close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

43.598 Расчет прямоугольной плиты

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
РАСЧЕТ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛИТЫ
Методические указания
к выполнению расчетной работы и контрольной задачи
для студентов дневной и заочной форм обучения специальности ПГС
по курсу "Прикладная механика"
Воронеж 2011
УДК 539.3:624
ББК 30.121
Составители
А.Н. Синозерский, А.В. Резунов, Е.И. Осипова
Расчет прямоугольной плиты: метод. указания к расчетной работе и
контрольной задаче по курса «Прикладная механика» для студ. дневной и заочной форм обучения спец. ПГС / Воронежский ГАСУ; сост.: А.Н. Синозерский, А.В. Резунов, Е.И. Осипова. – Воронеж, 2010. – 21 с.
Приведены гипотезы и методика исследования перемещений, усилий и
напряжений тонких плит. Даются указания по определению прогибов, изгибающих и крутящих моментов, поперечных сил, нормальных и касательных
напряжений в прямоугольной плите, пример и решение этой же задачи на
ПЭВМ с использованием популярного математического пакета Mathcad.
Предназначены для студентов специальности ПГС дневной и заочной
форм обучения.
Ил. 6. Библиогр.: 4 назв.
УДК 539.3:624
ББК 30.121
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Воронежского государственного архитектурно-строительного университета
Рецензент – В.Д. Коробкин, доктор. техн. наук, проф. кафедры
теоретической механики Воронежского государственного
архитектурно-строительного университета
2
ВВЕДЕНИЕ
h/2 h/2
Приведены гипотезы и методика исследования перемещений, усилий и
напряжений тонких плит. Даются указания по определению прогибов, изгибающих и крутящих моментов, поперечных сил, нормальных и касательных
напряжений в прямоугольной плите, пример и решение этой же задачи на
ПЭВМ с использованием популярного математического пакета Mathcad.
Призматическое или цилиндрическое тело (рис. 1), толщина которого h
мала по сравнению с другими габаритными размерами (a, b), называется
пластиной [1,2].
0
x
q
b
y
a
Рис. 1
Они применяются в строительстве, авиации, машиностроении, судостроении
и т. д. При этом легкость и рациональность форм тонкостенных конструкций
сочетаются с их высокой несущей способностью, экономичностью и хорошей технологичностью.
В зависимости от формы основания призмы или цилиндра различают
круглые, эллиптические, квадратные, прямоугольные, треугольные и т. п.
пластины.
Плоскость, делящая пластину пополам по толщине, называется срединной плоскостью, а линия пересечения её с боковыми гранями – контуром.
В строительной практике пластины, подвергающиеся изгибу, именуются плитами [3]. Наиболее распространены рассматриваемые в дальнейшем
прямоугольные плиты (с прямоугольным контуром и h=const).
3
1. Допущения
Оси x, y декартовой прямоугольной системы координат расположим в
срединной плоскости, ось z направим вниз (рис. 1). Материал плиты будем
считать сплошным, однородным, изотропным и подчиняющимся закону Гука
с модулем упругости E и коэффициентом Пуассона .
Под действием, например, распределенной по площади нагрузки интенсивности q (кН/м2) точки срединной плоскости получают вертикальные
перемещения – прогибы w. Геометрическое место этих точек образует срединную поверхность изогнутой плиты (рис. 2).
Существенное влияние на свойства плиты оказывает толщина h. В
дальнейшем рассматриваются только тонкие плиты, для которых выполняются условия
1 h 1
  ,
80 r 5
h
max w  ,
4
(1)
(2)
где r – наименьший габаритный размер, max w – наибольший прогиб.
Помимо изложенных выше ограничений теория расчета тонких плит
основана на трех гипотезах (допущениях).
Срединная плоскость
0
x
c
z
w
w
.
d
d1
.
h/2
c1
h
b
Срединная поверхность
y
a
Рис. 2
Кинематическая гипотеза: любой линейный элемент (cd на рис. 2),
нормальный к срединной плоскости, остаётся прямолинейным и перпендику-
4
лярным к срединной поверхности и длина его не изменяется (c1d1=cd=h).
Следовательно, отсутствуют угловые и линейные в направлении оси z деформации
 xz   yz  0 ,
z  0 .
(3)
(4)
Так как  z  w / z , то прогиб является функцией только двух переменных
w=w(x,y).
(5)
Статическая гипотеза: давлением горизонтальных слоёв плиты друг
на друга можно пренебречь, полагая
z  0 .
(6)
Тогда в соответствии с обобщённым законом Гука линейные деформации по осям x, y будут определяться по формулам
 x  (  x     y ) / E, 

 y  (  y     x ) / E. 
(7)
Гипотеза о недеформируемости срединной плоскости: деформации
растяжения, сжатия ( x ,  y ) и сдвига (  xy ) в срединной плоскости отсутствуют, а следовательно она является нейтральной. Для точек срединной плоскости перемещения по осям x, y равны нулю
u0  v 0  0 .
(8)
На видимых гранях элемента (рис. 3) плиты размерами x  y  1 и
толщиной h показаны напряжения и погонные (приходящиеся на единицу
длины плиты) внутренние усилия, которые следует учитывать при расчёте
тонких плит.
5
Δx=1
x
Δy=1
z h/2
0
Mxy
dz
z
Mxx
Qxz
Myx
σx
τyx
Myy
y
Qyz
σy
τxy
τxz
τyz
Рис. 3
 x ,  y – нормальные напряжения,  xy ,  yx – касательные напряжения;
Q xz , Q yz – внутренние погонные поперечные силы;
M xy , M yx – внутренние погонные изгибающие моменты;
M xx , M yy – внутренние погонные крутящие моменты
2. Методика расчета
Решение задачи по определению перемещений, деформаций, усилий и
напряжений обычно выполняют в перемещениях. За основную неизвестную
принимают функцию прогибов w=w(x,y) [1,2].
Рассматривая условия для сдвигов (3), из соотношений Коши с учётом
(8) получают перемещения
w 
u  z 
,
x 
(9)

w 
v  z 
.
y 
Подставляя в зависимости Коши перемещения (9), находят отличные
от нуля деформации

u
2w
x 
 z  2 ,

x
x


v
2w
y 
 z  2 ,
(10)

y
y

2
 u v
 w 
.
 xy 

 2  z 
 y x
x  y 
6
Далее с помощью закона Гука в обратной форме с учётом равенства (6)
получают напряжения  x ,  y ,  xy в виде функций упругих постоянных E, 
и прогиба w(x,y). Пренебрегая объёмными силами и учитывая отсутствие касательных нагрузок на верхней и нижней поверхностях плиты, из дифференциальных уравнений равновесия устанавливают зависимости  xz ,  yz от E, ,
w(x,y), h.
Рассматривая элементарные внутренние усилия, действующие на площадке толщиной dz и единичной ширины (рис. 3), и интегрируя эти усилия
по толщине плиты, приходят к следующим выражениям для погонных
 2w
2w 
изгибающих моментов: M xy   D   2    2  ,
y 
 x
(11)
 2w
2w 
M yx   D   2    2  ;
x 
 y
крутящих моментов:
2w
M xx  M yy   D  1    
;
x y
поперечных сил: Qxz   D 
(12)


 2 w , Q yz   D 
2w ,
x
y




где D – цилиндрическая жёсткость плиты:
E  h3
D
;
12  1   2

(13)
(14)

2w 2w
 w 2  2 ;
x
y
2
(15)
E и  – модуль упругости и коэффициент Пуассона, h – толщина плиты.
Выражения для напряжений через внутренние усилия (11)–(13) имеют
следующий вид:
12  M xy  z
12  M yx  z
(16)
x 
, y 
;
3
h
h3
12  M yy  z
12  M xx  z
(17)
 xy 
,  yx 
;
3
h
h3
12  Qxz  S y
12  Q yz  Sx
(18)
 xz 
,  yz 
,
3
3
h
h
2

1 h
(19)
где
S y  S x     z 2 
2  4

- статический момент части сечения высотой
x  y  1 (рис. 4,в).
7
 0.5  h  z 
и шириной
Эпюры нормальных  x ,  y , касательных  xy ,  yx и  xz ,  yz напряжений представлены на рис. 4, а, б и в.
Δy=1
Mxy
h/2
h/2
Mxx
Myx
Qxz
Qyz
ω
y
σx
τxy
τxy
ω
σy
τyz
τyz
а)
б)
в)
Рис. 4
Рассматривая равновесие элемента плиты размерами в плане dx, dy под
действием распределённой нагрузки q после преобразований придём, к дифференциальному уравнению срединной поверхности плиты
4w
4w
4w q



 .
2
x 4
 x 2   y 4 y 4 D
(20)
Уравнение (20) называется разрешающим, а функция прогибов w(x,y),
которая удовлетворяет уравнению (20) и условиям на контуре плиты, – разрешающей функцией.
Сформулируем граничные условия для различных случаев закрепления контура прямоугольной плиты (рис. 5).
x
y=0
b
z
x=a
x=0
y=b
a
y
Рис. 5
8
Защемленный край (геометрические условия): при x=0 невозможны
прогиб и поворот сечения относительно оси x, т. е. заданы перемещения
w(0, y)  0 и w(0,y) / x  0.
(21)
Свободный край (статические условия): при y=b=const отсутствуют
поперечная сила Q yz , крутящий M xx и изгибающий M yx моменты, т. е. заданы усилия. Вместо необходимых двух имеем три условия, что объясняется
приближенностью используемых при решении допущений. Противоречие
устраняют, заменив первые два условия требованием равенства нулю обобщённой поперечной силы. В итоге на свободном крае получают следующие
условия:

 3 w  x, b 
 3 w  x, b 
 2   
 0, 
3
2
y
 x  y


2
2
 w  x, b 
 w  x, b 

 
 0.
2
2

y
x
(22)
Шарнирно опёртые края (смешанные условия): при y=0 или
x=a=const прогибы и изгибающие моменты M yx или M xy равны нулю, т. е.
заданы часть перемещений и усилий. Линии y   и x  a остаются неизогнутыми, поэтому w(x, 0) / x   2 w(x, 0) / x 2  0
и w (a, y ) / y   2 w (a, y ) / y 2  0 , что с учётом (11) приводит к соотношениям
или
w(x, 0)  0 и  2 w(x, 0) / y 2  0, 


w(a,y)  0 и  2 w(a,y) / x 2  0.
(23)
После того как функция прогибов w ( x, y ) будет найдена (удовлетворяет уравнению (20) и граничным условиям) все остальные величины вычисляют из выражений (9) – (13) и (16) – (19).
3. Задание
Объектом исследования является нагруженная по верхней поверхности
равномерно распределённой поперечной нагрузкой интенсивностью q прямоугольная в плане, шарнирно опёртая по контуру плита со сторонами a, b и толщиной h (рис. 6), модулем упругости E и коэффициентом Пуассона ν материала.
9
h/2
q
x
h/2
0
a
h
z
yA
x
xA
q
b
A
y
Рис.6. М.1:35
Разрешающую функцию принять в виде двойного тригонометрического ряда:


w ( x, y )   A mn  sin
m1 n 1
m  x
n y
.
 sin
a
b
(24)
В этом случае условия на контуре (23) удовлетворяются, а дифференциальное уравнение (20) обращается в тождество, если коэффициенты ряда
будут равны
b a
4
m x
n y


 dy  dx ,
A mn 
q(x,
y)
sin
sin
2
2 2 
a
b
(25)
m n  0 0
D  4  a  b   2  2 
b 
a
где m  1,2,3; n  1,2,3 и т. д.
10
Для постоянной нагрузки ( q  const ):
A mn
16  q  a4
16  q  a4


 Cmn ,
6
6
2
2
2 2


D
D   m    n   m n
16  q  a4  
m x
n y
,
w ( x, y ) 
  Cmn  sin
 sin
6
D
a
b
m1 n 1
(26)
(27)
где m  1,3,5; n  1,3,5, так как чётные члены ряда (24) обращаются в
нуль.
Коэффициенты Cmn находятся по формуле
1
Cmn 
2
(28)
m  n   m2   2  n 2 
с параметром  , равным
  a b.
(29)
Тогда, подставляя функцию (27) в (11), получим следующие выражения для изгибающих моментов:
где




16  q  a2  
mx
n y 
  Fmn  sin
 sin
,
M xy 
4

a
b

m1 n 1

16  q  a2  
mx
n y 
  H mn  sin
 sin
M yx 
,

4
a
b
m1 n 1
(30)
Fmn   m 2     2  n 2   Cmn , 

H mn     m 2   2  n 2   Cmn .
(31)
Требуется:
найти прогиб в точке плиты A с координатами x A , y A ;
определить наибольшие нормальные напряжения  x и  y в сечении,
проходящем через точку A;
в вычислительной лаборатории кафедры произвести поверочный расчёт на ПЭВМ и представить протокол расчёта (студенты заочной формы обучения выполняют этот пункт по желанию);
по полученным на ПЭВМ результатам найти наибольшие касательные
напряжения в заданном сечении.
При вычислениях вручную следует удерживать только те члены ряда,
величина которых равна или превышает 5 % от первого члена ряда.
11
4. Рекомендации к выполнению работы
4.1. Исходные данные
Выписать заданные размеры плиты a, b, h ; интенсивность равномерно
распределённой нагрузки q; модуль упругости E и коэффициент Пуассона ν
материала; координаты x A , y A расчётного сечения.
Вычертить геометрическую схему плиты с указанием масштаба, линейных размеров и действующей на плиту нагрузки.
4.2. Определение прогиба точки A
Найти:
цилиндрическую жёсткость плиты D (14);
общий множитель ряда (27) по формуле:
16  q  a4
Ow 
;
D  6
постоянные Cmn (28) , члены ряда
m    xA
n    yA
 mn  Cmn  sin
 sin
a
b
и их оценки

mn  mn  100% ,
11
(32)
(33)
(34)
вертикальное перемещение w ( x A , y a ) точки A из выражения (27) при  mn с
mn  5% , m  1 и n  1,3,5 (или m  1,3,5 и n  1 ).
4.3. Нахождение наибольших нормальных напряжений
 x (x A , y A ) и  y (x A , y A )
Вычислить:
- общий множитель:
- коэффициенты Fmn , H mn
16  q  a2
OM 
;
4
по формулам (31);
- члены ряда
12
(35)
m    xA
n    yA 
 sin
,

a
b

m    xA
n    yA 
 H mn  sin
 sin

a
b
 mn  Fmn  sin
 mn
(36)
и их оценки
( mn )   mn 11  100%, 
(37)

(  mn )   mn  11  100%; 
- изгибающие моменты M xy (x A , y A ) и M yx (x A , y A ) по формулам (30) для  mn
и  mn при условии ( mn )  5% и (  mn )  5%;
- наибольшие нормальные напряжения  x (x A , y A ) и  y (x A , y A ) в сечении,
проходящем через точку A, из соотношений (16) для точек с координатами
z   h 2.
4.4. Поверочный расчёт плиты на ПЭВМ
Произвести расчёт на ПЭВМ в вычислительном классе кафедры по
программе ПЛИТА и представить протокол расчёта. Инструкция по работе
с программой приводится в разделе 5.
4.5. Нахождение наибольших касательных напряжений
Используя полученные на ПЭВМ данные о крутящих моментах
M xx , M yy и поперечных силах Qxz , Q yz , в точке A определить наибольшие
касательные напряжения: max  xy , max  yz по формулам (17) при z   h 2 и
max  xz , max  yz по формулам (18) при z  0 .
5. ИНСТРУКЦИЯ ПО РАБОТЕ С ПРОГРАММОЙ ПЛИТА
Программа ПЛИТА написана с использованием вычислительной среды системы MATHCAD, которая позволяет студентам выполнять расчеты с
помощью так называемых «живых» формул (формул, в которые можно подставить свои данные и немедленно получить результат).
Для выполнения расчётов по программе ПЛИТА студенту необходимо
задать исходные данные, перечисленные в разделе 4.1. Результат будет получен автоматически. Изменяя значение величины N, которая в качестве параметра входит в выражения для всех искомых величин, можно менять число
учитываемых в расчётах членов рядов и оценить скорость их сходимости.
Одновременно задать число членов для всех рядов можно с помощью параметра NN, которому по умолчанию присвоено значение 5.
13
Ниже приведён листинг программы ПЛИТА.
6. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЁТА
6.1. Исходные данные
Выполнить расчёт плиты, геометрическая схема которой с нагрузкой
представлена на рис. 6, если:
 линейные размеры a=2,8 м, b=3,5 м, h=0,08 м;
 интенсивность
равномерно
распределённой
нагрузки
2
q=4,0 кН/м ;
 материал плиты имеет модуль упругости E  36  106 КПа и коэффициент Пуассона   0,13 ;
 расчётное
сечение
A
в
точке
с
координатами
x A  1,75м, y A  1,05м .
6.2. Вычисление прогиба w(x A , y A )
Определяем цилиндрическую жёсткость плиты (14):
D
36  106  0, 083
 1562, 4кНм ,
12  1  0,132 
множитель (32):
16  4, 0  2, 84
Ow 
 2, 627  103 м
6
1562, 4  3,14
и параметр (29):   2, 8 3, 5  0, 8 .
Находим постоянные Cmn , члены ряда  mn и их оценки
формулам (28), (33) и (34):
m  1, n  1  C11 
1
1  1  12  0, 82  12 
11  3, 7180  101  sin
2
(  mn ) по
 3, 7180  101 ,
1  3,14  1, 75
1  3,14  1, 05
 sin
 2, 7790  101 ;
2, 8
3, 5
14
m  1, n  3  C13 
1
1  3  1  0, 8  3
2
2
13  7, 2943  103  sin
2

2
 7, 2943  103 ,
1  3,14  1, 75
3  3,14  1, 05
 sin
 2, 0825  103 ;
2, 8
3, 5
13  2, 0825  103 2, 7790  101  100%  0, 75%  5%;
m  3 , n  1  C31 
1
3  1   3  0, 8  1
2
2
31  3, 5869  103  sin
2

2
 3, 5869  103 ,
3  3,14  1, 75
1  3,14  1, 05
 sin
 1,1105  103 ;
2, 8
3, 5
13  1,1105  103 2, 7790  101  100%  0, 40%  5%.
Дальнейшее вычисление членов ряда  mn прекращаем, так как оценки
13 , 31 , а, следовательно, последующие 33 , 15 , 51 и т.д. меньше 5 %.
Учитывая только 11 , из (27) определяем прогиб
w(x A , y A )  2, 627  103  2, 7790  101  7, 30  104 м  0, 73 мм.
6.3. Нахождение наибольших нормальных напряжений в точке А
Вычисляем общий множитель (35):
16  4, 0  2, 82
кН  м
.
OM 
 5,1615
4
3,14
м
По формулам (31), (36) и (37) будем иметь:
m  1, n  1  F11  12  0,13  0, 82  12   3, 7180  101  4, 0274  101 ,
H11   0,13  12  0, 82  12   3, 7180  101  2, 8629  101 ,
11  4, 0274  101  sin
1  3,14  1, 75
1  3,14  1, 05
 sin
 3, 0102  101 ,
2, 8
3, 5
 11  2, 8629  101  0, 9239  0, 8090  2,1398  101 ;
m  1, n  3  F13  12  0,13  0, 82  32   7, 2943  103  1, 2756  102 ,
H13   0,13  12  0, 82  32   7, 2943  103  4, 2964  102 ,
15
13  1, 2756  102  sin
1  3,14  1, 75
3  3,14  1, 05
 sin
 3, 6418  103 ,
2, 8
3, 5
 13  4, 2964  102  0, 9239  0, 3090  1, 2265  102 ,
(13 )  3, 6418  103 3, 0102  101  100% = 1,21% ,
(  13 )  1, 2265  102 2,1398  101  100% = 5,73% ;
m  3 , n  1  F31   32  0,13  0, 82  12   3, 5869  103  3, 5281  102 ,
H 31   0,13  32  0, 82  12   3, 5869  103  6, 4923  103 ,
 31  3, 5281  102  sin
3  3,14  1, 75
1  3,14  1, 05
 sin
 1, 0087  102 ,
2, 8
3, 5
 31  6, 4923  103  ( 0, 3827 )  0, 8090  2, 0100  103 ,
( 31 )  1, 0087  102 3, 0102  101  100% = 3,35% ,
(  31 )  2, 0100  103 2,1398  101  100% = 0,94% ;
m  3 , n  3  F33   32  0,13  0, 82  32  
1
3  3   3  0, 8  3
H 33   0,13  32  0, 82  32  
2
2
2

 4, 9721  103 ,
2
1
3  3   32  0, 82  32 
2
 3, 5344  103 ,
 33  4, 9721  103   0, 3827   0, 3090  5, 8797  104 ,
 33  3, 5344  103  ( 0, 3827)  0, 3090  4,1796  104 ,
( 33 )  5, 8797  104 3, 0102  101  100% = 0,20% ,
(  33 )  4,1796  104 2,1398  101  100% = 0, 20% ;
m  1, n  5  F15  12  0,13  0, 82  52  
1  5  12  0, 82  52 
H15   0,13  12  0, 82  52  
15  2,1315  103  sin
1
2
 2,1315  103 ,
1
1  5  12  0, 82  52 
2
 1,1163  102 ,
1  3,14  1, 75
5  3,14  1, 05
 sin
 1, 9692  103 ,
2, 8
3, 5
 15  4, 2964  102  0, 9239  ( 1)  1, 0313  102 ,
(15 )  1, 9692  103 3, 0102  101  100% = 0,65% ,
(  15 )  1, 0313  102 2,1398  101  100% = 4,82% ;
16
m  5 , n  1  F51   52  0,13  0, 82  12  
1
5  1   5  0, 8  1
2
2
2

2
 7, 6309  103 ,
H 51   0,13  52  0, 82  12   3, 0422  104  1,1834  103 ,
5  3,14  1, 75
1  3,14  1, 05
 sin
 2, 3625  103 ,
2.8
3.5
3
 51  1,1834  10  ( 0, 3827 )  0, 8090  3, 6639  104 ,
 51  7, 6309  103  sin
( 51 )  2, 3625  103 3, 0102  101  100% = 0,78% ,
(  51 )  3, 6639  104 2,1398  101  100% = 0,17% .
Последующие оценки    53  ,    35  ,    55  ,    53  ,    35  ,    55  и
т.д. будут меньше 5 %. Поэтому вычисление членов ряда  mn ,  mn прекращаем.
Учитывая только слагаемые 11  3, 0102  101 и  11  2,1398  101 ,
 13  1, 2265  102 , определяем изгибающие моменты из выражений (30):
M xy  x A ,y A   O M  11  5,1615  3, 0102  101  1, 5537 кН  м/м ,
M yx  x A , y A   O M    11   13   5,1615   2,1398  101  1, 2265  102   1,1678кН  м/м.
По формулам (16) при z   h 2 находим наибольшие нормальные напряжения в заданной точке A плиты:
12  1, 5537   0, 04 
 x  x A ,y A  
 1457 КПа ,
0, 083
12  1,1678   0, 04 
 1095КПа .
0, 083
Эпюры  x ,  y изображены на рис. 4, а.
 y  x A ,y A  
6.4. Расчёт плиты на ПЭВМ
Пример расчёта плиты с исходными данными приведен в разделе 6.1.
Результаты
расчётов
для
точки
A
с
координатами
x A  1, 75м , y A  1, 05м .
Прогиб:
Изгибающие моменты:
W  7, 286  104 м.
M xy  1, 502кНм/м ,
M yx  1,112кНм/м .
Крутящие моменты:
M xx  M yy  0, 2646кНм/м.
17
Q xz  0, 7963кН/м ,
Поперечные силы:
Q yz  0, 9741кН/м .
Расчет прямоугольной плиты, шарнирно опертой по контуру
(решение Навье)
Ввод размерностей:
3
м  m ; мм  10
3
m ;
кПа  10 Pa ;
Дано: a :=3,5 M; b :=3,5 M;
xa :=1,75 M;
кН  1000 N.
h :=0,08 M; ν :=0,13;
E := 3,6  107 M ; q := 4
kH
M
2
ya :=1,05 M.
Найти в точке А: W,
  x max,   y  max ,   xy max,   yx max,   xz  max ,
  yz max.
Решение
Eh
;
12  1    
3
D :=
D = 1,562  103 kH  M ;
 
a
;
b
1
  8  10
.
Прогиб плиты определяется выражением

4
W ( x  y)
;
16 q a
D 
6


 
s0 t0

 ( 2 s  1)  x  ( 2 t  1)   y

sin
 sin



a
b





.
2

2
2
2 
 ( 2 s  1) ( 2 t  1)  ( 2 s  1)   ( 2 t  1)  
Ограничиваясь суммированием от 0 до N, получим
N
4
W ( x  y  N ) 
16 q a
D 
6

N
 
s0 t0
NN : 5 .
W  x a , y a , N  = 7,278  10-1 MM ;

 ( 2 s  1)  x  ( 2 t  1)   y

sin
 sin



a
b





;
2

2
2
2 
 ( 2 s  1) ( 2 t  1)  ( 2 s  1)   ( 2 t  1)  
W  x a , y a , NN  = 7,286  10-1 MM .
18
Изгибающие моменты найдем по формулам
16  q  a 2
M xy (x, y, N) =

π4
 2  s +1 2 + ν   2   2  t +1 2  sin   2  s +1  π  x   sin   2  t +1  π  x  ;
N N 
 
a
b




2
2
2
s=0 t=0
 2  s +1   2  t +1   2  s +1 +  2   2  t +1 
16  q  a 2
M yx (x, y, N) =

π4
 ν   2  s +1 2 +  2   2  t +1 2  sin   2  s +1  π  x   sin   2  t +1  π  x  ;
N N 
 
a
b




2
2
2
s=0 t=0
 2  s +1   2  t +1   2  s +1 +  2   2  t +1 
кН  M
кН  M
;
.
M xy  x a , y a ,0  = 1,551
M xy  x a , y a , NN  = 1,502
M
M yx  x a , y a ,0  = 1,102
кН  M
M
M
M yx  x a , y a , NN  = 1,112
;
Крутящие моменты задаются выражениями:
16 q a  1    
N
2
Mxx( x  y  N )  

4

N
 
s0 t0
Myy( x  y  N )  Mxx( x  y  N ) ;
кН  M
;
M XX  x a , y a ,0  = 2,998  10-1
кН  M
M
.
 ( 2 s  1)  x
 ( 2 t  1)   y
 cos 

a
b



;
cos 
 ( 2 s  1) 2   2 ( 2 t  1) 2 
M XX  x a , y a ,0  = 2,646  10-1
M
кН  M
M
Соотношения для поперечных сил имеют следующий вид:
 ( 2 s  1)  x  ( 2 t  1)   y
 sin

N
N cos 
16  q a
a
b

 
;

Qxz( x  y  N ) 
3
2
2
2


s  0 t  0 ( 2  t  1)  ( 2 s  1)    ( 2  t  1) 
 
Qyz( x  y  N ) 
N
16 q a 


3
 
s0 t0
Q XZ  x a , ya ,0  = -1,091
Q yZ  x a , ya ,0  = 1,531
N
кН
M
кН
M
;
;
 ( 2 s  1)  x
 ( 2 t  1)   y
 cos 

a
b



;
2
2
2
( 2 s  1)  ( 2 s  1)   ( 2 t  1) 
sin
Q XZ  x a , ya , NN  = -7,963  10-1
Q yZ  x a , ya , NN  = 9,741  10-1
19
кН
M
кН
M
.
.
2
.
Напряжения в поперечных сечениях плиты будут равны:
 x( x  y  z  N ) 
xy( x  y  z  N ) 
12 Mxy( x  y  N ) z
3
h
12 Mxx( x  y  N )  z
h
3
 y( x  y  z  N ) 
;
yx( x  y  z  N ) 
;
12 Myx( x  y  N ) z
3
;
h
12 Myy( x  y  N )  z
h
3
;

6 Qxz( x  y  N )  h2
2

xz( x  y  z  N ) 

z ;
3
4


h

6 Qyz( x  y  N )  h2
2
yz( x  y  z  N ) 

z .
3
4

h
Наибольшие напряжения  x   y  xy  yx в сечениях, проходящих через
h
h
иz  .
точку A, достигаются при z
2
2
h


 x  x a , ya , , NN  = 1, 408  103 кПа ;
2


h


xy  x a , y a ,  , NN  = 2,481  102 кПа ;
2


h


 y  x a , ya , , NN  = 1,042  103 кПа .
2


h


 yx  x a , y a ,  , NN  = 2,481  102 кПа .
2


Наибольшие напряжения  xz   yz достигаются при z
0:
 xy  x a , y a ,0M, NN  = 1,826  101 кПа .
xz  x a , ya ,0M, NN  = 1,493  101 кПа ;
Расхождения с полученными вручную результатами составляют:
W  w  xA , y A 
7, 286  104  7, 30  104
 100% 
 100%  0,19%,
w  x A ,y A 
7, 30  104
M xy  M xy  x A ,y A 
M xy  x A ,y A 
M yx  M yx  x A ,y A 
M yx  x A ,y A 
 100% 
1, 502  1, 554
 100%  3, 35%,
1, 554
 100% 
1,112  1,168
 100%  4, 80%.
1,168
20
6.5. Вычисление наибольших касательных напряжений
Соответствующие крутящим моментам M xx  M yy  0, 2646кНм/м и
поперечным силам Q xz  0, 7963кН/м , Q yz  0, 9741кН/м напряжения вычисляем по формулам (17) и (18), получая
12  0, 2646   0, 04 
 248кПа ;
при z = ± h 2 = ±0,04м – max  xy  max  yx 
0, 083
12   0, 7963  0, 082
при z=0 – max  xz 
 14, 93кПа ,
0, 083  8
12  0, 9741  0, 082
max  yz 
 18, 86кПа .
0, 083  8
Эпюры  xy ,  yx и  xz ,  yz см. рис. 4. б и 4. в.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Александров, А.В. Сопротивление материалов. Основы теории упругости и пластичности: учеб. для строит. спец. Вузов / А.В. Александров, В.Д.
Потапов. – 2-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 2002. – 400 с.
2. Теребушко, О.И. Основы теории упругости и пластичности: учеб.
для строит. спец. вузов. – М.: Наука, 1984. – 320 с.
3. Самуль, В.И. Основы теории упругости и пластичности: учеб. для
строит. спец. вузов. – 2-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 1982. – 264 с.
4. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений: Расчётно-теор./ Кн. 2. Под ред. А.А. Уманского. –
М.: Стройиздат, 1973. – 416 с.
21
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение…………………………………………………………………….
1. Допущения……………………………………....……………………......
2. Методика расчёта………………………………………………………...
3. Задание……………………………………………………………………
4. Рекомендации к выполнению работы…………………………………..
5. Инструкция по работе с программой ПЛИТА………………………..
6. Пример выполнения расчета…………………………………………….
Библиографический список………………………………………………..
3
4
6
9
12
13
14
21
РАСЧЁТ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛИТЫ
Методические указания к расчётной работе
и контрольной задаче
по курсу «Прикладная механика»
для студентов специальности ПГС
дневной и заочной форм обучения
Составители: Синозерский Александр Николаевич,
Резунов Александр Васильевич,
Осипова Елена Ивановна
Редактор Черкасова Т.О.
Подписано в печать 08.12.2011. Формат 60 × 84 1/16.Уч.-изд. л. 1,3. Усл.-печ. л. 1,4.
Бумага писчая. Тираж 250 экз. Заказ № ____.
____________________________________________________________________
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии
издательства учебной литературы и учебно-методических пособий
Воронежского государственного архитектурно-строительного университета
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
22
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
313 Кб
Теги
прямоугольный, 598, плита, расчет
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа