close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

57.Управление техническими системами

код для вставкиСкачать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«УФИМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА»
С.А. Лавров
УПРАВЛЕНИЕ
ТЕХНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
Учебное пособие
Рекомендовано
учебно-методическим советом УГАЭС
Уфа-2012
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 681.511.2:519.7(07)
ББК 32.965.4:22.18(я7)
У 67
Рецензент:
Кафедра авиационного приборостроения
Уфимского государственного авиационно-технического университета
Лавров С.А.
У 67 Управление техническими системами: Учеб. пособие. – 2-е изд. /
С.А. Лавров. – Уфа: Уфимская государственная академия экономики и
сервиса, 2012. – 47 с.
В учебном пособии изложены основы теории управления техническими
системами. Рассмотрены способы математического описания автоматических
систем управления, методы анализа и синтеза линейных САУ и САР.
Предназначены для студентов специальности 230300 Бытовые машины и
приборы всех форм обучения.
Табл. 1. Ил. 39. Библиогр. 7 назв.
© Лавров С.А., 2012
© Уфимская государственная академия
экономики и сервиса, 2012
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Общие сведения о системах управления
1.1. Основные понятия об автоматическом управлении
1.2. Принципы управления в автоматических системах
1.3. Элементы автоматических систем управления
1.4. Классификация систем автоматического управления
Глава 2. Основы теории управления техническими системами
2.1. Составление уравнений, описывающих работу элементов САУ
2.2. Понятия о передаточной функции
2.3. Характеристики динамического звена
2.4. Типовые динамические звенья и их характеристики
2.5. Структурные схемы САУ, правила их эквивалентного
преобразования
Глава 3. Исследование устойчивости линейных систем управления
3.1. Составление уравнений и передаточных функций САУ
3.2. Понятие об устойчивости
3.3. Критерии устойчивости
Глава 4. Качество процесса управления
4.1. Методы анализа качества управления
4.2. Оценка точности управления
4.3. Способы улучшения динамических свойств САУ
4.4. Нелинейные системы управления
Список литературы
3
4
5
5
6
9
11
13
13
15
16
20
26
28
28
32
34
41
41
42
43
44
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВВЕДЕНИЕ
В самом общем виде под управлением понимается упорядочение
отношений в обществе с целью достижения их соответствия с объективными
закономерностями, действующими в этом обществе. Важнейшей чертой
управления является его всеобщность. Управление может распространяться на
любые объекты: технические, социальные, физические, химические,
биологические. Вопросами управления в технических системах занимается
техническая кибернетика, являющаяся разделом общей кибернетики, а её
важнейшей составляющей - автоматическое управление. Автоматика – это
отрасль науки и техники, охватывающая теорию автоматического управления,
а также принципы построения автоматических систем и образующих их
технических средств.
Предлагаемое учебное пособие ставит своей целью ознакомить будущих
инженеров, специализирующихся в области бытовых машин и приборов, с
основами теории автоматического управления. Изучение этой дисциплины для
них актуально потому, что уже в настоящее время ведутся разработки так
называемого интеллектуального жилища, где все устройства станут
управляемыми дистанционно.
По основам теории автоматики и технической кибернетики издано
достаточно много учебников и монографий. В данном учебном пособии в
сжатой форме изложены основы теории автоматического управления в
объёме, предусмотренном программой курса «Управление техническими
системами» для специальности 230300.
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ
1.1. Основные понятия об автоматическом управлении
Предлагаемая для изучения дисциплина «Управление техническими
системами» относится к общеинженерным дисциплинам, наряду с
сопроматом, теоретической механикой, высшей математикой и т.д.
Вместе с отмеченной особенностью необходимо отметить важность этой
дисциплины как основы для понимания принципов построения современных
технических систем. При этом, естественно, имеются в виду автоматические
технические системы (регуляторы, автоматические станки и линии,
технические автоматы и т.д.).
В процессе своего развития человек постоянно совершенствовал
производственные процессы, облегчая свой труд. Работы, выполнение
которых раньше определялись только сноровкой и умением, человек
стремился передать машинам. Свои органы чувств человек обострил, создав
соответствующие приборы. Он отстранил себя от непосредственного
управления производственными процессами, построив автоматически
работающие машины и агрегаты. Автоматизированные установки оказались
более экономичными, чем управляемые вручную. Наконец появились
различные устройства и технические системы, работа которых оказалась бы
невозможной без автоматического управления, на пример космические
аппараты.
Автоматическое управление широко применяется во многих
технических и биотехнических системах. Они используются для выполнения
операций, не возможных для человека в связи с необходимостью переработки
большого количества информации в ограниченное время, а также для
повышения производительности труда, качества и точности регулирования,
для освобождения человека от управления системами, функционирующими в
условиях относительной недоступности и опасных для здоровья.
Элементы автоматического управления и соответственно устройства
появились еще в XVIII в. на паровых машинах Ползунова и Уатта (1765 г и
1784 г, центробежный регулятор).
В настоящее время автоматическое управление превратилось в науку,
состоящую из целого ряда разделов и направлений таких как: ТАУ – теория
автоматического управления, ТАР – теория автоматического регулирования,
статистическая динамика систем управления, общая теория адаптации
автоматических систем, телемеханика, кибернетика, робототехника и т.д.
Автоматические системы, применяемые в современной технике, весьма
разнообразны как по своему назначению, так и по конструктивному
оформлению. Однако в любой из них можно выделить две основные части:
управляемый объект и управляющее устройство.
Управляемый объект представляет собой устройство или совокупность
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
устройств, осуществляющих технологический процесс, который нуждается в
специально организованном управлении (самолет, станок, стиральная
машина).
Управляющее устройство воздействует на управляемый объект в
соответствии с программой (алгоритмом) управления.
В отличие от управляемого объекта, который является заданной частью
автоматической
системы,
управляющее
устройство
искусственно
синтезируется из различных элементов так, чтобы обеспечить управление,
оптимальное с точки зрения какого-либо критерия, например автопилот.
Состояние управляемого объекта определяется рядом величин. Те из
них, по которым ведется управление, называются управляемыми (углы крена и
тангажа самолёта, уровень воды в стиральной машине). Управляемые
величины изменяются под влиянием действующих на объект воздействий:
управляющих и возмущающих.
Первые вырабатываются управляющим устройством, вторые возникают
в результате изменения управляемой величины.
Управляемый объект совместно с присоединенным к нему управляющим
устройством образуют систему автоматического управления. Цель этой
системы – поддерживать постоянное требуемое значение управляемой
величины или изменять ее по некоторому закону, который задается заранее.
1.2. Принципы управления в автоматических системах
В зависимости от того, какие источники информации используются в
управляющем устройстве для формирования управляющего воздействия,
автоматические системы делятся на замкнутые и разомкнутые.
Замкнутыми называются такие автоматические системы, в которых для
формирования управляющего воздействия используется информация о
действительном значении управляемой величины. Схема замкнутой системы
изображена на рис. 1.1.
f (t)
g (t)
УУ
u (t)
УО
Y (t)
Рис. 1.1
В основе ее работы лежит принцип измерения отклонений (ошибки), или
принцип обратной связи. Он состоит в сравнении требуемого значения
управляемой величины, заданного задающим устройством g(t), с ее
действительным значением y(t). Информация об отклонении (т.е. разность
между g(t) и y(t) равная ошибке) используется управляющим устройством УУ
для формирования управляющего воздействия u (t) на управляемый объект
УО. Цепь, по которой информация об управляемой величине передается с
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
выхода объекта на вход управляющего устройства, называется главной
обратной связью автоматической системы.
Ввиду того, что отклонение управляемой величины y(t) от ее заданного
значения g(t) происходит под влиянием возмущающих воздействий f (t),
ошибку можно рассматривать как косвенный метод получения информации о
возмущающих воздействиях.
Отличительной чертой замкнутых систем является их универсальность,
заключающаяся в том, что любое отклонение управляемой величины y(t) от ее
заданного значения g(t) вызывает появление управляющего воздействия u(t),
направленного на ликвидацию отклонения. Это особенно важно, когда
управляемый объект подвержен влиянию многочисленных неконтролируемых
возмущающих воздействий f(t).При построении замкнутых систем жесткие
требования по точности и стабильности предъявляются лишь к устройствам,
выявляющих отклонение (ошибку). Недостатком замкнутых систем является
принципиальная необходимость определения ошибки в установившихся или
переходных режимах.
Разомкнутыми
называются такие системы, в которых для
формирования управляющего воздействия не используется информация о
действительном значении управляемой величины (см. рис. 1.2).
fi(t)
f (t)
g (t)
u (t)
У (t)
УУ
УО
Рис. 1.2
Управляющее воздействие u (t) в таких системах формируется на
основании информации о некоторых основных контролируемых возмущениях
fi(t) , поступающих непосредственно в управляющее устройство. Такие
системы часто называются системами управления по возмущению. Требуемый
закон изменения управляемой величины У(t) определяется задающим
воздействием с учетом возмущающего воздействия.
Преимущество разомкнутых систем состоит в том, что в них
информация об основных возмущающих воздействиях поступает в
управляющее устройство сразу, еще до того, как эти воздействия успеют
существенно изменить управляемую величину.
Недостатками разомкнутых систем является необходимость измерять
возмущающие воздействия (что не всегда возможно) и наличие устройств,
вырабатывающих потребное значение u(t) –управляющее воздействие, для
каждого значения f (t).
Из-за указанных недостатков разомкнутые системы не находят широкого
самостоятельного применения, однако используются в комбинированных
автоматических системах, получающих как информацию о действительном
значении управляемой величины, так и информацию об основных
возмущающих воздействиях (см. рис.1.3).
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
fi(t)
u(t)
g(t)
f(t)
y(t)
УО
E
УУ
Рис. 1.3
Типовая, функциональная схема замкнутой автоматической системы
управления изображена на рис. 1.4.
f(t)
СУ
g(t)
ЗУ
g1(t)
УУ
x(t)
y
y
У
y1(t)
Ff
ИЭ
gf
g
g’
;ll
kl
kl
j
ИУ
У
u(t)УО
y(t)
Главная обратная связь
Рис. 1.4
ИЭ – Измерительное устройство (элемент) измеряет действительное
значение управляемой величины y(t) и преобразует его в другую, однозначно
соответствующую величину y1(t), удобную для дальнейшего использования в
управляющем устройстве.
ЗУ – Задающее устройство формирует задающее воздействие g(t),
определяющее требуемое значение управляемой величины и преобразовывает
ее в однозначно соответствующую величину g1(t), удобную для сравнения с
y1(t).
СУ – Сравнивающее устройство измеряет разность x(t) = g1(t) - y1(t),
пропорциональную отклонению управляемой величины от её заданного
значения.
У – Усилитель сигнала ошибки x(t) до величины, достаточной для
целей управления.
ИУ – Исполнительное устройство вырабатывает и подает на
управляемый объект управляющее воздействие u(t) .
Помимо перечисленных основных элементов в состав автоматической
управляемой системы могут входить специальные корректирующие
(демпфирующие) устройства, улучшающие качество управления.
В процессе управления сигнал с входа системы до поступления на
управляющее устройство меняется. Он усиливается или ослабляется,
происходит сдвиг по фазе, происходит некоторое запаздывание сигнала по
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
времени. Перечисленные изменения практически определяют качество
управления. Задача теории автоматического управления (ТАУ) с помощью
разработанных приёмов и правил оценить эти изменения. При необходимости
можно меняя структуру системы или её параметры скорректировать для
достижения заданных параметров по качеству управления.
1.3. Элементы автоматических систем управления
Любую автоматическую управляемую техническую систему можно
условно разбить на составляющие элементы, которые в свою очередь
составляют определенные классы устройств.
Так можно выделить следующие основные элементы:
1. Измерительные устройства.
2. Усилительные устройства.
3. Исполнительные и счетно-решающие устройства.
Измерительные устройства.
В
качестве
измерительных
устройств
используются
потенциометрические датчики, индукционные датчики, сельсины, датчики
угловой скорости, измерители ускорений, преобразователи непрерывных
величин в дискретные и др. Измерительные устройства служат для измерения
управляемой величины и возмущений, действующих на автоматическую
систему в процессе ее работы. Так как физическая природа измеряемых
величин достаточно разнообразна, то наряду с задачей измерения они решают
и задачу преобразования измеряемой величины в величину удобную для
использования в последующих элементах системы.
С точки зрения удобства передачи и преобразования в автоматических
системах более предпочтительным является электрический сигнал.
Измерительные устройства находятся в непосредственном контакте с
измеряемой (контролируемой) физической средой, и условия их работы, как
правило, достаточно сложные (в смысле
механических, химических,
температурных воздействий).
Несмотря на специфические, зачастую неблагоприятные, условия
работы, измерительные устройства должны иметь однозначную и линейную
статическую характеристику, быть надежными в работе, обладать высокой
разрешающей способностью, максимально возможную мощность выходного
сигнала, достаточно чувствительны. Для определения целесообразности
применения того или иного измерительного устройства в системе необходимо
проводить сравнительную оценку соответствия его характеристик
требованиям, предъявляемым к системе в смысле точности и надёжности,
экономичности и простоты реализации, функционального назначения, условий
эксплуатации и т.д. Наиболее часто применяемые измерительные устройства
приведены в приложении 1.
Усилительные устройства.
Высокая точность работы измерительных устройств, а следовательно и
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
всей системы в целом возможна лишь при малой мощности снимаемого
сигнала. Поэтому, прежде чем сигнал будет подан на исполнительный орган,
он должен быть усилен, а в ряде случаев ещё и преобразован в форму,
согласующуюся с входным сигналом. Так как мощность сигнала на выходе
усилителя больше чем на входе, то необходимо иметь дополнительный
источник энергии. В зависимости от используемой энергии в качестве
усилительных устройств применяются электрические, механические,
гидравлические, пневматические и комбинированные усилители.
Наибольшее применение в автоматических системах получили
электрические усилители (электронные, ионные, полупроводниковые,
магнитные, релейные и электромашинные). Основными достоинствами
электрических усилителей является отсутствие подвижных частей.
Основными характеристиками, определяющими свойства усилителей
как элементов автоматической системы, являются:
1. Выходная мощность.
2. Входная мощность.
3. Коэффициент усиления (по мощности, напряжению, току).
4. Входное и выходное сопротивления усилителя.
5. Линейность характеристики.
6. Собственные шумы (дрейф нуля).
Кроме перечисленных характеристик, усилители должны иметь малый
вес, большую надежность, высокий КПД, мало потреблять дополнительной
энергии.
Исполнительные и счётно-решающие устройства.
Исполнительные устройства являются конечными элементами систем
управления и предназначаются для создания управляющего воздействия,
прикладываемого к объекту управления или его управляющим органам.
В качестве исполнительных устройств применяются электрические,
гидравлические и пневматические двигатели либо их комбинации.
Управление исполнительными устройствами осуществляется, как
правило, через усилители мощности.
Специфические требования, предъявляемые к исполнительным
устройствам автоматических систем управления:
1. Мощность их должна превосходить мощность, необходимую для
приведения в движение объекта управления или его управляющих органах во
всех режимах работы.
2. Механические характеристики (зависимость скорости от силы или момента)
должны быть достаточно жесткими.
3. Их статические характеристики (зависимость скорости от сигнала
управления) должны быть линейными.
4. Они должны иметь малую мощность управления и быть
малоинерционными.
В отличие от обычных приводных двигателей исполнительные
устройства автоматических систем практически непрерывно работают в
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
переходных режимах. В этих условиях особенно существенны динамические
свойства исполнительных устройств.
Выбор типа исполнительного устройства для САУ связан с
необходимостью удовлетворять многим, зачастую противоречивым
требованиям. Однако можно сформулировать некоторые рекомендации. Так
при мощности до 10 вт и не слишком жёстких требованиях по КПД, весу и
габаритам
целесообразно
применять
двухфазные
асинхронные
электродвигатели с полым ротором. Недостатком этих двигателей является
малый пусковой момент. При большой полезной мощности используются
электродвигатели постоянного тока. Гидропривод обладает высоким
быстродействием и жёсткими механическими характеристиками ,но имеет
большой вес. Наиболее часто применяемые в САУ усилительные и
исполнительные устройства и их характеристики приведены в приложении 2.
Счетно-решающие устройства предназначены для автоматического
выполнения математических операций. Они могут использоваться
непосредственно для выполнения математических вычислений или быть
частью системы автоматического управления.
Все более широкое использование счетно-решающих устройств в
автоматических системах управления объясняется расширением круга задач,
решаемых автоматическими системами.
Например, созданы автоматические системы, позволяющих решать
задачи навигации подводных и надводных кораблей, самолетов, космических
объектов, задачи управления боевым оружием и ракетами.
При решении этих задач приходится выполнять операции суммирования,
умножения, деления, интегрирования, тригонометрические преобразования и др.
В самонастраивающихся системах счетно-решающие устройства
учитывают изменения внешних условий и параметров системы, производя
необходимые вычисления для перенастройки системы.
Наиболее совершенным счетно-решающим устройством, позволяющим
выполнить перечисленные задачи, является цифровая вычислительная машина
ЦВМ. Наряду с ЦВМ применяются и более простые счетно-решающие
устройства для выполнения более простых операций (это различные
потенциометры, вращающие трансформаторы, множительные и делительные
схемы, интегрирующие устройства).
1.4. Классификация систем автоматического управления
В научной литературе по системам автоматического управления
существует несколько принципов классификации. Наиболее полной и научнообоснованной является классификация, предложенная проф. А.А. Красовским
и Г.С. Поспеловым .
Основой этой классификации является используемая информация об
управляемом процессе или системе. Она может быть начальной полной и
неполной.
Соответственно,
автоматические
системы
управления
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
-
подразделяются на 2 класса: обыкновенные системы автоматического
управления и самонастраивающиеся системы автоматического управления.
По виду рабочей информации обыкновенные системы управления делятся на 3
подкласса: замкнутые, разомкнутые и комбинированные. Далее подклассы
делятся на группы: замкнутые делятся на стабилизирующие системы
автоматического регулирования, системы программного регулирования ,и
следящие системы; разомкнутые делятся на системы компенсации и системы
программного управления. Самонастраивающиеся системы автоматического
управления имеют 3 подкласса: системы экстремального регулирования,
самооптимизирующиеся
и
САУ
с
самонастраивающимися
корректирующими устройствами, которые подразделяются в свою очередь на
следующие группы:
САР с разомкнутыми цепями настройки корректирующих устройств,
САР с замкнутыми цепями настройки корректирующих устройств,
САР с экстремальной настройкой корректирующих устройств.
В литературе употребляются понятия САУ и САР. Необходимо
отметить, что системы автоматического регулирования (САР) – это частный
случай автоматического управления. При этом
САР, как правило,
предназначена для поддержания в автоматическом режиме одного параметра,
независимо от воздействующих на него возмущений. Регуляторы бывают пяти
типов:
П регулятор – пропорциональный регулятор ,
И регулятор – интегрирующий регулятор,
ПИ регулятор – пропорционально-интегрирующий регулятор,
ПД регулятор – пропорционально-дифференцирующий регулятор,
ПИД регулятор – пропоционально- дифференцирующий- интегрирующий
регулятор.
Существуют и другие принципы классификации САУ.
1. При классификации САУ по закону изменения регулируемого параметра
они делятся на стабилизирующие, програмные, следящие.
2. По реакции на входной сигнал ступенчатой формы: статические,
астатические.
3. По виду уравнений, описывающих работу системы: линейные, нелинейные.
4. По характеру действующих в системе сигналов: непрерывные, дискретные.
5. По используемым для управления преобразователям энергии: электронные,
электромеханические, пневматические.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ
ТЕХНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
2.1. Составление уравнений, описывающих работу элементов САУ
Рассмотрение поведения даже относительно простых систем управления
невозможно без математического описания. Как выразился видный немецкий
ученый Винфред Оппельт в технике управления техническими системами
математика, прежде всего, является «стенографией инженера», легко
выражающей при помощи уравнений такие зависимости, которые было бы
затруднительно описать словами.
Любой элемент автоматической системы предназначен для измерения,
усиления или какого-либо другого преобразования сигналов. В связи с этим
для любого элемента характерной является связь между его входным и
выходным сигналами или между его входной и выходной величинами. Эта
связь, как правило, может быть описана дифференциальным уравнением.
Таким образом, дифференциальное уравнение – это математическое
выражение физических процессов в элементе или системе в целом, т.е.
процесс формирования выходного сигнала при возбуждении его входным
сигналом.
Для механических, гидравлических и пневматических устройств
дифференциальные уравнения выражают соответственно движение масс,
течение жидкости или газа. Для электрических элементов дифференциальные
уравнения – это уравнения электрических цепей и электромагнитных
процессов. Для электромеханических устройств дифференциальные уравнения
выражают одновременно и механические и электрические процессы.
При составлении уравнений неизбежна идеализация изучаемых
процессов. Идеализированная картина учитывает только основные и
существенные явления и связи в устройстве. Несущественные явления и связи
отбрасываются. Искусство и опыт инженера при составлении уравнений как
раз и проявляются в искусстве правильной идеализации, что получило
название линеоризация уравнений.
На нескольких примерах покажем порядок составления уравнений или
как было отмечено выше составление математического описания физических
процессов в элементе.
Представим условно элемент системы управления в виде
прямоугольника (рис. 2. 1).
X вх
У вых
Элем.системы
Рис. 2.1
На вход элемента подан сигнал Х вх, а на выходе имеется в результате
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
преобразования выходная величина У вых. В процессе регулирования играют
роль не только мгновенные значения X вх и У вых, но и скорость их
изменения, т.е. Х1 вх и У1 вых , их ускорение Х11 вх и У11 вых.. Взаимосвязи этих
параметров в звеньях с линейной характеристикой описываются однородным
линейным дифференциальным уравнением
вида:
2 11
1
Т2 У вых (t)+T1 У вых(t) + Увых (t)= r0 хвх (t) + r1 х1вх (t) + r2 х11вх (t)
(2.1)
При этом Хвх и Увых могут быть величинами любой физической
природы (путь, сила, давление, скорость). Величины Т 1, Т2, r1, r2 являются
постоянными коэффициентами, размерности которых зависят от размерностей
Хвх и Увых.. Величины коэффициентов определяются параметрами
соответствующих звеньев системы. Рассмотрим это на примере (см. рис. 2.2).
На приведенной схеме електропневматического звена давление воздуха на
поршень К является входной величиной Хвх, выходной величиной Увых
является напряжение, снимаемое с потенциометра R.При изменении давления
воздуха перемещается шток и вместе с ним движок потенциометра.
Перемещение движка потенциометра Х1 зависит от сил, действующих на
поршень и может быть описано следующим уравнением :
К
Хвх
Х1
U
R
Увых
1
Рис. 2.2
11
ах вх – bх1 – сх 1 = mх
1
сила давл.
сила
сила
сила инерции
на поршень пружин. вязкого трения
или
m x111 +c х11 +b x1 = a x вх ,
где m – масса поршня и других, связанных с ним элементов,
b – жесткость пружины ,
с – коэффициент демпфирования ,
х11 – скорость перемещения,
а – площадь поршня К.
14
(2.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Если к потенциометру R длина которого l приложено напряжение U то у
вых = х1 u/l, тогда х1=у выхl/u .
Подставляя его значение в предыдущее уравнение, будем иметь
m/b у11вых + с/b у1вых + увых = au/bl x вх..
Структура полученного уравнения аналогична структуре уравнения (2 .1),
сопоставив их, находим
T22=m/b;
T1=c/b; r0=au/bl ,
T22 у11вых +T1 у1вых + увых = r0 х вх.
Вторая стандартная форма записи дифференциального уравнения
получается в результате использования оператора р=d/dt, означающего
операцию дифференцирования.
(T22 р2 +T1 р + 1 ) увых = r0 х вх .
(2.3)
2.2. Понятие о передаточной функции
Классическая теория автоматического регулирования использует для
описания динамических свойств элементов и систем исключительно
дифференциальные уравнения. В современной теории регулировании широко
применение получила вторая форма записи дифференциального уравнения.
Считая условно оператор р алгебраической величиной, и разделив уравнение
(2.3) на член при выходной величине, получим
Увых=Хвх r0/(T22р2+T1р+1) .
Выражение r0/(T22р2+T1р+1) в теории автоматического управления
называется передаточной функцией, что собственно есть отношение
Увых /\Х вх и обозначается как W (p).
Перечисленные приемы значительно упрощают математическое
описание элементов и систем автоматического управления, так как они
представляют собой символическую запись дифференциального уравнения в
алгебраической форме.
Однако строго эти функции могут быть определены только путем
преобразования вещественных функций времени Хвх (t) и Увых(t) в функции
Х(р); У(р) комплексной переменной р=δ +jɷ
величины, j=√-1)с помощью формулы Лапласа
(где δ и ɷ вещественные
∞
Х(р)= ∫ Х(t) e-pt dt.
0
Преобразованные функции Х(р) и У(р) называются изображениями по
Лапласу, а передаточная функция есть отношение изображений выходной и
входной величин при нулевых начальных условиях и других воздействиях
равных нулю.
Понятие передаточной функции позволяет представить любые элементы
автоматической системы условно в виде структурных звеньев, соединения
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
которых образует структурную схему системы (рис. 2.3).
X(p)
У(p)
W(p)
Рис. 2.3
2.3. Характеристики динамических звеньев
Для исследования динамических свойств автоматической системы
необходимо: знание уравнения, описывающего её динамику, и решение этого
уравнения, т.е. изменение Увых во времени с учетом параметров системы. Это
бывает сделать не просто, особенно когда это дифференциальное уравнение
высокого порядка или система уравнений, даже при использовании
вычислительные устройства. В теории автоматического управления
применяется другой метод – это исследование временных и частотных
характеристик звеньев и системы (переходные, амплитудно-частотные и
фазово-частотные характеристики).
Было подмечено, что элементы автоматических систем (звенья) с точки
зрения их математического описания, несмотря на различие конструкций,
назначение,
принцип
действия
описываются
дифференциальными
уравнениями одного типа, таким образом, обладают одинаковыми
динамическими свойствами и имеют похожие (одинаковые) передаточные
функции.
Такой подход позволяет объединить элементы с одинаковыми
динамическими свойствами общим понятием. Этим понятием является
динамическое звено.
Поскольку дифференциальное уравнение звена однозначно определяет
его передаточную функцию, то звенья можно классифицировать по виду
передаточных
функций:
дифференцирующие,
интегрирующие,
апериодические и т.д.
В теории автоматического управления используется также понятие
типового звена, порядок уравнения которого не выше второго. При этом
любой реальный элемент, описываемый более сложным уравнением, выше
2-го порядка, может быть представлен комбинацией типовых динамических
звеньев, что позволяет создать общую методику исследования автоматических
систем.
Для исследования динамических свойств звеньев принято рассматривать
переходной процесс при определённом стандартном входном сигнале.
Реакцию звена на этот сигнал называют временной или частотной
характеристикой . Из временных характеристик в ТАУ широко применяются
переходная функция и функция веса.
Если на вход звена поступает ступенчатый сигнал Хвх 1(t) (рис. 2.4.),
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2.4
то выходная величина будет определенным образом (в зависимости от
параметров) стремиться во времени к новому установившемуся значению.
Переходной функцией звена называется реакция звена на ступенчатое
воздействие Ховх1(t) или отношение Увых к величине входного воздействия Х
вхо 1(t) при нулевых начальных условиях:
Н(t) = Увых (t) / Хвх 1 (t) .
Таким образом, переходная функция является как бы
графической
интерпритацией решения дифференциального уравнения элемента и позволяет
оценить инерционность элемента, т.е. запаздывание выходного сигнала по
сравнению с изменением сигнала на входе. Переходная функция звена может
быть получена экспериментально и аналитически. Экспериментальный способ
используется для звеньев, математическое описание которых затруднительно.
.
Функция веса звена w (t) - это есть реакция звена на импульсный
сигнал (дельта – функцию ) Хвх(t ) = X10 δ( t) , которая равна нулю повсюду,
кроме точки t = 0, где она стремится к бесконечности (рис.2.5).
Хвх (t)
Увых (t)
t
t
Рис. 2.5
При этом
Функцию веса звена
функции H(t)
т.к.
w (t)=
+∞
∫ δ (t)dt = 1.
-∞
w (t) находят обычно по известной переходной
d H(t).
dt
Функция веса и передаточная функция связаны преобразованием Лапласа
∞
W (р) = ∫ w (t)ℓ‾рt dt.
0
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Частотные характеристики звена определяют зависимость между
входной и выходной величинами в установившемся режиме при
гармоническом входном сигнале:
Х вх = Х вх m Sin ωt.
Если на входе звена действует гармонический сигнал с частотой
ω
и
амплитудой Х вх m , то в установившемся режиме на выходе звена имеет
место гармонический сигнал той же частоты ω, но с амплитудой Х 2 m,
сдвинутой по фазе на угол ,
относительно
входного
сигнала,
обусловленный конкретными параметрами звена (рис. 2.6).
Изменяя частоту входного сигнала, можно проследить изменение
амплитуды выходного сигнала от частоты и сдвиг по фазе.
Хвых = Х 2 m Sin(ωt+  )
Х вх =Х1 m Sin ωt
звено
Х вх
.
Х
Хвых
t
Рис. 2.6

Зависимость А (ω)= Х 2 m / Х1m в ТАУ называют амплитудно-частотная
характеристика – (АЧХ) и сдвиг по фазе Ψ(ω) - фазовая частотная
характеристика (ФЧХ).
АЧХ характеризует способность звена пропускать сигналы различных
частот по амплитуде. ФЧХ определяет фазовые сдвиги, вносимые звеном на
различных частотах (рис. 2.7).
Α(ω )
Ψ(ω )
ω
ω
Рис. 2.7
Математическое описание существенно упрощается при переходе к
комплексной форме записи, в которой функция Sin ωt заменяется ее
комплексной формой ℓ j ωt .Суть этого перехода заключается в том, что
функция ℓjωt на комплексной плоскости представляет собой точку, которая
движется по окружности единичного радиуса с угловой скоростью ω.
Колебания рассматриваются как проекция движущейся точки на ось ординат.
Рассмотрение равномерного движения по окружности вместо
синусоидального колебательного движения значительно облегчает
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
исследование. Функция на входе может быть выражена вместо
Х вх = Х вх m Sin ωt , как
Х вх = Х вх m ℓ j ωt .
В линейных системах выходная величина также представляет собой
гармонические колебания той же частоты
ω, но с иной амплитудой и с
фазой смещенной по отношению к колебаниям на входе на угол  .
Хвых = Хвых Sin (ωt +  ),
а в комплексной форме:
Хвых = Хвых ℓ( j ωt +)
Используя этот прием (замена записи входной величины в виде комплексного
числа), т.е.
Х вх = Х вх m ℓ j ωt ,
можно записать и передаточную функцию W(р) как W(jω) ,
где р=
jω и она получила название частотная передаточная функция W(jω).
Частотная передаточная функция звена есть комплексное число, модуль
которого при изменении ω от 0 до ∞ определяет амплитудно-частотную
характеристику А(ω )- АЧХ, а аргумент -фазовую частотную характеристику
ψ (ω) - ФЧХ,
т.е.
А(ω) = ‫ ׀‬w(jω)‫ ׀‬,
ψ (ω) =
arqw(jω) .
В теории автоматического управления используют три формы записи
частотной передаточной функции:
а) алгебраическую W(jω)=U(ω)+jV(ω),
б) показательную W(jω)=A(ω)℮jΨ(ω)
в) тригонометрическую W(jω)=A(ω)cos Ψ(ω)+jA(ω)sin Ψ(ω).
Если рассмотреть алгебраическую форму записи частотной
передаточной функции, то на комплексной плоскости (U и jV) она при
фиксированном значении частоты ω=ω 1, изобразится вектором, длина
которого A(ω1)
и аргумент (угол) = Ψ (ω1) .
годограф
jV( )
ω=0
U(ω)
1
Рис. 2.8
При изменении частоты от 0 до ∞ конец вектора W(jω) опишет кривую
(годограф), которая получила название амплитудно-фазовой характеристики
(АФХ ) звена (рис. 2.8). Для выделения вещественной и мнимой частей при
алгебраической форме записи знаменатель и числитель умножают на
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
комплекс, сопряжённый знаменателю, чтобы освободиться от мнимости в
знаменателе . Для примера W(p) = k / (1+ Тр),
W(јω) = k(1 -Тјω)/ (1+Тјω) (1 – Тјω) =k/(1 +Т ω ) - kјωТ/(1 + Т ω ).
И тогда U(ω) = k/(1 + Т ω ) , V(ω) = -- kωТ/(1 + Т ω ).
Для оценки динамических свойств звеньев в ТАУ широко используются
логарифмические частотные характеристики:
1) Амплитудная - ЛАХ,
2) Фазовая - ЛФХ.
Логарифмические амплитудные характеристики определяются из
соотношения L(ω)=20 lg /W(jω)/=20 lg A(ω) и выражаются в децибелах. ЛАХ
и ЛФХ строятся в системе координат L(ω)-lg ; φ(ω)-lg ω.
Рис. 2.9
Угловая частота в логарифмическом масштабе откладывается по оси
абсцисс. По оси ординат наносится равномерный масштаб в децибелах, при
этом начало отсчёта (нуль децибел) соответствует А( ω ) = 1, так как Іg 1 = 0.
Начало отсчёта по оси частот может соответствовать любому положительному
значению частоты. При построении ЛФХ используется та же ось частот, что
при построении ЛАХ. По оси ординат в равномерном масштабе наносятся
значения фазы в градусах (рис.2.9).Основным достоинством логарифмических
частотных характеристик является возможность их построения во многих
случаях практически без вычислительных работ.
2.4. Типовые динамические звенья и их характеристики
1) Пропорциональное (безынерционное) звено .W(p)=k.
Примером такого звена может быть редуктор, делитель напряжения, датчик
угла, безынерционный усилитель. Переходная функция звена Н(t) = k1(t).
Частотная передаточная функция W(j  ) =k, логарифмические характеристики
ЛАХ, ЛФХ - L(  )= 20lgk,  ( ) = a r g W (j  ).
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 2.10
Годограф W( j  )
вырождается в точку на вещественной оси,
поскольку при любых частотах W( j  ) = к . Звено не даёт фазового сдвига
при усилении и амплитуды всех частот входного сигнала усиливаются
одинаково (рис.2.10).
2) Апериодическое звено 1го порядка. W (p) =k/(T p + 1).
Примерами такого звена могут служить двигатели постоянного тока,
двухфазные асинхронные двигатели, массивное тело.
Переходная функция Н (t) =k (1-е). Постоянная времени Т характеризует
инерционное запаздывание, чем больше Т, тем больше запаздывание
выходного сигнала по отношению к входному.
Частотная передаточная функция W( j  ) =к/(1+j T ) ; ЛАХ, ЛФХ
L( )  20 lg
k
1  (T ) 2
,
 ( )  arctgT .
Рис. 2.11
Из графиков ЛАХ, ЛФК видно, что с увеличением частоты входного
сигнала увеличивается фазовый сдвиг и уменьшается амплитуда колебаний
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
выходного сигнала (рис.2.11).
3) Апериодическое звено 2го порядка (колебательное при 0< T 1/2< T 2 ).
W(p) =k/(T2 p + T1 p +1).
Примерами таких звеньев служат электродвигатель постоянного тока
при учёте индуктивности якоря, гидроусилитель и др.
Переходная функция Н(t)= k( 1- е ) + ( 1 – е )
Частотная
L( )  20 lg
передаточная
k
1
1  (T ) 2
1  (T ) 2
,
функция W ( j ) 
ЛФХ
k
,
(1  jT )(1  jT )
 ( )  arctgT3  arctgT4
ЛАХ
(рис2.12).
Переходная функция равна сумме переходных функций апериодических
звеньев первого порядка. Частотная передаточная функция имеет вид
деформированной
полуокружности,
обусловленной
соответственно
постоянными времени Т1 и Т2 .
Рис. 2.12
.
Апериодическое звено 2го порядка можно представить
последовательное соединение 2х звеньев 1го порядка (рис. 2.13).
к
Т3 р + 1
как
1
Т4 р + 1
Рис. 2.13
Характеристики
ЛАХ,
ЛФХ приблизительно
одинаковы
с
характеристиками звена 1го порядка, но имеют больший фазовый сдвиг
выходных колебаний и более сильное подавление входных колебаний, а в
случае колебательного звена имеют место большие колебания и сильно
зависят от величины коэффициента демпфирования = Т1/ 2Т2 1.
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4) Интегрирующее звено. W(p) =k/ p.
Примерами интегрирующих звеньев являются электродвигатель,
гидродвигатель, интегрирующий привод и др.
Переходная функция Н(t) = kt , при подаче сигнала на вход выходная
координата меняется с постоянной скоростью. Частотная передаточная
функция W(j )= --j k/ .Частотные характеристики ЛАХ, ЛФХ L( )=20lgk20lg ,( )= -90 .Годограф передаточной функции совпадает с отрицательной
мнимой осью (рис. 2.14).
Рис. 2.14
Сдвиг фазы входного сигнала постоянный, а амплитуда с увеличением
частоты уменьшается.
5) Интегрирующее звено с замедлением. W(p) =k/p(1 +Т p).
Примерами такого звена являются электродвигатель и гидродвигатель
при учёте инерционного запаздывания. Звено может быть представлено в виде
последовательного соединения апериодического звена 1го порядка и
идеального интегрирующего звена. Переходная функция H (t )  k t  T (1  e t /T ),
Частотная
передаточная
функция
характеристики ЛАХ, ЛФХ L( )  20 lg
W ( j ) 
k
 1 T
2
2
k
,
j (1  jT )
Частотные
,  ( )  90 0  arctgT .
Рис. 2.15
При увеличении частоты входных колебаний амплитуда выходных
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
колебаний уменьшается, а фазовый сдвиг увеличивается (рис. 2.15).
6) Дифференцирующее звено. W(p) =к p.
Примером дифференцирующего звена является тахогенератор.
Переходная функция есть -функция, частотная передаточная функция
W(j ) =kj .
Частотные функции ЛАХ, ЛФХ , L( )=20lgk+20lg ,
( )=90.
Рис. 2.16
При увеличении частоты входных колебаний амплитуда выходных
колебаний увеличивается, а колебания выходного сигнала по фазе на всех
частотах опережает колебания входного сигнала (рис. 2.16).
7) Дифференциальное звено с замедлением.W(p) =kp/(1 + Tp).
Звено может быть представлено в виде последовательного соединения
апериодического и дифференцирующего звеньев .Переходная функция этого
звена есть производная от переходной функции апериодического звена и при t
H(t) 0 .Частотные характеристики соответственно можно получить сложив
k
T
ЛАХ ,ЛФК апериодического и дифференцирующего звеньев. H (t )  e 1/ T ,
W ( j ) 
k
kj
, L( )  20 lg
, ( )  90 0  arctgT .
2 2
1  jT
1 T
С увеличением частоты отношение амплитуды выходных колебаний к
амплитуде входных колебаний увеличивается, по фазе выходные колебания
опережают входные. С увеличением частоты фазовый сдвиг уменьшается (рис.
2.17).
Рис. 2.17
24
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8) Форсирующее звено.W (p)= Tp+1. Это звено можно представить в
виде параллельного соединения идеального дифференцирующего звена и
пропорционального с к=1.Оно, как и дифференцирующее, применяется для
компенсации запаздывания в системе. Переходная, передаточная функции и
частотные характеристики определяются следующими выражениями:
2
H (t )  kT  1 , W ( j )  1  jT , L( )  20 lg 1   T 2 , ( )  arctgt .
Рис. 2.18
При низких частотах ω <1/T звено близко к пропорциональному, а на
высоких частотах ω >1/T близко к дифференцирующему (рис. 2.18).
9) Звено с чистым запаздыванием. W (p)= к е
Это звено, не изменяя входного сигнала, сдвигает его вправо по оси
времени на величину, которое называется временем чистого запаздывания.
Передаточная функция и частотные характеристики определяются
следующими выражениями:.
W ( j )  k (cos  j sin  ) , L( )  20 lg k , ( )   ..
Рис. 2.19
Амплитуда выходного сигнала не зависит от частоты, а выходные
колебания по фазе отстают от входных колебаний (рис.2.19).
10) Консервативное звено .W(p)=к /(1+Т р ).
Примером консервативного звена является слабо демпфированное
колебательное звено. Н(t)=к (1- cos  t ) и переходная функция имеет вид не
затухающих колебаний . Передаточная функция , определяется следующим
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
выражением: W ( j ) 
=1/Т , L( )  20 lg
k
1   2T 2
k
1   2T 2
, ЛАХ имеет разрыв на резонансной частоте

(рис.2.20).
Рис. 2.20
11) Пассивные корректирующие RC цепочки (рис. 2.21).
В тех случаях, когда динамические свойства автоматической системы не
удовлетворяют предъявляемым к ним требованиям, применяются элементы,
предназначенные для корректировки указанных свойств (корректирующие
элементы).
В качестве последних чаще всего используют четырехполюсники,
состоящие из резисторов и конденсаторов, соединенных последовательно и
параллельно.
Z1(p)
R1
U1
Z2(p)
U2
U1
R2
U2
C
Общая схема
Интегрирующая цепь
Рис. 2.21
2.5. Структурные схемы САУ, правила эквивалентного преобразования
Кроме известных принципиальных и функциональных схем в теории
автоматического управления широко применяются структурные схемы. Такие
схемы графически показывают из каких динамических звеньев состоит
автоматическая система и как эти звенья действуют друг на друга/ Звенья
26
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
системы изображаются на структурной схеме в виде прямоугольников, внутри
которых записывается соответствующая передаточная функция, а воздействие
одного звена на другое обозначается стрелками. В САУ наиболее часто
встречаются следующие соединения звеньев (рис. 2.22): последовательное,
параллельное и встречно – параллельное (обратная связь).
Для анализа САУ и их расчёта требуется знать результирующую
передаточную функцию группы связанных между собой звеньев.
Результирующая передаточная функция последовательного соединения
звеньев равна произведению их передаточных функций:
W(p) = у/х =W1 (p) W2 (p) …..W ń (p).
Она не зависит от взаимного расположения звеньев.
х
у
х
W1(p)
у
W1(p)
W2(p)
Wn(p)
W2(p)
х
у
Wn(p)
х
Wохв(р)
у
W(p)
Wос(р)
Рис. 2.22
Результирующая передаточная функция параллельного соединения
звеньев равна сумме передаточных функций этих звеньев: W(p)=ΣWņ(p).
Соединение обратная связь может быть положительной и
отрицательной. Для определения результирующей передаточной функции
составим три уравнения : у =Wохв(р)z ; уос=Wос(р)у; z = х+уос. Исключив из
них переменные z и уос, получим У/х = W(p) =Wохв(р)/( 1± Wохв(р)Wос(р)).
В полученной формуле знак плюс соответствует отрицательной
обратной связи, а знак минус – положительной. В автоматических системах
часто используется единичная отрицательная обратная связь. Результирующая
передаточная функция равна:
W(p)= Wохв(р)/(1±Wохв(р) ).
На рис. 2.23 показано обозначение на структурных схемах операций
суммирования и вычитания сигналов.
х
z=х + у
z
х
z = х-у
х
z
z = х-у
Рис. 2.23
27
z
х
z = х-у
у
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
ЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
3.1. Составление уравнений и передаточных функций САУ
Теоретические исследования систем автоматического управления
обычно начинаются с составления дифференциальных уравнений,
описывающих её работу. Классический метод составления этих уравнений
следующий:
1. Составляются дифференциальные уравнения для каждого элемента
(устройства) системы.
2. Совокупность составленных дифференциальных уравнений решается
совместно относительно какой либо одной переменной, характеризующей
состояние системы .
В результате получается дифференциальное уравнение системы
автоматического управления, решение которого позволяет провести анализ и
синтез САУ. В качестве примера рассмотрим динамическую систему –
манипулятор изображенный на рис. 3.1.
Рис. 3.1
На оси вращения звена 1 манипулятора установлен двигатель 2 ,
датчики угла поворота 3 и скорости поворота 4. Электрические сигнал от
датчиков подаются на вход суммирующего усилителя 5, откуда после
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
усиления и преобразования подаются на вход двигателя 2 , поворачивающего
звено манипулятора в заданное положение.
Составим математическую модель (ММ), описывающую угловое
движение манипулятора. Она складывается из математической модели,
описывающей электрическую часть манипулятора и математической модели
механической части.
U1= K1  ; U3= K  – ММ датчика заданного угла 
( 3.1),
U2=K2- ММ датчика угловой скорости
(3.2),
Uус.=K1(-U1-U2+U3) - ММ усилителя
(3.3),

Мдв.= Kдв Uус. – K3  -ММ двигателя
(3.4) ,
 _
где :  и  угол и скорость поворота исполнительных органов,
 - заданный угол поворота,
K1 , K2, Kус., Kдв., K3 передаточные коэффициенты.
Согласно принципа Даламбера математическая модель механической
части
J + Kg  = М дв.,
(3.5.)
т.е., момент двигателя тратится на преодоление инерционного момента
и демпфирующего момента
Мин. = J  и Мдем .= Kg  .
Совокупность уравнений
(3.1)(3.5) определяет математическую
модель, описывающую угловое движение исполнительного органа
манипулятора вокруг оси ZZ.
Окончательно получим
J   + K   + C  = C ,
где K= K g + K3 + K2 Kус. Kдв.
С= K1 Kус. Kдв..
Ранее (2.2) мы имели m x 1 + c x1 + bx 1 = axвx ,
В ТАУ существует другой путь, более простой, наглядный с помощью
аппарата передаточных функций по так называемой структурной схеме
системы. Для манипулятора изображённого на рис. 3.1 структурная схема
имеет вид (рис. 3.2).
Структурная схема получается из функциональной схемы, если
определены передаточные функции отдельных элементов системы,
образующих исходную. Наличие структурной схемы позволяет используя
разработанные в ТАУ методы исследования проводить анализ и синтез САУ
не решая дифференциальных уравнений.
29
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис.
3.2
На структурной схеме системы реальные функциальные элементы
заменены соответствующими динамическими звеньями и схема по существу
представляет собой графическое изображение дифференциального уравнения
в виде соответствующих динамических звеньев и передаточных функций.
Для исследования системы автоматического управления по её
структурной схеме необходимо выполнить следующие операции.
1) Структурная схема системы преобразуется в простую одноконтурную
схему (рис. 3.3) согласно правилам преобразования структурных схем
(таблица 3.1).
2) Записать передаточную функцию замкнутой системы по задающему
воздействию Ф(р), которая устанавливает связь между управляемой величиной
Увых (t ) и задающим воздействием Хвх(t) при отсутствии возмущающих
воздействий.
Так для схемы рис. 3.2
Увых(t)
W1(p) W2(t)
Xвх(t)
1 + W1(t) W2(t) Wос(t)
Рис. 3.3
Для получения передаточной функции разомкнутой
30
системы W(p)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
достаточно разомкнуть замкнутый контур в какой либо точке и рассмотреть
образовавшуюся цепь воздействий (вход и выход берутся в месте разрыва).
Так для схемы рис. 3.3
W(p)= W1 (p) Wос(p).
3) По передаточным функциям составляется дифференциальное
уравнение замкнутой системы относительно управляемой величины.
Увых(t) = Ф(р) Хвх(t) .
4. Если имеет место возмущающее воздействие на систему f (t), то по
такому же принципу составляется передаточная функция по возмущающему
воздействию ,исключив задающее воздействие.
Фf(р) =Увых(t)/f(t) =W2(p)/(1+W(p)).
5. При наличии как задающего, так и возмущающего воздействий в
соответствии с принципом суперпозиции полное дифференциальное
уравнение замкнутой системы равно сумме.
У(t)= Ф (р) Х вх(t) +Ф (р)f(t) .
Таблица 3.1
Правило
Правила преобразования структурных схем
Исходная схема
Эквивалентная схема
1.Объединение
последовательных
звеньев
2.Объединение
у
параллельных
звеньев
3.Исключение
неединичной
обратной связи
х
у
W1
W2
х
х
у
W1 + W2
W2
W1
х
W1
у
1 + W1 W2
W2
х1
х1 – х2
х1- х2 +х3
х2
6.Передвижение
точки суммирования
х2
с выхода звена на
его вход.
у
W1 W2
W1
4.Пестановка
– х2 + х3
точек суммирования
х2
5.Передвижение
точки суммирования
х
х1
х1 + х3
х3
х1
х3
х2
х2
х1
х3
W1
W2
х3
х1
х1
W1
х2
1
х3
W1
31
Х1
W1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
W2
3.2. Понятие об устойчивости
Главной
особенностью
автоматических
систем
управление
техническими устройствами является их динамичность, т.е. режим движения.
В теории управления техническими системами решаются следующие главные
задачи:
1. Определение поведения системы в установившемся состоянии и
непосредственно после приложения возмущающего воздействия.
2. Определение параметров, характеризующих собственные колебания,
т.е. частоту и коэффициент затухания.
3. Исследование устойчивости системы регулирования.
4. Влияние помех и нелинейностей.
5. Синтез корректирующих устройств, для обеспечения заданных
характеристик.
6. Определение оптимальных параметров системы.
Одной из основных задач ТАУ является изучение процесса изменения
управляемой величины или ошибки системы во времени под влиянием
внешних воздействий (задающего или возмущающего). Эти воздействия, как
правило, приводят к отклонению управляемой величины системы от
установившегося значения или к переходу системы из одного
установившегося состояния в другое, т.е. к переходному процессу.
В общем случае значение управляемой величины системы У(t) в каждый
момент времени может быть представлено в виде суммы установившейся
Ууст(t ) и переходой Уп ( t ) составляющих :
У(t) = Ууст(t ) + Уп ( t )
Система автоматического управления считается устойчивой, если Уп ( t )
с течением времени стремится к нулю:
ℓỉm Уп ( t ) = 0
(3.6)
t
∞
Устойчивость системы в этом смысле называется асимптотической.
Изменение управляемой величины У(t) (ранее мы ее определяли как
Увых ) во времени может быть определено путем решения линейного
дифференциального уравнения.
Общее решение однородного дифференциального уравнения, как
известно, может быть представлено в виде суммы экспоненциальных членов:
Уп ( t ) = С1ℓ Р 1t + С2ℓ Р2 t ………. Сnℓ Рп t,
(3.7)
где С – постоянная интегрирование,
Рi -корни характеристического уравнения вида:
aoP n + a1P n-1 + ……..+an = 0.
Условие устойчивости (3.6) будет выполняться лишь в том случае, если
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
каждая из экспоненциальных составляющих решения (3.7.) с течением
времени будет стремиться к нулю.
1) Пусть Pi = ai -вещественный корень.
Тогда составляющая Сi ℓ ai t
с течением времени стремится к
нулю, если a i < 0 , и неограниченно возрастает, если
a i > 0.
2) Пусть Pi i+1= ai + jβi - пара комплексных сопряженных корней,
Тогда сумма составляющих Сi ℓ p i t + Сi+1 ℓ p i +1 t
образует колебательную
аit
составляющую Сi ℓ ѕіn ( βi t+ γ i ), которая стремится к 0 лишь при ai< 0.
Таким образом, знаки корней характеристического уравнения полностью
определяют устойчивость или неустойчивость линейной системы.
Для устойчивости линейной автоматической системы необходимо
и
достаточно,
чтобы
вещественные
части
всех
корней
характеристического уравнения были отрицательными.
Следует особо отметить, что факт устойчивости или неустойчивости
целиком зависит только от структуры системы и численных значений ее
параметров (постоянной времени Т и коэффициента передачи К) и не зависит
от внешних воздействий (правая часть дифференциального уравнения). Это
объясняется тем, что характер переходного процесса определяется только
видом левой части дифференциального уравнения и не зависит от правой
части этого уравнения.
3.3. Критерии устойчивости
Для наглядности условия устойчивости САУ изобразим корни
характеристического уравнения графически на плоскости комплексных чисел,
или р-плоскости (рис. 3.4).
Imp
Imp
Rep
Rep
а
б
Рис. 3.4
На этой плоскости по оси абсцисс откладываются вещественные части
корней, а по оси ординат – мнимые части. Используя понятие р-плоскости,
можно сказать, что для устойчивости линейной системы необходимо и
достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали в левой
полуплоскости (рис. 3.4а).
Если хотя бы один корень окажется в правой полуплоскости система
будет неустойчива (рис. 3.4б).
Правила, позволяющие судить об устойчивости системы без решения
характеристического уравнения, в теории автоматического управления
получили название критериев устойчивости.
33
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таких правил несколько: 1) критерий Гурвица; 2) критерий Михайлова;
3) критерий Найквиста и др.
В формулировках критериев указываются необходимые условия и
достаточные условия. Приступая к исследованию устойчивости САУ, прежде
всего, полезно убедиться, что выполняется необходимое условие. Оно
формулируется так: для устойчивости системы необходимо (но недостаточно),
чтобы
все
коэффициенты характеристического уравнения были
положительными. Это означает, что если все коэффициенты положительны,
система может быть устойчивой, но может быть и неустойчивой. Если хотя бы
один из коэффициентов характеристического уравнения отрицателен или
равен нулю, система заведомо неустойчива или находится на границе
устойчивости, т.е. является неработоспособной.
Для систем первого и второго порядка необходимое условие
устойчивости одновременно является и достаточным.
Так, если характеристические уравнения имеют вид
4p4+2p3-3p2+p+5=0
4p4+2p3+3p2+p+5=0
В первом случае система заведомо неустойчива (коэффициент при Р 2
меньше 0). Во втором случае об устойчивости пока сказать ничего нельзя,
нужно продолжать исследование с помощью одного из критериев
устойчивости.
Критерий устойчивости Гурвица
Критерий формулируется следующим образом. Для того, чтобы все
корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные
части, необходимо и достаточно, чтобы при а0 >0 все
определители
(матрицы) Гурвица были положительны.
Известно, что матрицей называется совокупность mn чисел,
расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n
столбцов.
Матрицу обозначают символами
а11 а12 ........а1n
а21
К=
..........................
am
А= аi k
а22 .........а2n
а m .........аn
(i=1........m; K=1.............n)
Определителем матрицы называется число определяемое равенством
D(A)=
a11 a12
= a11 a22- a12 a21
a21 a22
Определитель
Гурвица
составляется
из
коэффициентов
n
n-1
2
1
характеристического уравнения anp +a n-1 p +a2p + a1 p + a0=0
34
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По нижеприведенной матрице
a0
a2
a4
.
.
.
0
0
0
0
a1
a3
0
a0
a2
0
0
a1
0
0
a0
0
0
0
0
0
0
an
0
0
an-1
0
0
an-2
an
0
an-3
an-1
0
определитель
0 имеет n столбцов и m строк, он составляется
следующим образом: по главной диагонали выписываются коэффициенты
характеристического уравнения по возрастающим индексам, далее правее
главной диагонали все строки заполняются коэффициентами по убывающим
индексам, левее по возрастающим. Оставшиеся пустые места заполняются
нулями.
Рассмотрим несколько примеров характеристических уравнений:
1.Характеристическое уравнение имеет вид a1p+a0=0 и условие устойчивости
а1>0 т.к. имеет один корень р 1=-а0/а1,
II. Характеристическое уравнение имеет вид а2р2+а1р+а0=0,
Определитель
a0 0
0=
= a1 a0
a2 a1
Система устойчива, если а1>0 и а1а0>0 или а2>0, а1>0; а0>0.
Ш. Характеристическое уравнение имеет вид а3р +а2р +а1р+а0=0
a0 0
0
0=
a2 a1
а0
0 а3 а2
Условия устойчивости: 1)
2 =а2>0
a1 а0
1=
= a1 a2 –а3а0 > 0
a3 a2
a0 0
0
= а0 1 >0 и а0  0
0=
a2 a1
а0
0 а3 а2
т.к. 1  0.
Таким образом, для уравнений 3-й степени необходимым условием
устойчивости является положительность всех а и достаточным условием
устойчивости а1а2>а0а3.
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
В основе оценки устойчивости по методу Гурвица лежат следующие
действия :
1. Составить систему дифференциальных уравнений (по звеньям).
2. Свести систему этих уравнений в одно общее дифференциальное
уравнение системы.
3. Проанализировать коэффициенты дифференциального уравнения
(коэффициенты характеристического уравнения) и определители.
4. Если эти коэффициенты и определители Гурвица положительны , то
система устойчива .
Метод Гурвица имеет три существенных недостатка .
1) Для анализа устойчивости системы нужно знать дифференциальные
уравнения всех входящих в систему звеньев ,что не всегда возможно.
2) Необходимо провести достаточно громоздкие вычисления
определителей.
3) По коэффициентам практически невозможно установить звено,
определяющее неустойчивость системы в целом.
Критерий устойчивости Михайлова
Этот критерий был сформулирован в 1936 г. проф. Михайловым А.В.
Он предложил так называемый частотный метод. Рассмотрим отдельно левую
часть характеристического уравнения и подставим в него чисто мнимое
значение p=j ω, при этом получим характеристику вида :
D(jω)=a0(jω)n+a1(jω)n+1+......+an=X(ω)+jУ(ω), где вещественная часть X(ω)
содержит четные степени параметра, а мнимая часть У(ω)- нечетные степени
этого параметра.
Если значение  менять непрерывно от 0 до ∞, то вектор D(jω)
cвоим концом опишет кривую Михайлова (рис.3.5).
jУ
D(j ) 
X
Рис. 3.5
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы вектор D(ω)
при изменении  от 0 до ∞ повернулся, нигде не обращаясь в нуль, то угол
φ=nπ/2
против часовой стрелки, где n -показатель характеристического
уравнения. Кривая Михайлова для устойчивой системы имеет плавную
спиралевидную форму. Она начинается на оси абсцисс в точке а,
последовательно проходит п квадрантов и в п квадранте уходит в
бесконечность. Признаком неустойчивости является нарушение числа и
последовательности квадрантов, вследствие чего угол поворота вектора D( j
36
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
 ) оказывается меньше чем п  2.
Построение годографа Михайлова осуществляется следующим образом:
Пусть характеристическое уравнение имеет вид
D(р)=4р4+2р3-3р2+р+5.
Подставляем вместо оператора Р = jω и находим характеристический
комплекс
D(jω)=4ω4+2jω3-3ω2+jω+5.
Определяем вещественную и мнимую часть
X(ω)=5-3ω2+4ω4,
У(ω)=ω-2ω3=ω(1-2ω2).
Находим корни уравнения У(ω)=0
ω21=0?5 ceк/ -2
При этом X(ω)=4,5
Строим кривую (годограф) Михайлова (рис.3.6).
У
1
2
3
4
5
6
х
7
ω
∞
Рис. 3.6
Уравнение X(ω)=0 не имеет вещественных положительных корней.
Следовательно, годограф не имеет точек пересечения оси ординат У. Система
неустойчива, о чем говорит также коэффициент при Р2 (коэффициент
характеристического уравнения отрицательный).
Критерий устойчивости Найквиста
В основу критерия устойчивости Найквиста лежит анализ амплитуднофазовых характеристик разомкнутой системы, поэтому его ещё называют
графоаналитическим. Метод определения устойчивости замкнутой системы
заключается в оценке вида АФЧХ разомкнутой системы. Таким образом, при
анализе системы исследуется не дифференциальное уравнение, а частотная
передаточная функция разомкнутой системы. Как известно АФЧХ отражает
изменение амплитуды и фазы передаточной функции W( p) ,где р= j ω при
изменении ω от 0 до  .
Частотная передаточная функция W(p) есть комплексное число, модуль
которого при изменении определяет АЧХ –А( ω ) ,а аргумент—ФЧХ.
Алгебраическая запись частотной передаточной функции
W( ω )= U( ω ) + j V( ω ),
где U(ω)— вещественная составляющая, V(ω) — мнимая
составляющая передаточной функции. Построение АФЧХ рассмотрено в
разделе 2.3.
Для применения критерия Найквиста не требуется знание
дифференциальных уравнений всех звеньев исследуемой САУ, нужно
37
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
располагать лишь амплитудно-фазовыми частотные
характеристиками,
которые заданы в графической форме. По АФЧХ отдельных звеньев путём
графического сложения определяется АФЧХ разомкнутой САУ. При помощи
критерия Найквиста по АФЧХ разомкнутой системы можно судить о том,
будет ли устойчива система в замкнутом состоянии.
Этот критерий можно сформулировать следующим образом. САУ
устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии,
если годограф АФЧХ этой системы в разомкнутом состоянии не охватывает
точки, имеющей координаты (-1,j0) на комплексной плоскости. В противном
случае замкнутая система неустойчива. Считается, что АФЧХ системы в
разомкнутом состоянии охватывает упомянутую точку, если она лежит внутри
контура, образованного годографом и отрезком, соединяющим точки кривой
для частот ω =0 и ω = (рис. 3.7). Годограф 1 соответствует устойчивой
системе, 2- система на границе устойчивости, 3-система неустойчива.
Рис. 3.7
Если система имеет несколько последовательно соединённых
интегрирующих звеньев, то годограф АФЧХ следует дополнить дугой
бесконечного радиуса (R= ), при этом замкнутая система будет устойчивой,
если дополненный годограф не охватит точку с координатами (-1, j 0) (рис. 3.8).
Рис. 3.8
При
изменении
в
некоторых
приделах
коэффициентов
дифференциального уравнения устойчивой САУ, т.е. при изменении
параметров системы, распределение корней её характеристического уравнения
38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
на комплексной плоскости также может измениться. Корни могут
приближаться к мнимой оси или удаляться от неё. Таким образом, удалённость
корней от мнимой оси характеризует запас устойчивости. При наличии АФЧХ,
запас устойчивости в соответствии с критерием Найквиста удобно
характеризовать удалённостью её от точки с координатами ( -1; j0). Запас
устойчивости в этом случае может быть охарактеризован двумя численными
величинами: запасом устойчивости по модулю и запасом устойчивости по
фазе ( L и ψ на рис.3.9). Величина отрезка L показывает, на сколько должен
измениться модуль АФЧХ разомкнутой системы при частоте, которой
соответствует сдвиг по фазе  = -- 180 , чтобы замкнутая САУ оказалась на
границе устойчивости. Под запасом устойчивости по фазе понимают величину
угла, образованного отрицательной действительной полуосью и лучом,
соединяющим начало координат с точкой пересечения годографа АФЧХ и
окружностью единичного радиуса. Для обычных систем  = 30—40.
Рис. 3.9
Чтобы избежать достаточно трудоёмких операций при построении
АФЧХ при практических расчётах устойчивость линейных САУ по критерию
Найквиста удобно использовать логарифмические частотные характеристики
разомкнутой системы (ЛАХ, ЛФХ). Из совместного рассмотрения ЛАХ и
ЛФХ (рис. 3.10) можно сделать вывод о том, что замкнутая система будет
устойчива. При значении модуля АЧХ равном единице, что на ЛАХ
соответствует L (ω )= 0,сдвиг по фазе ψ < --180 , система устойчива. Модуль
АЧХ равный единице означает, что амплитуда выходного сигнала равна
амплитуде входного сигнала.
Точно также если при ψ =--180 логарифм модуля будет отрицателен,
что соответствует модулю ЛАХ меньше единицы. Можно определить запас
устойчивости по модулю в логарифмическом масштабе. Запас устойчивости
по модулю будет характеризоваться величиной L, а запас по фазе -- (см.
рис. 3.10).
39
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Рис. 3.10
По ЛАХ и ЛФХ легко проследить влияние параметров САУ на её
устойчивость. Например, при возрастании коэффициента усиления системы
график ЛАХ будет перемещаться вверх, не меняя очертаний, а ЛФХ остаётся
без изменения. Таким образом точка пересечения ЛАХ с осью абсцисс (точка
среза) будет перемещаться вправо и система может достигнуть границы
устойчивости, а при дальнейшем увеличении к оказаться неустойчивой.
40
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА 4. КАЧЕСТВО ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ
4.1. Методы анализа качества управления
Устойчивость системы является необходимым, но ещё не достаточным
условием практической пригодности САУ. Устойчивость свидетельствует о
том, что переходный процесс при регулировании с течением времени затухает.
Помимо устойчивости системы к возмущению необходимы определённые
требования к качеству процесса регулирования. Среди этих требований в
первую очередь необходимо назвать ограничения на наибольшее
динамическое отклонение регулируемой величины в переходном процессе от
нового установившегося состояния. Большое значение имеет время, в течение
которого продолжается переходный процесс. К характеру переходного
процесса могут предъявляться требования монотонности, ограничения по
числу колебаний за время протекания переходного процесса и т. д.
Методы анализа качества переходного процесса при регулировании
можно разделить на две основные группы. К первой относятся прямые
методы, которые предполагают наличие полученной тем или иным способом
кривой (графика) переходного процесса (см. рис.4.1). Эта кривая, естественно,
даёт наглядное и достаточно полное представление о качестве регулирования.
Если известно дифференциальное уравнение САУ, то по его решению может
быть построен график переходного процесса. Для этого в настоящее время
широко используются вычислительные машины как цифровые, так и
аналоговые.
Рис. 4.1
Ко второй группе относятся косвенные методы анализа качества
переходного процесса регулирования, которые позволяют в некоторых
случаях обойтись без громоздких вычислительных операций и дают
возможность приближенно судить о характере переходного процесса по
некоторым косвенным критериям качества. Примером косвенных оценок
качества может служить запас устойчивости САУ по модулю и фазе, при
41
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
этом приближение к границе устойчивости может свидетельствовать об
ухудшении качества регулирования.
При прямых методах основными показателями качества, выраженными в
цифрах, являются перерегулирование, время регулирования и степень
затухания. Перерегулирование обычно выражают в процентах от
установившегося значения Хуст. Максимальная величина отклонения от
установившегося значения отнесённая к установившейся величине в
процентах и есть перерегулирование.
Δ Хmax=Хmax-- Хуст

хm ax
100 0 0
х уст
Время регулирования характеризует быстродействие САУ и
представляет собой время tp отсчитываемое от начала переходного процесса,
до момента, когда значение отклонения от регулируемой величины будет
меньше определённой, заранее заданной ,величины.
Обычно принимают Δ =(0,01÷0,05) Хуст .
Степень затухания является отношение разности двух соседних
амплитуд одного знака к первой из них

х1m ax  x2 m ax
x1m ax
.
Для устойчивых САУ 0 < ε < 1и чем ближе к 1 ,тем меньше
колебаний в переходном процессе, следовательно, тем больше запас
устойчивости системы. Обычно у хороших систем число колебаний не должно
превышать 2—3 раза.
Среди косвенных методов необходимо назвать корневые и частотные.
Корневые методы основаны на том, что по характеру расположения на
комплексной плоскости корней характеристического уравнения системы
можно составить суждение о качестве регулирования.
Так расстояние от мнимой оси до ближайшего к ней корня или пары
сопряжённых комплексных корней характеризует степень устойчивости и
соответственно время регулирования (см. рис. 3.4).
В частотных методах используются косвенные критерии, определяемые
по частотным характеристикам замкнутой или разомкнутой системы.
Например комплексная частотная функция замкнутой системы получается из
передаточной функции Ф(р) замкнутой системы подстановкой р= j ω ,
следовательно частотные методы оценки учитывают как левую так и правую
часть дифференциального уравнения САУ.
Наибольшее применение нашли следующие частотные оценки качества
САУ: показатель колебательности, полоса пропускания, частота среза, запас
устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде.
4.2. Оценка точности управления
Кроме рассмотренных показателей качества часто требуется знать
42
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
точность воспроизведения входных сигналов, величину ошибок от
воздействия внешних возмущений, величину отклонения регулируемой
величины от заданного значения.
Рассмотрим замкнутую САР (Рис.4.2.).
Х1 (t)
Х2 (t)
W(p)
Рис. 4.2
Здесь W(p)—передаточная функция разомкнутой системы, Х1 (t)—
задаваемое значение величины, Х2 (t)—истинное значение регулируемой
величины.
(t)= X1(t) –X2(t) --ошибка регулирования
(4.1)
Введём понятие передаточной функции замкнутой системы по ошибке
У(р)= (р)/Х1(р).
Если выразить эту передаточную функцию через передаточную
функцию разомкнутой системы W 0(p)=X 2(p) / X(p) и приняв во внимание,
что
Х2(t) =Х1(t) - (t) ,
получим W(p) =( X1(p)(p)) / X(p).
Отсюда W(p) (p) =X1(p)- (p),
(p)(1 + W(p)) =X1(p)
и
У(p) = (р)/Х1(р) = 1/(1+W(p)).
(4.2)
Выражение (4.2) дает связь между ошибкой и управляющим
воздействием в замкнутой системе при равенстве нулю других возмущающих
воздействий. По другому, выражение (4.2) можно записать как
(p)= X1(p) У(р) =Х(р) /(1+W(p)).
Отсюда видно, что ошибка зависит от управляющего воздействия и
собственных свойств разомкнутой САР, которые определяются передаточной
функцией W (p).
4.3. Способы улучшения динамических свойств САУ
Чтобы САУ удовлетворяло предъявленным к ней требованиям нужно
иметь возможность влиять на её динамические свойства путём их
корректировки.
Одним из эффективных средств улучшения динамических свойств САУ
является введение производной в закон регулирования. Это позволяет
уменьшить величину перерегулирования, увеличить запас устойчивости.
Введение производной в закон регулирования приводит к появлению в
передаточной функции разомкнутой системы сомножителя Тр+1, что
43
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
соответствует последовательному включению в структурную схему САУ
форсирующего звена, которое даёт положительный сдвиг по фазе. В итоге
вектор АФЧХ разомкнутой системы окажется повёрнутым на некоторый угол
против часовой стрелки, что свидетельствует о повышении запаса
устойчивости, т.е. годограф удаляется от критической точки с координатами
(-1, j 0).
Введение интеграла в закон регулирования позволяет получить
астатическую САУ, не имеющую статической ошибки и следовательно
повысить точность регулирования.
Технически улучшение динамических свойств САУ достигается
введением в систему специальных корректирующих устройств. Эти
устройства можно включать последовательно или параллельно элементам
САУ, изменяя тем самым её структуру с целью приближения динамических
свойств системы к желаемым. Выбор той или иной схемы коррекции зависит
от технических и эксплутационных характеристик применяемых
функциональных элементов.
Корректирующие звенья могут реализовываться из различных по своей
физической природе – электрических ,механических, гидравлических и других
элементов.
При последовательном включении корректирующих устройств
передаточная функция разомкнутой скорректированной системы имеет вид
W(p)=Wр (p) W к(p),
где W р(p)—передаточная функция разомкнутой не скорректированной
системы,
W к(p) — передаточная функция корректирующего устройства.
При параллельной коррекции корректирующие устройства чаще всего
включаются в цепь отрицательной обратной связи. Передаточная функция
разомкнутой САУ при этом
W(p) = W1(p) W2 (p) /(1 + W2 (p) Wk(p)),
где W2(p)—передаточная функция части системы, охваченной
корректирующей связью,
W1(p)—передаточная функция части системы не охваченной
корректирующей связью.
4.4. Нелинейные системы управления
Абсолютно линейных физических систем в природе не существует.
Рассмотренные ранее так называемые линейные системы фактически являются
линейными моделями реальных автоматических управления, так как они
получены в результате линеаризации характеристик реальных нелинейных
элементов. Изучение линейной модели даёт большие преимущества, так как
теория линейных дифференциальных уравнений, которыми они описываются
,хорошо разработаны .Полученные при этом результаты во многих случаях
при корректной линеаризации правильно отражают свойства реальной
44
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
системы.
В то же время в некоторых реальных САУ такой метод не приносит
положительного результата, прежде всего, возникают автоколебания, качество
регулирования не соответствует заданным требованиям. Это происходит, как
правило, из-за нелинейностей элементов системы. Кроме того, существует
целый ряд нелинейностей, которые принципиально не могут быть
линеаризованы.
Системы, для которых не удаётся провести линеаризацию, описываются
нелинейными дифференциальными уравнениями и рассматриваются как
нелинейные САУ. Обычно в составе системы имеет место одно, реже два
нелинейных звена. К ним относятся звенья:
1)с релейными статическими характеристиками,
2)с криволинейными статическими характеристиками,
3)с характеристиками кусочно-линейного типа.
Физическая
сущность
нелинейностей
характеристик
звеньев
обусловлена
Люфтами и трением в механических передачах, насыщением в
электронных устройствах, ограничителями типа упор или концевой
выключатель в исполнительных двигателях.
Как отмечалось ранее, устойчивость линейных систем зависит только от
структуры системы и её параметров, и не зависит от вида и величины
внешних воздействий, а также от начальных условий процесса.
Характер процессов в нелинейных системах в отличие от линейных в
общем случае зависит как от начальных условий ,так и от вида внешних
воздействий. Так, например, при малых начальных отклонениях от
равновесного состояния система может быть устойчива, а при больших
отклонениях она неустойчива. В нелинейных системах часто возникают
автоколебания. Поэтому для оценки устойчивости нелинейных САУ вводится
понятия: устойчивость в малом, устойчивость в целом, абсолютная
устойчивость и др.
С математической точки зрения наиболее существенной особенностью
нелинейных САУ является то, что к ним не применим принцип суперпозиции
как основополагающий приём при анализе и синтезе линейных систем.
В настоящее время отсутствует окончательно сложившийся
математический аппарат, который позволил бы полно исследовать все
нелинейные системы. Поэтому в теории этих систем применяется целый ряд
как точных, так и приближённых методов. Особенно большую пользу, как при
расчётах, так и при проверке полученных аналитических результатов
оказывают методы моделирования на вычислительных машинах непрерывного
или дискретного действия.
45
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болнокин В.Е. ,Чинаев П.И. Анализ и синтез автоматического
управления на ЭВМ (алгоритмы и программы). М. Радио и связь, 1991 г.
2. Задатчик по ТАУ, под редакцией Шитикова А.С. М. Высшая школа,
1979 г.
3. Красовский А.А. Поспелов Г.С. Основы автоматики и технической
кибернетики, М. Госэнергоиздат, 1962 г.
4. Наумов В.Н. Пятов Л.И. Автоматика и автоматизация
производственных процессов в легкой промышленности, М.Легкая и пищевая
промышленность, 1981 г.
5. Оппельт.О. Основы техники автоматического регулирования. М.
Энергоиздат. 1960 г.
6. Основы автоматического управления, М. Воениздат, 1972 г.
7. Стрыгин В.В. Основы автоматики и вычислительной техники, М.
Энергоиздат,1981 г.
46
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ЛАВРОВ Сергей Андреевич
УПРАВЛЕНИЕ
ТЕХНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
Учебное пособие
Технический редактор: С.А. Юдина
Подписано в печать 10.02.12. Формат 60×84 1/16.
Бумага писчая. Гарнитура «Таймс».
Усл. печ. л. 2,73. Уч.-изд. л. 3,19. Тираж 100 экз.
Цена свободная. Заказ № 28.
Отпечатано с готовых авторских оригиналов
на ризографе в издательском отделе
Уфимской государственной академии экономики и сервиса
450078, г. Уфа, ул. Чернышевского, 145; тел. (347) 241-69-85.
47
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
24
Размер файла
615 Кб
Теги
технические, системам, управления
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа