close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1621.Моделирование и анализ информационных систем Т 15 №2-2008

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ISSN 1818-1015
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет
имени П.Г. Демидова
МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ
ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ
Том 15
№2
2008
Основан в 1999 г.
Выходит 4 раза в год
Свидетельство о регистрации №019209 от 16.08.99
Государственного Комитета Российской Федерации по печати
Главный редактор
В. А. Соколов
Редакционная коллегия
О. Л. Бандман, В. А. Бондаренко, И. Б. Вирбицкайте, С. Д. Глызин (зам. гл. ред.),
М. Г. Дмитриев, А. В. Зафиевский, Л. С. Казарин, Ю. Г. Карпов, С. А. Кащенко,
А. Ю. Колесов, И. А. Ломазова, В. В. Майоров, В. Э. Малышкин, В. А. Непомнящий
Ответственный редактор выпуска
С. Д. Глызин
Ответственный секретарь
Е. А. Тимофеев
Адрес редакции: 150000, Ярославль, ул. Советская, 14
E-mail: mais@uniyar.ac.ru
Научные статьи в журнал принимаются по электронной почте и на
кафедре теоретической информатики Ярославского государственного университета. Статьи должны содержать УДК, аннотации на русском и английском языках и сопровождаться набором текста в редакторе LaTEX.
c
°Ярославский
государственный
университет, 2008
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
Моделирование и анализ информационных систем. Т.15, №2. 2008
О синхронизации в нейронной сети на основе импульсной модели нейрона
Богомолов Ю. В.
3
Об устойчивости решений некоторых уравнений из класса
адиабатических осцилляторов
Нестеров П. Н.
10
Явление буферности в уравнениях с запаздыванием
Сандуляк Д. В.
18
Проблемы статистической оценки экономических явлений
Спиридонова Е. М.
26
Буферность в уравнениях второго порядка с большим запаздыванием
Кащенко И. С.
31
Особенности динамики модели Ланга – Кобаяши
в одном критическом случае
Глазков Д. В.
36
Верификация синхронно-автоматных программ с использованием LTL
Кубасов С. В.
46
Бифуркации однородного цикла обобщенного кубического уравнения
Шредингера в треугольнике
Куликов Д. А.
50
Релаксационные колебания в простейших моделях с запаздыванием
Кащенко С. А., Полстьянов А. С.
55
Поправка к периоду решения уравнения, моделирующего динамику
мембранного потенциала нейрона
Майоров В. В., Мячин М. Л., Парамонов И. В.
61
Параметрическое возбуждение хаотических колебаний
в одном дифференциальном уравнении второго порядка
с запаздывающим аргументом
Кубышкин Е. П., Коверга А. Ю.
67
Многообходные аттракторы в системе двух и трех диффузионносвязанных нейронов, описываемых уравнениями с запаздыванием
Кащенко С. А., Майоров В. В., Мячин М. Л.
72
Динамика взаимодействия пары осцилляторов нейронного типа
Глызин С. Д., Киселева Е. О.
75
Динамика параболического уравнения с малой диффузией
и отклонением пространственной переменной
Кащенко Д. С., Кащенко И. С.
89
О работе семинара "Нелинейная динамика"
Редактор А.А.Аладьева
Подписано в печать 27.06. 2008. Формат 60х841 /8 . Печать офсетная.
Усл.печ.л. 11,43. Уч.-изд.л. 10,1 . Тираж 500 экз.
Отпечатано на ризографе. Ярославский государственный университет имени
П.Г. Демидова, 150 000, Ярославль, ул.Советская, 14
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модел. и анализ информ. систем. Т.15, №2 (2008) 3–9
УДК 517.929.4
О синхронизации в нейронной сети
на основе импульсной модели нейрона
Богомолов Ю.В.
Ярославский государственный университет,
150 000, Ярославль, Советская, 14
e-mail: yurik232@mail.ru
получена 8 октября 2007
Аннотация
Проводится анализ процессов синхронизации в нейронных сетях из двух нейронов-автогенераторов
на основе импульсной модели с различными типами связи.
Введение
Имитирующие структуру мозга и нервной системы разнообразные модели нейронных сетей находят
самые широкие применения. Основанные на биологических предпосылках нейронные сети позволяют смоделировать происходящие в нервной системе процессы и выдвинуть гипотезы о нейрофизиологических
механизмах когнитивных процессов (внимания, памяти). При этом важную роль играют процессы образования и разрушения ансамблей синхронно работающих нервных клеток (нейронов), моделированию
которых будет уделено особое внимание в работе.
В работе моделируются две нейронные сети с различными типами взаимодействия. В ходе моделирования за основу взята предложенная в [1] импульсная модель нейрона-автогенератора, описываемая дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом. На основе данной модели нейрона, с учетом
биологических данных о наличии в мозге замкнутых кольцевых структур, а также гипотезы об организации кратковременной памяти на основе синхронно работающих нейронных ансамблей, в качестве адекватного объекта изучения рассматриваются процессы синхронизации в системе из двух взаимодействующих
нейронов схожей структуры. При этом в ходе вычислительного эксперимента выявляются параметры, при
которых в рассматриваемых моделях нейронных сетей на основе импульсной модели нейрона происходят
процессы синхронизации и десинхронизации. С учетом отмеченной в [8] ключевой роли синхронизации
в деятельности нейронных ансамблей с малым количеством нейронов и связи механизмов реализации
когнитивных процессов (память, внимание) с возникновением ансамблей синхронно функционирующих
нейронов [4, 9] это позволяет интерпретировать данные процессы как аналоги процессов запоминания и
забывания в биологических нейронных сетях.
Статья состоит из нескольких разделов. В первом из них дается описание математической модели
исследуемых сетей на основе импульсной модели нейрона. Необходимые биологические комментарии приводятся во втором разделе статьи. Исходная модель функционирует в непрерывном времени, однако в
ходе численного анализа рассматривается ее дискретизация, пояснения по реализации которой даны в
третьем разделе. Там же описывается общая схема вычислительного эксперимента. В четвертом разделе
статьи приводятся начальные условия и параметры рассматриваемых сетей, производится обоснование
их адекватности моделируемым биологическим системам. В ходе численного анализа отмечено наличие
параметров, при которых имеет место синхронизация импульсной активности нейронов в рассматриваемых моделях. Также выявлены условия, при которых отмечена неустойчивость синхронного режима в
данных нейронных сетях (распад нейронного ансамбля). Результаты анализа приводятся в пятом разделе
статьи. В заключении дается биологическая интерпретация отмеченных в модели процессов как аналогов
процессов запоминания и забывания в естественной нервной системе.
1.
Математическая модель нейронной сети
В данном разделе будет дано формальное описание рассматриваемой импульсной модели нейронной сети.
Основным элементом биологической нейронной сети является нейрон (нервная клетка), способный к
генерации импульсов (возможно, под внешним воздействием). Состояние нейрона характеризуется изменяющимся во времени мембранным потенциалом. В работе [1] предложена модель нейрона на основе
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом, с высокой степенью биологической адекватности описывающая динамику мембранного потенциала нейрона (импульсная модель):
u̇(t) = λ (−1 − fN a (u(t)) + fK (u(t − 1))) u(t).
(1)
Здесь u(t) — мембранный потенциал нейрона, fN a и fK — достаточно гладкие положительные функции,
сходящиеся к 0 при u → ∞ быстрее, чем u−(1+γ) (γ > 0), параметр λ À 1.
Также в соответствии с [1] будем предполагать выполнение некоторых условий, наложенных на параметры:
α = fK (0) − fN a (0) − 1 > 0,
α1 = fK (0) − 1 > 0,
(2)
α2 = fN a (0) + 1 > 0.
Необходимые биологические пояснения будут даны во втором разделе статьи.
Опишем условия, накладывающиеся на выбор начальных функций. Пусть C[−1, 0] — пространство
непрерывных на [−1, 0] функций, S ⊂ C[−1, 0] — подмножество функций ϕ(x) таких, что
0 < ϕ(s) 6
1 λα s
e2
λ
(3)
при s ∈ [−1, 0] (в соответствии с этим условием будут выбираться начальные функции для анализируемой
нейронной сети). Обозначим через uϕ (t) решение уравнения (1) с начальным условием uϕ (s) ≡ ϕ(s) (при
s ∈ [−1, 0]). В [2] показано, что при выполнении данных условий существует периодическое решение
уравнения (1) (функция ϕ0 (s) ∈ S и положительное число T , такие, что uϕ0 (s + T ) ≡ ϕ0 (s) при всех
значениях s ∈ [−1, 0]). Ранее в [3] было предложено доказательство устойчивости данного периодического
решения u(t) (при λ À 1).
На основе описанной выше импульсной модели нейрона в данной статье рассматриваются две модели
нейронной сети в соответствии с предложенными в [1] различными видами взаимодействия (биологическое
обоснование и интерпретация параметров будут предложены в следующем разделе):
1. Взаимодействие на основе модели электрического синапса (диффузная связь). В этом случае нейронная сеть описывается системой следующих уравнений:
u˙1 (t) = λ (−1 − fN a (u1 (t)) + fK (u1 (t − 1))) u1 (t) + d(u2 − u1 ),
u˙2 (t) = λ (−1 − fN a (u2 (t)) + fK (u2 (t − 1))) u2 (t) + d(u1 − u2 ),
(4)
где через u1 (t) и u2 (t) обозначены мембранные потенциалы нейронов. Параметр d > 0 (показатель диффузии) в данном случае определяет выраженность связи между нейронами.
2. Взаимодействие на основе модели химического синапса (медиаторное взаимодействие). Cостояние
нейронной сети может быть описано следующей системой уравнений:
u˙1 (t) = λ (−1 − fN a (u1 (t)) + fK (u1 (t − 1)) + d1 H(u1 )Θ(u2 − 1)) u1 (t),
u˙2 (t) = λ (−1 − fN a (u2 (t)) + fK (u2 (t − 1)) + d2 H(u2 )Θ(u1 − 1)) u2 (t),
(5)
где Θ(s) — функция Хэвисайда (0 при s < 0, 1 при s > 1), H(u) = Θ(1 − u(t))Θ(1 − u(t − h))Θ(u(t) − u? ).
Здесь будем предполагать, что d1 и d2 положительны.
2.
Биологическое обоснование и интерпретация параметров
Ниже будут представлены необходимые биологические данные о моделируемой естественной нервной системе, а также прокомментировано соответствие рассматриваемых моделей нейронных сетей биологическим прототипам.
1. Биологическая нервная клетка (нейрон) имеет достаточно сложную структуру, здесь мы отметим
принципиальные особенности строения и механизмов функционирования. Ограниченный полупроницаемой для ионов мембраной биологический нейрон состоит из центральной части (тела) и отходящих от
него отростков (дендритов и древовидного аксона). Динамика нейрона характеризуется мембранным потенциалом (разностью потенциалов между поверхностями мембраны нейрона), который характеризует
состояние нейрона. Изменение разности мембранного потенциала вызвано обменом различными видами
ионов (среди которых особо отмечают положительно заряженные ионы калия и натрия) между телом
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О синхронизации в нейронной сети...
5
нейрона и внешней средой (межклеточным пространством) через мембрану. Проницаемость мембраны
для различных ионов меняется во времени, что, в частности, обусловливает сложный характер динамики
мембранного потенциала.
2. На основе экспериментальных биологических данных об особенностях ионного обмена в нервной
клетке в работе [1] предложена описанная выше модель (1). В данной модели функции fN a и fK описывают соответственно величины натриевой и калиевой проводимости мембраны (состояние натриевых
и калиевых каналов, переносящих ионы через мембрану). При этом калиевый ток запаздывает по отношению к натриевому, величина запаздывания принята за единицу времени. Параметр λ в уравнении (1)
характеризует скорость восстановления мембранного потенциала.
Нейрон способен к генерации высокоамплитудного импульса короткой продолжительности (спайка),
выражающегося в резком увеличении мембранного потенциала при соблюдении некоторых условий с последующим его быстрым падением (данное свойство обеспечивается положительностью параметра α в
описанных ранее условиях (2)). Параметры α1 и α2 определяют скорость изменения мембранного потенциала на различных временных промежутках. Таким образом, параметры модели имеют адекватную
биологическую интерпретацию и обеспечивают соответствие поведения мембранного потенциала в рассматриваемой модели нейрона естественным нейрофизиологическим процессам. В работах [1, 2] отмечено
соответствие динамики данной (импульсной) модели нейрона импульсной активности биологического прототипа.
3. Накопленные во второй половине XX века нейрофизиологические данные о функционировании головного мозга позволили сделать выводы о связи механизмов процессов внимания и памяти с характерными особенностями динамики групп (ансамблей) нейронов. В биологических нейронных сетях синхронизация импульсной активности является естественным процессом и возникает уже для пары взаимодействующих нейронов [8]. В работах [4, 9] отмечается ведущая роль образования ансамблей синхронно
(когерентно) функционирующих нейронов в процессах запоминания, возникновение ансамблей с синхронизированной импульсной активностью отмечено при исследовании процессов восприятия [8]. С учетом
отмеченной в [1, 2] адекватности импульсной модели нейроподобного элемента биологическому нейрону есть основания предполагать аналогичные синхронизационные процессы в рассматриваемых моделях
(системы (4) и (5)) нейронной сети и интерпретировать синхронизацию нейронов в модели как модель
простейших нейрофизиологических процессов в нервной системе животных.
4. Взаимодействие нейронов (обмен импульсами) основывается на различных механизмах, среди которых в качестве основных выделяют [10] электрическое синаптическое взаимодействие (диффузионная
связь) и взаимодействие на основе химического синапса. Математическая модель сетей с такого рода
типами связи описана выше (системы (4) и (5) соответственно).
В случае связи на основе электрического синапса (система (4)) показатель взаимодействия между
нейронами пропорционален разности мембранных потенциалов нейронов, воздействие предполагается в
некотором смысле симметричным (величина воздействия второго нейрона на первый равна по модулю и
противоположна по знаку обратному воздействию).
Для взаимодействия на основе химического синапса (система (5)) результаты анализа механизмов воздействия с помощью особого класса химических веществ (нейромедиаторов) потребовали учета некоторых
особенностей поведения нейронов. В данном случае отмечено, что в период генерации высокоамплитудного спайка (импульса) нейромедиатор не оказывает влияния на нейрон-приемник (следовательно, нейрон
невосприимчив к внешнему воздействию). Также выявлена относительная невосприимчивость приемника к медиаторному воздействию через некоторое время после спайка и в ситуации деполяризации (при
малых значениях собственного относительного мембранного потенциала). Параметры d1 и d2 в модели
(5) задают величину синаптической связи от второго нейрона к первому и соответственно от первого ко
второму, множитель Θ(u − 1) является индикатором присутствия особого вещества (нейромедиатора),
обеспечивающего передачу импульса, функционал H(u) обеспечивает невосприимчивость к воздействию
со стороны парного нейрона при малых (ниже установленного u? ) значениях собственного мембранного
потенциала, а также в период генерации спайка и через заданное время h после его окончания.
В соответствии с описанными выше условиями в разделе 4 будут предложены наборы параметров, для
которых производился численный анализ модели.
3.
Дискретная модель сети
Отметим особенности дискретной реализации нейронной сети, построенной на основе описанной выше
модели, и опишем постановку вычислительного эксперимента.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
В ходе вычислительного эксперимента для исследования систем уравнений (4) и (5), описывающих
динамику нейронных сетей, использовался явный метод Эйлера для уравнения с запаздыванием с постоянным шагом, выбор шага осуществлялся с использованием критерия Рунге (для заданной погрешности).
Также в ходе вычислительного эксперимента для численного интегрирования данной системы использовался метод Дормана – Принса [6] четвертого порядка (при этом мелкость разбиения уменьшалась в 10
раз для итеративного нахождения промежуточных значений функции), в ходе чего результаты не претерпели принципиальных различий по сравнению с рассмотренным методом, однако наблюдался ожидаемый
резкий проигрыш в отношении скорости работы, поэтому для анализа системы нейронов использовался
метод Эйлера.
Исследуется система из двух нейронов, состояние которых описывается парой (u1 (t), u2 (t)) (значения
мембранных потенциалов двух нейронов). Функции (u1 (t), u2 (t)) рассматриваются на некоторой решетке:
1
, набор
единичный временной отрезок разбивается на m одинаковых отрезков узлами с шагом h =
m
значений (u1 (t), u2 (t)) в рассматриваемых узлах разбиения отражает состояние мембранного потенциала
соответственно первого и второго нейрона на отрезке длиной 1.
При анализе сети с моделью взаимодействия на основе электрического синапса очередные значения
состояния системы пересчитываются следующим образом:
uk+1
= uk + λ(−1 − fN a (uk1 ) + fK (uk+1
))uk1 + d(uk2 − uk1 ),
1
1
uk+1
= uk + λ(−1 − fN a (uk2 ) + fK (uk+1
))uk2 + d(uk1 − uk2 ),
2
2
(6)
(индексы рассматриваются по модулю m). Данные рекуррентные соотношения можно рассматривать как
дискретный аналог уравнений (4).
В случае анализа системы на основе химического синапса пересчет очередного состояния осуществлялся в соответствии со следующими соотношениями (их можно считать дискретным аналогом уравнений
(5)):
uk+1
= uk + λ(−1 − fN a (uk1 ) + fK (uk−m
) + d1 Θ(1 − uk1 )Θ(1 − uk−c
h)Θ(uk1 − u? )Θ(uk2 − 1))uk1 ,
1
1
1
uk+1
= uk + λ(−1 − fN a (uk2 ) + fK (uk−m
) + d2 Θ(1 − uk2 )Θ(1 − uk−c
h)Θ(uk2 − u? )Θ(uk1 − 1))uk2 .
2
2
2
(7)
Проводимый над дискретной моделью нейронной сети вычислительный эксперимент можно условно разделить на два этапа. 1. На первом этапе эксперимента нейроны с одинаковыми наборами параметров и
начальными функциями предварительно рассматривались изолированно (без воздействия друг на друга) в течение времени t ∈ [0, t0 ]. Функционирование нейронов в течение этого временного промежутка
описывается следующими рекуррентными соотношениями:
uk+1
= uk + λ(−1 − fN a (uk1 ) + fK (uk+1
))uk1 ,
1
1
uk+1
= uk + λ(−1 − fN a (uk2 ) + fK (uk+1
))uk2 .
2
2
(8)
2. На втором этапе вычислительного эксперимента в момент времени t0 состояние первого нейрона подвергается малому возмущению (к значениям ut1 прибавляется малое значение δ(t)), синаптическая связь
активизируется (нейроны объединяются в сеть) и в дальнейшем в период времени [t0 , T ] рассматривается
система из двух нейронов. При этом на втором этапе эксперимента для дискретной модели нейронной сети рассматриваются варианты взаимодействия (6) и (7) (соответствующие, как уже отмечалось, случаям
взаимодействия на основе электрического (4) и химического (5) синапса).
Для нейронных сетей с описанными видами взаимодействия на данном этапе эксперимента исследовался вопрос синхронизации нейронов (сходимости к нулю разности их мембранных потенциалов). В
качестве критерия синхронизации рассматривалось условие max |u1 (t) − u2 (t)| < ε.
t∈[T −τ,T ]
4.
Параметры нейронной сети
В данном разделе конкретизируем параметры рассматриваемых моделей нейронных сетей.
В работе рассматривались сети из двух однотипных нейронов: параметр λ и функции fN a и fK для
данных нейронов выбирались одинаковыми. В ходе вычислительного эксперимента значение параметра
λ выбиралось равным 3 и 4, при моделировании в соответствии с отмеченными в разделе 1 условиями
2
2
функции fN a и fK рассматривались следующего вида: fK (u) = 3e−u , fN a (u) = e−u .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О синхронизации в нейронной сети...
7
Начальное состояние системы задается следующим образом:
uk1 ≡ ϕ1 (−1 + kh),
k = 0, 1, . . . , m − 1,
uk2
k = 0, 1, . . . , m − 1.
≡ ϕ2 (−1 + kh),
(9)
В качестве ϕ1 и ϕ2 в соответствии с условиями (3) из раздела 1 рассматривались константы и функции
вида ϕi (t) = AeBt для значений A ∈ (0, 0.25), B ∈ (0, 0.2).
В ходе анализа сети с моделью взаимодействия на основе электрического синапса значение параметра
d (коэффициента воздействия одного нейрона на другой) в соотношениях (6) выбиралось в диапазоне
d ∈ (0, 5] (при этом, как отмечается в разделе 2, воздействие в рассматриваемой модели предполагается
симметричным).
В свою очередь анализ системы из пары нейронов, взаимодействующих посредством химического синапса, проводился для следующего случая: d1 = 0, d2 > 0 (одностороннее воздействие нейрона-автогенератора на другой нейрон).
5.
Результаты вычислительного эксперимента
В данном разделе будут описаны результаты проведенного анализа моделей нейронных сетей с двумя
рассматриваемыми типами взаимодействия для различных значений параметров. Численный анализ рассмотренной нейронной сети (пары нейронов) с диффузной связью (модель взаимодействия на основе
электрического синапса) позволил выявить особенности происходящих в данной сети процессов при различных значениях коэффициента диффузии (параметра d).
При больших значениях параметра d (d > 0.43 для λ = 3) наблюдалась синхронизация мембранных
потенциалов взаимодействующих нейронов, при этом время синхронизации уменьшалось с ростом d. При
значениях d > 1 синхронизация нейронов отмечалась и при больших возмущениях (рассматривались в том
числе нейроны, состояние которых в момент времени t0 задавалось соотношением u2 (t) = u1 (t − T ? /2), где
T ? — период установившихся колебаний мембранного потенциала изолированного нейрона-автогенератора
u1 (t); для отмеченных в разделе 4 параметров системы значение T ? ≈ 20).
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Рис. 1. Синхронизация нейронов при большом значении коэффициента воздействия (d = 0.45)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
На рисунке 1 приведен характер поведения (траектория) пары взаимодействующих для рассмотренного выше случая. Синхронизации нейронов на диаграмме соответствует прямолинейный участок вдоль
биссектрисы угла между координатными осями.
При значениях величины синаптической связи d < 0.43 синхронизация нейронов в течение рассматриваемого промежутка времени не наступала (в том числе при увеличении длины промежутка до T =
103 T ? ).
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Рис. 2. Траектория системы взаимодействующих нейронов при малой величине диффузной связи
В этом случае при некоторых значениях параметров устанавливалась периодическая динамика вектора
состояния нейронной сети (пары значений текущих мембранных потенциалов (u1 (t), u2 (t))). При этом
для значений d ∈ (0.25, 0.42) возникали сложные колебательные режимы, пример которых приведен на
рисунке 2. Для малых значений коэффициента воздействия (d < 0.1) отмечены процессы десинхронизации
нейронной активности в нейронной сети при незначительных возмущениях текущего состояния одного из
нейронов.
Вопрос синхронизации в сети с отмеченными типами взаимодействия рассматривался также при увеличении параметра скорости восстановления мембранного потенциала (λ). Для сетей с диффузионным
взаимодействием отмечено уменьшение порогового значения коэффициента диффузионной связи (d), начиная с которого наблюдалась устойчивая синхронизация нейронов сети (так, для параметра λ = 3.25
синхронизация нейронов наблюдалась при d > 0.25, а для λ = 3.5 синхронизация отмечена уже при
d > 0.17).
В ходе численного анализа системы из двух нейронов, связанных посредством электрического синапса, отмечена синхронизация нейронов (при рассмотренном одностороннем воздействии можно говорить
о навязывании собственного колебательного режима импульсной активности) в течение рассматриваемого времени наблюдения, в том числе и при малых значениях величины синаптического воздействия d
(порядка 0.05).
Отметим, что ранее в работе [7] аналогичные процессы синхронизации были отмечены для дискретных моделей нейронных сетей на основе формального нейрона Мак-Каллока–Питтса с периодической
динамикой при одностороннем воздействии сети-передатчика (генератора) на сеть-приемник.
Заключение
Приведенные выше результаты вычислительного эксперимента позволяют сделать следующие выводы:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О синхронизации в нейронной сети...
9
1. Выявлены режимы синхронизации взаимодействующих нейронов, связанных на основе электрического и химического синапса: численно установлено наличие параметров, при которых динамика состояния мембранного потенциала одного нейрона повторяет аналогичную динамику вектора состояния второго нейрона рассматриваемой сети. С учетом отмеченного в [1] и [2] соответствия импульсной
модели нейрона биологическому прототипу, можно с высокой степенью биологической адекватности
интерпретировать процессы синхронизации нейронных сетей как образование ансамблей синхронно
работающих нейронов. Накопленные во второй половине XX века данные о нейрофизиологических
механизмах функционирования головного мозга и роли данных механизмов в когнитивных процессах [4, 8, 9] позволяют интерпретировать выявленные для рассматриваемых в работе нейронных
сетей процессы синхронизации как адекватный аналог процессам запоминания в биологических нейронных сетях (нервной системе).
2. Рассмотрены особенности динамики пары взаимодействующих нейронов для случаев слабой синаптической связи: отмечена возможная нерегулярность (непериодичность) в динамике нейронов для
определенных параметров, что позволяет предположить возможное наличие аналогичных сложных
режимов функционирования естественных (биологических) нервных систем.
3. Отмечена десинхронизация импульсной активности пары нейронов при малых значениях коэффициента синаптического воздействия, что в соответствии с [4] интерпретируется как распад нейронного
ансамбля при ослаблении взаимодействия и моделирует процесс забывания в такого рода структурах.
Список литературы
1. Майоров, В.В. Математическое моделирование нейронов на основе уравнений с запаздыванием /
В.В. Майоров, И.Ю. Мышкин // Математическое моделирование. — 1990. — Т. 2, №11. — С. 64–76.
2. Кащенко, С.А. Исследование дифференциально-разностных уравнений, моделирующих импульсную
активность нейрона / С.А. Кащенко, В.В. Майоров // Математическое моделирование. — 1993. —
Т. 5, №12. — С. 13–25.
3. Богомолов, Ю.В. Устойчивость одной модели нейрона на основе уравнения с запаздыванием /
Ю.В. Богомолов // Моделирование и анализ информационных систем. — 2007. — Т. 14, №2. — С. 27–29.
4. Бехтерева, Н.П. Здоровый и больной мозг человека / Н.П. Бехтерева. — М.: Наука, 1980. — 208 с.
5. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. — М.: Наука,
1967. — 472 с.
6. Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений / Э. Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ваннер. — М.: Мир, 1990. — Т. 1.
7. Богомолов, Ю.В. Синхронизация нейронных сетей с различной динамикой / Ю.В. Богомолов //
“НЕЙРОИНФОРМАТИКА-2005”, VII всероссийская научно-техническая конференция: Сб. науч. тр.:
В 2 частях. Ч. 2. — М.: МИФИ, 2005. — С. 11–16.
8. Абарбанель, Г.Д. Синхронизация в нейронных ансамблях / Г.Д. Абарбанель, М.И. Рабинович, А. Сельверстон // Успехи физических наук. — 1996. — Т. 116, № 4. — С. 363–390.
9. Ливанов, М.Н. Психологические аспекты феномена пространственной синхронизации потенциалов /
М.Н. Ливанов, Н.Е. Свидерская // Психол. журн. — 1984. — 5(5). — С. 71–83.
10. Лебедев, А.Н. О физиологических основах восприятия и памяти / А.Н. Лебедев // Психол. журн. —
1992. — №2. — С. 30–41.
On the synchronization in neural network
based on the impulse neuron model
Bogomolov Yu.V.
In this paper the synchronization in networks of two autogenerating neurons based on the impulse neuron
model for different interaction types is studied.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модел. и анализ информ. систем. Т.15, №2 (2008) 10–17
УДК 517.928
Об устойчивости решений некоторых уравнений
из класса адиабатических осцилляторов
Нестеров П.Н.1
Ярославский государственный университет,
150 000, Ярославль, Советская, 14
e-mail: mathematix@mail.ru
получена 18 января 2008
Аннотация
С помощью методики усреднения исследуется устойчивость решений некоторых уравнений из класса адиабатических осцилляторов.
В статье [1] была построена асимптотика при t → +∞ решений следующего линейного уравнения второго
порядка:
¶
µ
d2 x
sin ϕ(t)
x = 0,
t ∈ R,
(1)
+ 1+a √
dt2
t
где
ϕ(t) = t + α ln t,
a, α ∈ R, a 6= 0.
(2)
В частности было установлено, что в плоскости параметров (a, α) множество
−
5a2
a2
≤α≤
,
24
24
a 6= 0
является зоной неустойчивости (параметрического резонанса) для уравнения (1).
В этой работе мы остановимся на исследовании задачи об устойчивости решений уравнения
µ
¶
sin ϕ(t)
d2 x
+
1
+
a
x = 0,
t ∈ R, ρ > 0, a ∈ R/{0},
dt2
tρ
с функцией ϕ(t) вида (2) и
ϕ(t) = t + αtβ ,
α 6= 0,
0 < β < 1.
(3)
(4)
(5)
Уравнение (4) относится к классу так называемых адиабатических осцилляторов, поскольку коэффициент
sin ϕ(t)
q(t) = a
tρ
стремится к нулю при t → +∞.
От уравнения (4) перейдем к системе стандартным образом:
·µ
¶
µ
¶¸
0 1
0 0
ẏ0 =
+ q(t)
y0 ,
−1 0
−1 0
µ ¶
µ
¶
√
x
1 1
где y0 =
. Обозначив i = −1, сделаем в этой системе замену y0 =
y . Приходим к системе
ẋ
i −i 1
µ
·µ
¶¸
¶
i
1
1
i 0
ẏ1 =
y1 .
(6)
+ q(t)
−1 −1
0 −i
2
Перейдем к новому времени
τ = t + α ln t.
(7)
1 Работа выполнена при финансовой поддержке целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы»
(проекты РНП.2.2.2.3.16065 и РНП.2.1.1.630), а также Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF).
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об устойчивости решений . . . адиабатических осцилляторов
11
Из геометрических соображений непосредственно следует, что это трансцендентное уравнение имеет единственный корень t(τ ) такой, что t(+∞) = +∞. Построим его асимптотику. Из (7) следует, что
τ
α ln t
=1+
= 1 + ω(t),
t
t
где ω(t) = o(1) при t → +∞. Откуда
τ
¡
¢.
1 + ω t(τ )
¡
¢
Далее, поскольку t(τ ) → +∞ при τ → +∞, то ω t(τ ) = o(1) при τ → +∞. Тогда
¡
¢
τ
t(τ ) =
= τ 1 + o(1) ,
τ → +∞.
1 + o(1)
t(τ ) =
Подставляя полученное асимптотическое представление в аргумент функции ln t в формуле (7), окончательно получаем
t(τ ) = τ − α ln τ + o(1),
τ + ∞.
Несложно установить также, что
t0 (τ ) = 1 −
α
+O
τ
µ
ln τ
τ2
¶
,
τ → +∞.
Это следует из того, что
t0 (τ ) =
1
τ 0 (t)
=
¡ ¢
1
= 1 − αt−1 + O t−2 ,
−1
1 + αt
где t = t(τ ).
В новом времени τ система (6) перепишется следующим образом:
·
µ
¶
µ
¶¸
³
α ´ i a sin τ
ln τ
1
1
0
ȳ1 = diag(i, −i) 1 −
+
+O
ȳ1 .
−1 −1
τ
2 τρ
τ 1+ρ
(8)
Здесь мы учли, что
µ
¶
1
t0 (τ )
ln τ
¢ρ = ρ + O
.
τ
τ 1+ρ
t(τ )
¡
¢
В системе (8) сделаем замену ȳ1 = diag eiτ , e−iτ y2 , предварительно разложив sin τ по формуле Эйлера.
Приходим к системе
·
µ
¶¸
ln τ
−ρ
−1
0
y2 = A1 (τ )τ + A2 τ + O
y2 ,
(9)
τ 1+ρ
где
µ
¶
a eiτ − e−iτ e−iτ − e−3iτ
A1 (τ ) =
,
A2 = −iα diag(1, −1).
e−iτ − eiτ
4 eiτ − e3iτ
¡
Система (9) относится к классу систем с колебательно убывающими коэффициентами. Для упрощения
системы подобного вида может быть использована методика усреднения. Опишем вкратце ее суть применительно к нашей задаче.
Рассмотрим систему
n
X
dx ³
= A0 +
Ai (t)vi (t) +
dt
i=1
X
Ai1 i2 (t)vi1 (t)vi2 (t) + . . . +
1≤i1 ≤i2 ≤n
+
X
´
Ai1 ... ik (t)vi1 (t) · . . . · vik (t) + R(t) x. (10)
1≤i1 ≤...≤ik ≤n
Здесь x — m-мерный комплекснозначный вектор; A0 , Ai1 ... il (t), R(t) — квадратные матрицы размера
m × m; v1 (t), . . . , vn (t) — скалярные функции. Пусть
1. A0 — постоянная матрица с вещественными собственными значениями.
2. v1 (t) → 0, v2 (t) → 0, . . . , vn (t) → 0 при t → ∞.
3. v̇1 (t), v̇2 (t), . . . , v̇n (t) ∈ L1 [t0 , ∞).
4. Произведение vi1 (t)vi2 (t) . . . vik+1 (t) ∈ L1 [t0 , ∞) для любого набора 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ . . . ≤ ik+1 ≤ n.
5. Элементами матриц Ai1 ... il (t) являются тригонометрические многочлены.
6. Матрица R(t) ∈ L1 [t0 , ∞). (Запись R(t) ∈ L1 [t0 , ∞) означает, что kR(t)k ∈ L1 [t0 , ∞), где k · k —
некоторая матричная норма.)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
Теорема 1. Система (10) при достаточно больших t заменой
n
h
X
x= I+
Yi (t)vi (t) +
i=1
X
Yi1 i2 (t)vi1 (t)vi2 (t) + . . . +
1≤i1 ≤i2 ≤n
i
Yi1 ... ik (t)vi1 (t) · . . . · vik (t) y,
X
+
(11)
1≤i1 ≤...≤ik ≤n
где I — единичная матрица, а элементами матриц Yi1 ... il (t) являются тригонометрические многочлены
с нулевым средним значением, приводится к виду
n
X
dy ³
= A0 +
Ai vi (t) +
dt
i=1
X
Ai1 i2 vi1 (t)vi2 (t) + . . . +
1≤i1 ≤i2 ≤n
+
´
Ai1 ... ik vi1 (t) · . . . · vik (t) + R1 (t) y,
X
(12)
1≤i1 ≤...≤ik ≤n
с постоянными матрицами Ai1 ... il и матрицей R1 (t) ∈ L1 [t0 , ∞).
Доказательство этой теоремы можно найти в работе [2].
Постоянные матрицы Ai1 ... il определяются из условия разрешимости некоторых матричных дифференциальных уравнений в классе матриц, элементами которых являются тригонометрические многочлены
с нулевым средним значением. Матрицы Yi1 ... il (t) определяются как решения соответствующих дифференциальных уравнений.
Матрицы Ai и Aij называют соответственно матрицами первого и второго приближений. Они определяются следующим образом:
£
¤
Ai = M Ai (t) ,
Далее,
и
i = 1, . . . , n.
µ
£
¤
M F (t) := lim
1
T →+∞ T
£
¤
Aij = M Aij (t) + Ai (t)Yj (t) + Aj (t)Yi (t) ,
£
¤
Aii = M Aii (t) + Ai (t)Yi (t) ,
ZT
¶
F (s)ds.
0
1≤i<j≤n
i = 1, . . . , n.
Матрицы Yi (t), в свою очередь, определяются как решения матричных уравнений
dYi
+ Yi A0 − A0 Yi = Ai (t) − Ai ,
i = 1, . . . , n
dt
с нулевым средним значением.
Усредненная система (12), вообще говоря, не содержит в главной части осциллирующих коэффициентов, и в этом смысле она проще исходной системы (10). Для ее изучения во многих случаях удается
воспользоваться фундаментальной теоремой Левинсона (см., например, [3, 4]). Рассмотрим следующую
систему дифференциальных уравнений:
¢
dx ¡
= Λ(t) + R(t) x,
dt
(13)
¡
¢
где x(t) — комплекснозначный вектор размерности m, Λ(t) = diag λ1 (t), . . . , λm (t) — непрерывная диагональная матрица, а R(t) ∈ L1 [t0 , ∞). Системы типа (13) называют L-диагональными. Потребуем также,
чтобы для элементов матрицы Λ(t) было выполнено следующее условие: пусть для каждой пары индексов
(i, j) величина
¡
¢
Re λi (t) − λj (t) ≤ 0 (≥ 0), t ≥ t0 ,
(14)
т.е. не изменяет своего знака при больших значениях t. Если выполнено условие (14), то фундаментальная
матрица X(t) L-диагональной системы (13) допускает следующее асимптотическое представление при
t → +∞ :
³
´
nZt
o
X(t) = I + o(1) exp
Λ(s)ds .
t∗
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об устойчивости решений . . . адиабатических осцилляторов
13
Вернемся к системе (9).
•
Пусть сначала ρ > 1/2. В системе (9) сделаем усредняющую замену
h
i
y2 = I + Y1 (τ )τ −ρ + Y2 (τ )τ −1 y3 .
Получаем систему
·
y30
µ
= A2 τ
−1
+O
ln τ
τ 1+ρ
¶
¸
¡ −2ρ ¢
+O τ
y3 ,
(15)
которая имеет L-диагональную форму. Поскольку собственные числа матрицы A2 чисто мнимые, то все
решения системы (15), а следовательно, и исходного уравнения (4) ограничены при любых a и α. Это,
разумеется, следует из теоремы Левинсона.
• Рассмотрим теперь случай, когда ρ < 1/2. Для определенности будем считать пока, что ρ > 1/3. В
системе (9) сделаем усредняющую замену
h
i
y2 = I + Y1 (τ )τ −ρ + Y11 (τ )τ −2ρ + Y2 (τ )τ −1 y3 .
Приходим к системе
h
¡
¢i
y30 = A11 τ −2ρ + A2 τ −1 + O τ −3ρ y3 ,
где
A11
µ
£
¤
a2 2
= M A1 (τ )Y1 (τ ) = − i
24 3
(16)
¶
−3
.
−2
Собственные числа матрицы A11 действительны и имеют вид
√ 2
5a
λ1,2 = ±
.
24
Согласно лемме о диагонализации переменной матрицы (см. [3, 4]), система (16) с помощью преобразования с ограниченными по t коэффициентами может быть приведена к L-диагональному виду
"√
#
√
5a2
2 5α
0
−2ρ
−1
y4 =
diag(1, −1)τ
−
diag(1, −1)τ + R(τ ) y4 ,
24
5
где R(τ ) ∈ L1 [τ0 , ∞). Таким образом, система (16) (а значит, и уравнение (4)) имеет неограниченно растущие решения при τ → +∞ (t → +∞) и любых a 6= 0 и α, по крайней мере, когда 1/3 < ρ < 1/2. Легко
понять, что при ρ ≤ 1/3 ситуация не изменится, поскольку «ведущая» матрица A11 имеет собственное
число с положительной вещественной частью и функция τ −2ρ ∈
/ L1 [τ0 , ∞).
• Пусть ρ = 1/2. Выполняя в системе (9) усредняющую замену
h
i
y2 = I + Y1 (τ )τ −1/2 + Y11 (τ )τ −1 y3 ,
получаем систему
·
µ
¶¸
ln τ
y30 = Γτ −1 + O
y3 ,
τ 3/2
где
Ã
Γ = A11 + A2 = −i
a2
12
+α
a2
8
!
2
− a8
.
2
− a12 − α
(17)
(18)
Для определения собственных чисел матрицы Γ имеем характеристический многочлен
a2
1 ³ 2 a4 ´
γ −
= 0, где γ = 2α + .
λ2 +
4
16
6
Очевидно, что собственные числа матрица Γ различны, если |γ| 6= a2 /4 и совпадают (равны нулю), если
|γ| = a2 /4. В первом случае система (17) заменой y3 = Cy4 , где матрица C приводит матрицу Γ к
диагональной форме, может быть преобразована к L-диагональному виду
·
µ
¶¸
ln τ
0
−1
y4 = Lτ + O
y4 .
τ 3/2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
Собственные
r числа матрицы L равны
i
a4
a) ±
γ 2 − , если |γ| > a2 /4.
2
16
В этом случае
r все решения системы (17) (а следовательно, и уравнения (4)) ограничены.
1 a4
б) ±
− γ 2 , если |γ| < a2 /4.
2 16
В этом случае у матрицы L имеется положительное собственное число, поэтому система (17) имеет решение, которое растет как τ µ , где
r
1 a4
µ=
− γ2.
2 16
Возвращаясь к исходному времени t, приходим к выводу, что уравнение (4) имеет осциллирующие решения, амплитуда колебаний которых при t → +∞ растет как tµ .
Чуть более сложно исследуется случай, когда |γ| = a2 /4. Оказывается, что в этой ситуации у уравнения
(4) также имеются неограниченно растущие решения (см. [1, 2]).
Таким образом, мы приходим к следующему результату. Плоскость ρ = 1/2 разделяет пространство
параметров (a, α, ρ) уравнения (4) на два полупространства, в одном из которых решения уравнения
(4) устойчивы, а в другом, соответственно, неустойчивы. На границе этих полупространств (ρ = 1/2),
существует зона параметрического резонанса (3).
Рассмотрим снова уравнение вида (4), в котором на сей раз функция ϕ(t) имеет вид (5). Далее мы покажем, что в пространстве параметров (a, α, β, ρ) можно указать границу области устойчивости и неустойчивости. Этой границей является гиперплоскость
β + 2ρ − 1 = 0.
На этой гиперплоскости можно выделить зону параметрического резонанса, которая определяется неравенствами:
5a2
a2
−
<α<
, β = 1 − 2ρ, a, α 6= 0.
(19)
24β
24β
От уравнения (4) вновь перейдем к системе (6). В этой системе сделаем замену времени τ = t + αtβ .
Как и в предыдущем случае, нам необходимо построить асимптотику корня t(τ ) этого уравнения при
τ → +∞, а также асимптотику для t0 (τ ). Поскольку это делается аналогично уже рассмотренному нами
случаю, мы выпишем лишь окончательный результат. Имеем
³
´
¡ ¢
t(τ ) = τ − ατ β + o τ β ,
t0 (τ ) = 1 − αβτ β−1 + O τ 2(β−1) .
Откуда
¡
¢
t0 (τ )
¡
¢ρ = τ −ρ + O τ −ρ+β−1 .
t(τ )
В новом времени τ система (6) перепишется следующим образом:
·
µ
³
´ 1
t0 (τ )
1
0
0
¢ρ
ȳ1 = diag(i, −i) 1 − 1 + t (τ ) + ia sin τ ¡
−1
2
t(τ )
¶¸
ȳ1 .
1
−1
(20)
¢
¡
В системе (20) выполним замену ȳ1 = diag eiτ , e−iτ y2 . Приходим к системе
h
i
y20 = A1 (τ )v1 (τ ) + A2 v2 (τ ) y2 ,
где
A1 (τ ) =
и
a
4
µ iτ
e − e−iτ
eiτ − e3iτ
e−iτ − e−3iτ
e−iτ − eiτ
¡
¢
t0 (τ )
¢ρ = τ −ρ + O τ −ρ+β−1 ,
v1 (τ ) = ¡
t(τ )
(21)
¶
,
v2 (τ ) =
A2 = −iαβ diag(1, −1),
´
³
1 − t0 (τ )
= τ β−1 + O τ 2(β−1) .
αβ
В системе (21) произведем усредняющую замену. В зависимости от того, с какой степенью интегрируемы
функции v1 (τ ) и v2 (τ ), вычислим столько постоянных матриц, сколько необходимо. Можно показать, что
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об устойчивости решений . . . адиабатических осцилляторов
15
матрицы A1 , A12 , A111 , A122 , A222 оказываются нулевыми. Таким образом, с помощью подходящей усредняющей замены мы приводим систему (21) к виду
h
i
y30 = A11 v12 (τ ) + A2 v2 (τ ) + A112 v12 (τ )v2 (τ ) + . . . + Ai1 ... ik vi1 (τ ) · . . . · vik (τ ) + R(τ ) y3 .
(22)
Здесь
A11 = −
µ
a2 2
i
24 3
−3
−2
¶
и R(τ ) ∈ L1 [τ0 , ∞). Заметим также, что
¢
¡
v12 (τ ) = τ −2ρ + O τ −2ρ+β−1 .
Для дальнейшего изложения нам потребуется доказать одно вспомогательное утверждение. Будем говорить, что матрица A принадлежит классу Ξ, если она имеет следующий вид:
µ
¶
a11 a12
A=
,
ā12 ā11
где ā означает величину, комплексно сопряженную к a. Легко проверить, что если A, B ∈ Ξ, то AB и
A + B также принадлежат классу Ξ.
Пусть выполнены все условия теоремы 1, и исходная система (10) с колебательно убывающими коэффициентами посредством усредняющей замены (11) приводится к виду (12).
Утверждение 1. Если в системе (10) матрицы A0 , Ai (t), . . . , Ai1 ... ik (t) принадлежат классу Ξ, то все
матрицы Yi1 ... il (t) в (11) и все постоянные матрицы Ai1 ... il в (12) также принадлежат Ξ.
Доказательство. Основу доказательства теоремы 1 составляет утверждение о существовании у матричного дифференциального уравнения
Ẏ + Y A0 − A0 Y = F (t)
(23)
единственного решения Y (t) из класса Σ0 (матрицы, элементами которых являются тригонометрические
многочлены с нулевым средним значением) при любой матрице F (t) ∈ Σ0 . Заметим, что матрицы Yi1 ... il (t)
в формуле (11) определяются именно из уравнений вида (23). Поэтому для доказательства сформулированного утверждения нам достаточно показать, что матрицы Yi1 ... il (t) будут принадлежать Ξ, когда A0
и F (t) принадлежат этому классу. Справедливость утверждения для матриц Ai1 ... il будет следовать из
того факта, что эти матрицы определяются как средние значения суммы произведений матриц вида
Ai1 ... ip (t)Yi1 ... is (t). Выше мы отметили, что операции умножения и сложения двух матриц из класса Ξ
не выводят за пределы этого класса. Вычисление же среднего
T значения не изменяет интересующую нас
структуру матрицы. Итак, пусть в (23) матрица F (t) ∈ Σ0 Ξ, и A0 ∈ Ξ. Как уже было отмечено, в этом
случае существует и единственно решение
µ
¶
y11 y12
Y (t) =
y21 y22
уравнения (23) из класса Σ0 . Для доказательства утверждения нам достаточно убедиться в том, что
матрица
µ
¶ µ
¶
ỹ11 ỹ12
ȳ22 ȳ21
Ỹ (t) =
=
ỹ21 ỹ22
ȳ12 ȳ11
из класса Σ0 также удовлетворяет уравнению (23). T
Отсюда в силу единственности решения будет следовать, что y22 = ȳ11 и y21 = ȳ12 , т.е. матрица Y ∈ Σ0 Ξ. Пусть
µ
¶
µ
¶
a b
c d
A0 =
,
F = ¯
,
b̄ ā
d c̄
тогда, записывая матричное уравнение (23) в виде системы линейных дифференциальных уравнений,
получаем
ẏ11 + (ay11 + b̄y12 ) − (ay11 + by21 ) = c,
ẏ12 + (by11 + āy12 ) − (ay12 + by22 ) = d,
¯
ẏ21 + (ay21 + b̄y22 ) − (b̄y11 + āy21 ) = d,
ẏ22 + (by21 + āy22 ) − (b̄y12 + āy22 ) = c̄.
(24a)
(24b)
(24c)
(24d)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
Возьмем теперь комплексное сопряжение от обеих частей в каждом из этих уравнений. В полученную
комплексно сопряженную систему вместо величин ȳij подставим соответствующие элементы матрицы
Ỹ (t). После чего убеждаемся, что элементы ỹij матрицы Ỹ (t) удовлетворяют уравнениям (24a)–(24d).
Схематично процесс проверки того, что Ỹ (t) удовлетворяет уравнению (23), мы запишем в следующем
виде:
(24a) → (24d), (24b) → (24c), (24c) → (24b), (24d) → (24a),
где, например, запись (24a) → (24d) означает, что если уравнение, комплексно сопряженное к уравнению
(24a), мы перепишем в терминах элементов матрицы Ỹ (t), то убедимся, что соответствующие элементы
ỹij удовлетворяют уравнению (24d). Утверждение доказано.
Отметим теперь следующий очевидный факт. Поскольку определитель матрицы A ∈ Ξ является действительным числом, то в случае, когда tr A = 0, собственные числа матрицы A имеют вид
λ1,2 = ±z,
где z ∈ R или z = iω, ω ∈ R.
Вернемся теперь к усредненной системе (22). Заметим, что в силу только что доказанного утверждения
все матрицы Ai1 ... il ∈ Ξ. Кроме того, поскольку в системе (21)
tr A1 (τ ) = tr A2 = 0,
то все постоянные матрицы в усредненной системе (22) имеют нулевой след, т.е. tr Ai1 ... il = 0 (см. [5]).
Поэтому собственные числа матрицы
A(τ ) = A11 v12 (τ ) + A2 v2 (τ ) + A112 v12 (τ )v2 (τ ) + . . . + Ai1 ... ik vi1 (τ ) · . . . · vik (τ )
(25)
при больших τ либо действительны, либо являются чисто мнимыми. Конкретный вид собственных чисел
определяется главным в смысле асимптотики членом в выражении (25) (т.е. «ведущей» матрицей). Пусть
• β + 2ρ − 1 > 0.
В этом случае главным членом в выражении (25) является слагаемое A2 v2 (τ ). Собственные числа
матрицы A2 различны и имеют вид
λ1,2 = ±iαβ.
Поэтому собственные числа матрицы A(τ )/v2 (τ ) при больших τ являются чисто мнимыми и стремятся
соответственно к λ1 и λ2 . Это, в свою очередь, означает, что усредненная система может быть приведена
к L-диагональному виду. Из теоремы Левинсона тогда следует, что в этом случае все решения уравнения
(4) с функцией ϕ(t) вида (5) ограничены при любых a и α 6= 0.
• β + 2ρ − 1 < 0.
Главным членом в выражении (25) является теперь слагаемое A11 v12 (τ ). Собственные числа матрицы
A11 различны и имеют вид
√ 2
5a
λ1,2 = ±
.
24
Поэтому собственные числа матрицы A(τ )/v12 (τ ) при больших τ являются действительными и стремятся соответственно к λ1 и λ2 . Это, в свою очередь, означает, что усредненная система (22) может быть
приведена к L-диагональному виду. Из теоремы Левинсона тогда следует, что в этом случае при любых
a 6= 0 и α 6= 0 у уравнения (4), (5) существуют неограниченно растущие решения. (Здесь, конечно же,
используется и тот факт, что при таких значениях параметров функция v12 (τ ) ∈
/ L1 [τ0 , +∞).)
• β + 2ρ − 1 = 0.
Главным членом в выражении (25) теперь является матрица Γτ −2ρ , где
à 2
!
a2
− a12 i − αβi
i
8
Γ = A11 + A2 =
.
2
a2
− a8 i
12 i + αβi
Заметим, что матрица Γ отличается от аналогичной матрицы в случае с ϕ(t) = t + α ln t (ср. с (18)) лишь
тем, что на месте величины α находится произведение αβ. Поэтому мы сразу же можем написать, что
если
a2
5a2
<α<
, a, α 6= 0,
−
24β
24β
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Об устойчивости решений . . . адиабатических осцилляторов
17
то у уравнения (4), (5) существуют неограниченно растущие решения. Если же
³
´
5a2 ´ [³ a2
α ∈ −∞, −
, +∞ ,
24β
24β
то все решения уравнения (4), (5) ограничены.
Случай, когда β + 2ρ − 1 = 0 и
α=−
5a2
24β
или
α=
a2
,
24β
a, α 6= 0,
нуждается в дополнительном изучении. Он характеризуется тем усложняющим исследование обстоятельством, что у матрицы Γ имеется жорданова клетка.
Итак, мы можем сделать следующий вывод: гиперплоскость β + 2ρ − 1 = 0 разделяет пространство параметров (a, α, β, ρ) на два полупространства, в одном из которых решения уравнения (4), (5) устойчивы,
а в другом соответственно неустойчивы. В точках гиперплоскости может иметь место как устойчивость,
так и неустойчивость решений.
Список литературы
1. Бурд, В.Ш. Параметрический резонанс в одном уравнении из класса адиабатических осцилляторов /
В.Ш. Бурд, П.Н. Нестеров // Модел. и анализ информ. систем. — 2006. — Т. 13, №2. — С. 48 – 54.
2. Нестеров, П.Н. Метод усреднения в задаче асимптотического интегрирования систем с колебательно
убывающими коэффициентами / П.Н. Нестеров // Дифференциальные уравнения. — 2007. — Т. 43,
№6. — С. 731 – 742.
3. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. — М.: Наука,
1967. — 472 с.
4. Коддингтон, Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. — М.: ИЛ, 1958. — 475 с.
5. Нестеров, П.Н. Построение асимптотики решений одномерного уравнения Шредингера с быстро осциллирующим потенциалом / П.Н. Нестеров // Математические заметки. — 2006. — Т. 80, №2. —
C. 240 – 250.
On the stability of solutions of some equations
from the class of adiabatic oscillators
Nesterov P.N.
In this work we investigate the stability of solutions of some equations from the class of adiabatic oscillators
using the method of averaging.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модел. и анализ информ. систем. Т.15, №2 (2008) 18–25
УДК 517.926
Явление буферности в уравнениях с запаздыванием
Сандуляк Д.В.
Ярославский государственный университет,
150 000, Ярославль, Советская, 14
e-mail: danzova@hotmail.ru
получена 12 февраля 2008
Аннотация
Рассматривается одно скалярное нелинейное дифференциально-разностное уравнение второго порядка, являющееся математической моделью однократного RCL-генератора с запаздыванием в цепи
обратной связи. Установлено, что в изучаемой системе при увеличении времени запаздывания и при
фиксированных прочих параметрах происходит неограниченный рост числа его устойчивых циклов.
Рассмотрим уравнение
¡
¢
ẍ + aẋ + x = F kx(t − θ) ,
(1)
√
где F (x) = −x + c1 x2 + c2 x3 + ..., 0 < a < 2, c2 > 0, c1 − любое.
В качестве пространства начальных условий (1) возьмем C[−θ, 0] × R и поставим вопрос о существовании и устойчивости его периодических решений, бифурцирующих из нуля при увеличении параметра θ.
Для пояснения специфики динамики периодических решений сначала исследуем нулевое состояние
равновесия уравнения (1) на устойчивость. С этой целью введем в рассмотрение соответствующее характеристическое уравнение
λ2 + aλ + 1 + k e−λθ = 0
(2)
и положим в нем λ = iω, ω > 0. После разделения вещественной и мнимой частей приходим к двум
уравнениям
cos ωθ = (ω 2 − 1)/k, sin ωθ = aω/k.
(3)
Возводя каждое из уравнений (3) в квадрат и складывая, для нахождения ω приходим к уравнению
a2 ω 2 + (ω 2 − 1)2 = k 2 ,
(4)
n
o
p
√ p
которое при (a, k) ∈ (a, k) | 0 < a < 2, 1 − ω04 < k < 1 , где ω0 = 1 − a2 /2, имеет на полуоси ω > 0
p
2
ровно два корня ω±
= ω02 ± k 2 + ω04 − 1. Выбор указанных ограничений на параметры a, k гарантирует
нужную нам в дальнейшем структуру области неустойчивости.
Таким образом, исходное уравнение (2) может иметь на мнимой оси только корни λ = ±iω− или
λ = ±iω+ при запаздываниях, равных соответственно
θn− =
ϕ−
2π
+
n,
ω−
ω−
θn+ =
ϕ+
2π
+
n,
ω+
ω+
(5)
¡ 2
¢
где ϕ± = arccos (ω±
− 1)/k , n = 0, 1, 2, ...
±
Обозначим через λ = λ±
n (θ) корни уравнения (2), обращающиеся при θ = θn в iω± соответственно.
Несложный подсчет показывает, что
d
− < 0,
Reλ−
n (θ)|θ=θn
dθ
d
+ > 0.
Reλ+
n (θ)|θ=θn
dθ
Это означает, что при увеличении параметра θ и при прохождении его через серию критических значений
θ = θn+ , n > 0, каждый раз ровно одна простая пара корней λ и λ̄, где λ = λ+
n (θ), уравнения (2) переходит
из полуплоскости Reλ < 0 в полуплоскость Reλ > 0. Обратная ситуация наблюдается при прохождении
θ через критические значения θn− , n > 0: соответствующая пара корней переходит из правой комплексной
полуплоскости в левую.
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Явление буферности в уравнениях с запаздыванием
19
Приходим к выводу, что область неустойчивости по параметру θ нулевого решения уравнения (1)
имеет вид
∞
[
θ∈
(θn+ , θn− ).
(6)
n=0
Заметим, что поскольку с ростом n фигурирующие в (6) интервалы начинают пересекаться во все большем числе, то при θ → ∞ ненулевое состояние равновесия заведомо неустойчиво и степень его неустойчивости неограниченно растет. Однако при увеличении θ состав корней уравнения (2), находящихся в
полуплоскости Reλ > 0, постоянно обновляется. Следовательно, при θ → ∞ в уравнении (1) должна
происходить бесконечная последовательность бифуркаций рождения и смерти периодических решений.
Проделанный линейный анализ показывает, что наиболее естественная гипотетическая ситуация, которая может возникнуть в изучаемой динамической системе, следующая: при всех θ0+ < θ < θ0− уравнение (1)
имеет гладко зависящий от θ цикл
x = x0 (τ, θ), dτ /dt = ω0 (θ),
(7)
где 2π-периодическая по τ функция x0 (τ, θ), ∂x0 /∂τ 6≡ 0, и частота ω0 (θ) > 0 таковы, что
x0 (τ, θ0± ) ≡ 0, ω0 (θ0± ) = ω± ;
ω00 (θ) < 0 при θ0+ < θ < θ0− .
(8)
Условия (8) означают, что при увеличении θ цикл (7) сначала бифурцирует из нулевого состояния при
θ = θ0+ , а затем умирает на нем при θ = θ0− . С помощью принципа подобия можно построить и другие
циклы уравнения (1), бифурцирующие из нуля при увеличении θ. А именно фиксируем произвольное
натуральное n и при θ ∈ (θn+ , θn− ) рассмотрим уравнение
θ=n
2π
+ θ̃
ω0 (θ̃)
(9)
относительно θ̃. В силу условий (8) из (9) однозначно определяется монотонно возрастающая функция
θ̃ = ϕn (θ), причем
ϕn (θn+ ) = θ0+ , ϕn (θn− ) = θ0− .
(10)
Полагая, далее,
xn (τ, θ) = x0 (τ, θ̃)|θ̃=ϕn (θ) ,
убеждаемся, что на интервале
ωn (θ) = ω0 (θ̃)|θ̃=ϕn (θ) ,
θn+ < θ < θn−
(11)
(12)
уравнение имеет цикл
x = xn (τ, θ),
dτ /dt = ωn (θ),
(13)
для которого в силу (8), (10), (11) справедливы равенства
xn (τ, θn± ) ≡ 0, ωn (θn± ) = ω± .
(14)
Сопоставляя область неустойчивости (6) с интервалами (12) и учитывая равенства (14) при n =
0, 1, 2, ..., исчерпываются все циклы уравнения (1), бифурцирующие из его нулевого состояния равновесия при θ → ∞. Кроме того, с ростом n интервалы (12) начинают пересекаться во все большем числе,
а значит, и количество сосуществующих циклов (13) при θ → ∞ неограниченно растет.
Наша цель – показать реализуемость для уравнения (1) описанной выше ситуации и установить неограниченный рост при θ → ∞ числа сосуществующих устойчивых циклов (13).
Ясно, что проблема существования основного цикла (7) с требуемыми свойствами может быть локальной только при дополнительном предположении о малости
длины интервала (θ0+ , θ0− ). При фиксированp
4
ном a последнее имеет место, если k → k0 , где k0 = 1 − ω0 , так как в этом случае ω± → ω0 , а значит, и
θn− − θn+ → 0 при любом фиксированном n. Поэтому всюду ниже считаем, что в уравнении (1)
k = k0 + ε,
0 < ε ¿ 1.
(15)
Обозначим через ω± = ω± (ε) и θn± = θn± (ε), n > 0, корни уравнения (4) и величины (5) при условии (15).
Нетрудно увидеть справедливость асимптотических представлений
p
√
ω± (ε) = ω0 ± k0 /(2 − a2 ) ε + O(ε),
(16)
√
±
θ0 (ε) = θ0 ∓ ε ∆± (ε), ∆± (0) = ∆∗ ,
(17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
¡
¢±
√
√
где θ0 = arccos (ω02 − 1)/k0 ω0 , ∆± (ε) – некоторые аналитические по ε функции, а ∆∗ = k0 (2 + aθ0 )×
√ 2 −1
×(a 2 ω0 ) . Поэтому уместно положить
√
(18)
θ = θ0 + δ ε,
где параметр δ, порядка единицы, отвечает за изменение θ на интервале (θ0+ (ε), θ0− (ε)).
Произведем в уравнении (1) замену времени
√
τ = ω0 (ε, δ) t, ω0 (ε, δ) = ω0 + ε ω1 (δ) + ε ω2 (δ) + ...,
(19)
p
√
где ω0 = 1 − a2 /2, и будем искать его периодическое решение в виде ряда по целым степеням ε :
√
x = ε x0 (τ ) + εx1 (τ ) + ε3/2 x2 (τ ) + ε2 x3 (τ ) + ..., x0 (τ ) = ξ [eiτ + e−iτ ],
(20)
где ξ = ξ(δ) – неизвестная вещественная постоянная, подлежащая определению вместе с постоянными
ω1 , ω2 , ... в ходе алгоритма, а функции xj (τ ), j > 1, периодичны по τ с периодом 2π.
Подставляя ряд (20) вместе с равенствами (15), (18) в уравнение (1) и приравнивая коэффициенты
при ε, для x1 (τ ) получаем уравнение
¡
¢
Lx1 = −2ω1 (δ)ω0 ẍ0 (τ ) − a ω1 (δ) ẋ0 + k0 δω0 + ω1 (δ)θ0 ẋ0 (τ − α) + c1 k02 x20 (τ − α),
где α = ω0 θ0 и дифференциальный оператор имеет вид Lx = ω02 ẍ(τ ) + aω0 ẋ + x + k0 x(τ − α). Из этого
уравнения, в свою очередь, определяем
ω1 (δ) =
−aω0 δ
,
2 + aθ0
¡
¢
x1 = η1 [eiτ + e−iτ ] + c1 ξ 2 ζ0 + (ζ1 + iζ2 )e2iτ + (ζ1 − iζ2 )e−2iτ ,
(21)
где ζ0 = 2k02 /(1 + k0 ),
©
ª ©
ª
ζ1 = k02 (1 − 4ω02 ) cos 2α − 2aω0 sin 2α + k0 / (1 − 4ω02 + k0 cos 2α)2 + (2aω0 − k0 sin 2α)2 ,
ª
ª ©
©
ζ2 = −k02 (1 − 4ω02 ) sin 2α + 2aω0 cos 2α / (1 − 4ω02 + k0 cos 2α)2 + (2aω0 − k0 sin 2α)2 ,
а η1 — произвольная вещественная постоянная.
На следующем шаге, приравнивая коэффициенты при ε3/2 , приходим к линейному неоднородному
уравнению
¡
¢
¡
¢
Lx2 = −2ω0 ω1 (δ)ẍ1 − ω12 (δ) + 2ω2 (δ)ω0 ẍ0 − aω1 (δ)ẋ1 − aω2 (δ)ẋ0 + k0 δω0 + ω1 (δ)θ0 ẋ1 (τ − α)+
¡
¢
¡
¢2
k0
(22)
+k0 θ0 ω2 (δ) + δω1 (δ) ẋ0 (τ − α) − x0 (τ − α) −
ẍ0 (τ − α) δω0 + ω1 (δ)θ0 +
2
©
¡
¢
ª
+2c1 k02 x0 (τ − α)x1 (τ − α) − δω0 + ω1 (δ)θ0 x0 (τ − α)ẋ0 (τ − α) + c2 k03 x30 (τ − α).
Условие разрешимости найденного уравнения дает
³
´
³
´
ω2 (δ) 2ω0 sin α + k0 θ0 − a cos α = −ω1 (δ) ω1 (δ) sin α + k0 δ − 2ζ2 c21 k02 ξ 2 ,
ξ2 =
1 + ω12 (δ) sin2 α/ cos α
.
3c2 k03 + 2c21 k02 (ζ0 + ζ1 )
(23)
p
Заметим, что в выражении для ξ 2 знаменатель строго положителен. Действительно, k0 = 1 − ω04 > 0,
c2 > 0 – по условию, неравенство ζ1 > 0 делают очевидным следующие преобразования числителя ζ1
k02 (1 − 4ω02 ) cos 2α − 2aω0 k02 sin 2α + k03 = k02 + k03 − 4ω02 k02 cos2 α + 2k02 sin2 α =
= k02 + k03 − 4ω02 (ω02 − 1)2 + 2a2 ω02 = k02 + k03 + 2ω04 a2 > 0,
(24)
а значит, обоснована положительность знаменателя. Учитывая явный вид ω1 (δ) из (21), получаем, что
при δ ∈ (−∆∗ , ∆∗ ) ξ 2 > 0 и обращается в ноль на краях этого интервала. Описанный процесс может быть
продолжен неограниченно.
Следуя [1], для того чтобы придать изложенным формальным построениям строгий смысл, будем
считать, что в (15), (18) параметры ε, δ удовлетворяют неравенствам
0 < ε 6 ε0 ,
−∆+ (ε) < δ < ∆− (ε),
(25)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Явление буферности в уравнениях с запаздыванием
21
где ε0 > 0 фиксировано и достаточно мало, а функции ∆± (ε) заимствованы из (17).
При выполнении условий (15), (18) и при всех ε, δ, удовлетворяющих неравенствам (25), уравнение (1)
имеет экспоненциально орбитально устойчивый цикл
x = x0 (τ, ε, δ),
¯
x0 (τ, ε, δ)¯
≡ 0;
δ=∓∆± (ε)
dτ /dt = ω0 (ε, δ),
ω0 (ε, ∓∆± (ε)) = ω± (ε),
(26)
(27)
где 2π−периодическая по τ функция x0 (τ, ε, δ) и частота ω0 (ε, δ) раскладываются в ряды (19), (20), сходящиеся равномерно по δ из любого фиксированного отрезка
[δ1 , δ2 ] ⊂ (−∆∗ , ∆∗ ).
(28)
Отметим, что в нашей ситуации эти ряды сходятся лишь на отрезках (28), а не на самом интервале
(−∆+ (ε), ∆− (ε)). Связано это с тем, что в общем случае фигурирующая в (7) функция q
x0 (τ, θ) не является
q
гладкой по θ вплоть до значений θ = θ0± (при θ → θ0± ± 0 она имеет особенности вида θ − θ0+ и θ0− − θ
соответственно). Что же касается частоты ω0 (θ), то ее производная по θ заведомо существует и в точках
θ = θ0± . Отсюда из проделанных выше построений следует, что равномерно по −∆+ (ε) 6 δ 6 ∆− (ε)
√
−aω0 ε
∂ω0
(ε, δ) =
+ O(ε) < 0.
(29)
∂δ
2 + aθ0
Неравенство (29) позволяет применить к циклу (26) описанный выше принцип подобия. Действительно,
фиксируем произвольное натуральное n и при θ ∈ (θn− (ε), θn+ (ε)) рассмотрим аналогичное (9) уравнение
θ=n
√
2π
+ θ0 + ε δ
ω0 (ε, δ)
(30)
относительно δ. Из свойств (27) и (29) частоты ω0 (ε, δ) следует, что оно однозначно разрешимо, а его
решение δ = δn (θ, ε) ∈ (−∆+ (ε), ∆− (ε)) таково, что
δn (θn± , ε) = ∓∆± (ε).
(31)
Полагая, далее,
xn (τ, θ, ε) = x0 (τ, θ, ε)|δ=δn (θ,ε) ,
ωn (θ, ε) = ω0 (ε, δ)|δ=δn (θ,ε) ,
(32)
приходим к следующему утверждению.
Пусть выполнено условие (15). Тогда найдется такое достаточно малое ε0 > 0, что при всех 0 < ε 6 ε0
на каждом из интервалов
θn+ (ε) < θ < θn− (ε), n = 1, 2, ...,
(33)
уравнение (1) имеет цикл
x = xn (τ, θ, ε),
dτ /dt = ωn (θ, ε).
(34)
Отметим, что, в силу равенств (27), (31) и (32), циклы (34) обладают требуемыми свойствами (14)
xn (τ, θn± (ε), ε) ≡ 0,
ωn (θn± (ε), ε) = ω± (ε),
а значит, являются искомыми. Заметим, что поскольку параметры ε и δ независимы, то при фиксированном ε > √
0 и при θ → ∞ количество сосуществующих циклов (34) неограниченно увеличивается (имеет
порядок εθ). При этом, однако, их состав постоянно обновляется, так как каждый цикл "живет" лишь в
ячейке (33). Тем самым, при θ → ∞ наблюдается бесконечная последовательность бифуркаций рождения
и смерти указанных циклов.
Для того чтобы сформулировать результат, касающийся устойчивости построенных выше циклов, фиксируем произвольно два числа δ1 и δ2 , удовлетворяющие неравенствам
√
√
− ∆∗ / 3 < δ1 < δ2 < ∆∗ / 3,
(35)
и положим при n = 1, 2, ...
√
2π
+ θ0 + δ1 ε,
ω0 (ε, δ1 )
√
2π
θn∗∗ (ε) = n
+ θ0 + δ2 ε.
ω0 (ε, δ2 )
θn∗ (ε) = n
(36)
(37)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
Пусть выполнено условие (15). Тогда найдется достаточно малое ε0 = ε0 (δ1 , δ2 ) > 0 такое, что при всех
0 < ε 6 ε0 и при каждом n > 0 цикл (34) уравнения (1) экспоненциально орбитально устойчив на отрезке
θn∗ (ε) 6 θ 6 θn∗∗ (ε).
(38)
Для обоснования этого факта фиксируем произвольно номер n > 1 (случай n = 0 уже рассмотрен) и,
считая параметр θ меняющимся на отрезке (38), выполним в уравнении (1) замену времени τ = ωn (θ, ε)t,
а затем линеаризуем его на периодическом решении (34). Заменяя в получившемся линейном уравнении
запаздывание θ на правую часть формулы (30), приходим к уравнению
³
´
ω02 (ε, δ)ü + aω0 (ε, δ)u̇ + u = F 0 (k0 + ε)x0 (τ − h) (k0 + ε)u(τ − h − 2πn),
(39)
где
√
h = (θ0 + δ ε)ω0 (ε, δ),
(40)
ω0 (ε, δ), x0 (ε, δ) – функции, фигурирующие в (26), а параметр δ, принимающий, напомним, дискретные
значения δn (θ, ε), для удобства будем считать непрерывно меняющимся на некотором отрезке [δ1 , δ2 ],
концы которого удовлетворяют неравенствам (35).
Сложность, с которой сталкиваемся при исследовании мультипликаторов, связана с тем, что в силу
произвольности n величина запаздывания в нем может быть сколь угодно большой. Для преодоления этой
проблемы воспользуемся специальным приемом. Рассмотрим произвольное решение Ляпунова – Флоке
уравнения (39), т.е. решение вида
u = u0 (τ, ε, δ)eµτ ,
(41)
где µ – некоторое комплексное число, а 2π−периодическая по τ функция u0 удовлетворяет уравнению
³
´
(42)
ω02 (ε, δ)ü + aω0 (ε, δ)u̇ + u = ÃF 0 (k0 + ε)x0 (τ − h) (k0 + ε)u(τ − h),
в котором Ã = exp[−µ(2πn + h)]. Выполняя в нем замену u0 = ue−µτ , приходим к аналогичному (39)
уравнению
³
´
(43)
ω02 (ε, δ)ü + aω0 (ε, δ)u̇ + u = AF 0 (k0 + ε)x0 (τ − h) (k0 + ε)u(τ − h),
где A = exp[−2πn µ].
Будем считать величину A в уравнении (43) независимым комплексным параметром и обозначим через
ν(A, ε, δ) произвольный мультипликатор этого уравнения. Из связи уравнений (42) и (43) следует, что
фигурирующие в (41) характеристические показатели µ задаются равенствами
µ=−
1
ln A,
2πn
(44)
где A – корни уравнений вида
A1/n ν(A, ε, δ) = 1.
(45)
Обращаем внимание, что при A = 1 уравнение (43) представляет собой уравнение в вариациях на
экспоненциально орбитально устойчивом цикле (26). Поэтому все его мультипликаторы (за исключением
простого единичного) по модулю меньше единицы. Тем самым, значение A = 1 заведомо является корнем
одного из уравнений (45). Ясно также, что интересующий нас цикл (32) будет экспоненциально орбитально
устойчивым, если, во-первых, этот корень единственный и простой; во-вторых, все уравнения (45) не
имеют корней, принадлежащих множеству
{A ∈ C : |A| 6 1, A 6= 1}.
(46)
Последнее же условие заведомо выполняется, если при всех A из множества (46) и при значениях
параметра δ из рассматриваемого отрезка каждый мультипликатор ν(A, ε, δ) уравнения (43) удовлетворяет
оценке
|ν(A, ε, δ)| < 1.
(47)
Итак, наша задача сводится в первую очередь к проверке неравенств (47) для мультипликаторов
вспомогательного уравнения (43), которое уже не содержит сколь угодно большого запаздывания. Соответствующий анализ разобьем на два этапа.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Явление буферности в уравнениях с запаздыванием
23
На первом этапе положим в (43) ε = 0. В результате в силу (40) приходим к уравнению с постоянными
коэффициентами
ω02 ü + aω0 u̇ + u = −k0 Au(τ − α),
(48)
для которого выполнение условий (47) означает принадлежность полуплоскости Reλ < 0 всех корней
характеристического уравнения
ω02 λ2 + aω0 λ + 1 = −k0 Ae−αλ .
(49)
Далее, для того чтобы убедиться в требуемом свойстве корней этого уравнения, подставим в него
λ = iω, где ω ∈ R, ω 6= 0, и возьмем модули от левой и правой частей получившегося соотношения. В
результате приходим к равенству
ω04 (ω 2 − 1)2 = k02 (|A|2 − 1),
(50)
которое заведомо невозможно при |A| < 1. Если же |A| = 1, то из (50) с необходимостью следует, что
ω = ±1. И наконец, остается заметить, что корни λ = ±i уравнение (49) имеет только в случае A = 1.
Проделанный анализ показывает, что при значениях параметра A из множества (46) у уравнения (49)
нет корней на мнимой оси. А отсюда следует, что при всех интересующих нас A его корни расположены
так же, как и при A = 0, т.е. имеют отрицательные действительные части. Тем самым, для завершения
проверки условий (47) остается рассмотреть случай, когда независимо друг от друга ε → 0 и A → 1.
На втором этапе положим в (43) A = 1 + z, z = −z1 + iz2 , где в соответствии с (46) вещественные
параметры z1 , z2 таковы, что
q
0 < z1 ¿ 1,
|z2 | 6
2z1 − z12 .
(51)
В итоге получим уравнение
ω02 (ε, δ)ü + aω0 (ε, δ)u̇ + u = (1 + z)(k0 + ε)F
0
³
´
(k0 + ε)x0 (τ − h) u(τ − h).
(52)
Как было показано выше, при ε = z = 0 это уравнение допускает периодические решения u = e±iτ . Все
же остальные его решения Ляпунова – Флоке эспоненциально затухают при τ → +∞. Следовательно, при
0 < ε ¿ 1, |z| ¿ 1 уравнение (1) имеет двумерное подпространство решений, базисом в котором являются
элементы матрицы-строки вида
³
´
u = V (τ, δ, ε, z) exp D(δ, ε, z)τ , V (τ + 2π, δ, ε, z) ≡ V (τ, δ, ε, z).
(53)
Здесь V = [v1 , v2 ], D – двумерная квадратная матрица, причём
V (τ, δ, 0, 0) = [eiτ , e−iτ ],
D(δ, 0, 0) = 0.
(54)
√
Фигурирующие в (53) матрицы считаем аналитически зависящими от ε и z, что можно сделать в соответствии с [1]. То есть проверка условий (47) свелась в конечном итоге к проверке гурвицевости фигури√
рующей в (53) матрицы D, что требует знания нескольких членов ее тейлоровского разложения по ε и
z. Для их нахождения подставим равенство (53) вместе с представлениями
√
√
D = εD1 + zD2 + εD3 + εzD4 + z 2 D5 + ...,
(55)
√
√
V = V0 + εV1 + zV2 + εV3 + εzV4 + z 2 V5 + ...,
где
V0 = [eiτ , e−iτ ],
Vj = [v1,j , v2,j ],
j = 1, ..., 5,
√
в уравнение (52) и будем последовательно приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях ε и z.
В результате для v1,j , v2,j получим рекуррентную последовательность линейных неоднородных уравнений
вида (22), а неизвестные элементы матриц Dj определяем из условий разрешимости этих уравнений в
классе 2π−периодических функций. Опуская вычисления, приведем сразу окончательный результат:
µ
¶
1 + γ1 1 + γ1
D1 = 0, D2 = d2 diag{1, 1}, D3 = d3
,
1 + γ̄1 1 + γ̄1
(56)
D4 = d4 diag{ieiα − i/ cos α, −ie−iα + i/ cos α},
D5 = d5 diag{γ2 + eiα , γ2 + e−iα },
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
где
d2 = a(ω0 (2 + aθ0 ))−1 ,
2c21
(ζ0 + ζ1 + iζ2 ),
3c2 k0
θ0 k0 (aθ0 + 4)
γ2 = −
.
2a
d3 = −3c2 k02 d2 ξ 2 ,
d4 = −d22 Ω1 sin α,
d5 =
d32 ω02
,
k0
γ1 =
Вычисление коэффициентов рядов (55) можно продолжать неограниченно. Однако приведенной информации (56) уже достаточно для исследования расположения собственных значений матрицы D(δ, ε, z).
Чтобы убедиться в этом, введем в рассмотрение матрицу
¢
¡
√
(57)
D̃ = D − i z2 d2 + εd3 Imγ1 − z2 d4 sin α ε − 2z1 z2 d5 (γ2 + cos α) I,
где I – единичная матрица. Рассмотрим, далее, ее характеристический многочлен
³
´
λ2 + p1 (δ, ε, z) + ip2 (δ, ε, z) λ + q1 (δ, ε, z) + iq2 (δ, ε, z) = 0,
(58)
где pj , qj , j = 1, 2, – вещественные функции, и остановимся на некоторых общих свойствах его коэффициентов.
Поскольку при z = 0 уравнение (52) представляет собой линеаризацию на устойчивом цикле (26), то
одно собственное значение матрицы D̃(δ, ε, 0) нулевое, а другое – вещественно и отрицательно. А отсюда
следует, что
q1 (δ, ε, 0) ≡ q2 (δ, ε, 0) ≡ p2 (δ, ε, 0) ≡ 0.
(59)
Из вещественности коэффициентов уравнения (52) при z ∈ R для собственных значений λj (δ, ε, z)
матрицы (57) вытекают равенства
λj (δ, ε, z̄) = λ̄j (δ, ε, z), j = 1, 2 ,
(60)
из которых, в свою очередь, заключаем, что
p1 (δ, ε, z̄) = p1 (δ, ε, z),
q1 (δ, ε, z̄) = q1 (δ, ε, z).
(61)
Подставляя в формулу (57) найденный выше отрезок тейлоровского разложения матрицы D, учитывая свойства (59) и (61) коэффициентов pj , qj , j = 1, 2, и связь между параметрами z1 , z2 , приходим к
асимптотическим представлениям:
где
p1
√
p2 / z1
=
=
q1 /z1
=
q2 /z1
=
c̃1
=
d˜1
=
d˜2
=
√
c̃1 z1 + c̃2 ε + O(ε3/2 + z1 ε + z12 ),
√
O(ε + εz1 + z1 ),
√
d˜1 ε + d˜2 z1 + O(ε3/2 + z1 ε + z12 ),
√
√
3/2
O(z1 + εz1 + ε z1 + ε3/2 ),
(62)
z22
d5 (γ2 + cos α)),
c̃2 = −2d3 (1 + Re γ1 ),
z1
¢
¡
z 2 sin4 α
z2
,
−2d3 (1 + Re γ1 ) d2 + d5 2 (γ2 + cos α) −d42 2
z1
z1 cos2 α
¡
¢2 z 4
z2
d2 + 2 d5 (γ2 + cos α) + 22 d5 sin2 α.
z1
z1
(63)
2(d2 +
Полученные равенства дают возможность убедиться в гурвицевости полинома, т.е. в выполнении условий
p1 > 0, q1 p12 − q22 + p1 p2 q2 > 0.
(64)
Действительно, учтём в формуле для p1 явный вид коэффициентов dj , j = 2, 5; выражение для с̃1 рассмотрим в самом худшем случае, т.е. при z22 /z1 = 2, и для с̃2 учтем преобразования (24). Убеждаемся в
справедливости оценок
c̃1 =
(ω02
16d2 ω02
> 0,
+ 1)(2 + aθ0 )2
c̃2 = 2d2 ξ 2 (3c2 k02 + 2c21 k0 (ζ0 + ζ1 )) > 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Явление буферности в уравнениях с запаздыванием
25
Для проверки второго требования нам достаточно убедиться в положительности d˜1 , поскольку положительность d˜2 очевидна. Неравенство d˜1 > 0 также в самом худшем случае, при z22 /z1 = 2, с учетом формул
(55) и явного вида (23) амплитуды ξ(δ) преобразуется к условию
√
|δ| < ∆∗ / 3,
(65)
cправедливому при всех δ ∈ [δ1 , δ2 ] в силу выбора параметров δ1 , δ2 (см. (28)).
Итак, для мультипликаторов ν(A, ε, δ) уравнения (43) при всех значениях параметра A из множества
(46) установлены оценки (47). Главная трудность преодолена, однако для завершения следует еще убедиться в простоте корня A = 1 соответствующего уравнения (45). С этой целью заметим, что из простоты
единичного мультипликатора уравнения (43) при A = 1 вытекает существование у него при всех A, близких к единице, простого мультипликатора ν = ν0 (A, ε, δ), ν0 (1, ε, δ) ≡ 1. Заметим также, что, как следует
из проделанного выше анализа,
ν0 (1 + z, ε, δ) = exp(2πλ0 (δ, ε, z)),
(66)
где λ0 – собственное значение матрицы D(δ, ε, z), обладающее свойствами:
√
∂λ0
(δ, ε, 0) = d2 + O( ε).
∂z
(67)
√
1
∂ν 0
1
+
(1, ε, δ) = + 2 πd2 + O( ε) 6= 0,
n
∂A
n
(68)
λ0 (δ, ε, 0) ≡ 0,
Объединяя (62), (64), приходим к неравенству
означающему требуемую простоту корня A = 1 уравнения (45) при ν = ν0 (A, ε, δ). Что и требовалось
доказать.
Подведем итог. Проведенный анализ показывает, что при фиксированном ε > 0 и при θ → ∞ отрезки
(38) начинают пересекаться во все большем количестве, а значит, у рассматриваемой системы неограниченно растет число сосуществующих устойчивых циклов (34). Причем состав циклов при росте запаздывания постоянно обновляется, так как каждый из них "живет" лишь в ячейке (33). Стоит также отметить,
что все периодические решения (34) получаются с помощью описанного выше принципа подобия из одного
уникального цикла (26).
Список литературы
1. Мищенко, Е.Ф. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией / Е.Ф. Мищенко, В.А. Садовничий, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
2. Хейл, Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Дж. Хейл. — М.: Мир, 1984.
The Buffer Phenomenon in one delay differential equation
Sandulyak D.V.
A scalar differential-difference equation representing a mathematical model of single-valued RCL-generator
with delay in feed-back circuit is considered. We establish that the number of stable periodical solutions grows
up unrestrictedly when delay tends to infinity provided that other parameters are fixed.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модел. и анализ информ. систем. Т.15, №2 (2008) 26–30
УДК 519.246.85+330.43
Проблемы статистической оценки экономических явлений
Спиридонова Е. М.
Ярославский государственный университет
150 000, Ярославль, Советская, 14
e-mail: lena@uniyar.ac.ru
получена 13 марта 2008
Аннотация
Рассматривается проблема автокорреляции, часто возникающая в уравнениях регрессии, построенных по данным временны́х рядов. Объясняются возможные причины ее появления в моделях, описывающих экономические явления. Характеризуются последствия автокорреляции, способы ее обнаружения и методы устранения. Предлагается способ пересчета коэффициентов для динамических моделей
без использования специальных статистических пакетов.
(Экономические) данные плохие,
но мы научились жить с ними и
приспосабливаемся к их недостаткам.
Цви Грилихес (Zvi Griliches)
Понятие автокорреляции
Для моделирования экономических процессов по данным динамических выборок используются регрессионные зависимости вида
Yt = α + β1 X1t + β2 X2t + · · · + βk Xkt + ut ,
где Y — изучаемый показатель (зависимая переменная), Xj — влияющие на него факторы (независимые
переменные), u — случайный член, t — счетчик периодов.
Параметры регрессии оцениваются методом наименьших квадратов (МНК), в результате чего получается уравнение
Yˆt = a + b1 X1t + b2 X2t + · · · + bk Xkt ,
где a и bj — оценки теоретических значений параметров регрессии (α и βj соответственно).
Согласно [1, §3.3], чтобы регрессионный анализ по МНК давал наилучшие результаты, случайный член
u должен удовлетворять четырем условиям Гаусса–Маркова, среди которых есть предположение о том, что
случайный член в любом наблюдении определяется независимо от его значений в других наблюдениях.
Это (третье) условие Гаусса–Маркова заключается в отсутствии связи между остатками в различных
наблюдениях: pop.cov(ui , uj ) = 0, ∀ i6=j. Когда это условие не выполняется, говорят, что случайный член
подвержен автокорреляции (или сериальной корреляции).
Последствия автокорреляции
Согласно теореме Гаусса–Маркова (в формулировке из [1, §3.6]), если все четыре условия Гаусса–
Маркова и условие нормальности распределения случайного члена выполнены, то коэффициенты регрессии, построенной по МНК, будут наилучшими линейными несмещенными оценками (best linear unbiased
estimators). То есть МНК-оценки являются наиболее эффективными в классе всех несмещенных оценок.
Однако в доказательстве несмещенности оценок коэффициентов используются только первое и четвертое
условия.
Следовательно, при нарушении третьего условия Гаусса–Маркова (т.е. при наличии в модели автокорреляции) коэффициенты регрессии, оцененной по МНК, остаются несмещенными, но становятся неэффективными; их стандартные ошибки оцениваются неправильно (в большинстве случаев — занижаются),
а, значит и t–статистики, на основании которых делаются выводы о значимости коэффициентов, будут
некорректными (чаще — завышенными).
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проблемы статистической оценки экономических явлений
27
Причины возникновения автокорреляции
Проблема автокорреляции встречается только при анализе динамических рядов данных, для перекрёстных выборок она не актуальна. Различают положительную (в простейшем случае однофакторной
модели график последовательно соединенных фактических уровней пересекает линию регрессии слишком
редко) и отрицательную автокорреляцию (наоборот, — значительно чаще, чем это можно было бы ожидать в случае независимости остатков). Также выделяют автокорреляцию первого порядка (зависимость
между остатками соседних наблюдений ut и ut−1 ) и более высоких порядков (между ut и ut−s ); последняя
возникает довольно редко, при использовании слишком мелких временны́х промежутков.
На практике чаще всего встречается положительная автокорреляция первого порядка, причиной которой обычно является постоянная направленность воздействия не включенных в уравнение переменных. К
похожим результатам приводят изменения экономической конъюнктуры, что отражается в циклах деловой активности в макроэкономическом анализе (подробнее описано в [3]), или сезонный характер явления.
При этом важно отметить, что автокорреляция представляет собой тем бо́льшую проблему, чем меньше
интервал между наблюдениями.
Обнаружение автокорреляции
Для определения наличия в модели автокорреляции первого порядка используется статистика Дарбина–
Уотсона (Durbin, Watson):
T
P
2
(et − et−1 )
t=2
DW =
,
(1)
T
P
e2t
t=1
где et = Yt − Yˆt — регрессионные «остатки», т.е. разница между фактическими и теоретическими (полученными по уравнению) значениями Yt ; T — объем выборки (количество периодов).
При достаточно больших T : DW ≈ 2(1 − ρ̂), где ρ̂ — оценка коэффициента корреляции между остатками соседних наблюдений. Таким образом, 0 ≤ DW ≤ 4: при отсутствии автокорреляции DW ≈ 2, при
положительной автокорреляции DW → 0, при отрицательной — DW → 4.
Чтобы определить, достаточно ли близко полученное значение DW к указанным цифрам, используют
таблицы d–статистики Дарбина–Уотсона, где для заданного уровня доверия α, числа наблюдений T и
количества переменных k находят критические значения dL и dU .
Выдвигается «нулевая» гипотеза H0 : pop.cov(ut , ut−1 ) = 0, т.е. автокорреляции первого порядка нет.
Возможны следующие ситуации:
• если dU < DW < (4 − dU ) , то H0 не отвергается;
• если DW < dL , то H0 отвергается с вероятностью (1−α) , в модели положительная автокорреляция;
• если DW > (4 − dL ) , то H0 отвергается с вероятностью (1 − α) , в модели отрицательная автокорреляция;
• если dL ≤ DW ≤ dU или (4 − dU ) ≤ DW ≤ (4 − dL ) , то статистика Дарбина–Уотсона попала в
«зону неопределенности» и попытаться изменить эту ситуацию можно, лишь выбрав другой уровень
доверия α.
Устранение автокорреляции
Предполагается, что спецификация модели правильная, но в ней имеется автокорреляция первого
порядка, т.е. зависимость вида: ut = ρ ut−1 + εt . Если бы величина ρ была известна, то автокорреляция
могла бы быть устранена с помощью авторегрессионной процедуры, описанной в [2, §19.4]:
Yt = α + β1 X1,t + β2 X2,t + · · · + βk Xk,t + ut ,
Yt−1 = α + β1 X1,t−1 + β2 X2,t−1 + · · · + βk Xk,t−1 + ut−1 ,
Yt − ρ Yt−1 = α(1 − ρ) + β1 (X1,t − ρ X1,t−1 ) + · · · + βk (Xk,t − ρ Xk,t−1 ) + (ut − ρ ut−1 )
⇒ Ỹt = α̃ + β1 X̃1,t + · · · + βk X̃k,t + εt ; где Ỹt = Yt − ρ Yt−1 , X̃j,t = Xj,t − ρ Xj,t−1 , α̃ = α(1 − ρ).
(2)
В последнем уравнении (с новыми переменными Ỹt и X̃j,t ) автокорреляции уже нет, т.к. собственнослучайный член εt ей не подвержен. При этом оценки коэффициентов βj при переменных Xj получаются
непосредственно из модели с новыми переменными, «искажается» только значение α, которое легко «восстановить»: α = α̃/(1 − ρ).
Тем не менее, остаются две проблемы:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
1. Если данные, предшествующие первому наблюдению, неизвестны, то не удается вычислить значения
Ỹ1 и X̃j,1 . Тем самым «теряется» первое наблюдение, а следовательно, уменьшается число степеней
свободы, что может вызвать потерю эффективности, «перевешивающую» повышение эффективности от устранения автокорреляции.
2. На практике значение ρ заранее неизвестно, его оценку необходимо получить одновременно с оценками параметров модели α и βj .
Первую из указанных проблем
пользуясь так называемой
поправкой Прайса–Уинстена
p можно «обойти», p
p
[Prais, Winsten, 1954]: Ỹ1 = Y1 1 − ρ2 , X̃j,1 = Xj,1 1 − ρ2 , α̃ = α 1 − ρ2 .
Для решения второй проблемы (получения оценки ρ) существует несколько стандартных подходов,
наиболее популярными из которых являются два: метод Хилдрета–Лу и процедура Кокрана–Оркатта.
Метод Хилдрета–Лу (Hildreth–Lu procedure for autocorrelation).
Регрессия Ỹt (X̃j,t ) оценивается для каждого значения ρ в заданном диапазоне и с заданным шагом
внутри него. Например, можно задать максимальный диапазон: от (-1,00) до (+1,00) с шагом 0,01. То
есть по сути осуществляется простой перебор всех возможных значений ρ. Лучшим признается значение
ρ, дающее min стандартной ошибки для преобразованного уравнения.
Метод Кокрана–Оркатта (Cochrane–Orcutt iterative procedure).
Представляет собой итеративный процесс, включающий следующие этапы:
1. Оценивается регрессия Yt = α + Σ(βj Xj,t ) + ut с исходными, непреобразованными данными, в результате чего получается оценка: Ŷt = a0 + Σ(b0j Xj,t ).
2. Вычисляются остатки: et = Yt − Ŷt = Yt − a0 − Σ(b0j Xj,t ).
3. Оценивается регрессионная зависимость между остатками соседних наблюдений et (et−1 ) (в соответствии с формулой: ut = ρ ut−1 + εt ); в результате получается оценка: et = r1 et−1 .
4. Используя полученную оценку r1 , выражение Yt (Xj,t ) преобразуют согласно авторегрессионной схеме (2) в Ỹt (X̃j,t ), где Ỹt = Yt − r1 Yt−1 , X̃j,t = Xj,t − r1 Xj,t−1 , а свободный член — α̃ = α(1 − r1 ).
5. Выражение Ỹt (X̃j,t ) оценивается МНК, в результате чего получается оценка: Ỹt = ã1 + Σ(b1j X̃j,t ).
Далее процесс повторяется со 2-го этапа до тех пор, пока на двух соседних итерациях оценки коэффициентов не совпадут с заданной точностью. Итеративный процесс Кокрана–Оркатта всегда сходится (на
практике — не более чем за 20–30 итераций).
В современных статистических пакетах, как правило, реализован один из вышеописанных методов
ликвидации автокорреляции по авторегрессионной схеме. Так, автором используется специализированный
пакет Micro TSP, в котором предусмотрена возможность автоматического запуска процедуры Кокрана–
Оркатта с поправкой Прайса–Уинстена (CO–PW).
Реализация авторегрессионной процедуры
К сожалению, в популярном табличном процессоре MS Excel не предусмотрена возможность выявления и ликвидации автокорреляции. Даже в специализированной статистической надстройке «Пакет анализа» нет такого важного показателя, как DW –статистика. В общем случае расчет статистики Дарбина–
Уотсона в Excel несложно (в несколько действий, используя стандартные встроенные функции) произвести по формуле (1), предварительно рассчитав параметры обычной регрессии. А вот реализовать в Excel
авторегрессионную процедуру можно, лишь написав соответствующий макрос, причем в этом случае
предпочтительным (более простым для реализации) представляется перебор всех возможных значений ρ
согласно методу Хилдрета–Лу. Очевидно, далеко не все аналитики–экономисты, занимающиеся построением статистических моделей и оценкой их качества, имеют достаточную программистскую подготовку
для реализации подобных процедур в среде MS Excel, т.е., обнаружив в модели наличие автокорреляции,
они испытывают определенные трудности с ее ликвидацией, при этом не желая отказываться от использования «электронных таблиц» (в пользу какого–нибудь специализированного пакета) в силу их простоты
и доступности.
Однако для определенного вида динамических моделей можно предложить другой, не требующий специальных, нестандартных действий способ оценки ρ и необходимой корректировки коэффициентов регрессии. Речь идет о часто используемых для прогнозирования экономических явлений моделях вида Y (t), где
t — временно́й параметр, который обычно представляют как порядковый номер периода: t = {1, 2, . . . , n}.
Поясним, как именно в подобных моделях можно «заменить» авторегрессионную процедуру.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Проблемы статистической оценки экономических явлений
29
Итак, пусть рассматривается простейшая динамическая модель вида Y (t) = α + β t + ut , и пусть DW –
статистика показала, что случайный член ut этой модели подвержен автокорреляции первого порядка.
Тогда, согласно (2), авторегрессионные преобразования будут выглядеть следующим образом:
Yt = α + β t + ut ;
Yt−1 = α + β(t − 1) + ut−1 ,
Yt − ρ Yt−1 = α(1 − ρ) + β(t − ρ(t − 1)) + (ut − ρ ut−1 )
(3)
⇒ Ỹt = α̃ + β̃ t + εt ; где Ỹt = Yt − ρ Yt−1 , t̃ = t(1 − ρ) + ρ, α̃ = α(1 − ρ).
(4)
Теперь перепишем уравнение (3) по-другому, сгруппировав коэффициенты при переменных:
Yt = α(1 − ρ) + β t − βρ t + βρ + ρ Yt−1 + (ut − ρ ut−1 )
⇒ Yt = α̌ + β̌ t + ρ Yt−1 + εt ; где α̌ = α(1 − ρ) + βρ, β̌ = β(1 − ρ).
(5)
Таким образом, формулы (4) и (5) эквивалентны друг другу. Следовательно, вместо применения авторегрессионной процедуры в динамических моделях вида Y (t) можно предложить произвести оценку
регрессии Yt (t, Yt−1 ) обычным МНК, что легко осуществить средствами Excel, тем самым получив непосредственно оценку ρ как коэффициента при лаговой переменной Yt−1 . При этом параметры исходной
модели легко «восстановить» из полученных оценок ρ, β̌ и α̌:
β=
β̌
α̌ − βρ
; α=
.
1−ρ
1−ρ
(6)
Коэффициенты, пересчитанные по формуле (6), уже будут «скорректированными», как если бы модель
подверглась авторегрессионным преобразованиям.
Для наглядности поясним сделанные математические выкладки на конкретном примере.
Рассмотрим макроэкономические показатели США1 за период с 1959 по 1994 гг. [National Income
and Product Accounts of the U.S.; http://www.economagic.com/nipa.htm и др. ресурсы]. В частности, оценим функцию потребления продуктов питания в динамике. Предварительный анализ выявил, что более
подходящей формой зависимости оказалась экспоненциальная функция: Y = α eβt v, где v — мультипликативный случайный член, а коэффициент β характеризует средний темп прироста явления за период.
Указанная функция может быть легко линеаризована логарифмированием: ln Y = ln α + β t + u, и к преобразованным переменным (ln Y вместо Y ) применяется обычная линейная регрессия, в результате чего
получается уравнение: ln Y = a + b t, которое затем потенцируется к исходному виду: Y = ea ebt .
В соответствии с этим по фактическим данным была получена следующая зависимость (второй строкой приведены ее основные статистические характеристики):
ln Yt = 5, 776791 + 0, 0181285 t ⇒
R2 = 0, 975014; F = 1326, 8; t(b) = 36, 425, t(a) = 547, 058; DW = 0, 275233
⇒ Yt = e5,777 e0,018t .
(7)
Интерпретация модели: потребление продуктов питания в США в период 1959–1994 гг. росло на 1,8% в
среднем за год. Качество модели: формальные статистические характеристики (коэффициент детерминации R2 , F –статистика и t–статистики) свидетельствуют о высоком качестве полученной зависимости. Но
дальнейший анализ — проверка на наличие автокорреляции, которая предположительно имеет место в подобных макроэкономических моделях, с помощью статистики Дарбина–Уотсона — показал, что в модели
с вероятностью 99% присутствует положительная автокорреляция первого порядка (для 36 наблюдений
и одной переменной критические значения: dL = 1, 21, dU = 1, 32; DW < dL ). То есть зависимость (7)
нельзя признать качественной, т.к. в ней получены неэффективные оценки коэффициентов a и b.
Для ликвидации этой проблемы была использована процедура CO–PW в пакете Micro TSP, в результате чего были получены следующие показатели:
ln Yt = 5, 816327 + 0, 0166499 t ⇒
R2 = 0, 993143; F = 2317, 3; t(b) = 8, 159, t(a) = 101, 574; DW = 1, 332825
⇒ Yt = e5,816 e0,017t .
(8)
1 К сожалению, найти аналогичные сопоставимые данные по России за достаточно продолжительный период времени не
представляется возможным; модели получаются весьма низкого качества, что не позволяет их адекватно интерпретировать.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
Отметим, что в результате авторегрессионной процедуры параметры регрессии немного скорректировались: средний темп прироста спроса на продукты питания составляет 1,665% в год. Судя по R2 и F ,
качество модели еще повысилось. И хотя значения t–статистик оказались ниже, чем в предыдущей модели, они по-прежнему свидетельствуют о значимости коэффициентов. На самом деле, нельзя говорить
о снижении качества по данному показателю, т.к. t–статистики в модели (7) были несколько завышены
из-за наличия автокорреляции. Таким образом, модель (8) явно превосходит по качеству предыдущую, и
полученные в ней, «исправленные» значения параметров регрессии следует признать более корректными.
Теперь продемонстрируем, как можно было получить «правильные» значения параметров регрессии (8), не прибегая к использованию специального статистического пакета. С помощью обычного МНК
оценим регрессию от двух переменных: временно́го фактора и зависимой переменной с лагом в один
период, т.е. Yt (t, Yt−1 ):
ln Yt = 0, 857054 + 0, 0024128 t + 0, 855095 ln Yt−1 ;
R2 = 0, 993143; F = 2317, 3; t(b1 ) = 1, 475, t(b2 ) = 9, 652, t(a) = 1, 680; DW = 1, 332833.
(9)
Отметим, что по качеству последняя зависимость уступает предыдущей: судя по t–статистике значимым
оказался только коэффициент при лаговой переменной Yt−1 . При этом остальные характеристики (R2 ,
F и DW ) в моделях (8) и (9) совпали (небольшие расхождения в DW объясняются ошибками округления), что вполне естественно. Однозначно интерпретировать полученные в (9) значения коэффициентов
сложно: коэффициент b2 при переменной Yt−1 дает оценку ρ — коэффициента корреляции между остатками соседних наблюдений (r = 0, 855 — сильная прямая связь); экономический же смысл коэффициентов
этой модели не очевиден, поэтому они не интерпретируются, а используются для дальнейших пересчетов.
Пересчет произведем согласно формулам (6):
b=
b̌
0, 0024128
ǎ − b r
0, 857054 − 0, 01665 · 0, 855095
=
= 0, 01665; a =
=
= 5, 8.
1−r
1 − 0, 855095
1−r
1 − 0, 855095
Очевидна полная идентичность результатов пересчета коэффициентов регрессии по методу Кокрана–
Оркатта, представленных в регрессии (8) и в регрессии (9) с лаговой зависимой переменной, что и было
показано выше в общем виде.
Список литературы
1. Доугерти, Кр. Введение в эконометрику: Пер. с англ. / Кр. Доугерти. —М.: ИНФРА-М, 1999. — 402 с.
2. Замков, О.О. Математические методы в экономике / О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. — М.: МГУ им. М.В.Ломоносова; Дело и Сервис, 1999. — 368 с.
3. Zamkov, О.О. Econometric methods in macroeconomic analysis / O.О. Zamkov. — М.: Диалог-МГУ, 1999.
— 115 с.
On the problems of statistical estimation of economical models
Spiridonova E.M.
The problem of autocorrelation often arising in regression equations, constructed according to time series,
is considered. We explain the possible reasons of its occurrence in the economical models and characterize the
consequences of autocorrelation and methods of its detection and elimination. We offer the method of coefficient
recalculation for dynamic models without special statistical software.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модел. и анализ информ. систем. Т.15, №2 (2008) 31–35
УДК 517.9
Буферность в уравнениях второго порядка
с большим запаздыванием
Кащенко И. С.1
Ярославский государственный университет
150 000, Ярославль, Советская, 14
e-mail: iliyask@uniyar.ac.ru
получена 18 марта 2008
Аннотация
Изучается локальная динамика дифференциального уравнения второго порядка с большим запаздыванием. Метод исследований основывается на методе нормальных форм. Показано, что роль
нормальных форм в критических случаях, которые имеют бесконечную размерность, играют семейства уравнений параболического типа. Аналитически обосновано, что у таких уравнений одновременно
может существовать любое количество устойчивых периодических режимов. Приведены результаты
численного анализа.
Введение
Дифференциальные уравнения с запаздыванием служат математическими моделями для многих прикладных задач [1–4]. Среди них важное место занимают системы, в которых время запаздывания относительно велико. Для уравнений с запаздыванием характерно наличие многих специфических эффектов
и явлений, обусловленных тем, что фазовое пространство является бесконечномерным.
Важно отметить, что задачи о локальной динамике сингулярно возмущенных систем с запаздыванием
могут быть достаточно сложными и специфичными. В настоящей работе развивается метод исследования
локальной динамики в окрестности состояния равновесия, предложенный в [5–7] и развитый в [8]. Основная задача — показать существование у уравнения второго порядка с запаздыванием явления буферности.
Суть феномена буферности заключается в том, что при подходящем выборе параметров в системе может
сосуществовать любое наперед заданное количество однотипных аттракторов, в данном случае речь будет
идти о колебательных режимах (см. [9]).
Итак, мы будем изучать поведение решений в окрестности нулевого состояния равновесия
дифференциально-разностного уравнения
d2 x
dx
+σ
+ x = F (x(t − T )),
2
dt
dt
при условии, что запаздывание достаточно велико, т.е. T À 1. Будем считать, что σ > 0 (это условие дает
затухание всех решений при F ≡ 0), а функция F (x) в окрестности нуля обладает нужными свойствами
гладкости, т.е. ее можно представить в виде
F (x) = ax + f2 x2 + f3 x3 + . . .
(1)
Удобно через ε обозначить малый положительный параметр ε = T −1 ¿ 1. В исходном уравнении
произведем замену времени t → T t. В результате придем к уравнению
ε2
dx
d2 x
+ ε2 σ
+ x = F (x(t − 1)).
dt2
dt
(2)
Поставим вопрос об исследовании поведения всех решений уравнения (2) при всех t ≥ 0 в некоторой
достаточно малой, но не зависящей от ε, окрестности нулевого состояния равновесия.
Поведение решений уравнения (2) определяется во многом расположением корней характеристического
квазиполинома линеаризованного в нуле уравнения
ε2 λ2 + σελ + 1 = ae−λ .
(3)
1 Работа выполнена при финансовой поддержке целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы»
(проект РНП.2.1.1.630).
31
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
32
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
В [7] показано, что этот квазиполином имеет корни, стремящиеся к мнимой оси, и не имеет корней с
положительной вещественной частью, отделенных от мнимой оси, когда a близко к ±a(σ). Величина a(σ)
определяется следующим образом:
√
½
1,p
σ > √2,
a(σ) =
σ 1 − σ 2 /4, σ < 2.
√
√
Рассмотрим по отдельности случаи σ > 2 и σ < 2.
§1. “Низкочастотные” колебания
√
Рассмотрим слуйчай, когда σ > 2. Тогда критический случай реализуется при значении |a|, близком
к 1. Ситуация, когда параметр a близок к 1, не представляет интереса. Остановимся подробнее на случае
a = −(1 + µa1 ) (0 < µ ¿ 1). При таких a характеристический квазиполином (3) имеет бесконечное
количество корней, действительная часть которых стремится к нулю при ε, µ → 0. По аналогии с [8] нам
удобно будет представить эти корни в следующем виде:
λk (ε) =
ω(2k − 1)i
+ θ(2k − 1)i + (ε1−γ σω(2k − 1)i + o(ε1−γ + µ))i−
εγ
(σ 2 − 2)ω 2 (2k − 1)2
−ε2−2γ
+ µa1 o(ε2−2γ + µ), k ∈ Z.
2
Здесь ω > 0, 0 < γ < 1 — произвольные фиксированные числа, θ = θ(ε, ω, γ) ∈ [0, 2π) таково, что ωε−γ + θ
нечетно кратно π. Остальные корни (3) расположены в левой комплексной полуплоскости и отделены от
мнимой оси при малых ε и µ.
Пусть µ = εp (0 < p < 2). Положим тогда γ = 1 − p/2 и выберем произвольно ω > 0. Используя
формализм метода нормальных форм (см. [10]), произведем в (2) замену
x(t, ε) = εp/2 u(r, τ ) + εp x2 (r, τ ) + ε3p/2 x3 (r, τ ) + . . . ,
где τ = εp t, r = (ωε−γ +θ −ε1−γ σω +o(1))t, а функции x2 (r, τ ) и x3 (r, τ ) предполагаются 2π-периодичными
по первому аргументу. В многоточиях собраны слагаемые более высокого порядка малости по ε.
Будем собирать коэффициенты при одинаковых степенях ε. В результате для определения u(r, τ ) получим краевую задачу параболического типа
∂u
σ2 − 2 ∂ 2 u
= ω2
+ a1 u + (f22 − f3 )u3
∂τ
2 ∂r2
(4)
с антипериодическими краевыми условиями
u(r, τ ) = −u(r + π, τ ).
(5)
Отметим, что в системе (4)–(5) присутствует произвольный параметр ω. Таким образом, мы получили
в качестве нормальной формы уравнения (2) в рассматриваемом случае сразу целое семейство краевых
задач. При разных значениях параметра ω динамика соответствующей краевой задачи будет, вообще
говоря, различной.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть при некотором ω > 0 краевая задача (4)–(5) имеет периодическое по τ решение
u∗ (r, τ ), причем только один мультипликатор, линеаризованной на u∗ задачи равен по модулю 1. Тогда
исходное уравнение (2) имеет периодическое решение вида
³
³
´ ´
x∗ (t, ε) = εp/2 u∗ εp t, ωεp/2−1 + θ + o(1) t + o(εp/2 )
(6)
той же устойчивости.
Сделаем некоторые выводы. Рассмотрим уравнение (2) с фиксированными коэффициентами.
То есть
√
будем считать, что нам даны константы ε, σ, a, f2 , и f3 . При этом ε достаточно мало, σ > 2, а значение a
представляется в виде a = −1 − εp a1 . Заметим, что значения p и a1 мы можем выбирать неединственным
способом, главное, чтобы выполнялись соотношения εp a1 = −1 − a и 0 < p < 2.
Таким образом, нормальная форма (4)–(5), которая описывает локальную динамику исходного уравнения, зависит уже от двух произвольных параметров ω и a1 . Легко показать, что если f22 − f3 < 0, то
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Буферность в уравнениях второго порядка с большим запаздыванием
33
при каждом значении a1 > 0 найдется ω∗ , такое что система (4)–(5) имеет при всех ω > ω∗ экспоненциально устойчивое состояние равновесия, которое мы назовем u(r; a1 , ω). Каждой функции u(r; a1 , ω)
соответствует, в силу теоремы 1, устойчивое решение исходного уравнения вида
x(t) = εp/2 u((ωεp/2−1 + θ + o(1))t; a1 , ω) + o(1).
Это близкая к периодической функция, причем при разных значениях ω частота ее будет разной. Таким образом, при достаточно малом значении ε у уравнения (2) одновременно существует любое заранее
заданное число устойчивых периодических режимов. Эти режимы формируются на разных частотах.
На рисунке 1 приведены графики функций, являющихся решениями уравнения (2) при следующих
значениях параметров: ε = 0, 001, a = −1, 01, σ = 2, f2 = 0, f3 = 1.
Рис. 1.
§2. “Высокочастотные”√ колебания
Ситуация для 0 < σ < 2 существенно сложнее. Пусть a = a0 (1 + µa1 ), a0 = ±a(σ), 0 < µ ¿ 1.
Тогда характеристический квазиполином (3) имеет корни, стремящиеся к мнимой оси. Эти корни можно
представить в виде λk (ε) и λk (ε) (k ∈ Z), где
λk (ε) =
ωk
2ωk
ω0
i + γ i + θ0 i + θki + χi − ε1−γ
i + o(ε1−γ + µ)i −
ε
ε
σ
(2 − σ 2 )ω 2 k 2
− ε2−2γ
+ µa1 + o(ε2−2γ + µ).
a20
(7)
p
Здесь ω0 = 1 − σ 2 /2, ω > 0, 0 < γ < 1 — произвольные фиксированные числа. Величины θ0 , θ ∈ [0, 2π)
таковы, что ω0 ε−1 + θ0 и ωε−γ + θ являются целыми кратными 2π. Значение χ ∈ [0, 2π) определяется из
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
34
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
уравнения
−ω02 + σω0 i + 1 = a0 e−χi .
Остальные корни (3) расположены в левой комплексной полуплоскости и отделены от мнимой оси при
малых ε и µ.
Перейдем к исследованию динамики (2) в рассматриваемом случае. Пусть µ = εp (0 < p < 2). Положим
γ = 1 − p/2, выберем произвольно положительное ω и сделаем в (2) замену
´
³
−1
−1
x = εp/2 e(ω0 ε +θ0 +χ+o(1))it u(r, τ ) + e−(ω0 ε +θ0 +χ+o(1))it u(r, τ ) + εp x2 + ε2p/3 x3 + . . .
Здесь τ = εp t, r = (ωεp/2−1 + θ + 2εp/2 ωσ −1 + o(εp/2 ))t, а функции x2 = x2 (r, τ ) и x3 = x3 (r, τ ) предполагаются периодическими с периодом 2π по первому аргументу. Подставляя это в (2) и последовательно
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ε, получаем, что роль нормализованной формы
играет семейство краевых задач
∂u
2 − σ2 2 ∂ 2 u
2f22
−1 iχ
=
ω
+
a
u
+
a
e
)|u|2 u
(3f
+
1
3
0
2
∂τ
a0
∂r2
1 − a0 exp(−iχ)
(8)
с периодическими краевыми условиями
u(r, τ ) = u(r + π, τ ).
(9)
Теорема 2. Пусть при некотором ω краевая задача (8)–(9) имеет периодическое по τ решение
u∗ (r, τ ). Причем только один мультипликатор, линеаризованной на нем задачи равен по модулю 1. Тогда
уравнение (2) имеет периодическое решение вида
³
h ω
i
0
x(t, ε) = εp/2 exp (
+ θ0 + χ + o(1))it u∗ ((ωεp/2−1 + θ + o(1))t, εp t) +
ε
h ω
i
´
(10)
0
+ exp −(
+ θ0 + χ + o(1))it u∗ ((ωεp/2−1 + θ + o(1))t, εp t) + o(εp/2 )
ε
той же устойчивости.
Выводы во многом будут повторять рассуждения §1. Нормальная форма, которая представляет собой
семейство комплексных параболических уравнений, может обладать богатой динамикой. Например, можно показать, что если f2 = 0 и f3 < 0, то при каждом значении a1 > 0 найдется ω∗ , такое что система
(4)–(5) имеет при всех ω > ω∗ устойчивую бегущую волну. Каждому такому решению соответствует, в
силу теоремы 2, устойчивое решение, асимптотическая формула которого приведена в (10).
Таким образом, при достаточно малом значении ε у уравнения (2) одновременно существует любое
заранее заданное число устойчивых колебательных режимов. Эти режимы являются двухчастотными.
Главная, “большая”, частота равна ω0 ε−1 + θ0 + o(1) и не зависит от произвольных параметров a1 и ω.
Вторая частота равняется ωε1−p/2 + θ + o(1) и может принимать разные значения при изменениях ω.
На рисунке 2 приведены графики функций, являющихся решениями уравнения (2) при следующих
значениях параметров: ε = 0, 001, a = −1, 001, σ = 1.35, f2 = 0, f3 = −1.
Список литературы
1. Ланда, П.С. Автоколебания в распределенных системах / П.С. Ланда. — М.: Наука, 1983.
2. Дмитриев, А.С. Стохастические колебания в радиофизике и электронике / А.С. Дмитриев,
В.Я. Кислов. — М.: Наука, 1989.
3. Кузнецов, С.П. Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью (обзор) / С.П. Кузнецов // Изв. вузов. Радиофизика. — 1982. — Т. 25, №12. — С. 1410–1428.
4. Kilias, T. Electromic chaos generators — design and applications / T. Kilias, K. Kutzer, A. Moegel,
W. Schwarz // International Journal of Electronics. — Vol. 79, No. 6. — 1995. — P. 737–753.
5. Кащенко, С.А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциальноразностных уравнений с малым множителем при производной / С.А. Кащенко // Диф. уравнения. —
1989. — Т. 25, №8. — C. 1448–1451.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Буферность в уравнениях второго порядка с большим запаздыванием
35
Рис. 2.
6. Кащенко, С.А. Локальная динамика нелинейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием
/ С.А. Кащенко // Диф. уравнения. — 1999. — Т. 35, №10. — С. 1343–1355.
7. Кащенко, С.А. Уравнения Гинзбурга-Ландау — нормальная форма для дифференциальноразностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием / С.А. Кащенко // Журнал Вычисл. матем. и матем. физ. — 1998. — Т.38, №3. — С. 457–465.
8. Кащенко, И.С. Динамические свойства уравнений первого порядка с большим запаздыванием /
И.С. Кащенко // Моделирование и анализ информационных систем. — 2007. — Т. 14, №2. — С. 58–62.
9. Колесов, А.Ю. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 1994.
10. Арнольд, В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений /
В.И. Арнольд. — М.: Наука, 1978.
The Buffer Phenomenon in second-order equations with large delay
Kaschenko I.S.
Local dynamics of second-order differential equation with large delay is studied. The research method uses
normal forms technique. In critical cases of infinite dimension special evolutional equations playing the role of
normal forms are built. We prove that such equations may have any number of stable periodic solutions. Some
numerical results are provided.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модел. и анализ информ. систем. Т.15, №2 (2008) 36–45
УДК 517.929
Особенности динамики модели Ланга – Кобаяши
в одном критическом случае
Глазков Д. В.1
Ярославский государственный университет,
150 000, Ярославль, Советская, 14
e-mail: glazkov_d@mail.ru
получена 25 марта 2008
Аннотация
Исследуется критический случай бесконечной размерности в задаче об устойчивости простейших
периодических решений системы Ланга – Кобаяши. Строятся и изучаются специальные эволюционные
уравнения с запаздыванием, играющие роль нормальных форм. Обсуждается связь между полученными и уже известными результатами о динамике модели Ланга – Кобаяши.
Уравнения лазерной динамики традиционно представляют собой важнейшую область приложения
нелинейной теории. В их числе видное место занимают полупроводниковые лазеры. Повышенный интерес к этой области науки вызван многочисленными технологическими приложениями устройств, основанных на сравнительно дешевых полупроводниковых элементах. Это CD- и DVD-технологии, системы
коммуникации, в частности, оптико-волоконная связь, спектроскопия, лазерная полиграфия, звуковые и
видеосистемы, проекционное лазерное телевидение и оптическая обработка информации.
В таких областях, как хранение данных или оптические коммуникации, отражения и связанные с
ними сопутствующие эффекты неизбежны. Например, искажения сигнала при передаче данных нередко
обусловлены неминуемыми отражениями от торцов волноводов. Те же самые причины зачастую приводят
к возможным ошибкам при чтении CD и DVD дисков.
выход
лазер
Рис. 1. Схема лазера с оптической запаздывающей обратной связью
Известная математическая модель Ланга – Кобаяши [1] динамики полупроводникового лазера, учитывающая воздействие отраженного излучения на резонатор (см. рис. 1), имеет вид

dE


= v(1+iα)EZ + γe−iω0 h E(t−h),
dt

 dZ = Q − Z − (1+Z) |E|2 .
dt
(1)
Здесь E(t) — комплексная амплитуда электрического поля, Z(t) — инверсия носителей; γ>0 и −ω0 h — сила
и фаза обратной связи, ω0 — оптическая частота генерации в отсутствие обратной связи; Q — превышение
током накачки первой пороговой величины; v есть отношение времен затухания инверсии носителей и
фотонов в резонаторе; α — коэффициент уширения линии, отвечающий за нелинейное взаимодействие
между амплитудой и фазой поля; h — время прохода излучения по внешнему резонатору, нормированное
в единицах времени затухания инверсии.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы»
(проект РНП.2.1.1.630).
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Особенности динамики модели Ланга – Кобаяши в одном критическом случае
37
Система (1) в результате замены E(t)=R(t)·eiθ(t) допускает запись в более удобной для расчетов форме
относительно вещественной амплитуды и фазы поля:
 dR
¡
¢

= vRZ + γ cos ω0 h + θ − θ(t−h) R(t−h),



dt


¡
¢ R(t−h)
dθ
(2)
= vαZ − γ sin ω0 h + θ − θ(t−h)
,

dt
R




 dZ = Q − Z − (1+Z) R2 .
dt
Простейшие решения системы уравнений Ланга – Кобаяши (1) определяются из условий
E(t) = Rk · ei(ωk −ω0 ) t ,
Z(t) = Zk ,
(3)
где Rk , ωk , Zk — константы. Такие периодические решения называются модами внешнего резонатора (external cavity modes) в [2] или модами составного резонатора (compound-cavity modes) в [3]. В обозначениях
системы (2) они имеют вид
R(t) = Rk ,
θ(t) = (ωk −ω0 ) t,
Z(t) = Zk .
Подставляя их в систему (2), обозначая ηk =ωk h и исключая величину Rk при условии Rk 6=0, получим
следующие соотношения для определения мод внешнего резонатора:
vZk = −γ cos(ηk ),
(4)
αvZk = ηk h−1 − ω0 + γ sin(ηk ).
(5)
Отметим, что точки пересечения соответствующих кривых на плоскости (η, Z) лежат на эллипсе, изображенном на рис. 2. Аналитически он задается уравнением
(vZ)2 + (αvZ−ηh−1 +ω0 )2 = γ 2 .
Исключая из (4), (5) переменную Z, приходим к трансцендентному уравнению
p
¡
¢
η − ω0 h = −γh 1+α2 sin η + arctg(α) ,
(6)
(7)
из которого определяем ηk и затем последовательно находим ωk , Zk , Rk . В случае касания графиков правой
и левой частей (7) происходит седло-узловая бифуркация рождения новой пары мода-антимода [2, 4],
которая возникает на плоскости (η, Z) на пересечении эллипса с так называемой седло-узловой прямой
vZ =
1 + αη − αω0 h
.
h(1+α2 )
(8)
Те моды на рисунке 2, которые располагаются над седло-узловой прямой (8), называются антимодами
или седловыми точками. Доказано, что они всегда неустойчивы. Собственно моды, лежащие ниже этой
прямой, могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. Величина обратной связи, при которой мода
теряет устойчивость в результате бифуркации Андронова-Хопфа, приближенно оценивается как [4]
γkH ≈
2λR
,
Bk [1− cos(ωR h)]
(9)
√
где ωR = 2vQ задает угловую частоту, а λR =(1+Q)/2 — скорость затухания колебаний (при этом их
называют релаксационными) в отсутствие обратной связи,
p
Bk = − 1+α2 cos(ηk − arctg α).
В общем случае устойчивость мод внешнего резонатора определяется корнями характеристического
уравнения:
·
¸·
¸
¡
¢
¡
¢
1+Q
2
−λh
2
−λh 2
+ λ λ + 2γ cos ηk 1−e
λ + γ 1−e
+
1+Zk
¸
·
(10)
¡
¢
−λh
= 0.
+2v(Q − Zk ) λ + γ(cos ηk −α sin ηk ) 1−e
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
38
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
Поставим задачу изучения системы (1) при условии, что параметр v асимптотически велик. В самом
деле, типичными физическими значениями параметра v являются величины порядка 103 − 104 , то есть
естественно считать его (асимптотически) большим. Согласно [5] при v, αÀ1 система (1) может быть преобразована к уравнению третьего порядка с запаздыванием относительно фазы θ= arg(E). Заметим, что
степени большого параметра, по которым происходит разложение решения системы (1) в асимптотический
ряд, могут быть корректно определены разложением корней характеристического уравнения (10).
Зная окончательный результат, введем малый параметр следующим образом:
ε=v −1/2 ¿1.
Используя малость ε и заменяя
Zk = −ε2 γ cos ηk ,
постараемся упростить задачу оценки местоположения корней (10) с максимальной вещественной частью.
Для этого выполним перенормировку
λ
λ→ .
ε
После необходимых преобразований уравнение (10) примет вид
·
¸·
³
´
³
´2 ¸
ε(1+Q)
2
−λh/ε
2 2
−λh/ε
+
λ
λ
+
+
2εγ
cos
η
1−e
λ
+
ε
γ
1−e
k
1−ε2 γ cos ηk
·
(11)
³
´¸
¡
¢
+2 Q+ε2 γ cos ηk λ + εγ(cos ηk −α sin ηk ) 1−e−λh/ε = 0.
Лемма. Уравнение (11) не имеет корней в правой комплексной полуплоскости, отделенных от мнимой оси при всех достаточно малых ε, а также корней с асимптотикой iω∗ ε−p , где ω∗ есть вещественная величина, p>0.
Доказательство сводится к непосредственной подстановке величин из условия леммы в соотношение (11).
Например, для второго утверждения леммы в предположении λ=iω∗ ε−p + . . ., собирая слагаемые наибольшего порядка ε−3p , получим, что ω∗ =0.
Таким образом, при достаточно малых значениях параметра ε решения характеристического уравнения (11), определяющие устойчивость соответствующей моды внешнего резонатора, могут быть представлены в виде ряда по степеням ε:
λ = λ0 + ελ1 + ε2 λ2 + . . . ,
то есть корни (10) при vÀ1 имеют асимптотику
λ = v 1/2 λ0 + λ1 + v −1/2 λ2 + . . . .
Непосредственная подстановка этого разложения показывает, что в критическом случае ε=0 останется
всего три корня, расположенных на мнимой оси и показанных на рис. 3:
p
(1,2)
(0)
λ0 = 0,
λ0
= ±i 2Q.
При ε→0 к ним стягивается счетное число корней уравнения (11). Таким образом, в исходной задаче при
v→∞ реализуется критический случай бесконечной размерности.
(0)
Величина λ1 находится из следующего уравнения:
´
³
(0)
(0)
(12)
λ1 + γ(cos ηk −α sin ηk ) 1−e−λ1 h = 0.
Местоположение в комплексной плоскости решения с наибольшей вещественной частью Reλ1 определяется величиной
γh(cos ηk −α sin ηk ).
Если она меньше, чем −1, то у выписанного уравнения существует корень с положительной вещественной
(0)
частью Reλ1 >0, иначе все корни уравнения, кроме неподвижного нулевого, расположены в левой ком(0)
плексной полуплоскости Reλ1 <0. Это условие в точности повторяет необходимое условие устойчивости
для мод внешнего резонатора, которое разделяет их на всегда неустойчивые антимоды и собственно моды,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Особенности динамики модели Ланга – Кобаяши в одном критическом случае
8
vZ
39
Iml
a-1 [gsin(h)+hh-1-w0]
-gcos(h)
4
Rel
h
–12
0
–6
6
12
–4
прямая седло-узла
–8
Рис. 2. Точки пересечения кривых (4) и (5) лежат на эллипсе (6) и
соответствуют характеристикам (ωk , Zk ) мод внешнего резонатора.
Выбраны следующие значения параметров: α=1.7; γ=5; ω0 =0; h=1
Рис. 3. Асимптотическое поведение корней характеристического
уравнения (11) с наибольшей вещественной частью
(0)
потенциально устойчивые. В этом смысле уравнение, полученное для λ1 , новой информации не несет. В
(1,2)
(1,2)
случае ненулевых комплексно сопряженных λ0
соотношение для определения λ1
имеет вид
µ
“
” ¶
(1,2)
(1,2)
− λ1
+λ0
/ε h
(1,2)
2λ1
+ (1+Q) + γ(cos ηk +α sin ηk ) 1−e
= 0.
(13)
В данном случае достаточным условием устойчивости является неравенство
1
γh(cos ηk +α sin ηk ) > −1.
2
Таким образом, в соответствии с асимптотикой корней уравнения (11), расположенных вблизи мнимой
оси, в результате замен
v = ε−2 ,
t = εs,
E = e−iωs E1 ,
Z = εZ1
система (1) приводится к виду
¡
¢
x0 = F (x) + ε · Φ x, x(s−hε−1 ) .
(14)
В целях упрощения промежуточных выкладок рассмотрим систему (2), которая аналогичными заменами
преобразована к следующему частному случаю векторного уравнения (14):

¡
¢
dR1


= Z1 R1 + εγ cos ω0 h−ωhε−1 +θ1 −θ1 (s−hε−1 ) R1 (s−hε−1 ),


ds



¡
¢ R1 (s−hε−1 )
dθ1
(15)
= ω + αZ1 − εγ sin ω0 h−ωhε−1 +θ1 −θ1 (s−hε−1 )
,

ds
R1





 dZ1 = Q − R12 − ε(1+R12 )Z1 .
ds
Для изучения ее динамики воспользуемся методикой исследования задачи (14), изложенной в [6, 7]. В
соответствии с алгоритмом, представленным в этих работах, в малой окрестности некоторого периодического решения системы «нулевого приближения» x0 =F (x) строится нормализующая замена, позволяющая
получить асимптотику решения возмущенной системы (14). Эта замена имеет следующий вид:
V (s, ε) = V0 (τ ) + ε1/2 V1 (t, τ ) + εV2 (t, τ ) + ε3/2 V3 (t, τ ) + . . . ,
dτ
= 1 + εϕ(t) + ε3/2 ψ(t) + ε2 χ(t) + . . .
ds
.
(16)
(17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
40
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
dτ
√
также, вообще говоря, происходит по степеням ε, просто коэффициент при
ds
ε1/2 в данном случае оказывается нулевым.
Здесь Vj (t, τ ) являются T -периодичными по τ , причем V0 (s) есть периодическое решение системы ОДУ
x0 =F (x), ϕ(t) — скалярная почти периодическая функция.
Отметим, что из (17) при дополнительном условии τ (s0 )=0 имеем
Заметим, что разложение
Zs
τ (s)=s−s0 +ε
£
¤
ϕ(εr)+ . . . dr
Zt
и
τ (s−h0 )= τ (s)−h0 −
s0
£
¤
ϕ(r)+ . . . dr,
t−h
и с точностью до слагаемых более высокого порядка малости получаем, что
Z0
τ (s−h0 ) ≈ τ (s) − y,
где
ϕ(t+r)dr.
y = h0 +
−h
Стандартная линеаризация x0 =F (x) на V0 (s) приводит к системе вида
u0 = A(s) u.
(18)
Решением системы «нулевого приближения» x0 =F (x) в случае (15) является
¡ √
¢T
Q, ωs, 0
,
√
которому соответствует периодическое решение E1 = Qeiωs , Z1 =0 исходной задачи. Матрица линеаризованной на V0 системы (18) и ее экспонента при условии Q>0 могут быть представлены в форме


√
√

√ 
cos( 2Qs)
0 √12 sin( 2Qs)
0
0
Q
√
√
DF


0√
0 α ,
A=
(V0 (s)) = 
exp(As) =  √αQ [cos( 2Qs)−1] 1 √α2Q sin( 2Qs)  .
√
√
√
Dx
−2 Q 0
0
− 2 sin( 2Qs)
0
cos( 2Qs)
V0 (s) =
(0)
(1)
(2)
Таким образом, собственным значениям λ0 , λ0 , λ0 матрицы A соответствует тройка периодических
решений системы (18). Для удобства считаем, что решения по столбцам матричной экспоненты записаны
в следующем порядке: K1 , K0 , K2 .
Аналогичным образом находим решения сопряженной к (18) системы:


√
√
√
√
√α [cos( 2Qs)−1]
cos( 2Qs)
2 sin( 2Qs)
Q


exp(−A∗ s) = 
0√
1 √
0
.
√
− √12 sin( 2Qs) − √α2Q sin( 2Qs)
cos( 2Qs)
Полагаем, что нумерация осуществляется в том же порядке: H1 , H0 , H2 .
Подставляя разложение (16), (17) в систему (15) и собирая слагаемые одного порядка малости по ε,
для нулевой степени получим тождество, а система для ε1/2 даст
V1 (t, τ ) = K1 (τ )ξ1 (t) + K2 (τ )ξ2 (t).
Соответствующее равенство при ε1 имеет вид
dV0
∂V2
ϕ(t) +
= F 0 (V0 )V2 + F2 (V1 , V1 ) + Φ(V0 , V0 (τ −y)).
dτ
∂τ
Интерес представляют условия разрешимости неоднородной задачи в классе периодических по τ функций,
которые выражаются через решения Hj сопряженной к (18) системы и скалярное произведение, которое
обозначается угловыми скобками h i:
1
hX, Y i = lim
T →∞ T
ZT ³
´
X(τ ), Y (τ ) dτ.
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Особенности динамики модели Ланга – Кобаяши в одном критическом случае
41
В данном случае присутствует лишь одно нетривиальное условие разрешимости уравнения для V2 в
указанном классе функций из возможных трех:
µ
¶
µ
¶
Z0
Z0
ωϕ(t) = −αγ cos ω0 h + ω ϕ(t+r)dr − γ sin ω0 h + ω ϕ(t+r)dr .
−h
(19)
−h
Как отмечалось в [8], интегральное уравнение (19) имеет только стационарные решения, задача нахождения которых сводится к (7). Тем самым в дальнейшем полагаем, что ϕ(t)=ϕk , где величине ϕk соответствует одна из мод внешнего резонатора.
Приравнивая коэффициенты порядка ε3/2 , придем к следующему равенству:
¸
·
∂K2
dV0
∂V3
∂K1
0
0
ξ1 (t) +
ξ2 (t) ϕ(t) +
ψ(t) +
= F 0 (V0 )V3 +
K1 ξ1 (t) + K2 ξ2 (t) +
∂τ
∂τ
dτ
∂τ
+2 F2 (V1 , V2 ) + F3 (V1 , V1 , V1 ) + Φ01 (V0 , V0 (τ −y))V1 + Φ02 (V0 , V0 (τ −y))V1 (τ −y).
Из условий разрешимости этой задачи в классе периодических функций получим следующую пару уравнений, которая вместе с (19) является квазинормальной формой системы (1) при асимптотически больших
значениях параметра v:
p
 0 p
= − a ξ1 − bk ξ1 + b cos( 2Qy) ξ1 (t − h)−
ξ1 + Qϕk ξ2






p
1
1
1



− √ bk sin( 2Qy) ξ2 (t − h) − √ d ξ12 ξ2 − √ d ξ23 ,

2
2
2 2
(20)
p
p
√
 ξ 0 − 2 Qϕk ξ1 = − a ξ2 − bk ξ2 + 2b sin( 2Qy) ξ1 (t − h)+

2





p
√

1


+ bk cos( 2Qy) ξ2 (t − h) + √ d ξ1 ξ22 + 2d ξ13 .
2
Здесь
1
a = (1+Q),
2
1
bk = γ[cos ηk +α sin ηk ],
2
Выполнив замену
ξ=
1
,
d= √
3 2Q
Z0
−1
y = hε
ϕ(t+r)dr = hε−1 +ϕk h.
+
−h
¶
µ
√
ξ2
e−i 2Qϕk t ,
ξ1 + i √
2
можем представить систему (20) в виде одного комплексного уравнения
h
i
√
ξ 0 = −a ξ − bk ξ − ei 2Qh/ε ξ(t−h) + id ξ|ξ|2 ,
(21)
которое в совокупности с интегральным уравнением (19) будем называть квазинормальной формой задачи (1) при асимптотически больших значениях параметра v.
Отметим, что нормализованная система, аналогичная (21), была получена в [9]. В работе [10] изучались
бифуркации в таких уравнениях. Таким образом, исследование динамики систем типа (21) представляет
собой важную практическую задачу.
Заметим, что малый параметр можно ввести следующим образом:
ε= √
1
1
=
¿ 1,
ωR
2Qv
связав его с частотой так называемых релаксационных колебаний. При этом после аналогичных преобразований в критическом случае ε=0 корни квазиполинома (10), расположенные на мнимой оси, примут
вид
(0)
(1,2)
λ0 = 0,
λ0
= ± i.
Уравнения (12) и (13) для определения λ1 при этом не изменятся.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
42
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
Матрица линеаризованной на V0 системы (18) и ее матричная экспонента при условии Q>0 в этом
случае определяются следующим образом:

DF
A=
(V0 (s)) = 
Dx
0
0
0
0
√
−2 Q 0
1
√
2 Q
α
2Q

,
0

cos s
0
α

√ [cos s−1] 1
exp(As) =
Q√
−2 Q sin s 0
1
√
sin s
2 Q
α
2Q sin s

.
cos s
Аналогично для сопряженной к (18) системы имеем

cos s
∗

0
exp(−A s) =
− 2√1Q sin s
√α [cos s−1]
Q
1
α
− 2Q
sin s
√

2 Q sin s
.
0
cos s
Результат подстановки рядов (16), (17) в аналогичную (15) систему на первом и втором шаге не изменится,
а на третьем получим систему, близкую к (20). Выполнив замену
µ
¶
ξ2
ξ = ξ1 + i √
e−iϕk t ,
2 Q
можем представить ее в виде одного комплексного уравнения
h
i
ξ 0 = −a ξ − bk ξ − eih/ε ξ(t−h) + id ξ|ξ|2 ,
(22)
где все параметры те же, что и в задаче (21), кроме d=1/(6Q).
Сравнивая уравнения (21) и (22), отметим, что они отличаются только значением параметра d. В
самом
√ деле, величины a и bk в обоих уравнениях одинаковы, показатель экспоненты в обоих случаях равен
ih 2Qv. Изменения параметра√d не влияют на качественную динамику построенных квазинормальных
форм. Выполнив нормировку dξ→ξ, можно свести все к случаю d=1. Таким образом, при Q=O(1)
ограничимся изучением динамики следующего комплексного уравнения:
h
i
√
ξ 0 = −a ξ − bk ξ − eih 2Qv ξ(t−h) + i ξ|ξ|2 .
(23)
Его нулевому решению соответствует одна из мод внешнего резонатора, то есть периодическое решение системы (1) вида (3). Значение параметра bk зависит от ωk . Таким образом, уравнение (23) описывает
локальную динамику в окрестности мод внешнего резонатора, каждой из которых соответствует свое значение параметра bk уравнения (23). Обратим внимание на то, что при асимптотически больших значениях
параметра v задача изучения бифуркаций мод внешнего резонатора в терминах задачи (23) формулируется проще, чем в исходной системе (1), и допускает, в отличие от (1), надежный численный анализ.
Заметим, что система (23) инвариантна относительно замены ξ→ −ξ. Кроме того, параметры уравнения (23) связаны с величинами из соотношения (9). В частности,
a = λR ,
1
bk = − γBk ,
2
p
2Qv = ωR .
Чисто мнимый коэффициент при кубическом слагаемом в данном случае означает вырожденность
построенной квазинормальной формы. Строго говоря, требуется вычисление слагаемых более высокого
порядка малости. Однако, учитывая трудоемкость этого процесса и скромность возможных результатов,
ограничимся анализом динамических свойств задачи (23).
Устойчивость нулевого решения уравнения (23) определяется расположением на комплексной плоскости корней характеристического уравнения
¡
¢
(24)
λ = −a − bk 1−e−λh+iωR h ,
которое совпадает с (13). Знак величины ωR h здесь можно изменить на противоположный, если выполнить в (23) замену ξ→ ξ. Характеристическое уравнение вида (24) рассматривалось в [11]. Достаточным
условием устойчивости нулевого решения (23) является
Теорема. Пусть Q>0 (a> 12 ) и выполнено соотношение a≥−2bk . Тогда все корни уравнения (24) имеют
неположительные вещественные части. В этом случае нулевое решение уравнения (23) устойчиво.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Особенности динамики модели Ланга – Кобаяши в одном критическом случае
43
Доказательство. Рассмотрим λ как комплекснозначную функцию действительного аргумента bk . Легко
заметить, что Reλ(0)=−a<− 21 <0 при Q>0. Положим bk =b∗ такое, что λ(b∗ )=iµ, тогда справедлива пара
равенств
(
a + bk [1 − cos(−ωR h+µh)] = 0,
(25)
µ + bk sin(−ωR h+µh) = 0,
для действительной и мнимой частей характеристического уравнения. Поскольку при bk >0, а также при
a>−2bk в случае bk <0 выполнение первого соотношения невозможно, то при a≥−2bk все корни уравнения (24) имеют неположительные вещественные части.
Замечание. Рассматривая соотношение
a + bk [1 − cos(−ωR h+µh)] = 0,
где
q
p
µ = ± −a2 −2abk = ± λR γBk −λ2R ,
можем получить следующую оценку области устойчивости моды по параметру γ:
γ ≤ γH ≈
2λR
Bk [1− cos(ωR h−µh)].
Если выполнено это соотношение, то нулевое решение (23) устойчиво, а значит, устойчива и
соответствующая мода внешнего резонатора. При условии, что µh кратно 2π, эта оценка совпадает
с (9). Заметим, что при QÀ1 нулевое решение (23) устойчиво. Это хорошо согласуется с
результатами [8], полученными в случае v, QÀ1.
Очевидно, уравнение (23) может иметь и другие аттракторы, отличные от нулевого состояния равновесия. Для изучения периодических решений вида
ξ(t) = ρ∗ eiβ∗ t ,
где ρ∗ , β∗ — константы, удобно перейти к уравнениям для амплитуды и фазы комплексной величины ξ(t):
£
¤
 0
 ρ = − a ρ − bk ρ − cos(ωR h+β(t−h)−β) ρ(t−h) ,
(26)
 β 0 =bk sin(ωR h+β(t−h)−β) ρ(t−h) + ρ2 .
ρ
Решения вида (ρ∗ , β∗ t) системы (26) при условии ρ∗ =
6 0 определяются из пары алгебраических уравнений,
которые с точностью до обозначений и слагаемого ρ2∗ совпадают с (25).
Величины ρ∗ , β∗ явно выражаются через параметры:

µ
¶

 β∗ h = ωR h ± arccos a+bk + 2πm, m∈Z,
bk
p

 2
ρ∗ = β∗ ∓ −a2 −2abk .
Отметим, что в случае, когда характеристическое уравнение (24) имеет чисто мнимые корни, одним из
возможных значений величины ρ∗ является нуль. Таким образом, при переходе пары корней (24) через
мнимую ось из левой комплексной полуплоскости в правую происходит рождение предельного цикла в
задаче (23), а значит, нулевое решение теряет устойчивость в результате бифуркации Андронова-Хопфа.
Устойчивость решений вида (ρ∗ , β∗ t) системы (26) определяется корнями характеристического уравнения следующего вида:
λ2 + 2 (a+bk ) λ (1−e−λh ) + b2k (1−e−λh )2 + 2 ρ2∗ [ ρ2∗ − β ](1−e−λh ) = 0.
(27)
Исследование этого уравнения в общем случае представляет собой достаточно сложную задачу. Тем не менее, численный анализ систем (23) и (26) позволяет утверждать, что на промежутке bk ≤−a/2 существует
целый диапазон значений параметра bk , при которых аттрактором уравнения (23) является предельный
цикл. В случае
√ физической постановки задачи важно учитывать, что ξ1 , ξ2 определяют отклонения от
V0 порядка ε=v −1/4 . При v∼104 эта величина составляет 10−1 , что сопоставимо по порядку с другими
параметрами модели Ланга – Кобаяши.
Общий характер фазовых перестроек, происходящих в полученной квазинормальной форме, можно
описать следующим образом:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
44
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
1. При значениях параметра bk больше некоторой критической величины b(1) ≤−a/2 устойчиво нулевое
положение равновесия.
2. В случае b(1) >bk >b(2) устойчив предельный цикл, который рождается в результате бифуркации
Андронова – Хопфа. При этом периодическому решению уравнения (23) соответствует стационарное
значение переменной ρ системы (26).
3. При bk =b(2) цикл теряет устойчивость, и при значениях b(2) >bk >b(3) в (23) устанавливаются двухчастотные колебания, которым соответствует периодическое изменение величины ρ в системе (26).
4. При bk =b(3) тор теряет устойчивость, и при b(3) >bk >b(4) в обеих системах устанавливаются хаотические режимы. Такой вывод делается на основании вычисления старшего ляпуновского показателя.
Отметим также некоторое расширение области динамического хаоса при увеличении запаздывания.
5. В случае bk <b(4) для систем (23) и (26) характерна нелокальная динамика, величина |ξ(t)| может
неограниченно возрастать. При некоторых значениях параметров величина b(4) может превышать
b(2) и даже b(1) . В этом случае в уравнении (23) реализуется сценарий жесткой потери устойчивости
нулевым решением, обусловленный взаимодействием с неустойчивым предельным циклом.
Среди особенностей динамики системы (23) отметим явление мультистабильности. Например, при значениях параметров a=0.52, bk =−0.27, h=0.1, ωR h mod 2π=3.9 обнаружено 8 сосуществующих аттракторов:
нулевое состояние равновесия и 7 устойчивых предельных циклов. При этом чем больше амплитуда колебаний, тем выше их частота. В самом деле,
p
β∗ = ρ2∗ ± −a2 −2abk .
Возможно, такие периодические решения (23) прояснят природу регулярных импульсных пакетов [12,
13] или колебаний Петермана-Тейгера [14, 15], а также окажутся полезны при объяснении механизмов
возникновения низкочастотных флуктуаций [3, 16] и когерентного коллапса [3, 17].
Список литературы
1. Lang, R. External optical feedback effects on semiconductor injection laser properties / R. Lang,
K. Kobayashi // IEEE J. Quantum Electron. — 1980. — Vol. 16(1), №3. — P. 347–355.
2. Rottschäfer, V. A three-parameter study of external cavity modes in semiconductor lasers with optical
feedback [Электронный ресурс] / V. Rottschäfer, B. Krauskopf // Proc. IFAC-TDS 2004, to appear. —
Режим доступа: www.enm.bris.ac.uk/ anm/preprints/2004r05.html, свободный.
3. Van Tartwijk, G.H.M. Laser instabilities: a modern perspective / G.H.M. Van Tartwijk, G.P. Agrawal //
Progress in Quantum Electronics. — 1998. — Vol. 22. — P. 43–122.
4. Levine, A.M. Diode lasers with optical feedback: Stability of the maximum gain mode / A.M. Levine [et
al.] // Phys. Rev. A. — 1995. — Vol. 52, №5. — P. 3436–3439.
5. Alsing, P. Lang and Kobayashi phase equation / P. Alsing [et al.] // Phys. Rev. A. — 1996. — Vol. 53,
№6. — P. 4429–4434.
6. Кащенко, С.А. Бифуркации цикла в сингулярно возмущенных нелинейных автономных системах /
С.А. Кащенко // Известия РАЕН, серия МММИУ. — 1998. — Т. 2, №4. — С. 5–53.
7. Кащенко, С.А. Локальная динамика нелинейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием
/ С.А. Кащенко // Дифференциальные уравнения. — 1999. — Т. 35, №10. — С. 1343–1355.
8. Глазков, Д.В. Простейшие устойчивые режимы в модели Ланга – Кобаяши с большим запаздыванием / Д.В. Глазков // Современные проблемы математики и информатики: сборник научных трудов
молодых ученых, аспирантов и студентов. Яросл. гос. ун-т. — Вып. 7. — Ярославль, 2005. — С. 123–130.
9. Grigorieva, E.V. Theory of quasiperiodicity in model of lasers with delayed optoelectronic feedback /
E.V. Grigorieva, H. Haken, S.A. Kaschenko // Opt. Commun. — 1999. — Vol. 165. — P. 279–292.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Особенности динамики модели Ланга – Кобаяши в одном критическом случае
45
10. Redmond, B.F. Bifurcation analysis of a class of first-order nonlinear delay-differential equations with reflectional symmetry / B.F. Redmond, V.G. LeBlanc, A. Longtin // Physica D. — 2002. — Vol. 166. —
P. 131.
11. Schikora, S. All-Optical Noninvasive Control of Unstable Steady States in a Semiconductor Laser /
S. Schikora [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Vol. 97, 213902. — P. 1–4.
12. Heil, T. Delay dynamics of semiconductor lasers with short external cavities: Bifurcation scenarios and
mechanisms / T. Heil [et al.] // Phys. Rev. E. — 2003. — Vol. 67, 066214. — P. 1–11.
13. Tabaka, A. Bifurcation study of regular pulse packages in laser diodes subject to optical feedback / A. Tabaka
[et al.] // Phys. Rev. E. — 2004. — Vol. 70, 036211. — P. 1–9.
14. Tager, A.A. High-frequency oscillations and self-mode locking in short external-cavity laser diodes /
A.A. Tager, K. Petermann // IEEE J. Quantum Electron. — 1994. — Vol. 30, №7. — P. 1553–1561.
15. Wolfrum, M. Instabilities of lasers with moderately delayed optical feedback / M. Wolfrum, D. Turaev //
Opt. Commun. — 2002. — Vol. 212. — P. 127–138.
16. Van Tartwijk, G.H.M. Sisyphus effect in semiconductor lasers with optical feedback / G.H.M. van Tartwijk,
A.M. Levine, D. Lenstra // IEEE J. Quantum Electron. — 1995. — Vol. 1, №2. — P. 466–472.
17. Sano, T. Antimode dynamics and chaotic itinerancy in the coherence collapse of semiconductor lasers with
optical feedback / T. Sano // Phys. Rev. A. — 1994. — Vol. 50, №3. — P. 2719–2726.
Lang-Kobayashi model dynamics features in the critical case
Glazkov D.V.
We investigate the stability of periodic solutions of Lang-Kobayashi (LK) system in the critical case of
infinite dimension. We construct and study special evolutional equations playing the role of normal forms. We
compare our results concerning the dynamics of LK model with those that are already known.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модел. и анализ информ. систем. Т.15, №2 (2008) 46–49
УДК 519.68
Верификация синхронно-автоматных программ
с использованием LTL
Кубасов С. В.
Ярославский государственный университет
150 000, Ярославль, Советская, 14
e-mail: kubasovsv@univ.uniyar.ac.ru
получена 4 апреля 2008
Аннотация
Предлагается способ верификации синхронно-автоматных программ с использованием языка линейной темпоральной логики с операторами прошедшего времени. Исследуется использование программного инструмента TempEst. Описание и проверка свойств демонстрируются на примере часов с
будильником.
1.
Введение
Разработка систем логического управления долгое время остается актуальной задачей. Со временем такие системы все более усложняются, и все острее встает проблема корректности разработанных программ
изначальным требованиям. В статье [1] предлагалась технология верификации синхронно-автоматных
программ с использованием верифицирующего компилятора языка esterel и верификатора Xeve. Основной интерес представляет проверка пользовательских свойств. Раньше свойства программы описывались
отдельными модулями на языке esterel, которые запускались параллельно основной программе.
В данной статье исследуется идея использования программного средства TempEst [2, 3] для описания
пользовательских свойств на языке линейной темпоральной логики. Каждое свойство TempEst транслируется в отдельный модуль языка esterel, который компилируется параллельно основной программе.
Процедура проверки пользовательских свойств с применением TempEst практически ничем не отличается
от аналогичной проверки, когда свойство выражается на esterel. Использование языка линейной темпоральной логики более четко выражает намерения автора и часто более удобно.
2.
Основная часть языка линейной темпоральной логики TempEst
Опишем язык линейной темпоральной логики, используемый в TempEst [2, 3].
Пусть Sig будет фиксированный алфавит используемых сигналов. Существуют специальные сигналы
T RU E и F IRST . Первый из них присутствует в любом инстенте, второй — только в первом инстенте.
Пусть PAST — класс темпоральных формул, ссылающихся на прошедшее время. Формулы множества PAST являются формулами состояния, т.е. значение формулы может быть определено для каждого
состояния любого пути. Каждый отдельный сигнал алфавита Sig и каждая константа являются формулой. Если p, q ∈ PAST , тогда p ∨ q, p ∧ q, ¬p, p → q ∈ PAST . Логические операторы ∨, ∧, ¬, → имеют
обычный смысл. Язык esterel не позволяет обращаться к будущему, поэтому используются темпоральные операторы прошедшего времени. Если p, q ∈ PAST , то P p, p S q, G p, O p, p B q ∈ PAST . Операторы
имеют традиционное значение. Однако, поскольку при описании линейных темпоральных логик обычно используются операторы будущего времени, ниже приводится краткое описание всех темпоральных
операторов.
Pp
Значение данной формулы равно значению формулы p в предыдущий инстент. В первый инстент значение
формулы равно false.
pS q
Значение формулы — true, когда формула q принимает значение true. Формула сохраняет значение true,
после того как q — true, пока p остается true. Во всех остальных случаях значение формулы — false.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Верификация синхронно-автоматных программ с использованием LTL
47
Gp
Формула принимает значение true, если p — true непрерывно с первого инстента. Значение false получается
начиная с момента, когда p обращается в false.
Op
Значение формулы — true, если p в текущий инстент или когда-то в прошлом принимало значение true.
pBq
Формула определяется через ранее определенные формулы: p B q ≡ (p S q) ∨ G p. Значение формулы —
true, если p непрерывно true, начиная с первого инстента, или с последнего инстента, где q было true.
Еще одно множество формул обозначается SAFE. Формулы множества SAFE являются формулами
пути. Это также формулы безопасности. Если p ∈ PAST , то A p ∈ SAFE. Здесь A — квантор пути.
Формула A p истинна, если формула p истинна в каждом состоянии пути.
3.
Дополнительные операторы TempEst
TempEst предлагает также несколько дополнительных формул.
R(p, q, b, s)
Здесь p, q ∈ PAST — формулы состояния, b — целое неотрицательное число, s — один из сигналов, например, tick. Эта формула выражает задержку реакции (bounded response) системы на некоторое воздействие.
В ответ на событие p система должна отреагировать событием q в течение не более чем b отсчетов времени. Отсчетом времени считается получение сигнала s. В данном определении под событием понимается
инстент, в котором какая-то формула принимает значение true, p или q. Вся формула принимает значение
false в тот инстент, когда приходит b-ый сигнал s, а q имеет значение false. При этом, с момента отсчета
времени, т.е. когда p — true, q принимала только значения false. После начала отсчета времени появление
других инстентов, когда p — true, не играет никакой роли. Они не изменяют текущий отсчет времени и
не начинают дополнительный отсчет времени.
Практически данная формула представляет интерес, только когда она вкладывается в формулу A, т.е.
нам интересно знать, нарушается ли когда-нибудь условие задержки или нет.
H(p, q, b, s)
Здесь снова p, q ∈ PAST — формулы состояния, b — целое неотрицательное число, s — один из сигналов,
например, tick. Эта формула выражает связь между сигналом s и формулой q. Алгоритм, рассчитывающий эту формулу, можно описать так. Ждем, когда p примет значение true и будет сохранять его в
течение b сигналов s. Затем переходим в специальное состояние, когда приход сигнала s сопоставляется со значением формулы q. Данное состояние заканчивается тогда, когда формула p перестает быть
true. Каждый инстент, когда приходит сигнал s, необходимо, чтобы q обращалась в true. Если этого не
происходит, вся формула обращается в false.
Точно так же, как и предыдущая формула, эта представляет практический интерес, когда находится
под действием квантора A.
4.
Особенности языка TempEst
Для описания формул в TempEst на самом деле используются ключевые слова, а не математические символы. Например, логическое “или” можно записать либо Or, либо |, или оператор B записывается словом
BackT o. Язык для TempEst позволяет, а в некоторых случаях настаивает на использовании дополнительных идентификаторов для обозначения частей формул.
Чтобы обозначить формулу при помощи идентификатора id, используется синтаксис:
id ::= <формула>.
Далее в формулах будут по-прежнему использоваться математические символы, т.к. они предлагают
более компактную запись. Вместе с тем, мы будем прибегать к дополнительным идентификаторам, где
необходимо.
5.
Пример синхронно-автоматной программы
Для демонстрации возможностей TempEst используется пример “часы с будильником”, рассмотренный
в предыдущей статье [1]. Условия задачи не изменились, однако проверяемые свойства выражаются на
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
48
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
языке LTL. Можно рассмотреть такие свойства.
• Сигналы запуска (y1) и остановки (y2) таймера никогда не генерируются в одном инстенте.
Формула LTL:
A(¬(y1 ∧ y2))
• Входные сигналы автомата A1 (x1, x2, x3, x4) являются взаимоисключающими.
Формула LTL:
X1 ::=
X2 ::=
X3 ::=
X4 ::=
S ::=
N ode1.x1
N ode1.x2
N ode1.x3
N ode1.x4
(X1 ∧ X2) ∨ (X1 ∧ X3) ∨ (X1 ∧ X4) ∨ (X2 ∧ X3) ∨ (X2 ∧ X4) ∨ (X3 ∧ X4)
A(¬S)
• Сигналы проигрывания мелодии (y3, y4, y5) являются взаимоисключающими.
Формула LTL:
S ::= (y3 ∧ y4) ∨ (y3 ∧ y5) ∨ (y4 ∧ y5)
A(¬S)
• Значок установленного будильника (y7 = 1) не показывается только в состоянии q1 автомата A1.
Формула LTL:
q1 ::=
q2 ::=
q3 ::=
q4 ::=
N ode1.q1
N ode1.q2
N ode1.q3
N ode1.q4
A((q1 ∧ ¬y7) ∨ ((q2 ∨ q3 ∨ q4) ∧ y7))
• Таймер выключен, только когда автомат A1 находится в состояниях q3 и q4.
Формула LTL:
q1 ::=
q2 ::=
q3 ::=
q4 ::=
StateOn ::=
N ode1.q1
N ode1.q2
N ode1.q3
N ode1.q4
(¬y2) S y1
A(((q1 ∨ q2) ∧ (¬ P StateOn)) ∨ ((q3 ∨ q4) ∧ P StateOn))
Сигналы y1 и y2 выполняют включение и выключение таймера. Это кратковременные сигналы. Вычисляется сигнал StateOn. Его значение равно единице, если таймер включен. Включение таймера
выполняется мгновенно. В том инстенте, когда пришел сигнал y1, таймер считается включенным. В
то же время, состояние автомата меняется только в следующий инстент. Для согласования состояние
таймера StateOn берется в предыдущий инстент.
• В состояниях q1, q2, q3 автомата A1 дисплей показывает текущее время (y12 = 0), в состоянии q4
— время будильника (y12 = 1).
Формула LTL:
q1 ::=
q2 ::=
q3 ::=
q4 ::=
N ode1.q1
N ode1.q2
N ode1.q3
N ode1.q4
A(((q1 ∨ q2 ∨ q3) ∧ ¬y12) ∨ (q4 ∨ y12))
В окончательной версии программы текущее состояние автомата A1, как и любые другие сигналы, не
относящиеся к интерфейсным, недоступно. Однако специально для проверки пользовательских свойств
разработан особый режим генерации программы на языке esterel, в котором экспортируются все внутренние сигналы. Используя этот режим, мы можем проверить перечисленные выше свойства.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Верификация синхронно-автоматных программ с использованием LTL
6.
49
Заключение
Для верификации синхронно-автоматных программ используется инструментальное средство Xeve. Исследована возможность применения TempEst для спецификации свойств для проверки. Выполненный
пример убедительно показывает, что проверяемые свойства удобнее для понимания, когда они записаны
на широко распространенном языке LTL. Можно надеяться, что применение стандартного языка спецификации упростит процедуру проверки и позволит улучшить качество синхронно-автоматных программ.
Список литературы
1. Кубасов, С.В. Верификация синхронно-автоматных программ / С.В. Кубасов // Моделирование и
анализ информационных систем. — 2007. — T.14, №4. — С. 20–27.
2. Jagadeesan, L.J. A formal approach to reactive system software: A telecommunications application in esterel
/ L.J. Jagadeesan, C. Puchol, J.E. Von Olnhausen // Proceeding of the 1th workshop on Industrial-Strength
formal specification techniques. — Washington, DC, USA: IEEE Computer Society, 1995. — P. 132–145.
3. Jagadeesan, L.J. Safety property verification of esterel programs and applications to telecommunications
software / L.J. Jagadeesan, C. Puchol, J.E. Von Olnhausen // Proceedings of the 7th international conference on computer aided verification. — Longon, UK, 1995. — P. 127–140.
Verification of Synchronous-automaton Programs using LTL
Kubasov S.V.
The article presents a synchronous-automaton program verification technique with linear-time temporal logic
containing past-tense operators. TempEst is examined as a tool set for converting LTL formulas. Properties
specification and verification are explored through the travel clock example.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модел. и анализ информ. систем. Т.15, №2 (2008) 50–54
УДК 517.9
Бифуркации однородного цикла обобщенного кубического
уравнения Шредингера в треугольнике
Куликов Д. А.
Ярославский государственный университет
150 000, Ярославль, Советская, 14
e-mail: kulikov_d_a@mail.ru
получена 11 апреля 2008
Аннотация
Изучается устойчивость и локальные бифуркации однородного цикла обобщенного кубического уравнения
Шредингера. Данные вопросы изучены для задачи Неймана. В качестве области выбран равнобедренный прямоугольный треугольник. Показано, что от однородного цикла при смене им устойчивости бифурцируют два уже
неоднородных цикла.
1. Введение. Кубическим уравнением Шредингера принято называть следующее уравнение
iut = d∆u + cu|u|2 ,
где u = u(t, x, y) – комплекснозначная функция, ∆ – оператор Лапласа, т.е.
∆u =
∂2u ∂2u
+ 2.
∂x2
∂y
Наконец, d, c – действительные постоянные. Ниже будем считать, что d > 0. При необходимости учета
диссипации это уравнение следует модифицировать. Простейшей такой модификацией служит уравнение
ut = u − (1 + ic)u|u|2 − id∆u.
(1)
Его можно интерпретировать как частный случай известного уравнения Гинзбурга – Ландау (иногда его
называют уравнением Курамото – Цузуки)
ut = u − (1 + ic)u|u|2 + (d1 + id)∆u,
если отсутствует диффузионный член (d1 = 0). Такой вариант уравнения Гинзбурга – Ландау встречается
в нелинейной оптике и описывает эволюцию электромагнитного пакета [1 – 4]. Это уравнение используется в теории гидродинамической устойчивости [5]. Более того, по-видимому, оно впервые появилось в
том разделе этой теории, который носит название “Слабонелинейная теория гидродинамической теории
устойчивости” (см. главу 5 из монографии [5]). Уравнение (1) часто рассматривалось с условиями Неймана. Пусть (x, y) ∈ D ⊂ R2 , а ∂D — его граница. Тогда дополним уравнение следующим граничным
условием:
∂u
= 0,
(2)
∂n
где в правой части равенства (2) имеется в виду производная по нормали к границе области D. При любом
выборе области D задача (1), (2) допускает периодическое по переменной t решение u(t, x, y) = exp(−ict),
которое именуется однородным циклом.
В работах [6 – 8] был рассмотрен случай квадрата. В этой ситуации были изучены вопросы об устойчивости однородного цикла и его бифуркации. Бифуркационная проблема в случае квадрата сводится
к исследованию нормальной формы, главная часть которой состоит из двух обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом коэффициенты этой нормальной формы могут быть явно указаны, а,
следовательно, детально может быть исследована нормальная форма. Такое продвижение возможно в силу того обстоятельства, что в квадрате собственные функции оператора Лапласа при условиях Неймана
могут быть выражены через элементарные функции. Напомним, что они в такой ситуации имеют вид
1, cos nx, cos my, cos nx cos my (n, m ∈ N).
50
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Бифуркации однородного цикла обобщенного кубического уравнения Шредингера в треугольнике
51
В данной работе рассмотрим те же вопросы, если в качестве области D выбран треугольник, т.е.
D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π, x − y ≥ 0}. Дополним теперь уравнение условиями Неймана. Для
треугольника в нашем случае они имеют вид
∂u ¯¯
∂u ¯¯
∂u ¯¯
∂u ¯¯
= 0,
= 0,
−
= 0.
¯
¯
¯
¯
∂x x=π
∂y y=0
∂x x=y ∂y y=x
(3)
Оператор Лапласа с краевыми условиями вида (3) имеет собственные функции e0,0 (x, y) = 1,
en,0 (x, y) = cos nx+cos ny, en,m = cos nx cos my +cos mx cos ny, которые соответствуют собственным значениям λ0,0 = 0, λn,0 = −n2 , λn,m = −(n2 + m2 ). Ясно, что λn,m = λm,n . В качестве фазового пространства
при рассмотрении задачи (1), (3) естественно выбрать пространство H2 (D), которое получается замыканием множества гладких функций, удовлетворяющих краевым условиям (3) по норме пространства
Соболева W22 (D) [9].
2. Исследование устойчивости однородного цикла. Положим u = exp(−ict)(1 + v), где
v = v(t, x, y) ∈ H22 (D). После линеаризации для v(t, x, y) получим уравнение
vt = −(1 + ic)(v + v) − id∆v.
(4)
Устойчивость нулевого решения вспомогательной задачи (3), (4) сводится к исследованию спектра дифференциального оператора
A(d)v = −(1 + ic)(v + v) − id∆v.
Положим v = v1 + iv2 , где v1 (x), v2 (x) – действительные функции, а собственные функции следует искать в виде v1 (x, y) = an,m en,m (x, y), v2 (x, y) = bn,m en,m . Тем самым задача о спектре A(d) сводится к
нахождению собственных значений семейства матриц
¶
µ
−2
dλn,m
(n, m = 0; 1; 2; 3; . . .).
An,m =
−2c − dλn,m
0
В свою очередь, это приводит к необходимости анализа семейства характеристических уравнений
µ2 + 2µ + qn,m = 0.
Здесь qn,m = d(n2 +m2 )[d(n2 +m2 )−2c], а n, m = 0; 1; 2; . . . . Понятно, что одна точка спектра устойчивости
µ = 0, если n = m = 0. Остальные точки спектра устойчивости лежат в полуплоскости Re µ ≤ −γ < 0,
если qn,m ≥ γ0 > 0 при n2 + m2 6= 0. Последнее неравенство выполнено, если d > dкр = 2c. Выполнение
неравенства d < dкр означает, что при некоторых n = n0 , m = m0 будем иметь неравенство qn0 ,m0 < 0,
т.е. среди точек спектра устойчивости появляются те, которые находятся в правой полуплоскости. При
d = dкр реализуется критический случай в задаче об устойчивости однородного цикла. Справедливо
утверждение.
Лемма 1. При d = 2c оператор A0 = A(dкр ) имеет нулевое собственное значение кратности 2,
которому отвечают собственные функции
E1 (x, y) = i, E2 (x, y) = (−c + i)(cos x + cos y).
Далее будет рассмотрен вопрос о бифуркациях однородного цикла. Для дальнейших построений полезно выделить следующее утверждение.
Рассмотрим неоднородное уравнение.
A0 f = g(x, y),
(5)
где f = f (x, y), g(x, y) = gn,m (cos nx cos my + cos mx cos ny), а gn,m ∈ C, n, m = 0; 1; 2; . . . При изучении
уравнения (5) следует различать три случая:
1) n = m = 0; 2)n = 1, m = 0; 3)n2 + m2 > 1.
Лемма 2. В первом случае уравнение (5) разрешимо, если
Im g0,0 = cRe g0,0 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
52
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
Во втором случае это уравнение разрешимо, если
Im g1,0 = 0.
В третьем случае неоднородное уравнение (5) разрешимо при любом выборе постоянной gn,m ∈ C.
3. Нормальная форма. Положим d = dкр − ε (d = 2c − ε), где ε – малый положительный параметр.
При таком выборе параметра d далее рассмотрим вопрос о структуре окрестности однородного цикла.
Для построения нормальной формы следует положить
u(t, x, y) = exp(i(−ct + ϕ(t)))(1 + w(x, y, η(t), ε)),
(6)
где ϕ(t), η(t) подлежат определению из уравнений
ϕ̇ = βη 2 + . . . ,
(7)
η̇ = εαη + lη 3 + . . . ,
а точками обозначены слагаемые, имеющие более высокий порядок малости по сравнению с выписанными
в явном виде. Действительные постоянные β, α, l будут определены в процессе реализации алгоритма
построения нормальной формы (7). Функцию w(x, y; η, ε) будем искать в виде суммы
w(x, y; η(t), ε) = ηw1 (x, y) + η 2 w2 (x, y) + η 3 w3 (x, y) + εηw0 (x, y) + . . . ,
(8)
где точками обозначены слагаемые более высокого порядка малости.
После замены (6) для функции w(x, y; η(t), ε) с учетом (7) приходим к краевой задаче
∂w
η̇ + (1 + w)ϕ̇ = −i(2c − ε)∆w − (1 + ic)(w + w + 2ww + w2 + w2 w),
∂η
(9)
∂w ¯¯
∂w ¯¯
∂w ¯¯
∂w ¯¯
= 0,
= 0,
−
= 0.
¯
¯
¯
¯
∂x x=π
∂y y=0
∂x x=y
∂y y=x
(10)
Подставим сумму (8) в уравнение (9). Для определения функции w1 (x, y), w2 (x, y), w3 (x, y), w0 (x, y)
получим следующие краевые задачи. Для w1 получаем однородную краевую задачу:
A0 w1 = 0,
(11)
∂w ¯¯
∂w ¯¯
∂w ¯¯
∂w ¯¯
= 0,
= 0,
−
= 0.
¯
¯
¯
¯
∂x x=π
∂y y=0
∂x x=y
∂y y=x
(12)
Для w2 (x, y) получаем уже неоднородную краевую задачу:
A0 w2 = β + (1 + ic)(2w1 w1 + w12 ),
(13)
∂w ¯¯
∂w ¯¯
∂w ¯¯
∂w ¯¯
= 0,
= 0,
−
= 0.
¯
¯
¯
¯
∂x x=π
∂y y=0
∂x x=y
∂y y=x
(14)
Аналогичная краевая задача получается и для w3 :
A0 w3 = βw1 + lw1 + (1 + ic)(2w1 w2 + 2w1 w2 + 2w1 w2 + w12 w1 ),
(15)
∂w ¯¯
∂w ¯¯
∂w ¯¯
∂w ¯¯
= 0,
= 0,
−
= 0.
¯
¯
¯
¯
∂x x=π
∂y y=0
∂x x=y
∂y y=x
(16)
Наконец, для w0 (x, y) следует рассмотреть следующую краевую задачу:
A0 w0 = αw1 − id∆w1 ,
(17)
∂w ¯¯
∂w ¯¯
∂w ¯¯
∂w ¯¯
= 0,
= 0,
−
= 0.
¯
¯
¯
¯
∂x x=π
∂y y=0
∂x x=y
∂y y=x
(18)
В качестве решения краевой задачи (11), (12) можно выбрать, естественно, функцию
w1 (x, y) = E2 (x, y) = (−c + i)(cos x + cos y).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Бифуркации однородного цикла обобщенного кубического уравнения Шредингера в треугольнике
53
После чего из условий разрешимости краевых задач (13), (14), (15), (16), (17), (18) (см. лемму 2)
последовательно находим β, w2 . Затем l, а также α.
Оказывается, что
³
´
´
1³
β = 2c c2 + 1 , l = − 6c4 + 15c2 + 1 , α = c,
6
w2 (x, y) = −
´ ³ 3c2 − 1 9c2 + 1 ´³
´ ³
´
5c2 + 1 ³
1 + ic +
−
i cos 2x + cos 2y + 3c2 − 1 − 4ci cos x cos y.
2
12
24c
4. Анализ нормальной формы. Основной результат. В системе дифференциальных уравнений
(7) (нормальной форме) основную роль играет второе уравнение, которое после замен
√
η = εcρ (ρ ≥ 0), τ = 2εct
перепишется в следующем виде:
1³
´
ρ0 = ρ(1 − l0 ρ),
(19)
6c4 + 15c2 + 1 > 0 при всех c. Штрихом обозначена производная по τ. При этом в
6
уравнении оставлены два определяющих слагаемых. Уравнение (19) имеет ненулевое состояние равновесия
где l0 = −l =
ρ = ρ0 =
1
,
l0
(20)
которое асимптотически устойчиво.
Из результатов, изложенных в учебном пособии [10], вытекает, что справедливо следующее утверждение.
Теорема. Существует такое положительное ε0 > 0, что при всех ε ∈ (0; ε0 ) при d = 2c − ε краевая задача (1), (3) имеет два цикла, порожденные ненулевым состоянием равновесия (20). Эти циклы
устойчивы (орбитально асимптотически устойчивы).
Для соответствующих периодических решений справедлива формула
√
u(t, x, y, ε) = exp(i(−ct + εβ1 t + ϕ0 ))[1 ± εcρ0 (−c + i)(cos x + cos y) + εcρ0 w2 (x, y)] + o(ε).
2c2 (c2 + 1)
.
l0
Автор выражает благодарность Колесову А.Ю. за постановку задачи и обсуждение результатов рабо-
Здесь ϕ0 – произвольная действительная постоянная, а β1 =
ты.
Список литературы
1. Скотт, Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электродинамике / Э. Скотт. –
М.: Советское радио, 1977. — 368 c.
2. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. – М.: Мир, 1977. — 622 c.
3. Ланда, П.С. Нелинейные волны / П.С. Ланда. – М.: Мир, 1983. — 320 с.
4. Scheuer, J. Stable and chaotic solutions of the Ginzburg – Landau equation with periodic boundary conditions / J. Scheuer, B.A. Malomed // Physika D. — 2002. — V. 161. — P. 102 – 115.
5. Дразин, Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости / Ф. Дразин. – М.: Физматлит, 2005.
— 287 с.
6. Глызин, С.Д. Установившиеся режимы уравнения Хатчинсона с малой диффузией в случае квадрата / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов // Качественные методы исследования операторных уравнений. —
Ярославль, 1988. — C. 44 – 54.
7. Куликов, Д.А. Бифуркации плоских волн обобщенного кубического уравнения Шредингера в цилиндрической области / Д.А. Куликов // Модел. и анализ информ. систем. — 2006. — Т. 13, №1. —
C. 20 – 26.
8. Куликов, Д.А. Структура окрестности бегущих волн обобщенного кубического уравнения Шредингера
в цилиндрической области / Д.А. Куликов // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. — 2006.
— №11. — C. 135 – 137.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
54
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
9. Соболев, С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С. Л. Соболев. — Л.: Изд-во Ленинградского гос. ун-та, 1950. — 255 с.
10. Колесов, А.Ю. Инвариантные торы нелинейных эволюционных уравнений / А.Ю. Колесов, А.Н. Куликов. – Ярославль: ЯрГУ, 2003. — 107 c.
Bifurcations of homogeneous cycle of generalized cubic
Shrödinger equation in the triangle
Kulikov D.A.
We consider the generalized cubic Scrödinger equation in rectangular equilateral triangle provided that solution satisfies the homogeneous Neumann boundary condition. Stability and local bifurcations of homogeneous
cycle are studied. We show that the bifurcation of two nonhomogeneous cycles takes place when homogeneous
cycle loses its stability.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модел. и анализ информ. систем. Т.15, №2 (2008) 55–60
УДК 517.9
Релаксационные колебания
в простейших моделях с запаздыванием
Кащенко С. А., Полстьянов А. С.1
Ярославский государственный университет
150 000, Ярославль, Советская, 14
e-mail: kasch@uniyar.ac.ru, pol_art@rambler.ru
получена 29 апреля 2008
Аннотация
Асимптотическими методами исследуется нелокальная динамика уравнения с запаздыванием в случае, когда нелинейность является финитной функцией. Описаны условия существования и устойчивости периодических решений. Полученные результаты обобщены на комплексные уравнения.
1. В работах [1, 2] рассмотрено уравнение первого порядка с запаздыванием
ẋ = −x + λF (x(t − T )),
(1)
где T > 0, а F (x) — финитная функция, т.е. для некоторого p > 0
½
f (x),
|x| < p,
F (x) =
0,
|x| ≥ p.
(2)
Основное предположение, открывающее путь к применению асимптотического метода [1, 2, 3], состоит в
том, что параметр λ достаточно большой:
λ À 1.
(3)
Исследовался вопрос о динамике (1) при условиях (2) и (3). Приведем здесь два утверждения из [1,
2]. Введем в рассмотрение две величины A+ и A− по правилу
ZT
±
A =
F (±p exp(−t)) exp(t − T )dt.
0
Теорема 1. Пусть A+ > 0 (A− < 0). Тогда найдется такое λ0 > 0, что при всех λ ≥ λ0 уравнение
(1) имеет экспоненциально орбитально устойчивое периодическое с периодом T± (λ) решение (ЭОУПР)
x± (t, λ), для которого верны асимптотические при λ → ∞ равенства
T± (λ) = (1 + o(1)) ln λ,

±p exp(−t),


¶
 µRt
λ
f (±p exp(T − s)) exp(s − t)ds + o(1) ,
x± (t, λ) =

T


±
λ(A exp(2T − t) + o(1))
(4)
t ∈ [0, T ],
t ∈ [T + δ, 2T ],
(5)
t ∈ (2T, T± (λ)).
Здесь и ниже через δ > 0 обозначена произвольно малая, но фиксированная при λ → ∞ величина.
Теорема 2. Пусть A+ < 0 и A− > 0. Тогда найдется такое λ0 > 0, что при всех λ ≥ λ0 уравнение (1)
имеет ЭОУПР x0 (t, λ) с периодом T0 (λ) и верны асимптотические равенства
T0 (λ) = 2(1 + o(1)) ln λ,
(6)
1 Работа выполнена при финансовой поддержке целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы»
(проект РНП.2.1.1.630).
55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
56
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
p
0
T
2T
T+ (λ)
t
Рис. 1. Примерный вид функции x+ (t, λ)

p exp(−t),


"
#


t−T

R


λ
f (p+ exp(−s)) exp(s − t)ds + o(1) ,



0



λ [A+ exp(2T − t) + o(1)] ,
x0 (t, λ) =

 −p
" exp(−t),
#


t−T1R(λ)−T



λ
f (−p exp(−s)) exp(s − t)ds + o(1) ,



0


£
¤

λ A−1 exp(T1 (λ) + 2T − t) + o(1) ,
t ∈ [0, T ],
t ∈ [T + δ, 2T ],
t ∈ [2T, T1 (λ)],
t ∈ [T1 (λ), T1 (λ) + T ],
(7)
t ∈ [T1 (λ) + T + δ, T1 (λ) + 2T ],
t ∈ [T1 (λ) + 2T, T0 (λ)]
где T1 (λ) = (1 + o(1)) ln λ.
p
0 T
−p
T1 (λ)
2T
T1 (λ) + 2T
T0 (λ)
t
Рис. 2. Примерный вид функции x0 (t, λ)
В настоящей работе приведенные выше утверждения обобщаются на несколько иные уравнения первого порядка с запаздыванием. Кроме того рассмотрен случай, когда изучаемые уравнения являются комплексными. Результаты для комплексного уравнения, нелинейность в котором финитно зависит только
от одной из составляющей, примыкают к построениям работы [3]. Отметим, что методика доказательств
приводимых ниже теорем и способы получения асимптотических разложений решений те же, что и в
[1, 2], поэтому здесь на них не останавливаемся.
2. Рассмотрим несколько иное, по сравнению с (1), уравнение с запаздыванием
ẋ = [−1 + λF (x(t − T ))]x,
(8)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Релаксационные колебания в простейших моделях с запаздыванием
57
где λ и F (x) те же, что и в (2),(3) соответственно.
Теорема 3. Пусть A+ > 0 (A− > 0). Тогда при всех достаточно больших λ уравнение (8) имеет
положительное(отрицательное) ЭОУПР x+ (t, λ) (x− (t, λ)), для которого верны асимптотические при
λ → ∞ формулы
T± (λ) = λA± (1 + o(1)),
(9)

±p exp(−t),


·
µt
¶¸ t ∈ [0, T ],

R
(10)
x± (t, λ) =
±p exp T − t + λ
f (±p exp(T − s))ds + o(1) , t ∈ [T, 2T ]

0


±exp[λ(A± + o(1)) − t],
t ∈ [2T, T± (λ)].
По сравнению с моделью (1) здесь резко выше (по порядку) амплитуда цикла (∼ln λ в (1) и ∼λ в (8)) и
период (∼ln λ в (1) и ∼λ в (8)).
p
0
2T
T
T+ (λ)
t
Рис. 3. Примерный вид функции x+ (t, λ)
3. Рассмотрим с теми же F (x) и λ, что и в (2), (3) соответственно, уравнение
ẋ = λ[−1 + F (x(t − T ))]x.
(11)
α = f (0) − 1 > 0.
(12)
Теорема 4. Пусть
Тогда при всех достаточно больших λ уравнение (11) имеет два (положительное и отрицательное)
ЭОУПР x± (t, λ) с периодами T± (λ), для которых
T± (λ) = (2 + α + α−1 )T + o(1),

±p exp(−λt) + o(1),



±p exp λ(α(t − 2T ) − T + o(1)),
x± (t, λ) =



± exp λ(αT + T1± (λ) + T − t + o(1)),
t ∈ [0, T ],
t ∈ [T, T1± (λ) + T ],
T1± (λ) = T (1 + α−1 ) + o(1)
t ∈ [T1± (λ) + T, T± (λ)].
(13)
(14)
Отметим, что здесь амплитуды циклов порядка exp λα, а период конечный при λ → ∞.
4. При условиях (2) и (3) исследуем динамические свойства решений скалярного комплексного уравнения
ẋ = ax + λF (x(t − T )),
(15)
где a = −1 + ib.
Положим
ZT
A(ϕ) =
f (p exp(iϕ + as)) exp a(s − T )ds,
0
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
58
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
p
0
T
T1+ (λ)
T+ (λ)
t
Рис. 4. Примерный вид функции x+ (t, λ)
и пусть для всех ϕ ∈ [0, 2π] выполнено неравенство
|A(ϕ)| 6= 0.
(16)
Рассмотрим одномерное (вещественное) отображение окружности в себя
h
³
´i ¯
¯
−1
ϕ̄ = ln λ + ln |A(ϕ)| − ln p − i ln A(ϕ) · |A(ϕ)|
¯
mod 2π
.
(17)
Основное утверждение состоит в том, что динамика отображения (17) определяет при условии (16) и
при всех достаточно больших λ свойства решений уравнения (15). Поясним связь между (15) и (17).
Обозначим через S(ϕ) множество таких функций x(s) ∈ C[−T,0] , для которых
½
x(0) = p exp iϕ
|x(s)| > p при s ∈ [−T, 0).
Тогда для решения x(t, ϕ, λ) уравнения (15) с начальным условием из S(ϕ) имеют место асимптотические
при λ → ∞ формулы
p exp(iϕ + at),
t−T
R
λ
f (p exp(iϕ + a(s − T )) exp a(t − s)ds + o(1))d,
T
λ(A(ϕ) + o(1)) exp a(t − 2T ),
t ∈ [0, T ],
t ∈ [T + δ, 2T ],
t ∈ [2T, T0 (ϕ)],
где
T0 (ϕ) = ln λ + ln |A(ϕ)| − ln p + o(1),
причем для некоторого значения ϕ̄, задаваемого формулой (17), выполнено включение
x(T0 (ϕ) + s, ϕ, λ) ∈ S(ϕ̄ + o(1)).
(18)
После этого ситуация повторяется с заменой ϕ на ϕ̄ и т.д.
Отметим, что амплитуда функции x(t, ϕ, λ), т.е. выражение |x(t, ϕ, λ)|, близко по форме к тем периодическим решениям, о которых говорилось в теоремах 1 и 2.
5. Для комплексного уравнения (8) при условиях (2) и (3) отображение, аналогичное отображению (17),
имеет вид
ϕ̄ = ϕ + λ[Im A(ϕ) + b Re A(ϕ)].
(19)
Здесь дополнительно предполагаем, что Re A(ϕ) > 0 (случай Re A(ϕ) > 0 может быть так же рассмотрен
при дополнительном условии f (0) − 1 > 0).
6. Для комплексного уравнения (11) соответствующее отображение при условии f (0) − 1 > 0 имеет вид
¢
¢
¡
¡
ϕ̄ = ϕ + 2λbT 2 + (Re f (0) − 1)−1 + λT (Im f (0) + b Re f (0)) 1 + (Re f (0) − 1)−1 .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Релаксационные колебания в простейших моделях с запаздыванием
59
7. Комплексное уравнение с нелинейностью, финитно зависящей от одной из координат.
Существенно более сложная динамика может наблюдаться при больших λ для нелинейностей другого
типа. Пусть в (15) x = x1 + ix2 и функция F (x) финитно зависит только от x2 :
½
f (x1 , x2 ), |x2 | < p,
F = F (x1 , x2 ) =
(20)
0,
|x2 | ≥ p.
Предположим сначала, что выполнено неравенство
0 < bT < π.
(21)
Для того, чтобы сформулировать основной результат, введем несколько обозначений. Пусть
Zp
A(z) =
f (z, s)ds,
−p
и пусть для некоторого
k<2
(22)
имеем
A(z) = αz k (1 + o(1)) при |z| → ∞,
α = α1 + iα2 .
Введем в рассмотрение две вспомогательные функции ρ1 (ρ) и ϕ(ρ):
ρ1 = ρ1 (ρ) =
h¡
¢2 ¡
¢2 i1/2
ρ cos bT · exp(−T ) + α10 b−1 ρk−1 + ρ sin bT · exp(−T ) + α20 b−1 ρk−1
,
αj0 = αj sign ρ
и
(j = 1, 2)
¡
¢
ρ exp aT + αb−1 ρk−1
ϕ = ϕ(ρ) = arg ρ exp aT + αb−1 ρk−1 = −i ln
.
ρ1
Центральным моментом является конструирование отображения вещественной оси R в себя.
ρ̄ = R(ρ),
(23)
где
R(ρ) = ρ1 (ρ) exp(−χ(ρ)) sign(ϕ(ρ) − π),
а
½
χ(ρ) =
(π − ϕ(ρ))b−1 , если 0 < ϕ(ρ) < π,
(2π − ϕ)b−1 , если π < ϕ(ρ) < 2π.
Основной результат состоит в том, что динамика отображения (23) определяет при достаточно больших
λ структуру аттракторов уравнения (15). Более точно: грубому циклу (23) отвечает (при λ À 1) цикл
уравнения (15) той же устойчивости. Кроме этого, с помощью траектории ρn (n = 0, 1, . . .) отображения
(23) удается восстановить асимптотику соответствующего решения (15). Здесь отметим, что, в отличие
от результатов п. 4, изучаемые решения ограничены величиной порядка λ1/2−k (а не ∼λ, как в п. 4), а
расстояние между их соседними экстремумами и период имеют порядок O(1) (а не ∼ln λ, как в п. 4).
Обратим внимание, что в зависимости от параметров b и T динамика (23), а значит, и (15), может
быть довольно сложной [4].
Список литературы
1. Кащенко, С.А. Асимптотика релаксационных колебаний дифференциально-разностных систем с финитной нелинейностью. I. / С.А. Кащенко // Диф. уравнения. — 1995. — Т. 31, №8. — C. 1330–1339.
2. Кащенко, С.А. Асимптотика релаксационных колебаний дифференциально-разностных систем с финитной нелинейностью. II. / С.А. Кащенко // Диф. уравнения. — 1995. — Т. 31, №10. — С. 1968–1976.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
60
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
3. Кащенко, С.А. Сравнительный асимптотический анализ динамики автогенераторов с различными
нелинейными запаздывающими связями / С.А. Кащенко // Фундаментальная и прикладная математика. — 1999 — Т. 5. Вып. 4. — С. 1027–1060.
4. Майстренко, Ю.Л. Разностные уравнения и их приложения / Ю.Л. Майстренко, Е.Н. Романенко,
А.Н. Шарковский. — Киев: Наукова Думка, 1986.
Relaxation oscillations in the simplest models with delay
Kaschenko S.A., Polstyanov A.S.
We study nonlocal dynamics of equation with delay provided that nonlinear terms are described by a finitary
function. The conditions for existence and stability of periodic solutions are found. We generalize the obtained
results to study complex equations.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модел. и анализ информ. систем. Т.15, №2 (2008) 61–66
УДК 517.928 + 517.929
Поправка к периоду решения уравнения,
моделирующего динамику мембранного потенциала нейрона
Майоров В. В., Мячин М. Л., Парамонов И. В.
Ярославский государственный университет
e-mail: Ltwood@gmail.com
получена 30 апреля 2008
Аннотация
Рассмотрена задача вычисления периода колебаний в модели биологического нейрона, построенной на основе уравнения с запаздыванием. Получена оценка периода решения уравнения. Она имеет
первый порядок точности по величине, обратной к значению большого параметра.
В работах [1, 2] для моделирования осцилляторной динамики биологического нейрона было предложено использовать следующее дифференциальное уравнение с запаздыванием:
u̇ = λ [−1 − fNa (u) + fK (u(t − 1))] u,
(1)
где u(t) — мембранный потенциал нейрона, λ — большой параметр, функции fNa (u), fK (u) определяют
зависимость (нормированных) натриевой и калиевой проводимостей мембраны нейрона от мембранного
потенциала. В соответствии с биологическим смыслом функции fNa (u) и fK (u) положительны, достаточно
гладки и монотонно стремятся к нулю при u → ∞ быстрее, чем O(u−1 ), т.е. выполнены следующие
соотношения:
fNa (u) 6 Cu−(1+ε) ,
fK (u) 6 Cu
(2)
−(1+ε)
(3)
при некотором ε > 0.
В ранних работах уравнение (1) исследовалось численно, а в работе [3] было проведено аналитическое исследование модели. В этой работе была доказана следующая теорема, дающая оценку нулевого
приближения для периода решения уравнения (1):
Теорема 1. Пусть начальная функция ϕ(s) непрерывна на отрезке [−1, 0] и удовлетворяет условию:
λ−1 exp(2λαs) 6 ϕ(s) 6 λ−1 exp(λαs/2).
(4)
Пусть u(t) — решение уравнения (1) такое, что u(s) = ϕ(s) при s ∈ [−1, 0]. Для функции u(t) имеют
место следующие асимптотические при λ → ∞ равенства:
u(t) = exp λα1 (t + o(1)),
t ∈ [δ, 1 − δ],
(5)
u(t) = exp λ(α1 − (t − 1) + o(1)),
u(t) = exp[−λα2 (t − T1 + o(1))],
t ∈ [1 + δ, T1 − δ],
t ∈ [T1 + δ, T1 + 1 − δ],
(6)
(7)
u(t) = exp λ(α(t − T1 − 1) − α2 + o(1)),
t ∈ [T1 + 1 + δ, T2 ],
(8)
где
α = fK (0) − fNa (0) − 1 > 0,
(9)
α1 = fK (0) − 1 > 0,
α2 = fNa (0) + 1 > 0,
(10)
(11)
δ — произвольная фиксированная (не зависящая от λ) достаточно малая постоянная, T1 = 1 + α1 ,
T2 = T1 + 1 + α2 /α.
61
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
62
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
λn
λ−n
ϕ(s)
−1
t1
1
1+t1 t2
t3
t2 +1
t3 +1
T
Рис. 1. Схематический график периодического решения уравнения нейрона и разбиение периода на подынтервалы
Из теоремы следует, что решения с начальными условиями, удовлетворяющими неравенству (4), образуют аттрактор. Для решений, входящих в аттрактор, имеет место единая асимптотика нулевого приближения, описанная в теореме. Из непрерывной зависимости решения от начальной функции следует,
что оператор сдвига по траекториям непрерывен. Он переводит множество (4) в себя. В силу выпуклости
и замкнутости этого множества существует периодическое решение, принадлежащее аттрактору.
Ниже предлагается уточнение для периода решения уравнения (1). Соответствующие результаты были
анонсированы в [4].
Введем класс Sλ начальных функций ϕ(s), которые непрерывны на отрезке s ∈ [−1, 0] и удовлетворяют
условию:
λ−n exp(2λαs) 6 ϕ(s) 6 λ−n exp(λαs/2),
(12)
где n > 1 — фиксированное целое число. Начальные условия периодического решения принадлежат классу
Sλ (специальных обозначений для периодического решения и его начального условия вводить не будем).
Теорема 2. При сформулированных выше условиях для периода T решения u(t) уравнения (1) при λ → ∞
справедливо асимптотическое представление
T = T2 + ∆T + o(λ−n ),
где T2 — асимптотика нулевого приближения из теоремы 1,
¸
Z ·
1 α − fK (u) du
1 ∞ fK (u) − α1
+ ·
< 0.
∆T =
λ 0
α1 − fNa (u) α 1 + fNa (u) u
(13)
(14)
Доказательство. Разобьем интервал t ∈ [0, T ] на ряд подынтервалов. График периодического решения уравнения (1) и соответствующее разбиение приведены на рис. 1. Сам вид решения соответствует
теореме 1. Вычислим значения t1 , t2 , t3 и T .
1. Пусть t ∈ [0, t1 ]. Вычисления покажут, что t1 = O(n ln λ/λ). Учитывая, что u(s) = ϕ(s) для s ∈ [−1, 0],
уравнение (1) приобретает вид:
u̇ = λ [−1 − fNa (u) + fK (ϕ(t − 1))] u.
(15)
Здесь t − 1 ∈ [−1, 0]. Используя определение начального класса функций Sλ , получаем:
fK (ϕ(t − 1)) = fK (0) + O(ϕ(t − 1)) = fK (0) + o(λ−n ).
(16)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поправка к периоду потенциала нейрона
63
Более того, в силу (12) слагаемое o(λ−n ) экспоненциально мало по λ. Пренебрегая этим слагаемым, получаем уравнение
u̇ = λ [α1 − fNa (u)] u.
(17)
Здесь учтено обозначение (10). В силу того, что u(0) = λ−n и u(t1 ) = λn , из уравнения (17) сразу же
следует, что
¸
Z n·
1
du
1 λ
= t1 .
λ λ−n α1 − fNa (u) u
В интеграле стандартным образом выделяем сингулярные слагаемые. Получаем
"
#
·
¸
¸
¸
Z 1 ·
Z λn ·
1 n ln λ
1
1 du
1 n ln λ
1
1 du
t1 =
+
−
+
+
−
.
λ
α
α u
λ
α1
α1 − fNa (u) α1 u
λ−n α1 − fNa (u)
1
Оба интеграла в правой части сходятся при λ → ∞. Для первого из них в силу обозначений (9) и (10)
для α и α1 имеем асимптотическое равенство
Z
1
λ−n
·
1
1
−
α1 − fNa (u) α
¸
du
1
=
u
α
Z
1
λ−n
·
fNa (u) − fNa (0)
α1 − fNa (u)
¸
du
=
u
1
α
=
Z
1
·
0
fNa (u) − fNa (0)
α1 − fNa (u)
¸
du
+ O(λ−n ).
u
Для второго интеграла получаем
Z
λn
·
1
1
1
−
α1 − fNa (u) α1
¸
du
1
=
u
α1
Z
∞
·
1
fNa (u)
α1 − fNa (u)
¸
du
+ o(λ−n ).
u
Здесь использована оценка (2) для fNa (u). Для дальнейших рассуждений выражение для t1 удобно переписать в виде:
t1 =
n ln λ
λ
µ
1
1
+
α α1
¶
+
1
λ
Z
0
1
·
1
1
−
α1 − fNa (u) α
¸
du
+
u
+
1
λ
Z
∞
·
1
1
1
−
α1 − fNa (u) α1
¸
du
+ O(λ−n ). (18)
u
В полученном выражении не выполнено упрощение, поскольку оно, как ни странно, усложняет последующие выкладки.
2. Пусть t ∈ [t1 , 1]. На этом интервале u(t) > λn . Исходное уравнение (1) по-прежнему имеет вид (15)
(t − 1 ∈ [−1, 0], u(t − 1) = ϕ(t − 1)) и справедлива формула (16) (при t → 1 слагаемое o(λ−n ) заменяется
на O(λ−n )). Дополнительно из оценки (2) для fNa (u) имеем fNa (u) = o(λ−n ).
Пренебрегая в уравнении (15) слагаемыми O(λ−n ), получим простое уравнение
u̇ = λ [fK (0) − 1] u,
u(t1 ) = λn .
Если учесть формулу (10) для α1 , то для его решения при t = 1 имеем
u(1) = λn exp[λα1 (1 − t1 )].
(19)
3. Рассмотрим интервал t ∈ [1, 1 + t1 ]. На нем в силу оценки (2) и формулы (19) fNa (u) < exp(−λα1 ). Этим
слагаемым в уравнении (1) можно пренебречь, и уравнение приобретает вид
u̇ = λ [−1 + fK (u(t − 1))] u.
Из последнего уравнения с учетом начального условия (19) получаем
·
Z
u(1 + t1 ) = λn exp −λt1 + λ
1+t1
1
¸
fK (u(s − 1)) ds + λα1 (1 − t1 ) .
(20)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
64
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
Преобразуем входящий в формулу интеграл:
Z
I=λ
Z
1+t1
t1
fK (u(s − 1)) ds = λ
1
fK (u(s)) ds =
0
Z
t1
=λ
0
fK (u(s))
u̇(s) ds. (21)
λ [−1 − fNa (u(s)) + fK (u(s − 1))] u
В знаменателе дроби fK (u(s − 1)) = fK (ϕ(s − 1)) = fK (0) + o(λ−n ). Слагаемым o(λ−n ) будем пренебрегать
(оставляя знак точного равенства). Поскольку u(0) = λ−n , а u(t1 ) = λn , получаем
Z
·
λn
I=
λ−n
¸
fK (u)
du
.
α1 − fNa (u) u
Действуя как и на первом шаге, выделим сингулярную составляющую: I = I1 + I2 , где
¸
Z 1·
nfK (0)
fK (0) du
fK (u)
I1 =
ln λ +
−
+ O(λ−n ),
α
α
−
f
(u)
α
u
1
Na
0
¸
Z ∞·
fK (u)
du
I2 =
+ o(λ−n ).
α
−
f
(u)
u
1
Na
1
(22)
(23)
Формула (21) приобретает вид:
u(1 + t1 ) = λn exp[−λt1 + I1 + I2 + λα1 (1 − t1 )].
(24)
4. Пусть теперь t ∈ [1 + t1 , t2 ] (значение u(1 + t1 ) задается формулой (24), а u(t2 ) = λn ). На этом интервале
значения u(t) и u(t − 1) экспоненциально велики по λ, а следовательно, значения функции fNa (u(t)) и
fK (u(t − 1)) в силу оценок (2) и (3) экспоненциально малы. Пренебрегаем в (1) этими малыми величинами
и получаем совершенно простое уравнение:
u̇ = −λu,
из которого в силу начального условия (24) следует, что
u(t2 ) = λn exp[−λ(t2 − 1) + I1 + I2 + λα1 (1 − t1 )] = λn .
Момент времени t2 легко находится:
t2 = 1 + λ−1 (I1 + I2 ) + α1 (1 − t1 ).
(25)
5. На интервале t ∈ [t2 , t3 ] (напомним, что u(t3 ) = λn ) функция fK (u(t − 1)) экспоненциально мала по λ.
Пренебрегая этим слагаемым в (1), приходим к уравнению
u̇ = −λ[1 + fNa (u)]u.
Действуя как и при анализе уравнения (17), получим интегральное представление:
t3 − t2 =
1
λ
Z
λn
λ−n
·
¸
1
du
,
1 + fNa (u) u
где использовано, что u(t2 ) = λn , u(t3 ) = λ−n . Как и на первом шаге, выделим в интеграле сингулярную
составляющую: t3 − t2 = J1 + J2 , где
¸
Z ·
n ln λ
1 1
1
1 du
J1 =
+
−
+ O(λ−(n+1) ),
(26)
λα2
λ 0 1 + fNa (u) α2 u
¸
Z ∞·
n ln λ
1
1
du
J2 =
+
−1
+ o(λ−(n+1) ).
(27)
λ
λ 1
1 + fNa (u)
u
Тем самым, момент времени t3 найден. В силу (25)
t3 = 1 + λ−1 (I1 + I2 ) + α1 (1 − t1 ) + J1 + J2 .
(28)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Поправка к периоду потенциала нейрона
65
6. Рассмотрим интервал времени t ∈ [t3 , t2 +1]. Значения fNa (u) и fNa (0) разнятся не более чем на величину
O(λ−n ). Поэтому заменим в (1) fNa (u) на fNa (0). Далее, заметим, что u(t − 1) > λn , а поэтому значения
функции fK (u(t − 1)) экспоненциально малы. Уравнение (1) приобретает очень простой вид:
u̇ = −λα2 u,
где использована формула (11) для α2 . Поскольку u(t3 ) = λ−n , получаем
u(t2 + 1) = λ−n exp[−λα2 (t2 + 1 − t3 )].
(29)
7. Для интервала времени t ∈ [t2 + 1, t3 + 1] значение u(t) экспоненциально мало по λ и верно равенство
fNa (u) = fNa (0) + o(λ−n ). Отбрасывая в (1) малые слагаемые, получаем уравнение
u̇ = λ[−α2 + fK (u(t − 1))]u.
(Здесь использована формула (11).) Последнее уравнение аналогично уравнению, проанализированному
на третьем шаге. Получаем
¸
·
Z t3 +1
u(t3 + 1) = exp −λα2 (t3 − t2 ) + λ
fK (u(s − 1)) ds u(t2 + 1).
t2 +1
В силу (29)
·
u(t3 + 1) = λ
−n
Z
t3 +1
exp −λα2 + λ
¸
fK (u(s − 1)) ds .
(30)
t2 +1
Действуя как и выше, для интеграла получаем асимптотическое представление:
Z t3 +1
λ
fK (u(s − 1)) ds = K1 + K2 ,
t2 +1
где
K1 =
nfK (0)
ln λ +
α2
Z
K2 =
Z
1
0
∞
1
¸
fK (0) du
fK (u)
−
+ O(λ−n ),
1 + fNa (u)
α2
u
fK (u) du
+ o(λ−n ).
1 + fNa (u) u
·
(31)
(32)
В итоге (30) приобретает вид:
u(t3 + 1) = λ−n exp[−λα2 + K1 + K2 ].
(33)
8. На интервале времени t ∈ [t3 + 1, T ] (T — период, т.е. u(T ) = λ−n ) значения функций fNa (u) и fK (u)
асимптотически близки к fNa (0) и fK (0) (разница не более чем o(λ−n )). Уравнение (1) приобретает вид:
u̇ = λαu,
из которого следует, что
u(T ) = exp[λα(T − (t3 + 1))]u(t3 + 1) = λ−n .
Из последнего равенства и (33) получаем
λαT − λα(t3 + 1) − λα2 + K1 + K2 = 0.
Находим период T , используя формулу (28) для t3 :
T = 2 + α1 +
α2
1
1
+ (I1 + I2 ) − α1 t1 + J1 + J2 −
(K1 + K2 ).
α
α
λα
Слагаемые, не зависящие от λ, есть величина T2 из теоремы 2. Подставляя в последнюю формулу значения I1 , I2 , t1 , J1 , J2 , K1 , K2 в соответствии с формулами (22), (23), (18), (26), (27), (31) и (32) и приводя
подобные слагаемые при ln λ/λ, убеждаемся, что их сумма равна нулю. После приведения подобных слагаемых суммы интегралов приводятся к виду (14) для ∆T — главной части поправки к периоду. Именно
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
66
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
здесь используются непреобразованные подынтегральные выражения, на которые мы обращали внимание
в формуле (18).
Покажем, что полученная поправка к периоду колебаний мембранного потенциала нейрона отрицательна. Приведем подынтегральное выражение (14) для ∆T к общему знаменателю. Числитель A дроби
можно записать в виде
A = fK (u)[α − α1 + fNa (u)] + αfNa (u)[fK (u) − α1 − 1].
Имеем α = −1 − fNa (0) + fK (0) = α1 − fNa (0). Отсюда fNa (0) = α1 − α. Далее, из (10) следует, что
fK (0) = α1 + 1. Используя монотонное убывание функций fNa (u) и fK (u), оцениваем величину A:
A < fK (u)[α − α1 + fNa (0)] + αfNa (u)[fK (0) − α1 − 1] = 0.
Таблица 1.
Погрешности оценок нулевого и первого приближения
для периода решения при различных значениях параметра λ
λ
T̃
T̃ − T2
∆T
T
T̃ − T
(T̃ − T )/(T̃ − T2 )
3.0
6.0
12.0
24.0
11.86
12.32
12.74
12.97
−1.34
−0.88
−0.46
−0.23
−1.86
−0.93
−0.47
−0.23
11.34
12.27
12.73
12.97
+5.2 · 10−1
+5.3 · 10−2
+2.0 · 10−3
−9.3 · 10−5
3.9 · 10−1
6.0 · 10−2
4.3 · 10−3
4.0 · 10−4
Точность полученной оценки была проверена экспериментально на модели нейрона для fNa (u) =
R1 exp(−u2 ), fK (u) = R2 exp(−u2 ) и ϕ(s) = λ−1 exp(λαs) при значениях параметров R1 = 1.0, R2 = 2.2. В
этом случае оценка нулевого приближения для периода решения принимает значение T2 = 13.2. Через T̃
обозначим период решения, найденный по результатам моделирования. В таблице 1 приведены результаты
моделирования для некоторых значений параметра λ. Величины T̃ − T2 и T̃ − T определяют погрешности
нулевого и первого приближений соответственно. Величина (T̃ − T )/(T̃ − T2 ) демонстрирует уменьшение
погрешности, происходящее при переходе от нулевого к первому приближению при вычислении периода решения. Таким образом, уже при не слишком больших λ полученная в теореме 2 оценка первого
приближения для периода решения оказывается существенно точнее оценки нулевого приближения.
Список литературы
1. Майоров, В.В. Об одной модели функционирования нейронной сети / В.В. Майоров, И.Ю. Мышкин
// Модел. динам. попул. — Н.Новгород, 1990. — С. 70–78.
2. Майоров, В.В. Математическое моделирование нейронов сети на основе уравнений с запаздыванием
/ В.В. Майоров, И.Ю. Мышкин // Математическое моделирование. — 1990. — Т. 2, № 11. — С. 64–76.
3. Кащенко, С.А. Об одном дифференциально-разностном уравнении, моделирующем импульсную активность нейрона / С.А. Кащенко, В.В. Майоров // Математическое моделирование. — 1993. — Т. 5,
№ 12. — С. 13–25.
4. Майоров, В.В. О поправке к периоду решения уравнения с запаздыванием, описывающего динамику
нейрона / В.В. Майоров, М.Л. Мячин, И.В. Парамонов // Материалы Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова.
— Ярославль, 2003. — С. 45–46.
A correction for period of oscillation in the model of spiking neuron
Mayorov V.V., Machin M.L., Paramonov I.V.
In this paper we explore the model of spiking neuron based on the difference-differential equation. We obtain
a new estimation for oscillation period.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модел. и анализ информ. систем. Т.15, №2 (2008) 67–71
УДК 517.38:62-50
Параметрическое возбуждение хаотических колебаний
в одном дифференциальном уравнении второго порядка
с запаздывающим аргументом
Кубышкин Е. П., Коверга А. Ю.
Ярославский государственный университет,
150 000, Ярославль, Советская, 14
e-mail: kubysh@uniyar.ac.ru
получена 30 апреля 2008
Аннотация
Рассматривается дифференциальное уравнение второго порядка с запаздывающим аргументом специального вида, часто возникающее при моделировании различных электронных устройств. Предполагается, что две пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения линейной части
находятся вблизи мнимой оси и близки к внутреннему резонансу 1 : 2, а остальные корни - в левой
комплексной полуплоскости. Величина запаздывания изменяется периодическим образом с частотой,
близкой к сумме мнимых частей указанной пары комплексно сопряженных корней. Таким образом в
уравнении реализован случай комбинационного параметрического резонанса. Показано, что наличие
внутреннего резонанса может приводить к возникновению в области параметрического резонанса областей, отвечающих хаотическим колебаниям решений уравнения. Приведен пример возникновения
хаотических колебаний, для которых вычислены ляпуновские показатели и ляпуновская размерность.
1. Постановка задачи. Рассматривается дифференциальное уравнение с запаздыванием
ẍ + Aẋ + x + [B + G(x, ẋ, x(t − h(t)), ẋ(t − h(t))] ẋ(t − h(t)) = 0,
(1)
где h(t) = h + a · sin(ωt); A, B, h, a, ω - положительные параметры (h > a),
G(x1 , x2 , x3 , x4 ) = g1 x1 + g2 x2 + g3 x3 + g4 x4 + g11 x21 + g12 x1 x2 + . . .
достаточно гладкая нелинейная функция.
Уравнения вида (1) возникают при моделировании электронных устройств с активными нелинейными
элементами и запаздывающей обратной связью [1,2].
Будем интересоваться возможностью возбуждения за счет периодического запаздывания сложных, в
том числе хаотических колебаний. При этом будем предполагать, что при a = 0 уравнение (1) имеет
лишь нулевое асимптотически устойчивое решение. В качестве метода исследования используется метод
интегральных многообразий и теория бифуркаций. Отметим, что похожая задача изучалась в [3]. Однако
там предполагалось, что в уравнении (1) при a = 0 нулевое решение неустойчиво и в окрестности нулевого
решения существует асимптотически устойчивый инвариантный тор.
2. Предположения относительно коэффициентов линейной части уравнения (1). Положив
a = 0, рассмотрим линейную часть уравнения (1)
ẍ + Aẋ + x + B ẋ(t − h) = 0,
(2)
характеристическое уравнение которого имеет вид
P (λ) ≡ λ2 + Aλ + 1 + B exp(−λh) = 0.
(3)
Устойчивость решений уравнения (2) определяется, как известно, расположением корней уравнения (3).
В [4] методом D-разбиений проведен анализ расположения корней (3) в зависимости от входящих в него
параметров. Из него следует, что при определенных значениях параметров уравнение (3) может иметь
пару комплексно сопряженных корней вида ±iσj (σj > 0, j = 1, 2). При этом √
остальные корни уравнения
√
(3) имеют отрицательные вещественные части. В частности, при h = h0 = 4 2π/3, A = A0 = 6/6, B =
67
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
68
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
√
√
√
B0 = 6/3 имеем σ1 = 2/2, σ2 = 2. Это означает, что имеет место внутренний резонанс 1 : 2. Этот
случай и будет рассматриваться ниже. Отметим, что внутренний резонанс 1 : 3 реализован быть не может.
Потеря устойчивости нулевого решения уравнения (1) может приводить к возникновению сложных, в
том числе и хаотических колебаний. Ниже изучается случай потери устойчивости нулевого решения (1) за
счет периодического изменения запаздывания (случай комбинированного параметрического резонанса).
Теория параметрического резонанса для уравнений с запаздывающим аргументом построена в [5].
Введем малый параметр 0 < ² << 1 и положим
A = A0 + ²A1 , B = B0 + ²B1 , h = h0 + ²h1 .
(4)
Левую часть (3) при этом обозначим P (λ; ²). Считая λj (²) = iσj + ²λ1j + . . . (j = 1, 2), из равенства
P (λj (²); ²) = 0 находим
λ1j = τj1 + iσj = −
(A1 iσj + B1 iσj + B0 h1 σj2 ) exp(−iσj h0 )
P²0 (iσj ; 0)
=
,
0
Pλ (iσj ; 0)
Pλ0 (iσj ; 0)
(5)
где Pλ0 (iσj ; 0) = 2iσj + A0 + B0 (1 − iσj h0 ) exp(−iσj h0 ). Выделив в (5) τj1 = Re λ1j , выберем A1 , B1 , h1 таким
образом, чтобы τj1 < 0, (j = 1, 2).
3. Нормальная форма уравнения (1). Методика построения нормальной формы уравнения (1)
подробно изложена в [3]. Здесь изложим лишь основные моменты. Положим в (1) A, B, h согласно (4) и
a = ²a1 , ω = σ1 + σ2 + ²δ (δ — расстройка резонанса).
Перейдем от уравнения (1) к эквивалентной краевой задаче
∂U
∂U
=
,
∂t
∂s
(6)
∂U
|s=0 = l(t, u(t, s); ²),
(7)
∂s
в полосе −h(t, ²) ≤ s ≤ 0, t ≥ 0. Здесь u(t, s) = col(u1 (t, s), u2 (t, s)) = col(x(t + s), ẋ(t + s)), l(t, u(s); ²) гладкий нелинейный функционал, действующий из C(−h(t, ²); 0) в R2 , имеет вид
l(t, u(s); ²) = l1 (t, u(s); ²) + l2 (t, u(s); ²) + l3 (t, u(s); ²) + . . .
(8)
В правой части (8) выделены соответственно линейная, квадратичная и кубическая составляющие
функционала l(t, u(s); ²). Точками обозначены слагаемые, имеющие по u(s) более высокий порядок малости. При этом имеем
l1 (t, u(s); ²) = col(u2 (0), −(A0 + ²A1 )u2 (0) − (B0 + ²B1 )u2 (−h(t); ²)),
l1 (t, u(s); 0) = l1 (u(s)),
l2 (t, u(s); 0) = col(0, −(g1 u1 (0) + g2 u2 (0) + g3 u1 (−h0 ) + g4 u2 (−h0 ))u2 (−h0 )),
³
¡
l3 (t, u(s); 0) = col 0, − g11 u1 (0)2 + g22 u2 (0)2 + g33 u1 (−h0 )2 + g44 u2 (−h0 )2 + g12 u1 (0)u2 (0)+
´
¢
+g13 u1 (0)u1 (−h0 ) + g14 u1 (0)u2 (−h0 ) + g23 u2 (0)u1 (−h0 ) + g24 u2 (0)u2 (−h0 ) + g34 u1 (−h0 )u2 (−h0 ) u2 (−h0 ) .
Краевая задача (6)-(7) (соответственно и уравнение (1)) имеет [6] в окрестности нуля фазового пространства H = C(−h(t, ²); 0)⊗C(−h(t, ²); 0) четырехмерное 2π/ω периодическое локальное асимптотически
устойчивое гладкое интегральное многообразие Φ(τ, z1 , z̄1 , z2 , z̄2 , s; ²) (τ = ωt, zj ∈ C), поведение решений
на котором определяет поведение решений краевой задачи (6)-(7). Здесь Φ(∗) — гладкий по совокупности
переменных оператор, 2π-периодический по τ . Систему обыкновенных дифференциальных уравнений,
описывающую поведение траекторий на интегральном многообразии Φ(∗) и определяющую поведение
решений краевой задачи (6)-(7) (уравнения (1)), принято называть нормальной формой уравнения (1).
Кратко изложим методику построения нормальной формы и приведем ее явный вид. Введем в рассмотрение разложение
Φ(τ, z1 , z̄1 , z2 , z̄2 , s; ²) = (u10 (s) + ²u110 (τ, s) + . . .)z1 + (u01 (s) + ²u101 (τ, s) + . . .)z2 +
+(ū10 (s) + ²ū110 (τ, s) + . . .)z̄1 + (ū01 (s) + ²ū101 (τ, s) + . . .)z̄2 + (u20 (s) + . . .)z12 +
+(u11 (s) + . . .)z1 z2 + . . . , u(τ, s) ≡ u(τ + 2π, s),
где
u10 (s) = col(1, iσ1 ) exp(iσ1 s),
iσ1 u10 (0) = l1 (u10 (s)),
(9)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Параметрическое возбуждение хаотических колебаний . . .
u01 (s) = col(1, iσ2 ) exp(iσ2 s),
69
iσ2 u01 (0) = l1 (u01 (s)),
и систему обыкновенных дифференциальных уравнений
ż1 = (iσ1 + λ11 ² + d11 |z1 |2 + d12 |z2 |2 )z1 + b1 z̄1 z2 + ²c1 z̄2 exp(iωt) + . . . ,
(10)
ż2 = (iσ2 + λ12 ² + d21 |z1 |2 + d22 |z2 |2 )z2 + b2 z12 + ²c2 z̄1 exp(iωt) + . . .
(11)
В (9)-(11) точками обозначены слагаемые, имеющие по соответствующим переменным более высокий
порядок малости. В явном виде приведены лишь главные“ слагаемые разложений.
”
Подставим функцию (9), определяющую интегральное многообразие, в краевую задачу (6)-(7). С учетом (10)-(11) в результате получим тождества
∂Φ
∂Φ
∂Φ
∂Φ
∂Φ
∂Φ
ω+
ż1 +
ż2 +
,
z¯˙1 +
z¯˙2 ≡
∂τ
∂z1
∂ z̄1
∂z2
∂ z̄2
∂s
(12)
∂Φ ¯¯
≡ l(t, Φ(τ, z1 , z̄1 , z2 , z̄2 , s; ²); ²),
¯
∂s s=0
(13)
для определения функций и коэффициентов, входящих в (9) и (10)-(11). Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях ²z1 , ²z̄1 , ²z2 , ²z̄2 , z12 , z1 z2 , . . . будем получать на каждом шаге краевую
задачу вида
∂u∗
(p1 iσ1 + p2 iσ2 )u∗ (s) =
,
(14)
∂s
∂u∗ ¯¯
= l1 (u∗ (s)) + f∗ ,
(15)
¯
∂s s=0
где p1 , p2 - целые числа, f∗ - вектор, зависящий от коэффициентов правых частей (10)-(11) как от параметров. Условия разрешимости краевых задач (14)-(15) позволяют однозначно определить коэффициенты
системы уравнений (10)-(11). В результате будет иметь
b1 = (g3 i(σ1 − σ2 ) − 2g4 σ1 σ2 ) exp(−iσ1 h)/Pλ0 (iσ1 ; 0)+
+(iσ1 g1 − σ1 σ2 g2 ) exp(iσ1 h) − (iσ2 g1 + σ1 σ2 g2 ) exp(−iσ2 h)/Pλ0 (iσ1 ; 0),
£
¤
b2 = (−iσ1 g3 + σ12 g4 ) exp(−iσ2 h) + (−iσ1 g1 + σ12 g2 ) exp(−iσ1 h) /Pλ0 (iσ2 ; 0),
c1 = −ia1 B0 σ22 exp(iσ2 h0 )/(2 · Pλ0 (iσ1 ; 0)),
c2 = −ia1 B0 σ12 exp(iσ1 h0 )/(2 · Pλ0 (iσ2 ; 0)),
(
d11 =P1 (σ1 )/Pλ0 (iσ1 ; 0), d12 = P2 (σ1 ; σ2 )/Pλ0 (iσ1 ; 0)
,
d21 =P2 (σ2 ; σ1 )/Pλ0 (iσ2 ; 0), d22 = P1 (σ2 )/Pλ0 (iσ2 ; 0)
(16)
где
P1 (σ1 ) = −(iσ cos(σh) + 3σ sin(σh))g11 − σ 2 exp(iσh)g12 − iσ exp(−2iσh)g13 − (2σ 2 − σ 2 exp(−2iσh))g14 −
−(3iσ 3 cos(σh) + σ 3 sin(σh))g22 − σ 2 exp(−2iσh)g23 − iσ exp(−iσh)g33 − σ 2 exp(−iσh)g34 − 3iσ 3 exp(−iσh)g44 ,
P2 (σ1 ; σ2 ) = −(2iσ1 cos(σ1 h) + 2σ1 sin(σ1 h) + 4σ2 sin(σ2 h))g11 −
−(2σ22 cos(σ2 h) + 2iσ1 σ2 sin(σ2 h)g12 − (i(σ1 − σ2 ) exp(−i(σ1 − σ2 )h) + i(σ1 + σ2 ) exp(−i(σ1 + σ2 )h))g13 −
−2(σ22 + σ1 σ2 (exp(i(σ2 − σ1 )h) − exp(−i(σ2 + σ1 )h)))g14 − (2iσ1 σ22 (exp(−iσ1 h)) + 2 cos(σ2 h))g22 −
−(σ2 exp(i(σ2 − σ1 )h)(σ2 − σ1 ) + σ2 exp(−i(σ2 + σ1 )h)(σ1 + σ2 ))g23 −
−2iσ1 exp(−iσ1 h)g33 − 2σ22 exp(−iσ1 h)g34 − 6iσ1 σ22 exp(−iσ1 h)g44 .
В (16) в явном виде приведены слагаемые, учитывающие лишь квадратичные составляющие функции
G(∗), т.к. в дальнейшем предполагаем, что коэффициенты gj имеют порядок O(²1/2 ).
В плоскости параметров (ω, ²) существует область параметрического резонанса [5], определяемая неравенствами
²δ (1) (a1 ) + o(²) < σ1 + σ2 − ω < ²δ (2) (a1 ) + o(²),
(17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
70
где
а
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
h
√ i
²δ (1) (a1 ) = (τ21 − τ11 ) Im(c1 c̄2 ) + (τ11 + τ21 ) B /(2τ11 τ21 ) + σ11 − σ21 ,
h
√ i
²δ (1) (a1 ) = (τ21 − τ11 ) Im(c1 c̄2 ) − (τ11 + τ21 ) B /(2τ11 τ21 ) + σ11 − σ21 ,
B = Im2 (c1 c̄2 ) + 4τ11 τ21 Re(c1 c̄2 ) − 4(τ11 τ21 )2 .
4. Анализ нормальной формы. Положим в (10)-(11) zj = ²1/2 ρj exp(iτ ), ρj ≥ 0, (j = 1, 2), t →
² t, считая при этом gj = ²1/2 g ∗ , (j = 1, . . . , 4), и выделим главную часть уравнений для медленных“
”
переменных ρ1 , ρ2 , Θ1 = ωt − τ1 − τ2 , Θ2 = 2τ1 − τ2 . В результате имеем
−1
ρ̇1 = (τ11 + a11 ρ21 + a12 ρ22 )ρ1 + |c1 | cos(Θ1 + γ1 )ρ2 + |b1 | cos(−Θ2 + β1 )ρ1 ρ2 ,
(18)
ρ̇2 = (τ21 + a21 ρ21 + a22 ρ22 )ρ2 + |c2 | cos(Θ1 + γ2 )ρ1 + |b2 | cos(Θ2 + β2 )ρ21 ,
(19)
Θ̇1 = δ1 − (c11 +
c21 )ρ21
− (c12 +
c22 )ρ22
− |c1 | sin(Θ1 + γ1 )ρ2 /ρ1 −
−|c2 | sin(Θ1 + γ2 )ρ1 /ρ2 − |b1 | sin(−Θ2 + β1 )ρ2 − |b2 | sin(Θ2 + β2 )ρ21 /ρ2,
(20)
Θ̇2 = δ2 − (2c11 − c21 )ρ21 − (2c12 − c22 )ρ22 + 2|c1 | sin(Θ1 + γ1 )ρ2 /ρ1 −
−|c2 | sin(Θ1 + γ2 )ρ1 /ρ2 + 2|b1 | sin(−Θ2 + β1 )ρ2 − |b2 | sin(Θ2 + β2 )ρ21 /ρ2.
(21)
Здесь δ1 = δ − (σ11 + σ21 ), δ2 = 2σ11 − σ21 , ajk = Re djk , cjk = Im djk , bj = |bj | exp(iγj ), cj = |cj | exp(iβj ),
(j, k = 1, 2).
Система уравнений (18)-(21) имеет широкий спектр параметров. Характер установившихся решений
весьма многообразен. Приведем интересный пример фазовой перестройки системы уравнений (18)-(21),
связанный с возникновением хаотических колебаний в зоне параметрического резонанса и обусловленный
наличием внутреннего резонанса.
Выберем параметры уравнения (1) следующим образом: g1∗ = 22, 0; g2∗ = 23, 0; g3∗ = 55, 0; g4∗ = 6, 0; g33 =
−1, 8. Остальные gjk = 0, (j, k = 1, . . . , 4). Нормируем ρj → ρj (τj1 /ajj )1/2 , (ajj > 0). Выбрав теперь
A1 , B1 , h1 таким образом, чтобы τ1 = τ2 = 1, σ11 = σ21 , перейдем к системе уравнений
ρ̇1 = (−1 − ρ21 + d12 ρ22 )ρ1 + c1 cos(Θ1 + γ1 )ρ2 + b1 cos(−Θ2 + β1 )ρ1 ρ2 ,
(22)
ρ̇2 = (−1 + d21 ρ21 − ρ22 )ρ2 + c2 cos(Θ1 + γ2 )ρ1 + b2 cos(Θ2 + β2 )ρ21 ,
(23)
Θ̇1 = δ1 − b11 ρ21 + b12 ρ22 − c1 sin(Θ1 + γ1 )ρ2 /ρ1 −
−c2 sin(Θ1 + γ2 )ρ1 /ρ2 − b1 sin(−Θ2 + β1 )ρ2 − b2 sin(Θ2 + β2 )ρ21 /ρ2 ,
Θ̇2 = δ2 +
b21 ρ12
+
b22 ρ22
(24)
+ 2c1 sin(Θ1 + γ1 )ρ2 /ρ1 −
−c2 sin(Θ1 + γ2 )ρ1 /ρ2 + 2b1 sin(−Θ2 + β1 )ρ2 − b2 sin(Θ2 + β2 )ρ21 /ρ2 ,
(25)
в которой
a12 = −5, 69; a21 = −0, 705; b1 = 8, 17; b2 = 4, 39; c1 = a1 · 0, 3; c2 = a1 · 0, 014;
b11 = 0, 138; b12 = 0, 527; b21 = 0, 454; b22 = 0, 367; γ1 = −0, 222; γ2 = 0, 322.
(26)
Параметры δ1 и δ2 характеризуют соответственно расстройку параметрического возбуждения и расстройку внутреннего резонанса. Это свободные параметры. Таким образом, система зависит от трех параметров
— δ1 , δ2 и a1 .
В рассматриваемом случае область параметрического резонанса в плоскости (δ1 , a1 ) симметрична относительно оси a1 . На рис. 1 приведена половина области неустойчивости (она заштрихована). Она определяется функциями γ (1) (a1 ) и γ (2) (a1 ), приведенными в (17). Положим b1 = b2 = 0, т.е. исключим влияние
внутреннего резонанса. Уравнения (22)-(24) в этом случае не зависят от Θ2 . При малых a1 и любых δ1
решения (22)-(23) стремятся к единственному состоянию равновесия ρ1 = ρ2 = 0, Θ1 = Θ0 . При увеличении a1 и переходе границы области параметрического резонанса от указанного состояния равновесия
ответвляется асимптотически устойчивое состояние равновесия вида ρ10 > 0, ρ20 > 0, Θ0 . Дальнейшее
увеличение a1 приводит к увеличению ρ10 , ρ20 . Отметим, что этому состоянию равновесия в уравнении
(1) отвечает асимптотически устойчивый инвариантный тор [6].
Пусть теперь b1 , b2 выбраны согласно (26). При a1 , δ1 , принадлежащих области устойчивости, представленной на рис. 1, и произвольном δ2 все решения (22)-(24) по ρ1 и ρ2 стремятся к нулю. При пересечении
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Параметрическое возбуждение хаотических колебаний . . .
71
границы неустойчивости от нулевого решения ответвляется устойчивый цикл, размеры которого увеличиваются с ростом a1 . При a1 , δ1 , принадлежащих области параметрического резонанса, возможно сложное
поведение траекторий. Так, при a1 = 37, 571, δ1 = 5, 0 существует хаотический аттрактор. Значения его
ляпуновских показателей равны λ1 = 0, 02 ± 0, 001; λ2 = 0; λ3 = −0, 01 ± 0, 001; λ4 = −10, 14 ± 0, 001, а
ляпуновская размерность dL ≈ 3, 00. На рис. 2 приведена проекция этого аттрактора на плоскость ρ1 , ρ2 .
Рис. 1. Область неустойчивости
Рис. 2. Проекция хаотического аттрактора на плоскость ρ1 , ρ2
Список литературы
1. Рубаник, В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием / В.П. Рубаник. — М.: Наука, 1969.
— 288 с.
2. Капранов, М.В. Теория колебаний в радиотехнике / М.В. Капранов, В.Н. Кулешов, Г.М. Уткин —
М.: Наука, 1984. — 320 с.
3. Глызин, С.Д. Нелинейная динамика одного дифференциального уравнения второго порядка с периодически возмущенным запаздыванием / С.Д. Глызин, Е.П. Кубышкин // Моделирование и анализ
информационных систем. — 2005. — Т. 12, №1. — C. 40 – 45.
4. Колесов, Ю.С. Автоколебания в системах с запаздыванием / Ю.С. Колесов, Д.И. Швитра — Вильнюс:
Мокслас, 1979. — 148 с.
5. Кубышкин, Е.П. Параметрический резонанс в линейных периодических системах с последействием / Е.П. Кубышкин // Исследования по устойчивости и теории колебаний. — Ярославль, 1978. —
C. 43 – 76.
6. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. — М.: Наука,
1985. — 376 с.
Parametric excitation of chaotic oscillations in one second order
differential equation with delay
Kubyshkin E. P., Koverga A. Yu.
We study some differential equations with delay that are the models of different electronic devices. We
show that the internal resonance is a reason why the regions associated with chaotic oscillations appear in
the parametric resonance domain. The scenario of the chaotic oscillations emergence is studied. We calculate
Lyapunov exponents and Lyapunov dimension of the chaotic attractor.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модел. и анализ информ. систем. Т.15, №2 (2008) 72–74
УДК 517.929
Многообходные аттракторы
в системе двух и трех диффузионно-связанных нейронов,
описываемых уравнениями с запаздыванием
Кащенко С. А., Майоров В. В., Мячин М. Л.
Ярославский государственный университет
150 000, Ярославль, Советская, 14
e-mail: Ltwood@gmail.com
получена 7 мая 2008
Аннотация
Для системы, состоящей из двух и трех диффузионно-связанных импульсных нейронов с запаздыванием, продемонстрировано существование сложных колебательных режимов, которым соответствуют многообходные аттракторы.
Для мембранных потенциалов диффузионно-связанных нейронов в [1] предложена система дифференциальных уравнений с запаздыванием:
m
u̇i = λ [−1 − fNa (ui ) + fK (ui (t − 1))] ui + d
1 X
(uj − ui ),
m j=1
i = 1, . . . , m,
(1)
где m — число нейронов, λ — скоростной параметр, d — коэффициент разностной диффузии. Положительные функции fNa (u) и fK (u) монотонно стремятся к нулю при u → ∞. Они характеризуют проводимости
натриевых и калиевых каналов. Считаем, что fK (0) − fNa (0) − 1 > 0. В [2] показано, что каждое из
уравнений (1) при d = 0 и λ À 1 имеет решения импульсного типа с высотой пика ≈ exp λ(fK (0) − 1)
и продолжительностью ≈ fK (0). Там же показано, что для m = 2; 3 и d = exp(−λσ) существуют режимы типа бегущей волны, в которых импульсы нейронов чередуются во времени. Для m = 3 колебания
произвольных двух нейронов могут синхронизироваться.
Ниже приводятся результаты численного исследования системы (1) при m = 1; 2 и относительно
небольших значениях λ = 3; 4. Выбрано fNa = exp(−u2 ) и fK = 2.2 exp(−u2 ). Выяснилось, что однородное
решение (ui = uj ) неустойчиво при небольших d.
Для m = 2 и λ = 3 найден интервал значений d, в котором импульсы чередуются через одно и то же
время и их амплитуды одинаковы (u1 (t) = u2 (t − τ ) = u1 (t − 2τ )). При увеличении d из симметрического
режима рождаются два других периодических решения. Промежутки времени между импульсами первого и второго, второго и первого нейронов не равны между собой, так же как и амплитуды импульсов.
Запоминая начальные условия, мы продолжали увеличивать d. На псевдофазовой плоскости (u1 , u2 ) сначала родился двух-, а затем и многообходный аттрактор. На рис. 1 приведена фазовая кривая (u1 (t), u2 (t))
при d = 0.35. Характерно то, что меняется амплитуда импульсов и промежутки времени между ними.
При увеличении d многообходный аттрактор исчезает и устойчивым становится однородный режим.
Сходным образом рождаются, затем с ростом d переходят в однородный режим многообходные аттракторы в системе из трех нейронов. Параметрические кривые (u1 (t), u2 (t), u3 (t)) для значений параметров
λ = 3, d = 0.33 и λ = 4, d = 0.019 приведены на рис. 2 и 3. Для аттракторов характерна изменчивость
амплитуды импульсов и межимпульсных интервалов. Отметим, что небольшое уменьшение диффузии
при λ = 4 приводит к слиянию колебаний двух нейронов, а увеличение влечет визуальное упрощение
аттрактора. С ростом λ область значений d существования многообходных аттракторов сужается.
Для аттракторов, изображенных на рисунках 1–3, С.Д. Глызин по модельным данным вычислил старшие ляпуновские показатели, которые оказались нулевыми. Это свидетельствует о том, что аттракторы
являются либо торами, либо длиннопериодическими циклами.
72
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Многообходные аттракторы в системе двух и трех нейронов
73
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Рис. 1. Многообходный аттрактор в системе из двух нейронов
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
0
2
6
4
8
6
8
10
10
12
12
14
14
16 16
Рис. 2. Многообходный аттрактор в системе из трех нейронов при λ = 3, d = 0.33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
74
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10 12
10 8
14 16
14 12
16
18 20
20 18
6
4
2
0
Рис. 3. Многообходный аттрактор в системе из трех нейронов при λ = 4, d = 0.019
Список литературы
1. Майоров, В.В. Математическое моделирование нейронов сети на основе уравнений с запаздыванием
/ В.В. Майоров, И.Ю. Мышкин // Математическое моделирование. — 1990. — Т. 2, № 11. — С. 64–76.
2. Кащенко, С.А. Колебания в системах уравнений с запаздыванием и разностной диффузией, моделирующих локальные нейронные сети / С.А. Кащенко, В.В. Майоров, М.Л. Мячин // Докл. РАН. —
1995. — Т. 344, № 3.
Complex oscillation in systems of two and three spiking neurons
Kaschenko S.A., Mayorov V.V., Machin M.L.
In this paper we explore the network of spiking neurons based on the difference-differential equation. We
show the existence of complex oscillations in systems of two and three spiking neurons.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модел. и анализ информ. систем. Т.15, №2 (2008) 75–88
УДК 517.929.8
Динамика взаимодействия пары осцилляторов нейронного типа
Глызин С. Д., Киселева Е. О.1
Ярославский государственный университет,
150 000, Ярославль, Советская, 14
получена 17 апреля 2008
Аннотация
Изучается динамика диффузионного взаимодействия пары близких осцилляторов, возникающих
при моделировании нервных клеток. Для значений параметров задачи, близких к критическим, строится нормальная форма для амплитудных и фазовых переменных. Анализируются фазовые перестройки нормальной формы при изменении параметра связи системы. Численный анализ исходной системы
показывает, что в широкой области значений параметров локальные фазовые перестройки происходят
в соответствии с фазовыми перестройками нормальной формы.
1. Постановка задачи. Моделирование электрической активности нервных клеток основано на построении уравнений баланса токов, возникающих в результате ионного обмена через границу нервной
клетки (мембрану) [1]. Большую часть этих потоков составляют две разновидности ионов: натрия (Na+ )
и калия (K+ ). Поскольку концентрация этих ионов различна внутри и снаружи клетки (межклеточное
пространство имеет высокую концентрацию Na+ , внутриклеточная среда имеет высокую концентрацию
K+ ), возникает ток. Для описания электрической активности нервных клеток в [2, 3] предложено следующее дифференциальное уравнение с запаздыванием, учитывающее отмеченные свойства биологических
клеток мозга:
£
¤
u̇ = λ − 1 − fNa (u) + fK (u(t − 1)) u.
(1)
Здесь u(t) — мембранный потенциал нейрона, функции
fNa (u) = r1 exp(−u2 ) и fK (u(t − 1)) = r2 exp(−u2 (t − 1))
(2)
характеризуют проводимости натриевых и калиевых каналов соответственно. Коэффициент λ > 0 определяется скоростью протекания электрических процессов в системе. Отметим, что калиевый ток зависит от
мембранного потенциала, взятого с запаздыванием, при этом выбор единичного запаздывания — удобная
нормировка.
Рассмотрим задачу слабого электрического взаимодействия пары одинаковых осцилляторов вида (1).
В системе
£
¤
u̇1 = λ − 1 − fNa (u1 ) + fK (u1 (t − 1)) u1 + D(u2 − u1 ),
(3)
£
¤
u̇2 = λ − 1 − fNa (u2 ) + fK (u2 (t − 1)) u2 + D(u1 − u2 ),
коэффициент D > 0 характеризует связь нейронов между собой. Ниже считаем, что эта связь слабая
и величина D мала. Наша задача состоит в изучении характера фазовых перестроек системы (3) при
изменении параметра D.
2. Построение нормальной формы системы. Уравнение (1) при условии (2) и r2 − r1 > 1 имеет
ненулевое состояние равновесия
p
u = u∗ = ln(r2 − r1 ),
(4)
устойчивость которого определяется характеристическим квазимногочленом
¡
¢
2λu2∗ r1 − r2 exp(−µ)
P (µ) = µ −
.
(r2 − r1 )
(5)
При фиксированных значениях параметров r1 , r2 (r2 − r1 > 1) по формулам
λ∗ =
ω0 (r2 − r1 )
,
2r2 u2∗ sin ω0
где ω0 = arccos(r1 /r2 ),
(6)
1 Работа выполнена при финансовой поддержке программы Развитие научного потенциала высшей школы“ (проект
”
РНП.2.1.1.630).
75
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
76
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
определяется критическое значение параметра λ такое, что при λ < λ∗ решение (4) уравнения (1) асимптотически устойчиво, а при λ = λ∗ характеристический квазимногочлен (5) имеет пару чисто мнимых
корней при том, что остальные корни лежат в левой комплексной полуплоскости.
В системе (3) сдвинем значения потенциалов u1 (t), u2 (t) на u∗ и предположим, что параметр λ близок
к критическому значению так, что
u̇1
u̇2
£
= (λ∗ + ε) − 1 − r1 exp(−(u1 + u∗ )2 )+
¤
+ r2 exp(−(u1 (t − 1) + u∗ )2 ) (u1 + u∗ ) + εd(u2 − u1 ),
£
= (λ∗ + ε) − 1 − r1 exp(−(u2 + u∗ )2 )+
¤
+ r2 exp(−(u2 (t − 1) + u∗ )2 ) (u2 + u∗ ) + εd(u1 − u2 ),
(7)
где 0 < ε << 1 — малый параметр. Отметим, что в системе (7) параметр связи D выбран равным εd.
Учитывая, что в спектре устойчивости нулевого решения системы (7) при ε = 0 имеются две пары
чисто мнимых собственных чисел, применим к ней стандартную замену метода нормальных форм
(u1 (t, s), u2 (t, s))T =
¢
√ ¡
ε z1 (s)e1 eiω0 t + z2 (s)e2 eiω0 t + к.с. + εw1 (t, s) + ε3/2 w2 (t, s) + . . . ,
(8)
где s = εt — медленное время, ej — единичные орты, zj (s) — медленно меняющиеся комплексные амплитуды (j = 1, 2), wk (t, s) — подлежащие определению 2π/ω0 -периодические по t функции (k = 1, 2, . . . ), под
к.с. подразумевается выражение комплексно сопряженное данному в той же скобке.
Прежде чем подставить замену (8), в системе (7) выполним разложение правых частей в ряды вплоть
до кубических членов. Получим систему вида
u̇1
=
+
u̇2
=
+
³
³
λ∗ + ε h
4 ´ ´
− r1 − 2u∗ u1 + (2u2∗ − 1)u21 + 2u∗ + u3∗ u31 +
r2³− r1
3
³
´i
4 ´
2
2
r2 − 2u∗ u1 (t − 1) + (2u∗ − 1)u1 (t − 1) + 2u∗ + u3∗ u31 (t − 1) (u1 + u∗ ) + εd(u2 − u1 ),
3
³
³
λ∗ + ε h
4 3´ 3´
2
2
− r1 − 2u∗ u2 + (2u∗ − 1)u2 + 2u∗ + u∗ u2 +
r2³− r1
3
³
´i
4 ´
2
2
r2 − 2u∗ u2 (t − 1) + (2u∗ − 1)u2 (t − 1) + 2u∗ + u3∗ u32 (t − 1) (u2 + u∗ ) + εd(u1 − u2 ),
3
(9)
в которую и будем подставлять замену (8).
На первом шаге построения нормальной формы получаем, очевидно, верное тождество. На втором
этапе возникает система уравнений для w1 (t, s) = (w11 (t, s), w12 (t, s))T , содержащих только нерезонансные
гармоники
·
¢
∂w1j (t, s)
2λ∗ u2∗ ¡
r1 w1j (t, s) − r2 w1j (t − 1, s) −
=
∂t
r2 − r1
¢
¡
¢´
λ∗ u∗ (2u2∗ − 1) ³ ¡ 2
−
r1 zj exp(2iω0 t) + к.с. + 2|zj |2 − r2 zj2 exp(2iω0 (t − 1)) + к.с. + 2|zj |2 +
r2 − r1
¸
³
¡
¢
¡
¢´
2λ∗ u∗
r1 zj2 exp(2iω0 t) + к.с. + 2|zj |2 − r2 zj2 exp(iω0 (2t − 1)) + к.с. + |zj |2 (exp(iω0 ) + exp(−iω0 ))
ej ,
+
r2 − r1
где j = 1, 2. Определяя его решение как сумму нулевой и второй гармоник, получаем следующее выражение для функции w1 (t, s):
¡
¢
¡
¢
w1 (t, s) = v0 |z1 |2 + (v1 z12 exp(2iω0 t) + к.с.) e1 + v0 |z2 |2 + (v1 z22 exp(2iω0 t) + к.с.) e2 ,
где
v0 = 2u∗ −
1
,
u∗
v1 =
2iω0 − (2u2∗ − 1)(2iω0 − P (2iω0 ))
.
2u∗ · P (2iω0 )
(10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Динамика взаимодействия пары осцилляторов нейронного типа
77
На третьем шаге применения алгоритма получаем задачу для w2 (t, s) = (w21 (t, s), w22 (t, s))T
¡
¢
∂w2j (t, s)
1 h
=
−2λ∗ u2∗ −r1 w2j (t, s)+r2 w2j (t−1, s)−r2 (z10 exp(iω0 (t−1))+к.с.) +
∂t
r2 − r1
¡
¢
+ 2λ∗ u∗ (2u2∗ − 1) − r1 w1 (t, s)(zj exp(iω0 t) + к.с.) + r2 w1 (t − 1, s)(zj exp(iω0 (t − 1)) + к.с.) +
¡
+ λ∗ (zj exp(iω0 t) + к.с.) − r1 (−2u∗ w1 (t, s) + (2u2∗ − 1)(zj2 exp(2iω0 t) + к.с. + 2|zj |2 ))+
¢
+ r2 (−2u∗ w1 (t − 1, s) + (2u2∗ − 1)(zj2 exp(2iω0 (t − 1)) + к.с. + 2|zj |2 )) +
³
+ λ∗ u∗ (2u∗ − 4/3u3∗ ) − r1 (zj3 exp(3iω0 t) + 3|zj |2 zj exp(iω0 t) + к.с.)+
¡
¢´
+ r2 zj3 exp(3iω0 (t − 1)) + 3|zj |2 zj exp(iω0 (t − 1)) + к.с. −
³
´ ¡
¢i
−2u∗ (u∗ +λ∗ w1 (t, s)) −r1 (zj exp(iω0 t)+к.с.)+r2 (zj exp(iω0 (t−1))+к.с.) +d (z3−j −zj ) exp(iω0 t)+к.с. ej ,
zj0 exp(iω0 t)+к.с.+
где j = 1, 2. Из условий разрешимости данной задачи в классе 2π/ω0 -периодических функций получаем
систему обыкновенных дифференциальных уравнений для zj (s)
z10 = ϕ0 z1 + (d0 + ic0 )|z1 |2 z1 + d(z2 − z1 )/P 0 (iω0 ),
z20 = ϕ0 z2 + (d0 + ic0 )|z2 |2 z2 + d(z1 − z2 )/P 0 (iω0 ).
(11)
Здесь штрихом обозначена производная функций zj (s) по s, под P 0 (iω0 ) понимается согласно (5) величина
P 0 (iω0 ) = 1 −
2λ∗ u2∗ r2 exp(−iω0 )
,
(r2 − r1 )
(12)
а остальные параметры выражаются следующими формулами:
ϕ0 =
iω0
,
λ∗ P 0 (iω0 )
(13)
·
´
³
1
iω0 ³
λ∗
d0 + ic0 = 0
2(1 − u2∗ )v0 + 2(u∗ − v1 )u2∗ − 3u∗ +
r1 (2u∗ (v0 + v1 ) − 3(2u2∗ − 1))+
P (iω0 ) u∗
(r2 − r1 )
¸
¡ 2
¢´
+ r2 (2u∗ − 1)(2 + exp(−2iω0 )) − 2u∗ (v0 + v1 exp(−2iω0 ))
. (14)
Для нормальной формы (11) имеет место стандартное утверждение (см. [4]) о соответствии ее грубых
режимов решениям системы (7) той же устойчивости с асимптотикой (8). Следует отметить, однако, что
в случае если система (11) обнаруживает сложное хаотическое поведение, такую теорему обосновать не
удается. В связи с этим уместно применение численных методов.
Для анализа системы (11) выполним в ней сначала полярную замену zj (s) = ξj (s) exp(iϕj (s)), ξj (s) > 0,
j = 1, 2, и перейдем к системе амплитудных и фазовых переменных
ξ10 = γξ1 + d0 ξ13 + k(ξ2 cos(α + δ) − ξ1 cos δ),
ξ20 = γξ2 + d0 ξ23 + k(ξ1 cos(α − δ) − ξ2 cos δ),
i
hξ
ξ1
2
sin(α + δ) +
sin(α − δ) + c0 (ξ22 − ξ12 ) ,
α0 = −k
ξ1
ξ2
где
γ = Re ϕ0 ,
α = ϕ2 − ϕ1 ,
k exp(iδ) =
d
.
P 0 (iω0 )
(15)
(16)
p
Затем заменим время γs → s и обозначим ξj = −γ/d0 ηj , κ = k/γ, b = c0 /d0 . Полученная в результате
система
η10 = κη2 cos(α + δ) + (1 − κ cos δ − η12 )η1 ,
η20 = κη1 cos(α − δ) + (1 − κ cos δ − η22 )η2 ,
hη
i
η1
2
α0 = −κ
sin(α + δ) +
sin(α − δ) + b(η12 − η22 )
η1
η2
(17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
78
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
∆
b
3
6
2
-1.2
1
-1.3
6
8
10
r2
8
10
r2
-1.4
Рис. 1. Графики зависимостей величин b и δ от параметра r2 при r1 = 3
исследовалась ранее в статье [5]. В частности, там было продемонстрировано, что в зависимости от значений параметров b и δ сценарии фазовых перестроек системы (17) при изменении параметра κ существенно
различаются. Были выделены два основных (с некоторыми вариациями) сценария, один из которых давал,
а другой не давал хаотических колебаний. Прежде чем перейти к следующему пункту, отметим свойство
инвариантности системы (17) относительно преобразования
η1 → η2
η2 → η1
α → −α,
(18)
которое будет использовано ниже.
3. Сценарии фазовых перестроек нормальной формы. Для определения значений параметров
исходной системы (7), при которых реализуются различные фазовые перестройки нормальной формы (17),
построим зависимости величин b(r1 , r2 ) и δ(r1 , r2 ) от параметров r1 , r2 . На рис. 1 представлен типичный
вид графиков функций b(r1 , r2 ) и δ(r1 , r2 ) при фиксированном r1 (на рис. 1 выбрано значение r1 = 3) и
изменении r2 от 4 до 10.
Отметим несколько полезных предельных соотношений для функций b(r1 , r2 ) и δ(r1 , r2 ) при
r2 ∈ (r1 + 1, ∞), стремящемся к левой или правой границам интервала изменения.
При r2 → ∞ из формул (6),(12),(14) и (16) имеем
ω0 →
π
,
2
δ → − arctg
π
≈ −1.00388,
2
b→
π+6
≈ 1.23123.
3π − 2
(19)
Значения параметров, задаваемые формулами (19), не зависят от r1 и соответствуют хорошо известному
уравнению Хатчинсона в близком к критическому случае. Задача о слабом взаимодействии пары таких
осцилляторов была рассмотрена в [5],[6].
Рассмотрим теперь левую границу изменения r2 . При фиксированном r1 и r2 → r1 + 1 + 0 из тех же
формул, что и ранее, получаем следующие предельные соотношения:
r1
ω0∗
ω0 → ω0∗ = arccos
, δ → δ ∗ = − arctg
,
r1 + 1
1 − ω0∗ ctg ω0∗
√
1 + 2r1 (3 + 5r1 ) + (1 + r1 )2 ω0∗
√
.
b → b∗ =
3(1 + r1 )2 ω0∗ 1 + 2r1 − 6r12 − 5r1 − 1
(20)
Функция b∗ (r1 ) при r1 > 0 монотонно возрастает от уже приводившейся в формуле (19) величины
(π + 6)/(3π − 2) до бесконечности, а функция δ ∗ (r1 ) — соответственно убывает от − arctg (π/2) до −π/2.
Графики функций b∗ (r1 ) и δ ∗ (r1 ) при r1 ∈ [0, 10] приведены на рис. 2.
В статьях [5],[6] показано, что для значений параметров b, δ, близких к полученным при r2 → ∞ (см.
формулы (19)), реализуется сценарий фазовых перестроек, не связанный с возникновением хаотических
колебаний, причем для значений b меньших указанных в формуле (19) это свойство системы (17) сохраняется. Следуя методике статьи [5], удается найти такое значение r1∗ ≈ 6.9, что при r1 > r1∗ существуют
значения r2 > r1 + 1, для которых сценарий фазовых перестроек хаотический.
Для иллюстрации различных сценариев выберем значения r1 , r2 из разных областей.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Динамика взаимодействия пары осцилляторов нейронного типа
b*
5
79
∆*
2
4
4
6
8
10
r1
-1.1
3
2
-1.3
1
2
4
6
8
10
r1
-1.5
Рис. 2. Графики зависимостей величин b и δ от параметра r1 при r2 → r1 + 1
I. Возьмем сначала величины r1 = 1, r2 = 2.5 вблизи минимума функции b(r1 , r2 ) по r2 , тогда в
соответствии с формулами (14), (16) имеем b(1, 2.5) ≈ 0.932733 и δ(1, 2.5) ≈ −1.16794. Рассмотрим фазовые перестройки системы (17) при изменении параметра κ. Используя результаты [5], удается выделить
следующий набор бифуркаций.
1. При значениях параметра κ > κπ1 = 1/(2 cos δ) ≈ 1.27534 глобально устойчивым является единственное состояние равновесия η1 = η2 = 1, α = 0 (соответствует пространственно однородному
периодическому режиму у исходной системы (7)).
2. При κ < κπ1 к глобально
устойчивому состоянию равновесия (1, 1, 0)T добавляется неустойчивое
√
∗ ∗
T
∗
(η , η , π) , где η = 1 − 2κ cos δ (соответствует колебаниям в противофазе у исходной системы).
3. При κ = κπ2 = 1/(4 cos δ) ≈ 0.637672 от неустойчивого состояния равновесия (η ∗ , η ∗ , π)T в результате
бифуркации Андронова – Хопфа ответвляется неустойчивый цикл Cπ , а само состояние равновесия
становится устойчивым. Отметим, что при κ < κπ2 и вплоть до значения κ = κкр ≈ 0.46601 состояния равновесия (1, 1, 0)T и (η ∗ , η ∗ , π)T сосуществуют и устойчивы (у системы (7) сосуществуют
устойчивые однородные колебания и колебания в противофазе).
4. При уменьшении κ до значения κ = κAB ≈ 0.50656 из “воздуха” рождаются еще две пары симметричных (см. (18)) состояний равновесия: две устойчивые точки A = (ξ1∗ , ξ2∗ , α1∗ )T и B = (ξ2∗ , ξ1∗ , −α1∗ )T ,
где ξ1∗ > ξ2∗ , 0 < α1∗ < π/2, и две неустойчивые — C = (η1∗ , η2∗ , α2∗ )T и D = (η2∗ , η1∗ , −α2∗ )T , где
η1∗ > η2∗ , 0 < α2∗ < π/2, кроме того, считаем, что |ηj∗ −ξj∗ | → 0, (j = 1, 2), |α1∗ −α2∗ | → 0 при κ → κAB −0.
Полученные состояния равновесия соответствуют не синхронизированным периодическим режимам
у исходной системы. Состояния равновесия A и B устойчивы при уменьшении параметра κ вплоть
до значения κC ≈ 0.49328.
5. При κ = κC симметричные состояния A и B теряют устойчивость с рождением устойчивых циклов
CA и CB (бифуркация Андронова-Хопфа). Заметим, что этим устойчивым периодическим решениям
системы (17) соответствуют не синхронизированные квазипериодические колебания системы (7).
6. При дальнейшем изменении параметра κ симметричные устойчивые циклы CA и CB , родившиеся
из точек A и B, увеличиваются в размерах до тех пор, пока при κ = κS1 ≈ 0.4760 не сольются с
петлями сепаратрис седловых точек C и D.
7. При κ = κS2 ≈ 0.46697 возникает сепаратрисный контур из седла C в D и, в силу симметрии (18),
из D в C. При κ < κS2 данный сепаратрисный контур порождает устойчивый самосимметричный
цикл CU (бифуркация расщепления сепаратрис).
√
8. При κ = κкр = − cos δ + b 1 − cos2 δ ≈ 0.46601 (критическое для пространственно однородного
режима значение) неустойчивые неподвижные точки C и D сливаются с однородным состоянием
равновесия и отбирают его устойчивость.
9. Наконец, при κ = κπ3 ≈ 0.44775 устойчивый и неустойчивый циклы CU и Cπ сливаются и пропадают. При κπ3 > κ > 0 система имеет единственное, глобально устойчивое состояние равновесия
(η ∗ , η ∗ , π)T , соответствующее колебаниям в противофазе.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
80
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
Сделаем некоторые выводы относительно динамических свойств системы (17) при r1 = 1, r2 = 2.5,
вытекающих из описанных фазовых перестроек.
Во-первых, основная
часть бифуркаций происходит при значениях параметра κ, больших критическо√
го κкр = − cos δ + b 1 − cos2 δ.
Во-вторых, у системы (17) может сосуществовать несколько устойчивых режимов. Например, на промежутке κC < κ < κS1 сосуществуют устойчивые состояния равновесия (1, 1, 0)T и (η ∗ , η ∗ , π)T , а также
два симметричных устойчивых цикла CA и CB . Что означает, что у системы (7) сосуществуют устойчивый
синхронный и асинхронный циклы и пара симметричных двумерных торов.
Изменение параметров r1 , r2 может привести как к увеличению, так и к уменьшению значения b.
Уменьшение b, впрочем, не приводит к существенным изменениям в поведении системы (17), и ее фазовые
перестройки происходят по описанному выше сценарию, а вот за счет увеличения b можно добиться
значительных изменений в сценарии вплоть до возникновения хаоса.
II. Для иллюстрации изменений в нехаотическом сценарии опишем фазовые перестройки для
b = (π + 6)(3π − 2), δ = − arctg π/2 (см. формулы (19)) в сравнении с описанным выше случаем.
1. Как и в предыдущем сценарии при κ > κπ1 ≈ 0.931 глобально устойчиво единственное состояние равновесия (1, 1, 0)T , а при κ < κπ1 к глобально устойчивому состоянию равновесия (1, 1, 0)T
добавляется неустойчивое (η ∗ , η ∗ , π)T .
2. Получение устойчивости состоянием равновесия (η ∗ , η ∗ , π)T , соответствующим колебаниям в противофазе, происходит существенно позднее, а при κ = κAB ≈ 0.544 из “воздуха”, как и ранее в пункте 4,
рождаются две пары симметричных состояний равновесия: две устойчивые точки A = (ξ1∗ , ξ2∗ , α1∗ )T
и B = (ξ2∗ , ξ1∗ , −α1∗ )T , где ξ1∗ > ξ2∗ , 0 < α1∗ < π/2, и две неустойчивые — C = (η1∗ , η2∗ , α2∗ )T и D =
(η2∗ , η1∗ , −α2∗ )T .
3. Следующая бифуркация (пункт 5) также не претерпевает изменений, и при κ = κC ≈ 0.524 состояния A и B теряют устойчивость с рождением устойчивых циклов CA и CB . Однако дальнейшие
фазовые перестройки этих циклов выглядят существенно иначе.
4. Потеря устойчивости однородным состоянием равновесия происходит при κ = κкр ≈ 0.5015. (Неустойчивые неподвижные точки C и D сливаются с однородным состоянием равновесия и отбирают его
устойчивость.)
5. Дальнейшее уменьшение параметра κ приводит к тому, что устойчивые циклы CA и CB , родившиеся
из неподвижных точек A и B, увеличиваются в размерах до тех пор, пока при κ = κS ≈ 0.481 не
сомкнутся в точке η1 = η2 = 1, α = 0. (Обратная бифуркация расщепления сепаратрис.) В результате
происходит объединение пары циклов CA и CB в один CU , который, незначительно меняя размеры,
остается устойчивым вплоть до κ = κπ3 ≈ 0.429.
6. При κ = κπ2 ≈ 0.466 от неустойчивого состояния равновесия (η ∗ , η ∗ , π) ответвляется неустойчивый
цикл Cπ , который при κ = κπ3 сливается с устойчивым циклом CU и исчезает. Отметим, что эти
бифуркации в предыдущем сценарии числились соответственно под вторым и девятым номером.
7. Наконец, как и ранее при κπ3 > κ > 0, система (17) имеет единственное, глобально устойчивое
состояние равновесия (η ∗ , η ∗ , π)T .
Для наглядности выпишем совместно последовательности бифуркационных значений параметра κ в
первом и втором случаях
κπ1 ,
κπ1 ,
κπ2 ,
κAB ,
κAB ,
κC ,
κC ,
κкр ,
κS1 ,
κS ,
κS2 ,
κπ2 ,
κкр ,
κπ3 .
κπ3 ;
(21)
Таким образом, данный вариант фазовых перестроек дает меньшую область существования докритических устойчивых режимов. Кроме того, синфазные и противофазные колебания в этом случае уже не
могут сосуществовать.
Полученный сценарий работает для широкой области изменения параметров r1 , r2 , следует, однако,
отметить, что при изменении r1 , r2 в сторону увеличения значения b можно получить еще более простой
сценарий, в котором отсутствуют докритические устойчивые режимы.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Динамика взаимодействия пары осцилляторов нейронного типа
81
При r1 = 1.5, r2 = 2.6 формулы (14), (16) дают b(1.5, 2.6) ≈ 1.804988 и δ(1.5, 2.6) ≈ −1.2431671.
Последовательность бифуркационных значений имеет в этом случае вид
κπ1 > κкр > κC > κS > κπ2 > κπ3 ,
где κπ1 ≈ 1.553764, κкр ≈ 1.387177, κC ≈ 0.9552 κS ≈ 0.832967, κπ2 ≈ 0.776882, κπ3 ≈ 0.665421.
III. Рассмотрим теперь фазовые перестройки, характерные для хаотического сценария. Примем значения параметров равными r1 = 8.5, r2 = 9.52, им соответствуют b(8.5, 9.52) ≈ 4.12707 и δ(8, 9.1) ≈ −1.41406,
для которых согласно [5] при подходящем выборе κ реализуются хаотические колебания. Выделим основные особенности динамики системы (17) при изменении параметра κ.
1. Система (17) не имеет в этом случае устойчивых докритических режимов и при κ > κкр ≈ 3.92039
однородное состояние равновесия (1, 1, 0)T – глобально устойчиво.
2. Уменьшение κ приводит к ответвлению при κ = κкр пары симметричных состояний равновесия A
и B, наследующих устойчивость однородного режима.
3. При κкр < κ < κC ≈ 2.7423 эти состояния равновесия остаются единственными устойчивыми режимами системы, а при κ = κC колебательным образом теряют устойчивость с рождением устойчивых
циклов CA и CB (бифуркация Андронова-Хопфа).
4. При κ = κS1 ≈ 2.670362101 сепаратрисы, выходящие из седлового однородного состояния равновесия (1, 1, 0)T , возвращаются в него, образуя две симметричные петли, из которых при дальнейшем
U
U
уменьшении κ рождаются два неустойчивых симметричных друг другу цикла CA
и CB
(бифуркация
расщепления сепаратрис).
5. При κ = κA1 ≈ 2.670303356 неустойчивое многообразие однородного состояния равновесия совпадает
U
U
с устойчивыми многообразиями неустойчивых предельных циклов CA
и CB
.
6. При κ < κA1 возникают хаотические колебания.
U
U
, CB
и пропадают.
7. При κ = κC2 ≈ 2.6690 устойчивые циклы CA , CB сливаются с неустойчивыми CA
Следует отметить, что при κC2 < κ < κA1 хаотический аттрактор сосуществует с устойчивыми
циклами CA и CB .
8. На промежутке κA2 < κ < κA1 , где κA2 ≈ 2.2380203 динамическая система (17) имеет хаотический аттрактор. На рис. 3 представлен график зависимости старшего ляпуновского показателя
этого аттрактора от параметра κ. Отделенность λmax (κ) от нуля при указанных значениях параметра позволяет надеяться, что исходная система (7) также обладает сложными колебательными
режимами.
Λmax
0.08
0.06
0.04
0.02
Κ
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Рис. 3. Зависимость λmax от κ при b ≈ 4.12707 и δ ≈ −1.41406
Бифуркации, происходящие с системой (17) на промежутке (0, κS3 ), удобнее описывать при возрастании параметра κ.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
82
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
9. При 0 < κ < κπ3 ≈ 1.40782 глобально устойчиво состояние равновесия (η ∗ , η ∗ , π)T .
10. При κ = κπ3 из уплотнения траекторий возникает два самосимметричных (в смысле замены (18))
цикла CπS и CπU , один из которых устойчив, а другой неустойчив.
11. При κ = κπ2 ≈ 1.60162 в состояние равновесия (η ∗ , η ∗ , π)T стягивается самосимметричный неустойчивый цикл CπU (бифуркация Андронова-Хопфа) и отбирает у него устойчивость.
12. При κ = κ1S ≈ 2.227 указанная симметрия устойчивого цикла CπS теряется, он расщепляется на два
симметричных друг другу устойчивых цикла C1S , C̄1S (бифуркация потери симметрии).
13. При κ = κ1U ≈ 2.2351417 сепаратрисы, выходящие из седлового состояния равновесия (1, 1, 0)T ,
образуют два симметричных контура, из которых при дальнейшем увеличении κ появляются два
неустойчивых предельных цикла C1U , C̄1U .
14. При κ = κA2 ≈ 2.2380203 неустойчивое многообразие однородного состояния равновесия совпадает
с устойчивыми многообразиями неустойчивых предельных циклов C1U , C̄1U .
15. При дальнейшем увеличении κ > κA2 происходит рождение хаотических колебаний, а неустойчивые
циклы C1U , C̄1U при κ ≈ 2.247397 сливаются с устойчивыми C1S , C̄1S и исчезают.
Таким образом, в случае хаотического сценария все устойчивые режимы системы (17) возникают при
значениях параметра κ < κкр .
4. Численный анализ системы из двух связанных нейронов. Перейдем к численному анализу
исходной системы (3) с целью обнаружения аналогичных описанным выше для нормальной формы (17)
фазовых перестроек (использовался пакет программ tracer 3.7, разработанный Д.С. Глызиным).
I. Пусть сначала, как и в первом случае предыдущего пункта, r1 = 1, r2 = 2.5. Формула (6) дает
λ∗ ≈ 0.935872, ω0 ≈ 1.15928. Дальнейшие вычисления производились при λ = 1 и λ = 1.1.
Если λ = 1, то ε = λ − λ∗ ≈ 0.0641284. Учитывая вытекающее из формул (13) и (16) равенство
D = εκγ|P 0 (iω)| ≈ 0.07308 · κ,
(22)
можно оценить критические значения D, при которых происходят фазовые перестройки исходной системы
(3). В первой строке приведенной ниже таблицы содержатся значения параметра D, найденные с помощью
формулы (22), а во второй — значения D, полученные в результате численного анализа системы (3).
Нетрудно видеть, что представленные величины дают хорошую оценку бифуркационных параметров.
Таблица 1.
Dπ2
DAB
DC
DS1
DS2
Dкр
Dπ3
0.0466
0.0460
0.03702
0.0358
0.03605
0.0346
0.03486
0.0329
0.03413
0.0328
0.03405
0.0340
0.03272
0.0316
Как и в случае анализа нормальной формы (17), у системы (3) при уменьшении параметра D происходят следующие бифуркации:
• при D > Dπ2 устойчив только однородный цикл;
• при D < Dπ2 становятся устойчивыми колебания в противофазе;
• при D = DAB из уплотнения траекторий появляется пара симметричных друг другу устойчивых
циклов;
• при D = DC от циклов ответвляются пара устойчивых торов;
• при D = Dкр теряет устойчивость однородный цикл;
• при D = DS1 торы пропадают;
• при D = DS2 вместо пропавшей пары торов возникает один самосимметричный тор;
• наконец, при D = Dπ3 пропадает самосимметричный тор и остается устойчивым только цикл, соответствующий колебаниям в противофазе.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Динамика взаимодействия пары осцилляторов нейронного типа
83
u2
u2
u1
u1
0
0
Рис. 4. Цикл при D = 0.1, λ = 1.1
Рис. 5. Тор при D = 0.0745, λ = 1.1
Отметим, что уже при данных значениях ε находящиеся очень близко друг к другу по параметру D
бифуркации потери устойчивости однородного цикла и перестроек двух симметричных торов в один самосимметричный поменялись местами. Точность вычисления бифуркационных параметров дана в первой
строке вплоть до пятого знака, а во второй — лишь до четвертого, в связи с необходимостью многократного решения в последнем случае системы с запаздыванием (3).
u2
u2
u1
u1
0
0
Рис. 6. Тор при D = 0.0773, λ = 1.1
Рис. 7. Цикл при D = 0.08, λ = 1.1
В случае если λ = 1.1, величина ε = λ − λ∗ ≈ 0.164128 уже не достаточно мала и вычисленная для него
формула (22) не дает хороших оценок бифуркационных параметров, однако общая последовательность
бифуркаций сохраняется. Имеется лишь одно исключение: при увеличении параметра D и его прохождении через значение DS самосимметричный тор распадается на два симметричных без промежуточных
бифуркаций. Численный анализ системы (3) показал, что Dπ2 ≈ 0.1267, DAB ≈ 0.0811, DC ≈ 0.0798,
Dкр ≈ 0.0774, DS ≈ 0.0769, Dπ3 ≈ 0.0744. На рисунках 4 – 7 приведены проекции устойчивых фазовых
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
84
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
траекторий системы (3) на плоскость u1 Ou2 . В частности, на рис. 4 представлены колебания в противофазе при D = 0.1, такой цикл существует и устойчив у системы (3) при 0 < D < Dπ2 ; на рис. 5 изображена
проекция устойчивого самосимметричного двумерного тора при D = 0.0745, этот тор, в свою очередь,
устойчив при Dπ3 < D < DS ; далее, на рис. 6 приведен один из пары симметричных друг другу торов
при D = 0.0773, устойчивый на промежутке DS < D < DC ; наконец, на рис. 7 представлен один из пары
симметричных циклов, устойчивый соответственно при DС < D < DAB .
Важной особенностью динамики системы (3), которую удалось прояснить с помощью локального анализа, является сосуществование четырех различных устойчивых режимов: синхронного и асинхронного
циклов, а также пары симметричных друг другу циклов или торов.
Сделаем одно замечание относительно выбора параметра λ. Он обусловлен тем, что при дальнейшем
уходе от критического значения λ = λ∗ ≈ 0.935872 динамика системы (3) становится релаксационной и
резко упрощается, например, при λ > 1.5 наблюдаются только циклы большой амплитуды с релаксационными свойствами.
II. Рассмотрим теперь динамические свойства системы (3) при r1 = 1.5, r2 = 2.6. В этом случае
из (6) имеем λ∗ ≈ 2.59729, ω0 ≈ 0.95584. Как и в предыдущем пункте, при достаточно малом ε = λ − λ∗
фазовые перестройки (3) оказываются такими же, как и у нормальной формы (17). Например, при λ = 2.85
(ε ≈ 0.252711) получаем следующий набор фазовых перестроек:
• при D > Dкр , где Dкр ≈ 0.1400, устойчив только однородный цикл;
• при D = Dкр однородный цикл теряет устойчивость и от него ответвляются два симметричных друг
другу устойчивых цикла;
• при D = DC , где DС ≈ 0.0891, от циклов ответвляется пара устойчивых торов;
• при D = DS , где DS ≈ 0.07388, симметричные торы объединяются в один устойчивый самосимметричный тор;
• при D = Dπ2 , где Dπ2 ≈ 0.0446, устойчивый самосимметричный тор стягивается в цикл, соответствующий колебаниям в противофазе;
• наконец, при D < Dπ2 устойчивыми остаются только колебания в противофазе.
Увеличение λ приводит к существенно иным по сравнению с предыдущим пунктом последствиям. Выберем сначала значение λ достаточно близким к λ∗ так, чтобы работала локальная теория, и зафиксируем
параметр D системы (3) в области устойчивости двухчастотных колебаний. Примером могут служить значения λ = 2.85, D = 0.055, входящие в приведенный выше промежуток. Будем увеличивать значение λ,
сохраняя остальные параметры неизменными. На рис. 8 приведен график зависимости старшего ляпуновского показателя от параметра λ.
Λmax
0.15
0.1
0.05
Λ
2.86
2.87
2.88
2.89
2.9
2.91
Рис. 8. Зависимость λmax от λ при r1 = 1.5, r2 = 2.6, D = 0.055
Нетрудно видеть, что при λ ≈ 2.868 показатель λmax становится положительным, что свидетельствует
о переходе от двухчастотных колебаний к хаотическим. На промежутке изменения λ от 2.8683 до 2.8862
значение λmax относительно невелико, а график зависимости λmax (λ) имеет несколько окон, в которых
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Динамика взаимодействия пары осцилляторов нейронного типа
85
λmax падает до нуля. Для этих окон решениями системы (3) являются устойчивые торы или лежащие на
торе циклы большого периода. Размах колебаний устойчивого режима для данного промежутка остается
относительно небольшим. На рис. 9 представлена зависимость от λ максимального значения переменных
u1 (t), u2 (t) на аттракторе системы (3)
©
ª
umax = sup max{u1 (t), u2 (t)} .
t≥t0
T
Здесь начальная точка (u1 (t0 ), u2 (t0 )) лежит на аттракторе системы (3). В процессе вычислений величина t менялась от t0 до t0 + T∗ , где T∗ = 10000, а t0 выбиралось так, чтобы подойти к аттрактору
достаточно близко (использовалось t0 = 3000). Длина промежутка изменения t выбрана, очевидным образом, с избытком, с тем, чтобы получить надежную оценку umax . Понятно, однако, что в случае, если
колебательный режим имеет очень редкие всплески, такого промежутка может не хватить для правильной
оценки максимальной амплитуды колебаний. В связи с этим в окрестности точек с быстрым изменением
umax промежуток вычислений T∗ увеличивался.
umax
30
20
10
Λ
2.88
2.89
2.9
2.91
Рис. 9. Зависимость максимальных значений на аттракторе от λ при r1 = 1.5, r2 = 2.6, D = 0.055
Вычисление величины umax (λ) производилось на промежутке от λ = 2.85 до λ = 2.91 с шагом 0.0001,
при этом оказалось, что при переходе от точки λ = 2.8840 к точке λ = 2.8841 эта функция имеет скачок
от umax (2.8840) ≈ 1.3603 до umax (2.8841) ≈ 28.9202. Затем, на промежутке 2.8842 < λ < 2.8893 происходит
еще четыре резких изменения umax (λ), пока, начиная с λ = 2.8894, оно не стабилизируется на значении
близком к 30. Наконец, при λ = 2.9049, umax (λ) снова резко меняется и стабилизируется уже на значении
близком к 14. В частности, umax (2.9048) ≈ 29.401, а umax (2.9049) ≈ 13.936.
Анализируя зависимости λmax (λ) и umax (λ), можно выделить три области изменения λ, для которых поведение решений системы (3) принципиально различается. Первая из них ограничена значениями
λ ≈ 2.868, λ ≈ 2.884 и связана с возникновением и развитием из устойчивого тора системы (3) хаотического аттрактора. Амплитуда колебаний решений (3) в этой области относительно мала и возрастает с
ростом λ.
Вторая область изменения λ лежит на промежутке от λ ≈ 2.8894 до λ ≈ 2.9048 и характеризуется сочетанием колебаний малой и большой амплитуды. Между первой и второй областями находится переходная
зона, в которой встречаются как колебания малой амплитуды, так и колебания большой амплитуды.
Третья область соответственно содержит значения λ > 2.9048. При этих значениях параметра λ система (3) имеет устойчивые циклы большой амплитуды, обладающие выраженными релаксационными
свойствами. Отметим, что амплитуда колебаний решений системы (3) при переходе из второй области в
третью, оставаясь относительно большой, убывает более чем вдвое. Учитывая, что минимальные значения
решений (3) при данных значениях параметров близки к нулю, величина umax (λ) дает хорошую оценку
для размаха колебаний этих решений.
Для иллюстрации изменений хаотического аттрактора в первой области на рисунках 10, 11 представлены проекции траектории системы (3) при λ = 2.87 и λ = 2.883 соответственно. Проекции хаотических
колебаний системы (3) из второй области содержатся на рис. 12 для λ = 2.89. На правом из рисунков
изображена траектория с использованием масштаба колебаний большой амплитуды, а на левом выделена
часть этой проекции, соответствующая масштабу колебаний малой амплитуды. Сравнение рисунков 10, 11
и 12 показывает, что колебания малой амплитуды в первом и втором случае носят одинаковый характер.
Во втором случае на колебания малой амплитуды накладываются возникающие случайным образом последовательности импульсов большой амплитуды. На рис. 13 приводится график зависимости u1 , u2 от t
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
86
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
u2
u2
u1
0
u1
0
Рис. 10. Хаотические колебания при λ = 2.87
Рис. 11. Хаотические колебания при λ = 2.883
на промежутке изменения t длины 350. Представленные последовательности импульсов в нейродинамике
обычно называются пачками или пакетами импульсов (burst).
Суммируя результаты пункта, отметим, что в данном случае на границе области применимости локального анализа, в узком промежутке изменения параметров, реализуются сложные устойчивые режимы, характеризующиеся наличием разномасштабных колебаний, причем движения большой амплитуды
представляют собой случайную последовательность импульсных пакетов.
III. Пусть теперь r1 = 8.5, r2 = 9.52. Рассмотрим фазовые перестройки системы (3) при изменении
параметра связи D и различных значениях λ. В этом случае из (6) имеем λ∗ ≈ 2.806226, ω0 ≈ 0.467146.
Зафиксировав λ = 2.844 (ε ≈ 0.0377742), получаем следующий набор фазовых перестроек:
• при D > Dкр , где Dкр ≈ 0.0301, устойчив только однородный цикл;
• при D = Dкр однородный цикл теряет устойчивость и от него ответвляются два симметричных друг
другу устойчивых цикла;
• при D = DC , где DС ≈ 0.0221, от каждого из пары симметричных устойчивых циклов ответвляется
по устойчивому тору;
• при D = DA1 , где DA1 ≈ 0.0209, симметричные торы объединяются, возникают хаотические колебания;
• при D = DA2 , где DA2 ≈ 0.0123, хаотические колебания сменяются двухчастотными;
• при D = Dπ2 , где Dπ2 ≈ 0.0067, устойчивый самосимметричный тор стягивается в цикл, соответствующий колебаниям в противофазе;
• при D < Dπ2 устойчивыми остаются только колебания в противофазе.
Сразу отметим, что наблюдаемые на промежутке DA1 < D < DA2 колебания имеют положительный
старший ляпуновский показатель, величина которого лишь незначительно превосходит уровень вычислительных ошибок. В данном случае, однако, это вполне объяснимо. Учитывая, что λmax для хаотического
аттрактора нормальной формы (17) находился в пределах от 0.045 до 0.081 (см. рис. 3), а медленное время
s, используемое в системе (17), связано с временем t системы (3) формулой s = εt/γ, получаем коэффициент пропорциональности для ляпуновских показателей аттрактора ε/γ ≈ 0.10865 и соответственно оценку
самих показателей. Вычисления, выполненные для системы (3) на промежутке (DA1 , DA2 ), дают значения
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Динамика взаимодействия пары осцилляторов нейронного типа
87
u2
u2
u1
u1
0
0
Рис. 12. Хаотические колебания при λ = 2.89
u1
t
u2
t
Рис. 13. Зависимость u1 , u2 от t при λ = 2.89
как раз в этих пределах. Увеличение параметра λ могло бы в данном случае привести к росту ляпуновского показателя, однако даже незначительное изменение этой величины сверх значения λ = 0.844 приводит
к выходу из области применимости локальных методов. Так, например, уже при λ = 0.845 у системы
(3) появляются, как и в рассмотренном выше примере, хаотические колебания с разномасштабными составляющими. Однако, в силу того, что параметры r1 , r2 и λ выбраны достаточно большими, колебания
больших масштабов оказываются вблизи пределов применимости численных методов, используемых при
решении (3).
5. Заключение. Сделаем некоторые выводы относительно динамики системы (3).
Во-первых, численный анализ системы связанных осцилляторов (3) показывает, что в широкой области
значений параметров r1 , r2 и λ, близком к критическому значению λ∗ , ее локальные фазовые перестройки
происходят в соответствии с фазовыми перестройками нормальной формы (17).
Во-вторых, на основе анализа нормальной формы (17) найдены значения параметров системы (3), при
которых у нее сосуществует несколько устойчивых решений, например, синхронные колебания, колебания
в противофазе и пара симметричных двухчастотных режимов.
В-третьих, в случае, если фазовые перестройки нормальной формы приводят к возникновению хаотических колебаний, то и у исходной системы возможны локальные хаотические колебания малой ам-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
88
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
плитуды. Отметим, что данное свойство реализуется в крайне узкой области параметров, граничащей с
релаксационными колебаниями.
И, наконец, в-четвертых, найдена область значений параметров r1 , r2 , для которых при подходящим
образом выбранном параметре связи D и увеличении λ от критического значения λ∗ происходит переход к хаотическим двухмасштабным колебаниям с генерацией случайных импульсных пакетов большой
амплитуды.
Последний результат позволяет эффективно отыскивать в пространстве параметров значения, для
которых генерируются такие импульсные пакеты, и проясняет механизм их образования.
Список литературы
1. Hodgkin, A.L. A quantitative description of membrane current and application to conduction and excitation
in nerve / A.L. Hodgkin and A.F. Huxley // Journal Physiol. – 1952. – 117. – P. 500–544.
2. Кащенко, С. А. Об одном дифференциально-разностном уравнении, моделирующем импульсную активность нейрона / С. А. Кащенко, В. В. Майоров // Математическое моделирование. — 1993. — Т. 5,
№ 12. — С. 13–25.
3. Майоров, В. В. Математическое моделирование нейронов сети на основе уравнений с запаздыванием /
В. В. Майоров, И. Ю. Мышкин // Математическое моделирование. — 1990. — Т. 2, № 11. — С. 64–76.
4. Колесов, А. Ю. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений / А. Ю. Колесов, Н. Х. Розов. —
М.: Физматлит, 2004.
5. Глызин, С. Д. Сценарии фазовых перестроек одной конечноразностной модели уравнения “реакциядиффузия”/ С. Д. Глызин // Дифференциальные уравнения. — 1997. — Т. 33, № 6. — С. 805–811.
6. Глызин, С. Д. Стационарные режимы одной конечноразностной аппроксимации уравнения Хатчинсона
с диффузией / С. Д. Глызин // Качественные и приближенные методы исследования операторных
уравнений: Межвуз. сб. / Яросл. ун-т. — Ярославль, 1986. — C. 112–127.
Dynamics of two coupled neuron-type oscillators
Glyzin S.D., Kiseleva E.O.
Dynamics of two diffusion coupled close oscillators occuring in nerve cells simulation is considered. For close
to critical values of problem parameters the normal form for amplitude and phase variables is constructed.
Phase reconstructions of the normal form when changing the coupling parameter of the system are analyzed.
Numerical analysis of the original system shows correspondence between local phase reconstructions and phase
reconstructions of the normal form in a wide area of parameters values.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модел. и анализ информ. систем. Т.15, №2 (2008) 89–93
УДК 517.956.4
Динамика параболического уравнения с малой диффузией и
отклонением пространственной переменной
Кащенко Д.С., Кащенко И.С.
Ярославский государственный университет
e-mail: iliyask@uniyar.ac.ru
получена 14 мая 2008
Аннотация
Изучается локальная динамика параболической краевой задачи с отклонением пространственной
переменной. В случаях, близких к критическим, построены нормализованные формы.
1. В последнее время все больший интерес для биофизики и математической экологии представляет
изучение моделей, которые описываются параболическими краевыми задачами с отклонениями пространственной переменной [1, 2, 3]. Ряд интересных моделей такого типа приведен в работе [3]. Так, например,
с экологической точки зрения обоснована важная роль краевой задачи


Z∞
∂N (t, x)
∂ 2 N (t, x)
= rN (t, x) 1 −
A(s, ε)N (t, x − s)ds + ε2 γ 2
;
N (t, x + 2π) ≡ N (t, x).
(1)
∂t
∂x2
−∞
Здесь r > 0 — мальтузианский коэффициент; ε2 γ 2 (ε > 0) — коэффициент подвижности.
Эта модель естественным образом обобщает известное логистическое уравнение с диффузией. Предполагается, что выполнено условие нормировки
Z∞
A(s, ε)ds = 1.
−∞
Отсюда следует, что краевая задача (1) имеет состояние равновесия N0 ≡ 1. В работе [3] функция A(s, ε)
симметрична (случай несимметричной функции A(s, ε) рассмотрим в п. 3, 4) и задана равенством
A(s, ε) =
1
{b(4πσ12 ε)−1/2 exp[−s2 (4εσ12 )−1 ] − a(4πσ22 ε)−1/2 exp[−s2 (4εσ22 )−1 ]}
b−a
(b > a).
(2)
По смыслу задачи функция N (t, x) положительна. Отметим, что решение (1) с положительной начальной при t = 0 функцией (из C[0,2π] ) остается положительным при t > 0.
Для изучения локальной — в малой окрестности состояния равновесия N0 — динамики краевой задачи
(1) необходима информация о корнях характеристического уравнения линеаризованной на N0 краевой
задачи. Для этих корней имеет место формула λκ = λ(εκ), κ = 0, ±1, ±2, . . ., где
λ(z) = −γ 2 z 2 −
r
[b exp(−σ12 z 2 ) − a exp(−σ22 z 2 )].
b−a
(3)
При условии λ(εκ) < 0 (κ = 0, ±1, ±2, . . .) состояние равновесия N0 асимптотически устойчиво и все
решения (1) с начальными условиями из достаточно малой окрестности N0 стремятся к нему при t → ∞.
Если же найдется такой номер κ0 , при котором λ(εκ0 ) > 0, то решение N0 неустойчиво и в его малой
окрестности устойчивых режимов быть не может (тем самым задача о динамике (1) становится нелокальной). В том случае, когда для некоторых κi имеем λ(εκj ) = 0, вопрос о локальной динамике (1), а также
о бифуркациях, которые могут происходить при изменении введенного <малого> параметра, решается с
помощью стандартных методов нормализации [4] с использованием теории интегральных многообразий
[5, 6]. Поведение решений краевой задачи (1) в этом случае определяется динамикой нормальной формы
— специальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
89
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
90
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
Наибольший интерес представляет изучение локальной динамики (1) при условии, когда малым является параметр ε : 0 < ε ¿ 1. В этом случае возможны особые сложности при исследовании бифуркационных задач. Поясним это. Пусть сначала выполнено условие max λ(z) < 0. Тогда все корни λ(εκ)
z≥0
характеристического уравнения отрицательны и отделены от нуля при ε → 0. Это означает, что состояние равновесия N0 экспоненциально устойчиво и радиус его области притяжения не зависит от ε. При
условии max λ(z) > 0 решение N0 неустойчиво, количество положительных корней характеристического
z≥0
уравнения неограниченно растет при ε → 0 и наибольший из них имеет порядок O(1).
Ниже рассмотрим промежуточный случай, когда для некоторого z0 > 0 выполнены условия
λ(z0 ) = 0; λ(z) < 0 при z ≥ 0 и z 6= z0 . В задаче о структуре окрестности N0 в этой ситуации реализуется случай, близкий к критическому бесконечной размерности: количество корней характеристического
уравнения, находящихся в <малой> окрестности нуля, неограниченно растет при ε → 0.
Результаты настоящей работы тесно примыкают к результатам работы [9].
2. Результатами об интегральных многообразиях, выделяющих <критические> переменные, и о нормальных формах здесь воспользоваться не удается. Тем не менее техника построения нормальных форм
существенно используется [7].
Заменим в (1), (3) параметр r на r = r0 + ε2 r1 , а через Θ = Θ(ε) ∈ [0, 1) обозначим дробную часть
числа ε−1 z0 , т.е. Θ + ε−1 z0 — целое. Введем затем в рассмотрение формальный ряд
N =ε
+ε2
∞
P
κ=−∞
∞
P
(ξκ (τ ) exp ix(ε−1 z0 + Θ + κ) + ξ¯κ (τ ) exp −ix(ε−1 z0 + Θ + κ))+
(ηκ (τ ) exp ix(ε−1 z0 + Θ + κ) + η̄κ (τ ) exp −ix(ε−1 z0 + Θ + κ)) + . . .
(4)
κ=−∞
в котором τ = ε2 t. Подставив этот ряд в (1), соберем коэффициенты при одинаковых степенях ε. На
втором шаге получим формулы для ηκ (τ ) (через ξκ (τ )), а на третьем шаге приходим к бесконечной системе
уравнений для ξκ (τ ), содержащей кубические нелинейности.
Важно то, что построенная для нахождения ξκ (τ ) бесконечная система уравнений сворачивается в
одно комплексное нелинейное параболическое уравнение
·
¸
∂ξ(τ, x)
1
∂ 2 ξ(τ, x)
∂ξ(τ, x)
1 2 00
00
2 2
2
= − λ00 (z0 )
−
iΘλ
(z
)
+
Θ
λ
(z
)
+
r
γ
z
(5)
0
0
1
0 ξ + R|ξ| ξ
∂τ
2
∂x2
∂x
2
с периодическими краевыми условиями
ξ(τ, x + 2π) ≡ ξ(τ, x).
В (6) положено
(6)
¡
¢
R = r0 z02 − 1 − z02 /[λ(2z0 )](3z02 + λ(2z0 )) .
Разложение решения ξ(τ, x) по собственным функциям периодической краевой задачи
ξ(τ, x) =
∞
X
ξk (τ ) exp(ikx)
−∞
приводит к получению нами системы для нахождения амплитуд ξk (τ ).
Пусть выполнены условия невырожденности λ00 (z0 ) 6= 0 и R 6= 0. В том случае, когда для целого κ
выполнено условие
1
yκ = R−1 [ λ00 (z0 )(κ + Θ)2 + r1 γ 2 z02 ] > 0,
2
1/2
краевая задача (5), (6) имеет состояние равновесия ξ = yκ exp iκx. Это состояние равновесия устойчиво, если R < 0 и λ00 (z0 )(2κ + Θ)2 > 4R, и неустойчиво, если R > 0 или λ00 (z0 )(2κ + Θ)2 < 4R. Краевая
задача может иметь довольно богатое множество сложно устроенных установившихся режимов [8]. Согласно формуле (4) решению ξ0 (τ, x) задачи (5), (6) при фиксированном значении Θ = Θ0 отвечает такое
асимптотическое решение N (t, x, ε) исходной краевой задачи (1), что
£
¤
N (t, x, ε) = ε ξ0 (τ, x) exp ix(ε−1 z0 + Θ0 ) + ξ¯0 (τ, x) exp −ix(ε−1 z0 + Θ0 ) + O(ε),
(7)
причем параметр ε в (7) определяется из условия Θ(ε) = Θ0 (и достаточно мал), т. е. пробегает дискретное
множество значений.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Динамика параболического уравнения с малой диффузией . . .
91
При стремлении параметра ε к нулю функция Θ(ε) неограниченно много раз пробегает все значения
от нуля до единицы. Значит, количество и устойчивость даже указанных выше состояний равновесия
может зависеть от параметра ε. Тем самым при ε → ∞ неограниченно часто могут происходить прямые
и обратные бифуркации в краевой задаче (5), (6), а значит, и в (1).
3. Рассмотрим случай несимметричной функции A(s, ε). Здесь предполагаем, что
√
1
A(s, ε) = b−a
{b(4πσ12 ε)−1/2 exp[−(s − εα1 )2 (4εσ12 )−1 ]−
(8)
√
−a(4πσ22 ε)−1/2 exp[−(s − εα2 )2 (4εσ22 )−1 ]
(b > a).
Для построения нормализованных уравнений важную роль играет степень близости параметра r к критическому значению r0 . В этом пункте рассмотрим случай, когда мальтузианский коэффициент r выражается как
r = r0 + εr1 .
(9)
Случай, когда параметр r существенно ближе к r0 , т.е. выполняется
r = r0 + ε2 r1 ,
(10)
будет рассмотрен в следующем пункте.
Функция λ(z), определяющая поведение корней характеристического уравнения, имеет вид
λ(z) = −γ 2 z 2 −
r0
(b exp[−iα1 z − σ12 z 2 ] − a exp[−iα2 z − σ22 z 2 ]).
b−a
Основное предположение состоит в том, что при некотором z0 > 0 выполнено равенство Re λ(z0 ) = 0, а
при z ≥ 0 и z 6= z0 имеет место неравенство Re λ(z) < 0. В п. 2 рассмотрена ситуация, когда Im λ(z0 ) = 0.
Здесь предполагаем, что выполнены условия невырожденности
ω0 = Im λ(z0 ) 6= 0 и ω1 = Im λ0 (z0 ) 6= 0.
(11)
При этих условиях в краевой задаче (1) реализуется критический случай бесконечного числа чисто мнимых значений ±iω0 с бесконечным резонансом 1 : 1 : 1 : · · · . Для исследования локальной динамики
решений краевой задачи (1) введем, по аналогии с построением в п. 2, формальный ряд
N = ε1/2
∞
X
(ξκ (τ ) exp i[ω0 t + x(ε−1 z0 + Θ + κ)] + ξ¯κ (τ ) exp −i[ω0 t + x(ε−1 z0 + Θ + κ)] + . . .
(12)
κ=−∞
и подставим его в (1). Применяя стандартные процедуры, на третьем шаге получим бесконечную систему
уравнений для определения функций ξκ (τ ) (κ = 0, ±1, ±2, . . .). Оказывается, эту систему можно записать
∞
P
в виде краевой задачи для величины ξ(τ, x) =
ξκ (τ ) exp iκx:
κ=−∞
∂ξ
∂ξ
= ω1
+ [iΘω1 + r1 (λ(z0 ) + γ 2 z02 )]ξ − R|ξ|2 ξ,
∂τ
∂x
(13)
ξ(τ, x + 2π) ≡ ξ(τ, x).
Здесь τ = εt, смысл величины Θ тот же, что и выше, а
R = r0 {λ(z0 ) + γ 2 z02 − 1 + A1 [λ̄(z0 ) + γ 2 z02 − λ(2z0 ) − 4z02 ]};
A1 = (γ 2 z02 + λ(z0 ))[2iω0 − λ(2z0 )]−1 .
Отсюда, зная установившийся режим ξ(τ, x) краевой задачи (13), находим асимптотическое по невязке
(с точностью до O(ε)) решение N0 (t, x, ε) краевой задачи (1), где
¯ x) exp −i(ω0 t + x(ε−1 z0 + Θ))] + . . .
N0 (t, x, ε) = ε1/2 [ξ(τ, x) exp i(ω0 t + x(ε−1 z0 + Θ)) + ξ(τ,
Например, при условии r1 Re R > 0 для каждого целого κ имеется семейство периодических решений
(9):
ξκ (τ, x) = ξ0 exp i{κ(ω1 τ + x) + (Θω1 + r1 ω0 − |ξ0 |2 Im R)τ },
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
92
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
где |ξ0 |2 = r1 z02 (Re R)−1 .
Таким образом, в отличие от результатов п. 2, краевая задача для медленной переменной ξ(τ, x) оказывается уже не параболической, а гиперболической, а установившиеся режимы (1), определяемые с помощью ξ(τ, x), имеют порядок ε1/2 , а не ε.
Важно отметить следующее. Если при выполнении некоторых условий типа невырожденности для
установившихся режимов задачи (5) удается обосновать результат о существовании точного решения (1),
определяемого формулой (7), и сделать вывод о его устойчивости, то в рассматриваемой здесь ситуации
это не так. Дело в том, что установившиеся режимы гиперболической краевой задачи (13) принципиально
не грубые. Поэтому для того, чтобы сформулировать выводы о существовании и устойчивости точного
решения (1), близкого к N0 (t, x, ε), необходимо исследовать решения с точностью до o(ε5/2 ).
Обратим внимание на один интересный момент. Оказывается, далеко не для всех установившихся
режимов задачи (13) можно построить асимптотическое по невязке решение (1) с точностью до o(ε5/2 ).
Таким образом, отсутствие симметрии функции A(s, ε) существенно усложняет динамические свойства
исходной задачи.
4. Здесь предположим, что несимметричная функция A(s, ε) задана формулой (7), а для параметра r
выполнено, как и в п. 2, условие (10).
Как и в предыдущем пункте, считаем, что для некоторого z0 > 0 выполнено равенство Re λ(z0 ) = 0, а
при z ≥ 0 и z 6= z0 имеем Re λ(z0 ) < 0. Пусть также выполнены условия невырожденности (11).
Критический случай в задаче об устойчивости состояния равновесия при этих условиях совпадает
с рассмотренным в п. 3, но в силу большей близости параметра r к r0 соответствующие асимптотические разложения несколько отличаются от предыдущих. Так, аналог формального ряда (12) отличается
порядком зависимости от ε амплитуды и порядком малости медленного времени ε:
N =ε
∞
X
(ξκ (τ ) exp i[ω0 t + x(ε−1 z0 + Θ + κ)] + ξ¯κ (τ ) exp −i[ω0 t + x(ε−1 z0 + Θ + κ)] + . . . ,
τ = ε2 t. (14)
κ=−∞
Положим ξk (τ ) = ηk (τ ) exp iω1 εt. Бесконечную систему уравнений для нахождения ηk (τ ) можно записать в рассматриваемом случае в виде комплексного уравнения параболического типа
∂η
∂η
1
∂2η
1
= λ00 (z0 ) 2 − iθλ00 (z0 )
+ ( θ2 λ00 (z0 ) + r1 γ 2 z02 )η − R|η|2 η
∂τ
2
∂x1
∂x1
2
(15)
с краевыми условиями η(τ, x1 + 2π) = η(τ, x1 ). Здесь параметр R тот же, что и в (*), а для x1 имеет место
формула
1
x1 = ω1 τ + x.
ε
Таким образом, локальная динамика уравнения (1) в случае (10) определяется параболической краевой
задачей (15), а не гиперболической, как в случае (9).
Итак, показано, что уже для случая изолированной популяции возможны сложные бифуркационные
эффекты, обусловленные малой подвижностью (диффузией) и малыми отклонениями пространственного
аргумента. Численный анализ такой задачи наталкивается на существенные трудности, обусловленные
появлением быстро осциллирующих структур. Поэтому особенно важны приведенные в статье результаты
аналитического плана, с помощью которых исходную задачу удалось в ряде случаев свести к специальной
и универсальной задачам, не содержащим малый параметр.
Список литературы
1. Васильев, В. А. Автоволновые процессы / В. А. Васильев, Ю. М. Романовский, В. Г. Яхно. — М.:
Наука, 1987.
2. Свирежев, Ю. М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии /
Ю. М. Свирежев. — М.: Наука, 1987.
3. Leven, S. Pattern generation in space and aspect / S. Leven, L. Segеl // SIAM Review. — 1985. — Vol. 27.
— P. 45–67.
4. Брюно, А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений / А.Д. Брюно. —
М.: Наука, 1979.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Динамика параболического уравнения с малой диффузией . . .
93
5. Мак-Кракен, М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / М. Мак-Кракен, Дж. Марсден. —
М.: Мир, 1980.
6. Куликов, А.Н. О гладких инвариантных многообразиях полугруппы нелинейных операторов в банаховом пространстве / А.Н. Куликов // Исследования по устойчивости и теории колебаний: Межвуз.
сб. / Яросл. ун-т. — Ярославль, 1976. — С. 114–129.
7. Кащенко, С.А. О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией /
С.А. Кащенко //Докл. АН СССР. — 1988. — Т. 299, №5. — С. 1049–1053.
8. О классификации решений системы нелинейных диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркации / Т. С. Ахромеева, С. П. Курдюмов и др. // Итоги науки и техники. Сер. Современные
проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 28. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1986. — С. 207—313.
9. Кащенко, С.А. Бифуркационные особенности в одной модели динамики популяции, описываемой
параболическим уравнением с малой диффузией и отклонением пространственной переменной /
С.А. Кащенко // Динамика биологических популяций. — Горький: ГГУ, 1989.
Dynamics of parabolic equation
with small diffusion and deviation of spatial variable
Kaschenko D.S., Kaschenko I.S.
The local dynamics of parabolic equation with deviation of spatial variable is studied. In critical cases normal
forms are built.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Модел. и анализ информ. систем. Т.15, №2 (2008) 94–98
УДК 515.177
О работе семинара "Нелинейная динамика"
В 2007-2008 годах в рамках научно-образовательного центра "Нелинейная динамика" продолжил работу научный семинар, посвященный исследованиям поведения, а также методам
анализа динамических систем. За прошедший учебный год на нем были заслушаны более двадцати сообщений по тематике исследований научно-образовательного центра. Ниже представлены тезисы наиболее интересных докладов, прозвучавших на семинаре.
Нестеров П.Н. Метод усреднения Крылова – Боголюбова в исследовании систем с исчезающей на бесконечности главной частью.
В докладе изучается возможность использования методики усреднения Крылова – Боголюбова [1] для
исследования систем с исчезающей на бесконечности главной частью, к которым относятся, например,
системы вида
ẋ = ε(t)X(t, x),
x ∈ Rm ,
(1)
где ε(t) → 0 при t → +∞, а компонентами вектор-функции X(t, x) являются тригонометрические полиномы по переменной t. Сформулированы условия существования у систем вида (1), а также систем более
общего вида, решений, стремящихся при t → +∞ к стационарным режимам усредненной системы
ẏ = ε(t)P (y),
1
P (y) = lim
T →+∞ T
ZT
X(s, y)ds.
(2)
0
С помощью варианта метода усредняющих замен построены асимптотические формулы для решений
уравнения
ẍ + x = ε(t)(1 − x2 )ẋ,
t → +∞,
(3)
где ε(t) — непрерывная функция и ε(t) ≥ 0 при t ≥ t0 . Уточняются соответствующие результаты из
работы [2], а также доказывается глобальный характер полученных асимптотических представлений.
1. Боголюбов, Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов,
Ю.А. Митропольский. — М.: Наука, 1974. — 504 c.
2. Samoilenko, A. Krylov-Bogolyubov averaging of asymptotically autonomous differential equations / A. Samoilenko, M. Pinto, S. Trofimchuk // Proc. Amer. Math. Soc. — 2005. — V. 133, №1. — P. 145 – 154.
Глызин С. Д., Колесов А. Ю. Пример аттрактора, состоящего из неустойчивых по Ляпунову периодических траекторий.
Пусть в некотором полном метрическом пространстве X с метрикой ρ задан непрерывный полупоток
ϕt , то есть имеется семейство отображений ϕt : X → X, t ≥ 0 со свойствами: ϕ0 = I (I — тождественный
оператор), ϕt+s = ϕt ◦ϕs ∀t, s ≥ 0; функция ϕt (x) непрерывна по совокупности переменных (t, x) ∈ R+ ×X.
Предположим, кроме того, что существует непустое замкнутое и ограниченное подмножество A ∈ X, инвариантное для полупотока ϕt , т. е. ϕt (A) ∈ A при всех t ≥ 0. Одним из наиболее часто используемых
определений хаотического аттрактора является определение Девани. Согласно [1] полупоток ϕt является
хаотическим на инвариантном множестве A в случае, если в A плотны периодические траектории полупотока ϕt и его сужение на A обладает свойством топологической транзитивности. Как показано в [2],
из этих двух требований вытекает существенная зависимость полупотока от начальных условий. Точнее
говоря, найдется такое универсальное ∆ > 0 (постоянная неустойчивости), что для любых x ∈ A, δ > 0
выполняется неравенство ρ(ϕt0 (x), ϕt0 (y)) ≥ ∆ при некоторых y ∈ A : ρ(x, y) < δ и t0 > 0.
Обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Приведем простой пример, иллюстрирующий данный
факт.
Рассмотрим систему
ẋ = f (x, µ),
(1)
µ̇ = g(µ),
94
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О работе семинара "Нелинейная динамика"
95
где x ∈ R2 , µ ∈ R. Будем считать, что скалярная функция g(µ), принадлежащая классу C ∞ , обладает
следующими свойствами: g(µ) ≡ 0 при µ ∈ [µ1 , µ2 ]; g(µ) > 0 при µ < µ1 и g(µ) < 0 при µ > µ2 . Предположим, кроме того, что система ẋ = f (x, µ), с достаточно гладкими правыми частями, при фиксированных
µ ∈ [µ1 , µ2 ] имеет устойчивый цикл x = x0 (ϕ, µ) такой, что x0 (ϕ + 2π, µ) ≡ x0 (ϕ, µ), где
dϕ
= ω(µ),
dt
ω(µ) > 0,
ω 0 (µ) 6= 0 для µ ∈ [µ1 , µ2 ].
Условие (2) гарантирует непрерывное и монотонное изменение периода колебаний T (µ) =
Нетрудно видеть, что аттрактором динамической системы (1) является множество
(2)
2π
ω(µ)
по µ.
A = {(x0 (ϕ, µ), µ) : ϕ ∈ [0, 2π], µ ∈ [µ1 , µ2 ]} .
Пусть L0 = {(x0 (ω(µ0 )t + ϕ0 , µ0 ), µ0 )} — произвольная траектория из A. Рассмотрим близкую к L0 траекторию L1 = {(x0 (ω(µ1 )t + ϕ0 , µ1 ), µ1 )} при µ1 → µ0 . Учитывая условие (2), параметр µ1 в его стремлении
к µ0 может быть выбран так, что отношение ω(µ1 )/ω(µ0 ) — иррационально. Оценим расстояние между точками траекторий L1 и L0 для различных значений t. В силу непрерывности x0 (ϕ, µ) по второму
аргументу имеем
°
° °
°
°x0 (ω(µ0 )t + ϕ0 , µ0 ) − x0 (ω(µ1 )t + ϕ0 , µ1 ) ° = °x0 (ω(µ0 )t + ϕ0 , µ0 ) − x0 (ω(µ1 )t + ϕ0 , µ0 ) ° + o(1).
Выберем теперь моменты времени tn = 2πn/ω(µ0 ), тогда найдутся такие достаточно большие n, что
°
´°
³ ω(µ )
°
°
°
°
1
2πn + ϕ0 , µ0 ° + o(1) = max °x0 (ϕ0 , µ0 ) − x0 (ψ, µ0 ) ° + o(1) ≥
°x0 (ϕ0 , µ0 ) − x0
0≤ψ≤2π
ω(µ0 )
³
°
°´
≥ min
max °x0 (ϕ0 , µ0 ) − x0 (ψ, µ0 ) ° + o(1) = ∆0 + o(1),
0≤ϕ≤2π
µ1 ≤µ0 ≤µ2
0≤ψ≤2π
где ∆0 > 0 — общая для всех траекторий из A константа.
Тем самым, представленный пример демонстрирует существенную зависимость решений от начальных
условий при том, что аттрактор системы (1) состоит только из циклов.
1. Devaney, R. An introduction to chaotic dynamical systems / R. Devaney. — Addison-Wesley: Reading,
MA, 1989.
2. Banks, J. On Devaney’s definition of chaos / J. Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis, P. Stacey //
Amer. Math. Monthly. — 1992. — V.99, №4. — P. 332–334.
Глазков Д.В. О квазинормальной форме сингулярно возмущенной модели динамики лазера с запаздыванием.
В докладе исследуются особенности динамики модели Ланга – Кобаяши [1]
dE
= v(1+iα)EZ + γe−iω0 h E(t−h),
dt
dZ
= Q − Z − (1+Z) |E|2 ,
dt
в случае асимптотически больших значений параметра v, отвечающего отношению времен затухания
инверсии носителей и фотонов в резонаторе. В соответствии с методикой исследования сингулярно возмущенных систем с запаздыванием, изложенной в [2], решение исходной задачи ищется в виде ряда по
степеням малого параметра ε=v −1/2 . Собирая слагаемые одного порядка малости, из условий разрешимости в классе периодических функций возникающих систем получим следующее комплексное уравнение:
i
h
√
ξ 0 = −a ξ − bk ξ − ei 2Qh/ε ξ(t−h) + id ξ|ξ|2 .
Здесь
1
1
1
(1+Q),
bk = γ[cos ηk +α sin ηk ],
d= √
,
ηk = ωk h.
2
2
3 2Q
Полученная система регулярна и содержит меньшее число уравнений и переменных, чем первоначальная
задача. Нулевое решение построенной квазинормальной формы соответствует периодическому решению
вида E=Rk ei(ωk −ω0 )t , Z=Zk в исходной модели. Заметим, что при больших величинах v задача изучения
бифуркаций мод внешнего резонатора в терминах полученной системы формулируется проще и допускает,
в отличие от уравнений Ланга-Кобаяши, надежный численный анализ.
a=
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
96
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
1. Lang R. External optical feedback effects on semiconductor injection laser properties / R. Lang, K. Kobayashi // IEEE J. Quantum Electron. — 1980. — Vol. 16, №1. — P. 347 – 355.
2. Кащенко С.А. Бифуркации цикла в сингулярно возмущенных нелинейных автономных системах /
С.А. Кащенко // Известия РАЕН, серия МММИУ. — 1998. — Т.2, №4. — С. 5 – 53.
Кащенко И. С. О сложности локальной динамики уравнений с запаздыванием
Основная цель исследований — показать численно-аналитическими методами сложность локальной
динамики уравнения
ẋ + x = ax(t − T ) + f (x, x(t − T )),
где f (x, y) — это непрерывная функция, имеющая в нуле порядок малости выше первого; запаздывание
T предполагается достаточно большим (т.е. T À 1), а параметр a близок к −1, т.е. a = −(1 + εp a1 ), где
ε = T −1 ¿ 1. Отметим, что параметры p и a1 при фиксированном a могут выбираться неоднозначно.
В [1] показано, что при таких условиях локальная динамика исходного уравнения описывается нормализованной формой – семейством параболических систем вида
∂u
1 ∂2u
=
+ a1 u + du3 ,
∂τ
2 ∂r2
u(τ, r) = −u(τ, r +
π
).
ω
Здесь ω — произвольный положительный параметр.
При разных значениях параметров ω и a1 динамика нормализованной формы будет различной, т.е. у
исходного уравнения в окрестности нуля будет существовать сразу несколько устойчивых решений. Это
подтверждается численными расчетами [2].
1. Кащенко, И.С. Динамические свойства уравнений первого порядка с большим запаздыванием /
И.С. Кащенко // Моделирование и анализ информационных систем. — 2007. — Т.14, №2. — С. 58–
62.
2. Кащенко, И.С. Численный анализ локальной динамики одного уравнения с запаздыванием / И.С. Кащенко / Математика, кибернетика, информатика: тр. междунар. научн. конф. памяти А.Ю. Левина;
Яросл. гос. ун-т. — Ярославль: ЯрГУ, 2008. — С. 111-114.
Сандуляк Д. В. Исследование существования и устойчивости периодических решений в
сингулярно возмущенной системе с большим запаздыванием.
В докладе изучается вопрос о существовании и устойчивости периодических решений в уравнении
¡
¢
ẍ + aẋ + x = F kx(t − θ) ,
(1)
√
где F (x) = −x + c1 x2 + c2 x3 + ..., 0 < a < 2, c2 > 0, c1 − любое. Это уравнение представляет собой
математическую модель однократного RCL-генератора с запаздыванием в цепи обратной связи. Установлено, что при увеличении времени запаздывания и при фиксированных прочих параметрах в изучаемой
системе (1) происходит бесконечная последовательность бифуркаций рождения и смерти периодических
решений. Более того, в рассматриваемой системе
√ реализуется явление буферности, иными словами, для
любого n ∈ N при фиксированном 0 < a < 2 всегда можно указать пару (θ, k), что у исследуемого
уравнения существует не менее n устойчивых периодических решений. То есть с ростом запаздывания
происходит неограниченный рост числа сосуществующих устойчивых циклов, однако состав их постоянно
обновляется, так как каждый цикл существует лишь в определенном интервале значений запаздывания –
ячейке. Стоит также отметить, что все периодические решения получаются с помощью специально описанного принципа подобия из одного уникального цикла.
Нестеров П.Н. Асимптотическое представление решений систем линейных разностных
уравнений.
В докладе обсуждаются вопросы, касающиеся построения асимптотики решений систем линейных
разностных уравнений
∆x(n) = A(n)x(n),
n ∈ N,
∆x(n) := x(n + 1) − x(n),
(1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
О работе семинара "Нелинейная динамика"
97
при n → +∞. Изложены классические теоремы, принадлежащие А. Пуанкаре и О. Перрону, а также более
общий результат — разностный аналог теоремы Н. Левинсона, полученный сначала И.М. Рапопортом [1],
а затем в несколько ином виде Бензаидом и Латсом [2]. Далее рассматривается случай, когда элементами
матрицы A(n) являются колебательно убывающие функции. Как оказывается, для упрощения построения
асимптотики решений линейной системы (1) в этом случае целесообразно использовать усредняющие
замены [3]. В качестве примера использования описанной методики строится асимптотика решений при
n → +∞ дискретного адиабатического осциллятора
¡
¢
x(n + 2) − 2 cos ω x(n + 1) + 1 + q(n) x(n) = 0,
где 0 < ω < π, n ∈ N, а функция q(n) имеет следующий вид:
q(n) = a
sin 2ωn
,
nα
1
< α ≤ 1,
2
a ∈ R.
Также в докладе обсуждаются некоторые особенности поведения решений дискретного уравнения Шредингера [4].
1. Рапопорт, И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений /
И.М. Рапопорт. — Киев: Изд-во Академии наук УССР, 1954. — 292 с.
2. Benzaid, Z. Asymptotic representation of solutions of perturbed systems of linear difference equations /
Z. Benzaid, D.A. Lutz // Studies in Appl. Math. — 1987. — V. 77. — P. 195 – 221.
3. Нестеров, П.Н. Асимптотическое представление решений систем линейных разностных уравнений
и метод усреднения / П.Н. Нестеров // Модел. и анализ информ. систем. — 2007. — Т. 14, №2. —
С. 63 – 67.
4. Бурд, В.Ш. Об асимптотике решений одного разностного уравнения второго порядка с колебательно
убывающими коэффициентами / В.Ш. Бурд, П.Н. Нестеров // Модел. и анализ информ. систем. —
2005. — Т. 12, №2. — C. 24 – 31.
Глазков Д.В. Управление динамикой системы в окрестности неустойчивого состояния
равновесия при помощи запаздывающей обратной связи.
Рассматривается задача управления устойчивостью нулевого решения некоторой динамической системы с помощью запаздывающей обратной связи. Существенное предположение заключается в том, что
нулевое состояние равновесия в первом приближении является фокусом (неустойчивым). Отбрасывая
нелинейные слагаемые, придем к линейной системе [1-3]
£
¤
dx
= νx − ωy − K x − x(s−h) ,
ds
£
¤
dy
= ωx + νy − K y − y(s−h) .
ds
Из анализа характеристического уравнения установлено [1], что в случае
K ≥ ν/2 ≥ 0
при подходящем выборе величины запаздывания, близкой к оптимальным значениям
h = (2m+1)π/ω,
m ∈ N ∪ {0},
нулевое решение становится устойчивым в первом приближении. Наибольшая область устойчивости в
плоскости параметров K, h соответствует значению m=0.
Однако при увеличении величины h эффект от обратной связи становится все менее значительным. В
случае асимптотически большого запаздывания h=1/ε [2] нулевое состояние равновесия удается стабилизировать лишь при выполнении условия ν=O(ε2 ).
1. Hövel P. Control of unstable steady states by time-delayed feedback methods / P. Hövel, E. Schöll //
Phys. Rev. E. — 2005. — Vol. 72, 046203. — P. 1–7.
2. Yanchuk, S. Control of unstable steady states by long delay feedback / S. Yanchuk, M. Wolfrum, P. Hövel,
E. Schöll // Phys. Rev. E. — 2006. — Vol. 74, 026201. — P. 1–7.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
98
Моделирование и анализ информационных систем Т.15, №2 (2008)
3. Wolfrum, M. Oscillatory instability in systems with delay [Электронный ресурс] / M. Wolfrum, S. Yanchuk
// WIAS preprint №1101, Berlin, 2006. — Режим доступа: www.wias-berlin.de, свободный.
Лоханин М.В. Телепортация и новая парадигма квантовых вычислений.
Данный доклад содержит популярное введение в теорию квантовых вычислений и изложение одного
из наиболее удивительных алгоритмов теории – алгоритма телепортации. Показано, как акт измерения
позволяет косвенно выполнить унитарные преобразования, являющиеся вычислительными примитивами. Рассмотрено, какими способами можно получить универсальный логический базис в основанных на
измерениях (measurement-based) моделях вычислений. Обсуждаются конкретные способы реализации однокубитных и двухкубитных квантовых вентилей при помощи выбора измерительного базиса.
Обсуждаются также возможности реализации и затраты ресурсов в разных моделях квантового компьютера, одна из которых использует кластерные состояния [1-4], а другая основана на более простой
телепортационной схеме, рассматриваемой в [3,5].
1. Childs, A.M. Unified derivations of measurement-based schemes for quantum computation / Andrew M.
Childs, Debbie W. Leung, and Michael A. Nielsen // arXiv:quant-ph/0404132 v.2. 28 Jun. 2004.
2. Gottesman, D. Quantum teleportation is a universal computational primitive / Daniel Gottesman and
Isaac L. Chuang // arXiv:/quant-ph/9908010 v.1.
3. Leung, D. W. Two-qubit Projective Measurements are Universal for Quantum Computation / Debbie W.
Leung // arXiv:quant-ph/0111122 v.2. 9 Apr 2002.
4. Nielsen M. A. Universal quantum computation using only projective measurement, quantum memory, and
preparation of the 0 state / Michael A. Nielsen // arXiv:quant-ph/0108020 v.1. 6 Aug 2006.
5. Aliferis, P. Computation by measurements: A unifying picture / Panos Aliferis and Debbie W. Leung //
Phys. Rev. A 70, 062314 (2004).
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
45
Размер файла
9 563 Кб
Теги
анализа, 2008, моделирование, информационные, 1621, система
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа