close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1566.Нелинейные осцилляции заряженной капли Григорьев А И

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
А.И. Григорьев
С.О. Ширяева
А.Н. Жаров
Нелинейные осцилляции
заряженной капли
Ярославль 2006
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 532.59:534.1
ББК В 253.322я73
Г 83
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве научного издания. План 2006 года
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, А.С. Голованов;
кафедра прикладной математики и вычислительной техники
Ярославского государственного технического университета
Г 83
Григорьев, А.И. Нелинейные осцилляции заряженной капли :
моногр. / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, А.Н. Жаров; Яросл. гос.
ун-т. им. П.Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2006. – 280 с.
ISBN 5-8397-0464-4
В монографии с единой точки зрения в рамках аналитического
асимптотического моделирования рассмотрены нелинейные
осцилляции заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости
как в вакууме, так и при наличии внешней несжимаемой
диэлектрической среды ламинарно обтекающего каплю потока и
осложняющего влияния внешних силовых полей и вязкости
жидкости.
Книга издана при финансовой поддержке грантов Президента
РФ № МК-2946-2004-1 и МК-2209-2006-1, а также грантов РФФИ
№ 03-01-00760 и №06-01-00066-а.
УДК 532.59:534.1
ББК В 253.322я73
 Ярославский государственный
университет, 2006
 А.И. Григорьев, С.О. Ширяева,
А.Н. Жаров, 2006
ISBN 5-8397-0464-4
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. Введение
Совсем недавно, два с половиной десятилетия назад (первая
теоретическая статья [1] появилась 1983 году), начались регулярные исследования нелинейных осцилляций капель [1 – 33]. И хотя
самая первая публикация [1] была посвящена исследованию нелинейных осцилляций незаряженной капли, во всех последующих
работах [2 – 33] рассматривалась именно заряженная капля. Следует отметить, что экспериментальные и теоретические исследования устойчивости и динамики колебаний заряженных капель
жидкости в линейном по амплитуде осцилляций приближении
проводятся уже почти полтора столетия. Интерес к заряженной
капле объясняется тем, что она является ключевым объектом в самых разнообразных академических, геофизических, технических и
технологических явлениях и процессах. Например, с ней приходится встречаться при электростатическом распыливании жидких
топлив, инсектицидов, лакокрасочных материалов, в устройствах
электрокаплеструйной печати, при исследовании проблем грозового электричества, в капельной модели ядра атома, в жидкометаллических источниках ионов, в ионных коллоидных реактивных
двигателях, при жидкометаллической литографии и эпитаксии,
при получении порошков тугоплавких металлов и т.п. (см., например, обзоры [34 – 46] и указанную в них литературу).
Начало теоретического изучения капиллярных колебаний и
устойчивости заряженной капли в линейном приближении по амплитуде осцилляций связано с именем Рэлея [47 – 48] и относится
к концу девятнадцатого века. Он представил каплю как колебательную систему с бесконечным набором собственных частот колебаний. В качестве отдельных мод осесимметричных колебаний
поверхности рассматривались колебания, описываемые соответствующими полиномами Лежандра, при этом номер моды соответствовал числу выпуклостей (или впадин) на поверхности капли.
Рэлей рассчитал частоты капиллярных колебаний и нашел критические условия потери устойчивости сильно заряженной капли.
Наименее устойчивой оказалась основная (вторая) мода капиллярных колебаний, критические условия потери устойчивости которой и определяют устойчивость всей капли. Величину заряда на
капле фиксированного радиуса с заданным коэффициентом по3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
верхностного натяжения, при которой теряет устойчивость основная мода, принято называть Рэлеевским пределом устойчивости
заряженной капли. При превышении зарядом Рэлеевского предела
капля неустойчива и у нее не существует равновесных сферических форм. Со времени появления работы Рэлея проделана масса
исследований линейной устойчивости капель в различных усложняющих вариантах, количество же публикаций, посвященных линейным исследованиям, измеряется сотнями (см., например, обзоры [34 – 46] и указанную в них литературу).
В нижеследующем изложении сосредоточимся на исследованиях нелинейных осцилляций заряженных капель [2 – 32, 49 –
51]. Можно выделить три основных направления проведенных
исследований: 1) нелинейный анализ эволюции амплитуды капиллярных осцилляций поверхности капли в рамках методов теории возмущений; 2) расчет равновесных форм заряженных капель вблизи Рэлеевского предела и анализ характера бифуркаций
решений, имеющих место в окрестности критического значения
заряда; 3) исследование нелинейного взаимодействия между отдельными модами колебаний заряженной капли.
Впервые классические методы теории возмущений (метод
Линштедта-Пуанкаре) к исследованию осесимметричных капиллярных колебаний конечной амплитуды, совершаемых поверхностью незаряженной капли несжимаемой невязкой жидкости, были применены в [1]. Это позволило получить квадратичные по
амплитуде начальной деформации поправки к форме поверхности капли, потенциалам скоростей и в третьем порядке малости к
частотам колебаний. Расчеты проводились для трех типов начальных условий, определявшихся заданием начальной деформации капли в виде виртуального возмущения n-й моды осцилляций
для n = 2, 3, 4. При проведении экспериментальных исследований
сдвига частоты при нелинейных колебаниях капли в условиях отсутствия силы тяжести [32] получено хорошее согласие данных
измерений с теоретическими предсказаниями работы [1].
В работе [29] на основе более подходящего для исследования
многочастотных колебаний метода многих масштабов были исследованы осцилляции конечной амплитуды заряженной капли
идеальной несжимаемой жидкости, вызванные начальным возбуждением первых трех мод (n = 2, 3, 4), в ситуации когда заряд
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
капли не достигает Рэлеевского предела. Однако выяснилось, что
при увеличении заряда до некоторого порогового зависящего от
амплитуды осцилляций значения Q* , меньшего критической по
Рэлею величины, найденные в [29] поправки к амплитудам гармонических колебаний становятся несправедливыми, т.к. неограниченно нарастают при Q ≥ Q* . Для устранения таких расходимостей в [32] на основе анализа асимптотического поведения решений, полученных в [29], малый параметр масштабирования
вводился таким образом, чтобы он характеризовал соотношение
между амплитудой деформации и отклонением величины заряда
на капле Q от критического Q∗ . Это позволило авторам [32] проанализировать нелинейную динамику осесимметричных осцилляций поверхности невязкой заряженной капли вблизи Рэлеевского предела и получить с точностью до второго порядка малости по величине решения, описывающие эволюцию формы
капли, поля скоростей и электрического поля при начальном возбуждении основной моды колебаний поверхности.
Нелинейный анализ неосесимметричных колебаний капли,
несущей заряд, мало отличающийся от Рэлеевского предела, математическими методами, использованными в [32], предпринят и в
[24], где получены динамические уравнения для амплитуд неосесимметричных мод, описываемых сферическими функциями второго порядка. Решения выведенных в [24] уравнений в зависимости от величины начальной деформации капли и близости заряда к
критическому значению проявляют тенденцию к стохастичности.
Нелинейная структура и устойчивость осесимметричных статических форм поверхности идеально проводящей заряженной
невязкой капли с зарядом, близким к Рэлеевскому пределу, при
начальном возбуждении основной (n=2) моды рассматривались в
[32]. В частности было показано, что Рэлеевский предел соответствует точке транскритической бифуркации семейства статических сферических форм капли на семейства осесимметричных
вытянутых и сплюснутых сфероидальных форм (этот результат
был подтвержден численными расчетами [51]). Вытянутые формы существуют при значениях заряда, меньших критического, и
неустойчивы по отношению к малоамплитудным возмущениям
поверхности. Сплюснутые статические формы согласно проведенному анализу существуют при зарядах, больших Рэлеевского
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
предела (что стразу вызвало сомнение и впоследствии было опровергнуто [24, 49 – 50]), причем cплюснутые статические формы
оказались устойчивыми по отношению к малым осесимметричным возмущениям. Кроме того, выяснилось, что при значениях
заряда, немного меньших критического, устойчивость исходной
сферической формы капли может быть нарушена колебаниями
конечной амплитуды. Причем величина заряда, на которую снижается его критическое значение, пропорциональна амплитуде
начального удлинения капли. Результаты аналитических вычислений в [32] подтверждаются численными расчетами статических
форм поверхности капли при возбуждении первых трех мод.
Численный анализ осесимметричных статических форм заряженной капли вблизи Рэлеевского предела был продолжен в [25] с
использованием интегральной формы уравнения Лапласа. В
квадратичном по амплитудам мод приближении обнаружены несимметричные относительно экваториальной плоскости формы
капель, неустойчивые в линейном приближении. В работе [24]
при анализе неосесимметричных колебаний капли получено, что
сплюснутые сфероидальные формы капли, существующие согласно [32] и численным расчетам [51] при Q > Q* неустойчивы
по отношению к неосесимметричным возмущениям (позднее
аналогичный результат получен и в линейном анализе [49-50]).
Таким образом, Рэлеевский предел соответствует точке абсолютной неустойчивости заряженной капли, совершающей осцилляции бесконечно малой амплитуды. Начальная стадия реализации
неустойчивости заряженной капли проходит через последовательность удлиняющихся вытянутых сфероидов. При осцилляциях большой амплитуды критическая величина заряда, при которой капля теряет устойчивость, снижается.
В [1, 12] был также подтвержден ранее отмеченный в [26 –
28] факт временной асимметрии осцилляций: при начальном возбуждении основной моды, когда форма капли осциллирует между вытянутым и сплюснутым сфероидами, время нахождения капли (пузыря) в состоянии вытянутого сфероида превышает время
ее нахождения в сплюснутом состоянии, и эта тенденция усиливается с увеличением амплитуды осцилляций. Но констатацией
этого факта Тсамопулос и Браун и ограничились. Истолкование
же ему дано в [52], где показано, что при нелинейных осцилляци6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ях капля совершает колебания не возле сферической формы, как
было в линейном случае, но в окрестности фигуры, близкой к вытянутому сфероиду.
Вопросы взаимодействия различных мод капиллярных осцилляций заряженной поверхности капли рассматривались в работах [2, 29]. Найденные в [29] в расчетах второго порядка малости квадратичные по малому параметру компоненты решений
(деформации формы капли, потенциала поля скоростей течения
жидкости в ней и электростатического потенциала в окрестности
капли), а также поправки к частотам осцилляций, определяемые в
расчетах третьего порядка малости, содержали в знаменателях
множители вида (ωm2 − j 2 ⋅ ωn2 ) , где ωm и ωn – частоты различных мод
осцилляций капли, j – целое число. В некоторых ситуациях (при
определенных значениях собственного заряда капли Q, ее радиуса и величины коэффициента поверхностного натяжения) может
выполниться соотношение (ωm2 − j 2 ⋅ ωn2 ) = 0 . Такие ситуации по аналогии с возникающими при анализе вынужденных колебаний
принято называть резонансными, поскольку в точках резонансов
решения расходятся. В теории возмущений отработаны процедуры отыскания аналитических решений как в окрестностях, так и в
самих точках резонансов [53 –55] путем введения параметра расстройки, величина которого может непрерывно изменяться. В
физических задачах параметры расстройки вводятся на основе
изменения физических параметров задачи, которые ранее принимались фиксированными. В итоге резонансные компоненты решения сводятся к секулярным слагаемым, которые в свою очередь обрабатываются в стандартных математических процедурах.
В [29] в расчетах второго порядка малости был обнаружен
резонанс между четвертой (n=4) и шестой (n=6) модами при заряде капли Qr , докритическом в смысле линейной устойчивости
капли по отношению к собственному заряду (в смысле анализа
устойчивости, проведенного Рэлеем), Qr < Q* , здесь Q* – критический заряд, при котором теряет устойчивость основная мода
(n=2). Тсамопулос и Браун [29] ввели параметр расстройки на основе варьирования заряда капли Q в малой окрестности Qr и построили решение, справедливое в самой точке резонанса и в его
окрестности. Они показали, что в точке резонанса энергия полностью перекачивается из изначально возбужденной четвертой мо7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ды в шестую меньше чем за три периода осцилляций четвертой
моды. Выяснилось, что максимальная амплитуда шестой моды
достигается в положении точного резонанса (при равной нулю
величине параметра расстройки) и что амплитуда шестой моды
убывает по гиперболическому закону при увеличении абсолютной величины параметра расстройки.
В [29] также показано, что резонансное взаимодействие мод
осцилляций реализуется и для незаряженной капли. В частности,
такое взаимодействие для основной (n=2) и четвертой (n=4) мод
обнаруживается в расчетах третьего порядка малости. Указанная
степень малости приводит к существенному увеличению (на порядок) характерного времени обмена энергией между резонансно
взаимодействующими модами.
Нелинейное резонансное взаимодействие пятой (n=5) и
восьмой (n=8), а также десятой (n=10) и шестнадцатой (n=16)
мод в незаряженной капле идеальной несжимаемой жидкости
рассмотрено Натараньяном и Брауном в [3]. Само исследование
проведено в рамках Лагранжева подхода, ранее использованного
при изучении капиллярно гравитационных волн на поверхности
воды. В выписываемый лагранжиан вводились в соответствии с
идеей метода разных временных масштабов быстрое (характеризующее решения первого порядка малости) и медленное (характеризующее решения второго порядка малости и в том числе нелинейное взаимодействие мод) времена. Начальная деформация
задавалась суперпозицией пары взаимодействующих мод: 5-й и
8-й или 10-й и 16-й. Затем лагранжиан усреднялся по быстрому
времени. Уравнения Эйлера-Лагража, соответствующие оставшейся после усреднения части Лагранжиана, содержали лишь
медленное время и описывали квадратичное по малому параметру взаимодействие мод, определяющих начальную деформацию.
Выяснилось, что параметры резонансного обмена энергией между взаимодействующими модами зависят от парциального вклада
взаимодействующих мод в начальную деформацию.
В [3] показано, что если не ограничивать рассмотрение осесимметричными модами осцилляций, то следует учесть, что с m-й
осесимметричной модой связаны 2m+1 неосесимметричных мод
с одинаковыми частотами и близкими величинами энергии их
возбуждения. Оказалось, что осесимметричные моды неустойчи8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вы в смысле передачи своей энергии в связанные с ними неосесимметричные моды. В итоге энергия, изначально заключенная в
виртуально возбужденной в начальный момент времени в осесимметричной m-й моде, «размазывается» по 2m+1 неосесимметричным модам. При возбуждении в начальный момент двух резонансно взаимодействующих мод с высокими номерами, количество связанных с ними неосесимметричных мод оказывается
весьма большим и обмен энергией между взаимодействующими
неосесимметричными модами носит стохастический характер.
Внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие мод,
реализующееся в третьем порядке малости, выполненное с использованием Лагранжева формализма, изучено Натараньяном и
Брауном в [4]. В экспериментах Тринча и Ванга [5], которые исследовали возбуждаемые акустическим полем осцилляции большой амплитуды капель, подвешенных в акустическом подвесе,
оказалось, что осцилляции большой амплитуды весьма трудно
возбудить вследствие появления на поверхности капли неосесимметричной бегущей волны, которая в конце концов приводила к вращению капли как целого. Такой же эффект проявлялся и в
экспериментах Якоби и др. [6] со свободно висящими в условиях
невесомости каплями, осцилляции которых генерировались акустическим полем. Натараньян и Браун предположили, что такое
поведение акустически возбуждаемых левитирующих капель связано с реализацией в каплях резонанса третьего порядка с участием неосесиметричных мод. Они указали, что, кроме резонанса
третьего порядка между второй (n=2) и четвертой (n=4) модами,
для которых выполняется условие ω4 ± 3 ⋅ ω2 = 0 , о котором сообщалось ранее в [29], существуют резонансы третьего порядка
между (2m+1) неосесиммтеричными модами, связанными с m-ой
осесимметричной модой. Возбуждение таких резонансов и может
привести к вращению капли как целого. В [4] в рамках Лагранжева метода исследованы резонансные взаимодействия между неосесиммтеричными модами, связанными с третьей модой (m=3),
а также между второй (n=2) и четвертой (n=4) модами с учетом
влияния связанных с ними неосесимметричных мод. Показано,
что при начальном возбуждении третьей осесимметричной моды
(n=3, m=0) неосесимметричная тессеральная мода ∼ P32 (θ ,ϕ ) ,
(т.е. n=3, m=2) претерпевает неустойчивость, что в итоге может
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
привести к вращению капли как целого. Для ситуации начального
возбуждения второй (n=2) и четвертой (n=4) мод, резонансно
между собой взаимодействующих, претерпевает неустойчивость
неосесимметричная тессеральная мода ∼ P42 (θ ,ϕ ) , (т.е. n=4, m=2),
что также может привести к вращению капли как целого. Тем не
менее результаты [4] вызывают сомнение, поскольку нелинейная
поправка к частоте третьей моды, полученная в [4], отличается от
найденной ранее в строгом гидродинамическом анализе [29], и
сами авторы [4] говорят, что результаты их последнего расчета
нуждаются в независимой проверке на предмет наличия ошибок.
Сама идея возможности перекачки без постороннего силового
воздействия энергии из осесимметричных мод капли в неосесимметричные, сопровождающаяся понижением порядка симметрии
реализующихся осцилляций, представляется сомнительной. Тем
не менее для системы взаимодействующих точечных осцилляторов (а также для многомодовых вторичных комбинационных резонансов между модами осцилляций заряженной капли) перекачка энергии из высоких мод в низкие имеет место, и этот
фен6омен даже получил специальное название «распадная неустойчивость». В экспериментах [5 – 6] направленное силовое воздействие на каплю со стороны акустического поля имело место, и
возникновение в итоге вращения капли как целого не представляется необычным, чего нельзя сказать о проводимом в [4] анализе.
Следует отметить, что сама идея возможности внутреннего
резонансного взаимодействия мод осцилляций с различной симметрией не вызывает никаких возражений. Тщательного рассмотрения требует вопрос о направлении перекачки энергии при реализации внутреннего резонансного взаимодействия. Во всех выше цитированных работах при упоминании о нелинейном
внутреннем резонансном взаимодействии мод речь шла о так называемом «вырожденном» трехмодовом резонансе, когда одна
мода дважды взаимодействует с другой, но только лишь о факте
существования такого взаимодействия. В реальности вырожденное внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие мод обладает асимметрией и энергия, запасенная в модах, определяющих начальную деформацию капли, перекачивается только из
мод с малыми номерами в моды с большими номерами. Обратная
перекачка энергии из высоких мод в низкие идет лишь в рамках
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
той доли энергии, которая поступила из низких мод в высокие.
Если же в реальности взаимодействуют три моды с различными
номерами, то говорят уже о вторичном комбинационном резонансе, при котором возможна перекачка энергии из определяющих начальную деформацию капли мод с высокими номерами в
моду с низким номером, отсутствующую в спектре мод, определяющих начальную деформацию.
Вопрос о направлении перекачки энергии между резонансно
взаимодействующими модами осцилляций капли с различной
симметрией до настоящего времени не исследовался, но такое исследование выполнено для волн на поверхности заряженной
струи идеальной несжимаемой жидкости [30]. Выяснилось, что
перекачка энергии из неосесимметричной моды в осесимметричную может иметь место, но обратный перенос, соответствующий
распадной неустойчивости, не реализуется, что совершенно непонятно. Примерно таково же положение дел для резонансного
обмена энергией между модами нелинейно-осциллирующей капли, движущейся относительно среды [31]: распадная неустойчивость не имеет места.
Все аналитические исследования [2, 24 – 33] нелинейной динамики поверхности капли проводились в рамках модели идеальной жидкости. Лишь в работе [23, 56] при расчетах численными
методами было учтено влияние вязкости жидкости на осцилляции формы капли. В [23] получено, что даже наличие малой вязкости существенным образом сказывается на резонансном взаимодействии отдельных мод колебаний. В [56] проведено детальное численное исследование нелинейных осцилляций капли
жидкости с произвольной вязкостью. Большая часть результатов,
полученных в [56], была предсказуема из общефизических соображений. Широкому применению результатов численных анализов, как обычно, препятствует их малая общность, и вопрос о необходимости проведения аналитических расчетов нелинейных
осцилляций заряженных капель остается на повестке дня.
Одним из интереснейших явлений, тесно связанных с осцилляциями и неустойчивостью заряженных капель, является возникновение огней св. Эльма (ОСЭ). В 93% случаев это зажигание
ОСЭ обусловлено неустойчивостью капель и пленок воды в электрическом поле [57 – 58]. На нелинейной стадии этой неустойчи11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вости с поверхности жидкости начинается эмиссия сильно заряженных высокодисперсных капелек, в окрестности которых зажигается самоподдерживающийся за счет фотоионизации коронный разряд, что и объясняет наблюдающееся свечение. Интересно, что появление ОСЭ на самолетах, летящих в облаках, всегда
сопровождается интенсивными радиопомехами. Из общефизических соображений можно выделить два источника радиоизлучения ОСЭ: коронный разряд в окрестности эмиттированных капель и капиллярные осцилляции капелек, несущих электрический
заряд [59 –60]. Радиоизлучение коронного разряда изучено хорошо. Достаточно подробно разработана и теория электромагнитного излучения от линейно осциллирующей капли [60]. Поэтому
в настоящем исследовании основное внимание будет уделено
оценке интенсивности радиоизлучения, связанного с нелинейными колебаниями заряженных капель.
Другой примечательный пример применения теории колебаний заряженной капли связан с исследованием взаимодействия
звуковых волн с жидко-капельными системами. В этом случае,
как правило, пренебрегают наличием у капель внутренних степеней свободы, связанных с капиллярными колебаниями капель,
хотя хорошо известно, что частоты капиллярных колебаний капель с размерами, характерными для жидко-капельных систем
естественного происхождения (туманов, облаков, дождя), приходятся на диапазоны частот звуковых волн и длинноволновых
ультразвуковых (см., например, [45, 61 –62] и указанную в них
литературу). Наличие на каплях электрического заряда, отклонение формы капель от сферической, движение капель относительно внешней среды, учет их вязкости приводят к смещению спектра капиллярных колебаний в область более низких значений [45,
65 – 66], т.е. в область звуковых волн, воспринимаемых слухом.
Подводя итог вышесказанному, отметим, что, несмотря на
обилие теоретических и экспериментальных исследований нелинейных осцилляций заряженных капель, многие вопросы, с ними
связанные, остались слабо освещенными. В этой связи представляется необходимым и своевременным более детальное ознакомление с характерными постановками задач и математическими
методами, используемыми при анализе нелинейных осцилляций
заряженных капель.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Анализ нелинейных осцилляций
заряженной капли идеальной жидкости
во втором порядке малости
по амплитуде исходной деформации
2.1. Нелинейные осцилляции деформированной
в начальный момент времени заряженной капли
1. Пусть в начальный момент времени t=0 равновесная сферическая с радиусом R капля идеальной, несжимаемой идеально
проводящей жидкости с плотностью ρ , коэффициентом поверхностного натяжения γ и электрическим зарядом Q, распределенным по ее поверхности, претерпевает виртуальное осесимметричное возмущение фиксированной амплитуды, меньшей радиуса капли. Зададимся целью исследовать эволюцию во времени
формы поверхности такой капли, которая при t > 0 будет совершать нелинейные осцилляции в окрестности равновесной
сферической формы.
Очевидно, что капля будет осесимметричной как в начальный, так и во все последующие моменты времени и уравнение,
описывающее ее поверхность в сферической системе координат с
началом в центре масс капли в безразмерных переменных, в которых ρ = R = γ = 1 , можно записать в виде
r ( θ, t ) = 1 + ξ ( θ, t ) ; | ξ |<< 1 .
(1)
Движение жидкости в капле будем полагать потенциальным
с потенциалом поля скоростей
  движения жидкости в капле

ψ ( r , t ) ; само поле скоростей V ( r , t ) при этом определяется через
 

градиент потенциала V ( r , t ) = grad ( ψ ( r , t ) ) . Принимая, что скорости гидродинамических движений жидкости в капле много
меньше скорости распространения электромагнитных взаимодействий, электрическое поле заряда Q в окрестности капли будем
считать электростатическим [59] и станем описывать его с помо13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


щью потенциала Φ ( r , t ) , с которым напряженность поля E свя
зана известным соотношением E = − grad ( Φ ) .
Математическая формулировка решаемой задачи имеет вид:


Δψ ( r , t )= 0;
(2)
ΔΦ ( r , t ) ;

r→0:
ψ ( r , t ) → 0;
(3)
r → ∞:

| grad (Φ ( r , t ) ) |→ 0 ;
(4)
r=1 + ξ(θ, t):
∂ξ ∂ψ
1 ∂ψ
=
− 2
;
∂t
∂r
r ∂θ
(5)
1
( ∇ψ ) 2
2
(6)
Δ p−
∂ψ
∂t
−
+

1
( ∇Φ )2 = div n ;
8π
Φ(r, θ, t) = const ;
(7)
4
r 2 dr sin θ dθ dϕ = π ,
3

v
v = [0 ≤ r ≤ 1 + ξ ( θ ,t ),0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ]

 er r
3
(8)
(9)
dr sin θ dθ dϕ = 0 ;
V
−
1
4π

n
(
 ⋅ ∇Φ) ds = Q,
s = [ r = 1 + ξ (θ , t ), 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ]; (10)
s
t=0:
ξ ( θ ) = ξ0 P0 ( μ ) + ξ1 P1 ( μ ) + ε  hi Pi ( μ );
i∈Ξ
∂ξ (θ , t )
=0;
∂t
μ = cosθ .
 hi = 1;
i∈Ξ
(11)
Поскольку условия (8) – (9) должны выполняться в любой
момент времени, в том числе и в начальный, то при t=0 они опре14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
деляют амплитуды нулевой и первой мод в разложении начального возмущения равновесной сферической формы поверхности
капли ξ (θ ) в ряд по полиномам Лежандра, т.е. амплитуды нулевой и первой мод не могут быть произвольны, но будут зависеть
от вида начальной деформации.
В выражениях (6)-(11) введены обозначения: Δp – перепад
постоянных давлений внутри и вне капли в состоянии равнове
сия; n – единичный вектор нормали к поверхности (1); ε – безразмерная амплитуда начального возмущения формы поверхности капли, являющаяся малым параметром задачи; Pi (μ ) – полиномы Лежандра порядка i; hi – коэффициенты, определяющие
парциальный вклад i-ой колебательной моды в суммарное начальное возмущение; Ξ – множество значений номеров изначально возбужденных колебательных мод; ξ 0 и ξ1 – константы,
определяемые из условий (8) и (9) в начальный момент времени и
с точностью до слагаемых второго порядка малости по ε , равные:
hi2
9 i hi −1 hi
ξ 0 ≈ −ε 
+ O ε 3 ; ξ1 ≈ −ε 2 
+O ε3 .
m =1 (2i + 1)
i∈Ξ (2i − 1)(2i + 1)
2
∞
( )
( )
(12)
2. Для отыскания решения поставленной задачи воспользуемся методом многих масштабов, как это делалось в задачах это

го типа в [1,32]. Искомые функции ξ (θ , t ) , ψ (r , t ) , Φ(r , t ) представим в виде рядов по степеням малого параметра ε и будем считать зависящими не просто от времени t, а от разных его
масштабов, определенных через малый параметр ε : Τm ≡ ε m t :
∞

∞
ξ (θ , t ) =  ε mξ (m ) (θ , T0 , T1 ,...) ; ψ (r , t ) =  ε mψ (m ) (r ,θ , T0 , T1 ,...) ;
m=1
∞
m =1

Φ (r , t ) =  ε m Φ (m ) (r ,θ , T0 , T1 ,...) .
m =0
(13)
Ограничимся рассмотрением поставленной задачи в квадратичном по ε приближении, в рамках которого можно определить зависимость искомых величин от двух временных масштабов Т0 и Т1.
Подставляя разложения (13) в систему (2) – (11) и приравнивая слагаемые, содержащие одинаковую степень параметра ε ,
получим набор краевых задач для определения функций ξ (m ) , ψ (m ) ,
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Φ (m ) . Очевидно, что линейным уравнениям (2) должна удовлетворять каждая из функций ψ (m ) , Φ (m ) .
В нулевом порядке малости несложно найти выражение для
электростатического потенциала в окрестности равновесной сферической капли, обладающей зарядом Q :
Φ (0 ) = Q / r .
Решения уравнений (2) для функций первого и второго порядков малости, удовлетворяющие условиям ограниченности (3),
(4), запишем в виде
ψ
(m )
∞
(r ,θ ,T0 ,T1 ) =  Dn(m ) (T0 ,T
1
n =1
Φ
(m )
)⋅ r
⋅ Pn (μ ) , (m = 1;2 ) ;
n
∞
(r ,θ ,T0 ,T1 ) =  Fn(m ) (T0 ,T
1
n =0
)⋅ r (
− n +1)
⋅ Pn (μ ) .
(14)
Последовательные поправки к равновесной поверхности капли также представим в виде разложений по полиномам Лежандра:
∞
ξ (m ) (θ , T0 , T1 ) =  M n(m ) (T0 , T1 ) ⋅ Pn (μ ) ; (m = 1,2) .
(15)
n =0
Подставляя решения (14), (15) при m = 1 в систему граничных
условий первого порядка малости, полученную из (5) – (7) после
соответствующих преобразований, получим дифференциальные
уравнения относительно коэффициентов M n(1) (T0 ,T1 ) :
∂ 2 M n(1) (T0 , T1 )
Q2
2
(1)
2
. (16)
+ ω n M n (T0 , T1 ) = 0 ; ω n = n(n − 1)((n + 2) − W ) ; W =
4π
∂T02
Решением уравнений (16) являются гармонические функции
с коэффициентами, зависящими от времени T1 :
M n(1) (T0 , T1 ) = An1 (T1 ) ⋅ exp(i ⋅ ω n ⋅ T0 ) + к.с.;
(
(n ≥ 2)
(17)
)
An1 (T1 ) = an(1) (T1 ) ⋅ exp i ⋅ bn(1) (T1 ) .
Здесь и далее аббревиатура "к.с." обозначает слагаемые, комплексно сопряженные к выписанным; an(1) (T1 ) и bn1 (T1 ) – вещественные функции, зависимость которых от времени T1 может быть
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
определена только при рассмотрении задачи следующего порядка
малости.
Из условий (9), (10), записанных в линейном по малой величине ε приближении, следует, что
M 0(1) (T0 , T1 ) = 0 ;
M 1(1) (T0 , T1 ) = 0
(18)
Отметим, что формально выражения (18) не противоречат
уравнениям (16) для n=0 и n=1.
Удовлетворяя начальным условиям (11) в первом приближении по ε , получим
1
ai(1) (0 ) = hi ; bi(1) (0 ) = 0 ;
2
an(1) (0) = 0 ;
bn(1) (0) = 0 ;
(i ∈ Ξ ) ;
(n ∉ Ξ ) .
(19)
Решения первого порядка (17), (18) и решения (14), (15) при
m=2 подставим в найденную из (5) – (7) систему граничных условий второго порядка малости и после громоздких преобразований получим уравнение относительно коэффициентов M n(2 ) (T0 ,T1 ) :
∂ 2 M n(2 ) (T0 , T1 )
dAn1 (T1 )
(1)
2
+ ω n M n (T0 , T1 ) = −2 ⋅ i ⋅ ω
⋅ exp(i ⋅ ω n ⋅ T0 ) +
dT1
∂T02

   (γ l mn + ωl ⋅ ωm ⋅ ηl mn ) ⋅ Al1 (T1 ) ⋅ Am1 (T1 ) ⋅ exp(i ⋅ (ωl + ωm )T0 ) +
∞
∞
l =1 m = 2 

+ (γ l mn − ωl ⋅ ω m ⋅ η l mn ) ⋅ Al1 (T1 ) ⋅ Am1 (T1 ) ⋅ exp(i ⋅ (ωl − ω m )T0 ) + к.с.  ; (20)



γ ijn = K ijn ω i2 ( n − i + 1 ) + 2n( j( j + 1 ) − 1 ) + ( j( i + 1 ) − i( 2i − 2n + 7 ) + 3 ) n
+α ijn  ω i2 + n
1
i
[
W
;
2 
]
2
K ijjn = Cin00j 0 ;
n
2


1
i
η ijn = K ijn  − i +1 + α ijn 1 +
W
+
2 
n 
;
2 j 
α ijjn = − i (i + 1) j ( j + 1) Cin00j 0 Cin(0−1) j1 .
Здесь Cin00j 0 Cin(0−1) j1 – коэффициенты Клебша – Гордана [64].
Они отличны от нуля, только если нижние индексы удовлетворяют следующим соотношениям:
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
| i − j |≤ n ≤ (i + j ) ;
(i +
j + n) = 2g .
(21)
Поэтому во втором порядке малости будут возбуждаться колебания мод, номера которых удовлетворяют (21).
3. Из вида правой части (20) можно заметить, что если для
каких либо трех мод колебаний поверхности капли с номерами
p, q, k выполняется одно из соотношений
ω p + ωq = ωk ;
ω p − ωq = ωk ,
(22)
то в соответствии с общей идеологией метода многих масштабов
эти моды вступают в резонансное взаимодействие, при этом говорят о вторичном (поскольку проявляется лишь во втором порядке малости) комбинационном резонансе.
Заметим, что согласно (16) значения частот собственных колебаний поверхности капли ω n зависят от величины заряда на капле (от параметра W). Причем при значении Wcr = 4 частота колебаний основной моды (с n=2) обращается в ноль, дальнейшее же
увеличение W приводит к тому, что поверхность капли становится неустойчивой по отношению к собственному заряду. Поэтому
вторичные резонансы оказывают влияние на нелинейные осцилляции капли, и их имеет смысл исследовать только в том случае,
если соотношения (22) выполняются при W < Wcr. В работе [29]
был обнаружен один резонанс подобного типа, для случая когда
ω6 = 2ω 4 , а в [65 – 66] показано, что общее количество резонансов
при W < 4 весьма велико, и при p, q, k < 100 их количество измеряется сотнями.
Пусть индекс n нумерует моды, возбуждающиеся за счет нелинейного взаимодействия во втором порядке малости, а индексы
k , p, q нумеруют моды, связанные резонансным взаимодействием.
Рассмотрим вначале случай n ≠ k , p, q , т.е. когда мода n не
связана никаким резонансным соотношением, а условие исключения секулярных членов и членов с малыми знаменателями из
решения уравнения (20) имеет простой вид:
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
dAn1 (T1 )
dt
= 0.
Из этого равенства, используя выражение для An1 (T1 ) через
скалярные функции an(1) (T1 ) и bn(1) (T1 ) (см. (18)) и требуя обращения
в ноль действительной и мнимой частей, несложно получить
dan(1) (T1 ) dbn(1) (T1 )
=
= 0.
dt
dt
Эти равенства означают, что an(1) (T1 ) и bn(1) (T1 ) не зависят от
медленного времени T1 и в рамках рассмотрения задачи с учетом
лишь второго порядка малости их можно считать константами,
равными своим начальным значениям (19). Выражение (17) для
коэффициентов первого порядка малости M n(1) (t ) в разложении
возмущения формы равновесной поверхности ξ (1) (θ , t ) в ряд по
полиномам Лежандра (15) примет вид
M n(1) (t ) = δ n,i ⋅ hi ⋅ cos(ωi ⋅ t ) ;
i ∈ Ξ; n ≠ k , p, q ,
(23)
δ n,i – дельта-символ Кронекера. Амплитуды поправок второ-
го порядка малости, получаемые при решении уравнения (19), в
рассматриваемой ситуации примут вид

1

1

M n(2 ) (t ) =   hi ⋅ h j λ(i +j )n ⋅ sin  (ω n + ωi + ω j ) ⋅ t  ⋅ sin  (ω n − ωi + ω j ) ⋅ t  +
2

2


i∈Ξ j∈Ξ
1

1

+ λ(i−j )n ⋅ sin (ωn + ωi − ω j ) ⋅ t  ⋅ sin (ωn − ωi + ω j ) ⋅ t ;
2

2

( n ≥ 2; n ≠ p, q, k )
(
λi j n ≡ ( γ i j n ± ωi ⋅ ω j ⋅ηi j n ) ⋅ ω − (ωi ± ω j )
(±)
2
n
)
2 −1
(24)
Заметим, что из соотношений для λ(i ±j )n следует, что выражение для амплитуды добавки второго порядка малости M n(2 ) (t ) при
выполнении условия
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ωn2 − (ωi ± ω j ) = 0
2
(22a)
будет содержать малые знаменатели. Считая, что ω n > 0 , несложно
увидеть, что это равенство эквивалентно (22), т.е. условию реализации внутреннего трехмодового комбинационного резонанса.
4. Выражения (23), (24), подставленные в (15), дают закон
эволюции поверхности заряженной капли во времени, если характер взаимодействия между изначально возбужденными модами не резонансный:
r (θ , t ) = 1 + ε
∞
 M (j1) Pj ( μ ) + ε 2  M n( 2) Pn (μ ) + Ο(ε 3 ) ;
j∈Ξ
M i( 1 ) = hi cos( ω i t );
n =0
M 0( 2 ) = −
hi
1
( 1 + cos( 2ω i t ));

2 i∈Ξ ( 2i + 1 )
9ihi −1 hi
cos( ω i t ) cos( ω i −1 t );
i∈Ξ ( 2i − 1 )( 2i + 1 )
M 1( 2 ) = − 
M n( 2 ) = [N n ( t ) − N n ( 0 ) cos( ω n t )] ;
N n (t ) =
n > 2;
1
(+)
(−)
hi h j λijn
cos((ωi + ω j ) t ) + λijn
cos((ωi − ω j )t )  .

2 i , j∈Ξ
Анализ полученных соотношений показывает, что начальное
возмущение (четной либо нечетной) одиночной моды m капиллярных колебаний приводит к возбуждению во втором порядке
малости только четных мод с номерами, лежащими в диапазоне
[0; m]. Численный анализ по (24) показывает, что в противоречии
с предсказаниями линейной теории независимо от вида начальной деформации равновесной сферической формы капли, несущей заряд, близкий к критическому, но меньший его, неустойчивость по отношению к собственному заряду может быть реализована через быстрое нарастание амплитуды основной моды (n=2),
возбуждающейся во втором порядке малости за счет нелинейного
взаимодействия, даже если основная мода не входит в спектр
мод, определяющих начальную деформацию. Этот вывод качественно согласуется с данными работы [51], посвященной численному расчету нелинейных осцилляций заряженной капли. Когда
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
начальная деформация капли определена пятой модой, имеется и
количественное согласие полученных выше временных зависимостей амплитуд мод, возбужденных во втором порядке малости
с работой [2].
Расчеты показывают, что скорость увеличения амплитуды
основной моды увеличивается с ростом номера моды, определяющей начальную деформацию. С увеличением номера моды,
начальное возмущение которой определяет исходное возмущение
равновесной сферической формы, растет и количество мод капиллярных осцилляций заряженной капли, возбуждающихся за
счет взаимодействия.
Когда начальное возмущение равновесной формы определено четными полиномами Лежандра, то образующая формы капли
в любой момент времени строится из четных же полиномов Лежандра и имеет симметричный относительно начала координат
вид. При достаточно большом значении времени t (лежащем на
границе интервала равномерности решения по t) капля проявляет
тенденцию к делению на две равные части. Если же начальное
возмущение связано с нечетными полиномами Лежандра, то
форма капли в любой последующий момент времени асимметрична относительно начала координат, несмотря на то что за счет
взаимодействия мод во втором порядке малости по ε возбуждаются только четные моды. При больших значениях времени t такая капля проявляет тенденцию к асимметричному делению.
Взаимодействие вырожденного резонансного типа возникает
между модами во втором порядке малости, когда начальная деформация капли определена одной модой, а частоты взаимодействующих мод при некотором значении заряда Q удовлетворяют
соотношению ω m2 = j 2 ⋅ ω n2 , где j – целое число, m ≠ n . В результате
такого взаимодействия амплитуда одной из взаимодействующих
мод растет со временем, а другой – уменьшается.
5. Расчеты показывают, что независимо от вида начальной
деформации наиболее быстро растет амплитуда основной моды
капиллярных колебаний. Поскольку использованная процедура
расчета обеспечивает пригодность полученных выражений до тех
пор, пока амплитуда мод, возбужденных во втором порядке малости, не сравняется с амплитудой начального возмущения, то увеличение амплитуды основной моды до величины порядка ε будет
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
соответствовать вытягиванию капли в сфероид с квадратом эксцентриситета e 2 ≈ 3ε − 5.25ε 2 [67]. Несложно видеть, что даже при
малых значениях ε ~ 0.1 это приведет к заметному удлинению капли и к снижению критических условий реализации неустойчивости капли по отношению к собственному заряду, которые для
сфероидальной капли в линейном по e 2 приближении имеют вид
( ) (
) (
(
) )
W* e 2 = 4 1 − 2e 2 / 7 ≈ 4 1 − 2 3ε − 4.25 ⋅ ε 2 / 7 .
Таким образом, если параметр Рэлея W капли близок к критическому, то может реализовываться неустойчивость капли. Если капля характеризуется некоторым значением параметра Рэлея
W = W+ , достаточно близким к критическому W = 4 , но меньшим
его, то из приведенного выражения для W* (e 2 ) можно найти текущую безразмерную амплитуду основной моды a2 , при достижении которой капля претерпит неустойчивость:
(
)
1
1 − 8.17 ⋅ 1 − 8.17 ⋅ W+ .
3.5
Так, при W = 3.6 капля станет неустойчивой, когда безразмерная амплитуда основной моды достигнет величины a ≈ 0.16 . При
этом капля сбросит часть своего заряда путем эмиссии значительного количества сильно заряженных высокодисперсных капелек [42 – 45, 68].
a2 ≈
2.2. Внутреннее нелинейное резонансное трехмодовое
вырожденное и вторичное комбинационное
взаимодействие мод осцилляций заряженной капли
1. Внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие мод
осцилляций заряженной капли электропроводной несжимаемой
жидкости среди прочих нелинейных эффектов, связанных с нелинейными осцилляциями капли, занимает в проводимых исследованиях видное место: начиная с первых работ на эту тему, появившихся двадцать лет назад [1, 3 – 4, 24, 29] и до настоящего
времени [2, 19, 21 – 22, 69 – 77], более трех четвертей публикаций
так или иначе его затрагивают. Причина такого интереса в том,
что резонансное взаимодействие обеспечивает наиболее быстрое
и эффективное перераспределение энергии начальной деформа-
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ции капли между модами, возбуждающимися за счет нелинейного взаимодействия, и тем самым оказывает определяющее влияние как на закономерности реализации нелинейных осцилляций
(и связанными с ними акустическим и электромагнитным излучениями [71, 73]), так и на закономерности распада капли, несущей заряд, близкий к критическому в смысле линейной устойчивости [2, 24, 29, 70, 74, 76]. Но, несмотря на значительное количество публикаций, посвященных резонансному взаимодействию
мод, на многие вопросы, с ним связанные, ответа пока не получено. Так, до сих пор не исследован вопрос о направлении перекачки энергии между модами при резонансном взаимодействии.
Первыми были открыты и исследованы так называемые вырожденные трехмодовые резонансы [1, 3, 29], в которых одна из двух
взаимодействующих мод дважды взаимодействует с другой. В
[69, 75] было показано, что в таких резонансах энергия перекачивается только в направлении от низких мод к высоким, что, вообще говоря, не согласуется с представлениями о «распадной неустойчивости» при трехмодовых взаимодействиях [78]. В работе
[72] было обнаружено, что распадная неустойчивость может
иметь место при истинно трехмодовых резонансах (вторичных
комбинационных резонансах): было показано, что существует несколько резонансных ситуаций, в которых энергия перекачивается из высоких мод в третью, но особенности такого взаимодействия (характерное время взаимодействия и его глубина) исследованы не были. В [72] было показано, что в четырехмодовых
взаимодействиях энергия также может перекачиваться от высоких мод к низким, но с малой интенсивностью, поскольку эти
взаимодействия реализуются только в третьем порядке малости.
Исследование возможности перекачки энергии из высоких мод
нелинейных осцилляций к низким (точнее говоря, к основной
моде) представляет существенный интерес в связи с обсуждающимся в научной литературе механизме инициировании разряда
молнии коронным разрядом в окрестности крупной сильно заряженной капли [74, 77].
В связи с вышесказанным в настоящей работе проводится исследование закономерностей перераспределения энергии между
модами в вырожденных и во вторичных комбинационных резонансах при трехмодовом взаимодействии.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Рассмотрим эволюцию во времени формы поверхности нелинейно-осциллирующей капли идеальной, несжимаемой, идеально проводящей жидкости с плотностью ρ , коэффициентом
поверхностного натяжения γ и электрическим зарядом Q , однородно распределенным по ее поверхности. В начальный момент
времени t=0 равновесная сферическая форма капли с радиусом R
претерпевает осесимметричное возмущение фиксированной амплитуды, существенно меньшей радиуса капли. Зададимся целью
найти спектр возникающих капиллярных осцилляций капли
(форму капли) при t > 0 .
Примем, что форма капли осесимметрична как в начальный,
так и во все последующие моменты времени, и уравнение, описывающее ее поверхность, в сферической системе координат с
началом в центре масс капли в безразмерных переменных, в которых ρ = R = γ = 1, имеет вид
r (θ , t ) = 1 + ξ (θ , t ) ;
| ξ |<< 1 .
(1)
Движение жидкости в капле будем полагать потенциальным

с потенциалом поля скоростей движения жидкости в капле ψ (r , t ) ;
 
само поле скоростей V (r , t ) при этом определяется через градиент
 

потенциала V (r , t ) = grad (ψ (r , t )) . Принимая, что скорости гидродинамических движений жидкости в капле много меньше скорости
распространения электромагнитных взаимодействий, электрическое поле заряда Q в окрестности капли будем считать электростатическим и станем описывать его с помощью потенциала

Φ (r , t ) , с которым напряженность поля E связана известным со
отношением E = − grad (Φ ) .
Математическая формулировка решаемой задачи имеет вид:


Δψ ( r , t )= 0;
r→0:
r → ∞:
r=1 + ξ(θ, t):
ΔΦ ( r , t ) ;

ψ ( r , t ) → 0;
(2)
(3)

| grad (Φ(r , t )) |→ 0 ;
(4)
∂ξ ∂ψ
1 ∂ψ
=
− 2
;
∂t
∂r
r ∂θ
(5)
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Δ p−
∂ψ 1
1

− (∇ψ ) 2 +
(∇Φ ) 2 = div n ;
∂t
2
8π
Φ(r, θ, t) = const ;
(7)
2
 r dr sin θ d θ d ϕ =
V
(6)
4
,
3π
V = [0 ≤ r ≤ 1 + ξ ( θ ,t ), 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ];
 3
e
 r ⋅ r dr sin θ dθ dϕ = 0 ;
(8)
(9)
V
−
1
4π

(
n
 • ∇Φ) ds = Q,
S = [ r = 1 + ξ (θ , t ), 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ];
S
(10)
t=0: ξ (θ ) = ξ 0 P0 ( μ ) + ξ1 P1 ( μ ) + ε  hi Pi ( μ );  hi = 1;
i∈Ξ
i∈Ξ
∂ξ (θ , t )
= 0 . (11)
∂t
Ξ
Поскольку условия (8) – (9) должны выполняться в любой
момент времени, в том числе и в начальный, то при t = 0 они определяют амплитуды нулевой и первой мод в разложении начального возмущения равновесной сферической формы поверхности капли ξ (θ ) в ряд по полиномам Лежандра, т.е. амплитуды
нулевой и первой мод не могут быть произвольны, но будут зависеть от вида начальной деформации.
В выражениях (6) – (11) введены обозначения: μ = cos θ ;
Δp – перепад постоянных давлений внутри и вне капли в состоя
нии равновесия; n – единичный вектор нормали к поверхности
(1); ε – амплитуда начального возмущения формы поверхности
капли, являющаяся малым параметром задачи; Pi (μ ) – полиномы
Лежандра порядка i; hi – коэффициенты, определяющие парциальный вклад i-й колебательной моды в суммарное начальное
возмущение; – множество значений номеров изначально возбужденных колебательных мод; ξ 0 и ξ1 – константы, определяе25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мые из условий (8) и (9) в начальный момент времени, с точностью до слагаемых второго порядка малости по ε , равные
9 i hi −1 hi
hi2
ξ 0 ≈ −ε 
+ O ε 3 ; ξ1 ≈ −ε 2 
+ O ε 3 . (12)
m =1 (2i + 1)
i∈Ξ (2i − 1)(2i + 1)
( )
( )
∞
2
3. Для отыскания решения поставленной задачи воспользуемся методом многих масштабов, как это делалось в задачах этого типа в [2, 19, 21, 24, 29, 69 – 77]. Искомые функции ξ (θ , t ) ,


ψ (r , t ) , Φ (r , t ) представим в виде рядов по степеням малого параметра ε и будем считать зависящими не просто от времени t, а
от разных его масштабов, определенных через малый параметр
ε : Τm ≡ ε mt :
ξ (θ , t ) =
∞
ε
m =1
m
ξ
(m )
(θ ,T0 ,T1 ,...);

Φ (r , t ) =

ψ (r , t ) =
∞
∞
 ε mψ (m ) (r ,θ ,T0 ,T1 ,...) ;
m =1
 ε mΦ (m ) (r ,θ ,T0 ,T1 ,...).
(13)
m =0
Ограничимся рассмотрением поставленной задачи в квадратичном приближении, в рамках которого можно определить зависимость искомых величин от двух временных масштабов T0 и T1 .
Подставляя разложения (13) в систему (2) – (11) и приравнивая слагаемые, содержащие одинаковые степени параметра ε ,
получим набор краевых задач для определения функций ξ (m ) ,
ψ (m ) , Φ (m ) . Очевидно, что линейным уравнениям (2) должна
удовлетворять каждая из функций ψ (m ) , Φ (m ) .
В нулевом порядке малости получим выражения для электростатического потенциала в окрестности равновесной сферической капли, обладающей зарядом Q : Φ (0 ) = Q / r .
Решения уравнений (2) для функций первого и второго порядков малости, удовлетворяющие условиям ограниченности (3),
(4), запишем в виде
ψ
(m )
∞
(r ,θ ,T0 ,T1 ) =  Dn(m ) (T0 ,T1 ) ⋅ r n ⋅ Pn (μ ),
n =1
26
( m = 1;2 ) ;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Φ
(m )
∞
(r ,θ ,T0 ,T1 ) =  Fn(m ) (T0 ,T1 ) ⋅ r −(n +1) ⋅ Pn (μ ) .
(14)
n =0
Последовательные поправки к равновесной поверхности капли также представим в виде разложений по полиномам Лежандра:
ξ
(m )
∞
(θ ,T0 ,T1 ) =  M n(m ) (T0 ,T1 ) ⋅ Pn (μ ) ;
(m = 1,2).
n =0
(15)
Подставляя решения (14), (15) при m = 1 в систему граничных
условий первого порядка малости, полученную из (5) – (7), после
соответствующих преобразований получим дифференциальные
уравнения относительно коэффициентов M n(1) (T0 ,T1 ):
∂M n(1) (T0 ,T1 )
∂T02
+ ω n2 M n(1) (T0 ,T1 ) = 0 ;
ω n2 = n(n − 1)(( n + 2 ) − W ) ;
Q2
W=
.
(16)
4π
Решением уравнений (16) являются гармонические функции
(для n ≥ 2 ) с коэффициентами, зависящими от времени T1 :
M n( 1 ) (T0 ,T1 ) = An( 1 ) (T1 ) ⋅ exp(i ⋅ ω n ⋅ T0 ) + к .с.;
(
)
An( 1 ) (T1 ) = a 1n (T1 ) ⋅ exp i ⋅ bn(1) (T1 ) .
(17)
Здесь и далее аббревиатура "к.с." обозначает слагаемые, комплексно сопряженные к выписанным; a n( 1 ) (T1 ) и bn( 1 ) (T1 ) – вещественные функции, зависимость которых от времени T1 может
быть определена только при рассмотрении задачи следующего
порядка малости.
Из условий (9), (10), записанных в линейном по малой величине ε приближении, следует, что
M 0(1) (T0 ,T1 ) = 0 ;
M 1(1) (T0 ,T1 ) = 0
27
(18)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отметим, что формально выражения (18) не противоречат
уравнениям (16) для n=0 и n=1.
Удовлетворяя начальным условиям (11) в первом приближении по ε , получим
a i( 1 ) (0) =
a n( 1 ) (0) = 0 ;
bi( 1 ) (0 ) = 0 ;
(i ∈ Ξ );
Ξ
1
hi ;
2
bn( 1 ) (0) = 0 ;
(n ∉ ) .
(19)
Решения первого порядка (17), (18) и решения (14), (15) при
m=2 подставим в полученную из (5) – (7) систему граничных условий второго порядка малости и после громоздких преобразований получим уравнение относительно неизвестных коэффициентов M n(2 ) (T0 ,T1 ):
∂M n(2 ) (T0 ,T1 )
∂T02
+ ω n2
(1)
⋅Mn
dAn( 1 ) (T1 )
(T0 ,T1 ) = −2 ⋅ i ⋅ ω n
⋅ exp(i ⋅ ω n ⋅ T0 ) +
dT1
 {(γ l mn + ω l ⋅ ω m ⋅η l mn )⋅ Al( 1 ) (T1 ) ⋅ Am( 1 ) (T1 ) ⋅ exp(i ⋅ (ω l + ω m )T0 ) +
∞
∞
+
l =2 m=2

+ γ l mn − ω l ⋅ ω m ⋅η l mn ⋅ Al( 1 ) (T1 ) ⋅ Am( 1 ) (T1 ) ⋅ exp(i ⋅ (ω l − ω m )T0 ) + к .с.  ;

(
)
(20)


γ ijn = K ijn ω i2 ( n − i + 1 ) + 2n( j( j + 1 ) − 1 ) + ( j( i + 1 ) − i( 2i − 2n + 7 ) + 3 ) n
W
1 2
+ α ijn  ω i + n  ;
2
i
[
]
n0 2
K ijn = C i 0 j 0 ;
n
2


η ijn = K ijn  − i + 1 )
W
2 
+
1
n 
+ α ijn 1 +
;
i
2j
α ijn = − i( i + 1 ) j( j + 1 ) C in00j 0 C in( 0−1 ) j1 .
Здесь C in00j 0 , C in( 0−1 ) j1 - коэффициенты Клебша-Гордана. Они
отличны от нуля, только если нижние индексы удовлетворяют
следующим соотношениям:
(i +
| i = j | ≤ n ≤ (i + j ) ;
28
j + n) = 2 g .
(21)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поэтому во втором порядке малости будут возбуждаться
только колебания мод, номера которых удовлетворяют (21).
4. Из вида правой части (20) видно, что если для трех мод колебаний поверхности капли с номерами p, q, k выполняется одно
из соотношений
ω p + ωq = ωk ;
ω p + ωq = ωk ,
(22)
то в соответствии с общей идеологией метода многих масштабов
эти моды вступают в резонансное взаимодействие, при этом говорят о вторичном (поскольку проявляется лишь во втором порядке малости) комбинационном резонансе.
Заметим, что согласно (16) значения частот собственных колебаний поверхности капли ωn зависят от величины заряда на капле (от параметра W). Причем при значении Wcr = 4 частота колебаний основной моды (с n = 2) обращается в ноль, дальнейшее
же увеличение W приводит к тому, что поверхность капли становится неустойчивой по отношению к собственному заряду. Поэтому вторичные резонансы оказывают влияние на нелинейные
осцилляции капли, и их имеет смысл исследовать только в том
случае, если соотношения (22) выполняются при W < Wcr . В работе [29] был обнаружен резонанс подобного типа, для случая
когда ω 6 = 2ω 4 , а в [70, 72, 74] показано, что общее количество
резонансов при W < 4 весьма велико и при p , q , k < 100 их количество измеряется сотнями.
Пусть индекс n нумерует моды, возбуждающиеся за счет нелинейного взаимодействия во втором порядке малости, а индексы
k , p, q нумеруют моды, связанные резонансным взаимодействием.
4а. Рассмотрим вначале случай n ≠ k , p , q , т.е. когда мода n
не связана никаким резонансным соотношением, а условие исключения секулярных членов и членов с малыми знаменателями
из решения уравнения (20) имеет простой вид:
(1)
dAn (T1 )
= 0.
dt
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из этого равенства, используя выражение для An( 1 ) (T1 ) через
скалярные функции an( 1 ) (T1 ) и bn( 1 ) (T1 ) (см. (18)) и требуя обращения в ноль действительной и мнимой частей, несложно получить
da(n1 ) (T1 ) dbn( 1 ) (T1 )
=
= 0.
dt
dt
Эти равенства означают, что a (n1 ) (T1 ) и b n( 1 ) (T1 ) не зависят от
медленного времени T1 и в рамках рассмотрения задачи во втором порядке малости их можно считать константами, равными
своим начальным значениям (19). Выражение (17) для коэффициентов первого порядка малости M n( 1 ) (t ) в разложении возмуще-
ния формы равновесной поверхности ξ (1) (θ , t ) в ряд по полиномам Лежандра (15) примет вид
(1)
M n (t ) = δ n ,i ⋅ hi ⋅ cos(ω i ⋅ t ) ; i ∈ Ξ ;
n ≠ k , p , q , (23)
δ n ,i – дельта-символ Кронекера. Амплитуды поправок второго порядка малости, получаемые при решении уравнения (20), в
рассматриваемой ситуации примут вид:
M n(2 ) (t ) =

1



1



  hi ⋅ h j λ(i +j )n ⋅ sin 2 (ω n + ω i + ω j ) ⋅ t  ⋅ sin 2 (ω n − ω i − ω j ) ⋅ t  +
i∈Ξ j∈Ξ

1
1


+ λ(i −j )n ⋅ sin  ωn + ωi − ω j ⋅ t  ⋅ sin  ωn − ωi + ω j ⋅ t  ;
2
2


(
)
(
)
(
λ(i ±j )n ≡ (γ i j n ± ω i ⋅ ω j ⋅ η i j n ) ⋅ ω n2 − (ω i ± ω j )2
(n ≥ 2; n ≠
)
−1
.
p,q,k )
(24)
4b. При анализе уравнения (20) для мод с n = k , p , q , чтобы
отразить близость комбинации частот ω p − ω q к частоте ω k , введем параметр расстройки σ ~ O(1) , определяемый соотношением
ω p − ω q = ω k (1 + ε ⋅ k ) .
(25)
Отметим, что параметр расстройки можно связать с величиной собственного заряда капли (с величиной параметра W ), имея
в виду, что, варьируя заряд капли, можно изменять частоту осцилляций, уводя ее от положения точного резонанса.
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если (25) подставить в (20), то в правой части уравнения (20)
для рассматриваемых случаев появятся слагаемые, содержащие
следующие сомножители:
exp(i ⋅ (ω p − ω q ) ⋅ T0 ) = exp(i ⋅ (ω k + ε ⋅ ω k ⋅ σ ) ⋅ T0 ) =
= exp(i ⋅ σ ⋅ ω k ⋅ T1 ) ⋅ exp(i ⋅ ω k ⋅ T0 ) ;
exp(i ⋅ (ω k + ω q ) ⋅ T0 ) = exp(i ⋅ (ω p − ε ⋅ ω k ⋅ σ ) ⋅ T0 ) =
= exp(− i ⋅ σ ⋅ ωk ⋅ T1 ) ⋅ exp(i ⋅ ω p ⋅ T0 );
exp(i ⋅ (ω p − ω k ) ⋅ T0 ) = exp(i ⋅ (ω q + ε ⋅ ω k ⋅ σ ) ⋅ T0 ) =
= exp(i ⋅ σ ⋅ ωk ⋅ T1 ) ⋅ exp(i ⋅ ωq ⋅ T0 ),
а условия исключения секулярных членов из решения уравнения
(20) для n = k , p, q запишутся в виде
dAk( 1 ) (T1 )
− 2 ⋅ i ⋅ ωk ⋅
− 2 ⋅i ⋅ωp ⋅
dt
dA(p1 ) (T1 )
− 2 ⋅ i ⋅ ωq ⋅
dt
+ Λ(k+q) p ⋅ exp(− i ⋅ σ ⋅ ω k ⋅ T1 ) ⋅ Ak(1) (T1 ) ⋅ Aq(1) (T1 ) = 0 ;
dAq( 1 ) (T1 )
dt
+ Λ(p−q) k ⋅ exp(i ⋅ σ ⋅ ω k ⋅ T1 ) ⋅ A (p1) (T1 ) ⋅ Aq(1) (T1 ) = 0 ;
+ Λ(p−k) q ⋅ exp(i ⋅ σ ⋅ ω k ⋅ T1 ) ⋅ A (p1) (T1 ) ⋅ Ak(1) (T1 ) = 0 ;
(26)
Λ(l ±m) n = (γ l m n + γ m l n ) ± ω l ⋅ ω m ⋅ (η l m n + η m l n ).
Приравнивая к нулю действительную и мнимую части выражений (26) и вводя новую функцию
β k(1) (T1 ) = σ ⋅ ω k ⋅ T1 − bk(1) (T1 ) ,
(27)
получим систему дифференциальных уравнений относительно
вещественных функций a k(1) (T1 ), β k(1) (T1 ) , a (p1) (T1 ), b (p1) (T1 ) ,
a q(1) (T1 ), bq(1) (T1 ) :
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2ω k ⋅
da k(1) (T1 )
dT1
(
)
)
= Λ(p−q) k ⋅ a (p1) (T1 ) ⋅ a q(1) (T1 ) ⋅ sin ϕ k(1pq
(T1 ) ;
dβ k(1) (T1 )
2ω k ⋅ a k (T1 ) ⋅
= 2ω k2 ⋅ a k(1) (T1 ) ⋅ σ +
dT1
(1)
(
)
)
(T1 ) ;
+ Λ(p−q) k ⋅ a (p1) (T1 ) ⋅ a q(1) (T1 ) ⋅ cos ϕ k(1pq
da (p1) (T1 )
2ω p ⋅
(1)
dT1
2ω p ⋅ a p (T1 ) ⋅
2ω q ⋅
(1)
db (p1) (T1 )
dT1
da q(1) (T1 )
dT1
2ω q ⋅ a q (T1 ) ⋅
(
)
)
(T1 ) ;
= −Λ(k+q) p ⋅ ak(1) (T1 ) ⋅ aq(1) (T1 ) ⋅ sin ϕ k(1pq
(
)
)
(T1 ) ;
= −Λ(k+q) p ⋅ a k(1) (T1 ) ⋅ a q(1) (T1 ) ⋅ cos ϕ k(1pq
(
)
)
= Λ(p−k) q ⋅ a (p1) (T1 ) ⋅ a k(1) (T1 ) ⋅ sin ϕ k(1pq
(T1 ) ;
dbq(1) (T1 )
dT1
(
)
)
= −Λ(p−k) q ⋅ a (p1) (T1 ) ⋅ a k(1) (T1 ) ⋅ cos ϕ k(1pq
(T1 ) ;
)
ϕ k(1pq
(T1 ) = β k(1) (T1 ) + b (p1) (T1 ) − bq(1) (T1 ).
(28)
Начальными условиями для уравнений (28) служат соотношения (19), причем из требования непротиворечивости системы (28)
при t=0 получаем, что если какая либо из мод, k, p или q не присутствует в спектре изначально возбужденных мод Ξ , т.е. ее амплитуда в начальный момент времени равна нулю, то ее фаза при
t = 0 не произвольна, а равна π / 2 . В итоге начальные условия для
системы (28) можно записать в следующей компактной форме:
a (j1) (0) = δ i , j ⋅ h j / 2 ; b (j1) (0 ) = ± (1 − δ i , j ) ⋅ π / 2 ; i ∈ Ξ ;
j = k , p,q .
(29)
Коэффициенты первого порядка в разложении (15) для резонансно взаимодействующих мод k , p, q запишутся в виде (см. (17))
M k( 1 ) (t ) = 2 ⋅ a k( 1 ) (ε ⋅ t ) ⋅ cos (ω p − ω q ) ⋅ t − β k(1) (ε ⋅ t ) ;
(
(
(ε ⋅ t ) ⋅ cos(ω
)
⋅ t + b ( ) (ε ⋅ t )),
M (p1 ) (t ) = 2 ⋅ a (p1 ) (ε ⋅ t ) ⋅ cos ω p ⋅ t + b (p1) (ε ⋅ t ) ;
M q( 1 ) (t ) = 2 ⋅ a q( 1 )
32
q
1
q
)
(30)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где коэффициенты a k(1) (T1 ), β k(1) (T1 ) , a (p1) (T1 ), b (p1) (T1 ) , a q(1) (T1 ),
bq(1) (T1 ) являются решениями системы уравнений (28) с начальны-
ми условиями (29). Отметим, что в используемом приближении
(до второго порядка включительно) резонансное взаимодействие
трех мод будет проявляться лишь в том случае, когда хотя бы две
из них присутствуют в спектре мод, возбужденных в начальный
момент Ξ , т.е. их амплитуды при t = 0 должны быть отличны от
нуля. Результаты расчета по соотношениям (28) – (30) при ε = 0.3
временной эволюции амплитуд первого порядка малости резонансно взаимодействующих при W = 1.649 четвертой, пятой и
седьмой мод, когда начальная деформация определена четвертой
и седьмой модами, представлены на рис. 1. Видно, что возбуждение отсутствовавшей в спектре начального возмущения пятой
моды происходит за счет резонансной перекачки энергии из наиболее высокой седьмой моды. Видно также, что часть энергии
седьмой моды передается и четвертой, амплитуда которой увеличивается синхронно с амплитудой пятой моды, т.е. имеет место
передача энергии от высокой моды к более низким в соответствии с представлениями о распадной неустойчивости.
M41 , M51 , M71
0.1
0
-0.1
-0.2
0
2
4
t
Рис. 1. Зависимости от безразмерного времени безразмерных амплитуд
M n(1) резонансно взаимодействующих четвертой, пятой и седьмой мод
нелинейных капиллярных осцилляций заряженной капли в положении
точного резонанса W = 1.649 . Седьмая мода приведена тонкой линией,
четвертая – тонкой штрих-пунктирной, пятая – полужирной
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4c. Рассмотрим теперь случай вырожденного резонанса, когда одна из мод дважды резонансно взаимодействует с другой,
т.е. когда ω s = 2 ω k .
Проводя такой же анализ, как описано выше, получим для
временных коэффициентов первого порядка малости в разложении (15)
(
(ε ⋅ t ) ⋅ cos(2 ⋅ ω
)
⋅ t + b ( ) (ε ⋅ t )),
M s( 1 ) (t ) = 2 ⋅ a s( 1 ) (ε ⋅ t ) ⋅ cos 2 ⋅ ω s ⋅ t − β s(1) (ε ⋅ t ) ;
M k( 1 ) (t ) = 2 ⋅ a k( 1 )
k
1
k
(31)
где вещественные функции a s( 1 ) (ε ⋅ t ) , β s( 1 ) (ε ⋅ t ) , a k( 1 ) (ε ⋅ t ) ;
β k(1) (ε ⋅ t ) являются решениями системы дифференциальных уравнений:
2
da s(1) (T1 )
4ω s ⋅
= Λ(k+k) s ⋅ a k(1) (T1 ) ⋅ sin ϕ s(1k) (T1 ) ;
dT1
(
)
(
)
2
dβ s(1) (T1 )
4ω s ⋅ a s (T1 ) ⋅
= 4ω s2 ⋅ a s(1) (T1 ) ⋅ σ + Λ(k+k) s ⋅ a k(1) (T1 ) ⋅ cos ϕ s(1k) (T1 ) ;
dT1
(
(1)
2ω k ⋅
da k(1) (T1 )
dT1
)
(
(
)
)
= −Λ(s−k)k ⋅ a s(1) (T1 ) ⋅ a k(1) (T1 ) ⋅ sin ϕ s(1k) (T1 ) ;
dbk(1) (T1 )
2ω k ⋅ a k (T1 ) ⋅
= −Λ(s−k)k ⋅ a s(1) (T1 ) ⋅ a k(1) (T1 ) ⋅ cos ϕ s(1k) (T1 ) ;
dT1
(
(1)
)
ϕ s(1k) (T1 ) = β s(1) (T1 ) + 2 ⋅ bk(1) (T1 ); β s(1) (T1 ) = σ ⋅ ω s ⋅ T1 − bs(1) (T1 ) . (32)
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
М4(1), М6(1)
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
0
20
10
30
40
t
Рис. 2a
M 4(1), M 6(1)
0.1
0.05
0
− 0.05
− 0.1
− 0.15
0
3
6
Рис. 2б
35
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
M 4(1), M 6(1)
0.1
0.05
0
− 0.05
− 0.1
0
3
6
9
t
Рис. 2в
M 4(1), M 6(1)
0.1
0.05
0
− 0.05
− 0.1
− 0.15
0
3
Рис. 2г
36
6
t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
M4
, M 6 (1)
(1)
0.1
0.05
0
− 0.05
− 0.1
− 0.15
0
3
6
t
Рис. 2д
Рис. 2. Зависимости от безразмерного времени безразмерных амплитуд
резонансно взаимодействующих четвертой и шестой мод: a) в положении
точного резонанса W = 2.66667 ; б) W = 1.5 ; в) W = 2.5 ; г) W = 3 ;
д) W = 3.9 . Тонкая линия соответствует четвертой моде, толстая – шестой
Из соотношений (19) следует, что для системы (32) возможны следующие комбинации начальных условий:
[ s, k ] ∈ Ξ : a s(1) (0) = hs / 2 ; β s(1) (0 ) = 0 ; ak(1) (0 ) = hk / 2 ; bk(1) (0 ) = 0 ;
s,∉ Ξ, k ∈ Ξ : : a s(1) (0 ) = 0 ; β s(1) (0 ) = π / 2 ; ak(1) (0 ) = hk / 2 ; bk(1) (0 ) = 0 .
В ситуации, когда k ∉ Ξ , s ∈ Ξ
(т.е.. когда a k(1) (0) = 0 ;
a s(1) (0) = hs / 2 ), резонансное взаимодействие мод s и k в используемом приближении иметь места не будет, т.к. из системы (32)
при t = 0 получим, что
(1)
da s(1) (0 ) da k (0 )
=
= 0,
dT1
dT1
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
т.е. амплитуды ak(1) и a s(1) сохраняют свои начальные значения. На
рис.2a представлены временные зависимости амплитуд M 4(1) (t ) и
M 6(1) (t ) резонансно взаимодействующих четвертой и шестой мод,
рассчитанные в положении точного резонанса Wr = 2.66667 при
ε = 0.3 , когда в начальный момент времени возбуждена только
четвертая мода, а шестая имеет нулевую амплитуду (при начальном возбуждении только шестой моды резонансная раскачка амплитуды четвертой моды места не имеет [69]). На рис. 2b – 2e
приведены аналогичные зависимости, рассчитанные при различных значениях параметра W (определяющего величину расстройки σ ), отличных от Wr .
Из сравнения зависимостей, приведенных на рис. 2, видно,
что нелинейное взаимодействие мод имеет резонансный характер
при любых значениях параметра W < Wcr = 4 , что означает малость
расстройки частоты при изменении W в указанном диапазоне; по
мере увеличения абсолютной величины параметра расстройки
уменьшается: a) характерное время резонансного взаимодействия
мод, определяемое временем нарастания амплитуды моды до
максимального значения; b) характерное время нахождения энергии в резонансно раскачиваемой моде; c) доля энергии, передаваемой изначально возбужденной модой резонансно раскачиваемой моде, полная перекачка энергии между модами имеет место
только в положении точного резонанса. К сказанному следует
добавить, что при резонансной раскачке мода, имевшая в начальный момент времени нулевую амплитуду, приобретает амплитуду первого порядка малости, хотя само резонансное взаимодействие мод обнаруживается и реализуется только во втором порядке
малости.
5. Сказанное о слабой зависимости условий реализации резонанса от величины собственного заряда капли допускает обобщение на случай одновременной реализации нескольких резонансных взаимодействий [79]. Пусть при W < 4 какая-либо, например
j-я, мода может быть вовлечена в резонансное взаимодействие в
нескольких резонансных ситуациях, отличающихся наборами
взаимодействующих мод и величинами W, соответствующими
положениям точных резонансов. Например, пусть j-я мода участвует в двух резонансных ситуациях: j, i, k при Wr = C1 и j , n m
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
при Wr = C 2 , где C1 , C 2 < 4 . Тогда при начальном возбуждении
j-й моды с ней будут резонансно взаимодействовать моды из обеих существующих резонансных ситуаций: i-я, k-я, n-я и m-я. Амплитуды мод, резонансно раскачиваемых за счет взаимодействия
с j-й в каждой из комбинаций, будут зависеть от величины параметра расстройки для данной ситуации (т.е. от отклонения истинного значения параметра W от резонансных значений C1 и
C 2 ). Так, например, при рассмотрении только первых десяти мод
четвертая мода может участвовать в следующих резонансных
взаимодействиях: при W = 0.612 четвертая мода резонансно
взаимодействует с шестой и восьмой; при W = 1.649 – с пятой и
седьмой; при W = 2.66667 – дважды с шестой (случай вырожденного резонанса, рассмотренный выше); при W = 3.623 – с третьей
и пятой. Таким образом, виртуально возбужденная четвертая мода при любом W < 4 может резонансно взаимодействовать со
всеми перечисленными выше модами, степень же взаимодействия (доля передаваемой энергии) будет зависеть от величины
расстройки в каждой из возможных комбинаций.
Проанализируем ситуацию, когда мода с номером k участвует одновременно в двух резонансных взаимодействиях: в одном
вырожденном двухмодовом и одном невырожденном трехмодовом. Введем для обеих резонансных ситуаций параметры расстройки σ 1 и σ 2 :
ω p − ω q = ω k (1 + ε ⋅ σ 1 );
2 ⋅ ω k = ω s (1 + ε ⋅ σ 2 ) .
Проводя анализ этого случая аналогично тому, как это делалось выше, получим, что амплитуды первого порядка малости
для мод p, q, k имеют вид (28), а для моды s получим:
(
)
M s( 1 ) (t ) = 2 ⋅ a s( 1 ) (ε ⋅ t ) ⋅ cos 2 ⋅ (ω p − ω q )⋅ t − β s(1) (ε ⋅ t ) .
Функции β s(1) (ε ⋅ t ) из последнего выражения и β k(1) (ε ⋅ t ) из (28)
определены следующим образом:
β k(1) (T1 ) = σ 1 ⋅ ω k ⋅ T1 − bk(1) (T1 ) ;
β s(1) (T1 ) = (σ 2 ⋅ ω s + 2 ⋅ σ 1 ⋅ ω k ) ⋅ T1 − bs(1) (T1 ) .
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Система дифференциальных уравнений относительно вещественных функций a (p1) (ε ⋅ t ) , b (p1) (ε ⋅ t ) , a q(1) (ε ⋅ t ) , bq(1) (ε ⋅ t ) ;
a s(1) (ε ⋅ t ) , β s(1) (ε ⋅ t ), a k(1) (ε ⋅ t ) , β k(1) (ε ⋅ t ) включает в себя третье,
четвертое, пятое и шестое уравнения системы (28), а также уравнения
2ω k
da k(1) (T1 )
dT1
(
)
(
)
= Λ(p−q) k ⋅ a (p1) (T1 )a q(1) (T1 ) ⋅ sin ϕ k(1p) q (T1 ) − Λ(s−k)k ⋅ a s(1) (T1 )a k(1) (T1 ) ⋅ sin ϕ s(1k) (T1 ) ;
dβ k(1) (T1 )
2ω k ⋅ ak (T1 ) ⋅
= 2ω k2 ⋅ ak(1) (T1 ) ⋅ σ 1 + Λ(p− q) k ⋅ a (p1) (T1 ) ⋅ aq(1) (T1 ) ⋅ cos ϕ k(1p) q (T1 ) +
dT1
(
(1)
(
)
)
+ Λ(s−k) k ⋅ a s(1) (T1 ) ⋅ ak(1) (T1 ) ⋅ cos ϕ s(1k) (T1 ) ;
2
da s(1) (T1 )
4ω s ⋅
= Λ(k+k) s ⋅ a (p1) (T1 ) ⋅ sin ϕ s(1k) (T1 ) ;
dT1
(
)
(
)
2
dβ s(1) (T1 )
(
1)
4ωs ⋅ as (T1 )
= 4ωs ⋅ (σ 2ωs + 2σ 1ωk )as(1) (T1 ) + Λ(k+k) s ⋅ ak(1) (T1 ) ⋅ cos ϕ s(1k) (T1 ) ;
(
dT1
(1) (T ) = β (1) (T ) − 2 b (1) (T ) .
ϕ sk
1
1
1
s
k
)
(
)
(33)
Начальные условия для системы решаемых уравнений можно
записать в виде (29), но j = k , p, q, s.
Результаты расчета по системе (33), дополненной третьим,
четвертым, пятым и шестым уравнениями системы (28), временных зависимостей резонансно взаимодействующих мод, а в том
числе и резонансно раскачиваемых пятой и шестой мод при тех
же начальных условиях, что и на рис.1 (в условиях точного резонанса четвертой, пятой и седьмой мод, когда начальная деформация задается четвертой и седьмой модами) показывают, что имеет
место перекачка энергии седьмой моды во все моды с меньшими
номерами. Интересно, что шестая мода в вырожденном резонансе
с четвертой модой раскачивается за счет энергии четвертой моды
[69] (cм. также рис. 2), тем не менее в рассматриваемой ситуации
амплитуда четвертой моды не только не уменьшается, а немного
увеличивается синхронно с пятой и шестой модами. Иными словами, перекачка энергии из седьмой моды в четвертую не только
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
полностью компенсирует затраты энергии четвертой моды на
раскачку шестой, но и приводит к ее увеличению.
Результаты аналогичных расчетов, выполненных при
W = 2.66667 , т.е. в условиях точного вырожденного резонанса
между четвертой и шестой модами с теми же начальными условиями, показывают, что в этом случае в отличие от предыдущей
ситуации, энергию отдают и четвертая и седьмая моды, а сами
временные зависимости амплитуд резонансно раскачиваемых пятой и шестой мод становятся асимметричными.
6. В расчетах обнаружено различие в особенностях реализации внутренних нелинейных трехмодовых вырожденных и комбинационных резонансов: в первых энергия, вложенная в начальную деформацию капли, переносится только от низких мод к высоким, а во вторых – в обоих направлениях. Оказалось, что
вырожденные резонансы малочувствительны к значениям физических величин (например к величине электрического заряда),
определяющих точные положения резонансов: отклонения от резонансных значений сказываются лишь на доле энергии, участвующей в обмене между модами, и длительности характерного
времени резонансного обмена энергией, само же взаимодействие
остается резонансным.
При значениях параметра Рэлея, меньших критического для
основной моды, т.е. при W < 4 , расстройка частот возбуждающихся мод достаточно мала, чтобы нелинейное взаимодействие мод
носило резонансный характер при любых W независимо от величины резонансных значений Wr в положениях точных резонансов. Величина расстройки отражается лишь на доле передаваемой
энергии и характерных временах этого процесса.
Механизм распада нелинейно-осциллирующей заряженной
капли при малой величине собственного заряда может быть связан с нелинейной резонансной перекачкой энергии капиллярных
осцилляций капли из высоких мод в низкие. Распадная неустойчивость при трехмодовых резонансах реализуется только для
комбинационных резонансов, а для вырожденных резонансов она
места не имеет.
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Анализ нелинейных осцилляций
заряженной капли идеальной жидкости
в третьем порядке малости
по амплитуде исходной деформации
3.1. Нелинейные осцилляции деформированной
в начальный момент времени заряженной капли.
Вывод выражений для нелинейных поправок
к частотам мод, определяющих
начальную деформацию
1. Одной из первых работ, посвященных исследованию нелинейных осцилляций поверхности заряженной капли идеальной
жидкости является статья Тсамополуса и Брауна [1], в которой
приведено решение задачи о нелинейных колебаниях поверхности заряженной капли при одномодовой начальной деформации,
когда начальная форма капли в сферической системе координат
(r , ϑ , ϕ ) описывается уравнением
r = R + ξ 0 P0 (cos ϑ ) + ε Pm (cos ϑ ) ,
где ε – произвольный малый параметр, определяющий амплитуду начальной деформации, Pm (cos ϑ ) – полином Лежандра порядка m, ξ 0 - константа, подобранная так, чтобы объем капли при
указанной начальной деформации оставался равным объему сферической капли радиуса R. В [1] аналитическое выражение для
образующей капли, совершающей нелинейные осцилляции, было
приведено с точностью до величин второго порядка малости по
амплитуде начальной деформации. Кроме того, в [1] были рассчитаны аналитические выражения для нелинейных поправок к
частотам осцилляций для фиксированных начальных деформаций, появляющиеся лишь в третьем порядке малости, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными [14]. Однако все
исследование было выполнено для ограниченного спектра начальных деформаций формы капли: когда начальная деформация
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
капли определялась второй ( n = 2 ), третьей ( n = 3 ) или четвертой
( n = 4 ) модой.
Исследование, начатое в [1], было продолжено в [80], где во
втором порядке приближений по ε была проанализирована ситуация с начальным возбуждением произвольной m -й моды. В
[80] было также показано, что спектр мод, возбуждающихся во
втором порядке малости за счет нелинейного взаимодействия,
содержит только моды с четными номерами из диапазона [ 0, 2m ] .
Так же выяснилось, что нелинейные осцилляции поверхности капли происходят в окрестности фигуры типа вытянутого сфероида, а не в окрестности сферы, как это следовало из линейного
анализа.
Ситуация, когда начальная форма поверхности описывается
выражением
(
)
r = R + ξ 0 P0 (cos ϑ ) + ξ1 P1 (cos ϑ ) + ε hn1 Pn1 (cos ϑ ) + hn2 Pn2 (cos ϑ ) ,
где ξ1 – константа, определяемая из условия неподвижности центра масс капли при нелинейных осцилляциях, hn1 , hn2 – константы, учитывающие парциальный вклад каждой моды в начальную
деформацию сферической поверхности, рассмотрена в квадратичном приближении по ε в работе [69]. В [69] исследованы
также закономерности реализации нелинейного резонансного
обмена энергией между модами, имеющего место при условии
выполнения соотношения
ω n1 = 2ω n2 ,
где ω n = ( σ / ρR 3 ) n(n − 1)(n + 2 − W ) – частота n -й моды капиллярных колебаний капли, W = Q 2 /( 4πσR 3 ) – параметр Рэлея.
Случай, когда начальная деформация поверхности капли определяется суперпозицией произвольного конечного числа мод,
проанализирован в [81]. В такой ситуации начальная форма поверхности капли описывается уравнением
r = R + ξ 0 P0 (cos ϑ ) + ξ1 P1 (cos ϑ ) + ε
43
 hm Pm (cos ϑ ) ,
m∈Ω
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где Ω – множество номеров изначально возбужденных мод, hm –
константа, учитывающая парциальный вклад m моды в формирование начальной деформации сферической формы капли. Исследования, выполненные в [81], были проведены с точностью до
величин второго порядка малости по величине ε , что позволило
получить аналитические выражения для нелинейных поправок к
амплитудам мод. Анализ этих выражений показал, что спектр
мод второго порядка малости может содержать как четные, так и
нечетные моды. Так, например, при возбуждении двух мод с номерами n1 и n2 в спектре второго порядка малости будут содержаться только четные моды с номерами из диапазона
[0, max{2n1 , 2n 2 }], если n1 и n2 имеют одновременно либо четные
либо нечетные значения. Если же n1 четно, а n2 нечетно, то
спектр второго порядка будет содержать четные моды с номерами [0, max{2n1 , 2n 2 }] и нечетные из диапазона [ n1 − n2 , n1 + n2 ].
В [82] расчет нелинейных осцилляций заряженной капли в
третьем порядке малости по амплитуде начальной деформации
был проведен при произвольной одномодовой начальной деформации, получены аналитические выражения для образующей капли и нелинейных поправок к частотам. В [83] указано на существование внутренних нелинейных резонансов, реализующихся в
заряженной капле при четырехмодовом взаимодействии, когда
начальная деформация капли определена суперпозицией нескольких мод.
В настоящей работе, выполненной в развитие [82 – 83], предполагается изучить особенности реализации нелинейных осцилляций капли в третьем порядке малости по амплитуде начальной
многомодовой деформации и найти в такой ситуации аналитические выражения для поправок к частотам осцилляций.
2. Пусть имеется капля радиуса R идеальной, идеально проводящей жидкости с плотностью ρ и коэффициентом поверхностного натяжения σ , несущая заряд Q. Движение жидкости в капле,
связанное с ее капиллярными осцилляциями, примем потенциальным с потенциалом скорости ψ . Потенциал электростатического
поля собственного заряда в окрестности капли обозначим φ . Форму капли будем считать осесимметричной как в начальный, так и
во все последующие моменты времени. Уравнение поверхности
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
капли в безразмерных переменных, в которых R = ρ = σ = 1 , в
произвольный момент времени t запишется в виде
F ( r ,ϑ , t ) = r − 1 − ξ ( ϑ , t ) = 0 .
(1)
Начальную деформацию формы капли зададим в виде суперпозиции нескольких мод:
t = 0:
ξ = ξ 0 P0 (cosϑ ) + ξ1 P1 (cosϑ ) + ε  hm Pm (cosϑ ) ,
(2)
m∈Ω
а начальную скорость всех точек на поверхности капли примем
нулевой
t = 0:
∂ tξ = 0 ,
(3)
где знак ∂ t означает частную производную по переменной t .
Полная математическая формулировка задачи о капиллярных
колебаниях заряженной капли, кроме уравнения поверхности капли (1) и начальных условий (2), (3), содержит [84 – 85]: уравнения Лапласа для потенциалов скорости жидкости и электрического поля
Δψ = 0;
Δφ = 0;
(4)
условия ограниченности потенциалов
r → 0:
ψ → 0;
(5)
r → +∞ :
∇φ → 0 ;
(6)
кинематическое и динамическое граничные условия
dF
= 0;
dt
r = 1 + ξ ( ϑ ,t ) :
(7)
1
(∇ψ )2 = p + p q − p ат − pσ ;
2
условие неизменности объема капли
∂ tψ +
2
 r sin ϑ dr dϑ dϕ =
V
45
4π
;
3
(8)
(9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
V = {r ,ϑ ,ϕ 0 ≤ r ≤ 1 + ξ ; 0 ≤ ϑ ≤ π ; 0 ≤ ϕ ≤ 2π };
условие неподвижности центра масс
r r
2
sin ϑ dr dϑ dϕ = 0;
(10)
V
условие постоянства полного заряда
 n ⋅ ∇φ
r = 1 + ξ ( ϑ ,t ) :
dS = −4πQ;
(11)
S
S = {r ,ϑ ,ϕ r = 1 + ξ ; 0 ≤ ϑ ≤ π ; 0 ≤ ϕ ≤ 2π };
условие постоянства электрического потенциала вдоль поверхности
r = 1 + ξ ( ϑ ,t ) :
φ = φ S ( t );
(12)
в выражениях (4) – (12) p – давление внутри капли в равновесном
состоянии; p q и pσ – давление электрического поля и капиллярное, p ат – атмосферное давление; n – вектор нормали к поверхности капли; φ S – электрический потенциал поверхности капли.
Для удобства записи дальнейших выражений расширим
множество констант hm , дополнив его так, что при любых m ∉ Ω
имеем hm ≡ 0 .
3. Задачу (1) – (12) будем решать методом многих масштабов
[53 – 54]. Для этого введем три различных временных масштаба
Tm = ε m t , m = 0, 1, 2 , а искомые величины задачи представим в
виде разложений:
3
φ (r ,ϑ , t ) =  ε nφ ( n ) ( r ,ϑ , T0 , T1 , T2 ) + O ( ε 4 ) ;
(13)
n =0
3
φS (r , t ) =  ε nφS( n ) ( r , T0 , T1 , T2 ) + O ( ε 4 ) ;
n =0
3
ψ (r ,ϑ , t ) =  ε nψ ( n ) ( r ,ϑ , T0 , T1 , T2 ) + O ( ε 4 ) ;
n =1
46
(14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( )
3
ξ( ϑ, t ) =  ε n ξ ( n ) (ϑ,T0 ,T1 ,T2 ) + O ε 4 ,
n =1
(15)
где φ (0) = Q / r ; φ (0)
S = Q – решения нулевого порядка малости, т.е.
для равновесной сферической поверхности капли.
Подставляя (13) – (15) в (1) – (12), получим задачи различных
порядков малости, которые для краткости изложения вынесены в
«Приложение A».
Поскольку уравнение Лапласа (4) является линейным, то в
каждом порядке малости потенциалы скорости жидкости и электрического поля будут являться решениями уравнений Лапласа
(1А), (10А), (19А), и с учетом условий ограниченности их можно
записать в виде
ψ
(m)
∞
( r , ϑ,T0 ,T1 ,T2 ) =  r n D n( m ) ( T0 ,T1 ,T2 ) Pn (cos ϑ ); m = 1, 2, 3;
n =1
φ ( m ) ( r , ϑ,T0 ,T1 ,T2 ) =
(16)
∞ F ( m ) ( T ,T ,T
n
0 1 2
r n +1
n =0

)
m = 1, 2, 3 .
Pn (cos ϑ );
(17)
Заметим, что в выражении (16) суммирование начинается с n = 1,
поскольку, как известно, потенциал определяется с точностью до
произвольной функции времени, что позволяет принять
D0( m ) = 0 .
Функцию, описывающую отклонение формы поверхности
капли от сферической в произвольный момент времени, представим в виде разложения по полиномам Лежандра:
ξ
(m)
( ϑ,T0 ,T1 ,T2 ) =
∞
 M n( m ) ( T0 ,T1 ,T2 ) Pn (cos ϑ );
m = 1, 2, 3 . (18)
n =0
Подстановка выражений (16) – (18) в уравнения (1А) – (9А)
позволяет определить явные зависимости величин первого порядка малости от T0 :
(
)
M n( 1 ) (T0 ,T1 ,T2 ) = a n( 1 ) (T1 ,T2 ) cos ω n T0 + τ (n1 ) (T1 ,T2 ) ;
47
(19)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
D n( 1 ) (T0 ,T1 ,T2 ) = ∂ T0 M n( 1 ) (T0 ,T1 ,T2 ) / n ;
(20)
Fn( 1 ) (T0 ,T1 ,T2 ) = Q M n( 1 ) (T0 ,T1 ,T2 ) .
(21)
В выражении (19) амплитудный множитель a n( 1 ) (T1 ,T2 ) и не-
линейная поправка к частоте τ (n1 ) (T1 ,T2 ) - функции, зависящие
только от времен T1 и T2 .
При решении задачи с точностью до величин первого порядка малости по величине начальной деформации поверхности капли функции a n( 1 ) (T1 ,T2 ) и τ (n1 ) (T1 ,T2 ) следует считать постоянными, значения которых определяются из начальных условий (9А).
Они имеют вид
a n = hn ,
τ (n1 ) = 0 ,
n ∈Ω.
(22)
Из выражений (22) следует, что величины a n( 1 ) ( T1 ,T2 ) отличны от нуля, только когда n ∈ Ω .
При решении задачи с точностью до величин третьего порядка малости по величине начальной деформации зависимости
()
a n1 (T1 ,T2 ) и Δωn (T1 , T2 ) от T1 и T2 определяются из требования
обращения в ноль секулярных членов в задачах второго и третьего порядков малости соответственно при учете начальных условий (9А).
Подставляя выражения (16) – (21) в уравнения (13А) – (18А)
и исключая секулярные члены, найдем, что функции a n( 1 ) (T1 ,T2 )
и τ (n1 ) (T1 ,T2 ) не зависят от временного масштаба T1 . Явные зависимости величин второго порядка малости от временного масштаба T0 с учетом (22) можно записать в виде
M 0( 2 ) ( T0
M 1( 2 ) ( T0 ) =
)=−
(a )
(1) 2
m
m∈Ω
cos 2 (ω mT0 )
;
2m + 1
 χ m a m( 1 ) a m( 1+)1 cos(ω mT0 ) cos(ω m+1T0 );
m∈Ω
(
)
M n( 2 ) ( T0 ,T1 ) = a n( 2 ) (T1 ) cos ω n T0 + τ (n2 ) (T1 ) +
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+

a l( 1 ) a m( 1 )
2
l ,m∈Ω
(λ
(+)
lmn
F0( 2 ) = 0;
+Q
)
−)
cos((ωl + ω m )T0 ) + λ(lmn
cos((ωl − ω m )T0 ) ; (23)
Fn( 2 ) ( T0 ,T1 ,T2 ) = Q M n( 2 ) ( T0 ,T1 ) +
 l K lmn al( 1 ) a m( 1 ) cos(ωl T0 ) cos(ω mT0 ) ;
n ≥1
(24)
l ,m∈Ω
Dn( 2 ) ( T0 ,T1 ) =
+
 (l (l − 1)K lmn − α lmn )
l ,m∈Ω
{
1
∂ T0 M n( 2 ) ( T0 ,T1 ) +
n

ωl ( 1 ) ( 1 )
a l a m sin(ω l T0 ) cos(ω m T0 ) n ≥ 1,
l

(25)
+)
−)
, λ(lmn
, Klmn, α lmn – коэффициенты, определенные в
где χ m , λ(lmn
«Приложении B». Выражения для а n( 2 ) и τ 2n , удовлетворяющие
начальным условиям (18А), имеют вид
a n( 2 ) = −
(
)
hl hm ( + )
−)
,
 2 λ lmn + λ(lmn
l ,m∈Ω
τ (n2 ) = 0 .
(26)
Подставляя (16) – (21), (23) – (25) в систему уравнений
(22А) – (28А) и исключая из решений секулярные слагаемые, находим, что функции a n( 1 ) (T2 ) , a n( 2 ) (T1 ) и τ (n2 ) (T1 ) не зависят от
временных масштабов T1 и T2 и равны своим начальным значениям (22) и (26). Для функции τ (n1 ) (T2 ) справедливо выражение
τ (n1 )
T
(T2 ) = T2 bn = 2
2ω n
(
)

hk2 Ξ n
hn2 2( n − 1 )ω 2n + Ξ n
+
−

4( 2n + 1 )
k∈Ω 2( 2k + 1 )
χ n−1hn2−1 2( + )
−
β n −1,n ,1,n−1,n + β 2n(−1−,n) ,1,n−1,n −
4
(
)
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
χ n hn2 1( − )
−
β n +1,n +1,1,n ,n + β n2(++1,n) +1,1,n ,n −
4
(
)
[
hk2 1( − )( + )
2( + )( + )
2( − )( − )
−
H nkkn
+ H knkn
+ H knkn
+
4
k∈Ω
1( − )( + )
2 ( + )( + )
2 ( − )( − )
)]} ,
(1 − δ kn )(H kknn
+ H kknn
+ H nkkn
(27)
а коэффициенты разложений (16)-(18) определяются выражениями
M 0(3) (T0 )
−
=−
k∈Ω
2M k( 2) (T0 )
2k + 1
hk cos(ω k T0 ) −
K kml hk hm hl
 3(2l + 1) cos(ω k T0 ) cos(ω mT0 ) cos(ωl T0 );
k , m,l∈Ω
6
M 1(3) (T0 ) = − M 1( 2) (T0 ) h2 cos(ω 2T0 ) −
5
−3 
∞
 K km1M k(2) (T0 ) hm cos(ωmT0 ) −
m∈Ω k = 0
−
∞
  K kmg K gl1hk hm hl cos(ω k t ) cos(ω m t ) cos(ωl t );
g =0 k , m ,l∈Ω
M n(3) (T0 )
hn hk2 (2(n − 1)ωn ωk − Ξ n )
(cos((ωn + 2ωk )T0 ) − cos(ωnT0 )) −
=−
(
)
16
(
2
k
+
1
)
ω
ω
+
ω
k∈Ω
k
n
k
hn hk2 (1 − δ nk )(2(n − 1)ω n ω k + Ξ n )
(cos((ω n − 2ω k )T0 ) − cos(ω n T0 )) +
−
16
(
2
k
+
1
)
ω
ω
−
ω
(
)
k∈Ω
k
n
k
χ h hh
+   l k l l +1
4
k = n −1 l∈Ω
n +1
( (
)
)
β1k(,+l +)1,1,l , n cos ψ (k+,l)(,l++)1 T0 − cos(ω n T0 )
+

2
2
ω n − (ω k + ω l + ω l +1 )

(
50
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+
+
( (
)
)+
β1k(,−l +)1,1,l ,n D kl n,l +1 cos ψ (k+,l)(,l−+)1 T0 − cos(ω n T0 )
(ω
2
n
− (ω k + ω l − ω l +1 )2
( (
)
)
)+
β k2(,l++)1,1,l ,n Dlkl, n −1 D kl n,l +1 cos ψ (k−,l)(,l−+)1T0 − cos(ω n T0 )
(ω
2
n
− (ω k − ω l − ω l +1 )2
( (
)
)
)
β 2k (,l−+)1,1,l , n Dlkl, n −1 cos ψ (k+,l)(+−1,)l T0 − cos(ω n T0 ) 
+
−
2
2
ω n − (ω k − ω l + ω l +1 )

(
(
)
)
+)
−)  0( + )
+ λ(lmg
hk hm hl λ(lmg
 H kgn (cos((ω k + ω g )T0 ) − cos(ω n T0 ))
− 
+

2
2
4
(
)
ωn − ωk + ω g
g = 2 k ,m ,l∈Ω

∞
0( − )
(cos((ωk − ω g )T0 ) − cos(ωnT0 ))
H kgn
+
+
2
2
ω n − (ω k − ω g )

h h h
+  k m l
4
k , m ,l∈Ω
+
+
( (
)
)
1( + )( − )
( + )( + )
 H kml
cos
ψ
n
klm T0 − cos(ω n T0 )
+

2
2
ω n − (ω k + ω l + ω m )

( (
)
)+
( (
)
)+
( (
)
)
1( − )( + ) kn l n
( + )( − )
H kml
n Dlm Dkm cos ψ klm T0 − cos(ω n T0 )
ω 2n − (ω k + ωl − ω m )2
2 ( + )( + ) mn l n
( − )( − )
H kml
n Dkl Dkm cos ψ klm T0 − cos(ω n T0 )
ω n2 − (ω k − ωl − ω m )2
2 ( − )( − ) mn kn
( + )( − )

H kml
n Dkl Dml cos ψ kml T0 − cos(ω n T0 ) 
+
;
2
2
ω n − (ω k − ωl + ω m )

F0(3) (T0 ) = Q
(28)
k ( k + 1)
k +1 

K kml hk hm hl cos(ω k T0 ) cos(ω m T0 ) cos(ω l T0 ) ;
 α kml −
2

k , m ,l∈Ω 2l + 1 

51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Fn(3) (T0 )
=
QM n(3) (T0 ) +
∞
∞
  (k + 1) K kmn Fk(2) (T0 )hm cos(ω m T0 ) +
m∈Ω k =1
 (k − 1)K kmn M m(2) (T0 )hk cos(ω k T0 ) −
+Q
k∈Ω m = 0
∞
− Q
g =0
k (k + 3)
K kmg K gl n hk hm hl cos(ω k T0 )cos(ω mT0 )cos(ω l T0 ) ; n ≥ 1 ,
2
k ,m ,l∈Ω

(29)
Dn(3) (T0 , T2 )
∞
1 − δ 1n
1
1
( 3)
= ∂ T0 M n (T0 ) −
hn bn sin (ω nT0 ) −   (k (k − 1) K kmn −
n
n
n m∈Ω k =1
− α kmn ) Dk( 2) (T0 )hm cos(ω mT0 ) +
1
+ 
n k∈Ω
∞
 (k (k − 1) − α kmn )M m( 2) (T0 )ωk hk sin (ωk T0 ) +
m =0
+
∞
1
 k (k − 1)

K kmg − α kmg (k − 2) ×



n k ,m,l∈Ω g =0  2

× K gl n ω k hk hm hl sin (ω k T0 ) cos(ω m T0 ) cos(ω l T0 ) ;
n ≥ 1,
(30)
1( ± )( ± )
2 ( ± )( ± )
( ± )( ± )
(±)
2( ± )
0( ± )
kn
где Ξ n , β1kmgl
n , β kmgl n , H kgn , H kml n , H kml n , ψ kml , Dlm – ко-
эффициенты, вынесенные в «Приложение B», δ kn – символ Кронекера.
Подставляя (18) в (1), найдем выражение для образующей
капли в виде
r (ϑ , T0 , T2 ) = 1 + ε  M n(1) (T0 , T2 ) Pn ( cosϑ ) +
n∈Ω
∞
(
)
+ε 2  M n(2) (T0 ) + ε M n(3) (T0 ) Pn ( cosϑ )
n =0
(31)
4. Для анализа выражения (31) заметим, что амплитуды отклонения поверхности капли от равновесной сферической формы
пропорциональны следующим выражениям (см. выражения (23)
и (28)):
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
M
( 2)
g
~
 K kmg ,
k , m∈Ω
где коэффициенты
K kmg
M n(3)
~
∞
  K kmg K gl n ,
g = 0 k , m ,l∈Ω
отличны от нуля, только если
k − m ≤ g ≤ k + m и k + m + g – четное число.
Таким образом, если изначально возбуждается только одна
мода, то есть Ω = {n1 }, то во втором порядке малости возбуждаются только четные моды с номерами из диапазона 0 ≤ g ≤ 2n1 , а
в третьем порядке при четном n1 возбуждаются четные моды из
диапазона 0 ≤ n ≤ 3n1 , а при нечетном n1 возбуждаются нечетные
моды из диапазона 1 ≤ n ≤ 3n1 . Таким образом, при четном n1 поверхность капли формируется четными модами из диапазона
[0, 3n1 ], а при нечетном n1 – всеми модами из диапазона [0, 2n1 ] и
нечетными из диапазона [2n1 + 1, 3n1 ].
Если изначально возбуждаются две моды с номерами n1 и
n 2 , т.е. Ω = {n1 , n 2 }, то множество мод, вовлеченных в формирование поверхности капли, еще более расширяется.
Так если n1 и n 2 – четные числа, то спектр мод второго порядка содержит только четные моды с индексами из диапазона
0 ≤ g ≤ max{2n1 , 2n 2 }, а спектр третьего порядка формируется
четными модами из диапазона 0 ≤ n ≤ max{3n1 , 3n 2 }, то есть суммарная поверхность капли формируется четными модами из диапазона [0, max{3n1 , 3n2 }].
Если номера изначально возбужденных мод n1 и n2 являются
нечетными, то во втором порядке малости возбуждаются четные
моды с номерами из диапазона 0 ≤ g ≤ max{2n1 , 2n2 }, а в третьем
порядке малости участвуют в формировании поверхности только
нечетные моды с номерами, удовлетворяющими условию
1 ≤ n ≤ max{3n1 , 3n2 }, т.е. поверхность формируется всеми модами из
диапазона [0, max{2n1 , 2n2 }] и нечетными с номерами из промежутка [max{2n1 + 1, 2n2 + 1}, max{3n1 , 3n2 }].
Если же номера изначально возбужденных мод таковы, что
n1 – четное, а n 2 – нечетное, то спектр второго порядка малости
содержит моды с четными номерами из диапазона
0 ≤ g ≤ max{2n1 , 2n 2 }
и
нечетные
с
номерами
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n1 − n 2 ≤ g ≤ n1 + n 2 . Спектр же третьего порядка малости содержит
четные
моды
с
номерами
из
диапазона
0 ≤ n ≤ max{3n1 , n1 + 2n 2 }
и
нечетные
с
номерами
1 ≤ n ≤ max{3n 2 , 2n1 + n 2 }. В итоге суммарная поверхность капли
формируется
четными
модами
из
диапазона
[0, max{3n1 , n1 + 2n 2 }] и нечетными с номерами из промежутка
[1, max{3n 2 , 2n1 + n 2 }]. Видно, что учет величин третьего порядка
малости по величине начальной деформации приводит к существенному расширению спектра мод, вовлеченных в формирование
поверхности капли.
Учет величин третьего порядка малости приводит к нелинейному сдвигу частот изначально возбужденных мод, пропорциональному квадрату амплитуды начальной деформации ε 2 . Знак
поправки к частоте всегда отрицателен, а ее величина существенно зависит от спектра мод, вовлеченных в формирование поверхности капли в начальный момент времени, и от величины заряда
капли. Так, если изначально возбуждаются две моды, одна из которых основная n = 2 , то наблюдается увеличение поправок к частотам по сравнению с ситуацией одномодовой начальной деформации поверхности капли, исследованной в [1]. На рис. 1 приведены зависимости поправок к частотам различных пар мод,
возбужденных в начальный момент времени, от величины безразмерного параметра W. Из рисунка видно, что величина поправки к частоте основной моды зависит от того, какая из мод
возбуждается вместе с ней в начальный момент времени: с ростом номера моды, возбуждающейся одновременно с основной,
величина поправки к частоте основной моды увеличивается. Если
вспомнить, что критические условия реализации неустойчивости
капли определяются требованием перехода с ростом параметра W
квадрата частоты основной моды через ноль (см. [43, 82]), то становится ясно, что учет нелинейной поправки к частоте основной
моды приводит к снижению критического значения параметра W
в соответствии с выражением [82]: ω22 + 2 ⋅ ε 2 ⋅ b2 = 0 , (см. рис. 2).
Вытекающая из этого соотношения нелинейная поправка к критическим условиям реализации неустойчивости капли тем заметнее, чем более высокая мода возбуждается в начальный момент
времени одновременно с основной.
54
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1. Зависимости коэффициента bm от параметра Рэлея W = Q 2 / (4π) .
Номер кривой совпадает с номером изначально возбужденной моды
Рис. 2. Зависимости квадрата частоты ω2m основной моды m = 2
от параметра Рэлея W :
1 – с учетом поправки ε 2bm для ε = 0.3 ; 2 – без учета поправки
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 3. Зависимости от времени t поправок к амплитудам мод третьего
порядка малости при W = 2.2 и начальном возбуждении третьей моды.
Номер у кривой совпадает с номером изначально возбужденной моды
Рис. 4. То же, что на рис. 3,
применительно к амплитудам мод второго порядка малости
На рис. 3 – 4 приведены временные зависимости нелинейно
возбуждающихся мод: видно, что в поправках второго порядка
максимальной величины достигает амплитуда основной моды, а в
поправках третьего порядка максимальную амплитуду может
иметь и мода, отличная от m-й с более высоким номером.
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Численный анализ выражения (31) указывает на то, что наибольшим отклонениям от равновесного состояния подвергаются
элементы поверхности капли, располагающиеся в окрестности
оси симметрии (см. рис.5). Это связано с тем, что только при углах ϑ , близких к ϑ = 0 и ϑ = π , наблюдается суммирование колебаний отдельных мод. Вдали от этих значений ϑ формируется
более гладкая волнообразная поверхность. Указанная тенденция
тем выше, чем больше значение номеров изначально возбужденных мод. Напряженность электростатического поля на свободной поверхности капли определяется выражением
E=
E n(0)
+ε
n∈Ω
E n(1) Pn
(cos ϑ) + ε  (E n( 2) + ε E n(3) )Pn (cos ϑ) ;
2
∞
(32)
n =0
E n(0) = Q = 2 π W ;
E n(1) = Q(n − 1) M n(1) ;
E n( 2) = (n + 1) Fn( 2) − 2QM n( 2) +
+Q
 [(3 − (m + 1)(m + 2) )K kmn + α kmn / 2]hk hm cos(ω k T0 ) cos(ω m T0 ) ;
k , m∈Ω
E n(3) = (n + 1) Fn(3) − 2QM n(3) +
+
∞
 (α kmn − (m + 1)(m + 2) K kmn )hk cos(ωkT0 )Fm( 2) −
k∈Ω
m =0
∞
− Q  (k + 4)(k − 1) K kmn hk cos(ω k T0 )M m( 2) +
m =0
k∈Ω
+Q
∞
 [((k + 1)(k + 2)(k + 3) / 2 − 4)K kmg −
g =0
k ,m ,n∈Ω
]
− ((l + 1) / 2 + k + 1)α kmg K gl n hk hm hl cos(ω k T0 ) cos(ω m T0 ) cos(ω l T0 ).
Согласно данным расчетов по (32) напряженность поля собственного заряда в окрестности нелинейно-осциллирующей капли существенно возрастает на полюсах капли при ее вытягивании
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(рис. 5), что может привести к зажиганию у поверхности капли
коронного разряда. Это обстоятельство представляет интерес в
связи проблемой инициирования разряда молнии [86 – 87]. Согласно существующим представлениям разряд молнии может начаться с коронного разряда в окрестности падающей в облаке обводненной градины или крупной капли. Признанию такого механизма инициирования разряда молнии препятствует то, что
собственные заряды капель, регистрируемые при натурных измерениях в грозовых облаках, слишком малы для того, чтобы коронный разряд мог зажечься в окрестности невозмущенной капли
[88]. Обнаруженный факт значительного усиления электростатического поля у вершин нелинейно-осциллирующей капли позволяет посмотреть на обсуждаемую проблему с новых позиций.
Рис. 5. Контур образующей капли при начальном возбуждении четвертой
(a) и девятой моды (b). Для четвертой моды ε = 0.3 , W = 2.5 , t = 0 (1);
0.5 (2); 0.9 (3); 1.1 (4). Для девятой моды ε = 0.3 , W = 2.2 , t = 0 (1); 0.1
(2); 0.2 (3); 0.3 (4).
Расчеты, проиллюстрированные рис. 2 – 5, выполнены для
случая отсутствия резонансного взаимодействия мод, которое
требует отдельного детального рассмотрения [73]. Тем не менее
возможность резонансного обмена энергией между модами существует.
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из выражений (28) для нелинейных поправок третьего порядка малости к амплитудам осцилляций M n(3) (t ) несложно видеть, что они имеют резонансный вид: содержат знаменатели, обращающиеся при определенных условиях в нуль. Все новые по
сравнению с квадратичным приближением [1, 81 – 82] (см. разделы 2.1 – 2.2) резонансы соответствуют четырехмодовому взаимодействию капиллярных осцилляций капли, когда частоты резонансно взаимодействующих мод связаны друг с другом одним из
соотношений:
ω n ± ω k ± ω l ± ω m = 0.
Среди множества реализующихся в заряженной капле внутренних нелинейных резонансов наибольший интерес в связи с
проблемой инициирования разряда молнии в грозовых облаках
[86 – 87] представляют такие, в которых основная мода (n = 2)
увеличивает свою амплитуду за счет перекачки энергии из более
высоких мод при докритических в смысле устойчивости по отношению к собственному заряду значениях параметра Рэлея
W < 4. Согласно данным расчетов, проведенных во втором порядке малости [73, 75, 80 – 81], когда реализуются только трехмодовые резонансы, наинизшая мода, способная приобретать
энергию у высоких мод за счет резонансного взаимодействия,
есть третья. В расчетах третьего порядка малости, когда реализуется четырехмодовое взаимодействие, появляется возможность
резонансной раскачки и второй моды. Так, если ограничиться условиями
ω n + ω k − ωl − ω m = 0;
W ≤ 4,
то в диапазоне номеров мод 2 ≤ n, k , l , m ≤ 30 реализуются более
десятка резонансных четырехмодовых ситуаций, в семи из которых участвует вторая мода.
5. Учет величин третьего порядка малости по амплитуде начальной многомодовой деформации капли позволяет получить
нелинейные поправки к частотам капиллярных колебаний капли,
которые существенно зависят от величины заряда капли и от
спектра изначально возбужденных мод и приводят к появлению
нелинейных поправок к критическому для реализации неустойчивости капли значению параметра Рэлея. Учет величин третьего
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
порядка малости по амплитуде начальной многомодовой деформации при расчете образующей нелинейно осциллирующей капли позволяет проследить тенденцию к вытягиванию капли вдоль
оси симметрии. Это косвенно указывает на то, что эмиссионные
выступы капли формируются наложением большого числа высоких мод [89]
6. ПРИЛОЖЕНИЕ A. Выделение задач различного порядка
малости.
После подстановки разложений (13) – (15) в систему уравнений (1) – (12), выделяя слагаемые пропорциональные ε1 , несложно получить задачу первого порядка малости
Δψ (1) = 0;
(2A)
∇φ (1) → 0 ;
(3A)
∂ T0 ξ (1) = ∂ r ψ (1) ;
(4A)
r → +∞ :
∂ T0 ψ (1) =
(
)
1
∂ r φ ( 0) ∂ r φ (1) + ξ (1) ∂ rr φ ( 0) + 2ξ (1) + Δ Ω ξ (1) ;
4π
1
ξ
(1)
1
ξ
d (cos ϑ) = 0;
−1
1
 {∂ r φ
−1
(1)
(1)
P1 d (cos ϑ) = 0;
(5A)
(6A)
−1
(
)}
+ ξ (1) ∂ rr φ (0) + 2∂ r φ (0) d (cos ϑ) = 0;
φ (1) + ξ (1) ∂ r φ ( 0) = φ (S1) (t );
t = 0:
(1A)
ψ (1) → 0 ;
r → 0:
r = 1:
Δφ (1) = 0;
ξ (1) = ε  hm Pm (cos ϑ) ;
m∈Ω
∂ T0 ξ (1) = 0.
(7A)
(8A)
(9A)
Слагаемые, пропорциональные ε 2 , определяют задачу второго порядка малости, которая имеет вид
Δψ ( 2) = 0;
Δφ ( 2) = 0;
60
(10A)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r → 0:
ψ ( 2) → 0 ;
(11A)
r → +∞ :
∇φ ( 2 ) → 0 ;
(12A)
r = 1 : ∂ T0 ξ ( 2) + ∂ T1 ξ (1) = ∂ r ψ ( 2) + ξ (1) ∂ rr ψ (1) − ∂ ϑ ξ (1) ∂ ϑ ψ (1) ; (13A)
∂T0ψ (2) + ∂T1ψ (1) + ξ (1) ∂ rT0ψ (1) +
=
1
∂ rψ (1)
2
(
( ) (
2
1
2ξ (2) ∂ rφ (0) ∂ rrφ (0) + ξ (1)  ∂ rr φ ( 0)

8π
{
(
+ ∂ϑφ (1)
) + (∂ φ )
2
(1)
2
r
( 2)
(
)
2
=
+ ∂ rrr φ ( 0) ∂ r φ (0)  +

2
− 2ξ (1) Δ Ωξ (1) ;
 d (cos ϑ) = 0;

( )
 P d (cos ϑ) = 0;
 1
( 2)
(1)
  2ξ + 3 ξ
−1
 {∂ r φ
1
∂ϑψ (1)
2
( )
( 2)
(1)
  ξ + ξ
−1
1
+
(
( )
1
2
2
+ 2∂ rφ (2) ∂ rφ (0) + 2ξ (1 ∂ rrφ (0) ∂ rφ (1) + ∂ rrφ (1) ∂ rφ (0)
+2ξ (2) + Δ Ωξ (2) −2 ξ (1)
1
)
)
2
2
(
)
(
)}
(14A)
(15A)
)
+ ξ (1) ∂ rr φ (1) + 2∂ r φ (1) + ξ ( 2) ∂ rr φ (0) + 2∂ r φ ( 0) +
−1
( )
21


+ ξ (1)  ∂ rrr φ (0) + 2∂ rr φ (0) + ∂ r φ (0)  − ∂ ϑ ξ (1) ∂ ϑ φ (1) d (cos ϑ) = 0;
2


(16A)
φ ( 2) + ξ (1) ∂ r φ (1) + ξ ( 2) ∂ r φ (0) +
t = 0:
( )
1 (1) 2
ξ
∂ rr φ (0) = φ (S2) (t ); (17A)
2
hm P0 (cos ϑ) 3
−  hl hm K lm1 P1 (cos ϑ) ;
2
m
1
2 l , m∈Ω
+
m∈Ω
ξ ( 2) = − 
∂ T0 ξ ( 2) + ∂ T1 ξ (1) = 0 .
61
(18A)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача третьего порядка малости определяется слагаемыми,
пропорциональными ε 3 , и имеет вид
Δψ (3) = 0;
Δφ (3) = 0;
(19A)
r → 0:
ψ ( 3) → 0 ;
(20A)
r → +∞ :
∇ φ ( 3) → 0 ;
(21A)
∂ T0 ξ (3) + ∂ T1 ξ ( 2) + ∂ T2 ξ (1) = ∂ rψ
r = 1:
(
(3)
− ∂ϑ ξ (2) ∂ϑψ (1) − ∂ϑ ξ (1) ∂ϑψ (2) +
(
) ( )∂
)
+ξ (2) ∂ rrψ (1) + ξ (1) ∂ϑ ξ (1) 2∂ϑψ (1) − ∂ rϑψ (1) + ∂ rrψ (2) +
1 (1)
ξ
2
2
ψ (1) ;
rrr
(22A)
∂ T0 ψ (3) + ∂ T2 ψ (1) + ∂ T1 ψ ( 2) + ξ (1) ∂ rT1 ψ (1) +
+ ∂ ϑ ψ (1) ∂ ϑ ψ ( 2) + ∂ r ψ (1) ∂ r ψ ( 2) + ξ ( 2) ∂ rT0 ψ (1) +
(
(
)
) 12 (ξ ) ∂
(1) 2
+ ξ (1) ∂ rT0 ψ ( 2) + ∂ ϑ ψ (1) ∂ rϑ ψ (1) − ∂ ϑ ψ (1) + ∂ r ψ (1) ∂ rr ψ (1) +
=
rrT0 ψ
(1)
( )
1
1  ( 3)
(0)
( 0)
(1) 3 
(0)
( 0)
(0)
(0) 
2
ξ
∂
φ
∂
φ
+
ξ
 ∂ rr φ ∂ rrr φ + ∂ r φ ∂ rrrr φ  +

r
rr
8π 
3


(
(
)
)
+ 2 ∂ ϑ φ (1) ∂ ϑ φ ( 2) + ∂ r φ (1) ξ ( 2) ∂ rr φ ( 0) + ∂ r φ ( 2) + ∂ r φ ( 0) ∂ r φ (3) + ξ ( 2) ∂ r φ ( 0) ∂ rr φ (1) +
(
+ 2ξ (1)  ξ ( 2)  ∂ rr φ (0)


)
2
(
)
+ ∂ r φ (0) ∂ rrr φ (0)  + ∂ rr φ (0) ∂ r φ ( 2) + ∂ ϑ φ (1) ∂ rϑ φ (1) − ∂ ϑ φ (1) +

)}
) ( )(
2
+ ∂rφ(1)∂rrφ(1) + ∂rφ(0)∂rrφ(2) + ξ(1) ∂rrrφ(0)∂rφ(1) + 2∂rrφ(0)∂rrφ(1) + ∂rφ(0)∂rrrφ(1) +
( )
+ (2 + Δ Ω )ξ (3) + 2ξ (1)  ξ (1)

(
)
2
2
( )
− (2 + Δ Ω )ξ (2)  − 2ξ (2) Δ Ω ξ (1) + 3 ξ (1) Δ Ω ξ (1) −

− ∂ ϑ ξ (1) ∂ ϑϑ ξ (1) −
2
(
1
∂ ϑ ξ (1)
2
62
)Δ
2
Ωξ
(1)
;
(23A)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
( )  d (cos ϑ) = 0 ;
( 3)
(1) ( 2 )
(1)
  3ξ + 6ξ ξ + ξ
−1
1
3
(24A)
( )  P (cos ϑ) d (cos ϑ) = 0 ;
( 3)
(1) ( 2 )
(1)
  ξ + 3ξ ξ + ξ
−1
1
 {∂ r φ
( 3)
3
(25A)
1
(
)
(
)
+ ξ (3) ∂ rr φ (0) + 2∂ r φ (0) + ξ ( 2) ∂ rr φ (1) + 2∂ r φ (1) +
−1
( )
( )
3 1
2 1


+ ξ (1)  ∂ rrrr φ ( 0) + ∂ rrr φ ( 0) + ∂ rr φ ( 0)  + ξ (1)  ∂ rrr φ (1) + 2∂ rr φ (1) + ∂ r φ (1)  +
6

2

( (
)
)
+ ξ(1) ξ(2) ∂rrrφ(0) + 4∂rrφ(0) + 2∂r φ(0) + 2∂r φ(2) + ∂rrφ(2) − ∂ϑξ(1) ∂rϑφ(1) −
}
− ∂ ϑ ξ ( 2) ∂ ϑ φ (1) − ∂ ϑ ξ (1) ∂ ϑ φ ( 2) d (cos ϑ) = 0 ;
φ (3) + ξ (1) ∂ r φ ( 2) + ξ ( 2) ∂ r φ (1) + ξ (3) ∂ r φ (0) +
+ ξ (1) ξ ( 2) ∂ rr φ( 0) +
ξ ( 3) = −
t = 0:
(26A)
( )
1 (1) 2
ξ
∂ rr φ (1) +
2
( )
1 (1) 3
ξ
∂ rrr φ ( 0) = φ(s3) (t ) ;
6
(27A)
hk hm hl
K kml P0 (cos ϑ) −
k , m ,l∈Ω 3( 2l + 1)

∞
9


−  h2  hk hm K km1 +   hk hm hl K kmg K gl1  P1 (cos ϑ) ;
g = 0 k , m ,l∈Ω
 5 k , m∈Ω

∂ T0 ξ (3) + ∂ T1 ξ ( 2) + ∂ T2 ξ (1) = 0 ,
(
(28A)
)
2
где K ml n = C mn 00l 0 , а C mn 00l 0 – коэффициенты Клебша-Гордана
[64].
7. ПРИЛОЖЕНИЕ B. Выражения для коэффициентов задачи:
H k1(m+l)(n− ) =
∞
∞
g =2
g =1
 β1k(m+ )g l n λ(l+m)g +  μ1k(m−)g l n +
63
∞
 μ 0k (m−g) l n ;
g =0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
H k1(m−l)(n+ )
=
H k2m( +l )(n + )
H k2m( −l)(n − )
(
= (Π
=
=
∞

β1k(m− )g l n λ(l−m) g
g =2
∞

β k2(m+g) l n λ(l+m) g
g =2
∞

β 2k (m−g) l n λ(l−m) g
g =2
∞
+
g =1
μ 1k(m+ )g l n
∞
+
g =1
∞
+
g =1
μ 1k(m+ )g l n
μ 1k(m− )g l n
∞
 μ 0k (m+g) l n ;
+
g =0
∞
 μ 0k (m+g) l n ;
+
g =0
∞
 μ 0k (m−g) l n ;
+
g =0
)(
)(λ
)
);
0( + )
2
+)
−)
H mgn
= Π 0mgn − Π 1mgn ω m ω g − Π mgn
ω 2g λ(mmg
+ λ(mmg
;
0( − )
H mgn
0
mgn
+ Π 1mgn ω m ω g − Π 2mgn ω 2g
(+)
mmg
−)
+ λ(mmg
β1k(m+ )g l n = Π 0kgn − Π 1kgn ω k (ω l + ω m ) − Π 2kgn (ω l + ω m )2 ;
β1k(m− )g l n = Π 0kgn − Π 1kgn ω k (ω l − ω m ) − Π 2kgn (ω l − ω m )2 ;
β 2k (m+g) l n = Π 0kgn + Π 1kgn ω k (ω l + ω m ) − Π 2kgn (ω l + ω m )2 ;
β k2(m−g) l n = Π 0kgn + Π 1kgn ω k (ω l − ω m ) − Π 2kgn (ω l − ω m )2 ;
μ 1k(m− )g l n = Λ1k m g l n − Γk1m g l n ω m ω k ;
μ 1k(m+ )g l n = Λ1k m g l n + Γk1m g l n ω m ω k ;
μ 0k (m−g) l n = Λ0k m g l n − Γk0m g l n ω m ω k ; μ 0k (m+g) l n = Λ1k m g l n + Γk0m g l n ω m ω k ;
Λ0kmgl n =
{
1
K gl n (α kmg (kn(l + 3l 2 − 2(k + 2) W ) + 2(k − 2)ω 2k ) + K kmg (kn(4 −
2k
− 6k(k +1) + (k 3 − 2(m +1)(m + 2) − k 2 (n − 9) − k(3n + 2m(m + 3) − 22))W) −
− (k − 1)k (k − n −
2)ω k2 ))
− 2knα kmg
[l / 2]
 (2l − 4ν + 1) K g ,l −2ν,n }
ν =1
Λ1k m g l n = (( g − n − 1) K g l n − α g l n / g )((m − 1) K kmg − α kmg / m )ω 2m +
(
)
+ Wnk ( g + 1)(l + n − g − 2) K g l n + α g l n K kmg ;
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Γk0mgl n = ((k − 1)(k − 2(n + 1))Kkmg / 2 − ((k − 1)(m + n) − m)αkmg /(km))K gl n +
+ ((k − 1)(k − 2) K k l g / 2 − (k − 2)α k l g / k )K gmn ;
Γk1m g l n = −(( g − n − 1) K gkn − (n + k )α gkn /(kg ) )((m − 1) K lmg − α lmg / m ) −
− (( g − n − 1) K g l n − α g l n / g )((m − 1) K kmg − α kmg / m );
(
Π 0kmn = ω 2k (n − k + 1) + 2kn(k + 1) + 2mn(m + 1) − 4n +
(
)
+ n W ((n − k − 5)(k − 1) + (m + 1)(k + n − m − 2) ))K kmn + ω 2k / k + n W α kmn ;
Π 1kmn = (m + k − n − 2) K kmn − (n + k + m )α kmn /( mk ) ;!»
Π 2kmn = (m − n − 1) K kmn − α kmn / m ;
Ξ k = ω 2k + 2k 2 (k + 1) − 4k − 5k (k − 1)W
+ )( + )
+ )( − )
ψ (kml
= ω k + ω m + ω l ; ψ (kml
= ω k + ω m − ωl ;
− )( − )
ψ (kml
= ω k − ω m − ωl ;
(
)
λ(m±l)n = (γ ml n ± ω m ω l η ml n ) / ω n2 − (ω m ± ω l ) 2 ;
α ml n = −C mn 00l 0 C mn 0( −1)l1 m(m + 1)l (l + 1) ;
[
γ ml n = K ml n ω 2m (n − m + 1) + 2n(l (l + 1) − 1) + (l (m + 1) −
[
]
− m(2m − 2n + 7) + 3)nW / 2] + α ml n ω 2m / m + nW / 2 ;
kn
η ml n = K ml n (n / 2 − m + 1) + α ml n (1 + n /(2l ) ) / m ; Dlm
= 1 − δ lm δ kn .
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3.2. Нелинейное резонансное
четырехмодовое взаимодействие
капиллярных осцилляций заряженной капли
идеальной жидкости
1. Некоторые вопросы нелинейных осцилляций заряженной
капли, представляющие значительный интерес для теории грозового электричества, остались за рамками ранее проведенных исследований [1, 29, 52, 69, 71, 80, 82]. Это, в частности, относится
к исследованию возможности резонансной раскачки амплитуды
основной моды капли за счет перекачки в нее энергии из высоких
мод. Данная проблема имеет принципиальное значение для теории грозового электричества в связи с обсуждающимся механизмом инициирования разряда молнии коронным разрядом в окрестности заряженной крупной капли или обводненной градины в
грозовом облаке [86 – 87]. Несмотря на очевидную привлекательность такого механизма, пока нет доказательств возможности
его реализации: согласно данным натурных измерений [88] собственные заряды крупных капель и градин в облаках слишком
малы для того, чтобы в их окрестности мог зажечься коронный
разряд или реализоваться неустойчивость заряженной поверхности капли. В то же время, очевидно, что при вытягивании капли в
фигуру, близкую к сфероиду, напряженность поля у ее вершин
существенно увеличивается. Одной из возможностей вытягивания капли в сфероид является возбуждение основной моды ее осцилляций при резонансной перекачке энергии из высоких мод
осцилляций в основную [65, 73, 75]. Однако проведенные расчеты [73, 75] (см. разделы 2.1 – 2.2) показывают, что при трехмодовом нелинейном резонансном взаимодействии осцилляций капли
наинизшей модой, в которую возможна перекачка энергии из высоких мод, является третья. Только в расчетах третьего порядка
малости по амплитуде начальной деформации капли, когда проявляются четырехмодовые резонансы, основная (вторая) мода
включается в резонансное взаимодействие с высокими модами
[82 – 83]. Заметим, что трехмодовые резонансы, проявляющиеся
в расчетах второго порядка малости, приводят при реализации к
эффекту первого порядка малости: амплитуда моды, раскачивающейся за счет перекачки энергии из высоких мод, имеет пер66
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вый порядок малости [73] и может превышать амплитуды изначально возбужденных высоких мод. В этой связи возникает и
чисто академический вопрос теории нелинейного взаимодействия
мод осцилляций: каким порядком малости будет характеризоваться мода, раскачивающаяся за счет резонансной перекачки
энергии при четырехмодовом взаимодействии, проявляющемся
лишь в третьем порядке малости? С целью отыскания ответов на
поставленные вопросы и решалась приведенная ниже задача.
2. Рассмотрим каплю радиуса R , обладающую зарядом Q ,
идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью ρ и коэффициентом поверхностного натяжения γ в условиях отсутствия внешней среды и гравитации. Пусть в начальный
момент времени равновесная сферическая форма поверхности
капли претерпела возмущение малой амплитуды. Зададимся целью проследить временную эволюцию формы поверхности капли
и проанализировать закономерности её колебаний под действием
капиллярных и электрических сил. Учитывая, что движение жидкости в капле вызвано малыми колебаниями её поверхности,
можно провести рассмотрение в рамках модели потенциального
движения, когда поле скоростей характеризуется потенциалом ψ .
Потенциал электрического поля в окрестности капли обозначим
φ . Форму капли будем считать осесимметричной как в начальный, так и во все последующие моменты времени. Уравнение поверхности капли в сферической системе координат, связанной с
её центром масс, в безразмерных переменных, в которых ρ = 1,
R = 1, γ = 1, запишем в виде
F (r ,ϑ , t ) ≡ r − 1 − ξ (ϑ , t ) = 0,
(1)
где r , ϑ – сферические координаты, ξ(ϑ, t ) – функция, описывающая отклонение формы капли от сферической ( ξ(ϑ, t ) << 1).
Математическая формулировка задачи содержит: уравнения
Лапласа для потенциалов скорости жидкости и электрического
поля
Δψ = 0;
Δφ = 0;
67
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
условия ограниченности
r → 0:
∇ψ → 0 ;
(3)
r → +∞ :
∇φ → 0 ;
(4)
кинематическое и динамическое граничные условия
∂ξ
r = 1 + ξ(ϑ, t ) :
−
+ ∇ψ ⋅ ∇F = 0;
∂t
∂ψ 1
+ (∇ψ )2 = p + p q − p ат − p σ ;
∂t 2
(5)
(6)
условие неизменности объема капли
2
 r sin ϑ dr dϑ dϕ =
V
4π
;
3
V = {r , ϑ, ϕ 0 ≤ r ≤ 1 + ξ; 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π};
(7)
условие неподвижности центра масс
r r
2
sin ϑ dr dϑ dϕ = 0;
(8)
V
условие постоянства полного заряда
 n ⋅ ∇φ
dS = −4πQ; S = {r , ϑ, ϕ r = 1 + ξ; 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π}; (9)
S
условие постоянства электрического потенциала вдоль поверхности
r = 1 + ξ(ϑ, t ) :
φ = φ S (t );
(10)
начальные условия
t = 0:
ξ = ξ 0 P0 (cos ϑ) + ξ1 P1 (cos ϑ) + ε
68
 hk Pk (cos ϑ);
k∈Ω
∂ξ
= 0;
∂t
(11)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в выражениях (2) – (11) p ат , p , p q , p σ – атмосферное давление,
гидродинамическое давление в равновесном состоянии, давления
электрического поля и капиллярное соответственно; n – вектор
нормали к поверхности капли; φ S – электрический потенциал капли; ε – амплитуда начальной деформации, являющаяся малым
параметром задачи; Ω – спектр мод, определяющих начальную
деформацию; hk – парциальный вклад k -й моды в начальную
деформацию (  hk ~ O(1) ); Pk (cos ϑ) – полином Лежандра поk∈Ω
рядка k ; ξ 0 , ξ1 – величины, определенные так, чтобы интегральные условия (7) и (8) выполнялись в начальный момент времени.
Для удобства записи дальнейших выражений расширим
множество констант hk , дополнив его так, что hk ≡ 0 при любых
k ∉Ω.
3. Будем решать краевую задачу (2) – (11) методом многих
масштабов с точностью до третьего порядка малости по амплитуде начального возмущения ε , представляя все искомые величины
в виде разложений по степеням ε и полагая, что они зависят не
просто от времени t , но от разных его масштабов T j = ε j t ,
( j = 0, 1, 2) . Производная по времени t в этом случае выражается
через производные по временным масштабам T j следующим образом:
∂
∂
∂
∂
.
=
+ε
+ ε2
∂t ∂ T0
∂ T1
∂ T2
Подставляя разложения
ξ = εξ (1) + ε 2 ξ ( 2) + ε 3 ξ (3) + O(ε 4 );
(12)
ψ = εψ (1) + ε 2 ψ ( 2) + ε 3 ψ (3) + O(ε 4 );
(13)
φ = φ ( 0 ) + εφ (1) + ε 2 φ ( 2 ) + ε 3 φ (3) + O (ε 4 );
(14)
φ S = φ (S0) + εφ (S1) + ε 2 φ (S2) + ε 3 φ (S3) + O(ε 4 ) ,
(15)
в краевую задачу (2) – (11) и собирая слагаемые при одинаковых
степенях ε , получим задачи различных порядков малости, которые для краткости изложения вынесены в «Приложение A». В
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
разложениях (14), (15) φ (0) = Q / r ; φ (S0) = Q – решения нулевого
порядка малости, т.е. для равновесной сферической поверхности
капли.
Очевидно, что в силу линейности уравнений Лапласа функции ψ ( k ) и φ ( k ) являются решениями уравнений, аналогичных (2).
Учитывая условия ограниченности (3), (4), можно записать
ψ
(k )
∞
=  r n ⋅ Dn( k ) (t ) ⋅ Pn (cos ϑ);
(k = 1, 2, 3) ;
(16)
(k = 1, 2, 3) .
(17)
n =1
φ
(k )
=
∞

n =0
Fn( k ) (t )
r
n +1
Pn (cos ϑ);
Функцию, описывающую отклонение формы поверхности
капли от сферической, представим в виде аналогичного разложения по полиномам Лежандра:
ξ
(k )
=
∞
 M n(k ) (t ) ⋅ Pn (cos ϑ);
(k = 1, 2, 3) .
(18)
n =0
Отметим, что в рамках рассмотрения задачи с точностью до
третьего порядка малости мы можем определить зависимость
временных коэффициентов первого порядка в (16) – (18) от трех
масштабов
времени:
M n(1) (T0 , T1 , T2 ),
Fn(1) (T0 , T1 , T2 ),
Dn(1) (T0 , T1 , T2 ) ; зависимость коэффициентов второго порядка –
от двух масштабов M n( 2) (T0 , T1 ), Fn( 2) (T0 , T1 ), Dn( 2) (T0 , T1 ) ; а зависимость коэффициентов третьего порядка – только от T0 :
M n(3) (T0 ), Fn(3) (T0 ), Dn(3) (T0 ) .
Последовательно используя решения (16) – (18) для разных
значений k = 1, 2, 3 , из систем граничных условий первого, второго и третьего порядков малости получим дифференциальные
уравнения, которым должны удовлетворять коэффициенты
M n( k ) (t ) , характеризующие временную эволюцию формы поверхности капли.
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. При решении задачи первого порядка (см. «Приложение
А») для коэффициентов M n( 1 ) ( t ) получим гармоническое уравнение по времени T0
∂ 2 M n(1) (t )
∂T0
2
+ ω 2n ⋅ M n(1) (t ) = 0 ;
(19)
где ω 2n = n(n − 1)(n + 2 − W ) – собственная частота n-й моды колебаний поверхности капли, W = Q 2 /(4π) – параметр Релея, характеризующий устойчивость капли по отношению к собственному
заряду. Общее решение этого уравнения содержит произвольные
функции: одну комплексную либо две действительные, зависящие от временных масштабов T1 , T2 :
M n(1) (t ) = An(1) (T1 , T2 ) ⋅ exp [i ω n T0 ] + ( к .с.) =
(
)
= 2a n(1) (T1 , T2 ) ⋅ cos ω nT0 + bn(1) (T1 , T2 ) .
(20)
Здесь и далее (к.с.) означает слагаемые, комплексно сопряженные к выписанным; An(1) (T1 , T2 ) = a n(1) (T1 , T2 ) ⋅ exp i bn(1) (T1 , T2 ) –
[
]
комплексные амплитуды; a n(1) (T1 , T2 ) и bn(1) (T1 , T2 ) – действительные функции, характеризующие амплитуду и фазу колебаний.
Вид функций An(1) (T1 , T2 ) , a n(1) (T1 , T2 ) , bn(1) (T1 , T2 ) определяется
при анализе задач следующих порядков малости.
5. При рассмотрении задачи второго порядка малости (см.
«Приложение А») для эволюционных коэффициентов M n( 2) (t )
получим неоднородное дифференциальное уравнение
∂ 2 M n( 2) (t )
∂T0 2
+
+
ω n2
⋅ M n( 2) (t )
∂An(1) (T1 , T2 )
exp[i ω n T0 ] +
= −2 i ω n
∂T1
  {[γ kmn + ω k ⋅ ω m ⋅ η kmn ] ⋅ Ak(1) (T1 , T2 ) ⋅
∞
∞
k =2 m=2
⋅ Am(1) (T1 , T2 ) ⋅ exp[i (ω k + ω m )T0 ] +
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
}
+ [γkmn − ωk ⋅ ωm ⋅ ηkmn]Ak(1) (T1,T2 )⋅ Am(1) (T1,T2 ) ⋅ exp[i (ωk − ωm )T0 ] + (к.с.) .
(21)
Константы γ kmn , η kmn определены в «Приложении B».
Для того чтобы решение уравнения (21) не содержало секулярных слагаемых, необходимо из его правой части исключить
слагаемые, зависимость которых от времени T0 определяется выражением exp[i ωnT0 ] . Это требование позволяет выяснить зависимость функций An( 1 )( T1 ,T2 ) (или an( 1 )( T1 ,T2 ) и bn( 1 ) ( T1 ,T2 ) ) от временного масштаба T1 . В простейшем случае такое условие имеет вид
∂An(1) (T1 , T2 )
=0
∂T1
(22)
и означает, что An(1) , a n(1) и bn(1) не зависят от T1 .
Внимательный анализ функции неоднородности уравнения
(21) показывает, что если для каких-либо трёх мод капиллярных
осцилляций с номерами n, p и q выполняется одно из соотношений ω n = ω p ± ω q , то условия исключения секулярных слагаемых
из решений аналогичных уравнений (записанных для мод n, p и
q) будут иметь вид системы трех связанных дифференциальных
уравнений, определяющих зависимость от временного масштаба
T1 взаимосвязанных функций An(1) (T1 , T2 ) , A (p1) (T1 , T2 ) и
Aq(1) (T1 , T2 ) . В таком случае принято говорить о внутреннем
трёхмодовом резонансном взаимодействии капиллярных осцилляций капли, рассмотрению которого посвящены работы [73, 75].
Общее решение уравнения (21) также содержит произвольные функции: одну комплексную An( 2) либо две действительные
( a n( 2) и bn( 2) ), но зависящие только от временного масштаба T1 . В
случае отсутствия трёхмодовых резонансных взаимодействий
решение уравнения (21) для колебательных мод (n > 2) имеет вид
M n( 2) (t ) = An( 2) (T1 ) ⋅ exp[i ωnT0 ] +
∞
∞
{
+)
+   λ(kmn
⋅ Ak(1) ⋅ Am(1) ⋅ exp[i (ω k + ω m )T0 ] +
k =2 m=2
72
(23)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
}
−)
λ(kmn
⋅ Ak(1) ⋅ Am(1) ⋅ exp[i (ωk − ωm )T0 ] + (к.с.)
+)
−)
и λ(kmn
приведены в «ПрилоВыражения для констант λ(kmn
жении В». Вид функций An( 2) (T1 ) , a n( 2) (T1 ) и bn( 2) (T1 ) (где
[
]
An( 2) (T1 ) = a n( 2) (T1 ) ⋅ exp i ⋅ bn( 2) (T1 ) ) может быть определен лишь в
третьем порядке малости.
6. Остановимся более подробно на анализе неоднородного
дифференциального уравнения для эволюционных коэффициентов M n(3) (t ) , получающегося при рассмотрении системы граничных условий третьего порядка (см. «Приложение А»):
∂ 2 M n(3) (t )
∂T0 2
+ ωn2 ⋅ M n(3) (t ) =


 ∂An( 2) ∂An(1) 
(1) 
G
A
= − 2iω n 
+
+
⋅

n
n  exp[iω n T0 ] +
T
T
∂
∂


2 
 1
(24)
 {Η 0kgn(+ ) ⋅ exp[i(ω k + ω g )T0 ](Ak(1) ⋅ Ag( 2) ) +
∞
+
k , g =2
)}
](
[
( −)
+ Η 0kgn
⋅ exp i (ω k − ω g )T0 Ak(1) ⋅ Ag( 2) +
+
∞
1
{
 (2k + 1) [2(n − 1) ⋅ ω n ⋅ ω k
k =2
− (1 − δ n,k )[2(n − 1) ⋅ ω n ⋅ ω k
( )
− Ξ n ] Ak(1)
2
⋅ exp[i(ω n + 2ω k )T0 ] −
) ⋅ exp[i(ω
+ Ξ ](
n
Ak(1)
2
n

− 2ω k )T0 ] An(1) +

[
]
+ Dkl ,,nm δ m,l +1 ⋅ (δ k ,n −1 + δ k ,n+1 )⋅ χ l ⋅ β1k(,−m),1,l ,n + Dkl ,,mn ⋅ Η 1k(,−m)(,l+,n) ⋅
(
)
⋅ exp iΨ (k+,l)(, m− )T0  Al(1) ⋅ Am(1) +
[
]
+ Dkl ,,nm ⋅ Dkm,l,n ⋅ δ m,l +1 ⋅ (δ k ,n −1 + δ k ,n +1 ) ⋅ χ l ⋅ β k2(,m+ ),1,l ,n + Η k2(,m+ )(,l ,+n) ⋅
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
](
[
)
⋅ exp iΨk( ,−l )(,m−)T0 Al(1) ⋅ Am(1) +
− )( − )

+ Dkm,l, n δ m,l +1 ⋅ (δ k , n −1 + δ k , n +1 ) ⋅ χ l ⋅ β k2(, m−,1,) l , n + Dkl ,,mn ⋅ Η 2(
k , m ,l , n  ⋅
(
)
⋅ exp i ⋅ Ψ (k−,l)(, m+ ) ⋅ T0  Al(1) ⋅Am(1) } Ak(1) ,
где Ψk( ,±l )(,m± ) ≡ ω k ± ω l ± ω m , а δ i, j – дельта-символ Кронекера.
Выражения для коэффициентов, использованных в (24), вынесены в «Приложение В». Для краткости при записи (24) в правой его части комплексно сопряженные слагаемые опущены.
Аналогично тому, как это описано выше, условие исключения секулярных членов из решения уравнения (24), позволяет определить вид функций An( 1 ) ( T2 ) и An( 2 ) ( T1 ) . В простейшем случае
отсутствия каких-либо резонансных взаимодействий между колебательными модами это условие имеет вид
 ∂An( 2) (T1 ) ∂An(1) (T2 ) 
(1)
2iω n 
+
 + Gn ⋅ An (T2 ) = 0 ,
∂T2 
 ∂T1
откуда несложно получить, что
bn(1) (T2 ) =
Gn
T2
2 ωn
(25)
в то время как a n(1) не зависит от времени T2 , а a n( 2) и bn( 2) – от
времени T1 . Выражение (25) определяет поправки 2-го порядка
малости к собственным частотам ω n капиллярных осцилляций
капли (см.(20)).
Решение уравнения (24) (из правой части которого исключены слагаемые, приводящие к появлению секулярных членов) после удовлетворения начальным условиям (11) может быть записано в виде
M n(3) (t )
hk2 hn
=−
ki∈Ξ 16
∞
 [2(n − 1)ω n ω k − Ξ n ]
[сos((ω n + 2ω k )t ) − сos(ω n t )] +

(
)
(
2
k
+
1
)
ω
ω
+
ω

k
n
k
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+ (1 − δ n, k )
−
∞

g =2
k ,l ,m∈Ξ
[2(n − 1)ω n ω k + Ξ n ]

[сos((ω n − 2ω k )t ) − сos(ω n t )] +
(2k + 1)ω k (ω n − ω k )

(
hl hm hk (+)
λl ,m, g + λ(l−,m) , g
4
+
[ω
+
+
+
)[
(−)
Η 0kgn
2
n
− (ω k − ω g )

hl hm hk  δ m,l +1 (δ k ,n −1
+ 

4 
k ,l , m∈Ξ

[
∞
( +)

Η0kgn
сos((ωk + ωg )t ) − сos(ωnt ) +
 2
2
ω
−
(
ω
+
ω
)
 n
k
g
[
][


(
)
[
]
(
)
сos
(
ω
−
ω
)
t
−
сos
ω
t
+
k
g
n
2
]

+ δ k ,n +1 )χ l ⋅ β1k(,+m),1,l ,n + Η 1k(,+m)(,l−,n)
ω 2 −
 n
(
)
2
Ψk( ,+l )(,m+ ) 

Dkl ,,nm δ m,l +1 (δ k ,n −1 + δ k ,n +1 )χ l ⋅ β1k(,−m),1,l ,n + Dkl ,,mn Η 1k(,−m)(,l+,n)
(
)
ω 2 − Ψ ( + )( − ) 2 
k ,l , m
 n

[
]
][сos(Ψ
Dkl ,,nm Dkm, l, n δ m, l +1 (δ k , n −1 + δ k , n +1 )χ l ⋅ β k2(, m+ ),1, l , n + Η 2k (, m+ )(, l+, n)
[
ω 2 −
 n
(
)
2
Ψk( −, l)(, m− ) 

(
)
( + )( + )
k ,l , m t
( + )( − )
k ,l , m t
][сos(Ψ
Dkm, l, n δ m, l +1 (δ k , n −1 + δ k , n +1 )χ l ⋅ β k2(, m− ),1, l , n + Dkl ,,mn ⋅ Η 2k (, m− )(, l−, n)
ω2 − Ψ ( − )( + ) 2 
k ,l , m

 n
][сos(Ψ
) − сos(ω t )] +
n
) − сos(ω t )] +
( − )( − )
k ,l , m t
n
) − сos(ω t )] +
n


( − )( + )
(
)
t
сos
t
−
ω
.
n
k ,l , m


][сos(Ψ
)
]
Из вида функции неоднородности уравнения (24) несложно
заметить, что помимо трёхмодового резонансного взаимодействия, проявившегося при анализе задачи второго порядка малости
(см. (21)), появляется дополнительная возможность четырёхмодового резонансного взаимодействия, когда для собственных частот мод с различными номерами n, p, q и s выполняется какоелибо из соотношений вида ω p ± ω q − ω s = ω n (см. тройную сумму в функции неоднородности уравнения (24)). Возможна также
ситуация, когда одна из мод участвует в резонансном взаимодействии дважды, что соответствует случаю вырожденного резонанса. Кроме того, в рассматриваемом приближении третьего поряд-
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ка малости возможно трёхмодовое резонансное взаимодействие,
при котором происходит обмен энергией между модами первого
порядка малости, определяющими спектр начальной деформации
капли, и модами, возбуждающимися во втором порядке малости
(см. двойную сумму в функции неоднородности уравнения (24)).
Взаимодействия указанных видов в ранее выполненных расчётах
третьего порядка малости обнаружены не были (см. [29]).
Рассмотрим четырёхмодовое взаимодействие более подробно.
7. Чтобы отразить близость комбинации частот ω p ± ω q − ω s
к частоте ω n , введём параметр расстройки σ ~ Ο(1) , определяемый соотношением
(
)
ω p ± ωq − ωs = ωn 1 + ε 2 σ .
(26)
Выписывая в дополнение к (24) аналогичные уравнения для
мод p, q, s и исключая из их правых частей слагаемые, приводящие к появлению секулярных членов в решениях, получим систему связанных дифференциальных уравнений относительно
функций A (ij ) (где i = 1,2; j = n, p, q, s ). Для примера приведём вид
такой системы для случая, когда реализуется первая из резонансных ситуаций (26) ω p + ω q − ω s = ω n 1 + ε 2 σ :
(
)
∂ An( 2) (T1 )
∂ An(1) (T2 )
− 2 i ωn
= 2 i ωn
+ Gn (T2 ) ⋅ An(1) (T2 ) −
∂ T1
∂ T2
− Yn( + ) ⋅ A(p1) (T2 ) ⋅ Aq(1) (T2 ) As(1) (T2 ) ⋅ exp[i ⋅ ω n ⋅ σ ⋅ T2 ];
− 2i ω p
∂ A(p2) (T1 )
∂ T1
= 2i ω p
∂ A(p1) (T2 )
∂ T2
+ G p (T2 ) ⋅ A(p1) (T2 ) −
− Y p( + ) ⋅ An(1) (T2 )⋅ Aq(1) (T2 ) ⋅ As(1) (T2 ) ⋅ exp[− i ⋅ ω n ⋅σ ⋅T2 ];
− 2 i ωq
∂ Aq( 2) (T1 )
∂ T1
= 2 i ωq
∂ Aq(1) (T2 )
∂ T2
76
+ Gq (T2 ) ⋅ Aq(1) (T2 ) −
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
− Yq( + ) ⋅ An(1) (T2 )⋅ A(p1) (T2 ) ⋅As(1) (T2 ) ⋅ exp[− i ⋅ ωn ⋅ σ ⋅T2 ] ;
∂ As( 2) (T1 )
∂ As(1) (T2 )
− 2 i ωs
= 2 i ωs
+ Gs (T2 ) ⋅ As(1) (T2 ) −
∂ T1
∂ T2
− Ys( + ) ⋅ An(1) (T2 ) ⋅ A (p1) (T2 ) ⋅ Aq(1) (T2 ) ⋅ exp[i ⋅ ω n ⋅σ ⋅ T2 ] .
(27)
Выражения для всех использованных здесь обозначений приведены в «Приложении В». При рассмотрении второй резонансной ситуации ω p − ω q − ω s = ω n 1 + ε 2 σ система уравнений имеет
вид, аналогичный (27).
Систему (27) необходимо дополнить условиями исключения
секулярных членов из решений дифференциальных уравнений
для амплитуд второго порядка малости мод n, p, q и s (см. (21)).
Предположим, что моды n, p, q и s ни в каких других резонансах,
кроме резонансов вида (26), не участвуют. Это означает, что для
функций An(1) , A (p1) , Aq(1) и As(1) при анализе задачи второго порядка малости следует записать соотношения, аналогичные (22), согласно которым An(1) , A (p1) , Aq(1) и As(1) не зависят от времени T1 . В
результате получим, что в уравнениях (27) слева от знаков равенства стоят функции временного масштаба T1 , а справа – функции,
зависящие только от T2 . Поскольку в методе многих масштабов
T1 и T2 рассматриваются как независимые переменные, то следует отдельно левые и правые части уравнений (27) положить равными константе, например, нулю.
∂A (j2) (T1 )
( 2)
= 0,
Для функций A j (где j = n, p, q, s ) получим
∂T1
(
)
откуда следует, что A (j2) , a (j2) и b (j2) являются постоянными величинами, равными своим начальным значениям, которые несложно получить из (11), используя разложения (12), а также учитывая
1
+)
−)
(18), (20), (23): a (j2) = −   λ(kmj
+ λ(kmj
⋅ hk ⋅ hm ; b (j2) = 0 . В
4 k∈Ω m∈Ω
результате выражение для амплитуд второго порядка малости
(23) примет вид
(
77
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
M n( 2) (t )
=
+)
[сos((ω k
  {λ(kmn
∞
∞
k =2 m=2
+ ω m ) t ) − сos(ω n t )] +
}h
−)
[сos((ω k − ω m ) t ) − сos(ω n t )]
+ λ(kmn
k
⋅ hm
.
2
(28)
Для функций A (j1) (где j = n, p, q, s ) получим комплексные
уравнения, приравнивая к нулю действительные и мнимые части
которых, запишем следующую систему для определения функций
a (j1) и b (j1) ( j = n, p, q, s ):

a n(1) (T2 )  2ω n



 ∂ β (n1) (T2 )


− ω n σ  + G n (T2 )  −
 ∂T


2



(29)
[
]
− Yn( ± ) ⋅ a (p1) (T2 ) ⋅ a q(1) (T2 ) ⋅ a s(1) (T2 ) ⋅ cos ϕ (n−, s)(, +p ,)(q± ) = 0 ;
∂ a n(1) (T2 )
2 ωn
− Yn( ± ) ⋅ a (p1) (T2 ) ⋅ a q(1) (T2 ) ⋅ a s(1) (T2 ) ⋅ sin ϕ (n−, s)(, +p ,)(q± ) = 0 ;
∂ T2
[

∂ b (p1) (T2 )


∂ T2
a (p1) (T2 )  2ω p
]

− G p (T2 )  +


+Yp( ± ) ⋅ an(1) (T2 ) ⋅ aq(1) (T2 ) ⋅ as(1) (T2 ) ⋅ cos ϕn( −, s)(, p+,)(q ± )  = 0 ;
2ω p
∂ a (p1) (T2 )
∂ T2
[
]
+ Y p( ± ) ⋅ an(1) (T2 ) ⋅ aq(1) (T2 ) ⋅ a s(1) (T2 ) ⋅ sin ϕ (n−, s)(, +p)(, q± ) = 0 ;
(1)


∂
b
(T2 )
q
(1)

− Gq (T2 )  +
a q (T2 ) 2ω q


∂ T2


 ( −)( + )( ± ) 
+Yq( ± ) ⋅ an(1) (T2 ) ⋅ as(1) (T2 ) ⋅ a(1)
p (T2 ) ⋅ cos  ϕn , s , p , q  = 0 ;
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2 ωq
∂ a q(1) (T2 )
∂ T2
[
]
± Yq( ± ) ⋅ a n(1) (T2 ) ⋅ a s(1) (T2 ) ⋅ a (p1) (T2 ) ⋅ sin ϕ (n−, s)(, +p ,)(q± ) = 0 ;

(1)
a s (T2 )  2ω s

∂ bs(1) (T2 )
− G s (T2 )  +
∂ T2


Ys( ± ) ⋅ an(1) (T2 ) ⋅ aq(1) (T2 ) ⋅ a (p1) (T2 ) ⋅ cos ϕ(n−, s)(, +p ,)(q± ) = 0 ;
[
]
∂ a s(1) (T2 )
2 ωs
− Ys( ± ) ⋅ a n(1) (T2 ) ⋅ a q(1) (T2 ) ⋅ a (p1) (T2 ) ⋅ sin ϕ (n−, s)(, +p ,)(q± ) = 0 ;
∂ T2
[
]
β (n1) (T2 ) = ω n ⋅ σ ⋅ T2 − bn(1) (T2 ) ;
ϕ (n−, s)(, +p ,)(q± ) (T2 ) ≡ β (n1) (T2 ) − bs(1) (T2 ) + b (p1) (T2 ) ± bq(1) (T2 ) .
Начальные условия для системы (29) также несложно получить из исходных условий (11), учитывая (12), (18), (20). Отметим, что из вида уравнений (29) следует, что четырёхмодовый резонанс может проявляться лишь в том случае, если амплитуды
хотя бы трёх из взаимодействующих мод в начальный момент
времени отличны от нуля. Рассмотрим для примера ситуацию,
когда моды p, q и s присутствуют в спектре, определяющем начальную деформацию капли, а мода n возбуждается в результате
межмодового взаимодействия (т.е. p, q, s ∈ Ω; n ∉ Ω ). Система
уравнений (29) в этом случае должна быть дополнена следующими начальными условиями:
hj
π
a n(1) (0) = 0 ; β (n1) (0) = ± ; a (j1) (0) = ; b (j1) (0) = 0 ; (j=p, q, s). (30)
2
2
Решения системы (29) с начальными условиями (30) определяют зависимость от медленного временного масштаба T2 = ε 2t
амплитуд 1-го порядка малости M (j1 ) ( t ) (см.(20)) для мод, связанных резонансным взаимодействием ( j = p ,q ,s ,n ).
8. На рис. 1 представлены результаты численных расчётов,
выполненных для резонансной ситуации ω17 + ω21 − ω30 = ω2 , реализующейся при значении безразмерного параметра W=0.460245
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(параметр
W
характеризует
величину
заряда
капли
W = Q 2 / 4 π γ R 3 ). Предполагалось, что начальное возмущение
определяется 17-й, 21-й, и 30-й модами, парциальные вклады которых в амплитуду этого возмущения ( ε = 0.1 ) равны между собой
( h17 = h21 = h30 = 1/ 3 ). Поскольку наибольший интерес представляет
раскачка моды, отсутствующей в спектре начального возмущения, то на рис. 1 (и всех последующих) приводятся только результаты, полученные для второй (основной) моды. Из представленных графиков видно, что для данной моды, раскачиваемой за
счет 4-модового резонансного взаимодействия, эволюционный
коэффициент первого порядка малости M 2(1) (t ) (см. разложения
(12), (18)) может достигать лишь весьма незначительных амплитуд (на порядок меньших соответствующих амплитуд 17-й, 21-й
и 30-й мод) и не превышает величин второго порядка малости.
Увеличение относительной амплитуды начального возмущения ε
приводит лишь к уменьшению периода резонансного взаимодействия, практически не сказываясь на амплитуде M 2(1) (t ) (см.
рис. 2, где представлены результаты аналогичных расчетов при
ε = 0.3 ).
Естественно предположить, что в реальности форма начального возмущения поверхности капли определяется более широким спектром мод (а не только 17-й, 21-й, и 30-й), тогда парциальный вклад интересующих нас мод уменьшится. На рис. 3 приведены результаты расчетов, выполненных для случая, когда
h17 = h21 = h30 = 1 / 12 , а ε = 0.1 . Как и следовало ожидать, уменьшение парциального вклада резонансно взаимодействующих мод
приводит к пропорциональному уменьшению амплитуды раскачиваемой основной моды. При этом значительно увеличивается
период резонансного взаимодействия.
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1. Временная зависимость эволюционного коэффициента первого
порядка малости в разложении в ряд по амплитуде начального возмущения
амплитуды раскачиваемой основной (второй) моды капиллярных
|колебаний поверхности капли. Значение параметра W соответствует }
положению точного резонанса: W = 0.46 , ε = 0.1 , h17 = h21 = h30 = 1 / 3
Рис. 2. Те же зависимости, что на рис. 1,
рассчитанные при ε = 0.3
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 3. Те же зависимости, что на рис. 1,
рассчитанные при h17 = h21 = h30 = 1/ 12
Рис.4. Те же зависимости, что на рис. 1,
рассчитанные при W = 0
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Изменение величины заряда капли (величины параметра W)
приводит к увеличению параметра расстройки в соотношении
(26), т.е. к ухудшению условий резонансной перекачки энергии
из высоких мод в низкую – основную. На рис. 4 и 5 изображены
зависимости, рассчитанные при значениях заряда капли, больших
и меньших резонансного: W=0 и W=0.87 соответственно. Параметры расстройки в этих случаях практически одинаковы, но
имеют разные знаки. Несложно заметить, что следствием изменения заряда капли является уменьшение как амплитуды резонансно раскачиваемой моды, так и периода резонансного взаимодействия. Отметим, что при увеличении заряда снижение амплитуды основной моды менее значительно, поскольку в обычных
условиях (при отсутствии резонансов) увеличение заряда ведёт к
росту амплитуд колебательных мод.
Рис. 5. Те же зависимости, что на рис. 1,
рассчитанные при W = 0.87
Численные расчеты проводились также и для второй четырёхмодовой резонансной ситуации ω p − ω q − ω s = ω n 1 + ε 2 σ
(см. (26)), реализующейся, например, для 34-й, 30-й, 10-й и 2-й
мод при значении параметра W = 0.983454. Однако полученные
(
83
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
результаты полностью аналогичны представленным на рис. 1 и
здесь не приводятся.
Расчёт обычными методами теории нелинейных осцилляций
[1, 29, 52, 69, 71, 80 – 81], возникающей за счёт нерезонансного
межмодового взаимодействия поправки 2-го порядка малости
M 2( 2) (t ) к амплитуде основной моды (см. (12), (18), (28)), показывает, что она достигает величины, сравнимой с M 2( 1 ) ( t ) . Это вызвано тем, что выражение для поправки второго порядка к амплитуде
n-й
моды
содержит
коэффициенты
M n( 2) (t )
−1
(−)
λkmn
~ (ωn − ωk + ωm )(ωn + ωk − ωm )  , причём индексы k и m
пробегают значения номеров мод из спектра начального возмущения. Очевидно, что когда k и m принимают одинаковые значе1
−)
~ 2 . Поскольку частота второй моды существенно
ния, λ(kkn
ωn
меньше всех возможных частот колебательных мод, то величины
коэффициентов λ(kk− )2 , а следовательно, и поправки M 2( 2) (t ) значительно больше, чем аналогичные поправки M n( 2) (t ) для высоких
мод. В результате вклад нерезонансной поправки второго порядка в суммарную амплитуду основной моды (равный ε 2 ⋅ M 2( 2) (t ) )
сравним с вкладом, вносимым эволюционным коэффициентом
первого порядка ( ε ⋅ M 2(1) (t ) ), появляющимся вследствие резонанса. Данное обстоятельство в сочетании с требованием равномерности асимптотического разложения для амплитуды раскачиваемой основной моды фактически накладывает ограничение сверху
на величину малого параметра ε.
9. При асимптотическом расчете нелинейных капиллярных
осцилляций заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости
выяснилось, что в третьем порядке малости по амплитуде многомодовой начальной деформации имеет место четырехмодовое
внутреннее резонансное взаимодействие мод, обеспечивающее
раскачку основной моды даже при отсутствии ее в спектре мод,
возбужденных в начальный момент времени. Однако амплитуда
основной моды, раскачиваемой при резонансной перекачке в неё
энергии из возбужденных в начальный момент времени высоких
мод, хотя формально имеет первый порядок малости, тем не ме84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нее не превышает величины поправки второго порядка малости,
появляющейся за счет нерезонансного нелинейного взаимодействия. Это делает возможность применения результатов проведенных расчетов к истолкованию проблемы инициирования разряда
молнии достаточно проблематичной.
В том же третьем порядке малости проявляется трехмодовое
резонансное взаимодействие амплитуд мод первого порядка, возбужденных в начальный момент времени, с поправками к амплитудам, имеющим второй порядок малости.
10. ПРИЛОЖЕНИЕ A. Краевые задачи различных порядков
малости.
Подставляя разложения (12) – (15) в краевую задачу (2) – (11)
и собирая слагаемые при одинаковых степенях ε , получим задачи
различных порядков малости. В нижеследующем изложении для
частных производных (например, по переменной x ) используется
обозначение ∂ x .
Выделяя слагаемые с ε1 , получим задачу первого порядка
малости:
Δψ (1) = 0;
Δφ (1) = 0;
r → 0:
ψ (1) → 0 ;
r → +∞ :
∇φ (1) → 0 ;
∂ T0 ξ (1) = ∂ r ψ (1) ;
r = 1:
∂ T0 ψ (1) =
1
ξ
(1)
(
)
1
∂ r φ ( 0) ∂ r φ (1) + ξ (1) ∂ rr φ ( 0) + 2ξ (1) + Δ Ω ξ (1) ;
4π
1
ξ
d (cos ϑ) = 0;
−1
1
 {∂ r φ
−1
(1)
P1 d (cos ϑ) = 0;
−1
(1)
(
)}
+ ξ (1) ∂ rr φ (0) + 2∂ r φ (0) d (cos ϑ) = 0;
φ (1) + ξ (1) ∂ r φ ( 0) = φ (S1) (t );
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ξ (1) = ε  hk Pk (cos ϑ) ;
t = 0:
∂ T0 ξ (1) = 0.
k∈Ω
Слагаемые, содержащие ε 2 , определяют задачу второго порядка малости:
Δψ ( 2) = 0;
Δφ ( 2) = 0;
r → 0:
ψ ( 2) → 0 ;
r → +∞ :
∇φ ( 2 ) → 0 ;
∂ T0 ξ ( 2) + ∂ T1 ξ (1) = ∂ r ψ ( 2) + ξ (1) ∂ rr ψ (1) − ∂ ϑ ξ (1) ∂ ϑ ψ (1) ;
r = 1:
∂T0ψ (2) + ∂T1ψ (1) + ξ (1) ∂ rT0ψ (1) +
{
(
+ ∂ϑφ (1)
) + (∂ φ )
2
(1)
r
+∂ rrφ (1) ∂ rφ (0)
1
( )
( 2)
(1)
  ξ + ξ
−1
1
 {∂ r φ
−1
(
( ) ((
1
2ξ (2) ∂ rφ (0) ∂ rrφ (0) + ξ (1)
8π
=
1
∂ rψ (1)
2
( 2)
2
)}
2
2
∂ rrφ (0)
)
)
2
2
+
1
∂ϑψ (1)
2
(
)
2
)
+ ∂ rrrφ (0) ∂ rφ (0) +
(
+ 2∂ rφ (2) ∂ rφ (0) + 2ξ (1) ∂ rrφ (0) ∂ rφ (1) +
( )
+ 2ξ (2)ξ (1) + Δ Ωξ (2) − 2 ξ (1)
 d (cos ϑ) = 0;

1
( )
( 2)
(1)
  2ξ + 3 ξ
−1
(
)
(
2
2
− 2ξ (1) Δ Ω ;
 P d (cos ϑ) = 0;
 1
)
+ ξ (1) ∂ rr φ (1) + 2∂ r φ (1) + ξ ( 2) ∂ rr φ (0) + 2∂ r φ (0) +
( )
21


+ ξ (1)  ∂ rrr φ ( 0) + 2∂ rr φ ( 0) + ∂ r φ (0)  − ∂ ϑ ξ (1) ∂ ϑ φ (1) d (cos ϑ) = 0;
2


φ ( 2) + ξ (1) ∂ r φ (1) + ξ ( 2) ∂ r φ (0) +
86
( )
1 (1) 2
ξ
∂ rr φ (0) = φ (S2) (t );
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
hk P0 (cos ϑ) 3
−  hk hm K km1 P1 (cos ϑ) ;
2
k
1
2 k , m∈Ω
+
k∈Ω
ξ ( 2) = − 
t = 0:
∂ T0 ξ ( 2) + ∂ T1 ξ (1) = 0 .
Задача третьего порядка малости определяется слагаемыми,
содержащими ε 3 :
Δψ (3) = 0;
Δφ (3) = 0;
r → 0:
ψ ( 3) → 0 ;
r → +∞ :
∇φ ( 3 ) → 0 ;
∂ T0 ξ (3) + ∂ T1 ξ ( 2) + ∂ T2 ξ (1) = ∂ r ψ (3) − ∂ ϑξ ( 2) ∂ ϑψ (1) − ∂ ϑξ (1) ∂ ϑψ ( 2) +
r = 1:
(
(
)
) 12 (ξ ) ∂
(1) 2
+ ξ ( 2) ∂ rr ψ (1) + ξ (1) ∂ ϑ ξ (1) 2∂ ϑ ψ (1) − ∂ rϑ ψ (1) + ∂ rr ψ ( 2) +
rrr ψ
(1)
;
∂ T0 ψ (3) + ∂ T2 ψ (1) + ∂ T1 ψ ( 2) + ξ (1) ∂ rT1 ψ (1) + ∂ ϑψ (1) ∂ ϑψ ( 2) + ∂ r ψ (1) ∂ r ψ ( 2) +
(
(
)
)
+ ξ ( 2) ∂ rT0 ψ (1) + ξ (1) ∂ rT0 ψ ( 2) + ∂ ϑψ (1) ∂ rϑψ (1) − ∂ ϑψ (1) + ∂ r ψ (1) ∂ rr ψ (1) +
+
1 (1) 2
1  ( 3) ( 0 )
1
(0)
(1) 3 
(0)
(0)
(0)
(0) 
ξ
∂ rrT0 ψ (1) =
 ∂ rr φ ∂ rrr φ + ∂ r φ ∂ rrrr φ  +
2ξ ∂ r φ ∂ rr φ + ξ
2
8π 
3


( )
( )
(
(
)
)
+ 2 ∂ ϑφ(1) ∂ ϑφ( 2) + ∂ r φ(1) ξ ( 2) ∂ rr φ( 0) + ∂ r φ( 2) + ∂ r φ( 0) ∂ r φ(3) + ξ ( 2) ∂ r φ( 0) ∂ rr φ(1) +
( ((
+ 2ξ (1) ξ ( 2) ∂ rr φ( 0)
)
2
)
) ( ) (∂
+ ∂ r φ(1) ∂ rr φ(1) + ∂ r φ( 0) ∂ rr φ( 2) + ξ (1)
((
)
2
+ (2 + Δ Ω )ξ (3) + 2ξ (1) ξ (1)
(
(
)
+ ∂ r φ( 0 ) ∂ rrr φ( 0) + ∂ rr φ( 0) ∂ r φ( 2) + ∂ ϑφ(1) ∂ rϑφ(1) − ∂ ϑφ(1) +
2
rrr φ
( 0)
∂ r φ(1) + 2∂ rr φ( 0) ∂ rr φ(1) + ∂ r φ( 0) ∂ rrr φ(1)
)
( )
2
) }+
− (2 + Δ Ω )ξ ( 2) − 2ξ ( 2) Δ Ω ξ (1) + 3 ξ (1) Δ Ω ξ (1) −
)
2
− ∂ ϑ ξ (1) ∂ ϑϑ ξ (1) −
87
(
1
∂ ϑ ξ (1)
2
)Δ
2
Ωξ
(1)
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
( )  d (cos ϑ) = 0 ;
( 3)
(1) ( 2 )
(1)
  3ξ + 6ξ ξ + ξ
−1
1
( )  P (cos ϑ) d (cos ϑ) = 0 ;
( 3)
(1) ( 2 )
(1)
  ξ + 3ξ ξ + ξ
−1
1
 {∂ r φ
3
( 3)
3
1
(
)
(
)
+ ξ (3) ∂ rr φ (0) + 2∂ r φ (0) + ξ ( 2) ∂ rr φ (1) + 2∂ r φ (1) +
−1
( )
( )
3 1
2 1


+ ξ (1)  ∂ rrrr φ ( 0) + ∂ rrr φ ( 0) + ∂ rr φ ( 0)  + ξ (1)  ∂ rrr φ (1) + 2∂ rr φ (1) + ∂ r φ (1)  +


6
2
( (
)
)
+ ξ (1) ξ ( 2) ∂ rrr φ (0) + 4∂ rr φ (0) + 2∂ r φ (0) + 2∂ r φ ( 2) + ∂ rr φ ( 2) − ∂ ϑ ξ (1) ∂ rϑ φ (1) −
}
− ∂ ϑ ξ ( 2) ∂ ϑ φ (1) − ∂ ϑ ξ (1) ∂ ϑ φ ( 2) d (cos ϑ) = 0 ;
φ (3) + ξ (1) ∂ r φ ( 2) + ξ ( 2) ∂ r φ (1) + ξ (3) ∂ r φ (0) +
+ ξ (1) ξ ( 2) ∂ rr φ (0) +
ξ ( 3) = −
t = 0:
( )
1 (1) 2
ξ
∂ rr φ (1) +
2
( )
1 (1) 3
ξ
∂ rrr φ (0) = φ (s3) (t ) ;
6
hk hm hl
 3(2l + 1) K kml P0 (cos ϑ) −
k , m ,l∈Ω
∞
9


− h2  hk hm K km1 +   hk hm hl K kmg K gl1  P1 (cos ϑ) ;
5

k ,m∈Ω
g =0 k ,m ,l∈Ω


∂ T0 ξ (3) + ∂ T1 ξ ( 2) + ∂ T2 ξ (1) = 0 ,
t = 0:
(
)
2
где K k m n = C kn00m 0 , а C kn00m 0 – коэффициенты Клебша-Гордана.
ПРИЛОЖЕНИЕ B. Использованные обозначения.
[
γ k m n = K k mn ω 2k (n − k + 1) + 2n(m(m + 1) − 1) + (m(k + 1) −
−k (2k − 2n + 7) + 3)nW / 2] + α kmn ωk2 / k + nW / 2  ;
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
η k m n = K k m n (n / 2 − k + 1) + α km n (1 + n /(2m) ) / k ;
(
)
2
α km n = −C kn00m 0 C kn(0−1) m1 k (k + 1)m(m + 1) ;
K k m n = C kn00m 0 ;
(
)
λ(k±m) n = (γ km n ± ω k ω m η k m n ) / ω 2n − (ω k ± ω m ) 2 ;
(
)(
)
H
= (Π
+ Π ω ω − Π ω )(λ + λ );
Π = (ω (n − k + 1) + 2n ((k − 1)(k + 2) + g ( g + 1) ) +
+ n W (3 − k (3 − n + k ) − g (3 − n − k + g )))K + (ω / k + n W )α
0( + )
+)
−)
H kgn
= Π 0kgn − Π 1kgn ω k ω g − Π 2kgn ω 2g λ(kkg
+ λ(kkg
;
0( − )
kgn
0
kgn
0
kgn
1
kgn
k
2
kgn
g
(+)
kkg
2
g
( −)
kkg
2
k
2
k
kgn
Π 1kgn = ( g + k − n − 2) K kgn − (n + k + g )α kgn /( gk ) ;
(
)
2
Π kgn
= ( g − n − 1) K kgn − α kgn / g ; Ξ n = 3 ω 2n − n(n − 1)W ;
9 (l + 1)
;
χl = −
(2 l + 1)(2 l + 3)
β1k(m+ )g l n = Π 0kgn − Π 1kgn ω k (ω l + ω m ) − Π 2kgn (ω l + ω m )2 ;
β1k(m− )g l n = Π 0kgn − Π 1kgn ω k (ω l − ω m ) − Π 2kgn (ω l − ω m )2 ;
β 2k (m+g) l n = Π 0kgn + Π 1kgn ω k (ω l + ω m ) − Π 2kgn (ω l + ω m )2 ;
β k2(m−g) l n = Π 0kgn + Π 1kgn ω k (ω l − ω m ) − Π 2kgn (ω l − ω m )2 ;
H k1(m+l)(n− )
H k1(m−l)(n+ )
=
=
∞

β1k(m+ )g l n λ(l+m) g
g =2
∞

β1k(m− )g l n λ(l−m) g
g =2
∞
+
g =1
∞
+
89
g =1
μ 1k(m− )g l n
μ 1k(m+ )g l n
+
∞
 μ 0k (m−g) l n ;
g =0
+
∞
 μ 0k (m+g) l n ;
g =0
kgn ;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
H k2m( +l )(n + )
H k2m( −l)(n − )
=
=
∞

β k2(m+g) l n λ(l+m) g
g =2
∞

β 2k (m−g) l n λ(l−m) g
g =2
∞
+
g =1
∞
+
g =1
μ 1k(m+ )g l n
μ 1k(m− )g l n
+
∞
 μ 0k (m+g) l n ;
g =0
+
∞
 μ 0k (m−g) l n ;
g =0
μ 1k(m− )g l n = Λ1k m g l n − Γk1m g l n ω m ω k ;
μ 1k(m+ )g l n = Λ1k m g l n + Γk1m g l n ω m ω k ;
μ 0k (m−g) l n = Λ0k m g l n − Γk0m g l n ω m ω k ;
μ 0k (m+g) l n = Λ1k m g l n + Γk0m g l n ω m ω k ;
Λ0kmgl n =
{ [
1
K gl n α kmg (2(k − 2)ω2k − kn(2(k + 2) W − l (3l + 1))) + K kmg (kn(4 −
2k
− 6k (k + 1) + (k 3 − 2(m + 1)(m + 2) − k 2 (n − 9) − k (3n + 2m(m + 3) − 22)) W ) −
− (k − 1)k (k − n −
2)ω k2 )
] − 2knα
[l / 2]
kmg
 (2l − 4ν + 1) K g ,l −2ν,n };
ν =1
Λ1k m g l n = (( g − n − 1) K g l n − α g l n / g )((m − 1) K kmg − α kmg / m )ω 2m +
(
)
+ Wnk ( g + 1)(l + n − g − 2) K g l n + α g l n K kmg ;
Γk0m g l n = ((k − 1)(k − 2(n + 1)) K kmg / 2 − ((k − 1)(m + n) − m )α kmg /(km) )K g l n +
+ ((k − 1)(k − 2) K k l g / 2 − (k − 2)α k l g / k )K gmn ;
Γ k1m g l n = −(( g − n − 1) K gkn − (n + k )α gkn /( kg ) )((m − 1) K lmg − α lmg / m ) −
− (( g − n − 1) K g l n − α g l n / g )((m − 1) K kmg − α kmg / m );
Gn ≡
  (2k + 1) [2Ξ n + δ n,k (2(k − 1)ω 2k + Ξ k )] −
∞

1
k =2 
[
]
− (δ k ,n −1 + δ k ,n +1 )χ k −δk , n +1 β k2(,k+,)1,n,n + β1k(,−k ),1,n,n −
−
+)
+)
)+
+ (1 − δ k ,n )λ(nkg
 {(1 − δ g ,0 )(1 − δ g ,1 )[β 2k (,k+,)g ,n,n (λ(kng
∞
g =0
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)
]
−)
−)
−)
+ β1k(,−k ), g ,n,n λ(kng
+ λ(nkg
+ 2(1 − δ k ,n )Π 0ngn λ(kkg
+
[
+ ( 2 − δ k , n ) (1 − δ g , 0 ) Z k1 , g , n + Z k0, g , n
]} }(A
(1 )
k
)
A k(1 ) ;
Z ki , g ,n ≡ μ ik(,+k), g ,n,n + Λin,k , g ,k ,n + Λik ,n, g ,k ,n (i = 0;1);
Dkl ,,mn ≡ 1 − δ k ,n δ l ,m ;
Yn( + ) = Dqp,,ns (δ p ,n −1 + δ p ,n +1 )(δ s ,q +1χ q + δ q , s +1χ s )β1p(,−s),1,q ,n +
+ D qp ,,ns (δ q ,n −1 + δ q ,n +1 )(δ s , p +1χ p + δ p , s +1χ s )β1q(,−s ,)1, p ,n +
[
+ Dqp,,ns D pq ,,ns (δ s ,n −1 + δ s ,n +1 )(δ q , p +1χ p + δ p ,q +1χ q )β 2s ,(p+,)1,q ,n +
]
+ H 1p(,−s ,)(q+,n) + H q1(, s−,)(p+,n) + H p2(,q−,)(s ,−n) + H q2,(p−,)(s ,−n) + H s2,(q+, )(p ,+n) + H s2,(p+,)(q ,+n) ;
Yn( − ) = Dqp,,ns (δ s ,n −1 + δ s ,n +1 )(δ p ,q +1χ q + δ q , p +1χ p )β1s(,−p),1,q ,n +
+ Dsq,,np (δ q ,n −1 + δ q ,n +1 )(δ p , s +1χ s + δ s , p +1χ p )β1q(,−p),1, s ,n +
[
+ Dqp,,ns Dsq,,np (δ p ,n −1 + δ p ,n +1 )(δ q , s +1χ s + δ s ,q +1χ q )β 2p(,+s ,)1,q ,n +
]
+ H 1s ,( −p ,)(q+,n) + H q1(, −p)(, s+,n) + H s2,(q−, )(p ,−n) + H q2,(s−, )(p ,−n) + H p2(,q+,)(s ,+n) + H p2(, s+,)(q ,+n) ;
Y p( + ) = Dqp,,ns (δ n, p −1 + δ n, p +1 )(δ q , s +1χ s + δ s ,q +1χ q )β1n(,−q),1, s , p +
+ D qp ,,ns (δ s , p −1 + δ s , p +1 )(δ q ,n +1χ n + δ n,q +1χ q )β1s(,q−,)1,n, p +
[
+ D qp ,,ns Dqp,,ns (δ q , p −1 + δ q , p +1 )(δ s ,n +1χ n + δ n, s +1χ s )β q2(, s+,1) ,n, p +
]
+ H n1(,q−,)(s ,+p) + H s1,(q−,)(n,+p) + H n2,(s−,q)(,−p) + H s2,(n−,q)(,−p) + H q2,(s+,n)(,+p) + H q2,(n+,)(s ,+p) ;
Y p( − ) = (δ n, p −1 + δ n, p +1 )(δ q , s +1χ s + δ s ,q +1χ q )β1n(,+q),1, s , p +
+ (δ s , p −1 + δ s , p +1 )(δ q ,n +1χ n + δ n,q +1χ q )β1s(,+q ,)1,n, p +
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+ (δ q , p −1 + δ q , p +1 )(δ s ,n +1χ n + δ n, s +1χ s )β1q(,+s ,)1,n, p +
+ H n1(,q+,)(s ,−p) + H 1s ,(q+,)(n,−p) + H n1(, s+,)(q ,−p) + H s1,(n+,)(q ,−p) + H q1(, s+,)(n,−p) + H q1(,n+,)(s ,−p) ;
Yq( + ) = Yq( − ) = D qp ,,ns (δ n,q −1 + δ n,q +1 )(δ p , s +1χ s + δ s , p +1χ p )β1n(,−p),1, s ,q +
+ Dqp,,ns (δ s ,q −1 + δ s ,q +1 )(δ p ,n +1χ n + δ n, p +1χ p )β1s(,−p),1,n,q +
[
+ D qp ,,ns Dqp,,ns (δ p ,q −1 + δ p ,q +1 )(δ s ,n +1χ n + δ n, s +1χ s )β 2p(,+s ,)1,n,q +
]
+ H n1(, −p)(, s+,q) + H s1,( −p ,)(n+,q) + H n2,(s−, )(p ,−q) + H s2,(n−, )(p ,−q) + H p2(, s+,)(n,+q) + H p2(,n+,)(s ,+q) ;
Ys( + ) = D pq ,,ns (δ p , s −1 + δ p , s +1 )(δ n,q +1χ q + δ q ,n +1χ n )β1p(,−n),1,q , s +
+ Dqp,,ns (δ q , s −1 + δ q , s +1 )(δ n, p +1χ p + δ p ,n +1χ n )β1q(,−n),1, p , s +
[
+ D qp ,,ns Dqp,,ns (δ n, s −1 + δ n, s +1 )(δ q , p +1χ p + δ p ,q +1χ q )β n2(, +p ,)1,q , s +
]
+ H 1p(,−n)(,q+,s) + H q1(,n−,)(p+, s) + H p2(,q−,)(n,−s) + H q2,(p−,)(n,−s) + H n2,(q+, )(p ,+s) + H n2,(p+,)(q ,+s) ;
Ys( − ) = D pq ,,ns (δ n,s −1 + δ n,s +1 )(δ p ,q +1χ q + δ q , p +1χ p )β1n(,−p),1,q ,s +
+ Dsq,,np (δ q ,s −1 + δ q , s +1 )(δ p ,n +1χ n + δ n, p +1χ p )β1q(,−p),1,n,s +
[
+ D qp ,,ns Dsq,,np (δ p , s −1 + δ p , s +1 )(δ q ,n +1χ n + δ n,q +1χ q )β 2p(,+n,)1,q , s +
]
+ H n1(, −p)(,q+, s) + H q1(, −p)(,n+, s) + H n2,(q−,)(p ,−s) + H q2,(n−,)(p ,−s) + H p2(,q+,)(n,+s) + H p2(,n+,)(q ,+s) .
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Нелинейные осцилляции заряженной
капли в несжимаемой материальной
диэлектрической внешней среде
4.1. О расчете амплитуды трансляционной моды
при нелинейных осцилляциях капли во внешней среде
1. Теоретическое аналитическое исследование нелинейных
осцилляций капель и пузырей началось сравнительно недавно.
Методика и идеология решения таких задач еще не стала традиционной, и многие частные вопросы до сих пор освещены весьма
поверхностно, что иногда приводит к ошибкам. В частности, сказанное относится к вопросу о возбуждении трансляционной моды
нелинейно-осциллирующей капли, обнаруживающимся при расчетах второго и третьего порядков малости [1, 22, 71, 81, 90]. Сам
факт возбуждения трансляционной моды нелинейно-осциллирующей в вакууме капли несжимаемой жидкости вытекает из
требования неподвижности центра масс капли. Когда в спектре
мод, определяющих начальную деформацию капли, имеются две
и более моды с последовательно возрастающими номерами, то
требование неподвижности центра масс приводит к тому, что
среди мод, возбуждающихся за счет нелинейного взаимодействия, появляется трансляционная мода [71]. Иными словами, возбуждение трансляционной моды компенсирует смещение центра
масс капли, появляющееся вследствие несимметричного относительно центра равновесной сферической капли распределения
массы при начальной деформации, в спектре мод которой имеются моды с последовательными номерами. Причем зависимость
амплитуды трансляционной моды от времени имеет периодический характер, что при рассмотрении осцилляций капли в газовой
атмосфере превращает каплю в источник акустического излучения дипольного типа [61, 71, 91]. Если же капля заряжена, то она
становится источником электромагнитного излучения дипольного типа [59, 71, 92].
Аналитическое выражение для амплитуды трансляционной
моды капли, нелинейно-осциллирующей в вакууме, при расчетах
второго порядка малости можно получить как из условия непод-
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вижности центра масс, так и из системы гидродинамических граничных условий на свободной поверхности капли. В обоих случаях
оно будет иметь один и тот же вид [71]. Ситуация меняется, если
рассмотреть осцилляции капли во внешней среде (или же пузыря в
жидкости): аналитические выражения для амплитуды трансляционной моды, получаемые из условия неподвижности центра масс и
системы граничных условий на межфазной границе, в этом случае
оказываются вроде бы различными [90]. В действительности же в
[90] условие неподвижности центра масс используется некорректно. Тем не менее в [90] на основе проделанных расчетов делается
глобальный вывод о поступательном движении капли (пузыря) с
некоторой фиксированной скоростью в результате возбуждения
поверхностных осцилляций (в результате перекачки энергии из поверхностных мод в трансляционную, амплитуда которой содержит
независящее от времени слагаемое). Этот вывод в совокупности с
неверной трактовкой наблюдений, проведенных в экспериментах
[93], где исследовались закономерности кавитации, привел к появлению еще одной теоретической работы [22], в которой на базе неверного перехода к неинерциальной системе отсчета получено выражение для скорости поступательного движения пузыря в жидкости в отсутствие действия внешних сил только за счет
поверхностных осцилляций. Приведенные факты делают актуальным решение проблемы правильного использования условия неподвижности центра масс при расчетах нелинейных осцилляций
капель несжимаемой жидкости в несжимаемой идеальной внешней
среде при многомодовой начальной деформации.
Отметим, что в экспериментах [93] наблюдалось образование, движение и кавитационное исчезновение микропузырьков в
жидкости в окрестности вибрирующего на частоте 7.5 кГц металлического образца. Количество образующихся пузырьков было
весьма велико: они образовывали облачко в окрестности образца.
Большая часть пузырьков образовывалась и схлопывалась в малой окрестности образца, приводя к его кавитационной эрозии.
Однако некоторые из пузырьков вдруг переходили в быстрое
хаотическое движение. Это наблюдение и послужило основой
для рассуждений [22, 90] о направленном движении пузырьков
при нелинейных осцилляциях. На наш взгляд, интерпретация наблюдений [93], данная в [22, 90], далека от корректной, посколь94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ку очевидно, что поле скоростей течения жидкости в окрестности
вибрирующего металлического образца при наложении на поля
скоростей хаотически ориентированных интенсивных гидродинамических течений в окрестности кавитирующих пузырьков
[94], при одновременном действии поля сил тяжести и архимедовых выталкивающих сил могут обеспечить сколь угодно сложное
хаотическое движение отдельных пузырьков. Направленного же
движения пузырьков в неподвижной жидкости в отсутствии направленных внешних сил только за счет возбуждения поверхностных осцилляций, насколько известно авторам настоящего рассмотрения, никто в экспериментах не наблюдал.
2. Пусть заряженная капля радиуса R идеальной несжимаемой электропроводной жидкости с массовой плотностью ρ1 помещена во внешнюю среду, которую будем моделировать идеальной несжимаемой диэлектрической жидкостью с диэлектрической ε* проницаемостью ρ1 и массовой плотностью ρ2.
Коэффициент поверхностного натяжения границы раздела двух
сред обозначим σ, а полный заряд капли – Q.
Рассмотрим капиллярные колебания межфазной поверхности, вызванные малым начальным возмущением ее равновесной
сферической формы. Ограничиваясь рассмотрением только осесимметричных искажений границы раздела, запишем уравнение
ее поверхности в сферической системе координат с началом в
центре масс капли в виде
F (r , θ, t ) ≡ r − r (θ, t ) ≡ r − R[1 + ξ(θ, t )], ( ξ / R << 1) , (1)
где ξ(θ,t) – безразмерная функция, описывающая деформацию
сферической поверхности, связанную с ее осцилляциями.
Малость амплитуд осцилляций капли позволяет провести
анализ задачи в рамках модели потенциального движения обеих

сред с потенциалами полей скоростей течения жидкости Ψ1 (r , t )

и Ψ2 (r , t ) внутри и вне капли соответственно.
Проводимость капли будем принимать достаточно высокой,
чтобы характерное время перераспределения заряда по ее поверхности было много меньше характерных гидродинамических
временных масштабов задачи, чтобы электрическое поле в окрестности капли можно было считать электростатическим в любой
момент времени и характеризовать его потенциалом Φ.
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Уравнения, описывающие движения жидкости, возникающие
в рассматриваемой системе, имеют вид
(0 ≤ r < r (θ, t ) );
ΔΨ1 = 0,
ΔΨ2 = 0,
ΔΦ = 0,
(r > r (θ, t ) ) ,
(2)
с условиями на границе раздела, описываемой уравнением (1):
∂Ψ1 ∂Ψ2
;
=
∂n
∂n
∂F
+ ∇Ψ1 ⋅ ∇F = 0;
∂t
Pin − Pex − ρ1
∂Ψ1 ρ1
− (∇Ψ1 )2 +
∂t
2
∂Ψ2 ρ 2
ε * (∇Φ ) 2

2
+ ρ2
+
(∇Ψ2 ) +
= σ div n;
∂t
2
8π
Φ (θ, t ) = Φ S (t );
r = R [1 + ξ(θ, t )];
ε* 

−
(n ⋅ ∇Φ ) dS = Q; S = 0 ≤ θ ≤ π;

4π S
0 ≤ φ ≤ 2π;

(3)
Здесь Pin и Pex – давление внутри и вне капли в равновесном

состоянии; n – орт внешней (направленной во внешнюю среду)
нормали к границе раздела (1); Φs(t) – постоянное вдоль межфазной границы значение электростатического потенциала Φ(θ,t).
Начальными условиями являются вид начальной деформации
поверхности раздела и задание нулевой начальной скорости ее
движения:
ξ(θ, t = 0) = ξ 0 P0 (Cos θ) + ξ1 P1 (Cos θ) + ε  hi Pk (Cos θ);
i∈Ξ
∂ξ(θ, t = 0)
= 0.
∂t
96
(4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Здесь ε – амплитуда начального возмущения, являющаяся
малым параметром задачи; Pi(Cosθ) – полином Лежандра i-го порядка; hi – парциальный вклад i-й колебательной моды в форму
начального возмущения
 hi
= 1,
i∈Ξ
ξ0 и ξ1 – константы, определяемые условиями неизменности объема капли (и среды) при осцилляциях границы раздела

Ω
r ( θ ,t )
2
 r dr dΩ =
0
dΩ ≡ Sin θ dθ dϕ;
4 3
πR ;
3
Ω = {0 ≤ θ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π}
(5)
и неподвижности центра масс всей системы
ρ1 
r ( θ ,t )

Ω
0
ρ1 

r ⋅ r 2 dr d Ω + ρ 2 
L


r ⋅ r 2 dr dΩ
Ω r ( θ ,t )
r ( θ ,t )

Ω
0
r 2 dr d Ω + ρ 2 
L

=0
(6)
r 2 dr dΩ
Ω r ( θ ,t )
соответственно. Условия (5) и (6) должны выполняться в любой
момент времени, в том числе и в начальный. В (6) L – характерный линейный размер пространства внешней среды, причем L >>
R (внешняя среда заполняет весьма большой объем, бесконечно
большой не в математическом, а в физическом смысле).
3. Нелинейный анализ задачи (2) – (4) может быть проведен
методом многих масштабов [53 – 54] аналогично тому, как это
делалось для капли в вакууме [1 – 3, 24, 71 – 77, 80 – 82]. Подобное исследование позволяет определить функцию ξ(θ,t), представленную в виде ряда по полиномам Лежандра и описывающую временную эволюцию межфазной границы:
ξ(θ, t ) =
 [ε M n(1) (t ) + ε 2 M n( 2) (t ) + O(ε 3 )]Pn (Cos θ).
∞
(7)
n =0
При рассмотрении задачи об осцилляциях поверхности капли
в вакууме (ρ2 = 0) условия (5) и (6) накладывали дополнительные
ограничения на амплитуды нулевой (объемной) и первой (трансляционной) мод в разложении (7) соответственно, причем эти ог97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
раничения согласовались с системой (2) – (4) (т.е., например, выражение для амплитуды трансляционной моды, получаемое из
условия неподвижности центра масс, совпадало с получаемым из
системы граничных условий). Для случая капли, помещенной во
внешнюю среду, роль условия (5) сохраняется (и связано это с
модельными предположениями о несжимаемости обеих сред), в
то время как использование условия (6) требует более внимательного анализа.
Прежде всего заметим, что, беря проекции интеграла от век
торной функции вида  r ⋅ r 2 dr dΩ на орты декартовой системы
координат, можно получить эквивалентную систему трех скалярных интегралов:
 r
3
 r
Sin θ Cos ϕ dr dΩ;
 r
3
3
Sin θ Sin ϕ dr dΩ;
Cos θ dr dΩ ,
комбинируя которые, несложно привести эту систему к компактной записи
 r
3
Y1m (θ, ϕ) dr dΩ,
(m = −1;0;1),
где Y1±1 (θ, ϕ) ~ Sin θ exp(±iϕ) ; Y10 (θ, ϕ) ~ Cos θ – сферические
функции.
Учитывая сказанное, условие неподвижности центра масс
для капли в среде (6) запишем в виде

Ω

Ω
 r ( θ ,t ) 3
ρ1  r dr dΩ + ρ 2

0
 r ( θ ,t ) 2
ρ1  r dr dΩ + ρ 2

0
 m
3
r
dr
Y1 (θ, ϕ)dΩ


r ( θ ,t )
= 0.
L
 m
2
r
dr
Y1 (θ, ϕ)dΩ


r ( θ ,t )
L
Проводя интегрирование по радиальной координате, получим
98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
L
4 Ω
L
3 Ω

r 4 (θ, t )  m
Y1 (θ, ϕ)dΩ
ρ 2 + (ρ1 − ρ 2 )
4
L


= 0.
3


r (θ, t ) m
ρ 2 + (ρ1 − ρ 2 )
Y1 (θ, ϕ)dΩ
3
L 

Заметим далее, что знаменатель этого выражения есть конечная величина, поскольку (см.(5))
 dΩ = 4π;
r
Ω
3
(θ, t )dΩ = 4πR 3 ,
Ω
а первый интеграл в числителе равен нулю в силу известного
свойства сферических функций:
 Y1
m
(θ, t ) dΩ = 0.
Ω
В результате условие неподвижности центра масс системы
капля-среда можно записать в виде
3( ρ 1 − ρ 2 )


R3  Ω
16 π  ρ 2 + ( ρ 1 − ρ 2 ) 3 
L 

r 4 ( θ ,t ) m
Y1 ( θ ,ϕ )dΩ = 0.
L3
(8)
Очевидно, что, выбирая достаточно большим линейный размер внешней среды L, равенство (8) можно сделать справедливым со сколь угодно большой степенью точности для произвольной функции r(θ,t).
Таким образом, в задаче об осцилляциях поверхности капли,
находящейся во внешней среде достаточно большого, но конечного объема, условие неподвижности центра масс такой системы
выполняется автоматически. Следовательно, амплитуда трансляционной моды в разложении (7) должна определяться из граничных условий (2) – (4). Сам факт возбуждения трансляционной
моды сохраняет компенсационный смысл, т.е., как и для капли в
вакууме возбуждение трансляционной моды, компенсирует смещение центра масс капли, вносимое колебательными поверхностными модами [71].
Отметим, что переход в выражении (8) к случаю отсутствия
внешней среды (ρ2 = 0) приводит к условию
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3
r 4 (θ, t ) m
Y1 (θ, ϕ)dΩ = 0,

3
16π Ω R
справедливость которого уже не очевидна, и поэтому данное условие должно учитываться в полной формулировке задачи о поверхностных колебаниях капли в вакууме, что обычно и делается
[1 – 3, 71 – 76].
4. При решении задач о расчете нелинейных осцилляций капель несжимаемой идеальной жидкости в несмешивающейся с ней
несжимаемой идеальной среде условие неподвижности центра
масс удовлетворяется автоматически, поэтому расчет амплитуды
трансляционной моды следует проводить на основе системы гидродинамических граничных условий на границе раздела фаз.
4.2. Нелинейные осцилляции заряженной капли
во внешней несжимаемой диэлектрической среде
1. Исследование нелинейных осцилляций заряженной капли
несжимаемой жидкости во внешней несжимаемой среде представляет значительный интерес, так как в большинстве реальных
ситуаций, в которых приходится сталкиваться с каплей, как правило, всегда присутствует и среда, сжимаемая при исследовании
взаимодействия осцилляций капли с акустическим излучением
[61 – 62, 91] либо несжимаемая при рассмотрении задачи о ламинарном обтекании капли медленным потоком газа или жидкости
[63]. Очевидно, что наличие внешней для капли среды должно
сказаться на спектре ее осцилляций и на положении внутренних
нелинейных резонансов. Изучение влияния плотности окружающей жидкости на величину поправок к частотам до настоящего
времени также не проводилось.
2. Пусть имеется сферическая капля радиуса R, имеющая заряд, равный Q, идеальной несжимаемой идеально проводящей
жидкости с плотностью ρ (i ) и коэффициентом поверхностного
натяжения σ , находящаяся в идеальной несжимаемой жидкости
плотности ρ (e ) с диэлектрической проницаемостью ε d в условиях
отсутствия гравитации. Движение жидкости в капле и внешней
среде примем потенциальным с потенциалами скоростей ψ (i ) и
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ψ ( e) соответственно. Потенциал электрического поля в окрестности капли обозначим φ . Форму капли будем считать осесимметричной как в начальный, так и во все последующие моменты
времени. Уравнение границы раздела сред в безразмерных переменных, в которых ρ (i ) = 1 , R = 1 , σ = 1 , в любой момент времени
t запишется в виде
r = 1 + ξ(ϑ, t ).
(1)
Начальную деформацию сферической формы поверхности
капли выберем в виде
ξ = ξ 0 P0 (cos ϑ) + ε  hm Pm (cos ϑ) ;
t = 0:
(2)
m∈Ω
∂t ξ = 0 ,
(3)
где ε – малый параметр, характеризующий амплитуду начального возмущения; Pm (cos ϑ) – полином Лежандра порядка m; ξ 0 –
константа, подобранная так, чтобы объем капли в начальный момент времени совпадал с объемом равновесной сферы; знак ∂ t
означает частную производную по переменной t; Ω – множество
индексов изначально возбужденных мод; hm – константы, учитывающие вклад m-й моды в формирование начальной формы капли, такие что  hm = 1 .
m∈Ω
Полная математическая формулировка задачи о капиллярных
колебаниях заряженной капли, кроме уравнения поверхности капли (1) и начальных условий (2), (3), содержит:
уравнения Лапласа для потенциалов скорости жидкости и
электрического поля
Δψ (i ) = 0;
Δψ (e ) = 0;
Δφ = 0;
(4)
условия ограниченности потенциалов
r → 0:
ψ (i ) → 0 ;
r → +∞ :
ψ (e) → 0 ;
(5)
∇φ → 0 ;
кинематическое и динамическое граничные условия
101
(6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r = 1 + ξ(ϑ, t ) : ∂ t ξ = ∂ r ψ (i ) − 12 ∂ ϑψ (i ) ∂ ϑξ = ∂ r ψ (e) − 12 ∂ ϑψ (e) ∂ ϑξ ;
r
∂ t ψ (i ) +
r
(7)
1
(∇ψ (i ) )2 − ρ (e)  ∂ t ψ (e) + 1 (∇ψ (e) )2  = p 0 − p ∞ + p q − p σ ; (8)
2
2


условие неизменности объема капли
2
 r sin ϑ dr dϑ dϕ =
V
4π
;
3
(9)
V = {r , ϑ, ϕ 0 ≤ r ≤ 1 + ξ; 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π};
условие постоянства полного заряда
 n ⋅ ∇φ
dS = −4πQ; S = {r , ϑ, ϕ r = 1 + ξ; 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π}; (10)
S
условие постоянства электрического потенциала вдоль поверхности границы раздела сред
φ = φS (t );
r = 1 + ξ(ϑ, t ) :
(11)
в выражениях (4) – (11) p ∞ , p 0 , p q , p σ – давления внешней среды на бесконечности, жидкости в центре капли, электрического

поля и капиллярное соответственно; n – вектор нормали к поверхности капли; φ S – электрический потенциал поверхности капли.
3. Решение задачи (1) – (11) проведем методом многих масштабов [53 – 54]. В частности, все потенциалы и уравнение образующей формы поверхности будем считать функциями от трех
различных временных масштабов Tm = ε m t , m = 0, 1, 2 и представим рядами по малому параметру ε :
φ(r , ϑ, t ) =
3
 ε m φ ( m) (r , ϑ, T0 , T1 , T2 ) + O(ε 4 );
(12)
m =0
φ S (r , t ) =
3
 ε m φ (Sm) (r , T0 , T1 , T2 ) + O(ε 4 );
(13)
m =0
ψ (i ) (r , ϑ, t ) =
3
 ε m ψ ((im) ) (r , ϑ, T0 , T1 , T2 ) + O(ε 4 );
m =1
102
(14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ψ (e ) (r , ϑ, t ) =
3
 ε m ψ ((em)) (r , ϑ, T0 , T1 , T2 ) + O(ε 4 );
m =1
3
 ε m ξ (m) (ϑ, T0 , T1 , T2 ) + O(ε 4 ),
ξ(ϑ, t ) =
(15)
(16)
m =1
где φ ( 0) = Q / (ε d r ); φ (S0) = Q / ε d – решения задачи нулевого порядка малости, т.е. для равновесной сферической поверхности
капли.
Подставляя (12) – (16) в (1) – (11) получим задачи различных
порядков малости, которые ради краткости изложения вынесены
в “Приложение А”.
Поскольку уравнение Лапласа (4) является линейным, то в
каждом порядке малости потенциалы скорости жидкости и электрического поля будут являться решениями уравнений Лапласа
(17А), (26А), (35А). Решение этих уравнений с учетом условий
ограниченности (18А), (19А), (27А), (18А), (36А), (37А) можно
записать в виде
ψ ((im) ) (r , ϑ, T0 , T1 , T2 )
∞
=  r n D((im) )n (T0 , T1 , T2 ) Pn (cos ϑ); m = 1, 2, 3; (17)
n =1
ψ (( em)) (r , ϑ, T0 , T1 , T2 ) =
φ
( m)
(r , ϑ, T0 , T1 , T2 ) =
∞

n =0
∞

n =0
D((em) )n
r
n +1
(T0 , T1 , T2 ) Pn (cos ϑ); m = 1, 2, 3; (18)
Fn( m ) (T0 , T1 , T2 )
r
n +1
Pn (cos ϑ); m = 1, 2, 3 .
(19)
Заметим, что в выражении (17) суммирование начинается с
n = 1, так как потенциал определяется с точностью до произвольной функции времени, что позволяет принять D((im) )0 = 0 .
Функцию, описывающую отклонение формы поверхности
капли от сферической, представим в виде разложения по полиномам Лежандра:
ξ
(m)
(ϑ, T0 , T1 , T2 ) =
∞
 M n( m) (T0 , T1 , T2 ) Pn (cos ϑ);
n =0
103
m = 1, 2, 3 .
(20)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отметим, что решение сформулированной задачи в третьем порядке малости позволяет выявить зависимость коэффициентов
первого порядка малости (m=1) в разложениях (17) – (20) от трех
временных масштабов T0 , T1 , T2 ; коэффициентов второго порядка
малости (m=2) – от двух временных масштабов T0 , T1 ; коэффициентов третьего порядка малости (m=3) – только от времени T0 .
Подставляя выражения (17) – (20) в уравнения (20А) – (25А),
найдем явные зависимости всех коэффициентов первого порядка
малости от временного масштаба T0 :
(
)
M n(1) (T0 , T1 , T2 ) = a n(1) (T1 , T2 ) cos ω n T0 + τ (n1) (T1 , T2 ) ;
(21)
D((i1)) n (T0 , T1 , T2 ) = ∂ T0 M n(1) (T0 , T1 , T2 ) / n ;
(22)
D((e1)) n (T0 , T1 , T2 ) = −∂ T0 M n(1) (T0 , T1 , T2 ) /(n + 1) ;
(23)
Fn(1) (T0 , T1 , T2 ) = Q M n(1) (T0 , T1 , T2 ) .
(24)
В выражении (21) a n(1) (T1 , T2 ) и τ (n1) (T1 , T2 ) – функции, зависящие только от временных масштабов T1 , T2 и удовлетворяющие начальным условиям (25А):
t = 0:
a n(1) = hn ⋅ δ n,m ,
τ (n1) = 0 ,
m∈Ω,
(25)
где δ n,m – символ Кронекера.
Подставляя разложения (17) – (20) и решения (21) – (24) в
уравнения (29А) – (34А) и исключая секулярные члены, найдем,
что функции a n(1) (T1 ,T2 ) и τ (n1) (T1 ,T2 ) не зависят от временного
масштаба T1 , а зависят только от масштаба T2 и что явные зависимости коэффициентов D((i2))n , D((e2)) n , Fn( 2) , M n( 2) в разложениях
(17) – (20) от временного масштаба T0 с учетом (25) можно записать в виде
M 0( 2) (T0 )
M n( 2) (T0 , T1 )
=−
=
(a )
(1) 2
m
m∈Ω
( 2)
a n T1
cos 2 (ω m T0 )
;
2m + 1
( ) cos(ω n T0 + τ (n2) (T1 )) +
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
al(1) am(1) ( + )
−)
+ 
λ lmn cos((ωl + ωm )T0 ) + λ(lmn
cos((ωl − ωm )T0 ) ;
2
l , m∈Ω
(
)
n ≥1
(26)
F0( 2)
= 0; Fn( 2) (T0 , T1 ) = Q M n( 2) (T0 , T1 ) +
l K lmn a l(1) a m(1) cos ω l T0 cos ω m T0 ;
+Q
l , m∈Ω
(

D((i2))n (T0 , T1 ) =
+
 ((l − 1)K lmn
l , m∈Ω
)
(
)
(27)
{
1
∂ T0 M n( 2) (T0 , T1 ) +
n

− α lmn / l )ω l a l(1) a m(1) sin (ω l T0 ) cos(ω m T0 )
D((e2)) n (T0 , T1 ) = −

{
n ≥ 1 (28)
1
∂ T0 M n( 2) (T0 , T1 ) +
(n + 1)

+
 (α lmn /(l + 1) − (l + 2) K lmn )ωl al(1) a m(1) sin (ωl T0 ) cos(ω mT0 ) ;

(29)
l , m∈Ω
n ≥ 0,
где коэффициенты λ(m±l)n , K ml n , α ml n , χ n вынесены в “Приложение В”, ω n = χ n (n − 1)n(n + 1)(n + 2 − W ) – частота капиллярных
колебаний, а a n( 2) (T1 ) и τ (n2) (T1 ) функции временного масштаба T1 ,
удовлетворяющие начальным условиям (34А):
hh
+)
−)
a n( 2) = −  l m λ(lmn
t = 0:
+ λ(lmn
, τ (n2) = 0 .
(30)
2
l , m∈Ω
Подставляя выражения (17) – (20) и решения (21) –(24), (26) –
(29) в систему уравнений (38А) – (43А) и исключая из нее секулярные слагаемые, находим, что функции a n(1) (T2 ), a n( 2) (T1 ) и
(
)
τ (n2) (T1 ) не зависят от временных масштабов T1 и T2 , и потому их
значения вполне определяются начальными условиями (25) и
(30), а для функции τ (n1) (T2 ) справедливо выражение
τ (n1)
T
(T2 ) = T2 bn = 2
2ω n
(
(
))
 hn2 Ξ 0n + 2ω n2 Ξ 1n − 2Ξ n2
hk2 Ξ 0n
+ 
−

k
+
4(2n + 1)
2
(
2
1
)

k∈Ω
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
hk2 1( − )( + )
2 ( + )( + )
2 ( − )( − )
1( − )( + )
2 ( + )( + )
2 ( − )( − ) 
H nkkn + H knkn
−
+ H knkn
+ (1 − δ kn ) H kknn
+ H kknn
+ H nkkn

k∈Ω 4

[
)]
(
. (31)
Коэффициенты D((i3))n , D((e3)) n , Fn(3) , M n(3) разложений (17) –
(20) определяются выражениями
M 0(3) (T0 )
−
M n(3) (T0 )
=−
2 M k( 2) (T0 )
k∈Ω
2k + 1
hk cos(ω k T0 ) −
K kml hk hm hl
cos(ω k T0 ) cos(ω m T0 ) cos(ω l T0 ) ;
k , m,l∈Ω 3( 2l + 1)

(
)
hn hk2 Ξ 0n − 2 Ξ 1n ω n ω k − 4 Ξ n2 ω k2
=−
sin ((ω n + ω k )T0 ) sin (ω k T0 ) −
8(2k + 1)ω k (ω n + ω k )
k∈Ω
(
)
hn hk2 (1 − δ nk ) Ξ 0n + 2 Ξ 1n ω n ω k − 4 Ξ n2 ω k2
− 
sin ((ω n − ω k )T0 ) sin (ω k T0 ) −
(
)
8
(
2
k
+
1
)
ω
ω
−
ω
k∈Ω
k
n
k
(
)
+)
−) 
0( + )
+ λ(lmg
hk hm hl λ(lmg
 H kgn (cos((ω k + ω g )T0 ) − cos(ω n T0 ))
− 
+

2
2
4
ω n − (ω k + ω g )
g =1 k , m,l∈Ω

∞
0( − )
(cos((ω k − ω g )T0 ) − cos(ω nT0 ))
H kgn
+
+
ω 2n − (ω k − ω g )2

hk hm hl
+ 
4
k , m,l∈Ω
+
+
( (
)
)
+ )( + )
1( + )( − )
 H kml
cos ψ (klm
T0 − cos(ω n T0 )
n
+

2
2
(
)
ω
−
ω
+
ω
+
ω

n
k
l
m
( (
)
)
1( − )( + ) kn l n
( + )( − )
H kml
n Dlm D km cos ψ klm T0 − cos(ω n T0 )
ω 2n
− (ω k + ω l − ω m )
( (
2
)
)
2 ( + )( + ) mn l n
( − )( − )
H kml
n D kl D km cos ψ klm T0 − cos(ω n T0 )
ω n2
− (ω k − ω l − ω m )
106
2
+
+
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( (
)
)
2 ( − )( − ) mn kn
( + )( − )

H kml
n D kl D ml cos ψ kml T0 − cos(ω n T0 ) 
; n ≥1
2
2
ω n − (ω k − ω l + ω m )

F0(3) (T0 ) = Q
(32)
k ( k + 1)
k +1 

K kml  hk hm hl cos(ωk T0 ) ×
 α kml −
2

k , m ,l∈Ω 2l + 1 

× cos(ωmT0 )cos(ωlT0 );
Fn(3) (T0 )
=
QM n(3) (T0 ) +
+Q
∞
∞
  (k + 1) K kmn Fk(2) (T0 )hm cos(ω m T0 ) +
m∈Ω k =1
 (k − 1)K kmn M m( 2) (T0 )hk cos(ωk T0 ) −
k∈Ω m =0
∞
−Q
g =0
k (k + 3)
K kmg K gl n hk hm hl cos(ω k T0 ) cos(ω m T0 ) cos(ω l T0 );
2
k , m,l∈Ω
n ≥1
(33)

1 − δ1n
1
D((3)
∂T0 M n(3) (T0 ) −
hnbn sin (ωnT0 ) −
i ) n (T0 ) =
n
n
∞
1
−   (k (k − 1) K kmn − α kmn ) Dk( 2) (T0 )hm cos(ω mT0 ) +
n m∈Ω k =1
∞
1
+   (k (k − 1) − α kmn )M m( 2) (T0 )ωk hk sin (ωk T0 ) +
n k∈Ω m =0
∞
1

 k (k − 1)
+
K kmg − α kmg (k − 2) ×



n k ,m,l∈Ω g =0 2

× K gl n ω k hk hm hl sin (ω k T0 ) cos(ω m T0 ) cos(ω l T0 ) ;
D((e3)) n (T0 ) = −
n ≥1
(1 − δ 0n )(1 − δ1n )
1
∂ T0 M n(3) (T0 ) +
hn bn sin (ωnT0 ) +
n +1
n +1
∞
α kmn  ( 2)
1

(
)
+
+
−
k
2
K

M m ω k hk sin (ω k T0 ) −

kmn
n + 1 k∈Ω m=0
k +1 
107
(34)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∞
1
−
(α kmn − (m + 1)(m + 2) K kmn ) Dm( 2) hk cos(ωk T0 ) +


n + 1 k∈Ω m =0
∞ α

k+2
1
kmg

K
+
−
 
kmg 
(k + 3) ×
n + 1 k ,m,l∈Ω g =0 k + 1
2

× K gl n ω k hk hm hl sin (ω k T0 ) cos(ω m T0 ) cos(ω l T0 ) ; n ≥ 0 ,
(35)
0( ± )
где коэффициенты H k1(m±l)(n ) , H k2m( ±l )(n ± ) , Ξ 0n , Ξ1n , Ξ 2n , H mgn
, β1k(m± )g l n ,
± )( ± )
kn
β 2k (m±g) l n , ψ (kml
вынесены в “Приложение В”, Dlm
= 1 − δ lm δ kn , где
δ kn – символ Кронекера.
Подставляя (20) в (1), запишем выражение для образующей
капли в виде
r (ϑ, T0 , T2 ) = 1 + ε  M n(1) (T0 , T2 )Pn (cos(ϑ) ) +
n∈Ω
+ε
2
 (M n( 2) (T0 ) + ε M n(3) (T0 ))Pn (cos(ϑ)) .
∞
(36)
n =0
4. Анализируя выражения (26), (32) и (36), заметим, что амплитуды второго и третьего порядков малости в отклонении поверхности капли от сферической формы, как и в случае отсутствия внешней среды, пропорциональны выражениям
M g( 2)
~
 K kmg ,
k , m∈Ω
где коэффициенты
K kmg
M n(3)
~
∞
  K kmg K gl n ,
g = 0 k , m,l∈Ω
отличны от нуля, только если
k − m ≤ g ≤ k + m и k + m + g – четное число. Таким образом,
наличие внешней среды не приводит к расширению спектра мод,
формирующих поверхность заряженной капли.
Из выражений (21) и (31) видно, что любая изначально возбужденная мода первого порядка малости имеет сдвиг частоты, пропорциональный квадрату амплитуды начального возмущения поверхности капли ε 2 , существенно зависящий от множества изна-
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чально возбужденных мод Ω и плотности окружающей среды
ρ (e ) .
Для иллюстрации зависимости bn (Ω ) рассмотрим ситуацию
свободной капли в вакууме ( ρ (e ) = 0 ). В этом случае поправки к
частотам при начальном возбуждении только одной m -й моды, то
есть, когда Ω = {m} и t = 0 : ξ = ξ 0 P0 (cos ϑ) + ε Pm (cos ϑ) , можно
представить в виде полинома по степеням параметра Рэлея
W = Q 2 /(4π) [45]. Так, при начальном возбуждении только одной
второй, третьей или четвертой мод величина bm , характеризующая поправку к частоте соответствующей моды, может быть
представлена выражениями
4
1
b2 = −
245 ω 32 ω 24 ω 24 − 4 ω 22
(
4
)
 Ai(2) W i ;
i =0
144
1
b3 =
11011 ω 22 ω 3 ω 24 ω 62 ω 22 − 4 ω 32 ω 62 − 4 ω 32
(
b4 = −
)(
6
)
 Ai(3) W i ;
i =0
1244160
1
2433431 ω 22 ω 34 ω 62 ω82 ω 22 − 4 ω 24 ω 62 − 4 ω 24 ω82 − 4 ω 24
(
)(
)(
(37)
8
)
 Ai( 4) W i ,
i =0
где коэффициенты Ai(m) m = 2, 3, 4 приведены в “Приложении С”.
В случае начального возбуждения нескольких мод капиллярных колебаний поверхности капли при условии отсутствия окружающей среды, величину bm , характеризующую нелинейный
сдвиг частот капиллярных колебаний капли, можно также представить в виде полинома по параметру Рэлея, но с другими числовыми коэффициентами. Так, например, если изначально возбуждается 2 и 3 моды капиллярных колебаний поверхности капли, когда Ω = {2; 3} и
ε
(P2 (cos ϑ) + P3 (cos ϑ)) ,
2
то величины bm , характеризующие поправки к частотам 2 и 3
мод, имеют вид
t = 0:
ξ = ξ 0 P0 (cos ϑ) +
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
b2 =
8
1
3 2
2
2
2
2
2695 ω 2 ω 4 ω 2 − 4ω3 ω 4 − 4ω 2 (ω 2 − ω3 )2 − ω52 (ω 2 + ω3 )2 − ω52
(
)(
)(
b3 = −
)(
7
Bi( 2 ) W i ;

)
i =0
20736
1
×
2
2 2
2
2
11011 ω2 ω3 ω4 ω6 ω2 − 4ω3 ω24 − 4ω32 ω62 − 4ω32
×
(
)(
)(
(38)
)
9
1
( 3)
i
,
B
W

i
((ω2 − ω3 ) − ω52 )((ω2 + ω3 ) − ω52 ) i=0
2
2
где коэффициенты Bi(m) m = 2, 3 приведены в “Приложении С”.
Отметим, что поправки (37) и (38) к частотам капиллярных
колебаний поверхности капли не только зависят от множества изначально возбужденных мод Ω , но и имеют резонансный характер. Так, если один из множителей, стоящих в знаменателе выражений (37) или (38), будет близок к нулю, то поправка к частоте
может стать значительной. Из вида знаменателей выражений (37)
и (38) следует наличие двух и трехмодовых резонансов. Сами же
выражения (37) и (38) в резонансной ситуации будут непригодны.
Выписанные выражения (37) и (38) весьма сильно изменяются в условиях, когда заряженная капля находится во внешней
среде. В этом случае поправки к частотам капиллярных колебаний поверхности капли можно представить двойным рядом по
параметру Рэлея W и плотности окружающей жидкости ρ (e ) . При
этом коэффициенты данного ряда оказываются зависящими от
множества изначально возбужденных мод Ω .
Так, если изначально возбуждается только одна m мода, когда Ω = {m} и t = 0 : ξ = ξ 0 P0 (cos ϑ) + ε Pm (cos ϑ) , то величину bm , характеризующую нелинейный сдвиг частот для 2, 3 или 4 мод, можно
представить в виде
b2 = −
5
49 (3 + 2ρ (e) ) (5 + 4ρ (e) )
b3 = −
×
3
108
2
ω 32
ω 24
(ω 24
ω 3 ω 24
  Ai(2j ) ρ i(e) W j ;
4 ω 22 ) i =0 j =0
311040
2
6
2
1573 (3 + 2ρ (e) ) (4 + 3ρ (e ) ) (5 + 4ρ (e ) ) (7 + 6ρ (e ) )
5
1
ω 22
−
4
ω 62
(ω 22
−
4 ω 32 ) (ω 24
−
4 ω 32 ) (ω 62
110
−
7
2
×
  Ai(3j ) ρ i(e) W j ; (39)
4 ω 32 ) i = 0
j =0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
b4 = −
×
7558272000
347633 (3 + 2ρ (e ) ) 2 (5 + 4ρ (e ) ) 7 (7 + 6ρ (e ) ) 2 (9 + 8ρ ( e) ) 2
5
1
ω 22
ω 34
ω 62
ω82
(ω 22
−
4 ω 24 ) (ω 62
−
4 ω 24 ) (ω82
−
×
8
  Ai(4j ) ρ i(e) W j ,
4 ω 24 ) i =0
j =0
где коэффициенты Ai(mj ) m = 2,3,4 приведены в “Приложении С”.
Если же изначально возбуждаются несколько мод капиллярных колебаний поверхности капли, находящейся в среде, то поправки к частотам любых изначально возбужденных мод можно
представить в виде рядов типа (39), но с другими численными коэффициентами и знаменателями.
Так, например, если изначально возбуждается 2 и 3 мода капиллярных колебаний поверхности капли, то есть когда Ω = {2; 3} и
ε
(P2 (cos ϑ) + P3 (cos ϑ)) ,
2
то величины bm , характеризующие поправки к частотам 2 и 3
мод, можно представить в виде рядов
ξ = ξ 0 P0 (cos ϑ) +
t = 0:
b2 =
×
ω32
1944
1
×
539 (2 + ρ (e) )(3 + 2ρ (e ) )8 (4 + 3ρ (e) )5 (5 + 4ρ (e ) )2 (6 + 5ρ (e ) )2
ω24
b3 = −
(
ω22
−
4ω32
)(
ω24
11
1
−
4ω22
)((ω
− ω3 ) −
2
2
ω52
)((ω
+ ω3 ) −
2
2
ω52
7
Bi( 2j ) ρ ( e)

)
i
W
j
;
i =0 j =0
559872
1
×
1573 (2 + ρ ( e ) )(3 + 2ρ ( e ) )5 (4 + 3ρ ( e ) )8 (5 + 4ρ ( e ) )2 (6 + 5ρ ( e ) )2 (7 + 6ρ ( e ) )2
×
×
1
ω 22
((ω
ω3 ω 24
ω 62
(
ω 22
−
4ω32
)(
ω 24
1
−
4ω32
1
2
)(
− ω 3 )2 − ω 52 (ω 2 + ω 3 )2 − ω 52
)(
ω 62
11
)
−
4ω32
)
×
(40)
9
  Bi(3j ) ρ (e) i W j ,
i =0 j =0
где коэффициенты Bi( mj) m = 2, 3 приведены в “Приложении С”.
Численные расчеты, проведенные по (39), указывают на
весьма сильную зависимость поправок к частотам от плотности
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
окружающей жидкости. В частности, как видно из рис. 1, при
увеличении плотности окружающей жидкости ρ (e) поправки к
частотам увеличиваются (за исключением малых окрестностей
возможных резонансных ситуаций). Из выражений (39), (40),
рис. 1 хорошо видно, что присутствие внешней жидкости не меняет резонансного характера поправок к частотам капиллярных
колебаний капли.
Рис. 1. Зависимости коэффициента bn от плотности окружающей
жидкости ρ (e ) при начальном возбуждении n -й моды, когда W = 0 (a),
W = 1 (b), W = 2 (c), W = 3 (d). Номер кривой совпадает с номером
изначально возбужденной моды
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Как известно, наличие поправок к частотам капиллярных колебаний поверхности капли приводит к изменению критических
условий реализации неустойчивости m-й моды по отношению к
собственному заряду капли [82]. Это связано с тем, что при увеличении заряда квадрат частоты капиллярных колебаний уменьшается и при некотором критическом значении параметра Рэлея
Wcr обращается в нуль. Дальнейшее увеличение заряда капли ведет к переходу квадрата частоты в область отрицательных значений, то есть приводит к появлению мнимых частот и экспоненциальному росту амплитуд капиллярных колебаний поверхности
капли и, как следствие, к ее неустойчивости. Критическое условие реализации неустойчивости m-й моды с учетом нелинейной
поправки
к
частоте
можно
записать
в
виде
(ω
)
2
( )
2
= ω 2m + 2ε 2 ω m bm + O ε 4 = 0 .
m + ε bm
Но, как видно из рис. 1, при увеличении плотности окружающей жидкости поправки к частотам увеличиваются по абсолютной величине, оставаясь отрицательными (за исключением
резонансных ситуаций). В итоге увеличение плотности окружающей жидкости ρ (e ) приводит к увеличению критического
значения параметра Рэлея Wcr. Так, например, при возбуждении
одной только второй моды, при начальном отклонении поверхности ε = 0.3 критическое значение параметра Рэлея для капли в вакууме равно Wcr = 3.54, а в случае наличия окружающей среды
при условии ρ (e ) ≥ 4 становится равным Wcr = 3.57. Однако при
учете влияния внешней среды на критические условия неустойчивости заряженной капли необходимо принимать во внимание
то обстоятельство, что коэффициент межфазного поверхностного
натяжения обычно заметно меньше (в несколько раз) коэффициента поверхностного натяжения свободной поверхности жидкости, граничащей с вакуумом [95]. Величина коэффициента межфазного натяжения σ может быть определена через коэффициенты поверхностного натяжения контактирующих жидкостей
σ1 , σ 2 на основе правила Антонова [95]: σ ≡ σ1 − σ 2 . В итоге
наличие внешней среды является дестабилизирующим фактором
в смысле реализации капиллярной неустойчивости заряженной
поверхности капли, поскольку параметр Рэлея, выраженный че-
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рез размерные величины, имеет вид W = Q 2 / 4πR 3 σ и наличие
внешней среды приводит к его существенному росту за счет снижения σ.
Интересно отметить, что амплитуды отклонения поверхности, связанные с различными модами M n(3) , сильно зависят от
плотности окружающей жидкости и некоторые из них имеют
весьма значительные экстремумы (см. рис. 2), что может привести к существенному искажению формы поверхности капли и, как
следствие, к локальному увеличению напряженности поля собственного заряда капли [77].
Рис. 2. Зависимости амплитуд мод третьего порядка малости M n(3)
от плотности жидкости ρ (e ) при W = 1, t = 3 и начальном возбуждении второй моды. Номер кривой совпадает с номером моды
Например, при начальном возбуждении одной только второй
моды амплитуда осцилляций капли в среде уменьшается по сравнению с амплитудой ее осцилляций в вакууме. Это видно из
рис. 3, где представлены формы образующей капли в вакууме
(рис. 3а) и в среде (рис. 3b) примерно в одинаковых фазах для слу114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чая максимального (кривая 2) и минимального (кривая 3) удлинений капли вдоль оси симметрии, а также в момент минимальности
характерного линейного размера перетяжки между двумя дочерними каплями (кривая 4). Хорошо видно, что наличие внешней
жидкости уменьшает максимальное удлинение капли вдоль оси
симметрии (кривая 2) с 1.7 до 1.5, минимальное удлинение (кривая
3) – с 0.48 до 0.42, а удлинение капли вдоль оси симметрии при
минимальности перетяжки (кривая 4) – с 1.42 до 1.37.
Рис. 3. Контур образующей капли в крайних фазах осцилляций
при начальном возбуждении второй моды: W = 1 , ε = 0.5 , а) ρ ( e ) = 0 ,
t = 0.46 (2); 1.52 (3); 3.3 (4), b) ρ ( e ) = 8 , t = 1.04 (2); 4.3 (3); 8.6 (4).
Цифрой (1) отмечен контур невозмущенной капли
Тенденция к уменьшению степени удлинения для капли в
среде наблюдается не только при начальном возбуждении низких
мод, а и при возбуждении высоких мод капиллярных колебаний.
В этом случае на капле образуются два или один зарождающиеся
эмиссионные выступы (см. рис.4). Максимальный продольный
размер таких выступов и их минимальный поперечный размер
уменьшаются при увеличении плотности окружающей жидкости.
Так, на рис. 4 максимальное отклонение поверхности при ϑ = 0
составляет соответственно 1.79 и 1.47 .
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4. Контур образующей капли при начальном возбуждении
девятой моды: W = 3 , ε = 0.3 , а) ρ ( e ) = 0 , t = 0.01 (1); 0.06 (2); 0.26 (3);
0.27 (4), b) ρ ( e ) = 100 , t = 0.1 (1); 0.4 (2); 1.1 (3); 1.2 (4)
Рис. 5. Контур образующей капли при начальном возбуждении седьмой
и восьмой мод, когда h7 = h8 = 0.5 , W = 3 , ε = 0.3 , а) ρ ( e ) = 0 , t = 0.01 (1);
0.075 (2); 0.22 (3), b) ρ ( e ) = 5 , t = 0.02 (1); 0.14 (2); 0.525 (3)
116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отметим, что наиболее заметное уменьшение линейных размеров выступов на поверхности капли, находящейся во внешней
среде, по сравнению с каплей в вакууме наблюдается в тех местах
поверхности капли, где ее скорость является высокой и инерционные свойства внешней среды являются преобладающими. Это
хорошо видно, например, из рис. 4 и рис. 5, где форма капли при
значении угла ϑ отличного от 0 и π мало меняется для капли в
среде и в вакууме, поскольку скорость поверхности в этом месте
мала. Для значений же углов ϑ = 0 и ϑ = π скорость поверхности
капли составляет значительную величину и, как следствие, давление внешней среды в данном месте поверхности является ощутимым.
5. Учет наличия окружающей среды, моделируемой несжимаемой жидкостью, существенно сказывается на величине поправок к частотам капиллярных колебаний. Наличие нелинейных
поправок к частотам приводит к незначительному росту критического значения собственного заряда капли, при котором она
претерпевает неустойчивость.
ПРИЛОЖЕНИЕ A. Выделение задач различного порядка малости.
Задача первого порядка малости, полученная после подстановки (12) – (16) в (1) – (11), имеет вид
Δψ ((1e)) = 0;
Δψ ((1i )) = 0;
r → 0:
ψ ((1i )) → 0 ;
Δφ (1) = 0;
r → +∞ : ψ ((1e)) → 0 ; ∇φ(1) → 0 ;
(2A)
∂ T0 ξ (1) = ∂ r ψ ((1i )) = ∂ r ψ ((1e)) ;
r = 1:
∂ T0 ψ (1) − ρ ( e ) ∂ T0 ψ ((1e)) =
(
ξ
(1)
(3A)
(4A)
)
1
∂ r φ ( 0) ∂ r φ (1) + ξ (1) ∂ rr φ ( 0) + 2ξ (1) + Δ Ω ξ (1) ;
4πε d
1
(1A)
d (cos ϑ) = 0;
(5A)
(6A)
−1
1
 {∂ r φ
−1
(1)
(
)}
+ ξ (1) ∂ rr φ (0) + 2∂ r φ (0) d (cos ϑ) = 0;
117
(7A)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
φ (1) + ξ (1) ∂ r φ ( 0) = φ (S1) (t );
ξ (1) = ε  hm Pm (cos ϑ) ;
t = 0:
(8A)
∂ T0 ξ (1) = 0.
m∈Ω
(9A)
Задача второго порядка малости имеет вид:
Δψ ((i2)) = 0;
Δψ ((e2)) = 0;
Δφ ( 2) = 0;
(10A)
ψ ((i2)) → 0 ;
r → 0:
ψ ((e2)) → 0 ;
r → +∞ :
(11A)
∇φ ( 2 ) → 0 ;
(12A)
∂ T0 ξ ( 2) + ∂ T1 ξ (1) = ∂ r ψ ((i2)) + ξ (1) ∂ rr ψ ((1i )) − ∂ ϑ ξ (1) ∂ ϑ ψ ((1i )) =
r = 1:
= ∂ r ψ ((e2)) + ξ (1) ∂ rr ψ ((1e)) − ∂ ϑ ξ (1) ∂ ϑ ψ ((1e)) ;
1
∂ rψ ((1)
i)
2
(
(1)
(1)
(1)
∂T0ψ ((2)
i ) + ∂ T1ψ ( i ) + ξ ∂ rT0ψ ( i ) +
+ ∂ T1 ψ ((1e)) + ξ (1) ∂ rT0 ψ ((1e)) +
( ) (( ∂
2
+ ξ (1)
(
1
∂ r ψ ((1e))
2
2
(
2
+
1
∂ϑψ ((1)
i)
2
)
{
(
)
2
2
1
1
∂ ϑ ψ ((1e))  =
2ξ ( 2) ∂ r φ ( 0) ∂ rr φ ( 0) +
2
 8πε d
+
)
(
2
2
)}
( )
+ 2ξ (1) ∂ rr φ ( 0) ∂ r φ (1) + ∂ rr φ (1) ∂ r φ ( 0) + 2ξ ( 2) + Δ Ω ξ ( 2) − 2 ξ (1)
1
( )
( 2)
(1)
  ξ + ξ
−1
1
 {∂ r φ
−1
(
− ρ( e ) ∂T0ψ ((2)
e) +
φ (0) ) + ∂ rrrφ (0) ∂ rφ (0) + ( ∂ϑφ (1) ) + ( ∂ rφ (1) ) + 2∂ rφ (2) ∂ rφ (0) +
2
rr
)
)
(13A)
( 2)
2
2
− 2ξ (1) Δ Ω ξ (1) ;
(14A)
 d (cos ϑ) = 0;

(
)
(
(15A)
)
+ ξ (1) ∂ rr φ (1) + 2∂ r φ (1) + ξ ( 2) ∂ rr φ (0) + 2∂ r φ ( 0) +
( )
21


+ ξ (1)  ∂ rrr φ (0) + 2∂ rr φ (0) + ∂ r φ (0)  − ∂ ϑ ξ (1) ∂ ϑ φ (1) d (cos ϑ) = 0;
2


(16A)
118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( )
φ ( 2) + ξ (1) ∂ r φ (1) + ξ ( 2) ∂ r φ (0) +
1 (1) 2
ξ
∂ rr φ (0) = φ (S2) (t );
2
(17A)
hm P0 (cos ϑ)
;
2
m
+
1
m∈Ω
∂ T0 ξ ( 2) + ∂ T1 ξ (1) = 0 .
(18A)
ξ ( 2) = − 
t = 0:
Задача третьего порядка малости имеет вид:
Δψ ((3i )) = 0;
Δψ ((3e )) = 0;
r → 0:
ψ ((3i )) → 0 ;
r → +∞ :
ψ ((3e )) → 0 ;
r = 1:
Δφ (3) = 0;
(19A)
(20A)
∇ φ ( 3) → 0 ;
(21A)
∂ T0 ξ (3) + ∂ T1 ξ ( 2) + ∂ T2 ξ (1) = ∂ r ψ ((i3)) − ∂ ϑ ξ ( 2) ∂ ϑ ψ ((1i )) − ∂ ϑ ξ (1) ∂ ϑ ψ ((i2)) +
(
(
)
) 12 (ξ ) ∂
(1) 2
+ ξ ( 2) ∂ rr ψ ((1i )) + ξ (1) ∂ ϑ ξ (1) 2∂ ϑ ψ ((1i )) − ∂ rϑ ψ ((1i )) + ∂ rr ψ ((i2)) +
(1)
rrr ψ ( i )
=
(2)
(1)
(2)
(2)
= ∂ rψ ((3)
∂ϑψ ((1)
∂ rrψ ((1)
e ) − ∂ϑ ξ
e ) − ∂ϑ ξ ∂ϑψ ( e ) + ξ
e) +
(
(
) 12 (ξ ) ∂
)
(1) 2
(1)
(2)
+ξ (1) ∂ϑξ (1) 2∂ϑψ ((1)
e ) − ∂ rϑψ ( e ) + ∂ rrψ ( e ) +
ψ ((1)e) ; (22A)
rrr
(2)
∂ T0 ψ ((i3)) + ∂ T2 ψ ((1i )) + ∂ T1 ψ ((i2)) + ξ (1) ∂ rT1 ψ ((1i )) + ∂ϑψ ((1)
i ) ∂ϑψ ( i ) +
(
(1)
(2)
(1)
(1)
∂ rT0ψ ((2)
+ ∂ rψ ( i ) ∂ rψ (i ) +ξ (2) ∂ rT0ψ ((1)
i) + ξ
i ) + ∂ϑψ ( i )
(
) ( )∂
)
(1)
(1)
(1)
∂ rϑψ ((1)
i ) − ∂ϑψ ( i ) + ∂ rψ ( i ) ∂ rrψ ( i ) +
1 (1)
ξ
2
2
ψ ((1)i ) −
rrT0
(
(1)
(2)
(1)
(1)
(1)
( 2)
− ρ( e ) ∂T0ψ ((3)
e ) + ∂ T2ψ ( e ) + ∂ T1ψ ( e ) + + ξ ∂ rT1 ψ ( e ) + ∂ ϑψ ( e ) ∂ ϑψ ( e ) +
(
(2)
(2)
(1)
(1)
∂ rψ ((1)
∂ rT0ψ ((1)
∂ rT0ψ ((2)
e ) ∂ rψ ( e ) + ξ
e) + ξ
e ) + ∂ϑψ ( e )
(
)
)
(1)
(1)
(1)
∂ rϑψ ((1)
e ) − ∂ϑψ ( e ) + ∂ rψ ( e ) ∂ rrψ ( e ) +
119
1 (1)
ξ
2
( )
2

∂ rrT0ψ ((1)
e)  =

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
=
1
8πε d
(
( )
1
 ( 3)
( 0)
( 0)
(1) 3 
( 0)
( 0)
(0)
(0) 
ξ
∂
φ
∂
φ
+
ξ
2
 ∂ rr φ ∂ rrr φ + ∂ r φ ∂ rrrr φ  +

r
rr
3



(
)
)
+ 2 ∂ ϑφ(1) ∂ ϑφ( 2) + ∂ r φ(1) ξ ( 2) ∂ rr φ( 0) + ∂ r φ( 2) + ∂ r φ( 0) ∂ r φ(3) + ξ ( 2) ∂ r φ( 0) ∂ rr φ(1) +
((
+2ξ (1)  ξ (2) ∂ rrφ (0)

(
)
2
)
+ ∂ rφ (0) ∂ rrrφ (0) + ∂ rrφ (0) ∂ rφ (2) +
)
) ( )
+∂ϑφ (1) ∂ rϑφ (1) − ∂ϑφ (1) + ∂ rφ (1) ∂ rrφ (1) + ∂ rφ (0) ∂ rrφ (2) + ξ (1)
(∂
rrr
}
2
φ (0) ∂ rφ (1) + 2∂ rrφ (0) ∂ rrφ (1) + ∂ rφ (0) ∂ rrrφ (1) ) + ( 2 + Δ Ω ) ξ (3) +
((
+ 2ξ (1) ξ (1)
)
2
)
(
)
2
− ∂ ϑ ξ (1) ∂ ϑϑ ξ (1) −
1
(
1
∂ ϑ ξ (1)
2
 {∂ r φ
−1
( 3)
)Δ
2
Ωξ
(1)
2
Δ Ωξ (1) −
;
(23A)
( )  d (cos ϑ) = 0 ;
(24A)
( 3)
(1) ( 2 )
(1)
  3ξ + 6ξ ξ + ξ
−1
1
( )
− ( 2 + Δ Ω ) ξ (2) − 2ξ (2) Δ Ωξ (1) + 3 ξ (1)
(
3
)
(
)
+ ξ (3) ∂ rr φ (0) + 2∂ r φ (0) + ξ ( 2) ∂ rr φ (1) + 2∂ r φ (1) +
( )
3 1

+ ξ (1)  ∂ rrrr φ (0) + ∂ rrr φ (0) + ∂ rr φ (0)  +
6

2 1

+ ξ (1)  ∂ rrr φ(1) + 2∂ rr φ(1) + ∂ r φ(1)  +
2

( )
( (
)
)
+ ξ (1) ξ ( 2) ∂ rrr φ ( 0) + 4∂ rr φ ( 0) + 2∂ r φ ( 0) + 2∂ r φ ( 2) + ∂ rr φ ( 2) − ∂ ϑ ξ (1) ∂ rϑ φ (1) −
}
− ∂ ϑ ξ ( 2) ∂ ϑ φ (1) − ∂ ϑ ξ (1) ∂ ϑ φ ( 2) d (cos ϑ) = 0 ;
φ (3) + ξ (1) ∂ r φ ( 2) + ξ ( 2) ∂ r φ (1) + ξ (3) ∂ r φ (0) +
+ ξ (1) ξ ( 2) ∂ rr φ ( 0) +
( )
( )
1 (1) 2
ξ
∂ rr φ (1) +
2
1 (1) 3
ξ
∂ rrr φ (0) = φ (s3) (t ) ;
6
120
(25A)
(26A)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
hk hm hl
 3(2l + 1) K kml P0 (cos ϑ) ;
k , m ,l∈Ω
t = 0:
ξ ( 3) = −
t = 0:
∂ T0 ξ (3) + ∂ T1 ξ ( 2) + ∂ T2 ξ (1) = 0 ;
(
(27A)
)
2
где K ml n = C mn 00l 0 , а C mn 00l 0 – коэффициенты Клебша-Гордана
[64].
ПРИЛОЖЕНИЕ B. Выражения для коэффициентов разложений
H k1(m+l)(n− )
H k1(m−l)(n+ )
=
(
+ μ 1k(m− )g l n
)+  μ
0( − )
k mgln
;
(
+ μ 1k(m+ )g l n
)+  μ
0( + )
k mgln
;
∞
g =1
=
∞
g =1
(
= (Π
=
β1k(m− )g l n λ(l−m) g
∞
=
H k2m( +l )(n + )
H k2m( −l)(n − )
β1k(m+ )g l n λ(l+m) g
g =1
(
β k2(m+g) l n λ(l+m) g
+
(
∞
g =1
β k2(m−g) l n λ(l−m) g
μ1k(m+ )g l n
∞
g =0
∞
g =0
∞
)+ μ
+ μ 1k(m− )g l n
g =0
0( + )
k mgln
)+  μ
∞
g =0
)(
)(λ
;
0( − )
k mgln
;
)
);
0( + )
2
+)
−)
H mgn
= Π 0mgn − Π 1mgn ω m ω g − Π mgn
ω 2g λ(mmg
+ λ(mmg
;
0( − )
H mgn
0
mgn
+ Π 1mgn ω m ω g − Π 2mgn ω 2g
(+)
mmg
−)
+ λ(mmg
β1k(m+ )g l n = Π 0kgn − Π 1kgn ω k (ω l + ω m ) − Π 2kgn (ω l + ω m )2 ;
β1k(m− )g l n = Π 0kgn − Π 1kgn ω k (ω l − ω m ) − Π 2kgn (ω l − ω m )2 ;
2
β k2(m+g) l n = Π 0kgn + Π 1kgn ω k (ω l + ω m ) − Π kgn
(ωl + ω m )2 ;
2
(ω l − ω m )2 ;
β 2k (m−g) l n = Π 0kgn + Π 1kgn ω k (ω l − ω m ) − Π kgn
μ1k(m− )g l n = Λ1k m g l n − Γk1m g l n ω m ω k ; μ 1k(m+ )g l n = Λ1k m g l n + Γk1m g l n ω m ω k ;
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
μ 0k (m−g) l n = Λ0k m g l n − Γk0m g l n ω m ω k ; μ 0k (m+g) l n = Λ1k m g l n + Γk0m g l n ω m ω k ;
Λ0kmgl n = (n + 1)χ n ω 2k K gl n (α kmg (k − 2) / k + (k − 1)(n − k + 2) K kmg / 2) +
+ ρ ( e) nχ n ω 2k ((( g + 1 − n) K gl n − α gl n /( g + 1))((k + 2) K kmg − α kmg /(k + 1)) +
+ ((k + 3)α kmg /( k + 1) + (k + 2)(n − 2 − k ) K kmg / 2) K gl n ) +
+ n(n + 1)χ n (WK gl n ((k 3 − 2(m + 1)(m + 2) − k 2 (n − 9) −
− k (2m(m + 3) + 3n − 22)) K kmg − − 2(k + 2)α kmg ) / 2 −
− ((3k (k + 1) − 2) K kmg − l (l + 1)α kmg / 2) K gl n +
2
+ α kmg (l K l gn −
[l / 2]
 (2l − 4ν + 1)K l −2ν, g ,n )) ;
ν =1
Λ1k m g l n = n(n + 1) χ n W k K kmg (( g + 1)(l − 2 − g + n) K l gn + α l gn ) +
+ (n + 1)χ n ((α l gn / g + (n + 1 − g ) K l gn )(α kmg / m + (1 − m) K kmg ))ω 2m ;
0
Γkmgl
n = ( n + 1)χ n (( k − 2)( K gl n (( k − 1) K kmg / 2 − α kmg / k ) +
+ K mgn ((k − 1) K kl g / 2 − α kl g / k )) − n(k − 1) K gl n (α kmg /( mk ) +
+ K kmg )) − ρ (e ) nχ n ((( g + 2) K mgn − α mgn /( g + 1))
((k + 2) K kl g − α kl g /(k + 1)) + (k + 3) K mgn (α klg /(k + 1) −
−(k + 2) K klg / 2) + (( g + 2) K gl n − α gl n /( g + 1))((k + 2)
K kmg − α kmg /(k + 1)) + (k + 3) K gln (α kmg /(k + 1) −
−(k + 2) K kmg / 2) −(n + 1)((α mgn /((m + 1)( g + 1)) +
+ K mgn )((k + 2) K klg − α klg /(k + 1)) + −α kmg /(k + 1)) −
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+ K gln ((k + 2) K kmg − − (α kmg /((k + 1)(m + 1)) + K kmg )(k + 2) K gl n )) ;
Γk1m g l n = (n + 1)χ n ((α l gn / g + (n + 1 − g ) K l gn ) ((m − 1) K kmg − α kmg / m) +
+ ((k + n)α kgn /( gk ) + (n + 1 − g ) K kgn )((m − 1) K ml g − α ml g / m)) ;
Π 0kmn = (n + 1)χ n (nK kmn (2((k − 1)(k + 2) + m(m + 1)) +
+W (k − 1)(n − 5 − k )) + (α kmn / k + (n + 1 − k ) K kmn )ω2k ) –
− ρ (e ) nχ n ω 2k ((n − 1 − k ) K kmn + α kmn /( k + 1)) +
+ n(n + 1)χ nW ((m + 1)(k + n − m − 2) K kmn + α kmn ) ;
Π 1kmn = (n + 1)χ n ((k + m − n − 2) K kmn − (n + k + m)α kmn /( mk )) +
+ nρ (e) χ n ((n − k − m − 3) K kmn + (k + m + n + 3)α kmn /((m + 1)(k + 1))) ;
Π 2kmn = (n + 1) χ n ((m − n − 1) K kmn − α kmn / m) + nρ( e ) χ n ((n − m − 1) K kmn + α kmn /(m + 1)) ;
Ξ 0n = ω n2 + n(n + 1)χ n (n − 1)(4 + 2n − 5W ) ;
Ξ 1n = ((n + 1)(n − 1) − 3nρ ( e) )χ n ;
+ )( + )
ψ (kml
= ω k + ω m + ωl ;
Ξ 2n = ρ ( e) n(n − 1)χ n ;
+ )( − )
ψ (kml
= ω k + ω m − ωl ;
− )( − )
ψ (kml
= ω k − ω m − ωl ;
kn
Dlm
= 1 − δ lm δ kn
(
)
λ(m±l)n = (γ ml n ± ω m ω l η ml n ) / ω 2n − (ω m ± ω l ) 2 ;
α ml n = −C mn 00l 0 C mn 0( −1)l1 m(m + 1)l (l + 1) ;
γ ml n = (n + 1)χ n K ml n (ωm2 (n − m + 1 − ρ( e) n(n − m − 1) /( n + 1)) +
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+2n(l (l + 1) − 1) + (l (m + 1) − m(2m − 2n + 7) + 3)nW / 2) +
+(n + 1) χ nα mln ((1/ m − nρ (e ) /((n + 1)(m + 1)))ω 2m + nW / 2) ;
η ml n = (n + 1)χ n K ml n (n / 2 − m + 1 + ρ (e ) n(2m + 3 − n) /( 2(n + 1))) +
− nρ ( e) (n + 2l + 3) /( 2(m + 1)(l + 1)(n + 1))) ;
χ n = (1 + n(1 + ρ ( e) ) )−1 ;
ω n = χ n (n − 1)n(n + 1)(n + 2 − W ) .
ПРИЛОЖЕНИЕ С. Значения численных коэффициентов для
поправок к частотам.
Таблица коэффициентов Ai(m )
m
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
3
4
6606528
- 4961440
1419804
- 177168
7945
___
___
___
___
4214241024000
- 4128178176000
1682216124000
- 362825358328
43303979512
-2679419780
66094721
___
___
55735591155609600
- 77949491906388480
45351373912349312
- 14555386948486656
2840187292166640
- 345863703031648
25619763735024
- 1049270108016
18006768899
Таблица коэффициентов Bi(m ) для поправки к частотам
m
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
28507064560128
- 31524733738560
15054864474528
- 4000146404140
634385531392
- 59666243685
3064663192
- 66028600
___
___
5478617683875840
- 7819057467750912
4925997961586016
- 1794842151186848
415673928885262
- 63222887884663
6287045064547
- 392114665003
13835223520
- 208973864
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица коэффициентов Ai( 2j )
i
j
0
0
1
2
3
64 × 4645215
64 × 7062426
64 × 5046448
64 × 1507136
1
-96 × 2325675
-96 × 3487186
-96 × 2616248
-96 × 819616
2
4 × 15972795
4 × 23556618
4 × 18378864
4 × 5935648
3
-8 × 5935648
-8 × 1414089
-8 × 1133192
-8 × 373424
4
357525
464946
374928
124576
Таблица коэффициентов Ai(3j )
i
j
0
1
2
3
4
5
6
7
i
j
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
960000 × 629326659584 960000 × 1983408150528 960000 × 2712246080896
- 8000 × 92856752701440
- 8000 ×
- 8000 ×
289533317285888
396031820341120
400 × 972791023411200 400 × 2999075394326528 400 × 4100298992386944
- 40 × 2807631731351552 - 40 × 8538676163356672
- 40 ×
11634727972545728
2 × 9605859672657920
2 × 28671363515022336
2 × 38689881616678592
-3 × 645378748456960
-3 × 1872016310675456
-3 × 2470970580690368
32 × 3297054503680
32 × 9124083418880
32 × 11489572520672
-4 × 592208700160
-4 × 1507906405696
-4 × 1707665679216
3
4
5
960000 × 2061912758832 960000 × 862494305220 960000 × 153319441275
- 8000 ×
- 8000 ×
- 8000 × 23437700153415
304727092678800
129734419287384
400 × 3189974081262768 400 × 1379743042615128 400 × 252718279917453
- 40 × 9125310799251600 - 40 × 3998375748074412 - 40 × 740549126229705
2 × 30423104453043120
2 × 13451299310165652
2 × 2512567396279269
-3 × 1928538595397616
-3 × 855641056887444
-3 × 160764059925333
32 × 8719177625952
32 × 3843268025499
32 × 724042258758
-4 × 1190325182124
-4 × 506557263330
-4 × 94989141585
Таблица коэффициентов Ai( 4j )
i
j
0
1
2
0
1
2
2764800 ×
1322934089115625
- 23040 ×
222024106178678125
384 ×
7750478940098759375
2764800 ×
4614839816039500
- 23040 ×
757301895008626500
384 ×
25941718371282427500
2764800 ×
6807052318263600
- 23040 ×
1106228391650769200
384 ×
37652477054961494800
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3
4
5
6
7
8
i
j
0
1
2
3
4
5
6
7
8
- 512 ×
1865619665028196875
16 ×
11649205690527234375
- 32 ×
709290797232871875
16 ×
105081062194434375
- 16 ×
4303646927409375
1181694208996875
3
- 512 ×
6131134506449743750
16 ×
37502380729932297500
- 32 ×
2223032342251267500
16 ×
316698999015302500
- 16 ×
12184316425980000
2999546960427500
4
2764800 ×
5553451626253376
- 23040 ×
903633663255048128
384 ×
30919302553593321280
- 512 ×
7301559137768652960
16 ×
44307163388333263680
- 32 ×
2560672383079338560
16 ×
343281924045307200
- 16 ×
11485079526504640
1927439719822400
2764800 ×
2509695611457536
- 23040 ×
410913465860444160
384 ×
14202326231749251072
- 512 ×
3389390045560944128
16 ×
20739614218685581312
- 32 ×
1202842747455597824
16 ×
160381146213516032
- 16 ×
5226886014537856
779373860226048
- 512 ×
8841970685535035200
16 ×
53536654328692102800
- 32 ×
3112803543724853600
16 × 426967575505092800
- 16 × 15205018812313400
3126793665757200
5
2764800 ×
484147691814912
- 23040 ×
79705136823156736
384 ×
2777978728682921984
- 512 ×
668777032767583232
16 × 4123401945443536896
- 32 ×
240493962612197376
16 × 32163463331921920
- 16 × 1046883289309184
153211941490688
4.3. Резонансное взаимодействие мод
осцилляций нелинейно-осциллирующей
во внешней среде заряженной капли
1. Весьма часто в многочисленных приложениях приходится
иметь дело с осцилляциями капли (пузырька), взвешенной или
движущейся в другой несмешивающейся с ней жидкости [21, 40,
45, 61, 90 – 91, 96 – 97]. Тем не менее исследований влияния
внешней среды на физические закономерности резонансного
взаимодействия мод осцилляций нелинейно-осциллирующей заряженной капли пока не проведено.
2. Рассмотрим каплю радиуса R идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости, взвешенную в идеальной несжи126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
маемой диэлектрической жидкости с плотностью ρ2 и диэлектрической проницаемостью ε* , занимающей бесконечный объем. Коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела средакапля примем равным σ, а полный заряд капли – Q. Пусть в начальный момент времени t=0 равновесная сферическая форма
капли претерпела виртуальное осесимметричное возмущение
фиксированной амплитуды, существенно меньшей радиуса капли, пропорциональное одной из мод капиллярных осцилляций
системы. Зададимся целью найти аналитическое выражение для
формы образующей нелинейно-осциллирующей капли в любой
момент времени t > 0.
В сферической системе координат с началом в центре масс
капли уравнение границы раздела сред, возмущенной осесимметричным капиллярным волновым движением, имеет вид
F (r , θ, t ) ≡ r − r (θ, t ) ≡ r − R[1 − ξ(θ, t )],
ξ / R >> 1.
Движения жидкости в капле и среде будем полагать потенциальными, т.е. примем,
движения
 что поля скоростей волнового

жидкости в капле V = ∇ψ (r , t ) и в среде U = ∇ϕ(r , t ) определя
ются функциями потенциалов скорости капли ψ (r , t ) и среды

ϕ(r , t ) .
Система уравнений, описывающих эволюцию поверхности
раздела, в изложенной формулировке будет состоять из системы


уравнений Лапласа для потенциалов скоростей ψ (r , t ) и ϕ(r , t ) и

электростатического потенциалаΦ ( r , t ) :



Δ Φ (r , t ) = 0;
Δ ψ (r , t ) = 0;
Δ ϕ(r , t ) = 0;
и граничных условий:
в центре капли
r → 0:

ψ(r , t ) → 0 ;
на бесконечности

r →∞:
Φ (r , t ) → 0;

ϕ(r , t ) → 0;
на границе раздела сред: кинематического
r = 1+ ξ :
∂ξ ∂ψ 1 ∂ψ ∂ξ
;
=
− 2
∂ t ∂ r r ∂θ ∂ θ
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
равенства нормальных компонент скоростей движения жидкости
в капле и в среде
∂ψ 1 ∂ψ ∂ξ ∂ϕ 1 ∂ϕ ∂ξ
−
=
−
;
∂ r r 2 ∂θ ∂ θ ∂ r r 2 ∂θ ∂ θ
динамического
∂ψ ρ1
∂ϕ ρ 2
(∇ϕ)2 + Pex ;
− ρ1
− (∇ψ )2 + Pin + PE − Pσ = −ρ 2
−
∂t
∂t
2
2
ε * (∇Φ ) 2

PE =
;
Pσ = σ div n ;
8π
постоянства электрического потенциала поверхности капли

Φ (r , t ) = Φ S (t ).
В выписанных математических соотношениях Pin и Pex соответственно давления в кале и среде; PE – давление электрическо
го поля на границу раздела сред; Pσ – лапласовское давление, n –
единичный вектор положительной нормали к поверхности капли;
ΦS(t) – постоянный вдоль поверхности капли электростатический
потенциал.
Кроме выше перечисленных граничных условий, следует
учесть также условия:
неизменности электрического заряда
r = R [1 + ξ(θ, t )];

S = 0 ≤ θ ≤ π;
0 ≤ φ ≤ 2π;

ε

− *  (n ⋅ ∇Φ ) dS = Q;
4π S
неизменности объема капли
2
r
 dr Sin θ dθ dφ =
V1
4 3
πR ;
3
0 ≤ r ≤ R [1 + ξ(θ, t )];

V1 = 0 ≤ θ ≤ π;
0 ≤ φ ≤ 2π;

128
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
неподвижности центра масс капли


ρ1  r dV1 +ρ 2  r dV2
V1
V2
ρ1  dV1 +ρ 2  dV2
V1
= 0;
V2
 R [1 + ξ(θ, t )} ≤ r ≤ ∞;

V2 = 0 ≤ θ ≤ π;
0 ≤ φ ≤ 2π.

(2)
Начальные условия к поставленной задаче сформулируем в
виде задания начальной осесимметричной деформации равновесной сферической формы капли и равенства нулю начальной скорости движения поверхности
ξ(θ, t = 0) = ξ 0 P0 (Cos θ) + ξ1 P1 (Cos θ) + ε Pk (Cos θ);
(k ≥ 2);
∂ξ(θ, t = 0)
= 0.
∂t
Здесь ε – амплитуда начального возмущения, являющаяся
малым параметром задачи; Pk(Cos θ) – полином Лежандра k-го
порядка; ξ0 и ξ1 – константы, определяемые условиями (1) и (2),
соответственно с точностью до второго порядка малости.
Следует отметить, что условия (1) и (2) должны выполняться
в любой момент времени, в том числе и в начальный. Несложно
показать, что если в начальный момент времени возбуждена
только одна мода, то условия (1) и (2) выполняются автоматически, а выражения для констант ξ0 и ξ1 имеют вид
ξ0 = − ε 2
1
+ O(ε 3 );
(2k + 1)
ξ 1 = 0.
3. Чтобы упростить решение задачи будем использовать безразмерные переменные, в которых R = σ=ρ1 =1.
При решении поставленной задачи в квадратичном по амплитуде осцилляций приближении воспользуемся известным методом многих масштабов [53 – 54]. Для этого искомые функции



ξ(θ, t ) , ψ (r , t ) , ϕ(r , t ) , Φ (r , t ) представим в виде рядов по степеням малого параметра ε подобно тому, как это было сделано в
предыдущем параграфе и будем считать их зависящими не про129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сто от времени t, а от разных его масштабов Tm , определенных
через Tm= ε tm:
ξ(θ, t ) =
∞
ε
m
m =0

ψ(r , t ) =
∞
ε
m
m =0

ϕ(r , t ) =
∞
ε
m
m =0

Φ (r , t ) =
∞
ε
m =0
m
∞
m
⋅ ξ (θ, T0 , T1 , ...) =
∞
  ε m ⋅ M n(m) (θ, T0 , T1 , ...);
m =0 n =0
∞
⋅ ψ (θ, T0 , T1 , ...) =
m =0 n =0
∞
m
⋅ ϕ (θ, T0 , T1 , ...) =
∞
  ε m ⋅ Dn(m) (θ, T0 , T1 , ...);
m
∞
  ε m ⋅ Gn(m) (θ, T0 , T1 , ...);
m =0 n =0
m
⋅ Φ (θ, T0 , T1 , ...) =
∞
∞
  ε m ⋅ Fn(m) (θ, T0 , T1 , ...).
m =0 n =0
Сформулированная задача отличается от задачи о расчете нелинейных колебаний заряженной капли электропроводной жидкости в вакууме, подробно разобранной во второй и третьей главах, только учетом внешней несжимаемой идеальной диэлектрической среды, что приводит к появлению в математической
формулировке задачи еще одного уравнения Лапласа для потенциала поля скоростей среды, соответствующего ему граничного
условия для потенциала скорости на бесконечности, дополнительному условию равенства нормальных компонент скоростей
среды и капли на границе раздела сред, а также некоторому изменению динамического условия на границе раздела сред. В этой
связи опустим описание математической процедуры решения задачи подобной разобранной в предыдущем разделе, а сразу выпишем выражение для образующей формы заряженной капли
идеальной несжимаемой жидкости, нелинейно-осциллирующей в
идеальной несжимаемой диэлектрической среде:
ξ(θ, t ) ≈ ε Cos (ω k t ) Pk (Cos θ) − ε 2
130
1 1
[1 + Cos (2ωk t )] +

2  (2k + 1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)

+   λ(k−,)k , 2 j + λ(k+,)k , 2 j Cos (ω 2 j t )
j =1 
k
(λ
( −)
k ,k , 2 j
ω n2


+ λ(k+,)k , 2 j Cos (2ω k t )  P2 j (Cos θ) + O(ε 3t ).


)
−1
= χ n n(n − 1)[(n + 2) − W ];
λ(m± )ln =
Q2
W =
;
4πε*
nρ 

χ n = 1 +
 ;
 n + 1
[γ m ln ± ω n ωl η m ln ]
[ω n2 − (ω m ± ωl ) 2 ]
;
(3)
ρ=
ρ1
;
ρ2
ρ n(n − m − 1) 
 
γ m ln ≡ χ n K m ln ω 2m n − m + 1 −
 + 2n[l (l + 1) − 1] +
+
1
n


+W
n

[l (m + 1) − m(2m − 2n + 7) + 3] +
2

 1

nρ
+ χ n α m ln ω 2m  −
 +W
m
n
m
+
+
(
1
)(
1
)



n
;
2
n
ρn(2m + 3 − n) 
η m ln ≡ χ n K m ln  − m + 1 +
+
2
2
(
1
)
n
+


 2l + n
ρn(n + 2l + 3) 
+ χ n α m ln 
−
;
2
2
(
1
)(
1
)(
1
)
+
+
+
ml
m
l
n


[
]
2
K m ln ≡ C m000
ln ;
−110
α m ln ≡ − m(m + 1)l (l + 1) C m000
ln C m ln ;
−1 1 0
Здесь C m000
ln и C m ln – коэффициенты Клебша-Гордана [64].
Из (3) видно, что начальное возмущение любой k-й (четной,
либо нечетной) одиночной моды капиллярных колебаний приво-
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дит к возбуждению во втором порядке малости только четных
мод с номерами, лежащими в диапазоне [0÷2k].
4. На рис. 1а – 1д приведены рассчитанные по (3) при различных значениях отношения плотностей среды и капли временные зависимости амплитуд некоторых из мод, M n( 2) (t ) , возбуждающихся во втором порядке малости, когда начальная деформация определена виртуальным возбуждением пятой (k = 5) моды,
при W=1. Пунктирная линия соответствует ρ = 0.1; тонкая
сплошная линия соответствует ρ = 1; сплошная линия соответствует ρ = 10: а) вторая мода, n = 2; б) четвертая мода, n = 4;
в) шестая мода, n = 6; г) восьмая мода, n=8; д) десятая мода
n =10. Из рис. 1 видно, что с увеличением отношения плотностей
ρ растет амплитуда восьмой моды, а амплитуды всех остальных
мод, кроме нулевой (которая остается неизменной), убывают. То,
что амплитуда нулевой моды капли при изменении ρ остается постоянной, связано с тем, что во втором порядке малости нулевая
мода в нелинейном взаимодействии не участвует. Зависимость
амплитуды нулевой моды от ρ появится лишь при расчетах
третьего порядка малости.
Расчеты по (3), проиллюстрированные рис. 1, выполнены при
значении параметра Рэлея W=1, т.е. при W, далеком как от критического значения Wcr = 4 (при котором становится неустойчивой основная (вторая) мода), так и от резонансных значений Wr
(Wr ≈ 0.118 при ρ = 0.1; Wr ≈ 0.641 при ρ = 1; Wr ≈ 1.159 при ρ =
10), при которых реализуется вырожденное трехмодовое взаимодействие пятой и восьмой мод. Тем не менее из рис. 1г видно, что
в рассмотренной при расчетах ситуации резонанс пятой и восьмой мод имеет место: амплитуда восьмой моды существенно (в
несколько раз) превышает амплитуды всех мод, возбуждающихся
за счет нелинейного взаимодействия, хотя, казалось бы, при W=1
(при W ≠ Wr) резонансная перекачка энергии из пятой моды в
восьмую не должна реализовываться. Причем, согласно рис. 1г,
при ρ =10 имеет место резонансная раскачка восьмой моды с линейным ростом амплитуды осцилляций. Для остальных значений
ρ из использованных в расчетах также наблюдается резонансная
раскачка с безразмерными периодами колебаний T ≈ 11 для
ρ = 0.1 и T ≈ 9 для ρ = 1.
132
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1a
Рис. 1б
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1в
Рис. 1г
134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1д
Рис. 1. Зависимости безразмерных амплитуд мод M n( 2) (t ) , возбуждающихся
во втором порядке малости, при начальной деформации, определяющейся
пятой модой, при W=1. Пунктирная линия соответствует ρ = 0.1;
тонкая сплошная линия соответствует ρ = 1;
сплошная линия соответствует ρ = 10:
а) вторая мода, n = 2; б) четвертая мода, n = 4; в) шестая мода, n = 6;
г) восьмая мода, n=8; д) десятая мода n =10.
Отметим, что возможные в рассматриваемой системе резонансные ситуации связаны с появлением в выражении (3) малых
знаменателей: когда при определенных соотношениях между
частотами
нелинейно
взаимодействующих
мод
(при
ω n2 = (ω m ± ω l ) 2 ) один из знаменателей в коэффициентах λ(m± )ln ,
через которые выражаются амплитуды поправок второго порядка
малости, обращается в ноль. Стандартная процедура устранения
подобной ситуации связана с введением малого отклонения частоты одной из мод от резонансной с последующим разложением
по степеням такого малого отклонения и исключением секулярных членов, как это было описано во второй и третьей главах.
Условие проявления вырожденного резонанса между пятой и
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
восьмой модами имеет вид ω82 = 4ω52 и реализуется при ρ = 10, когда Wr ≈ 1.159. Если W=1, то при ρ = 10 несложно найти по (13)
ω82 ≈ 50.97, ω52 ≈ 12.86, ω82 − 4ω52 ≈ −0.462, что более чем в сто
раз меньше ω82 . Следовательно, отношение разности ω82 − 4ω52 к
ω82 может служить малым параметром, а отклонение ω82 − 4ω52 от
нуля может считаться малым. Иными словами, при W=1 соотношение частот восьмой и пятой мод достаточно близко к резонансному, чтобы в расчетах проявилась резонансная раскачка
восьмой моды за счет отбора энергии у изначально возбужденной
пятой. Указанное обстоятельство интересно тем, что резонанс
наблюдается при достаточно большом отклонении параметра W
от Wr, и позволяет предположить, что наличие значительного заряда на капле совсем не обязательно для получения резонансной
раскачки одной из мод. Другие расчетные примеры по обсуждаемому вопросу можно найти в [98].
Учтем, что согласно сказанному в предыдущем разделе количество резонансных ситуаций, в которых в резонансное взаимодействие наряду с высокими модами включены и низкие,
весьма велико (измеряется сотнями при n, m, l ≤ 100). Принимая
во внимание обнаруженную слабую зависимость условий реализации нелинейного резонансного обмена энергией между модами
от величины собственного заряда капли (параметра W), можно
ожидать, что в естественных условиях, например в грозовом облаке, в свободно падающих каплях будут реализовываться все резонансные ситуации, допустимые при заданном наборе начальновозбужденных мод, даже если заряд капли далек от резонансного.
Это обстоятельство представляется важным в связи с необходимостью моделирования до сих пор непонятного механизма зарождения разряда молнии в грозовом облаке, который, согласно
существующим представлениям, может начаться с коронного
разряда в окрестности крупной свободно падающей градины. Поскольку электрические заряды, обнаруживаемые при натурных
измерениях на облачных каплях, не превышают одной трети от
критического по Рэлею, а внутриоблачные электрические поля
много меньше необходимых для начала коронного разряда, то
наиболее вероятной причиной начала коронного разряда в окрестности обводненной градины или капли является неустойчи136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вость ее заряженной поверхности, сопровождающаяся эмиссией
большого количества высокодисперсных сильно заряженных капелек, у поверхности которых уже может зажечься коронный
разряд [45, 77, 87].
Резонансная раскачка амплитуды осцилляций основной (n=2)
моды слабо заряженной (в смысле устойчивости по отношению к
собственному заряду) облачной капли, соответствующая вытягиванию капли в фигуру, близкую к вытянутому сфероиду, может
привести к реализации неустойчивости ее поверхности в окрестности вершин сфероида вследствие увеличения там поверхностной плотности собственного и поляризационного заряда за счет
его перераспределения по поверхности капли при ее удлиннении
[45, 89, 97]. Проблема заключается в том, что в расчетах второго
порядка малости для нелинейно осциллирующей в вакууме капли
идеальной жидкости строгий резонанс, в котором бы участвовала
основная мода, отсутствует. Такие резонансы появляются, если
учесть реальную вязкость жидкости, однако такой учет пока
можно провести лишь на качественном уровне, поскольку задача
о нелинейных осцилляциях капли вязкой жидкости еще не решена ввиду ее сложности.
Как отмечалось выше, резонансные ситуации характеризуются соотношениями между частотами взаимодействующих мод
капиллярных осцилляций типа ω n2 = (ω m ± ω l ) 2 . Согласно (3) в
анализируемой задаче исследования осцилляций заряженной капли во внешней среде величина частоты ωj , кроме номера моды
j, определяется безразмерным параметром W и безразмерной
плотностью ρ. Сказанное означает, что положение резонансов в
пространстве номеров мод будет зависеть от величин параметров
W и ρ, тогда как для осцилляций капли в вакууме оно зависело
только от W. Несложные расчеты показывают, что появление еще
одной степени свободы, связанной с изменением ρ, приводит к
существенному увеличению количества резонансных ситуаций и
к изменению положений (в смысле изменения величины W), ранее известных для капли в вакууме (при ρ = 0). Общее количество резонансов при m, l ≤ 100 и W < 4 измеряется тысячами, а потому перечислять их не имеет смысла.
Результаты расчетов по (3), приведенные на рис. 1, получены
для трех различных значений отношения плотностей среды и ка137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пли ρ: ρ = 0.1, ρ = 1, ρ = 10. Такие значения выбраны для иллюстрационных расчетов из тех соображений, что при ρ < 0.1 и ρ > 10
изменения ρ весьма мало сказываются на величине частот капиллярных осцилляций рассматриваемой системы. Малые значения в пределе ρ → 0 соответствуют ситуации осцилляций капли
жидкости в газовой среде, большие значения ρ в ρ → ∞ пределе
соответствуют осцилляциям газового пузыря в жидкой среде.
Рис. 2. Зависимости безразмерной амплитуды основной моды M 2( 2) (t ) ,
возбуждающейся во втором порядке малости, при начальной деформации,
определяющейся пятой модой, при ρ = 1.
Пунктирная линия соответствует W=1; тонкая сплошная линия
соответствует W=2; сплошная линия соответствует W = 3
На рис. 2 приведены зависимости безразмерной амплитуды
основной моды M 2( 2) (t ) , возбуждающейся во втором порядке малости, при начальной деформации, определяющейся пятой модой, при фиксированном ρ = 1 и различных докритических значениях параметра W. Пунктирная линия соответствует W=1; тонкая сплошная линия соответствует W=2; сплошная линия
соответствует W = 3. Следует отметить, что в параметре W собраны важные для обсуждаемого феномена физические величины:
коэффициент межфазного натяжения, диэлектрическая прони138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
цаемость среды, заряд капли и ее радиус. В размерной форме параметр W имеет вид W=Q2/4πσR3ε*. Отметим, что величина коэффициента межфазного натяжения σ связана с коэффициентами
поверхностного натяжения чистых фаз σ1 и σ2 известным правилом Антонова σ ≈ σ 1 − σ 2 [95], где σ1 и σ2 – коэффициенты поверхностного натяжения фаз, контактирующих с общим газом.
Как правило, величина σ существенно меньше коэффициентов
поверхностного натяжения чистых фаз, что позволяет в некоторых случаях наблюдать неустойчивость границы раздела по отношению к собственному заряду. Из рис. 2 видно, что с увеличением W (с приближением к критическому для реализации неустойчивости капли по отношению к собственному заряду
значению Wcr = 4) амплитуда основной моды заметно растет.
5. При нелинейных осцилляциях капли идеальной несжимаемой электропроводной жидкости в диэлектрической идеальной
несжимаемой среде с ростом отношения плотностей среды и капли максимум энергии в спектре нелинейно-возбужденных мод
смещается к наиболее высокой моде независимо от того, какой из
мод задается начальная деформация капли. Учет наличия внешней среды проявляется как в изменении при варьировании отношения плотностей среды и капли количества резонансных ситуаций, так и в изменении величины собственного заряда капли, при
котором реализуется резонанс. Выяснилось, что нелинейные осцилляции могут иметь резонансный вид даже при зарядах капли,
далеких от соответствующих точным положениям резонансных
ситуаций, что объясняется относительно слабым влиянием собственного заряда капель (при докритических по Рэлею для основной моды его значениях) на частоты высоких мод осцилляций.
Именно это обстоятельство обеспечивает высокие значения амплитуды нелинейно возбуждающейся основной моды капли при
задании начальной деформации модами, с номерами более высокими, чем номер основной моды (n=2).
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4.4. Влияние спектра мод, определяющих начальную
деформацию заряженной капли, на критические
условия реализации ее неустойчивости
по отношению к собственному заряду
1. Критические условия реализации неустойчивости изолированной капли электропроводной идеальной несжимаемой жидкости по отношению к собственному заряду теоретически вывел в
конце девятнадцатого века Рэлей в виде соотношения
W = Q 2 4πσR 3 ≥ 4 , где R , Q и σ – радиус капли, ее заряд и коэффициент поверхностного натяжения жидкости соответственно
[47, 48]. В течение двадцатого века и в начале двадцать первого
этот критерий неоднократно экспериментально проверялся в различного вида лабораторных установках: в вертикальном электростатическом поле между плоскими пластинами (т.е. в электростатическом подвесе типа использованного Милликеном в экспериментах по определению заряда электрона) [99,100]; в неоднородном, периодически изменяющемся во времени электрическом
поле между электродами сложной геометрии (комбинация колец,
цилиндрических и сферических поверхностей) [101]; в комбинированном электрическом подвесе с электростатическим и периодически изменяющимися электрическими полями между тремя
плоскими электродами [102], в воздушном потоке [103]; в электродинамическом подвесе на основе двух кольцевых электродов
[104]. Эксперименты были проведены с каплями широкого диапазона размеров: сотни микрометров в работах [100, 103], десятки
микрометров в работах [101, 102] и единицы микрометров в исследовании [104] (следует, однако, отметить, что физические механизмы сброса избыточного заряда заряженной каплей диаметром в сотню микрометров и в один микрометр качественно различны и подробно описаны в работах [45, 87, 89, 105 – 107]). Во
всех случаях справедливость критерия Рэлея была подтверждена.
Причем наибольшая точность экспериментов была достигнута в
исследовании [102], где критерий Рэлея был подтвержден с точностью до 4%, и в работе [104], где точность была около 5%.
C началом нелинейных исследований осцилляций и устойчивости заряженной капли выяснилось, что при расчетах третьего
порядка малости по амплитуде начальной деформации появляют-
(
)
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ся квадратичные по амплитуде поправки к частотам осцилляций, а
поскольку критические условия реализации неустойчивости капли
по отношению к собственному заряду определяются из требования прохождения квадрата частоты основной моды осцилляций
через ноль в область отрицательных значений, то и критическое
значение параметра Рэлея W = Wcr оказывается зависящим от
квадрата начальной деформации равновесной сферической формы. Область применимости этого результата ограничивается лишь
применимостью асимптотических разложений, лежащих в основе
анализов [2, 29, 32, 82]. На величину нелинейной поправки к критическому значению параметра Рэлея накладывается только требование ее малости по сравнению с четверкой. Другими словами,
в зависимости от условий проведения эксперимента (в зависимости от амплитуды начальной деформации капли) можно ожидать
отклонения измеряемой в эксперименте критической величины
параметра Рэлея от предсказываемого линейной теорией значения
Wcr = 4 на 10÷20 %. В связи со сказанным, результаты измерений
исследований [102, 104] вызывают сомнения, так как и в том и в
другом случаях в силу особенностей экспериментальных установок амплитуда основной моды капли была сильно возбуждена.
Для выяснения этого обстоятельства и было сформулировано настоящее исследование, которое, однако, проводилось в несколько
более общем виде, с учетом наличия в реальных экспериментах
внешней для капли среды, моделируемой идеальной несжимаемой
диэлектрической жидкостью, т.е. в рамках математической модели, использованной в предыдущем разделе.
2. Пусть имеется сферическая капля радиуса R, имеющая заряд Q, идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости с
плотностью ρ(i), окруженная идеальной несжимаемой жидкостью
плотности ρ(e) с диэлектрической проницаемостью εd в условиях
отсутствия гравитации. Коэффициент межфазного поверхностного натяжения обозначим σ. Движение жидкости в капле и внешней среде примем потенциальным с потенциалами скоростей ψ(i)
и ψ(e) соответственно. Потенциал электрического поля в окрестности капли обозначим φ. Форму капли будем считать осесимметричной как в начальный, так и во все последующие моменты
времени. Уравнение границы раздела сред в безразмерных пере-
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
менных, в которых ρ (i ) = 1 , R = 1 , σ = 1 , в любой момент времени
t запишется в виде
r = 1 + ξ(ϑ, t ).
Математическая формулировка задачи о расчете нелинейных
капиллярных колебаний заряженной капли имеет вид
Δψ (i ) = 0;
Δψ (e ) = 0;
r → 0:
r →∞:
ψ (i ) → 0 ;
ψ (e) → 0 ;
r = 1 + ξ(ϑ, t ) : ∂ t ξ = ∂ r ψ (i ) −
∂ tψ (i ) +
Δφ = 0;
2
1
∇
ψ
( (i ) ) − ρ
2
1
r
2
∇φ → 0 ;
∂ ϑ ψ (i ) ∂ ϑ ξ = ∂ r ψ ( e ) −
1
r
2
∂ ϑ ψ (e) ∂ ϑ ξ ;
2
1

∂
ψ
+
∇
ψ
(
( e ) )  = p0 − p∞ + pq − pσ ;
 t (e)
2


φ = φ S (t );
2
r
 sin ϑ dr dϑ dϕ =
V
4π
;
3
V = {r , ϑ, ϕ 0 ≤ r ≤ 1 + ξ; 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π};
 n ⋅ ∇φ
dS = −4πQ; S = {r , ϑ, ϕ r = 1 + ξ; 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π};
S
t = 0:
ξ = ξ 0 P0 (cos ϑ) + ε  hm Pm (cos ϑ) ;
m∈Ω
∂ t ξ = 0.
В выписанных уравнениях p ∞ и p 0 – давление во внешней
среде на бесконечности и постоянное давление в капле; p q и
p σ – давление электрического поля и сил поверхностного натя
жения соответственно; n – вектор нормали к поверхности капли;
φ S – электрический потенциал поверхности капли; ρ = (ρ (e) ρ (i ) );
ε – малый параметр, характеризующий амплитуду начального
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
возмущения; Pm (cos ϑ) – полином Лежандра порядка m; ξ 0 - константа подобранная так, чтобы объем капли в начальный момент
времени совпадал с объемом равновесной сферы; знак ∂ t означает частную производную по переменной t; Ω – множество индексов изначально возбужденных мод; hm – константы, учитывающие вклад m-й моды в формирование начальной формы капли,
такие что  hm = 1 .
m∈Ω
3. Решение сформулированной задачи методом многих масштабов, проведенное в параграфе 4.2 (см., также [108]), приводит
в расчетах третьего порядка малости к выражению для образующей нелинейно-осциллирующей в диэлектрической несжимаемой
среде заряженной капли электропроводной несжимаемой жидкости:
∞
(
)
r (ϑ, t ) = 1 + ε  M n(1) (t ) ⋅ Pn (cos ϑ) + ε 2  M n( 2) (t ) + ε M n(3) (t ) ⋅ Pn (cos ϑ) ) ;
n∈Ω
M n(1) (t )
(
n =0
(
2
)
ω n2
= hn ⋅ cos ω n t + ε bn t ;
)
(1)
 (n 2 − 1)n(n + 2 − W ) 
;
= 

1 + n(1 + ρ)


(
(
))
 h 2 Ξ 0 + 2ω n2 Ξ1n − 2Ξ n2
hk2 Ξ 0n
W ≡ Q 2 4πε d σR 3 ; bn = 1  n n
−
+
2ω n 
4(2n + 1)
k∈Ω 2( 2k + 1)
hk2 1( − )( + )
2 ( + )( + )
2 ( − )( − )
1( − )( + )
2 ( + )( + )
2 ( − )( − ) 
H nkkn + H knkn
−
+ H knkn
+ (1 − δ kn ) H kknn
+ H kknn
+ H nkkn
,
4
k∈Ω

[
(
)]
где коэффициенты H k1(m±l)(n ) , H k2m( ±l )(n ± ) , Ξ 0n , Ξ1n , Ξ 2n , вынесены в
Приложение DD, δ kn – символ Кронекера. Аналитические выражения для коэффициентов M n( 2) и M n(3) , имеющие громоздкий
вид, здесь не приводятся, поскольку они не представляют интереса для настоящего рассмотрения, посвященного анализу критических условий реализации неустойчивости капли по отношению к
собственному заряду, связанных непосредственно с нелинейными
поправками к частотам осцилляций.
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3а. Как отмечалось выше, наличие поправок к частотам капиллярных колебаний поверхности капли приводит к изменению
критических условий реализации неустойчивости m-й моды по
отношению к собственному заряду капли. Известно, что при увеличении заряда квадрат частоты капиллярных колебаний уменьшается и при некотором критическом значении параметра Рэлея
Wcr обращается в нуль. Дальнейшее увеличение заряда капли ведет к переходу квадрата частоты в область отрицательных значений, то есть к появлению мнимых частот и экспоненциальному
росту амплитуд капиллярных колебаний поверхности капли и,
как следствие, к ее неустойчивости. Критическое условие реализации неустойчивости n-й моды с учетом нелинейной поправки к
частоте можно записать в виде
(ω
n
+ ε 2b n
)
2
( )
≈ ω n + 2ε 2 b n +O ε 2 = 0 .
(2)
В этом выражении должно выполняться условие ωn >> ε 2bn .
Подставляя в (2) выражения для частоты ωn и для коэффициента
bn , можно в принципе получить весьма громоздкое выражение,
связывающее критическое значение параметра Рэлея Wcr со спектром изначально возбужденных мод и их амплитудами, выраженными через квадрат малого параметра ε . Однако некоторые результаты можно получить и из анализа соотношения (2).
Из (2) можно заметить, что в расчетах второго порядка малости по ε критическая величина параметра Рэлея Wcr с ростом амплитуды начальной деформации (с ростом ε 2 ) при bn < 0 будет
снижаться (по сравнению с полученным в линейной теории значением Wcr = 4), а при bn > 0 увеличиваться. В работе [108] в качестве примера анализировались различные ситуации с одномодовыми начальными деформациями и было показано, что bn < 0
везде, кроме малых окрестностей значений частот, соответствующих внутренним нелинейным резонансам. Тем самым был
подтвержден вывод работ [2, 29, 32, 108] о снижении критического значения параметра Рэлея Wcr с ростом амплитуды начальной
деформации. Однако в действительности знак коэффициента bn
сложным образом зависит от спектра мод, определяющих начальную деформацию, от величины безразмерной плотности окружающей среды ρ , параметра Рэлея W и не всегда отрицателен.
144
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3b. На рис. 1a – d приведены зависимости b2 = b2 (W , ρ) в
диапазонах изменения параметров 0 ≤ W ≤ 3.9, 0 ≤ ρ ≤ 15 . Графики рассчитанны для различных видов начальных деформаций,
определенных суперпозицией основной моды (n = 2) и одной из
более высоких мод с номером m > 2, т.е. для двухмодовых начальных деформаций равновесной сферической формы капли с
парциальными вкладами h2 = 0.75, hm = 0.25 . Как показывают
расчеты, в ситуациях, когда m ≤ 11, коэффициент b2 в нелинейной
поправке к частоте основной моды отрицателен. Согласно рис. 1b
при m ≥ 12 на множестве значений параметров W, ρ появляется
область, в которой b2 ≥ 0 . Из рис. 1a – d видно, что при m ≥ 12 с
увеличением номера m размеры области значений параметров W,
ρ , на которой b2 ≥ 0 , растет. Согласно рис. 1с при m ≥ 14 передняя граница этой области выходит на плоскость ρ = 0 , физически
соответствующую нулевой плотности окружающей среды, т.е.
капле, осциллирующей в вакууме. При m ≥ 30 и ρ = 0 и любых
значениях W < 3.8 коэффициент b2 положителен (см. рис. 1d), что
согласно вышесказанному означает увеличение критического
значения параметра Рэлея Wcr с ростом амплитуды осцилляций.
Иными словами, в ситуации, когда начальная деформация капли
определяется суперпозицией основной моды и одной из мод с
номером m ≥ 30 , сильно заряженная капля с W ≤ 3.8 не может
претерпеть неустойчивость даже при весьма значительной (в
рамках асимптотической теории) амплитуде ее нелинейных осцилляций. Из сказанного следует, что при указанной начальной
деформации отклонение критического значения параметра Рэлея
от четверки не может превысить пяти процентов принципиально.
По-видимому, именно это обстоятельство и объясняет результаты
вышеупомянутых экспериментов [102, 104], в которых вероятнее
всего имело место возбуждение основной моды в совокупности с
несколькими более высокими модами.
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1. Зависимости коэффициента b2 = b2 (W , ρ) , определяющего величину
нелинейной поправки к частотам основной моды, от параметра Рэлея W
и безразмерной плотности внешней среды ρ , рассчитанные для различных
видов начальных деформаций, определенных суперпозицией основной
моды (n = 2) и одной из более высоких мод с номером m > 2 :
a) m = 11 ; b) m = 12 ; c) m = 14 ; d) m = 30 и h2 = 0.75 , hm = 0.25
На рис. 2 приведена зависимость величины коэффициента b2
в поправке к частоте основной моды от парциальных вкладов h2 и
hm, с которыми основная мода (n = 2) и высокая мода с номером
m (на рисунке m = 20) формируют начальную деформацию капли.
Несложно видеть, что зависимость b2 от hm гораздо более сильная, чем от h2 , а знаки вкладов в величину b2 у основной моды и
высокой моды различны. На рис. 3a – b приведены результаты
расчетов величины коэффициента b2 в более сложной ситуации,
когда начальная деформация капли определена суперпозицией не
146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
двух мод, а трех: основной (n = 2) и двух более высоких. Парциальный вклад основной моды h2 = 0.75 такой же, как и на рис. 1ad. Сумма парциальных вкладов двух более высоких мод дает величину hm + hk = 0.25 , т.е. такую же, как и для одной высокой моды
на рис. 1. Качественное и количественное сходство данных, приведенных на рис. 1 и рис. 3, очевидно.
Рис. 2. Зависимость величины коэффициента b2
в поправке к частоте основной моды от парциальных вкладов h2 и hm ,
с которыми основная мода (n = 2) и двадцатая мода (m = 20) формируют
начальную деформацию капли, рассчитанные при W = 1 , ρ = 0.1
Интересно отметить, что согласно рис. 1d и рис. 3b для более
общего случая нелинейных осцилляций капли во внешней среде с
ρ ≥ 0.1 возможность рэлевского распада капли при начальном возбуждении в паре с основной модой одной или нескольких более
высоких мод с номерами m > 30 при докритических в смысле линейной теории значениях параметра Рэлея вообще сомнительна.
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис.3. Зависимости коэффициента b2 = b2 (W , ρ ) от параметра Рэлея
W и безразмерной плотности внешней среды ρ , рассчитанные для
трехмодовых начальных деформаций, определенных суперпозицией
основной моды с h2 = 0.75 и парой более высоких мод с номерами
m, k > 2 : a) m = 14 ; k = 20 ; h14 = 0.15 ; h20 = 0.1 ,
b) m = 17 ; k = 34 ; h17 = 0.1 ; h34 = 0.15
3с. Физический смысл обнаруженного феномена повышения
устойчивости капли при возбуждении высоких мод осцилляций
связан с физическим механизмом реализации неустойчивости
сильно заряженной капли, подробно рассмотренным в работах
[89, 97, 107]. Согласно исследованиям [89, 97, 107] при достижении параметром Рэлея критического значения теряет устойчивость основная мода капли, в результате чего капля начинает вытягиваться в фигуру, близкую к вытянутому сфероиду. При вытягивании капли заряд перераспределяется по ее поверхности и его
концентрация на вершинах капли достигает такой величины, что
возбуждаются более высокие моды. Это приводит к дальнейшему
увеличению кривизны вершин капли и возбуждению еще более
высоких мод. В итоге на вершинах капли образуются эмиссионные выступы, с вершин которых начинается сброс избыточного
заряда путем эмиссии весьма мелких сильно заряженных капелек.
Если же на поверхность капли с возбужденной основной модой
(т.е. на слабо сфероидальную поверхность) наложить более высокую моду, то гладкая поверхность сфероида покроется мелко148
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
масштабным рельефом – «морщинами» (см. рис.4), на гребнях
которых вследствие их большой кривизны увеличится поверхностная плотность электрического заряда. Это приведет к тому, что
на вершинах сфероида в силу неизменности полного заряда капли его средняя концентрация уменьшится, что ухудшит условия
нарастания амплитуды основной моды.
Рис. 4. Контур образующей капли, рассчитанный при W = 1 , ρ = 0 , ε = 0.3
для трех моментов времени: t = 0 – тонкая линия; t = 0.25 T – толстая линия; t = 0.5 T – линия средней толщины, где T – период осцилляций основной моды. a) при начальном возбуждении только основной моды;
b) при начальном возбуждении основной моды и двадцать четвертой моды
при h2 = 0.75 , h24 = 0.25
Номера мод, определяющих начальную деформацию капли,
выбирались из следующих соображений. Во-первых, хорошо известно из данных натурных измерений [28], что для облачных капель характерно возбуждение основной моды с амплитудой порядка десятков процентов от радиуса капли, причиной которого
является реальное турбулентное обтекание капли, подвешенной в
восходящем потоке. С тем же феноменом мы имеем дело и в экспериментах [107]. В экспериментальных работах [102, 104] возбуждение основной моды обеспечивалось переменной компонентой электрического поля подвеса, а в работе [104] особо подчеркивалось наблюдаемое возбуждение основной моды. Возбуж149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дение высоких мод для крупных (диаметром ~ 200 µm) капель
грозовых облаков обеспечивается столкновениями с существенно
более мелкими капельками (диаметром ~ 10 µm), концентрация
которых в облаках максимальна [109]. В экспериментах [100 –
104] возбуждение высоких мод можно объяснить взаимодействием капли с потоком испаряющегося с ее поверхности пара и кластеризованных заряженных молекул, т.к. во всех случаях [100 –
104] капли изначально большого радиуса с не очень большим зарядом (по сравнению с критическим по Рэлею) испарялись для
достижения критической величины параметра Рэлея.
Подводя итог сказанному, отметим, что величина и знак нелинейной поправки к частоте основной моды существенно определяется спектром мод, определяющих начальную деформацию
капли: bn = bn (Ω ) . Вследствие этого нелинейные поправки к критическим условиям реализации неустойчивости заряженной капли (к критическому значению параметра Рэлея) также зависят от
вида начальной деформации капли Wcr = Wcr (Ω ) .
5. Критическое для реализации неустойчивости капли по отношению к собственному заряду значение параметра Рэлея W зависит от амплитуды осцилляций капли в рамках ограничений,
накладываемых на величину нелинейной поправки к W вкладами
каждой из мод, определяющих начальную деформацию капли.
150
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Нелинейные осцилляции
заряженной капли в ламинарно обтекающей
ее несжимаемой диэлектрической
материальной среде
5.1. Нелинейные капиллярные колебания
и устойчивость заряженной капли,
движущейся относительно среды
1. В разнообразных задачах технической физики, геофизики
и технологии приходится сталкиваться с заряженными каплями,
движущимися относительно среды [109]. Данная задача представляет также значительный интерес и для проблемы грозового
электричества в связи с исследованием физического механизма
инициирования разряда молнии [86 – 87]. Так, согласно существующим качественным представлениям зарождение разряда линейной молнии связано с зажиганием коронного разряда в окрестности крупной капли или обводненной градины (с реализацией
неустойчивости заряженной поверхности капли воды). Тем не
менее такие представления не находят подтверждения в натурных измерениях в грозовых облаках. Максимальные величины
измеряемых собственных зарядов капель и внутриоблачных электрических полей [88] много меньше необходимых для реализации
неустойчивости поверхности капли по отношению к собственному и индуцированному зарядам [110]. По всей видимости, при
построении физической модели инициирования разряда молнии
упускается какой-то важный фактор, например аэродинамическое
давление в окрестности падающей капли, которое согласно [111 –
112] приводит к снижению критических условий реализации неустойчивости свободной поверхности капли.
Хотя исследованию дробления свободно падающих капель в
атмосфере посвящено весьма значительное число работ (см. обзор [109]), эти работы носят в основном экспериментальный характер. Строгое аналитическое решение задач, связанных с движением капли в среде, из-за громоздкости теоретических выкла-
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
док решены в только линейном приближении по величине деформации ее сферической формы [113 – 116].
Нелинейный анализ устойчивости поверхности заряженной
капли, движущейся относительно среды, до сих пор не предпринимался. В этой связи и проведено настоящее рассмотрение.
2. Пусть идеальная несжимаемая диэлектрическая среда с
плотностью ρ2 и диэлектрической проницаемостью ε * , занимаю
щая бесконечный объем, движется с постоянной скоростью U 0
относительно неподвижной капли радиуса R идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости. Коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела среда-капля примем равным σ, а полный заряд капли – Q. Будем полагать, что в начальный момент времени t = 0 равновесная сферическая форма капли
претерпела виртуальное осесимметричное возмущение фиксированной амплитуды, существенно меньшей радиуса капли, пропорциональное одной из мод капиллярных осцилляций системы.
Целью задачи ставилось найти аналитическое выражение для
формы образующей нелинейно-осциллирующей капли в любой
момент времени t > 0.
Для упрощения расчетов в нижеследующих рассуждениях
будем пользоваться безразмерными переменными, в которых
R = σ=ρ1 =1, ρ2/ρ1 ≡ ρ.
В сферической системе координат с началом в центре масс
капли уравнение границы раздела сред, возмущенной осесимметричным капиллярным волновым движением, имеет вид
r = 1 + ξ(θ, t ),
ξ << 1.
Согласно [117 – 119] сферическая капля, ламинарно обдуваемая аэродинамическим потоком, деформируется вдоль потока
к равновесной форме сплюснутого сфероида. Однако величина
эксцентриситета равновесного сфероида для капель грозовых облаков c R ~ 10-2 см, которые представляют основной интерес в
плане проводимого исследования, не превышает величины
e2 ~ 10-3 и в расчетах второго порядка малости по амплитуде нелинейных осцилляций, составляющих согласно данным наблюдений десятки процентов от радиуса капли (так что малый параметр, по которому будет проводиться разложение, станет изменяться от 0.1 до 0.3) может не приниматься во внимание.
152
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Движения жидкости в капле и среде будем полагать потенциальными, т.е. примем,
движения
 что поля скоростей волнового

жидкости в капле V = ∇ψ (r , t ) и в среде U = ∇ϕ(r , t ) определя
ются функциями потенциалов скорости капли ψ(r , t ) и среды

ϕ(r , t ) .
Математическая формулировка задачи расчета нелинейных
осцилляций границы раздела сред состоит из системы уравнений


Лапласа для потенциалов скоростей ψ (r , t ) и ϕ(r , t ) и электро
статического потенциала Φ (r , t ) :



Δ Φ (r , t ) = 0;
Δ ψ (r , t ) = 0;
Δ ϕ(r , t ) = 0;
(1)
и граничных условий к ним: в центре капли

r →0:
ψ(r , t ) → 0 ;
на бесконечности



r →∞:
Φ (r , t ) → 0;
∇ϕ(r , t ) → U 0 ;
на границе раздела сред: кинематического
∂ξ ∂ψ 1 ∂ψ ∂ξ
=
−
;
∂ t ∂ r r 2 ∂θ ∂ θ
r =1+ ξ :
(2)
(3)
(4)
равенства нормальных компонент скоростей движения жидкости
в капле и в среде
∂ψ 1 ∂ψ ∂ξ ∂ϕ 1 ∂ϕ ∂ξ
;
−
=
−
∂ r r 2 ∂θ ∂ θ ∂ r r 2 ∂θ ∂ θ
(5)
динамического
−
∂ψ 1
∂ϕ ρ
− (∇ϕ)2 + Pex ;
− (∇ψ )2 + Pin + PE − Pσ = −ρ
∂t 2
∂t 2
(6)
ε* (∇Φ ) 2

Pσ = div n ;
PE =
;
8π
постоянства электрического потенциала на поверхности капли

Φ (r , t ) = Φ S (t ).
(7)
В выписанных математических соотношениях Pin и Pex – соответственно давления в капле и среде; PE – давление электриче-
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ского поля на границу раздела сред; Pσ – лапласовское давление,

n – единичный вектор положительной нормали к поверхности
капли; ΦS(t) – постоянный вдоль поверхности капли электростатический потенциал.
Кроме выше перечисленных граничных условий, следует
учесть также условия:
неизменности электрического заряда
−
r = 1 + ξ(θ, t );

S = 0 ≤ θ ≤ π;
0 ≤ ϑ ≤ 2π;

ε* 
(n ⋅ ∇Φ) dS = Q;
4π S
(8)
неизменности объема капли
4
2
r
dr
Sin
θ
d
θ
d
ϑ
=
π;

3
V
1
0 ≤ r ≤ 1 + ξ(θ, t );

V1 = 0 ≤ θ ≤ π;
0 ≤ ϑ ≤ 2π;

неподвижности центра масс капли


+
ρ
r
dV
r
1 + ξ(θ, t ) ≤ r ≤ ∞;
 1  dV2

V1
V2
= 0;
V2 = 0 ≤ θ ≤ π;
 dV1 +ρ  dV2
0 ≤ ϑ ≤ 2π.

V
V
1
(9)
(10)
2
Начальные условия к поставленной задаче сформулируем в
виде задания начальной осесимметричной деформации равновесной сферической формы капли и равенства нулю начальной скорости движения поверхности
ξ(θ, t = 0) = ξ 0 P0 (Cos θ) + ε Pk (Cos θ); (k ≥ 2);
(11)
∂ξ(θ, t = 0)
= 0.
(12)
∂t
Здесь ε – безразмерная амплитуда начального возмущения,
являющаяся малым параметром задачи; Pk(Cos θ) – полином Лежандра k-го порядка; ξ0 и ξ1 – константы, определяемые условиями (9) и (10) соответственно с точностью до второго порядка
малости.
154
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следует отметить, что условия (9) и (10) должны выполняться в любой момент времени, в том числе и в начальный. Несложно показать, что если в начальный момент времени возбуждена
только одна мода, то условие неизменности объема капли (9) и
неподвижности центра масс системы капля-среда дают следующие значения констант ξ0 и ξ1 из (11):
1
ξ 0 (θ, t = 0) = − ε 2
+ O(ε 3 ); ξ1 (θ, t = 0) = 0 + O(ε 3 ). (13)
(2k + 1)
Кроме того, следует учитывать, что условие неподвижности
центра масс системы капля-среда (10) выполняется автоматически при достаточно больших линейных масштабах внешней среды (см. параграф 4.1), поэтому расчет амплитуды трансляционной (первой) моды, как и для более высоких мод, следует производить
на
основе
системы
гидродинамических
и
электростатических условий на границе раздела фаз.
3. При решении поставленной задачи (1) – (12) в квадратичном по амплитуде осцилляций приближении использовался известный метод многих масштабов [53 – 54]. Для этого искомые



функции ξ(θ, t ) , ψ (r , t ) , ϕ(r , t ) , Φ (r , t ) представлялись в виде
рядов по степеням малого параметра ε и рядов по полиномам
Лежандра и считались зависящими не просто от времени t, а от
разных его масштабов Tm, определенных через Tm= ε m t:
∞
 ε m ⋅ ξ ( m) (θ, T0 , T1 , ...);
ξ(θ, t ) =
m=0

ψ(r , t ) =
∞
 ε m ⋅ ψ ( m) (r , θ, T0 , T1 , ...);
m =0

ϕ(r , t ) =
∞
 ε m ⋅ ϕ( m) (r , θ, T0 , T1 , ...);
m =0

Φ (r , t ) =
∞
 ε m ⋅ Φ ( m) (r , θ, T0 , T1 , ...) .
(14)
m =0
Производные по времени будем вычислять, имея в виду полный набор различных его масштабов, по правилу:
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∂
∂
∂
∂
=
+ε
+ ε2
+ O(ε 3 ).
∂t ∂T0
∂T1
∂T2
Подставляя разложения (14) в краевую задачу (1) – (10) и
приравнивая в каждом из уравнений слагаемые одного порядка
малости, несложно получить набор краевых задач для последовательного
определения
неизвестных
функций
( m)
(m)
( m)
(m)
ξ , ϕ , ψ , Φ , где m = 0, 1, 2,....
4. Постановка задачи (1) – (10) в нулевом порядке малости по
ε (при m = 0) сводится к следующему виду:
Δ Φ ( 0) = 0;
Δ ψ ( 0) = 0;
Δ ϕ ( 0) = 0;
ψ ( 0) → 0 ;
r → 0:
r →∞:
Φ
(0)
(0)
∂ϕ
= 0;
∂r
r = 1:
Φ
(0)
( 0)
= ΦS
→ 0;
∇ϕ
(0)

→ U0;
2
2
ε*  dΦ ( 0) 
ρ  ∂ϕ ( 0) 
 −2=− 
 + Pex ;
Pin + 
8π  dr 
2  ∂θ 
ε* 2 π
; −
4π 0
π

0
dΦ ( 0)
Sin θ dθ dϑ = Q.
dr
(15)
Из задачи (15) несложно получить решения нулевого порядка, описывающие равновесное состояние системы:
1 

ψ ( 0) (θ, T0 , T1 , ...) ≡ 0; ϕ( 0) (θ, T0 , T1 , ...) ≡ U  r + 2 Cos θ;
2r 

ξ ( 0) (θ, T0 , T1 , ...) ≡ 0; Φ (S0) (T0 , T1 , ...) ≡
(16)
Q
Q
; Φ ( 0) (θ, T0 , T1 , ...) ≡
.
ε*
ε* r
5. Каждая из функций ϕ ( m ) , ψ ( m ) , Φ ( m ) в разложениях (14)
при m ≥ 1 в силу линейности уравнений (1) – (3) будет им удовлетворять. Потому представим решения системы (1) – (3) в виде
ψ
(m)
∞
(r , θ, T0 , T1 , ...) =  En( m ) ( T0 , T1 , ...) r n Pn (Cos θ);
n =0
156
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ϕ
( m)
∞
(r , θ, T0 , T1 , ...) =  Gn( m ) ( T0 , T1 , ...) r −n−1 Pn (Cos θ);
n =0
Φ
( m)
∞
(r , θ, T0 , T1 , ...) =  Fn( m ) ( T0 , T1 , ...) r −n−1 Pn (Cos θ).
(17)
n =0
В виде рядов по полиномам Лежандра будем искать и последовательные поправки ξ(m) к выражению, определяющему форму
поверхности капли:
ξ
( m)
(θ, T0 , T1 , ...) =
∞
 M n( m) ( T0 , T1 , ...) Pn (Cos θ).
n=0
(18)
В первом порядке малости по ε для определения коэффициентов Gn(1) , En(1) , Fn(1) , M n(1) в решениях (17), (18) (при m=1) система граничных условий (4) – (12) с учетом (13) преобразуются к
виду
∂ξ (1) ∂ψ (1)
=
;
∂ T0
∂r
r = 1:
2 (0)
∂ψ (1)
∂ϕ(1)
∂ϕ( 0) ∂ξ (1)
(1) ∂ ϕ
=
+ξ
−
;
∂r
∂r
∂θ ∂ θ
∂r 2
2 ( 0) 
∂ψ (1) ε* dΦ ( 0)  ∂Φ (1)
(1) d Φ

 + (2 + Δ Ω )ξ (1) =
+
ξ
+
−
4π dr  ∂r
∂ T0
dr 2 
(0)  2
 ∂ϕ(1)

∂ϕ( 0) ∂ϕ(1) 
∂
ϕ
(1)
 −
= ρ −
+ ξ 
;

T
∂
∂
θ
∂
θ
∂
θ
0




Φ
(1)
dΦ ( 0) (1)
+
ξ = Φ (S1) ;
dr
π
dΦ ( 0)  (1) 
∂Φ (1)  d 2 Φ (0)
  ∂r +  d r 2 + 2 d r ξ  Sin θ dθ = 0;

 
0
t=0:
ξ
(1)
= Pk (Cos θ) ;
157
∂ξ (1)
= 0;
∂T0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
π
ξ
(1)
Sin θ dθ = 0;
(19)
0
Здесь ΔΩ – угловая часть оператора Лапласа. Как уже говорилось ранее, условие для неподвижности центра масс выполняется автоматически, и поэтому здесь и далее оно не приводится.
Подставляя разложения (17), (18) (при m = 1), а также решения нулевого порядка малости (16) в систему граничных условий
(19), можно получить бесконечную систему дифференциальных
уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов
Gn(1) (T0 , T1 ,...) , En(1) (T0 , T1 ,...) , Fn(1) (T0 , T1 ,...) , M n(1) (T0 , T1 ,...) :
M 0(1) (T0 , T1 ,...) ≡ 0;
An(1) M n(1−) 2 (T0 , T1 ,...)
+
ωn2 M n(1) (T0 , T1 ,...)
+
Bn(1)
+ Cn(1)
M 1(1) (T0 , T1 ,...) ≡ 0;
∂M n(1−)1 (T0 , T1 ,...) ∂ 2 M n(1) (T0 , T1 ,...)
+
+
∂T0
∂T02
∂M n(1+)1 (T0 , T1 ,...)
+ Dn(1) M n(1+) 2 (T0 , T1 ,...) = 0 ;
∂T0
n ≥ 2;
En(1) (T0 , T1 ,...)
Gn(1) (T0 , T1 ,...)
1 ∂M n(1) (T0 , T1 ,...)
=
;
n
∂T0
1 ∂M n(1) (T0 , T1 ,...)
=−
+
∂T0
n +1

2  n
n
M n(1−)1 (T0 , T1 ,...) −
M n(1+)1 (T0 , T1 ,...);
+ U
3  (2n − 1)
(2n + 3)

Fn(1) (T0 , T1 ,...) =
An(1)
Q (1)
M n (T0 , T1 ,...);
ε*
9 2
n 2 (n − 1)(n − 2)
;
= U ρχ(n)
4
(2n − 3)(2n − 1)
158
Φ (1)
S ≡ 0;
3
Bn(1) = Uρnχ(n) ;
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ωn2

9 2 n 2 ((2n + 1)(n 2 − 1) + 3) 
;
= χ(n) n(n − 1)(n + 2 − W ) − U ρ

n
−
n
+
n
+
2
(
2
1
)(
2
1
)(
2
3
)


C n(1)
3
n(2n + 1)
9 2
n 2 (n + 1)(n + 2)
(1)
;
= Uρχ(n)
; Dn = U ρχ(n)
2
2n + 3
4
(2n + 3)(2n + 5)
−1
n 

χ ( n ) = 1 + ρ
 ;
n + 1

Q2
W =
.
4πε*
(20)
Система (20) позволяет определить зависимость коэффициентов разложений только от временного масштаба T0. Их зависимости от других временных масштабов определяются в следующих порядках малости.
Несложно видеть, что при U=0, т.е. в случае неподвижной
среды, линейное взаимодействие мод, определяемое (20), исчезает. Система связанных дифференциальных уравнений (20) распадается на совокупность несвязанных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, определяющих гармонические осцилляции отдельных мод. Таким
образом, причиной появления линейного по малому параметру
взаимодействия мод является наличие движения внешней среды.
При этом согласно (20) n-я мода взаимодействует с четырьмя
ближайшими: с (n-2)-й, (n-1)-й, (n+1)-й, (n+2)-й. Ранее взаимодействие мод в линейном приближении по малому параметру
было обнаружено в случае плоской границы раздела несмешивающихся между собой идеальных несжимаемых сред, одна из
которых поступательно движется параллельно границе раздела
[120], т.е. в ситуации, когда граница раздела способна претерпевать неустойчивость Кельвина-Гельмгольца. В [113 – 115] было
показано, что в случае обтекания капли потоком идеальной жидкости поверхность капли вовлекается в колебательное движение,
характерное для этой неустойчивости.
Отметим также еще один эффект взаимодействия капли с обтекающим ее потоком идеальной жидкости, обнаруживаемый в
линейном приближении: согласно сказанному выше капля сплющивается вдоль потока в сфероид с эксцентриситетом, зависящим
от скорости потока и величины заряда капли. Возможные осцилляции капли будут происходить в окрестности равновесной сфе159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
роидальной формы. Однако степень сфероидальности при разумных скоростях (пока течение обтекающей каплю среды можно
считать ламинарным) как правило, весьма мала. Согласно [117]
амплитуда
обсуждаемой
сфероидальной
деформации
M 2(1) = 3ρ 2 RU 2 16σ мала, и, например, при расчетах обтекания
капли с R=100 μm потоком воздуха, когда ρ 2 ≈0.001 g / cm , при
любых разумных скоростях потока (пока Re = (R ⋅ U ν ) ≤ 20 , где
ν – кинематическая вязкость среды) ею можно пренебрегать в
расчетах второго порядка малости.
Чтобы завершить рассмотрение задачи в линейном по ε приближении, величины M n(1) (T0 , T1 ) можно положить независящими
от временного масштаба T1, т.е. представить в виде
M n(1) (T0 , T1 ) ≈ M n(1) (T0 ) + O(T1 ) . При этом для возмущения поверхности получается оценка:
(
)
ξ(θ, t ) = ε ⋅ ξ (1) (θ, t ) + ε ⋅ O(ε t ) .
(21)
Это разложение равномерно пригодно при t ≤ O(ε −1 ) . Для
значений t ≥ O(ε −1 ) данное разложение становится непригодным.
Таким образом, выражение (20) справедливо на временном интервале t ≤ O (1) , в этом случае ошибка составляет величину ~ ε 2.
Однако при исследовании тенденций движения поверхности использовать (20) можно и на временных интервалах t ≥ O(ε −1 ) при
выполнения условия сравнимости решения первого порядка с величиной начальной деформации
6. Для определения поправок второго порядка малости, т.е.
для
отыскания
функций
Gn( 2) (T0 , T1 ,...) ,
En( 2) (T0 , T1 ,...) ,
Fn( 2) (T0 , T1 ,...) , M n( 2) (T0 , T1 ,...) , выпишем систему граничных условий (4)-(12), сохраняя в (13) слагаемые второго порядка малости
по ε , получим уравнения:
r = 1:
2 (1)
∂ξ ( 2 ) ∂ξ ( 1 ) ∂ψ ( 2 )
∂ξ ( 1 ) ∂ψ ( 1 )
(1) ∂ ψ
+
=
+ξ
−
;
∂ T0
∂ T1
∂r
∂r 2
∂θ ∂θ
2 (1)
2 (1)
∂ψ ( 2 )
∂ξ ( 1 ) ∂ψ ( 1 )
∂ϕ ( 2 )
∂ξ ( 1 ) ∂ϕ ( 1 )
(1) ∂ ψ
(1) ∂ ϕ
+ξ
−
=
+ξ
−
+
∂r
∂θ
∂θ
∂r
∂θ ∂θ
∂r 2
∂r 2
160
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+ξ
(2)
(1)
∂ 2ϕ ( 0 ) 1 ( 1 ) 2 ∂ 3ϕ ( 0 ) ∂ξ ( 2 ) ∂ϕ ( 0 )
∂ϕ ( 0 )
( 1 ) ∂ξ
;
+ ξ
−
+ 2ξ
2
∂ θ ∂θ
∂ θ ∂θ
∂r 2
∂r 3
( )
2
2
2 (1)
∂ψ ( 2 ) ∂ψ ( 1 )
1  ∂ψ ( 1 )   ∂ψ ( 1 )  
(1) ∂ ψ
 +
 +
−
−
−ξ
− 
∂ T0
∂ T1
∂ r ∂ T0 2  ∂ r   ∂ θ  


2
2
(0 ) 2 (0 )
∂Φ
ε*  ∂Φ ( 0 ) ∂Φ ( 2 )  ∂Φ ( 1 )   ∂Φ ( 1 ) 
( 2 ) ∂Φ
 +
 + 2ξ
2
+
+ 
+
2
  ∂θ 
8π 
r
r
∂r
∂r
∂
∂
r
∂

 


 ∂Φ (0) ∂ 2 Φ (1) ∂ 2 Φ (0) ∂Φ (1) 
(1)
+
+2ξ 
+ ξ
2
2
∂r 
∂r
∂r
 ∂r
( )
(1)
 ∂ 2 Φ (0) 
+
2 
∂
r


2
2
 ∂Φ (0) ∂ 3Φ (0)
+

3
∂r
 ∂r

  + ( 2 + Δ Ω ) ξ(2) − 2ξ(1) (1 + Δ Ω ) ξ(1)  =

 

 ∂ϕ ( 2 ) ∂ϕ ( 1 )
2 (1)
 ∂ϕ ( 1 )  2  ∂ϕ ( 1 )  2 
∂
ϕ
1

 +
 −
= ρ −
−
− ξ (1)
− 


 
∂
∂
∂
∂
∂
∂
T
T
r
T
2
r
θ

0
0
1
 
 

2 ∂
( ) 
1
− ξ (1)
2
ϕ(0 ) 
2
2
 ∂r
2
2
(0 )

∂ 2ϕ ( 0 ) ∂ϕ ( 1 )
( 2 )  ∂ϕ
 − ξ (1)

 −
+
ξ
2



∂
∂
r
θ
∂r



2
∂ϕ ( 0 ) ∂ 3ϕ ( 0 )
1 ( 1 ) 2   ∂ϕ ( 0 ) 



− ξ
+
3
∂ θ ∂ r 2∂ θ
2
  ∂ θ 
( )
+ξ
Φ
(2)
+ξ
(2)
 ∂ϕ ( 0 ) ∂ϕ ( 2 )
−
+
 ∂ θ ∂ θ
(1)
∂ϕ ( 0 ) ∂ϕ ( 1 ) ∂ϕ ( 0 ) ∂ 2ϕ ( 1 )
−
2
θ
θ
∂
∂
∂θ ∂ r ∂θ

(1)
dΦ ( 0 )
1
( 1 ) ∂Φ
+ξ
+ ξ (1)
dr
∂r
2
( )
π
2
 
 ;
 
d 2Φ ( 0 )
= Φ (S 2 ) ;
2
dr
2 (1)
2 (0 )
 ∂Φ ( 2 )
dΦ ( 0 ) 
∂Φ ( 1 ) 
( 1) ∂ Φ
( 2 ) d Φ



  ∂r + ξ  ∂ r 2 + 2 ∂ r  + ξ  d r 2 + 2 d r  +




0
161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( )
+ξ
t=0:
d 3Φ ( 0 )
d 2Φ ( 0 ) dΦ ( 0 )  ∂Φ ( 1 ) ∂ξ ( 1 ) 


 Sin θ dθ = 0 ;
 2 d r 3 + 2 d r 2 + d r  − ∂θ
d
r



(1) 2 1
(2)
ξ0
1
=−
;
( 2k + 1 )
π
∂ξ ( 2 ) ∂ξ ( 1 )
+
= 0;
∂T0
∂T1
( )
ξ ( 2 ) + ξ ( 1 ) 2  Sin θ dθ = 0;
 

0
(22)
Подставляя разложения (17), (18) (при m=2), а также решения
(16) и (20) в систему граничных условий (22), можно получить
систему дифференциальных уравнений для нахождения
неизвестных коэффициентов
Gn( 2) (T0 , T1 ,...) ,
En( 2) (T0 , T1 ,...) ,
Fn( 2) (T0 , T1 ,...) , M n( 2) (T0 , T1 ,...) . Исключая из получившегося реше∂M m(1) (T0 , T1 ,...)
ния слагаемые пропорциональные
, которые при∂T1
водят к появлению секулярных членов, получим, что амплитуды
разложения M m(1) не зависят от временных масштабов T1. Таким
образом, в дальнейшем будем полагать, что амплитуды разложения M m(1) зависят только от временных масштабов T0 или
M m(1) (T0 , T1 ,...) ≈ M m(1) (T0 ) + O(T2 ) . На основе вышесказанного система дифференциальных уравнений для отыскания коэффициентов Gn( 2 ) , En( 2 ) , Fn( 2 ) , M n( 2 ) сведется к следующему виду:
M 0( 2) (T0 , T1 ,...)
An( 2) M n( 2−)2 (T0 , T1 ,...) +
2
n
+ω M
(2)
n
Bn( 2)
=
(
∞
)
2
1
(1)
M
(
T
)
 2n + 1 0 0 ;
n=2
∂M n( 2−1) (T0 , T1 ,...) ∂ 2 M n( 2) (T0 , T1 ,...)
+
+
∂T0
∂T02
(T0 , T1 ,...) + C
(2)
n
∂M n(2)
+1 (T0 , T1 ,...)
+
∂T0
+ Dn( 2) M n( 2+)2 (T0 , T1 ,...) = χ(n) f n (T0 ); n ≥ 1;
162
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
En( 2) (T0 , T1 ,...)
1  ∂M n( 2) (T0 , T1 ,...)
−
= 
∂T0
n

α m, l , n  ∂M m(1) (T0 ) (1)


M
(
T
)
−   (m − 1) K m, l , n −
0 ;
l
 ∂T
m

m=2 l =2
0

∞
∞
Gn( 2) (T0 , T1 ,...) =
3n
3n
UM n( 2−1) (T0 , T1 ,...) −
UM n( 2+1) (T0 , T1 ,...) −
2(2n − 1)
2(2n + 3)
α m,l ,n

1 ∂M n( 2) (T0 , T1 ,...) ∞ ∞  m + 2
K m,l ,n −
−
−  
×
n +1
n
1
(
n
+
1
)(
m
+
1
)
+
∂T0

m =2l = 2 

∂M m(1) (T0 ) (1)
3
m(m − 1) 2
(1)
(1)
×
M l (T0 ) + UM m (T0 ) M l (T0 ) −
K m −1, l , n +
∂T0
2
n
+
m
+
(
1
)(
2
1
)

( m + 1 )α m + 1,l ,n
( m − 1 )α m − 1,l ,n  
( m + 1 )2 ( m + 2 )
K m + 1,l ,n −
+
+
;
( n + 1 )( 2 m + 1 )
( n + 1 )( 2 m + 1 ) ( n + 1 )( 2 m + 1 )  
Fn(1) (T0 , T1 ,...)
Φ (2)
S ≡ 0;
(
)
∞ ∞

Q  ( 2)
= M n (T0 , T1 ,...) +   mK m, l , n M m(1) (T0 ) M l(1) (T0 ) ;
ε* 

m=2 l =2
An( 2) ≡ An(1) ;
f n (T0 ) =
Bn( 2) ≡ Bn(1) ;
C n( 2) ≡ C n(1) ;
Dn( 2) ≡ Dn(1) ;
  {M m(1) (T0 ) M l(1) (T0 ){K m, l , n (2n[l (l + 1) − 1] +
∞
∞
m=2l =2
2
n
2 n(9m + 9m − 7) 
+
+ W [l (m + 1) − m(2m − 2n + 7) + 3] + U ρ
(2m − 1)(2m + 3) 
2
+ α m,l , nW
[
n
9n(n − 1)
+ U 2ρ
m(m − 1) 2 K m −1, l , n −1 −
2
4(2n − 1)(2m + 1)
]
− (m + 1) 2 (m + 2) K m +1, l , n −1 − (m − 1)α m −1, l , n −1 + (m + 1)α m +1, l , n −1 −
+ U 2ρ
[
9n(n + 1)
(m + 1) 2 (m + 2) K m +1, l , n +1 − m( m − 1) 2 K m −1, l , n +1 −
4( 2n + 3)(2m + 1)
163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
− (m + 1)α m +1, l , n +1 + (m − 1)α m −1, l , n +1 ] − U 2ρ
9n
 m(m − 1)
K m − 2, l , n +
8(2m + 1)  2m + 1
(1)
 (1)
(m + 1)(m + 2)

2 9n m( m + 1)  M m −1 (T0 ) M l (T0 )
K m + 2, l , n   + U ρ
+
−
2m + 3
4(2m + 1) 
2m − 1

M m(1+) 1 (T0 ) M l(1) (T0 ) 
[(m − 1)(m + 2) K m +1, l , n − m(m + 5) K m −1, l , n ] +
−

2m + 3

 m M m(1−) 1 (T0 ) m M m(1+) 1 (T0 ) 
9 2
×
+ U ρ n[(m + 1)(l + 1) K m, l , n + α m, l , n ] 
−
8
2m + 3 
 2m − 1
 l M l(1−)1 (T0 ) l M l(1+)1 (T0 )  3
 + Uρ n[(m + 1)(l + 1) K m, l , n + α m, l , n ] ×
× 
−
2l + 3  4
 2l − 1
 m  M m(1+) 1 (T0 ) ∂M l(1) (T0 ) M m(1−) 1 (T0 ) ∂M l(1) (T0 ) 

+
×
−


∂T0
∂T0
2m − 1
 l + 1  2m + 3

(1)
∂M m(1) (T0 ) M l(1−)1 (T0 ) 
l  ∂M m(1) (T0 ) M l +1 (T0 )
+
−−
+
∂T0
m + 1  ∂T0
2l + 3
2l − 1 
α m,l ,n ρn 
α


 (m − n + 1) K m,l ,n − m,l ,n  ×
+ (m − n − 1) K m,l ,n −
−
m
n + 1
m + 1 

∂ 2 M m(1) (T0 ) (1)
n
n + 2l

M l (T0 ) +  m − 1 −  K m,l ,n −
×
α m,l ,n +
2
2
ml
∂T0


(n + 2l + 3)α m, l , n  ∂M m(1) (T0 ) ∂M l(1) (T0 )
ρn 
 (n − 2m − 3) K m, l , n +

+
+
2(n + 1) 
∂T0
(m + 1)(l + 1)  ∂T0
 m(4 + 5n + 3m + mn + m 2 )
∂M m(1) (T0 ) (1)
3
M l (T0 )
K m −1, l , n +
+ Uρ n
2
(
1
)(
2
1
)
∂T0
n
+
m
+

164
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(m + 2)(2 + n + m − mn + m 2 )
(n − 1)(m + 2)
+
K m +1, l , n +
K m, l , n −1 −
(n + 1)(2m + 1)
2n − 1
−
(m − 1)α m −1, l , n (n − 1)α m, l , n −1
(n + 1)(m + 2)
K m , l , n +1 +
−
+
2n + 3
(n + 1)(2m + 1) (m + 1)(2n − 1)
+
(n + 1)α m, l , n +1
(m + 1)(2n + 3)
−
(n + 1)α m +1, l , n 
3n
 + Uρ
×
(n + 1)(2m + 1) 
2(n + 1)(2m + 1)
[
× (m + 1) 2 (m + 2) K m+1,l ,n − m(m − 1) 2 K m−1,l ,n − (m + 1)α m+1,l ,n +
+ (m
∂M l(1) (T0 )
(1)
− 1)α m −1, l , n M m (T0 )
∂T0
]
+
 ∂M m(1+) 1 (T0 ) M l(1) (T0 ) ∂M m(1−) 1 (T0 ) M l(1) (T0 ) 
3
 ;
−
+ nUρm(m + 1) K m, l , n 

∂T0
2m + 3
2m − 1 
∂T0
2

[
]
2
K m ln ≡ Cm000
ln ;
α m ln ≡ − m(m + 1)l (l + 1) C m000ln Cm−110
ln ;
(23)
−1 1 0
Здесь C m000
ln и C m ln – коэффициенты Клебша-Гордана.
Рассмотрение задачи в квадратичном по ε приближении позволяет определить зависимость коэффициентов M n( 2) (T0 , T1 )
только от временного масштаба T0 . При этом можно записать,
что M n( 2) (T0 , T1 ) ≈ M n( 2) (T0 ) + O(T1 ) , и для возмущения поверхности получить следующую оценку:
ξ(θ, t ) = ε ⋅ ξ (1) (θ, t ) + ε 2 ⋅ ξ ( 2) (θ, t ) + O(ε 3 t ) .
(24)
Выражение (24) справедливо на временном интервале
t ≤ O(1) с ошибкой ~ ε 3 . На временном интервале O(1) ≤ t ≤ O(ε −1 )
величина погрешности становится сравнимой со вторым слагаемым (с поправкой второго порядка малости), и, следовательно, в
разложении (23) справедливым останется лишь первый член, соответствующий линейному приближению. Таким образом, при165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ближенное решение линейной задачи (20) применимо (равномерно пригодно) на временном интервале t ≤ O(ε −1 ) .
7. Численное решение системы дифференциальных уравнений (19) в одном из существующих пакетов аналитических символьных вычислений относительно M n(1) (t ) ≡ M n(1) (T0 ) (при ограничении количества вовлеченных в расчет мод первыми пятью:
n=2;3;4;5;6), показывает, что при малых в смысле устойчивости
капли по отношению к собственному заряду величинах скорости
внешней среды U заметный вклад в спектр капиллярных колебаний капли вносит только изначально возбужденная мода (n=k) и
(при k≠2) основная мода, которая для капли в потоке возбуждается автоматически за счет взаимодействия с потоком (в результате
перераспределения гидродинамического давления по поверхности капли [117]). Отметим, что критические для реализации неустойчивости капли значения скорости определяются условием
ω22 = 0 :

9 2 n 2 ((2n + 1)(n 2 − 1) + 3) 
 = 0 , при n = 2
 n(n − 1)(n + 2 − W ) − U ρ

2
(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) 

(24)
Вклад остальных мод (n≠k), определяющийся линейным
межмодовым взаимодействием согласно (20), мал. При этом поверхность капли совершает близкие к гармоническим колебания,
соответствующие суперпозиции k-й (изначально возбужденной)
моды и основной моды, в окрестности равновесной формы. Если
скорость внешней среды близка к критической, при которой капля становится неустойчивой ( ω22 < 0 ), вклад в формирование
формы осциллирующей капли остальных мод, возбуждающихся
за счет линейного взаимодействия, становится более заметным.
При этом моды, более близкие по номеру (по n) к изначально
возбужденной k-й, имеют большую величину амплитуды колебаний, которая с ростом n убывает.
Отметим, что в использованных безразмерных переменных
скорость обезразмеривается на (σ ( R ⋅ ρ1 ) ) , т.е. безразмерной
скорости U=1 соответствует размерная скорость U = (σ (R ⋅ ρ1 ) ) .
Так, при U=1 для капли воды с радиусом R=100 μm, обдуваемой
166
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
потоком воздуха, размерная скорость потока будет ≈ 84 cm / s .
Число Рейнольдса Re = (U ⋅ R ν ) для такой капли ≈ 5, а течение
воздуха в окрестности капли будет ламинарным.
Согласно численным расчетам с ростом скорости среды растут и величины амплитуд колебаний мод, возбуждающихся за
счет линейного взаимодействия. Так, при малых значениях скорости величины амплитуд изначально невозбужденных мод оказываются на несколько более порядков меньше амплитуды изначально возбужденной моды. Незначительное увеличение скорости приводит к также незначительному росту амплитуд
изначально невозбужденных мод. И только при приближении U к
критическим значениям по отношению к распаду капли амплитуды изначально невозбужденных мод становятся сравнимы с амплитудой изначально возбужденной моды. Причем, как уже говорилось ранее, моды, более близкие по номеру (по n) к изначально возбужденной k-й, имеют большую величину амплитуды
колебаний, которая с ростом n убывает.
При достижении критического значения скорости U для реализации неустойчивости капли, определяемого выражением (24),
становится неустойчивой не только вторая мода, но и при изначально неустойчивой второй моде за счет межмодового взаимодействия становятся неустойчивыми и несколько ближайших
мод, связанных с ней согласно (19) линейным взаимодействием,
хотя при принятых в расчетах значениях U, W, ρ эти моды должны сохранять устойчивость в смысле линейной теории т.к. для
них ω2n≠ 2 > 0 . Следует отметить, что при этом величина скорости
лишь немного превышает критическое значение, при котором капля становится неустойчивой. Интересно, что при дальнейшем
росте скорости потока величина инкремента неустойчивости
третьей моды будет превышать величину инкремента основной и
основную роль в реализации неустойчивости начинает играть
третья мода [113]. Результаты расчета амплитудных коэффициентов мод, возбуждающихся за счет линейного взаимодействия, когда начальная деформация определена третьей модой, показывают, что амплитуда основной моды, определяющейся в описанной
ситуации и действием гидродинамического давления, и взаимодействием с изначально возбужденной третьей модой, может
167
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
быть сравнима с амплитудой изначально возбужденной моды и
даже превышать ее. При приближении скорости U к критическому значению, при котором капля становится неустойчивой, возбуждается основная (вторая) мода. А при дальнейшем увеличении скорости инкремент неустойчивость третьей моды превышает инкремент неустойчивости второй моды.
Из проведенного численного анализа получено также, что
при прочих равных условиях и начальном возбуждении более
высокой моды, чем основная, имеет место снижение скорости
обдувающего потока, критического для реализации неустойчивости основной моды значения. Так, расчеты показывают, что при
начальном возбуждении третьей моды основная мода становится
неустойчивой уже при U=4.1 (k=3, W=1, ρ=0.1,). Иначе говоря,
наличие межмодового взаимодействия приводит к снижению величин параметров U, W, ρ, при которых капля становится неустойчивой.
Рост плотности внешней среды ρ приводит к снижению скорости внешней среды U, при которой капля становится неустойчивой. При этом в целом, кроме увеличения периода колебаний,
картина развития неустойчивости мало меняется.
Численное решение систем дифференциальных уравнений
(20) и (23) относительно M n( 2) (T0 ) – амплитуд мод, возбуждающихся во втором порядке приближений за счет нелинейного
взаимодействия (для мод от нулевой до шестой), показывает, что
при малых величинах скорости внешней среды U, аналогично
тому, как это было в линейном приближении, наибольшую амплитуду имеют моды, которые возбуждались бы в отсутствии
движения внешней среды [98, 115, 121], т.е. моды с номерами
n=2j, где j=0,1,…,k. Движение внешней среды приводит к возбуждению во втором порядке малости дополнительных мод, появление которых связано с наличием в спектре первого порядка малости мод, отличных от изначально возбужденной, появившихся
только за счет линейного взаимодействия. Амплитуды таких дополнительно возбужденных мод весьма малы, и их вклад в формирование рельефа осциллирующей капли весьма незначителен.
При неподвижной внешней среде при изначально возбужденной основной моде (k=2) во втором порядке малости возбудились бы только нулевая, вторая и четвертая моды, а при изна168
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чально возбужденной третьей моде (k=3) во втором порядке малости возбудились бы только нулевая, вторая, четвертая и шестая
моды. Наличие же движения внешней среды привело к дополнительному возбуждению первой, третьей, пятой, шестой мод при
изначально возбужденной второй моде и первой, третьей, пятой
мод при изначально возбужденной третьей моде, хотя при малых
значениях скорости величины амплитуд этих мод весьма малы. С
ростом скорости растут и амплитуды мало возбужденных мод,
тем не менее что амплитуды мод, возбуждающихся при отсутствии внешней среды, остаются максимальными, пока значение
скорости внешней среды не приблизится к критическому, при котором капля дробится на дочерние под действием аэродинамических сил.
Вместе с модами, неустойчивость которых реализуется в линейном приближении, становятся неустойчивыми и моды, возбуждающиеся во втором порядке малости, причем сама неустойчивость мод более высоких, чем основная, имеет колебательный характер. Интересно, что при n ≥ 3 амплитуды одинаковых мод в
первом и втором приближении имеют противоположные знаки.
8. Наличие диэлектрической среды, которая может быть моделирована идеальной несжимаемой жидкостью, обтекающей заряженную идеально проводящую каплю, приводит к появлению
взаимодействия мод как в первом, так и во втором порядках малости, следствием чего является возбуждение мод, отсутствующих в спектре мод, определяющих начальную деформацию капли. С увеличением скорости потока растут и амплитуды колебаний изначально невозмущенных мод. Наличие относительного
движения капли и среды, а также взаимодействия мод приводит к
снижению критических для реализации неустойчивости капли
величин собственного заряда, скорости и плотности внешней
среды.
169
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.2. О раскачке в нелинейных вторичных
комбинационных резонансах осцилляций
основной моды движущейся относительно среды
заряженной капли
1. С заряженными каплями, движущимися относительно среды, приходится сталкиваться в многочисленных академических,
технических и технологических приложениях: например, кучевые
облака, являющиеся источниками гроз, представляют собой множество заряженных капель воды в восходящих потоках воздуха и
не падают на землю только благодаря силе гидродинамического
сопротивления. Исследование электростатической устойчивости
поверхности заряженной капли в такой системе представляет интерес, как выше уже отмечалось, и в связи с исследованием физического механизма инициирования разряда молнии. В соответствии с существующими представлениями зарождение разряда
линейной молнии связано с зажиганием во внутриоблачном электрическом поле коронного разряда в окрестности крупной капли
или обводненной градины, свободно падающей в грозовом облаке (см., например, [77, 86 – 87, 122], где анализируются критические условия зажигания коронного разряда в окрестности вершин
нелинейно-осциллирующих облачных капель). Однако максимальные величины измеряемых в грозовых облаках собственных
зарядов капель и электрических полей [88] много меньше необходимых для реализации неустойчивости поверхности капли по
отношению к собственному и индуцированному зарядам [115,
117] и лишь при больших амплитудах сфероидальных осцилляций могут привести к зажиганию коронного разряда у вершин
капли [87, 77, 122 – 123].
Мало впечатляющие (несмотря на многочисленные попытки)
успехи исследования физического механизма зажигания разряда
молнии, инициированного коронным разрядом в окрестности капли, вероятнее всего указывают на то, что при исследовании устойчивости по отношению к поверхностному заряду движущейся относительно среды капли упускается некий важный фактор. Таким
упущенным фактором может быть взаимодействие поверхности
капли с обдувающим ее потоком, который при реально фиксируемых скоростях движения капель (пока скорости движения капель
170
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
много меньше скорости звука в среде) также можно моделировать
несжимаемой жидкостью. В модели идеальных жидкостей на границе раздела сред будет иметь место тангенциальный скачок поля
скоростей, который приведет к реализации колебательной неустойчивости границы раздела сред, именуемой для плоской границы раздела несмешивающихся несжимаемых жидкостей неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца [124 – 125]. Реализация неустойчивости Кельвина-Гельмгольца приведет к качественному
изменению физической картины проявления неустойчивости границы раздела сред и, в частности, к снижению критических условий реализации неустойчивости капли и по отношению к поверхностному заряду [115, 117]. В связи со сказанным и сформулировано настоящее исследование особенностей нелинейного резонансного перераспределения энергии начальной деформации
между модами нелинейно-осциллирующей капли в ламинарно обтекающем ее потоке газа и анализа критических условий реализации неустойчивости границы раздела сред в такой системе.
Следует отметить, что нелинейные осцилляции заряженной
капли в обдувающем ее потоке внешней среды ранее исследовались [116], но, ввиду громоздкости полученных результатов, они
анализировались численно и до анализа закономерностей резонансного обмена энергией между модами дело не дошло. Вырожденные нелинейные резонансы в обсуждаемой системе были проанализированы в [126], где было выяснено, что в подобных резонансах энергия перекачивается только от низких мод к высоким.
Перекачка энергии из высоких мод в низкие характерна для многомодовых комбинационных резонансов [73, 76]. Однако для заряженной капли в окружающей ее идеальной диэлектрической
несжимаемой среде наинизшая мода, которую можно было возбудить в трехмодовых вторичных комбинационных резонансах,
оказалась лишь третьей [98, 108]. Возможность резонансной раскачки основной моды, представляющая основной интерес для построения механизма инициирования разряда молнии [77, 86 – 87,
122], была обнаружена при исследовании нелинейных четырехмодовых комбинационных резонансов [76]. Но сам обнаруженный в [76] в расчетах третьего порядка малости по амплитуде начальной деформации эффект для основной моды осцилляций оказался весьма слабым и не мог объяснить результатов натурных
171
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
наблюдений [28, 127], где были зафиксированы сфероидальные
осцилляции падающих в атмосфере капель с амплитудой, превышающей половину радиуса капли.
2. Пусть идеальная несжимаемая диэлектрическая среда с
плотностью ρ2 и диэлектрической проницаемостью ε∗, занимаю
щая бесконечный объем, движется с постоянной скоростью U 0
относительно неподвижной капли радиуса R идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью ρ1. Коэффициент поверхностного натяжения границы раздела сред обозначим σ, а полный заряд капли Q. Примем, что в начальный момент времени t=0 равновесная сферическая форма капли
претерпела виртуальную осесимметричную деформацию конечной амплитуды, много меньшей, однако, радиуса капли. Поле
скоростей течения жидкости в капле в начальный момент времени положим тождественно равным нулю и станем исследовать
нелинейные осцилляции капли при t > 0.
Для упрощения нижеследующих расчетов сразу введем безразмерные переменные, в которых R = σ=ρ1 =1. Тогда в сферической системе координат r , θ, ϑ с началом в центре масс капли
уравнение границы раздела сред, возмущенной осесимметричным капиллярным волновым движением, запишется в виде
r = 1 + ξ(θ, t ), ξ << 1. Движения жидкости в капле и среде будем
полагать потенциальными, т.е. примем, что поля скоростей
вол

нового движения жидкости имеют вид в капле V = ∇ψ (r , t ) , в


среде U = ∇ϕ(r , t ) .
Математическая формулировка задачи расчета нелинейных
осцилляций границы раздела сред в описанной системе состоит

из уравнений Лапласа для потенциалов скоростей ψ (r , t ) и


ϕ(r , t ) и электростатического потенциала Φ (r , t ) :



Δ Φ (r , t ) = 0;
Δ ψ (r , t ) = 0;
Δ ϕ(r , t ) = 0;
и граничных условий к ним:
r → 0:
r →∞:

ψ (r , t ) → 0 ;

Φ (r , t ) → 0;


∇ϕ(r , t ) → U 0 ;
172
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r = 1+ ξ :
−
∂ξ ∂ψ 1 ∂ψ ∂ξ
∂ψ 1 ∂ψ ∂ξ ∂ϕ 1 ∂ϕ ∂ξ
;
;
=
− 2
−
=
−
∂ t ∂ r r ∂θ ∂ θ
∂ r r 2 ∂θ ∂ θ ∂ r r 2 ∂θ ∂ θ
∂ψ 1
∂ϕ ρ
− (∇ϕ)2 + Pex ;
− (∇ψ )2 + Pin + PE − Pσ = −ρ
∂t 2
∂t 2
ε* (∇Φ ) 2
PE =
;
8π

Pσ = div n ;
r = 1 + ξ(θ, t );

S = 0 ≤ θ ≤ π;
0 ≤ ϑ ≤ 2π;

ε

− *  (n ⋅ ∇Φ) dS = Q;
4π S
2
 r dr sin θ dθ dϑ =
V1
t=0:

Φ ( r , t ) = Φ S (t ).
0 ≤ r ≤ 1 + ξ(θ, t );

V1 = 0 ≤ θ ≤ π;
0 ≤ ϑ ≤ 2π;

4
π;
3
ξ (θ, t ) = ξ 0 P0 (μ) + ε  hi Pi (μ);
i∈Ξ
∂ξ (θ, t )
= 0;
∂t
 hi = 1;
i∈Ξ
hi2
ξ0 ≈ −ε 
+ O ε3 .
i∈Ξ ( 2i + 1)
( )
2
(1)
Здесь ε – амплитуда начальной деформации, являющаяся
малым параметром задачи; Pi(μ) – полином Лежандра i-го порядка; μ ≡ cos θ ; Pin и Pex – давления в капле и среде соответственно;
PE – давление электрического поля собственного заряда капли на

границу раздела сред; Pσ – лапласовское давление; n – единичный вектор положительной нормали к поверхности капли; ΦS(t) –
постоянный вдоль поверхности капли электростатический потенциал; ρ≡ρ2/ρ1; hi – коэффициенты, определяющие парциальный
вклад i-й колебательной моды в суммарное начальное возмуще173
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ние; Ξ – множество значений номеров изначально возбужденных
колебательных мод, определяющих форму начальной деформации капли; ξ 0 – константа, определяемая из условия постоянства
объема капли в начальный момент времени. Гидродинамические
скорости считаем на много порядков меньшими скорости распространения электромагнитного сигнала в вакууме, в связи с чем
уравнения Максвелла для расчета электрического поля в окрестности нелинейно-осциллирующей капли сводятся к уравнениям
электростатики.
Кроме приведенных граничных и начальных условий, следует учесть также условие неподвижности центра масс системы,
которое, согласно разделу 4.1, при достаточно больших характерных линейных масштабах внешней среды выполняется автоматически, а расчет амплитуды трансляционной (первой) моды,
как и более высоких мод, следует производить на основе системы
граничных гидродинамических условий на границе раздела.
3. Решение сформулированной задачи в квадратичном по малому параметру ε приближении будем проводить асимптотическим методом многих масштабов, когда искомые функции



ψ(r , t ) , ϕ(r , t ) , Φ (r , t ) , а также функция образующей формы капли в любой момент времени ξ(θ, t ) считаются зависящими не от
обычного времени t, но от разных его масштабов Tm= ε m ⋅ t в соответствии с наличием в колебательной системе быстро и медленно протекающих процессов. Аналитические асимптотические



выражения для ξ(θ, t ) , ψ(r , t ) , ϕ(r , t ) , Φ (r , t ) будем искать в виде асимптотических разложений по степеням малого параметра ε
и рядов по полиномам Лежандра:
∞
ξ(θ, t ) =  ε m ⋅ ξ( m ) (θ, T0 , T1 , ...) ;
m =1
∞

ψ (r , t ) =  ε m ⋅ ψ ( m ) (r , θ, T0 , T1 , ...) ;
m =1
∞

ϕ(r , t ) =  ε m ⋅ ϕ( m ) (r , θ, T0 , T1 , ...) ;
m=0
174
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Φ(r , t ) =
∞
 ε m ⋅ Φ (m) (r , θ, T0 , T1 , ...) ,
(2)
m=0
ξ
где
( m)
∞
(θ, T0 , T1 , ...) =  M n( m ) ( T0 , T1 , ...) ⋅ Pn (μ) ;
n =0
ψ
( m)
∞
(r , θ, T0 , T1 , ...) =  En( m ) ( T0 , T1 , ...) ⋅ r n ⋅ Pn (μ) ;
n =0
ϕ
( m)
∞
(r , θ, T0 , T1 , ...) =  Gn( m ) ( T0 , T1 , ...) ⋅ r − n −1 ⋅ Pn (μ) ;
n =0
Φ
( m)
∞
(r , θ, T0 , T1 , ...) =  Fn( m ) ( T0 , T1 , ...) ⋅ r − n −1 ⋅ Pn (μ) .
(3)
n =0
Производные по времени t будем вычислять, имея в виду
полный набор различных его масштабов, по правилу:
∂
∂
∂
=
+ε
+ O(ε 2 ).
(4)
∂t ∂T0
∂T1
Подставляя разложения (2) – (4) в задачу (1) и приравнивая в
каждом из уравнений слагаемые одного порядка малости, несложно получить набор краевых задач для последовательного определения (в нулевом, первом и втором порядках по ε) неизвестных коэффициентов разложений (2)-(3):
M n( m ) ( T0 , T1 , ...),
En( m ) ( T0 , T1 , ...), Gn( m ) ( T0 , T1 , ...),
Fn( m ) ( T0 , T1 , ...) .
Нижеследующее изложение ввиду конечности объема статьи
ограничим расчетом коэффициентов M n( m ) (T0 , T1 ) , определяющих
форму нелинейно-осциллирующей капли как функцию времени.
Остальные коэффициенты разложений (2) – (3) согласно [116]
достаточно легко, но громоздко выражаются через M n( m ) (T0 , T1 ) .
4. В первом порядке малости по ε для определения неизвестных коэффициентов M n(1) (T0 , T1 ) получается бесконечная
система связанных дифференциальных уравнений:
M 0(1) (T0 , T1 ,...) ≡ 0;
M 1(1) (T0 , T1 ,...) ≡ 0;
175
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n ≥ 2:
An ⋅ M n(1−)2 (T0 , T1 ,...) +
∂M n(1−)1 (T0 , T1 ,...) ∂ 2 M n(1) (T0 , T1 ,...)
2
(1)
+ Bn
+
+
ω
⋅
M
(T0 , T1 ,...) +
n
n
2
∂T0
∂T0
∂M n(1+)1 (T0 , T1 ,...)
+ Cn
+ Dn ⋅ M n(1+) 2 (T0 , T1 ,...) = 0 ;
∂T0
9
n 2 (n − 1)(n − 2)
;
An = We ⋅ χ(n)
4
(2n − 3)(2n − 1)
Bn =
(5)
3
ρWe nχ(n) ;
2
3
n(2n + 1)
9
n 2 (n + 1)(n + 2)
;
Cn =
ρWe ⋅ χ(n)
; Dn = We ⋅ χ(n)
2
2n + 3
4
(2n + 3)(2n + 5)
ω2n

9n 2 ((2n + 1)(n 2 − 1) + 3) 
;
= χ(n) n(n − 1)(n + 2 − W ) − We

2
(
2
n
−
1
)(
2
n
+
1
)(
2
n
+
3
)


Q2
W=
;
4πε*
−1
n 

χ ( n ) = 1 + ρ
 ;
n + 1

We ≡ ρ ⋅ U 02 ;
Φ (1)
S ≡ 0.
Несложно видеть, что при U0=0 система связанных дифференциальных уравнений (5) распадается на совокупность несвязанных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, определяющих гармонические осцилляции отдельных мод (как это и было получено ранее [83, 98] для
ситуации осцилляций заряженной капли несжимаемой жидкости,
покоящейся относительно несжимаемой диэлектрической среды).
Таким образом, причиной появления линейного по малому параметру взаимодействия мод является наличие движения внешней
среды. При этом согласно (5) n-я мода взаимодействует с четырьмя ближайшими: с (n-2)-й, (n-1)-й, (n+1)-й, (n+2)-й. Ранее
взаимодействие мод в линейном приближении по малому параметру было обнаружено в случае плоской границы раздела несмешивающихся между собой идеальных несжимаемых сред, одна из которых поступательно движется параллельно границе раздела [124 – 125], т.е. в ситуации, когда граница раздела способна
претерпевать неустойчивость Кельвина-Гельмгольца. В [115] бы176
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ло показано, что в случае обтекания капли потоком идеальной
жидкости поверхность капли вовлекается в колебательное движение, характерное для этой неустойчивости.
Отметим также еще один эффект взаимодействия капли с обтекающим ее потоком идеальной жидкости, обнаруживаемый
уже в линейном приближении: согласно [117, 119] капля сплющивается вдоль потока в сфероид с эксцентриситетом, зависящим
от скорости потока и величины заряда капли. Возможные осцилляции капли должны происходить в окрестности равновесной
сфероидальной формы. Однако степень сфероидальности при разумных скоростях (пока течение обтекающей каплю среды можно считать ламинарным) как правило, невелика. Согласно [117]
амплитуда
обсуждаемой
сфероидальной
деформации
(1)
M 2 = (3 ⋅ We 16 ) весьма мала, и, например, при расчетах обтекания капли с R=100 μm потоком воздуха, когда ρ 2 ≈0.001 g / cm3 ,
при скоростях потока U0≤ 100 cm/s ею можно пренебрегать при
расчетах во втором порядке малости.
5. Для определения поправок второго порядка малости (для
отыскания коэффициентов M n( 2 ) (T0) получим систему связанных
неоднородных дифференциальных уравнений гармонического
типа
M 0( 2) (T0 ) =
An ⋅ M n( 2−)2 (T0 )
 2n + 1 (M n(1) (T0 ) ) ;
∞
1
2
n=2
∂M n( 2−)1 (T0 ) ∂ 2 M n( 2) (T0 )
+ Bn
+
+ ωn2 ⋅ M n( 2) (T0 ) +
2
∂T0
∂T0
∂M n( 2+1) (T0 )
+ Cn
+ Dn ⋅ M n( 2+)2 (T0 ) = χ(n) ⋅ f n (T0 );
∂T0
n ≥1
(6)
с нулевыми начальными условиями. Функции неоднородности
f n (T0 ) определяются через коэффициенты M n(1) , являющиеся
решениями системы (5), и имеют вид
f n (T0 ) =
  {G1 ⋅ M m(1) (T0 ) ⋅ M l(1) (T0 ) +
m∈Ξ l ∈Ξ
177
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 M m(1−) 1 (T0 ) ⋅ M l(1) (T0 ) M m(1+) 1 (T0 ) ⋅ M l(1) (T0 ) 
+
+ G2 ⋅ 
−

−
2
m
1
2
m
+
3


 m M m(1−) 1 (T0 ) m M m(1+) 1 (T0 )  l M l(1−)1 (T0 ) l M l(1+)1 (T0 ) 


+ G3 ⋅ 
−
 2l − 1 − 2l + 3  +
2
m
−
1
2
m
+
3



 m  M m(1+) 1 (T0 ) ∂M l(1) (T0 ) M m(1−) 1 (T0 ) ∂M l(1) (T0 ) 

+
+ G4 ⋅ 
⋅
−
⋅


∂T0
∂T0
2m − 1

 l + 1  2m + 3
l  ∂M m( 1 ) ( T0 ) M l(+11) ( T0 ) ∂M m( 1 ) ( T0 ) M l(−11) ( T0 ) 
+
⋅
−
⋅
+
∂T0
∂T0
m + 1 
2l + 3
2l − 1 
+ G5 ⋅
∂ 2 M m(1) (T0 )
∂T0 2
M l(1) (T0 )
∂M m(1) ∂M l(1)
+
⋅
+ G6
∂T0
∂T0
∂M l(1) (T0 )
∂M m(1) (T0 ) (1)
(1)
+
M l (T0 ) + G8 ⋅ M m (T0 )
+ G7 ⋅
∂T0
∂T0
 ∂M m(1+) 1 (T0 ) M l(1) (T0 ) ∂M m(1−) 1 (T0 ) M l(1) (T0 ) 
 ;
+ G9 ⋅ 
⋅
−
⋅
∂T0
2m + 3
∂T0
2m − 1 

G1 ≡
(7)
{K (2n[l (l + 1) − 1] +
m ,l ,n
n
n(9m 2 + 9m − 7) 
+
+ W ⋅ [l (m + 1) − m(2m − 2n + 7) + 3] + We ⋅
2
(2m − 1)(2m + 3) 
[
n
9n(n − 1)
+ W ⋅ α m,l ,n + We ⋅
m(m − 1) 2 K m−1,l ,n−1 −
2
4(2n − 1)(2m + 1)
]
− (m + 1) 2 (m + 2) K m+1,l ,n−1 − (m − 1)α m−1,l ,n−1 + (m + 1)α m+1,l ,n−1 −
+ We ⋅
[
9n(n + 1)
(m + 1) 2 (m + 2) K m +1, l , n +1 − m(m − 1) 2 K m −1, l , n +1 −
4(2n + 3)(2m + 1)
178
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9n  m(m − 1)
K m−2,l ,n +
8(2m + 1)  2m + 1
(m + 1)(m + 2)

+
K m + 2, l , n   ;
2m + 3

− (m + 1)α m+1,l ,n+1 + (m − 1)α m−1,l ,n+1 ] − We ⋅
≡ We ⋅
G2
9n m(m + 1)
[(m − 1)(m + 2) K m+1,l ,n − m(m + 5) K m−1,l ,n ];
4(2m + 1)
9
G3 ≡ We ⋅ n[(m + 1)(l + 1) K m,l ,n + α m,l ,n ];
8
G4 ≡
4 G3
;
3U
α
α m ,l , n  

ρn 
G5 ≡ (m − n − 1) K m,l , n − m,l , n −
m
−
n
+
K
−
(
1)
m ,l , n

 ;
m
n
m
+
+
1
1



G6 ≡
K m,l ,n (2m − n − 2) (n + 2l )α m,l ,n
ρn
−
+
((n − 2m − 3) K m,l ,n +
2
2ml
2(n + 1)
+
(n + 2l + 3)α m,l ,n
(m + 1)(l + 1)
);
 m(4 + 5n + 3m + mn + m 2 )
3
G7 ≡
ρWe ⋅ n
K m−1,l ,n +
2
(
1
)(
2
1
)
n
+
m
+

(m + 2)(2 + n + m − mn + m 2 )
(n − 1)(m + 2)
+
K m+1,l ,n +
K m,l ,n−1 −
(n + 1)(2m + 1)
2n − 1
−
+
(m − 1)α m −1, l , n (n − 1)α m, l , n −1
(n + 1)(m + 2)
K m , l , n +1 +
−
+
2n + 3
(n + 1)(2m + 1) (m + 1)(2n − 1)
(n + 1)α m, l , n +1
(m + 1)(2n + 3)
−
(n + 1)α m +1, l , n 
3n
 ; G8 ≡ ρWe ⋅
×
(n + 1)(2m + 1) 
2(n + 1)(2m + 1)
[
× (m + 1) 2 (m + 2) K m+1,l ,n − m(m − 1) 2 K m−1,l ,n −
− (m + 1)α m +1,l ,n + (m − 1)α m −1,l ,n ];
179
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3
G9 ≡ ρWe ⋅ nm(m + 1) K m,l ,n ;
2
α m ln ≡ − m(m + 1)l (l + 1) C mn 00 l 0 ⋅ Cmn 0−1 l1 ;
(8)
[
]
K m ln ≡ Cmn 00 l 0 2 .
C mn 00 l 0 и Cmn 0−1 l1 – коэффициенты Клебша-Гордана. Присутствие коэффициентов Клебша-Гордана обеспечивает существование лишь конечного количества отличных от тождественного нуля функций неоднородности f n (T0 ) . Так, при начальном возбуждении m-й моды будут отличны от нуля коэффициенты КлебшаГордана (и функции неоднородности) с номерами от 0 до 2m+2.
6. Проводимое рассмотрение ориентировано в основном на
исследование нелинейных осцилляций крупных капель воды в
грозовых облаках. Примем для определенности, что радиус капли
R=100 μm, тогда скорость ее свободного падения в облаке U0=72
cm/s, а число Рейнольда для нее Re=9.61 [128]. Это означает, что
течение воздуха в окрестности капли будет ламинарным, т.е. используемые при формулировке модели условия выполнены. Число Вебера для такой капли будет весьма малым: We ≈ 0.7 ⋅ 10 − 3 .
Такой же порядок малости будет иметь и безразмерная плотность
ρ, входящая в определение функций неоднородности (7) – (8). В
системах (5) – (6) коэффициенты An , Bn , C n , Dn содержат сомножителями числа Вебера We и их комбинации с безразмерной
плотностью ρ вида ρWe . В определения функций неоднородности (7) и коэффициентов G j в различные слагаемые входят со-
множителями We, ρ и ρWe . Из сказанного о численных величинах ρ и We ясно, что величины We, ρ и ρWe имеют один порядок малости (причина такого положения дел в том, что
безразмерная скорость капли U0 при принятых значениях физических величин имеет величину порядка единицы) и решения
систем (5) – (6) можно искать в виде асимптотических разложений по ним.
Безразмерный параметр Рэлея W, характеризующий устойчивость капли по отношению к собственному заряду, в рассматриваемой задаче может изменяться в пределах от 0 до 4. Согласно
180
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
[88] собственные заряды на каплях в грозовых облаках невелики,
и для максимально наблюдаемых их значений величина параметра Рэлея не превышает десятых долей единицы. Тем не менее в
асимптотических расчетах с параметром W будем обходиться как
с величиной нулевого порядка малости.
6а. Примем для определенности, что начальная деформация
капли определена суперпозицией j-й и k-й мод, при этом j > k,
j − k ≥ 4 . Тогда в первом порядке малости по We, ρ и ρWe решения системы (5) с начальными условиями
M (j1)
T0=0:
= hj;
M n(1)
M k(1)
= hk ;
∂M (j1)
∂T0
= 0;
∂M k(1)
= 0;
∂T0
∂M n(1)
= 0;
= 0; n ≠ j; n ≠ k
∂T0
имеют вид
M ((1g)−2) =
M ((1g)−1)
=
D g − 2 ⋅ hg
ω02 g
− ω2g −2
⋅ [cos(ω0 g ⋅ T0 ) − cos(ω g −2 ⋅ T0 )] ;
C g −1 ⋅ hg ⋅ ω0 g
ω02 g − ω2g −1
⋅ [−
ω0 g
ω g −1
⋅ sin(ω g −1T0 ) + sin(ω0 g ⋅ T0 )];
M g(1) = hg ⋅ cos(ω g T0 ) ;
M ((1g)+1) =
M ((1g)+ 2) =
B g + 1 ⋅ h g ⋅ ω0 g
ω2g +1 − ω02 g
Ag + 2 ⋅ hg
ω2g + 2
− ω02 g
⋅ [−
ω0 g
ω g +1
⋅ sin(ω g +1T0 ) + sin(ω0 g ⋅ T0 )];
⋅ [cos(ω g + 2 ⋅ T0 ) − cos(ω0 g ⋅ T0 )];
=j;k,
(9)
где частоты ωn определяются из уравнения
ω2n

9n 2 ((2n + 1)(n 2 − 1) + 3) 

,
= χ(n) n(n − 1)(n + 2 − W ) − We
2(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) 

181
(10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
имеющего смысл дисперсионного уравнения задачи, выписанного в линейном по We, ρWe и ρ приближении, но без учета взаимодействия мод. Это можно сделать, поскольку влияние взаимодействия мод на тангенциальном разрыве поля скоростей на границе раздела сред на вид дисперсионного уравнения проявится
лишь в квадратичном по We, ρWe и ρ приближении. Частоты
ω0 n определяются из уравнения (10) при We=0.
Таким образом, при j − k ≥ 4 рядом с каждой g-й модой
(g=j;k), входящей в спектр мод, определяющих начальную деформацию, за счет гидродинамического взаимодействия на границе раздела сред, на которой имеет место скачок поля скоростей, будут возбуждены еще по четыре моды: g-1, g-2, g+1 и g+2.
Однако амплитуды таких мод будут иметь первый порядок малости по малым параметрам We, ρ и ρWe . Если не задаваться условием j − k ≥ 4 , то в силу линейности системы (5) вид ее решений изменится незначительно: решения будут представлять собой
линейные комбинации функций входящих в (9).
6b. По найденным решениям M n(1) выпишем выражения для
функций неоднородности (7) системы (6). Учитывая сказанное
выше о порядках малости мод, определяющих начальную деформацию, и мод, возбуждаемых за счет линейного взаимодействия
вследствие тангенциального скачка поля скоростей, несложно
видеть, что определяющую роль в нелинейном, квадратичном по
ε , взаимодействии будут играть моды, определяющие исходную
деформацию равновесной формы капли. Поскольку исходной целью проводимого рассмотрения является исследование возможности резонансной раскачки основной моды за счет перекачки в
нее энергии высоких мод, определяющих начальную деформацию капли, то дальнейшие рассуждения ограничим качественным
анализом решения системы (6) – (7), в пренебрежении взаимодействием мод за счет тангенциального разрыва поля скоростей
на границе раздела сред. Бесконечная система связанных неоднородных уравнений (6) – (7) в этом случае превратится в систему
несвязанных неоднородных уравнений гармонического типа с
нулевыми начальными условиями для всех мод, а функция неоднородности, определяемая (7), которую выпишем в уравнений в
182
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нулевом порядке малости по We, ρ и ρWe , существенно упростится. Полученная система в реальности будет описывать нелинейные осцилляции неподвижной заряженной капли в среде. Наличие обдувающего каплю потока проявится лишь в изменении
частоты осцилляций капли, которая определится дисперсионным
соотношением (10). В итоге получим, что в используемом приближении квадратичные по малому параметру ε поправки к образующей формы нелинейно-осциллирующей капли будут иметь
вид [98, 108]
M n( 2) (T0 , T1 ) = −
+
(
)
hl hm ( + )
−)
λ lmn + λ(lmn
cos(ωnT0 ) +
2
l ,m∈Ξ

(
)
hl hm ( + )
−)
cos((ωl − ωm )T0 ) ;
 2 λ lmn cos((ωl + ωm )T0 ) + λ(lmn
l ,m∈Ξ
(
(11)
)
λ(m±l)n = (γ ml n ± ωm ωl ηml n )/ ωn2 − (ωm ± ωl ) 2 ;
γ ml n = χ n K ml n (ω2m (n − m + 1 − ρn(n − m − 1) /( n + 1)) + 2n(l (l + 1) − 1) +
+ (l (m + 1) − m(2m − 2n + 7) + 3)nW / 2) + χ n α ml n ((1 / m −
− nρ /((n + 1)(m + 1)))ω2m + nW / 2) ;
ηml n = (χ n K ml n (n / 2 − m + 1 + ρn(2m + 3 − n) /(2(n + 1))) +
+ (χ n α ml n ((1 + n /(2l )) / m − nρ(n + 2l + 3) /(2(m + 1)(l + 1)(n + 1))) .
7. Несложно видеть, что при выполнении соотношения
ω2n = (ωm ± ωl ) 2 знаменатели некоторых компонент решения (11)
обращаются в ноль, а само выражение (11) расходится, или, иначе говоря, найденные поправки второго порядка малости становятся асимптотически непригодными. Такая ситуация в теории
нелинейных осцилляций интерпретируется как резонансная и
должна анализироваться отдельно, иными математическими методами [83, 98, 108]. С физической точки зрения наличие нелинейной резонансной ситуации означает, что в окрестности резонанса волна с частотой ωn интенсивно обменивается энергией с
183
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
двумя волнами с частотами ωm и ωl (в этом случае говорят о
вторичном комбинационном резонансе) или при m=l дважды
взаимодействует с одной волной частоты ωm = ωl (что интерпретируется как вырожденный резонанс) [83, 98, 108]. Ранее в [126]
было показано, что в рассматриваемой системе при реализации
вырожденного резонансного взаимодействия мод энергия перекачивается только из низших мод в более высокие. Во вторичных
комбинационных резонансах энергия может переноситься в обоих направлениях, как от низких мод к высоким, так и обратно [83,
98, 126]. Единственное, что портит общую картину в этом случае
для заряженной капли нелинейно-осциллирующей в неподвижной диэлектрической среде, так это невозможность во втором порядке малости по амплитуде осцилляций вовлечения в резонансный обмен энергиями основной моды (n=2). Иначе говоря, для
неподвижной заряженной капли, осциллирующей в диэлектрической среде, невозможно перекачать энергию из высоких мод в
основную за счет вторичного комбинационного резонанса, поскольку соотношение ω22 = (ωm ± ωl ) 2 не выполняется ни для каких m и l. В случае же капли, движущейся относительно среды,
частоты ее осцилляций определяются соотношением (11), т.е.
дисперсионное соотношение содержит слагаемое пропорциональное числу Вебера We, и вследствие этого появляется возможность резонансной раскачки основной моды. В самом деле,
введем обозначение
Δω2n ≡ (ωm ± ωl ) 2 − ω2n ,
(12)
где Δω2n = Δω2n (m, l , n,W ,We) и для различных значений n (для нескольких первых мод, в которые перекачивается энергия из более
высоких мод) построим зависимости Δω2n = Δω2n (m, l ) , пересеченные плоскостью Δω2n = 0 , при фиксированных значениях параметров Рэлея W и Вебера We (см. рис.1). Аналогично построим
зависимости Δω2n = Δω2n (W ,We) при фиксированных парах значений номеров мод m и l, определяющих начальную деформацию
(см. рис. 2). На приведенных рисунках условия резонансного обмена энергией строго выполняются на прямых, по которым пересекаются поверхности. Зависимости Δω2n = Δω2n (m, l ) для второй,
184
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
третьей и четвертой мод, проиллюстрированные рис. 1a – c, указывают на широкие возможности перекачки энергии из высоких
мод в низкие. Тем не менее следует указать, что на прямых, по
которым пересекаются поверхности на рис. 1, только конечное
количество точек соответствует целочисленным значениям номеров мод m и l (при построении рис. 1 дискретные переменные m
и l условно приняты меняющимися непрерывно). Остальные точки прямых пересечения поверхностей лишь указывают на близость к положениям точных резонансов. Но само нелинейное
внутреннее резонансное взаимодействие мод, как об этом писалось выше, малочувствительно к малым отклонениям определяющих физических параметров от значений, соответствующих
положениям точных резонансов (см. главу 4).
Рис. 1a
Рис. 1b
Рис. 1c
Рис. 1. Зависимость от номеров мод m и l величины
квадратичной формы Δ ω n2 , определенной соотношением (12),
пересеченная плоскостью Δωn2 = 0 при W=0.1 и We=0.001:
185
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a) n=2; b) n=3; c) n=4
Сказанное означает, что резонансное взаимодействие мод
будет иметь место и в некоторых окрестностях геометрического
места точек, составляющих прямые на рис. 1 – 2, только его интенсивность (доля передаваемой резонансным образом энергии и
характерное время нахождения переданной энергии в раскачиваемой низкой моде) будет несколько меньшей.
Согласно проведенным расчетам основная мода строго резонансно взаимодействует только с третьей модой при условии, что
и основная и третья мода присутствуют в спектре мод, определяющих начальную деформацию (именно эта ситуация проиллюстрирована рис. 2а). Как видно из рис. 2а, точные значения параметров Рэлея и Вебера, при которых реализуется резонансное
взаимодействие, измеряются десятыми долями единицы и несколько превышают принятые при модельном расчете, которые
были оценены исходя из параметров облачной капли радиусом
100 μm. Чтобы согласовать результаты проведенного анализа с
реалиями грозового облака, можно использовать следующие аргументы: а) можно увеличить радиус капли, что приведет к увеличению скорости ее падения, величины параметра Вебера и к приближению его значения к данным рис. 1а; б) можно принять во
внимание слабую зависимость частоты осцилляций от величин
параметров Релея и Вебера при малых их значениях и учесть вышесказанное о малой чувствительности резонансного взаимодействия к незначительным отклонениям определяющих физических
параметров от точных резонансных значений. Можно также скомбинировать первый и второй подходы. Во всяком случае, из сказанного следует, что параметры крупных капель в грозовых облаках (W∼0.1, We ≤ 0.5) таковы, что в каплях возможна перекачка
энергии из возбужденной третьей моды осцилляций в возбужденную вторую моду. Более конкретное и детальное исследование резонансной перекачки энергии между указанными модами требует
отдельного рассмотрения. Пока же можно считать установленным
факт возможности перекачки энергии из третьей моды во вторую.
Энергия же третьей моды может восполняться за счет резонансной
перекачки энергии из более высоких мод (см. рис. 1b).
Расчеты показывают, что по сравнению со второй модой третья мода может резонансно обмениваться энергией уже с сущест186
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
венно большим количеством высоких мод – от четвертой до тринадцатой. Однако наименьшим значениям параметров Рэлея и
Вебера (малость зарядов капель и скоростей их движения, характеризуемых параметрами Рэлея и Вебера, является необходимым
условием для согласования результатов проводимых модельных
расчетов с условиями грозового облака) соответствует ее резонансное взаимодействие с двенадцатой и тринадцатой модами
(см. рис. 2b). Для четвертой моды спектр резонансно с ней связанных мод еще более расширяется (от пятой до тридцать первой), но оптимальными возможностями в смысле малости параметров Рэлея и Вебера обладает проиллюстрированное рис. 2c ее
взаимодействие с тридцатой и тридцать первой модами.
Рис. 2a
Рис. 2b
Рис. 2c
Рис. 2d
187
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2. Зависимость от величин параметров Рэлея W и Вебера We
величины квадратичной формы Δωn2 , определенной соотношением (12),
пересеченная плоскостью Δω n2 = 0 при:
a) n=2; m=2, l=3;
b) n=3, m=12, l=13;
c) n=4, m=30, l=31;
d) n=4, m=6, l=8
На рис. 2а – с рассмотрены ситуации резонансного взаимодействия n-й моды с двумя соседними модами m-й и l-й
( l − m = 1) с более высокими, чем n, номерами. С увеличением
номера n расширяются возможности разброса номеров m-й и l-й
мод, связанных резонансным взаимодействием с n-й модой. На
рис. 2d приведена иллюстрация такой возможности для номеров
n = 4, m = 6, l = 8.
С ростом номера n моды, принимающей энергию от более
высоких m-й и l-й, увеличивается и количество номеров мод m и
l, связанных с n-й резонансным взаимодействием. В итоге складывается следующая возможная картина резонансного переноса
энергии между модами: в основную моду энергия поступает из
третьей, в третью моду энергия поступает из мод с четвертой по
тринадцатую, в четвертую моду – из мод с пятой по тридцать
первую и т.д. Можно предположить, что в движущейся относительно среды нелинейно-осциллирующей заряженной капле существует направленный к основной моде поток энергии из спектра более высоких мод, обязанный своим существованием вторичному комбинационному резонансному взаимодействию мод.
Результатом переноса энергии из высоких мод (которые регулярно возбуждаются за счет столкновения рассматриваемой крупной
капли с более мелкими и медленнее движущимися в облаке капельками) в основную будет раскачка амплитуды осцилляций основной моды до наблюдаемой в натурных условиях величины
(сравнимой с радиусом капли [28, 127]). Следует, однако, отметить, что одновременно в капле будет существовать встречный
поток энергии из низших мод в более высокие, поддерживаемый
вырожденным резонансным взаимодействием мод. Физические
закономерности взаимодействия этих встречных потоков энергии
в рассматриваемой колебательной системе не очевидны и должны составить предмет отдельного исследования.
188
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проведенное исследование положений внутренних нелинейных резонансов в заряженной капле идеальной несжимаемой
жидкости, ламинарно обдуваемой потоком идеальной несжимаемой диэлектрической среды малой плотности, на нелинейной
стадии осуществлено в пренебрежении взаимодействием мод на
тангенциальном скачке поля скоростей на границе раздела сред, а
функция неоднородности (7) выписывалась в нулевом приближении по параметрам We, ρ и ρWe . Если отказаться от этих предположений, то в решении задачи появятся дополнительные слагаемые первого и второго порядков малости по We, ρ и ρWe , но
резонансные слагаемые в решении сохранятся. Учет взаимодействия мод на тангенциальном разрыве поля скоростей приведет к
появлению квадратичных по We, ρ и ρWe поправок к точным
положениям резонансов, но основные выводы данной работы сохранятся неизменными.
8. Наличие относительного движения заряженной капли и
среды приводит к существенному расширению спектра внутренних нелинейных резонансов, реализующихся в нелинейноосциллирующей капле. В крупной заряженной капле в грозовом
облаке принципиально возможен резонансный перенос энергии
из высоких мод осцилляций в основную, реализующийся уже во
втором порядке малости по амплитуде деформации и приводящий к раскачке сфероидальных осцилляций капли, наблюдаемых
в естественных условиях.
189
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Нелинейные осцилляции заряженной
капли во внешних силовых полях
1. Исследование нелинейных осцилляций заряженной капли,
начатое два десятилетия назад и продолжающееся до настоящего
времени, связанное с большим количеством академических, технических и технологических приложений, в которых приходится
сталкиваться с заряженной каплей, позволило выявить много физически значимых особенностей реализации осцилляций и неустойчивости капель по отношению к собственному заряду. К сожалению, того же нельзя сказать об исследовании нелинейных осцилляций заряженной капли во внешнем электростатическом
поле, физическом объекте, также встречающемся в значительном
количестве приложений. Это связано с тем, что аналитическое
асимптотическое исследование данного объекта существенно более громоздко по сравнению с просто заряженной каплей, ввиду
наличия нескольких малых параметров (здесь уместно отметить,
что математическая громоздкость необходимых расчетов является
основной трудностью расчетов нелинейных осцилляций конечных
объемов жидкости с подвижной границей). На сегодняшний день
выполнено лишь два нелинейных аналитических асимптотических исследования осцилляций и устойчивости незаряженной капли в однородном внешнем электростатическом поле: в квадратичном приближении по амплитуде осцилляций [129] и в приближении ∼5\2 [122]. За исключением [122, 129], все работы по расчету
осцилляций сфероидальных незаряженных капель и заряженных
капель в однородном внешнем электростатическом поле выполнены лишь в линейном приближении по амплитуде осцилляций
[130 – 133]. Причина такого положения дел в громоздкости уже
линейной по амплитуде осцилляций задачи, содержащей два независимых малых параметра. Эксцентриситет e равновесной в однородном внешнем электростатическом поле сфероидальной формы
электропроводной капли, характеризующий отклонение от равновеликой по объему сферы, может рассматриваться в качестве первого малого безразмерного параметра. Отношение амплитуды начальной виртуальной деформации равновесной сфероидальной
190
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
формы к радиусу равновеликой сферы образуют второй малый
параметр ε. Наличие гравитационного поля и собственного заряда
капли еще более усложняют задачу.
В настоящей работе проводится рассмотрение нелинейных
осцилляций заряженной капли, неподвижно висящей в суперпозиции коллинеарных гравитационного поля и внешнего однородного электростатического поля с сохранением слагаемых  ε ⋅ e 2
и  ε 2 . Следует отметить, что именно такие подвесы наряду с усложняющими картину дополнительными устройствами, создающими аэродинамические или электромагнитные поля, используются экспериментаторами для проверки критерия устойчивости
капли по отношению к собственному заряду [100 – 104].
2. Для проведения корректных расчетов в указанном порядке
малости на первом этапе определим равновесную форму поверхности капли идеально электропроводной несжимаемой идеальной
жидкости, имеющей заряд Q (который для определенности примем положительным), помещённой в однородное
внешнее элек
тростатическое поле напряженностью Е0 . Для того чтобы система координат, связанная с центром масс капли, сохраняла свою
инерциальность, необходимо наличие в пространстве гравитаци
онного поля g ||- Е0 , обеспечивающего неподвижность капли (так,

чтобы сила тяжести mg уравновешивалась противоположно на
правленной силой QЕ0 ). Примем, что жидкость имеет плотность
ρ, коэффициент поверхностного натяжения на границе с вакуумом σ и в отсутствие электростатического и гравитационного полей капля имеет сферическую форму с радиусом R. Все рассмотрение проведем в безразмерных переменных, в которых
ρ = σ = R = 1.
Ограничим проводимое рассмотрение анализом осесимметричных начальных деформаций капли и будем искать равновесную форму поверхности капли в сферических координатах в виде
разложения по полиномам Лежандра
∞
r (θ ) = 1 + f (θ ) = 1 +  an Pn ( μ ) ;
n=0
191
μ ≡ cos(θ ) .
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Малые ( an << 1) амплитуды мод an должны быть определены из условия баланса давлений на искомой равновесной поверхности
(eq ) + p(eq ) = p(eq )
p0(eq ) − patm + pEQ
σ .
g
(2)
Здесь p0( eq ) – давление жидкости внутри равновесной капли,
patm – атмосферное давление, p(eq ) , p(geq ) и p(eq ) – давления на
EQ
σ
поверхность (1): электрическое, гравитационное и сил поверхностного натяжения соответственно.
Помимо условия (2), необходимо потребовать выполнения
условий неизменности объёма капли и неподвижности её центра
масс:
π r (θ )
4
2
 d V = 2 π   r sin (θ ) dr dθ = π ;
3
0 0
V

V
π r (θ )

r d V = 2π 


er r 3 sin (θ ) dr dθ = 0 .
0 0
Используя разложение (2.1) и вычисляя необходимые интегралы,
получим, что амплитуды нулевой и первой мод в нём определяются соотношениями
∞ 9 ( k + 1) a
ak2
k +1 ak
+ Ο ak3 ; a1 ≈ − 
+ Ο ak3 ,
k = 2 ( 2 k + 1)
k = 2 ( 2 k + 1)( 2 k + 3)
∞
a0 ≈ − 
( )
( )
(3)
т.е. амплитуды нулевой и первой мод имеют более высокий порядок малости, чем амплитуды колебательных мод (с n ≥ 2).
Поскольку давление электрического поля pE приводит к искажению равновесной сферической формы капли, то, следовательно, оно должно иметь тот же порядок малости, что и вызванное им искажение. Введём формально параметр α, характеризующий величину отклонения равновесной формы капли от
сферы, т.е. f (θ ) ~ an ~ α ( ∀ n ≥ 2 ) . В силу сказанного выше полуE02
1
2
чим pE ~ ~ α и, следовательно, E0 ~ α (а значит, такой же порядок малости будет иметь и потенциал электрического поля поляризационного заряда). Поскольку заряд не нарушает сферичности равновесной формы капли в отсутствие внешнего
192
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
электрического поля, то Q ~ α 0 . Гравитационное поле в свою очередь должно удерживать центр масс капли в неподвижном со1
стоянии, поэтому g ~ Q ⋅ E0 ~ α 2 . Кроме того, из соотношений (3)
следует, что a0 , a1 ~ Ο (α 2 ) .
Выпишем выражения для входящих в (2) гравитационного
давления и давления сил поверхностного натяжения:
(
)
eq
pg( ) = g  r ( 0 ) − r (θ ) μ  ≈ g (1 − μ ) + Ο α 3 / 2 ;
( eq )
pσ
2σ
R
≈
−
σ
R
2
∞
(4)
 ( 2 − n ( n + 1)) a P ( μ ) + Ο (α ) .
2
n n
(5)
n =0
Для того чтобы выписать аналогичное разложение для давления электрических сил на равновесную поверхность капли
2
1
( eq )
pEQ
=
∇ Φ ( eq )
, следует решить электростатическую
8π
r =r (θ )
(
)
задачу:
Δ Φ ( eq ) = 0 ;
r → ∞:
r = r (θ ) :
Φ ( eq ) → − E0 r μ ;
π

2π  ( n ⋅ ∇Φ ( eq ) )
0
r = r (θ )
Φ ( eq ) = const
sin (θ ) dθ = −4π Q .
Представляя искомый потенциал электростатического поля в
окрестности равновесной поверхности в виде ряда по полу целым
степеням параметра α
Φ ( eq ) ≈ Φ 0 + α 2 Φ 12 + α Φ1 + α 2 Φ 3 2 + Ο (α 2 )
( eq )
1
( eq )
( eq )
3
( eq )
и решая последовательно соответствующие краевые задачи различных порядков малости, найдем
Φ
( eq )
∞
Q
1

≈ − E0 μ r 1 − 3  + Q  an r − ( n+1) Pn ( μ ) +
r
 r 
n=2
(6)
∞ 
 2 a2

 − ( n+1)
n + 1)
(
n
an−1 +
an+1  ⋅ r
Pn ( μ )  + Ο (α 2 ) .
+3 E0  2 μ +  
( 2 n + 3) 
n =2  ( 2 n − 1)
 5 r

193
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( eq )
В результате давление электрического поля pEQ
на равновесную
поверхность капли с точностью до слагаемых ~ α запишется в
виде
( eq )
pEQ
1
≈
8π
∞
3
 2

2
2
2
2
+
+
+
−
+
Ο
Q
QE
μ
E
μ
Q
a
n
P
μ
α
.
6
9
2
1
(
)
(
)

0
0
n
n


n=2


( )
Подставим данное выражение, а также выражения (4) и (5) в
условие баланса давлений (2) и приравняем слагаемые одинакового порядка малости по α. В нулевом порядке получим равенство, описывающее баланс давлений на поверхности заряженной
сферической капли в отсутствии внешних полей. Приравнивая
1
слагаемые, имеющие порядок малости ~ α 2 , получим необходимое условие неподвижности центра масс заряженной капли в
электрическом и гравитационном полях:
g=
3
Q ⋅ E0 .
4π
(7)
Рассмотрение слагаемых первого порядка малости по α позволяет определить амплитуду второй моды в разложении (1), в
то время как амплитуды всех остальных мод имеют более высокий порядок малости. В результате с точностью до слагаемых ~ α
искомая равновесная форма поверхности капли запишется в виде
( ) ≈1 + (
r (θ ) ≈1 + a2 P2 ( μ ) + Ο α
3
2
3 E02
16 π −Q
2
)
( )
P2 ( μ ) + Ο α
3
2
(8)
Сравним это выражение с разложением в ряд по эксцентриситету
e в сферических координатах уравнения вытянутой сфероидальной поверхности
rsph (θ ) ≈1 + 13 e 2 P2 ( μ ) + Ο ( e 4 )
и получим, что равновесную форму поверхности заряженной капли в гравитационном и слабом электростатическом полях (при
e 2 << 1) можно считать вытянутым сфероидом с точностью до
слагаемых ~ e 2 , квадрат эксцентриситета которого связан с зарядом капли и напряженностью электростатического поля соотношением
194
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
e ≡
9 E02
(16π − Q )
2
Q2
W≡
;
4π
36 w
≡
;
(4 −W )
E02
w≡
16 π
(9)
Для нижеследующих расчетов нелинейных осцилляций капли в
порядке малости ~ε · е2 знания равновесной формы капли с точностью до слагаемых ~е2 достаточно. Согласно (9) величина эксцентриситета равновесной сфероидальной формы капли определяется двумя параметрами: W – параметром Рэлея, характеризующим устойчивость поверхности капли по отношению к
собственному заряду, и w – параметром Тейлора, характеризующим устойчивость поверхности электропроводной капли по отношению к внешнему электростатическому полю, т.е. по отношению к индуцированному заряду.
Отметим, что если в (6) использовать для равновесной поверхности капли вместо исходного выражения (1) полученное
выражение (8), то потенциал Φ (eq ) можно записать в виде
Φ
( eq )
 1 2e2 

Q
e2
3
2 
( r ,θ ) = 1 − 2 1 − 3 μ  − E0 r μ 1 − 3 − 3 1 − 2 3 − 5 μ 2   + Ο α 2
r  6r


 r 5r  4r
(
)
(
)
( ).
(10)
Таким образом, равновесный потенциал в окрестности заряженной слабо сфероидальной капли, находящейся во внешнем однородном электростатическом поле, представляет собой суперпозицию потенциала заряженного сфероида в отсутствии внешнего
электростатического поля и потенциала незаряженного сфероида
в электростатическом поле.
3. Для того чтобы исследовать нелинейные осцилляции поверхности капли, примем, что в начальный момент времени t=0
равновесная слабо сфероидальная форма капли с эксцентриситетом e претерпевает осесимметричное возмущение ξ (θ ,t ) фиксированной конечной амплитуды ε , много меньшей, однако, радиуса капли (ε << 1). Зададимся целью найти спектр возникающих
капиллярных осцилляций капли (форму капли) при t > 0 , полагая,
что форма капли осесимметрична как в начальный, так и во все
последующие моменты времени. Запишем уравнение её поверхности в виде:
r (θ , t ) = r (θ ) + ξ (θ , t ) = 1 + 13 e 2 P2 ( μ ) + ξ (θ , t ) ≡ 1 + e 2 h (θ ) + ξ (θ , t ) .
(11)
195
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Движение жидкости в капле, вызванное начальной виртуальной деформацией равновесной слабо сфероидальной поверхности, будем полагать потенциальным с потенциалом поля скоро
стей ψ ( r , t ) . Естественно принять, что потенциал ψ и поле скоро
стей V ( r, t ) = grad (ψ ( r, t ) ) являются величинами того же порядка
малости, что и возмущение ξ (θ ,t ) , т.е. ψ, V~ε. Поскольку скорости гидродинамических движений жидкости в капле много
меньше скорости распространения электромагнитных взаимодействий, будем считать электрическое поле в окрестности капли

электростатическим, описываемым потенциалом Φ(r , t ) так, что

для напряженности поля будем иметь E = − grad (Φ ) .
Математическая формулировка решаемой задачи имеет вид

Δψ (r , t ) = 0

ΔΦ (r , t ) = 0 ;

(12)
r → 0:
ψ (r , t ) → 0
(13)
r→∞:

Φ (r , t ) → − E0 r μ ;
(14)
∂ξ ∂ψ
1 ∂ξ ∂ψ
=
− 2
∂ t ∂ r r ∂θ ∂θ
(15)
r=r(θ)+ ξ(θ, t):
Δp−
∂ψ 1
− (∇ψ ) 2 + pEQ + pg = pσ
∂t
2

Φ (r , t ) = Φ S (t )
 r dr sin θ dθ dϕ =
2
V
4π
3
(16)
(17)
, V = 0 ≤ r ≤ r (θ ) + ξ (θ , t ), 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π  (18)

e
r
⋅ r 3dr sin θ dθ dϕ = 0
(19)
V

2
(
n
 • ∇Φ) r sin θ dθ dϕ = − 4π Q
S
S =  r = r (θ ) + ξ (θ , t ), 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π 
t=0:
ξ (θ , t ) = ξ0 P0 ( μ ) + ξ1 P1 ( μ ) + ε  hi Pi ( μ )
i∈Ξ
196
(20)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∂ξ (θ , t )
=0 ;
∂t
h =1 .
i
(21)
i∈Ξ
В выражениях (16) – (21) введены обозначения: Δp – перепад
постоянных давлений внутри и вне капли в состоянии равновесия;
1
(∇Φ ) 2 – давление электрического поля на равновесной
pEQ =
8π
поверхности капли; pg = ( r (θ ) + ξ (θ , t ) ) θ =0 − ( r (θ ) + ξ (θ , t ) ) ⋅ μ  g – дав
ление гравитационного поля; pσ = divS n – давление сил поверх
ностного натяжения (divs – поверхностная дивергенция); n – единичный вектор нормали к поверхности (11); Φ S (t ) – постоянное
вдоль поверхности капли значение электрического потенциала;
ε – амплитуда начального возмущения формы поверхности капли,
являющаяся малым параметром задачи; Pi ( μ ) – полиномы Лежандра порядка i; hi – коэффициенты, определяющие парциальный вклад i-й колебательной моды в суммарное начальное возмущение; Ξ – множество значений номеров мод, определяющих начальную деформацию; ξ 0 и ξ1 – константы, определяемые из
условий (18) и (19) в начальный момент времени, зависящие от
вида начальной деформации и с точностью до слагаемых порядка
малости ∼ ε ⋅ e 2 и ∼ ε 2 , равные
 2 hi2

2
2

ξ0 ≡ ε ξ0 ≈ − ε
+ ε ⋅ e 2 hi ⋅ δ i ,2  + O ( ε 3 ) ;
15
( 2i + 1)
i∈Ξ 


ξ1 ≡ ε 2ξ1 ≈ − ε 2
i∈Ξ


9 i hi −1 hi
9
+ ε ⋅ e 2 hi ⋅ δ i ,3  + O ( ε 3 ) .
35
( 2i − 1)( 2i + 1)

Задача (11) – (21) содержит два малых параметра: e – эксцентриситет равновесной слабо сфероидальной формы капли и ε –
амплитуду начальной деформации ξ равновесной формы. Корректное рассмотрение такой задачи невозможно без предварительного определения соотношения величин этих двух параметров. Очевидно, что первичный анализ нелинейного взаимодействия возбужденных колебательных мод как между собой, так и с
отклонением равновесной формы капли от сферы, как минимум,
требует учёта в разложениях слагаемых, имеющих порядок мало197
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сти ~ξ 2 и ~е2 · ξ. При этом пренебрежение слагаемыми порядка
~ξ 3, ~е2 · ξ2 и ~е4 · ξ наиболее естественно, если сделано предположение, что е2~ ξ (т.е. e 2 ~ ε ), обеспечивающее фактически переход от двух малых параметров к одному. В таком случае, поскольку сфероидальность равновесной формы капли связана с
наличием внешнего электрического поля и его давлением на поверхность капли, будем полагать, что E02 ~ e 2 (см. (9)) и, следовательно, E0 ~ ε 2 . Кроме того, имея в виду соотношение (7), при1
мем g ~ E0 ~ ε 2 .
Введём формальные параметры β e , β E , β g ~ Ο (1) в соответст1
вии
со
следующими
равенствами:
E0 = β E ε 2 ,
1
g = βg ε 2 ,
1
e 2 = β e ε . Эти параметры нужны только для того, чтобы выделить
в явном виде порядки малости в рассматриваемой задаче и в конечном решении легко вернуться к величинам E0 , g и e 2 .
4. Будем решать сформулированную задачу в рамках теории
возмущений методом многих масштабов. Искомые функции
ξ (θ , t ) , ψ ( r , t ) , Φ ( r , t ) представим в виде разложений по степеням
малого параметра ε . Однако, в отличие от ранее рассматривавшихся задач о нелинейных осцилляциях заряженных капель в отсутствии внешних силовых полей, теперь разложение необходимо проводить не только по целым, но и по полуцелым степеням
параметра ε . Это позволит учесть влияние на осцилляции капли
гравитационного давления (т.к. g ~ ε 1 2 ) и перекрёстных слагаемых электрического давления ( ~ Q ⋅ E0 ~ ε 1 2 ). В рамках расчетов
указанного порядка малости будем в соответствии с основной
идеей метода многих временных масштабов считать все искомые
величины зависящими не просто от времени t, а от трёх его масштабов, определенных через малый параметр ε : Tm ≡ ε m t
( m = 0; 1 2; 1) . В итоге получим
ξ (θ , t ) = εξ (1)(θ , T0 , T1 2 , T1 ) + ε 3 2ξ ( 3 2 ) (θ , T0 , T1 2 ) + ε 2ξ ( 2 ) (θ , T0 ) + O ( ε 5 2 ) ;
ψ ( r , t ) = εψ (1)( r , T0 , T1 2 , T1 ) + ε 3 2ψ ( 3 2 ) ( r , T0 , T1/ 2 ) + ε 2ψ ( 2 ) ( r , T0 ) + O ( ε 5 2 ) ;
198
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)
Φ ( r , t ) = Φ ( eq ) ( r ) + ε Φ (1) r , T0 , T1 2 , T1 + ε
+ε Φ
2
( r ,T0 ) + O (ε
( 2)
5/ 2
)
3/ 2
(
)
Φ ( 3/ 2 ) r , T0 , T1 2 +
, (22)
где Φ ( eq ) определяется (10).
Для входящих в динамическое граничное условие (16) давлений электрического pEQ и гравитационного pg полей, а также
сил поверхностного натяжения pσ примем следующие разложения:
( )
()
(
pEQ = pEQ
+ ε pEQ
(ξ ) + ε 3 2 pEQ
pg = pg(
eq )
pσ = pσ(
eq )
3 2)
1
eq
+ ε pg( ) (ξ ) + ε 3 2 pg(
3 2)
1
+ ε pσ( ) (ξ ) + ε 3 2 pσ(
(ξ ) + ε 2 pg( 2) (ξ ) + O ( ε 5 2 ) ;
3 2)
1
( 2)
(ξ ) + ε 2 pEQ
(ξ ) + O ( ε 5 2 ) ;
(ξ ) + ε 2 pσ( 2) (ξ ) + O ( ε 3 ) ,
(23)
( eq )
где компоненты pEQ
, pg( eq ) , pσ( eq ) являются давлениями на равновесной слабо сфероидальной поверхности капли и определяют ее
равновесную форму.
Используя разложения (22), (23), из системы (11) – (21) можно получить набор краевых задач разных порядков малости для
определения функций ξ ( m ) , ψ ( m ) и Φ ( m ) ( m = 1; 3 2; 2 ) .
Каждая из функций ψ ( m ) и Φ ( m ) является решением соответствующего уравнения Лапласа (12) с граничными условиями (13)
в силу линейности (12), (13). Поправки Φ ( m ) к равновесному потенциалу Φ ( eq ) , связанные с осцилляциями поверхности капли,
должны стремиться к нулю по мере удаления от поверхности.
Поэтому необходимые решения, удовлетворяющие нулевым условиям либо в центре капли, либо на бесконечности, для функций
различных порядков малости при ( m = 1; 3 2; 2 ) запишем в виде
ψ
( m)
∞
( r ,θ , t ) =  Dn ( t ) r
n =1
( m)
n
Pn ( μ ) ,
Φ
( m)
∞
( r ,θ , t ) =  Fn( m ) ( t ) r −( n+1) Pn ( μ ) .
n =0
(24)
В виде аналогичных разложений по полиномам Лежандра
представим и последовательные поправки к форме образующей
поверхности капли:
199
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ξ
(m)
∞
(θ , t ) =  M n( m ) ( t ) Pn ( μ ) ,
( m = 1; 3 2; 2 ) .
n=0
(25)
5. Коэффициенты Dn(1) ( t ) , Fn(1) ( t ) , M n(1) ( t ) , определяющие
временную эволюцию решений первого порядка малости для искажения формы поверхности капли ξ (1) (θ ,t ) , гидродинамическо-
го ψ (1) ( r ,θ , t ) и электростатического Φ (1) ( r ,θ , t ) потенциалов, находятся из системы уравнений, получающейся из (14) – (21)
группировкой слагаемых, содержащих первую степень параметра
ε и связанных с искажением равновесной формы капли. Подставим в эту систему решения (24), (25) для случая m = 1 и выразим
1
1
1
Dn( ) ( t ) и Fn( ) ( t ) через эволюционные коэффициенты M n( ) ( t ) :
( ∀ n ≥ 1)
(1)
n
D
D0(1) ( t ) = 0 ;
(1)
1 ∂ Mn
(t ) =
(t )
∂ T0
n
F0(1) ( t ) = 0 ;
Fn(1) ( t ) = Q M n(1) ( t ) ;
;
M 0(1) ( t ) = 0 ;
M 1(1) ( t ) = 0 .
(26)
Для определения M n(1) ( t ) при n ≥ 2 получим дифференциальное уравнение
∂ 2 M n( ) ( t )
1
2
0
∂T
ωn2 = n ( n − 1)( n + 2 − W ) ,
+ ωn2 M n( ) ( t ) = 0 ;
1
(27)
где ωn – частоты собственных осцилляций поверхности заряженной капли. Решениями уравнения (27) являются функции, гармонически зависящие от времени T0 , при этом амплитуда и фаза
этих колебаний могут зависеть от других временных масштабов
T1 2 и T1 :
(
)
M n(1) ( t ) = An(1) T1 2 , T1 exp ( iωnT0 ) + ( к.с.) ;
(
)
(
)
(
(
An(1) T1 2 , T1 = an(1) T1 2 , T1 exp i bn(1) T1 2 , T1
)) .
(28)
Здесь и далее аббревиатура "(к.с.)" обозначает слагаемые,
комплексно сопряженные к выписанным. Зависимость вещественных функций an(1) (T1 2 , T1 ) и bn(1) (T1 2 , T1 ) от времён T1 2 и T1 мо200
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жет быть определена только при рассмотрении задач следующего
порядка малости.
Система уравнений порядка малости 3/2 для определения
функций Dn( 3 2 ) ( t ) , Fn( 3 2 ) ( t ) , M n( 3 2 ) ( t ) , получающаяся из (14) – (21)
группировкой слагаемых при ε3/2 после подстановки туда решений (24), (25), будет содержать слагаемые, учитывающие взаимодействие возмущения ξ (θ ,t ) с гравитационным и электростатическим полями. Учитывая решения первого порядка (26), (28),
получим выражения для Dn( 3 2 ) ( t ) и Fn( 3 2 ) ( t ) в виде
( ∀ n ≥ 1)
(3 2)
n
D
1  ∂ Mn
( t ) = 
n

Fn(3 2) ( t ) = Q M n(3 2) ( t ) + 3 β E 
(3 2)
∂ T0
n
 ( 2 n − 1)
D0(3 2) ( t ) = 0 ;
F0(3 2) ( t ) = 0 ;
(t )
+
∂ M n(1) ( t ) 
∂ T1 2
M n(1)−1 ( t ) +
M 0(3 2) ( t ) = 0 ;
 ;

n +1
( 2 n + 3)

M n(1)+1 ( t )  ;
M 1(3 2) ( t ) = 0 .

(29)
Зависимость эволюционных коэффициентов M n( 3 2 ) ( t ) при
n ≥ 2 от времени T0 определяется из решения неоднородного
дифференциального уравнения:
∂ 2 M n( 3 2 ) ( t )
∂T02
(3 2)
+ ω Mn
2
n
( t ) = −2i ωn
∂ An(1)
∂ T1 2
exp(iωnT0 ) +
 3Q
 n2
+  βE
An(1)−1 ( t ) exp(iωn−1T0 ) +
( 2n − 3 ) − β g 
 4π
 ( 2n − 1)

3Q

4π
+  βE
 n ( n + 1)
( 2n − 1) − β g 
 ( 2n + 3)
An(1)+1 ( t ) exp(iωn+1T0 ) + ( к.с.) .
(30)
Чтобы решение этого уравнения не содержало секулярных
членов, необходимо потребовать обращения в ноль слагаемых в
функции неоднородности, пропорциональных exp ( i ωnT0 ) , описывающих внешнее воздействие с частотой ωn , равной частоте соб201
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ственных колебаний n-й моды. Записывая необходимое условие
( dAn(1) dT1 2 ) = 0 , получаем, что решения первого порядка малости
(26), (28) не зависят от временного масштаба T1 2 , а общее решение уравнения (30) может быть представлено в виде
M n(
3 2)
( t ) = An(3 2) (T1 2 ) exp(iωnT0 ) +
 3Q
 n2
(1)
+ 2
 β E 4 π ( 2n − 3) − β g  2n − 1 An−1 exp(iωn−1T0 ) +
2
)
(ωn − ωn−1 ) 
(
1
+
 3Q
 n ( n + 1) (1)
β
β
2
n
−
1
−
An+1 exp(iωn+1T0 ) + ( к.с.) ; (31)
(
)
g 
 E 4π
2
2
2
n
+
3
ω
ω
−
(
)
( n n+1 ) 

1
( )
( ) ( ( )) .
(T ) , b (T ) – действительные функции, завиAn(3 2) T1 2 = an(3 2) T1 2 exp i bn(3 2) T1 2
(3 2)
Здесь an(3 2) 1 2
n
12
симость которых от T1 2 может быть определена лишь при решении
задачи
второго
порядка
малости.
Параметры
β E , β g , β e ~ Ο (1) вводятся в соответствии с равенствами
E0 = β E ε 1 2 , g = β g ε 1 2 , e 2 = β e ε , для того чтобы была возможность различать в полученных решениях вклады, порожденные
действием внешних электрического и гравитационного полей и
происходящие из-за стационарной деформации равновесной
формы капли. Так, из (31) видно, что в приближении ~ ε 3/2 стационарная сфероидальная деформация ~ β е на форме поверхности капли и согласно (4.4) на поправках к полю скоростей и электрическому полю не сказывается.
6. Подставим в (14) – (21) решения (24), (25) с индексом
m = 2 и, группируя слагаемые при ε 2 , получим систему уравнений второго порядка малости для отыскания функций Dn( 2 ) ( t ) ,
Fn(
2)
(t ) ,
M n(
2)
( t ) . Из получившейся системы, используя решения
более низких порядков малости (26), (28), (29), (31), выразим коэффициенты Dn( 2 ) ( t ) и Fn( 2 ) ( t ) через эволюционные коэффициен-
ты M n( m ) ( t ) ( m = 1; 3 2; 2 ) :
202
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( ∀ n ≥ 1)
1  ∂M n
( 2)
(t ) = 
n
( 2)
n
D
(t )
∂T0

+
∂M n(3 2) ( t )
+
∂T1 2
∂M n(1) ( t )
∂T1
−
 ( n + 1)2 ( n + 2 ) ∂M n(1)+2 ( t )
( n − 1) n ( n + 1) ∂M n(1) ( t ) 
−βe 
+
 −
 2 ( 2n + 3)( 2n + 5 ) ∂T0
3 ( 2n − 1)( 2n + 3) ∂T0 

 ( n − 3)( n − 1) n ∂M n(1)−2 ( t ) 
−βe 
−
 2 ( 2n − 1)( 2n − 3) ∂T0 
∞
∞
− 
k =0 m=0
1
m
( ( m − 1) mK
k ,m,n
− α k ,m,n ) M



 ( 2 n − 1)
Fn( 2) ( t ) = QM n(3 2) ( t ) + 3 β E 
n
(1)
k
(t )
M n(3−12) ( t ) +
∂M m(1) ( t ) 
∂T0
n +1
( 2 n + 3)
;


M n(3+12) ( t )  +



n 2 ( n − 1)
n ( n + 1)( n + 2 )
+Q β e 
M n(1)−2 ( t ) +
M n(1) ( t )  +
3 ( 2n − 1)( 2 n + 3)
 2 ( 2n − 3)( 2 n − 1)

∞ ∞
( n + 1)( n + 2 )( n + 4 ) (1)

+Q β e
M n+ 2 ( t ) + Q  mK k ,m ,n M k(1) ( t ) M m(1) ( t )  ;
2 ( 2n + 3)( 2 n + 5 )

k =0 m =0
D0( 2) ( t ) = 0 ; F0( 2) ( t ) = 0 ;
M
( 2)
0
∞
( t ) = −
k =0
M
(2)
1
∞
( t ) = −
k =0
1
M (t ))
(
( 2k + 1)
(1)
k
9k
( 2k − 1)( 2k + 1)
2
− βe
2
15
M 2(1) ( t ) ;
M k(1)−1 ( t ) M k(1) ( t ) − β e
9
35
M 3(1) ( t ) .
Для отыскания эволюционных коэффициентов второго порядка малости M n( 2 ) ( t ) получим неоднородное дифференциальное
уравнение:
∂M n(
2)
(t )
2
0
∂T
+ ωn2 M n(
203
2)
(T0 ) =
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(3 2)

dA
(T1 2 )  exp(iω T ) +
dAn(1) (T1 )
n
=  −2 i ωn
+ G1( n) An(1) (T1 ) − 2 i ωn

n 0
dT
dT
1
12


+G 2( n) ⋅ An(1)+ 2 exp(iωn+ 2T0 ) + G 3( n) An(1)−2 exp(iωn−2T0 ) +
+G 4( n) An(3+12) exp(iωn+1T0 ) + G 5( n) An(3−12) exp(iωn−1T0 ) +
+
∞
1
∞
( γ
{

2
k mn
k =0 m =0
(
)
(
)
+ γ mkn + ωk ωm η k mn + η mkn  Ak(1) Am(1) exp(i[ωk + ωm ]T0 ) +
)
(
}
)
+  γ k mn + γ mkn − ωk ωm η k mn + η mkn  Ak(1) Am(1) exp(i[ωk − ωm ]T0 ) + ( к.с.) ;
(32)
2


 2
ωn2  9 β E2 ( 2 ( n − 1) n ( 2n + 3 ) − 1) 
n
G1 ≡ 
 β e ( n + 1)  n +
+
+
π
2
n
−
1
2
n
+
3
n
−
1
n
4
2
n
+
1
(
)(
)
(
)
(
)





2
3
1
( n − 1) n  3 Q
+ 2
( 2n − 3) − β g  +
 βE
2
ωn −1 − ωn ( 2n − 1)( 2n + 1)  4π

(
)
2
( n + 1)3 n  3 Q
 
+ 2
( 2n − 1) − β g   ;
 βE
2
+
+
2
n
1
2
n
3
4
π
−
ω
ω
(
)(
)

 
( n +1 n )
1
 ( 8 − 7 n − 3n 2 ) ( n − 1)2

G 2( n) ≡
−
+
n
+
4
−
W
β
β
(
)  −


2
n
( 2n + 3)( 2n + 5 )  4π e 

n ( n + 1)( n + 2 ) 
2
E
9n
 3Q
 3 Q

− 2
β
( 2n − 1) − β g  β E ( 2n + 1) − β g   ;
 4π
 
(ωn+1 − ωn2+2 )  E 4π
( n + 1)
G 3( n) ≡


×  β E2
9
4π
( n − 2 ) − β e 
n 2 ( n − 1)
( 2n − 3)( 2n − 1)
×
1

−12 + 11n − 3n ) − ( 9 − 5n + n ) ( n − W )  +
(
n
2

1
2
204
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 3Q
 3 Q

+ 2
β
( 2n − 3) − β g  β E ( 2n − 5 ) − β g   ;
 4π
 
(ωn−1 − ωn2−2 )  E 4π
( n − 1)
G 4( n) ≡
G5 ≡
γ
kmn
=K
n ( n + 1) 
3Q
( 2n − 1) − β g  ;
 βE
( 2n + 3)  4π

n2
 3Q
( 2n − 3) − β g  ;
 βE
( 2n − 1)  4π

ω 2 n − k + 1 + 2n k 2 + k − 1 + W n 3 + m k + 1 − k 2k − 2n + 7  +
(
) (
) )
) 2( ( ) (
kmn  k

n
1
+α kmn  ωk2 + W  ;
2
k
2
K kmn = Ckn00m 0  ;
n

η kmn = K kmn  − k + 1  + α kmn
2

1
1 +
k
n 

2m 
α kmn = − k ( k + 1) m ( m + 1) Ckn00m 0Ckn(0−1) m1 ,
где Ckn00m 0 , Ckn(0−1) m1 – коэффициенты Клебша-Гордана.
Необходимость исключения из решений уравнения (32) секулярных слагаемых приводит к требованию, чтобы первая квадратная скобка в функции неоднородности (правой части (32)) обращалась в ноль. Этого можно добиться, если положить
−2 i ωn
dAn(1) (T1 )
dT1
(1)
n
+ G1( n) A
(T1 ) = 0 ,
( ) = 0.
dAn(3 2) T1 2
dT1 2
(33)
Согласно второму из этих уравнений амплитуды порядка малости 3/2 от временного масштаба T1 2 не зависят, следовательно,
в (4.6) an(3 2) и bn(3 2) – константы, для определения которых необходимо учесть начальные условия. Первое из уравнений (33) позволяет определить зависимость амплитуд первого порядка малости от медленного временного масштаба T1 . Выражая в нём
An(1) (T1 ) через действительные функции an(1) (T1 ) , bn(1) (T1 ) и требуя
обращения в ноль действительной и мнимой частей уравнения,
несложно получить
G1(n)
an(1) (T1 ) = an(0) ,
(34)
bn(1) (T1 ) = −
T1 + bn(0) ,
2 ωn
205
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где an(0) и bn(0) – константы, определяемые из начальных условий.
Величины bn(1) (T1 ) определяют поправки к частотам собственных колебаний поверхности капли, связанные с отклонением
её равновесной формы от сферической и наличием в окружающем пространстве электростатического и гравитационного полей.
С учётом (34) амплитуды колебательных мод первого порядка
малости M n(1) ( t ) вместо (4.3) запишутся в виде

M n(1) ( t ) = 2 an( ) cos  ωn − ε
0
G1( n) 

( )
 t + bn  .
0
(35)
2 ωn 


Выражения для амплитуд второго порядка малости M n(2) (T0 )
(n ≥ 2) получим, решая уравнение (32) с учётом соотношений
(33):
M n(2) ( t ) = An(2) exp(iωnT0 ) + χ n+ 2 An(1)+ 2 exp(iωn+ 2T0 ) + χ n−2 An(1)−2 exp(iωn−2T0 ) +
+ χ n+1 An(3+12) exp(iωn+1T0 ) + χ n−1 An(3−12) exp(iωn−1T0 ) +
∞
∞
{
(36)
}
+  λk( mn) Ak(1) Am(1) exp(i[ωk + ωn ]T0 ) + λk( mn) Ak(1) Am(1) exp(i[ωk − ωn ]T0 ) + ( к.с.) ;
k = 0 m =0
+
χ n+ 2 =
χ n−1 =
−
G 2( n)
(ω
2
n
− ωn2+ 2
G 5( n)
(ω
2
n
− ωn2−1
)
;
)
;
χ n−2 =
(±)
=
λkmn
G 3( n)
(ω
1
2
n
((γ
− ωn2−2
k mn
2
)
χ n+1 =
;
)
G 4( n)
(ω
(
2
n
− ωn2+1
+ γ mkn ± ωk ωm η k mn + η mkn
ωn2 − (ωk ± ωm )2 


)
)) .
Принятое ограничение точности данного рассмотрения вторым порядком малости позволяет определить зависимость коэффициентов M n(2) лишь от временного масштаба T0 . В связи с этим
в (36) следует принять An(2) = an( 2 ) ⋅ exp ( i ⋅ bn( 2 ) ) , An(1) = an( 0 ) ⋅ exp ( i ⋅ bn( 0 ) ) ,
а действительные константы an( 2 ) и bn( 2 ) , так же как и an( 0 ) , bn( 0 ) ,
an( 3 2) , bn( 3 2) , определятся из начальных условий.
206
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Начальные условия (21) подстановкой в них разложения
(22) для возмущения ξ (θ , t ) превращаются в систему начальных
условий для функций разных порядков малости:
∂ ξ (1)
∂ ξ (3 2) ∂ ξ (1)
(1)
(3 2)
= 0; ξ
= 0;
+
= 0;
t = 0 : ξ =  hi Pi ( μ ) ;
ξ
(2)
∂ T0
∂ T0
i∈Ξ
∂ ξ ( 2)
= ξ 0 P0 ( μ ) + ξ1 P1 ( μ ) ;
∂ T0
+
∂ ξ (3 2)
∂ T1 2
+
∂ T1 2
∂ ξ (1)
∂ T1
= 0.
Учёт (25) и полученных в ходе решения соотношений
dM dT1 2 = 0 и dM n(3 2) dT1 2 = 0 позволяет привести данную систему к виду
(1)
n
t = 0:
M
∂ M n(3 2) ( t )
∂ T0
(1)
n
= 0;
( t ) = hi δ i ,n ;
M
(2)
n
∂ M n(1) ( t )
∂ T0
= 0;
M n(3 2) ( t ) = 0 ;
∂ M n(
( t ) = ξ0 δ n,0 + ξ1 δ n ,1 ;
2)
∂ T0
(t )
∂ M n( ) ( t )
1
+
= 0,
∂ T1
где i ∈ Ξ, δ i , j – дельта-символ Кронекера.
Подставим в систему начальных условий решения (31), (35),
(36) и после определения действительных констант an( 0 ) , bn( 0 ) ,
an(
3 2)
, bn( 3 2 ) , an( 2 ) , bn( 2 ) получим в окончательном виде
M n(1) ( t ) = hi δ i ,n cos [(ωn − εδ n ) t ] ;
δ n ≡ G1( n) 2 ωn ;
( n ≥ 2)
M n(
3 2)
( t ) = − ( hn−1 χ n−1 + hn+1 χ n+1 ) cos (ωn t ) + hn−1 χ n−1 cos (ωn−1 t ) + hn+1 χ n+1 cos (ωn+1 t ) ;

M n(2) ( t ) = − 

( ( 2n + 3)( n + 1)( χ
n ( 2n + 1)
hn
n +1
)
2
+ ( 2n − 1)( n − 1)( χ n −1 )
2
)+


( n + 1)( n + 2 )
+ hn+ 2  χ n+2 − χ n+1 2
( β E Q1 ( 2n + 1) − β g )  +
2

−
2
n
+
5
ω
ω
(
)
( n+1 n+2 )




( n − 1)2
+ hn−2  χ n−2 − χ n−1 2
( β E Q1 ( 2n − 5) − β g )  cos (ωn t ) +
2

ω
ω
−
2
n
−
3
(
)
(
)
n −1
n−2

 
+ hn+2 χ n+2 cos (ωn+2 t ) + hn−2 χ n−2 cos (ωn−2 t ) +
207
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 ( 2n + 3) hn χ n+1 hn+2 ( n + 2 ) ( Q1β E ( 2n + 1) − β g ) 
−
 cos (ωn+1 t ) +
2
2
 n ( 2n + 1)

ω
−
ω
2
n
+
5
)
( n+1 n+2 ) (


+ χ n+1 ( n + 1) 
 ( 2n − 1)
hn−2 ( n − 1) ( β E Q1 ( 2n − 5 ) − β g ) 
+ χ n−1 ( n − 1) 
hn χ n−1 −
 cos ( ωn−1 t ) +
2
2
n
2
n
+
1
ω
−
ω
2
n
−
3
(
)
(
)
(
)
n −1
n−2


+ 
i∈Ξ j∈Ξ
hi h j
2
{λ ( ) cos ( (ω + ω ) t ) − cos (ω t ) + λ ( ) cos ( (ω − ω ) t ) − cos (ω t )} ;
+
−
ijn
Q1 ≡
3Q
4π
( 2)
M0
i
j
2)
1
( t ) = −
( t ) = −
ijn
M 0( ) ( t ) = M 1( ) ( t ) = M 0(
;
i∈Ξ
M 1(
n
1
hi2
( 2 i + 1)
9i hi −1 hi
i∈Ξ ( 2 i − 1)( 2 i + 1)
( cos (ω t ) )
i
2
i
3 2)
j
n
( t ) = M 1(3 2) ( t ) = 0 ;
− βe
2
15
h2 cos (ω 2 t ) ;
cos (ω i −1 t ) cos (ω i t ) − β e
9
35
h3 cos (ω 3 t ) .
(37)
Таким образом, окончательно для формы поверхности осциллирующей заряженной капли, находящейся во внешнем однородном электрическом и гравитационном полях, запишем следующее выражение:
∞
r (θ , t ) = 1 + e P2 ( μ ) + ε  M n( ) ( t ) Pn ( μ ) +
1
3
2
1
n=0
∞
+ε 3 2  M n(
n =0
3 2)
∞
( t ) Pn ( μ ) + ε 2  M n( 2) ( t ) Pn ( μ ) + O ( ε 5 2 ) ,
n =0
(38)
в котором амплитуды M n ( t ) ( i = 1; 3 2; 2 ) определяются по формулам (37).
8. Особенностью проведенных расчетов и финальных выражений (37) – (38) является то, что основные физические параметры задачи не независимы, а связаны между собой соотношением
неподвижности центра масс (7) и выражением для эксцентриситета равновесной сфероидальной формы капли (9). В итоге эксцентриситет заряженной капли, подвешенной в электростатическом и гравитационном полях, в области малых зарядов будет
уменьшаться с ростом заряда W , а в области зарядов, близких к
критическому по Рэлею значению, – увеличиваться [134]. В об208
(i )
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ласти величин зарядов, соответствующих значениям параметра
Рэлея 1 ≤ W ≤ 3 эксцентриситет практически не меняет своего
значения, по-видимому, увеличение поверхностной плотности
собственного заряда капли компенсируется уменьшением поверхностной плотности заряда, индуцированного внешним электростатическим полем.
Нелинейные поправки к частотам ε · δn появляются в рассматриваемой задаче не из-за нелинейного взаимодействия мод,
как при исследовании нелинейных осцилляций заряженной капли, а благодаря отличию равновесной формы капли от сферической, гравитации и взаимодействию заряда капли с электростатическим полем [134]. Они имеют первый порядок малости по амплитуде отклонения, зависят от величины заряда капли, наличия
электрического и гравитационного полей и приводят к уменьшению частот, следствием чего является снижение критических условий реализации неустойчивости капли по отношению к суперпозиции собственного и индуцированного заряда в соответствии
с соотношением (ω2 − εδ 2 ) 2 ≈ ω22 − 2εδ 2 = 0 . Причем данный эффект будет существенен как при малых собственных зарядах капель и больших напряженностях электростатического поля, так и
наоборот – при больших зарядах и малых напряженностях.
Количество и положения внутренних нелинейных резонансов, характеризующихся слагаемыми в (37), пропорциональными
(±)
, стремящимися к бесконечности при выполкоэффициентам λkmn
нении условий ωn2 = (ωk ± ωm ) 2 , в использованном порядке приближений не зависят от наличия внешних полей, определяются
только зарядом капли и не отличаются от ранее проанализированной ситуации свободной заряженной капли.
Результаты численных расчетов по (37) – (38) форм нелинейно-осциллирующих заряженных капель, подвешенных в гравитационном и электростатическом полях, в различные моменты времени показывают [134], что при нелинейных осцилляциях заряженных капель, подвешенных в электростатическом и гравитационном полях, а именно такого типа устройства используются
для проверки справедливости критерия Рэлея, с вершины капли с
большой кривизной может начаться сброс избыточного заряда
(см. сказанное выше о снижении критических условий реализа209
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ции неустойчивости), что приведет к искажению получаемых в
экспериментах данных [100 – 104].
Нелинейные поправки к амплитудам нулевой M 0(2) (t ) и первой (трансляционной) M 1(2) (t ) мод содержат слагаемые, пропорциональные косинусам частот основной (второй) и третьей мод
соответственно, обращающиеся в ноль при отсутствии номеров
этих мод в спектре, определяющем начальную деформацию. В
ситуации нелинейно-осциллирующей заряженной капли такие
слагаемые отсутствовали, и их появление связано с наличием
стационарной деформации капли в электрическом поле.
Появление в анализируемой задаче по сравнению со случаем
свободных заряженных капель в форме образующей (38) слагаемого  ε 3 / 2 , связанно с присутствием гравитационного и электростатического полей. При E0 → 0 g → 0 , обсуждаемое слагаемое
обращается в ноль.
Спектр нелинейно-осциллирующих мод в рассматриваемой
ситуации совпадает со спектром мод нелинейно-осциллирующей
свободной капли, однако сами реализующиеся осцилляции в рассматриваемой ситуации имеют другие амплитуды и более сложную структуру.
9. Нелинейные осцилляции заряженной капли, подвешенной
в коллинеарных гравитационном и однородном электростатическом полях, обладают рядом особенностей, не встречающихся
при нелинейных осцилляциях свободной заряженной капли. В
частности, изменяется форма образующей капли, а нелинейные
поправки к частотам появляются уже в расчетах второго порядка
малости, обязаны своим происхождением равновесной деформации капли во внешних силовых полях и приводят к снижению устойчивости капли по отношению к поверхностному заряду.
210
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Влияние вязкости жидкости
на нелинейные осцилляции
заряженной капли
7.1. Временная эволюция формы поверхности
деформированной в начальный момент времени
заряженной капли вязкой жидкости
в линейном приближении
1. Задача аналитического расчета нелинейных осцилляций
заряженной капли до сих пор решалась лишь в приближении идеальной жидкости [1, 29, 52, 69, 71, 73, 82 – 83], нелинейные анализы осцилляций вязких капель до сих пор выполняются лишь
численными методами [9 – 11]. Попытка аналитического асимптотического расчета нелинейных осцилляций капли с произвольной вязкостью, предпринятая в [135], привела к весьма громоздким выражениям на финальной стадии анализа и трудностям
чисто математического плана. Представляется, однако, что в предельных ситуациях весьма большой и весьма малой вязкости отмеченные в [135] трудности удастся обойти. В этой связи в настоящем рассмотрении решается задача об исследовании временной эволюции формы заряженной капли вязкой жидкости,
деформированной в начальный момент времени, в линейном по
амплитуде осцилляций приближении, и получаются асимптотики
большой и малой вязкости. Следует отметить, что в ранее проведенных рассмотрениях линейных осцилляций заряженной капли
вязкой жидкости основным результатом линейной теории являлось дисперсионное уравнение задачи, анализ которого позволял
судить о режимах осцилляций и об устойчивости капли [45, 136 –
138], а начальные условия вообще не входили в постановку задачи. Исследования временной эволюции формы осциллирующей
капли сводились к выписыванию асимптотических выражений
для декрементов затухания. В связи со сказанным проводимый в
настоящей работе анализ представляет качественно иной подход
к анализу осцилляций капли вязкой жидкости в рамках линейной
теории, являясь, по сути, линейной стадией решения задачи о
расчете нелинейных осцилляций вязкой капли.
211
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Пусть сферическая капля радиуса r0 идеально проводящей
несжимаемой вязкой жидкости с плотностью ρ , кинематической
вязкостью v, коэффициентом поверхностного натяжения σ несет
Q. Поле скоростей течения жидкости в капэлектрический заряд

ле обозначим U (r ,ϑ , t ) , поле давлений – P(r ,ϑ , t ) , потенциалы
электрического поля в окрестности капли и на ее поверхности
обозначим φ(r ,ϑ , t ) и φS (t ) соответственно. Уравнение поверхности капли, совершающей осесимметричные осцилляции, в любой
момент времени t запишем в сферической системе координат r,
ϑ , φ в виде
F (r , ϑ, t ) = r − r0 − ξ(ϑ, t ) ;
(1)
с начальным условием
ξ = ε  hm Pm ( μ ), μ ≡ cos ϑ ,
t = 0:
(2)
m∈Ω
где ε – малый параметр, характеризующий амплитуду начального
возмущения; Pm (μ) – полином Лежандра порядка m; Ω – множество индексов изначально возбужденных мод; hm – константы,
учитывающие парциальный вклад m-й моды в формирование начальной формы капли, такие что  hm = O(1) .
m∈Ω
Математическая формулировка задачи о расчете капиллярных колебаний заряженной капли, форма которой определяется
(1)-(2), вязкой несжимаемой электропроводной жидкости имеет
вид [136 – 137]:
(
)
1
∂ t U + U ⋅ ∇ U = − grad p + ν Δ U ;
ρ
t = 0:
U = 0;
r → 0:
U < ∞;
r → +∞ :
∇φ → 0 ;
r = r0 + ξ(ϑ, t ) :
φ = φ S (t ) ;
212
div U = 0 ;
(
Δφ = 0 ;
)
∂t F + U ⋅ ∇ F = 0;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)
(
)
τ ⋅ n ⋅∇ U + n ⋅ τ ⋅∇ U = 0;
 n ⋅ ∇φ
( )
− p + 2 ρ ν n ⋅ n ⋅ ∇ U − pQ + p σ = 0 ;
S = {r , ϑ, ϕ r = r0 + ξ; 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π};
dS = −4πQ ;
S
2
 r sin ϑ dr dϑ dϕ =
V
4π 3
r0 ;
3
V = {r , ϑ, ϕ 0 ≤ r ≤ r0 + ξ; 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π};
→
r
r 2 sin ϑ dr dϑ dϕ = 0 ,
V

где символ ∂ t означает частную производную по переменной t; n

и τ – единичные вектора нормали и касательной к поверхности
капли; pσ и pQ – давления сил поверхностного натяжения и электрического поля собственного заряда определяются выражениями
1
(∇ φ)2 ,
pQ =
pσ = σ ∇ ⋅ n .
8π
3. Поскольку выписанная система уравнений является нелинейной, то для отыскания ее решения в рамках метода прямого
разложения [53-54] все искомые величины задачи представим в
виде рядов по малому параметру ε :
(
)
( )
ξ(ϑ, t ) = ε ξ(1) (ϑ, t ) + O ε 2 ;
( )
U (r , ϑ, t ) = ε U r(1) (r , ϑ, t ) er + ε U ϑ(1) (r , ϑ, t ) eϑ + O ε 2 ;
( )
(r , ϑ, t ) + O(ε );
(t ) + O(ε ).
p(r , ϑ, t ) = p ( 0) (r , ϑ, t ) + ε p (1) (r , ϑ, t ) + O ε 2 ;
φ(r , ϑ, t ) = φ( 0) (r , t ) + ε φ(1)
φS (t ) = φ(S0) (t ) + ε φ(S1)
2
2
3а. Подставляя эти разложения в выписанную систему уравнений и приравнивая коэффициенты при нулевой степени малого
параметра, получим систему уравнений нулевого порядка малости
Δφ( 0) = 0 ;
213
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∇φ ( 0 ) → 0 ;
r → +∞ :
1
 r0 ∂ r φ
r = r0 :
2
(0)
d (cos ϑ) = −2Q ;
φ(0) = φ(S0) (t ) ;
−1
− p ( 0) − pQ( 0) + pσ(0) = 0 ,
решая которую, найдем
φ
(0)
Q
= ;
r
φ(S0)
Q
= ;
r0
p
(0)
2σ
Q2
.
+
=
4
r
8 π r0
0
(3)
3b. Выделяя слагаемые, содержащие малый параметр в первой степени, и учитывая векторное тождество
(
)
(
)
Δ U = grad div U − rot rot U ,
получим задачу первого порядка малости, которая будет иметь
вид
1
ctg (ϑ)
1
(1)
∂ t U r(1) = − ∂ r p (1) + ν  2 ∂ ϑϑU r(1) +
∂
U
−
ϑ
r
2
ρ
r
r

1
ctg (ϑ)
1
ctg (ϑ) (1) 
− ∂ rϑU ϑ(1) −
∂ rU ϑ(1) − 2 ∂ ϑU ϑ(1) −
Uϑ  ;
r
r
r
r2

∂ t U ϑ(1) = −
11
2
1


∂ ϑ p (1) + ν  ∂ rr U ϑ(1) + ∂ r U ϑ(1) − ∂ rϑ U r(1)  ;
ρr
r
r


ctg (ϑ) (1)
2
1
∂ r U r(1) + U r(1) + ∂ ϑ U ϑ(1) +
Uϑ = 0 ;
r
r
r
ξ(1) = ε  hm Pm (μ ) ;
t = 0:
r → 0:
r = r0 :
Δφ(1) = 0
U
(1)
= 0;
m∈Ω
U
(1)
< ∞;
r → +∞ :
∇φ(1) → 0 ;
1
1
∂ rU ϑ(1) + ∂ ϑU r(1) − U ϑ(1) = 0 ;
r
r
∂ t ξ(1) = U r(1) ;
214
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
–
1
 (r0 ∂ r φ
(1)
)
1
∂ r φ(0) ∂ r φ(1) + ξ(1) ∂ rr φ(0) −
4π
− p (1) + 2 ρ ν ∂ r U r(1) −
σ
(2 + Δ Ω )ξ(1) = 0 ;
2
r0
(
))
+ ξ(1) r0 ∂ rr φ(0) + 2 ∂ r φ( 0) d (μ ) = 0 ;
−1
φ(1) + ξ(1) ∂ r φ(0) = φ(S1) (t ) ;
1
ξ
(1)
1
ξ
d (μ) = 0;
−1
(1)
P1 (μ ) d (μ) = 0 ,
(4)
−1
где Δ Ω – угловая часть оператора Лапласа.
4. В системе (4) выполним преобразование Лапласа по времени, то есть от функций перейдем к их изображениям [139]:
F (S ) =
+∞
 f (t ) exp(− S t ) d t ;
f = U r(1) ; f = U ϑ(1) ;
0
f = p (1) ; f = ξ (1) ; f = φ(1) ; f = φ(S1) .
Изображения Лапласа разложим по бесконечному набору полиномов Лежандра:
U r(1) (r , ϑ, S ) =
ξ
(1)
+∞
U r(1n) (r , S ) Pn (μ ) ; U ϑ(1) (r , ϑ, S ) =

n=0
+∞
(ϑ, S ) = 
n=0
p
ξ(n1)
(1)
(S ) Pn (μ ) ;
φ
 U ϑ(1n) (r , S ) ∂ ϑ Pn (μ ) ;
n =0
+∞
(r , ϑ, S ) =  φ(n1) (r , S ) Pn (μ ) ;
n =0
+∞
(r , ϑ, S ) = 
(1)
+∞
n =0
pn(1) (r , S ) Pn (μ ) ;
В результате чего система (4) примет вид
1
S U r(1n) (r , S ) = − ∂ r pn(1) (r , S ) +
ρ
215
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
1
1

+ ν n (n + 1)  ∂ rU ϑ(1n) (r , S ) + 2 U ϑ(1n) (r , S ) − 2 U r(1n) (r , S ) ;
r
r
r

S U ϑ(1n) (r , S ) = −
(6)
1
2
1


pn(1) (r , S ) + ν  ∂ rrU ϑ(1n) (r , S ) + ∂ rU ϑ(1n) (r , S ) − ∂ rU r(1n) (r , S ) ;
r
r
ρr


(7)
2
n (n + 1) (1)
∂ rU r(1n) (r , S ) + U r(1n) (r , S ) −
U ϑ n (r , S ) = 0 ;
r
r
U r(1n) (r , S ) < ∞ ;
r → 0:
U ϑ(1n) (r , S ) < ∞ ;
S ξ(n1) (S ) − hn = U r(1n) ;
r = r0 :
1
1
∂ rU ϑ(1n) (r , S ) + U r(1n) (r , S ) − U ϑ(1n) (r , S ) = 0 ;
r
r
− pn(1) (r , S ) + 2 ρ ν ∂ rU r(1n) (r , S ) −
+
1 +∞

−1 n = 0
ξ(n1)
(S ) Pn (μ ) d (μ) = 0;
1 +∞
(1)
  ξn (S ) Pn (μ ) P1(μ ) d (μ) = 0;
(10)
(11)
)
(12)
(13)
−1 n = 0
2
∂ r φ(n1) (r , S ) − n (n + 1) φ(n1) (r , S ) = 0 ;
r
∂ r φ(n1) (r , S ) → 0 ;
r → +∞ :
(9)
1
∂ r φ ( 0) ∂ r φ (n1) (r , S ) + ξ (n1) (S ) ∂ rr φ (0) +
4π
σ
(1)
(
)(
)
n
+
2
n
−
1
ξ
n (S ) = 0 ;
2
r0
∂ rr φ(n1) (r , S ) +
r = r0 :
(
(8)
φ(n1) (r , S ) → 0 ;
(14)
(15)
1 +∞
(1)
(1)
( 0)
( 0)
  (r0 ∂ r φn (r , S ) + ξn (S ) (r0 ∂ rr φ + 2 ∂ r φ )) Pn (μ ) d (μ ) = 0 ;
−1 n = 0
(16)
φ(n1) (r , S ) + ξ(n1) (S ) ∂ r φ(0) = φ(S1) (S ) δ n 0 ,
где δn 0 – символ Кронекера.
216
(17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение системы (6) – (17) начнем с решения уравнений (13),
которые с учетом условия ортогональности полиномов Лежандра
приводят к условиям ξ(01) (S ) = ξ1(1) (S ) = 0 . Используя эти условия и
решение нулевого порядка малости, (3) нетрудно найти решение
системы уравнений (14)-(17), которое имеет вид
φ(S1)
(S ) = 0 ;
φ(n1)
(r , S ) = Q2  r0 
r0  r 
n +1
ξ(n1) (S ) .
(18)
Для того чтобы найти поля скоростей жидкости и давления в
капле, из уравнения неразрывности (8) выразим U ϑ(1n) (r , S ):
U ϑ(1n) (r , S ) =
r
2 (1)


(1)
 ∂ rU r n (r , S ) + U r n (r , S ) ,
n (n + 1) 
r

(19)
а из уравнения (7) pn(1) (r , S )
2
1


pn(1) (r , S ) = − S ρ r U ϑ(1n) (r , S ) + ρ ν r  ∂ rrU ϑ(1n) (r , S ) + ∂ rU ϑ(1n) (r , S ) − ∂ rU r(1n) (r , S ) .
r
r


(20)
Выражения (19) и (20) подставим в (6), после чего оно примет вид [18]
(n − 1)(n + 2)   ∂ + 4 ∂ − (n − 1)(n + 2) − S  U (1) (r , S ) = 0 .
4

 ∂ rr + ∂ r −
  rr
 rn
r
r
r
ν
r2
r2


(21)
Решение уравнения (21), удовлетворяющее условиям ограниченности (9), имеет вид
U r(1n) (r , S ) = An (S ) r n −1 + Bn (S )
1  S 
jn 
r  ,
r  ν 
(22)
где An (S ) , Bn (S ) – произвольные постоянные, jn – модифицированная сферическая функция Бесселя первого рода порядка n.
Подставляя (22) в (19) и (20), найдем U ϑ(1n) (r , S ) и pn(1) (r , S ) :
Uϑ(1n) (r, S ) =

1
1  S
 An (S ) (n + 1) r n−1 + Bn (S ) jn 
n (n + 1) 
r  ν

 S 
r  + Bn (S ) ∂ r jn 
r   ;
ν



(23)
217
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Sρ n
r .
(24)
n
Подставив теперь (3), (18), (22) – (24) в уравнения (10) – (12)
получим систему трех уравнений для отыскания зависимостей
An (S ) , Bn (S ) , ξ(n1) (S ):
pn(1) (r , S ) = − An (S )
(
)
r0 S ξ (n1) (S ) − hn = An (S ) r0n + Bn (S ) j n (χ ) ;
(
)
2 An (S ) (n − 1)(n + 1) r0n + Bn (S ) (n − 1)(n + 2) jn (χ ) + χ 2 ∂ χχ jn (χ ) = 0 ;
(
ω n2 r03 ξ (n1) (S ) + An (S ) r0n 2 n ν (n − 1) + r02 S
)
+ 2 n ν Bn (S ) (χ ∂ χ j n (χ ) − j n (χ )) = 0 ;
S
χ=
r0 ;
ν
ω n2
(25)
2


Q
n + 2 −
.
(
)
=
n
n
−
1
3
3

ρ r0
4πσ r0 

σ
Используя рекуррентные соотношения для модифицированных сферических функций Бесселя [140]
∂ χ j n (χ ) = j n +1 (χ ) +
n
n +1
j n (χ ) ; ∂ χ j n (χ ) = j n −1 (χ ) −
j n (χ );
χ
χ

n(n − 1) 
2
 j n (χ ) − j n +1 (χ )
∂ χχ j n (χ ) = 1 +
χ
χ 2 

из системы (25) найдем функции ξ (n1) (S ), An (S ) , Bn (S ) и, подставляя их в выражения (22) – (24), получим
ξ (n1)

(S ) =  S + 2(n − 1)(2n + 1) ν2 + 2(n − 1)2 (n + 1) ν2
r0
r0

U r(1n)
 χ jn (χ ) 
1 −

(
)
2
j
χ


n +1
−1
2
 2

r
S  1 j n (χ )
0



(r , S ) =   2 n − 1 +
− 1 ×

ν  2 χ j n +1 (χ ) 

(
)
−1
 χ jn (χ )  ω2n hn  r 
 

× 1 −
(
)
(
)
2
j
χ
D
S

 r0 

n +1
n
218
n −1
+
 h
n

;
 Dn (S )

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2 j n +1 (χ ) 

+ 2 n 2 − 1 1 −
 χ j n (χ ) 
(
)
−1
hn 1  S 
ω 2n ν
j n 
r  ;
r0 S j n (χ ) D n (S ) r  ν 
−1

 χ jn ( χ ) 
r02 S  1 jn ( χ )
(1)
2
U ϑ n ( r, S ) =   2 n − 1 +
1
1−
−

 ×



j
j
2
2
ν
χ
χ
χ
(
)
(
)
n +1
n +1




(
ω2n hn  r 
×
 
n Dn ( S )  r0 
)
n −1
 2 jn +1 ( χ ) 
+ 2 ( n − 1) 1 −

j
χ
χ
(
)
n


−1
ω2n ν
hn
r0 S jn ( χ ) n Dn ( S )
 n +1  S 
 S 
S



+
j
r
j
n +1 
 ν r   ;
 r n ν 
ν





pn(1)
 2

r02 S  1 jn (χ )

×

(r , S ) = −   2 n − 1 +
−
1

ν  2 χ jn +1 (χ ) 

(
)
−1
 χ jn ( χ )  S ρω2n hn r n
;
× 1 −

n −1
j
χ
2
n
D
S
r
(
)
(
)
n +1
0
n


(26)
−1
S ν  χ jn (χ ) 
 + ω2n .
Dn (S ) = S 2 + 2(n − 1)(2n + 1) 2 + 2(n − 1) (n + 1) 2 1 −
r0  2 jn +1 (χ ) 
r0
Sν
2
Из вида выражений (26) видно, что они имеют особые точки,
положение которых определяется условием Dn ( Sn( k ) ) = 0 . Уравнение же Dn ( Sn( k ) ) = 0 представляет собой дисперсионное уравнение
задачи и имеет бесконечное число решений, в каждом из которых
функция 1 Dn ( Sn( k ) ) имеет полюс первого порядка. Кроме того,
(
)
каждое из выражений (26) при S → ∞ стремится к нулю, что позволяет в формуле обратного преобразования Лапласа
γ +i ∞
1
f (t ) =
F (S ) exp(S t ) d S
2π i γ −i ∞
219
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
интеграл вдоль прямой Re S = γ заменить контурным интегралом,
охватывающим всю левую часть комплексной плоскости, и применить к этому интегралу теорему о вычетах. В результате формула обращения примет вид
+∞
[
]
f (t ) =  Выч F (S ) ⋅ exp(S t ), S k .
k =1
(27)
Подставляя (26) в (5), используя формулу обращения (27) и
начальные условия, найдем выражения для отклонения поверхности капли от равновесной сферической и полей давления и
скоростей течения жидкости в капле:
ξ (1) (ϑ, t ) =
U r(1) (r , ϑ, t ) =
U ϑ(1) (r , ϑ, t ) =
где
U r(1n)
U ϑ(1n)
+∞ 
(r , t ) =   a
k =1 
+∞ 
 U r(1n) (r , t ) hn Pn (μ );
n∈Ω
n∈Ω

n∈Ω
p n(1) (r , t ) hn Pn (μ ) ,
(t ) =  a ξ (S n( k ) ) exp(S nk
+∞
k =1
( )
Sn( k )
r
 
 r0 
( )
(r , t ) =   a S n( k )
k =1 
n∈Ω
 U ϑ(1)n (r , t ) hn ∂ ϑ Pn (μ ) ;
p n(1) (r , ϑ, t ) =
ξ (n1)
 ξ (n1) (t ) hn Pn (μ ) ;
r
 
 r0 
n −1
+b
n −1
( )
S n( k )
+b
( )
Snk
(
(
)
t ;
(
(
)
)
1 jn η(nk ) r 
(k )
exp
S
t ;
n
r jn η(nk ) r0 

)
)
(
 1 j n η (nk ) r
η (nk ) j n +1 η (nk ) r

 r j η(k ) r + n + 1 j η( k ) r
 n n 0
n
n
0
η(nk ) ≡ Sn( k )ν −1 ; pn(1) ( r , t ) = − ρ r0
+∞
a ( Sn( k ) ) Sn( k )

k =1
220
(28)
(
(
)
)  exp(S t ) ;
)   n
(k )
n
(
)
n
(k )
 r  exp Sn t
;
 
r
n
 0
(29)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ν
ν
aξ S n( k ) =  S n( k ) + 2(n − 1)(2n + 1) 2 + 2(n − 1)2 (n + 1) 2
r0
r0

−1
 χ j n (χ )  
1
1 −

;
(k )

(
)
χ
2
j
∂
D
S

  S n n
n +1
( )
( )
a
( )
S n( k )
2
(k ) 
 2

r
S
j n (χ )
0
n

 1
−
1
=   2 n − 1 +


ν  2 χ j n +1 (χ ) 

(
)
−1
 χ jn (χ ) 
ωn2
1 −

;
(k )
(
)
2
χ
j
∂
D
S


n +1
S n n
( )
b
 2 j n +1 (χ ) 

= 2 n 2 − 1 1 −
 χ j n (χ ) 
( ) (
S n( k )
)
−1
ω n2 ν
( )
r0 S n( k ) ∂ S D n S n( k )
( )
∂ S D n S n( k ) = 2 S n( k ) + 2(n − 1)(2n + 1)
ν
r02
2
(
2n + 1)χ jn (χ ) χ 2   jn (χ )   
ν 

1− 
+ (n − 1) (n + 1) 2 2 +
+
jn +1 (χ ) 2   jn +1 (χ )   
2
r0 



2
;
+
 χ j n (χ ) 
1 −

(
)
2
j
χ


n +1
−2
.
Отметим, что в выражениях (29), определяющих коэффициенты разложений (28) ξ (n1) (t ) , U r(1n) (r , t ), U ϑ(1)n (r , t ) , p n(1) (r , t ) , сум-
мирование ведется по бесконечному набору корней уравнения
Dn ( Sn( k ) ) = 0 .
5. Рассмотрим случай маловязкой жидкости, т.е. ситуацию, в
которой вязкость жидкости является настолько малой, что аргумент сферической модифицированной функции Бесселя принимает достаточно большие значения, чтобы было справедливо
асимптотическое разложение [140]
(
)
 1 
exp(χ )  n(n + 1) n n 2 − 1 (n + 2 )
 ;
1−
j n (χ ) =
O
+
+
 χ3 
2
2 χ 
2χ
8χ
 
χ → ∞.
(30)
221
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( ) ( ) ( )
( )
Выпишем выражения для a ξ S n(k ) , a S n(k ) , b S n(k ) , D n S n(k ) ,
ограничиваясь двумя первыми слагаемыми в ряде (30):

ν
a ξ S n( k ) =  S n( k ) + 2(n − 1)(2n + 1) 2 + O ν 3 / 2

r0

( )
a
( )
S n( k )
b
(

ν
= −1 + 2 n 2 − 1 2 ( k ) + O ν 3 / 2

r0 S n

(
( )
S n( k )
)
(

ν
3/ 2
=  2 n 2 −1
+
ν
O

r0 S n( k )

(
)
( )= ( )
2
S n( k )
D n S n( k )

1
( )
∂ S D n S n( k )
;

ω 2n

;
 ∂ D S (k )
 S n n
)
( )

ω 2n

;
 ∂ D S (k )
 S n n
(
+ 2(n − 1)(2n + 1)
)
)
( )
S n( k ) ν
r02
(
)
+ ω 2n + O ν 3 / 2 .
(31)
Из (31) видно, что в приближении малой вязкости дисперсионное уравнение Dn ( Sn( k ) ) = 0 имеет только два комплексно сопряженных корня S n+ = −δn + iωn и S n− = −δ n − iωn , где
δ n = ( n − 1)( 2n + 1) v / r02 , поэтому в выражениях (29) вместо беско-
нечных сумм будем иметь сумму по двум значениям S n(1) = Sn+ и
S n(2) = Sn− . При этом коэффициенты (29) примут более простой
вид:
δ


ξ (n1) (t ) =  cos(ω n t ) + n sin (ω n t ) exp(− δ n t ) ;
ωn


U r(1n)

(r , t ) = − r
 r0
− (n
2
n −1


 ω n sin (ω n t ) − 2 n 2 − 1 ν cos(ω n t ) exp(− δ n t ) −


r02


(
)
( S ν r ) exp(− i ω t ) + j ( S ν r ) exp(i ω t ) exp(− δ
− 1)

r r  j ( S ν r )
j ( Sν r)

ν  jn
0
U ϑ(1n)



n
−
n
−1
−
n
−1
+
n
−1
n
−1
n
+
n
n
0
n
n
t) ;
0
n −1

ν
exp(− δ n t )  r  
2

ω
sin
(
ω
t
)
−
2
n
−
1
cos
(
ω
t
)


(r , t ) = −
   n
n
n +
2
n
r
r
 0  

0
(
222
)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
)
)
(
(
)
)
(
(
− −1

j n S n+ ν −1 r
ν  j n S n ν r
+ n −1
Exp(− i ω n t ) +
exp(i ω n t ) +

− −1
r0 r  j
j n S n+ ν −1 r0
 n S n ν r0

(
2
)
(
)
)
ωn ν  jn +1 Sn−ν −1 r
+ (n − 1)
r0  jn S n−ν −1 r0
(
− i exp(− i ωn t ) +
)
)
(
jn +1
jn
(
(
)
r)
S n+ν −1 r
S n+ν −1
0

i exp(i ωn t ) +


)
)
(
− −1

j n +1 S n+ ν −1 r
ν  j n +1 S n ν r
+ 2(n − 1) 2
exp(− i ω n t ) +
exp(i ω n t ) ;

r0  j n S n− ν −1 r0
j n S n+ ν −1 r0

(
r
p n(1) (r , t ) = ρ ω n2 r0 
 r0



n
(

exp(− δ n t ) 
( )
 cos(ω n t ) + n − 1 ν sin (ω n t ) .


n
ω n r02


(32)
Можно видеть, что в выписанных выражениях оставлены отношения сферических цилиндрических функций, а не заменены
согласно (30). Это обстоятельство связано с тем, что в центре капли при r → 0 аргументы сферических цилиндрических функций, стоящих в (32) числителях, не будут малыми и асимптотическое разложение (30) будет несправедливо.
Отметим, что выражения (32) при стремлении вязкости жидкости к нулю переходят в хорошо известные выражения, справедливые для идеальной жидкости:
ξ (n1) (t ) = cos(ω n t );
ρ ω n2 r0  r 
(1)
 
p n (r , t ) =
n  r0 
r
U r(1n) (r , t ) = −
 r0



r
U ϑ(1)n (r , t ) = −
 r0



n −1
n −1
n
cos(ω n t );
ω n sin (ω n t );
ωn
sin (ω n t ) .
n
6. Рассмотрим случай умеренно вязкой жидкости, когда в
разложении модифицированной сферической цилиндрической
функции [140]
223
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
4


χn
χ
χ
1 +

+
+
...
j n (χ ) =
(2 n + 1) !!  1!⋅21 ⋅ (2 n + 3) 2!⋅2 2 ⋅ (2n + 3)(2n + 5) 
(33)
ее аргумент χ достаточно мал, чтобы в выражении, стоящем в
скобках, каждый последующий член ряда был меньше предыдущего и выполнялось условие Re χ 2 < 0 так, чтобы ряд был знакопеременным, его можно было оборвать на нескольких первых
слагаемых и вместе с тем вязкость такова, что еще существуют
периодические осцилляции капли.
Ограничиваясь в (33) первыми двумя слагаемыми, можно
найти выражения для коэффициентов a ξ S n(k ) , a S n(k ) , b S n(k ) и
( ) ( ) ( )
( )
для D n S n(k ) в виде
(
aξ S
(k )
n
)
(
)
(
)
 3 4 n3 + 8 n 2 + 6 n + 3

2 ( n − 1) 2n 2 + 4n + 3 ν
1
 1 
(k )
=
+
+
S
O
;
n
 
2
2
 ( 2n + 1) ( 2n + 5 )
2n + 1
r0
 ν   ∂ S Dn S n( k )


(
)
 8n 3 + 24n 2 + 22n + 9 2(n 2 − 1)(2n + 3) ν
ωn2
 1 

+
+
a (S n( k ) ) = −
O
;
 
2
(k ) 2
(k )
(
)
+
n
S
r
∂
D
S
2
1
ν
(
)
(
)
+
+
n
n
2
1
2
5



 S n n
n
0
r0 ωn2
2(n 2 − 1) 
2
ν
1 


− (2n + 3) 2 ( k ) + O   
b(S ) = −
;
(k )
r0 Sn
2n + 1  (2n + 1)(2n + 5)
 ν   ∂ S Dn (Sn )
(k )
n
Dn (Sn( k ) ) =
3 (4 n 3 + 8 n 2 + 6 n + 3) ( k ) 2 2(n − 1)(2n 2 + 4n + 3) Sn( k ) ν
1
(Sn ) +
+ ωn2 + O   .
2
2
(2n + 1) (2n + 5)
r0
2n + 1
ν 
(34)
Из выражения (34) хорошо видно, что дисперсионное уравнение D n S n( k ) = 0 в случае умеренной вязкости жидкости, как и
для случая малой вязкости, имеет только два комплексно сопряженных корня:
( )
S n+ = −δ n + i γ n ;
γn = αn
ν
r02
βn
S n− = −δ n − i γ n ;
r04 ω n2
ν
2
224
−1 ;
δn = α
ν
r02
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
αn
(
2n + 1)(2n + 5)(n − 1)(2n 2 + 4n + 3)
=
(
)
(
)
3 4n 3 + 8n 2 + 6n + 3
βn =
3 4n 3 + 8n 2 + 6n + 3
(2n + 5)(n − 1)
2
(2n
2
+ 4n + 3
.
)
2
(35)
Поэтому в выражениях (29) вместо бесконечной суммы будем иметь сумму по двум значениям S n(1) = S n+ и Sn( 2) = Sn− . Учитывая это, а также разложения (33) и (34) несложно получить
асимптотические выражения для отклонения поверхности капли
от равновесной сферической формы и полей скоростей и давлений жидкости в капле:


α ν
ξ (n1) (t ) = exp(− δ n t ) ⋅  cos(γ n t ) + 2n sin (γ n t ) ;


r0 γ n


n −1
 r   2 n (n + 2 ) 2 
n +1
α n ωn2
  r − 2
U (r, t ) =
r0  exp(− δ n t ) sin(γ n t ) ;
γ n r02 2n 2 + 4n + 3  r0  
n −1

(1)
rn
U ϑ(1n)
(r , t ) =
α n ω n2
γ n r02
r
 
2
2n + 4n + 3 n  r0 
(
n+3
n −1
)
×
n(n + 2 )


× r 2 −
r02  exp(− δ n t ) sin (γ n t ) ;
(n − 1)(n + 3) 

p n(1)
ρ ω 2n r0 8 n 3 + 24 n 2 + 22 n + 9
(r , t ) =
γ n 3 n 4 n3 + 8 n2 + 6 n + 3
(
(
)
)
)
r

 r0
n

 exp(− δ n t ) ×

 (4n + 3) 8 n 4 + 28 n 3 + 34 n 2 + 20 n + 9


δ n sin (γ n t ) + γ n cos(γ n t ) .
×
2
3
2
 2 n + 4 n + 3 8 n + 24 n + 22 n + 9

(36)
(
)(
225
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Наконец, можно выделить область больших значений вязкости (таких, что ν 2 / r04 ω n2 >> β n ), когда периодические движения жидкости исчезают и капля может совершать только апериодические движения. Воспользовавшись, как и в предыдущем случае, разложением (33), можно найти, что два корня
дисперсионного S n+ и S n− определятся выражениями
(
S n+
)
r02 ω n2
=−
;
2 (n − 1) 2 n 2 + 4 n + 3 ν
2n + 1
(
S n− ≅ −2 α
)
ν
r02
и в широком диапазоне значений вязкости для них будет справедливо соотношение S n− >> S n+ (см. рис. 1). В такой ситуации
при построении асимптотического решения можно вообще ограничиться лишь одним корнем, тем, величина которого убывает с
ростом вязкости, S n+ . В этом случае выражения (36) примут вид
(
)
ξ (n1) (t ) = exp S n+ t ;
(n + 1)(2n + 3)
n
r 
  exp S n+ t ;
p n(1) (r , t ) = ρ ω n2 r0
n 2 n 2 + 4 n + 3  r0 
(
U r(1n)
U ϑ(1n)
ω n2
r
n +1

(r , t ) =
2 ν 2n 2 + 4n + 3  r0



ω n2
r 
n+3
 
(r , t ) =
2 ν 2n 2 + 4n + 3 n  r0 
(
n −1
n −1
)
)
( )
 2 n(n + 2 ) 2 
r0  exp S n+ t ;
r − 2
n −1


(
)
n(n + 2 )

 2
r02  exp S n+ t .
 r −
(n − 1)(n + 3) 

(
)
(37)
Отметим, что выражения (37) хорошо согласуются с точным решением (29) только в те моменты времени, для которых будет выполнено соотношение S n− t >> 1 . При малых же временах, когда
величина S n− t сравнима с единицей, получающиеся решения для
226
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
компонент поля скорости (U r(1n) (r , t ), U ϑ(1)n (r , t ) ) очень сильно отличаются от своих истинных значений и пользоваться (37) нельзя.
Рис. 1. Зависимость отношения второго S n( 2) и первого S n(1) корней
( )
дисперсионного уравнения Dn S n( k ) = 0 от безразмерной вязкости ν ,
рассчитанная для области большой вязкости,
когда периодические движения в капле исчезают, при W = 1 , n = 2
8. Для удобства численного анализа полученного решения
задачи о капиллярных колебаниях заряженной осесимметричной
вязкой капли перейдем к безразмерным переменным, принимая
ρ = σ = r0 = 1. Тогда все физические величины задачи будут выражаться в своих характерных масштабах. Так, масштабами длины, плотности, времени, частоты, скорости, давления и кинематической вязкости будут соответственно величины
r0 ;
ρ;
ρ r03
;
σ
σ
ρ r03
;
σ
;
ρ r0
σ
;
r0
σ r0
.
ρ
Примем, что радиус капель меняется в пределах от r0=10-4cm
до r0=10-1cm. Поверхностное натяжение и плотность жидкостей в
среднем составляют σ = 50 dyne/cm и ρ = 1 g/cm3. При принятых
значениях физических параметров характерный масштаб измерения времени составит 5 · 10–7 s ÷ 10–3 s, масштаб измерения частоты 2 · 102 s–1 ÷ 107 s–1, масштаб измерения скорости 20 cm/s ÷
227
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
700 cm/s, масштаб давления 5 · 102 dyne/cm ÷ 5 · 10 5 dyne/cm,
масштаб вязкости 7 · 10–2 cm2/s ÷ 2 cm/s.
При использованном обезразмеривании все величины задачи
будут зависеть от параметра W = Q2/(4π), характеризующего устойчивость капли по отношению к собственному заряду; безразмерной кинематической вязкости жидкости v; малого параметра
ε; множества значений индексов изначально возбужденных мод
Ω и констант hn(n∈Ω), учитывающих парциальный вклад n-й моды в формирование начальной формы капли.
Численный анализ точного дисперсионного уравнения
(см. (26)) D n S n( k ) = 0 , проведенный при использованном обезразмеривании, указывает на то, что оно имеет бесконечное число
корней. Среди корней дисперсионного уравнения при малой и
умеренной вязкости v и W < 4 имеются два комплексно сопряженных корня S n(1) и S n(2) с отрицательной вещественной частью,
( )
( )
( )
мнимая часть Im S n( 2) = − Im S n(1) которых определяет частоту
колебаний поверхности капли (см. выражения (29)), а вещественная Re S n(1) = Re S n( 2) – декремент затухания. Остальные корни
( )
( )
D (S ) = 0
с k ≥ 3 являются отрицательными
Sn( k ) уравнения n n( k )
вещественными и определяют декременты затухания.
Вещественные части корней Sn(1) и S n( 2) при увеличении вязкости жидкости увеличиваются по абсолютной величине, а мнимые уменьшаются до полного исчезновения периодического
движения при ν ≈ 0.65 (см. рис. 2). При ν > 0.65 корни Sn(1) и S n( 2)
становятся чисто вещественными отрицательными, один из которых убывает по абсолютной величине, асимптотически приближаясь к оси абсцисс с ростом ν (как показано на рис. 2), а другой
увеличивается по модулю, асимптотически стремясь к линейному
росту с увеличением вязкости (см. рис. 2 и рис. 3). Корни S n( k ) с
более высокими номерами k с увеличением вязкости жидкости
быстро уменьшаются по линейному закону (см. рис. 2).
228
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( )
( )
Рис. 2. Зависимости вещественной Re S n( k ) (a) и мнимой Im S n( k ) (b)
( )
компонент корней уравнения Dn S n( k ) = 0 от безразмерной вязкости ν ,
рассчитанные при W = 1 , n = 2 и различных k . Номер у кривой совпадает
с номером корня k. Сплошная кривая – точное решение,
пунктир – приближение маловязкой жидкости, штриховая –
приближение умеренно вязкой жидкости
( )
D (S ) = 0 от безразмерной вязкости
Рис. 3. Зависимости вещественных Re S n( k ) компонент корней
точного дисперсионного уравнения n n( k )
жидкости v, рассчитанные при W = 1 , n = 2 и различных k. Номер
у кривой совпадает с номером корня k
229
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На основе рис. 2б можно провести разграничение между
приближениями малой, умеренной и большой вязкостей. Из
рис. 2б видно, что при ν > 0.1 различие между точным решением
дисперсионного уравнения и приближением умеренной вязкости
весьма мало (порядка толщины линии). При v < 0.05 частота осцилляций вязкой капли лучше аппроксимируется приближением
маловязкой жидкости, тогда как приближение умеренной вязкости дает заниженное значение частоты в пределе v → 0. Приближение большой вязкости естественно обозначится условием исчезновения периодических решений ν > 0.65.
Численные расчеты (см. табл. 1), указывают, что при увеличении номера k корня дисперсионного уравнения D n S n( k ) = 0
(
) (
) (
( )
)
коэффициенты aξ Sn( k ) , a Sn( k ) , b Sn( k ) , определяющие форму
поверхности осциллирующей капли, поля скоростей и давления в
ней (см. (28) – (29)), быстро стремятся к нулю. Причем скорость
их стремления к нулю зависит от вязкости жидкости.
Отметим также, что согласно (29) коэффициенты aξ Sn( k ) ,
(
)
(
a Sn( k ) , b Sn( k )
)
(
)
экспоненциально уменьшаются со временем,
(
)
причем декременты затухания, равные Re Sn( k ) , с увеличением
номера k быстро увеличиваются (см. табл. 1). Поэтому члены рядов (29) с большими номерами k весьма быстро стремятся к нулю
с ростом времени, и определяющими становятся члены, соответствующие первым двум корням уравнения D n S n( k ) = 0 , имеющие минимальные величины декрементов затухания. В итоге
имеется хорошее численное согласие точных выражений (28) с
приближенными, полученными в асимптотиках малой (32) и умеренной (36) вязкостей жидкости (см. рис. 4).
Представляется, что для дальнейшего нелинейного анализа
целесообразно использовать приближение умеренной вязкости,
которое в приближениях второго и третьего порядков малости по
амплитуде начальной деформации приведет к вполне разрешаемым неоднородным задачам.
( )
230
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 1
Величины безразмерных значений корней S n( k ) дисперсионного уравнения
Dn (S n( k ) ) = 0 и коэффициентов aξ (S n( k ) ) , a (S n( k ) ), b(Sn( k ) ) , вычисленные
при n = 2 , W = 1 и различных значениях безразмерной вязкости ν
k
S n( k )
1
− 0.04721 +
2
+ 2.44660 i
− 0.04721 −
− 2.44660 i
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
aξ (S n( k ) )
a (S n( k ) )
ν = 0.01
0.50072 −
− 0.00936 i
+ 0.00936 i
− 0.00061
− 0.00039
− 0.00024
− 0.00012
− 0.00005
− 0.00002
1
− 0.39951 +
0.50799 −
− 0.07524 i
2
+ 2.36952 i
− 0.39951 −
− 2.36952 i
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
+ 1.22244 i
0.03201 −
− 1.22244 i
0.50072 +
− 0.28228
− 0.78440
− 1.47743
− 2.36657
− 3.45262
− 4.73585
− 6.21638
− 7.89426
− 9.76952
− 11.84215
ν = 0.1
0.50799 +
+ 0.07524 i
− 2.91160
− 7.87661
− 14.78764
− 23.67140
− 34.52866
− 47.35961
− 62.16433
− 0.01548
− 0.00045
− 0.00003
− 0.90254
− 6.21851
− 29.93916
− 78.80501
− 147.88167
− 236.71521
1.16747
− 0.16697
− 0.00050
0.03201 +
b(Sn( k ) )
− 0.03274 +
+ 0.00305 i
− 0.03274 −
− 0.00305 i
0.01319
0.00350
0.00164
0.00083
0.00041
0.00020
0.00010
0.00005
0.00003
0.00002
− 0.01301
− 0.00319
− 0.00129
− 0.00055
− 0.00024
− 0.00011
− 0.00005
− 0.00003
− 0.00001
0.36731 +
− 0.39198 +
+ 1.12760 i
0.36731 −
+ 0.10615 i
− 0.39198 −
− 0.10615 i
− 1.12760 i
0.09730
0.00671
0.00099
0.00023
0.00007
0.00003
0.00001
− 0.05222
− 0.00317
− 0.00048
− 0.00011
− 0.00004
− 0.00001
8.81096
− 0.43380
0.02192
0.00078
0.00010
0.00002
− 9.86465
1.47210
− 0.00703
− 0.00035
− 0.00005
− 0.00001
ν =1
231
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4. Зависимость обезразмеренного коэффициента ξ (n1) от безразмерного
времени t , построенная при W = 1 , n = 2 . Сплошная кривая – точное решение, пунктир – приближение малой вязкости, штриховая – приближение
умеренно вязкой жидкости. Когда пунктир или штриховая кривая не просматриваются, они совпадают со сплошной линией:
a) ν = 0.01 ; b) ν = 0.1 ; c) ν = 0.4
232
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. Проведенный в первом порядке малости по амплитуде начальной деформации анализ решений задачи о расчете временной
эволюции капиллярных осцилляций заряженной капли вязкой несжимаемой электропроводной жидкости показал, что в используемом приближении форма капли как функция времени, а также
поля скоростей и давлений жидкости в ней представлены бесконечными рядами по корням дисперсионного уравнения и конечными суммами по номерам изначально возбужденных мод. В
асимптотиках малой, умеренной и большой вязкости бесконечные ряды по корням дисперсионного уравнения можно асимптотически корректно заменить конечным числом слагаемых и найти
компактные, удобные для дальнейшего анализа аналитические
выражения, которые могут быть использованы для отыскания
приближений более высоких порядков малости по амплитуде начального отклонения
7.2. Нелинейные осцилляции
заряженной капли вязкой жидкости
1. Результаты, полученные в параграфе 7.1, дают основания
полагать, что нелинейные осцилляции заряженной капли вязкой
жидкости, несмотря на свою громоздкость, вполне доступны для
аналитического анализа в рамках асимптотического метода разложения по амплитуде начальной деформации. Этой проблеме и
посвящено настоящее рассмотрение.
2. Пусть имеется сферическая капля радиуса r0 идеально проводящей несжимаемой вязкой электропроводной жидкости с
плотностью ρ, коэффициентами кинематической вязкости v и поверхностного натяжения σ, несущая электрический заряд Q. Поле
скоростей течения жидкости в капле обозначим U (r , ϑ, t ) , поле
давлений – p(r, ϑ, t), потенциалы электрического поля в окрестности капли и на ее поверхности обозначим φ (r, ϑ , t) и φs (t ) соответственно. Уравнение поверхности капли, совершающей осесимметричные колебания, в любой момент времени t запишем в
сферической системе координат r, ϑ , φ в виде
F (r , ϑ, t ) ≡ r − r0 − ξ(ϑ, t ) = 0 .
233
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Начальную деформацию капли зададим в виде суперпозиции
мод:
ξ(ϑ) = ε  hm Pm (μ ) ;
t = 0:
m∈Ω
 hm = 1 ;
μ ≡ cos ϑ ,
(2)
m∈Ω
где ε – малый параметр, характеризующий амплитуду начального
возмущения; Pm (μ) – полином Лежандра порядка m; Ω – множество индексов мод, суперпозиция которых определяет начальную
деформацию равновесной сферической формы капли.
Математическая формулировка задачи о расчете нелинейных
осесимметричных капиллярных колебаний такой капли, форма
которой в начальный момент времени определяется (1) – (2),
имеет вид
(
)
1
grad p + ν Δ U ;
ρ
∂tU + U ⋅ ∇ U = −
t = 0:
r → +∞ :
div U = 0 ;
r → 0:
U = 0;
U < ∞;
r = r0 + ξ(ϑ, t ) :
∇φ → 0 ;
(
r = r0 + ξ(ϑ, t ) :
Δφ = 0
φ = φ S (t ) ;
)
∂t F + U ⋅ ∇ F = 0;
( ) ( )
1
(∇ φ)
− p + 2 ρ ν n ⋅ (n ⋅ ∇ )U −
8π
τ ⋅ n ⋅∇ U + n ⋅ τ ⋅∇ U = 0 ;
 n ⋅ ∇φ
dS = −4πQ ;
2
+ σdiv n = 0 ;
S = {r , ϑ, ϕ r = r0 + ξ; 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π};
S
2
 r sin ϑ dr dϑ dϕ =
V
4π 3
r0 ;
3
V = {r , ϑ, ϕ 0 ≤ r ≤ r0 + ξ; 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π};
→
r r
2
sin ϑ dr dϑ dϕ = 0 .
V
234
(3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Символ ∂ t означает частную производную по переменной t;
 
τ и n -орты касательной и внешней нормали к свободной поверхности капли, определяемой соотношением (1).
3. Выписанная система уравнений является нелинейной, и ее
решение будем искать методом прямого разложения по малому
параметру ε , для чего все искомые величины представим в виде
асимптотических разложений по ε:
( )
ξ(ϑ, t ) = ε ξ (1) (ϑ, t ) + ε 2 ξ ( 2) (ϑ, t ) + O ε 3 ;
U (r , ϑ, t ) = ε U r(1) (r , ϑ, t ) e r + ε 2 U r( 2) (r , ϑ, t ) e r +
( )
+ ε U ϑ(1) (r , ϑ, t ) e ϑ + ε 2 U ϑ( 2) (r , ϑ, t ) e ϑ + O ε 3 ;
( )
(r , ϑ, t ) + O(ε );
(t ) + O(ε ),
(4)
p(r , ϑ, t ) = p ( 0) (r , ϑ, t ) + ε p (1) (r , ϑ, t ) + ε 2 p ( 2) (r , ϑ, t ) + O ε 3 ;
φ(r , ϑ, t ) = φ ( 0) (r , t ) + ε φ (1) (r , ϑ, t ) + ε 2 φ ( 2)
φ S (t ) = φ (S0) (t ) + ε φ (S1) (t ) + ε 2 φ (S2)
3
3
 
где er , eϑ – орты сферической системы координат.
Подставляя данные разложения в выписанную систему уравнений и приравнивая коэффициенты при различных степенях малого параметра ε, разделим исходную нелинейную задачу на совокупность связанных между собой линейных неоднородных задач.
3a. В нулевом порядке малости получим задачу
Δφ ( 0) = 0 ;
−p
(0)
−
r → +∞ : ∇φ ( 0) → 0 ;
pQ( 0)
+
pσ( 0)
φ ( 0) = φ (S0) (t ) ;
r = r0 :
1
 r0 ∂ r φ
= 0;
2
( 0)
d (cos ϑ) = −2Q ,
−1
решение которой имеет вид
φ
(0)
Q
= ;
r
φ (S0)
Q
= ;
r0
p
( 0)
+
Q2
8 π r04
=
2σ
.
r0
(5)
3b. Собирая слагаемые, содержащие малый параметр в первой степени и учитывая векторное тождество
235
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)
(
)
Δ U = grad div U − rot rot U ,
(6)
выделим задачу первого порядка малости
ctg (ϑ)
1
 1
∂ t U r(1) = − ∂ r p (1) + ν  2 ∂ ϑϑU r(1) +
∂ ϑU r(1) −
2
ρ
r
r
ctg (ϑ)
ctg (ϑ) (1) 
1
1
− ∂ rϑU ϑ(1) −
∂ r U ϑ(1) − 2 ∂ ϑU ϑ(1) −
Uϑ ;
r
r

r
r2
11
2
1


∂ t U ϑ(1) = −
∂ ϑ p (1) + ν  ∂ rr U ϑ(1) + ∂ r U ϑ(1) − ∂ rϑ U r(1)  ;
ρr
r
r


ctg (ϑ) (1)
2
1
∂ r U r(1) + U r(1) + ∂ ϑ U ϑ(1) +
Uϑ = 0;
r
r
r
t = 0:
U
(1)
ξ (1) = ε  hm Pm (μ );
= 0;
r → 0:
U
(1)
< ∞;
m∈Ω
Δφ (1) = 0 ; r → +∞ : ∇φ (1) → 0 ; r = r0 : φ (1) + ξ (1) ∂ r φ ( 0) = φ (S1) (t ) ;
1
 (r0 ∂ r φ
(1)
(
−1
1
ξ
(1)
))
+ ξ (1) r0 ∂ rr φ (0) + 2 ∂ r φ (0) d (μ ) = 0 ;
1
−1 ξ
d (μ) = 0;
−1
∂ t ξ (1) = U r(1) ;
− p (1) + 2 ρ ν ∂ r U r(1) −
∂ r U ϑ(1) +
(1)
P1 ( μ ) d (μ) = 0 ;
1
1
∂ ϑU r(1) − U ϑ(1) = 0 ;
r
r
(
)
1
σ
∂ r φ(0) ∂ r φ(1) + ξ(1) ∂ rr φ(0) − 2 (2 + Δ Ω )ξ(1) = 0 ,
4π
r0
(7)
где Δ Ω – угловая часть оператора Лапласа в сферических координатах.
Решение системы (7), с учетом (5), согласно предыдущему
параграфу (см. также [141]) можно представить в виде
ξ (1) (ϑ, t ) =  ξ (n1) (t ) Pn (μ ) ;
U r(1) (r , ϑ, t ) =
n∈Ω
236
 U r(1n) (r , t ) Pn (μ ) ;
n∈Ω
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
U ϑ(1) ( r , ϑ, t ) =  U ϑ(1)n ( r , t ) ∂ ϑ Pn ( μ ) ; p (1) ( r , ϑ, t ) =  pn(1) ( r , t ) Pn ( μ ) ;
n∈Ω
n∈Ω
φ(1) ( r , ϑ, t ) =  φ(1)
n ( r , t ) Pn ( μ ) ,
(8)
n∈Ω
ξ (n1)
где
U r(1n)
+∞
(t ) = 
j =1
+∞ 
( ) exp(
aξn S n( j )
( )
(r , t ) =   a n S n( j )
j =1 
U ϑ(1n)
)
S n( j )
r

 r0



+∞ 
t ;
n −1
j =1 
(
(
(r , t ) = Q2  r0 
r0  r 
( )
bn S n( j )
+
r
 
 r0 
( )
 a S ( j)
n n
(r , t ) =  
φ (n1)
)
)
(
(
)  exp(S
)
( j)
n
)
t ;
( )
+ bn S n( j ) ×
)  exp(S t );
)   n
 1 j n χ (n j ) r
χ (n j ) j n + 1 χ (n j ) r
+
×
 r j χ ( j) r
n + 1 j n χ (n j ) r0
 n n 0
(
ξ (n1) (t ) ;
( j)
1 jn χ n r
r j n χ (n j ) r0
n −1
(
n +1
( j)
n

ν
aξn S n( j ) =  S n( j ) + 2(n − 1)(2n + 1) 2 + 2(n − 1)2 ×
r0


hn
ν

;
× (n + 1)
η n 1, χ (n j ) r02  ∂ S ( j ) Dn S n( j )
n
( )
(
( )
a n S n( j )
)

2
1
n
=   2 n 2 − 1 + r0 χ (n j ) 
(
)
j
 2 χ n r0 n +1

hn
ωn2
;
×
ηn 1, χ (n j ) ∂ S ( j ) Dn S n( j )
(
) (
)
(
)
( )
(χ r )
(χ r )  r

2 j n +1
2
= 2 n − 1 1 − ( j )
 χ r j

n 0
n
( ) (
bn S n( j )
( )

j (χ r )
− 1 ×
j (χ r ) 
)
χ (n j )
n
( j)
n 0
( j)
n 0
S n( j )
=
;
ν
237
( j)
n 0
( j)
n 0
−1
( j)
0 Sn
hn ω n2 ν
( )
∂ S ( j ) D n S n( j )
n
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( )
∂ S ( j ) Dn S n( j ) = 2S n( j ) + 2(n − 1)(2n + 1)
n
(
) (
)

χ (n j ) r0
(2n + 1)χ (n j ) r0 j n χ (n j ) r0

×2 +
+
2
2

j n +1 χ (n j ) r0

(
( )= ( )
2
S n( j )
Dn S n( j )
)
2
ν
+ (n − 1)2 (n + 1)
r02
(
(
) 
)
  j χ( j) r
1 −  n n 0
  j χ( j) r
  n +1 n 0
+ 2(n − 1)(2n + 1)
2
ν
r02

1

;

  η 1, χ( j )
n
 n
(
S n( j ) ν
r02
×
)
+
S n( j ) ν
2
+ 2(n − 1) (n + 1)
+
ω
n;
( j) 2
ηn 1, χ n r0
2
ω n2
=
σ
ρ
r03
(
η n τ,
S n( j ) –
(
корень
)
(
)
n(n − 1)(n + 2 − W ) ; W =
χ (n j )
)
(
Q2
4πσ
)
r0 χ (n j ) j n χ (n j ) r0
.
=τ−
2
j n +1 χ (n j ) r0
дисперсионного
(
уравнения
)
r03
;
( )
D n S n( j ) = 0 ,
а
j n χ (n j ) r0 – модифицированная сферическая функция Бесселя
первого рода порядка n.
3с. Во втором порядке малости получим задачу
( )
2
1
1
1
∂ t U r( 2) + U r(1) ∂ rU r(1) + U ϑ(1) ∂ ϑU r(1) − U ϑ(1) = − ∂ r p ( 2) +
ρ
r
r
ctg (ϑ)
1
ctg (ϑ)
 1
( 2)
( 2)
+ ν  2 ∂ ϑϑU r( 2) + +
∂
−
∂
−
∂ rU ϑ( 2) −
U
U
r
r
ϑ
ϑ
ϑ
2
r
r
r
r
−
1
r2
∂ ϑU ϑ( 2) −
ctg (ϑ)
r2

U ϑ( 2)  ;

1
1
∂ t U ϑ( 2) + U r(1) ∂ r U ϑ(1) + U ϑ(1) ∂ ϑU ϑ(1) + U r(1)U ϑ(1) =
r
r
=−
11
2
1


∂ ϑ p ( 2) + ν  ∂ rr U ϑ( 2) + ∂ r U ϑ( 2) − ∂ rϑ U r( 2)  ;
ρr
r
r


∂ r U r( 2) +
ctg (ϑ) ( 2)
2 ( 2) 1
U r + ∂ ϑ U ϑ( 2) +
Uϑ = 0.
r
r
r
238
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
t = 0: U
( 2)
= 0;
ξ
( 2)
1
=−
r0

m∈Ω
r → 0:
hm2
9
P0 (μ ) −
2m + 1
r0
U
Δφ ( 2) = 0 ;
r = r0 : φ ( 2) + ξ ( 2) ∂ r φ ( 0) +
( 2)
(m + 1) h
h
 (2m + 1)(2mm +m+31)P1 (μ );
m∈Ω
< ∞;
r → +∞ :
∇φ ( 2 ) → 0 ;
( )
1 (1) 2
ξ
∂ rr φ (0) + ξ (1) ∂ r φ (1) = φ (S2) (t ) ;
2
 2
( 2)
(1)
(1)
(1)
( 2)
(0)
( 0)
 r0 ∂ r φ + r0 ξ r0 ∂ rr φ + 2 ∂ r φ + r0ξ r0∂ rr φ + 2∂ r φ +
−1
1
(
)
(
)
( )
21


+ ξ (1)  r02 ∂ rrr φ ( 0) + 2r0 ∂ rr φ ( 0) + ∂ r φ (0)  − ∂ ϑ ξ (1) ∂ ϑ φ (1)  d (μ ) = 0 ;
2


1
( )
( 2)
(1)
  r0 ξ + ξ
−1
2
d (μ) = 0 ;

1
( )
( 2)
(1)
  2r0 ξ + 3 ξ
−1
− ∂ t ξ ( 2) + U r ( 2) + ∂ r U r (1) ξ (1) −
2
 P (μ ) d (μ) = 0 ;
 1
1
U ϑ (1) ∂ ϑ ξ (1) = 0 .
r0
1
1
1
1
∂ ϑU r ( 2) + ∂ rU ϑ( 2) − U ϑ( 2) +  ∂ rϑU r (1) − 2 ∂ ϑU r (1) + ∂ rrU ϑ(1) −
r0
r0
r0
 r0
−
 1
1
1

(1)
(1)
(1) 
1
1
(1)
∂ rU ϑ(1) + 2 U ϑ(1)  ξ(1) − 2  2 ∂ ϑU ϑ + 2 U r − ∂ rU r ∂ ϑ ξ = 0 ;
r0
r0
r0
r0

 r0

− p ( 2) −
−
σ
2 σ (1)
(1)
( 2)
(
)
(
)
2
+
Δ
ξ
+
ξ
1
+
Δ
ξ
−
Ω
Ω
r02
r03
( ) (
2
1  ( 2)
2ξ ∂ rr φ ( 0) ∂ r φ ( 0) + ξ (1)  ∂ rr φ ( 0)

8π 
239
)
2
+ ∂ rrr φ ( 0) ∂ r φ ( 0)  +

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+
1
∂ ϑφ(1)
2
r0
(
) (
2
+ ∂ r φ(1)
)
2
(
+ 2∂ r φ(2) ∂ r φ(0) + 2ξ(1) ∂ rr φ(0) ∂ r φ(1) +
(
)
)
+∂ rr φ(1) ∂ r φ(0)  + 2 ρν ∂ rU r (2) − ∂ r p (1) − 2 ρν ∂ rrU r (1) ξ(1) −

 1
1
1
− 2 ρ ν  2 ∂ ϑU r (1) + ∂ r U ϑ (1) − 2 U ϑ (1)
r
r0
r0
 0

 ∂ ϑ ξ (1) = 0 . (9)


Подставим в систему (9) решения (5) и (8) задач нулевого и
первого порядков малости и получим систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных
второго порядка относительно величин U r (2) , U ϑ(2) , p (2) , ξ(2) , φ(2) .
Для решения полученной системы выполним преобразование
Лапласа по времени
f (S ) =
+∞
 f (t ) exp(− S t ) d t = ℑ[ f (t )];
0
f = {U r( 2) ; U ϑ( 2) ; p ( 2) ; ξ ( 2) ; φ ( 2) } .
Изображения Лапласа величин второго порядка малости разложим в ряды по полиномам Лежандра (в силу осесимметричности задачи) и по их первым производным по полярному углу
[142]:
U r( 2)
ξ
+∞
(r , ϑ, S ) = 
( 2)
n =0
U r( 2n)
+∞
(ϑ, S ) = 
n =0
(r , ϑ, S ) =  U ϑ( 2n) (r , S ) ∂ ϑ Pn (μ ) ;
(r , S ) Pn (μ ) ;
(S ) Pn (μ );
( 2)
ξ (n2)
p
+∞
U ϑ( 2)
( 2)
φ
n =1
+∞
(r , ϑ, S ) = 
n =0
+∞
(r , ϑ, S ) = 
n =0
φ (n2) (r , S ) Pn (μ ) ;
p n( 2) (r , S ) Pn (μ ) .
(10)
Учтем, что в первом порядке малости проекции поля скоростей течения жидкости на орты сферической системы координат
связаны уравнением неразрывности:
240
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
U ϑ(1n) (r , t ) =
2 (1)
r


(1)
 ∂ r U r n (r , t ) + U r n (r , t ) .
n (n + 1) 
r

Тогда система (9) примет вид
S U r( 2n) (r , S ) −
[
]
α kmn
 k (k + 1)m (m + 1) r ℑ ∂ r U r(1k) (r , t )∂ r U r(1m) (r , t ) +
k , m∈Ω
(
)

k 2 + k − 4 α kmn 
 ℑ U r(1k) (r , t )∂ r U r(1m) (r , t ) +
+   K kmn +

k (k + 1)m (m + 1) 
k , m∈Ω 
+
[
]
2(m − 1)(m + 2 ) α kmn 1
1
 k (k + 1)m (m + 1) r ℑ U r(1k) (r , t )U r(1m) (r , t ) = − ρ ∂ r pn(2) ( r , S ) +
k , m∈Ω
[
+ n(n + 1)
1 ( 2)
1 ( 2)
ν 

( 2)
 ∂ r U ϑ n (r , S ) + U ϑ n (r , S ) − U r n (r , S ) ; n ≥ 0 ; (11)
r 
r
r

S U ϑ( 2n) (r , S ) +
+
+
[
]
Γkmn
 m (m + 1) r ℑ U r(1k) (r , t )∂ rr U r(1m) (r , t ) +
k , m∈Ω
[
]
α kmn
r ℑ ∂ r U r(1k) (r , t )∂ r U r(1m) (r , t ) +
k , m∈Ω 2k (k + 1)m (m + 1)

[
]
α kmn 

2
 ℑ U r(1k) (r , t )∂ r U r(1m) (r , t ) +
 2Γkmn +
k (k + 1) 
k , m∈Ω m (m + 1) 

+
=−
]
[
]
α kmn  1

2
 Γkmn +
 ℑ U r(1k) (r , t )U r(1m) (r , t ) =
k (k + 1)  r
k ,m∈Ω m (m + 1) 

1 1 ( 2)
2
1


p n (r , S ) + ν  ∂ rrU ϑ( 2n) (r , S ) + ∂ r U ϑ( 2n) (r , S ) − ∂ rU r( 2n) (r , S ) ;
ρr
r
r


n ≥ 1;
∂ r U r( 2n) (r , S ) +
r → 0:
n(n + 1) ( 2)
2 ( 2)
U ϑ n (r , S ) = 0 ;
U r n (r , S ) −
r
r
U ϑ( 2n) < ∞ ;
U r( 2n) < ∞ ;
241
n ≥ 0;
(12)
(13)
(14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∂ rr φ (n2) (r , S ) +
2
∂ r φ (n2) (r , S ) − n (n + 1) φ (n2) (r , S ) = 0 ; n ≥ 0 ;
r
∂ r φ (n2) (r , S ) → 0 ;
r → +∞ :
φ (n2) (r , S ) → 0 ;
r = r0 : φ (n2) (r , S ) − Q ξ (n2) (S ) − Q
2
3

r0
r0
(15)
[
(16)
]
mK kmn ℑ ξ (k1) (t )ξ (m1) (t ) = φ (S2) ( S ) δ n 0 ;
k , m∈Ω
n ≥ 0;
+1 + ∞
 
−1 n = 0
 2
Q
( 2)
r0 ∂ r φ n (r , S ) + 2
r0

−
+1 + ∞
 
−1 n = 0
−1 n = 0
−
 m(m + 1) K kmn ℑ[ξ (k1) (t )ξ (m1) (t )] −
k , m∈Ω

(1)
(1)
(
)
(
)
t
t
α
ℑ
ξ
ξ
 Pn (μ )d (μ ) = 0 ;
m
k
2  kmn
r0 k , m∈Ω

[
Q
]
[
(18)
]


 r0 ξ (n2) (S ) +  K kmn ℑ ξ (k1) (t )ξ (m1) (t )  Pn (μ )d (μ) = 0 ;


k , m∈Ω


+1 + ∞
 
(17)
[
(19)
]


 2r0 ξ (n2) (S ) + 3  K kmn ℑ ξ (k1) (t )ξ (m1) (t )  Pn (μ )P1 (μ ) d (μ) = 0 ;


k , m∈Ω


(20)
S ξ (n2)
(S ) − 1
r0
+ U r( 2n) (r , S ) +
−

m∈Ω
hm2
9
δ n0 −
2m + 1
r0
(m + 1) h
h
 (2m + 1)(2mm +m+31) δ n1 +
m∈Ω
[
]
α kmn 

 K kmn −
 ℑ ξ (k1) (t )∂ rU r(1m) (r , t ) −
m (m + 1) 
k ,m∈Ω 

[
]
2α kmn 1
 m (m + 1) r ℑ ξ (k1) (t )U r(1m) (r , t ) = 0 ;
k , m∈Ω
0
n ≥ 0;
1 ( 2)
1
U r n (r , S ) + ∂ r U ϑ( 2n) (r , S ) − U ϑ( 2n) (r , S ) +
r0
r0
242
(21)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+
(1)
kmn
kmn

ℑ[ξ(k1) (t )∂ rrU r(1m) (r , t )]+
r0 ℑ ξ(1)

k ( t ) ∂ rrrU r m ( r , t )  + 
k , m∈Ω m (m + 1)
k , m∈Ω m ( m + 1)
3Γ
Γ
+
+

2Γ kmn
2Λ kmn  1
(1)
(1)
2
Γ
+
Γ
−
−

 ℑ ξk ( t ) ∂ rU r m ( r , t )  +

kmn
mkn
m ( m + 1) m ( m + 1)  r0
k , m∈Ω 
[
]
4Λ kmn  1
 2Γkmn

 2 ℑ ξ (k1) (t ) U r(1m) (r , t ) = 0 ;
− Γkmn − 2Γmkn −
m (m + 1)  r0
k , m∈Ω  m (m + 1)

n ≥ 1;
− pn(2) ( r , S ) +
σ
2σ
(1)
(1)
n − 1)( n + 2 ) ξ(2)
n ( S ) − 3  K kmn (k (k + 1) − 1)ℑ ξ k (t )ξ m (t ) +
2 (
r0
r0 k ,m∈Ω
[
4Q 2 ( 2)
Q2
1  2Q
( 2)
+
∂ r φ n (r , S ) + 5 ξ n (S ) − 6

8π  r02
r0
r0
−
 α kmn ℑ[ξ (k1) (t ) ξ (m1) (t )] −
k , m∈Ω


k , m∈Ω
+ 2 ρ ν ∂ r U r( 2n) (r , S ) + 2 ρ ν
−
]
 (10 + (k + 1)(m + 1) − 2(m + 1) (m + 4))K kmn ℑ[ξ (k1) (t )ξ (m1) (t )] +
Q2
r06
(22)
[
]
α kmn 


K
−
  kmn m (m + 1) ℑ ξ (k1) (t )∂ rr U r(1m) (r , t ) −

k , m∈Ω 
(1)
kmn

ℑ[ξ (k1) (t ) ∂ rU r(1m) (r , t )] +
K kmn ℑ ξ(1)


k ( t ) ∂ r pm ( r , t )  − 2 ρ ν
r k ,m∈Ω m (m + 1)
k , m∈Ω
2α
1
0
+ 2ρν
1
r0 2
[
]
 2α kmn
 (1)

−
α
  m (m + 1) kmn ℑ ξ k (t )U r(1m) (r , t ) = 0 ; n ≥ 0 , (23)

k , m∈Ω 
где коэффициенты K kmn , α kmn , Γkmn , Λ kmn определены соотношениями [142]:
α k m n = −C kn00m 0 ⋅ C kn(0−1) m1 ⋅ k (k + 1)m(m + 1) ;
(
)
2
K k m n = C kn00m0 ;
Γkmn =
(2n + 1) α nmk
⋅
; Γkmn + Γmkn = K kmn ;
n(n + 1) (2k + 1)
243
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Λ kmn
[ m / 2]

2n + 1  m 2
=
−
α
+
α
 n,k , m− 2 j  ;
nkm
n(n + 1)  2m + 1
j =1

Λ kmn + Λ mkn = α kmn ;
C kn00m 0 , C kn(0−1) m1 – коэффициенты Клебша-Гордана.
3d. Решение системы (11) – (23) начнем с уравнений (19) и
(20), откуда найдем выражение для коэффициентов ξ (02) (t ) и
ξ1( 2) (t ) :
ξ (02) (t ) = −
ξ1( 2) (t ) = −
9
r0
1
r0

m∈Ω
(
)
2
1
ξ (m1) (t ) ;
2m + 1
(m + 1)
 (2m + 1)(2m + 3) ξ (m1) (t ) ξ (m1)+1 (t ).
m∈Ω
(24)
Из системы уравнений (15)-(18) найдем потенциал поверхности капли и потенциал электростатического поля в окрестности
капли:
Q
m − 1 (1) 2
φ (S2) (t ) = 3 
ξ m (t ) ;
(25)
m
+
2
1
r0 m∈Ω
(
φ (n2) (r , S ) = 0 ;
φ (n2)
Q
(r , S ) = 2  ξ (n2) (S ) + 1
r0
r0 

)
n = 0;
[
mK kmn ℑ ξ (k1)
k , m∈Ω
(t )
ξ (m1)
 r0  n +1
(t )   ;
 r 
]
n ≥ 1.
(26)
Из уравнения неразрывности (13) выразим проекцию скорости U ϑ( 2n) (r , S )
U ϑ( 2n) (r , S ) =
(
)
1
r ∂ r U r( 2n) (r , S ) + 2 U r( 2n) (r , S )
n(n + 1)
и подставим в (12), откуда получим
244
(27)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
p n( 2) (r , S ) = −
(
)
ρS
r 2 ∂ r U r( 2n) (r , S ) + 2 r U r( 2n) (r , S ) +
n(n + 1)
(
)
ρν
r 2 ∂ rrrU r( 2n) (r , S ) + 6 r ∂ rrU r( 2n) (r , S ) + 6 ∂ rU r( 2n) (r , S ) −
n(n + 1)
ρ Γ kmn 2
− ρ ν ∂ rU r( 2n) (r , S ) − 
r ℑ[U r(1)k ( r , t ) ∂ rrU r(1)m ( r , t )] −
k , m∈Ω m ( m + 1)
+
−
−
−
ρ α kmn
 2k (k + 1)m (m + 1) r 2 ℑ[∂ r U r(1k) (r , t ) ∂ r U r(1m) (r , t )] −
k , m∈Ω
α kmn 
2ρ 

Γ
+
2
 m (m + 1)  kmn k (k + 1)  r ℑ[U r(1k) (r , t ) ∂ r U r(1m) (r , t )] −
k , m∈Ω


α kmn 
2ρ 

Γ
+
 m (m + 1)  kmn k (k + 1)  ℑ[U r(1k) (r , t ) U r(1m) (r , t )] .
k , m∈Ω


(28)
Наконец, подставляя выражения для U ϑ( 2n) (r , S ) и pn( 2) (r , S ) в
уравнение (11), получим обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение четвертого порядка для отыскания функции
U r( 2n) (r , S ) :
(n − 1)(n + 2)  
(n − 1)(n + 2) S  ( 2) ( )
4
4

∂
+
∂
−
−  U r n r, S =
 ∂ rr + ∂ r −


rr
r
2
2
r
ν
r


r
r
=
n(n + 1)
 f kmn (r , S );
ν k , m∈Ω
f kmn (r , S ) =
Γkmn
ℑ[U r(1k) (r , t ) ∂ rrr U r(1m) (r , t )] +
m (m + 1)
+
α kmn 

1
 ℑ[∂ r U r(1k) (r , t ) ∂ rr U r(1m) (r , t )] +
 Γkmn +
m (m + 1) 
k (k + 1) 
+
α kmn  1

2
 ℑ[U r(1k) (r , t ) ∂ rr U r(1m) (r , t )] +
 3 Γkmn +
m (m + 1) 
k (k + 1)  r
245
(29)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
+
α kmn  1

4
 ℑ[∂ r U r(1k) (r , t ) ∂ r U r(1m) (r , t )] +
 Γkmn +
m (m + 1) 
k (k + 1)  r
(
)
 6 Γkmn
2 Γmkn
k 2 + k − 10 α kmn  1


+
+
− K kmn −
ℑ[U r(1k) (r , t ) ∂ r U r(1m) (r , t )] −
2
 m (m + 1) k (k + 1)
k (k + 1) m (m + 1)  r

2 α kmn (m − 1) (m + 2) 1
ℑ[ U r(1k) (r , t ) U r(1m) (r , t )] .
3
k (k + 1) m (m + 1) r
Однородное уравнение (29) имеет четыре линейно независимых решения:
−
U r( 2n) (r , S ) = r n −1 ;
U r( 2n) (r , S ) =
U r( 2n) (r , S ) =
1  S 
j n 
r  ;
r  ν 
U r( 2n) (r , S ) =
1
r
n+2
;
1  S 
y n 
r  ,
r  ν 
(30)
где j n ( z ) и y n ( z ) – модифицированные сферические функции
Бесселя первого и второго рода.
Определитель Вронского системы (30) записывается компактно:
3/ 2
 n −1 1 1  S  1  S  
n (2n + 1) S
,
W  r , n + 2 , j n 
r , y n 
r   = (− 1)
8
3/ 2
r
r
ν
ν
ν
r
r





а частное решение уравнения (29) можно выписать в виде
U r( 2n) (*)
ν n −1 r f (τ)
1
(r , S ) = −
r
 τ n − 2 dτ +
(2n + 1) S
0
ν 1 r n +3
1
+
τ f (τ) dτ +
(2n + 1) S r n+ 2 0
+ (− 1)
n
− (− 1)
n
ν 1  S
j n 
r
S
 ν
r 3  S
r   τ y n 
0
 ν

τ  f (τ) dτ −

ν 1  S r 3  S 
y n 
r   τ j n 
τ  f (τ) dτ .
S r  ν 0
 ν 
246
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, решение уравнения (29) с учетом условий ограниченности (14) будет иметь вид
U r( 2n) (r , S ) = An (S ) r n −1 + B n (S )
1  S 
j n 
r  + U r( 2n) (*) (r , S ),
r  ν 
(31)
где An (S ) , Bn (S ) – произвольные постоянные.
Подставляя (31) в (27) и (28), используя рекуррентное соотношение [140]
∂ χ j n (χ ) = j n +1 (χ ) +
n
j n (χ ) ;
χ
χ≡
S
r
ν
(32)
найдем функции U ϑ( 2n) (r , S ) и p n( 2) (r , S ) :
U ϑ( 2n) (r , S ) =
+
 S 
 S 
B (S ) 1 
An (S ) n−1
S



(
)
+
+
n
1
j
r
r
j
r   +
r + n
n
n +1 


n (n + 1) r 
n
ν
 ν 
 ν 
(
p n( 2) (r , S ) = − An (S )
+
)
1
r ∂ r U r( 2n) (*) (r , S ) + 2 U r( 2n) (*) (r , S ) ;
n(n + 1)
(33)
ρS
Sρ n
r 2 ∂ rU r(2)(*)
r −
( r , S ) + 2 r U r(2)(*)
( r, S ) +
n
n
n
n ( n + 1)
(
(
)
)
ρν
r 2 ∂ rrrU r( 2n)(*) (r , S ) + 6 r ∂ rrU r( 2n)(*) (r , S ) + 6 ∂ rU r( 2n)(*) (r , S ) −
n(n + 1)
− ρ ν ∂ r U r( 2n)(*) (r , S ) − −
ρ α kmn
r 2 ℑ[∂ r U r(1k) (r , t ) ∂ r U r(1m) (r , t )] −
k , m∈Ω 2k (k + 1)m (m + 1)

−
−

k , m∈Ω
ρ Γkmn 2
r ℑ[U r(1k) (r , t ) ∂ rr U r(1m) (r , t )] −
m (m + 1)
α kmn 
2ρ 
 r ℑ[U r(1k) (r , t ) ∂ r U r(1m) (r , t )] −
 2 Γkmn +
k (k + 1) 
k , m∈Ω m (m + 1) 

−
α kmn 
2ρ 
 ℑ[U r(1k) (r , t ) U r(1m) (r , t )] .
 Γkmn +
k (k + 1) 
k , m∈Ω m (m + 1) 

247
(34)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3e. Подставляя выражения (31), (32), (33) в граничные условия (21)-(23) и учитывая (26), (32) и рекуррентное соотношение
[140]
∂ χ jn (χ ) = jn−1 (χ ) −
n +1
jn (χ )
χ
перепишем граничные условия (21) – (23) в виде
=

m∈Ω
 S 
An (S ) r0n + Bn (S ) jn 
r0  − S r0 ξ (n2) (S ) =
 ν 
hm 
9(m + 1)

hm+1δ n1  − r0 U r( 2n) (*) (r0 , S ) −
 hm δ n 0 +
2m + 1 
2m + 3

[
α kmn 

 K kmn −
 r0 ℑ ξ (k1) (t )∂ rU r(1m) (r0 , t ) +
m (m + 1) 
k ,m∈Ω 
+
2α kmn
ℑ ξ (k1) (t )U r(1m) (r0 , t ) ;
k , m∈Ω m (m + 1)
2
B (S ) 
n −1
S 2  S 
2
An ( S ) r0n + n
r0 
  2 n − 1 + r0  jn 
n
n ( n + 1)  
ν   ν 

[

2
0
−
−
]
(
−2
(r
]
−
n ≥ 0;
(35)
)
 S 
r0
S
r0 j n +1 
r0   = −
n ( n + 1)
ν
 ν 
)
∂ rrU r(2)n (*) ( r0 , S ) + 2 r0 ∂ rU r(2)n (*) ( r0 , S ) + ( n − 1)( n + 2 ) U r(2)n (*) ( r0 , S ) −
[
)]
(
Γkmn
 m (m + 1) r02 ℑ ξ (k1) (t ) r0 ∂ rrr U r(1m) (r0 , t ) + 3 ∂ rr U r(1m) (r0 , t ) −
k , m∈Ω
[
]
2Γkmn
2Λ kmn 

 Γkmn + 2Γmkn −
 r0 ℑ ξ (k1) (t ) ∂ r U r(1m) (r0 , t ) −
−
m (m + 1) m (m + 1) 
k , m∈Ω 
−

[
]
4Λ kmn 
 2Γkmn

 ℑ ξ (k1) (t ) U r(1m) (r0 , t ) ;
− Γkmn − 2Γmkn −
m (m + 1) 
k ,m∈Ω  m (m + 1)

n ≥ 1;
248
(36)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 S 2ν

An (S ) r0n  + 2 (n − 1) +
 n r0


 S 
 S 
2ν
S
+ 2 Bn (S )  (n − 1) j n 
r0  + r0
j n +1 
r0   +
ν
r0
 ν 
 ν 

r0 ω n2 ( 2)
S r0
+
ξ n (S ) = −
r0 ∂ rU r( 2n)(*) (r0 , S ) + 2 U r( 2n)(*) (r0 , S ) +
n
n(n + 1)
ν
+
r02 ∂ rrrU r( 2n)(*) (r0 , S ) + 6r0 ∂ rrU r( 2n)(*) (r0 , S ) −
n(n + 1)
− 3(n − 1)(n + 2)∂ rU r( 2n)(*) (r0 , S ) −
(
)
(
)
[
r02
− 
ℑ ΓkmnU r(1k) (r0 , t ) ∂ rrU r(1m) (r0 , t ) +
k , m∈Ω m (m + 1)
+
−
α kmn

∂ rU r(1k) (r0 , t ) ∂ rU r(1m) (r0 , t )
2k (k + 1)


α kmn 
2
 r0 ℑ[U r(1k) (r0 , t ) ∂ rU r(1m) (r0 , t )] +
 2 Γkmn +
k (k + 1) 
k , m∈Ω m (m + 1) 




α kmn 
σ
 ℑ[U r(1k) (r0 , t ) U r(1m) (r0 , t )] + 3  2 K kmn (k (k + 1) − 1) +
+  Γkmn +
k (k + 1) 

 ρr0 k ,m∈Ω 
+
[
− 2ν
−
]
W
((m(2n − 2m − 7 ) + k (m + 1) + 3)K kmn + α kmn )ℑ ξ (k1) (t )ξ (m1) (t ) −
2

 (1)  

α kmn 
1 2α kmn
(1)
(1)



(
)
(
)
(
)
t
K
U
r
,
t
U
r
,
t
ℑ
ξ
−
∂
−
∂
  k   kmn m (m + 1)  rr r m 0 r m (m + 1) r r m 0  −
k ,m∈Ω 

0



 (1)  2 ν
ℑ
 ξ k (t ) 2
k , m∈Ω 
 r0


 2α kmn

1

− α kmn U r(1m) (r0 , t ) − K kmn ∂ r p m(1) (r0 , t ) ;

ρ
 m (m + 1)


n ≥ 1.
(37)
Система уравнений (35) – (37) представляет собой систему
линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно величин An (S ) , Bn (S ) , ξ (n2) (S ) . Подставляя в эту систему решение задачи первого порядка малости (8), после громоздких вычислений найдем выражение для коэффициента ξ (n2) (S ) в виде
249
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ξ (n2) (S ) =
(
g
ςlkmn
+∞


k , m∈Ω
S, Sk(l ) , Sm( g)
(S
l , g =1
r0
) =  (χr )
0
2
(
g
ς lkmn
S , S k(l ) , S m( g )
− S k(l )
− S m( g )
)D
(
n
)
(S )
;
n ≥ 2;
)η η(2n(1−, χ1,)χ) 
+ (n −1)(3n +1) + n2 −1
n
(38)
2n(n +1)
2
 (2n +1)r0χ
n
0 
n−2

2(n + 1)
 r0 
−  (χr0 )2 + 2(n + 1)(n(n − 3) − 1) +
× 
×
(
)
η
1
,
χ
r

n
×
r χ j ( χr )  

×  n 2n 2 + n − 1 + 1 − n ( n + 2 ) 0 × n 0   ×
2 jn +1 ( χr0 )  

(
)
r
n
×
( 2n + 1) r0χ 2  r0 
(
n +3
− n(n + 1)
−χr0 ( χr0 ) + 2 ( n − 1)( 2n + 1)
×
2
)
jn (χr0 ) 
 2(χr0 )2 + 4n(n − 1)(n + 2) −
ηn (1, χ ) 
jn ( χr0 )  ( −1) 3
n ( n + 1)
×
r
y
χ
r
+
(
)

n
jn +1 ( χr0 )  χ r03
ηn (1, χ )
n
((( n + 1) (χr ) + 4n ( n − 1)( n + 2) − χr ((χr ) + 2 ( n − 1)( 2n + 1)) ×
2
2
0
0
0
n

 ( −1) 3
jn ( χr0 ) 
jn ( χr0 )
2
×
yn +1 ( χr0 ) 
r jn ( χr )  ×
 yn ( χr0 ) − ( n − 1) ( χr0 ) ×
3


jn +1 ( χr0 ) 
jn +1 ( χr0 )

 χ r0
 η ( n, χ )
lg
2n ( n + 1) ×
r , Sk(l ) , Sm( g ) dr +  n
× f kmn
1,
η
χ
(
)
 n
(
)
(
)
2 2

 Λ kmn + (m − 2 )Γkmn
 Dn (S ) − ωn r0  α kmn
×
− (m − 2 )K kmn −
− (m − 1)K kmn   ×

2 2
m
ν χ

 m


×
( )( ( )
( ))
ν
(l )
(g)
(g)
a
S
a
S
r
+
b
S
+
ξ
k
m
m
0
m
m
k
4
r0
 4(m − 1)α kmn  ( g )
+
−  χ m r0

m

(
)
2
 nν
+ 2(m − 2 )(m − 1) K kmn  × 3 aξk ( Sk(l ) ) am ( Sm( g ) ) +

 r0
250
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(

+   χ (mg ) r0

× K kmn −
+
)
2
(
)
(
2α kmn
+ 2 m 2 − 1 
− 2 χ (mg ) r0
 m(m + 1) 
)
2
+ (m − 2 )(m − 1) ×

η n (n, χ ) (n + 1)(m − 2 ) ( g ) 2
 nν
χ m r0 Γkmn  4 a ξk S k(l ) bm S m( g ) +
η n (1, χ ) m(m + 1)
 r0
(
(( (
( ) ( )
)
)
nσ
4 k 2 + k − 1 + (3 + k (m + 1) + m(2n − 2m − 7 )) ×
4
2r0 ρ
 η (n, χ )
× W )K kmn + Wα kmn )aξk S k(l ) aξm S m( g ) +  n
×
 ηn (1, χ )
( ) ( )
  Λ kmn

×  2
− K kmn  − χ (mg ) r0
 
  m(m + 1)
(
(D (S ) − ω )r
−
2 2
n 0
n
ν 2χ 2
×
×
2
Γkmn 
n(n + 1) −
+ 4 
 m(m + 1) 

α kmn  
 α kmn
− K kmn ) +4n  2 K kmn −

  ×
(
)
m
m
1
+
+
m
m
1
(
)



( ) ( )
× aξk S k(l )
)
bm S m( g )
(
)
ν χ (mg ) jm +1 χ (mg ) r0 
α kmn 
−
+
K

×
kmn
3
(g)
km 
r0
jm χ m r0

(
)

Γ kmn
n
χ(mg ) r0
ak Sk(l ) am Sm( g ) −  K kmn +
m ( m + 1)
2r0

( ) (
)
(
)
2
+
α kmn 
×
km 
1
α kmn 
Γ kmn
n
(l )
(g)
a
S
b
S
−
K
+
+
χ(mg ) r0
  kmn
k
m
m

2 k
km  m ( m + 1)
r0
 2
n
n α kmn χ(mg )
(l )
(g)
× 3 bk Sk bm Sm − 2
×
r0
r0 km ( m + 1)
( ) (
(
)
( ) (
(
× bm S m( g )

 r a S (l ) + b S (l )
k
k
 0 k k

)
( )
)
2

×

)
(
)  j (χ r ) ;
)   j (χ r )
(l )
(l )

r
j
χ
χ
+
0
1
k
k
k r0
1 +

2(k + 1) j k χ (kl ) r0

( )
(
251
m +1
m
(g)
m 0
(g)
m 0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
lg
f kmn
(r,
S k(l ) ,
S m( g )
)
(
)
)
k −2
Γkmn
j m +1 χ (mg ) r
(l )
(g) 3
(g) r
=
χ m a k S k bm S m
+
m(m + 1)
r0k −1 j m χ (mg ) r0
( ) ( ) (
(m + k )kΓkmn + α kmn
km(m + 1)
)
(
(χ ) b (S )×

r
1 j (χ r )  j (χ r )

+ b (S )
+
× a (S )

 j (χ r )
r
r
(
)
χ
j
r


 Γ (χ )

m(m + 1)Γ + α

(χ )  ×
+
+
+
(l )
k
k
k −3
k
k −1
0
(g) 2
m
kmn
(l )
k
(g) 2
m
m
k
3
k
(g)
m
(l )
k
(l )
k 0
mkn
m
m
(l ) 2
k
kmn
k (k + 1)m(m + 1)
 m(m + 1)

(
(
(g)
m
(g)
m 0


) (
) (
)
)
(( )
(
1 jk χ (kl ) r jm +1 χ (mg ) r
.
r 2 jk χ (kl ) r0 jm χ (mg ) r0
Из вида выражения (38) видно, что оно имеет устранимую
особую точку S = 0 и бесконечное счетное число особых точек,
которые определяются из условий Dn (S ) = 0 и S − S k(l ) − S m( g ) = 0
и являются простыми полюсами. Кроме того, выражение (38) при
S → ∞ стремится к нулю, что позволяет в формуле обратного
преобразования Лапласа воспользоваться леммой Жордана для
левой полуплоскости и теоремой о вычетах. В итоге формула обращения примет вид
+∞
1 γ + i∞
f (t ) =
F ( S ) exp( S ⋅ t ) dS =  res F S n( j ) ⋅ exp S n( j ) t , (39)

2πi γ −i∞
j =1
где суммирование ведется по всем корням уравнений Dn (S ) = 0 и
× χ (mg )bk
( ) ( )
S k(l )
bm S m( g )
))
S − S k(l ) − S m( g ) = 0 .
Применяя формулу (39) для вычисления коэффициента
( 2)
ξ n (S ) , найдем
ξ (n2)
(t ) = 
+
k , m∈Ω
+∞
 
k , m∈Ω l , g =1
+∞

l , g , j =1
(
(
) exp(S
D (S )
g
ς lkmn
S n( j ) , S k(l ) , S m( g )
(
S n( j )
− S k(l )
− S m( g )
)∂
ςlgkmn Sk(l ) + Sm( g ) , Sk( l ) , Sm( g )
(
Dn S
(l )
k
+S
(g)
m
)
252
S n( j )
) exp
n
(( S
( j)
n
(l )
k
))
( j)
n
+ Sm( g ) t ;
)
t +
n ≥ 2,
(40)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( )
где S n( j ) – корень дисперсионного уравнения D n S n( j ) = 0 .
Подставляя выражения (40) и (24) в (10) найдем явный вид
коэффициента ξ ( 2) (ϑ, t ). Подставляя найденное таким образом
выражение для ξ ( 2) (ϑ, t ), а также выражение для коэффициента
ξ (1) (ϑ, t ) , которое определяется выражением (8), в (4) несложно
найти явный вид функции ξ(ϑ, t ) и определить форму образующей нелинейно осесимметрично осциллирующей капли вязкой
несжимаемой электропроводной жидкости как функцию времени
и полярного угла:
r (ϑ, t ) = r0 + ε
ε2
−
r0
9ε 2
−
r0
+ε
2
+∞
−
n∈Ω j =1
( ) (
a ξm S m(l ) a ξm S m( g )
2m + 1
m∈Ω l , g =1
) exp((S
(l )
m
))
+ S m( g ) t P0 (μ ) −
(m + 1) a ξm (S m(l ) ) a ξm+1 (S m( g+)1 )
exp((S m(l ) + S m( g+)1 ) t )P1 (μ ) +
 
(2m + 1)(2m + 3)
m∈Ω l , g =1
+∞
+∞

n=2
+
 
  a ξn (S n( j ) ) exp(S n( j ) t ) Pn (μ )
+∞
+∞

l , g =1
(
)
(
( )
g
 +∞
S n( j ) , S k(l ) , S m( g )
ς lkmn

( j)
exp
S
t +
   ( j ) (l ) ( g )
n
( j)
S
S
S
D
S
−
−
∂
k ,m∈Ω l , g , j =1
n
m
k
S n( j ) n n

(
(
g
ς lkmn
S k(l ) + S m( g ) , S k(l ) , S m( g )
(
D n S k(l )
+
S m( g )
)
)
) exp((S
(l )
k
+
S m( g )
)

t  Pn (μ ) . (41)

))
Переходя в выражении (41) к пределу идеальной жидкости
(используя асимптотическое представление модифицированных
сферических функций при больших значениях аргумента при
ν → 0 ), несложно прийти к выражению для образующей нелинейно-осциллирующей заряженной капли идеальной жидкости.
4. Рассмотрим случай сильно вязкой жидкости (когда
ν ⋅ ρ1 / 2 (r0 σ)1 / 2 ≥ 1 [107]). Тогда в выражениях для асимптотического представления модифицированных сферических функ-
(
)
253
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ций Бесселя первого и второго рода при малых значениях аргумента [140]:
(
)
2

χ n 
χ2 / 2
χ2 / 2
+
+ ... ; χ → 0 ;
1+
j n (χ ) =
(2n + 1)!!  1! (2n + 3) 2! (2n + 3)(2n + 5) 

(
(
2n − 1)!! 
χ2 / 2
χ 2 / 2)
y n (χ ) =
1+
+ ...  ;
+
n n +1 
(− 1) χ  1! (1 − 2n ) 2! (1 − 2n )(3 − 2n ) 
2
χ→0
можно ограничиться несколькими первыми слагаемыми. В итоге
получим:
aξn
(
an S n( j )
(
bn S
( j)
n
( j)
n
n
;
( 4n + 3) ( 2n ( n + 2 ) ( 4n2 + 6n + 5) + 9 ) r02 hnωn2 ;
n + 1)(2n + 3) hn ωn2
(
) ≅ − (2n(n + 2) + 3) S ( j ) +
2
ν
n
2 ( n − 1)( 2n + 1)( 2n + 5 ) ( 2n ( n + 2 ) + 3)
n + 1)( 2n + 3) r0 hn ωn2 (n + 1)(2n(4n(n(3n + 11) + 14 ) + 35) + 21) r03 hn ω 2n ;
(
) ≅ ( 2n ( n + 2 ) + 3) S ( j ) − (n − 1)(2n + 1)(2n + 5)(2n(n + 2) + 3)2 ν
n
( )
D n S n( j ) ≅
τn =
r02 hn S n( j )
3(2n(2n(n + 2 ) + 3) + 3)
−
2(n − 1)(2n + 1)(2n + 5)(2n(n + 2 ) + 3)
ν
(S ) ≅ h
3(2n(2n(n + 2 ) + 3) + 3)  ( j )
Sn
2

(2n + 1) (2n + 5) 
( )
(2n + 1)(2n + 5)(n − 1)(2n 2 + 4n + 3) ;
(
3 4n 3 + 8n 2 + 6n + 3
)
2
βn =
+ 2 S n( j )
τn ν
r02
(

+ τ 2n β n ω 2n  ;


3 4 n 3 + 8n 2 + 6 n + 3
(2n + 5)(n − 1)
2
( )
(2n
2
)
+ 4n + 3
)
2
.
Дисперсионное уравнение Dn S n( j ) = 0 теперь имеет всего
два корня:
S n(1)
S n( 2)
= −τ n
= −α n
ν
r02
ν
r02
+ τn
− αn
254
ν
r02
ν
r02
1 − βn
1− βn
r04 ω n2
ν2
r04 ω n2
ν2
;
.
(44)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если вязкость жидкости будет настолько большой, что будет выполнено соотношение ν 2 >> β n r04 ω 2n , тогда корни (44) можно
записать в виде
S n(1)
r02 ω 2n
≅ − τn βn
;
2ν
S n( 2) ≅ −2 α n
ν
r02
.
(45)
Несложно видеть, что S n(1) << S n( 2) , и потому в выражении
(40) слагаемые, содержащие второй корень S n( 2) , будут быстро
затухать со временем. Временная эволюция деформированной в
начальный момент времени капли определится слагаемыми, содержащими первый корень S n(1) . Тогда из (40) с учетом выписан-
( )
( )
ных выше разложений для коэффициентов a ξn S n( j ) , a n S n( j ) ,
( )
bn S n( j ) можно получить
ξ (n2)
×
2
2
 



2
2 r0
2 r0
(t ) =  exp − τ k β k ωk + τ m β m ωm
t  − exp − τ n β n ωn
t  ×
2ν 
2 ν 
k ,m∈Ω 

 
(
)
 nσ

hk hm
2n + 1
 2(k (k + 1) − 1) +
×
×
K

kmn

(n − 1)(2n(n + 2) + 3) τnβnω2n − τk βk ω2k − τmβmω2m ρr04


α kmn  n ω2k
W  W nσ

+ (3 + k (m + 1) − m(7 + 2m − 2n ))  +
α kmn −  K kmn +
×
2  2 ρr04
k
m
2
r

 0
×
(2k + 1)(m − 1)(m + 1)(2m + 3) − 1 km 6 2k + 1 m − 1 +
( ( ( )( )
(k − 1)(2k (k + 2) + 3)(2m + 1) 2kmr0
(
)
+ 20m − k ( k ( 2k + 3) × ( 2m + 1) − 2 (16m + 5 ) ) + 7 n + 2 ×
(
(
)
)
)
× 7 m + k 6 ( m + 3) − k ( 2k + 3)( 2m + 1) + 11 n 2 − 4 ( 2k + 1)( m − 1) n3 ×
× K kmn + ( 3 ( 2m + 1) n ( 2n + 1) − 2k 3 ( 2m + 1) n ( 2n + 1) +
(
( (
) )
−3k 2 n ( 2n ( 2m + 4n + 5 ) + 2k 2n m + 2 +2 ( m − 1) n − 3n 2 + 9 −
255
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
)
+ 2m − 3) − 12 ) α kmn + 6k ( 2k + 1) n ×
(n + 1)(m(m(2m − 1) − 4)Γkmn + 3Λ kmn ))ω 2m
×
((2k + 1)(m − 1)(2m(m + 2) + 3)(2n + 1))

;

n ≥ 2.
(46)
Выражения (24) с учетом (8) в данном приближении можно
записать в виде
ξ (02)
ξ1( 2) (t ) = −
9
r0
(t ) = − 1
r0

m∈Ω

hm
r02 ω2m
exp − τ m β m
ν
2m + 1


(m + 1)h h
 (2m + 1)(2mmm++13) exp − τ m β m
m∈Ω

r02 ω2m
2ν

t  ;



r 2 ω2
t  exp − τ m+1 β m+1 0 m+1
2ν



t  .

5. Численные расчеты по выражению (40) в безразмерных
переменных, в которых ρ = σ = r0 = 1, указывают на различную
сходимость рядов по бесконечному набору корней дисперсионного уравнения для различных значений вязкости жидкости v,
параметра Рэлея W и номера моды n, возбужденной во втором
порядке малости. В частности, для малых вязкостей корни дисперсионного уравнения Dn ( S ) = 0 располагаются плотно один к
другому и потому суммирование нужно проводить по весьма
большому набору корней дисперсионного уравнения (см. табл. 1).
Увеличение параметра Рэлея W приводит к улучшению сходимости ряда (40). Следует также указать на резонансный вид нелинейного слагаемого (41), однако анализ резонансных ситуаций
для капли вязкой жидкости пока представляет известные трудности, и пока получены лишь предварительные результаты, указывающие на несомненное влияние вязкости жидкости на положения резонансов [143].
Сравнение численных значений коэффициентов ξ(2)
n (t ) для
случая вязкой жидкости и для идеальной жидкости указывает на
то, что в маловязкой жидкости значения коэффициента ξ(2)
n (t )
могут более чем в два с половиной раза превышать соответствующее значение для идеальной жидкости, см. рис. 1 и рис. 2, т.е.
вязкость способствует усилению нелинейного взаимодействия
мод. Из рис. 1 и рис. 2 видно, что в вязкой жидкости доля
256
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
энергии, перекачиваемой за счет нелинейного взаимодействия из
моды, определяющей начальную деформацию, в нелинейно с ней
взаимодействующие, передается не мгновенно, как было в идеальной жидкости, но этот процесс занимает конечный интервал
времени: амплитуды нелинейно возбуждающихся мод вначале
растут от нулевого значения, а затем экспоненциально затухают
за счет влияния вязкости. В маловязких жидкостях это происходит колебательным образом (см. рис. 1 и рис. 2), а сильно вязких
апериодически (см. рис. 3). Наибольшее расхождение между коэффициентами ξ (n2) (t ) , вычисленными для случая маловязкой
жидкости и идеальной жидкости, наблюдаются для второй моды
n = 2 . Это связано с присутствием в маловязкой жидкости элементарных вихрей, которые для малых значений n медленно затухают и потому оказывают существенное воздействие на границу капли, искривляя ее поверхность.
Таблица 1
Минимальные значения индексов l, g, j, необходимые
для удовлетворительной сходимости ряда, определяющего
ξ (n2) (t ) , при k = m = 2 h2 = 1 и различных значениях безразмерной
вязкости жидкости капли v, параметра W и n
n=2
W = 2 W = 3 W = 3.5 W = 0
12
9
6
48
n=4
W = 2 W = 3 W = 3.5
28
22
18
ν
0.02
W =0
16
0.03
10
8
7
5
30
18
12
10
0.05
8
6
5
4
16
10
8
6
0.07
6
5
4
3
12
8
6
4
0.1
4
4
3
3
10
6
4
4
0.2
3
3
3
3
6
4
3
3
0.5
3
3
3
2
4
3
2
2
1.5
2
2
2
2
3
2
2
2
2.0
2
1
1
1
3
2
1
1
257
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1. Зависимости безразмерного коэффициента ξ (n2)
от безразмерного времени t , построенные при k = m = 2 , n = 2 , W = 1 ,
h2 = 1 . Сплошная кривая построена по выражению (40), а точечная по выражению, справедливому для идеальной жидкости: a) ν = 0.01 ; b) ν = 0.1
258
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2. Зависимости безразмерного коэффициента ξ (n2) от безразмерного
времени t , построенные при k = m = 2 , h2 = 1 , n = 4
и различных значениях параметра W = 3 (1); 3.8 (2); 3.9 (3).
Сплошные кривые построены по выражению (40),
а точечные по асимптотическому выражению (46)
Рис. 3. Зависимости линейной суперпозиции решений первого и второго
порядков малости ξ (n1) + ε ξ (n2) для безразмерной амплитуды основной моды
от безразмерного времени t , построенные при k = m = 2 , n = 2 , W = 1 ,
ν = 0.02 , ε = 0.3 . Сплошная кривая построена по выражению (40),
а точечная по выражению, справедливому для идеальной жидкости
259
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В случае сильно вязких жидкостей, так же как и в случае
маловязких жидкостей, наибольшие численные значения коэффициента ξ (n2) (t ) наблюдаются при n = 2 (см рис. 3). При этом
максимальное значение данного коэффициента сильно увеличивается с увеличением параметра W. Отметим также, что в случае
сильновязких жидкостей точность асимптотического выражения
(46) зависит от параметра W. Так, при W = 0 асимптотическая
формула (46) плохо приближает реальное значение коэффициента ξ (n2) (t ) . С увеличением же параметра W точность асимптотического выражения увеличивается, что связано с тем, что оно
справедливо только в том случае, когда ν 2 >> β n r04 ω 2n , с ростом
же W уменьшается ω2n .
Отметим также, что выражения (40) и (41) справедливы и для
закритических значений электрического заряда на капле:
W > n + 2 . А потому на их основе можно проанализировать неустойчивость поверхности вязкой заряженной капли.
Для сильно вязкой жидкости при W < 4, когда основная мода,
а значит, и вся капля устойчивы по отношению к собственному
заряду, (46) определяет временной закон возвращения формы капли к равновесной сферической (см. рис. 3). Видно, что амплитуды
мод, определяющих начальную деформацию, равно как и амплитуды нелинейно возбудившихся мод, убывают экспоненциально
со временем. Причем показатели экспонент быстро растут с увеличением номера моды. При 4< W < 5, когда основная мода (n=2)
теряет устойчивость, а все более высокие моды ее сохраняют, картина временной эволюции формы капли усложняется. Показатели
экспонент, в которые входит квадрат частоты основной моды, меняют свой знак, поскольку его при W < 4< 5 меняет квадрат частоты ω 22 , и соответствующее слагаемое начинает экспоненциально
со временем возрастать, тогда как остальные компоненты выражения (41), (46) продолжают уменьшаться со временем (см.
рис. 4). И по прошествии некоторого интервала времени исходная
деформация капли исчезнет, а ее форма определится основной модой, т.е. капля будет эволюционировать к фигуре, близкой к вытянутому сфероиду.
260
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4. Зависимости безразмерного коэффициента ξ (n2) от безразмерного
времени t , построенные при k = m = 3 , h3 = 1 , ν = 0.1 и различных n .
Номер у кривой совпадает с номером нелинейно-возбужденной моды n .
а) W = 3 ; b) W = 4.01
261
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 5. Зависимости безразмерного коэффициента ξ (n2)
от безразмерного времени t , построенные при k = m = 3 , h3 = 1 , W = 4.01 ,
ν = 1 и различных n . Номер у кривой совпадает
с номером нелинейно возбужденной моды n
Степень удлинения заряженной капли электропроводной
жидкости за счет увеличения амплитуды основной моды будет
ограничена началом полевой эмиссии зарядов при достаточном
увеличении напряженности поля собственного заряда на ее вершинах при увеличении кривизны вершин связанном с вытягиванием капли, как это было описано ранее в [107], или делением
капли на две части сравнимых размеров [46, 144]. Неустойчивость основной моды будет иметь место независимо от того, входила ли основная мода в спектр мод, определивших начальную
деформацию, поскольку во втором порядке малости основная
мода за счет нелинейного взаимодействия возбуждается всегда
при любом виде начальной деформации [80, 82, 116]. Если же величина параметра W будет лежать в диапазоне 5 < W < 6, то неустойчивой будет и третья мода (n=3). Но приведет ли ее неустойчивость к деформации сфероидальной формы, будет зависеть от
того, присутствует ли третья мода в спектре мод, определяющих
начальную деформацию, или в спектре мод, возбудившихся за
счет нелинейного взаимодействия. Если третьей моды нет ни в
одном из упомянутых наборов мод, то согласно (46) она не по262
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
влияет на форму капли (если абстрагироваться от осцилляций исчезающе малой амплитуды тепловой природы).
6. Нелинейные осцилляции капель вязких жидкостей можно
аналитически исследовать классическими асимптотическими методами. В пределе большой вязкости получающиеся аналитические выражения достаточно компактны. Анализ найденного выражения для временной эволюции формы сильно деформированной капли сильно вязкой жидкости позволяет проследить за
временной эволюцией каждой моды.
Рис. 6. Зависимости безразмерного коэффициента ξ (n2) от безразмерного
времени t , построенные при k = m = 4 , h4 = 1 , W = 4.01 ,
и различных вязкостях ν . Номера у кривых соответствуют различным
вязкостям ν = 0.05 (1); 0.1 (2); 1 (3). Сплошные кривые построены
по выражению (40). Точечная кривая построена
при ν = 1 по выражению (46)
263
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Литература
1. Tsamopoulos, J.A. Nonlinear oscillation of inviscid drops and
bubles / J.A. Tsamopoulos, R.A. Brown // J. Fluid Mech. – 1983. –
V. 127. – P. 519–537.
2. Feng, Z. Instability caused by the coupling between nonresonant shape oscillation modes of a charged conducting drop
/ Z. Feng // J. Fluid Mech. – 1997. – V. 333. – P. 1–21.
3. Natarajan, R. Quadratic resonance in the three-dimensional oscillation of inviscid drops with surface tension / R. Natarajan,
R.A. Brown // Phys. Fluids. – 1986. – V. 29, № 9. – P. 2788–2797.
4. Natarajan, R. Third-order resonance effects and the nonlinear
stability of drops oscillations / R. Natarajan, R.A. Brown // J. Fluid
Mech. – 1987. – V. 183. – P. 95–121.
5. Trinch, E. Large amplitude free and driven drop-shape oscillations: experimental observations / E. Trinch, T.G. Wang // J. Fluid
Mech. – 1982. – V. 122. – P. 315–338.
6. Jakobi, N. Acoustically induced oscillations and rotation of a
large drop in Space / N. Jakobi, A.P. Croonquist, D.D. Elleman,
T.G. Wang // Proc. 2-nd Int. Colloq. on Drop and Bubbles. – Pasadena, 1982. JPL Publication 82-7. – P. 31–38.
7. Brown, R.A. The shape and stability of rotating liquid drop
/ R.A. Brown, L.E. Scriven // Proc. R. Soc., London. – 1980. –
V. A371. – P. 331–357.
8. Patzek, T.W. Nonlinear oscillations of inviscid free drops
/ T.W. Patzek, R.E. Benner, O.A. Basaran, L.E. Scriven // J. Coputational Physics. – 1991. – V. 97. – P. 489–515.
9. Basaran, O.A. Nonlinear oscillations of viscous drops
/ O.A. Basaran // J. Fluid Mech. – 1992. – V. 241. – P. 169–198.
10. Lundgren, T.S. Oscillation of drops in zero gravity with weak
viscous effects / T.S. Lundgren, N.N. Mansour // J. Fluid Mech. –
1988. – V. 194. – P. 479–510.
11. Becker, E. Nonlinear dynamics of viscous droplets
/ E. Becker, W.J. Hiller, T.A. Kowalewski // J. Fluid Mech. – 1994. –
V. 258. – P. 191–216.
12. Baker, G.R. Generalized vortex methods for free-surface flow
problems / G.R. Baker, D.I. Merion, S.A. Orzag // J. Fluid Mech. –
1982. – V. 123. – Р. 477–501.
264
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. Becker, E. Experimental and theoretical investigation of large
amplitude oscillations of liquid droplets / E. Becker, W.J. Hiller,
T.A. Kowalewski // J. Fluid Mech. – 1991. – V. 231. – P. 189–210.
14. Wang, T.G. Oscillations of liquid drops: results from USML1 experiments in Space / T.G. Wang, A.V. Anilkumar, C.P. Lee
// J. Fluid Mech. – 1996. – V. 308. – P. 1–14.
15. Azuma H., Yoshinara S. Three-dimensional large-amplitude
drop oscillations: experiments and theoretical analysis // J. Fluid
Mech. – 1999. – V. 393. – P. 309–332.
16. Inculet, I.I. Breakup of large water droplets by electric fields
/ I.I. Inculet, R. Kroman // IEEE Transactions on Ind. Appl. – 1992. –
V. 28, № 5. – P. 945–948.
17. Inculet, I.I. Dynamic of water droplets in electric fields
/ I.I. Inculet, J.M. Floryan, R.J. Haywood // IEEE Transactions on Ind.
Appl. – 1989. – V. 25, № 5. – P. 1203–1209.
18. Jong-Wook Ha. Deformation and breakup of Newtonian and
non- Newtonian conducting drops in an electric field / Jong-Wook Ha,
Seunng-Man Yang // J. Fluid Mech. – 2000. –V. 405. – P. 131–156.
19. Feng, Z.C. On energy transfer in resonant bubble oscillations
/ Z.C. Feng, L.G. Leal // Phys. Fluids. – 1993. – V. A5, № 4. –
P. 826–836.
20. Feng, Z.C. Bifurcation and chaos in shape and volume oscillations of a periodically driven bubble with two-to-one internal resonans
/ Z.C. Feng, L.G. Leal // J. Fluid Mech. – 1994. – V. 266. – P. 209–
242.
21. Feng, Z.C. Translational instability of a bubble undergoing
oscillations / Z.C. Feng, L.G. Leal // Phys. Fluids. – 1995. – V. 7,
№ 6. – P. 1325–1336.
22. Feng, Z.C. Numerical simulation of the translational and
shape oscillations of a liquid drop in an acoustic field / Z.C. Feng,
Y.H. Su // Phys. Fluids. – 1997. – V. 9, № 3. – P. 519–529.
23. Lundgren, T.S. Oscilllation of drops in zero gravity with weak
viscous effects / T.S. Lundgren, N.N. Mansour // J. Fluid Mech. –
1988. – V. 194. – P. 479–510.
24. Natarayan, R. The role of three-dimensional shapes in the
break-up of charged drops / R. Natarayan, R.A. Brown // Proc. Roy.
Soc., London. – 1987. – V. A410. – P. 209–227.
265
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
25. Pelekasis, N.A. Equilibrium shapes and stability of charged
and conducting drops / N.A. Pelekasis, J.A. Tsamopoulos, G.D. Manolis // Phys. Fluids. – 1990. – V. A 2, № 8. – P. 1328–1340.
26. Foote, G.B. A numerical method for studying simple drop behavior: simple oscillation / G.B. Foote // J. Comp. Phys. 1973. –
V.11. – P. 507–530. Р. 17–25.
27. Trinch, E. Large amplitude drop oscillations / E. Trinch,
T.G. Wang // Proc. 2-nd Int. Colloq. on Drop and Bubbles. Pasadena:
1982. JPL Publication 82-87.
28. Beard, K.V. Oscillation model for predicting raindrop axis
and backscattering ratios / K.V. Beard // Radio Sci. – 1984. – V. 19,
№ 1. – P. 67–74.
29. Tsamopoulos, J.A. Resonant oscillations of inviscid charged
drop / J.A. Tsamopoulos, R.A. Brown // J. Fluid Mech. – 1984. –
V. 147. – P. 373–395.
30. Ширяева, С.О. Нелинейный аналитический асимптотический анализ осцилляций неосесимметричных мод заряженной
струи идеальной жидкости / С.О. Ширяева, А.И. Григорьев,
Т.В. Левчук // ЖТФ. – 2004. – Т. 74, вып. 8. – С. 6–14.
31. Коромыслов, В.А. Нелинейные осцилляции и устойчивость заряженной капли, движущейся относительно диэлектрической среды / В.А. Коромыслов, С.О. Ширяева, А.И. Григорьев
// ЖТФ. – 2004. – Т. 74, вып. 9. – С. 23–31.
32. Tsamopoulos, J.A. Dynamic of charged drop break-up
/ J.A. Tsamopoulos, T.R. Akylas, R.A. Brown // Proc. Roy. Soc.,
London. – 1985. – V. A401. – P. 67–88.
33. Wang, T.G. Oscillations of liquid drops: results from
USML-1 experiments in Space / T.G. Wang, A.V. Anilkumar,
C.P. Lee // J. Fluid Mech. – 1996. – V. 308. – P. 1–14.
34. Габович, М.Д. Жидкометаллические источники ионов (обзор) / М.Д. Габович // УФН. – 1983. – Т. 140, № 1. – С. 137–151.
35. Baily, A.G. Electrostatic atomization of liquids (rev.)
/ A.G. Baily // Sci. Prog., Oxf. – 1974. – V. 61. – P. 555–581.
36. Коженков, В.И. Электрогидродинамическое распыление
жидкости (обзор) / В.И. Коженков, Н.А. Фукс // Успехи Химии. –
1976. – Т. 45, № 12. – С. 2274–2284.
37. Bogy, D.B. Drop formation in a circular liquid jet / D.B. Bogy
// Ann. Rev. Fluid Mech. – 1979. – V. 11. – P. 207–228.
266
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
38. Bailey, A.G. The Theory and Practice of Electrostatic Spraying (revue) / A.G. Bailey // Atomization and Spray Technology. –
1986. – V. 2. – P. 95–134.
39. Дудников, В.Г. Электрогидродинамические источники
ионных пучков (обзор) / В.Г. Дудников, А.Л. Шабалин // Препринт 87-63 ИЯФ СО АН СССР. – Новосибирск, 1987. – 66 с.
40. Ширяева, С.О. Электростатическое монодиспергирование
жидкостей как метод получения двухфазных систем (обзор)
/ С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, Ю.В. Сыщиков // ЖПХ. – 1989. –
Т. 62, № 9. – С. 2020–2026.
41. Fenn, J.B. Electrospray ionization for mass spectrometry of
large biomolecules (revue) / J.B. Fenn, M. Mann, C.K. Meng et al.
// Science. – 1989. – V. 246, № 4926. – P. 64–71.
42. Григорьев, А.И. Неустойчивости заряженных капель в
электрических полях (обзор) / А.И. Григорьев // ЭОМ. – 1990. –
№ 6. – С. 23–32.
43. Григорьев, А.И. ЭГД неустойчивости в дисперсных системах (обзор) / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, С.И. Шевченко
// Научное приборостроение. – 1991. – Т. 1, № 3. – С. 25–43.
44. Шевченко, С.И. ЭГД распыление жидкости (обзор)
/ С.И. Шевченко, А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // Научное приборостроение. – 1991. – Т. 1, № 4. – С. 3–21.
45. Григорьев, А.И. Капиллярные неустойчивости заряженной поверхности капель и электродиспергирование жидкостей
(обзор) / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // Изв. РАН. МЖГ. –
1994. – № 3. – С. 3–22.
46. Белоножко, Д.Ф. Деление заряженных капель во внешнем электрическом поле на части сравнимых размеров (обзор)
/ Д.Ф. Белоножко, А.И. Григорьев // ЭОМ. – 2000. – № 4. –
C. 17–27.
47. Rayleigh. On the equilibrium of liquid conducting masses
charged with electricity / Rayleigh // Phil. Mag. – 1882. – V. 14. –
P. 184–186.
48. Hendricks, C.D. Stability of conducting droplet under the influence of surface tension and electrostatic forces / C.D. Hendricks,
J.M. Schneider // Amer. Phys. – 1963. – V. 1, № 6. – P. 450–453.
49. Григорьев, А.И. Критические условия неустойчивости
сплюснутой
сфероидальной
сильно
заряженной
капли
267
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
/ А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // ЖТФ. – 1999. – Т. 69, вып. 7. –
С. 10-14.
50. Щукин, С.И. Устойчивость заряженной капли, имеющей
форму трехосного эллипсоида / С.И. Щукин, А.И. Григорьев
// ЖТФ. – 1998. – Т. 68, вып. 11. – С. 48–52.
51. Basaran, O.A. Axisymmetric shapes and stability of isolated
charged drops / O.A. Basaran, L.E. Scriven // Phys. Fluids A. –
1989. – V. 1, № 5. – P. 795–798.
52. Белоножко, Д.Ф. Нелинейные колебания заряженной капли / Д.Ф. Белоножко, А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2000. – Т. 70,
вып. 8. – С. 45–52.
53. Найфе, А.Х. Методы возмущений / А.Х. Найфе. – М:
Мир, 1976. – 455 с.
54. Найфе, А.Х. Введение в методы возмущений / А.Х. Найфе. – М: Мир, 1984. – 535 с.
55. Коул, Дж. Методы возмущений в прикладной математике
/ Дж. Коул. – М: Мир, 1972. – 274 с.
56. Basaran, O.A. Nonlinear oscillations of viscous drops
/ O.A. Basaran // J. Fluid Mech. – 1992. – V. 241. – P. –169–198.
57. Григорьев, А.И. О возможном механизме возникновения
огней ''св. Эльма'' / А.И. Григорьев, О.А. Синкевич // ЖТФ. –
1984. – Т. 54, вып. 7. – С. 1276–1283.
58. Григорьев, А.И. Параметры электростатического распыливания жидкости / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // Изв. АН
СССР. МЖГ. – 1988.– № 2. – С. 5–13.
59. Григорьев, А.И. Электромагнитное излучение осциллирующей заряженной капли конечной проводимости / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // Изв. РАН МЖГ. – 2002. – № 5. – С. 74–80.
60. Калечиц, В.И. О возможном механизме радиоизлучения
конвективных облаков / В.И. Калечиц, И.Е. Нахутин, П.П. Полуэктов // ДАН СССР. – 1982. – Т. 262, № 6. – С. 1344–1347.
61. Гаибов, А.Р. Об акустическом излучении нелинейно колеблющейся заряженной капли / А.Р. Гаибов, А.И. Григорьев
// ЖТФ. – 2003. – Т. 73, вып. 7. – С. 13–20.
62. Trinh, E.H. The dynamics of ultrasonically levitated drops in
an electric field / E.H. Trinh, R.G. Holt, D.B. Thiessen // Phys.
Fluids. – 1996. – V. 8, № 1. – P. 43–61.
268
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
63. Григорьев, А.И. Неустойчивость заряженной сферической
вязкой капли, движущейся относительно среды / А.И. Григорьев,
В.А. Коромыслов, С.О. Ширяева // ЖТФ. – 2000. – Т. 70, вып. 7. –
С. 26-34.
64. Варшалович, Д.А. Квантовая теория углового момента
/ Д.А. Варшалович, А.Н. Москалев, В.К. Херсонский. – Л.: Наука.
1975. – 439 с.
65. Ширяева, С.О. Аналитическое исследование нелинейных
осцилляций заряженной капли, движущейся относительно среды:
препринт № 34 / С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, В.А. Коромыслов и др // ИМ РАН. – Ярославль, 2005. – 35 с.
66. Ширяева, С.О. Об условиях реализации внутреннего нелинейного резонанса при осцилляциях заряженной капли
/ С.О. Ширяева, Д.Ф. Белоножко А.И. Григорьев // Письма в
ЖТФ. – 2002. – Т. 28, вып. 22. – С. 45–51.
67. Ширяева, С.О. Характерное время развития неустойчивости сильно заряженной капли / С.О. Ширяева, А.И. Григорьев
// ЖТФ. – 1995. – Т. 65, вып. 9. – С. 39–45.
68. Григорьев, А.И. Электродиспергирование жидкости при
реализации колебательной неустойчивости ее свободной поверхности / А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2000. – Т. 70, вып. 5. – С. 22–27.
69. Ширяева, С.О. Асимметрия нелинейного резонансного
взаимодействия мод капиллярных осцилляций заряженной капли / С.О. Ширяева // Письма в ЖТФ. – 2000. – Т. 26, вып. 22. –
С. 76–83.
70. Ширяева, С.О. О росте амплитуды осцилляций основной
моды заряженной капли при внутреннем нелинейном резонансе
/ С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, Д.Ф. Белоножко // Письма в
ЖТФ. – 2003. – Т. 29, вып. 6. – С. 69–75.
71. Ширяева, С.О. Нелинейные осцилляции заряженной капли при начальном возбуждении соседних мод / С.О. Ширяева
// ЖТФ. – 2002. – Т. 72, вып. 4. – С. 15–22.
72. Ширяева, С.О. Об условиях реализации внутреннего нелинейного резонанса при осцилляциях заряженной капли
/ С.О. Ширяева, Д.Ф. Белоножко, А.И. Григорьев // Письма в
ЖТФ. – 2002. – Т. 28, вып. 22. – С. 45–51.
269
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
73. Ширяева, С.О. О внутреннем резонансе мод нелинейноосциллирующей объемно заряженной диэлектрической капли
/ С.О. Ширяева // ЖТФ. – 2003. – Т. 73, вып. 2. – С. 19–30.
74. Ширяева, С.О. О росте амплитуды осцилляций основной
моды заряженной капли при внутреннем нелинейном резонансе
/ С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, Д.Ф. Белоножко // Письма в
ЖТФ. – 2003. – Т. 29, вып. 6. – С. 69–75.
75. Ширяева, С.О. О влиянии собственного заряда нелинейно-осциллирующей капли на внутреннее резонансное взаимодействие мод / С.О. Ширяева // Письма в ЖТФ. – 2003. – Т. 29,
вып. 17. – С. 28–35.
76. Ширяева, С.О. О некоторых особенностях нелинейного
резонансного четырехмодового взаимодействия капиллярных осцилляций заряженной капли / С.О. Ширяева, А.Н. Жаров,
А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2004. – Т. 74, вып. 1. – С. 10–20.
77. Григорьев, А.И. О возможности зажигания коронного
разряда в окрестности нелинейно-осциллирующей слабо заряженной капли / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, М.В. Волкова
// ЖТФ. – 2003. – Т. 73, вып. 11. – С. 31–36.
78. Рабинович, М.И. Введение в теорию колебаний и волн
/ М.И. Рабинович, Д.И. Трубецков. – М.: Наука. – 1984. – 432 с.
79. Бреховских, Л.М. Введение в механику сплошных сред
/ Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров. – М: Наука, 1982. – 439 с.
80. Ширяева, С.О. Нелинейные капиллярные колебания и устойчивость сильно заряженной капли при одномодовой начальной деформации большой амплитуды / С.О. Ширяева // ЖТФ. –
2001. – Т. 71, вып. 2. – С. 27–35.
81. Ширяева, С.О. Нелинейные осцилляции заряженной капли
при многомодовой начальной деформации равновесной формы
/ С.О. Ширяева // Изв. РАН. МЖГ. – 2001. – № 3. – С. 173–184.
82. Жаров, А.Н. Нелинейные колебания заряженной капли в
третьем порядке малости по амплитуде многомодовой начальной
деформации / А.Н. Жаров, С.О. Ширяева, А.И. Григорьев
// ЖТФ. – 2003. – Т. 73, вып. 12. – С. 9–19.
83. Жаров, А.Н. О внутреннем нелинейном четырехмодовом
взаимодействии капиллярных осцилляций заряженной капли
/ А.Н. Жаров, А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // Письма в ЖТФ. –
2003. – Т. 29, вып. 9. – С. 75–82.
270
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
84. Ландау, Л.Д. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. – М.: Наука, 1982. – 620 с.
85. Ландау, Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. – М.: Наука, 1986. – 733 с.
86. Дьячук, В.А. Коронный разряд с обводненной градины,
основной механизм инициирования молнии / В.А. Дьячук,
В.М. Мучник // ДАН СССР. – 1979. – Т. 248, № 1. – С. 60–63.
87. Grigor’ev, A.I. The possible physical mechanism of initiation
and growth of lightning / A.I. Grigor’ev, S.O. Shiryaeva // Physica
Scripta. – 1996.– V. 54. – P. 660–666.
88. Мазин И.П., Хргиан А.Х., Имянитов И.М. Облака и облачная атмосфера : справочник / И.П. Мазин, А.Х. Хргиан,
И.М. Имянитов. – Л.: Гидрометеоиздат, 1989. – 647 с.
89. Григорьев, А.И. Закономерности рэлеевского распада заряженной капли / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // ЖТФ. –
1991. –Т. 61, вып. 3. – С. 19–28.
90. Benjamin, T.B. Self propulsion of asymmetrically vibrating
bubbles / T.B. Benjamin, A.T. Ellis // J. Fluid Mech. – 1990. –
V. 212. – P. 65–80.
91. Гаибов, А.Р. О некоторых особенностях акустического
излучения капли, связанного с ее нелинейными осцилляциями
/ А.Р. Гаибов, А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2003. – Т. 73, вып. 10. –
С. 23–28.
92. Григорьев, А.И. Капиллярные осцилляции излучающей
заряженной
вязкой
капли
конечной
проводимости
/ А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, В.А. Коромыслов // ЖТФ. –
2002. – Т. 72, вып. 6. – С. 19–27.
93. Kornfeld M., Suvorov L. 1944. // J. Appl. Phys. – V. 15. –
P. 495–506.
94. Диденкулов, И.Н. Влияние вязкости на Рэлей-Тейлоровскую неустойчивость в сферических течениях жидкости
/ И.Н. Диденкулов, Д.А. Селивановский, В.Е. Семенов, И.В. Соколов // Изв. ВУЗов. Радиофизика. – 1999. – Т. 42. Т. 2. – С. 183–
197.
95. Рид Р., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей / Р. Рид,
Т. Шервуд. – Л: Химия, 1971. – 702 с.
96. Жаров, А.Н. Заряженные пузырьки в жидкости (обзор)
/ А.Н. Жаров, С.О. Ширяева // ЭОМ. – 1999. – № 6. – С. 9–21.
271
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
97. Григорьев, А.И. О механизме неустойчивости заряженной
проводящей капли / А.И. Григорьев // ЖТФ. – 1985. – Вып. 7. –
С. 1272–1278.
98. Рыбакова, М.В. О внутреннем нелинейном резонансе капиллярных осцилляций заряженной капли в диэлектрической
среде при многомодовой начальной деформации границы раздела
сред / М.В. Рыбакова, С.О. Ширяева, А.И. Григорьев // ЖТФ. –
2004. – Т. 74, вып. 1. – С. 24–31.
99. Курчатов, И.В. Электронные явления / И.В. Курчатов,
Д.Н. Наследов, Н.Н. Семенов, Ю.Б. Харитон. – Л: ОНТИ. Химтеорет, 1935. – 388 с.
100. Doyle, A. Behavior of evaporating electrically charged droplets / A. Doyle, D.R. Moffet, B. Vonnegut // J. Colloid Sci. – 1964. –
V. 19. – P. 136–143.
101. Berg, T.G.O. Stable, unstable and metastable charged droplets / T.G.O. Berg, R.J. Trainor, U. Vaughan // J. Atmosph. Sci. –
1970. – V. 27, № 11. – P. 1173–1181.
102. Schweizer, J.W. Stability limit of charged drops
/ J.W. Schweizer, D.N. Hanson // J. Coll. Int. Sci. – 1971. – V. 35,
№ 3. – P. 417–423.
103. Roulleau, M. Study of evaporation and instability of charged
water droplets / M. Roulleau, M. Desbois // J. Atmosph. Sci. – 1972. –
V. 29, № 4. – P. 565–569.
104. Duft, D. Shape oscillations and stability of charged microdroplets / D. Duft, H. Lebius, B.A. Huber et al. // Phys. Rev. Lett. –
2002. – V. 89, № 8. – P. 1–4.
105. Grigor'ev, A.I. Mechanism of electrostatic polydispersion of
liquid / A.I. Grigor'ev, S.O. Shiryaeva // J. Phys. D: Appl. Phys.
1990. – V. 23, № 11. – P. 1361–1370.
106. Grigor’ev, A.I. The theoretical consideration of physical regularities of the electrostatic dispersion of liquids as aerosols
/ A.I. Grigor'ev, S.O. Shiryaeva // J. Aerosol Sci. – 1994. – V. 25,
№ 6. – P. 1079–1091.
107. Григорьев, А.И. О некоторых закономерностях реализации неустойчивости сильно заряженной вязкой капли / А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2001. – Т. 71, вып. 10. – С. 1–7.
108. Жаров, А.Н. О нелинейных поправках к частотам осцилляций заряженной капли в несжимаемой внешней среде
272
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
/ А.Н. Жаров, С.О. Ширяева, А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2004. –
Т. 74, вып. 7. – С. 19–26.
109. Гонор, А.Л. Динамика капли / А.Л. Гонор, В.Я. Ривкинд
// Итоги науки и техники : сб. Сер. Механика жидкости и газа. –
М: ВИНИТИ, 1982. – Т. 17. – С. 98–159.
110. Григорьев, А.И. Критические условия реализации неустойчивости заряженной капли в электростатическом поле
/ А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, С.И. Щукин // ЖПХ. – 1999. –
Т. 72, вып. 1. – С. 117–120.
111. Григорьев, А.И. Неустойчивость заряженной сферической вязкой капли, движущейся относительно среды
/ А.И. Григорьев, В.А. Коромыслов, С.О. Ширяева // ЖТФ. –
2000. – Т. 70, вып. 7. – С. 26–34.
112. Коромыслов, В.А. Неустойчивость сферической заряженной капли, движущейся параллельно внешнему электростатическому полю / В.А. Коромыслов, А.И. Григорьев // ЖТФ. –
2002. – Т. 72, вып. 9. – С. 21–28.
113. Григорьев, А.И. Неустойчивость заряженной сферической капли, движущейся относительно среды / А.И. Григорьев,
В.А. Коромыслов, С.О. Ширяева // ЖТФ. – 1999. – Т. 69, вып. 5. –
С. 7–14.
114. Григорьев, А.И. Неустойчивость заряженной сферической вязкой капли, движущейся относительно среды / А.И. Григорьев, В.А. Коромыслов, С.О. Ширяева // ЖТФ. – 2000. – Т. 70,
вып. 7. – С. 26–34.
115. Коромыслов, В.А. Неустойчивость сферической заряженной капли, движущейся параллельно внешнему электростатическому полю / В.А. Коромыслов, А.И. Григорьев // ЖТФ. –
2002. – Т. 72, вып. 9. – С. 21–28.
116. Коромыслов, В.А. Нелинейные осцилляции и устойчивость заряженной капли, движущейся относительно диэлектрической среды / В.А. Коромыслов, А.И. Григорьев, С.О. Ширяева
// ЖТФ. – 2004. – Т. 74, вып. 9. – С. 23–31.
117. Григорьев, А.И. Равновесная форма и устойчивость заряженной капли, обдуваемой потоком газа в электростатическом
поле / А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2002. – Т. 72, вып. 7. – С. 41–47.
118. Григорьев, А.И. О форме заряженной капли в скрещенных электрическом и гидродинамическом полях / А.И. Гри273
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
горьев, В.А. Коромыслов, М.В. Рыбакова // ЭОМ. – 2002. – № 6. –
С. 22–25.
119. Григорьев, А.И. О равновесной форме капли, движущейся относительно среды / А.И. Григорьев, В.А. Коромыслов,
М.В. Рыбакова, С.О. Ширяева // ЭОМ. – 2002. – № 1. – С. 41–45.
120. Ширяева, С.О. Линейное взаимодействие волн на заряженной границе раздела сред при наличии тангенциального разрыва поля скоростей / С.О. Ширяева // ЖТФ. – 2001. Т. 71,
вып. 3. – С. 9–16.
121. Коромыслов, В.А. Нелинейные капиллярные колебания
заряженной капли в диэлектрической среде при одномодовой начальной деформации формы / В.А. Коромыслов, С.О. Ширяева,
А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2003. – Т. 73, вып. 9. – С. 44–51.
122. Григорьев, А.И. О возможности зажигания коронного
разряда в окрестности нелинейно-осциллирующей во внешнем
электростатическом поле электропроводной капли / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, М.В. Волкова // ЖТФ. – 2005. – Т. 75,
вып. 7. – С. 40–47.
123. Щукин, С.И. Локальное увеличение напряженности однородного электростатического поля вблизи вершин сфероидальной капли / С.И. Щукин, А.И. Григорьев // ЖТФ. – 1999. – Т. 69,
вып. 8. – С. 49–54.
124. Григорьев, А.И. Неустойчивость заряженной плоской
границы раздела сред по отношению к тангенциальному разрыву
на ней зависящего от времени поля скоростей / А.И. Григорьев
// ЖТФ. – 2000. – Т. 70, вып. 1. – С. 24–26.
125. Григорьев, А.И. Деформации и перекрытия зон неустойчивости уравнения Матье-Хилла / А.И. Григорьев, А.С. Голованов // ПЖТФ. – 1999. – Т. 25, вып. 20. – С. 13–18.
126. Григорьев, А.И. О нелинейных осцилляциях заряженной
капли в аэродинамическом потоке / А.И. Григорьев, В.А. Коромыслов, С.О. Ширяева, М.В. Волкова // ЭОМ. – 2004. – № 6. –
С. 25–31.
127. Beard, K.V. 1987. // Rev. Geophys. – V. 25. – № 3. –
P. 357–370.
128. Мазин, И.П. Облака. Строение и физика образования
/ И.П. Мазин, С.М. Шметер. – Л: Гидрометеоиздат, 1983. – 160 с.
274
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
129. Ширяева, С.О. Нелинейные осцилляции незаряженной
электропроводной капли в однородном внешнем электростатическом поле / С.О. Ширяева, А.И. Григорьев, М.В. Волкова
// ЖТФ. – 2005. – Т. 75, вып. 3. – С. 36–44.
130. Cheng, K.J. Capillary oscillations of a drop in an electric field
/ K.J. Cheng // Phys. Lett. – 1985. – V. A112, № 11. – P. 392–396.
131. Григорьев, А.И. К механизму развития неустойчивости
капли жидкости в электростатическом поле / А.И. Григорьев,
О.А. Синкевич // Изв. АН СССР. МЖГ. – 1985. – № 6. – С. 10–15.
132. Feng, Z.C. Small-amplitude oscillation of electrostatically
levitated drops / Z.C. Feng, K.V. Beard // Proc. R. Soc., London. –
1990. – V. 430. – P. 133–150.
133. Ширяева, С.О. Об устойчивости капиллярных колебаний
слабо сфероидальной заряженной капли / С.О. Ширяева
// ЖТФ. – 1996. – Т. 66, вып. 9. – С. 12–20.
134. Ширяева, С.О. Нелинейные осцилляции заряженной капли, подвешенной в гравитационном и электростатическом полях
/ С.О. Ширяева // Изв. РАН. МЖГ. – 2006. – № 2. – С. 17–30.
135. Ширяева, С.О. Формулировка задач об аналитическом
расчете нелинейных движений вязкой жидкости со свободной поверхностью: препринт № 31 / С.О. Ширяева, Д.Ф. Белоножко,
В.Б. Световой, А.И.Григорьев // ИМ РАН. – Ярославль. 2001. –
87 с.
136. Григорьев, А.И. Об одном методе решения уравнения Навье-Стокса в криволинейных системах координат / А.И. Григорьев,
А.Э. Лазарянц // ЖВММФ. – 1992. – Т. 32, № 6. – С. 929–938.
137. Ширяева, С.О. Метод скаляризации векторных краевых
задач: препринт № 27 / С.О. Ширяева, А.Э. Лазарянц, А.И. Григорьев и др. // ИМ РАН – Ярославль, 1994. – 128 с.
138. Левачева Г.А., Маныкин Э.А., Полуэктов П.П. // Изв. АН
СССР. МЖГ. – 1985. – № 2. – С. 17–22.
139. Диткин, В.А. Операционное исчисление / В.А. Диткин,
А.П. Прудников. – М.: Высшая школа, 1975. – 408 с.
140. Абрамовиц, М. Справочник по специальным функциям
/ М. Абрамовиц, И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 832 с.
141. Жаров, А.Н. О временной эволюции формы поверхности, деформированной в начальный момент заряженной капли
275
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вязкой жидкости / А.Н. Жаров, А.И. Григорьев // ЖТФ. – 2005. –
Т. 75, № 1. – С. 22–31.
142. Жаров, А.Н. О некоторых свойствах разложений по производным от полиномов Лежандра, проявляющихся при исследовании нелинейных осцилляций капли вязкой жидкости
/ А.Н. Жаров, А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // ЖТФ. – 2005. –
Т. 75, № 9. – С. 20–26.
143. Жаров, А.Н. О влиянии вязкости жидкости нелинейноосциллирующей заряженной капли на положения внутренних резонансов / А.Н. Жаров, А.И. Григорьев, С.О. Ширяева // ЖТФ. –
2005. – Т. 75, вып. 7. – С. 19–28.
144. Белоножко, Д.Ф. О делении на две части сильно заряженной капли при нелинейных колебаниях / Д.Ф. Белоножко,
С.О. Ширяева, А.И. Григорьев // ПЖТФ. – 2000. – Т. 26,
вып. 19. – С. 16–23.
276
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оглавление
1. Введение................................................................................................ 3
2. Анализ нелинейных осцилляций заряженной капли
идеальной жидкости во втором порядке малости
по амплитуде исходной деформации ............................................ 13
2.1. Нелинейные осцилляции деформированной
в начальный момент времени заряженной капли.................. 13
2.2. Внутреннее нелинейное резонансное трехмодовое
вырожденное и вторичное комбинационное
взаимодействие мод осцилляций заряженной капли............. 22
3. Анализ нелинейных осцилляций заряженной капли
идеальной жидкости в третьем порядке малости
по амплитуде исходной деформации............................................. 42
3.1. Нелинейные осцилляции деформированной в начальный
момент времени заряженной капли. Вывод выражений
для нелинейных поправок к частотам мод, определяющих
начальную деформацию .......................................................... 42
3.2. Внутреннее нелинейное резонансное четырехмодовое
взаимодействие мод осцилляций заряженной капли
идеальной жидкости ............................................................... 66
4. Нелинейные осцилляции заряженной капли в несжимаемой материальной диэлектрической внешней среде ............................... 93
4.1. О расчете амплитуды трансляционной моды при нелинейных осцилляциях капли во внешней среде ............................... 93
4.2. Нелинейные осцилляции заряженной капли
во внешней среде ...................................................................... 100
4.3. Резонансное взаимодействие мод нелинейноосциллирующей во внешней среде заряженной капли ........... 126
4.4. Влияние спектра мод, определяющих начальную
деформацию заряженной капли, на критические условия
реализации ее неустойчивости по отношению
к собственному заряду ............................................................ 140
5. Нелинейные осцилляции заряженной капли в ламинарно
обтекающей ее несжимаемой диэлектрической
материальной среде ........................................................................ 151
5.1. Нелинейные капиллярные колебания и устойчивость заряженной капли, движущейся относительно среды ............... 151
277
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5.2. О раскачке в нелинейных вторичных комбинационных резонансах осцилляций основной моды движущейся относительно среды заряженной капли ........................................ 170
6. Нелинейные осцилляции заряженной капли во внешних
силовых полях ................................................................................. 190
7. Влияние вязкости жидкости на нелинейные осцилляции заряженной капли .................................................................................. 211
7.1. Временная эволюция формы поверхности деформированной в начальный момент времени заряженной капли вязкой жидкости в линейном приближении ...........................
211
7.2. Нелинейные осцилляции заряженной капли вязкой
жидкости ................................................................................. 233
8. Литература ........................................................................................... 264
9. Оглавление ........................................................................................... 193
278
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Научное издание
Григорьев Александр Иванович
Ширяева Светлана Олеговна
Жаров Алексей Николаевич
Нелинейные осцилляции
заряженной капли
Редактор, корректор Л.Н. Селиванова
Компьютерная верстка И.Н. Ивановой
Подписано в печать 11.09.2006 г. Формат 60×84/16. Бумага тип.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 16,3. Уч.-изд.л. 13,5. Тираж 150 экз.
Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе ЯрГУ
Ярославский государственный университет
150000 Ярославль, ул. Советская, 14
Отпечатано
ООО «Ремдер» ЛР ИД № 06151 от 26.10.2001.
г. Ярославль, пр. Октября, 94, оф.37, тел.(4852) 73-35-03
279
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
280
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
11
Размер файла
4 262 Кб
Теги
нелинейные, заряженной, капли, осцилляции, 1566, григорьева
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа