close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1597.Физический вестник Ярославского государственного университета им ПГ Демидова Вып 1

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
ФИЗИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК
Ярославского государственного
университета им. П.Г. Демидова
Сборник научных трудов
Выпуск 1
Ярославль 2006
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 53
ББК В3я43
Ф 48
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве научного издания. План 2006 года
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф. А.Н. Жаров;
лаборатория физики и технологии наноструктур ИМИ РАН
Ф 48
Физический вестник Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова : сб. науч. тр.
/ отв. ред. д-р. физ.-мат. наук Д.Ф. Белоножко ; Яросл.
гос. ун-т. – Ярославль : ЯрГУ, 2006. – Вып. 1. – 368 с.
В сборнике, посвященном 30-летию физического факультета, представлены статьи по различным направлениям физики, написанные учеными и преподавателями
физического факультета Ярославского государственного
университета им. П.Г. Демидова.
УДК 53
ББК В3я43
Редакционная коллегия:
д-р физ.-мат. наук Д.Ф. Белоножко (отв. ред.),
д-р физ.-мат. наук А.В. Кузнецов,
д-р физ.-мат. наук С.П. Зимин
© Ярославский
государственный
университет, 2006
2
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Четыре декана физического факультета
Кузнецов Владимир Степанович, кандидат физ.-мат. наук, доцент
кафедры теоретической физики, декан факультета в 1976 – 1984 гг. (в центре);
Артемов Константин Серафимович, кандидат физ.-мат. наук, зав.
кафедрой радиофизики, декан факультета в 1984 – 1995 гг. (стоит справа);
Алексеев Вадим Петрович, кандидат физ.-мат. наук, зав. кафедрой
общей и экспериментальной физики, декан факультета в 1995 – 2005 гг.
(стоит слева);
Кузнецов Александр Васильевич, доктор физ.-мат. наук, доцент кафедры теоретической физики, декан факультета с 2005 г. (стоит в центре)
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
НАУЧНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НА ФИЗИЧЕСКОМ
ФАКУЛЬТЕТЕ в 2001 – 2005 гг.
А.В. Кузнецов, С.П. Зимин ........................................................... 11
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДАННЫХ
ИОНИЗАЦИОННЫХ КАМЕР, РЕГИСТРИРУЕМЫХ
СИСТЕМОЙ АППАРАТУРЫ КОНТРОЛЯ
ВНУТРИКОРПУСНЫХ УСТРОЙСТВ, ОТ БОРНОЙ
КИСЛОТЫ В ТЕПЛОНОСИТЕЛЕ ПЕРВОГО КОНТУРА
РЕАКТОРНОЙ УСТАНОВКИ БЛОКОВ 1, 2 КОЛЬСКОЙ
АЭС
В.П. Алексеев, К.В. Аксенов ........................................................ 18
ПИРОМЕТР ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР
В.П. Алексеев, А.В. Баклан, М.В. Лоханин, В.А. Папорков ....... 24
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ДИЭЛЕКТРИКОВ
НА СВЕРХВЫСОКИХ ЧАСТОТАХ
В.П. Алексеев, Е.И. Татюшева, А. Перминов ............................ 28
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ
ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЦИФРОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
НА ОСНОВЕ ПИКОВОГО ОТНОШЕНИЯ
СИГНАЛ/ШУМ
И.В. Апальков, Д.К. Куйкин, М.Н. Голубев ................................ 32
РАДИОГОЛОГРАФИЯ: АНАЛИЗ ТЕНДЕНЦИЙ РАЗВИТИЯ
К.С. Артёмов, Т.К. Артёмова .................................................... 40
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ
ИЗОБРАЖЕНИЯ РАДИОГОЛОГРАФИЧЕСКОЙ
СИСТЕМОЙ
К.С. Артёмов, Т.К. Артёмова, Н.И. Фомичёв .......................... 48
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МЕТОД Т-МАТРИЦ ДЛЯ АНАЛИЗА ПРОХОЖДЕНИЯ
ВОЛН МИЛЛИМЕТРОВОГО ДИАПАЗОНА В ДОЖДЕ
А.А. Афонин .................................................................................. 56
СПЛАЙН-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ НЕСТЕХИОМЕТРИЧЕСКИХ ФАЗ
Р.Ф. Балабаева, В.Е. Балабаев ................................................... 65
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ДВУХКОЛЬЦЕВОЙ
ЦИФРОВОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ С АСТАТИЗМОМ
2-ГО ПОРЯДКА
М.В. Башмаков, И.Н. Душин, В.Г. Шушков............................... 68
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС АКТИВНОГО
РАДИОМОНИТОРИНГА ИКАР-2
В.В. Банько, Г.Н. Полушкин, А.А. Головленков ......................... 76
О МЕТОДЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РАСЧЕТА ВОЛНОВОГО
ТЕЧЕНИЯ БЕСКОНЕЧНО ГЛУБОКОЙ МАЛОВЯЗКОЙ
ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Д.Ф. Белоножко, А.В. Климов .................................................... 83
НОВЫЙ ПОДХОД К ОЦЕНКЕ КАЧЕСТВА JPEG
ИЗОБРАЖЕНИЙ
В.А. Бекренев, Е.Ю. Саутов, В.В. Хрящев ................................. 90
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ
ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТНОЙ
МОРФОЛОГИИ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ИОННОГО
ОБЛУЧЕНИЯ
С.Е. Биркган ................................................................................. 98
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА
КРАТЕРООБРАЗОВАНИЯ ПРИ ИОННОМ
РАСПЫЛЕНИИ
С.Е. Биркган, Р.А. Егоров, В.А. Павлов .................................... 107
6
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЭЛЕКТРОСОПРОТИВЛЕНИЕ, ВЯЗКОСТЬ
И МАГНИТНАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ
ВОДНЫХ КОЛЛОИДОВ МАГНЕТИТА
В. С. Бойденко, С. Н. Лапшин, Е. В. Шохин ............................ 114
УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ
МЕДИАННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЯ
C.С. Бухтояров, В.В. Хрящев .................................................... 118
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В МАЛЫХ
КЛАСТЕРАХ МЕДИ НА ПОВЕРХНОСТИ Cu(111)
П.И. Викулов, О.С. Трушин, С.П. Зимин .................................. 126
МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕТИ CDMA С УЧЕТОМ
МЕХАНИЗМА УПРАВЛЕНИЯ МОЩНОСТЬЮ
К.Е. Виноградов, А.Н. Кренев, К.Н. Темане ............................ 133
КОЛЕБАНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ СТРУИ ВЯЗКОЙ
ЖИДКОСТИ КОНЕЧНОЙ ПРОВОДИМОСТИ
Н.В. Воронина, С.О. Ширяева, О.С. Крючков ......................... 141
О НЕУСТОЙЧИВОСТИ ТЕЙЛОРА-ТОНКСА-ФРЕНКЕЛЯ
НА ПЛОСКОМ МЕНИСКЕ ЖИДКОСТИ
А.И. Григорьев, Д.М. Пожарицкий, Е.В. Егорова ................... 149
АНАЛИЗ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
ДИАПАЗОНА 900 МГЦ В УСЛОВИЯХ ГОРОДА
А.В. Дымов, В.А. Тимофеев ....................................................... 157
МЕТОДИКА СИНТЕЗА ДВУМЕРНЫХ
НЕРАЗДЕЛИМЫХ ЦИФРОВЫХ
ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРОВ
В.Ю. Кобелев, А.Л. Приоров ..................................................... 166
ОЦЕНКА ИЗОБРАЖЕНИЙ, ПОЛУЧЕННЫХ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АЛГОРИТМА SPIHT
И.В. Корепанов, В.А. Волохов, С.А. Новоселов ....................... 175
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СИНХРОНИЗАЦИЯ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
НА ОСНОВЕ АЛГОРИТМА ОПТИМАЛЬНОЙ
НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
А.А. Коточигов, Л.Н. Казаков .................................................. 183
МЕТОД РАСШИРЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНА
КВАДРАТУРНОГО ЦИФРОВОГО ПРИЁМНИКА
С НУЛЕВОЙ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ ЧАСТОТОЙ
А.Н. Кренёв, Е.А. Кренёв, Д.В. Кротков .................................. 191
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ
ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА ОБНАРУЖЕНИЯ
СИГНАЛОВ ЧАСТОТНОЙ ТЕЛЕГРАФИИ
ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ
ПОМЕХИ
Е.И. Кротова ............................................................................. 199
СОБСТВЕННОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР
НЕЙТРИНО ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
А.В. Кузнецов, Н.В. Михеев ....................................................... 206
СИНТЕЗ МНОГОМЕРНОГО ФИЛЬТРА КАЛМАНА
ДЛЯ ЗАДАЧИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФАЗЫ
В КАНАЛЕ OFDM
Д.С. Кукушкин, А.В. Шабанов, Л.Н. Казаков .......................... 214
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФРАКЦИОННЫХ
ФОКУСИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ
В ЗАДАЧАХ РАДИОГОЛОГРАФИИ
А.С. Леонтьев, Е.Н. Семёнова, Н.И. Фомичев ........................ 222
CИЛОВОЙ ПРОБНИК
М.В. Лоханин .............................................................................. 230
НЕЛИНЕЙНАЯ ЭХОКОМПЕНСАЦИЯ НА ОСНОВЕ
АДАПТИВНОГО ФИЛЬТРА ВОЛЬТЕРРА
С ПЕРЕСТРАИВАЕМОЙ СТРУКТУРОЙ
Б.Н. Меньшиков, А.Н. Тараканов ............................................. 234
8
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЭЛЕКТРОПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ
ПАРАМЕТРОВ ОДНОРОДНОГО СТАЛЬНОГО
ОБРАЗЦА ИМПУЛЬСНЫМ МЕТОДОМ
В.А. Митрофанов, Н.С. Спирин ............................................... 242
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПСЕВДОСКАЛЯРНОЙ ЧАСТИЦЫ
С ДВУМЯ ФОТОНАМИ В ЗАМАГНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЕ
Н.В. Михеев, Е.Н. Нарынская ................................................... 247
РАСЧЕТ ОРТОГОНАЛЬНЫХ И БИОРТОГОНАЛЬНЫХ
ВЕЙВЛЕТОВ С КОМПАКТНЫМ НОСИТЕЛЕМ
А.А. Моисеев, А.Л. Приоров ...................................................... 256
ИЗМЕРЕНИЕ МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ
И УДЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ СТАЛЬНЫХ
КОЛЕЦ В ПЕРЕМЕННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
А.В. Морозов, В.А. Папорков .................................................... 264
АНИЗОТРОПНЫЕ МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
МИКРОКЛАСТЕРОВ НИКЕЛЯ В ТРЕХМЕРНОЙ
ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ МАТРИЦЕ
С.А. Никитчук, М.В. Лоханин, А.В. Проказников,
Н.А. Рудь, В.Б. Световой .......................................................... 274
ИЗМЕРЕНИЕ МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ
ФЕРРОМАГНИТНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
С ПОМОЩЬЮ НАКЛАДНОГО МАГНИТНОГО
ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ
В.А.Папорков .............................................................................. 283
PHENOMENOLOGICAL ANALYSIS OF B→ΠΠ DECAYS
IN THE STANDARD MODEL
A.Ya. Parkhomenko ..................................................................... 291
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭРОЗИИ ПОВЕРХНОСТИ
ДВИЖУЩИМСЯ ИОННЫМ ПУЧКОМ
А.С. Рудый, В.К. Смирнов, К.А. Тишина .................................. 298
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЭФФЕКТ КОМПТОНА В СИЛЬНО
ЗАМАГНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЕ
Д.А. Румянцев, М.В. Чистяков ....................................... 309
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ МЕТОДОВ
ИНТЕРПОЛЯЦИИ РЕЛЬЕФА ТРАССЫ
НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
РАДИОПЕРЕДАТЧИКОВ УКВ ДИАПАЗОНА
Н.Л. Солдатова, Е.Г. Цыганок ................................................. 319
РЕКУРСИВНЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
С ПОНИЖЕННОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ
СЛОЖНОСТЬЮ
А.Н. Тараканов, С.В. Ульдинович, А.Л. Мосеев....................... 329
СИНТЕЗ СИСТЕМЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ НЕСУЩЕЙ
ЧАСТОТЫ С ПРИМЕНЕНИЕМ ОПТИМАЛЬНОЙ
ФИЛЬТРАЦИИ ВИНЕРА
А.С. Теперев, В.Г. Шушков, И.М. Якимов................................ 337
НЕЛИНЕЙНЫЙ РАСЧЕТ ФОРМЫ ЗАРЯЖЕННОЙ
КАПЛИ, РАВНОУСКОРЕННО ДВИЖУЩЕЙСЯ
В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ
И ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЯХ
С.О. Ширяева, П.В. Мокшеев ................................................... 345
БЫЛ ЛИ БОЛЬШОЙ ВЗРЫВ?
Я.П. Докучаев ............................................................................. 354
10
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НАУЧНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
НА ФИЗИЧЕСКОМ ФАКУЛЬТЕТЕ
в 2001 – 2005 гг.
Ф
А.В. Кузнецов, С.П. Зимин
изическому факультету ЯрГУ им. П.Г. Демидова исполняется 30 лет. Юбилейные даты являются хорошим поводом для подведения итогов. Уже два факультетских юбилейных сборника 1995 и 2000 гг. открывались
обзорами научных исследований на факультете, подготовленными деканом и его заместителем по научной работе [1, 2]. Продолжая традицию, подведем основные результаты научной работы факультета за очередное пятилетие.
В настоящее время на физическом факультете работают более 60 научно-педагогических работников, обучаются 2 докторанта и 40 аспирантов, каждый из которых вносит свой вклад в
развитие науки. Материалы настоящего сборника позволят читателю составить представление о том, как сложны и многообразны
по тематике проводимые научные исследования.
В сводной таблице приводятся основные показатели, характеризующие динамику научных исследований за 2001-2005 годы.
За скупостью сухих цифр стоят большой труд наших сотрудников, бессонные ночи поисков, радость творческих находок. Каждый год в конкурсе «Лучший ученый ЯрГУ» традиционно в число победителей входят преподаватели физического факультета профессора С.О. Ширяева (2002, 2005), А.И. Григорьев (2004),
Н.В. Михеев (2004), С.П. Зимин (2003), доценты А.В. Кузнецов
(2001), А.Л. Приоров (2005). Сотрудники и аспиранты факультета
являлись победителями конкурсов грантов РФФИ, Президента
РФ, Министерства образования РФ, ФЦП «Интеграция», «Университеты России», некоммерческих фондов, отмечены грантами
Губернатора Ярославской области и т.д. Увеличение объемов
проводимых исследований отражено в таблице. Достаточно сказать, что в 2005 году доля физического факультета в общем объеме финансирования науки университета превышает 20%. С каждым годом возрастает число публикаций, по числу статей в заруА.В. Кузнецов, С.П. Зимин
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
бежных и центральных журналах физический факультет постоянно занимает 1-е место среди 9-ти факультетов университета.
Показатели научной работы на физическом факультете
Показатель
Общий объем финансирования,
тыс. руб.
Хоздоговорные
работы, тыс. руб.
Публикации (всего)
Статьи в зарубежных и центральных
журналах
Число ставок,
занимаемых докторами наук
Доля сотрудников
со степенями, %
2001
2002
2003
2004
2005
1666
2473
3451
5831
5048
527
160
1296
182
1136
200
1508
258
2597
290
47
69
54
52
55
10,5
11,03
11,55
12,15
13,1
63,8
75,3
75,8
67,4
64,2
На факультете растет число докторов наук, только за последние 3 года были защищены 4 докторские диссертации
А.В. Кузнецовым, С.П. Зиминым, Д.Ф. Белоножко (научный консультант А.И. Григорьев), А.Н. Жаровым (А.И. Григорьев). Самым «урожайным» по защитам кандидатских диссертаций был
2004 год, когда 9 преподавателей и аспирантов факультета получили степени кандидатов наук. В последние 3 года кандидатские
диссертации защитили М.В. Чистяков (научный руководитель
Н.В. Михеев), А.В. Поваров (А.Д. Смирнов), Д.А. Румянцев
(А.В. Кузнецов),
А.Н. Брагин
(С.П. Зимин),
С.А. Каплий
(Н.А. Рудь, А.В. Проказников), Р.А. Гаибов (С.О. Ширяева),
В.Г. Волков (С.О. Ширяева), В.В. Морозов (С.О. Ширяева),
Т.В. Левчук (С.О. Ширяева), С.А. Курочкина (С.О. Ширяева),
М.В. Волкова (С.О. Ширяева), А.В. Климов (А.И. Григорьев),
И.М. Якимов (Л.Н. Казаков), В.В. Хрящев (Ю.А. Брюханов),
А.Н. Тараканов (Ю.А. Брюханов), А.Л. Приоров (Ю.А. Брюханов).
12
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Одним из основных достижений этого периода уверенно
можно считать завершение процесса официального оформления
научных школ на факультете. В настоящее время на физическом
факультете имеют официальный статус научные школы теоретической физики (научный руководитель - доктор физикоматематических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики Н.В. Михеев), фундаментальных и прикладных
исследований в радиофизике (научный руководитель - доктор
технических наук, профессор, заведующий кафедрой динамики
электронных систем Ю.А. Брюханов), микроэлектроники (научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой микроэлектроники А.С. Рудый).
Научная школа теоретической физики
Ярославская школа теоретической физики в области теории
элементарных частиц основана в первой половине 1970-х годов
доктором физико-математических наук, профессором Э.М. Липмановым. С начала 90-х гг. основным направлением исследований научной школы является квантовая теория поля во внешней
активной среде, под которой понимаются сверхсильные электромагнитные поля и горячая плотная плазма. Такие физические условия реализуются в астрофизических объектах.
Среди основных результатов работы научной школы в истекшем пятилетии можно указать монографию А.В. Кузнецова и
Н.В. Михеева, изданную в 2003 г. в США, и юбилейные сборники
научных статей: сборник 2003 г., посвященный 30-летию кафедры теоретической физики, и сборник «Лептоны», изданный в
2004 г. к 80-летию Э.М. Липманова. Регулярно публикуются статьи в авторитетных международных журналах и журналах РАН,
делаются доклады на международных и всероссийских научных
конференциях. Защищены 1 докторская и 2 кандидатских диссертации. В 2001 г. цикл научных статей А.В. Кузнецова, Н.В. Михеева и М.В. Чистякова занял I место в Областном конкурсе на
лучшую научно-исследовательскую работу в области естественных наук. Коллектив выполняет исследования по проектам, поддержанным Российским фондом фундаментальных исследований.
В 2003 г. научному коллективу был присвоен высокий статус веА.В. Кузнецов, С.П. Зимин
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
дущей научной школы Российской Федерации по направлению
«Физика и астрономия», с выделением трехлетнего гранта Президента РФ. В новом конкурсе Совета по грантам Президента РФ
для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных
школ коллектив вновь признан ведущей научной школой РФ и
получил двухлетний грант. Молодые участники коллектива получили в 2004 – 2005 гг. поддержку от Фонда некоммерческих
программ «Династия» при содействии Международного центра
фундаментальной физики – гранты для молодого кандидата наук
и для студента.
Научная школа в области фундаментальных
и прикладных исследований в радиофизике
Научная школа начала формироваться в начале 1970-х гг.
трудами Ю.А. Брюханова, В.Н. Иванова и И.Т. Рожкова. Первые
20 лет исследования проводились по оборонной тематике преимущественно в направлении разработки и построения оптимальных систем передачи информации. Для выполнения этих работ Правительством СССР в университете были организованы 2
отраслевые научно-исследовательские лаборатории под руководством профессора Ю.А. Брюханова. Одновременно шли работы
по применению радиофизических методов в науке и технике.
Следует особо отметить плодотворное сотрудничество по хоздоговорам с НПО им. С.А. Лавочкина и Центральным научноисследовательским радиотехническим институтом (г. Москва), а
также Ярославским конструкторским бюро радиоприборов. С началом 90-х годов связана ориентация большей части коллектива
на фундаментальные и поисковые исследования физических процессов в информационных системах с финансированием на конкурсной основе. Начиная с 1993 года коллектив – регулярный
участник федеральных целевых программ, исполнитель грантов
Российского фонда фундаментальных исследований, отраслевых
программ и грантов.
Коллективом выполняется широкий фронт работ в области
нелинейной динамики электронных систем дискретного времени,
разработки теории и методов цифровой фильтрации, цифровой
обработки сигналов и изображений, физических основ информа14
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ционно-телекоммуникационных систем. За указанный период
защищены одна докторская и пять кандидатских диссертаций. В
2003 г. коллектив стал победителем конкурса ведущих научнопедагогических коллективов вузов Российской Федерации с выделением гранта для выполнения фундаментальных исследований. Его достижения послужили основой для открытия в ЯрГУ
специальностей «Радиофизика и электроника», «Сети связи и
системы коммутации», «Радиотехника» и направления подготовки «Телекоммуникации». Свидетельством высокого научного авторитета явилось открытие диссертационного совета по специальности «Радиотехника» (председатель проф. Ю.А. Брюханов).
Ежегодно более 25 аспирантов обучаются по 3 специальностям.
Студенты и аспиранты кафедр динамики электронных систем и
радиофизики являлись победителями всероссийских и региональных конкурсов, включая конкурсы грантов Президента и
Правительства РФ. Коллективы сотрудников двух кафедр постоянно представляют свои достижения на научно-технических выставках и конференциях. Только за последние 2 года они принимали участие в международных выставках Cibit-2005 (Германия),
Интерполитех-2005 (Москва), международном салоне МАКС2005 (Жуковский), во Всероссийской выставке научно-технического творчества молодежи (Москва, 2004-2005), межрегиональной выставке «Электронный регион» (Ярославль; 2004-2005),
участвовали в международных конференциях и выставках
ECCOMAS-2004 (Финляндия), ICIP-2005 (Италия), ICANN-2005
(Польша), ICIAR-2005 (Канада), DSPA (Москва, 2004-2005) и т.д.
Научная школа микроэлектроники
Научная школа микроэлектроники начала формироваться в
1987 году с открытием на физическом факультете специальности
"Микроэлектроника". Основателем школы был директор ФТИ
АН СССР академик К.А. Валиев, возглавлявший кафедру микроэлектроники в первые годы ее существования. В этот период определились основные направления научных исследований, обусловленные потребностями Института микроэлектроники и Физико-технологического института: исследование оптических
(Н.А. Рудь) и электрофизических (С.П. Зимин) свойств перспекА.В. Кузнецов, С.П. Зимин
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тивных материалов и структур электроники. Позднее сформировалось новое направление, связанное с моделированием физических процессов микротехнологии, таких как диффузия, испарение и конденсация в вакууме, самоорганизация наноструктур при
ионной бомбардировке кремния, формирование наноструктур на
основе пористых полупроводников и др. Инициатором этого научного направления был А.С. Рудый, а его успешное развитие
стало возможно благодаря активному участию квалифицированных математиков А.Н. Куликова и С.Е. Биркгана. Позднее в состав школы вошли преподаватели других вузов, сотрудники
ИМИРАН, «постдоки» из дальнего зарубежья. В настоящее время
научный коллектив насчитывает 4 докторов, 6 кандидатов наук,
2 старших преподавателей, 4 аспирантов и 1 докторанта. Научные исследования, направленные на решение актуальных проблем микро- и нанотехнологии, проводятся совместно с
ИМИРАН (Ярославль), Агентством развития технологий (Москва), ФТИРАН (Москва), МГУ, ЛЭТИ, ЕТН (Цюрих) и другими
центрами микро- и наноэлектроники. Результаты научных исследований регулярно публикуются в ведущих зарубежных специализированных журналах и ежегодно докладываются на международных конференциях «Взаимодействие ионов с поверхностью»
(Звенигород) и «SIMS Europe». По итогам научных исследований
за последние 4 года под руководством С.П. Зимина и Н.А. Рудя
защищены 3 кандидатские диссертации. В рамках федеральной
целевой программы «Интеграция» в 2002 году открыта новая
специализация «Квантовые вычислительные системы». Подробнее с тематикой исследований, коллективами и достижениями
научных школ можно познакомиться на университетском сайте.
Эффективными по своим результатам являются научные работы лаборатории математического моделирования физических
процессов (научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор А.И. Григорьев). На долю лаборатории
ММФП в 2001 – 2005 годах приходится основной объем публикаций в центральных журналах, более трети защищенных кандидатских и половина защищенных докторских диссертаций на фа16
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
культете. Коллективом лаборатории выполняются научные исследования по нескольким грантам РФФИ и Президента РФ.
Факультет ежегодно представляет результаты своих исследований на крупнейших научных симпозиумах и конференциях.
Только в 2005 году преподавателями и аспирантами было представлено 138 докладов на международных и всероссийских конференциях.
Авторы поздравляют всех преподавателей, сотрудников и аспирантов факультета с 30-летним юбилеем и желают дальнейших
творческих успехов! Результаты анализа показывают, что факультет имеет все возможности улучшить кадровый состав, увеличить в своем составе число докторов и кандидатов наук. В
ближайшее время на защиту докторских и кандидатских диссертаций выходит большая группа сотрудников, и мы уверены в успешном результате. В коротком обзоре достаточно сложно подробно отразить успехи каждого научного коллектива, каждого
исследователя. Полную информацию о научных достижениях сотрудников факультета, победителях конкурсов грантов, тематике
научных исследований мы приглашаем получить на сайте
http://www.rd.uniyar.ac.ru в разделах ежегодных факультетских
отчетов и рейтинга факультетов по научной деятельности.
Список литературы
[1] Артемов К.С., Ярмоленко В.И. Научные исследования на физическом факультете за 25 лет // Актуальные проблемы естеств. и гуманит. наук. Физика: Тез. юбил. конф. Ярославль, 1995. C. 8-12.
[2] Алексеев В.П., Кузнецов А.В. Научные исследования на физическом факультете в 1995-2000 гг. // Актуальные проблемы естеств.
и гуманит. наук на пороге XXI века. Физика: Тез. юбил. науч. конф.,
посвящ. 30-летию университета. Ярославль, 2000. C. 7-9.
А.В. Кузнецов, С.П. Зимин
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДАННЫХ
ИОНИЗАЦИОННЫХ КАМЕР, РЕГИСТРИРУЕМЫХ
СИСТЕМОЙ АППАРАТУРЫ КОНТРОЛЯ
ВНУТРИКОРПУСНЫХ УСТРОЙСТВ, ОТ БОРНОЙ
КИСЛОТЫ В ТЕПЛОНОСИТЕЛЕ ПЕРВОГО КОНТУРА
РЕАКТОРНОЙ УСТАНОВКИ БЛОКОВ 1, 2
КОЛЬСКОЙ АЭС
В.П. Алексеев, К.В. Аксенов
Аннотация
Статья посвящена анализу данных, полученных при эксплуатации системы аппаратуры контроля внутрикорпусных устройств по данным внезонных детекторов нейтронного потока.
На Кольской АЭС в эксплуатации находятся четыре энергоблока мощностью 440 МВт. Первые два энергоблока (первая очередь Кольской АЭС) были введены в эксплуатацию в начале 70-х
годов. Сердце атомной станции - реактор, и диагностика его состояния во время эксплуатации является залогом безопасной и
надежной работы тока. Система АК ВКУ (аппаратура контроля
внутрикорпусных устройств) была сдана в эксплуатацию на первой очереди Кольской АЭС в 2002 году, она является ступенью
контроля вибрационного состояния внутрикорпусных устройств
реактора. Ее задача - сбор данных для последующего анализа и
дополнительного изучения вибрации внутрикорпусных устройств
реактора по плотности нейтронного потока, выходящего за пределы активной зоны.
Система АК ВКУ регистрирует сигналы штатных внезонных
детекторов нейтронного потока на выходе из активной зоны реакторной установки (РУ) блоков 1 и 2 Кольской АЭС - ионизационных камер (ИК) № 6, 2, 18, 14, 10, 22 (см. рис. 1). Установленные в измерительных каналах, ионизационные камеры чувствительны к колебаниям шахты реактора.
Теплоноситель в реакторе находится в узком зазоре между
шахтой с корпусом реактора, а также между шахтой и выгородкой (см. рис. 2). При колебаниях шахты жидкость будет вытесняться из зазоров, т.е. будет происходить перетекание жидкости.
18
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Причем скорость течения будет тем больше, чем меньше ширина
зазора, и при малых зазорах скорость жидкости может заметно
превышать скорость стенки шахты.
Рис.1. Азимутальная схема расположения ИК
вокруг активной зоны реактора
Периодическое изменение толщины водяных зазоров «выгородка активной зоны (A3) - шахта A3» и «шахта A3 - корпус реактора» вызывает модулирование потока нейтронов утечки, что в
свою очередь приводит к возникновению флуктуационной составляющей тока ионизационных камер (см. рис. 3).
В.П. Алексеев, К.В. Аксенов
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2. Схема движения теплоносителя в зазоре между шахтой
и корпусом реактора при колебаниях шахты.
Рис. 3. Механизм возникновения тока ИК при колебаниях шахты A3
20
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Флуктуации тока ИК за счет колебаний толщины водяного
слоя с амплитудой «А» хорошо изучены и описываются выражением:
δI (ω , r )
I (r )
=
δΦ (ω , r )
Φ (r )
= G0 (ω )δρ (ω ) + Aμδ (ω − ω 0 ) cos Θ , (1)
где G0(ω) δ ρ (ω) - составляющая, связанная с пульсациями давления теплоносителя,
δ I (ω, r), I ( r) - переменная и постоянная составляющие тока ИК;
δ Ф (ω, r), Ф(r) - переменная и постоянная составляющие
потока нейтронов, достигающих ИК;
А - амплитуда колебания;
Θ - угол между направлением маятниковых колебаний шахты A3 и прямой, соединяющей ИК с центром реактора;
μ - коэффициент пропорциональности, связывающий амплитуду вибраций шахты с амплитудой флуктуации нейтронного
потока, его размерность - [см-1], а оценивается он величиною порядка 0,15 [см-1] для широкого класса конструкций водо-водяных
реакторов.
Амплитуда вибрации слоя теплоносителя между шахтой и
корпусом реактора в направлении ИК определяется по формуле:
δI
I0
= 0.15[1 / см] ⋅ δx ,
(2)
где δ I - переменная составляющая сигнала ИК;
I - постоянная составляющая сигнала ИК;
δ х - изменение толщины слоя теплоносителя между шахтой
и корпусом реактора [2, 3].
АК ВКУ производит преобразование аналоговых сигналов
шести ионизационных камер в цифровой код и высчитывает постоянную и переменную составляющую сигнала для каждого из
шести измерительных каналов. По отношению флуктуации сигнала ИК к постоянной составляющей сигнала, регистрируются
В.П. Алексеев, К.В. Аксенов
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
колебания толщины слоя теплоносителя между шахтой и корпусом реактора на уровне активной зоны. С помощью АК ВКУ определяют развитие процессов колебания маятникового типа
внутрикорпусной шахты в течение одной или нескольких кампаний с сохранением архивов спектральных характеристик сигналов датчиков и результатов их обработки. Программное обеспечение аппаратуры АК ВКУ позволяет осуществить сбор и обработку информации датчиков, запись в архив на жестком магнитном диске полученных результатов и наглядное представление
как текущих данных, так и данных из архивов. Таким образом,
можно говорить о шумовом контроле в целом - контроле, основанном на определении вибрации ВКУ по вторичным признакам.
Имеющийся опыт эксплуатации системы АК ВКУ показал,
что в ходе топливного цикла по данным ИК происходит постепенный рост получаемой величины колебаний слоя теплоносителя между шахтой и корпусом реактора, рассчитываемой по формуле (2). Однако при этом амплитуда колебаний растет по мере
уменьшения концентрации борной кислоты в теплоносителе первого контура в ходе топливного цикла блока без регистрации
признаков аналогичных аномалий по данным других систем.
На основании данных, полученных во время эксплуатации
системы АК ВКУ, можно сделать вывод о том, что концентрация
борной кислоты не равноценно влияет на величину постоянной и
переменной составляющих тока ИК.
Кроме того, имеющиеся данные показали, что до и после
ППР-2004 (планово-предупредительного ремонта) блока 1 значения величин СКЗ ИК при одинаковом уровне концентрации борной кислоты и мощности блока не совпадают. При этом в спектрах вибрации датчиков других систем также не было зарегистрировано значительного изменения вибрационного состояния РУ
блока. Вероятно, причина заключена в перераспределении энерговыделения по объему активной зоны вследствие перегрузки топлива во время ППР.
Используя полученные для каждой ИК в ходе топливного
цикла зависимости, можно оценить изменение амплитуды колебаний шахты реактора с учетом влияния концентрации бора в теплоносителе первого контура на регистрируемый ИК сигнал.
22
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На основании этих данных можно сделать выводы о том,
что:
- амплитуда колебаний ВКУ по данным системы АК ВКУ
изменяется во время топливного цикла блока в зависимости от концентрации борной кислоты;
- эта зависимость носит линейный характер;
- после ППР, после проведения перегрузки топлива происходит перераспределение источников нейтронного поля по
объему активной зоны, в результате чего для каждого топливного цикла величина вибрации и зависимость от борной кислоты в теплоносителе различны.
Список литературы
[1] Калашникова В.И., Козодаев М.С. Детекторы элементарных
частиц. М.: Наука, 1966.
[2] Thie J.A. Reactor noise monitoring for malfunctions // Reactor
Technology. – 1971. – V. 14, № 4. – P. 354-365.
[3] Kunze U., Meyer K. In-core reactor noise measurements at PWRs
of WWER type and their interpretation // Progress in Nuclear Energy –
1985. – V. 15. – P. 351 - 358.
В.П. Алексеев, К.В. Аксенов
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПИРОМЕТР ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР
В.П. Алексеев, А.В. Баклан, М.В. Лоханин, В.А. Папорков
Аннотация
Проведено изучение зависимости сигнала фотоприемника
ФД723-1 от собственной температуры, температуры излучателя и
темнового сигнала с целью определения его чувствительности к
собственной и измеряемой температуре. Выяснено, что измерение собственной температуры фотоприемника и темнового сигнала является необходимым условием для создания на его основе
радиационного пирометра.
Из множества разновидностей фотоприемников ИК диапазона наибольший интерес вызывают те из них, которые могут быть
использованы для создания дистанционного измерителя температуры в диапазоне –60 ... +80оС, наиболее интересном с точки зрения их совмещения с приборами ночного видения [1]. Максимум
спектральной плотности чернотельного излучения в указанном
температурном диапазоне лежит в интервале 9 – 13 мкм. Цель
данной работы заключалась в том, чтобы выяснить возможность
использования для измерений температуры объекта относительно
доступных и дешевых фотоприемников на основе теллурида
свинца [2] с максимумом чувствительности в интервале 3 – 4
мкм.
Кроме потока излучения от объекта на приемник падает излучение камеры, внутри которой он находится. Идея эксперимента заключается в том, чтобы по результатам измерений сигнала
при открытом и закрытом объективе, а также при известных температурах камеры и фотоприемника найти алгоритм определения
температуры излучателя.
Теоретический анализ задачи также проводился, но он содержит большое количество неопределенных величин и ненадежен. По этой причине было предпринято чисто эмпирическое исследование.
24
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1. Общая схема экспериментальной установки
Схема эксперимента представлена на рис. 1. В роли источника излучения И выступало нагретое тело, температура которого
варьировалась от комнатной до 80 °С и контролировалась двумя
термометрами, один из которых располагался в центре, а другой
на краю излучающей поверхности (но за границей рабочей области) источника. Само нагретое тело находилось в условиях, при
которых его можно было считать чернотельным излучателем.
Сделано это было вследствие того, что при нагревании источника излучения разница температур на границе и в центре рабочей области достигала 20 °С. Поэтому в ходе эксперимента источник излучения сперва нагревался до температуры порядка
100 °С, после чего медленно остывал. При этом разность температур в центре и на границе источника не превышала величины
инструментальной погрешности термометра.
Размер нагреваемого тела и расстояние до фотоприемника
выбирались таким образом, чтобы его изображение полностью
перекрывало фотоприемник.
В качестве объектива выступала прозрачная в ИК области
кремниевая линза Л с фокусным расстоянием 70 мм, которая
проецировала ИК изображение рабочей области источника в
плоскость блока фотоприемника Ф, представленного на рис. 2.
В.П. Алексеев, А.В. Баклан, М.В. Лоханин, В.А. Папорков
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2. Внешний вид блока фотоприемника
Блок фотоприемника состоит из фотодиода 1 (ФД723-1), охлаждаемого элементом Пельтье 3. Тепловой контакт между ними
обеспечивался теплопроводящим кожухом 6, в котором находилась термопара 2 (хромель-копель), служащая для контроля температуры фотодиода. К горячей части Пельтье-элемента вплотную прилегал выступающий в роли теплоотвода радиатор 4, обдуваемый вентилятором 5.
Эксперимент проводился в виде серий измерений сигнала
фотоприемника. Каждая серия измерений соответствовала изменению температуры источника излучения при фиксированном
значении собственной температуры фотоприемника.
Результаты
Было выяснено, что чувствительность фотоприемника к собственной температуре в несколько раз превышает его чувствительность к температуре источника излучения, что проиллюстрировано на рис. 3 и 4.
26
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 3. Зависимость сигнала фотоприемника от температуры источника
излучения (Т фотоприемника 27,9 °С)
Рис. 4. Зависимость сигнала фотоприемника от его собственной
температуры (при закрытом объективе)
Таким образом, стабилизация и измерение собственной температуры фотоприемника является необходимым условием для
измерения им температуры источника излучения. Исследования
показали, каким образом можно организовать сбор необходимых
данных для оценки температуры наблюдаемого объекта.
Список литературы
[1] Полупроводниковые фотоприемники / Под ред. проф.
В.И. Стефеева. – М.: Радио и связь, 1984.
[2] Спецификация фотоприемника ФД723-1.
В.П. Алексеев, А.В. Баклан, М.В. Лоханин, В.А. Папорков
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ДИЭЛЕКТРИКОВ
НА СВЕРХВЫСОКИХ ЧАСТОТАХ
В.П. Алексеев, Е.И. Татюшева, А. Перминов
Аннотация
В настоящее время ведется всестороннее глубокое изучение
электрических свойств диэлектриков различными физическими
методами. Особый интерес представляет исследование зависимости тангенса угла потерь и проводимости при низких температурах от высоких частот. Данная методика может найти применение и для исследования электрических свойств ВТСП.
Представленный метод предназначен для измерения коэффициента стоячей волны (КСВ), тангенса угла потерь, проницаемости и электропроводности диэлектриков с помощью волноводной
линии на СВЧ [1]. Для определения данных параметров существует несколько способов. Их сравнение приводит к выводу, что
оптимальным способом определения выше перечисленных величин будет сочетание методов короткого замыкания и холостого
хода. В первом методе образец сначала располагается вплотную к
закороченному концу линии, т.е. в минимуме напряженности
электрического поля (метод короткого замыкания), а во втором
его перемещают на расстояние, равное четверти длины волны от
закороченного конца измерительной линии (метод холостого хода). В этом случае образец находится в пучности электрического
поля. Сочетание методов короткого замыкания и холостого хода
обеспечивает возможность определения проницаемости по измеренным величинам. Решая уравнения электромагнитного поля
для передающей линии с учетом влияния исследуемого образца
[2], получаем следующее выражение:
2
λ 
ε ′ − jε ″ −  0 
 λГ  =  1 − jК б1 tgθ1  ⋅  1 − jК б2 tgθ 2  ,

 

2
θ
θ
К
jtg
К
jtg
−
−
λ 
б2
1  
2 
 б1
1−  0 
 λГ 
28
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где ε = ε ′ − jε ′′ - комплексная проницаемость,
К б1 , К б2 - коэффициент бегущей волны для обоих методов,
равный
Emin
1
= КБВ =
= Кб ,
(2)
Emax
КСВ
θ1 , θ 2 - фазовый угол для обоих методов, вычисляемый по
2π
формуле θ =
x ;
λB m
xm - расстояние от поверхности образца до первого узла стоячей волны, λB - длина волны в волноводе, связанная с граничной
длиной волны λГ и λ0 соотношением:
λВ =
λ0
λ 
1−  0 
 λГ 
2
.
Правая часть уравнения (1) содержит величины К б , λB и xm ,
которые определяются при помощи волноводной измерительной
линии, установленной между генератором и секцией образца и
имеющей такое же поперечное сечение, что и секция, содержащая образец.
Из выражения (1) мы можем найти комплексную проницаемость, а зная ее, определить тангенс угла потерь:
tgδ = ε ′′ / ε ′ .
(3)
Электропроводность связана с мнимой составляющей проницаемости выражением:
σ = ωε 0ε ′′ .
(4)
Блок-схема экспериментальной установки представлена на рис. 1.
В.П. Алексеев, Е.И. Татюшева, А. Перминов
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
2
3
4 56
7
Рис.1. Блок-схема экспериментальной установки, где
1 - генератор СВЧ;
2 – измерительная линия;
3 – аттенюатор;
4 – исследуемый образец;
5 – микрохолодильник (термоэлемент);
6 – радиатор;
7 – блок питания микрохолодильника.
Для изучения температурной зависимости электрофизических параметров диэлектриков (проводимости σ и тангенса угла
потерь tgβ) нами собрана приставка для температурных измерений, которая позволяет изменять температуру образца в диапазоне от Ткомн до Т=250К. Общий вид установки показан на рис. 2.
Исследуемый образец (1) помещается на большую грань резонатора, напротив отверстия, за образцом устанавливается термоэлемент (2), таким образом, чтобы холодная его сторона была
приложена к образцу, к горячей стороне термоэлемента через
слой теплопроводящей пасты прикреплен радиатор (3), радиатор,
термоэлемент и исследуемый образец прижимаются к резонатору
четырьмя винтами (4). Для контроля температуры исследуемого
образца используется проградуированная термопара из хромелькопелевого сплава (5), термо-Э.Д.С. регистрируется при помощи
гальванометра (6). В качестве термоэлемента используется элемент марки CP1,0-71,0,5L, работающий на эффекте Пельтье (выделение или поглощение теплоты при прохождении электрического тока через контакт двух различных проводников). Изменяя
напряжение на блоке питания (7), к которому подключен термоэлемент, можно изменять температуру образца.
30
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
2
4
Блок питания
термоэлемента
3
7
G
6
5
Рис. 2. Приставка для температурных измерений электрофизических
параметров диэлектриков
Максимальное понижение температуры, которого можно
достичь с помощью данного термоэлемента, Т=700 . Для охлаждения внешней поверхности термоэлемента используется радиатор. Таким образом, созданная установка позволяет проводить
измерения электрофизических свойств диэлектриков, в том числе
ВТСП, в температурном интервале от Ткомн =300К до Т=240-230К.
Используя два последовательно соединенных термоэлемента,
можно понизить температуру образца до значения 170-190К, что
лежит непосредственно в зоне сверхпроводящего перехода.
Список литературы
[1] Брандт А.А. Исследование диэлектриков на сверхвысоких
частотах. – М.: Физматгиз, 1963.
[2] Борисова М.Э., Койков С.Н. Физика диэлектриков. – Л.: Изд.
ЛГУ, 1979.
В.П. Алексеев, Е.И. Татюшева, А. Перминов
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ
ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЦИФРОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
НА ОСНОВЕ ПИКОВОГО ОТНОШЕНИЯ СИГНАЛ/ШУМ
И.В. Апальков, Д.К. Куйкин, М.Н. Голубев
Аннотация
Проведен сравнительный анализ различных модификаций
алгоритма двумерной медианной фильтрации. Рассмотрены нейросетевой медианный фильтр и адаптивный нейросетевой медианный фильтр. В качестве основного критерия эффективности
восстановления выступает пиковое отношение сигнал/шум восстановленного изображения. Кроме того, проводится визуальная
оценка восстановленных изображений.
Введение
Цифровая обработка сигналов, и в частности цифровая обработка изображений (ЦОИ), является важным предметом для изучения и проведения научных исследований с использованием вычислительной техники. Сфера применения ЦОИ становится все
шире, и в настоящее время эти технологии активно используются
в системах телекоммуникаций, радио- и гидролокации, сейсмологии, робототехнике, радиоастрономии, биологии и медицине [1–
6].
На практике часто встречаются изображения, поврежденные
импульсным шумом [7]. Причинами возникновения таких помех
на изображении могут быть сбои в работе канального декодера,
связанные с замиранием сигналов в канале связи и перемещением
абонентов, шум видеодатчика, зернистость пленки и т.д.
Целью данной работы является: анализ алгоритмов цифровой
обработки изображений и разработка усовершенствованных методов фильтрации и восстановления изображений для повышения
эффективности средств цифровой обработки и передачи информации в телекоммуникационных сетях, системах формирования
изображений и т.п.
Рассматриваются следующие известные алгоритмы восстановления цифровых изображений [8-12]: медианный фильтр
(МФ), адаптивный медианный фильтр (АМФ), центрально взве32
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
шенный медианный фильтр (ВМФ), нейросетевой медианный
фильтр (НМФ).
Для оценки качества восстановления изображения вычисляется пиковое отношение сигнал/шум восстановленного изображения
255
PSNR = 20 lg
,
1)
MSE
где N – количество пикселей в изображении,
MSE - среднеквадратичная ошибка восстановления [13], вычисляемая по формуле
2
1 N ~
MSE =  f i − f i .
2)
N i =1
Оценка качества восстановленного изображения также проводится и визуально. При этом особенно важным при анализе алгоритмов удаления импульсного шума является сохранение мелких деталей на восстановленном изображении.
(
)
Анализ пикового отношения сигнал/шум
восстановленных изображений
Сравнение результатов работы различных алгоритмов удаления импульсного шума из цифровых изображений включает в себя следующие этапы:
– анализ результатов восстановления изображений, зашумленных импульсным шумом, при различных размерах маски и
меняющейся плотности шума;
– анализ результатов восстановления изображений, зашумленных комбинированной помехой (импульсный шум + белый
шум или импульсный шум + гауссов шум) [14].
При этом в качестве критерия точности восстановления рассматривается величина PSNR восстановленного изображения.
Зависимости PSNR восстановленных тестовых изображений
"Lena" и "Tank" для различной плотности вносимого импульсного шума p, при маске 5х5 приведены на рис. 1 и рис. 2 соответственно.
И.В. Апальков, Д.К. Куйкин, М.Н. Голубев
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
45
МФ
АМФ
ВМФ
НМФ
40
35
PSNR
30
25
20
15
10
5
0
10
20
30
40
p, %
50
60
70
80
Рис. 1. Зависимость PSNR восстановленного изображения “Lena”
от плотности импульсного шума для маски 5х5
35
МФ
АМФ
ВМФ
НМФ
30
PSNR
25
20
15
10
5
0
10
20
30
40
p, %
50
60
70
80
Рис. 2. Зависимость PSNR восстановленного изображения “Tank”
от плотности импульсного шума для маски 5х5
34
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Анализ полученных результатов показывает, что:
– для всех тестовых изображений при всех значениях плотности импульсного шума наилучшие результаты показывает алгоритм АМФ, а алгоритм НМФ находится на втором месте по
эффективности;
– при высокой плотности вносимого шума результаты обработки алгоритмами МФ и НМФ сравнимы.
Далее приведены результаты исследования четырех алгоритмов удаления импульсного шума для случая комбинированных
шумов (импульсный + гауссов). На рис. 3 представлены результаты восстановления изображения "Lena", зашумленного импульсным и гауссовым (СКО=0.1) шумами.
30
median
adaptive median
weighted median
neural network median
25
PSNR
20
15
10
5
0
10
20
30
40
p, %
50
60
70
80
Рис. 3. Зависимость PSNR восстановленного изображения «Lena»,
зашумленного импульсным и гауссовым шумами,
от плотности импульсного шума
Результаты (рис. 3) показывают, что
– для случая комбинации импульсного и гауссового шума
лучший результат обработки при любой плотности вносимого
импульсного шума p показывают алгоритмы МФ и ВМФ;
И.В. Апальков, Д.К. Куйкин, М.Н. Голубев
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
– алгоритмы НМФ и АМФ предпочтительнее использовать
при значительной степени зашумления (выше 50%);
– алгоритм НМФ показывает результат, сопоставимый с
адаптивным медианным фильтром, превосходя его на малых степенях зашумления и уступая на больших.
Анализ эффективности детектора импульсов
Далее рассмотрим результаты анализа эффективности работы
нейронной сети, как детектора импульсного шума, безотносительно к следующему за ней алгоритму фильтрации. В данном
случае в качестве характеристик результативности применения
нейронной сети выступают такие характеристики, как частота
срабатывания сети и вероятность обнаружения шума.
В табл. 1 приведены результаты тестирования нейросетевого
детектора импульсного шума.
Таблица 1
Качество детектирования шума нейронной сетью
(изображение “Lena”)
Плотность шума,
%
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
Частота срабатывания, %
37
40
43
46
49
52
56
58
62
65
68
71
73
Вероятность обнаружения шума, %
100
99
99
98
98
99
99
99
99
98
98
97
96
Из полученных зависимостей видно, что при любой плотности импульсного шума нейросетевой детектор выявляет практически все шумовые пиксели изображения. При этом можно за36
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ключить, что всегда порядка 10-30% неискаженных пикселей
идентифицируются сетью как шумовые.
Визуальный анализ результатов восстановления
С целью сопоставления численных результатов, полученных
при моделировании алгоритмов удаления импульсного шума, с
визуальными характеристиками восстановленных изображений
приведем результаты обработки изображения "Boat", искаженного 50% импульсным шумом, алгоритмами МФ, ВМФ, НМФ и
АМФ (рис. 4).
а) Исходное изображение
б) Добавлен импульсный шум
(PSNR = 8.4614)
в) МФ (PSNR = 22.5889)
г) ВМФ (PSNR = 20.1963)
д) НМФ (PSNR = 24.7091)
е) АМФ (PSNR = 27.1719)
Рис. 4. Обработка тестового изображения «Boat» различными алгоритмами
удаления импульсного шума
И.В. Апальков, Д.К. Куйкин, М.Н. Голубев
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Визуальное сравнение обработанных изображений на рис. 4
позволяет сделать следующие выводы:
– алгоритм АМФ показывает наилучшие результаты как с
точки зрения PSNR, так и по визуальному критерию качества для
всех изображений;
– алгоритм МФ дает неудовлетворительное визуальное качество восстановленного изображения, а также проигрывает всем
остальным алгоритмам обработки с точки зрения PSNR;
– алгоритм НМФ проигрывает алгоритму АМФ по численному критерию ошибки восстановления, но вполне сопоставим
по визуальному критерию.
Заключение
Результаты исследований позволяют сделать следующие основные выводы:
1. При наличии только импульсного шума типа “salt-andpepper” наилучшие результаты по восстановлению изображения
показывает фильтр АМФ, значительно опережая остальные алгоритмы.
2. При наличии смеси шумов (импульсный + гауссов)
эффективность метода АМФ резко снижается даже при невысокой интенсивности гауссовского воздействия, и наиболее эффективными здесь являются фильтры МФ и ВМФ.
3. Применение нейронной сети Кохонена в качестве детектора импульсов обеспечивает практически стопроцентную вероятность обнаружения шумовых пикселей, но в то же время, заметная часть (10-30%) неискаженных пикселей также идентифицируется как шумовые.
4. Алгоритм НМФ малоэффективен для восстановления
сильно зашумленных изображений (плотность шума больше
50%) и при таких степенях зашумления ничем не превосходит
метод МФ.
5. Алгоритм НМФ более устойчив по отношению к гауссовскому шуму, чем АМФ, особенно при степенях зашумления
ниже 50%, и обеспечивает на 10-20% более высокое значение
PSNR в условиях комбинированного шума.
38
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
[1] Гонзалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. – М.:
Техносфера, 2005.
[2] Марагос П., Шафер К. Морфологические системы для морфологической обработки // ТИИЭР. – 1990. №4. – С. 109-131.
[3] Красильников Н.Н. Цифровая обработка изображений. – М.:
Вузовская книга, 2001.
[4] Приоров А.Л., Ганин А.Н, Хрящев В.В. Цифровая обработка
изображений: Учеб. пособие. – Ярославль, 2001.
[5] Капеллини В., Константинидис А. Дж., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение. – М.: Энергоатомиздат, 1983.
[6] Russ J. The image processing handbook. – CRC, 1995.
[7] Mitra S., Sicuranza G., Nonlinear Image Processing. – Academic
Press, 2000.
[8] Dougherty E., Astola J. Nonlinear Filters for Image Processing. –
New York: SPIE/IEEE, 1999.
[9] Pitas I., Venetsanopoulos A. Nonlinear Digital Filters: Principles
and Applications. – Boston, MA: Kluwer, 1990.
[10] Хрящев В.В., Апальков И.В., Соколенко Е.А., Куйкин Д.К.
Удаление импульсного шума в изображениях на основе нейронной
сети Кохонена // Матер. всерос. науч. конф., посвященной 200-летию
Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова: Физика / Яросл. гос. ун-т. – Ярославль, 2003. С. 119-123.
[11] Ko S., Lee Y. Center Weighted Median Filters and Their Applications to Image Enhancement // IEEE Trans. Circuits Systems. – 1991. –
V. 38, № 9. – P. 984-993.
[12] Осовский С. Нейронные сети для обработки информации. –
М.: Финансы и статистика, 2002.
[13] Реконструкция изображений / Под ред. Г.Старка. – М.: Мир,
1992.
[14] Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. – М.: Сов. Радио, 1979.
И.В. Апальков, Д.К. Куйкин, М.Н. Голубев
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
РАДИОГОЛОГРАФИЯ: АНАЛИЗ ТЕНДЕНЦИЙ РАЗВИТИЯ
К.С. Артёмов, Т.К. Артёмова
Аннотация
Рассмотрены методы радиоголографии. Дан перечень задач,
подлежащих решению. Охарактеризованы основные тенденции
развития радиоголографических методов получения изображений.
Радиоголография – метод радиовидения, то есть получения
изображения объекта при помощи сигналов и аппаратуры радиодиапазона, отличающийся двухступенчатостью: на первом этапе
получается радиоголограмма как результат интерференции электромагнитного поля сигнала, рассеянного объектом, и электромагнитного поля опорного источника; на втором этапе с помощью сигнала от опорного источника по радиоголограмме восстанавливается изображение.
Исторически применение радиоволн для получения изображения объектов предшествовало появлению оптической голографии, однако в связи с тем, что для визуализации электромагнитного поля радиодиапазона нужны вспомогательные средства
в отличие от видимых глазом световых волн, радиоголографические системы видения не получили распространения вплоть до
настоящего времени. Появление компьютерной техники с достаточными возможностями в 60-70-е годы 20 века возродило интерес к радиоголографии и дало толчок к развитию множества её
направлений. Однако вычислительная сложность задач восстановления изображений по радиоголограммам задержала практическую реализацию радиоголографических систем видения реального времени до настоящего момента.
Методы радиоголографии
Рассмотрим многообразие методов, реализующих идею радиоголографии.
В зависимости от того, каким образом формируется объектная волна, различают голографию в отраженных лучах (голограмма формируется за счет волны, рассеянной объектом) и
40
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в проходящих лучах (голограмма формируется волной, прошедшей сквозь объект).
Для фиксации радиоголограмм используют два типа регистрирующих сред – непрерывные (радиочувствительные материалы – пленки холестерических жидких кристаллов, жидкостей, фотоматериалы, люминофоры и другие) и дискретные
(приёмные устройства из матриц газоразрядных диодов или антенных элементов и полупроводниковых диодных детекторов).
В литературе описаны как оптическое восстановление радиоголограмм, так и цифровая обработка радиоголограмм и восстановление изображения с помощью компьютера [1, 2, 3].
Радиоголографические схемы используют существующую
приемную апертуру, образованную различными поверхностями:
плоскостью, перпендикулярной направлению излучения зондирующей волны; двумя плоскостями; элементами цилиндрической
поверхности. Известны также и методы синтеза апертуры: одним приемным антенным элементом; двумя, в том числе находящимися на противоположных концах вращающейся штанги; линейной антенной решеткой элементов, перемещаемой по определенной траектории; скрещенными решетками.
При синтезировании апертуры возможно механическое сканирование антенными элементами по поверхности регистрации,
электронное сканирование путём коммутации элементов в антенной решётке, комбинированное сканирование – электронномеханическое. При этом возможно сканирование излучающими антенными элементами при неподвижных приёмных, сканирование приёмными элементами при неподвижных излучающих, одновременное сканирование и теми, и другими [3, 4],
перемещение объекта.
Антенная система может состоять из одного излучающего
элемента и приёмной антенной решётки, одного приёмного элемента и излучающей антенной решётки, двух антенных решёток.
При этом перемещающаяся часть синтезирует матрицу данных.
Распределение электромагнитного поля объектной волны при
сканировании регистрируется на поверхности регистрации по
определённой траектории: прямолинейной в случае построчного
растрового сканирования в точках прямоугольной сетки на плосК.С. Артёмов, Т.К. Артёмова
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кости [5]; вдоль дуг постоянного радиуса; по спирали [6]; по окружности или по набору концентрических окружностей [7]. Несмотря на свои достоинства (некоторое увеличение разрешения),
методы криволинейного сканирования не получили широкого
распространения в первую очередь из-за трудностей технической
реализации сканеров.
Описаны методы синтеза матрицы данных по отсчётам неполной растровой матрицы, полученной при помощи разного вида скрещенных антенных решёток: креста Миллса [1], в котором
все элементы вдоль обеих осей являются приемниками или передатчиками и за один цикл возможно получение только 2Ν комплексных значений поля; схемы «конической» голографии [8] и
схемы скрещенных перпендикулярно направлению на объект передающей и приёмной антенной решёток [9], дающие Ν2 выборок
при использовании 2N элементов; метод голографической матрицы [10], которая содержит значительно больше информации,
чем обычная СВЧ-голограмма, но вместе с тем является более
простой информационной структурой.
Наиболее быстрым из всех видов сканирования является
электронное сканирование при антенной системе в виде антенных решёток.
В радиоголографических схемах применяются два способа
формирования опорной волны: при первом, естественном,
опорная волна формируется опорным источником и интерферирует в пространстве с волной, рассеянной объектом (основным недостатком являются искажения из-за переотражений сигнала), при втором, искусственном, в пространстве существует
только поле объекта, а опорное поле имитируется в приёмном
тракте путем изменения фазы опорного сигнала.
Опорный сигнал может формироваться как на частоте объектного сигнала, так и на промежуточной частоте [4, 5]. Известны и схемы, использующие в качестве опорной волны часть
рассеянного объектом сигнала.
Описанные в литературе методы радиоголографии работают
с одночастотными и многочастотными сигналами (в том числе ЛЧМ-сигналами и сигналами с дискретной перестройкой
частоты) [11, 12].
42
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Основные проблемы радиоголографии и задачи,
подлежащие решению
Радиоголография как метод имеет специфические трудности
и ставит перед исследователями ряд подлежащих решению задач.
Сформулируем некоторые из них.
Во-первых, длина волны СВЧ-излучения соизмерима с размерами большинства объектов голографирования, что порождает
две проблемы: низкое азимутальное разрешение и большие размеры приёмной апертуры (последнее ведёт к сложности системы
управления процессом регистрации и к трудности обеспечения
когерентности внутри системы).
Во-вторых, процесс записи голограммы при использовании
различных сканирующих устройств достаточно медленный, а в
случае применения приемных матриц сравнительно дорогостоящий и сложный.
В-третьих, поскольку в классической радиоголографии не
предусматривается фокусировка принимаемого сигнала, а реальные размеры апертуры не позволяют зафиксировать всю мощность, рассеянную объектом, то встаёт задача повышения энергетических возможностей метода радиоголографии (дальности его
действия).
В-четвёртых, интересно восстановление изображений в реальном масштабе времени, что ставит задачи цифровой обработки радиоголограммы и восстановленного изображения, а также
разработки специализированного под них процессора.
В-пятых, необходимость когерентности накладывает ограничения на элементы аппаратуры, реализующей радиоголографическое видение: требования относительно высокой фазовой стабильности генераторов, симметрии антенно-фидерного тракта,
наличие компенсации фазовых искажений.
В-шестых, разрешающая способность радиоголографической
системы неодинакова по глубине и в азимутальной плоскости,
причём она неоднородна по изображению и зависит от реализации антенной системы, что требует учёта.
К.С. Артёмов, Т.К. Артёмова
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тенденции развития радиоголографии
В результате литературного и патентного ретроспективного
поиска за последние 17 лет нами были выявлены основные тенденции развития систем построения изображения объектов голографическим методом. Многие из выделенных направлений разработок подводят к решению вышеперечисленных задач.
Во-первых, это регистрация радиоголограмм дискретными
решётками элементов, что позволяет синтезировать апертуры
больших размеров и соответственно улучшать разрешение изображений.
Во-вторых, это получение цифровых голограмм или оцифровка аналоговых, что даёт возможность применять методы цифровой обработки непосредственно в процессе радиовидения, в
том числе применять предварительную статистическую обработку результатов измерений ещё до восстановления изображения.
В-третьих, это переход на компьютерное восстановление
изображения по радиоголограмме, что в сочетании с первыми
двумя делает возможным видение в реальном масштабе времени.
В-четвёртых, это применение многочастотных сигналов одновременно с обеспечением когерентности внутри системы, что
даёт возможность восстановления трехмерного изображения, а
также, согласно [1], улучшение качества изображений благодаря
увеличению объема информации относительно геометрических
размеров и физических свойств рассеивающих объектов по сравнению со случаем использования монохроматического излучения.
Дальнейшим развитием этого направления является использование
многоплановой информации об объекте, в том числе комбинирование разных диапазонов частот, объединение радио, акустической, оптической голографий, что значительно облегчит задачу
распознавания объектов на изображениях.
В пятых, применение фокусирующих элементов, в том числе
и управляемых – разработка радиоголографии фокусированных
изображений; при этом область анализа может быть уменьшена
без значительных потерь информации об объекте, поскольку она
будет определяться апертурой системы формирования радиоизображений.
44
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из других направлений развития работ в области радиоголографии необходимо выделить следующие:
– регистрация голограмм с искусственным формированием
опорной волны различными способами;
– использование подвижных источников;
– использование доплеровской голографии;
– применение моделирования голограмм для улучшения
качества изображения;
– использование составных (многоэлементных) голограмм.
Кроме того, многие из идей, реализованных в настоящий
момент применительно к оптической голографии, могут быть в
дальнейшем осуществлены и в процессе радиоголографии.
Некоторые достижения в области радиоголографии
Наибольшее распространение в радиодиапазоне получила схема безлинзовой голографии Френеля [13], реализующая классический метод. Длительное время практиковалось оптическое восстановление изображений по радиоголограмме, как, например, в
работе [14]. Радиоголография активно используется для контроля
характеристик антенн.
Устройство для формирования радиоголограмм с использованием поляризационных характеристик объектов описано в [15].
Оно позволяет определять по восстановленному изображению
электрофизические характеристики материала поверхности объекта, что влечет за собой повышение достоверности идентификации и распознавания объектов.
В настоящее время показано [16], что возможно добиться
улучшения разрешения на порядок при использовании различных
методов сверхразрешения, в том числе метода аналитического
продолжения пространственного спектра.
В качестве примера устройства регистрации, обладающего
высоким быстродействием, можно привести электронный сканер
[17], позволяющий регистрировать не только амплитудно-фазовое
распределение голограммы, но и поляризационные характеристики ближних полей антенн в коротковолновой части СВЧдиапазона.
К.С. Артёмов, Т.К. Артёмова
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ведутся работы по увеличению дальности радиоголографического видения одновременно с повышением разрешения.
Показательна работа В.Г. Семенчика и В.А. Пахомова [18]
по созданию радиоголографической системы формирования многочастотных изображений в диапазоне частот от 8 до 12 ГГц.
Проведённые ими эксперименты на двух объектах (компакт-диск
и треугольник из фольгированного текстолита), размещённых на
расстоянии 0,125 и 0,175 м от плоскости апертуры при апертуре в
0,31×0,31 м позволили при восьмичастотном сигнале добиться
разрешения по дальности и удовлетворительного разрешения в
азимутальной плоскости.
Одним из самых интересных многочастотных устройств является голографическая система, запатентованная в США [19].
Система, рассчитанная на 35 ГГц, включает в себя антенную решётку цилиндрической формы из 64×64 диэлектрических стержневых антенны, приёмопередатчик, АЦП, систему обработки
данных (компьютер), систему визуализации (дисплей). Эксперименты показали, что такая система таможенного досмотра позволяет различить как металлические (оружие), так и диэлектрические (бумажник) предметы, спрятанные под одеждой человека.
Список литературы
[1] Голография: Методы и аппаратура / Под ред. В.М. Гинзбург и
Б. М. Степанова. – М.: Сов. радио, 1974. – 376 с.
[2] Сафронов Г. С., Сафронова А. П. Введение в радиоголографию. – М.: Сов. радио, 1974. – 288 с.
[3] Tricole G., Farhat N. H. Microwave holography: applications and
techniques // Proc. IEEE. – 1977. – V. 65. – № 1. – Pp. 108 – 121.
[4] Курило Н. И., Кухарчик П. Д., Семенчик В. Г. Синтезирование
радиоголограмм сканированием растра приемопередающим устройством //Радиотехника и электроника. – 1983. – № 2. – С. 366 – 370.
[5] Кухарчик П. Д., Курило Н. И., Семенчик В. Г. Методы улучшения параметров радиоголографических устройств. – Методы и устройства радио- и акустической голографии. – Л., 1983. – С. 14 – 33.
[6] Фархат Н., Фархат А. Двойное круговое сканирование в СВЧголографии //ТИИЭР. – 1973. – Т. 61. – № 4. – С. 128 – 129.
46
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
[7] Белячиц А. Ч., Кухарчик П. Д., Семенчик В. Г. Голографическая система с приемной апертурой в виде окружности
//Радиотехника и электроника. – 1986. –№ 9. – С. 1839 – 1847.
[8] Уэллс У. X. Получение акустических изображений при помощи линейных антенн. – Акустическая голография. – Л. – 1975. – С.
166 –182.
[9] Jofre L. Microwave imaging with crossed linear arrays //IEE Proceedings. – 1987. – Vol. 134. – Pt. H. – No. 3.
[10] Огура X., Иидзука К. Голографическая матрица и применение ее в новом типе радиолокационных устройств //ТИИЭР. – 1973. –
Т. 61. – № 7. – С. 282 – 283.
[11] Белячиц А. Ч., Кухарчик П. Д., Семенчик В. Г. Принципы и
применение методов многочастотной голографии //3арубежная радиоэлектроника. – 1984. – № 6. – С. 86-92.
[12] Белячиц А. Ч., Кухарчик П. Д., Семенчик В. Г. Принципы и
применение многочастотной голографии. – Методы и устройства радио- и акустической голографии. – Л.: Наука, 1983. – С. 3–14.
[13] Бахрах Л. Д., Курочкин А. П. Голография в микроволновой
технике. – М.: Сов. Радио, 1979. – 320 с.
[14] Papi G., Russo V., Sottini S. //IEEE Transactions on Antennas
and Propagation. – 1976. – Vol. AP-24. – № 6. – P. 832 – 836.
[15] Авт. свид. СССР. № заявки 471981/25 от 1989.07.03, дата
публикации: 1995.08.09.
[16] Kim Young-Soo, Kim Young-Su. Improved resolution capability
via virtual expansion of array // Electronics letters. – 1999. – V. 35. –
№ 19. – P. 1596 – 1597.
[17] Дудкин В. П., Обтемперанский Ю. С., Петров Ю. Н., Чайковский В. Е. // Радиотехника и электроника. – 1984. – №9. – C. 1806.
[18] Семенчик В. Г., Пахомов В. А. Радиоголографическая система формирования многочастотных изображений //Электроника. –
Минск. – 2004. – №1. – С. 50 – 51.
[19] Патент США №US5557283, 1996.
К.С. Артёмов, Т.К. Артёмова
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ
ФОРМИРОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ
РАДИОГОЛОГРАФИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ
К.С. Артёмов, Т.К. Артёмова, Н.И. Фомичёв
Аннотация
Построена модель радиоголографической системы получения изображений. Проанализировано разрешение, достижимое с
помощью системы, и требования, которые оно накладывает на её
элементы. Исследовано влияние препятствия на параметры изображения и энергетические характеристики системы. Дан обзор
работ в области радиоголографии, выполняемых на кафедре радиофизики ЯрГУ им. П.Г. Демидова
Одним из самых интересных применений метода радиоголографии является видение за препятствиями, оптически непрозрачными, но прозрачными для радиоволн, например, в случае
возникновения чрезвычайных ситуаций, когда непосредственный
доступ к объекту затруднен или невозможен (при обвалах зданий,
пожарах).
Поставим задачу построить модель радиоголографической
системы (РГС), реализующей это видение, и исследовать характеристики получаемых изображений и вытекающие из них требования к параметрам системы.
Модель радиоголографической системы
получения изображений
Модель излучающей системы формирует сигнал, распространяющийся в соответствии с моделью распространения до
препятствия (рис. 1). Модель препятствия преобразует сигнал,
после чего он рассеивается моделью объекта. Отраженный от
объекта сигнал вновь преобразуется моделью препятствия. Преобразованный сигнал распространяется в соответствии с моделью
распространения до РГС. В месте приема он обрабатывается моделью приемной системы. Сигнал с выхода приемной системы
вместе с опорным сигналом, поступающим с модели передатчика, формируют по определенному алгоритму модель радиоголо48
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
граммы. Алгоритм восстановления изображения позволяет получить модель изображения объекта.
Рис. 1. Структурная схема модели процесса получения изображения
Модель распространения учитывает три луча: а) отраженный от препятствия; б) прошедший через препятствие и рассеянный на объекте; в) отраженный от подстилающей поверхности
с возвращением в область регистрации.
Модель объекта – фацеточная с параметрами: диаграмма
рассеяния фацета и эквивалентная диэлектрическая проницаемость и тангенс угла диэлектрических потерь.
Модели излучающей и приемной антенных систем –
скрещенные линейные антенные решетки из коммутируемых однотипных излучающих элементов.
Подробно данные модели описаны в [1].
Модель передатчика и достижимое разрешение РГС
Моделью передатчика является когерентный генератор с
управляемой перестройкой частоты, обладающий малой кратковременной нестабильностью. Рабочий диапазон частот рассчитывается исходя из требований разрешающей способности.
К.С. Артёмов, Т.К. Артёмова, Н.И. Фомичёв
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проведенные исследования метода скрещенных решеток [2]
(рис. 2) свидетельствуют, что при апертуре в 1×1 м2 можно на
расстоянии от 50 до 70 м достигнуть азимутального разрешения
в 25 – 40 см при длине волны от 6 до 16 мм (18,75 – 50 ГГц). Разрешения по глубине в 25 – 40 см можно достигнуть при использовании многочастотного сигнала и полосе перестройки частот в
375 – 600 МГц [2] (рис. 3).
Рис. 2. Азимутальная разрешающая
способность: расстояние до объекта
50 м (сплошная) и 70 м
(пунктирная линия)
Рис. 3. Радиальная разрешающая
способность многочастотной
радиоголографии
Экспериментальные исследования [3] подтвердили данное
заключение. Две металлические полосы (центрированные относительно 161 и 182 см) размерами 15×50 см каждая с расстоянием
между ними, равным теоретической разрешающей способности
12 см, и металлическая стойка (0,5×0,5 м) со стационарно установленным оборудованием визуально различимы (рис. 4) при
расстоянии до приемной апертуры 2 м и апертуре 50×10 см.
Применение яркостной обработки к изображению позволяет утверждать, что разрешение по оси х достигнуто. Отсутствие разрешающей способности в вертикальной плоскости объясняется
недостаточным размером апертуры в данном направлении.
Был проведён анализ использования сигнала с дискретной
перестройкой частоты. При этом необходимое количество частот
равно целому числу, полученному делением максимальной дальности на разрешение по дальности.
50
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4. Эксперимент по разрешению
Обнаружено, что из-за эффектов дискретизации при недостаточном количестве частот в заданной полосе функция неопределённости, характеризующая изображение, имеет ложные копии
(рис. 5) и разрешение по дальности требует: а) различения основной и побочных копий функции неопределенности; б) различения
точек в пределах главного лепестка одной копии.
Рис. 5. Функция неопределённости: дальность до объекта z = 10 м,
центральная частота 10 ГГц, 100 точек из необходимых 266 по частоте в
полосе частот 4 ГГц, теоретическое разрешение по дальности 3,75 см
К.С. Артёмов, Т.К. Артёмова, Н.И. Фомичёв
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Как показано в [4], вероятность разрешения РГС объектов
зависит от конфигурации антенной системы и погрешностей,
вносимых в измерения системой (отношения сигнал – шум измерений). Для количественной оценки допустимых искажений в
предположении нормального распределения ошибки измерения
амплитуды и равномерного – фазовой ошибки с использованием
аппарата преобразования Меллина получено и исследовано [5]
решение задачи определения плотности вероятности амплитуды
и фазы сигнала-изображения, дисперсии амплитуды. Результаты
анализа показывают, что для достижения хорошего разрешения
требуется отношение сигнал-шум около 25 дБ. Антенные решётки, скрещенные симметрично, дают лучшее разрешение, чем
скрещенные в виде буквы «Т», и предъявляют более мягкие требования к точности измерения отсчётов голограммы.
Исследование влияния препятствия на изображение
и энергетические возможности РГС
Была поставлена задача исследования влияния препятствия
на изображение, получаемое с помощью РГС, а также на энергетические возможности РГС.
Модель препятствия: на отражение – модель комбинационного (зеркального и диффузного) рассеяния шероховатой неоднородной поверхности, на прохождение – трехслойная структура (воздух–среда–воздух) с частотно-зависимыми характеристиками поглощения среднего слоя согласно данным для
материалов типичных препятствий (строительные конструкции).
Зеркальное рассеяние характеризуется с учётом поляризационных свойств препятствия согласно [6] зависящими от угла падения на поверхность препятствия комплексными коэффициентами
отражения и прохождения: R || ,T || для параллельной к препятст⊥
⊥
вию и R , T для ортогональной к нему поляризаций.
Исследовались возможности получения изображений по голограммам, зарегистрированным на ортогональных поляризациях
раздельно, а также возможное визуальное улучшение опознавания объектов по сравнению со случаем классической радиоголографии. В [7] описаны результаты для объектов в виде прямо52
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
угольных диэлектрических пластин размерами 0,2×0,7 м2 и
0,5×0,5 м2.
Примеры влияния препятствия на изображение приведены
на рис. 6. Искомые объекты обозначены на рисунках пунктиром.
Разрешение в условиях эксперимента по обеим осям составляло
0,3 м. Отражение от препятствия совместно с влиянием импульсной характеристики свободного пространства проявилось в искажении контуров объекта и увеличении размеров восстановленных изображений по сравнению с размерами исходных. Для точки ретроотражения искажение
имеет характер пятна с
приблизительными размерами 0,4×0,4 м2.
Рис. 6. Влияние препятствия на изображения объектов
Нами проведено моделирование и экспериментальное исследование энергетических возможностей процесса построения радиоголографического изображения объектов, находящихся за оптически непрозрачными препятствиями [2, 3]. Так, объекты –
фольгированные шары разного радиуса (0,06; 0,1; 0,2 м) размещались на опоре в виде блока из пенопласта на расстоянии 3,8 м
от антенной системы РГС. Длина волны составляла 3 см. Регистрировался уровень сигнала от открытого объекта и от объекта,
закрытого препятствием – блоками пенобетона толщиной 8 см.
Теоретически и экспериментально было определено ослабление
мощности зарегистрированного сигнала по сравнению с излученным. Результаты приведены в таблице 1.
В [8] получены количественные оценки качества радиоголографических изображений: дисперсия яркости, средняя яркость,
К.С. Артёмов, Т.К. Артёмова, Н.И. Фомичёв
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
отношение сигнал/шум, среднеквадратичное отклонение изображений от оригиналов, для различных конфигураций антенной
системы. Показано, что изображения отличаются низкой яркостью (причём энергетически более выгодна симметричная схема)
и требуют применения цифровой обработки.
Таблица 1
радиус шара
Сцена
Объект
на опоре
Объект
на опоре,
за препятствием
6 см
10 см
20 см
теория
-52,19 дБ
-49,96 дБ
-46,712дБ
эксперимент
-51,70 дБ
-49,70 дБ
-46,77 дБ
теория
-31,59 дБ
-29,36 дБ
-26,11 дБ
эксперимент
-29,60 дБ
В [9] исследованы возможности применения различных цифровых фильтров и предложены способы предварительной обработки изображений, основанные на априорных данных о процессе радиоголографии. В [4] предложен способ комбинированной
цифровой обработки полученного изображения.
Таким образом, представленные работы охватывают весь
спектр задач от генерации сигнала до обработки полученного по
радиоголограмме изображения.
Список литературы
[1] Артёмов К.С., Артёмова Т.К., Кренёв А.Н., Фомичёв Н.И. Построение модели системы радиовидения миллиметрового диапазона
// Актуальные вопросы разработки и внедрения информационных
технологий двойного применения: тез. докл. VI Всерос. научно-практ.
конф. – Ярославль, 2005.
[2] Артёмов К.С., Артёмова Т.К., Фомичёв Н.И., Кренёв А.Н. Некоторые оценки возможностей радиоголографического метода построения изображения объектов // Актуальные вопросы разработки и
внедрения информационных технологий двойного применения: тез.
докл. V Всерос. научно-практ. конф. – Ярославль, 2004. – С. 40-42.
54
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
[3] Артёмов К.С., Артёмова Т.К., Фомичёв Н.И. Экспериментальная оценка возможностей радиоголографического метода построения
изображений объектов // Тез. докл. Всерос. науч. конф., посвященной
200-летию ЯрГУ им. П.Г. Демидова. – Ярославль, ЯрГУ, 2004. –
С. 69-73.
[4] Артемова Т.К., Артемова О.К., Яковлев М.А. Анализ некоторых возможностей построения радиоголографических изображений с
помощью скрещенных решёток и последующей цифровой обработки
// Материалы межд. конф. «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 2006. – Воронеж. – Т. 3. – С. 1969 – 1979.
[5] Артёмова Т.К., Боков М.А., Гвоздарёв А.С., Кузнецов Е.А.
Исследование влияния погрешностей измерения радиоголограммы на
качество восстановленного изображения // Материалы межд. конф.
«Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 2006. – Воронеж. – Т. 3.
– С. 1961 – 1968.
[6] Артёмова Т.К., Гвоздарёв А.С., Кузнецов Е.А. Возможности
радиоголографического поляризационного видения / Актуальные
проблемы физики: Сб. трудов мол. ученых, аспирантов и студентов. –
Ярославль: ЯрГУ, 2005. – Вып. 5. С. 22 – 29.
[7] Артёмова Т.К., Гвоздарёв А.С., Кузнецов Е.А. Радиоголографическое поляризационное видение // СВЧ техника и телекоммуникационные технологии (КрыМиКо): труды XV Межд. научно-теор.
конф., Украина, Севастополь, 2005. – Т. 2. – С. 935 – 936.
[8] Артёмова Т.К., Артёмов К.С., Гвоздарёв А.С., Кузнецов Е.А.
Особенности формирования изображений с помощью радиоголографии // Современные проблемы оптимизации в инженерных приложениях (IWOPE-2005): труды I Междунар. научно-теор. конф. Ярославль: ЯрГУ, 2005. ISBN 5-88610-081-4. CD-ROM.
[9] Артёмова Т.К., Артёмова О.К., Малозёмов И.М., Боков М.А.,
Яковлев М.А. Предварительная обработка изображений, полученных
методом радиоголографии для задач распознавания объектов // Современные проблемы оптимизации в инженерных приложениях
(IWOPE-2005): труды I Межд. научно-теор. конф. Ярославль: ЯрГУ,
2005. ISBN 5-88610-081-4. CD-ROM.
К.С. Артёмов, Т.К. Артёмова, Н.И. Фомичёв
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МЕТОД Т-МАТРИЦ ДЛЯ АНАЛИЗА ПРОХОЖДЕНИЯ
ВОЛН МИЛЛИМЕТРОВОГО ДИАПАЗОНА В ДОЖДЕ
А.А. Афонин
Аннотация
Приведено описание метода Т-матриц, используемого для
расчета рассеяния волн миллиметрового диапазона в дожде с
учетом несферичности реальных капель.
В настоящее время большой интерес представляют исследования в области прохождения радиоволн миллиметрового (ММ)
диапазона в приземной атмосфере. Переход на использование
этого диапазона объективно оправдан, в связи с перспективами
применения этого участка электромагнитного спектра [1] .
Однако на эффективность систем ММ диапазона сильное
влияние оказывает состояние атмосферы. Наличие различных
гидрометеоров на трассе приводит как к ослаблению радиоволн,
так и рассеянию их во всех направлениях и преобразованию исходной поляризации. Как показали экспериментальные исследования, наиболее существенное воздействие на ММ излучение
оказывают осадки в виде дождя. Поэтому изучение рассеивающих свойств частиц дождя является актуальной задачей. Эксперименты показали, что форма падающей капли (особенно крупного размера) далека от сферической. Первоначальные исследования взаимодействия ММ излучения с каплями дождя были
выполнены для сферических частиц. Это так называемая задача
Ми, решение которой заключалось в разложении полей, падающих на сферическую частицу по сферическим гармоникам. Затем
эта теория была распространена на эллипсоидальную форму частицы введением малых возмущений. Стоит отметить, что такое
преобразование решения Ми дает малую ошибку при приемлемом времени вычисления только для частиц, мало отличающихся
по форме от шара. Это ограничивает применение данных решений только малыми каплями, где такое отличие форм невелико.
При переходе же к более реалистичной форме – сплюснутого
сфероида с вогнутым основанием (так называемая форма Пруппахера-Питера) использование решения Ми практически невоз56
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
можно. И это особенно заметно для длин волн соизмеримых с
геометрическими размерами капель дождя.
Таким образом, первой проблемой при математическом моделировании взаимодействия волн ММ диапазона с реальной каплей дождя является как можно более точная математическая модель геометрической формы этой капли.
Каплю сложной формы можно описать рядом вида:
 ∞

r (θ ) = a0 1+ cn cos ( nθ ) . .
 n=0

(1)
Данное описание достаточно точно, но не очень удобно при
практических расчетах, так как выражения с таким представлением трудно преобразовывать в символьном виде (это часто требуется для увеличения скорости обсчета модели).
Недавние исследования [2,3] позволили уточнить данные о
форме капель дождя и аппроксимировать ее следующим выражением:
v


r(θ) = a(1 − v)1 +
sin2 θ ,
 1− v

(2)
где a = 1.11582 a 0 , a0 - эффективный радиус капли
π
v = v1 = −1.375447 ⋅ 10 − 2 + 6.543960 ⋅ 10 − 2 a , 0 ≤ θ ≤ , 0 ≤ φ ≤ 2π ,
v = v 2 = −7.239211 ⋅ 10 − 2 + 1.827561 ⋅ 10 −1 a ,
π
2
2
≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2π ,
Как уже было указано, для существенно несферических частиц решение Ми не подходит. Поэтому были предложены другие
методы, которые позволяли решать такие задачи. Одним из них и
стал метод Т-матриц.
Задача описания взаимодействия электромагнитной волны с
гомогенным диэлектрическим рассеивателем, ограниченным достаточно гладкой поверхностью S, может быть преобразована в
эквивалентную задачу для поверхностных токов. Это возможно,
т.к. поле внутри области, ограниченной поверхностью S, может
быть представлено распределением электрических и магнитных
токов на S. Так как пространство вне рассеивателя свободное, то
А.А. Афонин
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
компоненты рассеянного поля Es и Hs могут рассматриваться как
произведенные эквивалентными источниками на S (эти источники должны образовывать нулевое поле внутри S). Для падающего
поля внутренняя область рассеивающего тела исходно является
также свободной. Поэтому мы можем создать на поверхности S
другой набор источников, которые создают отображение падающей волны внутри S и нулевое поле вне S. Применяя принцип суперпозиции (не забывая также и падающие поля), мы получаем
следующие интегральные уравнения:
Ei (r ) + ∇ ×  (n × E+ )g (kR)dS − ∇ × ∇ × 
S
S
1
jωε 0
(n × H )g(kR)dS = E (r) ,
+
s
для r вне S,
(3)
Ei (r ) + ∇ ×  (n × E+ )g (kR)dS − ∇ × ∇ × 
S
S
1
jωε 0
(n × H )g(kR)dS = 0 ,
+
для r внутри S,
где E+ и H+ - электрические и магнитные поля на множестве
внешних точек S, Ei(r)- падающее поле, Es(r)- рассеянное поле,
n - внешняя нормаль к S, g(kR) - функции Грина, где R = r − r ' .
Рис. 1. Вид рассеивающей капли
(S - поверхность, ограничивающая каплю)
Уравнение (3) решают следующим образом. Для r внутри S1
(см. рис. 1) можно разложить падающее поле и функции Грина на
соответствующие векторные сферические функции от r. (На
58
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
практике ряды разложения, конечно же, должны быть конечны.)
Это приводит к набору матричных уравнений, из которых могут
быть получены (n × E+ ) и (n × H + ) . При аналитических вычислениях было показано, что (3) фактически удовлетворяет всем r внутри S. Они могут быть подставлены обратно в (3) с r вне S, чтобы
получить поле рассеяния. Практически надо решить системы линейных уравнений, содержащих интегралы по S от произведений
сферических гармонических функций.
Геометрия задачи взаимодействия приведена на рис. 2.
Рис. 2. Геометрия задачи. α – угол наклона капли.
Для линейно поляризованной плоской падающей волны,
распространяющейся вдоль оси z, можно записать:
Ei ( z ) = E0 e jkz ei ,
(4)
где E0 - амплитуда плоской волны, ei - единичный вектор, показывающий направление поляризации падающей волны (может
быть принято по оси x или по y), k - волновое число для свободного пространства. Тогда рассеянное поле в точке r можно представить в следующей форме:
e ikr
E s (r ) = f (o, i )
,
(5)
r
А.А. Афонин
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где f (o, i ) - амплитуда рассеяния, которая содержит информацию
об амплитуде, фазе и поляризации рассеянного излучения,
i и o - соответственно направление падения и направление
наблюдения.
Проекции Es⊥ и Es|| связаны с Ei⊥ и Ei|| следующим соотношением:
 Es⊥  e jkr
E  =
 s||  r
f12   Ei⊥ 
 
f 22   Ei|| 
 f11
f
 21
(6)
Запишем падающую волну в виде следующего разложения:
E i (r ) =  Dν [aν M ν1 (k r ) + bν N ν1 (k r )],
∞
(7)
ν =1
где ν - комбинированный символ, содержащий в себе σ, m и n
(σ принимает значение e (четное) или o (нечетное)),
M1ν и N1ν - сферические гармоники полей,
Dν - константа нормализации, определяемая в виде:
Dν = χ m
(2n + 1)(n − m)! , χ m = 1
4n(n + 1)(n + m )! χ m = 2
при m = 0
при m > 0
.
Из (7) можно найти коэффициенты разложения aν и bν :
 ∂Pnm (cosα )
⋅ Eix
−
n+1 
α
∂
bν = be = j 
m
mn
(cosα ) ⋅ E
m
P
⋅
n
o
−
iy

sinα
m⋅ Pnm (cosα )
⋅ Eix
 sinα
n
aν = ao = j 
m
mn
(cosα ) ⋅ E
∂
P
n
e
−
iy

∂α
(8)
Зная эти значения, теперь можно найти коэффициенты разложения для внутреннего поля, как показано в [4], используя следующую систему матричных уравнений:
(K + (ε ) J )c + (L + (ε ) I )d
(I + (ε ) L)c + (J + (ε ) K )d
1
r
1
r
где
60
2
1
2
μ
r
1
μ
r
2
2
μ
= − jaν
μ
= − jbν ,
ν , μ = 1,2,, N
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
(9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
I=
k2
J=
π
k2
π
 n ⋅ Mν (kr') × M μ (k ' r')dS
3
S
 n ⋅ Mν (kr') × N μ (k ' r')dS
3
K=
1
1
,
L=
S
k2
π
k2
π
 n ⋅ Nν (kr') × M μ (k ' r')dS
3
1
S
 n ⋅ Nν (kr') × N μ (k ' r')dS
3
1
,
S
а ε r = ε ε 0 , n - единичный вектор нормали к поверхности S,
r’ - радиальный вектор от начала координат до поверхности S.
Сферические гармоники полей M и N определяются как решение векторного волнового уравнения поля для сферических
координат. Элементарные векторные решения даются следующим образом:
sin (mφ )
m
⋅ z n1, 3 (kr ) ⋅ Pnm (cosθ ) ⋅
⋅ eθ −
M 1e, 3 =

mn
(
)
m
φ
cos
θ
cos
o
cos(mφ )
∂ m
Pn (cosθ ) ⋅
− z n1,3 (kr ) ⋅
⋅ eφ
sin (mφ )
∂θ
N 1e, 3
o
mn
=
cos(mφ )
n(n + 1) 1, 3
⋅ z n (kr ) ⋅ Pnm (cosθ ) ⋅
⋅ er +
,
sin (mφ )
kr
cos(mφ )
∂ m
1 ∂
Pn (cosθ ) ⋅
⋅ eθ 
+ ⋅ [r ⋅ z n1, 3 (kr )]⋅
sin (mφ )
kr ∂r
∂θ
sin (mφ )
m
∂
⋅ [r ⋅ z n1, 3 (kr )]⋅ Pnm (cosθ ) ⋅
⋅ eφ

cos(mφ )
kr ⋅ sin θ ∂r
(10)
где σ принимает значение e (четное) или o (нечетное),
Pnm (cos θ ) - присоединенные функции Лежандра,
z 1n , 3 (kr ) - сферические функции Бесселя.
Таким образом, из (9) с помощью (10) находятся коэффициенты cμ и dμ, через которые можно определить поле внутри рассеивателя следующим образом:
E (k ' r ) =
[c μ M μ (k ' r ) + d μ N μ (k ' r )],

μ
N
1
(11)
1
=1
где μ объединяет индексы σ, m и n, k ' = (ε r ) 2 k , k = ω (μ 0ε 0 ) 2 .
Соответственно поле H внутри S запишется так:
1
А.А. Афонин
1
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
H(k' r) =
1
jωμ0
[∇ × E(k' r)] =
[cμ∇ × Mμ (k' r) +
jωμ μ
N
1
0
1
=1
.
ε N
+ dμ ∇ × Nμ (k' r)] = − j [cμ N1μ (k' r) + dμ M1μ (k' r)]
μ0 μ=1
1
(12)
Аналогично разложение для рассеянного поля выглядит
следующим образом:
E s (k r ) =
[ pν M ν (kr ) + qν N ν (kr )],

ν
N
3
3
(13)
=1
где r вне поверхности S, ограничивающей рассеиватель, а коэффициенты определяются выражениями:
{[
] [
] }
= − jD  {[I ' + (ε ) L ' ]c + [J ' + (ε ) K ' ]d }
N
pν = − jDν  K ' + (ε r ) 2 J ' c μ + L ' + (ε r ) 2 I ' d μ
1
1
μ =1
N
qν
ν
1
r
1
2
μ
μ =1
r
2
(14)
μ
где
I '=
J '=
k2
π
k
1
1
 n ⋅ Mν (kr') × M μ (k ' r')dS
S
2
π
1
1
 n ⋅ Mν (kr') × N μ (k ' r')dS
S
K '=
,
L' =
k2
π
k2
π
 n ⋅ Nν (kr') × M μ (k ' r')dS
1
1
S
1
1
 n ⋅ Nν (kr') × N μ (k ' r')dS
.
S
Теоретически точное разрешение этой задачи рассеяния
требует решения бесконечной системы уравнений. Конечная система уравнений – это уступка практическим соображениям. При
этом разложение полей по сферическим функциям обрезано на
члене с номером N. Это конечное разложение поля приводит к
сокращению количества уравнений в системе (9) от бесконечного
до 2N штук. Таким образом, получена усеченная система уравнений. Эта система полная, т.е., решая эти уравнения численно,
можно получить нужные нам результаты. Отмечено, что разложения в ряд, используемые при решении данной задачи, сходятся
быстро и достаточно брать N = 6 [5].
Каждый из индексов μ и ν принимает значения от 1 до N и
связан с функциями разложения полей. Как уже было сказано,
они включают в себя индексы σ, m и n, где σ принимает значения
62
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
e (четное) или o (нечетное), а m и n – индексы в функциях Бесселя и Лежандра. Чтобы различать разложения по μ и ν, индексы,
которые в них заключены, можно записать нештрихованными и
штрихованными соответственно, то есть в ν – σ, m и n, а в μ – σ’,
m’ и n’, где схема пробегания индексов следующая:
σmn = e01, o01, e11, o11, e02, o02, e12, o12, e22, o22, e03, o03, …
где e – четное или o – нечетное.
Используя метод Т-матриц, можно получить множество характеристик, отражающих взаимодействие поля с реальными каплями дождя. Например, на следующем графике приведены угловые зависимости [6] нормированных сополярных и кроссполяризационных значений дифференциального сечения рассеяния
для капель с эффективными радиусами a0 = 1 мм (пунктирная линия) и a0 = 3 мм (сплошная линия). Длина волны падающего излучения λ = 3 мм , поляризация - Eiy . Угол наклона частиц
α =π 6.
120
150
90
1
1 .10
150
30
0.01
180
120
60
4
0
210
60
30
0.01
1 .10
180
4
0
210
330
240
90
1
330
240
300
300
270
270
(а)
(б)
Рис. 3. Зависимости дифференциального сечения рассеяния для
несферической капли дождя от угла θ s при фиксированном угле φ s = π 3
А.А. Афонин
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
[1] Быстров Р.П., Самойлов С.И., Соколов А.В. Применение миллиметровых волн в системах связи // Зарубежная радиоэлектроника.
Успехи современной радиоэлектроники. – 1999. – № 10/ – С. 60-71.
[2] Li L.W., Kooi P.S., Leong M.S., Yeo T.S. and Gao M.Z. Microwave Attenuation by Realistically Distorted Raindrops, Part I – Theory
// IEEE Trans. Antennas and Propagation. – 1995. – Vol. 43. – № 8. –
P. 811-821.
[3] Lin D.-P., Chen H.-Y. Volume Integral Equation Solution of Extinction Cross Section by Raindrops in the Range 0.6-100Ghz // IEEE
Trans. Antennas and Propagation. – 2001. – Vol. 49. – № 3. – P. 494-499.
[4] Yeh C., Woo R., Armsrtong J. W. and Ishimaru A. Scattering by
Pruppacher- Pitter raindrops at 30 GHz // Radio Sci. – 1982. – 4(17). –
Р. 757-765.
[5] Waterman P.C. Analytical consequences of the extended boundary
conditions // Wave Motion 5, North-Holland Publishing Company –
1983. – Р. 273-295.
[6] Afonin А.А., Тimofeev V.А. MM-wave rain scattering with regard
to raindrop nonsphericity. // Proceedings 14th Int. Crimean Conference
“CriМiCo 2004", Севастополь, 2004. – P. 781-782.
64
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СПЛАЙН-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ НЕСТЕХИОМЕТРИЧЕСКИХ ФАЗ
Р.Ф. Балабаева, В.Е. Балабаев
Аннотация
С помощью сплайн – метода получены зависимости термодинамических функций от состава в области гомогенности двуокиси ванадия. Эти результаты могут быт использованы для Банка данных термодинамических свойств твердых фаз переменного
состава.
Одной из задач создаваемого в настоящее время Банка данных термодинамических свойств твердых фаз переменного состава является представление функциональных зависимостей
ΔGi0 , ΔH i0 и ΔS i0 от состава i-го компонента. Наиболее целесообразным способом хранения термодинамических зависимостей
является таблично-аналитический метод. До настоящего времени
этот метод практически не использовался в работах по экспери0
0
0
ментальному определению значений ΔGi , ΔH i и ΔS i оксидных
фаз переменного состава. В работе [1] были определены парциальные термодинамические свойства для отдельных оксидов в
области гомогенности Vo2± x . Попытка использования современных модельных представлений о дефектной структуре Vo2± x для
0
0
0
описания зависимостей ΔGO2 ( x) , ΔH O2 ( x) и ΔS O2 ( x) [2] показала,
что из-за смены типа дефектов по мере отклонения от стехиометрического состава вся область гомогенности не может быть описана едиными функциональными зависимостями.
Целью данной работы является представление зависимостей
парциальных термодинамических функций кислорода для оксидов в области Vo2± x в аналитической форме и анализ погрешностей рассчитанных значений функций.
Предварительные исследования экспериментальных зависи0
0
мостей ΔH O2 ( x) и ΔS O2 ( x) оксидных фаз показали, что они плохо
интерполируются различными полиномами во всем интервале
концентраций, т.к. эти зависимости имеют особенности в некотоР.Ф. Балабаева, В.Е. Балабаев
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рых точках. Интерполяция полиномами Чебышева возможна
лишь при специально подобранных точках (точках Чебышева), а
экспериментальные данные, полученные в указанной работе, не
составляли систему таких точек. Интерполяция многочленом Лагранжа привела к тому, что для составов, совпадающих с экспериментальными значениями, мы имели абсолютное совпадение
0
0
полученных значений функций ΔH O2 ( x) и ΔS O2 ( x) с экспериментальными данными, а между этими значениями – резкие осцилляции. В силу этого предпочтение было отдано методу сплайнфункций, который широко используется в настоящее время. Этот
метод не требует специально выбранной системы экспериментальных точек (составов оксидов), а также лишен недостатка,
присущего интерполяционному методу Лагранжа. На практике в
основном используются линейные, параболические и кубические
сплайны [3].
Для полученных функциональных зависимостей парциальных термодинамических функций кислорода от состава оксида
ΔGO0 2 ( x) , ΔH O02 ( x) и ΔS O02 ( x) в аналитической форме мы использовали параболические и кусочно-линейные сплайны. Выбор параболических сплайнов объяснялся тем, что для них не нужны
добавочные подгоночные параметры. Кроме того, предполагалось, что при исследовании параболических сплайнов не будет
наблюдаться осцилляций, как в случае кубических сплайнов. Из
графических соображений на концах области гомогенности искомые функции приближали кусочно-линейными сплайнами, а на
остальных участках – параболическими сплайнами.
В таблице представлены в качестве примера эксперимен0
тальные значения ΔGO2 при 1200 К [1] и значения, вычисленные
по восстановленным зависимостям. С учетом погрешностей в
0
0
0
значениях функций Y ( ΔGO2 , ΔH O2 и ΔS O2 ) максимальная погрешность вычисленных значений функций может быть рассчитана по формуле:
66
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 dY 
δ x + δ (Y эксп. )
 dx 
δ =
0
- ΔGO2 ± δ , ккал
-3
х в Vo2± x ·10
1.989
1.991
1.992
1.995
2.000
2.006
2.008
2.016
вычисл.
43.3 ± 0.5
42.9 ± 1.1
42.2± 1.8
38.3 ± 3.0
30.8± 3.0
23.7 ± 2.0
21.8 ± 1.8
18.1 ± 2.1
эксперим.
43.3 ± 0.2
42.9 ± 0.2
30.8 ± 0.3
18.1 ± 0.2
и составляет от 2% на границах области гомогенности до 20%
вблизи стехиометрического состава. Для оксида Vo2.000 погрешность максимальна и составляет около 100%.
Сравнение полученных аппроксимированных данных с экспериментальными показывает, что наибольшей погрешностью
обладают данные вблизи стехиометрии оксида. В связи с этим
необходимо уточнение экспериментальных данных для оксидов
при малых отклонениях от стехиометрии с повышением точности
определения состава образцов. Кроме того, при планировании
эксперимента желательно предусмотреть, чтобы экспериментальные точки представляли собой систему точек Чебышева.
Список литературы
[1] Балабаева Р.Ф., Васильева И.А., Герасимов Л.И. // ДАН
СССР. – 1974. – 217, №5. – С. 1103 – 1106.
[2] Балабаева Р.Ф., Васильева И.А., Герасимов Л.И. // ДАН
СССР. – 1975, 221. – №1. – С. 113 – 116.
[3] Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. – М.: Наука, 1976.
Р.Ф. Балабаева, В.Е. Балабаев
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
ДВУХКОЛЬЦЕВОЙ ЦИФРОВОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ
С АСТАТИЗМОМ 2-ГО ПОРЯДКА
М.В. Башмаков, И.Н. Душин, В.Г. Шушков
Аннотация
Статья посвящена исследованию статистических характеристик двухкольцевой следящей системы в условиях комбинированных случайных воздействий. При построении двухкольцевой
системы за основу взята методика построения эквивалентных
систем. Это позволяет построить двухкольцевую систему, обладающую помехоустойчивостью, близкой к физически не реализуемой однокольцевой системе, что приводит к улучшению статистических характеристик данной системы по сравнению с аналогичными однокольцевыми системами.
Цифровые следящие системы относятся к классу систем, в
которых реализован так называемый одношаговый рекуррентный
алгоритм фильтрации. Суть его заключается в том, что после
формирования на очередном шаге оценки отслеживаемого параметра не делается попытки ее улучшения и эта оценка принимается за истинное значение параметра на данном шаге. Применительно к цифровым астатическим следящим системам это связано
с задержкой сигнала в кольце слежения на один такт, возникающей из-за наличия интегрирующего звена с передаточной функцией 1/(z-1). Задержка приводит к тому, что с уменьшением частоты дискретизации (частота дискретизации согласуется с полосой обрабатываемого сигнала) у системы ухудшаются
точностные характеристики. Например, растет дисперсия ошибки
слежения [1]. Использование интегрирующего звена с передаточной функцией вида z/(z-1) снимает эту проблему, но возникает
вопрос о реализуемости такой системы.
Для реализации преимуществ необходимо обойти проблему
физической нереализуемости. Выходом из сложившегося положения является использование двухкольцевой схемы. Доказано,
что для них можно получить системную функцию, отличающуюся от системной функции однокольцевой нереализуемой системы
на запаздывающий множитель z-k [2]:
68
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
W1 ( z ) = z k ⋅ W2 ( z ) ,
(1)
где W1 ( z ) , W2 ( z ) - системные функции однокольцевой и двухкольцевой систем, величина запаздывания k определяется порядком однокольцевой системы.
θ(k)
x1(k)
F(·)
S
z −1
z-1
b
x2(k)
F(·)
1
z −1
M1
M2
z-1
Рис. 1. Функциональная схема двухкольцевой следящей системы
На рис. 1 приведена обобщенная схема ряда двухкольцевых
цифровых следящих систем с астатизмом 2-го порядка (систем
автоматического слежения за угловыми координатами, автоматического слежения за дальностью, за фазой). Нелинейная функция F(·) описывает характеристику соответствующего дискриминатора (углового, временного, фазового). Система эквивалентна
однокольцевой цифровой нереализуемой системе 2-го порядка.
При ее синтезе и анализе был использован алгоритм, включающий в себя следующие этапы [2]:
1. Синтезируется системная функция однокольцевой следящей системы для ограниченных случайных воздействий (для этого может быть использован аппарат оптимальной линейной
фильтрации).
2. Осуществляется переход к системной функции физически
нереализуемой цифровой следящей системы.
М.В. Башмаков, И.Н. Душин, В.Г. Шушков
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Строится системная функция двухкольцевой системы по
системной функции однокольцевой физически нереализуемой
системы.
4. На основе решения векторного уравнения КолмогороваЧепмена и метода «продолжения по параметру» выполняется
коррекция параметров системной функции с учетом произвольных по величине случайных воздействий.
Синтезированная системная функция двухкольцевой следящей системы имеет следующий вид:
( z − 1) 2 ((1 − b) z − D )
,
W2 ( z ) =
2
z ( z − 1) z + ( M 1 + M 2 − 2) + 1 − M 2
где D = 1 − S .
(
)
(2)
В соответствии с (2) эквивалентность (1) для такой системы
будет выполнена при условии:
K1

M
=
 1 K +1
1

K 2 + K1

M
=
 2
K1 + 1

,

K1
b =
K1 + 1

S = 1

(3)
где K1, K2 – параметры однокольцевой системы, выполняющие
функции коэффициентов форсирования двух интегрирующих
звеньев. Соответствующая система разностных уравнений в форме марковской модели имеет вид:
70
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(
)
 x1k +1 = x1k + η k − S F ( x1k ) + n k + ω н
 2
2
2
1
 x k +1 = x k + y k − (M 1 + M 2 )F ( x k ) − b F ( x k ) + n k

M
 y k +1 = y k + η k − M 1 F ( x k2 ) − (M 1 + M 2 )n k + 2 u k − x1k , (4)
S



S 
η k − S ⋅ F ( x1k ) + ω н
u k +1 = x1k + 1 −

 M2 
где nk и ηk – аддитивная и частотная шумовые составляющие
входного воздействия. От системы уравнений (4) можно перейти
к уравнению Колмогорова-Чепмена (КЧ):
Wk+1(x1, x2 , x3, x4 ) =
∞ ∞ ∞ ∞

(
)
(
)
q(x1, x2 , x3, x4 | z1, z2 , z3, z4 ) ×
−∞ −∞ −∞ −∞
×W(z1, z2 , z3, z4 )dz1dz2dz3dz4
, (5)
где Wk ( z1 , z 2 , z3 , z 4 ) – многомерная плотность распределения вероятности в k-й момент времени, q ( x1 , x2 , x3 , x4 | z1 , z 2 , z3 , z 4 ) –
плотность вероятности перехода системы из состояния
( z1 , z 2 , z3 , z 4 ) в состояние ( x1 , x2 , x3 , x4 ) .
Согласно (4), плотность вероятности перехода имеет вид:
q(x1, x2, x3, x4 | z1, z2, z3, z4 ) = q1(x1 | z1, z2, z3, z4 )q2 (x2 | z1, z2, z3, z4 )×
×q3(x3 | z1, z2, z3, z4 )q4 (x4 | z1, z2, z3, z4 )
,
(6)
где x1 = x1k +1 , x2 = xk2+1 , x3 = y k +1 , x4 = u k +1 , z1 = x1k , z 2 = xk2 ,
z3 = y k , z 4 = u k ,
q1(x1 | z1, z2 , z3, z4 ) =
M2

[x4 − z1 + S ⋅ F(z1) −ωн ] −
 x1 − z1 + S ⋅ F(z1) −ωн −
M2 − S
,
= δ
 S

[x2 − z2 − z3 + (M1 + M2 )F(z2) + b ⋅ F(z1)]
−

bM


1
М.В. Башмаков, И.Н. Душин, В.Г. Шушков
71
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
q2 ( x2 | z1, z2 , z3 , z4 ) =
 [x2 − z2 − z3 + (M1 + M 2 )F ( z2 ) + b ⋅ F ( z1 )]2 
,
=
exp −
2 2


2 2
2b σ n
2πσ n b


1


M

 x3 − z3 + M1F ( z2 ) − 2 ( z4 − z1 ) −
S


,

M2
[x4 − z1 + S ⋅ F ( z1) − ωн ] −
q3 ( x3 | z1, z2 , z3 , z4 ) = δ  −


 M2 − S

 (M 1 + M 2 )
[
]
(
)
x
z
z
M
M
F
z
b
F
z
−
−
−
+
+
(
)
+
⋅
(
)

2
2
3
1
2
2
1 


b




2
 [ x − z + S ⋅ F ( z1 ) − ω н ] 
1
q 4 ( x4 | z1 , z 2 , z 3 , z 4 ) =
exp − 4 1
.
2
 M2 − S 


2 M 2 − S 

2π σ η 


2
σ
η


 M

 M2 


2


С учетом явного вида условных ПРВ (6) уравнение КЧ (5) упрощается и преобразуется к интегральному уравнению с двукратным интегралом, для которого разработана методика численного
решения [3]. С ее помощью в работе подробно исследованы статистические характеристики ошибок слежения цифровой следящей системы. Найдены оптимальные параметры, обеспечивающие минимальные ошибки в нелинейном приближении. Показано, что и с учетом нелинейных свойств система на базе
двухкольцевой схемы обеспечивает помехоустойчивость, соизмеримую или выше аналоговой системы. Исследования выполнены для различных типов входных информационных и случайных
воздействий, представляющих собой аддитивную смесь белого
гауссового шума, случайного по частоте входного сигнала и дополнительной сосредоточенной по спектру помехи, по структуре
повторяющей входной сигнал.
В качестве примера на рис. 2 представлены зависимости
дисперсии фазовой ошибки на выходе однокольцевой и двухкольцевой следящей системы от коэффициента усиления однокольцевой системы K1 при входном воздействии в виде аддитивной смеси полезного ЧМ-сигнала (модуляция случайным процес72
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сом с дисперсией Dη) и белого гауссового шума c дисперсией Dn.
Параметры двухкольцевой системы соответствуют условию эквивалентности (3). Анализируя представленные графики, можно
также заметить, что увеличение параметра K2 приводит к более
заметному выигрышу двухкольцевого варианта рассматриваемой
схемы по сравнению с однокольцевым.
а) К2 = 0.5
б) К2 = 1
в) К2 = 1.5
Рис. 2. Зависимость дисперсии фазовой ошибки от коэффициента усиления
для Dn = Dη = 0.02 на выходе однокольцевой (I) и двухкольцевой (II)
следящих систем
М.В. Башмаков, И.Н. Душин, В.Г. Шушков
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а) K1 = 0.5
б) K1 = 1.5
Рис. 3. Среднее время до срыва слежения в однокольцевой (I)
и двухкольцевой (II) следящей системе для K2 = 1, Dn = Dη = 0,5
Рис.4. Среднее время до срыва слежения от K1 в однокольцевой (I)
и двухкольцевой (II) следящей системе для K2 = 1, Dn = Dη = 0,5
74
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 3 приведена зависимость среднего времени до срыва
в зависимости от начальных условий для больших воздействий.
Особенностью представленных графиков является пороговый характер зависимости времени до срыва от начальной разности фаз.
При этом время до срыва максимально для начальных фазовых
рассогласований из диапазона устойчивых стационарных состояний, т.е. 2πn, и минимально в окрестности неустойчивых. На
рис. 4 представлены зависимости среднего времени до срыва
слежения от параметра K1. Из данных графиков видно, что увеличение K1 приводит к уменьшению времени до срыва, что согласуется с результатами, полученными для статистических характеристик.
Из представленных результатов видно, что следящая система,
построенная на базе двухкольцевой схемы, имеет меньшую дисперсию ошибки слежения, чем аналогичная однокольцевая система. Количественный выигрыш зависит от параметров исходной
однокольцевой системы. Среднее время до срыва слежения Ncp
для двухкольцевой схемы возрастает в несколько раз. Данные
факты позволяют утверждать, что применение двухкольцевых
схем позволяет в значительной степени повысить помехоустойчивость следящих систем.
Список литературы
[1] Фомин А.Ф., Хорошавин А.И., Шелухин О.И. Аналоговые и
цифровые синхронно-фазовые измерители и демодуляторы. – М.: Радио и связь, 1987.
[2] Душин И.Н., Казаков Л.Н., Шахтарин Б.И. Статистические
характеристики двухкольцевой системы фазовой синхронизации в условиях комбинированных случайных воздействий // Радиотехника и
электроника. – 2004. Т. 49, № 9. – С. 1054-1065.
[3] Душин И.Н., Казаков Л.Н., Якимов И.М., Святный Д.А. Статистические характеристики двухкольцевой цифровой системы фазовой синхронизации в условиях комбинированных воздействий
// Электромагнитные волны и электронные системы. – 2005. – Т. 10,
№ 1-2. – С. 77-86.
М.В. Башмаков, И.Н. Душин, В.Г. Шушков
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС АКТИВНОГО
РАДИОМОНИТОРИНГА ИКАР-2
В.В. Банько, Г.Н. Полушкин, А.А. Головленков
Аннотация
О научно-технической разработке – измерительном комплексе активного радиомониторинга ИКАР-2, предназначенного
для проведения дистанционного технического контроля современных средств связи.
В связи с интенсивным развитием радиоэлектронных
средств и систем передачи информации, использующих государственный частотный ресурс в качестве транспортной базы, возникает острая необходимость проведения мероприятий технического радиоконтроля средствами, учитывающими сложную специфику работы современных систем связи в реальных условиях.
Разработанный измерительный комплекс активного радиомониторинга ИКАР-2 (Сертификат Госстандарта об утверждении
типа средств измерений RU.E.35.018.A № 6993) представляет основу станции радиоконтроля и является одним из трех измерительных средств, выпускаемых предприятиями Ярославской области. Основные области применения: контроль загрузки радиочастотного спектра, измерение параметров радиоизлучений
радиоэлектронных средств (РЭС), контроль радиоизлучений РЭС
на соответствие нормам, поиск источников радиопомех и незаконно действующих радиопередатчиков, пеленгование и локализация источников радиоизлучений.
Базой аппаратной части комплекса являются радиоприемные устройства (РПУ) и аппаратный блок ИКАР-2. Диапазон частот контроля определяется частотными диапазонами приёмников.
Блок ИКАР-2 содержит унифицированный источник питания,
блок опорных частот с возможностью внешней синхронизации,
адаптеры широко- и узкополосных радио- и НЧ сигналов, блоки
управления пеленгационной антенной и антенным коммутатором, интерфейс связи с внешними устройствами.
Аттестованная антенна, калиброванные приемники, цифровая обработка сигналов позволяют реализовать основные харак76
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
теристики комплекса в соответствии с рекомендациями Международного Союза Электросвязи [1-3]. Широкая полоса мгновенного анализа в сочетании с автоматическим режимом контроля и
пеленгации по сформированным заданиям, интеграция комплекса
с другими системами значительно расширяют информативность
данных, получаемых в процессе проведения измерений, и повышают производительность труда оператора радиоконтрольного
пункта.
Вариант структуры комплекса радиомониторинга приведен
на рис. 1.
Рис. 1. Структура комплекса радиомониторинга ИКАР-2
Базовый вариант стационарного комплекса ИКАР-2 содержит: блок ИКАР-2, два приемника, антенный коммутатор, две
измерительные антенны, пеленгационную антенну, управляющий
компьютер, принтер, систему GPS, а также средства взаимодействия территориально-разнесенных постов РКП (радиомодемы,
телефонные модемы, сетевые карты). Вариант развернутой конфигурации представлен на рис. 2.
В.В. Банько, Г.Н. Полушкин, А.А. Головленков
77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2. Вариант развернутой конфигурации стационарного комплекса
Рис. 3. Вариант компоновки комплекса
78
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Научно-исследовательский характер данной работы, оптимизация схемно-конструкторских решений, современный уровень программирования позволили достичь, а в некоторых случаях превзойти параметры технических характеристик, рекомендуемых МСЭ для данного типа измерений.
Основные технические характеристики комплекса в сравнении с рекомендуемыми значениями МСЭ [1, 2] приведены в таблице.
Основные технические характеристики комплекса
Параметр
ИКАР-2
Мгновенная полоса спектрального анализа
7 МГц
Мгновенный динамический диапазон
90 дБ
Разрешающая способность спектроанализатора
до 1 Гц
Разрешение векторного анализатора
0,1 Гц
Разрешающая способность частотомера
0,1 Гц
Погрешность измерения несущей частоты
±1х10-7
Погрешность измерения несущей частоты при син±1х10-9
хронизации от GPS приемника
Погрешность измерения коэффициента АМ
5%
Погрешность измерения девиации частоты
5%
Погрешность измерения частоты модуляции
5%
Погрешность измерения напряженности поля
+3 дБ
МСЭ
80 дБ
1 Гц
1 Гц
±1х10-7
±1х10-7
5 %;
5 %;
5 %;
+2 дБ
Программное обеспечение стационарного комплекса радиомониторинга ИКАР-2 при использовании в составе комплекса не
менее двух приемников IC-R8500 обеспечивает следующие основные функциональные возможности:
 многозадачный параллельный режим работы;
 широкополосный и узкополосный спектральный анализ;
 построение и анализ спектральных поверхностей;
 обнаружение и регистрация сигналов;
 измерение напряженности электромагнитного поля;
 измерение несущей частоты модулированного радиосигнала;
 измерение параметров и определение типа модуляции;
 запись речевых сообщений и дескремблирование;
В.В. Банько, Г.Н. Полушкин, А.А. Головленков
79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»















анализ характеристик сигналов РЭС на соответствие нормам;
поиск незарегистрированных в базе данных РЭС;
анализ загрузки частот и занятости диапазона частот;
векторные диаграммы радиоизлучений;
встроенный аппаратный частотомер;
осциллографические измерения;
обработка и документирование результатов;
управление антенными коммутаторами;
управление поворотными устройствами;
корреляционный анализ интермодуляционных помех;
взаимосвязь между постами РКП, в том числе и мобильными;
измерение, построение и отображение зон напряженности
электромагнитного поля с заданным значением;
построение карт электромагнитных помех;
пеленгование и локализация источника излучений;
GPS навигация с поддержкой электронных карт местности.
На рис. 4 в качестве иллюстрации представлен спектр сигнала частотного диапазона сотовой системы связи и детальный анализ одного из каналов. Все каналы связи помечены на верхнем
окне маркерами. На каждый маркер можно установить ограничительные линии ширины полосы излучения из справочника классов излучений. Один из каналов помечен измерительным контуром. Результаты измерения внутри выделенного контура отображаются в статусной области окна. На нижнем правом окне
представлена развернутая векторная диаграмма отмеченного излучения. Векторный анализатор позволяет определять тип и параметры модуляции, а также проводить измерения абсолютного
значения несущей частоты на модулированном сигнале.
Одной из основных функций комплекса ИКАР-2 является
построение карты наблюдения диапазона частот многоканальных
систем связи в виде двухмерной диаграммы частота–время. Она
отображает загрузку спектрального диапазона.
80
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4. Детальный анализ одного из каналов системы связи
Одним из примеров решения задач мобильного комплекса
является пеленгование с последующей локализацией источника
излучения радиосигнала. На рис. 5 изображен пример построения
зоны возможного местонахождения РЭС, полученный путем последовательного пеленгования с двух точек наблюдения.
Используемые в задачах радиоконтроля комплексы ИКАР-2,
интегрирующие функционально специализированные приборы и
системы (анализатор спектра, частотомер, осциллограф, векторный анализатор, пеленгатор, навигатор и т. п.), выводят подобные
изделия на передовые позиции средств контроля телекоммуникационных систем. Многолетний опыт эксплуатации подтверждает
это заключение.
В.В. Банько, Г.Н. Полушкин, А.А. Головленков
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 5. Локализация источника излучения на карте
Список литературы
[1] Справочник по радиоконтролю. МСЭ, 2002.
[2] Справочник по радиоконтролю / Ред. Ж. Жоржена. МСЭ,
1995.
[3] РД 45.193-2001. Руководящий документ отрасли. Оборудование станций радиоконтроля.: М.: ЦНТИ «Информсвязь», 2001.
82
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О МЕТОДЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РАСЧЕТА ВОЛНОВОГО
ТЕЧЕНИЯ БЕСКОНЕЧНО ГЛУБОКОЙ МАЛОВЯЗКОЙ
ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Д.Ф. Белоножко, А.В. Климов
Аннотация
Предложен основанный на погранслойном представлении о
строении течения принцип приближенного расчета гидродинамического течения маловязкой жидкости со свободной поверхностью.
1. Введение. Для приближенного расчета течений вязкой
жидкости, обтекающей твердые тела, подробно разработан и интенсивно используется метод пограничного слоя [1]. Однако на
пути использования идей пограничного слоя к решению задач о
расчете движения жидкости со свободной поверхностью возникают трудности, которые до сих пор не преодолены. В настоящей работе, на примере задачи о расчете движения вязкой несжимаемой бесконечно глубокой жидкости, связанном с распространением прогрессивной волны по ее свободной поверхности,
показана неправомерность формального переноса положений
классической теории пограничного слоя на случай расчета движения жидкости со свободной поверхностью. На основании
представления о погранслойном строении решения предложен
метод приближенного решения задач данного класса.
2. Постановка задачи. Примем, что несжимаемая ньютоновская жидкость с кинематической вязкостью ν , плотностью ρ
и коэффициентом поверхностного натяжения γ в декартовой
системе координат с осью Oz , направленной вертикально вверх

в поле сил тяжести g || − ez , заполняет полупространство z < 0 .
Пусть u = u ( x, z, t ) и v = v(x, z , t ) - горизонтальная и вертикальная
компоненты поля скоростей волнового движения в жидкости,
которые для простоты считаются независимыми от координаты


y , e x и ez - орты осей Ox и Oz . Тогда отклонение свободной
поверхности жидкости ξ = ξ ( x, t ) от равновесной формы в поле



сил тяжести формы z = 0 и поле скоростей U = u⋅ e x + v⋅ ez в
Д.Ф. Белоножко, А.В. Климов
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
приближении
волн
малой
амплитуды
удовлетворяют
соотношениям:
 1
 

z < 0 : ∂ tU + ∇p − ν ΔU = 0 ; ∇ ⋅ U = 0 ;
(1)
ρ
z = 0 : ∂ tξ − v = 0 ;
(2)
− ρgξ − p − 2 ρν ∂ z v + γ ∂ xxξ = 0 ;
(3)
∂ z u+ ∂ x v = 0 ;
(4)
z → −∞ :
u → 0;
v → 0.
(5)
Здесь t - время; p - добавка к равновесному значению
давления внутри жидкости; ∂ t и ∂ x – частные производные по
времени и координате.
3. Анализ точного решения. Хорошо известно, что решением линеаризованной задачи является суперпозиция волн вида [2]:
1
ξ = a exp( S t − i k x) + К .С ;
(6)
2
 u   u1   u 2 
(7)
  =   +   ;
v
v
v
   1  2 
(
)
 u1  1  − i S + 2ν k 2 exp(k z ) 
 exp( S t − i k x) + К .С .
  = a
2

v
2
 1
 S + 2ν k exp(k z ) 
(8)
 u 2  1  2 i ν k q exp(q z ) 
  = a
 exp( S t − i k x) + К .С .
2
v
(
)
−
2
k
exp
q
z
ν
2


 2
(9)
(
)
Здесь К.С. - аббревиатура термина «комплексно сопряженное
слагаемое»; a - комплексная амплитуда, определяемая из начальных условий; k - волновое число; i - мнимая единица; S - комплексная частота, связанная соотношением
84
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
q = k2 +
корнем q уравнения:
(k
S
ν
(10)
)

γ 
+ ω02 − 4ν 2 k 3q = 0 ; ω02 = gk 1 +
(11)
k 
ρ
g


Re(q ) > 0 .
(12)
С учетом (10) можно заметить, что уравнение (11) однозначно
связывает комплексную частоту S с волновым числом k и поэтому
является дисперсионным уравнение задачи. Квадрат вспомогательного параметра ω0 равен предельному значению квадрата комплексной частоты S 2 при ν → 0 . Условие (12) является правилом
отбора корней уравнения (11), имеющих физический смысл. Остальные корни этого уравнения находятся на нижних листах дисперсионного уравнения задачи. Действительная часть комплексной
частоты S имеет смысл декремента затухания волнового движения, а действительная часть характеризует циклическую частоту
волнового движения. Действительная часть q характеризует скорость затухания второй части поля скоростей (3) с глубиной.
В приближении малой вязкости имеем следующие приближенные соотношения:
(13)
S = −2νk 2 + i ω0 ;
1
ξ = a exp(k z ) exp(i(ω0 t − i k x))
(14)
2
2
+ q2
2
 u1  1  ω0 exp(k z ) 
 exp(k z ) exp(i(ω0 t − i k x)) + К .С . (15)
  = a
(
)
i
ω
exp
k
z
v
2
 1
 0

q=
1 ω
(1 + i ) .
ν
2
(16)
Интересно обратить внимание на то, что на свободной поверхности не выполняются основополагающие условия применения классической теории пограничного слоя, разработанной исключительно для случая границы жидкость - твердая стенка. ДейД.Ф. Белоножко, А.В. Климов
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ствительно, если из (7)-(9) оценить отношение производных от
комплексных компонент скорость вдоль горизонтального и вертикального направлений на свободной поверхности, то получится:
∂x u ∂x v
2k (k − q )
=
= i+ i
ν.
S
∂z u ∂z v
Продольные и поперечные производные от компонент поля
скоростей являются величинами одного порядка малости, тогда
как теория пограничного слоя вблизи твердой стенки за отправную точку расчетов принимает малость продольных производных по сравнению с поперечными. Аналогичная ситуация получается при оценке производной от давления вблизи свободной
поверхности. В результате непосредственное применение классической теории пограничного слоя [1] для решения задачи невозможно. Но сама идея о погранслойном строении решения задачи
может быть использована.
4. Принцип использования идеи пограничного слоя для
приближенного решения. Решение (6)-(9) имеет погранслойное
строение. Слагаемое (8) описывает поле скоростей в основном
течении, а (9) – погранслойная добавка к основному полю скоростей, которая существенна по сравнению с (8) только в узкой
приповерхностной области с характерной толщиной, которая в
приближении малой вязкости определяется соотношением [3]:
2ν
.
(17)
δ ~ 1 / Re(q ) =
ω
Видно, что при устремлении вязкости к нулю слой, в котором
сосредоточено слагаемое (9), вырождается в свободную поверхность, на которой к основному течению добавляется скачкообразная добавка.
Тем не менее процедура построения решения (6)-(9) изначально никаких предположений о погранслойной структуре решения не содержит. Основу решения составляет стандартная
процедура «скаляризации», в основе которой лежит теорема
Гельмгольца о возможности представления поля скоростей в виде
суммы вихревой и потенциальной
частей[4]:

U = ∇ϕ + ∇ × A .
(18)
86
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Здесь первое слагаемое – потенциальная часть течения, которая на финальном этапе решения дает вклад (8) в общее поле
скоростей, а второе слагаемое – вихревое движение, которому
соответствует погранслойная составляющая (9) общего решения.
Получается любопытный вывод. Процедура разбиения поля
скоростей на потенциальную и вихревую части оказалась процедурой разбиения искомого поля скоростей на основное и погранслойное течения. Это не случайность, а результат проявления
двух общефизических в теории движения вязкой несжимаемой
жидкости правил [1, 3-5]. Первое: границы раздела являются источником вихревого движения. Второе: интенсивность вихревого
движения быстро убывает при удалении от источника завихренности. В данном случае роль границы раздела выполняет свободная поверхность. Применение формулы (18) к полю скоростей,
подчиняющемуся законам движения вязкой несжимаемой жидкости, неявно предполагает, что вклад второго слагаемого в (18)
принципиален только вблизи свободной поверхности. Это в свою
очередь автоматически переносит второе слагаемое в разряд погранслойной части решения.
Представление о погранслойном строении течения можно
использовать сразу на начальном этапе построения приближенного решения задачи (1)-(5). Несложно сформулировать план
действий. Будем интересоваться решением (1)-(5) в приближении
малой вязкости. Пусть вязкость мала настолько, что толщина пограничного слоя исчезающе мала по сравнению с характерным
линейным масштабом движения - с длиной волны. Будем искать
решение задачи (1)-(5), полагая, что поле скоростей в подавляющей по масштабам длины волны области течения является полем
основного течения:

U = ∇ϕ .
(19)

Проявление погранслойной добавки ∇ × A в смысле ее влияния на движение будем считать малым. Примем во внимание то
физическое обстоятельство, что интенсивность вихревого движения на свободной поверхности управляется динамическим условием на касательные натяжения (4), поскольку оно является условием на производные, входящие в определение ротора скорости.
Д.Ф. Белоножко, А.В. Климов
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поэтому на этапе построения основной части решения без погранслойной поправки условие (4) не будем принимать во внимание, а все остальные условия можно удовлетворить исключительно за счет основного течения. Несложно проверить, что это
возможно: задача (1)-(5) без учета условия (4) в предположении
(19) является непротиворечивой, разрешимой и весьма простой.
Действительно, благодаря (19) уравнения движения превращаются в соотношения: Δϕ = 0 ; p = − ρ ∂ tϕ , которые существенно
упрощают дальнейшее решение. Уравнение Лапласа для потенциала ϕ разрешается бегущей волной ϕ = B exp(kz ) exp(St − i kx ) .
Подставляя это выражение вместе с формулой для давления и соотношением ξ = A exp(kz ) exp(St − i kx ) в граничные условия (2),
(3), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно комплексных постоянных A и B . Для ее нетривиальной
разрешимости нужно, чтобы равнялся нулю определитель соответствующих коэффициентов. Это условие – квадратное уравнение на S , которое легко разрешается. Легко убедиться, что для S
получается (13). Разрешая с учетом выражения для S линейные
уравнения для комплексных констант, легко получить выражения
для ξ и поля скоростей. Они полностью совпадают соотношениями (14), (15). Таким образом, описанная процедура приближенного решения дает верный в приближении малой вязкости результат.
Причем трудоемкость этого решения значительно меньше, чем затраты на полностью корректное решение (6)-(9).
Получилось, что для приближенного решения задачи при малой вязкости достаточно найти основное течение (19), не заботясь о выполнении условия (4) для касательных компонент тензора напряжений. Важно обратить внимание, что основное течение – потенциальное, но затухающее. При его поиске не
происходит перехода к идеальной невязкой жидкости. Малость
вязкости гарантируется предположением (19), а ее конечность
обеспечивается сохранением вязких слагаемых в условии (3).
Основу предложенного метода построения приближенного
расчета течения вязкой жидкости со свободной поверхностью составляют: представление о малости погранслоя при малой вязкости; заключение об управлении интенсивностью вихревого дви88
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жения через условие на касательные натяжения; допущение о
приближенном выполнении для основного течения всех условий,
кроме условия на касательные натяжения. Все эти заключения не
связаны с фактом линеаризации задачи по амплитуде волны и
могут быть использованы при решении нелинейной задачи. Аналогичное рассмотрение можно провести и для задач расчета колебаний капли, струи и жидкости со свободной поверхностью
более сложной формы. По крайней мере, при малых вязкостях,
метод может быть использован для построения приближенного
решения широкого класса задач, нелинейных по амплитуде движения свободной поверхности. Главное достоинство метода –
минимальная трудоемкость, что при решении нелинейных задач
особенно ценно.
Заключение. Предложенный приближенный метод является
первой итерацией при решении задачи со свободной поверхностью жидкости методом пограничного слоя. Вторым шагом
должно стать уточнение найденного решения с помощью определения подходящей погранслойной добавки, подправляющей найденное решение таким образом, чтобы было выполнено опущенное на первом шаге условие на касательные компоненты тензора
натяжений.
Список литературы
[1] Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука. Главная
редакция физико-математической литературы, 1974. – 712 с.
[2] Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные периодические
волны на заряженной поверхности глубокой маловязкой, электропроводной жидкости // ЖТФ. – 2004. – Т. 74. Вып. 3. – С.5-13.
[3] Бэтчелор Дж. К. Введение в динамику жидкости. Москва;
Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004. – 768 с.
[4] Марсден Дж. Е., Чорин А. Математические основы механики
жидкости. Москва; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2004. – 204 с.
[5] Фабер Т.Е. Гидроаэродинамика. М.: Постмаркет, 2001. – 560 с.
Работа выполнена при поддержке Гранта Президента РФ
для молодых докторов наук МД-1990.2005.1
Д.Ф. Белоножко, А.В. Климов
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НОВЫЙ ПОДХОД К ОЦЕНКЕ КАЧЕСТВА
JPEG ИЗОБРАЖЕНИЙ
В.А. Бекренев, Е.Ю. Саутов, В.В. Хрящев
Аннотация
Предложен метод оценки качества изображений, заключающийся в определении особенностей изображения, влияющих на
его качество. В качестве таких особенностей рассматривается
размывание границ и блочность как самые важные искажения,
возникающие в течение процесса сжатия по методу JPEG. Метод
не нуждается в наличии оригинального изображения и довольно
прост в реализации. Субъективные экспериментальные оценки
изображений, сжатых по методу JPEG, использованы для обучения алгоритма.
Введение
В последние годы всё больше возрастает потребность в разработке метода объективного измерения, который сможет предсказать качество статических и динамических изображений автоматически [1]. Такие методы могут иметь различное применение.
Во-первых, они могут быть использованы для слежения за качеством изображений в системах контроля качества. Во-вторых, эти
методы можно использовать для тестирования работы систем и
алгоритмов обработки изображений. В-третьих, они могут быть
внедрены в системы обработки изображений для оптимизации
самих алгоритмов и установочных параметров [1]. Наиболее широко используемые метрики объективного качества/искажения
изображения - это пиковое отношение сигнал/шум и среднеквадратическая ошибка, но они часто критикуются за плохую корреляцию с визуально воспринимаемым качеством [2]. За последнее
время сделано большое количество попыток разработки новых
метрик объективной оценки качества изображений, использующих свойства зрительной системы человека [3, 4].
Большинство из предложенных методов оценки качества
изображений требуют наличия оригинала изображения как эталона [5, 6]. Однако известно, что человек может легко оценить
качество изображения без использования эталонного изображе-
90
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ния. Разработка алгоритма объективного неэталонного измерения
качества – очень трудная задача. Это в основном вызвано неполным пониманием работы зрительной системы человека. Считается, что эффективная неэталонная модель оценки качества изображения возможна только при наличии априорной информации
о типах искажений изображения. Несмотря на относительно небольшое предлагаемое в литературе число методов, задача неэталонной оценки качества изображений привлекает в последние годы повышенный интерес.
Объективная неэталонная оценка качества
JPEG является технологией сжатия изображений, основанной
на дискретном косинусном преобразовании. Преобразование
осуществляется в блоках изображения размером 8x8 пикселей.
JPEG является технологией сжатия с потерями, это обусловлено
квантованием значений внутри каждого блока пикселей и удалением высокочастотных компонент дискретного косинусного преобразования. В связи с этим в изображениях, сжатых с помощью
метода JPEG, наблюдаются два вида искажений: блочность и
размытие границ. В определении степени влияния данных искажающих факторов на изображение и заключается оценка качества JPEG изображений.
Одним из способов исследования влияния блочности и размытия является перевод изображения в частотную область с использованием алгоритмов быстрого преобразования Фурье. Обоx (m, n ),
значим
исследуемое
изображение
как
где
m ∈ [1, M ], n ∈ [1, N ] , и вычислим разницу между соседними пикселями в каждой строке изображения:
d h (m, n ) = x (m, n + 1) − x (m, n ) ,
где m - строки, n- столбцы.
Пусть f m (n ) = d h (m, n ) будет одномерным сигналом для фиксированного значения m. Если вычисляется энергетический
спектр f m (n ) для всех значений m (m ∈ [1, M ]) и эти значения усредняются, то получается оценка энергетического спектра Ph(l)
В.А. Бекренев, Е.Ю. Саутов, В.В. Хрящев
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
для данного изображения. С помощью данной характеристики
можно распознавать эффекты блочности в изображении, проявляющиеся в виде пиков на различных частотах. Эффекты размытия границ можно оценить по сдвигу энергии из области высоких
частот в область низких частот. Недостатком данного метода является использование алгоритма быстрого преобразования Фурье, так как оно занимает длительное время и требует значительных ресурсов памяти.
В работе предлагается использовать более простой способ
(менее вычислительно затратный и не требующий большого количества памяти) оценки качества JPEG изображений. Общая
схема алгоритма приведена на рис. 1.
Параметры вычисляются последовательно сначала по строкам, потом по столбцам.
1. Вычисляется средняя разница между блоками размером 8x8 по формуле
Bh =
M [ N / 8 ]−1
1
  d h (i,8 j) .
M([N / 8] − 1) i=1 j=1
2. Оценивается энергия сигнала изображения. Оценка
проводится в два этапа, так как два фактора характеризуют энергию изображения.
а) Первый фактор – это среднее абсолютной разности между
блоками изображения
M N −1

1
8
d
(
i
,
j
)
B
−
Ah = 
 h
h.
7  M( N − 1) i=1 j=1

б) Второй фактор – это число переходов через ноль. Определяем его для n ∈ [1, N − 2]
1, если d h (m, n) пересекает ноль

zh (m, n) =  по горизонтали
.
0, в противном случае

92
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Bh
Bv
Ah
Усреднение
B +B
B= h v
2
Ah + Av
2
по вертикали
Zh
Av
Усреднение
A=
число
пересечений
через ноль
по горизон та ли
по вертикали
среднее абсолютное
разности между
блоками изображения
по горизонтали
п о верти кали
по горизонтали
средняя разница
между блоками
размером 8x8
Zv
Усреднение
Z +Z
Z= h v
2
α + βBγ Aγ Z γ
α = −254.9
β = 261.9
γ 1 = −0.0240
γ 2 = 0.0160
γ 3 = 0.064
S ∈ (1,10 )
Рис. 1. Общая схема предложенного алгоритма
Количество переходов через ноль по горизонтали может
быть определено как
В.А. Бекренев, Е.Ю. Саутов, В.В. Хрящев
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Zh =
M N−2
1
  z h (m, n) .
M( N − 2) i=1 j=1
Аналогичным образом можно вычислить те же величины по
вертикали
1.
2. a)
2. б)
N [M / 8 ]−1
1
Bv =
  d v (8i, j) ,
N([M / 8] − 1) j=1 i=1
Av =
N M −1

1
8
d v (i, j) − B v  ,



7  N(M − 1) j=1 i=1

1, если d v (m, n) пересекает ноль

zv (m, n) =  по горизонтали
,
0, в противном случае

Zv =
N M−2
1
  z v ( m, n ) .
N(M − 2) j=1 i=1
После выполнения всех операций полученные результаты
усредняются
B=
Bh + Bv
A + Av
Z + Zv
;Z= h
;A= h
.
2
2
2
Существует несколько способов комбинации данных величин для получения конечной оценки качества изображения.
Предложен следующий способ, хорошо согласующийся с субъективными оценками:
S = α + βBγ1A γ 2 Z γ 3 ,
где α, β, γ1 , γ 2 , γ 3 - параметры, которые подбирались таким образом,
чтобы результат S как можно точнее был коррелирован с субъективными оценками. Экспериментально определены следующие
значения параметров:
94
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
α = −245.9, β = 261.9,
γ 1 = −0.024, γ 2 = 0.016, γ 3 = 0.064.
Результаты моделирования
Полученная оценка S лежит в интервале от 1 до 10.
Рис. 2. Оригинальное изображение
(коэффициент сжатия – 1, S = 10)
Рис. 3. Изображение, сжатое методом JPEG
(коэффициент сжатия – 2, S = 9,9614)
В.А. Бекренев, Е.Ю. Саутов, В.В. Хрящев
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4. Изображение, сжатое методом JPEG
(коэффициент сжатия – 6, S = 8,1437)
Рис. 5. Изображение, сжатое методом JPEG
(коэффициент сжатия – 20, S = 3,9585)
96
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Как видно из рис. 2 – рис. 5, при оценке S, близкой к 10, JPEG изображение практически полностью соответствует своему
оригиналу (искажения незначительные). При уменьшении оценки
до единицы качество JPEG изображения ухудшается: становятся
заметны блочность изображения и размытие его границ.
Выводы
Разработан новый алгоритм неэталонной оценки качества
изображений, сжатых по методу JPEG. Предложенный алгоритм
не требует больших вычислительных затрат и ресурсов памяти.
Он может быть использован в системах обработки изображений в
качестве средства автоматического контроля качества. Общий
принцип представленного метода может быть также использован
для разработки алгоритма неэталонной оценки качества видео,
сжатого методом H.26x/MPEG.
Список литературы
[1] Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. - М.:
Техносфера, 2005.
[2] Wang Z., Bovik A. A Universal Image Quality Index // IEEE Signal processing letters. – 2002. – V. 9, № 3. – P. 81–84.
[3] Wang Z., Bovik A., Evans B.L. Blind measurement of blocking
artifacts in images // Proc. IEEE Int. Conf. Image Proc. – 2000. – V. 3. –
P. 981–984.
[4] Liu S., Bovik A. DCT-domain blind measurement of blocking artifacts in DCT-coded images // Proc. IEEE Int. Conf. Acoust., Speech, and
Signal Processing. – 2001. – V. 3. – P. 1725–1728.
[5] Mitra S., Sicuranza G. Nonlinear Image Processing. Academic
Press, 2001.
[6] Хуанг Т.С. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений: преобразования и медианные фильтры. – М.: Радио и
Связь, 1984.
В.А. Бекренев, Е.Ю. Саутов, В.В. Хрящев
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ
ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТНОЙ МОРФОЛОГИИ
ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ИОННОГО ОБЛУЧЕНИЯ
С.Е. Биркган
Аннотация
В работе моделируется процесс возникновения волнообразного рельефа, возникающего на поверхности материалов под воздействием сфокусированного ионного излучения. Показано, что
образование волн различной формы, периода и амплитуды в широком диапазоне изменения параметров облучения может быть
объяснено в рамках математической модели системы уравнений
эрозии.
Одной из важнейших задач современной микроэлектроники
является разработка новых технологий для создания суб-100 нм
структур. Хорошую перспективу в этом направлении открывает
явление, называемое "sputter-rippling", экспериментально наблюдаемое при ионном травлении поверхностей различных материалов сфокусированным ионным лучом (см., например, работы [1,
2]). Суть явления состоит в том, что при определенных условиях
на поверхности облучаемой поверхности возникает рельеф, напоминающий волны гребнеобразной формы с периодом от десятков
нанометров до долей микрометра. При этом удается добиться высокой когерентности и большой длины возникающих волн. Задача
управления периодом, формой и глубиной возникновения таких
структур является чрезвычайно актуальной для разработки новых
технологий, основанных на данном явлении. Следует отметить,
что пока не существует удовлетворительного теоретического объяснения феномена "sputter-rippling". Обычно появление волн на
поверхности, распыляемой ионным потоком, связывают с так называемой морфологической неустойчивостью, объясняемой в
рамках модели Зигмунда [3], которая послужила физической основой математических моделей Бредли-Харпера [4], КурамотоСивашинского [5] и Кадара-Паризи-Чанга [6]. Эти модели представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных второго - четвертого порядка по пространственным переменным и построены таким образом, что допускают существова98
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ние и рост амплитуды некоторых периодически модулированных
начальных поверхностей. Отметим, что экспериментально наблюдаемый периодический рельеф в большинстве случаев имеет
гребнеобразную, негладкую форму, содержащую углы (кромки).
Во избежание дополнительных сложностей для описания таких
режимов более естественным является использование дифференциальных уравнений, не содержащих высших производных. Кроме того, при компьютерном моделировании, использующем численные методы решения дифференциальных уравнений, наличие
старших производных существенно усложняет задачу.
Известно, что процесс ионного распыления может быть описан уравнением эйконала [7], известным из геометрической оптики и являющимся одним из классических уравнений математической физики. Это нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка гиперболического типа, так
же как и его частный случай, - уравнение Вандерворста-Элст [8],
успешно использовались ранее для моделирования распыления
поверхностей различной формы стационарным ионным потоком
[9-10]. В работах [11-12] эти уравнения были использованы для
моделирования процесса распыления неоднородным и нестационарным лучом. Как известно из теории нелинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа (см., например, [13]),
их решения могут быть определены единственным образом лишь
локально. Определение решений для больших значений времени
приводит к необходимости выбора между несколькими возможными продолжениями. При этом выбор нужного продолжения
может быть осуществлен лишь из физических соображений. В
частности, в задачах газодинамики такими соображениями являются законы сохранения, которые приводят к появлению разрывных решений этих задач – ударным волнам. В рассматриваемой
здесь задаче проблема выбора нужного продолжения может быть
решена из соображений непрерывности распыляемой поверхности. Примеры, в которых возникает отмеченная неединственность решений (появление петель) и методы устранения этой
проблемы указаны в работах [11, 12], где показано также, что образование изломов или кромок поверхности при распылении связано именно с нарушением единственности решений.
С.Е. Биркган
99
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Определенное неудобство при использовании уравнений эйконала и Вандерворста-Элст вызывает асимметрия пространственных переменных, возникающая при их решении. Эта проблема
может быть решена переходом к системе уравнений эрозии, описывающей тот же физический процесс, но использующей параметрический способ представления решений, определяющих поверхность. Ниже будет приведен вывод системы уравнений эрозии
и с помощью ее численного решения показано существование решений, моделирующих волнообразный и "sputter-rippling" рельефы при условиях, аналогичных экспериментальным.
1. Вывод системы уравнений эрозии. Рассмотрим процесс
распыления поверхности твердого тела потоком ионов, ограничившись, для простоты, случаем двух пространственных переменных. Схема процесса показана на рис. 1, где
изображены последовательные положения исследуемой поверхности в
моменты времени t и
t + Δt , через Δn обозначено смещение рассматРис. 1. Схема процесса ионного
риваемой точки поверхраспыления
ности вдоль локальной

нормали n за время Δt , а через Δx, Δz - проекции смещения Δn
на координатные оси Ox и Oz , соответственно. В дальнейшем
будут использоваться следующие обозначения:
- J = J ( t ) - управляемая интенсивность ионного потока,
- Θ0 = Θ0 ( t ) - управляемый угол между направлением бомбардировки и положительным направлением оси Oz,
- Θ = Θ ( t ) - угол между локальной нормалью к поверхности и
осью Oz в момент времени t,
- Y ( Θ ) - коэффициент распыления (количество выбитых атомов на один ион)
100
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- ρ - атомная плотность распыляемого вещества (количество
атомов в единице объема).
Поскольку плотность ионного потока, падающего на поверхность под углом ( Θ0 − Θ ) к локальной нормали, равна
J cos ( Θ0 − Θ ) , то изменение Δn границы вдоль нормали может
быть рассчитано по формуле
J
(1)
Δn = − cos ( Θ0 − Θ ) Y ( Θ0 − Θ ) Δt .
ρ
Полагая
V (θ ) =
J
ρ
cos (θ ) Y (θ ) ,
запишем равенство (1) в виде
Δn = −V ( Θ0 − Θ ) Δt .
(2)
Из рис. 1 ясно, что проекции Δx и Δz величины Δn на координатные оси могут быть найдены из соотношений
Δx = −Δn sin Θ ,
(3)
Δz = Δn cos Θ .
Пусть исследуемая поверхность задана системой уравнений
 x = x(t , s ),
(4)
0 ≤ s ≤ s0 , t ≥ 0 .

z
z
t
s
=
(
,
),

Считая функции x(t , s ), z (t , s )) дифференцируемыми, выпишем формулы для их приращений
∂x
∂x

Δ
x
=
x
t
+
Δ
t
,
s
+
Δ
s
−
x
t
,
s
=
Δ
t
+
Δs + o (Δt ) 2 + (Δs ) 2 ,
(
)
(
)

∂t
∂s

Δz = z ( t + Δt , s + Δs ) − z ( t , s ) = ∂z Δt + ∂z Δs + o (Δt ) 2 + (Δs ) 2 .

∂t
∂s
(
(
)
)
Отсюда с учетом равенств (2), (3) получим соотношения
∂x
 ∂x
Δ
t
+
Δs + o (Δt ) 2 + (Δs ) 2 = V ( Θ0 − Θ ) sin Θ Δt ,
 ∂t
∂s
(5)

∂
∂
z
z
2
2
 Δt + Δs + o (Δt ) + (Δs ) = −V ( Θ − Θ ) cos Θ Δt .
0
∂s
 ∂t
Отметим, что в последней системе Δs зависит от Δt таким
образом, что рассматриваемая точка границы поверхности, коор-
(
(
С.Е. Биркган
)
)
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
динаты которой получают приращения Δx и Δz , перемещается
вдоль своей локальной нормали. Предполагая существование
предела
ds
Δs
= lim
,
dt Δt →0 Δt
разделим каждое из уравнений (5) на Δt и перейдем к пределу
при Δt → 0 . В результате получим систему
 ∂x ∂x ds
 ∂t + ∂s dt = V ( Θ0 − Θ ) sin Θ ,
(6)

∂
∂
z
z
ds
 +
= −V ( Θ0 − Θ ) cos Θ .
 ∂t ∂s dt
Поскольку для любого t ≥ 0 соотношения (4) определяют поверхность, заданную параметрически, то имеет место равенство
∂x
∂z
sin Θ − cos Θ = 0.
∂s
∂s
Умножая первое уравнение системы (6) на sin Θ , второе на
cosΘ и вычитая из первого полученного равенства второе, с учетом последней формулы получим
∂x
∂z
sin Θ − cos Θ = V ( Θ0 − Θ ) .
∂t
∂t
Объединяя два последних соотношения, придем к системе
уравнений эрозии
∂z
 ∂x
Θ
−
sin
cos Θ = V ( Θ0 − Θ ) ,
 ∂t
∂t
(7)

∂
∂
x
z
 sin Θ − cos Θ = 0.
∂s
 ∂s
Основным достоинством полученной системы является то,
что так же, как и уравнение эйконала, она описывает процесс
распыления поверхности общего вида. В то же время, в отличие
от этого уравнения, система (7) определяет поверхность в явной
форме (4), причем, как будет показано ниже, функции x = x(t , s ) ,
z = z (t , s ) могут быть найдены аналитически
2. Решение системы уравнений эрозии. Пусть теперь поверхность, заданная формулами (4), однозначно проектируется на
102
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ось Ox, тогда она может быть определена уравнением z = z (t , x) .
Полагая в этом случае s = x , приведем систему (7) к виду
V ( Θ0 − Θ )
 ∂z
=
−
,

∂t
cos Θ
(8)

∂
z
 = tg Θ.
 ∂x
Считая, для простоты, ионный поток однородным, продифференцируем первое равенство в (8) по x. После упрощений получим
∂
∂  V ( Θ0 − Θ )  ∂Θ
.
(9)
( tg Θ ) = − 

∂t
∂Θ  cos Θ  ∂x
Выполняя дифференцирование в левой части, придем к формуле
∂Θ
∂  V ( Θ0 − Θ )  ∂Θ
= − cos 2 Θ
.


∂t
∂Θ  cos Θ  ∂x
Это соотношение представляет собой уравнение ВандерворстаЭлст [8] и является частным случаем системы уравнений эрозии
(7). Преобразуя правую часть последнего равенства, получим
∂Θ
∂Θ
− V ′ ( Θ0 − Θ ) cos Θ − V ( Θ0 − Θ ) sin Θ 
= 0 . (10)
∂t
∂x
Пусть теперь исследуемая поверхность, определяемая системой
(4), задана уравнением x = x(t , z ) . Полагая в этом случае в системе уравнений эрозии (7) s = z , как и выше, придем к формуле
∂Θ
∂Θ
− V ′ ( Θ0 − Θ ) sin Θ + V ( Θ0 − Θ ) cos Θ 
= 0 . (11)
∂t
∂z
Считая, что при t=0 исследуемая поверхность определяется равенствами
x = x0 ( s ) , z = z0 ( s ) , Θ = ϕ ( s ) ,
и решая уравнения (10), (11) методом характеристик [13], получим искомую поверхность в параметрической форме
t

 x = x0 ( s ) −  V ′ ( Θ0 − ϕ ( s ) ) cos ϕ ( s ) − V ( Θ0 − ϕ ( s ) ) sin ϕ ( s )  dτ ,

0
(12)

t
 z = z ( s ) − V ′ Θ − ϕ ( s ) sin ϕ ( s ) + V Θ − ϕ ( s) cos ϕ ( s)  dτ .
)
( 0
)
0
 ( 0



0

С.Е. Биркган
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если считать, что параметры J и Θ0 не зависят от времени, то
решение системы уравнений эрозии (10) примет вид
 x = x0 ( s ) − t V ′ ( Θ0 − ϕ ( s ) ) cos ϕ ( s ) − V ( Θ0 − ϕ ( s ) ) sin ϕ ( s )  ,
(13)

 z = z0 ( s ) − t V ′ ( Θ0 − ϕ ( s ) ) sin ϕ ( s ) + V ( Θ0 − ϕ ( s ) ) cos ϕ ( s )  .
Отметим, что в частном случае формулы (12), (13) были получены в работах [9-12]. Для неоднородного ионного потока решения системы (7) в аналитической форме получить не удается.
3. Результаты компьютерного моделирования. Основной
задачей данной работы являлось моделирование процесса возникновения волнообразных структур в рамках системы уравнений эрозии. Параметры программы, разработанной с этой целью,
соответствовали условиям распыления в системе N 2+ → Si при
ширине ионного пучка 2 мкм. Скорость сканирования луча и коэффициент распыления Y ( Θ ) взяты из работ [2, 12]. На рис. 2 показан результат расчета при небольшой плотности ионов.
Рис. 2. Результат расчета волнообразного рельефа, сформированного
при небольшой интенсивности ионного потока
Возрастание интенсивности ионного потока приводит к постепенному переходу волнообразной формы поверхности в гребенчатую ("sputter-rippling"). Результат расчета показан на рис. 3.
104
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 3. Переход волнообразной формы в гребенчатую ("sputter-rippling")
при возрастании плотности потока
4. Выводы. Полученные результаты численного моделирования хорошо согласуются с экспериментальными данными работ [1, 2] и доказывают, что процесс образования волнообразных
и "sputter-rippling" структур при распылении поверхности сфокусированным ионным лучом может быть обоснован в рамках системы уравнений эрозии.
Список литературы
[1]. Smirnov V.K., Kibalov D.S., Orlov O.M., Graboshnikov V.V.
Technology for nanoperiodic doping of a metal-oxide-semiconductor fieldeffect transistor channel using a self-forming wave-ordered structure
// J. Nanotechnology. – 2003. 14 – P. 709-715.
[2]. Ichim S., Aziz M.J. Lateral templating of self-organized ripple
morphologies during focused ion beam of Ge // J. Vac. Sci. Technol. –
2005. B 23(3) – P. 1068-1071.
[3]. Sigmund P. Theory of sputtering. I. Sputtering yield of amorphous
and polycrystalline targets // Phys. Rev. – 1969. – 184. – P. 383-416.
[4]. Bradley R.M., Harper J.M.E. Theory of ripple topography induced
by ion bombardment // J. Vac. Sci. Technol. – 1988. – A 6. – P. 2390-2395.
[5]. Kuramoto Y., Tsusuki T. Persistent propagation of concentration
waves in dissipative media far from thermal equilibrium Prog. // Theor.
Phys. – 1977. – 55. – P. 356-369.
[6]. Kardar M., Parisi G., Zhang Y.C. Dynamic scaling of growing interfaces // Phys. Rev. Lett. – 1986. – 56. – P. 889-892.
С.Е. Биркган
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
[7]. Carter G. The physics and applications of ion beam erosion
// J. Phys. – 2001. – D: Appl. Phys. 34. – R1-R22.
[8]. Elst K. Thesis. – Antwerpen, Belgium, September 1993. – 273 p.
[9]. Бачурин В.И., Биркган С.Е., Рудый А.С., Смирнов В.К. Моделирование развития поверхностной топографии кремния при ионном
распылении // Материалы ХV Межд. конф. ВИП-2001, Звенигород,
2001. – Т. 1. – С. 97-100.
[10]. Birkgan S.E., Rudy A.S. Modelling of surface erosion during of
ion sputtering of solids // SIMS Europe 2002, Munster. – P. 12.
[11]. Бачурин В.И., Биркган С.Е., Рудый А.С., Смирнов В.К. Моделирование нестационарного распыления твердых тел // Материалы
16 международной конференции ВИП-2003, Звенигород, 27 – 31 августа 2003 г. – Т. 1. – С. 69-72.
[12]. Birkgan S.E., Bachurin V.I., Rudy A.S., Smirnov V.K. Modelling of Surface Topography Development During Ion Sputtering of Solids
// J. Radiat. Eff. – 2004. 159 3. – P. 163-172.
[13]. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1976. – 280 с.
106
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА
КРАТЕРООБРАЗОВАНИЯ ПРИ ИОННОМ РАСПЫЛЕНИИ
С.Е. Биркган, Р.А. Егоров, В.А. Павлов
Аннотация
В работе исследована возможность применения распылительной модели для изучения динамики процесса формирования
кратеров и структур типа "конус в лунке" при ионном распылении поверхности. Результаты расчетов, выполненных для решения системы уравнений эрозии, доказывают применимость этой
модели.
Облучение плоских поверхностей ионными пучками широко
используется в различных технологических процессах для улучшения свойств поверхностного слоя. Наряду с положительными
эффектами такая обработка во многих случаях может давать и нежелательное развитие поверхностной
морфологии, например, типа "sputterrippling", "grass" и некоторых других
[1]. Часто распылению сопутствует появление на поверхности конусов и кратеров. Их появление обычно связывают
с начальным затемнением, загрязнением, наличием примесей или дефектами
отдельных
участков
поверхности.
Весьма интересной является часто возРис. 1. Структура "конус в никающая структура типа ‘конус в лунлунке", полученная при
ке’ с характерными размерами 0,1-5
распылении образцов GaAs мкм и плотностью до 103 см −2 , рассмотионами Ar + [3]
ренная, например, в работе [2] и показанная на рис. 1. Качественное объяснение появления и развития
такой структуры приведено в [3]. Суть его состоит в том, что при
возникновении на поверхности дефекта в виде маленького кратера
распыление его краев идет быстрее, чем дна, за счет зависимости
коэффициента распыления от угла между локальной нормалью к
поверхности и направлением ионной бомбардировки. По этой же
причине на некоторой стадии начинается более интенсивное травление участков дна, примыкающих к краям. Это вызывает появлеС.Е. Биркган, Р.А. Егоров, В.А. Павлов
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ние и рост на дне кратера образования, постепенно переходящего
в конус или пирамиду. Целью настоящей работы является объяснение этого процесса в рамках математической модели системы
уравнений эрозии [4] и его компьютерное моделирование, что позволит в дальнейшем лучше понять влияние различных факторов
на развитие подобных структур.
1. Математическая модель. Известно, что исследование
процесса ионного распыления может быть описано в рамках
уравнения эйконала [3], Вандерворста-Элст [5] или основанных
на теории Зигмунда [6] более общих уравнений: Бредли-Харпера
[7], Курамото-Сивашинского [8] или Кадара-Паризи-Чанга [9].
Последние три представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных четвертого порядка, и их использование при компьютерном моделировании привносит дополнительные сложности при разностной аппроксимации и существенно сужает класс исследуемых решений достаточно гладкими
функциями. В то же время хорошо известно, что появление изломов или кромок на первоначально гладких поверхностях является
типичным для процесса распыления. В работах [10,11] было показано, что уравнение Вандерворста–Элст с достаточной точностью описывает процесс ионного распыления, и использование
этого уравнения дает возможность при численном моделировании получать решения, содержащие кромки. Определенное преимущество по сравнению с уравнениями эйконала и Вандерворста-Элст дает использование системы уравнений эрозии
∂z
 ∂x
Θ
−
sin
cos Θ = V ( Θ0 − Θ ) ,
 ∂t
∂t

 ∂x sin Θ − ∂z cos Θ = 0,
∂s
 ∂s
(1)
полученной в работе [4]. В (1) предполагается, что исследуемая
поверхность задана параметрически уравнениями
 x = x(t , s ),
0 ≤ s ≤ s0 , t ≥ 0 ,

=
z
z
t
s
(
,
),

(2)
Θ = Θ ( t ) - угол между локальной нормалью к поверхности и осью
Oz в момент времени t, Θ0 = Θ0 ( t ) - угол между направлением
108
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
бомбардировки и положительным направлением оси Oz, а функция V (θ ) определена равенством
V (θ ) =
J
ρ
cos (θ ) Y (θ ) ,
где J = J ( t ) - интенсивность ионного потока, Y ( Θ ) - коэффициент распыления (количество выбитых атомов на один ион), ρ атомная плотность распыляемого вещества (количество атомов в
единице объема). В работе [4] с помощью численного решения
системы (1) при определенных значениях параметров удалось
получить волнообразный и "sputter-rippling" рельефы, реально
наблюдаемые при экспериментальном распылении поверхности.
Целью данной работы является компьютерное моделирование
развития кратеров и структур типа "конус в лунке" из дефектов
поверхности, которые для простоты выбираются в виде углублений, полученных травлением сфокусированным ионным лучом. В
[4] показано, что в случае однородного стационарного ионного
потока решения системы (1) с начальными условиями
 x = x0 ( s ),
0 ≤ s ≤ s0 ,

 y = y0 ( s ),
(3)
определяются формулами
 x = x0 ( s ) − t V ′ ( Θ0 − ϕ ( s ) ) cos ϕ ( s ) − V ( Θ0 − ϕ ( s ) ) sin ϕ ( s )  ,
(4)

 z = z0 ( s ) − t V ′ ( Θ0 − ϕ ( s ) ) sin ϕ ( s ) + V ( Θ0 − ϕ ( s ) ) cos ϕ ( s )  .
Эти равенства послужили основой расчетов при компьютерном
моделировании процесса распыления начальной поверхности,
содержащей "кратер-затравку".
Следует отметить, что формулы (4) дают решения системы
(1), эквивалентной уравнению эйконала. Последнее представляет
собой нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных гиперболического типа. Как известно из теории таких
уравнений (см., например, [12]), их непрерывные решения могут
быть определены единственным образом лишь локально, т.е. при
достаточно малых значениях времени t. Продолжение решений
для больших значений времени приводит к необходимости выбора между несколькими возможными продолжениями. При этом
С.Е. Биркган, Р.А. Егоров, В.А. Павлов
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
выбор нужного продолжения может быть осуществлен лишь из
физических соображений. В частности, в задачах газодинамики
такими соображениями являются законы сохранения, которые
приводят к появлению разрывных решений этих задач – ударным
волнам. В рассматриваемых здесь задачах проблема выбора нужного продолжения может быть решена из соображений непрерывности распыляемой поверхности. Для поверхности, описываемой параметрической системой (4), неединственность решений приводит к появлению петель. При этом двойные точки
кривой (4) являются точками излома или кромками поверхности.
Отметим, что с возрастанием времени кривая (4), описывающая
распыляемую поверхность, приобретает все новые кромки, которые изменяются вместе с этой поверхностью. Получаемая в результате структура может все более усложняться.
2. Результаты компьютерного моделирования. Для расчетов и визуализации результатов распыления поверхности ионным потоком использовалась программа, разработанная в [4].
При этом вначале на исследуемой поверхности были созданы два
"кратера-затравки" с пологими и крутыми склонами. Для их формирования использовались сфокусированные ионные лучи с
плотностью, распределенной по закону Гаусса, и шириной 0,6 и
0,3 мкм, соответственно. На рис. 2 показан завершающий момент
создания кратера с крутыми краями лучом шириной 0,3 мкм.
Рис. 2. Завершающая стадия процесса формирования второго кратера
ионным лучом шириной 0,3 мкм зародышевого рельефа
110
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
После окончания процесса формирования начальных кратеров
вся исследуемая поверхность облучалась равномерным ионным
потоком. При этом увеличение глубины кратера с пологими склонами (на рисунках справа) сопровождалось увеличением его ширины, а у кратера с крутыми краями в основном увеличивалась
лишь глубина. На определенном этапе у правого кратера начиналось качественное изменение морфологии. На рис. 3 показано начало перестройки его формы, вызванное подтравливанием краев.
Рис. 3. Увеличение ширины первого кратера и начало качественного
изменения формы второго, связанное с подтравливанием, в результате
равномерного распыления зародышевого рельефа
При дальнейшем распылении повышенная скорость травления склонов второго кратера приводила к зарождению нового образования, имеющего вид усеченного конуса (см. рис. 4).
Рис. 4. Возникновение новой структуры в виде усеченного конуса на дне
второго кратера при продолжении расширения первого
С.Е. Биркган, Р.А. Егоров, В.А. Павлов
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Последующее распыление поверхности приводило к постепенному переходу усеченного конуса на дне второго кратера в
обычный. При этом продолжалось расширение первого кратера
при незначительном росте его глубины. Завершающая стадия
процесса распыления и сформированный рельеф приведены на
рис. 5. Образование, возникшее на дне второго кратера, можно
рассматривать как двумерный аналог трехмерной структуры "конус в лунке", показанной на рис. 1.
Рис. 5. Квазистационарная структура, содержащая двумерный аналог
рельефа "конус в лунке", показанный на рис. 1, сформированная
в результате распыления однородным ионным потоком зародышевой
поверхности с "кратерами-затравками"
Следует отметить, что при дальнейшем распылении структура,
показанная на рис. 5, с небольшими изменениями сохранялась в
течение продолжительного времени. При этом постоянное расширение первого кратера приводило к постепенному поглощению им второго. Однако в связи с большой скоростью углубления дна второго кратера в результате численного эксперимента
не удалось получить ожидаемого полного поглощения второго
кратера первым. Этот факт свидетельствует о необходимости
уточнения распылительной модели для точек поверхности, достаточно близких к кромкам, поскольку, как следует, например, из
теории Зигмунда [6] скорость распыления таких точек в зависимости от угла кромки может быть больше или меньше скорости,
определяемой распылительной моделью.
112
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. Выводы. Полученные результаты численного моделирования обосновывают возможность применения системы уравнений эрозии для описания процесса возникновения структуры типа "конус в лунке" при ионном распылении. В то же время для
более адекватной формализации процесса распыления вблизи
кромок следует использовать уточнение распылительной модели,
связанное с возрастанием или убыванием скорости распыления в
угловых и близких к ним точках поверхности.
Список литературы
[1] Распыление твердых тел. / под ред. Р. Бериша. – М.: Мир,
1986. – Вып. 2. – 373 с.
[2]. Берт Н.А., Сошников И.П. Распыление полупроводниковых
мишеней ионами с энергией 2-14 кэВ // ЖТФ. – 1997. – Т. 67, вып.6. –
С. 113-117.
[3]. Carter G. The physics and applications of ion beam erosion
// J. Phys. – 2001. – D: Appl. Phys. 34. – R1-R22.
[4]. Биркган С.Е. Математическое моделирование развития периодической поверхностной морфологии под воздействием ионного
облучения // Настоящий сборник. – С. 98-106.
[5]. Elst K. Thesis. – Antwerpen, Belgium, September 1993. – 273 p.
[6]. Sigmund P. Theory of sputtering. I. Sputtering yield of amorphous
and polycrystalline targets // Phys. Rev. – 1969. – 184. P. 383-416.
[7]. Bradley R.M., Harper J.M.E. Theory of ripple topography induced
by ion bombardment // J. Vac. Sci. Technol. 1988. – A 6. – P. 2390-2395.
[8]. Kuramoto Y., Tsusuki T. Persistent propagation of concentration
waves in dissipative media far from thermal equilibrium Prog. // Theor.
Phys. – 1977. – 55. – P. 356-369.
[9]. Kardar M., Parisi G., Zhang Y.C. Dynamic scaling of growing interfaces // Phys. Rev. – 1986. – Lett. 56. – P. 889-892.
[10]. Birkgan S.E., Rudy A.S. Modelling of surface erosion during of
ion sputtering of solids // SIMS Europe 2002, Munster. – P. 12.
[11]. Birkgan S.E., Bachurin V.I., Rudy A.S., Smirnov V.K. Modelling of Surface Topography Development During Ion Sputtering of Solids
// J. Radiat. Eff. – 2004. – 159 3. P. 163-172.
[12]. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Наука., 1976. – 280 с.
С.Е. Биркган, Р.А. Егоров, В.А. Павлов
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЭЛЕКТРОСОПРОТИВЛЕНИЕ, ВЯЗКОСТЬ
И МАГНИТНАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ
ВОДНЫХ КОЛЛОИДОВ МАГНЕТИТА
В. С. Бойденко, С. Н. Лапшин, Е. В. Шохин
Аннотация
При содержании магнитной фазы в водных коллоидах магнетита до 8,4 % измерены магнитная восприимчивость, температурные зависимости вязкости и электросопротивления в интервале температур от комнатной до 70о С.
Водные коллоиды магнетита применяются в медицине, теплотехнике, при ультразвуковом контроле в качестве контактной
жидкости и для других целей. Физическая картина формирования
их свойств далека от завершенности.
Методика эксперимента
Магнитные жидкости получены на основе реакции [1]:
2FeCl3 + FeSO4 + 8NH4OH = Fe3O4 + 6NH4Cl + (NH4)2SO4 + 4H2O.
Объемную концентрацию магнетита в предположении, что
плотность поверхностно-активного вещества примерно равна
плотности воды d0, вычисляли по формуле
ϕ=(dмж-d0)/(dм-d0),
(1)
где dмж - плотность магнитной жидкости, плотность магнетита
dм =5240 кг/м3. Плотность магнитной жидкости определяли с помощью одноразовых медицинских шприцов и аналитических весов:
(2)
dмж=(Mшж-Mш0)/Vмж,
где Mшж и Mш0 - массы шприца с магнитной жидкостью и без
нее, Vмж - объем магнитной жидкости в шприце.
114
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вязкость измеряли с относительной погрешностью около
10 % с помощью стеклянного капиллярного вискозиметра, помещенного в термостат.
При измерении электросопротивления мостовым методом
коллоид помещали в пустые стержни для шариковых ручек, токоподводами служила медная проволока. Удельное сопротивление:
ρ = ( R∗S)/l,
(3)
где R - электросопротивление, S и l - площадь поперечного сечения и длина столбика коллоида магнетита в стержне.
Для измерения магнитной восприимчивости были изготовлены образцы в виде тороидов, оболочкой которых служили силиконовые трубки из набора для капельниц. Магнитную жидкость
вводили внутрь с помощью шприца. Наружный диаметр тороида
d =3 см, внутренний диаметр трубки d0 =3 мм, толщина 1 мм. На
тороид наносили обмотку из N=200 витков медного провода, на
которую подавали напряжение от генератора типа Г3-33. Напряжение на обмотке и на последовательно с ней включенном образцовом резисторе с R = 1 Ом (для определения силы тока) измеряли цифровым вольтметром типа В7-18. Индуктивность обмотки с тороидом вычисляли по формуле
L=(((U/I)2-(Rk)2)0.5)/ω−1,
(4)
где ω =2∗π*ν - циклическая частота, Rk – активное сопротивление
обмотки.
Магнитная восприимчивость
χ = ( L*l/(N2*μ0∗Sk)) − S/Sk,
(5)
где l - длина силиконовой трубки, μ0 =4∗π∗10−7 Гн/м, S и Sk - соответственно площадь поперечного сечения силиконовой трубки
и коллоида внутри нее. Погрешность в определении χ составляла
порядка 10 %.
В. С. Бойденко, С. Н. Лапшин, Е. В. Шохин
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полученные результаты и их обсуждение
При комнатной температуре вязкость основы - воды и коллоидов с концентрацией магнетита ϕ =0.02 и 0.05 была равна 1;
1.75 и 4.75 мПа*с. При нагревании их до 700С наблюдалась линейная зависимость (ln η)/k*T от 1/k*T. Температурная зависимость коэффициента вязкости воды хорошо описывается формулой Я. И. Френкеля [2]
η = ( τ0/(π∗a*δ2 ))*k*T*exp(W/k*T),
(6)
где τ0 - время "оседлой" жизни частицы, в данном случае молекулы воды, a - ее диаметр, δ - толщина "переходного" слоя, k - постоянная Больцмана, W - энергия активации. Для воды
δ = a=1*10-10 м и при Т=273К W= 0.04эВ, τ0 = 1.5* 10-12 с. Согласно А. Эйнштейну и Я.Френкелю, коэффициент диффузии
D=(δ2/6∗τ0 )∗exp(-W/k*T).
(7)
При замене некоторых молекул воды диаметром a частицами
коллоида размером d
D'=a*D/d
и вязкость согласно (6) должна соответственно возрастать, что и
наблюдается в эксперименте.
Зависимость удельного электросопротивления коллоидов при
комнатной температуре от объемной концентрации магнетита
представлена в таблице 1.
Таблица 1
φ, %
ρ, Ом*м
2,1
2,00
3,5
1,1
4,8
0,80
6,6
0,63
8,4
1,22
100
5·10-3
Подобная зависимость, но с минимумом в интервале концентраций 10-15% наблюдается и у коллоидов магнетита на основе керосина [3, 4]. Аналогичный характер имеет зависимость
ρ(φ) сильных электролитов, снижение электропроводности которых в области высоких концентраций объясняется падением подвижности ионов при увеличении общего числа носителей заряда.
116
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С увеличением температуры от комнатной до 340К ρ уменьшается, и при φ=0.05 и φ =0.084 удельная электропроводность
γ0.05 = 1/ρ0.05 = 5.74∗exp(-14.7*103/(R*T)),
γ0.084 = 1/ρ0.084 = 0.51∗exp(-9.8*103/(R*T)
R - газовая постоянная.
Энергия активации носителей заряда
W= k*(ln γ2 − lnγ1)/((1/T1) − (1/Τ2)) ,
соответственно 0.15 эВ и 0.10 эВ, тогда как у коллоидов на основе керосина она 0.2 эВ [3,4].
В интервале частот от 20 до 100 кГц магнитная восприимчивость коллоидов хорошо описывается формулой Дебая [3]
1/(χ2) = 1/(χ0)2 + (τ/χ0)2∗ω2
где τ - время релаксации, χ0 - статическая восприимчивость.
Результаты представлены в таблице 2.
Таблица 2
φ, %
χ0
τ, с
2,1
1,1
1,4·10-6
4,8
1,8
2·10-6
8,4
2,6
1,3·10-6
Порядок величины τ совпадает со временем вращательной
броуновской релаксации коллоидов магнетита на основе керосина [2-4].
Список литературы
[1] Бибик Е.Е. Магнитные жидкости // Наука и жизнь. – 2002. –
№ 11. – С. 88-91.
[2] Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкостей. – Л.: 1975. –
С. 226-237.
[3] Фертман В.Е. Магнитные жидкости: справочное пособие. –
Минск. Вышейшая школа, 1988.
[4] Дюковкин Н.И., Орлов Д.В. Исследование электрических
свойств магнитных жидкостей. Магнитные жидкости: научные и
прикладные исследования. – Минск: ИТМо АН БССР, 1983. –
С. 26-31.
В. С. Бойденко, С. Н. Лапшин, Е. В. Шохин
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ
МЕДИАННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЯ
C.С. Бухтояров, В.В. Хрящев
Аннотация
Предложен переключающийся медианный фильтр с блоком
предварительного детектирования для восстановления изображений, искаженных импульсным шумом типа «соль-и-перец». Проведен сравнительный анализ предложенного алгоритма фильтрации с пятью известными модификациями медианных фильтров
как с точки зрения среднеквадратической ошибки восстановления, так и с точки зрения визуальных оценок.
Введение
На практике часто встречаются изображения, искаженные
импульсным шумом. Причинами возникновения таких помех на
изображении могут быть сбои в работе канального декодера, связанные с замиранием сигналов в канале связи или перемещением
абонентов, шум видеодатчика, зернистость пленки и т.д. При
воздействии импульсного шума на изображении с оттенками серого цвета наблюдаются белые или/и черные точки, хаотически
разбросанные по кадру [1-3]. Хорошие результаты для сохранения перепадов оттенков, различных границ и локальных пиков
яркости на искаженных импульсным шумом изображениях может дать применение медианных фильтров (МФ) [4].
Анализ источников по вопросам медианной фильтрации
импульсного шума [5-7] показывает, что основными недостатками данного метода обработки являются:
- ослабление сигнала, что проявляется на изображении в виде размытых контуров деталей;
- повреждение неискаженных («хороших») пикселей изображения.
Целью работы является усовершенствование алгоритмов
удаления импульсного шума, который устранял рассмотренные
недостатки. Предложенный алгоритм способен эффективно удалять такой шум даже из сильно зашумленных изображений, об-
118
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ладая при этом относительно низкой вычислительной сложностью. Схема восстановления изображения приведена на рис. 1.
Рис. 1. Схема восстановления изображения
где u i и ϕi - значения пикселей в позиции i на восстановленном и исходном изображениях соответственно.
Общая схема алгоритма
Рассматриваемый шум представляет собой импульсный биполярный шум вида соль-и-перец (salt-and-pepper), описываемый
следующей математической моделью:
0

xi = 255

ϕ i
с вероятност ью p n
с вероятност ью p p
,
с вероятност ью 1 − ( p n + p p )
где p n = p p = 0.5R, R – коэффициент зашумленности
(0% ≤ R ≤ 100%), ϕi отображает значения «хороших» пикселей,
0 – фиксированное значение отрицательных выбросов, 255 – фиксированное значение положительных выбросов и x i отображает
значения пикселей в поврежденном изображении.
Предлагаемый медианный фильтр с нейросетевым детектором (НПМ фильтр) использует переключающуюся схему (рис. 2).
При этом импульсный детектор состоит из двух блоков: первый
блок – включает процедуру предварительного обнаружения импульсов и второй – процедуру нейросетевой коррекции предварительных результатов. Процедура предварительного детектирования позволяет найти все импульсы для выбранной модели шума, но имеет серьезный недостаток - “хорошие” пиксели,
C.С. Бухтояров, В.В. Хрящев
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
значения которых совпадают со значениями “соли” (255) или
“перца” (0), автоматически определяются как импульсы. Процедура нейросетевой коррекции позволяет различать такие пиксели
и используется для корректировки результата предварительного
детектирования. Далее проводится процедура фильтрации с учетом информации, полученной на этапе нейросетевой коррекции.
Рис. 2. Общая схема НПМ алгоритма
Предварительный детектор
Алгоритм предварительного обнаружения импульсов использует два изображения. Первое представляет собой поврежденное
полутоновое изображение {x i }, которое отображает значение
пикселя в позиции i = (i1 , i2 ). Второе - бинарное изображение {fi },
где значение fi показывает, является ли пиксель в позиции i импульсом или нет, т.е. fi = 0 означает, что пиксель i «хороший», а fi
= 1 означает, что пиксель i – импульс.
1,
fi = 
0,
если xi = 0 или xi = 255
иначе.
Полученное бинарное изображение {fi } является результатом процедуры предварительного обнаружения импульсов.
Нейросетевая коррекция
Процедура нейросетевой коррекции использует три изображения. Первое отображает поврежденное полутоновое изображение {y i }. Второе представляет бинарное изображение {fi }, полу-
120
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ченное на этапе предварительного обнаружения импульсов. И
третье, также бинарное изображение {g i }, используется для записи финального результата процедуры нейросетевой коррекции. В
начале полагаем, что {g i } равно предварительному результату
детектирования, т.е. gi ≡ fi .
Для каждого пикселя, определенного предварительной процедурой как импульс, применяется нейронная сеть. Во время
обучения нейронной сети на тренировочных данных обнаружено,
что большинство информации о том, является ли пиксель импульсом или нет, содержится в семи локальных характеристиках
пикселя. Это значение самого пикселя, отклонения от медиан и
дисперсии для различных окрестностей рассматриваемого пикселя (окна размером 3 × 3, 5 × 5 и 7 × 7). Таким образом, размерность
входного вектора равна семи. Для вычисления этих величин используем только «хорошие» пиксели, т.е. пиксели с fi = 0.
Выход нейронной сети представляет собой одно значение,
отображающее два возможных состояния для пикселя (пиксель
“хороший” или “плохой”). В алгоритме используется трехслойный персептрон с SD нейронами в скрытом слое. Обнаружено, что
параметр SD не чувствителен к изменению степени зашумленности изображения и лучшие результаты получаются, начиная от
значения SD=6.
Процедура фильтрации
В ходе процедуры фильтрации генерируются две последовательности изображений. Первая представляет собой последовательность изображений {{z i(0) }, {z i(1) },⋅ ⋅ ⋅,{z i( n ) },⋅ ⋅ ⋅} , где zi(0) - входное
зашумленное изображение, а zi(n) отображает значение пикселя в
позиции i после n-ой итерации. Вторая - это последовательность
бинарных изображений {{hi(0) },{hi(1) },⋅ ⋅ ⋅,{hi( n) },⋅ ⋅ ⋅} , где бинарное значение hi( n ) = 0 означает, что пиксель i «хороший», а hi( n ) = 1 , что он
«плохой». Начальное изображение {hi(0) } равно результату процедуры нейросетевой коррекции {g i } , т.е. hi(0) ≡ g i .
На n-ой итерации (n = 1,2,⋅ ⋅ ⋅) для каждого пикселя zi( n−1) сначала вычисляются медианные значения mi( n−1) в окне WF × WF ( WF C.С. Бухтояров, В.В. Хрящев
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нечетное, не меньшее трех) с центром вокруг пикселя. Медианы
вычисляются, используя только «хорошие» пиксели (с hi( n−1) = 0 ) в
пределах окна. Пусть M отмечает число всех пикселей с hi( n−1) = 0
в окне WF × WF . Если M четное, то медиана вычисляется как среднее арифметическое между двумя средними элементами отсортированных данных. Если M > 0 , то
mi( n−1) = Med{z (jn−1) h (j n−1) = 0, j ∈ ΩWiF }.
Значение zi( n) изменяется только, если пиксель i – импульс,
следующим образом:
mi( n −1) , если hi( n ) = 1 ; M > 0
=  ( n −1)
 z i
, иначе.
Если импульсный пиксель был изменен, то дальше он рассматривается как «хороший». Процедура останавливается на NFой итерации, когда все «плохие» пиксели модифицированы.
Полученное в результате изображение {zi( N ) } и есть восстановленное изображение.
z i( n )
F
Результаты моделирования
На рис. 3 приведены результаты восстановления тестового
изображения шестью различными алгоритмами: 1) медианным
фильтром (Мед) с окном 3 × 3; 2) адаптивным медианным (АМ)
фильтром; 3) прогрессивным переключающимся (ППМ) фильтром; 4) итеративным медианным фильтром (ИМ) с окном 3 × 3 и
числом итераций, равным 10; 5) центрально взвешенным медианным фильтром (ЦВМ) с окном 5 × 5 и центральным весом, равным
3; 6) предложенным нейросетевым переключающимся (НПМ)
фильтром.
На рис. 4 показаны результаты восстановления различными
алгоритмами тестового изображения «Лена», зашумленного 30%
шумом указанного типа.
122
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
800
Мед
AM
ППМ
ИМ
ЦВМ
НПМ
700
600
СКО
500
400
300
200
100
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
R(%)
Рис. 3. Ошибка восстановления для тестового изображения
Таким образом, для модели импульсного шума типа «сольи-перец» предложенный НПМ алгоритм демонстрирует лучшие
результаты на всем диапазоне степеней зашумления
(а)
(б)
(в)
(г)
(д)
(е)
(ж)
(з)
Рис. 4. Результаты восстановления тестового изображения различными
алгоритмами: (а) исходное изображение «Лена»; (б) изображение,
искаженное 30% шумом типа «соль и перец»; (в) медианный фильтр с
окном 3 × 3; (г) ЦВМ фильтр с окном 5 × 5 и центральным весом, равным 3;
(д) ИМ фильтр с окном 3 × 3 и числом итераций равным 10; (е) ППМ
фильтр; (ж) АМ фильтр; (з) предложенный НПМ фильтр
C.С. Бухтояров, В.В. Хрящев
123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Стандартный медианный фильтр (рис. 4в) хорошо сохраняет
детали изображений, но при этом на нем остается много шумовых
пикселей. ЦВМ фильтр (рис. 4г) работает лучше медианного, но
также пропускает много импульсов. ИМ фильтр (рис. 4д) удаляет
больше импульсов, чем ЦВМ фильтр, но изменяет много хороших
пикселей, что выражается в смазывании изображения. ППМ
фильтр (рис. 4е) не способен удалить блоки импульсов (скопления
шумовых пикселей). АМ фильтр (рис. 4ж) демонстрирует высокие
результаты. Он удаляет большинство импульсов, сохраняя детали,
но повреждает границы объектов. Наилучший результат получен с
помощью НПМ алгоритма (рис. 4з). При заданном уровне зашумления (30%) он удаляет все поврежденные пиксели, хорошо сохраняя детали и границы объектов изображения.
(а)
(б)
(в)
(г)
Рис. 5. Результаты восстановления сильно зашумленного изображения
«Танк»: (а) поврежденное 80% импульсным шумом; (б) восстановленное
медианным фильтром с маской 5х5; (в) восстановленное АМ фильтром;
(г) восстановленное НПМ фильтром
Демонстрация эффективного восстановления сильно зашумленного тестового изображения «Танк» приведена на рис. 5.
124
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Изображение повреждено 80% импульсным шумом типа «соль-иперец». Сравниваются результаты обработки трех разновидностей медианного фильтра. Видно, что наилучшие результаты восстановления достигнуты при использовании предложенного
НПМ фильтра.
Заключение
Разработанная новая модификация медианного фильтра обладает высокими характеристиками и может применяться в различных устройствах цифровой обработки изображений, работающих в сложной сигнально-помеховой обстановке. Описанный
алгоритм в большинстве случаев полностью убирает импульсный
шум типа «соль и перец» и хорошо сохраняет границы объектов
изображения.
Список литературы
[1] Mitra S., Sicuranza G. Nonlinear Image Processing. Academic
Press, 2001.
[2] Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. – М.:
Техносфера, 2005.
[3] Хуанг Т.С. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений: преобразования и медианные фильтры. – М.: Радио и
Связь, 1984.
[4] Pitas I., Venetsanopoulos A. Nonlinear Digital Filters: Principles
and Applications. - Boston, MA: Kluwer, 1990.
[5] Мушкаев С.В. Реализация ранжирующих и медианных фильтров на процессоре NM6403 // Цифровая обработка сигналов. – 2004. –
№ 4. – С. 44-46.
[6] Nodes T., Gallagher N. Median filters: some modifications and
their properties // IEEE Trans. ASSP. – 1982. – V. 30, № 5. – P. 739-746.
[7] Apalkov I., Khryashchev V., Priorov A., Zvonarev P. Image denoising using adaptive swithching median filter // Proc. IEEE int. conf. on
image processing (ICIP’05). – Genoa. Italy, 2005. – V. I. – P. 117-120.
C.С. Бухтояров, В.В. Хрящев
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В МАЛЫХ
КЛАСТЕРАХ МЕДИ НА ПОВЕРХНОСТИ CU(111)
П.И. Викулов, О.С. Трушин, С.П. Зимин
Аннотация
В работе исследованы диффузионные процессы, происходящие в малых адатомных кластерах меди на поверхности Cu(111).
На основе моделирования методом кинетического Монте-Карло
определены основные диффузионные механизмы в кластерах 1–7
атомов и вычислены величины соответствующих этим механизмам энергий активации.
Введение. В последнее время достигнут значительный прогресс в развитии технологии формирования наноструктур на поверхности кристаллов. В связи с этим возникает проблема сохранения геометрической формы наночастиц. Современные экспериментальные исследования с помощью сканирующей
туннельной микроскопии [1] обнаруживают значительную подвижность поверхностного рельефа, обусловленную тепловым
движением атомов. Поэтому весьма актуальна задача изучения
кинетики диффузионных процессов на поверхности.
В большой обзорной работе [2] систематизированы результаты по изучению адатомных и вакансионных островков на поверхности Cu(111) и Ag(111). Были выявлены основные закономерности, касающиеся формы, времени жизни кластеров, их подвижности и зависимости этих величин от температуры подложки
и размера кластеров. Так, при увеличении размера кластеров подвижность кластеров, начиная с некоторого размера островков,
падает по степенному закону. При увеличении температуры, при
прочих равных условиях, наоборот, подвижность растёт. Вид зависимости подвижности кластеров от температуры при этом показывает, что диффузионные процессы в кластерах носят активационный характер, с определённым энергетическим барьером,
который нужно преодолеть для совершения процесса.
Однако детально проследить процессы смещения кластеров
экспериментально не удаётся, поэтому для интерпретации данных используется компьютерное моделирование. В работе [3],
посвящённой моделированию диффузионных процессов в малых
126
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
адатомных кластерах меди на поверхности Cu(111), М.-К. Мариника привёл возможные положения и энергетические барьеры
переходов для сверхмалых островков компактной формы, насчитывающих 1–4 и 7 атомов.
Целью данной работы явилось моделирование диффузионных процессов малых кластеров меди 1–7 атомов на поверхности
Cu(111) методом самообучаемого кинетического Монте-Карло
(KMC) для изучения основных диффузионных механизмов атомного масштаба и определения величин энергии активации.
Методика. В данной работе для моделирования диффузионных процессов был использован метод самообучаемого кинетического Монте-Карло [4]. В версии алгоритма была применена
схема распознавания окружения, основанная на присвоении уникального целочисленного индекса каждой конфигурации соседних атомов, окружающей все способные к переносу атомы. Совокупность диффузионных атомов, каждый из которых характеризуется конфигурацией окружения, и процессов с участием этого
атома, давали множество возможных диффузионных процессов
на каждом временном шаге. Для каждого возможного процесса
находится соответствующий ему энергетический барьер, потом
на основе этой информации определяется вероятность того или
иного процесса на каждом временном шаге. Характерной особенностью самообучаемого KMC является то, что для однажды
встреченной конфигурации информация по всем обнаруженным
процессам заносится в особую базу данных, откуда потом извлекается при обнаружении аналогичной конфигурации. Это позволяет не совершать лишний раз самый трудозатратный с точки
зрения машинного времени процесс нахождения энергетического
барьера. С другой стороны, в отличие от алгоритма KMC с так
называемым предопределённым списком процессов, самообучаемое KMC позволяет охватить и такие процессы, существование
которых для исследователя первоначально является неочевидным, поскольку процедура поиска новых процессов для каждой
конфигурации автоматизирована.
Результаты. В ходе проведения моделирования были определены основные диффузионные механизмы атомного масштаба,
которые обеспечивают смещения малых кластеров меди на поП.И. Викулов, О.С. Трушин, С.П. Зимин
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
верхности Cu(111). Выяснилось, что для кластеров малого размера (менее 20 атомов) характерны в основном так называемые
концертные процессы, в которых меняют своё положение сразу
несколько или даже все атомы кластера. В последнем случае наблюдались параллельный перенос кластера как целого, вращение
кластера как целого, вращение, поворот и сдвиг части атомов
кластера. Основные результаты для кластеров размеров от 1 до 7
атомов можно представить следующим образом.
Для одиночного адатома возможен лишь один вид процессов:
прыжок этого адатома из fcc-позиции в hcp-позицию, и обратно.
Такими скачками адатом перемещается по поверхности. Энергетический барьер такого процесса крайне мал (32 мэВ для прыжка
из fcc-позиции в hcp и 27 мэВ для обратного процесса), поэтому
одиночный адатом очень подвижен даже при комнатной температуре. На идеально плоской поверхности движение адатома совершенно изотропно и вероятности его прыжка по различным
направлениям одинаковы. В присутствии других кластеров или
края террасы движение адатома становится анизотропным: направления, ведущие к краю террасы, становятся предпочтительными из-за пониженного энергетического барьера.
Рис. 1. Примеры процессов для двухатомного кластера: параллельный
перенос и вращение
Для димера (двухатомного кластера) список возможных процессов немного шире (рис. 1). Кроме концертного движения всего кластера, параллельного переноса и вращения, существует
также механизм, при котором один из двух атомов перемещается
вокруг второго, неподвижного. При этом для второго вида процессов характерный энергетический барьер много ниже, чем для
первого (5-9 мэВ для смещения одного из атомов, против 101 мэВ
для параллельного переноса всего димера из fcc-позиций в hcp).
По причине своего относительно низкого энергетического барье128
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ра смещение одного атома является основным процессом для
диффузионного движения димера.
Рис. 2. Примеры процессов для трёхатомного кластера: параллельный
перенос и вращение
Для тримера (трёхатомного кластера) характерны только параллельный перенос и вращение всего кластера как целого
(рис. 2). При этом также энергетический барьер для вращения
кластера намного ниже, чем для переноса (49 мэВ против
123 мэВ, если исходно атомы кластера занимают fcc-позиции), но
в отличие от димера, данный процесс не влияет на смещение кластера в процессе диффузии.
Для четырёхатомного кластера характерен только параллельный перенос. То же самое относится к семиатомному кластеру,
имеющему форму компактного гексагона. И для четырёхатомного кластера в форме ромба, и для семиатомного кластера в форме
гексагона указанные формы являются энергетически наиболее
выгодными и, кроме того, весьма устойчивыми. Даже при выводе
из этой формы кластер очень быстро (по причине малого энергетического барьера для такого процесса) вновь принимает компактную форму.
Для пятиатомного кластера также существует компактная
форма – форма трапеции. Возможные виды процессов для такой
формы: концертное смещение целого кластера параллельным переносом или изменение формы, при котором часть атомов перегруппировывается, и в итоге получается такая же трапеция, только с другой ориентацией широкого основания. Кроме того, возможен маловероятный процесс, когда атом с острого угла
трапеции покидает свою позицию, и кластер принимает вид ромба с отдельным атомом вблизи его острого угла. Этот отдельный
атом может путешествовать вокруг ромба, пока снова не займёт
устойчивое положение или оторвётся от кластера.
П.И. Викулов, О.С. Трушин, С.П. Зимин
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 3. Примеры элементарных процессов для 6-атомного кластера:
параллельный перенос и перегруппировка
Для шестиатомного кластера существуют сразу три различных компактных формы, примерно равнозначных энергетически:
треугольник со стороной в три атома, параллелограмм и неполный гексагон (шестиугольник с одним удалённым атомом). Для
всех трёх форм характерны концертные смещения в виде параллельного переноса и вращения, а также процессы перехода из одной компактной конфигурации в другую, напрямую или через
промежуточные, относительно короткоживущие формы.
Было проведено сравнение полученных результатов с данными авторов [3] (табл. 1). Для одиночного адатома, а также кластеров размером 3, 4 и 7 атомов было обнаружено качественное
согласие результатов (относительные величины барьеров).
Отличие заключается в том, что результаты для величин
энергетических барьеров, полученных в [3], превышают величины, полученные нами на постоянный масштабный фактор (около
30%). Это отличие, по всей видимости, можно объяснить тем, что
группа Мариники использовала отличный псевдоэмпирический
потенциал [5]. Кроме того, для двухатомного кластера (димера)
обнаружены расхождения в величине барьеров для некоторых
процессов. Эти процессы, без сомнения, подлежат дальнейшему
изучению и исследованию.
Для кластеров размером 8 атомов и более возможные процессы становятся более разнообразными. Концертное смещение
всего островка как целого для кластеров такого размера маловероятно из-за высокого энергетического барьера. Общая тенденция остаётся прежней: кластер стремится принять компактную
форму, соответствующую минимальной энергии (максимальному
количеству межатомных связей), или форму, наиболее приближенную к компактной.
130
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 1
Величины энергетических барьеров для диффузионных процессов
Конфигурация
Адатом
Димер
ΔЕа, мэВ
Исходная
Конечная
1f
1h
1h
1f
Наши
данные
32
27
ff
fh
9
ff
hh
101
ff
fh
94
ff
hh
38
fh
ff
9
fh
fh
101
fh
fh
102
fh
hh
018
hh
fh
089
hh
ff
019
hh
fh
009
3hB
3fA
106
3fA
3hA
68
3hA
3fB
114
3fA
3hB
135
3hA
3fA
49
3fB
3hA
124
4hBA
4fAB
4hBA
4fAB
7h
7f
224
204
144
118
342
302
Тример
4fAB
4hBA
4 атома
4fAB
4hBA
7f
7
атомов 7h
Данные
[3]
41
37
13
39
19
39
26
11
133
114
138
155
94
150
262
238
189
165
388
346
П.И. Викулов, О.С. Трушин, С.П. Зимин
Примечания
Прыжок
Смещение
одного атома
Параллельный
перенос
Перенос
с
вращением
Вращение
Смещение
одного атома
Параллельный
перенос
Перенос
с
вращением
Смещение
одного атома
Перенос
с
вращением
Вращение
Смещение
одного атома
Параллельный
перенос
Вращение
Параллельный
перенос
Параллельный
перенос
Вращение
Параллельный
перенос
Смещение
по
диагонали
Смещение вдоль
грани
Смещение
Смещение
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выводы. В настоящее работе исследованы диффузионные
процессы, происходящие в малых кластерах меди на поверхности
Cu(111). Полученные данные найдут своё применение при компьютерном моделировании роста тонкой плёнки, а также расчёта
устойчивости наноструктур. Было выявлено, что в кластерах
сверхмалого размера основную роль играют процессы со смещением сразу всех или значительной части атомов островка. По мере роста размеров кластера основную роль в диффузионном движении начинают играть процессы со смещением одного или небольшого количества атомов по периметру островка.
Список литературы
[1] Giesen M. Progress in Surf. Sci. – 2001. – 68. Р. 1-153.
[2] Dietmar C. Schlößer, Karina Morgenstern, Laurens K. Verheij,
Georg Rosenfeld, Flemming Besenbacher, George Comsa, Surf. Sci. –
2000. – 465. – Р. 19-39.
[3] Marinika M.-K., Barreteau C., M.-C. Desjonqueres // Phys. Rev. –
2004. – B 70. 075415.
[4] Trushin A. Karim A. Kara T. Rahman // Phys. Rev. – 2005. – B
72. 115401.
[5] Mishin Y., Mehl M.J., Papaconstantopoulos D.A., Voter A.F,
Kress J.D. // Phys. Rev. – 2001. – B 63, 224106.
132
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕТИ CDMA С УЧЕТОМ
МЕХАНИЗМА УПРАВЛЕНИЯ МОЩНОСТЬЮ
К.Е. Виноградов, А.Н. Кренев, К.Н. Темане
Аннотация
Предлагается математическая модель функционирования сети мобильной связи CDMA. Проводится сравнение различных
алгоритмов определения мощностей в прямом и обратном каналах по скорости достижения состояния “равновесия” на примере
реальной сети IMT-MC 450.
Сети мобильной радиосвязи на основе технологии CDMA используют общую полосу частот для организации каналов трафика.
Частотное разделение используется только для обеспечения дуплексного разнесения прямого и обратного каналов. В данном случае помехи приему сигналов базовой станции (БС) создаются сигналами других БС, а помехи приему сигналов мобильной станции
(МС) создаются другими МС данной и соседних сот.
В сетях CDMA как в прямом канале (канал от БС к МС), так
и в обратном канале (канал от МС к БС) осуществляется управление мощностью с целью достижения оптимального отношения
сигнал/(шум+помеха) (С/(Ш+П)) в каналах трафика.
Основная проблема, возникающая при построении математической модели сети CDMA, заключается в определении мощностей излучения в прямом и обратном каналах трафика. В реальной сети CDMA уровень излучаемой МС мощности является
функцией отношения С/(Ш+П) на входе приемника БС
PMCi = f (γ БCi ) , а уровень парциальной мощности, излучаемой БС в
канале трафика, является функцией отношения С/(Ш+П) на входе
приемника МС PMCi = f (γ БCi ) [1]. Модель функционирования сети
CDMA должна использовать модель канала радиосвязи, которая
позволяет рассчитать значение С/(Ш+П) в заданной точке пространства в зависимости от ряда параметров, в том числе и от
мощности передатчика, т.е. γ = ϕ ( P,....) .
К.Е. Виноградов, А.Н. Кренев, К.Н. Темане
133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, получатся соотношение:
P = f (γ ) = f (ϕ ( P)) .
(1)
Моделированию сети CDMA с учетом механизма управления мощностью посвящены работы [2, 3, 4]. В программе оценки
ЭМС систем мобильной радиосвязи – SEAMCAT-3 [2] для разрыва “замкнутого круга” (1) используются эмпирические зависимости парциальной мощности в трафик канале от отношения
C/(Ш+П). Однако данные зависимости получены только для обратного канала и характеризуются узким диапазоном отношений
С/(Ш+П), что накладывает ограничения на их применимость.
Рассмотрим способ построения итерационного алгоритма
определения мощностей в сети CDMA, предложенный в [5]. Матричное уравнение для определения вектора мощностей p МС в
обратном канале имеет вид:
p = [ p1, p2 ,..., pN ]T ,
Ap = b,
(2)
где элементы матрицы A : aij = −γ t arg et Lij , i ≠ j , aii = Lii ,
b = N0γ t arg et .
Решение (2) находится итерационным способом Якоби [5]:
p ( k + 1) = ( I − A ) p ( k ) + b .
(3)
Таким образом, для i-й МС значение мощности на k+1-ом
шаге итерационного алгоритма может быть найдено как:
t arg et
γ
pi ( k + 1) =
p ( k ),
γ i (k ) i
i = 1,2,...N ,
(4)
где согласно [5] значение γ i ( k ) рассчитывается по формуле:
γ i (k ) =
N
Lii pi ( k )
Lij p j ( k ) + N0

j =1
,
(5)
j ≠i
где Lii – потери в канале радиосвязи от i-й МС к обслуживаемой
БС; Lij – потери распространения от j-й МС к БС обслуживаю134
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
щей i-й МС; pi и p j – мощности излучения i-й и j-й МС соответственно; N 0 – собственный шум приемника БС.
Критерием окончания процесса регулировки мощностей
(достижения состояния “равновесия”) в системе является выполнение как для всех БС, так и для всех МС следующего энергетического условия:
γ i ≥ γ t arg et , i = 1,2,...N ,
(6)
где γ i – отношение С/(Ш+П) для i-й МС (в i-м канале трафика
БС); γ t arg et – оптимальное отношение С/(Ш+П) для МС (БС).
В [5] рассматриваются несколько алгоритмов определения
вектора мощностей МС.
1) Алгоритм USOPC (unconstrained second-order power control), для которого:
t arg et
γ
i
pi ( k + 1) = ω
p k + 1 − ω ) pi ( k − 1) ,
γ i (k ) i ( ) (
i = 1,2,...N ;
(7)
2) Алгоритм CSOPC (constrained second-order power control),
для которого:
t arg et
 max

γ


i
pi ( k + 1) = min  pi , max 0,ω ( k )
pi ( k ) + (1 − ω ( k ) ) pi ( k − 1)  , i = 1,2,...N
γ i (k )


 
,(8)
где ω − релаксационный параметр.
3) Алгоритм Стеффенсена, показанный на рис. 1. На рисунке
γ threshold −
заданное
отношение
сигобозначены:
нал/(шум+помеха) на входе БС, γ i ( k ) и p i ( k ) − текущее отношение сигнал/(шум+помеха) на входе БС в канале трафика для i-й
МС и текущее значение мощности i-й МС на k-м шаге.
Рассмотренные выше алгоритмы касаются только обратного
канала и основываются на упрощенной математической модели
функционирования сети CDMA. В данной модели рассматриваетБС
К.Е. Виноградов, А.Н. Кренев, К.Н. Темане
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ся одна БС без учета влияния соседних БС и не учитывается режим хендовера. Также не учитываются так называемые overhead
каналы.
k =0
i = 1... N
p i ( 0) =
pi (1) =
γ t arg et N0
Lii
БС
γ threshold
γ БС
⋅ p i ( 0 ) , pi ( 2 ) = threshold ⋅ p i (1) ,
γ i (0)
γ i (1)
psteff i ( k ) = p i ( 0 ) −
( p (1) − p ( 0 ) )
i
2
i
p i ( 2 ) − 2 p i (1) + p i ( 0 )
+
k = k +1
p ( k ) − pi ( 0 ) < ε
s
i
+
i<N
-
p i ( 0 ) = p s te ff i ( k
)
p =  p1s ( k ) , p2s ( k ) ,..., pNs ( k ) 
Рис. 1. Алгоритм Стеффенсена
Запишем выражения для отношения С/(Ш+П) в прямом и обратном каналах с учетом упомянутых выше факторов. Отношение С/(Ш+П) на входе приемника k-й БС в обратном канале трафика i-й МС γ bs рассчитаем по формуле:
ki
γ kibs =
136
L P ms W R
ki i
(1− ε )
,
 Nms ,k

Nbs N ms , j



Lkn Pnms +    Lkl Pl ms   + N0W

 n=1

j =1  l =1

j≠k
 n ≠i

Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
(9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где P ms – мощность излучения i-й МС; L
ki
i
нения от i-й МС к k-й БС; N
мое k -й БС; N
bs
ms, k
– потерь распростра-
– количество МС, обслуживае-
– количество БС в сети; ε < 1 – коэффициент ор-
тогональности сигналов в прямом канале, позволяет учитывать
нарушение ортогональности расширяющих псевдослучайных последовательностей (ПСП) вследствие многолучовости в реальном
радиоканале; W – чиповая скорость (частота ПСП); Ri – скорость
передачи данных.
Отношение С/(Ш+П) на входе приемника i-й МС в прямом
канале трафика k-й БС γ ms рассчитаем по формуле:
ki
γ
ms
ki
=
Nbs
(1− ε ) 
n=1
Lki Pkibs (W Ri )
Lni Pnbs,overhead
+ (1 − ε )
Nms,k

m=1
m≠i
bs +
Lkm Pkm
, (10)
Nbs  Nms, j
 


j =1  l =1
j ≠k 

Lkl Pjlbs  + N0W


где Pkibs –– мощност излучения в i-ом канале трафика k-й БС;
Pbs, overhead – мощность излучения от overhead каналов n-й БС.
n
Проведем моделирование системы CDMA с использованием
линейного алгоритма, основанного на рекурсивном соотношении
(4), и алгоритма Стеффенсена (рис. 1) с учетом выражений для
отношения C/(Ш+П) (9), (10) и с использованием реальных данных о характеристиках БС IMT-MC 450, установленных в г. Ярославле.
Будем использовать метод Монте–Карло [6], реализованный
на базе геоинформационной системы частотно территориального
планирования. Расположение шести БС IMT-MC 450 показано на
рис. 2. Основные параметры сети CCC, учитываемые при моделировании, приведены в таблица 1.
Процесс моделирования сети CDMA основан на получении
так называемых “случайных снимков” системы, которые характеризуются совокупностью мгновенных значений параметров
системы (случайным размещением МС, значениями отношений
C/(Ш+П) в каналах трафика), и их дальнейшей обработке. РеК.Е. Виноградов, А.Н. Кренев, К.Н. Темане
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
зультатом обработки группы “случайных снимков” является пространственное распределение вероятности отказов (т.е. случаев,
когда МС не может установить соединение с БС). Пример пространственного распределения вероятности отказов, полученного
в результате моделирования работы сети IMT-MC 450, показан на
рис. 3.
Таблица 1
Параметры модели сети IMT-MC 450
Число случайно размещаемых МС
Минимальная мощность для базовой, дБм
Максимальная мощность для базовой, дБм
Минимальная мощность для мобильной, дБм
Максимальная мощность для мобильной, дБм
MC
Оптимальное С/(Ш+П) для МС ( γ threshold
), дБ
БС
Оптимальное С/(Ш+П) для БС ( γ threshold
), дБ
Полоса канала (чиповая скорость) кГц (кбит)
Скорость передачи данных, кбит
Мощность пилот сигнала, дБм
Число случайных снимков
Коэффициент ортогональности
Максимальный трафик на соту, Эрл
Вероятность блокировки, %
Уровень шумов приемника МС, дБм
Уровень шумов приемника БС, дБм
100
1
-43
-10
23
-5
-5
1230
9,6
13
10
0,8
20
1
-127
-127
Процесс моделирования сети CDMA основан на получении
так называемых “случайных снимков” системы, которые характеризуются совокупностью мгновенных значений параметров системы (случайным размещением МС, рассчитанными значениями
отношений C/(Ш+П)), и их дальнейшей обработке. Результатом
обработки нескольких “случайных снимков” является пространственное распределение вероятности отказов (т.е. случаев, когда МС
не может установить соединение с БС). Пример пространственного распределения вероятности отказов, полученного в результате
моделирования работы сети IMT-MC 450, показан на рис. 3.
138
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 4 и рис. 5 показан итерационный процесс определения мощностей МС в нескольких обратных каналах одного сектора БС с использованием линейного алгоритма и алгоритма
Стеффенсена соответственно.
Из приведенных рисунков видно, что при использовании алгоритма Стеффенсена требуется меньшее число итераций для определения мощностей МС в сети CDMA.
Рис. 2. Расположение БС IMT-MC
Рис. 3. Пространственное
распределение вероятности отказов
Рис. 4. Изменение мощностей в обратном канале (линейный алгоритм)
К.Е. Виноградов, А.Н. Кренев, К.Н. Темане
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 5. Изменение мощностей в обратном канале
(алгоритм Стеффенсена)
Список литературы
[1] Samuel C. Yang. CDMA RF System Engineering, 1998, ArtechHouse.
[2] SEAMCAT-3 User manual. European Radiocommunication Office, May 2005.
[3] CEPT/ECC/WGSE/STG document STG(03)12:CDMA Downlink
Power Control Methodology for SEAMCAT [VOICE ONLY].
[4] Методика расчета ЭМС основных типов (групп) РЭС систем
СПС с другими типами (группами) РЭС гражданского назначения,
работающих в общих полосах частот в диапазонах 150 МГц, 450 МГц,
900 МГц, 2 ГГц. – М.: ГРЧЦ, 2005.
[5] Xiangfang Li, Zoran Gajic. An improved SIR-based power control
for CDMA systems using Steffensen iterations. 2002 // Conference on Information Sciences and Systems. – Princeton University, March 20-22,
2002.
[6] Виноградов К.Е., Кренёв А.Н., Темане К.Н. Использование
метода Монте-Карло для оценки вероятностных характеристик отношения сигнал шум на примере сети сотовой связи стандарта GSM 900
// Сб. науч. тр ХI Междунар. конф. “Радиолокация, навигация и
связь”. Воронеж, 12-14 апреля 2005 г. – Том 2. – С. 1182-1188.
140
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
КОЛЕБАНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ СТРУИ ВЯЗКОЙ
ЖИДКОСТИ КОНЕЧНОЙ ПРОВОДИМОСТИ
Н.В. Воронина, С.О. Ширяева, О.С. Крючков
Аннотация
Выведено дисперсионное
релаксирующей струе.
уравнение
для
волн
на
1. Рассмотрим бесконечную, движущуюся вдоль оси симметрии с постоянной скоростью U 0 цилиндрическую струю радиуса R вязкой несжимаемой жидкости с массовой плотностью ρ,
кинематической вязкостью ν и коэффициентом поверхностного
натяжения γ . Будем считать, что жидкость имеет конечную
удельную проводимость σ и диэлектрическую проницаемость
ε d . Электрический заряд распределен по цилиндрической, в
отсутствие возмущений, поверхности струи с постоянной
поверхностной плотностью æ0 . Струя помещена в окружающую
среду с характеристиками: σ = 0 , ε d = 1 . Поскольку мы
рассматриваем бесконечную струю, то для упрощения задачи
перейдем в инерциальную систему координат, движущуюся
вместе со струей с такой же скоростью U 0 . Очевидно, что в такой
системе отсчета поле скоростей течения жидкости в струе U (r, t )
полностью определяется возможными (имеющими, например,
тепловую природу) капиллярными осцилляциями ее поверхности
и является величиной такого же порядка малости, что и
амплитуда колебаний. Будем учитывать, что в процессе
осцилляций струи электрический заряд перераспределяется по
свободной поверхности жидкости с характерным временем,
сравнимым с периодом колебаний, так что поверхностная
плотность заряда æ оказывается функцией времени и координат
æ = æ (r, t ). Зададимся целью вывести дисперсионное уравнение
для волн на такой струе.
Уравнение поверхности струи, возмущенной капиллярным
волновым движением, запишем в цилиндрических координатах:
Н.В. Воронина, С.О. Ширяева, О.С. Крючков
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r (φ , z , t ) = R + ξ (φ , z , t ),
x = R.
Математическая формулировка задачи имеет вид:
dU
1
= − ∇P + ν ΔU.
ρ
dt
С U = 0,
D F ex = 0;
D F in = 0;
r → 0: U < Ґ ,
С F in < Ґ ;
r® Ґ :
С F ex ® 0;
¶x
r - (1 + x (f , z , t ))щ
+ ∇U й
к
ъ= 0
л
ы
¶t
ж¶ U f
ц
1 ¶ Ur 1 ч
ex
in
з
P tf - P tf - nз
+
- Uf ч
= 0,
ч
ч
зи ¶ r
r ¶f
r ш
ж¶ U z ¶ U r ц
in
ч= 0;
з
P ex
P
+
n
ч
tz
tz
ззи
ч
¶r
¶z ш
∂U r
− P ( r, t ) + P0 + 2 ρν
+ Pγ − Pæ = 0
∂r
U
¶æ
= 0,
s n ЧС F in + (U ЧС S )æ + æ r +
¶t
r
4p æ = n (ε dС F in - С F ex );
F in = F ex .
r = R+ x:
-
εd
En Et , En , Et
– нормальная и касательная
4p
компоненты напряженности электрического поля.
2. В линейном приближении по x R , если за всеми величинами оставить прежние обозначения, обсуждаемая задача в безразмерных переменных, в которых R = γ = ρ = 1 , запишется в
виде:
r (f , z , t )= 1 + x (f , z , t ),
x = 1,
(1)
¶U
(2)
= - С p + nD U ;
¶t
С U = 0,
(3)
D j ex = 0;
D j in = 0;
(4)
Pt =
142
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r → 0:
U<Ґ ,
r® Ґ :
Сj
r = 1:
ex
Сj
in
<Ґ ;
® 0;
¶x
+ U r = 0,
¶t
ex
ex щ
й
¶x
¶
j
¶
x
¶
j
2
ъ4p æ0 (1- x ) - æ0 к(1- x )
+
к
ъ
¶f
¶
f
¶
f
¶
r
л
ы
ж¶ U f
ц
¶ Ur
ч
- n зз
+
- Uf ч
= 0,
ч
ч
зи ¶ r
¶f
ш
-
ex
ex щ
й
¶x
¶
j
¶
x
¶
j
ъ- 4p æ (1- x ) + æ0 к(1- x )
+
к
ъ
¶z
¶z
¶z ¶r ы
л
ж¶ U
¶ Ur ц
ч
- n зз z +
ч
ч= 0,
зи ¶ r
¶z ш
∂U r
− p + 2ν
+ pγ − pæ = 0,
∂r
¶ æ1
¶ j in
s
+ æ0U r +
= 0,
¶r
¶t
¶
4p æ1 = x +
ε dj in - j ex ),
(
¶r
ex
in
j - j - 4p æ0 x = 0.
ж ¶ 2x ¶ 2x ч
ц
з
ч
pγ = - зx +
,
+
ч
зи ¶ f 2 ¶ z 2 ш
ч
(5)
(6)
(7)
(8)
2
0
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
¶ j ex
pæ = - 4p æ x - æ0
.
(15)
¶r
3. Систему уравнений (2), (3) будем решать методом
операторной скаляризации, раскладывая поле скоростей U (r,t )
на сумму трех ортогональных векторных полей при помощи
µi
векторных дифференциальных операторов N
2
0
U (r, t )=
3
е
µi y (r, t )
N
i
(i = 1, 2, 3),
(16)
j= 1
удовлетворяющих условиям ортогональности:
Н.В. Воронина, С.О. Ширяева, О.С. Крючков
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
µ+j N
µi = 0
(при i ≠ j ; i, j = 1, 2, 3 )
(17)
N
и условиям коммутативности с оператором Лапласа:
µi = N
µiD .
DN
(18)
В выражениях (16), (17) y i (r, t ) – неизвестные скалярные
µ+j – операторы, эрмитовосопряженные к операторам
функции, N
µj .
N
Поскольку равновесная форма струи обладает осевой
µi удобно выбрать в виде:
симметрией, то операторы N
µ1 = С ,
µ3 = С ґ (С ґ e ).
µ2 = С ґ e ,
N
N
N
z
z
Поле скоростей U (r, t ) в цилиндрической системе координат
будет иметь следующие компоненты, выраженные через
скалярные функции y i (r, t ):
¶ y 1 1 ¶ y 2 ¶ 2y 3
+
+
Ur =
,
r ¶f
¶r
¶ z¶ r
1 ¶ y 1 ¶ y 2 1 ¶ 2y 3
+
Uf =
,
r ¶f
r ¶ z¶ f
¶r
2
ж ¶y3ц
y3щ
¶
¶y1 й
1
1
¶
ч
з
к
ъ.
(19)
Uz =
+ 2
ч
ззиr
2 ъ
ч
к
¶ z лr ¶ r ¶ r ш r ¶ f ы
Подставляя разложение (16) в систему (2), (3) и используя
свойства операторов (17), (18), получим систему скалярных
уравнений:
1 ¶yi
Dy i = 0
D y 1 = 0,
( i = 2, 3 ),
(20)
n ¶t
¶y1
p= .
(21)
¶t
Используя (14), (15), (19), (21), граничные условия (7) – (11)
преобразуем в граничные условия для неизвестных функций y i ,
j
ex
,j
144
in
иx
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ц
¶ x зж¶ y 1 ¶ y 2 ¶ 2 y 3 ч
ч
- з
+
+
= 0,
r = 1:
ч
ч
з
¶t и¶r
¶f
¶ z¶ r ш
ex
ex щ
й
м
ц
j
x
j
¶x
¶
¶
¶
п
2
п2 ¶ ж
ч
зз ¶ y 1 - y 1 ч
к
ъ
4p æ0 (1- x ) - æ0 (1- x )
+
- n Чн
чзи ¶ r
к
ъ
п
ш
r
f
f
f
¶f
¶
¶
¶
¶
о
л
ы п
2
2
2
ж¶ y 2 ¶ y 2 ¶ y 2 ч
ц
ь
ц
¶y3
¶ ж
п
п
з
ч
з
ч
- з 2 +2
- y 3 чэ = 0,
з
ч
чп
ч
з ¶r
ш
¶r
¶ z¶ f зи ¶ r
¶f 2 ш
и
п
ю
ex
ex
2
й
м
ц
п
¶x
¶j
¶x ¶j щ
2
п¶ ж
ч+
зз2y 3 - ¶ y 3 ч
к
ъ
- 4p æ0 (1- x ) + æ0 (1- x )
+
- n Чн
2з
ч
к
ъ
п
¶z
¶z
¶z ¶r ы п
¶r ш
л
о¶ f и
ьп
ц ¶ ж
¶ 2y 3 ц
¶ y 1 ¶ y 2 ¶ 2y 3 ч
¶ ж
чп
з
з
ч
ч
+
+
+
+
з2
ззy 3 - r
э = 0,
ч
ч
ч ¶r и
чп
¶ z зи ¶ r
¶f
¶ z¶ r ш
¶ r2 ш
п
ю
ь
п
¶y1
¶ y 1 1 ¶ y 2 ¶ 2y 3 п
¶ м
п
п
+ 2n н
+
+
э+
п
¶t
¶r п
¶
¶
¶
¶
r
r
f
z
r
п
п
о
ю
ц
¶ j ex ж
¶ 2x ¶ 2x ч
з
ч
+ 4p æ x + æ 0
- зx +
+
= 0,
ч
ч
¶ r зи ¶ f 2 ¶ z 2 ш
ж¶ y
ц 1 ¶ й ¶
¶ y 2 ¶ 2y 3 ч
¶ j in
in
ex щ
1
з
ч
к
s
+ æ0 з
+
+
+
x
+
j
j
ε
(
)ъъ= 0.
ч
зи ¶ r
ч 4p ¶ t кл ¶ r d
¶r
¶f
¶ z¶ r ш
ы
(22)
Поскольку функции j ex , j in , x и y i описывают малые отклонения от равновесного состояния, то для того чтобы проследить
эволюцию во времени, примем, что временная зависимость всех
малых величин определяется экспонентой
j ex , j in , x , y i ~ exp (st ),
где s – комплексная частота.
Учитывая это, решения уравнений (20) и (4) в
цилиндрической системе координат, удовлетворяющие условиям
ограниченности (5), (6), будем искать в виде разложений по
волнам, бегущим вдоль оси OZ
2
0
Ґ
y1 =
Ґ
те
C1 I m (kr )exp (imf )exp (ikz )exp (st )dk ,
0 m= 0
Н.В. Воронина, С.О. Ширяева, О.С. Крючков
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ґ
yi =
j
Ґ
те
Ci I m (lr )exp (imf )exp (ikz )exp (st ), (i = 2, 3),
0 m= 0
Ґ
in
Ґ
те
=
(23)
B1 I m (kr )exp (imf )exp (ikz )exp (st )dk ,
0 m= 0
Ґ
j
ex
=
Ґ
те
B2 K m (kr )exp (imf )exp (ikz )exp (st )dk .
(24)
0 m= 0
В виде аналогичного разложения представим и функцию
x (z , f , t )
Ґ
Ґ
те
x (z , f , t )=
D exp (imf )exp (ikz )exp (st )dk .
(25)
0 m= 0
В (23) – (25) l 2 ≡ k 2 + s /ν , k и m – волновое и азимутальное
числа, I m (x ), K m (x ) – модифицированные функции Бесселя
первого и второго рода, C i (i = 1, 2, 3), B j ( j = 1, 2), D –
коэффициенты разложений, зависящие от m и k .
Используя условие эквивалентности внешнего и внутреннего
электрических потенциалов на поверхности струи (13), решения
(24), (25) и учитывая свойства ортонормированности функций
exp(imφ ) и exp(ikz )
2p
т exp [i (m 1
m2 )f ]d f = dm1 , m2 ,
0
Ґ
т exp [i(k 1
k 2 ) z ]dz = d (k1 - k2 ),
- Ґ
(26)
где δ m1 , m2 – дельта-символ Кронекера, δ (k1 − k2 ) – дельта-функция
Дирака, несложно получить связь коэффициентов B1 , B2 и D
B1 = [K m (k ) B2 - 4p æ0 D ] I m (k ).
(27)
Подставляя решения (23), (24) с учетом (27) и разложение
(25) в граничные условия (22) и используя соотношения (26),
получим систему однородных уравнений относительно
неизвестных коэффициентов D , B2 и Ci (i = 1, 2, 3)
146
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
- sD + kI mў(k )C1 + imI m (l )C2 + iklI mў(l )C3 = 0,
im 4p æ 02 D - imæ 0 K m ( k ) B2 - n 2imI m ( k ) (Gm ( k ) - 1)C1 +
+ n I m (l ) (2m 2 + l 2 - 2Gm (l ))C2 + n 2mkI m (l ) (Gm (l ) - 1)C3 = 0,
ik 4p æ02 D - ik æ0 K m ( k ) B2 + n 2ikI m ( k )Gm ( k )C1 -
- n mkI m (l )C2 - n I m (l )Gm (l ) (k 2 + l 2 )C3 = 0,
(k 2 + m2 - 1+ 4p æ02 )D + æ0kKmў(k )B2 + Im (k ) йклs + 2n (k 2 + m2 - Gm (l ))щ
ъC1 +
ы
+ n 2imI m (l ) (Gm (l ) - 1)C2 + n 2ikI m (l ) (l 2 + m 2 - Gm (l ))C3 = 0,
йs - 4p æ0Gm (k ) (4ps + ε d s )щD - K m (k ) йsH m (k ) - Gm (k ) (4ps + ε d s )щB2 +
л
ы
л
ы
+ 4p æ0 {kI mў(k )C1 + imI m (l )C2 + iklI mў(l )C3 }= 0,
(28)
здесь штрихами обозначены производные функций Бесселя по их
аргументу,
Gm ( x) є xI mў( x) I m ( x) ,
H m ( x) є xK mў( x) K m ( x).
Как известно, система однородных линейных уравнений
имеет нетривиальное решение только в случае, если ее
определитель равен нулю. Для дальнейшего анализа решения
удобнее будет рассматривать систему уравнений относительно
коэффициентов B2 и Ci (i = 1, 2, 3) , выразив коэффициент D из
последнего уравнения (28)
K (k )
D= m
L mk M mk B2 - M mk {kI mў(k )C1 + imI m (l )C2 + iklI mў(l )C3 },
4p æ0
- 1
L mk
M mk = M mk ( s, s , ε d ) є 2 p w й
s - 2 p wGm (k ) (4ps + ε d s )щ
ъ ,
лк
ы
= L mk ( s, s , ε d ) є sH m (k ) - Gm (k ) (4ps + ε d s ), w є 4p æ02 . (29)
Исключая из (28) с помощью (29) коэффициент D , получим
систему уравнений относительно B2 и Ci (i = 1, 2, 3) , элементы aij
определителя которой определяются соотношениями
a11 = - sL mk M mk ,
a12 = Gm (k ) (1 + sM mk ),
Н.В. Воронина, С.О. Ширяева, О.С. Крючков
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a13 = im (1 + sM mk ),
a14 = ikGm (l ) (1 + sM mk ),
a21 = - imw (1- L mk M mk ), a22 = - im лй2n (Gm (k ) - 1)+ wGm (k )M mk щ
ы,
a23 = n (l 2 + 2m 2 - 2Gm (l ))+ wm 2 M mk ,
щ
a24 = mk й
л2n (Gm (l ) - 1)+ wGm (l )M mk ы,
a31 = - ikw (1- L mk M mk ),
a32 = - ikGm (k ) (2n - wM mk ),
a33 = - mk (n - wM mk ),
a34 = - Gm (l ) кйn (k 2 + l 2 )- wk 2 M mk щ
ъ,
л
ы
a41 = wH m (k ) + (k 2 + m 2 - 1 + w)L mk M mk ,
a42 = s + 2n (k 2 + m 2 - Gm (k ))- (k 2 + m 2 - 1 + w)Gm (k )M mk ,
2
2
a43 = im й
2
n
G
(
l
)
1
k
+
m
- 1 + w)M mk щ
(
)
(
m
ъ,
лк
ы
(30)
a44 = ik кй2n (l 2 + m 2 - Gm (l ))- (k 2 + m 2 - 1 + w)Gm (l )M mk щ
ъ.
ы
л
Приравнивая нулю определитель четвертого порядка с элементами (30), получим дисперсионное уравнение, связывающее
частоты s неосесимметричных колебаний поверхности струи с
волновым числом k . В общем случае дисперсионное уравнение
имеет довольно громоздкий вид, и его анализ доступен только
численными методами.
Для струи маловязкой жидкости, когда выполняется условие
l ? k (при этом Gm (l ) » l ), дисперсионное уравнение принимает
более компактный вид:
2
2
sй
s
k
+
m
- 1 + w)Gm (k )M mk щ
(
кл
ъL mk M mk +
ы
+ 2n s (k 2 + m 2 - Gm (k ))L mk M mk = - f mk (1 + sM mk )Gm (k ),
f mk = f mk ( s, s , ε d ) = wH m (k ) + (k 2 + m 2 - 1 + w)L mk M mk .
В асимптотике ν → 0, σ → ∞ это уравнение переходит в известное дисперсионное уравнение для идеальной жидкости. При
σ → ∞ и отличной от нуля вязкости реализуется корректный переход к дисперсионному уравнению для маловязкой идеально
проводящей жидкости.
148
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О НЕУСТОЙЧИВОСТИ ТЕЙЛОРА-ТОНКСА-ФРЕНКЕЛЯ
НА ПЛОСКОМ МЕНИСКЕ ЖИДКОСТИ
А.И. Григорьев, Д.М. Пожарицкий, Е.В. Егорова
Аннотация
Показано, что во внешних электростатических полях достаточно большой интенсивности закономерности реализации неустойчивости мениска не зависят от ориентации капилляра.
1. Пусть вертикально ориентированный открытый с обоих
концов капилляр с внутренним радиусом R, ось симметрии которого совпадает с осью OZ цилиндрической системы координат и
составляет угол ϑ с направлением поля сил тяжести:
 
n z g ≡ g cos(ϑ ) , заполнен вязкой несжимаемой идеально проводящей жидкостью с массовой плотностью ρ, кинематической
вязкостью ν и коэффициентом поверхностного натяжения σ.
Нижний срез трубки совпадает с плоскостью z = 0 в системе плоских электродов, нижний из которых удален на бесконечность,
так, что между электродами существует
однородное электроста
тическое поле напряженностью E0 . Будем исследовать на устойчивость мениск жидкости на торце капилляра по отношению к
действию электрического поля и поля силы тяжести, имея в виду,
что на торце капилляра могут реализоваться две апериодические
неустойчивости: Тонкса-Френкеля и Тейлора.
Уравнение поверхности мениска, возмущенной капиллярным волновым движением тепловой природы весьма малой амплитуды:  κ T σ (здесь κ - постоянная Больцмана; Т - абсолютная температура), запишется в виде:
z = ξ ( r ,ϕ , t ) ;
ξ << R ;
ξ ( r ,ϕ , t ) - уравнение формы возмущенной поверхности мениска.
Математическая
формулировка задачи имеет вид:




∂U
1
+ U ∇ U = − ∇P + ν ⋅ ΔU + ∇( g ⋅ z ) ;
ρ
∂t
dF
z = ξ ( r ,ϕ , t ) :
Φ ≡ const ;
= 0;
dt
(
)

divU = 0;
ΔΦ = 0 ;
F ( r ,ϕ , t ) = z − ξ ( r ,ϕ , t ) = 0 ;
А.И. Григорьев, Д.М. Пожарицкий, Е.В. Егорова
149
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 

 

τ ( n ∇ )U + n (τ ∇ )U = 0 ;
2

 
 ( ∇Φ )
− ( P − P* ) + 2ν n ( n ∇ )U + σ ⋅ divn −
= 0;
8π
z = 0, r = R :
ξ (r ,ϕ , t ) = 0;
z →∞:



−∇Φ → E0 ;
r → 0:

U < ∞;
где τ и n - орты касательной и нормали к поверхности
  мениска;

P* - постоянное давление в окружающей среде; U ( r , t ) , P ( r , t ) и

Φ ( r , t ) - поля скоростей и поле давлений в жидкости и поле электростатического потенциала в окружающей среде.
В нулевом приближении по малой амплитуде возмущения
ξ ( r ,ϕ , t ) равновесную поверхность мениска, пренебрегая эффектом смачивания на торце трубки, будем считать совпадающей с
плоскостью z = 0 ; гидродинамическое давление определится высотой столба жидкости; поле скоростей течения жидкости будет
тождественно равно нулю, а потенциал электростатического поля
будет иметь вид: Φ 0 = − E0 z.
Для упрощения записи и последующих вычислений перейдем к безразмерным переменным, в которых g = ρ = σ = 1 , и оставляя за всеми переменными прежние обозначения, перепишем математическую формулировку задачи в линейном по безразмерной
амплитуде возмущения свободной поверхности мениска приближении. При линеаризации
учтем, что поля скоростей и
  задачи

давлений в жидкости U ( r , t ) , P1 ( r , t ) , а также поправка к электро
статическому полю Φ1 (r , t ) , связанные с волновым возмущением
поверхности,
имеют первый порядок малости. В итоге получим:


∂U
= −∇P1 + ν ⋅ ΔU + ∇z ;
∂t
∂Φ
∂ξ
Φ1 = − 0 ξ ;
=Uz;
z = 0:
z = 0, r = R :
z →∞:
150

divU = 0;
ΔΦ1 = 0 ;
∂Uϕ ∂U z
∂U r ∂U z
+
+
= 0;
= 0;
∂z
∂t
∂z
∂r
∂z
r ⋅ ∂ϕ
∂U z ∧
1  ∂Φ 0 ∂Φ1 
− P1 − 2ν
+ Lξ +

 = 0;
4π  ∂z ∂z 
∂z
ξ (r ,ϕ , t ) = 0;
Φ1 → 0 ;
r → 0:
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1

U < ∞;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 ∂ ∂ 1 ∂2
.
L≡
r +
r ∂r ∂r r 2 ∂ϕ 2
∧
2. Решения выписанной системы в цилиндрической системе
координат, ограниченные на оси симметрии, будем искать стандартными для линейных задач методами в виде разложений по
цилиндрическим функциям Бесселя первого рода J n (k j r ) и в итоге при ϑ = 0 найдем дисперсионное уравнение задачи, определяющее связь комплексной частоты с волновым числом:
(s
+ 2ν k 2j ) + ω 2j = 4ν 2 k 4j 1 +
2
j
s
;
ν k 2j
(1)
ω 2j ≡ k 3j − k j − W ⋅ k 2j ;
W ≡ E02 4π .
Несложно видеть, что дисперсионное уравнение формально
имеет такой же вид, как и для плоских капиллярногравитационных волн на заряженной поверхности вязкой жидкости. Отличие в том, что теперь иначе определена частота ω j , поскольку ускорение поля сил тяжести в рассматриваемой задаче
играет дестабилизирующую роль и входит со знаком, обратным
по сравнению с классической задачей о волнах на свободной поверхности жидкости, и, кроме того, величина волнового числа
изменяется не непрерывно, но должна удовлетворять условиям
закрепления мениска на торце трубки: z = 0, r = R : ξ (r ,ϕ , t ) = 0 .
Из этого требования несложно найти, что спектр допустимых
волновых чисел определяется корнями функций Бесселя:
J n ( μnj ) = 0;
μnj ≡ knj R.
(2)
В асимптотике малой вязкости, когда безразмерный коэффициент кинематической вязкости много меньше единицы ν  1 (в
размерном виде ν  4 σ 3 ρ 3 g ) дисперсионное уравнение (1) можно записать в линейном приближении по безразмерной вязкости,
и оно существенно упростится:
snj2 + 4ν knj2 snj + ωnj2 = 0 ;
(3)
а его решения в том же приближении легко выписываются в виде:
snj (1;2) = −γ nj ± iω0 ≡ −2ν knj2 ± (2ν knj2 )2 − ωnj2 ≅ −2ν knj2 ± −ωnj2 ≡
А.И. Григорьев, Д.М. Пожарицкий, Е.В. Егорова
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
≡ −2ν knj2 ± −(knj3 − knj − W ⋅ knj2 ) .
(4)
3а. В (4) γ nj характеризует декремент затухания осцилляций
мениска, а ωnj - их частоту. Из (4) видно, что условием нарушения
устойчивости мениска является условие прохождения через ноль
в область отрицательных значений квадрата частоты ωnj . При
этом частота snj становится вещественной положительной, что
соответствует экспоненциальному росту со временем. Условие
нарушения устойчивости мениска по отношению к возмущениям
бесконечно малой амплитуды имеет вид:
knj3 − knj − W ⋅ knj2 = 0 ;
или
W = knj − knj−1.
(5)
Учтем теперь, что при фиксированном радиусе трубки волновое число может принимать только дискретно изменяющиеся
значения согласно (3), и (5) можно переписать в виде:
μ
R
W = nj − .
R μnj
Видно, что при фиксированных n и j непрерывно могут меняться радиус трубки R и параметр W. Если теперь сформулировать проблему отыскания значений радиусов трубки R и соответствующих им величин параметра W, при которых жидкость под
влиянием поля сил тяжести и давления электрического поля начнет вытекать из трубки, то выписанное соотношение определит
связь между критическим значением радиуса R = Rc и параметра
W = Wc . При W = Wc жидкость будет вытекать из трубки с радиусом R ≥ Rc :
μnj
Rc =
.
(6)
2
0.5 ⋅ Wc + 0.25 ⋅ Wc + 1
Из (6) ясно, что с увеличением W величина Rc снижается.
Несложно видеть, что для капилляров достаточно больших радиусов мениск будет неустойчив даже при W = 0, т.е. в отсутствие внешнего электрического поля, а причиной неустойчивости
будет влияние поля сил тяжести. С другой стороны, для капилляров малых радиусов реализация неустойчивости будет иметь место только при больших значениях параметра W (при больших
величинах напряженности электростатического поля).
152
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3b. Сформулируем теперь задачу, аналогичную рассмотренной в п. 3а, с той разницей, что будем рассматривать устойчивость во внешнем электростатическом поле плоского мениска
жидкости на верхнем конце трубки? когда ϑ = π . В новых условиях поле сил тяжести будет играть стабилизирующую роль, а
орт внешней нормали к невозмущенной поверхности плоского
мениска жидкости будет направлен противоположно ускорению
 
поля сил тяжести: n  − g . Математическая постановка задачи и
приведенные выше математические построения остаются в силе с
тем отличием, что в динамическом граничном условии изменится

на противоположный знак при g . Дисперсионное уравнение попрежнему будет иметь вид (1), а в приближении ν  1 - вид (3),
но в нем изменится выражение для ωnj2 , которое примет вид:
ωnj2 ≡ knj3 + knj − W ⋅ knj2 ;
т.е. изменится знак при слагаемом, соответствующем влиянию
поля сил тяжести. Вместо (5) появится зависимость:
W = knj + knj−1;
а вместо (6):
μnj
μnj
R1 =
0.5 ⋅ W + 0.25 ⋅ W 2 − 1
;
R2 =
0.5 ⋅ W − 0.25 ⋅ W 2 − 1
.
3с. Пусть теперь ось капилляра и коллинеарная ей напряженность внешнего электростатического поля ориентированы под
произвольным углом ϑ по отношению к направлению ускорения
поля сил тяжести. Разложим силу тяжести на две перпендикулярные компоненты: параллельную оси симметрии g ≡ g ⋅ cosϑ (и
коллинеарную направлению напряженности внешнего электростатического поля) и перпендикулярную ей g⊥ ≡ g ⋅ sin ϑ . Тогда,
согласно сказанному выше, компонента давления поля сил тяжести пропорциональная g будет оказывать влияние на устойчи-
вость мениска на торце капилляра, а компонента пропорциональная g⊥ не будет. Математическая формулировка задачи об исследовании устойчивости мениска останется прежней, равно как
и дисперсионное уравнение, которое по-прежнему будет иметь
А.И. Григорьев, Д.М. Пожарицкий, Е.В. Егорова
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вид (1), а в приближении ν  1 - вид (3), но в нем изменится выражение для ωnj2 , которое примет вид:
W = knj −
ω 2j ≡ k 3j − k j ⋅ cosϑ − W ⋅ k 2j .
R1 =
Кроме того:
μnj
0.5 ⋅ W + 0.25 ⋅ W + cosϑ
2
;
R2 =
cosϑ
knj
.
μnj
0.5 ⋅ W − 0.25 ⋅ W + cosϑ
2
;
где выражение для R2 определено только при cosϑ ≤ 0 , а при
cosϑ > 0 теряет смысл, поскольку приводит к отрицательным значениям радиуса.
Сказанное в этом разделе в приближении R <1 о закономерностях нарушения устойчивости заряженной поверхности жидкости остается справедливым и в приложении к капле, находящейся
в скрещенных гравитационном и электростатическом полях (т.е.
в ситуации грозового облака).
Интересно отметить, что в ситуации, рассмотренной в п. 3а,
когда поле сил тяжести играет стабилизирующую роль (при
cosϑ > 0 ), критическому для реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости значению параметра W соответствует
конкретная волна с волновым числом k , обладающая максимальным инкрементом неустойчивости, также как и в задаче о неустойчивости Тонкса-Френкеля (когда cosϑ = 1 ), отличие лишь в
дополнительном условии (2), накладывающем ограничение на
спектр волновых чисел. Иными словами, при cosϑ > 0 система
уравнений:
ω = 0;
2
nj
d (ωnj2 )
dk
= 0;
(7)
имеет решение:
W = 2 cosϑ ;
k = cosϑ .
(8)
Для всех остальных рассмотренных ситуаций система (7) несовместна, а решения (8) при cosϑ ≤ 0 теряют физический смысл.
В подобной ситуации критическому значению параметра W соответствует волновое число, инкремент неустойчивости которого
не экстремален.
154
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Неустойчивость мениска реализуется, когда проходит через
ноль и становится отрицательным ωnj2 :
ωnj2 ≡ knj3 + knj ⋅ cosϑ − W ⋅ knj2 ≤ 0.
При фиксированных W , k и cosϑ величина инкремента неустойчивости волны с волновым числом k определится выражением
γ nj ≡ W ⋅ knj2 − knj3 + knj ⋅ cosϑ .
Несложно видеть, что максимальное значение инкремента
достигается при значении волнового числа, определенном соот-
(
)
1
W + W 2 − 3cosϑ , которое совпадает с экстре3
мальным только при cosϑ > 0 .
ношением k =
4. В реальных устройствах для электродиспергирования
жидкости используется система электродов, отличающаяся от обсуждаемой выступающим капилляром. В такой системе электродов напряженность внешнего электростатического поля в окрестности торца капилляра существенно (в несколько раз) превышает
при
 прочих равных условиях напряженность однородного поля
E0 между плоскими электродами. Если длину выступающей части капилляра обозначить L , эксцентриситет e вытянутого сфероида, которым мы моделируем капилляр для оценки напряженности электрического поля у его вершины, определится с учетом
электростатического отражения капилляра в плоском электроде
известным выражением: e ≡ 1 − R 2 L2 . Известно, что величина
напряженности электростатического поля у вершины сфероида
превышает величину напряженности
внешнего однородного

электростатического поля E0 в χ раз:
(1 − e 2 )
1+ e
) − 2e]}−1.
[ln(
χ ≡{
3
1− e
2e
В реальных установках для электродиспергирования жидкости радиусы капилляров R измеряются сотнями микрометров и
при длине капилляра порядка L = 10 ⋅ R (т.е. порядка единиц миллиметров) получим e ≈ 0.995 , а χ ≈ 30 . Давление же электростатического поля на мениск и (величина параметра W) увеличится на
три порядка по сравнению с его исходным значением. Сказанное
А.И. Григорьев, Д.М. Пожарицкий, Е.В. Егорова
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
означает, что в реальных установках электродиспергирование
жидкости происходит при определяющем влиянии электрического поля, а влияние поля сил тяжести несущественно.
Согласно экспериментальным данным реализующиеся режимы электродиспергирования жидкости начинаются с выброса
струи вдоль оси симметрии капилляра. Сказанное означает, что
форма мениска, после потери им устойчивости, определяется суперпозицией функций Бесселя нулевого порядка:
ξ (r , t ) =  D0 j ⋅ J 0 (k0 j r ) ⋅ exp ( γ 0 jt ).
(9)
j
Значительное количество экспериментально наблюдаемых
режимов электродиспергирования обусловлено не столько геометрическими параметрами установки, сколько разнообразием
физико-химических свойств жидкостей (в первую очередь вязкостью, электропроводностью и величиной коэффициента диэлектрической проницаемости) и варьированием массового расхода
жидкости. Так, например, при нулевом массовом расходе через
капилляр (при отсутствии течения жидкости в капилляре) на
форму поверхности мениска (9) должно быть наложено условие
неизменности объема жидкости под мениском:
R
R
0
0
 ξ (r , t ) ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ =   D0 j ⋅ J 0 (k0 j r ) ⋅ exp (γ 0 jt ) ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ = 0,
j
которое ограничит спектр волн, формирующих форму мениска
(отметим, что выписанные интегралы от нечетных функций Бесселя нулевого порядка положительны, а от четных отрицательны).
При большом массовом расходе жидкости и при наличии
течения жидкости вдоль капилляра при анализе устойчивости
мениска необходимо принимать во внимание гидродинамическое
давление жидкости, которое в силу зависимости скорости течения от расстояния до оси капилляра не одинаковым образом скажется на устойчивости различных мод.
Необходимо также учитывать, что при формировании рельефа мениска основной вклад в этот процесс внесут моды с максимальными значениями инкрементов неустойчивости, а рост остальных мод будет подавляться условиями ограниченности подвода жидкости в увеличивающий свою амплитуду мениск.
156
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
АНАЛИЗ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
ДИАПАЗОНА 900 МГЦ В УСЛОВИЯХ ГОРОДА
А.В. Дымов, В.А. Тимофеев
Аннотация
Работа посвящена моделированию взаимодействия радиоизлучения с городской застройкой. На основе экспериментальных
исследований для системы сотовой связи стандарта GSM в диапазоне 900 МГц выполнен сравнительный анализ наиболее распространенных методов расчета напряженности поля в условиях
города.
В связи с активным внедрением новых перспективных систем связи, и в частности систем сотовой связи все более актуальной становится проблема адекватного моделирования распространения радиоволн в реальных условиях. Вследствие насыщенности радиосредствами в городе наиболее остро этот вопрос
стоит применительно к городской среде. Кроме того, решение задач электромагнитной совместимости, частотного планирования,
проблем электромагнитной экологии невозможно без информации о пространственно-временном распределении поля.
Моделирование распространения радиоволн в реальных городских условиях представляет собой очень сложную задачу.
Обширные затенения, создаваемые строениями, отражения, дифракция и рассеяние волн придают процессу распространения
излучения многолучевой характер и формируют сложную интерференционную структуру поля с глубокими и резкими пространственными замираниями. Поэтому в настоящее время существует
ряд подходов к этой проблеме, среди которых можно выделить
следующие методы [1], [2]: детерминированные, эмпирические
или полуэмпирические. Детерминированные методы обладают
потенциально более высокой эффективностью и в принципе позволяют с высокой точностью учитывать конкретные особенности застройки и рельефа. Наиболее известные из них – методы,
основанные на представлении волны как совокупности лучей.
Однако у лучевых методов, как и у большинства детерминироА.В. Дымов, В.А. Тимофеев
157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ванных методов, существует ряд недостатков, которые затрудняют их практическое использование. Из-за сложности и громоздкости (в плане вычислительных затрат) они используются в основном для систем, относительно малых по размеру обслуживаемых территорий, например микросотовых и пикосотовых
структур. Кроме того, существенное влияние на результаты оказывают погрешности исходных данных (геометрия строений,
электрофизические параметры материала зданий и т.п.). Для
практического применения лучевых методов в случае более широких зон обслуживания (покрытия) требуется их дальнейшее
развитие с учётом более тонкой структуры рассеиваемого поля и
увеличения числа и конфигурации рассеивателей, а также индивидуальных особенностей рельефа радиотрасс. В настоящее время проведение моделирования таких задач не представляется
возможным в связи с недостаточностью вычислительных ресурсов современных ПЭВМ. Ранее нами на основе метода ГюйгенсаКирхгоффа предложена модель, позволяющая учитывать особенности конкретной трассы, и в частности рельефа подстилающей
поверхности. Ее детальное описание представлено в [3,4].
Эмпирические методы позволяют прогнозировать зоны уверенного приёма и зоны радиотени. Однако они не обеспечивают
возможности учёта индивидуальных особенностей трасс, в частности прогнозирования локальных теневых зон, возникающих
внутри освещенных областей из-за влияния крупных строений.
Кроме того, точность этих методов зависит от ряда субъективных
факторов и наличия предварительных экспериментальных данных. Очевидным недостатком эмпирических и полуэмпирических
моделей является также отсутствие учета особенностей подстилающей поверхности. Они могут быть использованы для территориальных условий, сходных с теми, в которых были получены
базовые экспериментальные данные. Кроме того, эмпирические
модели неприменимы для трасс с большими нерегулярностями
рельефа.
В настоящее время применительно к системам GSM и DECT
в проекте COST 231 [5] предложен ряд методов для расчета напряженности поля (ослабления сигнала относительно свободного
пространства) при проектировании зон покрытия. В данной рабо158
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
те приводятся результаты сравнительного анализа выполненных
для системы сотовой связи стандарта GSM в диапазоне 900 МГц
экспериментальных исследований и проведенных численных
расчетов уровня сигнала в условиях города для моделей, предложенных в [5], а также модели на основе метода ГюйгенсаКирхгофа [3, 4].
Измерение уровня (мощности) принимаемого сигнала типовыми измерителями затруднено вследствие особенностей работы
базовой станции стандарта GSM 900. Сигнал на заданном частотном канале излучается передатчиком только во время посылки
абоненту сообщения (временной метод доступа). Поэтому натурные исследования были выполнены с помощью сотового телефона Nokia 6110, который позволяет проводить измерения мощности канала вызова на входе приёмника, благодаря сервисной
функции «Net Monitor». Измерения пространственного распределения поля проводились согласно рекомендации Международного Союза Электросвязи [6]. Поскольку уровень принимаемого
сигнала в городских условиях может сильно изменяться вследствие интерференции отражённых волн, для определения величины, характеризующей поле (мощность принимаемого сигнала),
использовался метод группового среднего. Этот метод предусматривает проведение нескольких отдельных измерений с размещением приемника сигналов в точках, незначительно удалённых одна от другой (разнос порядка 1-5 м в зависимости от частотного диапазона). В результате получают пакет или группу
измерений вокруг центральной точки. Затем значения отдельных
измерений усредняются и приводятся к окончательной величине.
Эта величина и использовалась как результат одного (выборочного) измерения при сопоставлении. При проведении натурных исследований по возможности площадка выбиралась в таких местах, где регистрируемые значения поля не будут значительно искажаться вследствие влияния близко расположенных воздушных
электрических проводов, больших деревьев и прочих естественных и искусственных объектов, которые могут существенно нарушать или искажать фронт излучаемой волны и которые не учитывались в теоретических моделях.
А.В. Дымов, В.А. Тимофеев
159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поскольку из всех методов расчета, которые были использованы в сравнительном анализе, только в методе ГюйгенсаКирхгофа явно учитывается рельеф трассы, для корректного сопоставления всех результатов моделирования экспериментальные
исследования были выполнены на квазиплоском участке городской застройки. Профили трасс были получены при помощи ГИС
«ПИАР» (разработка НПФ «ЯР»), как суперпозиция рельефа местности и высотности зданий. Измерения были проведены для
случаев, когда колебания высоты рельефа относительно среднего
уровня не превышали 5 метров. Максимальная протяженность
трасс составляла 4,5 км, значения высоты строений изменялись
от 5 до 30 метров. Измерения проводились на уровне 1,5 метра от
поверхности земли. Более детальные особенности проведения
измерений приведены в [7].
Сравнительный анализ был выполнен для 5 моделей распространения: эмпирическая модель Хата [5], COST-231 [5], модель
Хата-Дэвидсона [5], модель Уолфиш–Икегами [5] и модель, основанная на методе Гюйгенса-Кирхгофа [3, 4] (далее просто модель Гюйгенса-Кирхгофа).
Сопоставление экспериментальных данных и результатов
моделирования проводилось на основе статистических расчетов
для каждой модели среднего расхождения Δ и среднеквадратичного отклонения (СКО) σ :
N
Δ=
i =1
N
( Pэкс ( xi ) − Pрас ( xi ))
Δ
= i,
N
i =1
N
N
2
(
)
Δ
−
Δ
 i
σ = i =1
( N − 1)
,
где Pэкс ( xi ) и Pрас ( xi ) - измеренное и рассчитанное значения
мощности на входе приемника в точке расположения приемной
антенны xi , N - общее количество точек измерения.
160
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поскольку в модели Уолфиш-Икегами одним из основных
параметров является угол между направлением улицы и радиотрассой, то для корректного сравнения результатов моделирования и экспериментальных данных было выделено несколько случаев (видов трасс согласно этой модели), когда распространение
радиоволн происходит преимущественно параллельно улицам
( θ = 0 ÷ 35 ), под углом ( θ = 35 ÷ 55 ) к направлению улиц, преимущественно перпендикулярно улицам ( θ = 55 ÷ 90 ).
Результаты сравнительного анализа, выполненного по результатам измерений, полученных на частотах 943,4 МГц и 949
МГц, представлены на рис. 1-3.
10
8
6
4
2
0
дБ
метод Гюйгенса-Кирхгофа
Хата
COST - 231
Хата - Дэвидсон
Уолфиш-Икегами
-2
-4
-6
-8
-10
-12
среднее значение
СКО
Рис. 1. Результаты сопоставления для случая, когда распространение
радиоволн происходит преимущественно параллельно улицам,
θ = 0 ÷ 35
А.В. Дымов, В.А. Тимофеев
161
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15
10
5
0
Хата
COST - 231
Хата - Дэвидсон
Уолфиш-Икегами
дБ
метод Гюйгенса-Кирхгофа
-5
-10
-15
-20
среднее значение
СКО
Рис. 2. Результаты сопоставления для случая, когда распространение


радиоволн происходит под углом θ = 35 ÷ 55 к направлению улиц
Как видно из представленных выше результатов, угол между
направлением улицы и радиотрассой является параметром, который существенно влияет на точность предсказания модели. В
случае, когда трасса проходила преимущественно параллельно
улицам, разброс значений расхождения результатов расчетов и
экспериментальных данных относительно среднего примерно
одинаков для всех моделей и не превосходил величины
σ ≤ 3,5 дБ . В то же время для моделей Уолфиш-Икегами и COST231 имело место значительное смещение среднего значения Δ .
Минимальные значения наблюдались для модели Хата. Для
трасс, расположенных преимущественно перпендикулярно улицам, среднеквадратичные значения расхождений также не велики
(для всех моделей σ ≤ 3,5 дБ ), однако расчеты по моделям Уолфиш-Икегами и Гюйгенса-Кирхгофа лучше соответствовали экспериментальным данным, т.к. для них Δ ≤ 1 дБ . Для остальных
162
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
моделей имели место очень большие значения расхождения Δ
(10 дБ и больше).
14
12
10
дБ
8
6
4
2
0
метод Гюйгенса-Кирхгофа
Хата
COST - 231
Хата - Дэвидсон
Уолфиш-Икегами
-2
среднее значение
СКО
Рис. 3. Результаты сопоставления для случая, когда распространение

происходит преимущественно перпендикулярно улицам, θ = 55 ÷ 90

Как показали результаты сравнительного анализа, наиболее
существенные расхождения теоретических расчетов и экспериментальных данных наблюдались для промежуточного случая,
когда трассы распространения проходили в диапазоне углов от
350 до 550 относительно направления улиц. В этом случае почти
для всех моделей (кроме модели Гюйгенса-Кирхгофа) имели место большие значения СКО (до 11 дБ), а также существенные
смещения среднего (особенно для модели Уолфиш-Икегами).
На рис. 4 приведены данные, полученные обобщением всех
результатов без подразделения на направление трасс относительно городских улиц.
А.В. Дымов, В.А. Тимофеев
163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12
10
8
6
4
дБ
2
0
метод Гюйгенса-Кирхгофа
Хата
COST - 231
Хата - Дэвидсон
Уолфиш-Икегами
-2
-4
-6
-8
-10
среднее значение
СКО
Рис. 4. Общие характеристики результатов сопоставления
Из представленного рис. 4 видно, что по среднему отклонению наиболее хорошее согласие с экспериментальными данными
показали модели Хата и Хата–Девидсона, однако для них наблюдались большие значения СКО. Минимальные значения σ имели
место для модели Гюйгенса-Кирхгофа. Из всех рассмотренных
моделей только для модели Гюйгенса-Кирхгофа наблюдались отрицательные значения расхождения Δ , т.е. рассчитанные значения превышали (в среднем) результаты измерений.
В целом, как показал сравнительный анализ результатов измерений, выполненных в диапазоне 900 МГц, и пяти рассмотренных теоретических моделей расчёта поля в городе сложно рекомендовать какую-либо из них для практического применения.
Однако следует заметить, что поскольку для оценки электромагнитной совместимости лучше проводить вычисления для наихудших условий, то на начальном этапе анализа ЭМС можно использовать модель Гюйгенса-Кирхгофа. Кроме того, существенным фактом, говорящим в пользу этой модели, является
164
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
возможность учета рельефа подстилающей поверхности, что
крайне важно для практического использования.
В целом для проведения более достоверного статистического
анализа и выработки аргументированных рекомендаций необходимо выполнить дополнительные экспериментальные исследования. Представленные в работе результаты сравнительного анализа следует рассматривать как предварительные. Для проведения
более достоверной верификации моделей распространения радиоволн в условиях города требуется значительное расширение
объема базы экспериментальных данных.
Список литературы
[1] Iskander M., Yun Z. Propagation Prediction Models for Wireless
Communication Systems. // IEEE Trans. on Microwave theory and techniques. – 2002. – Vol. 50, № 3. – P. 662-673.
[2] Sarkar T.K., Ji Z., Kim K., Medour A., and Salazar-Palma M. A
Survey of Various Propagation Models for Mobile Communication // IEEE
Trans. on Antennas and Propagation Magazine. – 2003. – Vol. 45. № 3. –
P. 51-82.
[3] Козлов Р.Ю., Тимофеев В.А. Моделирование распространения радиоволн в городе с учетом рельефа местности. // Труды
X Международной научно-технической конференции ″Радиолокация, навигация, связь″. – Воронеж, 2004. – Т. 3. – С. 1937-1943.
[4] Дымов А.В., Козлов Р.Ю., Тимофеев В.А. Исследование
распространения радиоволн в городских условия в зоне тени,
создаваемой рельефом подстилающей поверхности. // Труды XI
Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь». – Воронеж, 2005. – Т. 3. – С. 1845 – 1850.
[5] COST 231. Final Report. // http://www.lx.it.pt/cost231
[6] Справочник по радиоконтролю. – МСЭ, 2002.
[7] Дымов А.В., Тимофеев В.А Экспериментальные исследования и сравнительный анализ методов моделирования распространение радиоволн дециметрового диапазона в условиях города. // Труды XII Международной научно-технической конференции "Радиолокация, навигация, связь". – Воронеж, 2006. – Т. 1. –
C. 575-581.
А.В. Дымов, В.А. Тимофеев
165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МЕТОДИКА СИНТЕЗА ДВУМЕРНЫХ
НЕРАЗДЕЛИМЫХ ЦИФРОВЫХ ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРОВ
В.Ю. Кобелев, А.Л. Приоров
Аннотация
Рассматривается метод расчета различных наборов двумерных неразделимых вейвлет-базисов, имеющих заданный порядок
гладкости. Описывается алгоритм синтеза цифровых фильтров,
соответствующих полученным базисам.
Решению задачи представления и синтеза неразделимых
вейвлет-фильтров в настоящее время посвящен сравнительно небольшой объем публикаций по причине высокой вычислительной
сложности и малой распространенности использования неразделимых фильтров в приложениях. Основная масса алгоритмов на
базе вейвлет-преобразований и реально используемые кодеки используют разделимые вейвлет-фильтры. Обобщение одномерного
вейвлет-преобразования на двумерный случай было выполнено
еще в 1990-х годах и представлено в работах Добеши [1, 2]. При
использовании двумерных неразделимых вейвлет-преобразований прослеживаются два основных направления – общий случай,
когда ортонормированный базис вейвлетов представлен тремя
пространствами, и разложение изображения в частотной плоскости происходит на 4 области; частный случай, соответствующий
двумерной лифтинг-схеме, и схема разложения имеет шахматную
структуру (в этом случае вейвлет-базис представлен одним, двумя или тремя пространствами). В настоящей работе параметризация и синтез вейвлет-фильтров касается общего варианта представления двумерных вейвлет-фильтров.
Для удобства дальнейшего представления полученных результатов рассмотрим некоторые определения и свойства двумерного вейвлет-преобразования. Пусть ϕ( x, y ) – двумерная масштабирующая функция, подчиняющаяся уравнениям масштабирования
166
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
M −1M −1
ϕ( x, y ) =   ckj ϕ(2 x − k ,2 y − j ) .
k =0 j =0
В силу ортогональности ϕ(x, y ) для ее Фурье-образа выполняется
равенство
2
2
H ( jω1 , jω2 ) + H ( jω1 + π , jω2 ) +
2
2
+ H ( jω1 , jω2 + π ) + H ( jω1 + π , jω2 + π ) = 1,
(1)
1 M 1 −1M 2 −1
− j (ω1n1 + ω 2 n 2 )
.
где H ( jω1 , jω 2 ) =
  cn1 , n 2 e
M 1M 2 n1 = 0 n 2 = 0
По аналогии с одномерным случаем фильтр, обладающий
свойством (1), будем называть квадратурно-зеркальным двумерным фильтром.
Полный вейвлет-базис представлен тремя пространствами
ψ1 , ψ 2 , ψ 3
M −1M −1
ψ1 ( x, y ) =   g1 kj ψ1 (2 x − k ,2 y − j ) ,
k =0 j =0
M −1M −1
ψ 2 ( x, y ) =   g 2 kj ψ 2 (2 x − k ,2 y − j ) ,
k =0 j =0
M −1M −1
ψ 3 ( x, y ) =   g 3 kj ψ 2 (2 x − k ,2 y − j ) .
k =0 j =0
Коэффициенты ckj и g kj связаны между собой следующими
соотношениями
g1 kj = (− 1)k + j c M − k +1, M − j +1 ,
g 2 kj = (− 1) j ck , M − j +1 ,
g 3 kj = (− 1)k c M −k +1, j .
Под низкочастотным двумерным вейвлет-фильтром понимается цифровой фильтр, импульсной характеристикой которого
являются коэффициенты масштабирующего уравнения ckj
В.Ю. Кобелев, А.Л. Приоров
167
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 M 1 −1 M 1 −1
− j (kω1 + jω 2 )
H ( jω1 , jω2 ) =
.
  ckj e
M 1M 2 k = 0 j = 0
Под высокочастотным двумерным вейвлет-фильтром понимается цифровой фильтр, импульсной характеристикой которого явg
g
ляются коэффициенты масштабирующего уравнения 1 kj , 2 kj ,
g 3 kj
.
На рис. 1 представлены квадраты амплитудно-частотных характеристик низкочастотного вейвлет-фильтра H 2 (ω1 , ω2 ) и трех
соответствующих
высокочастотных
вейвлет-фильтров
G12 (ω1 , ω2 ), G22 (ω1 , ω2 ), G32 (ω1 , ω2 ). Пример разделения частотной
плоскости представлен на базе неразделимого вейвлет-фильтра,
синтезированного согласно приводимой ниже методике.
а)
б)
в)
г)
Рис. 1. Разделение частотной плоскости на области при использовании
различных фильтров а) НЧ; б, в, г) ВЧ
168
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По аналогии с синтезом одномерных вейвлет-фильтров основными условиями, ограничивающими выбор вейвлет-функций,
остаются условие ортогональности сдвигов и условие наличия как
минимум одного нулевого момента. Условие ортогональности
сдвигов вейвлет-функции обеспечивает полную обратимость
вейвлет-разложения. Наличие хотя бы одного нулевого момента
обусловлено тем, что вейвлет-функция и соответствующая масштабирующая функция были бы достаточно регулярными. Здесь
синтезируемые вейвлет-функции имеют минимум один нулевой
момент. Однако представленная методика расчета позволяет выполнить обобщение на случай большего числа нулевых моментов.
Ограничения на порядок гладкости m применительно к частотным свойствам вейвлет-фильтра определяются выражениями
[3]
∂ k H (ω1 , ω2 )
∂ k ω1
π
ω1 =
2
= 0,
∂ k H (ω1 , ω2 )
∂ k ω2
π
ω2 =
2
= 0,
(2)
k = 1, , m − 1.
Квадрат амплитудно-частотной характеристики представим в
виде разложения по косинусным функциям
H
2
N1 −1 N 2 −1
(ω1 , ω 2 ) =  
n1 =0 n2 =0
bn1,n2 cos(ω1n1 + ω 2 n2 ).
(3)
Необходимо отметить, что разложением (3) представляем
общий случай представления фильтров – случай двумерного неразделимого фильтра. В частном случае синтеза разделимого
фильтра разложение (3) упрощается.
Для получения необходимой гладкости вейвлет-функции добавим в косинусное разложение (3) дополнительные множители,
обладающие свойствами (2)
N1 −1 N 2 −1
H 2 (ω1 , ω 2 ) = (1 + cos(ω1 ))(1 + cos(ω 2 ))   d n1,n2 cos(ω1n1 + ω 2 n 2 ) . (4)
n1 =0 n2 =0
В.Ю. Кобелев, А.Л. Приоров
169
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разложение (4) является основой решения определенной задачи параметризации, а коэффициенты d n1 ,n2 – параметрами параметризации. С целью определения дополнительных уравнений
на d n1 ,n2 выполним подстановку разложения (4) в выражение (1).
Опустив весь необходимый объем математических вычислений,
запишем конечное выражение после указанной подстановки
N1 −1 N 2 −1

n1 = 0 n 2 = 0
(
d n1 ,n 2 cos (ω1n1 + ω2 n 2 )
4
((( −1) + 1) (( −1) + 1)
n1
n2
) (( −1) + 1) cos (ω ) cos (ω ) +
+ ( ( −1) + 1) ( ( −1) + 1) cos (ω ) +
1
+ ( ( −1) + 1) ( ( −1) + 1) cos (ω ) ) = .
2
+ ( −1)
n1 +1
+1
n 2 +1
1
2
(5)
n 2 +1
n1
2
n1 +1
n2
1
Данное выражение эквивалентно системе линейных уравнений относительно параметров d jk .
Пусть порядок вейвлета есть M * M , тогда число уравнений,
ограничивающих выбор d jk , определяется выражением
M × M 4 . Число свободных параметров определяется выражением ((M − 1) × (M − 1) − M × M 4 ). Результаты расчета числа свободных параметров представлены в табл. 1.
Таблица 1
Порядок Общее число певейвлета ременных (коэффициентов)
4*4
8*8
12*12
170
16
64
144
Число
параметров
d jk
9
49
121
Число ограничиЧисло
вающих уравне- свободных
ний
параметров
на d jk
4
16
36
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
5
33
85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 2
Порядок
вейвлета
Порядок Порядок
ϕ( x, y ) =
= ϕ1 ( x )ϕ2 ( y )
4*4
8*8
12*12
ϕ1 ( x )
ϕ2 ( y )
4
8
12
4
8
12
Число
свободных
параметров ϕ1 ( x )
1
3
5
Число
Число
свободных свободных
параметров параметров
общее
ϕ2 ( y )
1
3
5
2
6
10
Гибкость представления и множественность реализаций неразделимых фильтров особо заметна на фоне представления разделимых фильтров (табл. 2).
Варианты АЧХ различных низкочастотных (НЧ) вейвлетфильтров порядка 4*4 представлены на рис. 2. Необходимым условием, ограничивающим выбор параметров d jk , является положительность тригонометрического ряда
H 2 (ω1 , ω2 ) > 0    d kn cos(kω1 + nω2 ) ≥ 0 .
(6)
k n
В общем случае решение неравенства (6) можно осуществить, используя методы линейного программирования и лишь в
совокупности с (5). Решение неравенства (6) в явном виде, где результатом будет n-мерная область существования параметров,
является достаточно сложной задачей. Даже в одномерном случае
разработаны лишь частные решения подобного неравенства. Эмпирически получено, что при сужении области допустимых значений d jk
N −1 N −1
d 00 ≥   d nk ,
(7)
В.Ю. Кобелев, А.Л. Приоров
171
n =1 k =1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
неравенство (6) выполняется. Необходимо отметить, что существуют и другие варианты выбора d jk , удовлетворяющие неравенству (6), при которых неравенство (7) не выполняется, однако поиск дополнительных областей определения d jk – довольно нетривиальная задача.
Рассмотрим второй этап синтеза двумерных вейвлет-фильтров – расчет импульсной характеристики (ИХ). Для полноценного расчета импульсной характеристики требуется знать соответствующую фазовую характеристику, т.е. необходимо решение
фазовой задачи.
Применительно к расчету одномерных фильтров расчет нужной фазовой характеристики выполняется с использованием метода факторизации, путем вычисления нулей АЧХ фильтра и размещения их на z -плоскости в соответствии с решаемой задачей. Напомним, что метод факторизации основывается на основной
теореме алгебры – полином Р порядка М можно представить в
∗
(
). Именно
(
z
−
z
)
z
+
z
0
0
форме произведения М сомножителей вида
возможностью факторизации АЧХ одномерного фильтра объясняется тот факт, что одной АЧХ соответствует несколько ИХ.
а)
б)
Рис. 2. Квадрат АЧХ двумерного вейвлет-фильтра, рассчитанного
при помощи предлагаемого метода параметризации.
Представлены коэффициенты матрицы параметризации двумерного
вейвлет-фильтра порядка 4*4
172
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Применительно к двумерному фильтру основная теорема алгебры не выполняется. Более того, многомерные полиномы, как
правило, не разлагаются на множители. Поэтому решения многомерных фазовых задач в частотной плоскости оказываются
единственными во всех случаях, кроме специальных, не имеющих практического значения. Это приводит к тому, что автоматически снимается задача коррекции фазы двумерного вейвлетфильтра. Для решения двумерной фазовой задачи можно воспользоваться стандартным итерационным алгоритмом Файнапа
(модификация алгоритма Герхберга [4]). Практическую применимость данного метода рассмотрим на примере. В качестве тестовой АЧХ вейвлет-фильтра используется АЧХ, приведенная на
рис. 2. На рис. 3 представлена зависимость нормы отклонения
значений ИХ текущей итерации от значений ИХ предыдущей
итерации от номера итерации.
Рассчитанная ИХ двумерного вейвлет-фильтра имеет следующий вид:
 0.7334

 0.6462
h20 (n1 , n2 ) = 
− 0.1004

 − 0.0336
0.0667 

0.6924 − 0.0266 − 0.1059  .
0.0909 0.0231 − 0.1461 

0.0664 0.1077
0.0211 
0.6955
0.0836
Рис. 3. Сходимость итерационного процесса решения фазовой задачи
( ε1 – норма отклонения значений ИХ текущей итерации
от значений ИХ предыдущей итерации)
В.Ю. Кобелев, А.Л. Приоров
173
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, в работе предлагается метод параметризации
двумерных неразделимых вейвлет-фильтров, а также дается описание методики синтеза данных фильтров. Приводимые примеры
амплитудно-частотных характеристик двумерных вейвлет-фильтров, синтезированных указанным методом, показывают его относительную простоту и эффективность.
Список литературы
[1] Добеши И. Десять лекций по вейвлетам: Пер. с англ. – М.:
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004.
[2] Cohen A., Daubechies I. Nonseparable bidimensional wavelet
bases // Rev. Mat. Iberoamericana. – 1993. – V. 9, № 1. – P. 51-137.
[3] Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлетпреобразования. – СПб.: ВУС, 1999.
[4] Бейтс Р., Мак-Доннелл М. Восстановление и реконструкция
изображений: Пер. с англ. – М.: Мир, 1989.
174
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ОЦЕНКА ИЗОБРАЖЕНИЙ, ПОЛУЧЕННЫХ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АЛГОРИТМА SPIHT
И.В. Корепанов, В.А. Волохов, С.А. Новоселов
Аннотация
Работа посвящена рассмотрению нестандартизованного, но
эффективного алгоритма SPIHT, основанного на вейвлетпреобразовании и предназначенного для сжатия и прогрессивной
передачи цифровых изображений. На основе реализации указанного алгоритма в пакете моделирования Matlab произведена
оценка качества декодированного изображения в зависимости от
числа бит в потоке, условно приходящихся на пиксель.
Цифровые изображения занимают все большую часть информационного пространства. Развитие Интернета, наряду с доступностью все более мощных компьютеров и прогрессом в технологии производства цифровых камер, сканеров и принтеров,
привели к широкому использованию цифровых изображений.
Отсюда постоянный интерес к улучшению алгоритмов сжатия
данных, представляющих изображения. Алгоритмы сжатия важны как для обеспечения высокой скорости передачи информации,
так и для эффективности хранения данных.
Нуль-деревья вейвлетов
Двумерное вейвлет-преобразование [1], применяемое к изображениям, можно представить как последовательность вертикальных и горизонтальных высокочастотных и низкочастотных
операторов, применяемых к изображению, рис. 1, рис. 2. Схемы
на рис. 1а и рис. 2б показывают размещение результатов действия этих операторов в массиве вейвлет-преобразования, где LL –
выделенная низкая частота по горизонтали и низкая по вертикали, LH – низкая по горизонтали и высокая по вертикали и так далее соответственно. Эти блоки могут быть структурированы в дерево, как показано на рис. 1б. Каждый коэффициент в блоке имеет четыре “дочерних” коэффициента в соответствующих блоках
следующего уровня. Смысл введения структуры дерева в том,
что, как правило, коэффициенты в блоках на различных уровнях
И.В. Корепанов, В.А. Волохов, С.А. Новоселов
175
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
обладают значительной степенью подобия. То есть дочерние коэффициенты на некотором уровне, вероятно, будут похожими на
своих “родителей”, находящихся на предыдущем уровне.
б)
а)
Рис. 1. а) Схема двумерного вейвлет-преобразования. б) Блоки вейвлетподдерева, упорядоченные в структуру дерева, для изображения 8 × 8
а)
б)
Рис. 2. Вейвлет-декомпозиция изображения Барбара
В частности, довольно распространен случай, когда коэффициент квантуется до нуля, и его дочерние коэффициенты так
же квантуются до нуля. Это наблюдение легло в основу так называемого кодирования с нуль-деревом (wavelet zerotree encoding),
впервые примененного Льюисом и Ноулесом [2]. Однако условие
176
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
о квантовании дочерних коэффициентов до нуля, при квантовании их родительских коэффициентов до нуля, может быть верно
не всегда. Эта возможность привносит ошибки в метод нульдерева Льюиса и Ноулеса. Шапиро предложил модифицированный метод кодирования с нуль-деревом, который учитывает условие изолированных нулей [3]. Впоследствии Саид и Пирлман
предложили усовершенствованный вариант кодирования с нульдеревом, названый SPIHT (Set Partition in Hierarchical Trees –
“Разбиение множества в иерархические деревья”) [4].
Прогрессивная передача в алгоритме SPIHT
Обозначим пикселы исходного изображения P через P[i,j].
Любое множество фильтров T может быть использовано для преобразования пикселов в вейвлет-коэффициенты C[i,j]. Эти коэффициенты образуют некоторый образ C. Само преобразование
обозначается C = T (P ). При прогрессивном методе передачи декодер вначале присваивает значение ноль реконструированному
~
образу C . Затем он принимает преобразованные коэффициенты,
декодирует их и использует для получения улучшенного образа
~
C , который, в свою очередь, производит улучшенное изображе~
~
ние P
= T −1 (C ).
Основная цель прогрессивного метода состоит в скорейшей
передаче самой важной части информации об изображении, которая дает самое большое сокращение расхождения исходного
изображения и реконструированного образа. Для количественного измерения этого расхождения алгоритм SPIHT использует
среднеквадратическую ошибку (MSE)
MSE =
1
~
2
  ( P[i, j ] − P[i, j ]) ,
N i j
(1)
~
где N – общее число пикселей, P[i, j ] и P
[i, j ] - пиксели исходного и восстановленного изображений соответственно.
Два основных принципа алгоритма SPIHT, используемые
при прогрессивной передаче изображения, состоят в том, что, вопервых, кодер должен посылать в первую очередь самые больИ.В. Корепанов, В.А. Волохов, С.А. Новоселов
177
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
шие (по абсолютной величине) коэффициенты, а во-вторых, самые старшие биты (двоичного представления коэффициентов),
так как они несут в себе информацию, которая больше всего сокращает расхождение MSE. Для реализации данных принципов
используется так называемый алгоритм сортировки разделением
множеств.
Алгоритм сортировки разделением множеств
Поскольку изображение может состоять из очень большого
числа пикселов, в нем может быть более миллиона коэффициентов, то их сортировка может оказаться весьма медленной процедурой. Алгоритм, используемый методом SPIHT, основан на том,
что нет необходимости сортировать все коэффициенты. Главной
задачей этапа сортировки на каждой итерации является выявление
коэффициентов,
удовлетворяющих
неравенству
2 n ≤ C[i, j ] ≤ 2 n +1.
Поскольку результат каждого теста записывается в сжатый
файл, то хорошо бы минимизировать число необходимых тестов.
Для достижения этой цели было предложено использовать специальную структуру данных – нуль-дерево (введенное выше), усовершенствованная модификация которого используется в алгоритме SPIHT, и получила название пространственно ориентированного дерева [4].
Кодирование коэффициентов, заключенных в структуру
пространственно ориентированного дерева, осуществляется за
счет трех списковых субструктур LIS, LIP, LSP:
1. LIS – список не значащих множеств (list of insignificant
sets);
2. LIP – список не значащих точек (list of insignificant pixels);
3. LSP – список значащих точек (list of significant pixels).
Исследование качества восстановленного изображения
Для оценки качества восстановленного изображения на выходе рассматриваемого алгоритма можно воспользоваться величиной, получившей название пиковое отношение сигнала к шуму
(PSNR), измеряемой в децибелах. Для полутоновых изображений,
178
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
которые и рассматривались в данной работе, используется следующее выражение:
PSNR = 20 log10
max i , j P[i, j ]
MSE
.
(2)
Во-первых, необходимо отметить, что работа рассматриваемого алгоритма, а именно качество восстанавливаемого изображения, достаточно сильно зависит от используемого блока вейвлет-фильтров. На рис. 3 представлены графические зависимости
PSNR от числа бит в потоке, условно приходящихся на пиксель
(bpp) для трех типов вейвлет-фильтров: Хаара(Haar), Добеши.4
(Db4), Добеши.6 (Db6).
Рис. 3. Зависимости PSNR от числа бит в потоке,
условно приходящихся на пиксель (bpp)
для тестового изображения Лена 512 × 512
Такое улучшение в работе алгоритма при использовании
вейвлет-фильтров класса Добеши связано с тем, что при увеличении длины фильтра, то есть его импульсной характеристики, амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) стремится к идеальной. Следовательно, уменьшается наложение спектров (элайИ.В. Корепанов, В.А. Волохов, С.А. Новоселов
179
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
зинг), возникающее в результате процесса децимации и приводящее к потере информации. Как показывает практика, при дальнейшем увеличении длины фильтра класса Добеши наблюдается
смещение кривой PSNR вниз до некоторого критического значения (качество восстанавливаемого изображения ухудшается).
Во-вторых, качество восстанавливаемого изображения зависит от используемого числа вейвлет-коэффициентов в процессе
работы данного алгоритма и размера используемого изображения.
В-третьих, непосредственное улучшение работы алгоритма
SPIHT, в плане более хорошего качества восстанавливаемого
изображения, может быть достигнуто за счет использования на
этапе преобразования вейвлет-пакетного базиса [5].
В качестве примера на рис. 4 представлены области изображений, полученные в результате работы обычного алгоритма
SPIHT и расширенной его модификации (на примере вейвлета
Добеши 9/7).
а)
б)
в)
Рис. 4. Увеличенная деталь
для изображения Барбара 512 × 512 :
a) оригинал, б) SPIHT, bpp=0.3, PSNR=28.8,
в) модифицированный SPIHT, bpp=0.3, PSNR=29.1
На рис. 5 представлены сравнительные тесты обычного алгоритма SPIHT и его модифицированной версии. Как видно из
рис. 4, рис. 5, улучшения в работе модифицированного алгоритма
есть, но они незначительные. Похожие результаты работы данного алгоритма получены и для других тестовых изображений (Лена, Золотой Холм, Перцы и др.). Особый выигрыш модифицированный алгоритм SPIHT дает на так называемых искусственных
изображениях (текстурах).
180
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 5. Сравнительные зависимости PSNR(bpp)
для обычного алгоритма SPIHT
и его модифицированной версии (изображение
Барбара 512 × 512 )
Результаты применения обычного алгоритма SPIHT и его
модификации для текстуры D49 представлены на рис. 6.
Рис. 6. Сравнение зависимостей PSNR (bpp)
для SPIHT и модифицированного SPIHT
при обработке текстуры D49
И.В. Корепанов, В.А. Волохов, С.А. Новоселов
181
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заключение
Такие алгоритмы, как SPIHT, на данный момент могут иметь
большой практический интерес по следующим причинам:
1. На любом этапе декодирования качество отображаемого в
данный момент изображения является наилучшим для введенного объема информации о данном образе.
2. Возможность точного регулирования скорости передачи, а
при записи в файл его размер может быть задан с точностью до
байта. Использование вложенного кодирования.
3. Возможность быстрого просмотра изображения в удаленной базе данных.
Список литературы
[1] Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets. – SIAM, Philadelphia,
PA, 1992.
[2] Lewis A.S., Knowles G. Image compression using the 2-D wavelet
transform // IEEE Trans. Image Proc. – 1992. – V. 1. – P. 244-250.
[3] Shapiro J.M. Embedded image coding using zero-trees of wavelet
coefficients // IEEE Trans. Signal Proc. – 1993. – V. 41. – P. 3445-3462.
[4] Said A., Pearlman W. A new, fast, and efficient image codec based
on set partitioning in hierarchical Trees // IEEE Trans. on Circ. and Syst.
for Video Tech. – 1996. – V. 6. – P. 243-250.
[5] Sprljan N., Grgic S., Grgic M. Modified SPIHT algorithm for
wavelet packet image coding // IEEE Video/Image Proc. and Multimedia
Communication, 2002. – P. 189-194.
182
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СИНХРОНИЗАЦИЯ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
НА ОСНОВЕ АЛГОРИТМА ОПТИМАЛЬНОЙ
НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
А.А. Коточигов, Л.Н. Казаков
Аннотация
На основе математического аппарата теории оптимальной
нелинейной фильтрации марковских процессов осуществлен синтез оптимального приемного устройства хаотических колебаний.
Получен алгоритм приема для трех генераторов хаоса, описываемых двухкомпонентными дискретными отображениями. Произведено численное моделирование, подтверждающее теоретические результаты.
Привлекательность динамического хаоса с точки зрения его
приложения к системам связи прежде всего определяется самими
свойствами хаотических сигналов и систем [1-5]. Перечислим некоторые из них: возможность получения сложных колебаний со
сплошным спектром (в том числе широкополосных и сверхширокополосных) с помощью простых по структуре электронных
устройств; в одном источнике хаоса может быть реализовано
большое количество различных хаотических мод; управление
хаотическими режимами производится путем малых изменений
параметров системы; хаотические системы обладают в среднем
постоянной энтропией (информацией) на отсчет (в единицу времени); разнообразие методов ввода информационного сигнала в
хаотический; возможность “вложения” большого количества информации в хаотический сигнал; увеличение скорости модуляции
по отношению к традиционным методам модуляции; явление самосинхронизации; даже простейшие хаотические системы обладают некоторой степенью конфиденциальности при передаче сообщений.
Возможность использования хаотических колебаний для
передачи информации во многом определяется возможностью
синхронизации хаотических колебаний в передатчике и приемнике. Теоретическим обоснованием возможности использования
хаотических колебаний в системах передачи информации послуА.А. Коточигов, Л.Н. Казаков
183
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жила, как известно, статья [10], в которой доказывалась возможность воспроизведения всех компонент по одной принятой.
Динамические системы, в которых наблюдаются хаотические колебания, являются типичными представителями нелинейных систем. Существующий аппарат оптимальной линейной и
нелинейной фильтрации достаточно хорошо развит [6, 8, 9].
Применительно к хаотическим системам аппарат развит в значительно меньшей степени. Следует сослаться на некоторые
идеи, изложенные в [11, 12]. Целью данной работы является разработка алгоритма синхронизации ряда конкретных хаотических
систем с помощью алгоритмов оптимальной нелинейной фильтрации.
1. Математическая модель устройства
на основе алгоритма расширенного фильтра
Калмана (РФК)
Обозначим вектор хаотических компонент в ведущей системе как X = ( x1 , x2 ,..., xn ) T , п - порядок системы. Тогда X̂ - вектор
хаотических компонент в ведомой системе, Xˆ = ( xˆ1 , xˆ2 ,..., xˆ n ) T , X̂ является оценкой X , которая выполняется согласно алгоритму
РФК. Рассматриваемые генераторы хаоса описываются моделями
двухкомпонентных дискретных отображений вида
X k +1 = g( X k ) ,
(1.1)
где X k +1 - некоторая векторная нелинейная функция.
Если к правой части (1) прибавить вектор белых гауссовских шумов ξ k , то получим стохастическое уравнение, определяющее последовательности, которые являются марковскими, что
подтверждается теоремой Дуба [7]. Для марковских процессов
известна хорошо разработанная ветвь статистического синтеза,
называемая оптимальной нелинейной фильтрацией марковских
процессов [8, 9], результаты которой можно применить к синтезу оптимальных приемников хаотических колебаний.
184
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В канале присутствует гауссовский белый шум (ГБШ) n k с
нулевым математическим ожиданием и матрицей спектральных
плотностей Vk , тогда наблюдение имеет вид:
ξ k = s(t k , λ k ) + n k ,
(1.2)
где ξ k - вектор наблюдений размерности т, s(tk , λ k ) - сигнал, описываемый векторной функцией-столбцом размерности т, n k вектор-столбец ГБШ размерности т. Будем рассматривать только
вопрос синхронизации хаотических колебаний, поэтому
s(t k , λ k , X k ) = λ k = X k . С учетом этого, выражение (1.2) приобретает
вид
(1.3)
ξ k = Xk + nk
Так как передаются все хаотические компоненты, m = n .
Согласно результатам теории оптимальной нелинейной
фильтрации алгоритм расширенного фильтра Калмана в дискретном времени имеет вид [8]:
(1.4)
λˆ k +1 = g(t k +1 , λˆ k ) + R k +1H Tk +1Vk−+11 (t )[ξ k +1 − s(t k +1 , λˆ k +1 )] ,
R −k 1+1 = [ A k +1R k A Tk +1 + ψ k ]−1 + H Tk +1Vk−+11 (t )H k +1 ,
(1.5)
где H k +1 представляет собой прямоугольную матрицу m × n с элементами
H k +1 =
∂g (t k +1 , λˆ k +1 )
,
∂λ T
A k +1 =
∂g (t k +1 , λˆ k )
;
∂λ T
ψ k , Vk +1 - корреляционные матрицы соответственно формирующего шума и шума в канале. Из (1.3) следует, что ψ k = 0 . Полагаем, что шум в канале стационарный, Vk +1 = V0 = const . Тогда
выражения (1.4) и (1.5) приобретают вид
ˆ k +1 = g(t k +1 , X
ˆ k ) + R k +1H Tk +1V0−1[ξ k +1 − X
ˆ k +1 ] ,
X
R −k 1+1 = [ A k +1R k A Tk +1 ]−1 + H Tk +1V0−1H k +1 ,
ˆ )
∂g (tk +1 , X
k
=
∂XT
 ∂g1 (tk +1 , xˆ1k , xˆ2 k ,..., xˆnk ) ∂x1 ∂g1 (tk +1 , xˆ1k , xˆ2 k ,..., xˆnk ) ∂x2
 ∂g (t , xˆ , xˆ ,..., xˆ ) ∂x ∂g (t , xˆ , xˆ ,..., xˆ ) ∂x
nk
1
2 k +1 1k
2k
nk
2
 2 k +1 1k 2 k

...
...

∂g n (tk +1 , xˆ1k , xˆ2 k ,..., xˆnk ) ∂x1 ∂g n (tk +1 , xˆ1k , xˆ2 k ,..., xˆnk ) ∂x2
(1.6)
(1.7)
где A k +1 =
А.А. Коточигов, Л.Н. Казаков
... ∂g1 (tk +1 , xˆ1k , xˆ2 k ,..., xˆnk ) ∂x1 
... ∂g 2 (tk +1 , xˆ1k , xˆ2 k ,..., xˆnk ) ∂x2 


...
...

... ∂g n (tk +1 , xˆ1k , xˆ2 k ,..., xˆnk ) ∂xn 
185
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Так как компоненты вектора X передаются по отдельным,
не влияющим друг на друга каналам, то
H k +1 =
ˆ
∂X
k +1
∂X T
ˆ = ( xˆ
X
k +1
1k +1
 R11
R
R k +1 =  21
 ...

 Rn1
 ∂xˆ1 ∂x1
∂xˆ ∂x
= 2 1
 ...

∂xˆ n ∂x1
∂xˆ1 ∂x2
∂xˆ 2 ∂x2
...
∂xˆ n ∂x2
... ∂xˆ1 ∂xn   1
... ∂xˆ 2 ∂xn   0
=
...
...  ...
 
... ∂xˆ n ∂xn   0
0 ... 0 
1 ... 0 
.
... ... ...

0 ... 1 
xˆ 2 k +1 ... xˆ nk +1 ) T , ξˆ k +1 = (ξ1k +1 ξ 2 k +1 ... ξ nk +1 ) T ,
R12
R22
...
Rn 2
... R1n 
0
 N1 2
 0
... R2 n 
N1 2
, V0 = 
 ...
... ... 
...


... Rnn 
0
 0
0 
...
0 
.
...
... 

... N1 2
...
Выражения (1.6) и (1.7) описывают алгоритм синхронизации
хаотических колебаний с оценкой хаотических компонент в соответствии с алгоритмом РФК. Для того чтобы получить конкретную модель устройства, следует подставить соответствующую
функцию g( X k ) , описывающую нелинейную систему, используемую в качестве генератора хаоса.
Рассмотрим приемопередающие системы для двух моделей передатчиков, являющихся двухмерными дискретными преобразованиями.
2. Двухкомпонентная дискретная система
Система уравнений двухкомпонентной системы имеет вид:
x1k +1 = a ⋅ x1k + 1 − b ⋅ x2 k
x2 k +1 = 1 − b ⋅ x1k + a ⋅ x2 k
ax + 1 − b x2 k 
g ( X k ) =  1k
.
1
−
b
x
+
ax
1
k
2
k


,
(2.1)
ˆ k )   a − b
 ∂g (t k +1 , X
A k +1 = 
=
.
T
−
b
a
∂
X




Алгоритм РФК для передачи двух компонент:
ˆ
ˆ
ˆ =  ax1k + 1 − b x2 k  +  R11
X
k +1

1 − b xˆ1k + axˆ2 k   R21
186
T
R12  1 0   N1
R22  k +1 0 1   0
−1
0
N 2  0
 ξ1 
 xˆ1  
  −    ,
 ξ 2  k +1  xˆ2  k +1 
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
(2.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
R
−1
k +1
  a − b  R11
= 

 − b a   R21
T
R12   a − b 

R22  − b a  

−1
T
1 0   N 1
+
 
0 1   0
−1
0  1 0 
N 2  0 1
(2.3)
для передачи компоненты x1 :
axˆ + 1 − b xˆ 2 k
ˆ k +1 =  k +1
X
 1 − b xˆ1k + axˆ 2 k
R
−1
k +1
  a − b   R11
= 

 − b a   R21
 1  R11 
+
  [ξ k +1 − xˆ1k +1 ],
 N 0  R12  k +1
(2.4)
−1
T
R12   a − b  
T 1
[1 0] .
 + [1 0]



R22  − b a  
N0
(2.5)
для передачи компоненты x2 :
axˆ + 1 − b xˆ 2 k
ˆ k +1 =  k +1
X
 1 − b xˆ1k + axˆ 2 k
  a − b   R11
R k−1+1 =  

 − b a   R21
 1  R21 
+
 R  [ξ k +1 − xˆ 2 k +1 ],
N
0  22  k +1

(2.6)
−1
T
R12   a − b  
T 1
[0 1] .
 + [0 1]



R22  − b a  
N0
(2.7)
Рис. 1. Дисперсия оценки компонент для двухкомпонентной системы
(сплошная линия – x1, пунктирная линия – x2,передается координата x1).
А.А. Коточигов, Л.Н. Казаков
187
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 1 представлены зависимости дисперсий оценок компонент от отношения сигнал/шум для a = 0.23, b = 1.493 и следующих начальных условий передатчика и приемника:
Rk
k =0
R
=  11
 R21
R12  1 0 −4
=
⋅10 , X k
R22  0 1
k =0
T
ˆk
= [0 0] , X
= [1 − 1] .
T
k =0
3. Генератор Лоци
Математическая модель генератора имеет вид:
x1k +1 = a + x2 k − b x1k
x2 k +1 = c ⋅ x1k
,
a + x2 k − b x1k
g( X k ) = 
cx1k

ˆ k )  − b 1
 ∂g (t k +1 , X
A k +1 = 
=
.
T
c
0
∂
X


 

,

Алгоритм РФК для передачи двух компонент:
a + xˆ2 k − b xˆ1k   R11
ˆ
X
=
k +1 
 +  R21
cxˆ1k


R
−1
k +1
 − b 1  R11
= 
c 0  R21
 
R12 
R22 

1
0
k +1 
0
1

T
−1
 N1
 0
T
T
R12  − b 1 
1 0  N1
 +
 
R22   c 0 
0 1   0

−1

N2 
0
0
 ξ1 
 xˆ1   , (3.1)
−
ξ 
  
 2  k +1  xˆ2  k +1 
−1
0  1 0
,
N 2  0 1
(3.2)
для передачи компоненты x1 :
ˆ = a + xˆ 2 k − b xˆ1k
X

k +1
cxˆ1k

R
−1
k +1
 − b 1  R11
= 

  c 0  R21
 1  R11 
+
  [ξ k +1 − xˆ1k +1 ] ,
 N 0  R12  k +1
(3.3)
−1
T
R12  − b 1 
T 1
[1 0] ,
 + [1 0]



R22   c 0 
N0

(3.4)
для передачи компоненты x2 :
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ =  x1k − ax2 k ⋅ sin x2 k  + 1  R21  [ξ − xˆ ] ,
X
k +1
k +1
2 k +1
 xˆ + xˆ − axˆ ⋅ sin xˆ  N  R 
2k
2k
2k 
 1k
0  22  k +1
R
−1
k +1
188
 − b 1  R11
= 

  c 0  R21
(3.5)
−1
T
R12  − b 1 
T 1
[0 1] .
 + [0 1]



R22   c 0 
N0

Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
(3.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 2 представлены зависимости дисперсий оценок компонент от отношения сигнал/шум для a = 3, b = 1.8 и следующих
начальных условий передатчика и приемника:
Rk
k =0
R
=  11
 R21
R12  1 0 −4
=
⋅ 10 , X k
R22  0 1
k =0
T
ˆk
= [0 0] , X
= [1 − 1] .
T
k =0
4. Анализ полученных результатов
При синхронизации по одной компоненте лучшую помехоустойчивость демонстрирует генератор Лоци (по компоненте x1).
Так же он показывает неплохие результаты и при передаче обеих
компонент, даже при небольших значениях сигнал/шум. При передаче же компоненты x2 происходят срывы синхронизации, чередующиеся с интервалами ее установления, что дает неприемлемые значения дисперсий оценок компонент.
Рис. 2. Дисперсия оценки компонент для генератора Лоци (сплошная
линия – x1, пунктирная линия – x2, по каналу передается координата x1)
А.А. Коточигов, Л.Н. Казаков
189
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Наилучшие показатели при передаче по двум компонентам
у двухкомпонентной дискретной системы. Стоит отметить, что
при передаче по одной компоненте все результаты получаются
симметричными, т.е. оценки компонент x1 и x2 при передаче x1
будут аналогичны оценкам x2 и x1 – соответственно при передаче
x2. Это является следствием симметричности исходных уравнений.
Список литературы
[1] Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение. – М.: Мир,
1991.
[2] Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. – М.: Постмаркет, 2001.
[3] Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции
сороссовского профессора: Учебное пособие. – Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.
[4] Неймарк Ю.А., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. – М.: Наука, 1987.
[5] Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос
как парадигма современных систем связи // Зарубежная электроника –
Успехи современной радиоэлектроники. – 1997. – № 10.
[6] Шахтарин Б.И. Случайные процессы в радиотехнике: Цикл
лекций. – М.: Радио и связь, 2000.
[7] Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. – М.: Советское радио, 1977.
[8] Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез
радиотехнических устройств и систем. – М.: Радио и связь, 1991.
[9] Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. – М.: Радио и
связь, 1983.
[10] Pecora, L.M. and Carroll, T.L. Syncronization in Chaotic Systems, Phys. Rev. Lett., 1990, vol.64, no.8.
[11] Тратас Ю.Г. Хаотическая синхронизация генераторов при
наличии шума // Радиотехника и электроника. – 1997. – Т. 42, № 4.
[12] Тратас Ю.Г. Применение методов статистической теории
связи к задачам приема хаотических колебаний // Зарубежная электроника – Успехи современной радиоэлектроники. – 1998. – № 11.
190
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МЕТОД РАСШИРЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНА
КВАДРАТУРНОГО ЦИФРОВОГО ПРИЁМНИКА
С НУЛЕВОЙ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ ЧАСТОТОЙ
А.Н. Кренёв, Е.А. Кренёв, Д.В. Кротков
Аннотация
Разработан алгоритм и проведены исследования по компенсации разбалансов каналов квадратурного цифрового приёмника.
Одной из основных характеристик цифрового радиоприемного устройства является мгновенный динамический диапазон анализа. В [1] показано, что основное влияние на этот параметр, в
квадратурном приемнике с нулевой промежуточной частотой,
оказывают характеристики квадратурного смесителя. Компенсации разбалансов квадратурного смесителя посвящен ряд работ, в
частности [2, 3]. Однако известные методы компенсации имеют
низкую точность. Целью настоящих исследований является разработка метода, обеспечивающая мгновенный динамический
диапазон спектрального анализа радиосигналов не менее 90 –
100 дБ.
В соответствии с выражениями [1]
S cp (t ) = a + U (t ) cos[Δωt + θ (t ) + ϕ 0 ] ,
(1)
S sp (t ) = b + (1 + Δk )U (t ) sin [Δωt + θ (t ) + ϕ 0 + Δϕ ].
(2)
для решения задачи компенсации разбалансов квадратурного
смесителя необходимо определить их параметры a, b, Δk , Δϕ .
Основой предлагаемого метода решения является возможность
вычисления этих параметров по результатам комплексного цифрового спектрального анализа сигналов с выходов КС. Выполняя
комплексное преобразование Фурье от массивов реальных данных синфазной и квадратурной компонент комплексной огибающей и сравнивая полученные результаты с результатами комплексного спектрального анализа для идеальных данных, можно
получить необходимые значения параметров разбалансов. В чаА.Н. Кренёв, Е.А. Кренёв, Д.В. Кротков
191
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стности параметры a и b будут равны значениям преобразований соответствующих сигналов реального квадратурного смесителя на нулевой частоте. Для получения параметров разбалансов,
в соответствии с предлагаемым алгоритмом, необходим тестовый
сигнал, в качестве которого наиболее удобно использовать гармоническое колебание.
Конечно, в рассматриваемой модели квадратурного смесителя параметры разбалансов будут частотно зависимы. Причём эта
зависимость будет двойной: как от входной частоты радиосигнала, так и от значений частоты сигналов на выходах квадратурного
смесителя. Решение задачи рассмотрим поэтапно: без учёта и с
учётом частотной зависимости.
Структурная схема устройства, обеспечивающего решение
поставленной задачи, приведена на рис. 1.
Scp (t )
S (t )
К
КС
АЦП 1
АЦП 2
ω S sp (t ) Td
S cpц ( nTd )
S spц (nTd ) Блок
S (k )
ЦОС
С1
С2
Рис. 1. Упрощённая структурная схема квадратурного приёмника прямого
преобразования с компенсацией разбалансов:
К – коммутатор сигналов;
КС – квадратурный смеситель;
С 1 – синтезатор частоты приёмного устройства;
С 2 – синтезатор частоты тестового сигнала.
Отсутствие частотной зависимости эквивалентно решению
задачи компенсации разбалансов в фиксированной частотной
точке, т.е. при фиксированной несущей частоте входного радиосигнала ω 0 и фиксированной частоте гетеродина ω Г .
После аналого-цифрового преобразования сигналов (1 – 2) в
соответствии с [1]
192
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S spT (t ) = b + (1 + Δk )U 0 sin[Δωt + ϕ 0 + Δϕ ],
получим:
где
T
T
Т
Scpц
(nTd ) = Scpd
( nTd ) + ηcd [Scpd
(nTd )],
T
T
Т
S spц
(nTd ) = S spd
(nTd ) + ηsd [S spd
(nTd )],
(3)
(4)
Т
S cpd
(nTd ) = a + U 0 cos[ΔωnTd + ϕ 0 ],
T
S spd
(nTd ) = b + (1 + Δk )U 0 sin[ΔωnTd + ϕ 0 + Δϕ ] - дискрет-
ные сигналы синфазной и квадратурной компонент реального КС
соответственно;
Т
Т
ηcd Scpd
( nTd ) и ηcd Scpd
( nTd ) - шум квантования в синфазном и квадратурном каналах соответственно.
После нормировки оси времени и комплексного дискретного
преобразования Фурье от функций (3 – 4), получим:
[
]
[
1
S c ( s ) pц (k ) =
N
]
N −1
S
n =0
T
c ( s ) pц
( n )e
j
2π
nk
N
.
(5)
При отсутствии разбалансов (идеальное квадратурное преобразование) значения синфазного и квадратурного сигналов на
выходах КС будут определяться по формулам:
Т
Scиd
(nTd ) = U 0 cos[ΔωnTd + ϕ 0 ],
T
S sиd
(nTd ) = U 0 sin[ΔωnTd + ϕ 0 ].
Будем считать эти сигналы и соответствующие дискретные
преобразования Фурье эталонными:
1
S c ( s ) эd (k ) =
N
N −1
 Sc ( s ) эd (n)e
j
2π
nk
N
.
(6)
n =0
Здесь отсутствует шум квантования, а выбор частотной сетки
как тестового, так и эталонного сигналов должен обеспечивать
кратность интервалов анализа определения этих сигналов.
Сравнивая коэффициенты разложения, полученные по формулам (2.3) и (2.4), получим оценку параметров разбалансов в
i-ой частотной точке:
a* = S cpц (0) − S cэd (0) ,
(7)
А.Н. Кренёв, Е.А. Кренёв, Д.В. Кротков
193
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
b* = S spц (0) − S sэd (0) ,
(8)
Δϕ * (i ) = arg S spц (i ) − arg S sэd (i ),
S spц (i )
Δk * (i ) =
− 1.
S sэd (i )
(9)
(10)
Векторы i-х спектральных составляющих тестового и эталонного
сигналов приведены на рис. 2.
S sэ (i )
S sp (i )
Δϕ
Δk
ϕэ
ϕp
Рис. 2. Векторы тестового и эталонного сигналов
Наличие шума квантования в тестовых сигналах (3 и 4) ограничивает точность оценки (7 – 10). Эталонный сигнал является
результатом моделирования и не содержит искажений.
Представим спектры сигналов на выходе КС в показательной
форме:
1
S c ( s ) pц (k ) =
N
N −1
S
n =0
T
c ( s ) pц
( n)e
j
2π
nk
N
.
Тогда алгоритм компенсации разбалансов для тестового сигнала будет определяться выражениями:
jϕ ( k )
S ck (k ) = S срц (k )e срц − a (0 ) ,
(11)
[
*
]
[
j ϕ sрр ( k ) − Δϕ * ( k )
]
(12)
S sk (k ) = S sрр (k ) 1 − Δk e
− b(0) .
Рассмотрим случай частотной зависимости параметров разбалансов от значения расстройки Δω (ω 0 ) = ω 0 − ω Г . Выражения
для синфазной и квадратурной составляющих в этом случае будут иметь вид:
S c (t ) = a (Δω ) + U 0 cos[Δωt + ϕ 0 ],
(13)
S s (t ) = b(Δω ) + (1 + Δk (Δω )) cos[Δωt + Δϕ (Δω ) + ϕ 0 ]. (14)
194
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение задачи определения параметров разбалансов в каждой частотной точке является чрезвычайно трудоёмкой задачей.
Она может быть упрощена путем дискретизации функции разбаланса и интерполяции ее значений в промежуточных точках.
Тогда задача сводится к выбору такого интервала дискретизации по частоте Δω д , при котором из полученных выборок
Δϕ ( Δω д ) можно построить интерполирующую функцию
Δϕ * (Δω ) такую, что Δϕ (Δω ) − Δϕ * (Δω ) ≤ δϕ max , при котором, после применения алгоритма компенсации, обеспечивается
заданный динамический диапазон анализа. Наиболее простым
способом решения задачи является линейная интерполяция
(рис. 3).
(n + 1)Δω д
Δϕ [(n − 1)Δω д ]
Δϕ [nΔω д ]
Δϕ [(n + 1)Δωд ]
(n − 1)Δω д
Δω
nΔω д
(n + 1)Δω д
Рис. 3. Линейная интерполяция функции разбаланса
Значение интерполирующей функции Δϕ (Δω ) определяется по формуле:
*
Δϕ * (Δω )|Δω∈[ nΔωд ,( n+1) Δωд ] = Δϕ [nΔω д ] +
* {Δϕ [(n + 1)Δω д ] + Δϕ [nΔω д ]}
Δω − nΔω д
*
− Δω д
(15)
Количество точек M = Δω / Δωд , в которых производится
оценка параметров разбалансов, должно быть минимальным, поскольку процедура перестройки синтезатора частоты занимает
значительное время. Результатом работы являются функции
А.Н. Кренёв, Е.А. Кренёв, Д.В. Кротков
195
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a (mΔω д ) ,
b(mΔω д ) ,
Δk ( mΔω д ) ,
Δϕ ( mΔω д ) ,
где
m ∈ [0, M − 1]. Затем в соответствии с (7 – 10) и (15) для линей-
ной интерполяции рассчитываются параметры компенсирующих
функций:
a * (k ) = S cpц (0) − S cэd (0) ,
(16)
b * (k ) = S spц (0) − S sэd (0) ,
(17)
Δϕ * (k ) = Fk {arg S spц (k ) − arg S sэd (k )},
 S spц (k ) 
*
Δk ( k ) = Fk 
− 1.
 S sэd (k ) 
(18)
(19)
Функции (16 – 19) используются для компенсации разбалансов
при
обработке
произвольного
радиосигнала
S (t ) = U (t ) cos[ω 0t + Θ(t ) + ϕ 0 ].
Для этого сигнала на выходе КС получим Scp (t ) и S sp (t ) .
После аналого-цифрового преобразования и вычисления комплексных спектров получим:
jϕ ( k )
S cp ( k ) = a ( k ) + Scp ( k )e cp
(20)
j [ϕ ( k ) + Δϕ ( k ) ]
S sp (k ) = b ( k ) + [1 + Δk (k )]S sp ( k )e sp
.
(21)
Здесь S c ( s ) p ( k ) =
сигналов
в
ϕ c ( s ) (k ) = Arctg
ac2( s ) p ( k ) + bc2( s ) p (k ) - амплитудные спектры
синфазном
bc ( s ) p ( k )
ac ( s ) p (k )
-
и
квадратурном
фазовые
спектры
каналах;
сигналов
синфазном и квадратурных каналах;
здесь
1 N −1
2π
ac ( s ) p (k ) =  w(n) Sc ( s ) p (n) cos nk ,
N n=0
N
1 N −1
2π
bc ( s ) p ( k ) =  w( n) Sc ( s ) p ( n) sin nk .
N n=0
N
где k ∈ [0, N − 1) , w(n) - временное окно.
196
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
в
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для осуществления компенсации разбалансов каналов во
всем диапазоне частот необходимо применить алгоритм (11, 12)
для каждой k -ой спектральной.
На рис. 4 представлены экспериментальные данные, полученные на модели по компенсации разбалансов. Параметры измерений: полоса анализа 100 МГц, число точек БПФ = 512, число
разрядов АЦП = 12. На рис. 4а) представлен спектр сигнала без
компенсации, а на рис. 4б) с компенсацией при использовании
линейной интерполяции зависимостей разбалансов с шагом
25МГц.
Рис. 4а). Спектр сигнала без
компенсации
Рис. 4б). Спектр сигнала с
компенсацией (шаг – 25МГц)
На рис. 5 представлен спектр сигнала с компенсацией при
использовании линейной интерполяции зависимостей разбалансов с шагом 12,5МГц.
Рис. 5. Спектр сигнала с компенсацией (шаг – 12,5МГц)
А.Н. Кренёв, Е.А. Кренёв, Д.В. Кротков
197
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выводы
Предложен метод компенсации разбалансов каналов квадратурного цифрового приёмника. Показано, что вычисление корректирующих коэффициентов для каждой спектральной составляющей позволяет получить практически идентичные каналы,
однако это требует больших временных затрат. Компромиссным
вариантом является вычисление небольшого ряда коэффициентов
с интерполяцией в промежуточных точках.
Список литературы
[1] Кренёв Е.А., Кротков Д.В. Анализ динамического диапазона
цифрового квадратурного приёмника прямого преобразования
// Актуальные проблемы физики: Сборник научных трудов молодых
учёных, аспирантов и студентов. Ярославль, 2005. Вып. 5
[2] Churchill F.F., Ogar G.W., Thompson B.I. The correction of I and
Q errors in a coherent processor. – IEEE. Trans., – 1981. V.AES-17. –
№ 1. P. 131-137
[3] Кренев А.Н., Лашков Н.И., Овченков Н.И. Повышение точности цифровой обработки квадратурных огибающих сигнала // Методы
и микроэлектронные средства цифрового преобразования и обработки
сигналов: Тезисы докладов Всесоюзной научной конференции. – Рига, 1989.
198
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ
ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА ОБНАРУЖЕНИЯ
СИГНАЛОВ ЧАСТОТНОЙ ТЕЛЕГРАФИИ
ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ ПОМЕХИ
Е.И. Кротова
Аннотация
Для решения задачи синтеза оптимальных схем обнаружения
радиосигнала нужно иметь конкретные математические выражения, описывающие функции распределения p (x1 x 2 ... x k Н / sn ) и
p (x1 x 2 ... x k / n ) . Если помеху можно описать математически (например считать её гауссовской), то получение выражения для
p (x1 x 2 ... x k Н / sn ) связано с трудностями, так как радиосигнал имеет обычно случайные параметры. Ситуация ещё более усложняется, если на сигнал действует помеха с неизвестной функцией
распределения. Поэтому применение операции идентификации
законов распределения сигналов и помех при решении задач обнаружения является актуальным.
Н
При обнаружении сигналов производится наблюдение за
смесью, в результате чего фиксируется реализация х(t) или выборка x1x2…xkн. Эта реализация может принадлежать одной помехе или смеси сигнала и помехи. Для того, чтобы получить аналитические выражения для оптимального алгоритма (правила) обработки смеси при принятии решений (гипотез) о наличии
сигнала или его отсутствии, нужно вероятностно описать действие за длительное время смеси при наличии в ней сигнала и помехи или действии только одной помехи. Для этого должны быть
выписаны многомерные функции распределения [1].
Смесь сигнала и помехи можно записать в виде
x(t ) = s (t , β1 , β 2 , ...) + n(t ) .
(1)
Смесь также является случайным процессом. Условная многомерная функция распределения значений смеси записывается:
p x1 x2 ... xk Н / β1 β 2 ..., n .
(2)
Статистические характеристики случайных параметров сигнала описываются совместной функцией распределения
(
)
Е.И. Кротова
199
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(3)
p (β 1 , β 2 , ... ) .
Тогда многомерная функция распределения для смеси при
условии действия сигнала будет иметь вид:
p x1 x2 ...xkН / sn =  ... p(β1β 2 ...) p x1 x2 ...xkН / β1β 2 ..., sn dβ1dβ 2 (4)
(
)
(
)
Интегрируя многомерные плотности вероятности по областям принятия решений о наличии или отсутствии сигнала, подставив результат и выявив условия получения минимума среднего риска, получаем, что принятие гипотезы Гs или принятие решения о наличии сигнала сопровождается минимальным средним
риском, если выполняются следующие действия :
p x1 x 2 ...x k Н / sn
(5)
l (x ) =
> П,
p x1 x 2 ...x k Н / n
(
(
)
)
где П= rпрP(s)/rлоP(0) ⎯ порог; l(x) ⎯ отношение правдоподобия.
Во многих случаях удобно перейти от отношения правдоподобия к его логарифму, тогда минимальный средний риск обеспечивается, если:
при ln l(x) > ln П принимается гипотеза Гs ;
при ln l(x) ≤ ln П принимается гипотеза Г0.
Анализируя математические операции, предусмотренные
выражением (5), можно синтезировать оптимальную схему обнаружителя дискретного радиосигнала.
Порог П определяется априорными сведениями Р(0),
Р(s),rпр,rло и не зависит от свойств сигнала. Зависимость порога П
от априорных сведений играет важную роль в теории обнаружения. Часто возникают трудности с выбором или вычислением
Р(0), Р(s),rпр,rло, как это имеет место, например, при поиске. Тогда
реализация оптимального обнаружителя, обеспечивающего минимум среднего риска, оказывается невыполнимой из-за невозможности установить оптимальный уровень порога. Схема оптимальной обработки смеси не зависит от указанных априорных
сведений, она остается одной и той же для любых их значений,
поэтому для реализации обнаружителя при отсутствии априорных сведений необходимо только выработать другие правила выбора порога.
200
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В указанных условиях широко используется правило выбора
порога по допустимой вероятности ложных обнаружений (ложных тревог), известное как критерий Неймана—Пирсона. Смысл
этого критерия и его использование при анализе систем связи
подробно рассмотрены в [2].
В некоторых случаях под термином «оптимальная обработка» понимают и вычисление l(x) или ln l(x), и сравнение с порогом. Однако, вероятно, удобнее разделить их на операцию оптимальной обработки смеси и операцию сравнения, или принятия
решения.
Как следует из вышесказанного, для решения задачи синтеза
оптимальных схем обнаружения радиосигнала нужно иметь конкретные математические выражения, описывающие функции
распределения p x1 x 2 ... x k Н / sn и p x1 x 2 ...x k Н / n . Если помеху
можно описать математически (например считать её гауссовской), то получение выражения для p x1 x 2 ...x k Н / sn связано с
трудностями, так как радиосигнал имеет обычно случайные параметры и требуется провести интегрирование согласно (4). Ситуация ещё более усложняется, если на сигнал действует помеха
с неизвестной функцией распределения либо с функцией отличной от оптимальной для данной схемы обнаружения. Очевидно,
что оптимальная схема, построенная для помехи с одной функцией распределения, будет совершенно неоптимальной для другой.
Кроме этого, существенный недостаток (применительно к
реально действующим системам связи) при использовании пороговых методов обнаружения заключается в том, что решение о
работоспособности системы принимается тогда, когда негативные процессы в ней становятся необратимыми, что ведёт к полной потере связи.
Из всего вышесказанного следует вывод: нужно разрабатывать методы, позволяющие идентифицировать вид распределения
случайного процесса на входе приёмника. При воздействии помехи на сигнал вид распределения сигнала будет меняться.
Закон распределения суммы независимых случайных величин p(x)=p(x1+x2) имеющих распределения p(x1) и p(x2), называется композицией и выражается интегралом свертки [3]
(
)
(
)
(
Е.И. Кротова
)
201
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
p( x ) =
∞
 p1 (z ) p2 (x − z )dz .
−∞
(6)
Фактом изменения результирующего распределения смеси
сигнала и помехи можно воспользоваться для выявления отклонений в работе системы связи. Это означает, что, зная вид распределения сигнала и результирующего распределения, можно
сделать вывод о присутствии помехи либо отсутствии сигнала.
К сожалению, в реальных системах главным фактором, который может затруднить идентификацию формы распределения
экспериментальных данных, является относительно малая выборка и её случайность (т.е. неповторимость от выборки к выборке
появления различных значений случайной величины). Надежным
путем преодоления этого фактора является увеличение объема
экспериментальных данных. Однако это сопряжено с резким ростом затрат на проведение измерений (быстродействие, стоимость
системы и т.д.), а часто невозможно по самой сути эксперимента.
В работах [4], [5] предлагается в качестве параметра распределения обобщённый параметр
k
Z = э + 4s ,
(7)
χ
где kэ - энтропийный коэффициент,
χ - контрэксцесс,
s – коэффициент асимметрии.
Он хорошо зарекомендовал себя для однозначной идентификации для целого ряда видов распределений.
Применим этот параметр для определения видов распределений конкретного сигнала, помех и мультипликативных смесей
сигнала и помех.
В настоящее время сигналы ЧТ широко применяются в радиолиниях различного назначения: в низкоскоростных и среднескоростных общегосударственного пользования, в коротковолновых и магистральных, ультракоротковолновых мобильных радиолиниях со скоростями передач 50, 75, 150, 300, 600, 1200,
2100, 4800 Бод. В каналах передачи дискретных сигналов ЧТ индекс манипуляции выбирается порядка m = 1,5- 2,5.
202
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При мультипликативном шуме выходной сигнал представляет собой произведение передаваемого сигнала и случайного
сомножителя c(t), который обычно является более медленной
функцией, чем передаваемый сигнал
y(t)=c(t)x(t).
(8)
Мультипликативный шум, как и аддитивный, будем считать
стационарным случайным процессом. В большинстве случаев
положим c(t)≥0 и, следовательно, ⎯с>0.
Параметры компьютерного эксперимента: несущая частота
ЧТ сигнала fн=10 МГц, объём выборки экспериментальных данных n=1000, полоса частот 400, 200, 100 КГц.
На рис. 1, 2, 3 представлены зависимости параметра Z от отношения сигнал/помеха по мощности для различных помех.
2
1,9
Параметр Z
1,8
1,7
1,6
1,5
1,4
0,05
0,1
0,5
1
2
5
10
20
40
сигнал/помеха по мощности
Нормальная
Лапласов ская
Арксинусная
Рис. 1. Зависимость параметра Z от отношения сигнал/помеха
по мощности при воздействии на ЧТ сигнал помех
с различными законами распределения для полосы частот 100 КГц
Е.И. Кротова
203
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
1,9
Параметр Z
1,8
1,7
1,6
1,5
1,4
0,05
0,1
0,5
1
2
5
10
20
40
сигнал/помеха по мощности
Нормальная
Лапласовская
Арксинусная
Рис.2 Зависимость параметра Z от отношения сигнал/помеха
по мощности при воздействии на ЧТ сигнал помех
с различными законами распределения для полосы частот 200 КГц
2
1,9
Параметр Z
1,8
1,7
1,6
1,5
1,4
0,05
0,1
0,5
1
2
5
10
20
40
сигнал/помеха по мощности
Нормальная
Лапласовская
Арксинусная
Рис.3 Зависимость параметра Z от отношения сигнал/помеха
по мощности при воздействии на ЧТ сигнал помех
с различными законами распределения для полосы частот 400 КГц
204
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из рис. 1, 2, 3 следует, что помехоустойчивость ЧТ сигнала
при мультипликативном воздействии лапласовской помехи при
соотношениях сигнал/помеха>0.5 хуже, чем при воздействии
нормальной помехи (минимум параметра Z на графиках соответствут близости распределения смеси сигнала и помехи к арксинусоидальному распределению ЧТ сигнала). При отношении сигнал/помеха <0.5 помехоустойчивость ЧТ сигнала при воздействии лапласовской и нормальной помех примерно одинакова.
Арксинусоидальная помеха при всех отношениях сигнал/помеха
оказывает минимальное воздействие на вид распределения ЧТ
сигнала.
Сравнение мультипликативного влияния помех на ЧТ сигнал для разных частотных полос показало, что при увеличении
ширины полосы частот помехоустойчивость ЧТ сигнала уменьшается.
Список литературы
[1] Пестряков В.Б. Оптимальное обнаружение радиосигналов.
Ч. 1, 2. – Изд. МЭИС, 1968. – 276 с.
[2] Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. – М.: Советское радио, 1975. – 278 с.
[3] Шумоподобные сигналы в системах передачи информации
/ Под ред. проф. В.Б. Пестрякова. – М., Советское радио, 1973. –
424 с.
[4] Кротова Е.И. Анализ эффективности различных оценок, характеризующих параметры распределений случайных величин
// Юбилейный сборник научных трудов преподавателей и сотрудников кафедр радиофизики и динамики электронных систем. – Ярославль, 1998. – С. 97-102.
[5] Кротова Е.И. Идентификация типа распределений результатов
экспериментальных исследований // Известия вузов. Химия и химическая технология. – 1998. – № 1. – С. 57-59.
Е.И. Кротова
205
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОБСТВЕННОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР
НЕЙТРИНО ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
А.В. Кузнецов, Н.В. Михеев
Аннотация
Проведено вычисление собственноэнергетического оператора Σ(p) нейтрино в магнитном поле для случая высоких энергий
нейтрино, что соответствует приближению скрещенного поля. Из
мнимой части оператора Σ(p) вычислена вероятность распада
нейтрино ν → e– W+, простой аналитический результат получен в
наиболее физически интересной области параметров, которая ранее не рассматривалась.
1. Введение
Важнейшим событием последних десятилетий в нейтринной
физике является, несомненно, разрешение загадки солнечных
нейтрино в уникальном эксперименте на тяжеловодном детекторе
Нейтринной Обсерватории в Садбери, Канада [1]. Подтвердив
ключевую идею Б. Понтекорво о нейтринных осцилляциях [2],
этот эксперимент, а также эксперименты с атмосферными [3] и
реакторными [4] нейтрино доказывают тем самым наличие массы
покоя у нейтрино и смешивания в лептонном секторе. В связи с
этим становится весьма актуальным вопрос о возможном влиянии внешней активной среды, в том числе сильного магнитного
поля, на свойства нейтрино, и в частности на механизм нейтринных осцилляций [5].
Анализ влияния внешней среды на нейтринные осцилляции
основывается на вычислении собственноэнергетического оператора нейтрино Σ(p), из которого можно, в частности, извлечь разность энергий нейтрино двух различных ароматов.
Вычисления вклада замагниченной плазмы в оператор Σ(p)
проводились в целом ряде статей, см., например, [6-8]. При этом
чисто полевой вклад в собственную энергию нейтрино этими авторами не рассматривался как несущественный. Такой вклад был
вычислен в недавних работах [9, 10], где, наоборот, утверждается, что именно он является доминирующим. Такое разногласие
обосновывает необходимость независимого расчета вклада магнитного поля в собственную энергию нейтрино.
206
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отметим, что исследование собственноэнергетического оператора нейтрино в магнитном поле, имеющее уже более чем 20летнюю историю, проводилось в работах [11-13]. Сравнение показывает, что результат, найденный в работах [9,10], находится в
противоречии с предыдущими [11-13] и имеет гигантское усиление фактором mW2/eB, где B – индукция магнитного поля1. В случае его правильности этот результат должен был бы привести к
важнейшим следствиям для физики нейтрино в среде, см. [14,
15]. В нашей недавней работе [16] был проведен подробный анализ собственноэнергетического оператора нейтрино в магнитном
поле, и, в частности, продемонстрирована ошибочность работ [9,
10], а также указана возможная причина ошибки. Дело в том, что
данные авторы ограничились вкладом основного уровня Ландау в
пропагатор заряженного лептона. В работе [16] показано, что
вклад основного уровня Ландау не является доминирующим, и
следующие уровни дают вклады того же порядка.
В настоящей работе мы проводим расчет собственноэнергетического оператора Σ(p) нейтрино в магнитном поле для
случая высоких энергий нейтрино, когда чисто полевой инвариант является самым малым параметром задачи, что соответствует
приближению скрещенного поля [17]. Мы получили выражение
для оператора Σ(p) в виде разложения по ковариантам, коэффициенты разложения представлены в общем виде, и получены их
простые приближенные выражения. Из мнимой части оператора
Σ(p) вычислена вероятность распада нейтрино ν → e– W+, простой
аналитический результат получен в наиболее физически интересной области параметров, которая ранее не рассматривалась.
2. Собственноэнергетический оператор нейтрино
в пределе скрещенного поля
Собственноэнергетический, или массовый, оператор нейтрино
Σ(p) может быть определен через инвариантную амплитуду перехода νl → νl (здесь l = e, μ, τ – аромат нейтрино) соотношением
1
Мы используем естественную систему единиц c = ħ = 1, а также
псевдоевклидову метрику с сигнатурой (+ – – –). Везде в статье e > 0 –
элементарный заряд.
А.В. Кузнецов, Н.В. Михеев
207
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
M (ν l → ν l ) = − [ν ( p)Σ( p )ν ( p )],
(1)
где pα – 4-импульс нейтрино. Процесс νl → νl изображается в
фейнмановской калибровке двумя петлевыми диаграммами
Фейнмана, содержащими наряду с пропагатором заряженного
лептона l пропагаторы W–-бозона и скалярного заряженного Φбозона.
Описание техники вычислений амплитуд квантовых процессов во внешних электромагнитных полях можно найти, например,
в [18], см. также [16]. Из S-матричного элемента стандартным способом можно выделить инвариантную амплитуду (1), откуда для
собственноэнергетического оператора нейтрино Σ (p) находим:
ig 2
Σ( p ) = −
2
 α

1
β
(W )
(Φ )
γ L J αβ ( p)γ L + 2 (ml R − mν L ) J ( p) (ml L − mν R ) , (2)
mW


где
(W )
Jαβ
d 4q
(W )
( p) = 
S (q ) Gαβ
(q − p ),
4
(2π )
J
(Φ )
d 4q
( p) = 
S (q ) D ( Φ ) (q − p) . (3)
4
(2π )
Здесь g – константа электрослабого взаимодействия стандартной модели, γα – матрицы Дирака в стандартном представлении, L = (1+γ5)/2 и R = (1-γ5)/2 – левый и правый проекционные
опера-торы, S (q), G(W)αβ (q-p) и D(Φ) (q-p) – фурье-образы трансляционно инвариантных частей пропагаторов заряженного лептона l– с массой ml, W–-бозона и скалярного заряженного Φбозона соответственно. Отметим, что величина mν в формуле (2)
является, вообще говоря, недиагональной массовой матрицей
нейтрино, с учетом смешивания в лептонном секторе.
Кроме рассмотренных в работе [16] предельных случаев
слабого поля e B « ml2 и умеренно сильного поля ml2 « e B « mW2,
существует еще одна область значений физических параметров,
требующая отдельного анализа. Имеется в виду ситуация, когда
поперечный по отношению к магнитному полю импульс нейтрино p┴ является достаточно большой величиной, например p┴ ≥ mW
или p┴ » mW. Эта область значений параметров является актуальной в связи с проблемами физики космических лучей ультравысоких энергий. В частности, широко обсуждаются возможности
регистрации космических нейтрино ультравысоких энергий,
208
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Eν ~ 107 ÷ 17 ГэВ, см., например, [19] и цитированные там работы.
По-видимому, описание процесса распространения нейтрино таких энергий будет неполным без учета их взаимодействия с магнитными полями астрофизической природы.
Указанная область значений параметров соответствует приближению скрещенного поля, в котором фурье-образы трансляционно инвариантных частей пропагаторов, входящих в выражения (3), имеют вид
∞
1
~


S (q) =  ds e −iΩl (qγ ) + ise qFγ γ 5 − s 2e 2 (qFFγ ) + ml − s ml e(γFγ ) , (4)
2


0
( )
∞
[
]
Gαβ (q ) = −  ds e −iΩW gαβ + 2 s 2 e 2 (FF )αβ − 2 seFαβ ,
(W )
0
D
(Φ )
(5)
∞
(q ) =  ds e −iΩW ,
(6)
0
где для W и Φ-бозонов использована фейнмановская калибровка,
и введено обозначение (j = l, W)
s3 2
2
2
Ω j = s ( m j − q ) + e ( qFFq ) .
(7)
3
Здесь Fαβ – тензор внешнего магнитного поля, F~ αβ – дуальный тензор. Тензорные индексы 4-векторов и тензоров, стоящих
внутри круглых скобок, полагаются свернутыми последовательно, например: (q F~ γ) = q α F~ αβ γ β .
Общая лоренцевская структура оператора Σ (p) в присутствии магнитного поля может быть представлена в следующем виде:
[
(
)
(
)]
~~
~
Σ( p) = AL ( pγ ) + BL e 2 pFFγ + C L e pFγ L +
(8)
~~
~
+ AR ( pγ ) + BR e 2 pFFγ + CR e pFγ R + mν [K1 + i K 2 e (γFγ )],
[
(
)
(
)]
где коэффициенты AR, BR, CR, K1,2 происходят от фейнмановской
диаграммы со скалярным Φ-бозоном, тогда как коэффициенты
AL, BL, CL содержат вклады обеих диаграмм. Заметим, что коэффициенты AL, AR и K1 в формуле (8), содержащие ультрафиолетовую расходимость, не имеют самостоятельного значения, поскольку не дают вклада в энергию реального нейтрино во внешА.В. Кузнецов, Н.В. Михеев
209
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нем поле на однопетлевом уровне, с учетом перенормировки
волновой функции и массы нейтрино.
Остальные коэффициенты в (8), зависящие от динамического полевого параметра χ, χ2 = e2 (p F F p)/ mW6, и от массового параметра λ = ml2/mW2, можно выразить через однократные
интегралы от функции Харди–Стокса. Планируется опубликовать общий вид этих интегралов в более подробной работе.
Функция Харди-Стокса определяется выражением:
 
t 3 
f ( u ) = i  dt exp  − i  tu +  .
3 
0
 
∞
(9)
Существует область значений динамического параметра χ,
λ « χ2 « 1, представляющая наибольший интерес, в которой
можно найти приближенные аналитические выражения для коэффи-циентов,
входящих
в
(8).
Напомним,
что
2
2
-11
2
λ = me /mW ≈ 4 · 10 . Представляя параметр χ в форме
2
2
 B  E 
χ 2 ≈ 3 ⋅10 −3    20  ,
(10)
 Be   10 eV 
видим, что в очень широких интервалах значений магнитного поля и энергий нейтрино параметр χ принадлежит этой промежуточной области.
Для коэффициентов выражения (8), дающих вклад в энергию реального нейтрино во внешнем поле на однопетлевом уровне, мы получили:
BL ≈ −
CL ≈
GF
3 2π 2 mW2


1 5
 2 ln − + ln 3 + 2γ E + iπ  ,
χ 4



1 17
3GF  4 2 
1
χ
2
ln
ln
3
2
γ
i
π
+
−
+
+
+
 ,

E

2 
3
χ
3
4 2π 



mν2 
GF
1 17

 ,
−
+
+
+
BR ≈ −
2
ln
ln
3
2
γ
i
π
E
2 
2 2
m
χ
4
6 2π mW W 

2
поля.
210
(11)
(12)
(13)
Здесь Be = me2/e ≈ 4.41 · 1013 Гс – критическое значение магнитного
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
GF mν2
,
CR ≈
2
12 2π 2 mW

GF ml2 
1
K2 ≈
2
ln
1
ln
3
2
γ
i
π
−
+
+
+

 ,
E
2
χ
8 2π 2 mW 

где γE = 0.577... - постоянная Эйлера.
(14)
(15)
3. Распад нейтрино на электрон и W-бозон
во внешнем электромагнитном поле
Один из наиболее интересных результатов, который можно
извлечь из собственноэнергетического оператора нейтрино, есть
вероятность распада нейтрино ν → e- W+ во внешнем электромагнитном поле [12]. Выражение для вероятности распада определяется через мнимую часть амплитуды:
1
w ν → e −W + =
Im M (ν → ν ) .
(16)
E
Анализ распада нейтрино ν → e- W+ во внешнем поле представляет интерес только для случая ультравысоких энергий нейтрино, при этом вероятность распада выражается через динамический полевой параметр χ.
В работе [12] вероятность распада была записана в общем
виде, а также получены ее асимптотические выражения в двух
предельных случаях, χ2 « λ = ml2/mW2 ≈ 4 ·10-11 и χ » 1. Как уже отмечалось, наибольший интерес представляет промежуточная область значений параметра χ, а именно λ « χ2 « 1, которая не анализировалась в работе [12].
Наш результат для вероятности процесса в этой области имеет вид


mν  
mν2 1 + (n s )
2GF mW2 χ 2 1 − (n s )  3 mν
(t s ) +
+ 
w=
χ+

 , (17)
2
m
E
m
ϕ
2
2
tan
2
2
3 2πE  2
W
W



(
)
где n = p/|p|, s - единичный вектор удвоенного спина нейтрино,
t = [n [B n]]/(B sin φ) - единичный вектор, лежащий в плоскости
векторов B и n, φ - угол между ними. Слагаемое с t учитывает
возможное наличие поперечной поляризации у нейтрино.
Последнее слагаемое в выражении (17) происходит от члена
с коэффициентом BR из вклада фейнмановской диаграммы с заА.В. Кузнецов, Н.В. Михеев
211
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ряженным скалярным Φ-бозоном. Заметим, что без этого члена
вероятность не была бы положительно определенным выражением в случае, если угол между векторами s и n мал, но не равен
точно нулю.
5. Заключение
Мы вычислили собственноэнергетический оператор Σ (p)
нейтрино во внешнем электромагнитном поле в пределе скрещенного поля, в фейнмановской калибровке с учетом вклада нефизического скалярного заряженного бозона. Показано, что существует область физических параметров, где этот вклад, который ранее
считался пренебрежимо малым, является существенным. Выражение для оператора Σ (p) представлено в виде разложения по
ковариантам, для коэффициентов разложения получены простые
выражения в наиболее физически интересной области параметров λ « χ2 « 1, которая ранее не рассматривалась. Из мнимой части
оператора Σ (p) вычислена вероятность распада нейтрино ν → eW+. Показано, что при распаде почти правого нейтрино вероятность распада является положительно определенной величиной
только при учете вклада скалярного заряженного бозона.
Работа выполнена в рамках тематического плана
научных исследований Ярославского университета по заданию
Рособразования, при частичной финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований,
грант № 04-02-16253, и Совета по грантам Президента
Российской Федерации для поддержки молодых российских
ученых и ведущих научных школ, грант № НШ-6376.2006.2.
Список литературы
[1] Ahmad Q.R., Allen R.C., Andersen T.C. et al. // Phys. Rev. Lett. –
2001. – V. 87. – P. 071301; ibid. – 2002. – V. 89. – P. 011301; 011302.
[2] Понтекорво Б.М. // ЖЭТФ. – 1957. – Т. 33. – С. 549; ibid. –
1958. – Т. 34. – С. 247.
212
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
[3] Fukuda Y., Hayakawa T., Ichihara E. et al. // Phys. Lett. B. –
1998. – V. 433. – P. 9; V. 436. – P. 33; Phys. Rev. Lett. – 1999. – V. 82. –
P. 2644.
[4] Eguchi K., Enomoto S., Furuno K. et al. // Phys. Rev. Lett. –
2003. – V. 90. – P. 021802.
[5] Raffelt G.G. Stars as Laboratories for Fundamental Physics. –
Chicago: Univ. of Chicago Press, 1996.
[6] D'Olivo J.C., Nieves J.F., Pal P.B. // Phys. Rev. D. – 1989. –
V. 40. – P. 3679.
[7] Semikoz V.B., Valle J.W.F. // Nucl. Phys. B. – 1994. – V. 425. –
P. 651; ibid. – 1997. – V. 485. – P. 545.
[8] Elmfors P., Grasso D., Raffelt G. // Nucl. Phys. B. – 1996. –
V. 479. – P. 3.
[9] Elizalde E., Ferrer E.J., de la Incera V. // Ann. of Phys. – 2002. –
V. 295. – P. 33.
[10] Elizalde E., Ferrer E.J., de la Incera V. // Phys. Rev. D. – 2004. –
V. 70. – P. 043012.
[11] McKeon G. // Phys. Rev. D. – 1981. – V. 24. – P. 2744.
[12] Борисов А.В., Жуковский В.Ч., Курилин А.В., Тернов А.И.
// ЯФ. – 1985. – Т. 41. – С. 743.
[13] Erdas A., Feldman G. // Nucl. Phys. B. – 1990. – V. 343. –
P. 579.
[14] Ferrer E.J., de la Incera V. // AIP Conf. Proc. – 2003. – V. 689. –
P. 63.
[15] Ferrer E.J., de la Incera V. // Int. J. Mod. Phys. A. – 2004. –
V. 19. – P. 5385.
[16] Kuznetsov A.V., Mikheev N.V., Raffelt G.G., Vassilevskaya L.A. // Phys. Rev. D. – 2006. – V. 73. – P. 023001.
[17] В. И. Ритус // Тр. ФИАН СССР. 1979. V. 111. P. 5.
[18] Kuznetsov A.V., Mikheev N.V., Electroweak Processes in External Electromagnetic Fields. – New York: Springer-Verlag, 2003.
[19] Ringwald А. // E-print hep-ph/0510341. 2005.
А.В. Кузнецов, Н.В. Михеев
213
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СИНТЕЗ МНОГОМЕРНОГО ФИЛЬТРА КАЛМАНА
ДЛЯ ЗАДАЧИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФАЗЫ
В КАНАЛЕ OFDM
Д.С. Кукушкин, А.В. Шабанов, Л.Н. Казаков
Аннотация
Метод модуляции с ортогональным частотным разделением - OFDM нашел широкое применение во многих цифровых
системах передачи данных, например, в беспроводных локальных
сетях передачи данных (IEEE802.11a, IEEE802.11g); беспроводных корпоративных сетях (IEEE 802.16); в передаче данных для
цифрового наземного телевидения (DVB-T). Наряду с известными преимуществами, технология OFDM очень чувствительна к
ошибкам синхронизации. Последние могут быть вызваны нестабильностью фазовой характеристики канала, фазовыми флуктуациями сигналов генераторов на передающей и приемной сторонах, ошибкам тактовой, символьной и частотной синхронизации.
В результате возникает случайный фазовый сдвиг, который приводит как к одинаковому для всех подканалов повороту QAM созвездия, так и к появлению межканальной интерференции. Известен ряд подходов по построению систем компенсации фазового
сдвига [1-4], но все они не учитывают спектральных характеристик фазового шума и не являются оптимальными. В работе на
основе изложенного в [5] подхода построена модель системы
коррекции фазы в канале OFDM в форме многомерного фильтра
Калмана.
Математическая модель
Входной QAM-сигнал на приемной стороне после преобразования Фурье можно записать в виде [1]:
2π
N −1
 1  N −1 1 −i N l⋅ j
, (1)
Rm ,l = X m ,l H m ,l I m (0 ) +  X m , j H m , j I m (l − j ) +   n m , j e
j =0
 N  j =0
j ≠l
где m - номер OFDM символа, l – номер поднесущей, X m ,l - передаваемый QAM символ, H m , j - передаточная характеристика ка1
нала, n m ,l - аддитивный белый гауссовский шум (АБГШ),
214
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1 N −1 − i 2 πjk / N iφ ( j )
I m (k ) =  e
e
, φ ( j ) - фазовый шум.
(2)
N j =0
Перейдем к эквивалентному аддитивному шуму на приемной
стороне после Фурье-преобразования:
n m ,l
2π
 1  N −1 1 −i N l ⋅ j
.
=   n m , j e
 N  j =0
Для построения модели вычислим его статистические характеристики. Коэффициент корреляции между отсчетами шума в
разных каналах имеет вид:
2
2π
 1   N −1 N −1 1 −i N ( −l ⋅ j + (l + p )⋅u ) 1 
K n (l , l + p ) = nm ,l n m ,l + p =     n m , j e
n m ,u  ,
N
=
=
u
0
j
0
  

где p – разность между номерами каналов.
*
С учетом того, что среднее суммы равно сумме средних:
2
2π
− i ( −l ⋅ j + ( l + p )⋅ j1 ) 
 1   N −1 N −1 1 1
K n (l , l + p ) =     n m , j n m , j1 e N
.
N
   j1=0 j =0

Так как шум в канале белый, коэффициент корреляции имеет
вид:
2
2
2π
N −1 −i 2π jp

2
 1   N −1 2 −i N ( −l ⋅ j +(l + p )⋅ j )   1 
K n (l , l + p ) =     σ n1 e
 =   σ n1   e N 
 N   j =0
 N
 j =0

n m ,l
(3)
Из (3) видно, что отсчеты эквивалентного аддитивного шума
в разных каналах не коррелируют между собой.
В случае малого фазового шума (1) можно переписать в виде
[2]:
Rm, l = X m,l
i
+
N
N −1
N −1
j =0
k =0
 X m,l  φ (n)ei (2π / N )( j −l )k + nm,l .
Д.С. Кукушкин, А.В. Шабанов, Л.Н. Казаков
(4)
215
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из (1) следует, что низкочастотная составляющая фазового
шума приводит к общему для всех подканалов повороту созвездия QAM, а высокочастотная к межканальной интерференции,
влияние которой эквивалентно действию АБГШ [2]. С учетом
этого (3) можно записать в виде:
Rm , l = X m ,l + i (ψ m X m ,l ) + n' ' m ,l ,
где
N −1
i N −1
n' 'm ,l =  X m ,l  φ (n )e i ( 2π / N )( j −l )k + nm ,l
N j =0
k =0
-
АБГШ,
j ≠l
ψm =
1 N −1
 φ (n ) – общий для всех подканалов фазовый сдвиг.
N n =0
Задача системы коррекции фазы состоит в компенсации низкочастотной составляющей фазового шума ψ (m) . В качестве модели фазового шума примем модель белого частотного шума [7].
Постановку задачи в линейном варианте иллюстрирует рис. 1.
Рис. 1. Структурная схема линеаризованной модели
системы коррекции фазы
Построим оптимальную систему коррекции фазы, используя
методику синтеза, предложенную в [5]. Основная идея методики
заключается в априорном введении фазового детектора и последующем использовании алгоритма линейной оптимальной цифровой фильтрации Калмана.
216
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В нашем случае фазовый детектор является многомерным и
представляет собой совокупность детекторов с пилообразной характеристикой в каждом из подканалов. Такой вариант фазового
детектора предполагает, что на вход системы коррекции фазы поступает сигнал в виде вектора, с размерностью, равной количеству используемых подканалов. Вектор входного воздействия
представляет собой смесь оцениваемого сигнала одинакового для
всех элементов вектора и независимого для всех подканалов
АБГШ.
Для применения теории оптимальной фильтрации Калмана
входной сигнал должен удовлетворять двум условиям.
Во-первых, оцениваемый параметр должен описываться с
помощью формирующего уравнения:
(5)
ψ m = Φψ m −1 + Gu m ,
где ψ - вектор состояния системы, u - гауссова случайная последовательность с нулевым средним и ковариационной матрицей
Q , Φ - переходная матрица, G - матрица возмущений.
Во-вторых, разностное векторное уравнение наблюдения
должно быть представимо в виде:
 z m = Hψ m + υ m

T

R, i = j ,
 υiυ j = 
0, i ≠ j

)
(
(6)
где z - вектор на входе системы, υ - белый гауссовый шум с нулевым средним и ковариационной матрицей R , H - матрица наблюдений.
Уравнение оптимального корректора фазы в этом случае будет
иметь вид:


[

]


ψˆ m = Φψˆ m −1 + k m z m − HΦψˆ m −1 , ψˆ 0 = ψ 0 ,
(7)
где ψ - начальная априорная оценка вектора состояния, k m - коэффициент усиления, выражаемый:
0
Д.С. Кукушкин, А.В. Шабанов, Л.Н. Казаков
217
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
[
*
]
−1
*
k m = Pm H T HPm H T + R ,
*
Pm = ΦPm −1 Φ T + GQG T ,
*
Pm = [I − k m H ]Pm
(8)
(9)
(10)
Так как в качестве модели фазового шума принят белый частотный шум, одинаковый во всех подканалах, коэффициенты в
уравнении формирующего фильтра имеют вид:
1
0

Φ = I = 0

.
0
0 0 . 0
1
1
1 . . 0


0 . . 0 , G = 1


. . . .
.
0 . . 1
1
0 0 . 0
0 . . 0

2
0 . . 0 , Q = σ ψ I ,

. . . .
0 . . 0
(11)
где σ ψ - дисперсия фазового шума.
2
Положим, что предварительная оценка передаваемых символов выполнена, либо в качестве используемых поднесущих выбраны пилотные. В силу независимости отсчетов аддитивного
шума для разных подканалов ковариационная матрица аддитивного шума имеет диагональный вид. В этом случае уравнение наблюдения (6) примет вид (12):



2
z m = Hψ m + υ m , где R = σ n I , H = I ,
(12)
где σ n - дисперсия АБГШ, с учетом действия межканальной интерференции.
Алгоритм оценивания с учетом соответствующих преобразований будет иметь вид:
2

[


]
ψˆ m = ψˆ m−1 + k m z m −ψˆ m−1 ,
[
]
−1
k m = Pm Pm + σ m I ,
*
218
*
2
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
(13)
(14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Pm = Pm −1 + σ ψ GG T ,
*
2
Pm = (1 − k m )IPm .
*
(15)
(16)
Анализ результатов
Согласно уравнениям оптимального фильтра (13) – (16) была
реализована его имитационная модель. Для оценки качества работы системы рассматривались статистические характеристики

сигнала фазовой ошибки ym:
  
ym =ψm −ψˆm .
(17)
Рис. 2. Зависимость дисперсии фазовой ошибки
2
2
от количества поднесущих при σψ = 0.1; σ n = 0.2
На рис. 2 приведено сравнение зависимости дисперсии фазовой ошибки для полученной системы и стандартной, в основе работы которой лежит усреднение по всем подканалам. Качественно характер графика справедлив для широкого диапазона мощностей входных сигналов.
Д.С. Кукушкин, А.В. Шабанов, Л.Н. Казаков
219
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Видно, что первая система имеет существенный выигрыш
для малого числа поднесущих. Это особенно актуально для некоторых стандартов, например, стандарта IEEE802.11a, предписывающего использование четырех пилотных поднесущих. Обе
системы характеризуются снижением величины фазовой ошибки
с увеличением числа подканалов. Очевидно, этот факт связан с
увеличением объема статистики, используемой при принятии
решения о величине фазовой ошибки, при увеличении числа поднесущих. Из этого следует вывод о предпочтительности методик
компенсации групповой фазовой ошибки, использующих в своей
работе все поднесущие, а не только пилотные.
Рис. 3. Функциональная схема фильтра Калмана
Детальный анализ уравнений (13-16) показывает, что все
элементы матрицы коэффициента усиления имеют одинаковые
значения. Это означает, что система осуществляет усреднение
входного сигнала с дальнейшей обработкой подобно одномерной
системе фазовой синхронизацией с адаптивным коэффициентом
усиления и статистическим фазовым детектором [6]. Полученная
система эквивалентна предложенной в [6], с той разницей, что
220
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
коэффициент усиления предлагаемой системы адаптивен. Функциональная схема системы приведена на рис. 3.
Список литературы
[1] Petrovic D., Rave W., Fettweis G. Phase noise suppression in
OFDM using a Kalman filter // Proc. IEEE WPMC. Yokosuka, Japan, 19 –
22 October 2003. – V. 3. – P. 375-379.
[2] Armada A.G. Understanding the Effects of Phase Noise in Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) // IEEE Trans. on Broadcasting. – 2001. – Vol. 47. – № 2.
[3] Abhayawardhana V.S, Wassel I.J. Common Phase Error Correction with Feedback for OFDM in Wireless Communication // IEEE Global
Communications Conference (GLOBECOM 2002), November 2002.
[4] Petrovic D., Rave W., Fettweis G. Intercarrier Interference due to
Phase Noise in OFDM // Estimation and Suppression In Proceedings of the
60th IEEE Vehicular Technology Conference (VTC'04 Fall). – Los Angeles, California, 2004. 26-29 September.
[5] Сизов В.П. Синтез оптимальных линейных моделей цифровых
систем фазовой автоподстройки // Радиотехника и электроника. 1974.
№ 9. C. 1886-1893.
[6] Александров А.С., Кукушкин Д.С., Шабанов А.В. Применение
Марковской модели для исследования системы восстановления фазы
в канале OFDM // 7-я Международная конференция «Цифровая обработка сигналов и ее применение»: Сборник докладов. – М., 2005. –
C. 21-25
[7] Рыжков А.В., Попов В.Н. Синтезаторы частот в технике радиосвязи. – М.: Радио и связь, 1991.
Д.С. Кукушкин, А.В. Шабанов, Л.Н. Казаков
221
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФРАКЦИОННЫХ
ФОКУСИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ
В ЗАДАЧАХ РАДИОГОЛОГРАФИИ
А.С. Леонтьев, Е.Н. Семёнова, Н.И. Фомичев
Аннотация
Статья посвящена исследованию возможности применения
дифракционных фокусирующих элементов для получения СВЧ
голограмм сфокусированных изображений. Рассмотрены преимущества и недостатки этого применения. Создана модель процесса построения изображения объекта с помощью амплитудной
зонной пластинки Френеля. Проведено сравнение результатов,
полученных в ходе математического моделирования с экспериментальными результатами.
В связи с развитием радиолокации и смежных с ней областей техники стала актуальна проблема радиовидения, т.е. проблема получения визуальных изображений пространства в форме,
близкой к привычным зрительным образам, используя радиоизлучение. Это актуально в тех случаях, когда необходимо получить изображение объекта, находящегося за оптически непрозрачной средой. Широкое применение получила радиоголография
как метод создания копий предметов – формирования их трехмерных изображений. Первоначально голография – это метод регистрации волнового фронта с записью амплитуды и фазы в виде
интерференционной картины, предусматривала наличие фокусирующих элементов только для коллимации, расширения, формирования пучков. В голографии сфокусированных изображений
линзы используются для формирования резкого, неразмытого
изображения объекта, на которое накладывается опорная волна.
В данном методе сохраняется основное достоинство голографии – регистрация полного амплитудно-фазового распределения
в рассеянной предметом волне, кроме этого, появляется ряд новых свойств.
Классические методы голографии в СВЧ диапазоне имеют
свои недостатки: большие размеры приемных апертур (~50 – 100
длин волн), необходимые для получения достаточной разрешающей способности, что влечет за собой понижение быстродейст222
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вия при регистрации изображения; низкий уровень сигнала, а
следовательно, малое отношение сигнал/шум в точке регистрации вследствие рассеяния объектом падающей на него волны.
Использование дифракционных фокусирующих элементов (ДФЭ)
позволяет решить эти проблемы. В голографии сфокусированных
изображений в качестве опорной можно использовать плоскую
или сферическую волну, а также использовать протяженный источник этих волн, что облегчает техническую реализацию данного метода. Значительный практический интерес представляет метод сверхразрешения, основанный на независимом наложении
совокупности голограмм сфокусированных изображений на одном кадре. Регистрация голограммы в плоскости изображения
дает возможность при необходимости производить сокращение
регистрируемого спектра пространственных частот без сопровождающего обычно такую операцию ограничения поля зрения.
Кроме того, при наблюдении реконструированной волны через
квазиоптическую систему, формировавшую на этапе регистрации
объектный пучок, происходит автоматическая компенсация аберраций оптической системы.
Ставятся задачи разработки модели процесса построения
изображения, моделирования корреляционного поля объектной и
опорной волн и восстановления по этим данным изображения
объекта.
В основе модели устройства лежит простейшая квазиоптическая система формирования радиоизображений, где в качестве
фокусирующего элемента была выбрана амплитудная зонная
пластинка Френеля (АЗПФ).
Рассмотрим процесс формирования изображений АЗПФ
(рис. 1). Пусть объект, размещенный в плоскости (ξ,η) на расстоянии a от АЗПФ радиуса R, облучается нормальной падающей
плоской монохроматической электромагнитной волной с единичной амплитудой и длиной волны λ.
А.С. Леонтьев, Е.Н. Семёнова, Н.И. Фомичев
223
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1. Схема установки
Распределение поля в плоскости (u,v) изображения можно
представить в виде произведения волны, падающей на объект,
функции пропускания объекта t(x,y), импульсного отклика свободного пространства между плоскостями (ξ,η) и (x,y) h1(ξ,η,x,y),
функции пропускания T(x,y) АЗПФ и импульсного отклика свободного пространства между плоскостями (x,y) и (u,v) h2(x,y,u,v).
Исходя из этого:
E (u , v) =  t (ξ , η)h1 (ξ , η, x, y )T ( x, y )h2 ( x, y, u , v)dξdηdxdy
(1)
A B
2
1
 2π  a
h1 (ξ , η, x, y ) = 2 exp j r1  4 ,
λ
 λ  r1
πn
sin(
)
∞
 πn 2

2
T ( x, y ) = 
exp  j
( x + y 2 ),
πn
 λF

n = −∞
2
1
 2π  b
h2 ( x , y ,u ,v ) = 2 exp j
r2  4 ,
λ
 λ  r2
224
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
(2)
(3)
(4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где F – фокусное расстояние АЗПФ, r1– расстояние между точками (ξ,η) и (x,y), r2 – расстояние между точками (x,y) и (u,v),
A – область объекта, В – область АЗПФ.
Следующим шагом является наложение на полученное изображение опорной плоской волны, падающей под некоторым углом на плоскость (u,v) и регистрация полученной интерференционной картины.
Распределение поля опорной волны:
2π


Eop (u , v) = E0 exp − j (sin(θ )u + sin(φ)v) ,
(5)
λ


где θ – угол падения опорной волны в вертикальной плоскости, а
ϕ –– в горизонтальной.
Сигнал на выходе квадратичного детектора (распределение
интенсивности) будет иметь вид:
2
2
*
I (u , v) = E (u , v) + Eop (u, v) + E * (u , v) Eop (u , v) + E (u , v) Eop
(u , v) . (6)
Амплитудное пропускание голограммы с точностью до постоянного множителя пропорционально распределению интенсивности. Для восстановления необходимо осветить голограмму
опорной волной, падающей нормально на плоскость голограммы.
В результате дифракции опорной волны на голограмме получается изображение объекта. Тогда на выходе голограммы получается
поле вида:
(
2
2
)
*
Eg (u ,v) = E (u ,v) + Eop (u ,v) E0 + E* (u ,v) Eop (u ,v) E0 + E (u ,v) Eop
(u ,v) E0 .
(7)
Первое слагаемое соответствует пучку нулевого порядка (постоянной составляющей), второе слагаемое соответствует действительному изображению объекта, третье слагаемое – мнимому
изображению.
В качестве исследуемого объекта была взята буква λ, и моделировалось ее изображение. На рис. 2 представлены модель исходного объекта, в качестве которого использовалось изображение буквы λ, сформированное набором точечных излучателей, и
изображение этой буквы, сформированное после прохождения
через фокусирующий элемент.
А.С. Леонтьев, Е.Н. Семёнова, Н.И. Фомичев
225
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а)
б)
Рис. 2 а) Объект – буква λ б) Изображение буквы λ
При моделировании использовались следующие значения
параметров:
a = 15 м – расстояние объект - АЗПФ,
b= 84.5 см – расстояние АЗПФ - изображение,
R = 40 см – радиус АЗПФ,
F = 80 см – фокусное расстояние АЗПФ,
λ = 8.42 мм – длина волны,
3х3 м – линейные размеры объекта,
20х20 см – линейные размеры голограммы,
30х30 см – линейные размеры восстановленного изображения,
ϕ = 30о угол падения опорной волны в вертикальной плоскости,
θ = 0о угол падения опорной волны в горизонтальной плоскости,
L = 10 см – расстояние от голограммы до плоскости изображения.
Изображение буквы λ наглядно показывает, что зонная пластинка, как и линза, инвертирует объект. Данная модель учитывает аберрации, непременно возникающие при построении изображений на практике.
Модель метода получения голограмм сфокусированных изображений тестировалась на объекте, представляющем собой набор блестящих точек, образующих букву λ.
На рис. 3а представлена модель объекта. На рис. 3б – амплитудное распределение объектной волны в плоскости голограммы. Рис. 3в – распределение интенсивности зарегистрированной голограммы.
Изображение на рисунке 3г – распределение поля, сформированное голограммой (восстановленное изображение), включает
в себя постоянную составляющую, мнимое и действительное
изображение объекта. Благодаря тому, что постоянная составляющая имеет гораздо большую величину, сложно разглядеть
226
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
«полезное» изображение. Для его получения необходимо применять методы обработки изображений для фильтрации постоянной
составляющей. На рис. 3д представлено действительное восстановленное изображение объекта после фильтрации постоянной
составляющей.
а)
б)
г)
в)
д)
Рис. 3
Как видно из рис. 3, метод голограмм фокусированных изображений является работоспособным и позволяет восстанавливать изображения исследуемых объектов.
Для проверки адекватности модели были проведены экспериментальные исследования по получению изображения точечного источника (рис. 4).
Рис. 4 Структурная схема эксперимента
А.С. Леонтьев, Е.Н. Семёнова, Н.И. Фомичев
227
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
АМ сигнал с несущей частотой 35.6 ГГц и частотой модуляции 100 кГц подается с блока генератора качающейся частоты
прибора Р2-65 на открытый конец волновода. Часть сигнала через
направленный ответвитель подается на вход анализатора спектра
С4-27, посредством которого осуществляется контроль параметров сигнала. Открытый конец волновода является точечным
источником, и получается его изображение с помощью АЗПФ с
радиусом и фокусным расстоянием 16 см, расположенной на расстоянии 32 см от фазового центра излучателя. На расстоянии
32 см от АЗПФ находится приемник – другой открытый конец
волновода, который измеряет распределение поля по некоторой
области анализа. Сигнал через квадратичный детектор поступает
на вход селективного вольтметра Unipan 233, который настроен
на частоту модуляции сигнала. Затем полученное изображение
сравнивалось с результатами моделирования (рис. 5). Размер изображения 4х4 см.
а)
б)
Рис. 5. Изображение точки
а) эксперимент; б) моделирование
Производилось сравнение профилей изображения точек для
моделированного и экспериментального изображений.
На рис. 6 пунктиром показан экспериментальный профиль
изображения точки. На основании полученных результатов можно сделать вывод об адекватности модели, т.к. ширина главного
максимума изображений точки, полученных в результате эксперимента и математического моделирования, совпадает.
228
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 6. Сравнение профилей точки
Для получения голограмм сфокусированных изображений в
радиодиапазоне целесообразнее применять зонные пластинки и
линзы Френеля, которые по своим некоторым характеристикам
не уступают, а даже превосходят линзы. Разработанная модель
адекватно отображает процесс построения изображений с помощью зонной пластинки Френеля и позволяет проанализировать
процесс получения голограмм сфокусированных изображений, а
также восстановления по ним изображений объектов.
На основании результатов моделирования следует сказать о
неблагоприятном влиянии постоянной составляющей голограммы, не несущей полезной информации об объекте, на восстанавливаемое изображение. Необходимо применять методы ее фильтрации. Далее предполагается адаптация данной модели к задачам
многочастотной голографии, позволяющей увеличить разрешение по дальности.
Список литературы
[1] Клименко И.С. Голография сфокусированных изображений и
спекл-интерферометрия. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985.
[2] Бахрах Л.Д., Курочкин А.П. Голография в микроволновой
технике. – М., Сов. радио, 1979.
[3] Зверев В.А. Радиооптика (преобразования сигналов в радио и
оптике). – М., Сов. радио, 1975.
[4] Щукин И.И. Дифракционные фокусирующие элементы:
Учебное пособие. – Ярославль, 1980.
[5] Фраксон М. Голография. – М., Мир, 1972.
А.С. Леонтьев, Е.Н. Семёнова, Н.И. Фомичев
229
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
CИЛОВОЙ ПРОБНИК
М.В. Лоханин
Аннотация
Рассматривается новая возможность использования кантилевера для измерения силы взаимодействия между телами на субмикронных расстояниях.
Силы, влияющие на поведение микромеханических (MEMS)
устройств, могут иметь разнообразную природу: электростатические, магнитные, казимировы и даже гравитационные, и могут сложным образом зависеть от расстояния между взаимодействующими телами. Наиболее распространенным инструментом
для измерения таких сил является кантилевер – упругая кремниевая балка, подобная используемым в атомно-силовом микроскопе, на которой устанавливается одно из взаимодействующих
тел – пробное тело (рис. 1).
Рис. 1. Типовая схема эксперимента по измерению малых сил
Прямой способ измерения [1, 2, 3, 4] заключается в перемещении при помощи пьезоэлемента основания кантилевера или
второго тела и регистрации прогиба при помощи какого-либо
230
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сенсора. В качестве такого сенсора используются «световой рычаг», емкостный преобразователь или интерферометр. В такой
схеме эксперимента смещение основания кантилевера не равно
смещению его кончика. Это обстоятельство является источником
погрешности, которую сложно учесть. Кроме того, статический
эксперимент оказывается длительным, поскольку после каждого
шага приходится ждать окончания переходных процессов.
Более привлекательна динамическая схема, в которой пробное тело колеблется с некоторым размахом возле второго тела и
сенсор регистрирует его закон движения с малым (десятки микросекунд) временным шагом. В этом случае положение основания кантилевера неизменно и прогиб отличается от расстояния
между взаимодействующими телами на постоянную величину.
Продолжительность эксперимента в этом случае – несколько периодов колебания пробного тела (от сотен миллисекунд до секунды). Естественно, темп регистрации по сравнению со статическим экспериментом резко возрастает, но при использовании
компьютера это не вызывает серьезных затруднений.
В работе анализируется возможность восстановления закона
изменения силы F = F (x ) по закону движения пробного тела
x = x (t ) .
Пусть одно из взаимодействующих тел неподвижно, а пробное тело установлено на упругом элементе. Такую систему можно считать точечным осциллятором (правомерность допущения
обсуждается ниже), тогда уравнение, описывающее движение
пробного тела, будет иметь следующий вид:
mx + ηx + kx = F (x ) .
В этом уравнении m - масса пробного тела, k - жесткость упругого подвеса, η - коэффициент вязкого сопротивления, F (x ) искомый закон изменения силы.
Зарегистрированый в памяти компьютера закон движения
x = x (t ) позволяет найти скорость и ускорение ( x = x (t ) и x = x(t ) )
как функции времени численно. Ключевым моментом предлагаемого метода является то обстоятельство, что сила является однозначной функцией расстояния между взаимодействующими теМ.В. Лоханин
231
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лами. Поэтому если подобрать значения m , k и η так, чтобы
f = mx + ηx + kx была однозначной функцией x , то эта зависимость
и будет искомой F = F (x ) .
Рис. 2. Зависимости f = f (x )
при различных значениях коэффициентов m , k и η
Если параметры осциллятора m , k и η точно известны, то
процедура подбора вообще не требуется и F (x ) восстанавливается прямым вычислением. Заметим, что возможен очень простой
метод определения констант осциллятора – регистрация свободных колебаний (вдали от второго тела). На рис. 2 приведены результаты симуляции эксперимента.
Реализация метода встречает два основных препятствия. Необходимо найти некоторую величину, которая будет определять,
насколько точно выполняется условие однозначности функции
f = mx − ηx − kx . На практике мы будем видеть на плоскости ( f , x )
232
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
некоторую кривую, для которой каждому значению x соответствуют несколько значений f и подбор параметров должен сделать
эту кривую однозначной. Возможно, для этой цели может подойти коэффициент корреляции K ( f , x ) , который при наилучшем выборе должен быть равен 1.
Второе обстоятельство связано с наличием у осциллятора
внутренних степеней свободы – высших колебательных мод кантилевера, которые будут давать вклад в наблюдаемый закон движения. В настоящий момент этот вопрос остается без полного ответа. По-видимому, упругое тело для такого осциллятора должно
иметь вторую собственную частоту существенно выше верхней
границы частотного спектра закона движения.
Список литературы
[1] Mohideen U., Roy A. // Phys. Rev. Lett. – 1998. – 81. – P. 4549.
[2] Ederth T. // Phys. Rev. – 2000. – A 62. – 062104.
[3] Harris B.W., Chen F., Mohideen U. // Phys. Rev. – 2000. – A 62,
052109.
[4] Decca R.S., Fischbach E., Klimchitskaya G.L., Krause D.E., Lopez D., Mostepanenko V.M. // Phys. Rev. – 2003. – D 68, 116003.
М.В. Лоханин
233
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НЕЛИНЕЙНАЯ ЭХОКОМПЕНСАЦИЯ
НА ОСНОВЕ АДАПТИВНОГО ФИЛЬТРА ВОЛЬТЕРРА
С ПЕРЕСТРАИВАЕМОЙ СТРУКТУРОЙ
Б.Н. Меньшиков, А.Н. Тараканов∗
Аннотация
Рассмотрена задача нелинейной эхокомпенсации в телефонных сетях. Предложен нелинейный эхокомпенсатор на основе
полиномиального фильтра Вольтерра с динамически перестраиваемой структурой, позволяющей снизить вычислительные затраты. Приведены данные для расчета необходимой производительности цифрового сигнального процессора при аппаратной
реализации предложенного нелинейного эхокомпенсатора.
Качество звукового сигнала и стоимость предоставляемых
услуг в настоящее время часто являются одними из основных показателей, определяющих выбор потенциальным клиентом оператора связи. В настоящее время на развитие телекоммуникационных сетей продолжают оказывать негативное влияние устаревшие
технологии
и
решения,
которые
широко
распространились на предыдущих этапах их развития. При проектировании любых телекоммуникационных систем следует учитывать характеристики тракта передачи полезной информации и
уменьшать вносимые им нежелательные искажения [1].
По историческим и экономическим причинам абонентские
линии телефонной сети являются двухпроводными. Для стыковки четырехпроводных и двухпроводных цепей в телефонных сетях общего пользования применяют дифференциальные системы,
работа которых неидеальна. В результате сигнал, передаваемый
по исходящей части четырехпроводной цепи, возвращается к
своему источнику в виде эхосигнала. Для уменьшения влияния
эхосигнала на разговор абонентов в современных системах связи
применяют эхокомпенсаторы, работа которых основывается на
формировании оценки эхосигнала и вычитании ее из прошедшего
эхосигнала. Кроме свойств сходимости и уровня остаточного
∗
234
Работа выполнена в соавторстве с Приоровым А.Л.
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
эхосигнала, существует еще один важный фактор, определяющий
качество адаптивных алгоритмов эхокомпенсации – потребление
вычислительных ресурсов или вычислительная сложность.
Решение проблемы эхокомпенсации в классе линейных адаптивных фильтров в ряде случаев не позволяет получить требуемый уровень подавления эхо-сигнала [2-8] даже при наличии нелинейного процессора, являющегося пороговым устройством обработки остаточного эхо-сигнала [6]. Примерами являются
нелинейные искажения в эхотракте, обусловленные наличием
аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразований исходного речевого сигнала [1, 3, 7, 9, 10], телекоммуникационные
системы с пакетной передачей данных и др.
Анализ существующих разработок в области нелинейной
эхокомпенсации позволяет сделать вывод об актуальности задачи
нелинейной эхокомпенсации, связанной с необходимостью подавления эхо-сигнала, возникающего в телефонных сетях, при
учете нелинейного характера эхотракта. Исследования в данной
области были начаты рядом зарубежных специалистов и ученых
более трех десятилетий назад и продолжаются в настоящее время
[4, 10]. Наиболее широкое распространение получили методы,
базирующиеся на применении функциональных рядов Вольтерра
[2, 4, 7, 9, 10].
В настоящее время при моделировании и идентификации нелинейных эхотрактов, являющихся нелинейными инерционными
динамическими системами, используются модели Винера, Гаммерштейна, их комбинации, полиномиальные нерекурсивные
фильтры Вольтерра. Проблема соответствующего увеличения
вычислительных затрат, решаемая с помощью модификаций и
аппроксимаций полиномиальных ядер или структур фильтров [7,
10], наиболее остро стоит в случае использования дискретных
фильтров Вольтерра с третьей или более высокой степенью аппроксимирующего полинома [4]. Разработанные методы аппроксимации стандартных структур полиномиальных фильтров Вольтерра не приводят к возникновению проблемы устойчивости самого фильтра и обеспечивают работу эхокомпенсатора в режиме
реального времени. Следует отметить, что ни одна из существующих модификаций структур фильтров Вольтерра не предуБ.Н. Меньшиков, А.Н. Тараканов(
235
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сматривает возможности порогового отключения исходных ядер
или их аппроксимаций в зависимости от уровня вносимых ими
нелинейных искажений, а также возможности динамического изменения числа рабочих коэффициентов, характеризующих полиномиальное ядро, в зависимости от статистических свойств входного процесса.
Работа нелинейных эхокомпенсаторов пока еще не регламентирована в существующих рекомендациях Международного
Союза Электросвязи (МСЭ-Т) [4], но существующие технические
решения нелинейной эхокомпенсации во многих случаях обеспечивают лучшее подавление эхо-сигнала по сравнению с линейными эхокомпенсаторами, особенно при наличии значительных
нелинейностей в эхотрактах, хотя и ценой увеличения вычислительных затрат.
Так как между выходной последовательностью и коэффициентами фильтра Вольтерра существует линейная связь [8], все
адаптивные алгоритмы, применявшиеся в линейной адаптивной
эхокомпенсации [5], используются и при решении задач нелинейной акустической и электрической эхокомпенсации, где соответствующие расширенные векторы данных характеризуются
большей длиной и определенным порядком следования отсчетов.
В работе предложен вариант динамической модификации
стандартной структуры кубического фильтра Вольтерра, позволяющий отключать модифицированное кубическое ядро и часть
коэффициентов модифицированного с помощью метода триангулярных представлений квадратичного ядра согласно статистическим свойствам входного процесса.
Неоднородный кубический фильтр Вольтерра с триангуляризованными ядрами может быть представлен в следующем виде:
236
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
N 1 −1
y ( n) =
 h1 (m1 ) x(n − m1 ) +
m1 = 0
+
N 2 −1 N 2 −1
  h2,tri (m1 , m2 )x(n − m1 ) x(n − m2 ) +
(1)
m1 = 0 m 2 = m1
+
N 3 −1 N 3 −1
N 3 −1
   h3,tri (m1, m2 , m3 ) x(n − m1 ) x(n − m2 ) x(n − m3 ).
m1 = 0 m 2 = m1 m3 = m 2
Приняты следующие обозначения: x(n) и y (n) - входная и
выходная последовательности (дискретизированные с частотой
8 кГц исходные сигналы), N1 , N 2 , N 3 – длины линейного, квадратичного и кубического ядер в триангулярном представлении
соответственно, h1 - линейное ядро полиномиального фильтра,
h2,tri и h3,tri - триангуляризованные ядра. В общем случае длины
всех ядер могут быть различны [7].
На рис. 1 показана структура нелинейного электрического
эхокомпенсатора на базе модифицированного адаптивного кубического фильтра Вольтерра. Здесь приняты следующие обозначения: x(n) - сигнал дальнего абонента, зашумленный входной
процесс, d (n) - сигнал на выходе нелинейного эхотракта, s (n) 
сигнал ближнего абонента, y (n) - выходной процесс, y (n) оценка процесса на выходе эхокомпенсатора, e(n) - сигнал ошибки. Блок ДДР - детектор двойного разговора, работающий согласно алгоритму Гейгеля. Для подстройки всех ядер используется нормализованный метод наименьших квадратов (НМНК).
Так как речь человека является квазистационарным случайным процессом со слабой корреляцией отсчетов [7], то в структуре ядер можно выделить области, дающие основной вклад в энергию каждой нелинейной составляющей выходного процесса и отключать те области, вклад которых незначителен и находится на
уровне шума. Например, для кубического ядра практически вся
энергия обеспечивается элементами с совпадающими индексами
аргументов:
E{x(n − k ) x(n − k ) x(n − k )} = E{x 3 (n − k )} ≠ 0 .
(2)
Б.Н. Меньшиков, А.Н. Тараканов(
237
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
x(n)
ДДР
Алгоритм
адаптации
h1
h 2 md
Нелинейный
эхотракт
h3
d(n)
s(n)
y(n)
y(n)
e(n)
Рис. 1. Структура нелинейного электрического эхокомпенсатора
на базе модифицированного адаптивного кубического фильтра Вольтерра
В итоге структура кубического ядра может быть преобразована следующим образом:
h3,tri (m1 , m2 , m3 ) → h3, m (m) ,
(3)
при этом для порядка такого ядра всегда выполняется условие
N 3 < N 2 . Соответственно изменяется представление выходной
последовательности:
y (n) = y1 (n) + y2 (n) + y3 (n) =
N 1 −1
 h1 (m1 )x(n − m1 ) +
m1 = 0
+
N 2 −1 N 2 −1
N 3 −1
m1 = 0 m 2 = m1
m1 = 0
.
(4)
  h2, tri (m1 , m2 )x(n − m1 ) x(n − m2 ) +  h3, m (m)x3 (n − m)
Если вклад кубического ядра составляет величину менее
30 дБ (в случае необходимости данное пороговое значение может
быть заменено другим) ниже уровня линейной составляющей на
выходе y1 (n) , то оно отключается, т.к. его коэффициенты будут в
этом случае неправдоподобны из-за наличия аддитивного шума,
что уменьшает суммарную вычислительную сложность. Для триангулярного представления квадратичного ядра и квазистационарного входного процесса справедливо неравенство
E{ y 2 (n)} − E{ y 2, md (n)} ≥ 0 ,
(5)
238
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где E{ y 2, md (n)} - вклад коэффициентов квадратичного ядра с
одинаковыми индексами аргументов, т.е. коэффициентов, стоящих на главной диагонали. Если значение разностной энергии
дает вклад на уровне ниже 30 дБ по отношению к линейной выходной составляющей y1 ( n) , то отключается вся область коэффициентов под главной диагональю. В результате выходная последовательность будет описываться следующим выражением:
y ( n) =
+
N 1 −1
N 2 −1
m1 = 0
m=0
 h1 (m1 ) x(n − m1 ) +  h2, md (m) x 2 (n − m) +
N 3 −1
(6)
 h3, m (m) x3 (n − m).
m=0
Если уровень нелинейных составляющих возрастает, отключенные области ядер вновь включаются в работу, так как через
каждые 240 отсчетов осуществляется пороговый контроль. Данный интервал соответствует интервалу корреляции речевого сигнала [9].
В результате моделирования в среде Matlab 7.0 установлено,
что применение модифицированного кубического адаптивного
фильтра Вольтерра позволяет получить выигрыш до 7-8 дБ в задаче нелинейной электрической эхокомпенсации по сравнению с
линейным адаптивным фильтром. При этом за счет модификации
полиномиальных ядер достигнуто уменьшение вычислительных
затрат по сравнению со стандартной структурой кубического
фильтра Вольтерра. Входной тестовый сигнал представлял собой
случайную последовательность отсчетов с амплитудой из диапазона [-1,1]. Уровень аддитивного шума выбран на уровне -30 дБ
по отношению к сигналу d (k ) .
Коэффициенты линейной составляющей модели нелинейного
эхотракта взяты из дискретизированной импульсной характеристики, полученной в результате проведенных измерений реального тракта. Длина моделируемой линейной составляющей составляла 64 отсчета, что соответствует 8 мс, однако предлагаемый
подход может быть обобщен и на большие значения длины линейной составляющей эхотракта. Линейная часть эхотракта вносит ослабление в 7.4 дБ для тестового сигнала. Коэффициенты,
Б.Н. Меньшиков, А.Н. Тараканов(
239
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
характеризующие безынерционные квадратичное и кубическое
искажения, соответствовали уровням 2-й и 3-й гармоник тестовой
частоты 1020 Гц в -22 дБ (7.9%) и -24 дБ (6.3%) и предполагались
не зависящими от времени. В использованном алгоритме НМНК
константа μ = 0.20 . При моделировании установлено, что уровень аддитивного шума оказывает значительное влияние на выходное значение остаточного эхосигнала и ограничивает выходное соотношение ERLE [10].
В табл. 1 приведены формулы для расчета вычислительной
нагрузки на получение каждого отсчета выходной последовательности для неоднородного модифицированного кубического
фильтра Вольтерра. Для сравнения указаны соответствующие
данные для стандартной структуры неоднородного кубического
фильтра при учете симметрии ядер, т.е. при их триангулярном
представлении.
Таблица 1
Общие вычислительные затраты при реализации нелинейного
эхокомпенсатора на базе кубического фильтра Вольтера
с динамически перестраиваемой структурой
Вид ядра
Модифицированный неоднородный кубический фильтр с
перестраиваемой структурой
Линейное
2 ⋅ ( N1 + 1)
от 2 ⋅ ( N 2 + 1) до
Квадратичное
 ( N + 2)! 
2 ⋅  2
+ 1
N
2
!
!


2
Кубическое
от 0 до 3 ⋅ ( N 3 + 1)
Общая вычислительная нагрузка (число
операций на 1
отсчет)
240
 ( N + 2)! 
2 ⋅ ( N1 + 1) + 2 ⋅  2
+ 1 +
N
2
!
!


2
+ 3 ⋅ ( N 3 + 1)
Неоднородный кубический фильтр с триангулярным представлением ядер
2 ⋅ ( N1 + 1)
 ( N + 2)! 
2 ⋅  2
+ 1

 2! N 2 !
 ( N + 3)! 
+ 1
3 ⋅  3
N
3
!
!
3


2 ⋅ ( N1 + 1) +
 ( N + 2)! 
2 ⋅  2
+ 1 +

 2! N 2 !
 ( N + 3)! 
+ 1
+ 3 ⋅  3
N
3
!
!
3


Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом предлагаемая динамически перестраиваемая
структура кубического фильтра Вольтерра позволяет снизить вычислительные затраты без потерь в качестве выходного сигнала.
Указанная модификация учитывает статистические свойства сигналов на входе нелинейного эхокомпенсатора, поэтому ее применение не ограничено отдельными частными случаями, в отличие
от многих предлагаемых статических модификаций структур полиномиальных фильтров Вольтерра.
Список литературы
[1] Biglieri E., Barberis S., Catena M. Analysis and compensation of
nonlinearities in digital transmission systems // IEEE J. Selected Areas
Commun. – 1988. – № 6 (1). – P. 42-51.
[2] Agazzi O. Nonlinear echo cancellation of data signals // IEEE
Trans. Comm., Nov. – 1982. – V. 30. – P. 2421-2433.
[3] Bedrosian E., Rice S.O. The output properties of Volterra systems
(nonlinear systems with memory) driven by harmonic and Gaussian inputs
// Proc. IEEE. – 1971. – V. 59, № 12. – P. 1688-1708.
[4] International Telecommunication Union. General characteristics of
international telephones connections and international telephone circuits –
Digital network echo cancellers. ITU-T Recommendation G. 168, 1997.
[5] Favier G., Kibangou A.Y., Khouaja A. Nonlinear system modeling
by means of Volterra models. Approaches for parametric complexity reduction // ISA-2004 Symposium Proc. – P. 367-395.
[6] Haykin S. Adaptive Filter Theory 3rd ed. Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs. – NJ., 1996.
[7] Kellerman W. Nonlinear line echo cancellation using a simplified
second order Volterra filter // Int. Conf. on Acoustic, Speech, and Signal
Proc. Seattle. – WA, 2002. – P. 2508-2511.
[8] Mathews V.J. Adaptive polynomial filters // IEEE SP Magazine. –
1991. – P. 10-26.
[9] Mihaelides J.F., Kabal P. Nonlinear adaptive filtering for echo
cancellation // Proc. IEEE Int. Conf. Commun., Philadelphia. PA. – June
1988. – P. 30.3.1-30.3.6.
[10] Stenger A., Rabenstein R. Adaptive Volterra filters for nonlinear
acoustic echo cancellation // Proc. NSIP-99. – P. 135-140.
Б.Н. Меньшиков, А.Н. Тараканов(
241
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЭЛЕКТРОПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ
ПАРАМЕТРОВ ОДНОРОДНОГО СТАЛЬНОГО ОБРАЗЦА
ИМПУЛЬСНЫМ МЕТОДОМ
В.А. Митрофанов, Н.С. Спирин
Аннотация
Рассмотрен процесс установления электрического поля в
металле при включении стороннего тока в перпендикулярном его
поверхности электроде. Получены формулы для расчета кажущихся удельного и полного сопротивлений, измеряемых с помощью ЭП преобразователя. По данным эксперимента на стальном
образце найдены его удельное сопротивление и магнитная проницаемость.
Для увеличения полезного сигнала при электропотенциальном
(ЭП) контроле металлических изделий используются токи, превышающие 10 А, которые подаются через их поверхность с помощью заострённых стержневых электродов. Во избежание перегрева материалов в окрестности контакта токовых электродов с образцом измерения следует проводить в импульсном режиме. При
этом для реализации методик ЭП контроля на постоянном токе
требуется оценка времени установления t уст поля в образце.
Это время очевидно определяется характерным расстоянием
L между токовыми (+, -) и потенциальными (1, 2) электродами
(рис. 1), а также свойствами металла: абсолютной магнитной
проницаемостью μ а и электропроводностью σ. Однако использовать обычную в подобных случаях (см., например, [1]) оценку
данной величины:
t уст = L2 a 2 ,
где a = 1 μ aσ - характерный параметр свойств, при импульсных измерениях поверхностного напряжения было бы неверно. И
дело даже не в том, что приведенное выражение характеризует
установление напряженностей E, H электрического и магнитного
полей, а не измеряемой на опыте разности потенциалов
U = V1 − V2 , но в специфическом поверхностном эффекте, который возникает в силу векторного характера электромагнитной
242
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
задачи и приводит к очень странному на первый взгляд временному изменению напряжения U на потенциальной паре (1, 2),
представленному на рис. 2 иззубренным графиком.
Рис. 1. Расположение токовых
и потенциальных электродов
Рис. 2. Временная зависимость
напряжения и тока, прописанная
АЦП
Для его теоретического объяснения сначала должна решаться
идеализированная однотоковая задача с осевой (вращательной)
симметрией относительно токоподводящего электрода (+) на
рис. 1, в которой возбуждаются три компоненты поля Er , H ϕ ,
E z , не зависящие от азимутального угла ϕ. В квазистационарном
приближении (пренебрегая токами смещения) её решение при
ступенчатом характере стороннего тока I = I 0 ⋅θ (t ) , где
I 0 = const , согласно [2] может быть получено из решения задачи
с гармоническим сторонним током I = I 0 ⋅ exp(iωt ) формальной
заменой iω на переменную s преобразования Лапласа.
Мы воспользуемся приведенным в [2] выражением для напряженности магнитного поля в металле:

 −z  z
 R  ,
H ϕ = H ϕ0 (r ) ⋅ erfc
 + ⋅ erfc

 2a t  R
 2a t  

где H ϕ0 (r ) = I 0 (2πr ) - напряженность магнитного поля в воздухе,
erfc(ξ ) - дополнительный интеграл вероятности, R = r 2 + z 2 –
расстояние от точки ввода тока O до точки наблюдения P. Ось z у
В.А. Митрофанов, Н.С. Спирин
243
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нас совмещена с осью токового электрода (+) на рис. 1, а координата z отсчитывается от поверхности металла.
Радиальную компоненту напряженности электрического поля получим из соотношения
∂H ϕ
−
= σ ⋅ Er ,
(1)
∂z
которое следует из уравнений Максвелла. На поверхности данного полупространства она принимает вид
Er
z =0
[
= Er0 (r ) ⋅ erfc(ξ ) + 2ξ
π ],
(2)
где Er0 (r ) = I 0 (2πr 2σ ) - напряженность стационарного поля,
ξ = r (2a t ) - автомодельная переменная.
Теперь можно дать качественное объяснение графику U(t) на
рис. 2. В принятом приближении магнитное поле в воздухе возникает мгновенно, сразу после включения стороннего тока I. Поэтому в начале процесса проникновения поля в металл производная ∂Hϕ ∂z на его поверхности z = 0 особенно велика. Отсюда
согласно (1) и возникают большие значения Er и наблюдаемое на
опыте временное изменение поверхностного напряжения U. В
отличие от похожей задачи теории теплопроводности с точечным
источником тепла на поверхности материального полупространства мы имеем здесь в начальной стадии процесса установления
не объёмное, а поверхностное растекание тока в металле.
Рассмотрим теперь практический аспект данного явления:
использование полученной на опыте зависимости U от t для отыскания параметров μ а , σ. Определяя поверхностный потенциал
формулой V = −  Er dr , получим из (2) следующее выражение:
(
ξ

⋅ E1 (ξ 2 ) + ln(ξ 2 ) + γ
V = V 0 (r ) ⋅ erfc(ξ ) −
π

) ,
где E1 (ξ 2 ) - интегральная показательная функция, γ - постоянная
Эйлера. Константу интегрирования мы нашли здесь, исходя из
244
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
условия выхода стремления потенциала V (r , t ) к его стационарному распределению V 0 (r ) = I 0 (2πσr ) при t → ∞ .
Используя степенные (при ξ → 0 ) и асимптотические (при
ξ → ∞ ) разложения функций erfc(ξ ) и E1 (ξ 2 ) с удержанием не-
обходимого количества членов (см., например, [3]), для потенциала V (r , t ) при большом и малом t имеем
V
t →∞

2ξ
ξ3

= V ( r ) ⋅ 1 −
−
π
3 π

0

,


V
t →0
= −V 0 (r ) ⋅
(
)
ξ
ln(ξ 2 ) + γ .
π
Выражая отсюда непосредственно измеряемую на опыте разность потенциалов U = V (r1 ) − V (r2 ) , получим рабочие формулы
для кажущихся удельного ρ к и полного Rк сопротивлений, справедливые соответственно при большом и малом t.
ρк =
2π r1 r2U
r r (r + r )
1
= + 1 2 1 3 23 2 ,
(r2 − r1 ) I σ 24 π σ a t
Rк =
ln(r2 r1 )
U
=
.
I 2π π σ at1 2
Линеаризованные графики временной зависимости этих величин показаны на рис. 3. Экспериментальные данные на них представлены жирными точками. На рис. 3а они получены с помощью
скользящего усреднения с окном в 290 значений сигнала, которое
позволило отфильтровать помехи, возникавшие, как показал Фурье-анализ, на частотах 0,68 и 4,2 кГц. Аппроксимация экспериментальных зависимостей средствами пакета MathCad 2001, показанная пунктиром, дала следующие значения:
σ = 3,4 ⋅ МСм м ,
μ = 182,5 по рис. 3а,
μ = 190 по рис. 3б.
Расхождение полученных значений относительной магнитной проницаемости μ мы связываем с некоторым спаданием тока
в импульсе, показанного точками на рис. 2.
Эксперимент проводился на массивном образце из углеродистой стали с помощью асимметричного четырехэлектродного преобразователя, показанного на рис. 1. Расстояние между контактными точками соседних электродов равнялось 3 мм, благодаря
В.А. Митрофанов, Н.С. Спирин
245
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чему ток (-) не давал вклада в измеряемую разность потенциалов,
что соответствовало рассмотренному выше однотоковому случаю.
Рис. 3. Временная зависимость кажущихся сопротивлений
Запись напряжения на потенциальной паре (1, 2) производилась с частотой 100 кГц с помощью платы L-305 ЗАО “Л-КАРД”.
Входной усилитель выполнен на основе прецизионных ОУ
AD8554 фирмы Analog Devices, обладающих напряжением смещения 1 мкВ и малым температурным дрейфом порядка 0,003
мкВ/град.
Длительность импульса тока составляла 15 мсек, а сила тока 9,5 А. Генерация импульса производилась посредством разряда
батареи конденсаторов с общей ёмкостью 25000 мкФ, заряженной до напряжения 40 В. Отсечка тока осуществлялась времязадающим генератором, выполненным на интегральной микросхеме К511ЛА5. Стабилизация тока в импульсе достигалась путем
использования
интегрального
стабилизатора
напряжения
КР142ЕН9Е и токозадающего резистора. Наблюдаемое на рис. 2
спадание тока обусловлено нехваткой ёмкости батареи конденсаторов.
Список литературы
[1] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных
сред. – М.: Наука, 1982. – 624 с.
[2] Уэйт Дж.Р. Геоэлектромагнетизм. – М.: Недра, 1987. – 235 с.
[3] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1968. – 720 с.
246
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПСЕВДОСКАЛЯРНОЙ ЧАСТИЦЫ
С ДВУМЯ ФОТОНАМИ В ЗАМАГНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЕ
Н.В. Михеев, Е.Н. Нарынская
Аннотация
Исследуется распад псевдоскалярной частицы на пару фотонов в сильно замагниченной вырожденной ультрарелятивистской
плазме. Оценка времени жизни частицы относительно двухфотонного распада свидетельствует о сильном катализирующем
влиянии замагниченной плазмы на исследуемый распад.
Квантовые процессы с участием легких слабо взаимодействующих частиц во внешней активной среде вызывают устойчивый интерес на протяжении нескольких последних десятилетий.
Востребованность исследований такого рода обусловлена возможными астрофизическими и космологическими приложениями. Например, одной из ключевых проблем современной космологии является проблема времени жизни таких частиц относительно различных распадов, в частности относительно распада на
два фотона.
Как известно, время жизни аксиона в вакууме на лету составляет [1]
6

 E 

f
50
a
  a  ,
τ ( a→γγ ) ~ 10 сек  10
(1)
 10 ГэВ   1МэВ 

что на много порядков превышает возраст Вселенной τ u ~ 1017
сек. В выражении (1) f a - энергетический масштаб нарушения
симметрии Печчеи-Куин, нижняя граница которого имеет порядок 1010 ГэВ. Такое время жизни, конечно, не дает надежды наблюдать распад a → γγ в земных условиях, но позволяет рассматривать аксион в качестве одного из кандидатов на роль темной материи Вселенной.
Двухфотонный распад аксиона ранее интенсивно изучался
во внешнем электромагнитном поле, которое, как оказалось, может оказывать сильное катализирующее влияние на этот распад
[2-4]. Однако для большинства астрофизических объектов наибоН.В. Михеев, Е.Н. Нарынская
247
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лее вероятной является физическая ситуация, когда одновременно присутствуют обе компоненты активной среды - и магнитное
поле, и плазма. Поэтому представляет интерес исследовать влияние замагниченной плазмы на распад легкой или даже строго
безмассовой псевдоскалярной частицы на два фотона.
В данной работе исследуется двухфотонный распад псевдоскалярной частицы в сильно замагниченной вырожденной ультрарелятивистской плазме1:
eB >> μ 2 >> T 2 , me 2 .
(2)
Здесь μ и T - химический потенциал и температура плазмы
соответственно, me - масса электрона. Такие физические условия
могут реализоваться, например, при взрыве сверхновой, когда в
окрестности нейтриносферы существует область с размерами порядка нескольких десятков километров, в которой плазма относительно разрежена, а магнитные поля могут достигать значений
1014 − 1016 Гс [5]. Следует отметить, что условия (2) соответствуют
пределу сильного магнитного поля, когда плазменные электроны
и позитроны заселяют только основной уровень Ландау.
Во внешней активной среде на процесс φ → γγ оказывает
влияние как внешнее поле, так и плазма. Индуцированный внешним магнитным полем вклад в двухфотонный распад псевдоскалярной частицы описывается петлевой диаграммой на рис. 1, где
по виртуальным фермионам в петле производится суммирование,
однако вследствие иерархии масс основной вклад в сумму будет
обусловлен электроном, вкладом от других фермионов можно
пренебречь. Диаграммы на рис. 2 соответствуют вкладу замагниченной электрон-позитронной плазмы в рассматриваемый процесс. Далее для конкретности в качестве псевдоскалярной частицы
будем рассматривать фамилон, возникающий при спонтанном нарушении горизонтальной симметрии между фермионными поколениями [6, 7], что не уменьшает общности полученных результатов.
Используется естественная система единиц, в которой с =  = 1, e > 0 элементарный заряд.
1
248
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
γ1 (q1 )
(γ1 ↔ γ2 )
+
φ(q)
γ2 (q2 )
Рис.1 Индуцированный внешним магнитным полем вклад в амплитуду
распада псевдоскалярной частицы на пару фотонов
φ(q)
γ1 (q1 )
γ2 (q2 )
γ2 (q2 )
γ1 (q1 )
φ(q)
+
+
e− (p)
e− (−p)
e− (p)
(γ1 ↔ γ2 )
e− (−p)
Рис.2. Вклад замагниченной плазмы в амплитуду процесса распада
псевдоскалярной частицы на два фотона. Диаграммы, описывающие
рассеяние фамилона на позитронах плазмы, получаются из данных
заменой p → - p и изменением направления фермионной линии
Следует отметить, что исследование процесса φ → γγ в замагниченной плазме в общем случае является достаточно сложным и
громоздким, поскольку требует учета трехточечных диаграмм,
как петлевых (полевой вклад), так и древесных (плазменный
вклад). Однако в некоторых случаях вычисления можно существенно упростить. А именно, при определенных физических условиях связь фамилона с двумя фотонами может быть восстановлена из лагранжиана взаимодействия фамилона с одним фотоном во
внешней среде
~ αβ
(∂ β Aα )Φ ,
(3)
Н.В. Михеев, Е.Н. Нарынская
249
Lφγ = gφγ F
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где Aβ - 4-потенциал квантованного электромагнитного поля,
~ αβ
F - дуально сопряженный тензор внешнего магнитного поля,
Φ - поле фамилона, gφγ - эффективная связь фамилон-фотонного
взаимодействия в замагниченной плазме, которая, вообще говоря,
может зависеть как от 4-импульса частиц, так и от параметров
среды.
В сильно замагниченной плазме эффективная связь фамилонфотонного взаимодействия может быть представлена в виде однократного интеграла [8]
gφγ =
1 − c2
F (c ) =
2
1
H(z) = 
+1
2α
F (c ) ,
π fφ
(4)
dv ( f (v, μ ) + f (v,− μ ))
 (1 − vc)2 − z (1 − v 2 )(1 − c 2 )2 − H ( z ) ,
−1
du
0 1 − z(1 − u
2
) − iε
−1,
z=
ω2
2
e
4m
(1 − c 2 ) ,
где α - постоянная тонкой структуры, fφ - масштаб нарушения


горизонтальной симметрии, q μ = (ω , q ) и p μ = ( E , p ) - 4-векторы
импульса фамилона и плазменного электрона (позитрона) соответственно, c = q3 / ω , переменная v имеет смысл скорости движения электрона вдоль поля, v = p3 / E , при этом E = me / 1 − v 2 ,
f (ν , ± μ ) - функции распределения, учитывающие наличие плазмы. Выражение (4) существенно упрощается в случае вырожденной ультрарелятивистской плазмы (1), когда F (c) ≈ 1, и, следовательно, эффективная связь фамилон-фотонного взаимодействия
является константой:
gφγ =
250
2α
.
πfφ
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С учетом того, что эффективная связь фамилон-фотонного
взаимодействия gφγ не зависит от 4-импульса частиц, из лагранжиана (3) может быть восстановлен лагранжиан взаимодействия
фамилона с двумя фотонами в виде
Lφγγ

gφγ  ~ μν
F Fνμ Φ .
=

4 

(6)
Здесь Fμν и Fμν - тензор и дуальный тензор квантованного
электромагнитного поля.
Для дальнейшего вычисления вероятности процесса φ → γγ
необходимо правильно учесть влияние сильно замагниченной
плазмы на дисперсию фотона и на кинематику процесса. В этом
случае, как и в магнитном поле, реализуются две фотонные моды,
определяемые 4-векторами поляризации [9]:
ε μ(1) =
(qϕ )μ
(qϕϕq)
~
,
ε μ( 2) =
(q ϕ ) μ
~ ~
,
(q ϕ ϕ q)
где ϕ μν = Fμν / B и ϕμν = Fμν / B - обезразмеренные тензор и дуальный тензор внешнего электромагнитного поля, q μ - 4импульс фотона. Наиболее чувствительной к присутствию сильно
замагниченной плазмы оказывается фотон второй моды, в то
время как закон дисперсии фотона первой моды практически не
меняется по сравнению с ситуацией чистого поля. Действительно, в сильно замагниченной плазме 4-е пространство удобно разбить на два подпространства: поперечное, ⊥ , и продольное, || , по
отношению к направлению внешнего магнитного поля. При этом
движение электронов в поперечном к полю направлении локализуется, и нетривиальные вычисления проводятся в подпростран-
Н.В. Михеев, Е.Н. Нарынская
251
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стве (0,3)2. В сильном магнитном поле решения уравнения Дирака удобно представить в виде:
ψ ( x, p) = ψ || ( x|| , p|| ) ψ ⊥ ( x⊥ , p⊥ ) ,
ψ || ( x|| , p|| ) =
e
 eB 1 / 4 e −ξ 2 / 2 eip 2 x2
u ( p|| ) , ψ ⊥ ( x⊥ , p⊥ ) =  
. (7)
π 
2 E L3
L2

− i ( px )||
Здесь L2 , L3 - вспомогательные параметры, определяющие
нормировочный объем, V = L1 L2 L3 , E - энергия фермиона, p 3 кинетический импульс вдоль третьей оси, p 2 - обобщенный импульс, определяющий положение центра Гауссова пакета по первой оси, ξ = eB ( x2 + p2 / eB) - безразмерная координата, индекс
⊥ при 4-векторе означает, что вектор лежит в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля, а индекс || соответствует “продольным” составляющим 4-векторов, то есть
x||μ = ( x0 ,0,0, x3 ) ,
p||μ = ( E ,0,0, p3 ) ,
x⊥μ = (0, x1 , x2 ,0) ,
p⊥μ = (0, p1 , p2 ,0) .
Биспинор u ( p|| ) в (7), соответствует свободному электрону,
двигающемуся параллельно полю и поляризованному против поля, удовлетворяет условию:
1 − iγ 1γ 2
.
2
При этом электромагнитный ток в сильно замагниченной
плазме
Π −u ( p|| ) = u ( p|| ),
Π− =
jα = (ψ ( x)γ αψ ( x)) = (ψ ( x)Π −γ α Π −ψ ( x))
в силу свойства
2
Магнитное поле считается
направленным вдоль третьей оси


( B = (0,0, B ) ) в калибровке A = (0, Bx,0) .
252
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
γ , α = 0,3
Π −γ α Π − =  α
 0, α = 1,2
отличен от нуля только в подпространстве (0,3). Следовательно,
фотон первой моды не взаимодействует с плазменными электронами и позитронами, находящимися на основном уровне Ландау,
и его закон дисперсии остается таким же, каким был в сильном
магнитном поле без плазмы [10]:
q2 = −
α 2
q⊥ .
3π
(8)
Что касается второй моды, то присутствие замагниченной
плазмы приводит к существенному изменению его закона дисперсии по сравнению с чистым полем, который, как оказалось, в
сильно замагниченной плазме определяется той же функцией
F (c) [11], что и эффективная связь фамилон-фотонного взаимодействия в сильно замагниченной плазме (2), и в рассматриваемых условиях имеет простой вид:
q2 =
2α e B
π
F (c ) ≈
2α e B
π
.
(9)
Законы дисперсии (8) и (9) порождают правила отбора по
поляризациям фотона. А именно, являясь безмассовой частицей,
фамилон может распадаться только на фотоны с отрицательными
квадратами импульсов, q 2 < 0 . Следовательно, из трех каналов
двухфотонного распада фамилона
φ → γ (1) + γ (1) , φ → γ (1) + γ ( 2) , φ → γ ( 2) + γ ( 2)
в рассматриваемых условиях вырожденной ультрарелятивистской плазмы возможным является только распад на два фотона
первой моды.
Н.В. Михеев, Е.Н. Нарынская
253
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Амплитуда процесса φ → γ (1) + γ (1) может быть получена
непосредственно из лагранжиана (6) и имеет вид:
~
M = gφγ
→
(q1ϕ q2 ) (q1 ϕ q2 )
~ ~
,
(10)
(q2 ϕϕ q2 ) (q1 ϕ ϕ q1 )
→
где q1μ = (ω1, k 1 ) и q2μ = (ω2 , k 2 ) - 4-импульсы фотонов.
Вероятность двухфотонного распада фамилона в общем
случае определяется выражением
3
3
1
2 d k1 d k 2 4
ωW =
|M |
δ (q − q1 − q2 ) .
ω1 ω2
2! 32 π 2 
Здесь не учитываются статистические факторы конечных фотонов, поскольку предполагается, что распадающийся фамилон
обладает относительно большой энергией, 2ω >> T .
После проведения несложных, хотя и несколько громоздких
вычислений для вероятности распада фамилона на пару фотонов
первой моды получаем:
W ≈
α gφγ ω 3
2304 π 3
,
(11)
- эффективная связь, определяемая выражением (5).
Вероятность (11) позволяет оценить время жизни фамилона
относительно двухфотонного распада в сильно замагниченной
вырожденной ультрарелятивистской плазме:
где
g φγ
τ (φ →γγ )
254
2

 1МэВ 3
f

φ
13

 
~ 1.5 × 10 сек
.
 1010 ГэВ   ω 
 

Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
(12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Полученный результат справедлив для любой псевдоскалярной частицы, взаимодействующей с фермионами, например, для
аксиона. Сравнение (12) со временем жизни аксиона в вакууме
(1) при f φ = f a позволяет сделать вывод о сильном катализирующем влиянии замагниченной плазмы на двухфотонный распад
псевдоскалярной частицы. При этом время жизни псевдоскалярной частицы относительно двухфотонного распада остается все
еще достаточно большим для реализации этого процесса в астрофизических условиях.
Работа выполнена в рамках тематического плана научных
исследований Ярославского университета по заданию Рособразования, при частичной финансовой поддержке Совета по грантам Президента Российской Федерации для поддержки молодых
российских ученых и ведущих научных школ РФ, грант № НШ6376.2006.2, и Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 04-02-16253
Список литературы
[1] Raffelt G.G. // Phys. Rept. – 1990. – V. 198. № 1-2. – P. 1.
[2] Mikheev N.V., Vassilevskaya L.A. // Phys. Lett. B. – 1997 –.
V. 410. – P. 207.
[3] Скобелев В.В. // Ядерная физика. – 1998. – Т. 61. № 12. –
C. 2236.
[4] Скобелев В.В. // ЖЭТФ. – 1999. – Т. 115. Вып. 2. – С. 385.
[5] Бисноватый-Коган Г.С. Физические вопросы теории звездной
эволюции. – М., Наука. 1989. – С. 1.
[6] Wilczek F. // Phys.Rev. Lett. – 1982. – V. 49. № 21. – P. 1549.
[7] Ансельм А.А., Уральцев Н.Г. // ЖЭТФ. – 1983. – Т. 84.
Вып. 6. – С. 1961.
[8] Mikheev N.V., Narynskaya E.N. // Mod. Phys. Let.A. – 2006. –
V. 21. № 5. – P. 433.
[9] Ader S.L. // Ann. Phys. (N.Y.) – 1971. – V. 67. – P. 599.
[10] Shabad A.E. Ann. Phys. (N.Y.). – 1975. – V. 90. – P. 166.
[11] Chistyakov M.V., Mikheev N.V. // Surveys in High Energy Physics. – 2000. – V. 15. – P. 239.
Н.В. Михеев, Е.Н. Нарынская
255
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
РАСЧЕТ ОРТОГОНАЛЬНЫХ И БИОРТОГОНАЛЬНЫХ
ВЕЙВЛЕТОВ С КОМПАКТНЫМ НОСИТЕЛЕМ
А.А. Моисеев, А.Л. Приоров
Аннотация
Рассматривается способ построения различных наборов ортогональных и биортогональных вейвлет-базисов, имеющих заданный порядок гладкости. Описывается алгоритм синтеза цифровых фильтров, соответствующих полученным базисам. Приводятся примеры синтеза вейвлет-фильтров.
Введение
На сегодняшний день обработка сигналов с использованием
вейвлет-преобразования получила широкое распространение.
Существует множество классов вейвлетов, обладающих различными свойствами (гладкость, симметричность и т.п.), такие как
Добеши, Мейера, Симлета, Коифлета и другие [1]. Выбор того
или иного класса вейвлет-функций определяется решаемой задачей [2]. Параметризация вейвлетов может быть полезна при выборе оптимальных вейвлетов в различных задачах [3]. Наиболее
известные методы параметризации Полена [4] и Зу [5] обладают
несколькими недостатками, в частности: нет возможности задавать порядок гладкости вейвлета, синтез вейвлет-фильтра с требуемой амплитудно-частотной характеристикой требует значительных вычислительных затрат. В работе предлагается методика
расчета коэффициентов вейвлетов с заданным порядком гладкости, которая позволяет получить ортогональные и биортогональные вейвлеты.
Описание метода параметризации
Пусть ψ(t ) – некоторая вейвлет-функция. Она связана с масштабирующей функцией ϕ(t ) уравнением (1). В свою очередь
ϕ(t ) определяется уравнением (2)
ψ(t ) =  g k ϕ(2t − k ),
k
256
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ϕ(t ) =  hk ϕ(2t − k ) ,
(2)
k
где hk , g k – импульсные характеристики соответствующих вейвлет-фильтров. В случае биортогональных вейвлет-базисов рас~ (t ) ,
сматривается два набора базисных функций ϕ(t ) , ψ(t ) и ϕ
~ (t ) . При этом уравнения, аналогичные (1, 2), справедливы и для
ψ
~ (t ) , ψ
~ (t ) .
ϕ
Условие ортонормальности базисных функций ϕ(t ) записывается в следующем виде:
H 2 (ω) + H 2 (ω + π) = 1 ,
(3)
где H (ω) =  hk e − jkω , а hk – коэффициенты уравнения (2). Анаk
логичное условие в случае биортогональных вейвлет-базисов
имеет вид
~
~
H (ω) H (ω) + H (ω + π) H (ω + π) = 1 .
(4)
Для того чтобы базисные функции обладали гладкостью порядка k , необходимо, чтобы частотная характеристика соответствующего фильтра H (ω) имела k нулей на частоте ω = π . Это
выполняется в случае, когда H ( jω) можно представить в виде
k
 1 + e jω 
 L ( jω) ,
H ( jω) = 

 2 
или для модуля H ( jω)
(5)
k
  ω 
H (ω) = cos  L(ω).
  2 
(6)
Функцию L2 (ω) можно представить в виде косинусного ряда, тогда квадрат выражения (6) примет вид
А.А. Моисеев, А.Л. Приоров
257
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  ω 
H (ω) = cos 
  2 
2
2k
M −1
 bi cos(iω) ,
(7)
i =0
где M – число параметров, которое должно быть не меньше
k + 1 . Аналогично для случая биортогональных вейвлет-базисов
  ω 
~
H (ω)H (ω) = cos 
  2 
~
k +k
~
M −1
 bi cos(iω).
(8)
i =0
Для удобства положим, что k + k = m и преобразуем выраM −1
M −1
i =0
i =0
жение  bi cos(iω) к виду  d i cos i ω , что может быть выполнено с помощью линейного преобразования D = A ⋅ B , где D –
вектор-столбец коэффициентов d 0 , d1, , d M −1 , B – векторстолбец коэффициентов b0 , b1, , bM −1 , а A – треугольная матрица преобразования. Для получения ограничений на параметры
bi , необходимо подставить выражение (7) в (3) и (8) в (4).
Выполняя ряд тригонометрических и алгебраических преобразований, получим условие на параметры d i
m + M −1
2
 M −1

n =0
 n
 m 
2n
m −1
d
  i  2n − i  cos ω = 2 ,

 i =0 
(9)
n!
– число сочетаний из n по k , причем если
где   =
 k  k!(n − k )!
 M −1  m 
 n
k > n или k < 0 , то   = 0 . Пусть   d i 
 = cn . Тогда
2
−
n
i
k

 
 i =0 
c0 = 2 m −1 ,
условие
(9)
выполняется,
когда
c1 = c2 =  = c m + M −1 = 0 . Отсюда получаем систему линейных
2
C ⋅ D = c,
 m 
 ,
D
= 
2
n
−
i


уравнений
где
C
cn , i
–
вектор-столбец
258
–
матрица
коэффициентов
коэффициентов
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
d 0 , d1 ,  , d M −1 ,
c
–
c0 , c1 ,  , cM −1 . Обозначая
  m
  
 0
  m
  
 2
 .
 m 
  
  2L 
вектор-столбец
коэффициентов
m + M −1
= L , получим
2
  d 0   2 m −1 
 

 
  d1   0 
m

  .   . 
 m
  ⋅ 
 
 
 .(10)
=
(
)
−
−
M
1
2
1

  .   . 
 
.
.
.
 

 
.
.
m
 m 

 

 

  
  



 2 L − 1
 2 L − (M − 1)   d M −1   0 
При M = m + 1, матрица C – квадратная, размера
(m + 1) × (m + 1) , следовательно, система линейных уравнений
(10) имеет единственное решение. Если M > m + 1, матрица C
имеет размер (L + 1) × M , причем L + 1 < M , следовательно, име0
0
0
ется бесконечное множество решений. В этом случае число степеней свободы в определении вейвлета равно M − L + 1. Варьируя свободными параметрами, можно получить набор различных
вейвлет-функций.
Метод спектральной факторизации
Для определения импульсной характеристики фильтра из
~
разложения H 2 (ω) и H (ω) H (ω) , воспользуемся методом спектральной факторизации [1], который выполняется следующим
образом:
~
1. Решение уравнения H 2 (ω) = 0 или H (ω) H (ω) = 0 .
2. Переход от корней на частотной оси к нулям на z плоскости. Дополнение полученных нулей комплексносопряженными нулями.
3. Выбор нулей в соответствии с требованиями к частотной
характеристике вейвлет-фильтра и типом вейвлет-базиса:
а) для синтеза фильтра с минимальной фазовой характеристикой выбираются нули, модуль которых меньше 1;
А.А. Моисеев, А.Л. Приоров
259
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3
3
2
2
1
1
Im(z)
Im(z)
б) в случае синтеза фильтров с линейной фазой необходимо разделить полученный набор нулей между
фильтрами анализа и синтеза.
4. Получение импульсной характеристики из нулей и полюсов
фильтра.
На рис. 1 – рис. 2 представлено распределение нулей вейвлет-фильтров (нули в точке z = −1 не показаны).
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-2
0
Re(z)
2
Рис. 1. Распределение нулей
семейства вейвлет-фильтров с двумя
нулевыми моментами и одной
степенью свободы
-3
-2
0
Re(z)
2
Рис. 2. Распределение нулей
семейства вейвлет-фильтров с
четырьмя нулевыми моментами и
одной степенью свободы
Распределения нулей семейств вейвлет-фильтров с числом
степеней свободы более 1 имеют достаточно сложный вид и
здесь не приводятся.
Синтез ортогональных и биортогональных
вейвлет-фильтров
Для получения ортогональных вейвлет-фильтров выбираются
нули, модуль которых меньше 1. В случае если M = m + 1, получим фильтр Добеши с m нулевыми моментами.
Фильтры, соответствующие биортогональным вейвлетбазисам, получаются в результате разделения набора нулей, соот~
ветствующих произведению H (ω) H (ω) между фильтрами ана~
лиза и синтеза – H (ω) и H (ω) . Данное разделение может произ260
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
водиться различными способами, в результате из одного набора
нулей можно получить несколько различных наборов вейвлетбазисов.
Примеры синтеза вейвлет-фильтров
1. Ортогональные вейвлеты Добеши 4
Число нулевых моментов k = 4 , число параметров M = 5 .
Параметры d i определяются из решения системы линейных
уравнений
1

6
1

0
0

0
4
4
0
0
0
1
6
1
0
0
0
4
4
0
0  d 0   8 
   
0  d1   0 
1  d 2  =  0  .
   
6  d 3   0 
1  d 4   0 
Отсюда D = {8;−14,5;10;−2,5;0}. Далее, воспользовавшись методом спектральной факторизации, получим импульсную характеристику фильтра Добеши 4.
0.6
1
0.4
0
4
7
hn
Im(z)
0.5
-0.5
0.2
0
-1
-1
-0.5
0
Re(z)
0.5
1
Рис. 3. Нуль-полюсная диаграмма
фильтра Добеши 4
-0.2
0
1
2
3
4
n
5
6
7
8
Рис. 4. Импульсная характеристика
фильтра Добеши 4
На рис. 3 и рис. 4 приведены нуль-полюсная диаграмма и
импульсная характеристика полученного фильтра (здесь и далее
на нуль-полюсной диаграмме цифрами показана кратность нулей
и полюсов).
А.А. Моисеев, А.Л. Приоров
261
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Биортогональные вейвлеты Добеши 9/7
~
Число нулевых моментов k = 4 , k = 4 , число параметров
M = 5 . Система, определяющая параметры d i , та же, что и в
случае ортогональных вейвлетов. Разделяя полученный набор
~
нулей между фильтрами H (ω) и H (ω) , определим соответствующие импульсные характеристики.
0.8
1.5
0.6
1
4
0
0.4
8
hn
Im(z)
0.5
0.2
-0.5
-1
0
-1.5
-1
0
Re(z)
1
-0.2
1
2
Рис. 5. Нуль-полюсная диаграмма
фильтра порядка 9
3
4
5
n
6
7
8
9
Рис. 6. Импульсная характеристика
фильтра порядка 9
0.6
1.5
0.5
1
0.4
0.5
4
0
0.3
6
hn
Im(z)
2
-0.5
0.2
0.1
-1
0
-1.5
-1
0
1
Re(z)
2
3
Рис. 7. Нуль-полюсная диаграмма
фильтра порядка 7
-0.1
1
2
3
4
n
5
6
7
Рис. 8. Импульсная характеристика
фильтра порядка 7
3. Параметры, определяющие ортогональный вейвлет-фильтр с
двумя нулевыми моментами и одним свободным параметром
Система линейных уравнений, определяющая параметры d i ,
имеет вид
262
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1

1
0

0
0

0
2
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
2
1
0
0  d 0   2 
   
0  d1   0 
1  d 2  =  0  ,
   
0  d 3   x 
1  d 4   0 
где d 3 – свободный параметр, x – значение свободного параметра. Варьируя значение x , можно получить множество различных
вейвлет-фильтров.
Заключение
Предлагаемый метод позволяет синтезировать как ортогональные, так и биортогональные вейвлет-фильтры, с требуемой
формой амплитудно-частотной характеристики и заданным порядком гладкости соответствующей вейвлет-функции. К тому же
метод достаточно прост в реализации и не требует каких-либо
символьных вычислений.
Список литературы
[1] Добеши И. Десять лекций по вейвлетам: Пер. с англ. – М.:
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004.
[2] Mandal M.K. Wavelets for Image Compression. – Faculty of Engineering University of Ottawa, 1994.
[3] Кобелев В.Ю., Ласточкин А.В. Выбор оптимальных вейвлетов
для обработки сигналов и изображений // Докл. 2-й Междунар. конф.
«Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA’99). – М.,
1999. – С. 514-518.
[4] Pollen D. Parameterization of compactly supported wavelets
// Technical report, Aware Inc., USA, 1989.
[5] Zou H., Tewfik A.H. Parameterization of compactly supported orthonormal wavelets // IEEE Transactions on Signal Processing. – Mar.
1993. – V. 41. – P. 1423-1431.
А.А. Моисеев, А.Л. Приоров
263
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ИЗМЕРЕНИЕ МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ
И УДЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ СТАЛЬНЫХ КОЛЕЦ
В ПЕРЕМЕННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
А.В. Морозов, В.А. Папорков
Аннотация
В работе приводится расчет магнитного потока в области
высоких частот, результаты которого можно применить к ферромагнитному кольцу прямоугольного сечения. Предложен метод
определения удельного сопротивления ферромагнитного кольца.
Приведены результаты исследования полевой и частотной зависимостей магнитной проницаемости. По результатам измерений
получены значения начальной магнитной проницаемости и
удельного электросопротивления образца.
Существует много способов измерения удельного сопротивления ферромагнетиков [1]. Наиболее широко применимыми являются электропотенциальный и вихретоковый. Электропотенциальный метод заключается в измерении разности потенциалов,
между двумя точками на образце, по которому течет электрический ток, по величине тока и разности потенциалов между двумя
точками определяют электрическое сопротивление участка. При
заданной геометрии задачи с помощью расчетных формул находят удельное сопротивление. Недостатком данного метода является невозможность реализации бесконтактной методики. Целью
данной работы является применение вихретокового метода определения удельного сопротивления ферромагнитных колец.
Определение магнитного потока с учетом вихревых токов
ЭДС во вторичной обмотке бесконечного соленоида, в который помещён однородный ферромагнитный стержень круглого
сечения, представляется через функции Бесселя.
Решение для бесконечного однородного стержня в однородном внешнем магнитном поле дает [1,2]:
~ *
~
U = j (1 − η + ημ
264
2 J 1 (k R)
~
~
k R J 0 (k R)
) = j (1 − η + ημμ эфф ) ,
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
~ *
U =
~
~
U −U 0
~
U0
~
=
ΔU
~
= j η ( μμ эфф − 1)
U0
,
(1)
~
где
2 J 1 (k R)
~
~
k R J 0 (k R)
= μ эфф
- эффективная магнитная проницаемость,
и J 1 - функции Бесселя первого рода нулевого и первого
порядков,
~
k = − jωμμ 0σ - комплексное волновое число,
J0
ω = 2πf
- циклическая частота,
μ 0 = 4π ⋅10 −7
Гн
,
м
μ и σ - магнитная проницаемость и удельная электропро-
водность образца,
η=
R
Rизм
- коэффициент заполнения измерительной катушки
при условии R < Rизм < Rвозб ,
R, Rизм, Rвозб - радиусы образца, измерительной и возбуждающей обмоток,
~ *
U - относительная вносимая ЭДС,
~
U 0 - ЭДС холостого хода, измеряемая в катушке без образца,
~
U - ЭДС, измеряемая в катушке с образцом.
Для решения задачи нахождения удельного сопротивления
образца можно применить метод разложения (1) в ряд по частоте
в областях низких и высоких частот.
Однако можно предложить более простой расчет для получения результатов в области высоких частот. Воспользуемся решением задачи для однородного полупространства, намагничиваемого тангенциальным переменным магнитным полем [3].
Для плоской волны задача
 будет одномерной:

 ∂D 

rotH = σE +
; B = μ 0 μH ;
∂t
А.В. Морозов, В.А. Папорков
265
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»




∂B
rotE = − ;
D = ε 0ε E ;
∂t


2

∂
H
∂
H
−∇ 2 H = −σμ0 μ
− ε 0εμ0 μ 2 ;
∂t
∂t

т.к. H = (0,0, H ) , то
∂2H
∂H
∂2H
(2)
− 2 = −σμ0 μ
− ε 0εμ0 μ 2 .
∂t
∂z
∂t
Пусть H изменяется по гармоническому закону с циклической частотой ω:
∂2H
= −ω 2 H . Подставим в (2), получим:
2
∂t
∂2H
(3)
+ iσμ0 μ + ε 0εμ0 μω 2 H = 0.
2
∂z
Для металлов: σ ε 0εω , поэтому из (3) получим:
∂2H
(4)
+ i μ0 μσω H = 0.
∂z 2
Решая характеристическое уравнение:
m 2 + iσμ0 μω = 0 ,
(
)
m 2 = −iσμ0 μω ,
m1,2 = −iσμ0 μω ,
m1,2 = ( i − 1)
σμ0 μω
2
,
(i − 1)
2
(5)
; z0 =
;
z0
μ0 μσω
z0 – толщина скин-слоя. В технической литературе эту величину
часто называют глубиной проникновения вихревых токов.
С учетом (5) решением (4) будет:
m1,2 =
( i −1)
z
z0
H ( z ) = C1e
+ C2 e
поскольку H (0) = C2 = H 0 , то
H ( z ) = H 0e
266
−
−
( i −1)
z
z0
( i −1)
z
z0
,
.
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
(6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В области высоких частот, где для z0 в соответствии с (5),
выполняется условие z0<<R, можно пренебречь кривизной поверхности и применить предложенный расчет для образца кругового сечения.
Введем новую переменную: r = r0 − z , где r0 = R - радиус образца
0
Ф = −  2π H 0 μ 0 μ ⋅ e
−
z
z0
⋅e
i (ω t −
z
)
z0
⋅ ( r0 − z ) dz =
r0
0
= 2πμ 0 μ H 0 ( −  e
r0
z
−
z0
⋅e
z
i (ω t − )
z0
0
r0 dz +  e
z
−
z0
⋅e
z
i (ω t − )
z0
(7)
⋅ zdz ).
r0
Решая (7)
(−r0 − r0i + z0 )
1
Ф=
z0 ⋅ eiωt − z02 ⋅ e
2πμ0 μ H 0
2i
2i
1
r0
( − r0 − r0i + iωtz0 )
z0
=
r0
− i
r r z
z2 −
= (− 0 − 0 + 0 ) z0 eiωt − 0 (e z0 ⋅ e z0 ⋅ eiωt ) =
2i 2 2i
2i
r0
r0
z0 r0i r0 z0 z02i iωt z02i − z0 iωt − z0 i
=(
−
− )⋅e +
⋅e ⋅e ⋅e
=
2
2
2
2
r0
z0 r0i r0 z0 z02i iωt z02i − z0 iωt
r
r
=(
−
− )⋅e +
⋅ e ⋅ e (cos 0 − i ⋅ sin 0 ) =
z0
z0
2
2
2
2
r0
z0 r0i r0 z0 z02i
z02i − z0
r
r
= e [(
−
− )+
⋅ e ⋅ (cos 0 − i ⋅ sin 0 )] =
z0
z0
2
2
2
2
iωt
r0
r0
z0 r0i z0 r0 z02i
z02i − z0
r0 z02 − z0
r
= e [(
−
− )+
⋅ e ⋅ cos + ⋅ e ⋅ sin 0 ]
z0 2
z0
2
2
2
2
iωt
r0
z02 − z0
r
iωt r0 z0
Re Ф = e (
+ ⋅ e ⋅ sin 0 )2πμ0 μ H 0 ,
z0
2
2
(8)
r0
z02 z02 − z0
r
iωt r0 z0
Im Ф = e (
− + ⋅ e ⋅ cos 0 )2πμ0 μ H 0 .
(9)
z0
2
2
2
Опуская временной множитель и пренебрегая величинами
второго порядка малости, в случае высоких частот (ω→∞), z0→0
получаем:
А.В. Морозов, В.А. Папорков
267
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
r0 z0

Re
≈
2πμ0 μ H 0
Ф

2

2
Im Ф ≈ r0 z0 − z0 ≈ r0 z0 2πμ μ H
0
0

2
2
2
Ф = Im Ф 2 + Re Ф 2 = 2πμ0 μ H 0
(10)
r0
μ0 μσω
;
(11)
Ф0 = π ⋅ r02 μ0 μ H 0 ,
(12)
Этот результат совпадает с (1) в области высоких частот.
Получено решение для полупространства (6) и образца с
круглым сечением (11). Однако в области высоких частот нет качественных различий у образцов с круглым и прямоугольным сечениями. При условии равенства площадей скин-слоя можно
осуществить переход от круглого к прямоугольному сечению:
Φ Sω
, где Sω - эффективная площадь скин-слоя,
=
Φ 0 S0
2π r0 Δz 2(l1 + l2 )Δz
;
=
2
l1l2
π r0
ll
(13)
r0 ≈ 1 2 ;
l1 + l2
l1, l2 – размеры прямоугольного сечения,
r0 – эффективный радиус сечения образца.
Методика эксперимента и материалы
Измерение магнитного потока осуществлялось в диапазоне
от 0.03 до 100 КГц, известным методом “амперметравольтметра”. В данной работе исследовался магнитный поток через поверхность образца. Измерялись зависимость ЭДС, индуцируемая в измерительной обмотке образца, от амплитуды напряженности магнитного поля, величина которой пропорциональна
току в намагничивающей обмотке (рис. 1).
268
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1 Схема измерительной установки:
Г - генератор низкой частоты типа Г3-109,
V1 - вольтметр средневыпрямленного значения типа В3-38,
R - реостат, R0 - эталонное сопротивление (50-5000 Ом),
V2 - усилитель селективный типа У2-8
Измерения проводились в линейной
где μ → μ н - начальной проницаемости (рис. 2).
А.В. Морозов, В.А. Папорков
области
B(H),
269
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
μ 25
20
15
10
5
0
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00 12,00
H, А/м
H р - рабочее значение напряженности
Рис. 2. Зависимость
μ ( H ) в линейной области
По данным, полученным при постоянной небольшой частоте f ~30Гц, выбирали точку при H=Hр, в которой ЭДС была достаточно большая по сравнению с шумами. При этом
μн -
μ ≈ μн , где
начальная проницаемость, определяемая из графика. Для
увеличения соотношения “сигнал-шум” использовался усилитель
селективный типа У2-8.
Из (11) и (12) следует:
Ф(ω ) 2
ρ
= ⋅
.
(14)
Ф0
r0 μ0 μω
Учитывая, что напряжение измерительной обмотки U ~ ωΦ ,
U Ф(ω ) ω
Ф(ω ) U ω0
получим
, т.е.:
,
(15)
=
=
U0
Ф0 ω0
Ф0
U0 ω
где U – измеряемое напряжение,
ω0 = 2π f 0 , f 0 - начальная частота, U 0 = U (ω0 ) .
270
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ф(ω )
1
от
. В области
Ф0
ω
1
Ф(ω )
)
= const . Если бы
Ф0
ω
На рис. 3 показана зависимость
низких частот (большие значения
отсутствовала погрешность
ω0
, то эта const равнялась бы 1. Как
U0
правило, это не выполняется, поэтому в области низких частот
следует дополнительно корректировать результат, добиваясь выω
Ф(ω )
полнения условия
= 1, путем подгонки 0 . В области выФ0
U0
1
Ф(ω )
от
.
соких частот наблюдается линейная зависимость
Ф0
ω
U (ω )ω0
1
Таким образом, построив зависимость
от
и опредеU 0ω
ω
лив тангенс угла наклона a = tg (α ) =
зная
μ , можно определить ρ .
2
ρ
⋅
, при высоких
r0 μ0 μ
ω,
2
 al1l2 
1
ρ = μ0 μ ⋅ 
 .
2
2(
l
l
)
+
 1 2 
(16)
Образцами служили стальные кольца из стали марки
40ХН2МА,
с
различными
температурами
отпуска
0
0
(150 С < Tотп < 600 С).
На рис. 3 приведены результаты измерений образца с
Tотп=4500 С.
А.В. Морозов, В.А. Папорков
271
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,00
0,02
0,04
Рис. 3. Зависимость
0,06
0,08
Ф(ω )
1
от
Ф0
ω
Параметры образца:
tотп = 4500 С.
Температура отпуска
Внутренний диаметр
d1 = 8, 2 мм.
d 2 = 10,0 мм.
Внешний диаметр
nизм = 100.
Число витков измерительной обмотки,
Число витков намагничивающей обмотки, nнам = 150.
h = 3,8 мм.
Высота
l = 28,588 ⋅ 10−3 м.
Длина магнитопровода
S = 3, 42 ⋅ 10−6 м 2 .
Площадь поперечного сечения
1
Для определения площади сечения l1 = h , l2 = (d 2 − d1 ) .
2
272
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставив значение μ = 14,8 (Рис. 3) и a = 134, 4 , получим ρ=2,189∗10−7 Ом*м, что хорошо согласуется с результатами
измерений электропотенциальным методом на “образцахсвидетелях”, прошедших ту же обработку [4], что подтверждает
возможность применения предложенной методики для измерения
удельного электросопротивления ферромагнитных колец.
Список литературы
[1] Клюев В.В. и др. Неразрушающий контроль и диагностика. –
М.: Машиностроение, 1995, – 488 с.
[2] Герасимов В.Г. и др. Неразрушающий контроль изделий электромагнитными методами. – М.: Энергия, 1978, – 216 с.
[3] Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Наука, 1989, –
504 с.
[4] Папорков В.А., Бойденко В.С., Холкин А.И. Измерение
удельного электросопротивления стальных цилиндрических образцов
в сильных магнитных полях индукционным методом // Физика материаловедения и структуроскопии. – Ярославль: ЯрГУ, 1975. –
С. 46-52.
А.В. Морозов, В.А. Папорков
273
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С.А. Никитчук, М.В. Лоханин, А.В. Проказников, Н.А. Рудь, В.Б. Световой
АНИЗОТРОПНЫЕ МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
МИКРОКЛАСТЕРОВ НИКЕЛЯ В ТРЕХМЕРНОЙ
ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ МАТРИЦЕ
С.А. Никитчук1, М.В. Лоханин1, А.В. Проказников1,2,
Н.А. Рудь1, В.Б. Световой1,3
(1)
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Институт микроэлектроники и информатики РАН, г. Ярославль
(3)
MESA Research Institute, University of Twente, The Netherlands
E-mail: nikitchuk_sergey@mail.ru
prokaznikov@mail.ru
(2)
Аннотация
Предложена технология получения одинаково ориентированных многогранных микрокластеров никеля и железа методом
электрохимического осаждения, в матрицу пористого кремния из
жидких растворов. С помощью специально сконструированной
установки проведены экспериментальные исследования магнитных анизотропных свойств для кластеров никеля и железа различных размеров и ориентации. В развитой теории показано, что
относительный вклад различных механизмов намагничивания
связан с размерами металлических кластеров, а также с ориентацией поверхности, на которой формируются кластеры, что определяет ориентацию осей легкого намагничивания в кластерах.
1. Введение
Исследование физико-химических свойств малых металлических частиц привлекает к себе повышенный интерес в последнее
время как в связи с широким спектром их возможного практического применения, так и с точки зрения изучения фундаментальных принципов строения материи [1-3]. Малые частицы (кластеры) занимают промежуточную позицию между атомарным и кристаллическим строением вещества (см., например, [3]).
Магнитные свойства микрокластеров могут существенно отличаться от объемных свойств ввиду того, что поверхностные свойства этих объектов становятся соизмеримыми с их объемными
274
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
свойствами [3]. Металлические магнитные микрокластеры, интегрированные в полупроводниковую матрицу, являются потенциально привлекательными с точки зрения применения в спинтронике и для магнитных записей [4]. Возможно также использование магнитных свойств нанокластеров различных ферромагнитных материалов в разрабатываемой в настоящее время
магнитной памяти компьютеров (MRAM) [2]. Исследования магнитных свойств кластеров представляют интерес и для возможного использования в квантовых компьютерах, а также в процессорах на основе магнитных кластеров.
2. Исследуемые образцы и теория эксперимента
Технология формирования исследуемых образцов заключалась в следующем. На первом этапе формировался слой пористого кремния на основе кремния КЭФ-4,5 (100) анодированием в
растворе плавиковой кислоты с изопропанолом (1:1 по объему),
согласно стандартной методике (см. [5]). Затем при смене полярности проводилось осаждение в сформированные поры никеля
(железа) из жидкого раствора NiCl2⋅6H2O (300 г/л) и H3BO3
(38 г/л), а также FeCl2⋅6H2O (200 г/л) и H3BO3 (188 г/л).)
Исследования, проведенные в данной работе, связаны с изучением магнитных свойств металлических микрокластеров, сформированных из ферромагнитных материалов, для которых характерна доменная структура намагниченных областей. В работе [6]
показано, что образование доменной структуры является следствием конкуренции нескольких вкладов в полную энергию ферромагнетика, а именно: 1) обменной энергии – Uch, 2) энергии кристаллографической анизотропии – Uan, 3) энергии магнитострикционной деформации – Ums, 4) магнитоупругой энергии – Umel,
5) магнитостатической энергии – U0, 6) магнитной энергии – UH.
U = U ch + U an + U ms + U mel + U 0 + U H .
(1)
В нашем случае определяющий вклад в наблюдаемые эффекты вносят слагаемые Uan, UH.
Энергия анизотропии в одноосном кристалле может быть
представлена в виде ряда [6]:
С.А. Никитчук, М.В. Лоханин, А.В. Проказников, Н.А. Рудь, В.Б.
Световой
275
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
U an =  K nα 2n ,
n
(2)

где α = cosθ - направляющий косинус намагниченности M отно
сительно выделенной оси, причем намагниченность M определя 
M
= I V [6]. Конется как магнитный момент единицы объема:
станты магнитоупругой анизотропии (в эрг/см3) [7]: Fe – K1 =
4.6·105, K2 = 1.5·105; Ni – K1 = -5·104, K2 = 2.3·104. Магнитная
энергия UH – это энергия ферромагнетика во внешнем магнитном

поле напряженности H :  
U H = − MH .
(3)
Таким образом, в общем виде энергия ферромагнетика будет
иметь вид:


U = − J ij ( Si S j ) + K1 (α12α 22 + α 22α 32 + α12α 32 ) + K 2α12α 22α 32 − MH .
ij
(4)
Конкретный вид этого выражения для случаев кристаллов с
различной симметрией был использован в данной работе.
3. Общая идея и устройство вибромагнетометра
Общая идея исследования магнитных свойств магнетиков
при помощи вибромагнетометра заключается в регистрации силового взаимодействия исследуемого образца, закреплённого на
свободном кончике балки кантилевера, с магнитным полем постоянного магнита. При этом режим измерения магнитного взаимодействия является динамическим, то есть регистрируется изменение резонансных свойств колебательной системы − кантилевер с исследуемым образцом и магнит [8].
Основной смысл динамического режима заключается в измерении резонансной частоты колебаний кантилевера ω0. Изменение этой величины, при наличии изменения силы, определяемой
в одномерном случае величиной ∇Fm, которая действует на кантилевер со стороны магнитного поля и связана с возникновением
упругих сил Fel в кантилевере, определяется следующим образом:
Δω0 ≈ −
276
ω0
2k
∇Fm ,
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где k – коэффициент жёсткости кантилевера, Fm – составляющая
силы, действующей на кантилевер со стороны приложенного
магнитного поля вследствие магнитных свойств осажденного металла на/в прикрепленный образец пористого кремния (см. ниже).
Преимуществом предлагаемого экспериментального метода
исследования магнитных свойств является чрезвычайно высокая
точность, а также жесткое крепление образца на кремниевой балочке, что делает возможным изучение анизотропии магнитных
свойств [8]. Вибромагнетометр, основанный на механизме изменения резонансной частоты колебаний кантилевера ω0 (см. формулу (5)), представляет собой систему He-Ne-лазера, интерферометра Майкельсона, положительной линзы, жёсткозакреплённой
кремниевой балки с зеркальной поверхностью и двух фотоприёмников с дифференциальными усилителями.
b
a
Рис. 1. (а) Схема расположения цилиндрического магнита (слева) и
исследуемого образца. (b) Относительное расположение
кристаллографических осей никеля (OX(k)Y(k)Z(k)) и осей координат,
связанных с ориентацией образца кремния (OXYZ), а также
промежуточных осей при преобразованиях поворота (OX'Y'Z')
Основной элемент магнитометра – кремниевая балочка – изготовлена в виде полоски шириной 4 мм и длиной 55 мм из моноС.А. Никитчук, М.В. Лоханин, А.В. Проказников, Н.А. Рудь, В.Б.
277
Световой
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
кристаллической подложки КЭФ-4,5 ориентации (100) толщиной
300 мкм. Исследуемый образец приклеивается парафином на свободный кончик балочки. Она установлена таким образом, что её
обратная зеркальная сторона находится в фокусе линзы и образует
измерительное плечо интерферометра Майкельсона. Балочка раскачивается при помощи пьезоэлемента на частоте близкой к резонансной, в течение 2-3 секунд. Далее раскачка прекращается, и регистрируются свободные колебания в течение 3-4 секунд.
На выходе лазерного интерферометра Майкельсона имеются
две пары интерферирующих пучков света, интенсивности которых регистрируются фотоприёмниками и далее фиксируются осциллографом и двумя измерительными картами в составе персонального компьютера. Сигнал, управляющий пьезоэлементом,
генерируется цифроаналоговым преобразователем, являющимся
элементом одной из измерительных карт. Импульсы синхронизации, определяющие моменты измерения сигналов фотоприемников, формирует таймер i8254, являющийся элементом одной из
измерительных карт. Магнитное поле создаётся самарий–
кобальтовым (SmCo) магнитом цилиндрической формы, который
намагничен по диаметру и обращен боковой поверхностью к исследуемому образцу. Поле такого магнита имеет составляющую
поля на поверхности магнита на его полюсе порядка 0.8 Тл. Вся
установка располагается на виброизоляционном стенде.
4. Метод обработки сигналов интерферометра
Способ обработки сигналов интерферометра Майкельсона
основан на аппроксимации набора экспериментальных точек эллипсом [9]. Пусть на выходе интерферометра мы получаем два
выходных сигнала I1, I2, которые в идеальном случае связаны с
измеряемым положением объекта x соотношением вида:
I1 = A1 + B1 ⋅ cos(ξ + D1 ), I 2 = A2 + B2 ⋅ cos(ξ + D2 ),
(6)
где A1,2 B1,2 D1,2 – приборные константы, которые зависят от конкретной конструкции и могут медленно (по сравнению с x) изменяться в условиях эксперимента, а ξ = 2 x / λ положение объекта,
278
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нормированное на длину волны лазера. Кроме дрейфа приборных
констант, в результаты измерений вносят вклад механические,
электрические и оптические шумы, которые будем считать аддитивными.
Таким образом, по результатам измерений величин I1, I2, необходимо наилучшим образом определить ξ = ξ (t ) . В дискретный момент времени – ti мы можем записать связь между результатами эксперимента и определяемыми величинами следующим
образом:
I1i = A1 + B1 ⋅ cos(ξ (ti ) + D1 ), I 2i = A2 + B2 ⋅ cos(ξ (ti ) + D2 ).
(7)
Далее запишем (9) в матричном виде:
I i = A + Bri + Ni ,
(8)
где
I 
A 
 B cos D1 − B1 sin D1 
I i =  1i  , A =  1  , B =  1
,
I
cos
sin
A
B
D
B
D
−
2
2
2
 2
 2
 2i 
(9)
cos
(
)
N
t
ξ



i 
Ni =  1i  , ri = 
.
ξ
sin
(
)
N
t
i 
 2i 

Из (8) и (9) следует, что в отсутствие шума точки Ii будут лежать на некотором эллипсе, а ri на единичной окружности. Если
предположить, что корреляций между Ni1 и Ni2 нет, то приборные
константы следует определять так, чтобы набор точек Ii, лежал
максимально близко к определённому этим константам эллипсу.
Таким образом, задача распадается на две:
• определение текущих параметров прибора (эллипса) A, B;
• определение значений ξi по измеренным Ii и найденным
значениям A, B.
Параметры эллипса необходимо выбирать так, чтобы выполнялось условие минимальности функционала:
S =  ( ri − 1) .
2
(10)
Выразив ri из (6), найдём выражение для функционала S:
С.А. Никитчук, М.В. Лоханин, А.В. Проказников, Н.А. Рудь, В.Б.
Световой
279
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
S =  ( B −1 ( I i − A) − 1) 2 ,
(11)
i
или, после необходимых преобразований,
x12i + x22i − 2 x1i x2i cos δ
S = (
− 1) 2 ,
2
sin δ
i
(12)
где
x1i =
I1i − A1
I − A2
, x2i = 2i
, δ = D2 − D1.
B1
B2
(13)
Если шумы отсутствуют, то полагается S=0. Обратное также
верно, поскольку сумма неотрицательных чисел равна нулю,
только если каждое из них равно нулю. Заметим, что S зависит
только от разности δ=D2-D1 и, следовательно, можно положить
D2=δ, D1=0. Таким образом, определение текущих констант прибора сводится к минимизации функционала S=S(A,B. Далее для
вычисления ξi необходимо воспользоваться формулами (13) и определить ξ=arccos(xi) или ξ=arcsin(xi). Возникшие при этом разрывы устраняются достаточно просто.
5. Обсуждение результатов
На рисунке 2 приведены результаты эксперимента по определению зависимости изменения частоты колебания балочки с
образцом в зависимости от угла поворота магнита ϕ, а также результаты теоретического расчета зависимости изменения силы
(
 
∇⋅F
)
от того же угла поворота ϕ. Отметим, что на рисунке 2
приводятся только результаты исследования образцов пористого
кремния со сформированными внутри пор кластерами никеля.
Аналогичные зависимости для объемных образцов никеля, сформированных посредством единой технологии на поверхности
кремния, приведены в предыдущей нашей работе [11]. Как это
280
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
видно из графиков на рисунке 2, наблюдается хорошее согласие
между экспериментальными и теоретическими зависимостями.
a
b
Рис. 2. Теоретический расчёт изменения силы (слева) и экспериментальная
зависимость (справа) для образцов пористого кремния
со сформированными внутри пор микрокластерами никеля. По
вертикальным осям отложено изменение резонансной частоты (Δω0)
На основании проведенных экспериментальных и теоретических исследований картина обнаруженного эффекта выглядит
следующим образом. При электрохимическом осаждении металлических, магнитных веществ (никеля, железа) на поверхность
образцов кремния и в поры в полупроводнике происходит либо
формирование металлического слоя на поверхности образца
кремния, либо образование, в частности, микрокластеров в форме
многогранников в глубине пор [7]. Эффекты, дающие вклад в наблюдаемую картину, связанную с анизотропией магнитных
свойств, обусловлены как объемными, так и ориентационными
эффектами. Объемные эффекты связаны с тем, что при формировании микрокластеров малых размеров в результирующей намаг


ниченности M = M H + M an увеличивается относительный вклад
второго слагаемого. Ориентационный эффект связан с тем, что на
начальной стадии роста слоя никеля поверхность образца и стенки пор ориентированы по-разному, так что кристаллографические
оси растущего слоя никеля или микрокластеров никеля "подстраиваются" под стартовую ориентацию поверхности кремния
либо стенок пор, которые, как правило, перпендикулярны поверхности образца Si.
С.А. Никитчук, М.В. Лоханин, А.В. Проказников, Н.А. Рудь, В.Б.
Световой
281
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отметим, что изложенный метод для случая кубической
симметрии кристаллов Ni и Fe связан с численными расчетами,
поэтому в данной работе представлен подход, позволяющий получить аналитические выражения для теоретических оценок наблюдаемых на эксперименте эффектов.
Список литературы
[1] Гафнер Ю.Я., Гафнер С.Л., Энтель П. // ФТТ. – 2004. – Т. 46,
вып. 7. – С. 1287-1290.
[2] Морозов А., Григорьев В. // Электронные компоненты. –
2000. – № 3. – С. 2-8.
[3] Martin T.P. // Physics Reports. – 1996. – V. 273. P. 199-241.
[4] Захарченя Б.П., Коренев В.Л. // УФН. – 2005. – Т. 175, № 6. –
С. 629-635.
[5] Бучин Э.Ю., Проказников А.В. // Микроэлектроника. – 1998. –
Т. 27, вып. 2. – С. 107-113.
[6] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных
сред. – М.: Наука, 1982. – 620 с.
[7] Вонсовский С.В., Магнетизм. – М.: Наука, 1971. – 1032 с.
[8] Никитчук С.А., Лоханин М.В., Проказников А.В., Рудь Н.А.,
Световой В.Б. // Письма в ЖТФ. – 2005. – Т. 31, вып. 12. – С. 48-55.
[9] Горшков А.Г., Трошин В.Н., Шалашилин В.И. Сопротивление
материалов. – М.: Изд. Физматлит, 2002. – 544 с.
282
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ИЗМЕРЕНИЕ МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ
ФЕРРОМАГНИТНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
С ПОМОЩЬЮ НАКЛАДНОГО МАГНИТНОГО
ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ
В.А. Папорков
Аннотация
В работе предложена методика измерения магнитной проницаемости ферромагнитного полупространства с помощью приставного магнитопровода. Расчёт методики осуществлён в рамках
модели с сосредоточенными магнитными элементами. Показана
принципиальная возможность определения не только проницаемости исследуемого образца, но и проницаемости самого датчика, а также величины немагнитного зазора между образцом и
датчиком.
Для определения магнитной проницаемости необходимо измерить индукцию В и напряженность магнитного поля Н в образце.
B
μ=
(1)
μ0 H ,
где μ0 = 4π·10-7 Гн/м. Однако и В, и Н легко измеряются лишь при
однородном намагничивании в замкнутой магнитной цепи или
бесконечно длинном соленоиде. В этом случае: B = Ф/S, H = ni,
где Ф – магнитный поток в образце в сечении S, i – сила тока в
соленоиде с плотностью намотки n. В разомкнутой цепи Н можно
оценить или измерить только приблизительно, а при неоднородном намагничивании В и Н, если и могут быть измерены, то
только как средние по сечению образца или локально. Примером
последнего служит намагничивание однородного полупространства с помощью приставного магнитопровода. Здесь обе величины измеряются только на поверхности, например: индукция магнитооптическими методами, напряженность - миниатюрным
датчиком Холла. Однако именно для полупространства проницаемость может быть измерена более простыми средствами - путем измерения магнитного потока, но не в образце, что было бы
В.А. Папорков
283
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
естественно, но в данном случае невозможно, а с помощью накладного магнитного преобразователя.
Эквивалентная расчетная схема с сосредоточенными
магнитными элементами
В качестве накладного магнитного преобразователя в работе
используется П-образный приставной магнитопровод (ПМ) с намагничивающей и измерительной катушками (рис. 1).
l1, S1, μ1
W2
W1
l2, S2, μ2
Рис.1. Приставной магнитопровод с образцом
l1 и l2 – длины магнитопровода ПМ и образца, S1 и S2 – площади
поперечного сечения магнитопровода ПМ и образца, μ1 и μ2 –
проницаемости магнитопровода ПМ и образца, W1 – намагничивающая
обмотка, W2 – измерительная обмотка
Пусть для определенности площади поперечного сечения ПМ
и контролируемого образца невелики по сравнению с их длиной,
т.е S << l . В этом случае магнитное поле однородно и согласно
теореме о циркуляции напряженности магнитного поля [1]:
iW1 =  H l dl ≈ H 1l1 + H 2l2 ,
(2)
где i – ток в намагничивающей обмотке, W1 – количество витков,
l1 и l2 – длина магнитопровода ПМ и образца, Н1 и Н2 - напряжённости поля в магнитопроводе и образце.
Если μ1, μ2 >>1, то магнитный поток в ПМ и образце сохраняется, т.е Ф2 ≈ Ф1 = Ф. А поскольку Ф = μ0μНS, то
iW1 =
284
Φl1
Φ l2
+
μ 0 μ1S1 μ 0 μ 2 S 2 .
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
(3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выражение (3) представляет собой закон Ома для магнитной
цепи:
iW1 = ФR = (R1+R2)Ф,
(4)
где iW1 - «магнитодвижущая» сила (аналог ЭДС в электрической
цепи), Ф – магнитный поток (аналог силы тока), R - магнитное
сопротивление (аналог сопротивления),
l
R=
(5)
μ 0 μS .
Такую схему можно использовать и для расчета более сложной ситуации, когда магнитный поток в ПМ и образце не сохраняется, т.е. существуют поля рассеяния, и между ПМ и образцом
существует воздушный зазор. Эквивалентная схема, соответствующая этому случаю, приведена на рис. 2. Аналогично (4):
iW1
R1
R3
R4/2
R4/2
R2
Рис. 2. Эквивалентная схема «ПМ-образец»
при наличии полей рассеяния и зазора между ПМ и образцом
iW1 - магнитодвижущая сила, R1, R2, R4, – магнитные сопротивления ПМ, образца и воздушного зазора между ПМ и образцом,
R3 - магнитное сопротивление, обусловленное полями рассеяния.
( R + R4 ) R3
iW1
= R = R1 + 2
(6)
Φ
R2 + R3 + R4 ,
В.А. Папорков
285
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где R1 – сопротивление ПМ, R2 – сопротивление образца, R3 – сопротивление, обусловленное полями рассеяния, (R4/2) – сопротивление воздушного зазора под одной «ножкой» ПМ.
l1

R1 =
, 
μ0 μ1S1


(7)
Δl 
( R4 / 2) =
,
μ0 S 4 
где Δl и S4 – толщина и площадь воздушного зазора.
Установлено [2, 3], что наибольшее влияние зазора наблюдается при малых значениях индукции в цепи, что важно при измерении начальной проницаемости. Расчёт магнитного сопротивления зазора, учитывающий “выпучивание” силовых линий, осуществлён в [4], однако при малых Δl можно положить S4 ≈ S1,
поэтому
Δl
R4
≈
(8)
2 μ 0 S1 .
Сопротивление R3, обусловленное полями рассеяния, в рамках данной модели определить невозможно, и в дальнейшем оно
будет присутствовать как эмпирический параметр. Сопротивление образца
l2
R2 =
(9)
μ0 μ2 S2
лишь в однородном поле, когда S 2 << l 2 , в общем же случае R2
будет зависеть от размеров образца более сложным образом. Эта
зависимость отсутствует для полупространства. В этом случае
k
R2 =
(10)
μ2 ,
где k – эмпирический коэффициент, зависящий от размеров ПМ.
Поскольку поля рассеяния невелики, а Δl<<l, то R2 + R4<<
R3. Преобразуя (6), получим:
286
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( R2 + R4 )
iW1
= R1 +
( R + R4 ) .
Φ
1+ 2
R3
Учитывая, что при ξ<1
(11)
(1+ ξ)-1 ≈ 1- ξ + ξ2 – …, из (11) полу-
чим
 R +R
iW1
4
≈ R1 + ( R2 + R4 ) 1 −  2
Φ
  R3
3
2

  R2 + R4   R2 + R4 
 + 
 − 
 + ... . (12)

  R3   R3 
Группируя множители при степенях R2, приведем (12) к виду:
 R  R  2  R 3  R  4

iW1
4
4
4
4
≈ R1 + R3  −   +   −   + ... +
Φ
 R3  R3   R3   R3 

2
3

 R 
 R4 
 R4   R4 
+ R3 1 − 2  + 3  − 4  + ... 2  +

 R3 
 R3 
 R3   R3 
2
3

 R  2
 R4 
 R4   R4 
+ R3 − 1 + 3  − 6  + 10  − ... 2  +

 R3 
 R3 
 R3   R3 
(13)
2
3

 R4   R2 
 R4 
+ R3 1 − 4  + 10    + ...

 R3   R3 
 R3 
Вводя обозначения: r1 =
R4
R1 r = R2
r
=
2
,
R3 , 4 R3 и ограничиваясь
R3
членами разложения 1-ой степени малости по r2 и 2-ой по r4, преобразуем (13) к виду:

iW1  r1
≈ 1 + − r4 r4 R3 + (1 − 2r4 ) R3 r2 +
Φ  r4

(14)
+ (−1 + 3r4 ) R3 r22 + (1 − 4r4 ) R3 r23.
В.А. Папорков
287
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учитывая (10), получим


 1
iW1 
r
≈ 1 + 1 − r4 r4 R3  + [(1 − 2r4 )k ]
Φ

 μ2
 r4


k  1
+ (−1 + 3r4 ) 
R3  μ 2

2
где
2

 + (1 − 4r4 )k 3 R3

[

 +

] μ1 

x=
2
1
μ2

(15)
3
= A0 + A1 x + A2 x 2 + A3 x 3 ,
.


 r
A0 = 1 − 1 − r4 r4 R3 ,

 r4



A1 = (1 − 2r4 )k ,



2
k
A2 = (−1 + 3r4 ) , 

R3


k3

A3 = (1 − 4r4 ) 2 .

R3

Измерив экспериментальную зависимость
(16)
iW1  1

Φ  μ 2



и найдя
аппроксимирующие коэффициенты А0, А1, А2, А3, можно решить
систему (16) относительно 4 неизвестных: r1, r4, k, R3. Полином
(15) будет являться градуировочной функцией для определения
неизвестной проницаемости.
Методика эксперимента
1. Из (15) следует, что для определения коэффициентов (16)
необходимо измерять ток i в намагничивающей катушке и поток
Ф в образце или ПМ. Измерение потока проще осуществить при
намагничивании переменным полем. В случае синусоидального
намагничивания
dΦ
ε = W2
= 2π ⋅ f ⋅ W2 Φ,
(17)
dt
288
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где ε – ЭДС, индуцируемая в измерительной обмотке с числом
витков W2, f - частота.
Поскольку Ф1 ≈ Ф2, то измерительная катушка из конструктивных соображений размещается на ПМ, как это показано на
рис. 1. Для исключения влияния вихревых токов на результат
частота f должна быть достаточно мала.
Схема, реализующая измерение Ф(i) на переменном токе,
представляет собой стандартную схему «амперметра-вольтметра»,
состоящую из генератора синусоидального напряжения, активного
сопротивления, включенного в цепь первичной обмотки датчика,
милливольтметров, измеряющих падение напряжения на активном
сопротивлении и ЭДС в измерительной обмотке датчика.
Для измерения отношения i/Ф на каждом образце следует
найти такое значение тока, ниже которого это отношение не изменяется, что соответствует режиму линейного намагничивания
и ПМ, и образца. Эти токи и соответствующие им значения ε могут быть малы, поэтому в случае необходимости в качестве измерителя ЭДС следует использовать селективный микровольтметр.
Для повышения чувствительности измерителя тока можно поступить следующим образом. Поскольку в данном методе сила тока
измеряется по величине падения напряжения на активном сопротивлении R0 :
u1
i=
R0
,
(18)
где u1 – падение напряжения на сопротивлении R0,
то уменьшение тока следует осуществлять, не уменьшая выход-ное напряжение генератора, а увеличивая сопротивление R0,
сле-дя лишь за тем, чтобы мощность, выделяемая на нем, не превы-сила предельно допустимую. В качестве R0 удобно использовать стандартный магазин сопротивлений.
Обработка результатов
1. Учитывая (17), выражение (15) следует преобразовать к
виду:
В.А. Папорков
289
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(2π ⋅ fW1W2 ) i
где
x=
1
μ2
ε
= A0 + A1 x + A2 x 2 + A3 x 3 ,
(19)
.
2. Для решения системы (16) можно воспользоваться тем обстоятельством, что в комбинации
A1 A3 (1 − 2r4 )(1 − 4r4 )
=
(20)
A22
(−1 + 3r4 ) 2
присутствует лишь r4, что и позволяет определить r4.
3. После построения градуировочной кривой (19), определения R1, R3 ,R4 , k следует убедиться, что R1, R4 << R3, после чего с
помощью (7), (8) вычислить μ1 – проницаемость ПМ и Δl – эффективную толщину воздушного зазора между ПМ и образцом,
обусловленную шероховатостью поверхностей и другими факторами.
4. Для оценки области применимости разложения (15) следует сравнить полином (15) и функцию (11), подставив в выражения (15) и (11) эмпирические величины R1, R3 ,R4 , k. Они заметно отличаются лишь при малых значениях μ2 / μ1.
Список литературы
[1] Калашников С.Г. Электричество. – М.: Наука, 1970. – 666 с.
[2] Михеев М.Н. и др. Магнитный контроль качества термической обработки деталей крупногабаритных подшипников // Дефектоскопия. – 1977, № 4. – С. 140-142.
[3] Табачник В.П. Влияние зазоров на показания коэрцитиметра с
П-образным приставным электромагнитом (обзор) // Дефектоскопия. – 1990, № 2. – С. 42-52.
[4] Буль Б.К. К расчёту магнитных проводимостей воздушного
зазора для прямоугольных и круглых полюсов // Электричество. –
1978, № 4. – С. 36-39.
290
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
PHENOMENOLOGICAL ANALYSIS
OF B→ΠΠ DECAYS IN THE STANDARD MODEL
A.Ya. Parkhomenko
Abstract
Taking into account the recent measurements of the branching ratios and CP asymmetries in the B→ππ decays by the BABAR and
BELLE collaborations, an amplitude analysis based on the isospin
symmetry is reported. These data allow to get an independent determination of the CKM unitarity-triangle angle γ. One of the best-fit solutions gives the range γ = (65 ± 5)º, in excellent agreement with the
global CKM fit within the Standard Model. The other parameters from
this fit confirm the earlier analyses that the data on B→ππ decays require various topological amplitudes (neglecting the electroweak
ones) to be of comparable magnitude with large strong-phase differences.
Introduction
Recent experimental investigations of exclusive B-meson decays
provide a quantitative test of theoretical frameworks such as the QCDFactorization [1,2], perturbative-QCD (pQCD) [3] and Soft-Collinear
Effective Theory (SCET) [4,5]. Data on the B→ππ decays obtained by
the CLEO, BABAR and BELLE collaborations have been averaged
by HFAG [6] and are displayed in Table 1. We perform a phenomenological analysis of this data with the assumption of the isospin symmetry among the decay amplitudes. There are several ways to go about it.
A possibility is to assume that the CKM unitarity-triangle (UT) angles
β and γ are known from the global CKM fit of the Standard Model
(SM) or from direct measurements elsewhere (for example, sin(2β)
from B→J/ψK(*) and γ from the B→πK decays). In this case, the isospin amplitude analysis allows to fix different topological contributions
(color-allowed tree T, color-suppressed tree C, penguin P and electroweak-penguin PEW) originated by strong interactions [7]. Alternatively, electroweak penguins in B→ππ decays are assumed to be small
and neglected, and the amplitudes are parameterized in terms of tree
and penguin contributions only, enabling an independent complete
amplitude analysis of the data (including the determination of γ). This
A.Ya. Parkhomenko
291
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
is the generalization of our previous analysis [8] based on the B0→π+πdata alone and is the focus of this report.
Table 1
Current experimental data on the B→ππ decays averaged by the HFAG [6].
Branching ratios are in units of 10-6
Quantity
B(B+→π+π0)
B(B0→π+π-)
B(B0→π0π0)
ACP(π+π0)
ACP(π+π-) = Cππ+Sππ+ACP(π0π0)
Average
5.5 ± 0.6
4.6 ± 0.4
1.51 ± 0.28
-0.02 ± 0.07
0.37 ± 0.11
-0.61 ± 0.14
0.28 ± 0.39
Theoretical Input
The parameterization of the B→ππ decay amplitudes in the cconvention is as follows:
where rc = |Pc/Tc| and δc are the magnitude and phase of the penguinto-tree ratio, xc = |Cc/Tc| and Δc are the magnitude and phase of the
color-suppressed to color-allowed amplitude ratio, respectively.
These amplitudes satisfy the isospin relation:
The same equation can be written for the charged-conjugate amplitudes A+-, A00 and A+0.
The charged-conjugate averaged branching ratios are related with
the decay amplitudes as follows:
292
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
where the amplitudes have the dimension of a mass. Explicit expressions for the direct Cππ+- and mixing-induced Sππ+- CP asymmetries in the B0→π+π- decays can be found in [8] and the same definitions for Cππ00 and Sππ00 are adopted for the B0→π0π0 decay. In the
limit of neglecting penguin contribution (Pc = 0) in both decay modes,
the CP asymmetries simplify greatly, yielding Cππ+- = Cππ00 = 0 and
Sππ+- = Sππ00 = sin(2α), where the CKM unitarity-triangle relation α +
β + γ = π is used.
Results of the Fit
The results of the fits within the physical ranges of the parameters: rc > 0, |δc| < 180°, xc > 0, |Δc| < 180°, and 0 < γ < 180° at the
fixed value β = 23.3° are presented in Table 2, yielding four minimal
points shown as fits I to IV. The last quantity presented in Table 2 is
the mixing-induced CP asymmetry Sππ00 in the B0→π0π0 decay. Note
that |Sππ00| is numerically very close to the experimental world average
sin(2β) = 0.726 ± 0.037 resulting from the analysis [6] of the timedependent CP asymmetry in the B→J/ψK(*) decays. The 1σ intervals of
a specific fitted parameter are obtained as the solutions of the equation
χ2 = χmin2 + 1 under the condition that all the fitted parameters are
kept at their central values except the considered one.
Solution IV contains the extremely large value for the angle γ
which is in obvious contradiction with the global CKM fit value γ =
(65 ± 7)° obtained within the SM [8]. Small values for this angle are
found in the best-fit solutions II and III which are also outside the
range of the CKM fit. The solution I with r c = 0.51 ± 0.10, δc = (-39
± 10)°, and γ = (65 ± 5)° is the only one which agrees well with the global
CKM fitted value of γ.
The graphical representation of all the solutions from Table 2 is shown in Fig. 1. If one introduces the angle θ between
A +- and Ã+- = e+2iγ Ā+- and a similar one θn between A00 and Ã00, the
present analysis leads to the following values:
for all the best-fit solutions in Table 2.
A.Ya. Parkhomenko
293
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Table 2
The best-fit solutions of the χ2-function for the parameters entering the B→ππ
decay amplitudes. The topological contributions Tc, Pc and Cc are expressed in
units of 10-3Nπ, where Nπ = (GF/√2) mB2 fπ ≈ 3.0 x 10-5 GeV.
I
+4.7
II
0
+2.9
III
0
+3.9
IV
0
(65.3 -5.2)
(27.1 -3.1)
(16.3 -4.0)
γ
+0.10
+0.03
rc
0.51
0.51
1.89+0.08-0.07
-0.09
-0.03
δc (-39.4+10.3-9.8)0 (-161.4+6.5-5.7)0 (-133.1+5.9-4.8)0
xc
1.11+0.09-0.10
0.16+0.13-0.14
2.82+0.10-0.11
Δc (-55.7+13.5-12.5)0 (116.9+17.5-15.9)0 (-140.4+6.8-6.2)0
|Tc| 0.60+0.03-0.03
1.20+0.03-0.03
0.52+0.11-0.09
|Pc| 0.31+0.04-0.04
0.61+0.03-0.03
1.00+0.03-0.03
|Cc| 0.67+0.05-0.06
0.19+0.16-0.16
1.48+0.05-0.06
Sππ00 0.73+0.16-0.22
-0.72+0.07-0.06 -0.72+0.20-0.22
(158.2+5.0-4.7)0
1.89+0.10-0.09
(-75.1+6.3-8.0)0
3.10+0.13-0.14
(113.7+7.5-8.1)0
0.40+0.07-0.08
0.75+0.03-0.03
1.23+0.05-0.06
0.73+0.32-0.18
Figure 1: The graphical representation of the best-fit solutions in the complex
space of the B→ππ decay amplitudes. The strong phases of the B+→π+π0
amplitude A+0 and the phase-shifted charged-conjugate one Ã---000 = e+2iγĀ---000
are chosen in such a way that both amplitudes are real and positive.
The result (4) for θ can be compared with the limits on this
angle based on the isospin symmetry of the B→ππ decay amplitudes.
Several bounds on it are known at present: by Grossman and
Quinn (GQ) [9], Charles (Ch) [10], and Gronau et al. (GLSS)
[11], and the corresponding bounds based on the current experimental data are presented in Table 3.
294
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Table 3
The isospin-based conservative bounds on the angle θ.
Bound cos(2θ)mincons |θmaxcons |
GQ
0.27
37.1°
Ch
0.29
36.6°
GLSS
0.31
36.0°
In the papers [12, 13] a new bound on the angle γ from the
time-dependent CP asymmetry in the B0→π+π- decay was derived.
Note that a lower or upper limit results in dependence on either
Sππ+- > - sin(2β) or Sππ+- < - sin(2β). As seen from Fig. 2, the value Sππ+- = - sin(2β) (the dashed vertical line) is inside the present experimental interval of Sππ+- (the shaded vertical band) and, hence, this
bound can not be applied at present to constrain γ.
Figure 2: The bounds on the UT angle γ resulting from the recent data on the CP
asymmetry in the B0→π+π- decay. The shaded vertical band is the recent
experimental range of the mixing-induced CP asymmetry Sππ+-. The dashed
vertical line shows the position of the point Sππ+- = - sin(2β) starting from
which the lower limit on γ can be applied.
A.Ya. Parkhomenko
295
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Summary
Present data on the B→ππ decays allow to perform a phenomenological isospin amplitude analysis in the limit of neglecting the
electroweak-penguin contributions without any additional restriction
on the UT angle γ. The fitting procedure results four best-fit solutions from which only one with γ = (65 ± 5)° is in agreement
with the global CKM fit of the SM. The ratio of the penguin-to-tree
contributions rc = 0.51 ± 0.10 is now smaller in comparison with the
previously derived value [8] (rc = 0.77 ± 0.34) and has moved in the direction of the typical predictions of the dynamical models r c ≈
0.30. The phase of this ratio δc = (—39 ± 10)° can be well understood in the framework of the pQCD approach [14] while it remains
problematic within the QCD-Factorization [12]. Recent data support
the abnormally enhanced color-suppressed contribution to the decay
amplitudes: xc = 1.11 ± 0.10 and Δc = (—56 ± 13)°, which are well correlated with the previous estimates [15]: xc = 1.22+0.26-0.21 and Δc = (-71+1926)°, obtained by applying the flavor SU(3) symmetry to the B→ππ and
B→πK modes3. Such an enhanced color-suppressed contribution can not be
successfully explained within the current theoretical approaches, except
possibly SCET assuming dominance of the charming penguins. As for the
electroweak-penguin contributions which were neglected in the present
analysis but can be of potential importance [15], recent theoretical analyses
and updated experimental data [7, 17] reduce their size in decay amplitudes,
decreasing the possibility of discovering new physics in charmless two-body
B-meson decays.
Acknowledgements
A.P. would like to thank Ahmed Ali for discussions. This work
supported in part by the Council on Grants by the President of Russian
Federation for the Support of Young Russian Scientists and Leading
Scientific Schools of Russian Federation under the Grant No. NSh6376.2006.2, and by the Russian Foundation for Basic Research under
the Grant No. 04-02-16253.
1
After the completion of our analysis, the paper [16] appeared in which the
updated values xc =1.13+0.1б-0.17 and Δc = (-57+20-30)0 have been obtained.
They agree well with our best-fit solution I.
296
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
References
[1] M. Beneke et al, Phys. Rev. Lett. 83, 1914 (1999) [hepph/9905312]; Nucl. Phys. B 606, 245 (2001) [hep-ph/0104110].
[2] M. Beneke and M. Neubert, Nucl. Phys. B 675, 333 (2003) [hepph/0308039].
[3] Y. Y. Keum, H. n. Li and A. I. Sanda, Phys. Lett. B 504, 6
(2001) [hep-ph/0004004]; Phys. Rev. D 63, 054008 (2001) [hepph/0004173].
[4] C. W. Bauer et al., Phys. Rev. D 70, 054015 (2004) [hepph/0401188].
[5] C. W. Bauer and D. Pirjol, Phys. Lett. B 604, 183 (2004) [hepph/0408161].
[6] The
Heavy
Flavor
Averaging Group,
http://www.slac.stanford.edu/xorg/hfag
[7] Y. Y. Charng and H. n. Li, hep-ph/0410005.
[8] A. Ali et al., Eur. Phys. J. C 36, 183 (2004) [hepph/0403275].
[9] Y. Grossman and H. R. Quinn, Phys. Rev. D 58, 017504
(1998) [hep-ph/9712306].
[10] J. Charles, Phys. Rev. D 59, 054007 (1999) [hepph/9806468].
[11] M. Gronau et al., Phys. Lett. B 514, 315 (2001) [hepph/0105308].
[12] G. Buchalla and A. S. Safir, Phys. Rev. Lett. 93, 021801 (2004)
[hep-ph/0310218]; hep-ph/0406016.
[13] F. J. Botella and J. P. Silva, Phys. Rev. D 70, 096007 (2004) [hepph/0312337].
[14] Y. Y. Keum and A. I. Sanda, Phys. Rev. D 67, 054009 (2003) [hepph/0209014]; eConf C0304052, WG420 (2003) [hep-ph/0306004].
[15] A. J. Buras et al., Phys. Rev. Lett. 92, 101804 (2004) [hepph/0312259]; Nucl. Phys. B 697, 133 (2004) [hep-ph/0402112].
[16] A. J. Buras et al., hep-ph/0410407.
[17] S. Nandi and A. Kundu, hep-ph/0407061.
A.Ya. Parkhomenko
297
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭРОЗИИ ПОВЕРХНОСТИ
ДВИЖУЩИМСЯ ИОННЫМ ПУЧКОМ
А.С. Рудый, В.К. Смирнов, К.А. Тишина
Аннотация
Исследуется математическая модель процесса эрозии поверхности движущимся ионным пучком гауссовой формы. Показано, что в зависимости от скорости движения пучка возможны
различные состояния равновесия, описываемые либо гладкими,
либо кусочно-непрерывными решениями. Определены диапазоны
изменения управляющего параметра, соответствующие гладким и
разрывным решениям. Обсуждается вопрос об устойчивости обоих классов решений.
Введение
Известно, что ионная бомбардировка поверхности твердых
тел приводит к удалению с поверхности мишени наружных атомных слоев. Это явление, получившее название эрозии [1], широко
используется в методах вторичной ионной масс-спектрометрии
для послойного анализа химического состава, а также в микро- и
нанотехнологии. Поскольку скорость понижения поверхности зависит от локального угла бомбардировки, эрозия существенно
изменяет исходную топографию распыляемой поверхности и может использоваться для формирования структур микронного и
субмикронного масштаба. Для создания необходимого рисунка
применяется как распыление неподвижным расфокусированным,
так и растрирующим ионным пучком. Однако некоторые специальные структуры могут быть получены только при движении
ленточного ионного пучка. Несмотря на широкое использование
техники ионного распыления, динамика задачи о распылении поверхности движущимся ионным пучком ранее не исследовалась.
Эрозия поверхности движущимся ионным пучком
Скорость движения элемента распыляемой поверхности
вдоль локальной нормали (рис. 1) описывается выражением
∂n
J
= − cos( Θ 0 − Θ )Y ( Θ 0 − Θ ) .
(1)
∂t
ρ
298
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Здесь J – плотность ионного потока, ρ - атомная плотность
мишени, Y ( Θ 0 − Θ ) - коэффициент распыления, Θ 0 - угол между
направлением бомбардировки и осью z, Θ - угол между локальной нормалью к поверхности и осью z.

Рис. 1. Смещение элемента поверхности вдоль нормали Δ n
и вдоль вертикали Δ z за время Δ t
Вертикальная скорость эрозии определяется из соотношений (1) и dn = cos Θ dz как
cos( Θ 0 − Θ )
∂z
J
= − Y ( Θ0 − Θ )
.
(2)
∂t
ρ
cos Θ
Вводя обозначение
cos( Θ 0 − Θ )
V ( Θ ) = Y ( Θ0 − Θ )
,
(3)
cos Θ
уравнение эрозии (2) можно записать в виде
∂z
1
= − JV ( Θ ) .
(4)
ρ
∂t
В случае распыления поверхности стационарным пучком
ионов плотность потока - однозначная и ограниченная функция
координаты, удовлетворяющая условию
J ( x ) → 0 при x → ±∞ .
(5)
А.С. Рудый, В.К. Смирнов, К.А. Тишина
299
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При распылении поверхности движущимся пучком плотность потока ионов зависит также от времени J ( x − vt ) , а уравнение (4) принимает вид
∂z
1
= − J ( x − vt )V ( Θ ) .
(6)
∂t
ρ
Дифференцируя (6) по x и изменяя в левой части последовательность дифференцирования, несложно получить следующее
нелинейное гиперболическое уравнение
1 ∂Θ
1 ∂
=
−
[ J ( x − vt )V ( Θ )] .
(7)
ρ ∂x
cos 2 Θ ∂ t
Для заданных начальных условий z( x ,0 ) уравнение (7) позволяет описать эволюцию поверхности на любой стадии процесса распыления. Однако с точки зрения технологии задача Коши
не столь актуальна. Намного важнее знать параметры установившегося процесса, т.е. максимальную глубину эрозии и профиль
поверхности z( x,t ) при заданном угле бомбардировки, энергии
ионов, плотности ионного потока и скорости его движения. Зная
эти параметры, можно соответствующим выбором начальных условий минимизировать время переходного процесса и быстро
выйти на стационарный режим. Очевидно, что в этом случае
профиль поверхности будет описываться автомодельными решениями уравнения (7).
Для отыскания автомодельных решений перейдем к переменной ξ = x − vt , где v – скорость движения пучка, в результате
чего уравнение (7) примет вид

∂  1
J
(
ξ
)V
(
Θ
)
tg
Θ
−
(8)
 = 0.
∂ ξ  v ρ

Если распыляемая поверхность - плоскость, то должны выполняться следующие граничные условия
Θ → 0 при ξ → ±∞ .
(9)
Интегрируя уравнение (7)
1
J ( ξ )V ( Θ ) − tgΘ = C
vρ
300
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
(10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и удовлетворяя граничным условиям (5), (8), из которых следует
что C = 0 , получим
v ρ sinΘ
J(ξ ) =
.
(11)
Y ( Θ 0 − Θ )cos( Θ 0 − Θ )
Для дальнейшего анализа необходимо задать распределение
плотности в ионном пучке и коэффициент распыления как функцию локального угла бомбардировки Y ( Θ 0 − Θ ) .
Эрозия поверхности при гауссовом распределении
плотности движущегося ионного пучка
Плотность движущегося потока ионов, подчиняющегося распределению Гаусса, в системе отсчета, движущейся вместе с пучком, имеет вид
 ξ2 
J ( x ,t ) = J 0 exp  − 2  .
(12)
 δ 


Подставляя (12) в (11), приходим к соотношению
 J Y ( Θ 0 − Θ )cos( Θ 0 − Θ ) 
.
sinΘ

ξ = ±δ ln  0
 vρ
(13)
Если известна функция Y ( Θ ) , то решение (13) позволяет
найти координату ξ ( Θ ) как функцию угла и, обратив полученную зависимость, найти Θ ( ξ ) . Вид функции Y ( Θ ) зависит от
материала мишени, ионного пучка и энергии ионов. Далее рас+
сматривается случай распыления кремния ионами N 2 с энергией
5 keV . Зависимость коэффициента распыления от угла бомбардировки аппроксимировалась формулой Ямамуры [2]
exp( α − α / cos Θ )
Y (Θ ) = Y ( 0 )
,
(14)
cos β Θ
где
α=
ln[Ymax / Y ( 0 )] cos Θ max
α
β
=
,
.
cos Θ max − ln(cos Θ max ) − 1
cos Θ max
А.С. Рудый, В.К. Смирнов, К.А. Тишина
(15)
301
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Результаты аппроксимации кривой распыления формулой Ямамуры показаны на рис. 2.
С учетом формулы Ямамуры (14) решение (13) принимает
вид
 exp[ −α / cos( Θ 0 − Θ )] 
,
β −1
( Θ 0 − Θ ) sinΘ 
 cos
ξ = ±δ ln  A
(16)
α
где A = J 0Y ( 0 )e / v ρ .
Рис. 2. Угловая зависимость коэффициента распыления кремния
ионами N 2+ : сплошная линия - формула Ямамуры,
кружки – экспериментальные значения
Анализ решений уравнения эрозии
Решения (16) задачи (5), (8), (9) позволяют построить графики зависимости угла наклона локальной нормали от координаты
и по ним восстановить профиль z( x ) для различных значений
скорости движения пучка, энергии ионов и угла бомбардировки.
На рисунках 3, 4 приведены графики Θ ( x ) при нормальной бомбардировке поверхности пучком ионов 5keV , в диапазоне значе302
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ний управляющего параметра A = 0.67666 ÷ 1,40494 . Как следует
из представленных графиков, в области малых значений параметра A < 0.67666 (при больших скоростях движения ионного
пучка) уравнение (8) имеет единственное, гладкое решение (рис.
3 а). При 1.17315 > A > 0.67666 решение (16) уже неоднозначно
(рис. 3 b), т.е. наряду с гладкими возможны и кусочнонепрерывные решения. При A > 1.17315 функция Θ ( x ) попрежнему неоднозначна, но теперь возможны только кусочнонепрерывные решения (рис. 4). Для гладких решений характерны
малые углы наклона фронта бегущей волны и глубины травления,
а для кусочно-непрерывных – большая глубина и большой угол
наклона. При дальнейшем уменьшении параметра A наблюдается
уменьшение глубины эрозии и угла наклона фронта волны.
a)
b)
Рис. 3. Графики функции Θ ( x ) при различных значениях управляющего
параметра: a) A = 0.70247 , b) 1.17315 > A > 0.67666
А.С. Рудый, В.К. Смирнов, К.А. Тишина
303
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис.4. Зависимость Θ ( x )
при значении управляющего параметра A > 1.17315
Если угол бомбардировки положителен, то увеличение Θ0
приводит к росту углов наклона локальной нормали к поверхности, как для гладких, так и для кусочно-непрерывных решений.
Кусочно-непрерывным решениям соответствуют профили с
большой глубиной и почти отвесными стенками. При угле бомбардировки 10 48′ максимальный угол наклона составляет 90 , а
при больших значениях угла бомбардировки на стенке образуются «карнизы» (рис. 5).
Рис. 5. Зависимость Θ ( x ) и профиль волнового фронта z( x )
при угле бомбардировки Θ 0 = 30 . Стрелками показано направление
интегрирования при восстановлении фронта волны
304
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Устойчивость автомодельных решений уравнения эрозии
Как было показано выше, при 1.17315 > A > 0.67666 решениями уравнения эрозии являются как гладкие, так и кусочнонепрерывные функции. Поскольку реализуются только устойчивые решения, вопрос об устойчивости полученных решений имеет принципиальное значение. Определить, какие из континуума
разрывных решений, существующих при A > 0.67666 , будут устойчивы, позволяет теория ударных волн. Но поскольку в теории
ударных волн принципиально рассматриваются только разрывные решения, остается неясным, будет ли устойчиво гладкое решение. Для ответа на этот важный с точки зрения микротехнологии вопрос выведем интегральное уравнение эрозии.
Если Θ ∈ [ 0 ,π / 2 ] и имеют место граничные условия Θ → 0
при x → ±∞ , то объем вещества, распыляемого в единицу времени движущимся ионным пучком, может быть вычислен двумя
способами.
I. Пусть граница пучка за время dt (рис. 6) смещается на расстояние dx = vdt , тогда распыленный объем будет равен
dV = hvdt , а скорость распыления можно представить как
dV
= hv .
dt
(17)
Рис. 6. Иллюстрация двух способов вычисления объема вещества dV ,
распыляемого за время dt
А.С. Рудый, В.К. Смирнов, К.А. Тишина
305
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С учетом соотношения
∞
h =  tgΘ dx ,
−∞
уравнение (17) принимает вид
∞
dV
= v  tgΘ dx .
dt
−∞
(18)
(19)
II. С другой стороны, скорость распыления можно выразить
через локальную скорость понижения поверхности ∂ z / ∂ t как
dV ∞ ∂ z
= 
dx .
(20)
dt −∞ ∂ t
Выражая локальную скорость понижения поверхности из
уравнения эрозии (2), получим
dV ∞ J ( x − vt ) Y ( Θ 0 − Θ )
= 
cos( Θ 0 − Θ )dx .
(21)
ρ
dt −∞
cosΘ
Приравнивая скорости распыления (19) и (21), приходим к
интегральному уравнению
∞ 

J ( x − vt ) Y ( Θ0 − Θ )
cos( Θ 0 − Θ ) − vtgΘ  dx = 0 . (22)
 
ρ
cosΘ

−∞ 
В число бегущих волн Θ ( x ) , удовлетворяющих интегральному уравнению (22), входят и те, что являются решениями
функционального уравнения
J ( x − vt ) Y ( Θ 0 − Θ )
cos( Θ 0 − Θ ) − vtgΘ = 0 .
(23)
ρ
cos Θ
Покажем, что из всех возможных решений уравнения (22) реализуются только решения уравнения (23).
Действительно, в условиях установившегося режима можно
перейти в движущуюся систему отсчета, в которой скорость распыления (21) будет иметь вид
306
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
dV ∞ J ( x ) Y ( Θ0 − Θ )
= 
cos( Θ0 − Θ )dx .
dt −∞ ρ
cos Θ
(24)
Поскольку мерой приращения энтропии может служить распыленный объем, выражение (24) определяет скорость производства энтропии
dS dV

.
(25)
dt
dt
Найдем профиль z( x ) (или Θ ( x ) ), при котором производство энтропии экстремально.
Принимая во внимание, что Θ = arctg( z′ ) , запишем подынтегральное выражение в (24) в виде
J ( x ) Y [Θ 0 − Θ ( x )]
f ( x ,z′x ) =
cos[Θ 0 − Θ ( x )]
(26)
ρ
cos[Θ ( x )]
и потребуем, чтобы вариация скорости распыления (24) равнялась нулю
∞
δ  f ( x ,z′x )dx = 0 .
−∞
(27)
Для этого функция f ( x ,z′x ) должна удовлетворять уравнению Эйлера, которое в данном случае имеет вид
d ∂ f 
(28)

=0.
dx  ∂ z′ 
Вычисляя производную
∂f ∂f
=
cos 2 Θ
∂ z ′ ∂Θ
и подставляя (29) в уравнение Эйлера
∂f
cos 2 Θ = C ,
∂Θ
и интегрируя, получим
f ( x ,z ′ ) = C tgΘ + C 1 .
А.С. Рудый, В.К. Смирнов, К.А. Тишина
(29)
(30)
(31)
307
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поскольку C – произвольная постоянная, то можно сделать
замену C → v . Из решения (31), которое теперь можно записать
как
J ( x − vt ) Y [Θ 0 − Θ ( x )]
cos[Θ 0 − Θ ( x )] − v tgΘ = C1 . (32)
ρ
cos[Θ ( x )]
следует, что подынтегральное выражение в (22) – константа. Так
как интеграл (22) - несобственный, то он сходится только при условии C 1 = 0 , т.е. при условии (23).
Таким образом, требованию экстремального производства
энтропии удовлетворяют устойчивые разрывные и гладкие решения уравнения (23). Причем разрывные решения соответствуют
максимальному, а гладкие – минимальному производству энтропии. Согласно теореме И.Р. Пригожина при распылении будут
реализовываться гладкие решения, разумеется, до тех пор, пока
применим принцип минимального производства энтропии.
Список литературы
[1] Carter G. // J. Phys D: Appl. Phys. 2001. – 34, R1.
[2] Yamamura Y. // Radiat. Eff. 1984 – 80, 57.
308
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЭФФЕКТ КОМПТОНА
В СИЛЬНО ЗАМАГНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЕ
Д.А. Румянцев, М.В. Чистяков
Аннотация
Рассмотрен процесс комптоновского рассеяния
в
сильно замагниченной среде произвольной температуры и нулевого химического потенциала. В пределе разреженной электронпозитронной плазмы получены аналитические выражения для
парциальных сечений рассеяния. В случае произвольных температур проведены численные оценки для парциальных вероятностей рассматриваемого процесса с учетом дисперсии фотона в
сильном магнитном поле и зарядово-симметричной плазме. Проведено сравнение вероятности рассеяния с расщеплением фотона
в плазме произвольной температуры и рассмотрены возможные
астрофизические приложения полученных результатов.
1. Введение. Процесс упругого рассеяния фотона на свободном электроне,
, более известный как комптоновское
рассеяние, со времени его открытия в 1922 году, неоднократно
привлекал внимание теоретиков, особенно с его возможными
астрофизическими приложениями, что, очевидно, требует
учета влияния внешней активной среды на рассматриваемый
процесс рассеяния. При этом под средой понимается как плотное вещество, так и интенсивное магнитное поле, которое может
достигать в астрофизических объектах критического значения
Be = m 2 / e  4.41 ⋅ 1013 Гс1, и даже существенно превышать его.
Такие поля могут генерироваться, в частности, в определенном
классе звезд, так называемых магнитаров, к которым относятся, например, повторные источники мягких гамма-всплесков
(SGR - soft gamma repeaters), интерпретируемых как нейтронные звезды с магнитными полями ∼7×1015 Гс [1]. Кроме того,
анализ спектра излучения некоторых из этих объектов указывает на присутствие в их окрестности относительно горячей и
1
Используется естественная система единиц с = ћ = k = 1, т - масса
электрона. Везде в работе е > 0 – элементарный заряд.
Д.А. Румянцев, М.В. Чистяков
309
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
плотной электрон-позитронной плазмы [2]. Мы не будем останавливаться на истории исследования процесса γ e → γ e в вакууме, поскольку она достаточно широко известна, и перейдем непосредственно к работам, в которых рассматривалось
влияние на данный процесс внешнего магнитного поля и/или
плазмы. Во-первых, влияние внешнего поля на заряженные частицы естественным образом приводит к модификации амплитуды, что и было рассмотрено в работе [3] для произвольной величины магнитного поля. Используя этот результат, авторы [4,
5] вычислили сечение рассеяния в пределе низких энергий фотонов, ω  2m , и в системе покоя начального электрона. В работе [5], кроме того, при вычислении сечения, предполагалось,
что начальный и конечный электроны находятся на основном
уровне Ландау и начальный фотон распространяется вдоль
магнитного поля. В этом случае виртуальные электроны занимают только первый уровень Ландау. Во-вторых, внешнее поле
влияет на дисперсионные свойства фотонов, а значит, и на их
кинематику, что может привести к изменению результата для
сечения. Такой случай рассматривался, в частности, авторами
[6] в замагниченной среде, но в приближении ω  2m . Отметим
также работу [7] в которой было показано, что в пределе низких температур реакция комптоновского рассеяния может конкурировать с реакцией расщепления фотона, γ → γγ . В этой связи следует заметить, что в работе [8] для вычисления темпертуры излучения с поверхности области, занятой сильным
магнитным полем и плазмой, рассматривался только канал
расщепления γ 1 → γ 2γ 2 , а комптоновское рассеяние считалось
подавленным. Однако, как мы покажем ниже, такой вывод будет справедливым только в некоторой области изменения параметров поля, температуры и энергии фотона.
Мы будем считать плазму сильно замагниченной, т.е. величина eB считается много больше, чем характерные параметры
среды: температура (Т), химический потенциал () и энергии
фотонов и электронов. Кроме того, мы будем рассматривать область вдали от резонанса, т.е. eB  ( pk ) .
310
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Дисперсия фотона в сильно замагниченной
плазме. Дисперсионные свойства фотонов в рассматриваемом
процессе определяются как поляризацией вакуума, так и рассеянием фотонов на электронах и позитронах плазмы. Собственные значения поляризационного оператора в случае зарядово-симметричной плазмы ( = 0 ) могут быть получены из
работы [9] и представлены в следующем виде:
- функция распределения электронов
и || относятся к подпроЗдесь 4-векторы с индексами
странствам Евклида {1, 2} и Минковского {0, 3} соответственно,
когда поле В направлено вдоль третьей оси и введены матрицы
ϕ μν = Fμν / B - обезразмеренный тензор внешнего магнитного по-
 μν / B - дуальный тензор, Λ = (ϕϕ ) , Λ
 μν = (ϕϕ
  ) , у 4ля, ϕ μν = F
μν
μν
μν
векторов и тензоров, стоящих внутри круглых скобок, тензорные индексы полагаются свернутыми последовательно, например:
Из анализа решений уравнений дисперсии
Д.А. Румянцев, М.В. Чистяков
311
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
следует, что в зарядово-симметричном случае, так же, как и в
чистом магнитном поле, физическими являются моды с = 1, 2
и векторами поляризации
Следует подчеркнуть, однако, что совпадение векторов
поляризации в плазме и чистом магнитном поле является
приближенным, с точностью до вкладов
. Кроме того,
новым важным для нас фактором по сравнению со случаем
чистого магнитного поля является зависимость закона дисперсии от температуры (см. рис. 1).
Рис. 1. Закон дисперсии фотона моды 2, распространяющегося поперек
и зарядово-симметричной плазме для
магнитного поля при
различных значений температуры: Т = 1 МэВ - верхняя сплошная
кривая, Т = 0.5 МэВ - средняя, Т = 0.25 МэВ - нижняя сплошная
кривая. Нижняя штриховая линия изображает дисперсию в отсутствие
2
плазмы. Точками показан вакуумный закон дисперсии q = 0
312
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из формулы (2) следует, что собственное значение поляризационного оператора
становится большим вблизи порога
рождения электрон-позитронной пары, что указывает на необходимость учета перенормировки волновой функции фотона
этой поляризации:
После проведенного дисперсионного анализа мы можем выписать все парциальные амплитуды, соответствующие каналам
±
±
±
±
±
±
±
±
γ e →γ e , γ e →γ e , γ e →γ e и γ e →γ e . Эти амплитуды мо1
1
1
2
2
1
2
2
гут быть представлены в виде:
- в дальнейшем будет
где
,
определять область интегрирования.
3. Вероятность и сечение рассеяния в сильно замагниченной среде. Для сравнения процесса рассеяния с процессом расщепления фотона и для дальнейших астрофизических
приложений имеет смысл вычислять не сечение, а вероятность
рассматриваемой реакции. В общем виде выражение для вероятности рассеяния фотона на реальных электронах и позитронах среды может быть записано в следующем виде:
Д.А. Румянцев, М.В. Чистяков
313
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где
- функция распределения фотонов.
В качестве предварительной оценки рассмотрим рассеяние
фотона, распространяющегося перпендикулярно магнитному полю в сильно разреженной электрон-позитроной плазме. В этом
случае вероятность рассеяния может быть представлена в виде
Wλ→λ'=Wλe-→λ'e-+Wλe+→λ'e+=neσλ→λ',
где
314
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и концентрация электронов (позитронов) в сильно замагниченной, зарядово симметричной плазме может быть оценена следующим образом:
В общем случае произвольных температур нами был проведен численный анализ вероятности рассеяния, результаты которого представлены на рис. 2 и 3.
Рис. 2. Зависимость вероятности рассеяния фотона
(сплошные линии) и
для каналов
(штриховые линии) от энергии начального фотона в сильном магнитном
поле В/Ве = 200 и нейтральной (μ= 0 ) плазме, при Т = 1 МэВ - а,
Т = 250 кэВ - b, T = 50 кэВ - с. Точками показана вероятность
расщепления фотона по каналу
при Т = 1 МэВ [10].
3
Здесь W0 = (α / π ) m
Проанализируем полученные результаты. Из рис. 2 видно,
что каналы
и
при данных значениях
температуры и величины магнитного поля доминируют в разрешенной области,
, над каналом расщепления фотона
Д.А. Румянцев, М.В. Чистяков
315
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
. Отметим, что при температуре Т 1 МэВ, как это
следует из рис. 1, каналы расщепления
и
в
этой области кинематически закрыты, но могут постепенно открываться при понижении температуры. Рассмотрим теперь каналы
и
. Из рис. 3 видно, что в случае низких температур канал расщепления
будет явно
доминировать над этими каналами рассеяния при энергиях фотона
в силу экспоненциального подавления концентрации
плазмы, как это следует из (17). С другой стороны, при повышении температуры, реакция рассеяния начинает доминировать над
также существует область
расщеплением фотона. При
значений параметров температуры и магнитного поля, когда вероятность рассеяния по рассматриваемым двум каналам будет
сравнима с вероятностью расщепления фотона по каналам
и
.
Рис. 3: Зависимость вероятности рассеяния фотона для каналов
(сплошные линии) и
(штриховые линии)
= 200
от энергии начального фотона в сильном магнитном поле
и нейтральной (μ = 0 ) плазме, при Т = 1 МэВ - а, Т = 250 кэВ - b,
Т = 50 кэВ - с. Точками показана вероятность расщепления фотона
по каналу
316
при Т = 50 кэВ [10]
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проведенный анализ позволяет оценить граничную энергию
фотона,
, распространяющегося перпендикулярно линиям
магнитного поля, выше которой он заведомо не сможет выйти за
границу области начиная с поверхности нейтронной звезды радиуса
,
км, где величина магнитного поля
до расстояний
, где величина магнитного поля
[8].
Эту энергию можно найти из условия равенства единице оптической толщи на расстоянии R от поверхности звезды:
Уже при Т 16 кэВ для канала рассеяния 2→2 получаем
= 0. (В этом случае сечение переходит в классический томпсоновский предел.) Отсюда следует, что фотон моды 2 не сможет
выйти за пределы области, занятой сильным магнитным полем.
Для канала рассеяния 1→1 для значений температуры Т = 25 кэВ
и Т = 50 кэВ, получим соответственно
85 кэВ и
0.5
кэВ. Для сравнения приведем оценку для граничной энергии фотона, , полученной в работе [8], где учитывался только канал
расщепления фотона,
37.5 кэВ. Отсюда очевидно следует, что для вычисления температуры излучения с поверхности области, занятой сильным магнитным полем и плазмой, необходим учет обеих реакций.
Работа выполнена в рамках тематического плана научных
исследований Ярославского университета по заданию Рособразования, при частичной финансовой поддержке Совета по
грантам Президента Российской Федерации для поддержки
молодых российских ученых и ведущих научных школ РФ, грант
№ НШ-6376.2006.2, и Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 04-02-16253. М.В. Чистяков благодарит
фонд некоммерческих программ "Династия"при содействии
Международного центра фундаментальной физики за финансовую поддержку
Д.А. Румянцев, М.В. Чистяков
317
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
[1] Israel G.L., Belloni Т., Stella L. et al. Preprint astro-ph/0505255.
[2] Duncan R.C., Thompson С // Astrophys. J. – 1992. – V. 392.
№ 1. – P. L9-L13.
[3] Melrose D.B., Parle A.J. // Aust. J. Phys. – 1983. – V. 36. –
P. 799-824.
[4] Daugherty J.K., Harding A.K. // Astrophys. J. – 1986. – V. 309. –
P. 362-371.
[5] Gonthier P.L., Harding A.K., Baring M.G. et al. // Astrophys. J. –
2000. – V. 540. № 2. – P. 907-922.
[6] Bulik Т., Miller M.C. // Mon. Not. R. Astron. Soc. – 1997. –
V. 288. – P. 596-608.
[7] Elmfors P., Skagerstam B. // Phys. Lett. – 1998. – V. B427. № 12. – P. 197-205.
[8] Thompson C, Dunkan R.C. // Mon. Not. R. Astron. Soc. – 1995. –
V. 275. – P. 255-300.
[9] Шабад A.E. // Тр. ФИАН СССР "Поляризационные эффекты
во внешних калибровочных полях". – М.: Наука, 1988. – Т. 192. – С. 5152.
[10] Румянцев Д.А., Чистяков М.В. // ЖЭТФ. – 2005. – Т. 128,
№ 4. – С. 740-751.
318
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ МЕТОДОВ
ИНТЕРПОЛЯЦИИ РЕЛЬЕФА ТРАССЫ
НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННОСТИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
РАДИОПЕРЕДАТЧИКОВ УКВ ДИАПАЗОНА
Н.Л. Солдатова, Е.Г. Цыганок
Аннотация
В работе исследовано влияние, оказываемое рельефом на
моделирование распространения радиоволн УКВ диапазона. Выполнен сравнительный анализ вклада рельефа, интерполированного методами Inverse Distance to a Power и Kriging, и экспериментальных измерений, проведенных на местности. Полученные
результаты могут быть полезны для дальнейших исследований
влияния параметров цифровой модели рельефа (ЦМР) на точность моделирования процессов распространения электромагнитных волн.
Моделирование распространения радиоволн УКВ диапазона
в приземных трассах требует учета взаимодействия электромагнитного излучения с подстилающей поверхностью. Основным
параметром этой поверхности является рельеф местности. Существуют различные методы моделирования рельефа. Сравнительный анализ этих методов в задаче моделирования реальной местности с использованием информации из топографических карт
показал [1], что наиболее предпочтительными являются методы
интерполяции Inverse Distance to a Power и Kriging, которые и
были выбраны для более детального исследования. Существует
ряд подходов, используемых при моделировании взаимодействия
электромагнитных волн с подстилающей поверхностью. Исходя
из сложности учета взаимодействия излучения УКВ диапазона с
рельефом местности, в настоящее время одной из наиболее надежных и универсальных методик моделирования распространения радиоволн в этом участке электромагнитного спектра считается статистическая методика [2, 3]. Данная методика реализована в ГИС ПИАР - прикладном пакете программ «Проектирование
и анализ радиосетей», являющимся геоинформационной систеН.Л. Солдатова, Е.Г. Цыганок
319
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мой обработки пространственно распределенной над поверхностью Земли информации и предназначенным для расчета и построения зон уверенного приема, зон уверенной двухсторонней
связи, расчета электромагнитной совместимости РЭС, введения
соответствующих баз данных, выдачи рекомендаций по частотным присвоениям.
Исходными данными для расчета являются географические
координаты приемника и передатчика, диапазон частот, мощность передатчика и высоты установки антенн. По географическим координатам РЭС определяется сечение рельефа местности
по трассе радиолинии.
Методика проведения исследований основана на сравнении
экспериментальных результатов с результатами моделирования
распространения радиоволн и предусматривала построение ЦМР
средствами пакета программ «SURFER» фирмы Golden Software
Incorporation с проведением расчета на ГИС ПИАР.
За основу моделирования была взята интерполяция выбранными методами Inverse Distance to a Power и Kriging цифровой
модели рельефа (ЦМР), полученной по горизонталям рельефа с
топографической карты масштаба 1:200000.
Все модели семейства Kriging сводятся к линейной регрессионной оценке:
n
V *( x) − m( x) =  wi ( x)[V ( x i ) − m( x i )] ,
(1)
i =1
где wi - весовые коэффициенты для i-й выборки, V*(x)- оценка в
точке х, m(х) и m(хi) - математические ожидания пространственных переменных V *( x) и V ( x i ) .
Различают три типа Kriging: простой Kriging, обычный Kriging, универсальный Kriging.
Для обработки значений высот в точках выборки, соответствующих координатам поверхности, подходящим является метод
обычного Kriging [4]. Он имеет свойство «наилучшего линейного
несмещенного оценивателя». Линейность следует из выражения
(1). Несмещенность обеспечивается условием:
R * ( x) = V * ( x) − V ( xi ) и ( R * ( x)) = 0 .
320
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
(2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Термин «наилучший» означает, что веса wi в (1) выбираются
так, чтобы минимизировать дисперсию:
σ R2 ( x) = ( R * ( x) − m R ( x)) 2 ,
(3)
где m R (x) - математическое ожидание.
Оценка в точке х представлена уравнением:
N
V ( x) =  w iV ( x i ) .
*
(4)
i =1
Дисперсия оценки определяется уравнением:
N
σ =  wiγ
*
R
j0
+μ ,
(5)
i =1
где μ - множитель Лагранжа, учитываемый из-за условия несмещенности оценки.
Запишем систему из N +1 уравнений для метода обычного
Kriging:
N
 wiγ ij + μ = γ j , j = 1...N
 i =1
N
 w =1
i

i =1
(6)
где γ ij - вариограмма для j -й и i-й выборки, γ j 0 - вариограмма для
j-й выборки, где производится оценка. Всевозможные пары точек
могут быть рассортированы по классам, в соответствии с разностью их координат h = хi – хj . Для близких точек разность значений функции в них обычно меньше и растет с увеличением расстояния между точками. Среднее значение квадратов разностей
значений функции для близких точек определяется по формуле:
Var {V ( x + h) − V ( x)
} = {Е (V ( x + h) − V ( x)) } = 2γ (h).
Н.Л. Солдатова, Е.Г. Цыганок
2
(7)
321
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В исследуемом методе интерполяции Inverse Distance to a
Power влияние каждой конкретной точки определяется расстоянием до узла сетки, то есть ее весом. Сумма весов в узле всегда
равна единице. При совпадении координаты точки заданного
массива с координатами узлов рассчитываемой сети точке присуждается вес равный 1.0, всем остальным близкий к нулю
[5].Таким образом, Метод Inverse Distance to a Power производит
оценку в неизвестной точке, используя расстояние до ближайшей
известной точки и значение величины в этом месте. Вес в каждой
выборке обратно пропорционален расстоянию. Чем дальше точка, тем меньший вклад она вносит в определение недостающих
точек.
Zi
 n
i d
il
Z j=
1
 n
i d
ij
,
(8)
где Zi - значение переменной в известной точке, dij - расстояние
до известной точки, Zj - положение неизвестной точки, n - используемый показатель степени (обычно 1, 2 или 3). В зависимости от условий расстояние может быть взвешено различными
способами. Если n = 1, это - простая линейная интерполяция между точками. В случае n = 2 близкие точки «тяжело» взвешены, а
наиболее удаленные взвешены «слегка» - пропорционально 1/d2.
Для вышеописанных методов интерполяции профиля трасс
с помощью ГИС ПИАР было выполнено моделирование пространственного распространения напряженности поля в УКВ
диапазоне.
На рис. 1 в качестве иллюстрации представлены зависимости напряженности поля E от расстояния R между передающей
станцией и точкой приема.
322
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
E(дБ)
80
70
60
50
40
30
20
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
R(км)
ID 49,75 МГц
Kriging 49,75 МГц
ID 215,25 МГц
Kriging 215,25 МГц
Рис.1.
Приведенные данные получены для следующих значений параметров трассы: высота приемной антенны h2 = 3 м, параметры
передающей РЭС: f1 = 49,75 МГц, f 2 = 215,25 МГц, высота передающей антенны h1 = 125 м, выходная мощность передатчика
Р = 1000 Вт, коэффициент усиления антенны К = 6,5 дБ, потери в
фидере 0,5 дБ. Из представленных кривых следует, что в зависимости от местоположения точки приема относительно передатчика вклад метода интерполяции ЦРМ в результирующее поле
будет различен. Анализ результатов моделирования показал, что
в зависимости от протяженности трассы R, типа подстилающей
поверхности и частоты различие результатов моделирования в
зависимости от метода интерполяции рельефа может быть существенным.
На рис. 2 приведены рассчитанные зоны покрытия для исследуемых методов интерполяции рельефа.
Н.Л. Солдатова, Е.Г. Цыганок
323
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис.2. Зоны покрытия для двух видов интерполяции рельефа
Контуры отображают границу напряженности электромагнитного поля E = 30 дБ/(мкВ/м). Темный контур соответствует
Inverse Distance to a Power интерполяции, светлый – методу Kriging. Параметры передающей РЭС соответствуют параметрам первой станции (см. таблицу, но при f1 = 900 МГц). Высота антенны
приемной станции h2 = 3м. Проведенный анализ показал необходимость дальнейших исследований.
С целью оценки корректности использования на практике
того или иного вида аппроксимации рельефа было выполнено сопоставление результатов моделирования и натурных исследований. В качестве экспериментальных данных взяты результаты
измерений, выполненных специалистами УГСН по Пензенской
области. Основные характеристики передающих РЭС, участвовавших в эксперименте, приведены в таблице.
324
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Характеристики антенны
Частота РЭС Высота Ази- Кус. Потери
мут
м
дБ
дБ
град.
49.75 МГц
125
360
6.5
0.5
215.25 МГц
130
360
5.5
1
102.8 МГц
100
360
3
6
59.25 МГц
235
360
3
0.5
207.25 МГц
240
360
3
0.5
69.08 МГц
200
360
5
2.5
72.5 МГц
200
360
5
2.5
159.2 МГц
250
360
6.5
0.5
Выходная
мощность
передатчика
Вт
1000
1000
1000
2000
100
2000
2000
100
С практической стороны представляет интерес оценка влияния параметров трассы на напряженность электромагнитного поля в точке приема. Численный анализ был выполнен при изменении характеризующих параметров задачи (характера неровности,
протяженности трассы, высоты подъема антенны передатчика и
приемника, частоты и мощности передатчика). Высота приемной
антенны, как и в эксперименте, выбиралась равной 3 м.
На рис. 3 представлены гистограммы распределения плотности вероятности P(n) отклонений ΔE j = E рас ( x j ) − Eизм ( x j ) расчетных значений напряженности поля E рас ( x j ) от измеренных
Eизм ( x j ) в точке x j для выбранных методов интерполяции. Здесь
N
P(n)= j , где N j - число отклонений ΔE j , попавших в интервал
N
j , N - общее число измерений.
Проведенная оценка по критерию хи-квадрата Пирсона показала хорошую согласованность экспериментальных и расчетных результатов.
Для количественной оценки методов интерполяции вычислено несмещенное среднеквадратическое отклонение σ электромагнитного поля для всех РЭС, участвовавших в эксперименте.
Н.Л. Солдатова, Е.Г. Цыганок
325
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
σ=
P(n)
1 N
1 N
 [ΔE i −  (ΔE i )]2 .
N − 1 i =1
N i =1
Ошибка интерполяции
(9)
Inverse Distance
Kriging
0,250
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
-12 -9 -6 -3 0 до 3 до 6 до 9 до 12
до - до - до - до 0 3
6
9 12 до
9
6
3
15
Интервал, дБ
Рис. 3.
На рис. 4 представлены результаты сравнительного анализа
для РЭС, использованных при сопоставлении.
Общее среднеквадратическое отклонение σ по всем РЭС,
участвовавшим в эксперименте, для выбранных методов интерполяции рельефа равны соответственно: σ InverseDis tan ce = 1,058 дБ ,
σ Kriging = 0,973 дБ .
326
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СКО(дБ)
|Kriging
Inverse Distance
СКО
7,000
6,000
5,000
4,000
3,000
2,000
1,000
0,000
1
2
3
4
5
6
7
8
Номера станций
Рис. 4.
Как показали результаты проведенного в настоящей работе
сравнительного анализа, моделирование с помощью метода Kriging дает несколько более лучшее совпадение с экспериментальными данными. Однако следует отметить, что для более
обоснованных выводов о практическом использовании того или
иного метода интерполяции рельефа необходимо проведение сопоставления для более обширной экспериментальной базы.
Н.Л. Солдатова, Е.Г. Цыганок
327
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
[1] Солдатова Е.А., Солдатова Н.Л. Исследование методов интерполяции рельефа местности для моделирования распространения радиоволн // Актуальные проблемы физики: Сб. научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов / Ярославский государственный
университет. – Ярославль, 2005. – 283 с.
[2] Recommendation ITU-R P.370.
[3] Recommendation ITU-R P.1546
[4] Cressie N.A.C. The Origins of Kriging // Mathematical Geology. - V.22. – 1990. – P. 239-252.
[5] Shepard D. A Two Dimensional Interpolation Function for Irregularly Spaced Data // Proc. 23rd Nat. Conf. ACM. – 1968. –
P. 303-312.
328
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
РЕКУРСИВНЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
С ПОНИЖЕННОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТЬЮ
А.Н. Тараканов, С.В. Ульдинович, А.Л. Мосеев
Аннотация
Работа посвящена модификации адаптивного алгоритма –
рекурсивного метода наименьших квадратов (РНК). Модификация алгоритма производится на основе предлагаемой методики,
направленной на уменьшение вычислительных ресурсов, требуемых для работы алгоритма. Произведен анализ работы алгоритма
на тестах Международного союза электросвязи G.165 и G.168.
Для типичной импульсной характеристики (ИХ) эхотракта
[1, 2] необходимо выделить важную особенность, которая заключается в том, что она имеет небольшой участок с отличными от
нуля отсчетами длительностью 4-8 мс [3], а большая ее часть
равна нулю и фактически представляет собой линию задержки
(рис. 1). Широко известные на сегодняшний день адаптивные алгоритмы не учитывают указанной особенности ИХ эхотракта и в
каждом цикле своей работы перестраивают все весовые коэффициенты адаптивного фильтра [4, 5]. Эти недостатки адаптивных
алгоритмов приводят к неэффективному использованию имеющихся вычислительных мощностей. Однако если учитывать указанные особенности ИХ эхотракта [3], можно сократить вычислительную нагрузку адаптивного алгоритма, не ухудшая его
свойств. Уменьшение вычислительной нагрузки дает возможность перераспределить имеющиеся вычислительные ресурсы и с
помощью одного устройства эхокомпенсации обработать большее число эхотрактов.
В работе используется модель эхокомпенсатора [8], структурная схема которой представлена на рис. 2. На схеме введены следующие обозначения:
x(n) – сигнал дальнего абонента, ν (n) – сигнал ближнего абонента,
d (n) – эхосигнал, y (n) – сумма эхосигнала и сигнала ближнего абонента,
yˆ (n) – оценка эхосигнала, e(n) – ошибка оценки эхосигнала (остаточное эхо), hi – коэффициенты КИХ-фильтра, моделирующего
эхотракт, hˆ (n) – коэффициенты адаптивного фильтра.
k
А.Н. Тараканов, С.В. Ульдинович, А.Л. Мосеев
329
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1. Модель их эхо-тракта
Рис. 2. Схема эхокомпенсатора
Адаптивный алгоритм, реализованный в схеме эхокомпенсатора, приведенной на рис. 2, в процессе работы осуществляет
перестройку весовых коэффициентов адаптивного фильтра таким
образом, чтобы импульсная характеристика фильтра как можно
точнее моделировала ИХ эхотракта. В современных эхокомпенсаторах широко используются нормализованный метод наименьших квадратов (НМНК) и рекурсивный алгоритм наименьших квадратов (РНК). Перестройка весовых коэффициентов
адаптивного фильтра hˆk (n) – с помощью НМНК производится
согласно выражениям
330
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∧
∧
h i (n) = h i (n − 1) + μ (n) ⋅ x(n) ⋅ e(n),
k = 0,1...L − 1,
μ ( n) =
α
,
L −1
(1)
(2)
β +  x 2 (n − k )
k =0
где α , β – константы, α ∈ (0;2), β << 1 , а для РНК
∧
∧
h i (n) = h i (n − 1) + k i (n) ⋅ e(n);
(3)
λ −1 ⋅ W (n − 1) ⋅ x(n)
k i ( n) =
,
1 + λ −1 ⋅ x(n) ⋅ W (n − 1) ⋅ x(n)
(4)
W (n) = λ −1 ⋅ W (n − 1) − λ −1 ⋅ k (n) ⋅ x(n) ⋅ W (n − 1) ,
(5)
где λ – константа, λ ∈ (0;1) .
Сигнал на выходе адаптивного фильтра определяется с помощью свертки
∧
L −1
∧
y ( n) =  x ( n − k ) ⋅ h( n) .
(6)
k =0
Если эхокомпенсатор, основанный на НМНК или РНК, будет обрабатывать эхотракт с ИХ, подобной той, что приведена на
рис. 1, то, очевидно, что большая часть операций в выражениях
(1), (2), (6) (для НМНК) и (3)-(6) (для РНК) будет осуществляться
с нулевыми отсчетами, характерными для линии задержки.
Чтобы понизить требования алгоритмов к вычислительным
ресурсам, но при этом сохранить их необходимые характеристики (скорость сходимости, уровень подавления эхосигнала), предлагается исключить из обработки те весовые коэффициенты
адаптивного фильтра, которые соответствуют нулевым отсчетам
А.Н. Тараканов, С.В. Ульдинович, А.Л. Мосеев
331
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ИХ эхотракта, и тем самым уменьшить вычислительную нагрузку. В новых алгоритмах в дополнение к выражениям (1), (2) и (6)
((3)-(6) для РНК) производятся следующие действия. Весь набор
коэффициентов адаптивного фильтра делится на блоки. В процессе работы алгоритма сравнивается значение суммы модулей
весовых коэффициентов каждого блока с максимальным из всех
блоков, умноженному на некоторый пороговый коэффициент.
Выражение для оценки можно записать в виде
j ⋅l

i = ( j −1)⋅l
∧
2⋅l ∧
m⋅l
l ∧

h i (n) < p ⋅ max  h i (n) ,  h i (n) , ...,  h i (n)  , (7)
i =l +1
i = ( m −1)⋅l +1
i =1

j = 1,2,..., m ,
∧
где j – номер блока, l – длина блока, m – число блоков, m = L ,
l
p – порог отключения блоков, который задается на этапе инициализации алгоритма.
Введем обозначения:
∧
2⋅l ∧
m⋅l
l ∧

Bmax (n) = max  h i (n) ,  h i (n) , ...,  h i (n)  ,
i =l +1
i =( m −1)⋅l +1
i =1

j ⋅l
B j ( n) = 
i =( j −1)⋅l
∧
h i ( n) ,
j = 1,2,..., m .
С учетом введенных обозначений (7) можно записать в виде
Bj
< p, j = 1,2,..., m .
Bmax
(8)
При выполнении условия (8), где 0 < p < 1, соответствующий блок отключается (коэффициенты блока перестают участвовать в процессе подстройки). Чтобы избежать отключения блоков
на ранних этапах, когда импульсная характеристика адаптивного
фильтра недостаточно повторяет эхотракт, необходимо ввести
некоторую задержку для начала работы алгоритма анализа блоков адаптивного фильтра. Это достигается путем разрешения отключения блоков только после достижения некоторого уровня
ослабления эха.
332
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, для подстройки весовых коэффициентов
адаптивного фильтра получаются следующие выражения:
для НМНК:
∧
∧
h i (n − 1) + k i (n) ⋅ e(n),
h i ( n) =  ∧
h i (n − 1),

B(n) j = 1;
(9)
B (n) j = 0;
j = 1,2,..., m,
i = ( j − 1) ⋅ l ,..., ( j ⋅ l ).
μ ( n) =
α
L −1
(10)
β +  x (n − k )
2
k =0
для РНК:
∧
h i (n − 1) + k i (n) ⋅ e(n),
h i ( n) =  ∧
h i (n − 1),

∧
k i ( n) =
B(n) j = 1;
(11)
B(n) j = 0;
λ −1 ⋅ Ws ,t (n − 1) ⋅ x s (n)
1 + λ −1 ⋅ x s (n) ⋅ Ws ,t (n − 1) ⋅ x s (n)
,
Ws ,t ( n) = λ −1 ⋅ Ws ,t (n − 1) − λ −1 ⋅ k s (n) ⋅ xs (n) ⋅ Ws ,t ( n − 1) ,
(12)
(13)
где s и t принадлежат активному блоку.
Выражения (9) – (10) определяют перестройку коэффициентов для модифицированного алгоритма НМНК, а (11) – (13) для
модифицированного РНК. Выражение для вычисления оценки
эха запишется следующим образом:
∧
 j⋅l −1
x
(
n
i
)
h
−
⋅
i ( n), B ( n) j = 1;
 
y (n) = i =( j −1)⋅l
0,
B(n) j = 0.

∧
А.Н. Тараканов, С.В. Ульдинович, А.Л. Мосеев
(14)
333
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из приведенных выражений следует, что в процессе работы
алгоритма перестраиваться будут только блоки с ненулевыми коэффициентами, что значительно снизит вычислительную нагрузку. Если качество подавления эхосигнала начинает ухудшаться,
отключенные коэффициенты фильтра вновь включаются в работу.
Для алгоритмов характерны два режима работы: начальный,
в котором число арифметических операций такое же, как и в исходных РНК и НМНК, и установившийся режим, когда количество арифметических операций сокращается.
В таблице приведено сравнение работы адаптивных алгоритмов по числу арифметических операций за итерацию.
Число арифметических операций за итерацию работы алгоритма
Алгоритм
НМНК
Новый алгоритм
(начальный режим)
Новый алгоритм
(установившийся режим)
РНК
Новый алгоритм (начальный режим)
Новый алгоритм (установившийся режим)
Сложений Умножений Сравнений
0
2L
2L
L
l
L
3 A
l
3
2L
2L
3LA
2 LA
4 L2 + 4 L
4 L2 + 6 L
0
4 L2 + 4 L
4 L2 + 6 L
4L
4 L2A + 4 LA
4 L2A + 6 LA
4 LA
l
l
Проведение отдельных тестов из рекомендации G.165 для
нового алгоритма дало следующие результаты.
В тесте № 1 исследуется максимальное подавление эхосигнала. Новый алгоритм показал уменьшение уровня эхосигнала до
минус 94 дБм0 (РНК) и минус 65 дБм0 (НМНК), что соответствует требованиям теста.
В тесте № 2 определяется скорость сходимости алгоритма.
Согласно требованиям теста совместное подавление сигнала
дальнего абонента эхотрактом и эхокомпенсатором за время
500 мс должно составить не менее 27 дБ. Результатом теста является значение параметров α, λ , при которых выполняются тре334
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
бования. Для представленных алгоритмов
λ ∈ (0;0.98) ,
α ∈ (0.2;1.8) (при длине ИХ фильтра 512 отсчетов).
В тесте № 3b исследуется поведение эхокомпенсатора в режиме двойного разговора. Тест позволяет определить максимальное значение задержки срабатывания детектора одновременного
разговора абонентов δt , которую допускает алгоритм при заданном параметре сходимости. Чем больше значение δt для используемого алгоритма эхокомпенсации, тем менее строгие требования предъявляются к алгоритму детектирования двойного разговора. Для новых алгоритмов δt = 100 мс (РНК), δt = 320 мс
(НМНК).
Рассмотрим работу эхокомпенсатора (рис. 2), построенного
на основе нового алгоритма. Эхотракт моделируется КИХфильтром, импульсная характеристика которого имеет вид, показанный на рис. 1. Число весовых коэффициентов адаптивного
фильтра равно числу отсчетов ИХ эхотракта L = N = 512 .
От величины p зависит, насколько точно адаптивный алгоритм будет моделировать ИХ эхотракта на момент включения
оценки значений блоков весовых коэффициентов адаптивного
фильтра. Следовательно, чем меньше значение порога, тем позже
оценка блоков начнет работать, тем дольше новый алгоритм будет работать в начальном режиме. Задание достаточно больших
значений порога минимизирует время работы алгоритма в режиме обычного НМНК (РНК), однако в этом случае возможна ситуация, когда коэффициенты фильтра еще далеки от оптимальных (согласно критерию среднеквадратичной ошибки), но уже
выключаются из работы.
В случае, когда p = 0.1, весовые коэффициенты фильтра
наиболее точно моделируют эхотракт, но отключение их произойдет позже, чем в случае, когда p = 0.8 .
По результатам моделирования можно сделать вывод, что
при p = 0.1 коэффициенты адаптивного фильтра наиболее точно
описывают ИХ эхотракта. Выбор p > 0.2 может привести к
ухудшению рабочих характеристик алгоритма.
Предложенные адаптивные алгоритмы основываются на
НМНК и РНК, имеют два режима работы: начальный и режим
А.Н. Тараканов, С.В. Ульдинович, А.Л. Мосеев
335
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
установившихся значений. В первом режиме его поведение сходно с базовыми алгоритмами, а во втором они имеют следующие
преимущества:
1) более высокая скорость сходимости за счет уменьшения числа перестраиваемых весовых коэффициентов адаптивного
фильтра,
2) меньший уровень остаточного эхосигнала,
3) значительное сокращение вычислительной нагрузки.
Выбор p = 0.1 позволяет получить наибольший эффект от
работы нового алгоритма. Схему уменьшения вычислительной
нагрузки, использованную в предлагаемом алгоритме, можно использовать не только совместно с НМНК и РНК, но также и с
другими адаптивными алгоритмами.
Таким образом, применение новой методики позволяет значительно понизить вычислительную нагрузку существующих
адаптивных алгоритмов, применяемых при построении эхокомпенсаторов. Новые алгоритмы соответствуют требованиям основных тестов рекомендации МСЭ-Т G.165.
Список литературы
[1] Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции и
расширения спектра: Пер. с англ. / Под. ред. В.И. Журавлева. - М.:
Радио и связь, 2000.
[2] ITU-T Recommendation G.165. Echo cancellers. 1993.
[3] Gaensler T., Benesty J., Gay S.L., Sondhi M.M. Dynamic resource
allocation for network echo cancellation // Proc. IEEE ICASSP, 2001.
(CD-ROM)
[4] Адаптивные фильтры / Под ред. К.Ф.Н. Коуэна и П.М. Гранта:
Пер. с англ. / Под. ред. Ряковского С.М. – М.: Мир, 1988.
[5] Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов: Пер. с
англ. под ред. Шахгильдяна В.В. - М.: Радио и связь, 1989.
[6] Тараканов А.Н. Влияние длины импульсной характеристики
эхотракта на поведение эхокомпенсатора в режиме двойного разговора // Телекоммуникации. – 2003. – № 10. – С. 15-19.
[7] ITU-T Recommendation G.168. Digital network echo cancellers.
2000.
336
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СИНТЕЗ СИСТЕМЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
НЕСУЩЕЙ ЧАСТОТЫ С ПРИМЕНЕНИЕМ
ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ВИНЕРА
А.С. Теперев, В.Г. Шушков, И.М. Якимов
Аннотация
В работе предложен алгоритм последовательного синтеза
линейной системы восстановления частоты сигнала на входе
приемного устройства с применением теории оптимальной
фильтрации Винера. Особенностью алгоритма является учет собственной нестабильности частоты перестраиваемого генератора
приемника, исключающий использование стандартного подхода.
Введение
Радиоэлектронные устройства, выполненные на основе колец
фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) широко используются
в приёмной и передающей аппаратуре различных телекоммуникационных систем для выполнения разнообразных функций, например синтеза частот, восстановления тактовой синхронизации,
демодуляции и т.д. [1]. В системах, использующих методы когерентного приема, кольца фазовой автоподстройки частоты позволяют добиться синхронности выходного процесса входному колебанию.
Для следящих систем, таких как система восстановления несущей частоты (СВНЧ), работающих в условиях комбинированных шумовых воздействий, крайне важным является максимальное отслеживание фазы входного процесса и в то же время наилучшая его фильтрация от различных аддитивных помех. Кроме
того, собственные шумы узлов СВНЧ значительно ухудшают когерентные свойства выходного колебания по отношению к входному. Для наиболее точного отслеживания фазы входного сигнала можно применить теорию оптимальной фильтрации. В работе
предложен алгоритм последовательного синтеза линейной системы восстановления частоты сигнала на входе приемного устройства с применением теории оптимальной фильтрации Винера.
Особенностью алгоритма является учет собственной нестабильА.С. Теперев, В.Г. Шушков, И.М. Якимов
337
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ности частоты перестраиваемого генератора приемника, исключающий использование стандартного подхода.
1. Постановка задачи
Основным узлом систем восстановления несущей частоты
является кольцо фазовой автоподстройки частоты, состоящее из
генератора, управляемого напряжением (ГУН), фазового детектора (ФД) и фильтра нижних частот в цепи управления. На вход
кольца поступает полезный сигнал с аддитивным и фазовым шумом. В качестве внутренних шумов системы выступают шум перестраиваемого по частоте генератора и аддитивный шум, вносимый фазовым детектором. Необходимо добиться того, чтобы
система максимально точно отслеживала фазу входного сигнала,
фильтруя шумы, вносимые как аддитивными помехами, так и узлами кольца. Критерием качества слежения системы за входным
сигналом выступает минимизация дисперсии фазовой ошибки
между входным и выходным фазовыми процессами.
Рассматривая задачу в линейном приближении, можно воспользоваться теорией оптимальной фильтрации Винера. Однако в
классической постановке задачу решить не удается, так как характеристики шумовых воздействий, пересчитанных на вход
кольца, будут зависеть от параметров синтезируемой системы.
Особенностью данной работы является предлагаемый алгоритм
последовательного синтеза на основе теории фильтрации Винера,
позволяющий определить структуру и параметры системы, максимально точно следящей за фазой входного сигнала в условиях
комбинированных случайных воздействий.
2. Описание алгоритма
На рис. 1 представлена структурная схема системы на основе
кольца ФАПЧ, предназначенной для восстановления несущей
частоты входного сигнала. На схеме приняты следующие обозначения: SϕГУН(ω) – спектральная плотность фазовых флуктуаций перестраиваемого генератора, SϕS (ω) – спектральная плотность фазовых флуктуаций входного сигнала, SϕФД(ω) – суммарная спектральная плотность шумов фазового детектора, соответствующая
338
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пересчитанной аддитивной помехе на входе, Kf (p) - передаточная
функция синтезируемого фильтра кольца ФАПЧ.
SϕS (ω )
SϕФД (ω )
K f ( p)
Kd
Sy
Вых SϕГУН(ω)
1
p
ω0
Рис. 1 Функциональная схема кольца ФАПЧ.
Для того чтобы воспользоваться теорией фильтрации Винера
для синтеза оптимальной системы, необходимо пересчитать фазовый шум перестраиваемого генератора на вход фазового детектора. Однако сделать это не удается в связи с тем, что структура
и параметры петлевого фильтра являются неизвестными. В основе предлагаемого алгоритма лежит алгоритм последовательных
приближений, суть которого заключается в следующем. Сначала
П
синтезируется фильтр Винера с нулевым приближением Sϕ (ω ) ,
где Sϕ (ω ) – пересчитанная на вход фазового детектора спектральная плотность мощности (СПМ) фазовых флуктуаций перестраиваемого генератора.
По полученному фильтру Винера на основе теории линейных систем с обратной связью строится K f ( p ) , а по значению
П
последнего пересчитывается Sϕ (ω ) . Затем она аппроксимируется зависимостью, позволяющей использовать классическую теорию Винера. Далее синтезируется фильтр Винера с учетом полуП
ченной на предыдущем шаге
SϕП (ω ) , по нему строится K f ( p ) ,
А.С. Теперев, В.Г. Шушков, И.М. Якимов
339
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
и снова, с последующей аппроксимацией, пересчитывается
SϕП (ω ) . Эта процедура повторяется до тех пор, пока значения
SϕП (ω ) на n и n+1 шаге не будут равны с требуемой точностью.
Фильтр Винера обеспечивает минимум дисперсии ошибки
между входным и выходным фазовыми процессами. Идея заключается в том, что синтезируемый фильтр рассчитывается таким
образом, чтобы шумы, вносимые аддитивной помехой и кольцом
фазовой автоподстройки частоты, давали как можно меньший
вклад в выходной шумовой фазовый процесс. В общем виде коэффициент передачи фильтра Винера имеет вид [2]:
H OPT ( p ) =
 S (ω ) 
1
⋅  *S
,

G (iω )  G (iω )  +
(1)
где функция G (iω ) определяется из условия факторизации
S x (ω ) = G (iω ) ⋅ G * (iω ) . Знак “+” в (1) означает, во-первых, разложение функции в скобках на простые дроби, а во-вторых, взятие лишь тех слагаемых, полюсы которых лежат в верхней области ω - плоскости.
Следует заметить, что данный алгоритм дает положительные результаты при выполнении ряда условий, как правило, выполняющихся на практике. Во-первых, СПМ фазовых флуктуаций входного сигнала в диапазоне частот [0 ; ωc ] должна лежать
выше суммарной СПМ фазовых шумов системы, где ωc – полоса
среза, которая определяется пересечением кривых СПМ фазовых
флуктуаций входного сигнала и суммарной СПМ фазовых шумов узлов системы; во-вторых, ω з ≤ ω y ≤ ω c , где ω y - полоса
удержания ФАПЧ, ω з – минимально допустимая полоса захвата.
3. Применение алгоритма
Рассмотрим предложенный алгоритм для конкретных видов
воздействий. Пусть на вход системы поступает полезный сигнал,
340
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
модель спектральной плотности мощности фазовых флуктуаций
которого:
SϕS (ω ) =
a
,
2
1+ b ⋅ω
(2)
где a , b – некоторые константы.
В качестве внутренних шумов системы выступают шум перестраиваемого по частоте генератора и аддитивный шум. Пусть
SϕФД (ω ) = C , где C – константа,
SϕГУН (ω ) =
a1
,
1 + b1 ⋅ ω 2
(3)
где a1 , b1 – некоторые константы.
На рис. 2 представлены графики спектральных плотностей
фазовых флуктуаций входного сигнала, ГУН и фазового детектора.
Рис. 2. СПМ фазовых флуктуаций входного сигнала и функциональных
узлов системы
Такой выбор аппроксимирующих функций (2, 3), содержащих лишь четные степени ω , обусловлен используемой при синтезе фильтра теорией Винера. Согласно ей для синтеза фильтра
А.С. Теперев, В.Г. Шушков, И.М. Якимов
341
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
необходимо факторизовать функцию S x (ω ) = S s (ω ) + S n (ω ) ,
где S s (ω ) – спектральная плотность полезного сигнала, а
S n (ω ) = SϕФД (ω ) + SϕП (ω ) – спектральная плотность воздействующих на систему шумов.
Пересчитанная СПМ фазовых флуктуаций перестраиваемого
генератора S ϕ (ω ) аппроксимировалась следующей зависимостью:
a2 ⋅ ω 2
П
Sϕ (ω ) =
+ c2 ⋅ ω 2 .
2
(4)
1 + b2 ⋅ ω
После четырех шагов (n=4) была получена некоторая "преП
дельная" Sϕ (ω ) для конкретных значений параметров системы
и спектральных характеристик. На рис. 3 показаны графики пересчитанной на вход фазового детектора СПМ фазовых флуктуаций
перестраиваемого по частоте генератора на каждом шаге.
П
Рис. 3 Графики пересчитанной на вход
фазового детектора СПМ фазовых флуктуаций ПГ
342
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 4 показаны амплитудно-частотные характеристики
фильтров в цепи обратной связи кольца ИФАПЧ, полученные на
каждом шаге.
Рис. 4. АЧХ фильтра в цепи управления
В результате математических преобразований была найдена
передаточная функция фильтра Винера на последнем шаге. Она
имеет следующий вид:
H OPT ( p ) = C ⋅
( p + a ' )( p + b' )
,
( p + α )( p + β )( p + γ )
(5)
где нули и полюсы данного фильтра зависят от коэффициентов,
используемых при аппроксимации воздействий. При полученных
выше значениях этих параметров имеет место минимум дисперсии фазовой ошибки на выходе системы.
По полученному оптимальному коэффициенту передачи
кольца был произведен расчет фильтра в цепи управления. Его
коэффициент передачи имеет следующий вид:
K f ( p) = K 0
p + b1
.
p 2 + a2 p + b2
А.С. Теперев, В.Г. Шушков, И.М. Якимов
(6)
343
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 5. АЧХ фильтра Винера
Заключение
В работе с применением теории оптимальной фильтрации Винера разработан алгоритм последовательного синтеза линейной
системы восстановления частоты на основе системы ФАПЧ, учитывающий собственную нестабильность фазы перестраиваемого
генератора. Применение алгоритма для расчета петлевого фильтра
показало высокую скорость сходимости процесса синтеза.
Список литературы
[1] Тихомиров М.Н. Проектирование тактовых генераторов с малым уровнем фазового дрожания. - Воронеж, 2005.
[2] Шахтарин Б. И. Случайные процессы в радиотехнике. - М.:
Радио и связь, 2000. – 584 с.
[3] Левин В.А., Малиновский В.Н., Романов С.К. Синтезаторы
частот с системой импульсно-фазовой автоподстройки частоты. - М.:
Радио и связь, 1989. – 232 с.
[4] Белов Л.А. Формирование стабильных частот и сигналов.
– М.: Издательский центр "Академия", 2005. – 224 с.
344
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НЕЛИНЕЙНЫЙ РАСЧЕТ ФОРМЫ
ЗАРЯЖЕННОЙ КАПЛИ, РАВНОУСКОРЕННО
ДВИЖУЩЕЙСЯ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ
И ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЯХ
С.О. Ширяева, П.В. Мокшеев
Аннотация
В аналитической асимптотической процедуре получено выражение для равновесной формы заряженной капли идеальной
несжимаемой электропроводной жидкости, равноускоренно движущейся в суперпозиции коллинеарных электростатического и
гравитационного полей, в квадратичном приближении по малой
амплитуде отклонения равновесной формы от сферической (в качестве меры которой выбран квадрат безразмерной напряженности электростатического поля). Выяснилось, что форма равновесной поверхности капли с учётом влияния на неё гравитационного, электростатического полей и взаимодействия собственного
заряда капли с внешним электростатическим полем, в области
значений заряда капли и напряженности электростатического поля, далёких от критических в смысле реализации неустойчивости
по отношению к собственному и индуцированному зарядам,
весьма близка к вытянутой сфероидальной форме.
Пусть дана капля идеальной, несжимаемой идеально проводящей жидкости, несущая заряд Q , свободно двигающаяся в вакууме в коллинеарных
однородном электростатическом поле на

пряженностью E0 и поле силы тяжести g . Зададимся целью рассчитать форму равновесной поверхности капли в описанной
системе из условия баланса давлений на равновесной ее поверхности с точностью до слагаемых второго порядка малости по отклонению формы капли от сферической. Принимая плотность
жидкости ρ , коэффициент поверхностного натяжения σ и радиус сферической (в отсутствие электростатического и гравитационного полей) формы капли R в качестве трёх основных масштабов измерения физических величин, перейдём к безразмерным
переменным, в которых ρ = σ = R = 1.
Очевидно, что в описанных условиях капля будет двигаться
равноускоренно в вертикальном направлении. В зависимости от
С.О. Ширяева, П.В. Мокшеев
345
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


соотношения величин Q , E0 и g возможны две ситуации: сила,
действующая на каплю со стороны электрического
парал поля,

лельна направлению ускорения поля сил тяжести E0  g либо на

правлена в противоположную сторону E0 - g . Оба случая можно

учесть, если задаться конкретным направлением вектора E0 , а заряды капли брать как положительными, так и отрицательными.
Примем, что напряжённость электростатического поля направлена вертикально
вверх, противоположно
поля
 ускорению



сил тяжести E0 - g . В коллинеарных полях E0 и g равновесная
поверхность будет обладать осевой симметрией. Обозначим ось
симметрии OZ и так же направим ее вертикально вверх.
Форму равновесной поверхности капли будем искать из условия баланса давлений, действующих на свободную поверхность капли. Динамическое условие на свободной поверхности
капли в общем случае в тензорных обозначениях имеет вид:
( p( ) − p( ) ) n
2
ik
1
ik
k
= pσ ni .
Здесь pσ - давление сил поверхностного натяжения, ni - орт
внешней для капли нормали, pik( j ) - тензор напряжений (верхний
индекс j = 1 – соответствует капле, j = 2 - внешней среде), определяемый
для
идеальной
жидкости
выражением
j
j
j
j
pik( ) = − p ( ) δ ik + π ik( ) , где p ( ) - давление в среде, получаемое из
уравнения Эйлера, δ ik - дельта-символ Кронекера, π ik( j ) - тензор
напряжений внешних сил. При наличии электрического поля в
качестве π ik( j ) выступает максвелловский тензор напряжений.
Примем, что внешняя среда имеет нулевую плотность, а ее
диэлектрическая проницаемость равна единице. В этом случае
максвелловский тензор напряжений будет иметь вид:
π ik( 2) = δ ik E 2 8π , а первая компонента тензора напряжений определится для внешней среды постоянным внешним давлением
2
p ( ) = p0 = const . В вакууме p0 = 0 .
346
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поскольку внутри капли в используемой модели идеально
проводящей жидкости электрическое поле отсутствует, то тензор
π ik(1) обращается в нулевой. Для отыскания распределения поля
давлений в жидкости капли следует исходить из уравнения Эйлера. Поскольку заряженная капля ускоренно движется в гравитационном и электростатическом полях, для удобства проведения
нижеследующих математических выкладок перейдем в неинерциальную систему координат, связанную с центром масс капли.
ЭйлеПри этом в правую часть уравнения движения - уравнения

ра необходимо добавить объёмную силу инерции f a , равную
произведению плотности жидкости на инерциальное ускорение

a , которое в свою очередь равно по абсолютной величине, но
противоположно по направлению ускорению центра масс капли в
лабораторной системе отсчета. Если сила гравитации не равна
силе, действующей на заряд капли со стороны электростатического поля, т.е. не уравновешивает её, то центр масс капли
 
движется ускоренно с ускорением a = g + 3 Q E0 4 π и, следовательно, сила инерции (в безразмерной записи) определится ра
венством: f a = −a . С учётом принятых направлений оси OZ и

вектора E0 выражение для силы инерции можно записать в градиентном виде:


 3Q E0
fa = ∇  g z −  ±
 4π


z .

Здесь и далее под Q будем понимать абсолютную величину
заряда, в то время как знак заряда, а следовательно, и направление электрической силы, действующей на каплю, будет явно указываться знаками ± . Уравнение Эйлера для движения жидкости в
капле запишется в виде
 3Q E0



1
∂ u ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) u = −∇p ( ) − ∇  ±
 4π
С.О. Ширяева, П.В. Мокшеев

z,

347
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 
где u (r , t ) - поле скоростей движения жидкости в капле, которое
в системе координат, связанной с центром масс капли, в состоянии равновесия тождественно
 равно нулю. Интегрирование урав 
нения Эйлера при u (r , t ) ≡ 0 позволяет получить выражение для
распределения давления в капле в равновесном состоянии:
1
p ( ) = p* − ( ± 3Q E0 z 4 π ) , p* - постоянное давление в капле в отсутствие внешних сил. Подставим выписанные выражения для
давлений и максвелловских тензоров напряжений в капле и среде
в динамическое граничное условие и, проектируя его на орт нормали к поверхности, получим:
p* − p0 + pEQ + pga = pσ ,
где
pEQ = E 2 8 π -
давление
(1)
электрической
силы;
pga = − ( ±3 QE0 z 4 π ) - суммарное давление поля сил тяжести и
силы инерции.
Искомое выражение для формы равновесной поверхности
капли выпишем в виде разложения по полиномам Лежандра:
∞
r = r (θ ) = 1 + f (θ ) = 1 +  an Pn ( μ ) ;
n=0
f (θ )  1 ;
μ ≡ cos (θ ) ; (2)
Малый параметр ε введём формальным образом на основе
соотношения: f (θ )  ε .
Заряд капли не нарушает сферичности её равновесной формы
и поэтому имеет нулевой порядок малости по амплитуде деформации во внешних силовых полях: Q ~ ε 0 . Как отмечено выше,
поле сил тяжести в свободно падающей на гравитирующий центр
капле также не оказывает силового воздействия на ее свободную
поверхность и приводит к деформации формы, т.е. g ~ ε 0 . Деформацию сферической формы капли вызывает внешнее электростатическое поле, в котором капля поляризуется, а силы взаимодействия разноименных поляризационных зарядов на проти348
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
воположных вершинах капли с внешним электростатическим полем направлены в противоположные стороны. Зависящая от угла
θ компонента давления электростатического поля на свободную
поверхность капли ~ E02 приводит к деформации равновесной
сферической формы. Следовательно, можно принять, что
f (θ ) ~ E02 ~ ε , или E0 ~ ε 1 2 . Взаимодействие заряда Q и электростатического поля E0 с отклонением формы капли f (θ ) будет
приводить к появлению добавок в соответствующих давлениях,
имеющих величину не ниже первого порядка малости, т.е.
ε , ~ ε 3 2 , ~ ε 2 и т.д. Поэтому коэффициенты an в (2) представим в
виде разложения по полуцелым степеням ε и, ограничивая рассмотрение вторым порядком малости по ε , запишем выражение
для равновесной формы поверхности капли в виде:
∞
(
r = r (θ ) = 1 +  ε an( ) + ε 3 2 an(
n =0
3 2)
1
+ ε 2 an(
2)
) P (μ ) .
n
(3)
Верхний индекс указывает порядок малости коэффициентов
m
an( ) . Подчеркнём, что параметр ε является формальным, введённым лишь для удобства проведения асимптотических разложеm
ний. В конечных выражениях для коэффициентов an( ) через физические параметры задачи Q и E0 параметр ε следует убрать,
приняв его равным единице.
m
Амплитуды an( ) в разложении (3) определятся из динамического граничного условия (1) в результате реализации нижеописанной процедуры.
Представим входящие в (1) давления в виде формальных разложений по параметру ε :
p* ≈ p*( ) + ε 1 2 p*(
1 2)
0
+ ε p*( ) + ε 3 2 p*(
1
3 2)
( )
+ ε 2 p*( ) + O ε 5 2 ;
2
( )
( )
( )
()
( )
( )
pEQ ≈ pEQ
+ ε 1 2 pEQ
+ ε pEQ
+ ε 3 2 pEQ
+ ε 2 pEQ
+O ε5 2 ;
0
12
1
32
С.О. Ширяева, П.В. Мокшеев
2
349
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( )
( )
( )
()
( )
( )
pga ≈ pga
+ ε 1 2 pga
+ ε pga
+ ε 3 2 pga
+ ε 2 pga
+O ε5 2 ;
0
12
1
pσ ≈ pσ( ) + ε 1 2 pσ(
1 2)
0
32
2
+ ε pσ( ) + ε 3 2 pσ(
3 2)
1
( )
+ ε 2 pσ( ) + O ε 5 2 .
2
(4)
Подставляя (4) в (1), собирая вместе слагаемые одного порядка малости и требуя выполнения баланса давлений во всех
порядках малости, получим системы уравнений, позволяющие
m
последовательно рассчитать амплитуды an( ) . Амплитуды нулевой
и первой мод определяются соотношениями:
(1)
0
(3 2)
0
a =0 ;
(1)
0
a
(3 2)
0
a =0 ; a
( 2)
=0 ;
a0
( 2)
∞
( )
2
1
(1)
=−
an ;
2
1
n
+
)
n=2 (
9 ( n + 1)
1
1
an( ) an( +) 1 .
n = 2 ( 2 n + 1)( 2 n + 3)
∞
= 0 ; a1 = − 
Получим для каждого из давлений, входящих в динамическое
граничное условие (2), выражение в виде разложения по малому
параметру (4).
Для лапласовского давления найдем:
( 0)
pσ = 2 ;
( 2)
pσ
(1 2)
pσ
=0 ;
( j)
∞
pσ =  ( n − 1)( n + 2 ) an( ) Pn ( μ ) ;
j
n=2
 ∞ ( n − 1)( n + 2 ) (1) 2 
= −2 
an  P0 ( μ ) −
 n = 2 ( 2n + 1)



 ∞ n ( n + 1)( n + 2 ) (1) (1) 
− 12 
a a  P (μ ) +
 n = 2 ( 2n + 1)( 2n + 3) n n +1  1



( )

350
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
(6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∞ ∞

1
1 
( 2)
+  ( n − 1)( n + 2 ) an − 2
m ( m + 1) − 1 K kmn ak( ) am( )  Pn ( μ )
n=2 
k =2 m=2

∞
(
)
Суммарное давление гравитационной силы и силы инерции
на поверхность капли определяется выражением:
 3Q E

0
pga = −  ±
r (θ ) μ  ,
4
π


после подстановки в которое функции r (θ ) , описывающей форму
поверхности (3), получим:
( )
pga
= 0,
j
 3Q E0 
(1 2)
= − ±
pga
 P1 ( μ ) ;
4π 

( j = 0; 1) ;
 3 Q E0   2 (i−1 2)
P1 ( μ ) +
  a2
5
4
π


( )
pga
= − ±
j


n + 1) (i−1 2) 
(
n
( i−1 2 )
+  (1 − δ n 2 )
an−1 +
an+1  Pn ( μ )  .



( 2n − 1)
( 2n + 3 )
n=2 


∞

Давление электрического поля на поверхность капли имеет
вид:
( 0)
pEQ
= Q 2 8π ;
(1)
pEQ
1
≈
8π
( )
pEQ
=
12
3
( ±Q ) E0 P1 ( μ ) ;
4π
∞
 2

2
E
+
P
μ
+
Q
a
n
−
P
μ
3
1
2
2
1
(
)
(
)
(
)
(
)

n
n
2
 0
;
n=2


С.О. Ширяева, П.В. Мокшеев
351
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
∞ 

(1)
(3 2)
2
pEQ
6 ( ±Q ) E0 a2 P1 ( μ ) + 5  Q ( n − 1) an +
n=2 


 (1 − δ n 2 ) n ( 2n − 3) (1) ( n + 1)( 2n − 1) (1)  
+ 3 ( ±Q ) E0 
an−1 +
an+1   Pn ( μ )  ;


2
n
1
2
n
3
−
+
(
)
(
)



(3 2)
1
≈
20 π
7 Q 2  ∞ ( n − 1) (1)
an
≈−

8 π  n = 2 ( 2n + 1)

 P0 ( μ ) +



∞
n ( n + 1)
3 2)
1  54 2 (1) 6
(
2
(1) (1) 
+  E0 a3 + ( ±Q ) E0 a2 − 9 Q 
an an+1  P1 ( μ ) +
4π  35
5

n=2 ( 2n + 1)( 2n + 3)
( 2)
pEQ
( )
2


Q
+ 
n = 2  8π
∞
∞
∞
2

( 2)
 2 ( n − 1) an +

(
)

+  ( 3 − 2 k 2 + m + k ( 2 n + m − 7 ) ) K kmn + α kmn ak( ) am( )  +
k = 2 m=2
1
n ( n + 1)( n + 2 ) (1)
9 E02  8
(1)
+
an+2 +
 δ n 2 a2 +
n
+
n
+
4π  15
2
3
2
5
(
)(
)
1

( n − 2 )( n − 1) n a(1) +
( 2n − 3)( 2n − 1) n−2

( n − 2 ) n ( 2n + 3) − 1  a(1)  +
n
2
+
−
+
n
δ
1
(
)

 n 
n2
−
+
+
n
n
n
2
1
2
1
2
3
(
)
(
)(
)


3 ( ±Q ) E0 
n ( 2n − 3) ( 3 2) ( n + 1)( 2n − 1) ( 3 2)  
+
an−1 +
an+1   Pn ( μ ) ;
 (1 − δ n 2 )
−
+
n
n
4π
2
1
2
3
(
)
(
)

 
+ (1 − δ n 2 − δ n3 )
α kmn ≡ − k ( k + 1) m ( m + 1) Ckn00m 0Ckn(0−1) m1 .
Подставим полученные разложения в динамическое граничное условие на свободной поверхности капли (1) и, приравнивая
слагаемые одинакового порядка малости по ε , вычислим иско352
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мые коэффициенты an( ) в выражении (3) для равновесной формы
капли. В итоге найдем, что форма равновесной поверхности капли с точностью до слагаемых второго порядка малости по ε
включительно (что эквивалентно учёту слагаемых четвёртого порядка по E0 ) запишется в виде:
m
(
r = 1 + a0( ) P0 ( μ ) + a2( ) + a2(
2
1
2)
) P ( μ ) + a(
3 2)
3
3
2
P ( μ ) + a4( ) P4 ( μ ) ;
2
m
где коэффициенты an( ) определяются соотношениями:
9 w2
3w
1
( 2)
;
;
a0 = −
a2( ) =
2
−
1
W
(
)
5 (1 − W )
(3 2)
a3
( 2)
108 W w3
=±
;
5 ( 5 − 4 W )(1 − W )
a4 =
(
54 w2 65 − 33W − 28W 2
( 2)
a2 =
(
3
);
Q2
;
W≡
16π
E02
;
w≡
16π
9 w2 79 − 84W + 8W 2
)
7 (1 − W ) ( 5 − 4W )
;
2
35 (1 − W ) ( 3 − 2W )( 5 − 4W )
где W - параметр Рэлея и w - параметр Тейлора характеризуют
устойчивость поверхности капли по отношению к собственному
заряду и заряду, индуцированному в капле внешним электростатическим полем соответственно.
Заключение. Использование усовершенствованной процедуры помодового анализа условия баланса давлений на равновесной
поверхности капли показало, что применение в аналитических и
численных расчетах сфероидального приближения для равновесной формы заряженной капли во внешних электростатическом и
гравитационном полях оправдано не только в линейном по величине сфероидальной деформации приближении, но и в квадратичном. Выяснилось также, что в экспериментальных исследованиях по проверке критерия Рэлея, использовавших различные варианты электростатических подвесов, форма капли заметно
отличалась от сферической, что неизбежно должно было проявиться в отклонении измеряемых критических параметров от
предсказываемых строгой теорией.
С.О. Ширяева, П.В. Мокшеев
353
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
БЫЛ ЛИ БОЛЬШОЙ ВЗРЫВ?
Я.П. Докучаев
Аннотация
В работе показано, что причиной красного смещения спектральных линий излучения от далеких звезд и галактик может являться не эффект Доплера, вызванный разбеганием галактик.
Предлагается модель темного вещества, атомы которого взаимодействуют с фотонами, излучаемыми звездами и галактиками,
уменьшая их энергию.
ЧАСТЬ I. Расширяющаяся Вселенная
Первооткрывателем идеи о расширяющейся Вселенной является А.А. Фридман (1922 год), профессор Петроградского университета [1, 2]. Решая уравнение Эйнштейна, Фридман в 1922
году показал, что Вселенная не может быть стационарной. На
рис. 1 приведено графическое пояснение трёх моделей
А.А. Фридмана.
На рис. 1.1 представлена модель А.А. Фридмана первого типа. Вселенная расширяется достаточно медленно. По причине
гравитационного притяжения между различными галактиками,
расширение Вселенной замедляется и в итоге прекращается. После этого галактики начинают приближаться друг к другу. Расстояние между галактиками возрастает от нуля до некоторого
максимума и опять падает до нуля.
На рис. 1.2 представлена модель Фридмана второго типа.
Расширение Вселенной происходит так быстро, что гравитационное притяжение хотя и замедляет расширение, но не может его
приостановить. Кривая выходит из нуля, и галактики удаляются
друг от друга с постоянной скоростью.
На рис. 1.3 представлена модель Фридмана третьего типа.
Исходное расстояние между галактиками равно нулю, а потом
всё время возрастает. Галактики разбегаются всё с меньшей и
меньшей скоростью, но она никогда не падает до нуля.
354
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1. Три модели А.А. Фридмана
для нестационарной Вселенной [1]
Какая же модель Фридмана годится для нашей Вселенной?
Если плотность меньше некоторого критического значения,
то гравитационное притяжение слишком мало, чтобы приостановить расширение. Если плотность больше критического значения,
то в какой-то момент в будущем расширение Вселенной прекратится и начнётся сжатие.
Я.П. Докучаев
355
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЧАСТЬ II. Опыты Э.Хаббла о красном смещении
спектральных линий от далеких галактик
В 1929 году Э. Хаббл впервые показал, что длина волны света, испущенного далёкими галактиками, линейно смещается к
красной части спектра по мере увеличения расстояния от них [3].
Z=
λ − λ0
= HR,
λ0
(I)
где Z - относительное красное смещение,
λ0 - исходная длина волны (R=0);
λ - наблюдаемая длина волны на расстоянии R;
R - расстояние до галактики (мегапарсек);
Н - постоянная Хаббла, линейный коэффициент пропорциональности, обозначающий относительную величину красного
смещения на расстоянии 1 Мпк (1 Мпк = 3.26·106 световых лет).
В первых работах Э. Хаббла на 60-дюймовом телескопе предельное красное смещение составляло около Z = 0.004, что соответствовало расстоянию до галактики около 10 Мпк (3.3·107 световых лет). В дальнейшем на 100-дюймовом телескопе предельное красное смещение составляло около Z=0.11, расстояние до
галактики около 250 Мпк (0.8·109 световых лет).
В 1988 году на 200-дюймовом телескопе было зафиксировано
наибольшее красное смещение Z = 4.0, расстояние до галактики
около 400 Мпк (около 13·109 световых лет).
Итоги экспериментальных работ Э. Хаббла стали объяснять
как эффект Доплера: галактики разбегаются, Вселенная расширяется по закону:
V = HR,
(II)
V - скорость удаления галактики, км/c;
Н - постоянная Хаббла, скорость удаления галактики в км/с
на расстоянии R = l Мпк;
R - расстояние до галактики, Мпк.
356
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Линейная зависимость V = HR наблюдается только для расстояний R < 300 Мпк.
Обратная величина 1/Н есть возраст Вселенной в годах. В
своих первых работах в 1929 году Хаббл принял значение
Н = 500 км/с·Мпк-1, при этом возраст Вселенной равен 2·109лет.
Наиболее вероятное значение Н, принимаемое сегодня,
Н = 75 км/с·Мпк-1, при этом возраст Вселенной оценивается в
13,1·109 лет [4, 5].
В 1929 году еще не знали о существовании во Вселенной огромного количества «темного вещества» [6,7]. В данной работе
обосновывается гипотеза, что красное смещение спектральных
линий, обнаруженное Хабблом в 1929 году – это не эффект Доплера, а эффект поглощения излучения от далеких галактик атомами «темного вещества».
Специалисты оценили массу всех видимых объектов и сравнили ее с минимальным значением, необходимым для того, чтобы сила тяготения объяснила наблюдаемую небесную механику.
Был сделан вывод, что более 90% вещества не воспринимается
приборами [8]. Это вещество, названное «темным веществом», не
имеет электрического заряда, но обладает гравитационными
свойствами в таком количестве, чтобы сила тяготения объяснила
небесную механику.
Мы предполагаем, что темное вещество взаимодействует с
фотонами, излучаемыми звездами и галактиками, уменьшая их
энергию согласно соотношению:
hν = hν0e-μR ,
(III)
где hν0 - исходная энергия фотонов, излучаемых звездами и галактиками;
hν - энергия фотонов после прохождения в космическом пространстве расстояния R, Мпк;
μ - линейный коэффициент поглощения энергии, одинаковый
для фотонов любой частоты, от самых длинных радиоволн, до
самого жёсткого γ- излучения, Мпк-1.
Я.П. Докучаев
357
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Из формулы (III) следует, что исходная длина волны λ0 увеличивается до значения (красное смещение спектральных линий)
согласно соотношению:
λ − λ0
Z=
= eμ R − 1
λ0
(IV)
Это следует сравнить с формулой Хаббла (I) для красного
смещения спектральных линий от далеких галактик.
Методом сравнения с экспериментальными данными нами
было оценено [9], что в формуле (IV) значение μ =4·10-4 Мпк-1
или μ = 1.38·10-28 см-1. Полученное значение μ удовлетворительно
согласуется с общепринятым представлением о том, что для
Z = 4,0 расстояние R равно 4000 Мпк или 13·109 световых лет.
В таблице 1 и на рисунке 2 приводятся итоговые результаты
вычисления расстояний до галактик в зависимости от значения Z.
Зависимость расстояния до галактики R, Мпк,
от экспериментального значения Z
Z=
λ − λ0
λ0
0,004
0,048
0,1
0,5
1.0
1,5
1,82
2,0
2.5
3.0
34
4,0
4,4
5,0
358
Ln (z+1)
0,00399
0,04688
0,09531
0,40547
0,69335
0,91629
1,0367
1,0986
1,2528
1,3863
1,5041
1,6094
1,6864
1,7918
R=
ln( Z + 1)
μ
МПк
9,98
117,2
238,3
1013,7
1732,9
2290,7
2591,8
2746,5
3132,1
3465,7
3760,2
4023,6
4216,0
4479,4
R, световых лет
,
0,0325·10 9
0,382·10 9
0,777·10 9
3,305·10 9
5,649·10 9
7,468·10 9
8,449·10 9
8,954·10 9
10,210·10 9
11,298·10 9
12,258·10 9
13,117·10 9
13,744·10 9
14,603·10 9
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0
1000
2000
3000
4000
5000 R, Мпк
Рис. 2. Зависимость расстояния до галактики R, Мпк,
от относительной величины красного смещения Z
Плавная линейная зависимость Z от R наблюдается только
для значений R<1000 Мпк. Далее сказывается экспоненциальная
зависимость (IV).
ЧАСТЬ Ш. Обнаружение темного (ненаблюдаемого)
вещества в космическом пространстве
Понятие о темном (ненаблюдаемом) веществе в космическом
пространстве впервые ввел в 1933 году Фриц Цвикки (1898 –
1974). Он не мог традиционным способом объяснить, почему
скопление галактик в созвездии Волосы Вероники, находящееся
от нас на расстоянии R = 25 Мпк, не распадается. Согласно его
измерениям, это космическое образование противоречит закону
всемирного тяготения и элементарным принципам небесной механики, поскольку оно давным-давно должно бы было разрушиться. Такую аномалию можно объяснить присутствием какойто невидимой, ничего не излучающей материи, но имеющей
нужную гравитирующую массу. Цвикки высказал мысль о том,
что во Вселенной существует ненаблюдаемое темное вещество
[6, 7]. Это скрытое (ненаблюдаемое) вещество стабилизирует галактики и их скопления.
Я.П. Докучаев
359
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Дальнейшие наблюдения подтвердили мнение Цвикки. Специалисты оценили массу всех видимых объектов и сравнили ее с
минимальной плотностью, необходимой для того, чтобы сила тяготения объяснила наблюдаемую небесную механику. Был сделан вывод: более 90% вещества Вселенной является «темным
веществом».
ЧАСТЬ IV. Горячая Вселенная
В 1946 году Георгий Гамов впервые высказал мысль о том,
что на ранних стадиях Вселенная была достаточно горячей, и в
ней могли идти термоядерные реакции образования гелия-4 из
водорода с выделением большого количества энергии:
4H
He+2e++2νe.
Первичное излучение фотонов, образовавшееся после Большого Взрыва, должно сохраниться и в наше время. По причине
космического расширения Вселенной первичное излучение фотонов должно «охладиться» до современного значения температуры в несколько градусов Кельвина.
В 1964 году Р. Дикке вновь выдвинул идею о горячей Вселенной. Современному расширению Вселенной предшествовало
сжатое состояние с высокой плотностью и высокой температурой. В момент рождения при Большом взрыве вся Вселенная была сосредоточена в малом объеме радиусом около 10-13 см и
большой плотностью 1096 г/см3, температура была больше 1 ГэВ
(1013 К).
Р. Дикке и его сотрудники начали готовить аппаратуру для
обнаружения космического чернотельного излучения, с температурой Т = 3.5 К, оставшегося от горячей вселенной.
В это же время в 1965 году американские инженеры
А. Пензиас и Р. Вильсон настраивали большую рупорную антенну для ретрансляции телевизионных передач из Америки в Европу через спутник связи на волне 2,3 см. Они обнаружили, что после учета всех «шумов» от неба, земли, кабелей самого усилите360
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ля, оставался «подозрительный» сигнал, соответствующий источнику с температурой 3,5 К.
Рис. 3. Тепловое излучение
В итоге Пензиас и Вильсон опубликовали в «Астрономическом журнале» статью под заглавием «Измерение избыточной
антенной температуры на частоте 4080 мегагерц». Они обнаружили микроволновое фоновое излучение [1] с максимумом на
волне 1 мм. Это есть равновесное тепловое электромагнитное излучение абсолютно черного тела.
Роберт Дикке и его сотрудники стали рассматривать открытие фонового излучения как одно из самых успешных подтверждений теории Большого взрыва.
Я.П. Докучаев
361
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЧАСТЬ V. Краткая характеристика некоторых свойств
скрытой (ненаблюдаемой) материи
1. Скрытое (ненаблюдаемое) вещество - это есть материальное вещество, а не «дух». Будем считать, что скрытая материя,
как и любое другое вещество, состоит из отдельных частиц - атомов.
Впервые, 2500 лет назад, идею об атомном строении вещества сформулировали древнегреческие философы Левкипп (500 –
440 гг. до н.э.) и Демокрит (460 – 370 гг. до н.э.) [11], утверждавшие, что любое вещество состоит из отдельных частиц, далее неделимых атомов. Эта идея об атомном строении вещества в более
усовершенствованном виде сохранилась до наших дней. Атомы
наблюдаемого вещества имеют размер порядка 1-го боровского
радиуса, около 10-8 см [12, 13].
2. Темная материя проявляет себя в космическом пространстве как гравитирующая масса, стабилизирующая галактики от
расширения.
Кроме того, будем считать, что атомы темной материи взаимодействуют с фотонами, излучаемыми звездами и галактиками,
уменьшая их энергию согласно соотношению (III).
Как предполагалось в части II, это и есть причина смещения
спектральных линий излучения от далеких галактик, обнаруженная в 1929 году Э. Хабблом (I).
3. Будем предполагать, что атомы темного вещества могут
иметь уровни возбуждения подобно обычному атому водорода
[12, 13]:
E1 + hν = E2;
E2 – E1 = hν.
Так, например, обнаруженный в 1965 году А. Пензиасом и
Р. Вильсоном «избыток антенной температуры на частоте
4080 мегагерц [10]» и есть один из возбужденных уровней атома
"темного водорода":
hν = E2 – E1 = 1.7·10-5 эВ.
362
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заметим также, что плотность «фонового» излучения
0.30 эВ/см3 совпадает с плотностью излучения звезд.
На рис. 4 представлена космическая распространенность
нуклидов по массе [14].
Рис. 4. Космическая распространённость нуклидов по массе [14]:
Z – порядковый номер химического элемента;
lg J – относительная распространённость элемента
В среднем плотность атомов в солнечной системе составляет
3.81·10 -31 г/см3. Из них на долю гелия-4 приходится 20.78% (0.7910-31 г/см3), на долю водорода 77.34% (2.95-10-31г/см3), на долю
всех других атомов 1.88% (0.72 г/см 3) [14].
Если весь гелий-4 образовался в результате термоядерного
процесса 4Н → He+2e++2νe, то на один грамм гелия-4 выделяетЯ.П. Докучаев
363
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ся энергии 3.86·1030 эВ/г, а на 0.79·10-31г/см3 выделяется энергии
3.86·1030эВ/г·0.79·10-31г/см3= =0.304 эВ/см3.
Впервые на равенство плотностей «фонового» излучения и
излучения звезд обратил внимание в 1986 г. Ф. Хойл [15].
Мы предполагаем, что механизмом преобразования оптического и инфракрасного излучения звезд в «микроволновое фоновое излучение» является взаимодействие фотонов, излученных
звездами и галактиками, с атомами темного вещества. Темное
вещество поглощает излучение звезд и галактик по формуле (III)
и переизлучает поглощенную энергию по закону абсолютно черного тела при температуре Т = 2.73 К°. Коэффициент поглощения
μ одинаков для всего диапазона частот от самых длинных радиоволн до самого жесткого γ-излучения.
Выводы
1. Мы утверждаем, что красное смещение спектральных линий излучения от далеких галактик, открытое Э. Хабблом в 1929
году, формула (I), не есть эффект Доплера, вызванный расширением Вселенной и разбеганием галактик.
Атомы темного вещества взаимодействуют с фотонами, излучаемыми звездами и галактиками, уменьшая их энергию по
формуле (III). Уточненная формула Хаббла для красного смещения спектральных линий имеет вид (IV).
2. Мы утверждаем, что микроволновое излучение, обнаруженное А. Пензиасом и Р. Вильсоном в 1965 году, не есть реликтовое излучение от Большого Взрыва, охладившееся по причине
космического расширения Вселенной от начальной температуры
Т = 1 ГэВ (1013 К°) до 1 = 2.7 К. Это есть одно из возбужденных
состояний "темного водорода" (подобно обычному водороду):
E1 + hν = E2; hν = E2 – E1 = 1.7·10-5 эВ.
3. По идее горячей Вселенной предполагается, что в момент
рождения при Большом взрыве вся Вселенная была сосредоточена в малом объеме размером около R = 10-13 см (радиус нуклона),
364
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
исходная плотность была равна 1096 г/см3, исходная температура
была выше 1 ГэВ (1013 К°).
В высоких гравитационных полях массивных звезд, галактик
и черных дыр могут происходить локальные процессы, которые
по своим характеристикам приближаются к характеристикам
Большого взрыва. Всегда существовали и будут существовать локальные взрывы.
В итоге, по прошествии многих миллиардов лет, мы наблюдаем как бы равновесное состояние:
4. В космическом пространстве наблюдаемое вещество представлено в основном атомами обычного водорода (заряд ядра
Z = +1; атомная масса A=1). Как уже отмечалось, на долю обычного водорода приходится около 77.34% по весу; на долю гелия-4
приходится около 20.78% по весу; на долю всех других атомов
около 1.88% по весу.
Мы предполагаем, что в космическом пространстве ненаблюдаемое (темное) вещество представлено в основном атомами
"темного водорода" (заряд ядра Z= 0; атомная масса A=1).
Предполагается, что на долю "темного водорода" приходится
около 77.34% от всего темного вещества по весу; на долю "темного гелия-4" приходится около 20.78% по весу; на долю всех
других атомов темного вещества около 1.88% по весу.
Я.П. Докучаев
365
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
[1] Хокинг С. От большого взрыва до чёрных дыр. – М.: "Мир",
1990.
[2] Девис П. Суперсила. – М.: Мир, 1989.
[3] Шаров А.С., Новиков А.В. Человек, открывший взрыв Вселенной». – М.: Наука, 1989 .
[4] Пиблс П., Силк Дж. // УФН. – 1990. – Т. 60.
[5] Шмидт В., Киршнер Р. // Природа. – 1994.– № 12.
[6] Поиск темного вещества. Все тайны мира. – Сидней; Окленд;
Монреаль; Москва, 1999.
[7] Что такое скрытая масса? // Астрономия. – М.: Аванта, 2002. –
Т. 8.
[8] Долгов А.В., Зельдович Я.Б. // УФН. – 1980. – Т. 130.
[9] Докучаев Я.П. Красное смещение спектральных линий от далеких галактик и скрытое (ненаблюдаемое) вещество в космическом
пространстве // История науки и техники. –2003. – № 5.
[10] Вильсон Р. // УФН. – 1979. – Т. 129, вып. 4.
[11] Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов, 1979.
[12] Савельев И.В. Курс общей физики. – Т. 3. – М.: Наука, 1974.
[13] Шпольский Э.В. Атомная физика. – Т. 1. – М., Наука, 1984.
[14] Камерон А. Содержание химических элементов и нуклидов в
солнечной системе. Ядерная астрофизика. – М.: Мир, 1986.
[15] Хойл Ф. Двадцать лет сотрудничества с Ф. Фаулером. – М.:
Мир, 1986.
366
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Научное издание
Физический вестник
Ярославского государственного
университета им. П.Г. Демидова
Сборник научных трудов
Выпуск 1
Редактор, корректор А.А. Аладьева
Компьютерная верстка И.Н. Ивановой
Подписано в печать 21.07.05. Формат 60х84/16.
Бумага тип. Усл. печ. л. 21,15. Уч.-изд. л. 18,83.
Тираж 120 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе ЯрГУ.
Ярославский государственный университет.
150000, Ярославль, ул. Советская, 14.
Отпечатано
ООО «Ремдер» ЛР ИД № 06151 от 26.10.2001.
г. Ярославль, пр. Октября, 94, оф. 37
тел. (4852) 73-35-03, 58-03-48, факс 58-03-49.
Я.П. Докучаев
367
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
368
Физический вестник ЯрГУ. Вып. 1
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
14
Размер файла
5 844 Кб
Теги
физическая, 1597, университета, ярославской, государственного, вып, демидова, вестник
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа