close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

53.Теоретические основы электротехники. Курс лекций. Линейные электрические цепи. Часть 2

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДАВОЛЬСТВИЯ
РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра электротехники
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
КУРС ЛЕКЦИЙ
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ЧАСТЬ 2
МИНСК-2002
Курс лекций «Теоретические основы электротехники. Линейные
электрические цепи». Часть вторая рассмотрен на заседании методической
комиссии агроэнергетического факультета и рекомендованы к изданию на
ротапринте БГАТУ.
Протокол № 9 от 12 марта 2002 г.
Составители:Корко В. С., Сапун Г. А., Кочетова Э. Л., Гузанова Т. Ф.
2
1. Трехфазные цепи
1.1. Трехфазный генератор. Трехфазная система ЭДС
На рис. 1.1. схематично показано устройство трехфазного генератора
переменного тока. На его статоре расположены три одинаковые, но смещенные в пространстве одна относительно другой на 120º обмотки AX,
BY, CZ. Для упрощения каждая обмотка показана состоящей только из
двух проводов, заложенных в диаметрально противоположные пазы статора. Эти провода на заднем торце статора соединены друг с другом. На
переднем торце они оканчиваются зажимами, которые служат для присоединения внешней цепи.
Рис. 1. 1. Принцип выполнения трехфазного генератора
Три обмотки статора называют фазными обмотками или, кратко,
фазами генератора. Причем, первые буквы латинского алфавита А, В, и С
обозначают "начала" обмоток, а последние буквы этого же алфавита Х, У и
Z – "концы" обмоток.
На роторе расположена обмотка возбуждения, питаемая постоянным током. Ротор является электромагнитом с полюсами N и S.
При его вращении изменяется магнитный поток, пронизывающий
витки обмоток статора и, согласно закону электромагнитной индукции, в
обмотках наводится переменная ЭДС. Генераторы конструируют таким
образом, чтобы ЭДС была близка к синусоидальной.
Наводимые в обмотках ЭДС максимальны, когда ось полюсов ротора пересекает проводники статора. Для различных обмоток это происходит в различные моменты времени. Поэтому наводимые ЭДС не совпадают по фазе.
3
Выберем положительные направления ЭДС во всех обмотках от
концов к началам. В момент времени, соответствующий положению ротора, показанному на рис. 1.1, ЭДС в обмотке А максимальна и имеет направление, которое принято положительным. Положительный максимум
ЭДС в обмотке В наступит позже, когда ротор повернется на 1/3 оборота.
Так как один оборот ротора двухполюсного генератора происходит за
время, равное периоду Т, то поворот ротора на 1/3 оборота соответствует
1/3 периода и, следовательно, ЭДС в обмотке В отстает по времени от
ЭДС в обмотке А на Т/3, а ЭДС в обмотке С отстает по времени от ЭДС в
обмотке В также на Т/3.
Примем начальную фазу ЭДС обмотки А ψА = 0, тогда мгновенные
значения ЭДС
еA = Emsinωt; еB = Emsin[ω(t – T/3)]; еC = Emsin[ω(t – 2T/3)].
ωT 2 π T 2 π
=
⋅ =
и запишем
еB = Emsin(ωt – 2π/3) =
Учтем, что
3
T 3
3
= Emsin(ωt – 120°);
еС = Emsin(ωt – 4π/3) = Emsin(ωt – 240°) = Emsin(ωt + 120°).
Из последних выражений видно, что ЭДС в обмотке В отстает от
ЭДС в обмотке А по фазе на 120°, а ЭДС в обмотке С опережает ЭДС в
обмотке А по фазе на 120º.
Комплексные действующие значения ЭДС
Е
Е& А = m = Е;
2
E& B = E& А e − j120 = Е(cos120° – jsin120°) = E(– 0,5 – j0,866);
E& С = E& А e j120 = Е(cos120° + jsin120°) = E(– 0,5 + j0,866).
0
0
На рис. 1.2 показаны график мгновенных значений и векторная
диаграмма ЭДС трехфазного генератора.
а)
б)
Рис. 1. 2 Мгновенные ЭДС (а) и векторная диаграмма ЭДС (б) трех –
фазного генератора
4
Рассмотренная совокупность ЭДС в обмотках трехфазного генератора называется симметричной трехфазной системой ЭДС, так как все
ЭДС равны по амплитуде и отстают по фазе друг относительно друга на
один и тот же угол.
Порядок, в котором ЭДС в фазных обмотках генератора проходят
через одинаковые значения, например через положительные максимумы,
называют последовательностью фаз или порядком чередования фаз. При
указанном на рис. 1.1. направлении вращения ротора получаем последовательность фаз АВСА и т. д. Если изменить направление вращения ротора
на противоположное, то получаем последовательность фаз АСВА и т. д.
Последовательность фаз АВСА и т. д. называют прямой, АСВА и
т. д. – обратной.
1.2. Трехфазная цепь
Совокупность трехфазного источника питания, трехфазного приемника и соединительных проводов называют трехфазной цепью.
Отдельные части трехфазной цепи называют фазами, например, отдельные обмотки генератора – фазы генератора. В приемнике различают
три фазы приемника, в линии электропередачи – три фазы линии электропередачи. Иногда фазой называют однофазную цепь, входящую в состав трехфазной цепи. По различным фазам протекают токи, которые
сдвинуты относительно друг друга по фазе.
Таким образом, в электротехнике термин "фаза" имеет два различных значения: с одной стороны, − это аргумент (угол) синусоидально
изменяющейся величины и, с другой стороны, составная часть трехфазной цепи.
Существуют два основных способа соединения обмоток генераторов, трансформаторов и фаз приемников в трехфазных цепях: соединение
звездой и соединение треугольником.
1.3. Соединение звездой
При соединении звездой (рис. 1.3) концы фазных обмоток генератора Х, Y, Z объединяют в одну точку, которую называют нейтральной
точкой генератора N. Аналогично поступают с концами фаз приемника и
получают нейтральную точку приемника N1. Провод, соединяющий нейтральные точки генератора и приемника, называют нейтральным проводом, а провода, идущие от начал фаз генератора, А, В, С к приемнику –
линейными проводами.
5
Рис. 1.3 Трехфазная цепь при соединении генератора и приемника
звездой
Токи в линейных проводах называют линейными токами (Iл). Положительные направления токов &I A , &I B , &I C выбирают от источника питания к приемнику, а ток &I N в нейтральном проводе направляют от приемника к источнику.
Лучи звезды приемника называют фазами приемника. ZA, ZB, ZC –
сопротивления фаз приемника. Токи в фазах генератора или приемника
называют фазными токами (Iф).
При соединении звездой линейный провод соединен с фазами генератора и приемника последовательно, поэтому линейные токи равны фазным Iл = Iф.
Напряжения на фазах генератора или приемника называют фазны&A =U
& AN ; U
&B =U
& BN ; U
&C =U
& CN – фазные нами напряжениями (UФ). U
& CN1 – фаз& AN1 ; U
& BN1 ; U
пряжения генератора, соединенного звездой. U
ные напряжения приемника.
Сопротивления фазных обмоток генератора малы и их, как правило, принимают равными нулю, поэтому фазные напряжения генератора
& A = Е& А ; U
& B = Е& B ; U
& C = Е& C . Следовательно, фазные
равны фазным ЭДС U
напряжения генератора симметричны, то есть равны по величине и сдви& A, U
&B =U
& A e − j120 , U
&C =U
& A e j120 .
нуты по фазе на 120º: U
Напряжения между линейными проводами называют линейными
напряжениями (UЛ). Положительные направления линейных напряжений
& AB, U
& BC, U
& CA взяты в направлении АВСА.
U
0
6
0
Определим соотношение между фазными и линейными напряжениями на генераторе, соединенном звездой.
Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для контура
& AB + U
& В– U
& А = 0.
АВNА (см. рис. 1.3) U
& AB = U
& A– U
& B, аналогично U
& BC = U
& B– U
& C, U
& CA = U
&C
Выразим U
& А, то есть линейные напряжения равны разностям соответствующих
– U
фазных напряжений.
Построим векторную диаграмму фазных и линейных напряжений (рис. 1.4).
Рис. 1. 4. Векторная диаграмма фазных и линейных напряжений
При построении векторной диаграммы принимаем, что начальная
фаза напряжения на фазе А генератора ψuA = 0.
Для построения векторов линейных напряжений используем выра& AB = U
& A– U
& B= U
& A+(– U
& B), аналогично
& BC = U
& B + (– U
& C),
U
жение U
& CA = U
& C + (– U
& A).
U
Из вершины тупого угла равнобедренного треугольника со сторо& A, – U
&B, U
& AB опустим перпендикуляр. Так как тупой угол между
нами U
векторами фазных напряжений равен 120°, то острый угол равен 30°.
Следовательно, из прямоугольного треугольника
1
UAB = UAcos30° = UA 3 , или UЛ = 3 UФ.
2
2
При соединении звездой, если фазные напряжения симметричны,
то линейные напряжения больше фазных напряжений в 3 раз. Кроме того, из векторной диаграммы видно, что линейные напряжения опережают
соответствующие фазные напряжения на 30°. В комплексной записи
7
& AB = 3 U
& Aеj30°; U
& CA = 3 U
& Сеj30°.
& BC = 3 U
& B еj30°; U
U
В трехфазных низковольтных цепях используется следующая
шкала напряжений: 127, 220, 380, 660 В. Каждое следующее напряжение
больше предыдущего в 3 раз. Если фазное напряжение UФ = 127 В, то
линейное UЛ = 220 В и т. д.
Трехфазный приемник соединяют звездой в том случае, когда его
фазы рассчитаны на напряжение в 3 раз меньшее линейного напряжения трехфазной цепи.
1.4. Расчет трехфазной цепи при соединении звездой
1.4.1. Симметричный режим
Трехфазный приемник называют симметричным, если комплексные сопротивления всех фаз одинаковы. Если к симметричному трехфазному приемнику приложена симметричная система напряжений, то получается симметричная система токов. Режим трехфазной цепи, при котором трехфазные системы напряжений и токов симметричны, называется
симметричным.
Примем, что в схеме рис. 1. 3 ZA = ZB = ZC.
Для расчета токов в фазах приемника используем закон Ома:
&I A = U
& AN /ZA.
1
Обычно заданными являются напряжения источника питания, а не
приемника. Для контура АN1NА (см. рис. 1.3) составим уравнение по вто& АN – U
& АN = U
& A = 0, поэтому
& A, аналогично
U
рому закону Кирхгофа U
1
1
& BN = U
& B= U
& Ae–j120°, U
& СN = U
& C= U
& Aej120.
U
1
1
Напряжения на фазах приемника равны соответствующим напряжениям на фазах генератора, поэтому
& − j120°
&
&
&I A = U A ; &I В = U В = U A e
= &I A e − j120° ;
ZA
ZВ
ZA
& j120°
&
&I = U C = U A e
= &I A e j120° .
C
ZC
ZA
Токи в фазах приемника равны по величине и сдвинуты по фазе на
120º, поэтому расчет можно выполнить для одной фазы, обычно это фаза
А приемника.
Ток в нейтральном проводе определяют, используя первый закон
Кирхгофа:
&I N = &I A + &I B + &I C = &I A (1 + e − j120° + e j120° ) = 0 .
8
В симметричном режиме ток в нейтральном проводе равен нулю.
К симметричным приемникам относятся трехфазные электродвигатели,
трехфазные нагревательные устройства. При соединении этих приемников
звездой нейтральный провод к нейтральной точке приемника не присоединяют.
Если в трехфазной цепи в симметричном режиме нейтральный провод отсутствует, то для расчета токов нейтральные точки генератора и
приемника в схеме цепи можно соединить нейтральным проводом с сопротивлением Z N = 0. Это не изменит токи в фазах. Расчет токов выполняют для одной фазы.
Аналитический расчет трехфазных цепей рекомендуется сопровождать построением векторных диаграмм.
Для трехфазных цепей чаще используют топографическую диаграмму. Она представляет собой диаграмму комплексных потенциалов
точек электрической цепи. Напряжение между двумя любыми точками
электрической цепи изображается вектором, соединяющим соответствующие точки диаграммы.
Точку электрической цепи, потенциал которой принят равным нулю, на топографической диаграмме помещают в начало координат. Для
электрической цепи рис. 1.3. это нейтральная точка генератора N.
На рис. 1.5 приведены топографическая диаграмма напряжений и
векторная диаграмма токов при симметричном режиме и индуктивном
характере нагрузки (ϕ>0) для цепи рис. 1.3.
Рис. 1.5 Топографическая диаграмма напряжений и векторная диаграмма токов при симметричном режиме и индуктивном характере нагрузки (ϕ>0) для цепи рис. 1.3
9
& A ,U
& B, U
& C соответствуют потенКонцы векторов напряжений U
циалам точек А, В, С цепи рис. 1.3. В симметричном режиме точка N1 на
диаграмме будет совпадать с точкой N, так как их потенциалы одинаковы.
Направление векторов напряжений на топографической диаграмме противоположно порядку индексов напряжений, так как по правилу вычитания векторов вектор, равный разности двух векторов, соединяет концы
& AB = U
& A –U
& B.
этих векторов и направлен к уменьшаемому:
U
В при&
веденном выражении вектор U A — уменьшаемое.
1.4.2. Несимметричный режим
Рассмотрим расчет токов в трехфазной цепи, схема которой представлена на рис. 1.6.
Рис. 1.6 Трехфазная несимметричная цепь при соединении генератора и
приемника звездой
Примем, что ZA≠ZB≠ZC, то есть приемник несимметричный. Фазные
& А, U
& B, U
& C известны.
напряжения источника питания U
Так как при несимметричном режиме по нейтральному проводу пой& N1N между нейдет ток &I N и, в общем случае, появится напряжение U
тральными точками приемника и генератора, то фазные напряжения и токи приемника зависят от сопротивления ZN нейтрального провода. Рассмотрим три случая:
1. ZN = 0, то есть сопротивление нейтрального провода пренебрежимо мало.
Для контура АN1NА (см. рис. 1.6) по второму закону Кирхгофа
&
& N1N − U
& A = 0.
U AN1 + U
10
& AN1 = U
& A, аналогично U
& BN1 = U
& B,
& N1N = ZN &I N = 0, то U
Так как U
& CN1 = U
& C, то есть напряжения на фазах приемника равны напряжениям
U
на фазах генератора.
Токи в фазах приемника определяем по закону Ома:
&
&
&
&
&
&
U
U
U
&I B = BN1 = U B ;
&I C = CN1 = U C .
&I A = AN1 = U A ;
ZA
ZA
ZB
ZB
ZC
ZC
Ток в нейтральном проводе &I N = &I A + &I B + &I C .
& N1N = ZN &I N ≠0.
2. ZN≠0, поэтому U
По второму закону Кирхгофа напряжения на фазах приемника
& AN1 = U
& A −U
& N1N ; U
& BN1 = U
& B −U
& N1N; U
& CN1 = U
& C −U
& N1N.
U
Напряжение между двумя узлами N1 и N схемы рис. 1.6 определим, используя метод двух узлов:
&
&
&
& N1N = E A Y A + E B Y B + E C Y C ,
U
YA + YB + YC + Y N
где YA, YB, YC, YN − проводимости ветвей.
Так
как
для
трехфазного
генератора
&E A = U
& A , E& B = U
& B , E& C = U
&C
то формула для определения напряжения между нейтральными точками приемника и источника принимает вид:
&
&
&
& N1N = U A Y A + U B Y B + U C Y C .
U
(1.1)
YA + YB + YC + Y N
Токи в фазах приемника находим по закону Ома:
&
&
&
&
&
&
U
U
&I A = AN1 = U A − U N1N ;
&I B = BN1 = U B − U N1N ;
ZA
ZA
ZB
ZB
&
&
&
U
&I C = CN1 = U C − U N1N .
ZC
ZC
Ток в нейтральном проводе находят или по закону Ома:
&
&I N = U N1N , или по первому закону Кирхгофа: &I N = &I A + &I B + &I C .
ZN
и
В
симметричной
трехфазной
цепи
YA = YB = YC
& A+ U
& B+ U
& C = 0, поэтому напряжение U
& N1N по (1.1) равно нулю.
U
3. ZN = ∞, то есть нейтральный провод отсутствует.
Так как приемник несимметричный, то между нейтральными точ& N1N. Полагая в (1.1)
ками приемника и генератора будет напряжение U
YN = 0, имеем
&
&
&
& N1N = U A Y A + U B Y B + U C Y C
U
(1.2)
YA + Y B + YC
11
Напряжения на фазах приемника находим по второму закону
Кирхгофа:
& AN1 = U
& A −U
& N1N ; U
& BN1 = U
& B −U
& N1N; U
& CN1 = U
& C −U
& N1N.
U
После этого найдем токи по закону Ома:
&
&
&
U
U
U
&I A = AN1 ;
&I B = BN1 ;
&I C = CN1 .
ZA
ZB
ZC
В связи с отсутствием нейтрального провода
&I A + &I B + &I C = 0 .
Построим топографическую диаграмму напряжений трехфазной
цепи рис. 1.6.
Рис. 1.7. Топографическая диаграмма напряжений цепи рис. 1.6. при ZN≠0.
Положение точки N1 на диаграмме (рис. 1.7) определяется значени& N1N. Топографическая диаграмма наглядно показывает, что
ем вектора U
& AN1, U
& BN1, U
& CN1 различны по величине
напряжения на фазах приемника U
& N1N. Так как все приемники рассчитаны на
из-за наличия напряжения U
стандартное (номинальное) напряжение, то их эксплуатация в этом случае
невозможна.
Для питания несимметричного трехфазного приемника необходимо наличие нейтрального провода с достаточно малым сопротивлением
& N1N = ZN &I N было незначительZN, чтобы падение напряжения в нем U
ным. В этом случае фазные напряжения приемника равны фазным напряжениям генератора, которые симметричны.
Несимметрию в трехфазных цепях создают однофазные приемники (электросварочные аппараты, однофазные двигатели, электрические
лампы и различные бытовые приборы). При соединении таких приемников
звездой обязательно используют нейтральный провод.
Если на выводах несимметричного трехфазного приемника, соединенного звездой без нейтрального провода, заданы линейные напряжения,
12
то можно выразить фазные напряжения приемника через линейные, используя уравнение (1.2)
&
&
&
& AN1 = U
& A− U
& N1N = U
& A− U A Y A + U B Y B + U C Y C =
U
YA + YB + YC
& A (Y A + Y B + Y C ) − U
& A YA − U
& B YB − U
& C YC
U
.
=
YA + YB + YC
Проводим преобразования в числителе последнего выражения и
& A− U
& B= U
& AB и U
& A− U
& С= U
& АC = – U
& СА .
учитываем, что U
&
&
& AN1 = Y B U АB − Y С U CА .
U
YA + YB + YC
Выполняя аналогичные математические действия для нахождения
напряжений на фазах В и С приемника, или используя круговую перестановку индексов АВСА и т. д., получим:
Получаем
&
&
& BN1 = Y С U BС − Y A U АB ;
U
YA + YB + YC
&
&
& CN1 = Y A U CА − Y B U BC .
U
YA + YB + YC
После этого находят токи, используя закон Ома.
1.5. Соединение треугольником.
Расчет трехфазной цепи при соединении треугольником
При соединении обмоток генератора треугольником (рис. 1.8) конец первой фазы соединяют с началом второй, конец второй – с началом третьей, конец третьей – с началом первой. Аналогично поступают с
фазами приемника. Общие точки каждой пары фазных обмоток генератора и общие точки каждой пары ветвей приемника соединяют линейными
проводами.
13
Рис. 1.8 Трехфазная цепь при соединении генератора и приемника треугольником
Сумма ЭДС, действующих в контуре треугольника генератора, в
любой момент времени равна нулю, так как эти ЭДС равны по величине и
сдвинуты по фазе на 120º. Поэтому при отсутствии нагрузки, то есть в
режиме холостого хода, в обмотках генератора, соединенного треугольником, токи равны нулю.
Сопротивления фазных обмоток генератора малы и их принимают равными нулю, поэтому фазные напряжения генератора равны фаз& AВ = E& BA , U
& BC = E& CB , U
& CA = E& AC . Система фазных ЭДС геным ЭДС: U
& AB , U
& BC, U
& CA равны по венератора симметрична, поэтому напряжения U
личине и сдвинуты по фазе относительно друг друга на 120º.
Каждая фаза генератора и каждая фаза приемника включены между двумя линейными проводами, поэтому фазные напряжения генератора,
как и фазные напряжения приемника, равны линейным напряжениям:
UФ = UЛ.
Положительные направления токов в линейных проводах выбирают от источника питания к приемнику.
Положительные направления
фазных токов в приемнике
I& AB , I& BC , &I CA соответствуют положительным направлениям линейных
& AB , U
& BC, U
& CA, то есть направлению АВСА.
напряжений U
ZAB, ZBC, ZCA — сопротивления фаз приемника.
Токи в фазах приемника находят по закону Ома:
&
&
&
&I AB = U AB ;
&I BC = U BC ;
&I CA = U CA .
Z AB
Z BC
Z CA
Линейные токи определяют через фазные токи, используя первый закон Кирхгофа. Для узла А приемника (рис. 1.8): &I A + &I СA − &I AB = 0 , откуда
&I A = &I AB − &I CA , аналогично &I B = &I BC − &I AB , &I = &I − &I .
С
СA
BC
14
Линейные токи равны разностям соответствующих фазных токов.
Сложив последние три уравнения, получим &I A + &I B + &I C = 0 . Сумма линейных токов равна нулю.
При симметричном режиме ZAB = ZBC = ZCA. Расчет фазного тока
приемника достаточно выполнить для одной фазы, обычно это фаза АВ.
&
&I AB = U AB . Токи в других фазах будут равны по величине и сдвинуты по
Z AB
фазе на 120° к току &I AB , то есть &I BC = &I AB e − j120° , &I CA = &I AB e j120° .
Для определения соотношения между линейными и фазными токами
в симметричном режиме построим векторные диаграммы напряжений и
токов (рис. 1.9).
Рис. 1.9 Векторные диаграммы напряжений и токов при симметричном режиме и индуктивном характере нагрузки (ϕ>0) для схемы рис. 1.8
При построении диаграммы напряжений принято, что начальная фаза ψUAB напряжения U& AB равна нулю. Характер нагрузки − индуктивный,
поэтому фазные токи отстают от соответствующих фазных напряжений на
угол ϕ. Для построения векторов линейных токов использованы выражения &I A = &I AB − &I CA = &I AB + (−&I CA ) , &I B = &I BС + ( − &I AB ) , &I С = &I СA + ( − &I BC ) .
Из вершины тупого угла равнобедренного треугольника со сторона&
ми I AB , − &I CA , &I A опустим перпендикуляр на вектор &I A . Так как тупой
15
угол между векторами двух фазных токов равен 120°, то острый угол равен
30°. Следовательно, из прямоугольного треугольника
1
IA = IABcos30° = IAB 3 , или Iл = 3 Iф.
2
2
При симметричном режиме линейные токи больше фазных в 3
раз. Кроме того, из векторной диаграммы видно, что линейные токи отстают от соответствующих фазных токов на 30°. В комплексной форме за&I A = 3&I AB e − j30° , &I B = 3&I BC e − j30° , &I C = 3&I CA e − j30° .
писи
При несимметричном режиме ZAB≠ZBC≠ZCA. Фазные токи
&
&
&
&I BC = U BC ;
&I AB = U AB ;
&I CA = U CA
Z AB
Z BC
Z CA
будут различны по величине и в общем случае сдвинуты относительно напряжений на разные углы. Линейные токи &I A = &I AB − &I CA ,
&I B = &I BC − &I AB , &I = &I − &I
С
СA
BC будут также различны по величине. Напря-
жения на фазах приемника останутся неизменными, в этом преимущество
соединения фаз приемника треугольником.
Трехфазный приемник соединяют треугольником, если его фазы
рассчитаны на напряжение равное линейному напряжению трехфазной цепи.
1.6. Расчет трехфазных цепей при наличии нескольких
ков с различным видом соединений
приемни-
1.6.1. Симметричный режим
Рассмотрим порядок расчета токов в трехфазной симметричной цепи рис. 1.10. Линейные напряжения на выводах источника питания и сопротивления всех элементов цепи заданы.
16
Рис. 1.10 Трехфазная симметричная цепь с несколькими приемниками
Наиболее целесообразно преобразовать схему электрической цепи
так, чтобы можно было выделить для расчета одну фазу.
Заменим генератор и приемник 4, соединенные треугольниками,
эквивалентным генератором, соединенным звездой, и эквивалентным
приемником 4', соединенным звездой. Сопротивления фаз эквивалентной
симметричной звезды 4' в 3 раза меньше сопротивлений фаз симметричного треугольника 4.
Фазные напряжения эквивалентного источника питания, соединенного звездой, в 3 раз меньше заданных линейных напряжений. Таким
образом, получается схема, показанная на рис. 1.11.
Рис. 1.11 Схема трехфазной симметричной цепи после преобразования
17
Все нейтральные точки в симметричном режиме имеют одинаковый потенциал. Соединим их проводом без сопротивления (показан штриховой линией). Ток в нейтральном проводе в симметричном режиме равен нулю, поэтому токи в фазах приемников не изменятся. Затем удалим
из схемы две фазы, например В и С, и перейдем к схеме рис. 1.12.
Рис. 1.12 Схема фазы А
Токи в фазе А рассчитывают по однофазной схеме (рис. 1.12), в
которой имеем смешанное соединение приемников.
Токи в фазах В и С по модулю такие же, что и в фазе А. Токи в фазах приемника 4, соединенного треугольником, в 3 раз меньше токов в
элементах 3.
1.6.2. Несимметричный режим
Рассмотрим порядок расчета токов в трехфазной несимметричной
цепи рис. 1.13. Комплексные сопротивления фаз приемников различны, в
общем случае напряжения на выводах источника питания несимметричны.
Рис. 1.13 Трехфазная несимметричная цепь с несколькими приемниками
18
В схеме электрической цепи необходимо провести такие преобразования, чтобы все приемники заменить одним эквивалентным , соединенным или звездой, или треугольником. Затем рассчитываются токи на
входе эквивалентной цепи по правилам расчета несимметричной звезды
или несимметричного треугольника. После чего, используя законы Кирхгофа и Ома, находят напряжения и токи на остальных участках исходной
цепи.
Так, например, при расчете токов в цепи, представленной на
рис. 1.13, звезду 2 следует преобразовать в эквивалентный треугольник 2',
ветви которого будут параллельны ветвям треугольника 3 (рис. 1.14).
Рис. 1.14 Схема трехфазной цепи с приемниками, соединенными
треугольником
После замены каждой пары ветвей треугольников одной ветвью
получаем схему рис. 1.15, а.
а)
б)
Рис. 1.15 Схема трехфазной цепи с эквивалентным приемником, соединенным треугольником (а), и с эквивалентным приемником, соединенным
звездой (б)
Треугольник (2'3) заменяем эквивалентной звездой (2'3)', получаем схему рис. 1.15, б. Элементы приемников 1 и (2'3)' в каждой фазе цепи
соединены последовательно, их сопротивления можно сложить. Дальше
рассчитывают токи на входе цепи по правилам расчета несимметричной
19
трехфазной цепи при соединении звездой без нейтрального провода,
ZN = ∞. По найденным токам, используя второй закон Кирхгофа, находят
напряжения на выводах треугольника 3 в исходной схеме (рис. 1.13) и затем токи в ветвях треугольника 3. Используя первый закон Кирхгофа, находят линейные токи приемника 3, соединенного треугольником, и токи в
ветвях звезды 2.
Заметим, что преобразование треугольника 3 в звезду не дало бы
возможности продолжить упрощение схемы. Потенциалы нейтральных
точек получившейся звезды и звезды 2 в общем случае различны и нейтральные точки этих звезд нельзя соединять друг с другом.
1.7. Расчет трехфазных цепей при наличии индуктивно связан
ных элементов
Если элементы цепи индуктивно связаны друг с другом, то расчет
может быть выполнен путем решения уравнений Кирхгофа (методом
уравнений Кирхгофа) или методом контурных токов.
Рис. 1.16 Трехфазная цепь с индуктивно связанными элементами
Например, для схемы рис. 1.16 система уравнений, составленных по
законам Кирхгофа для токов в ветвях имеет вид
по первому закону Кирхгофа &I A + &I B + &I C = 0 ;
по второму закону Кирхгофа для контура АN1ВА
& AB = 0;
jωL &I A + jωM &I C + jωM &I B + R &I A −(R &I B + jωL &I B + jωM &I A + jωM &I C ) − U
для контура ВN1СB
20
& BС = 0.
jωL &I B + jωM &I A + jωM &I C + R &I B −(R &I C + jωL &I C + jωM &I A + jωM &I B ) − U
Совместное решение трех уравнений с тремя неизвестными токами позволяет определить значения токов.
1.8. Активная, реактивная и полная мощности трехфазной цепи
Активная мощность несимметричной трехфазной цепи равна
сумме активных мощностей отдельных фаз
P = PA + PB + PC = UAIAcosϕA + UBIBcosϕB + UCICcosϕC,
где ϕA = ψuA−ψiA; ϕB = ψuB−ψiB; ϕC = ψuC−ψiC.
Реактивная мощность несимметричной трехфазной цепи
Q = QA + QB + QC = UAIAsinϕA + UBIBsinϕB + UCICsinϕC.
Полная мощность несимметричной трехфазной цепи
S = P2 + Q2 .
Для расчета мощностей несимметричной трехфазной цепи удобно
использовать комплексную мощность
*
*
*
& IA + U
& BIB + U
& C I C = P + jQ.
S= U
А
Активная мощность симметричной трехфазной цепи
P = 3PФ = 3 UФ Iфcosϕ.
Примем во внимание, что при соединении ветвей приемника звезU
дой UФ = Л и Iф = IЛ, а при соединении ветвей приемника треугольни3
I
ком
UФ = UЛ и Iф = Л . Подставим эти соотношения в выражение ак3
тивной мощности и получим независимо от вида соединения
P = 3 UЛ IЛcosϕ.
Следует помнить, что в этом выражении ϕ – сдвиг по фазе между
фазным напряжением и фазным током.
Аналогично для реактивной и полной мощностей симметричной
трехфазной цепи имеем
Q = 3 UФ Iфsinϕ или Q = 3 UЛ IЛsinϕ;
S = 3 UФ Iф или S = 3 UЛ IЛ.
21
1.9. Мгновенная мощность трехфазного приемника
Определим мгновенную мощность трехфазного приемника при
симметричном режиме. Запишем мгновенные значения фазных напряжений и токов, приняв начальную фазу напряжения uA равной нулю:
uA = UФ 2 sinωt;
iA = Iф 2 sin(ωt−ϕ);
2
2
uB = UФ 2 sin(ωt − π );
iB = Iф 2 sin(ωt − π −ϕ);
3
3
2
2
iC = Iф 2 sin(ωt + π −ϕ).
uC = UФ 2 sin(ωt + π );
3
3
Запишем выражения мгновенной мощности каждой фазы приемника
U I 2
pA = uAiA = UФ 2 Iф 2 sinωt·sin(ωt−ϕ) = Ф Ф [cos(ωt −
2
ωt + ϕ)−cos(2ωt−ϕ)] =
= UФ Iф cosϕ− UФ Iфcos(2ωt − ϕ );
4
pB = uBiB = UФ Iфcosϕ − UФ Iфcos(2ωt − π − ϕ );
3
4
pC = uCiC = UФ Iфcosϕ − UФ Iфcos(2ωt + π − ϕ ).
3
При суммировании мгновенных мощностей трех фаз вторые слагаемые в сумме дадут нуль. Поэтому мгновенная мощность трехфазного
приемника при симметричном режиме
p = pA + pB + pC = 3 UФ Iфcosϕ = P
не зависит от времени и равна активной мощности.
Многофазные цепи, в которых мгновенное значение мощности постоянно, называются уравновешенными.
Постоянство мгновенных значений мощности создает благоприятные условия для работы генераторов и двигателей с точки зрения их механической нагрузки, так как отсутствуют пульсации вращающего момента, наблюдающиеся у однофазных генераторов и двигателей.
1.10. Измерение мощности в трехфазных цепях
При симметричном режиме трехфазной цепи для измерения активной мощности достаточно использовать один ваттметр.
Если нейтральная точка симметричного трехфазного потребителя
выведена, то ваттметр включают по схеме (рис. 1.17) (прямоугольником
условно показан трехфазный потребитель).
22
Рис. 1.17 Измерение активной мощности при симметричном режиме
Утроенное показание ваттметра равно активной мощности трехфазной цепи.
При несимметричном режиме трехфазной цепи с нейтральным проводом для измерения активной мощности нужно включить три ваттметра,
как показано на рис. 1.18.
Рис. 1.18 Измерение активной мощности при несимметричном режиме
Активная мощность трехфазной цепи равна сумме показаний трех
ваттметров.
В трехфазной несимметричной цепи без нейтрального провода измерение активной мощности может быть произведено с помощью двух
ваттметров (рис. 1.19, а).
23
а)
б)
Рис. 1.19 Измерение активной мощности двумя ваттметрами
а − схема включения ваттметров; б − векторная диаграмма напряжений и токов
Для доказательства рассмотрим мгновенную мощность трехфазной цепи p = uAiA + uBiB + uCiC.
Ток в фазе С в соответствии с первым законом Кирхгофа iC = − iA −
iB Подставляем в предыдущее выражение и получаем
p = uAiA + uBiB + uC(− iA − iB ) = iA(uA − uC) + iB(uB − uC) = uAC iA +
uBC iB.
Переходя к активной мощности, как к среднему значению мгновенной мощности за период, получаем
& AC &I A ) + UBCIBcos(∠ U
& BC &I B ).
P = UACIAcos(∠ U
В соответствии с полученным выражением при измерении активной мощности двумя ваттметрами к одному из них подводятся напряжение
UAC и ток IA, а ко второму – напряжение UBC и ток IB. Круговой перестановкой индексов АВСА можно получить выражения для других равноценных вариантов включения двух ваттметров.
Выясним зависимость мощности, измеряемой каждым из ваттметров в схеме рис. 1.19, а, от сдвига фаз между напряжениями и токами в
частном случае симметричного режима. На рис. 1.19, б показана векторная диаграмма токов и напряжений.
Из векторной диаграммы следует
& AC &I A = 30°−ϕ;
∠U
& BC &I B = 30° + ϕ.
∠U
Показания двух ваттметров при симметричном режиме в схеме
рис. 1.19, а будут следующие
P1 = UACIAcos(30°−ϕ) = UЛ IЛcos(30°−ϕ);
24
P2 = UBCIBcos(30° + ϕ) = UЛ IЛcos(30° + ϕ).
Как следует из этих выражений при ⎜ϕ⎜>60° угол сдвига фаз между
напряжением и током одного из ваттметров больше 90° и его стрелка отклонится в обратную сторону. Чтобы сделать отсчет по шкале, нужно изменить подключение обмотки напряжения или тока на противоположное
и записать полученное показание со знаком минус.
1.11. Магнитное поле катушки с синусоидальным током
На рис. 1.20 условно изображена катушка в виде одного витка в поперечном разрезе. Пусть через катушку проходит синусоидальный ток
i = Imsinωt.
Рис. 1.20 Магнитное поле витка с током
Крестиком и точкой показано положительное направление тока.
Вокруг проводника с током создается магнитное поле. Картину магнитноr
го поля графически изображают линиями магнитной индукции B . Направление линий магнитной индукции определяют по правилу правого
винта. Принятому положительному направлению тока соответствует
поr
ложительное направление вектора магнитной индукции B , указанное
стрелкой вдоль оси катушки. Когда ток отрицателен, вектор магнитной
индукции имеет противоположное направление, показанное на рис. 1.20
пунктиром.
Как видим, изменение направления тока в катушке
приводит к измеr
нению направления вектора магнитной индукции B вдоль оси катушки.
Таким образом, магнитное поле изменяется (пульсирует) вдоль оси
катушки. Такое магнитное поле называется пульсирующим.
25
1.12. Вращающееся магнитное поле
Одним из основных преимуществ трехфазной системы токов является возможность получения вращающегося магнитного поля, лежащего в
основе принципа действия наиболее распространенных типов двигателей
переменного тока.
Ознакомимся с получением вращающегося магнитного поля на
примере.
Расположим три одинаковые катушки АХ, ВY, СZ под углом 120º
относительно друг друга (рис. 1.21а). Катушки подключим соответственно к фазам А, В и С источника питания. Токи в катушках iA, iB, iC будут
симметричны (рис. 1.21, б).
а)
б)
Рис. 1.21 Положительные направления токов в катушках (а) и график
симметричной системы токов (б)
Рассмотрим схематические картины магнитного поля для различных, следующих друг за другом моментов времени. Для момента времени
t = t1 (рис. 1.21, б) имеем iA > 0, iB < 0, iC < 0. Направления токов в катушках
и схематическая картина магнитного поля, созданного токами трех катушек, показаны на рис. 1.22, а, где штриховой линией изображены две
магнитные линии.
26
a)
б)
в)
Рис. 1.22 Направления токов в катушках и картины магнитного поля для различных моментов времени
Для момента времени t = t2, iB > 0, iA< 0, iC < 0 Направления токов в
катушках и схематическая картина поля даны на рис. 1.22, б. Как видим, за
время равное Т/3 магнитное поле повернулось в пространстве на 1/3 оборота.
Для момента времени t = t3, iC > 0, iA < 0, iB < 0. Направления токов в
катушках и схематическая картина поля даны на рис. 1.22, в. Для момента
времени t = t4, iA > 0, iB < 0, iC < 0 направления токов в катушках и схематическая картина поля будут такими же, как на рис. 1.22, а. Сопоставление
схематических картин магнитного поля, приведенных для различных,
следующих друг за другом моментов времени, наглядно показывает вращение магнитного поля. В течение одного периода переменного тока
магнитное поле таких катушек совершает один полный оборот.
Направление вращения магнитного поля зависит исключительно
от последовательности фаз токов в катушках. Если сохранить подключение катушки АX к фазе А источника питания, катушку ВY подключить к
фазе С, а катушку СZ – к фазе В, то направление вращения поля изменится на противоположное.
1.13. Принцип действия асинхронного двигателя
Асинхронный двигатель состоит из двух частей: неподвижной, называемой статором, и подвижной, называемой ротором. В статоре расположена трехфазная обмотка, по которой проходит трехфазный ток,
вследствие этого в статоре создается вращающееся магнитное поле. В
роторе расположена короткозамкнутая обмотка типа беличьего колеса
(рис. 1.23, а).
27
а)
б)
Рис. 1.23 Принцип выполнения трехфазного асинхронного двигателя
(а), макет вращающегося магнитного поля и короткозамкнутого витка обмотки ротора (б)
Вращающееся магнитное поле статора относительно неподвижной обмотки ротора изменяется, и по закону электромагнитной индукции
в обмотке ротора наводится ЭДС. Поскольку обмотка ротора короткозамкнутая, то по ней от наведенной ЭДС пойдет ток.
Заменим вращающееся магнитное поле статора вращающимся
постоянным магнитом. Между полюсами этого магнита поместим один
короткозамкнутый (замкнутый сам на себя) виток обмотки ротора
(рис. 1.23,б). Если магнитное поле вращается по часовой стрелке, то относительно него виток вращается против часовой стрелки. Согласно правилу правой руки в верхнем проводнике витка наведется ток, направленный к нам, а в нижнем – от нас. Имеем два проводника с токами, помещенные в магнитное поле. Согласно закону Ампера на проводники будут
действовать механические силы. По правилу левой руки нa верхний проводник сила направлена вправо, на нижний − влево. Создается вращающий
момент, и ротор начнет вращаться в сторону вращающегося поля. Ротор
будет вращаться с частотой на 2 – 5 % меньше, чем частота вращающего
поля. Если допустить, что ротор догонит поле, то при одинаковых угловых скоростях магнитное поле относительно обмотки ротора неподвижно, следовательно, в обмотке ротора не наведется ЭДС, не будет тока и не
будет вращающего момента.
Двигатель называется асинхронным потому, что ротор его вращается не синхронно с вращающим магнитным полем.
28
1.14 Симметричные составляющие трехфазной системы величин
Для анализа и расчетов несимметричных режимов в трехфазных цепях широко применяют метод симметричных составляющих. Он основан
на представлении любой трехфазной несимметричной системы величин
(токов, напряжений, магнитных потоков) в виде суммы трех симметричных систем: прямой, обратной и нулевой последовательностей.
Допустим, имеем несимметричную систему токов &I A , &I B , &I C . Величины, относящиеся к системам прямой, обратной и нулевой последовательностей, отметим соответственно индексами 1, 2 и 0. На рис. 1.24 показан
пример векторных диаграмм симметричных составляющих всех трех последовательностей.
а)
б)
с)
Рис. 1.24 Векторные диаграммы симметричных систем токов прямой (а), обратной (б) и нулевой последовательностей (с)
Система прямой последовательности (рис. 1.24, а) состоит из трех
векторов, равных по величине, и имеет порядок следования фаз А, В, С.
Система обратной последовательности (рис. 1.24, б) состоит из трех векторов, равных по величине, и имеет порядок следования фаз А, C, B. Система
нулевой последовательности (рис. 1.24, в) образована тремя векторами,
совпадающими по фазе. Для этих трех систем можно записать
&I B1 = &I A1 е–j120°;
&I С1 = &I A1 еj120°;
&I B2 = &I A 2 еj120°;
&I С 2 = &I A 2 е–j120°;
&I A 0 = &I B0 = &I C 0 .
Комплексное число еj120° называют фазным множителем и сокращенно обозначают буквой а:
29
a = еj120° = cos120° + j⋅sin120° = − 1/2 + j 3 /2.
Умножение вектора на а соответствует повороту его против направления движения часовой стрелки (вперед) на 120º.
Комплексное число е–j120° = еj240° = еj120°⋅ еj120° = а2.
а2 = е–j120° = cos120° – j⋅sin120° = − 1/2 – j 3 /2.
Умножение вектора на а2 соответствует повороту его по направлению движения часовой стрелки (назад) на 120º.
При помощи фазного множителя симметричные составляющие прямой и обратной последовательностей можно записать так:
&I A1 ;
&I A 2 ;
&I B1 = a2 &I A1 ;
&I B2 = a &I A 2 ;
&I С1 = a &I A1 ;
&I С 2 = a2 &I A 2 .
Кроме того, а3 = еj360° = 1.
Следовательно a4 = a3a = a; a5 = a3a2 = a2 и т. д. 1, а и а2 образуют
симметричную систему единичных векторов (рис. 1.25). Их сумма
(1.3)
1 + a + a2 = 0
Рис. 1.25 Симметричная система единичных векторов
Докажем, что любую несимметричную систему, например, токов
&I A , &I B , &I C можно разложить на симметричные системы прямой, обратной и
нулевой последовательностей. Если это имеет место, то
&I A = &I A1 + &I A 2 + &I A 0 ;
&I B = &I B1 + &I B2 + &I B0 ;
&I С = &I С1 + &I С 2 + &I С0 .
Запишем эти равенства, выразив симметричные составляющие
токов в фазах В и С через симметричные составляющие тока в фазе А.
30
&I A = &I A1 + &I A 2 + &I A 0 ;
&I B = a2 &I A1 + a &I A 2 + &I A 0 ;
&I С = a &I A1 + a2 &I A 2 + &I A 0 .
(1.4)
(1.5)
(1.6)
Получены три уравнения, из которых однозначно можно определить &I A1 , &I A 2 и &I A 0 , что и доказывает возможность разложения заданной
несимметричной системы токов &I A , &I B , &I C на три симметричные системы.
После сложения уравнений (1.4) – (1.6) получим
&I A + &I B + &I C = (1 + a2 + a) &I A1 + (1 + a + a 2) &I A 2 + 3 &I A 0 ,
откуда с учетом (1.3) найдем
&I A 0 = 1 ( &I A + &I B + &I C ).
(1.7)
3
Умножая (1.5) на а и (1.6) на а2 и затем, складывая уравнения (1.4)–
(1.6), находим
&I A1 = 1 ( &I A + а&I B + а 2 &I C ).
(1.8)
3
Умножая (1.5) на а2 и (1.6) на а и затем, складывая уравнения (1.4)–
(1.6), находим
&I A 2 = 1 ( &I A + а 2 &I B + а&I C ).
(1.9)
3
Симметричные составляющие других трехфазных систем величин (напряжений, ЭДС, магнитных потоков) можно найти по уравнениям
аналогичным (1.7) – (1.9).
Формулы (1.4) – (1.6) позволяют найти несимметричную систему
токов &I A , &I B , &I C , а также других величин (напряжений, ЭДС, магнитных
потоков), если известны ее симметричные составляющие.
На рис. 1.26 показан метод графического нахождения векторов &I A 0 ,
&I A1 , и &I A 2 симметричных составляющих тока фазы А по заданным векторам &I A , &I B , &I C несимметричной системы токов. Для графических построений использованы формулы (1.7) – (1.9)
31
а)
б)
в)
г)
д)
Рис. 1.26 Векторная диаграмма несимметричной системы токов (а), графическое определение составляющих нулевой (б), прямой (в) и обратной (г)
последовательностей тока фазы А, векторные диаграммы симметричных
составляющих токов трех фаз (д)
1.15. Некоторые свойства трехфазных цепей в отношении симметричных составляющих токов и напряжений
В нейтральном проводе ток равен сумме линейных токов и, следовательно, тройному значению составляющей тока нулевой последовательности [см. (1.7)]. Если нейтральный провод отсутствует, то линейные токи
не содержат составляющей нулевой последовательности.
32
Сумма линейных напряжений равна нулю, поэтому они не содержат составляющих нулевой последовательности.
Если при несимметричном режиме ток в одной или двух фазах цепи отсутствует, сумма симметричных составляющих токов в этих фазах
равна нулю. Поясним сказанное примером.
Рис. 1.27 Трехфазная трехпроходная цепь, фаза А разомкнута
В схеме рис 1.27 токи
&I A = 0; &I B = – &I С .
По формулам (1.7) – (1.9) получим
&I A 0 = 0;
&I A1 = 1 ( а&I B + а 2 &I C ) =
3
&I A 2 = 1 ( а 2 &I B + а&I C ) =
3
&I
&I
B
(a – a2) = j B ≈ j0.57 &I B ;
3
3
&I
&I B 2
(a – a) = – j B ≈ –j0.57 &I B .
3
3
На рис. 1.28 показаны векторные диаграммы токов &I B и &I С , а также
симметричных составляющих токов всех трех фаз. Геометрическое суммирование векторов показывает, что
&I A = &I A1 + &I A 2 = 0;
&I B = &I B1 + &I B2 ;
33
&I С = &I С1 + &I С 2 .
а)
б)
в)
Рис. 1.28 Векторные диаграммы токов &I B и &I С (а), векторные диаграммы симметричных составляющих токов всех трех фаз (б), геометрическое суммирование составляющих (в)
Симметричные составляющие токов и напряжений могут быть не
только вычислены, но и измерены при помощи специальных электрических измерительных схем, называемых фильтрами симметричных составляющих токов и напряжений. Эти фильтры получили широкое применение в релейной защите электроэнергетических цепей.
34
1.16. Сопротивления симметричной трехфазной цепи для токов
различных последовательностей
Рассмотрим трехфазную симметричную цепь (рис. 1.29), в которой
ZA = ZB = ZC = Z.
Рис. 1.29 Трехфазная симметричная цепь
Если к выводам симметричной трехфазной цепи приложена симметричная система напряжений прямой или обратной последовательностей, то в цепи возникает симметричная система токов прямой или обратной последовательностей и ток в нейтральном проводе &I N = 0. Сопротивлением фазы цепи для токов прямой последовательности называют
отношение фазного напряжения прямой последовательности к соответствующему фазному току прямой последовательности:
&
&
&
U
U
U
Z1 = A1 = B1 = C1 .
&I A1
&I B1
&I C1
Сопротивлением фазы цепи для токов обратной последовательности называют отношение фазного напряжения обратной последовательности к соответствующему фазному току обратной последовательности:
&
&
&
U
U
U
Z2 = A 2 = B 2 = C 2 .
&I A 2
&I B 2
&I C 2
В любых симметричных трехфазных цепях, не содержащих вращающихся машин, изменение порядка следования фаз симметричных напряжений с прямого на обратный не изменяет величины токов. Поэтому
для таких цепей сопротивления прямой и обратной последовательностей
одинаковы Z1 = Z2 = Z.
Если к зажимам цепи приложена симметричная система фазных
& , то система
&A= U
&B= U
&C = U
напряжений нулевой последовательности U
0
токов будет также симметрична и будет иметь нулевую последовательность &I A = &I B = &I C = &I 0 . Ток в нейтральном проводе &I N = 3 &I 0 .
35
Определим сопротивление фазы цепи току нулевой последовательности Z0. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура
AN1NA (см. рис. 1.29).
& A = ZA &I + ZN &I N .
U
A
& , &I = &I , &I = 3 &I , ZA = Z, получим
&A=U
Подставляя U
0
0
N
0
A
&
& = Z &I + 3ZN &I , откуда Z0 = U 0 = Z + 3ZN.
U
0
0
0
&I 0
При отсутствии нейтрального провода токи нулевой последовательности протекать не могут:
ZN = ∞ и Z0 = ∞; &I 0 = 0.
При расчетах цепей методом симметричных составляющих рассматривают отдельно схемы для токов и напряжений различных последовательностей.
Все расчеты ведут для одной фазы, которую называют основной.
Обычно за основную фазу принимают фазу А и в этом случае для сокращения записи в обозначениях токов и напряжений различных последовательностей индекс А не пишут.
Для рассматриваемой схемы (см. рис. 1.29) на рис. 1.30 показаны
три однофазные схемы для токов и напряжений различных последовательностей.
а)
б)
в)
Рис. 1.30 Однофазные схемы для токов и напряжений прямой (а), обратной (б) и нулевой (в) последовательностей
Эти схемы сокращенно называются схемами прямой, обратной и
нулевой последовательностей.
В электрических машинах не только Z0 отличается от Z1, но
Z2≠Z1. Причину этого поясним на примере асинхронного двигателя. В
нормальном режиме работы к обмоткам статора двигателя приложена
симметричная система напряжений прямой последовательности, магнитное поле и ротор двигателя вращаются в одну и ту же сторону. Частота
вращения ротора обычно всего на 2 – 5 % меньше частоты вращения
36
магнитного поля. Если к обмоткам двигателя приложена несимметричная система напряжений, то в них будут токи как прямой, так и обратной
последовательностей. Последние создают магнитное поле, вращающееся
навстречу вращению ротора.
Вращающееся магнитное поле, созданное токами обратной последовательности, относительно ротора будет иметь скорость почти в 2 раза
превышающую скорость движения поля относительно статора. По сравнению с нормальным режимом резко возрастут токи, индуктированные в
роторе. Это приводит к тому, что для двигателя Z1 ≠ Z2, так как реакция ротора на цепь статора оказывается для прямой и обратной последовательностей различной.
Токи нулевой последовательности не создают вращающегося магнитного поля. Значит, условия протекания в электрической машине токов
нулевой последовательности отличаются от условий протекания токов
прямой и обратной последовательностей, поэтому Z1 ≠ Z2 ≠ Z0.
Расчет сопротивлений Z1, Z2, Z0 по конструктивным параметрам
машины не представляет особого труда, так как эти сопротивления определяют для симметричных режимов, в частности, величины Z1 и Z2 рассчитываются при круговом вращающемся магнитном поле. Расчет же сопротивлений фаз при действительных несимметричных токах в обмотках
оказывается сложным, так как вращающееся поле при этом не является
круговым и, кроме того, сами эти сопротивления сложным образом зависят от характера несимметрии токов.
1.17. Расчет трехфазной цепи с несимметричной нагрузкой методом симметричных составляющих
Наиболее резкая несимметрия токов в цепях с вращающимися машинами наблюдается при коротких замыканиях. Поэтому метод симметричных составляющих получил наиболее широкое распространение при
расчете токов короткого замыкания.
Рассмотрим случай, когда симметричный генератор с обмотками,
соединенными в звезду (рис. 1.31), имеет нейтральную точку, которая заземлена через сопротивление ZN,, причем в последнее включается и сопротивление протекания тока в земле.
37
Рис. 1.31 Трехфазная цепь, фаза А замкнута на землю
Система фазных ЭДС генератора, в силу симметрии его устройства, содержит только одну симметричную составляющую прямой последовательности
Е& 1 = Е& А1 ; Е& 2 = 0 и Е& 0 = 0.
ZГ1, ZГ2, ZГ0 – сопротивление фаз генератора токам прямой, обратной и нулевой последовательностей;
ZЛ1, ZЛ2, ZЛ0 – сопротивление фаз линии токам прямой, обратной и
нулевой последовательностей;
Рассмотрим случай однофазного замыкания фазы А на землю (зигзагообразная стрелка на рис. 1.31).
Пусть заданы ЭДС генератора и сопротивления элементов схемы.
Требуется найти токи и напряжения.
У места короткого замыкания (рис. 1.31) система фазных напряже& A1N1 , U
& B1N1 , U
& C1N1 относительно земли, а также система токов
ний U
&I A , &I B , &I C несимметричны. Разложим их на симметричные составляющие
& 1, U
& 2, U
& 0 и &I1 , &I 2 , &I 0 , приняв фазу А за основную.
U
Относительно каждой симметричной составляющей трехфазная
цепь находится в симметричном режиме, поэтому расчеты можно вести
для одной основной фазы. На рис. 1.32 представлены схемы прямой, обратной и нулевой последовательностей фазы А.
38
а)
б)
в)
Рис. 1.32 Схема прямой (а), обратной (б) и нулевой (в) последовательностей фазы А
Режим фазы А исходной схемы (см. рис. 1.31) определим путем
наложения режимов этих трех схем.
Следует обратить особое внимание на то, что сопротивление в нейтральном проводе ZN вводится в схему нулевой последовательности утроенной величиной (см. §1.16).
Для каждой из трех схем запишем уравнения по второму закону
Кирхгофа
& 1 = Е& 1 ;
(ZГ1 + ZЛ1) &I1 + U
& 2 = 0;
(ZГ2 + ZЛ2) &I 2 + U
& 0 = 0.
(ZГ0 + ZЛ0 + 3ZN) &I 0 + U
& 1, U
& 2, U
& 0.
В этих трех уравнениях шесть неизвестных: &I1 , &I 2 , &I 0 , U
Дополнительные три уравнения, связывающие эти шесть неизвестных величин, могут быть составлены на основании заданной схемы и параметров
несимметричной нагрузки.
Для схемы рис. 1.31 при коротком замыкании фазы А на землю
& A1N1 = 0. Пренебрегая токами нормальной нагрузки по сравнению с тоU
ком короткого замыкания, имеем &I В = 0 и &I С = 0. Составим дополнительные уравнения
& A1N1 = U
&1 + U
&2 + U
& 0 = 0;
U
&I B = a2 &I1 + a &I 2 + &I 0 = 0;
&I С = a &I1 + a2 &I 2 + &I 0 = 0.
При совместном решении уравнений Кирхгофа для схем различных последовательностей с дополнительными уравнениями определяют
симметричные составляющие токов и напряжений. Затем по этим составляющим находят ток &I A и напряжения на отдельных участках цепи.
39
1.18. Высшие гармоники в трехфазных цепях
Предположим, что фазные ЭДС трехфазного генератора несинусоидальны, то есть содержат высшие гармоники. Кривые ЭДС во всех фазах по форме одинаковы и сдвинуты в каждой последующей фазе относительно предыдущей по времени на одну треть периода (Т/3).
Пусть к – гармоника ЭДС фазы А
екА = Екmsin(кωt + ψк).
Так как ЭДС фазы В отстает от ЭДС фазы А на Т/3, а ЭДС фазы С
опережает ЭДС фазы А на Т/3, то к – гармоника в фазе В и в фазе С соответственно:
Т
екВ = Екmsin[кω( t – ) + ψк] = Екmsin(кωt –120ºк + ψк);
3
Т
) + ψк] = Екmsin(кωt + 120ºк + ψк);
екC = Екmsin[кω( t +
3
Т
2π
2π Т
кω = к · = к
= 120º к.
3
3
Т 3
Если к = 1, 4, 7, 10 и т. д., то к – гармоника ЭДС фазы В отстает
на 120º от к – гармоники ЭДС фазы А. Следовательно, 1, 4, 7, 10 и т. д.
гармоники образуют системы прямой последовательности фаз.
Если к = 2,5,8,11 и т. д., то к-гармоника ЭДС фазы В опережает
к-гармонику ЭДС фазы А на 120º. Следовательно, 2, 5, 8, 11 и т. д. гармоники образуют системы обратной последовательности.
Если к кратно трем, то есть к = 3, 6, 9, 12 и т. д., то ЭДС кгармоники во всех фазах совпадают по фазе. Следовательно, 3, 6, 9, 12 и
т. д. гармоники образуют системы нулевой последовательности.
В ЭДС трехфазного генератора отсутствует постоянная составляющая (к = 0) и все четные гармоники, поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением только нечетных гармоник.
1.19. Высшие гармоники в трехфазных цепях при соединении
обмоток генератора треугольником
Фазы генератора соединены треугольником (рис. 1.33)
40
Рис. 1.33 Трехфазный генератор при соединении обмоток треугольником
Первая гармоника и все высшие гармоники фазных ЭДС (за исключением гармоник кратных трем) образуют системы прямой или обратной последовательностей, поэтому сумма ЭДС этих гармоник в контуре
треугольника равна нулю. Гармоники кратные трем образуют системы нулевой последовательности. ЭДС этих гармоник совпадают по фазе во всех
фазных обмотках и их сумма не равна нулю. ЭДС гармоник кратных трем
вызывают в обмотках генератора ток, который протекает даже в режиме
холостого хода генератора.
Например, сумма третьих гармоник ЭДС в фазах генератора, соединенного треугольником (рис. 1.33), равна 3 Е& 3. Обозначим сопротивление обмотки каждой фазы для третьей гармоники Z3, тогда ток третьей
гармоники в обмотках генератора
&
&
&I 3 = 3E 3 = E 3 ;
3Z 3 Z 3
аналогично ток девятой гармоники
&
&I 9 = E 9 и т. д.
Z9
Действующее значение тока, протекающего по обмоткам генератора
2
I = I 32 + I 92 + I15
+ ... .
Линейное напряжение не содержит гармоник кратных трем. Со& AB3 + Z 3 &I 3 , откуда
гласно второму закону Кирхгофа (рис. 1.33) E& 3 = U
& AB3 = E& 3 − Z 3 &I 3 но E& 3 = Z 3 &I 3 , следовательно, U
& AB3 = 0.
U
Фазное напряжение генератора, равное в данном случае линейному,
U Ф = U Л = Е12 + Е 52 + Е 72 + ...
41
не содержит гармоник кратных трем.
Поэтому во внешней цепи, подключенной к генератору, обмотки
которого соединены треугольником, ток не содержит гармоник кратных
трем.
1.20. Высшие гармоники в трехфазных цепях при соединении
обмоток генератора звездой
При соединении фаз генератора звездой (рис. 1.34) линейные напряжения равны разности соответствующих фазных напряжений.
Рис. 1.34 Трехфазная цепь при соединении генератора и приемника
звездой
В фазных напряжениях гармоники кратные трем образуют систе& A3 = U
& B3 = U
& С3 , поэтому
мы нулевой последовательности, например, U
& AB3 = U
& A3 – U
& B3 = 0.
U
Линейные напряжения не содержат гармоник кратных трем. В
фазном напряжении генератора, соединенном звездой, могут присутствовать все гармоники. Следовательно, действующее значение фазного напряжения
U Ф = U 12 + U 32 + U 52 + U 72 + U 92 + ... ..
В линейном напряжении отсутствуют гармоники кратные трем, поэтому действующее значение линейного напряжения
U Л = 3 U 12 + U 52 + U 72 + ....
Отсюда следует, что
U Л < 3U Ф .
42
При симметричной нагрузке фазные токи основной частоты и все
высшие гармоники, за исключением высших гармоник кратных трем, образуют системы прямой или обратной последовательностей и дают в сумме нуль. Гармоники, кратные трем, образуют системы нулевой последовательности. Токи этих гармоник имеют в любой момент времени одинаковые значения и направления. Поэтому ток в нейтральном проводе равен утроенной сумме токов высших гармоник нулевой последовательности. Действующее значение тока в нейтральном проводе
2
I N = 3 I 32 + I 92 + I15
+ ... .
Расчет токов высших гармоник нулевой последовательности рассмотрим на примере расчета тока третьей гармоники &I 3 .
Обозначим для третьей гармоники сопротивление фазы приемника
Z3 и сопротивление нейтрального провода ZN3. Составим уравнение по
второму закону Кирхгофа для контура АN1NА схемы рис. 1.34
Е& 3 = Z 3 &I 3 + 3Z N 3 &I 3
откуда
E& 3
&I 3 =
.
Z 3 + 3Z N 3
При отсутствии нейтрального провода, то есть при ZN = ∞, токи в
каждой из фаз не могут содержать высших гармоник порядка, кратного
трем. Поэтому в приемнике нет напряжений от токов нулевой последовательности и между нейтральными точками симметричного приемника и
генератора может появиться значительное напряжение, содержащее только гармоники, кратные трем.
2
U N1N = Е 32 + Е 92 + Е15
+ ... .
1.21. Задачи и вопросы для самопроверки
1. Определить понятие трехфазной симметричной системы ЭДС.
2. Что понимают под трехфазным симметричным приемником?
3. Что понимают под симметричным режимом трехфазной цепи?
4. В симметричной трехфазной цепи приемник соединен звездой,
сопротивление фазы приемника RФ = 10 Ом линейный ток IЛ = 22 А.
Определить линейное напряжение.
Ответ: UЛ = 380 В.
5. Несимметричный трехфазный приемник соединен звездой с
нейтральным проводом: ZА = 15 Ом; ZВ = 12 Ом; ZС = 10 Ом; ZN = 0. Фазное напряжение на приемнике 120 В. Определить ток в нейтральном
проводе и активную мощность приемника.
Ответ IN = 3,45 A; P = 3600 Вт.
43
6. К трехфазному генератору, соединенному звездой и имеющему
фазное напряжение 120 В, подключен несимметричный трехфазный
приемник, соединенный звездой без нейтрального провода: ZА = 15 Ом;
ZВ = 12 Ом; ZС = 10 Ом; ZN = ∞.Определить напряжения на фазах приемника.
Ответ UAN1 = 133 B; UBN1 = 120 B; UCN1 = 108 B
7. В симметричной трехфазной цепи приемник соединен треугольником, сопротивление фазы приемника RФ = 10 Ом линейный ток
IЛ = 38 А Определить напряжение на фазе приемника. Ответ: UФ = 220 В.
8. Несимметричный трехфазный приемник соединен треугольником: ZАВ = −j10 Ом; ZВC = 20 Ом; ZСA = −j10 Ом. Линейное напряжение
200В. Определить линейные токи, активную, реактивную и полную
мощности приемника
Ответ: IA = 34,6 A; IB = 29 A; IC = 12,37 A; P = 2000 Вт; Q = − 8000
вар; S = 8246 ВА.
9. Почему при симметричном режиме трехфазной цепи расчет
можно вести на одну фазу?
10. Обоснуйте возможность включения только двух ваттметров для
измерения активной мощности трехфазной трехпроводной цепи.
11. Охарактеризуйте условия получения вращающегося магнитного поля.
12. Объясните принцип действия асинхронного двигателя.
13. Что понимают под прямой, обратной и нулевой последовательностями фаз?
14. Как разложить несимметричную трехфазную систему величин
на три симметричных?
15. Какие гармоники создают в трехфазной цепи прямой порядок
следования фаз, какие – обратный и какие – нулевой порядок следования фаз?
16. Как рассчитать ток третьей гармоники в фазе приемника при
соединении трехфазной цепи звездой с нейтральным проводом, сопротивление которого ZN≠0?
17. Почему в линейном напряжении трехфазной цепи отсутствуют
гармоники кратные трем?
44
2. Переходные процессы в линейных электрических цепях
Классический метод расчета
2.1 Возникновение переходных процессов. Законы коммутации
Переходным называется процесс, возникающий в электрических
цепях при переходе от одного установившегося режима к другому. Изменение установившегося режима может быть вызвано включением пассивных и активных элементов, короткими замыканиями отдельных участков, внезапным изменением параметров и т. д. Все эти изменения цепи
в общем случае называют коммутацией. Считается, что коммутация происходит мгновенно, в то время как переходный процесс заканчивается
спустя некоторое время (теоретически бесконечно большое) после коммутации.
Наличие переходного процесса в электрической цепи объясняется тем, что каждому установившемуся режиму цепи соответствует определенный запас энергии в магнитных полях индуктивных катушек и в
электрических полях конденсаторов. При переходе к другому установившемуся режиму запас энергии в магнитных и электрических полях
изменяется. Изменение энергии не может произойти мгновенно, скачком,
для этого понадобился бы источник энергии бесконечно большой мощности. Реальные же источники энергии имеют конечную мощность.
Началом отсчета времени переходного процесса t = 0 является
момент коммутации. Этот момент времени непосредственно перед мгновенной коммутацией обозначается 0–, а сразу после мгновенной коммутации обозначается 0 + . Моменту времени t = 0– соответствует схема цепи
до коммутации, а моменту времени t = 0 + и t = 0 соответствует схема
цепи после коммутации.
Первый закон коммутации
Ток в ветви с индуктивным элементом в момент коммутации имеет
такое значение, которое он имел непосредственно перед коммутацией, затем он изменяется, начиная именно с этого значения iL(0) = iL(0 + ) = iL(0–).
Если допустить скачок тока в индуктивном элементе, то напряжеdi
будет равно бесконечности, и в цепи не будет
ние на элементе uL(0) = L
dt
соблюдаться 2-ой закон Кирхгофа, так как величина ЭДС источников не
может равняться бесконечности.
45
Второй закон коммутации
Напряжение на емкостном элементе в момент коммутации имеет то значение, которое оно имело непосредственно перед коммутацией,
затем изменяется, начиная именно с этого значения,
uС (0) = uС (0 + ) = uС(0–).
Если допустить изменение напряжения на емкостном элементе
i(0) = C
dt
du
C
du С
будет равен бесконечности, чего в цепи, облаdt
дающей сопротивлением, быть не может, так как нарушится опять–таки
второй закон Кирхгофа.
скачком, то ток i(0) = C
С энергетической точки зрения, невозможность мгновенного изменения тока i L и напряжения u C объясняется, как уже указывалось, невозможностью скачкообразного изменения запасенной в индуктивном и емкостном элементах энергии. Энергия магнитного поля индуктивной каLi 2L
тушки определяется током, проходящим через катушку, WМ =
, а энер2
гия электрического поля конденсатора определяется его напряжением
Cu C2
.
WC =
2
2.2. Установившиеся и свободные составляющие токов и напряжений переходного процесса
Рассмотрим общие положения расчета переходных процессов на
примере включения цепи (рис. 2.1)
к источнику постоянной ЭДС
(
–замыкающий контакт
коммутационного устройства;
– размыкающий контакт коммутационного устройства).
Анализ переходного процесса сводится к решению обыкновенных
неоднородных дифференциальных уравнений, составленных по законам
Кирхгофа. Для цепи (рис. 2.1) уравнение, согласно второму закону Кирхгофа, имеет вид
Ri + L
di
= E.
dt
46
(2.1)
Рис. 2.1 Схема электрической цепи, подключаемой к источнику постоянной ЭДС
Как известно, общее решение неоднородного дифференциального
уравнения равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения, которое получится из того же уравнения, если положить в нем заданные ЭДС и напряжения источников равными нулю.
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения
E
(2.1) имеет вид i y = , где iу – ток установившегося режима. Расчет усR
тановившихся токов и напряжений рассмотрен в предыдущих главах.
Общим решением однородного
дифференциального уравнения
di
Ri св + L св = 0 является показательная функция i c в = Ae pt , где i св –
dt
ток свободного процесса , A – постоянная интегрирования, p – корень хаЕ
,
рактеристического уравнения. Для рассматриваемой цепи A = −
R
R
p= − .
L
Таким образом, ток переходного процесса
R
E E − t
i = i y + i св = − e L .
R R
Если подставить это значение переходного тока в уравнение
(2.1), то получится тождество
R
R
E
E − t
E R −L t
R − Re L + L
e
= E;
E=E.
R
R
RL
Итак, переходный ток равен сумме установившегося и свободного
токов
47
i = i y + i св .
Аналогично и любое переходное напряжение
u R = u Ry + u Rс в ; u L = u Ly + u Lс в .
Конечно, физически существуют только переходные токи и напряжения, а разложение их на установившиеся и свободные составляющие является удобным математическим приемом, облегчающим расчет переходных процессов в линейных электрических цепях. При расчете переходных
процессов в более сложных цепях неоднородное дифференциальное уравнение, составленное по законам Кирхгофа, может иметь n–ый порядок. В
этом случае переходный ток имеет выражение
i = iу + iсв = iу +
n
∑ Akep t .
k
k =0
Характеристическое уравнение, которое получается из однородного
дифференциального уравнения путем замены символа дифференцирования
d
на символ p, будет иметь n корней p k . Аналогично и постоянных инdt
тегрирования Ак будет n.
Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, то
есть из значений токов и напряжений и их производных при t = 0. Начальное значение тока в ветви с индуктивным элементом и напряжения на емкостном элементе i L (0) и u C (0) находят по законам коммутации (независимые начальные условия). Начальные значения других токов и напряжений и их производных (зависимые начальные условия) определяются по
независимым начальным условиям при помощи уравнений, составленных
по первому и второму законам Кирхгофа.
2.3 Короткое замыкание цепи с последовательно соединенными
участками R и L
Рис. 2.2 Короткое замыкание цепи R, L
48
Ветвь с сопротивлением R и индуктивностью L замыкается ключом
накоротко (рис. 2.2). После замыкания ключа процессы в левом и правом
контурах протекают независимо друг от друга, так как смежная ветвь контуров имеет сопротивление, равное нулю.
Согласно второму закону Кирхгофа для короткозамкнутого контура
di
Ri + L = 0.
dt
Дифференциальное уравнение однородное, следовательно, оно описывает свободный процесс. Установившийся ток в данном случае равен
нулю. Общим решением этого однородного дифференциального уравнения
будет функция
i = i св = Ae pt ,
где
p – корень характеристического уравнения;
А–постоянная интегрирования.
Характеристическое уравнение, как уже указывалось, получается из
рассматриваемого однородного дифференциального уравнения путем заd
на символ p
мены символа дифференцирования
dt
Lp i св + Ri св = 0
или
iсв(pL + R) = 0.
Так как iсв не равен нулю, то
Lp + R = 0.
Полученное алгебраическое уравнение является характеристическим. Корень уравнения
p= −
R
.
L
Постоянную интегрирования А найдем из начальных условий, то
есть из значения тока при t = 0 .
Согласно первому закону коммутации
i(0 + ) = i(0–) =
E
= I.
R0+ R
Как уже указывалось, i(0–) находится из докоммутационной схемы,
то есть когда ключ был еще не замкнут.
Подставляя t = 0 и i(0) = I в выражение переходного тока, получим
I=
R
− 0
Ae L
49
= A.
Таким образом, переходной ток i = Ie
−
R
t
L
.
Переходное напряжение на индуктивном элементе
R
− t
di
u L = L = − RIe L .
dt
Кривые изменения i и uL показаны на рис. 2.3.
Рис. 2.3. Кривые изменения тока и напряжения при коротком замыкании цепи R, L
L
= τ имеет размерность времени и называется постоянR
ной времени цепи R, L. Она определяется как время, в течение которого
свободный ток уменьшается в e раз по сравнению со своим начальным
значением iсв(0) = I.
Величина
Действительно, при t = τ
iсв(τ) = iсв(0)e
−
t
τ
=
i cв (0) I
= .
e
e
τ может быть определена графически как длина подкасательной к
кривой iсв .
DB =
i τ
i
i
AD
= св = св t = св = τ.
di
i св
tgα
−
− св 1 Ie τ
dt
τ
50
Из полученного выражения видно, что ток теоретически станет равен
нулю через бесконечно большой промежуток времени. Практически ток
становится весьма малым по сравнению с начальным током спустя малый
промежуток времени, равный нескольким значениям τ. Постоянная времени τ лежит в пределе от нескольких микросекунд до долей секунды.
С энергетической точки зрения процесс короткого замыкания цепи
R, L характеризуется тем, что вся энергия, запасенная до коммутации в
магнитном поле катушки
Li 2 (0) LI 2
WМ =
=
,
2
2
в течение переходного процесса превращается в теплоту
∞
2
∞
2
Wтепл = ∫ i Rdt = ∫ I Re
0
−
2 Rt
L
0
2R
I 2 RL − L t
dt = −
e
2R
∞
0
LI 2
=
.
2
2.4. Включение цепи с последовательно соединенными участками R и L под постоянное напряжение
Рис. 2.4 Включение цепи R, L под постоянное напряжение
Рассмотрим переходный процесс при включении цепи R,L под постоянное напряжение U.
Согласно второму закону Кирхгофа дифференциальное уравнение
цепи (рис. 2.4) имеет вид
Ri + L
51
di
= U.
dt
Это уравнение неоднородное и его решением будет сумма установившейся и свободной составляющих.
i = iу + iсв.
U
.
R
Однородное уравнение, определяющее свободный ток iсв, будет
iу =
Установившийся ток
Riсв + L
di св
= 0.
dt
Его характеристическое уравнение R + Lp = 0 имеет корень
p= −
R
. Поэтому
L
pt
icв = Ae = Ae
−
R
t
L
.
R
− t
U
i = iу + iсв =
+ Ae L .
R
Переходный ток
Постоянная интегрирования А определяется по начальному значению тока. Поскольку цепь до коммутации была разомкнута, то согласно
первому закону коммутации, i(0 + ) = i(0–) = 0.Для времени t = 0 выражение переходного тока получит вид
R
− ⋅0
U
U
U
0 = + Ae L ; 0 = + A ; A = − .
R
R
R
Таким образом, переходный ток
R
R
t
−
− t
U U − t U
U
i = − e L = (1 − e L ) = (1 − e τ ).
R R
R
R
Соответственно, напряжения на резистивном и индуктивном элементах
UR = Ri = U(1–e
−
t
τ );
Кривые изменения показаны на рис. 2.5.
52
t
−
di
UL = L = Ue τ .
dt
Рис. 2.5
Кривые изменения i, iy, iсв, и uL
Определим значение переходного тока через время t = 4τ
4τ
−
U
U
i = (1 − e τ ) = 0,982 = 0,982iу.
R
R
Таким образом, спустя время 4τ переходный ток отличается от значения установившегося тока всего лишь на 1.8 %. Это значит, что практически через время (4 - 5) τ с переходным процессом можно не считаться.
2.5. Включение цепи с последовательным соединением участков
R и L под синусоидальное напряжение
Рис. 1.6 Включение цепи R, L под синусоидальное напряжение
53
Рассмотрим переходный процесс при включении цепи R, L под синусоидальное напряжение u = Umsin(ωt + ψ) (рис. 1.6).
Согласно второму закону Кирхгофа дифференциальное уравнение
цепи имеет вид
Ri + L
di
= Umsin(ωt + Ψ).
dt
Уравнение неоднородное, поэтому
i = iу + iсв.
iу =
Установившийся ток
Z=
Um
sin(ωt + ψ−ϕ)=Ιmsin(ωt + ψ−ϕ) ;
Z
R 2 + (ω L) 2 ;
ϕ=arctg
ωL
.
R
Однородное уравнение, определяющее свободный ток iсв, будет
Riсв + L
di св
= 0.
dt
Его характеристическое уравнение R + Lp = 0 имеет корень p = −
pt
Поэтому iсв = Ae =
R
− t
Ae L
Переходный ток
R
.
L
.
i = iy + iсв = Imsin(ωt+Ψ−ϕ) +
R
− t
Ae L
.
Постоянная интегрирования А определяется по начальному значению тока. Поскольку цепь до коммутации была разомкнута, то, согласно
первому закону коммутации, i (0 + ) = i(0–) = 0. Для времени t = 0 выражение переходного тока получит вид
0 = Imsin(ψ−ϕ)+Α , А = –Imsin(ψ−ϕ).
Таким образом, переходный ток
i = Imsin(ωt +
R
− t
ψ−ϕ)−Ιmsin(ψ−ϕ)e L
.
Напряжение на резистивном и индуктивном элементах
u R = Ri; u L = L
54
di
.
dt
Рис. 2.7 Кривые изменения i, iy, и iсв
По мере затухания свободного тока переходной ток приближается к
значению установившегося тока (рис. 2.7). Однако через промежуток времени от 1/4Т до 3/4Т после включения переходный ток может достичь
значения imax, превышающего амплитуду установившегося тока. Наибольшего возможного значения ток достигнет, если в момент включения цепи
установившийся ток проходит амплитудное значение (ψ−ϕ=π/2), а постоянная времени весьма велика. Примерно через половину периода после
включения ток достигнет почти удвоенной амплитуды установившегося
тока imax≈2Imy (рис. 2.8).
Рис. 2.8 Кривые изменения i, iy, и iсв при ψ−ϕ=π⁄2
Переходный процесс отсутствует, если в момент включения установившийся ток проходит нулевое значение (ψ−ϕ=0). Сразу наступит установившийся режим. Это объясняется тем, что в момент включения имеется
полное соответствие между запасом энергии в индуктивной катушке до
включения (в данном случае, равным нулю) и запасом энергии, который
55
должен быть в установившемся режиме в момент включения (в данном
случае, также равным нулю).
Пример 2.1. В цепи, изображенной на рис. 2.9, происходит внезапное
увеличение сопротивления. Найти переходный ток i(t), если R1 = 15 Ом,
R2 = 10 Ом, L = 0.1 Гн, U = 100 В.
Рис. 2.9 Схема электрической цепи
На основании второго закона Кирхгофа для послекоммутационной
схемы
(R1 + R2)i + L
di
=U.
dt
Общим решением полученного неоднородного дифференциального
уравнения будет сумма установившейся и свободной составляющих
U
100
i = iу + icв, iy =
=
=4A.
R 1 + R 2 15 + 10
Свободная составляющая есть общее решение однородного диффеdi
ренциального уравнения (R1 + R2)icв + L св = 0, iсв = Ae pt . Характериdt
стическое
уравнение
(R1 + R2) + Lp = 0
откуда
R + R2
15 + 10
p= − 1
=−
= –250
1/c.
Переходный
ток
L
0.1
i = iy + iсв = 4 + Ae −250 t . Постоянная интегрирования А находится из начальных условий t = 0. Согласно первому закону коммутации
i(0 + ) = i(0–) =
U 100
=
= 10 A.
R 2 10
Подставив значение тока i(0) при t = 0 в уравнение переходного тока, получим 10 = 4 + Аеº = 4 + А, А = 6. Переходный ток i = 4 + 6e −250t A.
56
На рис. 2.10 показаны кривые i(t), iy(t) и iсв(t). Ординаты кривой i(t)
равны сумме ординат кривых iу(t) и iсв(t).
Рис. 2.10 Кривые изменения i, iy, и iсв
2.6. Короткое замыкание цепи с последовательным соединением
участков R и C
Рис. 2.11 Короткое замыкание цепи R, C
Ветвь с сопротивлением R и емкостью С замыкается ключом накоротко (рис. 2.11). Процессы в правом и левом контурах протекают независимо друг от друга, так как смежная ветвь контуров имеет сопротивление,
равное нулю. Конденсатор был заряжен от источника постоянной ЭДС до
напряжения UС = Е. После замыкания ключа конденсатор разряжается. Согласно второму закону Кирхгофа для короткозамкнутого контура
Ri + uС = 0.
Так как i =
du
dQ
= C C , то
dt
dt
RC
du C
+ uС = 0.
dt
Решением этого однородного дифференциального уравнения будет
функция
57
uС = uСсв = Ae pt .
Соответствующее характеристическое уравнение RСp + 1 = 0 имеет
t
−
1
корень р = −
. Поэтому uС = uСсв = Ae RC .
RC
Постоянная интегрирования А определяется по начальному значению напряжения uС(0). Согласно второму закону коммутации
uС(0 + ) = uС(0–) = E. Для времени t = 0 выражение напряжения uС получит
вид
E = Ae
−
0
LC
= A , А = Е.
Таким образом, напряжение на конденсаторе
uС = Ee
t
−
t
RC =
Ee
−
t
τ.
t
du
E −
E −
Ток i = C C = − e RC = − e τ ,
dt
R
R
где τ = RC — постоянная времени цепи. Кривые изменения uС, i представлены на рис. 2.12.
Рис. 2.12 Кривые изменения тока и напряжения при коротком замыкании цепи R, C
Энергия, запасенная до коммутации в электрическом поле конденсатора, в течение переходного процесса выделяется в виде теплоты в сопротивлении R.
∞
2t
∞
2t
E 2 − RC
E 2 RC − RC
Wтепл = ∫ i Rdt = ∫ 2 e dt = −
e
2R
0
0R
2
58
∞
0
CE 2
=
= Wэ.
2
2.7. Включение цепи с последовательно соединенными участками R и C под постоянное напряжение
Рассмотрим переходной процесс при включении цепи R,C под постоянное напряжение U (рис. 2.13).
Рис. 2.13 Включение цепи R, C под постоянное напряжение
Согласно второму закону Кирхгофа уравнение цепи имеет вид
Ri + uС = U.
Так как
i=C
du C
, то
dt
RC
du C
+ uС = U.
dt
Исходя из этого неоднородного дифференциального уравнения, переходное напряжение
uС = uСy + uСсв.
uСу = U.
Уравнение для свободного напряжения
RC
Его характеристическое
1
.
р= −
RC
pt
Поэтому uСсв = Ae = Ae
−
du Ccв
+ uСсв = 0.
dt
уравнение
t
RC
RCp + 1 = 0
имеет
.
Переходное напряжение uС = uСy + uСсв = U + Ae
59
−
t
RC
.
корень
Постоянная интегрирования А определяется из начального значения
напряжения uС(0). Так как до коммутации цепь была разомкнута, то, согласно второму закону коммутации, uС(0 + ) = uС(0–) = 0. Для времени t = 0
уравнение для переходного напряжения uС получит вид
0=U+
0
RC
Ae
= U + A,
A = –U.
Переходное напряжение на конденсаторе
uС = U−Ue
−
t
RC
= U(1 − e
−
t
RC )
= U(1 − e
t
Переходный ток
−
t
τ
).
t
du
U −
U −
i = C C = e RC = e τ ,
dt
R
R
Кривые изменения uС, uСy, uСcв, i показаны на рис. 2.14.
Рис.2.14. Кривые изменения uС, uСy, uСсв, и i
60
2.8. Включение цепи с последовательно соединенными участками R и С под синусоидальное напряжение
Рис. 2.15 Включение цепи R, C под синусоидальное напряжение
Рассмотрим переходный процесс при включении цепи R, C под синусоидальное напряжение
u = Umsin(ωt + ψ)
(рис. 2.15).
Согласно второму закону Кирхгофа уравнение для цепи имеет вид
Ri + uС = u.
i=C
du C
,
dt
поэтому
RC
du C
+ uС = Umsin(ωt + ψ).
dt
Исходя из полученного неоднородного дифференциального уравнения, переходное напряжение uС = uСy + uСсв.
uСy = Im
U 1
1
sin(ωt + ψ−ϕ − π 2) = m
sin(ωt + ψ−ϕ−π/2),
ωС
Z ωC
1
ϕ = arctg ωC .
R
−
2
z=
⎛ 1 ⎞
R2+ ⎜
⎟ ;
ωC
⎝
⎠
du C св
+ uСсв = 0, его
dt
1
, поэтохарактеристическое уравнение RCp + 1 = 0 имеет корень p = −
RC
му
Уравнение для свободного напряжения
pt
uСсв = Ae = Ae
61
RC
−
t
RC
.
Переходное напряжение
1
t
−
ωC
RC
uС = uСy + uСсв =
sin(ωt + ψ–ϕ−π/2)+Αe
.
Z
Постоянная интегрирования А определяется из начального значения
напряжения uС. Так как до коммутации цепь была разомкнута, то, согласно
второму закону коммутации, uС(0 + ) = uС(0–) = 0.
Um
Для момента времени t = 0 напряжение uС имеет вид
0=
1
ωC sin(ψ−ϕ−π/2)+Α.
Z
Um
1
ωC sin(ψ−ϕ−π/2).
Откуда
A= −
Z
Переходное напряжение на конденсаторе
Um
1
1
t
Um
−
ωC
ωC
uС =
sin(ωt + ψ−ϕ−π/2)−
sin(ψ−ϕ−π/2)e RC .
Z
Z
Переходный ток
Um
t
−
dU
U
Um
i = C C = m sin(ω t + ψ − ϕ) +
sin(ψ − ϕ − π/2)e RC .
dt
z
ZR ωС
Кривые изменения uС, uСy, uСcв представлены на рис. 2.16.
Рис. 2.16 Кривые изменения uС, uСy и uСсв
62
Спустя время от Т/4 до 3/4 Т после включения напряжение uС достигает значения, превышающего амплитуду установившегося значения.
Максимальное значение uС получается, если в момент включения
цепи установившееся напряжение uСу равно амплитудному значению (рис.
2.17).
Примерно через половину периода после включения цепи напряжение uС достигает почти удвоенной амплитуды установившегося режима
uСmax≈2UСym.
Рис. 2.17 Кривые изменения uС, uСy и uСсв при ψ−ϕ=π
Необходимо отметить, что в момент включения цепи будут наблюдаться скачки тока.
Ri + uС = Umsin(ωt+ψ).
Ri(0) + 0 = Umsinψ
При
t=0
uС(0) = 0,
поэтому
U m sinψ
.
R
Если R мало, как например, при включении ненагруженной кабельной сети, то толчки тока будут весьма значительные.
i(0) =
Если в момент включения установившееся напряжение uСу проходит
через нуль (ψ=ϕ±π/2), то переходный процесс отсутствует, сразу наступает
установившийся режим. Это объясняется тем, что в момент включения
имеется полное соответствие между запасом энергии в конденсаторе до
включения (в данном случае равном нулю) и запасом энергии, который
должен быть в установившемся режиме в момент включения (в данном
случае равным также нулю).
63
Пример 2.2. В цепи, изображенной на рис. 2.18, происходит внезапное размыкание ветви с резистором R2. Найти переходный ток i, если
R1 = 10 Ом, R2 = 15 Ом, C = 100 мкФ, U = 200 В.
Рис. 2.18 Схема электрической цепи
Согласно второму закону Кирхгофа для послекоммутационной схемы
R1i + uС = U.
Выразим напряжение uС через ток, проходящий через конденсатор,
1t
1t
uС = ∫ idt + uС(0) и подставим в уравнение R1i + ∫ idt + uС(0) = U.
С0
C0
di 1
di
Возьмем производную от уравнения R1 + i + 0 = 0 R 1C + i = 0. Поdt
dt C
лучили однородное уравнение, его решение имеет вид i = icв = Ae pt . Установившийся ток равен нулю, так как конденсатор для постоянного тока
обладает бесконечно большим сопротивлением.
Характеристическое уравнение R1Cp + 1 = 0 имеет
корень
1
1
=−
p= −
= –1000 1/c. Постоянную интегрирования А
RC
10 ⋅ 100 ⋅ 10 −6
найдем из начальных условий, то есть из значения тока i при t = 0 . Уравнение цепи для t = 0 R1i(0) + uС(0) = U. Согласно второму закону коммутации
uС(0 + ) = uС(0–) = i(0–)R2 =
U
200
R2 =
15 = 120 В.
R1 + R 2
10 + 15
U − u C (0) 200 − 120
=
= 8 A. Подставив значеR1
10
ние тока i(0) при t = 0 в уравнение, получим 8 = Ае°, А = 8 А. Переходный ток i = 8e −1000 t A. Кривая тока представлена на рис. 2.19.
Следовательно, i(0) =
64
Рис. 2.19 Кривая изменения тока
Ток постепенно уменьшится до нуля, напряжение на конденсаторе
значения
uС, как следует из уравнения цепи, постепенно увеличится до
U = 200 В.
2.9. Переходные процессы в цепи с последовательно соединенными
участками R, L и С. Апериодический разряд конденсатора
Пусть конденсатор с емкостью С, заряженный до напряжения U0,
разряжается на цепь, обладающую активным сопротивлением R и индуктивностью L (рис. 2.20).
Рис. 2.20 Разряд конденсатора на цепь R, L
Согласно второму закону Кирхгофа
i=C
Ri + L
di
+ uC = 0,
dt
где
du C
. Подставив значение i в исходное уравнение, будем иметь
dt
d 2 u С R du С
1
+
+
= 0.
2
LC
L dt
dt
Полученное однородное дифференциальное уравнение второго порядка выражает собой свободный процесс. Установившийся ток iу и уста65
новившиеся напряжения u Ry , u Ly и u С y равны нулю, так как в цепи
сутствует источник ЭДС. Характеристическое уравнение p 2 +
от-
R
1
p+
=0
L
LC
имеет два корня
R
R2
1
R
R2
1
p1 = −
+
−
,
p2 = −
−
−
.
2
2
2L
LC
2L
LC
4L
4L
Корни p1 и p2 могут быть как действительными, так и комплексными
числами.
R2
1
L
>
, то корни будут действительные, и
или R > 2
Если
2
LC
C
4L
характер изменения переходного тока и переходных напряжений будет
апериодический. Напряжение на конденсаторе монотонно спадает от U0 до
нуля, то есть перезарядки конденсатора не происходит.
Под критическим сопротивлением понимают такое наименьшее его
значение, при котором переходный процесс имеет еще апериодический характер.
Rкр = 2
L
.
C
Общее решение однородного дифференциального уравнения второго
порядка при различных корнях p1 и p2 имеет вид u С = u С c в = A1e p1t + A 2 e p2t .
Постоянные интегрирования A1 и А2 определяют из начальных условий,
заключающихся в неизменности тока в индуктивной катушке и напряжения на зажимах конденсатора в момент коммутации i(0 + ) = i(0–),
du
uС(0 + ) = uС(0–). Переходный ток i = i св = C C = C(p1A1e p t + p 2 A 2 e p t ) .
dt
1
2
Согласно законам коммутации при t = 0 uС(0 + ) = uС(0–) = U0,
i(0 + ) = i(0–) = 0. Выражения напряжения uС и тока i при t = 0
⎧ U 0 = A1 + A 2
⎨
⎩0 = C(p1A1 + p 2 A 2 )
позволяют определить значения А1 и А2
A1 =
p2U0
,
p 2 − p1
A2 = −
Переходное напряжение на конденсаторе
66
p1U 0
.
p 2 − p1
uС =
U0
(p 2 e p1t − p1e p 2 t ).
p 2 − p1
Переходный ток
i=
Cp1p 2 U 0 p1t p2 t
U0
(e − e ) =
(e p1t − e p2 t ).
p 2 − p1
L(p 2 − p1 )
Переходное напряжение на индуктивном элементе
uL = L
U0
di
=
(p1e p1t − p 2 e p 2 t ).
dt (p 2 − p1 )
На рис. 2.21 изображены зависимости i(t), u R (t), u C (t), u L (t).
Рис. 2.21 Кривые изменения тока и напряжений при апериодическом
процессе
du С
, максимум кривой i(t) и точка перегиба кривой
dt
uС(t) происходят в один и тот же момент времени t1, это время можно найdi
к нулю. Точка максимума кривой u L (t) и
ти, приравняв производную
dt
точка перегиба кривой i(t) имеют место в один и тот же момент времени t2.
du С
Этот момент времени можно найти, приравняв производную
к нулю.
dt
Поскольку i = C
Для интервала времени 0<t<t1 u С > 0, u L < 0, u R < 0, i < 0 , поэтому
мгновенная мощность pС = uСi отрицательная, мгновенные мощности
p L = u L i, p R = i 2 R положительные. Это значит, что энергия, запасенная
в электрическом поле конденсатора, отдается индуктивной катушке, где
67
она запасается в магнитном поле и выделяется в форме теплоты в сопротивлении R.
Для времени t1<t< ∞ u С > 0, u L > 0, i < 0, u R < 0 , поэтому мощности p C = u C i, p L = u L i — отрицательные, а p R = i 2 R — положительная. Это значит, что конденсатор и индуктивная катушка отдают свою
энергию. Вся эта энергия выделяется в форме теплоты в сопротивлении R.
L
, то корни характеристического уравнения будут
C
вещественны и равны друг другу. Характер переходного процесса будет
также апериодический, аналогичный рассмотренному.
Если R = Rкр = 2
2.10. Периодический разряд конденсатора на цепь R, L
Пусть конденсатор, заряженный до напряжения U0, разряжается на
цепь R, L (рис. 2.20). Согласно второму закону Кирхгофа, имеем
du C
d 2 u С R du C
di
1
Ri + L + uС = 0. i = C
, поэтому
+
+
uC = 0 .
dt 2
L dt
LC
dt
dt
Полученное однородное дифференциальное уравнение выражает собой свободный процесс. Установившиеся ток и напряжения равны нулю,
так как в цепи отсутствует источник ЭДС. Характеристическое уравнение
1
R
= 0 имеет два корня
P 2 + P+
LC
L
R
R2
1
p1 = −
+
−
,
2L
4 L2 LC
R
R2
1
p2 = −
−
−
.
2L
4 L2 LC
Периодический (колебательный) характер переходного процесса будет, когда корни характеристического уравнения комплексные. Это имеет
1
L
R
. Обозначим δ =
,
, ω0 =
место при условии R<Rкр = 2
C
2L
LC
ωсв =
1
R2
− 2 = ω 02 − δ 2 , тогда
LC 4 L
p1 = –δ+ δ 2 − ω 02 =−δ+jωcв ,
p2 = –δ– δ 2 − ω 02 = –δ−jωcв.
Как известно из математики, решение однородного дифференциального уравнения второго порядка при комплексных корнях имеет вид
68
uС = uСсв = Ae–δ t sin(ωсвt + ψ).
Соответственно ток
i = i cв = C
du c
= CAe −δt [− δsin (ω cв t + ψ ) + ω cв cos(ω cв t + ψ )].
dt
Постоянные интегрирования А и ψ определяют из начальных условий
uС(0 + ) = uС(0–) = U0 и
i(0 + ) = i(0–) = 0.
При t = 0 выражения для напряжения uС и тока i получат вид
⎧ U 0 = Asinψ1
⎨
⎩0 = − δsinψ1 + ω св cosψ
(a)
(b)
ω cв
. Считая, что ωсв и δ являются каδ
ω cв
ω
тетами прямоугольного треугольника, получим sinψ =
= св ,
2
ω0
δ 2 + ω св
Из уравнения (b) имеем tgψ =
cosψ =
δ
2
δ 2 + ω св
=
δ
. Подставив значения sinψ в а), получим
ω0
А = U0
лучим
ω0
ωcв
.
Подставив значение найденных постоянных в выражения uС и i, по-
uС =
U 0ω0 − δt
e sin(ωcвt + ψ),
ωсв
⎤
СU 0 ω 02 −δt ⎡ δ
ω
i=
e ⎢−
sin(ω св t + ψ) + cв cos(ω св t + ψ)⎥ .
ω св
ω0
⎣ ω0
⎦
i=
U 0 −δt
e sin(ωсвt + π).
ω св L
69
Из рис. 2.22 видно, что процесс колебательный. Амплитуда колебаний тока и напряжения убывает по показательному закону. Колебания
затухающие.
Рис. 2.22 Кривые изменения тока и напряжения при периодическом процессе
Угловая частота колебаний и соответственно период затухающих
колебаний определяются параметрами цепи (колебательного контура)
ωcв =
1
R2
2π
− 2 , Tсв =
=
LC 4 L
ω св
2π
2
1
R
− 2
LC 4 L
.
Быстроту затухания принято характеризовать декрементом колебаний Δ , равным отношению двух последующих амплитуд одного знака
Δ=
Ie − δt
Ie
− δ(t + Tсв )
= e δTсв
Затухание также характеризуется логарифмическим декрементом
затухания θ = lnΔ = δTсв
Сопротивление R оказывает существенное влияние на быстроту затухания, кроме того, по мере увеличения сопротивления R уменьшается
частота собственных колебаний ωсв. Когда R достигнет значения Rкр, частота собственных колебаний будет равна нулю, колебательный разряд переходит в апериодический.
В идеальном случае, когда R = 0, получим
ωсв = ω0 =
1
, δ = 0, Tсв = T0 = 2π LC .
LC
70
Затухание процесса отсутствует, а частота собственных колебаний
имеет наибольшее возможное значение и равна резонансной частоте контура.
2.11. Включение цепи с последовательно соединенными участками R,L и С под постоянное напряжение
Рассмотрим переходной процесс в цепи R, L, C при включении ее
под постоянное напряжение U (рис. 2.23).
Рис. 2.23 Включение цепи R, L, C под постоянное напряжение
Уравнение цепи, согласно второму закону Кирхгофа, имеет вид
di
Ri + L + uС = U.
dt
2
du
d u
du
LC 2С + RC С + uС = U.
i = C С , поэтому
dt
dt
dt
Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения
u С = uСy + uСcв. uСy = U, uСcв есть общее решение однородного дифференциd 2u Ссв
du С св
+
+ u С св = 0 .
ального уравнения LC
RC
dt
dt 2
Его характеристическое уравнение LCp2 + RCp + 1 = 0
или
R
1
R
R2
1
p + p+
=0
имеет два корня p1,2 = −
±
−
.
2
L
LC
2L
LC
4L
Переходное напряжение на конденсаторе
uС = uСy + uСсв = U + A1e p1t + A 2 e p 2 t .
du
Переходной ток
i = C С = C(p1A1e p1t + p 2 A 2 e p2t ) .
dt
Постоянные А1 и А2 находят из начальных условий i(0 + ) = i(0–) = 0
uС(0 + ) = uС(0–) = 0, поскольку цепь до коммутации была разомкнута.
2
71
Для времени t = 0 выражения напряжения uС и тока i имеют вид
0 = U + A1 + A2;
0 = p1A1 + p2A2.
Из последних выражений находим
Up 2
Up1
A1 =
, A2 = −
.
p1 − p 2
p1 − p 2
Таким образом, напряжение на конденсаторе и ток
uС = U +
i=
U
(p 2 e p1t − p1e p2 t ) ,
p1 − p 2
U
(e p1t − e p 2 t ) .
L(p1 − p 2 )
Если корни характеристического уравнения действительные числа
L
R>Rкр = 2
, то переходной процесс будет апериодическим (рис. 2.24),
C
если корни комплексные, то переходный процесс будет колебательным
(рис. 2.25)
Рис. 2.24 Кривые изменения тока
и напряжения при апериодическом
процессе
Рис. 2.25 Кривые изменения
тока и напряжения при пери–
одическом процессе
2.12. Включение цепи с последовательно соединенными участками R, L, C под синусоидальное напряжение
Рассмотрим переходной процесс в цепи с последовательно соединенными участками R, L и С при включении ее под синусоидальное напряжение u = Umsin(ωt + ψ) (рис. 2.26).
72
Рис. 2.26 Включение цепи R, L, C под синусоидальное напряжение
Согласно второму закону Кирхгофа уравнение цепи имеет вид
di
Ri + L + uС = u.
dt
2
du
d u
du
i = C С , поэтому LC 2С + RC С + uС = u. Решением этого неdt
dt
dt
однородного дифференциального уравнения второго порядка будет uС =
= uСy + uСcв.
1
1
Um
ωL−
ωC
ωC .
uСy =
sin(ω t + ψ− ϕ − π/ 2); ϕ = arctg
R
1 2
R 2 + (ω L −
)
ωC
Однородное уравнение, определяющее свободное напряжение, будет
du
d 2 u С св
+ RC С cв + u С св = 0 .
LC
2
dt
dt
Его характеристическое уравнение LCp2 + RCp + 1 = 0 имeeт два
R
R2
1
корня p1,2 = −
±
−
. Поэтому
uСcв = A1e p1t + A 2 e p 2 t .
2
2L
4 L LC
Переходное напряжение
1
Um
2
ωC
uС = uСy + uСcв =
sin(ω t + ψ− ϕ − π/ 2) + A1e p1t + A 2 e p t .
1 2
R 2 + (ω L −
)
ωC
du
Для переходного тока i = C С получили аналогичное выражение
dt
2
Um
sin(ω t + ψ− ϕ) + A 3e p1t + A 4 e p t .
i = iy + iccв =
1 2
R 2 + (ω L −
)
ωC
73
Если корни характеристического уравнения действительные отрицательные числа, то свободный процесс будет апериодическим, то есть монотонно затухающим. Если корни характеристического уравнения комL
плексные (R<Rкр = 2
), то свободный процесс будет колебательным заC
тухающим. И в том и в другом случае кривые переходного тока i и переходных напряжений uR, uL, и uС будут постепенно приближаться к синусоидальным кривым своих установившихся значений.
2.13. Расчет переходных процессов в сложных цепях
1. В схеме цепи после коммутации расставляют положительные направления токов.
2. Составляют систему дифференциальных уравнений цепи согласно
первому и второму законам Кирхгофа.
3. Решают систему дифференциальных уравнений относительно искомого тока путем последовательного исключения остальных токов. В результате получают неоднородное дифференциальное уравнение.
Полученное дифференциальное уравнение, по существу, необходимо
для составления характеристического уравнения. Последнее может быть
получено более легким путем (смотри пункты 6, 7). В этом случае отпадает
необходимость в решении системы дифференциальных уравнений.
4. Общее решение полученного неоднородного дифференциального
уравнения равно сумме двух решений: частного решения неоднородного
дифференциального уравнения, выражающего установившийся ток, и
общего решения однородного дифференциального уравнения, выражающего свободный ток.
i = iy + icв = iy + A1e p1t + A 2 e p 2 t + ...,
где p1,p2, ... – корни характеристического уравнения; A1,A2… – постоянные интегрирования.
5. Находят значение установившегося тока iy, используя методы
расчета цепей, рассмотренные в предыдущих главах.
6. Характеристическое уравнение может быть получено путем алгебраизации однородных дифференциальных уравнений для свободных токов.
Систему этих уравнений получают из исходной системы неоднородных
дифференциальных уравнений приравниванием всех ЭДС к нулю и введением индекса “св” к токам и напряжениям.
Алгебраизация заключается в замене операции дифференцирования
d
1
d2
2
; p = 2 , а операцию интегрирования через = ∫ dt . Для
буквой p =
dt
p
dt
полученной таким образом системы алгебраических уравнений составляют
74
главный определитель системы Δ и приравнивают его к нулю. Уравнение
Δ = 0 и является характеристическим. Определив из него p1,p2..., записывают выражение свободного тока iсв = A1e p1t + A 2 e p 2 t + ...
7. Характеристическое уравнение может быть получено также путем
использования выражения входного комплексного сопротивления послекоммутационной цепи. В выражении входного сопротивления будут фигурировать комплексное сопротивление индуктивного элемента ZL = jωL и
комплексное сопротивление емкостного элемента, которое следует запи1
. Заменив во входном сопротивлении множитель jω
сать в виде Zc =
jω C
на оператор p, получим выражение, которое обозначают Z(p). Затем приравнивают Z(p) к нулю. Полученное уравнение Z(p) = 0 является характеристическим уравнением. Источник синусоидальной ЭДС, относительно
которого находится входное сопротивление цепи Zвх, может быть включен
в любую ветвь цепи. Любое из найденных входных сопротивлений позволит найти одно и то же характеристическое уравнение.
8. Постоянные интегрирования A1,A2 ... находят из начальных условий, то есть из значений токов и напряжений и их производных при t = 0.
Ток через индуктивный элемент iL(0) и напряжение на емкостном элементе uС(0) находят по законам коммутации из докоммутационной схемы
цепи. Значение остальных величин находят из системы дифференциальных
уравнений, составленных для схемы цепи после коммутации. В эти уравнения подставляют уже найденные значения тока iL(0) и напряжения uС(0).
9. Если, например, постоянных интегрирования две, что соответствует дифференциальному уравнению второго порядка, то
(2.2)
i = iy + A1e p1t + A 2 e p 2 t
Возьмем производную от уравнения (2.2)
di di y
=
+ p1A1e p1t + p 2 A 2 e p 2 t
(2.3)
dt dt
Запишем уравнения (2.2) и (2.3) для времени t = 0
i(0) = iy(0) + A1 + A2;
di(0) di y (0)
=
+ p1A1 + p 2 A 2 .
dt
dt
Из полученных двух уравнений определяют А1 и А2 (значения i(0) и
di(0)
находят согласно 8.
dt
Замечание. Число корней характеристического уравнения (степень
характеристического уравнения) равно числу независимых начальных условий, то есть числу накопителей энергии в цепи после коммутации, иначе
числу индуктивных и емкостных элементов (после максимального упро75
щения схемы цепи).
Пример 2.3. Дано: Е = 120 В, R1 = 10 Ом, R2 = 2 Ом,
R4 = 3 Ом, L = 1.10–3 Гн, С = 100 .10–6 Ф. Определить токи.
R3 = 8 Ом,
Рис. 2.27. Схема электрической цепи
Составим уравнения цепи (рис. 2.27) согласно законам Кирхгофа.
i1−i2−i3 = 0
(2.4)
di
(2.5)
R1i1 + L 1 + R2i2 = E
dt
1
(2.6)
−R2i2 + R3i3 + ∫ i 3dt = 0
С
Дополним полученную систему уравнений, для чего возьмем производные от уравнений (2.4), (2.5), (2.6)
i1−i2−i3 = 0
(2.7)
R1i1 + L
di1
+ R2i2 = E
dt
−R2i2 + R3i3 +
1
∫ i 3dt = 0
С
(2.8)
(2.9)
di1 di 2 di 3
−
−
=0
(2.10)
dt dt
dt
di
di
di 21
R1 1 + L 2 + R2 2 = 0
(2.11)
dt
dt
dt
di
di
1
(2.12)
−R2 2 + R3 3 + i3 = 0
dt
dt
С
Решим систему уравнений относительно тока i1, для чего из (2.8) выразим i2 и подставим в (2.7), откуда выразим i3 и подставим в (2.12). Из
76
(2.10) выразим
di 3
и подставим в (2.12). Из полученного уравнения (2.12)
dt
di 2
и подставим в (2.11). После чего получим
dt
di
di 21
(CLR2+ CLR3) 2 + (CR1R2+ CR1R3 + CR2R3 + L) 1 + (R1 + R2)i1= E (2.13)
dt
dt
(Если бы искомыми токами являлись бы i2 или i3, то понадобилось
бы дополнять систему уравнений (2.7), (2.8), (2.9) уравнениями, полученными путем взятия как первой, так и второй производных от уравнений
(2.4), (2.5), (2.6).)
Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения (2.13)
i1 = i1y + i1св.
E
120
=
= 10 A.
Установившийся ток i1y =
R 1 + R 2 10 + 2
Свободный ток есть общее решение однородного дифференциального уравнения
di1св
di 21св
+
(CR
(CLR2 + CLR3)
R
+
CR
R
+
CR
R
+
L)
+ (R1 + R2) = 0.
1
2
1
3
2
3
dt
dt 2
Характеристическое уравнение
(CLR2 + CLR3)p2 + (CR1R2 + CR1R3 + CR2R3 + L)
p + (R1 + R2)i1св = 0
(2.14)
имеет корни p1 = –2177 1/c и p2 = – 11023 1/c
iсв = A1e p1t + A 2 e p 2 t .
Характеристическое уравнение (2.14) найдем более легким путем,
заключающимся в алгебраизации дифференциальных уравнений для свободных токов
⎧
⎪ i1св − i 2 св − i 3 св = 0
⎪⎪
di1cв
+ R 2 i 2 св = 0
⎨ R 1i1св + L
dt
⎪
⎪− R 2 i 2 св + R 3i 3 св + 1 i 3 св dt = 0
∫
⎪⎩
C
Свободный ток как решение однородного дифференциального уравнения выражается функцией icв = Aept. Производная от свободного тока
di св
d
= Aept = pAept = piсв.
Интеграл
от
свободного
тока
dt
dt
выразим
77
pt
∫ i св dt = ∫ Ae dt =
di
1 pt 1
Ae = i св . Заменив в уравнениях св на piсв и ∫ i cв dt
dt
p
p
1
icв, получим
p
⎧
⎧
⎪ i1св − i 2 св − i 3 св = 0
⎪i1св − i 2 св − i 3 св = 0
⎪
⎪
⎨ R 1i1св + Lpi1св + R 2 i 2 св = 0 или ⎨ (R 1 + L) i1св + R 2 i 2 св = 0
⎪
⎪
1
1
⎪− R 2 i 2 св + R 3i 3 св + Cp i 3 св = 0
⎪ − R 2 i 2 св + (R 3 + Cp ) i 3 св = 0
⎩
⎩
Данная система уравнений имеет решение, отличное от нулевого, если главный определитель системы равен нулю
на
1
Δ = (R 1 + LP)
0
−1
−1
R2
0
− R2
(R 3 +
= R2(R3 +
1
)
Cp
1
) + (R1 + Lp)R2 + (R1 +
Cp
1
) = 0.
Cp
(LCR2 + LCR3)p2 + (CR1R2 + CR1R3 + CR2R3 + L)p + R1 + R2 = 0.
Полученное уравнение есть характеристическое уравнение (2.14).
Характеристическое уравнение (2.14) найдем еще более легким путем из
выражения входного сопротивления цепи
1
)
R 2 (R 3 +
jω C
Zвх = R1 + jωL +
.
1
R2 + R3+
jω C
Заменим множитель jω на оператор р
1
R 2 (R 3 +
)
pC
Z(p) = R1 + pL +
. Приравняем Z(p) к нулю
1
R2 + R3+
pC
1
R 2 (R 3 +
)
pC
= 0. Из полученного уравнения имеем харакR1 + pL +
1
R2 + R3+
pC
теристическое уравнение
(LCR2 + LCR3)p2 + (CR1R2 + CR1R3 + CR2R3 + L)p + R1 + R2 = 0. (2.14)
Решение уравнения (2.13), как уже указывалось,
+ Lp)(R3 +
78
i1 = i1y + i1св = 10 + A1e p1t + A 2 e p 2 t
(2.15)
Возьмем производную от уравнения (2.15)
di1
= 0 + p1 A1e p1t + p 2 A 2 e p 2 t .
(2.16)
dt
Постоянные интегрирования А1 и А2 найдем из начальных условий,
di (0)
то есть из значений i1(0) и 1 . Для этого сначала найдем величины, опdt
ределяемые законами коммутации из схемы до коммутации.
E
120
=
= 8 A.
i1(0 + ) = i1(0–) =
R 1 + R 2 + R 4 10 + 2 + 3
Согласно второму закону Кирхгофа
−R2i2(0−) + R3i3(0−) + uС(0−) = 0. i3(0−) = 0, так как конденсатор имеет бесконечно большое сопротивление для постоянного тока. Исходя из
первого закона Кирхгофа
i2(0 −) = i1(0 −)−i3(0 −) = 8 − 0 = 8 A.
uС(0 + ) = uС(0 −) = R2i2(0 −) − R3i3(0 −) = 2 · 8 − 0 = 16 B.
Остальные токи, напряжения и их производные находим из системы
уравнений (2.7)…(2.12)
(2.17)
i1(0) − i2(0) − i3(0) = 0
di (0)
R1i1(0) + L 1
+ R2i2(0) = E
(2.18)
dt
(2.19)
− R2i2(0) + R3i3(0) + uС(0) = 0
di1 (0) di 2 (0) di 3 (0)
−
−
=0
(2.20)
dt
dt
dt
di1 (0)
di (0)
di 21 (0)
+L
+ R2 2
(2.21)
R1
2
dt
dt
dt
di (0)
di (0)
1
− R2 2
− + R3 3
+ i3(0) = 0
(2.22)
С
dt
dt
Подставив в уравнение (2.17) значение i1(0) = 8 A и в уравнение
(2.19) значение uС(0) = 16 B, получим:
⎧ 8 − i 2 (0) − i 3 (0) = 0
⎨
⎩− 2i 2 (0) + 3i 2 (0) + 16 = 0
откуда находим i2(0) = 8 A i3(0) = 0.
Из (2.17) находим
di1 (0)
1
1
= (− R1i1(0) − R2i2(0) + E) =
( −10.8 − 2.8 + 120) = 24.103 A/c.
−3
dt
L
1 ⋅ 10
Уравнения (2.15) и (2.16) при t = 0 будут иметь вид
79
⎧ i1 (0) = 10 + A1 + A 2
⎧ 8 = 10 + A1 + A 2
⎪
di
(0)
или
⎨ 1
⎨
−3
⎩24 ⋅ 10 = −2 177 A1 − 11 023 A 2
⎪⎩ dt = −2 177 A1 − 11 023 A 2
Откуда A1 = 0,22, A2 = 2,22. Переходный ток i1 имеет выражение
i1 = 10 + 0,22e–2 177t−2,22e–11 023t A.
2.14. Расчет переходных процессов при подключении цепи к источнику с непрерывно изменяющимся напряжением (интеграл Дюамеля)
Пусть произвольная цепь, являющаяся пассивным двухполюсником,
подключается в момент времени t = 0 к источнику непрерывно изменяющегося напряжения u(t) (рис. 2.28).Чтобы найти ток i(t) в любой ветви (или
напряжение) заменим действительную кривую u(t) приближенно ступенчатой кривой с интервалами по оси t, равными Δτ.
Рис. 2.28 График непрерывно изменяющегося напряжения источника
Ток в момент времени t можно рассматривать как сумму токов, возникающих от напряжения u(0) и от всех ступенек напряжения следующих
друг за другом через интервал Δτ в промежутке времени от 0 до t.
Напряжение u(0) в момент времени t вызовет в цепи ток u(0)g(t), где
g(t) – переходная проводимость. Последующие скачки напряжения равны
Δu
Δu =
Δτ. Составляющая тока, вызванная отдельным скачком напряжеΔτ
ния, действующим в момент времени τ, равна Δu⋅g(t – τ). Переходную проводимость следует рассматривать как функцию времени t – τ, так как от
момента τ возникновения данного скачка напряжения до момента t отсчета
значения тока прошло время t – τ. Весь ток i(t) определяется как сумма составляющих, вызванных отдельными скачками напряжения.
80
i(t)≈u(0)⋅g(t) +
τ= t
Δu
∑ Δτ Δτ⋅g(t – τ).
τ=0
При уменьшении интервалов Δτ до бесконечно малых значении dτ
ступенчатая кривая напряжения перейдет в заданную кривую напряжения
u(t), а конечное значение тока получит вид
t
i(t) = u(0)⋅g(t) + ∫ u ′ ( τ)⋅g(t – τ)dτ.
0
Полученное выражение для определения тока при непрерывно изменяющемся приложенном напряжении называется формулой или интегралом Дюамеля.
Δu ⎛ du ⎞
= ⎜ ⎟ . Для определения производной
Производная u´(τ) = lim
Δτ = 0 Δt
⎝ dt ⎠ t = τ
u´(τ) берут производную от заданного напряжения u(t) по времени t и в полученном выражении заменяют t на τ. Для определения переходной проводимости g(t) следует рассчитать переходной ток i(t) в данной цепи при
i(t)
включении ее на постоянное напряжение U = const, g(t) =
. Переходная
U
проводимость g(t–τ) имеет то же выражение, что и g(t), только в формуле
g(t) заменяют t на (t–τ).
В качестве примера рассмотрим включение цепи с последовательно
соединенными участками R и L (рис. 2.29) под действие напряжения
u = U(1–e
−
t
T
). На рис. 2.30 показан график этого напряжения.
Рис. 2.29 Схема электрической
цепи
Рис. 2.30 Кривая изменения
напряжения источника
Первое слагаемое в интеграле Дюамеля будет отсутствовать, поt
τ
U −
U −
скольку u(0) = 0. Производная от напряжения u´(t) = e T . u´(τ) = = e T .
T
T
Переходная проводимость, согласно приведенному ранее анализу переходного процесса в данной цепи при включение ее на постоянное напряжение, имеет вид
81
R
R
− t
1
g(t) = (1 − e L ) ,
R
Переходный ток
τ
R
R
R
τ
R
U −T 1 1 − L t L τ
U t −T
U −L t t
i(t) = ∫ e ( − e e ) dτ =
∫ e dτ − RT e ∫ e
T
R
R
RT
0
0
0
t
R
R
− (t − τ)
− t
τ
1
1
g(t–τ) = (1 − e L
) = (1 − e L e L ) .
R
R
RT − L
τ
LT dτ
=
t
− t
U
L
RT − T
= (1 +
e L −
e ).
R
RT − L
RT − L
2.15. Расчет переходных процессов при включении цепи к источнику напряжения произвольной формы
Пусть произвольная цепь, являющаяся пассивным двухполюсником,
подключается к источнику напряжения, кривая изменения которого представлена на рис. 2.31. Начальное значение напряжения равно u(0). В промежутке времени 0 < t < t1 напряжение плавно возрастает согласно заданной функции u1(t). Воспользовавшись интегралом Дюамеля, найдем значение тока для этого промежутка
t
i(t) = u(0)⋅g(t) + ∫ u1′ ( τ)⋅g(t – τ)dτ.
0
Рис. 2.31 График напряжения источника, изменяющегося по
произвольной форме
В следующем промежутке времени t1 < t < t2 в момент t = t1 напряжение скачком возрастает со значения u1(t) до значения u2(t), затем оно изменяется согласно заданной функции u2(t).
82
Таким образом, на существующий ток, возникший от первоначального скачка напряжения u(0) и от элементарных скачков напряжения, определяемых кривой u1(t), наложатся новые составляющие токов от нового
скачка напряжения u2(t1) – u1(t1) и последующих скачков напряжения, определяемых кривой u2(t) . Для этого промежутка времени ток равен
t
i(t) = u(0)⋅g(t) + ∫ u1′ ( τ)⋅g(t–τ) dτ + [u2(t1)–u1(t1)]⋅g(t–t1) +
0
t
∫ u ′2 ( τ)⋅g(t–τ) dτ.
t1
Наконец, в промежутке времени t2 < t < ∞ при t = t2 происходит новый скачок напряжения 0 – u2(t2). Выражение тока для этого промежутка
времени имеет следующий вид
t
i(t) = u(0)⋅g(t) + ∫ u1′ (τ)⋅g(t–τ) dt + [u2(t1)–u1(t1)]⋅g(t–t1) +
0
t
∫ u ′2 (τ)⋅g(t–τ) dt +
t1
+ [0– u2(t2)]⋅g(t–t2).
2.16. Вопросы для самопроверки
1. Что такое переходной процесс?
2. Сформулируйте законы коммутации.
3. Изложите сущность классического метода.
4. Что понимают под установившимися и свободными токами и напряжениями?
5. Как может быть получено характеристическое уравнение?
6. Чем определяется количество корней характеристического уравнения?
7. Каков характер свободного процесса при комплексных корнях характеристического уравнения?
8. Как находятся постоянные интегрирования?
9. Как определяются начальные значения токов и напряжений?
10. Какова длительность переходного процесса теоретически и практически?
11. Какова опасность для электрооборудования сопряжена с переходными процессами?
83
3. Операторный метод расчета переходных процессов
3.1 Применение преобразования Лапласа к расчету переходных
процессов
Сущность операторного метода расчета состоит в замене действительных функций времени, называемых оригиналом, их операторными
изображениями. Связь между оригиналом f(t) и его изображением F(p) устанавливается с помощью интеграла Лапласа
∞
F(p) = ∫ f(t) e − pt dt ,
0
где p = s + jω — комплексное число.
Чтобы интеграл Лапласа имел конечное значение, функция f(t)
должна удовлетворять условиям Дирихле на любом конечном промежутке времени, быть равной нулю при t<0 и быть ограниченной пространством ⎟f(t)⎜<Me αt , где M>0, α>0.
Практически, все функции, встречающиеся при расчете электрических цепей, удовлетворяют этим условиям.
Преобразование Лапласа может быть записано в виде F(p) = L{f(t)}.
Используя интеграл Лапласа, найдем изображение постоянной величины А
∞
∞
A
A
A
F(p) = ∫ Ae −pt dt = − e −pt =
то есть L{A} = .
p
p
0 p
0
Полученная формула используется в расчетах переходных процессов при записи изображения постоянной ЭДС или источника постоянного тока
J
E
L{E} = ,
L{J} = .
p
p
Приведем (без вывода) еще три формулы для изображений функций
времени, широко используемых в расчетах.
Изображение показательной функции. Пусть f(t) = e αt тогда
1
.
L{e αt } =
p− α
Эта формула используется для записи синусоидальной ЭДС
E
E
E ω
1
1
−
L{Emsinωt = m (e jω t − e − jω t )} = m (
)= 2m 2
2j
2 j p− jω p+ jω
p +ω
84
Изображение производной. Пусть f(t) имеет своим изображением
F(p), тогда
⎧ df(t) ⎫
L⎨
⎬ = pF(p) − f(0),
⎩ dt ⎭
где f(0) — значение функции f(t) при t = 0.
С производной по времени мы встречаемся в выражении напряжеdi
ния на индуктивном элементе uL = L L . Обозначая операторное изобраdt
жение тока iL(t) в виде IL(p), получаем, согласно изложенному, операторное изображение для uL(t)
UL(p) = LpIL(p) − LiL(0),
где iL(0) — значения тока iL(t) при t = 0 .
Изображение интеграла. Пусть f(t) имеет своим изображением
F(p), тогда
t
F(p)
L{ ∫ f(t) dt} =
.
p
0
С интегралом мы встречаемся в выражении напряжения на емкост1t
ном элементе uС = ∫ idt + u С (0) . Обозначая операторное изображение
C0
тока i(t) в виде I(p), получаем, согласно изложенному, операторное изображение для uС(t).
I(p) u С (0)
+
,
UС(p) =
pC
p
где uС(0) — значение напряжения uС(t) при t = 0.
Изображение других функций приведены в справочниках. Как видно из приведенных формул, изображение производной и изображение интеграла представлены алгебраическими функциями от изображений и от
начальных значений самих функций (оригиналов). Поэтому система дифференциальных уравнений, на основании которых рассчитываются переходные процессы в классическом методе расчета, заменяется системой алгебраических уравнений в операторном методе расчета. Это является основным достоинством операторного метода расчета переходных процессов. В дополнение к этому, в операторном методе расчета отпадает трудоемкая операция по определению постоянных интегрирования, поскольку
начальные условия учитываются при записи изображений uL(t) и uС(t).
Для перехода от изображения F(p) к оригиналу f(t) используют обратное преобразование Лапласа (интеграл Бромвича), которое кратко записывается в виде L–1{F(p)} = f(t).
Оригиналы многих изображений приведены в справочниках. При
расчете электрических цепей для определения оригинала по найденному
85
изображению, как правило, пользуются формулой, называемой теоремой
разложения.
В большинстве случаев изображение имеет вид рациональной дроби
F1 (p) b m p m + b m −1 p m −1 + ... + b 0
F(p) =
=
.
F2 (p)
a n p n + a n −1p n −1 + ... + a 0
F (p)
m < n, дробь 1
несократимая, то есть многочлены F1(p) и F2(p)
F2 (p)
общих корней не имеют, ak, bk – действительные числа.
F (p)
находят по следующей форОригинал f(t) изображения F(p) = 1
F2 (p)
муле (теореме разложения)
n F (p )
F (p)
} = f(t) = ∑ 1 k e p K t ,
L–1{ 1
′
F2 (p)
k =1 F (p )
2
k
d F2 (p)
.
dp
В частном случае, когда один из корней многочлена F2(p), например,
p1 = 0, то е p1t = 1 и соответствующий член разложения обращается в постоянную величину. В этом случае
F1 (p1 ) n F1 (p k ) pK t
–1 F1 (p)
L {
} = f(t) =
e .
+∑
F2 (p)
F2′ (p1 ) k =2 F2′ (p k )
где pk – корни уравнения
F2(p) = 0,
F2′(p) =
3.2. Законы Кирхгофа и закон Ома в операторной форме
Первый закон Кирхгофа имеет вид
∑ik = 0.
Так как изображение находят с помощью интеграла Лапласа, а интеграл суммы равен сумме интегралов от слагаемых этой суммы, то первый
закон Кирхгофа в операторной форме записывают в виде
∑Ik(p) = 0.
Аналогично и второй закон Кирхгофа
∑ek = ∑uk
в операторной форме записывают в виде
∑Ek(p) = ∑Uk(p).
Для ветви, содержащей последовательно соединенные элементы R,
L, C (рис. 3.1.)
di
1 t
uk = Rkik + Lk k +
∫ i k dt + u ck (0) .
dt
Ck 0
86
Рис. 3.1 Ветвь с последовательно соединенными элементами R, L и C
Это уравнение в операторной форме записывают в виде
u (0)
1
I k (p) + ck
Uk(p) = RkIk(p) + pLkIk(p) −Lkik(0) +
или
pC k
p
u (0)
1
)Ik(p) −Lkik(0) + ck
.
Uk(p) = (Rk + pLk +
pC k
p
1
= Zk(p) называют операторным сопротивВеличину Rk + pLk +
pC k
лением ветви. Учитывая это, законы Кирхгофа в операторной форме принимают вид
∑Ik(p) = 0.
u (0)
].
∑Ek(p) = ∑[ Zk(p) Ik(p) −Lkik(0) + ck
p
Ток в k-той ветви и падение напряжения в этой ветви в операторной
форме связаны соотношением
u (p)
U k (p) + L k i k (0) − ck
p
Ik(p) =
.
Z k (p)
Это выражение и есть закон Ома в операторной форме. При нулевых
начальных условиях, то есть при ik(0) = 0 и uck(0) = 0, имеем
U k (p)
U (p)
= k
.
Ik(p) =
1
Z k (p)
R k + pL k +
pC k
Соответственно, законы Кирхгофа при нулевых начальных условиях
принимают вид ∑Ik(p) = 0 и ∑Ek(p) = ∑Zk(p) Ik(p).
Заметим, что операторное сопротивление ветви Zk(p) по структуре
тождественно выражению комплексного сопротивления этой ветви
1
. Таким образом, комплексное сопротивление
Zk(jω) = Rk + jωLk +
jωС k
87
ветви Zk(jω) может быть получено из выражения операторного сопротивления Zk(р) путем замены р на jω.
Сопоставляя выражения законов Кирхгофа в операторной форме при
нулевых начальных условиях с выражениями этих законов в комплексной
форме ∑ &I k = 0 и ∑ E& k = ∑Zk &I k, видим, что они аналогичны. Поэтому при
нулевых начальных условиях способы расчета переходных процессов аналогичны способам расчета установившихся режимов комплексным методом.
При ненулевых начальных условиях законы Кирхгофа можно записать в виде
u (0)
∑Ik(p) = 0 и ∑Ek(p) + ∑Lkik(0) − ∑ ck
= ∑Zk(p) Ik(p).
p
u (0)
как ЭДС добавочных источРассматривая члены ∑Lkik(0) и ∑ ck
p
ников энергии, можем с их учетом сохранить все те же общие методы расчета сложных цепей.
3.3. Расчет переходных процессов операторным методом
При расчете переходного процесса операторным методом желательно сразу записывать уравнения Кирхгофа в операторной форме. Для этого
предварительно составляют для заданной цепи эквивалентную операторную схему. Операторная схема отличается от действительной тем, что последовательно с индуктивным и емкостным элементами включают их доu (0)
бавочные ЭДС Li(0) и − С
(рис. 3.2. б). Направления добавочных ЭДС
p
совпадают с направлением тока данной ветви.
а)
б)
Рис. 3.2 Схема ветви R, L, C (а) и аналогичная ей операторная схема (б)
Расчет переходных процессов состоит в решении системы уравнений, составленных на основании законов Кирхгофа. При этом могут быть
использованы все методы расчета (контурных токов, наложения и т. д.).
88
Для цепи (рис. 3.3, а) составим уравнения, используя эквивалентную
операторную схему (рис. 3.3, б)
а)
б)
Рис. 3.3 Схема электрической цепи: а) исходная схема; б) эквивалентная операторная схема
I1(p) + I2(p) + I3(p) = 0;
u (0)
1
1
)I1(p) − (R2 + pL2 +
)I2(p) = – E1(p) − E2(p) + С 2
−
(R1 + pL1 +
pС 2
pС1
p
− L2i2(0);
u (0)
1
1
)I3(p) = E2(p) + L2i2(0) − С 2 +
)I2(p) − (R3 + pL3 +
(R2 + pL2 +
pС 2
pС 3
p
u (0)
+ E3(p) + С3 – L3i3(0) .
p
Решая полученную систему уравнений, находим операторное изображение искомого тока. Затем с помощью теоремы разложения находим
действительное выражение переходного тока.
Пример 3.1.
Найти переходный ток i1 в цепи (рис. 3.4, а). Параметры цепи:
Е = 120 В, R1 = 10 Ом, R2 = 2 Ом, R3 = 3 Ом, R4 = 3 Ом, L = 1.10–3 Гн,
С = 100.10–6 Ф.
89
а)
б)
Рис. 3.4 Схема электрической цепи: а) исходная схема; б) эквивалентная операторная схема
Составим операторную схему цепи (рис. 3.4, б). Найдем начальные
значения тока через индуктивный элемент i1(0) и напряжение на емкостном элементе uС(0)
E
120
i1(0–) = i2(0–) =
=
= 8 A, i3(0–) = 0.
R 1 + R 2 + R 4 10 + 2 + 3
–R2i2(0–) + R3i3(0–) + uС(0–) = 0, uС(0–) = R2i2(0–) = 2.8 = 16 B.
uС(0 + ) = uС(0–) = 16 B.
i1(0 + ) = i1(0–) = 8 A
Составим уравнения, согласно законам Кирхгофа
I1(p)–I2(p)–I3(p) = 0;
E
(R1 + pL)I1(p) + R2I2(p) = + Li1 (0) ;
p
u (0)
1
)I3(p) = – С .
–R2I2(p) + (R3 +
p
pС
Решая полученную систему алгебраических уравнений методом определителей, получим
Δ
I1(p) = 1 ,
Δ
0
−1
−1
E
0
Δ1 = ( + Li1 (0)) R 2
p
1
0
R 2 (R 3 +
)
u (0)
1
− С
R 2 (R 3 +
)
pC
p
pC
1
1
) + (R1 + pL)R2 + (R3 +
)(R1 + pL) =
Δ = R2(R3 +
pС
pС
1
−1
где Δ = (R 1 + pL) R 2
=
−1
0
1
[0,005p2 + 66p + 12 . 104].
p
90
u (0)
1
E
1
E
+ Li1(0)]R2 С
)[ + Li1(0)] = 2 (0,04p2 +
(R3 +
p
p
pС
p
p
.
5
+ 648p + 12 10 ).
F1 (p)
0,04p 2 + 648p + 12 ⋅ 10 5
I1(p) =
=
.
0,005p 3 + 66p 2 + 12 ⋅ 10 4 p F2 (p)
Оригинал тока i1 найдем по теореме разложения
F (p )
i1 = ∑ 1 k epkt.
′
F2 (p k )
Определим корни уравнения F2(p) = 0
0,005p3 + 66p2 + 12.104p = 0
p1 = 0, p2 = −2 177, p3 = −11 023.
dF (p)
Производная F2′(p) = 2
= 0,005p2 + 66p + 12.104.
dp
.
5
.
4
F1(p1) = 12 10 ; F2′(p1) = 12 10 ; F1(p2) = −21 279; F2′(p2) = −96 288,7;
F1(p3) = 1 082 640; F2′(p3) = 487 547,3
F1 (p1 ) p1t F1 (p 2 ) p2 t F1 (p 3 ) p3t 12 ⋅ 105 0 − 21279 −2177t
+
e
e +
i1 =
е +
е +
е =
− 9628,7
12 ⋅ 10 4
F ′ (p )
F ′ (p )
F ′ (p )
Δ1 = R2[
2
+
1
2
2
2
3
− 1082640 −11023t
e
= 10 + 0,22e −2177t − 2,22e −11023t .
4275,3
91
4. Цепи с распределенными параметрами
4.1. Цепи с распределенными параметрами
В предыдущих главах рассматривались цепи с сосредоточенными
параметрами. Однако в электротехнике встречаются цепи, у которых нельзя выделить участки, где было бы сосредоточено только электрическое поле или только магнитное поле, и преобразование электромагнитной энергии в тепловую происходило бы только на определенном участке. Параметры таких цепей: сопротивление, проводимость, индуктивность и емкость – распределены по всей длине цепи. Эти цепи называются цепями с
распределенными параметрами.
Примером цепей с распределенными параметрами являются линии
электропередачи. В линиях электрическое и магнитное поля распределены
по всей длине, и преобразование электромагнитной энергии в тепловую
также происходит по всей длине. Ток и напряжение в начале какогонибудь участка линии не равны току и напряжению на конце этого участка.
Линию с распределенными параметрами называют однородной, если
индуктивность, емкость, сопротивление и проводимость равномерно распределены вдоль нее.
4.2 Дифференциальные уравнения однородной линии
Пусть известны параметры однородной линии, отнесенные к единице длины линии:
R0 – сопротивление прямого и обратного проводов;
g0 – проводимость утечки между проводами;
C0 – емкость между проводами;
L0 – индуктивность петли, образуемой прямым и обратным проводами.
Разобьем линию на участки длиной dx (рис. 4.1.), где x – расстояние
от начала линии. На длине dx сопротивление равно R0dx, индуктивность –
L0dx, емкость – C0dx, проводимость – g0dx. Мгновенные значения напряжения и тока в начале участка длиной dx обозначим через u и i, а в начале
92
∂i
∂u
dx. В этих выражениях частные
dx и i +
∂x
∂x
производные от напряжения и тока записаны потому что напряжение и ток
являются функциями двух независимых переменных: времени t и расстояния x.
следующего – через u +
Рис. 4.1 Электрическая схема элементарного участка однородной
линии
Согласно законам Кирхгофа
−u + R0dxi + L0dx
i−g0dx(u +
∂u
∂i
+u+
dx = 0;
∂t
∂x
∂u
∂u
∂i
∂
dx) −i−
dx) −C0dx (u +
dx = 0.
∂x
∂t
∂x
∂x
Приводя подобные члены, пренебрегая величинами второго порядка
малости и сокращая на dx, получим дифференциальные уравнения линии
−
∂u
∂i
= R0i + L0 ;
∂t
∂x
−
∂i
∂u
= g0u + C0
.
∂t
∂x
93
4.3. Решение уравнений однородной линии при установившемся
синусоидальном режим
При синусоидальном напряжении источника питания ток и напряжение установившегося режима в любой точке линии будут также синусоидальными. Поэтому для решения уравнений линии воспользуемся комплексным методом.
Заменив мгновенные значения тока i и напряжения u комплексными
& , а операцию дифференцирования по
действующими значениями &I и U
времени – множителем jω, получим
&
dU
−
= R0 &I + jωL0 &I ;
dx
d&I
& + jωC0 U
&.
−
= g0 U
dx
& и &I являются функциями только х, и соответственно
Комплексные U
уравнения в частных производных для мгновенных u и i перешли в обык& и &I . Дифференцируя перновенные дифференциальные уравнения для U
вое уравнение по х и, используя второе, получим
&
d2U
&
= (R0 + jωL0)(g0 + jωC0) U
или
2
dx
&
d2U
& = 0,
−γ2U
2
dx
где γ =
(R 1 + jω L 0 )(g 0 + jω C 0 ) = α+jβ.
Решение
имеет вид
полученного дифференциального уравнения
& = А1е
U
−γ х
γх
+ А2е .
Из первого уравнения линии находим комплексный ток
γх
−γ х
&
1
dU
γ
&I = −
(А1е −А2е ) или
=
R 0 + jω L 0 dx R 0 + jω L 0
γх
−γ х
&I = 1 (А1е –А2е ),
Zв
94
для U&
где Zв =
R 0 + jω L 0
R 0 + jω L 0
= Zвejθ,
=
γ
g 0 + jω C 0
Комплексные величины γ = α+jβ и Zв являются вторичными параметрами однородной линии и носят наименования: γ – коэффициент распостранения, Zв – волновое, или характеристическое, сопротивление линии, α – коэффициент затухания, β – коэффициент фазы.
Постоянные интегрирования А1 и А2 находятся по известным напря& 1 и &I1 (х = 0) или по известным напряжежению и току в начале линии U
& 2 и &I 2 (х = l, где l – длина линии).
нию и току в конце линии U
4.4. Бегущие волны
Выразив комплексы А1 и А2 в показательной форме А1 = А1е jψ1 ,
А2 = А2е jψ 2 и учтя, что γ = α+jβ и Zв = Zвejθ, получим
& = А1е jψ1 е–αхе–jβx + А2е jψ2 еαхеjβx.
U
&I = А1 е jψ1 е–αхе–jβxe–jθ− А 2 е jψ 2 еαхеjβxe–jθ.
Zв
Zв
По комплексным значениям напряжения и тока запишем их мгновенные значения.
u=
2 A1e – αхsin(ωt − βx + ψ1) +
2 A2eαхsin(ωt + βx + ψ2);
i=
2 A1 – αх
e sin(ωt − βx + ψ1 – θ) −
Zв
2 A 2 αх
e sin(ωt + βx + ψ2 − θ).
Zв
Каждое из слагаемых правой части двух последних выражений можно рассматривать как бегущую волну, движущуюся в направлении возрастания или убывания координаты х и затухающую в направлении движения.
Действительно, каждое из слагаемых в любой фиксированной точке х = х1
представляет собой периодическую функцию времени. В любой же фиксированный момент времени t = t1 каждое из слагаемых изменяется вдоль
линии по закону затухающей синусоиды.
Скорость перемещения волны вдоль линии, называемая фазовой скоростью волны, определяется как скорость, с которой надо перемещаться
вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу колебания
ωt – βx + ψ1 = const,
95
откуда следует, что
d
(ωt – βx + ψ1) = 0 и
dt
dx
ω
= υ= .
dt
β
Аналогично второе слагаемое даст то же значение скорости только с
обратным знаком. Отсюда следует, что первое слагаемое выражает собой
прямую волну (рис. 4.2, а), движущуюся от начала линии, а второе слагаемое – обратную волну, движущуюся от конца линии (рис. 4.2, б).
Рис. 4.2 График распределения напряжения вдоль линии для различных моментов времени: а) прямая волна; б) обратная волна
Длиной волны λ называется расстояние между ближайшими двумя
точками, фазы колебания которых различаются на 2π
(ωt−βx + ψ1) − [ ωt−β(x + λ) + ψ1] = 2π, откуда λ =
2π
.
β
За время, равное одному периоду, волна пробегает расстояние, равное длине волны.
Введение понятия о прямых волнах напряжения и тока un и in и обратных волнах u0 и i0 в линии при установившемся режиме облегчает анализ явления, однако в действительности в линии существуют результирующее напряжение u = un + u0 и ток i = in + i0, или в комплексной форме
γх
A −γ х
−γ х
&
&
&
&
&
&
&
&
U = U n + U 0 , I = I n + I0 , где U n = А1е , U 0 = А2е , &I n = 1 е ,
Zв
γх
&I0 = – A 2 е .
Zв
Из полученных выражений видно, что токи и напряжения прямой и
обратной волны могут быть выражены
&
&
U
U
&I n = n ,
&I0 = − 0 .
Zв
Zв
96
Сумма простых гармонических функций un и u0 одинаковой частоты
дает также гармоническую функцию. Следовательно, напряжение в любой
точке линии изменяется также по гармоническому закону. Причем в различных точках линии напряжение имеет различные амплитуды и различные фазы.
Появление обратных волн можно рассматривать как результат отражения прямых волн от конца линии.
Соответственно, прямые волны называют падающими, а обратные –
отраженными. Коэффициентом отражения напряжения nu от конца линии
& 02 к прямой волне
называют отношение отраженной волны напряжения U
&
U
n 2 напряжения в конце линии. Соответственно, коэффициентом отражения тока ni называют отношение &I 02 к &I n2 . Найдем значения nu и ni из
условия, что линия с волновым сопротивлением Zв замкнута в конце на
сопротивление Zпр приемника. На конце линии x = l имеем
&2 = U
& n2 + U
& 02 ;
U
&
&
&I 2 = &I n2 + &I 02 = U n 2 − U 02 . Откуда находим
Zв
Zв
& 02 = U
& 2 –Zв &I = (Zпр –Zв) &I .
Zв &I 2 = (Zпр + Zв) &I 2 ; 2 U
2
2
nu =
& 02 Z пр − Z в
U
,
=
& n 2 Z пр + Z в
U
ni =
& n2 = U
&2 +
2U
&I 02 − U
& 02 Z в
Z в − Z пр
.
=
= −nu =
&I n 2
& n2 Z
U
Z
+
Z
в
пр
в
Если линия на конце замкнута на сопротивление, равное волновому,
Zпр = Zв, то nu = 0 и ni = 0. Это значит, что в линии будут отсутствовать отраженные (обратные волны). Это важное свойство реализуется в линиях
связи, отражения в которых нежелательны по следующим причинам: отраженная волна создает эффект эха в начале линии, кроме того, часть энергии, достигшей приемника, не поступает в него, а возвращается назад с отраженной волной, что вызывает дополнительные потери энергии в сопротивлении R и проводимости g линии. Если Zпр = Zв, то приемник и линия
называются согласованными.
97
4.5. Уравнение однородной линии с гиперболическими функциями
Выражения для комплекса напряжения U& и комплекса тока &I
&I = 1 ( А1е–γх−А2еγх).
Zв
& = А1е–γх + А2еγх ;
U
содержат две постоянные интегрирования. Определим их из граничных условий. Пусть заданы значения напряжения U& 2 и тока &I 2 в конце линии (х = l). Принимая х = l, получим
& 2 = А1е–γl + А2еγl;
&I Zв = А1е–γl− А2еγl;
U
2
А1 =
1 &
1 &
–γl
&
( U 2 + &I 2 Zв)еγl; А2 = ( U
2 − I 2 Zв)е .
2
2
Следовательно
& 2 + &I Zв)еγlе–γx + 1 ( U
& 2 − &I Zв)е–γl еγx;
& = 1 (U
U
2
2
2
2
& 2 + &I Zв)еγlе–γх− 1 ( U
& 2 − &I Zв)е–γl еγх].
&I = 1 [ 1 ( U
2
2
Zв 2
2
Обозначив y = l – x и используя соотношения
γy
e + e−
2
γy
γy
= ch γ y,
e − e−
2
γy
= sh γ y , получим
& 2 chγy + &I Zвshγy;
& =U
U
2
&
&I = U 2 shγy + &I chγy.
2
Zв
& 1 и тока &I 1 в начале линии х = 0,
Если заданы значения напряжения U
то, проведя аналогичные преобразования, получим
& 1 chγx − &I Zвshγx;
& =U
U
1
&
&I = − U1 shγx + &I chγx.
1
Zв
Эти формулы позволяют определить ток и напряжение в любой точке линии по заданным значениям тока и напряжения в конце или в начале
линии.
98
4.6. Характеристики однородной линии
Волновое сопротивление линии Zв =
R 0 + jω L 0
g 0 + jω C 0
и коэффициент
распространения γ=α+jβ = (R 0 + jω L 0 )(g 0 + jω C 0 ) зависят от частоты,
поэтому условия прохождения волн тока и напряжения для различных частот неодинаковы. Если сигнал на входе является периодической несинусоидальной функцией времени, то на выходе линии форма кривой сигнала
будет искажена, так как для различных гармоник условия прохождения
различны. Среднее значение Zв для воздушных линий 300−400 Ом, а для
кабелей 60−80 Ом. Для кабелей емкость С0 значительно больше, а индуктивность L0 значительно меньше, чем для воздушных линий, так как провода у них расположены ближе друг к другу, а диэлектрическая проницаемость изоляции в 4−5 раз больше диэлектрической проницаемости воздуха. Поэтому Zв для кабелей меньше, чем для воздушных линий.
Фазовая скорость волн в линии определяется коэффициентом фазы
β. Для линии без искажения и линии без потерь υ = c, где с – скорость света. В кабельных линиях фазовая скорость волн в 2,0−2,5 раза меньше скорости света. Фазовая скорость в линии с потерями, хоть и немного, но все
же меньше скорости света.
Длина волны λ в воздушных линиях, для которых
с
тоте f = 50 Гц составит λ = υ Т = = 6000 км.
f
υ ≈ с, при час-
4.7. Линия без искажений
Для линии связи чрезвычайно важно создание условий, при которых
отсутствовало бы искажение формы передаваемого сигнала (тока и напряжения). Для этого необходимо, чтобы волновое сопротивление Zв, коэфω
не зависели от частоты.
фициент затухания α и фазовая скорость υ =
β
Эти условия выполняются, если имеет место следующее соотношение
R 0 g0
=
.
L0 C0
99
В этом случае Zв =
R 0 + jω L 0
=
g 0 + jω C 0
γ= (R 0 + jω L 0 )(g 0 + jω C 0 ) =
L0
C0
R0
+ jω
L0
L0
,
=
g0
C0
+ jω
C0
⎛ R0
⎞⎛ g
⎞
⎜⎜
+ jω ⎟⎟⎜⎜ 0 + jω ⎟⎟ L 0 C 0 =
⎝ L0
⎠⎝ C 0
⎠
= R 0 g 0 + jω L 0 C 0 ,
α=
R 0g 0 ;
β = ω L0C0 .
ω
1
=
. Из полученных выражений видβ
L 0C0
но, что волновое сопротивление, коэффициент затухания и фазовая скоR
g
рость не зависят от частоты. Для выполнения равенства 0 = 0 в линиях
L0 C0
связи искусcтвенно увеличивают индуктивность, включая в линию через
определенные расстояния специальные индуктивные катушки.
Фазовая скорость υ =
4.8. Линии без потерь
В ряде случаев, в особенности при высоких частотах, когда ωL0 >>R0
и ωC0 >> g0, можно пренебречь наличием потерь в линии и принять R0 = 0
и g0 = 0.
В этом случае γ=α+jβ =
(jω L 0 ⋅ jω C 0 ) = jω L 0 C 0 .
Коэффициент затухания α = 0, коэффициент фазы
волновое сопротивление Zв =
β = ω L0C0 ,
jω L 0
L0
=
чисто активное, фазовая скоjω C 0
C0
рость
υ =
ω
=
β
1
.
L0C0
У линии без потерь затухание равно нулю, волновое сопротивление
и фазовая скорость не зависят от частоты.
100
Уравнения однородной линии с гиперболическими функциями
&
& 2 chγy + &I Zвshγy и &I = U 2 shγy + &I chγy для линии без потерь
& =U
U
2
2
Zв
принимают вид
&2
U
&
&
&
&
U = U 2 cosβy + j I 2 Zвsinβy и I = j
sinβy + &I 2 cosβy, поскольку
Zв
γy = jβy, a chγy = chjβy = cosβy, shγy = shjβy = jsinβy.
4.9. Стоячие волны
Рассмотрим линию без потерь в режиме холостого хода (сопротивление приемника Zпр = ∞, &I 2 = 0). Напряжение и ток в этом случае имеют
&
& =U
& 2 cosβ y &I = j U 2 sinβ y .
выражения
U
Zв
& 2 = U)
Перейдем к мгновенным значениям (считая U
u=
2 U2cosβy sin ω t, i =
2
U2
sinβy sin( ω t + 90°).
Zв
Угол 90° в аргументе синуса в выражении мгновенного значения тока i соответствует наличию множителя j в выражении комплекса тока &I .
Мгновенные значения напряжения и тока представляют собой уравнения стоячих волн.
Стоячая электромагнитная волна образуется в результате наложения
движущихся навстречу прямой и обратной электромагнитных волн одинаковой интенсивности. При возникновении стоячих волн электромагнитная
энергия не передается от начала к концу линии. Однако на каждом отрезке
линии, равном 1/4 длины волны, запасена некоторая электромагнитная
энергия. Эта энергия периодически переходит из энергии электрического
поля в энергию магнитного поля, затем снова в энергию электрического
поля и так далее. На рис. 4.3. показана стоячая волна напряжения и стоячая
волна тока. В точках у = кλ/2, где к = 0,1,2,…, будут узлы тока и пучности
напряжения. Узлы и пучности тока и напряжения неподвижны.
101
Для входного сопротивления разомкнутой линии без потерь, обозначая длину линии через l, получим
Z0 =
& 10
U
= − jZвctg βl.
&I10
Рис. 4.3 Стоячие волны напряжения и тока при холостом ходе линии
без потерь
Рис. 4.4 График изменения входного сопротивления в зависимости от
длины разомкнутой линии без потерь
Входное сопротивление чисто реактивное, характер его определяется длиной линии. При 0 < l < λ/4 оно имеет емкостной характер, при
λ/4 < l < λ/2 – индуктивный характер и т. д. (рис. 4.4). При l = λ/4, l = 3/4λ
входное сопротивление разомкнутой линии равно нулю, а при l = λ/2, l = λ
оно равно бесконечности (рис. 4.4).
102
При коротком замыкании линии без потерь (Zпр = 0, U2 = 0)
& = j &I 2 Zвsinβy и &I = &I 2 cosβy.
U
Мгновенные значения
u=
2 I2Zвsinβy sin( ω t + 90°),
i=
2 I2cosβy sin ω t.
Напряжение и ток также представляют собой стоячие волны. В точках у = кλ/2, где к = 0, 1, 2,…, будут узлы напряжения и пучности тока
(рис. 4.5).
Входное сопротивление короткозамкнутой линии без потерь
&
U
Zк = lк = jZвtgβl.
&I lк
Входное сопротивление чисто реактивное, при 0 < l < λ/4 оно имеет
индуктивный характер, а при λ/4 < l < λ/2 – емкостной характер и т. д..
При l = λ/2, l = λ входное сопротивление короткозамкнутой линии равно
нулю, а при l = λ/4, l = 3/4λ оно равно бесконечности (рис. 4.6).
Рис. 4.5 Стоячие волны напряжения и тока при коротком замыкании
линии без потерь
103
Рис. 4.6 График изменения входного сопротивления в зависимости от
длины короткозамкнутой линии без потерь
Изменяя длину отрезка короткозамкнутой линии, можно создавать
различные по величине индуктивные и емкостные сопротивления. Отрезок
короткозамкнутой на конце линии без потерь длиной в четверть длины
волны теоретически имеет входное сопротивление, равное бесконечности.
Это позволяет применять его в качестве изолятора при подвеске проводов.
4.10. Вопросы для самопроверки
1. Что такое цепи с распределенными параметрами?
2. Какими параметрами характеризуется линия электропередачи?
3. Почему ток и напряжение в начале участка линии и в конце различны по величине?
4. Что такое бегущие волны тока и напряжения?
5. При каком условии возникают стоячие волны тока и напряжения?
6. При каком условии в линии отсутствуют искажения?
104
5. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами
5.1. Возникновение переходных процессов в цепях с распределенными параметрами
Переходные процессы в длинных линиях возникают при включении
и отключении линий, источников питания и приемников энергии, а также
при грозовых разрядах. В линиях связи переходные процессы возникают
также при передаче сигналов.
5.2. Общее решение уравнений однородной линии
Для анализа переходных процессов в цепях с распределенными параметрами рассмотрим дифференциальные уравнения однородной линии.
∂i
∂i
∂u
∂u
и − = g0 u + C0
−
= R 0i + L0
.
∂t
∂t
∂x
∂t
Решение дифференциальных уравнений произведем для линий без
потерь (R0 = 0 и g0 = 0). Изучение переходных процессов при R0 = 0 и
g0 = 0 даст возможность качественно исследовать основные черты. В количественном отношении неучет R0 = 0 и g0 = 0 для начальных стадий переходного процесса существенного влияния не оказывает. Однако для последующих стадий учет R0 = 0 и g0 = 0 желателен и даже необходим. Уравнения линии получат вид
−
∂i
∂u
= L0
∂x
∂t
и −
∂i
∂u
= C0 .
∂t
∂t
В общем случае решение этих уравнений для однородных линий будет следующим
u = F1(x− υ t) + F2(x + υ t) = un + u0,
1
i=
[ F1(x− υ t) −F2(x + υ t) = in + i0,
L0
C0
1
называется скоростью распространения волны, численно
L 0C0
равной фазовой скорости;
где υ =
105
L0
= Zв – волновое сопротивление линии без потерь;
C0
un = F1(x − υ t) – напряжение прямой (падающей) волны;
u0 = F2(x + υ t) – напряжение обратной (отраженной) волны;
1
in =
F1(x − υ t) – ток прямой (падающей) волны;
Zв
1
i0 =
F2(x + υ t) – ток обратной (отраженной) волны.
Zв
Напряжение и ток прямой и обратной волн связаны между собой соотношением
in =
un
Zв
i0 = −
u0
.
Zв
un = F1(x– υ t) есть напряжение волны, движущееся от начала линии
к ее концу со скоростью υ . Принимая t = 0, мы найдем распределение напряжения вдоль линии в начальный момент времени. Возьмем некоторую
произвольную точку х и предположим, что ее положение определяется координатой х = х0 + υ t. Тогда напряжение в этой движущейся точке
un = F1(x0 + υ t – υ t) = F1(x0) не будет зависеть от времени. Значит, волна с
напряжением un распространяется в сторону возрастания х со скоростью υ ,
поэтому эта волна называется прямой. Аналогично функция u0 = F2(x – υ t)
определяет напряжение обратной волны, которая распространяется вдоль
линии со скоростью υ в обратном направлений.
5.3. Подключение к линии источника напряжения
Прямая волна
Пусть источник постоянного напряжения U0, имеющий внутреннее
сопротивление равное нулю, подключается к незаряженной линии, у которой R0 = g0 = 0.
По линии начнет перемещаться прямая (падающая) электромагнитная волна со скоростью υ . Начальный участок волны называется фронтом волны. В данном случае он прямоугольный (рис. 5.1).
106
Рис. 5.1 Падающая электромагнитная волна в однородной двухпроводной линии
Напряжение волны un равно напряжению источника U0. Ток волны
U
u
in = n = 0 = I. На участке линии dx на фронте волны напряжение изZв
Zв
меняется, поэтому здесь будет протекать ток смещения через диэлектрик
между проводами.
dQ
u
, dQ = unC0dx, iсм = unC0 dx = unC0 υ = unC0 1
iсм =
= n = in.
dt
dt
C0 L 0 Zв
Таким образом, по проводам линии протекает ток от источника, замыкаясь через диэлектрик на фронте волны.
Для контура, образуемого этой цепью, магнитный поток при перемещении волны на расстояние dx увеличивается на величину dФ = inL0dx.
Приращение потока на фронте волны обусловит наведение ЭДС самоиндукции
dФ
е= −
= − inL0 dx = − inL0 1
= − inZв = − un.
dt
dt
C0L0
Эта ЭДС самоиндукции уравновесит напряжение источника.
Электромагнитная волна, перемещаясь вдоль линии, каждой единице
C u2
длины линии сообщает энергию электрического поля 0 n и энергию
2
2
L i
магнитного поля 0 n . Эти энергии равны друг другу
2
C u2
C Z 2i 2
L i2
Wэ = 0 n = 0 в n = 0 n = Wм.
2
2
2
Когда прямая волна достигнет конца линии, то часть ее переходит в
приемник, а часть отразится – возникает обратная волна.
107
5.4. Общий метод определения отраженных волн
Пусть вдоль линии с волновым сопротивлением Zв движется волна un
и in, причем un = Zвin. Волна может быть как прямоугольной, так и любой
другой формы. Волна попадает на узел 2–2′. Часть цепи, подключенную к
концу линии в точках 2–2′ справа, можно рассматривать как пассивный
двухполюсник (рис. 5.2, а).
а)
б)
Рис. 5.2 Падающая электромагнитная волна в однородной линии
замкнутой на приемник: а) конец однородной линии, замкнутой на приемник; б) эквивалентная схема цепи для расчета отраженных волн
Так как выводы двухполюсника 2–2′ принадлежат также и линии с
волновым сопротивлением Zв, то напряжение на этих выводах равно сумме
напряжений падающей и отраженной волн, аналогично и ток
u
u
u2 = un + u0, i2 = in + i0 или
u2 = un + u0, i2 = n − 0 .
Zв Zв
Решив совместно эти два уравнения, имеем
2un = u2 + Zвi2.
Полученному уравнению соответствует эквивалентная схема с сосредоточенными параметрами, показанная на рис. 5.2., б.
Таким образом, напряжение и ток в конце линии при произвольной
нагрузке можно найти, рассчитав переходный процесс в эквивалентной
схеме с источником ЭДС Е = 2un. Линия на этой схеме представлена своим
волновым сопротивлением Zв.
Последовательность расчета:
1) Находим переходной ток i2 в эквивалентной схеме классическим
или операторным методом. Если входное сопротивление двухполюсника
активное, то переходный процесс отсутствует, и ток i2 находим по закону
Ома (необходимо помнить, что Zв формально аналогично активному сопротивлению).
2) Определяем u2 u2 = 2un−Zвi2.
3) Находим напряжение отраженной волны u0 = u2−un.
108
4) Находим ток отраженной волны i0 = −
u0
.
Zв
5.5. Отражение волны от конца линии, замкнутой на резистивный элемент
Рассмотрим
волну
с
прямоугольным
фронтом
un = U 0
U
u
in = I0 = n = 0 , движущуюся по однородной линии, к концу которой
Zв Zв
подключен приемник с резистивным сопротивлением R2. На рис. 5.3, а показаны графики распределения напряжения un и тока in падающей волны в
момент, когда она подошла к концу линии. Для определения отраженной
волны воспользуемся эквивалентной схемой с сосредоточенными параметрами (рис. 5.3, б).
а)
б)
Рис. 5.3 Однородная линия замкнутая на резистивный приемник:
а) падающая волна в однородной линии; б) схема замещения линии для
расчета отраженной волны
Переходный процесс в цепи отсутствует, поскольку цепь содержит
только сопротивления Zв и R2, сразу наступает установившийся процесс.
Еэ
2u n
2u n Z в
R2
, u2 = 2un–Zвi2 = 2un−
.
=
= 2u n
i2 =
Zв + R 2 Zв + R 2
Zв + R 2
Zв + R 2
Напряжение на приемнике u2 одновременно является напряжением
однородной линии, поэтому u2 = un + u0, откуда
R2
R −Z
u0 = 2un
− u n = un 2 в .
Zв + R 2
R 2 +Zв
u
Z − R2
.
Ток отраженной волны i0 = − 0 = i n в
Zв
Zв + R 2
109
Обозначим
R 2 −Zв
= nu – коэффициент отражения напряжения и
R 2 +Zв
Zв − R 2
= ni – коэффициент отражения тока, ni = −nu. Тогда u0 = unnu
Zв + R 2
i0 = inni.
При R2 > Zв nu > 0, ni < 0, напряжение отраженной волны u0 будет положительным, но меньшим, чем напряжение падающей волны un, ток отраженной волны i0 будет отрицательным и по абсолютной величине меньшим, чем ток падающей волны in. На рис. 5.4. показаны графики распределения напряжения и тока падающей и отраженной волн и результирующих
напряжения u = un + u0 и тока i = in + i0. Если R2 < Zв, коэффициенты отражения напряжения nu и тока ni поменяют знаки nu< 0 ni > 0.
Рис. 5.4 Графики распределения напряжения и тока вдоль линий при
R2<Zв
Если R2 = Zв (согласованная нагрузка), то nu = 0, ni = 0 и отраженной
волны не будет.
Если линия на конце короткозамкнута (R2 = 0), то nu = –1, ni = 1. Напряжение отраженной волны будет той же величины и обратного знака,
ток отраженной величины будет той же величины и того же знака.
Если линия на конце разомкнута (R = ∞), то nu = 1 и ni = –1. Напряжение отраженной волны будет той же величины и того же знака, ток отраженной волны будет той же величины и противоположного знака. Результирующее напряжение станет вдвое больше напряжения генератора
u = un + u0 = U0 + U0 = 2U0.
5.6. Преломление и отражение волн в месте сопряжения двух
однородных линий
Пусть падающая волна с прямоугольным фронтом un1 = U0 и
U
in1 = 0 , распространяющаяся по однородной линии, имеющей волновое
Z в1
110
сопротивление Zв1, достигла места стыка со второй однородной линией,
имеющей волновое сопротивление Zв2 (рис. 5.5, а). На месте стыка линий
возникнет отраженная волна u01 и i01 и преломленная волна un2 и in2, распространяющаяся по второй линии. Для определения характера изменений
напряжений и токов обратимся к эквивалентной схеме с сосредоточенными параметрами (рис. 5.5, б). Поскольку цепь содержит только сопротивления Zв1 и Zв2, переходной процесс отсутствует
2U 0
i2 =
;
u2 = 2U0 Z в2 ; u2 = un + u0;
Z в1 + Z в2
Z в1 + Z в2
u
u01 = U0 Z в2 − Z в1 ; i01 = − 01 = in1 Z в1 - Z в2 .
Z в1
Z в2 + Z в1
Z в1 + Z в2
Напряжение и ток преломленной волны
2U 0
un2 = u2 = 2U0 Z в2 ,
in2 = i2 =
.
Z
+
Z
Z в1 + Z в2
в1
в2
а)
б)
Рис. 5.5 Две последовательно соединенные однородные линии с
различными волновыми сопротивлениями: а) графики распределения напряжения и тока вдоль линии при Zв2 > Zв1; б) схема замещения для расчета
отраженной и преломленной волн
На рис. 5.5, а показаны графики распределения напряжения и тока в
первой и второй линиях при Zв2 > Zв1, что имеет место, например, при пе111
реходе кабельной линии в воздушную. Напряжение преломленной волны
un2 больше напряжения падающей волны un1, а ток преломленной волны in2
меньше тока падающей волны in1. Напряжение отраженной волны u01 положительное, а ток i01 отрицательный. При этом вследствие наложения отраженной волны на падающую волну, ток в первой линии i1 = in1 + i01
уменьшается, а напряжение u1 = un1 + u01 увеличится.
При Zв1 > Zв2 напряжение преломленной волны меньше напряжения
падающей волны. А ток преломленной волны больше тока падающей волны (рис. 5.6). Напряжение отраженной волны отрицательное, а ток положительный. Вследствие наложения отраженной волны на падающую, напряжение в первой линии уменьшится, а ток увеличится.
Рис. 5.6 Графики распределения напряжений и тока вдоль линии
при Zв1 > Zв2
5.7. Отражение волны от конца линии, замкнутой на индуктивный элемент
U
Пусть падающая волна с прямоугольным фронтом un = U0 in = 0 ,
Zв
распространяющаяся по однородной линии с волновым сопротивлением
Zв, достигла конца линии, замкнутой на индуктивный элемент (рис. 5.7, а).
Для определения отраженной волны обратимся к эквивалентной схеме
(рис. 5.7, б).
Согласно второму закону Кирхгофа имеем уравнение
112
di 2
= 2U0.
dt
Его решение при нулевых начальных
условиях
Zв
Zв
− t
− t
L
L
2U 0
i2 =
(1 − е
);
u2 = 2U0e
;
Zв
Zвi2 + L
−
u0 = u2–un = 2U0e
i0 = –
Zв
t
L
−
– U0 = U0Zв(2e
U0
= in(1 – 2e
Zв
−
L
Zв
t
L
– 1);
t
).
На рис. 5.7, в и 5.7, г построены графики напряжения и тока падающей и отраженной волн, а также результирующие напряжения u = un + u0 и
тока i = in + i0 для момента времени, когда отраженная волна прошла половину пути от конца до начала линии.
а)
в)
б)
г)
Рис. 5.7 Однородная линия, замкнутая на индуктивный приемник:
а) схема цепи; б) схема замещения линии для расчета отраженной волны;
в)график распределения напряжения вдоль линии; г) график распределения тока вдоль линии
113
В момент, когда падающая волна достигнет конца линии, напряжение удваивается, а ток спадает до нулевого значения. Затем напряжение
постепенно уменьшается, а ток увеличивается.
5.8. Многократное отражение волн с прямоугольным фронтом в
линии, замкнутой на резистивное сопротивление
Переходной процесс в линии, как правило, состоит в многократных
отражениях волн. При включении линии от генератора пойдет падающая
волна с напряжением un1 = U0, где U0 – напряжение генератора. Подойдя к
концу линии, замкнутой на приемник с резистивным сопротивлением,
волна отразится, и к началу линии пойдет первая отраженная волна с напряжением u01. Эта волна, подойдя к генератору в начале линии, вновь отразится. Обмотка генератора имеет конкретное (внутреннее) сопротивление. В результате, возникнет вторая падающая волна с напряжением un2,
последняя, подойдя к концу линии, отразится снова и т. д.
Пусть генератор имеет чисто резистивное внутреннее сопротивление
R1, а линия с волновым сопротивлением Zв замкнута на конце на приемник
с резистивным сопротивлением R2. В этом случае коэффициент отражения
R −Z
напряжения от конца линии nu2 = 2 в , а коэффициент отражения от наR 2 +Zв
R −Z
чала линии nu1 = 1 в . Соответственно, коэффициенты отражения тока
R1 + Zв
ni2 = − nu2 и ni1 = − nu1. Пользуясь коэффициентами отражения, можно записать значение любой падающей или отраженной волны
u01 = nu2un1 = nu2U0, un2 = nu1u01 = nu2nu1U0, u02 = nu22nu1U0 и т. д. Коэффициенты отражения по абсолютной величине меньше единицы (только
при R = 0 nu = − 1 и при R = ∞ nu = 1), поэтому каждая отраженная волна
при каждом новом отражении становится все меньше и меньше. Наложение этих волн дает значение напряжений (токов) в любой момент времени.
На рис. 5.8 приведены графики изменения напряжения и тока на резистивном приемнике для двух случаев а) R1 = 0, R2 < Zв и б) R1 = 0, R2 > Zв.
114
а)
б)
Рис. 5.8 График изменения тока и напряжения на резистивном
приемнике при многократном отражении: а) R1 = 0, R2 < Zв; б) R1 = 0,
R2 > Zв
115
ЛИТЕРАТУРА
1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. – М.: Гардарики, 1999. – 317 с.
2. Зевеке Г. В., Ионкин П. А. и др. Основы теории цепей. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с.
3. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники. Т.1.– Л.:Энергоиздат, 1981.–526 с.
4. Теоретические основы электротехники, т.1. Под ред. П. А. Ионкина. – М.: Высшая школа, 1976. – 544 с.
5. Атабеков Г. И. Теоретические основы электротехники. Линейные
электрические цепи. Ч. 1. – М.: Энергия, 1978. – 592 с.
116
Содержание
1.Трехфазные цепи…………………………………………………..………...3
Трехфазный генератор. Трехфазная система ЭДС….………...……...3
Трехфазная цепь…………….…………………………………..……...5
Соединение звездой……….…………………………………...……….5
Расчет трехфазной цепи при соединении звездой……………………8
Симметричный режим…………………………………..……….8
Несимметричный режим...……………………………………...10
Соединение треугольником. Расчет трехфазной
цепи при соединении треугольник…………………………………...13
Расчет трехфазных цепей при наличии нескольких
приемников с различным видом соединений………………….…….16
Симметричный режим……..…………………….……………...16
Несимметричный режим…..……………………….…………...18
Расчет трехфазных цепей при наличии
индуктивно связанных элементов…………………………...………20
Активная, реактивная и полная мощности
трехфазной цепи……………………………………………..……..…21
Мгновенная мощность трехфазного приемника…………………….22
Измерение мощности в трехфазных цепях…………..……………..22
Магнитное поле катушки с синусоидальным током…...………......25
Вращающееся магнитное поле……………………………..……….26
Принцип действия асинхронного двигателя……………..………...27
Симметричные составляющие трехфазной системы величин….....29
Некоторые свойства трехфазных цепей в отношении
симметричных составляющих токов и напряжений…………...….32
Сопротивления симметричной трехфазной цепи
для токов различных последовательностей…………………...……35
Расчет трехфазной цепи с несимметричной нагрузкой
с использованием метода симметричных составляющих………….37
Высшие гармоники в трехфазных цепях…………..……………….40
Высшие гармоники в трехфазных цепях при
соединении обмоток генератора треугольником…..…………...…40
Высшие гармоники в трехфазных цепях при
соединении обмоток генератора звездой………………….……….42
1.21. Задачи и вопросы для самопроверки……….……………………….43
2. Переходные процессы в линейных электрических цепях.
Классический метод расчета………………………………..………….….45
Возникновение переходных процессов. Законы коммутации……...45
Установившиеся и свободные составляющие токов
и напряжений переходного процесса……………………..………...46
117
Короткое замыкание цепи с последовательно
соединенными участками R и L…………………………………….48
Включение цепи с последовательно соединенными
участками R и L под постоянное напряжение………………….…..51
Включение цепи с последовательным соединением
участков R и L под синусоидальное напряжение………..…….…..53
Короткое замыкание цепи с последовательным
соединением участков R и С…………………………………….......57
Включение цепи с последовательно соединенными
участками R и С под постоянное напряжение……………………..59
Включение цепи с последовательно соединенными
участками R и С под синусоидальное напряжение………………...61
Переходные процессы в цепи с последовательно
соединенными участками R, L и С. Апериодический разряд
конденсатора………………………………………………………...….65
Периодический разряд конденсатора на цепь R, L……………..….68
Включение цепи с последовательно соединенными
участками R, L, C под постоянное напряжение…………………...71
Включение цепи с последовательно соединенными
участками R, L, C на синусоидальное напряжение……….………72
Расчет переходных процессов в сложных цепях……………..……74
Расчет переходных процессов при включении цепи
к источнику с непрерывно изменяющимся напряжением (интеграл Дюамеля)…………………………………….……..80
Расчет переходных процессов при включении цепи
к источнику напряжения произвольной формы…………….……..82
Вопросы для самопроверки……………..…………………………...83
3. Операторный метод расчета переходных процессов…………..………...84
Применение преобразования Лапласа к расчету
переходных процессов………………………………………………..84
Законы Кирхгофа и закон Ома в операторной форме………………86
Расчет переходных процессов операторным методом……………...88
4. Цепи с распределенными параметрами……………………………..……92
Цепи с распределенными параметрами……………………………...92
Дифференциальные уравнения однофазной линии…………………92
Решение уравнений однородной линии при установившемся синусоидальном режиме……………………………………...93
Бегущие волны………………………………………………….……...95
118
Уравнения однофазной линии с гиперболическими функциями…..97
Характеристики однородной линии………………………………….98
Линия без искажений……………………………………………….…99
Линия без потерь……………………………………………………..100
Стоячие волны………………………………………………………..100
Вопросы для самопроверки……………………………………..….103
5. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами.……105
Возникновение переходных процессов в цепях
с распределенными параметрами……………….……………...…..105
Общее решение уравнений однородной линии………………….…105
Подключение к линии источника напряжения. Прямая волна……106
Общий метод определения отраженных волн……………………...108
Отражение волны от конца линии, замкнутой на
резистивный элемент………………………………………………..109
Преломление и отражение волны в месте сопряжения
двух однородных линий………….…………………………………..110
Отражение волны от конца линии, замкнутой на
индуктивный элемент…………………………………………….....112
Многократное отражение волн с прямоугольным
фронтом в линии, замкнутой на резистивное сопротивление…....114
Литература……………..…………………………………………...…116
Содержание……………..……………………………………………..117
119
Учебное издание
Корко Виктор Станиславович
Сапун Геннадий Адамович
Кочетова Эмма Леонидовна
Гузанова Татьяна Федоровна
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Линейные электрические цепи. Часть Ⅱ .
Учебное пособие
Ответственный за выпуск Кочетова Э. Л., доцент, к.т.н.
Редактор Филиппова О. В.
ЛВ № 412 Подписано к печати 29.05.02г. Формат 60х84/16
Объем печ. л. 7,5 Уч.- изд. л. 5,4 Зак. 216 Тир. 100
Отпечатано на ротапринте БГАТУ. ЛП № 42. Минск,
пр. Скорины, 99, к. 2
120
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
43
Размер файла
2 959 Кб
Теги
лекция, теоретические, электротехника, электрический, линейный, часть, основы, курс, цепи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа