close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

66.972 Теория вероятностей

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»
Кафедра высшей математики
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
методические указания для выполнения контрольной работы №1
для студентов 2-го курса заочного факультета,
обучающихся по направлению подготовки бакалавров «Экономика»
Воронеж 2013
УДК 517.8
ББК 22.17
Составители:
М.Д. Гончаров, А.М. Дементьева, В.В. Горяйнов
Теория вероятностей: методические указания для выполнения контрольной работы №1 для студ. 2-го курса ЗФ, обуч. по направ. подготовки бакалавров «Экономика» / Воронежский ГАСУ; сост.: М.Д. Гончаров, А.М. Дементьева, В.В. Горяйнов. – Воронеж, 2013. –32 с.
Методические указания содержат краткие сведения по теории вероятностей и рекомендации по решению задач, входящих в контрольную работу, программу и задания для контрольной работы по разделу «Теория вероятностей»
курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Даны ссылки на
литературу, которой можно пользоваться при подготовке к экзамену и выполнении контрольной работы.
Предназначены для студентов 2-го курса заочного факультета Воронежского ГАСУ, обучающихся по направлению подготовки бакалавров «Экономика».
Библиогр.:6 назв.
УДК 517.8
ББК 22.17
Печатается по решению редакционно–издательского совета
Воронежского ГАСУ
Рецензент – Е.И. Макаров, доктор экономических наук, профессор кафедры экономики и основ предпринимательства Воронежского ГАСУ
2
ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Без преувеличения можно сказать, что нас окружает во многом случайный мир. Родится мальчик или девочка, окажется данное изделие стандартным
или бракованным, совпадут ли номера в лотерее, иначе говоря, произойдет некоторое событие или нет – все это является делом случая. В то же время у человека со школьной скамьи складывается убеждение, что все в мире происходит
по однозначным, строгим законам и поэтому кажется, что там, где имеет место
случай, нам просто пока не хватает данных и знаний, чтобы объяснить, почему
произошло именно это событие, а не другое. Оказалось, что это не так. В микромире, как это следует из законов квантовой механики, все устроено случайным образом; например, нельзя достоверно утверждать, расположен электрон в
данной области пространства или нет, а можно говорить только о шансах его
нахождения там. Раздел математики, разработанный для событий, которые не
могут быть строго или точно предсказаны, называется теорией вероятностей.
По теории вероятностей студенту предлагается выполнить контрольную
работу, состоящую из пяти задач. С одной стороны, для их решения не требуется значительных знаний из предшествовавших разделов математики, с другой
стороны, существенной трудностью является то, что желательно проникнуться
качественно новым, вероятностным взглядом на окружающий нас мир.
ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Данная контрольная работа является первой из двух работ, выполняемых
студентами по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика». Контрольная работа должна быть выполнена и зачтена для получения допуска к экзамену. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. Условия задач
следует переписывать полностью. Оформление должно быть аккуратным, записи четкими, а решение должно сопровождаться подробными пояснениями с необходимыми ссылками на теорию.
Приступать к выполнению контрольной работы можно лишь после изучения необходимого теоретического материала и разбора решения аналогичных
задач, используя рекомендации, приведенные в методических указаниях.
В контрольной работе студент выполняет вариант, номер которого совпадает с последней цифрой шифра его зачетной книжки. Если этой цифрой является ноль, то следует выполнять десятый вариант.
ВОПРОСЫ ПРОГРАММЫ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №1
Раздел 1. Случайные события
1. Случайные, достоверные и невозможные события. Примеры. Частота
появления события в п опытах. Свойство устойчивости частоты. Статистиче3
ское определение вероятности. Несовместные события. Полная группа событий. Противоположное событие.
2. Элементарные и равновероятные события (исходы опыта). Классическое определение вероятности. Примеры.
3. Геометрическое определение вероятности. Примеры.
3. Элементы комбинаторики: размещения, перестановки и сочетания.
4. Сумма и произведение событий. Формулы вычисления вероятности
суммы событий. Примеры. Вероятность противоположного события.
5. Условная вероятность события. Независимые события. Формулы вычисления вероятности произведения событий. Примеры.
6. Полная группа несовместных событий. Примеры. Формула полной вероятности.
7.Повторение независимых опытов (испытания Бернулли). Формула Бернулли вычисления вероятности Pn ( k ) появления события А в n испытаниях
ровно k раз.
9. Вычисление Pn ( k ) в случае большого числа испытаний. Локальная и
интегральная формулы Лапласа. Формула Пуассона.
Литература: [1, гл. XX. §§1-6], [2, гл. 1-4, 5 §§ 1,2,3], [3, гл. 1, гл. 2, гл. 3
§§1.2], [4, §§1-4], [5, лекции 1-3], [6].
Раздел 2. Случайные величины
1. Понятие случайной величины. Примеры. Дискретная случайная величина и ее закон распределения.
2. Математическое ожидание M ( X ) дискретной случайной величины X.
3. Дисперсия D ( X ) дискретной случайной величины X и формулы для ее
вычисления. Среднее квадратическое отклонение σ ( X ) случайной величины X.
4. Независимые случайные величины. Сумма и произведение случайных
величин. Примеры.
5. Свойства математического ожидания и дисперсии.
6. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Вычисление вероятности попадания значений случайной величины в интервал [α ; β ) .
7 Функция распределения и функция плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины. Их свойства. Вычисление вероятности
попадания значений непрерывной случайной величины в (α ; β ) или [α ; β ] .
8. Формулы для вычисления M ( X ) , D ( X ) , σ ( X ) для непрерывной случайной величины.
9. Биномиальное распределение и его числовые характеристики.
10. Распределение Пуассона и его числовые характеристики.
11. Равномерное распределение и его числовые характеристики.
12. Нормальное распределение и его числовые характеристики. Вероят4
ность попадания значений в заданный интервал и ее вычисление с помощью
таблиц функции Лапласа Φ ( x ) . Правило трех сигма.
Литература: [1, гл. XX, §§7, 9-17, 20], [2, гл. 6 §§ 1-5, гл. 7 §§ 1-4. гл. 8
§§ 1-5,7, гл. 10, гл. 12 §§1-8 ], [3, гл. 4, §§1, 3, гл. 6 §§1-5], [4, гл. V, §§5, 6, 8, 9,
11], [5, лекции 4-7], [6].
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: в 2 т. /
Н.С. Пискунов. – М.: ИНТЕГРАЛ–ПРЕСС, 2002. – Т. 2. – 544 с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е.
Гмурман. – М.: Высшая школа, 2003. – 479 с.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2003. – 405 с
4. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. / П.Е.
Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова.– М.: Издательский дом «ОНИКС 21
Век»: Мир и Образование, 2003. – Ч.2.– 416 с.
5. Алейников С.М. Элементы теории вероятностей и математической статистики: курс лекций / С.М. Алейников, А.М. Дементьева; Воронеж. гос. арх.–
строит. ун–т. – Воронеж, 2002. – 84 с.
6. Теория вероятностей: Методические указания и контрольные задания к
типовому расчету № 8 по курсу математики для студ. 2-го курса / Воронежский
гос. арх.-строит. ун.-т; Составители: Л.В. Акчурина, А.Б. Кущев, Е.И. Ханкин –
Воронеж, 2010. – 46 с.
Указания по обращению к рекомендуемой литературе даны в тексте программы. Номер источников из приведенного выше списка пишут в квадратных
скобках. Например, [2, гл. 1-4, 5 §§ 1,2,3] обозначает учебник Гмурман В.Е.
«Теория вероятностей и математическая статистика» главы 1-4 и глава 5, §§
1,2,3.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Элементы комбинаторики
Напомним основные формулы комбинаторики и решим несколько примеров на эту тему.
Пример 1. Сколькими способами можно выбрать старосту, физорга и
профорга из группы в 25 человек?
5
Решение. Пусть сначала мы выбираем старосту, что дает 25 вариантов.
При выборе физорга остается 24 возможности, причем каждой кандидатуре
старосты соответствуют эти 24 варианта. Поэтому старосту и физорга можно
выбрать 25 ⋅ 24 способами. Аналогично при выборе профорга для каждого из
предшествующих 25 ⋅ 24 вариантов имеется 23 возможности. Следовательно,
трех человек из 25 на три разные должности можно выбрать 25 ⋅ 24 ⋅ 23 = 138000
способами.
Обобщим только что решенную задачу. Легко видеть, что k различных
предметов из n штук в случае, когда порядок выбора важен, можно выбрать
n (n − 1) ⋅...⋅ (n − k + 1) способами.
Число
Ank = n (n − 1) ⋅...⋅ (n − k + 1) , (k = 1, 2, ... n)
(1)
называется числом размещений из n по k . (Отметим, что в предыдущем примере n = 25 и k = 3 ). Этим числом выражается также количество вариантов,
сколькими можно расставить k различных предметов, имея n мест (1 ≤ k ≤ n ).
В частном случае, когда k = n , получается число перестановок
Pn = Ann = n (n − 1) ⋅...⋅ (n − n + 1) = n !
(2)
Пример 2. Сколькими способами можно рассадить 26 студентовзаочников в аудитории, в которой стоят 13 парт?
Решение. Так как за каждой партой сидят два человека, то всего у нас 26
мест, то есть столько же, сколько и студентов. Следовательно, количество различных вариантов по формуле (2) равно P26 = 26! ≈ 4 ⋅ 1026 .
Это число настолько огромно, что если бы вы пересаживались каждую
секунду, то, чтобы перебрать все варианты, вам бы понадобилось 12,8 ⋅ 1018 лет,
то есть почти в миллиард раз больше времени существования нашей Вселенной.
Теперь рассмотрим, сколькими способами можно выбрать k различных
предметов из n , если порядок выбора несущественен. Каждый способ называется сочетанием из k предметов. Число всех сочетаний из n по k и равно
Ank n (n − 1) ⋅...⋅ (n − k + 1)
=
С =
.
Pk
k!
k
n
(3)
Действительно, если выбрать k предметов из n (неважно в каком порядке, что и дает Сnk вариантов), а затем начать переставлять их в каждом варианте
(что дает Pk перестановок), то получатся все возможные размещения, то есть
Ank = Сnk ⋅ Pk , откуда и следует (3). Часто формулу (3) пишут (домножив и разде6
лив на (n − k )! ) в форме
Сnk =
n!
.
k !(n − k )!
( 3′ )
Пример 3. Сколькими способами можно из группы в 25 человек выбрать
трех делегатов на конференцию?
Решение. Так как порядок выбора не существенен, то это количество будет равно числу сочетаний из 25 по 3:
25 ⋅ 24 ⋅ 23
3
С25
=
= 100 ⋅ 23 = 2300 .
1⋅ 2 ⋅ 3
Замечание 1. Число сочетаний Сnk дает для множества из n элементов
количество его подмножеств, содержащих k элементов. В частности, при k = 0
получается только одно пустое подмножество, то есть Сn0 = 1 . В то же время по
n!
формуле ( 3′ ) Сn0 =
, поэтому по определению считают 0!=1.
0! n !
Замечание 2. Формула бинома Ньютона имеет вид:
n
( a + b) = ∑ C a b
n
k =0
k
n
n−k
k
,
(4)
поэтому коэффициенты Сnk также называют биномиальными. Из формулы ( 3′ )
следует полезное для практики свойство биномиальных коэффициентов:
Сnk = Сnn − k .
Например:
С3028 = С302 =
30 ⋅ 29
= 435.
1⋅ 2
Классическое определение вероятности
Основная идея теории вероятностей состоит в том, что каждому случайному событию А ставится в соответствие неотрицательное число P( A)
(0 ≤ P ≤ 1) , которое отражает шансы наступления события А, называемое вероятностью события А.
Классическое определение вероятности: вероятностью события А называется отношение числа m благоприятных этому событию элементарных исхо-
7
дов опыта к общему числу n всех равновозможных элементарных исходов:
P( A) =
m
.
n
(6)
Невозможному событию (которое никогда не происходит в данном опыте) соответствует вероятность P = 0 (так как m = 0 ), а достоверному (которое
всегда происходит) – P = 1 (так как m = n ).
Пример 4. Студент идет сдавать экзамен, зная 18 вопросов из 25. Какова
вероятность вытянуть счастливый билет (в котором все вопросы известны), если в билете 2 вопроса?
Решение. Когда преподаватель составляет билет, он выбирает по 2 вопроса из 25, причем порядок, в котором написаны вопросы, не существенен.
2
Следовательно, общее число исходов n = С25 .
Чтобы произошло событие А – достался счастливый билет, нужно, чтобы
оба вопроса из 18 были известны студенту, то есть количество благоприятных
исходов m = С182 . По формуле (6)
18 ⋅ 17
m C
= 1 ⋅ 2 = 0,51 .
P( A) = =
25 ⋅ 24
n C
1⋅ 2
2
18
2
25
Ответ: P( A) = 0,51 .
Как вы думаете, уменьшится вероятность P( A) или нет, если в билете 3
вопроса?
Вероятность суммы и произведения событий
Вводятся следующие операции над событиями:
Сумма событий A+B – событие, происходящее когда появляется или событие А или событие В, или оба вместе. Например, стреляют два стрелка, событие А – первый стрелок попал в мишень, событие В – второй стрелок попал в
мишень. Тогда A+B – хотя бы одно попадание в мишень.
Произведение событий АВ – событие, происходящее когда появляется и
событие А и событие В. В случае, когда стреляют два стрелка по одной мишени,
АВ – оба попали.
Для суммы произвольных событий доказывается формула
P ( A + B ) = P( A) + P ( B) − P( AB).
(7)
Если события А и В несовместны, то есть не могут происходить одновре8
менно, то АВ – невозможное событие, P( AB) = 0 и формула (7) превращается в
более простую:
P ( A + B) = P ( A) + P ( B ).
(8)
Если в результате опыта обязательно происходит одно из двух несовместных событий, то эти события называют противоположными.
Событие, противоположное событию А, обозначают через A . Например,
если событие А – стрелок попал в мишень, то A - не попал в мишень.
Так как события A и A несовместны, а их сумма A + A есть достоверное
событие, то P( A) + P( A) = P( A + A) = 1, откуда
P( A) = 1 − P( A).
(9)
События А и В называют независимыми, если вероятность любого из
них не зависит от появления другого.
Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей их событий:
P( AB) = P ( A) ⋅ P ( B).
(10)
События А и В зависимы, если вероятность события В зависит от того,
произошло событие А или нет, и наоборот. В этом случае вводят условную вероятность PA ( B) наступления события В при условии, что событие А произошло. Тогда
P( AB) = P( A) ⋅ PA ( B).
(11)
Формулы (8), (10) легко обобщаются в случае трех (или большего) количества событий.
Пример 5. Вероятность отказа насоса на атомной станции P = 0, 01 . Какова вероятность аварии из-за насосной системы, если кроме основного поставить параллельно один запасной насос?
Решение. Пусть событие А заключается в том, что отказал основной насос, а В - отказал запасной насос. Тогда событие С – произошла авария – заключается в том, что оба насоса отказали, то есть С=АВ и по формуле (10).
P(C ) = P ( AB) = P( A) ⋅ P ( B) = 0, 01 ⋅ 0,01 = 0, 0001 .
Ответ: дублирование насоса приводит к уменьшению вероятности аварии до 0,0001.
Найдите вероятность аварии, если ставятся два запасных насоса.
Приведем второй способ решения примера 4.
Введем события: А – первый вопрос билета известен, В второй вопрос из-
9
вестен. Нас интересует событие АВ – и первый вопрос известен, и второй. Найдем P( AB) по формуле (11). Так как студент знает 18 вопросов из 25, то
m 18
P( A) = 1 =
. Вероятность P( B ) зависит от того, будет ли первый вопрос изn1 25
вестен (если да, то количество благоприятных исходов для В – 17, если нет – то
(18). Для того чтобы по формуле (6) найти PA ( B) , отметим, что общее число
исходов уменьшится до n2 = 24 , а количество благоприятных – до m2 = 17 , так
m
17
как один известный вопрос уже использован. Отсюда PA ( B) = 2 =
. По
n2 24
формуле (11)
18 17
P ( AB) = P ( A) ⋅ PA ( B) =
⋅
= 0,51.
25 24
Замечание 3. Для эффективного решения задач при переводе словесного
описания событий на язык алгебры событий полезно помнить, что союзу «и»
соответствует произведение АВ, союзу «или» сумма А+В, частице «не» - противоположное событие A .
Пример 6. По цели залпом стреляют два орудия. Вероятность попадания
в цель первым орудием P1 = 0, 6 ; вторым - P2 = 0,7 . Найти вероятность поражения цели, которое происходит в случае хотя бы одного попадания снаряда в
цель.
Решение. Введем события: А – первое орудие поразило цель, В – второе
орудие поразило цель. По условию P ( A) = 0.6 ; P( B) = 0, 7 . Хотя бы одно попадание в цель складывается из следующих случаев: первый снаряд попал, или
второй снаряд попал, или оба вместе попали, поэтому - это сумма событий
А+В. По формулам (7) и (10), учитывая, что А и В независимые, получим
P( A + B) = P ( A) + P( B) − P ( AB) = 0, 6 + 0,7 − 0, 6 ⋅ 0, 7 = 1,3 − 0, 42 = 0,88 .
Ответ: вероятность поражение цели 0,88.
Этот пример хорошо обосновывает выгодность батарейной стрельбы.
Пример 7. Стреляют одновременно три стрелка по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком – 0,9; вторым – 0,8 и третьим –
0,5. Найти вероятности следующих событий: а) А – все три стрелка попали в
мишень;
б) В – никто не попал; в) С – хотя бы один попал; г) D – только одно попадание;
д) Е – ровно два попадания.
Решение. Рассмотрим события:
A1 - первый стрелок попал, P( A1 ) = 0,9; P( A1 ) = 1 − P ( A1 ) = 1 − 0,9 = 0.1
10
A2 - второй стрелок попал, P( A 2 ) = 0,8; P( A2 ) = 1 − P ( A2 ) = 1 − 0,8 = 0, 2
A3 - третий стрелок попал, P( A 3 ) = 0,5; P( A3 ) = 1 − P ( A3 ) = 1 − 0,5 = 0,5 .
а) событие А заключается в том, что и первый стрелок попал, и второй
попал, и третий попал, следовательно A = A1 A2 A3 .
Так как A1 , A2 , A3 независимы, то по формуле, аналогичной (10),
P( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 0,9 ⋅ 0,8 ⋅ 0,5 = 0,36 .
б) событие В – никто не попал – состоит в том, что и первый стрелок не
попал, и второй не попал, и третий не попал. Следовательно: B = A1 A2 A3 . Так
как A1 , A2 , A3 независимы, то
P( B) = P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 0,1 ⋅ 0, 2 ⋅ 0,5 = 0,01 .
в) событие С – хотя бы одно попадание – складывается из большого количества вариантов. Поэтому выгодно перейти к противоположному событию
C - никто не попал, в наших обозначениях C = B . По формуле (9) имеем
P(C ) = 1 − P(C ) = 1 − P( B) = 1 − 0,01 = 0,99 .
г) событие D – только одно попадание – складывается из следующих вариантов: (первый стрелок попал, а второй стрелок не попал и третий стрелок не
попал) или (второй стрелок попал, а остальные двое не попали) или (третий
стрелок попал, а остальные двое не попали). Следовательно:
P ( D) = P ( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) =
= P ( A1 )( A2 )( A3 ) + P ( A1 )( A2 )( A3 ) + P( A1 )( A2 )( A3 ) =
= 0,9 ⋅ 0, 2 ⋅ 0,5 + 0,1 ⋅ 0,8 ⋅ 0,5 + 0,1 ⋅ 0, 2 ⋅ 0,5 = 0, 09 + 0, 04 + 0, 01 = 0,14.
д) событие Е – ровно два попадания – как и в предыдущем пункте, составляется из перебора трех вариантов, когда один из стрелков не попал в мишень, а остальные двое попали:
E = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ,
P( E ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) + P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) + P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 0,1 ⋅ 0,8 ⋅ 0,5 +
+0,9 ⋅ 0, 2 ⋅ 0,5 + 0,9 ⋅ 0,8 ⋅ 0,5 = 0, 04 + 0, 09 + 0,36 = 0, 49 .
Замечание 4. Отметим, что сумма событий A + B + D + E дает достоверное событие, а так как они не совместны, то обязательно
P( A) + P( B) + P( D) + P( E ) = 1 .
11
Действительно: 0,36 + 0, 01 + 0,14 + 0, 49 = 1 . Это условие можно использовать как критерий правильности вычислений. А можно было найти P( E ) по
формуле P ( E ) = 1 − P ( A) − P ( B) − P( D) .
Формула полной вероятности
Пусть событие B может наступить при условии появления одного из несовместных событий A1 , A2 , ... An , образующих полную группу событий. Эти
события называют гипотезами и
n
∑ P( A ) = 1 .
k =1
k
Тогда имеет место формула полной вероятности:
P( B) = P( A1 ) ⋅ PA1 ( B) + P ( A2 ) ⋅ PA2 ( B) + ... + P( An ) ⋅ PAn ( B) .
(12)
Пример 8. В магазине имеются электрические лампочки, изготовленные
на трех заводах: 3 ящика с первого завода, 5 – со второго, 2 – с третьего. Процент бракованных лампочек (то есть тех, что перегорают раньше гарантийного
срока) составляет на первом заводе – 10 %, на втором – 20%, на третьем – 25%.
Найти вероятность купить бракованную лампочку при условии, что ящики заносятся в торговый зал случайным образом.
Решение. Рассмотрим события: В – лампочка бракованная, A1 - лампочка
сделана на первом заводе, A2 - на втором, A3 - на третьем. Так как в магазине
всего 3 + 5 + 2 = 10 ящиков лампочек, то по формуле (6) P ( A1 ) = 0.3 ; P( A2 ) = 0.5 ;
P( A3 ) = 0.2 .
Если лампочка произведена на первом заводе, то вероятность брака
PA1 ( B) =
10%
= 0.1 ;
100%
аналогично
PA2 ( B ) =
20%
25%
= 0.2 ; PA3 ( B ) =
= 0.25 .
100%
100%
По формуле (12)
P( B) = P( A1 ) ⋅ PA1 ( B) + P( A2 ) ⋅ PA2 ( B) + P( A3 ) ⋅ PA3 ( B) = 0,3 ⋅ 0.1 + 0,5 ⋅ 0, 2 +
+0, 2 ⋅ 0, 25 = 0, 03 + 0,1 + 0, 05 = 0,18 .
12
Формула Бернулли.
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Схема Бернулли состоит в том, что проводятся n одинаковых, независимых испытаний, и вероятность появления событий A в каждом испытании одна
и та же: P( A) = p , вероятность появления противоположного события A – q ,
т.е q = P ( A) = 1 − P ( A) = 1 − p . Нас будет интересовать вероятность Pn (k ) появления события A ровно k раз в n испытаниях. Эта вероятность вычисляется по
формуле Бернулли:
Pn (k ) = Cnk p k q n − k ,
(13)
где Cnk считаются по формуле (3) или (3′ ).
Пример 9. Два шахматиста, первый из которых выигрывает в два раза
чаще другого, играют матч из трех партий. Считая, что игроки слабые и все
партии результативные, найти вероятность выигрыша матча первым игроком.
Решение. Обозначим через событие A - выигрыш партии первым игроком. Так как первый игрок выигрывает вдвое чаще, то
p = P ( A) =
2
1
, q =1− p = .
3
3
Количество испытаний (партий) n = 3 . Матч будет выигран, если первый
игрок выиграет две или три партии. Найдем по формуле Бернулли (13)
2
3
8
⎛2⎞ 1 4
⎛2⎞
P3 (2) = C p q = 3 ⎜ ⎟ ⋅ = , P3 (3) = C33 p 3 = 1⎜ ⎟ =
.
⎝ 3 ⎠ 27
⎝3⎠ 3 9
4 8 20
P( A) = P3 (2) + P3 (3) = +
=
≈ 0, 74 .
9 27 27
2
3
2
Ответ: Вероятность выиграть матч равна 0,74
Решите аналогичную задачу, если матч из пяти партий. Возрастет ли при
этом вероятность выиграть матч?
Отметим, что пользоваться формулой (13) при больших n затруднительно
из-за большого объема счетной работы. В этом случае и неблизких к нулю p
применяется приближенная формула, вытекающая из локальной теоремы Лапласа
2
1
1 − x2
Pn (k ) ≈
⋅
e ,
(14)
npq 2π
13
где x =
k − np
npq
1
, а значения функции ϕ ( x) =
2π
e
−
x2
2
затабулированы [2, 3, 5].
Пример 10. В условиях предыдущего примера найти вероятность выигрыша первым игроком 13 партий из 18.
2
1
2 1
Решение. В нашем случае n = 18 , k = 13 , p = , q = , npq = 18 ⋅ ⋅ = 4
3
3
3 3
k − np
2
1
а
табличное
значение
функции
и
x=
= (13 − 18 ⋅ ) : 4 = ,
3
2
npq
ϕ (0.5) = 0,3521. Тогда искомая вероятность
P18 (13) =
1
4
1
2
ϕ (0.5) = 0,3521 = 0,176 .
Если бы нас интересовала вероятность выиграть матч в условиях предыдущей задачи, то пришлось бы считать вероятности P18 (10) , P18 (11) ,…, P18 (18) и
затем их складывать. В этой ситуации выгоднее пользоваться интегральной
теоремой Лапласа.
Пусть вероятность наступления события A в каждом испытании постоянна: P( A) = p (0 < p < 1) . Тогда вероятность Pn (k1 ; k2 ) того, что событие A
появится в n независимых испытаниях от k1 до k2 раз, можно приближенно
найти по формуле (n велико и p не близко к нулю)
(15)
Pn (k1 , k2 ) ≈ Φ ( x2 ) − Φ ( x1 ) ,
ki − np
1
x
(i = 1, 2) , а значения функции Лапласа Φ ( x) =
∫e
npk
2π 0
ходятся из таблицы [2, 3, 5].
где xi =
−
z2
2
dz на-
Пример 11. Для выполнения ответственного заказа нужно произвести не
менее 90 качественных плавок металла. Зная, что плавка получается качественной в 90% случаев, руководство завода решило провести 100 плавок металла.
Какова вероятность выполнить заказ?
Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа. В нашем случае p = 0,9; q = 1 − p = 0,1; n = 100, k1 = 90, k2 = 100 . По формуле (15):
x2 =
k2 − np
=
100 − 100 ⋅ 0.9
=
10
100 ⋅ 0.9 ⋅ 0.1
9
k − np 90 − 90
=
= 0;
x2 = 1
npk
9
npk
14
≈ 3.33;
P100 (90,100) ≈ Φ( x2 ) − Φ( x1 ) = Φ(3,33) − Φ (0) = 0, 49966 ≈ 0,5 .
Значение функции Лапласа Φ ( x) найдено по таблице.
Ответ. При 100 плавках выполнение заказа гарантировано лишь на 50%.
Дискретная случайная величина
Одним из основных понятий теории вероятностей является случайная величина, которая в одинаковых условиях принимает случайно одно из своих возможных значений. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Например, количество мальчиков среди сотни новорожденных является дискретной случайной величиной (которая может принимать возможные значения
0,1……100), а их вес является непрерывной случайной величиной (значения
которой принадлежат промежутку, например, от 1,5 до 7 кг).
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями. Чаще всего
его задают в виде таблицы 1.
X
P
Отметим, что
x1
p1
x2
p2
…
…
xi
pi
pi = P( X = xi )
…
…
Таблица 1
xn
pn
(16)
и
n
∑p
i =1
i
= 1.
(17)
Графически закон распределения задается многоугольником распределения, представляющий собою ломаную, соединяющую на плоскости “соседние” точки Ai ( xi , pi ) (i = 1, 2, ..., n) .
Еще одним способом описания закона распределения случайной величины является функция распределения F ( x) , значение которой в произвольной
точке x0 равно вероятности того, что случайная величина X примет значения
меньше x0 :
F ( x0 ) = P ( X < x0 ) ( −∞ < x0 < ∞ ) .
(18)
Информацию о дискретной случайной величине дают также ее числовые
характеристики:
15
● математическое ожидание
n
M ( X ) = ∑ xi pi ,
(19)
i =1
● дисперсия
n
2
2
D ( X ) = M ⎡( X − M ( X ) ) ⎤ = ∑ ⎡⎣ xi − M ( X ) ⎤⎦ pi ,
⎣
⎦ i =1
или преобразованная формула (20):
n
D ( X ) = M ( X 2 ) − M 2 ( X ) , где M 2 ( X ) = ∑ xi 2 pi ;
(20)
(21)
i =1
● среднее квадратическое отклонение
σ ( X ) = D( X ) .
(22)
Отметим, что математическое ожидание характеризует среднее значение
случайной величины, а дисперсия и среднее квадратическое отклонение – средний разброс значений относительно этого среднего значения.
Пример 12. Стреляют три стрелка по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком – 0,9; вторым – 0,8; третьим – 0,5. Для случайной величины X (количества промахов) требуется: 1) составить закон распределения, 2) построить многоугольник и функцию распределения, 3) найти
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение. 1). Случайная величина X – количество промахов – принимает
в нашем случае четыре значения: 0, 1, 2, 3. В примере 7 были просчитаны вероP( X = 0) = P ( A ) = 0,36;
P ( X = 1) = P ( E ) = 0, 49;
ятности
P ( X = 2 ) = P ( D ) = 0,14; P ( X = 3) = P ( B ) = 0, 01.
Составим таблицу 2 из возможных значений и их вероятностей для данного случая по аналогии с таблицей 1.
Таблица 2
X
P
Заметим, что
4
∑p
i =1
i
0
1
2
3
0,36
0, 49
0,14
0, 01
= 0,36 + 0, 49 + 0,14 + 0, 01 = 1 .
16
2). Чтобы построить многоугольник распределения, построим на плоскости x0 p четыре точки: A1 (0; 0,36) , A2 (1; 0,49) , A3 (2; 0,14) , A4 (3; 0,01) и соединим их ломаной (рис. 1).
p
0,5
A2(1; 0,49)
A1(0; 0,36)
A3(2; 0,14)
A4(3; 0,01)
0
1
2
3
x
Рис. 1. Многоугольник распределения
Для построения функции распределения F ( x ) отметим, что ее значения
могут меняться только при переходе через точки x = 0, 1, 2, 3 (являющиеся значениями случайной величины), а точнее увеличиваются на соответствующие
вероятности. Например, F ( x ) = 0 при x ≤ 0 ,так как левее любого x0 ≤ 0 нет
0 < x0 ≤ 1 ,
то
значений
случайной
величины;
если
же
F ( x0 ) = P ( X = 0 ) = p1 = 0,36 , так левее x0 есть одно значение x = 0 случайной
величины X .
Аналогично при 1 < x0 ≤ 2
F ( x0 ) = P ( X < x0 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) = p1 + p2 = 0,36 + 0, 49 = 0,85;
при 2 < x0 ≤ 3
F ( x0 ) = P ( X < x0 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2 ) =
= p1 + p2 + p3 = 0,85 + 0,14 = 0,99.
Наконец при x0 > 3 F ( x0 ) = 1, так как левее x0 лежат все возможные зна-
чения случайной величины. Итак, функция F ( x ) является неубывающей, непрерывной слева, а ее график поднимается «лесенкой» (рис. 2).
17
⎧0
⎪0,36
⎪⎪
F ( x ) = ⎨0,85
⎪0,99
⎪
⎪⎩1
при
x ≤ 0,
при
0 < x ≤ 1,
при
1 < x ≤ 2,
при
2 < x ≤ 3,
при
x > 3.
F ( x)
1
F ( x) = 1
F ( x) = 0,99
F ( x) = 0,85
F ( x) = 0,36
F ( x) = 0
0
1
2
3
x
Рис. 2. Функция распределения F ( x ) дискретной случайной величины X
3). Найдем математическое ожидание M ( X ) по формуле (19):
4
M ( X ) = ∑ xi pi = 0 + 1 ⋅ 0, 49 + 2 ⋅ 0,14 + 3 ⋅ 0, 01 = 0, 49 + 0, 28 + 0, 03 = 0,8 .
i =1
Далее
M (X
2
4
) = ∑x
i =1
2
i
pi = 0 + 12 ⋅ 0, 49 + 22 ⋅ 0,14 + 32 ⋅ 0,01 = 0, 49 + 0,56 + 0, 09 = 1,14
и найдем дисперсию по формуле (21)
D ( X ) = M ( X 2 ) − ( M ( X ) ) = 1,14 − ( 0,8 ) = 1,14 − 0, 64 = 0,5.
2
2
Наконец σ ( X ) = D ( X ) = 0,5 ≈ 0, 71 .
Математическое ожидание M ( X ) = 0,8 характеризует среднее число
промахов, а σ ( X ) = 0, 71 – средний разброс числа промахов относительно этого
среднего.
18
Непрерывная случайная величина
Многие случайные величины принимают не дискретные, а непрерывно
заполняющие некоторый промежуток значения. Например, диаметр вытачиваемых на станке однотипных деталей; расстояние, которое пролетает снаряд
при стрельбе из орудия по данной цели, и так далее. Такие случайные величины
называются непрерывными, если функция распределения (18) будет непрерывной функцией с кусочно-непрерывной производной. Значения функции распределения F ( x ) есть вероятность того, что случайная величина приняла значение
меньше x , поэтому это – неубывающая функция, значения которой изменяются
от нуля до единицы. Для непрерывной случайной величины X имеет смысл
ставить вопрос только о вероятности попадания ее значений в некоторый промежуток. Если задана функция распределения F ( x ) , то:
P (α < X < β ) = F ( β ) − F (α ) .
(23)
Для непрерывной случайной величины удобно задавать функцию плотности распределения вероятностей, являющуюся производной от функции распределения F ( x ) :
f ( x) = F ′( x) .
(24)
Эта неотрицательная функция является “аналогом” вероятности дискретной случайной величины. Поэтому, заменяя в формулах (17), (19 – 21) вероятность на функцию плотности, умноженную на dx , а суммирование на интегрирование, получим аналогичные формулы для непрерывной случайной величины:
∞
∫ f ( x ) dx = 1 ;
(17′ )
−∞
M (X ) =
∞
∫ xf ( x ) dx ;
(19′ )
∫ ( x − M ( X ) ) f ( x ) dx
( 20′ )
−∞
D( X ) =
∞
2
−∞
или
D( X ) = M ( X
2
) − ( M ( X ))
2
, M (X
∞
2
) = ∫ x f ( x ) dx .
2
( 21′ )
−∞
Наконец из (23), (24) и формулы Ньютона-Лейбница следует, что вероятность попадания значений непрерывной случайной величины X в интервал
(α , β ) задается формулой:
19
β
P (α < X < β ) = ∫ f ( x ) dx .
( 23′ )
α
Из геометрического смысла определенного интеграла вытекает, что эта
вероятность есть площадь криволинейной трапеции (рис. 3). В частности из
(17′ ) следует, что площадь под всей кривой ( −∞ < x < ∞ ) равна 1.
y
0
y = f (x)
α
β
x
Рис. 3. Геометрический смысл формулы ( 23′ )
Пример 13. Задана функция распределения непрерывной случайной величины X :
при
x ≤ 0,
⎧0
⎪ 4
F ( x ) = ⎨ Ax
при 0 < x < 2,
⎪1
x ≥ 2.
при
⎩
Требуется: 1) Найти A и функцию плотности f ( x ) .
2) Построить графики функций F ( x ) и f ( x ) .
3) Посчитать M ( X ) , D ( X ) , σ ( X ) .
4) Найти вероятность попадания значений случайной величины X
в интервал (0,1).
Решение.
1). Функция F ( x ) должна быть непрерывной при x = 2 , поэтому
lim F ( x ) = F ( 2 ) . Так как при 0 < x < 2 F ( x ) = Ax 4 и F ( 2 ) = 1 , то lim Ax 4 = 1 ,
x →2
x →2
1
.
16
Следовательно:
т.е. A ⋅ 24 = 1 и A =
20
⎧0
⎪ 4
⎪x
F ( x) = ⎨
⎪16
⎪⎩1
при
x ≤ 0,
при
0 < x ≤ 2,
при
x > 2.
при
x ≤ 0,
при
0 < x ≤ 2,
при
x > 2.
Так как f ( x ) = F ′ ( x ) , то
⎧0
⎪ 3
⎪x
f ( x) = ⎨
⎪4
⎪⎩0
2). Построим графики функций F ( x ) и f ( x ) (рис. 4 и рис. 5).
F ( x)
F ( x) = 1
1
x4
F ( x) =
16
F ( x) = 0
x
2
Рис. 4. Функция распределения F ( x ) непрерывной случайной величины X
f ( x)
2
x3
f ( x) =
4
f ( x) = 0
f ( x) = 0
0
2
Рис. 5. Функция плотности распределения вероятностей
непрерывной случайной величины X
21
x
3). Просчитаем по формулам (19′ ), ( 21′ ), (22) математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое отклонение
∞
2
2
x3
1 4
1 x5
M ( X ) = ∫ x f ( x ) dx = ∫ x ⋅ dx = ∫ x dx = ⋅
4
40
4 5
0
−∞
2
0
25
8
= 2 = .
2 ⋅5 5
Отметим, что функция f ( x ) отлична от нуля на конечном промежутке
0 < x ≤ 2 , поэтому от интеграла по всей оси останется только интеграл от нуля
до двух. Аналогично
∞
2
2
2
x3
1 5
1 x6
M ( X ) = ∫ x f ( x ) dx = ∫ x
dx = ∫ x dx =
4
40
4 6
0
−∞
2
2
2
D ( X ) = M ( X 2 ) − ( M ( X )) =
2
0
1 ⋅ 26 8
= 3 = ;
2 ⋅3 3
2
8 ⎛ 8 ⎞ 8 64 200 − 192 8
−⎜ ⎟ = −
=
= ;
3 ⎝ 5 ⎠ 3 25
3 ⋅ 25
75
σ (X ) =
8
≈ 0,33 .
75
4). По формуле ( 23′ `)
1
P ( 0 < X < 1) = ∫
0
1
1
x3
x4
1
f ( x ) dx = ∫ dx =
= .
4
16 0 16
0
Отметим, что эту вероятность можно было найти по формуле (23).
Нормальный закон распределения
На практике приходится сталкиваться с различными распределениями
случайных величин. Наиболее часто непрерывные случайные величины имеют
нормальный закон распределения, который задается функцией плотности
f ( x) =
1
σ 2π
1
e
−
( x − a )2
2σ 2
,
(25)
гарантирует выполнение условия (17′ ), параметры a и σ
2π
– числовые характеристики величины X : M ( X ) = a , σ ( X ) = σ , D ( X ) = σ 2 .
где множитель
22
Графиком функции плотности (25) при a = 0 и σ = 1 является кривая Гаусса. При произвольных a и σ график f ( x ) получен из этой кривой сжатием
по оси Oy в σ раз, растяжением в σ раз и сдвигом на a по оси Ox (рис. 6)
Рис. 6. Функция плотности нормального закона распределения
Точкой максимума этой кривой является x = a . Чем меньше будет σ , тем
больше будет максимальное значение функции плотности. В тоже время график будет быстрее прижиматься к оси Ox , так как площадь под всей кривой, в
силу (17′ ), равна 1. Значение двух параметров a, σ дает полную информацию
о данном нормальном законе распределения. В частности, можно подсчитать
вероятность попадания значений X в данный интервал (α , β ) , используя фор23
мулу
⎛β −a⎞
⎛α − a ⎞
P (α < X < β ) = Φ ⎜
⎟ − Φ⎜
⎟,
⎝ σ ⎠
⎝ σ ⎠
(26)
где функция Φ ( x ) есть функция Лапласа
Φ ( x) =
1
2π
x
∫e
−
z2
2
dz .
(27)
0
Отметим, что функция распределения F ( x ) связана с Φ ( x ) простым соотношением:
⎛x−a⎞
F ( x) = Φ ⎜
⎟ + 0,5.
⎝ σ ⎠
Для случайной величины, распределенной по нормальному закону, можно практически достоверно утверждать, что ее значения отклоняются по модулю от математического ожидания не более чем на три средних квадратических
отклонения (рис. 7). Это правило называется – «правилом трех сигм».
Рис. 7. Правило трех сигм
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
ВАРИАНТ 1
1. Ребенок играет с 33 карточками разрезной азбуки, на которых написаны разные буквы русского алфавита. Какова вероятность, что из наугад сложенных в ряд четырех карточек получится слово «небо»?
2. Всхожесть семян некоторого злака составляет 80%. Найти вероятность
того, что из посеянных 1000 семян взойдет:
а) ровно 780 семян
б) от 780 до 840 семян.
24
3. Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же цели.
Вероятность попадания в цель для них соответственно равна
p1 = 0,7; p2 = 0,9 ; p3 = 0, 4. Составить закон распределения числа попаданий.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий.
4. Случайная величина X задана функцией распределения
0,
x ≤1
⎧
⎪1
⎪
F ( x ) = ⎨ ( x 2 − x ) , 1 < x ≤ 2;
⎪2
x > 2.
1,
⎪⎩
Построить график функции F ( x ) . Найти функцию плотности вероятно-
сти f ( x ) и построить ее график. Найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение случайной величины. Найти вероятность попадания
случайной величины X в заданный интервал (1; 1,8 ) .
5. На станке изготавливаются детали, длина которых представляет собой
нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием
a = 50 и средним квадратическим отклонением σ = 0, 2 . Записать функцию
плотности данного нормального распределения и построить ее график. Найти
вероятность того, что длина детали попадает в интервал ( 48, 2; 50, 4 ) .
ВАРИАНТ 2
1. Бросаются два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма
очков на них окажется равной 8?
2. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность безотказной
работы каждого из них равна 0,9 и не зависит от состояния других элементов.
Какова вероятность того, что безотказно будут работать:
а) 920 элементов,
б) не менее 920 элементов?
3. Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же цели.
Вероятность попадания в цель для них соответственно равна
p1 = 0,8 ; p2 = 0,5; p3 = 0,5. Составить закон распределения числа попаданий.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий.
4. Случайная величина X задана функцией распределения
⎧0, x ≤ 0;
⎪
F ( x ) = ⎨ x3 , 0 < x ≤ 1;
⎪1, x > 1.
⎩
Построить график функции F ( x ) . Найти функцию плотности вероятно-
25
сти f ( x ) и построить ее график. Найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение случайной величины. Найти вероятность попадания
случайной величины X в заданный интервал ( 0, 2; 0, 28 ) .
5. На станке изготавливаются детали, длина которых представляет собой
нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием
a = 100 и средним квадратическим отклонением σ = 0,3 . Записать функцию
плотности данного нормального распределения и построить ее график. Найти
вероятность того, что длина детали попадает в интервал ( 91, 2; 100,5 ) .
ВАРИАНТ 3
1. Студент идет на экзамен, выучив 25 вопросов из 37. Какова вероятность вытянуть счастливый билет, в котором все три вопроса известны?
2. Вероятность удовлетворить стандарту для каждой из 400 изготовленных деталей равна 0,85. Какова вероятность того, что окажется:
а) ровно 350 стандартных деталей,
б) не менее 350, но не более 395 стандартных деталей?
3. Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же цели.
Вероятность попадания в цель для них соответственно равна
p1 = 0, 6; p2 = 0,7; p3 = 0,3. Составить закон распределения числа попаданий.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий.
4. Случайная величина X задана функцией распределения
⎧
⎪ 0,
x ≤ 0;
⎪
1
⎪
F ( x ) = ⎨3 x3 + 2 x, 0 < x ≤ ;
3
⎪
1
⎪
1,
x
>
⎪⎩
3
Построить график функции F ( x ) . Найти функцию плотности вероятно-
сти f ( x ) и построить ее график. Найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение случайной величины. Найти вероятность попадания
⎛ 1 2⎞
случайной величины X в заданный интервал ⎜ ; ⎟ .
⎝ 12 9 ⎠
5. На станке изготавливаются детали, длина которых представляет собой
нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием
a = 76 и средним квадратическим отклонением σ = 0,3 . Записать функцию
плотности данного нормального распределения и построить ее график. Найти
вероятность того, что длина детали попадает в интервал ( 75,5; 76, 4 ) .
26
ВАРИАНТ 4
1. Человек забыл две последние цифры телефона, но помнит, что среди
них есть цифра пять. Опустив в автомат единственный жетон , он пытается наугад дозвониться. Какова вероятность набрать правильный номер?
2. По данным проверки качества выпускаемых напильников пригодные
составляют в среднем 93%. Определить вероятность того, что в партии из 5000
напильников число годных будет:
а) ровно 4600,
б) не менее 4600.
3. Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же цели.
Вероятность попадания в цель для них соответственно равна
p1 = 0,5; p2 = 0,8; p3 = 0,3. Составить закон распределения числа попаданий.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий.
4. Случайная величина X задана функцией распределения
x ≤ 2;
⎧ 0,
⎪x
⎪
F ( x ) = ⎨ − 1, 2 < x ≤ 4;
⎪2
x > 4.
⎪⎩ 1,
Построить график функции F ( x ) . Найти функцию плотности вероятно-
сти f ( x ) и построить ее график. Найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение случайной величины. Найти вероятность попадания
случайной величины X в заданный интервал ( 2,5; 3, 6 ) .
5. На станке изготавливаются детали, длина которых представляет собой
нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием
a = 50 и средним квадратическим отклонением σ = 0, 2 . Записать функцию
плотности данного нормального распределения и построить ее график. Найти
вероятность того, что длина детали попадает в интервал ( 48, 2; 50, 4 ) .
ВАРИАНТ 5
1. Из шести кубиков с буквами сложено слово «карета». Ребенок перемешивает кубики и снова складывает их в один ряд. Какова вероятность, что получится «ракета»?
2. Вероятность попасть в цель при каждом выстреле одна и та же и равна
0,75. Найти вероятность того, что при 125 выстрелах будет:
а) ровно 85 попаданий,
б) не менее 85 и не более 90 попаданий.
3. Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же цели.
Вероятность попадания в цель для них соответственно равна
27
p1 = 0,3; p2 = 0,18; p3 = 0,9. Составить закон распределения числа попаданий.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий.
4. Случайная величина X задана функцией распределения
x ≤ 0;
⎧0,
⎪ 2
⎪x
F ( x ) = ⎨ , 0 < x ≤ 3;
⎪9
x > 3.
⎪⎩1,
Построить график функции F ( x ) . Найти функцию плотности вероятно-
сти f ( x ) и построить ее график. Найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение случайной величины. Найти вероятность попадания
случайной величины X в заданный интервал (1,5; 2,8 ) .
5. На станке изготавливаются детали, длина которых представляет собой
нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием
a = 60 и средним квадратическим отклонением σ = 0,1. Записать функцию
плотности данного нормального распределения и построить ее график. Найти
вероятность того, что длина детали попадает в интервал ( 59, 6; 60,1) .
ВАРИАНТ 6
1. Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что оба
раза выпадет одно и тоже число очков?
2. Из одного пункта в другой перевозятся 1600 бутылок. Вероятность разбиться в пути для каждой бутылки равна 0,18. Какова вероятность того, что при
перевозке сохранится:
а) ровно 1300 бутылок,
б) от 1300 до 1500 бутылок?
3. Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же цели.
Вероятность попадания в цель для них соответственно равна
p1 = 0, 6; p2 = 0, 7; p3 = 0,9. Составить закон распределения числа попаданий.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий.
4. Случайная величина X задана функцией распределения
π
⎧
x≤− ;
⎪ 0,
2
⎪
π
⎪
F ( x ) = ⎨cos x, − < x ≤ 0;
2
⎪
x > 0.
⎪ 1,
⎪
⎩
28
Построить график функции F ( x ) . Найти функцию плотности вероятно-
сти f ( x ) и построить ее график. Найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение случайной величины. Найти вероятность попадания
π⎞
⎛ π
случайной величины X в заданный интервал ⎜ − ; − ⎟ .
4⎠
⎝ 3
5. На станке изготавливаются детали, длина которых представляет собой
нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием
a = 84 и средним квадратическим отклонением σ = 0, 2 . Записать функцию
плотности данного нормального распределения и построить ее график. Найти
вероятность того, что длина детали попадает в интервал ( 83, 7; 84,6 ) .
ВАРИАНТ 7
1. Обезьяна нажимает на пишущей машинке три клавиши подряд. Какова
вероятность, что будет напечатано слово мир, если имеется всего 61 клавиша?
2. ОТК проверяет детали на стандартность. Для каждой детали вероятность быть стандартной равна 0,86. Какова вероятность того, что в партии из
144деталей:
а) ровно 120 окажутся стандартными,
б) не менее 120 окажутся стандартными?
3. Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же цели.
Вероятность попадания в цель для них соответственно равна
p1 = 0,8; p2 = 0, 4; p3 = 0,7. Составить закон распределения числа попаданий.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий.
4. Случайная величина X задана функцией распределения
⎧
⎪ 0,
x ≤ −1;
⎪
3
1
⎪3
F ( x) = ⎨ x + , −1 < x ≤ ;
4
3
⎪4
1
⎪
x> .
⎪⎩ 1,
3
Построить график функции F ( x ) . Найти функцию плотности вероятно-
сти f ( x ) и построить ее график. Найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение случайной величины. Найти вероятность попадания
⎛1 ⎞
случайной величины X в заданный интервал ⎜ ; 0 ⎟ .
⎝3 ⎠
5. На станке изготавливаются детали, длина которых представляет собой
нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием
a = 95 и средним квадратическим отклонением σ = 0,3 . Записать функцию
29
плотности данного нормального распределения и построить ее график. Найти
вероятность того, что длина детали попадает в интервал ( 94, 6; 95, 7 ) .
ВАРИАНТ 8
1. Какова вероятность того, что при бросании двух кубиков произведение
двух выпавших на них очков равно 12?
2. Имеется партия электрических лампочек в количестве 300 штук. Вероятность проработать менее месяца для каждой лампочки равна 0,25 . Какова вероятность того, что:
а) 240 лампочек проработают больше месяца,
б) от 240 до 270 лампочек проработают больше месяца?
3. Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же цели.
Вероятность попадания в цель для них соответственно равна
p1 = 0,3; p2 = 0, 6; p3 = 0,9. Составить закон распределения числа попаданий.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий.
4. Случайная величина X задана функцией распределения
⎧
⎪ 0,
x ≤ 0;
⎪
π
⎪
F ( x ) = ⎨2sin x, 0 < x ≤ ;
6
⎪
π
⎪
x
>
1,
.
⎪⎩
6
Построить график функции F ( x ) . Найти функцию плотности вероятно-
сти f ( x ) и построить ее график. Найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение случайной величины. Найти вероятность попадания
⎛π π⎞
случайной величины X в заданный интервал ⎜ ; ⎟ .
⎝ 18 9 ⎠
5. На станке изготавливаются детали, длина которых представляет собой
нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием
a = 72 и средним квадратическим отклонением σ = 0, 2 . Записать функцию
плотности данного нормального распределения и построить ее график. Найти
вероятность того, что длина детали попадает в интервал ( 71,9; 72,8 ) .
ВАРИАНТ 9
1. Игрок в «Спортлото» зачеркивает 5 чисел из 36. При розыгрыше вынимают пять шаров из 36 с различными номерами от 1 до 36. Найти вероятность
угадать все номера.
2. Вероятность для каждого из данных 100 спортсменов выполнить норму
30
одна и та же и равна 0,84. Какова вероятность того, что:
а) ровно 86 спортсменов выполнят норму,
б) более 86 спортсменов выполнят норму?
3. Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же цели.
Вероятность попадания в цель для них соответственно равна
p1 = 0,8; p2 = 0,5; p3 = 0,7. Составить закон распределения числа попаданий.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий.
4. Случайная величина X задана функцией распределения
3π
⎧
x
≤
0,
;
⎪
4
⎪
3π
⎪
F ( x ) = ⎨cos 2 x,
< x ≤π ;
4
⎪
x > π.
⎪ 1,
⎪
⎩
Построить график функции F ( x ) . Найти функцию плотности вероятно-
сти f ( x ) и построить ее график. Найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение случайной величины. Найти вероятность попадания
⎛5
⎞
случайной величины X в заданный интервал ⎜ π ; π ⎟ .
⎝6
⎠
5. На станке изготавливаются детали, длина которых представляет собой
нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием
a = 83 и средним квадратическим отклонением σ = 0,1. Записать функцию
плотности данного нормального распределения и построить ее график. Найти
вероятность того, что длина детали попадает в интервал ( 82,8; 83,1) .
ВАРИАНТ 10
1. Два раза бросается монетка. Какова вероятность, что хотя бы один раз
выпадет орел?
2. Вычислительная лаборатория приобрела 225 микрокалькуляторов. Известно, что в среднем 70% из них не требует ремонта в течение года. Какова
вероятность того, что в течение года ремонта потребуют:
а) ровно 70 микрокалькуляторов,
б) не более 70 штук?
3. Три стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же цели.
Вероятность попадания в цель для них соответственно равна
p1 = 0, 7; p2 = 0,9; p3 = 0,5. Составить закон распределения числа попаданий.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий.
4. Случайная величина X задана функцией распределения
31
0,
x ≤ 0;
⎧
⎪ 1 1
⎪
F ( x ) = ⎨ − cos x, 0 < x ≤ π ;
⎪ 2 2
1,
x > π.
⎪⎩
Построить график функции F ( x ) . Найти функцию плотности вероятно-
сти f ( x ) и построить ее график. Найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение случайной величины. Найти вероятность попадания
⎛π π ⎞
случайной величины X в заданный интервал ⎜ ; ⎟ .
⎝3 2⎠
5. На станке изготавливаются детали, длина которых представляет собой
нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием
a = 54 и средним квадратическим отклонением σ = 0,1. Записать функцию
плотности данного нормального распределения и построить ее график. Найти
вероятность того, что длина детали попадает в интервал ( 53, 7; 54, 2 ) .
Оглавление
Предмет теории вероятностей…………………………………………...
3
Общие рекомендации к выполнению контрольной работы…………...
3
Вопросы программы к контрольной работе №1………………………..
3
Список рекомендуемой литературы……………...................................... 5
Краткие теоретические сведения и методические рекомендации…….. 5
Контрольная работа № 1…………………………………………………. 24
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
методические указания для выполнения контрольной работы №1
для студентов 2-го курса заочного факультета,
обучающихся по направлению подготовки бакалавров «Экономика»
Составители: Гончаров Михаил Данилович,
Дементьева Александра Марковна,
Горяйнов Виталий Валерьевич.
Компьютерная верстка Горяйнова В.В.
Подписано в печать
. Формат 60 х 84 1/16. Уч.–изд. л. 2,0.
Усл. печ. л. 2,1. Бумага писчая. Тираж 60 экз. Заказ №
.
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства
учебной литературы и учебно-методических пособий Воронежского ГАСУ
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
32
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
30
Размер файла
367 Кб
Теги
вероятности, 972, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа