close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

91.408 Статистический расчет плоских ферм

код для вставкиСкачать
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
Кафедра теоретической механики
СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМ
Методические указания и контрольные задания
для студентов дневной формы обучения
инженерно-строительных специальностей
Воронеж 2010
УДК 531.8
ББК 22.2
Составители
А. В. Черных, В. В. Черных
Рецензент:
А. Я. Зверев,
д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник
Центрального аэрогидродинамического института (ЦАГИ)
им. проф. Н. Е. Жуковского
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Воронежского государственного архитектурно-строительного университета
Статический расчет плоских ферм: метод. указания и контрол. задания
для студ. дневной формы обучения инженерно-строит. спец. / Воронеж. гос.
арх.-строит. ун-т; сост.: А. В. Черных, В. В. Черных. — Воронеж, 2010. — 18 с.
Приводится описание индивидуальных заданий расчетно-графических работ
для студентов, изучающих раздел «Статика» курса теоретической механики. Даются рекомендации по выполнению работ и примеры расчета.
Предназначены для студентов дневной формы обучения инженерностроительных специальностей.
Ил. 39. Табл. 2. Библиогр.: 3 назв.
УДК 531.8
ББК 22.2
2
ВВЕДЕНИЕ
Статический расчет плоских ферм с определением реакций опор и усилий в стержнях фермы выполняется студентами первого курса при изучении
раздела «Статика» дисциплины «Теоретическая механика».
Выполненное задание оформляется на отдельных листах писчей бумаги, листы нумеруются и сшиваются. Рисунки могут располагаться как в самом тексте, так на отдельных листах формата А4. По ходу решения следует
давать краткие пояснения.
На титульном листе указываются названия задания, фамилия, инициалы студента, номер варианта, номер группы и дата.
При сдаче работы студент должен дать исчерпывающие пояснения по
тексту, уметь ясно излагать основные теоретические положения и отвечать
на контрольные вопросы по теме задания.
1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Фермой называется геометрически неизменяемая шарнирно-стержневая
конструкция (рис. 1).
Рис. 1. Плоские фермы
Фермы часто употребляются при постройке различных сооружений,
например мостов, стропил, грузоподъемных машин и т. д.
Если оси стержней лежат в одной плоскости, то ферма называется плоской, в противном случае — пространственной; здесь мы будем рассматри3
вать только плоские фермы. Точки, в которых сходятся оси стержней (шарниры), называются узлами. Узлы, которыми ферма опирается на основание,
называются опорными узлами.
Стержни плоской фермы, расположенные по верхнему контуру, образуют
верхний пояс, а расположенные по нижнему контуру — нижний пояс фермы.
Вертикальные стержни называются стойками, а наклонные — раскосами.
Шарниры (в узлах), соединяющие стержни, предполагаются идеальными, т. е. без трения. Все внешние силы приложены к узлам фермы. Если веса
стержней достаточно малы по сравнению с внешними силами, то все стержни
испытывают лишь растяжение или сжатие, т. к. к каждому из них приложены
силы только на концах.
Реальные фермы не имеют идеальных шарниров, однако такое допущение облегчает вычисление усилий в стержнях фермы, а результаты вычислений при этом вполне пригодны для практики.
Для того чтобы ферма обладала жесткостью (т. е. чтобы стержни не
могли иметь относительных перемещений), необходимо, чтобы число стержней было
N  2n  3,
где n — число узлов (рис. 2а).
В этом случае ферму можно рассматривать как абсолютно твердое тело, находящееся под действием активных сил и реакций связей. Реакции связей и усилия в стержнях могут быть определены из уравнений статики, следовательно, ферма будет статически определимой.
Если число стержней N  2n  3 , то конструкция не будет обладать жесткостью, т. е. уже не будет фермой (рис. 2б).
Рис. 2. Статически определимые и неопределимые конструкции ферм
4
Если же N  2n  3 , то ферма будет иметь «лишние» стержни (рис. 2в). В
этом случае усилия в стержнях посредством одних только уравнений статики
абсолютно твердого тела определить нельзя и ферма будет статически неопределимой.
Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и усилий в ее
стержнях. Опорные реакции можно найти обычными методами статики, рассматривая ферму в целом как твердое тело. Усилия в стержнях фермы можно
определить различными способами (например, с помощью графической или
аналитической статики). Рассмотрим два основных аналитических метода
расчета — метод вырезания узлов и метод сквозных сечений (метод Риттера).
Первый метод: мысленно вырезают узлы фермы, прикладывают к ним
соответствующие внешние силы, реакции связей и усилия в рассеченных
стержнях и составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому
узлу. Так как в начале расчета неизвестно, какие стержни фермы растянуты, а
какие сжаты, то условно предполагают, что все стержни растянуты (реакции
стержней направлены от узлов).
Если в результате вычислений получают ответ со знаком минус, то соответствующий стержень сжат.
Последовательность рассмотрения узлов определяется условием, что
число неизвестных сил, приложенных к узлу, не должно превышать числа
уравнений равновесия сил (двух для плоской фермы). Тогда эти неизвестные
определяются сразу из уравнений равновесия сил, действующих на этот узел.
Усилия в отдельных стержнях загруженной фермы могут оказаться
равными нулю. Такие стержни принято называть нулевыми. Рассмотрим
леммы, пользуясь которыми можно определить нулевые стержни плоской
фермы, не производя ее расчета.
Лемма 1. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся два
стержня, то усилия в этих стержнях равны нулю (рис. 3а):
 F  0; S cos a  S  0;
 F  0; S sin a  0;
kx
1
2
ky
1
S1  0 и S2  0.
Лемма 2. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся три стержня, из которых два расположены на одной прямой, то усилие в третьем стержне
равно нулю, усилия в первых двух стержнях равны между собой (рис. 3б):
F
kx
 0;  S1  S2  S3 cos a  0;
F
ky
 0; S3 sin a  0;
S3  0 и S1  S2 .
Лемма 3. Если в узле плоской фермы сходятся два стержня и к узлу
приложена внешняя сила, линия действия которой совпадает с осью одного
5
из стержней, то усилие в этом стержне равно по модулю приложенной силе, а
усилие в другом стержне равно нулю (рис. 3в):
 F  0; S cos a  0; S  0;
 F  0;  P  S  S sin a  0;
kx
1
1
ky
2
1
S2   P.
Рис. 3. Нулевые стержни
Второй метод. Методом сквозных сечений (методом Риттера) можно
определить усилие для любого стержня непосредственно, независимо от остальных.
Этот метод состоит в том, что ферма рассекается на две части таким
образом, чтобы в сечении было только три стержня. Мысленно отбрасывая
отсеченную часть фермы и рассматривая оставшуюся в равновесии под действием приложенных к ней внешних сил и усилий, заменяющих действие
рассеченных стержней, получим для этой части фермы три уравнения равновесия, в которые войдут три неизвестных усилия. При определении усилий
все стержни вначале считают растянутыми, т. е. эти усилия направляют в
сторону отброшенной части.
Если ответ получают со знаком минус, это будет означать, что стержень сжат. Уравнения равновесия записывают в виде уравнений суммы моментов всех сил, действующих на оставшуюся часть фермы, относительно
трех различных центров, которые называются точками Риттера.
6
Точки Риттера — точки в которых попарно пересекаются рассеченные стержни (или их продолжения). В этом случае уравнение моментов для
каждого центра будет содержать только одно неизвестное, а именно усилие в
том стержне, направление которого через этот центр не проходит.
Литература:
[1, гл. 2, гл. 5; 2, гл. 5]
2. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
Задание. Определить реакции опор фермы при заданной нагрузке, а
также усилия во всех ее стержнях способом вырезания узлов. Выполнить
проверку усилий в стержнях 4, 5, 6 методом Риттера.
Дано: Р1 = 100 кН, Р2 = 200 кН (рис. 4а).
Найти:S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7.
Решение: для определения усилий в стержнях вначале определяем реакции опор в точках А и В. Для этого мысленно отбрасываем опоры и заменяем их действие на ферму реакциями XA, YA, RВ (рис. 4б).
Составим уравнения равновесия сил, приложенных к ферме:
F
kx
F
ky
 0; X A  P2 cos300  0;
 0; YA  P1  P2 sin 300  RB  0;

m
(
 A F k )  0;
0
0
0
 Pa
1  P2 sin 30 3a  P2 cos30 (2a sin 60 )  RB 4a  0.
Рис. 4. К расчету плоской фермы
7
Рис. 4 (окончание). К расчету плоской фермы
Из этих уравнений найдем:
XA = –173,21 кН,
YA = 25 кН,
RВ = 175 кН.
Для проверки правильности определения реакций запишем еще одно
уравнение суммы моментов всех сил относительно точки D:

m
(
 D F k )  0;
X A 2a sin 600  YA 3a  P1 2a  RB a  a ( X A 2sin 600  YA 3  Pi 2  RB ).
Если реакции XA, YA и RВ найдены верно, то последнее уравнение будет равно нулю. Это условие выполняется, следовательно, реакции в опорах
определены правильно.
Определим усилия в стержнях.
Рассмотрим равновесие каждого узла.
Расчет начинают с такой точки, в которой сходятся не более двух стержней. Для этого мысленно вырезаем
узел А; рассеченные стержни 1 и 2
заменяем реакциями, направляя их
вдоль стержней от узла. При этом получаем плоскую систему сходящихся
сил, для которой запишем два уравРис. 5. Узел А
нения равновесия — суммы проекций
всех сил на оси X и Y (рис. 5):
F
kx
 0; X A  S2  S1 cos600  0;
8
F
ky
 0; YA  S1 sin 600  0.
Из последнего уравнения найдем S1:
S1  
YA
;
sin 600
S1  28,868 кН.
Знак «минус» указывает на то, что первый стержень работает на сжатие. Из первого уравнения найдем S2:
S 2   X A  S1 cos600 ;
S 2  187,644 кН (второй стержень растянут).
Узел Е (рис. 6):
F
F
kx
 0; S4  S3 cos 600  S1 cos 600  0;
ky
 0; P1  S1 cos300  S3 cos300  0;
 P1  S1 cos300
S3 
;
cos300
S3  86,605 кН (третий стержень сжат);
S 4   S3 cos600  S1 cos600 ;
S4  28,868 кН (четвертый стержень растянут).
Рис. 6. Узел Е
Узел С (рис. 7):
F
kx
 0; S6  S 2  S5 cos 600  S3 cos 600  0;
9
F
ky
 0; S3 sin 600  S5 sin 600  0;
S5   S3  86,605 кН (пятый стержень растянут);
S6  S 2  S5 cos600  S3 cos600 ;
S6  101,039 кН (шестой стержень растянут).
Рис. 7. Узел С
Узел В (рис. 8):
F
ky
 0; RB  S7 sin 600  0;
S7  
RB
;
sin 600
S7  202,79 кН (седьмой стержень сжат).
Рис. 8. Узел В
Результаты вычислений сведем в табл. 1.
10
Таблица 1
Номер стержня
1
2
3
4
5
6
7
Усилие, кН
-28,868
187,64
-86,605
28,868
86,605
101,039
-202,079
Метод Риттера. Мысленно разрезаем ферму по стержням 4, 5 и 6. Удаляем правую часть фермы, заменив ее действие реакциями стержней S4, S5, S6,
направив эти реакции вдоль стержней в сторону отброшенной правой части.
Как и в первом случае, расчет проводим в предположении, что стержни растянуты. Левая часть фермы находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил. В этом случае запишем три уравнения суммы
моментов сил относительно точек Риттера.
Первые две точки C и D (рис. 9):

0
m
(
 С F k )  0; YA 2a  Pa
1  S 4 2a sin 60  0;
S4 
YA 2  P1
;
2sin 600
S 4  28,868 кН;

m
(
 D F k )  0; YA 3a  X A 2a sin 600  P1 2a  S6 2a sin 600  0;
3YA  2 X A sin 600  2 P1
S6 
;
2sin 600
S 6  101,039 кН.
Так как силы S4 и S6 параллельны, то точка их пересечения (третья точка Риттера) находится в бесконечности. Поэтому для определения усилия в
пятом стержне вместо уравнения моментов составляем уравнение проекций
на ось, перпендикулярную параллельным стержням 4 и 6:
F
ky
 0; YA  P1  S5 sin 600  0;
S5 
P1  YA
;
sin 600
S5  86,605 кН.
Другой метод расчета дает такие же результаты.
11
Рис. 9. Определение усилий в стержнях методом Риттера
3. ЗАДАНИЯ
Определить реакции опор фермы при заданной нагрузке, а также усилия во всех ее стержнях способом вырезания узлов. Выполнить проверку
усилий в трех стержнях фермы способом Риттера (номера стержней указаны
в табл. 2). Схемы ферм показаны на рис. 10;  — углы между наклонными
стержнями и осью X,  — угол наклона силы P к оси X.
Необходимые для расчета данные приведены в табл. 2 и на рис. 10.
Таблица 2
Номер
варианта
(рис. 10)
1
Р, кН
а, м
 , град
 , град
Номера
стержней
4
2,5
30
15
3,8,9
2
5
3,0
45
30
2,5,7
3
6
3,5
60
45
4,5,10
4
7
4,0
30
60
5,6,11
5
8
4,5
45
75
4,5,10
6
9
5,0
60
75
8,9,11
12
Окончание табл. 2
Номер
варианта
(рис. 10)
Р, кН
а, м
 , град
 , град
Номера
стержней
7
10
5,0
30
60
4,6,12
8
11
4,5
45
45
3,4,5
9
12
4,0
60
30
6,7,12
10
13
3,5
30
15
3,5,7
11
14
3,0
45
15
2,7,8
12
15
2,5
60
30
4,5,10
13
2
2,5
30
45
4,5,10
14
3
2,0
45
60
5,6,8
15
4
3,0
60
75
2,6,9
16
5
3,5
30
60
3,5,6
17
6
4,0
45
45
4,7,8
18
7
4,5
60
30
1,4,8
19
8
5,0
30
15
4,5,7
20
9
2,5
45
30
5,6,8
21
10
3,5
60
45
5,8,9
22
11
4,5
30
60
2,6,8
23
12
2,0
45
60
4,7,9
24
13
2,5
60
45
4,5,10
25
14
3,0
30
30
8,10,11
26
15
3,5
45
15
4,5,9
27
6
4,0
60
30
5,9,11
28
7
4,5
30
45
3,5,6
29
8
5.0
45
60
5,6,11
30
9
2,0
60
75
6,7,12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
Рис. 10. Схемы ферм
14
9
10
11
12
13
14
15
16
Рис. 10 (продолжение). Схемы ферм
15
17
18
19
20
21
22
23
24
Рис. 10 (продолжение). Схемы ферм
16
25
26
27
28
29
30
Рис. 10 (окончание). Схемы ферм
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Яблонский, А. А. Курс теоретической механики. Ч. 1. Статика.
Кинематика / А. А. Яблонский, В. М. Никифорова. — М.: Высш. шк.,1984. —
343 с.
2. Тарг, С. М. Краткий курс теоретической механики: учеб. для вузов /
С. М. Тарг. — М.: Высш. шк., 1995. — 416 с.
3. Бать, М. И. Теоретическая механика в примерах и задачах. Ч. 1./
М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. — М.: Наука, 1984. — 512 с.
17
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ................................................................................................................. 3
1. Краткие сведения из теории ............................................................................. 3
2. Пример выполнения задания............................................................................ 7
3. Задания ............................................................................................................. 12
Библиографический список................................................................................ 17
СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМ
Методические указания и контрольные задания
для студентов дневной формы обучения
инженерно-строительных специальностей
Составители: к.т.н., доц. Черных Александр Васильевич
к.ф.-м.н., доц. Черных Валерий Васильевич
Подписано в печать 10.02.2010. Формат 60 х 84 1/16. Уч.-изд. л. 0,98.
Усл. печ. л. 1,0. Бумага писчая. Тираж 300 экз. Заказ №
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии
Воронежского государственного архитектурно-строительного университета
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
18
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
37
Размер файла
425 Кб
Теги
ферм, плоские, 408, статистический, расчет
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа