close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1606.Актуальные проблемы физикн Выпуск 5 Сборник научных трудов молодых ученых аспирантов и студентов

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Актуальные проблемы
физики
Сборник научных трудов
молодых ученых, аспирантов и студентов
Выпуск 5
Ярославль 2005
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 53
ББК В3я43
А 43
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве научного издания. План 2005 года
Актуальные проблемы физики: Сб. науч. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов. Выпуск 5 / Отв. за
А 43 вып. д-р физ.-мат. наук С.П. Зимин ; Яросл. гос. ун-т. –
Ярославль : ЯрГУ, 2005. – 312 с.
В сборнике представлены статьи по различным направлениям физики, написанные молодыми учеными, аспирантами и студентами физического факультета Ярославского
государственного университета им. П.Г. Демидова.
УДК 53
ББК В3я43
Ответственный за выпуск
доктор физико-математических наук
С.П. Зимин
© Ярославский
государственный
университет, 2005
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Содержание
СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ КИХ-ФИЛЬТРОВ БЕЗ УМНОЖИТЕЛЕЙ
С ПОМОЩЬЮ ГЕНЕТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ 7
И.В. Апальков, Д.К. Куйкин.................................................................. 7
ФАКТОРЫ, ИЗМЕНЯЮЩИЕ УРОВЕНЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ
БЕЗОПАСНОСТИ БАЗОВЫХ СТАНЦИЙ СОТОВОЙ СВЯЗИ
Т.К. Артѐмова ..................................................................................... 15
ВОЗМОЖНОСТИ РАДИОГОЛОГРАФИЧЕСКОГО
ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ВИДЕНИЯ
Т.К. Артѐмова, А.С. Гвоздарѐв, Е.А. Кузнецов ................................ 22
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕННОСТИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ТЕНИ
РАСТИТЕЛЬНОГО СЛОЯ
Е.А. Багдасарян................................................................................... 30
КОМПЕНСИРОВАНИЕ ПОТЕРЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
В МЕТОДАХ ПИРОМЕТРИИ
А.В. Баклан .......................................................................................... 38
РАСЧЕТ ВИХРЕВОГО ТОКА В МЕЛКОЙ ПРОВОДЯЩЕЙ
ЧАСТИЦЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ
С.В. Березкина ..................................................................................... 43
СТРУКТУРНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ПЛЕНОК Pb1-XEuXSe
НА КРЕМНИИ
Е.А. Богоявленская.............................................................................. 52
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОМБИНИРОВАННЫХ
МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ
ИСТОЧНИКОВ РАДИОИЗЛУЧЕНИЯ
В.А. Ботов, В.Е. Журавлев ................................................................. 60
МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕЛЕНГОВ
В ГОРОДСКОМ РАДИОКАНАЛЕ
В.А. Ботов, В.Е. Журавлев, А.А. Карпов .......................................... 66
НЕЛИНЕЙНЫЕ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНЫ
НА ЗАРЯЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ СТРУИ
М.В. Волкова, Н.В. Воронина............................................................. 73
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ФАЦЕТНАЯ МОДЕЛЬ РАДИОПОЛИГОНА
А.Б. Герасимов, Ю.В. Киселѐва ......................................................... 81
АНАЛИЗ ПРИМЕНЕНИЯ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ ПЕРЕДАЧИ
С ОРТОГОНАЛЬНЫМ ЧАСТОТНЫМ
РАЗДЕЛЕНИЕМ КАНАЛОВ
А.А. Головкова, Ю.Н. Коновалова, С.В. Сорокин ............................ 88
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВЫСОКООМНОГО
ПОРИСТОГО КРЕМНИЯ С ОКСИДНОЙ ФАЗОЙ
Е.С. Горлачев....................................................................................... 96
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ОТНОШЕНИЯ СИГНАЛ / ШУМ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТРЁХ МЕДИАННЫХ ФИЛЬТРОВ
Г.Е. Гулюгина .................................................................................... 104
ПРИМЕНЕНИЕ ЦЕПЕЙ МАРКОВА ДЛЯ АНАЛИЗА ЦИКЛОВОЙ
СИНХРОНИЗАЦИИ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ
И.А. Денежкин .................................................................................. 112
ИНЖЕНЕРНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ РАСЧЁТА НАПРЯЖЁННОСТИ
ПОЛЯ В ГОРОДЕ В ЗОНЕ ТЕНИ, СОЗДАВАЕМОЙ
РЕЛЬЕФОМ
А.В. Дымов, Р.Ю. Козлов ................................................................. 121
НАЧАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КАПИЛЛЯРНЫХ
КОЛЕБАНИЙ ПУЗЫРЬКА В ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ
ЖИДКОСТИ
И.Г. Жарова ...................................................................................... 129
МОДИФИКАЦИЯ ПЕРЕКЛЮЧАЮЩЕГОСЯ
МЕДИАННОГО ФИЛЬТРА
П.С. Звонарев, И.В. Апальков, Е.Ю. Саутов ................................. 137
ПРИМЕНЕНИЕ АППАРАТА МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
ДЛЯ АНАЛИЗА СИСТЕМЫ КОРРЕКЦИИ
ФАЗЫ КАНАЛА OFDM
С.В. Карпов, Д.С. Кукушкин, А.В. Шабанов ................................ 145
НЕЛИНЕЙНЫЕ СФЕРОИДАЛЬНЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ
ДВИЖУЩЕЙСЯ В СРЕДЕ ЗАРЯЖЕННОЙ КАПЛИ
В.А. Коромыслов, О.С. Крючков ..................................................... 153
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНА ЦИФРОВОГО
КВАДРАТУРНОГО ПРИЕМНИКА ПРЯМОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Е.А. Кренѐв, Д.В. Кротков ............................................................... 161
НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ НА ЗАРЯЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
СЛОЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
С.А. Курочкина, Д.С. Заплесвичко................................................... 170
КОЛЕБАНИЯ В ДВУМЕРНЫХ РЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ
СИСТЕМАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА C БИНАРНЫМ
КВАНТОВАНИЕМ И ПОСТОЯННЫМ ВНЕШНИМ
ВОЗДЕЙСТВИЕМ
М.В. Лебедев, И.Л. Балусов, Д.В. Рудых......................................... 178
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОСТРОЕНИЯ РАДИОИЗОБРАЖЕНИЙ
ПРИ ПОМОЩИ КВАЗИОПТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЗОННЫХ ПЛАСТИНОК
А.С. Леонтьев, Е.Н. Семенова ........................................................ 186
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНОГО КОДИРОВАНИЯ
ДЛЯ ФИЛЬТРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ
В.Э. Манько, Е.Э. Манько ................................................................ 194
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ КАНАЛА
СИНХРОНИЗАЦИИ СИНХРОННОЙ
ЦИФРОВОЙ СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ
К.А. Марков, А.С. Теперев................................................................ 202
НЕЛИНЕЙНАЯ ЭХОКОМПЕНСАЦИЯ НА БАЗЕ АДАПТИВНОГО
КУБИЧЕСКОГО ФИЛЬТРА ВОЛЬТЕРРА
Б.Н. Меньшиков ................................................................................ 211
ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ
И БИОРТОГОНАЛЬНЫХ ВЕЙВЛЕТ-БАЗИСОВ
А.А. Моисеев, В.Ю. Кобелев ............................................................ 219
УМЕНЬШЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТИ
АДАПТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ ЭХОКОМПЕНСАЦИИ
А.Л. Мосеев, С.В. Ульдинович ......................................................... 227
УВЕЛИЧЕНИЕ СКОРОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЯ МЕДИАНЫ В
РОБАСТНОМ АЛГОРИТМЕ ЭХОКОМПЕНСАЦИИ
А.Е. Назаровский .............................................................................. 235
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕДИАННОГО
ФИЛЬТРА В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ДЛИНЫ
ОТCЧЕТНОГО ОКНА С ПРИМЕНЕНИЕМ
МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Ю.Е. Новиков .................................................................................... 243
ПРИМЕНЕНИЕ ЦЕПЕЙ МАРКОВА ДЛЯ АНАЛИЗА
СИСТЕМЫ ТАКТОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ AMI-КОДА
В.Ю. Новиков, В.А. Чвало ................................................................ 250
КОЛЕБАНИЯ В НЕАВТОНОМНЫХ ДВУМЕРНЫХ
РЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА С БИНАРНЫМ КВАНТОВАНИЕМ
Д.В. Рудых, М.В. Лебедев ................................................................. 259
ВЛИЯНИЕ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
НА НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ НА ЗАРЯЖЕННОЙ
ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
С. А.Санасарян, Д.Ф. Белоножко ................................................... 267
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНЫХ
АЛГОРИТМОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Е.А. Соколенко, Д.К. Куйкин, А.А. Абдуллоев ................................ 275
ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
РЕЛЬЕФА МЕСТНОСТИ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
Е.А. Солдатова, Н.Л. Солдатова ................................................... 283
ОЦЕНКА СКОРОСТИ ОШИБОЧНЫХ БИТОВ (BER)
В РАДИОКАНАЛАХ С ЗАМИРАНИЕМ В СИСТЕМЕ
МОБИЛЬНОЙ СВЯЗИ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО
К.Н. Темане, К.Е. Виноградов ......................................................... 290
ИССЛЕДОВАНИЕ РАДИОТЕХНИЧЕСКОЙСИСТЕМЫ
С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ ПОМЕХ В ХОДЕ
КОМПЬЮТЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
А.С. Цицулина, Е.И. Кротова ...................................................... 296
ИССЛЕДОВАНИЕ СРЫВА СЛЕЖЕНИЯ ЦЕПИ КАСКАДНО
СИНХРОНИЗИРУЕМЫХ ГЕНЕРАТОРОВ
В.Г. Шушков ...................................................................................... 302
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ КИХ-ФИЛЬТРОВ
БЕЗ УМНОЖИТЕЛЕЙ С ПОМОЩЬЮ
ГЕНЕТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ*
И.В. Апальков, Д.К. Куйкин
Аннотация
Рассматривается возможность применения генетических
алгоритмов к синтезу цифровых фильтров без умножителей. Замена операций полного умножения на операции сдвиг/суммирование позволяет значительно сократить площадь фильтра на кристалле и снизить энергопотребление. Приведен пример синтеза.
Введение
Цифровые фильтры являются основными устройствами
многих систем цифровой обработки сигналов (ЦОС). Проектирование фильтров для систем, реализуемых для заказных или полузаказных СБИС (сверхбольших интегральных схем), связано с
решением задачи получения требуемых характеристик при минимальном количестве логических элементов на кристалле.
Сложность цифровых фильтров, содержащих умножители,
сумматоры, регистры и другие вспомогательные устройства, определяется, главным образом, умножителями. Поэтому разрядности коэффициентов фильтра необходимо выбирать минимальными и в то же время достаточными для удовлетворения заданных
требований [1].
В практике построения различных систем ЦОС нашли широкое применение фильтры с постоянными коэффициентами. Для
таких фильтров крайне неэффективно применять полные умножители, особенно при большом их количестве и высокой разрядности. Полные умножители можно устранить, представив каждый коэффициент в каноническом знако-разрядном коде (КЗРК),
содержащем минимальное число ненулевых бит. Умножение на
такой коэффициент заменяется операциями сдвиг/суммирование.
Параллельный сдвиг не требует никаких аппаратных и времен*
Работа выполнена под руководством В.В. Хрящева
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ных затрат и выполняется простым рассогласованием разрядных
шин. Инверсию знака легко учесть при суммировании. Цифровые
фильтры, в которых умножения на коэффициенты заменены операциями сдвиг/суммирование, называют фильтрами без умножителей [2].
Во многих приложениях цифровой обработки сигналов использование фильтров с конечной импульсной характеристикой
(КИХ-фильтров) более предпочтительно, чем схожих с ними по
характеристикам фильтров с бесконечной импульсной характеристикой [3]: возможно реализовать фильтры с линейной фазовой
характеристикой; КИХ-фильтры реализованные нерекурсивно, по
определению устойчивы и не могут иметь осцилляций, вызванных использованием арифметики с конечной длиной слова; выходной шум ошибок округления при умножении в КИХ-фильтрах
обычно мал; чувствительность коэффициентов фильтра к отклонению от идеальных значений также мала.
Найти глобально оптимальное решение для произвольных
требований и любой структуры КИХ-фильтра на сегодняшний
день не представляется возможным. Алгоритмы, приводящие к
глобальному решению (алгоритм полного перебора или целочисленное линейное программирование), могут потребовать чрезмерно больших временных затрат даже с применением высокопроизводительных компьютеров.
В последние годы появилось достаточно много публикаций,
посвященных проектированию цифровых фильтров без умножителей. Анализ литературы показывает, что на сегодняшний день
сформировалось два основных подхода к решению этой задачи. В
первом из них используется вариация коэффициентов (ВК) на
дискретном множестве значений [4, 5]. Второй подход – синтез
фильтров с помощью вариации исходных параметров (ВИП) [6].
В данной работе используется подход на основе генетических алгоритмов (ГА).
Постановка задачи
Синтез фильтров без умножителей можно рассматривать
как оптимизационную задачу, т.е. задачу поиска лучшего решения в пространстве коэффициентов размерности порядка фильтра. В качестве функционала оптимизации будем рассматривать
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
отклонение амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) фильтра от предустановленных требований.
Типичные условия на АЧХ фильтра нижних частот (ФНЧ)
приведены на рис. 1. В данном случае фильтр будет пропускать
сигнал в полосе [0, p] и подавлять его в полосе [s, 1]. Максимальные пульсации в полосах обозначим p и s соответственно.
На фазо-частотную характеристику (ФЧХ) фильтра обычно накладывают требование линейности, которое можно легко учесть
условием на симметрию (антисимметрию) импульсной характеристики [1], что фактически вдвое сокращает размерность оптимизационной задачи.
Для более наглядного представления структуры пространства коэффициентов применим метод полного перебора для простейшего КИХ-фильтра второго порядка. На синтезируемый
фильтр наложим следующие условия: p =0,4; s=0,75; p=0,1;
s=0,3.
Рис. 1. Типичные условия на АЧХ для синтеза ФНЧ
Результат полного перебора двух коэффициентов фильтра
h(1) и h(2) на интервале [3; 3] приведен на рис. 2. Как видно из
рисунка, функционал оптимизации для фильтра второго порядка
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
имеет локальный минимум, поэтому поиск решения локальными
методами может не дать желаемых результатов. Рассмотрим решение данной задачи с применением генетических алгоритмов,
основные отличия которых состоят в том, что:
 ГА работают в основном не с параметрами задачи, а с закодированным множеством параметров;
 ГА осуществляют поиск не путем улучшения одного решения, а путем использования сразу нескольких альтернатив
на заданном множестве решений;
 ГА используют целевую функцию (ЦФ), а не ее различные
приращения для оценки качества принятия решений;
 ГА применяют не детерминированные, а вероятностные
правила анализа оптимизационных задач.
Перечисленные особенности ГА показывают, что постановка
задачи синтеза цифрового КИХ-фильтра может быть легко представлена в генетическом базисе.
Рис. 2. Ошибка аппроксимации АЧХ для фильтра
второго порядка
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кодирование коэффициентов фильтра
В общем случае описание цифрового фильтра может быть
получено из его передаточной функции в z-области, которая для
КИХ-фильтра имеет вид:
N 1
H ( z )   h( k ) z  k ,
(1)
0
а прямая каноническая форма фильтра изображена на рис. 3.
x(n
)
…
z -1
z -1
h(0)
h(1)
h(2)
+
+
+
0
z -1
h(N-1)
…
+
y(n
)
Рис. 3. Прямая каноническая форма цифрового
КИХ-фильтра
Как уже отмечалось, представление коэффициентов фильтра
в КЗРК позволяет учитывать знак для каждого отдельного разряда, то есть каждый разряд кодируется с помощью 0 , 1 и 1 ( 1) .
Задача синтеза КИХ-фильтра в этом случае состоит в поиске коэффициентов, удовлетворяющих некоторым условиям на характеристики синтезируемого фильтра. При этом требуется, чтобы в
КЗРК коэффициенты содержали минимальное количество ненулевых разрядов, поскольку именно за счет их сокращения можно
существенно уменьшить стоимость реализации.
Рассмотрим пример. Пусть необходимо провести умножение на 15  23  22  21  20  (001111)2 . Для реализации этой операции требуется три элемента сдвига и три сумматора. Если же
представить 15 в КЗРК, то 15  24  20  ( 010 0 0 1 )2 и для выполнения точно такой же операции потребуется лишь один элемент
сдвига и один вычитатель (рис. 4).
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
<<
4
x
+
–
y
+
Рис. 4. Умножение на 15 реализовано на двух элементах
Пример синтеза КИХ-фильтра
Рассмотрим пример синтеза ФНЧ седьмого порядка без умножителей при p = 0,4; s = 0,6; p = 0,1; s =0,1 (рис. 1). Для
синтеза выберем традиционные параметры генетического алгоритма [7]. В ходе эксперимента получены коэффициенты в КЗРК,
представленные в табл. 1. Поскольку для реализации подобного
фильтра не требуются умножители, это позволяет сократить
площадь фильтра на кристалле и снизить энергопотребление. Как
видно из рис. 5, ГА нашел приемлемое решение приблизительно
за 90 эпох. На персональном компьютере Pentium IV работа генетического алгоритма заняла около 5 минут, при этом АЧХ фильтра полностью удовлетворяет поставленным требованиям (рис. 6).
Таблица 1
Коэффициенты полученного ФНЧ
h(0)
h(1)
h(2)
h(3)
h(4)
h(5)
h(6)
h(7)
0.1093750
0.3828125
0.4609375
0.2265625
-0.0937500
-0.1406250
0.0156250
0.0156250
12
2-3-2-6
2-1-2-3+2-7
2-1-2-5-2-7
2-2-2-5+2-7
-2-3+2-5
-2-3-2-6
2-6
2-3-2-7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 5. График сходимости ГА
Рис. 6. АЧХ полученного фильтра
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заключение
В ходе исследования было получено большое число экспериментальных данных: наборы коэффициентов для фильтров
низких частот, фильтров высоких частот, полосовых и режекторных фильтров. Существует два основных направления дальнейших исследований: оптимизация структуры фильтра (выделение
общих подвыражений), разработка сетевого ГА (значительная
вычислительная нагрузка не позволяет решать задачи большой
размерности на персональном компьютере). Проведенная экспериментальная работа подтвердила возможность и эффективность
синтеза цифровых КИХ-фильтров без умножителей с помощью ГА.
Список литературы
[1] Джервис Б.У., Айфичер Э.С. Цифровая обработка сигналов: Практический подход. – М.: ИД Вильямс, 2004.
[2] Мингазин А.Т. Синтез цифровых фильтров для высокоскоростных систем на кристалле // Цифровая обработка сигналов.
2004. № 2.
[3] Saramaki T. Finite Impulse Response Filter Design. Chapter
4 in Handbook for Digital Signal Processing, edited by S.K. Mitra and
J. F. Kaiser. New York: John Wiley and Sons, 1993.
[4] Lutovac M.D., Milic L.D. Approximate linear phase multiplierless IIR halfband filter // IEEE Trans. Signal Proc. Lett. 2000. V. 7,
№3. P. 52-53.
[5] Milic L.D., Lutovac M.D. Efficient algorithm for the design
of hi-speed elliptic IIR filters // Int. J. Electron. Commun. (AEU).
2003. V. 57, № 4. P. 255-262.
[6] Мингазин А.Т. Вариация исходных параметров в задачах
синтеза цифровых КИХ-фильтров с конечной длиной слова коэффициентов // III Международная конференция «Цифровая обработка сигналов и ее применения» (DSPA). 2000. T. 1. C. 162166.
[7] Back T. Evolutionary Algorithms in Theory and Practice,
Oxford University Press, Oxford, UK, 1996.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ФАКТОРЫ, ИЗМЕНЯЮЩИЕ УРОВЕНЬ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ
БАЗОВЫХ СТАНЦИЙ СОТОВОЙ СВЯЗИ
Т.К. Артѐмова
Аннотация
Работа посвящена одной из задач электромагнитной экологии – исследованию того, как меры, улучшающие качество сотовой связи, влияют на безопасность населения. Рассмотрение ведется на примере увеличения мощности и изменения механического наклона антенн. Даются практические рекомендации по
учету влияния данных факторов. Получены графики для быстрого определения границ опасной зоны по коэффициенту усиления
и мощности на входе антенны; получены оценки для степени изменения границ опасной зоны для типичных антенн базовых
станций сотовой связи.
Одной из задач современной электромагнитной экологии
является определение уровня излучения, создаваемого излучающим радиотехническим средством, и оценка его в соответствии с
принятыми нормативами безопасности.
Решение этой задачи с точки зрения электродинамики известно – напряженность электрического поля в дальней зоне антенны имеет вид [1]:
E
60 PG АФТ
F ( ,  ) K З ,
r
(1)
где P – мощность передатчика, G – коэффициент усиления антенны,  АФТ – КПД антенно-фидерного тракта, r – расстояние от
фазового центра антенны до точки наблюдения, F (, ) – диаграмма направленности (ДН) антенны, K З – множитель, учитывающий интерференционное влияние переотражений от застройки. Однако представляет практический интерес провести его анализ и получить удобные инженерные выражения, а также
количественные оценки величин для типичных ситуаций.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим в качестве объекта базовую станцию сотовой
связи (БС СС). Основным источником ее излучения являются панельные секторные антенны.
Чтобы улучшить качество связи, проектировщики БС СС
принимают различные меры: увеличивают мощности передатчиков, используют механический наклон антенн, прижимая главный лепесток их ДН к земле. Однако одновременно с ростом зоны покрытия при этом растет и биологически опасная зона (БОЗ).
Граница биологически опасной зоны определяется расстоянием от фазового центра излучателя RБОЗ , за пределами которого
уровни электромагнитного поля уже не превышают предельно
допустимый уровень (ПДУ). ПДУ в диапазоне частот от 300 МГц
до 300 ГГц, включающем излучение БС СС, определяется по
плотности потока мощности и для излучения в течение 8 и более
часов составляет 10 мкВт/см2 [2].
Определим отсюда предельно допустимую напряженность
электрического
  поля. Величина плотности потока мощности равна П | [ E  H ] | , причем напряженность магнитного поля
H  E / Z В , где Z В – волновое сопротивление среды распространения (120 или 377 Ом для воздуха). Поэтому П  E 2 / Z В . Отсюда
E ПДУ  Z В П ПДУ  6,14 В/м.
(2)
Из (1) получаем выражение для границы БОЗ от данной антенны:
RБОЗ 
60 PG АФТ
F ( ,  ) K З .
E ПДУ
(3)
Исследуем влияние вышеназванных технических мер на
размер БОЗ.
Увеличение мощности передатчика. Из (3) следует, что
RБОЗ  P A ,
(4)
где коэффициент пропорциональности
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
A
60G АФТ
F ( ,  ) K З .
E ПДУ
(5)
Согласно [1], K З берется в диапазоне от 1 до 1,3 в зависимости от плотности застройки. Пусть оценивается ситуация в городе. Тогда можно принять K З  1,3 . Значение функции F (, ) в
направлении максимального излучения равно 1, что следует из
определения ДН. Подставляя E ПДУ и оценивая множитель А для
направления максимального излучения в городе, имеем
A  1,64 G АФТ . Рассчитывая мощность на входе антенны
Pin  P АФТ , получаем удобную формулу для определения размера БОЗ:
RБОЗ  1,64 Pin G .
(6)
Зависимости (6) для типичных коэффициентов усиления антенн (от 7 до 22,5, согласно каталогу антенн Kathrein Werke KG
[3]) приведены на рис. 1, а и б. Множитель А, зависящий от антенны и антенно-фидерного тракта, определяет конкретную кривую в семействе. Графиками можно пользоваться двумя способами. Во-первых, напрямую – рассчитав Pin и по данному G определив RБОЗ ; во-вторых, сначала воспользовавшись графиком,
определить RБОЗ при идеальном тракте ( АФТ  1), а затем умножить результат на 1 /  АФТ . Например, при 50%-ных потерях,
P  35 Вт, G  18 дБи по графику получаем RБОЗ 77,07 м, вносим поправку на потери в тракте: 77,07 / 2  54,5 м.
Из (4) также следует, что для того, чтобы размер БОЗ удвоился, мощность должна возрасти в 4 раза и, наоборот, удвоение
мощности за счет добавления еще одного передатчика увеличит
зону в 2  1,4 раз, утроение мощности из-за объединения трех
передатчиков изменит размер в 3  1,7 раз.
Оценим изменение размеров БОЗ при изменении мощности
передатчика с P0 на величину P .
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
RБОЗ,
м
G,дБ
P,Вт
а
RБОЗ,
м
G, дБ
P,Вт
б
Рис. 1. Зависимости размера БОЗ от мощности на входе
передатчика и коэффициента усиления антенны
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Считая RБОЗ функцией одного аргумента – мощности, раскладываем ее в ряд по степеням малого по сравнению с исходной
мощностью P0 изменения P :
dR
RБОЗ ( P)  RБОЗ ( P0 )  БОЗ
dP
P  P0
1 d 2 RБОЗ
P 
2! dP 2
P  P0
P 2  ... . (7)
Вычисляя производные, пользуясь выражением (4) и переходя к полному дифференциалу величины RБОЗ , а затем применяя правила вычисления погрешностей (слагаемые берутся по
модулю для наихудшей оценки), получаем:
RБОЗ  RБОЗ ( P0  P)  RБОЗ ( P0 ) 
A
1
A
P 
P 2  ... . (8)
2! 4 P0 P0
2 P0
Второе слагаемое в правой части (8) значительно меньше
первого, причем степень малости растет с ростом мощности передатчика, так что им можно пренебречь. В итоге изменение размеров БОЗ составит
RБОЗ 
A
P .
2 P0
(9)
Графики зависимостей изменения размера БОЗ при изменении мощности на 1, 2 и 3 Вт для 100 %-го КПД приведены на
рис. 2 для антенн с коэффициентом усиления 17 дБи.
Оценим максимальную величину RБОЗ увеличения размеров БОЗ при изменении мощности на входе антенны Pin на 1 Вт.
Согласно каталогу антенн фирмы Kathrein [2], максимальный коэффициент усиления направленных антенн БС СС составляет
22,5 дБи. Величина RБОЗ для G  22,5 дБи приведена в табл. 1.
Таблица 1
RБОЗ при изменении Pin на 1 Вт
Pin , Вт
RБОЗ , м
5
7
10
15
20
25
30
4,89
4,13
3,46
2,82
2,45
2,19
2,00
19
35
40
45
1,85 1,73 1,63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Видно, что увеличение размера БОЗ не превышает 5 м, однако и эта величина может оказаться существенной, не говоря
уже об изменении мощности на 2 и более ватт.
ΔRБОЗ,
м
P, Вт
Рис. 2. Зависимость изменения размера БОЗ
от исходной мощности передатчика при увеличении ее
на 1 Вт, 2 Вт, 3 Вт
Механический наклон антенны. Пусть известна БОЗ, создаваемая горизонтально излучающей антенной, и ее максимальный размер составляет R макс . При наклоне антенны на  горизонтальное сечение БОЗ на любой высоте будет представлять собой проекцию зоны, полученной при горизонтальной ориентации
излучения антенны, на плоскость, образующую угол  с уровнем
подвеса антенны и размер зоны станет равным (см. рис. 3):
(10)
Rнакл  Rмакс cos( ) .
α
RНАКЛ
RБОЗ
R
Рис. 3. Изменение горизонтальной проекции границы
биологически опасной зоны при механическом наклоне
антенны
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Типичными углами наклона антенн являются от 1 до 7 градусов. Согласно (10), максимальный наклон в 7 градусов уменьшает размер зоны в 1,007 раз; типичный в 2 градуса – в 1,001 раз.
Например, пусть размер зоны горизонтально излучающей антенны составлял 25 м в направлении максимального излучения. Наклон антенны на 1 градус к земле уменьшает эту цифру до
24,996 м, на 2 градуса – до 24,985 м; на 3 градуса – до 24,966 м,
на 7 градусов – до 24,814 м. Таким образом, максимальное изменение в данном диапазоне углов не превосходит 20 см. Аналогичные результаты получаются и для размера санитарнозащитной зоны.
Итак, в работе получено и представлено в графической
форме для типичных значений параметров современных антенн
базовых станций сотовой связи удобное выражение для быстрого
определения границ опасной зоны. Проведенное рассмотрение и
полученные численные оценки позволяют сделать вывод о том,
что механический наклон изменяет размер БОЗ незначительно, и,
следовательно, не оказывает решающего воздействия на безопасность населения. Однако относительно небольшая погрешность в
задании мощности на входе антенны (порядка 1 – 2 Вт на 35 Вт),
напротив, сильно изменяет размер БОЗ (на несколько метров).
Следовательно, к расчету этой величины с учетом потерь в антенно-фидерном тракте следует относиться особенно аккуратно.
Список литературы
[1] Определение уровней электромагнитного поля, создаваемого излучающими техническими средствами телевидения,
ЧМ радиовещания и базовых станций сухопутной подвижной радиосвязи. МУК 4.3.1677-03. М.: Госкомсанэпиднадзор, 2003 г.
[2] Гигиенические требования к размещению и эксплуатации средств сухопутной подвижной радиосвязи. СанПиН
2.1.8/2.2.4.1190-03. М.: Госкомсанэпиднадзор, 2003 г.
[3] 790 – 2500 MHz base station antennas for mobile communications – Catalogue. Is. 02/04. Kathrein Wekre KG.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВОЗМОЖНОСТИ РАДИОГОЛОГРАФИЧЕСКОГО
ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ВИДЕНИЯ
Т.К. Артѐмова, А.С. Гвоздарѐв, Е.А. Кузнецов
Аннотация
Работа посвящена исследованию возможностей поляризационной радиоголографии по сравнению с классической. Предлагается проводить регистрацию радиоголограммы и восстановление изображения по каждой из поляризаций раздельно, а затем
путем усреднения получать итоговое изображение. Предложенный способ апробируется на примере диэлектрической пластины,
укрытой оптически непрозрачным плоским однородным препятствием. Анализ изображений, полученных предложенным и классическим методами показывает преимущество поляризационной
радиоголографии.
При обнаружении людей под завалами, дефектов в конструкциях и сооружениях с использованием радиоголографии разрешение получаемых изображений невелико. Поэтому встает
задача получения дополнительной информации, улучшающей
опознавание.
Классическая радиоголография осуществляется следующим
образом. Исследуемый объект облучается опорной волной с заданными характеристиками. Рассеянное объектом поле регистрируется приемными антеннами, и в приемнике интерферирует с
опорным. Результирующий массив является радиоголограммой и
вводится в память ПК. Дискретизация регистрируемого поля
осуществляется в соответствии с теоремой Котельникова. Восстановление изображения проводится с помощью ПК, причем
возникает целый спектр изображений, что является следствием
дискретности голограммы.
Для улучшения опознавания изображений предлагается
учитывать поляризационные свойства объекта и препятствия [1].
Вектор напряженности электрического поля объектной и опорной
волн можно разложить на параллельную и ортогональную составляющие, которые будут формировать поляризационный базис интерференционного поля. Вследствие неодинаковости угло22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вого распределения поля, излучаемого токами, наведенными на
объекте, для данных компонент поляризации, получаемые изображения будут зависеть от конкретной геометрии объекта [2].
Так, например, в случае исследования объекта, вытянутого вдоль
одной из осей поляризационного базиса, именно эта компонента
будет давать больший отклик.
Предлагается применить методы радиоголографии для каждой из компонент, получая тем самым изображения по взаимно
ортогональным поляризациям, что является поляризационной радиоголографией. При этом на этапе восстановления для каждой
поляризации будет формироваться свое изображение. Искомое
же изображение объекта можно получить совмещением данных
изображений, что предлагается произвести усреднением восстановленных полей.
Поставим задачу получения изображения объекта, находящегося за оптически непрозрачным препятствием (рис. 1).
y
d
tg ( f )
( f )
a
tg об ( f )
 об ( f )
b
d1
x
Рис. 1. Геометрия задачи
Для реализации поляризационной радиоголографии необходим полный учет всех факторов, влияющих на изменение степени
поляризации объектной волны.
Рассмотрение удобно вести в терминах ортогональной и параллельной к препятствию поляризаций. В частном случае строго
вертикального к земле препятствия эти орты совпадают с ортами
23
z
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


i и j декартовой системы координат и определяют соответст

венно горизонтальную i г и вертикальную iв поляризации.
Электромагнитная волна, попав из воздуха в среду препятствия, испытывает многократное отражение между границами
(рис. 2).

препятствие
Рис. 2. Постановка задачи прохождения и отражения
через препятствие
Для каждой поляризации можно определить зависящие от
угла падения на поверхность препятствия или объекта комплексные коэффициенты отражения и прохождения R || ,T || для параллельной и R  , T  для ортогональной поляризаций.

 2 w    n 21 
4 2 w 2

 

 , (1)
R   1 

1
2
2 2
 1   2 w    n 21 
(  n 21 )  (  n 21 ) w 



2

 1 
 ||2 w  n 21
4 2 w 2
||
|| 

 , (2)
R   1 

1
2
2
2
2 2
 1   ||2 w  n 2  1 
(n 21  1)  (n 21  1) w 



21
 2 w
4 2 w 2


,
T 

2
2
2 2







1   w (  n 21 )  (  n 21 ) w
24
(3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 ||2 w
4 2 w 2
||

,
T 

2
2
1   ||2 w (n 21
 1) 2  (n 21
 1) 2 w 2
(4)
где
 
2
n 21
cos 2 ( )
2
n 21
 sin 2 ( )
,
(5)
а комплексный показатель преломления n 21 связан с комплексной диэлектрической проницаемостью  выражением
n 21 

,

  'i" |  | (1  itg) ,
(6)
где  ' и  " - вещественная и мнимая части комплексной диэлектрической проницаемости, а tg - тангенс угла диэлектрических
потерь, коэффициент поглощения в веществе препятствия w

w  e ikr ,
(7)
где
k      e i / 2 ' 4 1  tg 2 
а r  d 1
sin 2 ( )
2
n 21
1
i arctg ("/ ')
4
 e 2
(' ) 2  (" ) 2 ,
(8)
- путь, проходимый волной в среде препятст-
вия.
Для решения поставленной задачи были построены модели
поляризационной и классической радиоголографий. Для этого
построены модели объекта и препятствия.
Пусть препятствие представляет собой однородную среду
одинаковой толщины с гладкими границами. Модель препятствия
будем характеризовать следующими параметрами:
– электродинамические параметры вещества – частотные
зависимости диэлектрической проницаемости ( f ) и тангенса угла диэлектрических потерь tg( f ) , либо комплексная диэлектрическая проницаемость  ( f ) ;
– толщина препятствия d;
– высота препятствия В;
– ширина препятствия А;
– расстояние от радиолокационной станции d1 .
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Чтобы исключить влияние кромок препятствия на изображение исследуемого объекта, т.е. поставить эксперимент сравнения чистых изображений, получаемых с помощью поляризационной и классической радиоголографии, препятствие принималось
бесконечных размеров как по высоте, так и по ширине.
Препятствие моделировалось как трѐхслойная (воздух-среда-воздух) структура с частотно-зависимыми электродинамическими характеристиками. Отражательные и пропускающие свойства препятствия в модели описываются выражениями (1) – (4).
Объект, расположенный за препятствием, отображается моделью с параметрами:
– геометрия (форма и размеры);
– электродинамические параметры - частотные зависимости
диэлектрической проницаемости  o ( f ) , tg o ( f ) ,  o ( f ) ;
– местоположение в пространстве: на удалении d 2 от препятствия, на расстоянии L от РЛС.
Моделирование процесса радиоголографии производилось в
соответствии с [3].
На разработанных моделях проводился сравнительный анализ возможностей классической и поляризационной радиоголографий в построении изображений различных размеров и формы,
находящихся за оптически непрозрачным препятствием. В качестве исследуемого объекта была выбрана прямоугольная диэлектрическая пластина.
Исследовались возможности получения изображений по голограммам, зарегистрированным на ортогональных поляризациях
раздельно, а также возможное визуальное улучшение опознавания объектов по сравнению со случаем классической радиоголографии.
Были получены изображения следующих объектов:
– прямоугольник, вытянутый в вертикальном направлении (размером 0,20,7 м2, рис. 3, а-г);
– прямоугольник, вытянутый в горизонтальном направлении
(размером 0,70,2 м2, рис. 4, а-г)
– квадрат (размером 0,50,5 м2, рис. 5, а-г).
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Искомые объекты обозначены на рисунках пунктиром. Разрешение в условиях эксперимента по обеим осям составляло 0,3
м. Таким образом, размеры объектов были выбраны так, чтобы
затруднить точное выделение границ объекта.
Из построенных изображений видно, что максимально качественное восстановление может быть получено на ортогональной
поляризации для объекта, вытянутого по вертикали (рис. 3 б), и
на параллельной поляризации (рис. 4 а) для объекта, вытянутого
по горизонтали.
б
а
в
г
Рис. 3. Изображения пластины размером 0,20,7 м2
Это объясняется тем, что максимальный отклик для вертикально удлиненного объекта получается на ортогональной составляющей излучаемого поля, а для горизонтально удлиненного
объекта – на параллельной составляющей.
27
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
а
б
Работа выполнена под
руководством В.В. Хрящева
в
г
Рис. 4. Изображения пластины размером 0,70,2 м2
а
б
Работа выполнена под
руководством В.В. Хрящева
г
в
Рис. 5. Изображения пластины размером 0,50,5 м2
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Причиной видимых искажений контуров объекта является
влияние импульсной характеристики свободного пространства,
для каждой точки имеющей форму пятна приблизительными
размерами 0,40,4 м2. Оно сказывается в увеличении размеров
восстановленных изображений по сравнению с размерами исходных.
В случае симметричного объекта и ортогональная, и параллельная поляризации должны давать одинаковые отклики, что и
наблюдается на рис. 5 а и рис. 5 б.
Видно, что и в случае низкой разрешающей способности
применение усреднения поляризационных радиоголографических
изображений позволяет визуально опознать объект с большей вероятностью. Как следствие, метод усреднения даѐт более качественное изображение по сравнению с классической радиоголографией.
Результаты исследований показывают, что предложенное
применение радиоголографии на взаимно ортогональных поляризациях и последующее усреднение восстановленных изображений дает улучшение в опознавании объектов по сравнению с
классической радиоголографией.
Список литературы
[1] Аболтиньш Э.Э. Распознавание летающих объектов
// Computer Modeling & New Technologies. 1999. Vol. 3. P. 95 – 97.
[2] Какичашвили Ш.Д. Поляризационная голография. Л.:
Наука, 1989.
[3] Бахрах Л.Д., Курочкин А.П. Голография в микроволновой технике. М.: Советское радио, 1979.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
В ТЕНИ РАСТИТЕЛЬНОГО СЛОЯ*
Е.А. Багдасарян
Аннотация
В работе исследовано влияние, оказываемое лесным слоем
на распространение радиоволн с помощью двухкомпонентной
модели для высоко поднятого передатчика. Выполнен сравнительный анализ вклада дифракционной и прошедшей компонент,
формирующих поле в точке приема при различных параметрах
для вертикальной и горизонтальной поляризации излучения.
Проведено сопоставление результатов расчетов с рядом экспериментальных данных для частоты 200 МГц.
В связи с широким внедрением мобильных, а также других
наземных систем связи необходима информация о влиянии условий распространения на их функционирование в реальных ситуациях. При этом на практике очень часто имеет место взаимодействие излучения с растительностью подстилающей поверхности.
Следовательно, возникает проблема изучения влияния растительной среды на формирование поля в точке приема. Существует ряд подходов, используемых при моделировании взаимодействия электромагнитных волн с лесной средой. Для длин волн, превышающих по величине элементы растительной среды (в
диапазоне до 1 ГГц), слой леса может быть представлен однородной средой, характеризуемой эффективными значениями диэлектрической и магнитной проницаемости. Большое разнообразие
вариантов расположения приемника и передатчика относительно
местности и леса приводит к необходимости решения отдельных
задач по определению напряженности поля в точке приема для
каждой конкретной ситуации. В работе исследован довольно часто встречающийся на практике случай, когда лесной полог закрывает прямую видимость между высоко поднятой относительно леса антенной передатчика и мобильным приемником.
*
Работа выполнена под руководством канд. физ.-мат. наук
В.А. Тимофеева.
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Геометрия задачи, типичная для большинства приложений,
изображена на рис. 1. В рамках рассматриваемой модели поле в
точке приема будет результатом сложения волны, образованной
дифракцией на кромке леса (лучи DE и EA), и волны прошедшей
сквозь лесной полог. Для расчета напряженности поля в точке
приема необходимо учесть влияние, оказываемое на нее преломлением на границе перехода лес-воздух (точки B,C), а также поглощение в среде лесного массива. Отсутствие на рис. 1 других
лучей, проходящих сквозь лесной слой, а также луча, отраженного от подстилающей поверхности, объясняется большим ослаблением, испытываемым волной, распространяющейся на существенно более протяженные расстояния в таких средах, о чем можно судить на основании работы [1].
Рис. 1.
Исходя из вышесказанного, поле (среднеквадратичное значение) в точке приема может быть представлено следующим образом:
E A  E p 2  Ed 2 ,
(1)
где Ed - поле, образованное в результате дифракции волны на
кромке леса, E p - поле, формируемое волной, прошедшей сквозь
лес. Дифракционная составляющая Ed может быть найдена известными методами, например [2]. Прошедшая через лесной слой
компонента E p определяется в соответствии с геометрией задачи
следующим соотношением:
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Ep 
60  P  G  F (  , )
 K C  K B  K a  expi  k  ( n  rBC  rAB  rCD ), (2)
( rBC  rAB  rCD )
где P - мощность передатчика, G и F (  , ) - коэффициент усиления и нормированная диаграмма направленности передающей
антенны, k - волновое число, в свободном пространстве
n  n  i  n - комплексный показатель преломления слоя леса. Коэффициенты K C , K B определяют преломление волны в точках В и
С на границе раздела лес-воздух и равны
KC 
2  n  cos 1
n  cos 1  n  sin 1
2
2
2
, KB 
2  n  sin 1
sin 1  n  1  n  sin 1
2
2
2
(3)
- для вертикальной поляризации и
KC 
2  cos 1
cos 1  n  sin 1
2
2
, KB 
2  sin 1
sin 1  1  n  sin 1
2
2
(4)
- для горизонтальной поляризации излучения.
Волна при таком распространении проходит два участка: BC
в лесной среде, AB и CD – в воздухе. Поскольку коэффициент
преломления n  n  i  n имеет комплексную форму, в которой
составляющая n выражает поглощающие свойства слоя леса, то
множителем K a в выражении (1) учтено поглощение, испытываемое волной в растительной среде. Для рассматриваемой ситуации его можно представить в следующем виде:
K a  exp( rBC  n  k ).
(5)
С практической стороны представляет интерес оценка соотношения вклада дифракционной и прошедшей лесной слой составляющих с удалением от границы леса. Численный анализ был
выполнен при изменении характеризующих параметров задачи
(высоте и протяженности лесного массива, высоте подъема антенны передатчика и частоте передачи) для вертикальной и горизонтальной поляризации. Высота точки приема предполагалась
постоянной z = 1.5 м. Мнимая часть показателя преломления находилась из [3] через значение погонного коэффициента ослабления  (дБ/м).
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 2 представлены результаты расчетов ослабления
L( дБ )  20  lg E E0 относительно поля свободного пространства E0
для случая изотропного излучателя в зависимости от расстояния
между границей леса и точкой приема. Приведенные данные получены при следующих значениях параметров: R f =2000 м,
h f =16 м, H =35 м, f = 200 МГц. Из приведенных кривых следует,
что в зависимости от местоположения точки приема относительно лесного массива вклад компонент в результирующее
поле будет различен. При выбранных параметрах задачи для вертикальной поляризации наблюдается попеременный преобладающий вклад сначала прошедшей E p , а после дифракционной
Ed составляющих поля. Данные, полученные при расчете величины поля E p для горизонтальной поляризации волны, отличаются некоторым подъемом относительно вертикальной, что приводит к ее доминирующему вкладу на всем участке анализа. Как
показали результаты численного анализа, в зависимости от конкретных параметров задачи эти эффекты имеют место при различном расположении точки приема относительно лесного массива.
Рис. 2.
Одними из основных параметров, определяющих соотношение прошедшей и дифракционной компонент поля, являются высота подъема передающей антенны H , средняя высота деревьев
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
h f и протяженность лесного массива R f . На рис. 3 представлено
распределение разности Ed  E p  при удалении от границы леса
для f = 450 МГц. Данные зависимости были получены для
H = 19, 27 и 32 м при неизменной высоте лесного слоя 12 м и
R f =1600 м, для h f = 12, 17 и 20 м и постоянной высоте H =27 м
и R f =1600 м, а также R f =1600, 2200, 3000 м при H =27 м,
h f =12 м. Анализ представленных графиков показывает, что увеличение высоты подъема передающей антенны приводит к увеличению уровня E p , а рост высоты и увеличение протяженности
леса - к его уменьшению. В первом случае это явление объясняется тем, что волна испытывает меньшее ослабление в лесном
массиве вследствие сокращения расстояния, проходимого сквозь
слой растительности, а также уменьшением величины коэффициента K B на границе перехода лес-воздух из-за увеличения угла
скольжения волны. Обратный эффект имеет место при возрастании высоты деревьев и увеличении протяженности леса.
Рис. 3.
Рассмотрим зависимость расстояния R0 , при котором величина напряженности поля дифракционной и преломленной компонент Ed  E p равны от высоты лесной преграды (рис. 4). Характер этой кривой меняется при удалении от источника передачи, поэтому вычисления были проведены для разных величин R f .
Полученные кривые можно разделить на три группы данных:
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
первые относятся к случаю достаточно протяженного лесного
участка (2800, 3500 м) и графики зависимости имеют как возрастающий, так и убывающий участки а также могут иметь до двух
точек R0 (к примеру R f = 2800 м), графики относящиеся ко второй группе данных ( R f =1000, 1500, 2000, 2300, 2400 м) терпят
некоторый разрыв и имеют достаточно нелинейный характер,
причем здесь точек R0 может быть несколько. Для близких расстояний R f (470, 480, 500, 800 м) зависимость представляет собой непрерывную кривую, которая, в общем, имеет возрастающий характер, а также обладает несколькими точками R0 .
Рис. 4.
Чтобы проверить вышеизложенный метод анализа, было
проведено сопоставление с экспериментальными данными [4]. В
данной работе описаны результаты исследований по измерению
электромагнитного поля передатчика, расположенного над пологом леса, для ситуации соответствующей рассмотренной математической модели. Замеры проводились на полигоне Института
леса Краснодарского НЦ СО РАН, где был выбран однородный
участок леса, состоящего из искусственных посадок лиственницы
приблизительно 30-летнего возраста со средней высотой деревьев
порядка 16 м. Передатчик размещался на вышке, на высоте 21 м
от поверхности земли. Приемная векторная антенна устанавлива35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лась под пологом леса на высоте 1.6  0.1 м. Частота излучения
200 МГц.
На рис. 5 и 6 проведено сравнение экспериментальных и
теоретических данных зависимости от удаления от передатчика
для вертикальной и горизонтальной поляризаций соответственно.
Теоретические зависимости были построены для различных величин n , полученных на основе [3] – C, [4] – A, [5] – B, [6] – D
(A,B,C,D - обозначения на рисунке). Из рисунков видно, что при
данных параметрах задачи результаты моделирования [3,4,5]
имеют достаточное расхождение с экспериментальными, и наиболее близко им соответствующими будут результаты, полученные на основе [6]. Данный факт подтверждает возможность
использования предложенного метода моделирования для анализа распределения уровня напряженности электромагнитного поля
в тени заграждения растительной среды для случая высоко расположенного передатчика для приведенной ситуации и близких
параметрах местности.
Рис. 5.
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 6.
Список литературы
[1] Магазинникова А.Л., Якубов В.П. Дуальный механизм
распространения радиоволн в условиях леса // Радиотехника и
электроника. 1999. Т. 44. № 1. С. 5-9.
[2] Recommendation ITU-R P.526-5. Propagation by diffraction.
[3] Recommendation ITU-R P.833-4. Attenuation in vegetation.
[4] Якубов В.П., Тельпуховский Е.Д., Миронов В.Л., Кашкин В.Б. // Векторное радиопросвечивание лесного полога // Радиотехника и электроника. 2002. Т. 32. № 1. С. 75-81.
[5] Чухланцев А.А., Шутко А.М., Головачев С.П. Ослабление электромагнитных волн лесными покровами // Радиотехника
и электроника. 2003. Т. 48. № 11. С. 1285-1311.
[6] Доржиев Б.Ч., Хомяк Е.М. Результаты экспериментальных исследований распространения радиоволн в лесах умеренной
зоны // Электросвязь. 1997. № 8. С. 23-24.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
КОМПЕНСИРОВАНИЕ ПОТЕРЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
В МЕТОДАХ ПИРОМЕТРИИ*
А.В. Баклан
Аннотация
В настоящей работе экспериментально показано, что использование объектива из собирающей линзы может компенсировать потери освещенности фотоприемника, вызванные изменением расстояния.
Среди многочисленных методик измерения температуры
большое значение имеют т.н. методы пирометрии, которые основаны на использовании того или иного свойства теплового излучения тел. Особенность пирометров прежде всего в том, что они
реализуют бесконтактный метод измерения, а потому они могут
быть использованы в тех случаях, когда контакт термометра и
объекта измерения невозможен или по каким-либо соображениям
нежелателен. К таким случаям относится измерение температуры
движущихся объектов, таких как поток металла в струе, деталь
при токарной обработке, слиток металла в процессе прокатки,
лопасть вращающейся турбины и т.п. В ряде случаев контакт с
объектом измерения невозможен по причине значительного расстояния до него, по соображениям техники безопасности (когда
объект находится под напряжением) или из требований стерильности, например в биологии. Тем не менее, у пирометров есть
свои недостатки, основным из которых является то, что пирометры в общем случае измеряют не действительную, а некоторую
условную температуру [1]. Это связано с тем, что излучение реальных, нечерных тел зависит не только от температуры, но и от
их оптических свойств. Также на характер излучения влияют состав и запыленность среды между телом и приемником излучения. Кроме того, как известно [2], освещенность поверхности зависит от расстояния до нее, что еще больше увеличивает разницу
*
Работа выполнена под руководством В.П. Алексеева, М.В. Лоханина, В.А. Папоркова.
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
между условной температурой, измеренной пирометром, и действительной температурой тела.
В работе [3] было теоретически показано, что при определенных условиях (а именно в предположении, что аккомодация
глаза неизменна и что яркость поверхности по нормали постоянна), освещенность сетчатки глаза не зависит от углового положения и расстояния до объекта исследования. Мы предположили,
что это же будет справедливо и для случая фотоприемника с объективом из собирающей линзы.
Действительно, пусть нагретое тело испускает в единицу
времени количество энергии E0 с площадки S0=Pi*R02 (для удобства примем площадку круглой). Пусть на расстоянии A от него
находится линза, проецирующая изображение площадки в плоскость фотоприемника, находящегося на расстоянии B. Тогда линейное увеличение линзы будет
f
V
(1)
A f ,
где f – фокус линзы. Соответственно в плоскости фотоприемника
мы получим перевернутое изображение нагретого тела, увеличенное в V раз, т.е. круг радиуса R0*V, имеющий площадь
S    R0  (
2
или S ~
f 2
)
A f
(2)
1
.
( A  f )2
При A>>f получаем, что
1
.
(3)
A2
Таким образом, хотя поток Ф излучения, падающего на объектив, уменьшается с расстоянием по известному [2,4] закону
Ф~ 1 , при A>>f площадь S изображения тела в плоскости фотоS ~
A2
приемника должна уменьшаться точно так же. Поток Ф, приходящийся на все изображение, должен уменьшиться вместе с площадью этого изображения на одну и ту же величину. Поэтому освещенность Е=Ф/S плоскости фотоприемника не должна зависеть
от расстояния.
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Разумеется, фотоприемник при этом должен находиться
внутри изображения источника излучения, т.е. размер фотоприемника DФ должен удовлетворять условию Df <(2R0)*V , или
D f  2 R0 
f
A f .
(4)
Сделанные выводы были проверены экспериментально. Хотя излучение нагретого тела по большей части приходится на ИК
диапазон, в данном случае результаты, полученные для видимой
части спектра, будут справедливы и для ИК области. Поэтому
эксперимент проводился в видимой части спектра.
Рис. 1. Схема экспериментальной установки
На рис. 1 представлена схема установки. Свет от галогеновой лампы 1 падает на матовое стекло 2, создавая тем самым
область однородной засветки. Изображение матового стекла проецируется линзой 4 объектива в плоскость фотоприемника 5 так,
чтобы фотоприемник находился внутри однородно засвеченной
области 6. Для дополнительной регулировки освещенности
вплотную к линзе была установлена диафрагма 3. В качестве фо40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
топриемника использовался фотодиод, чувствительный в оптической области спектра. Эксперимент проводился при расстояниях до двух метров между матовым стеклом и объективом.
В ходе проведенного эксперимента было выяснено, что при
расстояниях между линзой и источником излучения (матовым
стеклом) от метра и выше сила тока на фотоприемнике в пределах ошибок была неизменна (рис. 2). Поэтому можно утверждать,
что с изменением расстояния освещенность плоскости фотоприемника в пределах ошибок остается неизменной.
Рис. 2. Зависимость силы тока на фотоприемнике
от расстояния А
На основании вышесказанного можно сделать вывод о том,
что при использовании в качестве объектива собирающей линзы,
освещенность фотоприемника останется неизменной с изменением расстояния А между линзой и источником излучения. Для
этого должны быть выполнены следующие условия. Во-первых,
фокусное расстояние линзы f должно быть много меньше расстояния А. Во вторых, размер фотоприемника Df и фокус линзы f
должны быть такими, что для любого значения А в выбранном
промежутке расстояний выполнялось условие (4). Полученные
выводы могут быть полезны при бесконтактных измерениях температуры в случаях, когда расстояние до объекта исследования
заранее неизвестно.
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
[1] Гордов А.Н. и др. Основы температурных измерений.
М.: Энергоатомиздат, 1992.
[2] Апенко М.И., Гвоздева Н.П. Физическая оптика. М.:
Машиностроение, 1979.
[3] Мартин Л. Техническая оптика. М.: Гос. издат. физ.-мат.
литературы, 1960.
[4] Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. Прохоров. М.: Сов. энциклопедия, 1983.
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
РАСЧЕТ ВИХРЕВОГО ТОКА В МЕЛКОЙ ПРОВОДЯЩЕЙ
ЧАСТИЦЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ*
С.В. Березкина
Аннотация
В дипольном приближении вычислен вихревой ток в мелкой проводящей сферической частице, находящейся в поле плоской электромагнитной волны. Рассматриваемые частоты ограничены сверху частотами ближнего ИК-диапазона. Расчет выполнен в рамках кинетического подхода для сравнительно
мелкой частицы (10 нм), что позволяет пренебречь скинэффектом, соотношение между размером частицы а и длиной
свободного пробега электронов  считается произвольным. Рассмотрен чисто диффузный механизм взаимодействия носителей
заряда с границей образца. Исследовано влияние температуры на
плотность тока в частице.
Электромагнитные свойства малых проводящих частиц могут существенно отличаться от свойств массивных образцов целым рядом особенностей [1–4]. Связано это с тем, что размер
частицы а может быть сравним с длиной свободного пробега носителей заряда . При этом нелокальные эффекты, обусловленные взаимодействием носителей заряда с границей образца, оказывают значительное влияние на оптические свойства частицы. В
этом случае классическая теория (теория Ми [5]) взаимодействия
электромагнитного излучения со сферической частицей, основанная на локальных уравнениях макроскопической электродинамики, оказывается неприменимой, и решение задачи необходимо проводить в рамках кинетического подхода.
В работе [2] приводится выражение для плотности в случае
вырожденного электронного газа (T0), однако соответствующие расчеты выполнены только для коэффициента поглощения.
В работах [6-7] в низкочастотном приближении (0) рассчитан
вихревой ток, возникающий в малой проводящей частице сферической формы в случае нулевой температуры.
*
Работа выполнена под руководством д-ра физ.-мат. наук Кузнецовой И.А.
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В данной работе рассчитывается плотность вихревого тока в
зависимости от частоты внешнего поля для случая ненулевых
температур. Кинетическим методом ищется функция распределения f1, описывающая линейный отклик носителей заряда в частице на переменное магнитное поле Н0 плоской электромагнитной
волны, которое индуцирует вихревое электрическое поле, что вызывает возникновение вихревого тока j. Радиус частицы а считается меньше глубины скин – слоя , что позволяет пренебречь
скин – эффектом.
Постановка задачи
Рассмотрим малую проводящую частицу полуметалла или
сильно легированного примесного полупроводника n-типа (pтипа) проводимости в однородном периодическом во времени
магнитном поле. Это поле индуцирует вихревое электрическое
поле, определяемое из уравнения индукции Максвелла и имеющее вид [8]:
1  H  
rH 0 exp( i t ) ,
E  r
(1)

2c  t 
2ic
где  - угловая частота волны, с – скорость света, H0 – амплитуда магнитного поля волны, r – радиус – вектор (начало координат в центре частицы). Электрическое поле Е приводит, в
свою очередь, к возникновению вихревого тока j.
При условии а   для нахождения тока j можно применить локальный закон Ома [8]
j = ∑(ω) E,
∑(ω) = ∑(0)/(1 – iτω) ,
(2)
где ∑(ω) – проводимость Друде, ∑(0) = e2nτ/m – статическая проводимость, е – заряд электрона, n и m – соответственно равновесная концентрация и эффективная масса электрона (дырки), τ –
время релаксации.
В случае, когда радиус частицы а сравним с длиной свободного пробега электрона (дырки) , связь между E и j носит нелокальный характер и макроскопическая электродинамика становится неприменима. Электрическое поле действует на носители
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
заряда в частице, что вызывает отклонение f1 их функции распределения f от равновесной фермиевской f0
f(r,v) = f0 () + f1(r,v) ,
f0 
1
,
exp((   ) / k 0 T )  1
(3)
(4)
здесь  = m2/2 – кинетическая энергия электрона (дырки) в случае сферически – симметричной энергетической зоны, - химический потенциал, Т – температура частицы, k0– постоянная
Больцмана. Вихревой ток, возникающий в частице, имеет вид:
3
2d 3 (m )
m
3
j = e  vf
= 2   e vf1d .
3
h
h
(5)
Задача сводится к отысканию отклонения f1 функции распределения от равновесной фермиевской функции f0, возникающего под воздействием вихревого поля (1). В линейном (по
внешнему полю) приближении функция f1 удовлетворяет кинетическому уравнению Больцмана [9, 10]
-if1 + v(f1/r )+evE(0/) = - f1/ ,
(6)
здесь предполагается гармоническая зависимость от времени (f1 ~
e-it), а интеграл столкновений взят в приближении времени релаксации
(df1/dt)s = -f1/.
(7)
Таким образом, решая уравнение (6), найдем функцию f1,
затем ток j (5).
Для определения функции f1 зададим граничное условие на
сферической поверхности частицы, исходя из условия диффузного отражения носителей заряда (т.е. сразу после отражения функция распределения становится равновесной):
r = а,
f1(r,v) = 0 при
(8)
rv0.
Для решения уравнения (6) используем метод характеристик
[11]:
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
f1 = А(е-vt – 1)/v, t  0,
(9)
где
v = 1/ - i,
A = evE(f0/) =
e  f 0 

 vr  H 0 exp( i t ) .
2ic   
(10)
Здесь величины А и v постоянны вдоль траектории (характеристики), a параметр t имеет смысл времени движения электрона (дырки) вдоль траектории от границы частицы до точки r
со скоростью v и имеет вид:
t = (rv +(rv)2 + (a2 – r2)2 ½)2 .
(11)
Соотношения (10 – 11) полностью определяют функцию
1(r,v). Найденная функция распределения позволяет рассчитать
ток (5).
При вычислении тока (5) удобно перейти к сферическим координатам как в пространстве координат (r, , , полярная ось z 
H0), так и в пространстве скоростей (, , , полярная ось – ось
r). Поле Е в сферических координатах имеет только  - компоненту [2]:
Е = Ее,
E 
i
rH 0 sin( ) exp( it ) .
2c
(12)
Ток j (5) также обладает лишь  - компонентой (линии тока – замкнутые окружности с центрами на оси z в плоскости, перпендикулярной оси z):
2m 3 e 2 E  f 0 
vt
2 3
j  

 1  e  d   j0 J ( , u  ) ,
3

hv
  

здесь
j0 
E e 2 na
2 2kTm

(13)
,
 

1  1  exp(  z ) exp(u  u  ) 3 / 2 3
J ( , u  )  ~ 
u
sin

du
d

,
z1 I 0  0 0
(exp(u  u  )  1) 2

46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1/ 2
 

u 3 / 2 du
1 / 2  5
~

1  I 0  

3
exp(
u

u
)

1

 0


u1 / 2 du
I0  
,
exp(u  u  )  1
0
Здесь введены безразмерные переменные:
a
a
ia
z 


 x  iy ,
1 1 1
u

1t
a

~1
u

kT
,
u 
 cos( )  (1  
2

kT
.
(14)
,

sin 2 ( ))1 / 2 ,  
r
,
a
где z, x и y нормированы на характерную скорость носителей заряда 1, которая вводится следующим образом:
5 2 2d 3 m 
n    f 0
,
3
h3
2
1
12 
m
n  2 
h
3

2kT ~ 2
1 ,
m
(15)
3
 m   2kT 
f 0 d   4   

h  m 
3
3/ 2
I0 .
Для случая вырожденного Ферми-газа при T  0 1  F,
где F - фермиевская скорость, определяемая выражением (15)
для функции Ферми f0 ( T  0 ). В другом предельном случае при
T   0  5kT / m , т.е. имеет порядок средней тепловой скорости носителей заряда.
Обсуждение результатов
1. В предельном случае низких температур (u  ) выражение для плотности тока (13) существенно упрощается и переходит в выражение (16), ранее полученное в [2]:
3nae 2 E  1  e  z
j 
sin 3  d .

4mF 0
z
(16)
2. В другом предельном случае при u  - (классический
газ) выражение (13) заметно упрощается за счет возможности
47
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пренебрежения единицей по сравнению с экспонентой в знаменателе:
 

2 2  1  exp(  z )  3 / 2 3
j  j0
u
sin

du
d

 
.
5  0 0 z exp(u )

(17)
3. На рис. 1 и рис. 2 представлены зависимости безразмерной плотности тока J (z=0,1–0,5i и z=1–6i соответственно) от
температуры (величины u = /kT) при заданных значениях 
(1 - = 0; 2 - = 0,5; 3 - = 1). Видно, что кривые J(u) при значениях u - выходят на различные асимптотики. Вид кривой
J(u)меняется в зависимости от значений =r/a, при этом максимальное отличие в асимптотиках при заданных x и y достигается
для значений =0 и =1 и составляет 19% (рис. 1), для значений
=0,5 и =1 - составляет 14% (рис. 2).
1,2
1
2
1,0
J(u  )
0,8
0,6
0,4
3
0,2
-10
-5
0
5
10
u
Рис. 1. Зависимость плотности тока J от температуры при заданных
значениях  (1 - = 0; 2 - = 0,5; 3 - = 1) для z = 0,1 – 0,5i
4. На рис. 3 построена зависимость безразмерной плотности
тока J от безразмерного радиуса частицы = r/a в низкочастотной области при y=0,05 и при безразмерной обратной длине свободного пробега x 0 (z = 0 – 0,05i) для различных значений
температуры (1 - u = -10; 2 - u = 0; 3 - u = 0,5; 4 - u = 10).
48
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0,25
2
0,20
J(u  )
0,15
1
0,10
0,05
0,00
-10
3
-5
0
5
10
u
Рис. 2. Зависимость плотности тока J от температуры
при заданных значениях  (1 - = 0; 2 - = 0,5; 3 - = 1) для z = 1 –6i
Из графиков видно, что при всех значениях u с приближением к границе образца плотность тока уменьшается. Результаты
расчетов для вырожденного электронного газа (кривая 4 - u=10)
совпадают с результатами [6-7].
5. На рис. 4 представлены зависимости безразмерной плотности тока J от безразмерной частоты y = a/0 при u = 0,5 и
заданных значениях  (для x = 0,1:1 - = 0; 2 - = 0,5; 3 - = 1; для
x = 10: 4,5 - =0; 0,5; 6 - =1).
Из графиков 1-3 видно, что в случае, когда длина свободного пробега  велика (мала безразмерная величина х), кинетические эффекты, обусловленные взаимодействием носителей заряда
с границей образца, оказывают значительное влияние на распределение плотности тока в частице.
С уменьшением длины свободного пробега  (увеличением
безразмерной величины х; кривые 4-6) кинетические эффекты
оказывают существенно меньшее влияние на плотность тока
внутри частицы, в предельном случае   а справедлива классическая теория Друде (2), [8].
49
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1,4
1
1,2
2
3
J( )
1,0
0,8
0,6
4
0,4
0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0

Рис. 3. Зависимость плотности тока J от размера частицы  = r/a для
(z = 0 – 0,05i) при заданных u (1 - u = -10; 2 - u = 0; 3 - u = 0,5;
4 - u = 10)
1,4
1,2
1
1,0
2
J(y)
0,8
0,6
3
0,4
0,2
4,5
0,0
6
0
2
4
6
8
10
12
14
y
Рис. 4. Зависимость плотности тока J от безразмерной частоты y =
a/0 при заданных  и u=0,5 (х=0,1: 1 -  = 0; 2 -  = 0,5; 3 -  = 1;
х=10: 4,5 -  = 0; 0,5; 6 - = 1)
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
[1] Морохов И.Д., Петинов В.И., Трусов Л.И., Петрунин В.Ф. // УФН, 1981. Т. 133. С. 653 – 692.
[2] Лесскис А.Г., Пастернак В.Е., Юшканов А.А. Поглощение инфракрасного излучения в мелкой металлической частице
// ЖЭТФ. Вып. 1(7). 1982. Т. 83. С. 310 - 317.
[3] Томчук П.М., Томчук Б.П. Оптическое поглощение малых металлических частиц // ЖЭТФ. 1997. Т. 112, вып. 2(8).
С. 661 – 678.
[4] Завитаев Э.В., Юшканов А.А., Яламов Ю.И., Поглощение электромагнитного излучения металлической частицей цилиндрической формы // ЖТФ. 2001. Т. 71, вып. 11. С. 114 – 118.
[5] Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973.
С. 720.
[6] Trodahl H.J. Far – infrared absorption by eddy currents in ultrafine metal particles. J. Phys. C., 1982. V. 15. № 35. P. 7245 – 7254.
[7] Trodahl H.J. Eddy currents in ultrafine metal particles. Phys.
Rev. 1979. V. 19, № 2, P. 1316 – 1317.
[8] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 10.
Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1972. С. 735.
[9] Займан Дж. Электроны и фононы. М.: ИЛ, 1962. 488 с.
[10] Харрисон У. Теория твердого тела. М.: Мир, 1972.
616 c.
[11] Курант Р. Уравнения с частными производными. М.:
Мир, 1964. Гл. II.
Ярославский государственный университет
им. П.Г.Демидова
51
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СТРУКТУРНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
ПЛЕНОК Pb1-XEuXSe НА КРЕМНИИ*
Е.А. Богоявленская
Аннотация
Проведено изучение структуры пленок Pb1-xEuxSe с содержанием Eu от 0 до 9 %, выращенных методом молекулярнолучевой эпитаксии (МЛЭ) на Si подложках с применением буферного слоя CaF2. Исследования осуществлялись на рентгеновском дифрактометре ДРОН-3УМ в CuK-излучении. Выполнен
анализ
рентгеновских
дифрактограмм
системы
Pb1-XEuXSe/CaF2/Si (111) и полюсных фигур пленок Pb1-xEuxSe.
Показано изменение структурных параметров пленок при увеличении содержания Eu.
Введение
Тройные твердые растворы на основе соединений IV-VI получили широкое применение в создании приборов ИК-диапазона.
В твердом растворе Pb1-xEuxSe при вариации величины х возможно плавное изменение ширины запрещенной зоны, постоянной
решетки, показателя преломления, что используется при разработке тонкопленочных брэгговских зеркал, лазеров и преобразователей длины волны в ИК области спектра. При этом очень важной
является информация о структурных параметрах пленок [1]. Цель
данной работы заключалась в исследовании структуры пленок
Pb1-xEuxSe с разным х методом рентгеновской дифрактометрии.
Объект исследования и методика проведения эксперимента
Объектом исследования являлись пленки селенида свинцаселенида европия с содержанием Eu от 0 до 9 ат. %, выращенные
методом МЛЭ на монокристаллических кремниевых подложках
ориентации (111) с применением буферного слоя фторида кальция (2 нм). Толщина пленок составляла 2 - 4 мкм. Для описания
кристаллического строения эпитаксиальных пленок были проведены рентгеноструктурные исследования на рентгеновском дифрактометре ДРОН-3УМ с использованием CuK-излучения
*
Работа выполнена под руководством С.П. Зимина и В.В. Наумова
52
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(K1=1,54050 Å, K1=1,54433 Å). Для индицирования рефлексов были отсняты обзорные дифрактограммы в диапазоне углов
2 от 5,0 до 150,0 град. со скоростью сканирования 2°/мин. С целью более точного определения межплоскостных расстояний были отсняты рентгеновские дифрактограммы каждого рефлекса с
меньшей скоростью сканирования. Обработка всех рентгеновских дифрактограмм проводилась с помощью программы, основанной на методе Речингера [2].
Результаты и обсуждение
Обзорные дифрактограммы эпитаксиальных структур
PbEuSe/CaF2/Si с разным содержанием европия имеют характерный вид, представленный на рис. 1. На всех дифрактограммах
проявляются рефлексы (111), (222), (333) и (444), принадлежащие
пленке Pb1-xEuxSe, а также рефлексы (111) и (333), относящиеся к
CaF2/Si. При увеличении масштаба дифрактограммы, приведенной на рис. 1, обнаруживается также рефлекс (222) CaF2/Si. Так
как для CaF2 и Si рефлекс (222) является запрещенным, то его
присутствие на дифрактограмме указывает на наличие внутренних напряжений в структуре.
20000
10000
PbEuSe(444
30000
CaF2/Si(333
40000
PbEuSe(33
50000
PbEuSe(22
PbEuSe(11
60000
CaF2/Si(111
Интенсивность, отн. ед.
70000
0
0
30
60
90
120
150
2, град.
Рис. 1. Общий вид дифрактограммы структур
PbEuSe/CaF2/Si с разным х
53
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 2 представлены рентгеновские дифрактограммы для
каждого рефлекса, построенные с меньшей скоростью сканирования. При увеличении содержания европия происходит смещение левых частей рефлексов в сторону меньших углов и уширение рефлексов.
Интенсивность, отн. ед.
PbEuSe (111)
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
24,5
24,8
25,1
25,4
25,7
26
2, град.
Интенсивность, отн. ед.
PbEuSe (222)
100000
80000
60000
40000
20000
0
51
51,3
51,6
2, град.
54
51,9
52,2
52,5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Интенсивность, отн. ед.
PbEuSe (333)
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
81
81,3
81,6
81,9
82,2
82,5
2, град.
Интенсивность, отн. ед.
PbEuSe (444)
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
120
120,3 120,6 120,9 121,2 121,5 121,8 122,1 122,4
2, град.
Рис. 2. Рентгеновские дифрактограммы рефлексов пленки
Pb1-xEuxSe, построенные с меньшей скоростью сканирования
(○ – образцы с нулевым содержанием Eu;
∆ - образцы с содержанием Eu 6 ат. %;
□ – образцы с содержанием Eu 9 ат. %)
В таблице 1 приведены расчетные данные по методу Речингера для межплоскостного расстояния d и полуширины рефлексов β для ориентации (111) с первого по четвертый порядок. Анализ межплоскостных расстояний при увеличении х показал, что
не наблюдается сильного изменения d, как это характерно для
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
монокристаллов Pb1-xEuxSe [3]. Данный результат объясняется
деформационными явлениями в системе пленка/буферный
слой/подложка и требует дальнейших исследований. О наличии
сильных деформаций в системе говорит также факт расщепления
рефлексов (111) CaF2/Si при увеличении содержания Eu в пленках.
Таблица 1
6,0 ат. % Eu
9,0 ат. % Eu
(111)
d=3,532±0,002 Å
β=0,112 град.
d=3,531±0,002 Å
β=0,116 град.
d=3,538±0,002 Å
β=0,123 град.
(222)
d=1,7671±0,0003 Å
β=0,137 град.
d=1,7678±0,0004 Å
β=0,138 град.
d=1,7681±0,0004 Å
β=0,165 град.
(333)
d=1,1788±0,0001 Å
β=0,147 град.
d=1,1794±0,0001 Å
β=0,162 град.
d=1,1786±0,0002 Å
β=0,220 град.
d=0,8843±0,0001 Å
β=0,181 град.
d=0,8848±0,0001 Å
β=0,227 град.
d=0,8841±0,0001 Å
β=0,356 град.
(hkl)
0,0 ат. % Eu
(444)
Параметры рефлексов пленок Pb1-xEuxSe
Выявление неоднородностей и дополнительных фаз пленки
Pb1-xEuxSe возможно при построении полюсных фигур. Построение полюсной фигуры осуществляется на основе кривых вращения. Известно, что угол между плоскостями (111) и (100) в кубической решетке составляет 54,7°. Для ГЦК решетки, которой в
нашем случае обладает пленка Pb1-xEuxSe, рефлексом с максимальной интенсивностью является рефлекс (200). С целью уточнения значения угла 2, при котором в дальнейшем будем вести
съемку кривых вращения, были построены дифрактограммы в
диапазоне углов 2 от 20 до 40 град. при наклоне  образцов,
равном 55°. Все полученные дифрактограммы представлены на
рис. 3.
56
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Интенсивность, отн. ед.
Рефлекс (200)
40000
30000
20000
10000
0
27
28
29
30
31
32
33
2, град.
Интенсивность, отн. ед.
Рефлекс (200) в увеличенном масштабе
200
150
100
50
0
27
28
29
30
31
32
33
2, град.
Рис. 3. Рефлекс (200) для пленок Pb1-xEuxSe с разным
содержанием европия (○ - 0,0 ат. % Eu; ∆ - 6 ат. % Eu;
□ - 9 ат. % Eu).
Из рис. 3 видно, что при увеличении содержания европия
происходит смещение левых частей рефлексов в сторону меньших углов и уширение рефлексов. При этом основной рефлекс
принимает более правильную (симметричную) форму, а при максимальном содержании европия наблюдается появление дополнительного рефлекса на фоне основного.
57
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Кривые вращения были выполнены при настройке на угол
2 для рефлекса (200), соответствующего каждому образцу, при
этом угол вращения β образца вокруг нормали к его плоскости
изменялся от 0° до 360°, а угол  варьировался от 0° до 60°. Характерный вид полюсной фигуры представлен на рис 4.
б
а
Рис. 4. Полюсная фигура образцов Pb1-XEuXSe/CaF2/Si
(вдоль радиуса отложено изменение угла ;
по окружности, против часовой стрелки,
происходит изменение угла β от 0° до 360°)
Полюсная фигура для рефлекса (200) пленки Pb1-xEuxSe с
максимальным содержанием Eu имела более сложный вид. Кроме
основных рефлексов, появляющихся в районе 55° (рис. 4, а), присутствовали дополнительные рефлексы вблизи 16° (рис. 4, б).
Принадлежность этих рефлексов на данный момент уточняется.
Известно, что их интенсивность значительно увеличивается при
настройке на угол 2, равный 31 град., что соответствует максимуму дополнительного рефлекса, представленного на рис. 3. По
данным картотеки ASTM вблизи указанного угла 2 находятся
рефлексы с максимальной интенсивностью для оксидов европия
и соединений Eu-Pb.
58
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заключение
Изучение гетероэпитаксиальных систем Pb1-XEuXSe/CaF2/Si
(111) с разным содержанием европия показало, что увеличение х
не приводит к изменению межплоскостного расстояния для пленок Pb1-XEuXSe, как это характерно для монокристаллов. Причиной этого являются сильные деформационные явления в многослойной системе, подтверждаемые наличием запрещенных рефлексов (222) CaF2/Si и расщеплением рефлексов (111) CaF2/Si при
увеличении х. Обнаружено, что для образца с содержанием европия равным 9 ат. % имеются существенные отличия, связанные с
наличием в диапазоне =55° дополнительного рефлекса, составляющего 0,3 % от основного рефлекса (200) для Pb1-XEuXSe, и с
появлением рефлекса при изменении  от 15° до 23°. Установлено, что появление дополнительной фазы при максимальном содержании европия может быть связано с выделением оксидов европия или соединений Eu-Pb.
Автор признательна Х.Цоггу (ETH, Цюрих) за предоставленные образцы.
Список литературы
[1] Sharma P.C. Composition dependent structural properties of
Pb1-XEuXSe thin films // Thin Solid Films. 1999. V. 355-356. P. 12-16.
[2] Баклан А.В., Богоявленская Е.А., Зимин С.П., Наумов В.В. Программа для анализа рентгеновских дифрактограмм
кристаллов // Материалы IV Междунар. Научно-практической
конференции ―Теория, методы и средства измерений, контроля и
диагностики‖, Ч. 2, Новочеркасск, 2003. С. 3-7.
[3] Mauger A., Godart C. The magnetic, optical, and transport
properties of representatives of a class of magnetic semiconductors:
The europium chalcogenides // Phys. Rep., 1986. V. 141. P. 51-176.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
59
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОМБИНИРОВАННЫХ
МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ
ИСТОЧНИКОВ РАДИОИЗЛУЧЕНИЯ*
В.А. Ботов, В.Е. Журавлев
Аннотация
Приведены результаты сравнения ошибок комбинированных методов определения координат источников радиоизлучения
на синтезированной модели распределения пеленгов. Получены
зависимости ошибки определения координат от параметров модели.
Введение
Городская среда создает специфические условия для распространения радиоволн. Теневые зоны, многократные отражения и рассеяние волн формируют многолучевые поля со сложной
интерференционной структурой и резкими пространственными
изменениями уровня сигнала. При этом задача локализации источников радиоизлучений (ИРИ) по анализу положения волнового фронта является не тривиальной.
Постоянно происходит совершенствование методов определения координат (МОК) ИРИ, появляются новые алгоритмы [14]. Актуальной задачей является исследование и сравнение метрологических характеристик различных МОК.
Цель работы – исследование потенциальных погрешностей
определения координат ИРИ комбинированных МОК методом
имитационного моделирования.
Комбинированный метод на основе матричного метода
и метода максимального правдоподобия
В работе [1] описан комбинированный алгоритм определения координат ИРИ на основе матричного метода [1] и метода
максимального правдоподобия (ММП) [2]. Авторы отмечают, что
последовательное применение обоих методов позволяет компен*
Работа выполнена под руководством канд. техн. наук А.Н. Кренева
60
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сировать недостатки одного подхода достоинствами другого: для
первичной оценки количества и вероятного местоположения источников используется матричный метод (ММ), далее отбираются пеленги, пересекающие зоны вероятного местоположения источников. Для каждой зоны производится расчет местоположения методом максимального правдоподобия, при помощи
которого определяются координаты точки с максимальной вероятностью нахождения в ней ИРИ [2].
Комбинированный метод на основе геостатистического
метода и метода максимального правдоподобия
Метод заключается в последовательном применении геостатистического метода [4] и метода максимального правдоподобия
[3]. Расчет геостатистическим методом (ГМ) дает предварительную оценку координат ИРИ, далее производится расчет ММП по
пеленгам, пересекающим локализованную область.
Моделирование процесса получения пеленгационной
информации
Исследования проводились на математической модели радиополигона. Геометрия радиополигона приведена на рис. 1. Источник располагается в точке с координатами ( x0 , y0 ) . Траектория пеленгования – окружность радиуса R с центром в точке
( x0 , y0 ) . Траектория делится на короткие отрезки – пеленгационные интервалы, каждый интервал рассматривается как точка
( х j , y j ) с соответствующей выборкой пеленгов.
Nord

j
j
j-1
R

(х0, у0)
Рис. 1. Геометрия радиополигона
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отфильтрованные
пеленги ijl
Вторичный расчет
методом эллипсов
вероятности
Координаты xl , yl
xl , yl
Пеленги  ijl
Фильтрация пеленгов
попадающих в
окрестность точки
Пеленги  ijl
Первичная оценка
ГМ или ММ
Значения пеленга на пеленгационных интервалах рассчитывались по формулам модели распределения отклонений пеленгов
от истинного значения [5].
Исследования проводились при следующих параметрах модели:
– количество пеленгационных интервалов – К =100;
– количество пеленгов на пеленгационном интервале –
N = 10;
– значения радиуса траектории R = 1000 м;
– значения СКО пеленгов  = 10, 50, 100, 200, 300, 400;
– процент пеленгов, полученных при отсутствии интерференционных помех N и = 100%, 50%, 30%, 20%, 10% и 5%;
– шаг сетки для геостатистического и матричного методов
равен 60,6 м;
– радиус локальной зоны для вторичного расчета методом
максимального правдоподобия равен 300 м.
При расчете методом максимального правдоподобия каждый пеленг рассматривается как среднее значение выборки, а его
СКО принимается равным  .
Для получения статистических характеристик погрешности
оценки координат рассчитывалось 50 реализаций пеленгов. Математическое ожидание ошибки определения координат рассчитывалось по формуле:
1 L
d   ( xl  x0 ) 2  ( yl  y0 ) 2 ,
L l 1
где ( xl , yl ) – координаты расчетного местоположения источника
для l -ой реализации модели радиополигона.
Схема комбинированных МОК приведена на рис. 2.
Координаты xl , yl
Рис. 2. Схема комбинированных методов
62
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Результаты моделирования
Анализ погрешностей комбинированных МОК проведен по
зависимости d ( , Nи ) при одних и тех же реализациях  ijl .
На рис. 3 и 4 приведены зависимости d ( ) для ГМ, для комбинированного метода ГМ+ММП, для ММ и для комбинированного ММ+ММП соответственно, при R = 1000 м и
N и = 20%.
d ( ), м
d ( ), м
160
400
140
350
120
ГМ
100
200
60
150
40
100
20
50
0
5.0
10.0
20.0
ММ+ММП
250
80
1.0
ММ
300
ГМ+ММП
30.0
40.0
0

1.0
Рис. 3. Зависимость d ( )
для ГМ и ГМ+ММП
при N и = 20%.
5.0
10.0
20.0
30.0
40.0

Рис. 4. Зависимость d ( )
для ММ и ММ+ММП
при N и = 20%
На рис. 5 и 6 приведены те же зависимости при N и = 5%.
d ( ), м
d ( ), м
800.0
700.0
700.0
600.0
ГМ
500.0
ММ
600.0
ГМ+ММП
ММ+ММП
500.0
400.0
400.0
300.0
300.0
200.0
200.0
100.0
100.0
0.0
0.0
1.0
5.0
10.0
20.0
30.0
40.0
1.0

5.0
10.0
20.0
30.0
40.0

Рис. 6. Зависимость d ( ) для
ММ и ММ+ММП при N и =
5%.
Рис. 5. Зависимость d ( ) для
ГМ и ГМ+ММП при N и =
5%.
На рис. 7 и 8 приведены зависимости d ( N и ) ГМ, ГМ+ММП,
ММ и ММ+ММП соответственно, при R = 1000 м и  = 50.
63
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
d ( N и ), м
d ( N и ), м
60.0
120.0
ГМ
50.0
ГМ+ММП
100.0
40.0
80.0
30.0
60.0
20.0
40.0
10.0
20.0
0.0
100.0
50.0
30.0
20.0
10.0
0.0
100.0
5.0 N и
ММ
50.0
ММ+ММП
30.0
20.0
10.0
5.0
Nи
Рис. 7. Зависимость d ( N и ) для Рис. 8. Зависимость d ( N и ) для
ГМ и ГМ+ММП при  = 50.
ММ и ММ+ММП при  = 50.
На рис. 9 и 10 приведены те же зависимости при  = 100.
d ( N и ), м
d ( N и ), м
400.0
140.0
350.0
120.0
ГМ
100.0
300.0
ГМ+ММП
ММ+ММП
200.0
60.0
150.0
40.0
100.0
20.0
0.0
100.0
ММ
250.0
80.0
50.0
50.0
30.0
20.0
10.0
5.0
0.0
100.0
Nи
Рис. 9. Зависимость d ( N и ) для
ГМ и ГМ+ММП при  = 100.
50.0
30.0
20.0
10.0
5.0
Nи
Рис. 10. Зависимость d ( N и )
для ММ и ММ+ММП
при  = 100.
Во всех рассмотренных случаях (см. рис. 7, 8, 9 и 10) математическое ожидание ошибки определения координат d ( , Nи )
возрастает при росте СКО пеленгов  и уменьшении процента
N и . При этом ошибка комбинированных МОК растет быстрее,
чем в случае ГМ и ММ. Объясняется это тем, что метод максимального правдоподобия разработан в предположении нормального распределения погрешностей пеленгования, а при увеличении СКО пеленгов  и уменьшении процента N и распределения
пеленгов, синтезированных на модели, все более отличаются от
закона нормального распределения [5].
64
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выводы
При параметрах модели  < 200 и N и > 10% дополнительное применение метода максимального правдоподобия увеличивает точность определения координат, получаемую ММ и
ГМ при фиксированном шаге сетки.
При параметрах модели  > 200 и N и < 10% ошибка метода
максимального правдоподобия определяется ошибками первичных методов, и чаще всего превышает ее. Поэтому при таких параметрах модели нет смысла во вторичной обработке результатов
ММП. Причина кроется в том, что первичный расчет ММ или
ГМ дает большую ошибку.
Список литературы
[1] Ашихмин А.В., Жуков А.А., Козьмин В.А., Шадрин И.А.
Локализация источников радиоизлучения и измерение напряженности поля с помощью мобильной станции радиоконтроля
// Специальный выпуск журнала «Специальная техника». 2003,
январь. С. 15-31.
[2] Глазнев А.А., Козьмин В.А., Литвинов Г.В., Шадрин И.А. Многостанционные системы радиоконтроля и определения местоположения источников радиоизлучения // Специальный
выпуск журнала «Специальная техника». 2002, апрель. С. 27-40.
[3] Кукес И.С., Старик М.Е. Основы радиопеленгации. М.:
Советское радио, 1964. 571 с.
[4] Ботов В.А., Журавлѐв В.Е., Кренѐв А.Н. Сравнительный
анализ алгоритмов пеленгации и определения координат источников радиоизлучения в условиях сильной интерференции
/ Сборник докладов X Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь». Воронеж, 2004. Т. 3.
С. 2148-2155.
[5] Ботов В.А., Журавлѐв В.Е., Карпов А.А. Модель распределения пеленгов в городском радиоканале // Настоящий сборник. С.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
65
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕЛЕНГОВ
В ГОРОДСКОМ РАДИОКАНАЛЕ*
В.А. Ботов, В.Е. Журавлев, А.А. Карпов
Аннотация
Проведен анализ распределения пеленгов в городском радиоканале на прямолинейных отрезках траектории движения мобильного пеленгационного комплекса. На основе экспериментальных данных предложена и оценена на адекватность математическая модель распределения пеленгов.
Введение
В большинстве случаев пеленгация мобильным комплексом
в городской среде ведется при отсутствии прямой видимости на
источник радиоизлучения (ИРИ). В этих условиях, как правило,
существует более одного пути распространения радиоволн между
приемной и передающей антеннами. Радиоволны приходят в
точку приема в результате многократных отражений и дифракций
от зданий и других объектов. Трасса распространения радиоволн,
как правило, нестационарна, что связано с перемещением мобильного комплекса и близко расположенных подвижных отражателей, например, автомобилей.
В результате распределения по выборкам пеленгов на коротких прямолинейных отрезках траектории (пеленгационных
интервалах) имеют сложный характер, существенно отличающийся от нормального распределения, характерного для условий
преобладания прямого сигнала.
Актуальной задачей является исследование и сравнение
метрологических характеристик различных методов определения
координат (МОК) в многолучевом канале распространения. Адекватный сравнительный анализ ошибок различных МОК можно
получить только в идентичной радиосигнальной обстановке на
апертуре антенны по трассе движения пеленгатора, получить ко*
Работа
выполнена
Г.Н. Полушкина.
под
руководством
66
А.Н. Кренева
и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
торую экспериментальным путем для различных радиопеленгационных систем из-за нестационарности радиоканала невозможно. Разумный выход – создание математической модели радиоэлектрической обстановки (РЭО), отражающей фактическую статистику интерферирующих волн, включая направление их
прихода.
Цель данной работы – разработка математической модели
распределения пеленгов в городском радиоканале.
Экспериментальные исследования распределений
пеленгов в городском радиоканале
Исследовались распределения экспериментально полученных выборок мгновенных значений пеленгов на пеленгационных
интервалах [1] и распределения отклонений пеленгов от истинного направления на ИРИ, построенные по всей совокупности пеленгов. Каждая выборка на пеленгационном интервале содержит
от 50 до 300 значений пеленгов, вся совокупность пеленгов от
3600 до 7500 значений. Пеленгация производилась корреляционно интерферометрическим методом [2], и значение пеленга определялось в результате усреднения в точке траектории пеленгов по
интерферирующим сигналам.
При пеленгации в условиях прямой видимости на ИРИ и
при отсутствии интерференционных помех распределение пеленгов в выборках имеет один четкий максимум (идеальное распределение). Характерное для этих условий распределение представлено на рисунке 1.
Распределения пеленгов в выборках в условиях городской
застройки (условия интерференционных помех) имеют сложный
характер. Из них можно выделить три характерных типа.
Первый тип – слабые интерференционные помехи (удаленные источники помех), пример показан на рисунке 2, распределение имеет ярко выраженный максимум, но значительно большую
дисперсию, чем представленное на рис. 1.
Второй тип – многомодальное распределение, характерно
при нескольких стационарных интерференционных источниках
помех и сравнительно редко проявляющемся прямом сигнале.
Причем не всегда главный максимум соответствует истинному
направлению на ИРИ. Пример показан на рисунке 3.
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Третий тип – близкое к равномерному распределение пеленгов. Характерно для интенсивных интерференционных помех и
отсутствию прямого сигнала. Пример показан на рис. 4.
Рис. 1. Распределение
при отсутствии
интерференционных помех
Рис. 2. Распределение при
слабых интерференционных
помехах
Рис. 3. Распределение при
нескольких стационарных
интерференционных помехах
Рис. 4. Распределение при
интенсивных
интерференционных помехах
На рисунках 5, 6 и 7 приведены экспериментальные типичные распределения отклонений пеленгов от истинного значения
по всей совокупности, где N с – количество пеленгов в совокупности. Общими свойствами данных распределений является наличие максимума в окрестности 00 и наличие пеленгов на всем
интервале значений углов.
68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 5. Распределение отклонений пеленгов от истинного
значения экспериментальное, N с =7051 (слабая
интерференция)
Рис. 6. Распределение отклонений пеленгов от истинного
значения экспериментальное, N с =7564 (средняя
интерференция)
Рис. 7. Распределение отклонений пеленгов
от истинного значения экспериментальное, N с =3600
(сильная интерференция)
Математическая модель распределений отклонений
пеленгов от истинного значения
В основу выбора модели распределения отклонений пеленгов положена гипотеза о суперпозиции двух распределений пеленгов: распределения Лапласа [3] (обусловленного соотношением С/Ш) и равновероятного распределения (обусловленного
когерентными помехами). В качестве параметров модели выступают характеристики распределений.
69
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Значение пеленга  ij рассчитывается по формуле:
ij  r ( Nи )( j  ij )  (1  r ( Nи ))ij ,
(1)
где i – номер пеленга в выборке, i  1, N ;
j – номер выборки во всей совокупности пеленгов, (номер
пеленгационного интервала) j  1, K ;
 j – истинное направление на источник из центра соответствующего пеленгационного интервала;
 ij – значение случайной величины, имеющей закон распределения Лапласа [3] с нулевым средним значением и СКО  ,
имитирующей ошибку, обусловленную соотношением С/Ш;
ij – значение случайной величины, равномерно распределенной на интервале от 00 до 3600, имитирующей интерференционную компоненту ошибки;
N и – процент пеленгов, полученных при отсутствии интерференционных помех;
r ( N и ) = 1, если пеленг получен при отсутствии интерференционных помех, r ( N и ) = 0, при наличии интерференционных
помех.
Сравнение экспериментальных и синтезированных
распределений
На рис. 8, 9 и 10 приведены распределения, полученные по
модели (1) вариацией параметров  и N и , соответствующие экспериментальным, приведенным на рис. 5, 6 и 7. Условием выбора
параметров модели являлась проверка гипотезы о равенстве экспериментальных (рис. 5, 6, 7) и соответствующих синтезированных на модели распределений (рис. 8, 9, 10) по критерию Колмогорова [4]. Результаты проверки гипотезы и параметры синтезированных распределений приведены в табл. 1. Уровень
значимости выбран 5%. Для всех трех случаев  расч <  крит , т.е.
гипотеза верна.
В ходе исследований рассматривалась и модель на основе
распределения Гаусса, при этом достоверность гипотезы о совпадении распределений по критерию Колмогорова ниже, чем для
модели с распределением Лапласа.
70
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 8. Распределение отклонений пеленгов от истинного
значения синтезированное, N с =7050,  = 60, N и = 40%
Рис. 9. Распределение отклонений пеленгов от истинного
значения синтезированное, N с =7560,  = 200, N и = 30%
Рис. 10. Распределение отклонений пеленгов от истинного
значения синтезированное, N с =3600,  = 230, N и = 15%
Таблица 1
Результаты проверки гипотезы
Эксперим.
(синтезир.)
распр.
Рис. 5 (8)
Рис. 6 (9)
Рис. 7 (10)
Параметры синтезированного
распределения при сравнении
 , град
Nс
Nи , %
100
100
100
6
20
23
40
30
15
71
 расч
 крит
0,065
0,047
0,090
0,134
0,134
0,134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выводы
Предложенная модель распределения пеленгов в городском
радиоканале с достаточно высокой достоверностью по критерию
Колмогорова имитирует экспериментальные данные и может
быть использована для анализа МОК ИРИ.
В условиях интерференционных помех законы распределения пеленгов на пеленгационных интервалах в общем случае
не являются центрированными и для оценки пеленга должны использоваться более сложные алгоритмы, чем вычисление среднего значения. Таким образом, определение координат ИРИ классическими методами построения эллипсов вероятности [5], основанными на расчете среднего значения пеленга в выборке, могут
привести к значительным погрешностям.
Основной вклад в ухудшение статистики распределения пеленгов в городской среде вносят интерференционные составляющие, обусловленные многолучовостью.
Список литературы
[1] Ботов В.А., Журавлев В.Е., Кренев А.Н. Полушкин Г.Н.
Экспериментальные исследования распределения пеленгов в городском радиоканале // Материалы Всероссийской научно-технической конференции «Моделирование и обработка информации в
технических системах». Рыбинск, 2004. С. 269 -273.
[2] Ашихмин А.В., Виноградов А.Д., Кондращенко В.Н.,
Рембовский А.М. Современные корреляционно-интерференционные измерители пеленга и напряженности электромагнитного поля // Специальная техника, 2002. Специальный выпуск.
[3] Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука,
1984.
[4] Ван дер Варден Б.Л. Математическая статистика. М.:
Издательство иностранной литературы, 1960.
[5] Кукес И.С., Старик М.Е. Основы радиопеленгации. М:
Советское радио, 1964. 571 с.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НЕЛИНЕЙНЫЕ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНЫ
НА ЗАРЯЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ СТРУИ*
М.В. Волкова, Н.В. Воронина
Аннотация
Во втором порядке малости по амплитуде капиллярных осцилляций поверхностно однородно заряженной струи идеальной
несжимаемой проводящей жидкости, движущейся с постоянной
скоростью вдоль оси симметрии невозмущенной цилиндрической
поверхности, получено аналитическое выражение для формы
струи как функции времени при возбуждении в начальный момент неосесимметричных мод. Поправки второго порядка малости к аналитическим выражениям для формы струи имеют резонансный вид. При нелинейном резонансном взаимодействии волн
на заряженной струе энергия всегда перекачивается от более
длинных волн к более коротким.
Несмотря на многочисленные исследования устойчивости и
дробления заряженных струй, многое остается до сих пор не выясненным. Сказанное, в частности, относится к анализу устойчивости неосесимметричных мод осцилляций, и связано это с
тем, что большая часть ранее проведенных по этому вопросу исследований была ориентирована на получение потоков монодисперсных капель, вопрос же спонтанного распада сильно заряженных струй, выбрасываемых с вершин свободно падающих капель и менисков жидкости на торцах капилляров, до сих пор
исследован весьма поверхностно. В экспериментальных работах
зафиксировано «хлыстообразное» движение конца распадающейся на капли струи, что связано c возбуждением неосесимметричных мод капиллярных осцилляций струи. В связи со сказанным в настоящем рассмотрении будет проведено аналитическое асимптотическое исследование нелинейных осцилляций
неосесимметричных волн на поверхности заряженной идеально
*
Работа выполнена под научным руководством д-ра физ.-мат. наук
С.О. Ширяевой.
73
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
проводящей струи. Рассмотрим движущуюся с постоянной скоростью U 0 бесконечную струю постоянного радиуса R идеальной
несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью  и
коэффициентом поверхностного натяжения  . Примем, что
внешняя среда отсутствует, однако в окружающем струю пространстве создано электростатическое поле, перпендикулярное
оси струи. Вследствие этого на поверхности распределен заряд,
поверхностная плотность которого в равновесном состоянии, т.е.
в условиях отсутствия каких-либо возмущений цилиндрической
формы струи, имеет величину  .
Рассмотрение проведем в цилиндрической системе координат, начало которой движется со скоростью U 0 , а ось OZ направ 
лена вдоль струи по направлению ее движения: nz U 0 . Очевидно,
что в такой системе координат поле скоростей движения жидкости в струе будет полностью определяться капиллярными колебаниями ее поверхности.
Проследим эволюцию во времени распространяющейся по
поверхности струи в положительном направлении оси OZ неосесимметричной волны с волновым числом k, амплитуда которой
мала по сравнению с радиусом струи.
Все рассмотрение проведем в безразмерных переменных,
приняв в качестве основных единиц R,  ,  (т.е., полагая,
R      1). В этом случае уравнение свободной поверхности
струи, возмущенной капиллярным волновым движением, запишется в виде r 1  , z,t , где   1, r , , z – цилиндрические координаты,  - функция, описывающая искажение равновесной
цилиндрической формы струи.
В рамках модели потенциального течения математическая
формулировка задачи о расчете временной эволюции виртуального волнового возмущения поверхности струи будет иметь вид:
  0 ;
  0 ;
  0 ;
  0 ;
r  0:
r  :
F
   F  0 ; F r , , z, t   r  1    , z, t  ;
t
 1
2 1
 2    n  0 ;
P 
   
   S t  .
t 2
8
r 1 :
74
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Здесь P – перепад давлений внутри и вне струи в равновесном состоянии   0,   0 ; предпоследнее и последнее слагаемые – давления электрического поля и сил поверхностного натя
жения соответственно; n - вектор нормали к поверхности струи:

n  F F .
Сформулированную краевую задачу следует дополнить условиями сохранения заряда и объема участка струи, длина которого равна длине волны   2 k :
1 

 n   r  d  dz  2 ;
4 S
 r  dr  d  dz   ;
V
r  1  , z , t ;

S   0    2; ;
 z  z  z  ;
0
 0
0  r  1  , z, t ;

V 
0    2;
.
 z  z  z  .
0
 0
Для полного замыкания выписанной системы уравнений необходимо задать еще начальные условия. Однако, в силу того,
что начальные условия произвольного вида могут привести к
чрезмерной громоздкости получаемого решения, в нелинейных
задачах об отыскании периодических волновых профилей поверхности идеальной жидкости принято выбирать начальные условия так, чтобы решение принимало наиболее простой вид. Поэтому примем, что в начальный момент времени скорости всех
точек свободной поверхности струи нулевые, а форма струи определена выражением:
r  1        t   exp(im )      t   exp( im ) exp(i )  к.с.   2 ,
 
где   k  z  m (k )  t ,  m (k ) - частота волны с волновым числом k
и азимутальным числом m; аббревиатура «к.с.» означает комплексно сопряженные слагаемые;  – малый параметр, в качестве
которого возьмем отношение амплитуды волны к радиусу струи;




 
  t  - амплитудные коэффициенты, являющиеся функциями
времени.
Будем искать профиль струи, совершающей нелинейные неосесимметричные осцилляции, в виде разложения по ε с точностью до второго порядка малости включительно.
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В нулевом приближении будем иметь равновесное состояние, которому соответствует неподвижный (в движущейся системе координат) цилиндрический столб жидкости с постоянной
поверхностной плотностью заряда  . Электрическое поле в окрестности невозмущенного однородно заряженного цилиндрического столба определяется потенциалом




0 
r   4 ln r  .
Динамическое граничное условие в нулевом приближении
позволяет определить равновесный перепад давлений на поверхности струи p  1  2 2 .
Решая сформулированную задачу с точностью до слагаемых
второго порядка малости, можно найти форму струи как функцию времени в виде выражения:
r ( z, ,t ) 1 cos(m )cos( ) 
2
1(a cos(2m )  a )cos(2 )  a cos(2 ) ;
1
2
3

8 
k  I  k 
2G 2k   Y  L  H 2k   2 k X
; G k  
;
a 
4 k    2k 
I k 
k  K  k 
2G 2k   Y  L  H 2k   2 k X
; a 
;
H k  
K k 
4 k    2k 

2m
1
1
2m
2
2m
2
m
m
0
m
m
m
m
2
0
2
m
a3 
 m (k )
2k
m
1
2
m
2(Y3  2mL)
;
1  2m 1  2m  4 2 
 m 2   Gm k ;
m
2
2
0
 m (k )
 Gm k ;
Gm k 
Gm k 
 m2 (k )
1 2
2
2
Y1  1  k  5m  
k 2  m 2  3Gm k  
2
2
2Gm k 
X1 
2
X2 
2k
2




 2 2 3k 2  3m2  3  4H m k   H m k  ;
 m2 (k )
1 2
2
2
Y2  1  k  3m  
k 2  m 2  3Gm k  
2
2
2Gm k 
2




 2 2 3k 2  m 2  3  4H m k   H m k  ;
 m2 (k )
1
2
Y3  1  k 2  5m 2  
k 2  m 2  Gm k  
2
2
2Gm k 
2



 2 2 k 2  3m 2  3  4H m k   H m k  ;
2
76

L  2 1  2 H m (k ) ;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
m2 (k ) 
 k  K m k   
k  I m k   2
2
1 
 ;
k

m

1

W


I m k  
K m k   

W  4   2 .
Критическое в смысле реализации неустойчивости струи по
отношению к поверхностному заряду (проявляющейся в дроблении струи на капли) для фиксированного m значение параметра
W, характеризующего давление электрического поля на поверхность струи, находится из требования обращения в ноль квадрата
частоты в дисперсионном уравнении: m2 (k )  0). Напомним, что
для m = 0 картинка аналогичная приведенным рисункам представляет собой правильное чередование осесимметричных расширений и сжатий на поверхности цилиндрической струи.
По всей видимости, возбуждение «хлыстообразного» движения струй связано с одновременным возбуждением моды с m=1 и
одной из более высоких мод с m  2 . Очевидно также, что при
реализации неустойчивости неосесимметричных волн с высокими значениями азимутального числа m повышается вероятность
полидисперсного распада струи, как это и наблюдается в естественных условиях при спонтанном распаде сильно заряженных
(необходимое условие для обеспечения реализации неустойчивости неосесимметричных мод с m  1) струй. Расчеты также показывают, что с увеличением плотности электрического заряда амплитуды волн растут.
Из выписанного уравнения для формы струи несложно видеть, что кроме волны с волновым числом k, существующей в
начальный момент времени, возбуждается также за счет нелинейного взаимодействия волна с удвоенным волновым числом 2k.
Между этими двумя волнами имеет место резонансное взаимодействие, определяющееся наличием у коэффициентов a1 и a 2
знаменателей, которые при определенных условиях обращаются
в ноль. Отметим, что при резонансном взаимодействии нелинейных осцилляций и волн возможен стопроцентный обмен энергий
между ними. Кроме того, примечательно, что резонансно взаимодействуют волны с различными волновыми и азимутальными
числами, т.е. с различной симметрией, как это видно из выражений для коэффициентов a1 и a 2 .
Анализ зависимости F  4m2 k   22m 2k  при m=0 (опреде77
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ляющей величину знаменателя в коэффициенте a1 , а также в коэффициенте a2 при m=0) от величины волнового числа k и параметра W, пересеченной плоскостью F=0 показывает, что на кривой f1 (k ,W )  4m2 k   22m 2k   0 ,
2k  I1 ( 2k ){1  4k 2  W [1  2k  K1 ( 2k )  K 0 ( 2k )]}
f1 ( k ,W ) 

I 0 ( 2k )
4k  I1 ( k ){1  k 2  W [1  k  K1 ( k )  K 0 (k )]}

,
I 0 (k )
по которой пересекаются эти две поверхности, реализуется резонансное взаимодействие между двумя осесимметричными модами (m=0) для волн с волновыми числами k и 2k. Резонансный обмен энергией между двумя осесимметричными волнами разной
длины (заданной в начальный момент времени с волновым числом k и волной с вдвое большим волновым числом 2k, возбуждение которой происходит в результате нелинейного взаимодействия) на стадии дробления струи может привести к образованию
«сателлитов» - капель с размерами отличающимися от размеров
капель, на которые разбивается струя при отсутствии возмущающих воздействий. Указанное взаимодействие имеет место
только при W  0 .
Аналитические
расчеты
на
основе
соотношения
2
2
4m k   2 m 2k   0 показывают, что резонансная перекачка энергии из заданной в начальный момент времени неосесимметричной моды с m=1 и волновым числом k в другую неосесимметричную моду с m=2 и с вдвое большим волновым числом может
реализоваться только при достаточно больших значениях поверхностной плотности заряда на струе (при W  3). Из вида амплитудного коэффициента a 2 видно, что возможно резонансное
взаимодействие между осесимметричной модой m = 0 и неосесимметричными модами с m  0 . Анализ зависимости
F  4m2 k   02 2k  при m=1 (определяющей величину знаменателя
в коэффициенте a2 ) от величины волнового числа k и параметра
W, пересеченной плоскостью F=0, показывает, что на кривой
f 0 (k ,W )  4m2 k   02 2k   0 ,
78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2k  I1 (2k ){1  4k 2  W [1  2k  K1 (2k )  K 0 (2k )]}
f 0 ( k ,W ) 

I 0 ( 2k )

2k[ I 0 (k )  I 2 (k )]  {k 2  W [1  k[ K 0 (k )  K 2 (k )] 2 K1 (k )]}
;
I1 (k )
по которой пересекаются эти две поверхности, реализуется резонансное взаимодействие между заданной в начальный момент
времени неосесимметричной волной с m =1 и волновым числом k
и осесимметричной волной m=0 с волновым числом 2k. При таком взаимодействии энергия перекачивается из неосесимметричной моды c m=1 к осесимметричной моде с удвоенным волновым
числом. Такой резонансный обмен энергией может иметь место и
при отсутствии на струе электрического заряда (при W=0).
Расчеты также показывают, что резонансное взаимодействие с перекачкой энергии от неосесимметричной моды с m=2 к
осесимметричной возможно только при достаточно больших
плотностях поверхностного заряда на струе: при W  3.
Влияние величины поверхностной плотности электрического заряда на струе  на закономерности реализации резонансного
взаимодействия сводится к изменению положений резонансов (к
изменению волновых чисел и азимутальных параметров взаимодействующих волн при варьировании  ). Вдали от положений
резонансов влияние электрического заряда, имеющегося на поверхности струи, сводится к появлению возможности развития
неустойчивости неосесимметричных мод при достаточно больших плотностях заряда: при 4 2  1. Напомним, что в отсутствии
заряда (при   0 ) все неосесимметричные моды устойчивы, что
следует из дисперсионного уравнения. Влияние заряда (объемного либо поверхностного) на форму струи реализуется через зависимость от его плотности  коэффициентов am , определяющих
отклонение второго порядка малости формы струи от цилиндрической.
Проведенное рассмотрение выполнено для ситуации, когда
начальная деформация струи определяется одной модой. Это обстоятельство накладывает ограничение на общность сделанных
выводов. Представляется целесообразным решить задачу о расчете нелинейных неосесимметричных осцилляций струи, когда на79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
чальная деформация струи определяется суперпозицией различных мод. Такая задача позволила бы более детально исследовать
перенос энергии между модами, а также исследовать взаимодействие волн различной природы: например, капиллярных и релаксационных (последнее возможно лишь при корректном учете
вязкости жидкости).
Ранее сходная задача была решена аналитическими асимптотическими методами, но в отличие от задачи, решенной выше,
в начальный момент времени задавалась не форма струи, а поле
скоростей, которое в соответствии с вышесказанным представлялось в виде суперпозиции двух мод. Такая постановка целесообразна при изучении закономерностей вынужденного капиллярного распада струи при исследовании закономерностей сателлитообразования.
Заключение
Решение задачи о расчете нелинейных осцилляций заряженной струи уже во втором порядке малости по амплитуде деформации невозмущенной цилиндрической струи позволяет обнаружить резонансное взаимодействие волны, определяющей начальную виртуальную деформацию, с волной, появляющейся
вследствие нелинейности уравнений гидродинамики и имеющей
вдвое большее волновое число. Положение резонансных ситуаций зависит от величины волнового числа и поверхностной плотности электрического заряда на струе. В частности, осесимметричная мода может взаимодействовать с модой, ответственной за
закручивание струи (m=1). При нелинейном резонансном взаимодействии волн на заряженной струе энергия всегда перекачивается от более длинных волн к более коротким независимо от
симметрии взаимодействующих волн. Из начально возбужденной
моды с m=1 энергия может перекачиваться как в осесимметричную моду с вдвое большим волновым числом, так и в неосесимметричную с m=2 также с вдвое большим волновым числом. Вовлечение в нелинейное резонансное взаимодействие мод с m  2
возможно лишь при значительных плотностях поверхностного
заряда на струе.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
80
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ФАЦЕТНАЯ МОДЕЛЬ РАДИОПОЛИГОНА*
А.Б. Герасимов, Ю.В. Киселѐва
Аннотация
Рассмотрена методика моделирования реальных сцен в задачах имитации входных воздействий радиолокационных систем.
Получены аналитические выражения для входного сигнала, приведены выражения для расчета характеристик рассеяния шероховатых поверхностей.
Введение
На сегодняшний день в радиотехнике сформировалась устойчивая тенденция отработки аппаратной и программной компонент сложных радиотехнических систем с использованием математических моделей самих систем и входной сигнальной обстановки.
Примером такого рода задач является развитие алгоритмов
обработки сигналов в радиолокационных системах, например,
распознавание объектов и построение изображений в радиокартографировании. Отработка алгоритмов осуществляется на основе моделей радиосигнальной обстановки. Целью настоящей работы является разработка адекватной модели входных сигналов радиолокационных систем.
Модель входного сигнала
Имитационное моделирование входных воздействий для локационных систем представляет собой процесс вычисления поля
рассеяния исследуемой сцены (полигона) и его преобразования в
напряжение на входе приемного устройства. В настоящее время
для решения этой задачи широкое распространение получил метод, основанный на представлении объектов полигона в виде совокупности плоских элементов – фацетов [1,2].
При использовании фацетного представления полигона значение результирующей напряженности поля рассеяния на апер*
Работа выполнена под руководством канд. техн. наук Кренѐва А.Н.
81
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
туре приемной антенны рассматриваемой системы представляется в виде суперпозиции полей всех фацетов, образующих модель
полигона:
s 
E
M 1
 E sm ,
(1)
m 0
 sm – вектор напряженности электромагнитного поля рассеягде E
ния m-ого фацета; M – число фацетов, облучаемых передающей
антенной и не затененных со стороны приемной антенны системы.
Вектор напряженности поля рассеяния фацета зависит от
характеристик трассы «фацет – приемная антенна» и характеристик рассеяния фацета. Для случая распространения в воздухе эта
связь аналитически представляется следующим выражением [1,
3]:
 mE
 im
 E sв 
1  lвв lвг   E iв 
L


   
Esm    
, (2)




4πR rm  lгв lгг m  E iг m
4πR rm
 E sг m
 m – матрица эффективной длины, характеризующая рассеигде L
 im – вектор напряженности поля павающие свойства фацета; E
дающей на фацет волны; R rm – расстояние между фазовым центром приемной антенны и геометрическим центром фацета.
Согласно формуле (2) вектор напряженности поля рассеянной волны рассчитывается путем матричного преобразования
вектора напряженности поля падающей волны, который определяется выражением [2, 4]:
 im  ηDi θ,  Z0 exp[jkR im ] p i U
 i,
E
4π
Zа
R im
(3)
 i – амплитуда гармонического напряжения, подаваемого на
где U
нагрузку передающей антенны; p i – вектор поляризации передающей антенны; η – КПД передающей антенны; Di θ,  –
КНД передающей антенны; R im – расстояние между фацетом и
передающей антенной; Z0 – волновое сопротивление воздуха;
Zа – сопротивление излучения антенны.
82
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выражения (2) и (3) позволяют вычислить напряженность
поля рассеяния на апертуре приемной антенны. Теперь необходимо преобразовать это поле в напряжение на входе приемника.
Аналогично (1) результирующий сигнал может быть представлен
в виде суперпозиции парциальных сигналов отдельных фацетов:
s 
U
M 1
 U sm .
(4)
m 0
Парциальный вклад отдельного фацета связан с напряженностью рассеянного поля выражением [2, 4]:
 sm  D r θ,  Z0 λ 2 p r E
 sm ,
U
(5)
4π Zа
где p r – вектор поляризации приемной антенны; Dr θ,  – КНД
приемной антенны; λ – рабочая длина волны.
Таким образом, по формулам (2) – (5) для исследуемой радиотехнической системы может быть рассчитан входной сигнал.
Моделирование характеристик рассеяния
Наиболее сложной частью задачи является моделирование
характеристик рассеяния – матриц эффективных длин фацетов,
которые зависят от электрофизических свойств, геометрических
размеров и типа поверхности фацетов. Кроме этого, в общем случае бистатической локации эффективные длины фацета являются
функцией направлений падения облучающей волны и рассеяния
излучения в сторону приемника. Схема бистатической локации
фацета приведена на рис. 1. Предполагается, что плоскость падения совпадает с плоскостью XY. Векторы ri и rs – направляющие
векторы падающей и рассеянной волн соответственно; n – вектор нормали к поверхности фацета; θ i и θ s – углы падения и отражения облучающей и рассеянной волн соответственно; s –
азимутальная координата приемной антенны в системе координат
фацета.
83
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
z
rs
ri
y
m
i
n
s
x
s
Рис. 1. Схема бистатической локации фацета
Матрица эффективной длины для гладкого фацета может
быть найдена сравнительно просто в приближении физической
оптики 0:
R θ 
0 
  πR s  fв i
 ,
L
(6)
 0
R fг θi 

 fв θi  и R fг θi  – коэффициенты отражения
где коэффициенты R
для волны с вертикальной и горизонтальной поляризацией соответственно:
2


(
ε

1)[(
ε

1)sin
θi  ε r ]
r
r
 fв θi  
R
,
2
2
[ε r cosθi  ε r  sin θi ]
R fг θi  
(ε r  1)
.
2
2
[cosθi  ε r  sin θi ]
(7)
Большинство естественных и искусственных поверхностей в
той или иной степени шероховаты. Моделирование шероховатостей осуществляется путем наложения на поверхность фацета
статистических неровностей, высоты которых h(x, y) распределены по нормальному закону с нулевым средним и дисперсией
σ 2h . Пространственная корреляционная функция неровностей
принимается изотропной и описывается гауссовым законом:
84
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(x 2  x1 ) 2 (y 2  y1 ) 2
ρ h (x1 , y1 , x 2 , y 2 )  exp[ 

].
l2h
l2h
(8)
При таком способе моделирования шероховатостей модули
элементов матрицы эффективной длины фацета вычисляются по
формуле:
l  σ S ,
(9)
ij
ij
где σ ij (i,j = в,г) – удельная ЭПР фацета, S – площадь поверхности
фацета. Фазы элементов считаются статистически независимыми
и равномерно распределенными в интервале 0..2π 0.
В общем случае расчет характеристик рассеяния статистически неровных поверхностей весьма сложен. Однако для некоторых частных случаев решение задачи рассеяния имеет достаточно простое приближенное решение. В настоящее время имеются два подхода к исследованию задач рассеяния на
шероховатой поверхности: метод малых возмущений и метод
Кирхгофа.
Метод малых возмущений пригоден для описания поверхностей с малыми неровностями, причем углы наклона неровностей должны быть меньше единицы:
h(x, y)  λ ,
h(x, y)
 1,
x
h(x, y)
 1.
y
(10)
В приближении метода малых возмущений вторичная волна
представляется в виде суперпозиции волны, отраженной от гладкой поверхности, и волны рассеянной шероховатостью фацета.
Матрица эффективной длины фацета может быть представлена в
виде суммы:
 L
 0  ΔL
.
L
(11)
 0 описывает зеркальное отражение и соответстМатрица L
вует матрице (6) с учетом шероховатости 0:
R θ 
0 
2 2
2
  πR s  fв i

L
exp[

2σ
k
cos
θi ] . (12)
h
 0



R
θ

fг
i 
 осуществляется в соответРасчет элементов матрицы Δ L
ствии с формулой (7) и предположением о случайности фаз. Для
удельных ЭПР метод малых возмущений дает следующие выра85
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
жения 0:
p2  q 2
σij  4k cos θi cos θ r σ l α ij exp[ l
] , (i,j = в,г) (13)
4
где p  ksinθs coss  ksinθi , q  ksinθssin s ,
ε r  1coss
,
α гг  
[cosθi  ε r  sin 2θi ][cosθs  ε r  sin 2θs ]
4
α вг  
2
2 2
h h
ε r  1
2
h
ε r  sin 2θs coss
[cosθi  ε r  sin θi ][cosθs  ε r  sin θs ]
2
α гв 
α вв 
2
ε r  1
2
,
ε r  sin 2θs coss
[cosθi  ε r  sin θi ][cosθs  ε r  sin θs ]
2
ε r  1[ε rsinθisinθs  coss
2
(14)
,
ε r  sin 2θi ε r  sin 2θs ]
[ε r cosθi  ε r  sin θi ][ε r cosθs  ε r  sin θs ]
2
2
.
Если метод малых возмущений применим только в случае
малых неровностей, то метод Кирхгофа позволяет рассчитывать
поле рассеяния для неровностей любой величины, но их радиусы
кривизны должны быть много больше длины волны:
(15)
R x  λ , R y  λ .
В случае слабошероховатой поверхности приближение
Кирхгофа дает практически тот же результат, что и метод малых
возмущений, однако хуже описывает поляризационные эффекты.
Для случая больших неровностей метод Кирхгофа дает следующие результаты [6]:
k 2l 2cos 2θi 
υ2l 2
2 2
σ вв 
R fв θi  f θi , θs , s exp[  2 2 ] ,
υ2zσ 2h
υz σ h
k 2l 2cos 2θi 
υ2l 2
2 2
σ гг 
R fг θi  f θi , θs ,  s exp[  2 2 ] ,
υ2zσ 2h
υz σ h
σвг  σгв  0 ,
86
(16)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где
υz  kcosθi  cosθi  , υ2  p 2  q 2 ,
p  ksinθs cos s  sin θi , q  ksinθs cos s ,
1  cos θi cos θs  sin θi sin θs cos  s
f θi , θs ,  s  
,
cos θi cos θi  cos θs 
(17)
 fв θi  и R fг θi  – коэффициенты отражения
a коэффициенты R
Френеля, определенные в (7).
Выводы
Разработанная модель входных сигналов радиолокационных
систем позволяет учесть реальную геометрическую форму и шероховатость объектов радиолокационной сцены. Таким образом,
разработанная модель обеспечивает высокую степень адекватности моделирования входных сигналов.
Список литературы
[1] Киселева Ю. В., Кренев А.Н. Исследование отражений
от Земной поверхности методом математического моделирования
// Сборник докладов VII Международной научно-технической
конференции «Радиолокация. Навигация. Связь». Том 3, Воронеж, 24-26 апреля, 2001. С. 1538-1548.
[2] Борзов А.Б., Соколов А.В., Сучков В.Б. Цифровое моделирование входных сигналов систем ближней радиолокации от
сложных радиолокационных сцен // Успехи современной радиоэлектроники. 2004. № 9-10. С.38-62.
[3] Радиолокационные методы исследования Земли / Под
ред. Ю.А. Мельника. М.: Советское радио, 1980.
[4] Справочник по радиолокации: В 4 т. / Под ред.
М. Сколника. Т. 2. М.: Советское радио, 1976.
[5] Киселева Ю. В., Кренев А.Н. Полунатурное моделирование в задаче картографирования земной поверхности // Телекоммуникации. 2003. № 2. С. 26-29.
[6] Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. Т. 2. М.: Советское радио, 1981.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
87
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
АНАЛИЗ ПРИМЕНЕНИЯ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ ПЕРЕДАЧИ
С ОРТОГОНАЛЬНЫМ ЧАСТОТНЫМ
РАЗДЕЛЕНИЕМ КАНАЛОВ
А.А. Головкова, Ю.Н. Коновалова, С.В. Сорокин
Аннотация
В работе проведено исследование имитационной модели
ограниченного по полосе канала передачи с ортогональным частотным разделением с применением различных базисных функций для формирования группового сигнала. Выполнено сравнение энергетических характеристик каналов DWT-OFDM и DFTOFDM.
Введение
Технологии беспроводной передачи данных сегодня прочно
вошли в жизнь. Современные беспроводные сети позволяют решать множество задач: от организации сети внутри помещения,
Hot-Spot-ов – до распределенных сетей масштаба города, региона
и даже целого государства.
Одним из наиболее важных вопросов при стандартизации
систем беспроводной передачи является вопрос выбора типа используемой модуляции. Для реализации данных технологий
предложено несколько методов линейного кодирования, но в настоящее время наибольшее распространение получил алгоритм
OFDM (мультиплексирование с ортогональным частотным разделением (Orthogonal Frequency Division Multiplexing)).
OFDM является одним из алгоритмов модуляции со многими несущими. Его идея состоит в разделении всей используемой полосы пропускания канала на большое количество независимых узкополосных подканалов, каждый из которых используется для организации независимого канала передачи данных.
Система связи со многими несущими представлена на
рис. 1.
88
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 1. Система связи со многими несущими
Входной поток разделяется на выборки по B бит в каждой.
Биты данных в каждой выборке кодируются в комплексные
QAM-символы. Для того чтобы передавать по каналу действительный сигнал, выполняется обратное дискретное преобразование Фурье этой комплексной последовательности. На приѐмной стороне, соответственно, выполняется прямое преобразование Фурье переданного сигнала, затем осуществляется его
QAM-декодирование.
Существенной проблемой является межсимвольная интерференция (МСИ), которая проявляется в том, что заключительная
часть предыдущего OFDM – символа искажает начало следующего символа, чья заключительная часть в свою очередь искажает начало следующего за ним символа и т.д. Для устранения
явления межсимвольной интерференции можно ввести дополнительный защитный интервал перед каждым символом. Однако
основным методом борьбы с МСИ является присоединение циклически повторяемого префикса между блоками. Таким образом,
элементарные символы OFDM должны быть разделены технологическими заградительными интервалами. В итоге совокупная
длина временного интервала, который не может быть использо89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ван непосредственно для передачи данных, может оказаться
сравнительно большим. Следствием этого является снижение
эффективности использования полосы пропускания линии. Для
уменьшения потерь полосы пропускания, появляющихся вследствие введения циклического префикса, вместо пары преобразований Фурье было предложено использовать вейвлетпреобразование благодаря высокой ортогональности его поднесущих и их хорошей частотной и временной локализации.
DWT-OFDM можно считать разновидностью OFDMмодуляции, так как она получается из OFDM простой заменой
пары преобразований Фурье (обратное - прямое) на пару преобразований вейвлет. В дальнейшем OFDM модуляция с фурьепреобразованиями будет обозначаться как DFT-OFDM, с вейвлет – DWT-OFDM.
В случае вейвлет-преобразования сигнал анализируется путем разложения по базисным функциям, полученным из некоторого прототипа путем сжатий, растяжений и сдвигов. Функцияпрототип называется анализирующим (материнским) вейвлетом.
Вейвлет - функция должна удовлетворять 2-м условиям:
1. Среднее значение (интеграл по всей прямой равен нулю).
2. Функция быстро убывает при t   .
За счѐт изменения масштабов вейвлеты способны выявить
различие в характеристиках на разных шкалах, а путѐм сдвига
проанализировать свойства сигнала в разных точках на всѐм изучаемом интервале. В силу свойства полноты и ортонормированности этой системы возможно осуществление обратного преобразования.
Благодаря использованию вейвлетов специфическое отличие DWT-OFDM от DFT-OFDM состоит в том, что в нѐм используется наложение во временной области для достижения высокого спектрального содержания подканалов в частотной области.
Кроме того, в сильно зашумлѐнных каналах из-за хорошей локализации полезного сигнала его мощность сосредоточена на некотором участке, а не размазана по всему спектру, что обеспечивает
лучшее соотношение сигнал/шум, чем в схеме OFDM.
Кроме того, благодаря хорошей временной локализации модулированного вейвлетами сигнала в схеме DWT-OFDM отпадает необходимость введения циклического префикса.
90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Метод исследования
Для анализа оптимальности выбора того или иного вейвлета
и сравнения DWT-OFDM системы с DFT-OFDM в условиях
влияния белого шума и межсимвольной интерференции в канале
передачи данных, в программе Simulink пакета Matlab 7 были построены модели систем DWT-OFDM и DFT-OFDM.
Рис. 2. Имитационная модель системы передачи
с ортогональным частотным разделением каналов
В одной из них использовалась пара преобразований Фурье,
во второй – вейвлеты Добеши N-ого порядка (dbN) и симлеты Nого порядка (symN). Модель состоит из передатчика, канала связи, приемника и блока оценки.
Для моделирования межсимвольной интерференции в канале передачи данных использовался цифровой КИХ фильтр 16 порядка (рис. 3), ограничивающий полосу пропускания канала, с
полосой среза  fc. Так же в канале к полезному сигналу s(t) добавлялся аддитивный белый гауссовский шум n(t).
91
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 3. Модель канала передачи данных
Циклические префиксы в обеих моделях отсутствовали.
Анализ результатов
На рис. 4, 5 приведены результаты анализа имитационных
моделей двух систем с различными ортогональными базисами.
На рис. 4 изображена зависимость относительного уровня ошибок на один переданный бит информации (BER) от отношения
сигнал/шум (SNR=Ps/Pn, где Ps - мощность сигнала, Pn - мощность шума) для двух базисов: Фурье-базиса (fft), вейвлета Добеши восьмого порядка (db8). Частота среза фильтра  fc=0.98  f
(  f= 1 , где Tb - длительность бита)
Tb
Выбор QAM-16 обусловлен широким использованием его
в ряде стандартов: цифрового телевидения DVB-T, локальной
беспроводной сети IEEE 802.11g, корпоративной сети IEEE
802.16 и др.
Анализируя полученный результат, можно сделать вывод,
что в каналах, слабо ограниченных по полосе, зависимости BER
от SNR для систем DFT-OFDM и DWT-OFDM практически совпадают. Это объясняется слабым влиянием МСИ. Оно становится
более ощутимым при уменьшении частоты среза фильтра, что наглядно продемонстрировано на рис. 5 (частота среза была
уменьшена до 0.95  f).
92
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
-1
10
fft
db8
-2
BER
10
-3
10
-4
10
-5
10
10
15
20
25
dB, SNR
30
35
40
Рис. 4. Вероятность появления ошибочных битов
для двух базисов при  fc=0.98  f.
-1
10
fft
db8
-2
10
-3
BER
10
-4
10
-5
10
-6
10
10
15
20
25
dB, SNR
30
35
40
Рис. 5. Вероятность появления ошибочных битов
для двух базисов при  fc=0.95  f
Приведѐнные на рис. 5 зависимости показывают, что система с вейвлет-преобразованиями дает меньший уровень ошибки,
чем система с преобразованиями Фурье (выигрыш порядка 4 dB
при BER=10-3) при больших SNR. Это объясняется тем, что в
93
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
случае отсутствия циклического префикса межсимвольная интерференция оказывает гораздо большее влияние на систему с
преобразованиями Фурье, чем на систему с вейвлет-преобразованием. В последней подканалы более локализованы во временной области. Полученные результаты подтверждают приведѐнное
выше утверждение, что DWT-OFDM-система не требует добавления циклического префикса для борьбы с межсимвольной
интерференцией.
На рис. 6 приведены зависимости BER от SNR для пяти различных вейвлет-базисов Добеши.
-1
10
db1
db2
db4
db8
db16
-2
10
-3
BER
10
-4
10
-5
10
-6
10
10
15
20
25
db, SNR
30
35
40
Рис. 6. Вероятность появления ошибочных битов
для различных вейлет-базисов Добеши при  fc=0.95  f.
При больших SNR наименьший уровень ошибки даѐт система с db16 (выигрыш порядка 0.5 dB по сравнению с db8 и порядка 2.5 dB по сравнению с db4 при BER=10-5). В отличие от
db16, минимальное значение BER в системах с базисами db1 и
db2, достигает только 10-3. Таким образом, можно сделать вывод
об оптимальности данного вейвлет-базиса.
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заключение
В работе исследована имитационная модель канала с ортогональным частотным разделением с использованием вейвлетпреобразования. Полученные результаты показали, что в условиях МСИ в канале с аддитивным белым гауссовым шумом система
с вейвлет-преобразованиями даѐт меньший уровень BER по сравнению с системой на основе преобразований Фурье. Кроме того,
был проведѐн анализ модели с использованием в качестве базисных функций симлетов. Согласно результатам проведѐнных исследований качественные отличия симлетов от вейвлетов Добеши отсутствуют.
Список литературы
[1] Прокис Дж. Цифровая связь М.: Радио и связь, 2000.
[2] Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в
MATLAB М.:ДМК 2005.
[3] Haixia Zhang, Dongfeng Yuan, Mingyan Jiang, Dalei Wu,
Research of DFT-OFDM and DWT-OFDM on Different Transmission Scenarios, Proceedings of the 2nd International Conference
on Information Technology for Application (ICITA 2004).
[4] Richard Gross, Halil Padir, and Xuming Zhang. Measured
performance of Discrete Wavelet Multitone (DWMT) Modem // IEEE
802.14-96/007.
[5] Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и
их использование // Успехи физических наук. Май 2001. Том 171,
№ 5.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
95
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВЫСОКООМНОГО
ПОРИСТОГО КРЕМНИЯ С ОКСИДНОЙ ФАЗОЙ*
Е.С. Горлачев
Аннотация
В интервале температур 294-367 К исследованы электрические свойства структур металл – пористый кремний – монокристаллический кремний – металл с толстым слоем высокоомного
пористого кремния с оксидной фазой. Показано, что процессы
токопрохождения в исследуемых структурах определяются процессами туннелирования электронов через тонкие оксидные прослойки между кремниевыми нанокристаллитами. В сильных полях для слоев высокопористого кремния наблюдается эффект
Пуля-Френкеля.
Высокоомный пористый кремний (ПК), обладая уникальными физическими и химическими свойствами, является перспективным материалом микро-, нано- и оптоэлектроники. В настоящее время опубликовано большое число работ, посвященных
исследованию пористого кремния с высокой пористостью
(P>50%) и влиянию на его свойства различных факторов. Известно, что данный материал представляет собой совокупность нанокристаллов Si, находящихся в оболочке продуктов электрохимических реакций аморфной или оксидной фазы [1]. Для разработки оптоэлектронных устройств чрезвычайно важно знать
особенности транспорта носителей в подобных системах. Как
правило, в литературе описываются образцы ПК, содержащего
нанокристаллиты Si, окруженные аморфной фазой, близкой по
своим свойствам к α-Si:H [2]. Предлагается множество различных
моделей, описывающих свойства данного материала, которые
часто противоречат друг другу. ПК является исключительно
сложным по своему строению и разнообразным по своим физическим характеристикам материалом. На его свойства влияют
размер и форма пор, тип и степень легирования исходной пла*
Работа выполнена под руководством д-ра физ.-мат. наук.
С.П. Зимина.
96
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
стины Si, параметры получения, используемый электролит, размеры нанокристаллитов и обедненных областей вокруг пор, состав поверхностного покрытия и т.д. К настоящему времени в литературе практически отсутствует информация о свойствах ПК,
содержащего фазу SiOx.
В данной работе были исследованы электрические свойства
структур, содержащих толстые слои ПК с оксидной фазой, принадлежащего по классификации [3] к 4-й группе.
Исходными пластинами служил легированный фосфором
монокристаллический кремний (МК) марки КЭФ-1,0 кристаллографической ориентации (100). Слои ПК формировались на МК
методом электрохимического травления Унно-Имаи. При травлении использовался электролит, состоящий из одной части 48%
водного раствора плавиковой кислоты (HF) и одной части изопропилового спирта. Величина тока анодирования равнялась 50
мА/см2, время анодирования составляло 60 мин. Толщина полученных пористых слоев была 204 мкм. Для проведения электрофизических измерений были созданы структуры типа «сэндвич»,
для чего на образцы методом вакуумного термического напыления были нанесены пленочные алюминиевые контакты толщиной
~1 мкм. Для стабилизации химического состава ПК [4] перед
проведением измерений образцы отжигались в инертной среде
при температуре 350°С и затем долгое время хранились на воздухе. Измерения емкости образцов (которая не зависела от подаваемого напряжения в интервале –2÷2 В) позволили определить
величину относительной диэлектрической проницаемости ПК
ε=3,5, что соответствует пористости около 75% [5].
Присутствие оксидной фазы для данных образцов было установлено методами рентгеновской дифрактометрии. Структура
исследуемых пористых слоев была изучена в работе [6]. Для этого использовался дифрактометр ДРОН-2 с фокусировкой по Брэггу-Брентано. Исследования проводились при углах 2θ от 5 до 150
градусов. Поверхность образца при съемке дифрактограммы
(медный источник, =1,54 Å) была отклонена от нормального положения на угол 6°, чтобы не было видно рефлекса от исходной
подложки (рис. 1, кривая 4).
Как следует из приведенной на рис. 1 дифрактограммы,
97
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
I, отн. ед.
максимум аморфного гало для данного образца ПК (рис. 1, кривая 2) приходится на угол 2θ=23,1° и сдвинут относительно положения для аморфного кремния 2θ=28,5° (рис. 1, кривая 3). Анализ функции радиального распределения 4πr2ρ(r)=f(r), где ρ(r) –
радиальная функция атомной плотности, r – расстояние по радиусу, рассчитанной по методике работ [7, 8], показал что ее координационные максимумы приходятся на расстояния r, равные
1,75; 3,4 и 5,1 Å, что отличается от положения координационных
максимумов в кристаллическом (2,35; 3,6; 4,5 и 5,5 Å) и в
аморфном кремнии. Полученная функция радиального распределения подобна функции радиального распределения для аморфного кварца SiO2 (1,62; 2,65; 3,12; 4,2; 5,2 Å) [8].
Рис. 1. Рентгеновские дифрактограммы:
1 – образец с удаленным приповерхностным слоем;
2 – образец с приповерхностным аморфизированным слоем;
3 – пленка аморфного кремния, полученного в плазме
тлеющего разряда на подложке (100);
4 – кремниевая подложка КЭФ-1,0. Рефлекс при 2θ = 69˚
соответствует (400) Si
Если применить к полученной функции радиального распределения метод «функций пар атомов» для гетероатомных систем [8], то первый координационный максимум для данного об98
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
разца ПК с учетом погрешности расчетов соответствует связи
Si-O в аморфном SiO2, второй – связи Si-Si в кристаллическом
(аморфном) кремнии и в SiO2, а третий – связи Si-Si в кристаллическом кремнии и SiO2. Поэтому полученный набор координационных максимумов для исследуемого ПК может быть объяснен
появлением в объеме и на поверхности образца (рис. 1, кривые 1,
2) оксидной фазы, близкой по свойствам к SiO2. Таким образом,
в объеме ПК наших образцов содержатся нанокристаллиты Si,
окруженные оболочкой оксидной фазы.
В интервале температур 294-367 К были измерены вольтамерные характеристики (ВАХ) исследуемых образцов. Для снятия ВАХ структур Al-ПК-МК-Al с толстыми слоями высокопористого кремния применялся метод амперметра-вольтметра, модифицированный для измерения высокоомных образцов. Для измерения электрических параметров в интервале температур
образец помещался на нагревательный столик, температура контролировалась при помощи медь-константановой термопары.
4000
Т=294 К
Т=313 К
Т=330 К
Т=347 К
Т=367 К
I, нА
3000
2000
1000
U, В
0
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
-1000
Рис. 2. Температурная зависимость ВАХ
99
1,5
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вид температурных зависимостей ВАХ исследуемых структур приведен на рис. 2. Начальные участки ВАХ являются строго
линейными, что позволило рассчитать величину удельного сопротивления ПК по формуле
ρ  R обр
S
,
d
(1)
где ρ – удельное сопротивление ПК, Rобр – сопротивление образца, S – площадь алюминиевых контактных площадок, d – толщина пористого слоя. Rобр рассчитывалось из начальных линейных
участков ВАХ. При комнатной температуре удельное сопротивление ПК ρ=3∙109 Ом∙см, что превышает типичные значения для
ПК с аморфной фазой α-Si:H. При повышении температуры до
367 К удельное сопротивление материала уменьшается примерно
в 20 раз и составляет 1,6∙108 Ом∙см. Зависимость σ(Т), построенная в масштабе lnσ=f(1/T), показана на рис. 3. Зависимость электропроводности от температуры носит активационный характер.
0
0,001
0,002
0,003
0,004
0
1/T , 1/K
ln σ, Ом-
-5
-10
1
∙см-1
-15
-20
-25
Рис. 3. Активационная зависимость проводимости
исследуемого образца
Значения энергии активации и предэкспоненциального
множителя составляют EA=0,42 эВ, σ0=1,84∙10-3 Ом-1∙см-1. Полученные величины попадают в сектор так называемого «нижнего»
правила Мейера-Нелдела сводной зависимости Лубианикера и
Балберга [9]. Это указывает на то, что в объеме ПК, содержащего
100
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
оксидную фазу, электрический транспорт происходит либо путем
активированных прыжков носителей заряда через ловушки оксида, либо туннелирования носителей через прослойки SiOx. Необходимо отметить, что для структур, содержащих слои высокоомного ПК с фазой α-Si:H, выполняется «верхнее» правило МейераНелдела, соответствующее транспорту по протяженным (нелокализованным) состояниям в аморфном материале.
Энергия активации проводимости исследуемых образцов, по
всей видимости, определяется высотой потенциальных барьеров
на границах нанокристаллитов Si, которые обусловливают активационную зависимость подвижности. Измерения вольтемкостных характеристик показали, что емкость образца остается
постоянной во всем интервале напряжений, что говорит об отсутствии заметного влияния барьеров МК/ПК и ПК/Al. Спрямления
ВАХ в координатах ln I=f(U) также не происходит. Большая часть
прикладываемого напряжения падает именно на высокоомном
слое ПК. Таким образом, в исследуемых образцах с толстым высокоомным пористым слоем перенос носителей управляется
именно объемным пористым слоем, а не потенциальными барьерами в структуре.
Был проведен анализ ВАХ в рамках модели Пуля-Френкеля,
в соответствии с которой должен выполняться закон следующего
вида
 U1/ 2 
I  I0 exp 
,
2kT


(2)
где β – коэффициент, являющийся характеристикой диэлектрического материала [10].
Существует ряд литературных источников, указывающих на
наблюдение подобных зависимостей для структур со слоями нанопористого высокоомного ПК [11, 12]. Для исследуемых образцов было обнаружено спрямление прямых и обратных ветвей
ВАХ, перестроенных в масштабе ln I=f(U1/2). Как известно, эффект Пуля-Френкеля заключается в возрастании вероятности тепловой ионизации кулоновских центров в твердых телах под
влиянием внешнего электрического поля. В исследуемых нами
101
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
структурах наблюдается увеличение тепловой эмиссии носителей
через потенциальные барьеры на границах Si/SiOx нанокристаллитов. Этот процесс дает нелинейный вклад в общую электропроводность пористого слоя. Каждый нанокристаллит в высокоомном ПК окружен широкозонным диэлектриком (SiOx c
Eg=1,1÷9 эВ при x=0÷2), поэтому представляет собой квантовую
точку. Подаваемое внешнее смещение падает в основном на SiOx
в силу его большего удельного сопротивления и меньшей диэлектрической постоянной. При достаточно высоком напряжении локально может произойти то, что потолок валентной зоны одного
кристаллита сравняется с дном зоны проводимости соседнего. В
такой ситуации имеют место два основных процесса. Во-первых,
это туннелирование электронов между кристаллитами через тонкие оксидные прослойки. Это подтверждается выполнением соответствующего правила Мейера-Нелдела в модели Лубианикера-Балберга. Во-вторых, в более сильных полях начинает играть
существенную роль процесс возбуждения электронов с уровней
ловушек оксидного слоя на поверхности микропор в зону проводимости нанокристаллита Si в результате эмиссии ПуляФренкеля. На существование данного явления указывает закон
изменения нелинейных участков ВАХ.
Таким образом, анализ полученных результатов в рамках
модели Лубианикера-Балберга позволяет сделать вывод о том,
что в исследуемых структурах, содержащих толстые слои высокоомного ПК с оксидной фазой, процесс токопрохождения проходит путем туннелирования носителей между нанокристаллитами через оксидные прослойки или путем прыжков носителей по
ловушечным состояниям оксида. Существует два транспортных
канала с различными энергиями активации. Первый – омический,
обладающий малой энергией активации. Второй канал соответствует большим напряжениям в структуре и связан с процессами
термоэмиссии через энергетические барьеры (границы Si/SiOx
нанокристаллитов). Зависимость электропроводности ПК от температуры и напряжения в данном случае описывается законом
Пуля-Френкеля.
102
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
[1] Oguro T., Koyama H., Ozaki T., Koshida N. Mechanism of
the visible electroluminescence from metal/porous silicon/n-Si devices
// J. Appl. Phys. 1997. Vol.81, №3. P. 1407-1412.
[2] Lubianiker Y., Balberg I. A comparative study of the MeyerNeldel rule in porous silicon and hydrogenated amorphous silicon
// J. Non-Cryst. Solids. 1998. Vol. 227-230. P. 180-184.
[3] Зимин С.П. Классификация электрических свойств пористого кремния // ФТП. 2000. Т.34, вып. 3. С. 359-363.
[4] Salonen J., Lehto V.-P., Laine E. The room temperature oxidation of porous silicon // Appl. Surf. Sci. 1997. Vol. 120. P. 191-198.
[5] Зимин С.П., Комаров Е.П. Емкость структур с толстым
слоем пористого кремния // Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22, вып. 19.
С. 69-73.
[6] Волкова О.В. Рентгеновская дифрактометрия пористого
кремния / Дипломная работа. Ярославль, 2001. 68 с.
[7] Татаринова Л.И. Электронография аморфных веществ.
М.: Наука, 1972. 104 с.
[8] Скрышевский А.Ф. Структурный анализ жидкостей и
твердых тел. М.: Высшая школа, 1980. 328 с.
[9] Lubianiker Y., Balberg I. Two Meyer-Neldel rules in porous
silicon // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78, № 12. P. 2433-2436.
[10] Зи С. Физика полупроводниковых приборов: В двух
книгах. – М.: Мир, 1984. – 901 с.
[11] Ben-Chorin M., Muller F., Koch F. Nonlinear electrical
transport in porous silicon // Phys. Rev. B. 1994. Vol. 49, № 4.
P. 2981-2984.
[12] Форш П.А., Осминкина Л.А., Тимошенко В.Ю., Кашкаров П.К. Особенности электрического транспорта в анизотропно
наноструктурированном кремнии // ФТП. 2004. Т. 38, вып. 5.
С. 626-629.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
103
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ОТНОШЕНИЯ СИГНАЛ / ШУМ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТРЁХ МЕДИАННЫХ ФИЛЬТРОВ
Г.Е. Гулюгина
Аннотация
Рассмотрена задача оценки полезного сигнала на фоне гауссовского шума. Предлагается ввести в структуру приемника
медианный фильтр, позволяющий существенно ослабить помеху.
В настоящее время методы цифровой обработки сигналов
получили широкое распространение в телевидении, радиотехнике, системах связи, управления и контроля. Одной из самых распространенных операций при такой обработке является цифровая
фильтрация сигналов. Под термином "цифровая фильтрация"
обычно понимают локальную цифровую обработку сигнала
скользящим окном или аппертурой.
Целью работы явилась оценка точности отношения сигнал
/ шум по напряжению с использованием трѐх последовательно и
параллельно стоящих медианных фильтров со скользящими масками из трѐх, пяти и семи отсчѐтов. По полученному коэффициенту вариации и отношению сигнал / шум делается вывод об эффективной работе того или иного фильтра.
1. Одномерный медианный фильтр
Одномерный медианный фильтр представляет собой скользящее окно охватывающее нечетное число элементов изображения [1].
Медианный фильтр в одних случаях обеспечивает подавление шума, а в других - вызывает нежелательное подавление сигнала. Медианный фильтр не влияет на пилообразные и ступенчатые функции, что обычно является полезным свойством, однако
он подавляет импульсные сигналы, длительность которых составляет менее половины ширины окна. Фильтр также вызывает
уплощение вершины треугольной функции. Возможны различные стратегии применения медианного фильтра для подавления
шумов [6].

Работа выполнена под руководством проф. И.Т. Рожкова.
104
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Одна из них рекомендует начинать с медианного фильтра,
окно которого охватывает три элемента изображения. Если ослабление сигнала незначительно, то окно расширяется до пяти
элементов. Так поступают до тех пор, пока медианная фильтрация начнет приносить больше вреда, чем пользы. Другая возможность состоит в каскадной медианной фильтрации сигнала с использованием фиксированной или изменяемой ширины окна. В
общем случае те области, которые остаются без изменения после
однократной обработки, не меняются и после повторной обработки [2]. Области, в которых длительность импульсных сигналов составляет менее половины ширины окна, будут подвергаться изменениям после каждого цикла обработки .
2. Исходные условия для исследования
и порядок расчетов
1
3
4
5
Вых
2
Рис. 1.Структурная схема экспериментального макета
С источника сигнала 1 поступают видеоимпульсы в виде
равнобедренных треугольников со скоростью передачи посылок
v = 9,6 кБит/с, а с - 2 поступает гауссов шум с математическим
ожиданием равным нулю, среднеквадратическим отклонением
 =0,1В и корреляционной функцией:
K   =  2 exp(-  2 )cos(  0 ),
(1)
где  =  f 2 э,  fэ=3v/2 - эффективная полоса частот.
Cигнал и шум подаются на сумматор 3, а после наложения
друг на друга, проходят через дискретизатор 4, где получается
исходная последовательность отсчѐтов для исследований.
После этого дискретизированная последовательность сигнала с шумом подвергается медианной фильтрации в фильтре 5.
105
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В данной работе проведены экспериментальные исследования не одиночного медианного фильтра, а результаты трѐх последовательных и трѐх параллельно стоящих медианных фильтров дискретизированного сигнала с шумом.
Принцип работы последовательного фильтра 5 заключается
в том, что после дискретизатора сигнал с наложенным на него
шумом полностью проходит через один медианный фильтр с определѐнной скользящей маской, потом через другой медианный
фильтр. И, наконец, дважды профильтрованный сигнал с шумом
попадает в третий медианный фильтр со своей скользящей маской.
Принцип работы параллельного фильтра 5 состоит в том,
что сам фильтр содержит в себе три параллельно расположенных
медианных фильтра с различными скользящими масками и весовыми коэффициентами. Дискретизированный сигнал с наложенным на него шумом независимо фильтруется на каждом медианном фильтре, а затем суммируется (рис. 2). Весовые коэффициенты в сумме равны единице.
Рис. 2. Структурная схема параллельного фильтра,
где a1, ..., a7 - окна в медианных фильтрах;
K1, K2, K3 - весовые коэффициенты
При расчѐтах коэффициенты корреляции получились относительно малыми, поэтому ими можно пренебречь. Будем считать, что шум не коррелирован [5].
При расчѐтах принимался дискретизированный видеосигнал
с различным количеством посылок (количество посылок было 1,
10, 100) с наложенным на него шумом.
106
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отношение сигнал/шум так же принималось различным.
Рассматривались сигналы с отношениями сигнал/шум равными
Uca/  ш =0, 0.5, 1, 2, 5, 10, где Uca – амплитудные значения отсчѐтов сигнала,  ш – среднеквадратическое значение шума.
В первом случае фильтрация проводилась последовательно
стоящими медианным фильтрами, длины отсчетных окон которых были 3, 5, 7 отсчетов. Были рассмотрены все девять комбинаций фильтров, такие как Ф333, Ф555, Ф777, Ф357, Ф375, Ф537,
Ф573, Ф735, Ф753, где Ф - три последовательных медианных
фильтра; 333, ... ,753 – окна каждого из фильтров. Одинаковые
окна 333 (555, 777) означают, что дискретизированный сигнал с
наложенным на него шумом подвергался трижды медианной
фильтрации со скользящей маской из трѐх (5, 7) отсчѐтов. Разные
цифры, например Ф357, означают, что дискретизированный сигнал с наложенным на него шумом сначала полностью проходил
через трѐхоконный фильтр, потом профильтрованная последовательность попадала на пятиоконный медианный фильтр, и, наконец, уже дважды фильтруемая начальная дискретизированная последовательность обрабатывалась на фильтре со скользящей маской из семи отсчетов.
Во втором случае фильтрация осуществлялась параллельным фильтром, состоящим из трѐх медианных фильтров с разными масками (3, 5, 7). Вид фильтра изображен на рис. 2.
У получившихся последовательностей определялось математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, вариация, вид плотности вероятности. Коэффициент вариации вычислялся по формуле [3]:
V = σ/m,
(2)
где V - коэффициент вариации,  - среднеквадратическое отклонение, m - математическое ожидание.
Далее полученные данные были занесены в сводные таблицы, были сделаны графики динамики изменения параметров.
3. Анализ полученных результатов
3.1. Для последовательного фильтра
Полученные результаты приведены в табл. 1.
107
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 1
Значения коэффициентов вариации для последовательных фильтров,
где N – количество посылок
N
1
10
Параметр
точности
Тип
фильтра
0
0,5
1
2
5
10
Коэффициент
Вариации
Ф333
Ф555
Ф777
0,3789
0,5813
0,5736
0,3716
0,7451
0,7939
0,4165
0,7516
0,803
0,5578
0,7014
0,7513
0,7502
0,6739
0,5841
0,662
0,6487
0,5455
Коэффициент
Вариации
Ф333
Ф555
0,6589
0,6498
0,644
0,631
0,6763
0,6128
0,7436
0,6015
0,712
0,5923
0,655
0,52
Ф777
0,6326
0,6885
0,7783
0,7632
0,6683
0,6858
Ф333
Ф555
Ф777
0,7884
0,7853
0,7872
0,7904
0,7819
0,7724
0,7895
0,7652
0,7674
0,7787
0,7548
0,7451
0,7559
0,7418
0,7327
0,7394
0,7262
0,7231
Коэффициент
Вариации
100
Отношение сигнал/шум по напряжению
3.2. Параллельный фильтр
Для параллельного фильтра выбор весовых коэффициентов
производился на основании одиночных медианных фильтров со
скользящей маской из трѐх, пяти, семи отсчѐтов. По результатам
расчѐтов получили, что при одной посылке эффективней работает трехоконный фильтр, пятиоконный хуже трехоконного в два
раза, а семиоконный медианный фильтр мало эффективен при
1 посылке. Поэтому приняты: К1=0,6, К2=0,3, К3=0,1.
При десяти посылках лучше работает пятиоконный фильтр,
фильтры со скользящей маской 3 и 7, относительно пятиоконного
фильтра работают хуже приблизительно в шесть и два раза соответственно (К1=0,3, К2=0,6, К3=0,1). Выводы относительно значений весовых коэффициентов также проводились и при 100 посылках, но здесь эффективней был семиоконный фильтр, следовательно, К1=0,1, К2=0,3, К3=0,6.
Таким образом, получены отличные друг от друга весовые
коэффициенты для разного количества посылок для различных
фильтров.

Все вычисления и расчеты были проведены в программе, разработанной в среде MathCAD.
108
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Были вычислены значения математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения и коэффициента вариации [4]. Результаты занесены в табл. 2.
Таблица 2
Значения коэффициентов вариации для параллельных фильтров*,
где N – количество посылок
N
1
10
100
Параметр
точности
Коэффициент
Вариации
Коэффициент
Вариации
Коэффициент
Вариации
Отношение сигнал/шум по напряжению
0
0,5
1
2
5
10
0,708
0,71
0,712
0,734
0,851
0,84
0,773
0,807
0,827
0,78
0,778
0,675
0,764
0,761
0,757
0,756
0,753
0,684
По результатам коэффициентов вариации построены графики на которых видна эффективность того или иного фильтра при
различных отношениях сигнал /шум (рис. 3).
Из графиков можно сделать вывод о том, что при разных
количествах посылок и разном отношении сигнал / шум нет ярко
выраженной закономерности в эффективной работе того или иного последовательного фильтра.
Видно, что при одной посылке и большом отношении сигнал / шум целесообразно использовать фильтр Ф777; для 10 посылок лучше работает фильтр Ф555, а при 100 посылках видна
эффективность Ф777. Если рассматривать комбинированные
фильтры, то при одной посылке лучшая работа у Ф753. Во всех
остальных случаях (10, 100 посылок) комбинированные фильтры
работают неэффективно.
Для одиночного медианного фильтра целесообразнее использовать при одной посылке медианный фильтр со скользящей
маской из трѐх отсчѐтов, для 10 посылок - пятиоконный фильтр, а
при 100 посылках – семиоконный фильтр.
109
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
при 10 посылках
при 1 посылке
0,8
коэффициент вариации
коэффициент вариации
0,9
0,8
0,7
Ф333
0,6
Ф555
Ф777
0,5
0,4
0,75
0,7
Ф333
Ф555
0,65
Ф777
0,6
0,55
0,5
0,3
0
0,5
1
2
5
0
10
0,5
1
5
10
для параллельного фильтра
при 100 посылках
0,9
0,8
0,79
0,78
0,77
Ф333
0,76
Ф555
0,75
Ф777
0,74
коэффициент вариации
коэффициент вариации
2
сигнал / шум
сигнал / шум
0,73
0,72
0
0,5
1
2
5
0,85
0,8
1 посылка
10 посылок
100 посылок
0,75
0,7
0,65
10
0
сигнал / шум
0,5
1
2
5
10
сигнал / шум
Рис. 3
Эффективность параллельного фильтра видна лишь при отношении сигнал / шум, равном пяти или десяти, и больше, чем
при одной посылке.
При небольшом числе посылок (1, 10) эффективнее работает
последовательный фильтр, а при 100 посылках – параллельный.
При построении гистограмм плотности вероятности для каждого отношения сигнал / шум проявлялось своѐ распределение в
зависимости от количества посылок.
В работе специально брались три медианных фильтра, т.к.
при такой фильтрации обеспечивается подавление шума, а при
увеличении числа медианных фильтров проявляется нежелательное подавление сигнала, что также выявлено экспериментально.
110
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
[1] Воробьѐв Н.В. Мультиплексоры // Chip News. 1998.
№ 11-12. C. 3841.
[2] Воробьѐв Н.В. Цифровые компараторы // Chip News.
1999. №5. с.814.
[3] Рожков И.Т. Основы статистической радиофизики. Ч. 1:
Учебное пособие / ЯЗРИ ПВО. Ярославль, 1999. 80 с.
[4] Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Радио и связь, 1982. 624 с.
[5] Борисов Ю. П. Математическое моделирование радиосистем М.: Сов. радио, 1976. 296 с.
[6] Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений
/ Т.С. Хуанг, Дж.-О. Эклунд, Г.Дж. Нуссбаумер и др.; Под ред.
Т.С. Хуанга: Пер. с англ. М.: Радио и связь. 1984. 224 с.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
111
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРИМЕНЕНИЕ ЦЕПЕЙ МАРКОВА
ДЛЯ АНАЛИЗА ЦИКЛОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ
ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ*
И.А. Денежкин
Аннотация
В работе исследована математическая модель системы цикловой синхронизации в форме цепи Маркова, получены аналитические выражения для ряда характеристик системы. Приводятся
результаты моделирования системы в программе Simulink.
Введение
При цифровой передаче, после того как достигнута синхронизация по несущей и символам и из входящего сигнала извлечена логическая информация, то на следующем шаге определяется
начало и конец кодовых слов и групп кодовых слов, т.е. определяется цикл в необработанном потоке принимаемых битов. Эти
задачи синхронизации называются синхронизацией слов или
синхронизацией циклов соответственно.
Биты на разных позициях в пределах одного цикла могут
быть предоставлены, например, под каналы различных пользователей, разделенных в одной физической среде с помощью временного разделения каналов. Например, они могут быть отведены под различные телефонные вызовы в 30-канальном цикле
первичного ИКМ-мультиплексора (рис. 1) Поэтому синхронизация циклов играет первостепенную роль в цифровой передаче.
Значение принимаемых битов или, например, правильное демультиплексирование составляющих сигналов зависит от точного определения цикла.
Любой алгоритм синхронизации циклов состоит из двух основных операций:
 Поиск, когда приемное оборудование ведет поиск признаков синхронизации циклов – определение циклов в принимаемом потоке битов;
*
Работа выполнена под руководством проф. Л.Н. Казакова.
112
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 Удержание, когда приемное оборудование находится в
состоянии синхронизации циклов и непрерывно контролирует
границы цикла там, где по предположению они должны быть.
0
1
2
3
15
. . .
16
17
синхрослово
Si
0
0
1
1
0
1
...
28
29
30
31
байты, принадлежащие
различным телефонным
вызовам
1
сигнализация
Si
1
A
S 4 S5 S6 S 7 S8
Рис. 1. Структура цикла группового сигнала Е1
При синхронизации циклов используется специальная комбинация символов – синхронизирующее слово (синхрослово),
размещенное обычно в начале цикла (рис. 1). Поиск признака
синхронизации ведется методом отслеживания комбинации синхрослова на всех позициях принимаемого потока битов и его последующего удержания для проверки того, что это слово действительно находится там, где начинается цикл.
Математическая модель
Анализ случайных процессов, описывающих потерю и восстановление синхронизации, может быть выполнен с помощью
математической модели цепи Маркова (рис. 2), где Р – вероятность правильного распознавания синхрослова.
Из состояния правильной синхронизации А0 устройство
синхронизации циклов может перейти в состояние В0 только после α последовательно ошибочно определенных синхрослов. В
состоянии В0 устройство синхронизации циклов находится в
процессе поиска и, как только оно находит последовательность
битов, эквивалентную искомому синхрослову, переключается в
состояние правильной синхронизации циклов С0. Из этого состояния устройство синхронизации циклов переходит в состояние А0 только после δ последовательно безошибочно принятых
113
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
синхрослов. После приема первого же ложного синхрослова устройство возвращается обратно в состояние В0, и процесс поиска
начинается снова.
P
A0
Cδ-1
A1
1-P
P
P
C2
Aα-3
1-P
P
1-P
C1
Aα-2
1-P
P
C0
Aα-1
B0
1-P
Рис. 2. Цепь Маркова системы цикловой синхронизации
Существуют несколько параметров, характеризующих алгоритм синхронизации циклов:
 среднее число вынужденных потерь синхронизации в
единицу времени f;
 среднее значение tср и дисперсия σ2 времени установления
синхронизации (интервал времени между началом поиска
в состоянии В0 и достижением состояния синхронизации
А0);
 среднее значение tв и дисперсия σ2в времени возврата
синхронизации циклов (времени между началом поиска в
состоянии В0 и повторным вхождением в состояние синхронизации А0);
 вероятность ложной синхронизации (т.е. вероятность перехода в состояние синхронизма вследствие имитации
потоком бит синхрослова).
114
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Анализ параметров системы
Рассчитаем среднее время установления синхронизации. В
терминах цепи Маркова – это среднее время, за которое устройство синхронизации циклов достигает состояния А0 первоначально, находясь в состоянии В0 (рис. 3).
P
B0
1
P
C0
2
P
C1
3
P
Cδ-1
δ+
1
A0
δ+
2
1-P
Рис. 3. Граф переходов при анализе среднего времени
установления синхронизации
Пусть Nk – среднее число шагов до достижения состояния
δ+1 из первоначального состояния k. Если на первом шаге система из состояния k с вероятностью P перейдет в состояние k+1, то
дальнейший процесс будет происходить, как если бы начальное
состояние было равно k+1. Поэтому среднее число шагов до установления синхронизации при условии, что на первом шаге система перейдет в состояние k+1, будет равно Nk+1+1. Аналогично,
если на первом шаге система перейдет в состояние k-1, то это условное среднее принимает значение Nk-1+1. Тогда среднее число
шагов удовлетворяет разностному уравнению
Nk=(1-Р)( Nk+1 +1)+Р(N1+1)=(1-Р) Nk+1+Р N1 +1,
с граничным условием
Nδ+1=0
Решив разностное уравнение и положив k=1, получим
 1
N1= 1 P
(1 P)P 1
.
(1)
Отсюда
L 1 P  1 ,
tср 
f o (1 P)P  1
(2)
где L – длина цикла в битах, fo – скорость следования битов.
Среднее число вынужденных потерь синхронизации есть
величина обратная среднему времени выхода из синхронизации
115
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
(среднее время, затрачиваемое на переход из А0 в В0 (рис. 4)).
1-P
А0
1
1-P
А1
2
1-P
А2
3
1-P
Cα-1
α
В0
α
+
1
P
Рис. 4. Граф переходов при анализе среднего времени
выхода из синхронизации
Как видно, графы на рис. 3 и рис. 4 отличаются лишь числом состояний и вероятностью переходов. Тогда среднее время tв
выхода из синхронизации
(3)
L 1(1 P) ,
t 
в fo
P(1 P)
среднее число вынужденных потерь синхронизации
f 
f o P(1 P)
.
L 1 (1 P)
(4)
Среднее время возврата синхронизации – есть среднее время затрачиваемое на переход из В0 в А0, затем из А0 в В0 и затем
снова возврат в А0. Т.е. происходят два перехода из В0 в А0 и
один из А0 в В0.Тогда среднее время возврата синхронизации
циклов
tcр 2  2tср1  tв
или
t

cр2
L 1(1 P)  2L 1 P 1
f o P(1 P)
f o (1 P)P 1
(5)
Результаты моделирования
Для практического исследования системы цикловой синхронизации в программе ―Simulink‖ пакета MatLab была создана
модель. В этой модели групповой сигнал с длительностью бита
Тб=0.1 с проходил через линейный канал, ограниченный по поло116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
се (B=1/Tб – ширина полосы) с АБГШ (шум задавался в виде отношения Еб/No,где Еб – энергия бита, No – спектральная плотность
шума), вследствие чего происходили ошибки в определении битов, а следовательно, ошибки в определении синхрослова. Затем
сигнал восстанавливался и в восстановленном потоке битов происходил поиск синхрослова.
Вероятность Р правильного распознавания синхрослова зависит от вероятности правильного определения бита, которая в
свою очередь определяется отношением Еб/No
Вероятность неправильного определения бита р в предположении, что единичные и нулевые биты равновероятны, определяется как

1
p 
e
2 
1/ 2
z2

2 2
,
(6)
dz
где  2  BNo - дисперсия шума. Тогда вероятность правильного распознавания синхрослова Р=(1-р)7.
Рис. 5. Вероятность ошибки в определении
На рис. 5 изображены теоретические и практические результаты вероятности ошибки определения бита р, которые, как видно, совпадают. Из рис. 5 видно, что при увеличении энергии сигнала вероятность ошибки уменьшается и при Еб/No=13 dB вероятность ошибки практически равна нулю.
117
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 6 изображены теоретические и практические результаты среднего числа вынужденных потерь синхронизации при
различных значениях параметра α в зависимости от отношения
Еб/No. Из рисунка видно, что при больших энергиях сигнала
среднее число потерь меньше. Это происходит вследствие того,
что при большей энергии сигнала меньше вероятность ошибки в
синхрослове.
Рис. 6. Среднее число вынужденных потерь синхронизации
в секунду
Рис. 7. Среднее время (а) и дисперсия среднего времени
восстановления синхронизации (б) при α=1
На рис. 7 приведена зависимость среднего времени и дисперсии среднего времени установления синхронизации в зависи118
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мости от отношения энергии бита к спектральной плотности шума при различных значениях параметра δ. Как видно, практические и теоретические результаты для среднего времени установления синхронизации хорошо согласуются между собой.
Рис. 8. Среднее время (а)
и дисперсия среднего
времени восстановления
синхронизации (б) при α=2
Рис. 9. Среднее время (а)
и дисперсия среднего
времени восстановления
синхронизации (б) при α=3.
Рис. 10. Среднее время (а) и дисперсия среднего времени σ2
восстановления синхронизации (б) при α=4.
119
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 8-10 представлены теоретические и практические
результаты для среднего времени восстановления синхронизации
и практические для дисперсии среднего времени восстановления
синхронизации. Как видно, зависимости имеют точку перегиба
вследствие того, что при малой энергии сигнала система долго
входит в состояние синхронизации, а при большой энергии долго
не происходит вынужденных потерь синхронизации.
Заключение
В статье показано, что применение математической модели
в форме цепи Маркова позволяет достаточно просто получить
ряд параметров системы синхронизации циклов, которые затруднительно получить другими способами. Как видно из представленных зависимостей, теоретические результаты подтверждаются
результатами моделирования, что говорит об адекватности применяемой модели. Исключение составляет среднее число вынужденных потерь синхронизации при малой энергии сигнала и малом α, что объясняется присутствием ложной синхронизации, вероятность которой при теоретических расчетах полагалась
равной нулю.
Список литературы
[1] Брени С. Синхронизация цифровых сетей связи. М.:
Мир, 2003.
[2] Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.:
Советское радио, 1977.
[3] Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации при наличии помех. М.: ИПРЖР, 1996.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ИНЖЕНЕРНАЯ МОДЕЛЬ
ДЛЯ РАСЧЁТА НАПРЯЖЁННОСТИ ПОЛЯ В ГОРОДЕ
В ЗОНЕ ТЕНИ, СОЗДАВАЕМОЙ РЕЛЬЕФОМ
А.В. Дымов, Р.Ю. Козлов
Аннотация
Работа посвящена моделированию распространения радиоволн в городе. На основе метода Гюйгенса-Кирхгофа исследовано поведение поля в области тени, создаваемой рельефом подстилающей поверхности. Для дециметрового диапазона волн получена инженерная формула для расчета уровня сигнала в
городских условиях с учетом рельефа трассы.
Корректный расчет напряженности поля, создаваемой радиоэлектронными средствами в реальных условиях, является достаточно актуальной задачей не только в связи с быстрым развитием рынка услуг мобильной сотовой связи, но и при решении проблем электромагнитной совместимости, частотного планирования,
задач электромагнитной экологии и др. Причем наиболее остро
эта проблема стоит применительно к анализу в городе. На данный
момент основная часть моделей и методов расчета распространения УКВ в городской среде не учитывает специфики рельефа подстилающей поверхности. Использование эмпирических методов, в
которых влияние рельефа входит неявным образом, не приемлемо
по причине жесткой привязки к конкретным трассам.
В работе [1], основанной на методе Гюйгенса-Кирхгофа, показано, что рельеф трассы оказывает существенное влияние на
формирование поля в точке приема в городских условиях. Для
ряда практических задач представляет интерес оценка уровня
сигнала при отсутствии прямой видимости, т.е. в области тени,
создаваемой рельефом подстилающей поверхности. Применение
подхода, развитого в [1], является оправданным для систем, построенных по технологии "точка-точка". Для задач, в которых
требуется проведение расчета для большого количества пространственно-разнесенных точек, его использование не целесообразно в силу существенного возрастания вычислительных затрат.

Работа выполнена под руководством доцента В.А. Тимофеева.
121
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В этом случае более предпочтительным является использование
инженерных формул.
В данной работе для дециметрового диапазона волн на основе метода Гюйгенса-Кирхгофа выполнены исследования поведения поля в зоне тени, создаваемой препятствиями местности, и
получены инженерные формулы для расчета ослабления сигнала
при распространении в городских условиях с учетом рельефа подстилающей поверхности. С целью сравнения разработанной ранее
модели [1] было проведено сопоставление расчѐтов с результатами моделирования при помощи формулы Хата, основанной на аппроксимации экспериментальных данных. Результаты анализа
приведены на рис. 1. Из представленных графиков видно удовлетворительное согласие теоретических расчѐтов с эмпирической
формулой. Более быстрый спад кривых, полученных по формуле
Хата, связан, на наш взгляд, с неявным учѐтом рельефа трассы.
Это свидетельствует о корректности нашей модели, которая была
в дальнейшем использована для анализа поля в области тени.
Рис. 1.
122
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 2 показаны графики зависимости поля за препятствием для различных характеристик городской застройки (высота
зданий и расстояние между ними). Вычисления были проведены
для длины волны   0.33 м. Для наглядности зависимости построены для двух видов аппроксимаций поверхности рельефа:
цилиндрической и с клиновидным препятствием и круглой вершиной. Радиус холма Rh (для цилиндрической аппроксимации) и
кривизны R (для клина) составлял 10 км. Препятствия возвышались над ровной поверхностью на 50 метров. Анализ данных зависимостей показывает, что при увеличении плотности застройки
(уменьшении расстояния между строениями) и ее высотности
значение поля в тени холма значительно уменьшается.
70
80
90
Е, дБ
100
110
120
130
140
500
1000
1500
2000
2500
расстояние, м
3000
3500
4000
цилиндр, d=30 м; hb=20 м.
цилиндр, d=80 м; hb=10 м.
клин, d=80 м; hb=10 м.
клин, d=30 м; hb=20 м.
Рис. 2.
Отметим также, что вид рельефа является немаловажным
фактором при формировании поля. Как видно из рис. 2, холм цилиндрической формы создаѐт более глубокую тень у основания,
чем холм с закруглѐнной вершиной. Это связано с тем, что угол
наклона касательной к рельефу в данном месте больше для ци123
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
линдрического препятствия и, соответственно, закрытие от предыдущего экрана (здания) больше. На середине же холма ситуация меняется на противоположную и значения величины поля
для цилиндрической аппроксимации рельефа возрастают по
сравнению с холмом с закруглѐнной вершиной.
На рис. 3 представлены кривые зависимости напряженности
поля от расстояния при различных значениях высоты подъема
передающей антенны и цилиндрической аппроксимации неровности рельефа и той же длине волны и характеристиках застройки. Видно, что при уменьшении высоты подъема зона тени увеличивается и становится более ―глубокой‖, падение значения напряжѐнности составляет порядка 15 дБ при изменении положения
антенны с 60 метров до 40.
Е, дБ
80
100
120
500
1000
1500
2000
2500
расстояние, м
3000
3500
4000
цилиндр, высота передающ ей антенны 40 м.
цилиндр, высота передающ ей антенны 50 м.
цилиндр, высота передающ ей антенны 60 м.
Рис. 3.
Основной идеей определения инженерной формулы для
расчета поля в городских условиях с учетом рельефа местности
было использование выражений для вычисления дифракционного
ослабления на препятствиях правильной геометрической формы.
Аппроксимационная зависимость для ослабления сигнала в этом
случае может быть представлена в следующем виде:
124
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
V ( дБ )  Vdif  Vtown ,
(1)
где Vdif - ослабление поля вследствие дифракции на препятствии,
Vtown - ослабление, обусловленное взаимодействием с городской
застройкой.
Для случая изолированного цилиндрического холма выражение для дифракционного ослабления имеет вид [2]:
Vdif ( дБ )  F ( u )  T (  ) ,
(2)
6.9  20 lg  u  0.12  1  u  0.1 при u  0.7



,
F( u )  

при u  0.7
0
2 R1 R2
H Rh 
2L
uH

, T      ,   8.2  12.0 

Rh   
R1 R2 
L
23
,
 L   Rh 1 3
 
  Rh 
 ,
 R1 R2    
2 3 


H

Rh



 ,
  0.73  0.27 1  exp   1.43 



Rh     



где H – закрытие трассы; L – длина трассы; R1 и R2 – расстояние
от конечных точек трассы до пересечения касательных к препятствию; Rh – радиус кривизны цилиндра; υ – угол дифракции; λ –
длина волны.
Для аппроксимации рельефа с клиновидным препятствием и
закругленной вершиной выражение для дифракционного ослабления может быть представлено в виде [3]:
2


V ( дБ )  6.4  20  lg  2
 1  1.41   K ( 6.6 x 0.75 y1.5   ) ,
x
x

(3)
1 
1
3.1  10  4 L

K  exp  0.5( f
) 3 , x 
y  14.9( Rh  f ) 3 ,
,
Rh
fR1 R2


при
 0
 18.3  y
 
,
0.25 1.5
y
при
 0
11.7 x
где L – длина трассы; R1 и R2 - расстояния от конечных точек
трассы до пересечения касательных к препятствию; Rh - радиус
кривизны вершины препятствия; υ – угол дифракции; f – частота.
125
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На основании расчетов, выполненных при помощи метода
Гюйгенса-Кирхгофа [1], была получена следующая аппроксимационная формула для определения ослабления, вносимого городской застройкой:
 ( F  Fhb  F ys  Fd )
Vtown ( дБ )  
0.68  ( F  Fhb  F ys  Fd )
,если
,если
x rx  x hill
,
x rx  x hill
(4)
где xrx – точка приема; xhill – точка касания холма с ровной поверхностью;


F  33 lg( 1.48  0.6 )  17.2969 0.19  hb0.57 1.25  0.0043  ys ( 1.2867  0.0055d )
- слагаемое, описывающие зависимость от длины волны;

Fhb  1.87  hb 0.58(1 )
1.77

 0.31


 lg(1 (2  hb  1))  0.15(3.5 )1.65  0.393 

 0.011d 1.02  0.407  7.8 ys 1.2  0.942

- слагаемое, описывающее зависимость от высоты зданий (подъема приемной антенны);


Fys  0.2625  60  ys 0.98 0.105(   0.075 ) 0.89  0.832 




 0.2d 0.44  0.118  hb 0.83  exp  hb1.5 80
- слагаемое, описывающее зависимость от высоты подъема передающей антенны;
Fd  0.572  hb 0.38  exp  hb 40 
  6.6d 0.1(  0.64 )

1.5
0.108
 lg( d 55 )  0.55(   0.8 )3  1.26 

- слагаемое, описывающее зависимость от расстояния между домами.
Множители, входящие в каждое из представленных слагаемых и зависящие от других параметров (λ, hb, ys, d), есть медленно меняющиеся функции, корректирующие основное выражение.
Формулы (1), (4) справедливы при следующих значениях параметров, входящих в ее состав: высота подъема передающей антенны – от 35 до 60 м; высота строений – от 5 до 30 метров; расстояние между домами – от 25 до 100 м; максимальное расстояние до препятствия – 4 км.
126
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Необходимо отметить, что выражение (4) при подстановке в
него значения высоты зданий равной нулю (отсутствие городской
застройки) обращается в ноль, в результате чего формула (1)
принимает обычный вид для расчета ослабления поля за одиночным препятствием.
На рис. 4 и 5 в качестве иллюстрации представлены результаты
расчетов величины ослабления в области тени, полученные с помощью модели, основанной на методе Гюйгенса-Кирхгофа [1], и
формулы (1) для ряда значений параметров задачи. Рис. 4 соответствует цилиндрической форме аппроксимации рельефа, а
рис. 5 - клиновидному препятствию с закругленной вершиной. Из
приведенных зависимостей видно, что результаты расчетов по
предложенной аппроксимационной (инженерной) формуле удовлетворительно согласуются с данными вычислений по точной
формуле.
Сравнительный анализ показал, что максимальное расхождение значений, полученных двумя методами для цилиндрического и клиновидного холма, не превышает 5 дБ во всем диапазоне параметров, приведенных для полученной формулы (1).
100
V, дБ
80
60
40
20
500
1000
1500
2000
2500
расстояние, м
3000
3500
4000
инжинерная формула (l=1/3 м, hb=7 м, ys=57 м, d=50 м)
метод Гюйгенса-Кирхгофа (l=1/3 м, hb=7 м, ys=57 м, d=50)
инжинерная формула (l=1/4 м, hb=10 м, ys=40 м, d=50 м)
метод Гюйгенса-Кирхгофа (l=1/4 м, hb=10 м, ys=40 м, d=50)
Рис. 4.
127
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
100
V, дБ
80
60
40
500
1000
1500
2000
2500
расстояние, м
3000
3500
4000
инженерная формула (l=1/3 м, hb=7 м, ys=57 м, d=50 м)
метод Гюйгенса Кирхгофа (l=1/3 м, hb=7 м, ys=57 м, d=50 м)
инженерная формула (l=1/4 м, hb=10 м, ys=40 м, d=50 м)
метод Гюйгенса Кирхгофа (l=1/4 м, hb=10 м, ys=40 м, d=50 м)
Рис. 5.
На основании всего выше сказанного, можно рекомендовать
предложенную формулу в качестве инженерной для расчета напряженности поля при проектировании систем связи дециметрового диапазона в условиях городской застройки с учетом рельефа
местности.
Список литературы
[1] Козлов Р.Ю., Тимофеев В.А. Моделирование распространения радиоволн в городе с учетом рельефа местности
// Труды X Международной научной конференции Радиолокация, навигация, связь. Воронеж. 2004. Т. 3. С. 1937 – 1943.
[2] Recommendation ITU-R P. 526-8. Propagation by diffraction.
[3] Ларин Е.А. Расчет дифракционного ослабления радиоволн на приземных трассах над пересеченной и горной местностью // Электросвязь. 1997. № 1.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
128
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НАЧАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ КАПИЛЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПУЗЫРЬКА
В ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
И.Г. Жарова *
Аннотация
В линейном приближении по амплитуде начальной деформации, представленной конечной суммой осесимметричных мод,
равновесной сферической формы заряженного пузырька, находящегося в вязкой несжимаемой диэлектрической жидкости,
найдено решение задачи о расчете его капиллярных осцилляций.
Показано, что в используемом приближении форма пузырька как
функция времени, а также поля скоростей и давлений жидкости в
окрестности пузырька, представляются конечными суммами по
номерам изначально возбужденных мод и могут быть записаны в
виде двух слагаемых, первое из которых - сумма по корням дисперсионного соотношения, а второе - несобственный интеграл.
Показано, что в асимптотиках маловязкой или сильно вязкой
жидкости форму образующей пузырька, а также поля скоростей и
давлений жидкости в окрестности пузырька можно описывать
более простыми выражениями, не содержащими интегралов.
1. Исследование формы пузырька, совершающего линейные
или нелинейные осцилляции в вязкой диэлектрической жидкости
представляет интерес для различных разделов технической физики, химической технологии и геофизики, а также представляет
академический интерес. Так, микропузырьки играют определяющую роль в таких процессах, как: акустическая и гидродинамическая кавитация [1]; фильтрация жидкостей [2]; обогащение полезных ископаемых посредством флотации и электрофлотации [3,
4]; электроразряд в жидкости [5]; и т.д. [6].
В связи с этим микропузырек в жидкости уже становился
предметом теоретических исследований [7-8], однако вопрос о
влиянии вязкости на форму образующей пузырька, а также на величины полей скоростей и давлений остается открытым, поскольку ни в одном предшествующем исследовании явный вид
*
Работа выполнена под научным руководством С.О. Ширяевой
129
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
этих величин найден не был. Данный пробел и должна заполнить
настоящая работа.
2. Рассмотрим сферический пузырек радиуса r0 , несущий
электрический заряд Q , образовавшийся в жидкости с диэлектрической проницаемостью  d , плотностью  , кинематической
вязкостью  , коэффициентом поверхностного натяжения  ,
имеющей давление p (0) . Будем считать, что в пузырьке находятся
газ начального давления p g(0) , подчиняющийся политропическому
закону с показателем политропы  и насыщенный пар жидкости
давления pV .
При изменяющемся давлении внешней жидкости p (0) , заряде на пузырьке Q , давлении насыщенного пара pV или какихлибо других характеристик жидкости или газа граница пузырька
будет двигаться под действием суммарного давления
r    p
( 0)
 pV 
r
p g( 0)  0


r
3
Q2
2
,


4
r
8d r
(1)
где r - текущий радиус пузырька. Так, если r   0 - то пузырек
расширяется, если r   0 - то сжимается, если r   0 , находится
в равновесии. Из выражения (1) видно, что уравнение r   0 может иметь различное количество корней: один, два, ни одного,
которые в дальнейшем будем обозначать r  a .
Рассмотрим капиллярные осцилляции пузырька, находящегося в одном из равновесных состояний, то есть при r  a . Поле
скоростей жидкости в окрестности пузырька обозначим U r , , t  ,
поле давлений - pr , , t  , потенциалы электрического поля в окрестности пузырька и на его поверхности обозначим r , , t  и
 S t  соответственно. Уравнение поверхности пузырька, совершающего осесимметричные осцилляции в любой момент времени t, запишем в сферической системе координат r ,  ,  в виде
F (r , , t )  r  a  R(t )  (, t )  0.
(2)
с начальным условием
    hm Pm  ;
t  0:
(3)
R   h0 P0  ;
  cos ;
m
где  - малый параметр, характеризующий амплитуду начального
возмущения; Pm   - полином Лежандра порядка m ;  - множест130
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
во индексов изначально возбужденных мод; h0 и hm - константы,
учитывающие парциальный вклад m -ой моды в формирование
начальной формы пузырька, такие, что h0   hm  Oa  .
m
Математическая формулировка задачи о расчете капиллярных колебаний заряженного пузырька, форма которого определяется (2)-(3), представляет собой систему вида:


1
 t U  U   U   grad p    U ;

U  0;
U  ;
  0 ;
t  0:
r   :
r  a  Rt   , t :
 n  
S
div U  0 ;

  0 ;

t F  U   F  0 ;
   S (t ) ;
dS  4Q ; S  r , ,  : r  a  R  ; 0    ; 0    2;
 
 p  2   n  n  U  p
r  a  Rt   , t :
 
  n   U  n     U  0;
 p g  pQ  p  0 ,
(4)
где символ  t означает частную производную по переменной t;
V
n и  - единичные векторы нормали и касательной к поверхности
пузырька; p , pQ , p g - давления сил поверхностного натяжения,
электрического поля собственного заряда, давление газа в пузырьке, определяются выражениями:
 
p     n ,
1
 2 ,
pQ 
8  d
pg 
V
p g( 0)  0


 ;
V
 
V0 и V - начальный и текущий объем пузырька.
3. Поскольку выписанная система уравнений является нелинейной, то при поиске ее решения в рамках метода прямого разложения [9] все искомые величины задачи представим в виде рядов по малому параметру 
Rt    R (1) t   O 2 ;
, t    (1) , t   O 2 ;
U r , , t    U r(1) r , , t  e r   U (1) r , , t  e   O 2 ;
pr , , t   p (0)   p (1) r , , t   O 2 ;
r , , t   (0) r , t    (1) r , , t   O 2 ;
 S t   (S0) t    (S1) t   O 2 .
(5)
131
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Подставляя разложения (5) в систему уравнений (4), выполняя преобразование Лапласа по времени [10], найдем решение
системы (4) в виде

( 0)
Q
Q
r 
 ;  (S0)  ; a    p ( 0)  pV  p g( 0)  0 
r
a
a
3
Q2
2


 0;
4
a
8 d a

U r(1) r , , t   U r(10) r , t  P0     U r(1n) r , t  Pn   ;
n1


U (1) r , , t    U (1n) r , t    Pn  ;
 (1) , t     (n1) t  Pn   ;
n1
n1

(1) r , , t   (01) r , t  P0     (n1) r , t  Pn   ;
n1

p (1) r , , t   p0(1) r , t  P0     pn(1) r , t  Pn   ;
n1
где
a 2 sin  0 t 
 

r , t  
h0 2
exp  2 2 t  ;
0
r
a 

n 2
2 
a
1 k n  r  


(1)
(
m
)
U r n r , t     a S n    b S n( m)
exp S n( m) t 


r k n  a  
r
m1
n 2
hn  3 / 2 2n  a   
 


 4nn  2
 n  1 4 1  2n  1n  2 2 2   2n  
 

3
a  r
a  


0 
02
U r(10)











  
 k i a  1 k  i a  1
  n1
 n1
 k i a  1
k n  i a  1
 n


 


2


exp   2 t
d 
 (n )  (n ) 
 
 
 
 


1
k n  ir  1 
 4  k n ir 
   k ia  1  k  ia  1  
0 
n

  n
   k n ir  1 k n1  ia  1

 1  2n  22n  1 2 2  

a    k n ia  1 k n  ia  1

k n1 ia  1 k n  ir  1  2  
 

1  2 n 2  1 n  2 2 2  

a  
k n ia  1 k n  ia  1  i a  
2nn  2 hn  2n

i r a




 
 
 
 












 k ir  1
k n  ir  1 2   k n ir  1
n




1
1
1

i
a

k n  ia 
 k n ia 
 k n ia 
132


Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»


k ia   k  ir    
 exp  t 
 


d ;
   
k  ia  
k ia   k  ia   

k n1  ia  1
1
n1
1
1
1
n
1
n
U (1n) r , t  
2
2
n
n
()
n
n
( )
n
r
2 (1)


(1)
  rU r n r , t   U r n r , t  ;
n n  1 
r


2
 

 (n1) t    a S n( m) exp S n( m) t 
m1
h 
 4 n n  2 n
 a3
3/ 2
2

i a   k  i a   exp  t 
  k i a    k  i a       d ;


2n   k n1
0
1
1
n1
1
2
()
n
1
n
n
( )
n

 sin  0 t  

 exp  2 2 t  ;
R (1) t   h0  cos 0 t   2 2
0 
a
a 


(01)
n1
S
2
a
(1)
2
;  0  0  4 4 ;
   n t  ;  

a
r

 sin  0 t  

 cos 0 t   2 2
 exp  2 2 t  ;
0 
a
a 


n1
2
 a S n( m)
(1)
( m)  a 
pn r , t   
a S n   exp S n( m) t 
r
m1 n  1
r , t   Q2
r, t   0 ;
a
a
p0(1) r , t    a 02 h0
r
(n1)

4nn  2 hn  3 / 2 2n  a 

 
n  1
 a2
r
n 1 



 
2
1  2n  1n  2 2 2   n  
a  


0
 k ia  1 k  ia  1  exp   2 t

  n1
 n1
d ;
1   (  )    (  )  
 k ia  1
k n  ia   n
n
 n
3
3 ( 0)  r0 
2
Q2
2
0  2 p g    3 
;
a
a
2 d a 6
a


2n



  n  1


4






Q2 
;
 3 n  1n  1 n  2 
3
a
4

a
d




 3 k n1 a 
2

a S   S  2n  22n  1 2  4nn  2 3




k

a
a
a
S
n

1

2 k n1 a    hn

 1 
;






a
k

a

D
S
n

  S n
1

 2 h




k

a

2
n1
n n

 
aS    1  2nn  2 2 1 
;


 S Dn S 
a S  a k n a  


133
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
2n hn
 
2 k n1 a  
1 

;
bS   2nn  2
a S  a k n a    S Dn S 

2 
 S Dn S   2S  2n  22n  1 2  2nn  2 2 
a
a
2

1 k n1 a  
2 k n1 a  
2 2 1 k n1 a   
 2n  1  4   a
 1 
 ;
 1 








a
k

a

a
k

a

a
k

a
n
n
n











 


 (n )    4 1  2n  22n  1 2 2  1  2n  2 n 2  1 2 2  
a 
a  


2  k n1  i a  1   2  k n1  i a  1  2
 1
n .
i a k n  i a  1  
i a k n  i a  1 
S n(m ) - корень уравнения Dn S   0 , k n a  - модифицированная
сферическая функция Бесселя третьего рода от аргумента  a .








4. Рассмотрим случай маловязкой жидкости. Если вязкость
жидкости будет малой величиной, то аргумент модифицированной сферической функции Бесселя третьего рода
k n z  
 exp z  n n  k ! 1
 k!n  k ! 2 z k ;
2z
k 0
будет большим z  1 и в этом случае можно использовать асимптотическое выражение [11]
k n z  
 exp z   nn  1 n  1nn  1n  2
 1  
1 


O
 3  .
2
2z
2
z
8
z
 z 

Используя которое найдем более компактные выражения
для коэффициентов задачи  (n1) t , U r(1n) r , t  , pn(1) r , t 


 n
 (n1) t   hn  cosn t  
sin n t  exp   n t  ;
n


n2

a 

U r(1n) r , t   hn    n sin n t   2nn  2 2 cosn t  exp   n t  
a
r 

 a  r  n


a  r  n 
h
 2nn  2 2n cos
 n t  exp    n t 
;




r
2

2





n

1

 a 2n hn  a  

pn(1) r , t   
sin n t  exp   n t  .
   cosn t   n  2 2
n 1  r  
a n

134
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Рассмотрим случай сильно вязкой жидкости. Если вязкость жидкости будет очень большой, то аргумент сферической
модифицированной функции Бесселя будет малым и в данном
приближении, для n  2, 3, 4, ..., будет справедливо разложение
k n1 z 
z
z3


 o z3 ,
2
k n z  2n  1 2n  1 2n  3
 
z  0,
используя которое можно найти более компактные выражения
для коэффициентов задачи  (n1) t , U r(1n) r , t  , pn(1) r , t 
 (n1)
  n 2n a 2 
t   hn exp 
t  ;







 a  n2
8n 3  2n  3 2n a 4


 2nn  22n  1 
2
2  
r



2
n

2
2
n

3
2
n

1





1

n 
2n a 4
a 
1
 k n i r n a 
 
2n  1n  2 
2n
Re 
  
2 1
r 
2n  3 2n 2  1  2
k
i

a




n
n
n

 
  n 2n a 2 
 exp 
t  ;



n1
  n 2n a 2 
n 2n  1 a  2n hn  a 
(1)
pn r , t   
t  .
  exp 

n  1 2n 2  1  r 


U r(1n)
r , t   hn 2
2n  1a









6. Заключение. Проведенный анализ решений задачи о расчете временной эволюции капиллярных осцилляций заряженного
пузырька, находящегося в диэлектрической жидкости, полученных в первом порядке малости по амплитуде начальной деформации, показал, что при записи аналитического решения для
формы пузырька, полей скоростей и давлений в окрестности пузырька можно найти вполне компактные выражения в случае мало и сильно вязкой жидкости. Получающиеся при этом аналитические решения достаточно компактны, чтобы сделать актуальным поиск решений более высоких порядков малости, т.е.
решения до сих пор не решенной задачи о расчете нелинейных
осцилляций заряженного пузырька, находящегося в вязкой несжимаемой диэлектрической жидкости.
135
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
[1] Авдеев Н.П., Дудов А.Ф., Тушканов С.В., Николенко И.Ю. Кавитационные характеристики ионно-конвекционного насоса // ЭОМ.
1992. № 4. С. 23-25.
[2] Хасанов М.М. Исследование устойчивости фильтрации жидкостей с зародышами газа // Изв. АН СССР. МЖГ. 1994. № 2. С. 66-73.
[3] Дрояронов А.Л. Теоретические основы устойчивости флотационного комплекса.// ЭОМ. 1993. № 4. С.39-49.
[4] Ненно В.Э., Зеленцов В.И., Дацко Т.Я., Дворникова Е.Е., Радзилевич Т.М. Сорбция золота и серебра из цианидных растворов активированным углем и его выделение электрофлотацией // ЭОМ. 1994.
№ 3. С. 42-44.
[5] Скорых В.В. Влияние пузырьков газа на зажигание разряда в
воде // ЖТФ. 1986. Т. 56, вып. 8. С. 1569-1572.
[6] Жаров А.Н., Ширяева С.О. Заряженные пузырьки в жидкости
(обзор). // ЭОМ. 1999. № 6. С.9-22.
[7] Жарова И.Г., Григорьев А.И. Параметрическая неустойчивость
радиальных колебаний заряженного пузырька в жидкости / Матер. Всерос. науч.-метод. конф. ―Математическое образование и наука в инженерных и экономических вузах‖, 2001, Ярославль, ЯГТУ, С. 95-100.
[8] Жарова И.Г., Жаров А.Н., Григорьев А.И. О колебаниях пузырька в жидкости с учетом инерционных свойств газа // Матер. Всерос.
науч.-метод. конф. ―Математическое образование и наука в инженерных
и экономических вузах‖, 2004, Ярославль, ЯГТУ, С. 184-196.
[9] Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 455 с.
[10] Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.:
Высшая школа, 1975. 408 с.
[11] Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовиц, И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
136
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МОДИФИКАЦИЯ ПЕРЕКЛЮЧАЮЩЕГОСЯ
МЕДИАННОГО ФИЛЬТРА*
П.С. Звонарев, И.В. Апальков, Е.Ю. Саутов
Аннотация
Описан нейросетевой переключающийся медианный
фильтр восстановления изображений, поврежденных импульсным шумом. Приведен сравнительный анализ предложенного алгоритма с существующими как с точки зрения среднеквадратической ошибки восстановления, так и с точки зрения визуальных
оценок.
Введение
На практике часто встречаются изображения, искаженные
импульсным шумом. Причинами возникновения таких помех на
изображении могут быть сбои в работе канального декодера, связанные с замиранием сигналов в канале связи или перемещением
абонентов, шум видеодатчика, зернистость пленки и т.д. При
воздействии импульсного шума на изображении с оттенками серого цвета наблюдаются белые или (и) черные точки, хаотически
разбросанные по кадру [1]. Хорошие результаты для сохранения
перепадов оттенков, различных границ и локальных пиков яркости на искаженных импульсным шумом изображениях может
дать применение медианных фильтров (МФ) [2].
Анализ источников по вопросам медианной фильтрации импульсного шума [1-6] показывает, что основными недостатками
данного метода обработки являются:
- ослабление сигнала, что проявляется на изображении в виде размытых контуров деталей;
- повреждение неискаженных («хороших») пикселей изображения.
Для устранения рассмотренных недостатков предложен ряд
модификаций МФ [3-6]. На сегодняшний день наибольший интерес у исследователей вызывает переключающаяся схема [3]. Идея
данной модификации медианного фильтра основана на дополни*
Работа выполнена под руководством В.В. Хрящева
137
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тельном шаге обнаружения импульсов (детекторе импульсов).
После того как позиции импульсов обнаружены, для вычисления
медиан или других локальных характеристик используются только ‖хорошие‖ пиксели. На этапе обнаружения импульсов может
быть применена нечеткая логика [4], самоорганизующиеся нейронные сети [5] и другие методы.
Работа посвящена усовершенствованию алгоритмов удаления импульсного шума. Предложенный алгоритм способен эффективно удалять такой шум даже из очень сильно зашумленных
изображений, обладая при этом относительно низкой вычислительной сложностью.
Общая схема алгоритма
Рассматриваемый шум представляет собой импульсный биполярный шум вида соль-и-перец (salt-and-pepper), описываемый
следующей математической моделью:
0
с вероятностью pn

,
xi  255 с вероятностью p p

с вероятностью 1  ( pn  p p )
i
где p n = p p = 0.5R, R – коэффициент зашумленности (0%  R 
100%), i отображает значения «хороших» (неискаженных) пикселей, 0 – фиксированное значение отрицательных выбросов,
предварительный
детектор
поврежденное
изображение
нейросетевая
коррекция
процедура
фильтрации
восстановленное
изображение
Рис. 1. Алгоритм удаления импульсного шума
138
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
255 – фиксированное значение положительных выбросов, и x i
отображает значения поврежденных пикселей изображения. Общая схема предлагаемого алгоритма приведена на рис. 1. Рассмотрим этапы работы алгоритма более подробно.
Предварительное обнаружение импульсов
Алгоритм предварительного обнаружения импульсов использует два изображения. Первое представляет собой поврежденное полутоновое изображение {x i}, которое отображает значение пикселя в позиции i = (i 1 , i 2 ). Второе - представляет бинарное изображение {f i}, где бинарное значение f i показывает,
является ли пиксель в позиции i импульсом или нет, т.е., f i = 0 означает, что пиксель i «хороший», а f i = 1 означает, что пиксель i импульс. В начале полагаем, что все пиксели изображения «хорошие», т.е. f i  0.
Далее для каждого пикселя xi находим минимальное и максимальное значение в пределах окна WD  WD (WD – нечетное целое, не меньшее трех). Пусть Wi отображает W  W окно с центром вокруг i
Wi  { j  ( j1 , j2 ) i1  (W  1) 2  j1  i1  (W  1) 2 ,
i2  (W  1) 2  j2  i2  (W  1) 2},
тогда
min i  min {xi j  WiD } ,
max i  max {xi j  WiD }.
Далее используем простое соотношение для определения,
является ли текущий пиксель импульсом или нет:
0,
fi  
1,
если min i  xi  max i
иначе.
Полученное бинарное изображение {f i} – результат процедуры предварительного обнаружения импульсов.
139
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Нейросетевая коррекция
Процедура нейросетевой коррекции использует три изображения. Первое отображает поврежденное полутоновое изображение {y i}. Второе - представляет бинарное изображение {f i}, полученное на этапе предварительного обнаружения импульсов. И
третье, также бинарное изображение {g i}, используется для записи финального результата процедуры нейросетевой коррекции. В
начале полагаем, что {g i} равно предварительному результату
детектирования, т.е. g i  f i.
Для каждого пикселя, определенного предварительной процедурой как импульс, применяется нейронная сеть. Во время
обучения нейронной сети на тренировочных данных обнаружено,
что большинство информации о том, является ли пиксель импульсом или нет, содержится в семи локальных характеристиках
пикселя. Это значение самого пикселя, отклонения от медиан и
дисперсии для различных окрестностей рассматриваемого пикселя. Таким образом, размерность входного вектора равна семи.
Для вычисления этих величин используем только «хорошие»
пиксели, т.е. пиксели с f i = 0. Пусть M W отмечает число пикселей
с f i = 0 в пределах окна W  W. Если M W четное, медиана вычисляется как среднее арифметическое двух средних элементов отсортированных данных. Тогда, если M 3 больше нуля, определяем
элементы входного вектора нейронной сети v следующим образом:
v0  yi
v1  Med{ y j f j  0, j  3i }  yi
v2  Disp { y j f j  0, j  3i }
v3  Med{ y j f j  0, j  5i }  yi
v4  Disp { y j f j  0, j  5i }
v5  Med{ y j f j  0, j  i7 }  yi
v6  Disp { y j f j  0, j  i7 },
где Med и Disp обозначают вычисление медианы и дисперсии в
заданных окрестностях соответственно.
Выход нейронной сети представляет собой одно значение,
отображающее два возможных состояния для пикселя (пиксель
―хороший‖ или ―плохой‖). В алгоритме используется трехслойный персептрон с SD нейронами в скрытом слое.
140
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть Di отображает выходное значение нейронной сети в
диапазоне [0;1] для пикселя в позиции i, причем, если D i близко к
1, то пиксель был определен импульсом правильно, а если к 0, то
пиксель с большой вероятностью ―хороший‖. Тогда используем
простое соотношение для записи выходного скорректированного
значения:
0,
если f i  1 ; Di  0.1; M 3  0
gi  
иначе.
gi ,
Полученное бинарное изображение {g i} – результат работы
процедуры нейросетевой коррекции.
Процедура фильтрации
В ходе процедуры фильтрации генерируются две последовательности изображений. Первая представляет собой последовательность изображений {{ zi( 0) },{zi(1) },  , {zi( n) },  } , где zi( 0) - входное зашумленное изображение, а zi(n ) отображает значение пикселя в позиции i после n-ой итерации. Вторая последовательность
– последовательность
бинарных
изображений
{{hi(0) },{hi(1) },  ,{hi( n) },  } , где бинарное значение hi( n )  0 означает, что пиксель i «хороший», а hi( n )  1 , что он «плохой». Начальное изображение {hi( 0) } равно результату процедуры нейросетевой коррекции {g i }, т.е. hi( 0)  g i .
На n-ой итерации (n  1,2,  ) для каждого пикселя zi( n1)
сначала вычисляются медианные значения mi( n1) в окне WF  WF
(WF - нечетное, не меньшее трех) с центром вокруг пикселя. Медианы вычисляются, используя только «хорошие» пиксели (с
hi( n1)  0 ) в пределах окна. Пусть M отмечает число всех пикселей с hi( n1)  0 в окне WF  WF . Если M четное, то медиана вычисляется как среднее арифметическое между двумя средними
элементами отсортированных данных. Если M  0 , то
mi( n1)  Med{z (jn1) h (j n1)  0, j  WiF }.
Значение zi(n ) изменяется, только если пиксель i – импульс:
141
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
mi( n 1) , если hi( n )  1 ; M  0
  ( n 1)
 zi
, иначе.
Если импульсный пиксель был изменен, то дальше он рассматривается, как «хороший», т.е.
zi( n )
hi( n 1) , если zi( n )  zi( n 1)

0
, если zi( n )  mi( n 1) .
Процедура останавливается на NF-ой итерации, когда все
пиксели модифицированы, т.е.
hi( n )
 hi( N
F)
 0.
i
Полученное в результате изображение {zi( N F ) } и есть
восстановленное изображение.
Результаты моделирования
Для оценки качества восстановления использовалась среднеквадратическая ошибка (СКО), определяемая выражением:
1
СКО   (ui  i ) 2 ,
N i
где N - общее число всех пикселей изображения, u i и  i - значения пикселей в позиции i на тестовом и оригинальном изображении соответственно.
На рис. 2 приведены результаты восстановления тестового
изображения ―Лена‖ четырьмя различными алгоритмами:
1) простым медианным фильтром (Мед) с окном 3  3, 2) прогрессивным переключающимся медианным фильтром (ППМ), 3) центрально взвешенным медианным фильтром (ЦВМ) с окном 5  5 и
центральным весом равным 3 [6], 4) предложенным нейросетевым переключающимся медианным фильтром (НПМ).
Из зависимостей на рис. 2 хорошо видно, что для модели
импульсного шума типа соль-и-перец предложенный НПМ алгоритм демонстрирует лучшие результаты на всем диапазоне степеней зашумления.
142
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
700
Мед
ППМ
ЦВМ
НПМ
600
СКО
500
400
300
200
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
R(%)
Рис. 2. Ошибка восстановления тестового изображения
(а)
(б)
(в)
(г)
(д)
(е)
Рис. 3. Результаты восстановления: (а) Исходное изображение
«Лена»; (б) изображение «Лена», поврежденное 60% шумом
«соль-и-перец»; (в) медианный фильтр с окном 3  3; (г) ЦВМ
фильтр с окном 5  5 и центральным весом, равным 3;
(д) ППМ фильтр; (е) предложенный НПМ фильтр
143
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 3 изображены результаты восстановления различными алгоритмами изображения «Лена», зашумленного 60% шумом типа «соль-и-перец».
Заключение
Классический медианный фильтр сохраняет детали изображений, но оставляет много шумовых пикселей. ЦВМ фильтр работает лучше медианного, но также пропускает много импульсов.
ППМ фильтр не способен удалить большие скопления шумовых
пикселей. Наилучший результат получен с помощью предложенного НПМ алгоритма. Он удаляет все поврежденные пиксели,
хорошо сохраняя детали и границы объектов изображения, и демонстрирует высокие результаты на подавляющем большинстве
изображений во всем диапазоне степеней зашумления. Следует
отметить, что алгоритм способен эффективно удалять шум даже
из очень сильно зашумленных изображений со значениями
R>70%.
Список литературы
[1] Gonzalez R., Woods R. Digital Image Processing. PrenticeHall, 2002.
[2] Justusson B. «Median filtering: statistical properties» in
Two-dimensional digital signal processing II. Springer Verlag. 1981.
[3] Wang Z., Zhang D. Progressive Switching Median Filter for
the Removal of Impulse Noise from Highly Corrupted Images // IEEE
Trans. Circuits Systems – II. 1999. V. 46, N. 1. P. 78-80.
[4] Zhang D., Wang Z. Impulse Noise Detection and Removal Using
Fuzzy Techniques // Electron. Lett. 1997. V. 33, P. 378-379.
[5] Kong H., Guan L. A Neural Network Adaptive Filter for the Removal of Impulse Noise in Digital Images // Neural Networks. 1996.
V. 9, N. 3. P. 373-378.
[6] Ko S., Lee Y. Center Weighted Median Filters and Their Applications to Image Enhancement // IEEE Trans. Circuits Systems. 1991.
V. 38, N. 9. P. 984-993.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
144
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРИМЕНЕНИЕ АППАРАТА МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
ДЛЯ АНАЛИЗА СИСТЕМЫ КОРРЕКЦИИ
ФАЗЫ КАНАЛА OFDM*
С.В. Карпов, Д.С. Кукушкин, А.В. Шабанов
Аннотация
Работа посвящена нелинейному анализу системы коррекции фазы в канале OFDM, основанному на применении аппарата
Марковских процессов. Полученные результаты сопоставлены со
стандартом DVB.
Введение
Последнее время наблюдается повышенный интерес к цифровым системам передачи на основе технологии мультиплексирования с ортогональным частотным разделением (OFDM) [1-2].
Примером могут служить беспроводные локальные сети передачи данных (IEEE 802.11a, IEEE 802.11g), беспроводные корпоративные сети (IEEE 802.16), передача данных для цифрового наземного телевидения (DVB-T). Наряду с известными преимуществами технология OFDM очень чувствительна к ошибкам
синхронизации. Результатом их воздействия является случайный
фазовый сдвиг, одинаковый для всех подканалов, называемый
групповой фазовой ошибкой CPE (common phase error), и появление интерференции между поднесущими. В большинстве случаев
для нормальной работы системы достаточно компенсировать
только CPE [2]. Проблеме борьбы с CPE посвящено достаточно
много работ [1-3]. В то же время в основном они ориентированы
на методы исследования, в основе которых лежит имитационное
моделирование. Как известно, подобный подход не позволяет получить достаточно общих результатов.
Особенностью предлагаемой работы является использование для анализа системы коррекции фазы на выходе канала
OFDM аппарата Марковских процессов. С помощью предложенной эквивалентной модели многоканальной системы получено
уравнение Колмогорова-Чепмена (КЧ), позволившее получить
общие сведения о работе системы в виде плотности распределе*
Работа выполнена под руководством проф. Л.Н. Казакова
145
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ния вероятности фазовой ошибки (ПРВ) и среднего времени до
срыва слежения (СВСС).
Эквивалентная функциональная схема
Известно несколько различных методик оценки групповой
фазовой ошибки [1-2, 4]. В [1] предложена схема восстановления
фазы несущей с обратной связью, представляющая собой, по сути,
систему фазовой синхронизации с многоканальным фазовым детектором, состоящим из совокупности решающих устройств в каждом подканале и усреднителя, вычисляющего среднее по всем
каналам значение оценки фазового рассогласования. Последний
подход имеет значительное преимущество перед стандартным,
использующим для оценки фазовых флуктуаций пилотные поднесущие [4]. Преимущество рассматриваемого подхода объясняется,
во-первых, тем, что для принятия решения используется большее
число поднесущих, во-вторых, наличием цепи обратной связи, посредством которой осуществляется слежение за фазой входного
сигнала. Некоторые сравнительные результаты оценки групповой
фазовой ошибки, полученной различными методами для различных уровней фазовой и аддитивной помех, приведены на рис. 1.
Результаты получены на основе имитационных моделей.
б)
а)
Рис. 1. Вероятность появления относительной ошибки
для различных алгоритмов компенсации групповой фазы
Рассмотрим более подробно приведенную на рис. 2 схему с
обратной связью. Здесь FEQ – фильтр, компенсирующий влияние
характеристики канала связи, F(z) – фильтр в цепи управления.
146
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2. Структурная схема системы коррекции фазы
Демодулированный сигнал на приемной стороне имеет вид
[2]:
N 1
Rm ,l  X m ,l H m ,l Bm 0   X m , j H m , j Bm l  j   nm ,l ,
j 0
n l
(1)
где m - номер OFDM символа, l – номер поднесущей, X m ,l - передаваемый QAM символ, H m, j - передаточная характеристика канала, nm ,l - АБГШ,
1 N 1 i 2jk / N i  j 
Bm k    e
e
,
(2)
N j 0
где   j  - фазовый шум.
Влияние межсимвольной интерференции (второе слагаемое
в (1)) эквивалентно действию АБГШ [2]. Поэтому (1) можно
представить в форме (3):
Rm,l  X m,l H m,l Bm 0  n ' m,l .
(3)
Запишем комплексный сигнал на входе системы восстановления фазы в виде:
sl (m)  I l (k )ei m   nl (m) ,
(4)
где I l (m) – информационная комплексная составляющая l-го подканала (далее учитываться не будет),  l (m) – фазовый сдвиг между передаваемым комплексным QAM-символом и его принятым
значением (не зависит от номера подканала l), nl (m) –комплексный шум, возникающий на входе l-го подканала приемника
после БПФ (считаем nl (m) в подканалах независимыми). Полная
147
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
фаза на входе l-го подканала (на входе соответствующего фазового детектора (ФД)) определяется выражением:
g l m   m  nl' m,
(5)
где nl'  m  - эквивалентный аддитивному фазовый шум.
Задача системы восстановления фазы состоит в компенсации l ( m ) . ПРВ эквивалентного шума nl' m имеет вид [5]:
 V  cos n' 2 
2 ' 


sin
n
1
l
l
 dV .
P  nl'  
exp 
V exp  
2
2 
2


2
2
 2  0


(6)
Эквивалентная функциональная схема системы восстановления фазы приведена на рис. 3. Здесь переменная α характеризует
изменение частоты и связана с фазой  ( m ) соотношением
 n1   n  n1 , P  z  – коэффициент передачи фильтра цепи управления, N – число подканалов, D - коэффициент усиления в кольце.
а)
б)
Рис. 3. Функциональная модель системы:
а) эквивалентная схема СФС;
б) эквивалентная схема фазового детектора
От совокупности фазовых детекторов в каждом подканале
можно перейти к одному эквивалентному фазовому детектору,
нелинейность характеристики которого имеет статистический ха148
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
рактер и определяется типом и уровнем шумовых воздействий.
Операция перехода к статистическому фазовому детектору основана на замене операции усреднения выходов всех звеньев при
достаточном числе подканалов, операцией вычисления математического ожидания случайного процесса, для которого все подканалы представляют собой ансамбль реализаций.
2
 
 

2  
2   
2



 sin  y  x  i  
V  cos( y  x  i ) 
  M

y


M
M





 V exp 
F x      
exp  
dV  ,
2
2
2






2
2
2
i    
0







 M

 





 
(7)
где M  2 k , k – индекс КАМ – модуляции.
В работе рассмотрены системы восстановления фазы с тремя типами фильтров в цепи управления.
1. Бесфильтровая система:
P z   1
(8)
Уравнение КЧ:

Pn 1  x  
где Px | z  
1
2
2

M


i  




P z  i
| z  Pn  z dz ,
M 

(9)
M
 z  x  DF x 2
exp 
2 2 


 .

2. Интегратор с форсированием:
1
P z  
 m,
z 1
где m – коэффициент форсирования
Уравнение КЧ:
Pn 1 x, y  
(10)
 
  Px, y, | z, P z, dzd ,
n
(11)
  
  y  z  1  m  DF  z  2 

exp  
где P  x, y | z,  
2
2


2

2



   x  z    y  DF  z   .
3. Фильтр нижних частот нерекурсивного типа:
1
L 1
P z    a k z  k ,
k 0
149
(12)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где L – количество усредняемых отсчетов, ak - весовые коэффициенты.
В этом случае уравнение КЧ будет иметь вид (11),
где Px, y | z,  
1
2 
2
2
 
1

  x  z  DF z   F  
2


exp  
2
2 





  y  z  . (13)


Срыв слежения произойдет в случае, если величина фазовой
ошибки системы достигнет границ диапазона однозначности фазового детектора. Вероятность появления ошибки на n-ом шаге
работы системы можно записать в следующем виде:

Pn 
  p x   p x dx
M
n 1

 
n
(14)
M
где p n x - ПРВ фазовой ошибки на n-ом шаге в предположении отсутствия срыва на предыдущих шагах.
Среднее число шагов до появления ошибки:

N ср   n  Pn
n 1
(15)
Анализ результатов
Для скалярного (9) и двух векторных (11) и (13) уравнений
КЧ было получено численное решение в виде ПРВ фазовой
ошибки. Причем пределы интегрирования в соответствующих
уравнениях КЧ выбирались равными интервалу однозначности
ФД. Такие пределы соответствуют случаю наличия поглощающих границ по краям периода однозначности ФД. Затем в соответствии с (14) и (15) были построены зависимости СВСС, как от
параметров системы, так и от параметров внешнего воздействия.
На рис. 4а, б приведены примеры временных зависимостей фазовой ошибки системы восстановления для различных уровней
флуктуационных воздействий, полученные на основе имитационной модели, построенной в среде программирования MatLab
для M = 4. На осциллограммах хорошо видны срывы слежения,
обусловленные выходом системы за интервал однозначности эк150
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вивалентного фазового детектора. При этом время до срыва носит случайный характер и может меняться в широких пределах.
а)
б)
Рис. 4. Осциллограммы фазовой ошибки
На рис. 5 приведены графики зависимости среднего времени
до срыва, построенные в соответствии с (15) для различных усилений системы D. Из приведенных графиков видно, что наибольшая зависимость от усиления наблюдается при малом уровне
фазовых флуктуаций. С ростом дисперсии фазовых флуктуаций
эта зависимость существенно ослабляется.
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Рис. 5. Зависимость СВСС от дисперсии шума
при разных D для системы а) без фильтра 2 n  2 102 ;
б)  2 n  0.32 ; в) с уср. фильтром 2 n  2 102 г) с уср. фильтром
 2 n  0.32 д) с интег. с форсир. 2 n  2 102 m  0.8
е) с интег. с форсир 2n  0.32 m  0.8
151
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Влияние аддитивного шума на работу системы после компенсации в усредняющем элементе можно интерпретировать как
изменение характеристики фазового детектора. В силу этого
влияние аддитивного шума эквивалентно для всех трех рассматриваемых систем. Увеличение уровня входного аддитивного воздействия, как и в случае фазовых флуктуаций, приводит к ослаблению зависимости СВСС от коэффициента усиления.
Для численной интерпретации результатов можно обратиться к стандарту EN 300 744 (DVB-T), описывающему систему передачи данных для цифрового наземного телевидения и использующего в качестве модуляции технологию OFDM. Для борьбы с
фазовым шумом стандартом предусматривается возможность использования в зависимости от режима 177 или 45 поднесущих,
называемых пилотными. Согласно стандарту 68 OFDM символов
объединяются в DVB – кадр. Один из символов в кадре служебный, и его можно использовать для синхронизации. Таким образом, для надежной работы, без использования пилотных поднесущих, необходимо, чтобы среднее время работы до срыва значительно превышало 68 OFDM символов.
Представленные графики демонстрируют сложный характер
зависимости СВCС, как от параметров системы, так и от параметров внешних воздействий. При этом диапазон изменения
СВCС при фиксированном уровне фазового шума соизмерим с
длительностью DVB – кадра, что говорит о необходимости оптимизации параметров системы в зависимости от параметров внешних воздействий.
Список литературы
[1] Abhayawardhana V.S., Wassel I.J. // Mater. GLOBECOM-2002, November 2002.
[2] Petrovic D., Rave W., and Fettweis G. //Mater. VTC'04 Fall. Los Angeles, California, 26-29 September 2004.
[3] Petrovic D., Rave W., and Fettweis G. // Proc. IEEE WPMC, Yokosuka, Japan, 19-22 October 2003, vol. 3, p. 375-379.
[4] Robertson P., and Kaiser S. // Proc. ICC, 1995.
[5] Александров А.С., Кукушкин Д.С., Шабанов А.В. // Матер. 7 междун. конф. ―Цифровая обработка сигналов и ее применение‖, 2005. С. 21–24.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
152
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НЕЛИНЕЙНЫЕ СФЕРОИДАЛЬНЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ ДВИЖУЩЕЙСЯ В СРЕДЕ ЗАРЯЖЕННОЙ КАПЛИ*
В.А. Коромыслов, О.С. Крючков
Аннотация
В аналитических асимптотических расчетах второго порядка малости показано, что основная мода заряженной капли, обдуваемой потоком газа, при многомодовой начальной деформации
равновесной формы раскачивается за счет нелинейного вторичного комбинационного резонансного взаимодействия с более высокими модами в том случае, когда сама основная мода присутствует в спектре мод, определяющих начальную деформацию.
Указанное обстоятельство объясняет наблюдаемые в естественных условиях сфероидальные осцилляции большой амплитуды
капель естественных жидко-капельных систем и позволяет приблизиться к пониманию закономерностей зажигания коронного
разряда в окрестности капель в грозовых облаках и инициирования разряда молнии.
С заряженными каплями, движущимися относительно среды, приходится сталкиваться в многочисленных академических,
технических и технологических приложениях. Так, например, кучевые облака, являющиеся источниками гроз, представляют собой множество заряженных капель воды, которые не падают на
землю только благодаря влиянию восходящих потоков воздуха, в
которых капли подвешиваются в поле сил тяжести. Движущиеся
относительно среды заряженные капли представляют интерес и в
связи с исследованием физического механизма инициирования
разряда молнии. В соответствии с существующими представлениями зарождение разряда линейной молнии связано с зажиганием во внутриоблачном электрическом поле коронного разряда в
окрестности крупной капли или обводненной градины, свободно
падающей в грозовом облаке. Однако максимальные величины
измеряемых в грозовых облаках собственных зарядов капель и
электрических полей много меньше необходимых для реализации
неустойчивости поверхности капли по отношению к собственно*
Работа выполнена под руководством проф. А.И. Григорьева
153
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
му и индуцированному зарядам и лишь при больших амплитудах
сфероидальных осцилляций могут привести к зажиганию коронного разряда у вершин капли. Вероятнее всего, при исследовании
устойчивости по отношению к поверхностному заряду движущейся относительно среды капли упускается некий важный фактор, например, взаимодействие поверхности капли идеальной несжимаемой жидкости с обдувающим ее потоком, который при
реально фиксируемых скоростях движения капель также можно
моделировать идеальной несжимаемой жидкостью. В описанной
модели на границе раздела сред будет иметь место тангенциальный скачок поля скоростей течения жидкости в капле и среде,
или, иными словами, появляется возможность для реализации
колебательной неустойчивости границы раздела сред, именуемой
неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца. Реализация неустойчивости Кельвина-Гельмгольца приведет к качественному изменению закономерностей реализации неустойчивости границы раздела сред и, в частности, к снижению критических условий реализации неустойчивости капли и по отношению к
поверхностному заряду. В связи со сказанным и сформулировано
настоящее исследование.
Пусть идеальная несжимаемая диэлектрическая среда с
плотностью 2 и диэлектрической проницаемостью * , занимаю
щая бесконечный объем, движется с постоянной скоростью U 0
относительно неподвижной капли радиуса R идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью 1 . Коэффициент поверхностного натяжения границы раздела сред обозначим σ, а полный заряд капли Q. Примем, что в начальный момент времени t=0 равновесная сферическая форма капли
претерпела виртуальную осесимметричную деформацию конечной амплитуды, много меньшей, однако, радиуса капли. Поле
скоростей течения жидкости в капле в начальный момент времени положим тождественно равным нулю, и станем исследовать
нелинейные осцилляции капли при t > 0.
Для упрощения нижеследующих расчетов введем безразмерные переменные, в которых R = σ=1 =1. Тогда в сферической
системе координат r ,  ,  с началом в центре масс капли уравнение границы раздела сред, возмущенной осесимметричным ка154
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пиллярным
движением, запишется в виде:
r  1   ( , t ),
  1. Движения жидкости в капле и среде будем полагать потенциальными.
Математическая формулировка задачи расчета нелинейных
осцилляций границы раздела сред в описанной системе имеет
вид:



 ( r , t )  0;
 ( r , t )  0 ;
  ( r , t )  0;




( r , t )  0;
r  0 : ( r , t )  0;
 ( r , t )  U 0 ;
r :
r  1 :

PE
волновым
 1    1  



;
 r r 2     r r 2   
  1  


;
 t  r r 2   
 1
  2  P  P
in E
t 2
 * () 2

;
8
P
 P

 
 
  2  P ;
ex
t 2

div n ;

(r , t )   S (t ).
r  1   ( , t );

S  0     ;
0    2 ;



 *  (n   ) dS  Q;
4 S
0  r  1   ( , t );

V1  0     ;
0    2 ;

4
2
 r dr sin  d d  3  ;
V1
t=0:
 ( , t )   0 P0 (  )  
 hi Pi ( );
i
 hi  1;
i
 ( , t )
0.
t
(1)
Здесь  - амплитуда начальной деформации, являющаяся
малым параметром задачи; Pi(μ) - полином Лежандра i-го порядка;   cos ; Pin и Pex – давления в капле и среде соответственно;
PE - давление электрического поля собственного заряда капли на

границу раздела сред; Pσ - лапласовское давление, n - единичный
вектор положительной нормали к поверхности капли; ΦS(t) - постоянный вдоль поверхности капли электростатический потенциал; 2/1; hi - коэффициенты, определяющие парциальный
155
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вклад i-ой колебательной моды в суммарную начальную деформацию;  - множество значений номеров изначально возбужденных колебательных мод, определяющих форму начальной деформации капли;  0 - константа, определяемая из условия постоянства объема капли в начальный момент времени.
Решение сформулированной задачи в квадратичном по малому параметру  приближении будем проводить асимптотическим методом многих масштабов. Нижеследующее изложение в
виду конечности объема статьи ограничим расчетом коэффициентов
определяющих
форму
нелинейноM n( m ) (T0 , T1 ) ,
осциллирующей капли как функцию времени. В первом порядке
малости по  для определения неизвестных коэффициентов
M n(1) (T0 , T1 ) получается бесконечная система связанных дифференциальных уравнений:
M 0(1) (T0 , T1 ,...)  0;
M 1(1) (T0 , T1 ,...)  0;
M n(1)1 (T0 , T1,...)  2 M n(1) (T0 , T1,...)
(1)
n  2:
An  M n  2 (T0 , T1,...)  Bn


T0
T02
M n(1)1 (T0 , T1,...)
2
(1)
(5)
 n  M n (T0 , T1,...)  Cn
 Dn  M n(1) 2 (T0 , T1,...)  0 ;
T0
2
9
n (n  1)(n  2)
An  We   (n)
;
4
(2n  3)(2n  1)
Bn 
9
n 2 (n  1)(n  2)
;
Dn  We   (n)
4
(2n  3)(2n  5)
3
n(2n  1)
Cn 
We   (n)
;
2
2n  3



n2   (n) n(n  1)(n  2  W )  We
Q2
;
W
4 *
3
We n (n) ;
2
9n 2 ((2n  1)(n 2  1)  3) 
;
2(2n  1)(2n  1)(2n  3) 
1
n 
 (n )  1  
 ;
n  1

We    U 02 ;
S(1)  0.
Для определения поправок второго порядка малости (для
отыскания коэффициентов M n( 2 ) ) получим систему связанных неоднородных дифференциальных уравнений гармонического типа:
156
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
M n(1) (T0 )2 ;
n  2 2n  1

M 0( 2 ) (T0 )  
M n(2)1 (T0 )  2 M n(2) (T0 )
( 2)
An  M n  2 (T0 )  Bn

 n2  M n(2) (T0 ) 
T0
T02
M n( 2)1 (T0 )
 Cn
 Dn  M n(2)2 (T0 )   (n)  f n (T0 );
T0
с нулевыми начальными условиями. Функции неоднородности
f n (T0 ) определяются через коэффициенты M n(1) .
Примем для определенности, что начальная деформация капли определена суперпозицией j-ой и k-ой мод, при этом j  k,
j  k  4 . Тогда в первом порядке малости по We, ρ и We решения имеют вид:
M ((1g) 2) 
M ((1g)1) 
D g  2  hg
02g   g2  2
C g 1  hg  0 g
02g   g2 1
 [cos(0 g  T0 )  cos( g  2  T0 )];
 [
0 g
 g 1
 sin( g 1T0 )  sin(0 g  T0 )];
M g(1)  hg  cos( g T0 ) ;
M ((1g)1) 
M ((1g) 2) 
Bg 1  hg  0 g
 g2 1  02g
Ag  2  hg
 g2  2  02g
 [
0 g
 g 1
 sin( g 1T0 )  sin(0 g  T0 )];
 [cos( g  2  T0 )  cos(0 g  T0 )];



n2   (n) n(n  1)(n  2  W )  We
g=j;k,
9n 2 ((2n  1)(n 2  1)  3) 
;
2(2n  1)(2n  1)(2n  3) 
По найденным решениям M (1)
выпишем выражения для
n
функций неоднородности. Учитывая сказанное выше о порядках
малости мод, определяющих начальную деформацию, и мод, возбуждаемых за счет линейного взаимодействия вследствие тан157
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
генциального скачка поля скоростей, несложно видеть, что определяющую роль в нелинейном, квадратичном по , взаимодействии будут играть моды, определяющие исходную деформацию
равновесной формы капли. Поскольку исходной целью проводимого рассмотрения является исследование возможности резонансной раскачки основной моды за счет перекачки в нее энергии
высоких мод, определяющих начальную деформацию капли, то
дальнейшие рассуждения ограничим качественным анализом решения системы, в пренебрежении взаимодействием мод за счет
тангенциального разрыва поля скоростей на границе раздела
сред. Бесконечная система связанных неоднородных уравнений в
этом случае превратится в систему несвязанных неоднородных
уравнений гармонического типа с нулевыми начальными условиями для всех мод. В итоге получим, что в используемом приближении квадратичные по малому параметру  поправки к образующей формы нелинейно-осциллирующей капли будут иметь
вид:


hl hm ()
( )
lmn  lmn
cosnT0  
2
l , m
M n(2) (T0 ,T1 )  




hl hm ()
( )
lmn cosl  m T0   lmn
cosl  m T0  ;
2
l , m




(ml)n   ml n  ml ml n / n2  (m  l ) 2 ;
2
 ml n   n K ml n (m
(n  m  1  n(n  m  1) /(n  1))  2n(l (l  1)  1) 
 (l (m  1)  m(2m  2n  7)  3)nW / 2)   n ml n ((1/ m 
2
 n /((n  1)(m  1)))m
 nW / 2) ;
ml n  (  n K ml n (n / 2  m  1  n(2m  3  n) /(2(n  1))) 
 (  n ml n ((1  n /(2l )) / m  n (n  2l  3) /(2(m  1)(l  1)(n  1))) .
Несложно видеть, что при выполнении соотношения
n2  (m  l ) 2 знаменатели некоторых компонент решения обращаются в ноль, а само выражение для образующей нелинейно
осциллирующей капли расходится, или, иначе говоря, найденные
поправки второго порядка малости становятся асимптотически
158
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
непригодными. Такая ситуация в теории нелинейных осцилляций
интерпретируется как резонансная. С физической точки зрения
наличие нелинейной резонансной ситуации означает, что в окрестности резонанса волна с частотой  n интенсивно обменивается
энергией с двумя волнами с частотами m и l (в этом случае говорят о вторичном комбинационном резонансе) или при m=l
дважды взаимодействует с одной волной частоты m = l (что интерпретируется как вырожденный резонанс). При реализации вырожденного резонансного взаимодействия мод энергия перекачивается только из низших мод в более высокие. Во вторичных
комбинационных резонансах энергия может переноситься в обоих направлениях: как от низких мод к высоким, так и обратно.
Согласно проведенным расчетам основная мода осцилляций
равномерно движущейся в облаке капли строго резонансно взаимодействует только с третьей модой при условии, что и основная
и третья мода присутствуют в спектре мод, определяющих начальную деформацию. Во всяком случае параметры крупных заряженных капель в грозовых облаках (W0.1, We  0.5) таковы,
что в каплях возможна перекачка энергии из возбужденной
третьей моды осцилляций в возбужденную вторую моду. В итоге
можно считать установленным факт возможности перекачки
энергии из третьей моды во вторую. Энергия же третьей моды
может восполняться за счет резонансной перекачки энергии из
более высоких мод.
Расчеты показывают, что по сравнению со второй модой третья мода может резонансно обмениваться энергией уже с существенно большим количеством высоких мод: от четвертой до тринадцатой. Однако наименьшим значениям параметров Рэлея и Вебера (малость зарядов капель и скоростей их движения, характеризуемых параметрами Рэлея и Вебера, является необходимым условием для согласования результатов проводимых модельных расчетов с условиями грозового облака) соответствует ее резонансное
взаимодействие с двенадцатой и тринадцатой модами. Для четвертой моды спектр резонансно с ней связанных мод еще более расширяется (от пятой до тридцать первой), но оптимальными возможностями в смысле малости параметров Рэлея и Вебера обладает ее взаимодействие с тридцатой и тридцать первой модами.
159
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
С ростом номера n моды, принимающей энергию от более
высоких m-ой и l-ой, увеличивается и количество номеров мод m
и l связанных с n-ой резонансным взаимодействием. В итоге
складывается следующая возможная картина резонансного переноса энергии между модами: в основную моду энергия поступает
из третьей, в третью моду энергия поступает из мод с четвертой
по тринадцатую, в четвертую моду из мод с пятой по тридцать
первую и т.д. Можно предположить, что в движущейся относительно среды нелинейно-осциллирующей заряженной капле существует направленный к основной моде поток энергии из спектра более высоких мод, обязанный своим существованием вторичному комбинационному резонансному взаимодействию мод.
Результатом переноса энергии из высоких мод (которые регулярно возбуждаются за счет столкновения рассматриваемой крупной
капли с более мелкими и медленнее движущимися в облаке капельками) в основную будет раскачка амплитуды осцилляций основной моды до наблюдаемой в натурных условиях величины
(сравнимой с радиусом капли). Следует, однако, отметить, что
одновременно в капле будет существовать встречный поток энергии из низших мод в более высокие, поддерживаемый вырожденным резонансным взаимодействием мод. Физические закономерности взаимодействия этих встречных потоков энергии в рассматриваемой колебательной системе не очевидны и должны
составить предмет отдельного исследования.
Заключение. В крупной заряженной капле в грозовом облаке принципиально возможен резонансный перенос энергии из
высоких мод осцилляций в основную, реализующийся уже во
втором порядке малости по амплитуде деформации, и приводящий к раскачке сфероидальных осцилляций капли, наблюдаемых
в естественных условиях.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
160
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНА
ЦИФРОВОГО КВАДРАТУРНОГО ПРИЕМНИКА
ПРЯМОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ*
Е.А. Кренѐв, Д.В. Кротков
Аннотация
Рассмотрено влияние параметров основных узлов приемника на динамический диапазон анализа. Получены предельные
оценки параметров.
В последнее время интерес к квадратурным цифровым приѐмникам прямого преобразования значительно возрос. Это связано с развитием элементной базы, в основном квадратурных смесителей и общих тенденций развития средств радиосвязи на
улучшение технических характеристик радиоприѐмных устройств и их миниатюризацию. Один из основных параметров радиоприѐмных устройств – мгновенный динамический диапазон
обрабатываемых сигналов.
Целью настоящей работы является оценка динамического
диапазона квадратурного цифрового приѐмника с нулевой промежуточной частотой (ПЧ) в режиме спектрального анализа радиосигналов. Актуальность задачи определятся тем, что спектральный анализ является основным режимом работы систем радиомониторинга, к нему предъявляются высокие требования, в
частности по динамическому диапазону анализа. В то же время в
известной литературе [1, 2] этот вопрос освещѐн недостаточно
полно.
Структурная схема цифрового радиоприемника с квадратурной обработкой радиосигнала на нулевой ПЧ приведена на рис. 1.
Динамический диапазон приемника DП будет в основном
определяться характеристиками КС и АЦП. Будем считать, что
вклад в параметр DП КС и АЦП является независимым. Тогда
DП  min( DКС , DАЦП ) ,
где DКС и DАЦП - динамические диапазоны КС и АЦП.
*
Работа выполнена под руководством доцента А.Н. Кренева
161
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Антенна
ФНЧ 1
ПФ
ОУ
Р
АЦП
1
S c (t )
СП
Инф.
S s (t )
ФНЧ 2
АЦП 2
S (t )
 /2
S Г (t )  cos Г t
КС
СЧ
СУ
Упр
.
Рис. 1. Упрощѐнная структурная схема квадратурного
цифрового приемника прямого преобразования.
Здесь условно обозначено: ПФ – полосовой фильтр;
P – разветвитель; ФНЧ – фильтр нижних частот; АЦП –
аналого-цифровой преобразователь; ОУ – операционный
усилитель; СУ – схема управления; СП – сигнальный
процессор; КС – квадратурный смеситель; СЧ – синтезатор
частоты, формирующий сигнал гетеродина
При воздействии на вход приемника гармонического сигнала
S (t )  U 0 cos(0t  0 ) ,
(2)
в общем случае не совпадающего по частоте с сигналом гетеродина и при идеальном квадратурном преобразовании сигналы на
выходах ФНЧ1 и ФНЧ2, с учѐтом масштабирования в ОУ, определяются соответственно выражениями:
Sc (t )  U 0 cost  0 ,
(3)
Ss (t )  U 0 sin t  0 ,
(4)
где    0   Г расстройка частот сигнала и гетеродина.
Реальный КС является аналоговым устройством, поэтому
непременно вносит искажения в результат преобразования, которые в значительной степени обусловлены неидентичностью
квадратурных каналов преобразования и, в общем случае, являются частотно зависимыми. В результате реальный КС будет
иметь характеристики, далѐкие от идеальных. Тогда, для воздействия (2) и фиксированных частот  Г и  0 , сигналы на выходе
162
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
реального КС будут определяться выражениями:
Sc (t )  a  U 0 (1  kc ) cost  c  0 ,
Ss (t )  b  U 0 (1  ks ) cost   s  0 ,
где a и b – разбалансы по постоянным составляющим;
k c и k s – разбалансы по коэффициенту передачи;
 c и  s – разбалансы по фазам.
(5)
(6)
В векторной форме сигналы (3), (4), (5) и (6) для случая
 0 =0 и   0 приведены на рис.2:
k
Ss
k s
4
6
k c

8
 s
a
 2
5
 c
b
7
Sc
3
Рис. 2. Векторы сигналов S c (t ) и S s (t ) .
Рассмотрим упрощенную, частотно не зависимую модель
реального КС, который от идеального отличается тем, что в синфазном и квадратурном каналах преобразования имеется разбаланс по постоянным составляющим a и b соответственно, а все
остальные разбалансы между каналами КС приводят к изменению коэффициента передачи квадратурного канала относительно
синфазного на величину k , и отклонению от квадратурности на
величину  . Тем самым, сведем искажения обоих каналов КС к
относительным искажениям в квадратурном канале. В оценку напряжения входного сигнала на входе приемника и его начальной
фазы будет внесена некоторая неопределенность. В этом случае
163
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сигналы на синфазном и квадратурном выходах реального КС
можно записать в виде:
(7)
S cp (t )  a  U 0* cos t   0* ,


S sp (t )  b  (1  k )U 0* sin t   0*   .
(8)
Далее, пренебрегая вносимой неопределѐнностью, будем
*
*
считать  0   0 , а U 0  U 0 (Рис. 2).
Проведем оценку влияния разбалансов КС на его динамический диапазон методом приведения искажений КС к его входу, то
есть эквивалентным внесением их во входной сигнал с последующим идеальным квадратурным преобразованием:
(9)
S * (t )  Scp (t ) cos  Г t  S sp (t ) sin  Г t
*
Полученный радиосигнал S (t ) содержит все искажения,
обусловленные разбалансами, влияющими на динамический диапазон и присутствующими в сигналах S cp (t ) и S sp (t ) .
Подставим сигналы (7) и (8) в выражение (9). После несложных преобразований выделим спектральные составляющие
на частотах  Г ,  0 и  З и получим их амплитуды
U Г , U0 , U З :
U Г  a 2  b 2 ,
2
U 0
(10)
2
U  1  k 
  1  k 

  0 
U
cos


U
sin

 0
  2  0
 , (11)
2
2




 

2
2
U  1  k 
  1  k 

U З   0  
U
cos


U
sin

 0
  2  0
 , (12)
2
2




 

где  З   г   - зеркальная относительно  Г частота, на
которой формируется нежелательная спектральная соствляющая.
Наличие разбалансов КС эквивалентно наличию во входном
сигнале кроме полезной составляющей на частоте  0 помеховых
составляющих на частотах  Г и  З , которых не было во входном сигнале (2). Спектры входного сигнала (2) и преобразованного (9) приведены на рисунках 3 и 4 соответственно.
Динамический диапазон КС будем определять по макси164
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мальной амплитуде помехи U П  max(U Г , U З ) . Тогда:
DКС [дБ]  20 lg
U 0
UП
.
S ( )
(13)
S ( )

U 0
U 0
D
З
Г

0

UП
З
Г
0
Рис. 4. Спектр сигнала S*(t)
Рис. 3. Спектр сигнала S(t)
D[db]
На рис. 5-7 приведены зависимости (13) для помеховых
компонент (10) и (12) от соответствующих параметров разбалансов, а на рис. 8 – зависимость изменения U  0 от k .
70
50
80
100
U4db (  k   )
Ugdb( a  b)
150
90
100
200
0.002
0
0.001
0

a
Рис. 5. Зависимость DКС [дБ]
от параметров a и b
Рис. 6. Зависимость DКС [дБ]
от параметра 
165
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0
80
90
U4db( k  )
U  0 ( k  ) 2 10
6
4 10
6
100
110
0
5 10
k
5
0.002
0.001
0

Рис. 7. Зависимость
DКС [дБ] от параметра k
Рис. 8. Зависимость изменения
U  0 от параметра k
Обобщая полученный результат, динамический диапазон
КС можно определить как:




Dкс  min D0 (a, b), DЗ (k ,  )  min D0 ( ), DЗ ( ) , (14)
где D0 ( ), DЗ ( ) - динамические диапазоны по помехам на частотах  0 и  З соответственно, а  - относительный разбаланс
  a, b, k ,  .
Другим важным узлом цифрового приемника, также определяющим его динамический диапазон, является АЦП. Модель
цифрового сигнала S (n) на выходе АЦП представима в виде суперпозиции двух дискретных сигналов – преобразуемого S d (n)
и шума квантования d [ S d (n)] .
Комплексный спектр такого сигнала также представим суперпозицией двух комплексных спектров:
S (k ) 
1
N
N 1
 S d ( n )e
j
2
nk
N

n 0
1
N
N 1
d [ Sd (n)]e
j
2
nk
N
(15)
n 0
Пусть на КС воздействует сигнал (2) с равновероятным распределением на интервале [ ,  ] начальной фазы  0 . Период
2
и интервал

анализа Ta , на котором берется N выборок из сигнала S (t ) , находятся в кратном соотношении: Ta  bT , где b  1,2,3....
повторения сигнала разностной частоты: T 
166
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В точке j  k , соответствующей частоте 
в (14) формируется спектральная линия, флуктуирующая из-за наличия шума квантования. В остальных точках k  j присутствуют спектральные составляющие, обусловленные только шумом квантования.
Рис. 9. Амплитудный спектр
сигнала и шума квантования
На рис. 9 приведѐн
результат спектрального
анализа этого сигнала в одном из каналов для 12-разрядного
АЦП. В диапазоне значений от –100 дБ до –120 дБ наблюдаются
спектральные составляющие шума квантования.
Воздействие шума
квантования приводит к
S Шум квантования
изменению амплитуды и
jk
фазы гармонической составляющей. На рис. 10
приведен результат суммирования (пунктирный
U0
U
jk
вектор) вектора полез
ного сигнала с вектором
0
шума квантования для
текущей реализации. Окc
ружность – значимая граРис. 10. Воздействие
ница расположения векшума квантования
торов шума квантования
радиусом 3  .
Значение параметра   может быть определено численным
моделированием для заданного числа разрядов АЦП и длины
реализации N. В качестве примера на рис. 11 приведено распределение логарифма относительных амплитуд спектральных со167
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ставляющих шума квантования. Динамический диапазон АЦП в
спектральной области по шумам квантования D определим по
значению 3  .
N  4095; m  113,19дБ ;    5,77дБ
P(A)
Ak (m) [дБ ]
Рис. 11. Распределение P Ak (m) для 12-разрядного АЦП
Рис. 12 иллюстрирует оценку динамического диапазона и
вариации амплитуды U  0 , обусловленные шумом квантования.
Рис. 12. Оценка динамического диапазона АЦП
В таблице приведены предельные значения относительных
разбалансов КС и чисел разрядов АЦП для различных значений
динамического диапазона приѐмника, полученные в соответствии
с (1) и (14):
168
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Параметры узлов
приѐмника
Относительный
разбаланс КС 
Число разрядов
АЦП l , при
N = 4096
Необходимый динамический диапазон приѐмника дБ
40
60
80
100
2,1*10-2
1,4*10-2
7,5*10-3
2,35*10-5
6
8
10
12
Список литературы
[1] Лашков Н.И. Овченков Н.И. Повышение точности цифровой обработки квадратурных огибающих сигнала // Методы и
микроэлектронные средства цифрового преобразования и обработки сигналов: Тезисы докладов Всесоюзной научной конференции. Рига, 1989.
[2] Лашков Н.И. Овченков Н.И. Коррекция выходных сигналов квадратурного смесителя итерационным методом // Вопросы аналого-цифровой обработки и формирования сигналов:
Сборник научных статей. Ярославль, 1992.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
169
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ НА ЗАРЯЖЕННОЙ
ПОВЕРХНОСТИ СЛОЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ*
С.А. Курочкина, Д.С. Заплесвичко
Аннотация
В асимптотических расчетах четвертого порядка малости
по амплитуде периодической бегущей капиллярно-гравитационной волны на однородно заряженной свободной поверхности
идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины найдено
аналитическое выражение для временной зависимости профиля
нелинейной волны. Выяснилось, что вид зависимости амплитуды
нелинейной поправки к частоте от поверхностной плотности заряда на свободной поверхности жидкости и толщины ее слоя при
переходе от толстых слоев жидкости к тонким качественно изменяется. В тонких слоях жидкости появляется зависимость резонансного значения волнового числа от величины поверхностной
плотности электрического заряда, тогда как в толстых слоях жидкости величина резонансного значения волнового числа от поверхностной плотности заряда не зависит.
Неустойчивость плоской свободной поверхности жидкости
по отношению к поверхностному заряду представляет интерес в
связи с многочисленными академическими, техническими и технологическими приложениями. Первые исследования периодических волн на заряженной поверхности жидкости и ее устойчивости по отношению к индуцированному заряду относятся к сороковым годам прошлого века, и были они выполнены в линейном
приближении по амплитуде волны. Разработанная Я.И. Френкелем физико-математическая модель феномена позволила описать
начальную стадию неустойчивости: было получено дисперсионное соотношение для капиллярных волн и выведены критерии
реализации неустойчивости, тогда как вопрос о дальнейшей временной эволюции нестабильных волновых возмущений малой
амплитуды остался нерешенным. Экспериментальные исследования показали, что при развитии неустойчивости заряженной поверхности жидкости на ней появляются конические выступы –
*
Работа выполнена под руководством проф. А.И. Григорьева
170
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
конусы Тейлора, с вершин которых идет сброс избыточного поляризационного заряда. На современном этапе теоретического
изучения периодических капиллярно-гравитационных волн на
свободной заряженной поверхности жидкости необходимо проводить учет реальной нелинейности полных уравнений и граничных условий электрогидродинамики. Эта проблема привлекла к
себе внимание в связи с исследованием нелинейных волн на заряженной поверхности бесконечно глубокой жидкости.
Влияние глубины слоя жидкости на закономерности реализации волнового движения на поверхности идеальной жидкости
хорошо изучено А.Х. Найфе. Основное внимание А.Х. Найфе
уделил исследованию резонансного взаимодействия волн и методом многих масштабов получил выражение для формы возмущения поверхности, а также нашел нелинейные поправки к частотам
волн. В начале прошлого века были выведены уравнения, описывающие нелинейные волны малой амплитуды в приближении
"мелкой воды", когда в качестве малого параметра использовалось не отношение амплитуды волны к ее длине, а отношение
толщины слоя жидкости к длине волны. В последние годы были
также предприняты попытки исследования нелинейных периодических волн на заряженной поверхности идеальной жидкости без
использования модели "мелкой воды". Тем не менее особенности
реализации неустойчивости слоев жидкости конечной толщины с
заряженной свободной поверхностью практически не изучены.
Целью данной работы является определение аналитического выражения для профиля нелинейной бегущей волны на заряженной
свободной поверхности слоя идеальной жидкости конечной глубины в четвертом порядке малости по амплитуде, которую будем
считать малой по сравнению с длиной волны, аналитических решений того же порядка малости для потенциалов поля скоростей
волнового течения жидкости и электростатического поля в пространстве над жидкостью, а также определение нелинейной поправки к частоте волны.
Будем рассматривать идеальную несжимаемую жидкость с
плотностью  , с коэффициентом поверхностного натяжения  0 ,
заполняющую в поле сил тяжести бесконечный в горизонтальном
направлении слой 0  z  h 0 в декартовой системе координат, орт
171
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

e z которой направлен противоположно ускорению силы тяжести

g . Жидкость – идеально электропроводная и находится в электростатическом поле с напряженностью E 0 . Примем, что по поверхности слоя жидкости в положительном направлении оси Ox
распространяется плоская бегущая волна малой амплитуды a с
волновым числом k . Математическая модель однородна по координате y и, следовательно, все переменные в задаче будут зависеть только от координат x, z и времени t . А все физические параметры жидкости и окружающей ее среды –  , h 0,  0 ,
g , E 0, a, k – считаем постоянными величинами.
Система уравнений, описывающая нелинейное волновое
движение в слое идеальной проводящей жидкости конечной глубины, имеет вид:
(1)
0 z  :
  0;
(2)
  z :
  0;
   



;
(3)
z  :
t  x  x  z
2
2
 1    1   
              g   P  Pg  PE  0 ,
t 2   x  2   z 
3 2
(4)
2

      
E 2 ( )

P   0  2     1
; PE 
; Pg  g (h   ).

8
 x    x 

(5)
z  :
 0;

 0;
(6)
z 0:
z
(7)
   E0 z .
z :
 ( x, t )  a  cos(kx  t ) ;
ka  1;
t=0:
Второе начальное условие выберем по ходу решения таким
образом, чтобы результирующие выражения для возмущения
свободной поверхности  и потенциалов скорости  и электрического поля  имели наиболее простой вид.
Разобьем задачу по порядкам малости. Неизвестными функциями являются возмущение свободной поверхности    ( x, t ) ,
2
172
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
потенциал поля скоростей    ( x, z, t ) и электрический потенциал    ( x, z, t ) . Искать их будем в виде разложений по малому
безразмерному параметру  n :
   1   2  2   3 3   4  4  O ( 5 ) ,
(8)
    1   2  2   3  3   4  4  O ( 5 ) ,
(9)
   E0 z   1   2  2   3 3   4  4  O ( 5) , (10)
где   a  k .
Решать поставленную задачу будем методом многих масштабов теории возмущений. То есть, предполагаем, что искомые
функции  n ,  n и  n зависят не только от координат x и z , но и
от разных временных масштабов: от основного T0  t и более
медленных T1   t , T2   2 t и T3   3 t :
 n   n ( x, T0 , T1 , T2 , T3 ) ;
 n   n ( x, z, T0 , T1 , T2 , T3 ) ;
 n   n ( x, z, T0 , T1 , T2 , T3 ) .
Тогда, используя правило дифференцирования сложной
функции, оператор  T можно записать в виде







 2
 3
 O ( 4 ) .
(11)
 t  T0
 T1
 T2
 T3
Подставляя (8)-(11) в задачу (1)-(7), собирая слагаемые при
одинаковых степенях  и приравнивая их нулю, получим задачи
нулевого, первого, второго, третьего и четвертого порядков малости. Решая последовательно данные задачи, найдем неизвестные
величины  ,  и  .
Опуская громоздкую математическую процедуру, достаточно подробно описанную ранее, выпишем окончательные выражения для возмущения свободной поверхности  ( x, t ) и потенциалов
скорости  ( x, z, t ) и электрического поля ( x, z, t ) в безразмерных
переменных, в которых     g  1, (за всеми безразмерными
величинами сохраняем прежние обозначения):
  a  Cos [  X 31 a t ]  a 
2
2
2
 1  (Cth[k h 0]) 2  
4
 2 a   Cos [2  2 X 31 a t ]  2 a 3  33  Cos [3 ] ; (12)
2
2
173
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a  Ch [k z ]

 Sin [  X 31 a 2 t ] 
k Sh [k h 0]
 Ch [2 k z ]  k

 a2 
    Cth[k h 0]     Sin [2  2 X 31 a 2 t ] 
k Sh [2 k h 0]  4

Ch[k z ] 
1

 a3
  i  32 X 31   Sin [ ] 
k  Sh [k h 0] 
2

2  3    33 i  31   Ch [3 k z ]
 a3
 Sin [3  ] ;
3 k  Sh [3 k h 0]
   4  W z  a  4 W  e k ( h 0 z )  Cos [  X 31 a 2 t ] 

 2   W

2
 a  
 Cth[k h 0 ]  1  k   W  
2


k

 4 a 2   W  e 2 k ( h 0 z )       Cos [2  2 X 31 a 2 t ] 
4

 2 a 3   32 e kh 0 z  Cos [3 ] 

2
 2 a 3  e 3 kh 0 z 



4 W   33  31  Cos [3 ] ;
  kx  t;
где частота  определяется из дисперсионного выражения
 2  k  k 3  W k 2  Th [k h 0],
а W  E02 4  g – безразмерный параметр Тонкса-Френкеля,
характеризующий устойчивость свободной поверхности жидкости по отношению к поверхностному заряду. Постоянные коэффициенты, входящие в решения задачи, имеют вид:
 4W k 2  Th [2k h 0 ]  2 k  Th [k h 0 ]  1  k 2  W k 

32  Th [k h 0 ]  1  k 2  W k  


  3Th [2k h 0 ]  Cth[k h 0 ]  Th [2 k h 0]  4 Cth[k h 0]
; (13)
 16  Th [2 k h 0 ]  1  4 k 2  2W k 
3
31  i  k 2  Cth[2 k h 0 ]  Cth[k h 0]  3i  k   Cth[2 k h 0] 
4
1
1
1
 i  k   Cth[k h 0]  i k 2  i  k   i  k 2  Cth[k h 0] ;
8
2
16
1
32  i  k 2  Cth[2 k h 0]  Cth[k h 0]  i  k   Cth[2 k h 0 ] 
4
2
174
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1
1
 i  k   Cth[k h 0 ]  i  k 2  i  3 k  Cth[k h 0] 
8
8
1
1
1
3
 i  3 k  Cth[k h 0 ]  i  k   i  k 2  Cth[k h 0 ] ,
8
2
16
3
k

 31  k   W      ;
2
8

k
2
2 
 32  k  W    3  
 1  Cth[k h 0 ]  ;
4
8


33 

  2 k  Cth[3 k h 0]   3 k  Cth[2 k h 0]  Cth[k h 0]  12   Cth[2 k h 0] 
k
k

k

 4   Cth[k h 0 ]   2    Cth[k h 0]  18W k 3     
2
4

8

5
4
11
3k
7W k
  2 k  Cth[k h 0]  14 k   

 10W k 3  
4
4
4
2
4
2
 4 k   Cth[2 k h 0]  Cth[k h 0]   k  Cth[k h 0]2 Cth[2 k h 0]
12 2  Cth[3 k h 0]  4 k  36 k 3 12W k 2 ,
(14)
k
 31   k  Cth[k h 0 ]    Cth[2 k h 0 ] Cth[k h 0]    Cth[2 k h 0] 
4

 2
k
   Cth[k h 0]  
 Cth[k h 0 ]   Cth[k h 0 ] 
8
8
16

3
W k3 k
 Wk 

   3 
 1  Cth[k h 0] 2  
2  8
8

k

 k     Cth[k h 0]     Cth[2 k h 0]  Cth[k h 0 ] 
4

k
3k 5 W k 3 
2
2
2

   W k  Cth[k h 0]  1 


8
16 
2
5W k 4 9  k 2
3 k


 Cth[k h 0 ] 
.
(15)
16 
16
2
Полученное выражение для профиля нелинейной волны (12)
в пределе при h 0  совпадает с решением для бесконечно глубокой жидкости, а при W  0 переходит в известное выражение


175
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
для профиля нелинейной капиллярно-гравитационной волны на
незаряженной поверхности слоя идеальной жидкости конечной
толщины. Ранее было показано, что амплитудные коэффициенты
поправок второго и третьего порядков малости к возмущению
свободной поверхности имеют резонансный вид. Для случая бесконечно глубокой жидкости амплитудные коэффициенты поправок второго порядка малости к решениям (12)-(15) резонансно
нарастают при k 2 1 2 , а амплитудные коэффициенты поправок
третьего порядка имеют два резонанса при k 2 1 2 и k 32  1 3 .
Несмотря на то, что выражение (12) для  применимо в широком диапазоне волновых чисел, амплитудные множители  (13)
и 33 (14) неограниченно нарастают, при тех значениях волновых
чисел, при которых выполняется соотношение:
n Th [k h 0]  (1  k 2  W k )  Th [n k h 0]  (1  n 2 k 2  nW k )  0 ; (16)
где n –целое число. Коэффициент  имеет резонанс при n  2 , а
коэффициент 33 имеет два резонанса при n  2 и 3 . Это означает, что применимость выражения (12) ограничена в окрестности
волновых чисел k , определяемых из уравнения (16), так как амплитудные коэффициенты должны быть малыми поправками к
величинам первого порядка малости. Анализ показывает, что положения внутренних нелинейных резонансов во взаимодействии
гравитационных и капиллярных волн (геометрического места точек в которых коэффициенты  и 33 расходятся) зависят от
толщины слоя жидкости и величины поверхностного заряда в
тонких слоях жидкости ( h0  1) и не зависят от W в толстых
( h0 1) слоях.
Согласно выражению (12) профиль волны не является стационарным, это объясняется наличием в (12) нелинейной добавки
к частоте a 2  X 31 , где безразмерный множитель X 31 задан равенством (15). Говорить о стационарном профиле можно только в
том случае, если ограничить расчеты вторым порядком малости,
так как уже при решении задачи в третьем порядке нелинейная
поправка a 2  X 31 появится в линейном по амплитуде слагаемом,
а при решении в четвертом – и в квадратичном. Поправка к частоте колебаний компоненты  третьего порядка малости будет
176
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
модифицировать это слагаемое на величину порядка O (a 5) , а так
как в данную задачу не входит учет величин такого порядка, то в
кубическое по малому параметру слагаемое входит невозмущенный аргумент  .
Из выражения (16) видно, что коэффициент при нелинейной
поправке к частоте , так же как и амплитудные множители  и
33 , имеет резонансный вид. Безразмерный коэффициент X 31 ,
аналогично  , будет резонансно нарастать в окрестности волновых чисел, определяемых из уравнения (16), при n  2 . Для бесконечно глубокой жидкости нелинейная добавка к частоте, пропорциональная квадрату амплитуды, имеет резонанс при
k 2  1 2 . В случае жидкости конечной толщины результаты аналитического рассмотрения приводят к несколько иным результатам: оказывается, что резонансное нарастание X 31 при различных
значениях параметра Тонкса-Френкеля W и безразмерной толщины слоя жидкости h 0 имеет место при различных значениях
волнового числа k . Причем в тонких слоях жидкости ( h0 1) положение резонанса (резонансное значение волнового числа) зависит от величины параметра Тонкса-Френкеля W , а в толстых
слоях ( h0 1) не зависит.
Заключение. Положения внутренних нелинейных резонансов во взаимодействии гравитационных и капиллярных волн, а
также величины и знаки коэффициентов  , 33 и X 31 существенно зависят от толщины слоя жидкости и величины поверхностного заряда, причем влияние поверхностного заряда усиливается с уменьшением толщины слоя жидкости. Оказалось, что закономерности реализации нелинейного волнового движения в
тонких и толстых слоях жидкости различны.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
177
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
КОЛЕБАНИЯ В ДВУМЕРНЫХ РЕКУРСИВНЫХ
ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
C БИНАРНЫМ КВАНТОВАНИЕМ
И ПОСТОЯННЫМ ВНЕШНИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ*
М.В. Лебедев, И.Л. Балусов, Д.В. Рудых
Аннотация
Исследованы процессы в двумерных рекурсивных цифровых системах второго порядка с симметричными коэффициентами и двумя уровнями квантования результатов суммирования при
постоянном внешнем воздействии. В рамках детерминированного
подхода предложена методика построения бифуркационной диаграммы системы. С помощью методики найдены условия существования заданных типов выходных движений. Построены бифуркационные диаграммы.
Двумерные цифровые системы широко используются для
обработки многомерных цифровых сигналов, статических и динамических изображений [1-3]. На их основе создаются двумерные цифровые фильтры. Благодаря простоте исполнения и возможности работать в реальном масштабе времени, двумерные
цифровые фильтры малых порядков можно использовать в качестве базовых составляющих более сложных устройств цифровой
обработки двумерных сигналов и изображений.
Принципиальным отличием цифровых фильтров от аналоговых являются специфические ошибки квантования. Вследствие
этого фильтры приобретают характерные нелинейные свойства,
существенно влияющие на динамику сигнала на выходе. Эффекты квантования возрастают с уменьшением числа уровней квантования. Вместе с тем малое количество разрядов вынужденно
используется при обработке в реальном времени широкополосных сигналов, требующей высокого быстродействия цифровых
устройств.
Структурная схема двумерного рекурсивного цифрового
фильтра второго порядка [4-5] с симметричными коэффициента*
Работа
А.Л. Приорова
выполнена
под
руководством
178
канд.
техн.
наук
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ми представлена на рис. 1. Здесь a, b и c – независимые коэффициенты фильтра; m и n – дискретные переменные, принимающие
значения от -2 до бесконечности; U (m, n) – постоянное внешнее
воздействие; функция f описывает характеристику сумматора.
Рис. 1. Структурная схема неавтономного двумерного
рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с
симметричными коэффициентами
В случае симметричных коэффициентов движение в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка описывается разностным уравнением
x(m, n)  f (a( x(m  1, n)  x(m  2, n))  b( x(m, n  1) 
(1)
 x(m, n  2))  c( x(m  1, n  1)  x(m  2, n  2))  U (m, n))
с ненулевыми начальными условиями.
Целью работы является исследование колебаний в неавтономных двумерных рекурсивных цифровых системах второго порядка, описываемых уравнением (1), с двумя уровнями квантования результатов суммирования. Следует отметить, что для двумерных рекурсивных цифровых фильтров, основанных на исследуемых системах, данные колебания являются паразитными.
Характеристика сумматора описывается функцией
179
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 1, x  0
f ( x)  
1, x  0.
(2)
Участок характеристики, соответствующий x  0 , назовем
зоной I, а x  0 - зоной II. Внешнее воздействие представляет собой отрицательный или положительный единичный скачок
U (m, n)  A .
Для исследования систем с нелинейным сумматором и квантователем используется детерминированный подход, который
применялся при изучении нелинейных свойств одномерных цифровых фильтров [6]. Такой подход используется для решения задач, связанных с изучением условий зарождения предельных
циклов разных периодов и в двумерных системах первого порядка [7-8].
Следует отметить, что любое начальное условие для двумерной системы второго порядка представляет собой четыре бесконечные последовательности ( x(1, n) , x(2, n) и x(m,1) , x(m,2) ),
поэтому перебрать все возможные начальные условия в такой
системе нереально. В связи с этим, при исследовании двумерных
систем с произвольными начальными условиями предлагается
находить условия возникновения на выходе фильтра только определенных типов движений, например, двумерных предельных
циклов (ДПЦ) [8].
Рассмотрим это более подробно на примере нахождения областей существования таких типов движений, как ДПЦ с периодами 1х0, 0х1 и 1х1. Исходя из уравнения (1), найдем область
существования цикла периода 1х0
 x(m, n)  f (a( x(m  1, n)  x(m  2, n))  b( x(m, n  1)  x(m, n  2))

 c( x(m  1, n  1)  x(m  2, n  2))  A)

 x(m, n)  x(m  1, n).

Согласно (2) отсчет x(m, n) может принадлежать одной из
двух зон функции нелинейности. Рассмотрим каждый случай отдельно. Пусть x(m, n)  зоне I, т.е.
180
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 x(m, n)  f (a( x(m  1, n)  x(m  2, n))  b( x(m, n  1)  x(m, n  2))

 c( x(m  1, n  1)  x(m  2, n  2))  A)

 x(m, n)  x(m  1, n)  1,

что равносильно выражению
1  f (a(1  x(m  2, n))  b( x(m, n 1)  x(m, n  2))  c( x(m  1, n 1)  x(m  2, n  2))  A)
Следовательно, согласно (2) имеем
a  x(m  2, n)  b( x(m, n  1)  x(m, n  2))  c( x(m  1, n  1)  x(m  2, n  2))  A  0 .
Отсчеты x(m  2, n) , x(m, n  1) , x(m, n  2) , x(m  1, n  1) и
x(m  2, n  2) также могут принимать одно из двух значений. При
переборе всех возможных значений переменных получим набор
условий на коэффициенты фильтра, соответствующие различным
значениям данных отсчетов. При их выполнении, если x(m  1, n)
принадлежат зоне I функции нелинейности, то и x(m, n) для любых значений переменных m и n будет принадлежать той же зоне. На плоскости коэффициентов фильтра ( a , b ) при фиксированном коэффициенте c  0.25 и А=1 данным ограничениям соответствует заштрихованная область на рис. 2.
Рис. 2. Область циклов 1х0, х(m,n)  зоне I, с = 0.25 и А = 1
Вследствие симметричности функции (2) случаю x(m, n) 
зоне II соответствует такой же, но строгий набор неравенств, как
и в предыдущем случае. В связи с этим разбиение пространства
коэффициентов фильтра сохраняет вид, показанный на рис. 2, но
при А = -1.
181
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вследствие симметричности коэффициентов a и b в уравнении (1) относительно переменных m и n замена m  n соответствует замене a  b . Таким образом, для ДПЦ с периодом 0х1 остается справедливым полученный набор неравенств, с учетом соответствующих переобозначений. Результаты справедливы для
x(m, n)  зоне I при А=1 и для x(m, n)  зоне II при А= -1. На плоскости коэффициентов ( a , b ) при c  0.25 данным циклам на выходе фильтра соответствует заштрихованная область на рис. 3.
Рис. 3. Область существования циклов периода 0х1,
с = 0.25 и А=1
Для существования невырожденных циклов 1х0 и 0х1 необходимо, чтобы минимум один из отчетов последовательностей
(1, n) , (2, n) , (m,1) и (m,2) был ненулевым (в противном случае
сигнал на выходе фильтра будет отсутствовать). Причем каждый
из этих ненулевых отсчетов начальных условий создает аналогичный по знаку столбец или строку в зависимости от периода
ДПЦ.
Найдем условия на коэффициенты фильтра, соответствующие ДПЦ периода 1х1.
Пусть x(m, n)  зоне I, тогда
 x(m, n)  f (a( x(m  1, n)  x(m  2, n))  b( x(m, n  1)  x(m, n  2)) 

 c( x(m  1, n  1)  x(m  2, n  2))  A)

 x(m, n)  x(m  1, n  1)  1,

что равносильно выражению
182
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1  f (a( x(m  1, n)  x(m  2, n))  b( x(m, n  1)  x(m, n  2))  c(1  x(m  2, n  2))  A) .
Следовательно, согласно (2) имеем
a( x(m  1, n)  x(m  2, n))  b( x(m, n  1)  x(m, n  2))  c(1  x(m  2, n  2))  A  0 ,
что равносильно набору условий на коэффициенты фильтра. На
плоскости ( a , b ) этим условиям соответствует заштрихованная
область при c  0.25 и A=1, показанная на рис. 4.
Рис. 4. Область циклов 1х1, х(m,n)  зоне I, с = 0.25 и A=1
Вследствие симметричности функции нелинейности (2), набор условий и разбиение плоскости (a,b) для случая х(m,n)  зоне
II при А = -1 сохраняются неизменными. В отличие от циклов периодов 1х0 и 0х1 для ДПЦ с таким периодом любой ненулевой
отсчет последовательностей начальных условий приводит к образованию диагонали аналогичных отсчетов на выходе фильтра.
Такие же результаты получаются для случаев, когда х(m,n) 
зоне I при А = 1 или зоне II при А = -1 для x(m, n)  x(m  2, n) ,
x(m, n)  x(m, n  2) и x(m, n)  x(m  2, n  2) .
Движения, соответствующие остальным областям пространства коэффициентов, не подходят под определение ДПЦ. В общем случае для однозначного определения типа движений на выходе фильтра с двумя уровнями квантования необходимо определить значения отсчета х(m,n) для всех возможных комбинаций
отсчетов x(m  1, n) , x(m  2, n) , x(m, n  1) , x(m, n  2) , x(m  1, n  1) и
x(m  2, n  2) .
183
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Общий вид бифуркационной диаграммы двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с симметричными
коэффициентами при коэффициенте c  0.25 и произвольном А
представлен на рис. 5.
Рис. 5. Бифуркационная диаграмма двумерного
рекурсивного цифрового фильтра второго порядка
с симметричными коэффициентами, с = 0.25
Таким образом, предложена методика, позволяющая находить области в пространстве коэффициентов фильтра, соответствующие заданным типам движений. С еѐ помощью определены
области двумерных предельных циклов различных периодов.
Данная система может использоваться для генерации бинарных
колебаний различных периодов. Методику можно развивать на
случаи большего количества уровней квантования в двумерных
цифровых рекурсивных системах второго порядка. Найдены аналитические условия на коэффициенты фильтра, соответствующие
каждому из двумерных предельных циклов. Построена бифуркационная диаграмма системы. Теоретические результаты подтверждены компьютерным моделированием.
184
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
[1] Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. М.: Мир, 1988. 488 с.
[2] Каппелини В., Константинидис А. Дж., Эмилиани П.
Цифровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомиздат, 1983.
360 с.
[3] Bose T., Brown D. Zero-input limit cycles due to rounding in
digital filters // IEEE Trans. Circuits & Syst., 1989. V. 6, P. 931-933.
[4] Лебедев М.В., Рудых Д.В., Балусов И.Л. Автономный
двумерный рекурсивный цифровой фильтр второго порядка с несимметричными коэффициентами // Тр. LVII науч. сессии, посвященной Дню радио. М., 2003. Т. 1. С. 239-241.
[5] Лебедев М.В. Преобразование сигналов с помощью двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка
// Докл. 7-ой междунар. конф. и выставки ―Цифровая обработка
сигналов и ее применения‖ (DSPA’2005), М., 2005. Т. 2. С. 467471.
[6] Брюханов Ю.А. Динамика цифровой рекурсивной системы второго порядка с бинарным квантованием // Известия вузов. Радиофизика. 2001. Т. 12, № 11. С. 976-983.
[7] Rudyh D.V., Lebedev M.V., Kryashchev V.V., Priorov A.L.
Investigation of the two-dimensional first-order recursive digital filters with saturation nonlinearity // Proc. of the 11-th Workshop on
―Nonlinear Dynamics of Eletronic Systems‖ (NDES'2003), Switzerland, 2003. P. 213-216.
[8] Rudyh D.V., Lebedev M.V., PriorovA.L. Limit cycles in autonomous two-dimensional first order recursive digital filters with
nonlinear adder without quantization // Proc. of the 12-th Workshop
on ―Nonlinear Dynamics of Eletronic Systems‖ (NDES'2004), Portugal, 2004. P. 292-295.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
185
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОСТРОЕНИЯ РАДИОИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ КВАЗИОПТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЗОННЫХ ПЛАСТИНОК*
А.С. Леонтьев, Е.Н. Семенова
Аннотация
В связи с развитием радиолокации и смежных с ней областей техники в последнее время особую актуальность приобрела
проблема радиовидения, т.е. проблема получения визуальных
изображений пространства в форме, близкой к привычным зрительным образам, используя радиоизлучение. Эта проблема может решаться различными способами, один из которых заключается в использовании радиообъективов для формирования радиоизображений с последующей их визуализацией. Для реализации
данного способа в качестве радиообъектива можно использовать
фокусирующие элементы, позволяющие применять сканирующие
устройства с малыми линейными размерами.
Целью работы было создание модели устройства, позволяющего формировать радиоизображение при помощи квазиоптических методов. При этом решались задачи создания компьютерной модели, реализующей алгоритм построения изображения
объекта при его облучении плоской монохроматической электромагнитной волной, сравнение результатов, полученных в ходе
моделирования, с теоретическими и экспериментальными данными. В оптическом диапазоне для получения изображений объектов в качестве фокусирующих элементов используются линзы,
фокусирующие зеркала. В микроволновом и ультразвуковом
диапазонах, где используются монохроматические источники излучения, целесообразнее применять зонные пластинки (ЗП), так
как дифракционная эффективность линзы и ЗП сравнимы между
собой. ЗП не имеют принципиальных ограничений в создании
объективов с любой относительной апертурой. Изготовление ЗП,
из-за значительно менее жестких допусков на точность (ввиду
большей длины волны, чем в оптике) тоже не встречает затруднений.
В основе модели устройства лежит простейшая квазиоптическая система формирования радиоизображений, где в качестве
*
Работа выполнена под руководством Н.И. Фомичева
186
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
фокусирующего элемента была выбрана амплитудная зонная
пластинка Френеля (АЗПФ).
Рассмотрим процесс формирования изображений АЗПФ
(рис. 1.). Пусть объект, размещенный в плоскости (ξ,η) на расстоянии Z0 от АЗПФ радиуса R, облучается нормальной падающей плоской монохроматической электромагнитной волной с
единичной амплитудой и длиной волны λ.
Рис. 1. Схема установки
Распределение поля в плоскости (u,v) изображения любого
объекта можно представить в виде интеграла
E (u, v)   t ( , )h( ,, u, v)dd. ,
A
(1)
где t(ξ,η) –– передаточная функция объекта,
h(ξ,η,u,v) –– импульсный отклик АЗПФ.
Интегрирование осуществляется по области А объекта. Для
определения h(ξ,η,u,v) рассмотрим сферическую волну, излучаемую точечным источником, имеющим координаты (ξ,η). В этом
случае на АЗПФ, расположенную в плоскости (x,y), падает волна,
которую в параксиальном приближении можно записать в виде
187
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
E ( ) 


 

1
exp j
( x   )2  ( y   )2 .
jZ 0
 Z 0

(2)
Функцию пропускания АЗПФ представим в виде ряда Фурье
sin(

T ( x, y )  
n  
n
)
2 exp  j n ( x 2  y 2 ),
 F

n
(3)
где F –– главное фокусное расстояние АЗПФ.
После прохождения через АЗПФ распределение поля принимает вид:
E (  ) ( x, y)  E ( ) ( x, y)T ( x, y).
(4)
В приближении дифракции Френеля импульсный отклик
АЗПФ в плоскости (u,v) выражается интегралом
h( , , u, v) 
exp( j
2Z i

jZ i
)
 
()
2
2 
E
exp
j
(
u

x
)

(
v

y
)

dxdy ,
B
 Z i



(5)
Подставляя (2) – (4) в (5) и вычисляя интеграл (1), можно
получить распределение поля в области изображения [1].
Часто возникают ситуации, когда невозможно добиться равномерного амплитудного распределения поля на объекте, поэтому является актуальным моделирование освещения объекта электромагнитной волной как с равномерным, так и с неравномерным
распределением амплитуды. В качестве источника неравномерного распределения поля был взят пирамидальный рупор [2].
При большом удалении от оптической оси угол падения
волны на ЗП превышает угол поля зрения
 max  arctg 13k
(6)
где k – число зон, при этом начинают проявляться первичные
аберрации.
188
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассмотрим луч, выходящий из точки предмета Р0 (рис. 2.),
проходящий через k-ю прозрачную зону АЗП и пересекающий
плоскость параксиального изображения в точке Рi.
Рис. 2. К пояснению аберраций
Для получения хорошего качества изображения оптические
пути всех лучей, сходящихся в точке параксиального изображения, должны отличаться от целого числа длин волн на величину,
не превышающую λ/4 (критерий Релея), в противном случае изображение искажается аберрациями. Функция волновой аберрации
определяется разностью оптических длин двух лучей, проходящих через оптическую систему: осевого - выходящего из осевой
точки предмета, и краевого - выходящего из центра краевого
зрачка (апертура ЗП). Так как исследуемая ЗП обладает сферической симметрией, то, выполнив определенные преобразования, не
теряя общности рассуждений, пришли к выводу:
В ЗП дисторсия отсутствует.
Отсутствуют астигматизм и кривизна поля.
Для осевых точек предмета ЗП свободна от аберраций, кроме сферической, которая искажает как осевые, так и внеосевые
точки изображения.
189
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Это справедливо только для случая, когда объект сравним с
размерами параксиальной области, и угол падения  на ЗП не
превышает max. Если >max, то на качество радиоизображения
влияют аберрации [1].
Импульсный отклик ЗП с неограниченными размерами
апертуры равен δ-функции и благодаря этому каждая точка объекта трансформируется в точку изображения. При конечных размерах ЗП импульсный отклик отличен от δ-функции, и точка
объекта трансформируется в некоторую область изображения,
вызывая тем самым его искажения в виде размывания мелких деталей. Размер этой области (ширина импульсного отклика) может
быть оценен по формуле
Z
  1.22 i ,
(7)
R
где Δ – протяженность главного максимума дифракционной картины между первыми минимальными значениями; R – радиус ЗП.
В соответствие с критерием разрешения по уровню 0,1 от максимума величина δ определяет угловую разрешающую способность
радиообъектива

  1.22 .
(8)
R
Следует обратить внимание на то, что при фиксированных
расстояниях Z0 и Zi имеет смысл говорить о разрешающей способности в плоскости объекта и плоскости изображения 0 и I [3].
Z
Z
 0  1.22 0 i  1.22 i
(9)
R
R
Для проверки работоспособности модели были построены
изображения некоторых объектов, поставлен эксперимент и произведено сравнение полученных результатов. Параметры установки были выбраны следующим образом
Z 0  1.9 м – расстояние объект - ЗП,
Zi  1.382 м – расстояние ЗП - изображение,
R  0.4 м – радиус ЗП,
F  0.8 м – фокус ЗП,
r  0.85 м – расстояние от рупора до объекта,
  0.03 м – длина волны,
190
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a  b  0.08 м – линейные размеры апертуры рупора,
L  0.3 м – длина рупора.
В качестве примеров были рассчитаны изображения объектов: четырех точек, находящихся на расстоянии 0, тонкой щели,
тонкого креста, буквы  (рис. 3).
а)
б)
в)
г)
Рис. 3. Объекты: 4 точки, тонкая щель, тонкий крест, буква 
а) объект, б) освещение равномерным распределением поля,
в) равномерное распределение поля с учетом аберраций,
г) неравномерное распределение поля без учета аберраций
191
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На основании анализа изображения четырех точек следует
сделать вывод о возможности разрешения точек по минимальному уровню. Учет аберраций приводит к расплыванию изображения. Неравномерность распределения поля на объекте подавляет отдаленные от центра точки объекта. Изображение буквы
 наглядно показывает, что зонная пластинка, как и линза, инвертирует объект.
Были проведены экспериментальные исследования распределения поля по объекту при использовании различных излучателей. Распределение амплитуды поля по объекту при освещении
его открытым концом волновода можно считать равномерным
(разница амплитуд в центре и на краях не превышает 1,5 дБ). При
освещении объекта рупорной антенной эта величина достигает
20 дБ.
Рис. 5. Сравнение
экспериментального
и теоретического профилей
Рис. 4. Изображение
точечного источника
На рис. 4. показано экспериментально полученное изображение точечного источника, в качестве которого использовался
открытый конец волновода. Как видно из рис. 5, ширина измеренного импульсного отклика и теоретического профиля при
равномерном распределении поля на объекте совпадают.
Выводы. В результате проделанной работы была создана
модель устройства, позволяющая формировать радиоизображение объекта при помощи квазиоптических методов; создана про192
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
грамма, реализующая алгоритм построения изображения объекта
при его облучении нормально падающей плоской монохроматической электромагнитной волной с равномерным и неравномерным амплитудным распределением поля. Проведено сравнение
результатов, полученных в ходе математического моделирования
с экспериментальными результатами.
Таким образом, можно говорить о работоспособности созданной модели, что позволяет применять ее в задачах голографии
сфокусированных изображений.
Список литературы
[1] Щукин И.И. Дифракционные фокусирующие элементы:
Учебное пособие. Ярославль, 1980.
[2] Davidson D.B., Volakis J.L. Implementation of the pyramidal-horn antenna radiation-pattern equations using Mathcad // IEEE
Antennas and Propagation Magazine, October 1999. Vol. 41. № 5.
P. 96-99.
[3] Сидоркин А.Ф., Иванов В.Н. Физические основы радиолокации: Учебное пособие. Ярославль, 1980.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
193
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНОГО КОДИРОВАНИЯ
ДЛЯ ФИЛЬТРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ
В.Э. Манько, Е.Э. Манько
Аннотация
Предложен алгоритм фильтрации цифровых изображений,
основанный на теории фракталов и определении дисперсии шума, содержащегося в изображении. Метод заключается в воссоздании фрактального кода незашумленного изображения из кода
зашумленного с использованием значения дисперсии шума. В качестве дисперсии шума берется значение, наиболее часто встречающееся при определении дисперсии для небольших участков
изображения (7 x 7 пикселей). Приведены основные результаты
исследований.
В течение прошлого десятилетия наблюдался существенный
интерес к фрактальному кодированию с целью сжатия изображений. Применение же фрактального кодирования к другим аспектам обработки изображений было менее распространенным. В
работе предлагается фрактальный метод восстановления зашумленного изображения. В основе метода лежит получение фрактального кода незашумленного изображения из кода зашумленного изображения, основываясь на знании дисперсии шума. Получаемый фрактальный код дает возможность получить при
восстановлении значительно улучшенное по качеству изображение по сравнению с исходным. Улучшение качества в значительной степени связано с особенностями визуальной системы человека, в которой более сильно сглаживаются однородные области
и области с малым количеством переходов, и меньше сглаживаются области с резкими перепадами яркости, например, границы
изображения.
С потребностью в восстановлении изображения сталкиваются во многих практических применениях. Искажение белым
Гауссовым шумом может быть вызвано особенностями окружающей среды или шумами, свойственными каналам связи. Ли
Работа выполнена под руководством канд. техн. наук А.Л. Приоро-
ва.
194
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
нейная фильтрация широко использовалась для восстановления
изображений из-за ее относительной простоты. Однако, так как
эти методы основаны на предположении, что сигнал изображения
является постоянным и сформированным с использованием линейной системы, их эффективность очень ограничена. Фактически реальные изображения имеют типично нестационарные статистические характеристики и сформированы с помощью нелинейной системы. Существуют различные адаптивные и
нелинейные методы восстановления изображений, основанные на
изменении локальных статистических характеристик. Эти методы
достигают лучшего восстановления изображения при сохранении
его высокой контрастности.
В работе исследован адаптивный нелинейный метод восстановления изображений, основанный на фрактальном кодировании изображений.
В качестве тестового использовалось стандартное испытательное изображение "Фотограф" (512 x 512 пикселей, 8 bpp), которое было изменено белым Гауссовым шумом с дисперсией 625.
Для оценки качества изображений использовалась величина
среднеквадратичного отклонения

1 
СКО  2  (uij  ij ) 2 
N  i, j

12
,
(1)
где u ij - значения интенсивности точек исходного изображения,
ij - значения интенсивности точек полученного изображения.
Алгоритм обработки изображений
Первый этап
Первый этап обработки заключается в определении дисперсии шума  N2  в изображении. Метод оценки  N2 основан на условии, что изображение имеет много областей постоянной интенсивности и что любая неоднородность появляется из-за шума.
Это предположение имеет силу для многих реальных изображений. Мы также предполагаем, что шум имеет постоянную дисперсию по всему изображению, так как для исследования выбран
195
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
белый Гауссов шум. Вычисление локальной дисперсии производится в маленьких окнах (7 x 7 пикселей), и в качестве дисперсии
шума берется наиболее часто встречающееся значение локальной
дисперсии.
Второй этап
Производится фрактальное кодирование зашумленного изображения.
Фрактальное кодирование основано на том, что мы представляем изображение в более компактной форме — с помощью
коэффициентов системы итерируемых функций (Iterated Function
System — IFS).
 x  a b 0  x  e 
  
    
wi  y    c d 0    y    f 
 z  0 0    z   q 
  
    
(2)
Строго говоря, IFS представляет собой набор трехмерных
аффинных преобразований, в нашем случае переводящих одно
изображение в другое. Преобразованию подвергаются точки в
трехмерном пространстве (х - координата, у - координата, z - яркость).
Суть кодирования заключается в разбиении изображения на
ранговые блоки Ri и нахождении для них набора доменных областей Di связанных соотношением
Ri  wi ( Di ) .
(3)
Утверждается, что в процессе итераций мы получим изображение, которое перестанет изменяться. Это изображение называется ―неподвижной точкой‖ или аттрактором данной IFS.
f x f   x f
(4)
Соответствующая теория гарантирует наличие ровно одной
неподвижной точки для каждой IFS.
196
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Фактически, фрактальная компрессия — это поиск самоподобных (рис. 1) областей в изображении и определение для них
параметров аффинных преобразований.
Рис. 1. Пример самоподобных областей изображения
В реализованном варианте алгоритма сделаны следующие
ограничения на области:
1. Все области являются квадратами со сторонами, параллельными сторонам изображения. Это ограничение достаточно
жесткое. Фактически мы собираемся приближать все многообразие геометрических фигур лишь квадратами.
2. При переводе ранговой области в доменную уменьшение
размеров производится ровно в два раза.
3. Ранговые области берутся ―через точку‖ и по Х, и по Y,
что сразу уменьшает перебор в 4 раза.
4. При переводе ранговой области в доменную поворот куба
возможен только на 00, 900, 1800 или 2700. Также допускается
зеркальное отражение.
5. Масштабирование (сжатие) по вертикали (яркости) осуществляется в фиксированное число раз — 0,75.
Отрицательные стороны предложенных ограничений:
1. Поскольку все области являются квадратами, невозможно
воспользоваться подобием объектов, по форме далеких от квадратов (которые встречаются в реальных изображениях достаточно часто).
197
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Алгоритм не сможет воспользоваться подобием объектов
в изображении, угол между которыми не кратен 900.
3. Аналогично, мы не сможем воспользоваться подобием
объектов в изображении, коэффициент подобия между которыми
сильно отличается от 2.
Для каждого доменного блока делаем его проверку со всеми
возможными ранговыми блоками (в том числе с прошедшими
преобразование симметрии), находим вариант с наименьшим
среднеквадратичным отклонением и сохраняем коэффициенты
этого преобразования в файл.
Оператор изменения яркости  i определяется следующим
выражением
 u    *u   * ,
(5)
где коэффициенты  * ,  * определяются по формулам
* 
n
n
n
i 1
i 1
i 1
n x i y i  x i  y i
n 
2
n  x i   x i 
i 1
 i 1 
n
2
,
n
1 n
* 1
   y i    xi ,
n i 1
n i 1
(6)
*
(7)
где  xi , y i  - точки доменной и ранговой областей.
Третий этап
После определения коэффициентов  * ,  * зашумленного
изображения рассчитываются аналогичные коэффициенты  , 
для незашумленного изображения, используя определенное ранее
значение дисперсии шума

 N2  *
  1  2  ,
(8)
 4 X 
198
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n

y
n
i
x
i

,
n
n
где  X2 - дисперсия незашумленного изображения.
i 1
i 1
(9)
Четвѐртый этап
На последнем этапе производится восстановление незашумленного изображения с использованием полученных коэффициентов  ,   .
Декомпрессия алгоритма фрактального сжатия чрезвычайно
проста. Необходимо провести несколько итераций трехмерных
аффинных преобразований, коэффициенты которых были получены на этапе компрессии.
В качестве начального может быть взято абсолютно любое
изображение (например, абсолютно черное).
Результаты обработки тестового изображения с использованием представленного метода для  N2 =625 представлены на
рис. 2. Для сравнения взят наиболее часто используемый адаптивный алгоритм фильтрации, известный как фильтр Ли. Этот
фильтр, как и представленный, способен сгладить шум в однородных областях и оставить неизменными неоднородные области
изображения. Для этого изображение разбивается на квадратные
области размером 3 х 3, 5 х 5 или 7 х 7 точек, и для каждой такой
области вычисляются среднее значение и дисперсия.

1 N
x   xi ,
N i 1
(10)
2

2
X

1 N 


x

x

 .

i
N  1 i 1 

(11)
Избирательность фильтра Ли достигается использованием
следующего алгоритма

F x1 , x2 ,..., x N   x1  1    x ,
(12)
где x1 - центральная точка в окне, а коэффициент  определяется по формуле
199
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  x2   N2 
  max 
,0  ,
2

x


(13)
где  N2 - дисперсия шума.
а)
б)
в)
Рис. 2 а) Зашумленное изображение с дисперсией
шума  N2 =625, б) Фрактальная фильтрация с СКО=7,11,
в) Фильтр Ли с СКО=13,26
В табл. 1. представлены результаты фильтрации для различных значений дисперсии шума.
200
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 1
Зашумленное изображение
Фрактальная фильтрация
Фильтр Ли
 N2 =100
СКО = 5,21
СКО = 6,63
 N2 =225
СКО = 6,03
СКО = 9,10
 N2 =625
СКО = 7,11
СКО = 13,26
 N2 =900
СКО = 7,78
СКО = 14,99
Таким образом, результаты показывают, что представленный метод дает лучшие результаты, по сравнению с широко используемым для фильтрации Гауссовых шумов фильтром Ли.
Список литературы
[1] Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. М.; Мир, 1988. 488 с.
[2] Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. 352 с.
[3] Манько В.Э., Приоров А.Л. Применение цифровой
фильтрации для предварительной обработки изображений при
использовании фрактального алгоритма сжатия // 5-я Международ. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение»:
Докл. Т. 2. М., 2003.
[4] Манько В.Э., Манько Е.Э. Исследование влияния предварительной морфологической обработки полутоновых изображений на коэффициент компрессии при использовании фрактального алгоритма сжатия // 6-я Международ. конф. «Цифровая
обработка сигналов и ее применение»: Докл. Т. 2. М., 2004.
С. 130-132.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
201
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ КАНАЛА
СИНХРОНИЗАЦИИ СИНХРОННОЙ
ЦИФРОВОЙ СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ
К.А. Марков, А.С. Теперев
Аннотация
В статье рассматриваются вопросы моделирования, исследования и оптимизации канала синхронизации синхронной цифровой системы передачи в условиях комбинированных флуктуационных воздействий. Разработана модель канала в виде цепи
последовательно соединенных разнотипных аналоговых систем
фазовой синхронизации второго порядка. Предложены различные
алгоритмы оптимизации как всей цепи в целом, так и отдельных
ее участков в зависимости от длины цепи и интервала наблюдения. Проведены исследование и сравнительный анализ полученных результатов.
Введение
Стремительное развитие цифровых систем коммутации и
систем передачи информации, внедрение технологий синхронных
цифровых иерархий привело к значительному возрастанию роли
систем синхронизации в сетях телекоммуникаций. Новые сферы
применения и виды предоставляемых услуг также вызывают повышенные требования к характеристикам и работе сетей синхронизации.
Особенно большое значение в последнее время приобретают
цепи последовательно соединенных разнотипных устройств синхронизации. В частности, по такому принципу построена система
синхронизации СЦИ. Основной целью синхронизации цифровой
системы передачи является уменьшение влияния флуктуаций фазы на качество передаваемой информации путем использования
более стабильных тактовых генераторов на всей сети и грамотного сетевого планирования.
При построении сети синхронизации необходимо соблюдение определенных правил, разработанных и указанных в международных рекомендациях и руководящих документах. В условиях
этих ограничений, при установке устройства синхронизации, его
конфигурация, в части установочных параметров качества син202
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
хросигнала, в большинстве случаев содержит заводские настройки, которые не изменяются после тестирования на линии в соответствии с качеством входного сигнала синхронизации и условиями расположения на цифровой сети устанавливаемого устройства.
В контексте вышесказанного представляется интересным
рассмотрение методов «ручной» настройки каждого генератора
сети для достижения оптимального качества сигналов синхронизации.
Целью данной работы явился анализ различных способов
параметрической оптимизации эталонного канала синхронизации
цифровой системы передачи по качеству выходного сигнала.
Модель канала синхронизации
Эталонная цепь канала синхронизации представлена на
рис. 1. Первое устройство – первичный эталонный генератор, работает автономно и должен иметь наивысшую точность и стабильность частоты. При построении математической модели и
численном анализе шумами ПЭГ можно пренебречь.
Рис. 1. Эталонная цепь генераторов
канала синхронизации
Цепь узловых устройств синхронизации (вторичных задающих генераторов) выстраивается следующим образом: промежуточные ВЗГ от 1 до К являются транзитными узлами и взаимно
соединены линиями передачи с помощью разного числа сетевых
устройств синхронизации – генераторов оборудования SDH
(SEC – SDH Equipment Clock).
ВЗГ предназначен для восстановления сигналов синхронизации, распределения их на необходимое количество выходов, а
также для выполнения еще одной важной функции - поддержания
последнего значения частоты в заданных пределах, при пропадании внешних эталонных сигналов. В качестве модели шума ВЗГ
203
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
удобно взять случайный процесс с полиномиальной спектральной
плотностью (1).
2
1012.2 1012.2 1013.15
15.5  рад

SVCO1 ( f ) 



10
3
2

Гц 
f
f
f

(1)
SEC – ведомое устройство синхронизации сетевого элемента с низкими требованиями к долговременной стабильности. Для
описания шумов SEC использована модель случайного процесса
с полиномиальной спектральной плотностью (2).
2
105.5 1012.2 1010.3

15.5  рад
SVCO 2 ( f )  3 


10
2

Гц 
f
f
f

(2)
Вообще описание спектральной плотности фазовых флуктуаций генератора с помощью полиноминальных функций вида
(1), (2) общепринято в настоящее время, так как различные вариации коэффициентов позволяют наиболее точно и удобно смоделировать шумы реальных устройств синхронизации в определенных полосах частот. Например, внутренний генератор спектранализатора Agilent E4407B ( f ном  50МГц ) уровня SEC имеет
собственные фазовые флуктуации, спектральная плотность (СП)
которых в диапазоне (1кГц; 1МГц) подчиняется полиномиальному закону (рис. 2).
Рис.2. Спектральная плотность
фазового шума генератора
спектранализатора Agilent.
204
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вх, i 1
кан
A
F ( s)
Kd
вых, i
K0
s
ГУН
Рис. 3. Линейная модель системы ФАПЧ второго порядка
с основными источниками шумов
Каждое ведомое устройство синхронизации может быть
адекватно представлено в виде системы ФАПЧ второго порядка,
линейная модель которой с основными источниками шумов изображена на рис. 3.
Основные параметры ФАПЧ:
 Фазовый детектор имеет пилообразную характеристику с крутизной K d =1
1  sT2
 Фильтр петли: F ( s)  sT - интегратор с форсированием
1
 K 0 -крутизна ГУН
 номинальная частота генератора f ном  5МГц .
АБГШ канала пересчитан внутрь петли и в модели его спек7
тральная плотность принята равной S кан ( f )  10 .
Передаточную функцию замкнутой петли второго порядка
можно записать в виде:
2n s  n2
H ( s)  2
s  2n s  n2
(3)
 - коэффициент затухания, n - собственная угловая частота[1].
205
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Спектральная плотность мощности фазового шума на выходе устройства синхронизации:
2
2
2
SOUT  f   S IN  f   H  f   SChannel  f   H  f   SVCO  f   H B  f 
(4)
f n4  4 2 f n2 f 2
H( f )  2
,
( f n  f 2 )2  4 2 f n2 f 2
2
f4
HB ( f )  2
( f n  f 2 )2  4 2 f n2 f 2
2
(5)
В качестве параметров оптимизации каждого звена удобно

использовать
и
частоту
среза
АЧХ
петли
B  f n 2 2  1  (2 2  1)2  1 .
Для оценки стабильности синхросигналов определено среднеквадратическое значение погрешности временного интервала в
зависимости от интервала наблюдения  [1]:

2
 sin  f 
TIE     S ( f ) 
 df
  vn 
0
,
(6)
где S ( f ) - спектральная плотность фазовых флуктуаций на выходе устройства синхронизации. Интегрирование осуществлялось
численно методом трапеций в пределах f  103 ;107  Гц.
На рис. 4 показаны результаты оценки TIE   на выходе цепи, состоящей из 1, 2, 5, 10, 25, 50, 100 устройств типа SEC (  =3,
B =1Гц, Sкан ( f )  0 ). Необходимо заметить, что значения показателя стабильности практически не зависят от числа М устройств
синхронизации при   B1 , но заметно увеличиваются с ростом
М при   B1 .
Рис. 4. Оценка TIE ( ) на выходе гомогенной цепи
различной длины
206
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На основании этого в качестве объекта исследования можно
выбрать любое сечение графика TIE ( i ) в зависимости от того, относительно кратковременная или долговременная стабильность
синхросигнала является приоритетной в конкретной задаче.
Для анализа были выбраны сечения TIE (0.1) и TIE (10) , как
принадлежащие характерным участкам зависимостей TIE ( ) .
Оптимизация одной цепи устройств типа SEC
с ПЭГ на входе
Известны три способа оптимизации цепей однотипных генераторов:
1. Гомогенный: в этом случае параметры  и B у всех K
устройств синхронизации в цепи одинаковы и спектральную
плотность мощности фазового шума SOUT , K ( f ) на выходе последнего устройства можно вычислить по формуле [1]:
SOUT , K  f   S IN  f   H  f 
2K

  SChannel ( f )  H  f   SVCO  f   H B  f 

2
2
1  H  f  2 K 


  1 H  f  2 


(7)
2. Погомогенный: когда параметры i-го устройства синхронизации принудительно настраиваются так же, как у любого устройства гомогенной цепи длины i [2].
3. Позвенный: здесь при настройке каждого звена решается
локальная задача поиска оптимальных по выбранному критерию
параметров при данном входном и собственном воздействиях [2].
На рис. 5 показаны зависимости изменений B и  , оптимальных для минимизации TIErms (10) , а также B , оптимальной для
минимизации TIErms (0.1) от длины цепи при разных способах оптимизации. Параметр  для минимизации TIErms (0.1) оптимального значения не имеет (  опт   ), поэтому оптимизация является однопараметрической ( B ) при   3 , что соответствует реальным
настройкам сетевых генераторов типа SEC.
207
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 5. Зависимость оптимальных значений B и 
от длины цепи при различных способах оптимизации
Рис. 6. Зависимость TIE ( ) от длины цепи при   0.1с (а) и
  10 с (б) при различных способах оптимизации
Очевидно следующее: при любом способе оптимизации для
минимизации TIE (0.1) с увеличением длины цепи нужно уменьшать частоту среза устройств синхронизации, если же минимизировать TIE (10) , то в случае позвенной оптимизации частота среза
с удлинением цепи также убывает, но при гомогенном и, соответственно, погомогенном способах B будет возрастать.
На рис. 6 продемонстрировано ухудшение стабильности
синхросигнала при различных способах оптимизации и выборе  .
На основании этого можно сделать вывод о том, что при любом 
на относительно коротких цепях (до 4 SEC) выигрыш дает позвенная оптимизация, но на относительно длинных цепях (боль208
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ше 5 SEC) при   0.1с оптимален погомогенный способ настройки, а при   10 с - гомогенный.
Оптимизация второго и последующих
гомогенных участков эталонной цепи
Результаты оптимизации второго и последующих гомогенных участков эталонной цепи (по 15SEC с ВЗГ на входе каждого
участка) показывают, что основные тенденции и принципы настроек первого участка сохраняются. Численные значения оптимальных параметров ячеек равны параметрам соответствующих
звеньев первого гомогенного участка с достаточно хорошей точностью. Таким образом, задача оптимизации всей цепи разнотипных генераторов, состоящей из гомогенных участков одинаковой
длины, соединенных однотипными ВЗГ, сводится к поиску оптимальной настройки первого (а в общем случае любого) гомогенного участка этой цепи. Затем полученные значения параметров
принудительно присваиваются соответствующим устройствам
синхронизации других гомогенных участков. Можно утверждать,
что настроенная таким образом цепь будет оптимальной с достаточной степенью точности.
Рис. 7. Спектральные плотности фазовых флуктуаций
на выходах устройств синхронизации оптимально
настроенных эталонных цепей при   0.1с (а) и   10 с (б)
209
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 7 представлены СП фазовых флуктуаций в оптимально настроенной эталонной цепи вида
ПЭГ+(1..15)SEC+1ВЗГ+(16..30)SEC+2ВЗГ+(31..45)SEC+3ВЗГ.
При   10 с каждый участок из 15SEC настраивался гомогенным способом. При   0.1с каждый гомогенный участок цепи
настраивался погомогенным способом.
Анализируя изменения СП фазовых флуктуаций по цепи,
можно сделать следующие выводы:
- накопление фазовых флуктуаций в синхросигнале при
прохождении его по цепи происходит во всей полосе частот, но
наиболее заметно оно на низких частотах f [103 ;102 ] Гц. В силу
относительно малых размеров этого диапазона и его низкочастотности вклад данных составляющих спектра в характер изменения TIE ( ) незначителен, по крайней мере, при   100 с. Этим
объясняется неизменность значений параметров устройств SEC
при переходе от одного гомогенного участка цепи к другому.
- если минимизировать TIE ( ) при   0.1с, то цепь настраивается таким образом, чтобы составляющие спектра фазовых
флуктуаций на частотах f   1  10 Гц (как основные определяющие нестабильность) были минимальны, как бы давая свободу
более низкочастотным составляющим. Если же минимизация
TIE ( ) происходит при интервале наблюдения   10 с, то в данном
случае уже нельзя не учитывать спектральные составляющие на
частотах f  0.1Гц. Это объясняет различие в спектрах (рис. 7).
Список литературы
[1] Брени С. Синхронизация цифровых сетей связи. М.:
Мир, 2003.
[2] Казаков Л.Н., Якимов И.М. Сборник докладов 6-й международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее
применение». М., 2004. Т. 2. С. 222-225.
[3] Рыжков А.В., Попов В.Н. Синтезаторы частот в технике
радиосвязи. М.: Радио и связь, 1991.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
210
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
НЕЛИНЕЙНАЯ ЭХОКОМПЕНСАЦИЯ
НА БАЗЕ АДАПТИВНОГО КУБИЧЕСКОГО
ФИЛЬТРА ВОЛЬТЕРРА*
Б.Н. Меньшиков
Аннотация
Рассмотрена задача нелинейной электрической эхокомпенсации на базе модифицированного адаптивного кубического
фильтра Вольтерра. Предложен вариант модификации квадратичного и кубического ядер фильтра, позволяющий уменьшить
вычислительные затраты при сохранении качества выходного
сигнала. Приведены данные для расчета необходимой производительности цифрового сигнального процессора при аппаратной
реализации рассматриваемой модификации фильтра Вольтерра.
Решению задачи компенсации влияния передатчика на свой
приемник (при двухпроводном окончании) посвящено большое
количество работ [1-9]. Место возникновения взаимных влияний
(эхо) условно подразделяются на "ближнее" эхо (влияние собственной дифференциальной системы и "дальнее" эхо (воздействие
удаленной дифференциальной системы). Методы построения
эхокомпенсаторов "ближнего" и "дальнего" эха существенно отличаются, так как "ближнее" эхо имеет малое время задержки
(относительно передаваемого сигнала) и высокий уровень воздействия (уровень эхо-сигнала может превышать принимаемый
сигнал на 30-40 дБ по амплитуде). В то же время "дальнее" эхо
имеет низкий уровень влияния, значительное время задержки, от
нескольких мс до 2 с (в спутниковых каналах), а также сдвиг по
частоте. В результате эхокомпенсатор должен подавлять ближний эхо-сигнал примерно на 50-60 дБ, а дальний - на 20 дБ, но с
компенсацией задержки, сдвига частоты и медленных изменений
фазы. При этом эхокомпенсатор должен обеспечивать высокую
точность компенсации и иметь малое время настройки. В качестве эхокомпенсаторов нашли широкое применение адаптивные
фильтры, формирующие сигнал компенсации. Наибольшее рас*
Работа выполнена
А.Л. Приорова.
под
руководством
211
канд.
техн.
наук
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
пространение получили эхокомпенсаторы, в которых в качестве
алгоритма адаптации коэффициентов применяется метод Вайнштейна, базирующийся на использовании корреляции задержанного передаваемого цифрового сигнала с принятым сигналом для
формирования реплики в основной полосе и вычитания ее из
принятого сигнала в полосовой области. Кроме того, широкое
распространение получили методы подстройки коэффициентов
фильтров, базирующиеся на нормализованном алгоритме наименьших квадратов и его модификациях. Методам компенсации
сдвига частоты эхо-сигнала, борьбы с нелинейностью амплитудных характеристик канала и с дрожаниями фазы несущей в эхокомпенсаторах посвящены работы [1, 3, 8, 9].
Наличие акустических и электрических эхо-сигналов в телефонных сетях – хорошо известная проблема. В работе рассматривается задача нелинейной электрической эхокомпенсации, связанная с необходимостью эффективного подавления эхо-сигнала
с учетом нелинейного характера эхотракта без учета ситуации
двойного разговора. Если эхотракт при этом является нелинейной
системой с памятью (инерционной системой), то в качестве его
модели может быть использован нелинейный адаптивный полиномиальный фильтр Вольтерра. Однако такой выбор сопряжен со
значительным (по сравнению с линейной эхокомпенсацией) увеличением вычислительных затрат на каждый отсчет выходной
последовательности. В работе предложена аппроксимация стандартной структуры полиномиального фильтра, позволяющая значительно сократить вычислительные затраты при сохранении качества выходного сигнала.
Стандартный подход к решению проблемы эхокомпенсации – использование линейных КИХ-фильтров в качестве модели
эхотракта при соответствующем предположении о его линейном
характере. К сожалению, сжатие речевого сигнала, пакетная передача данных, широкое использование различного рода аттенюаторов и многие другие достижения современных телекоммуникационных систем приводят к увеличению длительности задержек сигнала и появлению нелинейных искажений, что
вынуждает разрабатывать более эффективные нелинейные системы эхокомпенсации. Из-за присутствия нелинейных искажений
сигнала в эхотракте линейные адаптивные фильтры далеко не
212
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
всегда могут обеспечить требуемый уровень подавления эхосигнала согласно рекомендациям Международного Союза Электросвязи (МСЭ) G.164, G.165, G.167, G.169. Кроме этого, источниками нелинейностей являются широко используемые аналогоцифровые и цифро-аналоговые преобразователи, число разрядов
которых напрямую связано с появлением нелинейных искажений
в эхотракте. С ростом числа разрядов искажения, вносимые при
квантовании исходного аналогового сигнала, уменьшаются. Принимая в расчет нелинейное поведение дифференциальной системы и наличие дифференциальных и интегральных нелинейностей
в АЦП и ЦАП, следует рассматривать порядок однородного нелинейного фильтра (длина всех ядер в этом случае одинакова)
близким к соответствующим параметрам линейных адаптивных
фильтров [4]. В настоящее время разработано значительное количество адаптивных алгоритмов для квадратичных фильтров
Вольтерра и их модификаций [5-7], однако, по данным зарубежных исследователей, следует учитывать вклад не только квадратичных, но и кубических нелинейностей [8, 9].
Неоднородный кубический фильтр Вольтерра может быть
представлен следующим образом:
y ( n) 

N1 1
N 2 1 N 2 1
m1  0
m1  0 m2  0
 h1 (m1 ) x(n  m1 )    h2 (m1 , m2 )x(n  m1 ) x(n  m2 ) 
N 3 1 N 3 1
N 3 1
   h3 (m1 , m2 , m3 ) x(n  m1 ) x(n  m2 ) x(n  m3 ),
m1  0 m2  m1 m3  m2
где x(n) и y (n) – входная и выходная последовательности соответственно, при этом практически всегда можно считать, что
N 3  N 2  N1 ; hi () - обобщенные импульсные характеристики.
Данное представление фильтра является стандартным. Оно позволяет построить фильтр, для которого N1  N 2 (например, задача нелинейной акустической эхокомпенсации). Входной сигнал
есть тестовая последовательность с амплитудой, не превосходящей 1. Из-за линейной связи между выходной последовательностью и коэффициентами фильтра адаптивные алгоритмы, применяющиеся в линейной адаптивной фильтрации и основанные на
минимизации среднеквадратичной ошибки (МНК – алгоритмы),
213
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
могут быть использованы и для кубического адаптивного фильтра Вольтерра. В векторном виде кубический фильтр Вольтерра
может быть представлен как
y(n)  W T (n)X(n) ,
где вектор X(n) содержит N линейных комбинаций отсчетов
входной последовательности x(n) , квадратичные и кубические
нелинейности (знак Т означает транспонирование). Поскольку
система эхокомпенсации – система реального времени, все вычисления на каждый отсчет выходной последовательности должны быть произведены за время, меньшее или, по крайней мере,
равное временному интервалу между отсчетами. В случае стандартной структуры однородного полиномиального фильтра вычислительные затраты составляют O( N p ), где N - порядок фильтра (длина всех его ядер), p - высший порядок ядра, для кубического фильтра p  3 . Очевидно, что при таком подходе
вычислительная нагрузка значительно возрастает. Одним из способов ее уменьшения без потерь качества сигнала является модификация квадратичного и кубического ядер, на которые расходуется почти вся вычислительная мощность при стандартной структуре.
Модифицированный кубический фильтр Вольтерра в итоге
может быть представлен следующим образом:
N1 1
N 2 1N 2 1
i 0
i 0 j 0
 h1 (i) x(n  i)    h2,md (i, j ) x(n  i) x(n  j ) 
y ( n) 

N 3( p ) 1
N 3( a )  N 3( m )  2
N 3( m ) 1
i 0
j 0
k 0
 (c p (i)) 
 (c3 ( j )  x(n  i  j ))   (cm (k )) 
N 3( a ) 1
N 3( a ) 1
l 0
m 0
(1)
 (c1 (l )  x(n  i  l  k ))   (c2 (m)  x(n  i  m  k ));
где h2,md (i, j ) - модифицированное квадратичное ядро (см. рис. 2).
Модифицированное квадратичное ядро представлено следующим
образом:
h2,md (i, j ) 
N w 1
 w(q)c(i  q)c( j  q).
q 0
214
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В данном представлении определяем ряд вектор-столбцов:
c  [c(0), c(1),..., c( N c  1)]T ,
w  [w(0), w(1),..., w( N w  1)]T ,
где c(i)  0 для i {i | 0  i  N c } и h2,md (i, j  d )  0 для d  N c .
Вектор-столбцы, соответствующие наборам входных отсчетов:
v n  X(n)c  [v(n),..., v(n  N w  1)]T ,
u(n)  [u(n),..., u(n  N w  1)]T , где u (n)  v 2 (n) .
Сигнал ошибки от квадратичного ядра:
e2 (n)  y(n)  h1T x1 (n)  wT u(n).
Рис. 1. Пример линейного ядра кубического фильтра
Вольтерра длиной N1 = 64 отсчета в задаче нелинейной
адаптивной электрической эхокомпенсации
Рис. 2. Квадратичное ядро кубического фильтра Вольтерра
порядка N2 = 64 в задаче нелинейной адаптивной
электрической эхокомпенсации
215
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Обновление векторов данных производится следующим образом:
c(n  1)  c(n)   c 2e(n)XT (n)V(n)w(n),
w(n  1)  w(n)   w e(n)u(n) .
Инициализация векторов c(n) и w(n) должна быть при этом
ненулевой
c 
c
T
, D  2XT (n)V(n)w ,  w 
w
,
T
D D
u (n)u(n)
где 0  c , w  2 - параметры шага подстройки адаптивного алгоритма. Кубическое ядро полностью преобразуется (рис. 3) в
структуру, состоящую из линейных адаптивных фильтров и умножителей и эффективно аппроксимирующую кубическое ядро.
Соответствующие векторы данных при этом - c1 , c 2 , c 3 , c m , c p являются импульсными характеристиками линейных фильтров и
могут обновляться согласно нормализованному алгоритму наименьших квадратов (НМНК). Общий сигнал ошибки на выходе –
сумма сигналов ошибок от квадратичного и кубического ядер.
Объект S – нелинейный эхотракт, моделируемый нелинейным
нерекурсивным фильтром с постоянными коэффициентами [5-9].
x(n)
с
с1
v(n)
Адаптация
h1
u(n)
с2
с3
S
cm
W
y(n)
cp
e(n)
y(n)
Рис. 3. Структура электрического эхокомпенсатора
на базе модифицированного адаптивного кубического
фильтра Вольтерра
216
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Применение адаптивных квадратичных фильтров Вольтерра
позволяет получить выигрыш до 12-14 дБ в отношении сигнал/шум на выходе системы эхокомпенсации по амплитуде по
сравнению с линейными адаптивными фильтрами, работающими
согласно алгоритму НМНК в задаче акустической эхокомпенсации [5] и 5-10 дБ - в электрической [6]. Применение модифицированного кубического адаптивного фильтра Вольтерра в рамках
задач нелинейной эхокомпенсации позволяет получить выигрыш
до 11-12 дБ в задаче нелинейной электрической эхокомпенсации
[7] при одновременном уменьшении вычислительных затрат.
В табл. 1 приведены формулы для расчета вычислительной
нагрузки на получение каждого отсчета выходной последовательности для модифицированного и стандартного кубического
фильтра Вольтерра.
Таблица 1
Вычислительная нагрузка
для кубического фильтра Вольтерра
Модифицированный фильтр
Стандартный фильтр
Линейное ядро
2 * ( N1  1)
2 * ( N 1  1)
Квадратичное
ядро
N c * ( N w  2)  4 * ( N w  1)
Кубическое
ядро
6 * N 3( a )  2 * ( N 3( m)  N 3( p ) )  9
Общая вычислительная нагрузка (число
операций на 1
отсчет)
При
этом
2 * ( N1  1) +
N c * ( N w  2)  4 * ( N w  1) +
+ 6 * N 3( a )  2 * ( N 3( m)  N 3( p ) )  9
выполняются
условия
  N  2! 
2 *  2
 1
2
!
N
!


2
 N  3! 
3 *  3
 1
3
!
N
!
3


2 * ( N 1  1) +
  N  2! 
2 *  2
 1 +
2
!
N
!


2
 N  3! 
+ 3 *  3
 1
3
!
N
!
3


Nc  Nw 1  N2
и
N 3( a )  N 3( m)  N 3( p )  1  N 3 . При моделировании данные параметры были выбраны следующим образом: N1  64 , N c  35 ,
N w  30 , N 2  64 , N 3( a )  7 , N 3( m)  6 , N 3( p )  4 , N 3  16 . Выигрыш
в
общей
вычислительной
сложности
составил
217
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7632/1445 ≈ 5.28 (раз). Предложенная модификация кубического
фильтра является универсальной, т.к. она может быть применена
для решения задач акустической и электрической эхокомпенсации. Кроме того, значительный выигрыш в вычислительной нагрузке облегчает аппаратную реализацию соответствующего эхокомпенсатора и является более выгодным с коммерческой точки
зрения.
Список литературы
[1] Mathews V.J. Adaptive polynomial filters // IEEE SP Magazine, 1991. P. 10-26.
[2] Haykin S. Adaptive filter theory. 3rd ed., Prentice Hall Inc,
Englewood Cliffs, NJ, USA, 1996.
[3] Уидроу Б., Стирнз С.Д. Адаптивная обработка сигналов:
Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1989. – 440 с.
[4] Agazzi O. Nonlinear echo cancellation of data signals
// IEEE Trans. Comm., November 1982. V. 30. P. 2421-2433.
[5] Stenger A., Trautmann L., Rabenstein R. Nonlinear acoustic
echo cancellation with 2nd order adaptive Volterra filters // Proc.
ICASSP 99. Phoenix, USA, 1999. P. 877-880.
[6] Kellerman W. Nonlinear line echo cancellation using a simplified second order Volterra filter // Int. Conf. on Acoustic, Speech,
and Signal Proc. Seattle, WA, 2002. P. 2508-2511.
[7] Меньшиков Б.Н., Приоров А.Л. Нелинейная электрическая эхокомпенсация на базе адаптивного кубического фильтра
Вольтерра. // Сб. матер. 6-й Междунар. конф. и выставки «Цифровая обработка сигналов и ее применение», (DSPA-2004). Т. 1.
С. 126-129.
[8] Favier G., Kibangou A.Y., Khouaja A. Nonliear system
modeling by means of Volterra models. Approaches for parametric
complexity reduction // ISA 2004 Symposium Proc. France, 2004.
P. 456-461.
[9] X. Li, W.K. Jenkins and C.W. Therrien. Computationally efficient algorithms for third order adaptive Volterra filters // Proc. of
the Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers. Pacific
Grove, CA, 2001. P. 1137-1141.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
218
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ
И БИОРТОГОНАЛЬНЫХ ВЕЙВЛЕТ-БАЗИСОВ
А.А. Моисеев, В.Ю. Кобелев
Аннотация
Рассматривается способ построения различных наборов ортогональных и биортогональных вейвлет-базисов, имеющих заданный порядок гладкости. Описывается алгоритм синтеза цифровых фильтров, соответствующих полученным базисам. Приводятся примеры синтеза вейвлет-фильтров.
Введение
На сегодняшний день обработка сигналов с использованием
вейвлет-преобразования получила широкое распространение. Существует множество классов вейвлетов, обладающих различными
свойствами (гладкость, симметричность и т.п.), такие как: Добеши, Мейера, Симлета, Коифлета и другие [1]. Выбор того или иного класса вейвлет-функций определяется решаемой задачей. Параметризация вейвлетов может быть полезна при выборе оптимальных вейвлетов в различных задачах [2]. Наиболее известные
методы параметризации Полена и Зу [3] обладают несколькими
недостатками, в частности: нет возможности задавать порядок
гладкости вейвлета, синтез вейвлет-фильтра с желаемой амплитудно-частотной характеристикой требует значительных вычислительных затрат. В работе предлагается методика расчета коэффициентов вейвлетов с заданным порядком гладкости, которая позволяет получить ортогональные и биортогональные вейвлеты.
Описание метода параметризации
Пусть t  – некоторая вейвлет-функция, связанная с масштабирующей функцией t  уравнением (1). В свою очередь
t  определяется уравнением (2).

Работа выполнена под руководством канд. техн. наук А.Л. Приоро-
ва.
219
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
t    g k 2t  k ,
(1)
k
t    hk 2t  k  ,
(2)
k
где hk , g k – импульсные характеристики соответствующих вейвлет-фильтров. В случае биортогональных вейвлет-базисов рас~t  ,
сматривается два набора базисных функций t , t  и 
~ t . При этом уравнения, аналогичные (1, 2), справедливы и для

~t , 
~ t .

Условие ортонормальности базисных функций t  записывается в следующем виде:
H 2 ()  H 2 (  )  1,
(3)
где H    hk e  jkω, а hk – коэффициенты уравнения (2). Анаk
логичное условие в случае биортогональных вейвлет-базисов
имеет вид
~
~
H () H ()  H (  ) H (  )  1.
(4)
Для того, чтобы базисные функции обладали гладкостью
порядка k , необходимо, чтобы частотная характеристика соответствующего фильтра H () имела k нулей на частоте    .
Это выполняется в случае, когда H ( j) можно представить в
виде
k
 1  e j 
 L j ,
H  j  

2


или для модуля H ( j)
k
   
H   cos  L.
  2 
220
(5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функцию L2  можно представить в виде косинусного ряда, тогда квадрат выражения (5) примет вид
   
H   cos 
  2 
2k
2
M 1
 bi cosi,
i 0
(6)
где M – число параметров, которое должно быть не меньше
k  1. Аналогично для случая биортогональных вейвлет-базисов
   
~
H H   cos 
  2 
~
k k
M 1
 bi cosi.
i 0
(7)
~
Для удобства положим, что k  k  m и преобразуем выраM 1
M 1
i 0
i 0
жение  bi cosi к виду  d i cosi  , что может быть выполнено с помощью линейного преобразования D  A  B , где D –
вектор-столбец коэффициентов d 0 , d1 , , d M 1 , B – векторстолбец коэффициентов b0 , b1 , , bM 1, а A – треугольная матрица преобразования. Для получения ограничений на параметры
bi , необходимо подставить выражение (6) в (3) и (7) в (4). Выполняя ряд тригонометрических и алгебраических преобразований, получим условие на параметры d i
m  M 1
2
 M 1

n0
 n
 m 
2n
m 1
d
  i  2n  i  cos   2 ,

 i 0 
(8)
n!
где   
– число сочетаний из n по k , причем если
k


k
!
n

k
!
 
 M 1  m 
 n
k  n или k  0 , то    0 . Пусть   d i 
  cn . Тогда
2
n

i
k

 
 i 0 
c0  2m 1 ,
условие
(8)
выполняется,
когда
c1  c2    c m  M 1  0 . Отсюда получаем систему линейных
2
221
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
C  D  c,
 m 
cn, i  
D
 ,
2
n

i


d 0 , d1 , , d M 1 ,
c
уравнений
где
C
–
вектор-столбец
коэффициентов
–
вектор-столбец
коэффициентов
c0 , c1 , , cM 1. Обозначая
  m
  
 0
  m
  
  2
 .
 m 
  
  2L 
–
матрица
коэффициентов
m  M 1
 L , получим
2
  d 0   2 m 1 
 
0
0
0

 
  d1   0 
m
 m

  .   . 
 
 
   
 . (9)



1
2

M

1
 

  .   . 
.
.
.
 

 
m
 m 

  .   . 

  
  
 



2
L

1
2
L

M

1



   d M 1   0 
M  m  1, матрица C – квадратная, размера
m  1  m  1, следовательно, система линейных уравнений (9)
имеет единственное решение. Если M  m  1, матрица C имеет
размер L 1  M , причем L 1  M , следовательно, имеется
При
бесконечное множество решений. В этом случае число степеней
свободы в определении вейвлета равно M  L  1. Варьируя свободными параметрами, можно получить набор различных вейвлет-функций.
Метод спектральной факторизации
Для определения импульсной характеристики фильтра из
~
разложений H 2 () и H () H , воспользуемся методом спектральной факторизации [1], который выполняется следующим
образом:
~
1. Решение уравнения H 2 ()  0 или H () H ()  0 .
2. Переход от корней на частотной оси к нулям на z плоскости. Дополнение полученных нулей комплексносопряженными нулями.
222
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3
3
2
2
1
1
Im(z)
Im(z)
3. Выбор нулей в соответствии с требованиями к частотной
характеристике вейвлет-фильтра и типом вейвлет-базиса:
1) для синтеза фильтра с минимальной фазовой характеристикой выбираются нули, модуль которых меньше 1;
2) в случае синтеза фильтров с линейной фазой необходимо разделить полученный набор нулей между фильтрами анализа
и синтеза.
4. Получение импульсной характеристики из нулей и полюсов фильтра.
На рисунках 1-2 представлено распределение нулей вейвлет-фильтров (нули в точке z  1 не показаны).
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-2
0
Re(z)
-3
2
Рис. 1. Распределение нулей
семейства вейвлет-фильтров
с двумя нулевыми моментами
и одной степенью свободы
-2
0
Re(z)
2
Рис. 2. Распределение нулей
семейства вейвлет-фильтров
с четырьмя нулевыми
моментами и одной степенью
свободы
Распределения нулей семейств вейвлет-фильтров с числом
степеней свободы более 1 имеют достаточно сложный вид и
здесь не приводятся.
Синтез ортогональных и биортогональных вейвлет-фильтров
Для получения ортогональных вейвлет-фильтров выбираются нули, модуль которых меньше 1. В случае, если M  m  1,
получим фильтр Добеши с m нулевыми моментами.
Фильтры, соответствующие биортогональным вейвлетбазисам, получаются в результате разделения набора нулей, соот223
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ветствующих произведению H () H  между фильтрами ана-
~
лиза и синтеза – H () и H  . Данное разделение может производиться различными способами, в результате из одного набора
нулей можно получить несколько различных наборов вейвлетбазисов.
~
Примеры синтеза вейвлет-фильтров
1. Ортогональные вейвлеты Добеши 4.
Число нулевых моментов k  4 , число параметров M  5 .
Параметры d i определяются из решения системы линейных
уравнений
1

6
1

0
0

0
4
4
0
0
0
1
6
1
0
0
0
4
4
0
0  d 0   8 
   
0  d1   0 
1  d 2    0  .
   
6  d 3   0 
1  d 4   0 
Отсюда D  8;14,5;10;2,5;0. Далее, воспользовавшись методом спектральной факторизации, получим импульсную характеристику фильтра Добеши 4.
0.6
1
0.4
0
4
7
hn
Im(z)
0.5
-0.5
0.2
0
-1
-1
-0.5
0
Re(z)
0.5
-0.2
0
1
Рис. 3. Нуль-полюсная
диаграмма фильтра Добеши 4
224
1
2
3
4
n
5
6
7
8
Рис. 4. Импульсная
характеристика фильтра
Добеши 4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 3 и рис. 4 приведены нуль-полюсная диаграмма и импульсная характеристика полученного фильтра (здесь и далее на
нуль-полюсной диаграмме цифрами показана кратность нулей и
полюсов).
2. Биортогональные вейвлеты Добеши 9/7.
~
Число нулевых моментов k  4 , k  4 , число параметров
M  5 . Система, определяющая параметры d i , та же, что и в
случае ортогональных вейвлетов. Разделяя полученный набор
~
нулей между фильтрами H  и H  , определим соответствующие импульсные характеристики.
0.8
1.5
0.6
1
0.4
4
0
8
hn
Im(z)
0.5
0.2
-0.5
-1
0
-1.5
-1
0
1
-0.2
1
2
2
3
4
Re(z)
Рис. 5. Нуль-полюсная
диаграмма фильтра порядка 9
5
n
6
7
8
9
Рис. 6. Импульсная
характеристика фильтра
порядка 9
0.6
1.5
0.5
1
0.4
4
0
0.3
6
hn
Im(z)
0.5
0.2
-0.5
0.1
-1
0
-1.5
-1
0
1
Re(z)
2
-0.1
1
3
Рис. 7. Нуль-полюсная
диаграмма фильтра порядка 7
225
2
3
4
n
5
6
7
Рис. 8. Импульсная
характеристика фильтра
порядка 7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Параметры, определяющие ортогональный вейвлет-фильтр с
двумя нулевыми моментами и одним свободным параметром.
Система линейных уравнений, определяющая параметры d i ,
имеет вид
1

1
0

0
0

0
2
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
2
1
0
0  d 0   2 
   
0  d1   0 
1  d 2    0  ,
   
0  d 3   x 
1  d 4   0 
где d 3 – свободный параметр, x – значение свободного параметра. Варьируя значение x , можно получить множество различных
вейвлет-фильтров.
Заключение
Предлагаемый метод достаточно прост в реализации и не
требует каких-либо символьных вычислений, а также позволяет
синтезировать как ортогональные, так и биортогональные вейвлет-фильтры с требуемой формой амплитудно-частотной характеристики и заданным порядком гладкости соответствующей
вейвлет-функции.
Список литературы
[1] Добеши И. Десять лекций по вейвлетам: Пер. с англ. М.:
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 464 с.
[2] Кобелев В.Ю., Ласточкин А.В. Выбор оптимальных
вейвлетов для обработки сигналов и изображений // Докл. 2-ой
межд. конф. и выст. «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA’99). М., 1999. С. 514-518.
[3] Mandal M.K. Wavelets for Image Compression. Faculty of
Engineering University of Ottawa. 1994.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
226
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УМЕНЬШЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТИ
АДАПТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ ЭХОКОМПЕНСАЦИИ *
А.Л. Мосеев, С.В. Ульдинович
Аннотация
Рассмотрены вопросы уменьшения вычислительной сложности адаптивных алгоритмов с целью более эффективного использования имеющихся вычислительных мощностей. Представлен новый адаптивный алгоритм, обладающий меньшей вычислительной сложностью по сравнению с нормализованным
алгоритмом наименьших квадратов. Приведены результаты работы нового алгоритма в тестах рекомендации G.165 Международного союза электросвязи (МСЭ-Т).
Наличие эхосигналов в телефонной сети общего пользования ухудшает восприятие речи абонентов, заставляя их повторно
передавать информацию и тем самым увеличивая время занятия
линии и затраты на связь. В настоящее время для борьбы с явлением эха эффективно применяются эхокомпенсаторы [1]. Данные
устройства, как правило, строятся на основе адаптивных нерекурсивных цифровых фильтров, которые формируют оценку эхосигнала и вычитают ее из имеющегося в линии эхосигнала [2, 3].
На рис. 1 изображена структурная модель эхокомпенсатора:
x(n) – сигнал дальнего абонента,  (n) – сигнал ближнего абонента, d (n) – эхосигнал, e(n) – сигнал ошибки, yˆ (n) – оценка эхосигнала, ДДР – детектор двойного разговора, hˆ (n) – весовые коk
эффициенты адаптивного фильтра, hi – весовые коэффициенты
фильтра с конечной импульсной характеристикой (КИХ), моделирующего эхотракт, y (n) – сумма эхосигнала и сигнала ближнего абонента.
Одной из особенностей электрического эха в телефонных
сетях является вид импульсной характеристики (ИХ) эхотракта.
Как правило, она имеет небольшой участок с отличными от нуля
отсчетами, а большая ее часть равна нулю и фактически пред*
Работа выполнена под руководством А.Н. Тараканова.
227
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ставляет собой линию задержки [2, 4]. Кроме этого, большинство
широко известных адаптивных алгоритмов [5] в каждом цикле
своей работы перестраивают все коэффициенты в адаптивном
фильтре, что приводит к неэффективному использованию имеющихся вычислительных мощностей.
x(n)
ДДР
Адаптивный
алгоритм
h
^
h (n)
i
k
d(n)
y^(n)
e(n)
v(n)
-
+ y(n)
Рис. 1. Структурная модель эхокомпенсатора
Например, в случае, когда длительность ИХ эхотракта
N=128, а число коэффициентов адаптивного фильтра L=256 получаем, что половина коэффициентов адаптивного фильтра используется впустую, но при этом на них приходится половина
машинного времени по расчету выходного отсчета и перестройке
коэффициентов адаптивного фильтра. Характерный вид импульсной характеристики эхотракта изображен на рис. 2.
h(n)
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
0
50
100
150
200
250
300
n
Рис. 2. Вид импульсной характеристики эхотракта для N=256
Таким образом, несмотря на то, что имеющиеся алгоритмы
могут обеспечить функционирование эхокомпенсатора в соответ228
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ствии с предъявляемыми требованиями [6, 7], их работа приводит
к неэффективному использованию имеющихся вычислительных
ресурсов, что особенно важно при построении многоканальных
эхокомпенсаторов. В этой связи актуальной представляется разработка новых алгоритмов, которые позволят эффективнее использовать имеющиеся вычислительные ресурсы и обрабатывать
большее число эхотрактов по сравнению с ранее известными алгоритмами.
Основой для построения новых алгоритмов выбран алгоритм на основе метода наименьших квадратов (МНК) [2, 5]. Данный алгоритм обладает сравнительно простыми выражениями
для перестройки коэффициентов, что обеспечило его широкое
применение, особенно его нормализованной версии (НМНК).
Моделирование эхотракта, согласно рекомендациям МСЭ-Т
[6, 7], выполняется с помощью КИХ-фильтра, что позволяет получить эхосигнал d (n) как результат свертки ИХ эхотракта hi и
входного сигнала x(n)
N 1
d (n)   x(n  i )  hi ,
i 0
(1)
где N – длительность импульсной характеристики. Тогда сумма
эхосигнала d (n) и сигнала ближнего абонента  (n) примет вид
N 1
y (n)  d (n)   (n)   x(n  i )  hi   (n) .
i 0
(2)
Работа адаптивного фильтра и перестройка его коэффициентов hˆk (n) с помощью алгоритма НМНК определяются следующим образом:
L 1
yˆ (n)   x(n  k )  hˆk (n) ,
k 0
229
(3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
hˆk (n)  hˆk (n  1)   (n)  x(n  k )  e(n),
k  0,1..., L  1 ,
 ( n) 
(4)

L 1
   x (n  k )
2
,
(5)
k 0
где L – общее число весовых коэффициентов адаптивного фильтра,   (0;2),   0 – константы, а сигнал ошибки e(n) (остаточный эхосигнал) определяется выражением
N 1
e(n)  y (n)  yˆ (n)   x(n  i )  hi 
i 0
L 1
  (n)   x(n  k )  hˆk (n)
.
(6)
k 0
При построении нового алгоритма полагаем, что число отличных от нуля отсчетов ИХ эхотракта N A меньше общей длительности ИХ эхотракта N, а число перестраиваемых весовых коэффициентов адаптивного фильтра L не меньше N. Тогда индекс
k в выражениях (3)-(6) может принимать значения только от
N A1 – определяющего начало ненулевого блока ИХ эхотракта, до
N A2 – определяющего его конец, т.к. остальные коэффициенты
адаптивного фильтра должны быть равны нулю и не участвуют в
вычислениях.
Для каждого блока отслеживается состояние активности.
Для этого вводится одномерный массив ACTIVE_BLOCK[…],
число элементов которого соответствует числу блоков весовых
коэффициентов адаптивного фильтра. Каждый элемент может
принимать два значения: 0 – блок отключен, и его коэффициенты
не участвуют в вычислениях; 1 – коэффициенты участвуют в
формировании оценки эхосигнала, и происходит их перестройка.
230
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В момент начала работы эхокомпенсатора все элементы
ACTIVE_BLOCK[…] равны 1 и участвуют в вычислениях. На
этой стадии вычислительная сложность составляет O(L) . Выключение отдельных блоков происходит при достижении определенного значения подавления эхосигнала. Величина подавления эхосигнала в эхокомпенсаторе определяется следующим выражением
 E[ y (n) 2 ] 
ERLE  10 lg
2 .
E
[
e
(
n
)
]

(7)
При достижении определенного значения ERLE начинается
анализ блоков коэффициентов адаптивного фильтра. Анализируются только блоки, имеющие единичное значение в массиве
ACTIVE_BLOCK[…]. Отключение блока происходит на основании неравенства
2l 1
ml 1
 l 1

 hi (n)  p  max   hi (n) ,  hi (n) ,...,  hi (n) 
i  ( j 1)l
i l
i  ( m 1)l
i 0
 , (8)
j  1, 2,..., m
j l 1
где j – номер блока, l – длина блока, m – общее число блоков,
p – константа, задающая порог для отключаемых блоков. Если
неравенство (8) выполняется, то в массиве ACTIVE_BLOCK элементу, соответствующему данному блоку, присваивается значение 0, и, таким образом, коэффициенты блока перестают участвовать в вычислениях. Постепенно все нулевые блоки отключаются, и вычислительная сложность становится O( N A ) .
Если в процессе работы алгоритма текущее значение ERLE
станет меньше заданного порога, то всем элементам массива ACTIVE_BLOCK[…] будет присвоено значение 1, и вычислительная
сложность временно возрастет до значения O(L) с последующим
уменьшением до O( N A ) .
Сравнение работы алгоритмов удобно производить, используя критерий расстройки весовых коэффициентов адаптивного
фильтра  , который определяется следующим выражением:
231
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
  h  hˆ (n) h ,
(9)
где h – вектор весовых коэффициентов фильтра, моделирующего
эхотракт, hˆ (n) – вектор весовых коэффициентов адаптивного
фильтра. Сравним работу предложенного алгоритма и алгоритма
НМНК на тестах № 1, № 2 и № 5 из рекомендации G.165 МСЭ-Т.
Тест № 1 направлен на определение максимального ослабления. Из результатов теста, представленных на рис. 3, следует,
что в начале новый алгоритм и НМНК имеют одинаковую скорость сходимости, затем, в момент отключения неактивных блоков, скорость сходимости нового алгоритма увеличивается. Кроме этого, новый алгоритм дает большее максимальное ослабление. Существенное влияние на работу нового алгоритма и НМНК
оказывает параметр a. При малых значениях   1 поведение
обоих алгоритмов схожее, т.е. практически не наблюдается отличий в скорости сходимости и максимально достигаемом ослаблении эхосигнала. При увеличении a скорость сходимости нового
алгоритма становится выше, чем у алгоритма НМНК, а также более значительной становится разница между максимальным ослаблением эхосигнала.
дБ
0
-20
-40
1
2
-60
-80
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
n
Рис. 3. Максимальная точность подстройки коэффициентов:
1 – новый алгоритм, 2 – НМНК
Тест № 2 направлен на определение скорости сходимости
алгоритма: за 0.5 секунды (при принятой в цифровой телефонии
частоте дискретизации 8 кГц данному временному промежутку
232
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
соответствует 4000 отсчетов) остаточный эхосигнал должен стать
ниже заданного уровня. В рекомендации уровень остаточного
эхосигнала не должен превышать -27 дБ. Использование НМНК
позволяет получить уровень остаточного эхосигнала -76.5 дБ, а
при использовании нового алгоритма этот уровень составляет
-78.2 дБ. Из приведенного следует, что оба алгоритма удовлетворяют требованиям указанной рекомендации.
Тест № 5 направлен на проверку работы эхокомпенсатора
при резком исчезновении эхосигнала. Уровень остаточного эха
через 0.5 с. после исчезновения эхосигнала должен быть ниже -37
дБм0. Результаты теста показаны на рис. 4. Видно, что эхокомпенсатор, построенный на основе нового алгоритма, удовлетворяет данному тесту.
y(n)
4000
2000
0
-2000
-4000
0
2000
4000
6000
8000
а)
10000
12000
14000
16000
n
2000
4000
6000
8000
б)
10000
12000
14000
16000
n
e(n)
4000
2000
0
-2000
-4000
0
Рис. 4. Реакция эхокомпенсатора на резкое исчезновение
эхосигнала: а) осциллограмма эхосигнала,
б) осциллограмма остаточного эхосигнала
Таким образом, представленный алгоритм, по сравнению с
НМНК, обеспечивает более высокую точность и скорость сходи233
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
мости весовых коэффициентов адаптивного фильтра при меньших вычислительных затратах. Вычислительная сложность алгоритма уменьшается в процессе работы от первоначального значения O(L) до O( N A ) , что существенно сокращает требуемый объем вычислений. Использование предложенного алгоритма в
составе многоканального эхокомпенсатора позволит обрабатывать большее число соединений между абонентами или увеличить длительность обрабатываемых эхотрактов.
Список литературы
[1] Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции и расширения спектра: Пер. с англ. / Под ред. В.И. Журавлева. М.: Радио и связь, 2000. 520 с.
[2] Адаптивные фильтры / Под ред. К.Ф.Н. Коуэна,
П.М. Гранта. М.: Мир, 1988. 392 с.
[3] Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов:
Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1989. 440 с.
[4] Yamada Y., Kiya H., Kambayashi N. A Frequency Domain
Adaptive Algorithm for Estimating Impulse Response with Flat Delay
and Dispersive Response Region // IEICE Trans. Fundamentals, 1999.
V. E82-A, №. 8. P. 1558-1565.
[5] Glentis G.-O., Berberidis K., Theodoridis S. Efficient LS
Adaptive Algorithms for FIR Transversal Filtering // IEEE Signal
Processing Magazine. 1999. V.16, N.4. Р. 13-41.
[6] ITU-T Recommendation G.165. Echo cancellers. 1993.
[7] ITU-T Recommendation G.168. Digital network echo cancellers. 2000.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
234
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УВЕЛИЧЕНИЕ СКОРОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЯ МЕДИАНЫ
В РОБАСТНОМ АЛГОРИТМЕ ЭХОКОМПЕНСАЦИИ*
А.Е. Назаровский
Аннотация
Рассматривается вопрос увеличения производительности
робастного метода эхокомпенсации за счет улучшения скоростных характеристик входящей в него процедуры вычисления медианы. Представлен новый метод повышения скорости вычисления медианы, а также результаты моделирования работы данного
метода в составе алгоритма робастного нормализованного метода
наименьших квадратов (НМНК), реализованного на базе сигнального процессора ADSP-21160.
Актуальной проблемой в телефонной связи на больших расстояниях является паразитный эхосигнал, возникающий из-за несогласованности сопротивлений в устройстве преобразования четырехпроводной линии в двухпроводную. Вследствие этого, составляющие сигнала из приемной пары могут проникать в
передающую пару, что вкупе с задержками в линии связи ведет к
появлению эха, отрицательно влияющего на восприятие речи
абонентами.
В настоящее время задача подавления таких эхосигналов в
телефонии решается при помощи эхокомпенсаторов. Эхокомпенсаторы обычно строятся на базе цифровых сигнальных процессоров (ЦСП), которые позволяют эффективно реализовывать цифровые адаптивные фильтры. При этом для подстройки коэффициентов адаптивного фильтра наиболее часто используется НМНК
ввиду простоты его реализации и малых вычислительных затрат.
Основные характеристики устройств эхокомпенсации определяются рекомендациями Международного Союза Электросвязи
(МСЭ-Т) G.165 [1] и G.168 [2].
В ситуации двойного разговора, т.е. когда одновременно присутствуют сигналы от обоих абонентов, нормальное функционирование адаптивного алгоритма нарушается. Чтобы избежать
*
Работа выполнена под руководством А.Н. Тараканова
235
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
этой проблемы в состав эхокомпенсатора вводится так называемый детектор двойного разговора (ДДР), задачей которого является обнаружение вышеуказанной ситуации и отключение адаптивного алгоритма на весь период двойного разговора. Наиболее
часто используемым методом детектирования двойного разговора является алгоритм Гейгеля. Однако, как показано в работе [3],
при использовании НМНК совместно с алгоритмом Гейгеля возможны ошибки обнаружения ситуации двойного разговора. Их
можно избежать, модифицируя НМНК при помощи методов робастной статистики. Наиболее ресурсоемкой в вычислительном
плане процедурой в робастном алгоритме является процедура
вычисления оценки масштаба, а конкретно – поиск медианного
значения в массиве, хранящем отсчеты сигнала ошибки [4].
Массив, хранящий отсчеты сигнала ошибки (далее – буфер
ошибок), обладает двумя особенностями. Во-первых, он организован по принципу First In – First Out (FIFO), т.е. «первым вошел первым вышел». Во-вторых, поиск значения медианы для вычисления оценки масштаба требуется при поступлении каждого нового отсчета. В этой связи представляется актуальным поиск новых методов улучшения производительности процедуры вычисления медианы, основанных на указанных свойствах буфера
ошибок.
Целью работы является метод улучшения производительности робастного НМНК за счет введения новой процедуры вычисления медианного значения.
Рассмотрим требования к алгоритму вычисления медианы
для использования в робастном НМНК.
 Алгоритм должен иметь высокую производительность.
 Алгоритм не должен нарушать порядок следования отсчетов
сигнала ошибки в буфере ошибок.
 Алгоритм должен быть достаточно простым для эффективной
реализации на ЦСП.
Среди известных методов вычисления медианы можно выделить следующие:
1. Вычисление медианы путем поиска N/2 порядковой статистики (например, алгоритм ―quickselect‖). Это самые быстрые в
среднем алгоритмы вычисления медианы. Лучшие из них имеют
236
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
вычислительную сложность в среднем порядка O(N) [5,6]. Недостатком является нарушение порядка элементов в исходном массиве после работы алгоритма. Поэтому в задаче вычисления
оценки масштаба перед работой алгоритма требуется копирование данных из буфера ошибок во временный массив.
2. Алгоритмы поиска медианы, которые не меняют порядок
элементов в исходном массиве (например, метод Торбена [7]).
Этот класс алгоритмов является, к сожалению, довольно сложным для реализации и более затратным в вычислительном плане,
чем предыдущий.
Исходя из указанного выше, ни один из широко известных
алгоритмов не отвечает полностью специфике задачи вычисления
оценки масштаба в буфере ошибок. Далее предлагается метод
поиска медианы, учитывающий особенности данной задачи.
Новый алгоритм предназначен для поиска медианного значения в массиве фиксированной длины N. При этом предполагается, что на каждом шаге в массиве меняется только одно значение
(массив организован по принципу FIFO), и значение медианы
требуется вычислять также на каждом шаге.
Идеей алгоритма является введение дополнительного FIFO
массива длиной N, хранящего порядок удаления элементов из основного массива. При этом основной массив поддерживается уже
в упорядоченном по возрастанию значений виде. На каждом шаге
значение медианы будет равно значению (N/2)-го элемента основного массива. Вычислительная сложность алгоритма порядка
O(N).
Обозначим основной массив с отсчетами сигнала ошибки как
A, а массив, хранящий порядок удаления выборок, как B. Тогда
работу алгоритма можно описать следующим образом:
1. Инициализация:
a. Основной массив заполняется одинаковыми начальными значениями.
b. Массив позиций заполняется нулевыми значениями.
2. Для каждого нового значения сигнала ошибки x повторять
шаги 3-5:
3. Удаление самого «старого» значения из массива A (рис. 1):
a. Удаление из массива A элемента с индексом K=B[0],
при этом все элементы A с индексом большим или рав237
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ным K сдвигаются так, что A[i]=A[i+1] для K ≤ i ≤ N-2
(если K=N-1, то сдвиг не требуется, т.к. это последний
элемент массива A).
b. Сдвиг всех элементов из массива B, так что
B[i]=B[i+1], при этом B[0] теряется.
c. Каждый элемент полученного массива B со значением
большим, чем позиция удаляемого элемента K, дополнительно уменьшается на 1.
пусть новый отсчет=6
находим позицию для вставки
медиана
A[i] 1
2
5
6
7
9
9
A[i] 1
2
6
7
9
9
B[i] 1 2 5 4 6 3
B[i] 3 1 2 6 5 7 4
вставляем отсчет в позицию 4
удаляем из A элемент с номером 3, т.е. 5
A[i] 1 2 6 6 7 9 9
A[i] 1 2 6 7 9 9
B[i] 3 1 2 6 5
cдвигаем массив B
A[i] 1 2 6 7 9
7
4
9
B[i] 1 2 5 4 6 3
увеличиваем на 1 значения B[i]4
A[i] 1 2 6 6 7 9 9
B[i] 1 2 6 5 7 4
уменьшаем на 1 значения B[i]>3
A[i] 1 2 6 7 9 9
B[i] 1 2 6 5 7 3
устанавливаем последний элемент B[i]=4
A[i] 1 2 6 6 7 9 9
B[i] 1
B[i] 1
2
5
4
6
3
2
6
5
7
3
4
новое значение медианы
Рис. 1. Удаление элемента
из массива A
Рис. 2. Добавление элемента
в массив A
4. Вставка нового значения x в массив A (рис. 2):
a. Вставка нового элемента x в массив в соответствии с
его значением (например, в порядке возрастания элементов в массиве A), в некоторую позицию L, при этом все
элементы A с индексом больше L сдвигаются так, что
A[i]=A[i-1] для L+1 ≤ i ≤ N-1 (при L=N-1, соответственно,
сдвиг не требуется).
b. Каждый элемент полученного массива B со значением
большим или равным, чем позиция вставляемого элемента L, дополнительно увеличивается на 1.
238
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
c. Значение последнего элемента массива B устанавливается равным позиции вставляемого значения L (B[N1]=L).
5. Получение медианного значения, равного (N/2)-му элементу
массива A.
Проверка работы робастного алгоритма НМНК с новой процедурой вычисления медианы проводилась на базе стартового
комплекта ADSP-21160 EZ-KIT Lite, основой которого является
сигнальный процессор SHARC ADSP-21160, производимый компанией Analog Devices. Данный ЦСП является высокопроизводительным процессором с 32-разрядной арифметикой с плавающей
точкой [8]. Выбор процессора обусловлен высокими требованиями робастного алгоритма к скорости вычислений, большим объемом внутренней памяти и отсутствием проблем, связанных с
квантованием коэффициентов фильтров и переполнением.
В связи с тем, что указанный ЦСП содержит большой объем
внутрикристальной памяти (4Мбит), а также для простоты реализации алгоритма, все отсчеты сигналов при моделировании хранились в цифровом виде в памяти сигнального процессора. Результаты работы записывались в массив в памяти процессора и
затем при помощи отладчика пересылались на компьютер. Программа, реализующая указанный алгоритм, написана на языке C с
использованием оптимизирующего компилятора из пакета
VisualDSP. Помимо новой процедуры вычисления медианы, программа содержит в своем составе модель дифференциальной системы, адаптивный фильтр и ДДР, использующий алгоритм Гейгеля. Дифференциальная система моделируется фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ) 127-го порядка.
Адаптивный фильтр также является КИХ-фильтром 127-го порядка.
При моделировании использовались два сигнала: от дальнего
и от ближнего абонентов длиной 4000 отсчетов. Сигналы задавались в соответствии с рекомендацией МСЭ-Т G.165. Сигнал от
ближнего абонента принимает отличные от нуля значения только
в диапазоне отсчетов с 2000 по 2200, т.е. ситуация одновременного разговора наступает на 2000-м отсчете. Все отсчеты представ-
239
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
лены 16-битными целыми числами, а результаты имеют 32битную точность.
На рис. 3 представлены графики расстройки весовых коэффициентов адаптивного фильтра, которая определяется следующим выражением:
^
  h  h ( n)
h,
для различных значений длины буфера ошибок P.
Рис. 3. Расстройка для различных значений
длины буфера ошибок P
На рис. 4 представлены графики количества машинных тактов процессора, необходимых для выполнения процедуры подстройки коэффициентов адаптивного фильтра совместно с вычислением медианы по новому алгоритму при разных значениях
длины буфера ошибок P на каждом отсчете.
240
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Результаты моделирования показали, что в одинаковых условиях процедура вычисления медианы с использованием нового
алгоритма выполняется быстрее процедуры, использующей алгоритм «quickselect», в среднем в 4,5 раза.
Итак, предлагаемый алгоритм вычисления медианы сочетает
в себе простоту реализации и сравнительно низкую вычислительную сложность. Моделирование работы эхокомпенсатора на
сигнальном процессоре ADSP-21160 подтвердило преимущества
предлагаемого алгоритма в составе робастного НМНК над известными методами поиска медианы.
Рис. 4. Количество тактов в процедуре адаптации при разных
значениях длины буфера ошибок P на каждый отсчет
241
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
[1] ITU-T Recommendation G.165. Echo cancellers. 1993.
[2] ITU-T Recommendation G.168. Digital network echo cancellers. 2000.
[3] Брюханов Ю.А., Тараканов А.Н. Усовершенствование
адаптивного алгоритма эхо-компенсации // Электросвязь, 2003.
№ 9. С. 38-39.
[4] Назаровский А.Е., Тараканов А.Н., Мосеев А.Л. Моделирование работы робастного алгоритма эхо-компенсации на цифровом сигнальном процессоре ADSP-21160 // Докл. 6-й междунар. науч.-тех. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применения». М., 2004. Т. 1. С. 286-288.
[5] Ахо А.А., Хопкрофт Д.Э., Ульман Д.Д. Структуры данных и алгоритмы. М.: Вильямс, 2000.
[6] Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы. Построение и анализ. М.: МЦНМО, 2000.
[7] Devillard Nicolas. Fast median search: an ANSI C implementation, 1998. http://ndevilla.free.fr/median/.
[8] ADSP-21160 SHARC Hardware Reference. Analog Devices
Inc. November 1999.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
242
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ
МЕДИАННОГО ФИЛЬТРА В ЗАВИСИМОСТИ
ОТ ДЛИНЫ ОТCЧЕТНОГО ОКНА С ПРИМЕНЕНИЕМ
МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Ю.Е. Новиков
Аннотация
С помощью метода наименьших квадратов и метода оценки
тест-сигналом оценивается эффективность медианного фильтра в
зависимости от отношения сигнал-шум и количества наблюдаемых посылок сигнала.
Медианная фильтрация
Медианная фильтрация была предложена Тьюки в качестве
инструмента сглаживания временных рядов, встречающихся в
экономических исследованиях [4], а в дальнейшем она стала широко применяться при обработке изображений, речевых сигналов
и т.п. Медианная фильтрация осуществляется посредством движения некоторой апертуры вдоль последовательности дискретных отсчѐтов и замены значения в центре апертуры медианой исходных отсчѐтов внутри апертуры.
Рис. 1. Иллюстрация медианного фильтра
Сущность медианной фильтрации с трехотсчѐтным окном
иллюстрируется на рис. 1, где ―1‖ — непрозрачная пластина с
тремя отверстиями А, В и С; 2 — лента с наносимыми на ней отсчѐтами и располагаемыми с шагом, равным расстоянию между
отверстиями. Лента протягивается дискретно на один шаг за один
такт. В отверстиях одновременно наблюдаются три отсчѐта, из
которых выбирается средний. Не среднее арифметическое значе
Работа выполнена под руководством проф. И.Т. Рожкова
243
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ние, не отсчѐт в среднем отверстии, а среднее значение из трѐх
упорядоченно расположенных отсчѐтов. Так, упорядочив отсчѐты, показанные на рис. 1, мы имеем значения 24, 27, 29, то есть
средним является отсчѐт 27 в отверстии А.
В общем случае медианой последовательности y1, y2, ... , ym
(m – нечѐтное) является средний по значению член ряда, получаемый после упорядочения последовательности по возрастанию.
Для чѐтного m медиана определяется как среднее арифметическое двух средних членов. В литературе можно найти и другие
определения, но они мало отличаются друг от друга, а в подавляющем большинстве случаев принимают m нечѐтным [2].
Медианный фильтр не влияет на пилообразные и ступенчатые функции, что обычно является полезным свойством, однако
он подавляет импульсные сигналы, длительность которых составляет менее половины ширины окна. Фильтр также вызывает
уплощение вершины треугольной функции.
Возможны различные стратегии применения медианного
фильтра для подавления шумов. Одна из них рекомендует начинать с медианного фильтра, окно которого охватывает три элемента изображения. Если ослабление сигнала незначительно, то
окно расширяется до пяти элементов. Так поступают до тех пор,
пока медианная фильтрация начнет приносить больше вреда, чем
пользы. Другая возможность состоит в каскадной медианной
фильтрации сигнала с использованием фиксированной или изменяемой ширины окна. В общем случае те области, которые остаются без изменения после однократной обработки, не меняются и
после повторной обработки. Области, в которых длительность
импульсных сигналов составляет менее половины ширины окна,
будут подвергаться изменениям после каждого цикла обработки.
Концепцию медианного фильтра можно легко обобщить на два
измерения, применяя окно прямоугольной или близкой к круговой формы.
Достоинства и недостатки медианных фильтров
Достоинства [4-10]:
1) простота структуры, позволяющая легко реализовать
фильтр как аппаратными, так и программными средствами;
2) медианный фильтр не влияет на ступенчатые и пилообразные функции;
244
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3) этот фильтр хорошо подавляет одиночные импульсные
помехи (случайные шумовые выбросы отсчетов и промахи);
4) концепцию медианного фильтра легко обобщить на два
измерения, применяя двухмерное окно желаемой формы (прямоугольное, крестообразное, кольцевое, круговое).
Недостатки [4-10]:
1) медианная фильтрация - метод нелинейной обработки
сигналов, так как медиана суммы двух произвольных последовательностей не равна сумме их медиан. Это усложняет математический анализ их характеристик. Нельзя разграничить влияние
этих фильтров на сигнал и шум, что для линейных фильтров делается очень просто;
2) фильтр вызывает уплощение вершин треугольной функции;
3) подавление гауссовского шума менее эффективно, чем у
линейных фильтров; двумерная обработка приводит к более существенному ослаблению сигнала.
Описание экспериментальной установки для исследования эффективности медианного фильтра в зависимости от
длины отчетного окна
Все вычисления и расчеты были проведены в программе,
разработанной в среде MathCAD.
Структурная схема экспериментального макета изображена
на рис. 2.
1
3
4
5
Вых
2
Рис. 2. Структурная схема экспериментального макета
С источника сигнала 1 поступает видеосигнал в виде равнобедренных треугольников с характеристиками: скорость передачи V = 9,6 кБит/с, частота посылок f  3  V 2 , длительность по245
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
сылки T = 1/V , амплитуда отсчетов соответствовала форме импульса и заданному отношению сигнал-шум.
С источника 2 поступает гауссовский шум с математическим ожиданием равным нулю, среднеквадратичным отклонением 0,1 В и корреляционной функцией
K ( )   2  e (  )  cos(   ) ,
2
(1)
где σ2 - дисперсия шума,     f э2 , ∆fэ – эффективная полоса
частот шума.
Расчет коэффициентов корреляционной функции, сделанный с помощью метода, описанного в [3], показал, что корреляцией можно пренебречь, ввиду малости ее коэффициентов. Будем
считать, что шум некоррелирован.
Сигнал и шум попадают на сумматор 3, а после наложения
друг на друга, проходят через дискретизатор 4, где получается
исходная последовательность для исследований.
После этого дискретизированная последовательность сигнала с шумом подвергается медианной фильтрации в фильтре 5. На
выходе снимаются данные для определения характеристик последовательности и подвергаются анализу.
В соответствии с теоремой Котельникова, один видеоимпульс после дискретизации содержал 10 отсчетов.
Проведение расчетов
Требуется определить эффективность медианного фильтра в
зависимости от длины отсчетного окна.
Для эксперимента использовался дискретизированный видеосигнал с различным количеством посылок, (1, 10, 100) с наложенным на него шумом.
Отношения сигнал-шум принималось равным: 0, 0.5, 1, 2, 5,
10.
Фильтрация проводилась медианными фильтрами, длины
отсчетных окон которых были 3, 5, 7 отсчетов.
Далее использовался метод наименьших квадратов в виде:
2
S рез
(t )  (S (t )  S ид (t )) 2 ,
(2)
где S(t) – сигнал после фильтрации, Sид(t) – идеальный сигнал.
S(t) и Sид(t) синхронизированы.
246
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Для дальнейшего исследования брался сигнал, получившийся из разности профильтрованного и идеального сигнала.
Чем больше профильтрованный сигнал совпадает с идеальным, тем эффективнее фильтрация; следовательно, математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение, вариация, вид плотности вероятности Sрез(t) будут стремиться к
значениям незашумленного сигнала.
У получившихся последовательностей определялось математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение, вариация, вид плотности вероятности.
Так же с помощью метода наименьших квадратов были получены средние квадратичные отклонения получившихся дискретных сигналов от идеального.
Результаты эксперимента и их анализ
Как показал эксперимент, при малых отношениях сигналшум (0; 0,5; 1) медианный фильтр с отсчетным окном большим
половины длительности процесса (видеоимпульса) (в нашем случае 7) незначительно, но лучше справляется с шумом, нежели
фильтры с меньшими отсчетными окнами.
Приближение математического ожидания, дисперсии и вариации к идеальным значениям лучше, чем у фильтров с трех- и
пятиотсчетными окнами.
Однако при возрастании отношения сигнал-шум (2; 5; 10)
фильтр с 7-отсчетным окном начинает «подавлять» сигнал, что
приводит к значительным искажениям сигнала.
В это же время фильтр с 3-отсчетным окном практически
полностью убирает помехи, приближая сигнал (по форме, математическому ожиданию, дисперсии, вариации) к идеальному.
Для наглядности приведем графики динамики изменения для
математического ожидания (рис. 3) и дисперсии (рис. 4) получившихся после фильтрации последовательностей (в случае передачи 100 посылок).
247
значения мат. ожид.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
0,15
0,12
осш 0
осш 0,5
осш 1
осш 2
осш 5
осш 10
0,09
0,06
0,03
мф3
мф5
мф7
Рис. 3. График динамики изменения для математического
ожидания в зависимости от отношения сигнал-шум
значения дисперсии
0,012
осш 0
0,009
осш 0,5
осш 1
0,006
осш 2
осш 5
0,003
осш 10
0
мф3
мф5
мф7
Рис. 4. График динамики изменения для дисперсии
в зависимости от отношения сигнал-шум
Заключение
Сравнивая результаты, полученные во время проведения
измерений, было замечено, что для количественного анализа качества фильтрации сигнала достаточно использовать тест-сигнал
длиной в 100 отсчетов, т.к. увеличение его длины практически не
влияет на точность вычисления характеристик.
Использование медианных фильтров с длиной отсчетного
окна более половины длительности импульса рекомендовано для
сигналов с малым отношением сигнал-шум (до 1) и малой длиной
последовательности (до 100 отсчетов).
Медианный фильтр с длиной отсчетного окна менее половины длительности импульса очень эффективно справляется с

Надписи МФ3, МФ5, МФ7 обозначают случаи использования медианного фильтра с 3-, 5- ,7-отсчетным окном соответственно.
248
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
шумом при отношении сигнал-шум более 1, при этом сигнал не
подавляется.
Для сигналов треугольной формы при использовании медианного фильтра происходит урезание вершин, при этом чем
больше длина отчетного окна, тем больше урезание.
Для длинных последовательностей (1000 и более отсчетов)
и при малых отношениях сигнал-шум медианный фильтр с 7-отсчетным окном справляется с помехами незначительно лучше
фильтра с 3-отсчетным окном.
Можно также утверждать, что медианные фильтры рекомендованы для обработки сигналов трапециевидной и прямоугольной формы (во избежание урезания вершин сигнала). Длина
отсчетного окна должна быть менее половины длительности импульса, чтобы не происходило подавление сигнала фильтром.
Список литературы
[1] Методические указания к спецкурсу «Методы обработки радиосигналов» по теме «Контроль качества систем передачи информации»
/ Сост. И.Т. Рожков; Яросл. гос. ун-т.- Ярославль, 1987.-32с.
[2] Голупков А.П., Долматов А.Д., Лукин А.П. и др. Проектирование
радиолокационных устройств: Учебн. пособие, 1984. 335 с.
[3] Борисов Ю. П. «Математическое моделирование радиосистем»:
учебн. пособие, М.: Сов. радио, 1976. 296 с.
[4] Tukey J.W. Exploratory Data Analisis (Addison - Wesley, Reading,
Mass., 1971).
[5] Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений
/ Т.С. Хуанг, Дж.-О. Эклунд, Г.Дж. Нуссбаумер и др.; Под ред. Т.С. Хуанга: Пер. с англ. М.: Радио и связь. 1984. 24 с.
[6] Воробьев Н.В. Мультиплексоры // Chip News. 1998. № 11-12.
С. 38–41.
[7] Воробьев Н.В. Мультиплексор как многофункциональный узел
// Chip News. 1999. № 2. С. 36–41.
[8] Воробьев Н.В. Цифровые компараторы // Chip News. 1999. № 5.
С. 8–14.
[9] Воробьев Н.В. Цифровые компараторы (продолжение) // Chip
News. 1999. № 7. С. 35–38.
[10] Воробьев Н.В. Минимизация функций алгебры логики // Chip
News. 1997. № 9-10. С. 54–60.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
249
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ПРИМЕНЕНИЕ ЦЕПЕЙ МАРКОВА ДЛЯ АНАЛИЗА
СИСТЕМЫ ТАКТОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ AMI-КОДА
В.Ю. Новиков, В.А. Чвало
Аннотация
Работа посвящена исследованию системы тактовой синхронизации линейного кода AMI, действующей в условиях комбинированных случайных воздействий, при помощи аппарата цепей Маркова. Система функционирует на основе алгоритма выбора максимума корреляции отсчетов (ВМКО). Рассмотрены
различные модификации предложенного алгоритма.
Известно, что при цифровом кодировании дискретной информации применяют потенциальные и импульсные коды. Основными критериями выбора способа кодирования в современных системах передачи информации являются: наименьшая ширина спектра сигнала, обеспечение синхронизации между
приемником и передатчиком, обнаружение ошибок, отсутствие
постоянной составляющей. У потенциальных кодов ширина
спектра меньше, чем у импульсных. Самым распространенным
представителем потенциальных кодов является AMI-код. Его использование приводит к достаточно узкому спектру сигнала, за
счет меньшей сигнальной скорости.
На рис. 1. показан граф цепи Маркова, где номер состояния i
обозначает текущее значение скомпенсированного фазового
сдвига v, PX,Y - вероятность перехода цепи Маркова из состояния X
в состояние Y (1), вероятность PX,Y учитывает аддитивную помеху
и связана с реализацией алгоритма ВМКО, SX,Y – вероятность перехода, обусловленного фазовыми флуктуациями (2), N – число
отчетов на бит.
250
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
N/2
S0,N/2
N-1
SN/2,0
1
S0,1
PN-1,0
P0,N-1
S1,0
0
Px,y
P0,0
S0,0
Sx,y
Рис. 1. Математическая модель СТС
в виде графа цепи Маркова
1 v  1 vT
 3  1 4  y jQ y j
p
  1 (2 ) 2 Q 2  e 2
dy
v, v  1
4
j 1

1
1 v  1 vT
 3  1 4  y jQ y j
p
  1 (2 ) 2 Q 2  e 2
dy
v, v
,
4
j 1

2
1 y v Q  1 y vT
3

1

4

j
j
p
  1 (2 ) 2 Q 2  e 2
dy
v, v  1
4
j 1

3
(1)
v
v
v
v 1
где y j  (Cm (v  1)   j , Cm (v)   j , Cm (v  1)   j ) – вектор центрированных корреляционных моментов, Q - матрица
корреляции компонентов этого вектора, Ω1, Ω2, Ω3 - области интегрирования.
251
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»









s

i, j









1 
2 ˆ
1 
2 ˆ
1 
2 ˆ
1 
2 ˆ
ˆ 
j  i  0 .5

exp( 
j  i  0.5
j  i  0 .5

exp( 
j  i  0.5
j  i  0 .5

exp( 
j  i  0.5
j  i  0 .5

exp( 
j  i  0.5
( x) 2
)  dx, ______ 0  j  N  i  1
2
2
2ˆ
(x  N )2
)  dx, __ N  i  j  N  1
2
2ˆ 2
_____ 0  i  N
2
(x  N )2
)  dx, __ 0  j  i  N
2
2
2ˆ
( x) 2
2ˆ 2
)  dx, _____ i  N  1  j  N  1
2
,
__ N  1  i  N  1
2
(2)
 ( N  1)
2
где
– нормированное СКО фазового шума,
j = 0…N–1, i = 0…N–1. Общая матрица перехода будет определяться по следующей формуле:
W  SP.
(3)
На основании (3) получены результаты, часть из них представлена на рис. 2-7. На рис. 2, 3 показана зависимость средней
ошибки синхронизма от мощности фазового шума при фиксированной интенсивности аддитивной помехи. Здесь σ – СКО фазового шума, q – отношение сигнал / аддитивный шум, а N – количество отсчетов на бит.
Рис. 2. Средняя ошибка синхронизации для q = 10дБ
252
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Анализ кривых позволяет сказать следующее. С увеличением мощности фазового шума лучшие результаты показывает
система с большим числом отсчетов на бит. Это связано с особенностью используемого кода. Так, вероятность корректной
работы синхронизатора составляет 0.5 (при приеме последовательностей «11» и «10»), квазикорректной - 0.25 (прием «01»), а
при приеме «00» поведение системы зависит только от аддитивного шума. Поэтому при увеличении N уменьшается ошибка
синхронизации, обусловленная неправильной работой системы.
Рис. 3. Средняя ошибка синхронизации для q = 5дБ
На рис. 4, 5 приведены зависимости среднего времени
вхождения в синхронизм от мощности фазового шума. Наблюдается тенденция уменьшения времени вхождения с ростом
мощности σ. Данный результат можно объяснить тем, что увеличение фазового шума приводит к росту вероятности перехода
из текущего состояния системы в любое другое состояние, в том
числе и в состояние синхронизма. В то же время рост частоты
дискретизации в системе увеличивает время вхождения в синхронизм в силу увеличения числа возможных состояний.
253
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 4. Среднее время вхождения в синхронизм для q = 10дБ
Рис. 5. Среднее время вхождения в синхронизм для q = 5дБ
На рис. 6 показана зависимость среднего времени слежения до срыва от мощности фазового шума. С ростом дисперсии
это время уменьшается за счет увеличения вероятности перехо254
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
да в другое состояние. При этом, чем больше число состояний
N, тем меньше среднее время. При определенных значениях наблюдается максимум среднего времени слежения до срыва, обусловленный компенсацией фазового шума дискретом системы.
Рис. 6. Среднее время слежения до срыва для q = 10дБ
Рис. 7. Среднее время слежения до срыва для q = 5дБ
255
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Как следует из анализа результатов СТС кода AMI, она в
общем случае проигрывает СТС манчестерского кода по точности синхронизации и среднему времени слежения до срыва [1].
Также видно, что он более устойчив к аддитивной помехе. Проигрыш прежде всего связан с существованием длинных последовательностей нулей в коде AMI. Поэтому код AMI необходимо подвергнуть различным модификациям, таким как рандомизация, скремблирование и другие, либо скорректировать
алгоритм работы системы под него.
В качестве корректировки предлагается ввести дополнительную нелинейность в схему СТС, представленную в виде
адаптивного порога. Основная задача этой нелинейности заключается в снижении вероятности принятия решений, направленных на удаление от состояния синхронизации. Это происходит
благодаря тому, что в случаях, когда величины корреляционных
моментов не превышают по абсолютным значениям уровня порога, система входит в режим памяти, т.е. остается в текущем
состоянии цепи Маркова. Подобная корректировка приводит к
изменениям областей интегрирования Ω 1, Ω2, Ω3 в формуле (1).
Ниже приведены результаты математического моделирования
работы нелинейной СТС в условиях аддитивной помехи.
Рис. 8. Средняя ошибка синхронизации
256
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Согласно рис. 8 рост N приводит к увеличению средней
ошибки синхронизации. Это объясняется увеличением адаптивного порога с ростом частоты дискретизации, что, в свою очередь, приводит к снижению скорости работы системы
(рис. 9,10), в том числе и в окрестности состояния синхрозиции,
а значит, к увеличению средней ошибки.
Рис. 9. Среднее время вхождения в синхронизм для N = 16
Рис. 10. Среднее время вхождения в синхронизм для N = 32
257
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Следовательно, с ростом N должно происходить увеличение
среднего времени слежения до срыва, что и показано на рис. 11.
Рис. 11. Среднее время слежения до срыва
Полученные результаты позволяют сделать следующий вывод. Введение дополнительной нелинейности в схему СТС, с
одной стороны, приводит к увеличению среднего времени слежения до срыва, с другой стороны, к уменьшению времени переходного процесса. Что касается точности синхронизации, то
особого выигрыша мы не получаем.
Список литературы
[1] Александров А.С., Якимов И.М, Чвало В.А. и др. Применение цепей Маркова для анализа системы тактовой синхронизации, функционирующей в условиях комбинированных случайных воздействий // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2004.
№ 3. C.83-95.
[2] Брени С. Синхронизация цифровых сетей связи. М.:
Мир, 2003. 456 с.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
258
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
КОЛЕБАНИЯ В НЕАВТОНОМНЫХ ДВУМЕРНЫХ
РЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА С БИНАРНЫМ КВАНТОВАНИЕМ*
Д.В. Рудых, М.В. Лебедев
Аннотация
Исследованы колебания в двумерной рекурсивной цифровой системе первого порядка с бинарным квантованием. С помощью разработанной методики в пространстве коэффициентов
системы установлены области с определенными типами движений. Найдены аналитические выражения границ данных областей. Построена бифуркационная диаграмма.
Двумерные цифровые системы рекурсивного и нерекурсивного типов широко используются для обработки многомерных
цифровых сигналов, статических и динамических изображений
[1]. На их основе создаются двумерные цифровые фильтры. Благодаря простоте исполнения и возможности работать в реальном
масштабе времени, двумерные цифровые фильтры малых порядков используются в качестве базовых составляющих более сложных устройств цифровой обработки двумерных сигналов и изображений [2].
Принципиальным отличием цифровых фильтров от аналоговых является обусловленная ограниченным числом используемых двоичных разрядов конечная точность выполнения арифметических операций и задания коэффициентов фильтра, что вызывает специфические ошибки квантования. Исследование процессов в фильтрах может быть осуществлено с помощью линейной
статистической модели ошибок, если последовательность ошибок
квантования является совокупностью выборок стационарного
случайного процесса, если она не коррелирована с последовательностью точных значений сигнала, а сами значения ошибки не
коррелированы между собой (представляют собой белый шум) и
при этом распределение вероятностей ошибки равномерно во
*
Работа выполнена под руководством канд. техн. наук А.Л. Приоро-
ва.
259
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
всем диапазоне ошибок квантования [3]. Эти условия нарушаются при малом количестве разрядов (и связанном с ним количестве
уровней квантования), а также при воздействии, например, постоянного сигнала или синусоидального сигнала, дискретизированного с частотой, рационально кратной частоте синусоиды. В
этих случаях задача исследования процессов в фильтрах очень
сложна и является существенно нелинейной [4]. В то же время
системы с малым числом уровней квантования применяются в
самых разнообразных областях техники [5-6].
Структурная схема фильтра представлена на рис. 1. Здесь m
и n - дискретные переменные, принимающие значения от –1 до
бесконечности; a , b и c - независимые коэффициенты фильтра,
Z и Z - задержки по переменным m и n соответственно,
U (m, n) - произвольное внешнее воздействие, функция f описывает нелинейные свойства сумматора. В общем случае движения
в неавтономных двумерных рекурсивных цифровых фильтрах
первого порядка описываются нелинейным разностным уравнением
1
2
x(m, n)  f (ax(m  1, n)  bx(m, n  1)  cx(m  1, n  1)  U (m, n))
с ненулевыми начальными условиями.
c
z1-1
b
U(m,n)
z2-1
+
f( )
x(m,n)
z1-1
a
Рис. 1. Структурная схема двумерного рекурсивного
цифрового фильтра первого порядка
260
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Целью настоящей работы является исследование колебаний
в неавтономных двумерных рекурсивных цифровых системах
первого порядка, использующих представление чисел в прямом
коде с бинарным квантованием. Полагается, что коэффициенты
системы a , b и c задаются без ошибки, квантуются только результаты суммирования. Характеристика сумматора описывается
функцией
1, x  0
f ( x)  
 1, x  0.
(2)
Участки характеристики, соответствующие x  0 и x  0 ,
назовем зонами I и II соответственно.
Для исследования систем с нелинейным сумматором и квантователями используется детерминированный подход. В частности, он применялся при изучении нелинейных свойств одномерных цифровых фильтров [7]. Обычно такой подход используется
для решения задач, связанных с изучением условий зарождения
предельных циклов разных периодов в результате нелинейной
характеристики сумматора, и в двумерных системах [8]. Суть
подхода заключается в следующем. Область определения функции нелинейности разбивается на зоны с различными значениями. Затем путем последовательного перебора возможных переходов системы по этим зонам находятся ограничения на параметры
системы, соответствующие определенным типам движений на
выходе. В результате все пространство параметров системы делится на области с различными типами движений.
Следует отметить, что любое начальное условие для двумерной системы первого порядка представляет собой две бесконечные последовательности ( x(1, n) и x(m,1) ), поэтому перебрать
все возможные начальные условия при анализе видов движений в
такой системе нереально. В связи с этим при исследовании двумерных систем с произвольными начальными условиями предлагается находить условия возникновения на выходе фильтра только типов движений (каждому из них может соответствовать бесконечное число конкретных видов движений), например,
двумерных предельных циклов (ДПЦ). В этом случае при анализе
261
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
свойств системы достаточно основываться на определении этих
движений и аналитическом виде функции нелинейности.
Рассмотрим это более подробно на примере нахождения областей существования ДПЦ с периодами 1х0, 0х1 и 1х1. Здесь
первое число обозначает период по переменной m , а второе – по
переменной n . В случае, если одно из чисел равно нулю, сигнал
может быть как периодическим по соответствующей переменной,
так и непериодическим.
Исходя из уравнения (1) и определения данного ДПЦ, найдем область существования цикла периода 1х0
 x(m, n)  f (ax(m  1, n)  bx(m, n  1)  cx(m  1, n  1)  U (m, n))

 x(m, n)  x(m  1, n).
Это равносильно следующему набору правил выходных
движений (табл. 1).
Система условий на коэффициенты фильтра, соответствующая данному случаю, имеет вид
a  b  c  1
a  b  c  1


a  b  c  1
a  b  c  1.
(3)
На плоскости коэффициентов фильтра ( a , b ), при фиксированном коэффициенте c  0.5 , данным ограничениям соответствует заштрихованная область на рис. 2. Следует отметить, что
полученные результаты справедливы для произвольного вида начальных условий и внешнего воздействия.
262
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таблица 1
Правила движений на выходе фильтра,
соответствующие ДПЦ периода 1х0
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
x(m  1, n)
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
x(m, n  1)
x(m  1, n  1)
U (m, n)
x(m, n)
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
b
1.5
a
0 1.5
-1.5
Рис. 2. Область существования циклов периода 1х0, с=0.5
263
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Вследствие симметричности коэффициентов a и b в уравнении (1) относительно переменных m и n , замена m  n соответствует замене a  b . Таким образом, для ДПЦ с периодом 0х1
остается справедливым полученный набор неравенств (3), с учетом соответствующих переобозначений. На плоскости коэффициентов ( a , b ), при c  0.5 , данным циклам на выходе фильтра
соответствует заштрихованная область на рис. 3.
Аналогичным образом найдены области существования
ДПЦ периодов 1х1, 2х0 и 0х2. Общий вид бифуркационной диаграммы представлен на рис. 4.
b
1.5
-1.5
a
0 1.5
Рис. 3. Область существования циклов периода 0х1, с=0.5
b
ДПЦ 0х1
1.5
0.5
ДПЦ 2х0
-1.5
-0.5 0-0.5
ДПЦ 1х0
1.5
a
-1.5
ДПЦ 0х2
Рис. 4. Бифуркационная диаграмма двумерного
рекурсивного цифрового фильтра первого порядка
с двумя уровнями квантования, с=0.5
264
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Отдельно следует рассмотреть случай ДПЦ периода 1х1, т.к.
при c  0.5 на плоскости коэффициентов ( a , b ) соответствующая
им область отсутствует. Данные циклы возникают на выходе
фильтра при выполнении условий
a  b  c  1
a  b  c  1


a  b  c  1
a  b  c  1.
На плоскости коэффициентов фильтра ( a , b ), при фиксированном коэффициенте c  2 , им соответствует заштрихованная
область на рис. 5.
b
1
-1
0
1
a
-1
Рис. 5. Область существования циклов периода 1х1, с=2
Таким образом, предложена методика, позволяющая находить области в пространстве коэффициентов двумерной рекурсивной цифровой системы первого порядка фильтра, соответствующие различным типам движений. С еѐ помощью определены
области двумерных предельных циклов разных периодов. Найдены аналитические условия на коэффициенты фильтра, соответствующие каждому из двумерных предельных циклов. Построена
бифуркационная диаграмма системы. Теоретические результаты
подтверждены компьютерным моделированием.
265
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Список литературы
[1] Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. М.: Мир, 1988. 488 с.
[2] Werter M. J. Suppression of limit cycles in the first-order
two-dimensional direct form digital filter with a controlled rounding
arithmetic // IEEE Trans. on signal processing. 1992. V. 40, № 6.
P. 1599-1601.
[3] Каппелини В., Константинидис А. Дж., Эмилиани П.
Цифровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомиздат, 1983.
360 с.
[4] T. Bose, D. Brown. Zero-input limit cycles due to rounding
in digital filters // IEEE Trans. Circuits & Syst., 1989. V. 6, P. 931933.
[5] Морозов В.А., Хаджи Б.А. О выборе наилучшей группы
кодированных ортогональных сигналов в канале множественного
доступа при двухуровневом квантовании // Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47, № 10. С. 1212-1218.
[6] T. Yamanaka, R. Matsumoto, T. Nakamoto. Odor recorder
for multi-component odor using two-level quantization method // Sensors and Actuators B: Chemical, 2003. V. 89, I. 1-2. P. 120-125.
[7] Брюханов Ю.А. Динамика цифровой рекурсивной системы второго порядка с бинарным квантованием // Изв. вузов.
Радиофизика. 2001. Т. 44, № 11. С. 976-983
[8] D.V. Rudyh, M.V. Lebedev, V.V. Kryashchev, A.L. Priorov.
Investigation of the two-dimensional first-order recursive digital filters with saturation nonlinearity // Proc. of the 11-th Workshop on
―Nonlinear Dynamics of Eletronic Systems‖ (NDES'2003), Switzerland, 2003. P. 213-216.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
266
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВЛИЯНИЕ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ
НА НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ НА ЗАРЯЖЕННОЙ
ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
С. А.Санасарян, Д.Ф. Белоножко
Аннотация
Впервые исследовано совместное влияние эффектов релаксации поверхностно-активного вещества и релаксации электрического заряда на нелинейные периодические волны на заряженной поверхности вязкой жидкости. Показано, что оба эффекта
существенно влияют на интенсивность внутреннего нелинейного
межволнового взаимодействия на заряженной поверхности реальной жидкости.
Будем решать задачу о расчете дисперсионных характеристик и профиля периодической нелинейной волны, распространяющейся по заряженной поверхности вязкой бесконечно глубокой проводящей жидкости, покрытой пленкой поверхностноактивного вещества (ПАВ). Пусть в декартовой системе координат Oxyz , с осью Oz , направленной против направления действия
силы тяжести, жидкость заполняет полупространство z  0 . Жидкость имеет плотность  , удельную электропроводность  , диэлектрическую проницаемость  и кинематическую вязкость  .
На ее свободной поверхности равномерно распределены: электрический заряд с поверхностной плотностью  0 и поверхностно-активное вещество (ПАВ) с поверхностной плотностью 0 .
Коэффициент поверхностной диффузии ПАВ обозначим DS , а
поверхностной диффузии заряда DCh . Примем поверхностную
подвижность зарядов равной  , а коэффициент поверхностного
натяжения в равновесном состоянии равным  0 .
По свободной поверхности жидкости в положительном направлении оси Ox в начальный момент времени начинает распространяться бегущая периодическая волна длины  . Требуется
найти ее кинематические характеристики и профиль при t > 0.
267
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Периодический профиль волны может быть однозначно
восстановлен по амплитудам гармоник его разложения в ряд Фурье на пространственном периоде  . Будем считать, что амплитуда главной гармоники  известна. В дальнейшем изложении в
качестве параметра, характеризующего длину волны, будем использовать волновое число k  2  /  . Движение жидкости для
простоты будем считать не зависящим от координаты y .
В процессе распространения волны будет иметь место перераспределение ПАВ и электрического заряда по свободной поверхности, так что концентрация ПАВ и заряда на поверхности
оказываются функциями времени и горизонтальной координаты:
  t, x  и    t, x  соответственно. Локальные изменения в
поверхностной концентрации ПАВ вызывают локальные изменения величины коэффициента поверхностного натяжения:
   t, x  . На свободной поверхности возникают касательные ло
кальные натяжения grad S   и   E разной релаксационной
природы ( E – тангенциальная составляющая напряженности
электрического поля на свободной поверхности). Посредством
этих локальных натяжений релаксационные эффекты влияют на
движение свободной поверхности.
В качестве модели зависимости      примем допущение
о локальном термодинамическом равновесии между состоянием
поверхностной фазы ПАВ и жидкостью. Это означает, что изменение локального значения концентрации ПАВ мгновенно вызывает изменение локального значения коэффициента поверхностного натяжения в соответствии с изотермой     , считающейся известной из эксперимента.
Математическая формулировка задачи определения профиля волны имеет вид [1-3]:




 


1
 tU  U   U   p   U  g ; U  u ex  v ez ;
z  :


 U  0 ;
ex  0 ;
z  :
in  0 ;
z  :
 t  u  x  v ;
268
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»



 
p  2  n n  U 
1
ex 2   d n   in 2   d  2   in 2 

8

  div n ;


 
 

    n U   n   U   grad S        in  0 ;
ex  in ;




t    n in   U n div n   div S  U     div S  Ein    
 DCh div S grad S    0 ;


   41 n ex   d n in ;




t    U n div n   div S U   DS div S grad S   0 ;
v  0;
u  0;
z   :
in  0;

 ex  E0 ez ;
E0  4  0 .
z  :




Здесь e x и ez - орты осей; n и  - орты внешней нормали и
касательной к возмущенной волновым движением свободной поверхности жидкости z     (t , x, z ) . Начальные условия задачи
будем определять в процессе решения таким образом, чтобы получить в результате наименее громоздкое и наиболее удобное для
качественного анализа профиля волны выражение.
В приведѐнной выше постановке неизвестными являются
функции:    (t , x) - профиль свободной поверхности;
u  u( t , x, z ) - горизонтальная и v  v(t , x, z ) - вертикальная компо
ненты поля скоростей U в жидкости; p  p(t , x, z ) - распределение давления в ней; in  in t , x, z  и ex  ext , x, z  - потенциалы электрического поля внутри и вне жидкости;    (t , x) поверхностная плотность электрического заряда;   (t , x) - поверхностная плотность примеси ПАВ. Величины  , k ,  , g ,  ,
 , 0  E02 / 4 , 0 ,  , DS , DCh μ и  вместе с тангенсом угла
наклона d / d  0 изотермы      и его производной
d  / d 
2
2
  0
в точке   0 выступают в качестве исходных
данных.
269
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение задачи проведем стандартным методом прямого
разложения по амплитуде отклонения формы поверхности от
равновесного состояния z  0 в безразмерных переменных, в которых   g   0  1 [1,3]. Для этого все неизвестные величины
будем искать в виде:




 

 
 ;



 
0
  1    2    13
   
 
 
 


3
0
  u1   u 2    u1
 u  
 
  v    v13
0
 v  
v
1
2 
  2  

 
E
0
  p1   p2    p13
 p     g z 


8   


 ex  
 ex13

ex

ex

1
2


 E0 z

 



  in 13



in

in




 in 
1
2
0
    E / 4    1    2    13
0
 
 
 
   

  1   2    3

 
0


1


 
;  in
 
 O in ;
 


 
 2  O 12 ; u 2  O u12 ; v2  O v12 ; p2  O p12 ;

 ex 2  O  ex12
2
2
1
 
 2  O 12 ;
 
2  O 12 .
1    f t  cos(k x   t ) ;
f 0  1.
С помощью выписанных соотношений задача разбивается
на задачи различных порядков малости, полная математическая
формулировка которых имеет вид:




1
z  0:
 tU m  pm  U m  Vm ;  U m  0 ; inm  0 ;

z  0:
ex m  0 ;
 t m  v m  f1m ;
z  0:
pm  g  m  2  z v m 
  z u m   x v m  
E0
 z ex m   0  xx m  f 2m ;
4
E0
 d 
 x in m  0  
 xm  f3m ;
4
 d   0
ex m  E0  m  in m  f 4m ;
270
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
t m 
E0
E
 x u m    z in 1  D  xx  m   0  xxin 1  f 5m ;
4
4
1
 z ex m    z in m   f6m ;
m 
4
t m  0  x u m  D  xxm  f7 m ;
z   : u m  0 ; v m  0 ; in m  0 z   :
ex m  0 .
Выписанные соотношения при m  1 представляют собой
формулировку
задачи первого порядка малости, для которой
 
V1  0 ; f n1  0 ( n  1 7 ). Задача второго порядка малости полу
чается при m  2 . Величины V2 и f n 2 ( n  1 7 ) выражаются через
решение задачи первого порядка.
В результате решения получается выражение для формы
профиля периодической бегущей капиллярно-гравитационной
волны во втором приближении по амплитуде  :
    cos  exp( t )  2 2  Re( )  cos(2 )  Im( )  sin( 2 ) exp 2  t 
   t  k x ;   ImS  ;   Re S .
(1)
Здесь S - комплексная частота, которая удовлетворяет дисперсионному уравнению:
 S 2  k H S  k 2 DS  Q 1 S k 3 02 






  k 5W 1S S  k 2 DCh +

(2)



S
S  k 2 DS H  4Q 2k 3S 2   k 41 S  Q 1 S k 2 02  S 2  0 ;

2
  Q 02  S  2k 2  ; Q   S  k 2 DCh 1     k   E0  1;


H   S k W S 2  02  2k 2 2S  k 2 DCh ;
 k2 







 k 1  k

E02
 d 
2
 kW .

; 1  0  
; W
; 02
4 g
4
 d   0
Соотношение (1) полезно переписать в альтернативной
1
форме:
    cos  exp( t )  2  A  cos(2   )  exp 2  t ;
271
(3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
A  2 Re( ) 2  Im( ) 2 ;

 Im  
если Re    0;
 arctg  Re    ;





 
;
если Re    0;
2

arctg  Im     ; если Re    0.

 Re   

Комплексная величина  сложным образом зависит от параметров k ,  , g ,  , DS , DCh μ,  W ,  ,  0   0 ,

1  0 d / d  0 ;  2  02 d 2 / d2

  0 .
Все эти параметры
однозначно выражаются через исходные данные. Параметр 1
имеет смысл упругости пленки ПАВ.
Как известно, параметр W характеризует устойчивость однородно заряженной плоской поверхности жидкости по отношению к собственному заряду [4]. При переходе к идеальной идеально проводящей жидкости  ,  )  0 соотношение (2) для комплексной частоты S превращается в S   i 0 . Поэтому когда
1
W
 a k  02 < 0  S   0 , т.е. ImS     0 ,
ak
а Re( S )    0 ,
электрические силы на гребнях волн с волновым числом k преобладают над силами поверхностного натяжения (уже в первом
порядке малости), и реализуется неустойчивость заряженной поверхности жидкости по отношению к собственному электрическому заряду [4,5].
В связи со сказанным, будем исследовать профиль волны
(1), (3) в предположении, что выполняется условие:
1
W
 a k  ImS     0 ,
  Re S   0 .
ak
Несложно установить, что если 0  W  2 , то все волновые
числа k  0 устойчивы. В этом случае параметр  имеет смысл
декремента затухания волны в первом порядке малости, а асимптотические приближения (1) и (3) для профиля волны не теряют
своей равномерности при всех значениях времени t  0 .
272
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Согласно (3), профиль нелинейной периодической бегущей
капиллярно-гравитационной волны на свободной поверхности
жидкости в квадратичном по амплитуде волны приближении
складывается из главного (пропорционального η) волнового слагаемого: «k – волны» и вызванного внутренним нелинейным
межволновым взаимодействием поправочного слагаемого, пропорционального  2 : « 2k -волны». Мерой интенсивности взаимодействия этих волн является величина амплитудного множителя
A в формуле (3).
Было проведено исследование зависимостей интенсивности
нелинейного межволнового взаимодействия на заряженной поверхности жидкости от параметров задачи, характеризующих
влияние релаксационных эффектов.
Анализ выражений (1), (3) показал, что пленка ПАВ и конечная проводимость жидкости существенно влияют на формы
профилей нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волн с волновыми числами, близкими по величине к резонансному значению k*  1 2  0.707 . Зависимость интенсивности
нелинейного взаимодействия между отдельными гармониками,
формирующими нелинейную капиллярно-гравитационную волну,
от упругости пленки имеет немонотонный характер. Существует
значение упругости, при котором интенсивность этого взаимодействия минимальна. Это значение существенно зависит от вязкости жидкости. Наличие пленки ПАВ приводит к увеличению
резонансного волнового числа, при котором нелинейное взаимодействие волн наиболее интенсивно. Характер влияния пленки
ПАВ на интенсивность нелинейного взаимодействия весьма
сложным образом зависит от величины поверхностного заряда.
Характер зависимости интенсивности нелинейного взаимодействия между отдельными гармониками, формирующими нелинейную капиллярно-гравитационную волну, от удельного сопротивления жидкости существенно зависит от поверхностной
плотности заряда. При приближении величины поверхностного
заряда к критическому значению появляется отличное от нулевого значение удельного сопротивления, при котором интенсивность межмодового взаимодействия минимальна. Для жидкостей
с конечной проводимостью резонансное волновое число, при ко273
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тором нелинейное взаимодействие волн наиболее интенсивно,
несколько меньше, чем для идеально проводящей жидкости.
Влияние электропроводности жидкости на форму профиля периодической капиллярно-гравитационной волны гораздо менее
существенно, чем влияние величины поверхностного заряда: изменение удельного сопротивления жидкости в широких пределах
приводит к изменению интенсивности нелинейного межмодового
взаимодействия на единицы процентов, в то время как варьирование поверхностной плотности заряда в докритической области
изменяет интенсивность взаимодействия в несколько раз.
Список литературы
[1] Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные движения вязкой
жидкости со свободной поверхностью // Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 2 С. 184192.
[2] Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О корректной форме записи закона сохранения количества вещества на движущейся границе раздела
двух жидких сред // ЖТФ. 2004. Т. 74. Вып. 11. С. 22-28.
[3] Белоножко Д. Ф., Санасарян С.А. Нелинейные волны в растворах
поверхностно-активных веществ // Материалы Всероссийской научной
конференции, посвященной 200-летию ЯрГУ, Ярославль, 2000. С. 57-60.
[4] Френкель Я.И. К Теории Тонкса о разрыве поверхности жидкости
постоянным электрическим полем в вакууме // ЖЭТФ. 1936. Т. 6. № 4.
С. 348-350.
[5] Tonks L. A Theory of liquid surface rupture by uniform electric field
// Phys. Rev. 1935. V. 48. P. 562-568.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
274
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
ОПТИМАЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ
ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ*
Е.А. Соколенко, Д.К. Куйкин, А.А. Абдуллоев
Аннотация
Рассмотрена задача восстановления цифровых изображений в присутствии аддитивного шума. Описан новый алгоритм
фильтрации, требующий априорной информации только о среднем значении и дисперсии шума. Проведено сравнение предложенного алгоритма восстановления с оптимальным фильтром
Винера с точки зрения визуального критерия качества.
Введение
Задача восстановления относится к классу наиболее фундаментальных задач в области обработки цифровых изображений
[1]. В различных практических приложениях обработка цифровых изображений часто начинается с уменьшения уровня шума
или других искажений, таких как смаз, геометрические искажения или неправильное распределение яркости. Затем целью является идентификация различных сегментов на изображении с целью распознавания или классификации. Алгоритмы восстановления применяются во многих областях, например, в
телекоммуникациях, при обработке сейсмических, астрономических и медицинских изображений.
В общем случае модель искажения/восстановления изображения можно представить в виде, изображенном на рис. 1 [2].
g(x,y)
f (x,y)
Функция
искажения H
f (x,y)
Восстанавливающий
фильтр
Шум
(x,y)
ВОССТАНОВЛЕНИЕ
ИСКАЖЕНИЕ
Рис. 1. Модель процесса искажения/восстановления
изображений
*
Работа выполнена под руководством В.В. Хрящева
275
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Здесь f ( x, y) – входное изображение размера M  N пиксе~
лей; g ( x, y) – искаженное изображение; f ( x, y ) – восстановленное изображение; H – функция искажения; ( x, y) – аддитивный
шум.
Задача состоит в получении восстановленного изображения
~
f ( x, y ) по искаженному изображению g ( x, y) и имеющейся информации о H и ( x, y) . Если H определяет линейный, инвариантный к сдвигу процесс, то в пространственной области искаженное изображение представляется следующим образом:
g ( x, y)  h( x, y)  f ( x, y)  ( x, y) ,
(1)
где h( x, y) – пространственное представление искажающей
функции, а ―  ‖ – обозначение свертки.
Поскольку свертке в пространственной области соответствует умножение в частотной области, выражение (1) может быть
записано в виде
G(u, v)  H (u, v)  F (u, v)  N (u, v) .
(2)
Здесь
заглавными
буквами
обозначены
Фурьетрансформанты соответствующих функций выражения (1).
Для решения подобной задачи используются различные типы восстанавливающих фильтров: усредняющий, медианный [3],
нейросетевые алгоритмы [4-6], методы слепого восстановления,
адаптивные фильтры [7], инверсный фильтр, фильтр Винера [8].
В работе вначале рассматриваются инверсная и винеровская
фильтрация, обсуждаются их недостатки. Далее приводится описание предлагаемого алгоритма, описываются его достоинства. В
заключение для визуального сравнения приводятся результаты
восстановления тестового изображения.
Инверсная фильтрация
Самый простой подход к восстановлению – прямая инверс~
ная фильтрация, где вычисляется оценка F (u, v) образа оригинального изображения как отношение образа искаженного изображения G(u, v) к образу искажающей функции
276
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
G (u, v)
~
.
F (u, v) 
H (u, v)
(3)
Замена G(u, v) в (3) на правую часть выражения (2) дает
N (u, v)
~
.
F (u, v)  F (u, v) 
H (u, v)
Таким образом, даже зная функцию искажения, нельзя восстановить исходное изображение точно, поскольку N (u, v) – случайная функция, Фурье-образ которой неизвестен. Кроме того,
существуют и другие трудности. Если искажение равно нулю или
N (u, v)
очень мало, то отношение
в последнем выражении может
H (u , v)
стать доминирующим. Поэтому метод инверсной фильтрации
имеет низкую практическую значимость [2].
Фильтрация с минимальной среднеквадратичной
ошибкой (фильтр Винера)
Метод основан на рассмотрении изображения и шума как
вероятностных процессов. Цель состоит в том, чтобы найти
~
оценку f первоначального изображения f так, чтобы среднеквадратичная ошибка между ними была минимальной.
Значение ошибки задается формулой:


~2
e2  E f  f
,
(4)
где E – математическое ожидание. Полагается, что шум и изображение не коррелированы, среднее значение одного и другого
равны нулю, и значения уровней серого в оценочном изображении связаны линейно со значениями уровней серого в искаженном изображении. Основываясь на этих условиях, минимум
функции ошибки в (4) задается в частотной области выражением
[2]


H  (u, v)  S f (u, v)
~
F (u, v)  
  G (u, v) 
2
 S f (u, v)  H (u, v)  S (u, v) 
277
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
 1

H (u, v)


  G (u, v) ,
2
H
(
u
,
v
)
H (u, v)  S (u, v) / S f (u, v) 

(5)
где H (u, v) – функция искажения; H  (u, v) – комплексно сопряженная к H (u, v) функция; S (u, v)  N (u, v)
2
– спектральная
плотность мощности (СПМ) шума; S f (u, v)  F (u, v) – СПМ
первоначального изображения; G(u, v) – образ искаженного изображения.
Восстановленное изображение в пространственной области
~
задается обратным преобразованием Фурье от спектра F (u, v) .
Отметим, что если шум равен нулю, то СПМ шума также равна
нулю, и фильтр Винера превращается в инверсный фильтр.
Когда S (u, v) и/или S f (u, v) неизвестны или не могут быть
оценены, часто используется подход, состоящий в том, чтобы аппроксимировать (5) следующим выражением:
2
2
 1

H (u, v)
~
F (u, v)  

  G (u, v) ,
2
H
(
u
,
v
)
H
(
u
,
v
)

K


(6)
где K – константа, выбираемая эвристически.
Винеровская фильтрация гораздо более эффективна, чем
инверсная фильтрация. Однако ее применение ограничено случаями, когда имеется достаточно информации об искажающей
функции H (u, v) [8].
Оптимальная фильтрация при наличии
дополнительных ограничений
Проблема необходимости априорной информации об искажающей функции является общей для методов, описанных выше.
Реализация фильтра Винера имеет дополнительную трудность −
должна быть известна информация о спектре мощности неискаженного изображения и шума. Предлагаемый алгоритм требует
знания только среднего значения и дисперсии шума. Эти параметры обычно могут быть определены по имеющемуся искаженному изображению. Кроме того, он выдает оптимальный резуль278
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
тат для каждого изображения, к которому применяется, что приводит к визуально лучшему качеству восстановления.
Запишем (1) в векторно-матричной форме следующим образом:
g  H  f  η.
Самой важной в методе является проблема чувствительности H к шуму. Влияние шума можно значительно уменьшить,
если ввести требование гладкости восстанавливаемого изображения, приняв за меру гладкости величину лапласиана [2]. Таким
образом, требуется найти минимум оценочной функции C , определяемой выражением:
M 1 N 1
C   f ( x, y )
2
x 0 y  0
с учетом ограничения:
~2
2
g  Hf  η ,
где W
2
(7)
~
 W W – евклидова норма вектора, f – оценка исход-
2 f 2 f
ного изображения, f  2  2 – лапласиан.
x
y
Решение задачи оптимизации в частотной области дается
выражением


H  (u, v)
~
F (u, v)  
G (u, v) ,
2
2
H
(
u
,
v
)


P
(
u
,
v
)


(8)
где  – параметр, который должен быть выбран так, чтобы выполнялось ограничение (7); P(u, v) – Фурье-образ функции
P( x, y) , определяемой следующим образом:
 0 1 0 
P( x, y )   1 4  1 .


 0  1 0 
279
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рассматриваем эту функцию как оператор Лапласа. Если 
равно нулю, то (8) сводится к инверсной фильтрации.
Для получения оптимального решения параметр  должен
быть выбран так, чтобы ограничение (7) было выполнено. Определим разностный вектор r как
~
r  g  Hf .
~
~
Поскольку F (u, v) и, соответственно, f есть функции от  ,
то r тоже зависит от  . Можно показать [2], что функция
(  )  r  r  r
2
является монотонно возрастающей. Очевидно, что (7) строго вы2
2
полняется при r  η . Практически используется следующее
соотношение:
r  η a,
2
2
(9)
где a – коэффициент точности.
Дальнейшая процедура вычисления  является итерационной и опирается на монотонность ( ) :
1) Определить начальное значение  ;
2
2) Вычислить r ;
3) Остановиться, если (9) выполнено. Иначе проделать шаг 2,
2
2
увеличив  , если r  η  a , или уменьшив  , если
r  η  a . Использовать новое значение  в (8) для повторно~
го вычисления оптимальной оценки F (u, v) .
Поскольку выражение для дисперсии шума на всем изображении, если оценить ее через усреднение по отсчетам, имеет вид
2
2
1 M N
( x, y)  m 2 ,
 

MN x 0 y 0
2

1
где m 
MN
M 1 N 1
( x, y ) ,

x 0 y 0
(10)
есть среднее значение, то, выполнив
280
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
преобразования в (10), получим


η  MN 2  m2 .
2
Последнее выражение означает, что можно воспользоваться
оптимальным алгоритмом восстановления, зная только среднее
значение и дисперсию шума.
На рис. 2 приведены результаты сравнения работы различных алгоритмов. Осуществлялось восстановление изображения,
искаженного смазыванием движения и аддитивным шумом
(рис. 2б).
а)
б)
в)
г)
Рис. 2. Сравнение алгоритмов: а) исходное изображение;
б) искаженное изображение; в) изображение, восстановленное
фильтром Винера; г) изображение, восстановленное
предложенным алгоритмом
281
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Выводы
Рассматриваются инверсная фильтрация и оптимальная винеровская фильтрация, главным недостатком которых является
необходимость иметь информацию о спектральных характеристиках исходного изображения и действующего в системе шума.
Это ограничивает их практическое применение. Предлагается алгоритм, основанный на решении задачи оптимизации при условии гладкости восстанавливаемого изображения. Достоинствами
алгоритма является заметно лучшее качество восстановления, а
также возможность восстановления в случае, когда известны
только среднее значение и дисперсия шума.
Список литературы
[1] Реконструкция изображений / Под редакцией Г. Старка. М.: Мир, 1992.
[2] Gonzalez R., Woods R. Digital Image Processing. Prentice-Hall, 2002.
[3] Pitas I., Venetsanopoulos A. Nonlinear Digital Filters:
Principles and Applications. - Boston, MA: Kluwer, 1990.
[4] Yin L., Astola J., Neuvo Y. A New Class of Nonlinear
Filters — Neural Filters // IEEE Trans. on Signal Processing. V. 41,
№ 3. 1999. P. 1201-1222.
[5] V. Khryashchev, Y. Bryuhanov, A. Priorov, E. Sokolenko.
Complex approach for image restoration from its phase spectrum
// Proc. of ECCOMAS 2004, University of Jyväskylä, Finland, 2004.
In CD-rom format.
[6] Zhou Y.T., Chellappa R., Jenkiens B.K., Image Restoration Using a Neural Network // IEEE Trans. on Acoustics, Speech and
Signal Processing. V. 36, 1988. P. 1141-1152.
[7] Haykin S. Adaptive Filter Theory. Prentice-Hall, Englewood Cliffs. - NJ, 1991.
[8] Majava K., Optimization-Based Techniques for Image
Restoration, Jyväskylä Studies in Computing. University of Jyväskylä,
2001.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
282
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
РЕЛЬЕФА МЕСТНОСТИ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
Е.А. Солдатова, Н.Л. Солдатова
Аннотация
В работе приведен сравнительный анализ наиболее перспективных методов моделирования рельефа местности. Методика проведения исследований основана на сравнении результатов
интерполяции цифровой модели рельефа (ЦМР) с эталонным
рельефом. За основу взята математическая модель рельефа, типичного для среднепересеченной местности с крутизной склонов
от 0,01 до 2,5 градусов. Приводятся результаты качественной и
количественной проверки полученных интерполяционных моделей. Полученные результаты могут быть полезны для дальнейших исследований влияния параметров ЦМР на точность моделирования процессов распространения электромагнитных волн.
Моделирование распространения радиоволн в приземных
трассах требует учета взаимодействия электромагнитного излучения с подстилающей поверхностью. Основным параметром
этой поверхности является рельеф местности. Существуют различные методы моделирования рельефа. Основой всех методов
является математическое представление характеристик рельефа
местности (линий уровня, значений высот на топографических
картах) путем обработки топографических материалов. Очевидно, что от выбранного метода и его параметров во многом зависит точность построения модели поверхности. Однако данный
вопрос не достаточно полно рассмотрен в известной литературе.
Целью настоящей работы является сравнительный анализ наиболее перспективных методов моделирования рельефа местности.
Существуют различные методы интерполяции поверхностей. Наиболее известными и в определенной степени базовыми
(основными) методами являются: Inverse Distance to a Power [1],
Kriging [2], Minimum Curvature [3], Modified Shepard’s Method [4],

Работа выполнена под руководством канд. техн. наук А.Н. Кренева,
консультант Е.Г. Цыганок
283
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Radial Basis Function [5], Triangulation with Linear Interpolation [6],
Nearest Neighbor [7].
В методе Inverse Distance to a Power влияние каждой конкретной точки определяется расстоянием до узла сетки, то есть ее
весом. Сумма весов в узле всегда равна единице. При совпадении
координаты точки заданного массива с координатами узлов рассчитываемой сети точке присуждается вес равный 1.0, всем остальным близкий к нулю [6].
В процессе работы метода Kriging происходит анализ направлений изогипс и объединение отдельных точек вдоль выбранных аномальных зон.
Метод Minimum Curvature рассчитывает наиболее гладкую
возможную поверхность.
Метод Nearest Neighbor используется, когда исходные данные заданы по равномерной сетке, или в случаях, где данные с
незначительными потерями величин, и эффективен для заполнения недостающих данных [7].
Метод Radial Basis Function представляет собой группу разнообразных методов интерполяции данных. Степень сглаженности поверхности определяется задаваемыми коэффициентами.
Метод Shepard в отличие от первого метода использует
квадраты расстояния, что определяет его использование для визуализации геофизических полей, интенсивность которых уменьшается пропорционально квадрату расстояния от источника.
Triangulation with Linear Interpolation работает способом
создания ближайших к узлу расчетной сети точек треугольников.
Исходные данные связываются таким образом, что никакие из
треугольников не пересекаются друг с другом [6].
Сравнительный анализ этих методов в задаче моделирования рельефа реальной местности с использованием информации о
рельефе из топографических карт (линии уровня, значения высот), показал, что наиболее предпочтительными являются методы
интерполяции Kriging и Inverse Distance to a Power, которые и
были выбраны для более детального исследования.
Все модели семейства Kriging, так или иначе сводятся к линейной регрессионной оценке:
284
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
n
V ( x)  m( x)   wi ( x)[V ( x i )  m( x i )] ,
*
i 1
(1)
где wi - весовые коэффициенты для i-й выборки, V*(x) - оценка в
точке х, m(х) и m(хi) - математические ожидания пространственных переменных V*(x) и V(xi).
Различают три типа Kriging в зависимости от модели тренда
i: простой Kriging, обычный Kriging, универсальный Kriging. Для
обработки значений высот в точках выборки, соответствующих
координатам поверхности, подходящим является метод обычного
Kriging [8]. Он имеет свойство «наилучшего линейного несмещенного оценивателя». Линейность следует из выражения (1).
Несмещенность обеспечивается условием:
R * ( x)  V * ( x)  V ( x) и ( R * ( x))  0
(2)
Термин «наилучший» означает, что веса wi в (1) выбираются так, чтобы минимизировать дисперсию:
 R2( x)  ( R * ( x) m R ( x)) 2 ,
(3)
где mR(x) - математическое ожидание. Приведем уравнения
обычного Kriging.
Оценка в точке х:
N
V ( x)   w i V ( x i ) ,
*
(4)
i 1
Вариация ошибки оценки обычным Kriging:
N
   wi  j 0  ,
*
R
(5)
i 1
где  - множитель Лагранжа, возникающий из-за условия несмещенности оценки.
Запишем систему из N +1 уравнений для метода Kriging:

N
  wi  ij   j 0,
i 1

285
j 1N
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

N
  wi 1.
i 1

(6)
где  ij - вариограмма для j -й и i-й выборки,  j 0 - вариограмма
для j-й выборки, где производится оценка. Значения измерений,
проведенных в некотором конечном множестве точек, могут быть
исследованы с точки зрения оценки разности между ними. Всевозможные пары точек, могут быть рассортированы по классам, в
соответствии с разностью их координат h = хi – хj . Для близких
точек разность значений функции в них обычно меньше, и растет
с увеличением расстояния между точками. Среднее значение
квадратов разностей значений функции для близких точек определяется по формуле:
Var V ( x  h)  V ( x)   Е (V ( x  h)  V ( x))   2 (h), x (7)
Метод Inverse Distance to a Power производит оценку в неизвестной точке, используя расстояние до ближайшей известной
точки и значение величины в этом месте. Вес в каждой выборке
обратно пропорционален расстоянию. Чем дальше точка, тем
меньший вклад она вносит в определение недостающих точек.
Z
i d ni
il
Z j
(8)
1 ,
i d n
ij
где Zi - значение переменной в известной точке, dij - расстояние
до известной точки, Zj - положение неизвестной точки, n - используемый показатель степени (обычно 1,2 или 3). В зависимости от условий полигона расстояние может быть взвешено различными способами. Если n=1, это - простая линейная интерполяция между точками. В случае n =2 близкие точки «тяжело»
взвешены, а наиболее удаленные взвешены «слегка» - пропорционально 1/d2. Было также предложено изменять веса согласно
расстоянию от данной выборки до точки, в которой необходимо
произвести интерполяционную оценку.
Методика проведения исследований основана на сравнении
2
286
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
результатов интерполяции цифровой модели рельефа (ЦМР), полученной по линиям уровня с эталонного рельефа – полигона с
эталонным рельефом.
В качестве эталонной математической модели рассматривалась матрица точек (x,y,z), заданная по квадратной сетке, при
этом шаг интерполяционной сетки был эквивалентен эталонной
матрице. Размер ячейки интерполяционной матрицы, таким образом, определялся исходя из сечения эталонной модели, не менее
20 метров, а максимальный – опытным путем до получения удовлетворительного результата в соответствии со стандартами точности топографических карт масштаба 1:200000.
Для количественной оценки методов интерполяции было
вычислено среднеквадратичное отклонение  интерполяционного значения Zи от эталонного Zэ, заданного математической моделью, рассчитываемое по формуле:

1
N
N
1
[Z i 

N
i 1
N
 (Z )]
i 1
i
2
.
(9)
Здесь поверхность ошибки
Z i Z эi Z иi ,
(10)
где Zэi - значение Zi высоты поверхности, соответствующее эталонной матрице координат XiYi,
Zui - значение Zi высоты в точках XiYi координат поверхности, полученной методом интерполяции,
Z i - разностное значение высот эталонной матрицы и значений высот поверхности интерполяции в точках XiYi координат.
N - число узлов сетки интерполяции.
По полученной поверхности ошибок было рассчитано среднеквадратичное отклонение  и распределение функции ошибки
интерполяции P(n). Зависимость среднеквадратичного отклонения  от шага интерполяции выбранных методов приведена на
рис. 1. Гистограммы распределения функции ошибки интерполяции P(n) приведены на рис. 2.
287
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 (м)
3,5
3,0
2,5
2,0
ID
Kriging
1,5
1,0
0,5
0,0
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,011,0 Шаг(1:50м)
Рис. 1. Зависимость среднеквадратичной ошибки
интерполяции от шага оцифровки для методов интерполяции
Kriging и Inverse Distance to a Power
Сравнение методов
P(n)
1
0,8
0,6
Kriging
ID
0,4
0,2
0
-7
-2
3
-0,2
Z(м)
Рис. 2. Гистограммы распределения функции ошибки
интерполяции P(n) для выбранных методов интерполяции
Kriging и Inverse Distance to a Power
288
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Анализ полученных результатов позволяет сделать выводы,
что значение среднеквадратичной ошибки в среднем в два раза
меньше для метода Kriging, чем у метода Inverse Distance to a
Power. Метод Inverse Distance to a Power также имеет некоторую
асимметрию распределения, что приводит к ошибке смещения
порядка 0,18 м.
Список литературы
[1] Franke R. Scattered Data Interpolation: Test of Some Methods // Mathematics of Computations. V. 33. № 157. 1982. P. 181200.
[2] Cressie N.A. C. The Origins of Kriging // Mathematical Geology. V. 22. 1990. P. 239-252.
[3] Briggs I. C. Machine Contouring Using Minimum Curvature
// Geophysics. V. 39. № 1. P. 39-48.
[4] Shepard D. A Two Dimensional Interpolation Function for
Irregularly Spaced Data. Proc. 23rd Nat. Conf. ACM. 1968. P. 517523.
[5] Powell M.J.D. The Theory of Radial Basis Function Approximation in 1990 (NA11). University of Cambridge Numerical Analysis Reports. DAMTP, 1990.
[6] Lee D.T., Schachter B.J. Two Algorithms for Constructing a
Delaunay Triangulation // International Journal of Computer and Information Sciences. V. 9. № 3. 1980. P. 219-242.
[7] Isaaks E.H., Srivastava R.M. An Introduction to Applied
Geostatistics. New York: Oxford University Press, 1989. 561 p.
[8] Journel A.G., Huijbregts C. Mining Geostatistics. Academic
Press, 1978. 600 p.
[9] Билич Ю.С., Васмут А.С. Проектирование и составление
карт. М., 1984. 364с.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
289
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ОЦЕНКА СКОРОСТИ ОШИБОЧНЫХ БИТОВ (BER)
В РАДИОКАНАЛАХ С ЗАМИРАНИЕМ В СИСТЕМЕ
МОБИЛЬНОЙ СВЯЗИ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО*
К.Н. Темане, К.Е. Виноградов
Аннотация
Предложен способ оценки показателя BER для различных
типов модуляции (FSK, QPSK, QAM), основанный на математическом моделировании радиоканала с замираниями методом
Монте–Карло.
Одной из ключевых характеристик, характеризующей качество радиосвязи в цифровых системах, является показатель скорости ошибочных бит (BER – Bit error rate) непосредственное
влияние на который оказывает отношение сигнал/помеха.
Канал радиосвязи между стационарной и мобильными РЭС
характеризуется быстрыми и медленными замираниями принимаемого сигнала, обусловленными многолучовостью, случайными перемещениями абонентов и рядом других факторов. Принимаемый сигнал на сигнальном интервале [0,T] для гауссовского
канала может быть представлен в виде [5]:
r  t    e j s  t   n  t  ,
(1)
где
 (t ) – ослабление амплитуды принимаемого сигнала;
s  t  – переданный сигнал;
n(t ) – гауссовский шум;
  t  – фаза принимаемого сигнала.
Учет флуктуаций фазы принимаемого сигнала достаточно
сложен, поэтому обычно полагают [5], что фаза   t  постоянна на
сигнальном интервале, что справедливо для типов модуляции:
FSK, QPSK, QAM.
Для построения математической модели радиоканала с замираниями используются различные статистические распределе*
Работа выполнена под руководством канд. техн. наук А.Н. Кренева.
290
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ния уровня принимаемого сигнала. Наиболее часто используют
распределения Релея и Райса [2]. В [3, 4] показано, что экспериментальные данные хорошо согласуются с m-распределением
Накагами.
В [1] методом Монте-Карло были получены статистические
оценки отношения сигнал/помеха с учетом медленных замираний сигнала. В данной работе проведем оценку BER на основе
статистической модели канала радиосвязи, учитывающей как
медленные, так и быстрые (релеевские) замирания, а также случайное пространственное распределение мобильных РЭС.
Отношение сигнал-шум на бит (  b )
Отношение сигнал-шум на бит (  b ), на входе приемника
можно представить в виде [5]:
b 2 
Eb
,
N0
(2)
где,
Eb – средняя энергия на бит,
N 0 – спектральная плотность шума.
В [5] приведены выражения, характеризующие зависимости
BER от  b для часто используемых в системах цифровой радиосвязи типов модуляции (табл. 1).
Таблица 1
Тип модуляции
BER
Двойная ФМ ( BPSK )
Двойная ДФМ ( DBPSK )
М-КАМ ( M  QAM )
Двойная ЧМ ( BFSK ) , при некогерентном детектировании

2
t

1
e 2 dt , x  0 .
Здесь Q  x  

2 x
291
Q

2 b

1
exp   b 
2
 3k

 4Q 
b 
 M 1

1  2b
e
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Учет эффектов медленных и быстрых замираний
Случайный процесс  dB (t ) можно представить в виде суммы
независимых случайных процессов [9]:
 dB (t )  xdB (t )  ydB (t ) ,
(3)
где
xdB (t ) характеризуется логарифмически нормальным распределением
с
плотностью
распределения
 ( xdB  xdB )2 
1
fx 
exp  
 и определяет медленно меняющуюся
2
2

2 x
x


огибающую  (t ) ;
ydB (t )
характеризуется релеевским распределением:
 ydB 2 
ydB
fy 
exp  
 2 2  и определяет быстрые флуктуации  (t ) .
y
y 

Оценка BER
Для того чтобы получить вероятность ошибки (BER), с учетом статистики  , необходимо усреднить соответствующее выражение в таблице 1 по  b с распределением p  b  [5]:

BER 
 P b  p b d b

(4)
Получение окончательного аналитического выражения для
(4) является затруднительным. В этом случае задача оценки вероятности ошибки может быть решена методом Монте-Карло. На
рис. 2 представлены основные этапы имитационного моделирования.
В качестве базового генератора последовательности псевдослучайных чисел (ГСЧ) использовался линейный когерентный
генератор [7].
292
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГСЧ
[0,1]
Получение  i 
Расчет  ib 
BERi  f  ib , модуляция i  1...N
Критерий достаточности выборки
Статистическая обработка
Расчет средней BER
Рис. 1. Алгоритм имитационного моделирования
Генерация мгновенных значений  i  проводилась на основе
выражения (3), при этом расчет параметра распределения Релея
проводился с использованием соотношения [9]  y  x /1.23 .
Оценка достаточности объема выборки проводилась в соответствии с критерием Колмогорова-Смирнова [8].
Результаты оценки (BER)
Полученная зависимость BER от отношения
Eb
для разных
N0
типов модуляции, для радиолинии точка-точка показана на рис. 2.
На рис. 3 представлены результаты оценки BER для случая равномерно распределенных мобильных РЭС в пределах окружности радиусом Rmax.
293
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2. Зависимость BER от отношения Eb/No
Рис. 3. Зависимость BER от Rmax для случая
равномерно распределенных мобильных РЭС
294
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Заключение
Предложенная методика, основанная на использовании метода Монте-Карло, позволяет оценивать значение вероятности
ошибок для систем цифровой связи, с учетом эффекта медленных
и быстрых замираний, а также с учетом случайного распределения мобильных РЭС. Решение данной задачи аналитическим методом является затруднительным.
Полученные результаты по оценке BER согласуются с результатами экспериментальных измерений для городских многолучевых каналов приведенных в [10].
Результаты работы предполагается применить при реализации статистической оценки электромагнитной совместимости РЭС
на базе многофункциональной геоинформационной системы.
Список источников
[1] Темане К.Н., Виноградов К.Е., Кренѐв А.Н. // Матер. междун. н.-т. конф. «Радиолокация, Навигация, Связь». Т. 2. Воронеж,
С. 1182-1188.
[2] Clarke R.H. // Bell Systems Technical J. 1968. Vol. 47. P. 9571000.
[3] Aulin T. // IEEE Trans. Veh. Tech. Vol. 30. Feb. 1981. P. 45-53
[4] Suzuki H. // IEEETrans. Commun. July 1977. Vol. 25. P. 673–
680,
[5] Proakis J.G. Digital communications, М: Радио и связь. 2000.
[6] Suber L., Principles of Mobile Communication. Norwell, MA:
Kluwer, 1996.
[7] Lehmer D.H. // Proc. 2nd Sympos. on Large-Scale Digital Calculating Machinery, Cambridge, MA, 1949, P. 141-146, Cambridge, MA,
1951. Harvard University Press.
[8] Виноградов К.Е., Кренев А.Н., Мазалецкий А.В.,
Темане К.Н. // Мобильные системы. 2005. № 2. С. 20-25.
[9] Parsons J.D. The Mobile Radio Propagation Channel. Second
edition. Copyright ©2000 John Wiley & Sons Ltd.
[10] M. Fitton. Principles of digital modulation. Telecommunication
Research Lab. Toshiba Research Europe Lab.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
295
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ИССЛЕДОВАНИЕ РАДИОТЕХНИЧЕСКОЙСИСТЕМЫ
С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ ПОМЕХ
В ХОДЕ КОМПЬЮТЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА*
А.С. Цицулина, Е.И. Кротова
Аннотация
Сущность эксперимента состоит в том, что на электронной
вычислительной машине многократно вырабатывается вероятностная модель наблюдаемого процесса, которая затем преобразуется в соответствии с изучаемым алгоритмом, причем результаты преобразования статистически обрабатываются с целью
определения показателей качества работы системы.
В ряде задач обработки сигналов не удается найти расчѐтные формулы, позволяющие проанализировать систему. Проведение же физического (натурного) эксперимента, как правило,
достаточно сложно и связано с большими материальными и временными затратами. В этих условиях становится незаменимым
машинный (компьютерный) эксперимент (особенно на начальном
этапе проектирования систем). Кроме того, он полезен также и в
тех случаях, когда расчѐтные формулы все же удается отыскать с
использованием тех или иных аппроксимаций. Машинный эксперимент здесь нужен для проверки правильности сделанных предположений. Сущность такого эксперимента, основанного на методе статистических испытаний – методе Монте-Карло [1] – состоит в том, что на электронной вычислительной машине
многократно вырабатывается вероятностная модель наблюдаемого процесса [2, 3], которая затем преобразуется в соответствии с
изучаемым алгоритмом, причем результаты преобразования статистически обрабатываются с целью определения показателей
качества работы системы.
Рассмотрим методику машинного эксперимента на ЭВМ в
задачах обнаружения.
*
Работа выполнена под руководством проф. И.Т. Рожкова
296
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функциональная схема проведения машинного эксперимента
показана на рис. 1: ДСЧ – датчик случайных чисел, ПСЧ – преобразователь случайных чисел ДСЧ в случайные числа с требуемым
законом распределения вероятностей, ИС – имитатор сигнала,  –
сумматор (аддитивно-мультипликативный), УО – устройство обработки (исследуемый алгоритм обнаружения - алгоритм идентификации вида распределения случайного процесса).
ДСЧ

ПСЧ
УО
ИС
Рис. 1 Функциональная схема машинного эксперимента
1. Датчик случайных чисел
Для работы ДСЧ нужна та или иная стандартная программа
случайных чисел. Как правило, такая программа выдаѐт числа,
равномерно распределѐнные на отрезке [0,1]. В данной модели
ДСЧ реализуется посредством стандартной процедуры языка
программирования высокого уровня.
2. Преобразователь случайных чисел ДСЧ в случайные
числа с требуемым законом распределения
2.1 Метод обратного преобразования
Один из основных элементов статистического моделирования - это получение с помощью ЭВМ случайных величин с различными законами распределения. По сути, такая процедура эквивалентна реализации выборки значений стохастического процесса через заданные интервалы времени.
В качестве одного из стандартных приемов генерации случайных чисел часто применяется так называемый метод обратного преобразования. Он базируется на возможности использования
значений равномерно распределѐнной величины.
297
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Пусть необходимо осуществить генерацию случайной величины х, имеющую на интервале от а до b плотность вероятности
p(x). Очевидно, что интегральная функция распределения для x
определяется соотношением:
b
F x    p x dx  .
(1)
a
Для равномерно распределенной случайной величины y
плотность вероятности имеет вид:
1,
p y   
0,
0  y 1
y  0, y  1
(2)
Если ввести формальную замену F(x)=y, то функция F(х)
будет также равномерно распределена на отрезке [0,1], а искомая
величина будет определяться с помощью обратного преобразования x=F1(y). Очевидно, что
dF=dy=p (y)dy .
(3)
dF/dx=p(x),
(4)
dF(x)=p(x)dx=p(y)dy,
(5)
С другой стороны,
и, следовательно,
откуда и следует, что величина х распределена с искомой плотностью вероятности p(x).
Последовательность шагов при генерации в соответствии с
методом прямого преобразования следующая:
1. Генерируется случайное число у;
2. С помощью обратного преобразования находится соответствующее значение x.
3. Повторение N раз пунктов 1 и 2 позволяет получить выборку из N значений случайной величины х.
298
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. Виды стационарных случайных процессов,
используемых в модели
Рассмотрим некоторые типичные, часто встречающиеся
распределения и их реализацию по методу обратного преобразования. При этом будем считать, что средние значения равны нулю.
1. Арксинусное распределение
1  A2  x 2 , x  A,
p А x   
(6)
0,
x  A.

Реализация по методу обратного преобразования имеет вид
1 
 
x  A sin   y   , 0  y  1 .
(7)
2 
 
Арксинусное распределение имеет синусоидальный сигнал.
К такой функции можно прийти, рассматривая синусоиду как
случайный стационарный процесс с равномерно распределенной
начальной фазой.
Реальные сигналы могут иметь распределение, существенно
отличающееся от арксинусного, например нормальное. Поэтому
искажения этих сигналов будут существенно отличаться от искажений синусоиды.
2. Нормальное распределение
1
pН x  
ex
2
2
/ 2 2
,  x 
(8)
Реализация по методу обратного преобразования имеет вид
1

x    1  y   , 0  y  1 ,
(9)
2

где  1 - обратная функция Лапласа.
Нормальное распределение имеют многие шумоподобные
сигналы, обусловленные совместным действием большого числа
независимых факторов. Сравнивая (6) и (8), видим, что нормальное распределение в некотором смысле является противоположным арксинусному. Первое распределение отлично от нуля на
299
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
всей области определения и имеет единственный максимум, второе – финитно и имеет единственный минимум.
3. Лапласовское распределение
pЛ 

2
exp   x ,    x   ,   0.
(10)
Реализация по методу обратного преобразования имеет вид
1
 1
ln
2
y
,
0

y

;
 
2
x
(11)
1
1
 ln 2  2 y ,
 y  1.
2
 
Лапласовское распределение имеют, например, импульсные
помехи.
4. Равномерное распределение
1 / b, x  b / 2,
p р x   
(12)
x  b / 2.
 0
Реализация по методу обратного преобразования имеет вид
1

x  b y   , 0  y  1 .
2

(13)
Распределение, близкое к равномерному, могут иметь, например, сигналы, передающие телеметрическую информацию,
особенно если в ней отсутствует избыточность, поскольку равномерное распределение обладает максимальной неопределѐнностью.
5. Экспоненциальное распределение
 1   xmm 

pЭ  x    m e
 0,
x  m,
x  m.
(14)
Реализация по методу обратного преобразования имеет вид
 1 
x  m ln 
  m , 0  y  1 .
(15)
1

y


Экспоненциальному распределению подчиняется, например,
квадрат огибающей нормального случайного процесса, т.е. сигнал на выходе квадратичного амплитудного детектора.
300
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Релеевское распределение


2
x    /2
 x    /2
exp
, x  

2
2


2



pР x  

0,
x  


2

2
(16)
.
Реализация по методу обратного преобразования имеет вид
 1 

x   2 ln 
, 0  y  1.
  
1

y
2


(17)
Такое распределение имеют сигналы на выходе линейных
амплитудных детекторов при действии на их входе нормального
процесса.
Вывод
Моделирование на ПЭВМ генератора случайных процессов
показало, что на компьютере невозможно реализовать полностью
случайный процесс, что обусловлено дискретным представлением чисел, описывающих аналоговую величину. Модель реального случайного процесса на компьютере – это всегда псевдослучайная последовательность, напрямую зависящая от способа
еѐ формирования, а также от частоты процессора.
Список литературы
[1] Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы.
М., Наука, 1971. 178 с.
[2] Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической
радиотехнике. М., Сов. Радио, 1971. 331 с.
[3] Валеев В.Г., Сосулин Ю.Г. Многоканальный прием сигналов на фоне помех при негауссовых распределениях наблюдаемых данных: В 2-х ч. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1970. № 2, 4.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
301
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ИССЛЕДОВАНИЕ СРЫВА СЛЕЖЕНИЯ ЦЕПИ
КАСКАДНО СИНХРОНИЗИРУЕМЫХ ГЕНЕРАТОРОВ*
В.Г. Шушков
Аннотация
Введено понятие времени до срыва слежения для цепи каскадно синхронизируемых генераторов, исследованы зависимости
среднего времени до срыва слежения от параметров системы при
различных шумовых воздействиях, предложены способы оптимизации цепи с точки зрения максимального времени до срыва слежения.
Введение
Появление цифровых технологий передачи данных, таких
как SDH/SONET, потребовало срочного принятия мер по созданию средств синхронизации сетей. В итоге для обеспечения каждого узла сети надѐжным синхросигналом было решено использовать сети синхронизации. В основе сетей синхронизации лежит
цепь последовательно соединенных синхронизируемых генераторов. В таких сетях синхросигнал, генерируемый опорным генератором, в качестве которого применяют, как правило, различные
стандарты частоты, используется в ведомых устройствах синхронизации для генерации синхросигнала с помощью фазовой автоподстройки частоты. Различные источники шума искажают передаваемый по сети синхросигнал, что может повлечь за собой выход ведомых генераторов из состояния синхронизма.
Одним из наиболее важных параметров цепи ведомых генераторов является время до срыва слежения. В данной работе проведено исследование зависимости времени до срыва слежения от
параметров синхронизируемых генераторов и видов воздействий
на них. Сначала рассматривается одна ячейка в виде кольца
ФАПЧ, исследуется еѐ поведение при различных шумовых воздействиях. Далее исследуется цепь из трѐх каскадно-соединенных генераторов.
*
Работа выполнена под руководством проф. Л.Н. Казакова.
302
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Функциональная схема синхронизируемого генератора
Рис. 1. Функциональная схема синхронизируемого генератора
Функциональная схема синхронизируемого генератора на
основе импульсного кольца ФАПЧ приведена на рис. 1, где использованы следующие обозначения:  k - входной частотный
шум,   nk - входной аддитивный шум, пересчитанный на выход
фазового детектора,   ( Ac ) 1 , Ac -амплитуда входного сигнала,
 k - собственный шум ПГ.
– ФНЧ, коэффициент передачи
которого в общем виде определяется (1)
K (z )
K ( z) 
a1  z  a0
zd .
(1)
Поведение системы описывается системой стохастических
уравнений (2)
 k 1   k  xk  1  F ( k )  T  ( k   k )  1  nk


, (2)
 xk 1  d  xk  ( 1  d   0 )  F ( k )  (1  d   0 )  nk  T  (1  d )  
1  T  E  Su  a1 ,
1  T  Su    a1 ,
 0  T  E  Su  a0 ,
 0  T  Su    a0 .
Система является марковской, а потому для еѐ описания применимо уравнение Колмогорова-Чепмена
где
303
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Wk 1 (Q) 

 
 
q
(
Q
Z
)

W
(
Z
)dZ ,
k

(3)

 

где Wk (Z ) - ПРВ фазовой ошибки на k -м шаге, q(Q Z ) - услов-
ная ПРВ перехода из точки ( k , xk ) в точку ( k 1 , xk 1 ) .
Математическое описание цепи каскадно синхронизируемых генераторов
T
T
Рис. 2. Цепь каскадно синхронизируемых генераторов
Для применения уравнения КЧ для k -го звена необходимо
найти ПРВ частотных флуктуаций на выходе (k  1) -го. Добавим в
(2) уравнение
 kш.1вх   kш.вх  T  k .
(4)
Система уравнений примет следующий вид
 k 1   k  xk  1  sin  k  T  ( k   k )   1  nk


 x k 1  d  x k  ( 1  d   0 )  sin  k  ( 1  d   0 )  nk  T  (1  d )   .(5)

 kш.1вх   kш.вх  T  k

Уравнение КЧ в этом случае имеет вид

Wk 1 (Q1 , Q2 , Q3 ) 
 q(Q , Q , Q
1
2
3
Z1 , Z 2 , Z 3 )  Wk ( Z1 , Z 2 , Z 3 )dZ1dZ 2 dZ 3 , (6)

ш.вх
ш.вх
где (Q1 , Q2 , Q3 )  ( k 1 , xk 1 ,  k 1 ) , (Z1 , Z 2 , Z 3 )  ( k , xk ,  k ) .
304
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Введем обозначения
 kвых   kш.вх   k ,
(7)
вых
T~k   kвых
1   k .
(8)
С учетом (7, 8) совместная ПРВ будет иметь вид
ш.вх
W( k 1 ,xk 1 ,kш.вх
,

,x
,

)
1
k
k
k
ш.вх
ш.вх
 q( k 1 ,xk 1 ,kш.вх

,x
,

)

W(

,x
,

)
1
k
k
k
k
k
k
.
(9)
В соответствии с (9) совместная ПРВ выходной фазы в соседние моменты времени примет вид
вых
W( kвых
)
1 , k
   

    W( 
k 1
,xk 1 ,k 1  
вых
k 1
,k ,xk ,k  
вых
k
)dk dk 1dxk dxk 1
.(10)
   
Интегрируя (10) с учетом (8) получаем ПРВ выходных частотных флуктуаций на k -м шаге

~
W (T~k )   W ( kв ых  T~k ,  kв ых )d kв ых .

(11)
ПРВ выходных часотных флуктуаций (11), полученная для
n-го звена, может использроваться в качестве ПРВ входного частотного шума для (n + 1)-го.
Методика расчета среднего времени до срыва слежения
Под срывом слежения понимается резкое изменение (скачок)
фазовой ошибки на величину кратную периоду характеристики
ФД. Срыв наступает вследствие шумовых воздействий на кольцо, которые переводят систему из одного состояния равновесия в
305
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
другое. Задача определения среднего времени до срыва слежения
сводится к определению времени, за которое система достигнет
некоторых границ на фазовой плоскости.
Для определения среднего времени до срыва слежения перейдем от двумерной ПРВ к одномерной с помощью интегрирования по одной из координат

Wk ( )   Wk ( , x)dx .
(12)

Вероятность того, что система выйдет за границы
шаге равна
Pk 
L
 W
k 1

 L
на k -м
( )  Wk ( )d .
(13)
L
Для получения среднего числа тактов до достижения срыва
необходимо произвести усреднение

 c   kPk 
k 1
L

  k W

k 1
k 1
L
( )  Wk ( )d  1 
L

 W

L
k 1
k
( )d . (14).
В (14) было использовано следующее выражение
L
L
 W ( )d    ( )d  1 .
(15)
0


L
L
1000
c
c
600
a1=0.9
900
a1=0.7
500
a1=1.1
a1=1.1
800
a1=1.5
a1=1.2
700
400
600
300
500
400
200
300
200
100
а
Su
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
100
б
0
0,29
Su
0,34
0,39
Рис. 3. Зависимость  c от крутизны ПГ для частотного (а)
и аддитивного (б) воздействий
306
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
На рис. 3 приведены полученные с помощью (14) графики зависимости  c от крутизны ПГ для частотных (nk  0) и аддитивных ( k   k  0) флуктуаций. Поведение графиков объясняется
фильтрующими свойствами кольца. Для входного частотного
шума по отношению к фазовой ошибке кольцо с интегратором на
входе является ПФ. С ростом крутизны ПГ полоса ПФ сужается,
однако усиление в кольце при этом растѐт. Этим объясняется наличие максимума на рис. 3а. Для аддитивного воздействия кольцо по отношению к фазовой ошибке является ФНЧ, полоса которого с ростом крутизны ПГ становится шире, что объясняет монотонность графика на рис. 3б. Соответствующие АЧХ
представлены на рис. 4, 5.
Рис. 4 АЧХ кольца для входных частотных флуктуаций
Рис. 5. АЧХ кольца для входного аддитивного воздействия
На рис. 6 приведены зависимости среднего времени до срыва
слежения от крутизны ПГ в случае комбинированных воздействий. В данном случае характер графиков определяется уровнями
307
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
всех трех шумовых воздействий. При достаточно высокой аддитивной помехе максимум на графике пропадает, и ситуация становится похожей на рис. 3б.
600

c
а
500
400
б
300
в
200
100
Su
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
Рис. 6. Зависимость  c от крутизны ПГ
при комбинированном воздействии
для  n2 =0.2(a), 0.3(б), 0.5(в) при  n2 =0.2,  2 =0.1
Рис. 7 позволяет сравнить виды периодической нелинейности
фазового детектора с точки зрения времени до срыва слежения.
Согласно рисунку при малой крутизне ПГ синусоидальная характеристика дает лучший результат, при большой крутизне выигрывает характеристика «пила». Объясняется такое поведение
графиков большей крутизной ФД для характеристики «синус»,
чем для двух других характеристик.
600

c
СИНУС
500
ПИЛА
400
ТРЕУГ
300
200
100
Su
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Рис. 7. Зависимость  c от крутизны ПГ при различных
нелинейностях фазового детектора
308
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Оптимизация цепи каскадно соединенных
синхронизируемых генераторов
Рассмотрим цепь из трех каскадно синхронизируемых генераторов. Будем оптимизировать звенья этой цепи с точки зрения
максимального времени до срыва слежения. Генераторы могут
быть либо идентичными, либо различными. В первом случае
структура называется гомогенной, во втором случае будем называть цепь последовательной. Следует также определиться в понятии времени до срыва слежения в цепочке синхронизируемых генераторов. Будем понимать под временем до срыва цепи минимальное время до срыва среди всех ячеек структуры, а под
временем до срыва i-го звена - время до срыва в звене с номером i
от начала цепи. Рассмотрим случаи гомогенной и позвенной оптимизации цепи синхронизируемых генераторов на примере трех
ячеек.
600

c
Г1, П1
Г2
500
Г3
П2
400
П3
300
200
100
Su
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Рис. 8. Зависимость  c от крутизны ПГ для трех каскадно
синхронизируемых генераторов при  2 =0.2,  n2 =0.2,  2 =0.1
309
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
600

c
Г1, П1
500
Г2
Г3
П2
400
П3
300
200
100
Su
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Рис. 9. Зависимость  c от Su для трех каскадно
синхронизируемых генераторов при  2 =0.3,  n2 =0.2,  2 =0.1
На рис. 8 изображены зависимости  c от Su для гомогенной
(пунктирной линией) и последовательной (сплошной линией) цепей из трех ячеек. На рис. 9 приведены те же зависимости, но для
случая большей дисперсии входного частотного шума. Также на
рисунках введены следующие обозначения: Г – гомогенная цепь,
П – последовательная цепь; цифрами обозначены номера ячеек
этой цепи. Согласно рис. 8, в случае позвенной оптимизации
время до срыва слежения цепи полностью определяется временем
до срыва третьего звена. Если же цепь является гомогенной, то
для Su  0.2 срыв происходит раньше в первом звене, а для
Su  0.2 - в третьем. Рис. 8 показывает, что в данном случае оптимизация цепи, как гомогенной структуры, выигрывает у позвенной оптимизации при выборе Su  0.2 . В ситуации, изображенной на рис. 9, позвенная оптимизация оказывается предпочтительней.
Заключение
В работе проведено исследование времени до срыва слежения, являющегося одним из наиболее важных параметров в сетях
синхронизации. На основе аппарата марковских процессов получены выражения, позволяющие вычислять время до срыва слеже310
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ния для кольца ФАПЧ, являющегося основой синхронизируемых
генераторов. Исследованы зависимости среднего времени до
срыва слежения от различных параметров звена в случае частотных, аддитивных и комбинированных воздействий. Показано, что
для ситуации комбинированных воздействий возможно существование оптимальной крутизны ПГ, при которой время до срыва
слежения максимально. Введено понятие времени до срыва слежения цепи ячеек на основе колец ФАПЧ. Предложены методы
позвенной оптимизации цепи и оптимизации гомогенной структуры каскадно синхронизируемых генераторов. Результаты показывают, что один вид оптимизации лучше другого только для определенных видов и уровней шумовых воздействий на цепь синхронизируемых генераторов.
Список литературы
[1] Казаков Л.Н., Башмаков М.В. Математические модели
стохастических цифровых систем фазовой синхронизации. Ярославль, 2001.
[2] Казаков Л.Н., Якимов И.М. Оптимизация цепи последовательно синхронизируемых генераторов различных уровней
// Цифровая обработка сигналов и ее применение: Сборник докладов 6-й международной конференции, 31 марта – 2 апреля
2004 г. М., 2004. Т. 2. С. 222-225.
[3] Брени С. Синхронизация цифровых сетей связи. М.:
Мир, 2003.
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
311
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Научное издание
Актуальные проблемы физики
Сборник научных трудов
молодых ученых, аспирантов и студентов
Выпуск 5
Редактор, корректор А.А. Аладьева
Компьютерная верстка И.Н. Ивановой
Подписано в печать 25.11.05. Формат 60х84/16.
Бумага тип. Усл. печ. л. 18,1. Уч.-изд. л. 9,2.
Тираж 100 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе ЯрГУ.
Ярославский государственный университет.
150000, Ярославль, ул. Советская, 14.
Отпечатано
ООО «Ремдер» ЛР ИД № 06151 от 26.10.2001.
г. Ярославль, пр. Октября, 94, оф. 37 тел. (0852) 73-35-03.
312
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
200
Размер файла
6 660 Кб
Теги
актуальные, физики, выпуск, ученых, молодым, научный, трудове, аспирантов, сборник, 1606, проблемы, студентов
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа