1
Φ1 (r , ϕ, z , t ) = a ⋅ E0  hnj ⋅ J n ( knj r ) ⋅ exp(inϕ + snj t ) ⋅ exp(− knj z );
где snj – корень дисперсионного уравнения, имеющего вид
( snj + 2νk ) + ω = 4ν k
2
nj
2
2
nj
2
4
nj
snj
E02
1 + 2 ; ω = knj ( k − W ⋅ k j − 1) ; W =
.
νknj
4π
2
nj
2
nj
В асимптотике малой вязкости, когда безразмерный коэффициент кинематической вязкости много меньше единицы ν << 1,
дисперсионное соотношение можно записать в линейном приближении по безразмерной вязкости и оно существенно упростится:
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
s nj2 + 4ν k nj2 s nj + ω nj2 = 0 ,
а его решения выписываются в виде
snj(1,2) = ηnj ± iωnj ≡ −2ν knj2 ± (2ν knj2 ) 2 − ωnj2 ≡
≡ −2ν knj2 ± (2ν knj2 ) 2 − knj ( knj2 − W ⋅ knj − 1) .
(1)
2. Анализ устойчивости мениска на торце капилляра.
В (1) ηnj характеризует декремент затухания осцилляций мениска, а ω nj – их частоту. Из (1) видно, что условием нарушения устойчивости мениска является условие прохождения через нуль в
область отрицательных значений квадрата частоты ωnj2 . При этом
дисперсионное уравнение (1) для комплексной частоты snj будет
иметь два вещественных решения: отрицательное, соответствующее экспоненциальному затуханию амплитуды волны с декрементом
ηnj ≡ −2ν knj2 − (2ν knj2 ) 2 − knj ( knj2 − W ⋅ knj − 1) ,
(2)
и положительное, соответствующее экспоненциальному росту
амплитуды волны со временем с инкрементом
γ nj ≡≡ −2ν knj2 + (2ν knj2 ) 2 − knj ( knj2 − W ⋅ knj − 1) .
(3)
Условие нарушения устойчивости мениска по отношению к
отрицательному давлению электрического поля имеет вид
W = k nj − k nj−1 .
k nj3 − Wk nj2 − k nj = 0 или
(4)
Так как волновое число при фиксированном радиусе трубки
может принимать только дискретные значения, целесообразно переписать полученное соотношение следующим образом:
W=
μ nj
R
−
R
.
μ nj
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из соотношения (4), в частности, можно видеть, что при заданном W область неустойчивых волновых чисел ограничена условием
0 < knj < 0.5 ⋅ W + 4 + W  .
Кольцевые волны на торце мениска с волновыми числами,
удовлетворяющими условию
knj > knj* ≡ 0.5 ⋅ W + 4 + W  ,
устойчивы по отношению к давлению электрического поля.
При фиксированном радиусе трубки R = 0.7 (в размерных переменных для воды R = 0.154 см ) и фиксированном значении параметра W , например W = 20 , несложно найти критическое значение knj* или μnj* из соотношения
W=
μ nj
R
−
R
.
μ nj
Подставив сюда значения R и W и решив соответствующее
квадратное уравнение относительно μ nj , несложно получить при
W = 20 критическое значение μ *nj = 14.03 . Сказанное означает, что
на торце мениска при указанных значениях физических параметров
могут претерпевать неустойчивость цилиндрические волны, соответствующие нескольким корням функций Бесселя различных порядков, удовлетворяющих условию μ nj ≤ μ *nj = 14.03 . И таких волн
может быть много:
n = 0:
μ 01 = 2.405,
μ 02 = 5.520,
μ 03 = 8.654
μ 04 = 11.792 ;
n = 1:
μ11 = 3.832,
μ12 = 7.016,
μ13 = 10.174
μ14 = 13.324 ;
n = 2:
μ 21 = 5.136,
μ 22 = 8.417,
μ 23 = 11.612
μ 24 = 14.796
n = 3:
μ31 = 6.380,
μ32 = 9.761,
μ33 = 13.015
μ34 = 16.223 .
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n = 4:
μ 41 = 7.588,
μ 42 = 11.065,
μ 43 = 14.373
μ 44 = 17.616 ;
n = 5:
μ51 = 8.771,
μ52 = 12.339,
μ53 = 15.700
μ54 = 18.980 ;
n = 6:
μ61 = 9.936,
μ62 = 13.590,
μ 63 = 17.004
μ 64 = 20.320 ;
n = 7:
μ 71 = 11.086,
μ 72 = 14.821,
μ 73 = 18.288
μ 74 = 21.642 ;
n = 8:
μ81 = 12.225,
μ82 = 16.038,
μ83 = 19.555
μ84 = 22.945 ;
n = 9:
μ91 = 13.354,
μ92 = 17.241,
μ93 = 20.807
μ94 = 24.234 ;
μ102 = 18.433,
μ103 = 22.047
μ104 = 25.510
n = 10 :
μ101 = 14.476,
Несложно видеть, что условию μ nj < μ *nj = 14.03 удовлетворяют
23 корня функций Бесселя с порядками n ≤ 9 .
Здесь уместно отметить, что, анализируя движения вязкой
жидкости в мениске с закрепленным периметром, когда за счет
влияния вязкости поле скоростей на стенках капилляра обращается
в нуль, целесообразно рассмотреть только движения жидкости, не
зависящие от азимутального угла ϕ . Тогда в найденных решениях
из сумм по n сохранится только одно слагаемое с n = 0 . Иными
словами, найденные решения будут осесимметричными. В частности, форма мениска на торце капилляра будет определяться суперпозицией функций Бесселя нулевого порядка, соответствующих
различным корням уравнения: J 0 ( k0 j r ) = 0 .
Выражения для профиля мениска при заданном начальном условии могут быть записаны следующим образом:
L
ξ(r , t ) = a  h0 j ⋅ J 0 ( k0 j r ) ⋅ exp( γ 0 j t ),
μ 0 j < μ *0 j ,
(5)
j =1
L
ξ(r , t ) = a  h0 j ⋅ J 0 ( k0 j r ) ⋅ exp(−2νk02 j t ) ⋅ cos(ω0 j t ),
μ 0 j > μ *0 j .
(6)
j =1
3. Временная эволюция профиля волны. Пусть в начальный
момент времени при a = 10−1 , n = 0, R = 0.7, W = 20 профиль волны определен двумя волнами, неустойчивыми по отношению к
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
давлению электрического поля, с волновыми числами k03 = 12.4 и
k04 = 16.9 , обладающими инкрементами, рассчитанными по (4),
γ 03 = 31.4 и γ 04 = 25 соответственно. Тогда временная эволюция
профиля мениска может быть проиллюстрирована на рис. 1.
ξ
43
2
1
0.2
0.15
0.1
0.05
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
r
−0.05
Рис. 1а. 1 – профиль волны при t = 0 ; 2 – t = 0.3 ⋅ γ 03 ;
−1
3 – t = 0.6 ⋅ γ 03 ; 4 t = 0.9 ⋅ γ 03 .
−1
−1
Примем теперь, что амплитуда волн в начальный момент времени порядка тепловой: a = 10−6 , а остальные параметры остаются
без изменений.
Из сравнения рис. 1а и 1б несложно видеть, что даже при весьма малых начальных амплитудах экспоненциальное нарастание со
временем неустойчивых волн обеспечивает их быстрый рост на разумных интервалах времени.
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4
ξ
3
0.6
2
0.4
1
0.2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
r
− 0.2
б) 1 – t = 14 ⋅ γ 03 ; 2 – t = 14.5 ⋅ γ 03 ; 3 – t = 15 ⋅ γ 03 ;
−1
−1
−1
4 – t = 15.5 ⋅ γ 03 .
Рис. 1
−1
Пусть теперь в начальный момент времени при
a = 0.1, n = 0, R = 0.7, W = 20 форма мениска определена суперпозицией двух волн с волновыми числами k05 = 21.4 и k06 = 25.9 , устойчивых по отношению к давлению электрического поля, совершающих периодические осцилляции с частотами ω05 = 25.2 и
ω06 = 62 , затухающие с декрементами, определенными (3). Временную эволюцию формы мениска, если не принимать во внимание возможный рост амплитуд неустойчивых волн с меньшими
значениями волновых чисел, можно проиллюстрировать на рис. 2.
Рассмотрим теперь при прочих неизменных параметрах временную эволюцию мениска, когда в начальный момент времени
его форма определена суперпозицией двух волн, одна из которых с
k03 = 12.4 неустойчива по отношению к давлению электрического
поля и ее амплитуда нарастает с инкрементом γ 03 = 31.4 , а другая с
k06 = 25.9 устойчива и совершает периодические осцилляции с частотой ω06 = 62.4 , затухающие с декрементом, определенным (3).
Соответствующие временные зависимости образующей мениска
приведены на рис.3. Несложно видеть, что волна k06 весьма быстро
затухает и дальнейшая временная эволюция мениска определяется
неустойчивой волной с k03 .
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ξ
1
0.08
0.06
2
2
0.04
1
5
0.02
0.1
− 0.02
0.2
0.3
0.4
3 4
− 0.04
0.5
3
0.6
r
4
5
Рис. 2.
1 – профиль волны в начальный момент времени;
2 – t = 0.25 ⋅ T ; 3 – t = 0.5 ⋅ T ; 4 – t = 0.75 ⋅ T ;5 – t = T ,
−1
где T = 2π ⋅ ω05
5
ξ
4
0.75
3
2
0.5
1
0.25
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
r
−0.25
−0.5
Рис. 3.
1 – профиль волны в начальный момент времени;
−1
−1
2 – t = 0.25 ⋅ T = 0.9 ⋅ γ 03 ; 3 – t = 0.5 ⋅ T = 1.8 ⋅ γ 03 ;
4 – t = 0.75 ⋅ T = 2.5 ⋅ γ 03 . 5 – t = T , где T = 2π ⋅ ω06 .
−1
−1
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из приведенных выше рисунков видно, что а) временная эволюция мениска в основном определяется волнами, неустойчивыми
по отношению к давлению электрического поля; б) амплитуда начальной деформации неустойчивой волны не очень важна. В этой
связи на рис.4а и 4б приведем зависимости, иллюстрирующие временную эволюцию мениска в ситуации, когда его форма в начальный момент времени определена одной волной, неустойчивой по
отношению к давлению электрического поля, рассчитанные при
R = 0.7, W = 20 . На рис. 4а приведены результаты расчета для волны с k01 = 3.4 , имеющей при заданных значениях параметров инкремент γ 01 = 13.9 и большую начальную амплитуду a = 0.1. На
рис. 4б приведены результаты расчета для волны с k3 = 12.4 ,
имеющей при заданных значениях параметров инкремент γ 03 = 31.4
и весьма малую (тепловую) начальную амплитуду a = 10−6 . Из
сравнения этих рисунков несложно видеть, что по прошествии определенного, не слишком большого, интервала времени волна с
весьма малой (тепловой) амплитудой, обладающая, однако, максимально возможным при заданных внешних условиях инкрементом,
догоняет волну, имевшую в начальный момент времени на пять
порядков большую амплитуду, но в три раза меньший инкремент
неустойчивости.
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4
ξ
3
2
1
30
20
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
а) 1 – t = 19.69 ⋅ γ 03 ; 2 – t = 19.99 ⋅ γ 03 ; 3 – t = 20.29 ⋅ γ 03 ;
−1
−1
−1
4 – t = 20.59 ⋅ γ 03 .
−1
б) Рассчитано для тех же моментов времени, что и на рис. 4а
Рис. 4
76
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из вышесказанного ясно, что временная эволюция мениска определится волнами, обладающими максимальными при заданных
внешних условиях инкрементами (см. рис. 4 из предыдущего раздела 2.1), влияние же амплитуды начальной деформации волны незначительно.
3. Линейные осцилляции и капиллярный
распад заряженных жидких струй
Проблема корректного теоретического аналитического исследования устойчивости бесконечного цилиндрического столба жидкости под действием капиллярных сил впервые была сформулирована и решена Рэлеем [64 − 69]. В своих работах он опирался на результаты экспериментальных исследований Савара, Магнуса,
Плато, Бидона [69 – 70]. В их экспериментах была детально изучена феноменология распада струи, в частности, было показано, что
длина нераспадающейся ее части зависит от вида начального возмущения. Было установлено, что струя жидкости, подверженная
синусоидальному осесимметричному возмущению с длиной волны,
превышающей длину окружности, ограничивающей сечение струи,
неустойчива по отношению к этому возмущению, сама же неустойчивость возникает в результате действия капиллярных сил, а
виртуально возникшее возмущение нарастает с течением времени.
В самом деле, из общефизических соображений следует, что
любая замкнутая механическая система стремится занять положение с минимальной потенциальной энергией. Если рассмотреть
виртуально созданный жидкий цилиндр радиуса R и длины L , то
его потенциальная энергия в отсутствие внешних силовых полей
будет равна его площади 2π R 2 + 2π RL , умноженной на коэффициент поверхностного натяжения γ . Объем этого цилиндра будет равен π R 2 L , радиус же r равновеликой сферы r = 3 3R 2 L 4 , а энергия
сил поверхностного натяжения этой сферы – 4πγ ( 3R 2 L 4 ) . Если
взять отношение энергии сил поверхностного натяжения сферы к
энергии сил поверхностного натяжения исходного цилиндра, несложно убедиться, что во всех возможных диапазонах изменения R
иL
23
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
4πγ R 9 RL2 16
)
13
2πγ R ( R + L )
9 RL2 2
≡
< 0.8 < 1.
( R + L)
3
Сказанное означает, что исходный виртуальный цилиндр, будучи
предоставлен действию сил поверхностного натяжения, стремясь к
положению с минимальной потенциальной энергией, под их действием свернется в сферическую каплю.
Рассмотрим теперь участок длины L жидкой бесконечной
струи радиуса R и посмотрим, для какого соотношения между R и
L переход под действием сил поверхностного натяжения от цилиндрической струи к совокупности сферических капель будет
энергетически выгоден. Для этого сравним потенциальную энергию сил поверхностного натяжения боковой поверхности цилиндра
с длиной L с потенциальной энергией сил поверхностного натяжения поверхности N сферических капель, на которые предположительно может распасться цилиндр. Приравнивая объем цилиндра
объему N сферических капель, найдем радиус одной капли:
r = 3 3R 2 L 4 N .
Отыщем теперь отношение потенциальной энергии сил поверхностного натяжения поверхности N сферических капель к потенциальной энергии сил поверхностного натяжения боковой поверхности участка струи длиной L :
(
N 4πγ R 9 RL2 16 N 2
2πγ RL
)
13
≡
3
9 RN
.
2L
Потребуем теперь, чтобы это отношение было меньше единицы, и
получим условие самопроизвольного разбиения струи на N отдельных капель в виде
9 RN
< 1.
2L
(1)
Очевидно, что это условие тем лучше будет выполняться, чем
меньше N . Полагая N = 1 , найдем, что при L ≥ 4.5 ⋅ R цилиндрической струе энергетически выгодно разбиваться на отдельные капли
с радиусами r ≥ 3R 3 4 . Сказанное означает, что цилиндрическая
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
струя неустойчива по отношению к волнам с длиной λ ≥ 4.5 ⋅ R . По
отношению же к синусоидальным возмущениям поверхности с
длинами волн λ , меньшими чем 4.5 ⋅ R , струя оказывается устойчивой. Следует отметить, что спектр волн с длинами, удовлетворяющими условию λ ≥ 4.5 ⋅ R , бесконечен, но инкременты нарастания
неустойчивости волн с различными длинами будут различны, и реальный распад струи на капли определится волной с максимальной
величиной инкремента неустойчивости. Но в рамках проведенного
качественного рассмотрения найти длину волны с максимальным
инкрементом не представляется возможным.
Еще в конце позапрошлого века в корректных аналитических
расчетах (см. нижеследующие разделы настоящей главы) Рэлей
получил соотношение, связывающее скорость роста амплитуды
волнового возмущения и его длину волны. Время от момента возникновения синусоидального возмущения до момента распада
струи на капли, вычисленное при помощи теории Рэлея, хорошо
согласовывалось с результатами опытов [69 – 70]. В рамках линейного по амплитуде возмущения теоретического анализа удалось
выяснить, что коротковолновые возмущения (kR>>1) на струе
жидкости устойчивы и могут распространяться вдоль струи в виде
капиллярных волн. Однако они быстро затухают под действием
имеющейся в реальных условиях вязкости жидкости [67, 71 – 73].
Длинноволновые же возмущения (kR<1) неустойчивы, и при всех
длинах волн, удовлетворяющих условию kR<1, реализуется капиллярная неустойчивость струи, сопровождающаяся разбиением последней на капли. Максимальным инкрементом обладают волны с
длиной λ* ≈ 9R . Выяснилось [67, 71 – 73], что вязкость оказывает
стабилизирующее действие на распад струи, а вязкая диссипация
внутри струи и вязкое трение на ее поверхности приводят к изменению профиля скорости и возрастанию времени релаксации.
Тем не менее сложившиеся на основе линейной теории представления об осцилляциях, развитии капиллярной неустойчивости
и распаде струи, несмотря на успешное объяснение многих экспериментальных фактов, не являются исчерпывающими и должны
быть обобщены с учетом внутренних течений в струе, эффектов
релаксации вязкости, заряда и коэффициента поверхностного натяжения, а также с учетом реальной нелинейности феномена (см.
следующую главу). Кроме того, среди необходимых обобщений
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
следует указать и на полуограниченность реальных струй. Для истолкования расхождений теории и экспериментальных данных было предложено несколько гипотез: динамическое воздействие окружающего воздуха на осесимметричные возмущения струи, увеличивающие давление в сужениях и уменьшение – на выпуклостях
струи, что приводит к более быстрому росту возмущений [72 – 73];
влияние вязкости окружающего воздуха [74]; изменение механизма
распада струи – переход от осесимметричных возмущений к изгибным (изгибается ось струи) [75 − 76]; переход к турбулентному
режиму течения в струе [77]; влияние релаксации начального профиля скорости в струе [5].
Еще на заре исследования электрических явлений Вильям Гилберт заметил, что капля воды на сухой подложке приобретает коническую (вершиной вверх) форму, если над ней на небольшом
расстоянии поместить наэлектризованный кусок янтаря [18]. Как
было показано уже в наше время [78 – 79], при этом на свободной
поверхности капельки появляется индуцированный электрический
заряд и капля претерпевает неустойчивость: она деформируется к
вытянутому сфероиду, на ее вершине формируется эмитирующий
выступ, названный «конусом Тейлора», с вершины которого выбрасывается тоненькая струйка воды, распадающаяся на отдельные
капельки. По-видимому, первые наблюдения эмиссии струек жидкости, распадающихся на отдельные капельки, при электризации
свободной поверхности жидкости связаны с работами одного из
первых исследователей электрических явлений аббата Ж. Нолле в
середине восемнадцатого века [80]: он заметил, что если человека
поместить на изолирующую подставку и подвергнуть электризации (с помощью созданного О. Герике прообраза электрофорной
машины), то из ранок и порезов на коже человека начинают бить
очень тонкие струйки крови, распадающиеся на отдельные капли.
Систематические исследования феномена электризации менисков жидкости на торце капилляра, по которому она подается в
разрядную систему, сопровождающегося выбросом заряженных
струй, распадающихся на отдельные капли, начались лишь в начале ХХ века и связаны с именем Дж. Зелени [23 – 25], который детально исследовал закономерности эмиссии капель и струй жидкости при электризации ее свободной поверхности. В связи с многообразием академических, технических и технологических
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
приложений феномена электродиспергирования жидкости эксперименты с ним были продолжены (см., например, [1 – 10, 13 – 17,
26, 51 – 63, 81 – 85], хотя общее количество публикаций с изложением экспериментальных данных измеряется тысячами). При этом
было обнаружено около десятка различных режимов электродиспергирования жидкости, приведенных в систему в работах [27 –
30]. Но для проводимого рассмотрения важно, что во всех этих работах имел место выброс с заряженной поверхности жидкости заряженных же струй, распадающихся на отдельные капли. Следует
отметить, что в последние двадцать лет регулярно проводятся международные симпозиумы по электродиспергированию жидкости,
собирающие сотни докладов, посвященных этому феномену. И хотя подавляющее большинство докладываемых работ носят экспериментальный характер и посвящены в основном особенностям
электродиспергирования конкретных жидкостей в конкретных установках и устройствах, тем не менее общее количество публикаций по обсуждаемой теме исчисляется тысячами, и насущной проблемой является построение общей теории электродиспергирования (дробления заряженной струи на капли) с учетом реальных
физико-химических характеристик жидкостей и многообразия релаксационных эффектов.
В настоящей главе будут рассмотрены основные идеи и методы расчета осцилляций и устойчивости струй жидкости в линейном приближении: от использования Лангражева подхода для расчета линейных осцилляций цилиндрических незаряженных струй
идеальной электропроводной жидкости, до расчета в рамках метода операторной скаляризации осцилляций и устойчивости заряженных струй вязкой жидкости с конечной проводимостью, виртуальная форма которых отлична от цилиндрической.
3.1. Линейные осцилляции
и распад незаряженной цилиндрической
струи идеальной жидкости
Начнем наше рассмотрение с первой работы Рэлея [64], посвященной исследованию устойчивости незаряженной струи идеальной жидкости. Изложение проведем, придерживаясь варианта
расчета, приведенного в [69].
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Широкий класс явлений, не только интересных самих по себе,
но и проливающих свет на другие, еще более темные явления, получает объяснение в связи с изменениями, претерпевающимися
цилиндрическим жидким телом, равновесная цилиндрическая
форма которого медленно деформирована и затем предоставлена
восстанавливающему действию сил поверхностного натяжения.
Такой цилиндр образуется при истечении жидкости под давлением
сквозь круглое отверстие, по крайней мере, в случае, когда можно
пренебречь силой тяжести; при этом поведение струи, изученное
экспериментально Саваром, Магнусом, Плато и другими, практически независимо от общего движения вперед всех ее частей.
Начнем исследование с теории бесконечного жидкого цилиндра, рассматриваемого как система, находящаяся в равновесии под
действием силы капиллярности. Большинство экспериментальных
результатов легко будет связать с решением этой механической задачи.
В цилиндрических координатах r ,ϕ , z , уравнение слегка возмущенной поверхности можно написать в виде
r = a0 + h(ϕ , z ),
(1)
где h(ϕ , z ) – величина, малая по сравнению с радиусом a0 . По теореме Фурье произвольная функция может быть разложена в ряд,
состоящий из членов вида am ⋅ cos mϕ ⋅ cos kz , и каждый из этих членов можно рассматривать независимо от других. Косинус можно
заменить синусом; суммирование распространяется на все положительные значения k и на все целые положительные значения m ,
включая нуль.
Величина a0 не остается абсолютно постоянной во время движения; ее значение должно определяться условием неизменности
заключенного в цилиндре объема V . Для поверхности
r = a0 + am (t ) ⋅ cos mϕ ⋅ cos kz
находим
V=
1
1


r 2 dϕ ⋅ dz = z  π a02 + π am2  ;

2
4


82
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
таким образом, если обозначить через а радиус сечения невозмущенного цилиндра, то
1
a 2 = a02 + am2 ,
4
откуда приближенно
 1 a2 
a0 ≈ a  1 − m2  .
 8a 
(3)
Это соотношение хорошо удовлетворяется при m =1,2,3, ... При
m = 0 формула (2) дает вместо (3)
 1 a02 
a0 ≈ a  1 −
.
2 
4
a


(4)
Потенциальная энергия системы в любой конфигурации, создаваемая силой капиллярности, просто пропорциональна площади
поверхности. В выражении (2) площадь поверхность S струи
S = 
2
2
2

1 2 2
1
 ∂r   1 ∂r 
2 2 am 
⋅
⋅
⋅
=
+
+
ϕ
π
π
π
1+   + 
r
d
dz
z
2
a
k
a
a
m
k
,
0
m


∂
∂
ϕ
z
r
4
4
a
  



так что в силу (3), обозначая через s поверхность, соответствующую в среднем единице длины, найдем
1
a2
s = 2π a + π ( k 2 a 2 + m2 − 1) m .
4
a
(5)
Следовательно, потенциальная энергия U γ , связанная с силой
капиллярности, определенная на единицу длины из равновесной
конфигурации, есть
1
am2 
2 2
2
U γ =  πγ k a + m − 1
,
a 
4
(
)
где γ обозначает коэффициент поверхностного натяжения.
83
(6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В выражении (6) предполагается, что ни k , ни m не равны нулю. Если k = 0 , то нужно удвоить (6), чтобы получить потенциальную энергию, соответствующую
r = a0 + am ⋅ cos mϕ ,
(7)
а если m = 0 , то нужно положить
1
a02 
2 2
U γ =  πγ k a − 1
a 
2
)
(8)
r = a0 + a0 ⋅ cos kz.
(9)
(
в соответствии с
Из соотношения (6) следует, что когда m = 1, или какомунибудь большему целому числу, то U γ имеет положительное значение. Это показывает, что при всех смещениях такого рода начальное положение равновесия является устойчивым. Для случая
смещений, симметричных относительно оси ( m = 0 ), из (8) мы видим, что равновесие устойчиво или неустойчиво в зависимости от
того, будет ли ka больше или меньше единицы, т. е. в зависимости
от того, будет ли длина волны ( λ ≡ 2π a ) симметричной деформации
меньше или больше окружности цилиндра, – положение, впервые
установленное Плато. Иными словами, струя устойчива по отношению к коротковолновым деформациям с длинами волн удовлетворяющими условию λ < 2π a . По отношению к длинноволновым
деформациям ( λ ≥ 2π a ) струя неустойчива.
Если выражение (2) для r содержит несколько членов с различными значениями m и k и с произвольной заменой косинусов
на синусы, то соответствующее выражение для U γ находится путем
простого сложения выражений для отдельных компонент, и содержит только квадраты величин am (но не произведения их).
Теперь нам нужно получить аналитическое выражение для кинетической энергии движения жидкости, вызванное движением
поверхности струи. Поскольку жидкость предполагается невязкой,
существует потенциал скоростей φ , который удовлетворяет уравнению Лапласа в силу несжимаемости жидкости
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 ∂  ∂φ  1 ∂ 2φ ∂ 2φ
Δφ ≡
+
= 0,
r +
r ∂r  ∂r  r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2
или, если для получения соответствия с (2) мы предположим, что
переменная часть пропорциональна cos mϕ ⋅ cos kz , то
1 ∂  ∂φ   m2
2
−
+
r
k
 φ = 0.

 
r ∂r  ∂r   r 2

(10)
Решение уравнения (10) при условии, что нет притока и оттока
жидкости вдоль оси симметрии, имеет вид
φ = β m ⋅ J m (ikr ) ⋅ cos mϕ ⋅ cos kz,
(11)
где J m (ikr ) – функция Бесселя. Постоянную β m следует определить
из условия, что радиальная скорость ∂φ ∂r при r = a совпадает со
скоростью, предполагаемой в выражении (2) dr dt (кинематическое
граничное условие). В итоге получим
ik ⋅ β m ⋅ J m′ (ika ) =
∂am
.
∂t
(12)
Если массовую плотность жидкости обозначить ρ , то кинетическая энергия движения в силу теоремы Грина

 ∂φ 2  ∂φ 2  ∂φ 2 
∂φ
φ
dS ,
  +   +   dV = 

x
y
x
n
∂
∂
∂
∂




 


равна
1
∂φ
1
ρ
φ
a
d
ϕ
dz
πρ z ⋅ ika ⋅ J m (ika) ⋅ J m′ (ika) ⋅ β m2 ,
⋅
⋅
=

2
∂n
4
так что если обозначить через T кинетическую энергию движения
жидкости, приходящуюся на единицу длины, то, в силу (12),
2
1
J m (ika )  ∂am 
T = πρ a 2
⋅
 .
4
ika ⋅ J m′ (ika )  ∂t 
При m = 0 вместо (13) следует принять
85
(13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
1
J 0 (ika )  ∂a0 
T = πρ a 2
⋅
 .
2
ika ⋅ J 0′ (ika )  ∂t 
(14)
Наиболее общее значение T получается из частных значений,
определяемых выражениями (13) и (14), простым сложением. Поскольку выражения для U γ и T содержат только квадраты, а не
произведения, величин am , ∂am ∂t , и соответствующие величины, в
которых косинусы заменены синусами, то отсюда следует, что
движения, выражаемые соотношением (2), происходят совершенно
независимо друг от друга, пока величина начальной деформации
цилиндрической струи в целом мала.
Имея аналитическое выражение для кинетической энергии T
(13) и потенциальной энергии U γ системы (6), можно выписать
функцию Лагранжа L ≡ T − U γ и уравнение Лагранжа для отдельных
волн, которые согласно сказанному выше независимы:
∂ 2 am
γ ika ⋅ J m′ (ika )
+
⋅ ( m2 + k 2 a 2 − 1) am = 0,
2
3
∂t
ρa
J m (ika )
(15)
что без всяких изменений применимо и к случаю m = 0 . Таким образом, если am изменяется пропорционально cos(ωt − α ) , то
ω2 =
γ ika ⋅ J m′ (ika)
⋅ ( m 2 + k 2 a 2 − 1)
3
ρa
J m (ika )
(16)
определяет частоту колебаний в случаях устойчивости.
Если m = 0 , а ka < 1 , то решение меняет свой вид. Если предположить, что a0 изменяется со временем пропорционально exp(±η t ) ,
то
η2 =
γ ika ⋅ J 0′ (ika )
⋅ (1 − k 2 a 2 ) .
3
J 0 (ika )
ρa
(17)
Когда m больше единицы, то условия обычно таковы, что
движение приближенно происходит только в двух измерениях. Тогда мы можем с успехом предположить в (16), что ka мало по
сравнению с единицей. Таким путем получим
86
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
k 2a 2 
γ 
,
ω = m( m − 1 + k a ) 3 1 +
ρ a  2m( m + 1) 
2
2
2 2
(18)
или, если совершенно пренебречь ka , получим двумерную формулу
ω 2 = m( m2 − 1)
γ
.
ρ a3
(19)
При m = 1 нет восстанавливающей силы при чисто двумерном
смещении. При m  1, выражая длину волны в длинах окружности
цилиндра, получим λ = 2π a m и в (19) при бесконечно больших m и
a найдем
γ  2π 
ω =  
ρ λ 
3
2
(20)
в согласии с теорией капиллярных волн на плоской поверхности.
Аналогичное заключение можно вывести, рассматривая волны,
длина которых измеряется по оси. Так, если λ = 2π k и a → ∞ , то
(16) приводится к (20) в силу соотношения
i ⋅ J m′ (ika )
= 1.
z →∞ J (ika )
m
lim
Рассматривая выражение (17) как уравнение относительно η ,
получим, что оно при положительной правой части имеет два решения разных знаков: одно из них со знаком минус определяет
декремент затухания волнового движения в струе, а второе, положительное, инкремент нарастания неустойчивости. В [64] Рэлей в
приближении k 2 a 2  1 разложил правую часть (17) по степеням
k 2 a 2 , приравнял нулю производную по аргументу ka от полученного разложения, получил, ограничиваясь первыми тремя слагаемыми разложения, алгебраическое уравнение для отыскания k 2 a 2 , соответствующего максимальному инкременту:
0.98928 − 2.25 ⋅ k 2 a 2 + (7 16) k 4 a 4 = 0.
Найдя положительный корень этого уравнения, Рэлей получил, что
максимальное значение инкремент неустойчивости достигает при
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
k 2 a 2 ≈ 0.4858 . Это условие соответствует длине волны λ ≈ 9.016 ⋅ a
Волны с указанной длиной волны имеют максимальный инкремент
неустойчивости и определяют закономерности дробления струи на
отдельные капли. Плато на основе анализа экспериментов Савара
получил соотношение: λ ≈ 8.76 ⋅ a .
3.2. Линейные осесимметричные
осцилляции и распад незаряженной
цилиндрической струи вязкой жидкости
1. Первые теоретические исследования влияния вязкости жидкости на условия разбиения струи на капли выполнены Рэлеем
[67]. Более детально этот вопрос был исследован Бассетом [71] и
Вебером [72]. В нижеследующем изложении мы воспроизведем
решение задачи об осцилляциях и устойчивости струи вязкой жидкости, приведенное в [73].
2. Пусть в вакууме цилиндрическая струя радиуса R жидкости
с массовой плотностью ρ , кинематической вязкостью ν и коэффициентом поверхностного натяжения γ движется вдоль оси симмет
рии со скоростью U 0 , выходя из цилиндрического сопла. Будем исследовать цилиндрические волны, бегущие по такой струе и закономерности распада ее на капли, имея в виду, что основными
характеристиками процесса распада струи является длина ее
сплошной части и размер образующихся капель. Длина сплошной
части определяет дальность полета струи и характер ее разбиения.
Все рассмотрение проведем в цилиндрической системе координат,


орт nz которой совпадает с осью симметрии цилиндра и U 0 .
Ограничимся рассмотрением осесимметричных возмущений,
при которых движение жидкости вокруг оси симметрии отсутствует, т.е. при которых проекция поля скоростей течения жидкости на

орт nϕ цилиндрической системы координат равна нулю: Uϕ = 0 .
При симметричных волнах сечение струи остается круговым, претерпевая лишь сжатия и расширения.
Уравнение поверхности струи запишем в виде
F (ϕ , z , t ) = r (ϕ , z , t ) − R0 − ξ (ϕ , z , t ) = 0,
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где R0 – радиус цилиндрической поверхности струи, ξ (ϕ, z,t ) –
возмущение поверхности струи, вызванное капиллярными волнами
тепловой природы (всегда существующими в жидкости) с
амплитудой  κ T γ ( κ – постоянная Больцмана; T – абсолютная
температура). Для любых жидкостей амплитуда таких волн,
возбуждаемых тепловым движением молекул, есть величина
порядка ангстрема, поэтому для струй любых реальных радиусов
будет выполняться соотношение ( ξ (ϕ , z , t ) R0 ) << 1 .
Математическая формулировка задачи состоит из уравнения
Навье-Стокса и уравнение неразрывности:




∂U
1
+ U ∇ U = − ∇p + ν ⋅ ΔU ;
∂t
ρ
(
)

divU = 0,
с граничными условиями на поверхности струи:
кинематическими:
dF
=0
dt
r = R0 + ξ :
и динамическими для нормальной и касательной компонент тензора напряжений
r = R0 + ξ :
Ξ rr ≡ − p + 2νρ
Ξ rr = − pγ ;
Ξ rz = 0;
 ∂U z ∂U r 
Ξ rz = νρ 
+
.
∂z 
 ∂r
∂U r
;
∂r
Учтем также, что поле скоростей на оси струи должно быть
конечно.
Зададимся целью исследовать устойчивость осесимметричных
волн в такой струе в линейном по отношению ( ξ R0 ) приближении,
когда в уравнении Навье-Стокса конвективным слагаемым


(U ∇ ) U можно пренебречь, поскольку поле скоростей, порождаемое волновым движением теплового происхождения, имеет тот же
порядок малости, что и амплитуды волн. В линейном приближении
граничные
условия
можно
отнести
к
невозмущенной
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
цилиндрической поверхности струи r = R0 , а давление капиллярных
сил pγ записать в виде
2
γ 
∂ 2ξ 
2 ∂ ξ
pγ =
ξ + R0 2 + 2  .
−
∂z
∂ϕ 
R0 R02 
γ
Линеаризованное уравнение Навье-Стокса и уравнение
неразрывности в соответствии с симметрией задачи выпишем в
цилиндрических координатах
 ∂ 2U

∂U r
1 ∂p
∂ 1 ∂
=−
+ν  2r + 
( r ⋅ U r )   ,
∂t
∂r  r ∂r
ρ ∂r

 ∂z
(1)
 ∂ 2U z 1 ∂  ∂U z  
∂U z
1 ∂p
=−
+ν  2 +
r⋅
 ,
∂t
∂
∂
∂
ρ ∂z
z
r
r
r




(2)
∂U z 1 ∂
+
( r ⋅ U r ) = 0.
∂z
r ∂r
(3)
Система граничных условий, отнесенная к поверхности r = R0 ,
примет вид
∂ξ
∂U r γ 
∂ 2ξ ∂ 2ξ 
∂U z ∂U r
= U r , − p + 2νρ
+
= 0.
+ 2 ξ + R02 2 + 2  = 0,
R0 
∂r
∂z
∂ϕ 
∂t
∂r
∂z
(4)
Проекции поля скоростей движения жидкости внутри струи на
орты цилиндрических координат представим в виде
U r = U r0 + u1 ,
(5)
U z = U z0 + u 2 ,
(6)
где величины, отмеченные индексом нуль, идентичны с
соответствующими величинами в идеальной жидкости.
Гидродинамическое давление p, связанное с движением
жидкости, должно быть таким же, как и в идеальной жидкости, т.к.
наличие вязкости влияет на частоту волн, а не на давление в
жидкости.
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Скорость в идеальной жидкости связана с потенциалом
скорости ϕ соотношениями, которые в цилиндрических координатах имеют вид
U r0 =
∂ϕ
,
∂r
Δϕ ≡
U z0 =
∂ϕ
,
∂z
(7)
1 ∂  ∂ϕ  ∂ 2ϕ
= 0.
r⋅
+
r ∂r  ∂r  ∂z 2
8)
Гидродинамическое давление p определится согласно
представлениям о волновом движении в идеальной жидкости
соотношением
p = −ρ
∂ϕ
.
∂t
(9)
Из уравнения непрерывности следует, что u1 и u 2 связаны между собой соотношением
∂u2 1 ∂
+
( r ⋅ u1 ) = 0.
∂z r ∂r
Из этого уравнения вытекает, что u1 и u 2 можно выразить че
рез скалярную функцию ψ ( r , t ) , называемую функцией тока, в виде
u1 = −
1 ∂ψ
,
r ∂z
u2 =
1 ∂ψ
.
r ∂r
(10)
Подставляя выражения для компонент скорости в (1) и (2) и
учитывая выражения для u1 и u 2 , получаем
∂U r0 1 ∂ ∂ψ
1 ∂p 0
U r0
1 ∂  ∂ 2ψ
∂  1 ∂ψ
0
−
=−
+ νΔU r − ν 2 + ν
+r 

2
∂t
∂r  r ∂r
r ∂z ∂t
ρ ∂r
r
r ∂z  ∂z

 ,

∂U z0 1 ∂ ∂ψ
1 ∂p 0
1 ∂  ∂ 2ψ
∂  1 ∂ψ  
0
−
=−
+ ν ΔU z + ν
+r 
 .

2
∂r  r ∂r  
ρ ∂z
r ∂r  ∂z
∂t
r ∂z ∂t
Поскольку
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
U r0 ∂
ΔU − 2 = Δϕ = 0,
r
∂r
∂
ΔU = Δϕ = 0,
∂z
0
r
0
z
∂U z0 ∂ 2ϕ
1 ∂p 0
=
=−
,
∂t
∂z∂t
ρ ∂z
находим, что функция ψ должна удовлетворять уравнению
∂ 2ψ 1 ∂ψ ∂ 2ψ 1 ∂ψ
−
+
=
.
∂r 2 r ∂r ∂z 2 ν ∂t
(11)
Так как нас интересуют волновые движения жидкости, будем
искать решение уравнений для ϕ и ψ в виде периодических
функций по z и экспоненциальных по t :
ϕ = Φ ( r ) ⋅ exp(ikz + α t ),
(12)
ψ = Ψ ( r ) ⋅ exp(ikz + α t ).
(13)
Подставляя (12) – (13) в (8) и (11), находим:
∂ 2Φ 1 ∂Φ
+
− k 2Φ = 0,
2
∂r
r ∂r
∂ 2 Ψ 1 ∂Ψ  2 α 
−
−  k +  Ψ = 0.
ν
∂r 2 r ∂r 
(14)
(15)
Решением уравнения (14) является функция Бесселя нулевого
порядка от мнимого аргумента J 0 ( ikr ) (модифицированная
функция Бесселя нулевого порядка I 0 ( kr ) ):
Φ = C1 ⋅ I 0 ( kr ) .
(16)
Решение уравнения (15) будем искать в виде
Ψ ( r ) = r ⋅ y ( r ).
Тогда для y ( r ) получим уравнение
y′′ +
y′  2 1 
−  l + 2  y = 0,
r 
r 
l2 ≡ k2 +
α
.
ν
92
(17)
(18)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решением уравнения (17), остающимся конечным на оси
струи, является модифицированная функция Бесселя первого
порядка:
y = C2 ⋅ I1 ( lr ) ,
1
i
где I1 ( lr ) = J 1 ( ilr ) .
Окончательно получим
ϕ = C1 ⋅ I 0 ( kr ) ⋅ exp(ikz + α t ),
(19)
ψ = C2 ⋅ r ⋅ I1 ( lr ) ⋅ exp(ikz + α t ).
(20)
Распределение скоростей и давления находим из ϕ и ψ по
формулам
U r = −ik iC1 I 0′ ( kr ) + C2 I1 ( lr )  ⋅ exp(ikz + α t ),
(21)


 I ( lr ) l
U z = k iC1 I 0 ( kr ) + C2  1
+ I1′ ( lr )   ⋅ exp(ikz + α t ),
k
 kr


(22)
p = − ρα C1 ⋅ I 0 ( kr ) ⋅ exp(ikz + α t ).
(23)
В выражения (21) – (23) входят три неизвестные величины:
амплитудные коэффициенты C1 и C2 и комплексная частота α . Из
динамического граничного условия для касательных компонент
тензора напряжений находим связь между C1 и C2
C1 = −C2
I1 ( lR0 ) ( l 2 + k 2 )
2ik 2 I1 ( kR0 )
.
(24)
Из кинематического граничного условия найдем
ξ ( z, t ) =  (U r )r = R dt = −
0
ik
iC ⋅ I ( kR ) + C2 ⋅ I1 ( lR0 )  ⋅ exp(ikz + α t ).
α 1 1 0
Подставляя это значение ξ ( z, t ) в динамическое граничное условие для нормальных компонент тензора напряжений с учетом
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(24), получаем дисперсионное уравнение, связывающее частоту α
с волновым числом k :
α2 +
2
2
 γ k2
2ν k 2α 
2kl I1 ( kR0 )
2 2 I1 ( kR0 ) l − k
′
′
−
=
1
−
I
kR
I
lR
k
R
(
 1( 0)
1(
0 )
0)
I 0 ( kR0 ) 
k 2 + l 2 I1 ( lR0 )
I 0 ( kR0 ) l 2 + k 2
 ρ R0
(25)
Это дисперсионное уравнение в общем случае весьма сложно,
так как l зависит от α и не может быть решено аналитически.
Ограничимся рассмотрением предельных случаев маловязкой и
очень вязкой жидкости. Если вязкость достаточно мала, то в
интересующей области длин волн имеет место неравенство
α
>> k 2
ν
или
l >> k .
(26)
При l >> k линейный член в дисперсионном уравнении (25)
мал и может быть опущен, тогда (25) приобретает простой вид
α2 =
I ( kR0 )
γk
1 − k 2 R02 ) 1
.
2 (
ρ R0
I 0 ( kR02 )
(27)
Частота α имеет мнимое значение для волн, длина которых
мала по сравнению с радиусом струи R0 , когда kR0 > 1.
В пределе, при kR0 >> 1 , имеем по известной формуле теории
функции Бесселя
In ( x ) ~
ex
,
2π x
I1 ( kR0 ) ≈ I 0 ( kR0 ) ≈
exp( kR0 )
.
2π kR0
Вводя частоту ω , равную ω ≡ −iα , находим
ω = γ k3 ρ ;
это совпадает с частотой капиллярных волн на плоской
поверхности маловязкой жидкости. Коротковолновые возмущения
(kR0 >> 1) на струе жидкости устойчивы и могут распространяться
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вдоль струи в виде капиллярных волн. Однако следует учесть, что
коротковолновые возмущения быстро затухают под действием
имеющейся в реальных условиях вязкости. Более интересным является случай длинных волн, для которых выполнено неравенство
kR0 =
2π R0
λ
< 1.
(28)
Для таких волн величина α имеет вещественное положительное значение. Положительным значениям α
отвечает
неограниченное возрастание во времени амплитуды волн. В теории
турбулентности показано, что экспоненциальное возрастание
амплитуды волновых движений означает появление в жидкости
незатухающих пульсаций. Масштаб этих пульсаций порядка длины
волны незатухающих волновых движений. Наличие турбулентных
пульсаций в жидкости со свободной поверхностью приводит к
разрыву поверхности и выбросу жидкости. В случае жидкой
цилиндрической струи экспоненциальное возрастание во времени
амплитуды волны приводит к неустойчивости ее поверхности и
распаду струи на капли. Поверхность струи неустойчива по
отношению ко всем волнам, длина которых удовлетворяет
неравенству (28). Однако выражение (27) при kR0 < 1 имеет
максимум при определенной длине волны. Положение этого
максимума определяется условием
I ′ ( kR0 ) ⋅ I 0 ( kR0 ) − I 0′ ( kR0 ) ⋅ I1 ( kR0 )
I ( kR0 )
∂α 2
1 − k 2 R02 ) − 1
2kR0 .
=0= 1
(
2
I 0 ( kR0 )
I 0 ( kR0 )
∂k
Численное решение последнего уравнения показывает, что
точка максимума отвечает значению волнового числа k , равному
kmax =
2π
1
= 0.70 ⋅ ,
R0
9.02 ⋅ R0
или длине волны λmax = 9.02 ⋅ R0 . Эта формула была впервые
получена Рэлеем. Значение α в максимуме может быть найдено
без труда путем подстановки числовых значений функций Бесселя:
α max = 0,12 γ ρ R03 .
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Волны с k = k max обладают наибольшей неустойчивостью по
сравнению со всеми другими волнами, волновое число которых
удовлетворяет неравенству (28). Максимум функции α 2 (k ) имеет
достаточно резко выраженный характер. Поскольку рост
амплитуды во времени происходит по экспоненциальному закону
exp(α t ) , решающее значение для распада струи имеет рост
амплитуды волны, длина которой λ имеет значение, отвечающее
максимуму α .
За время
τ=
1
α max
= 8.46 ρ R03 γ
амплитуда возрастает в e раз. Распад струи происходит на капли,
размер которых связан с длиной волны, обладающей
максимальным инкрементом λmax , соотношением r ≈ 3R0 3 4 , т.е.
примерно в два раза превышает радиус струи. Основной интерес
представляет длина неразбившейся части струи. Если пренебречь
изменением скорости U 0 струи в процессе ее полета, что можно
сделать при небольших значениях длины неразбившейся части
струи,
то
эту
длину
можно
найти
по
формуле
L ≈ U 0 ⋅τ = 8,46U 0 ρ R03 γ .
Влияние вязкости на закономерности распада струи рассмотрим в пределе длинных волн, когда длина волны много больше радиуса струи, т.е. когда выполняются условия: kR0  1, lR0  1. В
этом случае дисперсионное уравнение (25) с учетом того, что
I 0 ( kR0 ) ≈ 1,
I1 ( kR0 ) ≈ 0.5 ⋅ kR0 ,
I1 (lR0 ) ≈ 0.5 ⋅ lR0 ,
I1′( kR0 ) = I1′(lR0 ) ≈ 0.5,
принимает вид
γ k2
1 − k 2 R02 ) ,
α + 2ν k α =
(
ρ R0
2
2
а его решения легко выписываются
α = −ν k ±
2
(ν k )
2 2
γ k2
+
1 − k 2 R02 ) .
(
ρ R0
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отсюда легко найти, что величина инкремента неустойчивости
достигает своего максимального значения при
kmax


ρ R0
= ν R0
+ 2 R02 
2γ


−1 2
.
При этом величина инкремента неустойчивости определится
выражением:
α max
γ 8ρ R03
=
.
1 + ν 2 ρ γ R0
Если вязкость жидкости велика так, что выполняется условие
γ R0 ρν 2  1,
то для kmax и αmax получим соответственно
kmax

ρ R0 
≈ 6ν R0

2γ 

−1 2
= 0.5 4
γ
,
ν ρ R03
2
α max ≈
γ
.
6νρ R0
Характерное время распада струи определится соотношением:
τ=
1
α max
≈
6νρ R0
γ
.
Длина волны с максимальным инкрементом и длина сплошной
части струи определятся простыми соотношениями
λmax = 2π kmax ,
−1
L = U 0 ⋅ α max
.
3.3. Линейные неосесимметричные
осцилляции и распад
заряженной цилиндрической струи
Еще в 1882 году Рэлей в пределе k 2 a 2  1 исследовал влияние
на устойчивость струи идеальной несжимаемой электропроводной
жидкости электрического заряда, однородно распределенного по
невозмущенной цилиндрической поверхности струи с поверхностной плотностью χ . По аналогии с ранее решенной задачей об ис97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
следовании осцилляций и устойчивости незаряженной струи, приведенной в разделе 4.1, Рэлей выписал выражение для изменения
потенциальной энергии сил поверхностного натяжения связанного
с волновой деформацией струи, приходящейся на единицу длины,
(см. формулу (6) в разделе 3.1)
1
am2
2
U γ = πγ ( m − 1) ,
4
a
и для кинетической энергии волнового движения жидкости в объеме жидкости, приходящейся на единицу длины струи, (см. формулу (13) в разделе 3.1)
2
1
J m (ika )  ∂am 
⋅
T = πρ a 2
 ,
4
ika ⋅ J m′ (ika )  ∂t 
и добавил к ним выражение для приходящейся на единицу длины
струи потенциальной энергии поверхностного заряда, связанной с
волновой деформацией струи:
μ2
am2
U q = − ( m − 1) 2 ;
2
a
μ≡
2π aLχ
,
L
где μ заряд, приходящийся на единицу длины струи. Составляя
функцию Лагранжа T − U γ − U q , выписывая уравнение Лагранжа и,
приняв, что временная эволюция волновой деформации струи описывается законом ~ exp(iωt ) , Рэлей получил дисперсионное уравнение в виде
γ
ω = 3 m( m − 1) [ ( m + 1) − 2w ] ,
ρa
2
μ2
w≡
.
π aγ
Из анализа дисперсионного уравнения следует, что наличие
поверхностного заряда приводит к снижению устойчивости струи
по отношению к неосесимметричным возмущениям поверхности.
В самом деле, при 2w > ( m + 1) квадрат частоты становится отрицательным и все моды m , удовлетворяющие этому условию, претерпевают неустойчивость.
В 1894 году влияние электрического заряда на устойчивость
струи более детально изучил Бассет [71] (он также изучил влияние
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
на устойчивость струи вязкости жидкости и наличия окружающей
среды). Исследуя варикозную неустойчивость заряженной струи,
имеющей форму r = a + ζ ⋅ cos(kx ) ⋅ exp(iωt ) , (т.е. осесимметричной
струи с m = 0 ), он выписал дисперсионное уравнение для осцилляций основной моды поверхностно заряженной струи маловязкой
жидкости с произвольной длиной волны (с волновым числом k) в
виде
ω2 =
γ ka ⋅ I1 ( ka )
w
ka ⋅ K1 ( ka )
{(1 − k 2 a 2 ) − [1 −
]}.
3
4
K 0 ( ka )
ρ a I 0 ( ka )
Бассет указал, что наличие заряда на струе приводит к ее стабилизации в смысле расширения диапазона длин устойчивых волн
в область волн более длинных по сравнению с волнами в незаряженной струе (он также указал, что малая вязкость и наличие окружающей среды повышают устойчивость струи). В соответствии
с анализом Рэлея на незаряженной струе неустойчивы волны с
−1
волновыми числами k > a (см. раздел 3.1), согласно же результатам Бассета на заряженной струе неустойчивы волны с меньшими
волновыми
числами,
удовлетворяющими
условию
k 2 a 2 ≥ {1 −
w
ka ⋅ K1 ( ka )
[1 +
]}, или с большими длинами волн. ВыясK 0 ( ka )
4
нилось также, что длина нераспавшейся части струи за срезом сопла, из которого вылетает струя, с ростом поверхностной плотности заряда увеличивается.
Тейлор [18] исправил в выражении, полученном Бассетом,
численный коэффициент при квадрате заряда, приходящегося на
единицу длины струи, ошибку в размерности и получил дисперсионное уравнение в виде
γ ka ⋅ I1 ( ka )
ka ⋅ K1 ( ka )
ω = 3
{(1 − k 2 a 2 ) − w[1 −
]};
ρ a I 0 ( ka )
K 0 ( ka )
2
μ2
w≡
.
π aγ
Кроме того, Тейлор в [18] попутно исследовал и изгибную неустойчивость струи, отталкиваясь от известного по экспериментальным исследованиям факта, что при достаточно большой плотности заряда на струе ее конец начинает совершать хлыстообразное движение, распадаясь при этом на отдельные капельки. Тейлор
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
выписал форму струи в виде r = a + ζ ⋅ cos(kx) ⋅ cos(ϕ) ⋅ exp(iω t ) , где
φ – азимутальный угол, и получил дисперсионное уравнение для
изгибной неустойчивости струи:
ω2 = −
γ ka ⋅ I1′( ka )
ρa 3
I1 ( ka )
{k 2 a 2 + w[1 +
ka ⋅ K1′( ka )
]}.
K1 ( ka )
Условие нейтрального равновесия струи по отношению к изгибной
неустойчивости отсюда получается в виде
w=
ka ⋅ K1 ( ka )
.
K 0 ( ka )
Следует отметить, что за два года до появления работы Тейлора вышла статья [86], где исследовалась устойчивость заряженной
струи и были исправлены ошибки в дисперсионном уравнении, допущенные Бассетом, но совершены свои ошибки, одна из которых
была исправлена в работе [87], а другая, связанная с размерностью
(в обеих цитированных выше работах дисперсионные уравнения
содержат выражения вида ln r , где r – размерная величина), перекочевала из [86] и в работу [87]. Теоретические анализы устойчивости заряженной струи содержались также в работах [88 – 91],
однако в них также содержались ошибки и полученные результаты
в итоге не вполне достоверны.
Еще один вопрос представляет интерес в контексте проводимого исследования. Основным отличием изучаемого нами спонтанного распада заряженных струй от вынужденного монодисперсного распада является полидисперсность получаемых капель и
наличие “хлыстообразного” движения конца распадающейся струи.
Совершенно очевидна связь “хлыстообразного” движения конца
струи с возбуждением неосесимметричных волн в ней. Первый
вклад в исследование устойчивости неосесимметричных волн в заряженной струе следует связать с именем Рэлея [66], а развитие
идеи, естественно, отнести к работе Тейлора [18]. В более позднее
время исследование устойчивости неосесимметричных волн проводилось в работах [90, 92 – 95], однако чаще всего речь шла лишь
о постановке проблемы.
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В нижеследующих рассуждениях будут исследованы методом
операторной скаляризации осцилляции и устойчивость неосимметричных волн в заряженных струях как идеально проводящих и
объемно заряженных диэлектрических жидкостях, так и струй
жидкости с реальной проводимостью. Следует отметить, что эффект релаксации заряда в струях реально проводящих жидкостей
исследовал ранее Сэвилл [88], но получил ошибочные результаты
поскольку неверно выписал уравнение баланса заряда на поверхности струи [96].
Следует также отметить, что в этой книге мы говорим об исследовании волн на заряженной поверхности струи и их устойчивости, имея в виду, что электрическое поле перпендикулярно поверхности струи. Существует много исследований осцилляций и
устойчивости струй в электрическом поле, параллельном поверхности струи (см., например, [97 – 106] и указанную там литературу), но в нашей книге эта проблема затрагиваться не будет.
3.3.1. Линейные неосесимметричные осцилляции
заряженной цилиндрической струи вязкой
электропроводной жидкости
1. Постановка
задачи.
Рассмотрим
бесконечную,
движущуюся вдоль оси симметрии с постоянной скоростью U 0
цилиндрическую струю радиуса R вязкой несжимаемой жидкости
с массовой плотностью ρ , кинематической вязкостью ν и
коэффициентом поверхностного натяжения γ , поддерживаемую
при постоянном электрическом потенциале Φ∗ . Будем считать, что
жидкость является идеально проводящей и электрический заряд
распределен по цилиндрической в отсутствие возмущений
поверхности струи с постоянной поверхностной плотностью заряда
χ . Поскольку мы рассматриваем бесконечную струю, то для
упрощения задачи перейдем в инерциальную систему координат,
движущуюся вместе со струей с такой же скоростью U0 . Очевидно,
что в такой системе отсчета поле скоростей течения жидкости в
струе U ( r,t ) полностью определяется возможными (имеющими,
например, тепловую природу) капиллярными осцилляциями ее
поверхности и является величиной такого же порядка малости, что
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и амплитуда колебаний. Будем исследовать условия реализации
неустойчивости капиллярных колебаний поверхности струи.
Расчеты проведем в цилиндрической системе координат r ,ϕ , z ,
орт n z которой ориентирован вдоль оси симметрии струи.
Уравнение поверхности струи, возмущенной капиллярным
волновым движением, запишем в виде
r ( ϕ, z , t ) = R + ξ ( ϕ, z , t ) ,
ξ << R .
Математическая формулировка задачи о расчете капиллярных
осцилляций струи состоит из уравнений гидродинамики и
электростатики (в предположении, что скорость движения
жидкости много меньше релятивистской):
dU
1
= − ∇P + ν ⋅ ΔU ,
ρ
dt
∇U = 0 ,
ΔΦ = 0 ;
условий ограниченности
r → 0:
U <∞,
r → ∞:
∇Φ → 0 ;
гидродинамических граничных условий на свободной поверхности
струи:
кинематического
r = R + ξ:
−
∂ξ
+ U∇  r − ( R + ξ ( ϕ, z , t ) )  = 0 ,
∂t
и динамического для его касательных
r = R + ξ:
∂U ϕ
∂r
+
1 ∂U r 1
− U ϕ = 0;
r ∂ϕ r
∂U z ∂U r
+
= 0,
∂r
∂z
и нормальной
r = R + ξ:
− P ( r, t ) − P0 + 2ν
∂U r
− Pq + Pγ = 0
∂r
компонент, а также из условия эквипотенциальности поверхности
струи
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Φ = Φ∗ .
Здесь U r , U ϕ , U z – компоненты поля скоростей в цилиндрической
системе координат; P ( r, t ) – гидродинамическое давление; P0 – атмосферное давлении; Pq – давление электрического поля; Pγ – давление сил поверхностного натяжения; Φ ( r,t ) – электростатический
потенциал.
В нулевом приближении по ξ R получим неподвижный цилиндрический столб жидкости, а также известные выражения для
лапласовского давления под свободной цилиндрической поверхностью жидкости и давления электрического поля на поверхность
равномерно заряженного бесконечного цилиндра фиксированного
радиуса.
2. Линеаризация задачи. В линейном приближении по ξ R ,
если за всеми физическими величинами оставить прежние обозначения, обсуждаемая задача в безразмерных переменных, в которых
R = ρ = γ = 1 , запишется в виде
r ( ϕ, z , t ) = 1 + ξ ( ϕ, z , t ) ,
ξ << R ,
∂U
1
= − ∇P + ν ⋅ ΔU ,
∂t
ρ
(1)
(2)
∇U = 0 ,
(3)
Δφ = 0 ,
(4)
r → 0:
U <∞,
(5)
r → ∞:
∇φ → 0 ;
(6)
∂ξ
+ Ur = 0 ,
∂t
(7)
r = 1:
−
∂U ϕ
∂r
+
∂U r
− Uϕ = 0 ,
∂ϕ
∂U z ∂U r
+
= 0,
∂r
∂z
103
(8)
(9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
− p + 2ν
∂U r
− pq + pγ = 0 ,
∂r
φ − 4πχξ = 0 .
(10)
(11)
В уравнениях (1) – (11) φ , p , pq , pγ – вызванные капиллярными колебаниями поверхности добавки первого порядка малости по
ξ к электрическому потенциалу, гидродинамическому давлению,
давлению электрических сил и сил поверхностного натяжения соответственно.
Раскладывая по малой величине ξ известные аналитические
выражения для лапласовского давления Pγ = divn (где n – орт нормали к поверхности (1)) и давления электрического поля Pq = 2πχ2
(см. Приложение), для входящих в (10) величин первого порядка
малости pχ и pσ несложно получить следующие соотношения:

∂ 2ξ ∂ 2ξ 
pγ = −  ξ + 2 + 2  ,
∂ϕ
∂z 

pq = −4πχ 2ξ − χ
∂φ
.
∂r
(12)
(13)
3. Скаляризация линейной задачи. Систему уравнений (2),
(3) будем решать методом операторной скаляризации (подробно
изложенным в [107]), раскладывая поле скоростей U ( r,t ) на сумму
трех ортогональных векторных полей при помощи векторных
i
дифференциальных операторов N
3
 i ψ ( r, t )
U ( r, t ) =  N
i
i =1
( i = 1,2,3) ,
(14)
удовлетворяющих условиям ортогональности
 +j N = 0 , (при i ≠ j ; i, j = 1,2,3 )
N
i
(15)
и условия коммутативности с оператором Лапласа
i =N
 iΔ .
N
104
(16)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(В выражениях (14) – (15) ψi ( r, t ) – неизвестные скалярные
+
 j – операторы, эрмитовосопряженные к операторам
функции; N
 j .)
N
Поскольку равновесная форма струи обладает осевой симмет i удобно выбрать в виде
рией, то операторы N
1 = ∇, N
 2 = ∇ × e ,
N
z
 3 = ∇ × ( ∇ × e ) .
N
z
Поле скоростей U ( r,t ) в цилиндрической системе координат
будет иметь следующие компоненты, выраженные через скалярные
функции ψi ( r, t ) :
Ur =
∂ψ1 1 ∂ψ 2 ∂ 2ψ3
,
+
+
∂r r ∂ϕ ∂z∂ϕ
1 ∂ψ1 ∂ψ 2 1 ∂ 2ψ3
Uϕ =
−
+
,
r ∂ϕ
∂r r ∂z∂ϕ
∂ψ1  1 ∂  ∂ψ3  1 ∂ 2ψ3 
Uz =
−
.
r
+
∂z  r ∂r  ∂r  r 2 ∂ϕ2 
(17)
Подставляя разложение (14) в систему (2) – (3) и используя
свойство операторов (15) – (16), получим систему скалярных уравнений:
∇ψ1 = 0 ,
Δψi −
1 ∂ψi
= 0,
ν ∂t
p=−
∂ψ1
.
∂t
( i = 2,3) ,
(18)
(19)
Используя (12), (13), (17), (19), граничные условия (7) – (10),
преобразуем в граничные условия для известных функций ψi и ξ :
r = 1:
∂ξ  ∂ψ1 1 ∂ψ2 ∂ 2ψ3 
−
+
+
 = 0,
∂t  ∂t r ∂ϕ ∂z∂r 
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
2
∂  ∂ψ1
∂ 2  ∂ψ3

  ∂ ψ 2 ∂ψ 2 ∂ ψ 2 
2 
− ψ1  −  2 −
−
+
2
−
ψ
= 0,



3
∂ϕ  ∂r
∂r
∂z∂ϕ  ∂r
∂ϕ2 
  ∂r

∂  ∂ψ1  1 ∂  ∂ψ 3  1 ∂ 2ψ3   ∂  ∂ψ1 1 ∂ψ 2 ∂ 2ψ3 
−
+
+

 = 0,
 + 
r
+
∂r  ∂z  r ∂r  ∂r  r 2 ∂ϕ2   ∂z  ∂r r ∂ϕ ∂z∂ϕ2 
∂ψ1
∂  ∂ψ1 1 ∂ψ 2 ∂ 2ψ3 
∂φ 
∂ 2ξ ∂ 2ξ 
2
+ 2ν 
+
+
− ξ + 2 + 2  = 0. (20)
 + 4πχ ξ + χ0
∂t
∂r  ∂r r ∂ϕ ∂z∂r 
∂r 
∂ϕ
∂z 
Поскольку функции ξ , φ , и ψi описывают малые отклонения
от равновесного состояния, то для того чтобы проследить эволюцию этих отклонений во времени, примем, что временная зависимость всех малых величин определяется экспонентой
ξ, φ, ψi  exp ( st ) ,
где s – комплексная частота.
4. Вывод дисперсионного уравнения. Учитывая это, решения
уравнений (4) и (18) в цилиндрической системе координат, удовлетворяющие условиям ограниченности (5), (6), будем искать в виде
разложений по волнам, бегущим вдоль оси OZ :
ψ1 =
∞ ∞
 C
1
m
⋅ I m ( kr ) ⋅ exp ( imϕ ) ⋅ exp ( ikz ) ⋅ exp ( st ) dk ,
0 m=0
∞ ∞
ψi = 
C
i
m m
I
0 m=0
φ=
∞ ∞
( lr ) ⋅ exp ( imϕ ) ⋅ exp ( ikz ) ⋅ exp ( st ),
 C I
4
m m
( i = 2,3)
( kr ) exp ( imϕ ) exp ( ikz ) exp ( st ) dk .
(21)
(22)
0 m =0
В виде аналогичного разложения представим и функцию
ξ ( z , ϕ, t ) :
ξ ( z , ϕ, t ) =
∞ ∞
 D
m
exp ( imϕ ) exp ( ikz ) exp ( st ) dk .
0 m= 0
106
(23)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В (21) – (23) k – волновое число; l 2 ≡ k 2 + s ν ; m – азимутальные числа, т.е. целые числа, характеризующие неосесимметричноть решений; I m ( x ) , K m ( x ) – модифицированные функции Бесселя первого и второго рода; Ci , где i = 1,2,3,4 , и D – коэффициенты разложений, зависящие от m и k .
Используя условие эквипотенциальности поверхности струи
(11), учитывая решения (22) – (23) и свойства ортонормированности функций exp ( imϕ ) и exp ( ikz )
2π
 exp i ( m − m )ϕ dϕ = δ
1
2
m1 ,m2
,
0
2π
 exp i ( k − k ) z dz = δ ( k − k ) ,
1
2
1
(24)
2
0
где δ m1 , m2 – дельта-символ Кронекера; δ (k1 − k2 ) – дельта-функция
Дирака, несложно получить связь коэффициентов Cm4 и Dm
Cm4 =
4πχ
Dm .
Km ( k )
(25)
Подставляя решения (21) – (22) с учетом (23) и (25) в граничные условия (20) и используя соотношения (24), получим систему
уравнений относительно неизвестных коэффициентов Dm и Cmi
( i = 1,2,3)
1
Dm s − Cm
kI m′ ( k ) − Cm2 imI m ( l ) − Cm3 iklI m′ ( l ) = 0 ,
(
)
1
Cm
2im ( kI m′ ( k ) − I m ( k ) ) + Cm2 lI m′ ( l ) − m2 I m ( l ) − l 2 I m′′ ( l ) +
+Cm3 2mk ( kI m ( l ) − lI m′ ( l ) ) = 0 ,
1
Cm
2ik 2 I m′ ( k ) − Cm2 mkI m ( l ) −
(
(
)
)
−Cm3 l 3 I m′′′ ( l ) + l 2 I m′′ ( l ) + l k 2 − m2 − 1 I m′ ( l ) + 2m2 I m ( l ) = 0 ,
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 kK ′ ( k )  2


2
1
2
Dm 4πχ 2  1 + m
 + k + m − 1 + Cm sI m ( k ) + 2νk I m′′ ( k ) +
Km ( k ) 



(
)
+Cm2 2νim ( lI m′ ( l ) − I m ( l ) ) + Cm3 2νikl 2 I m′′ ( l ) = 0 .
(26)
Штрихами обозначены производные функций Бесселя m -го
порядка по их аргументу, которые могут быть выражены через
функции Бесселя m -го и ( m + 1) -го порядков с помощью следующих рекуррентных соотношений:
I m′ ( x ) = I m +1 ( x ) +
m
m
I m ( x ) = I m −1 ( x ) − I m ( x ) ,
x
x
 m ( m − 1) 
1
I m′′ ( x ) = − I m +1 ( x ) + 1 +
 Im ( x ) ,
2
x
x


 m2 + 2 
m − 1  m ( m − 2) 
I m′′′ ( x ) = 1 +
 I m +1 ( x ) +
1 +
 Im ( x ) ,
2
2
x
x
x




K m′ ( x ) =
m
K m ( x ) − K m +1 ( x ) .
x
Напомним, что система однородных линейных уравнений (26)
имеет нетривиальное решение только в случае, если ее определитель равен нулю det  aij  = 0 , где элементы aij определяются соотношениями:
a11 = s ,
a21 = a31 = 0 ,
K ( k ) 

a41 = k 2 + m 2 − 1 + 4πχ 2 1 + m − k m +1
,
K m ( k ) 

a12 = − ( kI m +1 ( k ) + mI m ( k ) ) ,
a22 = 2im ( kI m +1 ( k ) + ( m − 1) I m ( k ) ) ,
a32 = 2ik ( kI m +1 ( k ) + mI m ( k ) ) ,
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)
a42 =  s + 2ν k 2 + m ( m − 1)  I m ( k ) − 2νkI m +1 ( k ) ,


(
)
a13 = −imI m ( l ) , a23 = 2lI m +1 ( l ) − l 2 + 2m ( m − 1) I m ( l ) ,
a33 = −mkI m ( l ) , a43 = 2νim ( lI m +1 ( l ) + ( m − 1) I m ( l ) ) ,
a14 = −ik ( lI m +1 ( l ) + mI m ( l ) ) ,
a24 = −2mk ( lI m +1 ( l ) + ( m − 1) I m ( l ) ) ,
(
)
a34 = − l 2 + k 2 ( lI m +1 ( l ) + mI m ( l ) ) ,
(
)
a44 = 2νik l 2 + m ( m − 1)  I m ( l ) − lI m +1 ( l ) .
(27)
Раскрывая определитель четвертого порядка с элементами (27),
получим дисперсионное уравнение, связывающее частоты s неосесимметричных колебаний поверхности струи с волновым числом k,
{
(
)
(
)(
)
s 2 m l 2 l 2 + k 2 + 2m ( m − 1) l 2  + Fm ( l )  l 2 + k 2 l 2 − 4m + 2l 2m2  −




(
}
)
{
(
)(
)
−2 l 2 + k 2 Fm2 ( l ) + 2 sν − ml 2 l 2 − k 2 k 2 − m ( m − 1) +
(
)
(
)
+ Fm ( l ) l 2 k 2 l 2 + k 2 + l 2 m ( m − 1) l 2 − 2m ( m + 1) +

(
))
(
+l 2 k 2 m ( 3m + 1) − 4k 2m k 2 − m m 2 − 1  −

(
) (
(
(
)(
)
−2  k 2 l 2 + k 2 + m m 2 − 1 l 2 − k 2  Fm2 ( l ) +


))
(
(
)(
)
+ Fm ( k )  2l 2 l 2k 2 + m2 m2 − 1 + l 2m l 2 + k 2 ( 4m − 5 ) +

)
+ Fm ( l ) l 4 − 5l 2 k 2 + 4m m2 − 1 l 2 − k 2  +


(
)(
}
)
+2 m2 − 1 l 2 − k 2 Fm2 ( l ) = f ( m, w, k ) ×
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
{(
(
)
(
)
(
)
× m l 2 m l 2 − k 2 + Fm ( l ) l l 2 l 2 − k 2 − 2m l 2 − 2k 2  −


(
(
)
)
(
)
−2 l 2 − k 2 Fm2 ( l ) + Fm ( k ) m l 2 l 2 − k 2 − 2ml 2  +


(
)(
)
(
}
)
Fm ( x ) ≡ x
+ l 2 − k 2 l 2 − 4m Fm ( l ) − 2 l 2 − k 2 Fm2 ( l ) ;
I m+1 ( x )
;
Im ( x )


kK m +1 ( k )  
μ2
2
2
2
f ( m, w, k ) ≡ 1 − m − k − w 1 + m −
  ; w ≡ 4πχ ≡ ; μ ≡ 2πχ,
K
k
π
(
)
m

 

(28)
где μ – электрический заряд, приходящийся на единицу длины
струи.
6. Анализ дисперсионного уравнения и обсуждение результатов. Анализ уравнения (28) в общем случае достаточно проблематичен и может быть проведен только численными методами.
Дисперсионное уравнение для случая осесимметричных колебаний заряженной струи несложно получить из (28), положив
m = 0:


2
2
2
l
l
−
k

s + 2νk s 1 − F0 ( k )  2
+

 l + k 2 F0 ( l ) k 2 l 2 + k 2


2
2
(
)
(
)
 l 2 − k 2
 =
F0 ( k ) f ( 0, w, k ) .
 l 2 + k 2

При w = 0 это выражение совпадает с дисперсионным уравнением для незаряженной струи вязкой жидкости. Для струи маловязкой жидкости, когда выполняется условие l  k , уравнение (28)
приводится к более простому виду:
(
)
s 2 + 2 sν k 2 + m ( m − 1) − Fm ( k ) = f ( m, w, k ) ( m + Fm ( k ) ) .
(29)
При малой вязкости линейное по s слагаемое в уравнении (29)
также можно опустить [73]:
s 2 = f ( m, w, k ) ( m + Fm ( k ) ) .
(30)
При f > 0 соотношение (30) определяет инкремент неустойчивости цилиндрической волны s = f ⋅ ( m + Fm ( k ) ) . Приравнивая к
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нулю первую производную от инкремента по волновому числу,
можно найти волновое число капиллярной волны с максимальным
значением инкремента и, подставив его в (6.30), получить величину самого инкремента. На рис.1 приведены результаты подобных
расчетов в виде зависимостей s = s ( w ) , k = k ( w ) для первых пяти
значений азимутального числа m.
Из рис. 1а видно, что величины инкрементов осесимметричной
моды ( m = 0 ) и неосесимметричных мод ( m = 1, 2,3, 4 ), заметно различающиеся при малых значениях w, при достаточно больших значениях поверхностной плотности заряда χ (при больших значениях
параметра w ) становится примерно равными. Согласно рис. 1b, в
такой ситуации волновые числа неосесимметричных волн заметно
превышают волновое число осесимметричной волны. Сказанное
означает, что при одном и том же значении электрического потенциала струи создаются оптимальные условия для реализации неустойчивости одновременно осесимметричных и неосесимметричных
мод колебаний поверхности, различающихся волновыми числами
наиболее неустойчивых волн. Таким образом, струя станет дробиться на капли различных размеров и будет неустойчива по отношению к закручиванию вокруг своей оси (по отношению к реализации «хлыстообразного» согласно терминологии [13]) движения, наблюдавшегося во многих экспериментах (см., например, [10,
14, 17, 108 – 109]).
В более общей ситуации, когда линейным по s слагаемым в
(29) пренебрегать нельзя, положительный корень уравнения (29),
соответствующий инкременту неустойчивости, запишется в виде
(
s = −νG ( m, k ) + ν 2G 2 ( m, k ) + f ( m, w, k ) ( m + Fm ( k ) )
(
)
G ( m, k ) = k 2 + m ( m − 1) − Fm ( k ) .
111
)
12
,
(31)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1. Зависимость от w величины
безразмерного инкремента (а) и
волнового числа (б) наиболее
неустойчивой волны при ν = 0 .
Цифры у кривых – значения
азимутального параметра m
Рис. 2. Те же зависимости,
что и на рис. 1, рассчитанные
при ν = 0.1
Несложно видеть, что критические условия реализации неустойчивости струи в используемом приближении от вязкости не зависят. В самом деле, критические условия реализации неустойчивости струи невязкой жидкости определяются согласно (30) условием f > 0 , при выполнении обратного неравенства s становится
мнимым, что соответствует периодическому во времени изменению амплитуды волн. Из (31) видно, что условие появления положительных решений уравнения (29) (определяющих инкременты
неустойчивости) также имеет вид f > 0 . Влияние вязкости в данном случае сводится к уменьшению величин инкрементов и снижению значений волновых чисел, соответствующих наиболее неустойчивым волнам. Однако степень этого влияния различна в различных диапазонах значений волновых чисел и для различных m .
В представляющем интерес (в контексте сказанного выше о закономерностях развития неустойчивости волн при больших значениях поверхностного заряда) диапазоне величин безразмерных
волновых чисел k  4 − 6 и безразмерных инкрементов неустойчи112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вости f  5 − 10 (рис. 1a-b) влияние вязкости (при ν  1) на развивающуюся неустойчивость будет слабым. Оно проявляется в снижении величин инкрементов и волновых чисел наиболее неустойчивых волн примерно на 20%. Это видно из рис. 2, где приведены
результаты расчетов для ν =0.1 в виде зависимостей s = s ( w ) ,
k = k ( w ) для первых пяти значений азимутального числа m. Данные
рис. 2 свидетельствуют о том, что учет вязкости, хотя бы и малой,
дает преимущество развитию неустойчивости неосесимметричных
волн.
Чтобы исследовать влияние вязкости на закономерности реализации неустойчивости струи в ситуации ν  1, проанализируем
асимптотику дисперсионного уравнения (28), когда l ≈ k или
k 2  ( s ν ) . В таком приближении получим
{
s 2 −6 Fm2 + 2 H ( m, k ) k 3  k 2 + m ( m − 4 )  + m 3k 2 + 2m ( m − 1)  +
}
{
(
)
+ Fm  4k 2 − 8 H ( m, k ) k 3 + m ( 3m − 8 )  + 2 sν −2 Fm3 m2 − 1 +
(
)
2
+ Fm  k 4 − H ( m, k ) k 5 + 4k 2 m ( m − 1) − 3m2 ( m − 1)  − 3Fm2  k 2 + 2m m2 − 1  +




)}
(
+2k  m 2 ( m − 1) + H ( m, k ) k k 4 + 2k 2 m ( m − 1) + m 2 ( m − 1)( 3 + m )  +


(
)
(
)
+ f ( m, w, k )  Fm2 2 Fm − k 2 − 2 Fm ⋅ m k 2 − 3Fm −

(
)
− m2 2 H ( m, k ) k 3 + k 2 − 3Fm  + 8 Fmν 2k 2m2 ( m − 1) = 0 ;

H ( m, k ) ≡ k 2 − Fm2 ( k ) − (2m + 1) Fm ( k ) k 2 .
(32)
Результаты численного расчета по уравнению (32) зависимостей величин инкремента и волнового числа наиболее неустойчивой
волны от параметра w при ν = 3 по уравнению (32) приведены на
рис. 3. Видно, что при использовании в расчетах большой вязкости
величина инкремента неосесимметричной волны с m = 1 существенно превышает инкремент осесимметричной волны, однако абсолютные значения величин инкрементов в обоих случаях снижаются
по сравнению с величинами инкрементов для маловязких струй.
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Интересно отметить, что при m = 0 в области малых значений
волновых чисел ( k ≤ 0.7 ) величина инкремента немного снижается
при увеличении w от нуля до w ≈ 1.6 . Этот эффект связан с немонотонностью при 0 < w ≤ 1.6 зависимости f = f ( k , w ) в уравнениях
(29) – (31) (рис.4).
Интересно применить полученные результаты к рассмотрению
распада на капли струи с формой, отличной от цилиндрической.
Следует отметить, что в естественных условиях образования струй
при реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости [10, 17] они имеют почти коническую форму. Распад таких
струй на капли происходит как за счет отрыва образующихся капелек с тонкого торца струи, совершающего хлыстообразное движение, так и при разрыве струи в ее сплошной части, далеко от торца
[13, 17]. Такой путь дробления струи приводит к расширению
функции распределения дочерних капелек по размерам и большему
разнообразию фиксируемых режимов электродиспергирования
жидкости [17, 27 – 31].
Рис. 3. Те же зависимости,
что и на рис. 1, рассчитанные
при ν = 3
Рис. 4. Зависимость
f = f ( m, k , w) от w и k ,
рассчитанная при m = 0
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В контексте проведенного исследования коническая струя,
поддерживаемая при постоянном электростатическом потенциале,
характеризуется различной поверхностной плотностью заряда на
струе в различных ее поперечных сечениях: меньших при больших
радиусах струи и больших у тонкого ее конца. Сказанное означает,
что в одной и той же струе при различных значениях координаты z
могут реализоваться неустойчивости различных волн с отличающимися значениями азимутального параметра m . Так, распад тонкого конца струи на капли будет происходить при определяющем
влиянии неосесимметричных волн, а разрыв струи в сечении с
большим радиусом, когда поверхностный заряд мал, за счет неустойчивости осесимметричной моды. Обсуждавшееся выше влияние
вязкости в сечениях с большим и малыми радиусами струи также
будет различным: безразмерная вязкость ν = ν 0 ( ρ γR )1 2 будет
больше на узком конце струи и меньше на широком.
Итак, в спонтанном капиллярном распаде заряженных (поддерживаемых при постоянном электростатическом потенциале)
струй на капли важную роль в формировании спектра распределения образующихся капель по размерам играет неустойчивость неосесимметричных волн. Инкременты неустойчивости неосесимметричных волн в маловязких струях при больших значениях поверхностной плотности заряда сравниваются с инкрементом
неустойчивости осесимметричной волны, а в сильновязких струях
существенно его превышают.
Приложение. Вычислим давление электрического поля на заряженную поверхность цилиндрической струи вязкой несжимаемой идеально проводящей жидкости. Будем считать, что электрический ток по струе не течет, напряженность электростатического
поля внутри проводника равна нулю и заряд струи, вызванный ее
электризацией, равномерно распределен по ее поверхности с плотностью χ . Учтем, что в приближении идеально проводящей жидкости заряд по поверхности струи при ее капиллярных колебаниях
перераспределяется с бесконечно большей скоростью, мгновенно
следуя за колебаниями поверхности и обеспечивая ее эквипотенциальность в любой момент времени. В связи со сказанным, зависимость от времени потенциал Φ электрического поля струи полностью определяется изменениями во времени формы поверхности
струи, а зависимость потенциала Φ от пространственных перемен115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ных может быть найдена из уравнения Лапласа (поскольку гидродинамические скорости много меньше скорости света).
Давление электростатического поля на поверхность заряженной проводящей струи Pq определяется известным выражением
Pq
2
∇Φ )
(
=
,
8π
где потенциал электрического поля вне капли Φ является решением краевой задачи
ΔΦ = 0 ,
r =1+ ξ :
r → ∞:
Φ = Φ∗ ,
∇Φ → 0 .
Представим потенциал Φ в виде разложения
Φ = Φ0 + φ ,
где Φ 0 – потенциал электрического поля вблизи невозмущенной
поверхности струи; φ – добавка к потенциалу, вызванная возмущением поверхности ξ ( z, ϕ, t ) , имеющая первый порядок малости по
ξ.
Разделяя сформулированную задачу по порядкам малости, получим в нулевом приближении по ξ
ΔΦ 0 = 0 ,
r = 1:
r → ∞:
Φ 0 = Φ∗ ,
∇Φ 0 → 0 .
а в первом порядке
Δφ = 0 ,
r =1+ ξ :
r → ∞:
φ=−
∂Φ 0
ξ,
∂r
∇φ → 0 .
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учтем также, что напряженность электрического поля на поверхности струи имеет только нормальную компоненту
r = 1:
E0 ⋅ n = 4πχ ,
E0 ⋅ τ = 0 ,
где n и τ – орты нормали и касательной к поверхности струи.
В нулевом порядке малости напряженность электрического
поля вблизи невозмущенной цилиндрической поверхности струи
имеет вид
E0 = ∇Φ 0 =
4πχr
.
r2
Выражение для потенциала φ в цилиндрической системе координат, удовлетворяющее условию ограниченности при r → ∞ , и
выражение для искажения цилиндрической формы струи ξ ( ϕ, z, t )
запишем в виде разложений по волнам, бегущим вдоль оси OZ
(вдоль оси симметрии струи):
φ ( r , ϕ, z , t ) =
∞ ∞
 C
4
m
⋅ K m ( kr ) exp ( imϕ ) exp ( ikz ) exp ( st ) dr ,
0 m =0
ξ ( ϕ, z , t ) =
∞ ∞
 D
m
exp ( imϕ ) exp ( ikz ) exp ( st ) dk ,
0 m= 0
где m – целые числа; k – волновое число; K m ( kr ) – модифицированные функции Бесселя второго рода; Cm4 и Dm – коэффициенты разложения, зависящие от k и m.
На поверхности струи для функции φ имеем
r = 1:
φ = 4πχξ .
Отсюда легко получить связь коэффициентов Cm4 и Dm :
Cm4 =
4πχ
Dm .
Km ( k )
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При выводе этого соотношения была учтена линейная независимость функций exp ( imϕ ) при разных m и функции exp ( ikz ) при
различных значениях волнового числа k.
Искажение равновесной цилиндрической поверхности струи
волновым движением ξ ( z, ϕ, t ) вызывает изменение давления Pq .
Поскольку возмущение ξ мало, то Pq может быть разложено в ряд
по ξ и представлено в виде
Pq
r =1+ξ
≈
1
∇Φ 0 + ∇φ
8π
≈
1 
0
 ∇Φ
8π 
(
(
)
2
)
2
r =1+ξ
+ 2∇Φ 0
≈
1 
0
 ∇Φ
8π 
(
)
2
(
)
+ 2 ( ∇φ ) ∇Φ 0 
≈
 r =1+ξ
∂

∇Φ 0 ξ + 2 ( ∇φ ) ∇Φ 0  .
∂r
 r =1
(
)
(
)
Используя выражение для напряженности электрического поля
у поверхности невозмущенной цилиндрической струи для линейной по ξ добавки к давлению электрического поля, которую обозначим pχ ( ξ ) , получим выражение
pq ( ξ ) = −4πχξ − χ
r = 1:
∂φ
.
∂r
Подставляя вместо функций ξ и φ их интегральные представления, получим окончательное выражение для давления электрического поля, связанного с возмущением формы поверхности струи:
pq ( ξ ) = − w
∞

K′ (k ) 
Dm  1 + k m
 exp i ( kz + mϕ ) exp ( st ) ;
K
k
(
)
m


m=0

w ≡ 4πχ 2 .
3.3.2. Линейные неосесимметричные осцилляции
объемно заряженной цилиндрической струи
вязкой диэлектрической жидкости
1. Постановка задачи. Пусть дана бесконечная, движущаяся
вдоль оси симметрии с постоянной скоростью U 0 цилиндрическая
струя вязкой несжимаемой жидкости с массовой плотностью ρ ,
кинематической вязкостью ν , диэлектрической проницаемостью ε
и коэффициентом поверхностного натяжения γ , имеющая радиус
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
R. В рамках модели "вмороженного" заряда примем, что заряд
распределен равномерно с объемной плотностью η .
Поскольку мы рассматриваем бесконечную струю, то для
упрощения задачи перейдем в инерциальную систему координат,
движущуюся вместе со струей с такой же скоростью U 0 . Очевидно,
что в такой системе отсчета поле скоростей течения жидкости в
струе U ( r,t ) полностью определяется возможными (имеющими,
например, тепловую природу) капиллярными осцилляциями ее
поверхности и является величиной такого же порядка малости, что
и амплитуда колебаний. Будем искать критические условия
реализации неустойчивости капиллярных колебаний поверхности
такой струи.
Все расчеты проведем в цилиндрической системе координат с
осью OZ, совпадающей с осью симметрии струи, орт n z которой
направлен вдоль вектора скорости U 0 . Уравнение поверхности
струи, возмущенной капиллярным волновым движением, запишем
в виде
F ( r ,ϕ , z , t ) = r − ( R + ξ (ϕ , z , t ) ) = 0,
где R – радиус равновесной поверхности струи, ξ (ϕ , z, t ) –
возмущение поверхности струи, вызванное ее капиллярными
колебаниями.
Математическая формулировка задачи о расчете капиллярных
осцилляций струи состоит из уравнений гидродинамики и
электростатики (в предположении, что скорость движения
жидкости много меньше релятивистской):
∂U
1
+ ( U∇ ) U = − ∇p + ν ⋅ ΔU,
ρ
∂t
divU = 0.
На поверхности струи должны выполняться:
кинематическое граничное условие:
dF
dt
r = R+ξ:
= 0,
F =0
динамические граничные условия для касательной
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
τ ( n∇ ) U + n(τ ∇ ) U = 0
r = R+ξ:
и нормальной компонент тензора напряжений
− ( P − Pатм ) + 2ν n( n∇ ) U + Pγ − PE = 0 .
r = R+ξ:
При r → 0 решение U должно быть ограничено, то есть
r → 0:
U < ∞,
τ и n – единичные вектора касательной и нормали к возмущенной
поверхности струи; Pатм – давление атмосферы; U ( r, t ) , P ( r, t ) –
поле скоростей и поле давлений внутри струи; Pγ – давление сил
поверхностного натяжения; Pq – давление электростатического
поля на поверхность струи, которое вычисляется из краевой задачи
для электрических потенциалов внутри Φ in и вне Φ ex струи
соответственно:
ΔΦin = −4π
r = R +ξ :
r → 0:
in
η
,
ε
ΔΦ ex = 0 ,
∂Φin ∂Φ ex
=
ε
,
∂n
∂n
ex
Φ =Φ ,
Φin → 0 ,
r →∞:
Φ ex → 0 .
Отметим, что в модели диэлектрической струи заряд "вморожен" в жидкость и на поверхности нет свободных зарядов. Поэтому зависимость электрического потенциала Φ от времени полностью определяется изменением во времени формы поверхности
струи, а зависимость от пространственных переменных потенциалов внутри Φ in и вне струи Φ ex может быть найдена из решения
выписанной электростатической задачи (см. «Приложение»).
Сформулированная задача отличается от подробно разобранной в предыдущем разделе только задачей расчета давления электрического поля на свободную поверхность струи, решение которой приводится в «Приложении», а потому опустим промежуточные выкладки и выпишем сразу дисперсионное уравнение.
2. Дисперсионное уравнение в безразмерных переменных, в
которых R = ρ = γ = 1 , запишется в виде
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a11
det aij =
a11 = s ,
a12
a13
a14
a21 a22
a31 a32
a41 a42
a23
a33
a43
a24
= 0;
a34
a44
a41 = k 2 + m 2 − 1 −
a21 = a31 = 0 ,
ε −1


 ε −1
2
ε
1
ε
1
1
+
−
+
−
+
−
m
F
k
m
D
k
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)


m
m
ε + 1
2ε
2ε


−2 w 
−

(ε − 1) m + ε Fm ( k ) + Dm ( k )
 2ε



,
a42 =  s + 2ν ( k 2 + m ( m − 1) )  I m ( k ) − 2ν kI m+1 ( k )
,
a13 = −imI m ( l )
a23 = 2lI m+1 ( l ) − ( l 2 + 2m ( m − 1) ) I m ( l )
,
a33 = − mkI m ( l )
,
a14 = −ik ( lI m+1 ( l ) + mI m ( l ) )
a43 = 2ν im ( lI m+1 ( l ) + ( m − 1) I m ( l ) )
,
,
,
a24 = −2im ( lI m+1 ( l ) + ( m − 1) I m ( l ) )
,
a34 = − ( l 2 + k 2 ) ( lI m+1 ( l ) + mI m ( l ) ) , a44 = 2ν ik ( l 2 + m ( m − 1) ) I m ( l ) − lI m+1 ( l )  ,
w = πη 2 ;
Fm ( k ) = k ⋅ I m+1 ( k ) I m ( k ) ;
Dm ( k ) = k ⋅ K m+1 ( k ) K m ( k ) .
Расписывая определитель, перепишем дисперсионное уравнение,
связывающее частоты волн на поверхности струи s с их
волновыми числами k , в виде
{
s 2 m l 2 ( l 2 + k 2 ) + 2m ( m − 1) l 2  +
}
+ Fm ( l ) l 2 ( l 2 + k 2 ) − 4m ( l 2 + k 2 ) + 2l 2 m2  − 2 ( l 2 + k 2 ) Fm2 ( l ) +
+2 sν {− ml 2 ( l 2 − k 2 ) ( k 2 − m ( m − 1) ) +
+ Fm ( l ) l 2 k 2 ( l 2 + k 2 ) − l 2 m ( m − 1) ( l 2 − 2m ( m − 1) ) + l 2 k 2 m ( 3m + 1) −
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)
(
)
−4k 2 m k 2 + m ( m2 − 1)  − 2 ( l 2 + k 2 ) k 2 − m ( m2 − 1) Fm2 ( l ) −

( (
)
− Fm ( k ) 2l 2 l 2 k 2 + m2 ( m2 − 1) + l 2 m ( l 2 + k 2 ( 4m − 5 ) ) +
(
)
(
(
))
+ l 4 − 5k 2l 2 − 4mk 2 m 2 − 1 − l 2 5k 2 − 4m m 2 − 1  Fm ( l ) +


}
+2 ( m2 − 1)( l 2 − k 2 ) Fm2 ( l )  = f ( m, k , w ) ×
{
× m ( l 2 m ( l 2 − k 2 ) + l 2 ( l 2 − k 2 ) − 2m ( l 2 − 2k 2 )  Fm ( l ) − 2 ( l 2 − k 2 ) Fm ( l ) ) +
(
)}
+ Fm ( k ) m l 2 ( l 2 − k 2 ) − 2ml 2  + ( l 2 − k 2 )( l 2 − 4m ) Fm ( l ) − 2 ( l 2 − k 2 ) Fm2 ( l ) . (1)
f ( m, k , w ) ≡ 1 − k 2 − m2 +
{2 + ( ε − 1) [m + Fm ( k )]}( 2ε + (ε − 1)[ m − Dm ( k )]) 
w
ε + 1 −

ε 
(ε − 1) m + ε Fm ( k ) + Dm ( k )

Анализ уравнения (1) в общем случае достаточно проблематичен и может быть проделан только численными методами. В
пределе ε → ∞ и η = 2 χ , где χ – плотность поверхностного заряда
цилидрической струи электропроводной жидкости, приходим к
лисперсионному уравнению для неосесимметричных колебаний
заряженной струи вязкой электропроводящей жидкости,
полученному в предыдущем разделе (при таком переходе
предполагается неизменным заряд, приходящийся на единицу
длины струи: μ ≡ 2πχ = πη ).
Из (1), положив m = 0 , несложно получить дисперсионное
уравнение для осесимметричных колебаний заряженной струи:


2kl
l 2 − k 2 
 =
s + 2 sν k 1 − F0 ( k )  2
+ 2 2
2
2 

l
k
F
l
k
l
k
+
+
(
)
) 0
(
) 
(

2
2
[2 + (ε − 1) F0 ( k )][2ε − (ε − 1) D0 ( k )]  
l2 − k2
w

2
F
k
1
k
(
ε
1)
=k 2
−
+
+
−
(
)


 .
1
l + k2
ε 
ε F0 ( k ) + D0 ( k )

 
При η → 0 ( w → 0 ) это выражение совпадает с дисперсионным
уравнением для незаряженной струи вязкой жидкости [73].
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. При больших значениях аргумента цилиндрических
функций k , l  1 (случай коротких волн) можно использовать
асимптотические представления для функций Бесселя первого и
второго рода [110] (с сохранением слагаемых ~ z −1 ):
I m ( z ) = e [ 2π z ]
−1 2
z
 4m 2 − 1 
,
1 −
8
z


I m+1 ( z ) = e [ 2π z ]
−1 2
z
12
12
2
 π   4m − 1 
K m ( z ) = e   1 +
,
8z 
 2z  
π 
K m+1 ( z ) = e  
 2z 
−z
−z
 4 ( m + 1)2 − 1 
 ,
 1 −
z
8


 4 ( m + 1)2 − 1 
 ,
 1 +
8
z


тогда
K m+1 ( z )
2m + 1
= 1+
,
2z
Km ( z )
I m+1 ( z )
2m + 1
= 1−
.
2z
Im ( z )
Подставляя эти разложения в выражения (1), получим
дисперсионное уравнение для больших значений аргумента:
(
s 2 1 + 2m2 ( 2k 2 + l 2 ( 2l − 1) ) ( l 2 + k 2 ) ( 2l − 1)( l − 1)

)
2 −1
+

(
+ sν  2k 2 − ( 2k − 1) ( l 2 − k 2 ) ( 2l − 1) + 4k 2l 2  ( l 2 + k 2 ) ( 2l − 1)
)
−1
+
+ m2 ( 4m2 ( l 2 ( 2l − 1) − k 2 ( 2k − 1) ) + 8k 4 + l 2 ( 4l 3 + 2l 2 − 12l + 5) −
)
−2k 2 ( 4l 2 + 4l 2 − 5) + k 2 (12l 3 − 10l 2 + 4l − 5) − kl 2 ( 2l − 1) ×
2
(
× ( l 2 + k 2 ) ( 2l − 1)( l − 1)
)
2 −1
 = 1 − k 2 − m2 + w ( (ε − 1) −
 
ε
4ε − (ε − 1)( 2k + 1) ) ( 4 + (ε − 1)( 2k − 1) )  
(
−
  ×
2 ( 2 + ( ε + 1)( 2k − 1) )
 
2
2
1 l2 − k2

2 l ( 2l − 1) − k ( 2k − 1)

2
k
1
2
m
× 2
−
+
.
(
)
2
2
2
2
+
−
−
l
k
2
l
1
l
1
(
)(
)
 2 l + k

(
)

123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Для струи маловязкой жидкости, когда выполняется
условие l >> k , уравнение (1) приводится к более простому виду:
s 2 + 2ν s ( k 2 + m ( m − 1) − Fm ( k ) ) = f ( m, k )  m + Fm ( k )  .
(2)
В пределе идеальной жидкости (ν → 0) уравнение (2) сводится
к виду
s 2 = f ( m, k )  m + Fm ( k )  .
(3)
Несложно видеть из (3), что при f > 0 величина s вещественна
и имеет два корня. Один из корней отрицателен и определяет
декремент затухания соответствующего движения жидкости, а
потому не представляет интереса в плане проводимого исследования, а второй положителен и определяет инкремент нарастания
неустойчивости цилиндрической волны s = f ⋅ ( m + Fm ( k ) ) .
Приравнивая нулю первую производную от инкремента по
волновому числу, можно найти волновое число капиллярной волны
с максимальным значением инкремента и, подставив его в
дисперсионное уравнение (3), получить величину самого
инкремента. На рис. 1 – 4 приведены результаты подобных
расчетов, полученных с помощью программы аналитических
расчетов "Математика" в виде зависимостей s = s ( w ) , k = k ( w )
для первых пяти значений азимутального числа m при различных
значениях диэлектрической проницаемости ε.
Из сравнения данных, приведенных на рис. 1, для ε → ∞ , на
рис. 2 – для ε = 20 и на рис. 3 – 4, где представлены результаты
расчета для жидкого водорода с ε = 1,241 , несложно видеть, что с
уменьшением
величины
диэлектрической
проницаемости
жидкости абсолютные значения инкрементов неустойчивости и
волновые числа наиболее неустойчивых волн снижаются. Кроме
того, область значений параметра w , в которой реализуется
неустойчивость, сдвигается в область больших значений w , что
особенно наглядно видно из сравнения рис. 2, 3 и 4.
Наиболее интересным результатом, полученным ранее [38] при
исследовании
неустойчивости
поверхностно
заряженных
неосесимметричных струй электропроводных жидкостей, является
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
то, что при достаточно больших значениях параметра w величины
инкрементов
неустойчивости
неосесимметричных
мод
сравниваются с инкрементами осесимметричной моды, а величины
волновых чисел наиболее неустойчивых волн снижаются по
сравнению с осесимметричной. Это означает, что на финальной
стадии реализации неустойчивости, проявляющейся в разбиении
струи на капли, струя будет дробиться на капли разных размеров и
для получения на практике потоков монодисперсных капель
следует создавать осесимметричной моде преимущественные
условия, например искусственно увеличивая ее амплитуду, как это
делается при вынужденном капиллярном распаде струй [8].
а
б
Рис. 1
s
k
6
4
2
2
0
0
4
8
W
0
0
а
4
8
W
б
Рис. 2
В проанализированной ситуации объемно заряженных диэлектрических струй инкременты неустойчивости неосесимметричных мод оказываются даже выше, чем осесимметричных, что
особенно наглядно видно из рис. 3a, 4a, где приведены результаты
расчета инкрементов неустойчивости для осесимметричной моды
(номер на кривой совпадает с номером моды) и для следующих
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
четырех в порядке возрастания азимутального числа m неосесимметричных мод для струи жидкого водорода. Интересно, что при
низкой диэлектрической проницаемости для мод с m ≥ 2 область
значений параметра w, при которых волновые числа наиболее
неустойчивых мод принимают разумные с точки зрения практики
разбиения струй на капли значения, существенно сдвигается в
сторону больших величин w. Это видно из сравнения областей
значений параметра w, при которых реализуется неустойчивость
поверхности струи на рис. 3a и 3b, а также рис. 4a и 4b. На рис. 3b и
4b существуют параллельные оси абсцисс участки кривых
(практически сливающиеся с осью), соответствующие неустойчивым волнам с очень малыми волновыми числами. Физически это
соответствует неустойчивости очень длинных волн. В смысле
дробления струи на части такая неустойчивость при ее реализации
приведет к разрыву струи на большие куски, а не на мелкие капли.
Такая неустойчивость наблюдалась экспериментально в [10, 17] и ее
следствием является существенное усложнение спектра режимов
электростатического диспергирования жидкости [17, 27 – 31].
Из рис. 3a видно, что для струи жидкого водорода с малой
диэлектрической проницаемостью ( ε = 1,241 ) при m = 0 кривая
зависимости s = s ( w ) по мере увеличения параметра w сначала
снижается до нуля, затем в некотором диапазоне значений w
неустойчивых решений уравнения (2) нет, потом они снова
появляются и общий вид зависимости s = s ( w ) становится таким
же, как и на других кривых. Указанный ход зависимости s = s ( w ) с
появлением минимума в области малых w ранее отмечался в [33]
при больших значениях вязкости (при ν = 3 ) и связан с
немонотонностью при малых k и w хода функции f ( k , m, w ) , как
это видно из рис. 5, где приведены результаты расчета зависимости
f = f ( k , m, w ) для диэлектрической струи с ε = 1,241 при m=0. На
том же рисунке приведена плоскость f ≡ 0 , выделенная более
частой координатной сеткой. Если вспомнить, что неустойчивым
состояниям заряженной струи соответствуют положительные
значения функции f ( k , m, w ) , возвышающиеся на рис. 5над
плоскостью f ≡ 0 , то видно существование геометрического места
точек при малых k и w, в которых неустойчивые состояния
отсутствуют. Это обстоятельство и приводит к изображенной на
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рис.3a зависимости инкремента неустойчивости осесимметричной
(m=0) моды от величины параметра w .
а
б
Рис. 3
s
k
3
8
2
4
1
0
0
0
20
40
0
W
а
20
б
Рис. 4
Рис. 5
127
40
W
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Влияние вязкости на закономерности реализации неустойчивости струи качественно такое же как и в исследованном в предыдущем разделе случае поверхностно заряженной электропроводной
струи (см. [33]): с ростом вязкости жидкости величины инкрементов неустойчивости и волновые числа наиболее неустойчивых волн
снижаются, а потому на этом вопросе не будем останавливаться
отдельно.
Подводя итог сказанному выше, отметим, что для объемно заряженных струй диэлектрических жидкостей величины инкрементов неустойчивости неосесимметричных мод снижаются при
уменьшении диэлектрической проницаемости жидкости, причем
этот эффект сказывается тем сильнее, чем меньше азимутальное
число m (чем меньше степень несимметричности). Это обстоятельство приводит к тому, что для диэлектрических жидкостей с малыми диэлектрическими проницаемостями инкременты неустойчивости неосесимметричных мод могут при прочих равных условиях
превышать величины инкремента неустойчивости осесимметричных мод, что существенно скажется на закономерностях дробления
струи на капли.
Приложение. Вычислим давление электрического поля на
поверхность
заряженной
диэлектрической
струи
вязкой
несжимаемой жидкости Pq (ϕ , z, t ) , полагая, что потенциалы
электрического поля внутри Φ in и вне капли Φ ex являются
решением краевой задачи
ΔΦ in = −4π
in
η
,
ε
ΔΦ ex = 0 ,
∂Φ in ∂Φ ex
=
ε
,
∂n
∂n
ex
r = 1+ ξ :
Φ =Φ ,
r → 0:
∇Φin → 0 ,
r →∞:
Φ ex → 0 .
Разделим потенциалы электрического поля внутри и вне струи
на две части: потенциал на невозмущенной поверхности струи Φ 0
и добавку к потенциалу φ , вызванную возмущением поверхности
ξ (ϕ , z, t ) и имеющую тот же порядок малости.
Φin = Φin0 + φ in ,
Φ ex = Φ 0ex + φ ex .
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставляя в краевую задачу, разобьем краевую задачу по
порядкам малости. Для этого предварительно распишем
выражения для потенциалов и производных по нормали, входящие
в граничные условия на возмущенной поверхности струи, в
линейном по ξ приближении:
Φ
∂Φin
∂n
r =1+ξ
in
r =1+ξ
= Φ + φ 
r =1+ξ
in
0
in
 in

∂Φin0
≈ Φ 0 + ξ
+ φ in  ;
∂r

 r =1
 ∂Φin0 ∂φ in 
 ∂Φin0 ∂φ in 
 ∂Φ in0 ∂ 2Φ in0 ∂φ in 
=
+
≈
+
≈
+
+


 .
2
n
n
r
r
r
r
r
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂

 r =1+ξ 
 r =1+ξ 
 r =1
При этом учитывалось, что
∂
∂ 1 ∂ξ ∂ ∂ξ ∂
,
≡ −
−
∂n ∂r r ∂ϕ ∂ϕ ∂z ∂z
а также тот факт, что потенциал электрического поля в отсутствие
возмущения поверхности струи Φ 0 обладает осевой симметрией,
поэтому
∂Φ 0 ∂Φ 0
=
= 0.
∂ϕ
∂z
Разложения для Φ ex и ∂Φ ex ∂n производится аналогично.
Используя полученные выражения, запишем краевую задачу
для отыскания невозмущенных потенциалов:
ΔΦ in0 = −4π
r = 1:
r → 0:
η
, ΔΦ 0ex = 0 ,
ε
∂Φ in0 ∂Φ ex
0
Φ =Φ , ε
=
,
∂n
∂n
in
0
∇Φ in0 → 0,
ex
0
,
r→∞:
и для добавок первого порядка малости:
Δφ in = 0,
Δφ ex = 0 ,
129
Φ 0ex → 0,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r = 1:
∂Φin0
∂Φ 0ex
ex
φ +
ξ =φ +
ξ,
∂r
∂r
r → 0:
∇φ0in → 0,
in
 ∂φ in ∂ 2Φ in0  ∂φ ex ∂ 2Φ 0ex
+
+
ε
ξ =
ξ,
∂r 2 
∂r
∂r 2
 ∂r
,
r→∞:
φ0ex → 0.
Решение нулевого порядка малости, т.е. электрическое поле
вблизи невозмущенной цилиндрической поверхности струи,
определяется выражением
Φin0 = −
πη r 2
,
ε
Φ 0ex = −
πη
− 2πη ⋅ ln r.
ε
Решения уравнений Пуассона и Лапласа в цилиндрической
системе координат запишем в виде разложений по волнам,
бегущим вдоль оси OZ:
∞ ∞
φ =
in
C
0 m= 0
1
m
⋅ I m ( kr ) ⋅ exp ( imϕ ) ⋅ exp ( ikz ) ⋅ exp ( st ) dk ,
∞ ∞
φ =   Cm2 ⋅ K m ( kr ) ⋅ exp ( imϕ ) ⋅ exp ( ikz ) ⋅ exp ( st ) dk ,
ex
(1)
0 m= 0
где m – целые числа, k – волновое число, I m (kr ) и K m (kr ) –
модифицированные функции Бесселя первого и второго рода, Cm1 и
Cm2 – коэффициенты разложения, зависящие от k и m.
В виде аналогичного разложения представим и функцию
ξ (ϕ , z, t ) , описывающую возмущение равновесной поверхности
струи:
∞ ∞
ξ (ϕ , z, t ) =   Gm ⋅ exp ( imϕ ) ⋅ exp ( ikz ) ⋅ exp ( st ) dk ,
(2)
0 m= 0
где D – зависящие от m и k – коэффициенты разложения.
Из граничных условий на невозмущенной поверхности струи
r = 1 несложно получить связь коэффициентов Gm и C2 :
k ⋅ I m' ( k )
2πη 
C = Gm
 2 + ( ε − 1)
Im ( k )
Km ( k ) 
2
m
130
k ⋅ I m' ( k ) k ⋅ K m' ( k ) 
−
ε
.
Im ( k )
Km ( k ) 
(3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При получении этого соотношения мы учли линейную
независимость функций exp ( imϕ ) при разных m и функций exp(ikz )
при различных значениях волнового числа k. Эти свойства могут
быть выражены в виде следующих интегральных соотношений:
2π
 exp i ( m − m )ϕ dϕ = δ
1
2
m1 ,m2
2π
 exp i ( k
,
1
0
− k2 ) z  dz = δ ( k1 − k2 ) ,
0
где δ m1 ,m2 – символ Кронекера, δ (k1 − k2 ) – дельта-функция Дирака.
Чтобы рассчитать давление электрического поля на свободную
поверхность струи [111]
2
ε − 1  ∂Φ ex 
ε  ∂Φ ex 
+
Pq = −η ⋅ Φ +
8πε  ∂n  8π  ∂τ 
2
in
с сохранением слагаемых первого порядка малости, запишем
Pq ( z ,ϕ , t )
r =1+ξ
ex 2
ex 2 


 


ε
1
ε
1
−
∂Φ
−
∂Φ
= −η Φin +
=
 +
 


n
8
πε
8
π
τ
∂
∂



  r =1+ξ

ex
ex 2 
ex
ex 2


 


∂
Φ
ε
1
ϕ
−
∂
−
∂Φ
∂
ε
1
φ
0
 0 +
 
= −η ( Φin0 + φ in ) +
+
≈
 +

n
n
∂
∂
8
πε
8
π
τ
τ
∂
∂



  r =1+ξ

2
ε − 1  ∂Φ 0ex  ε − 1 ∂Φ 0ex ∂φ ex

in
in
≈ −η ( Φ 0 + φ ) +
+
 +

r
r
r
8
πε
4
πε
∂
∂
∂



ε − 1  ∂Φ 0ex  ε − 1 ∂Φ 0ex ∂φ ex 
+
≈

 +

8π  ∂τ 
4π ∂τ ∂τ 
 r =1+ξ
2
2
 in
∂Φin0
ε − 1 ∂  ∂Φ 0ex 
ε − 1 ∂Φ 0ex ∂φ ex
in 
≈ −η  Φ 0 + ξ
+φ  +
 ξ+

∂
∂
∂
8
πε
4πε ∂r ∂r
r
r
r


 r =1

131
.
r =1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В полученном выражении для давления Pq ( z, ϕ , t ) слагаемыми
 ∂Φ 0ex 

≈ 
τ
∂


2
∂Φ 0ex ∂φ ex
и ≈
в линейном по ξ приближении можно
∂τ ∂τ
пренебречь.
Выпишем отдельно давление электрического поля на
невозмущенную поверхность диэлектрической заряженной струи
Pq0 и добавку к давлению электрического поля pq , вызванную
малым возмущением равновесной поверхности струи и имеющий
первый порядок малости по этому возмущению.
2

ε − 1  ∂Φ 0ex  
in
P ( z ,ϕ , t ) ≈  −η Φ 0 +
  ,


8πε  ∂r  

 r =1
0
q
 ε − 1 ∂  ∂Φ ex 2
 ex ∂Φ 0ex 
ε − 1 ∂Φ 0ex ∂φ ex 
0
 .
ξ +
ξ
pq ≈ −η  φ +
+




8
πε
4
πε
r
r
r
r
r
∂
∂
∂
∂
∂


 r =1 

 r =1
В итоге, подставляя
потенциалов Φ 0ex , получим
pq =
сюда
найденные
выражения
для
 ex ε − 1 ∂φ ex 
2πη 2ξ  ε − 1 
1
η
−
−
,


φ +
2
r  2ε r 2 
ε
r
r
∂


где функции ξ (ϕ , z, t ) и φ ex ( r, t ) определяются соотношениями (1) –
(2) с учетом (3).
3.3.3. Линейные неосесимметричные осцилляции
заряженной цилиндрической струи вязкой
жидкости с конечной электропроводностью
Изучение осцилляций и устойчивости (капиллярного распада)
заряженных струй жидкости представляет интерес в связи с
многочисленными приложениями в различных направлениях техники и химической технологии, и потому эта тема неоднократно
становилась предметом как экспериментальных, так и
теоретических исследований. Тем не менее некоторые аспекты
проблемы пока остаются неясными. Сказанное относится, в
частности, к изучению влияния конечности скорости выравнивания
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
электрического потенциала струи (эффекта релаксации заряда) на
закономерности реализации ее осцилляций и распада на капли.
Попытки исследования влияния эффекта релаксации электрического заряда на струе на ее устойчивость предпринимались неоднократно (см., например, [88, 101 – 105, 112]). Однако во всех перечисленных работах уравнение баланса заряда на поверхности струи
выписывалось неверно на основе механического переноса уравнения баланса вещества, выписанного для плоской поверхности (см.,
например, [113 – 114]), на цилиндрическую поверхность невозмущенной струи, в итоге пропадало слагаемое, связанное со средней
кривизной поверхности струи, на что и указано в [96]. Сказанное
делает актуальным проведение корректного аналитического учета
влияния эффекта релаксации на закономерности осцилляций заряженной струи вязкой жидкости. Из соображений общности весь
анализ проводится для неосесимметричных мод.
1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечную цилиндрическую струю радиуса R вязкой несжимаемой жидкости с массовой
плотностью ρ, кинематической вязкостью ν и коэффициентом
поверхностного натяжения γ , движущуюся вдоль оси симметрии с
r
постоянной скоростью U 0 . Будем считать, что жидкость имеет
удельную проводимость σ и диэлектрическую проницаемость ε d ,
а электрический заряд по цилиндрической (в отсутствие
возмущений) поверхности струи распределен с постоянной
поверхностной плотностью χ 0 . Характеристики окружающей
среды: σ = 0 , ε d = 1 . Поскольку мы рассматриваем бесконечную
струю, то для упрощения задачи перейдем в инерциальную
систему координат,
движущуюся вместе со струей с такой же
r
скоростью U 0 . Очевидно, что в такой системе отсчета поле
r r
скоростей течения жидкости в струе U (r , t ) полностью
определяется возможными (имеющими, например, тепловую
природу) капиллярными осцилляциями ее поверхности и при
обезразмеривании на R, γ , ρ является величиной того же порядка
малости, что и амплитуда тепловых осцилляций, которая
принимается весьма малой по сравнению с радиусом R . Примем,
что при осцилляциях струи ее электрический потенциал
выравнивается вдоль ее свободной поверхности за счет трех
механизмов [96]: 1) нормального к свободной поверхности тока
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
проводимости, приводящего к выравниванию потенциала за
характерное время максвелловской релаксации τ  ε d σ ;
2) переноса носителей заряда (ионов обоих знаков) касательными к
поверхности течениями жидкости, связанными с волновым
движением в струе, выравнивающего потенциал поверхности за
время поряка периода волны; 3) направленного переноса ионов
вдоль свободной поверхности струи касательной к поверхности
 
компонентой напряженности электрического поля ( E ⋅ τ ) со

V
, определяемой соотскоростью движения
ионов
по
поверхности

  
ношением V = b( E ⋅ τ )τ , где b – подвижность инов, принимаемая для

нижеследующих оценок одинаковой для ионов разных знаков, τ –
орт касательной к поверхности струи. В итоге поверхностная
плотность заряда c оказывается функцией координат и времени
r
c = c (r , t ).
Будем исследовать закономерности реализации капиллярных
осцилляций струи и условия реализации неустойчивости ее
поверхности (в смысле дробления струи на отдельные капли). Все
расчеты проведем в цилиндрической системе координат r , φ , z , орт
r
ez которой совпадает по направлению с осью симметрии струи.
Тогда
уравнение
цилиндрической
поверхности
струи,
возмущенной тепловым капиллярным волновым движением,
запишется в виде:
r ( φ , z , t ) = R + ξ (φ , z , t ) ;
x = R,
где ξ (φ , z , t ) – возмущение поверхности струи, вызванное ее
осцилляциями.
Математическая формулировка задачи состоит из уравнений
гидродинамики и электростатики (полагаем, что скорость
движения жидкости много меньше релятивистской):


dU
1
= − ∇P + ν ΔU ;
ρ
dt
r
divU = 0;
условий ограниченности
r
r → 0:
U <Ґ ,
D F ex = 0;
С F in < Ґ ;
134
D F in = 0;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С F ex ® 0;
r® Ґ :
гидродинамических граничных условий на свободной поверхности
струи: кинематического
r = R+ x:
-
¶x r й
+ U g∇ кr - (R + x (f , z, t ))щ
ъ= 0
л
ы
¶t
и динамического для касательных
ж¶ U f
1 ¶ Ur 1
P texf - P int f - n зз
+
- Uf
зи ¶ r
r ¶f
r
r = R+ x:
ц
ч
ч
= 0;
ч
ч
ш
ж¶ U
ц
¶ Ur ч
P texz - P int z - n зз z +
ч
ч= 0
зи ¶ r
¶z ш
и нормальной
∂U r

− P (r , t ) + P0 + 2 ρν
+ Pγ − Pq = 0
∂r
компонент тензора напряжений.
Чтобы учесть эффект релаксации электрического заряда,
граничные условия необходимо дополнить уравнением баланса
электрического заряда на поверхности струи:
r = R+ x:
r = R+ x:
r
r
r
U
¶c
in
+ s Чn gС F + С S g c U + c bEt Чt + c r = 0;
¶t
r
(
divS є
)
1 ¶ r
¶ r
ef +
ez ,
r ¶f
¶z
условием непрерывности на свободной поверхности струи
нормальной компоненты вектора электрического смещения:
r
in
ex
4
pc
=
n
g
ε
С
F
С
F
(
);
d
r = R+ x:
и условием равенства на поверхности
электрического поля внутри и вне струи:
струи
F in = F ex .
r = R+ x:
135
потенциалов
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вкладом в уравнение баланса заряда от феномена его диффузии по
поверхности струи, пропорционального градиенту поверхностной
плотности заряда, пренебрегаем в силу его малости.
r
В выписанной математической формулировке задачи U r (r , t ) ,
r
r
U f (r , t ) , U z (r , t ) – проекции поля скоростей на орты
 
цилиндрической системы координат; n и τ – орты нормали и касательной
к свободной поверхности струи (см. Приложение);
r
r
P(r , t ) – гидродинамическое давление; Pq (r , t ) – давление
r
электрического поля, Pγ (r , t ) – давление сил поверхностного натяr
жения; P0 – постоянное давление внешней среды; F (r , t ) –
r
r
ε
электростатический потенциал; P t = d En ЧEt ; En (r , t ) и Et (r , t ) –
4p
нормальная и касательная компоненты вектора напряженности
электрического поля; верхние индексы “ex” и “in” характеризуют
внешнее поле и поле внутри струи соответственно.
Решение сформулированной задачи проведем в безразмерных
переменных, в которых R = γ = ρ = 1 , сохраняя за всеми
величинами их прежние обозначения.
2. Формулировка задачи первого порядка малости. Решение
сформулированной задачи будем искать в линейном приближении
по отношению амплитуды осцилляций к радиусу невозмущенной
струи.
В нулевом приближении получим неподвижный (в движущейся системе координат) однородно поверхностно заряженный
цилиндрический столб жидкости; распределение электрического
поля в окрестности бесконечно протяженного однородно
поверхностно заряженного цилиндра, а также равновесный перепад давлений на цилиндрической поверхности.
В линейном приближении по x математическая формулировка
задачи примет вид
r (f , z , t )= 1 + x (f , z , t );
r
r
¶U
= - С p + nD U ;
¶t
136
(1)
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r
divU = 0;
Dj
ex
= 0;
r → 0:
r
U <Ґ ,
r® Ґ :
Сj
r = 1:
-
ex
(3)
in
Dj
(4)
= 0;
Сj
in
<Ґ ;
(5)
® 0;
(6)
¶x
+ U r = 0;
¶t
(7)
й
ж¶ U
ц
¶x
¶ j ex ¶ x ¶ j ex щ
ч
к
ъ- n зз f + ¶ U r - U f ч=
4pc (1 - x ) - c 0 (1 - x )
+
ч 0;
к
ъ зи ¶ r
ч
r
¶f
¶
f
¶
f
¶
¶
f
ш
л
ы
(8)
й
ж
ц
¶x
¶ j ex ¶ x ¶ j ex щ
к
ъ- n зз ¶ U z + ¶ U r ч
- 4pc (1- x ) + c 0 (1- x )
+
ч
ч= 0;
к
ъ зи ¶ r
ш
z
z
r
z
¶z
¶
¶
¶
¶
л
ы
(9)
2
0
2
0
− p + 2ν
∂U r
+ pγ − pq = 0;
∂r
ж¶ U
ц
ж
¶c*
¶ j in
¶ Uz ч
зз ¶ Et - ¶ Et
b
+s
+ c 0 зз f c
Ч
ч
ч
зи ¶ f
з ¶f
ч 0 и
¶t
¶r
¶z ш
¶z
4pc * = x +
j
ex
- j
in
¶
(εdj
¶r
in
- j
- 4pc 0 x = 0.
ex
);
(10)
ц
ч
ч
ч+ c 0U r = 0;
ш
(11)
(12)
(13)
В уравнениях (1) – (13) j ex , j in , c * , p , pq , pγ – вызванные капиллярными осцилляциями поверхности струи добавки первого по
x порядка малости к внешнему и внутреннему электрическим потенциалам, поверхностной плотности электрического заряда, гидродинамическому давлению, давлению электрических сил и сил
поверхностного натяжения, соответственно имеющие первый порядок малости.
Раскладывая по x аналитические выражения для лапласовского давления и давления электрического поля на поверхность струи
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(см. Приложение) для входящих в (10) величин pq и pγ , несложно
получить в первом порядке малости по x следующие выражения:
ж ¶ 2x ¶ 2x ц
з
ч
pγ = - зx +
;
(14)
+ 2ч
2
ч
ч
зи ¶ f
¶z ш
∂ϕ ex
pq = −4πχ ξ − χ 0
.
∂r
(15)
2
0
3. Описание процедуры скаляризации задачи. Задачу (1) –
(13) будем решать методомr операторной скаляризации [107],
r
раскладывая поле скоростей U ( r , t ) на сумму трех ортогональных
векторных полей при помощи векторных дифференциальных
µ
®
операторов N j :
r r
U (r , t ) =
3
е
µ
®
r
N j y j (r , t );
( j = 1, 2, 3),
(16)
j= 1
удовлетворяющих условиям ортогональности:
+
µ
µ
®
®
N j ЧN i = 0;
( i ≠ j ; i, j = 1, 2, 3 )
(17)
и условиям коммутативности с оператором Лапласа:
µ
µ
®
®
D N i = N iD .
(18)
r
В выражениях (16) – (17) y i (r , t ) – неизвестные скалярные
+
µ
®
функции, N j – операторы, эрмитовосопряженные к операторам
µ
®
N j.
Поскольку равновесная форма струи обладает осевой
µ
®
симметрией, то операторы N j удобно выбрать в виде
µ
®
N 1є С;
µ
®
r
N 2 є С ґ nz ;
138
µ
®
r
N 3 є С ґ (С ґ nz ).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r r
Поле скоростей U ( r , t ) в цилиндрической системе координат
будет иметь следующие компоненты, выраженные через скалярные
r
функции y i (r , t ):
¶ y 1 1 ¶ y 2 ¶ 2y 3
;
Ur =
+
+
r ¶f
¶r
¶ z¶ r
1 ¶ y 1 ¶ y 2 1 ¶ 2y 3
Uf =
;
+
r ¶f
r ¶ z¶ f
¶r
¶y1
Uz =
¶z
й
ж
ц 1 ¶ 2y 3 щ
к1 ¶ ззr ¶ y 3 ч
ъ
ч
ч+ r 2 ¶ f 2 ъ.
кr ¶ r зи ¶ r ш
ы
л
(19)
Подставляя разложение (16) в уравнения (2) – (3) и используя
свойства операторов (17) – (18), получим систему скалярных
уравнений:
Dy i -
D y 1 = 0;
p= -
1 ¶yi
= 0;
n ¶t
( i = 2; 3 );
¶y1
.
¶t
(20)
(21)
Используя (14), (15), (19), (21), граничные условия:
кинематическое (7), динамические для касательных компонент
тензора напряжений (8) – (9), нормальной компоненты тензора
напряжений (10) и уравнения баланса заряда на свободной
поверхности струи (11) – (12) – преобразуем в граничные условия
для неизвестных функций y i , j ex , j in и x :
r = 1:
¶x
¶t
2
ж
ц
зз ¶ y 1 + ¶ y 2 + ¶ y 3 ч
ч
= 0;
ч
зи ¶ r
ч
¶f
¶ z¶ r ш
ex
ex щ
й
м ¶
¶x
¶
j
¶
x
¶
j
п
п
к
ъ
4pc (1- x ) - c 0 (1- x )
+
- n Чн2
к
ъ
r
f
f
¶f
¶
¶
¶
п
оп ¶ f
л
ы
2
0
139
ж¶ y 1
ц
зз
- y 1ч
ч
ч+
з ¶r
и
ш
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ж¶ 2 y 2 ¶ y 2 ¶ 2 y 2 ч
ц
¶2
з
ч
+з 2 +2
ч
ч
зи ¶ r
¶r
¶ z¶ f
¶f 2 ш
ь
ж
цп
п
зз ¶ y 3 - y 3 ч
ч
э = 0;
чп
з ¶r
и
ш
п
ю
ex
ex щ
2
й
м
ж
ц
п
¶x
¶
j
¶
x
¶
j
¶
п
ч
ъ- n Чн 2 зз2y 3 - ¶ y 3 ч
- 4pc (1- x ) + c 0 к(1- x )
+
ч+
зи
к
ъ
п
ш
¶z
¶
¶
¶
¶
f
¶
z
z
r
r
п
л
ы
о
2
0
ь
ц ¶ ж
п
¶ 2y 3 ц
¶ зж ¶ y 1 ¶ y 2 ¶ 2 y 3 ч
чп
з
ч
ч
+
+
+
+
y
= 0;
2
r
зз
зз 3
2 чэ
ч
ч
ч
п
¶zи ¶r
¶f
¶ z¶ r ш ¶ r и
¶ r шп
ю
м¶ y
ь
¶y1
1 ¶ y 2 ¶ 2y 3 п
¶ п
1
п
п
+ 2n н
+
+
э+
п
r
r
z
r
¶t
¶rп
¶
¶
f
¶
¶
п
п
о
ю
ц
¶ j ex ж
¶ 2x ¶ 2x ч
з
ч
+ 4pc x + c 0
- зx +
+
= 0;
2
2ч
ч
з
¶r
¶z ш
и ¶f
2
0
ж¶ y
ц 1 ¶ й
¶ y 2 ¶ 2y 3 ч
¶ j in
¶
1
з
ч
к
s
+ c0з
+
+
+
x
+
(ε j
ч
з ¶r
ч 4p ¶ t лк ¶ r d
¶r
¶f
¶ z¶ r ш
и
йж ¶ 2
ц
¶2 ч
з
к
ч
y 1 - bj
+ c 0 кз 2 (
2ч
ч
з
¶z ш
лки¶ f
in
in
- j
ex
щ
)ъъ+
ы
ц
¶ 2y 3 ¶ y 2 ч
¶ 3y 3 щ
¶ ж
з
)+ ¶ r ззr ¶ r¶ z - ¶ f ччч+ 2 ¶ f 2¶ z ъъ= 0. (22)
и
ш
ъ
ы
Поскольку функции j ex , j in , x и y i описывают малые отклонения от равновесного состояния, то для того, чтобы проследить их
эволюцию во времени, примем, что временная зависимость всех
малых величин является экспоненциальной
j
ex
, j in , x , y i ~ exp (st ),
где s – комплексная частота.
Учитывая это, решения уравнений (20) и (4) в цилиндрической
системе координат, удовлетворяющие условиям ограниченности
(5), (6) будем искать в виде разложений по волнам, бегущим вдоль
оси OZ
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ґ
y1 =
Ґ
те
C1 I m (kr )exp (imf )exp (ikz )exp (st )dk ;
0 m= 0
Ґ
yi =
Ґ
те
Ci I m (lr )exp (imf )exp (ikz )exp (st ); (i = 2, 3)
(23)
0 m= 0
Ґ
j
in
=
Ґ
те
B1 I m (kr )exp (imf )exp (ikz )exp (st )dk ;
0 m= 0
Ґ
j
ex
=
Ґ
те
B2 K m (kr )exp (imf )exp (ikz )exp (st )dk .
(24)
0 m= 0
В виде аналогичного разложения представим и функцию
x (f , z , t ):
Ґ
x (f , z, t )=
Ґ
те
D exp (imf )exp (ikz )exp (st )dk .
(25)
0 m= 0
В (23) – (25) l 2 ≡ k 2 + s /ν , k и m – волновое и азимутальное
числа, I m (x ), K m (x ) – модифицированные функции Бесселя
первого и второго рода, C i (i = 1, 2, 3), B j ( j = 1, 2), D –
коэффициенты разложений, зависящие от m и k .
Используя условие равенства потенциалов внешнего и
внутреннего электрических полей на поверхности струи (13),
решения (24) – (25) и учитывая ортонормированность функций
exp(imφ ) и exp(ikz )
2p
т exp [i (m 1
m2 )f ]d f = dm1 , m2 ;
0
Ґ
т exp[i(k 1
k2 ) z ]dz = d (k1 - k2 ),
(26)
- Ґ
где δ m1 , m2 – дельта-символ Кронекера, δ (k1 − k2 ) – дельта-функция
Дирака, несложно получить связь коэффициентов B1 , B2 и D :
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
B1 = [K m (k ) B2 - 4pc 0 D ] I m (k ).
(27)
Подставляя решения (23), (24) с учетом (27) и разложение (25)
в граничные условия (22) и используя соотношения (26), получим
систему однородных уравнений относительно неизвестных
коэффициентов D , B2 и Ci (i = 1, 2, 3) :
- sD + k ЧI mў(k ) ЧC1 + i Чm ЧI m (l ) ЧC2 + i Чk Чl ЧI mў(l ) ЧC3 = 0;
im 4pc 02 D - imc 0 K m ( k ) B2 - n 2imI m ( k ) (Gm ( k ) - 1)C1 +
+ n I m (l ) (2m 2 + l 2 - 2Gm (l ))C2 + n 2mkI m (l ) (Gm (l ) - 1)C3 = 0;
ik 4pc 02 D - ik c 0 K m ( k ) B2 + n 2ikI m ( k )Gm ( k )C1 +
+ n mkI m (l )C2 - n I m (l )Gm (l ) (k 2 + l 2 )C3 = 0;
2
2
b D + c 0 kKmў(k ) B2 + I m (k ) й
s
+
2
n
k
+
m
- Gm (l ))щ
(
ъC1 +
лк
ы
+ n 2imI m (l ) (Gm (l ) - 1)C2 + n 2ikI m (l ) (l 2 + m 2 - Gm (l ))C3 = 0;
- 1
c 0 M mk
D - K m ( k )L mk B2 + c 0 I m ( k ) (k 2 - m 2 + 4p Gm ( k ))C1 +
+ c 0imI m (l ) (Gm ( k ) - 4p )C2 + c 0ikI m (l ) (l 2 - m 2 + 4p Gm (l ))C3 = 0; (28)
- 1
M mk = M mk ( s, s ,ε d , c 0 , b) є c 0 [sg + 4pc 0 d ] ;
d є c 0b (k 2 - m 2 )- 4ps Gm (k );
f є H m (k ) - ε d Gm (k );
g є 1 - 4pc 0 ε d Gm ( k );
b є (k 2 + m 2 - 1 + 4pc 02 );
L mk = L mk ( s, s ,ε d , c 0 , b) є sf + d ;
Gm ( x) є xI mў( x) I m ( x);
H m ( x) є xK mў( x) K m ( x).
Штрихами обозначены производные функций Бесселя по их
аргументу.
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для дальнейшего анализа решения удобнее будет рассматривать систему уравнений относительно коэффициентов B2 и Ci
(i = 1, 2, 3) , выразив коэффициент D из последнего уравнения (28):
D = c 0-1 K m (k )L mk M mk B2 - I m ( k ) (k 2 - m 2 + 4p Gm (k ))M mk C1 +
2
2
щ= 0. (29)
+ iI m (l )M mk й
клm (Gm ( k ) - 4p )C2 - k (l - m + 4p Gm (l ))C3 ы
ъ
Исключая из (28) с помощью (29) коэффициент D , получим
систему четырех однородных алгебраических уравнений
относительно четырех неизвестных коэффициентов B2 и Ci
(i = 1, 2, 3) . Система однородных линейных уравнений имеет
нетривиальное решение только в случае, если определитель,
составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю. В
рассматриваемой ситуации получится определитель, элементы
которого aij определяются соотношениями:
a11 = - sL mk M mk ;
a12 = Gm (k ) + sM mk (k 2 - m 2 + 4p Gm (k ));
a13 = im лй1 + sM mk (4p - Gm (l ))щ
ы;
a14 = ik кйGm (l ) + sM mk (l 2 - m 2 + 4p Gm (l ))щ
ъ;
л
ы
a21 = - imw ((4p )- 1 - L mk M mk );
a22 = - im кй2n (Gm (k ) - 1)+ wM mk (k 2 - m 2 + 4p Gm (k ))щ
ъ;
л
ы
a23 = n (l 2 + 2m 2 - 2Gm (l ))+ wm 2 M mk (4p - Gm (l ));
a24 = mk кй2n (Gm (l ) - 1)+ wM mk (l 2 - m 2 + 4p Gm (l ))щ
ъ;
л
ы
щ;
a31 = - ikw ((4p )- 1 - L mk M mk ); a33 = - mk лйn - wM mk (4p - Gm (l ))ы
a32 = ik кй2n Gm (k ) - wM mk (k 2 - m 2 + 4p Gm (k ))щ
ъ;
л
ы
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a34 = - n (k 2 + l 2 )Gm (l ) + wk 2 M mk (l 2 - m 2 + 4p Gm (l ));
a41 = (4p )- 1 wH m (k ) + b L mk M mk ;
a42 = s + 2n (k 2 + m 2 - Gm (k ))- b M mk (k 2 - m 2 + 4p Gm (k ));
щ
a43 = im й
л2n (Gm (l ) - 1)- b M mk (4p - Gm (l ))ы;
a44 = ik кй2n (l 2 + m 2 - Gm (l ))- b (l 2 - m 2 + 4p Gm (l ))M mk щ
ъ,
л
ы
(30)
где параметр w выражается через поверхностную плотность
заряда w є 4pc 02 .
4. Вывод дисперсионного уравнения. Приравнивая нулю
определитель четвертого порядка с элементами (30), получим
дисперсионное уравнение, связывающее частоты s неосесимметричных колебаний поверхности струи с волновым числом k :
(31)
det aij = 0.
Несложно осуществить предельный переход к случаю
идеально проводящей жидкости (s ® Ґ ) , для которой отсутствует
явление релаксации заряда. В этом случае
M mk ® 0,
L mk M mk ® 1 4p ,
при s ® Ґ
и выражения (30) полностью совпадут с выведенными ранее
[33], а дисперсионное уравнение примет вид, приведенный в [33].
В общем случае дисперсионное уравнение (31) имеет
громоздкий вид, весьма сложно (поскольку l зависит от s ) и не
может быть решено аналитически; его анализ доступен только
численными методами. Поэтому ограничимся рассмотрением
предельного случая маловязкой жидкости.
Для струи маловязкой жидкости, когда выполняется условие
l ? k (при этом Gm (l ) » l ), дисперсионное уравнение (31)
приводится к более простому виду – уравнению третей степени
относительно комплексной частоты s:
a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1s + a 0 = 0;
(32)
144
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a 3 = 4p f ;
a 2 = 4p d + 2na 3 (k 2 + m 2 - Gm (k ));
a 1 = 2 p wgGm ( k ) H m (k ) + a 3b Gm ( k ) + wH m ( k ) (k 2 - m 2 + 4p Gm (k ))+
+ 8pn d (k 2 + m 2 - Gm (k ));
a 0 = 4p dGm (k ) [wH m (k ) + b ].
Осуществляя предельный переход s ® Ґ , ε d ® Ґ , предварительно поделив все коэффициенты на a 3
s ® Ґ , εd ® Ґ :
a 2 / a 3 ® 2n (k 2 + m 2 - Gm (k ));
a 1 / a 3 ® Gm (k ) (b + wH m (k ));
a 0 / a 3 ® 0,
можно получить выражение для идеально проводящей маловязкой
жидкости, совпадающее с полученным ранее:
s 2 + s Ч2n (k 2 + m 2 - Gm (k ))= - Gm (k ) (b + wH m (k )).
5. Анализ полученных результатов. На рис. 1 – 3 представлены зависимости действительной и мнимой компонент комплексной частоты s от электропроводности жидкости s в пределе малой
вязкости для двух значений азимутального числа а) m = 1 и b)
m = 0 , рассчитанные при различных значениях параметра w. На
приведенных рисунках ветвь с номером 1 соответствует капиллярным движениям жидкости: медленно затухающим волновым движениям на рис.1а – 2а, инкрементам неустойчивости капиллярных
движений жидкости при достаточно больших плотностях поверхностного заряда на струе (при достаточно больших для данных
волновых и азимутальных чисел значениях параметра w) на
рис. 1б – 3б, 3а. Ветви с номерами, большими 1, соответствуют релаксационным движениям жидкости, т.е. движениям жидкости,
порожденным переносом импульса от перемещающихся носителей
заряда в жидкости к нейтральным молекулам. Из рис. 1 – 3 видно,
что релаксационные движения жидкости с номерами 2 – 3, 5 – 6
являются апериодическими, декремент затухания которых зависит
от электропроводности жидкости. Ветвь с номером 4 соответствует
квазипериодическому релаксационному движению, характеризуемому и частотой и декрементом затухания, но частота в несколько
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
раз меньше декремента затухания, что выводит обсуждаемые движения за рамки определения периодических движений.
а) m = 1
б) m = 0
Рис. 1. Зависимости вещественной и мнимой компонент безразмерной
частоты s от безразмерной электропроводности σ , рассчитанные
при n = 0.03 , ε d = 81 , b = 0.01, k = 1, w = 0.5
а) m = 1
б) m = 0
Рис. 2. Зависимости вещественной и мнимой компонент безразмерной
частоты s от безразмерной электропроводности σ ,
рассчитанные при n = 0.03 , ε d = 81, b = 0.01, k = 1, w = 1
146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а) m = 1
б) m = 0
Рис. 3. Зависимости вещественной и мнимой компонент безразмерной
частоты s от безразмерной электропроводности σ , рассчитанные при
n = 0.03 , ε d = 81, b = 0.01, k = 1, w = 2 .
Следует отметить, что в соответствии с общей теорией устойчивости капиллярных струй осесимметричные (с m = 0 ) волны на
поверхности струи с волновыми числами k ≤ 1 даже в отсутствие
на поверхности струи электрического заряда неустойчивы, поскольку самопроизвольное разбиение цилиндрической струи на
сферические капли переводит систему в состояние с меньшей потенциальной энергией капиллярных сил. Волны с m ≥ 1 более устойчивы и претерпевают неустойчивость, ведущую к дроблению
струи на отдельные капли, только при достаточно большой плотности поверхностного заряда на струе [32 – 34]. Именно по этой
причине на приведенных рисунках все осесимметричные волны с
k = 1 неустойчивы и капиллярные движения иллюстрируются
только инкрементами неустойчивости. Волна с k = 1 , m = 1 при
w = 0.5 и w = 1 устойчива и потому на рис. 1а и 2а ветвь 1 иллюстрирует слабозатухающую капиллярную волну на поверхности
струи, но при w = 2 (см. рис. 3а) эта волна становится неустойчивой. Ветвь 2 на рис. 1а соответствует апериодически быстро затухающему релаксационному движению жидкости, величина декремента затухания которого быстро увеличивается с ростом электропроводности
жидкости.
Качественное
сходство
ветвей
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дисперсионного уравнения, приведенных на всех рисунках, кроме
рис. 1а – 2а, указывает на то, что все релаксационные движения для
неустойчивых волн порождаются при взаимодействии чисто релаксационного движения, представленного ветвью 2 на рис. 1а, с ветвью затухающих капиллярно-волновых движений (здесь следует
отметить, что две затухающие капиллярные волны, бегущие по поверхности струи в противоположных направлениях, обозначенные
номером 1 на рис. 1а, при потере при достаточно большом w устойчивости образуют два капиллярно-волновых движения: одно
неустойчивое, амплитуда которого экспоненциально нарастает со
временем, а другое апериодически затухающее [115 – 116]).
Из рис. 1 – 3 следует, что с ростом электропроводности σ величины инкрементов неустойчивости (ветви с номером 1) весьма
слабо растут. Декременты затухания ветвей 2, 4, 6, порожденных
чисто релаксационной ветвью 2 на рис. 1а, с ростом электропроводности σ увеличиваются быстро, а декременты ветвей 3 и 5 изменяются слабо. Диапазон электропроводностей σ , в котором существует квазипериодическое релаксационное движение 4, расширяется и смещается в сторону больших σ с увеличением
поверхностной плотности заряда на струе (с увеличением параметра w). Увеличение поверхностной плотности заряда на струе приводит к увеличению инкремента неустойчивости капиллярных
движений жидкости и снижению частот капиллярных волн и к увеличению декремента затухания квазипериодического релаксационного движения 4.
Анализ зависимости параметров движения жидкости в струе от
величины подвижности носителей заряда b показывает, что в диапазоне изменения безразмерной подвижности от 0 до 1 инкременты неустойчивых движений и частоты волн от b зависят пренебрежимо слабо.
Проведенный анализ (см. также [117 – 118]) показывает, что
релаксационные движения жидкости заметно проявляются лишь
для слабо проводящих жидкостей (для малых σ ), приводя к снижению инкрементов неустойчивости и увеличению декрементов
затухания капиллярных движений по сравнению с идеально проводящей жидкостью.
Интересно, что, как и в случае идеально проводящей жидкости, величина инкремента неустойчивости неосесимметричной
148
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
волны с m = 1 заметно превышает инкремент осесимметричной
волны ( m = 0 ) при прочих равных условиях, что было ранее отмечено в [33].
Из сказанного выше следует, что релаксационные движения
жидкости имеют апериодический характер и приводят к
дополнительному (по сравнению с идеально электропроводной
жидкостью) рассеиванию энергии в струе, приводя к увеличению
декрементов затухания и снижению инкрементов неустойчивости.
Влияние эффекта релаксации заряда наиболее заметно сказывается
на капиллярных движениях в струях слабопроводящих жидкостей.
Приложение.
1. Касательные и нормальный орты к возмущенной
свободной поверхности струи
r
r
1 ¶x r
t f = ef +
er ,
r ¶f
r ¶x r
r
t z = - ez er ,
¶z
r r 1 ¶x r
¶x r
n = er ef ez .
¶z
r ¶f
2. Вывод выражения для давления электрического поля на
поверхность струи
Вычислим давление электрического поля на заряженную
поверхность цилиндрической струи вязкой несжимаемой жидкости
с конечной удельной проводимостью σ и диэлектрической
проницаемостью ε d , помещенную в окружающую среду с
характеристиками σ = 0 , ε d = 1. Будем считать, что электрический
заряд распределен по цилиндрической, в отсутствие возмущений,
поверхности струи с постоянной поверхностной плотностью æ0 .
Учтем, что в процессе осцилляций струи электрический заряд
перераспределяется по свободной поверхности жидкости с
характерным временем, сравнимым с периодом колебаний, так что
поверхностная плотность заряда æ оказывается функцией времени
r
и координат æ = æ (r , t ).
Давление электрического поля на поверхность заряженной
струи определяется известным выражением
Pq =
1
8p
in 2
ex 2 щ
й ex 2
кл( En ) - ε d ( En ) + (ε d - 1)( Et ) ы
ъ;
r
r
r
r
Enex = - (n gС F ex ); Enin = - (n gС F in ); ( Etex ) 2 = (t f gС F ex ) 2 + (t z gС F ex )2 ,
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где потенциал электрического поля внутри струи F in и внешний
потенциал F ex являются решением краевой задачи
D F in = 0;
r → 0:
DF ex = 0;
С F in < Ґ ;
С F ex ® 0;
r® Ґ :
F in = F ex .
r = R+ x:
Представим потенциалы F in и F ex в виде разложения
F in = F in0 + j in ,
F ex = F 0ex + j
ex
,
где F in0 , F ex
0 – потенциалы электрического поля вблизи невозмущенной поверхности струи, j in , j ex – добавки к соответствующим
потенциалам, вызванные возмущением поверхности x (z , f , t ),
имеющие первый порядок малости по x .
Разделяя сформулированную задачу по порядкам малости, получим в нулевом приближении по x
D F in0 = 0;
r → 0:
D F ex
0 = 0;
С F in0 < Ґ ;
С F ex
0 ® 0;
r® Ґ :
F in0 = F 0ex ,
r = 1:
а в первом порядке
Dj
r → 0:
r = 1:
Сj
in
j
in
= 0;
<Ґ ;
in
Dj
ex
= 0;
r® Ґ :
¶ F in0
+
x =j
¶r
ex
Сj
ex
® 0;
¶ F 0ex
+
x.
¶r
В нулевом порядке малости напряженность электрического
поля вблизи невозмущенной цилиндрической поверхности струи
имеет вид
150
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r
E0in = - С F in0 = 0,
r
r
E0ex = - С F 0ex = 4pc 0 r r 2 .
Выражения для потенциалов j in и j ex в цилиндрической системе координат, удовлетворяющие соответствующим условиям ограниченности, и выражение для искажения цилиндрической формы струи ξ (φ , z, t ) запишем в виде разложений по волнам, бегущим
вдоль оси OZ (вдоль оси симметрии струи):
Ґ
j
in
=
Ґ
те
Bm1 I m (kr )exp (imf )exp (ikz )exp (st )dk ;
0 m= 0
Ґ
j
ex
=
Ґ
те
Bm2 K m (kr )exp (imf )exp (ikz )exp (st )dk ;
0 m= 0
Ґ
x (z , f , t )=
Ґ
т е= 0 D
m
exp (imf )exp (ikz )exp (st )dk ,
0 m
где k и m – волновое и азимутальное числа, I m (x ), K m (x ) – модифицированные функции Бесселя первого и второго рода,
Bmj ( j = 1, 2) и Dm – коэффициенты разложений, зависящие от m и
k.
На поверхности струи для функций j in и j ex имеем
r = 1:
j
ex
- j
in
- 4pc 0 x = 0.
Отсюда легко получить связь коэффициентов B1 , B2 и D
B1 = [K m (k ) B2 - 4pc 0 D ] I m (k ).
При выводе этого соотношения была учтена линейная
независимость функций exp(imφ ) при разных m и функций exp(ikz )
при различных значениях волнового числа k .
Искажение равновесной цилиндрической поверхности струи
волновым движением x (z , f , t ) вызывает изменение давления Pq .
Поскольку возмущение x мало, то Pq может быть разложено в ряд
по x . Учитывая, что величины ( Enin ) 2 и ( Etex ) 2 имеют второй
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
порядок малости, выражение для давления
приближении может быть представлено в виде
Pq
»
r = 1+ x
»
1
С F 0ex + С j
(
8p
ex 2
)
Pq
в линейном
»
r = 1+ x
1 ж
¶
2
ex
зз(С F ex
)
2
x
+
F
(С
)
g
(С F 0ex ) + 2(С j
0
0
8p зи
¶r
ex
ц
ч
)g(С F 0ex )ч
ч .
ш
r= 1
Используя выражение для напряженности электрического поля
у поверхности невозмущенной цилиндрической струи для
линейной по x добавки к давлению электрического поля, которую
обозначим pæ (x ) , получим выражение
∂ϕ ex
pq = −4πχ ξ − χ 0
.
∂r
r = 1:
2
0
Подставляя вместо функций x и j ex их интегральные представления, получим окончательное выражение для давления электрического поля, связанного с возмущением формы поверхности
струи:
Ґ
pq (x ) = - c 0 т
Ґ
е (4pc 0 Dm + kK mў(k ) Bm2 )exp(imf )exp(ikz )exp(st )dk .
0 m= 0
3.4. Линейные неосесимметричные
осцилляции заряженной струи, форма
которой отлична от цилиндрической
Важным фактором, который способствует умножению реализующихся режимов электродиспергирования жидкости, кроме возможности одновременного возбуждения различных комбинаций
осесимметричных и неосесимметричных мод осцилляций струй и
широкого разброса физико-химических характеристик диспергируемых жидкостей [27 – 30], является отличие формы струй, выбрасываемых неустойчивой поверхностью жидкости, от цилиндрической [5, 19 – 21]. Радиус такой струи изменяется примерно обратно пропорционально корню четвертой степени из расстояния от
152
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
места ее зарождения (аналогичная ситуация имеет место для радиуса струи воды, вытекающей из водопроводного крана). Влияние
отличия формы спонтанно распадающихся струй от цилиндрической на закономерности реализации неустойчивости ее неустойчивости и последующего ее электростатического распада в теоретическом отношении до сих пор никем не исследовано. Для сходной
ситуации электростатического распада сильно заряженных капель,
деформированных во внешних силовых полях, подобные исследования проводились неоднократно [119 – 121]. Настоящее рассмотрение посвящено устранению имеющегося пробела в отношении
струй. Особенности задачи исследования устойчивости заряженной
струи с формой, отличной от цилиндрической, сводятся к двум
главным факторам: поверхностная плотность заряда на такой струе
уже не будет однородной, а влияние вязкости жидкости на устойчивость по отношению к дроблению на капли будет различным на
участках с различающимися поперечными размерами. Отыскать
дисперсионное уравнение для реальной струи с примерно гиперболической образующей [21] пока не представляется возможным
ввиду трудностей с физической постановкой задачи. В настоящей
работе будет использовано модельное построение на основе синусоидальной деформации (рис. 1а) цилиндрической формы струи,
позволяющей на отдельном участке между максимумом и минимумом синусоиды (рис. 1b) проанализировать роль влияния деформации на устойчивость волн с волновыми числами, много
большими волнового числа модельной синусоидальной деформации согласно тому, как это сделано в [122 а-б].
1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечную цилиндрическую струю радиуса R вязкой несжимаемой жидкости с массовой плотностью r кинематической вязкостью v и коэффициентом
поверхностного натяжения σ , движущуюся вдоль оси симметрии с
r
постоянной скоростью U 0 . Струя поддерживается при постоянном
электрическом потенциале Φ* относительно коаксиального со
струей цилиндрического противоэлектрода (например, как это
реализовано в [30]). Радиус противоэлектрода R* примем весьма
большим ( R R* )  1, чтобы противолектрод можно было считать
удаленным на бесконечность в физическом понятии бесконечности. Учтем, что жидкость является проводящей и электрический
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
заряд однородно распределен по цилиндрической в отсутствие
возмущений поверхности струи с постоянной поверхностной
плотностью заряда c (линейная плотность заряда, т.е. заряд,
приходящийся на единицу длины струи, при этом 2π Rχ ).
а
b
Рис. 1
Примем, что в начальный момент времени цилиндрическая
поверхность струи претерпевает виртуальное осесимметричное
возмущение вида η ≡ a ⋅ sin ( k* ⋅ z ) , где ( a R )  1 , а длина волны
λ* ≡ ( 2π k* )  σ ρ g  R . В последнем условии g – ускорение поля
силы тяжести, а σ ρ g определяет капиллярную постоянную жидкости. Отметим сразу, что в проводимом рассмотрении влияние
поля силы тяжести на устойчивость струи учитываться не будет, а
g введено лишь для определения характерного масштаба, на котором становится существенным влияние сил поверхностного натяжения.
Примем также, что в начальный момент времени температура
струи неоднородна и зависит от продольной координаты z по закону T ( z ) ≡ T0 + T* ⋅ cos ( k* ⋅ z ) , где T*  T0 . Подобное мгновенное распределение температуры в струе, обладающей электрическим
сопротивлением, можно получить за счет Ленц-Джоулева тепловыделения при пропускании вдоль струи импульсного электрического тока большой интенсивности. Тогда в местах уменьшения
площади поперечного сечения струи, где плотность тока больше,
температура жидкости также будет больше, чем в местах
увеличения площади поперечного сечения.
Будем искать спектр капиллярных колебаний поверхности
такой струи и критические условия реализации ее неустойчивости,
154
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
соответствующей переходу всей системы в состояние с наименьшей потенциальной энергией (в смысле разбиения струи на отдельные капли), с учетом температурной зависимости теплофизических
характеристик жидкости (см. «Приложение А») на временном
интервале, меньшем характерного времени выравнивания
температуры вдоль координаты z за счет теплопроводности.
Поскольку мы имеем дело с бесконечной струей, то для
упрощения задачи перейдем в инерциальную систему
координат,
r
движущуюся вместе со струей с такой же скоростью U 0 . Очевидно,
что в такой
  системе отсчета поле скоростей течения жидкости в
струе U ( r , t ) полностью определяется капиллярными волнами,
бегущими по ее поверхности. Отметим, что на свободной
поверхности жидкости всегда существует капиллярное волновое
движение весьма малой амплитуды  κ T γ , где κ – постоянная
Больцмана, T – абсолютная температура, порождаемое уже
тепловым движением молекул жидкости. Для большинства реальных жидкостей, включая жидкие металлы, амплитуда таких волн
теплового происхождения κ T γ не превышает десятой доли нанометра.
Все рассмотрение проведем в цилиндрической системе коорr
динат r , j , z , орт nz которой направлен вдоль оси симметрии невозмущенной цилиндрической струи. Уравнение поверхности струи,
возмущенной капиллярным волновым движением, запишется в
виде
r (ϕ , z , t ) = R + η ( z ) + ξ (ϕ , z , t ) ;
ξ  a  R,
(1)
где ξ (ϕ , z , t ) – возмущение поверхности струи, вызванное
капиллярным волновым движением на ее поверхности, с
амплитудой  κ T γ .
Математическая формулировка обсуждаемой задачи состоит из
уравнений гидродинамики вязкой жидкости и уравнений электростатики (в предположении, что скорость движения поверхности
жидкости много меньше релятивистской):




1
∂ tU + U ∇ U = − ∇P + (ν Δ + ν ′∂ z )U + v′∇U z ;
(
)
ρ
155
(ν ′ ≡ ∂ ν ( z ) ) ;
z
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r
divU = 0;
DF = 0;
условий ограниченности:
r → 0:
r
U <Ґ ,
r® Ґ :
С F ® 0;
гидродинамических граничных условий на свободной поверхности
струи:
кинематического
r = R+ h+ x:
r
щ= 0,
- ¶ t x + U g∇ й
клr - (R + h (z )+ x (j , z , t ))ы
ъ
и динамического для касательных
  

 
τ ( n ∇ )U + n (τ ∇ )U = 0,
и нормальной

 
− P + 2 ρν ⋅ n ( n ∇ )U + Pγ − Pq = 0
компонент
тензора
напряжений,
эквипотенциальности поверхности струи
а
также
условия
Φ = Φ* ,


где τ и n – орты касательной и нормали к поверхности струи (1);
r
r
r
U (r , t ) , P(r , t ) и F (r , t ) – поле скоростей, поле давления в жидкости
и поле электростатического потенциала в окружающей среде;
r
r
Pg ( r , t ) и Pq ( r , t ) – давления сил поверхностного натяжения и электрического поля на свободную поверхность струи.
Для упрощения записи математической формулировки задачи
и последующих вычислений перейдем к безразмерным переменным, в которых R = ρ = γ = 1 , оставляя за всеми переменными
прежние обозначения. Нижеследующий анализ проведем в рамках
метода возмущений путем разложения сформулированной задачи
по малым параметрам a , T* T0 и ξ .
r
В безразмерных переменных поле скоростей U (r , t ) будет
величиной того же порядка малости, что и амплитуды волн. Поле
r
давлений в жидкости P(r , t ) и поле электростатического потенциа-
156
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r
ла в окружающей среде F (r , t ) будут иметь и компоненты нулевого
порядка малости:
 
 
2
U ( r , t ) ≡ U (1) ( r , t ) + Ο ξ ;


P ( r , t ) = P (0) ( r ) + P (1)
( )

( r ,t ) + Ο( ξ );

( r , t ) + Ο ( ξ ).


Φ ( r , t ) = Φ (0) ( r ) + Φ (1)
2
2
Верхний индекс, стоящий в скобках, указывает на порядок малости.
В нулевом порядке приближений получим тривиальный результат: неподвижную цилиндрическую струю, распределение
электростатического потенциала в окрестности однородно поверхностно
заряженного
цилиндра
бесконечной
длины
(0)
Φ = −4πχ ⋅ ln r + Φ* и выражения для уравновешивающих друг друга на свободной поверхности струи давления сил поверхностного
натяжения Pγ(0) = 1 и давления электрического поля Pq(0) = 2πχ 2 .
2. Линеаризация задачи. Подведем математическую формулировку задачи в линейном по ξ и квадратичном по a приближении, сохраняя слагаемые, пропорциональные a , ξ , a ⋅ ξ и a 2 ⋅ ξ ,
как это делалось в [85] при исследовании осцилляций и устойчивости сфероидальной капли в сферической системе координат. Подчеркнем, что малые параметры a и ξ являются независимыми,
причем a  ξ . В этой связи, казалось бы, что, сохраняя слагаемые
и a 2 ⋅ ξ , необходимо также сохранять слагаемые
 a⋅ ξ
 a 3 , a 4 ,..., a m , где номер m определится условием ( a m ξ )  1 . Такой
вывод, конечно, справедлив, но, как будет видно ниже, вклад в искомое дисперсионное уравнение внесут лишь слагаемые, пропорциональные ξ , а слагаемые, не содержащие ξ , исчезнут при учете
кинематического граничного условия при взятии частной производной по времени. В этой связи сохранение в нижеследующих
расчетах слагаемых  a 3 , a 4 ,..., a m приведет лишь к необоснованному увеличению громоздкости математической записи проводимого
анализа.
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Линеаризация уравнений для отыскания неизвестных полей
r
r
r
U (r , t ) , P (1) (r , t ) и F (1) (r , t ) сводится к отбрасыванию конвективного
слагаемого в уравнении Навье-Стокса:
r
divU = 0;


∂ tU = −∇P (1) + (ν Δ +ν ′∂ z )U + v′∇U z ;
D F (1) = 0.
(2)
При линеаризации гидродинамических граничных условий на
свободной поверхности жидкости учтем, что для отыскания
r
r
решения задачи в линейном приближении по U (r , t ) , P (1) (r , t ) и
ξ (ϕ , z , t ) обсуждаемые условия должны быть взяты на
невозмущенной волновым движением теплового происхождения
поверхности струи, т.е. при r = 1 + h , т. к. сами гидродинамические
граничные условия после исключения компонент капиллярного и
электростатического давлений нулевого порядка малости
представляют собой линейные комбинации величин не ниже
r
r
первого порядка малости по U (r , t ) , P (1) (r , t ) и ξ (ϕ , z , t ) .
Перепишем гидродинамические граничные условия на
свободной поверхности струи в терминах проекций вектора поля
r
скоростей U (r , t ) на орты цилиндрической системы координат
r
r
r
U r (r , t ) , U j (r , t ) , U z (r , t ) . Для этого выпишем аналитические выра
жения для орта нормали n и двух взаимно перпендикулярных ор

тов касательных τ 1 и τ 2 к поверхности F ( z ) ≡ r − 1 − η ( z ) через орты
  
цилиндрической системы координат er , eϕ , ez в квадратичном по
амплитуде
виртуальной
синусоидальной
деформации
η ≡ a ⋅ sin ( k* ⋅ z ) приближении:

  1

2
n = ∇F ( z ) ∇F ( z )  F =0 ≈ er 1 − (η ′ )  − ez ⋅η ′;
 2



 


τ 1 ≡ ez × n ez × n ≈ eϕ ;

 
 
 

η ′ = ak* ⋅ cos ( k* z ) ;
τ 2 ≡ n × eϕ n × eϕ ≈ ez  1 −
1

2
(η ′ )  + er ⋅η ′.
2

Кинематическое граничное условие можно переписать через проекции U r , U z следующим образом:
r = 1 +η :

dF ( r , t )
dt

≡ −∂ tξ + U ∇  r − R − η ( z ) − ξ (ϕ , z , t )  =
158
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
= −∂ tξ + (U r − η ′ ⋅ U z ) = 0.
Динамическое граничное условие для касательных компонент
тензора напряжений распадается на два:
 
1) когда в качестве орта касательной выбран орт τ 1 ≈ eϕ :
1
1
 1 ′ 2 



1 − (η )   ∂ rU ϕ + ( ∂ϕU r − U ϕ )  − η ′  ∂ zU ϕ + ∂ϕU z  = 0;
r
r
 2




r = 1+η :

2)
когда
 

1

2
(η ′)  + er ⋅η ′.
2

τ 2 ≈ ez  1 −
в
качестве
касательной
(1 − 2 (η ′) ) ( ∂ U
2
r = 1+η :
r
z
выбран
орт
+ ∂ zU r ) + 2η ′ ( ∂ rU r − ∂ zU z ) = 0.
Динамическое граничное условие для нормальной компоненты
тензора напряжений примет вид r = 1 + η :
(
)
− P (1) + 2ν  1 − (η ′ ) ∂ rU r + (η ′ ) ∂ zU z − η ′ ( ∂ rU z + ∂ zU r )  + pγ (ξ ) − pq (ξ ) = 0,
2
2

где pγ (ξ ) и pq (ξ ) – линейные по ξ компоненты давления сил поверхностного натяжения и электрического поля.
Граничное условие для электростатического потенциала примет вид
r = 1+η :
Φ (1) = −ξ ⋅ ∂ r Φ (0) .
Напомним, что выписанные гидродинамические граничные
условия отнесены к поверхности r = 1 + η а поскольку решение задачи предполагается проводить в цилиндрической системе координат, то перепишем их, относя к исходной невозмущенной цилиндрической поверхности струи r = 1, проводя разложение функций на
границе вида




G (r ) r =1+η ≈ G (r ) r =1 + η ( er ∇G (r ) ) 
1



+ η 2 ( er ∇ )( er ∇G (r ) )  ≈
r =1 2
r =1
 1
 
 
≈ G (r ) + η ⋅ ∂ r G (r ) + η 2 ⋅ ∂ rr G (r )  .
2

 r =1
159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В итоге получим систему гидродинамических граничных условий в виде
1


∂ tξ = U r − η ′ ⋅U z + η ( ∂ rU r − η ′∂ rU z ) + η 2∂ rrU r  ;
2

 r =1
(3)
 1
1 2
1
2


1 − 2 (η ′ ) + η ⋅ ∂ r + 2 η ⋅ ∂ rr   ∂ rU ϕ + r ( ∂ϕU r − U ϕ )  −



1


−η ′ ⋅ (1 + η ⋅ ∂ r )  ∂ zUϕ + ∂ϕU z   = 0;
r

  r =1
(4)

1 2
2

1 − 2 (η ′ ) + η ⋅ ∂ r + 2 η ⋅ ∂ rr  ( ∂ rU z + ∂ zU r ) +


+ 2η ′ ⋅ (1 + η ⋅ ∂ r )( ∂ rU r − ∂ zU z ) 

1
2
r =1
= 0;
(5)



2ν ⋅ 1 − (η ′ ) + η ⋅ ∂ r + η 2 ⋅ ∂ rr  ∂ rU r − η ′ ⋅ (1 + η ⋅ ∂ r )( ∂ rU z + ∂ zU r ) 
2

 r =1
2
+ (η ′ ) ∂ zU z +  pγ (ξ ) − pq (ξ ) − P (1) 
r =1+η
= 0.
+
(6)
3. Скаляризация задачи. Дальнейшее решение сформулированной задачи проведем методом операторной скаляризации по
методике, подробно описанной в [33,107].
r r
Известно, что произвольное векторное поле U ( r , t ) может быть
разложено на сумму трех ортогональных векторных полей. Это, в
частности, можно сделать при помощи векторных дифференциаль
ных операторов Nˆ j :
3 
 

U ( r , t ) =  Nˆ j ⋅ψ j ( r , t ) ,
(7)
j =1

r
где y j (r , t ) – скалярные функции, а операторы Nˆ j при j = 1;2;3 в
цилиндрической системе координат удобно выбрать в виде
ˆ
N1 ≡ ∇ ;
ˆ

N 2 ≡ ∇ × ez ;
ˆ

N3 ≡ ∇ × ( ∇ × ez ) .
160
(8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В
цилиндрической
системе
координат
векторные
поля
ˆ

N j ⋅ψ j ( r , t ) в соотношении (7) будут иметь следующие компонен-
ты:
ˆ


 1

N1ψ 1 ( r , t ) = er ∂ rψ 1 + eϕ ∂ϕψ 1 + ez ∂ zψ 1 ;
r
ˆ


 1

N2ψ 2 ( r , t ) = ∇× ezψ 2 = er ∂ϕψ 2 − eϕ ∂ rψ 2 ;
r
ˆ


N 3ψ 3 ( r , t ) = ∇ × ( ∇ × ez )ψ 3 =

 1
 1
1

= er ∂ rzψ 3 + eϕ ∂ϕ zψ 3 − ez  ∂ r ( r∂ rψ 3 ) + 2 ∂ϕϕψ 3  .
r
r
r

Несложно убедиться, что операторы (8) удовлетворяют условиям ортогональности:
ˆ ˆ
ˆ ˆ
N +j N i = δ ij ⋅ N +j N j
(9)
и условиям коммутативности с оператором Лапласа:
ˆ
ˆ
Δ ⋅ N j = N j ⋅ Δ,


где Nˆ +j – операторы, эрмитово сопряженные к операторам Nˆ j .
Подставим разложение (7) в линеаризованное уравнение Навье-Стокса (2)
ˆ
ˆ (1)
ˆ

′
′
,
∂
−
Δ
−
∂
⋅
+
−
ν
ν
N
ψ
r
t
N
P
v
N
) 1
( t
1U z = 0.
z)
j
j(
3
(10)
j =1
Поскольку вязкость жидкости является функцией координаты
z : ν = ν ( z ) (см. «Приложение А») и, следовательно, не коммутиру


ет с операторами Nˆ j (то есть Nˆ j (ν ⋅ f ) ≠ ν ⋅ Nˆ j f , при j = 1;3 , где f –
произвольная функция координат и времени), то уравнение (10)
является трудноразрешимым. Однако в приближении a  k* (иными
словами, принимая, что η ′ является малой второго порядка) согласно «Приложению А» производная от кинематической вязкости
161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
v′ будет являться величиной третьего порядка малости. В связи с
этим нетрудно показать, что
ˆ
ˆ
N j (ν ⋅ f ) = ν ⋅ N j f + O ( ε 3 ) ;
(11)
j = 1;2;3.
Далее, пренебрегая слагаемыми, содержащими v′ , и пользуясь вы
ражением (11) и свойствами коммутативности операторов Nˆ j с
оператором Лапласа, перепишем (10) в виде
ˆ
N
 j {∂tψ j + P(1) ⋅ δ1 j −ν ⋅ Δψ j } = 0.
3
j =1
Последовательно умножая слева полученное равенство ска
лярным образом на операторы Nˆ +j , где j = 1;2;3 , и пользуясь условиями ортогональности (9), вместо одного векторного линеаризованного уравнения Навье-Стокса (2) получим систему
ˆ ˆ
N +j N j {∂ tψ j + P (1) ⋅ δ1 j −ν ⋅ Δψ j } = 0;
j = 1;2;3.
(12)

Поскольку операторы Nˆ j коммутируют с оператором Лапласа,

то в силу самосопряженности последнего, операторы Nˆ +j также будут с ним коммутировать. Но сказанное означает, что и операторы
ˆ ˆ
N +j N j будут коммутировать с оператором Лапласа и, следовательно, будут иметь общую систему собственных функций {φk } :
ˆ ˆ
N +j N jφk = μkjφk ;
Δφk = λkφk .
Разложим по бесконечному набору собственных функций {φk }


искомые функции ψ j (r , t ) и P (1) (r , t ) , входящие в выражение, стоящее в (12) в фигурных скобках:


P (1) (r , t ) =  Bk ⋅ φk .
ψ j (r , t ) =  Ak( j ) ⋅ φk ;
k
k
Теперь подставим эти разложения в (12) и после несложных
преобразований получим
162
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 {∂ A
t
k
( j)
k
 
+ Bk ⋅ δ1 j −ν ⋅ Ak( j ) ⋅ λk } Nˆ +j Nˆ jφk = 0
или
k {∂ Ak( j ) + Bk ⋅δ1 j −ν ⋅ Ak( j ) ⋅ λk } μ
t
j
k
⋅ φk = 0.
Поскольку система собственных функций {φk } в общем случае не
нулевая, то полученное равенство может выполняться в двух случаях: либо равны нулю все собственные значения {μkj } , что в об-
щем случае неверно, либо выражения, стоящие в фигурных скобках:
∂ t Ak( j ) + Bk ⋅ δ1 j −ν ⋅ Ak( j ) ⋅ λk = 0.
Умножим теперь каждую скобку на собственную функцию φk с
тем же номером и, суммируя по k , получим три скалярных уравнения для отыскания неизвестных функций ψ j :
∂ tψ j + P (1) ⋅ δ1 j −ν ⋅ Δψ j = 0;
j = 1;2;3.
(13)
Уравнение неразрывности (2) после подстановки в него разложения (7) и использования свойств ортогональности (9) приводится к виду

Δψ 1 ( r , t ) = 0 .
(14)
Первое уравнение системы (13) с учетом (14) позволяет получить выражение для гидродинамического давления внутри жидкости, связанного с волновым движением:


P (1) (r , t ) = −∂ tψ 1 (r , t ).
(15)
В итоге с учетом (15) соотношения (13) – (14) можно переписать в
виде


(1 − δ1 j ) ⋅ ∂ tψ j ( r , t ) −ν ⋅ Δψ j (r , t ) = 0;
(16)
j = 1;2;3.
163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 
Проекции поля скоростей U (r , t ) на орты цилиндрической сис
темы координат, выраженные через скалярные функции ψ j ( r , t ) ,
имеют вид

1
U r (r , t ) = ∂ rψ 1 + ∂ϕψ 2 + ∂ rzψ 3 ;
r

1
1
Uϕ (r , t ) = ∂ϕψ 1 − ∂ rψ 2 + ∂ϕ zψ 3 ;
r
r
1
1
Lˆ ≡ ∂ r ( r∂ r ) + 2 ∂ϕϕ .

U z (r , t ) = ∂ zψ 1 − Lˆψ 3 ;
r
r
(17)
Используя (17), переформулируем кинематическое условие (3)
и динамические граничные условия для касательных компонент
(4) – (5) и нормальной компоненты (6) тензора напряжений через

неизвестные функции ψ j ( r , t ) , полагая a  k* :
r = 1:
1
1



∂ t ξ =  1 + η ⋅ ∂ r + η 2 ∂ rr   ∂ rψ 1 + ∂ϕψ 2 + ∂ rzψ 3  − η ′ ⋅ ∂ zψ 1 − Lˆψ 3 ;
2
r



(
)
1 2

  2
 1
1

2

η
η
ψ
ψ
r
ψ
ψ
1
+
⋅
∂
+
⋅
∂
∂
∂
+
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
r
rr   r 
ϕ 1
r 
r 2
r 
ϕ z 3  −

2 ϕϕ 2
2

  r
 r
r

r

1
1

−η ′ ⋅  ∂ϕ zψ 1 − ∂ rzψ 2 + ∂ϕ ∂ zz − Lˆ ψ 3  = 0;
r
r

(
)
1 2
1


 

ˆ
 1 + η ⋅ ∂ r + η ⋅ ∂ rr  ∂ z  2∂ rψ 1 + ∂ϕψ 2  + ∂ r ∂ zz − L ψ 3  +
r
2

 


(
)


1

+2η ′ ⋅ ( ∂ rr − ∂ zz )ψ 1 + ∂ r  ∂ϕψ 2  + ∂ z ∂ rr + Lˆ ψ 3  = 0;
r



(
)
1 2 

1 2  
1


1 + η ⋅ ∂ r + η ∂ rr  ∂ tψ 1 + 2ν ⋅ 1 + η ⋅ ∂ r + η ∂ rr  ∂ r  ∂ rψ 1 + ∂ϕψ 2 + ∂ rzψ 3  −
r
2
2


 


1
 


−η ′ ⋅ ∂ z  2∂ rψ 1 + ∂ϕψ 2  + ∂ r ∂ zz − Lˆ ψ 3   + pγ (ξ ) − pq (ξ ) = 0.
r

 

(
)
Выражения для лапласовского давления pγ (ξ ) и давления электрического поля pq (ξ ) согласно «Приложению Б» и «Приложению В»
имеют вид
164
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∞ ∞
pq (ξ ) = 2πχ ⋅ 
2
 D ( m) ⋅ {−2 (1 + H m (k ) ) + 2 ⋅ ik ⋅η ′ + 2η ⋅ 3 − k 2 − m2 +
0 m=0
+ ( 2 + H m (k ) ) ⋅ H 0 (k* ) + ( 3 + H m (k ) ) ⋅ H m (k )  + η 2 ⋅ 5k 2 + 7 m 2 −
(
)
}
− 10 − 2k 2 − 2m2 + 7 H m (k ) + 2 H m2 (k ) ⋅ H m (k )  ⋅ exp i ( kz + mϕ ) + st  dk ;

2
1
∂ξ  3
2
2
∂ ξ

′
′
′′
′
+  (η ) − 1 2 −
pγ (ξ ) = ξ  2η − 1 + (η )  − η (1 − η − 3η )
2
∂z  2


 ∂z
2
1
2 ∂ ξ

2
′
− 1 − 2η + 3η − (η )  2 ;
2

 ∂ϕ
H m ( x) є x ЧK mў( x) K m ( x),
где K m ( x ) – модифицированные функции Бесселя второго рода;
штрихами обозначены производные по аргументу; D ( m ) – коэффициенты разложения функции ξ (ϕ , z , t ) :
∞ ∞
ξ (ϕ , z, t ) =   D ( m ) ⋅ exp i ( kz + mϕ ) + st  dk .
(18)
0 m =0
4. Вывод дисперсионного уравнения. Решения уравнений
(16) в цилиндрической системе координат, ограниченные на оси
симметрии, будем искать в виде разложений по набору бегущих
цилиндрических волн с различной симметрией:
∞
∞

ψ 1 (r , t ) =   C1( m ) ⋅ I m ( kr ) ⋅ exp i ( kz + mϕ ) + st  dk ;
0 m =0
∞
∞

ψ j (r , t ) =   C (j m ) ⋅ I m ( lr ) ⋅ exp i ( kz + mϕ ) + st  dk ;
0 m =0
( j = 2;3),
(19)
где l 2 ≡ k 2 + s /ν ; s – комплексная частота; k – волновое число;
m – азимутальные числа, характеризующие неосесимметричность
частных решений; I m ( x ) – модифицированная функция Бесселя
первого рода; Ci( m ) ( i = 1;2;3) – коэффициенты разложений,
зависящие от m и k.
165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставляя выражения (18) – (19) в гидродинамические
граничные условия, отнесенные к поверхности r = 1, и используя
линейную независимость функций exp ( imϕ ) при разных m и
функций exp (ikz ) при различных значениях волнового числа k:
1
2p
2p
т exp [i (m1 -
m2 )f ]d f = dm1 ,m2 ;
0
Ґ
т exp [i(k 1
k2 ) z ]dz = d (k1 - k2 ),
- Ґ
где δ m1 , m2 – символ Кронекера; δ (k1 − k2 ) – дельта функция Дирака,
получим систему алгебраических уравнений относительно
неизвестных коэффициентов Ci( m) , D ( m) ( i = 1; 2;3) :
1


C1( m ) ⋅ I m (k ) ⋅  Gm (k ) + η ⋅ γ 1 (k ) + η 2 ⋅ γ 2 (k ) − ik ⋅η ′  +
2


1


+ C2( m ) ⋅ im ⋅ I m (l ) ⋅ 1 + η ⋅ ( Gm (l ) − 1) + η 2 ⋅ ( 2 − 2Gm (l ) + γ 1 (l ) )  +
2


 
1


+ C3( m ) ⋅ I m (l ) ⋅ ik  Gm (l ) + η ⋅ γ 1 (l ) + η 2 ⋅ γ 2 (l )  + l 2 ⋅η ′ − D ( m ) ⋅ s = 0;
2

 

{
C1( m ) ⋅ im ⋅ I m (k ) ⋅ 2 ( Gm (k ) − 1) + 2η ⋅ [ 2 − 2Gm (k ) + γ 1 (k ) ] + η 2 ⋅ 6 ( Gm (k ) − 1) −
{
(
)
−3γ 1 (k ) + γ 2 (k )] − ikη ′} + C2( m) ⋅ I m (l ) Gm (l ) − m2 − γ 1 (l ) + η  2m2 − Gm (l ) m2 + 1 +
1
+γ 1 (l ) − γ 2 (l ) ] − η 2  6m 2 − 2Gm (l ) 2m 2 + 1 + γ 1 (l ) m 2 + 2 − γ 2 (l ) + γ 3 (l )  +
2
(
)
(
)
{
+ η ′ ⋅ ik ⋅ Gm (l )} + C3( m ) ⋅ im ⋅ I m (l ) ⋅ ik ⋅  2 ( Gm (l ) − 1) + 2η ⋅ ( 2 − 2Gm (l ) + γ 1 (l ) ) +
(
+ η 2 ⋅ ( 6 ( Gm (l ) − 1) − 3γ 1 (l ) + γ 2 (l ) )  + η ′ ⋅ k 2 + l 2
{
(
)} = 0;
)}
C1( m ) ⋅ I m (k ) ⋅ ik ⋅  2Gm (k ) + 2η ⋅ γ 1 (k ) + η 2 ⋅ γ 2 (k )  + 2η ′ ⋅ k 2 + γ 1 (k ) +
166
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 
1


+ C2( m ) ⋅ im ⋅ I m (l ) ik ⋅ 1 + η ( Gm (l ) − 1) + η 2 ( 2 − 2Gm (l ) + γ 1 (l ) )  + 2η ′ ( Gm (l ) − 1)  +
2

 

{
(
)
(
)
+ C3( m) I m (l ) Gm (l ) 1 − k 2 − γ 1 (l ) − γ 2 (l ) − m2 ( 2 − Gm (l ) ) + η γ 1 (l ) 2 − k 2 − 2Gm (l ) −
1
−γ 2 (l ) − γ 3 (l ) + m2 ⋅ ( 6 − 4Gm (l ) + γ 1 (l ) )  + η 2 ⋅ 6 ( Gm (l ) − γ 1 (l ) ) + γ 2 (l ) 3 − k 2 −
2
(
(
− γ 3 (l ) − γ 4 (l ) + m 2 ⋅ ( −24 + 18Gm (l ) − 6γ 1 (l ) + γ 2 (l ) )  + 2η ′ ⋅ ik ⋅ l 2 + γ 1 (l )
)
)} = 0;
1

C1( m ) ⋅ I m (k ) ⋅  s + 2νγ 1 ( k ) + η ⋅ [ sGm ( k ) + 2νγ 2 ( k ) ] + η 2 ⋅ [ sγ 1 ( k ) + 2νγ 3 (k ) ] −
2

−4νη ′ ⋅ ik ⋅ Gm (k )} + C2( m ) ⋅ 2ν ⋅ im ⋅ I m (l ) ⋅ {Gm (l ) − 1 + η [ 2 − 2Gm (l ) + γ 1 (l ) ] − η ′ ⋅ ik +
1
 
1


+ η 2 6 ( Gm (l ) − 1) m2 − 3γ 1 (l ) + γ 2 (l )   + C3( m) 2ν I m (l ) ik  γ 1 (l ) + ηγ 2 (l ) + η 2γ 3 (l )  +
2
2


 
(
}
)
{
+η ′ 2m2 + Gm (l ) k 2 − m2 − 1 + γ 1 (l ) + γ 2 (l )  + D( m) ⋅ 4πχ 2 (1 + H m (k ) ) + k 2 + m2 +
{
}
+1 + 2η ⋅ 1 − m2 − 2πχ 2 3 − k 2 − m2 + ( 2 + H m (k ) ) H 0 (k* ) + ( 3 + H m (k ) ) H m (k )  +
{
(
)
}
+η 2 ⋅ 3m 2 − 2πχ 2 ⋅ 5k 2 + 7 m 2 − 10 − 2k 2 − 2m 2 + 7 H m (k ) + 2 H m2 (k ) H m (k )  −
(
−η ′ ⋅ ik ⋅ 1 + 4πχ 2
)} = 0;
Gm ( x ) є x ЧI mў( x ) I m ( x ).
(20)
Величины γ j ( x) ( j = 1;2;3;4 ) являются функциями производных
от модифицированных функций Бесселя m-го порядка по
аргументу и могут быть выражены через Gm ( x) :
x 2 ЧI mўў( x)
g1 ( x) є
= x 2 + m 2 - Gm ( x);
I m ( x)
g 2 ( x) є
x 3 ЧI mўўў( x)
= - x 2 - 3m 2 + (x 2 + m 2 + 2)ЧGm ( x);
I m ( x)
167
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x 4 ЧI mIV ( x)
g 3 ( x) є
= x 4 + (3 + 2m 2 )x 2 + m 2 (11 + m 2 )- 2 (x 2 + 3m 2 + 3)Gm ( x);
I m ( x)
x5 ЧI mV ( x)
g 4 ( x) є
= - 2 Чй
x 4 + 6 (1 + m 2 )x 2 + 5m2 (5 + m 2 )щ
к
ъ+
л
ы
I m ( x)
+ кйx 4 + (7 + 2m 2 )x 2 + m 2 (35 + m 2 )+ 24щ
ъЧGm ( x ).
л
ы
В конечном счете, для отыскания четырех неизвестных
D ( m) ( i = 1;2;3) мы получили систему четырех однородных алгебраических уравнений. Система однородных уравнений имеет
нетривиальные решения только при условии обращения в нуль определителя det aij , составленного из коэффициентов aij при
Ci( m ) ,
Ci( m ) , D ( m) ( i = 1;2;3) . Приравнивая нулю определитель системы, не-
сложно получить дисперсионное уравнение задачи. Оно имеет
весьма громоздкий вид, но легко может быть получено с помощью
современных компьютерных пакетов аналитических вычислений
типа “Mathematica” или “Maple”. В этой связи приводить дисперсионное уравнение задачи в полном виде не станем, а ограничимся
более компактным, выписанным в квадратичном по a приближении дисперсионным уравнением для маловязкой жидкости, когда
выполняется соотношение l  k (при этом Gm (l ) » l ):
s 2 ⋅ Β2 ( k , m,η ) + 2 sν ⋅ Β1 ( k , m,η ) + Β0 ( k , m,η , w ) = 0;
Β 2 ( k , m,η ) ≡ 2 + η ⋅ 2Gm (k ) + η 2 ⋅ γ 1 (k );
(21)
w є 4pc 2 .
Β1 (k , m,η ) ≡ 2γ 1 ( k ) + η ⋅ 2γ 2 (k ) + η 2 ⋅ γ 3 ( k ) − 4ik ⋅ Gm (k ) ⋅η ′;
Β0 ( k , m,η , w ) ≡  2Gm ( k ) + η ⋅ 2γ 1 ( k ) + η 2 ⋅ γ 2 ( k )  {k 2 + m2 − 1 + w (1 + H m ( k ) ) +
{
}
+η ⋅ 2 − 2m 2 − w ⋅ 3 − k 2 − m 2 + ( 2 + H m ( k ) ) H 0 ( k* ) + ( 3 + H m ( k ) ) H m ( k )  +
w


+η 2 ⋅ 3m2 − ⋅ 5k 2 + 7m 2 − 10 − 2k 2 − 2m 2 + 7 H m (k ) + 2 H m2 (k ) H m (k )  .
2


(
)
Несложно видеть, что при a = 0 (при η = 0 ) выписанное дисперсионное уравнение приводится к дисперсионному уравнению для
168
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
цилиндрической однородно поверхностно заряженной струи электропроводной маловязкой жидкости [33]. Если дополнительно положить w = 0 , то придем к дисперсионному уравнению для незаряженной струи маловязкой жидкости, подробно выведенному в [73].
Дисперсионное уравнение (21) выведено для модельной
ситуации, когда деформация цилиндрической поверхности струи
имеет синусоидальный вид a ⋅ sin(k* z ) с весьма большой длиной
волны. На его основе будем анализировать устойчивость
капиллярных волн с волновыми числами k  k* (см. рис. 1),
близкими к волновым числам волн, наиболее неустойчивых на
однородно заряженной цилиндрической поверхности струи,
найденным в ранее проведенном исследовании [33]. При этом в
каждом конкретном случае будем относить дисперсионное
уравнение не ко всей бесконечной струе, а к ее отрезку,
пропорциональному характерному масштабу локальности волны,
т.е. ее длине λ = ( 2π k ) , в пределах которого радиус струи,
поверхностную плотность заряда, а также вязкость жидкости
будем считать неизменными.
H
L
Re s
0.255
Im s
3
2
1
0
0
0.05
0.1
0.51
2
0
0.05
ka
2
00.11
a
k
1
0.5
Рис. 2-0 а. Графики зависимостей от k и a реальной Re( s) и мнимой Im( s )
частей комплексной частоты s при w = 0.5 : m = 0 ; ν = 0.03 ; k* = 0.01.
( z = π 2k* ; (горб))
5. Анализ дисперсионного уравнения. Для предварительного
исследования влияния деформации струи на ее устойчивость по отношению к капиллярным волнам на основе дисперсионного уравне-
169
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ния (21) рассмотрим две предельные ситуации: η = ± a . Решения
квадратного алгебраического уравнения (21) легко выписываются в
аналитическом виде как зависимости: s = s( k , m,η ,ν , w ) .
Re s
0.4
Im s
0.22
0
- 0.1
0.5
1
3
2
1
0
0.05
0.1
2
0
0.05
ka
2
00.11
a
k
1
0.5
Рис. 2-0 b. Графики зависимостей от k и a реальной Re( s) и мнимой Im( s )
частей комплексной частоты s при w = 0.5 : m = 0 ; ν = 0.03 ; k* = 0.01.
( z = 3π 2k* ; (горловина))
Ввиду того, что нас интересуют решения, приводящие к
дестабилизации струи, будем рассматривать поведение корня
s=
1 
 −ν ⋅ B1 +
B0 
(ν ⋅ B1 )
2
− B0 ⋅ B2 

(22)
в различных ситуациях. В используемом приближении нам не
удастся исследовать влияние деформации струи на локальное
значение безразмерной вязкости (подобное исследование требует
проведения анализа в более высоких порядках малости по
имеющимся малым параметрам k* , a и ν , чем второй).
170
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
H
L
Re s
H
L
0
- 0.1
1
- 0.2
0.51
0
0.05
0.1
2
Im s
4
3
2
1
0
0.05
ka
2
0.1
0
1
a
k
1
0.5
Рис. 2-1 а. Графики зависимостей от k и a реальной Re( s) и мнимой Im( s )
частей комплексной частоты s при w = 0.5 : m = 1 ; ν = 0.03 ; k* = 0.01.
( z = π 2k* ; (горб))
H
L
H
L
Re s
0.05
5
0
- 0.05
05
- 0.1
.1
0.5
Im s
0
0.05
0.1
1
2
3
2
1
0
0.05
ka
2
00.11
a
k
1
0.5
Рис. 2-1 b. Графики зависимостей от k и a реальной Re( s) и мнимой Im( s )
частей комплексной частоты s при w = 0.5 : m = 1 ; ν = 0.03 ; k* = 0.01.
( z = π 2k* ; (горловина))
171
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
H
L
Re s
0.3
3
0.15
5
0
- 0.15
15
0.5
H
L
Im s
0
0.05
0.1
1
2
3
2
1
0
0.05
2
00.11
ka
a
k
1
0.5
Рис. 3-0 а. Те же зависимости, что на рис. 2-0 а, рассчитанные при w = 1
Re s
0.5
0.255
0
0.5 1
0
0.05
0.1
2
ka
Im s
3
2
1
0
0.05
2
0.11
0
a
k
1
0.5
Рис. 3-0 b. Те же зависимости, что на рис. 2-0 b, рассчитанные при w = 1
На рис. 2 – 4 приведены при значениях азимутального числа
m = 0 и m = 1 зависимости от k и a реальной Re( s ) и мнимой Im( s )
частей комплексной частоты s для трех значений параметра W: 0.5;
1 и 2. Данные зависимости рассматриваются в двух предельных
ситуациях: a). η = + a или z = π 2k* (горб); b). η = −a или z = 3π 2k*
(горловина). Из приведенных рисунков видно, что инкременты
осесимметричной моды ( m = 0 ) по-разному ведут себя в местах
сужения и в местах возвышения в зависимости от величины
деформации a (т.е. в зависимости от степени отклонения формы
струи от цилиндрической). В местах сужения (рис. 2.1.b, 3.1.b,
4.1.b) значение инкремента осесимметричных неустойчивых волн
172
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
монотонно увеличивается с увеличением деформации струи a , а в
местах возвышения (рис. 2.1.а, 3.1.а, 4.1.а) монотонно убывает. При
этом, как и следовало ожидать, скорость увеличения (уменьшения)
инкремента возрастает с увеличением электрического заряда на
поверхности струи (т.е. с ростом параметра w ).
H
L
Re s
0.1
1
0
- 0.1
.1
Im s
0
0.05
0.1
0.51
2
3
2
1
0
0.05
ka
2
00.11
a
k
1
0.5
Рис. 3-1 а. Те же зависимости, что на рис. 2-1 а, рассчитанные при w = 1
Для моды m = 1 , ответственной за изгиб струи, величина
инкремента неустойчивых волн снижается (  30 − 40% ) по
сравнению с осесимметричной модой при прочих равных условиях
(рис. 2.2, 3.2, 4.2). Также снижается и скорость изменения изгибной
моды. Расчеты показывают, что для данных значений параметра w
волны с большей асимметрией ( m = 2 и выше) являются
устойчивыми. Любопытно то обстоятельство, что величина инкремента неустойчивости волны с m = 1 , рассчитанная при a = 0.1 в
местах сужения (рис. 3.2.b), превышает величину инкремента неустойчивости волны с m = 0 в местах возвышения (рис. 3.1.а). Указанное обстоятельство позволяет объяснить результаты экспериментов [17], где был зафиксирован одновременный разрыв сразу в
нескольких сечениях различного радиуса утоньшающейся с расстоянием от места зарождения заряженной струи.
173
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
H
L
H
L
Re s
0.4
Im s
3
2
1
0.2
2
0
0.5
0
0.05
0.1
1
2
0
0.05
2
0.1
0
1
k a
H
L
k
a
1
0.5
Рис. 3-1 b. Те же зависимости, что на рис. 2-1 b, рассчитанные при w = 1
H
L
Re s
0.66
0.44
0.22
0
0.5
1
Im s
2
1
0
0.05
0.1
2
H
L
0
0.05
k
2
00.11
ka
a
1
0.5
H
L
Рис. 4-0 а. Те же зависимости, что на рис. 2-0 а, рассчитанные при w = 2
Re s
0.99
0.66
0.33
0
0.5
Im s
2
1
0
0.05
0.1
1
2
0
0.05
k a
2
0.1
0
1
a
k
1
0.5
Рис. 4-0 b. Те же зависимости, что на рис. 2-0 b, рассчитанные при w = 2
174
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
H
L
Re s
0.6
0.4
4
0.2
2
0
- 0.2
0.5
H
L
0
0.05
0.1
1
2
H
L
Im s
3
2
1
0
0.05
ka
2
00.11
a
k
1
0.5
H
L
Рис. 4-1 а. Те же зависимости, что на рис. 2-1 а, рассчитанные при w = 2
Re s
Im s
1
0.755
0.55
0
0.5
2
1
0
0.05
1
2
0.1
0
0.05
k
2
0.1
0
1
a
1
0.5
k a
Рис. 4-1 b. Те же зависимости, что на рис. 2-1 b, рассчитанные при w = 2
Рис. 5.a-b иллюстрируют зависимости реальной Re( s) и
мнимой Im( s ) частей комплексной частоты s от параметра w при
фиксированных значениях ν , k и a для различных значений
азимутального числа m в двух предельных ситуациях: a). η = + a ,
или z = π 2k* (горб); b). η = −a или z = 3π 2k* (горловина). Как
показывают рис.5 a-b, при сравнительно небольших значениях
электрического заряда на поверхности струи (параметра w )
неустойчивытолько осесимметричные волны, колебания же
неосесимметричных волн являются устойчивыми. При увеличении
поверхностного заряда инкременты неосесимметричных мод
начинают преобладать над осесимметричной модой. При этом в
местах сужения такое доминирование неосесимметричных мод
175
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
появляется при меньших значениях параметра w . Значение
инкрементовнеустойчивых волн в местах сужения выше
соответствующих значений в местах возвышения. Это особенно
заметно для неосесимметричных мод, поскольку их инкременты
возрастают значительно быстрее с увеличением поверхностной
плотности заряда.
Re(s)
Im(s)
m=2
1.5
m=3
m=1
1
m=3
1.5
m=1
1
m=
0.5
m=2
2
0.5
w
1
2
3
4
w
5
1
2
3
4
5
Рис. 5 a. Графики зависимостей от w реальной Re( s) и мнимой Im( s )
частей комплексной частоты s для фиксированного значения волнового
числа k = 0.9 . Значение безразмерной вязкости ν = 0.03 ; k* = 0.01, a = 0.1
(горб)
Re(s)
2.5
Im(s)
m=3
m=2
2
2.5
m=2
m=3
2
m=1
1.5
1.5
1
1
m=0
0.5
m=1
0.5
1
2
3
4
5
W
1
2
3
Рис. 5 b. То же, что на рис. 5 а, но для горловины струи.
176
4
5
W
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Re(s)
0.5
Im(s)
m=1
m=0
0.1
0.2
0.3
3
ν
2
−0.5
m=2
−1
−1.5
m=3
m=2
1
m=3
0.1
0.2
0.3
Рис. 6 a. Графики зависимостей от безразмерной вязкости ν реальной
Re( s) и мнимой Im( s ) частей комплексной частоты s для фиксированного
значения волнового числа k = 0.9 . Значение параметра w = 2 ; k* = 0.01,
a = 0.1 (горб)
Im(s)
Re(s)
1
0.5
m=0
0.
−1
−2
4
m=1
0.2
0.3
m=3
3
ν
2
m=2
1
m=2
0.1
m=3
0.2
ν
0.3
Рис. 6 b. То же, что на рис.6 а, но для горловины струи
Рис. 6.a-b показывают зависимости реальной Re( s ) и мнимой
Im( s ) частей комплексной частоты s от безразмерной вязкости ν
при фиксированных значениях w , k и a для различных значений
азимутального числа m в двух предельных ситуациях: a). η = + a ,
b). η = −a . При данном значении параметра w = 2 неустойчивыми
являются только осесимметричная m = 0 и изгибная моды m = 1 . Из
рисунков видно, что на горбе (при z = π 2k* ) значения инкрементов
этих двух мод практически одинаковы и монотонно убывают с
увеличением вязкости. В горловине (при z = 3π 2k* ) значение
177
ν
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
инкремента изгибной моды не менее, чем на 50% превышает
инкремент осесимметричной моды.
Анализ выведенного дисперсионного уравнения для волн на
поверхности заряженной струи электропроводной жидкости с
формой, отличающейся от цилиндрической, показывает, что величины максимальных инкрементов неустойчивости и волновые числа наиболее неустойчивых волн сложным образом зависят как от
величины азимутального числа m, так и от величины деформации a
цилиндрической формы струи. Это обстоятельство может оказывать существенное влияние на степень полидисперсности капель,
образующихся при спонтанном электростатическом распаде струи,
и на многообразие реализующихся режимов электродиспергирования.
Результаты расчетов по математической модели, исследованной в проведенном анализе, без особых трудностей могут быть
проверены экспериментально на установке, используемой в вынужденном капиллярном распаде [8] временным возбуждением двух
волн: волны с длиной λmax , обладающей максимальным инкрементом неустойчивости, и волны с длиной λ* , много большей λmax . В
итоге в зависимости от амплитуды волны с длиной λ* , поверхностной плотности электрического заряда на струе и физикохимических характеристик жидкости можно будет получить в контролируемых условиях различные режимы спонтанного распада
струй.
Приложение А. О зависимости теплофизических характеристик жидкости от температуры.
В математическую формулировку задачи о расчете волнового
движения на поверхности струи входят: массовая плотность жидкости ρ , коэффициент поверхностного натяжения γ и коэффициент кинематической вязкости жидкости ν . Величины этих теплофизических характеристик жидкости зависят от температуры, как
это можно видеть из таблицы.
Несложно видеть, что наиболее сильно от температуры зависит
вязкость жидкости, а поскольку в рассматриваемой задаче изменения температуры вдоль струи на характерных линейных масштабах
– порядка четверти длины волны λ* – не могут превышать единиц
градусов, то в асимптотических расчетах с малым параметром
178
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ε  0.1 имеет смысл учитывать только температурную зависимость
вязкости жидкости.
Таблица
Температура, °К
Плотность,
г/см3.
73
293
303
333
363
0,99987
0,99823
0,99567
0,98824
0,96534
Коэффициент поверхностного натяжения, дин/см.
75,60
72,80
71,18
66,18
60,75
Коэффициент кинематической вязкости,
пуаз.
0,01797
0,01004
0,00803
0,00470
0,00317
Аналитическое выражение для температурной зависимости коэффициента кинематической вязкости имеет вид ν = ν * ⋅ exp ( B T )
[123]. В рассматриваемой ситуации температура жидкости является функцией координаты z и, следовательно, от z будет зависеть и
величина коэффициента кинематической вязкости: ν = ν ( z ) . Поэтому для описания движения жидкости в струе вместо уравнения
Навье-Стокса следует использовать более общее уравнение движения несжимаемой вязкой жидкости
 ∂U m
∂U m 
∂P
∂
+Un
+
=−
∂xn 
∂xm ∂xn
 ∂t
ρ
  ∂U m ∂U n  
+
 ρν 
 ,
x
x
∂
∂
m 
  n
(А.1)
которое при ν = const превращается в уравнение Навье-Стокса.
Коэффициент кинематической вязкости входит и в динамическое
граничное условие для нормальных компонент тензора напряжений:

 
− P + 2 ρν ⋅ n ( n ∇ )U + Pγ − Pq = 0.
(А.2)
Зададимся вопросом о вкладе зависимости коэффициента кинематической вязкости от координаты z (от температуры) в выписанные соотношения.
Рассмотрим вначале уравнение (А.1), расписывая в нем последнее слагаемое
179
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∂   ∂U m ∂U n  
∂ 2U m ∂ν  ∂U m ∂U n 
+
+
+
ν 
 = ν

.
∂xn   ∂xn
∂xm  
∂xn2
∂xn  ∂xn
∂xm 
(А.3)
Найдем производную от ν по координате z , учитывая, что
ν = ν * ⋅ exp ( B T ) и что T ( z ) ≡ T0 + T* ⋅ cos ( k* ⋅ z ) :
 B  
∂ν
B  ∂T ( z )
B k ⋅T
= ν * ⋅ exp 
≡ ν ⋅ ⋅ * * sin ( k* z ) ≡ ν ⋅τ .
⋅ − 2 ⋅
∂z
T T
 T ( z )   T ( z )  ∂z
Учитывая теперь, что характерный линейный масштаб изменения
вдоль струи поля скоростей, связанного с волновым движением на
волне λ  λ* , есть λ 4 , получим для оценки по порядку величины
∂ 4
≈ .
∂z λ
Следовательно, в (А.3) второе слагаемое будет много меньше
первого при выполнении соотношения
τ ≈ k* ⋅
B T*
4
⋅ 
≈ k.
λ
T T
(А.4)
Поскольку по условию ( k* k )  ε , то (1.4) выполняется, если
B T*
⋅ ≤ 1.
T T
(А.5)
Так, для воды (см. данные, приведенные в табл.) в зависимости
от выбора константы ν * , которая по порядку величины должна
быть равна вязкости насыщенного пара [123], величина множителя
B T измеряется единицами. Отношение же T* T считаем величиной  ε 2 . Таким образом, получается, что τ  ε 3 .
Соотношение (1.4) можно переписать в виде
τ≈
π ⋅ B λ T*
⋅ ⋅  ε 3  1.
2 ⋅ T λ* T
В итоге получим, что слагаемое
180
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

 ∂U m ∂U n 
 ∂U

∂ν  ∂U m ∂U n 
+
+
+ ∇U z 

 ≡ ν ⋅τ ⋅ δ n 3 
 ≡ ν ⋅τ ⋅ 
∂xn  ∂xn
∂xm 
∂xm 
 ∂xn
 ∂z

(А.6)
в уравнении движения несжимаемой вязкой жидкости (А.1) даст
поправку  ε 3 к вихревой части движения и, следовательно, в расчетах  ε 2 может быть опущено. Таким образом, можно прийти к
выводу: в сформулированной задаче температурная зависимость
теплофизических характеристик жидкости скажется на параметрах
устойчивости струи лишь в более высоких порядках малости, чем
во втором.
Но проведенные оценки справедливы только для воды и органических жидкостей. Если же рассмотреть струи жидких металлов,
то для них вполне реальна ситуация, когда (T* T )  1 и поправки в
систему уравнений гидродинамики связанные с температурной зависимостью вязкости, будут иметь первый порядок малости.
Приложение Б. Вывод выражения для давления сил поверхностного натяжения на возмущенную свободную поверхность струи
В размерных переменных давление сил поверхностного натяжения на искривленной свободной поверхности струи с коэффициентом поверхностного натяжения γ определяется выражением

Pγ = γ ⋅ div n ,

где n – единичный вектор внешней нормали к свободной поверхности:
F ( r , ϕ , z , t ) ≡ r − R − η ( z ) − ξ (ϕ , z , t ) = 0,
η ≡ a ⋅ sin ( k* ⋅ z ) .

Вектор нормали n к поверхности F = 0 может быть вычислен по
формуле

n = ∇F (r , ϕ , z, t ) ∇F  F =0 ;
∇F (r ,ϕ , z , t ) записывается как
∂ξ
  1 ∂ξ  
∇F (r , ϕ , z , t ) ≈ er − eϕ
− ez  η ′ +
∂z
r ∂ϕ

181

,

η ′ = ak* ⋅ cos ( k* z ) .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учтем, что r = R + η ( z ) + ξ (ϕ , z , t ) , где ξ  a  R , и в линейном по
ξ и квадратичном по a приближении получим
−1
1 1 1

= 1 + η ( z ) + ξ (ϕ , z , t )   ≈
r R R

≈
1 1
1

2
1 − η ( z ) + ξ (ϕ , z , t )  + 2 η ( z ) + 2η ( z ) ⋅ ξ (ϕ , z , t )   .
R R
R

Выражение для вектора нормали к возмущенной поверхности перепишем следующим образом:
∂ξ    1
∂ξ 
    1 ∂ξ  
2
− ez η ′ +
n ≈ er − eϕ
  1 − (η ′ ) − η ′  .
∂z    2
∂z  F =0
r ∂ϕ


Теперь несложно получить и аналитическое выражение для давления сил поверхностного натяжения на деформированной свободной цилиндрической поверхности струи:
∂ξ 
1  1

2
Pγ = γ ⋅ div n F =0 ≈ γ ⋅   1 − (η ′ ) − η ′  −
∂z 
r  2
2
2
∂ξ
 1 ′ 2   1 ∂ ξ ∂ ξ  ′′ 
′
η
1
3
η
− 1 − (η )   2
+
−
−


2
∂z 2 
∂z
 2
  r ∂ϕ

2
2 ∂ ξ 

′
 .
 + (η )
∂ϕ 2 F =0

Относя данное выражение к исходной невозмущенной цилиндрической поверхности струи r = R , получим
1
ξ  2η 1
1  η 1
2
2
Pγ = γ ⋅   1 − + 2 η 2 − (η ′ )  −η ′′ − 2 1 −
− (η ′ )  +
2
R 
R 2


R R R
2
2
 ′′ 1 η  ∂ξ 1  2η 3 2 1 ′ 2  ∂ ξ  3 ′ 2  ∂ ξ 
′
+η  3η − + 2 
−
+ η − (η )  2 +  (η ) − 1 2  .
1 −
R R  ∂z R 2 
R R2
2

 ∂ϕ  2
 ∂z 
В безразмерных переменных R = ρ = γ = 1 это выражение перепишем в виде
Pγ = 1 − η + η 2 −
1
2
(η ′) − η ′′ + pγ (ξ ) ,
2
182
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где pγ (ξ ) – линейная по ξ добавка к поверхностному давлению
1
∂ξ  3
∂ 2ξ
2
2


+  (η ′ ) − 1 2 −
pγ (ξ ) = ξ  2η − 1 + (η ′ )  − η ′ (1 − η − 3η ′′ )
2
∂z  2


 ∂z
2
1
2 ∂ ξ

2
− 1 − 2η + 3η − (η ′ )  2 .
2

 ∂ϕ
При a  k* полученные выражения в используемом приближении
упростятся:
Pγ = 1 − η + η + pγ (ξ ) ;
2
pγ (ξ ) = ξ ( 2η − 1) − η ′
∂ξ ∂ 2ξ
∂ 2ξ
− 2 − (1 − 2η + 3η 2 ) 2 .
∂z ∂z
∂ϕ
Учитывая, что волновое возмущение ξ (ϕ , z , t ) ищется в виде
∞ ∞
ξ (ϕ , z, t ) =   D( m) ⋅ exp i ( kz + mϕ ) + st  dk ,
0 m=0
аналитическое выражение для pγ (ξ ) можно представить в виде
∞ ∞
pγ (ξ ) = 
 D(m) k 2 + m2 − 1 + 2η (1 − m2 ) + 3m2η 2 − ikη′ exp i ( kz + mϕ ) + st  dk.
0 m= 0
Приложение В. Вывод выражения для давления электрического поля на возмущенную волновым движением заряженную свободную поверхность струи
1. Найдем аналитическое выражение для давления электрического поля на заряженную свободную поверхность струи идеально
проводящей жидкости. Будем считать, что электрический ток
внутри струи не течет и напряженность электрического поля в
объеме жидкости равна нулю. Вектор напряженности на свободной
поверхности имеет только нормальную компоненту, а заряд струи,
приходящийся на единицу ее длины, рассредоточен по свободной
поверхности. В отсутствие синусоидальной деформации заряд
однородно распределен по поверхности с плотностью c . Учтем,
что в модели идеально проводящей жидкости заряд по поверхности струи при ее деформации перераспределяется с бесконечно
183
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
большой скоростью, мгновенно следуя за изменением рельефа
поверхности струи и обеспечивая ее эквипотенциальность в любой
момент времени. В связи со сказанным, зависимость от времени
потенциала электрического поля в окрестности струи полностью
определяется изменением во времени рельефа поверхности струи, а
его зависимость от пространственных переменных может быть
найдена из уравнения Лапласа, поскольку гидродинамические
скорости много меньше скорости света.
Давление электрического поля на поверхность заряженной
электропроводной
струи
определяется
выражением
Pq
2
Pq = ( −∇Φ ) 8π , где потенциал электрического поля вне струи

Φ (r , t ) является решением краевой задачи
ΔΦ = 0;
r = R + h + x : Φ = Φ* ;
r →∞:
∇Φ → 0;
(В.1)
( )



2
Φ ( r , t ) = Φ (0) ( r ) + Φ (1) ( r , t ) + Ο ξ .
2. Поскольку в решаемой задаче рельеф свободной поверхности струи r = r (ϕ , z , t ) определяется суперпозицией виртуальной
деформации конечной амплитуды η = a ⋅ sin ( k* ⋅ z ) и капиллярным
волновым движением теплового происхождения с весьма малой
амплитудой ξ (ϕ , z , t ) , то разделим поправки к потенциалу


электрического поля вне струи нулевого Φ (0) ( r ) и первого Φ (1) ( r , t )
порядков малости на компоненты:

Φ(0) ( r ) = Φ(0,0) ( r ) + Φ(0,1) ( r , z ) + Φ (0,2) ( r , z ) ;




Φ (1) ( r , t ) = Φ (1,0) ( r , t ) + Φ (1,1) ( r , t ) + Φ (1,2) ( r , t ) ,
(В.2)
где цифры в скобках указывают на порядок малости относительно
параметров ξ и a соответственно.
Подставляя (В.2) в (В.1), несложно получить набор краевых

задач для отыскания Φ (i , j ) ( r , t ) , где i = 0;1; j = 0;1;2 :
ΔΦ ( i , j ) = 0;
r →∞:
184
∇Φ (i , j ) → 0;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r = 1:
Φ (0,0) = Φ* ,


E0 ≡ −∇Φ (0,0) = 4πχ er ;
1
Φ (0,2) = −η ⋅ ∂ r Φ (0,1) − η 2 ⋅ ∂ rr Φ (0,0) ;
2
Φ (0,1) = −η ⋅ ∂ r Φ (0,0) ;
Φ (1,0) = −ξ ⋅ ∂ r Φ (0,0) ;
Φ (1,1) = −η ⋅ ∂ r Φ (1,0) − ξ ⋅ ∂ r Φ (0,1) − η ⋅ ξ ⋅ ∂ rr Φ (0,0) ;
1
Φ (1,2) = −η ⋅ ∂ r Φ (1,1) − ξ ⋅ ∂ r Φ (0,2) − η ⋅ ξ ⋅ ∂ rr Φ (0,1) − η 2 ⋅ ∂ rr Φ (1,0) .
2

Решения краевых задач для функций Φ (0, j ) ( r ) , j = 0;1;2 легко
выписываются в виде
Φ (0,0) ( r ) = −4πχ ⋅ ln ( r ) + Φ*;
Φ (0,1) ( r , z ) = 4πχ ⋅η ⋅
Φ (0,2) ( r , z ) = −4πχ ⋅η 2 [1 + 2 H 0 (k* ) ]
K 0 (k* ⋅ r )
;
K 0 (k* )
K 0 (k* ⋅ r )
,
K 0 (k* )
(В.3)
где K 0 (k* ⋅ r ) – модифицированная функция Бесселя второго рода.
При a  k* слагаемым 2 H 0 (k* ) в выражении для Φ (0,2) ( r , z ) можно
пренебречь:
Φ (0,2) ( r , z ) ≈ −4πχ ⋅η 2
K 0 (k* ⋅ r )
.
K 0 (k* )

Решения краевых задач для отыскания функций Φ (1, j ) ( r , t ) ,
j = 0;1;2 в цилиндрической системе координат, убывающие при
r → ∞ , будем искать в виде разложения по бегущим
цилиндрическим волнам (в приближении a  k* ):
Φ
(1, j )
∞
∞

( r , t ) =   A(j m) ⋅ K m ( kr ) ⋅ exp i ( kz + mϕ ) + st  dk ;
j = 0;1;2 ,
(В.4)
0 m=0
где m – азимутальное число; k – волновое число; A(j m ) – коэффициенты разложений. Строго говоря, A(j m ) являются функциями
координаты z , но в данном приближении мы можем пренебречь
производной по z от A(j m ) , что существенно упрощает расчеты.
185
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В виде аналогичного разложения представляется и функция
ξ (ϕ , z , t ) :
∞ ∞
ξ (ϕ , z, t ) =   D( m) ⋅ exp i ( kz + mϕ ) + st  dk ,
(В.5)
0 m=0
где D ( m) – коэффициенты разложения.
Подставляя (В.4), (В.5) в граничное условие на поверхности

струи для функции Φ (1,0) ( r , t ) , несложно получить связь
коэффициентов D ( m) и A0( m) :
A0( m ) =
4πχ
D(m) .
K m (k )

В итоге выражение для Φ (1,0) ( r , t ) получается в виде
∞
∞
K (kr )

Φ ( r , t ) = 4πχ   D ( m ) ⋅ m
⋅ exp i ( kz + mϕ ) + st  dk . (В.6)
(
)
K
k
m
0 m=0


Из краевых задач для отыскания Φ (1,1) ( r , t ) и Φ (1,2) ( r , t )
(1,0)
несложно получить связь коэффициентов D ( m) и A1( m) , а также D ( m)
и A2( m) в виде
A1( m ) = −
(m)
2
A
4πχ ⋅η
[1 + H m (k )] ⋅ D ( m ) ;
K m (k )
4πχ ⋅η 2 2
 k + m 2 − 3H m ( k ) − 2 H m2 (k )  ⋅ D ( m ) ,
=−
2 K m (k )


а для самих поправок Φ (1,1) ( r , t ) и Φ (1,2) ( r , t ) аналитические
выражения:
Φ
(1,1)
Φ
∞
∞

( m ) K m ( kr )
r
,
t
=
−
4
πχ
⋅
η
D
( )
[1 + H m (k )] ⋅ exp i ( kz + mϕ ) + st  dk ;

0 m=0
K m (k )
(1,2)
∞
∞
K (kr )

2
( r , t ) = −4πχ ⋅η   D( m) m  k 2 + m2 − 3H m (k ) − 2 H m2 (k )  ×
2 K m (k )
0 m =0
186
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
× exp i ( kz + mϕ ) + st  dk .
(В.7)
3. Выразим давление электрического поля на свободную

поверхность струи через Φ ( i , j ) ( r , t ) в линейном по малому безразмерному параметру ξ и квадратичном по a приближении (при
a  k* ):
Pq
≈
r =1+η +ξ
1
8π
2

2
= ( ∇Φ ) 8π 
= ∇ ( Φ (0) ( r , z ) + Φ (1) ( r , t ) )  8π

 r =1+η +ξ
{(∂ Φ ) + (∂ Φ )
(0) 2
(0) 2
r
z
(
+ξ ⋅ ∂ r  ∂ r Φ (0)

(0) 2
z
≈
)
+ 2 ∂ r Φ (0) ⋅ ∂ r Φ (1) + ∂ z Φ (0) ⋅ ∂ z Φ (1) +
) + ( ∂ Φ ) }
2
(
r =1+η +ξ
.
r =1+η
Учитывая разложения (В.2) и относя данное выражения к невозмущенной струе (то есть при r = 1), получим
Pq
r =1+η +ξ
≈
1 
1 2 
(0,0) 2
(0,0)
(0,1)
(1,2)
1 + η ⋅ ∂ r + η ∂ rr  ( ∂ r Φ ) + 2∂ r Φ ( ∂ r Φ + ∂ r Φ ) +
8π 
2

1


+2 1 + η ⋅ ∂ r + η 2 ∂ rr  ∂ r Φ (0,0) ⋅ ∂ r Φ (1,0) + 2 (1 + η ⋅ ∂ r ) ∂ r Φ (0,0) ⋅ ∂ r Φ (1,1) +
2


(
(
)
(
)
)
(
)
+2 ∂ r Φ (0,1) ⋅ ∂ r Φ (1,0) + ∂ z Φ (0,1) ⋅ ∂ z Φ (1,0) + 2ξ ⋅ ∂ r ∂ r Φ (0,0) ⋅ ∂ r Φ (0,1) +
(
+ξ ⋅ ∂ r (1 + η ⋅ ∂ r ) ∂ r Φ (0,0)
)}
2
.
r =1
(В.8)
Подставим (В.3), (В.5) – (В.7) в (В.8) и получим полное
аналитическое выражение для линейной по ξ добавки к давлению
электрического
поля
на
виртуально
синусоидально
деформированную свободную поверхность струи:
Pq
r =1+η +ξ
∞ ∞
pq (ξ ) = 2πχ ⋅ 
2
≈ 2πχ 2 ⋅ 1 − 2η ⋅ (1 + H 0 ( k* ) ) + 3η 2  + pq (ξ ) ;
 D ( m) ⋅ {−2 (1 + H m (k ) ) + 2 ⋅ ik ⋅η ′ + 2η ⋅ 3 − k 2 − m2 +
0 m= 0
+ ( 2 + H m (k ) ) ⋅ H 0 (k* ) + ( 3 + H m (k ) ) ⋅ H m (k )  + η 2 ⋅ 5k 2 + 7 m 2 −
187
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)
}
− 10 − 2k 2 − 2m2 + 7 H m (k ) + 2 H m2 (k ) ⋅ H m (k )  ⋅ exp i ( kz + mϕ ) + st  dk .

4. Нелинейные осцилляции
и капиллярный распад
заряженных жидких струй
Первые два аналитические теоретические анализа нелинейных
осцилляций и устойчивости незаряженных цилиндрических струй
жидкости появились практически одновременно [124 – 125] во
второй половине прошлого века. Начатые в [124 – 125] теоретические исследования нелинейных осцилляций и устойчивости незаряженных струй в последующие годы развивались и уточнялись
аналитическими в [35 – 36, 38 – 39, 43, 126 – 128] и численными в
[37, 42, 44, 129] методами. Описания экспериментальных исследований нелинейных волн на незаряженной струе можно найти в [5,
8, 40, 130]. Обзор первых исследований нелинейных осцилляций и
устойчивости незаряженных цилиндрических струй жидкости
можно найти в [131]. Теоретические аналитические исследования
нелинейных осцилляций и устойчивости заряженных цилиндрических струй начались с [132 – 133]. Кроме того, имеются и работы,
выполненные численными методами [134 – 137], на которых, однако, не будем останавливаться, ввиду стандартных ограничений
общности рассмотрений, проведенных численными методами.
Познакомимся с используемой в аналитическом теоретическом
исследовании регулярной процедурой нелинейного анализа устойчивости заряженной струи на примере вполне корректных (содержащих детальный разбор процедуры аналитического счета) работ
[12, 47 – 49], выполненных во втором порядке малости по отношению амплитуды осцилляций к радиусу струи. В этих работах выяснилось, что решение задачи о расчете нелинейных осцилляций заряженной струи уже во втором порядке малости по амплитуде деформации невозмущенной цилиндрической струи позволяет
обнаружить вырожденное резонансное взаимодействие волны, определяющей начальную виртуальную одномодовую деформацию, с
волной, появляющейся вследствие нелинейности уравнений гидродинамики и имеющей вдвое большее волновое число. Положение
188
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
резонансных ситуаций зависит от величины волнового числа и поверхностной плотности электрического заряда на струе. В частности, осесимметричная мода может взаимодействовать с модой, ответственной за закручивание струи (m=1). При нелинейном резонансном взаимодействии волн на заряженной струе энергия всегда
перекачивается от более длинных волн к более коротким независимо от симметрии взаимодействующих волн. Из начально возбужденной моды с m=1 энергия может перекачиваться как в осесимметричную моду с вдвое большим волновым числом, так и в неосесимметричную с m=2 также с вдвое большим волновым числом.
Вовлечение в нелинейное резонансное взаимодействие мод с m≥2
возможно лишь при значительных плотностях поверхностного заряда на струе. Последнее условие может выполниться для тонкого
конца электропроводной струи, выброшенной заряженной поверхностью жидкости, имеющей постоянный потенциал поверхности и,
следовательно, неоднородное распределение поверхностного заряда, плотность которого будет увеличиваться с утоньшением струи.
В итоге закономерности перераспределения энергии нелинейной
волны за счет нелинейного резонансного взаимодействия будут
различны для начального и конечного участков струи, что в свою
очередь приведет к различию условий дробления струи на разных
ее участках. При многомодовой начальной деформации общие закономерности реализации нелинейного волнового движения на
струе остаются прежними, но кроме вырожденных резонансов появляются и вторичные комбинационные. Энергия теперь переносится и от высоких мод к низким, и появляются условия для реализации распадной неустойчивости.
В расчетах третьего порядка малости, кроме поправок к потенциалам и рельефу струи, мало сказывающихся на рельефе струи,
наиболее интересным результатом проведенного расчета по сравнению с ранее осуществленными в [47 – 49] расчетами второго порядка малости, появляются нелинейные поправки к частотам волн
ε2g, наличие которых приводит к изменению критических условий
(критической длины волны и величины поверхностной плотности
электрического заряда) реализации неустойчивости струи [12, 50].
Коэффициент g в зависимости от волнового числа, поверхностной
плотности электрического заряда и азимутального числа m может
быть как отрицательным, так и положительным, что означает воз189
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
можность смещения критических условий реализации неустойчивости для волн с различной асимметрией в различных направлениях: в сторону либо их увеличения, либо уменьшения.
Следует также отметить, что все аналитические исследования
нелинейных осцилляций струй, как незаряженных, так и заряженных, проведены для модели идеальной жидкости, что существенно
ограничивает возможность практического использования полученных результатов. Поэтому представляется необходимым проанализировать нелинейные осцилляции струи вязкой жидкости. Если три
десятка лет назад значительная часть как экспериментальных, так и
теоретических исследований была ориентирована на разработку
способов получения потоков монодисперсных капель жидкости, то
последние полтора десятка лет приоритет сместился в сторону изучения закономерностей электростатического полидиспергирования
жидкости: начиная с 1987 года проводятся ежегодные международные конференции, посвященных этой тематике (ILASS – On
liquid atomization & spray systems), каждая из которых собирает несколько сотен докладов [138].
Как выше уже отмечалось, в основе феномена электростатического полидиспергирования жидкости лежит феномен неустойчивости заряженной поверхности жидкости по отношению к давлению электрического поля: когда локальное давление электрического поля на свободную поверхность жидкости поля превышает
локальное лапласовское давление, заряженная поверхность жидкости, становясь неустойчивой, выбрасывает струйку, которая разбивается на отдельные сильно заряженные капельки. Этот феномен
реализуется для плоской заряженной поверхности жидкости [139],
для заряженных капель, свободно падающих во внешних электрических полях [10], для капель, осевших на твердую поверхность во
внешнем электрическом поле [140], и для менисков жидкости на
торце капилляра, по которому жидкость подается в разрядную систему [17, 27].
Из множества возможных причин значительного количества
экспериментально наблюдаемых режимов электродиспергирования
можно указать на многообразие начальных условий, способствующих возбуждению неосесимметричных мод осцилляций. Закономерности реализации неустойчивости этих мод изучены пока недостаточно полно. Согласно данным третьей главы инкременты
190
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
неустойчивости неосесимметричных мод в зависимости от вязкости и электропроводности жидкости могут превышать инкременты
неустойчивости осесимметричных мод и определять картину полидисперсного распада струи. Кроме того, в случае резонансного
взаимодействия мод существует определенная асимметрия в направлении переноса энергии между осесимметричными и неосесимметричными модами. На разных участках реальной струи,
форма которой отличается от цилиндрической [19 – 21, 103], плотность поверхностного заряда различна. Вследствие этого нелинейные поправки к частотам осцилляций неосесимметричных мод могут иметь разный знак вдоль струи и по-разному влиять на устойчивость различных участков струи. Более того, все проведенные к
настоящему времени аналитические исследования нелинейных осцилляций струй вязкой жидкости выполнены для приближения
«тонкой струи», когда радиальное распределение поля скоростей
течения жидкости в струе, связанное с ее осцилляциями, считается
однородным (не зависящим от радиальной переменной). В таком
приближении радиальная компонента поля скоростей течения
жидкости равна нулю и уравнение баланса заряда на поверхности
струи не может быть выписано строго [96]. В настоящем рассмотрении проводится строгий нелинейный асимптотический анализ
нелинейных осцилляций струи без пренебрежения неоднородностью радиального распределения поля скоростей.
4.1. Нелинейные неосесимметричные
осцилляции заряженной струи идеальной
несжимаемой электропроводной жидкости
при многомодовой начальной деформации
ее поверхности
В связи с актуальностью проблемы исследования капиллярных
осцилляций, устойчивости и дробления на отдельные капли заряженной цилиндрической струи она неоднократно становилась
предметом теоретического исследования в линейной и нелинейной
постановках. В настоящем рассмотрении будет проведено аналитическое асимптотическое исследование нелинейных осцилляций
поверхности однородно заряженной идеально проводящей струи,
когда начальная деформация ее равновесной цилиндрической по191
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
верхности представлена суперпозицией конечного числа как осесимметричных, так и неосесимметричных мод. Решение указанной
задачи будет проведено в рамках метода многих масштабов.
1. Формулировка
задачи. Рассмотрим движущуюся с посто
янной скоростью U 0 бесконечную струю постоянного радиуса R
идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью ρ и коэффициентом поверхностного натяжения γ . Примем,
что внешняя среда отсутствует, однако в окружающем струю пространстве создано электростатическое поле, перпендикулярное оси
струи. Вследствие этого на поверхности распределен заряд, поверхностная плотность которого в равновесном состоянии, т.е. в
условиях отсутствия каких-либо возмущений цилиндрической
формы струи? имеет величину χ .
Рассмотрение проведем в цилиндрической
системе координат,

начало которой движется со скоростью U 0 , а ось OZ направлена
 
вдоль оси симметрии струи по направлению ее движения: n z U 0 .
Очевидно, что в такой системе координат поле скоростей движения жидкости в струе будет полностью определяться капиллярными колебаниями ее поверхности.
Зададимся целью проследить эволюцию во времени движущегося по поверхности струи в положительном направлении оси OZ
волнового пакета, представляющего собой суперпозицию из N осесимметричных и неосесимметричных волн с волновыми числами
kn , амплитуда которых мала по сравнению с радиусом струи.
Все рассмотрение проведем в безразмерных переменных, полагая R = γ = ρ = 1. В этом случае уравнение свободной поверхности
струи, возмущенной капиллярным волновым движением, запишется в виде
r = 1 + ξ (ϕ , z , t ) ;
ξ << 1 ;
(1)
где r , ϕ , z – цилиндрические координаты, t – время, ξ – функция,
описывающая искажение равновесной цилиндрической формы
струи.
В рамках модели потенциального течения математическая
формулировка задачи о расчете временной эволюции виртуального
волнового возмущения поверхности струи? заданного в начальный
192
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
момент времени? будет состоять из уравнений Лапласа для потенциала поля скоростей течения жидкости в струе Ψ и электростатического потенциала Φ в окрестности струи:
ΔΨ = 0 ,
(2)
ΔΦ = 0
условий ограниченности решений на оси струи и на бесконечности
r → 0:
∇Ψ → 0 ;
r → ∞:
∇Φ → 0
;
(3)
граничных условий на свободной поверхности (1):
∂F
∂t
F (r , ϕ , z , t ) ≡ r − [1 + ξ (ϕ , z , t )];
+ ∇Ψ ∇F = 0 ;
ΔP −
∂Ψ
∂t
−
1
2
( ∇Ψ )2 +
1
8π
( ∇Φ )2 − divn = 0
(4)
(5)
и условия эквипотенциальности поверхности струи
Φ = ΦS (t ) .
(6)
В выражении (5) ΔP – перепад давлений внутри и вне цилиндрической струи в равновесном состоянии; предпоследнее и последнее слагаемые – давления электрического поля и сил поверхностного натяжения соответственно; n – вектор внешней нормали к
поверхности (1): n = ∇F/ |∇F|.
Краевую задачу (1) – (6) следует дополнить условиями сохранения заряда и объема участка струи, длина которого равна некоторому характерному масштабу Λ , в который укладывается целое
число длин всех волн, определяющих начальную деформацию:
−
1
( n∇Φ) r ⋅ dϕ ⋅ dz = 2πχ ⋅ Λ;
4π 
S
 r ⋅ dr ⋅ dϕ ⋅ dt = π ⋅ Λ;
V
r = 1 + ξ (ϕ, z, t ) ;

S =  0 ≤ ϕ ≤ 2π ;
 z ≤ z ≤ z + Λ;
 0
0
0 ≤ r ≤1+ξ (ϕ, z, t ) ;

V =  0 ≤ ϕ ≤ 2π ;
 z ≤ z ≤ z +Λ .
 0
0
193
(7)
(8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для полного замыкания системы уравнений (2) – (8) необходимо задать еще начальные условия. Однако, в силу того, что начальные условия произвольного вида могут привести к чрезмерной
громоздкости получаемого решения, в нелинейных задачах о расчете волновых профилей и течений жидкости принято формулировать начальные условия по ходу решения так, чтобы решение принимало наиболее простой вид. Этот прием и будет использован в
нижеследующих рассуждениях.
2. Метод решения задачи. Будем искать решение задачи (2) –
(8) в виде разложения по малому параметру ε , в качестве которого
выберем отношение амплитуды волнового пакета к радиусу струи.
Используя метод многих масштабов и ограничиваясь точностью до
второго порядка малости включительно, представим искомые
функции ξ , Ψ и Φ в виде рядов по степеням ε , полагая одновременно, что их эволюция во времени определяется двумя временными масштабами: основным T0 = t и более медленным T1 = ε ⋅ t :
ξ (ϕ , z , t ) = ε ⋅ξ (1) (ϕ , z , T0 , T1 ) + ε 2 ⋅ ξ (2) (ϕ , z , T0 ) + Ο(ε 3 );
Ψ (ϕ , z , t ) = ε ⋅Ψ (ϕ , z , T0 , T1 ) + ε ⋅ Ψ
(1)
Φ ( r ,ϕ , z , t ) = Φ
(0)
2
(2)
(ϕ , z , T0 ) + Ο(ε 3 );
(r ) + ε ⋅Φ (1) (r ,ϕ , z , T0 , T1 ) + ε 2 ⋅ Φ (2) (r ,ϕ , z , T0 ) + Ο(ε 3 ). (9)
Поскольку мы считаем, что волны, распространяющиеся по
поверхности струи, бегут в положительном направлении оси ОZ ,
то примем, что форма свободной поверхности жидкости
N
(
)
r = 1 + ε  hn ⋅ f n (ϕ )⋅ An ( T1 )⋅exp(iθ n ) + An ( T1 )⋅exp(−iθ n ) + Ο (ε 2 ),
n =1
где θn ≡ kn z − ωnT0 ; ω n – частота n-й волны; f n (ϕ ) – действительная
функция, описывающая форму поперечного сечения струи;
An (T1 ) – пока неизвестные комплексные функции, зависящие от
медленного времени T1 ; hn – парциальный вклад n-ой волны в наN
чальное возмущение равновесной формы струи:  hn = 1 . Горизонn=1
тальная черта над символом означает комплексное сопряжение.
Очевидно, что f n (ϕ ) – периодические функции с периодом 2π
и, следовательно, могут быть разложены в ряд Фурье:
194
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∞
fn (ϕ ) =  Cmn ⋅ exp(imnϕ ) + Cmn ⋅ exp(−imnϕ ) ;
m=0
(
)
π
Cmn =  f n (ϕ ) exp(imnϕ ) dϕ
−π
(
)
2π 1 + δ m ,0 .
n
Для упрощения дальнейших выкладок ограничимся рассмотрением случая, когда для каждой n-й волны её зависимость от азимутального угла ϕ определяется какой-либо одной гармоникой с
азимутальным числом mn , т.е. примем, что
f n (ϕ ) = C mn ⋅ exp(imnϕ ) + C mn ⋅ exp(imnϕ ) .
Вводя коэффициенты ζ (−) (T1) = Cmn ⋅ A(T1); ζ (+) (T1) = Cmn ⋅ A(T1) ,
n
n
запишем выражение для свободной поверхности струи в виде
( )
N

( + ) T exp(im ϕ ) + ζ ( − ) T exp(−im ϕ )  exp(iθ ) + Ο ε 2 . (10)
r = 1 + ε  hn  ζ n
n
n
n 
n 
1
1

n=1 

( )
( )
Здесь и далее не выписываются слагаемые, комплексно сопряженные к выписанным; θn ≡ kn ⋅ z −ωmn (kn )⋅ T0 , где ωmn (kn ) – частота n-й
волны с волновым числом kn и азимутальным числом mn .
Выражение (10) будем рассматривать как первое начальное условие, необходимое для замыкания краевой задачи (2) – (8), а второе будет задано ниже.
3. Процедура решения задачи. Подстановка разложений (9) в
уравнения (2) – (8), использование оператора
∂
∂
∂
=
+ε
для
∂t ∂T0
∂T1
вычисления производной по времени и разложение условий (4) –
(8) в ряд Тейлора в окрестности равновесной цилиндрической поверхности r = 1 с последующим выделением и суммированием слагаемых при одинаковых степенях ε с приравниванием их нулю позволяют получить задачи различных порядков малости.
3a. В нулевом приближении имеем равновесное состояние,
которому соответствует неподвижный (в движущейся системе координат) цилиндрический столб жидкости с постоянной поверхностной плотностью заряда χ . Электрическое поле в окрестности не195
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
возмущенного однородно заряженного цилиндрического столба
определяется потенциалом
Φ (0) ( r ) = −4πχ ⋅ ln ( r ) .
(11)
При записи (11) принято, что потенциал невозмущенной волновым движением поверхности цилиндрической струи равен нулю:
Φ (S0 ) = 0 . Динамическое граничное условие в нулевом приближении
позволяет определить равновесный перепад давлений на поверхности струи ΔP = 1 − 2πχ 2 .
3б. В первом приближении, в силу линейности уравнений (2),
условий ограниченности (3) и разложений (9), функции Ψ ( j) и Φ ( j)
( j = 1,2) являются решениями записанных для них уравнений, полностью аналогичных (2), (3).
Система граничных и дополнительных условий (4) – (8) в первом порядке малости принимает вид
∂Ψ (1 ) − ∂ ξ (1 ) = 0 ;
∂r
∂ T0
r = 1:
(12)
2
1  ∂Φ (0) ∂Φ (1) ∂  ∂Φ (0)   (1) 
∂Ψ (1)
∂ 2ξ (1) ∂ 2ξ (1)
(1)
−
+
⋅
+ 
+
= 0 ; (13)
2
 ξ  + ξ +
2
2
8π  ∂r
ϕ
z
∂T0
∂r
∂r  ∂r  
∂
∂




(0 )
Φ (1 ) + d Φ ξ (1 ) = Φ (S1 ) ( t ) ;
dr
z 0 + Λ 2π

z0

0

(1 )
 ∂Φ
 ∂r


(0 )  1 
+ ∂  r ∂Φ  ξ ( ) 
∂r 
∂r 




(14)
d ϕ ⋅ dz = 0 ;
r =1
z0 +Λ 2π

z
0
(15)
(1)
 ξ ⋅dϕ ⋅ dz = 0 .
(16)
0
На основании (1), (9) и (10) для функции поправки первого порядка малости к профилю волны ξ (1) (ϕ , z, T0 , T1 ) получим выражение
N
1
ξ ( ) =  hn ζ n(+) T ⋅ exp(imnϕ ) + ζ n(−) T ⋅ exp(−imnϕ )  exp(iθ n ).
1
1

n=1 
( )
( )
196
(17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
−
+
Явный вид функций ζ n (T1) и ζ n (T1) может быть определен
лишь при анализе задачи следующего порядка малости. Несложно
убедиться, что функция ξ(1) в виде (17) удовлетворяет условию неизменности объема (16).
Принимая во внимание, что поправки первого порядка малости
к потенциалу поля скоростей Ψ (1) и электростатическому потенциалу Φ (1) связаны с функцией ξ (1) кинематическим граничным условием (12) и условием эквивалентности (14), будем искать выражения для Ψ (1) и Φ(1) методом разделения переменных, представив
их в виде
Φ
( 1 ) r , ϕ , z , T , T = N  S T ⋅ C r ⋅ W ϕ ⋅ exp( iθ )  + Φ ( 1 ) t . (18)
(
n( ) n( )
n 
s ( )
0 1 ) n=1  n ( 1 )
Подставляя (18), а также (17), (11) в (12), (14) и приравнивая
коэффициенты при экспонентах с одинаковыми показателями, получим
( )
An T ⋅ Dn (ϕ ) = −iωmn ⋅ hn ζ n( + ) (T1 ) ⋅ exp(imnϕ ) + ζ n( − ) (T1 ) ⋅ exp(−imnϕ )  Bn′ ;
1
( )
S n T ⋅Wn (ϕ ) = 4πχ ⋅ hn ζ n ( + ) (T1 ) exp(imnϕ ) + ζ n ( − ) (T1 ) exp( −imnϕ )  Cn
1
(19)
Здесь и далее штрих обозначает производную по аргументу,
взятую на невозмущенной поверхности струи.
Зависимость поправок к потенциалам Ψ (1) и Φ (1) от координаты
r определяется из уравнений Лапласа (2), которые после подстановки в них (18), (19) легко сводятся к имеющим одинаковый вид
дифференциальным уравнениям относительно функций Bn (r ) и
Cn ( r ) :
d 2Vn ( r ) 1 dVn ( r )  2 mn 2 
+ ⋅
−  k n + 2  ⋅Vn ( r ) = 0
r
dr

dr 2
r 

где Vn (r ) ≡ Bn (r ) или Vn (r ) ≡ Cn (r ) . Решениями этого уравнения являются модифицированные функции Бесселя I mn ( kn r ) и K mn ( kn r ) .
Учитывая, что добавки к потенциалам Ψ (1) и Φ(1) должны удовле197
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
творять
условиям ограниченности (3),
можно записать
Bn ( r ) = I mn ( kn r ) , Cn ( r ) = K mn ( kn r ) . В результате выражения для поправки к потенциалу поля скоростей Ψ (1) и к электростатическому
потенциалу Φ (1) примут окончательный вид:


Ψ
1 
N 
=
r
,
ϕ
,
z
,
T
,
T
  − iω n
(
0 1)
n =1 
hn ⋅ I mn ( k n r )   + 
ζ
T ⋅ exp(imnϕ ) +
′ ( k n )  n ( 1 )
k n ⋅ I mn
( )
+ζ n ( − ) T ⋅ exp( − imnϕ )  exp(iθ n );
1




Φ
1 
N

( r , ϕ , z , T0 , T1 ) = 4πχ n=1  hn
K m n ( k n r )   + 
ζ
(T1 ) exp(im nϕ ) +
K m n ( k n )  n
+ ζ n( − )  T  exp(−imnϕ )  exp(iθn )  .
 1


(20)
При записи выражения для Φ (1) учтено, что добавка первого
порядка к значению электростатического потенциала на поверхности равна нулю: Φ (S1) ( t ) = 0 .
Из системы граничных и дополнительных условий (12) – (16)
осталось неиспользованным динамическое граничное условие (13).
Подставляя в него решения (17), (20) и (11), получаем дисперсионное уравнение, связывающее волновое число kn и азимутальное
число mn с частотой колебаний ωmn :
2 ( k ) = G ( k )  k 2 + m 2 − 1 + 4πχ 2 (1 + H
ω mn
n
mn n  n
n
mn ( kn ) )


 ;

(21)
′ ( k n ) I mn ( k n ) ; H mn ( k n ) = k n ⋅ K mn
′ ( k n ) K mn ( k n ) .
G mn ( k n ) = k n ⋅ I mn
3в. Во втором порядке малости из системы (4) – (8) получим
неоднородные уравнения для поправок второго порядка малости
ξ ( 2 ) , Ψ ( 2 ) и Φ ( 2 ) . Правые части этих уравнений играют роль функций
неоднородности и выражаются через решения нулевого (11) и первого (17), (20) порядков малости, после подстановки которых граничные и дополнительные условия, получающиеся во втором порядке малости, примут вид
198
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
∂Ψ ( )
r = 1:
N
∂r
N
−
2
∂ξ ( )
∂T0
−
 ∂ζ n ( + )

∂ζ n ( )
=  hn 
exp(imnϕ ) +
exp( −imnϕ )  exp(iθ n ) +
∂T1
n =1
 ∂T1

N
{
}
+i  hn hl  X1nl Qnl + X 2nl Rnl  exp [i(θn + θl )] +  X 3nl Snl + X 4nl Tnl  exp [i(θn − θl )] ;
n =1 l =1
(22)
2
2
2 (2)
 ∂Φ ( 2 )
∂Ψ ( )
∂ 2ξ ( )
(2) 
(2) ∂ ξ
−
−χ
+ 4πχ ⋅ ξ  + ξ +
+
=
∂ T0
∂ϕ 2
∂z 2
 ∂ r

(23)
 ω mn hn  ∂ ζ n ( + )


∂ζ n (− )
exp(im nϕ ) +
exp( − im nϕ )  exp(iθ n )  +
= −i  

∂ T1
n =1 


 G mn ( k n )  ∂ T1
N
N
{
N
}
+  hn hl Y1nl Qnl + Y2nl Rnl  exp i (θ n + θl )  + Y3nl S nl + Y4nl Tnl  exp i (θ n − θl )  ;
n =1 l =1
Φ(
N
N
+  h h ⋅ L
n l
n =1 l =1
r ≤ 1:
z0 +Λ 2π
 
z0
0
n
{(Q
nl
2)
− 4πχξ (
2)
= Φ (S ) ( t ) +
2
(24)
}
+ R ) exp i (θ + θ )  + ( S + T ) exp i (θ − θ )  .
nl
l 
nl
nl
l 
 n
 n
N
∂Φ( )
+
−
2
dϕ ⋅ dz = −4π χ ⋅ Λ hn2 ⋅ (kn2 + mn 2 ) | ζ n( ) |2 + | ζ n( ) |2 ; (25)
∂r
n =1
2
z0 + Λ
(
2π
 ξ
z0
0
(2)
N
(
)
)
⋅d ϕ ⋅ dz = −π ⋅ Λ  hn2 ⋅ | ζ n ( + ) |2 + | ζ n ( − ) |2 ,
n =1
(26)
(±)
(±)
где Qnl , R nl , S nl и T nl выражаются через ζ n , ζ l следующим
образом:
Qnl ≡ ζ n( + )ζ l( + ) exp[i(mn + ml )ϕ ] + ζ n( − )ζ l( − ) exp[−i(mn + ml )ϕ ];
Rnl ≡ ζ n( + )ζ l( − ) exp[i(mn − ml )ϕ ] + ζ n( − )ζ l( + ) exp[−i(mn − ml )ϕ ];
Snl ≡ ζ n( + ) ζ l( + ) exp[i(mn − ml )ϕ ] + ζ n( −) ζ l( −) exp[−i(mn − ml )ϕ ];
Tnl ≡ ζ n( + ) ζ l( − ) exp[i (mn + ml )ϕ ] + ζ n( − ) ζ l( + ) exp[−i (mn + ml )ϕ ].
199
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Все недостающие обозначения приведены в «Приложении A».
Зададимся целью найти частное решение задачи второго порядка малости, удовлетворяющее записанным для функций Ψ (2 ) и
Φ (2 ) уравнениям (2), (3) и системе уравнений (22) – (26). Вид функций неоднородности в (22) – (24) подсказывает характер зависимости искомого решения от координаты ϕ и аргумента θ n . На этом
основании примем
ξ
(ϕ , z , T0 ) =  { An0 +  An( + ) ⋅ exp(imnϕ ) + An( − ) ⋅ exp(−imnϕ )  exp(iθ n )} +
N
( 2)
n =1
N
N
{
+    Anl(1+ ) exp [i ( m n + ml )ϕ ] + Anl(1− ) exp [ − i ( m n + ml )ϕ ] exp[i (θ n + θ l )] +
n =1 l =1
+  Anl( 2 + ) exp[i ( mn + ml )ϕ ] + Anl( 2 − ) exp[ − i ( mn + ml )ϕ ] exp[i (θ n − θ l )] +
+  Anl(3 + ) exp[i ( mn − ml )ϕ ] + Anl(3 − ) exp[ −i ( mn − ml )ϕ ] exp[i (θ n + θ l )] +
}
+  Anl(4 + ) exp[i ( mn − ml )ϕ ] + Anl(4 − ) exp[ − i ( mn − ml )ϕ ] exp[i (θ n − θ l )] ; (27)
N
{
}
Ψ( 2) ( r,ϕ, z,T0 ) =  Bn0 Fn0 (r ) +  Bn( +) Fn( + ) exp(imnϕ ) + Bn( −) Fn( −) exp(−imnϕ ) exp(iθn ) +
n=1
N
N
{
+  Bnl(1+ ) Fnl(1+ ) exp [i(mn + ml )ϕ ] + Bnl(1− ) Fnl(1− ) exp [ −i(mn + ml )ϕ ] exp[i (θn + θl )] +
n =1 l =1
+  Bnl( 2 + ) Fnl( 2 + ) (r ) exp[i (mn + ml )ϕ ] + Bnl( 2 − ) Fnl( 2 − ) ( r ) exp[−i (mn + ml )ϕ ] exp[i (θ n − θl )] +
+  Bnl(3 + ) Fnl(3 + ) ( r ) exp[i ( mn − ml )ϕ ] + Bnl(3 − ) Fnl(3 − ) ( r ) exp[−i (mn − ml )ϕ ] exp[i (θ n + θl )] +
}
+  Bnl(4 + ) Fnl(4 + ) (r ) exp[i(mn − ml )ϕ ] + Bnl(4 − ) Fnl(4 − ) (r ) exp[−i(mn − ml )ϕ ] exp[i(θ n − θl )] ;
(28)
N
{
}
Φ ( 2) ( r , ϕ , z , T0 ) =  Dn0 Cn0 (r ) +  Dn( + ) Cn( + ) (r ) exp(imnϕ ) + Dn( − ) Cn( − ) (r ) exp(−imnϕ )  exp(iθ n ) +
n =1
N
N
{
+  Dnl(1+)Cnl(1+) (r)exp[i(mn + ml )ϕ ] + Dnl(1−)Cnl(1−) (r )exp[ −i(mn + ml )ϕ ] exp[i(θn + θl )] +
n=1 l =1
+  Dnl( 2 + ) C nl( 2 + ) ( r ) exp[i ( mn + ml )ϕ ] + Dnl( 2 − ) Cnl( 2 − ) ( r ) exp[ −i ( mn + ml )ϕ ] exp[i (θ n − θ l )] +
200
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+  Dnl(3 + )C nl(3 + ) exp[i ( mn − ml )ϕ ] + Dnl(3 − )C nl(3 − ) exp[ −i ( mn − ml )ϕ ] exp[i (θ n + θ l )] +
}
+  Dnl(4 + )Cnl(4 + ) exp[i(mn − ml )ϕ ] + Dnl(4 − )Cnl(4 − ) exp[−i(mn − ml )ϕ ] exp[i(θn − θl )] + f (t ) .
(29)
Зависимости функций Ψ ( 2) и Φ ( 2) от координаты r определим
из уравнений Лапласа, подставляя (28), (29) в (2) и требуя обращения в нeль сумм коэффициентов при экспонентах с различными
показателями. В итоге получим обыкновенные дифференциальные
уравнения для функций Fnlj( ± ) ( r ) и Cnlj( ± ) ( r ) , j = 0,1,2,3 . Их решения с
учетом условий ограниченности (3) позволяют привести выражения (28), (29) для потенциалов Ψ ( 2) , Φ ( 2) к виду
Ψ
(2)
( r , ϕ , z , T0 ) =  {Bn0 +  Bn( + ) exp(im nϕ ) + Bn( − ) exp( − im nϕ )  I mn ( k n r ) exp(iθ n )} +
N
n =1
N
N
{
+    B nl(1 + ) exp [i ( m n + m l )ϕ ] + B nl(1 − ) exp [ − i ( m n + m l )ϕ ] ×
n =1 l =1
(
)
× I ( mn + ml ) [( k n + k l ) r ] ⋅ exp[i (θ n + θ l )] + Ω ⋅ I ( mn + m l ) [| k n − k l | r ] + Ξ ⋅ r 2 mn ×
×  Bnl( 2 + ) exp[i ( m n + m l )ϕ ] + Bnl( 2 − ) exp[ − i ( m n + m l )ϕ ] exp[i (θ n − θ l )] +
+  Bnl(3 + ) exp[i ( mn − ml )ϕ ] + Bnl(3 − ) exp[−i ( mn − ml )ϕ ] I ( mn − m l ) [( kn + kl ) r ]exp[i (θ n + θ l )] +
+  Bnl( 4 + ) exp[ i ( m n − m l )ϕ ] + Bnl( 4 − ) exp[ − i ( m n − m l )ϕ ]  ×
× I ( m n − m l ) [| k n − k l | r ] ⋅ Ω ⋅ exp[ i (θ n − θ l )]
N
};
{
(30)
}
Φ ( 2 ) ( r , ϕ , z , T0 ) =  Dn0 ⋅ ln( r ) +  Dn( + ) exp(im nϕ ) + Dn( − ) exp( − im nϕ )  K mn ( k n r ) exp(iθ n ) +
n =1
N
N
{
+   Dnl(1+ ) exp[i ( mn + ml )ϕ ] + Dnl(1− ) exp[ −i ( mn + ml )ϕ ] K ( mn + m l ) [( k n + kl ) r ]exp[i (θ n + θ l )] +
n =1 l =1
(
)
+ Ω ⋅ K ( mn + m l ) [| kn − kl | r ] + Ξ ⋅ r −2 mn ×
×  Dnl(2+ ) exp[i(mn + ml )ϕ ] + Dnl(2 −) exp[−i(mn + ml )ϕ ] exp[i(θn − θl )] +
201
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+  Dnl(3+ ) exp[i (mn − ml )ϕ ] + Dnl(3− ) exp[−i(mn − ml )ϕ ] K ( mn − m l ) [(kn + kl )r ]exp[i(θ n + θl )] +
}
+  Dnl(4+) exp[i(mn − ml )ϕ ] + Dnl(4−) exp[−i(mn − ml )ϕ ] Ω⋅ K( mn −m l ) [| kn − kl | r]exp[i(θn − θl )] +
(31)
+ f (t) ,
где ступенчатые функции Ω и Ξ от аргумента (n-l) определены
следующим образом:
Ω ≡ Ω ( n − l ) = 1 при n = l , и Ω ( n − l ) = 0 при n ≠ l ;
Ξ ≡ Ξ ( n − l ) = 1 при n = l , и Ξ ( n − l ) = 1 при n ≠ l .
Коэффициенты Anlj( ± ) , Bnlj( ± ) и Dnlj( ± ) определяются из системы
уравнений (22) – (26). Заметим, что Bn0 является функцией времени,
которая может быть выбрана в удобной для записи решения форме,
в силу определения потенциала.
Из условий сохранения объема (26) и заряда (25) несложно
найти
0
An +
(4 + )
Ann
+
(4 − )
Ann
=−
(
hn2
|ζ ( ) |
(
2
Dn0 = −2πχ ⋅ hn2 kn2 + mn 2
n
+
2
) ( | ζ n( ) |
+
2
)
+ | ζ n( − ) |2 ;
)
+ | ζ n( − ) |2 .
(32)
Подставляя (27) и (30) в кинематическое граничное условие (22) и
приравнивая друг другу коэффициенты при одинаковых экспонентах из левой и правой частей равенства, получим
k n ⋅ I m′ n ( k n ) ⋅
Bn( ± )
+ i ⋅ ωmn ⋅
An( ± )
= hn
∂ζ n ( ± )
∂T1
;
1±
1±
( k n + k l ) ⋅ I (′mn + ml ) ( k n + k l ) ⋅ Bnl( ) + i ⋅ (ω mn + ω ml ) ⋅ Anl( ) =
= i ⋅ hn ⋅ hl ⋅ X 1nl ⋅ ζ n ( ± ) ⋅ ζ l ( ± ) ;
( Ω⋅ | k
n
)
− kl | ⋅ I (′mn + ml ) (| k n − kl |) + Ξ ⋅ 2 mn ⋅ Bnl( 2 ± ) + i ⋅ (ω mn − ω ml ) ⋅ Anl( 2 ± ) =
202
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
= i ⋅ hn ⋅ hl ⋅ X 4nl ⋅ ζ n ( ± ) ⋅ ζ l (  ) ;
(
( k n + k l ) ⋅ I (′mn − ml ) ( k n + k l ) ⋅ Bnl
3± )
(
+ i ⋅ (ω mn + ω ml ) ⋅ Anl
3± )
=
= i ⋅ hn ⋅ hl ⋅ X 2nl ⋅ ζ n ( ± ) ⋅ ζ l (  ) ;
(4± )
(4± )
Ω⋅ | k n − k l | ⋅ I (′mn − ml ) (| k n − k l |) ⋅ Bnl
+ i ⋅ (ω mn − ω ml ) ⋅ Anl
=
= i ⋅ hn ⋅ hl ⋅ X 3nl ⋅ ζ n ( ± ) ⋅ ζ l ( ± ) .
(33)
Аналогично, используя (27) и (31), из условия эквипотенциальности поверхности струи (24) получим следующую систему равенств:
K mn ( k n ) ⋅ D n(
K ( m n + ml ) ( k n + k l ) ⋅ D nl(
1± )
±)
− 4πχ ⋅ An(
− 4πχ ⋅ Anl(
1± )
±)
= 0;
= hn ⋅ hl ⋅ L n ⋅ ζ n (
±)
⋅ ζ l (± ) ;
[ Ω ⋅ K ( mn + ml ) (| k n − k l |) + Ξ ] ⋅ Dnl( 2 ± ) − 4πχ ⋅ Anl( 2 ± ) = hn ⋅ hl ⋅ Ln ⋅ ζ n ( ± ) ⋅ ζ l (  ) ;
K ( m n − m l ) ( k n + k l ) ⋅ D nl(
3± )
− 4πχ ⋅ Anl(
3± )
±

= hn ⋅ hl ⋅ L n ⋅ ζ n ( ) ⋅ ζ l ( ) ;
4±
±
±
Ω ⋅ [ K ( mn − m l ) (| k n − kl |) ⋅ Dnl(4 ± ) − 4πχ ⋅ Anl( ) ] = Ω ⋅ hn ⋅ hl ⋅ Ln ⋅ ζ n ( ) ⋅ ζ l ( ) ;
N
(
f (t ) − 4πχ  A + A
n =1
0
n
(4+)
nn
(4−)
nn
+A
)=Φ
(2)
S
N
(
)
(t ) +  hn2 Ln | ζ n ( + ) |2 + | ζ n ( − ) |2 .
n =1
(34)
Отметим, что при получении добавки второго порядка малости
2
к потенциалу поверхности Φ(S ) были использованы выражения
(32).
Наконец, подставляя (27), (30) и (31) в динамическое граничное условие (23), а также учитывая (32), найдем
(1 − k
2
n
)
− m n 2 − w ⋅ A n(
±)
+ i ⋅ ω m n ⋅ I m n ( k n ) ⋅ B n(
203
±)
−
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(±)
− χ ⋅ kn ⋅ K m′ n ( kn ) ⋅ Dn
hn ⋅ ωmn ∂ζ n ( ± )
= −i
⋅
;
Gmn ( k n ) ∂T1
w ≡ 4πχ 2 ;
[1 − (kn + kl ) 2 − (mn + ml ) 2 − w] ⋅ Anl( ) + i (ωmn + ωml ) ⋅ I ( mn + m ) (kn + kl ) ⋅ Bnl( ) −
1±
1±
l
− χ ⋅ ( k n + k l ) ⋅ K (′m n + ml ) ( k n + k l ) ⋅ D nl(1 ± ) = hn ⋅ hl ⋅ Y1 nl ⋅ ζ n ( ± ) ⋅ ζ l ( ± ) ;
[1 − ( k n − kl ) 2 − ( mn + ml ) 2 − w] ⋅ Anl(
2± )
+
+ i (ω mn − ω ml ) ⋅ [ Ω ⋅ I ( mn + ml ) (| k n − kl |) + Ξ ] ⋅ Bnl( 2 ± ) −
− χ ⋅ [Ω⋅ | k n − kl | ⋅K (′mn + ml ) (| k n − kl |) − Ξ ⋅ 2mn ] ⋅ Dnl( 2 ± ) = hn ⋅ hl ⋅ Y4 nl ⋅ ζ n ( ) ⋅ ζ l ( ) ;
±

[1 − ( k n + kl ) 2 − ( mn − ml ) 2 − w] ⋅ Anl( 3± ) + i (ωmn + ωml ) ⋅ I ( mn − m ) ( kn + kl ) ⋅ Bnl( 3± ) −
l
(3 ± )
− χ ⋅ ( k n + k l ) ⋅ K (′mn − m l ) ( k n + k l ) ⋅ Dnl
{[1 − (k
n
= hn ⋅ hl ⋅ Y2 ⋅ ζ n ( ± ) ⋅ ζ l (  ) ;
nl
4±
4±
− kl ) 2 − (mn − ml ) 2 − w] ⋅ Anl( ) + i (ωmn − ωml ) ⋅ I ( mn −m ) (| kn − kl |) ⋅ Bnl( ) −
l
− χ ⋅ | k n − k l | ⋅ K (′mn − m l ) (| k n − k l |) ⋅ Dnl(
4±)
}⋅ Ω = h
n
⋅ hl ⋅ Y3 nl ⋅ ζ n ( ± ) ⋅ ζ l ( ± ) ⋅ Ω ;
∂Bn0
(4 + )
(4 − )
−
− χ ⋅ Dn0 + (1 − w) An0 + Ann
+ Ann
= hn ⋅ hl ⋅ Y3nn ⋅ | ζ n ( + ) |2 + | ζ n ( − ) |2 .
∂T0
(
)
(
)
(35)
Выяснение вида функции B0 (см. последнее из равенств (35))
имеет чисто академическое значение, поскольку потенциал определяется с точностью до произвольной аддитивной функции, зависящей только от времени.
Совместное решение систем (33) – (35) позволяет определить
искомые коэффициенты. Рассмотрим первые равенства из выписанных систем. Выражая из (33) коэффициенты Bn( ± ) , а из (34) – Dn( ± )
и подставляя их в (35), получим
±
2

 ( ±)
ωmn
ωmn
∂ζ n( )
2
2
⋅
.
1 − kn − mn − w(1 + H mn ( kn ) ) +
 ⋅ An = −i ⋅ 2
∂
G
k
G
k
T
(
)
(
)
mn
n 
mn
n
1

204
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Несложно заметить, что в силу дисперсионного соотношения
(21) квадратная скобка обращается в нeль. В результате получаем
( ∂ζ
(±)
n
)
(36)
∂T1 = 0.
Уравнение (36) означает, что комплексные амплитуды ζ n( ± ) не зависят от временного масштаба T1 и при решении рассматриваемой
задачи с точностью до второго порядка малости являются константами.
Коэффициенты An( ± ) остались неопределенными. Их значения
можно выяснить только из начальных условий. Поскольку мы поставили перед собой цель построить решение, имеющее наиболее
простой вид, подбирая нужным образом начальные условия, то
вправе выбрать второе начальное условие в виде требования An( ± ) = 0 . При этом согласно (33) и (34) будем иметь Bn( ± ) = 0
и Dn( ± ) = 0 . Определяя из системы (33) – (35) все оставшиеся коэффициенты, запишем решение второго порядка малости в окончательном виде:
ξ
N
N
(2)
1 N 2
(ϕ , z , T0 ) = −  hn | ζ n ( + ) |2 + | ζ n ( − ) |2 +
2 n =1
(
)
{
+   hn ⋅ hl α nl(1) ⋅ ζ n( + )ζ l( + ) exp[i ( mn + ml )ϕ ] + ζ n( − )ζ l( − ) exp[ −i ( mn + ml )ϕ ] ×
n =1 l =1
× exp[i (θ n + θ l )] + (Ω ⋅ α nl( 2) + Ξ ⋅ an( 2) ) ×
× ζ n( + ) ζ l( − ) exp[i ( mn + ml )ϕ ] + ζ n( − ) ζ l( + ) exp[ − i ( mn + ml )ϕ ] exp[i (θ n − θ l )] +


+α nl(3) ⋅ ζ n( + )ζ l( − ) exp[i( mn − ml )ϕ ] + ζ n( − )ζ l( + ) exp[−i( mn − ml )ϕ ] exp[i(θ n + θl )] +
+Ω ⋅ α nl(4) ⋅ ζ n( + ) ζ l( + ) exp[i(mn − ml )ϕ ] + ζ n( −) ζ l( −) exp[−i(mn − ml )ϕ ] exp[i(θn − θl )]} ;


N
(
)
Ψ( 2) ( r ,ϕ , z, T0 ) = − hn2 ⋅ bn0 | ζ n( + ) |2 + | ζ n( − ) |2 ⋅ T0 −
n =1
N
−i ⋅ 
N
 hn ⋅ hl ⋅ {β nl
n =1 l =1
(1)
⋅ I ( m n + m l ) [( k n + k l ) r ] ×
205
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
× ζ n( + )ζ l( + ) exp[i ( mn + ml )ϕ ] + ζ n( − )ζ l( − ) exp[ − i ( mn + ml )ϕ ] exp[i (θ n + θ l )] +
+  Ω ⋅ I ( m n + m l ) (| k n − k l | r ) ⋅ β nl( 2 ) + Ξ ⋅ r 2 m n ⋅ b n( 2 )  ×
× ζ n( + ) ζ l( − ) exp[i ( mn + ml )ϕ ] + ζ n( − ) ζ l( + ) exp[ − i ( mn + ml )ϕ ] exp[i (θ n − θ l )] +


+ β nl( 3 ) ⋅ I ( m n − m l ) [( k n + k l ) r ] ×
× ζ n( + )ζ l( − ) exp[i ( mn − ml )ϕ ] + ζ n( − )ζ l( + ) exp[ − i ( mn − ml )ϕ ] exp[i (θ n + θ l )] +
+Ω ⋅ β nl( 4 ) ⋅ I ( mn − m l ) (| k n − k l | r ) ×
}
× ζ n( + ) ζ l( + ) exp[i ( mn − ml )ϕ ] + ζ n( − ) ζ l( − ) exp[ −i ( mn − ml )ϕ ] ⋅ exp[i (θ n − θ l )] ;


N
(
)
(
)
Φ ( 2) ( r , ϕ , z , T0 ) =  hn2 ⋅  −2πχ kn2 + mn 2 ⋅ ln r  | ζ n( + ) |2 + | ζ n( − ) |2 +
n =1
N
N
{
+  hn ⋅ hl ⋅ d nl(1) ⋅ ζ n( + )ζ l( + ) exp[i ( mn + ml )ϕ ] + ζ n( − )ζ l( − ) exp[−i (mn + ml )ϕ ] ×
n =1 l =1
× K ( mn + ml ) [( k n + k l ) r ] ⋅ exp[ i (θ n + θ l )] +
+  Ω ⋅ K ( mn + ml ) (| k n − kl | r ) ⋅ d nl( 2) + Ξ ⋅ r −2 mn ⋅ d n( 2)  ×
× ζ n( + ) ζ l( − ) exp[i ( mn + ml )ϕ ] + ζ n( − ) ζ l( + ) exp[ −i ( mn + ml )ϕ ] ⋅ exp[i (θ n − θ l )] +


+ d nl(3) ⋅ ζ n( + )ζ l( − ) exp[i ( m n − ml )ϕ ] + ζ n( − )ζ l( + ) exp[ − i ( m n − ml )ϕ ]  ×
× K ( m n − ml ) [( k n + k l ) r ] ⋅ exp[ i (θ n + θ l )] +
+ d nl( 4 ) ⋅ ζ n( + ) ζ l( + ) exp[i ( m n − ml )ϕ ] + ζ n( − ) ζ l( − ) exp[ − i ( m n − ml )ϕ ]  ×


}
×Ω ⋅ K ( m n − ml ) (| k n − k l | r ) ⋅ exp[ i (θ n − θ l )] ;
(2)
Φ S ( t ) = 4πχ
N
 hn ⋅ (1 + H m n ( k n )) ,
2
n =1
206
(37)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где вновь введенные обозначения приведены в «Приложении B».
Решение поставленной задачи с точностью до второго порядка
малости определяется выражениями (1), (9), (11), (17), (20), (21),
(36), (37).
4. Форма струи для случая, когда ее начальная деформация
определена суперпозицией двух волн с волновыми числами k1 = k и
kl ≡ l ⋅ k с азимутальными числами m1 и ml , определяется выражением
r ( z , ϕ , t ) = 1 + ε ⋅ [ h1 cos( m1ϕ ) cos(θ1 ) + hl cos( mlϕ ) cos(θ l ) ] +
(38)
{
+ 0 .2 5 ε 2 ⋅  − 0 .5( h12 + hl2 ) + h12 a1( 2 ) co s( 2 m 1ϕ ) + hl2 a l( 2 ) co s( 2 m lϕ )  +
+ h12 α 11(1) cos(2 m1ϕ ) + α 11( 3)  cos(2θ ) + hl2 α ll(1) cos(2 m lϕ ) + α ll( 3)  cos(2θ l ) +
(1)
(3)
(3)

+ h1 ⋅ hl  (α1(1)
l + α l 1 ) cos[( m1 + ml )ϕ ] + (α 1l + α l 1 ) cos[( m1 − ml )ϕ ] cos(θ + θ l ) +
}
(2)
(4)
(4)

+ h1 ⋅ hl  (α1(2)
l + α l1 ) cos[( m1 + ml )ϕ ] + (α 1l + α l1 ) cos[( m1 − ml )ϕ ] cos(θ − θ l ) ,


где θ1 определено ранее, а θl ≡ l ⋅ k ⋅ z − ωmlT0 .
Из (38) видно, что за счет нелинейного взаимодействия волн во
втором порядке малости возбуждаются волны как с удвоенными
волновыми и азимутальными числами, так волны с волновыми и
азимутальными числами, получающимися в результате сложения и
вычитания волновых и азимутальных чисел волн, определяющих
начальную деформацию равновесной цилиндрической формы
струи.
Выражения, аналогичные (38), легко выписать по вышеполученным выражениям и для поля скоростей волнового течения жидкости в струе, и поля электростатического потенциала в ее окрестности. Из вида нелинейных поправок Φ ( 2) , Ψ ( 2) и ξ ( 2) несложно видеть, что они имеют резонансный вид, определяющийся видом
коэффициентов, которые при определенных соотношениях между
частотами волн стремятся к бесконечности, что в теории нелинейных осцилляций и волн соответствует проявлению резонансного
обмена энергией между волнами. Условия реализации резонансного взаимодействия имеют вид
207
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(ω
( k n ) ± ω ml ( k l ) ) = ω ( mn ± ml ) ( k n ± k l ),
2
mn
2
(39)
где ωmn (kn ) и ωml (kl ) определяются (21), а ω(mn±ml ) (kn ± kl ) соотношением
ω(2mn± ml ) ( k n ± kl ) =
2
= G( mn ± ml ) (| k n ± kl |){( k n ± kl ) + ( mn ± ml ) − 1 + w[1 + H ( mn± ml ) (| k n ± kl |)]}. (40)
2
Исследование закономерностей резонансного обмена энергией
между волнами требует отдельного рассмотрения, но из вида соотношений (21), (39) – (40) сразу можно сказать, что в реализующихся при многомодовой начальной деформации вторичных комбинационных резонансах возможен обмен энергией между длинными и
короткими волнами в обоих направлениях (от коротких к длинным
и обратно), а также между волнами с различной симметрией (различающимися значениями азимутальных чисел).
На рис. 1 приведены рассчитанные по (38) формы струи в ситуации, когда начальная деформация определена суперпозицией
двух волн для различных комбинаций волновых и азимутальных
чисел. Несложно видеть, что при достаточно больших амплитудах
волн спонтанное дробление струи на отдельные капли будет иметь
полидисперсный характер.
Интересно отметить, что нелинейные осцилляции струи происходят не в окрестности равновесной цилиндрической формы, а в
окрестности струи с формой, зависящей от вида начальной деформации:
r ( z , ϕ ) = 1 − 0.25ε
2
 1 (h
 2
2
1
2
2
2
2
2


+ hl ) − h1 a1 cos(2 m1ϕ ) − hl al cos(2 ml ϕ ) .
208
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1. Формы поверхности нелинейно-осциллирующих струй
при докритической в смысле устойчивости по отношению
к собственному заряду значении поверхностной его плотности,
рассчитанные по прошествии четверти периода волны с минимальным
волновым числом при ε = 0.2, χ = 0.25, h1 = h2 = 0.5 :
a) k1 = 1.25, k2 = 2.5, m1 = 0, m2 = 0; b) k1 = 1.25, k2 = 3.75, m1 = 0, m2 = 0;
c) k1 = 1.25, k2 = 2.5, m1 = 0, m2 = 1; d) k1 = 1.25, k2 = 3.75, m1 = 0, m2 = 1;
e) k1 = 1.25, k2 = 2.5, m1 = 1, m2 = 2; f) k1 = 1.25, k2 = 3.75, m1 = 1, m2 = 3;
g) k1 = 1.25, k2 = 2.5, m1 = 2, m2 = 2; h) k1 = 1.25, k2 = 3.75, m1 = 3, m2 = 3.
209
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Такой же феномен обнаружен для нелинейных осцилляций капель [141 – 142].
При исследовании закономерностей спонтанного распада
струй жидкости, выбрасываемых при реализации неустойчивости
заряженной поверхности жидкости, наиболее естественной является ситуация, когда поверхность струи подвержена деформации,
обусловленной суперпозицией не одиночной волны, но набора
волн, различающихся как волновыми, так и азимутальными числами. Проведенное выше в настоящем разделе нелинейное аналитическое исследование осцилляций таких струй указывает на полидисперсный характер спонтанного распада неустойчивой струи на
отдельные капли.
Приложение A. Выражения для коэффициентов в граничных и
дополнительных условиях (22) – (26).
X 1 = ωmn ⋅  −1 + ( k n + mn + k n kl + mn ml ) / Gmn ( k n )  ;
nl
2
2
X 2 = ωmn ⋅  −1 + ( k n + mn + k n kl − mn ml ) / Gmn ( k n )  ;
nl
2
2
X 3 = ωmn ⋅  −1 + ( k n + mn − k n kl − mn ml ) / Gmn ( k n )  ;
nl
2
2
X 4 = ωmn ⋅  −1 + ( k n + mn − kn kl + mn ml ) / Gmn ( k n )  ;
nl
Y1
nl
2
2
= Pn + 0.5{[( k n k l − m n ml − ω mnω ml ) − w ⋅ H mn ( k n ) ⋅ H ml ( k l )] +
+ ( μ nl + w)( kn kl + mn ml )} ;
Y2 = Pn + 0.5{[( k n k l + m n ml − ω mnω ml ) − w ⋅ H mn ( k n ) ⋅ H ml ( k l )] +
nl
+ ( μ nl + w)( k n kl − mn ml )} ;
nl
Y3
= Pn + 0.5{[( k n k l − m n ml − ω mnω ml ) − w ⋅ H mn ( k n ) ⋅ H ml ( k l )] +
+ ( μ nl − w)( k n kl + mn ml )} ;
Y4 = Pn + 0.5{[( k n k l + mn ml − ω mnω ml ) − w ⋅ H mn ( k n ) ⋅ H ml ( k l )] +
nl
+ ( μ nl − w)( k n kl − mn ml )} ;
210
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)
(
)
Pn = 1 − 1.5w − 2 mn + ω mn + w ⋅ k n + mn − 2 H mn ( k n ) ;
2
2
2
2
Ln = −2πχ ⋅ [1 + 2 H mn ( k n ) ] ;
μ nl ≡ [ω mnω ml / G mn ( k n ) ⋅ G ml ( k l )] + w.
Приложение B. Обозначения, использованные при записи решения второго порядка малости^
α
(1 )
nl
≡ N
M
1
1
;
M 1 ≡ ( ω mn ( k n ) + ω ml ( k l ) ) − ω (2mn + m l ) ( k n + k l ) ;
2
N 1 ≡ G ( mn + ml ) ( k n + k l ) ⋅  Y1nl + H ( mn + ml ) ( k n + k l ) ⋅ χ L n  + (ω mn + ω ml ) ⋅ X 1nl ;
α nl( 2 ) ≡ N 2 M 2 ,
n ≠ l;
M 2 ≡ ( ω m n ( k n ) − ω m l ( k l ) ) − ω (2m n + m l ) ( | k n − k l |);
2
N 2 ≡ G ( m n + m l ) (| k n − k l |) ⋅ Y4nl + H ( m n + m l ) (| k n − k l |) ⋅ χ Ln  + (ω mn − ω ml ) ⋅ X 4nl ;
a n( 2 ) ≡
Y 4nn − 2 m n ⋅ χ L n
(1 − 2 m n ) (1 + 2 m n
− w)
α nl( 3 ) ≡ N 3 M 3 ;
;
M 3 ≡ (ω m n ( k n ) + ω m l ( k l ) ) − ω (2m n − m l ) ( k n + k l );
2
N 3 ≡ G ( mn − ml ) ( k n + k l ) ⋅  Y2nl + H ( mn − ml ) ( k n + k l ) ⋅ χ L n  + (ω mn + ω ml ) ⋅ X 2nl ;
α nl( 4 ) ≡ N 4 M 4 ,
n ≠ l;
M 4 ≡ (ω m n ( k n ) − ω m l ( k l ) ) − ω (2m n − m l ) (| k n − k l |);
2
N 4 ≡ G( mn − ml ) (| kn − kl |) ⋅ Y3nl + H ( mn − ml ) (| k n − kl |) ⋅ χ Ln  + (ωmn − ωml ) ⋅ X 3nl ;
bn0 ≡ Y3nn + 0.5[1 − w ⋅ (1 + k n2 + m n2 )];
β n(1l ) ≡ R 1 Q 1 ;
2
Q1 ≡ ( k n + k l ) ⋅ I (′mn + ml ) ( k n + k l ) ⋅  (ω mn ( k n ) + ω ml ( k l ) ) − ω (2m n + m l ) ( k n + k l )  ;


R1 ≡ ( ω mn + ω ml ) ⋅ G ( mn + m l ) ( k n + k l ) ⋅  Y1nl + H ( mn + m l ) ( k n + k l ) ⋅ χ L n  +
β n( l2 ) ≡ R 2 Q 2 , n ≠ l ;
+ ω (2m n + m l ) ( k n + k l ) ⋅ X 1n l ;
211
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
Q 2 ≡| k n − k l | ⋅ I (′mn + ml ) (| k n − k l |) ⋅  ω mn ( k n ) − ω ml ( k l )

)
2
− ω (2mn + m l ) (| k n − k l |)  ;

R 2 ≡ (ω m n − ω m l ) ⋅ G ( m n + m l ) (| k n − k l |) ⋅  Y4nl + H ( m n + m l ) (| k n − k l |) ⋅ χ ⋅ L n  +
bn( 2 ) ≡ X 1nn 2 m n ;
+ ω (2mn + m l ) (| k n − k l |) ⋅ X 4nl ;
β n( 3l ) ≡ R 3 Q 3 ;
2
Q3 ≡ ( k n + k l ) ⋅ I (′mn − ml ) ( k n + k l ) ⋅  (ω mn ( k n ) + ω ml ( k l ) ) − ω (2mn − m l ) ( k n + k l )  ;


R 3 ≡ (ω m n + ω m l ) ⋅ G ( m n − m l ) ( k n + k l ) ⋅  Y2nl + H ( m n − m l ) ( k n + k l ) ⋅ χ L n  +
β n( l4 ) ≡ R 4 Q 4 ,
+ ω (2m n − m l ) ( k n + k l ) ⋅ X 2n l ;
n ≠ l;
2
Q 4 ≡ | k n − k l | I (′mn − ml ) (| k n − k l |)  (ω mn ( k n ) − ω ml ( k l ) ) − ω (2mn − m l ) (| k n − k l |)  ;


R 4 ≡ (ω m n − ω m l ) G ( m n − m l ) (| k n − k l |) ⋅  Y3nl + H ( m n − m l ) (| k n − k l |) ⋅ χ L n  +
+ ω (2m n − m l ) (| k n − k l |) ⋅ X 3n l ;
d n(1l ) ≡ W 1 S 1 ;
2
S 1 ≡ K ( m n + m l ) ( k n + k l ) ⋅  (ω m n ( k n ) + ω m l ( k l ) ) − ω (2m n + m l ) ( k n + k l )  ;


W 1 ≡ 4 π ⋅  (ω m n + ω m l ) ⋅ X 1n l + G ( m n + m l ) ( k n + k l ) ⋅ Y1 n l  +
(
)
2
+  (ω mn + ω ml ) + G ( mn + m l ) ( k n + k l ) ⋅ 1 − w − ( k n + k l ) 2 − ( m n + ml ) 2  ⋅ χ Ln ;


d n( l2 ) ≡ W 2 S 2 ,
n ≠ l;
2
S 2 ≡ K ( m n + m l ) (| k n − k l |) ⋅  (ω m n ( k n ) − ω m l ( k l ) ) − ω (2m n + m l ) (| k n − k l |)  ;


W 2 ≡ 4 π ⋅  (ω m n − ω m l ) ⋅ X 4nl + G ( m n + m l ) (| k n − k l |) ⋅ Y 4nl  +
(
)
2
+  ( ω mn − ω ml ) + G( mn + m l ) (| k n − k l |) ⋅ 1 − w − ( k n − k l ) 2 − ( m n + ml ) 2  ⋅ χ Ln ;

(2)
dn
≡
(
)
4 π ⋅ Y 4nn + 1 − 4 m n2 − w ⋅ χ L n
(1 − 2 m n )(1 + 2 m n
− w)
;
212
d n( 3l ) ≡ W 3 / S 3 ;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S 3 ≡ K ( m n − m l ) ( k n + k l ) ⋅  (ω m n ( k n ) + ω m l ( k l

))
2
− ω (2m n − m l ) ( k n + k l )  ;

W 3 ≡ 4 π ⋅  (ω m n + ω m l ) ⋅ X 2n l + G ( m n − m l ) ( k n + k l ) ⋅ Y 2n l  +
(
)
2
+  (ω mn + ω ml ) + G ( mn − m l ) ( k n + k l ) ⋅ 1 − w − ( k n + k l ) 2 − ( m n − m l ) 2  ⋅ χ Ln ;


(4)
d nl ≡ W 4 S 4 , n ≠ l ;
2
S 4 ≡ K ( m n − m l ) (| k n − k l |) ⋅  (ω m n ( k n ) − ω m l ( k l ) ) − ω (2m n − m l ) (| k n − k l |)  ;


W 4 ≡ 4 π ⋅  (ω m n − ω m l ) ⋅ X 3nl + G ( m n − m l ) (| k n − k l |) ⋅ Y3nl  +
(
)
2
+  (ω mn − ω ml ) + G ( mn − m l ) (| k n − k l |) ⋅ 1 − w − ( k n − k l ) 2 − ( m n − m l ) 2  ⋅ χ Ln .


4.2. Нелинейные неосесимметричные
осцилляции объемно заряженной струи
идеальной несжимаемой диэлектрической
жидкости при многомодовой начальной
деформации ее поверхности
В целом ряде академических и технических приложений
требуется получать потоки заряженных капель жидкого водорода
или жидкого гелия [143 – 145], веществ с весьма малой (по сравнению с большинством жидкостей, подвергающихся на практике
электродиспергированию [27]) величиной диэлектрической проницаемости. Это означает, что теоретические асимптотические аналитические исследования нелинейных осцилляций заряженных струй
идеально проводящих жидкостей, проведенные в последнее врямя,
не подходят для прогностического анализа осцилляций и дробления объемно заряженных струй обсуждаемых экзотических
жидкостей. Следует также отметить то обстоятельство, что в
экспериментальных исследованиях явления электродиспергирования жидкостей с различными физико-химическими свойствами
обнаружено около десятка различных режимов электродисперги213
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рования [17, 27 – 30], причиной чего, в частности, может являться
различие в электрофизических свойствах жидкостей. В связи со
сказанным в настоящем разделе будет найдено аналитическое
асимптотическое решение задачи о нелинейных неосесимметричных осцилляциях струи объемно заряженной диэлектрической
жидкости согласно тому, как это проделано в [122].
1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечную цилиндрическую струю радиуса R идеальной несжимаемой диэлектрической
жидкости с массовой плотностью r , диэлектрической проницаемостью ε d и коэффициентом поверхностного натяжения g , однородно объемно электрически заряженную с плотностью h , движуr
щуюся вдоль оси симметрии с постоянной скоростью U 0 . Все
рассмотрение проведем в рамках модели «вмороженного»
электрического заряда в инерциальной системе отсчета, начало
цилиндрической системы координат ( r , j , z ) которой движется
r r
вместе со струей со скоростью U 0 nz вдоль оси симметрии
невозмущенной струи, принимаемой в качестве оси z . Очевидно,
что в выбранной
системе отсчета поле скоростей течения жидкости
r r
в струе U (r , t ) полностью определяется возможными капиллярными осцилляциями ее поверхности (порождаемыми видом
начальных условий) и при обезразмеривании на R, γ , ρ является
величиной того же порядка малости, что и амплитуда осцилляций,
которая принимается малой по сравнению с радиусом струи.
Будем исследовать закономерности реализации нелинейных
осцилляций струи, полагая, что уравнение ее свободной
поверхности, возмущенной капиллярным волновым движением,
записывается в виде
r (ϕ , z , t ) = R + ξ (ϕ , z , t ) ;
x = R,
где x (j , z , t ) – возмущение поверхности струи, вызванное ее
осцилляциями.
Математическая формулировка обсуждаемой задачи в рамках
модели потенциального течения состоит из уравнений гидродинамики и в предположении, что скорость движения жидкости много
меньше релятивистской, – уравнений электростатики:
214
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
D F in = - 4p
D F ex = 0;
D Y = 0;
h
;
εd
(1)
условий ограниченности:
r ® 0:
r
U <Ґ ,
С F in < Ґ ;
С F ex ® 0;
r® Ґ :
(2)
гидродинамических граничных условий на свободной поверхности
струи: кинематического
-
r= R+ x:
¶x
+ (∇Y)g∇ й
r - (R + x (j , z , t ))щ
к
ъ= 0;
л
ы
¶t
(3)
динамического для нормальной компоненты тензора напряжений

− P(r , t ) + P0 + Pγ − Pq = 0
r = R+ x:
(4)
и граничных условий для электрического поля:
F in = F ex ,
r = R+ x:
В
выписанной
εd
математической
¶ F in ¶ F ex
=
.
¶n
¶n
формулировке
(5)
задачи
й¶ Y 1
r
2щ
P ( r , t ) = - r к + (С Y) ъ – гидродинамическое давление, связанъ
2
ы
лк¶ t
r
ное с потенциальным движением жидкости; Pq (r , t ) – давление
r
r
электрического поля, Pγ (r , t ) є g (С gn ) – давление сил поверхностноr
го натяжения; P0 – постоянное давление внешней среды; Y( r , t ) –
r
потенциал поля скоростей; F (r , t ) – электростатический потенциал;
нижние индексы “ex” и “in” характеризуют электрическое поле вне

и внутри струи соответственно; n – орт нормали к свободной поверхности струи.
Данную краевую задачу следует дополнить условием сохранения объема участка струи, длина которого равна длине волны l :
 r ⋅ dr ⋅ dϕ ⋅ dt = π R
V
2
⋅ λ;
 0 ≤ r ≤ R + ξ (ϕ , z , t ) ;

V =
0 ≤ ϕ ≤ 2π ;
 z ≤ z ≤ z + λ.
0
0

215
(6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кроме того, необходимо задать еще начальные условия, первое
из которых представляет собой начальную волновую деформацию
свободной поверхности струи:
(+ )
(- )
щЧexp (ikz )+ O (e 2 ),
r (j , z ,0)= R + a Чй
клz (0) Чexp (imj )+ z (0) Чexp (imj )ы
ъ
(здесь и далее не выписываются слагаемые, комплексно сопряженные к выписанным); a – амплитуда волны. Для упрощения нижеследующих громоздких математических выкладок мы ограничили
проводимое рассмотрение случаем, когда форма поперечного сечения струи определяется одной гармоникой. Второе начальное условие, как это принято в задачах о нелинейных волнах [12, 35], будет выбрано на финальной стадии решения таким образом, чтобы
получающееся решение имело наименее громоздкий вид
Дальнейший анализ проведем в безразмерных переменных,
полагая R = γ = ρ = 1 и сохраняя за всеми величинами их прежние
обозначения.
2. Метод решения. Решение сформулированной задачи в
рамках асимптотического подхода будем искать в виде разложений
по малому параметру ε ≡ ( a R ) на основе метода многих масштабов [35] с точностью до второго порядка малости включительно.



Искомые функции x (j , z , t ), Ψ(r , t ) , Φ in (r , t ) и Φ ex (r , t ) представим в
виде асимптотических разложений по степеням ε , полагая, в соответствии с идеей метода многих временных масштабов, что временная эволюция искомых функций определяется двумя временными масштабами – основным T0 = t и более медленным T1 = ε ⋅ t :
ξ (ϕ , z , t ) = ε ⋅ ξ (1) (ϕ , z , T0 , T1 ) + ε 2 ⋅ ξ (2) (ϕ , z , T0 ) + O(ε 3 );

Ψ (r , t ) = ε ⋅ Ψ (1) ( r ,ϕ , z , T0 , T1 ) + ε 2 ⋅ Ψ (2) (r ,ϕ , z , T0 ) + O (ε 3 );

Φ in (r , t ) = Φ in(0) (r ) + ε ⋅ Φ in(1) (r ,ϕ , z , T0 , T1 ) + ε 2 ⋅ Φ in(2) (r ,ϕ , z , T0 ) + O (ε 3 );

(1)
2
(2)
3
Φ ex (r , t ) = Φ (0)
ex ( r ) + ε ⋅ Φ ex ( r , ϕ , z , T0 , T1 ) + ε ⋅ Φ ex ( r , ϕ , z , T0 ) + O (ε ). (7)
Считая, что волны, распространяющиеся по поверхности
струи, бегут в положительном направлении оси ОZ , примем, что
форма свободной поверхности струи в произвольный момент времени может быть записана в виде
216
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r (ϕ , z , t ) = 1 + ε ⋅ ζ ( + ) (T1 ) ⋅ exp(imϕ ) + ζ ( − ) (T1 ) ⋅ exp(−imϕ )  ⋅ exp(iϑ ) + Ο(ε 2 );
(8)
ϑ ≡ k ⋅ z − ω ⋅ T0 ,
где ω ≡ ωm ( k ) – частота волны с волновым числом k и азимутальным числом m ; ζ ( ± ) (T1 ) – пока неизвестные комплексные функции,
зависящие от медленного времени T1 . Отметим также, что согласно
методу многих временных масштабов оператор частной производной по времени принимает вид
∂
∂
∂
≡
+ε
.
∂t ∂T0
∂T1
3. Разделение задачи на порядки малости. Подстановка разложений (7) в уравнения (1) – (6) и разложение условий (3) – (6) в
ряды Тейлора в окрестности равновесной цилиндрической поверхности r = 1 с последующим выделением и суммированием слагаемых при одинаковых степенях ε и приравниванием их нулю позволяет выписать задачи различных порядков малости.
3a. Задача нулевого порядка малости. В нулевом приближении имеем равновесное состояние, которому соответствует неподвижный (в выбранной инерциальной системе отсчета) цилиндрический столб радиуса R , а также известное выражение для давления
электрического поля на поверхность однородно объемно заряженного с плотностью μ бесконечного цилиндра фиксированного радиуса. Электрическое поле внутри и вне невозмущенного цилиндра
определяется потенциалами:
F
(0)
in
phr 2
=;
εd
F (0)
ex = -
ph
- 2ph Чln r.
εd
3б. Задача первого порядка малости. Математическая формулировка задачи первого порядка малости имеет вид
D Y (1) = 0;
r ® 0:
Y(1) = const ,
D F (1)
ex = 0;
F in(1) = const ;
217
D F in(1) = 0;
r® Ґ :
С F (1)
ex ® 0;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∂Ψ (1) ∂ξ (1)
−
= 0;
∂r
∂T0
r = 1:
Φ
(1)
in
d Φ in(0) (1)
d Φ (0)
(1)
ex
+
ξ = Φ ex +
ξ (1) ;
dr
dr
 d 2Φ in(0) (1) Φ in(1)  d 2Φ (0)
∂Φ (1)
(1)
ex
εd 
ξ +
ξ + ex ;
=
2
2
∂r 
∂r
dr
 dr
 (1) ∂ 2ξ (1) ∂ 2ξ (1) 
 (1) d Φ in(0) (1)  ∂Ψ (1)
ξ +
−ξ +
+
+ μ  Φ in +
−
2
2 
z
dr
T
∂
∂
∂
ϕ




0
 d 2Φ (0)

ε d − 1 d Φ (0)
∂Φ (1)
(1)
ex
ex
ex
ξ
−
+

 = 0;
∂r 
4π ε d dr  dr 2
z0 + λ
2π
z0
0
 
ξ (1) (ϕ , z, t )dϕ dz = 0.
Из (7) – (8) для функции поправки первого порядка малости к
профилю волны ξ (1) (ϕ , z,T0 ,T1 ) получим выражение
ξ (1) (ϕ , z,T0 ,T1 ) = ζ ( + ) (T1 ) ⋅ exp(imϕ ) + ζ ( − ) (T1 ) ⋅ exp(−imϕ )  ⋅ exp(iϑ ). (9)
Явный вид функций ζ ( ± ) (T1 ) может быть определен лишь при
анализе задач следующих порядков малости. Несложно убедиться,
что функция ξ (1) в виде (9) удовлетворяет условию неизменности
объема (6).
Поскольку поправки первого порядка малости к потенциалу
r

поля скоростей Ψ (1) (r , t ) и электростатическому потенциалу F in(1) (r , t )
r
(1)
и F (1)
граничными условиями на своex ( r , t ) связаны с функцией ξ

бодной поверхности струи, будем искать выражения для Ψ (1) (r , t ) ,
r
r
F in(1) ( r , t ) и F (1)
(
r
, t ) в виде
ex

Ψ (1) ( r , T0 , T1 ) = I m (kr ) ⋅  B ( + ) (T1 ) ⋅ exp(imϕ ) + B ( − ) (T1 ) ⋅ exp(−imϕ )  exp(iϑ );

Φ in(1) ( r , T0 , T1 ) = I m (kr ) ⋅ C ( + ) (T1 ) ⋅ exp(imϕ ) + C ( − ) (T1 ) ⋅ exp(−imϕ )  exp(iϑ );

 ( + ) (T1 ) ⋅ exp(imϕ ) + D ( − ) (T1 ) ⋅ exp(−imϕ )  exp(iϑ ),
Φ (1)
ex ( r , T0 , T1 ) = K m ( kr ) ⋅  D
(10)
где зависимость поправок к потенциалам Ψ (1) , F in(1) и F (1)
ex от координаты r определяется из уравнений Лапласа и должна удовлетворять условиям ограниченности; I m (kr ) и K m (kr ) – модифицирован218
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ные функции Бесселя первого и второго рода. Подставляя (10) и (9)
в (3), (5) и приравнивая коэффициенты при экспонентах с одинаковыми показателями, получим
−iωζ ( ± ) (T1 )
2πη
ζ ( ± ) (T1 )
ζ ( ± ) (T1 )
(±)
(±)
g in
; D (T1 ) = 2πη g ex
;
B (T1 ) =
; C (T1 ) =
εd
I m (k )
K m (k )
k ⋅ I m′ (k )
(±)
gin ≡
2ε d + (ε d − 1) ⋅ H m (k )
;
ε d ⋅ Gm (k ) − H m (k )
2 + (ε d − 1) ⋅ Gm (k )
;
ε d ⋅ Gm (k ) − H m (k )
g ex ≡
Gm ( x) є x ЧI mў( x) I m ( x);
H m ( x) є x ЧK mў( x) K m ( x),
здесь штрихами обозначены производные функций Бесселя.
Таким образом, выражения для поправок первого порядка малости к потенциалу поля скоростей Ψ (1) и к электростатическим
потенциалам F in(1) и F (1)
ex имеют вид

Ψ (1) ( r , T0 , T1 ) = −iω

Φin(1) ( r , T0 , T1 ) =

I m (kr ) 
ζ
k ⋅ I m′ (k ) 
(+)
2πη
I (kr ) 
gin m
ζ
εd
I m (k ) 
Φ (1)
ex ( r , T0 , T1 ) = 2πη g ex
(T1 ) ⋅ exp(imϕ ) + ζ
(+)
K m (kr ) 
ζ
K m (k ) 
( −)
(T1 ) ⋅ exp(imϕ ) + ζ
(+)
(T1 ) exp(imϕ ) + ζ
(T1 ) ⋅ exp(−imϕ )  exp(iϑ );
( −)
( −)
(T1 ) ⋅ exp(−imϕ )  exp(iϑ );
(T1 ) exp(−imϕ )  exp(iϑ );
(11)
Из динамического граничного условия (4) после подстановки в
него решений (9) и (11) можно получить дисперсионное уравнение,
связывающее частоту колебаний ωm (k ) с волновым числом k и
азимутальным числом m, совпадающее с полученным в линейном
анализе:
ωm2 (k ) =
Gm (k )
k 2 + m 2 − 1 ε d ⋅ f m (k ) +
ε d ⋅ f m (k )
{(
)
}
+ w ε d ( 4 + (ε d − 3)Gm ( k ) ) + ( 3ε d − 1 + (ε d − 1) 2 Gm ( k ) ) H m ( k )  ;
f m ( x ) ≡ ε d ⋅ Gm ( x ) − H m ( x ).
219
w = πη 2 .
(12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В пределе ε d → ∞ и η = 2 χ , где χ – плотность поверхностного заряда струи электропроводной жидкости, уравнение (12) сводится к
дисперсионному уравнению для линейных осцилляций заряженной
струи электропроводной жидкости, полученному в [33] (при таком
переходе предполагается неизменным заряд μ , приходящийся на
единицу длины струи: μ ≡ πη ≡ 2πχ ).
3в. Задача второго порядка малости. Математическая формулировка задачи второго порядка малости имеет вид
D F (2)
ex = 0;
D Y (2) = 0;
r ® 0:
Y(2) = const ,
r = 1:
∂Ψ (2) ∂ξ (2) ∂ξ (1) ∂ 2 Ψ (1) (1) ∂Ψ (1) ∂ξ (1) ∂Ψ (1) ∂ξ (1)
ξ +
;
−
=
−
+
∂r
∂T0
∂T1
∂r 2
∂ϕ ∂ϕ
∂z ∂z
Φ
(2)
in
F in(2) = const ;
D F in(2) = 0;
−Φ
(2)
ex
r® Ґ :
С F (2)
ex ® 0;
 d Φ in(0) d Φ (0)
 (2)
ex
+
−
ξ =
dr
dr


1  d 2Φ (0)
d 2Φ in(0)  (1)
ex
= 
−
 ξ
2  dr 2
dr 2 
( )
2
 ∂Φ (1)
∂Φ in(1)  (1)
ex
+
−
ξ ;
∂r 
 ∂r
 d 2Φ in(0) d 2Φ (0)
 (2)
∂Φ in(2) ∂Φ (2)
1  d 3Φ (0)
d 3Φ in(0)  (1)
ex
ex
ex
ξ + εd
ξ
−
−
= 
− εd
 εd
2
2 
3
3 
∂
∂
dr
dr
r
r
dr
dr
2




( )
2
+
2
2
 ∂ 2Φ (1)
  ∂ξ (1)   ∂ξ (1)  
∂ 2Φ in(1)  (1) 1  d Φ in(0) d Φ (0)
ex
ex
+
− εd
−
ξ +  εd
 
 +
 +
2
∂r 2 
dr
dr   ∂ϕ   ∂z  
2
 ∂r


 ∂ξ (1) ∂ ∂ξ (1) ∂ 
(2)
(2)
+
+
 ε d Φ in − Φ ex ;
∂z ∂z 
 ∂ϕ ∂ϕ
(
ξ
(2)
)
 (2) d Φin(0) (2)  ε d − 1 d Φ(0)
 d 2Φ(0)

∂ 2ξ (2) ∂ 2ξ (2)
∂Φ(2)
(2)
ex
ex
ξ +
ξ + ex  −
+
+
− η  Φin +

2
2
2
∂ϕ
∂z
∂r 
dr

 4π ε d dr  dr
2
2
2 (1)
 ∂Φin(1) (1) 1 d 2Φin(0) (1) 2 
∂Ψ (2) 1  ∂ξ (1)   ∂ξ (1)  
(1) ∂ ξ
−
= 
+η 
ξ +
ξ
 −
  + 2ξ
+
2
r
dr
∂T0
∂ϕ 2
∂
2  ∂ϕ   ∂z  
2




( )
220
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( )
+ ξ
(1) 2
(1) 2


 ∂ 2Φ(1)
εd − 1  d 2Φ(0)
d Φ(0)
1 d 3Φ(0)
∂Φ
(1)
(1)
(1) 2  
ex
ex
ex
ex
ex
ξ
ξ
ξ
2
−
+
+
+



 −
dr  ∂r 2
8π εd  dr 2
2 dr 3
∂r 


( )
 (1) ∂ ∂ξ (1) ∂  d Φ(0)
 ∂Ψ(1) ∂ 2Ψ(1) (1)
(εd − 1)2 d Φ(0)
(1)
(1)  
ex  ∂ξ
ex
−
+
+
ξ + 2Φex  +
ξ −


∂z ∂z  dr
∂T0∂r
8π εd
dr  ∂ϕ ∂ϕ
 ∂T1
(1)
(1)
  ∂Φ ex

ε d − 1  ∂Φ ex

−
+
 

8π  ∂ϕ   ∂z 

2
z0 + λ
2π
z0
0
 
2
 1  ∂Ψ (1) 2  ∂Ψ (1) 2  ∂Ψ (1) 2 
 + 
 +
 +
 ;
 2  ∂r   ∂ϕ   ∂z  
( )
ξ (2) + 0.5 ξ (1) 2 dϕ dz = 0.


Правые части граничных условий играют роль функций неоднородности и выражаются через ранее найденные решения нулевого
и первого порядков малости. На основании вида неоднородностей,
используя метод разделения переменных, поправки к решению
второго порядка малости примут вид

ξ (2) ( r , t ) =  A22( + ) exp(i 2mϕ ) + A22( − ) exp(−i 2mϕ ) + A02  ⋅ exp(i 2ϑ ) + A00 +
+  A11( + ) exp(imϕ ) + A11( − ) exp(−imϕ )  ⋅ exp(iϑ ) + A20 exp(i 2mϕ );

(+)
(−)
Ψ (2) ( r , t ) = I 2 m (2kr ) ⋅  B22
exp(i 2mϕ ) + B22
exp(−i 2mϕ )  ⋅ exp(i 2ϑ ) +
+ I 0 (2kr ) ⋅ B02 exp(i 2ϑ ) + r 2 m B20 exp(i 2mϕ ) + B00 (t ) +
+ I m (kr ) ⋅  B11( + ) exp(imϕ ) + B11( − ) exp(−imϕ )  ⋅ exp(iϑ );

(+)
(−)
Φ in(2) ( r , t ) = I 2 m (2kr ) ⋅ C22
exp(i 2mϕ ) + C22
exp(−i 2mϕ )  ⋅ exp(i 2ϑ ) +
+ I 0 (2kr ) ⋅ C02 exp(i 2ϑ ) + r 2 mC20 exp(i 2mϕ ) +
+ I m (kr ) ⋅ C11( + ) exp(imϕ ) + C11( − ) exp(−imϕ )  ⋅ exp(iϑ );

(−)
 (+)

Φ (2)
ex ( r , t ) = K 2 m (2kr ) ⋅  D22 exp(i 2mϕ ) + D22 exp( −i 2mϕ )  ⋅ exp(i 2ϑ ) +
+ K 0 (2kr ) ⋅ D02 exp(i 2ϑ ) + r −2 m D20 exp(i 2mϕ ) + D00 ⋅ ln r +
221
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+ K m (kr ) ⋅  D11( + ) exp(imϕ ) + D11( − ) exp(−imϕ )  ⋅ exp(iϑ ) + f (t ).
(13)
После подстановки выражений (13) в граничные условия и
приравнивания коэффициентов при экспонентах с одинаковыми
показателями несложно получить систему уравнений для отыскания функций Anl( ± ) , Bnl( ± ) , Cnl( ± ) и Dnl( ± ) , n, l = {0, 2} . Решая эту систему
уравнений, находим зависимость Anl( ± ) от комплексных амплитуд
ζ ( ± ) , а также дифференциальное уравнение относительно ζ ( ± ) :
∂ζ ( ± ) ∂T1 = 0;
A00 = − (| ζ ( + ) |2 + | ζ ( − ) |2 ) 2; A11( ± ) = 0;
(±)
A22
= a1 ⋅ (ζ ( ± ) ) 2 ;
A02 = a2 ⋅ 2ζ ( + )ζ ( − ) ;
A20 = a3 ⋅ 2ζ ( + ) ζ ( − ) ,
(14)
где черта обозначает комплексное сопряжение. Выражения для коэффициентов a1 , a2 и a3 приведены в «Приложении A». Из уравнения (14) следует, что комплексные амплитуды ζ ( ± ) , а следовательно, и величины Anl( ± ) , Bnl( ± ) , Cnl( ± ) и Dnl( ± ) не зависят от временного
масштаба T1 . Коэффициенты Bnl( ± ) , Cnl( ± ) и Dnl( ± ) , необходимые для определения поправок второго порядка малости к потенциалу поля
скоростей и к электростатическим потенциалам внутри и вне струи
соответственно, можно получить, зная ai :
(±)
B22
≡ −ib1 ⋅ (ζ ( ± ) ) 2 =
−i
2k ⋅ I 2′ m (2k )
B02 ≡ −ib2 ⋅ 2ζ ( + )ζ ( − ) =
(±)
C22
≡ c1 ⋅ (ζ ( ± ) ) 2 =
( 2ω a1 − X 1 ) (ζ ( ± ) )2 ;
B00 (t ) = 2b0 ⋅ T0 ⋅ A00 ;
−i
2ω a2 − X 2 ) ζ ( + )ζ ( − ) ;
(
2k ⋅ I 0′ (2k )
B11( ± ) = B20 = 0;
2πη
 2ε d + ( ε d − 1) H 2 m (2k )  a1 − ε d L −
ε d I 2 m ( 2k ) f 2 m ( 2k ) 
{
}
−2ε d ( k 2 + m 2 ) ( g in − g ex ) − H 2 m (2k ) ⋅ M ⋅ (ζ ( ± ) ) 2 ;
C02 ≡ c2 ⋅ 2ζ ( + )ζ ( − ) =
2πη
 2ε d + ( ε d − 1) H 0 (2k )  a2 − ε d L −
ε d I 0 ( 2k ) f 0 ( 2k ) 
{
}
− 2ε d k 2 ( gin − gex ) − H 0 (2k ) ⋅ M ⋅ 2ζ ( + )ζ ( − ) ;
222
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
C20 ≡ c3 ⋅ 2ζ ( + ) ζ ( − ) =
πη
mε d (ε d + 1)
{2 ε
d
− m ( ε d − 1)  a3 − ε d L −
}
− 2ε d m 2 ( g in − g ex ) + 2mM ⋅ 2ζ ( + ) ζ ( − ) ;
(±)
D22
≡ d1 ⋅ (ζ ( ± ) ) 2 =
C11( ± ) = 0;
2πη
 2 + ( ε d − 1) G2 m ( 2 k )  a1 − L −
K 2 m ( 2k ) f 2 m ( 2k ) 
{
}
− 2( k 2 + m 2 ) ( g in − g ex ) − G2 m ( 2k ) ⋅ M ⋅ (ζ ( ± ) ) 2 ;
D02 ≡ d 2 ⋅ 2ζ ( + )ζ ( − ) =
2πη
 2 + ( ε d − 1) ⋅ G2 m ( 2k )  a2 − L −
K 0 ( 2k ) ⋅ f0 ( 2k ) 
{
}
D00 = −4πη (1 + L ) A00 ;
− 2k 2 ( g in − g ex ) − G0 ( 2k ) ⋅ M ⋅ 2ζ ( + )ζ ( − ) ;
D20 ≡ d 3 ⋅ 2ζ ( + ) ζ ( − ) =
D11( ± ) = 0;
πη
m(ε d
{2 1 + m ( ε
+ 1) 
d
− 1)  a3 − L − 2m 2 ( g in − g ex ) −
− 2m ⋅ M } ⋅ 2ζ ( + ) ζ ( − ) ; f (t ) = 4πη (1 − g in ⋅ Gm ( k ) ε d + g ex ⋅ H m ( k ) ) A00 ; (15)
L ≡ 1 − gin ⋅ Gm (k ) + g ex ⋅ H m (k );
M ≡ 0.5 ( ε d + 1) − g in ⋅ Gm ( k ) + ε d ⋅ g ex ⋅ H m ( k ).
Все вновь введенные обозначения приведены в «Приложении А».
4. Запись окончательных выражений. Форма свободной поверхности струи в произвольный момент времени с учетом выражений (8), (13) и (14) будет описываться соотношением
r (ϕ , z , t ) = 1 + ε ⋅ cos( mϕ ) ⋅ cos(kz − ωt ) +
+0.25 ⋅ ε 2 {−0.5 + [ a1 ⋅ cos(2mϕ ) + a2 ] ⋅ cos [ 2(kz − ωt )] + a3 ⋅ cos(2mϕ )}. (16)
Выражения для потенциалов электрического поля внутри и вне
струи, а также для гидродинамического потенциала, выписанные с
точностью до малых второго порядка включительно, с учетом (15),
примут вид
223
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ω ⋅ I m ( kr )
Ψ (r , t ) = ε
cos( mϕ ) ⋅ sin(kz − ωt ) +
k ⋅ I m′ ( k )
+0.25 ⋅ ε 2 {−b0t + [b1 ⋅ I 2 m (2kr ) ⋅ cos(2mϕ ) + b2 ⋅ I 0 (2kr )] ⋅ sin [ 2(kz − ωt )]} ;

πη r 2
2πη
I ( kr )
Φ in (r , t ) = −
+ε
g in m
cos( mϕ ) ⋅ cos( kz − ωt ) +
εd
εd
I m (k )
+0.25ε 2 {[ c1 ⋅ I 2m (2kr ) ⋅ cos(2mϕ ) + c2 I0 (2kr )] cos [ 2(kz − ωt )] + c3r 2m cos(2mϕ )};

πη
K ( kr )
cos( mϕ ) ⋅ cos( kz − ωt ) +
Φ ex ( r , t ) = −
− 2πη ⋅ ln r + ε 2πη g ex m
εd
K m (k )
+0.25 ⋅ ε 2 {2πη [ −1 + gin ⋅ Gm (k ) ε d − g ex ⋅ H m (k ) + (1 + L) ⋅ ln r ] +
+ [ d1K 2 m (2kr )cos(2mϕ ) + d 2 K 0 (2kr ) ] cos [ 2( kz − ωt ) ] + d3r −2 m cos(2mϕ )}.
(17)
При предельном переходе к идеально проводящей жидкости
( ε d → ∞ и η = 2 χ , где χ – плотность поверхностного заряда струи
электропроводной жидкости) амплитудные коэффициенты ai , bi и
d i в выражениях (16) и (17) сводятся к соответствующим коэффициентам в выражениях для потенциалов, полученных в предыдущем разделе для случая электропроводной жидкости; коэффициенты ci обращаются в нуль.
5. Обсуждение полученных результатов. На рис. 1 – 3 представлены зависимости от параметра w величин α i ≡ aid aic (отношения коэффициентов при нелинейных поправках в выражении для
формы струи диэлектрической жидкости aid к соответствующим
коэффициентам при нелинейных поправках выражения для формы
струи электропроводной жидкости aic , аналитические выражения
для которых можно найти в предыдущем разделе) для различных
значений азимутального числа m . Из приведенных рисунков
видно, что зависимости коэффициентов αi от параметра w заметно
отличаются от таковых для идеально проводящей жидкости,
причем для коэффициента a1 при m = 2 и m = 3 расхождение дос224
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тигает сорока и шестидесяти процентов соответственно, а в прочих
ситуациях составляет величину порядка десяти процентов. Видно,
что αi различны для различных мод. Это означает, что в ситуации,
когда начальная деформация струи определена не одной модой, а
суперпозицией нескольких мод, а это чаще всего и реализуется на
практике, конкуренция между несколькими модами, одновременно
претерпевающими неустойчивость, будет приводить к результату,
зависящему при прочих равных условиях от электрофизических
свойств жидкостей, подвергаемых электродиспергированию. Сравнение рис. 1a-b, 2a-b и 3a-b показывает, что направление изменения
коэффициентов при нелинейных поправках при переходе от идеально проводящей жидкости к идеально диэлектрической может
быть различным: на рис.1 величины соответствующих коэффициентов при этом увеличиваются для обеих сравниваемых мод, на
рис. 3 – уменьшаются, а на рис. 2 для m = 1 коэффициент α2 увеличивается, а для m = 2 он уменьшается. Во всех случаях увеличение
параметра w (увеличение заряда, приходящегося на единицу длины
струи) приводит к увеличению αi, Причем, интересно, что
увеличение абсолютной величины a1 в несколько раз превышает
соответствующее изменение величины коэффициентов a2 и a3 и
даже в ситуации, когда коэффициенты a2 и a3 уменьшаются, одновременное увеличение коэффициента a1 приводит к росту суммарной амплитуды нелинейных поправок при переходе от идеально
проводящей жидкости к диэлектрической. Таким образом, можно
сделать вывод, что наличие объемного заряда в жидкости,
подвергаемой электродиспергированию, приводит к возрастанию
амплитуды волны с удвоенными и волновым и азимутальным
числами, что, в конечном итоге, ведет к дестабилизации струи.
225
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a1( rel α
) a11( rel )
a1( rel α
) a11( rel )
1.14
1.4
1.08
1.2
1.02
0.2
1.6
α1
0.6
a) m = 1
1
W
0.2
0.6
W
1
б) m = 2
α1
1.2
1.4
1.1
1.2
0.2
0.6
1
W
0.2
в) m = 3
0.6
1
W
г) m = 4
Рис. 1. Зависимости от параметра w величины α1 ≡ a1d a1c – отношения
коэффициента при нелинейной поправке в выражении для формы струи
диэлектрической жидкости a1d к соответствующему коэффициенту
при нелинейной поправке выражения для формы струи электропроводной
жидкости a1c . Пунктиром нанесены данные для ε d = 30 , сплошной линией –
для ε d = 80 .
α2
α2
1.2
0.98
0.2
0.6
1
W
1.1
0.2
α2
0.995
0.6
а) m = 1.
1
W
0.92
0.2
0.6
1
б) m = 2 .
α2
в
W
0.998
г
0.2
0.6
0.994
0.985
0.99
0.975
в) m = 3 .
г) m = 4 .
Рис. 2а. То же, что на рис. 1 для величины α 2 ≡ a2d a2c
226
1
W
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
α3
0.2
0.6
1
α3
W
0.2
0.6
1
W
0.99
0.98
0.98
0.97
0.96
а) m = 1
α3
б) m = 2
α3
в
0.2
0.6
1
W
г
0.2
0.6
1
W
0.995
0.99
0.99
0.985
0.98
в) m = 3 .
г) m = 4
Рис. 3а. То же, что на рис. 1, для величины α 3 ≡ a3d a3c .
Интересно также отметить, что разница между величинами
коэффициентов при нелинейных поправках для диэлектрической и
идеально проводящей жидкостями быстро увеличивается с
уменьшением величины диэлектрической проницаемости жидкости и для таких жидкостей, как жидкий водород или жидкий гелий,
может стать весьма существенной.
Из выражений для коэффициентов aj несложно видеть, что
положения внутренних нелинейных резонансов, в окрестности которых происходит нелинейнная перекачка энергии между модами,
определяющееся условием обращения в нуль знаменателей aj, для
диэлектрической жидкости формально имеет такой же вид, что и
для идеально проводящей:
4ωm2 (k ) = ω22m (2k ).
Однако следует учитывать, что дисперсионные уравнения, из которых рассчитываются зависимости ωm2 (k ) и ω22m (2k ) в рассматриваемых ситуациях различаются, и при малых величинах диэлектриче227
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ской проницаемости ε d (например, для жидкого водорода или
жидкого гелия) длины резонансных волн для диэлектрической
жидкости и идеально проводящей могут значительно отличаться.
Итак, с точностью до слагаемых второго порядка малости по
амплитуде начальной деформации найдено аналитическое асимптотическое решение задачи о расчете нелинейных осцилляций
однородно объемно заряженной струи идеальной несжимаемой
жидкости. При сравнении с параметрами нелинейно осциллирующей заряженной струи идеально проводящей жидкости выяснилось, что при равных электрических зарядах, приходящихся на
единицу длины струи, характерстики осцилляций струи диэлектрической жидкости с малыми диэлектрическими проницаемостями
могут существенно (на десятки процентов) отличаться от таковых
для струи идеально проводящей жидкости. Это обстоятельство
может быть одним из факторов, объясняющих большое разнообразие экспериментально наблюдаемых режимов электростатического диспергирования жидкостей.
Приложение А. Обозначения, использованные при записи решения второго порядка малости.
a1 ≡ P1 Q1 ;
Q1 = −ε d f 2 m (2k )  4ωm2 (k ) − ω22m (2k )  ;
P1 = − (Y1 ⋅ G2 m (2k ) + 2ω ⋅ X 1 ) ε d ⋅ f 2 m (2k ) + w ⋅ G2 m (2k ) ⋅ {2ε d ( L + H 2 m (2k ) ) +
(
)
(
)
+ 0.5 εd2 − 1 G2 m (2k ) ⋅ H 2m (2k ) + 2 k 2 + m2 ( gin − gex )( 2ε d + (ε d − 1) H 2 m (2k ) ) −
− g in ⋅ Gm ( k ) ⋅ [ ε d + 1 + (ε d − 1) ⋅ G2 m (2k ) ] H 2 m (2k ) +
+ g ex ⋅ H m (k ) ⋅ [3ε d − 1 + ε d (ε d − 1) ⋅ G2 m (2k ) ] H 2 m (2k )};
a2 ≡ P2 Q2 ;
Q2 = −ε d ⋅ f 0 (2k )  4ωm2 (k ) − ω02 (2k )  ;
P2 = − (Y2 ⋅ G0 (2k ) + 2ω ⋅ X 2 ) ε d ⋅ f 0 (2k ) + w ⋅ G0 (2k ) ⋅ {2ε d ( L + H 0 (2k ) ) +
(
)
+ 0.5 ε d2 − 1 ⋅ G0 (2k ) ⋅ H 0 (2k ) + 2k 2 ( g in − g ex )( 2ε d + (ε d − 1) ⋅ H 0 (2k ) ) −
− g in ⋅ Gm (k ) ⋅ [ ε d + 1 + (ε d − 1) ⋅ G0 (2k ) ] H 0 (2k ) +
228
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+ g ex ⋅ H m ( k ) ⋅ [3ε d − 1 + ε d (ε d − 1) ⋅ G0 (2k ) ] H 0 (2k )} ;
a3 ≡ P3 Q3 ;
Q3 = εd ⋅ (1 + εd )(1 − 4m2 )m + w ⋅ (2m − 1) (ε d − 1)2 m + 2ε d  ;
P3 = mεd (1 + εd )Y3 + w{m2 (εd2 − 1) + εd (2m − L) + 2m2 ( gin − gex )( εd (m − 1) − m) −
− gin ⋅ Gm (k ) ⋅ m ( 2 + (2m + 1)(ε d − 1) ) + g ex ⋅ H m (k ) ⋅ m ( 3ε d − 1 + 2m ⋅ ε d (ε d − 1) )};
b0 ≡ Y4 + 0.5 +
w
0.5 ( ε d + 1) + ( ε d − 1) L  ;
εd 
X 1 = ωm (k )  2(k 2 + m2 ) − Gm (k )  Gm (k );
X 2 = ωm (k )  2k 2 − Gm (k )  Gm ( k );
Y1 = 1 + 0.5( k 2 − 5m2 ) + ωm2 (k ) k 2 + m2 − 3Gm2 (k ) 2 Gm2 (k ) + w ( 2gin ⋅ Gm (k ) − 1) εd −
−
εd − 1
w 3 + k 2 + m2 − 4gex ( k 2 + m2 − Hm (k )) + gex2 ⋅ Hm2 (k ) − εd (k 2 + m2 )( gex − 1)2  ;
2εd
Y2 = 1 + 0.5( k 2 − 3m2 ) + ωm2 (k ) k 2 − m2 − 3Gm2 (k ) 2 Gm2 (k ) + w ( 2gin ⋅ Gm (k ) − 1) εd −
−
εd − 1
w 3 + k 2 − m2 − 4 g ex ( k 2 − H m ( k ) ) + g ex2 ⋅ H m2 (k ) − ε d (k 2 − m2 )( g ex − 1) 2  ;
2ε d
Y3 = 1 − 0.5 ( k 2 + 5m2 ) + ωm2 ( k )  k 2 − m2 − Gm2 ( k )  2 Gm2 ( k ) + w ( 2 ginGm ( k ) − 1) ε d −
−
εd − 1
w 3 − k 2 + m2 − 4 g ex ( m2 − H m ( k ) ) + g ex2 ⋅ H m2 ( k ) + ε d (k 2 − m2 )( g ex − 1) 2  ;
2ε d
Y4 = 1 − 0.5 ( k 2 + 3m2 ) + ωm2 (k ) k 2 + m2 − Gm2 (k ) 2 Gm2 (k ) + w ( 2gin ⋅ Gm (k ) − 1) εd −
−
εd − 1
w 3 − k 2 − m2 + 4 gex ⋅ H m (k ) + gex2 ⋅ H m2 ( k ) + ε d (k 2 + m2 )( gex − 1) 2  .
2ε d
229
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.3. Нелинейные поправки к частотам мод
неосесимметричных осцилляций
поверхностно заряженной струи идеальной
несжимаемой электропроводной и объемно
заряженной диэлектрической жидкости
В настоящем разделе, как и в двух предыдущих (см. также
[47 – 49]), проводится аналитическое асимптотическое исследование нелинейных неосесимметричных волн на поверхности заряженной струи. Однако в отличие от [47 – 49], где аналитические
расчеты выполнялись лишь во втором порядке малости, нижеследующий анализ проводится с точностью до третьего порядка малости включительно, что позволяет отыскать нелинейные поправки к
частотам мод, определяющих начальную деформацию цилиндрической струи, и положения четырехмодовых резонансов.
4.3.1. Заряженная идеально проводящая струя
1. Постановка задачи, обозначения, метод и процедура решения аналогичны использованным в разделе 4.1. Но в целях
снижения громоздкости искомых решений третьего порядка малости принимается, что начальная деформация волновая и определяется только одной гармоникой с волновым числом k и азимутальным числом m
r (ϕ , z, t ) = R + a ⋅ cos[(kz − mϕ ) − ωmt ],
t = 0:
которая может быть как осесимметричной при m = 0 , так и неосесимметричной при m ≠ 0 . Все решение, как и раньше в разделе 4.1,
поводится в безразмерных переменных в которых R = ρ = γ = 1.
Не останавливаясь на расчетах нулевого и первого порядков
малости, подробно описанных в разделе 4.1 в более общей ситуации многомодовой начальной деформации, приведем сразу формулировку задачи третьего порядка.
2. Решение задачи третьего порядка малости. Поправки Ψ ( 3)
и Φ (3) третьего порядка малости будут решениями уравнений Лапласа:
ΔΦ ( ) = 0.
ΔΨ ( ) = 0;
3
3
230
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поправка ξ ( ) может быть найдена (вместе с Ψ ( 3) и Φ (3) ) из системы неоднородных граничных и дополнительных условий к задаче третьего порядка малости, имеющих вид:
3
∂Ψ ( ) ∂ξ ( ) ∂ξ ( ) ∂ξ ( ) ∂ 2 Ψ ( ) (1) ∂Ψ ( ) ∂ξ ( )
ξ +
−
=
+
−
+
∂r
∂T0
∂T1
∂T2
∂r 2
∂ϕ ∂ϕ
3
r = 1:
3
2
1
2
∂Ψ ( ) ∂ξ ( ) ∂ 2 Ψ ( ) ( 2) 1 ∂ 3Ψ ( ) (1)
+
−
ξ −
ξ
∂z ∂z
∂r 2
2 ∂r 3
2
1
1
1
2
( )
2
1
∂ 2 Ψ ( ) (1) ∂ξ ( )
+
ξ
−
∂ϕ ⋅ ∂r
∂ϕ
1
1
∂Ψ ( ) (1) ∂ξ ( ) ∂ 2 Ψ ( ) (1) ∂ξ ( ) ∂Ψ ( ) ∂ξ ( ) ∂Ψ ( ) ∂ξ ( )
;
−2
ξ
+
ξ
+
+
∂ϕ
∂ϕ
∂z ⋅ ∂r
∂z
∂ϕ ∂ϕ
∂z ∂z
1
1
1
1
1
2
1
2
2
3
0
3
3
3
∂Ψ( ) 1  ∂Φ( ) ∂Φ( ) ∂  ∂Φ( 0)   ( 3)  ( 3) ∂ 2ξ ( ) ∂ 2ξ ( )
−
+ 2
+ 
+
=
 ξ  +ξ +
2
2
∂T0 8π  ∂r ∂r
∂r  ∂r  
ϕ
∂
∂
z




∂Ψ( ) ∂Ψ( ) ∂ 2 Ψ( ) ( 2) 1 ∂3Ψ( ) (1)
ξ +
ξ
=
+
+
∂T1
∂T2
∂T0∂r
2 ∂T0∂r 2
2
1
1
1
( )
2
∂ 2 Ψ( ) (1) ∂ 2 Ψ( ) (1)
ξ +
ξ +
+
∂T0∂r
∂T1∂r
2
1
1
2
(1) 2 
(1) 2 
(1) 2 
(1) 2



∂Ψ
∂Ψ
∂Ψ
∂Ψ( ) ∂Ψ( )
1 ∂ ∂Ψ
1)
1)
(
(

+
+
 +
 +
  ξ − 
 ξ +
∂
∂
∂
2 ∂r  ∂r   ∂ϕ   ∂z  
r
r
ϕ




∂Ψ ( ) ∂Ψ ( ) ∂Ψ ( ) ∂Ψ ( ) 1
+
+
−
8π
∂ϕ ∂ϕ
∂z
∂z
1
( )
1 1
+ ξ( )
6
1
−
8π
3
2
0
∂ 3  ∂Φ ( ) 


∂r 3  ∂r 
1
2

 1
−
 4π
2
2
 (1) ( 2) ∂ 2  ∂Φ ( 0) 
⋅ ξ ξ
+
2 
 ∂r 
r
∂



 ∂Φ ( 0 ) ∂ 2 Φ (1) ∂Φ (1) ∂ 2 Φ ( 0 )  ( 2 )
+
ξ −

2
2 

∂
∂
r
r
∂
∂
r
r


 ∂Φ ( 0) ∂ 3Φ (1) ∂Φ (1) ∂ 3Φ ( 0)  (1)
ξ
+

3
3 

∂r ∂r 
 ∂r ∂r
( )
2
1 ∂ 2 Φ ( ) ∂ 2 Φ ( ) (1)
ξ
−
2
2
4π ∂r
∂r
0
1
( )
2
−
(1) 2 
(1) 2 
(1) 2 
(1) 2
(1) 2 





1 ∂ ∂Φ
1 ∂ξ
∂Φ
∂Φ
∂ξ

 ξ (1) + 
 ξ (1) −
−
+
+
− 3





 ∂ϕ  
8 ∂r  ∂r   ∂ϕ   ∂z  
2  ∂z 

 



231
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
−
4π
 ∂Φ ( 0 ) ∂ 2 Φ ( 2) ∂Φ ( 2) ∂ 2 Φ ( 0)  (1) ∂ξ (1) ∂ξ ( 2 ) ∂ξ (1) ∂ξ ( 2)
ξ +
+
−
+

2
2 

r
r
ϕ
ϕ
z
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
r
r
∂
∂


2
1
1
2
1
2
1
2
1  ∂Φ ( )  (1) 1  ∂Φ ( ) ∂Φ ( ) ∂Φ ( ) ∂Φ ( ) ∂Φ ( ) ∂Φ ( ) 
ξ
+
−
+
+



+
4π  ∂ϕ 
4π  ∂r ∂r
∂ϕ ∂ϕ
∂z ∂z 
1  ∂ 2ξ ( )  ∂ξ ( )  ∂ 2ξ ( )  ∂ξ ( ) 
+ 
 +


2 

∂z 2  ∂ϕ 
2  ∂ϕ  ∂z 

1
1
(1) ( 2 )
+2ξ ξ
2
1
( )
− ξ
(1)
3
1
2

2 (1) 
 (1) ∂ 2ξ ( 2 )
2) ∂ ξ
(
 + 2 ξ
+ξ
+
2
2 


∂ϕ
∂ϕ 



∂ 2ξ ( ) (1)
−3
ξ
∂ϕ 2
1
( )
2
∂ξ ( ) ∂ξ ( ) ∂ 2ξ ( )
+2
+
∂ϕ ∂z ∂ϕ ⋅ ∂z
1
3  ∂ 2ξ ( )  ∂ξ ( )  ∂ 2ξ ( )  ∂ξ ( ) 
+ 

 +


2  ∂ϕ 2  ∂ϕ 
∂z 2  ∂z 

1
Φ
( 3)
2
1
1
2
1

;


∂Φ ( ) ( 3)
∂Φ ( ) ( 2 ) ∂Φ ( ) (1) 1 ∂ 2Φ ( ) (1)
( 3)
ξ = ΦS (t ) −
ξ −
ξ −
ξ
+
∂r
∂r
∂r
2 ∂r 2
0
1
2
∂ 2Φ ( ) (1) ( 2 ) 1 ∂ 3Φ (
ξ ξ −
−
∂r 2
6 ∂r 3
0
−
z0 + λ 2π
 0
z0
z0 + λ 2π
=  
z
0
0
1
1
 ∂Φ (3) ∂  ∂Φ (0)
+ r

∂
∂r 
∂r
r

0)
1
( )
2
−
(ξ ( ) ) ;
1
3
 ( 3) 
 ξ  dϕ ⋅ dz =

 r =1
2
0
 ∂  ∂Φ (1)  ( 2)
∂  ∂Φ ( )  (1) ∂ 2  ∂Φ ( )  (1) ( 2 )
  r
 ξ +  r
 ξ + 2  r
 ξ ξ +
r
r
r
r
r
r
∂
∂
∂
∂
∂
∂





 
0
1 ∂ 3  ∂Φ ( )  (1)
+
r
 ξ
6 ∂r 3  ∂r 
( )
3
∂Φ (
−
∂r
0)
 ∂ξ (1) ∂ξ ( 2 ) ∂ξ (1) ∂ξ ( 2 ) 
+

 −
∂
∂
∂
∂
z
z
ϕ
ϕ


1
1
1
1
1
∂  ∂Φ( )  (1) ∂ξ ( ) ∂  1 ∂Φ( )  (1) ∂ξ ( ) 1 ∂ 2  ∂Φ( )  (1)
− r
− 
+
ξ
ξ
r
 ξ
∂r  ∂z 
∂z
∂r  r ∂ϕ 
∂ϕ 2 ∂r 2  ∂r 
( )
1
1
1   ∂ξ ( )   ∂ξ ( ) 
− 
 + 


2   ∂ϕ   ∂z 

2
2
2
  ∂Φ (1) ∂  1 ∂Φ ( 0) 
 ∂Φ (1) ∂ξ ( 2)
1)
(

+ 
−
 ξ  −

∂r  r ∂r 
  ∂r
 ∂ϕ ∂ϕ

232
−
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
2
1
2
1
2
∂ξ ( ) ∂Φ ( ) ∂Φ ( ) ∂ξ ( ) ∂ξ ( ) ∂Φ ( ) 
dϕ ⋅ dz.
−
−
−

∂ϕ ∂ϕ
∂z ∂z
∂z ∂z 
r =1
В расчетах третьего порядка малости, помимо поправок ξ (3) ,
3
3
Ψ ( ) и Φ ( ) , можно получить зависимость комплексных амплитуд
от более медленного временного масштаба T2 и нелинейную (зависящую от квадрата амплитуды волны) поправку к частоте волны.
Повторяя те же шаги, что и в задаче второго порядка малости

(см. раздел 4.1), для поправок третьего порядка малости ξ ( 3) ( r , T0 ) ,


Ψ ( 3) ( r , T0 ) и Φ ( 3) ( r , T0 ) – можно найти аналитические выражения:
ξ (3) =  A1( +) exp(i3mϕ ) + A1( −) exp(−i3mϕ ) + A2(+) exp(imϕ ) + A2(−) exp(−imϕ ) ×
× exp(i3θ ) +  A3( + ) exp(i3mϕ ) + A3( − ) exp(−i3mϕ )  ⋅ exp(iθ ) +
+  A4( + ) exp(imϕ ) + A4( − ) exp(−imϕ )  ⋅ exp(iθ ) + A5 + (k .c.);
Ψ (3) = I 3m (3kr ) ⋅  B1( + ) exp(i 3mϕ ) + B1( − ) exp( −i 3mϕ )  ⋅ exp(i 3θ ) +
+ I m (3kr ) ⋅  B2( + ) exp(imϕ ) + B2( − ) exp(−imϕ )  ⋅ exp(i3θ ) +
+ I 3m (kr ) ⋅  B3( + ) exp(i3mϕ ) + B3( − ) exp(−i3mϕ )  ⋅ exp(iθ ) +
+ I m (kr ) ⋅  B4( + ) exp(imϕ ) + B4( − ) exp(−imϕ )  ⋅ exp(iθ ) + (k .c.);
Φ (3) = f 3 (t ) + K3m (3kr ) ⋅  D1( + ) exp(i 3mϕ ) + D1( − ) exp( −i 3mϕ )  ⋅ exp(i 3θ ) +
+ K m (3kr ) ⋅  D2( + ) exp(imϕ ) + D2( − ) exp(−imϕ )  ⋅ exp(i3θ ) +
+ K3m (kr ) ⋅  D3( + ) exp(i3mϕ ) + D3( − ) exp(−i3mϕ )  ⋅ exp(iθ ) +
+ K m (kr ) ⋅  D4( + ) exp(imϕ ) + D4( − ) exp(−imϕ )  ⋅ exp(iθ ) + D5 ln r + (k .c.). (1)
Подставляя выражения (1) для поправок третьего порядка малости в дополнительные условия сохранения заряда и объема уча233
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стка струи, длина которого равна длине волны λ , найдем, что коэффициенты A5 и D5 равны нулю. После подстановки выражений
(1) в кинематическое и динамическое граничные условия, а также в
условие эквипотенциальности поверхности струи из требования
равенства коэффициентов при одинаковых экспонентах выводится
система уравнений для нахождения коэффициентов A(j± ) , B (j± ) и
D (j± ) ; j = {1,...,5} . Кроме выражений, определяющих коэффициенты в решении третьего порядка малости, получаем дифференци±
альное уравнение относительно ζ ( ) , из которого можно найти коэффициент g ( ± ) , определяющий поправку к частоте волны:
 (±)
∂ζ ( ± )
g ( ± ) (k ) ( ± )
Gm ( k )  ωm2
2
2
= −i
ζ +i
+
1
−
k
−
m
−
w
(1
+
H
(
k
))
m
 A4 ; (2)
∂T2
ωm (k )
2ωm ( k )  Gm

g (±) ≡

Gm ( k )  ωm ( k )
Γ 4 + ϒ 4 + χ ⋅ H m ( k ) ⋅ Λ 4  | ζ ( ± ) |2 +

2  Gm (k )


 ω (k )

+ m
Γ5 + ϒ5 + χ ⋅ H m ( k ) ⋅ Λ 5  | ζ (  ) |2  ;
 Gm ( k )


w ≡ 4πχ 2 .
(3)
Выражения для коэффициентов Γ j , ϒ j , Λ j приведены в «Приложении А».
Отметим сразу, что сама по себе нелинейная поправка к частоте
в асимптотическом анализе означает лишь расплывание нелинейной
волны со временем за счет различия в фазовых скоростях поправок
различных порядков малости, но тем не менее она оказывает существенное влияние на закономерности реализации неустойчивости
волны (на закономерности разбиения волны на отдельные капли).
Квадратная скобка в уравнении (2), содержащая дисперсионное уравнение, равна нулю. Поскольку у нас не использовано второе начальное условие, сформулируем его в виде требования, чтобы коэффициент A4( ± ) был равен нулю. Тогда из уравнения (2) зави±
симость комплексных амплитуд ζ ( ) от временного масштаба T2
определится в виде
234
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ζ
(±)
g ( ± ) (k )
= C ⋅ exp( −i
T2 ).
ωm (k )
Поскольку g ( + ) и g ( − ) характеризуют поправку к одной и той
же частоте ωm (k ) , очевидно, что они должны быть равны, а это говорит об эквивалентности ζ ( + ) и ζ ( − ) . Таким образом, для ζ = ζ (T2 )
можно записать окончательное выражение
ζ (T2 ) = C ⋅ exp(−i
g (k )
T ),
ωm (k ) 2
(4)
где C – постоянная интегрирования. Учитывая, что ζ ( + ) = ζ ( − ) ,
приведем соотношение для определения коэффициентов A j :
A j = α jC 3 ,
j = {1,2,3};
)
(
(
)
2
α j = ω j Γ j + Gm j ( k j ) ⋅ ϒ j + χ ⋅ Λ j H m j ( k j )  [ω 2j − ωm j (k j ) ]; (5)

ω j ≡ {3ωm ( k j ),3ωm ( k j ), ωm ( k j )}, k j ≡ {3k ,3k , k }, m j ≡ {3m, m,3m} .

Поскольку потенциал поля скоростей Ψ ( r , t ) и электростатический


потенциал Φ ( r , t ) связаны с функцией ξ ( r , t ) кинематическим и динамическим граничными условиями и условием эквипотенциальности струи, то коэффициенты B j и Dj несложно найти, зная Aj :
(
)(
)
B j ≡ −i [k j ⋅ I m′ j ( k j )] ω j Aj − Γ jC 3 ;
(
)(
)
D j ≡ 1 K m j ( k j ) 4πχ ⋅ Aj + Λ jC 3 ,
j = {1,2,3}.
(6)
Из первого начального условия следует, что C = 1 .
3. Финальное выражение для формы струи. Обсуждение
полученных результатов. Собирая вместе поправки всех порядков малости, получим, что форма свободной поверхности жидкости струи в произвольный момент времени с учетом выражения (4)
будет описываться уравнением
235
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r (ϕ , z, t ) = 1 + ε ⋅ cos(mϕ ) cos(θ − ε 2
g (k )
t) −
ωm (k )
−0.25 ⋅ ε 2 [ 0.5 − (a1 cos(2mϕ ) + a2 ) cos(2θ ) − a3 cos(2mϕ ) ] +
+ (ε 3 16) {[α1 cos(3mϕ ) + α 2 cos( mϕ ) ] cos(3θ ) + α 3 cos(3mϕ ) cos(θ )}. (7)
Условие реализации неустойчивости струи по отношению к действию сил поверхностного натяжения и давлению электрического
поля заключается в прохождении квадрата частоты через нуль в
область отрицательных значений. С учетом наличия нелинейной
поправки к частоте в третьем порядке малости это условие приведет к соотношению
2

2 g 
2
2
ω
+
ε
 m
 ≈ ωm + 2ε g = 0.
ωm 

Видно, что влияние нелинейной поправки на критическую для начала реализации неустойчивости струи длину волны k и критическое значение параметра w будет различным при g >0 и при g <0.
Из вида нелинейных поправок третьего порядка малости
3 
3 
( 3) 
Φ ( r , t ), Ψ ( ) ( r , t ) и ξ ( ) ( r , t ) несложно видеть, что они имеют резонансный характер, определяющийся видом коэффициентов, которые при некоторых соотношениях между частотами волн стремятся к бесконечности, что в теории нелинейных осцилляций и волн
соответствует проявлению резонансного обмена энергией между
волнами. Положения резонансов определяются требованием
стремления к бесконечности коэффициентов α j , через которые находятся амплитудные множители Aj , B j , D j при нелинейных поправках третьего порядка малости. Согласно (5) условия реализации вырожденного четырехмодового резонансного взаимодействия
волн на поверхности струи имеют вид
(
ω 2j − ωm j ( k j )
236
)
2
= 0;
(8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где ω j – частота моды, в которую энергия перекачивается, – определяется из дисперсионного уравнения
ωm2 ( k ) = Gm ( k ) ⋅  k 2 + m 2 − 1 + w ( 1 + H m ( k ) )  ;
( )
( )
′ k
Gm k = k ⋅ I m
( )
Im k ;
′ ( k ) Km ( k ) ,
H m ( k ) = k ⋅ Km
а ωm j ( k j ) – частота моды, определяющей форму начальной деформации, от которой энергия отбирается – задается соотношением
(ω
mj
(k j )
)
2
≡ Gm j ( k j ) ⋅ {k 2j + m 2j − 1 + W ⋅ [1 + H m j ( k j )]};
(9)
ωm j ≡ {3ωm ( k ),3ωm ( k ), ωm ( k )}, k j ≡ {3k , 3k , k }, m j ≡ {3m, m,3m} .
В
нелинейных поправках третьего порядка малости

ξ (3) ( r , t ) сохраняются и вырожденные трехмодовые резонансы, характерные для квадратичного приближения.
Их положения определяются требованием стремления к бесконечности коэффициентов аj, входящих в определение амплитудных
коэффициентов второго и третьего порядков малости. Условия
реализации трехмодовых резонансов записываются в виде:


Φ ( 3 ) ( r , t ), Ψ ( 3) ( r , t ) и
4ωm2 ( k ) − ω22m (2k ) = 0;
4ωm2 ( k ) − ω02 (2k ) = 0.
а) m = 0
б) m = 1
237
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в) m = 2
г) m = 3
Рис. 1. Зависимости величины нелинейной поправки к частоте g * ≡ ε 2 g от
параметра W , характеризующего поверхностную плотность заряда на
струе, и безразмерного волнового числа k , рассчитанные при различных
значениях азимутального числа
Исследование закономерностей резонансного обмена энергией
между волнами требует отдельного рассмотрения, но из дисперсионного уравнения и условий (8) – (9) сразу можно сказать, что в
реализующихся вырожденных резонансах перенос энергии между
длинными и короткими волнами идет лишь в одном направлении –
от длинных волн к коротким независимо от симметрии взаимодействующих волн.
На рис. 1 приведены рассчитанные по (3) для различных значений азимутального числа m графики зависимости величины нелинейной поправки к частоте g * ≡ ε 2 g от параметра w, характеризующего поверхностную плотность заряда на струе, и безразмерного волнового числа k. Видно, что величина и знак (а
следовательно, и влияние на критические условия неустойчивости
струи) нелинейной поправки к частоте зависят не только от поверхностной плотности электрического заряда на струе и от волнового числа, но и от азимутального числа m. Нелинейная поправка к
частоте имеет резонансный вид, поэтому при ее использовании в
окрестностях резонансов следует обращать внимание за выполнением требования асимптотичности разложения (иными словами,
необходимо следить, чтобы малая поправка к частоте оставалась
малой по сравнению с частотой).
Интересно отметить, что нелинейные осцилляции струи происходят не в окрестности равновесной цилиндрической формы, а в
238
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
окрестности струи с формой, зависящей от вида начальной деформации:
r ( z , ϕ ) = 1 − 0.25ε
2
[ 0.5 − a3 cos(2 mϕ ) ] .
Такой же феномен ранее был обнаружен для нелинейноосциллирующих капель [128 – 129].
Итак, из проведенного анализа видно, что в асимптотических
расчетах нелинейных осцилляций струи третьего порядка малости
появляются нелинейные поправки к частотам, квадратичные по
амплитуде, зависящие от вида начальной деформации струи,
имеющие резонансный вид и оказывающие влияние на критические условия реализации неустойчивости струи.
Приложение А. Выражения для величин Гj, ϒ j и Λ j ,
j = {1,..,5} , использующихся при записи решения третьего порядка
малости:
(
)
(
)
Γ1 = b1 ⋅ I 2 m (2k ) k 2 + m 2 − G2 m (2k ) + a1 ⋅ ωm 3k 2 + 3m 2 − Gm ( k ) Gm ( k ) −
− ωm  k 2 + 7 m 2 − (3k 2 + 3m 2 + 2)Gm (k )  2Gm (k );
(
)
(
)
Γ 2 = b1I 2 m (2k ) 6k 2 + 2m2 − G2 m (2k ) + a1ωm 3k 2 − m2 − Gm (k ) Gm (k ) +
(
)
(
)
+ 2b2 ⋅ I 0 (2k ) 6k 2 − G0 (2k ) + 2a2 ⋅ ωm 3k 2 + m 2 − Gm (k ) Gm (k ) −
− ωm 3k 2 + 5m 2 − (9k 2 + m 2 + 6)Gm (k )  2Gm (k );
(
)
(
)
Γ 3 = b1 I 2 m (2k ) 2k 2 + 6m 2 − G2 m (2k ) + a1ωm k 2 − 3m 2 + Gm (k ) Gm (k ) +
+ ωm  k 2 + 7 m 2 − (3k 2 + 3m 2 + 2)Gm (k )  2Gm (k );
(
)
(
)
Γ 4 = b1I 2 m (2k ) 2k 2 + 2m2 − G2 m (2k ) + a1ωm k 2 + m2 + Gm (k ) Gm (k ) +
+ ωm  k 2 + 7 m 2 − (3k 2 + 3m 2 + 2)Gm (k )  2Gm (k );
(
)
(
)
Γ5 = 2b2 ⋅ I 0 (2k ) 2k 2 − G0 (2k ) + 2a2 ⋅ ωm k 2 − m 2 + Gm ( k ) Gm (k ) +
239
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+ ωm  k 2 − m 2 − (3k 2 − m 2 + 2)Gm (k )  Gm (k );
ϒ1 = a1 ⋅  −ωm2 + 2k 2 − 12m2 + 2 + w( k 2 + m2 − 3 − 2 H m ( k ))  + 1.5ωm2 +
+ b1 ⋅ ωm I 2 m (2k )  2( k 2 + m 2 ) Gm ( k ) − 3G2 m (2k )  + d1 ⋅ χ K 2 m (2k )  6k 2 +
+ 6m2 − (2 + H m (k )) ⋅ H 2 m (2k )] − ωm2 (k ) (k 2 + m2 )Gm (k ) + 2m2  2Gm2 (k ) +
+ 0.5w  4 − 3k 2 − 7 m 2 + (k 2 + m 2 + 6 + 2 H m (k )) ⋅ H m (k )  −
− 1 − 0.5k 2 + 4.5m 2 + 3k 2 m 2 + 1.5(k 4 + m 4 );
ϒ 2 = ( a1 + 2a2 )  −ωm2 + 2 + w(k 2 + m2 − 3 − 2 H m ( k ))  + 2a1 ( k 2 − 4m2 ) +
+ 4a2 (k 2 − m2 ) + 4.5ωm2 + b1 ⋅ ωm I 2 m (2k )  2(k 2 − m2 ) Gm (k ) − 3G2 m (2k )  +
+ b2 ⋅ 2ωm I 0 (2 k )  2 k 2 Gm ( k ) − 3G0 (2 k )  + d1 ⋅ χ K 2 m (2 k )  6 k 2 + 6 m 2 −
− (2 + H m (k )) ⋅ H 2 m (2k ) ] + d 2 ⋅ 2 χ K 0 (2k ) 6k 2 − (2 + H m (k )) ⋅ H 0 (2k )  −
− ωm2 (k ) (3k 2 + 11m2 )Gm (k ) − 2m2  2Gm2 (k ) − 3 − 1.5k 2 + 7.5m2 − k 2 m2 +
+ 0.5w 12 − 9k 2 − 13m2 + (3k 2 − 5m2 + 18 + 6 H m (k )) H m  + 1.5(3k 4 − m4 );
ϒ 3 = ( a1 + 2a3 )  −ωm2 + 2 + w( k 2 + m2 − 3 − 2 H m ( k ))  − 2a1 ( k 2 + 6m2 ) −
− a3 24m 2 + 0.5ωm2 + b1 ⋅ ωm I 2 m (2k )  2(k 2 − m 2 ) Gm (k ) − G2 m (2k )  +
+ d1χ K2m (2k ) 2k 2 + 6m2 − (2 + Hm (k ))H2m (2k ) + d3 4χ m[3m + 2 + Hm (k )] −
− ωm2 (k ) (−5k 2 + 3m2 )Gm (k ) + 2m2  2Gm2 (k ) − 3 + 1.5k 2 + 13.5m2 − k 2 m2 +
+ 0.5w 12 − 9k 2 − 21m2 + (−5k 2 + 3m2 + 18 + 6H m ) H m (k )  − 1.5(k 4 − 3m4 );
ϒ 4 = a1 ⋅  −ωm2 − 2k 2 − 8m2 + 2 + w( k 2 + m2 − 3 − 2 H m ( k ))  + 1.5ωm2 +
240
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+ b1 ⋅ ω m I 2 m (2 k )  2 ( k 2 + m 2 ) Gm ( k ) − G2 m (2 k )  + d1 ⋅ χ K 2 m (2 k )  2 k 2 +
+ 2m2 − (2 + H m (k )) ⋅ H 2m (2k )] + ωm2 (k ) 5(k 2 + m2 )Gm (k ) − 6m2  2Gm2 (k ) +
+ 0.5w 18 − 7 k 2 − 11m 2 + (−3k 2 − 3m 2 + 22 + 6 H m (k )) ⋅ H m (k )  −
− 5 + 0.5k 2 + 9.5m 2 − 3k 2 m 2 − 1.5(k 4 + m 4 );
ϒ 5 = 2( a2 + a3 )  −ωm2 + 2 + w( k 2 + m2 − 3 − 2 H m ( k ))  − 4a2 ( k 2 + m2 ) −
−a316m 2 + 2ωm2 + 2b2 ⋅ ωm I 0 (2k )  2 k 2 Gm (k ) − G0 (2k )  +
+ d 2 ⋅ 2 χ K 0 (2k )  2k 2 − (2 + H m (k )) H 0 (2k )  + d3 ⋅ 4 χ m ( m + 2 + H m (k ) ) +
+ ωm2 (k )  (5k 2 − 3m 2 )Gm (k ) + 2m 2  Gm2 (k ) − 8 + k 2 − 17 m 2 + 2k 2 m 2 +
+ w 15 − 8k 2 − 12m 2 − (4k 2 + 4m 2 − 20 − 6 H m ( k )) ⋅ H m (k )  − 3( k 4 + m 4 );
Λ1 = − 4πχ a1 (1 + H m (k ) ) + 2πχ (2 3) − k 2 − m2 + H m (k )) − d1 2k ⋅ K2′ m (2k );
Λ 2 = − 4πχ ( a1 + 2a2 ) (1 + H m (k ) ) + 6πχ (2 3) − k 2 − m 2 + H m (k ))  −
− 2k [ d1 ⋅ K 2′ m (2k ) + 2d 2 ⋅ K 0′ (2k ) ];
Λ 3 = − 4πχ ( a1 + 2a3 )(1 + H m (k ) ) + 6πχ (2 3) − k 2 − m 2 + H m (k ))  −
− d1 2k ⋅ K 2′ m (2k ) + d3 ⋅ 4m;
Λ 4 = − 4πχ a1 (1 + H m (k ) ) + 2πχ  4 − k 2 − m2 + 5H m (k ))  − d1 2k ⋅ K 2′ m (2k );
Λ 5 = − 8πχ ( a2 + a3 )(1 + H m (k ) ) + 4πχ 3 − 2k 2 − 2m 2 + 4 H m (k ))  −
− 4d 2 k ⋅ K 0′ (2k ) + d3 ⋅ 4m;
a1 ≡ M1 N1 ; a2 ≡ M 2 N2 ;
M1 = G2 m (2k ) ⋅ [Y1 + χ L ⋅ H 2 m (2k )] + 2ωm (k ) ⋅ X1;
N1 = 4ωm2 (k ) − ω22m (2k ); M 2 = G0 (2k ) ⋅ [Y2 + χ L ⋅ H 0 (2k ) ] + 2ωm (k ) ⋅ X 2 ;
241
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a3 ≡ (Y3 − 2mχ L ) [ (1 − 2m)(1 + 2m − w ) ];
N 2 = 4ωm2 (k ) − ω02 (2k );
b0 ≡ Y4 + 0.5 − 0.5w ( k 2 + m 2 + 1) ;
X1 = ωm (k ) 2(k 2 + m2 ) − Gm (k )  Gm (k );
X 2 = ωm (k )  2k 2 − Gm (k )  Gm (k );
(
L = −2πχ [1 + 2 H m (k ) ] ;
)
Y1 = 1 + 0.5 k 2 − 5m 2 + ωm2 (k )  k 2 + m 2 − 3Gm2 (k )  2 Gm2 (k ) +
+ 0.5w 3k 2 + 3m 2 − 3 − 4 H m (k ) − H m2 (k )  ;
(
)
Y2 = 1 + 0.5 k 2 − 3m 2 + ωm2 (k )  k 2 − m 2 − 3Gm2 (k )  2Gm2 (k ) +
+0.5w 3k 2 + m2 − 3 − 4 H m (k ) − H m2 ( k )  ;
(
)
Y3 = 1 − 0.5 k 2 + 5m 2 + ωm2 (k )  k 2 − m 2 − Gm2 (k )  2Gm2 (k ) +
+0.5w  k 2 + 3m2 − 3 − 4 H m ( k ) − H m2 ( k )  ;
(
)
Y4 = 1 − 0.5 k 2 + 3m 2 + ωm2 (k )  k 2 + m 2 − Gm2 (k )  2Gm2 (k ) +
+0.5w  k 2 + m2 − 3 − 4 H m (k ) − H m2 ( k )  .
5.3.2. Объемно заряженная диэлектрическая струя
1. Постановка задачи, обозначения, метод и процедура решения аналогичны использованным в разделе 5.2. Но в целях снижения громоздкости искомых решений третьего порядка малости
принимается, что начальная деформация волновая и определяется
только одной гармоникой с волновым числом k и азимутальным
числом m :
t = 0:
r (j , z , t )= R + e Чклйz ( + ) (0) Чexp (imj )+ z (- ) (0) Чexp (imj
242
)щ
ъЧexp (ikz );
ы
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
которая может быть как осесимметричной при m = 0 , так и неосесимметричной при m ≠ 0 . Все решение как и раньше в разделе
5.2 поводится в безразмерных переменных в которых R = ρ = γ = 1.
Не останавливаясь на расчетах нулевого и первого порядков
малости, подробно описанных в разделе 5.2 в более общей ситуации многомодовой начальной деформации, приведем сразу формулировку задачи третьего порядка.
2. Задача третьего порядка малости. Поправки Ψ (3) , Φ in(3) и
Φ (3)
ex третьего порядка малости будут решениями уравнений Лапласа:
ΔΨ ( ) = 0;
3
ΔΦ in(3) = 0;
ΔΦ (3)
ex = 0.
3
Поправка ξ ( ) может быть найдена (вместе с Ψ (3) , Φ in(3) и Φ (3)
ex ) из
системы неоднородных граничных и дополнительных условий к
задаче третьего порядка малости, имеющих вид:
∂Ψ (3) ∂ξ (3) ∂ξ (2) ∂ξ (1) ∂Ψ (1) ∂ξ (2) ∂Ψ (1) ∂ξ (2)
−
=
+
+
+
+
r = 1:
∂r
∂T0
∂T1
∂T2
∂ϕ ∂ ϕ
∂z ∂ z
∂Ψ (2) ∂ξ (1) ∂Ψ (2) ∂ξ (1) ∂ 2 Ψ (1) (2) 1 ∂ 3Ψ (1) (1) 2
+
+
−
ξ −
(ξ ) +
∂ϕ ∂ϕ
∂z ∂z
∂r 2
2 ∂r 3
2 (1)
∂ξ (1) ∂ 2 Ψ (1) ∂ξ (1)
∂Ψ (1) ∂ξ (1) ∂ 2 Ψ (2) 
(1)  ∂ Ψ
+ξ 
+
−2
−
;
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
z
z
r
r


 2 (0) d 2 Φ in(0)  (1) ∂Φ (1)
 d Φ in(0) d Φ (0)
∂Φ in(1) 
(2)  d Φ ex
ex  (3)
ex
Φ in(3) − Φ (3)
+
−
=
−
+
−
ξ
ξ
ξ

+
ex



2
2
dr
dr
dr
dr
r
r
∂
∂





(2)
 ∂ 2 Φ (1)
d 3Φ in(0)  (1)
∂Φ in(2)  1 (1) 2  d 3Φ (0)
∂ 2 Φ in(1)  
(1)  ∂Φ ex
ex
ex
;
+ξ 
−
−
−

+ ξ
ξ + 3
3
3
2
2 
r
r
6
dr
dr
r
r
∂
∂
∂
∂






( )
2
 (3)
 d 2Φin(0) d 2Φ(0)
 ∂ξ (1) ∂ξ (2) ∂ξ (1) ∂ξ (2)
∂Φin(3) ∂Φ(3)
ex
ex
−
−
=
+
− ξ (1) (ξ (1) ) +
ξ + εd
 εd
2
2 
∂r
∂r
∂z ∂z
dr
dr 

 ∂ϕ ∂ϕ
2
2
2

1 (1)  ∂ξ (1)   ∂ξ (1)   d
1 (1) 3 d 3  d Φ in(0) d Φ (0)
(1) (2) d
ex
+ ξ 
−
−
−
ξ
ξ
ξ
+
ε

(
)

+

d


 ∂z
2
3
dr
dr
dr
dr
dr
ϕ
2
6
∂
 
 



(1)
 1  ∂ξ (1)  2  ∂ξ (1)  2  ∂ ∂ξ (2) ∂ ∂ξ (2) ∂
∂ 
(1) ∂ξ
(1)
(1)
+
+  
+
− 2ξ
 +
 ( ε d Φ in − Φ ex ) +


∂ϕ ∂ ϕ
∂ z ∂z
∂ϕ ∂ϕ 
 2  ∂ϕ   ∂z   ∂r
(1)
 (2) ∂ 2 1 (1) 2 ∂ 3
∂2
∂ξ (1) ∂ 2  
(1)  ∂ξ
(1)
(1)
+  −ξ
− ξ
+ξ 
+
  ε d Φin − Φ ex +
2
3
2
∂r
∂r
∂z ∂r∂z  
 ∂ϕ ∂r∂ϕ

( )
(
243
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
 ∂ξ (1) ∂ ∂ξ (1) ∂
(1) ∂ 
ε Φ (2) − Φ (2)
+
+
−ξ
ex ) ;
2  ( d in
ϕ
ϕ
z
z
r
∂
∂
∂
∂
∂


2 (3)
2 (3)

 (3) d Φ in(0) (3)  ε d − 1 d Φ (0)
 d 2Φ (0)
∂ξ
∂ξ
∂Φ (3)
(3)
(3)
ex
ex
ξ +
ξ +
ξ + ex  −
+
− η  Φin +

2
2
2
dr
∂ϕ
∂z
∂r 

 4π ε d dr  dr
∂Ψ (3) ∂Ψ (1) ∂Ψ (2) ∂ 2 Ψ (1) (2) ∂ 2 Ψ (2) (1) ∂ 2 Ψ (1) (1) 1 ∂ 3 Ψ (1) (1)
−
=
+
+
ξ +
ξ +
ξ +
ξ
∂T0
∂T2
∂T1
∂T0 ∂r
∂T0 ∂r
∂T1∂r
2 ∂T0 ∂r 2
( )
2
−
2
(1)
 ∂Ψ (2) ∂Ψ (1) ∂Ψ (2) ∂Ψ (1) ∂Ψ (2) ∂Ψ (1)
∂ 2ξ (2) (1)
(1)  ∂Ψ
(1) 3
−ξ 
+
+
− (ξ ) + 2
ξ +
 +
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
z
z
r
r
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ


2
(1)
∂Ψ (1) ∂ 2 Ψ (1) ∂Ψ (1) ∂ 2 Ψ (1) ∂Ψ (1) 
∂ 2ξ (1) (1) 2
(1)  ∂ Ψ
ξ ) + 2ξ (2)ξ (1) +
+ξ 
+
+
−3
2
2 (
∂r
∂r ∂ ϕ ∂ ϕ
∂ r ∂ z ∂z 
∂ϕ
 ∂r
2
2
∂ξ (2) ∂ξ (1) ∂ξ (2) ∂ξ (1)
∂ξ (1) ∂ξ (1) ∂ 2ξ (1) 1 (1)   ∂ξ (1)   ∂ξ (1)  
+
−
+2
− ξ 3 
 −  ∂z   +
∂
ϕ
∂ϕ ∂ϕ
∂z ∂z
∂ϕ ∂z ∂ϕ∂z 2
 
 
 
 ∂ξ (1) 2  ∂ξ (1) 2  1 ∂ 2ξ (1)   ∂ξ (1) 2  ∂ξ (1) 2 
∂ 2ξ (1) (2)

 + 3  ∂z   + 2 ∂ϕ 2 3  ∂ϕ  +  ∂z   + 2 ∂ϕ 2 ξ +

 
 
 
 ∂ϕ 
 
 1 d 3Φ in(0) (1) 3 1 ∂ 2Φ in(1) (1) 2 ∂Φ in(2) (1) d 2Φ in(0) (1) (2) ∂Φ in(1) (2) 
+η 
ξ ) +
ξ ) +
ξ +
ξ ξ +
ξ −
3 (
2 (
2
∂
∂
∂
6
dr
2
r
r
dr
r


1 ∂ 2ξ (1)
+
2 ∂z 2
 (1)  d 4 Φ (0)
ε d − 1 d Φ (0)
∂ 3 Φ (1)
(1)
(1)
ex
ex
ex
ξ ξ 
ξ +3
−
4
3
24π ε d dr
∂r

 dr


 ∂ 2 Φ (2)
d 3 Φ (0)
(2) 
ex
ex
ξ
6
+
+


 −
2
3
r
dr
∂


 
 (1)
(ε d − 1) 2 d Φ (0)
ex  ∂ξ
−

4π ε d
dr  ∂ϕ
 (1)  ∂ 2Φ (1)
 ∂ξ (2) ∂Φ (1)
 ∂Φ (2)
∂Φ (1)
ex
ex
ex
ex
−2
+
ξ 
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
r
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ

 

2
2
  ∂ξ (1)   ∂ξ (1)    ∂Φ (1)
∂ξ (1)  (1) ∂ 2Φ (1)
∂Φ (2)
d 2Φ (0)
(1) 
ex
ex
ex
ex
ξ
ξ
+
+
+
+
+


 
 
 
+

dr 2
∂z 
∂ r ∂z
∂z   ∂ϕ   ∂z    ∂r



(1) 2  
 ∂ξ (2) ∂ξ (1) ∂ξ (1) ∂ξ (2)
 
d Φ (0)
∂ξ (2) ∂Φ (1)
(1)  ∂ξ
ex
ex
+
+
+
−ξ 

  −
dr  ∂ϕ ∂ϕ
∂z ∂z
∂z ∂z
∂ϕ   



2 (1)
∂Φ (2)
ε d − 1  ∂Φ (1)
d 2 Φ (0)
d 2 Φ (0)
1 d 3Φ (0)
(1)  ∂ Φ ex
(1)
(1) 2
(2) 
ex
ex
ex
ex
ex
−
+
+
+
+
ξ
ξ
ξ
ξ
(
)


+
2
∂r
4π ε d  ∂r
2 dr 3
dr 2
dr 2
 ∂r

2 (1)
(1)

d Φ (0)
(ε d − 1) 2  ∂Φ (1)
d 2Φ (0)
∂Φ (1)
∂ξ (1) ∂Φ (1)
(2) 
(1)   ∂ξ
ex ∂ Φ ex
ex
ex
ex
ex
ξ −
ξ 
+
+
+
−

2
2
dr
4
π
ε
r
dr
ϕ
ϕ
z
z
∂r
∂
∂
∂
∂
∂

d 


244
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(1)
(2)
(1)
(1) 2
2 (1)
(1) 


ε d − 1  ∂Φ (2)
∂Φ
∂Φ
∂Φ
∂Φ
(1)
(1) ∂ Φ ex ∂Φ ex
ex
ex
ex
ex
ex
−
+
−ξ 

;
 +ξ
4π  ∂ϕ ∂ϕ
ϕ
r
z
z
∂z
∂z
∂
∂
∂
∂




z0 + λ
2π
z0
0
 
ξ (3) + ξ (1)ξ (2) dϕ dz = 0.
В третьем порядке малости, помимо поправок ξ (3) , Ψ (3) Φ in(3) и
Φ (3)
ex , можно получить зависимость комплексных амплитуд от более
медленного временного масштаба T2 и нелинейную (зависящую от
квадрата амплитуды волны) поправку к частоте волны.
Повторяя те же шаги, что и в задаче второго порядка малости,


для поправок третьего порядка малости: ξ ( 3) ( r , T0 ) , Ψ ( 3) ( r , T0 ) и

Φ ( 3) ( r , T0 ) , можно найти аналитические выражения:
ξ (3) = ( A1( + ) exp(i 3mϕ ) + A1( − ) exp( −i 3mϕ ) ) + ( A2( + ) exp(imϕ ) + A2( − ) exp( −imϕ ) )  ×
× exp(i 3θ ) +  A3( + ) exp(i 3mϕ ) + A3( − ) exp( −i 3mϕ )  ⋅ exp(iθ ) +
+  A4( + ) exp(imϕ ) + A4( − ) exp( −imϕ )  ⋅ exp(iθ ) + A5 ;
Ψ (3) = I 3m (3kr ) ⋅  B1( + ) exp(i 3mϕ ) + B1( − ) exp( −i 3mϕ )  ⋅ exp(i 3θ ) +
+ I m (3kr ) ⋅  B2( + ) exp(imϕ ) + B2( − ) exp( −imϕ )  ⋅ exp(i 3θ ) +
+ I 3m (kr ) ⋅  B3( + ) exp(i 3mϕ ) + B3( − ) exp( −i 3mϕ )  ⋅ exp(iθ ) +
+ I m ( kr ) ⋅  B4( + ) exp(imϕ ) + B4( − ) exp( −imϕ )  ⋅ exp(iθ );
Φ in(3) = I 3m (3kr ) ⋅ C1( + ) exp(i 3mϕ ) + C1( − ) exp( −i 3mϕ )  ⋅ exp(i 3θ ) +
+ I m (3kr ) ⋅ C2( + ) exp(imϕ ) + C2( − ) exp( −imϕ )  ⋅ exp(i 3θ ) +
+ I 3m ( kr ) ⋅ C3( + ) exp(i 3mϕ ) + C3( − ) exp(−i 3mϕ )  ⋅ exp(iθ ) +
+ I m ( kr ) ⋅ C4( + ) exp(imϕ ) + C 4( − ) exp( −imϕ )  ⋅ exp(iθ );
(+)
(−)
Φ (3)
ex = D ( t ) + K 3m (3kr ) ⋅ 
 D1 exp(i 3mϕ ) + D1 exp( −i 3mϕ )  ⋅ exp(i 3θ ) +
+ K m (3kr ) ⋅  D2( + ) exp(imϕ ) + D2( − ) exp( −imϕ )  ⋅ exp(i 3θ ) +
+ K3m ( kr ) ⋅  D3( + ) exp(i 3mϕ ) + D3( − ) exp( −i 3mϕ )  ⋅ exp(iθ ) +
+ K m ( kr ) ⋅  D4( + ) exp(imϕ ) + D4( − ) exp( −imϕ )  ⋅ exp(iθ ) + D5 ln r.
245
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставляя выражения (16) для поправок третьего порядка малости в дополнительное условия сохранения объема участка струи,
длина которого равна длине волны λ , найдем, что коэффициент A5
равен нулю. Тогда, вследствие граничных условий для
электрического поля на свободной поверхности струи, обращаются
в ноль величины D5 и D(t ) . После подстановки выражений (1) в
кинематическое и динамическое граничные условия, а также в граничные условия для электрической части задачи, требуя равенства
коэффициентов при одинаковых экспонентах, определяется система уравнений для нахождения коэффициентов A(j± ) , B (j± ) , C (j± ) и
D (j± ) ; j = {1,...,5} . Кроме выражений, определяющих коэффициенты
в решении третьего порядка малости, получаем дифференциальное
±
уравнение относительно ζ ( ) , из которого можно найти коэффициент s ( ± ) , определяющий поправку к частоте волны:
∂ζ (
±)
∂T2
= −i
s ( ± ) (k )
ωm ( k )
ζ
(±)
+ iε d
f m ( k ) ⋅ Gm ( k )  ωm2 ( k )
2ωm ( k )
+ 1 − k 2 − m2 −

 Gm (k )
(2)
−
s
}
w
ε d ( 4 + (ε d − 3)Gm ( k ) ) + ( 3ε d − 1 + (ε d − 1) 2 Gm ( k ) ) H m ( k )  A4( ± ) ;

εd f m (k ) 
(±)

Gm ( k ) 5 2  ωm ( k )
η
≡
Γ
+
ϒ
+
Δ
−
Π
C
g
ε
g
H
(
k
)
(
)
 j
j
j
j ;
d ex m
in j
2 j =4  Gm ( k )
2ε d

(3)
C42 ≡| ζ ( ± ) |2 ,
C52 ≡| ζ (  ) |2 .
Выражения для величин Γ j , ϒ j , Δ j и Π j приведены в «Приложении А».
Отметим сразу, что сама по себе нелинейная поправка к частоте в асимптотическом анализе означает лишь расплывание нелинейной волны со временем за счет различия в фазовых скоростях
поправок различных порядков малости, но, тем не менее, она оказывает существенное влияние на закономерности реализации неустойчивости волны.
Квадратная скобка в уравнении (2) равна нулю, поскольку содержит дисперсионное уравнение. Т.к. до сих пор не использовано
второе начальное условие, сформулируем его в виде требования,
w = πη 2 ;
246
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чтобы коэффициент A4( ± ) был равен нулю. Тогда из уравнения (2)
±
зависимость комплексных амплитуд ζ ( ) от временного масштаба
T2 определится в виде:
ζ ( ± ) = C ⋅ exp  −iT2 ⋅ s ( ± ) (k ) ωm (k )  .
Поскольку, s ( + ) и s ( − ) характеризуют поправку к одной и той
же частоте ωm ( k ) , очевидно, что они должны быть равны, что говорит об эквивалентности ζ ( + ) и ζ ( − ) . Таким образом, для ζ = ζ (T2 )
можно записать окончательное выражение:
ζ = C ⋅ exp [ −iT2 ⋅ s(k ) ωm (k )];
(4)
где C – постоянная интегрирования, которая определяется из
первого начального условия C = ζ ( 0 ) . Учитывая, что ζ ( + ) = ζ ( − ) ,
приведем соотношение для определения коэффициентов A j :
A j = α jC 3 ,
j = {1,2,3};
−1
(
) {
( )
( )
( )
2

2
α j = ω j − ωm j (k j )  ω j Γ j + Gm j k j ⋅ ϒ j +


ηGm j ( k j ) in
 g m k j ⋅ Δ j − ε d g mex k j ⋅ H m k j ⋅ Π j  ;
+
j
j

2ε d  j
2ε + (ε d − 1) ⋅ H m ( x)
g min ( x) ≡ d
;
f m ( x)
2 + (ε d − 1) ⋅ Gm ( x)
g mex ≡
;
f m ( x)
( )
ω j ≡ {3ωm ( k ),3ωm ( k ),ωm ( k )},
}
(5)
k j ≡ {3k ,3k , k },
m j ≡ {3m, m,3m} .
Коэффициенты B j и Dj несложно найти, зная Aj :
(
)(
)
B j ≡ −i [ k j ⋅ I m′ j ( k j )] ω j A j − Γ j C 3 ;
j = {1, 2,3}.
3 

ε
C

in
d
Cj ≡
2πη g m j ( k j ) ⋅ Aj +  Δ j − H m j ( k j ) ⋅ Π j 
,
εd I m j (k j ) 
f m j (k j ) 


1
3


1
C
ex


Dj ≡
2
g
(
)
A
ε
G
(
)
⋅
+
Δ
−
⋅
Π
πη
k
k

 . (6)
mj
j
j
j
 j d mj j
K m j (k j ) 
f m j (k j ) 


247
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Финальное выражение для формы струи. Обсуждение
полученных результатов. Собирая вместе поправки всех порядков малости, получим, что форма свободной поверхности жидкости струи в произвольный момент времени с учетом выражения (4)
будет описываться уравнением:

s( k ) 
r (φ , z , t ) = 1 + ε ⋅ cos( mϕ ) cos  θ − ε 2
t−
(
k
)
ω
m


2
−0.25 ⋅ ε [ 0.5 − ( a1 cos(2mϕ ) + a2 ) cos(2θ ) − a3 cos(2mϕ ) ] +
+ (ε 3 16){[α1 cos(3mϕ ) + α 2 cos( mϕ )] cos(3θ ) + α 3 cos(3mϕ ) cos(θ )}.
(7)
Условие реализации неустойчивости струи по отношению к
действию сил поверхностного натяжения и давлению электрического поля заключается в прохождении квадрата частоты через
ноль в область отрицательных значений. С учетом наличия нелинейной поправки к частоте в третьем порядке малости это условие
приведет к соотношению:
2

2 s 
2
2
 ωm + ε
 ≈ ωm + 2ε s = 0.
ωm 

Несложно видеть, что влияние нелинейной поправки на критическую для начала реализации неустойчивости струи длину волны
k и критическое значение параметра w будет различным при s > 0
и при s < 0 .
Из (7) и вида нелинейных поправок третьего порядка малости
3 
3 
( 3) 
Φ ( r , t ), Ψ ( ) ( r , t ) и ξ ( ) ( r , t ) несложно видеть, что они имеют резонансный характер, определяющийся видом коэффициентов, которые при определенных соотношениях между частотами волн стремятся к бесконечности, что в теории нелинейных осцилляций и
волн соответствует проявлению резонансного обмена энергией
между волнами. Положения резонансов определяются требованием стремления к бесконечности коэффициентов α j , через которые
определяются амплитудные множители Aj , B j , D j при нелинейных поправках третьего порядка малости. Согласно (5)-(6) условия
реализации вырожденного четырехмодового резонансного взаимодействия волн имеют вид:
(
ω 2j − ωm j ( k j )
)
2
= 0;
(8)
248
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где ω j – частота моды, в которую энергия перекачивается, и
ωm j ( k j ) – частота моды, определяющей форму начальной деформации, от которой энергия отбирается, определяются дисперсионным уравнением:
ωm2 (k ) =
Gm (k )
k 2 + m 2 − 1 ε d ⋅ f m (k ) +
ε d ⋅ f m (k )
{(
)
}
+ w ε d ( 4 + (ε d − 3)Gm ( k ) ) + ( 3ε d − 1 + (ε d − 1) 2 Gm ( k ) ) H m ( k )  ;
f m ( x ) ≡ ε d Gm ( x) − H m ( x);
ωm j ≡ {3ωm ( k ),3ωm ( k ), ωm ( k )},
k j ≡ {3k ,3k , k },
m j ≡ {3m, m,3m} .
(9)
В
нелинейных поправках третьего порядка малости

и ξ (3) ( r , t ) сохраняются и вырожденные трехмодовые резонансы, характерные для квадратичного приближения. Их
положения зависят диэлектрической проницаемости жидкости и
определяются требованием стремления к бесконечности коэффициентов a j , входящих в определение амплитудных коэффициентов
второго и третьего порядков малости. Условия реализации трехмодовых резонансов записываются в виде:
4ωm2 ( k ) − ω22m (2k ) = 0;
4ωm2 ( k ) − ω02 (2k ) = 0.
(10)
Исследование закономерностей резонансного обмена энергией
между волнами требует отдельного рассмотрения, но из (8) – (10)
сразу можно сказать, что в реализующихся вырожденных резонансах перенос энергии между длинными и короткими волнами идет
лишь в одном направлении: от длинных волн к коротким, независимо от симметрии взаимодействующих волн.
На рис.1 – рис.4 приведены рассчитанные по (3) графики зависимости величины нелинейной поправки к частоте s* ≡ ε 2 s / ω 2 от
параметра w , характеризующего заряд, приходящийся на единицу
длины струи, и безразмерного волнового числа k для различных
значений азимутального числа m и диэлектрической проницаемости жидкости ε d . Из рис.1 – рис.4 видно, что величина и знак (а,
следовательно, и влияние на критические условия неустойчивости
струи) нелинейной поправки к частоте зависят не только от диэлектрической проницаемости жидкости ε d , величины электрического заряда, приходящегося на единицу длины струи (от величи
3 
Φ ( r , t ), Ψ ( ) ( r , t )
( 3)
249
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ны параметра w ), и от волнового числа k , но и от азимутального
числа m : при изменении асимметрии начального возмущения
струи (то есть, числа m ), изменяется и спектр неустойчивых волн.
Видно, также, что нелинейная поправка к частоте имеет
1
0.5
s* 0
- 0.5
5
0
2.5
1
0.5
s* 05
- 0.5
0
2.5
0
2.5
W
5
5
7.5
2.5
W
k
5
5
7.5
7.5
10 10
10 10
Рис.1а. m = 0 ; ε d = 30 .
Рис.1б. m = 0 ; ε d = 1000.
1
0.5
s* 0
- 0.5
5
0
2.5
W
0
2.5
5
5
7.5
k
7.5
1
0.5
s* 05
- 0.5
0
2.5
0
2.5
W
k
7.5
5
5
7.5
k
7.5
10 10
10 10
Рис.2а. То же, что на
Рис.2б. То же, что на
рис.1а, но при m = 1 .
рис.1б, но при m = 1 .
1
0.5
* 0
- s0.5
5
0
0
2
1
0.5
s* 05
- 0.5
0
2
4
W 6
4
6
8
0
2
2
4
W 6
k
8
4
6
8
k
8
10 10
10 10
Рис.3а. То же, что на
Рис.3а. То же, что на
250
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рис.1а, но при m = 2 .
рис.1б, но при m = 2 .
Рис.1.- Рис.4. Рассчитанные по (3) при графики зависимости величины нелинейной поправки к частоте s* ≡ ε 2 s / ω 2 , обезразмеренной на частоту, от параметра w , характеризующего
заряд, приходящийся на единицу длины струи, и безразмерного
волнового числа k для ε = 0.2 , пересеченные плоскостью s* = 0 .
1
0.5
s* 05
- 0.5
0
0
2
1
0.5
s* 05
- 0.5
0
2
4
W
6
8
2
4
W 6
4
6
0
2
k
4
6
8
8
k
8
10 10
10 10
Рис.4а. То же, что на
Рис.4б. То же, что на
рис.1а, но при m = 3 .
рис.1б, но при m = 3 .
резонансный вид, и в окрестностях резонансов, положения которых зависят от всех контролируемых параметров, следует обращать внимание на выполнение требования асимптотичности разложений.
Заключение. В асимптотических расчетах третьего порядка
малости нелинейных осцилляций объемно заряженной струи идеальной несжимаемой диэлектрической жидкости появляются нелинейные поправки к частотам, квадратичные по амплитуде, зависящие от вида начальной деформации струи, от величины диэлектрической проницаемости жидкости, имеющие резонансный вид и
оказывающие влияние на критические условия реализации неустойчивости струи.
Приложение А. Выражения для величин Γ j , ϒ j и Δ j , Π j
j = {1,..,5} , использующихся при записи решения третьего порядка
малости.
251
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)
(
)
Γ1 = b1 ⋅ I 2 m (2k ) 6k 2 + 6m 2 − G2 m (2k ) + a1 ⋅ ω 3k 2 + 3m 2 − Gm (k ) Gm (k ) −
−ω  k 2 + 7m 2 − (3k 2 + 3m 2 + 2)Gm (k )  2Gm (k );
(
)
ω ≡ ωm ( k );
(
)
Γ 2 = b1 ⋅ I 2 m (2k ) 6k 2 + 2m 2 − G2 m (2k ) + a1 ⋅ ω 3k 2 − m 2 − Gm (k ) Gm ( k ) +
(
)
(
)
+2b2 ⋅ I 0 (2k ) 6k 2 − G0 (2k ) + 2a2 ⋅ ω 3k 2 + m 2 − Gm (k ) Gm (k ) −
−ω 3k 2 + 5m 2 − (9k 2 + m 2 + 6)Gm ( k )  2Gm ( k );
(
)
(
)
Γ3 = b1 ⋅ I 2 m (2k ) 2k 2 + 6m 2 − G2 m (2k ) + a1 ⋅ ω k 2 − 3m 2 + Gm (k ) Gm ( k ) +
(
)
+ a3 2ω k 2 + 3m 2 − Gm (k ) Gm (k ) − ω  k 2 + 7 m2 − (3k 2 + 3m 2 + 2)Gm (k )  2Gm (k );
(
)
(
)
Γ 4 = b1 ⋅ I 2 m (2k ) 2k 2 + 2m 2 − G2 m (2k ) + a1 ⋅ ω k 2 + m 2 + Gm ( k ) Gm ( k ) −
−ω 3k 2 + 9m 2 − (3k 2 + 3m 2 + 4)Gm ( k )  2Gm ( k );
(
)
(
)
Γ5 = 2b2 ⋅ I 0 (2k ) 2k 2 − G0 (2k ) + a2 ⋅ 2ω k 2 − m 2 + Gm ( k ) Gm (k ) +
(
)
+ a3 ⋅ 2ω k 2 − m 2 − Gm ( k ) Gm ( k ) − ω  2k 2 − (3k 2 − m 2 + 3)Gm ( k )  Gm ( k );

w
ϒ1 = a1 2 − ω 2 + 2k 2 − 12m2 + 1 + ( k 2 + m2 ) ( 2 − 3g ex ) + 2 ( ginGm ( k ) + g ex H m ( k ) ) −
εd

−ε d 3 + k 2 + m2 ( 4 − 5 g ex ) + 2 g ex H m (k )  + ε d2 2 k 2 + m2 (1 − g ex )  +
ε −1
+b1 ⋅ ω I 2 m (2k )  2 k 2 + m 2 Gm (k ) − 3G2 m (2k )  + d1 ⋅η d
K 2 m (2k ) 6 k 2 + m 2 −
2ε d
(
)
(
(
− ginGm (k ) H 2 m
+
)
(2k ) − ε 2 ( k
}
)
d
(
2
)
(
)
)
+ m2 (1 − gex )  − ω 2  k 2 + m2 Gm (k ) + 2m2  2Gm2 (k ) +
w
−4 ( ginGm ( k ) + g ex H m ( k ) ) − 2 g ex2 H m2 ( k ) + 2 ( k 2 + m2 )( gin + 2 H m ( k ) g ex2 ) −
2ε d
{
−k 2  2 − 5 g ex (1 − H m (k ) )  − m 2  4 − g ex (11 − 5 H m (k ) )  + ε d 2 [ 2 + 3 g ex H m (k ) +
+ g ex2 H m2 (k )  + ε d k 2  4 − g ex ( 7 − 9 H m (k ) )  +ε d m 2 8 − g ex (17 − 9 H m (k ) ) + 2 g ex2  −
(
)
(
)
) + 3k m + 1.5 ( k
}
−ε d 8 k 2 + m2 H m (k ) gex2 − ε d2 2 (1 − gex )  2 k 2 + m2 g ex H m (k ) + k 2 + m2 ( 2 − g ex )  +
(
+ c1 ⋅η I 2 m (2k )G2 m (2k ) − 1 − 0.5 k 2 − 9m 2
2
2
4
)
+ m 4 + 1.5ω 2 ;

w
ϒ 2 = a1 2 − ω 2 + 2k 2 − 8m2 +  k 2 ( 2 − 3gex ) − m2 ( 2 − gex ) + 2 ( ginGm (k ) + gex H m (k ) ) +
εd

(
)
}
+1 − ε d 3 + k 2 ( 4 − 5 g ex ) − m2 ( 4 − 3 g ex ) + 2 g ex H m (k )  + ε d2 2 k 2 − m2 (1 − g ex )  +
252
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

w
+2a2 2 − ω 2 + 2 ( k 2 − m2 ) + [1 + 2 ( ginGm ( k ) + g ex H m ( k ) ) + k 2 ( 2 − 3g ex ) − m2 g ex −
εd

−ε d 3 + k 2 ( 4 − 5 g ex ) − m 2 g ex + 2 g ex H m (k )  + ε d2 2k 2 (1 − g ex )  + c1η I 2 m (2k )G2 m (2k ) +
(
}
)
+b1ω I 2 m (2k )  2 k 2 − m2 Gm (k ) − 3G2 m (2k )  + b2 2ω I 0 (2k )  2k 2 Gm (k ) − 3G0 (2k )  +
εd − 1
K 2 m (2k )  2 3k 2 + m 2 − ginGm (k ) H 2 m (2k ) − ε d 2 k 2 − m 2 (1 − g ex )  +
2ε d
ε −1
+ d 2η d
K 0 (2k ) 6k 2 − ginGm (k ) H 0 (2k ) − ε d 2k 2 (1 − g ex )  + c2 2η I 0 (2k )G0 (2k ) +
εd
w
+
−12 ( ginGm ( k ) + g ex H m ( k ) ) − 6 g ex2 H m2 ( k ) + 4 ( 3k 2 + m2 ) H m ( k ) g ex2 − 3k 2 [ 2 −
2ε d
(
+ d1 ⋅η
)
(
)
{
−2 gin − 5 gex (1 − H m (k ) )  + m2  4 + 6 gin + g ex ( 9 + H m (k ) )  + ε d 6 [ 2 + 3g ex H m (k ) +
+ g ex2 H m2 (k )  + ε d 3k 2  4 − g ex ( 7 − 9 H m (k ) ) − 8 g ex2 H m (k )  − ε d m 2  g ex ( 3 + 5 H m (k ) ) +
}
+ 8 + 2 g ex2  − ε d2 2 (1 − g ex ) 3k 2 (1 + 2 g ex H m (k ) ) − m2 ( 2 − g ex + 2 g ex H m (k ) )  + 4.5ω 2 −
(
)
(
)
−ω 2  3k 2 + 11m 2 Gm (k ) − 2m 2  2Gm2 (k ) − 3 − k 2 m 2 + 1.5 3k 4 − m 4 − k 2 + 5m 2 ;

w
ϒ 3 = a1 2 − ω 2 − 2k 2 − 12m2 +  m2 ( 2 − 3g ex ) − k 2 ( 2 − g ex ) + 2 ( ginGm (k ) + g ex H m (k ) ) +
εd

(
)
}
+1 − ε d 3 − k 2 ( 4 − 3g ex ) + m2 ( 4 − 5 g ex ) + 2 g ex H m (k )  − ε d2 2 k 2 − m2 (1 − g ex )  +

w
+2a3 2 − ω 2 − 12m2 + [1 + 2 ( ginGm ( k ) + g ex H m ( k ) ) − k 2 g ex + m2 ( 2 − 3g ex ) −
εd

}
−ε d 3 − k 2 g ex + m 2 ( 4 − 5 g ex ) + 2 g ex H m (k )  + ε d2 2m2 (1 − g ex )  + c1η I 2 m (2k )G2 m (2k ) +
(
)
+c3 ⋅ 4η m + b1 ⋅ ω I 2 m (2k )  2 k 2 − m2 Gm (k ) − G2 m (2k )  +
εd − 1
K 2 m (2k )  2 ( k 2 + 3m2 ) − ginGm ( k ) H 2 m (2k ) + ε d 2 ( k 2 − m2 ) (1 − g ex )  +
2ε d
ε −1
+ d3 ⋅η d
2m 3m + g inGm (k ) − ε d m (1 − g ex )  + 0.5ω 2 +
εd
w
+
−12 ( ginGm ( k ) + g ex H m ( k ) ) − 6 g ex2 H m2 ( k ) + 4 ( k 2 + 3m2 ) H m ( k ) g ex2 + k 2 [ 2 +
2ε d
+ d1 ⋅η
{
+6 gin + gex ( 7 + H m (k ) )  − 3m2  4 − 2 gin − g ex (11 − 5H m (k ) )  + ε d 6 [ 2 + 3gex H m (k ) +
253
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+ g ex2 H m2 (k )  − ε d k 2  4 + 5 g ex (1 + H m (k ) )  + ε d 3m 2 8 − g ex (17 − 9 H m (k ) ) +
}
+ ( 2 − 8H m (k ) ) gex2  + ε d2 2 (1 − g ex )  k 2 (1 + 2 gex H m (k ) ) − 3m2 ( 2 − gex + 2 g ex H m (k ) )  +
(
)
(
)
+ω 2  5k 2 − 3m 2 Gm (k ) + 2m 2  2Gm2 (k ) − 3 − k 2 m 2 + 0.5 −3k 4 + 9m 4 + k 2 + 27m 2 ;

w
ϒ 4 = a1 2 − ω 2 − 2k 2 − 8m2 + 1 − ( k 2 + m2 ) ( 2 − g ex ) + 2 ( ginGm ( k ) + g ex H m ( k ) ) −
εd

−ε d 3 − k 2 + m2 ( 4 − 3gex ) + 2 g ex H m (k )  − ε d2 2 k 2 + m2 (1 − g ex )  +
ε −1
K 2 m (2k )  2 k 2 + m 2 −
+b1 ⋅ ω I 2 m (2k )  2 k 2 + m 2 Gm ( k ) − G2 m (2k )  + d1 ⋅η d
2ε d
(
− ginGm (k ) H 2 m
+
)
(
(
)
(2k ) + ε 2 ( k
d
}
)
(
2
)
(
)
)
+ m2 (1 − gex )  + ω 2 5 k 2 + m2 Gm (k ) − 6m2  2Gm2 (k ) +
w
−2 − 16 ( ginGm ( k ) + g ex H m ( k ) ) − 6 g ex2 H m2 ( k ) + 2 ( k 2 + m2 )( 3gin + 2 H m ( k ) g ex2 ) −
2ε d
{
+ k 2  2 + g ex ( 9 + H m (k ) )  + m 2  4 + g ex (11 + H m (k ) )  + ε d 2 [9 + 11g ex H m (k ) +
+ 3g ex2 H m2 (k )  − ε d k 2  4 + g ex ( 7 + 5 H m (k ) )  − ε d m 2 8 + 5 g ex (1 + H m (k ) ) + 2 g ex2  +
}
ε −1
ginGm (k ) +
+ε d2 2 (1 − gex )  2 k 2 + m2 g ex H m (k ) + k 2 + m2 ( 2 − g ex )  − d 4 ⋅η d
εd
(
)
(
)
(
)
+c1 ⋅η I 2 m (2k )G2 m (2k ) − 5 + 0.5 k 2 + 19m 2 − 3k 2 m 2 − 1.5 k 4 + m 4 + 1.5ω 2 ;

w
ϒ 5 = 2a2 2 − ω 2 − 2 ( k 2 + m2 ) + 1 − k 2 ( 2 − g ex ) − m2 g ex + 2 ( ginGm ( k ) + g ex H m ( k ) ) −
εd

−ε d 3 − k 2 ( 4 − 3gex ) − m2 g ex + 2 g ex H m (k )  − ε d2 2k 2 (1 − g ex )  + 2a3 2 − ω 2 − 8m2 +
}
+
{
w
1 + 2 ( ginGm (k ) + gex H m (k ) ) − k 2 gex − m2 ( 2 − gex ) − ε d 3 − k 2 gex − m2 ( 4 − 3gex ) +
εd
}
+ 2 g ex H m (k ) ] − ε d2 2m 2 (1 − g ex )  + b2 ⋅ 2ω I 0 (2k )  2k 2 Gm (k ) − G0 (2k )  + c3 ⋅ 4η m +
εd − 1
K 0 (2k )  2k 2 − ginGm (k ) H 0 (2k ) + ε d 2k 2 (1 − g ex )  +
εd
ε −1
ε −1
ginGm (k ) +
+ d3 ⋅η d
2m  m + ginGm (k ) + ε d m (1 − g ex )  − d 4 ⋅η d
εd
εd
w
+
−1 − 14 ( ginGm ( k ) + g ex H m ( k ) ) − 6 g ex2 H m2 ( k ) + 4 ( k 2 + m 2 ) H m ( k ) g ex2 +
εd
+c2 2η I 0 (2k )G0 (2k ) + d 2η
{
254
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+ k 2  gin ( 6 + Gm (k ) ) + 8 g ex  + m 2  2 + gin ( 6 + Gm (k ) ) + 10 g ex  + ε d [15 + 20 g ex H m (k ) +
+ 6 g ex2 H m2 (k )  − ε d k 2  4 + g ex ( 6 + 5 H m (k ) )  − ε d m 2 8 + g ex ( 4 + 5 H m (k ) ) + 2 g ex2  +
}
+ε d2 2 (1 − gex )  k 2 (1 + 2 gex H m (k ) ) + m2 ( 2 − g ex + 2 g ex H m (k ) )  + 2ω 2 +
(
)
(
)
(k ) ) +
+ω 2  5k 2 − 3m 2 Gm (k ) + 2m 2  2Gm2 (k ) − 8 + 2k 2 m 2 − 3 k 4 + m 4 + k 2 + 17m 2 ;
Π1 = −
2πη πη
−
gin k 2 + m 2 − Gm (k ) + πη g ex k 2 + m 2 − H m
3
εd
(
)
(
2πη
 M − 0.5 ( ε d + 1)  − c1I 2 m (2k )G2 m (2k ) + d1K 2 m (2k ) H 2 m (2k );
εd 
3πη
Π 2 = −2πη −
g in k 2 + m 2 − Gm (k ) + 3πη g ex k 2 + m 2 − H m (k ) +
εd
2πη
 M − 0.5 ( ε d + 1)  − c1I 2 m (2k )G2 m (2k ) − c2 2 I 0 (2k )G0 (2k ) +
+ ( a1 + 2a2 )
εd 
+ a1
(
)
(
)
+ d1K 2 m (2k ) H 2 m (2k ) + d 2 2 K0 (2k ) H 0 (2k );
3πη
Π 3 = −2πη −
gin k 2 + m 2 − Gm (k ) + 3πη g ex k 2 + m 2 − H m (k ) − ( c3 + d3 ) 4m +
εd
2πη
 M − 0.5 ( ε d + 1)  − c1I 2 m (2k )G2 m (2k ) + d1K 2 m (2k ) H 2 m (2k );
+ ( a1 + 2a3 )
εd 
2πη 2πη
Π 4 = −6πη −
−
gin ( 3k 2 + 3m2 − 4Gm (k ) ) + 2πη gex ( 3k 2 + 3m2 − 4H m (k ) ) +
εd
εd
( ε d + 1)  − c 2I (2k )G (2k ) − c + d 4m + d 2 K (2k ) H (2k );
4πη 
+ ( a2 + a3 )
( 3 3)
M −
 2 0
0
2
0
0
εd 
2 
2πη πη
Π 5 = −4πη −
−
gin ( 3k 2 + 3m 2 − 5Gm (k ) ) + πη g ex ( 3k 2 + 3m 2 − 5 H m (k ) ) +
εd
εd
2πη
 M − 0.5 ( ε d + 1)  − c1I 2 m (2k )G2 m (2k ) + d1K 2 m (2k ) H 2 m (2k );
+ a1
εd 
(
(
)
)
(
(
Δ1 = −2πη 3k 2 + 3m 2 + 1 + πη k 2 + 7 m 2
(
)
)( g
in
)
(
(
−c1ε d I 2 m (2k ) 6k 2 + 6m 2 − G2 m (2k ) + d1 K 2 m (2k ) 6k 2 + 6m 2 − H 2 m
(
)
(
)( g − g ) −
(2k ) ) ;
− m )( g − g ) −
− g ex ) − a1 6πη k 2 + m 2
in
ex
)
(
−a 4πη ( 3k + m ) ( g − g ) − c ε I (2k ) ( 6k + 2m − G (2k ) ) − c ε 2I (2k ) 6k −
−G (2k )] + d K (2k ) ( 6k + 2m − H (2k ) ) + d 2 K (2k ) ( 6k − H (2k ) ) ;
Δ = −2πη ( k + 9m + 3) + 3πη ( k + 7 m ) ( g − g ) + a 2πη ( k − 3m ) ( g − g ) −
Δ 2 = −2πη 9k 2 + m 2 + 3 + πη 3k 2 + 5m 2 ( gin − g ex ) − a1 2πη 3k 2
2
2
2
2
in
2
0
1
2m
2
ex
2
2m
2
2 d
0
2
2m
2
in
2
1 d 2m
ex
2
2
2
0
0
2
2
in
3
255
ex
1
2
in
ex
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
(2k ) ( 2k
)
(
)
−a3 4πη k 2 + 3m 2 ( gin − g ex ) − c1ε d I 2 m (2k ) 2k 2 + 6m 2 − G2 m (2k ) − c3ε d 4m ( 3m − 1) +
+ d1K 2 m
2
(
)
+ 6m 2 − H 2 m (2k ) + d 3 4m ( 3m + 1) ;
)
(
)
+4πη ( a − a ) ( k − m ) ( g − g ) − c ε 2 I (2k ) ( 2k − G (2k ) ) − c ε 4m ( m − 1) +
+ d 2 K (2k ) ( 2k − H (2k ) ) + d 4m ( m + 1) ;
Δ = −2πη ( k + m + 3) + πη ( 5k + 7 m ) ( g − g ) + a 2πη ( k + m ) ( g − g ) −
−c ε I (2k ) ( 2k + 2m − G (2k ) ) + d K (2k ) ( 2k + 2m − H (2k ) ) ;
Δ 4 = −4πη k 2 + m 2 + 3 + 4πη 2k 2 + 3m 2 ( gin − g ex ) +
2
2
2
2
3
in
2 d
ex
0
0
3 d
2
2
0
0
2
3
2
2
2
2
in
5
2
1 d 2m
ex
2
2
2m
1
2
in
1
2m
ex
2
2m
1 w
−
( ε d − 3) ;
2 2ε d
Q1 = −ε d f 2 m (2k )  4ωm2 (k ) − ω22m (2k )  ;
a1 ≡ P1 Q1 ;
b0 ≡ Y4 +
P1 = − (Y1G2 m (2k ) + 2ω ⋅ X 1 ) ε d ⋅ f 2 m (2k ) + w ⋅ G2 m (2k ) ⋅ {2ε d ( −1 + H 2 m (2k ) ) +
(
)
(
+0.5 ε d2 − 1 G2 m (2k ) H 2 m (2k ) + 2 k 2 + m 2
)( g
in
− g ex )( 2ε d + (ε d − 1) H 2 m (2k ) ) −
− g in Gm ( k ) ⋅ [ ε d + 1 + (ε d − 1)G2 m (2k ) ] H 2 m (2k ) +
+ g ex H m (k ) ⋅ [3ε d − 1 + ε d (ε d − 1)G2 m (2k ) ] H 2 m (2k )} ;
a2 ≡ P2 Q2 ;
Q2 = −ε d ⋅ f 0 (2k )  4ωm2 (k ) − ω02 (2k )  ;
P2 = − (Y2G0 (2k ) + 2ω ⋅ X 2 ) ε d ⋅ f 0 (2k ) + w ⋅ G0 (2k ) ⋅ {2ε d ( −1 + H 0 (2k ) ) +
(
)
+0.5 ε d2 − 1 G0 (2k ) H 0 (2k ) + 2k 2 ( g in − g ex )( 2ε d + (ε d − 1) H 0 (2k ) ) −
− g in Gm ( k ) ⋅ [ ε d + 1 + (ε d − 1)G0 (2k ) ] H 0 (2k ) +
+ g ex H m ( k ) ⋅ [3ε d − 1 + ε d (ε d − 1)G0 (2k ) ] H 0 (2k )} ;
a3 ≡ P3 Q3 ;
Q3 = mε d (1 + ε d )(1 − 4m2 ) + w (εd2 + 1)m(2m − 1) + 2εd (3m − 2m2 − 1)  ;
P3 = mε d (1 + εd )Y3 + w {m2 (ε d2 − 1) + ε d (2m + 1) + 2m2 ( gin − gex )( ε d (m − 1) − m ) −
− gin Gm (k )m ( ε d + 1 + 2m(ε d − 1) ) + g ex H m (k )m ( 3ε d − 1 + 2mε d (ε d − 1) )} ;
X1 = ωm (k )  2(k 2 + m2 ) − Gm (k )  Gm (k );
X 2 = ωm (k )  2k 2 − Gm (k )  Gm ( k );
Y1 = 1 + 0.5 ( k 2 − 5m2 ) + ωm2 ( k )  k 2 + m2 − 3Gm2 ( k )  2 Gm2 ( k ) + w ( 2 ginGm ( k ) − 1) ε d −
256
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
−
εd − 1
w 3 + k 2 + m2 − 4 g ex ( k 2 + m2 − H m ( k ) ) + g ex2 H m2 (k ) − ε d ( k 2 + m2 )( g ex − 1) 2  ;
2ε d
Y2 = 1 + 0.5 ( k 2 − 3m2 ) + ωm2 ( k )  k 2 − m2 − 3Gm2 ( k )  2 Gm2 ( k ) + w ( 2 ginGm ( k ) − 1) ε d −
−
εd − 1
w 3 + k 2 − m2 − 4 gex ( k 2 − H m (k ) ) + gex2 H m2 (k ) − ε d ( k 2 − m2 )( gex − 1)2  ;
2ε d
Y3 = 1 − 0.5 ( k 2 + 5m2 ) + ωm2 ( k )  k 2 − m2 − Gm2 ( k )  2 Gm2 ( k ) + w ( 2 ginGm ( k ) − 1) ε d −
−
εd − 1
w 3 − k 2 + m2 − 4 gex ( m2 − H m (k ) ) + gex2 H m2 (k ) + ε d (k 2 − m2 )( gex − 1)2  ;
2ε d
Y4 = 1 − 0.5 ( k 2 + 3m2 ) + ωm2 ( k )  k 2 + m2 − Gm2 ( k )  2 Gm2 ( k ) + w ( 2 ginGm ( k ) − 1) ε d −
−
εd − 1
w 3 − k 2 − m2 + 4 g ex H m (k ) + g ex2 H m2 ( k ) + ε d (k 2 + m2 )( g ex − 1) 2  .
2ε d
5.4. Аналитическое асимптотическое решение задачи о нелинейных осцилляциях толстой заряженной струи вязкой
электропроводной жидкости
1. Постановка задачи и её математическая формулировка.
Рассмотрим бесконечную, движущуюся вдоль оси симметрии с
постоянной скоростью U 0 цилиндрическую струю радиуса R
вязкой несжимаемой жидкости с массовой плотностью ρ,
кинематической вязкостью ν и коэффициентом поверхностного
натяжения γ , поддерживаемую при постоянном электрическом
потенциале. Будем считать, что жидкость является идеально
проводящей
и
электрический
заряд
распределен
по
цилиндрической в отсутствие возмущений поверхности струи с
постоянной поверхностной плотностью заряда χ .
Введём цилиндрическую
систему координат, начало которой

движется со скоростью U 0 , а ось OZ направлена вдоль оси симмет 
рии невозмущенной струи по направлению ее движения: nz U 0 . Зададимся целью проследить эволюцию во времени распространяющейся по поверхности струи в положительном направлении оси
OZ осесимметричной волны с волновым числом k0 , амплитуда которой мала по сравнению с ее длиной. Очевидно, что в выбранной
системе координат поле скоростей движения жидкости в струе бу-
257
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дет полностью определяться капиллярными колебаниями ее поверхности.
Все рассмотрение проведем в безразмерных переменных, приняв в качестве основных характерных масштабов величины R, ρ , γ
(т.е., полагая, R = ρ = γ = 1 ). В этом случае уравнение свободной поверхности струи,
возмущенной капиллярным волновым движением, в произвольный момент времени t запишется в виде
r = 1 + ξ ( z, t ) ;
ξ << 1
(1)
где r , z – цилиндрические координаты, t - время, ξ - функция,
описывающая искажение равновесной цилиндрической формы
струи, а начальная деформация струи определится выражением:
ξ ( z, t = 0 ) = ε ⋅ exp ( i k0 z ) + к.с. ; ε << 1;
(2)
где ε – малый параметр, определенный как безразмерная амплитуда начальной деформации цилиндрической струи; к.с. - аббревиатура, обозначающая слагаемые, комплексно сопряжённые к
выписанным.
Математическая формулировка задачи состоит из уравнений
гидродинамики и электростатики (в предположении, что скорость
движения жидкости много меньше релятивистской):





∂ tU + U ∇ U = −∇P + ν ΔU ;
divU = 0;
(3)
ΔΦ = 0
(
)
условий ограниченности для поля скоростей на оси струи и для
напряженности электрического поля струи на бесконечности:

r → 0:
U < ∞;
r → ∞:
∇Φ → 0
(4)
граничных условий на свободной поверхности (1):
кинематического:

r =1+ ξ:
∂ t F + U ∇F = 0 ;
F ( r , z , t ) ≡ r − 1 + ξ ( z , t ) 
(5)
динамических:
  

 
τ ( n ∇ )U + n (τ ∇ )U = 0 ;
(6)

 
− ( P − Patm ) + 2ν n ( n ∇ )U − Pq + Pγ = 0
(7)
258
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
условия эквипотенциальности поверхности струи:
Φ = Φ S (t )
(8)


∂ t – означает частную производную по переменной t , n и τ –
орты нормали и касательной к поверхности (1), P – давление жидкости внутри струи, Patm – атмосферное давление, Pq и Pγ – давления электрического поля и сил поверхностного натяжения соответственно, Φ – электрический потенциал в окрестности струи, Φ S ( t )
– потенциал поверхности струи.
Для полного замыкания системы уравнений (3) – (8) необходимо задать еще два начальных условия. В качестве одного из них
естественно выбрать форму струи в начальный момент времени
(2). В качестве второго – примем нулевое значение начального поля скоростей волнового движения:

U =0 .
t = 0:
(9)
2. Ход решения. Решение нелинейной системы уравнений (2)
– (9) будем искать в виде прямого разложения по малому параметру ε , который по смыслу является отношением амплитуды волны к
радиусу струи. Ограничиваясь точностью до второго порядка малости включительно, представим все искомые функции в виде
асимптотических разложений по степеням ε :
2
ξ ( z , t ) = ε ⋅ξ (1) ( z , t ) + ε 2 ⋅ ξ ( ) ( z , t ) + Ο(ε 3 )


(1)
2
(2)
U ( r , z, t ) = ε U r ( r , z , t ) + ε U r ( r , z , t )  e r +

(1)
2
(2)
+ ε U z ( r , z , t ) + ε U z ( r , z , t )  e z + O ( ε 3 )
P ( r , z , t ) = P (0) + ε P (1) ( r , z , t ) + ε 2 P (2) ( r , z , t ) + O ( ε 3 )
Φ (r , z , t ) = Φ
( 0)
(r ) + ε ⋅Φ ( ) (r , z , t ) + ε 2 ⋅ Φ ( ) (r , z , t ) + Ο(ε 3 )
1
2
(10)

e r , e z – орты цилиндрической системы координат.
В виде аналогичных разложений представим давления PΦ , Pσ и
потенциал поверхности струи:
Pq ( z , t ) = Pq( 0) + ε Pq(1) ( z , t ) + ε 2 Pq( 2) ( z , t ) + O ( ε 3 ) ;
Pγ ( z , t ) = Pγ( 0) + ε Pγ(1) ( z , t ) + ε 2 Pγ( 2) ( z, t ) + O ( ε 3 ) ;
259
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(0)
(1)
( 2)
Φ S (t ) = Φ S + ε ⋅Φ S (t ) + ε ⋅ Φ S (t ) + Ο(ε )
2
3
Подставляя данные разложения в выписанную систему уравнений, учитывая
тождества:

 векторные


2
1
U ∇ U = ∇ ( 2 U ) − U × rotU ,
(
(
)
)
(
)
Δ U = grad div U − rot rot U ;
и приравнивая коэффициенты при различных степенях малого
параметра ε, разделим исходную нелинейную задачу, на совокупность связанных между собой линейных неоднородных задач.
В нулевом порядке малости получим задачу, описывающую
равновесное состояние системы:
ΔΦ (0) = 0 ;
∇Φ (0) → 0 ;
r → +∞ :
r = 1:
Φ (0) = Φ (0)
− ( P (0) − Patm ) − Pq(0) + Pγ(0) = 0 ;
S ;
решение которой легко получить в виде:
Φ (0) = −4 π χ ln ( r ) ;
P (0) = Patm − 2 π χ 2 + 1 ,
(11)
если учесть выражение, связывающее равновесный электростатический потенциал в окрестности струи с равновесной по-
(
верхностной плотностью заряда: ∇Φ (
0)
)
r =1
= −4 π χ .
Собирая слагаемые, содержащие малый параметр в первой
степени, выделим задачу первого порядка малости:
1


∂ t U r(1) = −∂ r P (1) + ν  Δ U r(1) − 2 U r(1)  ;
r


(1)
(1)
(1)
∂ t U z = −∂ z P + ν Δ U z ;
1
∂ r U r(1) + U r(1) + ∂ zU z(1) = 0 ;
ΔΦ (1) = 0 ;
r
 (1)
(1)
t = 0 : U = 0 ; ξ = exp ( −i k0 z ) + ( к.с.) ;
r → 0:
r = 1:
U r(1) , U z(1) < ∞ ;
r → +∞ :
∇Φ (1) → 0 ;
∂ rU z(1) + ∂ zU r(1) = 0 ;
∂ t ξ (1) = U r(1) ;
Φ (1) + ξ (1) ∂ r Φ (0) = Φ (1)
S (t ) ;
1
− P (1) + 2 ν ∂ r U r(1) −
∂ r Φ (0) ( ∂ r Φ (1) + ξ (1) ∂ rr Φ (0) ) − (ξ (1) + ∂ zzξ (1) ) = 0
4π
(12)
260
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Собирая слагаемые, содержащие малый параметр во второй
степени, запишем задачу второго порядка малости:

1


∂ t U r(2) + ∂ r P (2) −ν  ΔU r(2) − 2 U r(2)  = − U (1) ⋅ ∇ U r(1) ;
r



∂ t U z(2) + ∂ z P (2) − ν ΔU z(2) = − U (1) ⋅ ∇ U z(1) ;
(
1
∂ r U r(2) + U r(2) + ∂ z U z(2) = 0 ;
r
( 2)
(2)
t = 0:
U = 0 ; ξ = 0;
)
ΔΦ (2) = 0 ;
r → 0:
U r( 2) , U z( 2) < ∞ ;
r = 1:
(1)
(1)
Φ (2) + ξ (2) ∂ r Φ (0) = Φ (2)
−
S (t ) − ξ ∂ r Φ
∇Φ (2) → 0 ;
r → +∞ :
U r (2) − ∂ tξ (2) = U z (1)
;
(
)
1 (1) 2
ξ ) ∂ rr Φ (0) ;
(
2
(1)
(1)
(1)
∂ zξ − ∂ rU r ξ ;
∂ zU r (2) + ∂ rU z (2) = −ξ (1) ∂ r ( ∂ rU z (1) + ∂ zU r (1) ) − 2 ∂ zξ (1) ( ∂ rU r (1) − ∂ zU z (1) )
1
∂ r Φ ( 0 ) ∂ r Φ ( 2 ) + ξ (2) ∂ rr Φ ( 0 ) − (ξ (2) + ∂ zzξ (2) ) =
4π
= ξ (1) ∂ r P (1) − 2ν ξ (1) ∂ rrU r(1) − ∂ zξ (1) ∂ zU r(1) + ∂ rU z(1)  +


− P (2) + 2ν ∂ rU r( 2 ) −
+
(
)
(
)
2
2
1 
∂ r Φ (1) ) + ( ∂ z Φ (1) ) + 2ξ (1) ( ∂ rr Φ (0) ∂ r Φ (1) + ∂ r Φ (0) ∂ rr Φ (1) ) +
(
8π 
( ) ((
)
2
2
1

+ ∂ r Φ ( 0) ∂ rrr Φ ( 0)  −  ξ (1) − ∂ zξ (1)  . (13)
 
2

3. Задача первого порядка малости. Для решения задачи
первого порядка в системе (12) выполним преобразование Лапласа
по времени t и преобразование Фурье по пространственной переменной z :
+∞ +∞


1
,
exp
f (k, S ) =
f
z
t
−
S
t
d
t
( )  exp ( i k z ) d z ,
 ( )

2 π −∞  0

(14)
то есть от функций
+ ξ (1)
2
∂ rr Φ ( 0)
)
2
( )
261
(
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ξ (1) ( z , t ) , U r(1) ( r , z, t ) , U z(1) ( r , z, t ) , P (1) ( r , z , t ) , Φ (1) ( r , z , t ) , Φ (1)
S (t )
перейдем к их изображениям, сохранив прежние обозначения:
ξ (1) ( k , S ) , U r(1) ( r , k , S ) , U z(1) ( r , k , S ) , P (1) ( r , k , S ) , Φ (1) ( r , k , S ) , Φ (1)
S (S )
.
и пользуясь теоремами о дифференцировании по переменным
t и z:
∂t f ( r , z, t ) → S f ( r , k , S ) − f ( r , k , t = 0 ) ;
∂ z f ( r , z , t ) → −i k f ( r , k , S ) ,
при получении изображений для производных ∂ tξ (1) , ∂ tU r(1) ,
∂ tU z(1) учтём начальные условия.
В результате система (12) примет вид
1
1

S U r(1) = − ∂ r P (1) + ν  ∂ r ( r ∂ rU r(1) ) − k 2 U r(1) − 2 U r(1)  ;
r
r

(15)
1

S U z(1) = i k P (1) + ν  ∂ r ( r ∂ rU z(1) ) − k 2U z(1)  ;
r

(16)
1
∂ rU r(1) + U r(1) − i k U z(1) = 0 ;
r
(17)
1
∂ r r ∂ r Φ (1) − k 2 Φ (1) = 0 ;
r
(18)
r → 0:
U r(1) < ∞ ;
U z(1) < ∞ ;
(
)
(19)
Φ (1) → 0 ;
r → +∞ :
(20)
U r(1) − S ξ (1) + 2 π δ ( k − k0 ) = 0 ;
r = 1:
(21)
∂ rU z(1) − i k U r(1) = 0 ;
(22)
262
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
− P (1) + 2 ν ∂ rU r(1) −
;
1
∂ r Φ (0) ( ∂ r Φ (1) + ξ (1) ∂ rr Φ (0) ) − (1 − k 2 ) ξ (1) = 0
4π
(23)
Φ (1) + ξ (1) ∂ r Φ (0) = Φ (1)
S δ (k ) ;
(24)
где δ ( x ) – дельта-функция.
Электростатическая часть выписанной системы, состоящая из
уравнений (18), (20), (24), легко решается и определяет значение
электрического потенциала в первом порядке малости:
K (k r )
Φ (1) ( r , k , S ) = 4 π χ ξ (1) ( k , S ) 0
;
Φ (1)
.
S (S ) = 0
K0 ( k )
(25)
где K n ( x ) – модифицированная функция Бесселя второго рода
порядка n , убывающая при x → ∞ .
Для того, чтобы найти поля скорости жидкости и давления в
струе из уравнения неразрывности (17) выразим z -компоненту
скорости U z(1) ( r , k , S )
i
1

U z(1) = −  ∂ rU r(1) + U r(1)  ;
k
r

(26)
а из уравнения (16) давление P (1) ( r , k , S )
P (1) = −
i
1
(1)
(1)
2 (1)  
S
U
r
U
k
U z  .
−
ν
∂
∂
−
(
)

z
r
r
z
k 
r


(27)
После подстановки выражений (26) и (27) в (15) его можно
привести к виду:
1
1

 2 1  
 2 1  S  (1)
∂
+
∂
−
+
∂
+
∂
−
k


 k + 2  − Uz = 0.
rr
r
rr
r

2 
r
r  
r
r  ν



(28)
Решение уравнения (28), удовлетворяющее условию ограниченности (19), имеет вид
S
l2 ≡ k2 + ,
U r(1) ( r , k , S ) = A ( k , S ) I1 ( k r ) + B ( k , S ) I1 ( l r ) ;
ν
(29)
263
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где A ( k , S ) , B ( k , S ) – неопределённые коэффициенты, I n ( x ) –
модифицированная функция Бесселя первого рода порядка n , убывающая при x → 0 .
Подставляя (29) в (26), (27), найдем U z(1) ( r , k , S ) и P (1) ( r , k , S ) :
l


U z(1) ( r , k , S ) = − i  A ( k , S ) I 0 ( k r ) + B ( k , S ) I 0 ( l r )  ;
k


(30)
S
P (1) ( r , k , S ) = − A ( k , S ) I 0 ( k r ) .
k
(31)
Используя (29), (30) и граничные условия (21) – (22) выразим
неопределённые пока величины A ( k , S ) , B ( k , S ) через функцию
ξ (1) ( k , S ) :
(l
A( k , S ) =
2
+ k2 )ν
I1 ( k )
Sξ( ) −
(
S
1
)
2 π ζ δ ( k − k0 ) ;
2k2 ν
B (k, S ) = −
S ξ (1) − 2 π ζ δ ( k − k0 ) ;
I1 ( l ) S
(
(32)
)
Из последнего динамического граничного условия (23), учитывая решения (11), (25), выражения (29) – (32) получим искомую зависимость ξ (1) ( k , S ) :
ξ
(33)
(1)
D ( k , S ) − ω ( k ))
(
k
,
S
=
δ
k
−
k
2
π
;
( ) (
)
S D (k, S )
2
0

 G ( k ) 
2
2
2
D ( k , S ) ≡ S − 2ν  S G ( k ) − 2 k ( S + ν k ) 1 −
 + ω ( k ) ;
G ( l )  


ω 2 ( k ) ≡ G ( k )  k 2 − 1 + 4 π χ 2 (1 − H ( k ) )  ;
2
G ( x) ≡
x I1 ( x )
;
I0 ( x )
H ( x) ≡
x K1 ( x )
.
K0 ( x )
используя которую для U r(1) ( r , k , S ) , U z(1) ( r , k , S ) , P (1) ( r , k , S )
получим:
264
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
U
(1)
r
U
(1)
z
P
(1)
( r , k , S ) = δ ( k − k0 )

2π ω 2 ( k ) 
2 I1 ( l r )
2 I1 ( k r )
2
k
S
2
k
ν
ν
−
+
(
) I (k ) 

S D (k, S ) 
I1 ( l )
1

;
( r , k , S ) = −i δ ( k − k0 )

2π ω 2 ( k ) 
I0 (l r )
2 I0 ( k r )
− ( S + 2ν k )
 2ν k l

S D (k, S ) 
I1 ( l )
I1 ( k ) 
;
( r , k , S ) = δ ( k − k0 )
(34)
2π ω 2 ( k )
I (k r )
;
S + 2ν k 2 ) 0
(
S D (k, S )
k I1 ( k )
Из выражений (33), (34) видно, что все найденные функции
имеют общую структуру: f ( r , k , S ) = δ ( k − k0 ) 2 π f ( r , k , S ) , поэтому обратное преобразование Фурье приведёт к результату:
∞
1
f ( r , z, S ) =
f ( r , k , S ) e−i k z d k =

2 π −∞
1
=
2π
∞
 ( r , k , S ) e − i k z d k = f ( r , k , S ) e −i k
δ
k
−
k
π
f
2
(
)
0
0

0
z
.
−∞
(35)
Кроме того, из вида выражений (33), (34) видно, что они имеют
особую точку S = 0 и особые точки, положение которых определяется условием D ( k , S ) = 0 . Уравнение D ( k , S ) = 0 представляет собой дисперсионное уравнение задачи и имеет бесконечное число
решений: S = Sk( n ) ( n = 1,2,...) . В каждой из особых точек S = Sk( n )
функция 1 ( S D ( k , S ) ) имеет полюс первого порядка. Поскольку
каждое из выражений (33), (34) при S → ∞ стремится к нулю, то в
формуле обратного преобразования Лапласа интеграл вдоль прямой Re S = a можно заменить контурным интегралом, охватывающим всю левую часть комплексной плоскости, и применить к этому интегралу теорему о вычетах. В результате формула обращения
примет вид
+∞
1 a +i∞
f (t ) =
f ( S )exp( S t ) dS =  res f ( S ( n ) ) exp ( S ( n )t )
.

2π i a−i∞
n=1
(36)
(
265
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Применяя формулы обращения (35), (36) к выражениям (33),
(34), найдем решения первого порядка малости для отклонения поверхности струи от цилиндрической и полей давления и скорости
капиллярных колебаний жидкости в струе в окончательном виде:
ξ (1) ( z, t ) = ξ k(1) ( t ) exp ( −i k0 z ) + ( к.с.) ;
0
(1)
( r , z, t ) = U r(1)k ( r , t ) exp ( −i k0 z ) + ( к.с.) ;
1
U z( ) ( r , z , t ) = iU z(1)k ( r , t ) exp ( −i k0 z ) + ( к.с.) ;
1
1
P( ) ( r , z , t ) = Pk( ) ( r , t ) exp ( −i k0 z ) + ( к.с.) ;
K (k r )
1
1
Φ( ) ( r , z, t ) = 4π χ ξ ( ) ( z, t ) 0 0 ;
K 0 ( k0 )
Ur
0
0
0
где
ξ
(1)
k0
U
U
+∞
n =1
(1)
r k0
(1)
z k0
(1)
k0
P
exp ( S
( t ) =  aξ
( n)
( r , t ) = −  a ( n )
n =1
+∞

n =1

( r , t ) =   a(n)
+∞
( r, t ) =  a
(n)
a
( n)
(S
=
(n)
k0
S
(38)
(n)
k0
I 0 ( k0 r )
I1 ( k0 )
− b( n )
I1 ( k0 )
k0
)
+ 2ν k02 ω 2 ( k0 )
(
− b( n )
S k(0n ) I 0 ( k0 r )
n =1
ln ≡ lk(0n ) ≡ k02 + Sk(0n )ν −1 ;
aξ =
I1 ( k0 )

∂ S D k0 , S
(n)
k0
)
−ω 2 ( k0 )
( n)
I1 ( k0 r )

+∞
t);
(n)
k0
(37)
S
(n)
k0
(
∂ S D k0 , S
(n)
k0
)
;
I1 ( ln r ) 
(n)
 exp Sk0 t ;
I1 ( ln ) 
ln I 0 ( ln r ) 
(n)
 exp ( Sk0 t ) ;
k0 I1 ( ln ) 
(
)
exp ( Sn( k ) t ) ;
;
b
(n)
=
2ν k02 ω 2 ( k0 )
S
(n)
k0
(
∂ S D k0 , S
(n)
k0
)
;
Отметим, что в выражениях (38), определяющих коэффициенты разложений (37): ξ k(1)0 ( t ) , U r(1)k0 ( r , t ) , U z(1)k0 ( r , t ) , Pk(1)
( r , t ) , сум0
мирование ведется по бесконечному набору корней уравнения
D k0 , Sk(0n ) = 0 , а ∂ S D k0 , Sk(0n ) – это значение производной по пе-
(
)
(
)
ременной S от функции D ( k , S ) (см. (33)), вычисленное при k = k0
и S = Sk(0n ) .
266
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Задача второго порядка малости. Краевая задача (13) после подстановки в неё решений нулевого и первого порядков малости ((11) и (37)) примет вид системы линейных неоднородных
дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных относительно величин U r ( 2) , U z (2) , P (2) , ξ ( 2) , Φ (2) . Каждая из
функций неоднородности fi ( r , z , t ) в полученной системе уравнений представима в виде суммы двух компонент:
fi ( r , z , t ) = f1i ( r , t ) exp ( −i 2k0 z ) + f 2 i ( r , t )
Зависимость первой компоненты от координаты z определяется гармонической функцией с волновым числом, равным удвоенному волновому числу начальной волны. Вторая компонента от
координаты z не зависит. Поэтому искомые функции второго порядка малости U r ( 2) , U z (2) , P (2) , ξ ( 2) , Φ (2) представим в виде анналогичных разложений:
U r (2) ( r , z , t ) = U r(12) ( r , z , t ) + U r( 22) ( r , t )
;
U z (2) ( r , z , t ) = U z(12) ( r , z , t ) + U z( 22) ( r , t ) ;
P ( 2) ( r , z , t ) = P1( 2) ( r , z , t ) + P2( 2) ( r , t )
ξ ( 2) ( z, t ) = ξ1( 2) ( z , t ) + ξ 2( 2) ( t ) ;
;
Φ ( ) ( r , z , t ) = Φ1( ) ( r , z , t ) + Φ (2 ) ( r , t )
(39)
Составляющие решений с индексом 1 будем искать из системы
уравнений, аналогичной системе (13), в функциях неоднородности
которой
сохранены
только
первые
компоненты:
f1i ( r , t ) exp ( −i 2k0 z ) . В свою очередь составляющие с индексом 2
(не зависящие от координаты z ) будут являться решениями такой
же системы уравнений, в функциях неоднородности которой сохранены лишь вторые компоненты: f 2 i ( r , t ) .
Рассмотрим решение системы уравнений второго порядка малости для первых компонент в разложениях (39).
Аналогично тому, как это делалось при решении задачи первого порядка, применим к полученной системе интегральное преобразование Фурье по пространственной переменной z и преобразование Лапласа по времени t (14). В целях упрощения записи для
обозначения преобразования Лапласа функций неоднородности
будем использовать следующее обозначение:
2
2
2
267
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f (S ) =
+∞
 f ( t ) exp ( −S t ) d t ≡ ℑ  f ( t ) .
0
В результате, в системе (13) от функций
(2)
ξ1(2) ( z , t ) , U r(2)
P1(2) ( r , z , t ) ,
1 ( r , z , t ) , U z1 ( r , z , t ) ,
Φ1(2) ( r , z , t ) , f1i ( r , t ) exp ( −i 2k0 z )
перейдем к их изображениям, сохранив прежние буквенные
обозначения:
(2)
ξ1(2) ( k , S ) , U r(2)
P1(2) ( r , k , S ) ,
1 ( r , k , S ) , U z1 ( r , k , S ) ,
Φ1(2) ( r , k , S ) , f1i ( r , S ) δ ( k − 2k0 )
Учтем, что в первом порядке проекции поля скоростей жидкости U r(1) ( r , z , t ) и U z(1) ( r , z , t ) связаны уравнением неразрывности и,
используя (37), получим:
i 
1

U z(1) ( r , z , t ) = −  ∂ rU r(1)k ( r , t ) + U r(1)k ( r , t )  exp ( −i k0 z ) + ( к.с.) .
k0 
r

Тогда систему (13) для первых компонент в разложениях (39)
можно привести к виду
1

 2 1  (2) 
( 2)
(2)
S U r(2)
−ν ∂ rrU r(2)
1 + ∂ r P1
1 + ∂ rU r 1 −  k + 2 U r 1  = f11 ( r , S ) δ ( k − 2k0 )
r
r 



(40)
1

( 2)
(2)
(2)
2 (2) 
−
−
∂
+
∂
−
S U z(2)
i
k
P
ν
U
U
k
U z1  = i f12 ( r, S ) δ ( k − 2k0 ) ;
1
1
1
1
rr
z
r
z

r

(41)
1 (2)
∂ rU r(2)
U r1 − i k U z(2)
(42)
1 +
1 = 0;
r
1
(43)
∂ rr Φ1( 2) + ∂ r Φ1( 2) − k 2 Φ1( 2) = 0 ;
r
r → 0:
U r(2)
U z(2)
1 < ∞;
1 < ∞;
0
0
(44)
Φ1( 2) → 0 ;
r → +∞ :
(45)
r = 1:
( 2)
U r(2)
= f13 ( S ) δ ( k − 2 k0 ) ;
1 − S ξ1
(46)
268
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∂ rU z(12) − i kU r(12) = i f14 ( S ) δ ( k − 2 k0 ) ;
(
(47)
)
− P1( 2) + 2ν ∂ rU r(12) + χ ∂ r Φ1( 2) + 4 πχ ξ1( 2) −
− (1 − k 2 ) ξ1( 2) = f15 ( S ) δ ( k − 2 k0 ) ;
(48)
Φ1(2) − 4 πχξ1(2) = f16 ( S ) δ ( k − 2 k0 ) ;
(49)
где функции неоднородности определяются выражениями:
2
1
f11 ( r, S ) ≡ 2π ζ 2 ℑ  Ur(1)k0 ( r, t )  ;

r 
2
2π 2  (1)
1
2

f12 ( r, S ) ≡
ζ ℑUr k0 ( r, t )  ∂rr − ∂r − 2 Ur(1)k0 ( r, t ) − ∂rUr(1)k0 ( r, t ) 
k0
r
r 



(
)
(
)
;
f13 ( S ) ≡ − 2π ζ 2 ℑ ξk(01) ( t )( 2 ∂r + 1)Ur(1)k0 ( r, t ) 
r =1
;
2π 2  (1)
ζ ℑξk0 ( t ) ∂rrr +∂rr + ( 5k02 − 2) ∂r + 2( k02 +1) Ur(1)k0 ( r,t ) ;
r=1
k0
(
f14 ( S ) ≡
{
)
(
)
f15 ( S ) ≡ 2πζ 2 −2ν ℑξk(01) ( t ) 2∂rr +∂r + ( k02 −1) Ur(1)k0 ( r,t )  +

 r=1
+ ℑ ξ k(01) ( t ) ∂ r Pk(01) ( r , t )  +
r =1
2 
1
2


+ 2πχ 2 H ( k0 ) − 4H ( k0 ) − 3k02 + 2 − ( 2 + k02 )  ℑ ξk(01) ( t )  ;

2

 
2
f16 ( S ) ≡ 2π 2πχ ( 2H ( k0 ) −1) ζ 2 ℑ ξk(01) ( t )  .


(
)
(
(
)
)
(50)
Решение системы (40)-(49) начнем с электрической части задачи (43), (45), (49), определяющей первую компоненту (см. (39)) в
добавке второго порядка малости к потенциалу электростатического поля в окрестности струи:
K (k r )
Φ1( 2 ) ( r , k , S ) = 4 πχξ1( 2 ) ( k , S ) + f16 ( S ) δ ( k − 2 k0 ) 0
;
K0 ( k )
(51)
Из уравнения неразрывности (42) выразим проекцию скорости
U z(2)
1 ( r, k , S )
(
)
269
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
i
1  (2)
U z(2)
 ∂ r + U r 1 ( r , k , S ) ;
1 ( r, k , S ) = −
k
r 
(52)
подставим в (41), откуда для давления P1( 2) ( r , k , S ) получим:
1
S
1
P1( 2) ( r, k, S ) = − f12 ( r, S ) δ ( k − 2k0 ) − 2  ∂r + Ur(2)
1 ( r, k, S ) +
k
k 
r
ν 
2
1
1
1 

+ 2  ∂ rrr + ∂ rr −  k 2 + 2  ∂ r −  k 2 − 2  U r(2)
1 ( r, k , S ) ;
k 
r
r 
r
r 

(53)
( 2)
Наконец, подставляя выражения для U z(2)
( r, k , S )
1 ( r , k , S ) и P1
в уравнение (40), получим обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение четвертого порядка для отыскания функции
U r(2)
1 ( r, k , S ) :
1
1

 2 1  
 2 1  S  (2)
k
∂
+
∂
−
+
∂
+
∂
−
 k + 2  −  U r1 ( r , k , S ) =
r
 rr r r 
2    rr
r
r
r  ν

 


k2 
1

=  f11 ( r , S ) + ∂ r f12 ( r , S )  δ ( k − 2k0 ) ;
(54)
ν 
k

Однородное уравнение, соответствующее уравнению (54),
имеет четыре линейно независимых решения:
I1 ( k r ) ;
K1 ( k r ) ;
I1 ( l r ) ;
K1 ( l r ) ;
(55)
где l 2 ≡ k 2 + S ν −1 ; I1 ( x) и K1 ( x) – модифицированные функции
Бесселя первого и второго рода.
Определитель Вронского системы (55) записывается компактно:
S2
W ( I1 ( k r ) , K1 ( k r ) , I1 ( l r ) , K1 ( l r ) ) = 2 2 ,
r ν
благодаря чему несложно выписать частное решение уравнения (54), удовлетворяющее нулевым граничным условиям:
U r(2)(*) ( r , S ) = δ ( k − 2k0 )U r(2) ( r , k , S ) ,
где U
r
(2)
r
k2
( r , k , S ) =   − I1 ( k r ) K1 ( k x ) + K1 ( k r ) I1 ( k x ) +
S 0
270
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1


+ I1 ( l r ) K1 ( l x ) − K1 ( l r ) I1 ( l x )   f11 ( x, S ) + ∂ x f12 ( x, S )  x dx .
k


(56)
Тогда общее решение уравнения (54) с учетом условий ограниченности (44) будет иметь вид
U r(2)
1 ( r , k , S ) = A ( k , S ) I1 ( k r ) + B ( k , S ) K1 ( k r ) +
+δ ( k − 2k )U (2) ( r , k , S ) ;
(57)
0
r
где A ( k , S ) , B ( k , S ) – произвольные не зависящие от r функции.
Подставляя (57) в (52) и (53), найдем выражения для
(2)
U z1 ( r , k , S ) и P1( 2) ( r , k , S ) :
i
U z(2)
A( k , S ) k I0 ( k ) + B ( k , S ) l I0 (l )) +
(
1 ( r, k , S ) = −
k
1

+δ ( k − 2k0 )  ∂ r + U r(2) ( r , k , S ) ;
(58)
r

S
 1
P1( 2) ( r , k , S ) = − A ( k , S ) I 0 ( k r ) + δ ( k − 2k0 )  − f12 ( r , S ) +
k
 k

ν 
2
1
1
1 

+ 2  ∂ rrr + ∂ rr −  l 2 + 2  ∂ r −  l 2 − 2  U r(2) ( r , k , S )  ;
k 
r
r 
r
r 


(59)
Граничные условия (46) – (48) после подстановки в них решений (51), (57) – (59) перепишутся в виде:
A ( k , S ) I1 ( k ) + B ( k , S ) I1 ( l ) − S ξ1( 2 ) ( k , S ) =
= δ ( k − 2 k0 )  f13 ( S ) − U r( 2) ( r , k , S )  ; (60)

r =1 
A ( k , S ) 2 k 2 I1 ( k ) + B ( k , S ) ( l 2 + k 2 ) I1 ( l ) =
(
)
= −δ ( k − 2 k0 )  k f14 ( S ) + ∂ rr + ∂ r + ( k 2 − 1) U r(2) ( r , k , S )  ;

r =1 
(61)
1

A ( k , S )  ( S + 2ν k 2 ) I 0 ( k ) − 2ν I1 ( k )  + B ( k , S ) 2ν ( l I 0 ( l ) − I1 ( l ) ) +
k

+ξ1( 2) (k , S ) ( 4 πχ 2 (1 − H (k ) ) + k 2 − 1) = δ ( k − 2 k0 )  f15 ( S ) + χ H (k ) f16 ( S ) −
271
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
−
1
ν

f12 ( r , S ) + 2 ∂ rrr + 2 ∂ rr − ( l 2 + 2 k 2 + 1) ∂ r − ( l 2 − 1) U r(2) ( r , k , S ) 
k
k
 r =1
(
)
(62)
Система уравнений (60) – (62) представляет собой систему
линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно
величин A ( k , S ) , B ( k , S ) , ξ1( 2) ( k , S ) . Подставляя в эту систему решение задачи первого порядка малости (37), (38) после громоздких
вычислений найдем выражение для ξ1( 2) ( k , S ) в виде:
( 2)
ξ1
( k , S ) = δ ( k − 2 k0 )
2π
βn m ( k , S )
+∞

n ,m =1
(
)
S − Sk( n ) − Sk( m ) S 2 D ( k , S )
0
0
(63)
Выражение для функции β n m ( k , S ) в виду его излишней громоздкости приведено в приложении.
Обратное преобразование Фурье для выражения (63) приведёт
к результату:
∞
1
(2)
ξ1 ( z , S ) =
ξ1(2) ( k , S ) e−i k z d k =

2 π −∞
+∞
β n m ( 2 k0 , S )
−i 2 k z
e
= 
.
(64)
(n)
( m)
2
S D ( 2 k0 , S )
n ,m =1 S − S k − S k
(
0
0
0
)
Из вида выражения (64) видно, что функция ξ1( 2) ( z , S ) имеет
особую точку S = 0 , являющуюся полюсом второго порядка, и бесконечное счетное число особых точек, которые определяются из
условий D ( 2k0 , S ) = 0 , S − S k(0n ) − Sk(0m ) = 0 . Поскольку при S → ∞ выражение (63) стремится к нулю, то в формуле обратного преобразования Лапласа можно воспользоваться леммой Жордана для левой полуплоскости и теоремой о вычетах. Формула обратного обращения примет вид (36), где суммирование следует вести по
корням уравнений D ( 2k0 , S ) = 0 , S − S k(0n ) − Sk(0m ) = 0 и S = 0 .
Применяя формулу (36) к (64) для коэффициента ξ1( 2) ( z , t ) получим:
ξ1( 2) ( z, t ) = ξ 2( k2) ( t ) e −i 2 k z + ( к.с.) ;
(65)
0
0
272
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где
 ∂ S β n m ( 2k0 , S )
S =0
ξ 2 k0 ( t ) =   − ( n )
+
( m)
2
+
S
S
ω
2
k
( 0)
n ,m =1 
k0
k0

β n m 2 k0 , Sk(0n ) + Sk(0m )
+
exp  Sk(0n ) + Sk(0m ) t  +
2
Sk(0n ) + Sk(0m ) D 2 k0 , Sk(0n ) + Sk(0m )
+∞
( 2)
(
(
(
)
) (
)
)
(
)


0
exp  S 2( kj0) t   , (66)
+
2
j
j =1 S ( ) − S ( n ) − S ( m )
S2( kj0) ( ∂ S D ( 2 k0 , S ) ) S =S ( j )

2 k0
k0
k0
2 k0

( j)
S2 k0 – корни дисперсионного уравнения D ( 2 k0 , S ) = 0 .
Выражение (65) описывает волну с удвоенным начальным
волновым числом k0 , являющуюся поправкой второго порядка малости к форме поверхности струи (см. разложение (39) для
ξ (2) ( z , t ) ). Из общефизических соображений понятно, что амплиту-
(
β n m 2 k0 , S2( kj )
∞
(
)( )
)
да этой волны ξ 2( 2k0) ( t ) не должна содержать слагаемых, не зависящих от времени, поскольку это привело бы к появлению на поверхности струи стационарного волнового возмущения. Следовательно, первое слагаемое в (66) должно обращаться в ноль. В
аналитическом виде доказать это утверждение сложно, однако,
численные расчёты подтверждают, что обсуждаемое слагаемое даёт нулевой вклад в амплитуду ξ 2( 2k0) ( t ) и поэтому в дальнейшем рассматриваться не будет.
Для того, чтобы найти вторые компоненты разложений (39) –
функции U r( 22) ( r , t ) , U z( 22) ( r , t ) , P2( 2) ( r , t ) , Φ (22) ( r , t ) и ξ 2(2) ( t ) , вновь
вернёмся к рассмотрению системы уравнений (13), в функциях неоднородности которой сохраним только слагаемые, не зависящие
от координаты z . Основные уравнения гидродинамики в этом случае примут вид:
1  (2)

(2)
∂ t U r(2)
r
t
+
∂
P
r
t
−
ν
Δ
−
,
,
(
)
(
)

U r 2 ( r , t ) = f 21 ( r , t ) ;
r 2
2
r2 

∂ t U z(2)2 ( r , t ) −ν ΔU z(2)2 ( r , t ) = f 22 ( r , t ) ;
273
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 (2)
∂ r U r(2)
r
t
+
U r 2 ( r, t ) = 0 ;
,
(
)
2
r
(67)
где функции неоднородности выражаются через решения первого порядка:
1 1

1
f 21 ( r , t ) = −U r( k) ( r , t )  2 ∂ r + U r( k) ( r , t ) ;
r

i 1
1  1

f 22 ( r , t ) = − U r( k) ( r , t )  ∂ 2rr + ∂ r U r( k) ( r , t ) .
k0
r 

Последнее из уравнений (67) позволяет сразу определить единственно возможное решение для радиальной компоненты скорости,
удовлетворяющее условию ограниченности на оси струи:
U r(2)
.
2 ( r, t ) = 0
(68)
В этом случае первое и второе уравнения системы (67) определяют искомые добавки к гидродинамическому давлению и осевой
компоненте скорости соответственно:
0
0
0
( 2)
P2
0
r
( r , t ) =  f 21 ( x, t ) dx + C ( t )
;
0

U z( 22) ( r , S ) = B ( S ) I 0 

r
  S   S
+   K0 
x  I0 
ν
0
  ν
 
(69)
S 
r+
ν 

 S   S 
r  − I0 
x  K0 
r   x f 22 ( x, S ) dx
ν
ν


 
 
.
Здесь U z( 22) ( r , S ) и f 22 ( x, S ) – Лаплас-образы по временной пе-
ременной осевой компоненты скорости U z( 22) ( r , t ) и функции неод-
нородности f 22 ( r , t ) . Динамические граничные условия для нормальной и касательной компонент тензора напряжений (см. (13))
позволяют определить функции C ( t ) , B ( S ) и представить выписанные поправки в следующем виде:
1
∞
2
n  1
m
( 2)
P2 ( r , t ) = −  f 21 ( x, t ) dx +  aξ( )  ( 3 − k02 ) − 2πχ 2 ( H ( k0 ) − 2 )  aξ( ) +

n , m=1
 2
r
274
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
(
(m)
+ 2ν k − Sk
2
0
(
0
(
))
− 2ν k − 2 G ( k0 )
2
0
(
0
или
( 2)
P2
m
( )) G l )
(
)
−2 Sk( ) + ν k02 + ν k02 − 2 G l (
m
)
a( )
G ( k0 )
1
b(
m)
m)
(m)


( m)
 ( n)
 exp  S k + S k


(
0
0
) t  ;
( r , t ) = −  f 21 ( x, t ) dx + 
2
2  (1)
1
2
2
3
2
2
−
−
−
−
k
πχ
H
k
ξ
t
(
)
(
)
( 0 )  k0
(
0 )
2


r
(
)
−ξ k( ) ( t )  2ν ∂ r + k02 − 1 U r( k) ( r , t ) + ∂ r Pk( ) ( r , t ) 
;

 r =1
r
( 2)
−1
U z 2 ( r , t ) = i ℑ    K 0 η x I 0 η r − I 0 η x K 0 η r  x f 22 ( x, S ) dx +


0

I0 η r  ∞
aξ( n )
( m)
( m)
( m)
+
−
−
a
V
k
k
b
V
k
l
(
)

0
0
0

n)
m)
(
(
I1 η  n ,m=1 k0 η S − Sk − Sk
0
0

1

−   K 0 η x I1 η + I 0 η x K1 η  x f 22 ( x, S ) dx   ; (69)


0
 
где использованы обозначения:
x2
2
2
2
2
V ( k0 x ) ≡ k0 − x − ( 3k0 − x )
; η≡S ν
G ( x)
1
0
1
0
(
( )
( )
1
0
) (
) (
()
(
(
) (
) ( )
(
)
(
))
) ( )
Символ ℑ−1  f ( S )  имеет смысл обратного преобразования
Лапласа по параметру S .
Кинематическое граничное условие с учётом решения (68)
позволяет без труда вычислить искомую поправку второго порядка
малости к радиусу осциллирующей струи:
ξ
( 2)
2
∞
(t ) = − 
n , m =1
Sk( ) aξ( ) aξ(
m
n
m)
0
(S
( n)
k0
( m)
+ Sk
0
(
)
exp  Sk( ) + Sk(

n
m)
0
0
) t  + const
(70)
Для определения константы интегрирования const можно воспользоваться дополнительным условием, которому должна удовле275
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
творять форма поверхности струи (1) – условием сохранения объёма участка струи длиной, равной некоторому интервалу периодичности L :
2π L / 2 1+ξ ( z ,t )
  
0 −L/ 2
r dr dϕ dz = π L
0
Проводя интегрирование по переменным r и ϕ , и подставляя
разложение (10) для ξ ( z , t ) , получим ограничения, которые накла-
дывает данное условие на функции ξ ( i ) ( z , t ) ( i = 1, 2 ) , описывающие искажение равновесной цилиндрической формы поверхности
струи в различных порядках малости:
L/2

−L/ 2
L/2
ξ (1) ( z, t ) dz = 0 ;
2
1 (1)
 ( 2)
,
,
ξ
z
t
ξ
z
t
+
(
)
(
)


 dz = 0 .
2
−L/ 2
Первый из этих интегралов с учётом решения первого порядка
малости (см.(37)) приводит к ожидаемому результату – интервал
периодичности равен длине изначально возбуждённой волны:
L = 2π k0 . Второй интеграл после подстановки в него решения (37)
(
)
для ξ (1) ( z , t ) , разложения (39) для ξ ( 2) ( z , t ) и решения (65) для ком-
поненты ξ1( 2 ) ( z , t ) приводит к соотношению:
1 (1) 2
1 ∞ ( n) ( m)
( 2)
ξ 2 ( t ) = − ξ k ( t ) = −  aξ aξ exp  Sk( n ) + Sk( m ) t 


2
2 n, m=1
(71)
Полученное для компоненты ξ 2( 2) ( t ) выражение (70) должно
согласовываться с выражением (71), что и позволяет вычислить
константу интегрирования const .
Численные расчёты показывают, что значение этой константы
очень близко к нулю, а выражения (70) и (71) дают практически
идентичные численные результаты, несмотря на различия в аналитических выражениях. Это объясняется тем, что среди амплитуд
n
1
aξ( ) (см. (38)) первая амплитуда aξ( ) значительно превышает все
последующие и вносит основной вклад в суммы по индексам n и
m . Несложно убедиться, что если в формулах (70) и (71) при сум-
(
0
276
0
0
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мировании ограничиться только первым слагаемым n = m = 1 и
учесть слагаемые, комплексно сопряженные к выписанным, оба
выражения совпадут.
Таким образом, вид функции ξ ( 2) ( z , t ) , описывающей форму
струи во втором порядке малости, определяется разложением (39)
и выражениями для компонент (65) и (71).
5. Форма поверхности осциллирующей струи. Окончательное выражение для образующей формы поверхности нелинейно
осесимметрично осциллирующей струи вязкой несжимаемой электропроводной жидкости, выписанное с точностью до второго порядка малости по амплитуде возмущения, получим, подставив в (1)
разложение (10) и решения 1-го и 2-го порядков (см. (37), (38) и
(39), (65), (71) соответственно):
r ( z , t ) = 1 + ε ξ (1) ( z , t ) + ε 2ξ (2) ( z , t ) =
= 1 + ε ξ (1) ( z , t ) + ε 2 ξ1(
2)
( z, t ) + ξ 2( 2) ( t )  =
= 1 + ε ξ k(1) ( t ) exp ( −i k0 z ) + ε 2 ξ 2( k ) ( t ) exp ( −i 2k0 z ) + ξ 2(
2
0
ξ
(1)
k0
0
ξ2k ( t ) =
0
(72)
+∞
0
n =1
+∞

n ,m =1
(
(
(
) (
β n m 2 k0 , S2( kj )
(S( ) − S
j
2 k0
(n)
k0
)

β n m 2 k0 , S k(0n ) + Sk(0m )

exp  Sk(0n ) + Sk(0m ) t  +
2
 S (n) + S (m) D 2 k , S (n) + S (m)
k0
0
k0
k0
 k0
∞
j =1
( t ) 
( t ) =  aξ( n) exp ( Sk( n ) t ) ;
( 2)
+
2)
− Sk(0m )
∞
0
)
) ( S ( ) ) (∂ D ( 2 k , S ))
j
2 k0
2
)
0
S
(
S = S 2( k)
j
)
0
(
)


exp  S2( kj0) t   ;


1
n
m
n
m
aξ( ) aξ( ) exp  Sk( ) + Sk( ) t  .



2 n , m=1
Согласно полученному выражению (72) форма поверхности
струи определяется кроме основной изначально возбужденной
волны с волновым числом k0 и затухающей со временем амплитудой первого порядка малости ε ξ k(1) ( t ) , волной, возбужденной за
счёт нелинейного взаимодействия, имеющей удвоенное волновое
ξ 2( 2) ( t ) = −
0
0
277
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(2)
число 2k0 и амплитуду второго порядка малости ε 2ξ 2k
( t ) , также
затухающую со временем. Кроме того, нелинейный анализ показал,
что осцилляции струи происходят около цилиндрической поверхности меньшего радиуса, чем радиус равновесной формы. Изменение радиуса во времени описывается убывающей по абсолютной
величине функцией ξ 2( 2) ( t ) .
6. Анализ результатов, описание графиков. Каждое из дисперсионных уравнений D ( k0 , S ) = 0 и D ( 2 k0 , S ) = 0 (по корням ко0
торых ведётся суммирование в выражениях для амплитуд ξ k(1)0 ( t ) и
ξ 2k( 2) ( t ) ) имеет по паре комплексно сопряжённых корней, соответ0
ствующих затухающему колебанию поверхности и бесконечное
количество вещественных отрицательных корней, описывающих
апериодически затухающие её движения. Как видно из табл.1 (где
приведены первые одиннадцать корней обсуждаемых уравнений
при различных значениях безразмерной вязкости), с ростом номера
корня абсолютная величина вещественных корней быстро нарастает, т.е. движения, соответствующие этим корням, практически не
реализуемы вследствие их быстрого гашения.
Таблица 1. Первые одиннадцать корней дисперсионных
уравнений для исходной волны и волны с удвоенным волновым
числом при различных значениях безразмерной вязкости
ν = 0.025
ν = 0.05
ν = 0.1
S k(0n )
S k(0n )
S k(0n )
S2( nk0)
S2( nk0)
S2( nk0)
−0.14 ± 1
−0.58 ± 6
−0.25 ± 1
−1.06 ± 5
−0.44 ± 1
−1.78 ± 5
−0.47
−1.34
−2.70
−4.54
−6.89
−9.72
−13.05
−16.88
−21.19
−26.01
−0.77
−1.64
−3.00
−4.86
−7.21
−10.04
−13.37
−17.19
−21.51
−26.31
−0.97
−2.70
−5.40
−9.09
−13.77
−19.44
−26.11
−33.75
−42.39
−52.01
−1.56
−3.33
−6.07
−9.77
−14.44
−20.09
−26.74
−34.38
−43.01
−52.63
−2.05
−5.41
−10.79
−18.18
−27.54
−38.89
−52.21
−67.51
−84.78
−104.02
−3.24
−6.92
−12.31
−19.60
−28.90
−40.20
−53.49
−68.77
−86.03
−105.26
278
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поэтому при конкретных расчётах по выражениям (72) в суммах достаточно ограничиться учётом конечного числа слагаемых.
Для расчёта амплитуд первого порядка ξ k(1)0 ( t ) существенным является только первый комплексный корень, учёт вещественных корней практически не изменяет вида этой функции. Сходимость рядов в выражении для амплитуды второго порядка ξ 2k( 20) ( t ) хуже: количество необходимых для учёта членов приходится оценивать
отдельно для различных наборов начальных данных, но, как правило, оно лежит в пределах ≤ 15 для уравнения D ( k0 , S ) = 0 и ≤ 5
для уравнения с удвоенным волновым числом.
На рис.1 представлены зависимости от времени амплитуды
первого порядка малости ξ k(1) ( t ) исходной волны с волновым числом k0 = 2 при значе0
H
LH
L
H
LH
L
x k10
x k10
t
t
0.6
0.6
0.2
-0.2
2T
4T
0.2
6T
-0.2
-0.6
T
2T
3T
-0.6
Рис.1а. Зависимости от
Рис. 1б. Зависимости от
времени амплитуды первого времени амплитуды первого попорядка малости ξ k(1) ( t ) для рядка малости ξ k(1) ( t ) безразмербезразмерной
вязкости ной вязкости ν = 0.05 .
ν = 0.025 .
0
0
H
LH
L
x k10
H
LH
L
1
x k0
t
0.6
t
0.5
0.2
-0.2
4T
T
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
2
T
3T
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
2
8T
12T
-0.5
-1
Рис. 1в. Зависимости от
Рис.2a. Зависимость от вре-
279
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мени t амплитуды первого порядка малости ξ k(1) ( t ) , при разных
значениях поверхностной плотности заряда: χ = 0.3 – пунктирχ = 0.39 - сплошная
ная линия;
линия ( k0 = 2, ν = 0.01 ).
нии безразмерной плотности заряда χ = 0.3 . Рис.1 различаются
значениями безразмерной вязкости ν и иллюстрируют сильное
влияние этого параметра на скорость затухания волновых процессов: так при ν = 0.1 практически полное гашение колебания происходит всего за два периода, тогда как при ν = 0.025 на это требуется
шесть-семь периодов. К росту безразмерного значения ν приводит
не только увеличение кинематической вязкости жидкости, но и
уменьшение радиуса струи. В табл.2 приведены радиусы струй
различных жидкостей, соответствующие принятым на рис.1 значениям безразмерной вязкости. Изменение значения ν от 0,025 до 0,1
соответствует уменьшению радиуса струи воды от десятков до
единиц микрометра, а для струи анилина – от десятых до сотых долей миллиметра.
Увеличение поверхностной плотности заряда χ приводит как
к уменьшению частоты осцилляций, так и к уменьшению декремента затухания. Это иллюстрирует рис.2, на котором для разных
значений параметра χ представлены зависимости от времени амплитуды первого порядка малости ξ k(1) ( t ) (рис. 2a), а также формы
образующей поверхности капли, вычисленные с точностью до первого порядка (рис. 2б). При значении поверхностной плотности заряда выше
Таблица 2. Радиусы струй различных жидкостей,
соответствующие разным значениям безразмерной вязкости.
времени амплитуды первого
порядка малости ξ k(1) ( t ) для
значения безразмерной вязкости ν = 0.1 .
0
0
0
0,
Радиус
струи
1,8 ⋅
ν
Бензол
ρ = 0,88 г см
Безраз0
0,
мерная вяз,025 05
1
кость
3
0, 2
280
7,1⋅
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
R в мкм
σ = 29, 0 эрг см
ν = 7, 66 ⋅10−4 см 2
Вода
2
ρ = 1, 00 г см3
σ = 72,8 эрг см
ν = 1, 05 ⋅10−2 см 2
6
4
Этиловый
спирт
1
ρ = 0, 79 г см3
σ = 22,8 эрг см
ν = 1,54 ⋅10−2 см 2
32
1,
5
3
3
8,
2
Анилин
7
ρ = 1, 02 г см3
σ = 42,9 эрг см
ν = 4,51⋅10−2 см 2
73
1
93
4
8
критического χ ≥ χ cr , частота обращается в ноль, и волна теряет устойчивость вследствие дестабилизирующего влияния электрического поля. Критическое для рассматриваемой волны ( k0 = 2 )
значение поверхностной плотности заряда χ cr ≈ 0.4 .
HL
H
LH
L
r z,t
2
x 2 k0 t
0.4
1.05
0.2
1
T
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
2
0.95
T
3T
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
2
2T
5T
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
2
-0.2
l
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
2
l
3l
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
2
Рис.2б. Форма образующей
поверхности струи с точностью до первого порядка малости в момент времени t = 5T
при разных значениях поверхностной плотности заряда:
χ = 0.3 –
пунктирная линия;
χ = 0.39 - сплошная линия ( T –
-0.4
Рис.3а. Зависимости от
времени амплитуды второго
порядка малости ξ 2(2)k ( t ) для
значения безразмерной вязкости ν = 0.025 .
0
281
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
H
LH
L
период волны при
H
L
χ = 0.3 ).
2
x 2 k0
2
x 2 k0 t
0.2
0.2
0.1
T
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
2
3T
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
2
T
t
-0.1
-0.2
T
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
4
T
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
2
3T
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
4
t
-0.2
Рис. 3б. Зависимости от
Рис. 3в. Зависимости от
времени амплитуды второго времени амплитуды второго
порядка малости ξ 2k(2) ( t ) для порядка малости ξ 2k(2) ( t ) для
значения безразмерной вязко- значения безразмерной вязкости ν = 0.05 .
сти ν = 0.1 .
Рис.3 иллюстрирует изменение во времени амплитуды второ(2)
го порядка ξ 2k
( t ) для волны с удвоенным волновым числом, возникающей вследствие нелинейного взаимодействия. На приведённых графиках следует отметить интересный факт: амплитуды
ξ 2k(2) ( t ) в течение примерно половины периода нарастают и лишь
потом гасятся вязкостью, причём при умеренных значениях безразмерной вязкости (ν < 0.1) достигаемые максимальные амплитудные значения превышают аналогичные значения, реализующиеся в струе идеальной жидкости (кривые, соответствующие нулевой вязкости, изображены на рисунках пунктирными линиями).
0
0
0
0
H
LH
L
x 22
t
T
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
2
T
3 T 2T
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
2
5T
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ t
2
-0.1
-0.2
Рис.4. Поведение во времени амплитуды поправки
второго порядка малости к радиусу струи ξ 2( 2) ( t ) . Принятые значения
безразмерных параметров: k0 = 2 , χ = 0.3 ,
282
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ν = 0.025 .
На рис.4 изображено поведение во времени поправки второго
порядка малости к радиусу струи. Величина поправки убывает до
нуля на том же временном интервале, на котором происходит затухание коротковолнового возмущения поверхности, возникающего
вследствие нелинейного взаимодействия.
Приложение.
1
1
βn m ( k , S ) =
Fn m ( r , k ){T1 (k , S k ) I 0 ( k ) − T2 (k , S k ) I1 ( k )  K1 ( k r ) +
k k0 0
+ T1 (k , S k ) K 0 ( k ) + T2 (k , S k ) K1 ( k )  I1 ( k r ) −
− T1 (k , S l ) I 0 ( l ) − T2 (k , S l ) I1 ( l )  K1 ( l r ) −
− T1 (k , S l ) K 0 ( l ) + T2 (k , S l ) K1 ( l )  I1 ( l r )} r dr −
(
)
−aξ( n )  a ( m ) Y1 ( k , S k0 ) − S 2 Sk(0m )G ( k ) − b( m )Y1 ( k , S lm )  + aξ( n ) aξ( m )Y2 ( k , S ) −


n
m
n
m
−a ( ) a ( )Y3 ( k , S k0 , k0 , 0, 0 ) + a ( )b( )Y3 ( k , S lm , k0 ,η m , 0 ) +
+ a ( m )b( n )Y3 ( k , S k0 , ln , 0,η n ) − b( n )b( m )Y3 ( k , S lm , ln ,η m ,ηn ) ;
a(n)  a( m)
1
Fn m ( r , k ) ≡ I1 ( k0 r )
k0 ( k − 2 k0 ) I1 ( k0 r ) −

I1 ( k0 )  I1 ( k0 )
r
b( m ) 
1

l
I
l
r
3
k
k
2
k
I
l
r
−
η
−
η
−
−
0 ))
1 ( m )  +
 m m 0( m ) ( m 0(
I1 ( lm ) 
r

b( n )  a ( m ) 
1

+ I1 ( ln r )

 k0 η n I 0 ( k0 r ) − (ηn + k0 ( k − 2 k0 ) ) I1 ( k0 r )  −
I1 ( ln )  I1 ( k0 ) 
r

b( m ) 
1

l
I
l
r
3
k
k
2
k
I
l
r
−
η
−
η
−
η
−
η
+
−
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 m
0
0
1 m
m
n
m
m n

I1 ( lm ) 
r

;
ηn ≡ Sk( n ) ν ; T1 ( k , S x ) ≡ x S  S + 3ν ( k 2 + 1) −ν ( 3 + x 2 ) G ( k )  ;
0
T2 ( k , S x ) ≡ g1 ( k , S ) + ( 2 + x 2 ) g 2 ( k , S ) − 2 ( 3 + x 2 )ν S G ( k ) ;
283
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
g1 ( k , S ) ≡ S 2 ( k 2 + 1 − G ( k ) ) + ν S  k 4 + k 2 + 1 − ( 3 k 2 − 1) G ( k )  +
−1
+2ν k 2 ( k 2 + 2 )( S + ν k 2 ) 1 − G ( k ) G ( l ) ;
(
)
(
g 2 ( k , S ) ≡ ν S ( k 2 + 2 ) − 2ν k 2 ( S + ν k 2 ) 1 − G ( k ) G ( l )
−1
);
S x2  2
Y1 ( k , S x ) ≡
2 S k0 + ν S k ( x 2 + 5 k02 ) − 2k0G ( k ) −
k0 G ( x ) 
(
(
− 2ν k ( x 2 + 5 k02 − 4 kk0 )( S + ν k 2 ) 1 − G ( k ) G ( l )
−
−1
) −
S  2
S k0 + ν S k ( x 2 + 3 k02 ) + 2k0 ( 2 x 2 + k02 + 1) G ( k ) −
k0 
(
)
(
− 2ν k ( x 2 + 3 k02 − 2 kk0 )( S + ν k 2 ) 1 − G ( k ) G ( l )
;
)
−1
) ;
1
Y2 (k, S) ≡ S 2G(k) 4πχ 2 ( H (k0 )( H (k0 ) − 4) + H(k)( 2H (k0 ) −1) − 3k02 + 3) − 2 − k02 
2
Y3 ( k , S x, y, z, w ) ≡
1
 2
 2
 S G ( k )  x G ( y ) (G ( x ) − 1) +
k k0G ( x ) G ( y ) 

 

+ y2 (G( x) − x2 )  + (ν SG( k ) y2 + g2 ( k, S ) G( y ) )  x2 ( z − w) −

 

− G( x) ( 3z − w + 2k02 − k k0 )  −ν SG( k ) G( y ) x2 (5z − 3w + 2k02 − k k0 ) −



− G( x) z (12 + x2 ) − w( 4 + x2 ) + 4( 2k02 − k k0 )  J ( k, l )  ;


J ( k , l ) ≡ k ( I 0 ( k ) K1 ( k ) + I1 ( k ) K 0 ( k ) ) − l ( I 0 ( l ) K1 ( l ) + I1 ( l ) K 0 ( l ) ) .
(
(
)
6. Теоретическое обоснование выделяемых режимов спонтанного распада заряженных струй.
6.1. Исходные данные для выделения характерных времен,
для описания феномена электродиспергирования жидкости.
284
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предложенная в [27-29] полуфеноменологическая классификация режимов электродиспергирования жидкости, представляющая собой развитие идей, предложенных в [61], основана на сравнении характерных для феномена времен. Однако, большая часть
характерных времен, использованных в [27-29], связана с мениском жидкости на торце капилляра, по которому жидкость подается в разрядную систему. Приведенные выше в настоящем исследовании (см. главы 3-5) теоретические модели осцилляций и распада на отдельные капли заряженных струй позволяют уточнить
классификацию [27-29] на основе расширения системы используемых характерных времен и добавления новых режимов диспергирования, описанных в [30].
Но, прежде всего, уточним физические закономерности осцилляций заряженной капли вязкой жидкости, на основе которых
вводятся характерные времена, использованные в [27-29].
6.1.1. Дисперсионное уравнение, описывающее осцилляции и
устойчивость заряженной капли вязкой жидкости.
В [107] с использованием метода операторной скаляризации
(см. также [146-147]) было подробно выведено дисперсионное
уравнение, описывающее осцилляции и устойчивость объемно заряженной капли вязкой диэлектрической жидкости с диэлектрической проницаемостью ε . В безразмерных переменных, в которых
радиус капли R , коэффициент поверхностного натяжения γ и
плотность жидкости ρ приняты за основные единицы ( R = γ = ρ = 1 ),
это дисперсионное уравнение имеет вид:
{
s2 + 2ν ⋅ s(l − 1) (2l + 1) + (l 2 − 1) 1 − g ( s ν ) 
g( s ν ) ≡
(
(
)
)
s ν il s ν
⋅
;
2 il +1 s ν
(lε 2 − (2l − 5)ε + (l + 1))
κl ≡
.
[l (ε + 1) + 1] ⋅ ε
−1
} + l(l − 1)(l + 2)α = 0;
l
(1)
Q2
αl ≡ 1 −
⋅κl ;
4π (l + 2)
Предельный переход ε → ∞ , при котором κ l → 1 , приводит нас
к дисперсионному уравнению задачи об устойчивости идеально
проводящей капли вязкой жидкости, решенной в [146]. В (1) il ( x ) модифицированная сферическая функция Бесселя первого рода.
285
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Напомним, что зависимость интересующих нас функций (в том
числе и возмущения равновесной поверхности капли ξ (ϑ ,ϕ , t ) от
времени будет определяться аналитической зависимостью:
 exp( st ) , причем вещественная часть комплексной частоты s в зависимости от знака определит инкремент неустойчивости, либо
декремент затухания амплитуды возмущения ξ (ϑ ,ϕ , t ) со временем,
а мнимая часть s – частоты собственных колебаний свободной поверхности капли.
Рассмотрим частные случаи уравнения (1): идеальную жидкость, маловязкую жидкость и сильновязкую жидкость.
Приближение идеальной жидкости.
Для того, чтобы рассмотреть случай капли идеальной жидкости, необходимо положить равной нулю коэффициент кинематической вязкости (ν = 0 ). При этом аргумент сферических функций
Бесселя il ( s ν ) и il +1 ( s ν ) , входящих в уравнение (1), обращается в бесконечность. Поэтому, чтобы понять, как ведет себя последнее слагаемое в (1) при ν → 0 , следует воспользоваться асимптотическим разложением для сферических функций Бесселя при больших значениях аргумента x ≡ s ν :
x →∞:
(2)
il ( x ) ≈
1

 1 
exp( x ) ⋅ 1 + Ο    ;
2x
 x 

тогда отношение сферических функций Бесселя ( il ( x ) il +1 ( x ) )
при x ≡ s ν → ∞ имеет асимптотику:
x →∞:
il ( x ) 
 1 
≈ 1 + Ο    ;
il +1 ( x ) 
 x 
следовательно, дробь в уравнении (1) при x ≡ s ν → ∞ представима в виде:
x2
x2
≈−
≈ 2 x;
x 2
x il ( x )
1− ⋅
+ (l + 1)
2 il +1 ( x )
x →∞:
(3)
или в терминах переменной s получим:
286
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ν ⋅s
ν → 0:
1−
(4)
il
(
(
sν
⋅
2 il +1
) + (l + 1)
sν)
sν
≈
ν ⋅s
1
⋅ sν
2
= 2ν sν → 0.
Таким образом, учитывая соотношение (4), для случая идеальной (ν = 0 ) дисперсионное уравнение (1) запишется в виде:
s2 + l (l − 1)(l + 2)α l = 0.
(5)
Отсюда, учитывая что
Q2
αl ≡ 1 −
⋅κ l ;
4π (l + 2)
получим:


Q2
sl = ± l (l − 1)(l + 2)α l ≡ ± l (l − 1)(l + 2) 1 −
κl  ≡
 4π (l + 2) 

Q2
(lε 2 − (2l − 5)ε + (l + 1)) 
≡ ± l (l − 1)(l + 2) 1 −
.
π
ε
ε
+
+
+
⋅
4
(
l
2)
[
l
(
1)
1]


(6)
Из выражения (6) следует:
1) если α l >0, т.е. Q 2κ l 4π (l + 2) < 1, то величина s определяет
собственные частоты колебания свободной поверхности заряженной капли идеальной жидкости:


Q2
sl = ± l (l − 1)(l + 2)α l ≡ ±iωl l (l − 1)(l + 2) 1 −
κ l ;
(7)
 4π (l + 2) 
2) если α l < 0 , т.е. Q 2κ l 4π (l + 2) > 1, то величина s определяет
инкремент экспоненциального нарастания (если перед радикалом
взять знак «плюс») и декремент экспоненциального затухания (если перед радикалом взять знак «минус») решений со временем:
 Q2

sl = ±γ l ≡ ± l (l − 1)(l + 2) 
κ l − 1 .
 4π (l + 2)

(8)
Появление нарастающих со временем решений (т.е. увеличивающегося со временем возмущения поверхности ξ (ϑ ,ϕ , t ) ) означает неустойчивость капли.
3) значение α l = 0 разделяет устойчивые и неустойчивые решения, т.е. определяет критическую величину, имеющегося на капле заряда:
287
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Q 2κ l 4π (l + 2) = 1
Очевидно, что для того, чтобы капля стала неустойчивой, достаточно, чтобы условие неустойчивости выполнилось хотя бы для
одной из мод.
Согласно сказанному выше минимальное значение, которое
принимает индекс l равно 2, и, следовательно, критическое значение заряда определится соотношением:
Qcr2
κ 2 = 1;
16π
(9)
или, переходя к размерным величинам, с учетом (37) запишем
Qcr2 (2ε 2 + ε + 3)
= 1.
16π [2ε + 3] ⋅ ε
(10)
Для случая идеально проводящей жидкости ( ε → ∞ ) величина
κ l обращается в единицу, и из (10) получаем значение критического заряда, полученное еще Рэлеем: Q 2 16π = 1; или в размерном
виде:
Q 2 16πσ R3 = 1.
(11)
Асимптотика маловязкой жидкости.
Для того чтобы выяснить влияние вязкости жидкости на собственные частоты колебаний заряженной капли и на инкремент нарастания ее неустойчивости, рассмотрим случай маловязких жидкостей, т.е. когда ν  1 . Из асимптотического разложения (4) видно, третье слагаемое в дисперсионном соотношении (1)  ν 3 2 , а
второе слагаемое  ν , поэтому в случае маловязкой жидкости сохраним в (1) лишь слагаемые до первого порядка малости по ν
включительно. Тогда вместо выражения (1) получим следующее
дисперсионное соотношение:
s2 + 2(l − 1)(2l + 1) ⋅ν ⋅ s + l (l − 1)(l + 2) ⋅ α l = 0.
(12)
Решения этого уравнения записываются в виде:
(13)
sl = −(l − 1)(2l + 1) ⋅ν ± (l − 1) 2 (2l + 1) 2 ⋅ν 2 − l (l − 1)(l + 2) ⋅ α l .
В полученном соотношении, справедливом при ν  1 , первое
слагаемое под радикалом при (l − 1)(2l + 1) 2 ⋅ν 2  l (l + 2) ⋅ α l много
меньше второго, а потому (13) можно переписать в виде
 (l − 1)(2l + 1) 2 ⋅ν 2 
sl = −(l − 1)(2l + 1) ⋅ν ± i l (l − 1)(l + 2) ⋅ α l 1 −
≈
l
(
l
2)
α
+
⋅
l


288
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 (l − 1) (2l + 1) 2 ⋅ν 2 
≈ −(l − 1)(2l + 1) ⋅ν ± i l (l − 1)(l + 2) ⋅ α l ⋅ 1 −
.
2
l
(
l
2)
α
⋅
+
⋅
l


(13а)
Поскольку само уравнение (12) получено из исходного дисперсионного соотношения (1) путем отбрасывания слагаемого
2
 ν 3 2 , то и в выражении (13а) следует отбросить член  ν . Таким
образом, при (l − 1)(2l + 1) 2 ⋅ν 2  l (l + 2) ⋅ α l получим:
sl = −(l − 1)(2l + 1) ⋅ν ± i l (l − 1)(l + 2) ⋅ α l .
(14)
Из выражения (14) следует, что:
1) если (l − 1)(2l + 1) 2 ⋅ν 2  l (l + 2) ⋅ α l и α l >0, т.е. Q 2κ l 4π (l + 2) < 1,
то величина s является комплексной и характеризует затухающие
со временем осцилляции капли. Радикал в выражении (14) определяет собственные частоты колебаний поверхности заряженной капли маловязкой жидкости ωl , совпадающие с собственными частотами колебаний капли идеальной жидкости (7). Учет наличия вязкости жидкости приводит к появлению пропорционального
коэффициенту кинематической вязкости ν затуханию собственных
колебаний поверхности капли с декрементом β l :
sl = β l ± i ⋅ ωl ≡ −(l − 1)(2l + 1) ⋅ν ± i l (l − 1)(l + 2) ⋅ α l .
(15)
(l − 1)(2l + 1) 2 ρν 2
⋅
периоИз (13)-(13а) видно, что при W ≥ Wν ≡ 1 −
2l (l + 2)
γR
дические движения l -ой моды капли исчезают, а соответствующие
виртуальные возмущения её поверхности экспоненциально затухают с безразмерным декрементом, 0 < β < (l − 1)(2l + 1) ⋅ν , величина
которого зависит от ν и W .
2) Если (l − 1)(2l + 1) 2 ⋅ν 2  l (l + 2) ⋅ α l и α l < 0 , т.е. κ l Q 2 4π (l + 2) >1 ,
то величина sl определяет инкремент нарастания неустойчивости
заряженной капли маловязкой жидкости γ l , который оказывается
несколько меньше, чем в случае идеальной жидкости, а именно на
величину декремента β l :
 Q2

sl = γ l ≡ l (l − 1)(l + 2) 
κ l − 1 − (l − 1)(2l + 1) ⋅ν .
(16)
l
4
(
2)
π
+


Если αl ≈ 0 то инкремент неустойчивости следует определить
из (13а) в виде:
γ l = −(l − 1)(2l + 1) ⋅ν + (l − 1) 2 (2l + 1) 2 ⋅ν 2 + l (l − 1)(l + 2) ⋅ α l .
289
(16а)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) Как и в случае идеальной жидкости, равенство α l = 0 согласно (13) разделяет устойчивые и неустойчивые решения, а выражения для критического значения заряда (9)-(11) остаются справедливыми и для капли маловязкой жидкости. При определении
частот, декрементов и инкрементов в ситуации α l ≈ 0 следует,
учесть, что условие (l − 1)(2l + 1) 2 ⋅ν 2  l (l + 2) ⋅ α l теперь не выполняется, оба слагаемых под радикалом имеют сравнимые величины, и
выражения для частот, декрементов, инкрементов определятся
полным выражением (13).
Асимптотика сильновязкой жидкости.
Для того, чтобы рассмотреть случай сильновязкой жидкости
ν - велико, x - мало, следует воспользоваться разложением для
сферических функций Бесселя в степенной ряд:
2


x2 2)
x2 2)
(
(
xl
1 +
+
+ ... .
il ( x ) =
( 2l + 1)!!  1!( 2l + 3) 2!( 2l + 3)( 2l + 3) 
Учитывая это разложение, можно с точностью  x 4 получить
следующее представление для отношения сферических функций
Бесселя из последнего слагаемого в дисперсионном уравнении (1):
−1

 x il ( x )

2 
4(l + 2) x 4
x2
1
1
...
⋅
−
≈
−
+
+

.


2
2
+
+
+
2
2
1
2
1
2
5
i
x
l
l
l
(
)
(
)(
)
(
)
+
+
+
2
1
2
5
2
7
l
l
l
(
)(
)(
) 
l +1



(17)
Подставляя (17) в дисперсионное уравнение (4.65) и собирая
слагаемые с одинаковыми степенями x , несложно получить с точностью до членов  x 4 следующее уравнение:
3(4l 3 + 8l 2 + 6l + 3)
( 2l + 1)2 ( 2l + 5)
2(l − 1)(2l 2 + 4l + 3) 2
α
x +
x + l (l − 1)(l + 2) 2l = 0.
ν
( 2l + 1)
4
(18)
Переходя к величине s , запишем дисперсионное уравнение для
случая больших значений вязкости:
3(4l 3 + 8l 2 + 6l + 3)
( 2l + 1)2 ( 2l + 5)
2(l − 1)(2l 2 + 4l + 3)
s +
ν s + l (l − 1)(l + 2)α l = 0.
( 2l + 1)
2
(19)
290
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При получении уравнения (18) в разложении (7) было отброшено слагаемое  x 4 . Это можно сделать, поскольку оно в силу
большой величины коэффициента кинематической вязкости (стоящей в знаменателе выражения для определения x много меньше
слагаемого  x 2 .
Найдем ограничение на минимальную величину коэффициента
кинематической вязкости (на величину x ), при которой можно
пользоваться дисперсионным уравнением (1). Для этого рассмотрим отношение третьего члена ряда (17) ко второму и потребуем,
чтобы это отношение было много меньше единицы. В итоге получим:
4(l + 2) x 2
 1.
( 2l + 1)( 2l + 5)( 2l + 7 )
Это соотношение будет справедливо, когда
x2 
( 2l + 1)( 2l + 5)( 2l + 7 ) .
4(l + 2)
Отсюда, переходя от величины x к вязкости ν и помня, что
минимальное значение индекса l в разложении возмущения поверхности ξ (ϑ ,ϕ , t ) по сферическим функциям Yl m (ϑ ,ϕ ) равно 2, получим условие на величину коэффициента кинематической вязкости:
ν  0.03 ⋅ s.
(20)
Очевидно, что с ростом индекса l численный коэффициент в
неравенстве (20), справа, увеличивается  l 2 .
Выпишем решение дисперсионного уравнения (19):

α 
sl1;2 = ηl  −1 ± 1 − χ l ⋅ 2l  ;
ν 

(l − 1) ( 2l + 1)( 2l + 5 ) ( 2l 2 + 4l + 3)ν
ηl =
;
3 ( 4l 3 + 8l 2 + 6l + 3)
(21)
3l (l + 2)(4l 3 + 8l 2 + 6l + 3)
χl =
.
(l − 1) ( 2l + 5) ( 2l 2 + 4l + 3)
Из вида решения (21) следует, что:
1) если величина α l > 0 , т.е. Q 2κ l 4π (l + 2) < 1, но заряд капли не
слишком велик и α l > ν 2 χ l , и выражение под знаком квадратного
корня отрицательно, то поверхность капли совершает затухающие
291
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
колебания. При этом комплексная величина s j определяет частоты
собственных колебаний ωl и декременты их затухания β l :
αl
−1 .
(22)
ν2
2) Если величина α l >0, ( Q 2κ l 4π (l + 2) < 1), но α l < ν 2 χ l за счет
sl1;2 = − β l ± i ⋅ ωl ≡ −ηl  i ⋅ηl ⋅ χ l ⋅
большой величины коэффициента кинематической вязкости или за
счет большой величины собственного заряда капли Q , приближающегося к своему критическому в смысле реализации рэлеевской неустойчивости значению, так, что выражение под знаком
квадратного корня в (21) положительно и весьма мало, то оба решения sl1;2 вещественны и положительны, и виртуальное возмущение свободной поверхности экспоненциально затухает, а величины
sl1;2 характеризует декременты затухания колебаний поверхности
β l1;2 :
β l(1) ≡ −ηl − ηl ⋅ 1 − χ l ⋅
αl
;
ν2
β l(2) ≡ −ηl + ηl ⋅ 1 − χ l ⋅
αl
;
ν2
(23)
При этом зависимость возмущения l -ой моды капиллярных
колебаний поверхности от времени будет определяться линейной
комбинацией двух экспонент:  C1 ⋅ exp( β l(1) ⋅ t ) + C2 ⋅ exp( β l(2) ⋅ t ). Очевидно, что при больших значениях времени затухание виртуального возмущения свободной поверхности будет характеризовать
меньший из декрементов β l(2) , т.к. экспонента с большим значением величины декремента убывает со временем быстрее и соответствующее движение жидкости может полностью затухнуть к моменту наблюдения.
Таким образом, при α l > 0 условие обращения в ноль подкоренного выражения в (21) разделяет периодические и непериодические решения задачи. Запишем это условие в виде:
α l 1 (l − 1) ( 2l + 5) ( 2l + 4l + 3)
=
≡
.
ν 2 χ l 3l (l + 2)(4l 3 + 8l 2 + 6l + 3)
2
(24)
Уравнение (24) определяет точки бифуркации, т.е. такие значения вязкости ν cr (для заданного заряда капли Q и номера моды
l ), при которых частота осцилляций (определяемая формулой (22)
обращается в ноль, и два периодических затухающих с одинаковым декрементом движения свободной поверхности капли сменя292
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ются на два апериодически затухающих с различными декрементами движения.
Расчеты показывают, что при фиксированном заряде капли Q ,
меньшем критического значения Qcr , с увеличением номера моды l
частота ν cr уменьшается. Таким образом, при заданном ν в капле
вязкой жидкости возможна реализация лишь конечного числа осцилляций с несколькими первыми (малыми) l , для которых ν cr >ν .
Движения жидкости, соответствующие остальным модам являются
апериодическими.
3) Если величина α l <0, т.е. Q 2κ l 4π (l + 2) > 1, то поверхность
капли неустойчива, т.к. один из корней дисперсионного уравнения
становится вещественным положительным и амплитуда соответствующей моды нарастает со временем. Второе решение в указанных
условиях соответствует экспоненциально затухающему решению.
Иными словами величина sl(1) определяет инкремент нарастания
неустойчивости γ l , а величина sl(2) определяет декремент затухания
βl :
sl(1) = γ l ≡ −ηl + ηl ⋅ 1 + χ l ⋅
(25)
αl
;
ν2
sl(2) = − β l ≡ ηl + ηl ⋅ 1 + χ l ⋅
αl
;
ν2
Численные оценки по (25) показывают, что инкремент нарастания неустойчивости является резко убывающей функцией вязкости. Из сказанного выше следует, что, как и в случаях идеальной и
маловязкой жидкости, для сильновязкой жидкости, значение αl = 0
разделяет устойчивые и неустойчивые решения задачи, и выражения для критического значения заряда капли (9)-(11) остаются
справедливыми.
6.2. Описание характерных времен
1. Общие закономерности реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости экспериментально и теоретически
исследованы в работах [4,10,13-17,26,78-79,120,148-163] для различных геометрий заряженной поверхности жидкости. В частности, в этих работах показано, что критические условия проявления
неустойчивости заряженной поверхности жидкости зависят от геометрии поверхности и граничных условий. В соответствии с дан293
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ными этих работ будем модифицировать систему характерных
времен, характерных для феномена спонтанного электродиспергирования жидкости. Подчеркнем, что, говоря о феномене «спонтанного» электродиспергирования жидкости, мы противопоставляем
его феномену вынужденного капиллярного распада струй, достаточно подробно описанному в [8]. Отметим также, что общие физические закономерности электродиспергирования жидкости с
торца капилляра или при электростатическом распаде заряженной
капли весьма детально описаны в работах [164-172].
Также как в [27-29] характерные времена, на основе которых
строится классификация режимов распыления, разделим на две
группы: 1) характерные времена, определяющиеся физическими
свойствами рабочей жидкости; 2) характерные времена, зависящие
от внешних параметров, определяющих режимы распыления. Времена первой группы примем совпадающими с использованными в
[27-29].
τ ε = (ε σ ) - время максвелловской релаксации электрического
заряда или время выравнивания электрического потенциала в жидкости (характерное время перераспределения электрического заряда);
τν = ( R 2 ν ) – время вязкой релаксации или характерное время
выравнивания импульса в объеме жидкости (время выравнивания
профиля поля скоростей);
τ c = ( R c ) – время гидродинамической релаксации (время выравнивания давления в объеме жидкости).
Характерные времена второй группы, использованные в [2729], в нижеследующем изложении уточним и пополним. Необходимость в уточнении связана с тем, что характерные времена второй группы τ γ(ν ) и τν(γ ) , предложенные в [27-30], основаны на выражении (14) предыдущего раздела и адекватно описывают феномен только, когда величина параметра W существенно отличается
от Wcr . Если же величина параметра W близка к Wcr , то соотношение (14) становится неверным и для введения характерных времен
τ γ(ν ) и τν(γ ) нужно использовать соотношение (13).
Величину разности потенциалов, приложенной к разрядной
системе, входящую в определение характерных времен второй
294
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
группы, также как и в [27-29] будем характеризовать с помощью
безразмерного параметра W ≡ ε срU 2 16πγ R ⋅{
(1 − e 2 )
1+ e
[ln(
− 2e]}2 , где
3
1− e
2e
e ≡ 1 − ( R L + R ) , а L – выступающая часть капилляра (см. рис.5 в
2
разделе 3.1). Под Wcr в нижеследующем изложении будем понимать критическое значение параметра W , такое, что поверхность
жидкости претерпевает неустойчивость по отношению к отрицательному давлению электрического поля при W ≥ Wcr и начинает
сбрасывать избыточный электрический заряд путем эмиссии сильно заряженных капель или выброса сильно заряженных струй жидкости. В [27-29] принималось, что Wcr ≈ 1, как это было бы для сферической капли жидкости радиусом R , поддерживаемой при потенциале U . В реальности, в зависимости от конкретных условий:
от формы мениска (полусферический он, плоский или имеет форму сплюснутого или вытянутого сфероида), от скорости подачи
жидкости в мениск по капилляру (если скорость мала, то неустойчивость мениска определится третьей модой осцилляций, а если
скорость велика – второй), от условий закрепления мениска на капилляре конкретное значение Wcr может меняться на порядок. Поэтому в нижеследующем уточнении ранее предложенной классификации будем использовать не конкретное значение параметра
W , а общее обозначение Wcr , которое в каждой конкретной ситуации может быть выбрано отдельно.
Характерное время натекания полусферического мениска с радиусом R , равным радиусу капилляра, определенное соотношением:





3
3
τV ≈  2π R ρ 3 M  =  2π R 3V  ,

 

оставим неизменным, лишь отметим, что массовый расход
жидкости через капилляр зависит и от радиуса капилляра и от величины коэффициента кинематической вязкости. Соответствующую зависимость можно получить из соображений размерности
[173] в виде:

M  Δp ⋅ R 4 ν ,
где Δp – перепад давлений на единицу длины капилляра. Когда жидкость подается по капилляру под действием некого гидро295
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
статического давления, то в выписанной зависимости все понятно.
Но в задачах спонтанного электродиспергирования жидкости с
сильно заряженного мениска на торце капилляра или, например,
при выбросе струй плоской сильно заряженной поверхностью
жидкости или при распаде свободно падающей в атмосфере сильно заряженной капли [10,148,174] перепад давлений Δp – определится отрицательным давлением электрического поля на поверх2
1+ e
2
2 (1 − e )
2
−
ность жидкости: Δp  U 8π R {
[ln(
2
]}
. В безразe
1− e
2e 3
мерном виде: Δp ⋅ R γ  W . В итоге массовый расход жидкости
через капилляр зависит и от радиуса капилляра, и от коэффициента
кинематической вязкости жидкости, и от приложенной разности
потенциалов.
Характерное время осцилляций заряженного мениска жидкости на торце капилляра для маловязкой жидкости при 0 ≤ W ≤ Wcr в
соответствии со сказанным в разделе 6.1 определим также как в
[27-29]:
τγ ≈
(
)
ρ R 3 γ (Wcr − W ) .
Для вязкой жидкости это время определим в отличие от [27-29]
с учетом вязкости жидкости согласно формуле (22) из раздела 6.1,
полагая l = 2 , в виде:
τ γ ≡ ρ R 3 γ 11⋅ (Wcr − W ) −ν 2 ρ γ R  .
Несложно видеть, что влияние даже относительно большой
вязкости существенно скажется на характерном времени τ γ лишь
при больших зарядах мениска: W ~ Wcr .
Характерное время развития капиллярной неустойчивости свободной поверхности заряженного мениска τ γ(ν ) при W > Wcr для маловязкой жидкости определим на основе соотношения (13) при
l = 2 в виде:
−1
τ γ(ν )
 5 ⋅ν

25 ⋅ν 2 8γ
≡ − 2 +
+
⋅
−
W
W
(
)
cr  .
R4
ρ R3
 R

Для сильно вязкой жидкости определим τ γ(ν ) на основе соотношения (25):
296
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
−1
τ γ(ν )

ν 
γ R(W − Wcr ) 
≡ −3.6 ⋅ 2  1 − 1 + 11⋅
 .
2
ρν
R



Характерное время затухания мелкомасштабного ( l  1 ) возмущения свободной поверхности заряженного мениска τν(γ ) при
W > 1 определим для мало и сильно вязкой жидкостей на основе
тех же соотношений (13) и (25) при произвольном, не малом, l ,
как:
(γ )
τν
−1
4
≡ (l − 1)(2l + 1) ⋅ν R 2 + (l − 1) 2 (2l + 1) 2 ⋅ν 2 R + (l − 1)l (l + 2) ⋅ α l ⋅ ρ R 3 γ  ;


и
−1

γ R α l 
ν 
τν(γ ) ≡ −ηl ⋅ 2  1 − 1 + χ l ⋅
 ;
2 

R
ρν



Q 2 (lε 2 − (2l − 5)ε + (l + 1)) (1 − e 2 )
1+ e
αl ≡ 1 −
⋅
⋅
{
[ln(
− 2e]}2 .
3
3
1− e
4πγ R
(l + 2)[l (ε + 1) + 1] ⋅ ε
2e
К этим временам следует добавить характерное время периодического движения мениска под влиянием силового воздействия
флуктуаций объемного заряда в межэлектродном пространстве согласно разделу 2.5:
τ ω ≡ 4π R ρ hR U .
Кроме того, для построения классификации, более совершенной, чем предложенная в [27-29], приведенные выше времена желательно дополнить характерными временами, опирающимися на
параметры образующихся капель. Так необходимо определить характерное время отрыва мениска (капли) от капилляра τ k и характерное время распада струи на отдельные капли (характерное время отрыва капли от торца струи) τ j . Из [30] можно взять характерное время удаления заряженной капли из разрядного промежутка
τ q = ρ g ⋅ν g ⋅ rk ⋅ h2 qk ⋅ U , здесь: ν g – коэффициент кинематической вязкости газа; ρ g – массовая плотность газа; h – расстояние от торца
капилляра до противоэлектрода; rk – радиус k -ой капли; qk – заряд
k -ой капли; U – разность потенциалов, приложенных к разрядной
системе. Однако, с последними тремя характерными временами
существует очевидная сложность: качественная классификация
должна опираться на физико-химические свойства диспергируемых жидкостей и на технические параметры установки. В этой
297
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
связи встает проблема: как характеристики капель и струй, получаемых при электродиспергировании, выразить через физикохимические свойства жидкостей и технические параметры установки для электродиспергирования. Тем не менее, эту трудность
можно преодолеть, опираясь на результаты, исследования струй,
приведенные выше.
2. Согласно разделу 3.1 настоящей книги, когда напряженность внешнего электрического поля E0 у поверхности мениска
жидкости на торце капилляра весьма велика, так, что
W ≡E
2
0
(1 − e 2 ) (1 − e 2 )
1+ e
4π ργ R {
− 2e]}2  2 ,
{
[ln(
3
3
2e
2e
1− e
становятся неус-
тойчивыми все волны с волновыми числами knm ≤ W , но максимальным инкрементом обладает волна с kmax = 2W 3 . Напомним, что
n - порядок функции Бесселя первого рода, а m - номер корня уравнения:
J n ( μnm ) = 0;
μnm ≡ knm R;
представляющего собой условие закрепления жидкого мениска
на торце капилляра; R -внутренний радиус капилляра. Неустойчивая волна с волновым числом knm , наиболее близким к kmax = 2W 3 ,
сформирует струю, выбрасываемую неустойчивым мениском, а радиус струи rj определится соотношением: rj ≈ R n . Исходя из этого
условия, по параметрам конкретной установки и физикохимическим характеристикам диспергируемой жидкости можно
судить оценить радиусы rj струй, выбрасываемых мениском. Радиусы капель Rd , образующихся при распаде струй, согласно данным раздела 4 настоящей книги будут примерно в два раза превышать радиус струи Rd ≈ 2rj . Заряды отдельных капель согласно данным работ [163-164,166-171] можно принять близкими к предельно
возможным в смысле критерия Релея устойчивости сферической
капли по отношению к собственному заряду W ≡ Q 2 16π R 3 γ = 1
[107].
Радиусы капель, образующихся при отрыве мениска непосредственно от капилляра в контексте проводимого исследования
можно принять равными радиусу капилляра, а заряды равными
произведению разности потенциалов на радиус капли. Строго говоря, следует различать внутренние и внешние радиусы капилля298
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ров, которые для тонких капилляров могут различаться и в два раза
[27,55]. Но для целей классификации режимов полидиспергирования жидкости нам достаточно оценить характерные времена по порядку величины, а потому не станем вводить такого различия.
В итоге, характерное время отрыва капли от мениска τ k при
W < Wcr можно принять равным характерному времени осцилляций
мениска τ k ≡ τ γ . Характерное время распада струи на отдельные
капли τ j (характерное время отрыва капли от торца струи), можно
определить через инкремент неустойчивости волны с m = 0 соотношением:
τ j ≡ ρ rj3 γ .
Можно также через инкремент неустойчивости волны с m = 1
ввести характерное время развития хлыстообразного движения
конца струи τ w , которое в соответствии с данными разделов 4.314.32 можно принять совпадающим с τ j : т.е. τ w ≈ τ j .
6.3. Капиллярный и электростатический механизмы распада заряженной струи
Прежде чем переходить к уточнению классификации режимов
электродиспергирования жидкости (спонтанного распада заряженных струй) остановимся на физике явлений, обнаруженных выше.
1. Напомним, что согласно данным раздела 4.3.1 критические
условия реализации неустойчивости волны с заданным значением
m независимо от вязкости жидкости определяются требованием
обращения в ноль выражения
(1)
f ( m, w, k ) ≡ 1 − m2 − k 2 − w ⋅ D ( k , m ) ;
D ( k , m ) ≡ 1 + m − k ⋅ K m+1 ( k ) K m ( k ) ;
w ≡ μ 2 π aγ ;
w - безразмерный параметр, характеризующий устойчивость
струи радиусом a и зарядом μ на единицу длины по отношению к
собственному заряду
Для идеальной жидкости (как уже отмечено, учет вязкости
жидкости на критических условиях реализации неустойчивости
струи не сказывается) дисперсионное уравнение для волн на поверхности цилиндрической струи имеет наиболее простой вид
sm2 = f ( m, w, k ) ⋅ H ( k , m ) ;
H ( k , m ) ≡ m + k ⋅ I m+1 ( k ) I m ( k ) .
299
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поскольку H ( k , m ) для любых m и k положительно (см. рис.1),
то при f ( m, w, k ) < 0 решения дисперсионного уравнения определяют частоты цилиндрических волн на поверхности струи, а при
f ( m, w, k ) > 0 положительное решение дисперсионного уравнения
определяет инкремент неустойчивости цилиндрической волны
γ m = f ( m, w, k ) ⋅ H ( k , m ) .
(2)
Знак множителя f ( m, w, k ) в существенной степени определяется функцией D ( k , m ) , график которой для пяти первых значений
параметра m приведен на рис.2. Учитывая, что произведение
w ⋅ D ( k , m ) определяет вклад электрического поля в величину множителя f ( m, w, k ) , несложно видеть, что
D
H
8
6
-2
4
-4
2
-6
2
4
6
Рис.1.
Зависимость
H = H ( k , m) для первых пяти мод,
расположившихся в порядке
возрастания номеров (толщины линий), самая тонкая линия соответствует m = 0 .
2
4
6
-8
k
Рис.1.
Зависимость
D = D( k , m) для первых пяти мод,
расположившихся в порядке
возрастания номеров (толщины линий), самая тонкая линия соответствует m = 0 .
стабилизирующую роль ( H ( k , m ) > 0 ) заряд на струе играет
только для осесимметричной волны ( m = 0 ) при k ≤ 0.595 , для прочих значений k и m = 0 ( H ( k , m ) < 0 ), а также при любых k и m > 0
заряд на струе играет дестабилизирующую роль.
Зависимости параметра w , критического для начала реализации неустойчивости волны с азимутальным числом m на поверхности струи, от волнового числа k , определяемые условием
f ( m, w, k ) ≡ 1 − m2 − k 2 − w ⋅ D ( k , m ) = 0;
(3)
300
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для первых пяти значений m от m = 0 до m = 4 приведены на
рис.3-рис.4.
w
w
3.1
6
4
0.5
1
1.5
2
2.9
2
4
Рис.4. Более крупный
Рис.3. Зависимость w = w(k ) полученная по (2) для первых пяти план зависимости w = w(k )
азимутальных мод, расположив- для m = 2 в окрестности
шихся в порядке возрастания но- минимума кривой.
меров (толщины линий), самая
тонкая линия соответствует
m = 0.
Волновое число волны с максимальным значением инкремента
найдется из условия
(4)
( dγ m dk ) = 0 ,
которое при выполнении условия (2) сведется к виду:
( df ( m, w, k )
dk ) = 0.
Такая процедура отыскания экстремальных значений w и k ,
сводящаяся к решению системы уравнений (3)-(4), эквивалентна
использованной ранее процедуре отыскания критических условий
реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля – неустойчивости
капиллярно-гравитационных волн на плоской заряженной свободной поверхности жидкости [149].
Анализ системы (3)-(4) показывает, что для мод с
m = 1, m = 3, m = 4 максимальными инкрементами обладают волны с
k = 0 при минимальных для реализации неустойчивости конкретной моды значениях параметра w . Мода с m = 0 неустойчива и в
отсутствие электрического заряда на струе, а максимальным инкрементом обладает волна с kкр ≈ 0.7 . Для моды с m = 2 критиче301
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ские значения параметров имеют вид: kкр ≈ 0.78, wкр ≈ 2.9 , как это
можно видеть из рис.3 – рис.4.
На рис.5 и рис.6 приведены зависимости величины γ – инкремента неустойчивости моды с m = 0 , от волнового числа k и параметра w ,
g
0.6
g
1.5
1
0.5
0
0.5
5
w
0.4
2
0.2
1
1
1.5
0.5 0.75
k0
Рис.5. m = 0.
1.25 1.5 1.75
Рис.6. Зависимости величины инкремента моды с
m = 0 от волнового числа k
при значениях параметра w
равных: 0 (самая тонкая кривая), 0.5, 1 и 2 (самая толстая
кривая).
построенные по (2) при w ≥ 0 . Из рис.5-рис.6 видно, что инкремент неустойчивости осесимметричной волны отличен от нуля при
w = 0 и быстро растет с ростом w . Из рис.6 также видно, что при
k < 0.595 заряд на струе играет стабилизирующую роль: с ростом w
величина инкремента снижается.
На рис.7 и рис.8 приведены зависимости величины γ – инкремента неустойчивости моды с m = 1, от волнового числа k и параметра w , построенные по (2) при w ≥ 0 . Поверхность γ = γ ( k , w) ,
приведенная на рис.7, заканчивается при w ≈ 0.3 , но это связано
лишь масштабами величин. При сужении диапазона значений параметров эта поверхность продолжается до точки {k = 0, w = 0} , как
это можно видеть из рис.8, но величины инкрементов
302
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
g
2
1
0
0.5
3
2
1
g
0.0001
0
0
0.
0.05
0.00005
.00005
k
1
2
k
Рис.7. m = 1.
Рис.8. m = 1. Та же зависимость, что и на рис.7, но построенная в области малых
значений k и w .
весьма малы.
Зависимости величины γ – инкремента неустойчивости моды
с m = 2 , от волнового числа k и параметра w , построенные по (2)
при w > 2.9 проиллюстрированы рис.9. При w = 2.9 и k = 0.78 в соответствии с определением инкремента (2) и условием критичности (3) величина инкремента обращается в ноль, но при незначительном увеличении параметра w величина инкремента быстро
увеличивается, а его максимальные значения приходятся на малую
окрестность точки {w = 2.9; k = 0.78} , как это видно из рис.10.
g
0.35
0.25
g
w
3.75
3.5
3.25
1
0
0.5
5
1
2
3
0.15
0.05
0.6 0.7 0.8 0.9
k
Рис.9. m = 2.
Рис.10. Зависимости величины инкремента моды с
303
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
m = 2 от волнового числа k
при значениях параметра w
равных: 2.905 (самая тонкая
кривая), 2.91 и 2.95(самая
толстая кривая).
2. Из результатов пятой главы следует, что при наличии в
спектре волн, определяющих начальную деформацию струи моды
с m ≠ 0 , приводит к появлению в нелинейных поправках к полю
скоростей и форме струи слагаемых пропорциональных cos( jmϕ ) ,
где j – порядок малости нелинейной поправки. Сказанное означает, что степень неосесимметричности течений и формы струи увеличивается в нелинейных поправках, что приводит как к усложнению формы поверхности струи (см. рис.1 раздела 5.1), так и поля
скоростей течения жидкости в струе.
Следует также отметить, что согласно результатам, полученным в двух предыдущих главах, возбуждение неосесимметричных
мод с m ≥ 1 приводит к появлению вихревых течений, закручивающихся вокруг оси струи, что и делает струю неустойчивой по отношению к появлению «хлыстообразного» движения ее конца.
3. Согласно сказанному выше, потенциальная энергия сил поверхностного натяжения, характеризуемая коэффициентом поверхностного натяжения γ , приходящаяся на отрезок конечной
длины незаряженной цилиндрической струи, больше чем энергия
сил поверхностного натяжения совокупности сферических капель,
на которые этот отрезок струи может распасться. Поэтому, поскольку любая изолированная механическая система стремится
занять положение с минимальной потенциальной энергией, незаряженная цилиндрическая струя неустойчива по отношению к определенным виртуальным синусоидальным деформациям ее поверхности. Виртуальные периодические волны различной длины
на поверхности цилиндрической струи ведут себя по-разному. По
отношению к коротковолновым виртуальным деформациям струя
устойчива, но, начиная с некоторой длины волны, амплитуда виртуальных волновых деформаций ее поверхности экспоненциально
увеличивается со временем с инкрементами, величина которых зависит от длины волны. Величина инкремента неустойчивости пропорциональна корню квадратному из потенциальной энергии сил
поверхностного натяжения, связанной с виртуальной волновой де304
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
формацией цилиндрической поверхности жидкости. Виртуальные
волны, инкремент неустойчивости которых обладает максимальным инкрементом, определяют феноменологическую картину разбиения струи на капли. Неустойчивость такого типа будем именовать капиллярной, поскольку она обусловлена действием сил поверхностного натяжения.
Если рассматривать цилиндрическую струю, вытекающую со
скоростью V из капилляра под действием некого давления, то расстояние Ld , на котором струя начнет распадаться на капли (длина
не распавшейся части струи) определится произведением скорости
−1
струи V на величину τ ≡ γ max
, обратную значению инкремента неустойчивости γ max наиболее неустойчивой виртуальной волны (волны, обладающей максимальным инкрементом неустойчивости):
Ld ≈ V γ max .
Если теперь к цилиндрической струе и соосному с ней цилиндрическому противоэлектроду с радиусом много большим радиуса
струи R приложить разность электростатических потенциалов U ,
то струя электропроводной жидкости приобретет поверхностный
заряд, распределенный с поверхностной плотностью χ ≡ U 4π R .
Кроме того, струя теперь будет иметь еще и электростатическую
потенциальную энергию, имеющую знак противоположный знаку
потенциальной энергии сил поверхностного натяжения. Общая потенциальная энергия, приходящаяся на единицу длины струи, при
этом уменьшится по сравнению с незаряженной струей, а вместе с
ней будет уменьшаться и величина инкремента неустойчивости
волн, как это видно из рис.1а и рис.2а раздела 4.3.1, а, следовательно, будет увеличиваться и длина не распавшейся части струи Ld
(как это и отмечается в [71]). На рисунках в разделах 4.3.1-4.3.2 величина инкремента не обращается в ноль, ни при каких значениях
w потому, что на этих рисунках приведены зависимости от w максимальных значений инкрементов. При увеличении w будет расти
волновое число (уменьшаться длина волны) волны, обладающей
максимальным инкрементом неустойчивости (см. рис.1б и рис.2б
раздела 4.3.1). Неустойчивость поверхности струи, реализующуюся
при этом (при 0 < w ≤ w* , где w* соответствует обращению в ноль
полной потенциальной энергии, приходящейся на единицу длины
струи), следует именовать капиллярно-электростатической.
305
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При обращении величины полной потенциальной энергии,
приходящейся на единицу длины струи, в ноль (при w = w* ) теряет
смысл понятие капиллярно-электростатической неустойчивости
струи, неустойчивость, реализующаяся при дальнейшем росте w
(при w > w* ), будет иметь место при определяющем влиянии электростатических сил и должна именоваться электростатической,
также как неустойчивость сильно заряженной сферической капли
(неустойчивость Рэлея заряженной капли) [66], неустойчивость
электропроводной капли во внешнем электростатическом поле
(неустойчивость Тейлора капли в электростатическом поле) [79]
или неустойчивость плоской однородно заряженной поверхности
электропроводной жидкости в перпендикулярном электростатическом поле (неустойчивость Тонкса-Френкеля) [111,148-149]. Для
осесимметричных волн ( m = 0 ) распределение баланса капиллярных и электростатических сил, действующих на свободную поверхность струи в областях реализации капиллярной, капиллярноэлектростатической и чисто электростатической неустойчивостей качественно не изменяется при переходе от одного режима к
другому, всегда осесимметрична В таких условиях струя дробится
на капли c размерами, соответствующими длине волны с максимальным значением инкремента. Реализация неустойчивости неосесимметричных волн с m ≥ 1 к распаду струи приводить не будет, а ее следствием будет деформация свободной поверхности
струи.
Согласно данным [12,47-49] (см. также разделы 5.1-5.4 данной
книги) форма нелинейно-осциллирующей струи как функция времени зависит от спектра мод, определяющих ее начальную деформацию и начальное распределение поля скоростей в струе и от
спектра внешних силовых воздействий на струю. В общем случае
для заряженной струи, выбрасываемой неустойчивой по отношению к поверхностному заряду свободной поверхностью жидкости,
естественно ожидать, что рельеф поверхности струи в любой момент времени, который можно принять за начальный (за начало отсчета времени) будет формироваться суперпозицией волн с различными значениями азимутального числа m . При достаточно
больших напряженностях электрического поля у поверхности
струи (при достаточно больших величинах электрического заряда,
приходящегося на единицу длины струи μ или, что то же самое,
306
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
достаточно больших w ), эти волны претерпят электростатическую
неустойчивость и их амплитуда начнет увеличиваться. При этом
форма поверхности струи, как это показано на рис.1 раздела 5.1,
построенного по результатам нелинейных расчетов формы заряженной цилиндрической струи, покроется выступами [12,47-49], с
вершин которых могут быть выброшены дочерние струйки, как и в
ситуациях плоской или сферической геометрии заряженной свободной поверхности жидкости [66,79,111,148-149].
4. Теперь представляется целесообразным рассмотреть устойчивость заряженной свободной поверхности жидкого цилиндра по
отношению к давлению электрического поля.
Устойчивость сферической радиуса R капли идеальной несжимаемой электропроводной жидкости, несущей электрический
заряд Q , в конце 19-го века теоретически строго исследовал Рэлей
[66]. Основной результат его теории, касающийся критических условий реализации неустойчивости заряженной капли. Можно получить из простых качественных рассуждений: приравняем давление сил электрического поля ( Q 2 8π R 4 ) ≡ ( E 2 8π ) , действующее
вдоль положительной нормали к поверхности сферической капли,
давлению сил поверхностного натяжения 2γ R , действующее в
противоположном направлении, и получим критерий реализации
неустойчивости заряженной капли в виде:
WR = ( Q 2 16π R 3γ ) ≡ ( E 2 R 16πγ ) ≥ 1.
Через полвека Л. Тонкс [148] на основе качественных построений и Я.И. Френкель [149] строго теоретически исследовали
устойчивость плоской свободной поверхности идеальной несжимаемой электропроводной жидкости в перпендикулярном к свободной поверхности внешнем электростатическом поле напряжен→
ностью E . Соответствующий критерий неустойчивости можно получить из простых качественных рассуждений: приравняем
давление сил электрического поля на поверхность жидкости
( E 2 8π ) давлению сил поверхностного натяжения γρ g под виртуально возникшим на свободной поверхности цилиндрическим выступом с радиусом равным капиллярной постоянной жидкости
R = α ≡ γ ρ g и получим критерий неустойчивости в виде:
(
)
WTF ≡ E 2 8π γρ g ≥ 1.
307
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из подобных рассуждений можно получить и критерий реализации неустойчивости заряженной свободной поверхности цилиндра идеальной несжимаемой электропроводной жидкости. Если
U электрический потенциал свободной поверхности жидкого цилиндра радиуса R , то напряженность электростатического поля на
поверхности цилиндра E = (U R ) , а отрицательное давление электрического поля определится соотношением ( E 2 8π ) ≡ (U 2 8π R 2 ) .
Учитывая, что положительное давление сил поверхностного натяжения на поверхности жидкого цилиндра (γ R ) , и, приравнивая его
давлению электрического поля, найдем критерий электростатической неустойчивости цилиндрической поверхности в виде:
WJ ≡ ( E 2 R 8πγ ) ≡ (U 2 8πγ R ) ≥ 1.
Выше, в начале этого раздела, а также в главах 4 и 5 устойчивость струи по отношению к собственному заряду характеризовалась параметром
(
) (
)
w ≡ μ 2 π Rγ ≡ U 2 4πγ R ≡ 2 ⋅ WJ .
Сравнивая найденное из качественных соображений критическое значение параметра W j = 1 (или w = 2 ) с результатами точного
анализа, проведенного в разделе 4.3.1 и в начале настоящего раздела, несложно видеть, что оно наиболее близко к критическим условиям реализации неустойчивости неосесимметричной волны с
m = 2 , как того и следовало ожидать.
Согласно сказанному выше при w > 2.9 на струе претерпевает
неустойчивость волна с m = 2 , k ≈ 0.78 , что приводит к появлению
деформации свободной поверхности струи, обусловленной в расчетах с сохранением слагаемых третьего порядка малости суперпозицией волн ~ cos(2ϕ ) , ~ cos(4ϕ ) и ~ cos(6ϕ ) . Образовавшиеся при
этом на поверхности струи выступы в соответствии с общими закономерностями реализации неустойчивости заряженной свободной поверхности жидкости будут выбрасывать дочерние струйки
жидкости с радиусами rd много меньшими радиуса исходной струи
R , которые будут уносить избыточный заряд с родительской струи.
Такое ветвление струй отмечалось в экспериментах [30,81].
308
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6.4. Предлагаемая классификация наблюдаемых режимов
спонтанного распада заряженных струй (электродиспергирования жидкости)
Как отмечалось во второй главе, в проводимом исследовании
мы сосредоточим свои усилия на усовершенствовании классификации, предложенной в [27-29], поскольку по сравнению с предложенной в [30] она является более полной и строгой и оставляет
простор для уточнения на основе углубленного понимания физических закономерностей осцилляций, неустойчивости и спонтанного
распада заряженных струй.
В нижеследующих рассуждениях при описании переходов
между режимами кроме ранее введенного массового расхода жид
кости через капилляр M будем использовать и массовый расход

жидкости при ее уносе из разрядной системы каплями: M m . Кроме
того, в отличие от классификации режимов [27-29], выстроенных в
систему для двух ситуаций вязких и маловязких жидкостей в порядке увеличения разности потенциалов, приложенных к разрядной системе, в нижеследующих рассуждениях будем принимать во
внимание многофакторность феномена смены одного режима другим. Переход от одного режима диспергирования к другому может
быть инициирован изменением: массового расхода жидкости через


капилляр M , массового расхода жидкости с мениска M m , разности
потенциалов, приложенных к разрядной системе U , радиусов капилляра внутреннего Rin и внешнего Rex , величины коэффициента
кинематической (динамической) вязкости жидкости ν (или
μ ≡ ρν ), скорости уноса выброшенных мениском и образовавшихся
при распаде струй капель из разрядной системы V .
Кроме того, отметим, что в классификации [27-29] во всех
режимах включен учет соотношения сил, отрывающих каплю, тогда как согласно результатам раздела 3.1 настоящей книги (см.
[175]) при достаточно большой напряженности электрического поля в окрестности мениска жидкости (для тонких капилляров) роль
поля силы тяжести в феномене реализации неустойчивости мениска пренебрежимо мала. В этой связи в диаграмме соотношений
режимов уберем приведенные в классификации [27-29] соотношения сил для каждого режима, но оставим их там, где это необходи309
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мо, в кратких описаниях режимов, дополнив их (там, где это необходимо) еще и учетом баланса давлений на вершину мениска (капли).
6.4.1. Маловязкие жидкости.
1. Капельный (dripping) и микрокапельный (microdripping)
режимы. Прежде всего, отметим, что капельный и микрокапельный режимы электродиспергирования жидкости, включенные в
классификацию и в [27-29] и в [30], характерные тем, что заряженные капельки отрываются непосредственно от мениска на торце капилляра, или от большой (родительской) капли, электростатический распад которой исследуется, весьма детально описаны в
работах [164-165] (см. также [166-172]). В этой связи в нижеследующем изложении основное внимание сосредоточим на режимах,
связанных с распадом на капли заряженных струй жидкости.
Напомним, что капельный режим по [30] включает в себя два
режима из классификации [27-29]: собственно капельный и струйно-капельный. Струйно-капельный режим в [30] обозначается как
капельный с сателлитами (dripping+sibling). Мы же, как отмечалось
выше, будем ориентироваться на классификацию [27-29].
2. Струйно-капельный (jet-dripping) режим. Переход от капельного режима к струйно-капельному согласно и [27-29], и [30]
происходит при увеличении прикладываемой к разрядному промежутку разности потенциалов. При этом форма мениска становится
более вытянутой, а отрицательное давление электрического поля
PU на его вершину увеличивается настолько, что еще до отрыва
всего мениска при выполнении условия FV + FU + Fg ≥ Fγ (т.е. когда
сумма сил отрывающих каплю превысит капиллярную силу в перетяжке, связывающей каплю с торцом капилляра) в малой окрестности вершины мениска выполнится условие PV + PU + Pg  Pγ (здесь
P -давление), и из вершины мениска будет выброшена струя жидкости, которая будет распадаться на отдельные капельки, образуя
так называемые «сателлиты» (термин взят из теории и практики
вынужденного капиллярного монодисперсного распада струй [8]).
Характерное время натекания мениска τV должно быть больше характерного времени его отрыва τ k , которое, в свою очередь, должно быть больше характерного времени развития неустойчивости
310
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мениска τ γ(ν ) и характерного времени распада струи τ j . В итоге совместно со сказанным ранее в разделах 2.2 и 2.3 про струйнокапельный режим получим:
τ ε ~ τ j < τ γ(ν ) < τ k < τV < τν .
3. Веретенообразный (spindle) режим реализуется при дальнейшем увеличении прикладываемой к разрядному промежутку
разности потенциалов U и некотором увеличении массового рас
хода жидкости через капилляр M для положительной полярности
потенциала, подаваемого на капилляр. При отрицательном потенциале, подаваемом на капилляр, переход от струйно-капельного
режима к веретенообразному происходит при снижении массового
расхода [30]. Общая схема временной эволюции мениска сходна с
эволюцией мениска в струйно-капельном режиме, только образующаяся струя более длинная, а ее конец совершает хлыстообразное движение, и сводится к следующему: натекающий закругленный мениск под действием сильного электрического поля вытягивается и из его вершины выстреливается тонкая струйка жидкости,
распадающаяся на весьма мелкие капельки. Удлинение мениска
усиливается, у основания заостренной части мениска и у основания
струйки жидкости возникают перетяжки. Наконец, веретенообразный объём жидкости отделяется от мениска и от струйки и сжимается, образуя основную каплю, в то время как отделившаяся нить
продолжает распадаться на маленькие капельки. Характерное время развития хлыстообразного движения конца струи τ w сравнимо с
характерным временем распада струи τ j . Соотношение характерных времен имеет вид:
τ w ~ τ j < τ γ(ν ) < τ ε < τ k < τV < τν .
4. Режим осциллирующей струи (oscillating jet). Переход от
веретенообразного режима к режиму осциллирующей струи про
исходит, при неизменном массовом расходе M с ростом прикладываемой к разрядному промежутку разности потенциалов U для
положительной полярности потенциала, подаваемого на капилляр,
и при увеличении разности потенциалов U и неизменном массовом

расходе M для отрицательной полярности потенциала [30]. Появление этого режима, по-видимому, связано с накоплением на пе311
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
риферии межэлектродного пространства, электрическое поле в котором сильно неоднородно, объемного заряда движущихся с различной скоростью заряженных капелек, имеющих различные размеры и заряды. Иными словами, в этом режиме массовый расход


через капилляр M меньше M m – массового расхода жидкости при
ее уносе из разрядной системы каплями так, что в межэлектродном
пространстве накапливается объемный заряд, объемная концентрация которого является функцией времени. Сами осцилляции, по
всей видимости, связаны с флуктуациями объемного заряда, отсутствием осевой симметрии эмиссии капель и струй из мениска, отклонением формы стенок капилляра от цилиндрических и от осесимметричности. Характерное время возникновения осцилляций
мениска τ ω должно быть больше характерного времени удаления
капли из разрядного промежутка τ q , которое в свою очередь должно быть меньше характерного времени отрыва мениска τ k , но
больше характерного времени распада струи на капли τ j . В итоге
совместно со сказанным ранее про веретенообразный режим получим для соотношения характерных времен:
τ w ~ τ j < τ q < τ γ(ν ) < τ ε < τ ω < τ k < τV < τν .
5. Многоверетённый режим (multispindel) по сравнению с
режимом осциллирующей струи проявляется при снижении массо
вого расхода через капилляр M и увеличении разности потенциалов U , прикладываемой к разрядному промежутку [30]. В этом режиме мы имеем почти плоский мениск, на кромке которого хаотическим образом появляются отрывающиеся веретенообразные
выступы. По всей видимости, в этом режиме массовый расход
жидкости через капилляр слишком мал, для формирования большого мениска, а напряженность электрического поля у торца капилляра достаточно велика для проявления неустойчивости неосесимметричных кольцевых волн на торце мениска (см. раздел 3.1).
В итоге на кромке капилляра, толщина стенок которого может
быть сравнима с внутренним радиусом капилляра [27,55], образуются симметрично относительно оси капилляра нескольких мелких
эмиссионных выступов в соответствии со степенью неосесимметричности неустойчивой волны, расход жидкости через которые в
веретенообразном режиме для каждого и обеспечивает отток жид312
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


кости от мениска в режиме: M m = M . Соотношение характерных
времен примет вид:
τ q < τ w ~ τ j < τ γ(ν ) < τ ε < τ k < τV < τν .
6. Режим прецессирующей струи (precession jet) проявляется по сравнению с многоверетённым режимом при некотором увеличении разности потенциалов U , прикладываемой к разрядному
промежутку, и существенном увеличении массового расхода жид
кости M [30]. От режима осциллирующей струи к режиму прецессирующей струи можно перейти простым увеличением разности
потенциалов U , прикладываемой к разрядному промежутку. Причина возникновения прецессии струи, по-видимому, такова же, как
и причина возникновения ее осцилляций.
τ q < τ w ~ τ j < τ γ(ν ) < τ ε < τ ω < τ k < τV < τν .
7. Режим с нерегулярно ветвящимся мениском (ramified
meniscus), введенный в [30], описан там чрезвычайно кратко. По
всей видимости, он может быть получен из многоверетенного при
существенном увеличении разности потенциалов U , прикладываемой к разрядному промежутку, и существенном же увеличении

массового расхода жидкости M . В [30] описан переход к этому
режиму из многоструйного режима при снижении вязкости жидкости, что при прочих равных условиях означает увеличение массового расхода через капилляр. От режима прецессирующей струи к
режиму с нерегулярно ветвящимся мениском можно перейти уве
личением массового расхода жидкости M и разности потенциалов
U . В этом режиме из мениска выбрасываются случайным образом
короткие струи. Скорость подачи жидкости в мениск велика и мениск выпуклый. Напряженность электрического поля в окрестности мениска достаточно велика, чтобы в нем реализовалась неустойчивость сразу нескольких высоких неосесимметричных мод
кольцевых волн с близкими инкрементами (см. раздел 3.1).
τ w ~ τ j < τ γ(ν ) << τ ε < τV < τν .
8. Конусно-короткоструйный (cone-short jet) режим реализуется при дальнейшем увеличении разности потенциалов U , прикладываемой к разрядному промежутку. Форма мениска коническая. Струя устойчивая, а ее конец может претерпевать неустойчивости двух типов: варикозную и изгибную. Варикозная
313
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
неустойчивость означает неустойчивость осесимметричных волн,
при которой цилиндрическая разбивается на капли монодисперсным образом. Изгибная неустойчивость соответствует возбуждению волны с m = 1 , а феноменологически – хлыстообразному движению ее конца. Соотношение характерных времен имеет вид:
τ w ~ τ j < τ γ(ν ) << τ ε < τν ~ τV .
9. Многоструйный режим (multijet) обычно развивается из
конусно-короткоструйного режима при увеличении разности потенциалов U , прикладываемой к разрядному промежутку [30,81]. В
этом режиме по кромке капилляра при почти плоском мениске образуется симметрично относительно оси капилляра несколько маленьких эмитирующих конусов [30,81], каждый из которых функционирует в конусно-короткоструйном режиме. Такая феноменологическая картина допускает такую же трактовку, что и
многоверетенный режим. А именно: в этом режиме массовый расход жидкости через капилляр слишком мал, для формирования
большого мениска, а напряженность электрического поля у торца
капилляра достаточно велика для проявления неустойчивости неосесимметричных кольцевых волн на торце мениска (см. раздел
3.1). В итоге на кромке капилляра, толщина стенок которого сравнима с внутренним радиусом капилляра [27,30,55], образуются
симметрично относительно оси капилляра нескольких мелких
эмиссионных выступов в соответствии со степенью неосесимметричности неустойчивой волны. Расход жидкости через эти мелкие
эмиссионные выступы и обеспечивает отток жидкости от мениска


в режиме: M m = M так, что мениск остается плоским. Соотношение
характерных времен примет вид:
τ w ~ τ j < τ γ(ν ) << τ ε < τν < τV .
10. Режим ветвящихся струй (ramified jet), схематично
описанный в [30] (ранее о нем сообщалось в [81]), по всей видимости, связан с возбуждением в струе, эмитированной мениском в
конусно-короткоструйном режиме, электростатической неустойчивости неосесимметричных волн с m ≥ 2 , что достигается увеличением разности потенциалов U , прикладываемой к разрядному
промежутку (см. разделы 4.3.1-4.3.2). При этом цилиндрическая
поверхность струи оказывается сильно деформированной, как это
видно из рис.1 раздела 5.1 (см. также [47-48]), и при достаточно
314
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
большой напряженности электрического поля в окрестности струи
неоднородности на ее поверхности могут функционировать как самостоятельные эмиссионные выступы, с вершин которых выбрасываются дочерние струйки. Для корректной характеристики режима ветвящихся струй следует ввести еще два характерных времени, характеризующих вторичные струйки: τ γ(νj ) - время развития
неустойчивости с вершин неоднородностей на поверхности струи и
τ jj – время распада струек, выброшенных с вершин неоднородностей на поверхности центральной струи:
τ jj < τ γ(νj ) < τ γ(ν ) << τ ε < τν < τV .
11. Диаграмма
смены режимов для маловязких жидкостей в итоге принимает нижеприведенный вид. Одна стрелочка
на диаграмме означает переход с увеличением разности потенциалов U , прикладываемой к разрядному промежутку, две стрелочки –
переход с увеличением массового расхода через капилляр.
315
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Капельный
Режим осциллирующей струи
Многоверетенный
режим
ре-
Струйно-капельный
режим
Веретенообразный
Режим прецессирующей струи
Режим с нерегулярно ветвящимся мени-
Режим
ветвящихся
Микрокапельный режим
Конуснокороткоструйный
режим
Многоструйный
режим
6.4.2. Вязкие жидкости.
Новые режимы, описанные в [30], и введенные в классификацию в предыдущем разделе, описаны на основе экспериментов
проведенных с дистиллированной водой и капилляром диаметром
~ 1 мм, поэтому включить их в калассификацию режимов диспергирования вязких жидкостей не представляется пока возможным,
хотя повторение соответствующих экспериментов с той же жидкостью и с капиллярами много меньших диаметров перевело бы наблюдаемые режимы в режимы диспергирования вязких жидкостей
поскольку разделение жидкостей на вязкие и маловязкие происхо316
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дит на основе безразмерной вязкости. Поэтому изменения в классификации режимов диспергирования вязких жидкостей касаются
лишь выше проделанного уточнения характерных времен и критических условий реализации неустойчивости.
Литература.
1. Baily A.G. Electrostatic atomization of liquids (revue) // Sci.
Prog., Oxf. 1974. V.61. P.555−581.
2. Коженков В.И., Фукс Н.А. Электрогидродинамическое распыление жидкости (обзор) // Успехи химии. 1976. Т. 45. № 12.
С.2274−2284.
3. Бураев Т.К., Верещагин И.П., Пашин Н.М. Исследование
процесса распыления жидкостей в электрическом поле // Сб. Сильные электрические поля в технологических процессах. М.: Энергия. 1979. № 3. С.87−105.
4. Габович М. Д. Жидкометаллические источники ионов (обзор) // УФН. 1983. Т. 140. № 1. С.137−151.
5. Ентов В.М., Ярин А.Л. Динамика свободных струй и пленок
вязких и реологически сложных жидкостей// ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Сер. "Механика жидкости и газа". 1984. Т.17. С.112197.
6. Дудников В.Г., Шабалин А.Л. Электрогидродинамические
источники ионных пучков (обзор)//Препринт 87-63 ИЯФ СО АН
СССР. Новосибирск, 1987. 66 с.
7. Fenn J.B., Mann M., Meng C.K. et al. Electrospray ionization for
mass spectrometry of large biomolecules (revue) // Science. 1989. V.
246. № 4926. P.64−71.
8. Монодиспергирование вещества: принципы и применение //
Е.В. Аметистов, В.В. Блаженков, А.К. Городов и др.: Под ред. В.А.
Григорьева. М.: Энергоатомиздат, 1991. 336 с.
9. Тимохин А.Д. Получение потоков монодисперсных нейтральных и заряженных макрочастиц // Тр. Моск. энерг. ин-та.
1981. Вып. 545. С.3−24.
10. Macky W.A. Some investigations on the deformation and
breaking of water drops in strong electric fields // Pros. Roy. Soc. London, 1931. V.133. №A822. P.565−587.
317
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Воронина Н.В., Егорова
Е.В. Об осцилляциях и спонтанном распаде заряженных жидких
струй (обзор) // Электронная обработка материалов. 2006. № 6.
С.15−27.
12. Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Григорьев А.И. Нелинейные волны на заряженной поверхности жидкости. Ярославль:
Изд. ЯрГУ, 2006. 288 с.
13. Magarvey R., Outhouse L. Note on the break up of charged liquid jet // J. Fluid Mech. 1962. Vol. 13.
№ 1. P. 151−157.
14. Huebner A., Chu H. Instability and breakup of charged liquid
jets // J. Fluid Mech. 1971. Vol. 49. № 2. P. 361−372.
15. Hoburg J.F., Melcher J.R. Current-driven, corona terminated
water jets as sources of charged droplets and audible noise // JEEE
Transaction on Power Apparatus System. 1975. V. 94. № 1. P.
128−136.
16. Kim К., Turnbull R. Generation of charged drops of insulating
liquids by electrostatic spraying // J. Appl. Phys. 1976. V.47. № 5. P.
1964−1969.
17. Cloupeau M., Prunet Foch B. Electrostatic spraying of liquids:
main functioning modes // J. Electrostatics. 1990. V.25. P.165-184.
18. Taylor G. Electrically driven jet // Proc. Roy. Soc., London.
1969. V.A313. P.453-470.
19. Кириченко В.Н., Петрянов-Соколов И.В., Супрун Н.Н.,
Шутов А.А. Асимптотический радиус слабопроводящей жидкой
струи в электрическом поле // ДАН СССР. 1986. Т. 289. № 4. С.
817−820.
20. Cañan-Calvo A.M. On the theory of electrohydrodynamically
driven capillary jets // J. Fluid Mechanics. 1997. V. 335. P. 165−188.
21. Шутов А.А., Захарьян А.А. Заряженная струя несжимаемой
жидкости в электрическом поле // ПМТФ. 1998. Т. 39. № 4. С.
12−15.
22. Зубарев Н.М., Зубарева О.В. Анализ равновесных конфигураций заряженных цилиндрических струй проводящей жидкости //
Письма в ЖТФ. 2004. Т. 30. Вып. 1. С. 51−55.
23. Zeleny J. The electrical discharge from liquid points and a hydrostatic method of measuring the electric intensity at their surfaces //
Phys. Rev. 1914. V. 3. № 2. P.69−91.
318
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24. Zeleny J. On the condition of instability of electrified drops
with application to the electrical discharge from liquid points // Proc.
Cambridge Phil. Soc. 1914. V. 18. Part 1. P.71−83.
25. Zeleny J. Instability of electrified liquid surfaces // Phys. Rev.
1917. V. 10. № 1. P.1−6.
26. English W.N. Corona from water drop// Phys. Rev. 1948. V.74.
№ 2. P.179−189.
27. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Святченко А.А. Классификация режимов работы электрогидродинамических источников ионов. Препринт ИМ РАН №25. Ярославль. 1993. 118 с.
28. Ширяева С.О., Григорьев А.И. Опыт полуфеноменологической классификации наблюдаемых режимов электростатического
диспергирования жидкостей // ЖТФ. 1994. Т.64. Вып.3. С.13-25.
29. Shiryaeva S.O., Grigor’ev A.I. The semifenomenological classification of the modes of electrostatic dispersion of liquids // J. Electrostatics. 1995. V. 34. P. 51−59.
30. Jaworek A., Krupa A. Classification of the modes of EHD
spraying // J. Aerosol Sci. 1999. V.30. № 7. P.873−893.
31. Jaworek A., Krupa A. Classification of the modes of EHD
spraying // J. Aerosol Sci. 1999. V.30. № 7. P.975.
32. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Левчук Т.В., Рыбакова М.В.
О спонтанном распаде заряженной струи вязкой электропроводной
жидкости // Электронная обработка материалов. 2003. №1. С.38-43.
33. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Левчук Т.В., Рыбакова М.В.
Об устойчивости неосесимметричной заряженной струи вязкой
электропроводной жидкости // ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.4. С.5-12.
34. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Левчук Т.В. Об устойчивости неосесимметричных мод объемно заряженной струи вязкой диэлектрической жидкости // ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.11. С.22-30.
35. Nayfeh F.H. Nonlinear stability of a liquid jet // Phys. Fluids.
1970. V.13. №4. Р.841-847.
36. Rutland D., Jamerson G. A nonlinear effect in the capillary instability of liquid jets // J. Fluid Mech. 1971. V.46. №2. P.267-271.
37. Lafrance P. Nonlinear breakup of a liquid jet // Phys. Fluids.
1974. V.17. №10. P.1913-1914.
38. Новиков А. А. Нелинейные капиллярные волны на поверхности струи вязкой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1977. № 2.
С.179-182.
319
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
39. Chaudhary K., Redekopp L. The nonlinear capillary instability
of a liquid jet. Pt.1. Theory. // J. Fluid Mech. 1980. V.96. P.257-274.
40. Chaudhary K., Maxworthy T. The nonlinear capillary instability
of a liquid jet. Pt.2. Experiments on jet behavior before droplet formation. //J. Fluid. Mech. 1980. Vol.96. P.275-286.
41. Chaudhary K., Maxworthy T. The nonlinear capillary instability
of a liquid jet. Pt.3. Experiments on satellite drop formation and control
// J. Fluid. Mech. 1980. V.96. №2. P.287-298
42. Блаженков В.В., Гиневский А.Ф., Гунбин В.Ф., Дмитриев
А.С., Щеглов С.И. Нелинейная эволюция волн при вынужденном
капиллярном распаде струй// Изв. АН СССР. МЖГ. 1993. №3.
С.54-60.
43. Huynh H., Ashgriz N., Mashayek F. Instability of a liquid jet
subject to disturbances composed of two wave numbers// J. Fluid Mech.
1996. Vol.320. P.185-210.
44. Чесноков Ю.Г. Нелинейное развитие капиллярных волн в
струе вязкой жидкости. // ЖТФ. 2000. Т.70. Вып.8. С.31-38.
45. Асланов С.К. К теории распада жидкой струи на капли //
ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.11.С.132-133.
46. Горшков В.Н., Чабан М.Г. Нелинейные электрогидродинамические явления и генерация капель в заряженных проводящих
струях // ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.11.С.1-9.
47. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Левчук Т.В. Нелинейный
асимптотический анализ осцилляций неосесимметричных мод заряженной струи идеальной жидкости // ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.8.
С.6-14.
48. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Егорова Е.В. О некоторых
особенностях нелинейного резонансного взаимодействия мод заряженной струи // Электронная обработка материалов. 2005. №1.
С.42-50.
49. Ширяева С.О., Воронина Н.В., Григорьев А.И. Нелинейные
осцилляции заряженной струи электропроводной жидкости при
многомодовой начальной деформации ее поверхности // ЖТФ.
2006. Т.76. Вып.9. С.31-41.
50. Ширяева С.О., Воронина Н.В., Григорьев А.И. О нелинейных поправках к частотам мод осцилляций заряженной
струи идеальной жидкости // ЖТФ. 2007. Т.77. Вып.2. С.46–55.
320
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
51.
Краснов
Н.В.,
Мурадымов
М.З.,
Шевченко
С.И.Комплексные исследования характеристик ЭГД-распыления
жидкости // Научное приборостроение. 1991. Т.1. № 1. С.42-51.
52. Drozin V.G. The electrical dispersion of liquids as aerosol // J.
Coll. Sci. 1955. V.10. №1. P.158-164.
53. Бураев Т.К., Пашин Н.М. Качественная картина распыления жидкости в электрическом поле // Электричество. 1971. №4.
С.70-79.
54. Carson H.S., Hendrics C.D. Natural pulsation in electrical
spraying of liquids // J. Coll. Sci. 1965. V.6. P.1072-1075.
55. Sample S.B., Bollini R. Production of liquid aerosols by harmonic electrical spraying // J. Coll. Sci. 1972. V.41. №2. P.185-193.
56. Коженков В.И., Кирш А. А., Фукс Н.А. Исследование процесса образования монодисперсных аэрозолей при электрическом
распылении жидкостей // Коллоидный журнал. 1974. Т.36. №6. С.
1168-1171.
57. Hendrics C.D., Carson H.S., Hogan J.J., Schneider J.M. Photomicrography of electrically sprayed heavy particles //AIAA Journal.
1964. V.2. №4. (Русский перевод «Ракетная техника и космонавтика» 1964. №4. С.189-194.)
58. Hayati I., Bailey A.I. Tadros Th. F. Investigation into the mechanism of EHD spraying of liquids Pt.1 // J. Coll. Int. Sci. 1987.
V.117. №1. P.205-221.
59. Hayati I., Bailey A.I. Tadros Th. F. Investigation into the mechanism of EHD spraying of liquids Pt.2 // J. Coll. Int. Sci. 1987.
V.117. №1. P.222-230.
60. Попов С. И., Петрянов И. В. К механизму электростатического
распыления жидкостей // ДАН СССР. 1970. Т. 195. № 4. С. 893895.
61. Pfeifer R.J. Replay to comments by S.A. Ryce “Charge – to –
mass relationships for EHD sprayed liquid droplets” // Phys. Fluids.
1973. V.16. №3. P.454-455.
62. Иващенко Ю.Н., Бродский В.П. Влияние поверхностного
натяжения, плотности и вязкости жидкости, а также радиуса насадка на объем капель спутников, образующихся при отрыве висящей
капли // Украинский физический журнал. 1986. Т. 31. № 9. С.
1356-1359.
321
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
63. Кириченко В. Ч., Михайлова А. Д.. Полевов В.Н. , Петрянов-Соколов И. В. Поперечное расщепление жидкой струи в сильном электрическом поле // ДАН СССР. 1988. Т. 302. № 2. С. 284287.
64. Strutt J.W. (Lord Rayleigh). On the instability of jets// Proc. of
the London Math. Soc. 1878. V.10 P.4-13.
65. Strutt J.W. (Lord Rayleigh). On the capillary phenomena of
jets// Proc. of the Roy. Soc., London. 1879. V.29. № 196. P.71-97.
66. Strutt J.W. (Lord Rayleigh). On the equilibrium of liquid conducting masses charged with electricity // Phil. Mag. 1882. V.14. P.184186.
67. Strutt J.W. (Lord Rayleigh) On the instability of cylinder of
viscous liquid under capillary force // Phil. Mag. 1892. V.34. Serie 5.
P.145-154.
68. Strutt J.W. (Lord Rayleigh) On the instability of cylindrical fluid surface // Phil. Mag. 1892. V.34. Serie 5. P.177-180.
69. Рэлей Дж. Теория звука. Т. 2. М.: Гостехиздат, 1955. 475 c.
70. Savart F. Memare sur la contitution veines liquides lancus par
des orifices circulaires en mince paroi// Annal. chimic. 1833. Ser. 2.
Vol. 53. N 3. P.337-386.
71. Basset A.B. Waves and jets in a viscous fluid // Amer. J. Math.
1894. V.16. P.93-110.
72. Weber C. Zum den Zerfall eines Flussigkeitstrahles// Z. Angew.
Math. Mech. 1931. Bd.11. H.3. S.136-154.
73. Левич В. Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959. 700 c.
74. Fenn R.W., Middleman S. Newtonian jet stability: the role of
air resistance.// AIChE Journal. 1969. V.12. №3. P. 379-383.
75. Haenlein A. Uber den Zerfall eines Flussigkeitstrahles// Forschung. Ing. Wes. 1931. Bd 2. H. 4. S. 139-149.
76. Grant R.P., Middleman S. Newtonian jet stability. //AIChE
Journal. 1966. V.12. № 4. P. 669-678.
77. Iciek J. The hydrodynamics of a free, liquid jet and their influence on direct contact heat transfer I: Conditions of change of liquid
outflow type through sharp inlet edged orifice.// Int. J Multiphase Flow,
1983, 9, № 2 P. 167-179.
322
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
78. Григорьев А.И., Синкевич О.А. К механизму развития неустойчивости капли жидкости в электростатическом поле// Изв. Ан
СССР. МЖГ. 1985. №6. С.10-15.
79. Taylor G. Disintegration of water drop in an electric field //
Proc. Roy. Soc., London. 1964. V.A280. P.383-397.
80. Baily A.G. Electrostatic spraying of liquids// Phys. Bull. 1084.
V.35. №4. P.146-148.
81. Cloupeau M., Prunet Foch B. Electrostatic spraying of liquids in
cone-jet modes // J. Electrostatics. 1989. V.22. P.135-159.
82. Fernandes De La More J., Loscertales I.G. The current emitted
by highly conducting Taylor cones // J. Fluid Mech. 1994. V.260.
P.155-184.
83. Gomez A., Tang K. Charge and fission of droplets in electrostatic sprays // Phys. Fluids. 1994. V.6. №1. P. 404-413.
84. Higuera F.J. Flow rate and electric current emitted by a Taylor
cone. // J. Fluid Mech. 2003. V.484. P.303-327.
85. Higuera F.J. Current/flow-rate characteristics of an electrospray
with a small meniscus. // J. Fluid Mech. 2004. V.513. P.239-246.
86. Schneider J.M., Lindblad N.R., Hendrics C.D., Crowley J.M.
Stability of an electrified liquid jet // J. Appl. Phys. 1967. V.38. №5.
P.2599-2605.
87. Neukermans A. Stability criteria of an electrified liquid jet // J.
Appl. Phys. 1973. V.44. №10. P.4769-4770.
88. Saville D.A. Electrohydrodynamic stability: effects of charge
relaxation at the interface of liquid jet // J. Fluid Mech. 1971. V.48. №4.
P.815-827.
89. Saville D. Stability of electrically charged viscous cylinders. //
Phys. of Fluids. 1971. V.14. №6. P.1095-1099.
90. Grossmann S., Muller A. Instabilities and decay rates of
charged viscous liquid jets// Z. Phys. B: Condersed Matter. 1984. V.57.
P.161-174.
91. Назин С. С., Изотов А. Н., Шикин В. Б. Об устойчивости
заряженной струи // ДАН СССР. 1985. Т.283. №1. С.121-125.
92. Герценштейн С.Я., Мусабеков П.М., Рудницкий А.Я.,
Умаркулов К. О распаде наэлектризованных вращающихся капиллярных струй // ИФЖ. 1991. Т.60. №5. С.231-237.
93. Герценштейн С.Я., Филянд Л.В., Шкадов В.Я. Неустойчивость и образование капель во вращающейся капиллярной струе //
323
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Сб. Нелинейные волновые процессы в двухфазных системах. Новосибирск. 1977. С.172-180.
94. Филянд Л.В. Устойчивость неосесимметричных струй //
Вестник МГУ. 1975. №3. С.82-92.
95. Герценштейн С.Я., Шкадов В.Я. Устойчивость неосесимметричных жидких струй // Изв. АН СССР. МЖГ. 1973. №1. С.4352.
96. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О корректной форме записи закона сохранения количества вещества на движущейся границе
раздела двух жидких сред // ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.11 С.22-28.
97. Глонти Г. А. К теории устойчивости жидких струй в электрическом поле // ЖЭТФ. 1958. Т.34. №5. С.1328-1330.
98. Nayyar N.K., Murty G.S. The stability of a dielectric liquid jet
in the presence of a in longituginal electric field. // Proc. of the Phys.
Soc. 1960. V.75. Pt.3. №483. P.369-373.
99. Raco R.J. Stability of a liquid jet in a longituginal time-varying
electric field // AIAA Journal. 1968. V.6. №5. P.979-980.
100. Saville D. Electrohydrodynamic stability: fluid cylinder in
longituginal electric fields. // Phys. of Fluids. 1970. V.13. №12. P.29872994.
101. Mestel A.J. Electrohydrodynamic stability of a slightly viscous
jet // J. Fluid Mech. 1994. Vol.274. P.93-113.
102. Mestel A.J. Electrohydrodynamic stability of a highly viscous
jet // J. Fluid Mech. 1996. Vol.312. №2. P.311-326
103. Шкадов В.Я., Шутов А.А. Устойчивость поверхностно заряженной вязкой
струи в электрическом поле // Изв. РАН. МЖГ. 1998. №2. С.2940.
104. Шутов А.А., Шкадов В.Я. Теоретическое и экспериментальное исследование электрогидродинамических струйных течений, их устойчивости и моделирование процесса диспергирование
жидкости// Cб. Труды регионального конкурса научных проектов в
области естественных наук. Вып.1. Калуга. 2000. С.67-88.
105. Shkadov V.Ya., Shutov A.A. Disintegration of a charged viscous jet in a high electric field // Fluid Dynamic Res. 2001. V.28. P.2339.
106. Шутов А.А. Формирование и устойчивость заряженной
вязкой струи в
324
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сильном электрическом поле // Изв. РАН. МЖГ. 2006. №6.
С.52-67.
107. Ширяева С.О., Лазарянц А.Э., Григорьев А.И. и др.1994.
Метод скаляризации векторных краевых задач. Препринт ИМРАН.
№27. Ярославль. 126 с.
108. Кириченко В.Н., В.Н. Полевов, Супрун Н.Н., ПетряновСоколов И.В. Перенос заряда при электрогидродинамическом распылении жидкости // ДАН СССР. 1988. Т.301. №4. С.814−817.
109. Mahadevan L. Fluid “rope trick” investigated // Nature. 1998.
V.392. 12 March. P.140.
110. Справочник по специальным функциям. / Под ред. Абрамовиц М., Стиган И. М.: Наука, 1979. 831 с.
111. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных
сред. М.: Наука, 1992. 664 с.
112. Гиневский А. Ф., Мотин А.И. Особенности капиллярного
распада струй диэлектрической вязкой жидкости а поверхностным
зарядом // ИФЖ.1991.Т.60. №4. С.576-581.
113. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука,
1986. 733 с.
114. Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Щукин
С.И. О колебательной неустойчивости заряженной границы раздела несмешивающихся электропроводных жидкостей // Письма в
ЖТФ. 1997. Т.23. Вып.16. С.38-40.
115. Ширяева С.О., Муничев М.И., Григорьев А.И. Волновые и
вихревые движения в сильно заряженной капле // ЖТФ. 1996. Т.66.
Вып.7. С.1-8.
116. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Коромыслов В.А., Белоножко Д.Ф. Капиллярные колебания и неустойчивость ТонксаФренкеля слоя жидкости конечной толщины // ЖТФ. 1997. Т.67.
Вып.8. С.25-31
117. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. Устойчивость заряженной капли вязкой электропроводной жидкости в вязкой электропроводной среде // ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.10. С.34-42.
118. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Электромагнитное излучение осцилирующей заряженной капли конечной проводимости //
Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 5. С.74-80.
325
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
119. Григорьева И.Д., Ширяева С.О Закономерности распада в
сильном электрическом поле сплюснутой сфероидальной капли //
ЖТФ. 1994. Т.64. Вып.9. С.202-207.
120. Ширяева С.О. Капиллярные колебания заряженной вязкой
сфероидальной капли // ЖТФ. 1998. Т.68. Вып.4. С.20-27.
121. Ширяева С.О. Нелинейные осцилляции заряженной капли,
подвешенной в электростатическом и гравитационном полях // Изв.
РАН. МЖГ. 2006. №2. С.17-30.
122а. Воронина Н.В. Исследование роли электрофизических и
теплофизических характеристик жидкости на нелинейное волновое
движение на поверхности заряженной струи. Дисс. канд. физ.-мат.
н.. Ярославль. 2007. 165 с.
122б. Григорьев А.И. К проблеме спонтанного распада нецилиндрической струи, выбрасываемой неустойчивой по отношению
к поверхностному заряду поверхностью жидкости. //ЖТФ. 2008.
Т.78. Вып.2. С.20-32.
123. Рид Р., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. Л: Химия,
1971. 702 с.
124. Yuen M. Non-linear capillary instability of a liquid jet. // J.
Fluid Mech. 1968. Vol.33. Part 1. P.151−163.
125. Wang D.P. Finite amplitude effect on the stability of a jet of
circular cross-section // J. Fluid Mech. 1968. Vol.34. Part 2. P.299-313.
126. Маркова М.П. Шкадов В.Я. О нелинейном развитии капиллярных волн в
струе жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. №3. С.30-37.
127. Kakutani T., Inoue Yo., Kan T. Nonlinear capillary waves on
the surface of liquid column // J. Phys. Soc. Japan. 1974. V.37. №2.
P.529-538.
128. Lafrance P. Nonlinear breakup of a laminar liquid jet // Phys.
Fluids. 1975. V.18. №4. P.426-432.
129. Leib S.J., Goldstein M.E. The generation of capillary instability on a liquid jet. // J. Fluid Mech. 1986. Vol.168. P.479-500.
130. Taub H.H. Investigation of nonlinear waves on liquid jets //
Phys. Fluids. 1976. V.19. №8. Р.1124-1129.
131. Bogy D.B. Drop formation in a circular liquid jet // Ann. Rev.
Fluid Mech. 1979. V.11. P.207-228.
326
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
132. Malik S.K., Singh M. Nonlinear breakup of an electrohydrodynamic jet // Quarterly of Appl. Math. 1983. V.41. №3. October.
P.273-287.
133. Kant R., Malik S.K. Nonlinear electrohydrodynamic instability
of a jet // Quarterly of Appl. Math. 1986. V.43. №4. January. P.407-419.
134. Горшков В.Н., Чабан М.Г. Нелинейные электрогидродинамические явления и генерация капель в заряженных проводящих
струях // ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.11.С.1-9.
135. Герценштейн С.Я., Мусабеков П. М., Рудницкий А. Я.,
Уразов Ш. Н. Неустойчивость и распад наэлектризованных капиллярных струй// ДАН СССР. 1989. Т.306. №5. С.1073-1077.
136. Higuera F.J. Current/flow-rate characteristics of an electrospray with a small meniscus. // J. Fluid Mech. 2004. V.513. P.239-246.
137. Higuera F.J. Stationary viscousity-dominated electrified capillary jets. // J. Fluid Mech. 2006. V.558. P.143-152.
138. Belonozhko D.F., Shiryaeva S.O., Grigor’ev A.I. The classification of the modes of electrostatic dispersion of liquids // Proceedings
of 17-th Annual Conference on Liquid Atomization and Spray System.
Zurich. Switzerland. 2nd-6th September 2001. ISBN 3-9522244-1-3.
139. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Климов
А.В. О форме «конуса Тэйлора» и характерном времени его роста //
ЭОМ. 2004. №4. С.34–40.
140. Reznic S.N., Yarin A.L., Theron A., Zussman E. Transient and
steady shapes of droplet attached to a surface in strog electric field // J.
Fluid Mech. 2004. Vol.516. P.349-377.
141. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные капиллярные колебания заряженной капли // ЖТФ. 2000. Т.70. Вып.8. С.4552.
142. Ширяева С.О Нелинейные осцилляции заряженной капли
при многомодовой начальной деформации равновесной формы //
Изв. РАН. МЖГ. 2001. №3. С.173-184.
143. Kim К., Turnbull R. . Generation of charged drops of insulating liquids by electrostatic spraying // J. Appl. Phys. 1976. V.47. №5.
P.1964-1969.
144. Woosley J.P., Turnbull R., Kim К. Field injection electrostatic
spraying of liquid hydrigen // J. Appl. Phys. 1988. V.21. P.4278-4284.
145. Pretzl K.P. // Particle World. 1990. V.1. №6. P.153-162.
327
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
146. Григорьев А.И., Лазарянц А.Э. Об одном методе решения
уравнения Навье-Стокса в криволинейных координатах //
ЖВММФ. 1992. Т.32. №6. C.929-938.
147. Григорьев А.И., Лазарянц А.Э. Скаляризация векторных
краевых задач линейной гидродинамики // ЖТФ. 1993. Т.63. №10.
С.12-19.
148. Tonks L. A Theory of liquid surface rupture by uniform electric field // Phys. Rev. 1935. V.48. P.562-568.
149. Френкель Я. И. К теории Тонкса о разрыве поверхности
жидкости постоянным электрическим полем в вакууме // ЖЭТФ.
1936. Т.6. №4. С.348-350.
150. Григорьев А.И. О механизме неустойчивости заряженной
проводящей капли // ЖТФ. 1985. Вып.7. С.1272-1278.
151. Allen J.E. A note on the Taylor cone // J. Phys. D: Appl. Phys.
1985. V.18. P.59-62.
152. Ширяева С.О., Григорьев А.И. Модовый анализ закономерностей эмиссии капель при электрогидродинамическом диспергировании жидкостей // ЖТФ. 1995. Т.65. Вып.1. С.25-34.
153. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Григорьева И.Д. Характерное время развития неустойчивости сильно заряженной капли //
ЖТФ. 1995. Т.65. Вып.9. С.39-45.
154. Григорьев А.И. Об инкременте неустойчивости незаряженной капли в однородном электростатическом поле // ПЖТФ.
1998. Т.24. Вып.24. С.36-40.
155. Щукин С.И., Григорьев А.И. Устойчивость заряженной
капли, имеющей форму трехосного эллипсоида ЖТФ. 1998. Т.68.
Вып.11. С.48-52.
156. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Критические условия неустойчивости сплюснутой сфероидальной сильно заряженной капли
ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.7. С.10-14.
157. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. О некоторых закономерностях реализации неустойчивости плоской заряженной поверхности жидкости // ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.7. С.15-22.
158. Ширяева С.О. Характерное время развития неустойчивости маловязкой заряженной капли// ПЖТФ. 2000. Т.26. Вып.4. С.58.
328
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
159. Ширяева С.О.О влиянии вязкости на характерное время
развития неустойчивости заряженной капли //ЖТФ.2000. Т.70.
Вып.9. С.30-36.
160. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Климов
А.В. О характерном времени реализации неустойчивости плоской
заряженной поверхности жидкости // ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.7.
С.140-142.
161. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Климов
А.В. О форме «конуса Тэйлора» и характерном времени его роста //
ЭОМ. 2004. №4. С.34-40.
162. Suvorov V.G., Zubarev N.M. Formation of the Taylor cone on
the surface of liquid metal in the presence of an electric field // J. Phys.
D: Appl. Phys. 2004. V/37. P.289-297.
163. Григорьев А.И. О некоторых закономерностях реализации
неустойчивости по отношению к поверхностному заряду мениска
жидкости на торце капилляра // ЖТФ. 2007. Т.77. Вып.2. С.31-40.
164. Земсков А.А., Григорьев А.И., Ширяева С.О. Капельный и
гармонический режимы электростатического монодиспергирования жидкостей // ЖТФ. 1991. Т.61. №11. С.32-38.
165. Zemskov A.A., Shiryaeva S.O., Grigor'ev A.I. The theory of
monodispersion of liquids by gravitational and electric fields // J. Coll.
Int. Sci. 1993. V.158. P.54-63.
166. Ширяева С.О., Григорьев А.И. Нефеноменологический
подход к разделению режимов в явлении электродиспергирования
жидкости // ЖТФ. 1993. Т.63. Вып.5. С.16-27.
167. Grigor'ev A.I., Shiryaeva S.O. Mechanism of electrostatic polydispersion of liquid // J. Phys. D.: Appl.Phys. 1989.V.23. №11.
P.1361-1370.
168. Grigor'ev A.I., Shiryaeva S.O., Verbitskii S.S. Theory of production of monodisperse particles by electrostatic spraying of liquids //
J. Coll. Int. Sci. 1991. V.146. №1. P.137-151.
169. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Закономерности рэлеевского распада заряженной капли // ЖТФ. 1991 Т.61 №3. С.19-28.
170. Ширяева С.О., Григорьев А.И. Закономерности Рэлеевского распада капли в резко неоднородном электростатическом поле//ЖТФ. 1992. Т.62. Вып.3. С.35-39.
329
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
171. Grigor'ev A.I., Shiryaeva S.O. The theoretical consideration of
physical regularities of the electrostatic dispersion of liquids as aerosols
// J. Aerosol Sci. 1994. V.25. №6. P.1079-1091.
172. Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. Диспергирование заряженной капли в электростатическом поле // ЖТФ. 1999.
Т.69. Вып.12. С.26-30.
173. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Папорков В.А., Ширяева С.О. Метод размерностей. Ярославль: Изд. ЯрГУ им. П.Г.
Демидова. 2007. 80 с.
174. Taylor G.I., McEwan A.D. The stability of horizontal fluid interface in a vertical electric field // J. Fluid Mech. 1965. V.22. №1. P.115.
175. Григорьев А.И. О некоторых закономерностях реализации
неустойчивости по отношению к поверхностному заряду мениска
жидкости на торце капилляра // ЖТФ. 2007. Т.77. Вып.2. С.31-40.
330
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
1. Размерность ................................................Ошибка! Закладка не определена.
2. Системы единиц физических величин .Ошибка! Закладка не определена.
3. Основные и производные единицы.......Ошибка! Закладка не определена.
4. Метод размерностей .................................Ошибка! Закладка не определена.
5. Использование метода размерностей ...Ошибка! Закладка не определена.
5.1. Ситуация N – K = 2. Векторные единицы длины.... Ошибка! Закладка
не определена.
5.2. Ситуация N – K = 2. Двойственный характер понятия массы
...................................................... Ошибка! Закладка не определена.
5.3. Ситуация N – K = 0. ......................... Ошибка! Закладка не определена.
6. Оценки значений физических величин методом размерности . Ошибка!
Закладка не определена.
7. Обезразмеривание .....................................Ошибка! Закладка не определена.
8. Анализ размерностей. π-теорема ...........Ошибка! Закладка не определена.
9. Физические единицы................................Ошибка! Закладка не определена.
9.1. Системы единиц физических величин .................. Ошибка! Закладка не
определена.
9.2. Построение систем единиц ............. Ошибка! Закладка не определена.
9.3. Измерения .......................................... Ошибка! Закладка не определена.
9.4. Переход от одной системы единиц к другой....... Ошибка! Закладка не
определена.
Приложения ...................................................Ошибка! Закладка не определена.
Приложение 1. Механические свойства твердых тел. .. Ошибка! Закладка
не определена.
Приложение 2. Задачи ............................. Ошибка! Закладка не определена.
Приложение 3. Размерности и единицы измерения некоторых
геометрических и механических величин в системах единиц СИ и
СГС .............................................. Ошибка! Закладка не определена.
Приложение 4. Единицы измерения тепловых величин .. Ошибка! Закладка
не определена.
Приложение 5. Единицы измерения электрических величин ...........Ошибка!
Закладка не определена.
Приложение 6. Единицы измерения магнитных величин Ошибка! Закладка
не определена.
Литература .....................................................Ошибка! Закладка не определена.
Учебное издание
Ширяева Светлана Олеговна
Григорьев Александр Иванович
Волкова Марина Владимировна
Спонтанный капиллярный распад заряженных струй
331
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Редактор, корректор Л.Н. Селиванова
Компьютерная верстка Е.Л. Шелеховой
Подписано в печать 07.09.2007. Формат 60х84/16. Бумага тип.
Усл. печ. л. 4,65. Уч.-изд. л. 3,04. Тираж 200 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе ЯрГУ
Отпечатано на ризографе
Ярославский государственный университет
150000 Ярославль, ул. Советская, 14.
332
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
333
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ширяева С.О.
Григорьев А.И.
Волкова М.В.
Спонтанный
капиллярный распад
заряженных струй
334
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
335
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
30
Размер файла
4 247 Кб
Теги
спонтанное, заряженной, 1565, распада, струй, ширяева, капиллярный
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа